Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego beta 1.0

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35331
Przeczytał: 23 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 21:25, 25 Lut 2023    Temat postu: Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego beta 1.0

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2023-02-25 Pisana na żywo

Powód:
Uproszczenie głównej AK

Spis treści:
1.0 Nowa algebra Boole'a - operatory jednoargumentowe
2.0 Podstawowa algebra Boole’a
2.7 Równoważność p<=>q w świecie martwym i żywym

3.0 Dwuargumentowe funkcje logiczne
4.0 Operatory Y|=f(x) z grupy TF0-11 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
5.0 Kubusiowa teoria zbiorów



3.0 Dwuargumentowe funkcje logiczne


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 10:50, 01 Mar 2023, w całości zmieniany 11 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35331
Przeczytał: 23 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 21:29, 25 Lut 2023    Temat postu:

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
1.0 Nowa algebra Boole'a - operatory jednoargumentowe

Spis treści
1.0 Nowa algebra Boole’a - operatory jednoargumentowe 1
1.1 Definicje elementarne 2
1.1.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a: 5
1.1.2 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym 5
1.1.3 Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q 7
1.2 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego 7
1.2.1 Definicja zmiennej binarnej i stałej binarnej 8
1.3 Zero-jedynkowe definicje jednoargumentowych operatorów logicznych 9
1.3.1 Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego 12
1.4 Prawa Prosiaczka 14
1.4.1 Wyprowadzenie I prawa Prosiaczka 15
1.4.2 Wyprowadzenie II prawa Prosiaczka 16
1.4.3 Prawa Prosiaczka w bramkach logicznych 17
1.4.4 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki 18
1.4.5 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka 19
1.5 Operatory jednoargumentowe w logice 5-cio latków 20
1.5.1 Operator transmisji Y|=p 21
1.5.2 Operator negacji Y|=~p 23
1.5.3 Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p 25
1.5.4 Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p 27
1.6 Podsumowanie operatorów jednoargumentowych Y|=f(x) 29


1.0 Nowa algebra Boole’a - operatory jednoargumentowe

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego (w tym matematyki i fizyki).

Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.

Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
3.
Ziemski rachunek zero-jedynkowy (fundament logiki matematycznej) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych Y i ~Y algebry Boole’a, co udowodnimy za chwilkę już na poziomie operatorów logicznych jednoargumentowych (pkt. 1.3.1)

1.1 Definicje elementarne

1= prawda
0 = fałsz

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) – negacja

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)

Przykłady:
Y=p+~p=1 – zdanie zawsze prawdziwe
Y=p*~p=0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

To samo w logice 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 – zdanie zawsze prawdziwe
Jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa

Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.

Przykład:
Kod:

Definicja negacji:
   p # ~p
A: 1 #  0
B: 0 #  1
   1    2
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony


Definicja znaczka w logice matematycznej:
Znaczek w logice matematycznej to symbol zdefiniowany odpowiednią tabelą zero-jedynkową
Znaczek różne # definiuje definicja negacji.

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
p#~p

W technice cyfrowej znaczek różne # o definicji jak wyżej jest odpowiednikiem dwustronnego negatora "o".
Kod:

Definicja znaczka # w bramkach logicznych
              -----
p --x---------| ~ |o-x--> ~p
    |         -----  |
    |                |
    | p=~(~p) -----  |
    -<-------o| ~ |--x--- ~p
              -----
Gdzie:
o - symbol negacji (wyjście bramki negatora)
W świecie rzeczywistym musi tu być negator z otwartym kolektorem (OC)
na przykład typu SN74LS06


Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna p wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)

Zauważmy, że w definicji negacji symbole p i ~p są zmiennymi binarnymi.
Dowód:
W osi czasu (kolumna A1B1) może zajść przypadek, że zmienna binarna p przyjmie wartość logiczną 1 (A1) albo wartość logiczną 0 (B1).
W osi czasu (kolumna B2A2) może zajść przypadek, że zmienna binarna ~p przyjmie wartość logiczną 1 (B2) albo wartość logiczną 0 (A2)
cnd

Definicja osi czasu w logice matematycznej[b]
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej oś czasu to zawartość kolumny opisanej symbolem nad tą kolumną.

Matematyczne związki między p i ~p:
I.
p#~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
II.
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)

Dowód w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Matematyczne związki w definicji negacji:
   p ~p ~(~p) ~(p)
A: 1  0    1    0
B: 0  1    0    1
   1  2    3    4

Tożsamość kolumn 1=3 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p=~(~p)
Tożsamość kolumn 2=4 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
~p=~(p)
Kod:

Definicja dwuargumentowego spójnika „i”(*):
   p* q  Y=p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0

Kod:

Definicja dwuargumentowego spójnika „lub”(+):
   p+ q  Y=p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0

Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy

[b]Definicja wyrażenia algebry Boole'a:

Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)

Przykład:
f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
p*q+~p*~q = (p*q)+(~p*~q)
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

W najprostszym przypadku wyrażeniem algebry Boole’a może być pojedyńcza zmienna binarna p
f(p) =p

Uwaga na notację:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
f(p,q)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a (przykład)

1.1.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:

Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna Y algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a w osi czasu.
W technice funkcja algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y

Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y

Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramek logicznych
Y - wyjście bramki logicznej

Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=1<=>p+q
Y=0<=>~p*~q
etc

1.1.2 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym

Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Inaczej mamy do czynienia ze standardem ujemnym lub mieszanym.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka

Podstawa matematyczna dla powyższej definicji to prawa Prosiaczka, które za chwilkę wyprowadzimy.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo dla dowolnej zmiennej binarnej.

Przykład:

Pani w przedszkolu A:
A1
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Znaczenie zmiennych w standardzie dodatnim:
Y=1 - prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y), standard dodatni
~K=1 - prawdą jest (=1), że jutro nie pójdziemy do kina (~K), standard dodatni

Przykładowe kodowanie zdania A1 w standardzie mieszanym:

Pani w przedszkolu A:
A1"
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=K
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)

Naturalne znaczenie zmiennych w kodowaniu zdania A1":
Y=1 - prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y), standard dodatni
K=1 - prawdą jest (=1), że jutro pójdziemy do kina (K), standard dodatni

Dokładnie tak mózg każdego człowieka odczyta kodowanie zdania A1', co jest niezgodne ze zdaniem A1 wypowiedzianym przez panią przedszkolankę.

Poprawny odczyt kodowania A1' jest możliwy wtedy i tylko wtedy gdy dołączymy znaczenie wszystkich zmiennych użytych w kodowaniu mieszanym.

TZ - tabela zmiennych:
Y=1 - prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y), standard dodatni
K=1 - prawdą jest (=1), że jutro NIE pójdziemy do kina (K), standard ujemny

Zając tabelę TZ zdanie A1" czytamy:
A1"
Y=1 <=> K=1
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro NIE pójdziemy do kina (K=1)

Jak widzimy dołączenie do zdania A1" tabeli zmiennych TZ kodowanych w standardzie mieszanym również prowadzi do poprawnego odczytu zdania pani przedszkolanki.

Podsumowując:
Standard mieszany jest w praktyce matematycznej bezużyteczny, bo generuje gówniane w praktyce tabele zmiennych TZ. Wyłącznie masochiści mogą się tak bawić

To mniej więcej tak jakby nauczyciel matematyki powiedział:
Od teraz cyfra 2 będzie oznaczała dawną cyfrę 1, zaś cyfra 1 będzie oznaczała dawną cyfrę 2.
Po takim przyporządkowaniu matematyka klasyczna dalej będzie działać poprawnie!
Czy wszyscy czują bluesa?
Kto będzie bawił się w taką matematykę klasyczną, poza masochistami?

1.1.3 Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q

Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y dwóch zmiennych binarnych to cyfrowy układ o dwóch wejściach p i q dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.

Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
1.
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
#
2.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana, które niebawem poznamy.
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

1.2 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego

Definicja funkcji logicznej Y jednej zmiennej binarnej p:
Funkcja logiczna Y jednej zmiennej binarnej p to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściu p.
Kod:

T1
Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściu p
dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
   p  Y=f(p)
A: 1  x
B: 0  x
Gdzie:
x={0,1}
f(p) - jednoargumentowe wyrażenie algebry Boole’a

Z definicji funkcji logicznej Y wynika, że możliwych jest cztery i tylko cztery różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych jednoargumentowych w logice dodatniej (bo Y).
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściu p oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.

Definicja bramki logicznej jednej zmiennej binarnej p
Bramka logiczna jednej zmiennej binarnej p to układ cyfrowy o jednym wejściu p i jednym wyjściu Y
Gdzie:
p, Y - zmienne binarne mogące przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne {0,1}

Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=f(p):
Operator logiczny jednoargumentowy Y|=f(p) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
1.
Dana jest funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Y=f(p)
… a kiedy zajdzie ~Y?
2.
Negujemy dwustronnie funkcje logiczną (1) w logice dodatniej (bo Y):
~Y=~f(p)

Każda ze zmiennych binarnych {p, Y} może występować w logice dodatniej (bo x) albo w logice ujemnej (bo ~x). Zmienna binarna w logice dodatniej (bo x) wymusza zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~x), albo odwrotnie.

Na dowolny układ cyfrowy można zatem spojrzeć w logice dodatniej (bo Y) albo w logice ujemnej (bo ~Y).
Kod:

Definicja jednoargumentowego operatora logicznego Y|=f(p)
to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
   p  Y=f(p)  #  ~p ~Y=~f(p)
A: 1  x       #   0 ~(x)
B: 0  x       #   1 ~(x)
Gdzie:
x={0,1}
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka #
    jest negacją drugiej strony
{p,Y} muszą być wszędzie tymi samymi {p,Y} inaczej błąd podstawienia 


1.2.1 Definicja zmiennej binarnej i stałej binarnej

Weźmy definicję zdania zawsze prawdziwego ZZP i zdania zawsze fałszywego ZZF które wyprowadzimy w następnym punkcie.
Kod:

ZZP:
Definicja zdania zawsze prawdziwego Y=p+~p=D=1
   p + ~p  Y=p+~p=D =1
A: 1 +  0  1
B: 0 +  1  1
Gdzie:
D - dziedzina wspólna dla p i ~p
Y - stała binarna o wartości logicznej 1

Kod:

ZZF:
Definicja zdania zawsze fałszywego Y=p*~p=[]=0
   p * ~p  Y=p*~p=[]=0
A: 1 *  0  0
B: 0 *  1  0
Gdzie:
[] - zbiór/zdarzenie puste
Y - stała binarna o wartości logicznej 0

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować dwie wartości logiczne {0,1}.

W tabelach ZZP i ZZF zmiennymi binarnymi są symbole p i ~p co widać w kolumnach p i ~p.

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol będący w osi czasu twardą prawdą (ZZP_Y), albo twardym zerem (ZZF_Y)

W tabeli ZZP symbol Y jest stałą binarną o wartości logicznej twardej jedynki.
W tabeli ZZF symbol Y jest stałą binarną o wartości logicznej twardego zera.
Nie ma możliwości w czasie od minus do plus nieskończoności, by stała binarna przyjęła przeciwną
wartość logiczną.

W świecie rzeczywistym, opisane wyżej właściwości zmiennych binarnych i stałych binarnych możemy zaobserwować na oscyloskopie, przyrządzie pomiarowym służącym do obserwacji szybkich przebiegów zmiennych.

1.3 Zero-jedynkowe definicje jednoargumentowych operatorów logicznych
Kod:

Definicja negacji:
   p # ~p
A: 1 #  0
B: 0 #  1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Kod:

Definicja dwuargumentowego spójnika „lub”(+):
   p+ q  Y=p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
Kod:

Definicja jednoargumentowego spójnika „lub”(+):
Dla q=~p mamy:
   p + ~p  Y=p+~p=1
A: 1 +  0  1
B: 1 +  0  1
C: 0 +  1  1
D: 0 +  1  1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Stąd mamy tożsamą tabelę prawdy, definicję zdania zawsze prawdziwego (Y=1)
Kod:

ZZP:
Definicja zdania zawsze prawdziwego Y=p+~p=1
   p + ~p  Y=p+~p=D=1
A: 1 +  0  1
B: 0 +  1  1
Gdzie:
D=p+~p - wspólna dziedzina
~p jest uzupełniniem do dziedziny D dla p
Y - stała binarna o wartości logicznej 1

Podobnie:
Kod:

Definicja dwuargumentowego spójnika „i”(*):
   p* q  Y=p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0

Kod:

Definicja jednoargumentowego spójnika „i”(*):
Dla q=~p mamy:
   p * ~p  Y=p*~p=[]=0
A: 1 *  0  0
B: 1 *  0  0
C: 0 *  1  0
D: 0 *  1  0
Gdzie:
[] - zbiór/zdarzenie puste
Y - stała binarna o wartości logicznej 0

Stąd mamy tożsamą tabelę prawdy, definicję zdania zawsze fałszywego (Y=0)
Kod:

ZZF:
Definicja zdania zawsze fałszywego Y=p*~p=[]=0
   p * ~p  Y=p*~p=[]=0
A: 1 *  0  0
B: 0 *  1  0
Gdzie:
p*~p=[]=0 - zbiory/zdarzenia p i ~p są rozłączne
Y - stała binarna o wartości logicznej 0

Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=f(p):
Operator logiczny jednoargumentowy Y|=f(p) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.

Innymi słowy:
1.
Dana jest funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Y=f(p)
… a kiedy zajdzie ~Y?
#
2.
Negujemy dwustronnie funkcje logiczną (1) w logice dodatniej (bo Y):
~Y=~f(p)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Stąd mamy:
Kod:

TF1
Zero-jedynkowa tabela prawdy jednoargumentowych operatorów logicznych
Czyli:
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
         A0:            A1:             A2:                 A3:
   p ~p  Y=p  ##  p ~p  Y=~p  ##  p ~p  Y=p+~p=1  ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1         ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1         ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #         ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                 B3:
  ~p  p ~Y=~p ## ~p  p ~Y=p   ## ~p  p ~Y=~p*p=0  ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0         ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0         ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9            10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać, że tabela TF1 perfekcyjnie spełnia zarówno definicję znaczka różne # jak i definicję znaczka różne na mocy definicji ##

Dokładnie ta sama tabela zapisana prościej, wyłącznie funkcjami logicznymi Y i ~Y bez rozpisywania w tabelach zero-jedynkowych.
Kod:

TF1
Operatory logiczne jednoargumentowe Y|=f(p):
1.
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych A0 i B0
Funkcja transmisji         |Funkcja transmisji
w logice dodatniej (bo Y)  |w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: Y= p                   #  B0: ~Y=~p
   ##                             ##
2.
Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych A1 i B1
Funkcja negacji            |Funkcja negacji
w logice dodatniej (bo Y)  |w logice ujemnej (bo ~Y)
A1: Y=~p                   #  B1: ~Y= p
   ##                             ##
3.
Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p to układ równań A2 i B2
Zdanie zawsze prawdziwe    |Zdanie zawsze fałszywe
w logice dodatniej (bo Y)  |w logice ujemnej (bo ~Y)
A2: Y= p+~p=1           #  B2: ~Y= p*~p=0
   ##                             ##
4.
Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p to układ równań A3 i B3
Zdanie zawsze fałszywe     |Zdanie zawsze prawdziwe
w logice dodatniej (bo Y)  |w logice ujemnej (bo ~Y)
A3: Y= p*~p=0           #  B3: ~Y= p+~p=1

Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać, że tabela TF1 perfekcyjnie spełnia zarówno definicję znaczka różne # jak i definicję znaczka różne na mocy definicji ##

1.3.1 Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.


Największą tragedią ziemskiego rachunku zero-jedynkowego jest fakt, że w bramkach logicznych po stronie wejścia cyfrowego widzi on zmienne binarne w logice dodatniej (bo p) i ujemnej (bo ~p), ale nie widzi dokładnie tego samego po stronie wyjścia cyfrowego Y, tu obowiązuje bezwzględny zakaz widzenia wyjścia Y w logice ujemnej (bo ~Y).
Odpowiednikiem tego faktu w matematyce klasycznej byłoby widzenie w układzie Kartezjańskim na osi X zmiennych dodatnich (x) i zmiennych ujemnych (~x) z zakazem widzenia dokładnie tego samego na osi Y, gdzie dozwolone byłoby widzenie jedynie zmiennych dodatnich (y).
Czy ktokolwiek wyobraża sobie współczesną matematykę z takim upośledzonym układem Kartezjańskim?

Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych zapisanych w tabeli TF1
Dowód:
W całym Internecie (plus podręczniki matematyki) kolumny wynikowe w rachunku zero-jedynkowym opisywane są wyłącznie wyrażeniami algebry Boole’a, a nie funkcjami logicznymi Y i ~Y jak to jest w algebrze Kubusia.
W porywach (rzadkich przypadkach) ziemskiego rachunku zero-jedynkowego znajdziemy zapis funkcji logicznej Y w logice dodatniej (bo Y), ale nigdzie nie znajdziemy tej samej funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).

Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli TF1 pozostawiając jedynie wyrażenia algebry Boole’a
Kod:

TF1"
Operatory logiczne jednoargumentowe Y|=f(p):
1.
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych A0 i B0
A0: p                      #  B0: ~p
   ##                             ##
2.
Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych A1 i B1
A1:~p                      #  B1:  p
   ##                             ##
3.
Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p to układ równań A2 i B2
A2: p+~p=1                 #  B2: p*~p=0
   ##                             ##
4.
Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p to układ równań A3 i B3
A3: p*~p=0                 #  B3: p+~p=1

Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia

Po usunięciu funkcji logicznych Y i ~Y najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## leży gruzach bowiem w tabeli TF1" zachodzą następujące tożsamości logiczne
Kod:

A0: p                      =  B1:  p
A1: ~p                     =  B0: ~p
A2: p+~p=1                 =  B3:  p+~p=1
A3: p*~p=0                 =  B2:  p*~p=0

Stąd mamy:
Prawo Grzechotnika:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.

1.4 Prawa Prosiaczka

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo Y) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~Y). Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej, jak również w stosunku do dowolnej stałej binarnej.

Wyprowadzenie praw Prosiaczka:
Kod:

TF1
Zero-jedynkowa tabela prawdy jednoargumentowych operatorów logicznych
Czyli:
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
         A0:            A1:             A2:                 A3:
   p ~p  Y=p  ##  p ~p  Y=~p  ##  p ~p  Y=p+~p=1  ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1         ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1         ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #         ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                 B3:
  ~p  p ~Y=~p ## ~p  p ~Y=p   ## ~p  p ~Y=~p*p=0  ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0         ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0         ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9            10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia

Zapiszmy funkcje logiczne A2 i A3 w sposób tożsamy:
Kod:

TF23
A2: Y=1  #  B2: ~Y=0
    ##          ##
A3: Y=0  #  B3: ~Y=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negację drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać, że tabela TF23 perfekcyjnie spełnia zarówno definicję znaczka różne # jak i definicję znaczka różne na mocy definicji ##

W wierszach A2 i A3 doskonale widać prawa Prosiaczka.

1.4.1 Wyprowadzenie I prawa Prosiaczka

Zapiszmy funkcje logiczne A2 i A3 w tabeli prawdy
Kod:

TF23
A2: Y=1  #  B2: ~Y=0
    ##          ##
A3: Y=0  #  B3: ~Y=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negację drugiej strony
## - różne na mocy definicji

I prawo Prosiaczka widać w linii A2-B2:

I Prawo Prosiaczka:
A2: (Y=1) # B2: (~Y=0)
Zmienna binarna w logice dodatniej (bo Y) ma wartość logiczną 1 wtedy i tylko wtedy gdy zmienna binarna w logice ujemnej (bo ~Y) ma wartość logiczną 0
Stąd mamy zapis tożsamy I prawa Prosiaczka:
A2: (Y=1) <=> B2: (~Y=0)

Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie twierdzenia prostego p=>q i twierdzenia odwrotnego q=>p
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1

Stąd:
I Prawo Prosiaczka:
A2: (Y=1) <=> B2: (~Y=0) = (A2: (Y=1)=>B2: (~Y=0))*(B2: (~Y=0)=>A2: (Y=1)) =1*1 =1

Twierdzenie proste A2: p=>q brzmi:
A2.
Jeśli A2: (Y=1) to na 100% => B2: (~Y=0)
cnd
Twierdzenie odwrotne B2: q=>p brzmi:
B2.
Jeśli B2: (~Y=0) to na 100% => A2: (Y=1)
cnd

Prawo Irbisa:
Każda równoważność pojęć p<=>q definiuje tożsamość pojęć p=q i odwrotnie
p<=>q [=] p=q
Szczegółowym dowodem prawa Irbisa zajmiemy się w niedalekiej przyszłości.

Na mocy prawa Irbisa mamy:
A2: (Y=1) <=> B2: (~Y=0) [=] A2: (Y=1) = B2: (~Y=0)

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Tożsame znaczki tożsamości logicznej które możemy używać zamiennie celem precyzyjnego zapisu prawa logicznego np. prawa Irbisa
<=>, „=”, [=]
<=> - wtedy i tylko wtedy

Stąd końcowa postać I prawa Prosiaczka przyjmuje brzmienie.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)

Tożsamość jest przemienna stąd mamy wersję tożsamą.

I Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice ujemnej (bo ~Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice dodatniej (bo Y)
(~Y=0)=(Y=1)
cnd

1.4.2 Wyprowadzenie II prawa Prosiaczka

Zapiszmy funkcje logiczne A2 i A3 w tabeli prawdy
Kod:

TF23
A2: Y=1  #  B2: ~Y=0
    ##          ##
A3: Y=0  #  B3: ~Y=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negację drugiej strony
## - różne na mocy definicji

II prawo Prosiaczka widać w linii A3-B3:

II Prawo Prosiaczka:
A3 (Y=0) # B3: (~Y=1)
Zmienna binarna w logice dodatniej (bo Y) ma wartość logiczną 0 wtedy i tylko wtedy gdy zmienna binarna w logice ujemnej (bo ~Y) ma wartość logiczną 1 (i odwrotnie)
Stąd mamy zapis tożsamy II prawa Prosiaczka:
A3: (Y=0) <=> B3: (~Y=1)

Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie twierdzenia prostego p=>q i twierdzenia odwrotnego q=>p
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1

Stąd:
II Prawo Prosiaczka:
A3: (Y=0) <=> B3: (~Y=1) = (A3: (Y=0)=>B3: (~Y=1))*(B3: (~Y=1)=>A3: (Y=0)) =1*1 =1

Twierdzenie proste A3: p=>q brzmi:
A3.
Jeśli A3: (Y=0) to na 100% => B3: (~Y=1)
cnd
Twierdzenie odwrotne B3: q=>p brzmi:
B3.
Jeśli B3: (~Y=1) to na 100% => A3: (Y=0)
cnd

Prawo Irbisa:
Każda równoważność pojęć p<=>q definiuje tożsamość pojęć p=q i odwrotnie
p<=>q [=] p=q
Szczegółowym dowodem prawa Irbisa zajmiemy się w niedalekiej przyszłości.

Na mocy prawa Irbisa mamy:
A3: (Y=0) <=> B3: (~Y=1) [=] A3: (Y=0) = B3: (~Y=1)

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Tożsame znaczki tożsamości logicznej które możemy używać zamiennie celem precyzyjnego zapisu prawa logicznego np. prawa Irbisa
<=>, „=”, [=]
<=> - wtedy i tylko wtedy

Stąd końcowa postać II prawa Prosiaczka przyjmuje brzmienie.

II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)

Tożsamość jest przemienna stąd mamy wersję tożsamą.
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo Y)
(~Y=1)=(Y=0)
cnd

1.4.3 Prawa Prosiaczka w bramkach logicznych

Realizacja praw Prosiaczka w bramkach logicznych:
Kod:

I prawo Prosiaczka:
(Y=1)<=>(~Y=0)
        Y=1   ------    <=>  ~Y=0
------------->| #  |o----------------->
              ------
Po minięciu negatora # funkcję Y=1 musimy negować dwustronnie ~Y=0
        ##                    ##
II Prawo Prosiaczka:
(Y=0)<=>(~Y=1)
        Y=0   ------    <=>  ~Y=1
------------->| #  |o----------------->
              ------
Po minięciu negatora # funkcję Y=0 musimy negować dwustronnie ~Y=1
Gdzie:
„o” - symbol negatora (#)
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.

1.4.4 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki

Rozważmy sterowanie żarówką jednym przyciskiem A
Kod:

Schemat 1
Przykład ilustracji praw Prosiaczka w fizyce:
             S               A
       -------------       ______
  -----|  Żarówka  |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z naturalną logiką człowieka gdzie wszelkie przeczenia w kodowaniu matematycznym muszą być zapisane jawnie.

Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
S - żarówka świeci
Co w logice jedynek oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)

Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
~S - żarówka nie świeci
Co w logice jedynek oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)

Zauważmy, że prawa Prosiaczka wiążą ze sobą pojęcia prawdy i fałszu w języku potocznym.

1.4.5 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka

Dla zrozumienie praw Prosiaczka nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.

I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.

II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)

1.5 Operatory jednoargumentowe w logice 5-cio latków

Znaczenie symboli Y i ~Y dla potrzeb prezentowanych dalej przykładów:
1.
Znaczenie symbolu Y:
1: Y - pani dotrzyma słowa
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
2: (Y=1)=(~Y=0)
stąd kolejny zapis tożsamy:
~Y=0 - fałszem jest (=0), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa

#
2.
Znaczenie symbolu ~Y:
2: ~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 - prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
2: (~Y=1)=(Y=0)
Stąd zapis tożsamy:
Y=0 - fałszem jest (=0) że pani dotrzyma słowa (Y)
Innymi słowy:
Pani nie dotrzyma słowa.

W języku potocznym zachodzi tożsamość pojęć:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) = Pani skłamie (S)
~Y = S

Na mocy powyższego mamy:
1: Y # 2: ~Y
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony (negator)

Ale!
Kod:

1: Y                #  2: ~Y
Ale!
I Prawo Prosiaczka  ## II prawo Prosiaczka
1A: (Y=1)=(~Y=0)    ## 2A: (~Y=1)=(Y=0)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony (negator)
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne ## na mocy definicji:
Wyrażenia po obu stronach znaczka ## są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame, ani żadne z nich nie jest negacją drugiej strony.

Zauważmy, że jeśli zanegujemy 1A to nie otrzymamy tożsamości ze stroną 2A.
Dowód:
Negujemy 1A:
1A': (~Y=0)=(Y=1)
Doskonale widać, że człon 1A' jest różny na mocy definicji od człony 2A - oczywiście porównujemy symbole w tej samej logice dodatniej (bo Y) albo ujemnej (bo ~Y)

1.5.1 Operator transmisji Y|=p
Kod:

TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
         A0:            A1:             A2:                A3:
   p ~p  Y=p  ##  p ~p  Y=~p  ##  p ~p  Y=p+~p=1 ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~p  p ~Y=~p ## ~p  p ~Y=p   ## ~p  p ~Y=~p*p=0 ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia

Definicja operatora transmisji Y|=p:
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych funkcji transmisji A0: Y=p w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji transmisji B0: ~Y=~p w logice ujemnej (bo ~Y)
A0.
Y=p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A0 stronami:
B0.
~Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Przykład zdania wypowiedzianego A0: Y=K
Kod:

TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
         A0:            A1:             A2:                A3:
   K ~K  Y=K  ##  p ~p  Y=~p  ##  p ~p  Y=p+~p=1 ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~K  K ~Y=~K ## ~p  p ~Y=p   ## ~p  p ~Y=~p*p=0 ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12

Przykład A0
Pani w przedszkolu A0 wypowiada zdanie:
A0.
Jutro pójdziemy do kina
A0: Y=K
co w logice jedynek oznacza:
A0: Y=1 <=> K=1
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy juro pójdziemy do kina (K=1)

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek).
Czy wiesz kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Jaś:
Oczywiście, że wiem.
Negujemy równanie A0 stronami:
B0: ~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
B0: ~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)

Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 3.
W części A0 doskonale widać że:
Y=1 <=> K=1
W części B0 doskonale widać, że:
~Y=1 <=> ~K=1
cnd

Wnioski:
1.
Zauważmy, że nasze zdanie A0: Y=K w logice dodatniej (bo Y) możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 123.
2.
Także odpowiedź B0 na pytanie o ~Y możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 123.
3.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 123 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 123 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
cnd
Stąd mamy wyprowadzone prawo Puchacza.

Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego

1.5.2 Operator negacji Y|=~p

Kod:

TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
         A0:            A1:             A2:                A3:
   p ~p  Y=p  ##  p ~p  Y=~p  ##  p ~p  Y=p+~p=1 ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~p  p ~Y=~p ## ~p  p ~Y=p   ## ~p  p ~Y=~p*p=0 ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia

Definicja operatora negacji Y|=~p:
Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych funkcji negacji A1: Y=~p w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji negacji B1: ~Y=p w logice ujemnej (bo ~Y)
A1.
Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A1 stronami:
B1.
~Y=p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Przykład zdania wypowiedzianego A1: Y=~K
Kod:

TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
         A0:            A1:             A2:                A3:
   p ~q  Y=q  ##  K ~K  Y=~K  ##  p ~p  Y=p+~p=1 ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~p  q ~Y=~p ## ~K  K ~Y=K   ## ~p  p ~Y=~p*p=0 ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12

Przykład A1
Pani w przedszkolu A1 wypowiada zdanie:
A1.
Jutro nie pójdziemy do kina
A1: Y = ~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1).
Y=1 <=> ~K=1

Zuzia do Jasia:
Czy wiesz kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Jaś:
Oczywiście, że wiem.
Negujemy równanie A1 stronami:
B1: ~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
B1: ~Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)

Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 6.
W części A1 doskonale widać że:
Y=1 <=> ~K=1
W części B1 doskonale widać, że:
~Y=1 <=> K=1
cnd

Wnioski:
1.
Zauważmy, że nasze zdanie A1: Y=~K w logice dodatniej (bo Y) możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 456.
2.
Także odpowiedź B1 na pytanie o ~Y możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 456.
3.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 456 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 456 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
cnd
Stąd mamy wyprowadzone prawo Puchacza.

Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego

1.5.3 Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p

Kod:

TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
         A0:            A1:             A2:                A3:
   p ~p  Y=p  ##  p ~p  Y=~p  ##  p ~p  Y=p+~p=1 ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~p  p ~Y=~p ## ~p  p ~Y=p   ## ~p  p ~Y=~p*p=0 ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia

Definicja operatora zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p:
Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p to układ równań funkcji logicznej A2: Y=p+~p=1 w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej B2: ~Y=~p*p=0 w logice ujemnej (bo ~Y)

A2.
Funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
A2: Y=p+~p =1 - na mocy prawa algebry Boole’a: p+~p=1
co w logice jedynek oznacza:
A2: Y=1 <=> p=1 lub ~p=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że funkcja logiczna Y ma wartość logiczną twardej jedynki (Y=1), niezależnie od tego czy zajdzie p=1 czy też ~p=1
Doskonale to widać w kolumnie Y: A2_9

… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy funkcję logiczną A2 stronami:
B2: ~Y=~(p+~p) =0
Na mocy prawa De Morgana zapisujemy:
B2: ~Y=~p*p =0 - na mocy prawa algebry Boole'a: ~p*p=0
Środkowy człon wolno nam pominąć bo jest zbiorem/zdarzeniem pustym [].
Stąd mamy:
B2: ~Y=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że zajdzie ~Y
Doskonale to widać w kolumnie ~Y: B2_9

Przykład zdania zawsze prawdziwego A2: Y=K+~K=1:
Kod:

TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
         A0:            A1:             A2:                A3:
   p ~q  Y=q  ##  K ~K  Y=~K  ##  K ~K  Y=K+~K=1 ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~p  q ~Y=~p ## ~K  K ~Y=K   ## ~K  K ~Y=~K*K=0 ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12

Przykład A2
Pani w przedszkolu A2 wypowiada zdanie:
A2.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y = K+~K =1 - na mocy prawa algebry Boole’a: p+~p=1
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani jutro dotrzyma słowa (Y), niezależnie od tego czy pójdziemy do kina (K), czy też nie pójdziemy do kina (~K)
Z chwilą wypowiedzenia zdania A2 pani ustawiła tu twardą jedynkę i nie ma szans na zostanie w dniu jutrzejszym kłamczuchą.

#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie funkcje logiczną Y
B2: ~Y = ~(K+~K) =0
Na mocy prawa De Morgana zapisujemy:
B2: ~Y=~K*K =0 - na mocy prawa algebry Boole'a: ~p*p=0
Środkowy człon wolno nam pominąć bo jest zbiorem/zdarzeniem pustym [].
Stąd mamy:
B2: ~Y=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że jutro pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Doskonale to widać w kolumnie ~Y: B2_9

Znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - panie nie dotrzyma słowa (~Y=1)

Wniosek
Pani przedszkolanka w przedszkolu A2 wypowiadając zdanie A2 nie ma szans na nie dotrzymanie słowa (~Y=1) w dniu jutrzejszym

Podsumowanie:
1.
Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 9.
2.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 789 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 789 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
cnd
Stąd mamy wyprowadzone praw Puchacza.

Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego

1.5.4 Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p
Kod:

TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
         A0:            A1:             A2:                A3:
   p ~p  Y=p  ##  p ~p  Y=~p  ##  p ~p  Y=p+~p=1 ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~p  p ~Y=~p ## ~p  p ~Y=p   ## ~p  p ~Y=~p*p=0 ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia

Definicja operatora zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p:
Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p to układ równań logicznych A3: Y=p*~p=0 w logice dodatniej (bo Y) oraz B3: ~Y=~p+p=1 w logice ujemnej (bo ~Y)

A3.
Funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
A3: Y=p*~p =0 - na mocy prawa algebry Boole’a: p*~p=0
Środkowy człon wolno nam pominąć bo jest zbiorem/zdarzeniem pustym [].
Stąd mamy:
A3: Y=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że zajdzie Y
Doskonale to widać w kolumnie Y: A3_12

… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy funkcję logiczną A3 stronami:
B3: ~Y=~(p*~p) =1
Na mocy prawa De Morgana zapisujemy:
B3: ~Y=~p+p =1 - na mocy prawa algebry Boole'a: ~p+p=1
co w logice jedynek oznacza:
B3: ~Y=1 <=> ~p=1 lub p=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że zajdzie ~Y, niezależnie od tego czy zajdzie p=1 czy też ~p=1.
Musi zajść p=1 albo ~p=1 - trzeciej możliwości brak.
Doskonale to widać w kolumnie ~Y: B3_12

Przykład zdania zawsze fałszywego A3: Y=K*~K=0
Kod:

TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
         A0:            A1:             A2:                A3:
   p ~p  Y=p  ##  p ~p  Y=~p  ##  p ~p  Y=p+~p=1 ##  p ~p  Y=K*~K=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~p  p ~Y=~p ## ~p  p ~Y=p   ## ~p  p ~Y=~p*p=0 ## ~p  p ~Y=~K+K=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12


Przykład A3.
Pani w przedszkolu A3 wypowiada zdanie:
A3.
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
A3: Y = K*~K =0 - na mocy prawa algebry Boole’a: p*~p=0
Środkowy człon wolno nam pominąć bo jest zbiorem/zdarzeniem pustym [].
Stąd mamy:
A3: Y=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że pani jutro dotrzyma słowa (Y)
Doskonale to widać w kolumnie Y: A3_12

#
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy dwustronnie funkcje logiczną Y.
B3.
~Y = ~(K*~K) =0
Na mocy prawa De Morgana:
B3: ~Y=~K+K =1 - bo prawo algebry Boole'a: ~p+p =1
co w logice jedynek oznacza:
B3: (~Y=1) <=> ~K=1 lub K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y), niezależnie od tego czy jutro pójdziemy do kina (K=1) czy też nie pójdziemy do kina (~K=1)
Jutro możemy pójść do kina (K=1) albo nie pójść do kina (~K=1) - trzeciej możliwości brak.
Doskonale to widać w kolumnie ~Y: B3_12

Znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - panie nie dotrzyma słowa (~Y=1)

Wniosek:
Pani przedszkolanka w przedszkolu A3 wypowiadając zdanie A3 nie ma szans na dotrzymanie słowa (Y=1) w dniu jutrzejszym.
W momencie wypowiedzenia zdania A3 pani jest kłamczuchą, o czym każdy 5-cio latek wie.

Podsumowanie:
1.
Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 12.
2.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 10:11:12 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 10:11:12 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
cnd

Stąd mamy:
Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego

1.6 Podsumowanie operatorów jednoargumentowych Y|=f(x)

Weźmy tabelę zero-jedynkową wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych.
Kod:

TF1
Zero-jedynkowa tabela prawdy jednoargumentowych operatorów logicznych
Czyli:
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
         A0:            A1:             A2:                 A3:
   p ~p  Y=p  ##  p ~p  Y=~p  ##  p ~p  Y=p+~p=1  ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1         ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1         ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #         ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                 B3:
  ~p  p ~Y=~p ## ~p  p ~Y=p   ## ~p  p ~Y=~p*p=0  ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0         ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0         ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9            10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia

Definicja dziedziny D na której operowaliśmy w naszych przykładach:
K+~K=D=1 - zdarzenie ~K jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla zdarzenia K
K*~K=[]=0 - zdarzenia K i ~K są rozłączne

Znaczenie zmiennych na których operowaliśmy w naszych przykładach wyżej było następujące:
K - jutro pójdziemy do kina
~K - jutro nie pójdziemy do kina
Stąd mamy spełnioną definicję dziedziny D:
K+~K=D=1 - jutro możemy pójść do kina (K) albo nie pójść do kina (~K), trzeciej możliwości brak
K*~K=[]=0 - zdarzenie "pójdziemy do kina" (K) jest rozłączne ze zdarzeniem "nie pójdziemy do kina" (~K)
Chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień i w tejże chwili czasowej zdarzenia K i ~K są rozłączne

Definicja dziedziny D na poziomie funkcji logicznej Y:
Definicja dziedziny dla dowolnej funkcji logicznej Y=f(x) (także wieloargumentowej):
Y+~Y = D =1 - funkcja logiczna ~Y jest uzupełnieniem do dziedziny D dla funkcji logicznej Y
Y*~Y=[] =0 - funkcje logiczne Y i ~Y są rozłączne

Znaczenie funkcji logicznych Y i ~Y z naszych przykładów wyżej omówionych:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa
Stąd mamy spełnioną definicję dziedziny D:
Y+~Y=D=1 - pani może dotrzymać słowa (Y) albo nie dotrzymać słowa (~Y), trzeciej możliwości brak
Y*~Y=[]=0 - pani nie może równocześnie dotrzymać słowa (Y) i nie dotrzymać słowa (~Y)
Chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień i w tejże chwili czasowej pani dotrzyma słowa (Y=1) albo nie dotrzyma słowa (~Y=1), trzeciej możliwości brak.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 23:39, 25 Lut 2023, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35331
Przeczytał: 23 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 23:41, 25 Lut 2023    Temat postu:

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2.0 Podstawowa algebra Boole’a

Spis treści
2.0 Podstawowa algebra Boole’a 1
2.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole’a 2
2.1.1 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym 4
2.2 Aksjomatyka algebry Boole’a 6
2.2.1 Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a 7
2.3 Równoważność K<=>T w świecie żywym 11
2.3.1 Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej 13
2.3.2 Kolejność wykonywania działań w algebrze Kubusia 14
2.4 Piękna algebra Boole’a 14
2.4.1 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków 14
2.4.2 Przykład minimalizacji funkcji logicznej z matematyki.pl 17
2.5 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a 18
2.5.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 19
2.5.2 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer 20
2.6 Związek opisu tabel zero-jedynkowych w logice jedynek i w logice zer 22
2.6.1 Prawo Małpki 22
2.6.2 Dowód prawa Małpki bez tabel zero-jedynkowych 23


2.0 Podstawowa algebra Boole’a

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego (w tym matematyki i fizyki)

Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce

Definicja algebry Boole’a:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Algebra Boole’a to dwa wyróżnione elementy, zwykle {1,0}, o znaczeniu:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
oraz dwa spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

2.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole’a

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)

Przykłady:
Y=p+~p=1 – zdanie zawsze prawdziwe
Y=p*~p=0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

To samo w logice 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 – zdanie zawsze prawdziwe
Jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1

Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramek logicznych
Y - wyjście bramki logicznej

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)

Matematyczne związki między p i ~p:
I.
p#~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
II.
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)

Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)

Przykład:
f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
p*q+~p*~q

W najprostszym przypadku wyrażeniem algebry Boole’a może być pojedyńcza zmienna binarna p
f(p) =p

Uwaga na notację:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
f(p,q)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a (przykład)

Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a w osi czasu.
W technice funkcja logiczna algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y

Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y

Przykład:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q = (p*q)+(~p*~q) = (p*q)+~(p+q) - na mocy prawa De Morgana
Kolejność wykonywania działań:
przeczenie (~), nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=1<=>p+q
Y=0<=>~p*~q
etc
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy

Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana (poznamy za chwilę)
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

2.1.1 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym

Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Inaczej mamy do czynienia ze standardem ujemnym lub mieszanym.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka

Podstawa matematyczna dla powyższej definicji to prawa Prosiaczka
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej.

Przykład:

Pani w przedszkolu A:
A1.
Jutro nie pójdziemy ani do kina, ani do teatru
Y = ~K*~T
co w standardzie dodatnim (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Znaczenie zmiennych w naturalnej logice człowieka (standard dodatni):
TZ1 - tabela zmiennych nr.1 w standardzie dodatnim:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y), standard dodatni
~K=1 - prawdą jest (=1), że jutro nie pójdziemy do kina (~K), standard dodatni
~T=1 - prawdą jest (=1), że jutro nie pójdziemy do teatru (~T), standard dodatni

Wniosek:
Nasz mózg, niezależnie od języka, operuje na symbolach niezanegowanych (logika dodatnia bo p) albo zanegowanych (logika ujemna bo ~p), a nie na zerach i jedynkach

Jak widzimy, z kodowania A1 bez problemu odtworzymy zdanie wypowiedziane przez panią przedszkolankę.

Przykładowe kodowanie zdania A1 w standardzie mieszanym wygląda tak:
A1'.
Jutro nie pójdziemy ani do kina, ani do teatru
Y = ~K*T
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Znaczenie zmiennych w naturalnej logice człowieka (standard dodatni):
TZ2 - tabela zmiennych w standardzie dodatnim:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y), standard dodatni
~K=1 - prawdą jest (=1), że jutro nie pójdziemy do kina (~K), standard dodatni
T=1 - prawdą jest (=1), że jutro pójdziemy do teatru (T), standard dodatni

Dokładnie tak kodowanie A1' odczyta każdy człowiek, czyli z kodowania A1' odczytujemy totalnie inne zdanie niż wypowiedziała pani przedszkolanka.
Jednoznaczne odtworzenie standardu mieszanego możliwe jest wtedy i tylko wtedy gdy do takiego kodowania dołączmy znaczenie wszystkich zmiennych.

Weźmy jeszcze raz zdanie A1'.
A1'.
Jutro nie pójdziemy ani do kina, ani do teatru
Y = ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i T=1

TZ3 - tabela zmiennych w kodowaniu mieszanym:
Y=1 - prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y), standard dodatni
~K=1 - prawdą jest (=1) że jutro nie pójdziemy do kina (~K), standard dodatni
T=1 - prawdą jest (=1), że jutro NIE pójdziemy do teatru (T), standard ujemny

Jak widzimy dołączenie do zdania A1' tabeli zmiennych TZ3 kodowanych w standardzie mieszanym również prowadzi do poprawnego odczytu zdania pani przedszkolanki, mimo kodowania zmiennych w standardzie mieszanym.

Dowód:
A1'
Y = ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=~K=1 i T=1
Uwzględniając tabelę TZ3 odczytujemy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i NIE pójdziemy do teatru (T=1)

Podsumowując:
Standard mieszany jest w praktyce matematycznej bezużyteczny, bo generuje niezgodne ze standardem dodatnim (naturalna logika człowieka) tabele zmiennych TZ. Wyłącznie masochiści mogą się w takie klocki bawić.

To mniej więcej tak jakby nauczyciel matematyki powiedział:
Od teraz cyfra 2 będzie oznaczała dawną cyfrę 1, zaś cyfra 1 będzie oznaczała dawną cyfrę 2.
Po takim przyporządkowaniu matematyka klasyczna dalej będzie działać poprawnie!
Czy wszyscy czują bluesa?
Kto będzie bawił się w taką matematykę klasyczną, poza masochistami?

W niewielu przypadkach na poziomie krajów używane są przeciwne standardy.

Przykłady:
1.
Anglicy jeżdżą samochodami w standardzie przeciwnym niż Polacy, czyli lewą stroną.
Katastrofą dla Anglika będzie jazda po Polsce lewą stroną.
2.
Bułgarzy kiwają głową na TAK/NIE w standardzie przeciwnym niż Polacy.
Polak interpretujący kiwanie głową Bułgara na TAK/NIE według standardu polskiego nie dogada się z Bułgarem.

2.2 Aksjomatyka algebry Boole’a

Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy

Definicja minimalnej aksjomatyki algebry Boole’a:
Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a to minimalny zestaw definicji i praw algebry Boole’a koniecznych i wystarczających do minimalizacji równań algebry Boole’a.

Należy zaznaczyć, że nasz mózg prezentuje w tym zakresie mistrzostwo świata tzn. z reguły operuje minimalnymi równaniami algebry Boole'a których nie da się minimalizować.

Definicja znaczka w logice matematycznej:
Znaczek w logice matematycznej to symbol zdefiniowany odpowiednią tabelą zero-jedynkową

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce

Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+):

I.
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka

Znaczek tożsamy w matematyce:
(*) - znaczek koniunkcji
Znaczek tożsamy w technice:
(*) - bramka logiczna AND

Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
Kod:

   p* q  Y=p*q
A: 1* 1  =1
B: 1* 0  =0
C: 0* 1  =0
D: 0* 0  =0
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
Y=1

Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia którą logiką będziemy się posługiwać. W przypadku spójnika „i”(*) użycie logiki jedynek jest najszybszym sposobem wypełnienia wynikowej kolumny zero-jedynkowej.

II.
(+) - spójnik „lub”(+) z języka potocznego człowieka

Znaczek tożsamy w matematyce:
(+) - znaczek alternatywy
Znaczek tożsamy w technice:
(+) - bramka logiczna OR

Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

   p+ q  Y=p+q
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 0  =0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
Y=1

Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia którą logiką będziemy się posługiwać. W przypadku spójnika „lub”(+) użycie logiki zer jest najszybszym sposobem wypełnienia wynikowej kolumny zero-jedynkowej.

2.2.1 Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a

Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a to minimalny zestaw definicji i praw algebry Boole’a koniecznych i wystarczających do minimalizacji równań algebry Boole’a.

1.
1=prawda
0=fałsz
1=~(0)=~0 - prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu (0)
0=~(1)=~1 - fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy (1)

2.
p =~(~p) - logika dodatnia (bo p) jest tożsama z zanegowaną (~) logiką ujemną (bo ~p)
Prawo podwójnego przeczenia.
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p jest tożsama z zanegowaną (~) logiką dodatnią (bo p)

3.
Elementem neutralnym w spójniku „i”(*) jest jedynka
p*1=p - łatwe do zapamiętania przez analogię do zwykłego mnożenia: x*1=x
p+1=1 - to jedyny wyjątek nie mający odpowiednika w zwykłym dodawaniu

4.
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest zero
p+0=p - łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego dodawania: x+0=x
p*0=0 - łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego mnożenia: x*0=0

5.
Definicja dziedziny D w zbiorach:
A: p+~p=D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny (D)
B: p*~p=[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, stąd ich iloczyn logiczny to zbiór pusty []=0
Definicja dziedziny D w zdarzeniach:
C: p+~p=D =1 - zdarzenie ~p jest uzupełnieniem zdarzenia p do wspólnej dziedziny (D)
D: p*~p=[] =0 - zdarzenia p i ~p są rozłączne, stąd ich iloczyn logiczny to zbiór pusty []=0

Przykłady:
5A
Zdanie zawsze prawdziwe w zbiorach:
Dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 2 lub nie jest podzielna przez 2
D=LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] – zbiór liczb naturalnych, wspólna dziedzina dla P2 i ~P2
P2+~P2=D =1 - zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest uzupełnieniem zbioru P2=[2,4,6,8..] do dziedziny LN
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb naturalnych LN pomniejszony o zbiór liczb parzystych P2
5B.
Zdanie zawsze fałszywe w zbiorach:
Dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 2 i nie jest podzielna przez 2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2=[2,4,6,8..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne, stąd ich iloczyn logiczny to 0

5C.
Zdanie zawsze prawdziwe w zdarzeniach:
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
Y = K+~K =D =1 - zdarzenie ~K jest uzupełnieniem zdarzenia K do wspólnej dziedziny D
D=[K,~K] – zbiór wszystkich możliwych zdarzeń w dniu jutrzejszym, wspólna dziedzina D
Chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień.
5D.
Zdanie zawsze fałszywe w zdarzeniach:
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y = K*~K =[] =0 - zdarzenie ~K jest rozłączne ze zdarzeniem K
Chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień

6.
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) są przemienne
p*q=q*p
p+q=q+p

7.
Prawo redukcji/powielania zmiennych binarnych:
p*p=p
p+p=p

8.
Prawa De Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
p*q = ~(~p+~q)

9.
Obsługa wielomianów logicznych jest identyczna jak wielomianów klasycznych pod warunkiem przyjęcia analogii:
Spójnik „lub”(+) to odpowiednik sumy algebraicznej (+) np. x+y
Spójnik „i”(*) to odpowiednik iloczynu algebraicznego (*) np. x*y
Stąd mamy:
Kolejność wykonywania działań w wielomianach logicznych:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
bo robimy analogię do wielomianów klasycznych.

Przykład mnożenia wielomianów logicznych:
Niech będzie dana funkcja logiczna Y:
Y = (p+~q)*(~p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Minimalizujemy:
Y = (p+~q)*(~p+q)
Y = p*~p + p*q +~q*~p + ~q*q - mnożenie logiczne każdego z każdym (jak w matematyce klasycznej)
Y = 0 + p*q + ~q*~p + 0 - prawo algebry Boole'a: x*~x=0
Y = p*q + ~q*~p - prawo algebry Boole'a: x+0=x
Y = p*q + ~p*~q - przemienność x*y=y*x
Stąd:
Nasza funkcja logiczna Y po minimalizacji przybiera postać:
Y = (p+~q)*(~p+q) = p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Inny przykład wykorzystania praw algebry Boole’a.
Udowodnij prawo algebry Boole’a:
p + p*q =p
Dowód:
p + p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p=p*1
Wyciągnięcie zmiennej p przed nawias identyczne jak w wielomianach klasycznych
p*(1+q)
1+q =1
p*1=p
cnd

Każde z praw logiki matematycznej można udowodnić w rachunku zero-jedynkowym.

Przykład 1.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo rachunku zero-jedynkowego:
p+1 =1
Mamy tu:
p - zmienna algebry Boole’a mogąca przyjmować dowolne wartości logiczne 0 albo 1.
q=1 - wartość logiczna stała, niezmienna (twarda jedynka niezależna od czasu)

Korzystamy z definicji spójnika „lub”(+).
Kod:

Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
   p+ q  Y=p+q
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 0  =0

Stąd mamy:
Kod:

Dla p i q=1 mamy:
   p+ q=1  Y=p+1
A: 1+ 1    =1
B: 1+ 1    =1
C: 0+ 1    =1
D: 0+ 1    =1

Stąd mamy dowód prawdziwości prawa rachunku zero-jedynkowego:
p+1 =1
cnd

Przykład 2.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo algebry Boole’a:
p+~p =1

Kod:

Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
   p+ q  Y=p+q
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 0  =0

Stąd mamy:
Kod:

Dla p i q=~p mamy:
   p+~p  Y=p+~p
A: 1+ 0  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 1  =1

Stąd mamy dowód prawdziwości prawa rachunku zero-jedynkowego:
p+~p =1
cnd

Przykład 3.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo De Morgana dla sumy logicznej „lub”(+):
p+q = ~(~p*~q)
Zaczynamy od definicji spójnika „lub”(+)
Kod:

   p+ q  Y=p+q  ~Y=~(p+q) ~p ~q  ~Y=~p*~q  Y=~(~Y)=~(~p*~q)
A: 1+ 1  =1      =0        0* 0   =0        =1
B: 1+ 0  =1      =0        0* 1   =0        =1
C: 0+ 1  =1      =0        1* 0   =0        =1
D: 0+ 0  =0      =1        1* 1   =1        =0
   1  2   3       4        5  6    7         8
Gdzie:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia

Tożsamość kolumn wynikowych 3=8 (Y=Y) jest dowodem poprawności prawa De Morgana:
Y = 3: p+q = 8: ~(~p*~q)
#
Tożsamość kolumn wynikowych 4=7 (~Y=~Y) jest dowodem poprawności prawa De Morgana:
~Y = 4: ~(p+q) = 7:~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
cnd

Zadanie dla czytelnika:
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo De Morgana dla iloczynu logicznego „i”(*):
p*q = ~(~p+~q)

2.3 Równoważność K<=>T w świecie żywym

Definicja równoważności p<=>q w świecie żywym:
Z równoważnością w świecie żywym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy każde z czterech możliwych zdarzeń {A: p*q, B: p*~q, C: ~p*~q, D: ~p*q} ma szansę przyjąć wartość logiczną jeden

Definicja spójnika <=> - "wtedy i tylko wtedy” wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q

Przykład:
Pani w przedszkolu wypowiada obietnicę bezwarunkową:
1.
Jutro pójdziemy do kina tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Innymi słowy:
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
K<=>T = A: K*T + C: ~K*~T
Podstawmy celem skrócenia zapisów:
Y = K<=>T
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1: Y = A: K*T + C: ~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
co w logice jedynek oznacza:
1: Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1

Uwaga:
Wyłącznie funkcje alternatywno-koniunkcyjne są zrozumiałe dla człowieka, od 5-cio latka poczynając.
Funkcji koniunkcyjno-alternatywnych żaden człowiek nie rozumie tzn. nie mają one przełożenia 1:1 na język potoczny.
Wyłącznie w funkcji alternatywno-koniunkcyjnej jedynki są domyślne, czyli możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.

Przyjmijmy następujące znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y), czyli pani skłamie (S=~Y)

Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1: Y = A: K*T + C: ~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
co w logice jedynek oznacza:
1: Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
Yc = ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Gdzie:
Y = Ya+Yc - funkcja logiczna Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych Ya+Yc

Jak widzimy, odpowiedź kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) jest intuicyjnie zrozumiała.

Matematycznie kluczowa jest tu odpowiedź na pytanie:
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?

Aby odpowiedzieć na to pytanie musimy dwustronnie zanegować funkcję logiczną 1.
2: ~Y = ~(K*T+~K*~T)
Prawą stronę minimalizujemy prawami De Morgana:
Krok 1
2: ~Y = ~(K*T)*~(~K*~T) - prawo De Morgana: ~(p+q) = ~p*~q
Krok 2
2: ~Y = (~K+~T)*(K+T) - prawo De Morgana: ~(p*q) = ~p+~q

Stąd mamy.
Kolejność wykonywania działań w algebrze Boole’a:
Przeczenie (~), nawiasy, spójnik „i”(*), spójnik „lub”(+)

Przetłumaczmy opisaną wyżej postać koniunkcyjno-alternatywną na język potoczny:
2: ~Y = (~K+~T)*(K+T)
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
(~K+~T) - jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
„i”(*)
(K+T) - jutro pójdziemy do kina (K) lub pójdziemy do teatru (T)

Doskonale widać, że otrzymaliśmy masakrę, czyli odpowiedź na pytanie kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y), której w języku potocznym żaden człowiek nie rozumie (z najwybitniejszym matematykiem włącznie).

Co zatem mamy robić?
Po pierwsze bez paniki wymnażamy wielomian 2 (dla wygody przechodzimy na zapis ogólny):
2: ~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
3: ~Y = p*~q + ~p*q - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Nasz przykład:
3.
~Y = K*~T + ~K*T - postać alternatywno-koniunkcyjna
co w logice jedynek obowiązującej wyłącznie w postaci alternatywno-koniunkcyjnej oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub D: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Yb = K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
„lub”(+)
~Yd = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Gdzie:
~Y = ~Yb+~Yc - funkcja logiczna ~Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych ~Yb+~Yd

Doskonale widać, że tą odpowiedź na pytanie kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) rozumie każdy człowiek, od 5-cio latka poczynając.
Wniosek z naszego przykładu to prawo Pandy.

Prawo Pandy:
Jedyną funkcją logiczną zrozumiałą dla każdego człowieka jest funkcja alternatywno-koniunkcyjna

Z prawa Pandy wynika, że jeśli z jakiegokolwiek przekształcenia funkcji logicznej algebry Boole’a wyskoczy mam choćby fragment postaci koniunkcyjno-alternatywnej, to taki fragment musimy sprowadzić do postaci alternatywno-koniunkcyjnej wymnażając wielomian, jak to zrobiliśmy wyżej.

Podsumowanie:
Jak widzimy korzystając dwukrotnie z praw De Morgana przeszliśmy od funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y):
1: Y = K*T +~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Do funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y):
2: ~Y = K*~T + ~K*T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Akurat w tym przypadku to przejście było proste, bo na wejściu mieliśmy do czynienia z prostą funkcją logiczną Y:
1: Y = K*T +~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

W ogólnym przypadku funkcja alternatywno-koniunkcyjna może być dowolnie skomplikowana i wtedy korzystanie z praw De Morgana, choć matematycznie poprawne, będzie skomplikowanym masochizmem.
Na szczęście istnieje skrócony algorytm przejścia z logiki dodatniej (bo Y) do ujemnej (bo ~Y) i odwrotnie, po raz pierwszy zapisany przez Wuja Zbója.

2.3.1 Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej

Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
1.
Y = pq+~p~q - zapis dopuszczalny w technice z pominięciem spójnika „i”(*)
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
1.: Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2: ~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója

2.3.2 Kolejność wykonywania działań w algebrze Kubusia

Kolejność wykonywania działań w algebrze Kubusia:
przeczenie (~), nawiasy, spójnik „i”(*), spójnik „lub”(+), ~~>, =>, ~>, <=>

Gdzie:
Znaczki z algebry Boole’a to:
przeczenie(~), nawiasy, spójnik „i”(*), spójnik „lub”(+)

Znaczki spoza algebry Boole’a (tzn. z algebry Kubusia) to:
~~> - zdarzenie możliwe lub element wspólny zbiorów
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
<=> - równoważność

2.4 Piękna algebra Boole’a

Podam dwa przykłady posługiwania się algebrą Boole’a, pierwszy rodem z przedszkola, drugi rodem z forum matematyka.pl.

2.4.1 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków

Rozważmy projektowanie sterowania windą.

Przyjmijmy wejście układu windy:
Na poziomie 5-cio latka zakładamy że winda ma dwa przyciski wejściowe układu (zmienne binarne):
Opis przycisku D=[drzwi]:
D=1 - drzwi zamknięte (D)
~D=1 - drzwi nie zamknięte (~D)
Opis przycisku P=[piętro]:
P=1 - przycisk piętro wciśnięty (P)
~P=1 - przycisk piętro nie wciśnięty (~P)

Przyjmijmy wyjście układu windy:
Wyjście układu opisane jest przez zmienną binarną J=[jedzie]:
J=1 - winda jedzie (J).
~J=1 - winda nie jedzie (~J)

I.
Pani przedszkolanka do Jasia (lat 5):


Powiedz nam Jasiu kiedy winda jedzie (J=1)?
Jaś:
A1.
Winda jedzie (J=1) wtedy i tylko wtedy gdy drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
A1: J=D*P
co w logice jedynek oznacza:
J=1 <=> D=1 i P=1
Wniosek:
Jaś zaprojektował sterownie windą w logice dodatniej (bo J)

II.
Pani przedszkolanka do Zuzi (lat 5):


Powiedz nam Zuziu kiedy winda nie jedzie (~J=1)?
Zuzia:
A2.
Winda nie jedzie (~J=1) wtedy i tylko wtedy gdy drzwi nie są zamknięte (~D=1) "lub"(+) nie jest wciśnięty przycisk piętro (~P=1)
A2: ~J = ~D + ~P
co w logice jedynek oznacza:
~J=1 = ~D=1 lub ~P=1
Wniosek:
Zuzia zaprojektowała sterowanie windą w logice ujemnej (bo ~J)

Wnioski końcowe:
Rozwiązanie Jasia i Zuzi są matematycznie tożsame bo oczywisty związek logiki dodatniej (bo J) i ujemnej (bo ~J) jest następujący:

Jaś:
Moja logika dodatnia (bo J) to zanegowana logika ujemna (bo ~J), stąd mamy:
J = ~(~J)
Po podstawieniu:
A2: ~J = ~D + ~P
Mamy:
J = ~(~D+~P)
czyli:
J = ~(~D+~P) = D*P - prawo De Morgana
cnd

Zuzia:
Moja logika ujemna (bo ~J) to zanegowana logika dodatnia (bo J), stąd mamy:
~J = ~(J)
Po podstawieniu:
A1: J=D*P
Mamy:
~J = ~(D*P)
czyli:
~J = ~(D*P) = ~D+~P - prawo De Morgana
cnd

Doskonale tu widać, zarówno Jaś jak i Zuzia (oboje po 5 wiosenek) perfekcyjnie znają algebrę Kubusia bo po prostu pod nią podlegają.

Zachodzi matematyczna tożsamość:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = znana inżynierom bramka AND
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = znana inżynierom bramka OR
Znaczek przeczenia (~) też ma swój odpowiednik w bramkach logicznych w postaci układu negatora:
„o”(~) - bramka negatora „o”(~)
Bramka negatora "o" w każdej chwili czasowej zamienia cyfrowy sygnał wejściowy (p) na jego negację na wyjściu negatora (~p).

Stąd:
Przełożenie powyższych zdań na bramki logiczne jest trywialne:
Wszędzie, gdzie wymawiamy spójnik „i”(*) walimy bramę AND.
Wszędzie, gdzie wymawiamy spójnik „lub”(+) walimy bramkę OR

Stąd:
Zdania Jasia i Zuzi w przełożeniu na teorię bramek logicznych wyglądają następująco:
Kod:

T1
Zdania Jasia i Zuzi przełożone na język bramek logicznych „i”(*) i „lub”(+)
                  -------------
 D------x-------->|           |
        |         |  „i”(*)   |---x-----x---->  A1: J=D*P (Jaś)
 P--x------------>|           |   |     |
    |   |         -------------   \/    |
    |   |                         o     o      # (negator w obu kierunkach)
    |   |    ~D   -------------   |     /\
    |   |--o----->|           |   |     |
    |        ~P   | „lub”(+)  |---x-----x---->  A2: ~J=~D+~P (Zuzia)
    |------o----->|           |
                  -------------
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
„o”(~) - bramka negatora „o”(~)
Negator w każdej chwili czasowej zamienia cyfrowy sygnał wejściowy
na jego negację na wyjściu negatora.
W świecie rzeczywistym musi tu być negator z otwartym kolektorem (OC)
na przykład SN74LS06

Opis działania układu:
Jaś:
A1:
Winda jedzie (J) gdy drzwi są zamknięte (D) i wciśnięty przycisk piętro (P)
J=D*P
… a kiedy winda nie jedzie (~J)?
#
Dowolną funkcję logiczną (np. J=D*P) mamy prawo dwustronnie zanegować (#)
Negujemy funkcję logiczną A1 dwustronnie:
A2:
~J=~(D*P)=~D+~P - prawo De Morgana
Stąd:
A2.
Zuzia:
Winda nie jedzie (~J) gdy drzwi nie są zamknięte (~D)
lub nie jest wciśnięty przycisk piętro (~P)
~J=~D+~P

To jest cała filozofia przełożenia logiki matematycznej Jasia i Zuzi na teorię bramek logicznych.

Uwaga:
W użytecznym sterowaniu trzeba wprowadzić dodatkową zmienną binarną sygnalizującą dojechanie windy na żądane piętro, gdzie winda automatycznie staje i przycisk P (piętro) wyskakuje. Przy zamkniętych drzwiach warunkiem koniecznym i wystarczającym kolejnej jazdy jest wciśnięcie piętra różnego od tego, na którym winda aktualnie stoi. Takie sterownie to temat na ćwiczenie laboratoryjne na I roku studiów elektronicznych.

Podsumowanie:
Matematyczna trudność projektowania złożonych sterowań w laboratorium bramek logicznych na I roku elektroniki Politechniki Warszawskiej (tu byłem) absolutnie nie wykracza poza opisany wyżej poziom matematyczny 5-cio letnich, genialnych inżynierów Jasia i Zuzi. Oczywiście w trudniejszych problemach zmiennych binarnych jest więcej, ale układ sterowania projektuje się identycznie jak to zrobili Jaś i Zuzia, czyli mając w głębokim poważaniu jakiekolwiek tabele zero-jedynkowe.

Weźmy jeszcze raz naszego Jasia:
A1.
Jeśli winda jedzie (J=1) to na 100% => drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
A1: J=> D*P
Jazda windą jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania, że drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
W drugą stronę warunek wystarczający => też jest prawdziwy:
B3.
Jeśli drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1) to na 100% => winda jedzie (J=1)
B3: D*P=>J =1
Zamknięte drzwi (D=1) i wciśnięty przycisk piętro (P=1) jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania, że winda jedzie.
Uwaga:
Zakładamy tu, że wciskamy przycisk piętro (P) różny od piętra na którym aktualnie winda stoi.

Stąd mamy dowód iż zachodzi równoważność o definicji:
Równoważność p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Nasz przykład:
RA1B3:
Winda jedzie (J=1) wtedy i tylko wtedy gdy drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
RA1B3: J<=>D*P = (A1: J=>D*P)*(B3: D*P=>J) =1*1 =1
cnd

Prawo Irbisa (poznamy niebawem):
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/pojęć p=q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q

Dla naszego przykładu możemy zapisać:
Zdarzenie „winda jedzie” (J) jest tożsame „=” ze zdarzeniem „zamknięte drzwi i wciśnięty przycisk piętro” (D*P=1)
(J=D*P) <=> (A1: J=>D*P)*(B3: D*P=>J) = J<=>D*P

2.4.2 Przykład minimalizacji funkcji logicznej z matematyki.pl

Zminimalizujmy teraz funkcję logiczną podaną w zadaniu na forum matematyka.pl
[link widoczny dla zalogowanych]

Zadanie:
Zminimalizuj poniższe wyrażenie logiczne:
(q=>r*p)+~r

W poniższej minimalizacji korzystamy z definicji znaczka =>:
p=>q = ~p+q

Rozwiązanie:
Zapiszmy nasze wyrażenie w postaci funkcji logicznej Y:
1: Y = (q=>r*p) + ~r = ~q+r*p + ~r
Uzupełniamy brakujące nawiasy bo kolejność wykonywania działań w logice to:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
stąd mamy:
Y = ~q+(r*p)+~r
Zdefiniujmy funkcję cząstkową Y1:
Y1=(r*p)+~r
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y1 = (~r+~p)*r
Po wymnożeniu wielomianu logicznego mamy:
~Y1 = ~r*r + ~p*r = ~p*r
~Y1=r*~p
Powrót do logiki dodatniej (bo Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
Y1=~r+p
Odtwarzając podstawienie mamy:
2: Y = ~q+~r+p
Stąd w zapisie p=>q mamy:
2: Y = q=>(~r+p)
Stąd mamy tożsamość:
1: Y = (q=>r*p)+~r = 2: q=>(~r+p)
cnd

2.5 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a

Algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków: {0, 1, „nie”(~), „i”(*), „lub”(+)}

Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.

Logiką matematyczną zrozumiałą dla każdego człowieka (od 5-cio latka poczynając) są wyłącznie równania alternatywno-koniunkcyjne w których wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek na mocy prawa Prosiaczka (dowód pkt. 2.3)

Weźmy zero-jedynkową definicję równoważności p<=>q:
Kod:

T1
          Y=
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0


Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa układu logicznego (bramka logiczna) to zero-jedynkowy zapis wszystkich sygnałów wejściowych w postaci niezanegowanej (p, q, r..) i zanegowanej (~p, ~q, ~r..) oraz zapis wyjścia Y również w postaci niezanegowanej (Y) i zanegowanej (~Y).

Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):

1.
Tworzymy pełną definicję tabeli zero-jedynkowej, czyli:

Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.

2.
SD - standard dodatni języka potocznego = logika jedynek

W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.

3.
SU - standard ujemny (niezrozumiały dla człowieka) = logika zer

W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu zawsze wymnażamy wielomian koniunkcyjno-alternatywny przechodząc do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej.

2.5.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek

SD - standard dodatni języka potocznego = logika jedynek.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.

Zastosujmy logikę jedynek do tabeli zero-jedynkowej równoważności Y = p<=>q:
Kod:

T2
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q
B: 1  0  0  1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q
D: 0  1  1  0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yd=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
1: Y = Ya+Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1: Y = A: p*q + C: ~p*~q
1: Y= p*q + ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych def otrzymujemy:
2: ~Y=~Yb+~Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
2: ~Y = B: p*~q + D: ~p*q
2: ~Y = p*~q + ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.

Zauważmy, że możliwe jest szybsze wygenerowania równań algebry Boole’a w logice jedynek z pominięciem bloku abc.
Kod:

T2’
Pełna definicja     |Równania cząstkowe
zero-jedynkowa Y    |w logice jedynek
                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya= p* q
B: 1  0  0  1 =0 =1 |~Yb= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=~p*~q
D: 0  1  1  0 =0 =1 |~Yd=~p* q
   1  2  3  4  5  6   d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
1: Y = Ya+Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1: Y = A: p*q + C: ~p*~q
1: Y= p*q + ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
1: Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
2: ~Y=~Yb+~Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
2: ~Y = B: p*~q + D: ~p*q
2: ~Y = p*~q + ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
2: ~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

2.5.2 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer

SU - standard ujemny (niezrozumiały dla człowieka) = logika zer.
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym.

Zastosujmy logikę zer do tej samej tabeli zero-jedynkowej równoważności Y = p<=>q:
Kod:

T3
Pełna definicja     |Co w logice zer       |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza               |cząstkowe
                    |                      |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                      |
A: 1  1  0  0 =1 =0 |~Ya=0<=>~p=0 lub ~q=0 |~Ya=~p+~q
B: 1  0  0  1 =0 =1 | Yb=0<=>~p=0 lub  q=0 | Yb=~p+ q
C: 0  0  1  1 =1 =0 |~Yc=0<=> p=0 lub  q=0 |~Yc= p+ q
D: 0  1  1  0 =0 =1 | Yd=0<=> p=0 lub ~q=0 | Yd= p+~q
   1  2  3  4  5  6   a       b        c     d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
3: Y = Yb*Yd - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice ujemnej
Po rozwinięciu mamy:
3. Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q)
3: Y = (~p+q)*(p+~q)
co w logice zer oznacza:
3: Y=0 <=> (B: ~p=0 lub q=0)*(D: p=0 lub ~q=0)

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
4: ~Y = ~Ya*~Yc - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice ujemnej
Po rozwinięciu mamy:
4: ~Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q)
4: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
co w logice zer oznacza:
4: ~Y=0 <=> (A: ~p=0 lub ~q=0)*(C: p=0 lub q=0)

Jak widzimy, logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych których w języku potocznym żaden człowiek nie rozumie, od 5-cio latka poczynając, na prof. matematyki kończąc. Z tego względu zawsze wymnażamy wielomian koniunkcyjno-alternatywny przechodząc do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej.

Zauważmy, że możliwe jest szybsze wygenerowania równań algebry Boole’a w logice zer z pominięciem bloku abc.
Kod:

T3’
Pełna definicja     |Równania cząstkowe
zero-jedynkowa Y    |w logice zer
                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |
A: 1  1  0  0 =1 =0 |~Ya=~p+~q
B: 1  0  0  1 =0 =1 | Yb=~p+ q
C: 0  0  1  1 =1 =0 |~Yc= p+ q
D: 0  1  1  0 =0 =1 | Yd= p+~q
   1  2  3  4  5  6   d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
Y = Yb*Yd - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice ujemnej
Po rozwinięciu mamy:
3. Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q)
3: Y = (~p+q)*(p+~q)
co w logice zer oznacza:
4: Y=0 <=> (B: ~p=0 lub q=0)*(D: p=0 lub ~q=0)

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
~Y = ~Ya*~Yc - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice ujemnej
Po rozwinięciu mamy:
4: ~Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q)
4: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
co w logice zer oznacza:
4: ~Y=0 <=> (A: ~p=0 lub ~q=0)*(C: p=0 lub q=0)

2.6 Związek opisu tabel zero-jedynkowych w logice jedynek i w logice zer

Zapiszmy otrzymane wyżej funkcje logiczne dla tej samej tabeli zero-jedynkowej równoważności:
Y = p<=>q

Tabela T2
Logika jedynek = standard dodatni:
1: Y= p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
#
2: ~Y = p*~q + ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Tabela T3
Logika zer = standard ujemny:
3: Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
#
4: ~Y = (~p+~q)*(p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)

Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

2.6.1 Prawo Małpki

Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)

Prawo Małpki wynika z tabel T2 i T3.
Kod:

T4
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój odpowiednik
w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
1:  Y = p* q + ~p*~q <=> 3:  Y = (~p+ q)*(p+~q)
#                            #
2: ~Y = p*~q + ~p* q <=> 4: ~Y = (~p+~q)*(p+ q)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej

cnd
Definicja tożsamości logicznej <=>:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej <=> wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej <=> wymusza fałszywość drugiej strony

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości znaczków:
<=>, „=”, [=] - tożsame znaczki tożsamości logicznej

W języku potocznym każdy człowiek, od 5-cio latka poczynając doskonale rozumie wyłącznie równania alternatywno-koniunkcyjne.
Równania koniunkcyjno-alternatywne, których nikt w języku potocznym nie rozumie należy traktować jako matematyczną ciekawostkę.

2.6.2 Dowód prawa Małpki bez tabel zero-jedynkowych

Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)

Dowód tego prawa na naszym przykładzie równoważności:
Y = p<=>q = p*q+~p*~q
jest trywialny o ile skorzystamy z algorytmu przejścia do logiki przeciwnej autorstwa Wuja Zbója.

Zaczynamy od definicji równoważności Y=p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1: Y = p*q + ~p*~q

Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
a)
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
b)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2: ~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója

Zauważmy że:
Jeśli wymnożymy wielomian 2 to otrzymamy tożsamą do niego postać alternatywno-koniunkcyjną.
Zróbmy to:
~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
3: ~Y = p*~q + ~p*q - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Dla funkcji logicznej 3 ponownie korzystamy z algorytmu Wuja przechodząc do logiki dodatniej:
Mamy:
3: ~Y = (p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4: Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)

Stąd mamy:
Kod:

T5
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój odpowiednik
w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
1:  Y = p* q + ~p*~q <=> 4:  Y = (~p+ q)*(p+~q)
#                            #
3: ~Y = p*~q + ~p* q <=> 2: ~Y = (~p+~q)*(p+ q)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej

W tak bajecznie prosty sposób udowodniliśmy prawo Małpki bez użycia tabel zero-jedynkowych.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35331
Przeczytał: 23 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 14:33, 26 Lut 2023    Temat postu:

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2.7 Równoważność p<=>q w świecie martwym i żywym

Spis treści
2.7 Równoważność p<=>q w świecie martwym i żywym 1
2.7.1 Najpopularniejsza w naszym świecie definicja równoważności p<=>q 3
2.7.2 Równoważność p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) 4
2.8 Równoważność A<=>S w warunkach wystarczających => 5
2.8.1 Definicja "wolnej woli" w świecie żywym 8
2.8.2 Gwałcenie równoważności K<=>T wyrażonej warunkami wystarczającymi => 8
2.9 Równoważność A<=>S w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) 10
2.9.1 Analiza równoważności A<=>S w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) 12
2.9.2 Twarde zera i miękkie jedynki w logice matematycznej 16
2.9.3 Związek opisu układu w "i"(*) i "lub"(+) z warunkiem wystarczającym => 17
2.10 Wyprowadzenie definicji "wolnej woli" istot żywych 18
2.10.1 Analiza równoważności K<=>T w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) 20
2.11 Równoważność świata martwego A<=>S vs równoważność świata żywego K<=>T 22
2.11.1 Zdanie B - świat martwy vs świat żywy 23
2.11.2 Zdanie D - świat martwy vs świat żywy 24
2.12 Definicja "wolnej woli" - ostatni akord 25
2.12.1 Diagram równoważności K<=>T wyrażonej spójnikami "i"(*) i "lub"(+) 26


2.7 Równoważność p<=>q w świecie martwym i żywym

Niniejsza część algebry Kubusia (2.7 do 2.12) to nauka czytania i interpretacji zapisów w algebrze Kubusia. W szczególności należy zwrócić uwagę na różnicę w interpretacji opisu świata martwego niezdolnego do gwałcenia praw logiki matematycznej oraz świata żywego, mającego "wolną wolę", zdolnego do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy.

Definicja "wolnej woli" w świecie żywym:
"Wolna wola" w świeci żywym to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy, w tym przez matematykę i fizykę.

Poznajmy na początek trzy najważniejsze definicje logiki matematycznej w obszarze zdarzeń realizowane zdaniami warunkowymi "Jeśli p to q:

1.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:

Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)

2.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:

Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Przykład:
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury

3.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:

Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki.

4.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:

Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Wyprowadzenie praw Kubusia:

Prawa Kubusia to najważniejsze prawa logiki matematycznej mówiące o matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> bez zamiany p i q.

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q =~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

I prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Dowód:
Rozwijamy prawą stronę:
~p~>~q = ~p+q = p=>q
cnd
##
II prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Dowód:
Rozwijamy prawą stronę:
~p=>~q = p+~q = p~>q
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

2.7.1 Najpopularniejsza w naszym świecie definicja równoważności p<=>q

Definicja równoważności p<=>q znana każdemu człowiekowi:
Równoważność to jednocześnie zachodzący warunek konieczny ~> (B1) i wystarczający => (A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q
Tożsamą prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Do tego aby zaszło q potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) aby zaszło p

Dowód iż ta definicja równoważności znana jest każdemu człowiekowi (w tym matematykom).
Klikamy na googlach:
"konieczne i wystarczające"
Wyników: 6 390
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: 8 920
"potrzeba i wystarcza"
Wyników: 2 810
cnd

2.7.2 Równoważność p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q =~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd łatwo wyprowadzamy definicję równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A1B1: p<=>q = ( A1: p=>q)*( B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q)=~p*p+~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q

Do zapamiętania:
Definicja równoważności Y w logice dodatniej (bo Y) w spójnikach "i'(*) i "lub"(+):
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q

Definicja dowolnego operatora logicznego w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Y = (p<=>q) = (A: p*q) + (C: ~p*~q)
Stąd mamy:
Y = p<=>q = A: p*q+ C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

.. a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście z równaniem 1 do logiki przeciwnej (bo ~Y) metodą skróconą poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.
~Y = ~(p<=>q) = (~p+~q)*(p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna
Funkcji koniunkcyjno-alternatywnej żaden człowiek nie rozumie, stąd musimy wymnożyć wielomian logiczny przechodząc do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej, zrozumiałej dla każdego 5-cio latka.
~Y = ~(p<=>q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p +~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
2.
~Y = B: p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Do zapamiętania:
Definicja równoważności ~Y w logice ujemnej (bo ~Y) w spójnikach "i'(*) i "lub"(+):
~Y = ~(p<=>q) = p*q + ~p*~q


Zauważmy, że idąc od strony definicji równoważności znanej każdemu człowiekowi doszliśmy do identycznych równań końcowych 1 i 2 jak idąc od tabeli zero-jedynkowej do w/w równań (pkt. 2.5.1)
Innymi słowy:
Wszystkie drogi prowadzą do algebry Kubusia.

2.8 Równoważność A<=>S w warunkach wystarczających =>

Najprostszy układ równoważności w świecie fizyki wygląda następująco:
Kod:

S1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka S |-------o    o-----
  |    -------------     Przycisk A  |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Każdy uczeń I klasy LO doskonale widzi, że spełniona jest tu definicja równoważności.
Definicja równoważności:
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla świecenia się żarówki S
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest (=1) wystarczające => dla świecenia się żarówki S (S=1)
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1)
Stąd:
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1=1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Gdzie:
Nasz punkt odniesienia:
p=A (przycisk A)
q=S ( żarówka S)

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q =~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja równoważności p<=>q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1

Zastosujmy II prawo Kubusia do zdania B1:

II prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q

Stąd mamy tożsamą definicję równoważności w warunkach wystarczających =>:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest (=1) wystarczające => dla świecenia się żarówki S (S=1)
B2: ~A=>~S=1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia się S (~S=1)
stąd:
A1B2: A<=>S = (A1L A=>S)*(B2: ~A=>~S)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1

Analiza równoważności A1B2: p<=>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, czyli sprawdzenie prawdziwości zdań A1 i B2.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka S świeci się (S=1)
A1: A=>S =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
co w logice jedynek oznacza:
A1: (A=1)=>(S=1) =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla świecenie się żarówki S (S=1)
Wciśnięcie przycisku A (A=1) daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S (S=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
cnd

Na mocy definicji kontrprzykładu, spełniony warunek wystarczający A1: A=>S=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1': A~~>~S =0 (i odwrotnie)
Sprawdzenie:
A1'.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka S może ~~> się nie świecić (~S=1)
A1': A~~>~S=A*~S=0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Co w logice jedynek oznacza:
(A=1)~~>(~S=1) = (A=1)*(~S=1) =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka S nie świeci się (~S=1)
cnd

Zauważmy że:
Na mocy definicji kontrprzykładu twarde zero w kontrprzykładzie A1' wymusza twardą jedynkę w warunku wystarczającym => A1 (i odwrotnie)

Uwaga do zapamiętania:
Standardem w algebrze Kubusia jest oznaczanie kontrprzykładu dla warunku wystarczającego A1 symbolem A1'

… a jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?

Na to pytanie odpowiada zdanie B2.
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka S nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Co w logice jedynek oznacza:
(~A=1)=>(~S=1) =1
Nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia się żarówki S (~S=1)
Nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => nie świecenia się żarówki S (~S=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
cnd

Na mocy definicji kontrprzykładu, spełniony warunek wystarczający B2: ~A=>~S=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2': ~A~~>S =0 (i odwrotnie)
Sprawdzenie:
B2'.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka S może ~~> się świecić (S=1)
B2': ~A~~>S = ~A*S =0
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Co w logice jedynek oznacza:
(~A=1)~~>( S=1)= (~A=1)*(S=1) =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie:
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka S świeci się (S=1)
cnd

Zauważmy że:
Na mocy definicji kontrprzykładu twarde zero w kontrprzykładzie B2' wymusza twardą jedynkę w warunku wystarczającym => B2 (i odwrotnie)

Zapiszmy naszą analizę układu S1 w tabeli prawdy:
Kod:

T1
Tabela prawdy równoważności p<=>q w warunkach wystarczających =>
A1B2: A<=>S = (A1: A=>S)*(B2:~A=>~S)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
            Y=p<=>q
A1:  A=> S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
A1': A~~>~S=0 - niemożliwe jest (=0): wciśnięty A i nie świeci S (~S)
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A) jest (=1) wystarczające => dla ~S
B2':~A~~>S =0 - niemożliwe jest (=0): nie wciśnięty A (~A) i świeci S

Podsumowanie:
1.
W świecie martwym (w tym w fizyce) nie istnieje możliwość ustawienia w liniach A1' i B2' logicznych jedynek, bo wówczas pogwałcilibyśmy elementarne prawo fizyki, prawo Ohma.
2.
Ustawienie jedynek w liniach A1' i B2' jest możliwe tylko i wyłącznie w świcie żywym posiadającym "wolną wolę".

2.8.1 Definicja "wolnej woli" w świecie żywym

Definicja "wolnej woli" w świecie żywym:
Wolna wola w świeci żywym to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy, w tym przez matematykę i fizykę.

2.8.2 Gwałcenie równoważności K<=>T wyrażonej warunkami wystarczającymi =>

Najprostszy układ równoważności w świecie fizyki wygląda następująco:
Kod:

S1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka S |-------o    o-----
  |    -------------     Przycisk A  |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Rozważmy równoważność w "świecie żywym".
Pani w przedszkolu wypowiada zdanie:
A1B2.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru (T=1)
A1: K=>T =1 - pójście do kina(K) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla pójścia do teatru(T)
B2: ~K=>~T=1 - nie pójście do kina(~K) jest (=1) warunkiem wystarczającym => by nie iść do teatru(~T)
A1B1: K<=>T = (A1: K=>T)*(B2: ~K=>~T)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q)=1*1=1
Gdzie:
Nasz punkt odniesienia:
p=K (kino)
q=T (teatr)

Analiza równoważności A1B2: p<=>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, czyli sprawdzenie prawdziwości zdań A1 i B2.

Zauważmy, że w równoważności ze świata człowieka A1B2: K<=>T nic a nic nie musimy udowadniać, korzystamy tu po prostu z definicji równoważności A1B2: p<=>q wyznaczonej przez świat martwy - w naszym przypadku przez schemat S1.

Analiza matematyczna warunku wystarczającego => A1.
A1.
Jeśli jutro pójdziemy do kina (K=1) to na 100% => pójdziemy do teatru (T=1)
A1: K=>T =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Co w logice jedynek oznacza:
A1: (K=1)=>(T=1) =1
Gdzie:
p=K (kino)
q=T (teatr)
Pójście do kina (K=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, abyśmy poszli do teatru (T=1)
Pójście do kina (K=1) daje nam gwarancję matematyczną => pójścia do teatru (T=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Na mocy definicji kontrprzykładu, prawdziwość warunku wystarczającego => A1: K=>T=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1': K~~>~T=0 (i odwrotnie)
A1'.
Jeśli jutro pójdziemy do kina (K=1) to możemy ~~> nie pójść do teatru (~T=1)
A1': K~~>~T=K*~T =0
To samo w zapisie formalnym:
A1': p~~>~q = p*~q =0
Co w logice jedynek oznacza:
A1': (K=1)~~>(~T=1)=(K=1)*(~T=1) =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie:
Jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

W świecie martwym zdarzenie A1' jest fizycznie niemożliwe (=0) czego dowód w pkt. 2.8.
Natomiast w świecie żywym pani przedszkolanka mająca "wolną wolę" może spowodować, że jutro zajdzie zdarzenie A1":
A1".
Jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
A1": K~~>~T=K*~T=1
To samo w zapisie formalnym:
A1": p~~>~q = p*~q=1
Oczywiście pani przedszkolanka zgwałci tu definicję równoważności p<=>q wyznaczaną przez świat martwy, czyli zostanie kłamczuchą nie dotrzymując warunku wystarczającego => A1, a wiemy o tym tylko i wyłącznie dlatego, że znamy definicję równoważności obowiązującą w świecie martwym (u nas w fizyce).
Zauważmy, że coś co jest absolutnie niemożliwe w świecie martwym (pkt. 2.8) w świecie żywym jak najbardziej może się zdarzyć (prawdziwe zdanie A1").

… a jeśli jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)?

O tym przypadku opowiada nam zdanie B2.
B2.
Jeśli jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) to na 100% => nie pójdziemy do teatru (~T=1)
B2: ~K=>~T=1
To samo w zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q =1
Co w logice jedynek oznacza:
B2: (~K=1)=>(~T=1) =1
Nie pójście do kina (~K=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, abyśmy nie poszli do teatru (~T=1)
Nie pójście do kina (~K=1) daje nam (=1) gwarancję matematyczną => nie pójścia do teatru (~T=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Na mocy definicji kontrprzykładu, prawdziwość warunku wystarczającego => B2: ~K=>~T=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2': ~K~~>T=0 (i odwrotnie)
B2'.
Jeśli jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) to możemy ~~> pójść do teatru (T=1)
B2': ~K~~>T=~K*T =0
To samo w zapisie formalnym:
B2': ~p~~>q = ~p*q =0
Co w logice jedynek oznacza:
B2': (~K=1)~~>(T=1)= (~K=1)*(T=1) =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie:
Jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

W świecie martwym zdarzenie B2' jest fizycznie niemożliwe (=0) czego dowód w pkt. 2.8.
Natomiast w świecie żywym pani przedszkolanka mająca "wolną wolę" może spowodować, że jutro zajdzie zdarzenie B2":
B2".
Jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
B2": ~K~~>T=~K*T=1
To samo w zapisie formalnym:
B2": ~p~~>q = ~p*q =1
Oczywiście pani przedszkolanka zgwałci tu definicję równoważności p<=>q wyznaczaną przez świat martwy, czyli zostanie kłamczuchą nie dotrzymując warunku wystarczającego => B2, a wiemy o tym tylko i wyłącznie dlatego, że znamy definicję równoważności obowiązującą w świecie martwym (u nas w fizyce - pkt. 2.8).
Zauważmy, że coś co jest absolutnie niemożliwe w świecie martwym (u nas w fizyce) w świecie żywym jak najbardziej może się zdarzyć (zdanie B2").

2.9 Równoważność A<=>S w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)

Nasz przykładowy schemat równoważności A<=>S:
Kod:

S1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka S |-------o    o-----
  |    -------------     Przycisk A  |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Zauważmy, że algebra Boole'a, a o niej w niniejszym rozdziale mówimy, zna zaledwie pięć znaczków:
1=prawa
0=fałsz
(~) - negacja
(*) - spójnik "i"(*)
(+) - spójnik "lub"(+)

Wniosek:
Zdefiniowane wyżej znaczki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> są w algebrze Boole'a nielegalne (nie ma ich w algebrze Boole'a)
Co więcej:
Choćbyśmy zjedli 1000 koletów to nie mamy szans na zapisanie definicji słownej warunku wystarczającego => lub koniecznego ~> przy pomocy spójników "i"(*) i "lub"(+).

Dowód:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
(p=>q)=~p+q
Co w logice jedynek oznacza:
(p=>q)=1 <=> ~p=1 lub q=1
Nasz schemat:
(A=>S) = ~A + S
co w logice jedynek oznacza:
(p=>q)=1 <=> ~A=1 lub S=1
Czytamy:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (p=>q=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) lub żarówka świeci się żarówka (S=1)

Jak widzimy definicja warunku wystarczającego => wyrażona spójnikami "i"(*) i "lub"(+) zabija definicję warunku wystarczającego =>.

Dowód:
Warunek wystarczający A=>S dla schematu S1 brzmi:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka S świeci się (S=1)
A1: A=>S =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
co w logice jedynek oznacza:
A1: (A=1)=>(S=1) =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla świecenie się żarówki S (S=1)
Wciśnięcie przycisku A (A=1) daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S (S=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
cnd

Nie ma powyższej gwarancji matematycznej => w definicji warunku wystarczającego => wyrażonego spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
Y = (A=>S) = ~A+S
cnd

Podsumowując:
Przy pomocy spójników "i"(*) i "lub"(+) mamy do dyspozycji wyłącznie definicję zdarzenia możliwego ~~>.
Nasza tabela prawdy dla schematu S1 opisana zdarzeniami możliwymi ~~> wygląda następująco:
Kod:

T2
Tabela prawdy równoważności p<=>q
w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A<=>S = A*S + ~A*~S
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = p*q + ~p*~q
            Y=A<=>S - zapis aktualny (przykład)
            Y=p<=>q - zapis formalny (ogólny)
A1:  A~~> S=1 - możliwe jest (=1): wciśnięty A (A) i świeci S (S)
A1': A~~>~S=0 - niemożliwe jest (=0): wciśnięty A (A) i nie świeci S (~S)
B2: ~A~~>~S=1 - możliwe jest (=1): nie wciśnięty A (~A) i nie świeci S (~S)
B2':~A~~>S =0 - niemożliwe jest (=0): nie wciśnięty A (~A) i świeci S (S)

Dla dowodu prawdziwości zdania A1 wystarczy jednokrotne zaobserwowanie, że jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka S świeci się (S=1)
Podobnie:
Dla dowodu prawdziwości zdania B2 wystarczy jednokrotne zaobserwowanie, że jeśli przycisk B nie jest wciśnięty (~B=1) to żarówka S nie świeci się (~S=1)

W przypadkach A1' i B2' mamy sytuację fundamentalnie inną, bowiem tu musimy stwierdzić, że żarówka S nigdy nie będzie się świecić, zatem musimy wykonać nieskończoną ilość iterowań aby ten fakt potwierdzić, lub prościej … trzeba po prostu znać elementarne prawa fizyki, tu prawo Ohma.

2.9.1 Analiza równoważności A<=>S w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
Kod:

S1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka S |-------o    o-----
  |    -------------     Przycisk A  |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

1.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:

Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Przeanalizujmy układ równoważności A<=>S w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) przez wszystkie możliwe przeczenia A i S przy pomocy jedynego legalnego znaczka w algebrze Boole'a, definicji zdarzenia możliwego ~~>.
Kod:

T2
Tabela prawdy równoważności p<=>q
w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A<=>S = A*S + ~A*~S
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = p*q + ~p*~q
            Y=A<=>S - zapis aktualny (przykład)
            Y=p<=>q - zapis formalny (ogólny)
A1:  A~~> S=1 - możliwe jest (=1): wciśnięty A (A) i świeci S (S)
A1': A~~>~S=0 - niemożliwe jest (=0): wciśnięty A (A) i nie świeci S (~S)
B2: ~A~~>~S=1 - możliwe jest (=1): nie wciśnięty A (~A) i nie świeci S (~S)
B2':~A~~>S =0 - niemożliwe jest (=0): nie wciśnięty A (~A) i świeci S (S)

Przypadek A: A=1 i S=1
A.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to możliwe jest ~~> świecenie żarówki S (S=1)
Ya = A~~>S = A*S =1
Czytamy:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Dla potwierdzenia prawdziwości zdania A wystarczy zaobserwować jeden taki przypadek, nie trzeba tu udowadniać, że wciśnięcie A jest wystarczające => dla świecenia S.
A.
Zapis tożsamy do powyższego:
Ya=1 <=> A*S
co w logice jedynek oznacza:
Ya=1 <=> A=1 i S=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że możliwe (Ya) jest ~~> zdarzenie:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1)

Prawo Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
Prawo Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej lub stałej binarnej, zastosujmy je do funkcji cząstkowej Ya.
(Ya=1)=(~Ya=0)
Stąd:
A".
~Ya=0 <=> A*S
co w logice jedynek oznacza:
~Ya=0 <=> A=1 i S=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że nie jest możliwe (~Ya) ~~> zdarzenie:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1)

Znaczenie zmiennej cząstkowej Yx:
Yx - zdarzenie możliwe
~Yx - zdarzenie niemożliwe

Doskonale tu widać poprawność prawa Prosiaczka, czyli tożsamość zdań A i A":
A: (Ya=1) = A": (~Ya=0)

Dla kompletnego opisu schematu S1 musimy przeanalizować ten schemat zdarzeniami możliwymi ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia A i S.

Przypadek B: A=1 i ~S=1
Stąd kolejne zdanie to:
B.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka S może ~~> się nie świecić (~S=1)
Yb = A~~>~S = A*~S =0
Czytamy:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~> (Yb):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)

Dla potwierdzenia fałszywości zdania B musimy wykonać nieskończoną ilość iterowań, by stwierdzić, że zdarzenie B nie jest możliwe .. albo po prostu znać prawo fizyki, tu prawo Ohma.
B.
Zapis tożsamy do powyższego:
Yb=0 <=> A*~S
Co w logice jedynek oznacza:
(Yb=0) <=> A=1 i ~S=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że jest możliwe jest ~~> zdarzenie (Yb):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)

Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Prawo Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej lub stałej binarnej, zastosujmy je do funkcji cząstkowej Yb.
(Yb=0)=(~Yb=1)
Stąd na mocy prawa Prosiaczka:
B".
~Yb=1 <=> A*~S
co w logice jedynek oznacza:
~Yb=1 <=> A=1 i ~S=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że nie jest możliwe (~Yb) ~~> zdarzenie:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)

Znaczenie kluczowych zmiennych:
Yx - zdarzenie możliwe
~Yx - zdarzenie niemożliwe

Kolejny przypadek C to:
Przypadek C: ~A=1 i ~S=1
C.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
Yc=~A~~>~S = ~A*~S =1
Czytamy:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~> (Yc):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Dla potwierdzenia prawdziwości zdania A wystarczy zaobserwować jeden taki przypadek, nie trzeba tu udowadniać, że nie wciśnięcie A (~A=1) jest wystarczające => dla nie świecenia (~S=1).
C.
Zapis tożsamy do powyższego:
Yc=1 <=> ~A*~S
co w logice jedynek oznacza:
Yc=1 <=> ~A=1 i ~S=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że jest możliwe (Yc) ~~> zdarzenie:
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)

Prawo Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
Prawo Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej lub stałej binarnej, zastosujmy je do funkcji cząstkowej Yc.
(Yc=1)=(~Yc=0)
Stąd zdanie C", tożsame do C:
C".
~Yc=0 <=> ~A*~S
co w logice jedynek oznacza:
~Yc=0 <=> ~A=1 i ~S=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że nie jest możliwe (~Yc) ~~> zdarzenie:
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)

Znaczenie zmiennej cząstkowej Yx:
Yx - zdarzenie możliwe
~Yx - zdarzenie niemożliwe

Doskonale tu widać poprawność prawa Prosiaczka, czyli tożsamość zdań C i C":
C: (Yc=1) = C": (~Yc=0)

Ostatni przypadek D to:
Przypadek D: ~A=1 i S=1
D.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka S może ~~> się świecić (S=1)
Yd = ~A~~>S = ~A*S =0
Czytamy:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~> (Yd):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)

Dla potwierdzenia fałszywości zdania D musimy wykonać nieskończoną ilość iterowań, by stwierdzić, że zdarzenie D nie jest możliwe .. albo po prostu znać prawo fizyki, tu prawo Ohma.
D.
Zapis tożsamy do powyższego:
Yd=0 <=> ~A*S
co w logice jedynek oznacza:
Yd=0 <=> ~A=1 i S=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że jest możliwe jest ~~> zdarzenie (Yd):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)

Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Prawo Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej lub stałej binarnej, zastosujmy je do funkcji cząstkowej Yd.
(Yd=0)=(~Yd=1)
Stąd mamy:
D".
~Yd=1 <=> ~A*S
co w logice jedynek oznacza:
~Yd=1 <=> ~A=1 i S=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że nie jest możliwe (~Yd) zdarzenie:
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)

Znaczenie kluczowych zmiennych:
Yx - zdarzenie możliwe
~Yx - zdarzenie niemożliwe

2.9.2 Twarde zera i miękkie jedynki w logice matematycznej
Kod:

S1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka S |-------o    o-----
  |    -------------     Przycisk A  |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Zapiszmy naszą analizę układu S1 w tabeli prawdy.
Kod:

T3
Analiza układu równoważności A<=>S w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
                   Y=A<=>S $  ~Y=~(A<=>S);Prawo Śfinii: Y "albo"($) ~Y
A: Ya= A~~> S= A* S Ya=1   #  ~Ya=0      ;Prawo Prosiaczka: (Ya=1)=(~Ya=0)
B: Yb= A~~>~S= A*~S Yb=0   #  ~Yb=1      ;Prawo Prosiaczka: (Yb=0)=(~Yb=1)
C: Yc=~A~~>~S=~A*~S Yc=1   #  ~Yc=0      ;Prawo Prosiaczka: (Yc=1)=(~Yc=0)
D: Yd=~A~~> S=~A* S Yd=0   #  ~Yd=1      :Prawo Prosiaczka: (Yd=0)=(~Yd=1)
   1   2    3  4  5    6          7

Komentarz:
1.
Jak widzimy prawa Prosiaczka które stosowaliśmy w analizie wyżej obowiązują w każdej linii tabeli prawdy.
2.
Zauważmy, że w kolumnie 6 wszystkie zera są twarde (nigdy nie przyjmą wartości logicznej 1), zaś jedynki miękkie.
Definicja miękkiej jedynki:
Może zajść, ale nie musi.
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie zdarzenie A to wtedy jedynka w linii A będzie twardą jedynką (niezmienną), zaś miękka jedynka w linii C przyjmie wartość twardego zera.
Jeśli zajdzie zdarzenie C to wtedy jedynka w linii C będzie twardą jedynką (niezmienną), zaś miękka jedynka w linii A przyjmie wartość twardego zera.

W nagłówkach kolumn 6 i 7 zachodzi prawo Śfinii.

Prawo Śfinii dla Y i ~Y:
Zajść może tylko i wyłącznie funkcja logiczna Y "albo"($) funkcja logiczna ~Y, trzeciej możliwości brak
Y=f(x) "albo"($) ~Y=~f(x)

Nasz przykład:
Y=(A<=>S) = A*S + ~A*~S "albo"($) ~Y=~(A<=>S) = A*~S + ~A*S

Dowód:
Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+), którą wkrótce poznamy:
p$q = p*~q + ~p*q

Dla funkcji logicznych Y i ~Y mamy:
p=Y
q=~Y
Podstawiając to do definicji spójnika "albo"($) mamy:
Y$~Y = (Y)*~(~Y) + ~(Y)*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y = Y+~Y=1
Wniosek:
Definicja spójnika "albo"($) między Y i ~Y jest (=1) spełniona.

Sprawdźmy prawdziwość/fałszywość równoważności p<=>q dla tych samych p i q.
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(* i "lub"(+):
p<=>q = p*q+~p*~q
Podstawiając:
p=Y
q=~Y
mamy:
Y<=>~Y = (Y)*(~Y) + ~(Y)*~(~Y) = Y*~Y + ~Y*Y = 0+0 =0
Wniosek:
Definicja równoważności <=> miedzy Y i ~Y nie jest (=0) spełniona
cnd

2.9.3 Związek opisu układu w "i"(*) i "lub"(+) z warunkiem wystarczającym =>
Kod:

S1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka S |-------o    o-----
  |    -------------     Przycisk A  |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Zapiszmy naszą analizę układu S1 przy pomocy spójników "i"(*) i "lub"(+) w tabeli prawdy:
Kod:

T3
Analiza układu równoważności A<=>S w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
                   Y=A<=>S $  ~Y=~(A<=>S);Prawo Śfinii: Y "albo"($) ~Y
A: Ya= A~~> S= A* S Ya=1   #  ~Ya=0      ;Prawo Prosiaczka: (Ya=1)=(~Ya=0)
B: Yb= A~~>~S= A*~S Yb=0   #  ~Yb=1      ;Prawo Prosiaczka: (Yb=0)=(~Yb=1)
C: Yc=~A~~>~S=~A*~S Yc=1   #  ~Yc=0      ;Prawo Prosiaczka: (Yc=1)=(~Yc=0)
D: Yd=~A~~> S=~A* S Yd=0   #  ~Yd=1      :Prawo Prosiaczka: (Yd=0)=(~Yd=1)
   1   2    3  4  5    6          7


Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:[/b]
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Fałszywe kontrprzykłady mamy w linii B i D.
Stąd na mocy definicji kontrprzykładu mamy znaną nam już tabelę prawdy układu S1 (pkt. 2.8) w warunkach wystarczających =>:
Kod:

T1
Tabela prawdy równoważności p<=>q
w warunkach wystarczających =>
A<=>S = (A1: A=>S)*(B2:~A=>~S)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
            Y=p<=>q
A1:  A=> S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
A1': A~~>~S=0 - niemożliwe jest (=0): wciśnięty A i nie świeci S (~S)
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A) jest (=1) wystarczające => dla ~S
B2':~A~~>S =0 - niemożliwe jest (=0): nie wciśnięty A (~A) i świeci S

Jak widzimy, wszystkie drogi prowadzą do algebry Kubusia tzn. w opisie układu S1 obojętnie z jakiego punktu byśmy nie wyruszyli to i tak wylądujemy w najważniejszym opisie układu S1, w tabeli T1.

2.10 Wyprowadzenie definicji "wolnej woli" istot żywych

Zacznijmy od definicji równoważności A<=>S wyznaczanej przez świat martwy, w naszym przypadku przez fizykę.
Kod:

S1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka S |-------o    o-----
  |    -------------     Przycisk A  |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Tabelę prawdy opisu układu równoważności S1 ze świata martwego w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) wyprowadziliśmy punkcie 2.9.2
Kod:

T3
Analiza układu równoważności A<=>S w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
                   Y=A<=>S $  ~Y=~(A<=>S);Prawo Śfinii: Y "albo"($) ~Y
A: Ya= A~~> S= A* S Ya=1   #  ~Ya=0      ;Prawo Prosiaczka: (Ya=1)=(~Ya=0)
B: Yb= A~~>~S= A*~S Yb=0   #  ~Yb=1      ;Prawo Prosiaczka: (Yb=0)=(~Yb=1)
C: Yc=~A~~>~S=~A*~S Yc=1   #  ~Yc=0      ;Prawo Prosiaczka: (Yc=1)=(~Yc=0)
D: Yd=~A~~> S=~A* S Yd=0   #  ~Yd=1      :Prawo Prosiaczka: (Yd=0)=(~Yd=1)
   1   2    3  4  5    6          7

Komentarz 1:
1.
Jak widzimy prawa Prosiaczka w analizie wyżej obowiązują w każdej linii tabeli prawdy.
2.
Zauważmy, że w kolumnie 6 wszystkie zera są twarde (nigdy nie przyjmą wartości logicznej 1), zaś wszystkie jedynki miękkie.
Definicja miękkiej jedynki:
Może zajść, ale nie musi.
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie zdarzenie A to wtedy jedynka w linii A będzie twardą jedynką (niezmienną), zaś miękka jedynka w linii C przyjmie wartość twardego zera.
Jeśli zajdzie zdarzenie C to wtedy jedynka w linii C będzie twardą jedynką (niezmienną), zaś miękka jedynka w linii A przyjmie wartość twardego zera.

Udajmy się do przedszkola, gdzie zobaczymy jak człowiek, mający "wolną wolę" możne bez problemu gwałcić prawa logiki matematycznej wyznaczane przez świat martwy, w naszym przykładzie (schemat S1) przez fizykę.

Pani przedszkolanka:
A1B2.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru (T=1)
K<=>T = (A1: K=>T)*(B2: ~K=>~T)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q)=1*1=1
Gdzie:
p=K (kino)
q=T (teatr)

Jak widzimy pani wypowiedziała tu równoważność K<=>T rodem ze świata żywego, którą wyznacza świat martwy.

Wniosek:
W tabeli prawdy równoważności A<=>S rodem ze świata martwego należy zastąpić parametry aktualne {A,S} nowymi parametrami aktualnymi {K,T}
Stąd mamy:
Kod:

T4
Analiza układu równoważności K<=>T w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
                   Y=K<=>T $  ~Y=~(K<=>T);Prawo Śfinii: Y "albo"($) ~Y
A: Ya= K~~> T= K* T  Ya=1  #  ~Ya=0      ;Prawo Prosiaczka: (Ya=1)=(~Ya=0)
B: Yb= K~~>~T= K*~T  Yb=0  #  ~Yb=1      ;Prawo Prosiaczka: (Yb=0)=(~Yb=1)
C: Yc=~K~~>~T=~K*~T  Yc=1  #  ~Yc=0      ;Prawo Prosiaczka: (Yc=1)=(~Yc=0)
D: Yd=~K~~> T=~K* T  Yd=0  #  ~Yd=1      :Prawo Prosiaczka: (Yd=0)=(~Yd=1)
   1   2    3  4  5   6        7

Komentarz 2:
Jest oczywistym, że w świecie żywym pani przedszkolanka bez problemu może ustawić jedynki w punktach B6 i D6, ale wtedy zostanie kłamczuchą.

Wszystkie możliwe kłamstwa pani przedszkolanki opisują dwa zdania:
B: Yb=K~~>~T=K*~T =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie Yb: jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
albo:
D: Yd=~K~~>T = ~K*T =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie Yd: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Stąd mamy.
Definicja "wolnej woli" świata żywego:
"Wolna wola" to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych prze świat martwy

Dowód poprawności powyższej definicji:
Porównajmy tabelę prawdy równoważności A<=>S rodem ze świata martwego (T3) wraz z komentarzem 1 z tabelą prawdy równoważności K<=>T rodem ze świata żywego (T4) wraz z komentarzem 2.
cnd

2.10.1 Analiza równoważności K<=>T w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)

Pani przedszkolanka:
RA1B2.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru (T=1)
K<=>T = (A1: K=>T)*(B2: ~K=>~T)=1*1=1
Definicja równoważności K<=>T w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y = K<=>T = A: K*T + C: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Doskonale to widać w tabeli T4 niżej.

Tabela prawdy równoważności K<=>T w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) wyprowadzona wyżej:
Kod:

T4
Analiza układu równoważności K<=>T w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
                   Y=K<=>T $  ~Y=~(K<=>T);Prawo Śfinii: Y "albo"($) ~Y
A: Ya= K~~> T= K* T  Ya=1  #  ~Ya=0      ;Prawo Prosiaczka: (Ya=1)=(~Ya=0)
B: Yb= K~~>~T= K*~T  Yb=0  #  ~Yb=1      ;Prawo Prosiaczka: (Yb=0)=(~Yb=1)
C: Yc=~K~~>~T=~K*~T  Yc=1  #  ~Yc=0      ;Prawo Prosiaczka: (Yc=1)=(~Yc=0)
D: Yd=~K~~> T=~K* T  Yd=0  #  ~Yd=1      :Prawo Prosiaczka: (Yd=0)=(~Yd=1)
   1   2    3  4  5   6        7

Analiza wypowiedzianej równoważności rodem ze świata żywego K<=>T w spójnikach "i'(*) i "lub"(+) zgodna z tabelą prawdy T4.
A.
Jeśli jutro pójdziemy do kina (K=1) to może ~~> pójdziemy do teatru (T=1)
Ya= K~~>T = K*T =1
Zapis matematycznie tożsamy:
(Ya=1) <=> K*T
co w logice jedynek oznacza:
(Ya=1) <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Ya) gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Prawo Prosiaczka:
(Ya=1)=(~Ya=0)
Stąd zdanie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~Ya=0) <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że pani nie dotrzyma słowa (~Ya) gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Znaczenie symbolu Yx:
Yx - pani dotrzyma słowa
~Yx - pani nie dotrzyma słowa

B.
Jeśli jutro pójdziemy do kina (K=1) to możemy ~~> nie iść do teatru (~T=1)
Yb=K~~>~T = K*~T=0
Zapis matematycznie tożsamy:
(Yb=0) <=> K*~T
co w logice jedynek oznacza:
(Yb=0) <=> K=1 i ~T=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że pani dotrzyma słowa (Yb) gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Prawo Prosiaczka:
(Yb=0)=(~Yb=1)
Stąd zdanie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~Yb=1) <=> K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Yb) gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Znaczenie symbolu Yx:
Yx - pani dotrzyma słowa
~Yx - pani nie dotrzyma słowa

C.
Jeśli jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) to może ~~> nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Yc= ~K~~>~T = ~K*~T =1
Zapis matematycznie tożsamy:
(Yc=1) <=> ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
(Yc=1) <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Yc) gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Prawo Prosiaczka:
(Yc=1)=(~Yc=0)
Stąd zdanie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~Yc=0) <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że pani nie dotrzyma słowa (~Yc) gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Znaczenie symbolu Yx:
Yx - pani dotrzyma słowa
~Yx - pani nie dotrzyma słowa

D.
Jeśli jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) to możemy ~~> iść do teatru (T=1)
Yd=~K~~>T = ~K*T=0
Zapis matematycznie tożsamy:
(Yd=0) <=> ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
(Yd=0) <=> ~K=1 i T=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że pani dotrzyma słowa (Yd) gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Prawo Prosiaczka:
(Yd=0)=(~Yd=1)
Stąd zdanie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~Yd=1) <=> ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Yd) gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Tabela prawdy powyższej analizy wygląda następująco:
Kod:

T4
Analiza układu równoważności K<=>T w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
                   Y=K<=>T $  ~Y=~(K<=>T);Prawo Śfinii: Y "albo"($) ~Y
A: Ya= K~~> T= K* T  Ya=1  #  ~Ya=0      ;Prawo Prosiaczka: (Ya=1)=(~Ya=0)
B: Yb= K~~>~T= K*~T  Yb=0  #  ~Yb=1      ;Prawo Prosiaczka: (Yb=0)=(~Yb=1)
C: Yc=~K~~>~T=~K*~T  Yc=1  #  ~Yc=0      ;Prawo Prosiaczka: (Yc=1)=(~Yc=0)
D: Yd=~K~~> T=~K* T  Yd=0  #  ~Yd=1      :Prawo Prosiaczka: (Yd=0)=(~Yd=1)
   1   2    3  4  5   6        7

Podsumowanie:
Jak widzimy, zdania ABCD to język potoczny człowieka zrozumiały przez każdego człowieka, od 5-cio latka poczynając

2.11 Równoważność świata martwego A<=>S vs równoważność świata żywego K<=>T

I.
Równoważność A<=>S rodem ze świata martwego w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)

RABCD:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka S świeci się (S=1)
Y = A<=>S = A: A*S + C: ~A*~S
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: A=1 i S=1 lub C: ~A=1 i ~S=1
Doskonale to widać w tabeli prawdy T3 niżej.
Kod:

S1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka S |-------o    o-----
  |    -------------     Przycisk A  |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Tabelę prawdy opisu układu równoważności S1 ze świata martwego w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) wyprowadziliśmy punkcie 2.9.2
Kod:

T3
Analiza układu równoważności A<=>S w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
                   Y=A<=>S $  ~Y=~(A<=>S);Prawo Śfinii: Y "albo"($) ~Y
A: Ya= A~~> S= A* S Ya=1   #  ~Ya=0      ;Prawo Prosiaczka: (Ya=1)=(~Ya=0)
B: Yb= A~~>~S= A*~S Yb=0   #  ~Yb=1      ;Prawo Prosiaczka: (Yb=0)=(~Yb=1)
C: Yc=~A~~>~S=~A*~S Yc=1   #  ~Yc=0      ;Prawo Prosiaczka: (Yc=1)=(~Yc=0)
D: Yd=~A~~> S=~A* S Yd=0   #  ~Yd=1      :Prawo Prosiaczka: (Yd=0)=(~Yd=1)
   1   2    3  4  5    6          7


II.
Równoważność K<=>T rodem ze świata żywego w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)


Pani w przedszkolu:
RABCD:
Jutro pójdziemy do kina (K=1) wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru (T=1)
Y = K<=>T = A: K*T + C: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Co doskonale widać w tabeli prawdy T4 niżej.

Tabelę prawdy tej równoważności wyprowadziliśmy w punkcie 2.10
Kod:

T4
Analiza układu równoważności K<=>T w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
                   Y=K<=>T $  ~Y=~(K<=>T);Prawo Śfinii: Y "albo"($) ~Y
A: Ya= K~~> T= K* T  Ya=1  #  ~Ya=0      ;Prawo Prosiaczka: (Ya=1)=(~Ya=0)
B: Yb= K~~>~T= K*~T  Yb=0  #  ~Yb=1      ;Prawo Prosiaczka: (Yb=0)=(~Yb=1)
C: Yc=~K~~>~T=~K*~T  Yc=1  #  ~Yc=0      ;Prawo Prosiaczka: (Yc=1)=(~Yc=0)
D: Yd=~K~~> T=~K* T  Yd=0  #  ~Yd=1      :Prawo Prosiaczka: (Yd=0)=(~Yd=1)
   1   2    3  4  5   6        7

Kluczowa różnica między równoważnością świata martwego A<=>S a równoważnością ze świata żywego K<=>T wyrażona jest w zdaniach B i D.

2.11.1 Zdanie B - świat martwy vs świat żywy

Zdanie B - świat martwy:
B.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka S może ~~> się nie świecić (~S=1)
Yb= A~~>~S = A*~S =0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że możliwe jest zdarzenie (Yb):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)

Jeśli uczeń I klasy LO zakoduje zdanie B logiczną jedynką to natychmiast pan od fizyki postawi mu pałę.
Dlaczego?
B"
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka S może ~~> się nie świecić (~S=1)
Yb=A~~>~S = A*~S =1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że może zajść zdarzenie (Yb):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka S nie świeci się (~S=1)

Postawienie jedynki w kodowaniu zdania B" oznacza, że uczeń nie zna podstawowego prawa fizyki opisywanego układem S1, prawa Ohma.

Znaczenie symbolu Yx:
Yx - zdarzenie możliwe
~Yx - zdarzenie niemożliwe

Zdanie B - świat żywy
B.
Jeśli jutro pójdziemy do kina (K=1) to możemy ~~> nie iść do teatru (~T=1)
Yb = K~~>~T = K*~T =0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że pani dotrzyma słowa (Yb) gdy jutro:
Pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Jutro zdarzenie B jest możliwe, tak więc pani przedszkolanka może tu w dniu jutrzejszym ustawić logiczną jedynkę … ale wtedy będzie kłamczuchą.
Świadome kłamstwo normalnego człowieka boli.
ale!
Świadome kłamstwo to fundament działania wszelkiej maści oszustów.
Przykład:
[link widoczny dla zalogowanych]

2.11.2 Zdanie D - świat martwy vs świat żywy

Zdanie D - świat martwy:
D.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka S może się świecić (S=1)
Yd= ~A~~>S = ~A*S =0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że możliwe ~~> jest zdarzenie (Yd):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)

Jeśli uczeń I klasy LO zakoduje zdanie D logiczną jedynką to natychmiast pan od fizyki postawi mu pałę.
Dlaczego?
D"
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka S może ~~> się świecić (S=1)
Yd=~A~~>S = ~A*S =1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że może zajść zdarzenie (Yd):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka S świeci się (S=1)

Postawienie jedynki w kodowaniu zdania D" oznacza, że uczeń nie zna podstawowego prawa fizyki opisywanego układem S1, prawa Ohma.

Zdanie D - świat żywy
D.
Jeśli jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) to możemy ~~> iść do teatru (T=1)
Yd = ~K~~>T = ~K*T =0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że pani dotrzyma słowa (Yd) gdy jutro:
Nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Jutro zdarzenie D jest możliwe, tak więc pani przedszkolanka może tu w dniu jutrzejszym ustawić logiczną jedynkę … ale wtedy będzie kłamczuchą.

Świadome kłamstwo normalnego człowieka boli.
ale!
Świadome kłamstwo to fundament działania wszelkiej maści oszustów.
Przykład:
[link widoczny dla zalogowanych]

Wymuśmy wynikową jedynkę w zdaniu D:
D"
Jeśli jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) to możemy ~~> iść do teatru (T=1)
Yd=~K~~>T = ~K*T =1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Yd) gdy jutro:
Nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Zauważmy że:
W dniu jutrzejszym jest fizyczna możliwość ustawienia prawdziwości/fałszywości zdania D" na wartość logiczną jeden, ale wtedy pani będzie kłamczuchą … i tak jak u Pinokia, jej nosek urośnie o kilka milimetrów.

2.12 Definicja "wolnej woli" - ostatni akord

Na mocy powyższego punktu po raz kolejny zapisujemy definicję "wolnej woli" obowiązującą wyłącznie w świecie żywym.
Świat martwy nie jest zdolny do łamania praw logiki matematycznej pod które podlega, zatem świat martwy wyznacza prawa logiki matematycznej zrozumiałe wyłącznie dla człowieka … oczywiście po rozszyfrowaniu algebry Kubusia.

Definicja "wolnej woli" w świecie żywym:
Wolna wola w świeci żywym to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy, w tym przez matematykę i fizykę.

2.12.1 Diagram równoważności K<=>T wyrażonej spójnikami "i"(*) i "lub"(+)

Z równoważnością w świecie żywym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest zgwałcenie praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy.

Diagram równoważności p<=>q wyrażonej spójnikami "i"(*) i "lub"(+) wygląda następująco:
Kod:

D1
Definicja operatora równoważności Y=p<=>q w zdarzeniach rodem ze świata żywego
Nasz przykład:
p=K (kino)
q=T (teatr)
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p                               |
------------------------------------------------------
                  | q                                |
--------------------------------------------------------------------------
| B: ~Yb=p*~q     | A: Ya=p*q     | C: ~Yc=~p*q      | D: Yd=~p*~q       |
--------------------------------------------------------------------------

Zdarzenia ABCD to zdarzenia niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D

Dowód wzajemnej rozłączności zdarzeń ABCD:
A: p*q
B: p*~q
C: ~p*q
D: ~p*~q
Mnożymy logicznie każde zdarzenie z każdym:
A*B=(p*q)*(p*~q)=[] =0 - bo q*~q=0
A*C=(p*q)*(~p*q)=[] =0 - bo p*~p=0
A*D=(p*q)*(~p*~q)=[]=0 - bo p*~p=0
B*C=(p*~q)*(~p*q)=[]=0 - bo p*~p=0
B*D=(p*~q)*(~p*~q)=[]=0 - bo p*~p=0
C*D=(~p*q)*(~p*~q)=[]=0 - bo q*~q=[]=0
cnd

Dowód iż zdarzenia ABCD uzupełniają się wzajemnie do dziedziny D:
D = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
D=p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q
D=p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
D=p+~p =1
cnd

Zauważmy, że wszystkie zdarzenia ABCD są niepuste i rozłączne.

Na bazie powyższego diagramu rodem ze świata żywego pani może wypowiedzieć zdanie zawsze prawdziwe.
ZZP:
Pani w przedszkolu:
Drogie dzieci:
Ya =K*T =1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
lub
Yb=K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
lub
Yc=~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K) i pójdziemy do teatru (T)
lub
Yd=~K*~T=1*1=1- jutro nie pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do teatru (~T)

Dowód iż pani wypowiedziała zdanie zawsze prawdzie:
Przejdźmy na zapisy formalne podstawiając:
p=K (kino)
q=T (teatr)
Stąd:
Równanie zdania zawsze prawdziwego przyjmuje postać:
Y = Ya+Yb+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q) = p+~p =1
cnd

Definicja operatora implikacyjnego
Operator implikacyjny to operator definiowany warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>, czyli zdaniami warunkowymi "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Przykład operatora równoważności p<=>q definiowanej warunkami wystarczającymi => mamy w punkcie 2.8

Stąd mamy:
Prawo eliminacji operatorów implikacyjnych
Dowolny operator implikacyjny możemy wyeliminować przechodząc do definicji tego operatora w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)

Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami "i"(*) i "lub"(+) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y

Skutki eliminacji operatora implikacyjnego:
Po eliminacji uzyskamy poprawną odpowiedź na pytania kiedy zajdzie Y a kiedy ~Y kosztem wywalenia w kosmos wszystkich warunków wystarczających => i koniecznych ~> będących fundamentem logiki matematycznej, fundamentem języka potocznego.

W praktyce języka potocznego, żaden człowiek nie korzysta z prawa eliminacji operatorów implikacyjnych bo:
Po pierwsze:
Wymagana jest znajomość prawa eliminacji konkretnego operatora implikacyjnego, które to prawo w języku potocznym nie występuje tzn. nikt go nie zna.
Po drugie i najważniejsze:
Eliminując z logiki matematycznej warunki wystarczający => i konieczne ~> definiowane zdaniami warunkowymi "Jeśli p to q" zabijamy fundament logiki języka potocznego którego istotą są wzajemne relacje warunków wystarczających => i koniecznych ~> (pkt. 2.8)


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 16:07, 26 Lut 2023, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35331
Przeczytał: 23 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 14:38, 26 Lut 2023    Temat postu:

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
3.0 Dwuargumentowe funkcje logiczne

Spis treści
3.0 Dwuargumentowe funkcje logiczne 1
3.1 Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego 9
3.1.1 Dowód prawa Grzechotnika 9
3.2 Dwuargumentowy spójnik logiczny vs dwuargumentowy operator logiczny 11
3.2.1 Spójnik "lub"(+) vs operator "lub"(|+) w bramkach logicznych 13
3.2.2 Spójnik "i"(*) vs operator "i"(|*) w bramkach logicznych 15
3.2.3 Operator "lub"(|+) vs operator "i'(|*) 18
3.3 Operator "lub"(|+) vs operator "i"(|*) w świecie fizyki 20
3.4 Operatory "lub"(|+) i "i"(|*) w funkcjach cząstkowych 22
3.5 Kwadratura koła dla ziemskich matematyków 27


3.0 Dwuargumentowe funkcje logiczne

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego (w tym matematyki i fizyki).

Algebra Kubusia zawiera w sobie nową algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.

Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
3.
Ziemski rachunek zero-jedynkowy (fundament logiki matematycznej) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych Y i ~Y algebry Boole’a, co udowodnimy za chwilkę w pkt. 3.1.1

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)

Przykłady:
Y=p+~p=1 – zdanie zawsze prawdziwe
Y=p*~p=0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

To samo w logice 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 – zdanie zawsze prawdziwe
Jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości {0,1}

Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa

Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.
W szczególnym przypadku symbol w nagłówku kolumny może być stałą binarną - same jedynki lub same zera w kolumnie.

Kod:

DN
Definicja negacji:
   p #~p
A: 1 # 0
B: 0 # 1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
p#~p
Dowodem jest tu definicja negacji DN.

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)

Zauważmy, że w definicji negacji DN symbole p i ~p są zmiennymi binarnymi.
Dowód:
W osi czasu (kolumna A1B1) może zajść przypadek, że zmienna binarna p przyjmie wartość logiczną 1 (A1) albo wartość logiczną 0 (B1).
W osi czasu (kolumna B2A2) może zajść przypadek, że zmienna binarna ~p przyjmie wartość logiczną 1 (B2) albo wartość logiczną 0 (A2)
cnd
Stąd mamy:
Definicja osi czasu w logice matematycznej
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej oś czasu to zero-jedynkowa zawartość kolumny opisanej symbolem nad tą kolumną.

W technice cyfrowej znaczek różne # o definicji jak wyżej jest odpowiednikiem dwustronnego negatora (~).
Kod:

Definicja znaczka różne # w bramkach logicznych
              -----
p --x-------->| ~ |o-x--> ~p
    |         -----  |
    |                |
    | p=~(~p) -----  |
    -<-------o| ~ |<-x--- ~p
              -----
Gdzie:
"o"(~) - symbole negacji
--->| - wejście bramki logicznej negatora (~)
|o--> - wyjście bramki logicznej negatora (~)
W świecie rzeczywistym musi tu być negator z otwartym kolektorem (OC)
na przykład typu SN74LS06.

W świecie rzeczywistym podajemy sygnały cyfrowe {0,1} na wejściu negatora obserwując co jest na jego wyjściu. Wszystko musi być zgodne z tabelą negacji DN.

Matematyczne związki między p i ~p:
I.
p#~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
II.
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)

Dowód w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Matematyczne związki w definicji negacji:
   p ~p ~(~p) ~(p)
A: 1  0    1    0
B: 0  1    0    1
   1  2    3    4

Tożsamość kolumn 1=3 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p=~(~p)
Tożsamość kolumn 2=4 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
~p=~(p)
Kod:

Definicja dwuargumentowego spójnika „i”(*):
   p* q  Y=p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0

Kod:

Definicja dwuargumentowego spójnika „lub”(+):
   p+ q  Y=p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0

Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy

Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)

Przykład:
f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
p*q+~p*~q

Uwaga na notację:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
f(p,q)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a (przykład)

Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a w osi czasu.
W szczególnym przypadku funkcja logiczna Y może być stałą binarną 1 albo 0.
W technice funkcja algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y

Definicja bramki logicznej:
Bramka logiczna to układ cyfrowy o n wejściach binarnych {p,q,r,s..} i tylko jednym wyjściu binarnym Y

Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y

Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramek logicznych
Y - wyjście bramki logicznej

Przykład:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q

W najprostszym przypadku mamy do czynienia z funkcją logiczną jednej zmiennej binarnej x
Y = f(x) =x
Zapis tożsamy:
Y=x
Gdzie:
x = (p, ~p, 1, 0}

Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej zmiennej binarnej.

Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y=f(p,q) w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa

Definicja operatora logicznego dwuargumentowego Y|=f(p,q) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny dwuargumentowy Y|=f(p,q) wyrażony spójnikami "i'(*) i "lub"(+) to układ równań logicznych 1 i 2 dających odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
1.
Y=f(p,q)
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy funkcję logiczną 1 dwustronnie:
2.
~Y=~f(p,q)

Przykład:
1.
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych jedynki są domyślne.
#
2.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana.
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) to:
Kod:

T1
Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
   p  q  Y=f(p,q)
A: 1  1  x
B: 1  0  x
C: 0  1  x
D: 0  0  x
Gdzie:
x={0,1}
f(p,q) - wyrażenie algebry Boole’a

Z definicji funkcji logicznej Y wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y).
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.

Każda ze zmiennych binarnych {p, q, Y} może występować w logice dodatniej (bo x) albo w logice ujemnej (bo ~x). Oczywistym jest, że zmienna binarna w logice dodatniej (bo x) wymusza zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~x), albo odwrotnie.
Na dowolny układ cyfrowy można zatem spojrzeć w logice dodatniej (bo Y) albo w logice ujemnej (bo ~Y).
Kod:

T2
Wymuszenia binarne w logice dodatniej {p, q, Y}
wymuszają logikę ujemną {~p, ~q, ~Y) i odwrotnie.
   p  q  Y=f(p,q)  #  ~p ~q  ~Y=~f(p,q)
A: 1  1  x         #   0  0 ~(x)
B: 1  0  x         #   0  1 ~(x)
C: 0  1  x         #   1  0 ~(x)
D: 0  0  x         #   1  1 ~(x)
Gdzie:
x={0,1}
f(p,q) - wyrażenie algebry Boole’a
Y=f(p,q) # ~Y=~f(p,q)
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
{p,q,Y} muszą być wszędzie tymi samymi {p,q,Y} inaczej błąd podstawienia 

W tabeli wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych TF2 (niżej) po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.
Kod:

TF2
Tabela prawdy wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych Y
w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II       |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki „i”(*)|Spójniki =>, ~>|Spójniki <=>, $       | Wejścia
        |oraz „lub”(+)  ||=>, |~>       ||~~>, |~~~>           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y   Y  |  Y    Y   Y      Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> |=> |~> | <=>   $  |~~>   |~~~>| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   0   0  |  1    0   1      0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0   1  |  0    1   1      0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   1   0  |  0    1   1      0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   0   0  |  1    0   1      0   | 0  0  1  1
          A  A    A  A    A  A   A   A     A    A   A      A     A  A  A  A
          0  1    2  3    4  5   6   7     8    9  10     11    12 13 14 15

Prawo negacji funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować przechodząc do logiki przeciwnej.

Definicja operatora logicznego x:
Operator logiczny x to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.

Zastosujmy prawo negacji funkcji logicznej do tabeli TF2
Kod:

TF0-15
-------------------------------------------------------------------
TF0-3
Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
A0:  Y=p*q                          # B0:  ~Y=~( p* q) =~p+~q
     ##                                     ##
A1:  Y=p+q                          # B1:  ~Y=~( p+ q) =~p*~q
     ##                                     ##
A2:  Y=~(p*q)=~p+~q                 # B2:  ~Y=~(~p+~q) = p* q
     ##                                     ##
A3:  Y=~(p+q)=~p*~q                 # B3:  ~Y=~(~p*~q) = p+ q
     ##
--------------------------------------------------------------------
TF4-5
Grupa warunków wystarczających p=>q i koniecznych p~>q:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A4:  Y = (p=>q) = ~p+q              # B4:  ~Y=~(p=>q) = p*~q
     ##                                     ##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
A5:  Y = (p~>q) = p+~q              # B5:  ~Y=~(p~>q) =~p* q
     ##                                     ##
--------------------------------------------------------------------
TF6-7
Grupa spójników implikacyjnych p|=>q i p|~>q:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A6:  Y = p|=>q  =~p* q              # B6:  ~Y=~(p|=>q)= p+~q
     ##                                     ##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A7:  Y = p|~>q  = p*~q              # B7:  ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
     ##                                     ##
--------------------------------------------------------------------
TF8-9
Grupa spójników równoważnościowych p<=>q i p$q
Definicja równoważności p<=>q:
A8:  Y = p<=>q = ~(p$q) =p*q+~p*~q  # B8:  ~Y=~(p<=>q)=(p$q)=p*~q+~p*q
     ##                                     ##
Definicja spójnika „albo”($):
A9:  Y = p$q = ~(p<=>q)=p*~q+~p*q   # B9:  ~Y=~(p$q) =(p<=>q)=p*q+~p*~q
     ##                                     ##
--------------------------------------------------------------------
TF10-11
Grupa spójników chaosu p|~~>q:
Definicja chaosu (zdanie zawsze prawdziwe): Y=p|~~>q=1:
A10: Y=p|~~>q=(p+q+~p*~q)=1         # B10: ~Y=~(p|~~>q)=(p+q)*~(p+q)=0
     ##                                     ##
Definicja śmierci (zdanie zawsze fałszywe): Y=p|~~~>q=0:
A11: Y =p|~~~>q = (p+q)*~(p+q)=0    # B11: ~Y=~(p|~~~>q)=(p+q+~p*~q)=1
     ##
--------------------------------------------------------------------
TF12-15
Grupa spójników jednoargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
     ##                                    ##
A12: Y = p                          # B12:~Y=~p
     ##                                    ##
A13: Y = q                          # B13:~Y=~q
     ##                                    ##
A14: Y =~p                          # B14:~Y= p
     ##                                    ##
A15: Y =~q                          # B15:~Y= q
Gdzie:
#  - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p,q,Y muszą być wszędzie tymi samymi p,q,Y inaczej błąd podstawienia

Funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) w ilości 16 sztuk (A0-A15) to funkcje różne na mocy definicji ##.

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać, że w tabeli TF0-15 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Innymi słowy:
W tabeli TF0-15 nie istnieje funkcja logiczna w linii x która by była tożsama z jakąkolwiek funkcją spoza tej linii.
Innymi słowy:
W tabeli TF0-15 nie istnieje prawo logiki matematycznej wiążące funkcję logiczną z linii x z jakąkolwiek funkcją spoza tej linii.

Stąd mamy:
Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna Y albo ~Y może należeć tylko i wyłącznie do jednego z 16 operatorów logicznych.

3.1 Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.


Mam nadzieję, że nie ma ziemskiego matematyka, który by nie zrozumiał dowodu prawa Grzechotnika, a tym samym Armagedonu ziemskiego rachunku zero-jedynkowego na poziomie funkcji logicznych algebry Boole'a.

Największą tragedią ziemskiej logiki matematycznej jest fakt, że w bramkach logicznych po stronie wejścia cyfrowego widzi ona zmienne binarne w logice dodatniej (bo p) i ujemnej (bo ~p), ale nie widzi dokładnie tego samego po stronie wyjścia cyfrowego Y, tu obowiązuje bezwzględny zakaz widzenia wyjścia Y w logice ujemnej (bo ~Y).
Odpowiednikiem tego faktu w matematyce klasycznej byłoby widzenie w układzie Kartezjańskim na osi X zmiennych dodatnich (x) i zmiennych ujemnych (~x) z zakazem widzenia dokładnie tego samego na osi Y, gdzie dozwolone byłoby widzenie jedynie zmiennych dodatnich (y).
Czy ktokolwiek wyobraża sobie współczesną matematykę z takim upośledzonym układem Kartezjańskim?

Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.

3.1.1 Dowód prawa Grzechotnika

Przepiszmy tabelę TF0-15 przestawiając w kolumnie Bx funkcje logiczne w logice ujemnej (bo ~Y) w taki sposób, by uzyskać tożsamość wyrażeń algebry Boole'a widniejących z prawej strony funkcji ~Y.
Kod:

TF0-15"
-------------------------------------------------------------------
TF0-3"
Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
A0:  Y=p*q                          # B2:  ~Y=~(~p+~q) = p* q
     ##                                     ##
A1:  Y=p+q                          # B3:  ~Y=~(~p*~q) = p+ q
     ##                                     ##
A2:  Y=~(p*q)=~p+~q                 # B0:  ~Y=~( p* q) =~p+~q
     ##                                     ##
A3:  Y=~(p+q)=~p*~q                 # B1:  ~Y=~( p+ q) =~p*~q
     ##
--------------------------------------------------------------------
TF4-5"
Grupa warunków wystarczających p=>q i koniecznych p~>q:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A4:  Y = (p=>q) = ~p+q              # B7:  ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
     ##                                     ##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
A5:  Y = (p~>q) = p+~q              # B6:  ~Y=~(p|=>q)= p+~q
     ##                                     ##
--------------------------------------------------------------------
TF6-7"
Grupa spójników implikacyjnych p|=>q i p|~>q:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A6:  Y = p|=>q  =~p* q              # B5:  ~Y=~(p~>q) =~p* q
     ##                                     ##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A7:  Y = p|~>q  = p*~q              # B4:  ~Y=~(p=>q) = p*~q
     ##                                     ##
--------------------------------------------------------------------
TF8-9"
Grupa spójników równoważnościowych p<=>q i p$q
Definicja równoważności p<=>q:
A8:  Y = p<=>q = ~(p$q) =p*q+~p*~q  # B9:  ~Y=~(p$q) =(p<=>q)=p*q+~p*~q
     ##                                     ##
Definicja spójnika „albo”($):
A9:  Y = p$q = ~(p<=>q)=p*~q+~p*q   # B8:  ~Y=~(p<=>q)=(p$q)=p*~q+~p*q
     ##                                     ##
--------------------------------------------------------------------
TF10-11"
Grupa spójników chaosu p|~~>q:
Definicja chaosu (zdanie zawsze prawdziwe): Y=p|~~>q=1:
A10: Y=p|~~>q=(p+q+~p*~q)=1         # B11: ~Y=~(p|~~~>q)=(p+q+~p*~q)=1
     ##                                     ##
Definicja śmierci (zdanie zawsze fałszywe): Y=p|~~~>q=0:
A11: Y =p|~~~>q = (p+q)*~(p+q)=0    # B10: ~Y=~(p|~~>q)=(p+q)*~(p+q)=0
     ##
----------------------------------------------------------------------
TF12-15"
Grupa spójników jednoargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
     ##                                    ##
A12: Y = p                          # B14:~Y= p
     ##                                    ##
A14: Y =~p                          # B12:~Y=~p
Gdzie:
#  - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p,q,Y muszą być wszędzie tymi samymi p,q,Y inaczej błąd podstawienia

Wnioski:
1.
Funkcje logiczne w tabeli TF0-15 wolno nam dowolnie przestawiać.
W tabeli TF0-15" funkcje serii Bx poprzestawialiśmy tak, by prawe strony funkcji logicznych (wyrażenia algebry Boole'a) były tożsame.
Uwaga:
W szczególności w tabeli TF0-15 możemy wszystkie funkcje poprzestawiać losowo, ale znaczek różne na mocy definicji ## dalej będzie obowiązywał, nawet w takiej chaotycznej tabeli TF0-15.
Analogia do tabliczki mnożenia do 100 jest tu absolutna. W tabliczce mnożenia do 100 wszystkie działania każde z każdym możemy zapisać w totalnym chaosie - i taka tabela będzie równie dobra jak tabela ładnie uporządkowana.
2.
Doskonale widać, że w tabeli TF0-15" mimo tożsamych prawych stron wszystkich funkcji logicznych znaczek różne na mocy definicji ## dalej obowiązuje, bowiem w kolumnie serii Ax mamy wszystkie funkcje w logice dodatniej (bo Y), zaś w kolumnie serii Bx mamy wszystkie funkcje w logice ujemnej (bo ~Y).
3.
Od strony czysto teoretycznej dowód iż w tabeli TF0-15" dalej obowiązuje znaczek różne na mocy definicji ## (mimo tożsamych prawych stron funkcji logicznych) uzyskamy negując dwustronnie wszystkie funkcje w kolumnie Bx, czyli sprowadzając tabelę TF0-15" do tej samej logiki dodatniej (bo Y).
4.
Alternatywnie możemy spojrzeć na tabelę TF0-15" z tej samej logiki ujemnej (bo ~Y) negując dwustronnie wszystkie funkcje serii Ax - również uzyskamy dowód iż wszystkie funkcje w tabeli TF0-15" są różne na mocy definicji ##
5.
Twardy, fizyczny dowód iż faktycznie dla wszystkich funkcji logicznych w tabeli TF0-15" obowiązuje znaczek różne na mocy definicji ## uzyskamy w laboratorium bramek logicznych na I roku elektroniki Politechniki Warszawskiej (tu byłem).
6.
Stąd mamy:
Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
cnd

3.2 Dwuargumentowy spójnik logiczny vs dwuargumentowy operator logiczny

Różnicę między spójnikiem logicznym a operatorem logicznym poznamy na przykładzie produkowanych obecnie bramek logicznych serii TTL.

1.
(+) - spójnik "lub"(+) z języka potocznego człowieka

Definicja zero-jedynkowa:
Y=p+q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

W technice cyfrowej TTL spójnik "lub"(+) realizuje bramka logiczna SN74LS32:
[link widoczny dla zalogowanych]

2.
(*) - spójnik "i"(*) z języka potocznego człowieka

Definicja zero-jedynkowa:
Y = p*q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

W technice cyfrowej TTL spójnik "i"(*) realizuje bramka logiczna SN74LS08:
[link widoczny dla zalogowanych]

I.
Definicja operatora "lub"(|+):

(|+) - operator "lub"(|+) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o Y i ~Y

Kiedy zajdzie Y?
1.
Y = p+q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(p+q) = ~p*~q - prawo De Morgana
Stąd:
2.
~Y = ~p*~q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Zauważmy, że jeśli udowodnimy iż spełniona jest definicja spójnika "lub"(+) to automatycznie udowodnimy spełnienie operatora "lub"(|+)
Innymi słowy:
Jeśli znamy definicję spójnika "lub"(+) w logice dodatniej (bo Y) to automatycznie znamy definicję spójnika "i"(*) w logice ujemnej (bo ~Y) i odwrotnie.

II.
Definicja operatora "i"(|*):

(|*) - operator "i"(|*) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o Y i ~Y

Kiedy zajdzie Y?
1.
Y = p*q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(p*q) = ~p+~q - prawo De Morgana
Stąd:
2.
~Y = ~p+~q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka Y jest negacją drugiej strony

Zauważmy, że jeśli udowodnimy iż spełniona jest definicja spójnika "i"(*) to automatycznie udowodnimy spełnienie definicji operatora "i"(|*)
Innymi słowy:
Jeśli znamy definicję spójnika "i"(*) w logice dodatniej (bo Y) to automatycznie znamy definicję spójnika "lub"(+) w logice ujemnej (bo ~Y) i odwrotnie.

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce

3.2.1 Spójnik "lub"(+) vs operator "lub"(|+) w bramkach logicznych

(+) - spójnik „lub”(+) z języka potocznego człowieka
Znaczek tożsamy w matematyce:
(+) - znaczek alternatywy
Znaczek tożsamy w technice:
(+) - bramka logiczna OR
Kod:

T1
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
   p  q  Y=p+q
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 0  =0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
Y=1

Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia którą logiką będziemy się posługiwać. W przypadku spójnika „lub”(+) użycie logiki zer jest najszybszym sposobem wypełnienia wynikowej kolumny zero-jedynkowej.

W technice cyfrowej TTL spójnik "lub"(+) realizuje bramka logiczna SN74LS32:
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod:

T1
Bramka logiczna "lub"(+)
                  -------------
 p--------------->| Bramka:   |
                  | "lub"(+)  |--------------> Y=p+q
 q--------------->| SN74LS32  |
                  -------------
Definicja spójnika "lub"(+):
Y=p+q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1


Definicja operatora "lub"(|+):
(|+) - operator "lub"(|+) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o Y i ~Y

Kiedy zajdzie Y?
A1.
Y = p+q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A1 stronami:
~Y=~(p+q) = ~p*~q - prawo De Morgana
Stąd:
A2.
~Y = ~p*~q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Kod:

T2
Definicja operatora “lub”(|+):
Operator “lub”(|+) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
A1: Y=p+q
Negujemy A1 dwustronnie:
A2: ~Y=~p*~q
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
         A1:    A2:             A2:
   p  q  Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q
A: 1  1   1      0        0  0   0
B: 1  0   1      0        0  1   0
C: 0  1   1      0        1  0   0
D: 0  0   0      1        1  1   1
   1  2   3      4        5  6   7
Operator „lub”(|+) to układ równań logicznych
dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:

Kiedy zajdzie Y?
A1.
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1 (patrz: ABCD123)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
A2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 (patrz: ABCD567)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Definicja operatora "lub"(|+) w bramkach logicznych:
Kod:

T3
Definicja operatora "lub"(|+) w bramkach logicznych:
SN74LS06 - bramka negatora (~) z otwartym kolektorem (OC)
SN74LS32 - bramka spójnika "lub"(+)
SN74LS08 - bramka spójnika "i"(*)
                  -------------
 p------x-------->|           |
        |         | "lub”(+)  |---x-----x---->  A1: Y=p+q
 q--x------------>|  74LS32   |   |     |
    |   |         -------------   \/    |
    |   |                         o     o      # (negator w obu kierunkach)
    |   |    ~p   -------------   |     /\
    |   |--o----->|           |   |     |
    |        ~q   |  „i”(*)   |---x-----x---->  A2: ~Y=~p*~q
    |------o----->|  74LS08   |
                  -------------
Kiedy zajdzie Y?
A1.
Y=p+q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
#
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A1 stronami:
A2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
~Y=1 <=>~p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
„o”(~) - bramka negatora „o”(~)
Negator w każdej chwili czasowej zamienia cyfrowy sygnał wejściowy
na jego negację na wyjściu negatora.
W świecie rzeczywistym musi tu być negator # z otwartym kolektorem (OC)
na przykład typu SN74LS06

W tabelach T2 i T3 doskonale widać, że spójnik "lub"(+) jest częścią operatora "lub"(|+).
Zauważmy, że jeśli udowodnimy iż mamy do czynienia ze spójnikiem "lub"(+) to automatycznie udowodnimy iż ten spójnik wchodzi w skład definicji operatora "lub"(|+).
Innymi słowy:
Prawdziwość funkcji logicznej Y (w logice dodatniej bo Y)
Y=p+q
wymusza prawdziwość funkcji logicznej ~Y (w logice ujemnej bo ~Y)
~Y=~p*~q
(i odwrotnie)

Przykład zastosowania operatora "lub"(|+) w języku potocznym na poziomie 5-cio latka znajdziemy w punkcie 4.2.3

3.2.2 Spójnik "i"(*) vs operator "i"(|*) w bramkach logicznych

(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka
Znaczek tożsamy w matematyce:
(*) - znaczek koniunkcji
Znaczek tożsamy w technice:
(*) - bramka logiczna AND
Kod:

T1
Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
   p* q  Y=p*q
A: 1* 1  =1
B: 1* 0  =0
C: 0* 1  =0
D: 0* 0  =0
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
Y=1

Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia którą logiką będziemy się posługiwać. W przypadku spójnika „i”(*) użycie logiki jedynek jest najszybszym sposobem wypełnienia wynikowej kolumny zero-jedynkowej.

W technice cyfrowej TTL spójnik "i"(*) realizuje bramka logiczna SN74LS08:
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod:

T1
Bramka logiczna "i"(*)
                  -------------
 p--------------->| Bramka:   |
                  |  "i"(*)   |--------------> Y=p*q
 q--------------->| SN74LS08  |
                  -------------
Definicja spójnika "i"(*):
Y=p*q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1


Definicja operatora "i"(|*):
(|*) - operator "i"(|*) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o Y i ~Y

Kiedy zajdzie Y?
B1.
Y = p*q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie B1 stronami:
~Y=~(p*q) = ~p+~q - prawo De Morgana
Stąd:
B2.
~Y = ~p+~q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Kod:

T2
Definicja operatora “i”(|*):
Operator “i”(|*) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
B1: Y=p*q
Negujemy dwustronnie:
B2: ~Y=~p+~q
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
   p  q  Y=p*q ~Y=~(p*q) ~p ~q ~Y=~p+~q
A: 1  1   1      0        0  0   0
B: 1  0   0      1        0  1   1
C: 0  1   0      1        1  0   1
D: 0  0   0      1        1  1   1
   1  2   3      4        5  6   7
Operator „i”(|*) to układ równań logicznych
dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:

Kiedy zajdzie Y?
B1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 (patrz: ABCD123)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie B1 stronami:
B2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1 (patrz: ABCD567)

Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Definicja operatora "i"(|*) w bramkach logicznych:
Kod:

T3
Definicja operatora "i"(|*) w bramkach logicznych:
SN74LS06 - bramka negatora (~) z otwartym kolektorem (OC)
SN74LS08 - bramka spójnika "i"(*)
SN74LS32 - bramka spójnika "lub"(+)
                  -------------
 p------x-------->|           |
        |         |  "i”(*)   |---x-----x---->  B1: Y=p*q
 q--x------------>|  74LS08   |   |     |
    |   |         -------------   \/    |
    |   |                         o     o      # (negator w obu kierunkach)
    |   |    ~p   -------------   |     /\
    |   |--o----->|           |   |     |
    |        ~q   |  „lub”(+) |---x-----x---->  B2: ~Y=~p+~q
    |------o----->|  74LS32   |
                  -------------
Kiedy zajdzie Y?
B1.
Y=p*q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
#
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie B1 stronami:
B2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
~Y=1 <=>~p=1 lub ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
„o”(~) - bramka negatora „o”(~)
Negator w każdej chwili czasowej zamienia cyfrowy sygnał wejściowy
na jego negację na wyjściu negatora.
W świecie rzeczywistym musi tu być negator z otwartym kolektorem (OC)
na przykład typu SN74LS06

W tabelach T2 i T3 doskonale widać, że spójnik "i"(*) jest częścią operatora "i"(|*).
Zauważmy, że jeśli udowodnimy iż mamy do czynienia ze spójnikiem "i"(*) to automatycznie udowodnimy iż ten spójnik wchodzi w skład definicji operatora "i"(|*).
Innymi słowy:
Prawdziwość funkcji logicznej Y (w logice dodatniej bo Y)
Y=p*q
wymusza prawdziwość funkcji logicznej ~Y (w logice ujemnej bo ~Y)
~Y=~p+~q
(i odwrotnie)

Przykłady zastosowania operatora "i"(|*) w języku potocznym na poziome 5-cio latka znajdziemy w punktach 2.4.1 oraz 4.3.1.

3.2.3 Operator "lub"(|+) vs operator "i'(|*)

Matematyczny związek między operatorami "lub"(|+) i "i"(|*) to związek różne na mocy definicji ##

Dowód:
Kod:

T2
Definicja operatora “lub”(|+):
Operator “lub”(|+) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
A1: Y=p+q
Negujemy A1 dwustronnie:
A2: ~Y=~p*~q
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
         A1:                    A2:
   p  q  Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q
A: 1  1   1      0        0  0   0
B: 1  0   1      0        0  1   0
C: 0  1   1      0        1  0   0
D: 0  0   0      1        1  1   1
   1  2   3      4        5  6   7
Operator „lub”(|+) to układ równań logicznych
dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:

Kiedy zajdzie Y?
A1.
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1 (patrz: ABCD123)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A1 dwustronnie:
A2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 (patrz: ABCD567)

Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

##
Kod:

T3
Definicja operatora “i”(|*):
Operator “i”(|*) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
B1: Y=p*q
Negujemy dwustronnie:
B2: ~Y=~p+~q
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
   p  q  Y=p*q ~Y=~(p*q) ~p ~q ~Y=~p+~q
A: 1  1   1      0        0  0   0
B: 1  0   0      1        0  1   1
C: 0  1   0      1        1  0   1
D: 0  0   0      1        1  1   1
   1  2   3      4        5  6   7
Operator „i”(|*) to układ równań logicznych
dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:

Kiedy zajdzie Y?
B1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 (patrz: ABCD123)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie B1 dwustronnie:
B2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1 (patrz: ABCD567)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W tabelach T2 i T3 zmienne {p, q, Y} muszą być wszędzie tymi samymi {p, q, Y}, inaczej błąd podstawienia.

Doskonale widać, że wewnątrz tabel T2 i T3 spełniona jest definicja znaczka różne #.

Definicja znaczka różne #:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Natomiast między tabelami T2 i T3 obowiązuje znaczek różne na mocy definicji ##.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej

Podsumowanie:
Kod:

T2.
Y=p+q   # ~Y=~p*~q
##        ##
T3.
Y=p*q   # ~Y=~p+~q


Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna Y albo ~Y może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego dwuargumentowego

Dowód: patrz tabela T2 i T3

3.3 Operator "lub"(|+) vs operator "i"(|*) w świecie fizyki

I
Operator "lub"(|+) w świecie techniki

Kod:

S1
Układ realizujący operator "lub"(|+)
                             B
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Definicja operatora "lub"(|+):
Operator "lub"(|+) to odpowiedź na pytania o S i ~S

A1.
Kiedy żarówka świeci się (S=1)?
S=A+B
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> A=1 lub B=1
Czytamy:
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy
gdy wciśnięty jest przycisk A (A=1)
lub wciśnięty jest przycisk B (B=1)

#

Kiedy żarówka nie świeci się (~S=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
A2.
~S=~A*~B
co w logice jedynek oznacza:
~S=1 <=> ~A=1 i ~B=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy
gdy nie jest wciśnięty przyciska A (~A=1)
i nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1)

Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

##

II
Operator "i"(|*) w świecie fizyki

Kod:

S2
Układ realizujący operator "i"(|*):
             S               A          B
       -------------       ______     ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o--
  |    -------------                         |
  |                                          |
______                                       |
 ___    U (źródło napięcia)                  |
  |                                          |
  |                                          |
  --------------------------------------------
Definicja operatora "i"(|*):
Operator "i"(|*) to odpowiedź na pytania o S i ~S

B1.
Kiedy żarówka świeci się (S=1)?
S=A*B
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> A=1 i B=1
Czytamy:
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy
gdy wciśnięty jest przycisk A (A=1)
i wciśnięty jest przycisk B (B=1)

#

Kiedy żarówka nie świeci się (~S=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
B2.
~S=~A+~B
co w logice jedynek oznacza:
~S=1 <=> ~A=1 lub ~B=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy
gdy nie jest wciśnięty przyciska A (~A=1)
lub nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1)

Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W tabelach S1 i S2 zmienne {A, B, S} muszą być wszędzie tymi samymi {A, B, S}, inaczej błąd podstawienia.

Doskonale widać, że wewnątrz tabel S1 i S2 spełniona jest definicja znaczka różne #.

Definicja znaczka różne #:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Natomiast między tabelami S1 i S2 obowiązuje znaczek różne na mocy definicji ##.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej

Stąd mamy:

Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna S albo ~S może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego dwuargumentowego

Dowód: patrz tabela S1 i S2

3.4 Operatory "lub"(|+) i "i"(|*) w funkcjach cząstkowych

Opiszmy nasze schematy S1 i S2 szczegółowo w zdarzeniach rozłącznych A: B: C: i D:

I
Operator "lub"(+) w świecie techniki

Kod:

S1
Układ realizujący operator "lub"(|+)
                             B
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Definicja operatora "lub"(|+):
Operator "lub"(|+) to odpowiedź na pytania o S i ~S

Kiedy żarówka S świeci się (S=1)?
Odpowiedź w wersji minimalnej to:
1.
S = A+B
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> A=1 lub B=1
Czytamy:
Żarówka S świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy
wciśnięty jest klawisz A (A=1) lub wciśnięty jest klawisz B (B=1)
Innymi słowy:
Wystarczy że którykolwiek klawisz jest wciśnięty i już żarówka świeci się
Stąd dokładnie tą samą odpowiedź możemy zapisać w postaci zdarzeń rozłącznych A: B: i C:

Kiedy żarówka S świeci się (S=1)?
A: Sa= A* B - świeci (Sa=1) gdy wciśnięty A (A=1) i wciśnięty B (B=1)
lub
B: Sb= A*~B - świeci (Sb=1) gdy wciśnięty A (A=1) i nie wciśnięty B (~B=1)
lub
C: Sc=~A* B - świeci (Sc=1) gdy nie wciśnięty A (~A=1) i wciśnięty B (B=1)

Wszystkie możliwe przypadki rozłączne w których żarówka świeci się (S) opisuje suma logiczna funkcji cząstkowych:
S=Sa+Sb+Sc
Po rozwinięciu mamy:
RS1: S= A: A*B + B: A*~B + C: ~A*B = A+B

#

Kiedy żarówka S nie świeci się (~S)?
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną 1.
2.
~S=~A*~B
Jest tylko jeden taki przypadek, stąd:
~S= ~Sd= ~A*~B
co w logice jedynek oznacza:
~Sd=1 <=> ~A=1 i ~B=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Sd=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D:~Sd=~A*~B - nie wciśnięty A (~A=1) i nie wciśnięty B (~B=1)
~Sd - funkcja cząstkowa opisująca przypadek nie świecącej się żarówki

P.S.
Dowód formalny tożsamości RS1:
Y=p+q = p*q+p*~q + ~p*q
Minimalizujemy prawą stronę:
Y = p*(q+~q)+~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych
i wymianę spójników:
~Y=~p*(p+~q)
~Y=~p*p+~p*~q
~Y=~p+~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y):
Y=p+q
c.n.d.

Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

##

II
Operator "i"(*) w świecie fizyki

Kod:

S2
Układ realizujący operator "i"(|*):
             S               A          B
       -------------       ______     ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o--
  |    -------------                         |
  |                                          |
______                                       |
 ___    U (źródło napięcia)                  |
  |                                          |
  |                                          |
  --------------------------------------------
Definicja operatora "i"(|*):
Operator "i"(|*) to odpowiedź na pytania o S i ~S

Kiedy żarówka S świeci się (S=1)?
Odpowiedź w wersji minimalnej to:
1.
S = A*B
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> A=1 i B=1
Czytamy:
Żarówka S świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy
wciśnięty jest klawisz A (A=1) i wciśnięty jest klawisz B (B=1)

Jest tylko jedno zdarzenie gdzie żarówka świeci się.
Stąd możemy zapisać:
A: S = Sa = A*B
Gdzie:
Sa - funkcja cząstkowa opisująca przypadek świecącej się żarówki

#

Kiedy żarówka S nie świeci się (~S)?
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną 1.
2.
~S=~A+~B
co w logice jedynek oznacza:
~S=1 <=> ~A=1 lub ~B=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy
nie jest wciśnięty A (~A=1) lub nie jest wciśnięty B (~B=1)

Innymi słowy:
Wystarczy, że którykolwiek klawisz nie jest wciśnięty
i już żarówka nie świeci się
Stąd dokładnie tą samą odpowiedź możemy zapisać w postaci zdarzeń rozłącznych B: C: i D:

Kiedy żarówka S nie świeci się (~S=1)?
Żarówka nie świeci (~S=1) się gdy:
B:~Sb=~A*~B - nie wciśnięty A (~A=1) i nie wciśnięty B (~B=1)
lub
C:~Sc=~A* B - nie wciśnięty A (~A=1) i wciśnięty B (B=1)
lub
D:~Sd= A*~B - wciśnięty A (A=1) i nie wciśnięty B (~B=1)
Wszystkie możliwe przypadki rozłączne w których żarówka nie świeci się (~S)
to suma logiczna równań cząstkowych:
~S=~Sb+~Sc+~Sd
Po rozwinięciu mamy:
RS2: ~S= B: ~A*~B + C: ~A*B + D: A*~B = ~A+~B

P.S.
Dowód formalny tożsamości RS2:
~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Minimalizujemy prawą stronę:
~Y=~p*(~q+q)+p*~q
~Y=~p+ (p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych
i wymianę spójników:
Y=p*(~p+q)
Y=p*~p+p*q
Y=p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p+~q
c.n.d.

Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Gdzie:
## - układy różne na mocy definicji

Zauważmy że:
W zdarzeniach rozłącznych niektóre funkcje cząstkowe w S1 i S2 są identyczne [=] np.
S1: A: Sa=A*B [=] S2: Sa=A*B - w obu przypadkach żarówka świeci się (S)
S1: D: ~Sd=~A*~B [=] S2: B: ~Sb=~A*~B - w obu przypadkach żarówka nie świeci się (~S)

Wniosek:
Prawo Puchacza obowiązuje tylko i wyłącznie dla kompletnych funkcji logicznych Y i ~Y
Kod:

TS1S2
S1.
Połączenie równoległe A i B
Operator "lub"(|+) to odpowiedź na pytanie o S i ~S
S=A+B=A*B+A*~B+~A*B  # ~S=~A*~B
##                      ##
S2.
Połączenie szeregowe A i B
Operator "i"(|*) to odpowiedź na pytanie o S i ~S
S=A*B                # ~S=~A+~B=~A*~B+~A*B+A*~B

Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna S albo ~S może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego dwuargumentowego.
Tu do S1 albo do S2.

Zauważmy, że dla układu S1 znajomość dowolnej z funkcji logicznych S albo ~S jest potrzebna i wystarczająca by odtworzyć kompletny schemat ideowy S1
Podobnie:
Dla układu S2 znajomość dowolnej z funkcji logicznych S albo ~S jest potrzebna i wystarczająca by odtworzyć kompletny schemat S2

Podstawmy:
S=Y - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
~S=~Y - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)

Oczywiście, matematycznie zachodzi:
Y$~Y
Czytamy:
W dowolnej chwili czasowej może zajść wyłącznie Y "albo"($) ~Y
Dowód:
Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
Stąd mamy:
Y$~Y = Y*~(~Y) + ~(Y)*~Y = Y*Y+~Y*~Y = Y+~Y =1
Wniosek:
Definicja spójnika "albo"($) jest tu spełniona
cnd

Wykluczona jest tu tożsamość logiczna pojęć Y i ~Y, czyli równoważność <=>.
Dowód:
Definicja spójnika równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p<=>q = p*q+~p*~q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd mamy:
Y<=>~Y = Y*~Y + ~(Y)*~(~Y) = Y*~Y+~Y*Y = 0+0 =0
Wykluczona jest tu tożsamość logiczna pojęć Y i ~Y
cnd

Niestety, stara algebra Boole'a we wszelkich dowodach zero-jedynkowych operuje tylko i wyłącznie wyrażeniami algebry Boole'a nie widząc funkcji logicznych algebry Boole'a w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y) co prowadzi do jej wewnętrznej sprzeczności udowodnionej w punkcie 3.1.1

3.5 Kwadratura koła dla ziemskich matematyków

Zadanie z podstaw logiki matematycznej w 100-milowym lesie.
Dane są dwa zdania pań przedszkolanek z dwóch różnych przedszkoli A i B.

Pani w przedszkolu A:
A1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru

Pani w przedszkolu B:
B1.
Jutro nie pójdziemy ani do kina, ani do teatru

Treść polecenia:
Zapisz w funkcjach logicznych kiedy panie dotrzymają słowa a kiedy nie dotrzymają słowa?

Powyższego zadanka żaden współczesny matematyk nie rozwiąże, bowiem jego rozwiązanie wymaga akceptacji w logice matematycznej logiki dodatniej (bo Y) i logiki ujemnej (bo ~Y)
c.n.d

Rozwiązanie znajdziemy w punktach:
4.2.3 Y|=K+T
4.4.1 Y|=~K*~T


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 12:32, 27 Lut 2023, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35331
Przeczytał: 23 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 16:32, 26 Lut 2023    Temat postu:

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
4.0 Operatory Y|=f(x) z grupy TF0-11 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Spis treści
4.0 Operatory Y|=f(x) z grupy TF0-11 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 1
4.1 Operator A1: Y|=p+q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 2
4.1.1 Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych 2
4.1.2 Diagram operatora „lub”(|+) w zdarzeniach 3
4.1.3 Przykład operatora Y|=K+T w zdarzeniach 5
4.2 Operator A0: Y|=p*q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 8
4.2.1 Przykład operatora Y|=K*T w zdarzeniach 10
4.3 Operator A3: Y|=~p*~q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 12
4.3.1 Przykład operatora Y|=~K*~T w zdarzeniach 14
4.4 Związek teorii zdarzeń z teorią zbiorów dla operatorów TF0-TF3 16
4.4.1 Przykład operatora chaosu P8||~~>P3 w zbiorach 17
4.5 Operatory z grupy TF4-7 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 19
4.5.1 Operator A7: Y|=p*~q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 19
4.6.2 Przykład operatora A7: Y|=K*~T w zdarzeniach 21
4.7 Operatory z grupy TF4-TF11 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 23


4.0 Operatory Y|=f(x) z grupy TF0-11 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Kod:

TF2
Tabela prawdy wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych Y
w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II       |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki „i”(*)|Spójniki =>, ~>|Spójniki <=>, $       | Wejścia
        |oraz „lub”(+)  ||=>, |~>       ||~~>, |~~~>           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y   Y  |  Y    Y   Y      Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> |=> |~> | <=>   $  |~~>   |~~~>| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   0   0  |  1    0   1      0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0   1  |  0    1   1      0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   1   0  |  0    1   1      0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   0   0  |  1    0   1      0   | 0  0  1  1
          A  A    A  A    A  A   A   A     A    A   A      A     A  A  A  A
          0  1    2  3    4  5   6   7     8    9  10     11    12 13 14 15

Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami "i"(*) i "lub"(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
1.
Y=f(x)
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie 1:
2.
~Y=~f(x)

4.1 Operator A1: Y|=p+q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Zacznijmy od operatora A1 z tabeli prawdy TF2 (pkt. 4.0) wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych Y

Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo duża

Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami "i"(*) I "lub"(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y

Przykład A1:
Definicja operatora Y|=p+q to układ równań logicznych 1 i 2 dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach/zbiorach niepustych i rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Stąd mamy tożsamą funkcję logiczną Y w logice dodatniej (bo Y):
1’
Y = A: p*q+ B: p*~q + C: ~p*q
Dowód:
Minimalizujemy funkcję 1’:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q)+~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p+~p*~q
~Y=~p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
cnd
Stąd mamy:
1: Y=p+q [=] 1’: Y = A: p*q+ B: p*~q + C: ~p*q

4.1.1 Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych

Wyprowadziliśmy wyżej tożsamość logiczną:
1: Y=p+q [=] 1’: Y = A: p*q+ B: p*~q + C: ~p*q

Stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych ABC którą obowiązkowo trzeba zapamiętać

Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q +~p*q

4.1.2 Diagram operatora „lub”(|+) w zdarzeniach

Diagram w zdarzeniach opisujący ten przypadek jest następujący:
Kod:

D1
Definicja operatora A1: Y|=p+q w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p                               |
------------------------------------------------------
                  | q                                |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q      | A: Ya=p*q     | C: Yc=~p*q       | D:~Yd=~p*~q       |
--------------------------------------------------------------------------

Zdarzenia ABCD to zdarzenia niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D

Dowód wzajemnej rozłączności zdarzeń ABCD:
A: p*q
B: p*~q
C: ~p*q
D: ~p*~q
Mnożymy logicznie każde zdarzenie z każdym:
A*B=(p*q)*(p*~q)=[] =0 - bo q*~q=0
A*C=(p*q)*(~p*q)=[] =0 - bo p*~p=0
A*D=(p*q)*(~p*~q)=[]=0 - bo p*~p=0
B*C=(p*~q)*(~p*q)=[]=0 - bo p*~p=0
B*D=(p*~q)*(~p*~q)=[]=0 - bo p*~p=0
C*D=(~p*q)*(~p*~q)=[]=0 - bo q*~q=[]=0
cnd

Dowód iż zdarzenia ABCD uzupełniają się wzajemnie do dziedziny D:
D = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
D=p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q
D=p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
D=p+~p =1
cnd

Przykład:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
1.
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.

Matematyczna definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach/zbiorach rozłącznych odczytana z diagramu D1 to:
Y=Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C:~p*q
Czyli:
1’
Y = A: p*q + B: p*~q + C:~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
#
2.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana.
~Y = ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

W definicji fizycznej operatora Y|=p+q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) chodzi o to by na mocy teorii zdarzeń/zbiorów nie dało się wyrugować dowolnego z członów ABC powyższej definicji
Przykładowo dla:
A: p*q=[]=0 - gdy zdarzenia/zbiory p i q są rozłączne
mamy:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q ## B: p*~q + C: ~p*q = p$q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji ##
$ - spójnik „albo”($) z języka potocznego człowieka to fundamentalnie co innego niż spójnik "lub"(+)

Przykład:
1.
Dowolny człowiek (C) jest mężczyzną (M) lub kobietą (K)
C=M+K
co w logice jedynek oznacza:
C=1 <=> M=1 lub K=1
Czytamy:
Prawdą jest (1), że dowolny człowiek (C) może być mężczyzną (M=1) lub kobietą (K=1), trzeciej możliwości brak.
Przyjmijmy dziedzinę fizyczną:
C (człowiek) = M+K
Rozpiszmy użyty tu spójnik „lub”(+) na zbiory rozłączne i niepuste na mocy definicji matematycznej spójnika „lub”(+):
p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Nasz przykład:
1’.
M+K = A: M*K + B: M*~K + C:~M*K
Zbiór mężczyzn (M) i zbiór kobiet (K) to zbiory rozłączne, czyli:
A: M*K =[ ]=0
Stąd mamy:
M+K = A: M*K + B: M*~K + C:~M*K ## B: M*~K + C: ~M*K = M$K
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
Matematycznie precyzyjna treść zdania 1’ powinna brzmieć:
1’
Dowolny człowiek (C) jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
C = M$K = B: M*~K+ C: ~M*K
Prawa strona to oczywiste zdania prawdziwe:
B: M*~K=1*1=1 - dowolny człowiek może być mężczyzną (M=1) i nie być kobietą (~K=1)
C: ~M*K=1*1=1 - dowolny człowiek może nie być mężczyzną (~M=1) i być kobietą (K=1)
Trzeciej możliwości brak.

Zdecydowana większość ludzi używa w zdaniu 1 spójnika „lub”(+) bo:
Mózg człowieka na poziomie procedur w zbiorach doskonale wie że:
A: M*K =[] =0 - zbiór mężczyzn (M) i zbiór kobiet (K) to zbiory rozłączne.
Stąd dopuszczalne jest tu użycie spójnika „lub”(+) w miejsce spójnika „albo”($).
Odwrotnie nie zachodzi.
Dowód.
Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Zdanie tożsame w zdarzeniach rozłącznych to:
1’
Y = K+T = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
Zauważmy, że jutro możemy pójść do kina i do teatru bo chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień, zatem:
A: K*T=1*1=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Wniosek:
Nie wolno w obietnicy pani przedszkolanki zastępować spójnika „lub”(+) spójnikiem „albo”($), bo będzie to zdanie różne na mocy definicji ## od zdania ze spójnikiem „albo”($), którego nasz mózg nie skoryguje na mocy teorii zdarzeń bo doskonale wie, że jutro możemy pójść do kina i do teatru.

4.1.3 Przykład operatora Y|=K+T w zdarzeniach

Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami "i"(*) I "lub"(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y

Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo duża
Rozważmy zdanie na poziomie 5-cio letniego dziecka.

Pani przedszkolanka:
1.
ABC:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

Matematycznie oznacza to że jutro pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa, czyli:
ABC:
Y=A: K*T + B: K*~T + C:~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych jedynki są domyślne
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
B: Yb=K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: Yc=~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Matematycznie zachodzi tożsamość funkcji logicznych:
Y = Ya+Yb+Yc
Gdzie:
Ya, Yb, Yc - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji Y

Przejdźmy na zapisy formalne podstawiając:
K=p
T=q
Dowód iż tak jest w istocie w zapisach formalnych.
stąd:
Y = Ya+Yb+Yc = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
minimalizujemy funkcję logiczną Y:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p+~q
~Y = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
cnd

Matematycznie zachodzi:
Y=Y
stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych ABC którą obowiązkowo trzeba zapamiętać

Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q +~p*q

… a kiedy pani skłamie = nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
2.
Negujemy równanie 1 (ABC) dwustronnie:
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
D.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Kod:

D1
Definicja operatora A1: Y|=K+T w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=K*T+K*~T+~K*T+~K*~T=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń możliwych   |
--------------------------------------------------------------------------
| p=[K]                           |
------------------------------------------------------
                  | q=[T]                            |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q= K*~T| A: Ya=p*q=K*T | C: Yc=~p*q=~K*T  | D:~Yd=~p*~q=~K*~T |
--------------------------------------------------------------------------

Zauważmy, że wszystkie możliwe zdarzenia ABCD są rozłączne i niepuste oraz uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.

Dziedziną dla naszego przykładu jest zbiór wszystkich możliwych zdarzań które jutro mogą wystąpić:
D = |Ya|+|Yb|+|Yc|+|Yd|
Gdzie:
|Yx| - funkcja logiczna Yx z pominięciem przeczenia (wartość bezwzględna)
Stąd mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
Y = p+~p =1
Dziedzina jest poprawna.
cnd

W dniu jutrzejszym ma szansę wystąpić wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń.
Dla naszego przykładu w zapisach ogólnych mamy:
p=K
q=T
Stąd w zapisach aktualnych (z przykładu) mamy:
1.
Kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y=1)?
Y=Ya+Yb+Yc
A:
Ya=K~~>T=K*T =1*1=1
Możliwe ~~> jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Ya=1
lub
B:
Yb=K~~>~q=K*~T=1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Yb=1
lub
C:
Yc=~K~~>~T=~K*T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Yc=1

2.
Kiedy jutro pani skłamie = nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
D:
~Yd=~K~~>~T=~K*~T =1*1=1
Pani skłamie:
~Yd=1
Czytamy:
P1: Prawdą jest (=1), że jutro pani nie dotrzyma słowa (~Yd), jeśli nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
P1: (~Yd=1) = P2: (Yd=0)
Prawą stronę czytamy:
P2: Fałszem jest (=0), że jutro pani dotrzyma słowa (Yd), jeśli nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Tożsamość zdań P1=P2 jest oczywista, co jest potwierdzeniem prawa Prosiaczka.

4.2 Operator A0: Y|=p*q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

A0: Y|p*q to kolejny operator z tabeli wszystkich możliwych funkcji logicznych TF2 (pkt. 4.0)

Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo duża

Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami "i"(*) I "lub"(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y

Przykład A0:
Definicja operatora Y|=p*q to układ równań logicznych 1 i 2 dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.

.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Innymi słowy:
Pozostałe przypadki niepuste i rozłączne, poza funkcją logiczną Y=p*q muszą być zapisane w logice ujemnej (bo ~Y).

Diagram w zdarzeniach opisujący ten przypadek jest następujący:
Kod:

D0
Definicja operatora A1: Y|=p*q w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p                               |
------------------------------------------------------
                  | q                                |
--------------------------------------------------------------------------
| B:~Yb=p*~q      | A: Ya=p*q     | C:~Yc=~p*q       | D:~Yd=~p*~q       |
--------------------------------------------------------------------------

Nasz przykład:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
1.
Y = p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych jedynki są domyślne.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1.
~Y = ~(p*q) = ~p+~q - prawo De Morgana
~Y=~p+~q
Innymi słowy:
Wystarczy że zajdzie cokolwiek (~p=1) lub (~q=1) i już funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość logiczną (~Y=1).
Z diagramu odczytujemy:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
Po rozwinięciu mamy:
~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
~Y = ~p+~q [=] ~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Doskonale to widać z diagramu D0.
Można to też udowodnić w sposób czysto matematyczny:
~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy prawą stronę:
~Y = p*~q + ~p*(q+~q)
~Y = ~p+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negacją zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q
Y = p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p+~q
stąd mamy:
~Y = ~p+~q [=] ~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
cnd
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

4.2.1 Przykład operatora Y|=K*T w zdarzeniach

Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami "i"(*) I "lub"(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y

Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo duża
Rozważmy zdanie na poziomie 5-cio letniego dziecka.

Pani przedszkolanka:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1

… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 dwustronnie:
BCD:
~Y=~(K*T) = ~K+~T - prawo De Morgana
Stąd mamy:
2.
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
BCD:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1

Matematycznie oznacza to, że jutro nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y=1), czyli:
~Y=B: K*~T + C: ~K*T + D:~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
bo w równaniu alternatywno-koniunkcyjnym wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~Yb = K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: ~Yc = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
LUB
D: ~Yd = ~K*~T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Matematycznie musi zachodzić tożsamość funkcji logicznych:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
Gdzie:
~Yb, ~Yc, ~Yd - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji ~Y

Kod:

D1
Definicja operatora A1: Y|=K+T w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=K*T+K*~T+~K*T+~K*~T=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń możliwych   |
--------------------------------------------------------------------------
| p=[K]                           |
------------------------------------------------------
                  | q=[T]                            |
--------------------------------------------------------------------------
| B:~Yb=p*~q= K*~T| A: Ya=p*q=K*T | C:~Yc=~p*q=~K*T  | D:~Yd=~p*~q=~K*~T |
--------------------------------------------------------------------------

Zauważmy, że wszystkie możliwe zdarzenia ABCD są rozłączne i niepuste oraz uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.

Dziedziną dla naszego przykładu jest zbiór wszystkich możliwych zdarzań niepustych i rozłącznych które jutro mogą wystąpić:
D = |Ya|+|Yb|+|Yc|+|Yd|
Gdzie:
|Yx| - funkcja logiczna Yx z pominięciem przeczenia
Stąd mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
Y = p+~p =1
Dziedzina jest poprawna.
cnd

W dniu jutrzejszym ma szansę wystąpić wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń niepustych i rozłącznych.
Dla naszego przykładu w zapisach ogólnych mamy:
p=K
q=T
Stąd w zapisach aktualnych (z przykładu) mamy:
1.
Kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y=1)?
A:
Ya=K~~>T=K*T =1*1=1
Możliwe ~~> jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Ya=1

2.
Kiedy jutro pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
B:
~Yb=K~~>~q=K*~T=1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani skłamie (= nie dotrzyma słowa ~Yb):
~Yb=1
lub
C:
~Yc=~K~~>~T=~K*T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Pani skłamie:
~Yc=1
lub
D:
~Yd=~K~~>~T=~K*~T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani skłamie (~Yd=1)

4.3 Operator A3: Y|=~p*~q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Częstotliwość użycia w języku potocznym: duża

Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami "i"(*) I "lub"(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y

Przykład A3:
Definicja operatora Y|=~p*~q to układ równań logicznych 1 i 2 dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
#
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 lub q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Innymi słowy:
Pozostałe przypadki niepuste i rozłączne, poza funkcją logiczną Y=~p*~q muszą być zapisane w logice ujemnej (bo ~Y).
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaku # jest negacją drugiej strony

Diagram w zdarzeniach opisujący ten przypadek jest następujący:
Kod:

D3
Definicja operatora A3: Y|=~p*~q w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p                               |
------------------------------------------------------
                  | q                                |
--------------------------------------------------------------------------
| B:~Yb=p*~q      | A:~Ya=p*q     | C:~Yc=~p*q       | D: Yd=~p*~q       |
--------------------------------------------------------------------------


Przykład:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
1.
Y = ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1.
~Y = ~(~p*~q) = p+q - prawo De Morgana
~Y=p+q
Innymi słowy:
Wystarczy że zajdzie cokolwiek (p=1) lub (q=1) i już funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość logiczną 1 (~Y=1).
Z diagramu odczytujemy:
~Y=~Ya+~Yb+~Yc
Po rozwinięciu mamy:
~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
~Y = p+q [=] ~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Doskonale to widać z diagramu D3.
Można to też udowodnić w sposób czysto matematyczny:
~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Minimalizujemy prawą stronę:
~Y = p*(q+~q) + ~p*q
~Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negacją zmiennych i wymianę spójników:
Y = ~p*(p+~q)
Y = ~p*p + ~p*~q
Y = ~p*~q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = p+q
stąd mamy:
~Y = p+q [=] ~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
cnd
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

4.3.1 Przykład operatora Y|=~K*~T w zdarzeniach

Częstotliwość użycia w języku potocznym: duża
Rozważmy zdanie na poziomie 5-cio letniego dziecka.

Pani przedszkolanka:
1.
Jutro nie pójdziemy ani do kina (~K=1) ani do teatru (~T=1)
Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

… a kiedy pani skłamie (S=(~Y=1))?
Negujemy równanie 1 dwustronnie:
ABC:
~Y=~(~K*~T) = K+T - prawo De Morgana
Stąd mamy:
2.
~Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
ABC:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
~Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub T=1

Matematycznie oznacza to, że jutro pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y=1), czyli:
~Y=A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: ~Ya = K*T =1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
B: ~Yb = K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: ~Yc=~K*T =1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Matematycznie musi zachodzić tożsamość funkcji logicznych:
~Y = ~Ya+~Yb+~Yc
Gdzie:
~Ya, ~Yb, ~Yc - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji ~Y

Kod:

D3
Definicja operatora A3: Y|=~K*~T w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=K*T+K*~T+~K*T+~K*~T=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń możliwych   |
--------------------------------------------------------------------------
| p=[K]                           |
------------------------------------------------------
                  | q=[T]                            |
--------------------------------------------------------------------------
| B:~Yb=p*~q= K*~T| A:~Ya=p*q=K*T | C:~Yc=~p*q=~K*T  | D:Yd=~p*~q=~K*~T |
--------------------------------------------------------------------------

Zauważmy, że wszystkie możliwe zdarzenia ABCD są rozłączne i niepuste oraz uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.

Dziedziną dla naszego przykładu jest zbiór wszystkich możliwych zdarzań które jutro mogą wystąpić:
D = |Ya|+|Yb|+|Yc|+|Yd|
Gdzie:
|Yx| - funkcja logiczna Yx z pominięciem przeczenia (wartość bezwzględna funkcji Yx)
Stąd mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
Y = p+~p =1
Dziedzina jest poprawna.
cnd

W dniu jutrzejszym ma szansę wystąpić wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń niepustych i rozłącznych.
Dla naszego przykładu w zapisach ogólnych mamy:
p=K
q=T
Innymi słowy:
1.
Kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y=1)?
D:
Yd=~K~~>~T=~K*~T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Yd=1

2.
Kiedy jutro pani skłamie (~Y=1)?
~Y=~Ya+~Yb+~Yc
A:
~Ya=K~~>T=K*T =1*1=1
Możliwe ~~> jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Pani skłamie (=nie dotrzyma słowa ~Ya).
~Ya=1
lub
B:
~Yb=K~~>~T=K*~T=1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani skłamie:
~Yb=1
C:
~Yc=~K~~>T=~K*T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Pani skłamie:
~Yc=1

4.4 Związek teorii zdarzeń z teorią zbiorów dla operatorów TF0-TF3

Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami "i"(*) I "lub"(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y

Definicja fizyczna operatora Y|=f(x) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja fizyczna operatora Y|=f(x) wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy iloczyny logiczne zdarzeń/zbiorów p i q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q będą zdarzeniami możliwymi ~~> lub zbiorami niepustymi ~~>.

Innymi słowy:
Definicja fizyczna operatora Y|=f(x) wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy na mocy teorii zbiorów/zdarzeń nie da się zredukować ani funkcji logicznej Y ani też funkcji logicznej ~Y

Jedynym spójnikiem w teorii zbiorów gdzie wszystkie możliwe przeczenia zbiorów p i q są niepuste jest spójnik chaosu p|~~>q.

CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):

Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to dwa zbiory niepuste p i q mające co najmniej jeden element wspólny z których żaden nie zawiera się w drugim, a dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
D>p+q

Stąd mamy definicję chaosu p|~~>q w zbiorach:
Kod:

D1
Definicja operatora chaosu p|~~>q w zbiorach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p                               |
------------------------------------------------------
                  | q                                |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q      | A: Ya=p*q     | C: Yc=~p*q       | D: Yd=~p*~q       |
--------------------------------------------------------------------------

Doskonale widać, dlaczego dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q.
Dla dziedziny D=p+q zbiór D: Yd=~p*~q byłby zbiorem pustym, co byłoby sprzeczne z definicją chaosu p|~~>q, bo zbiór pusty nie ma ani jednego elementu wspólnego z jakimkolwiek zbiorem niepustym.
cnd

4.4.1 Przykład operatora chaosu P8||~~>P3 w zbiorach

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory p i q są rozłączne i nieskończone to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.

Przykład:
Zbadajmy w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3)
Ya = P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8 i P3 jest spełniona (=1) bo liczba 24 jest podzielna przez 8 i podzielna przez 3
cnd
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna prze 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3)
Yb=P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8 i ~P3 jest spełniona (=1) bo liczba 8 jest podzielna przez 8 i niepodzielna przez 3
cnd
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3)
Yc=~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo 3
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~P8 i P3 jest spełniona (=1) bo liczba 3 nie jest podzielna przez 8 i jest podzielna przez 3
cnd
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3)
Yd=~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 bo 2
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~P8 i ~P3 jest spełniona (=1) bo liczba 2 nie jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 3
cnd

Diagram w zbiorach dla naszego operatora chaosu P8||~~>P3 jest zatem następujący:
Kod:

CH
Definicja operatora chaosu P8||~~>P3 w zbiorach
--------------------------------------------------------------------------
| D= A: P8*P3+B: P8*~P3+C:~P8*P3+D:~P8*~P3=1 - dziedzina                 |
--------------------------------------------------------------------------
| p=P8                            |
------------------------------------------------------
                  | q=P3                             |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=P8*~P3=1  | A: Ya=P8*P3=1 | C: Yc=~P8*P3=1   | D:Yd=~P8*~P3=1    |
--------------------------------------------------------------------------

Matematycznie operator chaosu p||~~>q w zbiorach jest matematycznym śmieciem, bowiem nie ma tu żadnego warunku wystarczającego => (gwarancji matematycznej =>), czyli w praktyce wszystko może się zdarzyć.
Innymi słowy dla zbioru liczb naturalnych LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] mamy:
Jeśli wylosujemy liczbę x ze zbioru LN to nie mamy żadnej gwarancji matematycznej => iż liczba ta będzie należała do zbioru A albo B albo C albo D.

O co chodzi z tą gwarancją matematyczną =>?
Rozważmy zdanie:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

W tym przypadku, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba jest podzielna przez 2.

Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

O podobnej gwarancji matematycznej => w operatorze chaosu p||~~>q nie mamy co marzyć co widać w diagramie operatora chaosu P8||~~>P3 wyżej.
Dokładnie dlatego operator chaosu p||~~>q jest matematycznym śmieciem.
cnd

4.5 Operatory z grupy TF4-7 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Kod:

TF6-7
Grupa spójników implikacyjnych p|=>q i p|~>q:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A6:  Y = p|=>q  =~p* q              # B6: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
     ##                                    ##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A7:  Y = p|~>q  = p*~q              # B7: ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
Gdzie:
#  - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p,q,Y muszą być wszędzie tymi samymi p,q,Y inaczej błąd podstawienia

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej

Jak widzimy, w tabeli TF6-7 definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

4.5.1 Operator A7: Y|=p*~q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Częstotliwość użycia w języku potocznym: średnia

Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami "i"(*) I "lub"(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y

Przykład A7:
Definicja operatora A7: Y|=p*~q to układ równań logicznych 1 i 2 dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Y=p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.

.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~p+q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Innymi słowy:
Pozostałe przypadki niepuste i rozłączne, poza funkcją logiczną Y=p*~q muszą być zapisane w logice ujemnej (bo ~Y).

Diagram w zdarzeniach opisujący ten przypadek jest następujący:
Kod:

D0
Definicja operatora A7: Y|=p*~q w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p                               |
------------------------------------------------------
                  | q                                |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q      | A:~Ya=p*q     | C:~Yc=~p*q       | D:~Yd=~p*~q       |
--------------------------------------------------------------------------


Przykład:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
1.
Y = p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1.
~Y = ~(p*~q) = ~p+q - prawo De Morgana
~Y=~p+q
Innymi słowy:
Wystarczy że zajdzie cokolwiek (~p=1) lub (q=1) i już funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość logiczną (~Y=1).
Z diagramu odczytujemy:
~Y=~Ya+~Yc+~Yd
Po rozwinięciu mamy:
~Y = A: p*q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
~Y = ~p+q [=] ~Y = A: p*q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Doskonale to widać z diagramu D0.
Można to też udowodnić w sposób czysto matematyczny:
~Y = A: p*q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy prawą stronę:
~Y = p*q + ~p*(q+~q)
~Y = ~p+(p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negacją zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+~q)
Y = p*~p + p*~q
Y = p*~q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p+q
stąd mamy:
~Y = ~p+q [=] ~Y = A: p*q + C: ~p*q + D: ~p*~q
cnd
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

4.6.2 Przykład operatora A7: Y|=K*~T w zdarzeniach

Częstotliwość użycia w języku potocznym: średnia

Pani przedszkolanka:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) ale nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y=K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y=K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i ~T=1

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 dwustronnie:
ACD:
~Y=~(K*~T) = ~K+T - prawo De Morgana
Stąd mamy:
2.
~Y=~K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub T=1
Czytamy:
ACD:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
~Y=~K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub T=1
Wystarczy ze nie pójdziemy do kina (~K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1) i już pani skłamie (~Y=1).

Rozwinięcie matematyczne na mocy definicji spójnika „lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych:
p+q = p*q + ~p*q + p*~q
Nasz przykład:
p=~K
q=T
~K+T = ~K*T + K*T + ~K*~T
Stąd mamy:
~Y = A: K*T + C: ~K*T + D: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: ~Ya = K*T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
LUB
C: ~Yc = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
LUB
D: ~Yd = ~K*~T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Matematycznie musi zachodzić tożsamość funkcji logicznych:
~Y = ~Ya+~Yc+~Yd
Gdzie:
~Ya, ~Yc, ~Yd - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji ~Y

Kod:

D8
Definicja operatora A7: Y|=K*~T w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=K*T+K*~T+~K*T+~K*~T=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń możliwych   |
--------------------------------------------------------------------------
| p=[K]                           |
------------------------------------------------------
                  | q=[T]                            |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q= K*~T| A:~Ya=p*q=K*T | C:~Yc=~p*q=~K*T  | D:~Yd=~p*~q=~K*~T |
--------------------------------------------------------------------------

Zauważmy, że wszystkie możliwe zdarzenia ABCD są rozłączne i niepuste oraz uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.

Dziedziną dla naszego przykładu jest zbiór wszystkich możliwych zdarzań które jutro mogą wystąpić:
D = |Ya|+|Yb|+|Yc|+|Yd|
Gdzie:
|Yx| - funkcja logiczna Yx z pominięciem przeczenia
Stąd mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
Y = p+~p =1
Dziedzina jest poprawna.
cnd

W dniu jutrzejszym ma szansę wystąpić wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń.
Dla naszego przykładu w zapisach ogólnych mamy:
p=~K
q=T
Stąd w zapisach aktualnych (nasz przykład) mamy:
Kiedy zajdzie Y (Y=1)?
1.
B:
Yb=K~~>~T=K*~T=1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani dotrzyma słowa (Yb=1):
Yb=1

2.
Kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
~Y=~Ya+~Yc+~Yd
A:
~Ya=K~~>T=K*T =1*1=1
Możliwe ~~> jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Pani nie dotrzyma słowa (~Ya):
~Ya=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Ya)
~Ya=1
lub
C:
~Yc=~K~~>T=~K*T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Pani skłamie:
~Yc=1
lub
D:
~Yd=~K~~>~T=~K*~T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani skłamie (~Yd=1)

4.7 Operatory z grupy TF4-TF11 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Listę tych operatorów znajdziemy w punkcie 3.0

Dla zrozumienia operatorów z grupy TF4-TF11 wyrażonych spójnikami „i”(*) i „lub”(+) konieczne jest zrozumienie „Kubusiowej teorii zbiorów” o czym będzie w następnym rozdziale, oraz kluczowych praw logiki matematycznej (pkt. 6.0)
A4: Y = p=>q =~p+q - definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
A5: Y = p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
A8: Y = p<=>q = p*q+~p*~q -definicja spójnika „wtedy i tylko wtedy” <=> w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
A9: Y = p$q = p*~q+~p*q - definicja spójnika „albo”($) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
Zdarzenia:
Y = p~~>q =p*q - definicja zdarzenia możliwego ~~> w spójniku "i"(*)
tu wystarczy udowodnić, że możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
lub
Zbiory:
Y = p~~>q =p*q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> w spójniku "i"(*)
tu wystarczy udowodnić iż istnieje jeden wspólny element zbiorów p i q
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35331
Przeczytał: 23 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 18:54, 26 Lut 2023    Temat postu:

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
5.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Spis treści
5.0 Kubusiowa teoria zbiorów 1
5.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach 2
5.1.1 Suma logiczna zbiorów 2
5.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów 3
5.1.3 Różnica (-) zbiorów 3
5.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów 4
5.2.1 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 6
5.2.2 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 7
5.3 Dziedzina 9
5.3.1 Zaprzeczenie zbioru 9
5.3.2 Nazwa własna zbioru 9
5.3.3 Dziedzina użyteczna w języku potocznym 10
5.4 Definicja definicji 11
5.5 Skąd biorą się prawa logiki matematycznej? 13
5.5.1 Prawo Kangurka i prawo Kangura 13



5.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Kubusiowa teoria zbiorów to nieznana ziemskim matematykom teoria zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej, algebry Kubusia.

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, koło, miłość, krasnoludek, zbór wszystkich zwierząt ...]

Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies)
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)

Prawa Prosiaczka
Prawa Prosiaczka omówiono szczegółowo w punkcie 1.4

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Przykład 1.
(p=1) = (~p=0)
1.
[pies]=1 - prawdą jest (=1) iż wiem co znaczy pojęcie pies
Prawo Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
Nasz przykład:
(pies=1) = (~pies=0) - na mocy prawa Prosiaczka
stąd zdanie tożsame do 1:
~pies=0 - fałszem jest (=0), że nie wiem (~) co znaczy pojęcie [pies]

Przykład 2.
(~p=1) = (p=0)
2.
agstd=0 - fałszem jest (=0) iż wiem co znaczy pojęcie „agstd”
Prawo Prosiaczka:
(agstd=0) = (~agstd=1)
stąd zdanie tożsame do 2:
~agstd=1 - prawdą jest (=1), że nie wiem (~) co znaczy pojęcie agstd

Prawo Rekina:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.

5.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach

Elementarne działania na zbiorach to:
(+) - suma logiczna zbiorów
(*) - iloczyn logiczny zbiorów
(-) - różnica logiczna zbiorów

5.1.1 Suma logiczna zbiorów

Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
Zdefiniujmy dwa zbiory p i q:
p=[K, T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T, P] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[K,T]+[T,P]=[K,T,T,P] = [K+T+T+P] = [K+T+P] = [K,T,P] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Bo prawo Algebry Boole’a:
p+p =p
Uwaga:
Przecinek przy wyliczaniu elementów zbioru jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) z algebry Boole’a co pokazano i udowodniono wyżej.

5.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów

Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny (zbiór wynikowy jest niepusty)
Y = p*q =0 - gdy zbiory p i q nie mają (=0) elementu wspólnego (są rozłączne)

Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
S - Słoń
Zdefiniujmy zbiory p, q, r:
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T,P] =1 - bo zbiór niepusty
r=[P,S] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[K,T]*[T,P]=[T] =1 - zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny
Y=p*r=[K,T]*[P,S] =[] =0 - zbiory p i r nie mają (=0) elementu wspólnego

Identyczne wyniki można uzyskać poprzez wymnażanie logiczne zbiorów.
Przykład:
p*q = [K+T]*[T+P] = K*T + K*P + T*T + T*P =[] + [] + T + [] = T
bo:
K*T+ K*P + T*P =[]+[]+[] =0+0+0 =0 - iloczyn logiczny „*” zbiorów (pojęć) rozłącznych jest zbiorem pustym []
T*T =T
bo prawo algebry Boole’a:
p*p =p
Jak widzimy, przy wyliczaniu elementów zbioru przecinek jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) rodem z algebry Boole’a.

5.1.3 Różnica (-) zbiorów

Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q

Oznaczmy:
K - Kubuś
T - Tygrysek
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T] =1 - bo zbiór niepusty
Stąd:
Y=p-q = [K,T]-[T] =[K+T-T] =[K] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=q-p =[K]-[K,T]=[K-(K+T]=[K-K-T]= [] + [-T] =[-T] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty
Prawo odejmowania zbiorów:
Jeśli w operacji odejmowania zbiorów wynikowy zbiór jest z minusem {-} to taki zbiór zamieniamy na zbiór pusty [].

5.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów

Przypomnijmy znane już definicje podstawowe.

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, miłość, krasnoludek, ZWZ, LN ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies)
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)

Prawo Rekina:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)

Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum.
Zauważmy, że zaledwie 40 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na Ziemi.
Podobnie będzie z algebrą Kubusia, aktualnie wyłącznie mieszkańcy 100-milowego lasu ją znają i rozumieją, ale wkrótce pojęcie „Algebra Kubusia” znane będzie każdemu ziemianinowi od 5-cio latka poczynając, bowiem algebra Kubusia będzie uczona we wszystkich ziemskich przedszkolach - oczywiście w formie zabawy praktycznej, bez teorii którą znają wszystkie żywe stworzenia, nie będąc tego świadomym.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)

Definicja dziedziny absolutnej DA:
Dziedzina absolutna DA to zbiór wszelkich pojęć możliwych do zdefiniowania w naszym Wszechświecie.

Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z dziedziną absolutną DA.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum U to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Zbiór pusty zawiera nieskończenie wiele pojęć niezrozumiałych dla człowieka, jeszcze niezdefiniowanych. Definiować elementy w naszym Wszechświecie może wyłącznie człowiek, świat martwy sam sobie nic nie definiuje.

Przed pojawieniem się człowieka na ziemi zawartość zbioru pustego była taka:
[] - wszystkie elementy naszego Wszechświata w sensie absolutnym, nie ma jeszcze człowieka który by cokolwiek definiował.

W dniu dzisiejszym sytuacja jest inna, taka:
Kod:

T1
Algebra Kubusia:
-------------------------------------------------------------------
| Zbiór pusty []                   | Uniwersum U                  |
| Pojęcia jeszcze przez człowieka  | Pojęcia przez człowieka już  |
| niezdefiniowane                  | zdefiniowane                 |
| Niezrozumiałe dla człowieka      | Zrozumiałe dla człowieka     |
|                                  |                              |
-------------------------------------------------------------------
|                         DA - dziedzina absolutna                |
-------------------------------------------------------------------

Na mocy powyższego zachodzi:
[] = ~U - zbiór pusty [] to zaprzeczenie Uniwersum U w dziedzinie absolutnej DA
U = ~[] - zbiór Uniwersum U to zaprzeczenie zbioru pustego [] w dziedzinie absolutnej DA

Na mocy definicji dziedziny absolutnej mamy:
1: U+~U = U+[] =U =1
2: U*~U = U*[] =[] =0
Komentarz:
1.
Do zbioru Uniwersum (pojęcia zrozumiałe dla człowieka) możemy dodać elementy ze zbioru ~U (pojęcia niezrozumiałe dla człowieka np. kgstl), ale na mocy definicji Uniwersum wszelkie takie elementy musimy natychmiast usunąć, inaczej gwałcimy definicję Uniwersum.
2.
U*~U=[] =0
Iloczyn logiczny elementów ze zbioru U (pojęcia zrozumiałe dla człowieka) i ~U (pojęcia niezrozumiałe dla człowieka) jest zbiorem pustym tzn. nie ma ani jednego elementu wspólnego w zbiorach U i ~U=[].

Prawo Owieczki:
Prawdziwe jest zdanie ziemskich matematyków iż „ze zbioru pustego [] wynika wszystko” wtedy i tylko wtedy gdy definicje zbioru pustego [] i Uniwersum U będą zgodne z definicjami obowiązującymi w algebrze Kubusia.

5.2.1 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach

Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q

I Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość logiczna [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów

Tożsame znaczki tożsamości logicznej:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)

Co wynika z I prawa Słonia?
Zobaczmy to na przykładzie.

Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
Innymi słowy:
Każda liczba podzielna przez 8 jest podzielna przez 2
A1: P8=>P2 =1
Ustalmy punkt odniesienia:
p=P8
q=P2
Stąd:
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
A1: p=>q =1
Z prawa Słonia wynika że:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Relację podzbioru P8=>P2 każdy matematyk bez trudu udowodni.

5.2.2 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach

Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q

II Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Dowód prawa Tygryska:
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Dowód prawa Tygryska:
B1: p~>q = p+~q = ~q+p = B3: q=>p
cnd

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów

Tożsame znaczki tożsamości logicznej:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)

Co wynika z II prawa Słonia?
Zobaczmy to na przykładzie.

Przykład:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
B1: P2~>P8 =1
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p=P2
q=P8
Stąd:
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
B1: p~>q =1
Z II prawa Słonia wynika że:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2
Wniosek:
Aby udowodnić iż zbiór P2 jest nadzbiorem ~> zbioru P8 potrzeba i wystarcza udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
co każdy matematyk bez trudu udowodni.

5.3 Dziedzina

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy

Ograniczeniem górnym w definiowaniu dziedziny jest Uniwersum (zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka)
Zbiór pusty [] to zero pojęć zrozumiałych dla człowieka, zatem na tym zbiorze nie możemy operować
Wniosek:
Z definicji nie możemy przyjąć zbioru pustego za dziedzinę.

5.3.1 Zaprzeczenie zbioru

Definicja zaprzeczenia (~) zbioru:
Zaprzeczeniem (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D
~p=[D-p]

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Zaprzeczenie zbioru (~) = Negacja zbioru (~)

Uwaga:
Aby zapisać zbiór ~p będący negacją zbioru p musimy określić wspólną dziedzinę dla zbiorów p i ~p
Definicja dziedziny:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, iloczyn logiczny zbiorów jest zbiorem pustym []

Przykład:
K = Kubuś
T = Tygrysek
p=[K] - definiujemy zbiór p
D=[K,T] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] = [(K+T)-K]=[T]

5.3.2 Nazwa własna zbioru

Rozróżniamy dwa rodzaje zbiorów ze względu na nazwę:
- zbiory mające nazwę własną
- zbiory nie mające nazwy własnej

Definicja nazwy własnej zbioru:
Nazwa własna zbioru to nazwa jednoznacznie opisująca dany zbiór w sposób zrozumiały dla wszystkich ludzi

Przykład zbioru mającego nazwę własną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt

Przykład zbioru nie mającego nazwy własnej:
p = [ZWZ, miłość, samolot]

W języku potocznym z oczywistych względów użyteczne są wyłącznie dziedziny mające nazwy własne, zrozumiałe dla wszystkich, gdzie nie trzeba wypisywać wszystkich pojęć zawartych w dziedzinie.

5.3.3 Dziedzina użyteczna w języku potocznym

Definicja dziedziny użytecznej w języku potocznym:
Dziedzina użyteczna w języku potocznym do dowolny zbiór na którym operujemy mający nazwę własną nie będący Uniwersum.

Uniwersum - zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
W języku potocznym nikt nie używa pojęcia Uniwersum w przeciwieństwie do np. zbioru wszystkich zwierząt.

Rozważmy poniższe dziedziny (ZWZ, ZWS, U) mające nazwy własne:

Weźmy zbiór jednoelementowy:
P=[pies] - zbiór P zawiera tylko jeden element [pies].
Uwaga:
Nie jest tu istotne że różnych psów jest bardzo dużo bo:
pies Jasia = pies Zuzi = po prostu [pies]
[pies]+[pies] = [pies] - prawo algebry Boole’a (p+p=p)
Pojęcia [pies] są tożsame, nieistotne jest że jeden pies należy do Jasia a drugi do Zuzi.
[pies]*[pies] = [pies] - prawo algebry Boole’a (p*p=p)

ZWZ.
Dla zbioru P=[pies] przyjmijmy dziedzinę:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy zbiór ~P:
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt minus jeden element P=[pies]

ZWS.
Dla zbioru P=[pies] przyjmijmy dziedzinę:
ZWS - zbiór wszystkich ssaków
Stąd mamy zbiór ~P:
~P=[ZWS-P] - zbiór wszystkich ssaków minus jeden element P=[pies]

Wnioski:
Przyjęte dziedziny ZWZ i ZWS mają poprawne nazwy własne należące do Uniwersum i nie są tożsame z Uniwersum, zatem te dziedziny są poprawne matematycznie i są to dziedziny użyteczne.
a)
Dziedzina ZWZ wskazuje nam, że interesuje nas wyłącznie zbiór wszystkich zwierząt, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWZ są dla nas puste z definicji.
b)
Dziedzina ZWS mówi nam że operujemy na zbiorze wszystkich ssaków, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWS są dla nas puste z definicji.

Przykład:
Twierdzenie proste Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK =1
W twierdzeniu Pitagorasa dziedziną użyteczną jest:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Dziedzina ZWT wskazuje nam, że interesują nas wyłącznie trójkąty, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWT są dla nas puste z definicji
Nie interesują nas tu żadne pojęcia spoza dziedziny ZWT, o czym w praktyce każdy matematyk wie. Nikt nie będzie brał do ręki koła i sprawdzał czy zachodzi w nim suma kwadratów.

5.4 Definicja definicji

Definicja definicji:
W świecie człowieka (bo tylko on świadomie definiuje) definicja dowolnego pojęcia jest matematycznie poprawna wtedy i tylko wtedy jest jednoznaczna w Uniwersum człowieka.

Innymi słowy:
Definicja dowolnego pojęcia jest matematycznie poprawna wtedy i tylko wtedy gdy jest jedyna w całym obszarze Uniwersum.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)

Przykład poprawnej definicji:
Pies to zwierzę domowe, szczekające
P = ZD*S=1*1=1
To jest minimalna, jednoznaczna definicja psa rozumiana przez każdego 5-cio latka.
Oznacza to że pojęcia P oraz ZD*S są matematycznie tożsame P=ZD*S, czyli są w relacji równoważności P<=>ZD*S w całym obszarze Uniwersum

Przykład błędnej definicji:
[link widoczny dla zalogowanych]
Zwierzę domowe, hodowlane, występujące nad Wisła – podać jego odgłos

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p)= p<=>q

Dla B3 zastosujmy prawo kontrapozycji:
B3: q=>p = B2: ~p=>~q

Stąd mamy tożsamą definicję tożsamości zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1

Przykład:
A1.
Jeśli coś jest psem (P) to na 100% => jest psem (P)
A1: P=>P =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Gdzie:
p=q = [pies] – jednoelementowy zbiór [Pies]
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym => by być psem
Bycie psem daje nam gwarancję matematyczną => iż jesteśmy psem
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => Gwarancja matematyczna
W zdaniu A1 definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór p=P[pies] jest podzbiorem => zbioru p=P[pies]
Innymi słowy:
Każdy zbiór jest podzbiorem siebie samego, także zbiór jednoelementowy p=P[pies]

Obliczanie zaprzeczenia zbioru p=P[pies] oraz zaprzeczenia zbioru q=P[pies]
1.
Mamy zbiór jednoelementowy:
p=P(pies)
Definiujemy zbiór q również jednoelementowy:
q=P(pies)
Przyjmijmy za dziedzinę:
U (Uniwersum) – wszelkie pojęcia zrozumiałe da człowieka
2.
Obliczamy zaprzeczenie zbioru jednoelementowego p=P[pies] rozumianego jako jego uzupełnienie do dziedziny Uniwersum.
~p=~P=[U-P] = [kot, kura, miłość, samochód, krasnoludek ..] - wszystkie elementy Uniwersum z wykluczeniem „psa”
3.
Obliczamy zaprzeczenie zbioru jednoelementowego q=P[pies] rozumianego jako jego uzupełnienie do dziedziny Uniwersum.
~q=~P=[U-P] = [kot, kura, miłość, samochód, krasnoludek ..] - wszystkie elementy Uniwersum z wykluczeniem „psa”
Stąd:
~p=~q = ~P=[U-[pies]) = [kot, kura, miłość, samochód, krasnoludek ..] - wszystkie elementy Uniwersum z wykluczeniem „psa”

… a jeśli coś nie jest psem?
Wyżej obliczyliśmy iż:
~p=~q = ~P=[U-[pies] = [kot, kura, miłość, samochód, krasnoludek ..] - wszystkie elementy Uniwersum z wykluczeniem „psa”

Stąd mamy:
B2.
Jeśli coś nie jest psem (~P) to na 100% => nie jest psem (~P)
B2: ~P=>~P=1
to samo w zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q=1
Nie bycie psem (~P) jest warunkiem wystarczającym => do tego by nie być psem (~P)

Podstawiając wyprowadzony wyżej zbiór ~p=~q=~P mamy:
~p=[U-[pies]) = [kot, kura, miłość, samochód, krasnoludek ..] => ~q=[U-[pies]) = [kot, kura, miłość, samochód, krasnoludek ..] =1
Definicja warunku wystarczającego => B2 jest (=1) spełniona bo każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => siebie samego
cnd

5.5 Skąd biorą się prawa logiki matematycznej?

Wszelkie prawa logiki matematycznej wyznacza świat martwy (w tym matematyka).
Świat żywy nie nadaje się do wyznaczania praw logiki matematycznej ze względu na definicję „wolnej woli” którą ma każda istota żywa, człowiek nie jest tu wyjątkiem.

Definicja „wolnej woli” istot żywych:
„Wolna wola” istot żywych to możliwość gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy i matematykę.

Dokładnie z powyższego powodu o logice matematycznej możemy dyskutować pewnie i niezawodnie wyłącznie na gruncie świata martwego i matematyki pozbawionego „wolnej woli”.
Związek praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy i matematykę ze światem żywym poznamy w dalszej części podręcznika - obsługa obietnic i gróźb.

5.5.1 Prawo Kangurka i prawo Kangura

Prawo Kangurka:
W języku potocznym wszelkie przeczenia występujące w zdaniu muszą być uwzględnione w zapisie aktualnym np. {CH,~CH}
1: CH=1 - prawdą jest (=1), iż jest pochmurno (CH)
2: ~CH=1 - prawdą jest (=1), iż nie jest pochmurno (~CH)

I Prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
Dla naszego przykładu mamy tożsamość zdań 1 i 1’:
1: (CH=1) = 1’: (~CH=0)
1: CH=1 - prawdą jest (=1), iż jest pochmurno (CH)
1’: ~CH=0 - fałszem jest (=0) iż nie jest pochmurno (~CH)
Poprawność prawa Prosiaczka jest oczywista: 1=1'

II Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
Podobnie dla naszego przykładu zachodzi tożsamość zdań 2 i 2’:
2: (~CH=1) = 2’: (CH=0)
2: ~CH=1 - prawdą jest (=1), iż nie jest pochmurno (~CH)
2’: CH=0 - fałszem jest (=0), iż jest pochmurno (CH)
Poprawność prawa Prosiaczka jest oczywista: 2=2'

Uwaga:
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, stąd zdania 1 i 2 można zapisać krótko w następujący sposób:
1: CH - jest pochmurno
2: ~CH - nie jest pochmurno
Doskonale widać, że mamy teraz pełną zgodność z językiem potocznym, gdzie nikt nie operuje jedynkami - bo te są domyślne.

Przykład zapisu zdania w algebrze Kubusia z uwzględnieniem jedynek:
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padać (~P=1)
~CH=>~P=1
co w logice jedynek oznacza:
(~CH=1)=>(~P=1)=1
Brak chmur (~CH=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie padania (~P=1), bo zawsze gdy nie ma chmur (~CH=1), nie pada (~P=1)

Zapis tożsamy powyższego zdania w języku potocznym z pominięciem jedynek:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padać (~P)
~CH=>~P=1
Brak chmur (~CH) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie padania (~P), bo zawsze gdy nie ma chmur (~CH), nie pada (~P)

Zachodzi tożsamość słownych zapisów matematycznych (tożsamość zdań):
B2: (~CH=1)=>(~P=1) = B2’: ~CH=>~P

W niniejszym podręczniku będziemy dość konsekwentnie stosować zapis słowny B2, by odzwyczaić ziemskich matematyków od badziewia zwanego Klasycznym Rachunkiem Zdań, gdzie w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” poprzednik p i następnik q są stałymi binarnymi (zdaniami twierdzącymi) o znanej z góry wartości logicznej.
W algebrze Kubusia w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” poprzednik p i następnik q to zmienne binarne o nieznanej z góry wartości logicznej.
Małe, a robi fundamentalną różnicę.

Prawo Kangura:
W algebrze Kubusia wszelkie przeczenia występujące w zmiennych aktualnych np. {~CH} muszą być przeniesione do zapisu formalnego np. {~p}

Przykład:
1: p = CH (chmury) - funkcja logiczna p w logice dodatniej (bo p)
Negując dwustronnie powyższą funkcję logiczną mamy:
2: ~p=~CH (nie chmury) - funkcja logiczna ~p w logice ujemnej (bo ~p)
Zauważmy, że między 1 i 2 zachodzi definicja znaczka #:
1: p=CH # 2: ~p=~CH
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
p - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo p)
~p - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~p)

Zauważmy, że teoretycznie możemy sobie podstawić:
s=~p
i zapisać tak:
1: p=CH # 2: s=~CH
Znając podstawienie powyższy zapis też jest poprawny, tyle że kłania się brzytwa Ockhama.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin