|
ŚFiNiA ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 18:01, 10 Lip 2022 Temat postu: Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego (Beta 10) |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego (Beta 10)
2024-04-14
LInk do wersji "Algebra Kubusia Beta10" bezpośrednio porzedzającj finalną wersję AK.
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod: | https://www.dropbox.com/s/w2rgzig53tup4wq/Algebra%20Kubusia%20Beta10.pdf?dl=0 |
Jest tu sporo ciekawych rzeczy pominiętych w końcowej wersji algebry Kubusia np. 12.0 Algebra Kubusia w przedszkolu
Uwaga:
2023-06-25
Niniejsza wersja "Algebry Kubusia" została zdegradowana do wersji Beta 10
Powód:
W dniu 2022-12-24 zacząłem pisać algebrę Kubusia od nowa która nosiła początkowo tytuł "Kompendium algebry Kubusia"
To kompendium stale się poszerzało tzn. z początkowych 170 stron w dniu 2023-06-25 zrobiło się 849 stron.
Aktualna wersja "Algebry Kubusia" jest zdecydowanie lepiej napisana i zawiera wszystko co najważniejsze z wersji Beta 10.
Przede wszystkim rozdzieliłem teorię zdarzeń w AK (zrozumiałą dla 5-cio latka) od teorii zbiorów nieskończonych w AK z oczywistych względów niezrozumiałą dla 5-cio latków.
Pewne jest, że jeśli uczeń I klasy LO zrozumie teorię zdarzeń w AK to automatycznie zrozumie w 100% analogiczną teorię zbiorów nieskończonych.
Niektóre punkty można zaleźć tylko w niniejszej wersji Beta 10.
Przykładowo rozdział 12.0 jest w wersji Beta 10 i nie ma go w końcowej wersji "Algebry Kubusia"
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2022-09-01,21473-25.html#669683
rafal3006 napisał: | Przedszkole algebry Kubusia
12.0 Przedszkole algebry Kubusia |
Uwaga: (2024-04-14)
Na bazie "Przedszkola algebry Kubusia" mozna sie bawić w algebrę Kubusia w przedszkolu.
Przedszkole ułątwia zrozumienie algebry Kubusia w zbiorach bo operuje na zbiorach minimalnych w logice matematycznej.
Dla zrozumienia kompletnej algebry Kubusia potzreba i wystarcza zaledwie cztery elementy.
Zbiory matematyczne operują zawsze na zbiorach nieskończonych, tak więc ułatwienie zrozumienia AK jest tu niebotyczne.
Link do końcowej wersji "Algebry Kubusia":
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kompendium-algebry-kubusia,21937.html#680041
Link do "Algebry Kubusia" w pdf:
[link widoczny dla zalogowanych]
*https://www.dropbox.com/s/vr2fus8e97iqq1v/Kompendium%20AK%20w%20pdf.pdf?dl=0
Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu
Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele
Motto Rafała3006:
Napisać algebrę Kubusia w taki sposób, by ziemski matematyk był w stanie ją zrozumieć i zaakceptować, mimo iż na starcie nie zna ani jednej definicji obowiązującej w AK.
Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia (cytuję w kolejności zaistnienia):
Wuj Zbój, Miki (vel Lucek), Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors (vel Dagger), Słupek, Fiklit, Yorgin, Exodim, FlauFly, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski, MaluśnaOwieczka, Zefciu i inni.
Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006 - absolwent elektroniki na Politechnice Warszawskiej, Instytut Automatyki, rok 1980.
Pierwszy przyzwoity mikroprocesor i8080 to rok 1974.
Moja praca magisterska to zrobiony w praktyce i działający system dwuprocesorowy ze wspólną pamięcią i wspólnymi układami wejścia/wyjścia na mikroprocesorze i8080.
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
Rafał3006 to przybysz ze świata techniki gdzie implikacja nie ma prawa bytu, bowiem opisuje „wolną wolę” istot żywych.
Definicja „wolnej woli” istot żywych:
„Wolna wola” istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy (w tym przez matematykę).
3.
Fiklit - zdecydowanie najlepszy specjalista logiki matematycznej, który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań. Bez Fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć.
4.
Irbisol - znakomity tester algebry Kubusia od 15 lat, za wszelką cenę usiłujący ją obalić na każdym etapie jej rozszyfrowywania. Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera, lepszego partnera w dyskusji?
5.
MaluśnaOwieczka - końcowy uczestnik dyskusji o algebrze Kubusia w trakcie której uściślona została teoria zbiorów na poziomie fundamentalnym (prawo Owieczki).
6.
Zefciu - współautor pogromu zarówno starej algebry Boole'a, jak i Klasycznego Rachunku Zdań.
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1775.html#677021
Spis treści:
1.0 Nowa algebra Boole'a
2.0 Podstawowa algebra Boole’a
2.7 Równoważność p<=>q w świecie martwym i żywym
3.0 Dwuargumentowe funkcje logiczne
4.0 Operatory Y|=f(x) z grupy TF0-TF11 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
5.0 Kubusiowa teoria zbiorów
6.0 Fundamenty obsługi zdań warunkowych w algebrze Kubusia
6.8 Spójniki i operatory implikacyjne
6.16 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q
6.20 Definicje znaczków ## i ###
7.0 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q w pigułce
7.3 Równoważność p<=>q i "albo"($) p$q w pigułce
7.8 Spójniki chaosu p|~~>q śmierci p|~~~>q w pigułce
8.0 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q
8.1 Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)
8.2 Implikacja prosta P8|=>P2 w zbiorach
8.3 Przykład implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach
8.5 Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q)
8.6 Przykład implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach
8.7 Przykład implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach
8.9 Geneza tabel zero-jedynkowych warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
9.0 Spójniki równoważności p<=>q i „albo”($) p$q
9.1 Równoważność p<=>q
9.3 Przykład równoważności TP<=>SK w zbiorach
9.4 Przykład równoważności A<=>S w zdarzeniach
9.5 Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q)
9.7 Przykłady spójnika „albo”($) w zbiorach i w zdarzeniach
9.10 Definicja n-argumentowego spójnika „albo”($)
9.14 Geneza tabel zero-jedynkowych równoważności <=> i „albo”($)
9.17 Równoważność p<=>q vs „albo”($) p$q
10.0 Definicja chaosu p|~~>q=1 i śmierci p|~~>q=0
10.3 Przykłady operatorów chaosu p||~~>q
11.0 Obietnice i groźby
11.4 Przykłady obietnicy
11.6 Właściwości obietnic
11.7 Groźba B~>L
12.0 Przedszkole algebry Kubusia
12.1 Implikacja prosta p|=>q w przedszkolu
12.3 Implikacja odwrotna p|~>q w przedszkolu
12.5 Implikacja prosta p|=>q vs Implikacja odwrotna p|~>q
12.6 Równoważność p<=>q w przedszkolu
12.9 Spójnik "albo"($) p$q w przedszkolu
12.12 Spójnik "albo"($) p$q vs równoważność p<=>q w przedszkolu
12.13 Spójnik chaosu p|~~>q w przedszkolu
13.0 Zastosowanie algebry Kubusia w świecie techniki
14.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych
15.0 Błąd fatalny w podręczniku akademickim matematyki
16.0 Kwintesencja algebry Kubusia
17.0 Historia rozszyfrowania algebry Kubusia
Wstęp:
Algebra Kubusia to podłożenie matematyki pod język potoczny człowieka, czyli coś, o czym matematycy marzą od 2500 lat (od Sokratesa).
Algebra Kubusia to przede wszystkim matematyczna obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.
Kręgosłup algebry Kubusia w tym zakresie tzn. wszystkie definicje i prawa algebry Kubusia wraz z przykładami zawarto w punktach 6.0 i 7.0
Algebra Kubusia to teoria bramek logicznych uwzględniająca zdania warunkowe "Jeśli p to q", po raz pierwszy w historii ludzkości poprawnie matematycznie zapisana w punkcie 14.0.
Teoria bramek logicznych to twardy dowód poprawności matematycznej algebry Kubusia.
Formalnie algebry Kubusia nie musimy się uczyć bo po prostu pod nią podlegamy nie mając żadnych szans, aby się od niej uwolnić. Wynika z tego, że ekspertem algebry Kubusia jest każdy człowiek (od 5-cio latka poczynając) tylko póki co, o tym nie wie. Dowód iż każdy 5-cio latek jest ekspertem algebry Kubusia i potrafi zaprojektować poprawne sterowanie windą w bramkach logicznych zarówno w logice dodatniej (bo J) jak i ujemnej bo (~J) znajdziemy w punkcie 2.4.1
Po co komu algebra Kubusia skoro wszyscy jesteśmy jej ekspertami?
Pytania analogiczne to:
Po co komu znajomość gramatyki języka polskiego, skoro 5-cio latek biegle posługuje się językiem ojczystym nie znając formalnej gramatyki języka?
Kto na co dzień dokonuje rozbioru gramatycznego każdego wypowiedzianego zdania?
Algebra Kubusia to nowa idea matematyczna, to spojrzenie na logikę matematyczną z dziewiczej strony, nieznanej ziemskim matematykom.
Tabele zero-jedynkowe spójników dwuargumentowych (AK) używane w algebrze Kubusia znane są ziemskim matematykom, jednak ich interpretacja jest fundamentalnie inna.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
Twardy dowód powyższej tożsamości na poziomie 5-cio latka znajdziemy w punkcie 2.4.1, zaś na poziomie I klasy LO w punkcie 3.3.
Naukę czytania i interpretacji zapisów w algebrze Kubusia znajdziemy w punkcie 2.7
Wszystkim początkującym polecam przedszkole algebry Kubusia wyłożone w punkcie 12.0. W przełożeniu na matematykę klasyczną jest to odpowiednik nauki tabliczki mnożenia do 100 w IV klasie szkoły podstawowej. W przedszkolu algebry Kubusia operujemy na zbiorach minimalnych, dzięki czemu wzajemne relacje wszystkich możliwych zbiorów {p, q, ~p, ~q} dowodzimy w trywialny sposób (dosłownie na poziomie 5-cio latka), mający jednak przełożenie 1:1 na zbiory nieskończone których z definicji nie da się iterować element po elemencie.
Jaki jest cel algebry Kubusia poza matematycznym opisem języka potocznego?
Celem logiki matematycznej (algebry Kubusia) jest precyzyjne przyporządkowanie dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) z dowolnie zaprzeczonymi p i q do jednego z pięciu rozłącznych operatorów implikacyjnych.
Szczegóły w punkcie 6.15.
Warunkiem koniecznym zrozumienia algebry Kubusia jest zrozumienie istoty działania operatorów jednoargumentowych (4 sztuki) opisanych w punkcie 1.0.
W szczególności należy zwrócić uwagę na prawa Prosiaczka i prawo Puchacza.
Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego na poziomie funkcji logicznych jednoargumentowych znajdziemy w punkcie 1.3.1 (prawo Grzechotnika).
Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego na poziomie funkcji logicznych dwuargumentowych znajdziemy w punkcie 3.1 (prawo Grzechotnika).
W punkcie 3.6 zapisano banalne zadanko z logiki matematycznej (na poziomie 5-cio latka), którego żaden ziemski matematyk nie rozwiąże bowiem jego rozwiązanie wymaga akceptacji w logice matematycznej logiki dodatniej (bo Y) i logiki ujemnej (bo ~Y).
Podstawowa algebra Kubusia to punkty 1.0 do 7.0 plus kluczowa w logice matematycznej obsługa obietnic i gróźb (pkt. 11.0). Pozostała część AK to głównie mnóstwo przykładów i szczegółowych wyjaśnień np. skąd biorą się tabele zero-jedynkowe spójników logicznych.
Nie zainteresowanym matematyką polecam krótkie "Kompendium algebry Kubusia" (oddzielna publikacja), czyli logikę matematyczną doskonale znaną w praktyce wszystkim 5-cio latkom.
0.0 Skorowidz znaczków używanych w "Algebrze Kubusia":
Definicje znaczków używanych w algebrze Kubusia poparto prostymi przykładami.
W teorii zdarzeń będą to przykłady zrozumiałe dla każdego 5-cio latka, natomiast w analogicznej teorii zbiorów będą to przykłady na poziomie I klasy LO.
1.
Znaczki elementarne (1.1):
1 = prawda
0 = fałsz
(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p) i ujemnej (bo ~p)
2.
Spójniki logiczne "lub"(+) i "i"(*) zgodne z językiem potocznym:
(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym (4.2.3)
(|+)- operator "lub"(|+) w języku potocznym (4.2.3)
(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym (4.3.1)
(|*) - operator "i"(|*) w języku potocznym (4.3.1)
3.
Spójniki zdań warunkowych "Jeśli p to q":
Teoria zbiorów:
~~> - definicja elementu wspólnego zbiorów (6.1.1)
=> - definicja warunku wystarczającego w zbiorach (6.1.2)
~> - definicja warunku koniecznego w zbiorach (6.1.3)
Teoria zdarzeń:
~~> - definicja zdarzenia możliwego (6.2.1)
=> - definicja warunku wystarczającego w zdarzeniach (6.2.2)
~> - definicja warunku koniecznego w zdarzeniach (6.2.3)
4.
Spójniki implikacyjne:
|=> - implikacja prosta (6.18)
||=> - operator implikacji prostej (6.18.1)
|~> - implikacja odwrotna (6.19)
||~> - operator implikacji odwrotnej (6.19.1)
<=> - równoważność (9.4)
|<=> - operator równoważności (9.4.1)
$ - spójnik "albo"($) (7.7)
|$ - operator "albo"(|$) (7.7.1)
|~~> - chaos (10.3)
||~~> - operator chaosu (10.3.1)
5.
Pozostałe:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony (6.3.1)
## - różne na mocy definicji (6.3.1, 6.20)
### - różne na mocy błędu podstawienia (6.20)
Uwaga:
To są wszystkie znaczki używane w algebrze Kubusia tzn. nie są potrzebne w AK jakiekolwiek inne znaczki.
W szczególności w algebrze Kubusia nie ma rachunku kwantyfikatorów i związanych z nim znaczków:
/\ - kwantyfikator duży
\/ - kwantyfikator mały
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 11:12, 13 Kwi 2024, w całości zmieniany 218 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 18:02, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
1.0 Nowa algebra Boole'a - operatory jednoargumentowe
Spis treści
1.0 Nowa algebra Boole’a - operatory jednoargumentowe 1
1.1 Definicje elementarne algebry Boole'a 2
1.1.1 Definicja negacji 3
1.1.2 Definicja wyrażenia algebry Boole'a 5
1.1.3 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a: 5
1.1.4 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym 5
1.1.5 Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q 7
1.2 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego 8
1.2.1 Definicja zmiennej binarnej i stałej binarnej 9
1.3 Zero-jedynkowe definicje jednoargumentowych operatorów logicznych 9
1.3.1 Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego 13
1.4 Prawa Prosiaczka 14
1.4.1 Wyprowadzenie I prawa Prosiaczka 15
1.4.2 Wyprowadzenie II prawa Prosiaczka 16
1.4.3 Prawa Prosiaczka w bramkach logicznych 18
1.4.4 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki 18
1.4.5 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka 19
1.5 Operatory jednoargumentowe w logice 5-cio latków 20
1.5.1 Operator transmisji Y|=p 21
1.5.2 Operator negacji Y|=~p 23
1.5.3 Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p 25
1.5.4 Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p 27
1.6 Podsumowanie operatorów jednoargumentowych Y|=f(x) 30
1.0 Nowa algebra Boole’a - operatory jednoargumentowe
Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego (w tym matematyki i fizyki).
Algebra Kubusia zawiera w sobie nową algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.
Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
3.
Ziemski rachunek zero-jedynkowy (fundament logiki matematycznej) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych Y i ~Y algebry Boole’a, co udowodnimy za chwilkę już na poziomie operatorów logicznych jednoargumentowych (pkt. 1.3.1)
1.1 Definicje elementarne algebry Boole'a
1= prawda
0 = fałsz
Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) – negacja
Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)
Przykłady:
Y=p+~p=1 – zdanie zawsze prawdziwe
Y=p*~p=0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna
To samo w logice 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 – zdanie zawsze prawdziwe
Jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.
Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa
1.1.1 Definicja negacji
Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.
W szczególnym przypadku symbol w nagłówku kolumny może być stałą binarną gdy w kolumnie są same jedynki lub same zera.
Przykład:
Kod: |
DN
Definicja negacji:
p # ~p
A: 1 # 0
B: 0 # 1
1 2
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
|
Definicja znaczka w logice matematycznej:
Znaczek w logice matematycznej to symbol zdefiniowany odpowiednią tabelą zero-jedynkową
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
p#~p
Dowodem jest tu definicja negacji DN.
Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna p wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)
Zauważmy, że w definicji negacji DN symbole p i ~p są zmiennymi binarnymi.
Dowód:
W osi czasu (kolumna A1B1) może zajść przypadek, że zmienna binarna p przyjmie wartość logiczną 1 (A1) albo wartość logiczną 0 (B1).
W osi czasu (kolumna B2A2) może zajść przypadek, że zmienna binarna ~p przyjmie wartość logiczną 1 (B2) albo wartość logiczną 0 (A2)
cnd
Stąd mamy:
Definicja osi czasu w logice matematycznej
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej oś czasu to zawartość kolumny opisanej symbolem nad tą kolumną.
W technice cyfrowej znaczek różne # o definicji jak wyżej jest odpowiednikiem dwustronnego negatora "o".
Kod: |
Definicja znaczka # w bramkach logicznych
-----
p --x---------| ~ |o-x--> ~p
| ----- |
| |
| p=~(~p) ----- |
-<-------o| ~ |--x--- ~p
-----
Gdzie:
o - symbol negacji (wyjście bramki negatora)
W świecie rzeczywistym musi tu być negator z otwartym kolektorem (OC)
na przykład typu SN74LS06
|
Matematyczne związki między p i ~p:
I.
p#~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
II.
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)
Dowód w rachunku zero-jedynkowym:
Kod: |
Matematyczne związki w definicji negacji:
p ~p ~(~p) ~(p)
A: 1 0 1 0
B: 0 1 0 1
1 2 3 4
|
Tożsamość kolumn 1=3 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p=~(~p)
Tożsamość kolumn 2=4 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
~p=~(p)
Kod: |
Definicja dwuargumentowego spójnika „i”(*):
p* q Y=p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 1 0
D: 0* 0 0
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0 |
Kod: |
Definicja dwuargumentowego spójnika „lub”(+):
p+ q Y=p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 1 1
D: 0+ 0 0
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
|
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
1.1.2 Definicja wyrażenia algebry Boole'a
Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
Przykład:
f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
p*q+~p*~q = (p*q)+(~p*~q)
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
W najprostszym przypadku wyrażeniem algebry Boole’a może być pojedyńcza zmienna binarna p
f(p) =p
Uwaga na notację:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
f(p,q)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a (przykład)
1.1.3 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna Y algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a w osi czasu.
W szczególnym przypadku funkcja logiczna Y może być stałą binarną 1 albo 0.
W technice funkcja algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y
Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y
Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramek logicznych
Y - wyjście bramki logicznej
Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=1<=>p+q
Y=0<=>~p*~q
etc
1.1.4 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Inaczej mamy do czynienia ze standardem ujemnym lub mieszanym.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
Podstawa matematyczna dla powyższej definicji to prawa Prosiaczka, które za chwilkę wyprowadzimy.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo dla dowolnej zmiennej binarnej.
Przykład:
Pani w przedszkolu A:
A1
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Znaczenie zmiennych w standardzie dodatnim:
Y=1 - prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y), standard dodatni
~K=1 - prawdą jest (=1), że jutro nie pójdziemy do kina (~K), standard dodatni
Przykładowe kodowanie zdania A1 w standardzie mieszanym:
Pani w przedszkolu A:
A1"
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=K
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Naturalne znaczenie zmiennych w kodowaniu zdania A1":
Y=1 - prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y), standard dodatni
K=1 - prawdą jest (=1), że jutro pójdziemy do kina (K), standard dodatni
Dokładnie tak mózg każdego człowieka odczyta kodowanie zdania A1', co jest niezgodne ze zdaniem A1 wypowiedzianym przez panią przedszkolankę.
Poprawny odczyt kodowania A1' jest możliwy wtedy i tylko wtedy gdy dołączymy znaczenie wszystkich zmiennych użytych w kodowaniu mieszanym.
TZ - tabela zmiennych:
Y=1 - prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y), standard dodatni
K=1 - prawdą jest (=1), że jutro NIE pójdziemy do kina (K), standard ujemny
Zając tabelę TZ zdanie A1" czytamy:
A1"
Y=1 <=> K=1
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro NIE pójdziemy do kina (K=1)
Jak widzimy dołączenie do zdania A1" tabeli zmiennych TZ kodowanych w standardzie mieszanym również prowadzi do poprawnego odczytu zdania pani przedszkolanki.
Podsumowując:
Standard mieszany jest w praktyce matematycznej bezużyteczny, bo generuje gówniane w praktyce tabele zmiennych TZ. Wyłącznie masochiści mogą się tak bawić
To mniej więcej tak jakby nauczyciel matematyki powiedział:
Od teraz cyfra 2 będzie oznaczała dawną cyfrę 1, zaś cyfra 1 będzie oznaczała dawną cyfrę 2.
Po takim przyporządkowaniu matematyka klasyczna dalej będzie działać poprawnie!
Czy wszyscy czują bluesa?
Kto będzie bawił się w taką matematykę klasyczną, poza masochistami?
1.1.5 Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q
Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y dwóch zmiennych binarnych to cyfrowy układ o dwóch wejściach p i q dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
1.
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
#
2.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana, które niebawem poznamy.
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
1.2 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego
Definicja funkcji logicznej Y jednej zmiennej binarnej p:
Funkcja logiczna Y jednej zmiennej binarnej p to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściu p.
Kod: |
T1
Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściu p
dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
p Y=f(p)
A: 1 x
B: 0 x
Gdzie:
x={0,1}
f(p) - jednoargumentowe wyrażenie algebry Boole’a
|
Z definicji funkcji logicznej Y wynika, że możliwych jest cztery i tylko cztery różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych jednoargumentowych w logice dodatniej (bo Y).
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściu p oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
Definicja bramki logicznej jednej zmiennej binarnej p
Bramka logiczna jednej zmiennej binarnej p to układ cyfrowy o jednym wejściu p i jednym wyjściu Y
Gdzie:
p, Y - zmienne binarne mogące przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne {0,1}
Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=f(p):
Operator logiczny jednoargumentowy Y|=f(p) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
1.
Dana jest funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Y=f(p)
… a kiedy zajdzie ~Y?
2.
Negujemy dwustronnie funkcje logiczną (1) w logice dodatniej (bo Y):
~Y=~f(p)
Każda ze zmiennych binarnych {p, Y} może występować w logice dodatniej (bo x) albo w logice ujemnej (bo ~x). Zmienna binarna w logice dodatniej (bo x) wymusza zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~x), albo odwrotnie.
Na dowolny układ cyfrowy można zatem spojrzeć w logice dodatniej (bo Y) albo w logice ujemnej (bo ~Y).
Kod: |
Definicja jednoargumentowego operatora logicznego Y|=f(p)
to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
p Y=f(p) # ~p ~Y=~f(p)
A: 1 x # 0 ~(x)
B: 0 x # 1 ~(x)
Gdzie:
x={0,1}
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka #
jest negacją drugiej strony
{p,Y} muszą być wszędzie tymi samymi {p,Y} inaczej błąd podstawienia
|
1.2.1 Definicja zmiennej binarnej i stałej binarnej
Weźmy definicję zdania zawsze prawdziwego ZZP i zdania zawsze fałszywego ZZF które wyprowadzimy w następnym punkcie.
Kod: |
ZZP:
Definicja zdania zawsze prawdziwego Y=p+~p=D=1
p + ~p Y=p+~p=D =1
A: 1 + 0 1
B: 0 + 1 1
Gdzie:
D - dziedzina wspólna dla p i ~p
Y - stała binarna o wartości logicznej 1
|
Kod: |
ZZF:
Definicja zdania zawsze fałszywego Y=p*~p=[]=0
p * ~p Y=p*~p=[]=0
A: 1 * 0 0
B: 0 * 1 0
Gdzie:
[] - zbiór/zdarzenie puste
Y - stała binarna o wartości logicznej 0
|
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować dwie wartości logiczne {0,1}.
W tabelach ZZP i ZZF zmiennymi binarnymi są symbole p i ~p co widać w kolumnach p i ~p.
Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol będący w osi czasu twardą prawdą (ZZP_Y), albo twardym zerem (ZZF_Y)
W tabeli ZZP symbol Y jest stałą binarną o wartości logicznej twardej jedynki.
W tabeli ZZF symbol Y jest stałą binarną o wartości logicznej twardego zera.
Nie ma możliwości w czasie od minus do plus nieskończoności, by stała binarna przyjęła przeciwną
wartość logiczną.
W świecie rzeczywistym, opisane wyżej właściwości zmiennych binarnych i stałych binarnych możemy zaobserwować na oscyloskopie, przyrządzie pomiarowym służącym do obserwacji szybkich przebiegów zmiennych.
1.3 Zero-jedynkowe definicje jednoargumentowych operatorów logicznych
Kod: |
Definicja negacji:
p # ~p
A: 1 # 0
B: 0 # 1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Kod: |
Definicja dwuargumentowego spójnika „lub”(+):
p+ q Y=p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 1 1
D: 0+ 0 0
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
|
Kod: |
Definicja jednoargumentowego spójnika „lub”(+):
Dla q=~p mamy:
p + ~p Y=p+~p=1
A: 1 + 0 1
B: 1 + 0 1
C: 0 + 1 1
D: 0 + 1 1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Stąd mamy tożsamą tabelę prawdy, definicję zdania zawsze prawdziwego (Y=1)
Kod: |
ZZP:
Definicja zdania zawsze prawdziwego Y=p+~p=1
p + ~p Y=p+~p=D=1
A: 1 + 0 1
B: 0 + 1 1
Gdzie:
D=p+~p - wspólna dziedzina
~p jest uzupełniniem do dziedziny D dla p
Y - stała binarna o wartości logicznej 1
|
Podobnie:
Kod: |
Definicja dwuargumentowego spójnika „i”(*):
p* q Y=p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 1 0
D: 0* 0 0
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0
|
Kod: |
Definicja jednoargumentowego spójnika „i”(*):
Dla q=~p mamy:
p * ~p Y=p*~p=[]=0
A: 1 * 0 0
B: 1 * 0 0
C: 0 * 1 0
D: 0 * 1 0
Gdzie:
[] - zbiór/zdarzenie puste
Y - stała binarna o wartości logicznej 0
|
Stąd mamy tożsamą tabelę prawdy, definicję zdania zawsze fałszywego (Y=0)
Kod: |
ZZF:
Definicja zdania zawsze fałszywego Y=p*~p=[]=0
p * ~p Y=p*~p=[]=0
A: 1 * 0 0
B: 0 * 1 0
Gdzie:
p*~p=[]=0 - zbiory/zdarzenia p i ~p są rozłączne
Y - stała binarna o wartości logicznej 0
|
Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=f(p):
Operator logiczny jednoargumentowy Y|=f(p) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.
Innymi słowy:
1.
Dana jest funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Y=f(p)
… a kiedy zajdzie ~Y?
#
2.
Negujemy dwustronnie funkcje logiczną (1) w logice dodatniej (bo Y):
~Y=~f(p)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Stąd mamy:
Kod: |
TF1
Zero-jedynkowa tabela prawdy jednoargumentowych operatorów logicznych
Czyli:
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że tabela TF1 perfekcyjnie spełnia zarówno definicję znaczka różne # jak i definicję znaczka różne na mocy definicji ##
Dokładnie ta sama tabela zapisana prościej, wyłącznie funkcjami logicznymi Y i ~Y bez rozpisywania w tabelach zero-jedynkowych.
Kod: |
TF1
Operatory logiczne jednoargumentowe Y|=f(p):
1.
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych A0 i B0
Funkcja transmisji |Funkcja transmisji
w logice dodatniej (bo Y) |w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: Y= p # B0: ~Y=~p
## ##
2.
Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych A1 i B1
Funkcja negacji |Funkcja negacji
w logice dodatniej (bo Y) |w logice ujemnej (bo ~Y)
A1: Y=~p # B1: ~Y= p
## ##
3.
Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p to układ równań A2 i B2
Zdanie zawsze prawdziwe |Zdanie zawsze fałszywe
w logice dodatniej (bo Y) |w logice ujemnej (bo ~Y)
A2: Y= p+~p=1 # B2: ~Y= p*~p=0
## ##
4.
Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p to układ równań A3 i B3
Zdanie zawsze fałszywe |Zdanie zawsze prawdziwe
w logice dodatniej (bo Y) |w logice ujemnej (bo ~Y)
A3: Y= p*~p=0 # B3: ~Y= p+~p=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że tabela TF1 perfekcyjnie spełnia zarówno definicję znaczka różne # jak i definicję znaczka różne na mocy definicji ##
1.3.1 Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego
Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.
Największą tragedią ziemskiego rachunku zero-jedynkowego jest fakt, że w bramkach logicznych po stronie wejścia cyfrowego widzi on zmienne binarne w logice dodatniej (bo p) i ujemnej (bo ~p), ale nie widzi dokładnie tego samego po stronie wyjścia cyfrowego Y, tu obowiązuje bezwzględny zakaz widzenia wyjścia Y w logice ujemnej (bo ~Y).
Odpowiednikiem tego faktu w matematyce klasycznej byłoby widzenie w układzie Kartezjańskim na osi X zmiennych dodatnich (x) i zmiennych ujemnych (~x) z zakazem widzenia dokładnie tego samego na osi Y, gdzie dozwolone byłoby widzenie jedynie zmiennych dodatnich (y).
Czy ktokolwiek wyobraża sobie współczesną matematykę z takim upośledzonym układem Kartezjańskim?
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych zapisanych w tabeli TF1
Dowód:
W całym Internecie (plus podręczniki matematyki) kolumny wynikowe w rachunku zero-jedynkowym opisywane są wyłącznie wyrażeniami algebry Boole’a, a nie funkcjami logicznymi Y i ~Y jak to jest w algebrze Kubusia.
W porywach (rzadkich przypadkach) ziemskiego rachunku zero-jedynkowego znajdziemy zapis funkcji logicznej Y w logice dodatniej (bo Y), ale nigdzie nie znajdziemy tej samej funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli TF1 pozostawiając jedynie wyrażenia algebry Boole’a
Kod: |
TF1"
Operatory logiczne jednoargumentowe Y|=f(p):
1.
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych A0 i B0
A0: p # B0: ~p
## ##
2.
Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych A1 i B1
A1:~p # B1: p
## ##
3.
Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p to układ równań A2 i B2
A2: p+~p=1 # B2: p*~p=0
## ##
4.
Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p to układ równań A3 i B3
A3: p*~p=0 # B3: p+~p=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Po usunięciu funkcji logicznych Y i ~Y najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## leży gruzach bowiem w tabeli TF1" zachodzą następujące tożsamości logiczne
Kod: |
A0: p = B1: p
A1: ~p = B0: ~p
A2: p+~p=1 = B3: p+~p=1
A3: p*~p=0 = B2: p*~p=0
|
Stąd mamy:
Prawo Grzechotnika:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
1.4 Prawa Prosiaczka
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo Y) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~Y). Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej, jak również w stosunku do dowolnej stałej binarnej.
Wyprowadzenie praw Prosiaczka:
Kod: |
TF1
Zero-jedynkowa tabela prawdy jednoargumentowych operatorów logicznych
Czyli:
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Zapiszmy funkcje logiczne A2 i A3 w sposób tożsamy:
Kod: |
TF23
A2: Y=1 # B2: ~Y=0
## ##
A3: Y=0 # B3: ~Y=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negację drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że tabela TF23 perfekcyjnie spełnia zarówno definicję znaczka różne # jak i definicję znaczka różne na mocy definicji ##
W wierszach A2 i A3 doskonale widać prawa Prosiaczka.
1.4.1 Wyprowadzenie I prawa Prosiaczka
Zapiszmy funkcje logiczne A2 i A3 w tabeli prawdy
Kod: |
TF23
A2: Y=1 # B2: ~Y=0
## ##
A3: Y=0 # B3: ~Y=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negację drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
I prawo Prosiaczka widać w linii A2-B2:
I Prawo Prosiaczka:
A2: (Y=1) # B2: (~Y=0)
Zmienna binarna w logice dodatniej (bo Y) ma wartość logiczną 1 wtedy i tylko wtedy gdy zmienna binarna w logice ujemnej (bo ~Y) ma wartość logiczną 0
Stąd mamy zapis tożsamy I prawa Prosiaczka:
A2: (Y=1) <=> B2: (~Y=0)
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie twierdzenia prostego p=>q i twierdzenia odwrotnego q=>p
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
Stąd:
I Prawo Prosiaczka:
A2: (Y=1) <=> B2: (~Y=0) = (A2: (Y=1)=>B2: (~Y=0))*(B2: (~Y=0)=>A2: (Y=1)) =1*1 =1
Twierdzenie proste A2: p=>q brzmi:
A2.
Jeśli A2: (Y=1) to na 100% => B2: (~Y=0)
cnd
Twierdzenie odwrotne B2: q=>p brzmi:
B2.
Jeśli B2: (~Y=0) to na 100% => A2: (Y=1)
cnd
Prawo Irbisa:
Każda równoważność pojęć p<=>q definiuje tożsamość pojęć p=q i odwrotnie
p<=>q [=] p=q
Szczegółowym dowodem prawa Irbisa zajmiemy się w niedalekiej przyszłości.
Na mocy prawa Irbisa mamy:
A2: (Y=1) <=> B2: (~Y=0) [=] A2: (Y=1) = B2: (~Y=0)
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Tożsame znaczki tożsamości logicznej które możemy używać zamiennie celem precyzyjnego zapisu prawa logicznego np. prawa Irbisa
<=>, „=”, [=]
<=> - wtedy i tylko wtedy
Stąd końcowa postać I prawa Prosiaczka przyjmuje brzmienie.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
Tożsamość jest przemienna stąd mamy wersję tożsamą.
I Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice ujemnej (bo ~Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice dodatniej (bo Y)
(~Y=0)=(Y=1)
cnd
1.4.2 Wyprowadzenie II prawa Prosiaczka
Zapiszmy funkcje logiczne A2 i A3 w tabeli prawdy
Kod: |
TF23
A2: Y=1 # B2: ~Y=0
## ##
A3: Y=0 # B3: ~Y=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negację drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
II prawo Prosiaczka widać w linii A3-B3:
II Prawo Prosiaczka:
A3 (Y=0) # B3: (~Y=1)
Zmienna binarna w logice dodatniej (bo Y) ma wartość logiczną 0 wtedy i tylko wtedy gdy zmienna binarna w logice ujemnej (bo ~Y) ma wartość logiczną 1 (i odwrotnie)
Stąd mamy zapis tożsamy II prawa Prosiaczka:
A3: (Y=0) <=> B3: (~Y=1)
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie twierdzenia prostego p=>q i twierdzenia odwrotnego q=>p
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
Stąd:
II Prawo Prosiaczka:
A3: (Y=0) <=> B3: (~Y=1) = (A3: (Y=0)=>B3: (~Y=1))*(B3: (~Y=1)=>A3: (Y=0)) =1*1 =1
Twierdzenie proste A3: p=>q brzmi:
A3.
Jeśli A3: (Y=0) to na 100% => B3: (~Y=1)
cnd
Twierdzenie odwrotne B3: q=>p brzmi:
B3.
Jeśli B3: (~Y=1) to na 100% => A3: (Y=0)
cnd
Prawo Irbisa:
Każda równoważność pojęć p<=>q definiuje tożsamość pojęć p=q i odwrotnie
p<=>q [=] p=q
Szczegółowym dowodem prawa Irbisa zajmiemy się w niedalekiej przyszłości.
Na mocy prawa Irbisa mamy:
A3: (Y=0) <=> B3: (~Y=1) [=] A3: (Y=0) = B3: (~Y=1)
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Tożsame znaczki tożsamości logicznej które możemy używać zamiennie celem precyzyjnego zapisu prawa logicznego np. prawa Irbisa
<=>, „=”, [=]
<=> - wtedy i tylko wtedy
Stąd końcowa postać II prawa Prosiaczka przyjmuje brzmienie.
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Tożsamość jest przemienna stąd mamy wersję tożsamą.
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo Y)
(~Y=1)=(Y=0)
cnd
1.4.3 Prawa Prosiaczka w bramkach logicznych
Realizacja praw Prosiaczka w bramkach logicznych:
Kod: |
I prawo Prosiaczka:
(Y=1)<=>(~Y=0)
Y=1 ------ <=> ~Y=0
------------->| # |o----------------->
------
Po minięciu negatora # funkcję Y=1 musimy negować dwustronnie ~Y=0
## ##
II Prawo Prosiaczka:
(Y=0)<=>(~Y=1)
Y=0 ------ <=> ~Y=1
------------->| # |o----------------->
------
Po minięciu negatora # funkcję Y=0 musimy negować dwustronnie ~Y=1
Gdzie:
„o” - symbol negatora (#)
## - różne na mocy definicji
|
Stąd mamy:
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
1.4.4 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki
Rozważmy sterowanie żarówką jednym przyciskiem A
Kod: |
Schemat 1
Przykład ilustracji praw Prosiaczka w fizyce:
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z naturalną logiką człowieka gdzie wszelkie przeczenia w kodowaniu matematycznym muszą być zapisane jawnie.
Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
S - żarówka świeci
Co w logice jedynek oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)
Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
~S - żarówka nie świeci
Co w logice jedynek oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)
Zauważmy, że prawa Prosiaczka wiążą ze sobą pojęcia prawdy i fałszu w języku potocznym.
1.4.5 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka
Dla zrozumienie praw Prosiaczka nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.
Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO
Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)
Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0
Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)
Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń
Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)
1.5 Operatory jednoargumentowe w logice 5-cio latków
Znaczenie symboli Y i ~Y dla potrzeb prezentowanych dalej przykładów:
1.
Znaczenie symbolu Y:
1: Y - pani dotrzyma słowa
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
2: (Y=1)=(~Y=0)
stąd kolejny zapis tożsamy:
~Y=0 - fałszem jest (=0), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa
#
2.
Znaczenie symbolu ~Y:
2: ~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 - prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
2: (~Y=1)=(Y=0)
Stąd zapis tożsamy:
Y=0 - fałszem jest (=0) że pani dotrzyma słowa (Y)
Innymi słowy:
Pani nie dotrzyma słowa.
W języku potocznym zachodzi tożsamość pojęć:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) = Pani skłamie (S)
~Y = S
Na mocy powyższego mamy:
1: Y # 2: ~Y
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony (negator)
Ale!
Kod: |
1: Y # 2: ~Y
Ale!
I Prawo Prosiaczka ## II prawo Prosiaczka
1A: (Y=1)=(~Y=0) ## 2A: (~Y=1)=(Y=0)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony (negator)
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne ## na mocy definicji:
Wyrażenia po obu stronach znaczka ## są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame, ani żadne z nich nie jest negacją drugiej strony.
Zauważmy, że jeśli zanegujemy 1A to nie otrzymamy tożsamości ze stroną 2A.
Dowód:
Negujemy 1A:
1A': (~Y=0)=(Y=1)
Doskonale widać, że człon 1A' jest różny na mocy definicji od człony 2A - oczywiście porównujemy symbole w tej samej logice dodatniej (bo Y) albo ujemnej (bo ~Y)
1.5.1 Operator transmisji Y|=p
Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora transmisji Y|=p:
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych funkcji transmisji A0: Y=p w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji transmisji B0: ~Y=~p w logice ujemnej (bo ~Y)
A0.
Y=p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A0 stronami:
B0.
~Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Przykład zdania wypowiedzianego A0: Y=K
Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
A0: A1: A2: A3:
K ~K Y=K ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~K K ~Y=~K ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
Przykład A0
Pani w przedszkolu A0 wypowiada zdanie:
A0.
Jutro pójdziemy do kina
A0: Y=K
co w logice jedynek oznacza:
A0: Y=1 <=> K=1
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy juro pójdziemy do kina (K=1)
Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek).
Czy wiesz kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Jaś:
Oczywiście, że wiem.
Negujemy równanie A0 stronami:
B0: ~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
B0: ~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 3.
W części A0 doskonale widać że:
Y=1 <=> K=1
W części B0 doskonale widać, że:
~Y=1 <=> ~K=1
cnd
Wnioski:
1.
Zauważmy, że nasze zdanie A0: Y=K w logice dodatniej (bo Y) możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 123.
2.
Także odpowiedź B0 na pytanie o ~Y możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 123.
3.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 123 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 123 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
cnd
Stąd mamy wyprowadzone prawo Sokoła.
Prawo Sokoła:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego
1.5.2 Operator negacji Y|=~p
Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora negacji Y|=~p:
Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych funkcji negacji A1: Y=~p w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji negacji B1: ~Y=p w logice ujemnej (bo ~Y)
A1.
Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A1 stronami:
B1.
~Y=p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Przykład zdania wypowiedzianego A1: Y=~K
Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
A0: A1: A2: A3:
p ~q Y=q ## K ~K Y=~K ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p q ~Y=~p ## ~K K ~Y=K ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
Przykład A1
Pani w przedszkolu A1 wypowiada zdanie:
A1.
Jutro nie pójdziemy do kina
A1: Y = ~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1).
Y=1 <=> ~K=1
Zuzia do Jasia:
Czy wiesz kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Jaś:
Oczywiście, że wiem.
Negujemy równanie A1 stronami:
B1: ~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
B1: ~Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 6.
W części A1 doskonale widać że:
Y=1 <=> ~K=1
W części B1 doskonale widać, że:
~Y=1 <=> K=1
cnd
Wnioski:
1.
Zauważmy, że nasze zdanie A1: Y=~K w logice dodatniej (bo Y) możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 456.
2.
Także odpowiedź B1 na pytanie o ~Y możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 456.
3.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 456 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 456 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
cnd
Stąd mamy wyprowadzone prawo Sokoła.
Prawo Sokoła:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego
1.5.3 Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p
Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p:
Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p to układ równań funkcji logicznej A2: Y=p+~p=1 w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej B2: ~Y=~p*p=0 w logice ujemnej (bo ~Y)
A2.
Funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
A2: Y=p+~p =1 - na mocy prawa algebry Boole’a: p+~p=1
co w logice jedynek oznacza:
A2: Y=1 <=> p=1 lub ~p=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że funkcja logiczna Y ma wartość logiczną twardej jedynki (Y=1), niezależnie od tego czy zajdzie p=1 czy też ~p=1
Doskonale to widać w kolumnie Y: A2_9
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy funkcję logiczną A2 stronami:
B2: ~Y=~(p+~p) =0
Na mocy prawa De Morgana zapisujemy:
B2: ~Y=~p*p =0 - na mocy prawa algebry Boole'a: ~p*p=0
Środkowy człon wolno nam pominąć bo jest zbiorem/zdarzeniem pustym [].
Stąd mamy:
B2: ~Y=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że zajdzie ~Y
Doskonale to widać w kolumnie ~Y: B2_9
Przykład zdania zawsze prawdziwego A2: Y=K+~K=1:
Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
A0: A1: A2: A3:
p ~q Y=q ## K ~K Y=~K ## K ~K Y=K+~K=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p q ~Y=~p ## ~K K ~Y=K ## ~K K ~Y=~K*K=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
Przykład A2
Pani w przedszkolu A2 wypowiada zdanie:
A2.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y = K+~K =1 - na mocy prawa algebry Boole’a: p+~p=1
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani jutro dotrzyma słowa (Y), niezależnie od tego czy pójdziemy do kina (K), czy też nie pójdziemy do kina (~K)
Z chwilą wypowiedzenia zdania A2 pani ustawiła tu twardą jedynkę i nie ma szans na zostanie w dniu jutrzejszym kłamczuchą.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie funkcje logiczną Y
B2: ~Y = ~(K+~K) =0
Na mocy prawa De Morgana zapisujemy:
B2: ~Y=~K*K =0 - na mocy prawa algebry Boole'a: ~p*p=0
Środkowy człon wolno nam pominąć bo jest zbiorem/zdarzeniem pustym [].
Stąd mamy:
B2: ~Y=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że jutro pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Doskonale to widać w kolumnie ~Y: B2_9
Znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - panie nie dotrzyma słowa (~Y=1)
Wniosek
Pani przedszkolanka w przedszkolu A2 wypowiadając zdanie A2 nie ma szans na nie dotrzymanie słowa (~Y=1) w dniu jutrzejszym
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 9.
2.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 789 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 789 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
cnd
Stąd mamy wyprowadzone praw Sokoła.
Prawo Sokoła:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego
1.5.4 Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p
Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p:
Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p to układ równań logicznych A3: Y=p*~p=0 w logice dodatniej (bo Y) oraz B3: ~Y=~p+p=1 w logice ujemnej (bo ~Y)
A3.
Funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
A3: Y=p*~p =0 - na mocy prawa algebry Boole’a: p*~p=0
Środkowy człon wolno nam pominąć bo jest zbiorem/zdarzeniem pustym [].
Stąd mamy:
A3: Y=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że zajdzie Y
Doskonale to widać w kolumnie Y: A3_12
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy funkcję logiczną A3 stronami:
B3: ~Y=~(p*~p) =1
Na mocy prawa De Morgana zapisujemy:
B3: ~Y=~p+p =1 - na mocy prawa algebry Boole'a: ~p+p=1
co w logice jedynek oznacza:
B3: ~Y=1 <=> ~p=1 lub p=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że zajdzie ~Y, niezależnie od tego czy zajdzie p=1 czy też ~p=1.
Musi zajść p=1 albo ~p=1 - trzeciej możliwości brak.
Doskonale to widać w kolumnie ~Y: B3_12
Przykład zdania zawsze fałszywego A3: Y=K*~K=0
Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=K*~K=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~K+K=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
Przykład A3.
Pani w przedszkolu A3 wypowiada zdanie:
A3.
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
A3: Y = K*~K =0 - na mocy prawa algebry Boole’a: p*~p=0
Środkowy człon wolno nam pominąć bo jest zbiorem/zdarzeniem pustym [].
Stąd mamy:
A3: Y=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że pani jutro dotrzyma słowa (Y)
Doskonale to widać w kolumnie Y: A3_12
#
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy dwustronnie funkcje logiczną Y.
B3.
~Y = ~(K*~K) =0
Na mocy prawa De Morgana:
B3: ~Y=~K+K =1 - bo prawo algebry Boole'a: ~p+p =1
co w logice jedynek oznacza:
B3: (~Y=1) <=> ~K=1 lub K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y), niezależnie od tego czy jutro pójdziemy do kina (K=1) czy też nie pójdziemy do kina (~K=1)
Jutro możemy pójść do kina (K=1) albo nie pójść do kina (~K=1) - trzeciej możliwości brak.
Doskonale to widać w kolumnie ~Y: B3_12
Znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - panie nie dotrzyma słowa (~Y=1)
Wniosek:
Pani przedszkolanka w przedszkolu A3 wypowiadając zdanie A3 nie ma szans na dotrzymanie słowa (Y=1) w dniu jutrzejszym.
W momencie wypowiedzenia zdania A3 pani jest kłamczuchą, o czym każdy 5-cio latek wie.
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 12.
2.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 10:11:12 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 10:11:12 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
cnd
Stąd mamy:
Prawo Sokoła:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego
1.6 Podsumowanie operatorów jednoargumentowych Y|=f(x)
Weźmy tabelę zero-jedynkową wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych.
Kod: |
TF1
Zero-jedynkowa tabela prawdy jednoargumentowych operatorów logicznych
Czyli:
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja dziedziny D na której operowaliśmy w naszych przykładach:
K+~K=D=1 - zdarzenie ~K jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla zdarzenia K
K*~K=[]=0 - zdarzenia K i ~K są rozłączne
Znaczenie zmiennych na których operowaliśmy w naszych przykładach wyżej było następujące:
K - jutro pójdziemy do kina
~K - jutro nie pójdziemy do kina
Stąd mamy spełnioną definicję dziedziny D:
K+~K=D=1 - jutro możemy pójść do kina (K) albo nie pójść do kina (~K), trzeciej możliwości brak
K*~K=[]=0 - zdarzenie "pójdziemy do kina" (K) jest rozłączne ze zdarzeniem "nie pójdziemy do kina" (~K)
Chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień i w tejże chwili czasowej zdarzenia K i ~K są rozłączne
Definicja dziedziny D na poziomie funkcji logicznej Y:
Definicja dziedziny dla dowolnej funkcji logicznej Y=f(x) (także wieloargumentowej):
Y+~Y = D =1 - funkcja logiczna ~Y jest uzupełnieniem do dziedziny D dla funkcji logicznej Y
Y*~Y=[] =0 - funkcje logiczne Y i ~Y są rozłączne
Znaczenie funkcji logicznych Y i ~Y z naszych przykładów wyżej omówionych:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa
Stąd mamy spełnioną definicję dziedziny D:
Y+~Y=D=1 - pani może dotrzymać słowa (Y) albo nie dotrzymać słowa (~Y), trzeciej możliwości brak
Y*~Y=[]=0 - pani nie może równocześnie dotrzymać słowa (Y) i nie dotrzymać słowa (~Y)
Chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień i w tejże chwili czasowej pani dotrzyma słowa (Y=1) albo nie dotrzyma słowa (~Y=1), trzeciej możliwości brak.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 3:56, 12 Cze 2023, w całości zmieniany 52 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 18:05, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2.0 Podstawowa algebra Boole’a
Spis treści
2.0 Podstawowa algebra Boole’a 1
2.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole’a 2
2.1.1 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym 4
2.2 Aksjomatyka algebry Boole’a 6
2.2.1 Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a 7
2.3 Równoważność K<=>T w świecie żywym 11
2.3.1 Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej 13
2.3.2 Kolejność wykonywania działań w algebrze Kubusia 14
2.4 Piękna algebra Boole’a 14
2.4.1 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków 14
2.4.2 Przykład minimalizacji funkcji logicznej z matematyki.pl 17
2.5 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a 18
2.5.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 19
2.5.2 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer 20
2.6 Związek opisu tabel zero-jedynkowych w logice jedynek i w logice zer 22
2.6.1 Prawo Małpki 22
2.6.2 Dowód prawa Małpki bez tabel zero-jedynkowych 23
2.0 Podstawowa algebra Boole’a
Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego (w tym matematyki i fizyki)
Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
Definicja algebry Boole’a:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Algebra Boole’a to dwa wyróżnione elementy, zwykle {1,0}, o znaczeniu:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
oraz dwa spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja
2.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole’a
Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)
Przykłady:
Y=p+~p=1 – zdanie zawsze prawdziwe
Y=p*~p=0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna
To samo w logice 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 – zdanie zawsze prawdziwe
Jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramek logicznych
Y - wyjście bramki logicznej
Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)
Matematyczne związki między p i ~p:
I.
p#~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
II.
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)
Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
Przykład:
f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
p*q+~p*~q
W najprostszym przypadku wyrażeniem algebry Boole’a może być pojedyńcza zmienna binarna p
f(p) =p
Uwaga na notację:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
f(p,q)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a (przykład)
Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a w osi czasu.
W technice funkcja logiczna algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y
Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y
Przykład:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q = (p*q)+(~p*~q) = (p*q)+~(p+q) - na mocy prawa De Morgana
Kolejność wykonywania działań:
przeczenie (~), nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=1<=>p+q
Y=0<=>~p*~q
etc
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana (poznamy za chwilę)
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
2.1.1 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Inaczej mamy do czynienia ze standardem ujemnym lub mieszanym.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
Podstawa matematyczna dla powyższej definicji to prawa Prosiaczka
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej.
Przykład:
Pani w przedszkolu A:
A1.
Jutro nie pójdziemy ani do kina, ani do teatru
Y = ~K*~T
co w standardzie dodatnim (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Znaczenie zmiennych w naturalnej logice człowieka (standard dodatni):
TZ1 - tabela zmiennych nr.1 w standardzie dodatnim:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y), standard dodatni
~K=1 - prawdą jest (=1), że jutro nie pójdziemy do kina (~K), standard dodatni
~T=1 - prawdą jest (=1), że jutro nie pójdziemy do teatru (~T), standard dodatni
Wniosek:
Nasz mózg, niezależnie od języka, operuje na symbolach niezanegowanych (logika dodatnia bo p) albo zanegowanych (logika ujemna bo ~p), a nie na zerach i jedynkach
Jak widzimy, z kodowania A1 bez problemu odtworzymy zdanie wypowiedziane przez panią przedszkolankę.
Przykładowe kodowanie zdania A1 w standardzie mieszanym wygląda tak:
A1'.
Jutro nie pójdziemy ani do kina, ani do teatru
Y = ~K*T
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Znaczenie zmiennych w naturalnej logice człowieka (standard dodatni):
TZ2 - tabela zmiennych w standardzie dodatnim:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y), standard dodatni
~K=1 - prawdą jest (=1), że jutro nie pójdziemy do kina (~K), standard dodatni
T=1 - prawdą jest (=1), że jutro pójdziemy do teatru (T), standard dodatni
Dokładnie tak kodowanie A1' odczyta każdy człowiek, czyli z kodowania A1' odczytujemy totalnie inne zdanie niż wypowiedziała pani przedszkolanka.
Jednoznaczne odtworzenie standardu mieszanego możliwe jest wtedy i tylko wtedy gdy do takiego kodowania dołączmy znaczenie wszystkich zmiennych.
Weźmy jeszcze raz zdanie A1'.
A1'.
Jutro nie pójdziemy ani do kina, ani do teatru
Y = ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i T=1
TZ3 - tabela zmiennych w kodowaniu mieszanym:
Y=1 - prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y), standard dodatni
~K=1 - prawdą jest (=1) że jutro nie pójdziemy do kina (~K), standard dodatni
T=1 - prawdą jest (=1), że jutro NIE pójdziemy do teatru (T), standard ujemny
Jak widzimy dołączenie do zdania A1' tabeli zmiennych TZ3 kodowanych w standardzie mieszanym również prowadzi do poprawnego odczytu zdania pani przedszkolanki, mimo kodowania zmiennych w standardzie mieszanym.
Dowód:
A1'
Y = ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=~K=1 i T=1
Uwzględniając tabelę TZ3 odczytujemy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i NIE pójdziemy do teatru (T=1)
Podsumowując:
Standard mieszany jest w praktyce matematycznej bezużyteczny, bo generuje niezgodne ze standardem dodatnim (naturalna logika człowieka) tabele zmiennych TZ. Wyłącznie masochiści mogą się w takie klocki bawić.
To mniej więcej tak jakby nauczyciel matematyki powiedział:
Od teraz cyfra 2 będzie oznaczała dawną cyfrę 1, zaś cyfra 1 będzie oznaczała dawną cyfrę 2.
Po takim przyporządkowaniu matematyka klasyczna dalej będzie działać poprawnie!
Czy wszyscy czują bluesa?
Kto będzie bawił się w taką matematykę klasyczną, poza masochistami?
W niewielu przypadkach na poziomie krajów używane są przeciwne standardy.
Przykłady:
1.
Anglicy jeżdżą samochodami w standardzie przeciwnym niż Polacy, czyli lewą stroną.
Katastrofą dla Anglika będzie jazda po Polsce lewą stroną.
2.
Bułgarzy kiwają głową na TAK/NIE w standardzie przeciwnym niż Polacy.
Polak interpretujący kiwanie głową Bułgara na TAK/NIE według standardu polskiego nie dogada się z Bułgarem.
2.2 Aksjomatyka algebry Boole’a
Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy
Definicja minimalnej aksjomatyki algebry Boole’a:
Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a to minimalny zestaw definicji i praw algebry Boole’a koniecznych i wystarczających do minimalizacji równań algebry Boole’a.
Należy zaznaczyć, że nasz mózg prezentuje w tym zakresie mistrzostwo świata tzn. z reguły operuje minimalnymi równaniami algebry Boole'a których nie da się minimalizować.
Definicja znaczka w logice matematycznej:
Znaczek w logice matematycznej to symbol zdefiniowany odpowiednią tabelą zero-jedynkową
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+):
I.
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka
Znaczek tożsamy w matematyce:
(*) - znaczek koniunkcji
Znaczek tożsamy w technice:
(*) - bramka logiczna AND
Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
Kod: |
p* q Y=p*q
A: 1* 1 =1
B: 1* 0 =0
C: 0* 1 =0
D: 0* 0 =0
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
Y=1
|
Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia którą logiką będziemy się posługiwać. W przypadku spójnika „i”(*) użycie logiki jedynek jest najszybszym sposobem wypełnienia wynikowej kolumny zero-jedynkowej.
II.
(+) - spójnik „lub”(+) z języka potocznego człowieka
Znaczek tożsamy w matematyce:
(+) - znaczek alternatywy
Znaczek tożsamy w technice:
(+) - bramka logiczna OR
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod: |
p+ q Y=p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
Y=1
|
Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia którą logiką będziemy się posługiwać. W przypadku spójnika „lub”(+) użycie logiki zer jest najszybszym sposobem wypełnienia wynikowej kolumny zero-jedynkowej.
2.2.1 Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a
Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a to minimalny zestaw definicji i praw algebry Boole’a koniecznych i wystarczających do minimalizacji równań algebry Boole’a.
1.
1=prawda
0=fałsz
1=~(0)=~0 - prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu (0)
0=~(1)=~1 - fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy (1)
2.
p =~(~p) - logika dodatnia (bo p) jest tożsama z zanegowaną (~) logiką ujemną (bo ~p)
Prawo podwójnego przeczenia.
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p jest tożsama z zanegowaną (~) logiką dodatnią (bo p)
3.
Elementem neutralnym w spójniku „i”(*) jest jedynka
p*1=p - łatwe do zapamiętania przez analogię do zwykłego mnożenia: x*1=x
p+1=1 - to jedyny wyjątek nie mający odpowiednika w zwykłym dodawaniu
4.
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest zero
p+0=p - łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego dodawania: x+0=x
p*0=0 - łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego mnożenia: x*0=0
5.
Definicja dziedziny D w zbiorach:
A: p+~p=D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny (D)
B: p*~p=[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, stąd ich iloczyn logiczny to zbiór pusty []=0
Definicja dziedziny D w zdarzeniach:
C: p+~p=D =1 - zdarzenie ~p jest uzupełnieniem zdarzenia p do wspólnej dziedziny (D)
D: p*~p=[] =0 - zdarzenia p i ~p są rozłączne, stąd ich iloczyn logiczny to zbiór pusty []=0
Przykłady:
5A
Zdanie zawsze prawdziwe w zbiorach:
Dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 2 lub nie jest podzielna przez 2
D=LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] – zbiór liczb naturalnych, wspólna dziedzina dla P2 i ~P2
P2+~P2=D =1 - zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest uzupełnieniem zbioru P2=[2,4,6,8..] do dziedziny LN
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb naturalnych LN pomniejszony o zbiór liczb parzystych P2
5B.
Zdanie zawsze fałszywe w zbiorach:
Dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 2 i nie jest podzielna przez 2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2=[2,4,6,8..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne, stąd ich iloczyn logiczny to 0
5C.
Zdanie zawsze prawdziwe w zdarzeniach:
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
Y = K+~K =D =1 - zdarzenie ~K jest uzupełnieniem zdarzenia K do wspólnej dziedziny D
D=[K,~K] – zbiór wszystkich możliwych zdarzeń w dniu jutrzejszym, wspólna dziedzina D
Chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień.
5D.
Zdanie zawsze fałszywe w zdarzeniach:
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y = K*~K =[] =0 - zdarzenie ~K jest rozłączne ze zdarzeniem K
Chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień
6.
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) są przemienne
p*q=q*p
p+q=q+p
7.
Prawo redukcji/powielania zmiennych binarnych:
p*p=p
p+p=p
8.
Prawa De Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
p*q = ~(~p+~q)
9.
Obsługa wielomianów logicznych jest identyczna jak wielomianów klasycznych pod warunkiem przyjęcia analogii:
Spójnik „lub”(+) to odpowiednik sumy algebraicznej (+) np. x+y
Spójnik „i”(*) to odpowiednik iloczynu algebraicznego (*) np. x*y
Stąd mamy:
Kolejność wykonywania działań w wielomianach logicznych:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
bo robimy analogię do wielomianów klasycznych.
Przykład mnożenia wielomianów logicznych:
Niech będzie dana funkcja logiczna Y:
Y = (p+~q)*(~p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Minimalizujemy:
Y = (p+~q)*(~p+q)
Y = p*~p + p*q +~q*~p + ~q*q - mnożenie logiczne każdego z każdym (jak w matematyce klasycznej)
Y = 0 + p*q + ~q*~p + 0 - prawo algebry Boole'a: x*~x=0
Y = p*q + ~q*~p - prawo algebry Boole'a: x+0=x
Y = p*q + ~p*~q - przemienność x*y=y*x
Stąd:
Nasza funkcja logiczna Y po minimalizacji przybiera postać:
Y = (p+~q)*(~p+q) = p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Inny przykład wykorzystania praw algebry Boole’a.
Udowodnij prawo algebry Boole’a:
p + p*q =p
Dowód:
p + p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p=p*1
Wyciągnięcie zmiennej p przed nawias identyczne jak w wielomianach klasycznych
p*(1+q)
1+q =1
p*1=p
cnd
Każde z praw logiki matematycznej można udowodnić w rachunku zero-jedynkowym.
Przykład 1.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo rachunku zero-jedynkowego:
p+1 =1
Mamy tu:
p - zmienna algebry Boole’a mogąca przyjmować dowolne wartości logiczne 0 albo 1.
q=1 - wartość logiczna stała, niezmienna (twarda jedynka niezależna od czasu)
Korzystamy z definicji spójnika „lub”(+).
Kod: |
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
p+ q Y=p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
|
Stąd mamy:
Kod: |
Dla p i q=1 mamy:
p+ q=1 Y=p+1
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 1 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 1 =1
|
Stąd mamy dowód prawdziwości prawa rachunku zero-jedynkowego:
p+1 =1
cnd
Przykład 2.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo algebry Boole’a:
p+~p =1
Kod: |
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
p+ q Y=p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
|
Stąd mamy:
Kod: |
Dla p i q=~p mamy:
p+~p Y=p+~p
A: 1+ 0 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 1 =1
|
Stąd mamy dowód prawdziwości prawa rachunku zero-jedynkowego:
p+~p =1
cnd
Przykład 3.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo De Morgana dla sumy logicznej „lub”(+):
p+q = ~(~p*~q)
Zaczynamy od definicji spójnika „lub”(+)
Kod: |
p+ q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q Y=~(~Y)=~(~p*~q)
A: 1+ 1 =1 =0 0* 0 =0 =1
B: 1+ 0 =1 =0 0* 1 =0 =1
C: 0+ 1 =1 =0 1* 0 =0 =1
D: 0+ 0 =0 =1 1* 1 =1 =0
1 2 3 4 5 6 7 8
Gdzie:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
|
Tożsamość kolumn wynikowych 3=8 (Y=Y) jest dowodem poprawności prawa De Morgana:
Y = 3: p+q = 8: ~(~p*~q)
#
Tożsamość kolumn wynikowych 4=7 (~Y=~Y) jest dowodem poprawności prawa De Morgana:
~Y = 4: ~(p+q) = 7:~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
cnd
Zadanie dla czytelnika:
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo De Morgana dla iloczynu logicznego „i”(*):
p*q = ~(~p+~q)
2.3 Równoważność K<=>T w świecie żywym
Definicja równoważności p<=>q w świecie żywym:
Z równoważnością w świecie żywym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy każde z czterech możliwych zdarzeń {A: p*q, B: p*~q, C: ~p*~q, D: ~p*q} ma szansę przyjąć wartość logiczną jeden
Definicja spójnika <=> - "wtedy i tylko wtedy” wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Przykład:
Pani w przedszkolu wypowiada obietnicę bezwarunkową:
1.
Jutro pójdziemy do kina tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Innymi słowy:
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
K<=>T = A: K*T + C: ~K*~T
Podstawmy celem skrócenia zapisów:
Y = K<=>T
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1: Y = A: K*T + C: ~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
co w logice jedynek oznacza:
1: Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Uwaga:
Wyłącznie funkcje alternatywno-koniunkcyjne są zrozumiałe dla człowieka, od 5-cio latka poczynając.
Funkcji koniunkcyjno-alternatywnych żaden człowiek nie rozumie tzn. nie mają one przełożenia 1:1 na język potoczny.
Wyłącznie w funkcji alternatywno-koniunkcyjnej jedynki są domyślne, czyli możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Przyjmijmy następujące znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y), czyli pani skłamie (S=~Y)
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1: Y = A: K*T + C: ~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
co w logice jedynek oznacza:
1: Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
Yc = ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Gdzie:
Y = Ya+Yc - funkcja logiczna Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych Ya+Yc
Jak widzimy, odpowiedź kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) jest intuicyjnie zrozumiała.
Matematycznie kluczowa jest tu odpowiedź na pytanie:
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Aby odpowiedzieć na to pytanie musimy dwustronnie zanegować funkcję logiczną 1.
2: ~Y = ~(K*T+~K*~T)
Prawą stronę minimalizujemy prawami De Morgana:
Krok 1
2: ~Y = ~(K*T)*~(~K*~T) - prawo De Morgana: ~(p+q) = ~p*~q
Krok 2
2: ~Y = (~K+~T)*(K+T) - prawo De Morgana: ~(p*q) = ~p+~q
Stąd mamy.
Kolejność wykonywania działań w algebrze Boole’a:
Przeczenie (~), nawiasy, spójnik „i”(*), spójnik „lub”(+)
Przetłumaczmy opisaną wyżej postać koniunkcyjno-alternatywną na język potoczny:
2: ~Y = (~K+~T)*(K+T)
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
(~K+~T) - jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
„i”(*)
(K+T) - jutro pójdziemy do kina (K) lub pójdziemy do teatru (T)
Doskonale widać, że otrzymaliśmy masakrę, czyli odpowiedź na pytanie kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y), której w języku potocznym żaden człowiek nie rozumie (z najwybitniejszym matematykiem włącznie).
Co zatem mamy robić?
Po pierwsze bez paniki wymnażamy wielomian 2 (dla wygody przechodzimy na zapis ogólny):
2: ~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
3: ~Y = p*~q + ~p*q - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Nasz przykład:
3.
~Y = K*~T + ~K*T - postać alternatywno-koniunkcyjna
co w logice jedynek obowiązującej wyłącznie w postaci alternatywno-koniunkcyjnej oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub D: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Yb = K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
„lub”(+)
~Yd = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Gdzie:
~Y = ~Yb+~Yc - funkcja logiczna ~Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych ~Yb+~Yd
Doskonale widać, że tą odpowiedź na pytanie kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) rozumie każdy człowiek, od 5-cio latka poczynając.
Wniosek z naszego przykładu to prawo Pandy.
Prawo Pandy:
Jedyną funkcją logiczną zrozumiałą dla każdego człowieka jest funkcja alternatywno-koniunkcyjna
Z prawa Pandy wynika, że jeśli z jakiegokolwiek przekształcenia funkcji logicznej algebry Boole’a wyskoczy mam choćby fragment postaci koniunkcyjno-alternatywnej, to taki fragment musimy sprowadzić do postaci alternatywno-koniunkcyjnej wymnażając wielomian, jak to zrobiliśmy wyżej.
Podsumowanie:
Jak widzimy korzystając dwukrotnie z praw De Morgana przeszliśmy od funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y):
1: Y = K*T +~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Do funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y):
2: ~Y = K*~T + ~K*T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Akurat w tym przypadku to przejście było proste, bo na wejściu mieliśmy do czynienia z prostą funkcją logiczną Y:
1: Y = K*T +~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
W ogólnym przypadku funkcja alternatywno-koniunkcyjna może być dowolnie skomplikowana i wtedy korzystanie z praw De Morgana, choć matematycznie poprawne, będzie skomplikowanym masochizmem.
Na szczęście istnieje skrócony algorytm przejścia z logiki dodatniej (bo Y) do ujemnej (bo ~Y) i odwrotnie, po raz pierwszy zapisany przez Wuja Zbója.
2.3.1 Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej
Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
1.
Y = pq+~p~q - zapis dopuszczalny w technice z pominięciem spójnika „i”(*)
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
1.: Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2: ~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója
2.3.2 Kolejność wykonywania działań w algebrze Kubusia
Kolejność wykonywania działań w algebrze Kubusia:
przeczenie (~), nawiasy, spójnik „i”(*), spójnik „lub”(+), ~~>, =>, ~>, <=>
Gdzie:
Znaczki z algebry Boole’a to:
przeczenie(~), nawiasy, spójnik „i”(*), spójnik „lub”(+)
Znaczki spoza algebry Boole’a (tzn. z algebry Kubusia) to:
~~> - zdarzenie możliwe lub element wspólny zbiorów
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
<=> - równoważność
2.4 Piękna algebra Boole’a
Podam dwa przykłady posługiwania się algebrą Boole’a, pierwszy rodem z przedszkola, drugi rodem z forum matematyka.pl.
2.4.1 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków
Rozważmy projektowanie sterowania windą.
Przyjmijmy wejście układu windy:
Na poziomie 5-cio latka zakładamy że winda ma dwa przyciski wejściowe układu (zmienne binarne):
Opis przycisku D=[drzwi]:
D=1 - drzwi zamknięte (D)
~D=1 - drzwi nie zamknięte (~D)
Opis przycisku P=[piętro]:
P=1 - przycisk piętro wciśnięty (P)
~P=1 - przycisk piętro nie wciśnięty (~P)
Przyjmijmy wyjście układu windy:
Wyjście układu opisane jest przez zmienną binarną J=[jedzie]:
J=1 - winda jedzie (J).
~J=1 - winda nie jedzie (~J)
I.
Pani przedszkolanka do Jasia (lat 5):
Powiedz nam Jasiu kiedy winda jedzie (J=1)?
Jaś:
A1.
Winda jedzie (J=1) wtedy i tylko wtedy gdy drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
A1: J=D*P
co w logice jedynek oznacza:
J=1 <=> D=1 i P=1
Wniosek:
Jaś zaprojektował sterownie windą w logice dodatniej (bo J)
II.
Pani przedszkolanka do Zuzi (lat 5):
Powiedz nam Zuziu kiedy winda nie jedzie (~J=1)?
Zuzia:
A2.
Winda nie jedzie (~J=1) wtedy i tylko wtedy gdy drzwi nie są zamknięte (~D=1) "lub"(+) nie jest wciśnięty przycisk piętro (~P=1)
A2: ~J = ~D + ~P
co w logice jedynek oznacza:
~J=1 = ~D=1 lub ~P=1
Wniosek:
Zuzia zaprojektowała sterowanie windą w logice ujemnej (bo ~J)
Wnioski końcowe:
Rozwiązanie Jasia i Zuzi są matematycznie tożsame bo oczywisty związek logiki dodatniej (bo J) i ujemnej (bo ~J) jest następujący:
Jaś:
Moja logika dodatnia (bo J) to zanegowana logika ujemna (bo ~J), stąd mamy:
J = ~(~J)
Po podstawieniu:
A2: ~J = ~D + ~P
Mamy:
J = ~(~D+~P)
czyli:
J = ~(~D+~P) = D*P - prawo De Morgana
cnd
Zuzia:
Moja logika ujemna (bo ~J) to zanegowana logika dodatnia (bo J), stąd mamy:
~J = ~(J)
Po podstawieniu:
A1: J=D*P
Mamy:
~J = ~(D*P)
czyli:
~J = ~(D*P) = ~D+~P - prawo De Morgana
cnd
Doskonale tu widać, zarówno Jaś jak i Zuzia (oboje po 5 wiosenek) perfekcyjnie znają algebrę Kubusia bo po prostu pod nią podlegają.
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = znana inżynierom bramka AND
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = znana inżynierom bramka OR
Znaczek przeczenia (~) też ma swój odpowiednik w bramkach logicznych w postaci układu negatora:
„o”(~) - bramka negatora „o”(~)
Bramka negatora "o" w każdej chwili czasowej zamienia cyfrowy sygnał wejściowy (p) na jego negację na wyjściu negatora (~p).
Stąd:
Przełożenie powyższych zdań na bramki logiczne jest trywialne:
Wszędzie, gdzie wymawiamy spójnik „i”(*) walimy bramę AND.
Wszędzie, gdzie wymawiamy spójnik „lub”(+) walimy bramkę OR
Stąd:
Zdania Jasia i Zuzi w przełożeniu na teorię bramek logicznych wyglądają następująco:
Kod: |
T1
Zdania Jasia i Zuzi przełożone na język bramek logicznych „i”(*) i „lub”(+)
-------------
D------x-------->| |
| | „i”(*) |---x-----x----> A1: J=D*P (Jaś)
P--x------------>| | | |
| | ------------- \/ |
| | o o # (negator w obu kierunkach)
| | ~D ------------- | /\
| |--o----->| | | |
| ~P | „lub”(+) |---x-----x----> A2: ~J=~D+~P (Zuzia)
|------o----->| |
-------------
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
„o”(~) - bramka negatora „o”(~)
Negator w każdej chwili czasowej zamienia cyfrowy sygnał wejściowy
na jego negację na wyjściu negatora.
W świecie rzeczywistym musi tu być negator z otwartym kolektorem (OC)
na przykład SN74LS06
|
Opis działania układu:
Jaś:
A1:
Winda jedzie (J) gdy drzwi są zamknięte (D) i wciśnięty przycisk piętro (P)
J=D*P
… a kiedy winda nie jedzie (~J)?
#
Dowolną funkcję logiczną (np. J=D*P) mamy prawo dwustronnie zanegować (#)
Negujemy funkcję logiczną A1 dwustronnie:
A2:
~J=~(D*P)=~D+~P - prawo De Morgana
Stąd:
A2.
Zuzia:
Winda nie jedzie (~J) gdy drzwi nie są zamknięte (~D)
lub nie jest wciśnięty przycisk piętro (~P)
~J=~D+~P
To jest cała filozofia przełożenia logiki matematycznej Jasia i Zuzi na teorię bramek logicznych.
Uwaga:
W użytecznym sterowaniu trzeba wprowadzić dodatkową zmienną binarną sygnalizującą dojechanie windy na żądane piętro, gdzie winda automatycznie staje i przycisk P (piętro) wyskakuje. Przy zamkniętych drzwiach warunkiem koniecznym i wystarczającym kolejnej jazdy jest wciśnięcie piętra różnego od tego, na którym winda aktualnie stoi. Takie sterownie to temat na ćwiczenie laboratoryjne na I roku studiów elektronicznych.
Podsumowanie:
Matematyczna trudność projektowania złożonych sterowań w laboratorium bramek logicznych na I roku elektroniki Politechniki Warszawskiej (tu byłem) absolutnie nie wykracza poza opisany wyżej poziom matematyczny 5-cio letnich, genialnych inżynierów Jasia i Zuzi. Oczywiście w trudniejszych problemach zmiennych binarnych jest więcej, ale układ sterowania projektuje się identycznie jak to zrobili Jaś i Zuzia, czyli mając w głębokim poważaniu jakiekolwiek tabele zero-jedynkowe.
Weźmy jeszcze raz naszego Jasia:
A1.
Jeśli winda jedzie (J=1) to na 100% => drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
A1: J=> D*P
Jazda windą jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania, że drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
W drugą stronę warunek wystarczający => też jest prawdziwy:
B3.
Jeśli drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1) to na 100% => winda jedzie (J=1)
B3: D*P=>J =1
Zamknięte drzwi (D=1) i wciśnięty przycisk piętro (P=1) jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania, że winda jedzie.
Uwaga:
Zakładamy tu, że wciskamy przycisk piętro (P) różny od piętra na którym aktualnie winda stoi.
Stąd mamy dowód iż zachodzi równoważność o definicji:
Równoważność p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Nasz przykład:
RA1B3:
Winda jedzie (J=1) wtedy i tylko wtedy gdy drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
RA1B3: J<=>D*P = (A1: J=>D*P)*(B3: D*P=>J) =1*1 =1
cnd
Prawo Irbisa (poznamy niebawem):
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/pojęć p=q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Dla naszego przykładu możemy zapisać:
Zdarzenie „winda jedzie” (J) jest tożsame „=” ze zdarzeniem „zamknięte drzwi i wciśnięty przycisk piętro” (D*P=1)
(J=D*P) <=> (A1: J=>D*P)*(B3: D*P=>J) = J<=>D*P
2.4.2 Przykład minimalizacji funkcji logicznej z matematyki.pl
Zminimalizujmy teraz funkcję logiczną podaną w zadaniu na forum matematyka.pl
[link widoczny dla zalogowanych]
Zadanie:
Zminimalizuj poniższe wyrażenie logiczne:
(q=>r*p)+~r
W poniższej minimalizacji korzystamy z definicji znaczka =>:
p=>q = ~p+q
Rozwiązanie:
Zapiszmy nasze wyrażenie w postaci funkcji logicznej Y:
1: Y = (q=>r*p) + ~r = ~q+r*p + ~r
Uzupełniamy brakujące nawiasy bo kolejność wykonywania działań w logice to:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
stąd mamy:
Y = ~q+(r*p)+~r
Zdefiniujmy funkcję cząstkową Y1:
Y1=(r*p)+~r
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y1 = (~r+~p)*r
Po wymnożeniu wielomianu logicznego mamy:
~Y1 = ~r*r + ~p*r = ~p*r
~Y1=r*~p
Powrót do logiki dodatniej (bo Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
Y1=~r+p
Odtwarzając podstawienie mamy:
2: Y = ~q+~r+p
Stąd w zapisie p=>q mamy:
2: Y = q=>(~r+p)
Stąd mamy tożsamość:
1: Y = (q=>r*p)+~r = 2: q=>(~r+p)
cnd
2.5 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a
Algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków: {0, 1, „nie”(~), „i”(*), „lub”(+)}
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Logiką matematyczną zrozumiałą dla każdego człowieka (od 5-cio latka poczynając) są wyłącznie równania alternatywno-koniunkcyjne w których wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek na mocy prawa Prosiaczka (dowód pkt. 2.3)
Weźmy zero-jedynkową definicję równoważności p<=>q:
Kod: |
T1
Y=
p q p<=>q
A: 1<=>1 =1
B: 1<=>0 =0
C: 0<=>0 =1
D: 0<=>1 =0
|
Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa układu logicznego (bramka logiczna) to zero-jedynkowy zapis wszystkich sygnałów wejściowych w postaci niezanegowanej (p, q, r..) i zanegowanej (~p, ~q, ~r..) oraz zapis wyjścia Y również w postaci niezanegowanej (Y) i zanegowanej (~Y).
Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Tworzymy pełną definicję tabeli zero-jedynkowej, czyli:
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2.
SD - standard dodatni języka potocznego = logika jedynek
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
3.
SU - standard ujemny (niezrozumiały dla człowieka) = logika zer
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu zawsze wymnażamy wielomian koniunkcyjno-alternatywny przechodząc do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej.
2.5.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek
SD - standard dodatni języka potocznego = logika jedynek.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
Zastosujmy logikę jedynek do tabeli zero-jedynkowej równoważności Y = p<=>q:
Kod: |
T2
Pełna definicja |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y |oznacza |cząstkowe
| |
p q ~p ~q Y ~Y | |
A: 1 1 0 0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i q=1 | Ya= p* q
B: 1 0 0 1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q
C: 0 0 1 1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q
D: 0 1 1 0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i q=1 |~Yd=~p* q
1 2 3 4 5 6 a b c d e f
|
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
1: Y = Ya+Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1: Y = A: p*q + C: ~p*~q
1: Y= p*q + ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych def otrzymujemy:
2: ~Y=~Yb+~Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
2: ~Y = B: p*~q + D: ~p*q
2: ~Y = p*~q + ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.
Zauważmy, że możliwe jest szybsze wygenerowania równań algebry Boole’a w logice jedynek z pominięciem bloku abc.
Kod: |
T2’
Pełna definicja |Równania cząstkowe
zero-jedynkowa Y |w logice jedynek
|
p q ~p ~q Y ~Y |
A: 1 1 0 0 =1 =0 | Ya= p* q
B: 1 0 0 1 =0 =1 |~Yb= p*~q
C: 0 0 1 1 =1 =0 | Yc=~p*~q
D: 0 1 1 0 =0 =1 |~Yd=~p* q
1 2 3 4 5 6 d e f
|
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
1: Y = Ya+Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1: Y = A: p*q + C: ~p*~q
1: Y= p*q + ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
1: Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
2: ~Y=~Yb+~Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
2: ~Y = B: p*~q + D: ~p*q
2: ~Y = p*~q + ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
2: ~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
2.5.2 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer
SU - standard ujemny (niezrozumiały dla człowieka) = logika zer.
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym.
Zastosujmy logikę zer do tej samej tabeli zero-jedynkowej równoważności Y = p<=>q:
Kod: |
T3
Pełna definicja |Co w logice zer |Równania
zero-jedynkowa Y |oznacza |cząstkowe
| |
p q ~p ~q Y ~Y | |
A: 1 1 0 0 =1 =0 |~Ya=0<=>~p=0 lub ~q=0 |~Ya=~p+~q
B: 1 0 0 1 =0 =1 | Yb=0<=>~p=0 lub q=0 | Yb=~p+ q
C: 0 0 1 1 =1 =0 |~Yc=0<=> p=0 lub q=0 |~Yc= p+ q
D: 0 1 1 0 =0 =1 | Yd=0<=> p=0 lub ~q=0 | Yd= p+~q
1 2 3 4 5 6 a b c d e f
|
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
3: Y = Yb*Yd - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice ujemnej
Po rozwinięciu mamy:
3. Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q)
3: Y = (~p+q)*(p+~q)
co w logice zer oznacza:
3: Y=0 <=> (B: ~p=0 lub q=0)*(D: p=0 lub ~q=0)
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
4: ~Y = ~Ya*~Yc - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice ujemnej
Po rozwinięciu mamy:
4: ~Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q)
4: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
co w logice zer oznacza:
4: ~Y=0 <=> (A: ~p=0 lub ~q=0)*(C: p=0 lub q=0)
Jak widzimy, logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych których w języku potocznym żaden człowiek nie rozumie, od 5-cio latka poczynając, na prof. matematyki kończąc. Z tego względu zawsze wymnażamy wielomian koniunkcyjno-alternatywny przechodząc do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej.
Zauważmy, że możliwe jest szybsze wygenerowania równań algebry Boole’a w logice zer z pominięciem bloku abc.
Kod: |
T3’
Pełna definicja |Równania cząstkowe
zero-jedynkowa Y |w logice zer
|
p q ~p ~q Y ~Y |
A: 1 1 0 0 =1 =0 |~Ya=~p+~q
B: 1 0 0 1 =0 =1 | Yb=~p+ q
C: 0 0 1 1 =1 =0 |~Yc= p+ q
D: 0 1 1 0 =0 =1 | Yd= p+~q
1 2 3 4 5 6 d e f
|
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
Y = Yb*Yd - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice ujemnej
Po rozwinięciu mamy:
3. Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q)
3: Y = (~p+q)*(p+~q)
co w logice zer oznacza:
4: Y=0 <=> (B: ~p=0 lub q=0)*(D: p=0 lub ~q=0)
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
~Y = ~Ya*~Yc - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice ujemnej
Po rozwinięciu mamy:
4: ~Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q)
4: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
co w logice zer oznacza:
4: ~Y=0 <=> (A: ~p=0 lub ~q=0)*(C: p=0 lub q=0)
2.6 Związek opisu tabel zero-jedynkowych w logice jedynek i w logice zer
Zapiszmy otrzymane wyżej funkcje logiczne dla tej samej tabeli zero-jedynkowej równoważności:
Y = p<=>q
Tabela T2
Logika jedynek = standard dodatni:
1: Y= p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
#
2: ~Y = p*~q + ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Tabela T3
Logika zer = standard ujemny:
3: Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
#
4: ~Y = (~p+~q)*(p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
2.6.1 Prawo Małpki
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
Prawo Małpki wynika z tabel T2 i T3.
Kod: |
T4
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój odpowiednik
w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
1: Y = p* q + ~p*~q <=> 3: Y = (~p+ q)*(p+~q)
# #
2: ~Y = p*~q + ~p* q <=> 4: ~Y = (~p+~q)*(p+ q)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej
|
cnd
Definicja tożsamości logicznej <=>:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej <=> wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej <=> wymusza fałszywość drugiej strony
W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości znaczków:
<=>, „=”, [=] - tożsame znaczki tożsamości logicznej
W języku potocznym każdy człowiek, od 5-cio latka poczynając doskonale rozumie wyłącznie równania alternatywno-koniunkcyjne.
Równania koniunkcyjno-alternatywne, których nikt w języku potocznym nie rozumie należy traktować jako matematyczną ciekawostkę.
2.6.2 Dowód prawa Małpki bez tabel zero-jedynkowych
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
Dowód tego prawa na naszym przykładzie równoważności:
Y = p<=>q = p*q+~p*~q
jest trywialny o ile skorzystamy z algorytmu przejścia do logiki przeciwnej autorstwa Wuja Zbója.
Zaczynamy od definicji równoważności Y=p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1: Y = p*q + ~p*~q
Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
a)
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
b)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2: ~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója
Zauważmy że:
Jeśli wymnożymy wielomian 2 to otrzymamy tożsamą do niego postać alternatywno-koniunkcyjną.
Zróbmy to:
~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
3: ~Y = p*~q + ~p*q - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Dla funkcji logicznej 3 ponownie korzystamy z algorytmu Wuja przechodząc do logiki dodatniej:
Mamy:
3: ~Y = (p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4: Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Stąd mamy:
Kod: |
T5
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój odpowiednik
w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
1: Y = p* q + ~p*~q <=> 4: Y = (~p+ q)*(p+~q)
# #
3: ~Y = p*~q + ~p* q <=> 2: ~Y = (~p+~q)*(p+ q)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej
|
W tak bajecznie prosty sposób udowodniliśmy prawo Małpki bez użycia tabel zero-jedynkowych.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 19:43, 25 Lut 2023, w całości zmieniany 16 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 18:08, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2.7 Równoważność p<=>q w świecie martwym i żywym
Spis treści
2.7 Równoważność p<=>q w świecie martwym i żywym 1
2.7.1 Najpopularniejsza w naszym świecie definicja równoważności p<=>q 3
2.7.2 Równoważność p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) 4
2.8 Równoważność A<=>S w warunkach wystarczających => 5
2.8.1 Definicja "wolnej woli" w świecie żywym 8
2.8.2 Gwałcenie równoważności K<=>T wyrażonej warunkami wystarczającymi => 8
2.9 Równoważność A<=>S w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) 10
2.9.1 Analiza równoważności A<=>S w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) 12
2.9.2 Twarde zera i miękkie jedynki w logice matematycznej 16
2.9.3 Związek opisu układu w "i"(*) i "lub"(+) z warunkiem wystarczającym => 17
2.10 Wyprowadzenie definicji "wolnej woli" istot żywych 18
2.10.1 Analiza równoważności K<=>T w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) 20
2.11 Równoważność świata martwego A<=>S vs równoważność świata żywego K<=>T 22
2.11.1 Zdanie B - świat martwy vs świat żywy 23
2.11.2 Zdanie D - świat martwy vs świat żywy 24
2.12 Definicja "wolnej woli" - ostatni akord 25
2.12.1 Diagram równoważności K<=>T wyrażonej spójnikami "i"(*) i "lub"(+) 26
2.7 Równoważność p<=>q w świecie martwym i żywym
Niniejsza część algebry Kubusia (2.7 do 2.12) to nauka czytania i interpretacji zapisów w algebrze Kubusia. W szczególności należy zwrócić uwagę na różnicę w interpretacji opisu świata martwego niezdolnego do gwałcenia praw logiki matematycznej oraz świata żywego, mającego "wolną wolę", zdolnego do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy.
Definicja "wolnej woli" w świecie żywym:
"Wolna wola" w świeci żywym to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy, w tym przez matematykę i fizykę.
Poznajmy na początek trzy najważniejsze definicje logiki matematycznej w obszarze zdarzeń realizowane zdaniami warunkowymi "Jeśli p to q:
1.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
2.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
3.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki.
4.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Wyprowadzenie praw Kubusia:
Prawa Kubusia to najważniejsze prawa logiki matematycznej mówiące o matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> bez zamiany p i q.
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q =~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
I prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Dowód:
Rozwijamy prawą stronę:
~p~>~q = ~p+q = p=>q
cnd
##
II prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Dowód:
Rozwijamy prawą stronę:
~p=>~q = p+~q = p~>q
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
2.7.1 Najpopularniejsza w naszym świecie definicja równoważności p<=>q
Definicja równoważności p<=>q znana każdemu człowiekowi:
Równoważność to jednocześnie zachodzący warunek konieczny ~> (B1) i wystarczający => (A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q
Tożsamą prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Do tego aby zaszło q potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) aby zaszło p
Dowód iż ta definicja równoważności znana jest każdemu człowiekowi (w tym matematykom).
Klikamy na googlach:
"konieczne i wystarczające"
Wyników: 6 390
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: 8 920
"potrzeba i wystarcza"
Wyników: 2 810
cnd
2.7.2 Równoważność p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q =~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd łatwo wyprowadzamy definicję równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A1B1: p<=>q = ( A1: p=>q)*( B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q)=~p*p+~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
Do zapamiętania:
Definicja równoważności Y w logice dodatniej (bo Y) w spójnikach "i'(*) i "lub"(+):
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
Definicja dowolnego operatora logicznego w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Y = (p<=>q) = (A: p*q) + (C: ~p*~q)
Stąd mamy:
Y = p<=>q = A: p*q+ C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście z równaniem 1 do logiki przeciwnej (bo ~Y) metodą skróconą poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.
~Y = ~(p<=>q) = (~p+~q)*(p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna
Funkcji koniunkcyjno-alternatywnej żaden człowiek nie rozumie, stąd musimy wymnożyć wielomian logiczny przechodząc do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej, zrozumiałej dla każdego 5-cio latka.
~Y = ~(p<=>q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p +~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
2.
~Y = B: p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Do zapamiętania:
Definicja równoważności ~Y w logice ujemnej (bo ~Y) w spójnikach "i'(*) i "lub"(+):
~Y = ~(p<=>q) = p*q + ~p*~q
Zauważmy, że idąc od strony definicji równoważności znanej każdemu człowiekowi doszliśmy do identycznych równań końcowych 1 i 2 jak idąc od tabeli zero-jedynkowej do w/w równań (pkt. 2.5.1)
Innymi słowy:
Wszystkie drogi prowadzą do algebry Kubusia.
2.8 Równoważność A<=>S w warunkach wystarczających =>
Najprostszy układ równoważności w świecie fizyki wygląda następująco:
Kod: |
S1
S A
------------- ______
-----| Żarówka S |-------o o-----
| ------------- Przycisk A |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Każdy uczeń I klasy LO doskonale widzi, że spełniona jest tu definicja równoważności.
Definicja równoważności:
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla świecenia się żarówki S
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest (=1) wystarczające => dla świecenia się żarówki S (S=1)
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1)
Stąd:
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1=1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Gdzie:
Nasz punkt odniesienia:
p=A (przycisk A)
q=S ( żarówka S)
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q =~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja równoważności p<=>q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Zastosujmy II prawo Kubusia do zdania B1:
II prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Stąd mamy tożsamą definicję równoważności w warunkach wystarczających =>:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest (=1) wystarczające => dla świecenia się żarówki S (S=1)
B2: ~A=>~S=1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia się S (~S=1)
stąd:
A1B2: A<=>S = (A1L A=>S)*(B2: ~A=>~S)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Analiza równoważności A1B2: p<=>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, czyli sprawdzenie prawdziwości zdań A1 i B2.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka S świeci się (S=1)
A1: A=>S =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
co w logice jedynek oznacza:
A1: (A=1)=>(S=1) =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla świecenie się żarówki S (S=1)
Wciśnięcie przycisku A (A=1) daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S (S=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
cnd
Na mocy definicji kontrprzykładu, spełniony warunek wystarczający A1: A=>S=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1': A~~>~S =0 (i odwrotnie)
Sprawdzenie:
A1'.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka S może ~~> się nie świecić (~S=1)
A1': A~~>~S=A*~S=0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Co w logice jedynek oznacza:
(A=1)~~>(~S=1) = (A=1)*(~S=1) =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka S nie świeci się (~S=1)
cnd
Zauważmy że:
Na mocy definicji kontrprzykładu twarde zero w kontrprzykładzie A1' wymusza twardą jedynkę w warunku wystarczającym => A1 (i odwrotnie)
Uwaga do zapamiętania:
Standardem w algebrze Kubusia jest oznaczanie kontrprzykładu dla warunku wystarczającego A1 symbolem A1'
… a jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
Na to pytanie odpowiada zdanie B2.
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka S nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Co w logice jedynek oznacza:
(~A=1)=>(~S=1) =1
Nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia się żarówki S (~S=1)
Nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => nie świecenia się żarówki S (~S=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
cnd
Na mocy definicji kontrprzykładu, spełniony warunek wystarczający B2: ~A=>~S=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2': ~A~~>S =0 (i odwrotnie)
Sprawdzenie:
B2'.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka S może ~~> się świecić (S=1)
B2': ~A~~>S = ~A*S =0
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Co w logice jedynek oznacza:
(~A=1)~~>( S=1)= (~A=1)*(S=1) =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie:
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka S świeci się (S=1)
cnd
Zauważmy że:
Na mocy definicji kontrprzykładu twarde zero w kontrprzykładzie B2' wymusza twardą jedynkę w warunku wystarczającym => B2 (i odwrotnie)
Zapiszmy naszą analizę układu S1 w tabeli prawdy:
Kod: |
T1
Tabela prawdy równoważności p<=>q w warunkach wystarczających =>
A1B2: A<=>S = (A1: A=>S)*(B2:~A=>~S)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Y=p<=>q
A1: A=> S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
A1': A~~>~S=0 - niemożliwe jest (=0): wciśnięty A i nie świeci S (~S)
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A) jest (=1) wystarczające => dla ~S
B2':~A~~>S =0 - niemożliwe jest (=0): nie wciśnięty A (~A) i świeci S
|
Podsumowanie:
1.
W świecie martwym (w tym w fizyce) nie istnieje możliwość ustawienia w liniach A1' i B2' logicznych jedynek, bo wówczas pogwałcilibyśmy elementarne prawo fizyki, prawo Ohma.
2.
Ustawienie jedynek w liniach A1' i B2' jest możliwe tylko i wyłącznie w świcie żywym posiadającym "wolną wolę".
2.8.1 Definicja "wolnej woli" w świecie żywym
Definicja "wolnej woli" w świecie żywym:
Wolna wola w świeci żywym to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy, w tym przez matematykę i fizykę.
2.8.2 Gwałcenie równoważności K<=>T wyrażonej warunkami wystarczającymi =>
Najprostszy układ równoważności w świecie fizyki wygląda następująco:
Kod: |
S1
S A
------------- ______
-----| Żarówka S |-------o o-----
| ------------- Przycisk A |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Rozważmy równoważność w "świecie żywym".
Pani w przedszkolu wypowiada zdanie:
A1B2.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru (T=1)
A1: K=>T =1 - pójście do kina(K) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla pójścia do teatru(T)
B2: ~K=>~T=1 - nie pójście do kina(~K) jest (=1) warunkiem wystarczającym => by nie iść do teatru(~T)
A1B1: K<=>T = (A1: K=>T)*(B2: ~K=>~T)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q)=1*1=1
Gdzie:
Nasz punkt odniesienia:
p=K (kino)
q=T (teatr)
Analiza równoważności A1B2: p<=>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, czyli sprawdzenie prawdziwości zdań A1 i B2.
Zauważmy, że w równoważności ze świata człowieka A1B2: K<=>T nic a nic nie musimy udowadniać, korzystamy tu po prostu z definicji równoważności A1B2: p<=>q wyznaczonej przez świat martwy - w naszym przypadku przez schemat S1.
Analiza matematyczna warunku wystarczającego => A1.
A1.
Jeśli jutro pójdziemy do kina (K=1) to na 100% => pójdziemy do teatru (T=1)
A1: K=>T =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Co w logice jedynek oznacza:
A1: (K=1)=>(T=1) =1
Gdzie:
p=K (kino)
q=T (teatr)
Pójście do kina (K=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, abyśmy poszli do teatru (T=1)
Pójście do kina (K=1) daje nam gwarancję matematyczną => pójścia do teatru (T=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Na mocy definicji kontrprzykładu, prawdziwość warunku wystarczającego => A1: K=>T=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1': K~~>~T=0 (i odwrotnie)
A1'.
Jeśli jutro pójdziemy do kina (K=1) to możemy ~~> nie pójść do teatru (~T=1)
A1': K~~>~T=K*~T =0
To samo w zapisie formalnym:
A1': p~~>~q = p*~q =0
Co w logice jedynek oznacza:
A1': (K=1)~~>(~T=1)=(K=1)*(~T=1) =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie:
Jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
W świecie martwym zdarzenie A1' jest fizycznie niemożliwe (=0) czego dowód w pkt. 2.8.
Natomiast w świecie żywym pani przedszkolanka mająca "wolną wolę" może spowodować, że jutro zajdzie zdarzenie A1":
A1".
Jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
A1": K~~>~T=K*~T=1
To samo w zapisie formalnym:
A1": p~~>~q = p*~q=1
Oczywiście pani przedszkolanka zgwałci tu definicję równoważności p<=>q wyznaczaną przez świat martwy, czyli zostanie kłamczuchą nie dotrzymując warunku wystarczającego => A1, a wiemy o tym tylko i wyłącznie dlatego, że znamy definicję równoważności obowiązującą w świecie martwym (u nas w fizyce).
Zauważmy, że coś co jest absolutnie niemożliwe w świecie martwym (pkt. 2.8) w świecie żywym jak najbardziej może się zdarzyć (prawdziwe zdanie A1").
… a jeśli jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)?
O tym przypadku opowiada nam zdanie B2.
B2.
Jeśli jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) to na 100% => nie pójdziemy do teatru (~T=1)
B2: ~K=>~T=1
To samo w zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q =1
Co w logice jedynek oznacza:
B2: (~K=1)=>(~T=1) =1
Nie pójście do kina (~K=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, abyśmy nie poszli do teatru (~T=1)
Nie pójście do kina (~K=1) daje nam (=1) gwarancję matematyczną => nie pójścia do teatru (~T=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Na mocy definicji kontrprzykładu, prawdziwość warunku wystarczającego => B2: ~K=>~T=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2': ~K~~>T=0 (i odwrotnie)
B2'.
Jeśli jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) to możemy ~~> pójść do teatru (T=1)
B2': ~K~~>T=~K*T =0
To samo w zapisie formalnym:
B2': ~p~~>q = ~p*q =0
Co w logice jedynek oznacza:
B2': (~K=1)~~>(T=1)= (~K=1)*(T=1) =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie:
Jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
W świecie martwym zdarzenie B2' jest fizycznie niemożliwe (=0) czego dowód w pkt. 2.8.
Natomiast w świecie żywym pani przedszkolanka mająca "wolną wolę" może spowodować, że jutro zajdzie zdarzenie B2":
B2".
Jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
B2": ~K~~>T=~K*T=1
To samo w zapisie formalnym:
B2": ~p~~>q = ~p*q =1
Oczywiście pani przedszkolanka zgwałci tu definicję równoważności p<=>q wyznaczaną przez świat martwy, czyli zostanie kłamczuchą nie dotrzymując warunku wystarczającego => B2, a wiemy o tym tylko i wyłącznie dlatego, że znamy definicję równoważności obowiązującą w świecie martwym (u nas w fizyce - pkt. 2.8).
Zauważmy, że coś co jest absolutnie niemożliwe w świecie martwym (u nas w fizyce) w świecie żywym jak najbardziej może się zdarzyć (zdanie B2").
2.9 Równoważność A<=>S w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
Nasz przykładowy schemat równoważności A<=>S:
Kod: |
S1
S A
------------- ______
-----| Żarówka S |-------o o-----
| ------------- Przycisk A |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Zauważmy, że algebra Boole'a, a o niej w niniejszym rozdziale mówimy, zna zaledwie pięć znaczków:
1=prawa
0=fałsz
(~) - negacja
(*) - spójnik "i"(*)
(+) - spójnik "lub"(+)
Wniosek:
Zdefiniowane wyżej znaczki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> są w algebrze Boole'a nielegalne (nie ma ich w algebrze Boole'a)
Co więcej:
Choćbyśmy zjedli 1000 koletów to nie mamy szans na zapisanie definicji słownej warunku wystarczającego => lub koniecznego ~> przy pomocy spójników "i"(*) i "lub"(+).
Dowód:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
(p=>q)=~p+q
Co w logice jedynek oznacza:
(p=>q)=1 <=> ~p=1 lub q=1
Nasz schemat:
(A=>S) = ~A + S
co w logice jedynek oznacza:
(p=>q)=1 <=> ~A=1 lub S=1
Czytamy:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (p=>q=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) lub żarówka świeci się żarówka (S=1)
Jak widzimy definicja warunku wystarczającego => wyrażona spójnikami "i"(*) i "lub"(+) zabija definicję warunku wystarczającego =>.
Dowód:
Warunek wystarczający A=>S dla schematu S1 brzmi:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka S świeci się (S=1)
A1: A=>S =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
co w logice jedynek oznacza:
A1: (A=1)=>(S=1) =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla świecenie się żarówki S (S=1)
Wciśnięcie przycisku A (A=1) daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S (S=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
cnd
Nie ma powyższej gwarancji matematycznej => w definicji warunku wystarczającego => wyrażonego spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
Y = (A=>S) = ~A+S
cnd
Podsumowując:
Przy pomocy spójników "i"(*) i "lub"(+) mamy do dyspozycji wyłącznie definicję zdarzenia możliwego ~~>.
Nasza tabela prawdy dla schematu S1 opisana zdarzeniami możliwymi ~~> wygląda następująco:
Kod: |
T2
Tabela prawdy równoważności p<=>q
w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A<=>S = A*S + ~A*~S
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = p*q + ~p*~q
Y=A<=>S - zapis aktualny (przykład)
Y=p<=>q - zapis formalny (ogólny)
A1: A~~> S=1 - możliwe jest (=1): wciśnięty A (A) i świeci S (S)
A1': A~~>~S=0 - niemożliwe jest (=0): wciśnięty A (A) i nie świeci S (~S)
B2: ~A~~>~S=1 - możliwe jest (=1): nie wciśnięty A (~A) i nie świeci S (~S)
B2':~A~~>S =0 - niemożliwe jest (=0): nie wciśnięty A (~A) i świeci S (S)
|
Dla dowodu prawdziwości zdania A1 wystarczy jednokrotne zaobserwowanie, że jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka S świeci się (S=1)
Podobnie:
Dla dowodu prawdziwości zdania B2 wystarczy jednokrotne zaobserwowanie, że jeśli przycisk B nie jest wciśnięty (~B=1) to żarówka S nie świeci się (~S=1)
W przypadkach A1' i B2' mamy sytuację fundamentalnie inną, bowiem tu musimy stwierdzić, że żarówka S nigdy nie będzie się świecić, zatem musimy wykonać nieskończoną ilość iterowań aby ten fakt potwierdzić, lub prościej … trzeba po prostu znać elementarne prawa fizyki, tu prawo Ohma.
2.9.1 Analiza równoważności A<=>S w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
Kod: |
S1
S A
------------- ______
-----| Żarówka S |-------o o-----
| ------------- Przycisk A |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
1.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Przeanalizujmy układ równoważności A<=>S w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) przez wszystkie możliwe przeczenia A i S przy pomocy jedynego legalnego znaczka w algebrze Boole'a, definicji zdarzenia możliwego ~~>.
Kod: |
T2
Tabela prawdy równoważności p<=>q
w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A<=>S = A*S + ~A*~S
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = p*q + ~p*~q
Y=A<=>S - zapis aktualny (przykład)
Y=p<=>q - zapis formalny (ogólny)
A1: A~~> S=1 - możliwe jest (=1): wciśnięty A (A) i świeci S (S)
A1': A~~>~S=0 - niemożliwe jest (=0): wciśnięty A (A) i nie świeci S (~S)
B2: ~A~~>~S=1 - możliwe jest (=1): nie wciśnięty A (~A) i nie świeci S (~S)
B2':~A~~>S =0 - niemożliwe jest (=0): nie wciśnięty A (~A) i świeci S (S)
|
Przypadek A: A=1 i S=1
A.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to możliwe jest ~~> świecenie żarówki S (S=1)
Ya = A~~>S = A*S =1
Czytamy:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Dla potwierdzenia prawdziwości zdania A wystarczy zaobserwować jeden taki przypadek, nie trzeba tu udowadniać, że wciśnięcie A jest wystarczające => dla świecenia S.
A.
Zapis tożsamy do powyższego:
Ya=1 <=> A*S
co w logice jedynek oznacza:
Ya=1 <=> A=1 i S=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że możliwe (Ya) jest ~~> zdarzenie:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Prawo Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
Prawo Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej lub stałej binarnej, zastosujmy je do funkcji cząstkowej Ya.
(Ya=1)=(~Ya=0)
Stąd:
A".
~Ya=0 <=> A*S
co w logice jedynek oznacza:
~Ya=0 <=> A=1 i S=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że nie jest możliwe (~Ya) ~~> zdarzenie:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Znaczenie zmiennej cząstkowej Yx:
Yx - zdarzenie możliwe
~Yx - zdarzenie niemożliwe
Doskonale tu widać poprawność prawa Prosiaczka, czyli tożsamość zdań A i A":
A: (Ya=1) = A": (~Ya=0)
Dla kompletnego opisu schematu S1 musimy przeanalizować ten schemat zdarzeniami możliwymi ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia A i S.
Przypadek B: A=1 i ~S=1
Stąd kolejne zdanie to:
B.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka S może ~~> się nie świecić (~S=1)
Yb = A~~>~S = A*~S =0
Czytamy:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~> (Yb):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Dla potwierdzenia fałszywości zdania B musimy wykonać nieskończoną ilość iterowań, by stwierdzić, że zdarzenie B nie jest możliwe .. albo po prostu znać prawo fizyki, tu prawo Ohma.
B.
Zapis tożsamy do powyższego:
Yb=0 <=> A*~S
Co w logice jedynek oznacza:
(Yb=0) <=> A=1 i ~S=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że jest możliwe jest ~~> zdarzenie (Yb):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Prawo Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej lub stałej binarnej, zastosujmy je do funkcji cząstkowej Yb.
(Yb=0)=(~Yb=1)
Stąd na mocy prawa Prosiaczka:
B".
~Yb=1 <=> A*~S
co w logice jedynek oznacza:
~Yb=1 <=> A=1 i ~S=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że nie jest możliwe (~Yb) ~~> zdarzenie:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Znaczenie kluczowych zmiennych:
Yx - zdarzenie możliwe
~Yx - zdarzenie niemożliwe
Kolejny przypadek C to:
Przypadek C: ~A=1 i ~S=1
C.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
Yc=~A~~>~S = ~A*~S =1
Czytamy:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~> (Yc):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Dla potwierdzenia prawdziwości zdania A wystarczy zaobserwować jeden taki przypadek, nie trzeba tu udowadniać, że nie wciśnięcie A (~A=1) jest wystarczające => dla nie świecenia (~S=1).
C.
Zapis tożsamy do powyższego:
Yc=1 <=> ~A*~S
co w logice jedynek oznacza:
Yc=1 <=> ~A=1 i ~S=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że jest możliwe (Yc) ~~> zdarzenie:
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Prawo Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
Prawo Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej lub stałej binarnej, zastosujmy je do funkcji cząstkowej Yc.
(Yc=1)=(~Yc=0)
Stąd zdanie C", tożsame do C:
C".
~Yc=0 <=> ~A*~S
co w logice jedynek oznacza:
~Yc=0 <=> ~A=1 i ~S=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że nie jest możliwe (~Yc) ~~> zdarzenie:
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Znaczenie zmiennej cząstkowej Yx:
Yx - zdarzenie możliwe
~Yx - zdarzenie niemożliwe
Doskonale tu widać poprawność prawa Prosiaczka, czyli tożsamość zdań C i C":
C: (Yc=1) = C": (~Yc=0)
Ostatni przypadek D to:
Przypadek D: ~A=1 i S=1
D.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka S może ~~> się świecić (S=1)
Yd = ~A~~>S = ~A*S =0
Czytamy:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~> (Yd):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Dla potwierdzenia fałszywości zdania D musimy wykonać nieskończoną ilość iterowań, by stwierdzić, że zdarzenie D nie jest możliwe .. albo po prostu znać prawo fizyki, tu prawo Ohma.
D.
Zapis tożsamy do powyższego:
Yd=0 <=> ~A*S
co w logice jedynek oznacza:
Yd=0 <=> ~A=1 i S=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że jest możliwe jest ~~> zdarzenie (Yd):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Prawo Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej lub stałej binarnej, zastosujmy je do funkcji cząstkowej Yd.
(Yd=0)=(~Yd=1)
Stąd mamy:
D".
~Yd=1 <=> ~A*S
co w logice jedynek oznacza:
~Yd=1 <=> ~A=1 i S=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że nie jest możliwe (~Yd) zdarzenie:
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Znaczenie kluczowych zmiennych:
Yx - zdarzenie możliwe
~Yx - zdarzenie niemożliwe
2.9.2 Twarde zera i miękkie jedynki w logice matematycznej
Kod: |
S1
S A
------------- ______
-----| Żarówka S |-------o o-----
| ------------- Przycisk A |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Zapiszmy naszą analizę układu S1 w tabeli prawdy.
Kod: |
T3
Analiza układu równoważności A<=>S w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
Y=A<=>S $ ~Y=~(A<=>S);Prawo Śfinii: Y "albo"($) ~Y
A: Ya= A~~> S= A* S Ya=1 # ~Ya=0 ;Prawo Prosiaczka: (Ya=1)=(~Ya=0)
B: Yb= A~~>~S= A*~S Yb=0 # ~Yb=1 ;Prawo Prosiaczka: (Yb=0)=(~Yb=1)
C: Yc=~A~~>~S=~A*~S Yc=1 # ~Yc=0 ;Prawo Prosiaczka: (Yc=1)=(~Yc=0)
D: Yd=~A~~> S=~A* S Yd=0 # ~Yd=1 :Prawo Prosiaczka: (Yd=0)=(~Yd=1)
1 2 3 4 5 6 7
|
Komentarz:
1.
Jak widzimy prawa Prosiaczka które stosowaliśmy w analizie wyżej obowiązują w każdej linii tabeli prawdy.
2.
Zauważmy, że w kolumnie 6 wszystkie zera są twarde (nigdy nie przyjmą wartości logicznej 1), zaś jedynki miękkie.
Definicja miękkiej jedynki:
Może zajść, ale nie musi.
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie zdarzenie A to wtedy jedynka w linii A będzie twardą jedynką (niezmienną), zaś miękka jedynka w linii C przyjmie wartość twardego zera.
Jeśli zajdzie zdarzenie C to wtedy jedynka w linii C będzie twardą jedynką (niezmienną), zaś miękka jedynka w linii A przyjmie wartość twardego zera.
W nagłówkach kolumn 6 i 7 zachodzi prawo Śfinii.
Prawo Śfinii dla Y i ~Y:
Zajść może tylko i wyłącznie funkcja logiczna Y "albo"($) funkcja logiczna ~Y, trzeciej możliwości brak
Y=f(x) "albo"($) ~Y=~f(x)
Nasz przykład:
Y=(A<=>S) = A*S + ~A*~S "albo"($) ~Y=~(A<=>S) = A*~S + ~A*S
Dowód:
Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+), którą wkrótce poznamy:
p$q = p*~q + ~p*q
Dla funkcji logicznych Y i ~Y mamy:
p=Y
q=~Y
Podstawiając to do definicji spójnika "albo"($) mamy:
Y$~Y = (Y)*~(~Y) + ~(Y)*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y = Y+~Y=1
Wniosek:
Definicja spójnika "albo"($) między Y i ~Y jest (=1) spełniona.
Sprawdźmy prawdziwość/fałszywość równoważności p<=>q dla tych samych p i q.
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(* i "lub"(+):
p<=>q = p*q+~p*~q
Podstawiając:
p=Y
q=~Y
mamy:
Y<=>~Y = (Y)*(~Y) + ~(Y)*~(~Y) = Y*~Y + ~Y*Y = 0+0 =0
Wniosek:
Definicja równoważności <=> miedzy Y i ~Y nie jest (=0) spełniona
cnd
2.9.3 Związek opisu układu w "i"(*) i "lub"(+) z warunkiem wystarczającym =>
Kod: |
S1
S A
------------- ______
-----| Żarówka S |-------o o-----
| ------------- Przycisk A |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Zapiszmy naszą analizę układu S1 przy pomocy spójników "i"(*) i "lub"(+) w tabeli prawdy:
Kod: |
T3
Analiza układu równoważności A<=>S w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
Y=A<=>S $ ~Y=~(A<=>S);Prawo Śfinii: Y "albo"($) ~Y
A: Ya= A~~> S= A* S Ya=1 # ~Ya=0 ;Prawo Prosiaczka: (Ya=1)=(~Ya=0)
B: Yb= A~~>~S= A*~S Yb=0 # ~Yb=1 ;Prawo Prosiaczka: (Yb=0)=(~Yb=1)
C: Yc=~A~~>~S=~A*~S Yc=1 # ~Yc=0 ;Prawo Prosiaczka: (Yc=1)=(~Yc=0)
D: Yd=~A~~> S=~A* S Yd=0 # ~Yd=1 :Prawo Prosiaczka: (Yd=0)=(~Yd=1)
1 2 3 4 5 6 7
|
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:[/b]
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Fałszywe kontrprzykłady mamy w linii B i D.
Stąd na mocy definicji kontrprzykładu mamy znaną nam już tabelę prawdy układu S1 (pkt. 2.8) w warunkach wystarczających =>:
Kod: |
T1
Tabela prawdy równoważności p<=>q
w warunkach wystarczających =>
A<=>S = (A1: A=>S)*(B2:~A=>~S)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Y=p<=>q
A1: A=> S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
A1': A~~>~S=0 - niemożliwe jest (=0): wciśnięty A i nie świeci S (~S)
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A) jest (=1) wystarczające => dla ~S
B2':~A~~>S =0 - niemożliwe jest (=0): nie wciśnięty A (~A) i świeci S
|
Jak widzimy, wszystkie drogi prowadzą do algebry Kubusia tzn. w opisie układu S1 obojętnie z jakiego punktu byśmy nie wyruszyli to i tak wylądujemy w najważniejszym opisie układu S1, w tabeli T1.
2.10 Wyprowadzenie definicji "wolnej woli" istot żywych
Zacznijmy od definicji równoważności A<=>S wyznaczanej przez świat martwy, w naszym przypadku przez fizykę.
Kod: |
S1
S A
------------- ______
-----| Żarówka S |-------o o-----
| ------------- Przycisk A |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Tabelę prawdy opisu układu równoważności S1 ze świata martwego w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) wyprowadziliśmy punkcie 2.9.2
Kod: |
T3
Analiza układu równoważności A<=>S w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
Y=A<=>S $ ~Y=~(A<=>S);Prawo Śfinii: Y "albo"($) ~Y
A: Ya= A~~> S= A* S Ya=1 # ~Ya=0 ;Prawo Prosiaczka: (Ya=1)=(~Ya=0)
B: Yb= A~~>~S= A*~S Yb=0 # ~Yb=1 ;Prawo Prosiaczka: (Yb=0)=(~Yb=1)
C: Yc=~A~~>~S=~A*~S Yc=1 # ~Yc=0 ;Prawo Prosiaczka: (Yc=1)=(~Yc=0)
D: Yd=~A~~> S=~A* S Yd=0 # ~Yd=1 :Prawo Prosiaczka: (Yd=0)=(~Yd=1)
1 2 3 4 5 6 7
|
Komentarz 1:
1.
Jak widzimy prawa Prosiaczka w analizie wyżej obowiązują w każdej linii tabeli prawdy.
2.
Zauważmy, że w kolumnie 6 wszystkie zera są twarde (nigdy nie przyjmą wartości logicznej 1), zaś wszystkie jedynki miękkie.
Definicja miękkiej jedynki:
Może zajść, ale nie musi.
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie zdarzenie A to wtedy jedynka w linii A będzie twardą jedynką (niezmienną), zaś miękka jedynka w linii C przyjmie wartość twardego zera.
Jeśli zajdzie zdarzenie C to wtedy jedynka w linii C będzie twardą jedynką (niezmienną), zaś miękka jedynka w linii A przyjmie wartość twardego zera.
Udajmy się do przedszkola, gdzie zobaczymy jak człowiek, mający "wolną wolę" możne bez problemu gwałcić prawa logiki matematycznej wyznaczane przez świat martwy, w naszym przykładzie (schemat S1) przez fizykę.
Pani przedszkolanka:
A1B2.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru (T=1)
K<=>T = (A1: K=>T)*(B2: ~K=>~T)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q)=1*1=1
Gdzie:
p=K (kino)
q=T (teatr)
Jak widzimy pani wypowiedziała tu równoważność K<=>T rodem ze świata żywego, którą wyznacza świat martwy.
Wniosek:
W tabeli prawdy równoważności A<=>S rodem ze świata martwego należy zastąpić parametry aktualne {A,S} nowymi parametrami aktualnymi {K,T}
Stąd mamy:
Kod: |
T4
Analiza układu równoważności K<=>T w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
Y=K<=>T $ ~Y=~(K<=>T);Prawo Śfinii: Y "albo"($) ~Y
A: Ya= K~~> T= K* T Ya=1 # ~Ya=0 ;Prawo Prosiaczka: (Ya=1)=(~Ya=0)
B: Yb= K~~>~T= K*~T Yb=0 # ~Yb=1 ;Prawo Prosiaczka: (Yb=0)=(~Yb=1)
C: Yc=~K~~>~T=~K*~T Yc=1 # ~Yc=0 ;Prawo Prosiaczka: (Yc=1)=(~Yc=0)
D: Yd=~K~~> T=~K* T Yd=0 # ~Yd=1 :Prawo Prosiaczka: (Yd=0)=(~Yd=1)
1 2 3 4 5 6 7
|
Komentarz 2:
Jest oczywistym, że w świecie żywym pani przedszkolanka bez problemu może ustawić jedynki w punktach B6 i D6, ale wtedy zostanie kłamczuchą.
Wszystkie możliwe kłamstwa pani przedszkolanki opisują dwa zdania:
B: Yb=K~~>~T=K*~T =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie Yb: jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
albo:
D: Yd=~K~~>T = ~K*T =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie Yd: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Stąd mamy.
Definicja "wolnej woli" świata żywego:
"Wolna wola" to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych prze świat martwy
Dowód poprawności powyższej definicji:
Porównajmy tabelę prawdy równoważności A<=>S rodem ze świata martwego (T3) wraz z komentarzem 1 z tabelą prawdy równoważności K<=>T rodem ze świata żywego (T4) wraz z komentarzem 2.
cnd
2.10.1 Analiza równoważności K<=>T w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
Pani przedszkolanka:
RA1B2.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru (T=1)
K<=>T = (A1: K=>T)*(B2: ~K=>~T)=1*1=1
Definicja równoważności K<=>T w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y = K<=>T = A: K*T + C: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Doskonale to widać w tabeli T4 niżej.
Tabela prawdy równoważności K<=>T w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) wyprowadzona wyżej:
Kod: |
T4
Analiza układu równoważności K<=>T w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
Y=K<=>T $ ~Y=~(K<=>T);Prawo Śfinii: Y "albo"($) ~Y
A: Ya= K~~> T= K* T Ya=1 # ~Ya=0 ;Prawo Prosiaczka: (Ya=1)=(~Ya=0)
B: Yb= K~~>~T= K*~T Yb=0 # ~Yb=1 ;Prawo Prosiaczka: (Yb=0)=(~Yb=1)
C: Yc=~K~~>~T=~K*~T Yc=1 # ~Yc=0 ;Prawo Prosiaczka: (Yc=1)=(~Yc=0)
D: Yd=~K~~> T=~K* T Yd=0 # ~Yd=1 :Prawo Prosiaczka: (Yd=0)=(~Yd=1)
1 2 3 4 5 6 7
|
Analiza wypowiedzianej równoważności rodem ze świata żywego K<=>T w spójnikach "i'(*) i "lub"(+) zgodna z tabelą prawdy T4.
A.
Jeśli jutro pójdziemy do kina (K=1) to może ~~> pójdziemy do teatru (T=1)
Ya= K~~>T = K*T =1
Zapis matematycznie tożsamy:
(Ya=1) <=> K*T
co w logice jedynek oznacza:
(Ya=1) <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Ya) gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Prawo Prosiaczka:
(Ya=1)=(~Ya=0)
Stąd zdanie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~Ya=0) <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że pani nie dotrzyma słowa (~Ya) gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Znaczenie symbolu Yx:
Yx - pani dotrzyma słowa
~Yx - pani nie dotrzyma słowa
B.
Jeśli jutro pójdziemy do kina (K=1) to możemy ~~> nie iść do teatru (~T=1)
Yb=K~~>~T = K*~T=0
Zapis matematycznie tożsamy:
(Yb=0) <=> K*~T
co w logice jedynek oznacza:
(Yb=0) <=> K=1 i ~T=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że pani dotrzyma słowa (Yb) gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Prawo Prosiaczka:
(Yb=0)=(~Yb=1)
Stąd zdanie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~Yb=1) <=> K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Yb) gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Znaczenie symbolu Yx:
Yx - pani dotrzyma słowa
~Yx - pani nie dotrzyma słowa
C.
Jeśli jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) to może ~~> nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Yc= ~K~~>~T = ~K*~T =1
Zapis matematycznie tożsamy:
(Yc=1) <=> ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
(Yc=1) <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Yc) gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Prawo Prosiaczka:
(Yc=1)=(~Yc=0)
Stąd zdanie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~Yc=0) <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że pani nie dotrzyma słowa (~Yc) gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Znaczenie symbolu Yx:
Yx - pani dotrzyma słowa
~Yx - pani nie dotrzyma słowa
D.
Jeśli jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) to możemy ~~> iść do teatru (T=1)
Yd=~K~~>T = ~K*T=0
Zapis matematycznie tożsamy:
(Yd=0) <=> ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
(Yd=0) <=> ~K=1 i T=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że pani dotrzyma słowa (Yd) gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Prawo Prosiaczka:
(Yd=0)=(~Yd=1)
Stąd zdanie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~Yd=1) <=> ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Yd) gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Tabela prawdy powyższej analizy wygląda następująco:
Kod: |
T4
Analiza układu równoważności K<=>T w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
Y=K<=>T $ ~Y=~(K<=>T);Prawo Śfinii: Y "albo"($) ~Y
A: Ya= K~~> T= K* T Ya=1 # ~Ya=0 ;Prawo Prosiaczka: (Ya=1)=(~Ya=0)
B: Yb= K~~>~T= K*~T Yb=0 # ~Yb=1 ;Prawo Prosiaczka: (Yb=0)=(~Yb=1)
C: Yc=~K~~>~T=~K*~T Yc=1 # ~Yc=0 ;Prawo Prosiaczka: (Yc=1)=(~Yc=0)
D: Yd=~K~~> T=~K* T Yd=0 # ~Yd=1 :Prawo Prosiaczka: (Yd=0)=(~Yd=1)
1 2 3 4 5 6 7
|
Podsumowanie:
Jak widzimy, zdania ABCD to język potoczny człowieka zrozumiały przez każdego człowieka, od 5-cio latka poczynając
2.11 Równoważność świata martwego A<=>S vs równoważność świata żywego K<=>T
I.
Równoważność A<=>S rodem ze świata martwego w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
RABCD:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka S świeci się (S=1)
Y = A<=>S = A: A*S + C: ~A*~S
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: A=1 i S=1 lub C: ~A=1 i ~S=1
Doskonale to widać w tabeli prawdy T3 niżej.
Kod: |
S1
S A
------------- ______
-----| Żarówka S |-------o o-----
| ------------- Przycisk A |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Tabelę prawdy opisu układu równoważności S1 ze świata martwego w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) wyprowadziliśmy punkcie 2.9.2
Kod: |
T3
Analiza układu równoważności A<=>S w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
Y=A<=>S $ ~Y=~(A<=>S);Prawo Śfinii: Y "albo"($) ~Y
A: Ya= A~~> S= A* S Ya=1 # ~Ya=0 ;Prawo Prosiaczka: (Ya=1)=(~Ya=0)
B: Yb= A~~>~S= A*~S Yb=0 # ~Yb=1 ;Prawo Prosiaczka: (Yb=0)=(~Yb=1)
C: Yc=~A~~>~S=~A*~S Yc=1 # ~Yc=0 ;Prawo Prosiaczka: (Yc=1)=(~Yc=0)
D: Yd=~A~~> S=~A* S Yd=0 # ~Yd=1 :Prawo Prosiaczka: (Yd=0)=(~Yd=1)
1 2 3 4 5 6 7
|
II.
Równoważność K<=>T rodem ze świata żywego w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
Pani w przedszkolu:
RABCD:
Jutro pójdziemy do kina (K=1) wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru (T=1)
Y = K<=>T = A: K*T + C: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Co doskonale widać w tabeli prawdy T4 niżej.
Tabelę prawdy tej równoważności wyprowadziliśmy w punkcie 2.10
Kod: |
T4
Analiza układu równoważności K<=>T w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
Y=K<=>T $ ~Y=~(K<=>T);Prawo Śfinii: Y "albo"($) ~Y
A: Ya= K~~> T= K* T Ya=1 # ~Ya=0 ;Prawo Prosiaczka: (Ya=1)=(~Ya=0)
B: Yb= K~~>~T= K*~T Yb=0 # ~Yb=1 ;Prawo Prosiaczka: (Yb=0)=(~Yb=1)
C: Yc=~K~~>~T=~K*~T Yc=1 # ~Yc=0 ;Prawo Prosiaczka: (Yc=1)=(~Yc=0)
D: Yd=~K~~> T=~K* T Yd=0 # ~Yd=1 :Prawo Prosiaczka: (Yd=0)=(~Yd=1)
1 2 3 4 5 6 7
|
Kluczowa różnica między równoważnością świata martwego A<=>S a równoważnością ze świata żywego K<=>T wyrażona jest w zdaniach B i D.
2.11.1 Zdanie B - świat martwy vs świat żywy
Zdanie B - świat martwy:
B.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka S może ~~> się nie świecić (~S=1)
Yb= A~~>~S = A*~S =0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że możliwe jest zdarzenie (Yb):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Jeśli uczeń I klasy LO zakoduje zdanie B logiczną jedynką to natychmiast pan od fizyki postawi mu pałę.
Dlaczego?
B"
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka S może ~~> się nie świecić (~S=1)
Yb=A~~>~S = A*~S =1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że może zajść zdarzenie (Yb):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka S nie świeci się (~S=1)
Postawienie jedynki w kodowaniu zdania B" oznacza, że uczeń nie zna podstawowego prawa fizyki opisywanego układem S1, prawa Ohma.
Znaczenie symbolu Yx:
Yx - zdarzenie możliwe
~Yx - zdarzenie niemożliwe
Zdanie B - świat żywy
B.
Jeśli jutro pójdziemy do kina (K=1) to możemy ~~> nie iść do teatru (~T=1)
Yb = K~~>~T = K*~T =0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że pani dotrzyma słowa (Yb) gdy jutro:
Pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Jutro zdarzenie B jest możliwe, tak więc pani przedszkolanka może tu w dniu jutrzejszym ustawić logiczną jedynkę … ale wtedy będzie kłamczuchą.
Świadome kłamstwo normalnego człowieka boli.
ale!
Świadome kłamstwo to fundament działania wszelkiej maści oszustów.
Przykład:
[link widoczny dla zalogowanych]
2.11.2 Zdanie D - świat martwy vs świat żywy
Zdanie D - świat martwy:
D.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka S może się świecić (S=1)
Yd= ~A~~>S = ~A*S =0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że możliwe ~~> jest zdarzenie (Yd):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Jeśli uczeń I klasy LO zakoduje zdanie D logiczną jedynką to natychmiast pan od fizyki postawi mu pałę.
Dlaczego?
D"
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka S może ~~> się świecić (S=1)
Yd=~A~~>S = ~A*S =1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że może zajść zdarzenie (Yd):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka S świeci się (S=1)
Postawienie jedynki w kodowaniu zdania D" oznacza, że uczeń nie zna podstawowego prawa fizyki opisywanego układem S1, prawa Ohma.
Zdanie D - świat żywy
D.
Jeśli jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) to możemy ~~> iść do teatru (T=1)
Yd = ~K~~>T = ~K*T =0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że pani dotrzyma słowa (Yd) gdy jutro:
Nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Jutro zdarzenie D jest możliwe, tak więc pani przedszkolanka może tu w dniu jutrzejszym ustawić logiczną jedynkę … ale wtedy będzie kłamczuchą.
Świadome kłamstwo normalnego człowieka boli.
ale!
Świadome kłamstwo to fundament działania wszelkiej maści oszustów.
Przykład:
[link widoczny dla zalogowanych]
Wymuśmy wynikową jedynkę w zdaniu D:
D"
Jeśli jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) to możemy ~~> iść do teatru (T=1)
Yd=~K~~>T = ~K*T =1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Yd) gdy jutro:
Nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Zauważmy że:
W dniu jutrzejszym jest fizyczna możliwość ustawienia prawdziwości/fałszywości zdania D" na wartość logiczną jeden, ale wtedy pani będzie kłamczuchą … i tak jak u Pinokia, jej nosek urośnie o kilka milimetrów.
2.12 Definicja "wolnej woli" - ostatni akord
Na mocy powyższego punktu po raz kolejny zapisujemy definicję "wolnej woli" obowiązującą wyłącznie w świecie żywym.
Świat martwy nie jest zdolny do łamania praw logiki matematycznej pod które podlega, zatem świat martwy wyznacza prawa logiki matematycznej zrozumiałe wyłącznie dla człowieka … oczywiście po rozszyfrowaniu algebry Kubusia.
Definicja "wolnej woli" w świecie żywym:
Wolna wola w świeci żywym to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy, w tym przez matematykę i fizykę.
2.12.1 Diagram równoważności K<=>T wyrażonej spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
Z równoważnością w świecie żywym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest zgwałcenie praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy.
Diagram równoważności p<=>q wyrażonej spójnikami "i"(*) i "lub"(+) wygląda następująco:
Kod: |
D1
Definicja operatora równoważności Y=p<=>q w zdarzeniach rodem ze świata żywego
Nasz przykład:
p=K (kino)
q=T (teatr)
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B: ~Yb=p*~q | A: Ya=p*q | C: ~Yc=~p*q | D: Yd=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zdarzenia ABCD to zdarzenia niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D
Dowód wzajemnej rozłączności zdarzeń ABCD:
A: p*q
B: p*~q
C: ~p*q
D: ~p*~q
Mnożymy logicznie każde zdarzenie z każdym:
A*B=(p*q)*(p*~q)=[] =0 - bo q*~q=0
A*C=(p*q)*(~p*q)=[] =0 - bo p*~p=0
A*D=(p*q)*(~p*~q)=[]=0 - bo p*~p=0
B*C=(p*~q)*(~p*q)=[]=0 - bo p*~p=0
B*D=(p*~q)*(~p*~q)=[]=0 - bo p*~p=0
C*D=(~p*q)*(~p*~q)=[]=0 - bo q*~q=[]=0
cnd
Dowód iż zdarzenia ABCD uzupełniają się wzajemnie do dziedziny D:
D = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
D=p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q
D=p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
D=p+~p =1
cnd
Zauważmy, że wszystkie zdarzenia ABCD są niepuste i rozłączne.
Na bazie powyższego diagramu rodem ze świata żywego pani może wypowiedzieć zdanie zawsze prawdziwe.
ZZP:
Pani w przedszkolu:
Drogie dzieci:
Ya =K*T =1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
lub
Yb=K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
lub
Yc=~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K) i pójdziemy do teatru (T)
lub
Yd=~K*~T=1*1=1- jutro nie pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
Dowód iż pani wypowiedziała zdanie zawsze prawdzie:
Przejdźmy na zapisy formalne podstawiając:
p=K (kino)
q=T (teatr)
Stąd:
Równanie zdania zawsze prawdziwego przyjmuje postać:
Y = Ya+Yb+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q) = p+~p =1
cnd
Definicja operatora implikacyjnego
Operator implikacyjny to operator definiowany warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>, czyli zdaniami warunkowymi "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Przykład operatora równoważności p<=>q definiowanej warunkami wystarczającymi => mamy w punkcie 2.8
Stąd mamy:
Prawo eliminacji operatorów implikacyjnych
Dowolny operator implikacyjny możemy wyeliminować przechodząc do definicji tego operatora w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami "i"(*) i "lub"(+) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Skutki eliminacji operatora implikacyjnego:
Po eliminacji uzyskamy poprawną odpowiedź na pytania kiedy zajdzie Y a kiedy ~Y kosztem wywalenia w kosmos wszystkich warunków wystarczających => i koniecznych ~> będących fundamentem logiki matematycznej, fundamentem języka potocznego.
W praktyce języka potocznego, żaden człowiek nie korzysta z prawa eliminacji operatorów implikacyjnych bo:
Po pierwsze:
Wymagana jest znajomość prawa eliminacji konkretnego operatora implikacyjnego, które to prawo w języku potocznym nie występuje tzn. nikt go nie zna.
Po drugie i najważniejsze:
Eliminując z logiki matematycznej warunki wystarczający => i konieczne ~> definiowane zdaniami warunkowymi "Jeśli p to q" zabijamy fundament logiki języka potocznego którego istotą są wzajemne relacje warunków wystarczających => i koniecznych ~> (pkt. 2.8)
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 16:06, 26 Lut 2023, w całości zmieniany 16 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 18:10, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
3.0 Dwuargumentowe funkcje logiczne
Spis treści
3.0 Dwuargumentowe funkcje logiczne 1
3.1 Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego 9
3.1.1 Dowód prawa Grzechotnika 9
3.2 Dwuargumentowy spójnik logiczny vs dwuargumentowy operator logiczny 11
3.2.1 Spójnik "lub"(+) vs operator "lub"(|+) w bramkach logicznych 13
3.2.2 Spójnik "i"(*) vs operator "i"(|*) w bramkach logicznych 15
3.2.3 Operator "lub"(|+) vs operator "i'(|*) 18
3.3 Operator "lub"(|+) vs operator "i"(|*) w świecie fizyki 20
3.4 Operatory "lub"(|+) i "i"(|*) w funkcjach cząstkowych 22
3.5 Kwadratura koła dla ziemskich matematyków 27
3.0 Dwuargumentowe funkcje logiczne
Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego (w tym matematyki i fizyki).
Algebra Kubusia zawiera w sobie nową algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.
Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
3.
Ziemski rachunek zero-jedynkowy (fundament logiki matematycznej) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych Y i ~Y algebry Boole’a, co udowodnimy za chwilkę w pkt. 3.1.1
Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja
Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)
Przykłady:
Y=p+~p=1 – zdanie zawsze prawdziwe
Y=p*~p=0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna
To samo w logice 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 – zdanie zawsze prawdziwe
Jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości {0,1}
Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa
Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.
W szczególnym przypadku symbol w nagłówku kolumny może być stałą binarną - same jedynki lub same zera w kolumnie.
Kod: |
DN
Definicja negacji:
p #~p
A: 1 # 0
B: 0 # 1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
p#~p
Dowodem jest tu definicja negacji DN.
Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)
Zauważmy, że w definicji negacji DN symbole p i ~p są zmiennymi binarnymi.
Dowód:
W osi czasu (kolumna A1B1) może zajść przypadek, że zmienna binarna p przyjmie wartość logiczną 1 (A1) albo wartość logiczną 0 (B1).
W osi czasu (kolumna B2A2) może zajść przypadek, że zmienna binarna ~p przyjmie wartość logiczną 1 (B2) albo wartość logiczną 0 (A2)
cnd
Stąd mamy:
Definicja osi czasu w logice matematycznej
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej oś czasu to zero-jedynkowa zawartość kolumny opisanej symbolem nad tą kolumną.
W technice cyfrowej znaczek różne # o definicji jak wyżej jest odpowiednikiem dwustronnego negatora (~).
Kod: |
Definicja znaczka różne # w bramkach logicznych
-----
p --x-------->| ~ |o-x--> ~p
| ----- |
| |
| p=~(~p) ----- |
-<-------o| ~ |<-x--- ~p
-----
Gdzie:
"o"(~) - symbole negacji
--->| - wejście bramki logicznej negatora (~)
|o--> - wyjście bramki logicznej negatora (~)
W świecie rzeczywistym musi tu być negator z otwartym kolektorem (OC)
na przykład typu SN74LS06.
|
W świecie rzeczywistym podajemy sygnały cyfrowe {0,1} na wejściu negatora obserwując co jest na jego wyjściu. Wszystko musi być zgodne z tabelą negacji DN.
Matematyczne związki między p i ~p:
I.
p#~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
II.
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)
Dowód w rachunku zero-jedynkowym:
Kod: |
Matematyczne związki w definicji negacji:
p ~p ~(~p) ~(p)
A: 1 0 1 0
B: 0 1 0 1
1 2 3 4
|
Tożsamość kolumn 1=3 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p=~(~p)
Tożsamość kolumn 2=4 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
~p=~(p)
Kod: |
Definicja dwuargumentowego spójnika „i”(*):
p* q Y=p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 1 0
D: 0* 0 0
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0 |
Kod: |
Definicja dwuargumentowego spójnika „lub”(+):
p+ q Y=p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 1 1
D: 0+ 0 0
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
|
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
Przykład:
f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
p*q+~p*~q
Uwaga na notację:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
f(p,q)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a (przykład)
Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a w osi czasu.
W szczególnym przypadku funkcja logiczna Y może być stałą binarną 1 albo 0.
W technice funkcja algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y
Definicja bramki logicznej:
Bramka logiczna to układ cyfrowy o n wejściach binarnych {p,q,r,s..} i tylko jednym wyjściu binarnym Y
Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y
Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramek logicznych
Y - wyjście bramki logicznej
Przykład:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q
W najprostszym przypadku mamy do czynienia z funkcją logiczną jednej zmiennej binarnej x
Y = f(x) =x
Zapis tożsamy:
Y=x
Gdzie:
x = (p, ~p, 1, 0}
Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej zmiennej binarnej.
Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y=f(p,q) w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa
Definicja operatora logicznego dwuargumentowego Y|=f(p,q) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny dwuargumentowy Y|=f(p,q) wyrażony spójnikami "i'(*) i "lub"(+) to układ równań logicznych 1 i 2 dających odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
1.
Y=f(p,q)
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy funkcję logiczną 1 dwustronnie:
2.
~Y=~f(p,q)
Przykład:
1.
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych jedynki są domyślne.
#
2.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana.
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) to:
Kod: |
T1
Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
p q Y=f(p,q)
A: 1 1 x
B: 1 0 x
C: 0 1 x
D: 0 0 x
Gdzie:
x={0,1}
f(p,q) - wyrażenie algebry Boole’a
|
Z definicji funkcji logicznej Y wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y).
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
Każda ze zmiennych binarnych {p, q, Y} może występować w logice dodatniej (bo x) albo w logice ujemnej (bo ~x). Oczywistym jest, że zmienna binarna w logice dodatniej (bo x) wymusza zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~x), albo odwrotnie.
Na dowolny układ cyfrowy można zatem spojrzeć w logice dodatniej (bo Y) albo w logice ujemnej (bo ~Y).
Kod: |
T2
Wymuszenia binarne w logice dodatniej {p, q, Y}
wymuszają logikę ujemną {~p, ~q, ~Y) i odwrotnie.
p q Y=f(p,q) # ~p ~q ~Y=~f(p,q)
A: 1 1 x # 0 0 ~(x)
B: 1 0 x # 0 1 ~(x)
C: 0 1 x # 1 0 ~(x)
D: 0 0 x # 1 1 ~(x)
Gdzie:
x={0,1}
f(p,q) - wyrażenie algebry Boole’a
Y=f(p,q) # ~Y=~f(p,q)
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
{p,q,Y} muszą być wszędzie tymi samymi {p,q,Y} inaczej błąd podstawienia
|
W tabeli wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych TF2 (niżej) po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.
Kod: |
TF2
Tabela prawdy wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych Y
w logice dodatniej (bo Y)
|Grupa I |Grupa II |Grupa III | Grupa IV
|Spójniki „i”(*)|Spójniki =>, ~>|Spójniki <=>, $ | Wejścia
|oraz „lub”(+) ||=>, |~> ||~~>, |~~~> | p i q
| Y Y | Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y
p q | * + | ~* ~+ | => ~> |=> |~> | <=> $ |~~> |~~~>| p q ~p ~q
A: 1 1 | 1 1 | 0 0 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 1 1 0 0
B: 1 0 | 0 1 | 1 0 | 0 1 0 1 | 0 1 1 0 | 1 0 0 1
C: 0 1 | 0 1 | 1 0 | 1 0 1 0 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0
D: 0 0 | 0 0 | 1 1 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 0 0 1 1
A A A A A A A A A A A A A A A A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
|
Prawo negacji funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować przechodząc do logiki przeciwnej.
Definicja operatora logicznego x:
Operator logiczny x to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.
Zastosujmy prawo negacji funkcji logicznej do tabeli TF2
Kod: |
TF0-15
-------------------------------------------------------------------
TF0-3
Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: Y=p*q # B0: ~Y=~( p* q) =~p+~q
## ##
A1: Y=p+q # B1: ~Y=~( p+ q) =~p*~q
## ##
A2: Y=~(p*q)=~p+~q # B2: ~Y=~(~p+~q) = p* q
## ##
A3: Y=~(p+q)=~p*~q # B3: ~Y=~(~p*~q) = p+ q
##
--------------------------------------------------------------------
TF4-5
Grupa warunków wystarczających p=>q i koniecznych p~>q:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A4: Y = (p=>q) = ~p+q # B4: ~Y=~(p=>q) = p*~q
## ##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
A5: Y = (p~>q) = p+~q # B5: ~Y=~(p~>q) =~p* q
## ##
--------------------------------------------------------------------
TF6-7
Grupa spójników implikacyjnych p|=>q i p|~>q:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A6: Y = p|=>q =~p* q # B6: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
## ##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A7: Y = p|~>q = p*~q # B7: ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
## ##
--------------------------------------------------------------------
TF8-9
Grupa spójników równoważnościowych p<=>q i p$q
Definicja równoważności p<=>q:
A8: Y = p<=>q = ~(p$q) =p*q+~p*~q # B8: ~Y=~(p<=>q)=(p$q)=p*~q+~p*q
## ##
Definicja spójnika „albo”($):
A9: Y = p$q = ~(p<=>q)=p*~q+~p*q # B9: ~Y=~(p$q) =(p<=>q)=p*q+~p*~q
## ##
--------------------------------------------------------------------
TF10-11
Grupa spójników chaosu p|~~>q:
Definicja chaosu (zdanie zawsze prawdziwe): Y=p|~~>q=1:
A10: Y=p|~~>q=(p+q+~p*~q)=1 # B10: ~Y=~(p|~~>q)=(p+q)*~(p+q)=0
## ##
Definicja śmierci (zdanie zawsze fałszywe): Y=p|~~~>q=0:
A11: Y =p|~~~>q = (p+q)*~(p+q)=0 # B11: ~Y=~(p|~~~>q)=(p+q+~p*~q)=1
##
--------------------------------------------------------------------
TF12-15
Grupa spójników jednoargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
## ##
A12: Y = p # B12:~Y=~p
## ##
A13: Y = q # B13:~Y=~q
## ##
A14: Y =~p # B14:~Y= p
## ##
A15: Y =~q # B15:~Y= q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p,q,Y muszą być wszędzie tymi samymi p,q,Y inaczej błąd podstawienia
|
Funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) w ilości 16 sztuk (A0-A15) to funkcje różne na mocy definicji ##.
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF0-15 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Innymi słowy:
W tabeli TF0-15 nie istnieje funkcja logiczna w linii x która by była tożsama z jakąkolwiek funkcją spoza tej linii.
Innymi słowy:
W tabeli TF0-15 nie istnieje prawo logiki matematycznej wiążące funkcję logiczną z linii x z jakąkolwiek funkcją spoza tej linii.
Stąd mamy:
Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna Y albo ~Y może należeć tylko i wyłącznie do jednego z 16 operatorów logicznych.
3.1 Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego
Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.
Mam nadzieję, że nie ma ziemskiego matematyka, który by nie zrozumiał dowodu prawa Grzechotnika, a tym samym Armagedonu ziemskiego rachunku zero-jedynkowego na poziomie funkcji logicznych algebry Boole'a.
Największą tragedią ziemskiej logiki matematycznej jest fakt, że w bramkach logicznych po stronie wejścia cyfrowego widzi ona zmienne binarne w logice dodatniej (bo p) i ujemnej (bo ~p), ale nie widzi dokładnie tego samego po stronie wyjścia cyfrowego Y, tu obowiązuje bezwzględny zakaz widzenia wyjścia Y w logice ujemnej (bo ~Y).
Odpowiednikiem tego faktu w matematyce klasycznej byłoby widzenie w układzie Kartezjańskim na osi X zmiennych dodatnich (x) i zmiennych ujemnych (~x) z zakazem widzenia dokładnie tego samego na osi Y, gdzie dozwolone byłoby widzenie jedynie zmiennych dodatnich (y).
Czy ktokolwiek wyobraża sobie współczesną matematykę z takim upośledzonym układem Kartezjańskim?
Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
3.1.1 Dowód prawa Grzechotnika
Przepiszmy tabelę TF0-15 przestawiając w kolumnie Bx funkcje logiczne w logice ujemnej (bo ~Y) w taki sposób, by uzyskać tożsamość wyrażeń algebry Boole'a widniejących z prawej strony funkcji ~Y.
Kod: |
TF0-15"
-------------------------------------------------------------------
TF0-3"
Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: Y=p*q # B2: ~Y=~(~p+~q) = p* q
## ##
A1: Y=p+q # B3: ~Y=~(~p*~q) = p+ q
## ##
A2: Y=~(p*q)=~p+~q # B0: ~Y=~( p* q) =~p+~q
## ##
A3: Y=~(p+q)=~p*~q # B1: ~Y=~( p+ q) =~p*~q
##
--------------------------------------------------------------------
TF4-5"
Grupa warunków wystarczających p=>q i koniecznych p~>q:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A4: Y = (p=>q) = ~p+q # B7: ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
## ##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
A5: Y = (p~>q) = p+~q # B6: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
## ##
--------------------------------------------------------------------
TF6-7"
Grupa spójników implikacyjnych p|=>q i p|~>q:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A6: Y = p|=>q =~p* q # B5: ~Y=~(p~>q) =~p* q
## ##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A7: Y = p|~>q = p*~q # B4: ~Y=~(p=>q) = p*~q
## ##
--------------------------------------------------------------------
TF8-9"
Grupa spójników równoważnościowych p<=>q i p$q
Definicja równoważności p<=>q:
A8: Y = p<=>q = ~(p$q) =p*q+~p*~q # B9: ~Y=~(p$q) =(p<=>q)=p*q+~p*~q
## ##
Definicja spójnika „albo”($):
A9: Y = p$q = ~(p<=>q)=p*~q+~p*q # B8: ~Y=~(p<=>q)=(p$q)=p*~q+~p*q
## ##
--------------------------------------------------------------------
TF10-11"
Grupa spójników chaosu p|~~>q:
Definicja chaosu (zdanie zawsze prawdziwe): Y=p|~~>q=1:
A10: Y=p|~~>q=(p+q+~p*~q)=1 # B11: ~Y=~(p|~~~>q)=(p+q+~p*~q)=1
## ##
Definicja śmierci (zdanie zawsze fałszywe): Y=p|~~~>q=0:
A11: Y =p|~~~>q = (p+q)*~(p+q)=0 # B10: ~Y=~(p|~~>q)=(p+q)*~(p+q)=0
##
----------------------------------------------------------------------
TF12-15"
Grupa spójników jednoargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
## ##
A12: Y = p # B14:~Y= p
## ##
A14: Y =~p # B12:~Y=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p,q,Y muszą być wszędzie tymi samymi p,q,Y inaczej błąd podstawienia
|
Wnioski:
1.
Funkcje logiczne w tabeli TF0-15 wolno nam dowolnie przestawiać.
W tabeli TF0-15" funkcje serii Bx poprzestawialiśmy tak, by prawe strony funkcji logicznych (wyrażenia algebry Boole'a) były tożsame.
Uwaga:
W szczególności w tabeli TF0-15 możemy wszystkie funkcje poprzestawiać losowo, ale znaczek różne na mocy definicji ## dalej będzie obowiązywał, nawet w takiej chaotycznej tabeli TF0-15.
Analogia do tabliczki mnożenia do 100 jest tu absolutna. W tabliczce mnożenia do 100 wszystkie działania każde z każdym możemy zapisać w totalnym chaosie - i taka tabela będzie równie dobra jak tabela ładnie uporządkowana.
2.
Doskonale widać, że w tabeli TF0-15" mimo tożsamych prawych stron wszystkich funkcji logicznych znaczek różne na mocy definicji ## dalej obowiązuje, bowiem w kolumnie serii Ax mamy wszystkie funkcje w logice dodatniej (bo Y), zaś w kolumnie serii Bx mamy wszystkie funkcje w logice ujemnej (bo ~Y).
3.
Od strony czysto teoretycznej dowód iż w tabeli TF0-15" dalej obowiązuje znaczek różne na mocy definicji ## (mimo tożsamych prawych stron funkcji logicznych) uzyskamy negując dwustronnie wszystkie funkcje w kolumnie Bx, czyli sprowadzając tabelę TF0-15" do tej samej logiki dodatniej (bo Y).
4.
Alternatywnie możemy spojrzeć na tabelę TF0-15" z tej samej logiki ujemnej (bo ~Y) negując dwustronnie wszystkie funkcje serii Ax - również uzyskamy dowód iż wszystkie funkcje w tabeli TF0-15" są różne na mocy definicji ##
5.
Twardy, fizyczny dowód iż faktycznie dla wszystkich funkcji logicznych w tabeli TF0-15" obowiązuje znaczek różne na mocy definicji ## uzyskamy w laboratorium bramek logicznych na I roku elektroniki Politechniki Warszawskiej (tu byłem).
6.
Stąd mamy:
Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
cnd
3.2 Dwuargumentowy spójnik logiczny vs dwuargumentowy operator logiczny
Różnicę między spójnikiem logicznym a operatorem logicznym poznamy na przykładzie produkowanych obecnie bramek logicznych serii TTL.
1.
(+) - spójnik "lub"(+) z języka potocznego człowieka
Definicja zero-jedynkowa:
Y=p+q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
W technice cyfrowej TTL spójnik "lub"(+) realizuje bramka logiczna SN74LS32:
[link widoczny dla zalogowanych]
2.
(*) - spójnik "i"(*) z języka potocznego człowieka
Definicja zero-jedynkowa:
Y = p*q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
W technice cyfrowej TTL spójnik "i"(*) realizuje bramka logiczna SN74LS08:
[link widoczny dla zalogowanych]
I.
Definicja operatora "lub"(|+):
(|+) - operator "lub"(|+) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Kiedy zajdzie Y?
1.
Y = p+q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(p+q) = ~p*~q - prawo De Morgana
Stąd:
2.
~Y = ~p*~q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Zauważmy, że jeśli udowodnimy iż spełniona jest definicja spójnika "lub"(+) to automatycznie udowodnimy spełnienie operatora "lub"(|+)
Innymi słowy:
Jeśli znamy definicję spójnika "lub"(+) w logice dodatniej (bo Y) to automatycznie znamy definicję spójnika "i"(*) w logice ujemnej (bo ~Y) i odwrotnie.
II.
Definicja operatora "i"(|*):
(|*) - operator "i"(|*) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Kiedy zajdzie Y?
1.
Y = p*q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(p*q) = ~p+~q - prawo De Morgana
Stąd:
2.
~Y = ~p+~q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka Y jest negacją drugiej strony
Zauważmy, że jeśli udowodnimy iż spełniona jest definicja spójnika "i"(*) to automatycznie udowodnimy spełnienie definicji operatora "i"(|*)
Innymi słowy:
Jeśli znamy definicję spójnika "i"(*) w logice dodatniej (bo Y) to automatycznie znamy definicję spójnika "lub"(+) w logice ujemnej (bo ~Y) i odwrotnie.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
3.2.1 Spójnik "lub"(+) vs operator "lub"(|+) w bramkach logicznych
(+) - spójnik „lub”(+) z języka potocznego człowieka
Znaczek tożsamy w matematyce:
(+) - znaczek alternatywy
Znaczek tożsamy w technice:
(+) - bramka logiczna OR
Kod: |
T1
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
p q Y=p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
Y=1
|
Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia którą logiką będziemy się posługiwać. W przypadku spójnika „lub”(+) użycie logiki zer jest najszybszym sposobem wypełnienia wynikowej kolumny zero-jedynkowej.
W technice cyfrowej TTL spójnik "lub"(+) realizuje bramka logiczna SN74LS32:
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod: |
T1
Bramka logiczna "lub"(+)
-------------
p--------------->| Bramka: |
| "lub"(+) |--------------> Y=p+q
q--------------->| SN74LS32 |
-------------
Definicja spójnika "lub"(+):
Y=p+q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
|
Definicja operatora "lub"(|+):
(|+) - operator "lub"(|+) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Kiedy zajdzie Y?
A1.
Y = p+q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A1 stronami:
~Y=~(p+q) = ~p*~q - prawo De Morgana
Stąd:
A2.
~Y = ~p*~q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Kod: |
T2
Definicja operatora “lub”(|+):
Operator “lub”(|+) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
A1: Y=p+q
Negujemy A1 dwustronnie:
A2: ~Y=~p*~q
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
A1: A2: A2:
p q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q
A: 1 1 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 0 0 1 0
C: 0 1 1 0 1 0 0
D: 0 0 0 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7
Operator „lub”(|+) to układ równań logicznych
dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
Kiedy zajdzie Y?
A1.
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1 (patrz: ABCD123)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
A2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 (patrz: ABCD567)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Definicja operatora "lub"(|+) w bramkach logicznych:
Kod: |
T3
Definicja operatora "lub"(|+) w bramkach logicznych:
SN74LS06 - bramka negatora (~) z otwartym kolektorem (OC)
SN74LS32 - bramka spójnika "lub"(+)
SN74LS08 - bramka spójnika "i"(*)
-------------
p------x-------->| |
| | "lub”(+) |---x-----x----> A1: Y=p+q
q--x------------>| 74LS32 | | |
| | ------------- \/ |
| | o o # (negator w obu kierunkach)
| | ~p ------------- | /\
| |--o----->| | | |
| ~q | „i”(*) |---x-----x----> A2: ~Y=~p*~q
|------o----->| 74LS08 |
-------------
Kiedy zajdzie Y?
A1.
Y=p+q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
#
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A1 stronami:
A2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
~Y=1 <=>~p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
„o”(~) - bramka negatora „o”(~)
Negator w każdej chwili czasowej zamienia cyfrowy sygnał wejściowy
na jego negację na wyjściu negatora.
W świecie rzeczywistym musi tu być negator # z otwartym kolektorem (OC)
na przykład typu SN74LS06
|
W tabelach T2 i T3 doskonale widać, że spójnik "lub"(+) jest częścią operatora "lub"(|+).
Zauważmy, że jeśli udowodnimy iż mamy do czynienia ze spójnikiem "lub"(+) to automatycznie udowodnimy iż ten spójnik wchodzi w skład definicji operatora "lub"(|+).
Innymi słowy:
Prawdziwość funkcji logicznej Y (w logice dodatniej bo Y)
Y=p+q
wymusza prawdziwość funkcji logicznej ~Y (w logice ujemnej bo ~Y)
~Y=~p*~q
(i odwrotnie)
Przykład zastosowania operatora "lub"(|+) w języku potocznym na poziomie 5-cio latka znajdziemy w punkcie 4.2.3
3.2.2 Spójnik "i"(*) vs operator "i"(|*) w bramkach logicznych
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka
Znaczek tożsamy w matematyce:
(*) - znaczek koniunkcji
Znaczek tożsamy w technice:
(*) - bramka logiczna AND
Kod: |
T1
Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
p* q Y=p*q
A: 1* 1 =1
B: 1* 0 =0
C: 0* 1 =0
D: 0* 0 =0
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
Y=1
|
Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia którą logiką będziemy się posługiwać. W przypadku spójnika „i”(*) użycie logiki jedynek jest najszybszym sposobem wypełnienia wynikowej kolumny zero-jedynkowej.
W technice cyfrowej TTL spójnik "i"(*) realizuje bramka logiczna SN74LS08:
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod: |
T1
Bramka logiczna "i"(*)
-------------
p--------------->| Bramka: |
| "i"(*) |--------------> Y=p*q
q--------------->| SN74LS08 |
-------------
Definicja spójnika "i"(*):
Y=p*q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
|
Definicja operatora "i"(|*):
(|*) - operator "i"(|*) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Kiedy zajdzie Y?
B1.
Y = p*q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie B1 stronami:
~Y=~(p*q) = ~p+~q - prawo De Morgana
Stąd:
B2.
~Y = ~p+~q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Kod: |
T2
Definicja operatora “i”(|*):
Operator “i”(|*) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
B1: Y=p*q
Negujemy dwustronnie:
B2: ~Y=~p+~q
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
p q Y=p*q ~Y=~(p*q) ~p ~q ~Y=~p+~q
A: 1 1 1 0 0 0 0
B: 1 0 0 1 0 1 1
C: 0 1 0 1 1 0 1
D: 0 0 0 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7
Operator „i”(|*) to układ równań logicznych
dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
Kiedy zajdzie Y?
B1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 (patrz: ABCD123)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie B1 stronami:
B2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1 (patrz: ABCD567)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Definicja operatora "i"(|*) w bramkach logicznych:
Kod: |
T3
Definicja operatora "i"(|*) w bramkach logicznych:
SN74LS06 - bramka negatora (~) z otwartym kolektorem (OC)
SN74LS08 - bramka spójnika "i"(*)
SN74LS32 - bramka spójnika "lub"(+)
-------------
p------x-------->| |
| | "i”(*) |---x-----x----> B1: Y=p*q
q--x------------>| 74LS08 | | |
| | ------------- \/ |
| | o o # (negator w obu kierunkach)
| | ~p ------------- | /\
| |--o----->| | | |
| ~q | „lub”(+) |---x-----x----> B2: ~Y=~p+~q
|------o----->| 74LS32 |
-------------
Kiedy zajdzie Y?
B1.
Y=p*q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
#
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie B1 stronami:
B2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
~Y=1 <=>~p=1 lub ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
„o”(~) - bramka negatora „o”(~)
Negator w każdej chwili czasowej zamienia cyfrowy sygnał wejściowy
na jego negację na wyjściu negatora.
W świecie rzeczywistym musi tu być negator z otwartym kolektorem (OC)
na przykład typu SN74LS06
|
W tabelach T2 i T3 doskonale widać, że spójnik "i"(*) jest częścią operatora "i"(|*).
Zauważmy, że jeśli udowodnimy iż mamy do czynienia ze spójnikiem "i"(*) to automatycznie udowodnimy iż ten spójnik wchodzi w skład definicji operatora "i"(|*).
Innymi słowy:
Prawdziwość funkcji logicznej Y (w logice dodatniej bo Y)
Y=p*q
wymusza prawdziwość funkcji logicznej ~Y (w logice ujemnej bo ~Y)
~Y=~p+~q
(i odwrotnie)
Przykłady zastosowania operatora "i"(|*) w języku potocznym na poziome 5-cio latka znajdziemy w punktach 2.4.1 oraz 4.3.1.
3.2.3 Operator "lub"(|+) vs operator "i'(|*)
Matematyczny związek między operatorami "lub"(|+) i "i"(|*) to związek różne na mocy definicji ##
Dowód:
Kod: |
T2
Definicja operatora “lub”(|+):
Operator “lub”(|+) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
A1: Y=p+q
Negujemy A1 dwustronnie:
A2: ~Y=~p*~q
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
A1: A2:
p q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q
A: 1 1 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 0 0 1 0
C: 0 1 1 0 1 0 0
D: 0 0 0 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7
Operator „lub”(|+) to układ równań logicznych
dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
Kiedy zajdzie Y?
A1.
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1 (patrz: ABCD123)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A1 dwustronnie:
A2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 (patrz: ABCD567)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
##
Kod: |
T3
Definicja operatora “i”(|*):
Operator “i”(|*) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
B1: Y=p*q
Negujemy dwustronnie:
B2: ~Y=~p+~q
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
p q Y=p*q ~Y=~(p*q) ~p ~q ~Y=~p+~q
A: 1 1 1 0 0 0 0
B: 1 0 0 1 0 1 1
C: 0 1 0 1 1 0 1
D: 0 0 0 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7
Operator „i”(|*) to układ równań logicznych
dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
Kiedy zajdzie Y?
B1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 (patrz: ABCD123)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie B1 dwustronnie:
B2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1 (patrz: ABCD567)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W tabelach T2 i T3 zmienne {p, q, Y} muszą być wszędzie tymi samymi {p, q, Y}, inaczej błąd podstawienia.
Doskonale widać, że wewnątrz tabel T2 i T3 spełniona jest definicja znaczka różne #.
Definicja znaczka różne #:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Natomiast między tabelami T2 i T3 obowiązuje znaczek różne na mocy definicji ##.
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Podsumowanie:
Kod: |
T2.
Y=p+q # ~Y=~p*~q
## ##
T3.
Y=p*q # ~Y=~p+~q
|
Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna Y albo ~Y może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego dwuargumentowego
Dowód: patrz tabela T2 i T3
3.3 Operator "lub"(|+) vs operator "i"(|*) w świecie fizyki
I
Operator "lub"(|+) w świecie techniki
Kod: |
S1
Układ realizujący operator "lub"(|+)
B
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Definicja operatora "lub"(|+):
Operator "lub"(|+) to odpowiedź na pytania o S i ~S
A1.
Kiedy żarówka świeci się (S=1)?
S=A+B
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> A=1 lub B=1
Czytamy:
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy
gdy wciśnięty jest przycisk A (A=1)
lub wciśnięty jest przycisk B (B=1)
#
Kiedy żarówka nie świeci się (~S=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
A2.
~S=~A*~B
co w logice jedynek oznacza:
~S=1 <=> ~A=1 i ~B=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy
gdy nie jest wciśnięty przyciska A (~A=1)
i nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
##
II
Operator "i"(|*) w świecie fizyki
Kod: |
S2
Układ realizujący operator "i"(|*):
S A B
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-----o o--
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
--------------------------------------------
Definicja operatora "i"(|*):
Operator "i"(|*) to odpowiedź na pytania o S i ~S
B1.
Kiedy żarówka świeci się (S=1)?
S=A*B
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> A=1 i B=1
Czytamy:
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy
gdy wciśnięty jest przycisk A (A=1)
i wciśnięty jest przycisk B (B=1)
#
Kiedy żarówka nie świeci się (~S=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
B2.
~S=~A+~B
co w logice jedynek oznacza:
~S=1 <=> ~A=1 lub ~B=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy
gdy nie jest wciśnięty przyciska A (~A=1)
lub nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W tabelach S1 i S2 zmienne {A, B, S} muszą być wszędzie tymi samymi {A, B, S}, inaczej błąd podstawienia.
Doskonale widać, że wewnątrz tabel S1 i S2 spełniona jest definicja znaczka różne #.
Definicja znaczka różne #:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Natomiast między tabelami S1 i S2 obowiązuje znaczek różne na mocy definicji ##.
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Stąd mamy:
Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna S albo ~S może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego dwuargumentowego
Dowód: patrz tabela S1 i S2
3.4 Operatory "lub"(|+) i "i"(|*) w funkcjach cząstkowych
Opiszmy nasze schematy S1 i S2 szczegółowo w zdarzeniach rozłącznych A: B: C: i D:
I
Operator "lub"(+) w świecie techniki
Kod: |
S1
Układ realizujący operator "lub"(|+)
B
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Definicja operatora "lub"(|+):
Operator "lub"(|+) to odpowiedź na pytania o S i ~S
Kiedy żarówka S świeci się (S=1)?
Odpowiedź w wersji minimalnej to:
1.
S = A+B
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> A=1 lub B=1
Czytamy:
Żarówka S świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy
wciśnięty jest klawisz A (A=1) lub wciśnięty jest klawisz B (B=1)
Innymi słowy:
Wystarczy że którykolwiek klawisz jest wciśnięty i już żarówka świeci się
Stąd dokładnie tą samą odpowiedź możemy zapisać w postaci zdarzeń rozłącznych A: B: i C:
Kiedy żarówka S świeci się (S=1)?
A: Sa= A* B - świeci (Sa=1) gdy wciśnięty A (A=1) i wciśnięty B (B=1)
lub
B: Sb= A*~B - świeci (Sb=1) gdy wciśnięty A (A=1) i nie wciśnięty B (~B=1)
lub
C: Sc=~A* B - świeci (Sc=1) gdy nie wciśnięty A (~A=1) i wciśnięty B (B=1)
Wszystkie możliwe przypadki rozłączne w których żarówka świeci się (S) opisuje suma logiczna funkcji cząstkowych:
S=Sa+Sb+Sc
Po rozwinięciu mamy:
RS1: S= A: A*B + B: A*~B + C: ~A*B = A+B
#
Kiedy żarówka S nie świeci się (~S)?
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną 1.
2.
~S=~A*~B
Jest tylko jeden taki przypadek, stąd:
~S= ~Sd= ~A*~B
co w logice jedynek oznacza:
~Sd=1 <=> ~A=1 i ~B=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Sd=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D:~Sd=~A*~B - nie wciśnięty A (~A=1) i nie wciśnięty B (~B=1)
~Sd - funkcja cząstkowa opisująca przypadek nie świecącej się żarówki
P.S.
Dowód formalny tożsamości RS1:
Y=p+q = p*q+p*~q + ~p*q
Minimalizujemy prawą stronę:
Y = p*(q+~q)+~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych
i wymianę spójników:
~Y=~p*(p+~q)
~Y=~p*p+~p*~q
~Y=~p+~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y):
Y=p+q
c.n.d.
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
##
II
Operator "i"(*) w świecie fizyki
Kod: |
S2
Układ realizujący operator "i"(|*):
S A B
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-----o o--
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
--------------------------------------------
Definicja operatora "i"(|*):
Operator "i"(|*) to odpowiedź na pytania o S i ~S
Kiedy żarówka S świeci się (S=1)?
Odpowiedź w wersji minimalnej to:
1.
S = A*B
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> A=1 i B=1
Czytamy:
Żarówka S świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy
wciśnięty jest klawisz A (A=1) i wciśnięty jest klawisz B (B=1)
Jest tylko jedno zdarzenie gdzie żarówka świeci się.
Stąd możemy zapisać:
A: S = Sa = A*B
Gdzie:
Sa - funkcja cząstkowa opisująca przypadek świecącej się żarówki
#
Kiedy żarówka S nie świeci się (~S)?
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną 1.
2.
~S=~A+~B
co w logice jedynek oznacza:
~S=1 <=> ~A=1 lub ~B=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy
nie jest wciśnięty A (~A=1) lub nie jest wciśnięty B (~B=1)
Innymi słowy:
Wystarczy, że którykolwiek klawisz nie jest wciśnięty
i już żarówka nie świeci się
Stąd dokładnie tą samą odpowiedź możemy zapisać w postaci zdarzeń rozłącznych B: C: i D:
Kiedy żarówka S nie świeci się (~S=1)?
Żarówka nie świeci (~S=1) się gdy:
B:~Sb=~A*~B - nie wciśnięty A (~A=1) i nie wciśnięty B (~B=1)
lub
C:~Sc=~A* B - nie wciśnięty A (~A=1) i wciśnięty B (B=1)
lub
D:~Sd= A*~B - wciśnięty A (A=1) i nie wciśnięty B (~B=1)
Wszystkie możliwe przypadki rozłączne w których żarówka nie świeci się (~S)
to suma logiczna równań cząstkowych:
~S=~Sb+~Sc+~Sd
Po rozwinięciu mamy:
RS2: ~S= B: ~A*~B + C: ~A*B + D: A*~B = ~A+~B
P.S.
Dowód formalny tożsamości RS2:
~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Minimalizujemy prawą stronę:
~Y=~p*(~q+q)+p*~q
~Y=~p+ (p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych
i wymianę spójników:
Y=p*(~p+q)
Y=p*~p+p*q
Y=p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p+~q
c.n.d.
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Gdzie:
## - układy różne na mocy definicji
Zauważmy że:
W zdarzeniach rozłącznych niektóre funkcje cząstkowe w S1 i S2 są identyczne [=] np.
S1: A: Sa=A*B [=] S2: Sa=A*B - w obu przypadkach żarówka świeci się (S)
S1: D: ~Sd=~A*~B [=] S2: B: ~Sb=~A*~B - w obu przypadkach żarówka nie świeci się (~S)
Wniosek:
Prawo Puchacza obowiązuje tylko i wyłącznie dla kompletnych funkcji logicznych Y i ~Y
Kod: |
TS1S2
S1.
Połączenie równoległe A i B
Operator "lub"(|+) to odpowiedź na pytanie o S i ~S
S=A+B=A*B+A*~B+~A*B # ~S=~A*~B
## ##
S2.
Połączenie szeregowe A i B
Operator "i"(|*) to odpowiedź na pytanie o S i ~S
S=A*B # ~S=~A+~B=~A*~B+~A*B+A*~B
|
Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna S albo ~S może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego dwuargumentowego.
Tu do S1 albo do S2.
Zauważmy, że dla układu S1 znajomość dowolnej z funkcji logicznych S albo ~S jest potrzebna i wystarczająca by odtworzyć kompletny schemat ideowy S1
Podobnie:
Dla układu S2 znajomość dowolnej z funkcji logicznych S albo ~S jest potrzebna i wystarczająca by odtworzyć kompletny schemat S2
Podstawmy:
S=Y - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
~S=~Y - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)
Oczywiście, matematycznie zachodzi:
Y$~Y
Czytamy:
W dowolnej chwili czasowej może zajść wyłącznie Y "albo"($) ~Y
Dowód:
Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
Stąd mamy:
Y$~Y = Y*~(~Y) + ~(Y)*~Y = Y*Y+~Y*~Y = Y+~Y =1
Wniosek:
Definicja spójnika "albo"($) jest tu spełniona
cnd
Wykluczona jest tu tożsamość logiczna pojęć Y i ~Y, czyli równoważność <=>.
Dowód:
Definicja spójnika równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p<=>q = p*q+~p*~q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd mamy:
Y<=>~Y = Y*~Y + ~(Y)*~(~Y) = Y*~Y+~Y*Y = 0+0 =0
Wykluczona jest tu tożsamość logiczna pojęć Y i ~Y
cnd
Niestety, stara algebra Boole'a we wszelkich dowodach zero-jedynkowych operuje tylko i wyłącznie wyrażeniami algebry Boole'a nie widząc funkcji logicznych algebry Boole'a w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y) co prowadzi do jej wewnętrznej sprzeczności udowodnionej w punkcie 3.1.1
3.5 Kwadratura koła dla ziemskich matematyków
Zadanie z podstaw logiki matematycznej w 100-milowym lesie.
Dane są dwa zdania pań przedszkolanek z dwóch różnych przedszkoli A i B.
Pani w przedszkolu A:
A1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Pani w przedszkolu B:
B1.
Jutro nie pójdziemy ani do kina, ani do teatru
Treść polecenia:
Zapisz w funkcjach logicznych kiedy panie dotrzymają słowa a kiedy nie dotrzymają słowa?
Powyższego zadanka żaden współczesny matematyk nie rozwiąże, bowiem jego rozwiązanie wymaga akceptacji w logice matematycznej logiki dodatniej (bo Y) i logiki ujemnej (bo ~Y)
c.n.d
Rozwiązanie znajdziemy w punktach:
4.2.3 Y|=K+T
4.4.1 Y|=~K*~T
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 11:41, 27 Lut 2023, w całości zmieniany 49 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 18:14, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
4.0 Operatory Y|=f(x) z grupy TF0-11 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Spis treści
4.0 Operatory Y|=f(x) z grupy TF0-11 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 1
4.1 Operator A1: Y|=p+q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 2
4.1.1 Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych 2
4.1.2 Diagram operatora „lub”(|+) w zdarzeniach 3
4.1.3 Przykład operatora Y|=K+T w zdarzeniach 5
4.2 Operator A0: Y|=p*q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 8
4.2.1 Przykład operatora Y|=K*T w zdarzeniach 10
4.3 Operator A3: Y|=~p*~q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 12
4.3.1 Przykład operatora Y|=~K*~T w zdarzeniach 14
4.4 Związek teorii zdarzeń z teorią zbiorów dla operatorów TF0-TF3 16
4.4.1 Przykład operatora chaosu P8||~~>P3 w zbiorach 17
4.5 Operatory z grupy TF4-7 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 19
4.5.1 Operator A7: Y|=p*~q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 19
4.6.2 Przykład operatora A7: Y|=K*~T w zdarzeniach 21
4.7 Operatory z grupy TF4-TF11 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 23
4.0 Operatory Y|=f(x) z grupy TF0-11 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Kod: |
TF2
Tabela prawdy wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych Y
w logice dodatniej (bo Y)
|Grupa I |Grupa II |Grupa III | Grupa IV
|Spójniki „i”(*)|Spójniki =>, ~>|Spójniki <=>, $ | Wejścia
|oraz „lub”(+) ||=>, |~> ||~~>, |~~~> | p i q
| Y Y | Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y
p q | * + | ~* ~+ | => ~> |=> |~> | <=> $ |~~> |~~~>| p q ~p ~q
A: 1 1 | 1 1 | 0 0 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 1 1 0 0
B: 1 0 | 0 1 | 1 0 | 0 1 0 1 | 0 1 1 0 | 1 0 0 1
C: 0 1 | 0 1 | 1 0 | 1 0 1 0 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0
D: 0 0 | 0 0 | 1 1 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 0 0 1 1
A A A A A A A A A A A A A A A A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
|
Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami "i"(*) i "lub"(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
1.
Y=f(x)
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie 1:
2.
~Y=~f(x)
4.1 Operator A1: Y|=p+q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Zacznijmy od operatora A1 z tabeli prawdy TF2 (pkt. 4.0) wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych Y
Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo duża
Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami "i"(*) I "lub"(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Przykład A1:
Definicja operatora Y|=p+q to układ równań logicznych 1 i 2 dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach/zbiorach niepustych i rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Stąd mamy tożsamą funkcję logiczną Y w logice dodatniej (bo Y):
1’
Y = A: p*q+ B: p*~q + C: ~p*q
Dowód:
Minimalizujemy funkcję 1’:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q)+~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p+~p*~q
~Y=~p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
cnd
Stąd mamy:
1: Y=p+q [=] 1’: Y = A: p*q+ B: p*~q + C: ~p*q
4.1.1 Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych
Wyprowadziliśmy wyżej tożsamość logiczną:
1: Y=p+q [=] 1’: Y = A: p*q+ B: p*~q + C: ~p*q
Stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych ABC którą obowiązkowo trzeba zapamiętać
Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q +~p*q
4.1.2 Diagram operatora „lub”(|+) w zdarzeniach
Diagram w zdarzeniach opisujący ten przypadek jest następujący:
Kod: |
D1
Definicja operatora A1: Y|=p+q w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q | A: Ya=p*q | C: Yc=~p*q | D:~Yd=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zdarzenia ABCD to zdarzenia niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D
Dowód wzajemnej rozłączności zdarzeń ABCD:
A: p*q
B: p*~q
C: ~p*q
D: ~p*~q
Mnożymy logicznie każde zdarzenie z każdym:
A*B=(p*q)*(p*~q)=[] =0 - bo q*~q=0
A*C=(p*q)*(~p*q)=[] =0 - bo p*~p=0
A*D=(p*q)*(~p*~q)=[]=0 - bo p*~p=0
B*C=(p*~q)*(~p*q)=[]=0 - bo p*~p=0
B*D=(p*~q)*(~p*~q)=[]=0 - bo p*~p=0
C*D=(~p*q)*(~p*~q)=[]=0 - bo q*~q=[]=0
cnd
Dowód iż zdarzenia ABCD uzupełniają się wzajemnie do dziedziny D:
D = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
D=p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q
D=p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
D=p+~p =1
cnd
Przykład:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
1.
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Matematyczna definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach/zbiorach rozłącznych odczytana z diagramu D1 to:
Y=Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C:~p*q
Czyli:
1’
Y = A: p*q + B: p*~q + C:~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
#
2.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana.
~Y = ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
W definicji fizycznej operatora Y|=p+q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) chodzi o to by na mocy teorii zdarzeń/zbiorów nie dało się wyrugować dowolnego z członów ABC powyższej definicji
Przykładowo dla:
A: p*q=[]=0 - gdy zdarzenia/zbiory p i q są rozłączne
mamy:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q ## B: p*~q + C: ~p*q = p$q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji ##
$ - spójnik „albo”($) z języka potocznego człowieka to fundamentalnie co innego niż spójnik "lub"(+)
Przykład:
1.
Dowolny człowiek (C) jest mężczyzną (M) lub kobietą (K)
C=M+K
co w logice jedynek oznacza:
C=1 <=> M=1 lub K=1
Czytamy:
Prawdą jest (1), że dowolny człowiek (C) może być mężczyzną (M=1) lub kobietą (K=1), trzeciej możliwości brak.
Przyjmijmy dziedzinę fizyczną:
C (człowiek) = M+K
Rozpiszmy użyty tu spójnik „lub”(+) na zbiory rozłączne i niepuste na mocy definicji matematycznej spójnika „lub”(+):
p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Nasz przykład:
1’.
M+K = A: M*K + B: M*~K + C:~M*K
Zbiór mężczyzn (M) i zbiór kobiet (K) to zbiory rozłączne, czyli:
A: M*K =[ ]=0
Stąd mamy:
M+K = A: M*K + B: M*~K + C:~M*K ## B: M*~K + C: ~M*K = M$K
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Matematycznie precyzyjna treść zdania 1’ powinna brzmieć:
1’
Dowolny człowiek (C) jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
C = M$K = B: M*~K+ C: ~M*K
Prawa strona to oczywiste zdania prawdziwe:
B: M*~K=1*1=1 - dowolny człowiek może być mężczyzną (M=1) i nie być kobietą (~K=1)
C: ~M*K=1*1=1 - dowolny człowiek może nie być mężczyzną (~M=1) i być kobietą (K=1)
Trzeciej możliwości brak.
Zdecydowana większość ludzi używa w zdaniu 1 spójnika „lub”(+) bo:
Mózg człowieka na poziomie procedur w zbiorach doskonale wie że:
A: M*K =[] =0 - zbiór mężczyzn (M) i zbiór kobiet (K) to zbiory rozłączne.
Stąd dopuszczalne jest tu użycie spójnika „lub”(+) w miejsce spójnika „albo”($).
Odwrotnie nie zachodzi.
Dowód.
Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Zdanie tożsame w zdarzeniach rozłącznych to:
1’
Y = K+T = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
Zauważmy, że jutro możemy pójść do kina i do teatru bo chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień, zatem:
A: K*T=1*1=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Wniosek:
Nie wolno w obietnicy pani przedszkolanki zastępować spójnika „lub”(+) spójnikiem „albo”($), bo będzie to zdanie różne na mocy definicji ## od zdania ze spójnikiem „albo”($), którego nasz mózg nie skoryguje na mocy teorii zdarzeń bo doskonale wie, że jutro możemy pójść do kina i do teatru.
4.1.3 Przykład operatora Y|=K+T w zdarzeniach
Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami "i"(*) I "lub"(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo duża
Rozważmy zdanie na poziomie 5-cio letniego dziecka.
Pani przedszkolanka:
1.
ABC:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Matematycznie oznacza to że jutro pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa, czyli:
ABC:
Y=A: K*T + B: K*~T + C:~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych jedynki są domyślne
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
B: Yb=K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: Yc=~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Matematycznie zachodzi tożsamość funkcji logicznych:
Y = Ya+Yb+Yc
Gdzie:
Ya, Yb, Yc - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji Y
Przejdźmy na zapisy formalne podstawiając:
K=p
T=q
Dowód iż tak jest w istocie w zapisach formalnych.
stąd:
Y = Ya+Yb+Yc = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
minimalizujemy funkcję logiczną Y:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p+~q
~Y = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
cnd
Matematycznie zachodzi:
Y=Y
stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych ABC którą obowiązkowo trzeba zapamiętać
Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q +~p*q
… a kiedy pani skłamie = nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
2.
Negujemy równanie 1 (ABC) dwustronnie:
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
D.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Kod: |
D1
Definicja operatora A1: Y|=K+T w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=K*T+K*~T+~K*T+~K*~T=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń możliwych |
--------------------------------------------------------------------------
| p=[K] |
------------------------------------------------------
| q=[T] |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q= K*~T| A: Ya=p*q=K*T | C: Yc=~p*q=~K*T | D:~Yd=~p*~q=~K*~T |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zauważmy, że wszystkie możliwe zdarzenia ABCD są rozłączne i niepuste oraz uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dziedziną dla naszego przykładu jest zbiór wszystkich możliwych zdarzań które jutro mogą wystąpić:
D = |Ya|+|Yb|+|Yc|+|Yd|
Gdzie:
|Yx| - funkcja logiczna Yx z pominięciem przeczenia (wartość bezwzględna)
Stąd mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
Y = p+~p =1
Dziedzina jest poprawna.
cnd
W dniu jutrzejszym ma szansę wystąpić wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń.
Dla naszego przykładu w zapisach ogólnych mamy:
p=K
q=T
Stąd w zapisach aktualnych (z przykładu) mamy:
1.
Kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y=1)?
Y=Ya+Yb+Yc
A:
Ya=K~~>T=K*T =1*1=1
Możliwe ~~> jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Ya=1
lub
B:
Yb=K~~>~q=K*~T=1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Yb=1
lub
C:
Yc=~K~~>~T=~K*T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Yc=1
2.
Kiedy jutro pani skłamie = nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
D:
~Yd=~K~~>~T=~K*~T =1*1=1
Pani skłamie:
~Yd=1
Czytamy:
P1: Prawdą jest (=1), że jutro pani nie dotrzyma słowa (~Yd), jeśli nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
P1: (~Yd=1) = P2: (Yd=0)
Prawą stronę czytamy:
P2: Fałszem jest (=0), że jutro pani dotrzyma słowa (Yd), jeśli nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Tożsamość zdań P1=P2 jest oczywista, co jest potwierdzeniem prawa Prosiaczka.
4.2 Operator A0: Y|=p*q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
A0: Y|p*q to kolejny operator z tabeli wszystkich możliwych funkcji logicznych TF2 (pkt. 4.0)
Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo duża
Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami "i"(*) I "lub"(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Przykład A0:
Definicja operatora Y|=p*q to układ równań logicznych 1 i 2 dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Innymi słowy:
Pozostałe przypadki niepuste i rozłączne, poza funkcją logiczną Y=p*q muszą być zapisane w logice ujemnej (bo ~Y).
Diagram w zdarzeniach opisujący ten przypadek jest następujący:
Kod: |
D0
Definicja operatora A1: Y|=p*q w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B:~Yb=p*~q | A: Ya=p*q | C:~Yc=~p*q | D:~Yd=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
|
Nasz przykład:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
1.
Y = p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych jedynki są domyślne.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1.
~Y = ~(p*q) = ~p+~q - prawo De Morgana
~Y=~p+~q
Innymi słowy:
Wystarczy że zajdzie cokolwiek (~p=1) lub (~q=1) i już funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość logiczną (~Y=1).
Z diagramu odczytujemy:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
Po rozwinięciu mamy:
~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
~Y = ~p+~q [=] ~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Doskonale to widać z diagramu D0.
Można to też udowodnić w sposób czysto matematyczny:
~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy prawą stronę:
~Y = p*~q + ~p*(q+~q)
~Y = ~p+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negacją zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q
Y = p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p+~q
stąd mamy:
~Y = ~p+~q [=] ~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
cnd
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
4.2.1 Przykład operatora Y|=K*T w zdarzeniach
Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami "i"(*) I "lub"(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo duża
Rozważmy zdanie na poziomie 5-cio letniego dziecka.
Pani przedszkolanka:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 dwustronnie:
BCD:
~Y=~(K*T) = ~K+~T - prawo De Morgana
Stąd mamy:
2.
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
BCD:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Matematycznie oznacza to, że jutro nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y=1), czyli:
~Y=B: K*~T + C: ~K*T + D:~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
bo w równaniu alternatywno-koniunkcyjnym wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~Yb = K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: ~Yc = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
LUB
D: ~Yd = ~K*~T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Matematycznie musi zachodzić tożsamość funkcji logicznych:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
Gdzie:
~Yb, ~Yc, ~Yd - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji ~Y
Kod: |
D1
Definicja operatora A1: Y|=K+T w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=K*T+K*~T+~K*T+~K*~T=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń możliwych |
--------------------------------------------------------------------------
| p=[K] |
------------------------------------------------------
| q=[T] |
--------------------------------------------------------------------------
| B:~Yb=p*~q= K*~T| A: Ya=p*q=K*T | C:~Yc=~p*q=~K*T | D:~Yd=~p*~q=~K*~T |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zauważmy, że wszystkie możliwe zdarzenia ABCD są rozłączne i niepuste oraz uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dziedziną dla naszego przykładu jest zbiór wszystkich możliwych zdarzań niepustych i rozłącznych które jutro mogą wystąpić:
D = |Ya|+|Yb|+|Yc|+|Yd|
Gdzie:
|Yx| - funkcja logiczna Yx z pominięciem przeczenia
Stąd mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
Y = p+~p =1
Dziedzina jest poprawna.
cnd
W dniu jutrzejszym ma szansę wystąpić wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń niepustych i rozłącznych.
Dla naszego przykładu w zapisach ogólnych mamy:
p=K
q=T
Stąd w zapisach aktualnych (z przykładu) mamy:
1.
Kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y=1)?
A:
Ya=K~~>T=K*T =1*1=1
Możliwe ~~> jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Ya=1
2.
Kiedy jutro pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
B:
~Yb=K~~>~q=K*~T=1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani skłamie (= nie dotrzyma słowa ~Yb):
~Yb=1
lub
C:
~Yc=~K~~>~T=~K*T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Pani skłamie:
~Yc=1
lub
D:
~Yd=~K~~>~T=~K*~T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani skłamie (~Yd=1)
4.3 Operator A3: Y|=~p*~q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Częstotliwość użycia w języku potocznym: duża
Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami "i"(*) I "lub"(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Przykład A3:
Definicja operatora Y|=~p*~q to układ równań logicznych 1 i 2 dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
#
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 lub q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Innymi słowy:
Pozostałe przypadki niepuste i rozłączne, poza funkcją logiczną Y=~p*~q muszą być zapisane w logice ujemnej (bo ~Y).
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaku # jest negacją drugiej strony
Diagram w zdarzeniach opisujący ten przypadek jest następujący:
Kod: |
D3
Definicja operatora A3: Y|=~p*~q w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B:~Yb=p*~q | A:~Ya=p*q | C:~Yc=~p*q | D: Yd=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
|
Przykład:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
1.
Y = ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1.
~Y = ~(~p*~q) = p+q - prawo De Morgana
~Y=p+q
Innymi słowy:
Wystarczy że zajdzie cokolwiek (p=1) lub (q=1) i już funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość logiczną 1 (~Y=1).
Z diagramu odczytujemy:
~Y=~Ya+~Yb+~Yc
Po rozwinięciu mamy:
~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
~Y = p+q [=] ~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Doskonale to widać z diagramu D3.
Można to też udowodnić w sposób czysto matematyczny:
~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Minimalizujemy prawą stronę:
~Y = p*(q+~q) + ~p*q
~Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negacją zmiennych i wymianę spójników:
Y = ~p*(p+~q)
Y = ~p*p + ~p*~q
Y = ~p*~q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = p+q
stąd mamy:
~Y = p+q [=] ~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
cnd
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
4.3.1 Przykład operatora Y|=~K*~T w zdarzeniach
Częstotliwość użycia w języku potocznym: duża
Rozważmy zdanie na poziomie 5-cio letniego dziecka.
Pani przedszkolanka:
1.
Jutro nie pójdziemy ani do kina (~K=1) ani do teatru (~T=1)
Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
… a kiedy pani skłamie (S=(~Y=1))?
Negujemy równanie 1 dwustronnie:
ABC:
~Y=~(~K*~T) = K+T - prawo De Morgana
Stąd mamy:
2.
~Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
ABC:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
~Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub T=1
Matematycznie oznacza to, że jutro pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y=1), czyli:
~Y=A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: ~Ya = K*T =1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
B: ~Yb = K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: ~Yc=~K*T =1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Matematycznie musi zachodzić tożsamość funkcji logicznych:
~Y = ~Ya+~Yb+~Yc
Gdzie:
~Ya, ~Yb, ~Yc - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji ~Y
Kod: |
D3
Definicja operatora A3: Y|=~K*~T w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=K*T+K*~T+~K*T+~K*~T=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń możliwych |
--------------------------------------------------------------------------
| p=[K] |
------------------------------------------------------
| q=[T] |
--------------------------------------------------------------------------
| B:~Yb=p*~q= K*~T| A:~Ya=p*q=K*T | C:~Yc=~p*q=~K*T | D:Yd=~p*~q=~K*~T |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zauważmy, że wszystkie możliwe zdarzenia ABCD są rozłączne i niepuste oraz uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dziedziną dla naszego przykładu jest zbiór wszystkich możliwych zdarzań które jutro mogą wystąpić:
D = |Ya|+|Yb|+|Yc|+|Yd|
Gdzie:
|Yx| - funkcja logiczna Yx z pominięciem przeczenia (wartość bezwzględna funkcji Yx)
Stąd mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
Y = p+~p =1
Dziedzina jest poprawna.
cnd
W dniu jutrzejszym ma szansę wystąpić wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń niepustych i rozłącznych.
Dla naszego przykładu w zapisach ogólnych mamy:
p=K
q=T
Innymi słowy:
1.
Kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y=1)?
D:
Yd=~K~~>~T=~K*~T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Yd=1
2.
Kiedy jutro pani skłamie (~Y=1)?
~Y=~Ya+~Yb+~Yc
A:
~Ya=K~~>T=K*T =1*1=1
Możliwe ~~> jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Pani skłamie (=nie dotrzyma słowa ~Ya).
~Ya=1
lub
B:
~Yb=K~~>~T=K*~T=1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani skłamie:
~Yb=1
C:
~Yc=~K~~>T=~K*T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Pani skłamie:
~Yc=1
4.4 Związek teorii zdarzeń z teorią zbiorów dla operatorów TF0-TF3
Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami "i"(*) I "lub"(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Definicja fizyczna operatora Y|=f(x) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja fizyczna operatora Y|=f(x) wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy iloczyny logiczne zdarzeń/zbiorów p i q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q będą zdarzeniami możliwymi ~~> lub zbiorami niepustymi ~~>.
Innymi słowy:
Definicja fizyczna operatora Y|=f(x) wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy na mocy teorii zbiorów/zdarzeń nie da się zredukować ani funkcji logicznej Y ani też funkcji logicznej ~Y
Jedynym spójnikiem w teorii zbiorów gdzie wszystkie możliwe przeczenia zbiorów p i q są niepuste jest spójnik chaosu p|~~>q.
CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to dwa zbiory niepuste p i q mające co najmniej jeden element wspólny z których żaden nie zawiera się w drugim, a dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
D>p+q
Stąd mamy definicję chaosu p|~~>q w zbiorach:
Kod: |
D1
Definicja operatora chaosu p|~~>q w zbiorach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q | A: Ya=p*q | C: Yc=~p*q | D: Yd=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
|
Doskonale widać, dlaczego dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q.
Dla dziedziny D=p+q zbiór D: Yd=~p*~q byłby zbiorem pustym, co byłoby sprzeczne z definicją chaosu p|~~>q, bo zbiór pusty nie ma ani jednego elementu wspólnego z jakimkolwiek zbiorem niepustym.
cnd
4.4.1 Przykład operatora chaosu P8||~~>P3 w zbiorach
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory p i q są rozłączne i nieskończone to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.
Przykład:
Zbadajmy w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3)
Ya = P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8 i P3 jest spełniona (=1) bo liczba 24 jest podzielna przez 8 i podzielna przez 3
cnd
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna prze 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3)
Yb=P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8 i ~P3 jest spełniona (=1) bo liczba 8 jest podzielna przez 8 i niepodzielna przez 3
cnd
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3)
Yc=~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo 3
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~P8 i P3 jest spełniona (=1) bo liczba 3 nie jest podzielna przez 8 i jest podzielna przez 3
cnd
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3)
Yd=~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 bo 2
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~P8 i ~P3 jest spełniona (=1) bo liczba 2 nie jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 3
cnd
Diagram w zbiorach dla naszego operatora chaosu P8||~~>P3 jest zatem następujący:
Kod: |
CH
Definicja operatora chaosu P8||~~>P3 w zbiorach
--------------------------------------------------------------------------
| D= A: P8*P3+B: P8*~P3+C:~P8*P3+D:~P8*~P3=1 - dziedzina |
--------------------------------------------------------------------------
| p=P8 |
------------------------------------------------------
| q=P3 |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=P8*~P3=1 | A: Ya=P8*P3=1 | C: Yc=~P8*P3=1 | D:Yd=~P8*~P3=1 |
--------------------------------------------------------------------------
|
Matematycznie operator chaosu p||~~>q w zbiorach jest matematycznym śmieciem, bowiem nie ma tu żadnego warunku wystarczającego => (gwarancji matematycznej =>), czyli w praktyce wszystko może się zdarzyć.
Innymi słowy dla zbioru liczb naturalnych LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] mamy:
Jeśli wylosujemy liczbę x ze zbioru LN to nie mamy żadnej gwarancji matematycznej => iż liczba ta będzie należała do zbioru A albo B albo C albo D.
O co chodzi z tą gwarancją matematyczną =>?
Rozważmy zdanie:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
W tym przypadku, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba jest podzielna przez 2.
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
O podobnej gwarancji matematycznej => w operatorze chaosu p||~~>q nie mamy co marzyć co widać w diagramie operatora chaosu P8||~~>P3 wyżej.
Dokładnie dlatego operator chaosu p||~~>q jest matematycznym śmieciem.
cnd
4.5 Operatory z grupy TF4-7 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Kod: |
TF6-7
Grupa spójników implikacyjnych p|=>q i p|~>q:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A6: Y = p|=>q =~p* q # B6: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
## ##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A7: Y = p|~>q = p*~q # B7: ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p,q,Y muszą być wszędzie tymi samymi p,q,Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Jak widzimy, w tabeli TF6-7 definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
4.5.1 Operator A7: Y|=p*~q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Częstotliwość użycia w języku potocznym: średnia
Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami "i"(*) I "lub"(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Przykład A7:
Definicja operatora A7: Y|=p*~q to układ równań logicznych 1 i 2 dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Y=p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~p+q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Innymi słowy:
Pozostałe przypadki niepuste i rozłączne, poza funkcją logiczną Y=p*~q muszą być zapisane w logice ujemnej (bo ~Y).
Diagram w zdarzeniach opisujący ten przypadek jest następujący:
Kod: |
D0
Definicja operatora A7: Y|=p*~q w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q | A:~Ya=p*q | C:~Yc=~p*q | D:~Yd=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
|
Przykład:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
1.
Y = p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1.
~Y = ~(p*~q) = ~p+q - prawo De Morgana
~Y=~p+q
Innymi słowy:
Wystarczy że zajdzie cokolwiek (~p=1) lub (q=1) i już funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość logiczną (~Y=1).
Z diagramu odczytujemy:
~Y=~Ya+~Yc+~Yd
Po rozwinięciu mamy:
~Y = A: p*q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
~Y = ~p+q [=] ~Y = A: p*q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Doskonale to widać z diagramu D0.
Można to też udowodnić w sposób czysto matematyczny:
~Y = A: p*q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy prawą stronę:
~Y = p*q + ~p*(q+~q)
~Y = ~p+(p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negacją zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+~q)
Y = p*~p + p*~q
Y = p*~q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p+q
stąd mamy:
~Y = ~p+q [=] ~Y = A: p*q + C: ~p*q + D: ~p*~q
cnd
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
4.6.2 Przykład operatora A7: Y|=K*~T w zdarzeniach
Częstotliwość użycia w języku potocznym: średnia
Pani przedszkolanka:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) ale nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y=K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y=K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i ~T=1
… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 dwustronnie:
ACD:
~Y=~(K*~T) = ~K+T - prawo De Morgana
Stąd mamy:
2.
~Y=~K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub T=1
Czytamy:
ACD:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
~Y=~K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub T=1
Wystarczy ze nie pójdziemy do kina (~K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1) i już pani skłamie (~Y=1).
Rozwinięcie matematyczne na mocy definicji spójnika „lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych:
p+q = p*q + ~p*q + p*~q
Nasz przykład:
p=~K
q=T
~K+T = ~K*T + K*T + ~K*~T
Stąd mamy:
~Y = A: K*T + C: ~K*T + D: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: ~Ya = K*T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
LUB
C: ~Yc = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
LUB
D: ~Yd = ~K*~T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Matematycznie musi zachodzić tożsamość funkcji logicznych:
~Y = ~Ya+~Yc+~Yd
Gdzie:
~Ya, ~Yc, ~Yd - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji ~Y
Kod: |
D8
Definicja operatora A7: Y|=K*~T w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=K*T+K*~T+~K*T+~K*~T=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń możliwych |
--------------------------------------------------------------------------
| p=[K] |
------------------------------------------------------
| q=[T] |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q= K*~T| A:~Ya=p*q=K*T | C:~Yc=~p*q=~K*T | D:~Yd=~p*~q=~K*~T |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zauważmy, że wszystkie możliwe zdarzenia ABCD są rozłączne i niepuste oraz uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dziedziną dla naszego przykładu jest zbiór wszystkich możliwych zdarzań które jutro mogą wystąpić:
D = |Ya|+|Yb|+|Yc|+|Yd|
Gdzie:
|Yx| - funkcja logiczna Yx z pominięciem przeczenia
Stąd mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
Y = p+~p =1
Dziedzina jest poprawna.
cnd
W dniu jutrzejszym ma szansę wystąpić wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń.
Dla naszego przykładu w zapisach ogólnych mamy:
p=~K
q=T
Stąd w zapisach aktualnych (nasz przykład) mamy:
Kiedy zajdzie Y (Y=1)?
1.
B:
Yb=K~~>~T=K*~T=1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani dotrzyma słowa (Yb=1):
Yb=1
2.
Kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
~Y=~Ya+~Yc+~Yd
A:
~Ya=K~~>T=K*T =1*1=1
Możliwe ~~> jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Pani nie dotrzyma słowa (~Ya):
~Ya=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Ya)
~Ya=1
lub
C:
~Yc=~K~~>T=~K*T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Pani skłamie:
~Yc=1
lub
D:
~Yd=~K~~>~T=~K*~T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani skłamie (~Yd=1)
4.7 Operatory z grupy TF4-TF11 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Listę tych operatorów znajdziemy w punkcie 3.0
Dla zrozumienia operatorów z grupy TF4-TF11 wyrażonych spójnikami „i”(*) i „lub”(+) konieczne jest zrozumienie „Kubusiowej teorii zbiorów” o czym będzie w następnym rozdziale, oraz kluczowych praw logiki matematycznej (pkt. 6.0)
A4: Y = p=>q =~p+q - definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
A5: Y = p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
A8: Y = p<=>q = p*q+~p*~q -definicja spójnika „wtedy i tylko wtedy” <=> w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
A9: Y = p$q = p*~q+~p*q - definicja spójnika „albo”($) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
Zdarzenia:
Y = p~~>q =p*q - definicja zdarzenia możliwego ~~> w spójniku "i"(*)
tu wystarczy udowodnić, że możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
lub
Zbiory:
Y = p~~>q =p*q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> w spójniku "i"(*)
tu wystarczy udowodnić iż istnieje jeden wspólny element zbiorów p i q
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 16:32, 26 Lut 2023, w całości zmieniany 13 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 18:21, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
5.0 Kubusiowa teoria zbiorów
Spis treści
5.0 Kubusiowa teoria zbiorów 1
5.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach 2
5.1.1 Suma logiczna zbiorów 2
5.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów 3
5.1.3 Różnica (-) zbiorów 3
5.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów 4
5.2.1 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 6
5.2.2 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 7
5.3 Dziedzina 9
5.3.1 Zaprzeczenie zbioru 9
5.3.2 Nazwa własna zbioru 9
5.3.3 Dziedzina użyteczna w języku potocznym 10
5.4 Definicja definicji 11
5.5 Skąd biorą się prawa logiki matematycznej? 13
5.5.1 Prawo Kangurka i prawo Kangura 13
5.0 Kubusiowa teoria zbiorów
Kubusiowa teoria zbiorów to nieznana ziemskim matematykom teoria zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej, algebry Kubusia.
Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, koło, miłość, krasnoludek, zbór wszystkich zwierząt ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]
Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies)
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)
Prawa Prosiaczka
Prawa Prosiaczka omówiono szczegółowo w punkcie 1.4
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Przykład 1.
(p=1) = (~p=0)
1.
[pies]=1 - prawdą jest (=1) iż wiem co znaczy pojęcie pies
Prawo Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
Nasz przykład:
(pies=1) = (~pies=0) - na mocy prawa Prosiaczka
stąd zdanie tożsame do 1:
~pies=0 - fałszem jest (=0), że nie wiem (~) co znaczy pojęcie [pies]
Przykład 2.
(~p=1) = (p=0)
2.
agstd=0 - fałszem jest (=0) iż wiem co znaczy pojęcie „agstd”
Prawo Prosiaczka:
(agstd=0) = (~agstd=1)
stąd zdanie tożsame do 2:
~agstd=1 - prawdą jest (=1), że nie wiem (~) co znaczy pojęcie agstd
Prawo Rekina:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie
Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze
Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka
Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.
5.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach
Elementarne działania na zbiorach to:
(+) - suma logiczna zbiorów
(*) - iloczyn logiczny zbiorów
(-) - różnica logiczna zbiorów
5.1.1 Suma logiczna zbiorów
Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
Zdefiniujmy dwa zbiory p i q:
p=[K, T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T, P] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[K,T]+[T,P]=[K,T,T,P] = [K+T+T+P] = [K+T+P] = [K,T,P] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Bo prawo Algebry Boole’a:
p+p =p
Uwaga:
Przecinek przy wyliczaniu elementów zbioru jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) z algebry Boole’a co pokazano i udowodniono wyżej.
5.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny (zbiór wynikowy jest niepusty)
Y = p*q =0 - gdy zbiory p i q nie mają (=0) elementu wspólnego (są rozłączne)
Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
S - Słoń
Zdefiniujmy zbiory p, q, r:
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T,P] =1 - bo zbiór niepusty
r=[P,S] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[K,T]*[T,P]=[T] =1 - zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny
Y=p*r=[K,T]*[P,S] =[] =0 - zbiory p i r nie mają (=0) elementu wspólnego
Identyczne wyniki można uzyskać poprzez wymnażanie logiczne zbiorów.
Przykład:
p*q = [K+T]*[T+P] = K*T + K*P + T*T + T*P =[] + [] + T + [] = T
bo:
K*T+ K*P + T*P =[]+[]+[] =0+0+0 =0 - iloczyn logiczny „*” zbiorów (pojęć) rozłącznych jest zbiorem pustym []
T*T =T
bo prawo algebry Boole’a:
p*p =p
Jak widzimy, przy wyliczaniu elementów zbioru przecinek jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) rodem z algebry Boole’a.
5.1.3 Różnica (-) zbiorów
Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Oznaczmy:
K - Kubuś
T - Tygrysek
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T] =1 - bo zbiór niepusty
Stąd:
Y=p-q = [K,T]-[T] =[K+T-T] =[K] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=q-p =[K]-[K,T]=[K-(K+T]=[K-K-T]= [] + [-T] =[-T] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty
Prawo odejmowania zbiorów:
Jeśli w operacji odejmowania zbiorów wynikowy zbiór jest z minusem {-} to taki zbiór zamieniamy na zbiór pusty [].
5.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów
Przypomnijmy znane już definicje podstawowe.
Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, miłość, krasnoludek, ZWZ, LN ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]
Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies)
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)
Prawo Rekina:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie
Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze
Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka
Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)
Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum.
Zauważmy, że zaledwie 40 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na Ziemi.
Podobnie będzie z algebrą Kubusia, aktualnie wyłącznie mieszkańcy 100-milowego lasu ją znają i rozumieją, ale wkrótce pojęcie „Algebra Kubusia” znane będzie każdemu ziemianinowi od 5-cio latka poczynając, bowiem algebra Kubusia będzie uczona we wszystkich ziemskich przedszkolach - oczywiście w formie zabawy praktycznej, bez teorii którą znają wszystkie żywe stworzenia, nie będąc tego świadomym.
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)
Definicja dziedziny absolutnej DA:
Dziedzina absolutna DA to zbiór wszelkich pojęć możliwych do zdefiniowania w naszym Wszechświecie.
Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z dziedziną absolutną DA.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum U to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Zbiór pusty zawiera nieskończenie wiele pojęć niezrozumiałych dla człowieka, jeszcze niezdefiniowanych. Definiować elementy w naszym Wszechświecie może wyłącznie człowiek, świat martwy sam sobie nic nie definiuje.
Przed pojawieniem się człowieka na ziemi zawartość zbioru pustego była taka:
[] - wszystkie elementy naszego Wszechświata w sensie absolutnym, nie ma jeszcze człowieka który by cokolwiek definiował.
W dniu dzisiejszym sytuacja jest inna, taka:
Kod: |
T1
Algebra Kubusia:
-------------------------------------------------------------------
| Zbiór pusty [] | Uniwersum U |
| Pojęcia jeszcze przez człowieka | Pojęcia przez człowieka już |
| niezdefiniowane | zdefiniowane |
| Niezrozumiałe dla człowieka | Zrozumiałe dla człowieka |
| | |
-------------------------------------------------------------------
| DA - dziedzina absolutna |
-------------------------------------------------------------------
|
Na mocy powyższego zachodzi:
[] = ~U - zbiór pusty [] to zaprzeczenie Uniwersum U w dziedzinie absolutnej DA
U = ~[] - zbiór Uniwersum U to zaprzeczenie zbioru pustego [] w dziedzinie absolutnej DA
Na mocy definicji dziedziny absolutnej mamy:
1: U+~U = U+[] =U =1
2: U*~U = U*[] =[] =0
Komentarz:
1.
Do zbioru Uniwersum (pojęcia zrozumiałe dla człowieka) możemy dodać elementy ze zbioru ~U (pojęcia niezrozumiałe dla człowieka np. kgstl), ale na mocy definicji Uniwersum wszelkie takie elementy musimy natychmiast usunąć, inaczej gwałcimy definicję Uniwersum.
2.
U*~U=[] =0
Iloczyn logiczny elementów ze zbioru U (pojęcia zrozumiałe dla człowieka) i ~U (pojęcia niezrozumiałe dla człowieka) jest zbiorem pustym tzn. nie ma ani jednego elementu wspólnego w zbiorach U i ~U=[].
Prawo Owieczki:
Prawdziwe jest zdanie ziemskich matematyków iż „ze zbioru pustego [] wynika wszystko” wtedy i tylko wtedy gdy definicje zbioru pustego [] i Uniwersum U będą zgodne z definicjami obowiązującymi w algebrze Kubusia.
5.2.1 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
I Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość logiczna [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów
Tożsame znaczki tożsamości logicznej:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
Co wynika z I prawa Słonia?
Zobaczmy to na przykładzie.
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
Innymi słowy:
Każda liczba podzielna przez 8 jest podzielna przez 2
A1: P8=>P2 =1
Ustalmy punkt odniesienia:
p=P8
q=P2
Stąd:
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
A1: p=>q =1
Z prawa Słonia wynika że:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Relację podzbioru P8=>P2 każdy matematyk bez trudu udowodni.
5.2.2 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach
Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
II Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Dowód prawa Tygryska:
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Dowód prawa Tygryska:
B1: p~>q = p+~q = ~q+p = B3: q=>p
cnd
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów
Tożsame znaczki tożsamości logicznej:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
Co wynika z II prawa Słonia?
Zobaczmy to na przykładzie.
Przykład:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
B1: P2~>P8 =1
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p=P2
q=P8
Stąd:
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
B1: p~>q =1
Z II prawa Słonia wynika że:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2
Wniosek:
Aby udowodnić iż zbiór P2 jest nadzbiorem ~> zbioru P8 potrzeba i wystarcza udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
co każdy matematyk bez trudu udowodni.
5.3 Dziedzina
Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy
Ograniczeniem górnym w definiowaniu dziedziny jest Uniwersum (zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka)
Zbiór pusty [] to zero pojęć zrozumiałych dla człowieka, zatem na tym zbiorze nie możemy operować
Wniosek:
Z definicji nie możemy przyjąć zbioru pustego za dziedzinę.
5.3.1 Zaprzeczenie zbioru
Definicja zaprzeczenia (~) zbioru:
Zaprzeczeniem (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D
~p=[D-p]
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Zaprzeczenie zbioru (~) = Negacja zbioru (~)
Uwaga:
Aby zapisać zbiór ~p będący negacją zbioru p musimy określić wspólną dziedzinę dla zbiorów p i ~p
Definicja dziedziny:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, iloczyn logiczny zbiorów jest zbiorem pustym []
Przykład:
K = Kubuś
T = Tygrysek
p=[K] - definiujemy zbiór p
D=[K,T] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] = [(K+T)-K]=[T]
5.3.2 Nazwa własna zbioru
Rozróżniamy dwa rodzaje zbiorów ze względu na nazwę:
- zbiory mające nazwę własną
- zbiory nie mające nazwy własnej
Definicja nazwy własnej zbioru:
Nazwa własna zbioru to nazwa jednoznacznie opisująca dany zbiór w sposób zrozumiały dla wszystkich ludzi
Przykład zbioru mającego nazwę własną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Przykład zbioru nie mającego nazwy własnej:
p = [ZWZ, miłość, samolot]
W języku potocznym z oczywistych względów użyteczne są wyłącznie dziedziny mające nazwy własne, zrozumiałe dla wszystkich, gdzie nie trzeba wypisywać wszystkich pojęć zawartych w dziedzinie.
5.3.3 Dziedzina użyteczna w języku potocznym
Definicja dziedziny użytecznej w języku potocznym:
Dziedzina użyteczna w języku potocznym do dowolny zbiór na którym operujemy mający nazwę własną nie będący Uniwersum.
Uniwersum - zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
W języku potocznym nikt nie używa pojęcia Uniwersum w przeciwieństwie do np. zbioru wszystkich zwierząt.
Rozważmy poniższe dziedziny (ZWZ, ZWS, U) mające nazwy własne:
Weźmy zbiór jednoelementowy:
P=[pies] - zbiór P zawiera tylko jeden element [pies].
Uwaga:
Nie jest tu istotne że różnych psów jest bardzo dużo bo:
pies Jasia = pies Zuzi = po prostu [pies]
[pies]+[pies] = [pies] - prawo algebry Boole’a (p+p=p)
Pojęcia [pies] są tożsame, nieistotne jest że jeden pies należy do Jasia a drugi do Zuzi.
[pies]*[pies] = [pies] - prawo algebry Boole’a (p*p=p)
ZWZ.
Dla zbioru P=[pies] przyjmijmy dziedzinę:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy zbiór ~P:
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt minus jeden element P=[pies]
ZWS.
Dla zbioru P=[pies] przyjmijmy dziedzinę:
ZWS - zbiór wszystkich ssaków
Stąd mamy zbiór ~P:
~P=[ZWS-P] - zbiór wszystkich ssaków minus jeden element P=[pies]
Wnioski:
Przyjęte dziedziny ZWZ i ZWS mają poprawne nazwy własne należące do Uniwersum i nie są tożsame z Uniwersum, zatem te dziedziny są poprawne matematycznie i są to dziedziny użyteczne.
a)
Dziedzina ZWZ wskazuje nam, że interesuje nas wyłącznie zbiór wszystkich zwierząt, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWZ są dla nas puste z definicji.
b)
Dziedzina ZWS mówi nam że operujemy na zbiorze wszystkich ssaków, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWS są dla nas puste z definicji.
Przykład:
Twierdzenie proste Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK =1
W twierdzeniu Pitagorasa dziedziną użyteczną jest:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Dziedzina ZWT wskazuje nam, że interesują nas wyłącznie trójkąty, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWT są dla nas puste z definicji
Nie interesują nas tu żadne pojęcia spoza dziedziny ZWT, o czym w praktyce każdy matematyk wie. Nikt nie będzie brał do ręki koła i sprawdzał czy zachodzi w nim suma kwadratów.
5.4 Definicja definicji
Definicja definicji:
W świecie człowieka (bo tylko on świadomie definiuje) definicja dowolnego pojęcia jest matematycznie poprawna wtedy i tylko wtedy jest jednoznaczna w Uniwersum człowieka.
Innymi słowy:
Definicja dowolnego pojęcia jest matematycznie poprawna wtedy i tylko wtedy gdy jest jedyna w całym obszarze Uniwersum.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)
Przykład poprawnej definicji:
Pies to zwierzę domowe, szczekające
P = ZD*S=1*1=1
To jest minimalna, jednoznaczna definicja psa rozumiana przez każdego 5-cio latka.
Oznacza to że pojęcia P oraz ZD*S są matematycznie tożsame P=ZD*S, czyli są w relacji równoważności P<=>ZD*S w całym obszarze Uniwersum
Przykład błędnej definicji:
[link widoczny dla zalogowanych]
Zwierzę domowe, hodowlane, występujące nad Wisła – podać jego odgłos
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p)= p<=>q
Dla B3 zastosujmy prawo kontrapozycji:
B3: q=>p = B2: ~p=>~q
Stąd mamy tożsamą definicję tożsamości zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Przykład:
A1.
Jeśli coś jest psem (P) to na 100% => jest psem (P)
A1: P=>P =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Gdzie:
p=q = [pies] – jednoelementowy zbiór [Pies]
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym => by być psem
Bycie psem daje nam gwarancję matematyczną => iż jesteśmy psem
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => Gwarancja matematyczna
W zdaniu A1 definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór p=P[pies] jest podzbiorem => zbioru p=P[pies]
Innymi słowy:
Każdy zbiór jest podzbiorem siebie samego, także zbiór jednoelementowy p=P[pies]
Obliczanie zaprzeczenia zbioru p=P[pies] oraz zaprzeczenia zbioru q=P[pies]
1.
Mamy zbiór jednoelementowy:
p=P(pies)
Definiujemy zbiór q również jednoelementowy:
q=P(pies)
Przyjmijmy za dziedzinę:
U (Uniwersum) – wszelkie pojęcia zrozumiałe da człowieka
2.
Obliczamy zaprzeczenie zbioru jednoelementowego p=P[pies] rozumianego jako jego uzupełnienie do dziedziny Uniwersum.
~p=~P=[U-P] = [kot, kura, miłość, samochód, krasnoludek ..] - wszystkie elementy Uniwersum z wykluczeniem „psa”
3.
Obliczamy zaprzeczenie zbioru jednoelementowego q=P[pies] rozumianego jako jego uzupełnienie do dziedziny Uniwersum.
~q=~P=[U-P] = [kot, kura, miłość, samochód, krasnoludek ..] - wszystkie elementy Uniwersum z wykluczeniem „psa”
Stąd:
~p=~q = ~P=[U-[pies]) = [kot, kura, miłość, samochód, krasnoludek ..] - wszystkie elementy Uniwersum z wykluczeniem „psa”
… a jeśli coś nie jest psem?
Wyżej obliczyliśmy iż:
~p=~q = ~P=[U-[pies] = [kot, kura, miłość, samochód, krasnoludek ..] - wszystkie elementy Uniwersum z wykluczeniem „psa”
Stąd mamy:
B2.
Jeśli coś nie jest psem (~P) to na 100% => nie jest psem (~P)
B2: ~P=>~P=1
to samo w zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q=1
Nie bycie psem (~P) jest warunkiem wystarczającym => do tego by nie być psem (~P)
Podstawiając wyprowadzony wyżej zbiór ~p=~q=~P mamy:
~p=[U-[pies]) = [kot, kura, miłość, samochód, krasnoludek ..] => ~q=[U-[pies]) = [kot, kura, miłość, samochód, krasnoludek ..] =1
Definicja warunku wystarczającego => B2 jest (=1) spełniona bo każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => siebie samego
cnd
5.5 Skąd biorą się prawa logiki matematycznej?
Wszelkie prawa logiki matematycznej wyznacza świat martwy (w tym matematyka).
Świat żywy nie nadaje się do wyznaczania praw logiki matematycznej ze względu na definicję „wolnej woli” którą ma każda istota żywa, człowiek nie jest tu wyjątkiem.
Definicja „wolnej woli” istot żywych:
„Wolna wola” istot żywych to możliwość gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy i matematykę.
Dokładnie z powyższego powodu o logice matematycznej możemy dyskutować pewnie i niezawodnie wyłącznie na gruncie świata martwego i matematyki pozbawionego „wolnej woli”.
Związek praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy i matematykę ze światem żywym poznamy w dalszej części podręcznika - obsługa obietnic i gróźb.
5.5.1 Prawo Kangurka i prawo Kangura
Prawo Kangurka:
W języku potocznym wszelkie przeczenia występujące w zdaniu muszą być uwzględnione w zapisie aktualnym np. {CH,~CH}
1: CH=1 - prawdą jest (=1), iż jest pochmurno (CH)
2: ~CH=1 - prawdą jest (=1), iż nie jest pochmurno (~CH)
I Prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
Dla naszego przykładu mamy tożsamość zdań 1 i 1’:
1: (CH=1) = 1’: (~CH=0)
1: CH=1 - prawdą jest (=1), iż jest pochmurno (CH)
1’: ~CH=0 - fałszem jest (=0) iż nie jest pochmurno (~CH)
Poprawność prawa Prosiaczka jest oczywista: 1=1'
II Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
Podobnie dla naszego przykładu zachodzi tożsamość zdań 2 i 2’:
2: (~CH=1) = 2’: (CH=0)
2: ~CH=1 - prawdą jest (=1), iż nie jest pochmurno (~CH)
2’: CH=0 - fałszem jest (=0), iż jest pochmurno (CH)
Poprawność prawa Prosiaczka jest oczywista: 2=2'
Uwaga:
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, stąd zdania 1 i 2 można zapisać krótko w następujący sposób:
1: CH - jest pochmurno
2: ~CH - nie jest pochmurno
Doskonale widać, że mamy teraz pełną zgodność z językiem potocznym, gdzie nikt nie operuje jedynkami - bo te są domyślne.
Przykład zapisu zdania w algebrze Kubusia z uwzględnieniem jedynek:
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padać (~P=1)
~CH=>~P=1
co w logice jedynek oznacza:
(~CH=1)=>(~P=1)=1
Brak chmur (~CH=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie padania (~P=1), bo zawsze gdy nie ma chmur (~CH=1), nie pada (~P=1)
Zapis tożsamy powyższego zdania w języku potocznym z pominięciem jedynek:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padać (~P)
~CH=>~P=1
Brak chmur (~CH) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie padania (~P), bo zawsze gdy nie ma chmur (~CH), nie pada (~P)
Zachodzi tożsamość słownych zapisów matematycznych (tożsamość zdań):
B2: (~CH=1)=>(~P=1) = B2’: ~CH=>~P
W niniejszym podręczniku będziemy dość konsekwentnie stosować zapis słowny B2, by odzwyczaić ziemskich matematyków od badziewia zwanego Klasycznym Rachunkiem Zdań, gdzie w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” poprzednik p i następnik q są stałymi binarnymi (zdaniami twierdzącymi) o znanej z góry wartości logicznej.
W algebrze Kubusia w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” poprzednik p i następnik q to zmienne binarne o nieznanej z góry wartości logicznej.
Małe, a robi fundamentalną różnicę.
Prawo Kangura:
W algebrze Kubusia wszelkie przeczenia występujące w zmiennych aktualnych np. {~CH} muszą być przeniesione do zapisu formalnego np. {~p}
Przykład:
1: p = CH (chmury) - funkcja logiczna p w logice dodatniej (bo p)
Negując dwustronnie powyższą funkcję logiczną mamy:
2: ~p=~CH (nie chmury) - funkcja logiczna ~p w logice ujemnej (bo ~p)
Zauważmy, że między 1 i 2 zachodzi definicja znaczka #:
1: p=CH # 2: ~p=~CH
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
p - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo p)
~p - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~p)
Zauważmy, że teoretycznie możemy sobie podstawić:
s=~p
i zapisać tak:
1: p=CH # 2: s=~CH
Znając podstawienie powyższy zapis też jest poprawny, tyle że kłania się brzytwa Ockhama.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 18:54, 26 Lut 2023, w całości zmieniany 9 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 18:23, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
6.0 Fundamenty obsługi zdań warunkowych w algebrze Kubusia
Spis treści
6.0 Fundamenty obsługi zdań warunkowych w algebrze Kubusia 1
6.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 1
6.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 2
6.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 2
6.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 3
6.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 4
6.1.5 Prawo Kobry dla zbiorów 5
6.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 5
6.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> 5
6.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach 5
6.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach 6
6.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 6
6.2.5 Prawo Kobry dla zdarzeń 7
6.3 Wyprowadzenie matematycznych związków znaczków => i ~> 7
6.3.1 Definicja znaczka różne # i różne na mocy definicji ## 7
6.3.2 Rachunek zero-jedynkowego warunków wystarczających => i koniecznych ~> 9
6.3.3 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 12
6.3.4 Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia 13
6.4 Prawo Sokoła 13
6.5 Prawa Sowy 14
6.6 Prawo Kłapouchego 15
6.7 Prawo Słonia - najważniejsze prawo w logice matematycznej 15
6.7.1 Prawo Słonia dla zbiorów 16
6.7.2 Prawo Słonia dla zdarzeń 18
6.0 Fundamenty obsługi zdań warunkowych w algebrze Kubusia
Logika matematyczna to tylko i wyłącznie zdania warunkowe „Jeśli p to q” będące odpowiednikiem skoków warunkowych w programowaniu komputerów.
Dla każdego programisty jest oczywiste, że jeśli z programowania komputerów zabierzemy wszystkie rozgałęzienia warunkowe to nie da się napisać najprostszego nawet programu, bowiem wszystko jest wówczas zdeterminowane (znane z góry).
6.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów/zdarzeń p i q.
6.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] np. 24
6.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach
Prawo Słonia dla warunku wystarczającego =>:
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych członów
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych członów
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q.
Na mocy prawa Słonia udowodnienie relacji podzbioru p=>q jest tożsame z udowodnieniem warunku wystarczającego p=>q, czyli że zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład twierdzenia matematycznego:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
6.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach
Prawo Słonia dla warunku koniecznego ~>:
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych członów
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych członów
Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Na mocy prawa Słonia mamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
6.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2=1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2, bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8…], co każdy matematyk bez trudu udowodni.
Na mocy definicji kontrprzykładu, z prawdziwości warunku wystarczającego A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9…] bo zbiory te są rozłączne.
Na mocy definicji kontrprzykładu nie musimy udowadniać w sposób bezpośredni iż zbiór liczb parzystych P8=[8,16,24..] jest rozłączny ze zbiorem liczb nieparzystych ~P2=[1,3,5,7,9..], bowiem dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu.
Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’
6.1.5 Prawo Kobry dla zbiorów
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem => samego siebie:
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].
Zbiór pusty jest zbiorem zewnętrznym w stosunku do dowolnego zbioru niepustego przyjętego za dziedzinę na której operujemy.
Wynika to z definicji Uniwersum i zbioru pustego [] w algebrze Kubusia - szczegóły wyjaśnione są w punkcie 5.2.
6.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń/zbiorów p i q
6.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
6.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
6.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki.
6.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
Z prawdziwości warunku wystarczającego A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH=0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Na mocy definicji kontrprzykładu tego faktu nie musimy udowadniać, ale możemy, co wyżej uczyniliśmy.
Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’
6.2.5 Prawo Kobry dla zdarzeń
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
6.3 Wyprowadzenie matematycznych związków znaczków => i ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
6.3.1 Definicja znaczka różne # i różne na mocy definicji ##
Definicję znaczka różne na mocy definicji ## poznamy na przykładzie definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> które wyżej zapisaliśmy.
Zobaczmy to w tabeli prawdy:
Kod: |
TW
Definicja warunku wystarczającego =>:
Y = (p=>q) = ~p+ q # ~Y =~(p=>q)= p*~q
## ##
Definicja warunku koniecznego ~>:
Y = (p~>q) = p+~q # ~Y =~(p~>q)=~p* q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TW definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
cnd
Dla lepszego zrozumienia znaczka różne na mocy definicji ## rozważmy dwie funkcje logiczne:
A1: Y=p+q
B1: Y=~p*~q
Kod: |
T1
Tabela prawdy dla funkcji logicznych Y i ~Y
A1: Y= p+ q # A2: ~Y=~p*~q
## ##
B1: Y=~p*~q # B1: ~Y= p+ q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Doskonale widać, że w tabeli T1 obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione
Komentarz.
Prawo negacji funkcji logicznej Y
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo dwustronnie zanegować
Nasz przykład:
I.
A1: Y=p+q
#
Negujemy dwustronnie:
A2: ~Y=~(p+q)=~p*~q - na mocy prawa De Morgana
A2: ~Y=~p*~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
##
II.
B1: Y=~p*~q
#
Negujemy dwustronnie:
B2: ~Y=~(~p*~q)=p+q - na mocy prawa De Morgana
B2: ~Y=p+q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy.
Uproszczona definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame w tej samej logice, dodatniej (bo Y), albo ujemnej (bo ~Y)
Rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole'a, czyli wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Usuńmy zatem z tabeli T1 wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y.
Kod: |
T1"
Tabela prawdy dla funkcji logicznych Y i ~Y
A1: p+ q # A2: ~p*~q
## ##
B1: ~p*~q # B1: p+ q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać, że po usunięciu funkcji logicznych Y i ~Y najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## leży w gruzach, bowiem po przekątnych zachodzą tożsamości logiczne.
Kod: |
A1: p+q = B1: p+q
B1: ~p*~q = A2: ~p*~q
|
Stąd mamy:
Prawo Grzechotnika:
Dowolna logika matematyczna która w opisie naszego Wszechświata nie uwzględnia funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna
Wniosek:
Rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków jest wewnętrznie sprzeczny
cnd
6.3.2 Rachunek zero-jedynkowego warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Kod: |
T1
Definicja warunku wystarczającego =>
Y=
p q p=>q=~p+q
A: 1=>1 1
B: 1=>0 0
C: 0=>0 1
D: 0=>1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
##
Kod: |
T2
Definicja warunku koniecznego ~>
Y=
p q p~>q=p+~q
A: 1~>1 1
B: 1~>0 1
C: 0~>0 1
D: 0~>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q
|
##
Kod: |
T3
Definicja spójnika “lub”(+):
Y=
p q p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 0 0
D: 0+ 1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
;
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
Szybsza jest tu logika zer
|
##
Kod: |
T4
Definicja spójnika “i”(*)
Y=
p q p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 0 0
D: 0* 1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q=0
;
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
Szybsza jest tu logika jedynek
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
Wyprowadźmy w rachunku zero-jedynkowym matematyczne związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod: |
Ax:
Warunek wystarczający:
p=>q = ~p+q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q # ~(p=>q)=p*~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0 # =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
1 2 3 4 5 6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
##
Kod: |
Bx:
Warunek konieczny:
p~>q = p+~q
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q # ~(p~>q)=~p*q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0 # =1
1 2 3 4 5 6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony |
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
6.3.3 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego w zapisie skróconym:
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> bez zamiany p i q
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
2.
Prawa Tygryska:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z zamianą p i q
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
3.
Prawa kontrapozycji:
Matematyczne związki w obrębie warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Mutacje powyższych praw logiki matematycznej:
Pod p i q w powyższych prawach możemy podstawiać zanegowane zmienne w dowolnych konfiguracjach.
Przykład:
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1.
Podstawiamy:
p:=~p - pod p podstaw := ~p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>~q = ~(~p)~>~(~q) = p~>q
2.
Podstawiamy:
p:=p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q
3.
Podstawiamy:
p:=~p
q:=q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>q = ~(~p)~>~q = p~>~q
6.3.4 Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
6.4 Prawo Sokoła
Prawo Sokoła mówi o poprawnym matematycznie kodowaniu wszelkich zdań twierdzących.
Prawo Sokoła:
Jedynym poprawnym matematycznie kodowaniem zdań twierdzących jest kodowanie warunkiem wystarczającym =>
W logice matematycznej nie wolno sobie od tak napisać:
1 - zdanie prawdziwe
0 - zdanie fałszywe
jak to jest w aktualnej logice matematycznej ziemskich matematyków.
Dowód na przykładzie:
A1.
Płock (P) leży nad Wisłą (W)
P=>W =1
Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame:
A1.
Płock (P) na 100% => leży nad Wisłą (W)
P=>W =1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że bycie miastem Płock (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby to miasto leżało nad Wisłą (W)
cnd
Na mocy definicji kontrprzykładu, z prawdziwości warunku wystarczającego A1: P=>W=1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1': P~~>~W=0 (i odwrotnie)
A1'
Płock (P) może ~~> nie leżeć nad Wisłą (~W)
P~~>~W = P*~W =0
Czytamy (dowód wprost):
Fałszem jest (=0), że miasto Płock (P) może ~~> nie leżeć nad Wisłą (~W)
cnd
Uwaga:
Dowód "nie wprost" fałszywości zdania A1' wynika z prawdziwości warunku wystarczającego => A1, nic więcej nie musimy udowadniać.
Oczywistym jest, że zdanie fałszywe kodowane zdarzeniem możliwym ~~> wymusza fałszywość tego samego zdania kodowanego warunkiem wystarczającym =>:
A1'''
Płock na 100% => nie leży nad Wisłą
P=>~W=0
Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie fałszywe tożsame:
A1'''
Płock nie leży nad Wisłą
P=>~W=0
cnd
6.5 Prawa Sowy
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Sowy to:
Ogólna definicja tożsamości logicznej „=” dla wielu zdań:
Prawdziwość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Fałszywość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych zdań
Tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
6.6 Prawo Kłapouchego
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
6.7 Prawo Słonia - najważniejsze prawo w logice matematycznej
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
6.7.1 Prawo Słonia dla zbiorów
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą ”nie wprost"
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie jego elementy należą do zbioru q
Definicja nadzbioru ~>
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
W logice matematycznej zachodzi tożsamość pojęć:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór ~> = relacja nadzbioru ~>
W logice matematycznej rozstrzygamy o zachodzącej lub nie zachodzącej relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~>.
Rozstrzygnięcia logiki matematycznej w relacji podzbioru =>:
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Rozstrzygnięcia logiki matematycznej w relacji nadzbioru ~>:
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Przykład:
Zbadaj czy zachodzi warunek wystarczający => w poniższym zdaniu:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
A1: P8=>P2=?
Rozwiązanie:
Na mocy prawa Kłapouchego zapis formalny (ogólny) zdania A1 to:
A1: p=>q =1
Gdzie:
p=P8
q=P2
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste =>
W metodzie "nie wprost" na mocy prawa Słonia dowodzimy prawdziwości relacji podzbioru =>.
Innymi słowy badamy:
Czy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]?
Oczywiście relacja podzbioru => jest (=1) tu spełniona:
P8=>P2=1
co każdy matematyk bez trudu udowodni.
W tym momencie na mocy prawa Słonia mamy udowodnione metodą "nie wprost" dwa fakty czysto matematyczne:
1.
Twierdzenie proste A1 jest prawdziwe
A1: P8=>P2 =1
2.
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2
A1: P8=>P2 =1
Podsumowując:
Z gołych definicji podzbioru => i warunku wystarczającego => nic w matematyce nie wynika, dopóki nie poznamy prawa Słonia.
Dopiero prawo Słonia w dowodzeniu prawdziwości warunku wystarczającego =>, czy też prawdziwości samego zdania warunkowego „Jeśli p to q" ma fundamentalne znaczenie, co udowodniono ciut wyżej.
Zauważmy, że identycznie mamy w świecie fizyki.
Przykład:
Możemy podać definicję prądu, możemy podać oddzielną definicję napięcia, oddzielną definicję rezystora … i nic z tego wynika dopóki nie poznamy prawa Ohma wiążącego te pojęcia!
Prawo Ohma:
Prąd (I) płynący przez rezystor (R)wywołuje na nim spadek napięcia (U):
U=I*R
6.7.2 Prawo Słonia dla zdarzeń
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Przykład:
Zbadaj czy zachodzi warunek konieczny ~> w poniższym zdaniu.
B1.
Jeśli jutro będzie pochmuro to może ~> padać
B1: CH~>P =1
Nasz punkt odniesienia zgodnie z prawem Kłapouchego to:
B1: p~>q =1
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmurki
cnd
Powyższy dowód to dowód bezpośredni.
Możliwy jest tu dowód "nie wprost" na mocy prawa Tygryska.
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B1: CH~>P = B3: P=>CH
Dowodzimy prawdziwości zdania B3.
B3.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
B3: P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym;
B3: q=>p =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury.
cnd
Na mocy prawa Tygryska prawdziwy warunek wystarczający => B3: P=>CH=1 wymusza prawdziwy warunek konieczny B1: CH~>P=1
Prawo Tygryska:
B3: P=>CH = B1: CH~>P
to samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p = B1: p~>q
To jest dowód "nie wprost" prawdziwości warunku koniecznego ~> w zdaniu B1.
##
Aby zbadać w skład jakiego spójnika logicznego wchodzi zadane zdanie B1 musimy zbadać prawdziwość/fałszywość tego zdania kodowanego warunkiem wystarczającym => z tymi samymi p i q
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
A1: CH=>P=0
Zapis formalny na mocy prawa Kłapouchego to:
A1: p=>q =0
Chmury (CH) nie są warunkiem wystarczającym => dla padania (P) bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
Dowód:
A1: p=>q =~p+q ## B1: p~>q = B3: q=>p =p+~q
cnd
W tym momencie mamy rozstrzygnięcie iż zdanie B1 (które analizujemy) wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
W naszym przykładzie mamy:
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Nasz przykład:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH=>p) = ~(0)*1=1*1=1
Jak widzimy zadane zdanie B1 wchodzi w skład implikacji odwrotnej A1B1: CH|~>P co wyklucza przynależność tego zdania do jakiegokolwiek innego spójnika logicznego o czym będzie za chwilkę w prawie Puchacza (pkt. 6.8.3)
Te inne spójniki implikacyjne to:
p|=>q - implikacja prosta |=>
p<=>q - równoważność <=>
"albo"($) p$q - spójnik "albo"($)
p|~~>q - chaos |~~>
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 9:29, 22 Sty 2023, w całości zmieniany 14 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 18:26, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
6.8 Spójniki i operatory implikacyjne
Spis treści
6.8 Spójniki i operatory implikacyjne 1
6.8.1 Definicja spójnika implikacyjnego i operatora implikacyjnego 2
6.8.2 Definicje spójników implikacyjnych 3
6.8.3 Prawo Puchacza 6
6.9 Definicja wspólnej dziedziny w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" 8
6.9.1 Zdanie "Jeśli p to q" z niespełnioną definicją wspólnej dziedziny dla p i q: 8
6.9.2 Zdanie "Jeśli p to q" ze spełnioną definicją wspólnej dziedziny 9
6.10 Warunek konieczny przynależności zdania "Jeśli p to q" do operatora logicznego 10
6.10.1 Zdanie "Jeśli p to q" niespełniające definicji operatora implikacyjnego 11
6.11 Prawo Irbisa 12
6.11.1 Prawo Irbisa dla zbiorów 12
6.11.2 Prawo Irbisa dla zdarzeń 15
6.11.3 Prawo Irbisa w równoważności Pitagorasa 16
6.12 Prawo Kameleona 18
6.12.1 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiej logiki matematycznej 20
6.13 Zdjęcie układu 22
6.14 Dziedzina matematyczna i fizyczna 23
6.14.1 Dziedzina matematyczna (DM) i fizyczna (D) w zdarzeniach 23
6.14.2 Dziedzina matematyczna (DM) i fizyczna (D) w zbiorach 24
6.15 Algorytm rozwiązywania zadań typu „Jeśli p to q” 25
6.8 Spójniki i operatory implikacyjne
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Sowy to:
Ogólna definicja tożsamości logicznej „=” dla wielu zdań:
Prawdziwość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Fałszywość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych zdań
Tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
6.8.1 Definicja spójnika implikacyjnego i operatora implikacyjnego
Ogólna definicja spójnika implikacyjnego p?q:
Spójnik implikacyjny p?q to spójnik którego prawdziwość/fałszywość wyznaczana jest relacjami podzbioru => i nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
W algebrze Kubusia za spójnik odniesienia przyjmuje się spójnik zdefiniowany kolumną A1B1 w tabeli T0.
Definicja spójnika implikacyjnego p?q:
Spójnik implikacyjny to spójnik definiowany warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~> na pozycji A1B1 w tabeli T0 dający odpowiedź na pytanie o p
A1: p=>q=? - czy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (1-tak, 0-nie)?
B1: p~>q=? - czy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (1-tak, 0-nie)?
Definicja operatora implikacyjnego p|?q:
Operator implikacyjny p|?q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2)
Kolumna A1B1 to odpowiedź na pytanie o p:
A1: p=>q=? - czy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (1-tak, 0-nie)?
B1: p~>q=? - czy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (1-tak, 0-nie)?
Kolumna A2B2 to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2: ~p~>~q=?- czy zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q (1-tak, 0-nie)?
B2: ~p=>~q=? - czy zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q (1-tak, 0-nie)?
Prawa Kubusia mówiące o matematycznych związkach kolumn A1B1 i A2B2:
I prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
II prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Dowody praw Kubusia:
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
I prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Rozwijamy lewą stronę:
A2: ~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q = A1: p=>q
cnd
II prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Rozwijamy prawą stronę:
B2: ~p=>~q = ~(~p)+~q = p+~q = B1: p~>q
cnd
Na mocy prawa Sowy jest oczywistym, że jeśli udowodnimy prawdziwość spójnika implikacyjnego A1B1: p?q definiowanego kolumną A1B1 to tym samym udowodnimy prawdziwość operatora implikacyjnego p|?q odpowiadającego na pytanie o p (Kolumna A1B1) oraz na pytanie o ~p (Kolumna A2B2). Nie da się udowodnić prawdziwości operatora implikacyjnego p|?q w sposób bezpośredni tzn. bez uprzedniego dowodu prawdziwości spójnika implikacyjnego A1B1: p?q.
6.8.2 Definicje spójników implikacyjnych
Rozróżniamy pięć, różnych na mocy definicji spójników implikacyjnych |~~>, |=>, |~>, <=>, „albo”($) definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>:
1.
p|~~>q - chaos, odpowiadający na pytanie o p
Definicja chaosu p|~~>q:
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> (B1) ani też warunku wystarczającego => (A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest ani konieczne ~> (B1), ani też wystarczające => (A1) dla zajścia q.
;
Przykład:
A1: P8=>P3=0 – podzielność przez 8 (P8) nie jest (=0) wystarczająca => dla podzielności przez 3 (P3)
bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9..]
B1: P8~>P3=0 – podzielność przez 8 (P8) nie jest (=0) konieczna ~> dla podzielności przez 3 (P3)
bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9..]
A1B1: P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3)=~(0)*~(0)=1*1=1
##
2.
p|=>q - implikacja prosta odpowiadająca na pytanie o p
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => (A1) dla zajścia q, ale nie jest konieczne ~> (B1) dla zajścia q.
;
Przykład:
A1: P=>CH =1 – padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
bo zawsze gdy pada, są chmury
B1: P~>CH =0 – padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
A1B1: P|=>CH = (A1: (P=>CH)*~(B1: CH~>P) =1*~(0)=1*1=1
##
3.
p|~>q - implikacja odwrotna odpowiadająca na pytanie o p
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) dla zajścia q, ale nie jest wystarczające => (A1) dla zajścia q.
;
Przykład:
A1: CH=>P=0 – chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada
B1: CH~>P=1 – chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1
##
4.
p<=>q - równoważność dająca odpowiedź na pytanie o p
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to spełnienie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia q
Ta definicja jest powszechnie znana wśród ludzi (nie tylko wśród matematyków).
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym””
Wyników: 12 700
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 72 000
Przykład:
A1: TP=>SK=1 – bycie trójkątem prostokątnym jest wystarczające => dla spełnienia sumy kwadratów
B1: TP~>SK=1 – bycie trójkątem prostokątnym jest konieczne ~> dla spełnienia sumy kwadratów
Stąd mamy:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmujemy punkt odniesienia:
p=TP
q=SK
Stąd mamy równanie A1B1 w zapisie formalnym::
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B1: TP~>SK = B3: SK=>TP =1 – dla dowodu B1 potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość B3.
Stąd mamy:
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK oraz twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3: SK=>TP ludzkość udowodniła wieki temu.
Stąd mamy:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Prawą stronę na mocy prawa Słonia czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest potrzebne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK)
##
5.
Spójnik "albo"($) p$q dający odpowiedź na pytanie o p
Definicja spójnika „albo”($) p$q
Spójnik "albo"($) p$q to spełniony zarówno warunek wystarczający => (A1) jak i warunek konieczny ~> (B1) w kierunku od p do zanegowanego q (~q).
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia ~q
Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K) – trzeciej możliwości brak
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
A1: M=>~K=1 – bycie mężczyzną (M) jest wystarczające => by nie być kobietą (~K)
B1: M~>~K=1 – bycie mężczyzną (M) jest konieczne ~> by nie być kobietą (~K)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
6.8.3 Prawo Puchacza
Prawo Puchacza:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego i tylko jednego operatora implikacyjnego.
Dowód prawa Puchacza będzie polegał na założeniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią spójnika implikacyjnego x i pokazaniu, że dla tego założenia pozostałe spójniki implikacyjne są fałszem.
Pominiemy tu problem spójnika „albo”($) który jest ciut bardziej złożony.
Dowód iż dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” nie może należeć równocześnie do definicji równoważności p<=>q i spójnika „albo”($) p$q znajdziemy w punkcie 9.20.
I.
Założenie p|~~>q
Załóżmy, że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią chaosu p|~~>q.
Wtedy mamy:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =0
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych spójników implikacyjnych:
Implikacja prosta:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=0*~(0)=0*1=0 – ok
Implikacja odwrotna:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*0=1*0=0 – ok
Równoważność:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=0*0=0 – ok
cnd
II.
Założenie p|=>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych spójników implikacyjnych:
Chaos:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(1)*~(0)=0*1=0 – ok
Implikacja odwrotna:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(1)*0=0*0=0 – ok
Równoważność:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*0=0 – ok
cnd
III.
Założenie p|~>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych spójników implikacyjnych:
Chaos:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(1)=1*0=0 – ok
Implikacja prosta:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=0*~(1)=0*0=0 – ok
Równoważność:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=0*1=0 – ok
cnd
IV.
Założenie p<=>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =1
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych spójników implikacyjnych:
Chaos:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(1)*~(1)=0*0=0 – ok
Implikacja prosta:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(1)=1*0=0 – ok
Implikacja odwrotna:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(1)*1=0*1=0 – ok
cnd
Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki co oznacza, że prawo Puchacza zostało udowodnione.
6.9 Definicja wspólnej dziedziny w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q"
Definicja wspólnej dziedziny D dla p i q w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q":
1.
Definicja dziedziny D po stronie p:
p+~p = D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla zbioru p
p*~p=[]=0 - zbiory p i ~p są rozłączne
Stąd mamy:
~p=[D-p] - zbiór ~p jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla zbioru p
2.
Definicja dokładnie tej samej dziedziny D po stronie q:
q+~q = D =1 - zbiór ~q jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla zbioru q
q*~q=[]=0 - zbiory q i ~q są rozłączne
Stąd mamy:
~q=[D-q] - zbiór ~q jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla zbioru q
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełnia definicji wspólnej dziedziny D jak wyżej jest zdaniem fałszywym.
Stąd mamy:
Warunek konieczny prawdziwości zdania warunkowego "Jeśli p to q"
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" jest wspólna dziedzina D dla p i q
Nie jest to warunek konieczny i wystarczający bo kontrprzykład:
A1'.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Wspólna dziedzina dla p i q to:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
Wniosek:
Definicja wspólnej dziedziny dla p i q jest spełniona co nie wymusza prawdziwości zdania A1'.
Na mocy definicji warunku koniecznego ~> stwierdzamy:
Jeśli warunek konieczny prawdziwości zdania warunkowego "Jeśli p to q" nie jest spełniony to na 100% badane zdanie jest fałszywe (=0)
6.9.1 Zdanie "Jeśli p to q" z niespełnioną definicją wspólnej dziedziny dla p i q:
Przykład zdania warunkowego "Jeśli p to q" z niespełnioną definicją wspólnej dziedziny dla p i q:
A1.
Jeśli dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 8 (P8) to dowolny trójkąt jest prostokątny (TP)
P8=>TP =0
Powyższe zdanie warunkowe jest fałszywe nie dlatego że poprzednik jest fałszywy i następnik jest fałszywy, ale dlatego, że nie jest tu spełniona definicja wspólnej dziedziny dla p i q w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q”.
Dowód:
1.
W obrębie poprzednika p mamy dziedzinę LN:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] – zbiór liczb naturalnych
LN=P8+~P8 =1
Zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest (=1) uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru P8=[8,16,24..]
stąd mamy:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
Matematycznie zachodzi:
P8*~P8=[]=0 – zbiory P8 i ~P8 są rozłączne
2.
W obrębie następnika q mamy dziedzinę:
ZWT – zbiór wszystkich trójkątów
ZWT=TP+~TP =1
Zbiór trójkątów nieprostokątnych ~TP jest uzupełnieniem do dziedziny ZWT dla zbioru trójkątów prostokątnych TP
Stąd mamy:
~TP=[ZWT-TP]
Matematycznie zachodzi:
TP*~TP=[] =0 – zbiory TP i ~TP są rozłączne
Wnioski:
1.
Zbiory LN i ZWT są rozłączne:
LN~~>ZWT = LN*ZWT =[] =0
Oznacza to że nie istnieje choćby jeden element zbioru LN który by należał do zbioru ZWT
2.
Zdanie A1 jest fałszywe, bo nie jest spełniona definicja wspólnej dziedziny dla p i q.
cnd
6.9.2 Zdanie "Jeśli p to q" ze spełnioną definicją wspólnej dziedziny
Przykład zdania warunkowego "Jeśli p to q" mającego wspólną dziedzinę dla p i q:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => ta sama liczba jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 (P8) jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 (P2) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8 jest podzbiorem => P2 potrafi każdy matematyk
cnd
Po stronie poprzednika p mamy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] – zbiór liczb naturalnych
LN=P8+~P8 =1 – zbiór ~P8 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P8
P8*~P8=[]=0 – zbiory P8 i ~P8 są rozłączne
Po stronie następnika q mamy dokładnie ta samą dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] – zbiór liczb naturalnych
LN=P2+~P2 =1 – zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P2
Wspólna dziedzina minimalna dla p i q jest spełniona:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] – zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy:
p=P8=[8,16,24..]
q=P2=[2,4,6,8..]
~p=~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~q=~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
cnd
Jak widzimy dla p i q mamy tu identyczną dziedzinę LN, dlatego definicja wspólnej dziedziny D jest spełniona.
6.10 Warunek konieczny przynależności zdania "Jeśli p to q" do operatora logicznego
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Sowy to:
Ogólna definicja tożsamości logicznej „=” dla wielu zdań:
Prawdziwość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Fałszywość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych zdań
Tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
Definicja spójnika implikacyjnego p?q:
Spójnik implikacyjny to spójnik definiowany warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~> na pozycji A1B1 w tabeli T0 dający odpowiedź na pytanie o p
A1: p=>q=? - czy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (1-tak, 0-nie)?
B1: p~>q=? - czy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (1-tak, 0-nie)?
Definicja operatora implikacyjnego p|?q:
Operator implikacyjny to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2)
Kolumna A1B1 to odpowiedź na pytanie o p:
A1: p=>q=? - czy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (1-tak, 0-nie)?
B1: p~>q=? - czy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (1-tak, 0-nie)?
Kolumna A2B2 to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2: ~p~>~q=?- czy zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q (1-tak, 0-nie)?
B2: ~p=>~q=? - czy zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q (1-tak, 0-nie)?
Prawa Kubusia mówiące o matematycznych związkach kolumn A1B1 i A2B2:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Na mocy prawa Sowy jest oczywistym, że jeśli udowodnimy prawdziwość spójnika implikacyjnego A1B1: p?q definiowanego kolumną A1B1 to tym samym udowodnimy prawdziwość operatora implikacyjnego p|?q odpowiadającego na pytanie o p (Kolumna A1B1) oraz na pytanie o ~p (Kolumna A2B2). Nie da się udowodnić prawdziwości operatora implikacyjnego p|?q w sposób bezpośredni tzn. bez uprzedniego dowodu prawdziwości spójnika implikacyjnego A1B1: p?q.
6.10.1 Zdanie "Jeśli p to q" niespełniające definicji operatora implikacyjnego
Warunek konieczny przynależności zdania "Jeśli p to q" do operatora logicznego
Warunkiem koniecznym przynależności zdania warunkowego "Jeśli p to q" do jednego z pięciu rozłącznych operatorów implikacyjnych (pkt. 6.8) jest niepustość wszystkich możliwych zbiorów/zdarzeń wejściowych {p, ~p, q, ~q}
Na mocy definicji warunku koniecznego ~> stwierdzamy:
Jeśli warunek konieczny przynależności zdania warunkowego "Jeśli p to q" do jednego z pięciu rozłącznych operatorów implikacyjnych (pkt. 6.8) nie jest spełniony tzn. dowolny ze zbiorów {p, ~p, q, ~q} jest zbiorem pustym, to badane zdanie może być prawdziwe, ale nie wchodzi w skład jakiegokolwiek operatora implikacyjnego.
Przykład:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P) to na 100% => należy do zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ)
P=>ZWZ =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Bycie psem (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego, by należeć do zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ)
Wspólną dziedziną dla zdania A1 jest:
D=ZWZ=1 - zbiór wszystkich zwierząt.
Zauważmy, że po stronie poprzednika łatwo wyznaczamy zbiory niepuste p i ~p:
p = P=[pies] =1 - bo zbiór niepusty
~p=~P=[D-P]=[ZWZ-P]=1 - bo zbiór niepusty
Natomiast po stronie następnika nie mamy zbiorów niepustych q i ~q co jest sprzeczne z definicją wspólnej dziedziny dla p i q
Dowód:
q ={ZWZ}=1 - niepusty (=1) zbiór wszystkich zwierząt
~q= [D-q] = [ZWZ-ZWZ] =[] =0 - zbiór pusty []
Warunek konieczny przynależności zdania A1 do jednego z pięciu operatorów implikacyjnych p|?q nie jest spełniony.
Definicja zbioru pustego [] (pkt. 5.2):
Zbiór pusty [] to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka lub jeszcze nie zdefiniowanych
Z definicji nie możemy operować na pojęciach których nie rozumiemy (np. agdsr, gsudka) dlatego nie będziemy w stanie przeanalizować zdania A1 przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
cnd
Wniosek:
Zdanie A1 jest prawdziwe, ale nie należy do żadnego z legalnych operatorów implikacyjnych (pkt. 6.8)
6.11 Prawo Irbisa
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
6.11.1 Prawo Irbisa dla zbiorów
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 9 100
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 80 300
Stąd mamy:
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Jak dowodzi się prawdziwość równoważności w zbiorach p<=>q w matematyce klasycznej?
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Matematyczna definicja równoważności p<=>q akceptowana przez matematyków:
Równoważność p<=>q to jednoczesna prawdziwość twierdzenia prostego (A1: p=>q) i twierdzenia odwrotnego (B3: q=>p)
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność w zbiorach p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie proste A1: p=>q=1 i jednocześnie prawdziwe jest twierdzenie odwrotne B3: q=>p=1
Na mocy prawa Słonia mamy:
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Równoważność w zbiorach p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p)
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p)
Innymi słowy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja podzbioru => w dwie strony.
Zauważmy, że prawa strona to znana każdemu matematykowi (sic!) definicja tożsamości zbiorów p=q.
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Innymi słowy:
Tożsama definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p I q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)
Dla B3 zastosujmy prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Stąd mamy kolejną, tożsamą definicję tożsamości zbiorów p=q.
Tożsama definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1: p~>q)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Na mocy prawa Słonia mamy kolejną, tożsamą definicję tożsamości zbiorów p=q w 100% zgodną z podstawową definicją równoważności p<=>q.
Tożsama definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Stąd mamy:
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
6.11.2 Prawo Irbisa dla zdarzeń
Definicja tożsamości zdarzeń p=q:
Dwa zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Dowód na przykładzie:
Kod: |
S1 Schemat ideowy sterowania żarówką
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, aby żarówka świeciła się S (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Zachodzi tu tożsamość pojęć A=S:
A=S <=> (A1: A=>S)*(B1: A~>S) = A<=>S
Innymi słowy:
Pojęcie „przycisk A wciśnięty” jest tożsame z pojęciem „żarówka S świeci się”
Stąd mamy:
Prawo Irbisa dla zdarzeń:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q w zdarzeniach definiuje tożsamość zdarzeń p=q i odwrotnie
6.11.3 Prawo Irbisa w równoważności Pitagorasa
Działanie prawa Irbisa pokażemy na przykładzie równoważności Pitagorasa.
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 9 100
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 80 300
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
RA1B1:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK)
Równoważność Pitagorasa udowadniamy w dwóch krokach, bowiem matematycznie niemożliwe jest udowodnienie równoważności w jednym kroku (bezpośrednio).
Krok 1
Twierdzenie proste Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Na mocy prawa Kłapouchego zdanie A1 przyjmujemy za punkt odniesienia:
p=>q =1
p=TP
q=SK
W całej dalszej analizie w tabeli T0 nie wolno nam zmienić tego punktu odniesienia bo popełnimy błąd podstawienia.
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu
Dowód ten oznacza, że zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Krok 2
Prawdziwość warunku koniecznego (B1: TP~>SK) w równoważności Pitagorasa dowodzimy metodą „nie wprost”
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B1: TP~>SK = B3: SK=>TP
Na mocy prawa Tygryska aby udowodnić prawdziwość warunku koniecznego B1: TP~>SK potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość twierdzenia odwrotnego Pitagorasa B3: SK=>TP
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK) to ten trójkąt na 100% => jest prostokątny (TP)
B3: SK=>TP =1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Dowód ten oznacza, iż zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP
Na mocy A1 i B3 mamy udowodnioną równoważność:
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Zauważmy, że prawa strona to prawo Irbisa, czyli definicja tożsamości zbiorów TP=SK znana każdemu matematykowi.
Na mocy prawa Słonia zapisujemy.
Definicja tożsamości zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (twierdzenie proste A1: TP=>SK) i jednocześnie zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (twierdzenie odwrotne B3: SK=>TP)
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = A1B3: TP<=>SK
Prawo Irbisa:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK (i odwrotnie)
Uogólniając:
Każda równoważności prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
6.12 Prawo Kameleona
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Wróćmy do omówionej wyżej równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych.
Twierdzenie proste Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK =1
Na mocy prawa Kłapouchego zdanie A1 przyjmujemy za punkt odniesienia:
A1: p=>q =1
p=TP
q=SK
W całej dalszej analizie w tabeli T0 nie wolno nam zmienić tego punktu odniesienia bo popełnimy błąd podstawienia.
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu
Dowód ten oznacza, że zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK) to ten trójkąt na 100% => jest prostokątny (TP)
B3: SK=>TP =1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Dowód ten oznacza, iż zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP
Stąd mamy prawdziwą równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych znaną każdemu matematykowi.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych TP<=>SK jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK i jednocześnie prawdziwe jest twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3: SK=>TP
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Dla B3 zastosujmy prawo Tygryska.
Prawi Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Nasz przykład:
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK
Stąd mamy równoważność tożsamą:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Na mocy prawa Słonia mamy.
Podstawowa definicja równoważności Pitagorasa:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tyki samymi punktami i w tym samym kierunku
Dla równoważności Pitagorasa mamy:
A1: TP=>SK =1 - trójkąt prostokątny (TP) jest (=1) wystarczający => dla sumy kwadratów (SK)
B1: TP~>SK =1 - trójkąt prostokątny (TP) jest (=1) konieczny ~> dla spełnienia sumy kwadratów (SK)
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych TP<=>SK jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, aby w trójkącie tym zachodziła suma kwadratów (SK)
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 9 100
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 80 300
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: 10 400
Mamy wyprowadzoną równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Wypowiedzmy zdania warunkowe A1 i B1 wchodzące w skład tej równoważności.
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK)
##
B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% ~> zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
B1: TP~>SK =1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK)
Gdzie:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Dowód:
Zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to, są to zdania różne na mocy definicji ##
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań
6.12.1 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiej logiki matematycznej
Fundament ziemskiej logiki matematycznej:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka są matematycznie tożsame zawsze i wszędzie.
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK)
B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
B1: TP~>SK =1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK)
Zauważmy, że na mocy fundamentu ziemskiej logiki matematycznej między zdaniami A1 i B1 musimy postawić znak tożsamości logicznej:
A1: TP=>SK [=] B1: TP~>SK
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q [=] B1: p~>q
bo w odczycie słownym zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, co udowodniono wyżej.
Oczywiście w tym momencie ziemska logika matematyczna leży, kwiczy, i błaga o litość bo równoważność Pitagorasa musimy zapisać tak.
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = (A1: TP=>SK)*(A1: TP=>SK) = A1: TP=>SK
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A1: p=>q)*(A1: p=>q) = A1: p=>q
bo w ziemskiej logice na mocy jej fundamentu mamy tożsamość:
A1: TP=>SK [=] B1: TP~>SK
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q [=] B1: p~>q
cnd
Kluczowy błąd czysto matematyczny jest w ostatnim zapisie.
Powinno być:
A1: p=>q =~p+q ## B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiej logiki matematycznej wykażemy przy pomocy trzech pytań do dowolnego ziemskiego matematyka.
Pytanie 1.
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK =1
Pytanie:
Czy w zdaniu A1 bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK)?
Tu ziemski matematyk na 100% odpowie: TAK
Pytanie 2.
B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
B1: TP~>SK =1
Pytanie:
Czy w zdaniu A1 bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK)?
Tu ziemski matematyk na 100% odpowie: TAK
Pytanie 3.
Czy zdania A1 i B1 są logicznie tożsame tzn. czy prawdziwość zdania A1 wymusza prawdziwość zdania B1 (i odwrotnie)?
W tym momencie ziemski matematyk znalazł się w kwadraturze koła bo:
1.
Jeśli odpowie TAK to obali równoważność Pitagorasa co udowodniono wyżej
2.
Jeśli odpowie NIE to obali aktualny fundament ziemskiej logiki matematycznej
Dogmat ziemskiej logiki matematycznej:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka są matematycznie tożsame zawsze i wszędzie.
Podsumowanie:
Miejsce aktualnej logiki matematycznej ziemskich matematyków jest śmietniku historii.
6.13 Zdjęcie układu
Definicja zdjęcia układu:
Dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” zdjęciem układu nazywamy zakodowanie wszystkich możliwych przeczeń p i q elementem wspólnym zbiorów ~~> dla zbiorów, albo zdarzeniem możliwym ~~> dla zdarzeń w tym samym kierunku (np. od p do q) wraz z rozstrzygnięciem prawdziwości/fałszywości wszystkich czterech linii.
Schematy zdjęcia układu dla zbiorów i zdarzeń są następujące:
Kod: |
Jeśli p to q
Zdjęcie układu x dla zbiorów:
A: p~~> q= p* q =? – czy zbiory p i q mają (=1) element wspólny ~~>?
B: p~~>~q= p*~q =? – czy zbiory p i ~q mają (=1) element wspólny ~~>?
C:~p~~>~q=~p*~q =? – czy zbiory ~p i ~q mają (=1) element wspólny ~~>?
D:~p~~> q=~p* q =? – czy zbiory ~p i q mają (=1) element wspólny ~~>?
|
Kod: |
Jeśli p to q
Zdjęcie układu x dla zdarzeń:
A: p~~> q= p* q =? – czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q?
B: p~~>~q= p*~q =? – czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q?
C:~p~~>~q=~p*~q =? – czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q?
D:~p~~> q=~p* q =? – czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q?
|
Poprawne zdjęcie układu jednoznacznie rozstrzyga z jakim operatorem logicznym p||?q mamy do czynienia.
Szczegóły na przykładzie poznamy w punkcie 8.2.4 i 8.3.4.
6.14 Dziedzina matematyczna i fizyczna
Definicja dziedziny matematycznej:
Dziedziną matematyczną dla dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" jest suma logiczna wszystkich możliwych kombinacji zbiorów/zdarzeń po stronie wejścia p i q bez rozstrzygania o ich prawdziwości/fałszywości
DM= Y= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
W przełożeniu na funkcję logiczną mamy:
DM= Y = Ya+Yb+Yc+Yd
Badanie poprawności dziedziny matematycznej poprzez minimalizację równania DM:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*(~q+q)
Y = p+~p =1
Wniosek:
Dziedzina matematyczna bez analizy prawdziwości/fałszywości zdań składowych zawsze będzie poprawna jak wyżej dla dowolnej funkcji logicznej Y.
Definicja dziedziny fizycznej:
Dziedzina fizyczna to dziedzina matematyczna z niepustymi funkcjami cząstkowymi f(x)
D = Y= f(x)
Gdzie:
f(x) - suma logiczna niepustych funkcji cząstkowych
Uwaga:
Warunkiem koniecznym wyznaczenia zarówno dziedziny matematycznej DM jak i dziedziny fizycznej D jest niepustość zbiorów/zdarzań {p, ~p, q, ~q}.
Dlaczego?
Nie możemy operować na zbiorach pustych, czyli na pojęciach dla nas niezrozumiałych
Definicja zbioru pustego (pkt. 5.2):
Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych lub jeszcze nie zdefiniowanych (np. agste, dkstd, kksyd)
6.14.1 Dziedzina matematyczna (DM) i fizyczna (D) w zdarzeniach
Przykład w zdarzeniach:
A.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmurki bo zawsze gdy pada, jest pochmurno.
Dziedzina matematyczna to zdjęcie układu bez rozstrzygania o prawdziwości/fałszywości funkcji cząstkowych f(x)
Dziedzina fizyczna to zdjęcie układu z rozstrzygnięciem o prawdziwości/fałszywości funkcji cząstkowych f(x)
Zdefiniowane w poprzednim punkcie zdjęcie układu daje nam jednoznaczną odpowiedź w temacie wyznaczenia dziedziny matematycznej i fizycznej.
Zróbmy zdjęcie układu dla zdania A:
Kod: |
A: P~~> CH= P* CH=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: pada i jest pochmurno
B: P~~>~CH= P*~CH=0 - niemożliwe jest (=0): pada i nie jest pochmurno
C:~P~~>~CH=~P*~CH=1 - możliwe jest (=1): nie pada i nie jest pochmurno
D:~P~~> CH=~P* CH=1 - możliwe jest (=1): nie pada i jest pochmurno
|
Stąd mamy wyznaczoną zarówno dziedzinę matematyczną DM jak i dziedzinę fizyczną D
Dziedzina matematyczna:
DM = Y = A: P*CH + B: P*~CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH = P*(CH+~CH)+ ~P*(~CH+CH)=P+~P=1
Dziedzina fizyczna:
D = Y = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH - zbiór wszystkich możliwych zdarzeń rozłącznych
6.14.2 Dziedzina matematyczna (DM) i fizyczna (D) w zbiorach
To samo mamy w zbiorach:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić zachodzącą tu relację podzbioru => potrafi każdy matematyk.
Zdanie A definiuje nam zbiory:
p= P8=[8,16,24..]
q= P2=[2,4,6,8..]
Przyjmujemy wspólną dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Obliczamy przeczenia zbiorów ~p i ~q definiowane jako uzupełnienia zbiorów p i q do dziedziny D
~p= ~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~q= ~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
Robimy zdjęcie układu dla zdania A:
Kod: |
A: P8~~> P2= P8* P2=1 - bo wspólny element: 8
B: P8~~>~P2= P8*~P2=0 - zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5..] są rozłączne
C:~P8~~>~P2=~P8*~P2=1 - bo wspólny element: 1
D:~P8~~> P2=~P8* P2=1 - bo wspólny element: 2
|
Stąd mamy
Dziedzina matematyczna:
DM = Y = A: P8*P2 + B: P8*~P2 + C:~P8*~P2 + D:~P8*P2 = P8*(P2+~P2)+~P8*(~P2+P2)=P8+~P8=1
Dziedzina fizyczna:
D = Y= A: P8*P2 + C:~P8*~P2 + D:~P8*P2 - zbiór wszystkich możliwych zbiorów niepustych i rozłącznych ACD
Można udowodnić że:
LN=P8*P2+~P8*~P2+~P8*P2
Dowód:
LN = P8*P2 + ~P8*(~P2+P2)
LN = P8*P2 + ~P8
P8*P2=P8 - bo zbiór P8 jest podzbiorem zbioru P2
Stąd mamy:
LN = P8+~P8 =1
cnd
6.15 Algorytm rozwiązywania zadań typu „Jeśli p to q”
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Sowy to:
Ogólna definicja tożsamości logicznej „=” dla wielu zdań:
Prawdziwość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Fałszywość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych zdań
Tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
Algorytm rozwiązywania zadań typu „Jeśli p to q”:
1.
Celem logiki matematycznej (algebry Kubusia) jest precyzyjne przyporządkowanie dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) z dowolnie zaprzeczonymi p i q do jednego z pięciu rozłącznych operatorów logicznych.
Definicja:
Operator implikacyjny to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2)
Kolumna A1B1 to odpowiedź na pytanie o p:
A1: p=>q=? - czy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q?
B1: p~>q=? - czy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q?
Kolumna A2B2 to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2: ~p~>~q=?- czy zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q?
B2: ~p=>~q=? - czy zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q?
Prawa Kubusia mówiące o matematycznych związkach kolumn A1B1 i A2B2:
I prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
II prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
2.
Warunkiem koniecznym przypisania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" do jednego z pięciu, różnych na mocy definicji ## operatorów implikacyjnych jest niepustość zbiorów/zdarzeń {p, ~p, q, ~q}. Zbiory/zdarzenia {p, ~p, q, ~q} muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorze pustym, czyli na pojęciach dla nas niezrozumiałych (pkt. 5.2).
3.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
4.
Korzystając z praw logiki matematycznej udowadniamy prawdziwość/fałszywość zdań dających w kolumnie A1B1 w tabeli T0 odpowiedź na pytanie o p
A1B1:
A1: p=>q =? - czy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q?
B1: p~>q =? - czy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q?
W dowodzeniu prawdziwości zdania B1 wygodnie jest skorzystać z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Zdanie B3 to znane każdemu matematykowi twierdzenie odwrotne B3: q=>p w odniesieniu do twierdzenia prostego A1: p=>q
Na mocy prawa Tygryska prawdziwość twierdzenia odwrotnego B3: q=>p wymusza prawdziwość warunku koniecznego B1: p~>q (i odwrotnie).
To jest dowód "nie wprost" prawdziwości warunku koniecznego B1: p~>q.
5.
W tym momencie na mocy prawa Sowy mamy rozstrzygnięcie w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi badane zdanie.
Prawo Puchacza (pkt. 6.8.3):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego i tylko jednego operatora implikacyjnego.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 19:31, 04 Wrz 2022, w całości zmieniany 32 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 18:29, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
6.16 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q
Spis treści
6.16 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q 1
6.16.1 Relacja między implikacją prostą p|=>q a odwrotną p|~>q 4
6.16.2 Tabela prawdy dla zdania warunkowego „Jeśli p to q” 5
6.16.3 Prawo Kameleona 6
6.17 Prawo Kłapouchego 7
6.18 Implikacja prosta P|=>CH w zdarzeniach 8
6.18.1 Operator implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach 9
6.19 Implikacja odwrotna CH|~>P w zdarzeniach 12
6.19.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach 13
6.16 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q
W niniejszym rozdziale omówimy szczegółowo definicję implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q na konkretnym przykładzie o chmurce i deszczu.
Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q to kręgosłup algebry Kubusia, jego zrozumienie gwarantuje bezproblemowe zrozumienie całej algebry Kubusia.
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Poznajmy dwie najważniejsze definicje logiki matematycznej w naszym Wszechświecie, implikację prostą p|=>q i odwrotną p|~>q.
Konkurencyjna równoważność p<=>q to kropla w morzu implikacji prostych p|=>q i odwrotnych p|~>q.
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - rożne na mocy definicji
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|=>q = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q)=~p*q
A1B1: p|=>q = ~p*q
Podstawiając do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> mamy.
Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: p|=>q=~p*q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
Definicja Implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q)
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja prosta p|=>q determinuje prawdziwość operatora implikacji prostej p||=>q (i odwrotnie)
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Zachodzi tożsamość logiczna [=] kolumn A1B1 i A2B2:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q [=] A2B2: ~p|~>~q=(A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)=~p*q
Dowód:
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|~>q = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
A1B1: p|~>q=p*~q
Podstawiając do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> mamy.
Kod: |
IO
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: p|~>q=p*~q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =0
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q)
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja odwrotna p|~>q determinuje prawdziwość operatora implikacji odwrotnej p||~>q (albo odwrotnie)
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Zachodzi tożsamość logiczna [=] kolumn A1B1 i A2B2:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p*~q [=] A2B2: ~p|=>~q=~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=p*~q
Dowód:
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Kluczowa relacja między implikacją prostą p|=>q a odwrotną p|~>q:
A1B1: p|=>q=~p*q ## A1B1: p|~>q=p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Uwaga:
Zarówno w implikacji prostej p|=>q jak i w implikacji odwrotnej p|~>q parametry aktualne p i q (te z przykładów) muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej popełniamy błąd podstawienia
6.16.1 Relacja między implikacją prostą p|=>q a odwrotną p|~>q
Relacja między implikacją prostą p|=>q a odwrotną p|~>q to relacja różne na mocy definicji ##
Dowód:
Kod: |
RIPIO:
Tabela IP:
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: Y=(p|=>q)=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q
Warunek wystarczający =>:
Y=(p=>q) =~p+ q # ~Y=~(p=>q) = p*~q
## ##
Implikacja prosta p|=>q:
Y=(p|=>q)=~p* q # ~Y=~(p|=>q)= p+~q
## ##
Tabela IO:
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p*~q
Warunek konieczny ~>:
Y=(p~>q) = p+~q # ~Y=~(p~>q) =~p* q
## ##
Implikacja odwrotna p|~>q:
Y=(p|~>q)= p*~q # ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli RIPIO definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
cnd
6.16.2 Tabela prawdy dla zdania warunkowego „Jeśli p to q”
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja tabeli prawdy dla zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Tabela prawdy dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” to:
Po pierwsze:
Jednoznaczne ustalenie wartości logicznych serii zdań Ax oraz serii zdań Bx co determinuje przynależność badanego zdania do jednego ze spójników implikacyjnych (przykład pkt. 6.18)
Po drugie:
Przeanalizowanie zdania warunkowego „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w tym samym kierunku co wyznacza operator implikacyjny (przykład 6.18.1)
Wniosek:
Tabela prawdy dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” to cztery i tylko cztery zdania warunkowe „Jeśli p to q”
6.16.3 Prawo Kameleona
Zadanie:
Zbuduj tabelę prawdy dla poniższego zdania:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie (P) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH) bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
##
Aby zbudować tabelę prawdy dla zdania A1 musimy rozstrzygnąć prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Padanie (P) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (CH) bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Dowód:
Zdania A1 i B1 wyżej.
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań
W logice formalnej zachodzi:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy rozstrzygnięcie, iż zdanie A1 wchodzi w skład implikacji prostej P|=>CH
Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: p|=>q=~p*q
Punkt odniesienia:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
A1: P=>CH =1 – padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =1 – padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
Stąd mamy:
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: P|=>CH=~P*CH
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
6.17 Prawo Kłapouchego
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego wymusza na wszystkich matematykach ten sam punkt odniesienia definiowany kolumnami A1B1 i A2B2.
Oczywiście w treści zadania może być wymuszony inny punkt odniesienia definiowany kolumnami A3B3 i A4B4. W tym przypadku korzystając z praw logiki matematycznej przechodzimy do tożsamych logicznie kolumn A1B1 i A2B2 aby mieć wspólny język ze wszystkimi matematykami świata, czyli identyczny punkt odniesienia definiowany kolumnami A1B1 i A2B2.
Dokładnie temu służy prawo Kłapouchego.
Bez zdefiniowanego, wspólnego punktu odniesienia w kolumnach A1B1 i A2B2 matematyk A nie dogada się z matematykiem B.
Na czym polega problem zobaczymy za chwilkę na przykładzie, definiując nowy znaczek logiki matematycznej:
### - różne na mocy błędu podstawienia
6.18 Implikacja prosta P|=>CH w zdarzeniach
Zadanie:
Zbuduj tabelę prawdy dla poniższego zdania:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie (P) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH) bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
W tym momencie na mocy prawa Kłapouchego dla dalszej analizy przyjmujemy:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Stąd zapis zdania A1 w zapisie formalnym to:
p=>q =1
Aby zbudować tabelę prawdy dla zdania A1 musimy rozstrzygnąć prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Padanie (P) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (CH) bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
cnd
Stąd mamy rozstrzygnięcie, iż zdanie A1 wchodzi w skład implikacji prostej P|=>CH
Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: p|=>q=~p*q
Punkt odniesienia:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
A1: P=>CH =1 – padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =1 – padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: P|=>CH=~P*CH
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
6.18.1 Operator implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: p|=>q=~p*q
Punkt odniesienia:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
A1: P=>CH =1 – padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =1 – padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: P|=>CH=~P*CH
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja Implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q)
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Zapis aktualny – nasz przykład:
Definicja implikacji prostej P|=>CH w logice dodatniej (bo CH):
Implikacja prosta P|=>CH to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o padanie (P):
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie P?
Definicja operatora implikacji prostej P||=>CH:
Operator implikacji prostej P||=>CH to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o P i ~P:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie P?
A2B2: ~P|~>~CH = (A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P?
A1B1:
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)?
A1: P=>CH=1 - padanie (P) jest wystarczające => dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH=0 - padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (CH)
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli będzie padało P?
Czytamy:
Implikacja prosta P|=>CH w logice dodatniej (bo CH) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (A1) i jednocześnie nie jest warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (B1)
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
W zapisie formalnym:
p=>q =1
Padanie (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => aby było pochmurno (CH) bo zawsze gdy pada, są chmury.
Padanie (P) daje nam (=1) gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 determinuje fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =0
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Fałszywości zdania A1’ nie musimy dowodzić, bowiem wynika ona z prawdziwości warunku wystarczającego A1.
… a jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
A2B2:
W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie
Co może się wydarzyć, jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
A2: ~P~>~CH=1 - brak opadów (~P) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH)
B2: ~P=>~CH=0 - brak opadów (~P) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => do tego
by nie było pochmurno (~CH), bo nie zawsze gdy nie pada (~P), nie ma chmur (~CH)
A2B2: ~P|~>~CH = (A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P?
Czytamy:
Implikacja odwrotna ~P|~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy brak padania (~P) jest konieczny ~> dla braku chmur (~CH) i jednocześnie nie jest wystarczający => dla braku chmur (~CH)
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Nasz przykład:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
Odpowiedź na pytanie o ~P w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” odczytujemy z kolumny A2B2:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
W zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Prawdziwość warunku koniecznego A2 gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Dowód bezpośredni to:
Brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> dla braku chmur (~CH) bo jeśli pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
LUB
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P=>~CH=0 na mocy definicji kontrprzykładu determinuje zdarzenie możliwe ~~> B2’: ~P~~>CH=1
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> być pochmurno (CH)
~P~~>CH = ~P*CH =1
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Udowodnienie prawdziwości B2’ na mocy definicji kontrprzykładu to dowód „nie wprost”.
Dowód bezpośredni to:
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P) i są chmury (CH)
cnd
Podsumowanie:
Operator implikacji prostej P||=>CH to gwarancja matematyczna => po stronie „pada” (P) o czym mówi zdanie A1 oraz najzwyklejsze „rzucanie monetą” po stronie „nie pada” (~P) o czym mówią zdania A2 i B2’
Innymi słowy:
1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno - mówi o tym zdanie A1
2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania A2 i B2’.
Czyli:
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH) o czym mówi zdanie A2 lub może ~~> być pochmrno (CH) na mocy zdania B2’.
Zauważmy, zdania wchodzące w skład operatora implikacji prostej P||=>CH, czyli A1, A1’, A2, B2’ mogą być wypowiadane w dowolnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
6.19 Implikacja odwrotna CH|~>P w zdarzeniach
Zadanie:
Zbuduj tabelę prawdy dla poniższego zdania:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
B1: CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P) bo padać może wyłącznie z chmury
cnd
W tym momencie na mocy prawa Kłapouchego dla dalszej analizy przyjmujemy:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Stąd zapis zdania B1 w zapisie formalnym to:
B1: p~>q =1
Aby zbudować tabelę prawdy dla zdania B1 musimy rozstrzygnąć prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
A1: CH=>P =0
to samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0
Chmury (CH) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P) bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd
Stąd mamy rozstrzygnięcie, iż zdania B1 wchodzi w skład implikacji odwrotnej CH|~>P
Kod: |
IO
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: p|~>q=p*~q
Punkt odniesienia:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
A1: CH=>P=0 - chmury (CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania (P)
B1: CH~>P=1 - chmury (CH) są (=1) konieczne dla padania (P)
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: CH|~>P=CH*~P
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q=0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p=0 [=] 5:~p+ q =0
1: CH=> P=0 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~> CH=0 4:~P=>~CH=0 [=] 5:~CH+ P=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q=1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p=1 [=] 5: p+~q =1
1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
6.19.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Kod: |
IO
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: p|~>q=p*~q
Punkt odniesienia:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
A1: CH=>P=0 - chmury (CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania (P)
B1: CH~>P=1 - chmury (CH) są (=1) konieczne dla padania (P)
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: CH|~>P=CH*~P
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q=0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p=0 [=] 5:~p+ q =0
1: CH=> P=0 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~> CH=0 4:~P=>~CH=0 [=] 5:~CH+ P=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q=1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p=1 [=] 5: p+~q =1
1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q)
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Zapis aktualny – nasz przykład:
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P w logice dodatniej (bo P):
Implikacja odwrotna CH|~>P to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o chmury (CH):
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie CH?
Definicja operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w logice dodatniej (bo P):
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o CH i ~CH:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie CH?
A2B2: ~CH|=>~P =~(A2:~CH~>~P)*(B2: ~CH=>~P) = ~(0)*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~CH?
A1B1:
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH)?
A1: CH=>P=0 - chmury (CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania (P)
B1: CH~>P=1 - chmury (CH) są (=1) konieczne dla padania (P)
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1 =1 - co się stanie jeśli będą chmury CH?
Czytamy:
Implikacja odwrotna CH|~>P w logice dodatniej (bo P) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy chmury (CH) są warunkiem koniecznym ~> dla padania P (B1) i jednocześnie nie są warunkiem wystarczającym => dla padania P (A1)
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
W zapisie formalnym:
p~>q =1
Chmury (CH) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P) bo padać może wyłącznie z chmury
Innymi słowy:
Chmury (CH) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P) bo jak nie ma chmur (~CH) to na 100% => nie pada (~P)
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
W zapisie formalnym:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
LUB
Fałszywy warunek wystarczający A1: CH=>P=0 na mocy definicji kontrprzykładu determinuje zdarzenie możliwe ~~> A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P = CH*~P =1
Udowodnienie prawdziwości A1’ na mocy definicji kontrprzykładu to dowód „nie wprost”.
Dowód bezpośredni to:
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
cnd
… a jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH)?
Prawo Kubusia:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
W zapisie formalnym:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
A2B2:
W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć, jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH)?
A2: ~CH~>~P =0 - brak chmur (~CH) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla nie padania (~P)
B2: ~CH=>~P =1 - brak chmur (~CH) jest (=1) warunkiem wystarczającym =>
dla nie padania (~P) bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada
A2B2: ~CH|=>~P =~(A2:~CH~>~P)*(B2: ~CH=>~P) = ~(0)*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~CH?
Czytamy:
Implikacja prosta ~CH|=>~P w logice ujemnej (bo ~P) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => dla nie padania (~P) (zdanie B2) i jednocześnie nie jest warunkiem koniecznym ~> dla nie padania (~P) (zdanie A2)
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochurno (~CH)?
Odpowiedź na pytanie o ~CH w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” odczytujemy z kolumny A2B2:
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padało (~P)
~CH=>~P =1
W zapisie formalnym:
~p=>~q=1
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Dowód bezpośredni to:
Brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => dla braku opadów (~P) bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.
Brak chmur (~CH) daje nam gwarancję matematyczną => braku opadów (~P)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający B2 determinuje fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie).
B2’.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to może ~~> padać (P)
~CH~~>P = ~CH*P =0
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Dowód „nie wprost” fałszywości zdania B2’ wynika z definicji kontrprzykładu
Dowód wprost to:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH) i pada (P)
Podsumowanie:
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P to najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie chmury (CH) o czym mówią zdania B1 i A1’ oraz gwarancja matematyczna => po stronie „brak chmury” (~CH) o czym mówi zdanie B2.
Innymi słowy:
1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” o czym mówią zdania B1 i A1’
Czyli:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P) (zdanie B1) lub może ~~> nie padać (~P) (zdanie A1’)
2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padać (~P) - mówi o tym zdanie B2.
Zauważmy, że matematycznie kolejność wypowiadania zdań B1, A1’ B2, B2’ nie ma żadnego znaczenia, co oznacza, że linie B1, A1’, B2, B2’ można dowolnie przestawiać.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 21:45, 15 Sie 2022, w całości zmieniany 5 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 18:32, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
6.20 Definicje znaczków ## i ###
Spis treści
6.20 Definicje znaczków ## i ### 1
6.20.1 Definicja znaczka różne na mocy definicji ## 5
6.20.2 Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ### 6
6.21 Prawo Kłapouchego = Kot Schrödingera 8
6.20 Definicje znaczków ## i ###
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Rozważmy znane nam przykłady:
IP.
Implikacja prosta:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmujemy punkt odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo zabieram stan "pada" a chmury mogą istnieć.
Stąd mamy spełnioną definicję implikacji prostej P|=>CH:
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
Stąd:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1
##
IO.
Implikacja odwrotna:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P) bo padać może wyłącznie z chmury
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
CH=>P =0
Chmury (CH) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P) , o nie zawsze gdy są chmury, pada
Stąd mamy spełnioną definicję implikacji odwrotnej CH|~>P:
A1: CH=>P =0 - chmury (CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania (P)
B1: CH~>P =1 - chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P)
Stąd:
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zapiszmy wyprowadzone wyżej tabele prawdy implikacji prostej P|=>CH i odwrotnej CH|~>P jedna pod drugą.
Kod: |
IP.
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*(0)=1*1=1
Implikacja prosta P|=>CH w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: P=>CH=1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH=1 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q =0 [=] 4:~q~~>p =0
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=P, q=CH
A: 1: P=>CH =1 = 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P =1 = 4:~CH=>~P=1
A': 1: P~~>~CH=0 [=] 4:~CH~~>P=0
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=P, q=CH
B: 1: P~>CH =0 = 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=>P =0 = 4:~CH~>~P=0
B': 2:~P~~>CH=1 [=] 3: CH~~>~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
##
###
Kod: |
IO.
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Implikacja odwrotna CH|~>P w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: CH=>P=0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania
B1: CH~>P=1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania
Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q =1 [=] 4:~q~~>p =1
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=CH, q=P
A: 1: CH=>P =0 = 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~>CH =0 = 4:~P=>~CH=0
A': 1: CH~~>~P=1 [=] 4:~P~~>CH=1
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p =0
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=CH, q=P
B: 1: CH~>P =1 = 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=>CH =1 = 4:~P~>~CH=1
B': 2:~CH~~>P=0 [=] 3: P~~>~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q, zarówno w implikacji prostej p|=>q jak i w implikacji odwrotnej p|~>q
## - różne na mocy definicji – dla zapisu formalnego (ogólnego)
### - różne na mocy błędu podstawienia – dla zapisu aktualnego (przykładu)
Wyprowadzenie definicji znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
W tabeli implikacji prostej IP mamy punkt odniesienia:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Definicja formalna implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q
Definicja implikacji prostej P|=>CH w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=~P*CH
###
Natomiast w tabeli implikacji odwrotnej IO mamy punkt odniesienia:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
Definicja formalna implikacji odwrotnej p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p*~q
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=CH*~P
Stąd mamy tu znaczek:
### - różne na mocy błędu podstawienia
cnd
Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy ich zapis formalny (teoria ogólna) jest różny na mocy definicji ## natomiast w zapisie aktualnym skolerowanym z zapisem formalnym zachodzi tożsamość logiczna.
Zauważmy, że w zapisach formalnych bezdyskusyjnie zachodzi:
IP – implikacja prosta:
p|=>q = ~p*q – zapis formalny
##
IO – implikacja odwrotna:
p|~>q = p*~q – zapis formalny
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd
To samo w zapisach formalnych powiązanych z zapisem aktualnym (nasz przykład).
IP – implikacja prosta:
p|=>q = ~p*q – zapis formalny
Punkt odniesienia:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
P|=>CH = ~P*CH – skolerowany z zapisem formalnym, zapis aktualny (nasz przykład)
##
###
IO – implikacja odwrotna:
p|~>q = p*~q – zapis formalny
Punkt odniesienia:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
CH|~>P = CH*~P – skolerowany z zapisem formalnym, zapis aktualny (nasz przykład)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji dla zapisu formalnego
### - różne na mocy błędu podstawienia dla zapisu aktualnego
cnd
Zauważmy, że operując wyłącznie na zapisach aktualnych (nasz przykład) definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ### jest niewidoczna.
Dowód:
IP: P|=>CH = ~P*CH [=] IO: CH|~>P = CH*~P
W tym przypadku zachodzi tożsamość logiczna [=] bowiem iloczyn logiczny jest przemienny
Zrozumienie podanych wyżej definicji znaczków ## i ### jest w praktyce wystarczające.
W dalszej części zajmiemy się szczegółami.
6.20.1 Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Relacja między definicją formalną (ogólną) implikacji prostej p|=>q a definicją formalną implikacji odwrotnej odwrotną p|~>q to relacja różne na mocy definicji ##
Dowód:
Kod: |
IPIO:
Relacja między implikacją prostą p|=>q a odwrotną p|~>q
w zapisach formalnych
Tabela IP:
Implikacja prosta p|=>q w zapisach formalnych:
A1B1: Y=(p|=>q)=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q
Warunek wystarczający =>:
Y=(p=>q) =~p+ q # ~Y=~(p=>q) = p*~q
## ##
Implikacja prosta p|=>q:
Y=(p|=>q)=~p* q # ~Y=~(p|=>q)= p+~q
## ##
---------------------------------------------------
Tabela IO:
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisach formalnych:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p*~q
Warunek konieczny ~>:
Y=(p~>q) = p+~q # ~Y=~(p~>q) =~p* q
## ##
Implikacja odwrotna p|~>q:
Y=(p|~>q)= p*~q # ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli IPIO definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
cnd
6.20.2 Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
Wprowadźmy do zapisanej wyżej tabeli relacji implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q (IPIO) odpowiednie zapisy aktualne P|=>CH i CH|~>P
Kod: |
IPIO:
Formalna relacja między implikacją prostą p|=>q a odwrotną p|~>q
Aktualna relacja między implikacją prostą P|=>CH a odwrotną CH|~>P
Tabela IP:
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym:
A1: A1B1: Y=(p|=>q)=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q
Punkt odniesienia:
A2: p=P (pada)
A3: q=CH (chmury)
Implikacja prosta P|=>CH w zapisie aktualnym:
A4: A1B1: Y=(P|=>CH)=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=~P*CH
;
Warunek wystarczający => w zapisie formalnym:
A5: Y=(p=>q) =~p+ q # ~Y=~(p=>q) = p*~q
Warunek wystarczający => w zapisie aktualnym:
A6: Y=(P=>CH) =~P+ CH # ~Y=~(P=>CH) = P*~CH
## ##
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym:
A7: Y=(p|=>q) =~p* q # ~Y=~(p|=>q) = p+~q
Implikacja prosta P|=>CH w zapisie aktualnym:
A8: Y=(P|=>CH)=~P* CH # ~Y=~(P|=>CH)= P+~CH
## ##
----------------------------------------------------------
### ###
----------------------------------------------------------
Tabela IO:
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym:
B1: A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p*~q
Punkt odniesienia:
B2: p=CH (chmury)
B3: q=P (pada)
Implikacja odwrotna CH|~>P w zapisie aktualnym:
B4: A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=CH*~P
;
Warunek konieczny ~> w zapisie formalnym:
B5: Y=(p~>q) = p+ ~q # ~Y=~(p~>q) =~p* q
Warunek konieczny w zapisie aktualnym:
B6: Y=(CH~>P) = CH+~P # ~Y=~(CH~>P) =~CH*P
## ##
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym:
B7: Y=(p|~>q) = p* ~q # ~Y=~(p|~>q) =~p+ q
Implikacja odwrotna CH|~>P w zapisie aktualnym:
B8: Y=(CH|~>P)= CH*~P # ~Y=~(CH|~>P)=~CH+P
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji (dla zapisu formalnego)
### - różne na mocy błędu podstawienia (dla zapisu aktualnego)
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji w zapisie formalnym (ogólnym):
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli IPIO w zapisach formalnych {Y, p, q} definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
cnd
ALE!
Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy ich zapis formalny (teoria ogólna) jest różny na mocy definicji ## natomiast w zapisie aktualnym skolerowanym z zapisem formalnym zachodzi tożsamość logiczna.
Zobaczmy to w tabeli IPIO.
Kod: |
IPIO:
Znaczek różne na mocy definicji ##
vs
Znaczek różne na mocy błędu podstawienia ###
Zapisy formalne i aktualne:
IP IO
Implikacja prosta p|=>q ## Implikacja odwrotna p|~>q
A1: Y=(p|=>q) =~p*q ## B1: Y=(p|~>q)= p*~q
Punkt odniesienia: ### Punkt odniesienia:
p=P (pada) ### p=CH (chmury)
q=CH (chmury) ### q=P (pada)
A4: Y=(P|=>CH)=~P*CH ### B4: Y=(CH|~>P) = CH*~P
;
Zapis formalny i aktualny:
A5: Y=(p=>q) =~p+ q ## B5: Y=(p~>q) = p+ ~q
A6: Y=(P=>CH) =~P+ CH ### B6: Y=(CH~>P) = CH+~P
;
Zapis formalny i aktualny:
A7: Y=(p|=>q) =~p* q ## B7: Y=(p|~>q) = p* ~q
A8: Y=(P|=>CH)=~P* CH ### B8: Y=(CH|~>P)= CH*~P
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
### - różne na mocy błędu podstawienia
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Uwaga:
Zarówno iloczyn logiczny p*q jak i suma logiczna p+q są przemienne z czego
wynika, że po usunięciu linii ze znakiem różne na mocy definicji ## w liniach separowanych znakiem ### możemy zapisać tożsamość logiczną [=].
|
W powyższej tabeli doskonale widać znaczenia znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###.
Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy ich zapis formalny (teoria ogólna) jest różny na mocy definicji ## natomiast w zapisie aktualnym skolerowanym z zapisem formalnym zachodzi tożsamość logiczna.
Kod: |
Podsumowanie:
Zapis formalny:
A5: Y=(p=>q) =~p+ q ## B5: Y=(p~>q) = p+ ~q
Zapis aktualny:
A6: Y=(P=>CH) =~P+ CH ### B6: Y=(CH~>P) = CH+~P
Gdzie:
W zapisie formalnym mamy znaczek różne na mocy definicji ##
W zapisie aktualnym ### w oderwaniu od zapisu formalnego
mamy tożsamość logiczną [=] bo suma logiczna jest przemienna
|
6.21 Prawo Kłapouchego = Kot Schrödingera
Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)= ~p*q
A1B1: p|=>q=~p*q
Punkt odniesienia:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Stąd mamy:
A1: P=>CH=1 - padanie (P) jest wystarczające => dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH=0 - padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)= ~P*CH
Definicja w spójnikach “i”(*) i „lub”(+):
A1B1: P|=>CH=~P*CH
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
## - różne na mocy definicji dla zapisu formalnego
### - różne na mocy błędu podstawienia dla zapisu aktualnego (przykład)
Kod: |
IO
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)= p*~q
A1B1: p|~>q=p*~q
Punkt odniesienia:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
A1: CH=>P=0 - chmury (CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania (P)
B1: CH~>P=1 - chmury (CH) są (=1) konieczne dla padania (P)
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)= CH*~P
Definicja w spójnikach “i”(*) i „lub”(+):
A1B1: CH|~>P=CH*~P
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q=0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p=0 [=] 5:~p+ q =0
1: CH=> P=0 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~> CH=0 4:~P=>~CH=0 [=] 5:~CH+ P=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q=1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p=1 [=] 5: p+~q =1
1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji dla zapisu formalnego
### - różne na mocy błędu podstawienia dla zapisu aktualnego (przykład)
Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy ich zapis formalny (teoria ogólna) jest różny na mocy definicji ## natomiast w zapisie aktualnym skolerowanym z zapisem formalnym zachodzi tożsamość logiczna [=]
Kod: |
Podsumowanie:
IP - implikacja prosta p|=>q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)= ~p*q
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)= ~P*CH
## - dla zapisu formalnego (ogólnego)
### - dla zapisu aktualnego (przykład)
IO - implikacja odwrotna p|~>q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)= p*~q
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)= CH*~P
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
### - różne na mocy błędu podstawienia
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zauważmy, że jeśli zignorujemy zapis formalny to musimy zapisać tożsamość logiczną:
Kod: |
IP - implikacja prosta P|=>CH:
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)= ~P*CH
[=]
IO - implikacja odwrotna CH|~>P
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)= CH*~P
Zachodzi tożsamość logiczna [=] bo iloczyn logiczny jest przemienny
cnd
|
Podsumowanie:
Jeśli w implikacji prostej p|=>q i implikacji odwrotnej p|~>q pominiemy zapisy formalne to seria zdań prawdziwych Ax z implikacji prostej p|=>q i seria zdań prawdziwych Bx z implikacji odwrotnej p|~>q będzie identyczna i o żadnym błędzie podstawienia ### mowy być wówczas nie może.
Dowód:
Kod: |
Jeśli pominiemy zapisy formalne to tabela zdań prawdziwych w implikacji prostej IP: P|=>CH i odwrotnej IO: CH~>P wygląda jak niżej:
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
[=]
IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
B: 1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
[=] - bez zapisu formalnego zachodzi tożsamość zdań serii Ax i Bx
|
Bez zapisów formalnych tożsamość zdań serii Ax i Bx jest oczywista, bo zdania możemy dowolnie przestawiać.
Wyobraźmy sobie, że mamy pudełko z czterema zdaniami prawdziwymi:
Kod: |
Matematyczny raj 5-cio latka:
1: P=>CH=1 [=] 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P=1 [=] 4:~CH=>~P=1
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
|
Definicja ogólna tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów
Tożsame znaczki tożsamości logicznej które możemy stosować zamiennie w zależności od potrzeb:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
Dlaczego to jest matematyczny raj 5-cio latka?
Oczywistym jest, że 5-cio latek nie zna teorii algebry Kubusia którą tu poznajemy, jednak doskonale posługuje się w praktyce wszystkimi prawami logiki matematycznej rodem z algebry Kubusia.
Prawa logiki matematycznej w raju zna w praktyce każdy 5-cio latek.
Prawo Kubusia:
1: P=>CH = 2:~P~>~CH
[=]
Prawo Tygryska:
1: P=>CH = 3: CH~>P
[=]
Prawo Kubusia:
3: CH~>P = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
1: P=>CH = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
3: CH~>P = 2: ~P~>~CH
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej [=].
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
Zarówno treść zdań w raju 5-cio latka, jak i wszystkie prawa logiki matematycznej są doskonale znane każdemu 5-cio latkowi.
Aby to udowodnić udajmy się do przedszkola
Pani:
3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
3: CH~>P =1
Jasiu, czy chmury są konieczne ~> by padało?
Jaś (lat 5):
Tak, bo padać może wyłącznie z chmurki
Pani:
Jasiu, a jeśli jutro nie będzie pochmurno to może padać czy może nie padać?
Jaś:
Prawo Kubusia:
3: CH~>P = 4:~CH=>~P
Jaś:
4:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padać (~P)
4: ~CH=>~P =1
Pani:
Czy brak chmur (~CH) daje nam gwarancję => nie padania (~P)?
Jaś:
Tak, bo zawsze gdy nie ma chmur, to nie pada
Pani:
Prawo kontrapozycji:
4: ~CH=>~P = 1: P=>CH
Pani:
Jasiu, jeśli jutro będzie padało to może być pochmurno lub może nie być pochmurno?
Jaś:
1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100%=> będzie pochmurno (CH)
1: P=>CH =1
Pani:
Jasiu czy padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH)
Jaś:
Tak, bo zawsze gdy pada, są chmury
Pani:
Jasiu, a jeśli jutro nie będzie padało?
Jaś:
Prawo Kubusia:
1: P=>CH = 2: ~P~>~CH
2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
2: ~P~>~CH =1
Pani:
Czy brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH)?
Jaś:
Tak, brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH) bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
2: ~P~>~CH = 1: P=>CH
Jak widzimy w ostatnim zdaniu prawo Kubusia samo Jasiowi wyskoczyło, mimo że nie jest tego świadom.
Podsumowując:
Wszyscy ludzie, od 5-cio latka poczynając na ziemskim matematyku kończąc podlegają pod algebrę Kubusia nie mając żadnych szans by się od niej uwolnić, tylko póki co, o tym nie wiedzą.
Zapiszmy jeszcze raz matematyczny raj 5-cio latka:
Kod: |
Matematyczny raj 5-cio latka:
1: P=>CH=1 [=] 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P=1 [=] 4:~CH=>~P=1
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
|
Rozważmy warunek wystarczający P=>CH:
X.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
Zauważmy, że ten sam warunek wystarczający X: P=>CH może należeć do implikacji prostej p|=>q albo do różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej p|~>q
Dowód:
IP
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)= ~p*q
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Przykład:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = ~P*CH
A1: P=>CH
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q
##
IO
Implikacja odwrotna p|~>q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*~q
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Przykład:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)= CH*~P
Dla B1 skorzystajmy z prawa Tygryska:
B1: CH~>P = B3: P=>CH
B1: p~>q = B3: q=>p
Prawo Tygryska jest dowodem że warunek wystarczający X: P=>CH występuje również w implikacji odwrotnej p|~>q
Gdzie:
## - znaczek różne na mocy definicji obowiązujący dla zapisu formalnego {p, q, Y}
Takie niuanse 5-cio latka zupełnie nie interesują, nie są mu do niczego potrzebne i w niczym nie ograniczają jego biegłego posługiwania się prawami logiki matematycznej.
Inaczej jest z matematykiem, znającym teorię algebry Kubusia którą tu omawiamy.
Matematyka nie może być niejednoznaczna tzn. matematyk A mówi że warunek wystarczający X: P=>CH należy do implikacji prostej A1B1: p|=>q (ma rację), zaś matematyk B twierdzi, że ten sam warunek wystarczający X: P=>CH należy do różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q (też ma rację bo prawo Tygryska)
Jednoznaczność matematyki dla wszystkich matematyków uzyskamy w banalny sposób wprowadzając do logiki matematycznej prawo Kłapouchego.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Wniosek:
Prawo Kłapouchego wymusza na wszystkich matematykach identyczny punkt odniesienia i poprzez analogię jest tożsame z otwarciem drzwiczek do pudełka z kotem Schrödingera.
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Prawo Kłapouchego = otwarcie drzwiczek do pudełka z kotem Schrödingera.
Innymi słowy:
X.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
Przed zastosowaniem prawa Kłapouchego jeśli spytamy dowolnego matematyka czy powyższe zdanie 1 wchodzi w skład implikacji prostej IP:
IP: A1B1: P|=>CH, (A1: P=>CH)
to samo w zapisie formalnym:
IP: A1B1: p|=>q, (A1: p=>q)
;
czy też w skład różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej IO:
IO: A1B1: CH|~>P, (B3: P=>CH)
to samo w zapisie formalnym:
IO: A1B1: p|~>q, (B3: q=>p)
;
matematyk ów musi odpowiedzieć:
NIE WIEM!
.. dopóki nie zastosuje prawa Kłapouchego.
Uwaga:
Nie wolno nam twierdzić, że zdanie X: P=>CH może kiedykolwiek należeć (stan drzwiczek jest tu nieistotny) równocześnie do implikacji prostej IP: p|=>q (A1: p=>q = A1: P=>CH) i różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej IO: p|~>q (B3: q=>p = B3: P=>CH), bo to jest fizycznie niemożliwe, czego dowodem jest prawo Puchacza (pkt. 6.8.3)
Analogicznie w stosunku do pudełka z kotem Schrödingera nie wolno nam twierdzić, że dopóki nie otworzymy drzwiczek to kot jest jednocześnie żywy i martwy – to jest matematyczny fałsz, co udowadnia przykład z logiki matematycznej wyżej opisany.
[link widoczny dla zalogowanych]
Kot Schrödingera napisał: |
Jeden z najsłynniejszych eksperymentów świata. Prawie każdy coś słyszał o „Kocie Schrödingera”, ale już nie każdy pojął, o co w tym wszystkim chodziło. Co ma kot do fizyki? Czemu go zabili, a może go jednak nie zabili?
„Koci” eksperyment został opisany w 1935 roku przez znakomitego austriackiego fizyka Erwina Schrödingera. Specjalnie piszemy, że eksperyment został opisany a nie przeprowadzony, ponieważ był to eksperyment myślowy. Oznacza to, że żaden kot w jego trakcie nie ucierpiał.
Eksperyment ten jest próbą wyjaśnienia zasad mechaniki kwantowej na przykładzie obiektów w skali makro. Opisane w nim zjawisko nazwane jest superpozycją. Polega to na tym, że obiekt przyjmuje wszystkie możliwe stany w tym samym momencie. W eksperymencie Schrödingera w tym samym momencie kot jest żywy i martwy. Ale uwaga – sytuacja ta ma miejsce w pod warunkiem, że pudełko jest zamknięte i nie widzimy, co się dzieje z kotem w środku. Dopiero w momencie obserwacji obiektu (w tym przypadku kota) przyjmuję on tylko jeden z możliwych stanów. Po otwarciu pudełka zastaniemy kota martwego lub żywego. Następuję załamanie funkcji falowej. |
[link widoczny dla zalogowanych]
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 12:14, 11 Gru 2022, w całości zmieniany 13 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 18:35, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
7.0 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q w pigułce
Spis treści
7.0 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q w pigułce 1
7.1 Definicja implikacji prostej p|=>q 3
7.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) 5
7.1.2 Przykład operatora implikacji prostej P||=>CH 7
7.2 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q 7
7.2.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) 9
7.2.2 Przykład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P 11
7.0 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q w pigułce
W tabeli wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych TF2 (niżej) po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.
Kod: |
TF2
Tabela prawdy wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych Y
w logice dodatniej (bo Y)
|Grupa I |Grupa II |Grupa III | Grupa IV
|Spójniki „i”(*)|Spójniki =>, ~>|Spójniki <=>, $ | Wejścia
|oraz „lub”(+) ||=>, |~> ||~~>, |~~~> | p i q
| Y Y | Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y
p q | * + | ~* ~+ | => ~> |=> |~> | <=> $ |~~> |~~~>| p q ~p ~q
A: 1 1 | 1 1 | 0 0 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 1 1 0 0
B: 1 0 | 0 1 | 1 0 | 0 1 0 1 | 0 1 1 0 | 1 0 0 1
C: 0 1 | 0 1 | 1 0 | 1 0 1 0 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0
D: 0 0 | 0 0 | 1 1 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 0 0 1 1
A A A A A A A A A A A A A A A A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
|
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
;
Stąd:
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku "lub"(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku "lub"(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Z tabeli TF2 wycinamy lnie TF6-7
Kod: |
TF6-7:
Spójniki implikacyjne p|=>q i p|~>q:
A6.
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1),
ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1)
;
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=(~p+q)*~(p+~q)=(~p+q)*(~p*q)=~p*q
Y = p|=>q = ~p* q # ~Y=~(p|=>q)= p+~q
##
A7.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (B1),
ale nie wystarczające => dla zajścia q (A1)
;
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(~p+q)*(p+~q)=(p*~q)*(p+~q)=p*~q
Y = p|~>q = p*~q # ~Y=~(p|~>q)= ~p+q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF6-7 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
cnd
7.1 Definicja implikacji prostej p|=>q
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q:
Kod: |
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p=0 = 4:~q~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =(~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
Do zapamiętania:
A1B1: p|=>q = ~p*q
Między kolumnami A1B1 i A2B2 zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p|~>~q=(A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)
Dowód 1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =0
Dowód 2.
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach "i'(*) i "lub"(+):
p|=>q = ~p*q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p|~>q = p*~q
Do udowodnienia:
p|=>q = ~p|~>~q
Rozwijamy prawa stronę:
~p|~>~q = (~p)*~(~q) = ~p*q = p|=>q
cnd
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
cnd
Tożsame znaczki tożsamości logicznej:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
7.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q)
Kod: |
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+ q=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p=0 = 4:~q~>~p=0 [=] 5: p+~q=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja prosta p|=>q determinuje prawdziwość operatora implikacji prostej p||=>q
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: zajdzie p (p) i nie zajdzie q (~q)
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: p i ~q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
… co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajście ~q bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie zajdzie p (~p) i zajdzie q (q)
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
Prawdziwość zdania B2’ wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost” - nic a nic nie musimy więcej udowadniać.
Podsumowując:
Implikacja prosta p|=>q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1 oraz najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p o czym mówią zdania A2 i B2’.
Zauważmy, zdania wchodzące w skład implikacji prostej p|=>q, czyli A1, A1’, A2, B2’ mogą być wypowiadane w dowolnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
7.1.2 Przykład operatora implikacji prostej P||=>CH
Zadanie:
Wzorując się na teorii ogólnej podanej wyżej udowodnij, że poniższe zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią operatora implikacji prostej P||=>CH
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => do tego aby jutro było pochmurno, bo zawsze gdy pada, jest pochmurno
cnd
Podpowiedź:
Rozwiązanie znajdziemy w pkt. 6.18
7.2 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
Kod: |
IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q)=p*~q
Do zapamiętania:
A1B1: p|~>q = p*~q
Między kolumnami A1B1 i A2B2 zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p|=>~q=~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Dowód 1
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =0
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =1
Dowód 2.
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach "i'(*) i "lub"(+):
p|=>q = ~p*q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p|~>q = p*~q
Do udowodnienia:
p|~>q = ~p|=>~q
Rozwijamy prawa stronę:
~p|=>~q = ~(~p)*(~q) = p*~q = p|~>q
cnd
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
cnd
Tożsame znaczki tożsamości logicznej:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
7.2.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q)
Kod: |
IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q)
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Matematyczna oczywistość na mocy praw Sowy:
Udowodnieni prawdziwości implikacji odwrotnej p|~>q jest tożsame udowodnieniem prawdziwości operatora implikacji odwrotnej p||~>q
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
Prawdziwość zdania A1’ wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost” - nic a nic nie musimy więcej udowadniać.
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie zajdzie p (~p) i zajdzie q (q)
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~p i q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
Podsumowując:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to po stronie p najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” o czym mówią zdania B1 i A1’, natomiast po stronie ~p mamy gwarancję matematyczną => w postaci zdania B2.
Kolejność wypowiadania zdań B1. A1’, B2, B2’ w powyższej analizie jest bez znaczenia.
7.2.2 Przykład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P
Zadanie:
Wzorując się na teorii ogólnej podanej wyżej udowodnij, że poniższe zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią operatora implikacji odwrotnej CH||~>P
B1.
Jeśli jutro będzie pochmrno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
cnd
Podpowiedź:
Rozwiązanie znajdziemy w pkt. 6.19
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 12:59, 15 Lis 2022, w całości zmieniany 6 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 18:37, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
7.3 Równoważność p<=>q i "albo"($) p$q w pigułce
Spis treści
7.3 Równoważność p<=>q i "albo"($) p$q w pigułce 1
7.4 Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) 2
7.4.1 Diagram równoważności p<=>q 5
7.4.2 Definicja definicji 7
7.5 Równoważność M<=>M 11
7.5.1 Operator równoważności M|<=>M 12
7.6 Definicja spójnika „albo”($) p$q 15
7.6.1 Diagram spójnika "albo"($) p$q w zbiorach 17
7.7 Przykład spójnika "albo"($) M$K 21
7.7.1 Operator "albo"(|$) M|$K w zbiorach 23
7.3 Równoważność p<=>q i "albo"($) p$q w pigułce
W tabeli wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych TF2 (niżej) po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.
Kod: |
TF2
Tabela prawdy wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych Y
w logice dodatniej (bo Y)
|Grupa I |Grupa II |Grupa III | Grupa IV
|Spójniki „i”(*)|Spójniki =>, ~>|Spójniki <=>, $ | Wejścia
|oraz „lub”(+) ||=>, |~> ||~~>, |~~~> | p i q
| Y Y | Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y
p q | * + | ~* ~+ | => ~> |=> |~> | <=> $ |~~> |~~~>| p q ~p ~q
A: 1 1 | 1 1 | 0 0 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 1 1 0 0
B: 1 0 | 0 1 | 1 0 | 0 1 0 1 | 0 1 1 0 | 1 0 0 1
C: 0 1 | 0 1 | 1 0 | 1 0 1 0 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0
D: 0 0 | 0 0 | 1 1 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 0 0 1 1
A A A A A A A A A A A A A A A A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
|
Prawo negacji funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować przechodząc do logiki przeciwnej.
Przykład:
1.
Y= (p<=>q)= p*q+~p*~q
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie funkcję 1, stąd mamy:
2.
~Y=~(p<=>q)= p*~q+~p*q
Z tabeli TF2 wycinamy linie TF8-9
Kod: |
TF8-9:
Spójniki równoważnościowe p<=>q i p$q
A8.
Równoważność p<=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
;
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p<=>q= p* q + ~p*~q # ~Y=~(p<=>q)= p*~q + ~p* q
## ##
A9.
Spójnik „albo”($) p$q:
A1: p=>~q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
;
Definicja spójnika „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p$q= p*~q + ~p* q # ~Y= ~(p$q) = p* q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF8-9 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
cnd
7.4 Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q)
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Dowód w pkt. 6.11
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa.
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q=1
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=> definiuje: | Równoważności <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1 [=] 5: p*q+~p*~q
tożsamość zbiorów/zdarzeń: | tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =(~p+q)*(p+~q) = ~p*p+~p*~q+q*p+q*~q=p*q+~p*~q
Do zapamiętania:
p<=>q = p*q+~p*~q
W tabeli TR na mocy kolumny A2B2 odczytujemy tożsamą definicję równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q).
A2B2.
Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~>, jak i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q
Ta wersja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom (w tym matematykom)
Matematycznie między kolumnami A1B1 i A2B2 zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
[=]
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Dowód 1
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =1
cnd
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
„=”, [=], <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej.
Dowód 2
Definicja równoważności w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p<=>q = p*q+~p*~q
Mamy do udowodnienia tożsamość logiczną:
p<=>q = ~p<=>~q
Rozwijamy prawą stronę:
~p<=>~q = (~p)*(~q) + ~(~p)*~(~q) = ~p*~q + p*q = p*q+~p*~q = p<=>q
cnd
7.4.1 Diagram równoważności p<=>q
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Na mocy tabeli prawdy równoważności TR łatwo rysujemy diagram równoważności w zbiorach/zdarzeniach.
Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach.
---------------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|-----------------------------------|-------------------------------------|
| q | ~q |
|-------------------------------------------------------------------------|
| p=q # ~p=~q |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Prawa Kubusia: |
| A1: p=>q=~p+q=1 (p*q=1) [=] A2:~p~>~q=~p+q=1 (~p*~q=1) |
| ## | ## |
| B1: p~>q=p+~q=1 (p*q=1) [=] B2:~p=>~q=p+~q=1 (~p*~q=1) |
| Stąd: |
| A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)[=]A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
|-------------------------------------------------------------------------|
| Tożsamości zbiorów na mocy prawa Irbisa |
| A1B1: p=q # A2B2: ~p=~q |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów/zdarzeń niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty, zdarzenie niemożliwe |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty, zdarzenie niemożliwe |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Gdzie: |
| # - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony |
| ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>|
| [=], "=", <=> - znaczki tożsamości logicznej |
| p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia |
---------------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór/zdarzenie p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia q
B1: p~>q =1 - zbiór/zdarzenie p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia q
Stąd:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Dowód prawdziwości:
Równoważność A1B1: p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
A2B2:
A2:~p~>~q=1 -zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia ~q
B2:~p=>~q=1 -zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Dowód prawdziwości:
Równoważność ~p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
II
Po zamianie p i q
A3B3:
A3: q~>p =1 - zbiór/zdarzenie q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia p
B3: q=>p =1 - zbiór/zdarzenie q jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia p
stąd:
A3B3: q<=>p=(A3: q~>p)*(B3: q=>p)=1*1=1
Dowód prawdziwości:
Równoważność q<=>p definiuje tożsamość zbiorów q=p
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
A4B4:
A4:~q=>~p=1 -zbiór/zdarzenie ~q jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~p
B4:~q~>~p=1 -zbiór/zdarzenie ~q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia ~p
Stąd:
A4B4: ~q<=>~p=(A4:~q=>~p)*(B4:~q~>~p)=1*1=1
Dowód prawdziwości:
Równoważność ~q<=>~p definiuje tożsamość zbiorów ~q=~p
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory/zdarzenia niepuste i rozłączne
p=q oraz ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny D
3.
W definicji równoważności p<=>q nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
7.4.2 Definicja definicji
Przypomnijmy sobie wiadomości elementarne z Kubusiowej teorii zbiorów (pkt. 5.2)
Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, miłość, krasnoludek, ZWZ, LN ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]
Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies)
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)
Prawo Rekina:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie
Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze
Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka
Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)
Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum.
Zauważmy, że zaledwie 40 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na Ziemi.
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Z diagramu równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach/pojęciach mamy wyprowadzoną definicję definicji.
Definicja definicji:
Pojęcie x ma poprawną definicję wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi równoważność x<=>x w dziedzinie Uniwersum
Przykład:
x=miłość
Mamy ewidentną tożsamość:
x = (M) miłość= (M) miłość
Stąd mamy tożsame p i q w równoważności p<=>q:
p=q
Nasz przykład:
p=M (miłość)
q=M (miłość)
Stąd mamy:
M=M
Na mocy prawa Irbisa zapisujemy równoważności prawdziwą:
p<=>q
Nasz przykład:
M<=>M
Zgodnie z definicją definicji za dziedzinę przyjmujemy Uniwersum.
Uniwersum - zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych przez człowieka
Stąd obliczamy zaprzeczenie pojęcia M (miłość) w dziedzinie U (uniwersum):
~p = ~M=[U-M] - wszelkie pojęcia zrozumiałe przez człowieka z wykluczeniem pojęcia M (miłość)
~q = ~M=[U-M] - wszelkie pojęcia zrozumiałe przez człowieka z wykluczeniem pojęcia M (miłość)
Oczywiście zachodzi tożsamość zbiorów:
~p=~q
Nasz przykład:
~M=~M
co na mocy prawa Irbisa wymusza prawdziwą równoważność:
~p<=>~q
Nasz przykład:
~M<=>~M
Zachodzi definicja dziedziny zarówno po stronie p jak i po stronie q.
Pokażemy spełnienie dziedziny po stronie p, bowiem po stronie q będzie identycznie.
Dowód:
p+~p =U =1
Nasz przykład:
M+~M = M + [U-M] =U =1
p*~p =[] =0
M*~M = M*[U-M]=[] =0 - bo zbiory M i U-M są rozłączne
Stąd mamy ogólne prawo teorii zbiorów:
1-p = D-p = ~p
Dowód:
D = p+~p =1 - na mocy definicji dziedziny
stąd:
1-p = D-p = [p+~p]-p =~p
cnd
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => (A1) jak i koniecznego ~> (B1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Lewą stronę czytamy:
p wtedy i tylko wtedy gdy p
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest potrzebne ~> (B1) i wystarczające => (A1) by zaszło q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom (w tym matematykom).
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą ”nie wprost"
Na mocy prawa Słonia podstawową definicję równoważności możemy zapisać w postaci relacji podzbioru => i nadzbioru ~> zbiorów/pojęć.
Na mocy prawa Słonia zapisujemy.
Definicja równoważności w relacji podzbioru => i nadzbioru ~>:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno relacji podzbioru => (A1) jak i relacji nadzbioru ~> (B1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zbiór/zdarzenie/pojęcie p jest podzbiorem => dla zbioru/zdarzenia/pojęcia q
B1: p~>q =1 - zbiór/zdarzenie/pojęcie p jest nadzbiorem ~> dla zbioru/zdarzenia/pojęcia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Lewą stronę czytamy:
p wtedy i tylko wtedy gdy p
Prawą stronę czytamy:
p jest podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) q
Nasz przykład:
A1B1: M<=>M = (A1: M=>M)*(B1: M~>M)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Zdania składowe czytamy:
A1.
Jeśli wiem co znaczy M (miłość) to na 100% => wiem co znaczy M (miłość)
A1: M=>M =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego.
cnd
##
B1.
Jeśli wiem co znaczy M (miłość) to na 100% ~> wiem co znaczy M (miłość)
B1: M~>M =1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dowód:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Dowód to zdania A1 i B1 brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka różne na mocy definicji. Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => (relacja podzbioru =>) i koniecznego ~> (relacja nadzbioru ~>) wbudowanych w treść zdań.
Zobacz także punkt 6.12.
Zapiszmy naszą udowodnioną równoważność:
p=M <=> q=M
w tabeli prawdy równoważności p<=>q.
7.5 Równoważność M<=>M
Nasza omawiana równoważność to:
Definicja równoważności w relacji podzbioru => i nadzbioru ~>:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno relacji podzbioru => (A1) jak i relacji nadzbioru ~> (B1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zbiór/zdarzenie/pojęcie p jest podzbiorem => dla zbioru/zdarzenia/pojęcia q
B1: p~>q =1 - zbiór/zdarzenie/pojęcie p jest nadzbiorem ~> dla zbioru/zdarzenia/pojęcia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Lewą stronę czytamy:
p wtedy i tylko wtedy gdy p
Prawą stronę czytamy:
p jest podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) q
Nasz przykład:
A1B1: M<=>M = (A1: M=>M)*(B1: M~>M)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Wiem co znaczy pojęcie M (miłość) wtedy i tylko wtedy gdy wiem co znaczy pojęcie M (miłość)
Prawą stronę czytamy:
Pojęcie M (miłość) jest podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) pojęcia M (miłość)
Dowód:
Każde pojęcie jest zarówno podzbiorem => (A1) jak i nadzbiorem ~> (B1) siebie samego
cnd
Zapiszmy naszą równoważność w tabeli prawdy równoważności p<=>q
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Nasz przykład aktualny:
p=M (miłość)
q=M (miłość)
A1: M=>M =1 - pojęcie M jest (=1) podzbiorem => pojęcia M
B1: M~>M =1 - pojęcie M jest (=1) nadzbiorem ~> pojęcia M
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: M<=>M w równaniu logicznym:
A1B1: M<=>M = (A1: M=>M)*(B1: M~>M) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+q =1
A: 1: M=>M=1 = 2:~M~>~M=1 [=] 3: M~>M=1 = 4:~M=>~M=1 [=] 5: ~M+M =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q=1
B: 1: M~>M=1 = 2:~M=>~M=1 [=] 3: M=>M=1 = 4:~M~>~M=1 [=] 5: M+~M=1
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=> definiuje: | Równoważności <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1 [=] 5: p*q+~p*~q
AB: 1: M<=>M=1 = 2:~M<=>~M=1 [=] 3: M<=>M=1 = 4:~M<=>~M=1 [=] 5: M*M+~M*~M
tożsamość zbiorów/zdarzeń: | tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
AB: 1: M=M # 2:~M=~M | 3: M=M # 4:~M=~M
Gdzie:
p=M (miłość)
q=M (miłość)
Dziedzina:
U (uniwersum) - wszelki pojęcia zrozumiałe przez człowieka
Stąd:
~p=~M=[U-M] - wszelkie pojęcia z wykluczeniem M (miłości)
~q=~M=[U-M] - wszelkie pojęcia z wykluczeniem M (miłości)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
7.5.1 Operator równoważności M|<=>M
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Na mocy prawa Sowy równoważność prawdziwa p<=>q determinuje prawdziwość operatora równoważności p|<=>q.
Definicja operatora równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) podzbiorem => q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) nadzbiorem ~> q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q:
Dwa zbiory/zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy p jest podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> q (B1)
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Nasz przykład:
A1B1: M=M <=> (A1: M=>M)*(B1: M~>M) = A1B1: M<=>M
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli znam pojęcie M to na 100% => znam pojęcie M
M=>M =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Znajomość pojęcie M (miłość) jest warunkiem wystarczającym => dla znajomości pojęcia M (miłość)
Każde pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1'.
Jeśli znam pojęcie M (M) to mogę ~~> nie znać pojęcia M (~M)
M~~>~M = M*~M =[] =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =[]=0
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: M=>M =1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
Dowód wprost:
M~~>~M = M*~M = M*[U-M]=[] =0
cnd
… co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest (=1) nadzbiorem ~> ~q
B2: ~p=>~q =1 - ~p jest (=1) podzbiorem => ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=~q:
Dwa zbiory/zdarzenia ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy ~p jest nadzbiorem ~> (A2) i podzbiorem => (B2) ~q.
A2B2: ~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)= A2B2: ~p<=>~q
Nasz przykład:
A2B2: ~M=~M <=> (A2: ~M~>~M)*(B1: ~M=>~M) = A2B2: ~M<=>~M
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli nie wiem co znaczy M (~M) to na 100% => nie wiem co znaczy M (~M)
~M=>~M =1
to samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Brak znajomości pojęcia M (~M) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla braku znajomości pojęcia M (~M)
Każde pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2'.
Jeśli nie znam pojęcia M (M) to mogę ~~> znać pojęcie M (M)
~M~~>M = ~M*M =[] =0
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =[]=0
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~M=>~M =1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
Dowód wprost:
~M~~>M = ~M*M = [U-M]*[M]=[] =0
cnd
Podsumowując:
Równoważność p<=>q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań tworzących operator równoważności p|<=>q (A1, A1’,B2, B2’) jest bez znaczenia co oznacza, iż zdania w powyższej analizie możemy dowolnie przestawiać.
Powyższa analiza dotyczy definicji dowolnego pojęcia:
Przykładowo Jaś może znać prawo Ohma (wtedy prawdziwe będzie zdania A1 i fałszywe B2), albo może nie znać prawa Ohma (wtedy prawdziwe będzie zdanie B2 i fałszywe A1). Nigdy nie może się zdarzyć, że zdania A1 i B2 będą prawdziwe/fałszywe jednocześnie.
7.6 Definicja spójnika „albo”($) p$q
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p (p) do zanegowanego q (~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Powyższa definicja równoważności p<=>~q znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= A1B1: p<=>~q
Środek czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q (i odwrotnie)
Dowód w pkt. 6.11
Stąd mamy tabelę prawdy spójnika "albo"($) M$K z uwzględnieniem prawa Irbisa.
Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) p$q uwzględniająca prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q=1 [=] 3: ~q~>p=1 = 4: q=>~p=1 [=] 5: ~p+~q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q=1 [=] 3: ~q=>p=1 = 4: q~>~p=1 [=] 5: p+ q =1
-----------------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3: ~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń (prawo Irbisa):
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
AB: 1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($) p$q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja spójnika "albo"($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p$q = p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =(~p+~q)*(p+q)= ~p*p+ ~p*q+ ~q*~p+ ~q*q = p*~q + ~p*q
Do zapamiętania:
p$q = p*~q+~p*q
W tabeli TA na mocy kolumny A2B2 odczytujemy tożsamą definicję spójnika "albo"($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q).
A2B2.
Definicja spójnika "albo"($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q):
Spójnik "albo"($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~>, jak i wystarczającego => w kierunku od ~p do q
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
stąd:
A2B2: ~p$~q = ~p<=>q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1=1
Czytamy:
Spójnik "albo"($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniony wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
Ta wersja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom (w tym matematykom)
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q
[=]
A2B2: ~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)=~p<=>q
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>~q = A2: ~p~>q
B1: p~>~q = B2: ~p=>q
cnd
Dowód tożsamy to skorzystanie z definicji spójnika "albo"($) p$q w spójniach "i"(*) i "lub"(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Mamy do udowodnienia tożsamość logiczną:
A1B1: p$q [=] A2B2: ~p$~q
Definicja "albo" p$q:
p$q = p*~q + ~p*q
Rozwijamy prawą stronę:
A2B2: ~p$~q = (~p*)~(~q) + ~(~p)*(~q) = ~p*q + p*~q = p*~q + ~p*q = A1B1: p$q
cnd
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
„=”, [=], <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej.
7.6.1 Diagram spójnika "albo"($) p$q w zbiorach
Definicja spójnika „albo”($) p$q w zbiorach:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to dwa zbiory niepuste i rozłączne p i q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
Stąd mamy definicję dziedziny dla spójnika „albo”($)
D=p+q
Definicja dziedziny:
p+q =D =1 - z definicji "albo"($) p$q zbiór q jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla zbioru p
p*q =[] =0 - z definicji "albo"($) p$q zbiory p i q są niepuste i rozłączne.
Rozważmy sztandarowy przykład:
A1B1
Dowolny człowiek (C) jest mężczyzną (M) "albo"($) kobietą (K)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
Prawo poprawnego kodowania zdań z języka potocznego:
Wszelkie przeczenia w języku potocznym musimy uwidocznić w kodowaniu formalnym zdań z języka potocznego.
Teoretycznie można tego nie robić pod warunkiem tworzenia dla każdego zdania indywidualnej tabeli przyporządkowań (zapis aktualny vs zapis formalny) co prowadzi do potwornego skomplikowania logiki matematycznej.
Lewą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) "albo"($) kobietą (K) - trzeciej możliwości brak.
M$K
Prawą stronę czytamy:
Do tego aby być mężczyzną (M) potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) nie być kobietą
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
Prawa strona to doskonale znana każdemu człowiekowi definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q (i odwrotnie)
Dowód w pkt. 6.11
Mamy nasze zdanie:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Przyjmujemy dziedzinę:
D = C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi
Definicja dziedziny:
M+K = C =1 - zbiór kobiet (K) jest uzupełnieniem dla zbioru mężczyzn (M) do dziedziny D
M*K =[] =0 - zbiór M (mężczyzn) i K (kobiet) to zbiory rozłączne
Obliczamy przeczenia zbiorów definiowane jako uzupełnienia do dziedziny C.
~M = [C-M] = [(M+K)-M] =K
~K = [C-K] = [(M+K)-K] = M
Podsumujmy w powiązaniu z zapisem formalnym:
p=M (mężczyzna)
q = K (kobieta)
~p = ~M=K
~q = ~K=M
Stąd łatwo rysujemy diagram spójnika "albo"($) p$q w zbiorach/zdarzeniach, dla łatwiejszego zrozumienia powiązaną z naszym przykładem o mężczyźnie i kobiecie.
Kod: |
DA
----------------------------------------------------------------------
| p M(mężczyzna) | q K(kobieta) |
|------------------------------|-------------------------------------|
| ~q ~K | ~p ~M |
|------------------------------|-------------------------------------|
| p=~q # ~p=q |
|--------------------------------------------------------------------|
| A1: p=>~q=1 (p*~q=1) | A2:~p~>q=1 (~p*q=1) |
| B1: p~>~q=1 (p*~q=1) | B2:~p=>q=1 (~p*q=1) |
| p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) [=] ~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) |
| Definiuje tożsamość zbiorów: | Definiuje tożsamość zbiorów: |
| A1B1: p=~q # A2B2: ~p=q |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina to suma logiczna zbiorów niepustych p*~q i ~p*q: |
| D= A1: p*~q+ B2:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>q = p* q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>~q=~p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Gdzie: |
| # - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony|
| [=] - tożsamość logiczna |
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>~q =1 -zbiór/zdarzenie p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~q
B1: p~>~q =1 -zbiór/zdarzenie p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia ~q
Stąd:
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Wnioski:
Równoważność p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
A2B2:
A2:~p~>q=1 -zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia q
B2:~p=>q=1 -zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia q
Stąd:
A2B2: ~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p<=>q
Wnioski:
Równoważność ~p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=q
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
II
Po zamianie p i q
A3B3:
A3: q~>~p =1 -zbiór/zdarzenie q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia ~p
B3: q=>~p =1 -zbiór/zdarzenie q jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~p
stąd:
A3B3: q$p=(A3: q~>~p)*(B3: q=>~p)= q<=>~p
Wnioski:
Równoważność q<=>~p definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń q=~p
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
A4B4:
A4:~q=>p=1 -zbiór/zdarzenie ~q jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia p
B4:~q~>p=1 -zbiór/zdarzenie ~q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia p
Stąd:
A4B4: ~q$~p=(A4:~q=>p)*(B4:~q~>p)= ~q<=>p
Wnioski:
Równoważność ~q<=>p definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~q=p
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja spójnika „albo”($) p$q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=q (i odwrotnie)
2.
Spójnik „albo”($) p$q to dwa i tylko dwa zbiory/zdarzenia niepuste i rozłączne p=~q oraz ~p=q uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny
3.
W definicji spójnika „albo”($) nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q
[=]
A2B2: ~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)=~p<=>q
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>~q = A2: ~p~>q
B1: p~>~q = B2: ~p=>q
cnd
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Lewa strona tożsamości logicznej [=] definiuje tożsamość zbiorów p=~q:
A1B1: p=~q <=> A1B1: (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q = A1B1: p$q
Dwa zbiory p i ~q są tożsame (p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru ~q (A1) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q (B1)
Prawa strona tożsamości logicznej [=] definiuje tożsamość zbiorów ~p=q:
A2B2: ~p=q <=> A2B2: (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)= A2B2:~p<=>q = A2B2:: ~p$~q
Dwa zbiory ~p i q są tożsame (~p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru q (B2) i jednocześnie zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru q (A2)
W algebrze Kubusia tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=>
Z faktu zachodzącej tożsamości logicznej [=]:
A1B1: (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
[=]
A2B2: (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)=~p<=>q
wynika iż zbiory p=~q i ~p=q są rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny, do widać na diagramie DA.
Stąd dla diagramu DA możemy zapisać:
Kod: |
DMZDA
Diagram matematycznych związków w spójniku „albo”($) dla zbiorów:
Spójnik „albo”($) p$q [=] Spójnik „albo”($) ~p$~q
A1B1: [=] A2B2:
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q [=] ~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)=~p<=>q
Definiujący tożsamość zbiorów | Definiujący tożsamość zbiorów:
p=~q # ~p=q
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
w obrębie tej samej dziedziny D
Dziedzina D w „albo”($) to dwa zbiory niepuste i wzajemnie rozłączne
p=~q oraz ~p=q uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny D.
Stąd:
D=p+q = p+~p =1
Zapis tożsamy:
D=~p+~q = q+~q=1
bo zachodzi tożsamość zbiorów p=~q wymuszająca tożsamość zbiorów ~p=q
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
~p=[D-p]=[p+~p-p]=~p
~q=[D-q]=[q+~q-q]=~q
Zachodzi prawo podwójnego przeczenia:
Zbiór p w logice dodatniej (bo p) to negacja # zbioru ~p w logice ujemnej (bo ~p) w dziedzinie D
p=~(~p)
Zbiór q w logice dodatniej (bo q) to negacja # zbioru ~q w logice ujemnej (bo ~q) w dziedzinie D
q=~(~q)
Doskonale to widać na diagramie DA
Oczywiście zachodzi również:
Zbiór ~p w logice ujemnej (bo ~p) to negacja # zbioru p w logice dodatniej (bo p) w dziedzinie D
~p=~(p)
Zbiór ~q w logice ujemnej (bo ~q) to negacja # zbioru q w logice dodatniej (bo q) w dziedzinie D
~q=~(q)
Doskonale to widać na diagramie DA
Jak widzimy, od strony czysto matematycznej jest tu wszystko w porządku.
7.7 Przykład spójnika "albo"($) M$K
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p (p) do zanegowanego q (~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Rozważmy sztandarowy przykład:
A1B1
Dowolny człowiek (C) jest mężczyzną (M) "albo"($) kobietą (K)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) "albo"($) kobietą (K) - trzeciej możliwości brak.
M$K
Prawą stronę czytamy:
Do tego aby być mężczyzną (M) potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) nie być kobietą
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
Prawa strona to doskonale znana każdemu człowiekowi definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q (i odwrotnie)
Dowód w pkt. 6.11
Mamy nasze zdanie:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Przyjmujemy dziedzinę:
D = C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi
Definicja dziedziny:
M+K = C =1 - zbiór kobiet (K) jest uzupełnieniem dla zbioru mężczyzn (M) do dziedziny D
M*K =[] =0 - zbiór M (mężczyzn) i K (kobiet) to zbiory rozłączne
Obliczamy przeczenia zbiorów definiowane jako uzupełnienia do dziedziny C.
~M = [C-M] = [(M+K)-M] =K
~K = [C-K] = [(M+K)-K] = M
Podsumujmy w powiązaniu z zapisem formalnym:
p=M (mężczyzna)
q = K (kobieta)
~p = ~M=K
~q = ~K=M
Stąd mamy tabelę prawdy spójnika "albo"($) M$K z uwzględnieniem prawa Irbisa.
Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) p$q uwzględniająca prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Punkt odniesienia dla naszego przykładu:
p=M(mężczyzna)
q=K(kobieta)
Wspólna dziedzina:
C(człowiek) - zbiór wszystkich ludzi
M+K=C=1 - zbiór K jest uzupełnienie do dziedziny dla zbioru M
M*K=[]=0 - zbiory M i K są rozłączne
Stąd:
~M=[C-M]=K
~K=[C-K]=M
A1: M=>~K =1 - M jest (=1) wystarczające => dla ~K
B1: M~>~K =1 - M jest (=1) konieczne ~> dla ~K
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M<=>~K
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q=1 [=] 3: ~q~>p=1 = 4: q=>~p=1 [=] 5: ~p+~q =1
A: 1: M=>~K=1 = 2:~M~>K=1 [=] 3: ~K~>M=1 = 4: K=>~M=1 [=] 5: ~M+~K =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q=1 [=] 3: ~q=>p=1 = 4: q~>~p=1 [=] 5: p+ q =1
B: 1: M~>~K=1 = 2:~M=>K=1 [=] 3: ~K=>M=1 = 4: K~>~M=1 [=] 5: M+ K =1
-----------------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3: ~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
AB: 1: M$K = 2:~M$~K [=] 3: ~K$~M = 4: K$M [=] 5: M*~K+~M*K
Definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń (prawo Irbisa):
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
AB: 1: M<=>~K = 2:~M<=>K | 3:~K<=>M = 4: K<=>~M
AB: 1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
AB: 1: M=~K # 2:~M=K | 3:~K=M # 4: K=~M
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($) p$q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
7.7.1 Operator "albo"(|$) M|$K w zbiorach
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q (i odwrotnie)
Dowód w pkt. 6.11
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q)
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Matematyczna oczywistość na mocy praw Sowy:
Udowodnienie prawdziwości spójnika „albo”($) jest tożsame z udowodnieniem prawdziwości operatora „albo” p|$q
Operator „albo” p|$q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
A1B1: p$q = p<=>~p) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie q, trzeciej możliwości brak
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
A1B1: p$q = p<=>~p) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Powyższa równoważność p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q:
Zbiory:
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem ~q (p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Zdarzenia:
Zdarzenie p jest tożsame ze zdarzeniem ~q (p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q wymusza tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=q (albo odwrotnie)
p=~q # ~p=q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie p w rozpisce na warunek wystarczający =>.
Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli dowolny człowiek (C) jest mężczyzną to na 100% => nie jest kobietą (~K)
A1: M=>~K =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>~q =1
Bycie mężczyzną (M) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie być kobietą (~K)
cnd
Dowód tożsamy w zbiorach:
A1: M=>~K = M=>M =1
bo zachodzi tożsamość zbiorów:
~K=M
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
cnd
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie):
A1’.
Jeśli dowolny człowiek (C) jest mężczyzną (M) to może ~~> być kobieta (K)
A1': M~~>K = M*K =[] =0
Fałszywość kontrprzykładu A1' wynika z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 - to jest dowód "nie wprost"
Dowód wprost:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiór M (mężczyzn) jest rozłączny ze zbiorem K (kobiet)
cnd
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
A2B2: ~p$~q = ~p<=>q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p „albo”($) zajdzie ~q, trzeciej możliwości brak
A2B2: ~p$~q = ~p<=>q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
A2B2: ~p<=>q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q)=1*1=1
Powyższa równoważność ~p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=q:
Zbiory:
Zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem q (~p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
~p=q <=> (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p<=>q
Zdarzenia:
Zdarzenie ~p jest tożsame ze zdarzeniem q (~p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
~p=q <=> (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p<=>q
Tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=q wymusza tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q (albo odwrotnie)
~p=q # p=~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie ~p w rozpisce na warunek wystarczający =>.
Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli dowolny człowiek (C) nie jest mężczyzną (~M) to na 100% => jest kobietą (K)
~M=>K =1
Nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K)
cnd
Dowód tożsamy w zbiorach:
~M=>K = ~M=>~M =1
bo zachodzi tożsamość zbiorów"
K = ~M
Każdy zbiór (np. ~M) jest tożsamy z samym sobą
cnd
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie):
B2’.
Jeśli dowolny człowiek (C) nie jest mężczyzną (~M) to może ~~> nie być kobietą (~K)
~M~~>~K = ~M*~K =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory ~M i ~K są rozłączne.
Fałszywość zdania B2' wynika z prawdziwości warunku wystarczającego B2 - to jest dowód "nie wprost" tego faktu.
Dowód wprost:
~M~~>~K = ~M*~K = K*M =[] =0
bo zachodzi tożsamość zbiorów:
~M=K
~K=M
Zbiór M (mężczyzn) jest rozłączny ze zbiorem K (kobiet)
cnd
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora „albo” p|$q w logice dodatniej (bo q) jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).
W powyższej analizie kolejność wypowiadania zdań A1, A1’, B2, B2’ jest bez znaczenia.
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 13:04, 15 Lis 2022, w całości zmieniany 8 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 18:41, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
7.8 Spójnik chaosu p|~~>q i śmierci p|~~~>q w pigułce
Spis treści
7.8 Spójnik chaosu p|~~>q i śmierci p|~~~>q w pigułce 1
7.9 Definicja chaosu p|~~>q 2
7.9.1 Operator chaosu p||~~>q 4
7.9.2 Zaprzeczenie chaosu p|~~>q 5
7.9.3 Warunek konieczny i wystarczający dla spójnika chaosu p|~~>q 7
7.10 Przykład spójnika chaosu P8|~~>P3 8
7.10.1 Operator chaosu P8||~~>P3 11
7.10.2 Alternatywne rozstrzygniecie spójnika chaosu P8|~~>P3 13
7.10.3 Warunek konieczny i wystarczający dla spójnika chaosu P8|~~>P3 14
7.11 Śmierć p|~~~>q=0 15
7.11.1 Matematyczny związek śmierci p|~~~>q=0 z chaosem p|~~>q=1 16
7.8 Spójnik chaosu p|~~>q i śmierci p|~~~>q w pigułce
W tabeli wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych TF2 (niżej) po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.
Kod: |
TF2
Tabela prawdy wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych Y
w logice dodatniej (bo Y)
|Grupa I |Grupa II |Grupa III | Grupa IV
|Spójniki „i”(*)|Spójniki =>, ~>|Spójniki <=>, $ | Wejścia
|oraz „lub”(+) ||=>, |~> ||~~>, |~~~> | p i q
| Y Y | Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y
p q | * + | ~* ~+ | => ~> |=> |~> | <=> $ |~~> |~~~>| p q ~p ~q
A: 1 1 | 1 1 | 0 0 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 1 1 0 0
B: 1 0 | 0 1 | 1 0 | 0 1 0 1 | 0 1 1 0 | 1 0 0 1
C: 0 1 | 0 1 | 1 0 | 1 0 1 0 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0
D: 0 0 | 0 0 | 1 1 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 0 0 1 1
A A A A A A A A A A A A A A A A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
|
Prawo negacji funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować przechodząc do logiki przeciwnej.
Chaos i śmierć opisane są kolumnami A10 i A11
Kod: |
TF10-11
Grupa spójników chaosu p|~~>q i śmierci p|~~~>:
Definicja chaosu: Y=p|~~>q=1:
A10: Y =(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=1 # B10: ~Y=0
## ##
Definicja śmierci: Y=p|~~~>q=0:
A11: Y =0 # B11: ~Y=(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p,q muszą być wszędzie tymi samymi p,q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF10-11 oba znaczki # i ## są perfekcyjnie spełnione.
7.9 Definicja chaosu p|~~>q
Zajmiemy się bliżej definicją chaosu p|~~>q.
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajęcie p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
Podstawiając do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> mamy:
Kod: |
CH
Tabela prawdy chaosu p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1 [=] 4:~q~~>~p=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
B”: 2:~p~~>~q=1 [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Komentarz:
Kolumna A1B1:
Fałszywy warunek wystarczający:
A1: p=>q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
A1’: p~~>~q=1
Dodatkowo musi być:
A1’’: p~~>q =1
Dowód „nie wprost”
Załóżmy, że zachodzi:
A1’’: p~~>q=p*q=0 - zbiory p i q są rozłączne
Wtedy, na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy jest warunek wystarczający =>:
A1’’’: p=>~q=1
co to sprzeczne z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym warunku wystarczającym mowy być nie może.
cnd
Identycznie mamy w kolumnie A2B2:
Fałszywy warunek wystarczający:
B2: ~p=>~q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 - istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
Dodatkowo musi istnieć element wspólny zbiorów ~p i ~q:
B2’’: ~p~~>~q=~p*~q =1
Dowód „nie wprost”
Załóżmy że zachodzi:
B2”: ~p~~>~q=~p*~q=0 – zbiory ~p i ~q są rozłączne
Wtedy, na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy jest warunek wystarczający =>:
B2’’’: ~p=>q=1
co to sprzeczne z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym warunku wystarczającym mowy być nie może.
cnd
7.9.1 Operator chaosu p||~~>q
Operator chaosu p||~~>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1”: p~~>q = p*q =1 - istnieje wspólny element zbiorów p i q (zdarzenie możliwe ~~>)
A1’: p~~>~q = p*~q =1 - istnieje wspólny element zbiorów p i ~q (zdarzenie możliwe ~~>)
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A1” i A1’
Kolumna A1B1:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla spełnionego p:
A1’’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
LUB
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
B2”: ~p~~>~q = ~p*~q =1 - istnieje wspólny element zbiorów ~p i ~q (zdarzenie możliwe ~~>)
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 - istnieje wspólny element zbiorów ~p i q (zdarzenie możliwe ~~>)
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B2” i B2’
Kolumna A2B2:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla niespełnionego p (~p):
B2’’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i ~q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
LUB
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Podsumowanie:
Doskonale widać, że zarówno po stronie p jak i po stronie ~p mamy tu najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Po stronie p mamy:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q (zdanie A1”) lub może ~~> zajść ~q (zdanie A1’)
Po stronie ~p mamy:
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q (zdanie B2”) lub może ~~> zajść q (zdanie B2’)
Kolejność wypowiadania zdań w powyższej analizie jest bez znaczenia.
7.9.2 Zaprzeczenie chaosu p|~~>q
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajęcie p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
Podstawiając do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> mamy:
Kod: |
CH
Tabela prawdy chaosu p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1 [=] 4:~q~~>~p=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
B”: 2:~p~~>~q=1 [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zapiszmy skróconą definicje chaosu p|~~>q:
Kod: |
T1
Skrócona definicja chaosu p|~~>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Y
A: p~~> q = p* q =1 - istnieje (Ya=1) wspólny element zbiorów p i q
B: p~~>~q = p*~q =1 - istnieje (Yb=1) wspólny element zbiorów p i ~q
C:~p~~>~q =~p*~q =1 - istnieje (Yc=1) wspólny element zbiorów ~p i ~q
D:~p~~> q =~p* q =1 - istnieje (Yd=1) wspólny element zbiorów ~p i q
|
Prawo Prosiaczka:
(Y=1)=(~Y=0)
Stąd mamy tożsamy opis powyższej tabeli prawdy
Kod: |
T2
Skrócona definicja chaosu p|~~>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Y ~Y
A: p~~> q= p* q =1 =0 - fałszem jest (=0), że nie istnieje (~Ya) p i q
B: p~~>~q= p*~q =1 =0 - fałszem jest (=0), że nie istnieje (~Yb) p i ~q
C: ~p~~>~q=~p*~q =1 =0 - fałszem jest (=0), że nie istnieje (~Yc) ~p i ~q
D: ~p~~> q=~p* q =1 =0 - Fałszem jest (=0), że nie istnieje (~Yd) ~p i q
|
Uwaga:
W kolumnie wynikowej ~Y mamy same zera, zatem funkcję logiczną ~Y opisuje wyłącznie postać koniunkcyjno-alternatywna, totalnie niezrozumiała dla człowieka.
Dowód w punkcie 2.3.
Z powyższego powodu nie analizujemy kolumny ~Y opisaną funkcją koniunkcyjno-alternatywną.
Można to udowodnić w równaniach algebry Boole'a:
1.
Z tabeli T1 odczytujemy funkcję alternatywno-koniunkcyjną:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q =1
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Zapiszmy naszą funkcję logiczną Y uzupełniając brakujące nawiasy:
1"
Y = (p*q) + (p*~q) + (~p*q) + (~p*~q) =1
Zamieniliśmy dwa ostatnie człony co jest bez znaczenia, bo alternatywa jest przemienna.
.. kiedy zajdzie ~Y?
Przejście z równaniem 1" do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2.
~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)*(p+q) =0 - funkcja koniunkcyjno-alternatywna.
Otrzymaliśmy funkcję koniunkcyjno-alternatywną totalnie niezrozumiałą dla człowieka (dowód w pkt. 2.3), zatem nie analizujemy tej funkcji w języku potocznym.
Sprawdźmy tylko, czy rzeczywiście funkcja logiczna ~Y ma wartość logiczną twardego zera.
~Y= (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)*(p+q)
Wymnożenie logiczne wielomianu ~Y:
~Y1 = (~p+~q)*(~p+q) = ~p*~p + ~p*q + ~p*~q + ~q*q =(~p + ~p*q + ~p*~q)
~Y2 = (p+~q)*(p+q) = p*p+p*q+ p*~q+~q*q = (p + p*q + p*~q)
~Y = ~Y1*~Y2 = (~p + ~p*q + ~p*~q)* (p + p*q + p*~q)
~Y = (~p*p + ~p*p*q + ~p*p*~q) + (~p*q*p + ~p*q*p*q + ~p*q*p*~q)+
+(~p*~q*p + ~p*~q*p*q+~p*~q*p*~q) = (0+0+0)*(0+0+0)*(0+0+0)=0*0*0=0
cnd
7.9.3 Warunek konieczny i wystarczający dla spójnika chaosu p|~~>q
Na mocy tabeli T1 zapisujemy równanie alternatywno-koniunkcyjne opisujące spójnik chaosu:
ABCD: Y = (p|~~>q) = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q =1
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
ABCD: Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Odczyt równania alternatywno-koniunkcyjnego ABCD rozumie każdy uczeń I klasy LO, bo to jest język potoczny człowieka.
Czytamy dla zbiorów:
ABCD:
Istnieje element wspólny ~~> dla każdego ze zbiorów cząstkowych A: p*q lub B: p*~q lub C: ~p*~q lub D: ~p*q.
Warunek konieczny i wystarczający dla spójnika chaosu p|~~>q:
ABCD:
Warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => dla dowodu iż mamy do czynienia ze spójnikiem chaosu p|~~>q jest wymóg, by wszystkie zbiory cząstkowe A, B, C i D były niepuste.
Y = (p|~~>q) = (A: p*q) + (B: p*~q) + (C: ~p*~q) + (D: ~p*q) =1
Jeśli powyższy warunek nie jest spełniony to na 100% nie mamy do czynienia z operatorem chaosu.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie ABCD stronami poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
ABCD".
~Y = ~(p|~~>q) = (A: ~p+q)*(B: ~p+q)*(C: p+q)*(D: p+~q) =0
co w logice zer (bo równanie koniunkcyjno-alternatywne) oznacza:
~Y=0 <=> (A: ~p=0 + q=0) "i"(*) (B: ~p=0 lub q=0) "i"(*) (C: p=0 lub q=0) "i"(*) (D: p=0 lub ~q=0)
Równanie koniunkcyjno-alternatywne którym opisana jest funkcja ~Y jest totalnie niezrozumiałe w języku potocznym co udowodniono na prostym przykładzie w punkcie 2.3.
Z tego powodu nie ma sensu ani go wypowiadać, ani analizować.
Czytamy dla zdarzeń:
ABCD:
Możliwe jest (=1) każde ze zdarzeń cząstkowych ~~> A: p*q lub B: p*~q lub C: ~p*~q lub D: ~p*q.
Warunek konieczny i wystarczający dla spójnika chaosu p|~~>q:
ABCD:
Warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => dla dowodu iż mamy do czynienia ze spójnikiem chaosu p|~~>q jest wymóg, by każde ze zdarzeń cząstkowych A, B, C i D było możliwe (niepuste).
Y = (p|~~>q) = (A: p*q) + (B: p*~q) + (C: ~p*~q) + (D: ~p*q) =1
Jeśli powyższy warunek nie jest spełniony to na 100% nie mamy do czynienia z operatorem chaosu.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie ABCD stronami poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
ABCD".
~Y = ~(p|~~>q) = (A: ~p+q)*(B: ~p+q)*(C: p+q)*(D: p+~q) =0
co w logice zer (bo równanie koniunkcyjno-alternatywne) oznacza:
~Y=0 <=> (A: ~p=0 + q=0) "i"(*) (B: ~p=0 lub q=0) "i"(*) (C: p=0 lub q=0) "i"(*) (D: p=0 lub ~q=0)
Równanie koniunkcyjno-alternatywne którym opisana jest funkcja ~Y jest totalnie niezrozumiałe w języku potocznym co udowodniono na prostym przykładzie w punkcie 2.3.
Z tego powodu nie ma sensu ani go wypowiadać, ani też analizować.
7.10 Przykład spójnika chaosu P8|~~>P3
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą ”nie wprost"
Zadanie:
Dane jest zdanie:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =P8*P3 =1
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi w/w zdanie.
Rozwiązanie:
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
W poprzedniku mamy zdefiniowany zbiór:
p= P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
W następniku mamy zdefiniowany zbiór"
q= P3=[3,6,9,12..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Przyjmujemy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Obliczamy przeczenia zbirów definiowane jako uzupełnienia do dziedziny LN.
~p= ~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
~q=~P3=[LN-P3]=[1,2..4,5..7,8..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 3
Badamy warunek wystarczający A1.
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 3 (P3)
A1: P8=>P3 =0
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona (=0) bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9..]
Bo kontrprzykład: 3
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem logicznym mamy do czynienia musimy zbadać warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku, co w zdaniu A1.
Oczywiście w tym przypadku wygodnie jest skorzystać z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska:
A1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
A1: P8~>P3 = B3: P3=>P8
Dowodzimy twierdzenie odwrotnego B3: P3=>P8 w stosunku do udowodnionego twierdzenia prostego A1: P8=>P3.
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 3 (P3) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8)
B3: P3=>P8 =0
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona (=0) bo zbiór P3=[3,6,9,12..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Bo kontrprzykład: 8
Na mocy prawa Tygryska fałszywość twierdzenia odwrotnego B3: q=>p wymusza fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q
Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q =0
Nasz przykład:
B3: P3=>P8 = B1: P8~>P3 =0
Stąd mamy interesujące nas rozstrzygnięcie:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 3
B1: P8~>P3 =0
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =0
Zdanie B1 jest fałszem na mocy prawa Tygryska, co udowodniono dowodem "nie wprost".
Akurat w tym przypadku dowód wprost jest również trywialny:
B1: P8~>P3 =0
Na mocy prawa Słonia mamy:
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9..]
Dowód:
Liczba 8 jest w zbiorze P8=[8,16,24..] i nie ma jej w zbiorze P3=[3,6,9..] co jest konieczne ~> i wystarczające => by mieć 100% pewność że zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P3.
cnd
Podsumowując:
Badanie zdanie A1 jest częścią spójnika chaosu P8|~>P3:
Spójnik chaosu P8|~~>P3 jest spełniony wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi ani warunek wystarczający =>, ani też konieczny między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P3 =0 - bo zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P3
B1: P8~>P3 =0 - bo zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P3
Stad mamy:
P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*(~(B1: P8~>P3) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1=1
cnd
7.10.1 Operator chaosu P8||~~>P3
Podstawmy nasz przykład P8|~~>P3 do definicji spójnika chaosu p|~~>q:
Kod: |
CH
Tabela prawdy chaosu p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Nasz przykład:
p=P8=[8,16,24..]
q=P3=[3,6,9..]
Dziedzina:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
~p=~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~q=~P3=[1,2..4,5..7,8..]
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=> ~p =0
A': 1 p~~>~q =1 = [=] = 4:~q~~> p =1
A’: 1: P8~~>~P3=1 = [=] = 4:~P3~~>P8 =1
A”: 1: p~~> q =1 = [=] = 4:~q~~>~p =1
A”: 1: P8~~>P3 =1 = [=] = 4:~P3~~>~P8=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=> ~q =0 [=] 3: q=> p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
B’: = 2:~P8~~>P3 =1 [=] 3: P3~~>~P8=1
B”: 2:~p~~>~q =1 [=] 3: q~~> p =1
B”: 2:~P8~~>~P3=1 [=] 3: P3~~>P8 =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator chaosu p||~~>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1”: p~~>q = p*q =1 - istnieje wspólny element zbiorów p i q (zdarzenie możliwe ~~>)
A1’: p~~>~q = p*~q =1 - istnieje wspólny element zbiorów p i ~q (zdarzenie możliwe ~~>)
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A1” i A1’
Kolumna A1B1:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla spełnionego p:
A1’’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3)
P8~~>P3=P8*P3 =1
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,8,12..24..] np. 24
LUB
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3)
P8~~>~P2=P8*~P3 =1
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P3=[1,2..4,5..7,8..] np. 8
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
B2”: ~p~~>~q = ~p*~q =1 - istnieje wspólny element zbiorów ~p i ~q (zdarzenie możliwe ~~>)
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 - istnieje wspólny element zbiorów ~p i q (zdarzenie możliwe ~~>)
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B2” i B2’
Kolumna A2B2:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla niespełnionego p (~p):
B2’’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3)
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P3=[1,2..4,5..] np. 2
LUB
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3)
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P3=[3,6,9..] np. 3
Podsumowanie:
Doskonale widać, że zarówno po stronie P8 jak i po stronie ~P8 mamy tu najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Po stronie P8 mamy:
Jeśli ze zbioru LN wylosujemy dowolną liczbę ze zbioru P8 to ta liczba może ~~> może być podzielna przez 3 (P3) (zdanie A1”) lub może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3) (zdanie A1’)
Po stronie ~P8 mamy:
Jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczba niepodzielną przez 8 (~P8) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3) (zdanie B2”) lub może ~~> być podzielna przez 3 (P3) (zdanie B2’)
Kolejność wypowiadania zdań w powyższej analizie jest bez znaczenia.
7.10.2 Alternatywne rozstrzygniecie spójnika chaosu P8|~~>P3
Zadanie:
Dane jest zdanie:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =P8*P3 =1
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi w/w zdanie.
Alternatywny dowód, iż zdanie A1 jest częścią spójnika chaosu P8|~~>P3 jest trywialny.
Należy udowodnić prawdziwość wszystkich czterech zdań „Jeśli p to q” kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Innymi słowy:
Należy zrobić zdjęcie układu (pkt. 6.13)
Rozwiązanie:
Mamy zdanie do analizy.
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3=P8*P3 =1 bo 24
Oczywista wspólna dziedzina minimalna to:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
P8=[8,16,24..] – poprzednik definiuje zbiór liczb podzielnych przez 8 (P8)
P3=[3,6,9,12..] – następnik definiuje zbiór liczb podzielnych przez 3 (P3)
Obliczamy zbiory zaprzeczone definiowane jako uzupełnienie do wspólnej dziedziny:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] – zbiór liczb niepodzielnych przez 8 (~P8)
~P3=[LN-P3]=[1,2..4,5..7,8 ..] – zbiór liczb niepodzielnych przez 3 (~P3)
Tabela prawdy przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
Kod: |
T1
Zdjęcie dla zdania A: P8~~>P3:
Y
A: P8~~> P3=1 - bo istnieje wspólny element ~~> P8 i P3 np. 24
B: P8~~>~P3=1 – bo istnieje wspólny element P8 i ~P3 np. 8
C:~P8~~>~P3=1 – bo istnieje wspólny element ~P8 i ~P3 np. 1
D:~P8~~> P3=1 – bo istnieje wspólny element ~P8 i P3 np. 3
|
Same wynikowe jedynki są dowodem koniecznym ~> i wystarczającym =>, że wszystkie zapisane zdania {A, B, C, D} wchodzą w skład spójnika chaosu P8~~>P3.
Prawo Prosiaczka:
(Y=1)=(Y=0)
Prawo Prosiaczka można stosować wybiórczo dla dowolnej zmiennej binarnej, także dla stałej binarnej.
Sprawdźmy po raz n-ty prawo Prosiaczka na naszym przykładzie:
Kod: |
T2.
Zdjęcie dla zdania A: P8~~>P3:
Y ~Y
A: P8~~> P3=1 0 - fałszem jest (=0), że nie istnieje (~Ya) w.e. P8 i P3
B: P8~~>~P3=1 0 – fałszem jest (=0), że nie istnieje (~Yb) w.e. P8 i ~P3
C:~P8~~>~P3=1 0 – fałszem jest (=0), że nie istnieje (~Yc) w.e. ~P8 i ~P3
D:~P8~~> P3=1 0 – fałszem jest (=0), że nie istnieje (~Yd) w.e. ~P8 i P3
|
Jak widzimy, prawo Prosiaczka działa doskonale.
cnd
7.10.3 Warunek konieczny i wystarczający dla spójnika chaosu P8|~~>P3
Na mocy tabeli T1 zapisujemy równanie alternatywno-koniunkcyjne opisujące spójnik chaosu:
Y = (P8|~~>P3) = A: P8*P3 + B: P8*~P3 + C: ~P8*~P3 + D: ~P8*P3 =1
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> A: P8=1 i P3=1 lub B: P8=1 i ~P3=1 lub C: ~P8=1 i ~P3=1 lub D: ~P8=1 i P3=1
Odczyt równania alternatywno-koniunkcyjnego rozumie każdy uczeń I klasy LO, bo to jest język potoczny człowieka.
Czytamy:
ABCD:
Dowolna liczba naturalne może ~~> należeć do zbioru A: P8*P3 (np. 24) lub B: P8*~P3 (np. 8) lub C: ~P8*~P3 (np.2) lub D: ~P8*P3 (np. 3).
Warunek konieczny i wystarczający dla spójnika chaosu P8|~~>P3:
ABCD:
Warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => dla dowodu iż mamy do czynienia ze spójnikiem chaosu P8|~~>P3 jest wymóg, by wszystkie zbiory cząstkowe A, B, C i D były niepuste, co udowodniono w zdaniu ABCD.
Y = (P8|~~>P3) = (A: P8*P3) + (B: P8*~P3) + (C: ~P8*~P3) + (D: ~P8*P3) =1
Jeśli powyższy warunek nie jest spełniony to na 100% nie mamy do czynienia z operatorem chaosu.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie ABCD stronami poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
ABCD".
~Y = ~(P8|~~>P3) = (A: ~P8+P3)*(B: ~P8+P3)*(C: P8+P3)*(D: P8+~P3) =0
co w logice zer (bo równanie koniunkcyjno-alternatywne) oznacza:
~Y=0 <=> (A: ~P8=0 + P3=0) "i"(*) (B: ~P8=0 lub P3=0) "i"(*) (C: P8=0 lub P3=0) "i"(*) (D: P8=0 lub ~P3=0)
Równanie koniunkcyjno-alternatywne jest totalnie niezrozumiałe w języku potocznym co udowodniono na prostym przykładzie w punkcie 2.3.
Z tego powodu nie ma sensu ani go wypowiadać, ani też analizować.
7.11 Śmierć p|~~~>q=0
Definicja śmierci:
Y=p|~~~>q = 0 - twarde zero
Śmierć bo brak elementu wspólnego zbiorów ~~> dla każdej z czterech możliwych kombinacji zbiorów
Zaprzeczenie definicji śmierci jest twardą jedynką:
~Y=~(p|~~>q) =1 - twarda jedynka
Definicja twardej jedynki to zdanie zawsze prawdziwe:
~Y = ~(p|~~~>q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q =1
Stąd mamy tabelę prawdy śmierci:
Kod: |
T1.
Tabela prawdy zaprzeczonej śmierci ~(p|~~~>q)=1:
~Y=~(p|~~~>q)= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q =1
~Y
A: ~Ya= p* q =1 - prawdą jest (=1), że nie istnieje (~Ya) e.w. p i q
B: ~Yb= p*~q =1 - prawdą jest (=1), że nie istnieje (~Yb) e.w. p i ~q
C: ~Yc=~p*~q =1 - prawdą jest (=1), że nie istnieje (~Yc) e.w. ~p i ~q
D: ~Yd=~p* q =1 - prawdą jest (=1), że nie istnieje (~Yd) e.w. ~p i q
Gdzie:
e.w. - element wspólny
|
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0)
Prawo Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej lub stałej binarnej.
Stąd otrzymujemy tabelę T2.
Kod: |
T2.
~Y Y
A: ~Ya= p* q =1 =0 - fałszem jest (=0), że istnieje (Ya) e.w. p i q
B: ~Yb= p*~q =1 =0 - fałszem jest (=0), że istnieje (Yb) e.w. p i ~q
C: ~Yc=~p*~q =1 =0 - fałszem jest (=0), że istnieje (Yc) e.w. ~p i ~q
D: ~Yd=~p* q =1 =0 - fałszem jest (=0), że istnieje (Yd) e.w. ~p i q
Gdzie:
e.w. - element wspólny
|
Doskonale widać tożsamość tabel T1=T2 w języku potocznym, co jest n-tym potwierdzeniem prawa Prosiaczka
Uwaga:
W kolumnie wynikowej Y mamy same zera, zatem funkcję logiczną Y opisuje wyłącznie postać koniunkcyjno-alternatywna, totalnie niezrozumiała dla człowieka.
Dowód w punkcie 2.3.
Z powyższego powodu nie analizujemy kolumny Y linia po linii w języku potocznym.
Można to udowodnić w równaniach algebry Boole'a:
1.
Z tabeli T1 odczytujemy funkcję alternatywno-koniunkcyjną:
~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q =1
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Zapiszmy naszą funkcję logiczną Y uzupełniając brakujące nawiasy:
1"
~Y = (p*q) + (p*~q) + (~p*q) + (~p*~q) =1
Zamieniliśmy dwa ostatnie człony co jest bez znaczenia, bo alternatywa jest przemienna.
.. kiedy zajdzie ~Y?
Przejście z równaniem 1" do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2.
~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)*(p+q) =0 - funkcja koniunkcyjno-alternatywna.
Otrzymaliśmy funkcję koniunkcyjno-alternatywną totalnie niezrozumiałą dla człowieka (dowód w pkt. 2.3), zatem nie analizujemy tej funkcji w języku potocznym.
Sprawdźmy tylko czy rzeczywiście funkcja logiczna ~Y ma wartość logiczną twardego zera.
~Y= (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)*(p+q)
Wymnożenie logiczne wielomianu Y:
Y1 = (~p+~q)*(~p+q) = ~p*~p + ~p*q + ~p*~q + ~q*q =(~p + ~p*q + ~p*~q)
Y2 = (p+~q)*(p+q) = p*p+p*q+ p*~q+~q*q = (p + p*q + p*~q)
Y = Y1*Y2 = (~p + ~p*q + ~p*~q)* (p + p*q + p*~q)
Y = (~p*p + ~p*p*q + ~p*p*~q) + (~p*q*p + ~p*q*p*q + ~p*q*p*~q)+
+(~p*~q*p + ~p*~q*p*q+~p*~q*p*~q) = (0+0+0)*(0+0+0)*(0+0+0)=0*0*0=0
cnd
7.11.1 Matematyczny związek śmierci p|~~~>q=0 z chaosem p|~~>q=1
Interpretacja śmierci p|~~~>q=0:
Śmierć to stan naszego Wszechświata przed jego narodzinami, gdzie żadne z pojęć p, q, ~p, ~q jeszcze nie istnieje.
Nie istnieje matematyczne przejście ze śmierci p|~~~>q=0 do życia p|~~>q=1, bo zachodzi tu związek różne na mocy definicji ##.
Dowód:
Kod: |
TF10-11
Grupa spójników chaosu p|~~>q:
Definicja chaosu p|~~>q (Y=1):
A10: Y=p|~~>q=(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=1 # B10: ~Y=~(p|~~>q)=0
## ##
Definicja śmierci p|~~~>q (Y=0):
A11: Y=p|~~~>q=0 # B11: ~Y=~(p|~~~>q)=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p,q,Y muszą być wszędzie tymi samymi p,q,Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF10-11 oba znaczki # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Podsumowanie:
1.
Przed narodzinami naszego Wszechświata obowiązywała wyłącznie śmierć:
A11: Y=(p|~~~>q)=0
##
2.
Nie ma matematycznej możliwości stworzenia naszego Wszechświata, czyli przejścia ze śmierci Y=0 do chaosu Y=1:
A10: Y=(p|~~>q)=(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=1
Bo obowiązuje tu znaczek różne na mocy definicji ##.
Wniosek:
Powołać do życia nasz Wszechświat mógł wyłącznie Bóg.
STARY TESTAMENT
Księga Rodzaju
1 Na początku Bóg stworzył niebo i ziemię. 2 Ziemia zaś była bezładem i pustkowiem: ciemność była nad powierzchnią bezmiaru wód, a Duch2 Boży unosił się nad wodami.
3 Wtedy Bóg rzekł: «Niechaj się stanie światłość!» I stała się światłość. 4 Bóg widząc, że światłość jest dobra, oddzielił ją od ciemności. 5 I nazwał Bóg światłość dniem, a ciemność nazwał nocą.
I tak upłynął wieczór i poranek - dzień pierwszy.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 15:36, 17 Lis 2022, w całości zmieniany 15 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 18:44, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.0 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q
Spis treści
8.0 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q 1
8.0 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q
W tabeli wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych TF2 (niżej) po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.
Kod: |
TF2
Tabela prawdy wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych Y
w logice dodatniej (bo Y)
|Grupa I |Grupa II |Grupa III | Grupa IV
|Spójniki „i”(*)|Spójniki =>, ~>|Spójniki <=>, $ | Wejścia
|oraz „lub”(+) ||=>, |~> ||~~>, |~~~> | p i q
| Y Y | Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y
p q | * + | ~* ~+ | => ~> |=> |~> | <=> $ |~~> |~~~>| p q ~p ~q
A: 1 1 | 1 1 | 0 0 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 1 1 0 0
B: 1 0 | 0 1 | 1 0 | 0 1 0 1 | 0 1 1 0 | 1 0 0 1
C: 0 1 | 0 1 | 1 0 | 1 0 1 0 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0
D: 0 0 | 0 0 | 1 1 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 0 0 1 1
A A A A A A A A A A A A A A A A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
|
Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q to najczęściej występujące spójniki logiczne w naszym Wszechświecie. Konkurencyjna równoważność p<=>q to kropla w morzu otaczającej ją implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Definicje podstawowych spójników logicznych obsługujących zdania warunkowe „Jeśli p to q”
Kod: |
TF4-7
Tabela prawdy podstawowych spójników obsługujących zdania „Jeśli p to q”:
------
TF4-5:
Warunek wystarczający => i konieczny ~>
A4.
Warunek wystarczający p=>q:
Y= p=>q
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
;
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y= p=>q = ~p+q # ~Y=~(p=>q) = p*~q
##
A5.
Warunek konieczny p~>q:
Y= p~>q
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
;
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y= p~>q = p+~q # ~Y=~(p|~>q)=~p* q
##
---------------------------------------
| TF6-7: |
| Spójniki implikacyjne p|=>q i p|~>q |
---------------------------------------
A6.
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1),
ale nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
;
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p|=>q = ~p* q # ~Y=~(p|=>q)= p+~q
##
A7.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1),
ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
;
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p|~>q = ~p* q # ~Y=~(p|~>q)= p+~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF4-7 obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 13:07, 15 Lis 2022, w całości zmieniany 13 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 18:55, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.1 Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)
Spis treści
8.1 Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) 1
8.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) 5
8.1.2 Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) 7
8.1.3 Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach 8
8.1.4 Warunek poprawności dziedziny w implikacji prostej p|=>q 10
8.1.5 Wyprowadzenie funkcji logicznych opisujących diagram p|=>q 11
8.1.6 Rozłączność zbiorów w implikacji prostej p|=>q 13
8.1.7 Zastosowanie prawa Krokodyla w implikacji prostej p|~>q 14
8.1.8 Diagram implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach 16
8.1 Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)
Przypomnijmy sobie definicje podstawowe:
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej dla wielu zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste =>
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste =>
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Wracając do tematu implikacji prostej p|=>q
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q:
Kod: |
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+ q=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p=0 = 4:~q~>~p=0 [=] 5: p+~q=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
Kolumna A1B1:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja prosta p|=>q determinuje prawdziwość operatora implikacji prostej p||=>q (albo odwrotnie)
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =(~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
Do zapamiętania:
p|=>q = ~p*q
W tabeli IP na mocy kolumny A2B2 odczytujemy tożsamą definicję implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q).
A2B2.
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q (A2) ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q (B2)
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q [=] A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)=~p*q
Dowód:
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =0
cnd
Innymi słowy:
Prawa Kubusia:
A1: p=>q=1 <=> A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q=0 <=> B2: ~p=>~q =0
<=> - wtedy i tylko wtedy
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
„=”, [=], <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej.
8.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q)
Kod: |
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+ q=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p=0 = 4:~q~>~p=0 [=] 5: p+~q=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja prosta p|=>q determinuje prawdziwość operatora implikacji prostej p||=>q (albo odwrotnie)
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: zajdzie p (p) i nie zajdzie q (~q)
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: p i ~q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
… co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajście ~q bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie zajdzie p (~p) i zajdzie q (q)
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
Prawdziwość zdania B2’ wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost” - nic a nic nie musimy więcej udowadniać.
Podsumowując:
Implikacja prosta p|=>q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1 oraz najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p o czym mówią zdania A2 i B2’.
Zauważmy, zdania wchodzące w skład implikacji prostej p|=>q, czyli A1, A1’, A2, B2’ mogą być wypowiadane w dowolnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
8.1.2 Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q)
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny.
Stąd mamy tożsamą definicję operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q).
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
p|=>q = p||=>q [=] ~p|~>~q = ~p||~>~q = p*~q
Gdzie:
„=”, [=], <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Definicje znaczków:
p|=>q = p||=>q = p*~q
##
p|~>q = p||~>q = ~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
stąd mamy:
~p|~>~q = ~(~p)*(~q) = p*~q = p|=>q
cnd
Definicja operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na dwa pytania o ~p i p:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Kluczowy wniosek:
Analiza operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 (kiedy zajdzie ~p?) kończąc na kolumnie A1B1 (kiedy zajdzie p?)
8.1.3 Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1)
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste =>
A1: p=>q =~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Tożsamości pojęć na mocy prawa Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Stąd:
Na mocy prawa Słonia zapisujemy definicję implikacji prostej p|=>q w zbiorach
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne, co doskonale widać w diagramie DIP niżej.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1), ale nie jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
Na mocy powyższej definicji rysujemy diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach.
Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q + A2:~p*~q + B2’:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q:
A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Kontrprzykład dla prawdziwego A1 musi być fałszem:
A1’: p~~>~q=p*~q =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1:p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => ~q
Kontrprzykład dla fałszywego B2 musi być prawdą:
B2’:~p~~>q=~p*q=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
II.
Po zamianie p i q:
A3B3:
A3: q~>p =1 - zbiór q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru p
B3: q=>p =0 - zbiór q nie jest (=0) podzbiorem => zbioru p
Kontrprzykład dla fałszywego B3 musi być prawdą:
B3’: q~~>~p=q*~p=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów q i ~p
A3B3: q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) =1*~(0)=1*1 =1
A4B4:
A4:~q=>~p=1 - zbiór ~q jest (=1) podzbiorem => ~p
B4:~q~>~p=0 - zbiór ~q nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~p
Kontrprzykład dla prawdziwego A4 musi być fałszem:
A4’: ~q~~>p=~q*p=0
A4B4: ~q|=>~p = (A4:~q=>~p)*~(~q~>~p) =1*~(0)=1*1 =1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
W implikacji prostej p|=>q po stronie p mamy gwarancję matematyczną =>
o czym mówi zdanie A1: p=>q=1
2.
W implikacji prostej p|=>q po stronie ~p mamy najzwyklejsze
„rzucanie monetą” o czym mówią zdania A2: ~p~~>~q=1 oraz B2’: ~p~~>q=1
3.
Implikacja prosta p|=>q to trzy i tylko trzy zbiory niepuste (A1, B2’, A2)
i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
|
8.1.4 Warunek poprawności dziedziny w implikacji prostej p|=>q
Warunek najważniejszy:
Dziedzina D musi być wspólna dla p i q.
Dowód w punkcie 6.10
Warunek poprawności dziedziny w implikacji prostej p=>q:
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
Dowód na podstawie diagramu DIP:
Zauważmy, że jeśli przyjmiemy za dziedzinę D sumę logiczną zbiorów p i q:
D=p+q
to zbiór ~q będzie zbiorem pustym, czyli będzie nierozpoznawalny, co widać na diagramie DIP
Wniosek:
Dziedzina D musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
D>p+q
cnd
Dowód nie wprost iż dziedzina D musi być szersza od sumy zbiorów p+q.
Przyjmijmy dziedzinę:
D=p+q
W implikacji prostej p|=>q zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
p=>q =1
stąd nasza definicja dziedziny D w zbiorach ulega redukcji do:
D = p+q = q - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
D=q
Obliczamy zaprzeczenie zbioru q (~q) definiowane uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru q (q)
~q = [D-q] = [q-q] =[] - zbiór pusty [], zbiór ~q jest nierozpoznawalny
cnd
Wniosek:
Dziedzina D musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
D>p+q
cnd
8.1.5 Wyprowadzenie funkcji logicznych opisujących diagram p|=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne, co doskonale widać w diagramie DIP niżej.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Kod: |
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) w zbiorach:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Matematyczne związki relacji podzbioru => i nadzbioru ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+ q=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p=0 = 4:~q~>~p=0 [=] 5: p+~q=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
O tym co się dzieje w kierunku od p do q mówią kolumny A1B1 i A2B2.
Na mocy powyższej definicji rysujemy diagram implikacji prostej A1B1: p|=>q w zbiorach.
Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej A1B1: p|=>q w zbiorach
w kierunku pod p do q
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q + A2:~p*~q + B2’:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wyprowadzenie funkcji logicznej opisującej diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
Z diagramu DIP odczytujemy w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) funkcję logiczną Y:
Y = A1: p*q + B2’: ~p*q + A2: ~p*~q
Y = p*q + ~p*(q+~q)
Y = (p*q) +(~p)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=p*(~p+~q)
~Y = p*~p+p*~q
~Y=p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y):
1.
Y = ~p+q
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że, że w dziedzinie D istnieje (Y) element zbioru należący do zbioru ~p (~p=1) lub do zbioru q (q=1)
Prawo Prosiaczka:
(Y=1)=(~Y=0)
Stąd mamy zapis tożsamy:
~Y=0 <=> ~p=1 lub q=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że w dziedzinie D nie istnieje (~Y) element należący do zbioru ~p (~p=1) lub do zbioru q (q=1)
Znaczenie symbolu Y:
Y - istnieje
~Y - nie istnieje
Dowód poprawności tej interpretacji:
Patrz diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach DIP wyżej
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(~p+q) = p*~q – prawo De Morgana
stąd mamy:
2.
~Y=p*~q
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że nie istnieje (~Y) wspólny element zbiorów p (p=1) i ~q (~q=1)
Dowód w diagramie DIP
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0)
Stąd zapis tożsamy:
(Y=0) <=> p=1 i ~q=1
Fałszem jest (=0), że istnieje (Y) wspólny element zbiorów p (p=1) i ~q (~q=1)
Znaczenie symbolu Y:
Y - istnieje
~Y - nie istnieje
Dowód poprawności tej interpretacji:
Patrz diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach DIP wyżej
Definicja dziedziny dla dowolnej funkcji logicznej Y:
D = Y+~Y =1
D = Y*~Y =0
Stąd mamy:
Dziedzina implikacji prostej p|=>q to suma logiczna funkcji Y i ~Y:
Y+~Y=1
D = 1: ~p+q + 2: p*~q
D = 1: ~p+q + 2: ~(~p+q) =1
Y*~Y=0
D = (1: ~p+q)*(2: ~(~p+q) =0
cnd
W implikacji prostej p|=>q zbiór ~Y=p*~q jest zbiorem pustym.
Stąd mamy dowód iż implikacja prosta A1B1: p|=>q dzieli dziedzinę D na trzy zbiory niepuste i rozłączne (A1, B2' i A2) uzupełniające się wzajemnie do dziedziny co doskonale widać na diagramie DIP wyżej.
8.1.6 Rozłączność zbiorów w implikacji prostej p|=>q
Implikacja prosta p|=>q w zbiorach dzieli dziedzinę D na trzy zbiory A1, B2’ i A2 niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
Doskonale to widać na diagramie implikacji prostej DIP
Dowód formalny rozłączności zbiorów A1, B2’ i A2 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1: p*q
B2’: ~p*q
A2: ~p*~q
Badamy rozłączność zbiorów każdy z każdym:
A1*B2’ = (p*q)*(~p*q) =[] - bo p*~p=[]
A1*A2 = (p*q)*(~p*~q)=[] - bo p*~p=[]
B2’*A2 = (~p*q)*(~p*~q)=[] - bo q*~q=[]
cnd
Dowód tożsamy to:
Definicja sumy logicznej p+q w zbiorach/zdarzeniach rozłącznych {A, B. C}:
p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Stąd mamy naszą funkcję logiczną Y rozpisaną na zbiory/zdarzenia rozłączne {A, B, C}:
Y=~p+q = A: ~p*q + B: ~p*~q + C: p*q
Przechodząc na indeksowanie zgodne z powyższym diagramem DIP mamy:
D=A1: p*q + B2’:~p*q + A2: ~p*~q
Gdzie:
Zbiory A1, B2’ i A2 są niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D
cnd
8.1.7 Zastosowanie prawa Krokodyla w implikacji prostej p|~>q
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne, co doskonale widać w diagramie DIP niżej.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Kod: |
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q)
w zbiorach:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Matematyczne związki relacji podzbioru => i nadzbioru ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+ q=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p=0 = 4:~q~>~p=0 [=] 5: p+~q=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
O tym co się dzieje w kierunku od p do q mówią kolumny A1B1 i A2B2.
Na mocy powyższej definicji rysujemy diagram implikacji prostej A1B1: p|=>q w zbiorach.
Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej A1B1: p|=>q w zbiorach
w kierunku pod p do q
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q + A2:~p*~q + B2’:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja dziedziny D w logice matematycznej:
D = p+~p =1
~D = p*~p =0
Negacja dziedziny D (~D) oznacza zbiór pojęć leżących poza dziedziną D które z definicji mają wartość logiczną 0, czyli nas nie interesują.
Definicja jedynki w logice matematycznej:
D=1 = p+~p
Gdzie:
D=1 - dziedzina
Oczywiście pod p można podpiąć dowolnie złożoną funkcję logiczną f(x).
Stąd mamy:
Prawo Krokodyla:
(1-p) = ~p
Dowód:
Na mocy definicji negacja zmiennej binarnej p (~p) to uzupełnienie p do dziedziny D.
Stąd mamy:
~p = D-p = 1-p = (p+~p)-p = p+~p -p = (p-p)+~p = [] +~p = 0+~p =~p
Kluczowe jest tu skorzystanie z definicji jedynki w logice matematycznej:
1=p+~p
Gdzie:
p może być dowolnie złożoną funkcją logiczną p=f(x)
Pozostałe prawa logiki matematycznej użyte w dowodzie to:
a) Prawo opuszczenia nawiasów w sumie logicznej (+) i różnicy logicznej (-)
b) Przemienność sumy logicznej (+) i różnicy logicznej (-)
c) p-p=[]=0 - różnica logiczna (-) tych samych zbiorów jest zbiorem pustym
d) []+x =x - prawo neutralności zbioru pustego [] w sumie logicznej
Przykład wykorzystania prawa Krokodyla w implikacji prostej p|=>q
Zauważmy, że w diagramie implikacji prostej p|=>q DIP mamy:
1.
Zbiór ~p jest sumą logiczną zbiorów B2’: ~p*q oraz A2: ~p*~q
Dowód:
~p = B2’: ~p*q + A2: ~p*~q = ~p*(q+~q) = ~p*1 = ~p
cnd
Wykorzystane prawa logiki matematycznej:
a) wyciągnięcie zmiennej ~p przed nawias
b) q+~q=1
c) ~p*1=~p
2.
Natomiast zbiór p to zbiór q minus zbiór wspólny B2’: ~p*q:
p = q - B2’: ~p*q
Czyli:
p = q*1 - ~p*q - bo prawo algebry Boole’a: q=q*1
p = q*(1-~p) - wyciagnięcie zmiennej q przed nawias
p = q*((p+~p) -~p) - skorzystanie z definicji jedynki: 1=p+~p
p = q*(p+0) - bo różnica tych samych zbiorów jest zbiorem pustym []: ~p -~p=[]=0
p = q*p - bo prawo algebry Boole’a: p+0=p
p=p*q - patrz diagram implikacji prostej DIP
Oczywiście powyższa tożsamość zbiorów p=p*q zachodzi na mocy definicji podzbioru => co widać w diagramie DIP.
Definicja podzbioru =>:
p=>q =1
Zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
W diagramie DIP wszystko się zgadza bo na mocy definicji podzbioru => mamy:
p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Stąd:
Iloczyn logiczny zbiorów p i q to zbór p:
p*q=p
cnd
8.1.8 Diagram implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru A1: p=>q = twierdzenie proste =>
A1: p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru B1: p~>q = twierdzenie odwrotne B3: q=>p=~q+p
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = twierdzenie proste A1: p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = twierdzenie odwrotne B3: q=>p=~q+p
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Porównując prawo Słonia dla zbiorów z prawem Słonia dla zdarzeń wnioskujemy że:
Diagram implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach jest identyczny jak diagram w zbiorach z tym, że:
1. Pojęcie „zbiór” zastępujemy pojęciem „zdarzenie”
2. Pojęcie „podzbiór” => zastępujemy pojęciem „warunek wystarczający” =>
3. Pojęcie „nadzbiór” ~> zastępujemy pojęciem „warunek konieczny” ~>
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach:
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q, ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zdarzeń p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne, co widać na diagramie DIP niżej.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)= 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1), ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1)
Ważna uwaga:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach dzieli dziedzinę D na trzy zdarzenia A1, B2’ i A2 niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
Dowód w diagramie implikacji prostej DIP niżej.
Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach
------------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|---------------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-------------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+A2:~p*~q+B2’:~p*q (suma logiczna zdarzeń możliwych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście p i ~q |
|----------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach |
------------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q:
A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Kontrprzykład dla prawdziwego A1 musi być fałszem:
A1’: p~~>~q = p*~q=[]=0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1:p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q=0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Kontrprzykład dla fałszywego B2 musi być prawdą:
B2’:~p~~>q=~p*q=1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
II.
Po zamianie p i q:
A3B3:
A3: q~>p =1 - zajście q jest (=1) konieczne ~> dla zajścia p
B3: q=>p =0 - zajście q nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia p
Kontrprzykład dla fałszywego B3 musi być prawdą:
B3’: q~~>~p=q*~p=1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń q i ~p
A3B3: q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) =1*~(0)=1*1 =1
A4B4:
A4:~q=>~p=1 - zajście ~q jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~p
B4:~q~>~p=0 - zajście ~q nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~p
Kontrprzykład dla prawdziwego A4 musi być fałszem:
A4’: ~q~~>p=~q*p=0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~q i p
A4B4: ~q|=>~p = (A4:~q=>~p)*~(B4:~q~>~p) =1*~(0)=1*1 =1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 21:38, 15 Sie 2022, w całości zmieniany 5 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 19:01, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.2 Implikacja prosta P8|=>P2 w zbiorach
Spis treści
8.2 Implikacja prosta P8|=>P2 w zbiorach 1
8.2.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 6
8.2.2 Podstawowe rozwiązanie zadania W1: ~P8~~>P2 9
8.2.3 Diagram implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach 10
8.2.4 Interpretacja diagramu implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach 13
8.2.5 Rozwiązanie zadania W1: ~P8~~>P2 poprzez zrobienie zdjęcia układu 13
8.2 Implikacja prosta P8|=>P2 w zbiorach
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste =>
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Algorytm rozwiązywania zadań typu „Jeśli p to q” gdzie p i q mogą być w dowolnych przeczeniach:
1.
Celem logiki matematycznej (algebry Kubusia) jest przyporządkowanie dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) z dowolnie zaprzeczonymi p i q do konkretnego operatora implikacyjnego.
Operator implikacyjny to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2)
2.
Warunkiem koniecznym działania algebry Kubusia jest wspólna dziedzina dla p i q (pkt. 6.10) oraz rozpoznawalność wszystkich zbiorów/zdarzeń po stronie wejścia zdania warunkowego „Jeśli p to q”, czyli zbiory/zdarzenia {p, q, ~p, ~q} muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorze pustym, czyli na pojęciach dla nas niezrozumiałych (pkt. 5.2).
3.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
4.
Korzystając z praw logiki matematycznej udowadniamy prawdziwość/fałszywość zdań dających w kolumnie A1B1 w tabeli T0 odpowiedź na pytanie o p
A1B1:
A1: p=>q =?
B1: p~>q =?
W tym momencie na mocy prawa Sowy mamy rozstrzygnięcie w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi badane zdanie (punkt 6.8).
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego i tylko jednego spójnika implikacyjnego (prawo Puchacza, punkt 6.8.1).
Zadanie W1
W1.
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
Rozwiązanie:
W1.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =?
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =?
Na mocy prawa Kłapouchego zapisujemy wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Obliczamy przeczenia zbiorów ~P8 i ~P2 definiowane jako uzupełnienia zbiorów P8 i P2 do dziedziny.
~p=~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
~q=~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2
Z powyższego wynika, że kluczowa definicja wspólnej dziedziny dla p i q jest spełniona (pkt. 6.10)
Jeśli p to q
Po stronie poprzednika p dowolna liczba naturalna może być podzielna przez 8 (P8) albo nie być podzielna przez 8 (~P8) - trzeciej możliwości brak
Po stronie następnika q dowolna liczba naturalna może być podzielna przez 2 (P2) albo nie być podzielna przez 2 (~P2) - trzeciej możliwości brak
Wnioski:
1.
Dziedzina jest poprawna, wspólna dla p i q
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
2.
Wszystkie potrzebne do analizy zbiory przez wszystkie możliwe przeczenia p i q są niepuste
{P8, P2, ~P8, ~P2}
To jest warunek konieczny analizy zdania warunkowego „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
3.
Z powyższego wnioskujemy, iż badane zdanie musi należeć do jednego i tylko jednego z pięciu operatorów logicznych:
p||=>q – operator implikacji prostej p|=>q
p||~>q – operator implikacji odwrotnej p|~>q
p|<=>q – operator równoważności p<=>q
p|$q – operator spójnika „albo”($) p$q
p||~~>q – operator chaosu p|~~>q
4.
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem logicznym mamy do czynienia musimy w tabeli T0 ustalić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Ax oraz dowolnego zdania serii Bx
Zaczynamy oczywiście od warunku wystarczającego A1, bowiem prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => bez przeczeń zawsze dowodzi się najprościej.
A1.
Twierdzenie proste na mocy prawa Kłapouchego:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
A1: P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym na mocy prawa Kłapouchego:
A1: p=>q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8 ..] potrafi każdy matematyk
cnd
W tym momencie mamy następującą sytuację.
Prawdziwość warunku wystarczającego A: P8=>P2=1 determinuje prawdziwość wszelkich zdań w linii Ax w tabeli T0.
Kod: |
T0.
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p =1 [=] 5:~p+ q =1
1: P8=> P2=1 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~> P8=1 4:~P2=>~P8=1 [=] 5:~P8+ P2=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =? 2:~p=> ~q =? [=] 3: q=> p =? 4:~q~> ~p =? [=] 5: p+ ~q =?
1: P8~> P2=? 2:~P8=>~P2=? [=] 3: P2=> P8=? 4:~P2~>~P8=? [=] 5: P8+~P2=?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Nasz punkt odniesienia zdeterminowany prawem Kłapouchego to:
p=P8
q=P2
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Wybieramy zdanie B3 bowiem warunek wystarczający bez negacji p i q zawsze dowodzi się najprościej.
B3.
Twierdzenie odwrotne do A1:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8)
B3: P2=>P8 =0
Zdane B3 w zapisie formalnym:
B3: q=>p =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
cnd
Fałszywość warunku wystarczającego B3: P2=>P8=0 wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx.
Stąd mamy:
Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej P8|=>P2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej P8|=>P2
A1: P8=>P2=1 - zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6..]
B1: P8~>P2=0 - zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2
A1B1: P8|=>P2=(A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p =1 [=] 5:~p+ q =1
1: P8=> P2=1 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~> P8=1 4:~P2=>~P8=1 [=] 5:~P8+ P2=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q =0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p =0 [=] 5: p+ ~q =0
1: P8~> P2=0 2:~P8=>~P2=0 [=] 3: P2=> P8=0 4:~P2~>~P8=0 [=] 5: P8+~P2=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
„=”, [=] - tożsame znaczki tożsamości logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnionego zdania B3: q=>p zastosujmy prawo Tygryska.
Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q =0
Nasz przykład:
B3: P2=>P8 = B1: P8~>P2=0
Wypowiedzmy zdanie B1.
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P2)
P8~>P2 =0
Fałszywości zdania B1 nie musimy udowadniać, bowiem fałszywość tą gwarantuje nam prawo Tygryska. Nie musimy, nie oznacza, że nie możemy.
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
cnd
Zapiszmy zdania A1 i B1 jedno pod drugim:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
A1: P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
##
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P2)
B1: P8~>P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dowód formalny:
Warunek wystarczający A1: p=>q =~p+q ## Warunek konieczny B1: p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd
Zauważmy, że mamy tu do czynienia z prawem Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Dowód to zdania A1 i B1 wyżej.
Różność matematyczną zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wplecionych w treść zdań.
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1: P8=>P2=1 i fałszywość warunku koniecznego ~> B1: P8~>P2=0 wymusza definicję implikacji prostej P8|=>P2.
Definicja formalna implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 – zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Na mocy prawa Kłapouchego podstawiamy nasz punkt odniesienia:
p=P8
q=P2
Na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Stąd mamy:
Definicja aktualna implikacji prostej P8|=>P2 (nasz przykład):
A1: P8=>P2=1 – zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2=0 – zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
8.2.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach
Podstawmy wyprowadzona definicję implikacji prostej P8|=>P2 do tabeli prawdy implikacji prostej p|~>q.
Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 – zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia dla naszego przykładu to:
p=P8
q=P2
Tabela prawdy implikacji prostej P8|=>P2 w zapisie aktualnym:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku
wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2=1 - zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6..]
B1: P8~>P2=0 - zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2
A1B1: P8|=>P2=(A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej P8|=>P2
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p =1 [=] 5:~p+ q =1
1: P8=> P2=1 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~> P8=1 4:~P2=>~P8=1 [=] 5:~P8+ P2=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q =0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p =0 [=] 5: p+ ~q =0
1: P8~> P2=0 2:~P8=>~P2=0 [=] 3: P2=> P8=0 4:~P2~>~P8=0 [=] 5: P8+~P2=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator implikacji prostej p||=>q w zapisie formalnym:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Operator implikacji prostej P8||=>P2 to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o P8 i ~P8:
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie P8?
A2B2: ~P8|~>~P2 = (A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P8?
A1B1:
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie o P8:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8)?
A1: P8=>P2=1 - zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6..]
B1: P8~>P2=0 - zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie P8?
Czytamy:
Implikacja P8|=>P2 w logice dodatniej (bo P2) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] (zdanie A1) i jednocześnie nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..] (zdanie B1)
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1.
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
Zdane A1 w zapisie formalnym:
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2 potrafi każdy matematyk.
Innymi słowy:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8) to ta liczba na 100% => będzie podzielna przez 2 (P2)
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
Fałszywość kontrprzykładu A1’ wynika z definicji kontrprzykładu - to jest dowód „nie wprost”.
Nie musimy tu wykonywać dowodu wprost, czyli udowadniać iż zbiory P8 i ~P2 są rozłączne.
… a jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8)?
Prawo Kubusia w zapisie formalnym:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
To samo w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: P8=>P2 = A2: ~P8~>~P2
A2B2:
W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie o ~P8:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba nie będzie podzielna przez 8 (~P8)?
A2: ~P8~>~P2 =1 - zbiór ~P8 jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~P2
B2: ~P8=>~P2 =0 - zbiór ~P8 nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~P2
A2B2: ~P8|~>~P2 = (A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P8?
Czytamy:
Implikacja odwrotna ~P8|~>~P2 w logice ujemnej (bo ~P2) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P8 jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2 (A2) i jednocześnie nie jest podzbiorem => zbioru ~P2 (B2)
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~>~P2 =1
Prawdziwość warunku koniecznego ~> A2 gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Z prawa Kubusia wynika, że zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6.7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Zauważmy, że dowód wprost jest tu dużo trudniejszy - przez iterowanie na pewno niewykonalny, bo oba zbiory są nieskończone.
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 8 (~P8) jest warunkiem koniecznym ~> dla jej niepodzielności przez 2 (~P2) bo jeśli liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
A2: ~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
LUB
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P8=>~P2=0 na mocy definicji kontrprzykładu daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości kontrprzykładu B2’
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Udowodnienie prawdziwości B2’ na mocy definicji kontrprzykładu to dowód „nie wprost”.
Dowód bezpośredni to:
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów: ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] np. 2
cnd
Podsumowanie:
Operator implikacji prostej P8||=>P2 to gwarancja matematyczna => po stronie liczb podzielnych przez 8 (P8) o czym mówi zdanie A1 i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie liczb niepodzielnych przez 8 (~P8) o czym mówią zdania A2 i B2’
Innymi słowy:
1.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8) to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2 (P2) - mówi o tym zdanie A1
2.
Natomiast:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania A2 i B2’
Czyli:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8) to ta liczba może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2) o czym mówi zdanie A2 albo może ~~> być podzielna przez 2 na mocy zdania B2’
Zauważmy, zdania wchodzące w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2, czyli A1, A1’, A2, B2’ mogą być wypowiadane w dowolnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
8.2.2 Podstawowe rozwiązanie zadania W1: ~P8~~>P2
Zadanie W1
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
Na mocy analizy w poprzednim punkcie stwierdzamy iż zachodzi tożsamość zdań:
W = B2’
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1 – bo istnieje wspólny element ~~> ~P8 i P2 np. 2
Wniosek:
Badane zdanie W1: ~P8~~>P2 wchodzi w skład tylko i wyłącznie operatora implikacji prostej P8||=>P2, czego dowód w punkcie 8.2.1
„Tylko i wyłącznie” wynika to z prawa Puchacza (pkt. 6.8.1)
Zauważmy, że zdania w których koniec końców wylądujemy w operatorze P8||=>P2 mogą mieć przykładowe treści.
Zadanie W2.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2=P8*P2=1 – bo istnieje wspólny element zbiorów P8 i P2 np. 8
W naszej analizie prawdziwy jest warunek wystarczający => A1
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Jest oczywistym, że skoro zbiór P8 jest podzbiorem => P2 i oba te zbiory z definicji rozpoznawalności pojęć są niepuste to musi istnieć element wspólny tych zbiorów ~~>
cnd
Innymi słowy:
Badane zdanie W2 jest częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2 w logice dodatniej (bo P2) i nie może równocześnie należeć do jakiegokolwiek innego operatora logicznego (prawo Puchacza)
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2=P8*P2=1 – bo istnieje wspólny element zbiorów P8 i P2 np. 8
Zadanie W3.
W3.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2=P8*~P2=?
W naszej analizie widzimy tożsamość zdań:
W3=A1’
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
Wniosek:
Badanie zdanie W3=A1’ jest częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2 w logice dodatniej (bo P2) i nie może równocześnie należeć do jakiegokolwiek innego operatora logicznego (prawo Puchacza)
8.2.3 Diagram implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste =>
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Na mocy prawa Słonia mamy definicję implikacji prostej p|=>q w zbiorach.
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne, co widać na diagramie DIP niżej
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1), ale nie jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
Na mocy powyższej definicji rysujemy diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach.
Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+A2:~p*~q+B2’:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla naszego przykładu A1B1: P8|=>P2 w powyższym diagramie wstawiamy wszędzie aktualny punkt odniesienia (nasz przykład):
p = P8 - poprzednik zdania warunkowego, zbiór liczb podzielnych przez 8, P8=[8,16,24..]
q = P2 - następnik zdana warunkowego, zbiór liczb podzielnych przez 2, P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach
Punkt odniesienia:
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8, P8=[8,16,24..]
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2, P2=2,4,6,8..]
---------------------------------------------------------------------------
| p=P8 | ~p=~P8 |
|------------------------|------------------------------------------------|
| q=P2 | ~q=~P2 |
|-----------------------------------------------|-------------------------|
| A1: P8=>P2=1 (P8*P2=1) |B2’:~P8~~>P2=~P8*P2=1 |A2:~P8~>~P2=1 (~P8*~P2=1)|
---------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: P8*P2+A2:~P8*~P2+B2’:~P8*P2=1 - istnieją elementy wspólne zbiorów |
| A1’: P8~~>~P2=P8*~P2=[]=0 - jedyny zbiór pusty to P8*~P2=[]=0 |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach |
---------------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q:
A1B1:
A1: P8=>P2 =1 - P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
Kontrprzykład dla prawdziwego A1 musi być fałszem:
A1’: P8~~>~P2=P8*~P2=[]=0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów P8=[8,16..] i ~P2=[1,3,5..]
A1B1: P8|=>P2=(A1: P8=>P2)*~(B1:P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
A2B2:
A2:~P8~>~P2=1 - ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9] jest (=1) nadzbiorem ~> ~P2=[1,3..]
B2:~P8=>~P2=0 - ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9] nie jest podzbiorem => ~P2=1,3,5..]
Kontrprzykład dla fałszywego B2 musi być prawdą:
B2’:~P8~~>P2=~P8*P2=1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~P8=[1,2,3..] i P2=[2,4,6..] np. 2
A2B2: ~P8|~>~P2=(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2)=1*~(0)=1*1=1
II.
Po zamianie p i q:
A3B3:
A3: P2~>P8 =1 - P2=[2,4,6..] jest (=1) nadzbiorem ~> P8=[8,16,24..]
B3: P2=>P8 =0 - P2=[2,4,6..] nie jest (=0) podzbiorem => P8=[8,16,24..]
Kontrprzykład dla fałszywego B3 musi być prawdą:
B3’: P2~~>~P8=P2*~P8=1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P2=[2,4,6..] i ~P8=1,2,3..] np. 2
A3B3: P2|~>P8 = (A3: P2~>P8)*~(B3: P2=>P8) =1*~(0)=1*1 =1
A4B4:
A4:~P2=>~P8=1 - ~P2=[1,3..] jest (=1) podzbiorem => ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9]
B4:~P2~>~P8=0 - ~P2=[1,3..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~P8=[1,2,3,4,5..]
Kontrprzykład dla prawdziwego A4 musi być fałszem:
A4’: ~P2~~>P8=~P2*P8=[]=0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~P2=[1,3,5..] i P8=[8,16,24..]
A4B4: ~P2|=>~P8 = (A4:~P2=>~P8)*~(~P2~>~P8) =1*~(0)=1*1 =1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
8.2.4 Interpretacja diagramu implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach
Z diagramu DIP odczytujemy:
Dziedzina implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach to suma logiczna zbiorów niepustych i rozłącznych:
D= A1: P8*P2 + B2’:~P8*P2 + A2: ~P8*~P2
Zauważmy, że:
1.
Zbiór (~P8) jest sumą logiczną zbiorów B2' i A2:
~P8 = B2': ~P8*P2 + A2: ~P8*~P2 = ~P8*(P2+~P2) = ~P8*1 =~P8
cnd
Natomiast zbiór P8 to to zbiór P2 pomniejszony o część wspólną zbiorów ~P8 i P2, czyli B2': ~P8*P2:
2.
Natomiast zbiór p to zbiór q minus zbiór wspólny B2’: ~p*q:
P8 = P2 - B2’: ~P8*P2
Czyli:
P8 = P2*1 - ~P8*P2 - bo prawo algebry Boole’a: P2=P2*1
P8 = P2*(1-~P8) - wyciagnięcie zmiennej P2 przed nawias
P8 = P2*((P8+~P8) -~P8) - skorzystanie z definicji jedynki: 1=P8+~P8
P8 = P2*(P8+0) - bo różnica tych samych zbiorów jest zbiorem pustym []: ~P8 -~P8=[]=0
P8 = P2*P8 - bo prawo algebry Boole’a: P8+0=P8
P8=P8*P2 - patrz diagram implikacji prostej DIP
Oczywiście powyższa tożsamość zbiorów P8=P8*P2 zachodzi na mocy definicji podzbioru => co widać w diagramie DIP.
Definicja podzbioru =>:
p=>q =1
Zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
W diagramie DIP wszystko się zgadza bo na mocy definicji podzbioru => mamy:
P8=>P2 =1 - zbiór P8 jest (=1) podzbiorem => zbioru P2
Stąd:
Iloczyn logiczny zbiorów P8 i P2 to zbór P8:
P8*P2=P8
cnd
8.2.5 Rozwiązanie zadania W1: ~P8~~>P2 poprzez zrobienie zdjęcia układu
Przypomnijmy sobie wiadomości podstawowe niezbędne dla zrozumienia niniejszego punktu.
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Algorytm rozwiązywania zadań typu „Jeśli p to q” gdzie p i q mogą być w dowolnych przeczeniach:
1.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
2.
Warunkiem koniecznym działania algebry Kubusia jest rozpoznawalność wszystkich zbiorów/zdarzeń po stronie wejścia zdania warunkowego „Jeśli p to q”, czyli zbiory/zdarzenia {p, q, ~p, ~q} muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorze pustym, czyli na pojęciach dla nas niezrozumiałych (pkt. 5.2)
3.
Przyjmujemy punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego
4.
Korzystając z praw logiki matematycznej udowadniamy prawdziwość/fałszywość zdań dających w kolumnie A1B1 w tabeli T0 odpowiedź na pytanie o p
A1B1:
A1: p=>q =?
B1: p~>q =?
W tym momencie na mocy prawa Sowy mamy rozstrzygnięcie w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi badane zdanie (punkt 6.8).
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego i tylko jednego spójnika implikacyjnego (prawo Puchacza, punkt 6.8.1)
5.
Celem logiki matematycznej (algebry Kubusia) jest przyporządkowanie dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) z dowolnie zaprzeczonymi p i q do konkretnego operatora implikacyjnego.
Definicja zdjęcia układu:
Dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” zdjęciem układu nazywamy zakodowanie wszystkich możliwych przeczeń p i q elementem wspólnym zbiorów ~~> dla zbiorów, albo zdarzeniem możliwym ~~> dla zdarzeń w tym samym kierunku (np. od p do q) wraz z rozstrzygnięciem prawdziwości/fałszywości wszystkich czterech linii.
Schematy zdjęcia układu dla zbiorów i zdarzeń są następujące:
Kod: |
Jeśli p to q
Zdjęcie układu x dla zbiorów:
A: p~~> q= p* q =? – czy zbiory p i q mają (=1) element wspólny ~~>?
B: p~~>~q= p*~q =? – czy zbiory p i ~q mają (=1) element wspólny ~~>?
C:~p~~>~q=~p*~q =? – czy zbiory ~p i ~q mają (=1) element wspólny ~~>?
D:~p~~> q=~p* q =? – czy zbiory ~p i q mają (=1) element wspólny ~~>?
|
Kod: |
Jeśli p to q
Zdjęcie układu x dla zdarzeń:
A: p~~> q= p* q =? – czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q?
B: p~~>~q= p*~q =? – czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q?
C:~p~~>~q=~p*~q =? – czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q?
D:~p~~> q=~p* q =? – czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q?
|
Poprawne zdjęcie układu jednoznacznie rozstrzyga z jakim operatorem logicznym p||?q mamy do czynienia.
Zadanie W1:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
Rozwiązanie:
W1.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =?
To samo w zapisie formalnym na mocy prawa Kłapouchego:
~p~~>q = ~p*q =?
Na mocy prawa Kłapouchego zapisujemy wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Obliczamy przeczenia zbiorów ~P8 i ~P2 definiowane jako uzupełnienia zbiorów P8 i P2 do dziedziny.
~p=~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
~q=~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2
Definicja wspólnej dziedziny dla p i q jest oczywiście spełniona (pkt. 6.10)
Jeśli p to q
Po stronie poprzednika p dowolna liczba naturalna może być podzielna przez 8 (P8) albo nie być podzielna przez 8 (~P8) - trzeciej możliwości brak
Po stronie następnika q dowolna liczba naturalna może być podzielna przez 2 (P2) albo nie być podzielna przez 2 (~P2) - trzeciej możliwości brak
Wszystkie możliwe kombinacje zbiorów jakie mogą wystąpić między p i q opisuje seria czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~>:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
P8~~>P2 = P8*P2 =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..] np. 8
cnd
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =?
Tu przez iterowanie ciężko jest znaleźć wspólny element ~~> zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..].
Na razie podejrzewamy tylko że zbiory P8 i ~P2 są rozłączne.
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~~>~P2 = ~P8*~P2 =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] np. 1
cnd
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] np. 2
cnd
Zapiszmy powyższą analizę w formie skróconej:
Kod: |
T1
Zdjęcie układu P8?P2
A: p~~> q=1 | P8~~> P2=1 – istnieje wspólny element zbiorów P8 i P2 np.8
B: p~~>~q=0 | P8~~>~P2=0 – nie istnieje wspólny element zbiorów P8 i ~P2
C:~p~~>~q=1 |~P8~~>~P2=1 – istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i ~P2 np.1
D:~p~~> q=1 |~P8~~> P2=1 – istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i P2 np.2
|
Algorytm analizy powyższego zdjęcia układu to dwa kroki
Krok 1
Zauważmy, że w linii B mamy zero (rozłączność zbiorów P8 i ~P2), póki co jeszcze nie udowodnione
Jak to udowodnić?
1.
Zakładamy, że zdanie B jest fałszem:
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
Stąd na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy musi być warunek wystarczający A.
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
A: P8=>P2 =1
To sam w zapisie formalnym:
A: p=>q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 (P8) jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 (P2) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Zachodzącą tu relację podzbioru P8=>P2 potrafi udowodnić każdy matematyk.
cnd
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu, z udowodnionego warunku wystarczającego A: P8=>P2=1 wynika fałszywość kontrprzykładu B: P8~~>~P2=P8*~P2=[]=0
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
B: P8~~>~P2 = P8*~P2=[]=0
To samo w zapisie formalnym:
B: p~~>~q = p*~q =[]=0
Na mocy definicji kontrprzykładu rozłączność zbiorów P8 i ~P2 gwarantuje nam udowodniony wyżej warunek wystarczający => A: P8=>P2=1. To jest dowód „nie wprost” fałszywości zdania B.
cnd
3.
Zastosujmy do zdania A prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Nasz przykład:
A: P8=>P2 = C: ~P8~>~P2 =1
Stąd w zdaniu C na mocy prawa Kubusia mamy udowodniony warunek konieczny ~> C.
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
C: ~P8~>~P2=1
To samo w zapisie formalnym:
C: ~p~>~q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 8 (~P8) jest warunkiem koniecznym ~> dla jej niepodzielności przez 2 bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Oczywiście nie musimy dowodzić zachodzącej tu relacji nadzbioru ~P8~>~P2, bowiem wynika ona z prawa Kubusia i z prawa Słonia. To jest dowód nie wprost prawdziwości zdania C.
4.
Nanieśmy dotychczasową analizę do zdjęcia układu:
Kod: |
T2
Zdjęcie układu P8?P2
A: p=> q=1 | P8=> P2=1 – zbiór P8 jest (=1) podzbiorem => P2
B: p~~>~q=0 | P8~~>~P2=0 – zbiory P8 i ~P2 są rozłączne
C:~p~> ~q=1 |~P8~> ~P2=1 – zbiór ~P8 jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~P2
D:~p~~> q=1 |~P8~~> P2=1 – co oznacza linia D dowiemy się w kroku 2
|
Krok 2
5.
Zdanie D przyjmuje brzmienie:
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
D: ~P8~~>P2 = ~P8*P2=1 bo 2
To samo w zapisie formalnym:
D: ~p~~>q=~p*q =1
Na mocy definicji elementu wspólnego zbiorów ~~> wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów ~P8 i P2 by udowodnić prawdziwość zdania D
6.
Z prawdziwości kontrprzykładu D: ~P8~~>P2=1 wynika fałszywość warunku wystarczającego C: ~P8=>~P2=0
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to na 100% => nie jest podzielna przez 2 (~P2)
C: ~P8=>~P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
C: ~p=>~q =0
Fałszywości warunku wystarczającego C nie musimy dowodzić, bowiem wynika ona z prawdziwości kontrprzykładu D. To jest dowód „nie wprost” fałszywości warunku wystarczającego => C
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 8 (~P8) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej niepodzielności przez 2 (~P2) bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest podzbiorem => zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..].
Dowód bezpośredni fałszywości warunku wystarczającego C to pokazanie kontrprzykładu w relacji podzbioru ~P8=>~P2.
Kontrprzykład:
Liczba 2 należy do zbioru ~P8 i nie należy do zbioru ~P2 z czego wynika fałszywość relacji podzbioru:
~P8=>~P2 =0
cnd
7.
Dla fałszywego warunku wystarczającego => C zastosujmy prawo Kubusia.
Prawo Kubusia:
C: ~P8=>~P2 = A: P8~>P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
C: ~p=>~q = A: p~>q =0
Na mocy prawa Kubusia mamy rozstrzygnięcie, iż w linii A nie zachodzi warunek konieczny ~>
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P2)
A: P8~>P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
A: p~>q =0
Fałszywości warunku koniecznego ~> A nie musimy dowodzić bo wynika ona z prawa Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 (P8) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2 (P2), bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..].
8.
Stąd mamy końcowe zdjęcie badanego układu w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Kod: |
T3
Zdjęcie układu P8|=>P2
A: p=> q=1 | P8=> P2=1 | P8~> P2=0 – P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2
B: p~~>~q=0 | P8~~>~P2=0 |
C:~p~> ~q=1 |~P8~> ~P2=1 |~P8=>~P2=0 - ~P8 nie jest (=0) podzbiorem => ~P2
D:~p~~> q=1 |~P8~~> P2=1 |
|
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
W linii A mamy definicję implikacji prostej P8|=>P2 w logice dodatniej (bo P2):
Implikacja prosta P8|=>P2 w logice dodatniej (bo P2) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2 =1 – zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
A1B1: P8|=>P2=(A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
Prawa Kubusia:
A1: P8=>P2 = A2: ~P8~>~P2 =1
B1: P8~>P2 = B2: ~P8=>~P2 =0
Stąd:
W linii C mamy definicję implikacji odwrotnej ~P8|~>~P2 w logice ujemnej (bo ~P2):
Implikacja odwrotna ~P8|~>~P2 w logice ujemnej (bo ~P2) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~P8~>~P2 =1 – zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
B2: ~P8=>~P2 =0 - zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Stąd:
A2B2:~P8|~>~P2=(A2: ~P8~>~P2)*~(B2: ~P8=>~P2) =1*~(0)=1*1=1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: P8|=>P2=(A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) [=] A2B2:~P8|~>~P2=(A2: ~P8~>~P2)*~(B2: ~P8=>~P2)
bo prawa Kubusia:
A1: P8=>P2 = A2: ~P8~>~P2 =1
B1: P8~>P2 = B2: ~P8=>~P2 =0
cnd
Definicja formalna implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 – zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1
Na mocy prawa Kłapouchego mamy wspólny dla wszystkich punkt odniesienia:
p=P8
q=P2
Podstawmy pod zmienne formalne p i q nasze parametry aktualne P8 i P2
Definicja aktualna implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2 =1 – podzielność dowolnej liczby przez 8 jest wystarczająca => dla jej podzielności przez 2
bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 – podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest konieczna ~> dla jej podzielności przez 2
bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0)=1*1=1
Stąd mamy końcową tabelę prawdy dla implikacji prostej P8|=>P2
Kod: |
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej P8|=>P2
A1: P8=>P2=1 - zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6..]
B1: P8~>P2=0 - zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2
A1B1: P8|=>P2=(A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p =1 [=] 5:~p+ q =1
1: P8=> P2=1 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~> P8=1 4:~P2=>~P8=1 [=] 5:~P8+ P2=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q =0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p =0 [=] 5: p+ ~q =0
1: P8~> P2=0 2:~P8=>~P2=0 [=] 3: P2=> P8=0 4:~P2~>~P8=0 [=] 5: P8+~P2=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator implikacji prostej p||=>q w zapisie formalnym:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Operator implikacji prostej P8||=>P2 to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o P8 i ~P8:
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie P8?
A2B2: ~P8|~>~P2 = (A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P8?
Analizę operatora implikacji prostej P8||=>P2 wraz z rozstrzygnięciem iż badane zdanie W1 należy do tego operatora znajdziemy w punkcie 8.2.1
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 21:37, 15 Sie 2022, w całości zmieniany 6 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 19:03, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.3 Przykład implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach
Spis treści
8.3 Przykład implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach 1
8.3.1 Operator implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach 6
8.3.2 Podstawowe rozwiązanie zadania W1: P~~>~CH 8
8.3.3 Diagram implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach 9
8.3.4 Interpretacja diagramu implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach 12
8.3.5 Rozwiązanie zadania W1: P~~>~CH poprzez zrobienie zdjęcia układu 12
8.4 Implikacja prosta A|=>S w zdarzeniach 20
8.4.1 Zmienne związane i zmienne wolne w implikacji prostej A|=>S 20
8.4.2 Wyprowadzenie definicji implikacji prostej A|=>S 21
8.4.3 Operator implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach 24
8.3 Przykład implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Algorytm rozwiązywania zadań typu „Jeśli p to q” gdzie p i q mogą być w dowolnych przeczeniach:
1.
Celem logiki matematycznej (algebry Kubusia) jest przyporządkowanie dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) z dowolnie zaprzeczonymi p i q do konkretnego operatora implikacyjnego.
Operator implikacyjny to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2)
2.
Warunkiem koniecznym działania algebry Kubusia jest wspólna dziedzina dla p i q (pkt. 6.10) oraz rozpoznawalność wszystkich zbiorów/zdarzeń po stronie wejścia zdania warunkowego „Jeśli p to q”, czyli zbiory/zdarzenia {p, q, ~p, ~q} muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorze pustym, czyli na pojęciach dla nas niezrozumiałych (pkt. 5.2).
3.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
4.
Korzystając z praw logiki matematycznej udowadniamy prawdziwość/fałszywość zdań dających w kolumnie A1B1 w tabeli T0 odpowiedź na pytanie o p
A1B1:
A1: p=>q =?
B1: p~>q =?
W tym momencie na mocy prawa Sowy mamy rozstrzygnięcie w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi badane zdanie (punkt 6.8).
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego i tylko jednego spójnika implikacyjnego (prawo Puchacza, punkt 6.8.1).
Zadanie W1:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli jutro będzie padało to może nie być pochmurno
Rozwiązanie:
W1.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =?
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =?
Na mocy prawa Kłapouchego zapisujemy wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Jeśli p to q
Po stronie poprzednika p może wyłącznie padać (P) albo nie padać (~P)
Po stronie następnika q może wyłącznie być pochmurno (CH) albo nie być pochmurno (~CH)
Zauważmy, że w zdaniu W1 niepuste są wszystkie zdarzenia, zarówno p i ~p jak i q i ~q.
Dowód:
p = P=1 – prawdą jest (=1), że pada (P)
~p = ~P=1 – prawdą jest (=1), że nie pada (~P)
Prawo Prosiaczka:
(~P=1)=(P=0)
P=0 – fałszem jest (=0), że pada
Doskonale widać poprawność prawa Prosiaczka
##
q = CH=1 – prawdą jest (=1), że są chmury (CH)
~q = ~CH=1 – prawdą jest (=1), że nie ma chmur (~CH)
Prawo Prosiaczka:
(~CH=1)=(CH=0)
CH=0 – fałszem jest (=0), że są chmury
Doskonale widać poprawność prawa Prosiaczka
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
P (pada) ## CH (chmury)
Definicje pojęć „pada” i „chmury” spięte znaczkiem różne na mocy definicji ## są różne
Naszym zadaniem jest zbadanie związku między padaniem (P) a chmurami (CH) tzn. z jakim operatorem logicznym p||?q mamy tu do czynienia.
W tym celu w tabeli T0 musimy ustalić prawdziwość/fałszywość obu serii zdań, zarówno serii Ax jak i serii Bx.
Najprostszym jest zawsze rozstrzygnięcie prawdziwości/fałszywości warunku wystarczającego A1: p=>q bez jakichkolwiek przeczeń.
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Stąd mamy pierwsze zdanie do analizy matematycznej.
Twierdzenie proste A1: p=>q:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
A1: P=>CH=1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Padanie (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno (CH) bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
Uwaga:
Relację podzbioru => w zdarzeniach można łatwo wyjaśnić zapisując po obu stronach => wszystkie możliwe zdarzenia.
P*CH=1 + P*~CH=0 => CH*P=1 + CH*~P=1
stąd mamy:
P*CH => CH*P + CH*~P
Doskonale widać spełnioną relację podzbioru => w zdarzeniach możliwych.
W odwrotną stronę musi być spełniona relacja nadzbioru ~>:
CH*P +CH*~P ~> P*CH
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego A1: P=>CH=1 determinuje prawdziwość wszystkich zdań w linii Ax w tabeli T0.
Kod: |
T0.
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =? 2:~p=> ~q=? [=] 3: q=> p =? 4:~q~> ~p=? [=] 5: p+~q =?
1: P~> CH=? 2:~P=>~CH=? [=] 3: CH=> P=? 4:~CH~>~P=? [=] 5: P+~CH=?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Wybieramy zdanie B3 bowiem warunek wystarczający bez negacji p i q zawsze dowodzi się najprościej.
Twierdzenie odwrotne do A1: P=>CH:
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
B3: CH=>P =0
Zdane B3 w zapisie formalnym:
B3: q=>p =0
Chmury (CH) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P) bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd
Fałszywość warunku wystarczającego B3: CH=>P=0 wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx.
Stąd mamy:
Kod: |
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej P|=>CH
A1: P=>CH=1 - padanie (P) jest wystarczające => dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH=0 - padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla zdania B3: q=>p skorzystajmy z prawa Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Nasz przykład:
B3: CH=>P = B1: P~>CH =0
Zauważmy, że fałszywości warunku koniecznego ~> B1: P~>CH=0 nie musimy dowodzić bo na mocy prawa Tygryska wynika ona z udowodnionej fałszywości warunku wystarczającego B3: CH=>P =0
Nie musimy, nie oznacza, że nie możemy.
Wypowiedzmy zdanie B1.
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
B1: P~>CH=0
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Padanie (P) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> do tego aby było pochmurno (CH) bo może nie padać a może być pochmurno.
cnd
Zapiszmy ponownie zdania A1 i B1:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
A1: P=>CH=1
Padanie (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno (CH) bo zawsze gdy pada, są chmury
##
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
B1: P~>CH=0
Padanie (P) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> do tego aby było pochmurno (CH) bo może nie padać a może być pochmurno.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Dowód:
Warunek wystarczający =>: A1: p=>q=~p+q ## Warunek konieczny ~>: B1: p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd
Stąd mamy:
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Dowód to zdania A1 i B1 wyżej.
Różność matematyczną zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wplecionych w treść zdań.
8.3.1 Operator implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach
Kod: |
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej P|=>CH
A1: P=>CH=1 - padanie (P) jest wystarczające => dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH=0 - padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora implikacji prostej P||=>CH w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Operator implikacji prostej P||=>CH to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o P i ~P:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie P?
A2B2: ~P|~>~CH = (A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P?
A1B1:
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)?
A1: P=>CH=1 - padanie (P) jest wystarczające => dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH=0 - padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (CH)
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli będzie padało P?
Czytamy:
Implikacja prosta P|=>CH jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (A1) i jednocześnie nie jest warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (B1)
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
A1: P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Padanie (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno (CH) bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie (P) daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur (CH)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 determinuje fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
A1’: P~~>~CH = P*~CH =0
To samo w zapisie formalnym:
A1’: p~~>~q=p*~q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Fałszywości zdania A1’ nie musimy dowodzić, bowiem wynika ona z prawdziwości warunku wystarczającego A1, niemniej jednak fałszywość zdania A1’ jest oczywista dla każdego 5-cio latka.
… a jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
To samo w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
A2B2:
W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie
Co może się wydarzyć, jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
A2: ~P~>~CH=1 - brak opadów (~P) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH)
bo jak pada to na 100% => są chmury
B2: ~P=>~CH=0 - brak opadów (~P) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => do tego
by nie było pochmurno (~CH), bo nie zawsze gdy nie pada (~P), nie ma chmur (~CH)
A2B2: ~P|~>~CH = (A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P?
Czytamy:
Implikacja odwrotna ~P|~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy brak padania (~P) jest konieczny ~> dla braku chmur (~CH) i jednocześnie nie jest wystarczający => dla braku chmur (~CH)
A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
Odpowiedź na pytanie o ~P w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” odczytujemy z kolumny A2B2:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
A2: ~P~>~CH =1
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q =1
Prawdziwość warunku koniecznego ~> A2 gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Innymi słowy:
Brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> dla braku chmur (~CH) bo jeśli pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
LUB
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P=>~CH=0 na mocy definicji kontrprzykładu determinuje zdarzenie możliwe ~~> B2’: ~P~~>CH=1
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> być pochmurno (CH)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Udowodnienie prawdziwości B2’ na mocy definicji kontrprzykładu to dowód „nie wprost”.
Dowód bezpośredni to:
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P) i są chmury (CH), o czym każdy 5-cio latek wie.
cnd
Podsumowanie:
Operator implikacji prostej P||=>CH to gwarancja matematyczna => po stronie „pada” (P) o czym mówi zdanie A1 oraz najzwyklejsze „rzucanie monetą” po stronie „nie pada” (~P) o czym mówią zdania A2 i B2’
Innymi słowy:
1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno - mówi o tym zdanie A1
2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania A2 i B2’.
Czyli:
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH) o czym mówi zdanie A2 lub może ~~> być pochmrno (CH) na mocy zdania B2’.
Zauważmy, zdania wchodzące w skład operatora implikacji prostej P||=>CH, czyli A1, A1’, A2, B2’ mogą być wypowiadane w dowolnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
8.3.2 Podstawowe rozwiązanie zadania W1: P~~>~CH
Z powyższej analizy mamy rozstrzygnięcie, iż badane zdanie W1 jest częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2 w logice dodatniej (bo P2).
Zadanie W1:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli jutro będzie padało to może nie być pochmurno
Doskonale widać że:
W1=A1’:
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Wniosek:
Badane zdanie W1 jest częścią tylko i wyłącznie operatora implikacji prostej P||=>CH.
Na mocy prawa Puchacza (pkt. 6.8.1) zdanie W1 nie może wchodzić w skład jakiegokolwiek innego operatora logicznego.
cnd
Zauważmy, że na mocy naszej analizy operatora implikacji prostej P8||=>P2 zadanie bliźniacze może być na przykład takie.
Zadanie W2:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
W2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może nie być pochmurno (~CH)
Rozwiązanie:
W2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
W2: ~P~~>~CH = ~P*~CH=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P) i nie jest pochmurno (~CH)
Dla dowodu prawdziwości zdania kodowanego zdarzeniem możliwym ~~> potrzeba i wystarcza pokazać możliwość wystąpienia pojedynczego zdarzenia: nie pada (~P) i nie jest pochmurno (~CH)
Nie badamy tu czy ~P jest konieczne ~> dla ~CH, czy też wystarczające => dla ~CH
Zauważmy, że w naszej analizie udowodniliśmy coś zdecydowanie więcej:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla braku chmur (~CH) bo jeśli pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
Prawo Kobry dla zdarzeń (pkt. 6.2.5):
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Na mocy prawa Kobry prawdziwość warunku koniecznego A2: ~P~>~CH=1 wymusza prawdziwość zdania kodowanego zdarzeniem możliwym ~~> W2: ~P~~>~CH=~P*~CH=1
Wniosek:
Badane zdanie W2 jest częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2 w logice dodatniej (bo P2)
cnd
8.3.3 Diagram implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste =>
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Z prawa Słonia wynika że:
Diagram implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach jest identyczny jak diagram w zbiorach z tym, że:
1. Pojęcie „zbiór” zastępujemy pojęciem „zdarzenie”
2. Pojęcie „podzbiór” => zastępujemy pojęciem „warunek wystarczający” =>
3. Pojęcie „nadzbiór” ~> zastępujemy pojęciem „warunek konieczny” ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach:
Zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q (A1), ale nie jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q (B1)
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zdarzeń p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne, co widać na diagramie DIP niżej.
A1: p=>q =1 - zajście zdarzenia p jest (=1) wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
B1: p~>q =0 - zajście zdarzenia p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => zajścia q (A1), ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1)
Ważna uwaga:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach dzieli dziedzinę D na trzy zdarzenia A1, B2’ i A2 niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
Dowód w diagramie implikacji prostej DIP niżej.
Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+A2:~p*~q+B2’:~p*q (suma logiczna zdarzeń możliwych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście p i ~q |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla naszego przykładu A1B1: P|=>CH w powyższym diagramie wstawiamy wszędzie punkt odniesienia:
p = P (pada) - poprzednik zdania warunkowego
q = CH (chmury) następnik zdana warunkowego
Gdzie:
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Stąd mamy:
Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach:
Punkt odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
---------------------------------------------------------------------------
| p=P (pada) | ~p=~P (nie pada) |
|--------------------------|----------------------------------------------|
| q=CH (chmury) | ~q=~CH (nie chmury) |
|------------------------------------------------|------------------------|
| A1: P=>CH=1 (P*CH=1) |B2’: ~P~~>CH=~P*CH=1 |A2:~P~>~CH=1 (~P*~CH=1)|
---------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D= A1: P*CH+A2:~P*~CH+B2’:~P*CH =1 suma logiczna zdarzeń możliwych (=1) |
| A1’: P~~>~CH=P*~CH=[]=0 - zdarzenie niemożliwe (=0) |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach |
---------------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q:
A1B1:
A1: P=>CH =1 - padanie P jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur CH
B1: P~>CH =0 - padanie P nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur CH
Kontrprzykład dla prawdziwego A1 musi być fałszem:
A1’: P~~>~CH = P*~CH=[]=0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1:P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
A2B2:
A2:~P~>~CH=1 - brak padania ~P jest (=1) konieczny ~> dla braku chmur ~CH
B2:~P=>~CH=0 - brak padania ~P nie jest (=0) wystarczający => ~CH
Kontrprzykład dla fałszywego B2 musi być prawdą:
B2’:~P~~>CH=~P*CH=1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń:
nie pada (~P) i jest pochmurno (CH)
A2B2: ~P|~>~CH=(A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH)=1*~(0)=1*1=1
II.
Po zamianie p i q:
A3B3:
A3: CH~>P =1 - chmury CH są (=1) konieczne ~> dla padania P
B3: CH=>P =0 - chmury CH nie są (=0) wystarczające => dla padania P
Kontrprzykład dla fałszywego B3 musi być prawdą:
B3’: CH~~>~P=CH*~P=1
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń: są chmury (CH) i nie pada (~P)
A3B3: CH|~>P = (A3: CH~>P)*~(B3: CH=>P) =1*~(0)=1*1 =1
A4B4:
A4:~CH=>~P=1 - brak chmur ~CH jest (=1) wystarczający => dla nie padania ~P
B4:~CH~>~P=0 - brak chmur ~CH nie jest (=0) konieczny ~> dla nie padania ~P
Kontrprzykład dla prawdziwego A4 musi być fałszem:
B4’: ~CH~~>P=~CH*P=[]=0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: nie ma chmur ~CH i pada P
A4B4: ~CH|=>~P = (A4:~CH=>~P)*~(~CH~>~P) =1*~(0)=1*1 =1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
8.3.4 Interpretacja diagramu implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach
Dziedziną dla diagramu DIP w zdarzeniach P|=>CH jest suma logiczna możliwych zdarzeń rozłącznych:
D= A1: P*CH + A2:~P*~CH + B2’:~P*CH
Z diagramu DIP widzimy że:
1.
Zdarzenie „nie pada” (~P) jest sumą logiczną dwóch zdarzeń rozłącznych A2 i B2’:
A2: ~P*~CH =1*1=1 – nie pada (~P) i nie jest pochmurno (~CH), zdarzenie możliwe
B2’: ~P*CH=1*1=1 – nie pada (~P) i jest pochmurno (CH), zdarzenie możliwe
Matematycznie wszystko się perfekcyjnie zgadza:
~P = A2: ~P*~CH + B2’: ~P*CH = ~P*(~CH+CH) = ~P
cnd
2.
Z diagramu DIP możemy też odczytać iż zdarzenie P (pada) to zdarzenie CH (chmury) pomniejszone o część wspólną zdarzeń ~P i CH czyli: B2': ~P*CH
Dowód:
P = CH - B2': ~P*CH = CH*1 - ~P*CH = CH*(1-~P) = CH*((P+~P) -~P) = CH*P
P=CH*P
W diagramie DIP wszystko się zgadza bo na mocy definicji warunku wystarczającego => mamy:
P=>CH =1
Padania (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH), bo zawsze gdy pada, są chmury
Stąd:
Iloczyn logiczny zdarzeń pada (P) i chmury (CH) to zdarzenie pada (P)
P*CH=P
cnd
8.3.5 Rozwiązanie zadania W1: P~~>~CH poprzez zrobienie zdjęcia układu
Przypomnijmy sobie wiadomości podstawowe niezbędne dla zrozumienia niniejszego punktu.
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Algorytm rozwiązywania zadań typu „Jeśli p to q” gdzie p i q mogą być w dowolnych przeczeniach:
1.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
2.
Warunkiem koniecznym działania algebry Kubusia jest rozpoznawalność wszystkich zbiorów/zdarzeń po stronie wejścia zdania warunkowego „Jeśli p to q”, czyli zbiory/zdarzenia {p, q, ~p, ~q} muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorze pustym, czyli na pojęciach dla nas niezrozumiałych (pkt. 5.2)
3.
Przyjmujemy punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego
4.
Korzystając z praw logiki matematycznej udowadniamy prawdziwość/fałszywość zdań dających w kolumnie A1B1 w tabeli T0 odpowiedź na pytanie o p
A1B1:
A1: p=>q =?
B1: p~>q =?
W tym momencie na mocy prawa Sowy mamy rozstrzygnięcie w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi badane zdanie (punkt 6.8).
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego i tylko jednego spójnika implikacyjnego (prawo Puchacza, punkt 6.8.1)
5.
Celem logiki matematycznej (algebry Kubusia) jest przyporządkowanie dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) z dowolnie zaprzeczonymi p i q do konkretnego operatora implikacyjnego.
Definicja zdjęcia układu:
Dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” zdjęciem układu nazywamy zakodowanie wszystkich możliwych przeczeń p i q elementem wspólnym zbiorów ~~> dla zbiorów, albo zdarzeniem możliwym ~~> dla zdarzeń w tym samym kierunku (np. od p do q) wraz z rozstrzygnięciem prawdziwości/fałszywości wszystkich czterech linii.
Schemat zdjęcia układu dla zdarzeń jest następujący:
Kod: |
Jeśli p to q
Zdjęcie układu x dla zdarzeń:
A: p~~> q= p* q =? – czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q?
B: p~~>~q= p*~q =? – czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q?
C:~p~~>~q=~p*~q =? – czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q?
D:~p~~> q=~p* q =? – czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q?
|
Poprawne zdjęcie układu jednoznacznie rozstrzyga z jakim operatorem logicznym p||?q mamy do czynienia.
Zadanie W1:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli jutro będzie padało to może nie być pochmurno
Rozwiązanie:
W1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =?
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =?
Na mocy prawa Kłapouchego zapisujemy wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Jeśli p to q
Po stronie poprzednika p może wyłącznie padać (P) albo nie padać (~P)
Po stronie następnika q może być wyłącznie pochmurno (CH) albo nie być pochmurno (~CH)
Zauważmy, że w zdaniu W1 niepuste są wszystkie zdarzenia, zarówno p i ~p jak i q i ~q.
Dowód:
p = P=1 – prawdą jest (=1), że pada (P)
~p = ~P=1 – prawdą jest (=1), że nie pada (~P)
Prawo Prosiaczka:
(~P=1)=(P=0)
P=0 – fałszem jest (=0), że pada
Doskonale widać poprawność prawa Prosiaczka
##
q = CH=1 – prawdą jest (=1), że są chmury (CH)
~q = ~CH=1 – prawdą jest (=1), że nie ma chmur (~CH)
Prawo Prosiaczka:
(~CH=1)=(CH=0)
CH=0 – fałszem jest (=0), że są chmury
Doskonale widać poprawność prawa Prosiaczka
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
P (pada) ## CH (chmury)
Definicje pojęć „pada” i „chmury” spięte znaczkiem są znaczkiem różne na mocy definicji ##.
Naszym zadaniem jest zbadanie związku między padaniem (P) a chmurami (CH) tzn. z jakim spójnikiem logicznym p|?q mamy tu do czynienia.
Zaczynamy:
Wszystkie możliwe zdarzenia jakie mogą wystąpić między p i q opisuje seria czterech zdań warunkowych przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>:
A.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> być pochmurno (CH)
P~~>CH = P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P) i jest pochmurno (CH)
B.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
C.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
~P~~>~CH = ~P*~CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P) i nie jest pochmurno (~CH)
D.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> być pochmurno (CH)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P) i jest pochmurno (CH)
Jak widzimy, w zdarzeniach określenie prawdziwości/fałszywości wszystkich zdań ABCD jest trywialne dla każdego 5-cio latka.
Zapiszmy powyższą analizę w skróconej tabeli prawdy:
Kod: |
T1
Zdjęcie układu p|?q
A: p~~> q=1 | P~~> CH=1 –możliwe jest(=1) zdarzenie: pada i jest pochmurno
B: p~~>~q=0 | P~~>~CH=0 –niemożliwe jest(=0) zdarzenie: pada i nie ma chmur
C:~p~~>~q=1 |~P~~>~CH=1 –możliwe jest zdarzenie: nie pada i nie ma chmur
D:~p~~> q=1 |~P~~> CH=1 –możliwe jest(=1) zdarzenie: nie pada i są chmury
|
Algorytm analizy powyższego zdjęcia układu to dwa kroki
Krok 1
1.
W linii B mamy twarde zero, zdarzenie niemożliwe od minus do plus nieskończoności.
Z fałszywości kontrprzykładu B: P~~>~CH=0 wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A.
A.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
A: P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
A: p=>q =1
Prawdziwości warunku wystarczającego => A nie musimy dowodzić, bo wynika ona z fałszywości kontrprzykładu B: P~~>~CH=0, to jest dowód „nie wprost”
Nie musimy nie oznacza, ze nie możemy.
Dowód bezpośredni to:
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH) bo zawsze gdy pada, są chmury.
cnd
2.
Prawdziwy warunek wystarczający => A wymusza fałszywość kontrprzykładu B.
B.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
B: P~~>~CH=P*~CH =0
To samo w zapisie formalnym:
B: p~~>~q=p*~q=0
Dowód wprost to:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
cnd
3.
Dla warunku wystarczającego => A stosujemy prawo Kubusia.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Nasz przykład:
A: P=>CH = C: ~P~>~CH =1
Stąd w zdaniu C na mocy prawa Kubusia mamy udowodniony warunek konieczny ~>:
C.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
C: ~P~>~CH =1
To samo w zapisie formalnym:
C: ~p~>~q =1
Prawdziwość warunku koniecznego ~> C gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Innymi słowy:
Brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH) bo jak pada (P) to na 100% => są chmury.
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
C: ~P~>~CH = A: P=>CH =1
Nanieśmy dotychczasową analizę do zdjęcia układu:
Kod: |
T2
Zdjęcie układu p|?q
A: p=> q=1 | P=> CH=1 - padanie wystarcza => dla istnienia chmur
B: p~~>~q=0 | P~~>~CH=0 – niemożliwe jest zdarzenie: pada i nie ma chmur
C:~p~> ~q=1 |~P~> ~CH=1 – brak padania jest konieczny ~> dla braku chmur
D:~p~~> q=1 |~P~~> CH=1 – linią D jeszcze nie zajęliśmy się
|
Krok 2
4.
Zdanie D przyjmuje brzmienie:
D.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> być pochmurno (CH)
~P~~>CH = ~P*CH =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Możliwe jest zdarzenie: nie pada (~P) i jest pochmurno (CH)
cnd
5.
Z prawdziwości kontrprzykładu D: ~P~~>CH=1 wynika fałszywość warunku wystarczającego => C:
C.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to na 100% => nie będzie pochmurno (~CH)
~P=>~CH =0
To samo w zapisie formalnym:
C: ~p=>~q =0
Fałszywości warunku wystarczającego C nie musimy dowodzić, bowiem wynika ona z prawdziwości kontrprzykładu D. To jest dowód „nie wprost” fałszywości warunku wystarczającego => C
Dowód wprost to:
Nie zawsze gdy nie pada (~P) nie ma chmur (~CH)
cnd
6.
Dla fałszywego warunku wystarczającego => C zastosujmy prawo Kubusia.
Prawo Kubusia:
C: ~P=>~CH = A: P~>CH =0
To samo w zapisie formalnym:
C: ~p=>~q = A: p~>q =0
Na mocy prawa Kubusia mamy rozstrzygnięcie, iż w linii A nie zachodzi warunek konieczny ~>
A.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
A: P~>CH =0
To samo w zapisie formalnym:
A: p~>q =0
Fałszywość warunku koniecznego ~> A gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”
Dowód wprost to:
Padanie nie jest warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
cnd
Nanieśmy nasze rozważania do końcowego zdjęcia układu wyrażonego warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod: |
T3
Zdjęcie układu P|=>CH
A: p=> q=1 | P=> CH=1 | P~> CH=0
B: p~~>~q=0 | P~~>~CH=0 |
C:~p~> ~q=1 |~P~> ~CH=1 |~P=>~CH=0
D:~p~~> q=1 |~P~~> CH=1 |
|
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
W linii A mamy definicję implikacji prostej P|=>CH w logice dodatniej (bo CH):
Implikacja prosta P|=>CH w logice dodatniej (bo CH) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH =1 – padanie (P) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH =0 – padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (CH)
Stąd:
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
Prawa Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH =1
B1: P~>CH = B2: ~P=>~CH=0
Stąd:
W linii C mamy definicję implikacji odwrotnej ~P|~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH):
Implikacja odwrotna ~P|~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~P~>~CH =1 – brak padania (~P) jest (=1) konieczny ~> dla nie istnienia chmur (~CH)
B2: ~P=>~CH =0 – brak padania (~P) nie jest (=0) wystarczający => dla nie istnienia chmur (~CH)
Stąd:
A2B2:~P|~>~CH=(A2: ~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH)=1*~(0)=1*1=1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) [=] A2B2:~P|~>~CH=(A2: ~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH)
bo prawa Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH =1
B1: P~>CH = B2: ~P=>~CH=0
Definicja formalna implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 – zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1
Na mocy prawa Kłapouchego mamy wspólny dla wszystkich punkt odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Podstawmy pod zmienne formalne p i q nasze parametry aktualne P i CH
Definicja aktualna implikacji prostej P|=>CH:
A1: P=>CH=1 – padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
bo zawsze gdy pada, są chmury
B1: P~>CH=0 – padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur
bo chmury mogą istnieć bez padania
Stąd mamy spełnioną definicje implikacji prostej P|=>CH:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1 =1
Nanieśmy nasz przykład P|=>CH do tabeli T0.
Kod: |
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej P|=>CH
A1: P=>CH=1 - padanie (P) jest wystarczające => dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH=0 - padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora implikacji prostej P||=>CH w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Operator implikacji prostej P||=>CH to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o P i ~P:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie P?
A2B2: ~P|~>~CH = (A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P?
Analizę operatora implikacji prostej P||=>CH wraz z rozstrzygnięciem iż badane zdanie W1 należy do tego operatora znajdziemy w punkcie 8.3.1
8.4 Implikacja prosta A|=>S w zdarzeniach
Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.
8.4.1 Zmienne związane i zmienne wolne w implikacji prostej A|=>S
Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1 - zapis aktualny
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 - zapis formalny
Punkt odniesienia:
p=A - przycisk A (wejście)
q=S - żarówka S (wyjście)
W
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Punkt odniesienia: A1B1: p|=>q = A|=>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej W:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje A i B.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W. Oboje widzą dokładnie tą samą żarówkę S. Jaś nie widzi Zuzi, ani Zuzia nie widzi Jasia, ale oboje wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S1, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S1, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna). Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.
Punktem odniesienia na schemacie S1 jest Jaś siedzący w pokoju A, bowiem w równaniu opisującym układ występuje wyłącznie przycisk A - Jaś nie ma dostępu do przycisku W.
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna W będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(w) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(w) =1
oraz
f(w)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(w) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku W, gdzie daje się ustawić zarówno W=1 jak i W=0.
Przykład:
f(w) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty
Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte
Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S1 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S.
8.4.2 Wyprowadzenie definicji implikacji prostej A|=>S
Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod: |
S1 Schemat 1
W
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Tak, stan przycisku W jest tu nieistotny, może być W=x gdzie x=[1,0]
Zauważmy, że pytanie A1 nie dotyczy przycisku W.
Przycisk W tu jest zmienną wolną którą możemy zastać w dowolnej pozycji W=x gdzie x={1,0}
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A1: A=>S =1
Przyjmijmy zdanie A1 za punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - na mocy prawa Kłapouchego
Nasz punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że stan przycisku W jest bez znaczenia W=x gdzie x={0,1}
B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Nie.
Przycisk A może nie być wciśnięty (A=0), a mimo to żarówka może się świecić, gdy zmienna wolna W będzie ustawiona na W=1.
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
B1: A~>S =0
Wciśnięcie przycisku A (A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1), bowiem może być sytuacja A=0 i W=1 i żarówka będzie się świecić
cnd
Jak widzimy na dzień dobry wyskoczyło nam prawo Kameleona.
Prawa Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Różność ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdania A1 i B1 tworzą definicję implikacji prostej A|=>S.
IP
Definicja implikacji prostej A|=>S w logice dodatniej (bo S):
Implikacja prosta A|=>S to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie klawisza A jest wystarczające => dla świecenia się żarówki S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie klawisza A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S
bo żarówkę S może zaświecić zmienna wolna W (W=1)
Stąd mamy:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta A|=>S jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia żarówki S (A1) i nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia żarówki S (B1)
Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q
Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym {A,S}:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S =1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: A~>S =0 = 2:~A=>~S =0 [=] 3: S=>A =0 = 4:~S~>~A =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP.
Uwaga:
Tabela IP zawiera zdania warunkowe „Jeśli p to q” zarówno prawdziwe jak i fałszywe dla wszelkich możliwych przeczeń p i q (plus zamiana p i q) istotne w implikacji prostej p|=>q.
Zdania w tabeli IP mogą być dowolnie pomieszane (groch z kapustą), matematycznie to bez znaczenia, jednak dla lepszego zrozumienia problemu układamy je dokładnie tak jak w tabeli IP.
W kolumnach mamy wtedy odpowiedzi na pytania:
A1B1: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
A2B2: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A3B3: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie q?
A4B4: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~q?
Definicja implikacji prostej A|=>S w logice dodatniej (bo S) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o A (A=1)?
A1B1: A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) - co się stanie jeśli wciśniemy A (A=1)?
Operator implikacji prostej A||=>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 odpowiadający na pytania o A i ~A:
A1B1: A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) - co się stanie jeśli wciśniemy A (A=1)?
A2B2:~A|~>~S=(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli nie wciśniemy A (~A=1)?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~A||~>~S w logice ujemnej (bo ~S) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 odpowiadający na pytania o ~A i A:
A2B2:~A|~>~S=(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli nie wciśniemy A (~A=1)?
A1B1: A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) - co się stanie jeśli wciśniemy A (A=1)?
Z prawa Sowy wynika, że wystarczy udowodnić zachodzącą implikację prostą A|=>S aby mieć gwarancję matematyczną prawdziwości operatora implikacji prostej A||=>S (i odwrotnie)
8.4.3 Operator implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach
Kod: |
S1 Schemat 1
W
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Operator implikacji prostej A||=>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 odpowiadający na pytania o A i ~A:
A1B1: A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) - co się stanie jeśli zajdzie A
A2B2:~A|~>~S=(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli zajdzie ~A
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka będzie się świecić (S=1) - mówi o tym zdanie A1
Kolumna A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że stan przycisku W jest bez znaczenia W=x gdzie x={0,1}
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S=A*~S=0
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1).
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Nasz przykład:
A1: A=>S = A2: ~A~>~S =1
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) konieczne ~> dla nie świecenia się S (~S=1)
B2: ~A=>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) wystarczające => dla nie świecenia się S (~S=1)
A2B2:~A|~>~S=(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) =`*~(0)=1*1=1
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
Kolumna A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
~A~>~S =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia się żarówki S (~S=1) bo jak przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2:~A~>~S = A1: A=>S
LUB
Z fałszywości warunku wystarczającego B2: ~A=>~S=0 wynika prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Gdy zmienna wolna W ustawiona jest na W=1.
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej A||=>S jest gwarancja matematyczna => po stronie A (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~A (zdania A2 i B2’) .
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~A||~>~S w logice ujemnej (bo ~S) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 odpowiadający na pytania o ~A i A:
A2B2:~A|~>~S=(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli nie wciśniemy A (~A=1)?
A1B1: A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) - co się stanie jeśli wciśniemy A (A=1)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~A||~>~S w logice ujemnej (bo ~S) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej A||=>S w logice dodatniej (bo S) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 21:36, 15 Sie 2022, w całości zmieniany 8 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 19:06, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.5 Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q)
Spis treści
8.5 Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) 1
8.5.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) 5
8.5.2 Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) 7
8.5.3 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach 8
8.5.4 Warunek poprawności dziedziny w implikacji odwrotnej p|~>q 10
8.5.5 Wyprowadzenie funkcji logicznych opisujących diagram p|~>q 10
8.5.6 Rozłączność zbiorów w implikacji odwrotnej p|~>q 13
8.5.7 Zastosowanie prawa Krokodyla w implikacji odwrotnej p|~>q 13
8.5.8 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach 16
8.5 Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q)
Przypomnijmy sobie definicje podstawowe:
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
„=”, [=] - znaczki tożsamości logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Sowy to definicja tożsamości logicznej dla wielu zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste =>
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Wracając do tematu implikacji odwrotnej p|~>q.
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1), ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
Kod: |
IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0 [=] 5: ~p+ q =0
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja odwrotna p|~>q determinuje prawdziwość operatora implikacji odwrotnej p||~>q (albo odwrotnie)
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
Kolumna A1B1:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q)=p*~q
Do zapamiętania:
p|~>q = p*~q
W tabeli IO na mocy kolumny A2B2 odczytujemy tożsamą definicję implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q).
A2B2.
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Implikacja prosta ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q (B2) ale nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q (A2)
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p*~q [=] A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=p*~q
Dowód:
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =0
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =1
cnd
Innymi słowy:
Prawa Kubusia:
A1: p=>q=0 <=> A2: ~p~>~q =0
B1: p~>q=1 <=> B2: ~p=>~q =1
<=> - wtedy i tylko wtedy
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
„=”, [=], <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej.
8.5.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q)
Kod: |
IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0 [=] 5: ~p+ q =0
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja odwrotna p|~>q determinuje prawdziwość operatora implikacji odwrotnej p||~>q (albo odwrotnie)
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1:
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
Prawdziwość zdania A1’ wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost” - nic a nic nie musimy więcej udowadniać.
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie zajdzie p (~p) i zajdzie q (q)
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~p i q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
Podsumowując:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to po stronie p najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” o czym mówią zdania B1 i A1’, natomiast po stronie ~p mamy gwarancję matematyczną => w postaci zdania B2.
Zauważmy, że operatorze implikacji odwrotnej p||~>q kolejność wypowiadania zdań B1, A1’, B2 i B2’ jest matematycznie bez znaczenia.
8.5.2 Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q)
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny.
Stąd mamy tożsamą definicję operatora implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q).
Definicja operatora implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Kluczowy wniosek:
Analiza operatora implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 (kiedy zajdzie ~p?) kończąc na kolumnie A1B1 (kiedy zajdzie p?)
8.5.3 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1), ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q =~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Tożsamości pojęć na mocy prawa Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Stąd:
Na mocy prawa Słonia zapisujemy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne, co doskonale widać w diagramie DIO niżej
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1), ale nie jest podzbiorem => zbioru q (A1)
Na mocy powyższej definicji rysujemy diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach.
Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|---------------------|----------------------------------------------|
| p | ~p |
|-------------------------------------------|------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q=p*~q=1 | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D =B1: p*q+ A1’: p*~q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą:
A1’: p~~>~q=p*~q=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
Kontrprzykład dla prawdziwego B2 musi być fałszem:
B2’: ~p~~>q=~p*q=[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
A2B2: ~p|~>~q= ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1
II.
Po zamianie p i q
A3B3:
A3: q~>p =0 - zbiór q nie jest (=0) nadzbiorem ~> p
B3: q=>p =1 - zbiór q jest (=1) podzbiorem => p
Kontrprzykład dla prawdziwego B3 musi być fałszem:
B3’: q~~>~p=q*~p=[]=0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów q i ~p
A3B3: q|=>p= ~(A3: q~>p)*(B3:~q=>~p)=~(0)*1=1*1=1
A4B4:
A4:~q=>~p=0 - zbiór ~q nie jest (=0) podzbiorem => ~p
B4:~q~>~p=1 - zbiór ~q jest (=1) nadzbiorem ~> ~p
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A4 musi być prawdą:
~q~~>p=~q*p=1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~q i p
A4B4: ~q|~>~p= ~(A4:~q=>~p)*(B4:~q~>~p)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Implikacja odwrotna p|~>q to trzy i tylko trzy zbiory niepuste i rozłączne
(B1, A1’, B2) uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
2.
W implikacji odwrotnej p|~>q po stronie p mamy do czynienia
z najzwyklejszym „rzucaniem monetą” o czym mówią zdania B1 i A1’
|
8.5.4 Warunek poprawności dziedziny w implikacji odwrotnej p|~>q
Warunek najważniejszy:
Dziedzina D musi być wspólna dla p i q.
Dowód w punkcie 6.10
Warunek poprawności dziedziny w implikacji odwrotnej p~>q:
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
Dowód na podstawie diagramu DIO:
Zauważmy, że jeśli przyjmiemy za dziedzinę D sumę logiczną zbiorów p i q:
D=p+q
to zbiór ~p będzie zbiorem pustym, czyli będzie nierozpoznawalny, co widać na diagramie DIO
Wniosek:
Dziedzina D musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
D>p+q
cnd
Dowód nie wprost iż dziedzina D musi być szersza od sumy zbiorów p+q.
Przyjmijmy dziedzinę:
D=p+q
W implikacji odwrotnej p|~>q zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p~>q =1
stąd nasza definicja dziedziny D w zbiorach ulega redukcji do:
D = p+q = p - bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
D=p
Obliczamy zaprzeczenie zbioru p (~p) definiowane uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p (p)
~p = [D-p] = [p-p] =[] - zbiór pusty [], zbiór ~p jest nierozpoznawalny
cnd
Wniosek:
Dziedzina D musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
D>p+q
cnd
8.5.5 Wyprowadzenie funkcji logicznych opisujących diagram p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne, co doskonale widać w diagramie DIO niżej
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Kod: |
IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q) w zbiorach:
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Matematyczne związki relacji nadzbioru ~> i podzbioru =>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0 [=] 5: ~p+ q =0
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
O tym co się dzieje w kierunku od p do q mówią kolumny A1B1 i A2B2.
Na mocy powyższej definicji rysujemy diagram implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w zbiorach.
Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w zbiorach
w kierunku od p do q
----------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|---------------------|----------------------------------------------|
| p | ~p |
|-------------------------------------------|------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q=p*~q=1 | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D =B1: p*q+ A1’: p*~q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wyprowadzenie funkcji logicznej opisującej diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
Z diagramu DIO odczytujemy w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) funkcję logiczną Y:
Y = B1: p*q + A1': p*~q + B2: ~p*~q
Y = p*q + p*~q + ~p*~q
Y = p*(q+~q) + ~p*~q
Y = p + (~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+q)
~Y= ~p*p + ~p*q
~Y = ~p*q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y):
1.
Y = p+~q
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że, że w dziedzinie D istnieje (Y) element zbioru należący do zbioru p (p=1) lub do zbioru ~q (~q=1)
Prawo Prosiaczka:
(Y=1)=(~Y=0)
Stąd mamy zapis tożsamy:
~Y=0 <=> p=1 lub ~q=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że w dziedzinie D nie istnieje (~Y) element należący do zbioru p (p=1) lub do zbioru ~q (~q=1)
Znaczenie symbolu Y:
Y - istnieje
~Y - nie istnieje
Dowód poprawności tej interpretacji:
Patrz diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach DIO wyżej
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(p+~q) = ~p*q – prawo De Morgana
stąd mamy:
2.
~Y=~p*q
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i q=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że nie istnieje (~Y) wspólny element zbiorów ~p (~p=1) i q (q=1)
Dowód w diagramie DIO.
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0)
Stąd zapis tożsamy:
(Y=0) <=> ~p=1 i q=1
Fałszem jest (=0), że istnieje (Y) wspólny element zbiorów ~p (~p=1) i q (q=1)
Znaczenie symbolu Y:
Y - istnieje
~Y - nie istnieje
Dowód poprawności tej interpretacji:
Patrz diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach DIP wyżej
Definicja dziedziny dla dowolnej funkcji logicznej Y:
D = Y+~Y =1
D = Y*~Y =0
Stąd mamy:
Dziedzina implikacji odwrotnej p|~>q to suma logiczna funkcji Y i ~Y:
Y+~Y=1
D = 1: p+~q + 2: ~p*q
D = 1: p+~q + 2: ~(p+~q) =1
Y*~Y=0
D = (1: p+~q)*(2: ~(p+~q) =0
cnd
W implikacji odwrotnej p|~>q zbiór ~Y=~p*q jest zbiorem pustym.
Stąd mamy dowód iż implikacja odwrotna A1B1: p|~>q dzieli dziedzinę D na trzy zbiory niepuste i rozłączne (A1, B2' i A2) uzupełniające się wzajemnie do dziedziny co doskonale widać na diagramie DIO wyżej.
8.5.6 Rozłączność zbiorów w implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q w zbiorach dzieli dziedzinę D na trzy zbiory B1, A1’ i B2 niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
Doskonale to widać na diagramie implikacji prostej DIO
Dowód rozłączności zbiorów B1, A1’ i B2 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
B1: p*q
A1’: p*~q
B2: ~p*~q
Badamy rozłączność zbiorów każdy z każdym:
B1*A1’ = (p*q)*(p*~q) =[] - bo q*~q=[]
B1*B2 = (p*q)*(~p*~q)=[] - bo p*~p=[]
A1’*B2 = (p*~q)*(~p*~q)=[] - bo p*~p=[]
cnd
Dowód tożsamy to:
Definicja sumy logicznej p+q w zbiorach/zdarzeniach rozłącznych {A, B. C}:
p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Stąd mamy naszą funkcję logiczną Y rozpisaną na zbiory/zdarzenia rozłączne {A, B, C}:
Y=p+~q = A: p*~q + B: p*q + C: ~p*~q
Przechodząc na indeksowanie zgodne z powyższym diagramem DIO mamy:
D=B1: p*q + A1': p*~q + B2:~p*~q
Gdzie:
Zbiory B1, A1’ i B2 są niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D
co doskonale widać w diagramie DIO
cnd
8.5.7 Zastosowanie prawa Krokodyla w implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne, co doskonale widać w diagramie DIO niżej
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Kod: |
IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q) w zbiorach:
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Matematyczne związki relacji nadzbioru ~> i podzbioru =>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0 [=] 5: ~p+ q =0
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
O tym co się dzieje w kierunku od p do q mówią kolumny A1B1 i A2B2.
Na mocy powyższej definicji rysujemy diagram implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w zbiorach.
Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w zbiorach
w kierunku od p do q
----------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|---------------------|----------------------------------------------|
| p | ~p |
|-------------------------------------------|------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q=p*~q=1 | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D =B1: p*q+ A1’: p*~q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja dziedziny D w logice matematycznej:
D = p+~p =1
~D = p*~p =0
Negacja dziedziny D (~D) oznacza zbiór pojęć leżących poza dziedziną D które z definicji mają wartość logiczną 0, czyli nas nie interesują.
Definicja jedynki w logice matematycznej:
D=1 = p+~p
Gdzie:
D=1 - dziedzina
Oczywiście pod p można podpiąć dowolnie złożoną funkcję logiczną f(x).
Stąd mamy:
Prawo Krokodyla:
(1-p) = ~p
Dowód:
Na mocy definicji negacja zmiennej binarnej p (~p) to uzupełnienie p do dziedziny D.
Stąd mamy:
~p = D-p = 1-p = (p+~p)-p = p+~p -p = (p-p)+~p = [] +~p = 0+~p =~p
Kluczowe jest tu skorzystanie z definicji jedynki w logice matematycznej:
1=p+~p
Gdzie:
p może być dowolnie złożoną funkcją logiczną p=f(x)
Pozostałe prawa logiki matematycznej użyte w dowodzie to:
a) Prawo opuszczenia nawiasów w sumie logicznej (+) i różnicy logicznej (-)
b) Przemienność sumy logicznej (+) i różnicy logicznej (-)
c) p-p=[]=0 - różnica logiczna (-) tych samych zbiorów jest zbiorem pustym
d) []+x =x - prawo neutralności zbioru pustego [] w sumie logicznej
Przykład wykorzystania prawa Krokodyla w implikacji odwrotnej p|~>q
Zauważmy, że w diagramie implikacji odwrotnej p|~>q DIO mamy:
1.
Zbiór p jest sumą logiczną zbioru B1: p*q oraz A1': p*~q
Dowód:
p = B1:p*q + A1': p*~q = p*(q+~q) = p*1 =p
cnd
Wykorzystane prawa logiki matematycznej:
a) wyciągnięcie zmiennej p przed nawias
b) q+~q=1
c) p*1=p
2.
Natomiast zbiór ~p to zbiór ~q minus zbiór wspólny A1’: p*~q:
~p = ~q - A1': p*~q
Czyli:
~p = ~q*1 - p*~q - bo prawo algebry Boole’a: ~q=~q*1
~p = ~q*(1-p) - wyciagnięcie zmiennej ~q przed nawias
~p = ~q*((p+~p) -p) - skorzystanie z definicji jedynki: 1=p+~p
~p = ~q*(~p+0) - bo różnica tych samych zbiorów jest zbiorem pustym []: p -p=[]=0
~p = ~q*~p - bo prawo algebry Boole’a: ~p+0=~p
~p=~p*~q - patrz diagram implikacji odwrotnej DIO
Oczywiście powyższa tożsamość zbiorów ~p=~p*~q zachodzi na mocy definicji podzbioru => co widać w diagramie DIP.
Definicja podzbioru =>:
p=>q =1
Zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
W diagramie DIO wszystko się zgadza bo na mocy definicji podzbioru => mamy:
~p=>~q =1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
Stąd:
Iloczyn logiczny zbiorów ~p i ~q to zbór ~p:
~p*~q=~p
cnd
8.5.8 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
„=”, [=] - znaczki tożsamości logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Z prawa Słonia wynika że:
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach jest identyczny jak diagram w zbiorach z tym, że:
1. Pojęcie „zbiór” zastępujemy pojęciem „zdarzenie”
2. Pojęcie „podzbiór” => zastępujemy pojęciem „warunek wystarczający” =>
3. Pojęcie „nadzbiór” ~> zastępujemy pojęciem „warunek konieczny” ~>
Stąd mamy:
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach:
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q, ale nie jest wystarczające => dla zajścia q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zdarzeń p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne, co widać na diagramie DIO niżej.
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (z definicji)
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (B1), ale nie jest wystarczające => dla zajścia q (A1)
Ważna uwaga:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach dzieli dziedzinę D na trzy zdarzenia B1, A1’ i B2 niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
Dowód w diagramie implikacji odwrotnej DIO niżej.
Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach
------------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|----------------------|-----------------------------------------------|
| p | ~p |
|--------------------------------------------|-------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q = p*~q | B2: ~p=>~q (~p*~q=1) |
------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D =B1: p*q+A1’: p*~q+B2: ~p*~q (suma logiczna zdarzeń możliwych) |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście ~p i q |
|----------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach |
------------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą:
A1’: p~~>~q=p*~q=1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
A1B1: p|~>q= ~(A1:p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q=1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Kontrprzykład dla prawdziwego B2 musi być fałszem:
B2’: ~p~~>q=~p*q=[] =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
A2B2: ~p|~>~q= ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1
II.
Po zamianie p i q
A3B3:
A3: q~>p =0 - zajście q nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia p
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p
Kontrprzykład dla prawdziwego B3 musi być fałszem:
B3’: q~~>~p=q*~p=[]=0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń q i ~p
A3B3: q|=>p= ~(A3: q~>p)*(B3:~q=>~p)=~(0)*1=1*1=1
A4B4:
A4:~q=>~p=0 - zajście ~q nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~p
B4:~q~>~p=1 - zajście ~q jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~p
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A4 musi być prawdą:
A4’: ~q~~>p=~q*p=1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~q i p
A4B4: ~q|~>~p= ~(A4:~q=>~p)*(B4:~q~>~p)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 21:35, 15 Sie 2022, w całości zmieniany 3 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 19:12, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.6 Przykład implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach
Spis treści
8.6 Przykład implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach 1
8.6.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach 5
8.6.2 Podstawowe rozwiązanie zadania W1: P2~~>~P8 8
8.6.3 Diagram implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach 9
8.6.4 Interpretacja diagramu implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach 12
8.6.5 Rozwiązanie zadania W1: P2~~>~P8 poprzez zrobienie zdjęcia układu 12
8.6 Przykład implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Algorytm rozwiązywania zadań typu „Jeśli p to q” gdzie p i q mogą być w dowolnych przeczeniach:
1.
Celem logiki matematycznej (algebry Kubusia) jest przyporządkowanie dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) z dowolnie zaprzeczonymi p i q do konkretnego operatora implikacyjnego.
Operator implikacyjny to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2)
2.
Warunkiem koniecznym działania algebry Kubusia jest wspólna dziedzina dla p i q (pkt. 6.10) oraz rozpoznawalność wszystkich zbiorów/zdarzeń po stronie wejścia zdania warunkowego „Jeśli p to q”, czyli zbiory/zdarzenia {p, q, ~p, ~q} muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorze pustym, czyli na pojęciach dla nas niezrozumiałych (pkt. 5.2).
3.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
4.
Korzystając z praw logiki matematycznej udowadniamy prawdziwość/fałszywość zdań dających w kolumnie A1B1 w tabeli T0 odpowiedź na pytanie o p
A1B1:
A1: p=>q =?
B1: p~>q =?
W tym momencie na mocy prawa Sowy mamy rozstrzygnięcie w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi badane zdanie (punkt 6.8).
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego i tylko jednego spójnika implikacyjnego (prawo Puchacza, punkt 6.8.1).
Zadanie W1:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
Rozwiązanie:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =?
Na mocy prawa Kłapouchego zapisujemy wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Obliczamy przeczenia zbiorów ~P2 i ~P8 definiowane jako uzupełnienia zbiorów P2 i P8 do dziedziny.
~p=~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2
~q=~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
Wyznaczenie zbiorów niepustych ~p i ~q jest dowodem poprawności wspólnej dziedziny LN (pkt. 6.10)
Jeśli p to q
Po stronie poprzednika p dowolna liczba naturalna może być podzielna przez 2 (P2) albo nie być podzielna przez 2 (~P2) - trzeciej możliwości brak
Po stronie następnika q dowolna liczba naturalna może być podzielna przez 8 (P8) albo nie być podzielna przez 8 (~P8) - trzeciej możliwości brak
Wnioski:
1.
Dziedzina jest poprawna, wspólna dla p i q
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
2.
Wszystkie potrzebne do analizy zbiory przez wszystkie możliwe przeczenia p i q są niepuste
{P2, P8, ~P2, ~P8}
To jest warunek konieczny rozpoznawalności powyższych pojęć, umożliwiający analizę zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
3.
Z powyższego wnioskujemy, iż badane zdanie musi należeć do jednego i tylko jednego z pięciu operatorów logicznych:
p||=>q – operator implikacji prostej p|=>q
p||~>q – operator implikacji odwrotnej p|~>q
p|<=>q – operator równoważności p<=>q
p|$q – operator spójnika „albo”($) p$q
p||~~>q – operator chaosu p|~~>q
4.
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem logicznym mamy do czynienia musimy w tabeli T0 ustalić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Ax oraz dowolnego zdania serii Bx
Zaczynamy oczywiście od warunku wystarczającego A1, bowiem prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => bez przeczeń zawsze dowodzi się najprościej.
A1.
Twierdzenie proste na mocy prawa Kłapouchego:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8)
P2=>P8=0
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 (P2) nie jest (=0) wystarczająca => dla jej podzielności przez 8 (P8) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..] bo kontrprzykład: 2
cnd
W tym momencie mamy następującą sytuację.
Fałszywość warunku wystarczającego A: P2=>P8=0 determinuje fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w linii Ax w tabeli T0.
Kod: |
T0.
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q =0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p =0 [=] 5:~p+ q =0
1: P2=> P8=0 2:~P2~>~P8=0 [=] 3: P8~> P2=0 4:~P8=>~P2=0 [=] 5:~P2+ P8=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =? 2:~p=> ~q =? [=] 3: q=> p =? 4:~q~> ~p =? [=] 5: p+ ~q =?
1: P2~> P8=? 2:~P2=>~P8=? [=] 3: P8=> P2=? 4:~P8~>~P2=? [=] 5: P2+~P8=?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Nasz punkt odniesienia zdeterminowany prawem Kłapouchego to:
p=P2
q=P8
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Wybieramy zdanie B3 bowiem warunek wystarczający bez negacji p i q zawsze dowodzi się najprościej.
B3.
Twierdzenie odwrotne w stosunku do A1:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
B3: P8=>P2=1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] potrafi każdy matematyk.
cnd
Dla zdania B3 korzystamy z prawa Tygryska.
B3: q=>p = B1: p~>q
Nasz przykład:
B3: P8=>P2 = B1: P2~>P8 =1
Wypowiedzmy zdanie B1:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~>P8=1
Dowód „nie wprost” mamy na mocy prawa Tygryska.
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Innymi słowy:
Ze zbioru liczb LN zabieram zbiór P2 i znika mi zbiór P8
Prawdziwość warunku koniecznego A1: P2~>P8=1 wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx.
Stąd mamy dowód iż mamy do czynienia z implikacją odwrotną P2|~>P8.
Definicja formalna implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 – zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 – zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 = 1*1=1
Na mocy prawa Kłapouchego podstawiamy nasz punkt odniesienia:
p=P2
q=P8
Na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Stąd mamy:
Definicja aktualna implikacji prostej P2|~>P8 (nasz przykład):
A1: P2=>P8=0 – zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8=1 – zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Stąd mamy:
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
8.6.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach
Podstawmy wyprowadzoną definicję P2|~>P8 do tabeli prawdy implikacji odwrotnej:
Kod: |
IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 – zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 – zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 = 1*1=1
Na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia dla naszego przykładu to:
p=P2
q=P8
Tabela prawdy implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zapisie aktualnym:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P2=>P8=0 – P2 nie jest (=0) wystarczające => dla P8
bo P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8=1 – P2 jest (=1) konieczne ~> dla P8
bo P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> P8=[8,16,24..]
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej P2|~>P8
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q =0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p =0 [=] 5:~p+ q =0
1: P2=> P8=0 2:~P2~>~P8=0 [=] 3: P8~> P2=0 4:~P8=>~P2=0 [=] 5:~P2+ P8=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p =1 [=] 5: p+ ~q =1
1: P2~> P8=1 2:~P2=>~P8=1 [=] 3: P8=> P2=1 4:~P8~>~P2=1 [=] 5: P2+~P8=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
„=”, [=] - tożsame znaczki tożsamości logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zapisie formalnym:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o P2 i ~P2:
A1B1: P2|~>P8 =~(A1: P2=> P8)* (B1: P2~>P8) - co się stanie jeśli zajdzie P2?
A2B2: ~P2|=>~P8 =~(A2:~P2~>~P8)* (B2:~P2=>~P8) - co się stanie jeśli zajdzie ~P2?
A1B1:
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie o P2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2)?
A1: P2=>P8=0 - P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8=1 - P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> P8=[8,16,24..]
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..] (B1) i jednocześnie nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1.
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~>P8 =1
W zapisie formalnym:
p~>q=1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 (P2) jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 (P8) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..].
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0 determinuje prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =1
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów: P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] bo np. 2
Formalnie tego faktu nie musimy dowodzić bowiem prawdziwość kontrprzykładu A1’ wynika z fałszywości warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0
… a jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2)?
Prawo Kubusia:
B1: P2~>P8 = B2: ~P2=>~P8 =1
W zapisie formalnym:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
A2B2
W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie o ~P2:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba nie będzie podzielna przez 2 (~P2)?
A2: ~P2~>~P8 =0 - zbiór ~P2 nie jest nadzbiorem ~> zbioru ~P8
B2: ~P2=>~P8 =1 - zbiór ~P2 jest podzbiorem => zbioru ~P8
A2B2: ~P2|=>~P8 = ~(A2: ~P2~>~P8)*(B2: ~P2=>~P8) = ~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta ~P2|=>~P8 w logice ujemnej (bo ~P8) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest (=1) podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] (B2) i jednocześnie nie jest nadzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] (A2)
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
~P2=>~P8=1
W zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 gwarantuje nam prawo Kubusia - dowód „nie wprost”.
Kolejny dowód „nie wprost” to skorzystanie dla B2 z prawa kontrapozycji:
Prawo kontrapozycji:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B2: ~P2=>~P8 = B3: P8=>P2
Udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] każdy matematyk bez problemu udowodni, co wymusza prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8=1
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8=1 determinuje fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =0
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Rozłączności zbiorów nieskończonych ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..] nie musimy dowodzić ponieważ wynika ona z prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8=1 (dowód nie wprost)
Podsumowanie:
Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 to najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie liczb podzielnych przez 2 (P2) o czym mówią zdania B1 i A1’ oraz gwarancja matematyczna => po stronie liczb niepodzielnych przez 2 (~P2) - mówi o tym zdanie B2
Innymi słowy:
1.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Czyli:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2) to ta liczba może ~> być podzielna przez 8 (P8) o czym mówi zdanie B1, albo może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8) o czym mówi zdanie A1’
2.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2) to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba nie będzie podzielna przez 8 (~P8) - mówi o tym zdanie B2
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań tworzących operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 jest matematycznie bez znaczenia, co oznacza że linie B1, A1’ B2, B2’ można dowolnie przestawiać.
8.6.2 Podstawowe rozwiązanie zadania W1: P2~~>~P8
Zadanie W1:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
Na mocy analizy w poprzednim punkcie stwierdzamy, iż zachodzi tożsamość zdań:
W1 = A1’
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =1
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów: P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] bo np. 2
Wniosek:
Badane zdanie W1: P2~~>~P8 wchodzi w skład tylko i wyłącznie operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8.
Wynika to z prawa Puchacza (pkt. 6.8.1)
Zauważmy, że zdania w których koniec końców wylądujemy w operatorze P2||~>P8 mogą mieć przykładowe treści (W2 i W3).
Zadanie W2.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie
W2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
~P2~~>~P8=~P2*~P8=1 – bo istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~P8 i ~P2 np. 1
W naszej analizie prawdziwy jest warunek wystarczający => B2
B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
~P2=>~P8=1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 (~P2) jest warunkiem wystarczającym => dla jej niepodzielności przez 8 (~P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7,..9..].
Dowód prawdziwości relacji podzbioru ~P2=>~P8 wykonaliśmy w analizie wyżej.
Jest oczywistym, że skoro zbiór ~P2 jest podzbiorem => ~P8 i oba te zbiory są niepuste to musi istnieć element wspólny tych zbiorów ~~>
cnd
Innymi słowy:
Badane zdanie W2 jest częścią operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 w logice dodatniej (bo P8) i nie może równocześnie należeć do jakiegokolwiek innego operatora logicznego (prawo Puchacza)
Zadanie W3.
W3.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
~P2~~>P8=~P2*P8=?
W naszej analizie widzimy tożsamość zdań:
W3=B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
B2’: ~P2~~>P8 = ~P2*P8 =0
Rozłączności zbiorów nieskończonych ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..] udowodniliśmy w analizie wyżej.
Wniosek:
Badanie zdanie W3=B2’ jest częścią operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 w logice dodatniej (bo P8) i nie może równocześnie należeć do jakiegokolwiek innego operatora logicznego (prawo Puchacza)
8.6.3 Diagram implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q =~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne, co widać na diagramie DIO niżej.
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1), ale nie jest podzbiorem => zbioru q (A1)
Na mocy powyższej definicji rysujemy diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach.
Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|---------------------|----------------------------------------------|
| p | ~p |
|-------------------------------------------|------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q=p*~q=1 | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D =B1: p*q+A1’: p*~q+B2: ~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla naszego przykładu A1B1: P2|~>P8 w powyższym diagramie wstawiamy wszędzie punkt odniesienia:
p = P2 - poprzednik zdania warunkowego, zbiór liczb podzielnych przez 2, P2=[2,4,6,8..]
q = P8 - następnik zdana warunkowego, zbiór liczb podzielnych przez 8, P8=[8,16,24..]
Gdzie:
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Stąd mamy:
Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach
Punkt odniesienia:
p=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2, P2=2,4,6,8..]
q=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8, P8=[8,16,24..]
---------------------------------------------------------------------------
| q=P8 | ~q=~P8 |
|-------------------------------------------------------------------------|
| p=P2 | ~p=~P2 - |
|-----------------------------------------------|-------------------------|
|B1: P2~>P8=1 (P2*P8=1) |A1’: P2~~>~P8=P2*~P8=1 |B2:~P2=>~P8=1 (~P2*~P8=1)|
---------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=B1: P2*P8+A1’: P2*~P8+B2: ~P2*~P8 (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| B2’: ~P2~~>P8=~P2*P8=[]=0 - jedyny zbiór pusty to ~P2*P8=[]=0 |
|-------------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach |
---------------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: P2=>P8 =0 - zbiór P2 nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8
B1: P2~>P8 =1 - zbiór P2 jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą:
A1’: P2~~>~P8=P2*~P8=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów P2 i ~P8 np. 2
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
A2B2:
A2:~P2~>~P8=0 - zbiór ~P2 nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~P8
B2:~P2=>~P8=1 - zbiór ~P2 jest (=1) podzbiorem => zbioru ~P8
Kontrprzykład dla prawdziwego B2 musi być fałszem:
B2’: ~P2~~>P8=~P2*P8=[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~P2 i P8
A2B2: ~P2|~>~P8= ~(A2:~P2~>~P8)*(B2: ~P2=>~P8)=~(0)*1=1*1=1
II.
Po zamianie p i q
A3B3:
A3: P8~>P2 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2
B3: P8=>P2 =1 - zbiór P8 jest (=1) podzbiorem => P2
Kontrprzykład dla prawdziwego B3 musi być fałszem:
B3’: P8~~>~P2=P8*~P8=[]=0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów P8 i ~P2
A3B3: P8|=>P2= ~(A3: P8~>P2)*(B3:~P8=>~P2)=~(0)*1=1*1=1
A4B4:
A4:~P8=>~P2=0 - zbiór ~P8 nie jest (=0) podzbiorem => ~P2
B4:~P8~>~P2=1 - zbiór ~P8 jest (=1) nadzbiorem ~> ~P2
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A4 musi być prawdą:
~P8~~>P2=~P8*P2=1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~P8 i P2 np. 2
A4B4: ~P8|~>~P2= ~(A4:~P8=>~P2)*(B4:~P8~>~P2)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
8.6.4 Interpretacja diagramu implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach
Z diagramu DIO odczytujemy:
Dziedzina implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach to suma logiczna zbiorów niepustych i rozłącznych:
D = B1: P2*P8 + A1': P2*~P8 + B2: ~P2*~P8
Zauważmy, że w diagramie implikacji odwrotnej P2|~>P8 DIO mamy:
1.
Zbiór P2 jest sumą logiczną zbioru B1: P2*P8 oraz A1': P2*~P8
Dowód:
P2 = B1:P2*P8 + A1': P2*~P8 = P2*(P8+~P8) = P2*1 =P2
cnd
Wykorzystane prawa logiki matematycznej:
a) wyciągnięcie zmiennej P2 przed nawias
b) P8+~P8=1
c) P2*1=P2
2.
Natomiast zbiór ~P2 to zbiór ~P8 minus zbiór wspólny A1’: P2*~P8:
~P2 = ~P8 - A1': P2*~P8
Czyli:
~P2 = ~P8*1 - P2*~P8 - bo prawo algebry Boole’a: ~P8=~P8*1
~P2 = ~P8*(1-P2) - wyciagnięcie zmiennej ~P8 przed nawias
~P2 = ~P8*((P2+~P2) -P2) - skorzystanie z definicji jedynki: 1=P2+~P2
~P2 = ~P8*(~P2+0) - bo różnica tych samych zbiorów jest zbiorem pustym []: P2 -P2=[]=0
~P2 = ~P8*~P2 - bo prawo algebry Boole’a: ~P2+0=~P2
~P2=~P2*~P8 - patrz diagram implikacji odwrotnej DIO
Oczywiście powyższa tożsamość zbiorów ~P2=~P2*~P8 zachodzi na mocy definicji podzbioru => co widać w diagramie DIP.
Definicja podzbioru =>:
p=>q =1
Zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
W diagramie DIO wszystko się zgadza bo na mocy definicji podzbioru => mamy:
~P2=>~P8 =1 - zbiór ~P2 jest (=1) podzbiorem => zbioru ~P8
Stąd:
Iloczyn logiczny zbiorów ~P2 i ~P8 to zbór ~P2:
~P2*~P8=~P2
cnd
8.6.5 Rozwiązanie zadania W1: P2~~>~P8 poprzez zrobienie zdjęcia układu
Przypomnijmy sobie wiadomości podstawowe niezbędne dla zrozumienia niniejszego punktu.
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Algorytm rozwiązywania zadań typu „Jeśli p to q” gdzie p i q mogą być w dowolnych przeczeniach:
1.
Celem logiki matematycznej (algebry Kubusia) jest przyporządkowanie dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) z dowolnie zaprzeczonymi p i q do konkretnego operatora implikacyjnego.
Operator implikacyjny to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2)
2.
Warunkiem koniecznym działania algebry Kubusia jest wspólna dziedzina dla p i q (pkt. 6.10) oraz rozpoznawalność wszystkich zbiorów/zdarzeń po stronie wejścia zdania warunkowego „Jeśli p to q”, czyli zbiory/zdarzenia {p, q, ~p, ~q} muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorze pustym, czyli na pojęciach dla nas niezrozumiałych (pkt. 5.2).
3.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
4.
Korzystając z praw logiki matematycznej udowadniamy prawdziwość/fałszywość zdań dających w kolumnie A1B1 w tabeli T0 odpowiedź na pytanie o p
A1B1:
A1: p=>q =?
B1: p~>q =?
W tym momencie na mocy prawa Sowy mamy rozstrzygnięcie w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi badane zdanie (punkt 6.8).
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego i tylko jednego spójnika implikacyjnego (prawo Puchacza, punkt 6.8.1)
Definicja zdjęcia układu:
Dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” zdjęciem układu nazywamy zakodowanie wszystkich możliwych przeczeń p i q elementem wspólnym zbiorów ~~> dla zbiorów, albo zdarzeniem możliwym ~~> dla zdarzeń w tym samym kierunku (np. od p do q) wraz z rozstrzygnięciem prawdziwości/fałszywości wszystkich czterech linii.
Schematy zdjęcia układu dla zbiorów i zdarzeń są następujące:
Kod: |
Jeśli p to q
Zdjęcie układu x dla zbiorów:
A: p~~> q= p* q =? – czy zbiory p i q mają (=1) element wspólny ~~>?
B: p~~>~q= p*~q =? – czy zbiory p i ~q mają (=1) element wspólny ~~>?
C:~p~~>~q=~p*~q =? – czy zbiory ~p i ~q mają (=1) element wspólny ~~>?
D:~p~~> q=~p* q =? – czy zbiory ~p i q mają (=1) element wspólny ~~>?
|
Kod: |
Jeśli p to q
Zdjęcie układu x dla zdarzeń:
A: p~~> q= p* q =? – czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q?
B: p~~>~q= p*~q =? – czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q?
C:~p~~>~q=~p*~q =? – czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q?
D:~p~~> q=~p* q =? – czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q?
|
Poprawne zdjęcie układu jednoznacznie rozstrzyga z jakim operatorem logicznym p||?q mamy do czynienia.
Zadanie W1:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
Rozwiązanie:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =?
Na mocy prawa Kłapouchego zapisujemy wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Obliczamy przeczenia zbiorów ~P2 i ~P8 definiowane jako uzupełnienia zbiorów P2 i P8 do dziedziny.
~p=~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2
~q=~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
Definicja wspólnej dziedziny dla p i q jest oczywiście spełniona (pkt. 6.10)
Jeśli p to q
Po stronie poprzednika p dowolna liczba naturalna może być podzielna przez 2 (P2) albo nie być podzielna przez 2 (~P2) - trzeciej możliwości brak
Po stronie następnika q dowolna liczba naturalna może być podzielna przez 8 (P8) albo nie być podzielna przez 8 (~P8) - trzeciej możliwości brak
Wszystkie możliwe kombinacje zbiorów jakie mogą wystąpić między p i q opisuje seria czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~>.
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~~>P8 = P2*P8 =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..] np. 8
cnd
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8=P2*~P8=1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów: P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np. 2
cnd
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
~P2~~>~P8=~P2*~P8=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: ~P2=[1,3,5,7,9..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np. 1
cnd
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
~P2~~>P8=~P2*P8=?
Tu przez iterowanie ciężko jest znaleźć wspólny element ~~> zbiorów ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..]
Na razie podejrzewamy tylko że zbiory ~P2 i P8 są rozłączne.
Zapiszmy powyższą analizę w formie skróconej:
Kod: |
T1
Zdjęcie układu P2?P8
A: p~~> q=1 | P2~~> P8=1 – istnieje wspólny element zbiorów P2 i P8 np.8
B: p~~>~q=1 | P2~~>~P8=1 – istnieje wspólny element zbiorów P2 i ~P8 np.2
C:~p~~>~q=1 |~P2~~>~P8=1 – istnieje wspólny element zbiorów ~P2 i ~P8 np.1
D:~p~~> q=0 |~P2~~> P8=0 – nie istnieje wspólny element zbiorów ~P2 i P8
|
Algorytm analizy powyższego zdjęcia układu to dwa kroki
Krok 1
Zauważmy, że w linii D mamy zero (rozłączność zbiorów ~P2 i P8), póki co jeszcze nie udowodnione
Jak to udowodnić?
1.
Zakładamy, że zdanie D jest fałszem:
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =0
Stąd na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy musi być warunek wystarczający C.
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
~P2=>~P8=1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>~q=1
2.
Jak udowodnić prawdziwość warunku wystarczającego => C?
Najprościej skorzystać z prawa kontrapozycji, dzięki czemu pozbędziemy się przeczeń.
Prawo kontrapozycji dla zdania C.
C: ~P2=~>~P8 = C1: P8=>P2
To samo w zapisie formalnym:
C: ~p=>~q = C1: q=>p
stąd mamy:
C1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
C1: P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
C1: q=>p =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 (P8) jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 (P2) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Prawdziwość relacji podzbioru P8=>P2 bez trudu udowodni każdy matematyk.
cnd
Na mocy prawa kontrapozycji prawdziwość warunku wystarczającego C1: P8=>P2 wymusza prawdziwość interesującego nas warunku wystarczającego C: ~P2=>~P8 (i odwrotnie)
3.
Zapiszmy zdanie C jeszcze raz:
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
C: ~P2=>~P8=1
To samo w zapisie formalnym:
C: ~p=>~q=1
Dowód „nie wprost” prawdziwości warunku wystarczającego C z wykorzystaniem prawa kontrapozycji mamy wyżej.
Na mocy prawa Słonia zapisujemy tu:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 (~P2) jest warunkiem wystarczającym => dla jej niepodzielności przez 8 (~P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P2=[1,3,5,7..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Innymi słowy:
Udowadniając prawdziwość warunku wystarczającego C automatycznie udowodniliśmy zachodzącą tu relację podzbioru => C: ~P2=>~P8
4.
Prawdziwość warunku wystarczającego C:~P2=>~P8=1 determinuje fałszywość kontrprzykładu D (i odwrotnie).
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
D: ~P2~~>P8 = ~P2*P8 =[]=0
To samo w zapisie formalnym:
D: ~p~~>q = ~p*q =[]=0
Dowód „nie wprost” fałszywości zdania D wynika z definicji kontrprzykładu.
cnd
5.
Zastosujmy do zdania C prawo Kubusia.
Prawo Kubusia:
C: ~P2=>~P8 = A: P2~>P8 =1
Stąd w linii A mamy spełniony warunek konieczny ~>:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
A: P2~>P8 =1
To samo w zapisie formalnym:
A: p~>q =1
Prawdziwość warunku koniecznego ~> A wynika z prawa Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
6.
Nanieśmy dotychczasową analizę do zdjęcia układu:
Kod: |
T2
Zdjęcie układu P2?P8
A: p~> q=1 | P2~> P8=1 – zbiór P2 jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8
B: p~~>~q=1 | P2~~>~P8=1 – co oznacza linia B dowiemy się w kroku 2
C:~p=> ~q=1 |~P2=> ~P8=1 – zbiór ~P2 jest (=1) podzbiorem => zbioru ~P8
D:~p~~> q=0 |~P2~~> P8=0 – zbiory ~P2 i P8 są rozłączne
|
Krok 2
7.
Zdanie B przyjmuje brzmienie:
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
B: P2~~>~P8 = P2*~P8 =1
To samo w zapisie formalnym:
B: p~~>~q = p*~q =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P2=[2,4,6,8…] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np. 2
Pokazanie jednego wspólnego elementu ~~> zbiorów P2 i ~P8 kończy dowód prawdziwości zdania B.
8.
Łatwo widzieć, że zdanie B to kontrprzykład dla warunku wystarczającego A.
Udowodniona wyżej prawdziwość kontrprzykładu B: P2~~>~P8=1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego A: P2=>P8=0.
Warunek wystarczający => A przyjmuje brzemienie:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8)
A: P2=>P8 =0
To samo w zapisie formalnym:
A: p=>q =0
Fałszywość warunku wystarczającego => A wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost”
Na mocy prawa Słonia możemy tu zapisać:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 (P2) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8 (P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Dowód bezpośredni fałszywości warunku wystarczającego => A to pokazanie jednej liczby należącej do zbioru P2 i nie należącej do zbioru P8 np. 2, co kończy dowód.
9
Stąd mamy końcowe zdjęcie badanego układu w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Kod: |
T3
Zdjęcie układu P2|~>P8
A: p~> q=1 | P2~> P8=1 | P2=> P8=0 – P2 nie jest (=0) podzbiorem => P8
B: p~~>~q=1 | P2~~>~P8=1 |
C:~p=> ~q=1 |~P2=> ~P8=1 |~P2~>~P8=0 - ~P2 nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~P8
D:~p~~> q=0 |~P2~~> P8=0
|
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
W linii A mamy definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8):
Implikacja odwrotna P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P2=>P8 =0 – zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8 =1 – zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Stąd:
A1B1: P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8) =~(0)*1=1*1=1
Prawa Kubusia:
A1: P2=>P8 = A2: ~P2~>~P8 =0
B1: P2~>P8 = B2: ~P2=>~P8 =1
Stąd:
W linii C mamy definicję implikacji prostej ~P2|=>~P8 w logice ujemnej (bo ~P8):
Implikacja prosta ~P2|=>~P8 w logice ujemnej (bo ~P8) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~P2~>~P8 =0 – zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
B2: ~P2=>~P8 =1 – zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest (=1) podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Stąd mamy:
A2B2: ~P2|=>~P8 = ~(A2: ~P2~>~P8)*(B2: ~P2=>~P8) = ~(0)*1=1*1=1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: P2|~>P8=~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8) [=] A2B2: ~P2|=>~P8=~(A2: ~P2~>~P8)*(B2: ~P2=>~P8)
bo prawa Kubusia:
A1: P2=>P8 = A2: ~P2~>~P8 =0
B1: P2~>P8 = B2: ~P2=>~P8 =1
cnd
Definicja formalna implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 – zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 – zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
Na mocy prawa Kłapouchego mamy wspólny dla wszystkich punkt odniesienia:
p=P2
q=P8
Podstawiając to do formalnej definicji implikacji odwrotnej p|~>q mamy definicję aktualną P2|~>P8 związaną z naszym przykładem.
Definicja aktualna implikacji odwrotnej P2|~>P8:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P2=>P8 =0 –podzielność liczby przez 2 nie jest wystarczająca => dla jej podzielności przez 8
bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8 =1 –podzielność dowolnej liczby przez 2 jest (=1) konieczna ~> dla jej podzielności przez 8
bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Stąd mamy:
A1B1: P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8) = ~(0)*1=1*1=1
Stąd mamy końcową tabelę prawdy dla implikacji odwrotnej P2|~>P8
Kod: |
IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 – zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 – zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 = 1*1=1
Na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia dla naszego przykładu to:
p=P2
q=P8
Tabela prawdy implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zapisie aktualnym:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P2=>P8=0 – P2 nie jest (=0) wystarczające => dla P8
bo P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8=1 – P2 jest (=1) konieczne ~> dla P8
bo P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> P8=[8,16,24..]
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej P2|~>P8
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q =0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p =0 [=] 5:~p+ q =0
1: P2=> P8=0 2:~P2~>~P8=0 [=] 3: P8~> P2=0 4:~P8=>~P2=0 [=] 5:~P2+ P8=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p =1 [=] 5: p+ ~q =1
1: P2~> P8=1 2:~P2=>~P8=1 [=] 3: P8=> P2=1 4:~P8~>~P2=1 [=] 5: P2+~P8=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
„=”, [=] - tożsame znaczki tożsamości logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zapisie formalnym:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o P2 i ~P2:
A1B1: P2|~>P8 =~(A1: P2=> P8)* (B1: P2~>P8) - co się stanie jeśli zajdzie P2?
A2B2: ~P2|=>~P8 =~(A2:~P2~>~P8)* (B2:~P2=>~P8) - co się stanie jeśli zajdzie ~P2?
Analizę operatora implikacji odwrotnej P2||~>P2 wraz z rozstrzygnięciem iż badane zdanie W1 należy do tego operatora mamy w punkcie 8.6.1
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 21:33, 15 Sie 2022, w całości zmieniany 6 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 19:15, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.7 Przykład implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach
Spis treści
8.7 Przykład implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach 1
8.7.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach 5
8.7.2 Podstawowe rozwiązanie zadania W1: CH~~>~P 8
8.7.3 Diagram implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach 9
8.7.4 Rozwiązanie zadania W1: CH~~>~P poprzez zrobienie zdjęcia układu 12
8.8 Implikacja odwrotna A|~>S w zdarzeniach 19
8.8.1 Zmienne związane i zmienne wolne w implikacji odwrotnej A|~>S 19
8.8.2 Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej A|~>S 21
8.8.3 Operator implikacji odwrotnej A||~>S w zdarzeniach 23
8.7 Przykład implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Algorytm rozwiązywania zadań typu „Jeśli p to q” gdzie p i q mogą być w dowolnych przeczeniach:
1.
Celem logiki matematycznej (algebry Kubusia) jest przyporządkowanie dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) z dowolnie zaprzeczonymi p i q do konkretnego operatora implikacyjnego.
Operator implikacyjny to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2)
2.
Warunkiem koniecznym działania algebry Kubusia jest wspólna dziedzina dla p i q (pkt. 6.10) oraz rozpoznawalność wszystkich zbiorów/zdarzeń po stronie wejścia zdania warunkowego „Jeśli p to q”, czyli zbiory/zdarzenia {p, q, ~p, ~q} muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorze pustym, czyli na pojęciach dla nas niezrozumiałych (pkt. 5.2).
3.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
4.
Korzystając z praw logiki matematycznej udowadniamy prawdziwość/fałszywość zdań dających w kolumnie A1B1 w tabeli T0 odpowiedź na pytanie o p
A1B1:
A1: p=>q =?
B1: p~>q =?
W tym momencie na mocy prawa Sowy mamy rozstrzygnięcie w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi badane zdanie (punkt 6.8).
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego i tylko jednego spójnika implikacyjnego (prawo Puchacza, punkt 6.8.1).
Zadanie:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
Rozwiązanie:
W1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (P)
CH~~>~P = CH~~>~P =?
Na mocy prawa Kłapouchego zapisujemy wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Jeśli p to q
Po stronie poprzednika p może wyłącznie być pochmurno (CH) albo nie być pochmurno (~CH)
Po stronie następnika q może wyłącznie padać (P) albo nie padać (~P)
Korzystając z praw logiki matematycznej musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość zdań dających w kolumnie A1B1 w tabeli T0 odpowiedź na pytanie o p
A1B1:
A1: p=>q =?
B1: p~>q =?
Na początek dowodzimy prawdziwości/fałszywości zdania:
A1: p=>q=?
Nasz przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
CH=>P=0
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =0
Chmury (CH) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P) bo nie zawsze gdy jest pochmurno, pada
cnd
W tym momencie nasza tabela prawy T0 przyjmuje postać:
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q=0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p=0 [=] 5:~p+ q =0
1: CH=> P=0 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~> CH=0 4:~P=>~CH=0 [=] 5:~CH+ P=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =? 2:~p=> ~q=? [=] 3: q=> p =? 4:~q~> ~p=? [=] 5: p+~q =?
1: CH~> P=? 2:~CH=>~P=? [=] 3: P=> CH=? 4:~P~>~CH=? [=] 5: CH+~P=?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Pozostaje nam udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Nasz przykład jest na tyle prosty, że nie ma znaczenia które zdanie serii Bx wybierzemy, dowód bezpośredni zawsze będzie trywialny. W przypadkach nietrywialnych wybieramy matematyczne twierdzenie odwrotne B3: q=>p.
Zademonstruję oba te wybory, by pokazać o co tu chodzi.
Rzucam monetą i wybieram B1.
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
B1: CH~>P =1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Chmury (CH) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P) bo padać może wyłącznie z chmury.
cnd
Rzucam ponownie monetą i wybieram B3.
B3.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
B3: P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Padanie (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH), bo zawsze gdy pada, są chmury.
cnd
Zauważmy, że naszym punktem odniesienia wyznaczonym przez prawo Kłapouchego jest zdanie:
B1: p~>q a nie zdanie udowodnione wyżej B3: q=>p.
Skorzystajmy zatem z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Nasz przykład:
B3: P=>CH = B1: CH~>P =1
Stąd mamy:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
B1: CH~>P =1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
W tym przypadku prawdziwość warunku koniecznego B1: CH~>P udowodniliśmy dowodem „nie wprost” korzystając z prawa Tygryska.
cnd
Definicja formalna implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 – zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 – zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
W naszym przykładzie na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Podstawiając to do formalnej definicji implikacji odwrotnej p|~>q mamy definicję aktualną CH|~>P związaną z naszym przykładem.
Definicja aktualna implikacji odwrotnej CH|~>P w logice dodatniej (bo P):
Implikacja odwrotna CH|~>P w logice dodatniej (bo P) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH=>P =0 – chmury (CH) nie są (=0) wystarczające dla padania (P)
bo nie zawsze gdy są chmury, pada
B1: CH~>P =1 – chmury (CH) są (=1) konieczne dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmury
Stąd mamy:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1=1
Zapiszmy to w tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
8.7.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach
Kod: |
IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 – zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 – zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 = 1*1=1
Na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia dla naszego przykładu to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Tabela prawdy implikacji odwrotnej CH|~>P w zapisie aktualnym:
Implikacja odwrotna CH|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH=>P =0 – chmury (CH) nie są (=0) wystarczające dla padania (P)
bo nie zawsze gdy są chmury, pada
B1: CH~>P =1 – chmury (CH) są (=1) konieczne dla padania (P),
bo padać może wyłącznie z chmury
Stąd mamy:
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej P2|~>P8
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q=0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p=0 [=] 5:~p+ q =0
1: CH=> P=0 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~> CH=0 4:~P=>~CH=0 [=] 5:~CH+ P=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q=1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p=1 [=] 5: p+~q =1
1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
„=”, [=] - tożsame znaczki tożsamości logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zapisie formalnym:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w logice dodatniej (bo P) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o CH i ~CH:
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) – co może się wydarzyć jeśli będzie pochmurno (CH)?
A2B2: ~CH|=>~P=~(A2:~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P) – co może się wydarzyć jeśli nie będzie pochmurno?
A1B1:
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie o chmury (CH):
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH)?
A1: CH=>P =0 – chmury (CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania (P)
B1: CH~>P =1 – chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P)
Stąd mamy:
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna CH|~>P w logice dodatniej (bo P) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (B1), ale nie są (=0) wystarczające => dla padania (A1).
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1.
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
W zapisie formalnym:
p~>q =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmury.
cnd
Uwaga:
Występującą tu relację nadzbioru ~> w zdarzeniach można łatwo wyjaśnić rozpisując wszystkie możliwe zdarzenia po obu stronach znaczka ~>
CH*P=1 + CH*~P=1 ~> P*CH=1 + P*~CH=0
Stąd mamy:
CH*P + CH*~P ~> P*CH
Doskonale widać zachodzącą tu relację nadzbioru ~> w zdarzeniach.
Oczywiście w odwrotną stronę zachodzić będzie relacja podzbioru =>:
P*CH => CH*P + CH*~P
cnd
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego A1: CH=>P=0 determinuje prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P=CH*~P=1
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
cnd
Formalnie tego faktu nie musimy dowodzić bowiem prawdziwość kontrprzykładu A1’ wynika z fałszywości warunku wystarczającego A1: CH=>P=0
… a jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH)?
Prawo Kubusia:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
W zapisie formalnym:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
A2B2
W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie o brak chmur (~CH):
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH)?
A2: ~CH~>~P =0 – brak chmur (~CH) nie jest (=0) konieczny ~> by nie padało (~P)
B2: ~CH=>~P =1 – brak chmur (~CH) jest (=1) wystarczający => dla nie padania (~P)
A2B2: ~CH|=>~P = ~(A2: ~CH~>~P)*(B2: ~CH=>~P) = ~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta ~CH|=>~P w logice ujemnej (bo ~P) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy brak chmur (CH) jest (=1) wystarczający => (B2) dla nie padania (~P), ale nie jest (=0) konieczny ~> (A2) dla nie padania (~P).
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padało (~P)
~CH=>~P =1
W zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 gwarantuje nam prawo Kubusia - dowód „nie wprost”.
Dowód wprost to:
Brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => dla braku padania (~P), bo padać może wyłącznie z chmury
Innymi słowy:
Brak chmur (~CH) daje nam gwarancję matematyczną => braku opadów (~P), bo padać może wyłącznie z chmury
cnd
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~CH=>~P=1 determinuje fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to może ~~> padać (P)
~CH~~>P = ~CH*P =0
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Fałszywości kontrprzykładu B2’ nie musimy dowodzić ponieważ wynika ona z prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~CH=>~P=1 (dowód „nie wprost”)
Nie musimy, nie oznacza, ze nie możemy.
Dowód bezpośredni jest tu trywialny:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH) i pada (P)
cnd
Podsumowanie:
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P to najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie chmur (CH) o czym mówią zdania B1 i A1’ oraz gwarancja matematyczna => po stronie braku chmur (~CH) - mówi o tym zdanie B2
Innymi słowy:
1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Czyli:
Jeśli jutro będzie pochmrno (CH) to może ~> padać (P) o czym mówi zdanie B1, albo może ~~> nie padać (~P) o czym mówi zdanie A1’
2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padać (~P) – mówi o tym zdanie B2
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań tworzących operator implikacji odwrotnej CH||~>P jest matematycznie bez znaczenia, co oznacza że linie B1, A1’ B2, B2’ można dowolnie przestawiać.
8.7.2 Podstawowe rozwiązanie zadania W1: CH~~>~P
Zadanie W1:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
Na mocy analizy w poprzednim punkcie stwierdzamy, iż zachodzi tożsamość zdań:
W1 = A1’
A1’
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P=CH*~P=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
Wniosek:
Badane zdanie W1: CH~~>~P wchodzi w skład tylko i wyłącznie operatora implikacji odwrotnej CH||~>P.
Wynika to z prawa Puchacza (pkt. 6.8.1)
Zauważmy, że zdania w których koniec końców wylądujemy w operatorze CH||~>P mogą mieć przykładowe treści (W2 i W3).
Zadanie W2.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie
W2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to może ~~> nie padać (~P)
~CH~~>~P = ~CH*~P =1
W zapisie formalnym:
~p~~>~q = ~p*~q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie ma chmur (~CH) i nie pada (~P)
Na mocy definicji zdarzenia możliwego wystarczy zaobserwować jeden taki przypadek by zdanie W2 było prawdziwe. Nie badamy tu czy zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.
W naszej analizie prawdziwy jest warunek wystarczający => B2
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padało (~P)
~CH=>~P =1
W zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Dowód wprost to:
Brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => dla braku padania (~P), bo padać może wyłącznie z chmury
Jest oczywistym, że skoro zawsze gdy nie ma chmur (~CH), nie pada (~P) to bez problemu zaobserwujemy jedno zdarzenie możliwe ~~>, czyniące zdanie W2: ~P~~>~CH prawdziwym.
cnd
Innymi słowy:
Badane zdanie W2 jest częścią operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w logice dodatniej (bo P) i nie może równocześnie należeć do jakiegokolwiek innego operatora logicznego (prawo Puchacza pkt. 6.8.1)
Zadanie W3.
W3.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to może ~~> padać (P)
~CH~~>P = ~CH*P =?
W naszej analizie widzimy tożsamość zdań:
W3=B2’.
B2’.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to może ~~> padać (P)
~CH~~>P = ~CH*P =0
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Dowód bezpośredni jest tu trywialny:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH) i pada (P)
cnd
Wniosek:
Badanie zdanie W3=B2’ jest częścią operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w logice dodatniej (bo P) i nie może równocześnie należeć do jakiegokolwiek innego operatora logicznego (prawo Puchacza pkt. 6.8.1)
8.7.3 Diagram implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Z prawa Słonia dla zbiorów i zdarzeń wynika że:
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach jest identyczny jak diagram w zbiorach z tym, że:
1. Pojęcie „zbiór” zastępujemy pojęciem „zdarzenie”
2. Pojęcie „podzbiór” => zastępujemy pojęciem „warunek wystarczający” =>
3. Pojęcie „nadzbiór” ~> zastępujemy pojęciem „warunek konieczny” ~>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach:
Zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q (B1), ale nie jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q (A1).
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zdarzeń p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne, co widać na diagramie DIO niżej.
A1: p=>q =0 - zajście zdarzenia p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
B1: p~>q =1 - zajście zdarzenia p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (B1), ale nie jest wystarczające => dla zajścia q (A1)
Ważna uwaga:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach dzieli dziedzinę D na trzy zdarzenia B1, A1’ i B2 niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
Dowód w diagramie implikacji prostej DIO niżej.
Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach
-------------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|----------------------|------------------------------------------------|
| p | ~p |
|---------------------------------------------|-------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q = p*~q=1 | B2: ~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
-------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D =B1: p*q+A1’: p*~q+B2: ~p*~q (suma logiczna zdarzeń możliwych) |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście ~p i q |
|-----------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach |
-------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla naszego przykładu A1B1: CH|~>P w powyższym diagramie wstawiamy wszędzie punkt odniesienia:
p = CH (chmury) - poprzednik zdania warunkowego
q = P (pada) - następnik zdana warunkowego
Gdzie:
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Stąd mamy:
Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach:
Punkt odniesienia:
p=CH (chmury) - poprzednik zdania warunkowego
q=P (pada) - następnik zdana warunkowego
---------------------------------------------------------------------------
| q=P (pada) | ~q=~P (nie pada) |
|----------------------|--------------------------------------------------|
| p=CH (chmury) | ~p=~CH (nie chmury) |
|---------------------------------------------|---------------------------|
| B1: CH~>P=1 (CH*P=1) | A1’: CH~~>~P=CH*~P=1 | B2: ~CH=>~P=1 (~CH*~P=1) |
---------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D= B1: CH*P+A1’: CH*~P+B2: ~CH*~P (suma logiczna zdarzeń możliwych) |
| B2’: ~CH~~>P=~CH*P=0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście ~CH i P |
|-------------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach |
---------------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: CH=>P =0 - chmury (CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania (P)
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania (P)
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą:
A1’: CH~~>~P=CH*~P=1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń: są chmury CH i nie pada ~P
A1B1: CH|~>P= ~(A1:CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1=1
A2B2:
A2:~CH~>~P=0 - brak chmur ~CH nie jest (=0) konieczny ~> dla nie padania ~P
B2:~CH=>~P=1 - brak chmur ~CH jest (=1) wystarczający => dla nie padania ~P
Kontrprzykład dla prawdziwego B2 musi być fałszem:
B2’: ~CH~~>P=~CH*P=[] =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: nie ma chmur ~CH i pada P
A2B2: ~CH|~>~P= ~(A2:~CH~>~P)*(B2: ~CH=>~P)=~(0)*1=1*1=1
II.
Po zamianie p i q
A3B3:
A3: P~>CH =0 - padanie P nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur CH
B3: P=>CH =1 - padanie P jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur CH
Kontrprzykład dla prawdziwego B3 musi być fałszem:
B3’: P~~>~CH=P*~CH=[]=0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: pada P i nie ma chmur ~CH
A3B3: P|=>CH= ~(A3: P~>CH)*(B3:~P=>~CH)=~(0)*1=1*1=1
A4B4:
A4:~P=>~CH=0 - brak padania ~P nie jest (=0) wystarczający => dla ~CH
B4:~P~>~CH=1 - brak padania ~P jest (=1) konieczny ~> dla braku chmur ~CH
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A4 musi być prawdą:
A4’: ~P~~>CH=~P*CH=1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń: nie pada ~P i są chmury CH
A4B4: ~P|~>~CH= ~(A4:~P=>~CH)*(B4:~P~>~CH)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
8.7.4 Rozwiązanie zadania W1: CH~~>~P poprzez zrobienie zdjęcia układu
Przypomnijmy sobie wiadomości podstawowe niezbędne dla zrozumienia niniejszego punktu.
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Algorytm rozwiązywania zadań typu „Jeśli p to q” gdzie p i q mogą być w dowolnych przeczeniach:
1.
Celem logiki matematycznej (algebry Kubusia) jest przyporządkowanie dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) z dowolnie zaprzeczonymi p i q do konkretnego operatora implikacyjnego.
Operator implikacyjny to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2)
2.
Warunkiem koniecznym działania algebry Kubusia jest wspólna dziedzina dla p i q (pkt. 6.10) oraz rozpoznawalność wszystkich zbiorów/zdarzeń po stronie wejścia zdania warunkowego „Jeśli p to q”, czyli zbiory/zdarzenia {p, q, ~p, ~q} muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorze pustym, czyli na pojęciach dla nas niezrozumiałych (pkt. 5.2).
3.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
4.
Korzystając z praw logiki matematycznej udowadniamy prawdziwość/fałszywość zdań dających w kolumnie A1B1 w tabeli T0 odpowiedź na pytanie o p
A1B1:
A1: p=>q =?
B1: p~>q =?
W tym momencie na mocy prawa Sowy mamy rozstrzygnięcie w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi badane zdanie (punkt 6.8).
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego i tylko jednego spójnika implikacyjnego (prawo Puchacza, punkt 6.8.1)
Definicja zdjęcia układu:
Dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” zdjęciem układu nazywamy zakodowanie wszystkich możliwych przeczeń p i q elementem wspólnym zbiorów ~~> dla zbiorów, albo zdarzeniem możliwym ~~> dla zdarzeń w tym samym kierunku (np. od p do q) wraz z rozstrzygnięciem prawdziwości/fałszywości wszystkich czterech linii.
Schematy zdjęcia układu dla zbiorów i zdarzeń są następujące:
Kod: |
Jeśli p to q
Zdjęcie układu x dla zbiorów:
A: p~~> q= p* q =? – czy zbiory p i q mają (=1) element wspólny ~~>?
B: p~~>~q= p*~q =? – czy zbiory p i ~q mają (=1) element wspólny ~~>?
C:~p~~>~q=~p*~q =? – czy zbiory ~p i ~q mają (=1) element wspólny ~~>?
D:~p~~> q=~p* q =? – czy zbiory ~p i q mają (=1) element wspólny ~~>?
|
Kod: |
Jeśli p to q
Zdjęcie układu x dla zdarzeń:
A: p~~> q= p* q =? – czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q?
B: p~~>~q= p*~q =? – czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q?
C:~p~~>~q=~p*~q =? – czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q?
D:~p~~> q=~p* q =? – czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q?
|
Poprawne zdjęcie układu jednoznacznie rozstrzyga z jakim operatorem logicznym p||?q mamy do czynienia.
Zadanie:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
Rozwiązanie:
W1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (P)
CH~~>~P = CH~~>~P =?
Na mocy prawa Kłapouchego zapisujemy wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Jeśli p to q
Po stronie poprzednika p może wyłącznie być pochmurno (CH) albo nie być pochmurno (~CH)
Po stronie następnika q może wyłącznie padać (P) albo nie padać (~P)
Wszystkie możliwe zdarzenia jakie mogą wystąpić między p i q opisuje seria czterech zdań warunkowych przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> padać (P)
CH~~>P = CH*P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jest pochmurno (CH) i pada (P)
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jest pochmurno (CH) i nie pada (~P)
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to może ~~> nie padać (~P)
~CH~~>~P = ~CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie jest pochmurno (~CH) i nie pada (~P)
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to może ~~> padać (P)
~CH~~>P = ~CH*~P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie jest pochmurno (~CH) i pada (P)
Zapiszmy powyższą analizę w formie skróconej:
Kod: |
T1
Zdjęcie układu CH?P
A: p~~> q=1 | CH~~> P=1 – możliwe jest zdarzenie: są chmury i pada
B: p~~>~q=1 | CH~~>~P=1 – możliwe jest zdarzenie: są chmury i nie pada
C:~p~~>~q=1 |~CH~~>~P=1 – możliwe jest zdarzenie: nie ma chmur i nie pada
D:~p~~> q=0 |~CH~~> P=0 – niemożliwe jest zdarzenie: nie ma chmur i pada
|
Algorytm analizy powyższego zdjęcia układu to dwa kroki
Krok 1
Zauważmy, że w linii D mamy zdarzenie niemożliwe (=0).
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to może ~~> padać (P)
D: ~CH~~>P = ~CH~~>P =0
W zapisie formalnym:
D: ~p~~>q = ~p*q=0
Dowód:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur(~CH) i pada (P)
Stąd na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy musi być warunek wystarczający C.
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padać (~P)
C: ~CH=>~P=1
W zapisie formalnym:
C: ~p=>~q=1
Prawdziwości warunku wystarczającego => C nie musimy dowodzić, bo wynika ona z fałszywości kontrprzykładu D.
Nie musimy nie oznacza, że nie możemy
Dowód wprost:
Brak chmur (~CH) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie padania (~P) bo padac może wyłącznie z chmury
cnd
4.
Prawdziwość warunku wystarczającego C:~CH=>~P=1 determinuje fałszywość kontrprzykładu D (i odwrotnie).
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to może ~~> padać (P)
D: ~CH~~>P=~CH*P =0
W zapisie formalnym:
D: ~p~~>q=~p*q =0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur(~CH) i pada (P)
5.
Zastosujmy do zdania C prawo Kubusia.
Prawo Kubusia:
C: ~CH=>~P = A: CH~>P =1
Stąd w linii A mamy spełniony warunek konieczny ~>:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
A: CH~>P =1
W zapisie formalnym:
A: p~>q =1
Prawdziwość warunku koniecznego ~> A wynika z prawa Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Dowód wprost:
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmury.
cnd
6.
Nanieśmy dotychczasową analizę do zdjęcia układu:
Kod: |
T2
Zdjęcie układu CH?P
A: p~> q=1 | CH~> P=1 – chmury są konieczne ~> dla padania
B: p~~>~q=1 | CH~~>~P=1 – możliwe jest zdarzenie: są chmury i nie pada
C:~p=> ~q=1 |~CH=> ~P=1 – brak chmur jest wystarczający => dla nie padania
D:~p~~> q=0 |~CH~~> P=0 – niemożliwe jest zdarzenie: nie ma chmur i pada
|
Krok 2
7.
Zdanie B brzmi:
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
B: CH~~>~P=CH*~P =1
W zapisie formalnym:
B: p~~>~q = p*~q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
cnd
8.
Łatwo widzieć, że zdanie B to kontrprzykład dla warunku wystarczającego A.
Udowodniona wyżej prawdziwość kontrprzykładu B: CH~~>~P=1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego A: CH=>P=0.
Warunek wystarczający => A przyjmuje brzmienie:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
A: CH=>P =0
W zapisie formalnym:
A: p=>q =0
Fałszywość warunku wystarczającego => A wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost”.
Dowód wprost to:
Chmury (CH) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P) bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd
9.
Stąd mamy końcowe zdjęcie badanego układu w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Kod: |
T3
Zdjęcie układu CH|~>P
A: p~> q=1 | CH~> P=1 | CH=> P=0 – CH nie są (=0) wystarczające => dla P
B: p~~>~q=1 | CH~~>~P=1
C:~p=> ~q=1 |~CH=> ~P=1 |~CH~>~P=0 - ~CH nie jest (=0) konieczne ~> dla ~P
D:~p~~> q=0 |~CH~~> P=0
|
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
W linii A mamy definicję implikacji odwrotnej CH|~>P w logice dodatniej (bo P):
Implikacja odwrotna CH|~>P w logice dodatniej (bo P) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH=>P =0 – chmury (CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania (P)
B1: CH~>P =1 – chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P)
Stąd mamy:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1=1
Prawa Kubusia:
A1: CH=>P = A2: ~CH~>~P =0
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P =1
Stąd:
W linii C mamy definicję implikacji prostej ~CH|=>~P w logice ujemnej (bo ~P):
Implikacja prosta ~CH|=>~P w logice ujemnej (bo ~P) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~CH~>~P =0 – brak chmur (~CH) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla nie padania (~P)
B2: ~CH=>~P =1 – brak chmur (~CH) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie padania (~P)
Stąd mamy:
A2B2: ~CH|=>~P = ~(A2: ~CH~>~P)*(B2: ~CH=>~P) =~(0)*1=1*1=1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) [=] A2B2: ~CH|=>~P = ~(A2: ~CH~>~P)*(B2: ~CH=>~P)
bo prawa Kubusia:
A1: CH=>P = A2: ~CH~>~P =0
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P =1
cnd
Definicja formalna implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 – zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 – zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Na mocy prawa Kłapouchego mamy wspólny dla wszystkich punkt odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Podstawiając to do formalnej definicji implikacji odwrotnej p|~>q mamy definicję aktualną CH|~>P związaną z naszym przykładem.
Definicja aktualna implikacji odwrotnej CH|~>P w logice dodatniej (bo P):
Implikacja odwrotna CH|~>P w logice dodatniej (bo P) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH=>P =0 – chmury (CH) nie są (=0) wystarczające dla padania (P)
bo nie zawsze gdy są chmury, pada
B1: CH~>P =1 – chmury (CH) są (=1) konieczne dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmury
Stąd mamy:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1=1
Stąd mamy końcową tabelę prawdy dla implikacji odwrotnej CH|~>P
Kod: |
IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 – zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 – zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 = 1*1=1
Na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia dla naszego przykładu to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Tabela prawdy implikacji odwrotnej CH|~>P w zapisie aktualnym:
Implikacja odwrotna CH|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH=>P =0 – chmury (CH) nie są (=0) wystarczające dla padania (P)
bo nie zawsze gdy są chmury, pada
B1: CH~>P =1 – chmury (CH) są (=1) konieczne dla padania (P),
bo padać może wyłącznie z chmury
Stąd mamy:
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej P2|~>P8
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q=0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p=0 [=] 5:~p+ q =0
1: CH=> P=0 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~> CH=0 4:~P=>~CH=0 [=] 5:~CH+ P=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q=1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p=1 [=] 5: p+~q =1
1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
„=”, [=] - tożsame znaczki tożsamości logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zapisie formalnym:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w logice dodatniej (bo P) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o CH i ~CH:
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) – co może się wydarzyć jeśli będzie pochmurno (CH)?
A2B2: ~CH|=>~P=~(A2:~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P) – co może się wydarzyć jeśli nie będzie pochmurno?
Analizę operatora implikacji odwrotnej CH||~>P wraz z rozstrzygnięciem iż badane zdanie W1 należy do tego operatora mamy w punkcie 8.7.1
8.8 Implikacja odwrotna A|~>S w zdarzeniach
Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.
8.8.1 Zmienne związane i zmienne wolne w implikacji odwrotnej A|~>S
Kod: |
S2 Schemat 2
Fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1=1 - zapis aktualny
S A W
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-------o o------
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
--------------------------------------------------
Punkt odniesienia: A1B1: A|~>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej szeregowo z przyciskiem A
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej W:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje A i B.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W. Oboje widzą dokładnie tą samą żarówkę S. Jaś nie widzi Zuzi, ani Zuzia nie widzi Jasia, ale oboje wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S2, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S2, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna). Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.
Punktem odniesienia na schemacie S2 jest Jaś siedzący w pokoju A, bowiem w równaniu opisującym układ występuje wyłącznie przycisk A - Jaś nie widzi przycisku W.
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna W będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(w) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(w) =1
oraz
f(w)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(w) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku W, gdzie daje się ustawić zarówno W=1 jak i W=0.
Przykład:
f(w) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty
Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte
Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S1 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S.
8.8.2 Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej A|~>S
Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod: |
S2 Schemat 2
S W A
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-------o o------
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
--------------------------------------------------
|
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Nie, bo nie zawsze gdy wciśniemy przycisk A żarówka zaświeci się.
Żarówka zaświeci się wtedy i tylko wtedy gdy dodatkowo przycisk W będzie wciśnięty.
Zauważmy, że pytanie A1 nie dotyczy przycisku W.
Przycisk W jest tu zmienną wolną którą możemy zastać w dowolnej pozycji W=x gdzie x={0,1}
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A nie daje nam (=0) gwarancji matematycznej => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Tak
Konieczne dlatego, że dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiona na W=1 (przycisk wciśnięty).
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Przyjmijmy zdanie B1 za punkt odniesienia:
p~>q =1 - na mocy prawa Kłapouchego
Nasz punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka)
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1).
Konieczne dlatego, że dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiona na W=1
cnd
Zauważmy, że zdania A1 i B1 lokalizują nam implikację odwrotną A|~>S.
IO.
Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w logice dodatniej (bo S):
Implikacja odwrotna A|~>S to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =0 - wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia się żarówki S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia żarówki S
bo dodatkowo musi być wciśnięty przycisk W (W=1)
stąd mamy:
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna A|~>S jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia żarówki S (B1) i nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla świecenia żarówki S (A1)
Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kod: |
IO:
Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w zapisie aktualnym:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|~>S= ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: A=>S =0 = 2:~A~>~S =0 [=] 3: S~>A =0 = 4:~S=>~A =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: A~>S =1 = 2:~A=>~S =1 [=] 3: S=>A =1 = 4:~S~>~A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO.
Uwaga:
Tabela IO zawiera zdania warunkowe „Jeśli p to q” zarówno prawdziwe jak i fałszywe dla wszelkich możliwych przeczeń p i q (plus zamiana p i q) istotne w implikacji odwrotnej p|~>q.
Zdania w tabeli IO mogą być dowolnie pomieszane (groch z kapustą), matematycznie to bez znaczenia, jednak dla lepszego zrozumienia problemu układamy je dokładnie tak jak w tabeli IO.
W kolumnach mamy wtedy odpowiedzi na pytania:
A1B1: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
A2B2: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A3B3: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie q?
A4B4: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~q?
8.8.3 Operator implikacji odwrotnej A||~>S w zdarzeniach
Kod: |
S2 Schemat 2
S W A
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-------o o------
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
--------------------------------------------------
|
Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w logice dodatniej (bo S) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o A (A=1)?
A1B1: A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) - co się stanie jeśli wciśniemy A (A=1)?
[b]Operator implikacji odwrotnej A||~>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 odpowiadający na pytania o A i ~A:
A1B1: A|~>S =~(A1: A=> S)* (B1: A~>S) - co się stanie jeśli wciśniemy A (A=1)?
A2B2:~A|=>~S =~(A2:~A~>~S)* (B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli nie wciśniemy A (~A=1)?
Z prawa Sowy wynika, że wystarczy udowodnić zachodzącą implikację odwrotną A|~>S aby mieć gwarancję matematyczną prawdziwości operatora implikacji odwrotnej A||~>S (i odwrotnie)
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia S
A1B1: A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) = ~(0)*1=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’
Kolumna A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B1.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S (S=1), koniecznym dlatego, że dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiony na W=1.
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S (S=1) bo jak przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego A1: A=>S=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Gdy zmienna wolna W ustawiona jest na W=0.
A2B2
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~A~>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla nie świecenia S (~S=1)
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia S (~S=1)
A2B2: ~A|=>~S = ~(A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =~(0)*1=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka nie będzie się świecić (~S=1) - mówi o tym zdanie B2.
Kolumna A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie będzie się świecić (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcia A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia S (~S=1), bo zawsze gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1), żarówka nie świeci się (~S=1)
Zauważmy, że prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wynika z praw fizyczno-matematycznych i nie ma tu potrzeby, wykonywać nieskończonej ilości wciśnięć przycisku A sprawdzając czy za każdym wciśnięciem, żarówka świeci się.
Brak wciśnięcie przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż żarówka nie będzie się świecić (~S=1), bo przyciski A i W połączone są szeregowo.
Stan przycisku W jest tu bez znaczenia W=x gdzie: x={0,1}
Zachodzi tożsamość pojęć:
Gwarancja matematyczna => = Warunek wystarczający =>
Prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie).
B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Zauważmy, że przyciski A i W połączone są szeregowo, z czego wynika że:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Stan zmiennej wolnej W jest tu bez znaczenia: W=x gdzie: x={0,1}
Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji odwrotnej A||~>S jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie wciśniętego przycisku A (A=1 - zdania B1 i A1’), oraz gwarancja matematyczna => po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A=1 - zdanie B2).
Doskonale to widać w powyższej analizie.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~A||=>~S w logice ujemnej (bo ~S) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 odpowiadający na pytania o ~A i A:
A2B2:~A|=>~S =~(A2:~A~>~S)* (B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli nie wciśniemy A (~A=1)?
A1B1: A|~>S =~(A1: A=> S)* (B1: A~>S) - co się stanie jeśli wciśniemy A (A=1)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~A||=>~S w logice ujemnej (bo ~S) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej A||~>S w logice dodatniej (bo S) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 21:32, 15 Sie 2022, w całości zmieniany 2 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 19:18, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.9 Geneza tabel zero-jedynkowych warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Spis treści
8.9 Geneza tabel zero-jedynkowych warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 1
8.10 Implikacja prosta p|=>q 1
8.10.1 Operator implikacji prostej p||=>q 2
8.10.2 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego => 4
8.10.3 Co oznacza zero-jedynkowa definicji implikacji prostej p|=>q? 8
8.11 Implikacja odwrotna p|~>q 9
8.11.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 10
8.11.2 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> 12
8.11.3 Co oznacza zero-jedynkowa definicji implikacji odwrotnej p|~>q? 15
8.9 Geneza tabel zero-jedynkowych warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
W niniejszym rozdziale udowodnimy, iż zero-jedynkowe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> generuje język potoczny człowieka, od 5-cio latka poczynając.
Znając ten fakt łatwo udowodnić twierdzenie odwrotne iż fundamentem języka potocznego są tabele zero-jedynkowe spójników logicznych.
Wychodzi z tego odwieczne pytanie, co było pierwsze „jajko, czy kura”?
Poprawna odpowiedź to „kura”, gdyż jajko nie potrafi myśleć, natomiast „kura” potrafi udowodnić, iż tabele zero-jedynkowe spójników logicznych generuje język potoczny „kury”, znaczy język potoczny 5-cio latka, co niniejszym wykażemy.
W algebrze Kubusia matematycznym fundamentem obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” są zaledwie trzy znaczki ~~>, =>, ~> plus definicja kontrprzykładu.
Definicje tych znaczków podaję na gruncie teorii zdarzeń bo jest nieporównywalnie prostsza od teorii zbiorów.
8.10 Implikacja prosta p|=>q
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q (A1) i jednocześnie p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
Stąd mamy:
Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
8.10.1 Operator implikacji prostej p||=>q
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedzi na pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q=1)
Mówi o tym zdanie A1
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q
A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Mówią o tym zdania A2 i B2’
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q, bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
LUB
Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .
8.10.2 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q przedstawioną wyżej:
Kod: |
T1:
Analiza symboliczna |Co w logice
operatora implikacji prostej p||=>q |jedynek oznacza
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A1: p=> q =1 - zajście p wystarcza => dla q |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład dla A1 musi być 0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
Kolumna A2B2:
A2:~p~>~q =1
B2: ~p=>~q =0
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest konieczne ~> dla ~q |(~p=1)~> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =1 - kontrprzykład dla B2 musi być 1 |(~p=1)~~>( q=1)=1
a b c d e f
|
Z tabeli T1 możemy wyprowadzić zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego A1: p=>q kodując analizę symboliczną względem linii A1, albo zero-jedynkową definicję warunku koniecznego A2:~p~>~q kodując analizę symboliczną względem linii A2
Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek wystarczający => widoczny w linii A1:
A1: p=>q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam potrzebne do wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
Kod: |
T2:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego A1: p=>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza |Co w logice |Kodowanie dla |Zero-jedynkowa
symboliczna |jedynek oznacza |A1: p=>q =1 |definicja =>
| | | p q A1: p=>q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=>1 =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1=>0 =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0=>0 =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0=>1 =1
a b c d e f g h i 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|(~p=1)=( p=0) |
|(~q=1)=( q=0) |
|
Nagłówek A1: p=>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A1: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Zauważmy, że w tabeli T1 mamy również warunek konieczny ~> widniejący w linii A2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię A2 i wygenerujmy tabelę zero-jedynkową warunku koniecznego ~>:
A2:~p~>~q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A2 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
Kod: |
T3:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego A2:~p~>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza |Co w logice |Kodowanie dla |Zero-jedynkowa
symboliczna |jedynek oznacza |A2:~p~>~q =1 |definicja ~>
| | |~p ~q A2:~p~>~q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0~>0 =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~>1 =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 | 1~>1 =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |(~p=1)~~>(~q=0)=1 | 1~>0 =1
a b c d e f g h i 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|( p=1)=(~p=0) |
|( q=1)=(~q=0) |
|
Nagłówek A2:~p~>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A2: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T2 i T3 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T2 i T3 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T2: p=>q = T3: ~p~>~q
Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => (T2: 123) i koniecznego ~> (T3: 123).
Oto on:
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
p q p=>q
A: 1=>1 =1
B: 1=>0 =0
C: 0=>0 =1
D: 0=>1 =1
|
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
p q p~>q
A: 1~>1 =1
B: 1~>0 =1
C: 0~>0 =1
D: 0~>1 =0
|
Stąd mamy:
Kod: |
T4
Dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p~>~q
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
A1: 1=>1 =1 0~>0 =1
A1’: 1=>0 =0 0~>1 =0
A2: 0=>0 =1 1~>1 =1
B2’: 0=>1 =1 1~>0 =1
1 2 3 4 5 6
|
Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q = p=>q
cnd
Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p=>q = ~p~>~q
Definicja tożsamości logicznej „=”:
p=>q = ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>
Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
p q p<=>q
A: 1<=>1 =1
B: 1<=>0 =0
C: 0<=>0 =1
D: 0<=>1 =0
|
Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
Kod: |
Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q (p=>q)<=>(~p~>~q)
A1: 1=>1 =1 0~>0 =1 =1
A1’: 1=>0 =0 0~>1 =0 =1
A2: 0=>0 =1 1~>1 =1 =1
B2’: 0=>1 =1 1~>0 =1 =1
1 2 3 4 5 6 7
|
Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
8.10.3 Co oznacza zero-jedynkowa definicji implikacji prostej p|=>q?
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q (A1) i jednocześnie p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
Stąd mamy:
Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q przedstawioną wyżej:
Kod: |
T1.
Analiza symboliczna |Co w logice
operatora implikacji prostej p||=>q |jedynek oznacza
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A1: p=> q =1 - zajście p wystarcza => dla q |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład dla A1 musi być 0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
Kolumna A2B2:
A2:~p~>~q =1
B2: ~p=>~q =0
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest konieczne ~> dla ~q |(~p=1)~> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =1 - kontrprzykład dla B2 musi być 1 |(~p=1)~~>( q=1)=1
a b c d e f
|
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =(~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
Do zapamiętania:
p|=>q = ~p*q
Łatwo widzieć, iż definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = ~p*q
wskazuje w analizie T1 jedyny kontrprzykład prawdziwy:
B2’: ~p~~>q=~p*q=1
Znajomość tego faktu, jest warunkiem koniecznym i wystarczającym do otworzenia operatora implikacji prostej p||=>q w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” jak w tabeli T1.
Dowód:
Z faktu iż zdanie B2’ jest jedynym kontrprzykładem prawdziwym:
B2’: ~p~~>q=1
wnioskujemy iż drugi kontrprzykład A1’ musi być fałszem:
A1’: p~~>~q=0
Stąd odtwarzamy tabelę prawdy operatora implikacji prostej p|=>q, tabelę T1
8.11 Implikacja odwrotna p|~>q
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Przykład implikacji odwrotnej A1B1: CH|~>P na poziomie 5-cio latka omówiliśmy w rozdziale 8.6
Przypomnijmy sobie analizę formalną implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q.
IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => (A1) dla zajścia q.
Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod: |
IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to formalny punkt odniesienia {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
8.11.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Mówią o tym zdania B1 i A1’
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q, bo jak zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
LUB
Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie):
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q
A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q (~q=1).
Mówi o tym zdanie B2
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie):
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zajdzie ~p i zajdzie q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie p (zdania B1 i A1’) , oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).
8.11.2 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
Kod: |
IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to formalny punkt odniesienia {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q przedstawioną wyżej:
Kod: |
T1:
Analiza symboliczna |Co w logice
operatora implikacji odwrotnej p||~>q |jedynek oznacza
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
B1: p~> q =1 - p jest konieczne ~> dla q |( p=1)~> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=1 - kontrprzykład dla A1 musi być 1 |( p=1)~~>(~q=1)=1
Kolumna A2B2:
A2: ~p~>~q =0
B2: ~p=>~q =1
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p wystarcza => dla ~q |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład dla B2 musi być 0 |(~p=1)~~>( q=1)=0
a b c d e f
|
Z tabeli T1 możemy wyprowadzić zero-jedynkową definicję warunku koniecznego B1: p~>q kodując analizę symboliczną względem linii B1, albo zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego B2:~p=>~q kodując analizę symboliczną względem linii B2
Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek konieczny ~> widoczny w linii B1:
B1: p~>q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam potrzebne do wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia B1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
Kod: |
T2:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego B1: p~>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza |Co w logice |Kodowanie dla |Zero-jedynkowa
symboliczna |jedynek oznacza |B1: p~>q |definicja ~>
| | | p q B1: p~>q
B1: p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |( p=1)~> ( q=1)=1 | 1~>1 =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~>0 =1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0~>0 =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~>1 =0
a b c d e f g h i 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|(~p=1)=( p=0) |
|(~q=1)=( q=0) |
|
Nagłówek B1: p~>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię B1: p~>q w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Zauważmy, że w tabeli T1 mamy również warunek wystarczający => widniejący w linii B2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię B2 i wygenerujmy tabelę zero-jedynkową warunku wystarczającego =>:
B2:~p=>~q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia B2 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
Kod: |
T3:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego B2:~p=>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza |Co w logice |Kodowanie dla |Zero-jedynkowa
symboliczna |jedynek oznacza |B2:~p=>~q |definicja =>
| | |~p ~q B2: ~p=>~q
B1: p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |(~p=0)~> (~q=0)=1 | 0=>0 =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |(~p=0)~~>(~q=1)=1 | 0=>1 =1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1=>1 =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1=>0 =0
a b c d e f g h i 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|( p=1)=(~p=0) |
|( q=1)=(~q=0) |
|
Nagłówek B2: ~p=>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię B2 w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T2 i T3 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T2 i T3 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T2: p~>q = T3: ~p=>~q
Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> (T2: 123) i wystarczającego => (T3: 123).
Oto on:
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
p q p~>q
A: 1~>1 =1
B: 1~>0 =1
C: 0~>0 =1
D: 0~>1 =0
|
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
p q p=>q
A: 1=>1 =1
B: 1=>0 =0
C: 0=>0 =1
D: 0=>1 =1
|
Stąd mamy:
Kod: |
T4
Dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym:
p~>q = ~p=>~q
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
B1: 1~>1 =1 0=>0 =1
A1’: 1~>0 =1 0=>1 =1
B2: 0~>0 =1 1=>1 =1
B2’: 0~>1 =0 1=>0 =0
1 2 3 4 5 6
|
Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicja warunku koniecznego p~>q:
p~>q = p+~q
##
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
p=>q = ~p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
~p=>~q = ~(~p)+~q = p+~q = p~>q
cnd
Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p~>q = ~p=>~q
Definicja tożsamości logicznej „=”:
p~>q = ~p=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>
Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
p q p<=>q
A: 1<=>1 =1
B: 1<=>0 =0
C: 0<=>0 =1
D: 0<=>1 =0
|
Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
Kod: |
Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p~>q <=> ~p=>~q
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q (p~>q)<=>(~p=>~q)
B1: 1~>1 =1 0=>0 =1 1
A1’: 1~>0 =1 0=>1 =1 1
B2: 0~>0 =1 1=>1 =1 1
B2’: 0~>1 =0 1=>0 =0 1
1 2 3 4 5 6 7
|
Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
8.11.3 Co oznacza zero-jedynkowa definicji implikacji odwrotnej p|~>q?
Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji odwrotnej p|~>q przedstawioną wyżej:
Kod: |
T1.
Analiza symboliczna |Co w logice
operatora implikacji odwrotnej p||~>q |jedynek oznacza
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
B1: p~> q =1 - p jest konieczne ~> dla q |( p=1)~> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=1 - kontrprzykład dla A1 musi być 1 |( p=1)~~>(~q=1)=1
Kolumna A2B2:
A2: ~p~>~q =0
B2: ~p=>~q =1
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p wystarcza => dla ~q |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład dla B2 musi być 0 |(~p=1)~~>( q=1)=0
a b c d e f
|
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q)=p*~q
Do zapamiętania:
p|~>q = p*~q
Zauważmy, że definicja implikacji odwrotnej w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = ~p*q
wskazuje w analizie T1 jedyny kontrprzykład prawdziwy:
A1’: p~~>~q=p*~q=1
Znajomość tego faktu, jest warunkiem koniecznym i wystarczającym do otworzenia operatora implikacji odwrotnej p||~>q w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” jak w tabeli T1.
Dowód:
Z faktu iż zdanie A1’ jest jedynym kontrprzykładem prawdziwym:
A1’: p~~>~q=1
wnioskujemy iż drugi kontrprzykład B2’ musi być fałszem:
B2’: ~p~~>q=0
Stąd odtwarzamy tabelę prawdy operatora implikacji odwrotnej p|~>q, tabelę T1
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 21:30, 15 Sie 2022, w całości zmieniany 2 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 19:20, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.0 Spójniki równoważności p<=>q i „albo”($) p$q
Spis treści
9.0 Spójniki równoważności p<=>q i „albo”($) p$q 1
9.0 Spójniki równoważności p<=>q i „albo”($) p$q
Spójniki równoważności p<=>q i „albo”($) to niesłychane rzadkości w otaczającym nas wszechświecie, gdzie królują poznane wyżej implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q.
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Tabela wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych TF2.
Kod: |
TF2
Tabela prawdy wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych Y
w logice dodatniej (bo Y)
|Grupa I |Grupa II |Grupa III | Grupa IV
|Spójniki „i”(*)|Spójniki =>, ~>|Spójniki <=>, $ | Wejścia
|oraz „lub”(+) ||=>, |~> ||~~>, |~~~> | p i q
| Y Y | Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y
p q | * + | ~* ~+ | => ~> |=> |~> | <=> $ |~~> |~~~>| p q ~p ~q
A: 1 1 | 1 1 | 0 0 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 1 1 0 0
B: 1 0 | 0 1 | 1 0 | 0 1 0 1 | 0 1 1 0 | 1 0 0 1
C: 0 1 | 0 1 | 1 0 | 1 0 1 0 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0
D: 0 0 | 0 0 | 1 1 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 0 0 1 1
A A A A A A A A A A A A A A A A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
|
Definicje podstawowych spójników logicznych obsługujących zdania warunkowe „Jeśli p to q”
Kod: |
TF4-7
-------------------------------------------------------------------------
Tabela prawdy podstawowych spójników obsługujących zdania „Jeśli p to q”:
TF4-5:
Warunek wystarczający => i konieczny ~>
A4.
Warunek wystarczający p=>q:
Y= p=>q
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
;
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y= p=>q = ~p+q # ~Y=~(p=>q) = p*~q
##
A5.
Warunek konieczny p~>q:
Y= p~>q
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
;
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y= p~>q = p+~q # ~Y=~(p|~>q)=~p* q
##
------
TF6-7:
Spójniki implikacyjne p|=>q i p|~>q:
A6.
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1),
ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q
;
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p|=>q = ~p* q # ~Y=~(p|=>q)= p+~q
##
A7.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (B1),
ale nie jest wystarczające => dla zajścia q (A1)
;
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p|~>q = ~p* q # ~Y=~(p|~>q)= p+~q
##
---------------------------------------------------------------------
| TF8-9: |
| Spójniki równoważnościowe p<=>q i p$q |
---------------------------------------------------------------------
A8.
Równoważność p<=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
;
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p<=>q= p* q + ~p*~q # ~Y=~(p<=>q)= p*~q + ~p* q
##
A9.
Spójnik „albo”($):
A1: p=>~q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
;
Definicja spójnika „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p$q= p*~q + ~p* q # ~Y= ~(p$q) = p* q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF4-9 obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 13:12, 15 Lis 2022, w całości zmieniany 2 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 19:22, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.1 Równoważność p<=>q
Spis treści
9.1 Równoważność p<=>q 1
9.1.1 Wyprowadzenie prawa Irbisa 3
9.1.2 Nowatorski dowód prawa Irbisa w zbiorach 7
9.1.3 Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa 7
9.2 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach 9
9.2.1 Operator równoważności p|<=>q w zbiorach/zdarzeniach 11
9.2.2 Operator równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) 14
9.2.3 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach 14
9.1 Równoważność p<=>q
Przypomnijmy sobie definicje podstawowe:
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej [=] dla zapisu wieloczłonowego (patrz prawo Słonia niżej)
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy i tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
9.1.1 Wyprowadzenie prawa Irbisa
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q.
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Matematyka klasyczna zajmuje się dowodzeniem twierdzeń prostych A1: p=>q oraz twierdzeń odwrotnych B3: q=>p rozpoznając poprawnie wyłącznie równoważność A1B3: p<=>q
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Relacja między twierdzeniem prostym A1: p=>q a odwrotnym B3: q=>p to relacja różne na mocy definicji ##:
A1: p=>q = ~p+q ## B3: q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zastanówmy się nad efektywnymi sposobami dowodzenia równoważności p<=>q w matematyce klasycznej, gdzie operuje się wyłącznie na zbiorach nieskończonych.
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy i tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Z prawa Słonia wynika, że:
1.
Jeśli udowodnimy prawdziwość twierdzenia prostego A1: p=>q to automatycznie udowodnimy zachodzącą relację podzbioru p=>q:
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
2.
Jeśli udowodnimy prawdziwość twierdzenia odwrotnego B3: q=>p to automatycznie udowodnimy relację podzbioru q=>p:
B3: q=>p =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
Zapiszmy nasze wnioskowanie z prawa Słonia dla zbiorów.
Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
A1B3:
Równoważność p<=>q to prawdziwość twierdzenia prostego A1: p=>q i jednoczesna prawdziwość twierdzenia odwrotnego B3: q=>p
Innymi słowy na mocy prawa Słonia:
Równoważność p<=>q to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony:
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B3: q=>p =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
Stąd mamy:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
Ostatnie zdanie to doskonale znana każdemu matematykowi definicja tożsamości zbiorów p=q.
Definicja tożsamości zbiorów p=q w relacjach podzbioru =>:
A1B3:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Dla B3 zastosujmy prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Stąd mamy tożsamą definicję tożsamości zbiorów.
Definicja tożsamości zbiorów p=q w relacji podzbioru => i nadzbioru ~>:
A1B1:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Porównajmy prawa Słonia dla zbiorów i zdarzeń:
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy i tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości zbiorów p=q w warunku wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1:
Dwa zbiory p i q są tożsame (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q.
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Stąd mamy:
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Porównując prawo Słonia dla zbiorów i zdarzeń mamy:
Definicja tożsamości zdarzeń p=q w warunku wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1.
Dwa zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q.
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Stąd mamy:
Prawo Irbisa dla zdarzeń:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Na podstawie powyższego zapisujemy ogólne prawo Irbisa:
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
9.1.2 Nowatorski dowód prawa Irbisa w zbiorach
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q =1 definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) <=> p=q
W zbiorach tożsamość zbiorów p=q można udowodnić tak:
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q (twierdzenie proste)
Stąd mamy:
p*q =p
oraz:
B3: q=>p =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór q jest podzbiorem => p (twierdzenie odwrotne)
Stad mamy:
q*p =q
Definicja równoważności p<=>q)
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)
W zbiorach mamy iż zachodzi:
(A1: p*q=p) i (B3: q*p=q)
Iloczyn logiczny zbiorów jest przemienny stąd mamy:
(p*q =p) i (p*q=q)
Stąd mamy:
p=q
bo lewe strony są tożsame to i prawe strony muszą być tożsame
cnd
P.S.
Chyba coś takiego jest w matematyce:
Jeśli a=b i a=c to b=c
cholera wie jak to się nazywa.
9.1.3 Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Tabela prawdy równoważności p<=>q uwzględniająca prawo Irbisa:
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q=1
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=> definiuje: | Równoważności <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1 [=] 5: p*q+~p*~q
tożsamość zbiorów/zdarzeń: | tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Doskonale widać że:
1.
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q:
A1B1:
Dwa zbiory/zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q.
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
W równoważności A1B1: p<=>q mamy tu odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
2.
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=~q:
A2B2:
Dwa zbiory/zdarzenia ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajęcie ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q.
A2B2: ~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)= A2B2: ~p<=>~q
W równoważności A2B2: ~p<=>~q mamy tu odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
3.
Kolumna A3B3 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń q=p:
A3B3.
Dwa zbiory/zdarzenia q i p są tożsame q=p wtedy i tylko wtedy gdy zajście q jest konieczne ~> (A3) i wystarczające => (B3) dla zajścia p.
A3B3: q=p <=> (A3: q~>p)*(B3: q=>p) = A3B3: q<=>p
W równoważności A3B3: q<=>p mamy tu odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie q?
4.
Kolumna A4B4 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~q=~p:
A4B4:
Dwa zbiory/zdarzenia ~q i ~p są tożsame ~q=~p wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~q jest konieczne ~> (B4) i wystarczające => A4) dla zajścia ~p
A4B4: ~q=~p <=> (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p) = A4B4: ~q<=>~p
W równoważności A4B4: ~q<=>~p mamy tu odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~q?
Przemienność w tożsamości zbiorów/zdarzeń jest oczywista, stąd mamy tożsamości:
A1B1: p=q [=] A3B3: q=p
#
A2B2: ~p=~q [=] A4B4: ~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony we wspólnej dziedzinie D
9.2 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa.
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q=1
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=> definiuje: | Równoważności <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1 [=] 5: p*q+~p*~q
tożsamość zbiorów/zdarzeń: | tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =(~p+q)*(p+~q) = ~p*p+~p*~q+q*p+q*~q=p*q+~p*~q
Do zapamiętania:
p<=>q = p*q+~p*~q
W tabeli TR na mocy kolumny A2B2 odczytujemy tożsamą definicję równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q).
A2B2.
Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~>, jak i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q
Ta wersja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom (w tym matematykom)
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Dowód:
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =1
cnd
Innymi słowy:
Prawa Kubusia:
A1: p=>q=1 <=> A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q=1 <=> B2: ~p=>~q =1
<=> - wtedy i tylko wtedy
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
„=”, [=], <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej.
9.2.1 Operator równoważności p|<=>q w zbiorach/zdarzeniach
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q=1
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=> definiuje: | Równoważności <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1 [=] 5: p*q+~p*~q
tożsamość zbiorów/zdarzeń: | tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
W teorii ogólnej nie mamy co prawda do czynienia z zapisami aktualnymi (przykładami) ale wkrótce będziemy wiązać teorię ogólną z przykładami, stąd zajmujemy się wyłącznie kolumnami A1B1 i A2B2.
Na mocy prawa Kłapouchego szukamy odpowiedzi przy pomocy zdań warunkowych "Jeśli p to q" na dwa najważniejsze pytania:
1: Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
2: Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Na mocy prawa Sowy równoważność prawdziwa p<=>q determinuje prawdziwość operatora równoważności p|<=>q (albo odwrotnie)
Definicja operatora równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom.
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q:
Dwa zbiory/zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q.
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zbiory:
Przynależność elementu do zbioru p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jego przynależności do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zdarzenia:
Zajście zdarzenia p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia q
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: p i ~q
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: p i ~q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
… co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom.
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=~q:
Dwa zbiory/zdarzenia ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q.
A2B2: ~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)= A2B2: ~p<=>~q
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zbiory:
Przynależność elementu do zbioru ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jego przynależności do zbioru ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Zdarzenia:
Zajście zdarzenia ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia ~q
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~p i q
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: ~p i q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>~q mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
Podsumowując:
Równoważność p<=>q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań tworzących operator równoważności p|<=>q (A1, A1’,B2, B2’) jest bez znaczenia co oznacza, iż zdania w powyższej analizie możemy dowolnie przestawiać
9.2.2 Operator równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q)
Definicja operatora równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy tożsamą definicję operatora równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q).
Definicja operatora równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Operator równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na dwa pytania o ~p i p:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
Wniosek:
Analiza operatora równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 (kiedy zajdzie ~p?) kończąc na kolumnie A1B1 (kiedy zajdzie p?)
9.2.3 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach
Zapiszmy tabelę prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa.
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q=1
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=> definiuje: | Równoważności <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1 [=] 5: p*q+~p*~q
tożsamość zbiorów/zdarzeń: | tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
W diagramie zajmiemy się wyłącznie kolumnami A1B1 i A2B2 (naszym punktem odniesienia), po czym z tego punktu zobaczymy co się stanie po zamianie w p i q w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q". Wylądujemy oczywiście w kolumnach A3B3 i A4B4, ale o tym za chwilkę.
Relacja zbiorów między kolumną A1B1 oraz A2B2 to relacja znaczka #:
AB1: p=q # AB2: ~p=~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Dziedzina dla wszystkich zdań warunkowych w tabeli prawdy TR musi być wspólna, to jest fundament algebry Kubusia (patrz pkt. 6.10)
Stąd zapisujemy definicję dziedziny po stronie p:
1.
p+~p =D (dziedzina) =1
Zbiór ~p to na mocy definicji uzupełnienie do dziedziny D dla zbioru p, inaczej algebra Boole'a leży w gruzach.
Stąd mamy:
~p=[D-p]
2.
p*~p=[] =0 - zbiory p i ~p to zbiory rozłączne
Zbiory p i ~p nie mają prawa mieć elementu wspólnego, bo wówczas algebra Boole'a leży w gruzach
Identycznie jest dla q:
1.
q+~q =D (dziedzina) =1
Zbiór ~q to na mocy definicji uzupełnienie do dziedziny D dla zbioru q, inaczej algebra Boole'a leży w gruzach.
Stąd mamy:
~q=[D-q]
2.
q*~q=[] =0 - zbiory q i ~q to zbiory rozłączne
Zbiory p i ~p nie mają prawa mieć elementu wspólnego, bo wówczas algebra Boole'a leży w gruzach
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Stąd łatwo rysujemy diagram równoważności w zbiorach/zdarzeniach:
Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach.
---------------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|-----------------------------------|-------------------------------------|
| q | ~q |
|-------------------------------------------------------------------------|
| p=q # ~p=~q |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Prawa Kubusia: |
| A1: p=>q=~p+q=1 (p*q=1) [=] A2:~p~>~q=~p+q=1 (~p*~q=1) |
| ## | ## |
| B1: p~>q=p+~q=1 (p*q=1) [=] B2:~p=>~q=p+~q=1 (~p*~q=1) |
| Stąd: |
| A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)[=]A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
|-------------------------------------------------------------------------|
| Tożsamości zbiorów na mocy prawa Irbisa |
| A1B1: p=q # A2B2: ~p=~q |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów/zdarzeń niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty, zdarzenie niemożliwe |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty, zdarzenie niemożliwe |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Gdzie: |
| # - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony |
| ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>|
| [=], "=", <=> - znaczki tożsamości logicznej |
| p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia |
---------------------------------------------------------------------------
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
3.
W definicji równoważności p<=>q nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
4.
Na mocy diagramu DR mamy:
Szybka analiza równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =1 - zbiór/zdarzenie p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia q
A1': p~~>~q=p*~q=0 - na mocy prawa kontrapozycji dla A1
.. a jeśli zajdzie ~p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2:~p=>~q=1 -zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~q
B2': ~p~~>q=~p*q=0 - na mocy prawa kontrapozycji dla B2
|
Z diagramu równoważności DR: p<=>q doskonale widać, że dziedzina D musi być szersza od sumy zbiorów p+q
D>p+q
Dowód:
Jeśli przyjmiemy dziedzinę D=p+q to oba zbiory ~p i ~q będą zbiorami pustymi, czyli będą nierozpoznawalne, co widać na diagramie DR.
Dowód tożsamy metodą „nie wprost”.
Załóżmy dziedzinę:
D=p+q = p =q - bo zachodzi tożsamość zbiorów p=q
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów ~p i ~q definiowane jako uzupełniania zbiorów p i q do dziedziny D
~p=[D-p]=[p-p]=[]
~q=[D-q]=[q-q]=[]
Jak widzimy, oba zbiory ~p i ~q są zbiorami pustymi, czyli są nierozpoznawalne.
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach w logice dodatniej (bo p):
Zbiór/zdarzenie p jest podzbiorem => zbioru/zdarzenia q i jest tożsamy ze zbiorem/zdarzeniem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów/zdarzeń p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne, co doskonale widać na diagramie DR
A1: p=>q =1 - zbiór/zdarzenie p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia q
B1: p~>q =1 - zbiór/zdarzenie p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zbiór/zdarzenie p jest (=1) nadzbiorem ~> (B1) zbioru/zdarzenia q i jednocześnie zbiór/zdarzenie p jest podzbiorem => (A1) zbioru/zdarzenia q
Omówimy teraz szczegółowo wyprowadzony wyżej diagram równoważności w zbiorach/zdarzeniach:
Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach.
---------------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|-----------------------------------|-------------------------------------|
| q | ~q |
|-------------------------------------------------------------------------|
| p=q # ~p=~q |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Prawa Kubusia: |
| A1: p=>q=~p+q=1 (p*q=1) [=] A2:~p~>~q=~p+q=1 (~p*~q=1) |
| ## | ## |
| B1: p~>q=p+~q=1 (p*q=1) [=] B2:~p=>~q=p+~q=1 (~p*~q=1) |
| Stąd: |
| A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)[=]A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
|-------------------------------------------------------------------------|
| Tożsamości zbiorów na mocy prawa Irbisa |
| A1B1: p=q # A2B2: ~p=~q |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów/zdarzeń niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty, zdarzenie niemożliwe |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty, zdarzenie niemożliwe |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Gdzie: |
| # - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony |
| ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>|
| [=], "=", <=> - znaczki tożsamości logicznej |
| p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia |
---------------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór/zdarzenie p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia q
B1: p~>q =1 - zbiór/zdarzenie p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia q
Stąd:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Dowód prawdziwości:
Równoważność A1B1: p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
A2B2:
A2:~p~>~q=1 -zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia ~q
B2:~p=>~q=1 -zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Dowód prawdziwości:
Równoważność ~p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
II
Po zamianie p i q
A3B3:
A3: q~>p =1 - zbiór/zdarzenie q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia p
B3: q=>p =1 - zbiór/zdarzenie q jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia p
stąd:
A3B3: q<=>p=(A3: q~>p)*(B3: q=>p)=1*1=1
Dowód prawdziwości:
Równoważność q<=>p definiuje tożsamość zbiorów q=p
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
A4B4:
A4:~q=>~p=1 -zbiór/zdarzenie ~q jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~p
B4:~q~>~p=1 -zbiór/zdarzenie ~q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia ~p
Stąd:
A4B4: ~q<=>~p=(A4:~q=>~p)*(B4:~q~>~p)=1*1=1
Dowód prawdziwości:
Równoważność ~q<=>~p definiuje tożsamość zbiorów ~q=~p
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory/zdarzenia niepuste i rozłączne
p=q oraz ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny D
3.
W definicji równoważności p<=>q nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
Dodatkowego wyjaśnienia wymagają wnioski w części I przed zamianą p i q oraz w części II po zamianie p i q.
Tożsamość zbiorów jest przemienna:
A1B1: p=q [=] A3B3: q=p
#
A2B2: ~p=~q [=] A4B4: ~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony w obrębie dziedziny D
Dla zbiorów p i ~p mamy:
p+~p=D(dziecina) =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p
p*~p=[] - zbiory p i ~p są rozłączne
Tak samo dla zbiorów q i ~q:
q+~q=D(dziedzina) =1 - zbiór ~q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru q
q*~q=[] - zbiory q i ~q są rozłączne
Z powyższego wynika, że wystarczy omówić wnioski z części I przed zamiana p i q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Lewa strona tożsamości logicznej [=] definiuje tożsamość zbiorów p=q:
p=q <=> A1B1: (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
Prawa strona tożsamości logicznej [=] definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q:
~p=~q <=> (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q (B2) i jednocześnie zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q (A2)
W algebrze Kubusia tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=>
Stąd dla diagramu DR możemy zapisać:
Kod: |
DMZR
Diagram matematycznych związków w równoważności dla zbiorów:
Równoważność p<=>q: [=] Równoważność ~p<=>~q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
Definiująca tożsamość zbiorów | Definiująca tożsamość zbiorów:
p=q # ~p=~q
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
w obrębie tej samej dziedziny D
|
Dziedzina D w równoważności p<=>q to dwa zbiory niepuste i wzajemnie rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny D.
Stąd:
D=p+~p =1
Zapis tożsamy:
D=q+~q=1
bo zachodzi tożsamość zbiorów p=q wymuszająca tożsamość zbiorów ~p=~q
Na mocy powyższego zapisujemy:
~p=[D-p]=[p+~p -p]=~p
~q=[D-q]=[q+~q -q]=~q
Zachodzi prawo podwójnego przeczenia:
Zbiór p w logice dodatniej (bo p) to negacja # zbioru ~p w logice ujemnej (bo ~p) w dziedzinie D
p=~(~p)
Zbiór q w logice dodatniej (bo q) to negacja # zbioru ~q w logice ujemnej (bo ~q) w dziedzinie D
q=~(~q)
Doskonale to widać w diagramie DR
Oczywiście zachodzi również:
Zbiór ~p w logice ujemnej (bo ~p) to negacja # zbioru p w logice dodatniej (bo p) w dziedzinie D
~p=~(p)
Zbiór ~q w logice ujemnej (bo ~q) to negacja # zbioru q w logice dodatniej (bo q) w dziedzinie D
~q=~(q)
Doskonale to widać w diagramie DR
Jak widzimy, od strony czysto matematycznej jest tu wszystko w porządku.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 0:01, 03 Lut 2023, w całości zmieniany 5 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 19:25, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.3 Przykład równoważności TP<=>SK w zbiorach
Spis treści
9.3 Przykład równoważności TP<=>SK w zbiorach 1
9.3.1 Operator równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK) 7
9.3.2 Podstawowe rozwiązanie zadania W1: ~TP~~>SK 10
9.3.3 Operator równoważności ~TP|<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK) 11
9.3.4 Relacje zbiorów w definicji równoważności TP<=>SK 12
9.3.5 Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach 14
9.3.6 Równoważność dwukierunkowa TP<=>SK w zbiorach 16
9.3.7 Rozwiązanie zadania W1: ~TP~~>SK poprzez zrobienie zdjęcia układu 18
9.3 Przykład równoważności TP<=>SK w zbiorach
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Stąd mamy:
Tabela prawdy równoważności p<=>q:
Kod: |
TR
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy i tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Algorytm rozwiązywania zadań typu „Jeśli p to q” gdzie p i q mogą być w dowolnych przeczeniach:
1.
Celem logiki matematycznej (algebry Kubusia) jest przyporządkowanie dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) z dowolnie zaprzeczonymi p i q do konkretnego operatora implikacyjnego.
Operator implikacyjny to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2)
2.
Warunkiem koniecznym działania algebry Kubusia jest wspólna dziedzina dla p i q (pkt. 6.10) oraz rozpoznawalność wszystkich zbiorów/zdarzeń po stronie wejścia zdania warunkowego „Jeśli p to q”, czyli zbiory/zdarzenia {p, q, ~p, ~q} muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorze pustym, czyli na pojęciach dla nas niezrozumiałych (pkt. 5.2).
3.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
4.
Korzystając z praw logiki matematycznej udowadniamy prawdziwość/fałszywość zdań dających w kolumnie A1B1 w tabeli T0 odpowiedź na pytanie o p
A1B1:
A1: p=>q =?
B1: p~>q =?
W tym momencie na mocy prawa Sowy mamy rozstrzygnięcie w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi badane zdanie (punkt 6.8).
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego i tylko jednego spójnika implikacyjnego (prawo Puchacza, punkt 6.8.1).
Zadanie W1:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
Rozwiązanie:
W1.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK =?
Na mocy prawa Kłapouchego zapisujemy wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia:
p=TP - zbiór trójkątów prostokątnych
q=SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów
Przyjmujemy dziedzinę minimalną:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Obliczamy przeczenia zbiorów ~TP i ~SK definiowane jako uzupełnienia zbiorów TP i SK do wspólnej dziedziny ZWT.
~TP=[ZWT-TP] - zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP)
~SK=[ZWT-SK] - zbiór trójkątów z niespełnioną sumą kwadratów (~SK)
Jeśli p to q
Po stronie poprzednika p dowolny trójkąt może być prostokątny (TP) albo być nieprostokątny (~TP) - trzeciej możliwości brak
Po stronie następnika q w dowolnym trójkącie może być spełniona suma kwadratów (SK) albo może nie być spełniona suma kwadratów (~SK) - trzeciej możliwości brak
Wnioski:
1.
Dziedzina jest poprawna, wspólna dla p i q
ZWT – zbiór wszystkich trójkątów
2.
Wszystkie potrzebne do analizy zbiory przez wszystkie możliwe przeczenia p i q są niepuste
{TP, SK, ~TP, ~SK}
To jest warunek konieczny analizy zdania warunkowego „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
3.
Z powyższego wnioskujemy, iż badane zdanie musi należeć do jednego i tylko jednego z pięciu operatorów logicznych:
p||=>q – operator implikacji prostej p|=>q
p||~>q – operator implikacji odwrotnej p|~>q
p|<=>q – operator równoważności p<=>q
p|$q – operator spójnika „albo”($) p$q
p||~~>q – operator chaosu p|~~>q
4.
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem logicznym mamy do czynienia musimy w tabeli T0 ustalić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Ax oraz dowolnego zdania serii Bx
Zaczynamy oczywiście od warunku wystarczającego A1, bowiem prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => bez przeczeń zawsze dowodzi się najprościej.
A1.
Twierdzenie proste Pitagorasa:
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK=1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Kluczowym jest tu pytanie co oznacza prawdziwość warunku wystarczającego => A1?
Odpowiedź na mocy prawa Słonia to:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
W tym momencie mamy następującą sytuację.
Prawdziwość warunku wystarczającego A: TP=>SK=1 determinuje prawdziwość wszelkich zdań w linii Ax w tabeli T0.
Kod: |
T0.
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p =1 [=] 5:~p+ q =1
1: TP=> SK=1 2:~TP~>~SK=1 [=] 3: SK~> TP=1 4:~SK=>~TP=1 [=] 5:~TP+ SK=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =? 2:~p=> ~q =? [=] 3: q=> p =? 4:~q~> ~p =? [=] 5: p+ ~q =?
1: TP~> SK=? 2:~TP=>~SK=? [=] 3: SK=> TP=? 4:~SK~>~TP=? [=] 5: TP+~SK=?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Nasz punkt odniesienia zdeterminowany prawem Kłapouchego to:
p=TP
q=SK
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Wybieramy zdanie B3 bowiem warunek wystarczający => bez negacji p i q zawsze dowodzi się najprościej.
Dodatkową zaletą tego wyboru jest błyskawiczne znalezienie prawdziwego kontrprzykładu (jeśli istnieje) a tym samym udowodnienie fałszywości badanego warunku wystarczającego.
B3.
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
Jeśli w dowolnym trójkącie spełniona jest suma kwadratów (SK) to ten trójkąt na 100% => jest prostokątny (TP)
B3: SK=>TP=1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Kluczowym jest tu pytanie co oznacza prawdziwość warunku wystarczającego => B3?
Odpowiedź na mocy prawa Słonia:
Bycie trójkątem w którym spełniona jest suma kwadratów (SK) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten trójkąt był prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP)
cnd
Zgodnie z algorytmem analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” interesuje na prawdziwość/fałszywość zdania B1: p~>q a nie zdania B3: q=>p którego prawdziwość udowodniliśmy wyżej.
Jak udowodnić prawdziwość/fałszywość zdania B1: p~>q?
Bardzo prosto, wystarczy skorzystać z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Nasz przykład:
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK =1
Z prawa Tygryska wynika, że udowodnienie prawdziwości warunku wystarczającego B3: q=>p jest tożsame z udowodnieniem warunku koniecznego ~> B1: p~>q – to jest dowód „nie wprost”
Wypowiedzmy zdanie B1.
B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% ~> zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
B1: TP~>SK=1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~>:
B1: p~>q = p+~q
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem koniecznym ~> by zachodziła w nim suma kwadratów (SK)
##
Przypomnijmy sobie zdanie A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK=1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q=~p+q
Gdzie:
A1: p=>q=~p+q ## B1: p~>q=p+~q
## - różne na mocy definicji
Stąd po raz n-ty wyskoczyło nam prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1: TP=>SK=1 oraz warunku koniecznego ~> B1: TP~>SK=1 wymusza definicję równoważności TP<=>SK
Definicja formalna równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 – zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Na mocy prawa Kłapouchego podstawiamy nasz punkt odniesienia:
p=TP
q=SK
Stąd mamy definicję aktualną równoważności (nasz przykład).
Definicja równoważności TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK):
Równoważność TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: TP=>SK=1 - bycie TP jest wystarczające => dla zachodzenia SK
B1: TP~>SK=1 - bycie TP jest konieczne ~> dla zachodzenia SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Uwaga:
Na mocy prawa Słonia możemy w dowolnym momencie:
a) zastąpić warunek wystarczający => relacją podzbioru => (albo odwrotnie)
b) zastąpić warunek koniczny ~> relacją nadzbioru ~> (albo odwrotnie)
9.3.1 Operator równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK)
Podstawmy wyprowadzona wyżej definicję równoważności TP<=>SK do tabeli prawdy równoważności p<=>q.
Kod: |
TR
Definicja równoważności p<=>q w zapisie formalnym {p,q}:
Równoważność p<=>q to spełniony zarówno warunek konieczny ~> (B1) jak i
wystarczający => (A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Punkt odniesienia na mocy prawa Słonia:
p=TP
q=SK
Definicja równoważności TP<=>SK w zapisie aktualnym {TP,SK}:
A1: TP=>SK=1 - bycie trójkątem TP jest (=1) wystarczające => dla SK
B1: TP~>SK=1 - bycie trójkątem TP jest (=1) konieczne ~> dla SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności TP<=>SK
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p =1 [=] 5:~p+ q =1
1: TP=> SK=1 2:~TP~>~SK=1 [=] 3: SK~> TP=1 4:~SK=>~TP=1 [=] 5:~TP+ SK=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p =1 [=] 5: p+ ~q =1
1: TP~> SK=1 2:~TP=>~SK=1 [=] 3: SK=> TP=1 4:~SK~>~TP=1 [=] 5: TP+~SK=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania Ax wymusza prawdziwość pozostałych zdań w linii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania Bx wymusza prawdziwość pozostałych zdań w linii Bx
Dziedzina minimalna dla równoważności Pitagorasa TP<=>SK to:
ZWT – zbiór wszystkich trójkątów
Definicja równoważności TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK):
Równoważność TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: TP=>SK=1 - bycie TP jest wystarczające => dla zachodzenia SK
B1: TP~>SK=1 - bycie TP jest konieczne ~> dla zachodzenia SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Równoważność TP<=>SK to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt prostokątny TP
Na mocy prawa Sowy prawdziwość równoważności TP<=>SK=1 wymusza prawdziwość operatora równoważności TP|<=>SK o definicji jak niżej.
Definicja operatora równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK):
Operator równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o TP i ~TP:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy TP?
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy ~TP?
A1B1:
Co się stanie jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt prostokątny TP?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: TP=>SK=1 - bycie TP jest wystarczające => dla zachodzenia SK
B1: TP~>SK=1 - bycie TP jest konieczne ~> dla zachodzenia SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
Całość czytamy:
Definicja równoważności TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) to tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów.
Ta definicja równoważności TP<=>SK jest doskonale znana wszystkim ludziom.
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK=1
W zapisie formalnym:
p=>q =1
To jest twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu.
Kluczowym jest tu pytanie co oznacza prawdziwość warunku wystarczającego => A1?
Odpowiedź na mocy prawa Słonia to:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
TP~~>~SK=TP*~SK=0
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: TP i ~SK
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: TP=>SK=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
cnd
A2B2:
Co się stanie jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt nieprostokątny ~TP?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~TP~>~SK=1 - bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem koniecznym ~>
dla nie zachodzenia sumy kwadratów (~SK)
B2: ~TP=>~SK=1 - bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem wystarczającym =>
dla nie zachodzenia sumy kwadratów (~SK)
Stąd:
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest nieprostokątny (~TP) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
Całość czytamy:
Równoważność ~TP<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) to tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK)
Ta definicja równoważności ~TP<=>~SK jest doskonale znana wszystkim ludziom.
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
~TP=>~SK=1
W zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK)
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK=1 dowodzimy korzystając z prawa kontrapozycji.
Prawo kontrapozycji:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B2: ~TP=>~SK = B3: SK=>TP
Zdanie B3: SK=>TP to twierdzenie odwrotne Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu.
Prawo kontrapozycji gwarantuje nam prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK=0
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~TP i SK.
Dowód:
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’: ~TP~~>SK=0 (i odwrotnie)
Prawdziwość zdania B2’ wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost” - nic a nic nie musimy więcej udowadniać.
Podsumowując:
Równoważność TP<=>SK to gwarancja matematyczna => po stronie TP, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~TP o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań warunkowych A1, A1’, B2. B2’ wchodzących w skład operatora równoważności TP|<=>SK jest bez znaczenia, czyli linie w powyższej analizie możemy dowolnie przestawiać.
9.3.2 Podstawowe rozwiązanie zadania W1: ~TP~~>SK
Zadanie W1 brzmiało:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
Na mocy analizy w poprzednim punkcie stwierdzamy iż zachodzi tożsamość zdań:
W1 = B2’
B2’.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK=0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~TP i SK.
Badane zdanie W1: ~TP~~>SK wchodzi w skład tylko i wyłącznie operatora równoważności TP|<=>SK, czego dowód w punkcie 9.3.1
„Tylko i wyłącznie” wynika to z prawa Puchacza (pkt. 6.8.1)
Zauważmy, że zdania w których koniec końców wylądujemy w operatorze równoważności TP|<=>SK mogą mieć różne przykładowe treści np. W2
Zadanie W2.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie
W2.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to może w nim zachodzić suma kwadratów (SK)
Uwaga do treści:
W powyższym zadaniu chodzi o definicję elementu wspólnego zbiorów ~~> TP i SK.
Rozwiązanie:
W2.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to może ~~> w nim zachodzić suma kwadratów (SK)
TP~~>SK = TP*SK =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów TP i SK np. [3,4,5]
Pokazanie jednego wspólnego elementu ~~> zbiorów TP i SK kończy dowód prawdziwości zdania W2.
Nie interesuje nas tu, czy w każdym trójkącie prostokątnym zachodzi suma kwadratów.
W naszej analizie w poprzednim punkcie udowodniliśmy twierdzenie niebotycznie silniejsze, jak niżej.
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK=1
W zapisie formalnym:
p=>q =1
To jest twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu.
Kluczowym jest tu pytanie co oznacza prawdziwość warunku wystarczającego => A1?
Odpowiedź na mocy prawa Słonia to:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
Oczywistym jest ze:
W2: TP~~>SK ## A1: TP=>SK
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zauważmy że:
Zdanie W2: TP~~>SK =1 odpowiada pojedynczemu iterowaniu w obszarze zbiorów TP i SK, zatem jak najbardziej wchodzi w skład operatora równoważności TP|<=>SK
Stąd mamy wyprowadzone prawo Kobry dla zbiorów (pkt. 6.1.5).
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
9.3.3 Operator równoważności ~TP|<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK)
Definicja operatora równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK):
Operator równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o TP i ~TP:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy TP?
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy ~TP?
Układ równań logicznych jest przemienny.
Stąd mamy tożsamą definicję operatora równoważności ~TP|<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK)
Definicja operatora równoważności ~TP|<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK):
Operator równoważności ~TP|<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK) to układ równań A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na dwa pytania o ~TP i TP:
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy ~TP?
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy TP?
Kluczowy wniosek:
Analiza operatora równoważności ~TP|<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK) będzie identyczna jak operatora równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 (kiedy zajdzie ~TP?) kończąc na kolumnie A1B1 (kiedy zajdzie TP?)
9.3.4 Relacje zbiorów w definicji równoważności TP<=>SK
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Weźmy matematyczną definicję równoważności doskonale znaną wszystkim matematykom.
Matematyczna definicja równoważności TP<=>SK:
Równoważność TP<=>SK to jednoczesna prawdziwość twierdzenia prostego (A1: TP=>SK=1) i twierdzenia odwrotnego (B3: SK=>TP=1)
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Innymi słowy na mocy prawa Słonia mamy:
Matematyczna definicja równoważności TP<=>SK
Równoważność TP<=>SK to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest wystarczające => dla zajście SK (twierdzenie proste Pitagorasa)
B3: SK=>TP=1 - zajście SK jest wystarczające => dla zajścia TP (twierdzenie odwrotne Pitagorasa)
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Równoważność w zbiorach TP<=>SK jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście TP jest wystarczające => dla zajścia SK (A1) i jednocześnie zajście SK jest wystarczające => dla zajścia TP (B3)
Innymi słowy na mocy prawa Słonia mamy:
Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność w zbiorach TP<=>SK jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1: TP=>SK=1) i jednocześnie zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (B3: SK=>TP=1)
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Zauważmy że prawa strona to znana każdemu matematykowi definicja tożsamości zbiorów TP=SK
Stąd mamy:
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Dla B3 zastosujmy prawo Tygryska:
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK
Stąd mamy kolejną, tożsamą definicję tożsamości zbiorów TP=SK.
Tożsama definicja tożsamości zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1: TP=>SK=1) i jednocześnie zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK (B1: TP~>SK=1)
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = A1B1: TP<=>SK
Kod: |
TR
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności TP<=>SK z uwzględnieniem prawa Irbisa
Gdzie w zbiorach zachodzą tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
A1: TP=>SK=1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK
B1: TP~>SK=1 - zbiór TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru SK
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 = 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 = 4:~q=> ~p =1
A: 1: TP=>SK=1 = 2:~TP~>~SK=1 [=] 3: SK~>TP=1 = 4:~SK=>~TP=1
## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2:~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 = 4:~q~> ~p =1
B: 1: TP~>SK=1 = 2:~TP=>~SK=1 [=] 3: SK=>TP=1 = 4:~SK~>~TP=1
----------------------------------------------------------------
Spójnik równoważności <=>: | Spójnik równoważności <=>:
AB: 1: TP<=>SK = 2:~TP<=>~SK [=] 3: SK<=>TP = 4:~SK<=>~TP
Definiuje tożsamość zbiorów: | Definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: TP=SK # 2:~TP=~SK | 3: SK=TP # 4:~SK=~TP
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać że:
1.
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1: TP=>SK=1) i jednocześnie zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK (B1: TP~>SK=1)
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = A1B1: TP<=>SK
2.
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów ~TP=~SK:
Dwa zbiory ~TP i ~SK są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~TP jest nadzbiorem ~> zbioru ~SK (A2: ~TP~>~SK=1) i jednocześnie zbiór ~TP jest podzbiorem => zbioru ~SK (B2: ~TP=>~SK=1)
~TP=~SK <=> (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK)= A2B2: ~TP<=>~SK
3.
Kolumna A3B3 definiuje tożsamość zbiorów SK=TP:
Dwa zbiory SK i TP są tożsame SK=TP wtedy i tylko wtedy gdy zbiór SK jest nadzbiorem ~> zbioru TP (A3: SK~>TP=1) i jednocześnie zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (B3: SK=>TP=1)
SK=TP <=> (A3: SK~>TP)*(B3: SK=>TP) = A3B3: SK<=>TP
4.
Kolumna A4B4 definiuje tożsamość zbiorów ~SK=~TP:
Dwa zbiory ~SK i ~TP są tożsame ~SK=>~TP wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~SK jest podzbiorem => zbioru ~TP (A4: ~SK=>~TP=1) i jednocześnie zbiór ~SK jest nadzbiorem ~> zbioru ~TP (B4: ~SK~>~TP=1)
~SK=~TP <=> (A4: ~SK=>~TP)*(B4: ~SK~>~TP) = A4B4: ~SK<=>~TP
Przemienność tożsamości zbiorów jest oczywista:
A1B1: TP=SK [=] A3B3: SK=TP
A2B2: ~TP=~SK [=] A4B4: ~SK=~TP
Stąd w dalszych rozważaniach wystarczy skupić się na zbiorach A1B1: TP=SK oraz A2B2: ~TP=~SK.
9.3.5 Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach
Definicja równoważności TP<=>SK w zbiorach:
Zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK i jest tożsamy ze zbiorem SK
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów TP+SK bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia TP, ~TP, SK i ~SK będą rozpoznawalne, co doskonale widać na diagramie DR
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK (z definicji)
B1: TP~>SK =1 - zbiór TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru SK (z definicji)
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) dla zbioru SK
Stąd mamy:
Kod: |
DR
Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach
------------------------------------------------------------------------
| p=TP | ~p=~TP |
|----------------------------|-----------------------------------------|
| q=SK | ~q=~SK |
|----------------------------|-----------------------------------------|
| A1: TP=>SK=1 (TP*SK=1) | B2:~TP=>~SK=1 (~TP*~SK=1) |
------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: TP*SK+ B2:~TP*~SK - suma logiczna zbiorów niepustych A1 i B2 |
| A1’: TP~~>~SK=TP*~SK=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~TP~~>SK =~TP*SK=[]=0 - zbiór pusty |
|----------------------------------------------------------------------|
| Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach definiujący |
| tożsamości zbiorów TP=SK i ~TP=~SK |
------------------------------------------------------------------------
A1B1:
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK
B1: TP~>SK =1 - zbiór TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Wnioski:
Równoważność TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Kontrprzykład dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem:
A1’: TP~~>~SK=TP*~SK =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów TP i ~SK (zbiory rozłączne)
A2B2:
A2:~TP~>~SK=1 - zbiór ~TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~SK
B2:~TP=>~SK=1 - zbiór ~TP jest (=1) podzbiorem => zbioru ~SK
Stąd:
A2B2: ~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)=1*1=1
Wnioski:
Równoważność ~TP<=>~SK definiuje tożsamość zbiorów ~TP=~SK
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Kontrprzykład dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem:
B2’:~TP~~>SK=~TP*SK=[]=0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~TP i SK (zbiory rozłączne)
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (i odwrotnie)
2.
Równoważność TP<=>SK to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
TP=SK i ~TP=~SK uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
3.
W definicji równoważności TP<=>SK nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] A2B2: ~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: TP=>SK = A2: ~TP~>~SK
B1: TP~>SK = B2: ~TP=>~SK
cnd
Stąd dla diagramu DR możemy zapisać:
Kod: |
DMZR
Diagram matematycznych związków w równoważności dla zbiorów:
Równoważność TP<=>SK: [=] Równoważność ~TP<=>~SK
A1B1: | A2B2:
TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] ~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)
Definiująca tożsamość zbiorów | Definiująca tożsamość zbiorów:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
w obrębie tej samej dziedziny D
Dziedzina D w równoważności to dwa zbiory niepuste i rozłączne
TP=SK i ~TP=~SK uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
Stąd:
D=TP+~TP =1
Zapis tożsamy:
D=SK+~SK=1
bo zachodzi tożsamość zbiorów TP=SK wymuszająca tożsamość zbiorów ~TP=~SK
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
~TP=[D-TP]=[TP+~TP-TP]=~TP
~SK=[D-SK]=[SK+~SK-SK]=~SK
Jak widzimy, od strony czysto matematycznej jest tu wszystko w porządku.
Zachodzi oczywiście prawo podwójnego przeczenia:
TP = ~(~TP) - zbiór TP to zaprzeczenie zbioru ~TP w obrębie dziedziny D
SK = ~(~SK) - zbiór SK to zaprzeczenie zbioru ~SK w obrębie dziedziny D
oraz:
~TP=~(TP) - zbiór ~TP to zaprzeczenie zbioru TP w obrębie dziedziny D
~SK=~(SK) - zbiór ~SK to zaprzeczenie zbioru SK w obrębie dziedziny D
Oczywistym jest, że z powodu tożsamości zbiorów TP=SK wymuszającej tożsamość zbiorów ~TP=~SK w powyższych zapisach można sobie „rzucać monetą”, czyli dowolnie zamieniać TP z SK albo ~TP z ~SK.
9.3.6 Równoważność dwukierunkowa TP<=>SK w zbiorach
Definicja równoważności p<=>q dwukierunkowej:
Równoważność p<=>q jest dwukierunkowa wtedy i tylko wtedy gdy możliwa jest fizyczna zamiana przyczyny p ze skutkiem q.
Uwaga:
W logice matematycznej możliwa jest też równoważność jednokierunkowa o czym będzie w punkcie 9.4.2.
Przykładem równoważności dwukierunkowej jest równoważność Pitagorasa, gdzie prawdziwe fizycznie jest zarówno twierdzenie proste Pitagorasa (A1: TP=>SK) jak i twierdzenie odwrotne Pitagorasa (B3: SK=>TP)
A1:
Twierdzenie proste Pitagorasa:
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Dowód ten oznacza że:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
Innymi słowy:
Mając do dyspozycji dwa pudełka p i q:
p - pudełko z trójkątami prostokątnymi (TP)
q - pudełko z trójkątami ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
możemy losować kolejne trójkąty z pudełka p sprawdzając czy dokładnie ten sam trójkąt jest w pudełku q.
Prawdziwość twierdzenia prostego Pitagorasa daje nam gwarancję matematyczną => iż każdy trójkąt z pudełka p będzie miał swój 100% odpowiednik w pudełku q.
Oczywiście po zamianie p i q mamy twierdzenie odwrotne Pitagorasa:.
B3:
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
Jeśli w trójkącie spełniona jest suma kwadratów (SK) to na 100% => ten trójkąt jest prostokątny (TP)
B3: SK=>TP =1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Dowód ten oznacza że:
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten trójkąt był prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP)
Innymi słowy:
Mając do dyspozycji dwa pudełka p i q:
p - pudełko z trójkątami prostokątnymi (TP)
q - pudełko z trójkątami ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
możemy losować kolejne trójkąty z pudełka q sprawdzając czy dokładnie ten sam trójkąt jest w pudełku p.
Prawdziwość twierdzenia odwrotnego Pitagorasa daje nam gwarancję matematyczną => iż każdy trójkąt z pudełka q będzie miał swój 100% odpowiednik w pudełku p.
Stąd mamy klasyczną definicję równoważności Pitagorasa:
Równoważność Pitagorasa TP<=>SK to spełnienie relacji podzbioru => w dwie strony:
A1: TP=>SK =1 - prawdziwe jest twierdzenie proste Pitagorasa, zachodzi relacja podzbioru TP=>SK
B3: SK=>TP =1 - prawdziwe jest twierdzenie odwrotne Pitagorasa, zachodzi relacja podzbioru SK=>TP
Stąd mamy prawdziwą równoważność Pitagorasa:
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q
Na mocy prawa Irbisa równoważność Pitagorasa TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK.
9.3.7 Rozwiązanie zadania W1: ~TP~~>SK poprzez zrobienie zdjęcia układu
Przypomnijmy sobie wiadomości podstawowe niezbędne dla zrozumienia niniejszego punktu.
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Algorytm rozwiązywania zadań typu „Jeśli p to q” gdzie p i q mogą być w dowolnych przeczeniach:
1.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
2.
Warunkiem koniecznym działania algebry Kubusia jest rozpoznawalność wszystkich zbiorów/zdarzeń po stronie wejścia zdania warunkowego „Jeśli p to q”, czyli zbiory/zdarzenia {p, q, ~p, ~q} muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorze pustym, czyli na pojęciach dla nas niezrozumiałych (pkt. 5.2)
3.
Przyjmujemy punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego
4.
Korzystając z praw logiki matematycznej udowadniamy prawdziwość/fałszywość zdań dających w kolumnie A1B1 w tabeli T0 odpowiedź na pytanie o p
A1B1:
A1: p=>q =?
B1: p~>q =?
W tym momencie na mocy prawa Sowy mamy rozstrzygnięcie w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi badane zdanie (punkt 6.8).
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego i tylko jednego spójnika implikacyjnego (prawo Puchacza, punkt 6.8.1)
5.
Celem logiki matematycznej (algebry Kubusia) jest przyporządkowanie dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) z dowolnie zaprzeczonymi p i q do konkretnego operatora implikacyjnego.
Definicja zdjęcia układu:
Dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” zdjęciem układu nazywamy zakodowanie wszystkich możliwych przeczeń p i q elementem wspólnym zbiorów ~~> dla zbiorów, albo zdarzeniem możliwym ~~> dla zdarzeń w tym samym kierunku (np. od p do q) wraz z rozstrzygnięciem prawdziwości/fałszywości wszystkich czterech linii.
Schematy zdjęcia układu dla zbiorów:
Kod: |
Jeśli p to q
Zdjęcie układu x dla zbiorów:
A: p~~> q= p* q =? – czy zbiory p i q mają (=1) element wspólny ~~>?
B: p~~>~q= p*~q =? – czy zbiory p i ~q mają (=1) element wspólny ~~>?
C:~p~~>~q=~p*~q =? – czy zbiory ~p i ~q mają (=1) element wspólny ~~>?
D:~p~~> q=~p* q =? – czy zbiory ~p i q mają (=1) element wspólny ~~>?
|
Poprawne zdjęcie układu jednoznacznie rozstrzyga z jakim operatorem logicznym p||?q mamy do czynienia.
Zadanie W1:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
Rozwiązanie:
W1.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK =?
Na mocy prawa Kłapouchego zapisujemy wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia:
p=TP - zbiór trójkątów prostokątnych
q=SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów
Przyjmujemy dziedzinę minimalną:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Obliczamy przeczenia zbiorów ~TP i ~SK definiowane jako uzupełnienia zbiorów TP i SK do wspólnej dziedziny ZWT.
~TP=[ZWT-TP] - zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP)
~SK=[ZWT-SK] - zbiór trójkątów z niespełnioną sumą kwadratów (~SK)
Jeśli p to q
Po stronie poprzednika p dowolny trójkąt może być prostokątny (TP) albo być nieprostokątny (~TP) - trzeciej możliwości brak
Po stronie następnika q w dowolnym trójkącie może być spełniona suma kwadratów (SK) albo może nie być spełniona suma kwadratów (~SK) - trzeciej możliwości brak
Wszystkie możliwe kombinacje zbiorów jakie mogą wystąpić między p i q opisuje seria czterech zdań warunkowych przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~>:
A.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
TP~~>SK = TP*SK=1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów TP i SK np. [3,4,5]
Tu wystarczy pokazać jeden trójkąt prostokątny TP w którym spełniona jest suma kwadratów (SK) np. [3,4,5], co kończy dowód prawdziwości zdania A
cnd
B.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
TP~~>~SK = TP*~SK=?
Tu przez iterowanie ciężko jest znaleźć wspólny element zbiorów TP i ~SK.
Na razie podejrzewamy tylko że zbiory TP i ~SK są rozłączne.
C.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
~TP~~>~SK = ~TP*~SK =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~TP i ~SK np. [3,4,6]
Tu wystarczy pokazać jeden trójkąt nieprostokątny ~TP w którym nie jest spełniona suma kwadratów (~SK) np. [3,4,6], co kończy dowód prawdziwości zdania C
cnd
D.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK=?
Tu przez iterowanie ciężko jest znaleźć wspólny element zbiorów ~TP i SK.
Na razie podejrzewamy tylko że zbiory ~TP i SK są rozłączne.
Zapiszmy powyższą analizę w formie skróconej:
Kod: |
T1
Zdjęcie układu TP?SK
A: p~~> q=1 | TP~~> SK=1 – istnieje wspólny element TP i SK np. [3,4,5]
B: p~~>~q=0 | TP~~>~SK=0 – podejrzewamy brak wspólnego elementu TP i ~SK
C:~p~~>~q=1 |~TP~~>~SK=1 – istnieje wspólny element ~TP i ~SK np. [3,4,6]
D:~p~~> q=1 |~TP~~> SK=1 – podejrzewamy brak wspólnego elementu ~TP i SK
|
Algorytm analizy powyższego zdjęcia układu to dwa kroki
Krok 1
Zauważmy, że po stronie trójkątów prostokątnych (TP) podejrzewamy, że zdanie B jest fałszem.
Jak to udowodnić matematycznie?
1.
Oczywiście dowodem „nie wprost” zakładając, że zdanie B jest fałszem:
B: TP~~>~SK = TP*~SK=0
Stąd na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy musi być warunek wystarczający => A:
A.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A: TP=>SK =1
W zapisie formalnym:
B: p=>q =1
To jest twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu.
Kluczowym jest tu pytanie co oznacza prawdziwość warunku wystarczającego => A?
Odpowiedź na mocy prawa Słonia:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego => A: TP=>SK=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B
B.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
B: TP~~>~SK = TP*~SK =0
W zapisie formalnym:
B: p~~>~q = p*~q =0
Rozłączność zbiorów TP i ~SK wynika tu tylko i wyłącznie z udowodnionego warunku wystarczającego A: TP=>SK=1. To jest dowód „nie wprost” wynikający z definicji kontrprzykładu.
3.
Zastosujmy do zdania A prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Nasz przykład:
A: TP=>SK = C: ~TP~>~SK =1
Stąd w zdaniu C na mocy prawa Kubusia mamy udowodniony warunek konieczny ~> C.
C.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% ~> zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
C: ~TP~>~SK =1
W zapisie formalnym:
C: ~p~>~q =1
Prawdziwość warunku koniecznego ~> C: ~TP~>~SK=1 wynika z prawa Kubusia.
To jest dowód „nie wprost”
4.
Nanieśmy dotychczasową analizę do zdjęcia układu
Kod: |
T2
Zdjęcie układu TP?SK
A: p=> q=1 | TP=> SK=1 – bycie TP jest (=1) wystarczające => dla SK
B: p~~>~q=0 | TP~~>~SK=0 – zbiory TP i ~SK są rozłączne
C:~p~> ~q=1 |~TP~> ~SK=1 – bycie ~TP jest (=1) konieczne ~> dla ~SK
D:~p~~> q=1 |~TP~~> SK=0 – podejrzewamy brak wspólnego elementu ~TP i SK
|
Krok 2
W zdaniu D podejrzewamy brak wspólnego elementu zbiorów ~TP i SK.
Jak to udowodnić matematycznie?
5.
Oczywiście dowodem „nie wprost” zakładając, że zdanie D jest fałszem:
B: ~TP~~>SK = ~TP*SK=0
Stąd na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy musi być warunek wystarczający => C:
C.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
C: ~TP=>~SK =1
W zapisie formalnym:
C: ~p=>~q =1
Dla zdania C skorzystajmy z prawa kontrapozycji by pozbyć się przeczeń przy zbiorach.
Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
C: ~p=>~q = C1: q=>p
Nasz przykład:
C: ~TP=>~SK = C1: SK=>TP
Zdanie C1 to oczywiste twierdzenie odwrotne Pitagorasa C1: q=>p.
C1.
Jeśli w dowolnym trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK) to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny (TP)
C1: SK=>TP =1
W zapisie formalnym:
C1: q=>p =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu
Na mocy prawa Słonia dowód ten oznacza:
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt był prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór SK jest podzbiorem ~> zbioru TP
6.
Stąd na mocy prawa kontrapozycji mamy udowodnioną prawdziwość warunku wystarczającego C: ~p=>~q który nas interesuje.
C.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
~TP=>~SK =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Prawdziwość warunku wystarczającego C: ~TP=>~SK wynika z prawa kontrapozycji, gdzie udowodniliśmy twierdzenie odwrotne Pitagorasa C1: SK=>TP=1 – to jest dowód metodą „nie wprost”.
7.
Oczywiście, za prawdziwości warunku wystarczającego C: ~TP=>~SK=1 wynika fałszywość kontrprzykładu D.
D.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK =0
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Fałszywość zdania D wynika z definicji kontrprzykładu dla prawdziwego warunku wystarczającego C: ~TP=>~SK=1 – to jest dowód „nie wprost”
8.
Stąd mamy końcowe zdjęcie badanego układu w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Kod: |
T3
Zdjęcie układu TP?SK
A: p=> q=1 | TP=> SK=1 | TP~> SK=1 – TP jest (=1) konieczne ~> dla SK
B: p~~>~q=0 | TP~~>~SK=0 – zbiory TP i ~SK są rozłączne
C:~p~> ~q=1 |~TP~> ~SK=1 |~TP=>~SK=1 -~TP jest wystarczające => dla ~SK
D:~p~~> q=1 |~TP~~> SK=0 – zbiory ~TP i SK są rozłączne
|
W linii A mamy definicję równoważności TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK)
Równoważność TP<=>SK to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: TP=>SK =1 – bycie TP jest (=1) wystarczające => dla SK
B1: TP~>SK =1 – bycie TP jest (=1) konieczne ~> dla SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
Prawa Kubusia:
A1: TP=>SK = A2: ~TP~>~SK
B1: TP~>SK = B2: ~TP=>~SK
Stąd:
W linii C mamy definicję równoważności ~TP<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK):
Równoważność ~TP<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~TP~>~SK=1 – bycie ~TP jest (=1) konieczne ~> dla ~SK
B2: ~TP=>~SK=1 – bycie ~TP jest (=1) wystarczające => dla ~SK
Stąd:
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK)=1*1=1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK)
bo prawa Kubusia:
A1: TP=>SK = A2: ~TP~>~SK
B1: TP~>SK = B2: ~TP=>~SK
cnd
Podstawmy równoważność TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK) do tabeli prawdy równoważności p<=>q:
Kod: |
TR
Definicja równoważności p<=>q w zapisie formalnym {p,q}:
Równoważność p<=>q to spełniony zarówno warunek konieczny ~> (B1) jak i
wystarczający => (A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Punkt odniesienia na mocy prawa Słonia:
p=TP
q=SK
Definicja równoważności TP<=>SK w zapisie aktualnym {TP,SK}:
A1: TP=>SK=1 - bycie trójkątem TP jest (=1) wystarczające => dla SK
B1: TP~>SK=1 - bycie trójkątem TP jest (=1) konieczne ~> dla SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności TP<=>SK
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p =1 [=] 5:~p+ q =1
1: TP=> SK=1 2:~TP~>~SK=1 [=] 3: SK~> TP=1 4:~SK=>~TP=1 [=] 5:~TP+ SK=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p =1 [=] 5: p+ ~q =1
1: TP~> SK=1 2:~TP=>~SK=1 [=] 3: SK=> TP=1 4:~SK~>~TP=1 [=] 5: TP+~SK=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK):
Operator równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o TP i ~TP:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy TP?
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy ~TP?
Analizę operatora równoważności TP|<=>SK wraz z rozstrzygnięciem iż badane zdanie W1 należy do tego operatora znajdziemy w punkcie 9.3.1
|
|
Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów Nie możesz odpowiadać w tematach Nie możesz zmieniać swoich postów Nie możesz usuwać swoich postów Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|