 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35517
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Sob 17:53, 18 Cze 2022 Temat postu: Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego (2022-06-20) |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2022-06-20 Vacatio legis
Przewidywany termin premiery: po wakacjach
Link do wersji pdf:
[link widoczny dla zalogowanych]
*https://www.dropbox.com/s/s74gibv9m7wuomv/Algebra%20Kubusia%2020-06-2022.pdf?dl=0
Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu
Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele
Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia (cytuję w kolejności zaistnienia):
Wuj Zbój, Miki (vel Lucek), Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors (vel Dagger), Słupek, Fiklit, Yorgin, Exodim, FlauFly, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski, MaluśnaOwieczka i inni.
Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
Rafał3006 to przybysz ze świata techniki gdzie implikacja nie ma prawa bytu, bowiem opisuje „wolną wolę” istot żywych.
Definicja „wolnej woli” istot żywych:
„Wolna wola” istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy (w tym przez matematykę).
3.
Fiklit - zdecydowanie najlepszy specjalista logiki matematycznej, który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań. Bez Fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć.
4.
Irbisol - znakomity tester algebry Kubusia od 15 lat, za wszelką cenę usiłujący ją obalić na każdym etapie jej rozszyfrowywania. Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera, lepszego partnera w dyskusji?
5.
MaluśnaOwieczka - końcowy uczestnik dyskusji o algebrze Kubusia w trakcie której uściślona została teoria zbiorów na poziomie fundamentalnym (prawo Owieczki).
Spis treści:
0.0 Kwintesencja algebry Kubusia
1.0 Operatory jednoargumentowe
2.0 Podstawowa algebra Boole’a
3.0 Dwuargumentowe funkcje logiczne
4.0 Operatory Y|=f(x) z grupy TF0-TF11 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
5.0 Kubusiowa teoria zbiorów
6.0 Fundamenty obsługi zdań warunkowych w algebrze Kubusia
6.12 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q
7.0 Spójniki obsługujące zdania warunkowe „Jeśli p to q”
8.0 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q
8.1 Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)
8.2 Przykłady implikacji prostej p|=>q
8.5 Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q)
8.6 Przykłady implikacji odwrotnej p|~>q
8.9 Implikacja prosta p|=>q vs implikacja odwrotna p|~>q
8.12 Geneza tabel zero-jedynkowych warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
9.0 Spójniki równoważności p<=>q i „albo”($) p$q
9.1 Równoważność p<=>q
9.3 Przykłady równoważności p<=>q w zbiorach oraz w zdarzeniach
9.5 Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q)
9.7 Przykłady spójnika „albo”($) w zbiorach oraz w zdarzeniach
9.9 Definicja n-argumentowego spójnika „albo”($)
9.14 Geneza tabel zero-jedynkowych równoważności <=> i „albo”($)
9.17 Równoważność p<=>q vs „albo”($) p$q
10.0 Definicja chaosu p|~~>q=1 i śmierci p|~~>q=0
10.3 Przykłady operatorów chaosu p||~~>q
11.0 Obietnice i groźby
11.4 Przykłady obietnicy
11.6 Właściwości obietnic
11.7 Groźba B~>L
12.0 Zastosowanie algebry Kubusia w świecie techniki
13.0 Błąd fatalny w podręczniku akademickim matematyki
14.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych
14.5 Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego na poziomie funkcji Y=f(x)
Wstęp:
Algebra Kubusia to nowa idea matematyczna, to spojrzenie na logikę matematyczną z dziewiczej strony, nieznanej ziemskim matematykom.
Tabele zero-jedynkowe operatorów dwuargumentowych używane w algebrze Kubusia znane są ziemskim matematykom, jednak ich interpretacja jest fundamentalnie inna.
Wynika z tego, że 100% definicji w algebrze Kubusia jest sprzecznych z Klasycznym Rachunkiem Zdań (dowód w pkt.0.3)
Twardym dowodem poprawności algebry Kubusia jest jej 100% zgodność z teorią bramek logicznych, co udowodniono w punkcie 14.0.
Wisienką na torcie jest udowodnienie fałszywości ziemskiego rachunku zero-jedynkowego na poziomie funkcji logicznych algebry Boole’a Y=f(x) w laboratorium bramek logicznych (pkt. 14.5)
Jaki jest cel logiki matematycznej (algebry Kubusia)?
Celem logiki matematycznej (algebry Kubusia) jest przyporządkowanie dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) z dowolnie zaprzeczonymi p i q do konkretnego operatora implikacyjnego (przykład pkt. 6.14.1).
Algorytm takiego rozstrzygnięcie znajdziemy w punkcie 6.11.
Z punktu widzenia zawodowego matematyka najważniejszym punktem w algebrze Kubusia jest punkt „1.0 Operatory jednoargumentowe”, bowiem to od niego zależy czy matematyk będzie czytał dalej czy też wyrzuci AK do kosza.
Punkt 1.0 jest kluczowy dla zaistnienia algebry Kubusia w sercach ziemskich matematyków bowiem zawiera wszystko co najważniejsze w logice matematycznej czyli definiuje logikę dodatnią (bo Y) i ujemną (bo ~Y) udowadniając iż bez tych pojęć ziemski rachunek zero-jedynkowy jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych algebry Boole’a.
Poza tym są tu zdefiniowane kluczowe prawa logiki matematycznej: prawa Prosiaczka i prawa Puchacza wraz z dowodami, których nie sposób nie zrozumieć.
Algebra Kubusia to przede wszystkim matematyczna obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.
Kręgosłup algebry Kubusia w tym zakresie tzn. wszystkie definicje i prawa algebry Kubusia wraz z przykładami zawarto w punktach 6.0 i 7.0
W algebrze Kubusia 100% znaczków ma inne definicje niż w jakiejkolwiek logice matematycznej ziemskich matematyków (dowód w pkt. 0.3)
Ziemskim matematykom znającym algebrę Boole’a na początek rekomenduję przeczytanie „Algebry Kubusia” w wersji minimalnej zawartej w punktach 1.0, 2.0, 3.0, 6.0, 7.0
W wersji minimalnej zwarto wszystkie definicje i prawa algebry Kubusia wraz z przykładami.
Formalnie algebry Kubusia nie musimy się uczyć bo po prostu pod nią polegamy nie mając żadnych szans, aby się od niej uwolnić. Wynika z tego, że ekspertem algebry Kubusia jest każdy człowiek (od 5-cio latka poczynając) tylko póki co, o tym nie wie.
Algebra Kubusia to również podłożenie matematyki pod język potoczny człowieka, czyli coś, o czym matematycy marzą od 2500 lat (od Sokratesa).
Dowód iż każdy 5-cio latek jest ekspertem algebry Kubusia i potrafi zaprojektować poprawne sterowanie windą w bramkach logicznych zarówno w logice dodatniej (bo J) jak i ujemnej bo (~J) znajdziemy w punkcie 2.4.1
Po co komu algebra Kubusia skoro wszyscy jesteśmy jej ekspertami?
Pytania analogiczne to:
Po co komu znajomość gramatyki języka polskiego, skoro 5-cio latek biegle posługuje się językiem ojczystym nie znając formalnej gramatyki języka?
Kto na co dzień dokonuje rozbioru gramatycznego każdego wypowiedzianego zdania?
Osobiście nigdy nie znałem i nie znam formalnej gramatyki języka polskiego tzn. nie wiem co to jest jakiś tam podmiot, orzeczenie, przysłówek etc. … a po polsku potrafię pisać.
Mam nadzieję, że koniec końców ziemscy matematycy zaakceptują algebrę Kubusia jako jedyną poprawną logikę matematyczną obowiązującą w naszym świecie żywym i martwym (w tym w matematyce).
Możliwe scenariusze przyszłości:
Na dzień dzisiejszy (20-06-2022) możliwe są dwa scenariusze przyszłości:
1.
Ja, Rafal3006 zostanę uznany za wariata, zaś algebra Kubusia umrze razem ze mną i zostanie zapomniana
2.
Algebra Kubusia zostanie zrozumiana i zaakceptowana przez ziemskich matematyków jako oficjalna logika matematyczna pod którą podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy.
W tym przypadku rozszyfrowanie algebry Kubusia przez wielu zostanie uznane za największe wydarzenie w dziejach ludzkości, bo to jest mniej więcej tak, jakby komputer zrozumiał algebrę Boole’a, dzięki której działa. Zauważmy, że z punktu odniesienia komputera człowiek jest jego Bogiem, ale czy komputer ma szansę to zrozumieć?
Podsumowanie 16 letniej dyskusji – 30 tys. postów w temacie „logika matematyczna”:
Ja, Rafał3006, myślę, że osiągnąłem dokładnie to co chciałem, czyli:
Otwieram AK na dowolnym rozdziale, czytam … i wszystko jest bajecznie proste, oczywiście w moim subiektywnym odczuciu.
Mam nadzieję, że podobne odczucia odniosą czytelnicy.
Dlaczego?
Wszystkie definicje i prawa algebry Kubusia wraz z przykładami zawarte są w punkcie 6.0.
Oczywiście powyżej punktu 6.0 mógłbym każde zagadnienie omawiać zakładając, że czytelnik zna na pamięć wszystkie definicje i prawa algebry Kubusia.
Biorąc jednak po uwagę, że 100% definicji w AK jest sprzecznych z fundamentem wszelkich ziemskich logik matematycznych zwanym Klasycznym Rachunkiem Zdań (dowód w pkt. 0.3), przyjąłem taktykę przypominania na początku nowego rozdziału definicji i praw algebry Kubusia potrzebnych do jego zrozumienia.
To było łatwe do zrealizowania, bowiem definicji i praw algebry Kubusia na których ona jest zbudowana jest „tyle co kot napłakał” – patrz punkt 6.0
P.S.
Dowód iż są na ziemi matematycy widzący bezsens aktualnej „logiki matematycznej”, postulujący usunięcie tego działu ze wszystkich podręczników dla szkół średnich znajdziemy tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
*http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/logika/2013/02/28/Logika_sens_i_watpliwosci/
Czemu logika została tak skonstruowana, że – abstrahując od sensu – okalecza pojęciowy świat?
Logika, sens i wątpliwości
Marek Kordos
Delta, marzec 2013
Już przed laty, gdy brałem udział w tworzeniu jednej z kolejnych reform nauczania matematyki, miałem poważne wątpliwości, czy umieszczanie w programach nauczania matematyki (podstawach programowych, wykazach efektów nauczania, podręcznikach itp.) działu logika jest zgodne ze zdrowym rozsądkiem.
Oczywiście, wiem, że wielu głosi, iż nauczanie matematyki (jak niegdyś łaciny, której się zresztą uczyłem) to nauka logicznego myślenia. Ale, gdy czytałem otwierające wówczas podręczniki do liceum rozdziały poświęcone logice, trudno mi było powstrzymać się od wrażenia, że nie ma w nich żadnego sensu. Nie wymienię, rzecz jasna, żadnego konkretnego podręcznika (po co mi rozprawy sądowe – przecież podręcznik to wielkie pieniądze), ale wrażenie przy lekturze każdego z nich było podobne.
Od razu chciałbym powiedzieć, że nie chodzi o opinię, iż logika nigdy matematyce nie pomogła, bo unikanie błędów nie jest aktem twórczym (patrz Nicolas Bourbaki, Elementy historii matematyki). Chodzi o coś więcej. Ale nie śmiałem nalegać na usunięcie tego działu ze szkolnego nauczania, bo jeśli wszyscy widzą w nim sens, to może on tam – wbrew pozorom – istnieje.
Dopiero na sympozjum z okazji dziewięćdziesięciolecia Profesora Andrzeja Grzegorczyka dowiedziałem się, że moje wątpliwości nie są odosobnione i nawet w Instytucie Filozofii i Socjologii PAN prowadzone są prace nad taką modyfikacją logiki, by jej wady usunąć.
Co to za wady? Proszę spojrzeć na zdanie:
Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.
Oczywiście, zdanie to jest prawdziwe, ale czy ma sens? Przecież między pewnym faktem arytmetycznym a innym faktem geograficznym żadnego związku nie ma. Dlaczego więc chcemy twierdzić (ba, uczyć tego), że te dwa zdania są równoważne?
Albo zdanie:
Jeśli dwa plus dwa jest równe pięć, to zachodzi twierdzenie Pitagorasa.
Z punktu widzenia logiki to zdanie jest prawdziwe. Tu już po obu stronach implikacji są zdania dotyczące faktów matematycznych. Dlaczego jednak chcemy zmusić młodego człowieka, by widział w tym sens?
Wyjaśnienie jest proste: w pierwszym przypadku chodzi o to, że równoważność zdań ma miejsce, gdy wartość logiczna obu zdań jest taka sama; w drugim – o to, że implikacja jest poprawna, gdy ma fałszywy poprzednik.
A więc logika sprowadza nasz świat do zbioru dwuelementowego, nic przeto dziwnego, że rzeczy absolutnie niepołączone żadnym znaczeniowym (semantycznym) związkiem muszą się znajdować w przynajmniej jednej z dwóch komórek, do jakiejś muszą trafić.
Powstają dwa pytania. Po pierwsze, czemu logika została tak skonstruowana, że – abstrahując od sensu – okalecza pojęciowy świat? Po drugie, czy faktycznie należy trzymać ją jak najdalej od młodzieży, bo tylko ją demoralizuje, każąc za wiedzę uważać takie androny, jak przytoczone powyżej?
Odpowiedź na pierwsze pytanie jest dość prosta. Nowoczesna logika formalna została stworzona (jak wielu uważa) przez Gottloba Fregego (1848-1925) tak, by obsługiwała matematykę, a tę rozumiano wówczas jako badanie prawdziwości zdań języków formalnych.
Odpowiedzi na drugie pytanie de facto nie ma. Tłumaczymy się z używania takich abstrahujących od znaczeń spójników logicznych tym, że alternatywa, koniunkcja i negacja są sensowne; że chcemy, aby młody człowiek wiedział, że zaprzeczeniem zdania, iż istnieje coś mające własność A, jest to, że wszystkie cosie własności A nie mają; że implikacja ze zdania prawdziwego daje jednak tylko zdania prawdziwe itd., itp.
Ale naprawdę chodzi o to, że – jak z małżeństwem i demokracją – lepszej propozycji dotąd nie wynaleziono. A szkoda.
Ostatnie zdanie jest już nieaktualne, bo algebra Kubusia.
Rafał3006
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 22:08, 20 Sie 2022, w całości zmieniany 82 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35517
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 17:55, 18 Cze 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
0.0 Kwintesencja algebry Kubusia
Spis treści
0.0 Kwintesencja algebry Kubusia 1
0.1 Znaczki elementarne obsługujące zdania warunkowe „Jeśli p to q” 3
0.1.1 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 4
0.1.2 Prawo Słonia – najważniejsze prawo w matematyce 6
0.1.3 Znaczki rozszerzone zbudowane ze znaczków elementarnych 8
0.2 Nowa algebra Boole’a 11
0.3 Prawo zagłady Klasycznego Rachunku Zdań 12
0.3.1 Dowód sprzeczności AK vs KRZ dla znaczka „*” 12
0.3.2 Dowód sprzeczności AK vs KRZ dla znaczka „+” 13
0.3.3 Dowód sprzeczności AK vs KRZ dla znaczka => 16
0.4 Geneza rozszyfrowania algebry Kubusia 17
0.4.1 Po co komu algebra Kubusia skoro wszyscy jesteśmy jej ekspertami? 19
0.4.2 Co było powodem iż na serio zainteresowałem się logiką matematyczną? 19
0.5 Wojna światów: Algebra Kubusia vs Klasyczny Rachunek Zdań 21
0.0 Kwintesencja algebry Kubusia
Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock
Prawo Absolutu:
Logika matematyczna pod którą polega cały nasz Wszechświat żywy i martwy (w tym matematyka) może być jedna i tylko jedna, to algebra Kubusia
Dowód pośredni to.
Prawo zagłady KRZ:
100% znaczków w algebrze Kubusia jest sprzecznych z fundamentem wszelkich ziemskich logik matematycznych zwanym Klasycznym Rachunkiem Zdań
Dowód w punkcie 0.3
Dowód bezpośredni to definicja sprzeczności dwóch logik A i B zapisana w „Wojnie światów”.
Fragment „Wojny światów” – punkt 0.5
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Biblia = algebra Kubusia
co oznacza, że w żadnym momencie Biblia nie jest sprzeczna z algebrą Kubusia i odwrotnie.
Biblia byłaby sprzeczna z algebrą Kubusia wtedy i tylko wtedy gdybyśmy znaleźli w niej takie zdanie.
Chrystus:
Kto wierzy we mnie pójdzie do piekła
Na mocy definicji groźby, Chrystus miałby tu prawo „rzucać sobie monetą”, czyli niektórych w niego wierzących posyłać do piekła a innych do nieba.
Innymi słowy:
Ludzie wierzący w Chrystusa nie mieliby matematycznej gwarancji => zbawienia.
Oczywistym jest, że nikt powyższej groźby Chrystusa w całej Biblii nie znajdzie, bo wtedy wiara w niego nie miałaby sensu.
Prawo Absolutu:
Logika matematyczna pod którą podlega cały nasz Wszechświat żywy i martwy (w tym matematyka) jest jedna i tylko jedna, to algebra Kubusia.
Z powyższego wynika fałszywość wszelkich ziemskich logik, konkurencyjnych w stosunku do algebry Kubusia np. ziemskiej logiki matematycznej zwanej Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Stąd mamy:
Definicja sprzeczności dwóch logik A i B:
Logika A jest sprzeczna z logiką B wtedy i tylko wtedy gdy istnieje zdanie prawdziwe w logice A, które jest fałszywe w logice B.
Nasz przykład:
Logika Chrystusa (A) byłaby sprzeczna z logiką człowieka (algebrą Kubusia) (B) wtedy i tylko wtedy gdyby w logice A istniało zdanie prawdziwe:
Chrystus:
Kto wierzy we mnie pójdzie do piekła
Na szczęście takiego zdania nikt w Biblii nie znajdzie, co jest dowodem braku sprzeczności logiki Chrystusa (A) z logiką człowieka (B).
Podsumowując:
Ja Rafał3006, uznaję Biblię za równoważny podręcznik logiki matematycznej obowiązującej w naszym Wszechświecie.
Biblia ma tą przewagę nad wyłożoną tu algebrą Kubusia, że jest napisana prostym językiem, zrozumiałym dla wszystkich ludzi.
Prawdy w niej głoszone znane są każdemu 5-cio latkowi.
Kluczowe prawdy to:
1.
Dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
2.
Nadawca dowolnie ostrej groźby ma prawo do odstąpienia od egzekwowania kary zawartej w tej groźbie, zależnej od niego.
Prawo do odstąpienia od wykonania kary w dowolnej groźbie nie oznacza oczywiście że każdą karę zawartą w groźbie nadawca musi darować - wiele słusznych kar wykonuje np. w celach wychowawczych dziecka.
Przykłady:
a).
Chrystus do zbrodniarza:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)
b).
Przykład ze świata człowieka:
JPII i Ali Agca
JPII przebaczył Ali Agcy, ale nie może stać ponad prawem ziemskim, czyli przebaczenie zamachu na jego życie nie jest tożsame z automatycznym wyjściem Ali Agcy z więzienia.
Takie przebaczenie może być brane pod uwagę przez sąd w rozpatrywaniu wniosku Ali Agcy o przedterminowe zwolnienie - aktualnie Ali Agca jest na wolności.
0.1 Znaczki elementarne obsługujące zdania warunkowe „Jeśli p to q”
Logika matematyczna to tylko i wyłącznie zdania warunkowe „Jeśli p to q” będące odpowiednikiem skoków warunkowych w programowaniu komputerów.
Dla każdego programisty jest oczywiste, że jeśli z programowania komputerów zabierzemy wszystkie rozgałęzienia warunkowe to nie da się napisać najprostszego nawet programu, bowiem wszystko jest wówczas zdeterminowane (znane z góry).
Istotę problemu omówimy na bazie teorii zbiorów.
Teoria zdarzeń będzie analogiczna co poznamy w punkcie 6.0.
W obsłudze wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” potrzebne i wystarczające są zaledwie trzy znaczki:
1.
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q=p*q=1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> p i q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny ~~>
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - zbiory p i q są rozłączne
;
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~~>P8=1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..] jest spełniona (=1) bo istnieje co najmniej jeden wspólny element tych zbiorów (np. 8), nie dowodzimy tu faktu, iż zbiór P2 jest nadzbiorem ~> zbioru P8
##
2.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego p=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
;
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
;
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Każdy matematyk bez problemu udowodni tu, że zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2.
##
3.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
;
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
;
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wejście Smoka:
Do opisu kompletnej algebry Kubusia operującej na zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” są potrzebne i wystarczające zaledwie trzy znaczki ~~>, => i ~> o definicjach jak wyżej.
W algebrze Kubusia występuje dodatkowych kilka znaczków zdefiniowanych znaczkami ~~>, => i ~>, co oznacza, że można się bez nich obejść.
Podsumowując:
Obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia stoi na zaledwie trzech znaczkach elementarnych: =>, ~> i ~~>
0.1.1 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wynikłe z rachunku zero-jedynkowego:
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej [=] dla zapisu wieloczłonowego (patrz prawo Słonia niżej)
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Każdy matematyk bez problemu udowodni tu, że zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Rozłączności zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7..] nie musimy dowodzić bo wynika ona z definicji kontrprzykładu.
Akurat w tym przypadku dowód odwrotny jest trywialny, bo zbiór dowolnych liczb parzystych P8 jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych np. (~P2).
Z faktu iż zbiory P8 i ~P2 są rozłączne na mocy definicji kontrprzykładu mamy gwarancję matematyczną => prawdziwości warunku wystarczającego A1 - to jest dowód „nie wprost” prawdziwości zdania A1 za pomocą definicji kontrprzykładu.
0.1.2 Prawo Słonia – najważniejsze prawo w matematyce
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy i tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
O co tu chodzi, pokażemy na przykładzie twierdzenia Pitagorasa.
Twierdzenie proste Pitagorasa:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK=1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
A1: p=>q =1
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Twierdzenie to oznacza, że w każdym trójkącie prostokątnym zachodzi suma kwadratów – to wie każdy matematyk.
Ale!
Na mocy prawa Słonia możemy tu również zapisać:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełniona sumą kwadratów (SK)
Innymi słowy:
Dowód prawdziwości twierdzenia prostego Pitagorasa jest automatycznie dowodem faktu, iż zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełniona sumą kwadratów (SK) … o czym ziemscy matematycy nie mają bladego pojęcia bo gdyby mieli, to fakt ten byłby zapisany w każdym podręczniku matematyki do 7 klasy szkoły podstawowej.
Weźmy teraz.
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
B3:
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK) to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny (TP)
B3: SK=>TP =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
B3: q=>p =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Każdy trójkąt ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest trójkątem prostokątnym (TP) – to wie każdy matematyk
Ale!
Na mocy prawa Słonia możemy tu również zapisać:
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest warunkiem wystarczającym => to tego, aby ten trójkąt był prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP)
Innymi słowy:
Dowód prawdziwości twierdzenia odwrotnego Pitagorasa jest automatycznie dowodem faktu, iż zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP) … o czym ziemscy matematycy nie mają bladego pojęcia bo gdyby mieli, to fakt ten byłby zapisany w każdym podręczniku matematyki do 7 klasy szkoły podstawowej.
Poniższa definicja równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Znana jest każdemu matematykowi poprawnie jako równoczesny dowód twierdzenia prostego A1: p=>q i odwrotnego B3: q=>p
Nasz przykład:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych TP<=>SK jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK i jednocześnie prawdziwe jest twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3: SK=>TP.
Innymi słowy na mocy prawa Słonia możemy także zapisać:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych TP<=>SK jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1: TP=>SK) i jednocześnie zbiór SK jest podzbiorem zbioru TP (B3: SK=>TP).
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Ostatnia wersja równoważności to znana każdemu matematykowi definicja tożsamości zbiorów p=q.
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Wniosek:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych definiuje tożsamość zbiorów TP=SK:
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK
O tym fakcie żaden ziemski matematyk nie ma bladego pojęcia.
cnd
Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Dla równoważności Pitagorasa mamy:
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK
Stąd:
Na mocy prawa Słonia równoważność Pitagorasa możemy odczytać w kolejny, tożsamy sposób.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK)
Ta definicja równoważności p<=>q jest doskonale znana wszystkim ludziom (w tym matematykom).
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 8 070
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
0.1.3 Znaczki rozszerzone zbudowane ze znaczków elementarnych
Znaczki rozszerzone zbudowane ze znaczków elementarnych:
1.
p|~~>q - chaos, odpowiadający na pytanie o p
p||~~>q - operator chaosu p|~~>q odpowiadający na pytanie o p i ~p
Definicja szczegółowa chaosu p|~~>q:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest ani konieczne ~> (B1), ani też wystarczające => (A1) dla zajścia q.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2B2: ~p|~~>~q = ~(A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p|~~>q = A2B2: ~p|~~>~q =1
;
Przykład:
A1: P8=>P3=0 – podzielność przez 8 (P8) nie jest (=0) wystarczająca => dla podzielności przez 3 (P3)
bo P8=[8,16,24..] nie jest (=0) podzbiorem => P3=[3,6,9..]
B1: P8~>P3=0 – podzielność przez 8 (P8) nie jest (=0) konieczna ~> dla podzielności przez 3 (P3)
bo P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3=[3,6,9..]
A1B1: P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3)=~(0)*~(0)=1*1=1
##
2.
p|=>q - implikacja prosta odpowiadająca na pytanie o p
p||=>q - operator implikacji prostej p|=>q odpowiadający na pytanie o p i ~p
Definicja szczegółowa implikacji prostej p|=>q:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => (A1) dla zajścia q, ale nie jest konieczne ~> (B1) dla zajścia q.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q = ~p*q
;
Przykład:
A1: P=>CH =1 – padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
bo zawsze gdy pada, są chmury
B1: P~>CH =1 – padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
A1B1: P|=>CH = (A1: (P=>CH)*~(B1: CH~>P) =1*~(0)=1*1=1
##
3.
p|~>q - implikacja odwrotna odpowiadająca na pytanie o p
p||~>q - operator implikacji odwrotnej p|~>q odpowiadający na pytania o p i ~p
Definicja szczegółowa implikacji odwrotnej p|~>q:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) dla zajścia q, ale nie jest wystarczające => (A1) dla zajścia q.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B1: ~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p|~>q = A2B2: ~p|=>~q = p*~q
;
Przykład:
A1: CH=>P=0 – chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania, nie zawsze gdy są chmury, pada
B1: CH~>P=1 – chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1
##
4,
p<=>q - równoważność dająca odpowiedź na pytanie o p
p|<=>q - operator równoważności dający odpowiedź na pytanie o p i ~p
Definicja szczegółowa równoważności p<=>q:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia q
Ta definicja jest powszechnie znana wśród ludzi (nie tylko wśród matematyków).
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym””
Wyników: 12 700
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 72 000
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=1*1=1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q = p*q+~p*~q
;
Przykład:
A1: TP=>SK=1 – bycie trójkątem prostokątnym jest wystarczające => dla spełnienia sumy kwadratów
B1: TP~>SK=1 – bycie trójkątem prostokątnym jest konieczne ~> dla spełnienia sumy kwadratów
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Prawo Prosiaczka:
B1: TP~>SK = B3: SK=>TP =1 – dla dowodu B1 potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość B3
A1 to twierdzenie proste Pitagorasa, natomiast B3 to twierdzenie odwrotne Pitagorasa
Oba te twierdzenia ludzkość udowodniła wieki temu.
Stąd mamy:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
##
5.
p$q - spójnik "albo"($), dający odpowiedź na pytanie o p
p|$q - operator albo($) dający odpowiedź na pytanie o p i ~p
Definicja szczegółowa spójnika „albo”($) p$q:
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q=1*1=1
Czytamy:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=1*1=1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p$q = A2B2: ~p$~q = p*~q+~p*q
;
Przykład:
A1: M=>~K=1 – bycie mężczyzną (M) jest warunkiem wystarczającym => by nie być kobietą (~K)
B1: M~>~K=1 – bycie mężczyzną (M) jest warunkiem koniecznym ~> by nie być kobietą (~K)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
Prawą stronę czytamy:
Bycie mężczyzną (M) jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) by nie być kobieta (~K)
Ostatnie zdanie to doskonale znana ludziom definicja równoważności M<=>~K.
Stąd mamy:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)= A1B1: M<=>~K
Prawą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
KONIEC!
W algebrze Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” nie ma ani jednego znaczka więcej.
W skład algebry Kubusia wchodzi nowa algebra Boole’a.
0.2 Nowa algebra Boole’a
Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to pięć i tylko pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
2.
Stara algebra Boole’a nie zna pojęć logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y) co jest powodem jej wewnętrznej sprzeczności na poziomie funkcji algebry Boole’a.
Dowód w punkcie 1.3.1.
0.3 Prawo zagłady Klasycznego Rachunku Zdań
Skróty:
AK – algebra Kubusia, totalnie nieznana ziemskim matematykom
KRZ – Klasyczny Rachunek Zdań
Klasyczny Rachunek Zdań to fundament wszelkich logik matematycznych ziemskich matematyków
Prawo zagłady KRZ:
100% znaczków w algebrze Kubusia jest sprzecznych z logiką matematyczną zwaną Klasycznym Rachunkiem Zdań.
0.3.1 Dowód sprzeczności AK vs KRZ dla znaczka „*”
I.
Dowód sprzeczności AK vs KRZ dla znaczka „*”:
KRZ:
| Kod: |
T1
Definicja znaczka „*”
p q p*q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 1 0
D: 0 0 0
|
Znaczek „*” zwany jest w logice matematycznej ziemskich matematyków „koniunkcją”
W KRZ musimy z góry znać wartości logiczne p i q by na podstawie powyższej tabeli określić prawdziwość/fałszywość wyrażenia p*q
W algebrze Kubusia jest fundamentalnie inaczej:
W algebrze Kubusia o prawdziwości zdania zawierającego spójnik „i”(*) z języka potocznego decyduje istnienie elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q lub możliwość jednoczesnego zajścia zdarzeń p i q.
1.
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q=p*q=1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> p i q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny ~~>
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - zbiory p i q są rozłączne
;
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~~>P8=1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..] jest spełniona (=1) bo istnieje co najmniej jeden wspólny element tych zbiorów (np. 8), nie dowodzimy tu faktu, iż zbiór P2 jest nadzbiorem ~> zbioru P8
0.3.2 Dowód sprzeczności AK vs KRZ dla znaczka „+”
II.
Dowód sprzeczności AK vs KRZ dla znaczka „+”:
KRZ:
| Kod: |
T2
Definicja znaczka „+”
p q p+q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 1 1
D: 0 0 0
|
Znaczek „+” zwany jest w logice matematycznej ziemskich matematyków „alternatywą”
W KRZ musimy z góry znać wartości logiczne p i q by na podstawie powyższej tabeli określić prawdziwość/fałszywość wyrażenia p*q
W algebrze Kubusia jest fundamentalnie inaczej:
W algebrze Kubusia o prawdziwości zdania zawierającego spójnik „lub”(+) z języka potocznego decyduje definicja spójnika „lub”(+) rozpisana na zbiory/zdarzenia niepuste i rozłączne.
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Definicja spójnika “lub”(+) w algebrze Kubusia:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Definicja spójnika „lub”(+) w algebrze Kubusia jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy istnieją wszystkie składniki spójnika „lub”(+) definiowanego zbiorami/zdarzeniami niepustymi i rozłącznymi ABC.
Przykład 1
Niech będzie dany schemat elektryczny:
| Kod: |
S1
B
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Odpowiedź na pytanie kiedy żarówka świeci się zna każdy uczeń I klasy LO.
Pan od fizyki w LO Nr.1:
Jasiu powiedz nam kiedy żarówka świeci się
Jaś:
1:
Żarówka świeci się (S) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przyciska A lub przycisk B
S = A+B =1
Definicja spójnika „lub”(+) wyrażonego zdarzeniami niepustymi i rozłącznymi:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Nasz przykład:
S = A+B = A: A*B + B: A*~B + C: ~A*B
co w logice jedynek (naturalnej logice człowieka) oznacza:
S=1 <=> A: A=1 i B=1 lub B: A=1 i ~B=1 lub C: ~A*B
Czytamy:
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: A*B=1*1=1 – wciśnięty jest przyciska A (A=1) i wciśnięty jest przyciska B (B=1)
lub
B: A*~B=1*1=1 – wciśnięty jest przyciska A (A=1) i nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1)
lub
C: ~A*B=1*1=1 – nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) i jest wciśnięty przyciska B (B=1)
Doskonale widać, że wszystkie trzy zdarzenia ABC są niepuste i rozłączne z czego wynika, że spójnik „lub”(+) jest tu poprawnie użyty, czyli zdanie RA1B1 ma wartość logiczną 1.
Pan od fizyki:
Brawo Jasiu, czy potrafisz odpowiedzieć na pytanie kiedy żarówka nie świeci się uzasadniając to matematycznie?
Jaś:
Oczywiście że tak.
Mamy równanie logiczne opisujące wszystkie możliwe przypadki w których żarówka świeci się:
1:
Żarówka świeci się (S) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przyciska A lub przycisk B
S = A+B
Negujemy powyższe równanie dwustronnie:
~S = ~(A+B) = ~A*~B – na mocy prawa De Morgana
czyli:
D: ~S = ~A*~B
co w logice jedynek (naturalnej logice człowieka) oznacza:
D: ~S=1 <=> ~A=1 i ~B=1
Czytamy;
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: ~A*~B=1*1=1 – nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) i nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1)
Pan od fizyki:
Bardzo dobrze Jasiu, dostajesz ocenę: 6
Przykład 2
Rozważmy ten sam schemat z odpowiedzią błędną.
| Kod: |
S1
B
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Odpowiedź na pytanie kiedy żarówka świeci się zna każdy uczeń I klasy LO … z wykluczeniem Gucia.
Pan od fizyki w LO Nr.2:
Guciu powiedz nam kiedy żarówka świeci się
Guciu:
$A1B1:
Żarówka świeci się (S) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przyciska A „albo”($) B
A$B =1
Definicja spójnika „albo”($) p$q dla dwóch argumentów:
S = p$q = B: p*~q + C: ~p*q
Potoczna definicja spójnika „albo”($) dla dwóch argumentów:
Spójnik „albo”($) to wybór dokładnie jednego z dwóch argumentów (trzeciej możliwości brak)
p$q = B: p*~q + C: ~p*q
Nasz przykład:
S = A$B = B: A*~B + C: ~A*B
co w logice jedynek (naturalnej logice człowieka) oznacza:
S=1 <=> B: A=1 i ~B=1 lub C: ~A=1 i B=1
Czytamy:
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: A*~B=1*1=1 – wciśnięty jest przyciska A (A=1) i nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1)
lub
C: ~A*B=1*1=1 – nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) i jest wciśnięty przyciska B (B=1)
Pan od fizyki:
Odpowiedz nam Guciu kiedy żarówka nie świeci się uzasadniając odpowiedź matematycznie.
Guciu:
Mamy definicję spójnika „albo”($) wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Y = p$q = (p*~q) + (~p*q)
Przechodzimy do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = (~p+q)*(p+~q) – funkcja koniunkcyjno-alternatywna
Funkcja koniunkcyjno-alternatywna jest niezrozumiała dla człowieka, musimy zatem wymnożyć wielomian logiczny przechodząc do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej.
~Y = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
stąd:
~Y = p*q+~p*~q
co w logice jedynek (naturalnej logice człowieka) oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Nasz przykład:
~S = A: A*B + D: ~A*~B
co w logice jedynek oznacza:
~S=1 <=> A: A=1 i B=1 lub D: ~A=1 i ~B=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: A*B=1*1 =1 – wciśnięty jest przycisk A (A=1) i wciśnięty jest przycisk B (B=1)
lub
D: ~A*~B=1*1=1 – nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) i nie jest wciśnięty przycisk B (~B=)
Pan od fizyki:
Guciu, przyjrzyj się temu co napisałeś.
Guciu:
~S<=> A: A*B + D: ~A*~B
co w logice jedynek oznacza:
~S=1 <=> A: A=1 i B=1 lub D: ~A=1 i ~B=1
W mordę Jeża, napisałem ze żarówka nie świeci (~S=1) się gdy:
A: A*B=1*1 =1 – wciśnięty jest przycisk A (A=1) i wciśnięty jest przycisk B (B=1)
co jest czysto matematycznym fałszem, bowiem powyższe zdanie jest sprzeczne z fizyczną rzeczywistością.
Wnioskuję z tego, że jedynym poprawnym spójnikiem dającym 100% poprawną odpowiedź na pytanie „kiedy żarówka będzie się świecić” jest spójnik „lub”(+).
Koryguję zatem moją odpowiedź:
1.
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk A (A=1) „lub”(+) przycisk B (B=1)
S = A+B
Wystarczy, że którykolwiek z przycisków A lub B jest wciśnięty i już żarówka świeci się, czyli wciśnięcie obu przycisków jednocześnie, co jest możliwe, również powoduje świecenie się żarówki.
2.
Kiedy żarówka nie świeci się (~S=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
~S = ~(A+B) = ~A*~B – na mocy prawa De Morgana
czyli:
D: ~S = ~A*~B
co w logice jedynek (naturalnej logice człowieka) oznacza:
D: ~S=1 <=> ~A=1 i ~B=1
Czytamy;
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: ~A*~B=1*1=1 – nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) i nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1)
Pan od fizyki:
Sam widzisz Guciu, że twoja pierwsza odpowiedź była błędem czysto matematycznym, dostajesz jednak 5 bo zrozumiałeś swój błąd udzielając poprawnej odpowiedzi, tej ze spójnikiem „lub”(+).
0.3.3 Dowód sprzeczności AK vs KRZ dla znaczka =>
III.
Dowód sprzeczności AK vs KRZ dla znaczka =>:
KRZ.
Znaczek => to w KRZ definicja implikacji p=>q definiowana tabelą zero-jedynkową:
| Kod: |
Definicja znaczka =>
p q p=>q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 1 1
D: 0 0 1
|
W KRZ musimy z góry znać wartości logiczne p i q by na podstawie powyższej tabeli określić prawdziwość/fałszywość implikacji p=>q
Definicja implikacji p=>q w Klasycznym Rachunku Zdań:
Implikacja p=>q jest fałszywa:
p=>q=0
wtedy i tylko wtedy gdy poprzednik p jest prawdziwy (p=1), zaś następnik fałszywy (q=0)
Inaczej:
p=>q =1
Przy takiej definicji zachodzi:
Warunek wystarczający => z AK ## Implikacja rodem z KRZ =>
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Tabele zero-jedynkowe w AK i KRZ dla znaczka => mamy identyczne jednak definicja znaczka => w algebrze Kubusia jest fundamentalnie inna.
2.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego p=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
;
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
;
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Każdy matematyk bez problemu udowodni tu, że zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2.
0.4 Geneza rozszyfrowania algebry Kubusia
Ja Rafał3006, trzy lata po skończeniu elektroniki na Politechnice Warszawskiej (1980r) zrobiłem fajny, mikroprocesorowy sterownik edukacyjny dla hobbystów (na Z80), który zacząłem sprzedawać na giełdzie elektronicznej w Warszawie.
Szybko okazało się, że moje dziecko jest słabo sprzedawalne z prostej przyczyny - wiedza ówczesnych hobbystów elektroniki w obszarze mikroprocesorów była praktycznie zerowa.
Wpadłem wówczas na pomysł napisania serii podręczników do elektroniki przy założeniu, że odbiorca nie zna prawa Ohma, czyli z założenia były to podręczniki dla I klasy LO, gdzie po łagodnej równi pochyłej czytelnik był prowadzony od takich pojęć jak napięcie, prąd, prawo Ohma … poprzez elektronikę klasyczną, bramki, układy scalone średniej skali integracji, układy mikroprocesorowe, do praktycznego programowania różnych sterowań w j. asemblera Z80 przy pomocy opracowanego przeze mnie sterownika o nazwie CA80.
Po dwóch latach pracy dzieło ukończyłem.
CA80 jest dziś legendą wśród starszej daty elektroników.
Przykładowa dwie recenzje to:
1.
Serdecznie dziękuję za podręczniki MIK01 i MIK02. Są one naprawdę doskonale napisane. Mimo, że przesyłkę otrzymałem dwa dni temu to już zdążyłem je obie przeczytać - bardzo trudno się od nich oderwać.
Obecnie jestem uczniem I klasy Technikum Elektronicznego …
2.
Jestem zachwycony Pańskimi książkami na temat mikroprocesorów. Książki są wyjątkowo przejrzyście napisane. Takiej metodyki mogą pozazdrościć najlepsze uczelnie w kraju, jednej z nich jestem absolwentem.
Już choćby z powyższego widać, że dokumentacja CA80 była pasjonującą lekturą zarówno dla 15 latka, jak i absolwenta wyższej uczelni.
Skany wszystkich podręczników napisanych przeze mnie 37 lat temu są dostępne w Internecie dzięki Andrzejowi Liskowi:
[link widoczny dla zalogowanych]
Tematem mojej pracy magisterskiej było praktyczne wykonanie systemu dwuprocesorowego (na i8080) ze wspólną pamięcią i wspólnymi portami wejścia/wyjścia (rok 1980), gdzie na odbiorze zademonstrowałem, iż system ten przetwarza dane z dwukrotnie większą szybkością niż system jednoprocesorowy.
Na studiach elektronicznych wykładana jest bardzo rozległa wiedza szczegółowa z różnych dziedzin elektroniki której nie sposób spamiętać i wykorzystać w przyszłości. Oczywistym jest, że absolwent elektroniki wybiera wąską specjalizację i rozwija się wyłącznie w tej dziedzinie co oznacza, że wiedza mu niepotrzebna jest zapominana mimo że musiał ją zaliczyć na studiach.
Ja wybrałem (już na studiach) specjalizację w zakresie wszelkich sterowań w technice mikroprocesorowej i głównie tą wiedzę przekazałem w moich podręcznikach do nauki elektroniki dla hobbystów.
W trakcie pisania podręczników miałam zakaz zaglądania do jakichkolwiek podręczników akademickich i innej literatury elektronicznej (dotrzymany w 100%) celem przypomnienia sobie tego i owego wychodząc z założenia, iż skoro czegoś tam nie pamiętam to nie jest to potrzebne w praktyce sterowań i programowania mikroprocesorów.
To co zrobiłem 37 lat temu, było fajne, ale w gruncie rzeczy przekazałem znaną wiedzę praktyczną o elektronice w najprostszy możliwy, moim zdaniem sposób.
Z perspektywy czasu myślę, że CA80 był koniecznym wstępem do rozszyfrowania logiki matematycznej, algebry Kubusia, pod którą podlega cały nasz Wszechświat żywy i martwy.
Różnica między CA80 a algebrą Kubusia jest fundamentalna.
Od 16 lat, w zaciętych dyskusjach z ziemskimi matematykami (30 000 postów) głównie na forum śfinia, ja nie przekazuję aktualnej wiedzy matematycznej z zakresu logiki matematycznej w prostszy sposób jak to zrobiłem z elektroniką 37 lat temu. Ja, aktualną wiedzę matematyczną z zakresu logiki matematycznej totalnie neguję bowiem w algebrze Kubusia 100% definicji z zakresu logiki matematycznej jest sprzecznych z jakąkolwiek logiką matematyczną znaną ziemskim matematykom.
Formalnie algebry Kubusia nie musimy się uczyć bo po prostu pod nią polegamy nie mając żadnych szans, aby się od niej uwolnić. Wynika z tego, że ekspertem algebry Kubusia jest każdy człowiek (od 5-cio latka poczynając) tylko póki co, o tym nie wie.
Algebra Kubusia to również podłożenie matematyki pod język potoczny człowieka, czyli coś, o czym matematycy marzą od 2500 lat (od Sokratesa).
Dowód iż każdy 5-cio latek jest ekspertem algebry Kubusia i potrafi zaprojektować poprawne sterowanie windą w bramkach logicznych zarówno w logice dodatniej (bo J) jak i ujemnej bo (~J) znajdziemy w punkcie 2.4.1
0.4.1 Po co komu algebra Kubusia skoro wszyscy jesteśmy jej ekspertami?
Pytania analogiczne to:
Po co komu znajomość gramatyki języka polskiego, skoro 5-cio latek biegle posługuje się językiem ojczystym nie znając formalnej gramatyki języka?
Kto na co dzień dokonuje rozbioru gramatycznego każdego wypowiedzianego zdania?
Osobiście nigdy nie znałem i nie znam formalnej gramatyki języka polskiego tzn. nie wiem co to jest jakiś tam podmiot, orzeczenie, przysłówek etc. … a po polsku potrafię pisać.
Mam nadzieję, że koniec końców ziemscy matematycy zaakceptują algebrę Kubusia jako jedyną poprawną logikę matematyczną obowiązującą w naszym świecie żywym i martwym (w tym w matematyce).
0.4.2 Co było powodem iż na serio zainteresowałem się logiką matematyczną?
Na I roku elektroniki, w laboratorium techniki cyfrowej projektuje się sterowania w bramkach logicznych w absolutnie naturalnej logice człowieka operując złożonymi zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” zawierającymi spójniki „i”(*) i „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka. Przełożenie takiego opisu na sterowanie w bramkach logicznych jest trywialne, wszędzie tam gdzie użyliśmy spójnika „i”(*) walimy bramkę AND, zaś tam gdzie użyliśmy spójnika „lub”(+) walimy bramkę OR. Układ zaprojektowany w tak banalny sposób na 100% będzie działał, o ile nie popełniliśmy błędu logicznego.
W roku 2006 czyli 26 lat po skończeniu elektroniki na Politechnice Warszawskiej na forum „śfinia” zupełnie przez przypadek po raz pierwszy w życiu usłyszałem termin „Klasyczny Rachunek Zdań” nie mając pojęcia co to jest bowiem na studiach nikt o czymś takim nawet nie wspomniał.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,60/
Na serio przeżyłem szok dowiedziawszy się, iż przykładowe zdania warunkowe „Jeśli p to q” prawdziwe w logice matematycznej zwanej Klasycznym Rachunkiem Zdań to:
1.
Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
2.
[link widoczny dla zalogowanych]
| Podręcznik matematyki do I klasy LO napisał: | | Jeśli pies ma 8 łap to Księżyc krąży wokół Ziemi |
3.
Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
Dowód na serio prawdziwości tego zdania znajdziemy tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
| salon24 napisał: |
Falsum sequitur quodlibet
Matryca implikacji od wieków budzi kontrowersje, niekiedy sięgające samej istoty logiki.
Matryca implikacji:
| Kod: |
p q p=>q
1 1 1
0 1 1
1 0 0
0 0 1
|
Z dowolnego zdania fałszywego wynika dowolne zdanie prawdziwe (drugi wiersz matrycy) i dowolne zdanie fałszywe (czwarty wiersz matrycy). Twierdzenie to znane jest od wielu wieków w postaci łacińskiej formuły Falsum sequitur quodlibet (z fałszu wynika cokolwiek, czyli wszystko).
Mimo to, gdy Bertrand Russell opublikował swój system logiki oparty na omawianej matrycy implikacji materialnej, niektórzy filozofowie przyjęli ten system za rodzaj herezji logicznej.
Ktoś próbował wykpić B. Russella, ogłaszając list otwarty, w którym zaproponował mu do rozwiązania następujące zadanie:
Ponieważ według pana można udowodnić wszystko na podstawie jednego zdania fałszywego, proszę na podstawie fałszywego zdania "5 = 4" udowodnić, że jest pan papieżem.
Na pierwszy rzut oka zadanie to może się wydać niewykonalne. Intuicyjnie bowiem nie potrafimy dojrzeć żadnego związku między zdaniem "5 = 4" a zdaniem: "B. Russell jest papieżem". Intuicji nie można jednak wierzyć ślepo, jest bowiem zawodna. Russell podjął zadanie i rozwiązał je w wyniku następującego rozumowania:
Opierając się na regule głoszącej, że od obu stron równości wolno odjąć tę samą liczbę, odejmuję od obu stron równości: "5 = 4", liczbę 3. Wyprowadzam w ten sposób ze zdania "5 = 4" zdanie "2 = 1".
Dowód, że jestem papieżem, jest już teraz zupełnie prosty: papież i ja to dwie osoby, ale 2 = 1 (w tym przypadku papież i B. Russell, czyli dwie osoby są jedną osobą), więc jestem papieżem.
Rozumowanie to jest zupełnie poprawne, zatem początkowa intuicja zgodnie z którą zadanie dane Russellowi wydawało się nierozwiązalne, okazała się zawodna.
Zdanie "B. Russell jest papieżem" rzeczywiście wynika ze zdania "5 = 4". Jest to przykład wynikania fałszu z fałszu (odpowiednik czwartego wiersza matrycy).
Równie łatwo możemy wykazać, że z tego samego zdania fałszywego wynika zdanie prawdziwe, np. zdanie "B. Russell jest wykształcony".
Wystarczy do już wyprowadzonego zdania "B. Russell jest papieżem" dodać oczywiście prawdziwe zdanie "Każdy papież jest wykształcony" i mamy:
• B. Russell jest papieżem
• Każdy papież jest wykształcony
zatem B. Russell jest wykształcony
|
W tym momencie nie miałem wyjścia, będąc z wykształcenia ekspertem techniki cyfrowej, w tym bramek logicznych (właściwa logika matematyczna) musiałem rozszyfrować skąd wzięły się takie farmazony w logice matematycznej ziemskich matematyków?
Oczywiście nie miałem pojęcia iż czeka mnie 16 lat pasjonujących dyskusji z ziemskimi matematykami, zaciekle broniącymi fundamentu wszelkich ziemskich logik matematycznych, zwanego Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Ta zaciekłość wyrażana była atakami ad personam na moją osobę, oczywiście nie odpowiadałem tym samym, starając się rzeczowo dyskutować. Wyjątki (gdzie dyskusja była normalna) można policzyć na palcach jednej ręki, myślę, że byli to najlepsi polscy matematycy, wykładowcy logiki matematycznej: Fiklit, Macjan i Volrath. Przykładowo, z Fiklitem dyskutowałem o logice matematycznej 8 lat i ani on nigdy nie zaatakował ad personam mnie, ani ja jego.
Na szczęście udało się:
Logika matematyczna, algebra Kubusia, której rzeczywistym autorem jest Kubuś, stwórca naszego Wszechświata, została rozszyfrowana.
Dowód iż są na ziemi matematycy świadomi bezsensu Klasycznego Rachunku Zdań znajdziemy tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Marek Kordos, Delta 2013
Czemu logika została tak skonstruowana, że – abstrahując od sensu – okalecza pojęciowy świat?
0.5 Wojna światów: Algebra Kubusia vs Klasyczny Rachunek Zdań
Wszystko zaczęło się od mojego starcia z Wujem Zbójem na forum wiara.pl.
Poszło o zdanie Chrystusa:
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
Wuj zaczął mi udowadniać matematycznie w rachunku zero-jedynkowym, iż na mocy tego zdania gwarancję zbawienia mają wszyscy w niego wierzący, zaś z pozostałymi ludźmi Chrystus może zrobić co mu się podoba, w szczególności wszyscy możemy wylądować w niebie z Hitlerem włącznie i Chrystus nie będzie kłamcą.
Wuj wierzy w ideę powszechnego zbawienia, apokatastazę, znaną ziemskim filozofom od wieków.
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Apokatastaza (od gr. apokatastasis czyli „ponowne włączenie, odnowienie” z Dz 3, 21) - końcowa i ostateczna odnowa całego stworzenia poprzez przywrócenie mu pierwotnej doskonałości i bezgrzeszności lub nawet przewyższenie tego pierwotnego stanu. Potocznie apokatastaza nazywana jest ideą pustego piekła. |
Po 16-letniej wojnie AK vs KRZ identycznie jak Wuj, też wierzę w apokatastazę a dowodem jej prawdziwości jest rozszyfrowanie matematycznego znaczenia zdania z Biblii.
Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony, a kto nie uwierzy, będzie potępiony
Św. Marek, Mk 16
Zachodzi oczywista tożsamość pojęć:
Będzie potępiony = nie będzie zbawiony
Poza tym obowiązkiem każdego wierzącego w Chrystusa jest przyjęcie chrztu
Stąd powyższe zdanie możemy zredukować do postaci tożsamej:
Chrystus:
Kto wierzy we mnie, będzie zbawiony, a kto nie wierzy, nie będzie zbawiony
Matematyczną interpretację tego zdania przedstawiłem w algebrze Kubusia w puncie 11.5
W początkach mojej dyskusji z Wujem dla mnie, jako przybysza ze świata techniki powyższe zdanie było równoważnością W<=>Z bo nie miałem wówczas najmniejszego pojęcia czym jest implikacja prosta W|=>Z i odwrotna ~W|~>~Z oraz nie znałem definicji obietnicy i groźby.
Bez znajomości powyższego zdanie Chrystusa to ewidentna równoważność <=>:
Dowolny człowiek wierzy (W) wtedy i tylko wtedy gdy zostanie zbawiony (Z)
W<=>Z = (A1: W=>Z)*(B2: ~W=>~Z) =1*1=1
Dla zdania B2 zastosujmy prawo Kubusia:
B2: ~W=>~Z = B1: W~>Z
Stąd mamy równoważność tożsamą znaną każdemu człowiekowi (nie tylko matematykom):
W <=>Z = (A1: W=>Z)*(B1: W~>Z)
Prawą stronę czytamy:
Wiara w Chrystusa jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zbawienia.
Dowód iż ta wersja równoważności jest powszechnie znana wśród ludzi (w tym przez matematyków):
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 12 700
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 72 000
Na mocy definicji równoważności W<=>Z do piekła idą wszyscy z wyjątkiem wierzących w Chrystusa czyli: Buszmeni, Żydzi, Muzułmanie, Buddyści, ateiści etc
Kto wierzy w takiego Boga?
Myślę, że nie ma na ziemi człowieka normalnego, który by wierzył w takiego Chrystusa.
Matematycznie, na mocy definicji równoważności W<=>Z Chrystus nie ma prawa zbawić choćby jednego w niego niewierzącego bo będzie matematycznym kłamcą, którym jako Bóg zostać nie ma prawa.
Brak prawa Chrystusa do kłamstwa, czyli do piekła nie może posłać choćby jednego w niego wierzącego, był moim fundamentem w walce o rozszyfrowanie algebry Kubusia przez następne 16 lat.
Teraz to oczywiście jestem mądry, przytoczone wyżej zdanie złożone Chrystusa na mocy definicji obietnicy i groźby nie jest równoważnością. Powyższy zapis równoważności W<=>Z jest matematycznie błędny bo gwałci definicję obietnicy W|=>Z i groźby ~W|~>~Z - szczegóły w punkcie 11.0.
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Biblia = algebra Kubusia
co oznacza, że w żadnym momencie Biblia nie jest sprzeczna z algebrą Kubusia i odwrotnie.
Biblia byłaby sprzeczna z algebrą Kubusia wtedy i tylko wtedy gdybyśmy znaleźli w niej takie zdanie.
Chrystus:
Kto wierzy we mnie pójdzie do piekła
Na mocy definicji groźby, Chrystus miałby tu prawo „rzucać sobie monetą”, czyli niektórych w niego wierzących posyłać do piekła a innych do nieba.
Innymi słowy:
Ludzie wierzący w Chrystusa nie mieliby matematycznej gwarancji => zbawienia.
Oczywistym jest, że nikt powyższej groźby Chrystusa w całej Biblii nie znajdzie, bo wtedy wiara w niego nie miałaby sensu.
Prawo Absolutu:
Logika matematyczna pod którą podlega cały nasz Wszechświat żywy i martwy (w tym matematyka) jest jedna i tylko jedna, to algebra Kubusia.
Z powyższego wynika fałszywość wszelkich ziemskich logik, konkurencyjnych w stosunku do algebry Kubusia np. ziemskiej logiki matematycznej zwanej Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Stąd mamy:
Definicja sprzeczności dwóch logik A i B:
Logika A jest sprzeczna z logiką B wtedy i tylko wtedy gdy istnieje zdanie prawdziwe w logice A, które jest fałszywe w logice B.
Nasz przykład:
Logika Chrystusa (A) byłaby sprzeczna z logiką człowieka (algebrą Kubusia) (B) wtedy i tylko wtedy gdyby w logice A istniało zdanie prawdziwe:
Chrystus:
Kto wierzy we mnie pójdzie do piekła
Na szczęście takiego zdania nikt w Biblii nie znajdzie, co jest dowodem braku sprzeczności logiki Chrystusa (A) z logiką człowieka (B).
Podsumowując:
Ja Rafał3006, uznaję Biblię za równoważny podręcznik logiki matematycznej obowiązującej w naszym Wszechświecie.
Biblia ma tą przewagę nad wyłożoną tu algebrą Kubusia, że jest napisana prostym językiem, zrozumiałym dla wszystkich ludzi.
Prawdy w niej głoszone znane są każdemu 5-cio latkowi.
Kluczowe prawdy to:
1.
Dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
2.
Nadawca dowolnie ostrej groźby ma prawo do odstąpienia od egzekwowania kary zawartej w tej groźbie, zależnej od niego.
Prawo do odstąpienia od wykonania kary w dowolnej groźbie nie oznacza oczywiście że każdą karę zawartą w groźbie nadawca musi darować - wiele słusznych kar wykonuje np. w celach wychowawczych dziecka.
Przykłady:
a).
Chrystus do zbrodniarza:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)
b).
Przykład ze świata człowieka:
JPII i Ali Agca
JPII przebaczył Ali Agcy, ale nie może stać ponad prawem ziemskim, czyli przebaczenie zamachu na jego życie nie jest tożsame z automatycznym wyjściem Ali Agcy z więzienia.
Takie przebaczenie może być brane pod uwagę przez sąd w rozpatrywaniu wniosku Ali Agcy o przedterminowe zwolnienie - aktualnie Ali Agca jest na wolności.
Po starciu na forum wiara.pl przenieśliśmy się z Wujem na jego forum „śfinia”, gdzie dalej toczyliśmy dyskusję na temat logiki matematycznej. Wuj zaskoczył mnie tym, że rozumiał równania algebry Boole’a którymi się posługiwałem identycznie jak ja, łącznie z takimi pojęciami jak logika dodatnia (bo Y) i ujemna (bo ~Y). Wiele nocek zarwaliśmy na PW dyskutując o logice matematycznej.
Na początku moim problemem z którym walczyłem było szybkie przejście z dowolnie długiej funkcji logicznej zapisanej w logice dodatniej (bo Y) do funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
Znalazłem rozwiązanie, które Wuj radykalnie ulepszył swoim algorytmem przejścia opisanym w AK w punkcie 2.3.1.
Po wielomiesięcznej dyskusji na forum śfinia zapisałem po raz pierwszy prawa Kubusia.
Prawa Kubusia:
1. p=>q = ~p~>~q
2. p~>q = ~p=>~q
Zwane przeze mnie na początku prawem zamiany obietnicy => na groźbę ~> (1) i groźby ~> na obietnicę => (2).
Wuj potwierdził poprawność matematyczną powyższych praw Kubusia.
Jako ciekawostkę podam, że autorem znaczka groźby ~> jest Wuj, to dobry symbol bo można go kojarzyć z jadowitym wężem.
Dowód jest tu:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/definicja-implikacji-wedlug-rafala3006-p-wieczorka,685-400.html#28478
W początkach wojny o rozszyfrowanie algebry Kubusia dwukrotnie pojawiałem się na forum matematyka.pl i dwukrotnie po krótkim czasie zostałem zbanowany za pisanie „matematycznych bredni”, ostatnie moje wejście na matematykę.pl dzięki moderatorowi Rogalowi było całkiem długie, choć najeżone atakami ad personam czego dowód tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Najdłużej w temacie logiki matematycznej dyskutowałem na forum ateista.pl.
Wątki na ateiście.pl to:
[link widoczny dla zalogowanych]
„NTI - nowa teoria implikacji”
oraz:
[link widoczny dla zalogowanych]
„Rafał3006 - nieznane oblicze”
Ostatni wątek założył fanatyk Klasycznego Rachunku Zdań Idiota (z wykształcenie filozof, wykładowca logiki na pedagogice - znam go osobiście ze śfińskich spotkań w Warszawie) tym postem wstępnym:
| Idiota napisał: |
Jako że nasz, jak to się on lubi określać "kubuś", lubuje się w krentactwach i manipulacji tekstem, postanowiłem użyć broni przeciw niemu podobnej acz subtelniejszej.
I
po pierwsze w temacie tym zamieszczę przebieg rozmowy rzeczonego głupka z niejakim Irbisolem na forum Śfinia
II
odświeżał będę ten temat ilekroć ktokolwiek inny bądź głupek zechce coś napisać w temacie o implikacji.
Moderację proszę o wyrozumiałość dla takiego zabiegu, bowiem powoduje mną nie osobista niechęć do głupka lecz chęć ustrzeżenia innych użytkowników forum Ateista.pl przed braniem go poważnie.
zatem idźmy:
niech IR przed cytatem oznacza Irbisola a GŁ rafała3006
|
Po 144 stronach dyskusji na ateiście.pl nowy admin ateisty.pl Fizyk zbanował mnie na wieki, bez prawa powrotu tym postem:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Fizyk, admin ateisty.pl napisał: |
Miało się to stać na 140 stronie, stanie się na 144 (przynajmniej ładna liczba, 12^2) - zamykam wątek.
Na koniec chciałbym jeszcze podziękować wszystkim walczącym z Kubusiem za wsparcie, a nieraz i nauczenie mnie czegoś nowego o logice - w szczególności Idiocie, Windziarzowi i Quebabowi.
Samemu Rafałowi3006 też w sumie należą się podziękowania - za stworzenie okazji dla innych do nauki logiki. Dzięki temu ten wątek miał jednak jakąś wartość edukacyjną.
|
Poziom dyskusji z fanatykami Klasycznego Rachunku Zdań na ateiście.pl najlepiej ilustruje poniższy cytat:
http://www.sfinia.fora.pl/kawiarnia-script-src-http-wujzboj-com-sfinia-desec-js-script,17/kubus-w-depresji-prosze-wszystkich-o-pomoc,5780.html#147302
| rafal3006 napisał: |
Kubuś w depresji, proszę Wszystkich o pomoc
Nurtuje mnie to nieznośne pytanie, nie mogę spać i proszę Wszystkich o pomoc.
| Fizyk napisał: |
Przykład:
"Jeśli 0=1, to istnieje człowiek, który ma 2 nogi"
Dowód:
Wiemy, że istnieje człowiek, który ma 1 nogę (a bo to mało jest ludzi, którzy mają amputowaną nogę?).
Z tego, że 0=1, wynika, że 1=2 (dodajemy 1 stronami).
Zatem człowiek, który ma 1 nogę, ma 2 nogi.
Zatem istnieje człowiek, który ma 2 nogi.
CND.
I co? Z fałszu wyniknęła prawda. |
| Sogors napisał: |
| rafal3006 napisał: |
Weźmy zdanie:
Jeśli kura jest psem to człowiek ma dwie nogi
Zdanie prawdziwe w KRZ, jak tu będziesz dodawał stronami psa do kury, co z tego ci wyjdzie kuropies?
Dowód analogiczny do twojego:
Wiemy, że istnieje człowiek, który ma 1 nogę (a bo to mało jest ludzi, którzy mają amputowaną nogę?).
Z tego, że kura=pies, wynika, że jedna kura=kuropies (dodajemy kurę stronami).
bo:
W algebrze Boole’a:
Kura+Kura = Kura – prawo algebry Boole’a: A+A=A
Kura+pies = kuropies? co to za prawo algebry Boole'a?
A+B=AB? - co to jest AB w algebrze Boole'a?
Zatem człowiek, który ma 1 nogę, ma 2 nogi.
Zatem istnieje człowiek, który ma 2 nogi.
CND.
|
Raz że to nie zrozumiałeś co napisał Fizyk, bo kompletnie ci ta analogia nie wyszła
Dwa że całość to bełkot, w przeciwieństwie do tego co napisał Fizyk
(to co napisał pojawia się w książkach popularnonaukowych i jest rozumiane przez dzieci w gimnazjum, sprawdź !!!! )
Jeśli kura jest psem to człowiek ma dwie nogi
kura ma dwie nogi pies 4, ale jeśli są tym samym mają tyle samo nóg
czyli 2=4 , dzielimy przez 2
i 1=2 odejmujemy 1
0=1
i dalej jak u Fizyka
|
To wytłuszczone to masakra Kubusia, bo wychodzi na to że dzieci w gimnazjum rozumieją dowód Fizyka a Kubuś ni w ząb nie rozumie.
Chyba się rozbeczę … |
Po zbanowaniu z ateisty.pl na zaproszenie Sogorsa (vel Daggera) pojawiłem się na forum yrizona.pl które zostało zlikwidowane przez właściciela, ale kopię dyskusji tam toczonych można znaleźć tu:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/finalowa-dyskusja-wszech-czasow-z-fiklitem-na-yrizonie-c-i,6149.html#170091
Tu po raz pierwszy pojawiła się Fiklit tym postem:
Wysłany: Śro 17:37, 12 Wrz 2012
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/finalowa-dyskusja-wszech-czasow-z-fiklitem-na-yrizonie-c-i,6149-175.html#181230
Pierwszy post Fiklita jest dowodem, iż jest matematykiem z najwyższej półki - jego późniejsze znakomite posty oraz cierpliwość w dyskusji wskazują, że najprawdopodobniej jest wykładowcą logiki matematycznej. Z fikitem dyskutowałem 8 lat, wskazywał mi nieścisłości w algebrze Kubusia od strony czysto matematycznej dzięki czemu mogłem je korygować modyfikując bieżącą wersję algebry Kubusia - bez Fiklita o rozszyfrowaniu AK moglibyśmy wyłącznie pomarzyć.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 11:36, 27 Cze 2022, w całości zmieniany 16 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35517
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 17:58, 18 Cze 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
1.0 Operatory jednoargumentowe
Spis treści
1.0 Nowa algebra Boole’a 1
1.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a: 4
1.1.1 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym 5
1.1.2 Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q 5
1.2 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego 6
1.3 Zero-jedynkowe definicje jednoargumentowych operatorów logicznych 7
1.3.1 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego 11
1.4 Prawa Prosiaczka 15
1.4.1 Wyprowadzenie I prawa Prosiaczka 16
1.4.2 Wyprowadzenie II prawa Prosiaczka 17
1.4.3 Prawa Prosiaczka w bramkach logicznych 18
1.4.4 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki 19
1.4.5 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka 20
1.5 Operatory jednoargumentowe w logice 5-cio latków 21
1.5.1 Operator transmisji Y|=p 22
1.5.2 Operator negacji Y|=~p 24
1.5.3 Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p 26
1.5.4 Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p 29
1.6 Prawo Puchacza 32
1.0 Nowa algebra Boole’a
Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego, zatem tylko z tego punktu widzenia będziemy patrzeć na algebrę Boole’a.
Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
3.
Ziemski rachunek zero-jedynkowy (fundament logiki matematycznej) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych Y i ~Y algebry Boole’a, co udowodnimy za chwilkę już na poziomie operatorów logicznych jednoargumentowych.
Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) – negacja
Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)
Przykłady:
Y=p+~p=1 – zdanie zawsze prawdziwe
Y=p*~p=0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna
To samo w logice 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 – zdanie zawsze prawdziwe
Jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.
Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa
W logice matematycznej wszelkie właściwości zmiennych binarnych zapisujemy w tabelach prawdy.
Definicja tabeli prawdy:
Tabela prawdy w logice matematycznej to zapis wszystkich możliwych właściwości zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.
Przykład to poniższa definicja negacji.
| Kod: |
Definicja negacji:
p # ~p
A: 1 # 0
B: 0 # 1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
|
Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna p wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)
Matematyczne związki między p i ~p:
I.
p#~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
II.
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)
Dowód w rachunku zero-jedynkowym:
| Kod: |
Matematyczne związki w definicji negacji:
p ~p ~(~p) ~(p)
A: 1 0 1 0
B: 0 1 0 1
1 2 3 4
|
Tożsamość kolumn 1=3 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p=~(~p)
Tożsamość kolumn 2=4 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
~p=~(p)
| Kod: |
Definicja dwuargumentowego spójnika „i”(*):
p q Y=p*q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 1 0
D: 0 0 0
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0 |
| Kod: |
Definicja dwuargumentowego spójnika „lub”(+):
p q Y=p+q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 1 1
D: 0 0 0
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
|
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
Przykład:
f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
p*q+~p*~q = (p*q)+(~p*~q)
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
W najprostszym przypadku wyrażeniem algebry Boole’a może być pojedyńcza zmienna binarna p
f(p) =p
Uwaga na notację:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
f(p,q)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a (przykład)
1.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna Y algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a w osi czasu.
W technice funkcja algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y
Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y
Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramek logicznych
Y - wyjście bramki logicznej
Przykład:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q
W najprostszym przypadku mamy do czynienia z funkcją logiczną jednej zmiennej binarnej p
Y = f(p) =p
Zapis tożsamy:
Y=p
Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=1<=>p+q
Y=0<=>~p*~q
etc
1.1.1 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Inaczej mamy do czynienia ze standardem ujemnym lub mieszanym.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
Podstawa matematyczna dla powyższej definicji to prawa Prosiaczka, które za chwilkę wyprowadzimy.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo dla dowolnej zmiennej binarnej.
1.1.2 Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q
Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y dwóch zmiennych binarnych to cyfrowy układ o dwóch wejściach p i q dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
1.
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
#
2.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana, które niebawem poznamy.
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
1.2 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego
Definicja funkcji logicznej Y jednej zmiennej binarnej p:
Funkcja logiczna Y jednej zmiennej binarnej p to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściu p.
| Kod: |
T1
Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściu p
dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
p Y=f(p)
A: 1 x
B: 0 x
Gdzie:
x={0,1}
f(p) - jednoargumentowe wyrażenie algebry Boole’a
|
Z definicji funkcji logicznej Y wynika, że możliwych jest cztery i tylko cztery różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych jednoargumentowych w logice dodatniej (bo Y).
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściu p oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
Definicja bramki logicznej jednej zmiennej binarnej p
Bramka logiczna jednej zmiennej binarnej p to układ cyfrowy o jednym wejściu p i jednym wyjściu Y
Gdzie:
p, Y - zmienne binarne mogące przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne {0,1}
Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=f(p):
Operator logiczny jednoargumentowy Y|=f(p) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
1.
Dana jest funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Y=f(p)
… a kiedy zajdzie ~Y?
2.
Negujemy dwustronnie funkcje logiczną (1) w logice dodatniej (bo Y):
~Y=~f(p)
Każda ze zmiennych binarnych {p, Y} może występować w logice dodatniej (bo x) albo w logice ujemnej (bo ~x). Oczywistym jest, że zmienna binarna w logice dodatniej (bo x) wymusza zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~x), albo odwrotnie.
Na dowolny układ cyfrowy można zatem spojrzeć w logice dodatniej (bo Y) albo w logice ujemnej (bo ~Y).
| Kod: |
Definicja jednoargumentowego operatora logicznego Y|=f(p)
to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
p Y=f(p) # ~p ~Y=~f(p)
A: 1 x # 0 ~(x)
B: 0 x # 1 ~(x)
Gdzie:
x={0,1}
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka #
jest negacją drugiej strony
{p,Y} muszą być wszędzie tymi samymi {p,Y} inaczej błąd podstawienia
|
1.3 Zero-jedynkowe definicje jednoargumentowych operatorów logicznych
| Kod: |
Definicja negacji:
p # ~p
A: 1 # 0
B: 0 # 1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
| Kod: |
Definicja dwuargumentowego spójnika „i”(*):
p q Y=p*q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 1 0
D: 0 0 0
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0
|
| Kod: |
Definicja jednoargumentowego spójnika „i”(*):
Dla q=~p mamy:
p # ~p Y=p*~p=0
A: 1 # 0 0
B: 1 # 0 0
C: 0 # 1 0
D: 0 # 1 0
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Stąd mamy tożsamą tabelę prawdy, definicję zdania zawsze fałszywego (Y=0)
| Kod: |
Definicja zdania zawsze fałszywego Y=p*~p=0
p # ~p Y=p*~p=0
A: 1 # 0 0
B: 0 # 1 0
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Podobnie:
| Kod: |
Definicja dwuargumentowego spójnika „lub”(+):
p q Y=p+q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 1 1
D: 0 0 0
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
|
| Kod: |
Definicja jednoargumentowego spójnika „lub”(+):
Dla q=~p mamy:
p # ~p Y=p+~p=1
A: 1 # 0 1
B: 1 # 0 1
C: 0 # 1 1
D: 0 # 1 1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Stąd mamy tożsamą tabelę prawdy, definicję zdania zawsze prawdziwego (Y=1)
| Kod: |
Definicja zdania zawsze prawdziwego Y=p+~p=1
p # ~p Y=p+~p=1
A: 1 # 0 1
B: 0 # 1 1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Wszystkie możliwe funkcje jednoargumentowe w logice dodatniej (bo Y) to:
| Kod: |
Wszystkie możliwe funkcje logiczne Y=f(p) w logice dodatniej (bo Y)
A0: A1: A2: A3:
p # ~p Y=p Y=~p Y=p+~p Y=p*~p
A: 1 # 0 1 0 1 0
B: 0 # 1 0 1 1 0
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=f(p):
Operator logiczny jednoargumentowy Y|=f(p) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.
Innymi słowy:
1.
Dana jest funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Y=f(p)
… a kiedy zajdzie ~Y?
2.
Negujemy dwustronnie funkcje logiczną (1) w logice dodatniej (bo Y):
~Y=~f(p)
Pełna tabela prawdy uwzględniająca logikę dodatnią (bo Y) i ujemną (bo ~Y) wygląda następująco.
| Kod: |
TF1
Zero-jedynkowa tabela prawdy jednoargumentowych operatorów logicznych
Czyli:
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że tabela TF1 perfekcyjnie spełnia zarówno definicję znaczka różne # jak i definicję znaczka różne na mocy definicji ##
Dokładnie ta sama tabela opisana prościej, wyłącznie funkcjami logicznymi Y i ~Y bez rozpisywania w tabelach zero-jedynkowych.
Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=f(p):
Operator logiczny jednoargumentowy Y|=f(p) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.
Innymi słowy:
1.
Dana jest funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Y=f(p)
… a kiedy zajdzie ~Y?
2.
Negujemy dwustronnie funkcje logiczną (1) w logice dodatniej (bo Y):
~Y=~f(p)
| Kod: |
TF1
Operatory logiczne jednoargumentowe Y|=f(p):
1.
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych A0 i B0
Funkcja transmisji |Funkcja transmisji
w logice dodatniej (bo Y) |w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: Y= p # B0: ~Y=~p
## ##
2.
Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych A1 i B1
Funkcja negacji |Funkcja negacji
w logice dodatniej (bo Y) |w logice ujemnej (bo ~Y)
A1: Y=~p # B1: ~Y= p
## ##
3.
Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p to układ równań A2 i B2
Zdanie zawsze prawdziwe |Zdanie zawsze prawdziwe
w logice dodatniej (bo Y) |w logice ujemnej (bo ~Y)
A2: Y= p+~p=1 # B2: ~Y= p*~p=0
## ##
4.
Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p to układ równań A3 i B3
Zdanie zawsze fałszywe |Zdanie zawsze fałszywe
w logice dodatniej (bo Y) |w logice ujemnej (bo ~Y)
A3: Y= p*~p=0 # B3: ~Y= p+~p=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że tabela TF1 perfekcyjnie spełnia zarówno definicję znaczka różne # jak i definicję znaczka różne na mocy definicji ##
Przykładowo doskonale widać że:
A0: Y=p ## B1: ~Y=p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznej
Jak to udowodnić?
Sposób 1:
Funkcja logiczna A0: Y=p nie jest negacją funkcji logicznej B1: ~Y=p bowiem dwustronna negacja dowolnej z tych funkcji nie prowadzi do ich tożsamości
A0: Y=p ## B1: ~Y=p
cnd
Sposób 2:
Porównywać że sobą można wyłącznie funkcje logiczne w tej samej logice z czego wynika, że musimy zanegować funkcję logiczną A0: Y=p albo funkcję logiczną B1: ~Y=p doprowadzając do zgodności logik i dopiero wtedy mamy uprawnienia do porównywania tych funkcji
2A.
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną B1:
B1: ~Y=p # B1’: Y=~p
Gdzie różne # w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony.
Dopiero teraz widać że:
A0: Y=p ## B1’: Y=~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Funkcje logiczne A0: Y=p oraz B1’: Y=~p są w tej samej logice dodatniej (bo Y).
Brak tożsamości prawych stron tych funkcji jest dowodem na to, że funkcje logiczne A0 i B1' są różne na mocy definicji ##
1.3.1 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego
Największą tragedią ziemskiego rachunku zero-jedynkowego jest fakt, że w bramkach logicznych po stronie wejścia cyfrowego widzi on zmienne binarne w logice dodatniej (bo p) i ujemnej (bo ~p), ale nie widzi dokładnie tego samego po stronie wyjścia cyfrowego Y, tu obowiązuje bezwzględny zakaz widzenia wyjścia Y w logice ujemnej (bo ~Y).
Odpowiednikiem tego faktu w matematyce klasycznej byłoby widzenie w układzie Kartezjańskim na osi X zmiennych dodatnich (x) i zmiennych ujemnych (~x) z zakazem widzenia dokładnie tego samego na osi Y, gdzie dozwolone byłoby widzenie jedynie zmiennych dodatnich (y).
Czy ktokolwiek wyobraża sobie współczesną matematykę z takim upośledzonym układem Kartezjańskim?
Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.
Prawo Grzechotnika:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
Zapiszmy poznaną wyżej tabelę prawdy wszystkich możliwych funkcji logicznych zarówno w logice dodatniej (bo Y) jak i ujemnej (bo ~Y)
Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=f(p):
Operator logiczny jednoargumentowy Y|=f(p) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.
Innymi słowy:
1.
Dana jest funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Y=f(p)
… a kiedy zajdzie ~Y?
2.
Negujemy dwustronnie funkcje logiczną (1) w logice dodatniej (bo Y):
~Y=~f(p)
| Kod: |
TF1
Operatory logiczne jednoargumentowe Y|=f(p):
1.
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych A0 i B0
Funkcja transmisji |Funkcja transmisji
w logice dodatniej (bo Y) |w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: Y= p # B0: ~Y=~p
## ##
2.
Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych A1 i B1
Funkcja negacji |Funkcja negacji
w logice dodatniej (bo Y) |w logice ujemnej (bo ~Y)
A1: Y=~p # B1: ~Y= p
## ##
3.
Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p to układ równań A2 i B2
Zdanie zawsze prawdziwe |Zdanie zawsze prawdziwe
w logice dodatniej (bo Y) |w logice ujemnej (bo ~Y)
A2: Y= p+~p=1 # B2: ~Y= p*~p=0
## ##
4.
Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p to układ równań A3 i B3
Zdanie zawsze fałszywe |Zdanie zawsze fałszywe
w logice dodatniej (bo Y) |w logice ujemnej (bo ~Y)
A3: Y= p*~p=0 # B3: ~Y= p+~p=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że tabela TF1 perfekcyjnie spełnia zarówno definicję znaczka różne # jak i definicję znaczka różne na mocy definicji ##
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach powyższych funkcji logicznych.
Dowód:
W całym Internecie (plus podręczniki matematyki) kolumny wynikowe w rachunku zero-jedynkowym opisywane są wyłącznie wyrażeniami algebry Boole’a, a nie funkcjami logicznymi Y i ~Y jak to jest w algebrze Kubusia.
W porywach (rzadkich przypadkach) ziemskiego rachunku zero-jedynkowego znajdziemy zapis funkcji logicznej Y w logice dodatniej (bo Y), ale nigdzie nie znajdziemy tej samej funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
Co ciekawe, świat techniki z którego przybyłem (elektronika) nie opisuje bramek logicznych wyrażeniami algebry Boole’a tylko zawsze i wszędzie funkcjami logicznymi w logice dodatniej (bo Y) ale niestety, także świat techniki nie widzi funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y).
Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli TF1 pozostawiając jedynie wyrażenia algebry Boole’a
| Kod: |
TF1’
Operatory logiczne jednoargumentowe Y|=f(p):
1.
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych A0 i B0
Funkcja transmisji |Funkcja transmisji
w logice dodatniej (bo Y) |w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: p # B0: ~p
## ##
2.
Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych A1 i B1
Funkcja negacji |Funkcja negacji
w logice dodatniej (bo Y) |w logice ujemnej (bo ~Y)
A1:~p # B1: p
## ##
3.
Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p to układ równań A2 i B2
Zdanie zawsze prawdziwe |Zdanie zawsze prawdziwe
w logice dodatniej (bo Y) |w logice ujemnej (bo ~Y)
A2: p+~p=1 # B2: p*~p=0
## ##
4.
Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p to układ równań A3 i B3
Zdanie zawsze fałszywe |Zdanie zawsze fałszywe
w logice dodatniej (bo Y) |w logice ujemnej (bo ~Y)
A3: p*~p=0 # B3: p+~p=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Po usunięciu funkcji logicznych Y i ~Y najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## leży gruzach bowiem w tabeli TF1’ zachodzą następujące tożsamości logiczne
| Kod: |
A0: p = B1: p
A1: ~p = B0: ~p
A2: p+~p=1 = B3: p+~p=1
A3: p*~p=0 = B2: p*~p=0
|
cnd
Dokładnie to samo można pokazać w pełnych tabelach zero-jedynkowych.
Zapiszmy jeszcze raz wszystkie możliwe funkcje jednoargumentowe.
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że tabela TF1 perfekcyjnie spełnia zarówno definicję znaczka różne # jak i definicję znaczka różne na mocy definicji ##
Najciekawszy wniosek:
Zauważmy, że przykładowe funkcje logiczne A0: Y=p i B1: ~Y=p są różne na mocy definicji ## mimo że kolumny wynikowe są identyczne.
Innymi słowy:
Jeśli z tabeli TF1 usuniemy funkcje logiczne Y i ~Y to dostaniemy tożsamość logiczną, czyli rachunek zero-jedynkowy wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
A0: p = B1: p
cnd
Ogólnie:
Usuńmy wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli TF1 pozostawiając jedynie wyrażenia algebry Boole’a
| Kod: |
TF1’
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
A0: A1: A2: A3:
p ~p p ## p ~p ~p ## p ~p p+~p=1 ## p ~p p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~p ## ~p p p ## ~p p ~p*p=0 ## ~p p ~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać, że w tabeli TF1’ najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą poniższe tożsamości.
| Kod: |
A0: p = B1: p
A1: ~p = B0: ~p
A2: p+~p=1 = B3: ~p+p=1
A3: p*~p=0 = B2: ~p*p=0
cnd
|
Stąd mamy:
Prawo Grzechotnika:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
cnd
1.4 Prawa Prosiaczka
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo Y) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~Y). Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Wyprowadzenie praw Prosiaczka:
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Zapiszmy funkcje logiczne A2 i A3 w sposób tożsamy:
| Kod: |
TF23
A2: Y=1 # B2: ~Y=0
## ##
A3: Y=0 # B3: ~Y=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negację drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że tabela TF23 perfekcyjnie spełnia zarówno definicję znaczka różne # jak i definicję znaczka różne na mocy definicji ##
W wierszach A2 i A3 doskonale widać prawa Prosiaczka.
1.4.1 Wyprowadzenie I prawa Prosiaczka
Zapiszmy funkcje logiczne A2 i A3 w tabeli prawdy
| Kod: |
TF23
A2: Y=1 # B2: ~Y=0
## ##
A3: Y=0 # B3: ~Y=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negację drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
I prawo Prosiaczka widać w linii A2-B2:
I Prawo Prosiaczka:
A2: (Y=1) # B2: (~Y=0)
Zmienna binarna w logice dodatniej (bo Y) ma wartość logiczną 1 wtedy i tylko wtedy gdy zmienna binarna w logice ujemnej (bo ~Y) ma wartość logiczną 0
Stąd mamy zapis tożsamy I prawa Prosiaczka:
A2: (Y=1) <=> B2: (~Y=0)
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie twierdzenia prostego p=>q i twierdzenia odwrotnego q=>p
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
Stąd:
I Prawo Prosiaczka:
A2: (Y=1) <=> B2: (~Y=0) = (A2: (Y=1)=>B2: (~Y=0))*(B2: (~Y=0)=>A2: (Y=1)) =1*1 =1
Twierdzenie proste A2: p=>q brzmi:
A2.
Jeśli A2: (Y=1) to na 100% => B2: (~Y=0)
cnd
Twierdzenie odwrotne B2: q=>p brzmi:
B2.
Jeśli B2: (~Y=0) to na 100% => A2: (Y=1)
cnd
Prawo Irbisa:
Każda równoważność pojęć p<=>q definiuje tożsamość pojęć p=q i odwrotnie
p<=>q [=] p=q
Szczegółowym dowodem prawa Irbisa zajmiemy się w niedalekiej przyszłości.
Zachodzi tożsamość znaczków logicznych:
<=>, „=”, [=]
które możemy używać zamiennie celem precyzyjnego zapisu prawa logicznego np. prawa Irbisa
Stąd końcowa postać I prawa Prosiaczka przyjmuje brzmienie.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
Tożsamość jest przemienna stąd mamy wersję tożsamą.
I Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice ujemnej (bo ~Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice dodatniej (bo Y)
(~Y=0)=(Y=1)
cnd
1.4.2 Wyprowadzenie II prawa Prosiaczka
Zapiszmy funkcje logiczne A2 i A3 w tabeli prawdy
| Kod: |
TF23
A2: Y=1 # B2: ~Y=0
## ##
A3: Y=0 # B3: ~Y=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negację drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
II prawo Prosiaczka widać w linii A3-B3:
II Prawo Prosiaczka:
A3 (Y=0) # B3: (~Y=1)
Zmienna binarna w logice dodatniej (bo Y) ma wartość logiczną 0 wtedy i tylko wtedy gdy zmienna binarna w logice ujemnej (bo ~Y) ma wartość logiczną 1 (i odwrotnie)
Stąd mamy zapis tożsamy I prawa Prosiaczka:
A3: (Y=0) <=> B3: (~Y=1)
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie twierdzenia prostego p=>q i twierdzenia odwrotnego q=>p
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
Stąd:
II Prawo Prosiaczka:
A3: (Y=0) <=> B3: (~Y=1) = (A3: (Y=0)=>B3: (~Y=1))*(B3: (~Y=1)=>A3: (Y=0)) =1*1 =1
Twierdzenie proste A3: p=>q brzmi:
A3.
Jeśli A3: (Y=0) to na 100% => B3: (~Y=1)
cnd
Twierdzenie odwrotne B3: q=>p brzmi:
B3.
Jeśli B3: (~Y=1) to na 100% => A3: (Y=0)
cnd
Prawo Irbisa:
Każda równoważność pojęć p<=>q definiuje tożsamość pojęć p=q i odwrotnie
p<=>q [=] p=q
Szczegółowym dowodem prawa Irbisa zajmiemy się w niedalekiej przyszłości.
Zachodzi tożsamość znaczków logicznych:
<=>, „=”, [=]
które możemy używać zamiennie celem precyzyjnego zapisu prawa logicznego np. prawa Irbisa
Stąd końcowa postać II prawa Prosiaczka przyjmuje brzmienie.
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Tożsamość jest przemienna stąd mamy wersję tożsamą.
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo Y)
(~Y=1)=(Y=0)
cnd
1.4.3 Prawa Prosiaczka w bramkach logicznych
Realizacja praw Prosiaczka w bramkach logicznych:
| Kod: |
I prawo Prosiaczka:
(Y=1)<=>(~Y=0)
Y=1 ------ <=> ~Y=0
------------->| # |o----------------->
------
Po minięciu negatora # funkcję Y=1 musimy negować dwustronnie ~Y=0
## ##
II Prawo Prosiaczka:
(Y=0)<=>(~Y=1)
Y=0 ------ <=> ~Y=1
------------->| # |o----------------->
------
Po minięciu negatora # funkcję Y=0 musimy negować dwustronnie ~Y=1
Gdzie:
„o” - symbol negatora (#)
## - różne na mocy definicji
|
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Zobaczmy jak działają prawa Prosiaczka na symbolach binarnych.
Przykład 1
Znaczenie symboli binarnych P i ~P:
P - pies
~P - nie pies
I prawo Prosiaczka:
Załóżmy, że pokazujemy palcem psa i mówimy:
P=1 - prawdą jest (=1), że to pies (P)
Prawo Prosiaczka:
(P=1)=(~P=0)
stąd mamy zdanie tożsame:
~P=0 - fałszem jest (=0), że to nie jest pies (~P)
##
II prawo Prosiaczka:
Załóżmy, że pokazujemy palcem kozę i mówimy:
P=0 - fałszem jest (=0), że to jest pies (P)
Prawo Prosiaczka:
(P=0)=(~P=1)
Stąd mamy zdanie tożsame:
~P=1 - prawdą jest (=1), że to nie jest pies (~P)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Przykład 2
Znaczenie symboli binarnych Y i ~Y:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa
I prawo Prosiaczka:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
[=],<=>
~Y=0 - fałszem jest (=0), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Stąd mamy I prawo Prosiaczka:
(Y=1) [=] (~Y=0)
##
II prawo Prosiaczka:
Y=0 - fałszem jest (=0), że pani dotrzyma słowa (Y)
[=], <=>
~Y=1 - prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Stąd mamy II prawo Prosiaczka:
(Y=0)=(~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
1.4.4 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki
Rozważmy sterowanie żarówką jednym przyciskiem A
| Kod: |
Schemat 1
Przykład ilustracji praw Prosiaczka w fizyce:
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z naturalną logiką człowieka gdzie wszelkie przeczenia w kodowaniu matematycznym muszą być zapisane jawnie.
Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
S - żarówka świeci
Co matematycznie oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)
Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
~S - żarówka nie świeci
Co matematycznie oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)
Zauważmy, że prawa Prosiaczka wiążą ze sobą pojęcia prawdy i fałszu w języku potocznym.
1.4.5 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka
Dla zrozumienie praw Prosiaczka nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.
Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO
Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)
Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0
Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)
Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń
Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)
1.5 Operatory jednoargumentowe w logice 5-cio latków
Znaczenie symboli Y i ~Y dla potrzeb prezentowanych dalej przykładów:
1.
Znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa
Jedynki w logice matematycznej są domyślne, stąd zapis tożsamy:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(Y=1)=(~Y=0)
stąd kolejny zapis tożsamy:
~Y=0 - fałszem jest (=0), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa
#
2.
Znaczenie symbolu ~Y:
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Jedynki w logice matematycznej są domyślne, stąd zapis tożsamy:
~Y=1 - prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(~Y=1)=(Y=0)
Stąd zapis tożsamy:
Y=0 - fałszem jest (=0) że pani dotrzyma słowa (Y)
Innymi słowy:
Pani skłamie (S)
S=~Y
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
1.5.1 Operator transmisji Y|=p
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora transmisji Y|=p:
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych funkcji transmisji A0: Y=p w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji transmisji B0: ~Y=~p w logice ujemnej (bo ~Y)
A0.
Y=p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A0 stronami:
B0.
~Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Przykład A0.
Pani w przedszkolu A0 wypowiada zdanie:
A0.
Jutro pójdziemy do kina
A0: Y=K
co w logice jedynek oznacza:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy juro pójdziemy do kina (K=1)
Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek).
Czy wiesz kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Jaś:
Oczywiście, że wiem.
Negujemy równanie A0 stronami:
B0.
~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
B0: ~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej jednoargumentowych funkcji logicznych:
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
A0: A1: A2: A3:
K ~K Y=K ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~K K ~Y=~K ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 3.
W części A0 doskonale widać że:
Y=1 <=> K=1
W części B0 doskonale widać, że:
~Y=1 <=> ~K=1
cnd
Wnioski:
1.
Zauważmy, że nasze zdanie A0: Y=K w logice dodatniej (bo Y) możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 123.
2.
Także odpowiedź B0 na pytanie o ~Y możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 123.
3.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 123 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 123 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
cnd
Stąd mamy wyprowadzone prawo Puchacza.
Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego
1.5.2 Operator negacji Y|=~p
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora negacji Y|=~p:
Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych funkcji negacji A1: Y=~p w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji negacji B1: ~Y=p w logice ujemnej (bo ~Y)
A1.
Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A1 stronami:
B1.
~Y=p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Przykład A1.
Pani w przedszkolu A1 wypowiada zdanie:
A1.
Jutro nie pójdziemy do kina
A1: Y = ~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1).
Y=1 <=> ~K=1
Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek).
Czy wiesz kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Jaś:
Oczywiście, że wiem.
Negujemy równanie A1 stronami:
B1.
~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
B1: ~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej jednoargumentowych funkcji logicznych:
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
A0: A1: A2: A3:
p ~q Y=q ## K ~K Y=~K ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p q ~Y=~p ## ~K K ~Y=K ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 6.
W części A1 doskonale widać że:
Y=1 <=> ~K=1
W części B1 doskonale widać, że:
~Y=1 <=> K=1
cnd
Wnioski:
1.
Zauważmy, że nasze zdanie A1: Y=~K w logice dodatniej (bo Y) możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 456.
2.
Także odpowiedź B1 na pytanie o ~Y możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 456.
3.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 456 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 456 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
cnd
Stąd mamy wyprowadzone prawo Puchacza.
Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego
1.5.3 Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p:
Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p to układ równań funkcji logicznej A2: Y=p+~p=1 w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej B2: ~Y=~p*p=0 w logice ujemnej (bo ~Y)
A2.
Funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Y=p+~p =1 - na mocy prawa algebry Boole’a
Zapis matematycznie tożsamy:
Y=1 <=> p=1 lub ~p=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że zajdzie Y, wtedy i tylko wtedy zajdzie p (p=1) lub zajdzie ~p (~p=1)
Y=p+~p=1
Na wyjściu Y mamy tu twardą jedynkę o znaczeniu:
Y=1 – prawdą jest (=1), że zajdzie (Y)
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A2 stronami:
B2.
~Y=~(p+~p)=p*~p =0 - na mocy prawa De Morgana
Zapis matematycznie tożsamy:
~Y=0 <=> p=1 i ~p=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że zajdzie ~Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p (p=1) i ~p (~p=1)
Na wyjściu ~Y mamy tu twarde zero o znaczeniu:
~Y=0 – fałszem jest (=0), że zajdzie ~Y
Kluczowe w zdaniach A2 i B2 jest znaczenie symbolu Y w funkcji logicznej A2 bowiem ta funkcja jest tu punktem odniesienia.
A2: Y=p+~p =1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że zajdzie Y
A2: Y=1
Stąd wnioskujemy, że w takim razie:
B2: ~Y=0
Fałszem jest (=0) że zajdzie ~Y bowiem zajść może wyłącznie Y albo ~Y – trzeciej możliwości brak
B2: ~Y=0
Stąd mamy wyprowadzone prawo Prosiaczka:
(A2: Y=1) = (B2: ~Y=0)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Przykład zdania zawsze prawdziwego A2: Y=K+~K=1:
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
A0: A1: A2: A3:
p ~q Y=q ## K ~K Y=~K ## K ~K Y=K+~K=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p q ~Y=~p ## ~K K ~Y=K ## ~K K ~Y=~K*K=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
Przykład A2.
Pani w przedszkolu A2 wypowiada zdanie:
A2.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y = (K+~K) =1 - na mocy prawa algebry Boole’a
Zapis matematycznie tożsamy:
Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y), wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y=K+~K=1
Na wyjściu Y mamy tu twardą jedynkę o znaczeniu:
Y=1 – prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A2 stronami:
B2.
~Y=~(K+~K)=K*~K =0 - na mocy prawa De Morgana
Zapis matematycznie tożsamy:
~Y=0 <=> K=1 i ~K=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do kina (~K=1)
Na wyjściu ~Y mamy tu twarde zero o znaczeniu:
~Y=0 – fałszem jest (=0), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Kluczowe w zdaniach A2 i B2 jest znaczenie symbolu Y funkcji logicznej A2 bowiem ta funkcja jest tu punktem odniesienia.
A2: Y=K+~K =1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y):
A2: Y=1
Stąd wnioskujemy, że w takim razie:
B2: ~Y=0
Fałszem jest (=0) że pani nie dotrzyma słowa (~Y) bowiem pani może wyłącznie dotrzymać słowa (Y) lub nie dotrzymać słowa (~Y) – trzeciej możliwości brak.
B2: ~Y=0
Stąd mamy wyprowadzone prawo Prosiaczka:
(A2: Y=1) = (B2: ~Y=0)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Wniosek
Pani przedszkolanka w przedszkolu A2 wypowiadając zdanie A2 nie ma szans na nie dotrzymanie słowa (~Y=1) w dniu jutrzejszym
Dowód:
W całej analizie zdania zawsze prawdziwego A2 nie ma poniższego stwierdzenia.
~Y=1 - prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
cnd
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 9.
2.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 789 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 789 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
cnd
Stąd mamy wyprowadzone praw Puchacza.
Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego
1.5.4 Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p:
Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p to układ równań logicznych A3: Y=p*~p=0 w logice dodatniej (bo Y) oraz B3: ~Y=~p+p=1 w logice ujemnej (bo ~Y)
A3.
Funkcja logiczna zdania zawsze fałszywego w logice dodatniej (bo Y)
Y=p*~p =0 - na mocy prawa algebry Boole’a
Zapis matematycznie tożsamy:
Y=0 <=> p=1 i ~q=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że zajdzie Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p i ~p
Y=p*~p=0
Na wyjściu Y mamy tu twarde zero o znaczeniu:
Y=0 – fałszem jest (=0), że zajdzie (Y)
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A3 stronami:
B3.
~Y=~(p*~p)=p+~p =1 - na mocy prawa De Morgana
Zapis matematycznie tożsamy:
~Y=1 <=> p=1 lub ~p=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że zajdzie ~Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p (p=1) lub zajdzie ~p (~p=1)
Na wyjściu ~Y mamy tu twardą jedynkę o znaczeniu:
~Y=1 – prawdą jest (=1), że zajdzie ~Y
Kluczowe w zdaniach A3 i B3 jest znaczenie symbolu Y w funkcji logicznej A3 bowiem ta funkcja jest tu punktem odniesienia.
A3: Y = p*~p=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że zajdzie Y
A3: Y=0
Stąd wnioskujemy, że w takim razie:
B3: ~Y=1
Prawdą jest (=1) że zajdzie ~Y bowiem zajść może wyłącznie Y albo ~Y – trzeciej możliwości brak
B3: ~Y=1
Stąd mamy wyprowadzone prawo Prosiaczka.
(A3: Y=0) = (B3: ~Y=1)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Przykład zdania zawsze fałszywego A3: Y=K*~K=0
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=K*~K=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~K+K=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
Przykład A3.
Pani w przedszkolu A3 wypowiada zdanie:
A3.
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y = K*~K =0 - na mocy prawa algebry Boole’a
Zapis matematycznie tożsamy:
Y=0 <=> K=1 i ~K=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y=K*~K=0
Na wyjściu Y mamy tu twarde zero o znaczeniu jak wyżej.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A3 stronami:
B3.
~Y=~(K*~K)=K+~K =1 - na mocy prawa De Morgana
Zapis matematycznie tożsamy:
~Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do kina (K=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1)
Kluczowe w zdaniach A3 i B3 jest znaczenie funkcji logicznej A3 bowiem ta funkcja jest tu punktem odniesienia.
A3: Y = p*~p=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że pani dotrzyma słowa (Y)
A3: Y=0
Stąd wnioskujemy, że w takim razie:
B3: ~Y=1
Prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y) bowiem pani może wyłącznie dotrzymać słowa (Y) lub nie dotrzymać słowa (~Y) – trzeciej możliwości brak
B3: ~Y=1
Stąd mamy wyprowadzone prawo Prosiaczka:
(A3: Y=0) = (B3: ~Y=1)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Wniosek
Pani przedszkolanka w przedszkolu A3 wypowiadając zdanie A3 nie ma szans na dotrzymanie słowa (Y=1) w dniu jutrzejszym
Dowód:
Nie ma poniższego zdania w całej powyższej analizie zdania zawsze fałszywego A3.
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 12.
2.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 10:11:12 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 10:11:12 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
cnd
Stąd mamy wyprowadzone praw Puchacza.
Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego
1.6 Prawo Puchacza
Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego
Dowód dla wszystkich możliwych przypadków:
Patrz punkt 1.5 wyżej
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 11:43, 27 Cze 2022, w całości zmieniany 4 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35517
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 18:00, 18 Cze 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2.0 Podstawowa algebra Boole’a
Spis treści
2.0 Podstawowa algebra Boole’a 1
2.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole’a 2
2.1.1 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym 4
2.2 Aksjomatyka algebry Boole’a 4
2.3 Logika matematyczna w przedszkolu 9
2.3.1 Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej 11
2.3.2 Kolejność wykonywania działań w algebrze Kubusia 11
2.4 Piękna algebra Boole’a 12
2.4.1 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków 12
2.4.2 Przykład minimalizacji funkcji logicznej z matematyki.pl 15
2.5 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a 16
2.5.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 17
2.5.2 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer 18
2.6 Związek opisu tabel zero-jedynkowych w logice jedynek i w logice zer 20
2.6.1 Prawo Małpki 20
2.6.2 Dowód prawa Małpki bez tabel zero-jedynkowych 21
2.0 Podstawowa algebra Boole’a
Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego, zatem tylko z tego punktu widzenia będziemy patrzeć na algebrę Boole’a.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
Definicja algebry Boole’a:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Algebra Boole’a to dwa wyróżnione elementy, zwykle {1,0}, o znaczeniu:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
oraz dwa spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja
2.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole’a
Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)
Przykłady:
Y=p+~p=1 – zdanie zawsze prawdziwe
Y=p*~p=0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna
To samo w logice 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 – zdanie zawsze prawdziwe
Jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramek logicznych
Y - wyjście bramki logicznej
Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)
Matematyczne związki między p i ~p:
I.
p#~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
II.
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)
Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
Przykład:
f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
p*q+~p*~q
W najprostszym przypadku wyrażeniem algebry Boole’a może być pojedyńcza zmienna binarna p
f(p) =p
Uwaga na notację:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
f(p,q)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a (przykład)
Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a w osi czasu.
W technice funkcja logiczna algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y
Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y
Przykład:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q = (p*q)+(~p*~q)
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=1<=>p+q
Y=0<=>~p*~q
etc
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana (poznamy za chwilę)
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
2.1.1 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Inaczej mamy do czynienia ze standardem ujemnym lub mieszanym.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
Podstawa matematyczna dla powyższej definicji to prawa Prosiaczka
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej.
2.2 Aksjomatyka algebry Boole’a
Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy
Definicja minimalnej aksjomatyki algebry Boole’a:
Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a to minimalny zestaw praw algebry Boole’a koniecznych i wystarczających do poruszania się po równaniach algebry Boole’a.
Chodzi tu głównie o minimalizację równań algebry Boole’a, której w języku potocznym praktycznie nie ma bo nasz mózg to naturalny ekspert algebry Kubusia tzn. z reguły operuje na funkcjach minimalnych które nie wymagają zewnętrznej minimalizacji.
Wynika z tego, że tabele zero-jedynkowe w takiej aksjomatyce nas nie interesują.
Jak zobaczymy za chwilę, minimalna aksjomatyka algebry Boole’a to zaledwie osiem punktów które trzeba znać na pamięć.
Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+):
I.
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka
Znaczek tożsamy w matematyce:
(*) - znaczek koniunkcji
Znaczek tożsamy w technice:
(*) - bramka logiczna AND
Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
| Kod: |
p q Y=p*q
A: 1* 1 =1
B: 1* 0 =0
C: 0* 1 =0
D: 0* 0 =0
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
Y=1
|
Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia którą logiką będziemy się posługiwać. W przypadku spójnika „i”(*) użycie logiki jedynek jest najszybszym sposobem wypełnienia wynikowej kolumny zero-jedynkowej.
II.
(+) - spójnik „lub”(+) z języka potocznego człowieka
Znaczek tożsamy w matematyce:
(+) - znaczek alternatywy
Znaczek tożsamy w technice:
(+) - bramka logiczna OR
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
| Kod: |
p q Y=p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
Y=1
|
Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia którą logiką będziemy się posługiwać. W przypadku spójnika „lub”(+) użycie logiki zer jest najszybszym sposobem wypełnienia wynikowej kolumny zero-jedynkowej.
Najważniejsze prawa algebry Boole’a (aksjomatyka minimalna) to:
1.
1=prawda
0=fałsz
1=~(0)=~0 - prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu
0=~(1)=~1 - fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy
2.
Elementem neutralnym w spójniku „i”(*) jest jedynka
p*1=p (łatwe do zapamiętania przez analogię do zwykłego mnożenia: x*1=x
p+1=1 (to jedyny wyjątek nie mający odpowiednika w zwykłym dodawaniu)
3.
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest zero
p+0=p (łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego dodawania: x+0=x)
p*0=0 (łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego mnożenia: x*0=0)
4.
Definicja dziedziny D w zbiorach:
A: p+~p=1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny (D) dla zbioru p
B: p*~p=0 - zbiory p i ~p są rozłączne (p*~p=[]=0), stąd ich iloczyn logiczny to 0
Definicja dziedziny D w zdarzeniach:
C: p+~p=1 - zdarzenie ~p jest uzupełnieniem do dziedziny (D) dla zdarzenia p
D: p*~p=0 - zdarzenia p i ~p są rozłączne (p*~p=[]=0), stąd ich iloczyn logiczny to 0
Przykłady:
4A
Dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 2 lub nie jest podzielna przez 2
D=LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] – zbiór liczb naturalnych, wspólna dziedzina dla P2 i ~P2
D = P2+~P2 =1 - zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest uzupełnieniem do dziedziny dla P2=[2,4,6,8..]
~P2=[LN-P2] - zbiór liczb naturalnych LN pomniejszony o zbiór liczb parzystych P2
4B.
Dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 2 i nie jest podzielna przez 2
[] = P2*~P2 =0 - zbiory P2=[2,4,6,8..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
4C.
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
D=[K,~K] – zbiór wszystkich możliwych zdarzeń w dniu jutrzejszym, dziedzina
D = K+~K =1 - zdarzenie ~K jest uzupełnieniem do dziedziny dla zdarzenia K
4D.
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
[] = K*~K =0 - zdarzenie ~K jest rozłączne ze zdarzeniem K
5.
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) są przemienne
p*q=q*p
p+q=q+p
6.
Prawo redukcji/powielania zmiennych:
p*p=p
p+p=p
7.
Prawa De Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
p*q = ~(~p+~q)
8.
Obsługa wielomianów logicznych jest identyczna jak wielomianów klasycznych pod warunkiem przyjęcia analogii:
Spójnik „lub”(+) to odpowiednik sumy klasycznej (+) np. x+y
Spójnik „i”(*) to odpowiednik iloczynu klasycznego (*) np. x*y
Stąd mamy:
Kolejność wykonywania działań w wielomianach logicznych:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
bo robimy analogię do wielomianów klasycznych.
Przykład mnożenia wielomianów logicznych:
Niech będzie dana funkcja logiczna Y:
Y = (p+~q)*(~p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Minimalizujemy:
Y = (p+~q)*(~p+q) = p*~p + p*q +~q*~p + ~q*q = 0 + p*q + ~q*~p + 0 = p*q + ~p*~q
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p*~p=0
p+0 =p
Przemienność:
~q*~p = ~p*~q
Stąd:
Nasza funkcja logiczna Y po minimalizacji przybiera postać:
Y = (p+~q)*(~p+q) = p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Inny przykład wykorzystania praw algebry Boole’a.
Udowodnij prawo algebry Boole’a:
p + p*q =p
Dowód:
p + p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p=p*1
Wyciągnięcie zmiennej p przed nawias identyczne jak w wielomianach klasycznych
1+q=1
p*1=p
cnd
Każde z praw logiki matematycznej można udowodnić w rachunku zero-jedynkowym.
Przykład 1.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo rachunku zero-jedynkowego:
p+1 =1
Mamy tu:
p - zmienna algebry Boole’a mogąca przyjmować dowolne wartości logiczne 0 albo 1.
q=1 - wartość logiczna stała, niezmienna
Korzystamy z definicji spójnika „lub”(+).
| Kod: |
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
p q Y=p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
|
Stąd mamy:
| Kod: |
Dla p i q=1 mamy:
p q=1 Y=p+1
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 1 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 1 =1
|
Stąd mamy dowód prawdziwości prawa rachunku zero-jedynkowego:
p+1 =1
cnd
Przykład 2.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo algebry Boole’a:
p+~p =1
| Kod: |
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
p q Y=p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
|
Stąd mamy:
| Kod: |
Dla p i q=~p mamy:
p ~p Y=p+~p
A: 1+ 0 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 1 =1
|
Stąd mamy dowód prawdziwości prawa rachunku zero-jedynkowego:
p+~p =1
cnd
Przykład 3.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo De Morgana dla sumy logicznej „lub”(+):
p+q = ~(~p*~q)
Zaczynamy od definicji spójnika „lub”(+)
| Kod: |
p q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q Y=~(~Y)=~(~p*~q)
A: 1+ 1 =1 =0 0* 0 =0 =1
B: 1+ 0 =1 =0 0* 1 =0 =1
C: 0+ 1 =1 =0 1* 0 =0 =1
D: 0+ 0 =0 =1 1* 1 =1 =0
1 2 3 4 5 6 7 8
Gdzie:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
|
Tożsamość kolumn wynikowych 3=8 (Y=Y) jest dowodem poprawności prawa De Morgana:
Y = 3: p+q = 8: ~(~p*~q)
#
Tożsamość kolumn wynikowych 4=7 (~Y=~Y) jest dowodem poprawności prawa De Morgana:
~Y = 4: ~(p+q) = 7:~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
cnd
Zadanie dla czytelnika:
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo De Morgana dla iloczynu logicznego „i”(*):
p*q = ~(~p+~q)
2.3 Logika matematyczna w przedszkolu
Definicja spójnika „<=> - wtedy i tylko wtedy” wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Przykład:
Pani w przedszkolu wypowiada obietnicę bezwarunkową:
1.
Jutro pójdziemy do kina tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Innymi słowy:
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
K<=>T = A: K*T + C: ~K*~T
Podstawmy celem skrócenia zapisów:
Y = K<=>T
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1: Y = A: K*T + C: ~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
co w logice jedynek oznacza:
1: Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Uwaga:
Wyłącznie funkcje alternatywno-koniunkcyjne są zrozumiałe dla człowieka, od 5-cio latka poczynając.
Funkcji koniunkcyjno-alternatywnych żaden człowiek nie rozumie tzn. nie mają one przełożenia 1:1 na język potoczny.
Wyłącznie w funkcji alternatywno-koniunkcyjnej jedynki są domyślne, czyli możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Przyjmijmy następujące znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y), czyli pani skłamie (S=~Y)
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1: Y = A: K*T + C: ~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
co w logice jedynek oznacza:
1: Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
Yc = ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Gdzie:
Y = Ya+Yc - funkcja logiczna Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych Ya+Yc
Jak widzimy, odpowiedź kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) jest intuicyjnie zrozumiała.
Matematycznie kluczowa jest tu odpowiedź na pytanie:
Kiedy pani skłamie (~Y)?
Aby odpowiedzieć na to pytanie musimy dwustronnie zanegować funkcję logiczną 1.
2: ~Y = ~(K*T+~K*~T)
Prawą stronę minimalizujemy prawami De Morgana:
Krok 1
2: ~Y = ~(K*T)*~(~K*~T) - prawo De Morgana: ~(p+q) = ~p*~q
Krok 2
2: ~Y = (~K+~T)*(K+T) - prawo De Morgana: ~(p*q) = ~p+~q
Stąd mamy.
Kolejność wykonywania działań w algebrze Boole’a:
Przeczenie (~), nawiasy, spójnik „i”(*), spójnik „lub”(+)
Przetłumaczmy opisaną wyżej postać koniunkcyjno-alternatywną na język potoczny:
2: ~Y = (~K+~T)*(K+T)
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
(~K+~T) - jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
„i”(*)
(K+T) - jutro pójdziemy do kina (K) lub pójdziemy do teatru (T)
Doskonale widać, że otrzymaliśmy masakrę, czyli odpowiedź na pytanie kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y), której w języku potocznym żaden człowiek nie rozumie.
Co zatem mamy robić?
Po pierwsze bez paniki wymnażamy wielomian 2 (dla wygody przechodzimy na zapis ogólny):
2: ~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
3: ~Y = p*~q + ~p*q - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Nasz przykład:
3.
~Y = K*~T + ~K*T - postać alternatywno-koniunkcyjna
co w logice jedynek obowiązującej wyłącznie w postaci alternatywno-koniunkcyjnej oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub D: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Yb = K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
„lub”(+)
~Yd = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Gdzie:
~Y = ~Yb+~Yc - funkcja logiczna ~Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych ~Yb+~Yd
Doskonale widać, że tą odpowiedź na pytanie kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) rozumie każdy człowiek, od 5-cio latka poczynając.
Wniosek z naszego przykładu to prawo Pandy.
Prawo Pandy:
Jedyną funkcją logiczną zrozumiałą dla każdego człowieka jest funkcja alternatywno-koniunkcyjna
Z prawa Pandy wynika, że jeśli z jakiegokolwiek przekształcenia funkcji logicznej algebry Boole’a wyskoczy mam choćby fragment postaci koniunkcyjno-alternatywnej, to taki fragment musimy sprowadzić do postaci alternatywno-koniunkcyjnej wymnażając wielomian, jak to zrobiliśmy wyżej.
Podsumowanie:
Jak widzimy korzystając dwukrotnie z praw De Morgana przeszliśmy od funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y):
1: Y = K*T +~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Do funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y):
2: ~Y = (~K+~T)*(K+T) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Akurat w tym przypadku to przejście było proste, bo na wejściu mieliśmy do czynienia z prostą funkcją logiczną Y:
1: Y = K*T +~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
W ogólnym przypadku funkcja alternatywno-koniunkcyjna może być dowolnie skomplikowana i wtedy korzystanie z praw De Morgana, choć matematycznie poprawne, będzie skomplikowanym masochizmem.
Na szczęście istnieje skrócony algorytm przejścia z logiki dodatniej (bo Y) do ujemnej (bo ~Y) i odwrotnie, po raz pierwszy zapisany przez Wuja Zbója.
2.3.1 Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej
Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
1.
Y = pq+~p~q - zapis dopuszczalny w technice z pominięciem spójnika „i”(*)
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
1.: Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2: ~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója
2.3.2 Kolejność wykonywania działań w algebrze Kubusia
Kolejność wykonywania działań w algebrze Kubusia:
przeczenie (~), nawiasy, spójnik „i”(*), spójnik „lub”(+), ~~>, =>, ~>, <=>
Gdzie:
Znaczki z algebry Boole’a to:
przeczenie(~), nawiasy, spójnik „i”(*), spójnik „lub”(+)
Znaczki spoza algebry Boole’a (tzn. z algebry Kubusia) to:
~~> - zdarzenie możliwe lub element wspólny zbiorów
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
<=> - równoważność
Przykład potwierdzający dla algebry Boole’a mamy w punkcie 2.3
2.4 Piękna algebra Boole’a
Podam dwa przykłady posługiwania się algebrą Boole’a, pierwszy rodem z przedszkola, drugi rodem z matematyki.pl
2.4.1 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków
Rozważmy projektowanie sterowania windą.
Przyjmijmy wejście układu windy:
Na poziomie 5-cio latka zakładamy że winda ma dwa przyciski wejściowe układu (zmienne binarne):
Opis przycisku D=[drzwi]:
D=1 - drzwi zamknięte (D)
~D=1 - drzwi nie zamknięte (~D)
Opis przycisku P=[piętro]:
P=1 - przycisk piętro wciśnięty (P)
~P=1 - przycisk piętro nie wciśnięty (~P)
Przyjmijmy wyjście układu windy:
Wyjście układu opisane jest przez zmienną binarną J=[jedzie]:
J=1 - winda jedzie (J).
~J=1 - winda nie jedzie (~J)
I.
Pani przedszkolanka do Jasia (lat 5):
Powiedz nam Jasiu kiedy winda jedzie (J=1)?
Jaś:
A1.
Winda jedzie (J=1) wtedy i tylko wtedy gdy drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
A1: J=D*P
co w logice jedynek oznacza:
J=1 <=> D=1 i P=1
Wniosek:
Jaś zaprojektował sterownie windą w logice dodatniej (bo J)
II.
Pani przedszkolanka do Zuzi (lat 5):
Powiedz nam Zuziu kiedy winda nie jedzie (~J=1)?
Zuzia:
A2.
Winda nie jedzie (~J=1) wtedy i tylko wtedy gdy drzwi nie są zamknięte (~D=1) lub nie jest wciśnięty przycisk piętro (~P=1)
A2: ~J = ~D + ~P
co w logice jedynek oznacza:
~J=1 = ~D=1 lub ~P=1
Wniosek:
Zuzia zaprojektowała sterowanie windą w logice ujemnej (bo ~J)
Wnioski końcowe:
Rozwiązanie Jasia i Zuzi są matematycznie tożsame bo oczywisty związek logiki dodatniej (bo J) i ujemnej (bo ~J) jest następujący:
Jaś:
Moja logika dodatnia (bo J) to zanegowana logika ujemna (bo ~J), stąd mamy:
J = ~(~J)
Po podstawieniu:
A2: ~J = ~D + ~P
Mamy:
J = ~(~D+~P)
czyli:
J = ~(~D+~P) = D*P - prawo De Morgana
cnd
Zuzia:
Moja logika ujemna (bo ~J) to zanegowana logika dodatnia (bo J), stąd mamy:
~J = ~(J)
Po podstawieniu:
A1: J=D*P
Mamy:
~J = ~(D*P)
czyli:
~J = ~(D*P) = ~D+~P - prawo De Morgana
cnd
Doskonale tu widać, zarówno Jaś jak i Zuzia (oboje po 5 wiosenek) perfekcyjnie znają algebrę Kubusia bo po prostu pod nią podlegają.
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = znana inżynierom bramka AND
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = znana inżynierom bramka OR
Znaczek przeczenia (~) też ma swój odpowiednik w bramkach logicznych w postaci układu negatora:
„o”(~) - bramka negatora „o”(~) w każdej chwili czasowej zamienia cyfrowy sygnał wejściowy (p) na jego negację na wyjściu negatora (~p).
Stąd:
Przełożenie powyższych zdań na bramki logiczne jest trywialne:
Wszędzie, gdzie wymawiamy spójnik „i”(*) walimy bramę AND.
Wszędzie, gdzie wymawiamy spójnik „lub”(+) walimy bramkę OR
Stąd:
Zdania Jasia i Zuzi w przełożeniu na teorię bramek logicznych wyglądają następująco:
| Kod: |
T1
Zdania Jasia i Zuzi przełożone na język bramek logicznych „i”(*) i „lub”(+)
-------------
D------x-------->| |
| | „i”(*) |---x-----x----> A1: J=D*P (Jaś)
P--x------------>| | | |
| | ------------- \/ |
| | o o # (negator w obu kierunkach)
| | ~D ------------- | /\
| |--o----->| | | |
| ~P | „lub”(+) |---x-----x----> A2: ~J=~D+~P (Zuzia)
|------o----->| |
-------------
Opis działania układu:
Jaś:
A1:
Winda jedzie (J) gdy drzwi są zamknięte (D) i wciśnięty przycisk piętro (P)
J=D*P
… a kiedy winda nie jedzie (~J)?
#
Dowolną funkcję logiczną (np. J=D*P) mamy prawo dwustronnie zanegować (#)
Negujemy funkcję logiczną A1 dwustronnie:
Zuzia:
A2:
~J=~(D*P)=~D+~P - prawo De Morgana
Stąd:
A2.
Winda nie jedzie (~J) gdy drzwi nie są zamknięte (~D)
lub nie jest wciśnięty przycisk piętro (~P)
~J=~D+~P
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
„o”(~) - bramka negatora „o”(~)
Negator w każdej chwili czasowej zamienia cyfrowy sygnał wejściowy
na jego negację na wyjściu negatora.
|
To jest cała filozofia przełożenia logiki matematycznej Jasia i Zuzi na teorię bramek logicznych.
Uwaga:
W użytecznym sterowaniu trzeba wprowadzić dodatkową zmienną binarną sygnalizującą dojechanie windy na żądane piętro, gdzie winda automatycznie staje i przycisk D wyskakuje. Przy zamkniętych drzwiach warunkiem koniecznym i wystarczającym kolejnej jazdy jest wciśnięcie piętra różnego od tego, na którym winda aktualnie stoi. Takie sterownie to temat na ćwiczenie laboratoryjne na I roku studiów elektronicznych.
Podsumowanie:
Matematyczna trudność projektowania złożonych sterowań w laboratorium bramek logicznych na I roku elektroniki Politechniki Warszawskiej absolutnie nie wykracza poza opisany wyżej poziom matematyczny 5-cio letnich, genialnych inżynierów Jasia i Zuzi. Oczywiście w trudniejszych problemach zmiennych binarnych jest więcej, ale układ sterowania projektuje się identycznie jak to zrobili Jaś i Zuzia, czyli mając w głębokim poważaniu jakiekolwiek tabele zero-jedynkowe.
Weźmy jeszcze raz naszego Jasia:
A1.
Jeśli winda jedzie (J=1) to na 100% => drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przyciska piętro (P=1)
A1: J=> D*P
Jazda windą jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania, że drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
W drugą stronę warunek wystarczający => też jest prawdziwy:
B3.
Jeśli drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1) to na 100% => winda jedzie (J=1)
B3: D*P=>J =1
Zamknięte drzwi (D=1) i wciśnięty przycisk piętro (P=1) jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania, że winda jedzie.
Uwaga:
Zakładamy tu, że wciskamy przycisk piętro (P) różny od piętra na którym aktualnie winda stoi.
Stąd mamy dowód iż zachodzi równoważność o definicji:
Równoważność p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Nasz przykład:
RA1B3:
Winda jedzie (J=1) wtedy i tylko wtedy gdy drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
RA1B3: J<=>D*P = (A1: J=>D*P)*(B3: D*P=>J) =1*1 =1
cnd
Prawo Irbisa (poznamy niebawem):
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/pojęć p=q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Dla naszego przykładu możemy zapisać:
Zdarzenie „winda jedzie” (J=1) jest tożsame „=” ze zdarzeniem „zamknięte drzwi i wciśnięty przycisk piętro” (D*P=1)
(J=D*P) <=> (A1: J=>D*P)*(B3: D*P=>J) = J<=>D*P
2.4.2 Przykład minimalizacji funkcji logicznej z matematyki.pl
Trudne - dla ambitnych:
Zminimalizujmy teraz funkcję logiczną podaną w zadaniu na matematyce.pl
[link widoczny dla zalogowanych]
Zadanie:
Zminimalizuj poniższe wyrażenie logiczne:
(q=>r*p)+~r
W poniższej minimalizacji korzystamy z definicji znaczka =>:
p=>q = ~p+q
Rozwiązanie:
Zapiszmy nasze wyrażenie w postaci funkcji logicznej Y:
Y = (q=>r*p) + ~r = ~q+r*p + ~r
Uzupełniamy brakujące nawiasy bo kolejność wykonywania działań w logice to:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
stąd mamy:
Y = ~q+(r*p)+~r
Zdefiniujmy funkcję cząstkową Y1:
Y1=(r*p)+~r
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y1 = (~r+~p)*r
Po wymnożeniu wielomianu logicznego mamy:
~Y1 = ~r*r + ~p*r = ~p*r
~Y1=r*~p
Powrót do logiki dodatniej (bo Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
Y1=~r+p
Odtwarzając podstawienie mamy:
Y = ~q+~r+p
Stąd w zapisie p=>q mamy:
Y = q=>(~r+p)
Stąd mamy tożsamość:
Y = (q=>r*p)+~r = q=>(~r+p)
cnd
2.5 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a
Algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków: {0, 1, „nie”(~), „i”(*), „lub”(+)}
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Inaczej mamy do czynienia ze standardem ujemnym lub mieszanym.
Weźmy zero-jedynkową definicję równoważności p<=>q:
| Kod: |
T1
Y=
p q p<=>q
A: 1<=>1 =1
B: 1<=>0 =0
C: 0<=>0 =1
D: 0<=>1 =0
|
Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa układu logicznego (bramka logiczna) to zero-jedynkowy zapis wszystkich sygnałów wejściowych w postaci niezanegowanej (p, q, r..) i zanegowanej (~p, ~q, ~r..) oraz zapis wyjścia Y również w postaci niezanegowanej (Y) i zanegowanej (~Y).
Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Tworzymy pełną definicję tabeli zero-jedynkowej, czyli:
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2.
SD - standard dodatni języka potocznego = logika jedynek
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
3.
SU - standard ujemny (niezrozumiały dla człowieka) = logika zer
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu zawsze wymnażamy wielomian koniunkcyjno-alternatywny przechodząc do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej.
2.5.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek
SD - standard dodatni języka potocznego = logika jedynek.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
Zastosujmy logikę jedynek do tabeli zero-jedynkowej równoważności Y = p<=>q:
| Kod: |
T2
Pełna definicja |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y |oznacza |cząstkowe
| |
p q ~p ~q Y ~Y | |
A: 1 1 0 0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i q=1 | Ya= p* q
B: 1 0 0 1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q
C: 0 0 1 1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q
D: 0 1 1 0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i q=1 |~Yd=~p* q
1 2 3 4 5 6 a b c d e f
|
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1: Y = A: p*q + C: ~p*~q
1: Y= p*q + ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yb+~Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
2: ~Y = B: p*~q + D: ~p*q
2: ~Y = p*~q + ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.
Zauważmy, że możliwe jest szybsze wygenerowania równań algebry Boole’a w logice jedynek z pominięciem bloku abc.
| Kod: |
T2’
Pełna definicja |Równania cząstkowe
zero-jedynkowa Y |w logice jedynek
|
p q ~p ~q Y ~Y |
A: 1 1 0 0 =1 =0 | Ya= p* q
B: 1 0 0 1 =0 =1 |~Yb= p*~q
C: 0 0 1 1 =1 =0 | Yc=~p*~q
D: 0 1 1 0 =0 =1 |~Yd=~p* q
1 2 3 4 5 6 d e f
|
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1: Y = A: p*q + C: ~p*~q
1: Y= p*q + ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yb+~Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
2: ~Y = B: p*~q + D: ~p*q
2: ~Y = p*~q + ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
2.5.2 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer
SU - standard ujemny (niezrozumiały dla człowieka) = logika zer.
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym.
Zastosujmy logikę zer do tej samej tabeli zero-jedynkowej równoważności Y = p<=>q:
| Kod: |
T3
Pełna definicja |Co w logice zer |Równania
zero-jedynkowa Y |oznacza |cząstkowe
| |
p q ~p ~q Y ~Y | |
A: 1 1 0 0 =1 =0 |~Ya=0<=>~p=0 lub ~q=0 |~Ya=~p+~q
B: 1 0 0 1 =0 =1 | Yb=0<=>~p=0 lub q=0 | Yb=~p+ q
C: 0 0 1 1 =1 =0 |~Yc=0<=> p=0 lub q=0 |~Yc= p+ q
D: 0 1 1 0 =0 =1 | Yd=0<=> p=0 lub ~q=0 | Yd= p+~q
1 2 3 4 5 6 a b c d e f
|
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
Y = Yb*Yd - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice ujemnej
Po rozwinięciu mamy:
3. Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q)
3: Y = (~p+q)*(p+~q)
co w logice zer oznacza:
Y=0 <=> (B: ~p=0 lub q=0)*(D: p=0 lub ~q=0)
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
~Y = ~Ya*~Yc - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice ujemnej
Po rozwinięciu mamy:
4: ~Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q)
4: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
co w logice zer oznacza:
~Y=0 <=> (A: ~p=0 lub ~q=0)*(C: p=0 lub q=0)
Jak widzimy, logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych których w języku potocznym żaden człowiek nie rozumie, od 5-cio latka poczynając, na prof. matematyki kończąc. Z tego względu zawsze wymnażamy wielomian koniunkcyjno-alternatywny przechodząc do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej.
Zauważmy, że możliwe jest szybsze wygenerowania równań algebry Boole’a w logice jedynek z pominięciem bloku abc.
| Kod: |
T3’
Pełna definicja |Równania cząstkowe
zero-jedynkowa Y |w logice zer
|
p q ~p ~q Y ~Y |
A: 1 1 0 0 =1 =0 |~Ya=~p+~q
B: 1 0 0 1 =0 =1 | Yb=~p+ q
C: 0 0 1 1 =1 =0 |~Yc= p+ q
D: 0 1 1 0 =0 =1 | Yd= p+~q
1 2 3 4 5 6 d e f
|
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
Y = Yb*Yd - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice ujemnej
Po rozwinięciu mamy:
3. Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q)
3: Y = (~p+q)*(p+~q)
co w logice zer oznacza:
Y=0 <=> (B: ~p=0 lub q=0)*(D: p=0 lub ~q=0)
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
~Y = ~Ya*~Yc - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice ujemnej
Po rozwinięciu mamy:
4: ~Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q)
4: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
co w logice zer oznacza:
~Y=0 <=> (A: ~p=0 lub ~q=0)*(C: p=0 lub q=0)
2.6 Związek opisu tabel zero-jedynkowych w logice jedynek i w logice zer
Zapiszmy otrzymane wyżej funkcje logiczne dla tej samej tabeli zero-jedynkowej równoważności:
Y = p<=>q
Tabela T2
Logika jedynek = standard dodatni:
1: Y= p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
#
2: ~Y = p*~q + ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Tabela T3
Logika zer = standard ujemny:
3: Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
#
4: ~Y = (~p+~q)*(p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
2.6.1 Prawo Małpki
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
Prawo Małpki wynika z tabel T2 i T3.
| Kod: |
T4
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój odpowiednik
w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
1: Y = p* q + ~p*~q <=> 3: Y = (~p+ q)*(p+~q)
# #
2: ~Y = p*~q + ~p* q <=> 4: ~Y = (~p+~q)*(p+ q)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej
|
cnd
Definicja tożsamości logicznej <=>:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej <=> wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej <=> wymusza fałszywość drugiej strony
W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości znaczków:
<=>, „=”, [=] - tożsame znaczki tożsamości logicznej
W języku potocznym każdy człowiek, od 5-cio latka poczynając doskonale rozumie wyłącznie równania alternatywno-koniunkcyjne.
Równania koniunkcyjno-alternatywne, których nikt w języku potocznym nie rozumie należy traktować jako matematyczną ciekawostkę.
2.6.2 Dowód prawa Małpki bez tabel zero-jedynkowych
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
Dowód tego prawa na naszym przykładzie równoważności:
Y = p<=>q = p*q+~p*~q
jest trywialny o ile skorzystamy z algorytmu przejścia do logiki przeciwnej autorstwa Wuja Zbója.
Zaczynamy od definicji równoważności Y=p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1: Y = p*q + ~p*~q
Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
a)
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
b)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2: ~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója
Zauważmy że:
Jeśli wymnożymy wielomian 2 to otrzymamy tożsamą do niego postać alternatywno-koniunkcyjną.
Zróbmy to:
~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
3: ~Y = p*~q + ~p*q - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Dla funkcji logicznej 3 ponownie korzystamy z algorytmu Wuja przechodząc do logiki dodatniej:
Mamy:
3: ~Y = (p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4: Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Stąd mamy:
| Kod: |
T5
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój odpowiednik
w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
1: Y = p* q + ~p*~q <=> 4: Y = (~p+ q)*(p+~q)
# #
3: ~Y = p*~q + ~p* q <=> 2: ~Y = (~p+~q)*(p+ q)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej
|
W tak bajecznie prosty sposób udowodniliśmy prawo Małpki bez użycia tabel zero-jedynkowych.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35517
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 18:03, 18 Cze 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
3.0 Dwuargumentowe funkcje logiczne
Spis treści
3.0 Dwuargumentowe funkcje logiczne 1
3.1 Dowody wewnętrznej sprzeczności rachunku zero-jedynkowego ziemian 8
3.1.1 Grupa spójników „lub”(+) i „i’”(*) 8
3.1.2 Grupa spójników implikacyjnych „Jeśli p to q” i równoważnościowych p<=>q 9
3.1.3 Grupa spójników jednoargumentowych 11
3.0 Dwuargumentowe funkcje logiczne
Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego, zatem tylko z tego punktu widzenia będziemy patrzeć na algebrę Boole’a.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
Dlaczego niniejszy podręcznik nosi nazwę nowej algebry Boole’a?
Dwa główne powody to:
1.
Klasyczna algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
2.
Ziemski rachunek zero-jedynkowy (fundament logiki matematycznej) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych Y i ~Y, co udowodnimy za chwilkę na poziomie operatorów logicznych dwuargumentowych.
Definicja algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Algebra Boole’a to dwa wyróżnione elementy (zwykle {1,0}) o znaczeniu:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
oraz dwa spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja
Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)
Przykłady:
Y=p+~p=1 – zdanie zawsze prawdziwe
Y=p*~p=0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna
To samo w logice 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 – zdanie zawsze prawdziwe
Jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości {0,1}
Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa
| Kod: |
Definicja negacji:
p ~p
A: 1 0
B: 0 1
|
Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)
Matematyczne związki między p i ~p:
I.
p#~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
II.
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)
Dowód w rachunku zero-jedynkowym:
| Kod: |
Matematyczne związki w definicji negacji:
p ~p ~(~p) ~(p)
A: 1 0 1 0
B: 0 1 0 1
1 2 3 4
|
Tożsamość kolumn 1=3 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p=~(~p)
Tożsamość kolumn 2=4 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
~p=~(p)
| Kod: |
Definicja dwuargumentowego spójnika „i”(*):
p q p*q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 1 0
D: 0 0 0
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
|
| Kod: |
Definicja dwuargumentowego spójnika „lub”(+):
p q Y=p+q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 1 1
D: 0 0 0
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
|
Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
Przykład:
f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
p*q+~p*~q
W najprostszym przypadku wyrażeniem algebry Boole’a może być pojedyńcza zmienna binarna p
f(p) =p
Uwaga na notację:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
f(p,q)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a (przykład)
Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a w osi czasu.
W technice funkcja algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y
Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y
Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramek logicznych
Y - wyjście bramki logicznej
Przykład:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q
W najprostszym przypadku mamy do czynienia z funkcją logiczną jednej zmiennej binarnej p
Y = f(p) =p
Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=1<=>p+q
Y=0<=>~p*~q
etc
<=> - wtedy i tylko wtedy
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
1.
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych jedynki są domyślne.
#
2.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana.
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Inaczej mamy do czynienia ze standardem ujemnym lub mieszanym.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
Podstawa matematyczna dla powyższej definicji to prawa Prosiaczka.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo dla dowolnej zmiennej binarnej.
Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa
Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) to:
| Kod: |
T1
Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
p q Y=f(p,q)
A: 1 1 x
B: 1 0 x
C: 0 1 x
D: 0 0 x
Gdzie:
x={0,1}
f(p,q) - wyrażenie algebry Boole’a
|
Z definicji funkcji logicznej Y wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y).
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
Każda ze zmiennych binarnych {p, q, Y} może występować w logice dodatniej (bo x) albo w logice ujemnej (bo ~x). Oczywistym jest, że zmienna binarna w logice dodatniej (bo x) wymusza zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~x), albo odwrotnie.
Na dowolny układ cyfrowy można zatem spojrzeć w logice dodatniej (bo Y) albo w logice ujemnej (bo ~Y).
| Kod: |
T2
Wymuszenia binarne w logice dodatniej {p, q, Y}
wymuszają logikę ujemną {~p, ~q, ~Y) i odwrotnie.
p q Y=f(p,q) # ~p ~q ~Y=~f(p,q)
A: 1 1 x 0 0 ~(x)
B: 1 0 x 0 1 ~(x)
C: 0 1 x 1 0 ~(x)
D: 0 0 x 1 1 ~(x)
Gdzie:
x={0,1}
f(p,q) - wyrażenie algebry Boole’a
Y=f(p,q) # ~Y=~f(p,q)
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
{p,q,Y} muszą być wszędzie tymi samymi {p,q,Y} inaczej błąd podstawienia
|
W tabeli wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych TF2 (niżej) po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.
| Kod: |
TF2
Tabela prawdy wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych Y
w logice dodatniej (bo Y)
|Grupa I |Grupa II |Grupa III | Grupa IV
|Spójniki „i”(*)|Spójniki =>, ~>|Spójniki <=>, $ | Wejścia
|oraz „lub”(+) ||=>, |~> ||~~>, ~(|~~>q) | p i q
| Y Y | Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y
p q | * + | ~* ~+ | => ~> |=> |~> | <=> $ |~~> ~(|~~>)| p q ~p ~q
A: 1 1 | 1 1 | 0 0 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 1 1 0 0
B: 1 0 | 0 1 | 1 0 | 0 1 0 1 | 0 1 1 0 | 1 0 0 1
C: 0 1 | 0 1 | 1 0 | 1 0 1 0 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0
D: 0 0 | 0 0 | 1 1 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 0 0 1 1
A A A A A A A A A A A A A A A A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
|
Prawo negacji funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować przechodząc do logiki przeciwnej.
Zastosujmy prawo negacji funkcji logicznej do tabeli TF2
| Kod: |
TF0-15
-------------------------------------------------------------------
TF0-3
Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: Y=p*q # B0: ~Y=~( p* q) =~p+~q
## ##
A1: Y=p+q # B1: ~Y=~( p+ q) =~p*~q
## ##
A2: Y=~(p*q)=~p+~q # B2: ~Y=~(~p+~q) = p* q
## ##
A3: Y=~(p+q)=~p*~q # B3: ~Y=~(~p*~q) = p+ q
##
--------------------------------------------------------------------
TF4-5
Grupa warunków wystarczających p=>q i koniecznych p~>q:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A4: Y = (p=>q) = ~p+q # B4: ~Y=~(p=>q) = p*~q
## ##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
A5: Y = (p~>q) = p+~q # B5: ~Y=~(p~>q) =~p* q
## ##
--------------------------------------------------------------------
TF6-7
Grupa spójników implikacyjnych p|=>q i p|~>q:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A6: Y = p|=>q =~p* q # B6: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
## ##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A7: Y = p|~>q = p*~q # B7: ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
## ##
--------------------------------------------------------------------
TF8-9
Grupa spójników równoważnościowych p<=>q i p$q
Definicja równoważności p<=>q:
A8: Y = p<=>q = ~(p$q) =p*q+~p*~q # B8: ~Y=~(p<=>q)=(p$q)=p*~q+~p*q
## ##
Definicja spójnika „albo”($):
A9: Y = p$q = ~(p<=>q)=p*~q+~p*q # B9:~Y=~(p$q) =(p<=>q)=p*q+~p*~q
## ##
--------------------------------------------------------------------
TF10-11
Grupa spójników chaosu p|~~>q:
Definicja chaosu p|~~>q (Y=1):
A10: Y =(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=1 # B7: ~Y=~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0
## ##
Definicja śmierci (Y=0):
A11: Y =~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0 # B11:~Y= (p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=1
##
--------------------------------------------------------------------
TF12-15
Grupa spójników jednoargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
## ##
A12: Y = p # B12:~Y=~p
## ##
A13: Y = q # B13:~Y=~q
## ##
A14: Y =~p # B14:~Y= p
## ##
A15: Y =~q # B15:~Y= q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p,q,Y muszą być wszędzie tymi samymi p,q,Y inaczej błąd podstawienia
|
Funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) w ilości 16 sztuk to funkcje różne na mocy definicji ##.
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF0-15 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Innymi słowy:
W tabeli TF0-15 nie istnieje funkcja logiczna w linii x która by była tożsama z jakąkolwiek funkcją spoza tej linii.
Innymi słowy:
W tabeli TF0-15 nie istnieje prawo logiki matematycznej wiążące funkcję logiczną z linii x z jakąkolwiek funkcją spoza tej linii.
3.1 Dowody wewnętrznej sprzeczności rachunku zero-jedynkowego ziemian
Największą tragedią ziemskiej logiki matematycznej jest fakt, że w bramkach logicznych po stronie wejścia cyfrowego widzi ona zmienne binarne w logice dodatniej (bo p) i ujemnej (bo ~p), ale nie widzi dokładnie tego samego po stronie wyjścia cyfrowego Y, tu obowiązuje bezwzględny zakaz widzenia wyjścia Y w logice ujemnej (bo ~Y).
Odpowiednikiem tego faktu w matematyce klasycznej byłoby widzenie w układzie Kartezjańskim na osi X zmiennych dodatnich (x) i zmiennych ujemnych (~x) z zakazem widzenia dokładnie tego samego na osi Y, gdzie dozwolone byłoby widzenie jedynie zmiennych dodatnich (y).
Czy ktokolwiek wyobraża sobie współczesną matematykę z takim upośledzonym układem Kartezjańskim?
Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.
Prawo Grzechotnika:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
Dowody wewnętrznej sprzeczności rachunku zero-jedynkowego ziemian podzielimy na trzy grupy o których mówi tabela TF0-15.
3.1.1 Grupa spójników „lub”(+) i „i’”(*)
Weźmy grupę spójników TF0-3
| Kod: |
TF0-3
Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: Y=p*q # B0: ~Y=~( p* q) =~p+~q
## ##
A1: Y=p+q # B1: ~Y=~( p+ q) =~p*~q
## ##
A2: Y=~(p*q)=~p+~q # B2: ~Y=~(~p+~q) = p* q
## ##
A3: Y=~(p+q)=~p*~q # B3: ~Y=~(~p*~q) = p+ q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p,q,Y muszą być wszędzie tymi samymi p,q,Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF0-3 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach powyższych funkcji logicznych.
Dowód:
W całym Internecie (plus podręczniki matematyki) nie znajdziemy ani jednej kolumny wynikowej w rachunku zero-jedynkowym opisanej funkcją logiczną Y w logice ujemnej (bo ~Y).
Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli TF0-3.
| Kod: |
TF0-3’
Bublowa tabela funkcji logicznych, bo nie ma tu ani jednej funkcji logicznej Y i ~Y
A0: p*q # B0: ~p+~q
## ##
A1: p+q # B1: ~p*~q
## ##
A2: ~p+~q # B2: p* q
## ##
A3: ~p*~q # B3: p+ q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać, że w tabeli TF0-3’ najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą poniższe tożsamości.
| Kod: |
A0: p* q = B2: p* q
A1: p+ q = B3: p+ q
A2: ~p+~q = B0: ~p+~q
A3: ~p*~q = B1: ~p*~q
cnd
|
Stąd mamy:
Prawo Grzechotnika:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
cnd
3.1.2 Grupa spójników implikacyjnych „Jeśli p to q” i równoważnościowych p<=>q
Weźmy grupę spójników TF4-11
| Kod: |
TF4-5
Grupa warunków wystarczających p=>q i koniecznych p~>q:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A4: Y = (p=>q) = ~p+q # B4: ~Y=~(p=>q) = p*~q
## ##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
A5: Y = (p~>q) = p+~q # B5: ~Y=~(p~>q) =~p* q
## ##
TF6-7
Grupa spójników implikacyjnych p|=>q i p|~>q:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A6: Y = p|=>q =~p* q # B6: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
## ##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A7: Y = p|~>q = p*~q # B7: ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
## ##
TF8-9
Grupa spójników równoważnościowych p<=>q i p$q
Definicja równoważności p<=>q:
A8: Y = p<=>q = ~(p$q) =p*q+~p*~q # B8: ~Y=~(p<=>q)=(p$q)=p*~q+~p*q
## ##
Definicja spójnika „albo”($):
A9: Y = p$q = ~(p<=>q)=p*~q+~p*q # B9: ~Y=~(p$q) =(p<=>q)=p*q+~p*~q
## ##
TF10-11
Grupa spójników chaosu p|~~>q:
Definicja chaosu p|~~>q (Y=1):
A10: Y =(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=1 # B7: ~Y=~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0
## ##
Definicja śmierci (Y=0):
A11: Y =~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0 # B11:~Y= (p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p,q,Y muszą być wszędzie tymi samymi p,q,Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF4-11 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach powyższych funkcji logicznych.
Dowód:
W całym Internecie (plus podręczniki matematyki) nie znajdziemy ani jednej kolumny wynikowej w rachunku zero-jedynkowym opisanej funkcją logiczną Y w logice ujemnej (bo ~Y).
Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli TF4-11.
| Kod: |
TF4-11’
Grupa warunków wystarczających p=>q i koniecznych p~>q:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A4: ~p+q # B4: p*~q
## ##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
A5: p+~q # B5: ~p* q
## ##
TF6-7
Grupa spójników implikacyjnych p|=>q i p|~>q:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A6: ~p* q # B6: p+~q
## ##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A7: p*~q # B7: ~p+ q
## ##
TF8-9
Grupa spójników równoważnościowych p<=>q i p$q
Definicja równoważności p<=>q:
A8: p*q+~p*~q # B8: p*~q+~p*q
## ##
Definicja spójnika „albo”($):
A9: p*~q+~p*q # B9: p*q+~p*~q
## ##
TF10-11
Grupa spójników chaosu p|~~>q:
Definicja chaosu p|~~>q (Y=1):
A10: p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 # B10:~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0
## ##
Definicja śmierci (Y=0):
A11:~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0 # B11: (p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p,q,Y muszą być wszędzie tymi samymi p,q,Y inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać, że w tabeli TF4-11’ najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą poniższe tożsamości.
| Kod: |
A4: ~p+ q = B7: ~p+ q
A5: p+~q = B6: p+~q
A6: ~p* q = B5: ~p* q
A7: p*~q = B4: p*~q
A8: p* q+~p*~q = B9: p* q+~p*~q
A9: p*~q+~p* q = B8: p*~q+~p* q
A10: 1 = B11: 1
A11: 0 = B10: 0
cnd
|
Stąd mamy:
Prawo Grzechotnika:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
cnd
3.1.3 Grupa spójników jednoargumentowych
| Kod: |
TF12-15
Grupa spójników jednoargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
## ##
A12: Y = p # B12:~Y=~p
## ##
A13: Y = q # B13:~Y=~q
## ##
A14: Y =~p # B14:~Y= p
## ##
A15: Y =~q # B15:~Y= q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF12-15 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach powyższych funkcji logicznych.
Dowód:
W całym Internecie (plus podręczniki matematyki) nie znajdziemy ani jednej kolumny wynikowej w rachunku zero-jedynkowym opisanej funkcją logiczną Y (albo ~Y).
Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli TF12-15.
| Kod: |
TF12-15’
Grupa spójników jednoargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
A12: p # B12: ~p
## ##
A13: q # B13: ~q
## ##
A14: ~p # B14: p
## ##
A15: ~q # B15: q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
|
Doskonale widać, że w tabeli TF12-15’ najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą poniższe tożsamości.
| Kod: |
A12: p = B14: p
A13: q = B15: q
A14: ~p = B12: ~p
A15: ~q = B13: ~q
cnd
|
Stąd mamy:
Prawo Grzechotnika:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
cnd
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35517
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 18:04, 18 Cze 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
4.0 Operatory Y|=f(x) z grupy TF0-11 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Spis treści
4.0 Operatory Y|=f(x) z grupy TF0-3 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 1
4.1 Operator A1: Y|=p+q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 3
4.1.1 Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych 4
4.1.2 Diagram operatora „lub”(|+) w zdarzeniach 4
4.1.3 Przykład operatora Y|=K+T w zdarzeniach 6
4.2 Operator A0: Y|=p*q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 10
4.2.1 Przykład operatora Y|=K*T w zdarzeniach 11
4.3 Operator A3: Y|=~p*~q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 14
4.2.1 Przykład operatora Y|=~K*~T w zdarzeniach 16
4.4 Operator A2: Y|=~p+~q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 18
4.4.1 Przykład operatora A2: Y|=~K+~T w zdarzeniach 20
4.5 Związek teorii zdarzeń z teorią zbiorów dla operatorów TF0-TF3 22
4.5.1 Przykład operatora chaosu P8||~~>P3 w zbiorach 23
4.6 Operatory z grupy TF4-7 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 25
4.6.1 Operator A7: Y|=p*~q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 25
4.6.2 Przykład operatora A7: Y|=K*~T w zdarzeniach 27
4.7 Operatory z grupy TF4-TF11 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 30
4.7.1 Prawo eliminacji warunku wystarczającego A4: p=>q 30
4.0 Operatory Y|=f(x) z grupy TF0-3 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
| Kod: |
TF0-3
Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: Y=p*q # B0: ~Y=~( p* q) =~p+~q
## ##
A1: Y=p+q # B1: ~Y=~( p+ q) =~p*~q
## ##
A2: Y=~(p*q)=~p+~q # B2: ~Y=~(~p+~q) = p* q
## ##
A3: Y=~(p+q)=~p*~q # B3: ~Y=~(~p*~q) = p+ q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p,q,Y muszą być wszędzie tymi samymi p,q,Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Jak widzimy, w tabeli TF0-3 definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Poznajmy teraz trzy definicje które będziemy używać w niniejszym punkcie:
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Inaczej mamy do czynienia ze standardem ujemnym lub mieszanym.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
Podstawa matematyczna dla powyższej definicji to prawa Prosiaczka.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo dla dowolnej zmiennej binarnej.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
4.1 Operator A1: Y|=p+q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo duża
Definicja matematyczna operatora A1: Y|=p+q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja matematyczna operatora A1: Y|=p+q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie możliwe człony funkcji logicznej Y i ~Y przyjmują wartość logiczną 1.
Definicja fizyczna operatora Y|=p+q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja fizyczna operatora Y|=p+q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy iloczyny logiczne zdarzeń/zbiorów p i q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q będą zdarzeniami możliwymi ~~> lub zbiorami niepustymi ~~>.
Innymi słowy:
Definicja fizyczna operatora Y|=p+q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy na mocy teorii zbiorów/zdarzeń nie da się zredukować ani funkcji logicznej Y ani też funkcji logicznej ~Y
Definicja matematyczna operatora Y|=p+q to układ równań logicznych 1 i 2 dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach/zbiorach niepustych i rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Stąd mamy tożsamą funkcję logiczną Y w logice dodatniej (bo Y):
1’
Y = A: p*q+ B: p*~q + C: ~p*q
Dowód:
Minimalizujemy funkcję 1’:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q)+~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p+~p*~q
~Y=~p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
cnd
Stąd mamy:
1: Y=p+q [=] 1’: Y = A: p*q+ B: p*~q + C: ~p*q
4.1.1 Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych
Wyprowadziliśmy wyżej tożsamość logiczną:
1: Y=p+q [=] 1’: Y = A: p*q+ B: p*~q + C: ~p*q
Stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych ABC którą warto zapamiętać
Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q +~p*q
4.1.2 Diagram operatora „lub”(|+) w zdarzeniach
Diagram w zdarzeniach opisujący ten przypadek jest następujący:
| Kod: |
D1
Definicja operatora A1: Y|=p+q w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q | A: Ya=p*q | C: Yc=~p*q | D:~Yd=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zdarzenia ABCD to zdarzenia niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D
Dowód wzajemnej rozłączności zdarzeń ABCD:
A: p*q
B: p*~q
C: ~p*q
D: ~p*~q
Mnożymy logicznie każde zdarzenie z każdym:
A*B=(p*q)*(p*~q)=[] =0 - bo q*~q=0
A*C=(p*q)*(~p*q)=[] =0 - bo p*~p=0
A*D=(p*q)*(~p*~q)=[]=0 - bo p*~p=0
B*C=(p*~q)*(~p*q)=[]=0 - bo p*~p=0
B*D=(p*~q)*(~p*~q)=[]=0 - bo p*~p=0
C*D=(~p*q)*(~p*~q)=[]=0 - bo q*~q=[]=0
cnd
Dowód iż zdarzenia ABCD uzupełniają się wzajemnie do dziedziny D:
D = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
D=p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q
D=p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
D=p+~p =1
cnd
Przykład:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
1.
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Matematyczna definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach/zbiorach rozłącznych odczytana z diagramu D1 to:
Y=Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C:~p*q
Czyli:
1’
Y = A: p*q + B: p*~q + C:~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
#
2.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana.
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
W definicji fizycznej operatora Y|=p+q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) chodzi o to by na mocy teorii zdarzeń/zbiorów nie dało się wyrugować dowolnego z członów ABC powyższej definicji
Przykładowo dla:
A: p*q=[]=0 - gdy zdarzenia/zbiory p i q są rozłączne
mamy:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q ## B: p*~q + C: ~p*q = p$q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji ##
$ - spójnik „albo”($) z języka potocznego człowieka
Przykład:
1.
Dowolny człowiek (C) jest mężczyzną (M) lub kobietą (K)
C=M+K
co w logice jedynek oznacza:
C=1 <=> M=1 lub K=1
Czytamy:
Prawdą jest (1), że dowolny człowiek (C) może być mężczyzną (M=1) lub kobietą (K=1), trzeciej możliwości brak.
Przyjmijmy dziedzinę fizyczną:
C (człowiek) = M+K
Rozpiszmy użyty tu spójnik „lub”(+) na zbiory rozłączne i niepuste na mocy definicji matematycznej spójnika „lub”(+):
p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Nasz przykład:
1’.
M+K = A: M*K + B: M*~K + C:~M*K
Zbiór mężczyzn (M) i zbiór kobiet (K) to zbiory rozłączne, czyli:
A: M*K =[ ]=0
Stąd mamy:
M+K = A: M*K + B: M*~K + C:~M*K ## B: M*~K + C: ~M*K = M$K
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Matematycznie precyzyjna treść zdania 1’ powinna brzmieć:
1’
Dowolny człowiek (C) jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
C = M$K = B: M*~K+ C: ~M*K
Prawa strona to oczywiste zdania prawdziwe:
B: M*~K=1*1=1 - dowolny człowiek może być mężczyzną (M=1) i nie być kobietą (~K=1)
C: ~M*K=1*1=1 - dowolny człowiek może nie być mężczyzną (~M=1) i być kobietą (K=1)
Trzeciej możliwości brak.
Zdecydowana większość ludzi używa w zdaniu 1 spójnika „lub”(+) bo:
a)
Mózg człowieka na poziomie procedur w zbiorach doskonale wie że:
A: M*K =[] =0 - zbiór mężczyzn (M) i zbiór kobiet (K) to zbiory rozłączne.
Stąd dopuszczalne jest tu użycie spójnika „lub”(+) w miejsce spójnika „albo”($).
Odwrotnie nie zachodzi.
Dowód.
Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Zdanie tożsame w zdarzeniach rozłącznych to:
1’
Y = K+T = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
Zauważmy, że jutro możemy pójść do kina i do teatru bo chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień, zatem:
A: K*T=1*1=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Wniosek:
Nie wolno w obietnicy pani przedszkolanki zastępować spójnika „lub”(+) spójnikiem „albo”($), bo będzie to zdanie różne na mocy definicji ## od zdania ze spójnikiem „albo”($), którego nasz mózg nie skoryguje na mocy teorii zdarzeń bo doskonale wie, że jutro możemy pójść do kina i do teatru.
4.1.3 Przykład operatora Y|=K+T w zdarzeniach
Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo duża
Definicja operatora Y|=p+q):
Operator Y|=p+q to odpowiedź na dwa pytania o Y i ~Y
1.
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 dwustronnie:
~Y=~(p+q)=~p*~q
stąd mamy:
2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Rozważmy zdanie na poziomie 5-cio letniego dziecka.
Pani przedszkolanka:
1.
ABC:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Matematycznie oznacza to że jutro pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa, czyli:
ABC:
Y=A: K*T + B: K*~T + C:~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych jedynki są domyślne
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
B: Yb=K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: Yc=~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Matematycznie zachodzi tożsamość funkcji logicznych:
Y = Ya+Yb+Yc
Gdzie:
Ya, Yb, Yc - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji Y
Przejdźmy na zapisy formalne podstawiając:
K=p
T=q
Dowód iż tak jest w istocie w zapisach formalnych.
stąd:
Y = Ya+Yb+Yc = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
minimalizujemy funkcję logiczną Y:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p+~q
~Y = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
cnd
Matematycznie zachodzi:
Y=Y
stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych ABC którą warto zapamiętać
Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q +~p*q
… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
2.
Negujemy równanie 1 (ABC) dwustronnie:
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
D.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
| Kod: |
D1
Definicja operatora A1: Y|=K+T w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=K*T+K*~T+~K*T+~K*~T=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń możliwych |
--------------------------------------------------------------------------
| p=[K] |
------------------------------------------------------
| q=[T] |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q= K*~T| A: Ya=p*q=K*T | C: Yc=~p*q=~K*T | D:~Yd=~p*~q=~K*~T |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zauważmy, że wszystkie możliwe zdarzenia ABCD są rozłączne i niepuste oraz uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dziedziną dla naszego przykładu jest zbiór wszystkich możliwych zdarzań które jutro mogą wystąpić:
D = |Ya|+|Yb|+|Yc|+|Yd|
Gdzie:
|Yx| - funkcja logiczna Yx z pominięciem przeczenia (wartość bezwzględna)
Stąd mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
Y = p+~p =1
Dziedzina jest poprawna.
cnd
W dniu jutrzejszym ma szansę wystąpić wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń.
Dla naszego przykładu w zapisach ogólnych mamy:
p=K
q=T
Innymi słowy:
1.
Kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y=1)?
Y=Ya+Yb+Yc
A:
Ya=p~~>q=p*q=1*1=1
Ya=K~~>T=K*T =1*1=1
Możliwe ~~> jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Ya=1
B:
Yb=p~~>~q=p*~q=1*1=1
Yb=K~~>~q=K*~T=1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Yb=1
C:
Yc=~p~~>q=~p*q=1*1=1
Yc=~K~~>~T=~K*T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Yc=1
2.
Kiedy jutro pani skłamie (~Y=1)?
D:
~Yd=~p~~>~q=~p*~q=1*1=1
~Yd=~K~~>~T=~K*~T =1*1=1
Pani skłamie:
~Yd=1
Czytamy:
P1: Prawdą jest (=1), że jutro pani nie dotrzyma słowa (~Yd), jeśli nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Prawo Prosiaczka:
P1: (~Yd=1) = P2: (Yd=0)
Prawą stronę czytamy:
P2: Fałszem jest (=0), jutro że pani dotrzyma słowa (Yd), jeśli nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Tożsamość zdań P1=P2 jest oczywista, co jest potwierdzeniem prawa Prosiaczka.
4.2 Operator A0: Y|=p*q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo duża
Definicja matematyczna operatora A0: Y|=p*q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja matematyczna operatora Y|=p*q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie możliwe człony funkcji logicznej Y i ~Y przyjmują wartość logiczną 1.
Definicja fizyczna operatora A0: Y|=p*q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja fizyczna operatora Y|=p*q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy iloczyny logiczne zdarzeń/zbiorów p i q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q będą zdarzeniami możliwymi ~~> lub zbiorami niepustymi ~~>.
Innymi słowy:
Definicja fizyczna operatora Y|=p*q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy na mocy teorii zbiorów/zdarzeń nie da się zredukować ani funkcji logicznej Y ani też funkcji logicznej ~Y
Definicja matematyczna operatora Y|=p*q to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Innymi słowy:
Pozostałe przypadki niepuste i rozłączne, poza funkcją logiczną Y=p*q muszą być zapisane w logice ujemnej (bo ~Y).
Diagram w zdarzeniach opisujący ten przypadek jest następujący:
| Kod: |
D0
Definicja operatora A1: Y|=p*q w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B:~Yb=p*~q | A: Ya=p*q | C:~Yc=~p*q | D:~Yd=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
|
Przykład:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
1.
Y = p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych jedynki są domyślne.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1.
~Y = ~(p*q) = ~p+~q - prawo De Morgana
~Y=~p+~q
Innymi słowy:
Wystarczy że zajdzie cokolwiek (~p=1) lub (~q=1) i już funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość logiczną (~Y=1).
Z diagramu odczytujemy:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
Po rozwinięciu mamy:
~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
~Y = ~p+~q [=] ~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Doskonale to widać z diagramu D0.
Można to tez udowodnić w sposób czysto matematyczny:
~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy prawą stronę:
~Y = p*~q + ~p*(q+~q)
~Y = ~p+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negacją zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q
Y = p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p+~q
stąd mamy:
~Y = ~p+~q [=] ~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
cnd
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
4.2.1 Przykład operatora Y|=K*T w zdarzeniach
Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo duża
Definicja operatora Y|=p*q:
Operator Y|=p*q to odpowiedź na dwa pytania o Y i ~Y
1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 dwustronnie:
~Y=~(p*q)=~p+~q
stąd mamy:
2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Rozważmy zdanie na poziomie 5-cio letniego dziecka.
Pani przedszkolanka:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 dwustronnie:
BCD:
~Y=~(K*T) = ~K+~T - prawo De Morgana
Stąd mamy:
2.
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
BCD:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Matematycznie oznacza to, że jutro nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y=1), czyli:
~Y=B: K*~T + C: ~K*T + D:~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
bo w równaniu alternatywno-koniunkcyjnym wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~Yb = K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: ~Yc = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
LUB
D: ~Yd = ~K*~T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Matematycznie musi zachodzić tożsamość funkcji logicznych:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
Gdzie:
~Yb, ~Yc, ~Yd - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji ~Y
| Kod: |
D1
Definicja operatora A1: Y|=K+T w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=K*T+K*~T+~K*T+~K*~T=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń możliwych |
--------------------------------------------------------------------------
| p=[K] |
------------------------------------------------------
| q=[T] |
--------------------------------------------------------------------------
| B:~Yb=p*~q= K*~T| A: Ya=p*q=K*T | C:~Yc=~p*q=~K*T | D:~Yd=~p*~q=~K*~T |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zauważmy, że wszystkie możliwe zdarzenia ABCD są rozłączne i niepuste oraz uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dziedziną dla naszego przykładu jest zbiór wszystkich możliwych zdarzań niepustych i rozłącznych które jutro mogą wystąpić:
D = |Ya|+|Yb|+|Yc|+|Yd|
Gdzie:
|Yx| - funkcja logiczna Yx z pominięciem przeczenia
Stąd mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
Y = p+~p =1
Dziedzina jest poprawna.
cnd
W dniu jutrzejszym ma szansę wystąpić wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń niepustych i rozłącznych.
Dla naszego przykładu w zapisach ogólnych mamy:
p=K
q=T
Innymi słowy:
1.
Kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y=1)?
A:
Ya=p~~>q=p*q=1*1=1
Ya=K~~>T=K*T =1*1=1
Możliwe ~~> jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Ya=1
2.
Kiedy jutro pani skłamie (~Y=1)?
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
B:
~Yb=p~~>~q=p*~q=1*1=1
~Yb=K~~>~q=K*~T=1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani skłamie (= nie dotrzyma słowa ~Yb):
~Yb=1
C:
~Yc=~p~~>q=~p*q=1*1=1
~Yc=~K~~>~T=~K*T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Pani skłamie:
~Yc=1
D:
~Yd=~p~~>~q=~p*~q=1*1=1
~Yd=~K~~>~T=~K*~T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani skłamie (~Yd=1)
4.3 Operator A3: Y|=~p*~q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Częstotliwość użycia w języku potocznym: duża
Definicja matematyczna operatora A3: Y|=~p*~q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja matematyczna operatora Y|=~p*~q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie możliwe człony funkcji logicznej Y i ~Y przyjmują wartość logiczną 1.
Definicja fizyczna operatora A3: Y|=~p*~q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja fizyczna operatora Y|=~p*~q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy iloczyny logiczne zdarzeń/zbiorów p i q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q będą zdarzeniami możliwymi ~~> lub zbiorami niepustymi ~~>.
Innymi słowy:
Definicja fizyczna operatora Y|=~p*~q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy na mocy teorii zbiorów/zdarzeń nie da się zredukować ani funkcji logicznej Y ani też funkcji logicznej ~Y
Definicja matematyczna operatora Y|=~p*~q to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
#
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 lub q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Innymi słowy:
Pozostałe przypadki niepuste i rozłączne, poza funkcją logiczną Y=~p*~q muszą być zapisane w logice ujemnej (bo ~Y).
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaku # jest negacją drugiej strony
Diagram w zdarzeniach opisujący ten przypadek jest następujący:
| Kod: |
D3
Definicja operatora A3: Y|=~p*~q w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B:~Yb=p*~q | A:~Ya=p*q | C:~Yc=~p*q | D: Yd=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
|
Przykład:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
1.
Y = ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1.
~Y = ~(~p*~q) = p+q - prawo De Morgana
~Y=p+q
Innymi słowy:
Wystarczy że zajdzie cokolwiek (p=1) lub (q=1) i już funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość logiczną 1 (~Y=1).
Z diagramu odczytujemy:
~Y=~Ya+~Yb+~Yc
Po rozwinięciu mamy:
~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
~Y = p+q [=] ~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Doskonale to widać z diagramu D3.
Można to też udowodnić w sposób czysto matematyczny:
~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Minimalizujemy prawą stronę:
~Y = p*(q+~q) + ~p*q
~Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negacją zmiennych i wymianę spójników:
Y = ~p*(p+~q)
Y = ~p*p + ~p*~q
Y = ~p*~q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = p+q
stąd mamy:
~Y = p+q [=] ~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
cnd
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
4.2.1 Przykład operatora Y|=~K*~T w zdarzeniach
Częstotliwość użycia w języku potocznym: duża
Rozważmy zdanie na poziomie 5-cio letniego dziecka.
Pani przedszkolanka:
1.
Jutro nie pójdziemy ani do kina (~K=1) ani do teatru (~T=1)
Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
… a kiedy pani skłamie (S=(~Y=1))?
Negujemy równanie 1 dwustronnie:
ABC:
~Y=~(~K*~T) = K+T - prawo De Morgana
Stąd mamy:
2.
~Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
ABC:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
~Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub T=1
Matematycznie oznacza to, że jutro pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y=1), czyli:
~Y=A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: ~Ya = K*T =1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
B: ~Yb = K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: ~Yc=~K*T =1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Matematycznie musi zachodzić tożsamość funkcji logicznych:
~Y = ~Ya+~Yb+~Yc
Gdzie:
~Ya, ~Yb, ~Yc - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji ~Y
| Kod: |
D3
Definicja operatora A3: Y|=~K*~T w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=K*T+K*~T+~K*T+~K*~T=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń możliwych |
--------------------------------------------------------------------------
| p=[K] |
------------------------------------------------------
| q=[T] |
--------------------------------------------------------------------------
| B:~Yb=p*~q= K*~T| A:~Ya=p*q=K*T | C:~Yc=~p*q=~K*T | D:Yd=~p*~q=~K*~T |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zauważmy, że wszystkie możliwe zdarzenia ABCD są rozłączne i niepuste oraz uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dziedziną dla naszego przykładu jest zbiór wszystkich możliwych zdarzań które jutro mogą wystąpić:
D = |Ya|+|Yb|+|Yc|+|Yd|
Gdzie:
|Yx| - funkcja logiczna Yx z pominięciem przeczenia (wartość bezwzględna funkcji Yx)
Stąd mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
Y = p+~p =1
Dziedzina jest poprawna.
cnd
W dniu jutrzejszym ma szansę wystąpić wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń niepustych i rozłącznych.
Dla naszego przykładu w zapisach ogólnych mamy:
p=K
q=T
Innymi słowy:
1.
Kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y=1)?
D:
Yd=~p~~>~q=~p*~q=1*1=1
Yd=~K~~>~T=~K*~T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Yd=1
2.
Kiedy jutro pani skłamie (~Y=1)?
~Y=~Ya+~Yb+~Yc
A:
~Ya=p~~>q=p*q=1*1=1
~Ya=K~~>T=K*T =1*1=1
Możliwe ~~> jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Pani skłamie (=nie dotrzyma słowa ~Ya).
~Ya=1
Czytamy:
~Ya=1
1: Prawdą jest (=1), że pani skłamie (~Ya)
Prawo Prosiaczka:
(~Ya=1)=(~Ya=0)
Prawą stronę czytamy:
~Ya=0
2: Fałszem jest (=0) że pani dotrzyma słowa (Ya)
Doskonale widać tożsamość zdań 1=2 co jest dowodem poprawności prawa Prosiaczka.
B:
~Yb=p~~>~q=p*~q=1*1=1
~Yb=K~~>~q=K*~T=1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani skłamie:
~Yb=1
C:
~Yc=~p~~>q=~p*q=1*1=1
~Yc=~K~~>~T=~K*T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Pani skłamie:
~Yc=1
4.4 Operator A2: Y|=~p+~q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo mała
Definicja matematyczna operatora A2: Y|=~p+~q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja matematyczna operatora Y|=~p+~q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie możliwe człony funkcji logicznej Y i ~Y przyjmują wartość logiczną 1.
Definicja fizyczna operatora A2: Y|=~p+~q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja fizyczna operatora Y|=~p+~q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy iloczyny logiczne zdarzeń/zbiorów p i q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q będą zdarzeniami możliwymi ~~> lub zbiorami niepustymi ~~>.
Innymi słowy:
Definicja fizyczna operatora Y|=~p+~q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy na mocy teorii zbiorów/zdarzeń nie da się zredukować ani funkcji logicznej Y ani też funkcji logicznej ~Y
Definicja matematyczna operatora Y|=~p+~q to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(~p+~q) = p*q - prawo De Morgana
Stąd mamy:
2.
~Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Zauważmy, ze w naszym diagramie operatora Y|=~p+~q wyrażonym spójnikami spójników „i”(*) i „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) jest tylko zdarzenie ~Ya=p*q. Pozostałe zdarzenia rozłączne i niepuste muszą być w logice dodatniej (bo Y).
Stąd nasz diagram operatora Y|=~p+~q wygląda następująco.
| Kod: |
D2
Definicja operatora A2: Y|=~p+~q w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q | A:~Ya=p*q | C: Yc=~p*q | D: Yd=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zdarzenia ABCD to zdarzenia niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D
Omówienie diagramu Y|=~p+~q.
1.
Y = ~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Matematyczna definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach/zbiorach rozłącznych odczytana z diagramu D2 to:
Y=Yb+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy:
1’
Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
1: Y=~p+~q [=] 1’: Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Co widać na diagramie D2.
Można to tez udowodnić czysto matematycznie.
Minimalizujemy prawą stronę tożsamości logicznej [=].
Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Y = p*~q + ~p*(q+~q)
Y = ~p+(p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = p*(~p+q)
~Y = p*~p + p*q
~Y = p*q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = ~p+~q
stąd mamy:
1: Y=~p+~q [=] 1’: Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
cnd
4.4.1 Przykład operatora A2: Y|=~K+~T w zdarzeniach
Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo mała
Rozważmy zdanie na poziomie 5-cio letniego dziecka.
Pani przedszkolanka:
1.
BCD:
Jutro nie pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do teatru
Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Innymi słowy:
Matematycznie oznacza to że jutro nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa, czyli:
BCD:
Y = B: K*~T + C: ~K*T + C: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: Yb=K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: Yc=~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
LUB
D: Yd=~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 (BCD) dwustronnie:
~Y=~(~K+~T) = K*T - prawo De Morgana
stąd mamy:
2.
A: ~Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
A: ~Y=1 <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
A: ~Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
A: ~Y=1 <=> K=1 i T=1
~Y=~Ya – bo jest tylko jedno takie zdarzenie w obrębie dziedziny, czyli zbioru wszystkich możliwych zdarzeń.
| Kod: |
D2
Definicja operatora A2: Y|=~K+~T w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=K*T+K*~T+~K*T+~K*~T=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń możliwych |
--------------------------------------------------------------------------
| p=[K] |
------------------------------------------------------
| q=[T] |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q= K*~T| A:~Ya=p*q=K*T | C: Yc=~p*q=~K*T | D: Yd=~p*~q=~K*~T |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zauważmy, że wszystkie możliwe zdarzenia ABCD są rozłączne i niepuste oraz uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dziedziną dla naszego przykładu jest zbiór wszystkich możliwych zdarzań które jutro mogą wystąpić:
D = |Ya|+|Yb|+|Yc|+|Yd|
Gdzie:
|Yx| - funkcja logiczna Yx z pominięciem przeczenia (wartość bezwzględna)
Stąd mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
Y = p+~p =1
Dziedzina jest poprawna.
cnd
W dniu jutrzejszym ma szansę wystąpić wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń.
Dla naszego przykładu w zapisach ogólnych mamy:
p=K
q=T
Innymi słowy:
2.
Kiedy jutro pani skłamie (~Y=1)?
A:
~Ya=p~~>q=p*q=1*1=1
~Ya=K~~>T=K*T =1*1=1
Możliwe ~~> jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Pani skłamie:
~Ya=1
Czytamy:
P1: Prawdą jest (=1), że jutro pani skłamie (~Ya)
Prawo Prosiaczka:
(~Ya=1) = (Ya=0)
Prawą stronę czytamy:
P2: Fałszem jest (=0), jutro że pani dotrzyma słowa (Ya)
Tożsamość zdań P1=P2 jest oczywista, co jest potwierdzeniem prawa Prosiaczka.
1.
Kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y=1)?
Y = Yb+Yc+Yd
B:
Yb=p~~>~q=p*~q=1*1=1
Yb=K~~>~q=K*~T=1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Yb=1
C:
Yc=~p~~>q=~p*q=1*1=1
Yc=~K~~>~T=~K*T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Yc=1
D:
Yd=~p~~>~q=~p*~q=1*1=1
Yd=~K~~>~T=~K*~T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Yd=1
4.5 Związek teorii zdarzeń z teorią zbiorów dla operatorów TF0-TF3
Definicja matematyczna operatora Y|=f(x) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja matematyczna operatora Y|=f(x) wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie możliwe człony funkcji logicznej Y i ~Y przyjmują wartość logiczną 1.
Definicja fizyczna operatora Y|=f(x) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja fizyczna operatora Y|=f(x) wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy iloczyny logiczne zdarzeń/zbiorów p i q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q będą zdarzeniami możliwymi ~~> lub zbiorami niepustymi ~~>.
Innymi słowy:
Definicja fizyczna operatora Y|=f(x) wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy na mocy teorii zbiorów/zdarzeń nie da się zredukować ani funkcji logicznej Y ani też funkcji logicznej ~Y
Jedynym spójnikiem w teorii zbiorów gdzie wszystkie możliwe przeczenia zbiorów p i q są niepuste jest spójnik chaosu p|~~>q.
CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to dwa zbiory niepuste p i q mające co najmniej jeden element wspólny z których żaden nie zawiera się w drugim, a dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
D>p+q
Stąd mamy definicję chaosu p|~~>q w zbiorach:
| Kod: |
D1
Definicja operatora chaosu p|~~>q w zbiorach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q | A: Ya=p*q | C: Yc=~p*q | D: Yd=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
|
Doskonale widać, dlaczego dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q.
Dla dziedziny D=p+q zbiór D: Yd=~p*~q byłby zbiorem pustym, zatem matematyczna definicja operatora Y|=f(x) nie mogłaby być spełniona.
cnd
4.5.1 Przykład operatora chaosu P8||~~>P3 w zbiorach
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory p i q są rozłączne i nieskończone to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.
Przykład:
Zbadajmy w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3)
Ya = P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8 i P3 jest spełniona (=1) bo liczba 24 jest podzielna przez 8 i podzielna przez 3
cnd
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna prze 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3)
Yb=P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8 i ~P3 jest spełniona (=1) bo liczba 8 jest podzielna przez 8 i niepodzielna przez 3
cnd
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3)
Yc=~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo 3
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~P8 i P3 jest spełniona (=1) bo liczba 3 nie jest podzielna przez 8 i jest podzielna przez 3
cnd
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3)
Yd=~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 bo 2
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~P8 i ~P3 jest spełniona (=1) bo liczba 2 nie jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 3
cnd
Diagram w zbiorach dla naszego operatora chaosu P8||~~>P3 jest zatem następujący:
| Kod: |
CH
Definicja operatora chaosu P8||~~>P3 w zbiorach
--------------------------------------------------------------------------
| D= A: P8*P3+B: P8*~P3+C:~P8*P3+D:~P8*~P3=1 - dziedzina |
--------------------------------------------------------------------------
| p=P8 |
------------------------------------------------------
| q=P3 |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=P8*~P3=1 | A: Ya=P8*P3=1 | C: Yc=~P8*P3=1 | D:Yd=~P8*~P3=1 |
--------------------------------------------------------------------------
|
Matematycznie operator chaosu p||~~>q w zbiorach jest matematycznym śmieciem, bowiem nie ma tu żadnego warunku wystarczającego => (gwarancji matematycznej =>), czyli w praktyce wszystko może się zdarzyć.
Innymi słowy dla zbioru liczb naturalnych LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] mamy:
Jeśli wylosujemy liczbę x ze zbioru LN to nie mamy żadnej gwarancji matematycznej => iż liczba ta będzie należała do zbioru A albo B albo C albo D.
O co chodzi z tą gwarancją matematyczną =>?
Rozważmy zdanie:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
W tym przypadku, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba jest podzielna przez 2.
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
O podobnej gwarancji matematycznej => w operatorze chaosu p||~~>q nie mamy co marzyć co widać w diagramie operatora chaosu P8||~~>P3 wyżej.
Dokładnie dlatego operator chaosu p||~~>q jest matematycznym śmieciem.
cnd
4.6 Operatory z grupy TF4-7 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
| Kod: |
TF6-7
Grupa spójników implikacyjnych p|=>q i p|~>q:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A6: Y = p|=>q =~p* q # B6: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
## ##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A7: Y = p|~>q = p*~q # B7: ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p,q,Y muszą być wszędzie tymi samymi p,q,Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Jak widzimy, w tabeli TF6-7 definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
4.6.1 Operator A7: Y|=p*~q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Częstotliwość użycia w języku potocznym: średnia
Definicja matematyczna operatora A8: Y|=p*~q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja matematyczna operatora Y|=p*~q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie możliwe człony funkcji logicznej Y i ~Y przyjmują wartość logiczną 1.
Definicja fizyczna operatora A7: Y|=p*~q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja fizyczna operatora Y|=p*~q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy iloczyny logiczne zdarzeń/zbiorów p i q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q będą zdarzeniami możliwymi ~~> lub zbiorami niepustymi ~~>.
Innymi słowy:
Definicja fizyczna operatora Y|=p*~q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy na mocy teorii zbiorów/zdarzeń nie da się zredukować ani funkcji logicznej Y ani też funkcji logicznej ~Y
Definicja matematyczna operatora Y|=p*~q to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~p+q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Innymi słowy:
Pozostałe przypadki niepuste i rozłączne, poza funkcją logiczną Y=p*~q muszą być zapisane w logice ujemnej (bo ~Y).
Diagram w zdarzeniach opisujący ten przypadek jest następujący:
| Kod: |
D0
Definicja operatora A7: Y|=p*~q w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q | A:~Ya=p*q | C:~Yc=~p*q | D:~Yd=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
|
Przykład:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
1.
Y = p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1.
~Y = ~(p*~q) = ~p+q - prawo De Morgana
~Y=~p+q
Innymi słowy:
Wystarczy że zajdzie cokolwiek (~p=1) lub (q=1) i już funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość logiczną (~Y=1).
Z diagramu odczytujemy:
~Y=~Ya+~Yc+~Yd
Po rozwinięciu mamy:
~Y = A: p*q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
~Y = ~p+q [=] ~Y = A: p*q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Doskonale to widać z diagramu D0.
Można to też udowodnić w sposób czysto matematyczny:
~Y = A: p*q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy prawą stronę:
~Y = p*q + ~p*(q+~q)
~Y = ~p+(p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negacją zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+~q)
Y = p*~p + p*~q
Y = p*~q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p+q
stąd mamy:
~Y = ~p+q [=] ~Y = A: p*q + C: ~p*q + D: ~p*~q
cnd
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
4.6.2 Przykład operatora A7: Y|=K*~T w zdarzeniach
Częstotliwość użycia w języku potocznym: średnia
Pani przedszkolanka:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) ale nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y=K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y=K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i ~T=1
… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 dwustronnie:
ACD:
~Y=~(K*~T) = ~K+T - prawo De Morgana
Stąd mamy:
2.
~Y=~K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub T=1
Czytamy:
ACD:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
~Y=~K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub T=1
Rozwinięcie matematyczne na mocy definicji spójnika „lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych:
p+q = p*q + ~p*q + p*~q
Nasz przykład:
p=~K
q=T
~K+T = ~K*T + K*T + ~K*~T
Stąd mamy:
~Y = A: K*T + C: ~K*T + D: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: ~Ya = K*T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
LUB
C: ~Yc = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
LUB
D: ~Yd = ~K*~T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Matematycznie musi zachodzić tożsamość funkcji logicznych:
~Y = ~Ya+~Yc+~Yd
Gdzie:
~Ya, ~Yc, ~Yd - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji ~Y
| Kod: |
D8
Definicja operatora A7: Y|=K*~T w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=K*T+K*~T+~K*T+~K*~T=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń możliwych |
--------------------------------------------------------------------------
| p=[K] |
------------------------------------------------------
| q=[T] |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q= K*~T| A:~Ya=p*q=K*T | C:~Yc=~p*q=~K*T | D:~Yd=~p*~q=~K*~T |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zauważmy, że wszystkie możliwe zdarzenia ABCD są rozłączne i niepuste oraz uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dziedziną dla naszego przykładu jest zbiór wszystkich możliwych zdarzań które jutro mogą wystąpić:
D = |Ya|+|Yb|+|Yc|+|Yd|
Gdzie:
|Yx| - funkcja logiczna Yx z pominięciem przeczenia
Stąd mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
Y = p+~p =1
Dziedzina jest poprawna.
cnd
W dniu jutrzejszym ma szansę wystąpić wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń.
Dla naszego przykładu w zapisach ogólnych mamy:
p=~K
q=T
Innymi słowy:
Kiedy zajdzie Y (Y=1)?
1.
B:
Yb=p~~>~q=p*~q=1*1=1
Yb=K~~>~q=K*~T=1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani dotrzyma słowa (Yb=1):
Yb=1
2.
Kiedy zajdzie ~Y (~Y1)?
~Y=~Ya+~Yc+~Yd
A:
~Ya=p~~>q=p*q=1*1=1
~Ya=K~~>T=K*T =1*1=1
Możliwe ~~> jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Pani nie dotrzyma słowa (~Ya):
~Ya=1
Czytamy:
PP1: Prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Ya)
~Ya=1
Prawo Prosiaczka:
(~Ya=1)=(Ya=0)
Prawą stronę czytamy:
~Ya=0
PP2: Fałszem jest (=0), że pani dotrzyma słowa (Ya)
Doskonale widać tożsamość zdań PP1 i PP2 co jest dowodem poprawności prawa Prosiaczka.
C:
~Yc=~p~~>q=~p*q=1*1=1
~Yc=~K~~>~T=~K*T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Pani skłamie:
~Yc=1
D:
~Yd=~p~~>~q=~p*~q=1*1=1
~Yd=~K~~>~T=~K*~T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani skłamie (~Yd=1)
4.7 Operatory z grupy TF4-TF11 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Listę tych operatorów znajdziemy w punkcie 3.0
Dla zrozumienia operatorów z grupy TF4-TF11 wyrażonych spójnikami „i”(*) i „lub”(+) konieczne jest zrozumienie „Kubusiowej teorii zbiorów” o czym będzie w następnym rozdziale, oraz kluczowych pojęć logiki matematycznej:
A4: Y = p=>q =~p+q - definicja warunku wystarczającego => w języku potocznym
A5: Y = p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w języku potocznym
A8: Y = p<=>q = p*q+~p*~q - definicja spójnika „wtedy i tylko wtedy” <=> w języku potocznym
A9: Y = p$q = p*~q+~p*q - definicja spójnika „albo”($) w języku potocznym
Zdarzenia:
Y = p~~>q =p*q - definicja zdarzenia możliwego ~~> w teorii zdarzeń w języku potocznym
tu wystarczy udowodnić, że możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
lub
Zbiory:
Y = p~~>q =p*q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> w teorii zbiorów w języku potocznym
tu wystarczy udowodnić iż istnieje wspólny element zbiorów p i q
4.7.1 Prawo eliminacji warunku wystarczającego A4: p=>q
W logice ziemskich matematyków znane jest prawo eliminacji warunku wystarczającego => (u ziemian prawo eliminacji implikacji =>):
Y = p=>q =~p+q
W spójnikach „i”(*) i „lub”(+) o żadnym warunku wystarczającym => nie może być mowy.
Dowód:
Częstotliwość użycia:
Bliskie zeru bo w praktyce języka potocznego nikt tego nie robi
Pani w przedszkolu:
1.
A4:
Jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub pójdziemy do teatru (T)
Y = (K=>T) = ~K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K lub T
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub pójdziemy do teatru (T=1)
… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację stronami:
~Y=~(~K+T)=K*~T – prawo De Morgana
stąd:
2.
~Y=K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*~T =1*1=1 – jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do tearu
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach/zbiorach niepustych i rozłącznych:
p+q = p*q+p*~q + ~p*q
Nasz przykład:
p=~K
q=T
Y = ~K+T = ~K*T + ~K*~T + K*T
Zobaczmy to na diagramie:
| Kod: |
D4
Definicja operatora Y|=~K+T w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=K*T+K*~T+~K*T+~K*~T=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń możliwych |
--------------------------------------------------------------------------
| p=[K] |
------------------------------------------------------
| q=[T] |
--------------------------------------------------------------------------
| B:~Yb=p*~q= K*~T| A: Ya=p*q=K*T | C: Yc=~p*q=~K*T | D: Yd=~p*~q=~K*~T |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zauważmy, że wszystkie możliwe zdarzenia ABCD są rozłączne i niepuste oraz uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Stąd mamy:
Y = Ya+Yc+Yd
Y = A: K*T + C: ~K*T + D: ~K*~T
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T=1*1=1 – jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 – jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
D: ~K*~T=1*1=1 – jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Podsumowując:
Doskonale widać, że prawo eliminacji warunku wystarczającego:
A4: Y=(K=>T)=~K+T
rzeczywiście zabija warunek wystarczający =>, bowiem w diagramie D4 o żadnym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
W identyczny sposób można udowodnić poprawność eliminacji znaczków ~>, <=> i „albo”($):
A5: Y = p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w języku potocznym
A8: Y = p<=>q = p*q+~p*~q - definicja spójnika „wtedy i tylko wtedy” <=> w języku potocznym
A9: Y = p$q = p*~q+~p*q - definicja spójnika „albo”($) w języku potocznym
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 23:51, 18 Cze 2022, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35517
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 18:07, 18 Cze 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
5.0 Kubusiowa teoria zbiorów
Spis treści
5.0 Kubusiowa teoria zbiorów 1
5.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach 2
5.1.1 Suma logiczna zbiorów 2
5.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów 3
5.1.3 Różnica (-) zbiorów 3
5.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów 4
5.2.1 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 6
5.2.2 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 7
5.3 Dziedzina 8
5.3.1 Zaprzeczenie zbioru 9
5.3.2 Nazwa własna zbioru 9
5.3.3 Dziedzina użyteczna w języku potocznym 10
5.4 Prawo Słonia – najważniejsze prawo w matematyce 11
5.5 Definicja definicji 13
5.0 Kubusiowa teoria zbiorów
Kubusiowa teoria zbiorów to nieznana ziemskim matematykom teoria zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej, algebry Kubusia.
Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, koło, miłość, krasnoludek, zbór wszystkich zwierząt ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]
Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies)
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)
Prawa Prosiaczka
Prawa Prosiaczka omówiono szczegółowo w punkcie 1.4
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Przykład 1.
(p=1) = (~p=0)
1.
[pies]=1 - prawdą jest (=1) iż wiem co znaczy pojęcie pies
Prawo Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
Nasz przykład:
(pies=1) = (~pies=0) - na mocy prawa Prosiaczka
stąd zdanie tożsame do 1:
~pies=0 - fałszem jest (=0), że nie wiem (~) co znaczy pojęcie [pies]
Przykład 2.
(~p=1) = (p=0)
2.
agstd=0 - fałszem jest (=0) iż wiem co znaczy pojęcie „agstd”
Prawo Prosiaczka:
(agstd=0) = (~agstd=1)
stąd zdanie tożsame do 2:
~agstd=1 - prawdą jest (=1), że nie wiem (~) co znaczy pojęcie agstd
Prawo Rekina:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie
Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze
Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka
Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.
5.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach
Elementarne działania na zbiorach to:
(+) - suma logiczna zbiorów
(*) - iloczyn logiczny zbiorów
(-) - różnica logiczna zbiorów
5.1.1 Suma logiczna zbiorów
Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
Zdefiniujmy dwa zbiory p i q:
p=[K, T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T, P] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[K,T]+[T,P]=[K,T,T,P] = [K+T+T+P] = [K+T+P] = [K,T,P] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Bo prawo Algebry Boole’a:
p+p =p
Uwaga:
Przecinek przy wyliczaniu elementów zbioru jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) z algebry Boole’a co pokazano i udowodniono wyżej.
5.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny (zbiór wynikowy jest niepusty)
Y = p*q =0 - gdy zbiory p i q nie mają (=0) elementu wspólnego (są rozłączne)
Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
S - Słoń
Zdefiniujmy zbiory p, q, r:
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T,P] =1 - bo zbiór niepusty
r=[P,S] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[K,T]*[T,P]=[T] =1 - zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny
Y=p*r=[K,T]*[P,S] =[] =0 - zbiory p i r nie mają (=0) elementu wspólnego
Identyczne wyniki można uzyskać poprzez wymnażanie logiczne zbiorów.
Przykład:
p*q = [K+T]*[T+P] = K*T + K*P + T*T + T*P =[] + [] + T + [] = T
bo:
K*T+ K*P + T*P =[]+[]+[] =0+0+0 =0 - iloczyn logiczny „*” zbiorów (pojęć) rozłącznych jest zbiorem pustym []
T*T =T
bo prawo algebry Boole’a:
p*p =p
Jak widzimy, przy wyliczaniu elementów zbioru przecinek jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) rodem z algebry Boole’a.
5.1.3 Różnica (-) zbiorów
Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Oznaczmy:
K - Kubuś
T - Tygrysek
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T] =1 - bo zbiór niepusty
Stąd:
Y=p-q = [K,T]-[T] =[K+T-T] =[K] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=q-p =[K]-[K,T]=[K-(K+T]=[K-K-T]= [] - [-T] =[-T] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty
Prawo odejmowania zbiorów:
Jeśli w operacji odejmowania zbiorów wynikowy zbiór jest z minusem {-} to taki zbiór zamieniamy na zbiór pusty [].
5.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów
Przypomnijmy znane już definicje podstawowe.
Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, miłość, krasnoludek, ZWZ, LN ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]
Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies)
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)
Prawo Rekina:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie
Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze
Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka
Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)
Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum.
Zauważmy, że zaledwie 40 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na Ziemi.
Podobnie będzie z algebrą Kubusia, aktualnie wyłącznie mieszkańcy 100-milowego lasu ją znają i rozumieją, ale wkrótce pojęcie „Algebra Kubusia” znane będzie każdemu ziemianinowi od 5-cio latka poczynając, bowiem algebra Kubusia będzie uczona we wszystkich ziemskich przedszkolach - oczywiście w formie zabawy praktycznej, bez teorii którą znają wszystkie żywe stworzenia, nie będąc tego świadomym.
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)
Definicja dziedziny absolutnej DA:
Dziedzina absolutna DA to zbiór wszelkich pojęć możliwych do zdefiniowania w naszym Wszechświecie.
Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z dziedziną absolutną DA.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum U to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Zbiór pusty zawiera nieskończenie wiele pojęć niezrozumiałych dla człowieka, jeszcze niezdefiniowanych. Definiować elementy w naszym Wszechświecie może wyłącznie człowiek, świat martwy sam sobie nic nie definiuje.
Przed pojawieniem się człowieka na ziemi zawartość zbioru pustego była taka:
[] - wszystkie elementy naszego Wszechświata w sensie absolutnym, nie ma jeszcze człowieka który by cokolwiek definiował.
W dniu dzisiejszym sytuacja jest inna, taka:
| Kod: |
T1
Algebra Kubusia:
-------------------------------------------------------------------
| Zbiór pusty [] | Uniwersum U |
| Pojęcia jeszcze przez człowieka | Pojęcia przez człowieka już |
| niezdefiniowane | zdefiniowane |
| Niezrozumiałe dla człowieka | Zrozumiałe dla człowieka |
| | |
-------------------------------------------------------------------
| DA - dziedzina absolutna |
-------------------------------------------------------------------
|
Na mocy powyższego zachodzi:
[] = ~U - zbiór pusty [] to zaprzeczenie Uniwersum U w dziedzinie absolutnej DA
U = ~[] - zbiór Uniwersum U to zaprzeczenie zbioru pustego [] w dziedzinie absolutnej DA
Na mocy definicji dziedziny absolutnej mamy:
1: U+~U = U+[] =U =1
2: U*~U = U*[] =[] =0
Komentarz:
1.
Do zbioru Uniwersum (pojęcia zrozumiałe dla człowieka) możemy dodać elementy ze zbioru ~U (pojęcia niezrozumiałe dla człowieka np. kgstl), ale na mocy definicji Uniwersum wszelkie takie elementy musimy natychmiast usunąć, inaczej gwałcimy definicję Uniwersum.
2.
U*~U=[] =0
Iloczyn logiczny elementów ze zbioru U (pojęcia zrozumiałe dla człowieka) i ~U (pojęcia niezrozumiałe dla człowieka) jest zbiorem pustym tzn. nie ma ani jednego elementu wspólnego w zbiorach U i ~U=[].
Prawo Owieczki:
Prawdziwe jest zdanie ziemskich matematyków iż „ze zbioru pustego [] wynika wszystko” wtedy i tylko wtedy gdy definicje zbioru pustego [] i Uniwersum U będą zgodne z definicjami obowiązującymi w algebrze Kubusia.
5.2.1 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
I Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość logiczna [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów
Tożsame znaczki tożsamości logicznej:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
Co wynika z I prawa Słonia?
Zobaczmy to na przykładzie.
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
Innymi słowy:
Każda liczba podzielna przez 8 jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Z prawa Słonia wynika że:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Relację podzbioru P8=>P2 każdy matematyk bez trudu udowodni.
5.2.2 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach
Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
II Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Dowód prawa Tygryska:
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Dowód prawa Tygryska:
B1: p~>q = p+~q = ~q+p = B3: q=>p
cnd
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów
Tożsame znaczki tożsamości logicznej:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
Co wynika z II prawa Słonia?
Zobaczmy to na przykładzie.
Przykład:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Z II prawa Słonia wynika że:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2
Wniosek:
Aby udowodnić iż zbiór P2 jest nadzbiorem ~> zbioru P8 potrzeba i wystarcza udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
co każdy matematyk bez trudu udowodni.
5.3 Dziedzina
Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy
Ograniczeniem górnym w definiowaniu dziedziny jest Uniwersum (zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka)
Zbiór pusty [] to zero pojęć zrozumiałych dla człowieka, zatem na tym zbiorze nie możemy operować
Wniosek:
Z definicji nie możemy przyjąć zbioru pustego za dziedzinę.
5.3.1 Zaprzeczenie zbioru
Definicja zaprzeczenia (~) zbioru:
Zaprzeczeniem (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D
~p=[D-p]
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Zaprzeczenie zbioru (~) = Negacja zbioru (~)
Uwaga:
Aby zapisać zbiór ~p będący negacją zbioru p musimy określić wspólną dziedzinę dla zbiorów p i ~p
Definicja dziedziny:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, iloczyn logiczny zbiorów jest zbiorem pustym []
Przykład:
K = Kubuś
T = Tygrysek
p=[K] - definiujemy zbiór p
D=[K,T] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] = [(K+T)-K]=[T]
5.3.2 Nazwa własna zbioru
Rozróżniamy dwa rodzaje zbiorów ze względu na nazwę:
- zbiory mające nazwę własną
- zbiory nie mające nazwy własnej
Definicja nazwy własnej zbioru:
Nazwa własna zbioru to nazwa jednoznacznie opisująca dany zbiór w sposób zrozumiały dla wszystkich ludzi
Przykład zbioru mającego nazwę własną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Przykład zbioru nie mającego nazwy własnej:
p = [ZWZ, miłość, samolot]
W języku potocznym z oczywistych względów użyteczne są wyłącznie dziedziny mające nazwy własne, zrozumiałe dla wszystkich, gdzie nie trzeba wypisywać wszystkich pojęć zawartych w dziedzinie.
5.3.3 Dziedzina użyteczna w języku potocznym
Definicja dziedziny użytecznej w języku potocznym:
Dziedzina użyteczna w języku potocznym do dowolny zbiór na którym operujemy mający nazwę własną nie będący Uniwersum.
Uniwersum - zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
W języku potocznym nikt nie używa pojęcia Uniwersum w przeciwieństwie do np. zbioru wszystkich zwierząt.
Rozważmy poniższe dziedziny (ZWZ, ZWS, U) mające nazwy własne:
Weźmy zbiór jednoelementowy:
P=[pies] - zbiór P zawiera tylko jeden element [pies].
Uwaga:
Nie jest tu istotne że różnych psów jest bardzo dużo bo:
pies Jasia = pies Zuzi = po prostu [pies]
[pies]+[pies] = [pies] - prawo algebry Boole’a (p+p=p)
Pojęcia [pies] są tożsame, nieistotne jest że jeden pies należy do Jasia a drugi do Zuzi.
[pies]*[pies] = [pies] - prawo algebry Boole’a (p*p=p)
ZWZ.
Dla zbioru P=[pies] przyjmijmy dziedzinę:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy zbiór ~P:
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt minus jeden element P=[pies]
ZWS.
Dla zbioru P=[pies] przyjmijmy dziedzinę:
ZWS - zbiór wszystkich ssaków
Stąd mamy zbiór ~P:
~P=[ZWS-P] - zbiór wszystkich ssaków minus jeden element P=[pies]
Wnioski:
Przyjęte dziedziny ZWZ i ZWS mają poprawne nazwy własne należące do Uniwersum i nie są tożsame z Uniwersum, zatem te dziedziny są poprawne matematycznie i są to dziedziny użyteczne.
a)
Dziedzina ZWZ wskazuje nam, że interesuje nas wyłącznie zbiór wszystkich zwierząt, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWZ są dla nas puste z definicji.
b)
Dziedzina ZWS mówi nam że operujemy na zbiorze wszystkich ssaków, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWS są dla nas puste z definicji.
Przykład:
Twierdzenie proste Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK =1
W twierdzeniu Pitagorasa dziedziną użyteczną jest:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Dziedzina ZWT wskazuje nam, że interesują nas wyłącznie trójkąty, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWT są dla nas puste z definicji
Nie interesują nas tu żadne pojęcia spoza dziedziny ZWT, o czym w praktyce każdy matematyk wie. Nikt nie będzie brał do ręki koła i sprawdzał czy zachodzi w nim suma kwadratów.
5.4 Prawo Słonia – najważniejsze prawo w matematyce
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy i tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
O co tu chodzi, pokażemy na przykładzie twierdzenia Pitagorasa.
Twierdzenie proste Pitagorasa:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK=1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
A1: p=>q =1
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Twierdzenie to oznacza, że w każdym trójkącie prostokątnym zachodzi suma kwadratów – to wie każdy matematyk.
Ale!
Na mocy prawa Słonia możemy tu również zapisać:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełniona sumą kwadratów (SK)
Innymi słowy:
Dowód prawdziwości twierdzenia prostego Pitagorasa jest automatycznie dowodem faktu, iż zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełniona sumą kwadratów (SK) … o czym ziemscy matematycy nie mają bladego pojęcia bo gdyby mieli, to fakt ten byłby zapisany w każdym podręczniku matematyki do 7 klasy szkoły podstawowej.
Weźmy teraz.
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
B3:
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK) to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny (TP)
B3: SK=>TP =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
B3: q=>p =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Każdy trójkąt ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest trójkątem prostokątnym (TP) – to wie każdy matematyk
Ale!
Na mocy prawa Słonia możemy tu również zapisać:
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest warunkiem wystarczającym => to tego, aby ten trójkąt był prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP)
Innymi słowy:
Dowód prawdziwości twierdzenia odwrotnego Pitagorasa jest automatycznie dowodem faktu, iż zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP) … o czym ziemscy matematycy nie mają bladego pojęcia bo gdyby mieli, to fakt ten byłby zapisany w każdym podręczniku matematyki do 7 klasy szkoły podstawowej.
Poniższa definicja równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Znana jest każdemu matematykowi poprawnie jako równoczesny dowód twierdzenia prostego A1: p=>q i odwrotnego B3: q=>p
Nasz przykład:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych TP<=>SK jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK i jednocześnie prawdziwe jest twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3: SK=>TP.
Innymi słowy na mocy prawa Słonia możemy także zapisać:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych TP<=>SK jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1: TP=>SK) i jednocześnie zbiór SK jest podzbiorem zbioru TP (B3: SK=>TP).
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Ostatnia wersja równoważności to znana każdemu matematykowi definicja tożsamości zbiorów p=q.
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Wniosek:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych definiuje tożsamość zbiorów TP=SK:
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK
O tym fakcie żaden ziemski matematyk nie ma bladego pojęcia.
cnd
Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Dla równoważności Pitagorasa mamy:
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK
Stąd:
Na mocy prawa Słonia równoważność Pitagorasa możemy odczytać w kolejny, tożsamy sposób.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK)
Ta definicja równoważności p<=>q jest doskonale znana wszystkim ludziom (w tym matematykom).
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 8 070
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
5.5 Definicja definicji
Definicja definicji:
W świecie człowieka (bo tylko on świadomie definiuje) definicja dowolnego pojęcia jest matematycznie poprawna wtedy i tylko wtedy jest jednoznaczna w Uniwersum człowieka.
Innymi słowy:
Definicja dowolnego pojęcia jest matematycznie poprawna wtedy i tylko wtedy gdy jest jedyna w całym obszarze Uniwersum.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)
Przykład poprawnej definicji:
Pies to zwierzę domowe, szczekające
P = ZD*S=1*1=1
To jest minimalna, jednoznaczna definicja psa rozumiana przez każdego 5-cio latka.
Oznacza to że pojęcia P oraz ZD*S są matematycznie tożsame P=ZD*S, czyli są w relacji równoważności P<=>ZD*S w całym obszarze Uniwersum
Przykład błędnej definicji:
[link widoczny dla zalogowanych]
Zwierzę domowe, hodowlane, występujące nad Wisła – podać jego odgłos
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p)= p<=>q
Dla B3 zastosujmy prawo kontrapozycji:
B3: q=>p = B2: ~p=>~q
Stąd mamy tożsamą definicję tożsamości zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Przykład:
A1.
Jeśli coś jest psem (P) to na 100% => jest psem (P)
A1: P=>P =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Gdzie:
p=q = [pies] – jednoelementowy zbiór [Pies]
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym => by być psem
Bycie psem daje nam gwarancję matematyczną => iż jesteśmy psem
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => Gwarancja matematyczna
Zgodnie z definicją definicji przyjmujemy dziedzinę:
U (Uniwersum) – wszelkie pojęcia zrozumiałe da człowieka
Obliczamy zaprzeczenie zbioru jednoelementowego p=q=P=[pies] rozumianego jako jego uzupełnienie do dziedziny Uniwersum.
p=q=[pies]
Stąd:
~p=~q = ~P=[U-[pies]) = [[kot, kura, miłość, samochód, krasnoludek ..] - wszystkie elementy Uniwersum z wykluczeniem „psa”
… a jeśli coś nie jest psem?
Wyżej obliczyliśmy iż:
~p=~q = ~P=[U-[pies]) = [[kot, kura, miłość, samochód, krasnoludek ..]
Stąd mamy:
B2.
Jeśli coś nie jest psem (~P) to na 100% = nie jest psem (~P)
B2: ~P=>~P=1
to samo w zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q=1
Nie bycie psem (~P) jest warunkiem wystarczającym => do tego by nie być psem (~P)
Podstawiając wyprowadzony wyżej zbiór ~p=~q=~P mamy:
~p=[U-[pies]) = [[kot, kura, miłość, samochód, krasnoludek ..] => ~q=[U-[pies]) = [[kot, kura, miłość, samochód, krasnoludek ..] =1
Definicja warunku wystarczającego => B2 jest (=1) spełniona bo każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 13:28, 22 Cze 2022, w całości zmieniany 3 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35517
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 18:09, 18 Cze 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
6.0 Fundamenty obsługi zdań warunkowych w algebrze Kubusia
Spis treści
6.0 Fundamenty obsługi zdań warunkowych w algebrze Kubusia 2
6.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 2
6.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 2
6.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 2
6.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 3
6.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 4
6.1.5 Prawo Kobry dla zbiorów 5
6.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 5
6.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> 5
6.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach 6
6.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach 6
6.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 6
6.2.5 Prawo Kobry dla zdarzeń 7
6.3 Wyprowadzenie matematycznych związków znaczków => i ~> 7
6.3.1 Definicja znaczka różne # i różne na mocy definicji ## 7
6.3.2 Rachunek zero-jedynkowego warunków wystarczających => i koniecznych ~> 8
6.4 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 10
6.4.1 Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia 12
6.5 Prawa Sowy 12
6.6 Prawo Słonia - najważniejsze prawo w logice matematycznej 13
6.6.1 Prawo Słonia dla zbiorów 13
6.6.2 Prawo Słonia dla zdarzeń 14
6.7 Prawo Irbisa 15
6.7.1 Prawo Irbisa dla zbiorów 15
6.7.2 Prawo Irbisa dla zdarzeń 18
6.8 Spójniki implikacyjne 19
6.8.1 Prawo Puchacza 22
6.9 Pozostałe prawa algebry Kubusia 24
6.9.1 Prawo Kłapouchego 24
6.9.2 Zdjęcie układu 24
6.10 Tabela prawdy dla zdana warunkowego „Jeśli p to q” 25
6.10.1 Definicja operatora implikacji prostej P||=>CH 27
6.11 Algorytm rozwiązywania zadań typu „Jeśli p to q” 27
6.0 Fundamenty obsługi zdań warunkowych w algebrze Kubusia
Logika matematyczna to tylko i wyłącznie zdania warunkowe „Jeśli p to q” będące odpowiednikiem skoków warunkowych w programowaniu komputerów.
Dla każdego programisty jest oczywiste, że jeśli z programowania komputerów zabierzemy wszystkie rozgałęzienia warunkowe to nie da się napisać najprostszego nawet programu, bowiem wszystko jest wówczas zdeterminowane (znane z góry).
6.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów/zdarzeń p i q.
6.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] np. 24
6.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach
Prawo Słonia dla warunku wystarczającego =>:
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych członów
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych członów
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q.
Na mocy prawa Słonia udowodnienie relacji podzbioru p=>q jest tożsame z udowodnieniem warunku wystarczającego p=>q, czyli że zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład twierdzenia matematycznego:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
6.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach
Prawo Słonia dla warunku koniecznego ~>:
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych członów
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych członów
Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Na mocy prawa Słonia mamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
6.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2=1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2, bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8…], co każdy matematyk bez trudu udowodni.
Na mocy definicji kontrprzykładu, z prawdziwości warunku wystarczającego A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9…] bo zbiory te są rozłączne.
Na mocy definicji kontrprzykładu nie musimy udowadniać w sposób bezpośredni iż zbiór liczb parzystych P8=[8,16,24..] jest rozłączny ze zbiorem liczb nieparzystych ~P2=[1,3,5,7,9..], bowiem dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu.
Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’
6.1.5 Prawo Kobry dla zbiorów
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem => samego siebie:
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].
Zbiór pusty jest zbiorem zewnętrznym w stosunku do dowolnego zbioru niepustego przyjętego za dziedzinę na której operujemy.
Wynika to z definicji Uniwersum i zbioru pustego [] w algebrze Kubusia - szczegóły wyjaśnione są w punkcie 5.2.
6.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń/zbiorów p i q
6.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
6.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
6.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki.
6.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
Z prawdziwości warunku wystarczającego A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH=0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Na mocy definicji kontrprzykładu tego faktu nie musimy udowadniać, ale możemy, co wyżej uczyniliśmy.
Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’
6.2.5 Prawo Kobry dla zdarzeń
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
6.3 Wyprowadzenie matematycznych związków znaczków => i ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
6.3.1 Definicja znaczka różne # i różne na mocy definicji ##
Definicję znaczka różne na mocy definicji ## poznamy na przykładzie definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> które wyżej zapisaliśmy.
Zobaczmy to w tabeli prawdy:
| Kod: |
TW
Definicja warunku wystarczającego =>:
Y = (p=>q) = ~p+ q # ~Y =~(p=>q)= p*~q
## ##
Definicja warunku koniecznego ~>:
Y = (p~>q) = p+~q # ~Y =~(p~>q)=~p* q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TW definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
cnd
6.3.2 Rachunek zero-jedynkowego warunków wystarczających => i koniecznych ~>
| Kod: |
T1
Definicja warunku wystarczającego =>
Y=
p q p=>q=~p+q
A: 1=>1 1
B: 1=>0 0
C: 0=>0 1
D: 0=>1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
##
| Kod: |
T2
Definicja warunku koniecznego ~>
Y=
p q p~>q=p+~q
A: 1~>1 1
B: 1~>0 1
C: 0~>0 1
D: 0~>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q
|
##
| Kod: |
T3
Definicja spójnika “lub”(+):
Y=
p q p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 0 0
D: 0+ 1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
Szybsza jest tu logika zer
|
##
| Kod: |
T4
Definicja spójnika “i”(*)
Y=
p q p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 0 0
D: 0* 1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
Szybsza jest tu logika jedynek
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
Wyprowadźmy w rachunku zero-jedynkowym matematyczne związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
| Kod: |
Ax:
Warunek wystarczający:
p=>q = ~p+q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q # ~(p=>q)=p*~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0 # =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
1 2 3 4 5 6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
##
| Kod: |
Bx:
Warunek konieczny:
p~>q = p+~q
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q # ~(p~>q)=~p*q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0 # =1
1 2 3 4 5 6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony |
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
6.4 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego w zapisie skróconym:
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> bez zamiany p i q
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
2.
Prawa Tygryska:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z zamianą p i q
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
3.
Prawa kontrapozycji:
Matematyczne związki w obrębie warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Mutacje powyższych praw logiki matematycznej:
Pod p i q w powyższych prawach możemy podstawiać zanegowane zmienne w dowolnych konfiguracjach.
Przykład:
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1.
Podstawiamy:
p:=~p - pod p podstaw := ~p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>~q = ~(~p)~>~(~q) = p~>q
2.
Podstawiamy:
p:=p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q
3.
Podstawiamy:
p:=~p
q:=q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>q = ~(~p)~>~q = p~>~q
6.4.1 Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
6.5 Prawa Sowy
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Sowy to:
Ogólna definicja tożsamości logicznej „=” dla wielu zdań:
Prawdziwość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Fałszywość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych zdań
Tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
6.6 Prawo Słonia - najważniejsze prawo w logice matematycznej
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
6.6.1 Prawo Słonia dla zbiorów
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste =>
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Przykład:
Zbadaj czy zachodzi warunek wystarczający => w poniższym zdaniu:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2=?
Rozwiązanie:
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste =>
W metodzie "nie wprost" na mocy prawa Słonia dowodzimy prawdziwości relacji podzbioru =>
Innymi słowy badamy:
Czy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]?
Oczywiście relacja podzbioru => jest (=1) tu spełniona:
P8=>P2=1
co każdy matematyk bez trudu udowodni.
W tym momencie na mocy prawa Słonia mamy udowodnione metodą "nie wprost" dwa fakty czysto matematyczne:
1.
Twierdzenie proste A1 jest prawdziwe
A1: P8=>P2 =1
2.
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2
A1: P8=>P2 =1
Podsumowując:
Z gołych definicji podzbioru => i warunku wystarczającego => nic w matematyce nie wynika, dopóki nie poznamy prawa Słonia.
Dopiero prawo Słonia w dowodzeniu prawdziwości warunku wystarczającego =>, czy też prawdziwości samego zdania warunkowego "Jeśli p to q" ma fundamentalne znaczenie, co udowodniono ciut wyżej.
6.6.2 Prawo Słonia dla zdarzeń
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
6.7 Prawo Irbisa
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
6.7.1 Prawo Irbisa dla zbiorów
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 9 100
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 80 300
Stąd mamy:
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Jak dowodzi się prawdziwość równoważności w zbiorach p<=>q w matematyce klasycznej?
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste =>
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Matematyczna definicja równoważności p<=>q akceptowana przez matematyków:
Równoważność p<=>q to jednoczesna prawdziwość twierdzenia prostego (A1: p=>q) i twierdzenia odwrotnego (B3: q=>p)
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność w zbiorach p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie proste A1: p=>q=1 i jednocześnie prawdziwe jest twierdzenie odwrotne B3: q=>p=1
Na mocy prawa Słonia mamy:
Definicja równoważności <=> w zbiorach:
Równoważność w zbiorach p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p)
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p)
Innymi słowy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja podzbioru => w dwie strony.
Zauważmy, że prawa strona to znana każdemu matematykowi definicja tożsamości zbiorów p=q.
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Innymi słowy:
Tożsama definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p I q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)
Dla B3 zastosujmy prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Stąd mamy kolejną, tożsamą definicję tożsamości zbiorów p=q.
Tożsama definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1: p~>q)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Na mocy prawa Słonia mamy kolejną, tożsamą definicję tożsamości zbiorów p=q.
Tożsama definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Przykład:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
RA1B1:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) to tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK)
Równoważność Pitagorasa udowadniamy w dwóch krokach.
Krok 1
Dowodzimy twierdzenia prostego Pitagorasa:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu
Dowód ten oznacza, że zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Krok 2
Prawdziwość warunku koniecznego (B1: TP~>SK) w równoważności Pitagorasa dowodzimy metodą „nie wprost”
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B1: TP~>SK = B3: SK=>TP
Na mocy prawa Tygryska aby udowodnić prawdziwość warunku koniecznego B1: TP~>SK potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość twierdzenia odwrotnego Pitagorasa B3: SK=>TP
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK) to ten trójkąt na 100% => jest prostokątny (TP)
SK=>TP =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Dowód ten oznacza, iż zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP
Stąd dla naszego przykładu mamy:
Definicja tożsamości zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (Twierdzenie proste A1: TP=>SK) i jednocześnie zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (Twierdzenie odwrotne B3: SK=>TP)
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = A1B3: TP<=>SK
Wniosek:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (TP<=>SK) definiuje tożsamość zbiorów TP=SK
Stąd mamy:
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów p=q i odwrotnie
6.7.2 Prawo Irbisa dla zdarzeń
Definicja tożsamości zdarzeń p=q:
Dwa zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Dowód na przykładzie:
| Kod: |
S1 Schemat ideowy sterowania żarówką
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, aby żarówka świeciła się S (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Zachodzi tu tożsamość pojęć A=S:
A=S <=> (A1: A=>S)*(B1: A~>S) = A<=>S
Innymi słowy:
Pojęcie „przycisk A wciśnięty” jest tożsame z pojęciem „żarówka S świeci się”
Stąd mamy:
Prawo Irbisa dla zdarzeń:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q=1 w zdarzeniach definiuje tożsamość zdarzeń p=q i odwrotnie
6.8 Spójniki implikacyjne
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja spójnika implikacyjnego:
Spójnik implikacyjny to spójnik definiowany warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~> na pozycji A1 i B1 w tabeli T0:
A1: p=>q – czy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q?
B1: p~>q – czy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q?
Rozróżniamy pięć spójników implikacyjnych |~~>, |=>, |~>, <=>, „albo”($) o definicjach jak niżej:
1.
p|~~>q - chaos, odpowiadający na pytanie o p
Definicja szczegółowa chaosu p|~~>q:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest ani konieczne ~> (B1), ani też wystarczające => (A1) dla zajścia q.
;
Przykład:
A1: P8=>P3=0 – podzielność przez 8 (P8) nie jest (=0) wystarczająca => dla podzielności przez 3 (P3)
bo P8=[8,16,24..] nie jest (=0) podzbiorem => P3=[3,6,9..]
B1: P8~>P3=0 – podzielność przez 8 (P8) nie jest (=0) konieczna ~> dla podzielności przez 3 (P3)
bo P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3=[3,6,9..]
A1B1: P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3)=~(0)*~(0)=1*1=1
##
2.
p|=>q - implikacja prosta odpowiadająca na pytanie o p
Definicja szczegółowa implikacji prostej p|=>q:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => (A1) dla zajścia q, ale nie jest konieczne ~> (B1) dla zajścia q.
;
Przykład:
A1: P=>CH =1 – padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
bo zawsze gdy pada, są chmury
B1: P~>CH =1 – padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
A1B1: P|=>CH = (A1: (P=>CH)*~(B1: CH~>P) =1*~(0)=1*1=1
##
3.
p|~>q - implikacja odwrotna odpowiadająca na pytanie o p
Definicja szczegółowa implikacji odwrotnej p|~>q:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) dla zajścia q, ale nie jest wystarczające => (A1) dla zajścia q.
;
Przykład:
A1: CH=>P=0 – chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania, nie zawsze gdy są chmury, pada
B1: CH~>P=1 – chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1
##
4.
p<=>q - równoważność dająca odpowiedź na pytanie o p
Definicja szczegółowa równoważności p<=>q:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia q
Ta definicja jest powszechnie znana wśród ludzi (nie tylko wśród matematyków).
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym””
Wyników: 12 700
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 72 000
;
Przykład:
A1: TP=>SK=1 – bycie trójkątem prostokątnym jest wystarczające => dla spełnienia sumy kwadratów
B1: TP~>SK=1 – bycie trójkątem prostokątnym jest konieczne ~> dla spełnienia sumy kwadratów
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Prawo Prosiaczka:
B1: TP~>SK = B3: SK=>TP =1 – dla dowodu B1 potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość B3
A1 to twierdzenie proste Pitagorasa, natomiast B3 to twierdzenie odwrotne Pitagorasa
Oba te twierdzenia ludzkość udowodniła wieki temu.
Stąd mamy:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
##
5.
Definicja spójnika „albo”($) p$q dająca odpowiedź na pytanie o p
Definicja szczegółowa spójnika „albo”($):
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia ~q
Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K) – trzeciej możliwości brak
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
A1: M=>~K=1 – bycie mężczyzną (M) jest wystarczające => by nie być kobietą (~K)
B1: M~>~K=1 – bycie mężczyzną (M) jest konieczne ~> by nie być kobietą (~K)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
6.8.1 Prawo Puchacza
Definicja spójnika implikacyjnego:
Spójnik implikacyjny to spójnik definiowany warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~> determinujący prawdziwość/fałszywość linii Ax i Bx w tabeli T0
Zapiszmy poznane wyżej spójniki implikacyjne jeden po drugim w wersji skróconej:
1.
p|~~>q - chaos, odpowiadający na pytanie o p
Definicja szczegółowa chaosu p|~~>q:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
##
2.
p|=>q - implikacja prosta odpowiadająca na pytanie o p
Definicja szczegółowa implikacji prostej p|=>q:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
##
3.
p|~>q - implikacja odwrotna odpowiadająca na pytanie o p
Definicja szczegółowa implikacji odwrotnej p|~>q:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
##
4.
p<=>q - równoważność dająca odpowiedź na pytanie o p
Definicja szczegółowa równoważności p<=>q:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawo Puchacza:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego i tylko jednego spójnika implikacyjnego.
Dowód prawa Puchacza będzie polegał na założeniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią spójnika implikacyjnego x oraz pokazaniu, że dla tego założenia pozostałe spójniki implikacyjne są fałszem.
Pominiemy tu problem spójnika „albo”($) który jest ciut bardziej złożony (punkt 7.4). Można udowodnić, że jeśli zdanie „Jeśli p to ~q” jest częścią spójnika „albo”($) to nie może być częścią jakiegokolwiek innego spójnika (i odwrotnie). Udowodnienie pozostawiam matematykom, którzy zrozumieją i zaakceptują algebrę Kubusia – jakiś problemik muszę ziemianom zostawić.
I.
Założenie p|~~>q
Załóżmy, że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią chaosu p|~~>q.
Wtedy mamy:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =0
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych spójników implikacyjnych:
Implikacja prosta:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=0*~(0)=0*1=0 – ok
Implikacja odwrotna:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*0=1*0=0 – ok
Równoważność:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=0*0=0 – ok
cnd
II.
Założenie p|=>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych spójników implikacyjnych:
Chaos:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(1)*~(0)=0*1=0 – ok
Implikacja odwrotna:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(1)*0=0*0=0 – ok
Równoważność:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*0=0 – ok
cnd
III.
Założenie p|~>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych spójników implikacyjnych:
Chaos:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(1)=1*0=0 – ok
Implikacja prosta:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=0*~(1)=0*0=0 – ok
Równoważność:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=0*1=0 – ok
cnd
IV.
Założenie p<=>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =1
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych spójników implikacyjnych:
Chaos:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(1)*~(1)=0*0=0 – ok
Implikacja prosta:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(1)=1*0=0 – ok
Implikacja odwrotna:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(1)*1=0*1=0 – ok
cnd
Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki co oznacza, że twierdzenie Puchacza zostało udowodnione.
6.9 Pozostałe prawa algebry Kubusia
Pozostałe prawa algebry Kubusia umożliwiają ustalenie poprawnych związków matematycznych między logiką formalną (ogólną) a logiką aktualną (konkretne przykłady z otaczającego nas świata).
6.9.1 Prawo Kłapouchego
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
6.9.2 Zdjęcie układu
Definicja zdjęcia układu:
Dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” zdjęciem układu nazywamy zakodowanie wszystkich możliwych przeczeń p i q elementem wspólnym zbiorów ~~> dla zbiorów, albo zdarzeniem możliwym ~~> dla zdarzeń w tym samym kierunku (np. od p do q) wraz z rozstrzygnięciem prawdziwości/fałszywości wszystkich czterech linii.
Schematy zdjęcia układu dla zbiorów i zdarzeń są następujące:
| Kod: |
Jeśli p to q
Zdjęcie układu x dla zbiorów:
A: p~~> q= p* q =? – czy zbiory p i q mają (=1) element wspólny ~~>?
B: p~~>~q= p*~q =? – czy zbiory p i ~q mają (=1) element wspólny ~~>?
C:~p~~>~q=~p*~q =? – czy zbiory ~p i ~q mają (=1) element wspólny ~~>?
D:~p~~> q=~p* q =? – czy zbiory ~p i q mają (=1) element wspólny ~~>?
|
| Kod: |
Jeśli p to q
Zdjęcie układu x dla zdarzeń:
A: p~~> q= p* q =? – czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q?
B: p~~>~q= p*~q =? – czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q?
C:~p~~>~q=~p*~q =? – czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q?
D:~p~~> q=~p* q =? – czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q?
|
Poprawne zdjęcie układu jednoznacznie rozstrzyga z jakim operatorem logicznym p||?q mamy do czynienia.
Szczegóły na przykładzie poznamy w punkcie 8.2.4 i 8.3.4.
6.10 Tabela prawdy dla zdana warunkowego „Jeśli p to q”
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja tabeli prawdy dla zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Tabela prawdy dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” to:
Po pierwsze:
Jednoznaczne ustalenie wartości logicznych serii zdań Ax oraz serii zdań Bx co determinuje przynależność badanego zdania do jednego ze spójników implikacyjnych (przykład pkt. 6.14)
Po drugie:
Przeanalizowanie zdania warunkowego „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w tym samym kierunku co wyznacza operator implikacyjny (przykład 6.14.1)
Przykład:
Zbuduj tabelę prawdy dla poniższego zdania:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie (P) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH) bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
W tym momencie na mocy prawa Kłapouchego dla dalszej analizy przyjmujemy:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Stąd zapis zdania A1 w zapisie formalnym to:
p=>q =1
Aby zbudować tabelę prawdy dla zdania A1 musimy rozstrzygnąć prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Padanie (P) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (CH) bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
cnd
Stąd mamy rozstrzygnięcie, iż zdania A1 wchodzi w skład implikacji prostej P|=>CH
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: p|=>q=~p*q
Punkt odniesienia:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
A1: P=>CH =1 – padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =1 – padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: P|=>CH=~P*CH
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
6.10.1 Definicja operatora implikacji prostej P||=>CH
Definicja operatora implikacji prostej P||=>CH w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Operator implikacji prostej P||=>CH to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o P i ~P:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie P?
A2B2: ~P|~>~CH = (A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P?
Szczegóły poznamy za chwilkę w punkcie 6.14
6.11 Algorytm rozwiązywania zadań typu „Jeśli p to q”
Algorytm rozwiązywania zadań typu „Jeśli p to q” gdzie p i q mogą być w dowolnych przeczeniach:
1.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
2.
Warunkiem koniecznym działania algebry Kubusia jest rozpoznawalność wszystkich zbiorów/zdarzeń po stronie wejścia zdania warunkowego „Jeśli p to q”, czyli zbiory/zdarzenia {p, q, ~p, ~q} muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorze pustym, czyli na pojęciach dla nas niezrozumiałych (pkt. 5.2)
3.
Przyjmujemy punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego
4.
Korzystając z praw logiki matematycznej udowadniamy prawdziwość/fałszywość zdań dających w kolumnie A1B1 w tabeli T0 odpowiedź na pytanie o p
A1B1:
A1: p=>q =?
B1: p~>q =?
W tym momencie na mocy prawa Sowy mamy rozstrzygnięcie w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi badane zdanie (punkt 6.8, przykład 6.14).
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego i tylko jednego spójnika implikacyjnego (prawo Puchacza, punkt 6.8.1)
5.
Celem logiki matematycznej (algebry Kubusia) jest przyporządkowanie dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” (także fałszywego) z dowolnie zaprzeczonymi p i q do konkretnego operatora implikacyjnego (przykład pkt. 6.14.1).
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 17:02, 01 Lip 2022, w całości zmieniany 16 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35517
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 18:22, 18 Cze 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
6.12 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q
Spis treści
6.12 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q 1
6.12.1 Relacja między implikacją prostą p|=>q a odwrotną p|~>q 4
6.12.2 Tabela prawdy dla zdania warunkowego „Jeśli p to q” 5
6.12.3 Prawo Kameleona 6
6.13 Prawo Kłapouchego 7
6.14 Implikacja prosta P|=>CH w zdarzeniach 8
6.14.1 Operator implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach 9
6.15 Implikacja odwrotna CH|~>P w zdarzeniach 12
6.15.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach 13
6.16 Definicja znaczków ## i ### 16
6.16.1 Definicja znaczka różne na mocy definicji ## 17
6.16.2 Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ### 18
6.16.3 Prawo Kłapouchego = Kot Schrödingera 20
6.12 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q
W niniejszym rozdziale omówimy szczegółowo definicję implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q na konkretnym przykładzie o chmurce i deszczu.
Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q to kręgosłup algebry Kubusia, jego zrozumienie gwarantuje bezproblemowe zrozumienie całej algebry Kubusia.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Poznajmy najważniejsze definicje logiki matematycznej w naszym Wszechświecie (|=>, |~>), najważniejsze, bo najczęściej występujące.
Konkurencyjna równoważność p<=>q to kropla w morzu implikacji prostych p|=>q i odwrotnych p|~>q.
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - rożne na mocy definicji
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|=>q = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q)=~p*q
A1B1: p|=>q = ~p*q
Podstawiając do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> mamy.
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: p|=>q=~p*q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja prosta p|=>q determinuje prawdziwość operatora implikacji prostej p||=>q (i odwrotnie)
Definicja Implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q)
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Zachodzi tożsamość logiczna [=] kolumn A1B1 i A2B2:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q [=] A2B2: ~p|~>~q=(A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)=~p*q
Dowód:
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|~>q = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
A1B1: p|~>q=p*~q
Podstawiając do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> mamy.
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: p|~>q=p*~q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =0
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja odwrotna p|~>q determinuje prawdziwość operatora implikacji odwrotnej p||~>q (albo odwrotnie)
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q)
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Zachodzi tożsamość logiczna [=] kolumn A1B1 i A2B2:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p*~q [=] A2B2: ~p|=>~q=~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=p*~q
Dowód:
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Kluczowa relacja między implikacją prostą p|=>q a odwrotną p|~>q:
A1B1: p|=>q=~p*q ## A1B1: p|~>q=p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Uwaga:
Zarówno w implikacji prostej p|=>q jak i w implikacji odwrotnej p|~>q parametry aktualne p i q (te z przykładów) muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej popełniamy błąd podstawienia
6.12.1 Relacja między implikacją prostą p|=>q a odwrotną p|~>q
Relacja między implikacją prostą p|=>q a odwrotną p|~>q to relacja różne na mocy definicji ##
Dowód:
| Kod: |
RIPIO:
Tabela IP:
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: Y=(p|=>q)=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q
Warunek wystarczający =>:
Y=(p=>q) =~p+ q # ~Y=~(p=>q) = p*~q
## ##
Implikacja prosta p|=>q:
Y=(p|=>q)=~p* q # ~Y=~(p|=>q)= p+~q
## ##
Tabela IO:
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p*~q
Warunek konieczny ~>:
Y=(p~>q) = p+~q # ~Y=~(p~>q) =~p* q
## ##
Implikacja odwrotna p|~>q:
Y=(p|~>q)= p*~q # ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli RIPIO definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
cnd
6.12.2 Tabela prawdy dla zdania warunkowego „Jeśli p to q”
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja tabeli prawdy dla zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Tabela prawdy dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” to:
Po pierwsze:
Jednoznaczne ustalenie wartości logicznych serii zdań Ax oraz serii zdań Bx
Po drugie:
Przeanalizowanie zdania warunkowego „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”
Wniosek:
Tabela prawdy dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” to cztery i tylko cztery zdania warunkowe „Jeśli p to q”
6.12.3 Prawo Kameleona
Zadanie:
Zbuduj tabelę prawdy dla poniższego zdania:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie (P) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH) bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
##
Aby zbudować tabelę prawdy dla zdania A1 musimy rozstrzygnąć prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Padanie (P) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (CH) bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Dowód:
Zdania A1 i B1 wyżej.
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań
W logice formalnej zachodzi:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy rozstrzygnięcie, iż zdanie A1 wchodzi w skład implikacji prostej P|=>CH
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: p|=>q=~p*q
Punkt odniesienia:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
A1: P=>CH =1 – padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =1 – padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
Stąd mamy:
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: P|=>CH=~P*CH
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
6.13 Prawo Kłapouchego
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego wymusza na wszystkich matematykach ten sam punkt odniesienia definiowany kolumnami A1B1 i A2B2.
Oczywiście w treści zadania może być wymuszony inny punkt odniesienia.
Przykład:
Zbuduj tabelę prawdy dla twierdzenia odwrotnego Pitagorasa:
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK) to na 100% => ten trójkąt jest prostokątny (TP)
SK=>TP =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Tu ignorujemy prawo Kłapouchego i przyjmujemy twierdzenie odwrotne w zapisie formalmym:
B3: q=>p
q=SK – zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów
p=TP – zbiór trójkątów prostokątnych
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Bez zdefiniowanego, wspólnego punktu odniesienia matematyk A nie dogada się z matematykiem B.
Maksyma:
Otaczająca nas rzeczywistość wygląda różnie z różnych punktów odniesienia.
Z czarnego zawsze można zrobić białe i odwrotnie, wystarczy zmienić punkt odniesienia
[link widoczny dla zalogowanych]
6.14 Implikacja prosta P|=>CH w zdarzeniach
Zadanie:
Zbuduj tabelę prawdy dla poniższego zdania:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie (P) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH) bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
W tym momencie na mocy prawa Kłapouchego dla dalszej analizy przyjmujemy:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Stąd zapis zdania A1 w zapisie formalnym to:
p=>q =1
Aby zbudować tabelę prawdy dla zdania A1 musimy rozstrzygnąć prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Padanie (P) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (CH) bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
cnd
Stąd mamy rozstrzygnięcie, iż zdania A1 wchodzi w skład implikacji prostej P|=>CH
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: p|=>q=~p*q
Punkt odniesienia:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
A1: P=>CH =1 – padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =1 – padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: P|=>CH=~P*CH
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
6.14.1 Operator implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
| Kod: |
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej P|=>CH
A1: P=>CH=1 - padanie (P) jest wystarczające => dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH=0 - padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja Implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q)
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Zapis aktualny – nasz przykład:
Definicja implikacji prostej P||=>CH w logice dodatniej (bo CH):
Implikacja prosta P|=>CH to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o padanie (P):
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie P?
Definicja operatora implikacji prostej P||=>CH:
Operator implikacji prostej P||=>CH to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o P i ~P:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie P?
A2B2: ~P|~>~CH = (A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P?
A1B1:
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)?
A1: P=>CH=1 - padanie (P) jest wystarczające => dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH=0 - padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (CH)
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli będzie padało P?
Czytamy:
Implikacja prosta P|=>CH w logice dodatniej (bo CH) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (A1) i jednocześnie nie jest warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (B1)
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => aby było pochmurno (CH) bo zawsze gdy pada, są chmury.
Padanie (P) daje nam (=1) gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 determinuje fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Fałszywości zdania A1’ nie musimy dowodzić, bowiem wynika ona z prawdziwości warunku wystarczającego A1.
… a jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
A2B2:
W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie
Co może się wydarzyć, jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
A2: ~P~>~CH=1 - brak opadów (~P) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH)
B2: ~P=>~CH=0 - brak opadów (~P) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => do tego
by nie było pochmurno (~CH), bo nie zawsze gdy nie pada (~P), nie ma chmur (~CH)
A2B2: ~P|~>~CH = (A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P?
Czytamy:
Implikacja odwrotna ~P|~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy brak padania (~P) jest konieczny ~> dla braku chmur (~CH) i jednocześnie nie jest wystarczający => dla braku chmur (~CH)
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
Odpowiedź na pytanie o ~P w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” odczytujemy z kolumny A2B2:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
Prawdziwość warunku koniecznego A2 gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Dowód bezpośredni to:
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla braku chmur (~CH) bo jeśli pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
LUB
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P=>~CH=0 na mocy definicji kontrprzykładu determinuje zdarzenie możliwe ~~> B2’: ~P~~>CH=1
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> być pochmurno (CH)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Udowodnienie prawdziwości B2’ na mocy definicji kontrprzykładu to dowód „nie wprost”.
Dowód bezpośredni to:
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P) i są chmury (CH)
cnd
Podsumowanie:
Operator implikacji prostej P||=>CH to gwarancja matematyczna => po stronie „pada” (P) o czym mówi zdanie A1 oraz najzwyklejsze „rzucanie monetą” po stronie „nie pada” (~P) o czym mówią zdania A2 i B2’
Innymi słowy:
1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno - mówi o tym zdanie A1
2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania A2 i B2’.
Czyli:
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH) o czym mówi zdanie A2 lub może ~~> być pochmrno (CH) na mocy zdania B2’.
Zauważmy, zdania wchodzące w skład operatora implikacji prostej P||=>CH, czyli A1, A1’, A2, B2’ mogą być wypowiadane w dowolnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
6.15 Implikacja odwrotna CH|~>P w zdarzeniach
Zadanie:
Zbuduj tabelę prawdy dla poniższego zdania:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P) bo padać może wyłącznie z chmury
cnd
W tym momencie na mocy prawa Kłapouchego dla dalszej analizy przyjmujemy:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Stąd zapis zdania B1 w zapisie formalnym to:
p~>q =1
Aby zbudować tabelę prawdy dla zdania B1 musimy rozstrzygnąć prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
CH=>P =0
Chmury (CH) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P) bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd
Stąd mamy rozstrzygnięcie, iż zdania B1 wchodzi w skład implikacji odwrotnej CH|~>P
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: p|~>q=p*~q
Punkt odniesienia:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
A1: CH=>P=0 - chmury (CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania (P)
B1: CH~>P=1 - chmury (CH) są (=1) konieczne dla padania (P)
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: CH|~>P=CH*~P
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q=0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p=0 [=] 5:~p+ q =0
1: CH=> P=0 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~> CH=0 4:~P=>~CH=0 [=] 5:~CH+ P=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q=1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p=1 [=] 5: p+~q =1
1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
6.15.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
| Kod: |
IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej CH|~>P
A1: CH=>P=0 - chmury (CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania (P)
B1: CH~>P=1 - chmury (CH) są (=1) konieczne dla padania (P)
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q=0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p=0 [=] 5:~p+ q =0
1: CH=> P=0 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~> CH=0 4:~P=>~CH=0 [=] 5:~CH+ P=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q=1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p=1 [=] 5: p+~q =1
1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q)
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Zapis aktualny – nasz przykład:
Definicja implikacji odwrotnej CH||~>P w logice dodatniej (bo P):
Implikacja odwrotna CH|~>P to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o chmury (CH):
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie CH?
Definicja operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w logice dodatniej (bo P):
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o CH i ~CH:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie CH?
A2B2: ~CH|=>~P =~(A2:~CH~>~P)*(B2: ~CH=>~P) = ~(0)*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~CH?
A1B1:
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH)?
A1: CH=>P=0 - chmury (CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania (P)
B1: CH~>P=1 - chmury (CH) są (=1) konieczne dla padania (P)
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1 =1 - co się stanie jeśli będą chmury CH?
Czytamy:
Implikacja odwrotna CH|~>P w logice dodatniej (bo P) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy chmury (CH) są warunkiem koniecznym ~> dla padania P (B1) i jednocześnie nie są warunkiem wystarczającym => dla padania P (A1)
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
W zapisie formalnym:
p~>q =1
Chmury (CH) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P) bo padać może wyłącznie z chmury
Innymi słowy:
Chmury (CH) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P) bo jak nie ma chmur (~CH) to na 100% => nie pada (~P)
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
W zapisie formalnym:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
LUB
Fałszywy warunek wystarczający A1: CH=>P=0 na mocy definicji kontrprzykładu determinuje zdarzenie możliwe ~~> A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P = CH*~P =1
Udowodnienie prawdziwości A1’ na mocy definicji kontrprzykładu to dowód „nie wprost”.
Dowód bezpośredni to:
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
cnd
… a jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH)?
Prawo Kubusia:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
W zapisie formalnym:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
A2B2:
W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć, jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH)?
A2: ~CH~>~P =0 - brak chmur (~CH) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla nie padania (~P)
B2: ~CH=>~P =1 - brak chmur (~CH) jest (=1) warunkiem wystarczającym =>
dla nie padania (~P) bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada
A2B2: ~CH|=>~P =~(A2:~CH~>~P)*(B2: ~CH=>~P) = ~(0)*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~CH?
Czytamy:
Implikacja prosta ~CH|=>~P w logice ujemnej (bo ~P) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => dla nie padania (~P) (zdanie B2) i jednocześnie nie jest warunkiem koniecznym ~> dla nie padania (~P) (zdanie A2)
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochurno (~CH)?
Odpowiedź na pytanie o ~CH w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” odczytujemy z kolumny A2B2:
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padało (~P)
~CH=>~P =1
W zapisie formalnym:
~p=>~q=1
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Dowód bezpośredni to:
Brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => dla braku opadów (~P) bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.
Brak chmur (~CH) daje nam gwarancję matematyczną => braku opadów (~P)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający B2 determinuje fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie).
B2’.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to może ~~> padać (P)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Dowód „nie wprost” fałszywości zdania B2’ wynika z definicji kontrprzykładu
Dowód wprost to:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH) i pada (P)
Podsumowanie:
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P to najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie chmury (CH) o czym mówią zdania B1 i A1’ oraz gwarancja matematyczna => po stronie „brak chmury” (~CH) o czym mówi zdanie B2.
Innymi słowy:
1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” o czym mówią zdania B1 i A1’
Czyli:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P) (zdanie B1) lub może ~~> nie padać (~P) (zdanie A1’)
2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padać (~P) - mówi o tym zdanie B2.
Zauważmy, że matematycznie kolejność wypowiadania zdań B1, A1’ B2, B2’ nie ma żadnego znaczenia, co oznacza, że linie B1, A1’, B2, B2’ można dowolnie przestawiać.
6.16 Definicja znaczków ## i ###
Zapiszmy wyprowadzone wyżej tabele prawdy implikacji prostej P|=>CH i odwrotnej CH|~>P jedna pod drugą.
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: p|=>q=~p*q
Punkt odniesienia:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
A1B1: P|=>CH=~P*CH
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
## - zapis formalny
### - zapis aktualny (przykład)
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: p|~>q=p*~q
Punkt odniesienia:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
A1B1: CH|~>P=CH*~P
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q=0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p=0 [=] 5:~p+ q =0
1: CH=> P=0 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~> CH=0 4:~P=>~CH=0 [=] 5:~CH+ P=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q=1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p=1 [=] 5: p+~q =1
1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji – dla zapisu formalnego (ogólnego)
### - różne na mocy błędu podstawienia – dla zapisu aktualnego (przykładu)
6.16.1 Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Relacja między definicją formalną implikacji prostej p|=>q a definicją aktualną implikacji odwrotnej odwrotną p|~>q to relacja różne na mocy definicji ##
Dowód:
| Kod: |
RIPIO:
Relacja między implikacją prostą p|=>q a odwrotną p|~>q
w zapisach formalnych
Tabela IP:
Implikacja prosta p|=>q w zapisach formalnych:
A1B1: Y=(p|=>q)=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q
Warunek wystarczający =>:
Y=(p=>q) =~p+ q # ~Y=~(p=>q) = p*~q
## ##
Implikacja prosta p|=>q:
Y=(p|=>q)=~p* q # ~Y=~(p|=>q)= p+~q
## ##
Tabela IO:
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisach formalnych:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p*~q
Warunek konieczny ~>:
Y=(p~>q) = p+~q # ~Y=~(p~>q) =~p* q
## ##
Implikacja odwrotna p|~>q:
Y=(p|~>q)= p*~q # ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli RIPIO definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
cnd
6.16.2 Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
Wprowadźmy do zapisanej wyżej tabeli relacji implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q (RIPIO) odpowiednie zapisy aktualne P|=>CH i CH|~>P
| Kod: |
RIPIO:
Formalna relacja między implikacją prostą p|=>q a odwrotną p|~>q
Aktualna relacja między implikacją prostą P|=>CH a odwrotną CH|~>P
Tabela IP:
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym:
A1: A1B1: Y=(p|=>q)=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q
Punkt odniesienia:
A2: p=P (pada)
A3: q=CH (chmury)
Implikacja prosta P|=>CH w zapisie aktualnym:
A4: A1B1: Y=(P|=>CH)=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=~P*CH
;
Warunek wystarczający => w zapisie formalnym:
A5: Y=(p=>q) =~p+ q # ~Y=~(p=>q) = p*~q
Warunek wystarczający => w zapisie aktualnym:
A6: Y=(P=>CH) =~P+ CH # ~Y=~(P=>CH) = P*~CH
## ##
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym:
A7: Y=(p|=>q) =~p* q # ~Y=~(p|=>q) = p+~q
Implikacja prosta P|=>CH w zapisie aktualnym:
A8: Y=(P|=>CH)=~P* CH # ~Y=~(P|=>CH)= P+~CH
## ##
----------------------------------------------------------
### ###
----------------------------------------------------------
Tabela IO:
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym:
B1: A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p*~q
Punkt odniesienia:
B2: p=CH (chmury)
B3: q=P (pada)
Implikacja odwrotna CH|~>P w zapisie aktualnym:
B4: A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=CH*~P
;
Warunek konieczny ~> w zapisie formalnym:
B5: Y=(p~>q) = p+ ~q # ~Y=~(p~>q) =~p* q
Warunek konieczny w zapisie aktualnym:
B6: Y=(CH~>P) = CH+~P # ~Y=~(CH~>P) =~CH*P
## ##
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym:
B7: Y=(p|~>q) = p* ~q # ~Y=~(p|~>q) =~p+ q
Implikacja odwrotna CH|~>P w zapisie aktualnym:
B8: Y=(CH|~>P)= CH*~P # ~Y=~(CH|~>P)=~CH+P
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji (dla zapisu formalnego)
### - różna na mocy błędu podstawienia (dla zapisu aktualnego)
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji w zapisie formalnym:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli RIPIO w zapisach formalnych {Y, p, q} definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
cnd
ALE!
Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy ich zapis formalny (teoria ogólna) jest niezgodny z zapisem aktualnym (przykład)
Uwypuklijmy to w tabeli RIPIO.
| Kod: |
RIPIO:
Znaczek różne na mocy definicji ##
vs
Znaczek różne na mocy błędu podstawienia ###
Zapisy formalne i aktualne:
Implikacja prosta p|=>q ## Implikacja odwrotna p|~>q
A1: Y=(p|=>q) =~p*q ## B1: Y=(p|~>q)= p*~q
Punkt odniesienia: ### Punkt odniesienia:
p=P (pada) ### p=CH (chmury)
q=CH (chmury) ### q=P (pada)
A4: Y=(P|=>CH)=~P*CH ### B4: Y=(CH|~>P = CH*~P
;
Zapis formalny i aktualny:
A5: Y=(p=>q) =~p+ q ## B5: Y=(p~>q) = p+ ~q
A6: Y=(P=>CH) =~P+ CH ### B6: Y=(CH~>P) = CH+~P
;
Zapis formalny i aktualny:
A7: Y=(p|=>q) =~p* q ## B7: Y=(p|~>q) = p* ~q
A8: Y=(P|=>CH)=~P* CH ### B8: Y=(CH|~>P)= CH*~P
Uwaga:
Zarówno iloczyn logiczny p*q jak i suma logiczna p+q są przemienne z czego
wynika, że po usunięciu linii ze znakiem różne na mocy definicji ## w liniach separowanych znakiem ### możemy zapisać tożsamość logiczną [=].
|
W powyższej tabeli doskonale widać znaczenia znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###.
Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy ich zapis formalny (teoria ogólna) jest niezgodny z zapisem aktualnym (przykład)
6.16.3 Prawo Kłapouchego = Kot Schrödingera
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: p|=>q=~p*q
Punkt odniesienia:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
A1B1: P|=>CH=~P*CH
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
###
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: p|~>q=p*~q
Punkt odniesienia:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
A1B1: CH|~>P=CH*~P
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q=0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p=0 [=] 5:~p+ q =0
1: CH=> P=0 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~> CH=0 4:~P=>~CH=0 [=] 5:~CH+ P=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q=1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p=1 [=] 5: p+~q =1
1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Gdzie:
### - dla zapisu aktualnego (przykład) różne na mocy błędu podstawienia
Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
Dwie funkcje logiczne są różna na mocy błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy ich zapis formalny (teoria ogólna) jest niezgodny z zapisem aktualnym (przykład)
Doskonale widać, że między implikacją prostą IP: p|=>q a implikacją odwrotną IO: p|~>q występuje błąd podstawienia ### w powiązaniu z zapisem aktualnym IP: P|=>CH oraz IO: CH|~>P
Zauważmy że:
W zapisie aktualnym błąd podstawienia ### dotyczy dowolnego zdania serii Ax w implikacji prostej IP względem dowolnego zdania serii Bx w implikacji odwrotnej IO.
Zauważmy, że jeśli pominiemy zapisy formalne to seria zdań prawdziwych Ax i i seria zdań prawdziwych Bx będzie identyczna i o żadnym błędzie podstawienia ### mowy być wówczas nie może.
Dowód:
| Kod: |
Jeśli pominiemy zapisy formalne to tabela zdań prawdziwych w implikacji prostej IP: P|=>CH i odwrotnej IO: CH~>P wygląda jak niżej:
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
[=]
IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
B: 1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
[=] - bez zapisu formalnego zachodzi tożsamość zdań serii Ax i Bx
|
Bez zapisów formalnych tożsamość zdań serii Ax i Bx jest oczywista, bo zdania możemy dowolnie przestawiać.
Wyobraźmy sobie, że mamy pudełko z czterema zdaniami prawdziwymi:
| Kod: |
Matematyczny raj 5-cio latka:
1: P=>CH=1 [=] 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P=1 [=] 4:~CH=>~P=1
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
|
Definicja ogólna tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów
Tożsame znaczki tożsamości logicznej które możemy stosować zamiennie w zależności od potrzeb:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
Dlaczego to jest matematyczny raj 5-cio latka?
Oczywistym jest, że 5-cio latek nie zna teorii algebry Kubusia którą tu poznajemy, jednak doskonale posługuje się w praktyce wszystkimi prawami logiki matematycznej.
Prawa logiki matematycznej w raju zna w praktyce każdy 5-cio latek:
Prawo Kubusia:
1: P=>CH = 2:~P~>~CH
[=]
Prawo Tygryska:
1: P=>CH = 3: CH~>P
[=]
Prawo Kubusia:
3: CH~>P = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
1: P=>CH = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
3: CH~>P = 2: ~P~>~CH
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej [=].
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
Zarówno treść zdań w raju 5-cio latka, jak i wszystkie prawa logiki matematycznej są doskonale znane każdemu 5-cio latkowi.
Aby to udowodnić udajmy się do przedszkola
Pani:
3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
3: CH~>P =1
Jasiu, czy chmury są konieczne ~> by padało?
Jaś (lat 5):
Tak, bo padać może wyłącznie z chmurki
Pani:
Jasiu, a jeśli jutro nie będzie pochmurno to może padać czy może nie padać?
Jaś:
Prawo Kubusia:
3: CH~>P = 4:~CH=>~P
Jaś:
4:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padać (~P)
4: ~CH=>~P =1
Pani:
Czy brak chmur (~CH) daje nam gwarancję => nie padania (~P)?
Jaś:
Tak, bo zawsze gdy nie ma chmur, to nie pada
Pani:
Prawo kontrapozycji:
4: ~CH=>~P = 1: P=>CH
Pani:
Jasiu, jeśli jutro będzie padało to może być pochmurno lub może nie być pochmurno?
Jaś:
1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100%=> będzie pochmurno (CH)
1: P=>CH =1
Pani:
Jasiu czy padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH)
Jaś:
Tak, bo zawsze gdy pada, są chmury
Pani:
Jasiu, a jeśli jutro nie będzie padało?
Jaś:
Prawo Kubusia:
1: P=>CH = 2: ~P~>~CH
2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
2: ~P~>~CH =1
Pani:
Czy brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH)?
Jaś:
Tak, brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH) bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
2: ~P~>~CH = 1: P=>CH
Jak widzimy w ostatnim zdaniu prawo Kubusia samo Jasiowi wyskoczyło, mimo że nie jest tego świadom.
Podsumowując:
Wszyscy ludzie, od 5-cio latka poczynając na ziemskim matematyku kończąc podlegają pod algebrę Kubusia nie mając żadnych szans by się od niej uwolnić, tylko póki co, o tym nie wiedzą.
Zapiszmy jeszcze raz matematyczny raj 5-cio latka:
| Kod: |
Matematyczny raj 5-cio latka:
1: P=>CH=1 [=] 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P=1 [=] 4:~CH=>~P=1
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
|
Zauważmy że przykładowe zdanie:
1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH
Może należeć do implikacji prostej P|=>CH (A1: P=>CH) albo do różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej CH|~>P (B3: P=>CH).
Takie niuanse 5-cio latka zupełnie nie interesują, nie są mu do niczego potrzebne i w niczym nie ograniczają jego biegłego posługiwania się prawami logiki matematycznej.
Inaczej jest z matematykiem, znającym teorię algebry Kubusia którą tu omawiamy.
Matematyka nie może być niejednoznaczna tzn. matematyk A mówi że zdanie P=>CH należy do implikacji prostej A1B1: P|=>CH (A1: P=>CH), zaś matematyk B twierdzi, że zdanie P=>CH należy do różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej A1B1: CH|~>P (B3: P=>CH)
Jednoznaczność matematyki dla wszystkich matematyków uzyskamy w banalny sposób wprowadzając do logiki matematycznej prawo Kłapouchego.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Wniosek:
Prawo Kłapouchego wymusza na wszystkich matematykach identyczny punkt odniesienia i poprzez analogię jest tożsame z otwarciem drzwiczek do pudełka z kotem Schrödingera.
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Prawo Kłapouchego = otwarcie drzwiczek do pudełka z kotem Schrödingera.
Innymi słowy:
1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
Przed zastosowaniem prawa Kłapouchego jeśli spytamy dowolnego matematyka czy powyższe zdanie 1 wchodzi w skład implikacji prostej IP:
IP: A1B1: P|=>CH (A1: P=>CH)
to samo w zapisie formalnym:
IP: A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)
czy też w skład różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej IO:
IO: A1B1: CH|~>P (B3: P=>CH)
to samo w zapisie formalnym:
IO: A1B1: p|~>q (B3: q=>p)
matematyk ów musi odpowiedzieć:
NIE WIEM!
.. dopóki nie zastosuje prawa Kłapouchego.
Uwaga:
Nie wolno nam twierdzić, że zdanie 1: P=>CH może kiedykolwiek należeć (stan drzwiczek jest tu nieistotny) równocześnie do implikacji prostej IP: p|=>q i różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej IO: p|~>q, bo to jest fizycznie niemożliwe, czego dowodem jest prawo Puchacza (pkt. 1.6)
Analogicznie w stosunku do pudełka z kotem Schrödingera nie wolno nam twierdzić, że dopóki nie otworzymy drzwiczek to kot jest jednocześnie żywy i martwy - to jest matematyczny fałsz, co udowadnia przykład z logiki matematycznej wyżej opisany.
[link widoczny dla zalogowanych]
| Kot Schrödingera napisał: |
Jeden z najsłynniejszych eksperymentów świata. Prawie każdy coś słyszał o „Kocie Schrödingera”, ale już nie każdy pojął, o co w tym wszystkim chodziło. Co ma kot do fizyki? Czemu go zabili, a może go jednak nie zabili?
„Koci” eksperyment został opisany w 1935 roku przez znakomitego austriackiego fizyka Erwina Schrödingera. Specjalnie piszemy, że eksperyment został opisany a nie przeprowadzony, ponieważ był to eksperyment myślowy. Oznacza to, że żaden kot w jego trakcie nie ucierpiał.
Eksperyment ten jest próbą wyjaśnienia zasad mechaniki kwantowej na przykładzie obiektów w skali makro. Opisane w nim zjawisko nazwane jest superpozycją. Polega to na tym, że obiekt przyjmuje wszystkie możliwe stany w tym samym momencie. W eksperymencie Schrödingera w tym samym momencie kot jest żywy i martwy. Ale uwaga – sytuacja ta ma miejsce w pod warunkiem, że pudełko jest zamknięte i nie widzimy, co się dzieje z kotem w środku. Dopiero w momencie obserwacji obiektu (w tym przypadku kota) przyjmuję on tylko jeden z możliwych stanów. Po otwarciu pudełka zastaniemy kota martwego lub żywego. Następuję załamanie funkcji falowej. |
[link widoczny dla zalogowanych]
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 8:35, 01 Lip 2022, w całości zmieniany 7 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35517
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 12:05, 19 Cze 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
7.0 Spójniki obsługujące zdania warunkowe „Jeśli p to q”
Spis treści
7.0 Spójniki logiczne w algebrze Kubusia 1
7.1 Definicja implikacji prostej p|=>q 2
7.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) 4
7.1.2 Przykład operatora implikacji prostej P||=>CH 6
7.2 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q 6
7.2.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) 8
7.2.2 Przykład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P 10
7.3 Definicja równoważności p<=>q 10
7.3.1 Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) 13
7.3.2 Przykład operatora równoważności TP|<=>SK 15
7.4 Definicja spójnika „albo”($) 16
7.4.1 Operator „albo”($) p|$q 18
7.4.2 Przykład operatora „albo”($) M|$K 21
7.5 Definicja chaosu p|~~>q 23
7.5.1 Operator chaosu p||~~>q 25
7.5.2 Przykład operatora chaosu P8||~~>P3 26
7.0 Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W tabeli wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych TF2 (niżej) po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.
| Kod: |
TF2
Tabela prawdy wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych Y
w logice dodatniej (bo Y)
|Grupa I |Grupa II |Grupa III | Grupa IV
|Spójniki „i”(*)|Spójniki =>, ~>|Spójniki <=>, $ | Wejścia
|oraz „lub”(+) ||=>, |~> ||~~>, ~(|~~>q) | p i q
| Y Y | Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y
p q | * + | ~* ~+ | => ~> |=> |~> | <=> $ |~~> ~(|~~>)| p q ~p ~q
A: 1 1 | 1 1 | 0 0 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 1 1 0 0
B: 1 0 | 0 1 | 1 0 | 0 1 0 1 | 0 1 1 0 | 1 0 0 1
C: 0 1 | 0 1 | 1 0 | 1 0 1 0 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0
D: 0 0 | 0 0 | 1 1 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 0 0 1 1
A A A A A A A A A A A A A A A A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
|
7.1 Definicja implikacji prostej p|=>q
Prawo negacji funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować przechodząc do logiki przeciwnej.
Z tabeli TF2 wycinamy lnie TF6-7
| Kod: |
TF6-7:
Spójniki implikacyjne p|=>q i p|~>q:
A6.
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1),
ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q
;
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p|=>q = ~p* q # ~Y=~(p|=>q)= p+~q
##
A7.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (B1),
ale nie wystarczające => dla zajścia q (A1)
;
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p|~>q = ~p* q # ~Y=~(p|~>q)= p+~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p=0 = 4:~q~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =(~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
Do zapamiętania:
A1B1: p|=>q = ~p*q
Między kolumnami A1B1 i A2B2 zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p|~>~q=(A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)
Dowód:
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =0
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
cnd
Tożsame znaczki tożsamości logicznej:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
7.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q)
| Kod: |
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p=0 = 4:~q~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
Definicja Implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q)
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Matematyczna oczywistość na mocy praw Sowy:
Udowodnieni prawdziwości implikacji prostej p|=>q jest tożsame udowodnieniem prawdziwości operatora implikacji prostej p||=>q
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) w rozbiciu na zdania warunkowe „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: zajdzie p (p) i nie zajdzie q (~q)
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: p i ~q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q)w rozbiciu na zdania warunkowe „Jeśli p to q”:
A2.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajście ~q bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie zajdzie p (~p) i zajdzie q (q)
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
Prawdziwość zdania B2’ wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost” - nic a nic nie musimy więcej udowadniać.
Podsumowując:
Operator implikacji prostej p||=>q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1 oraz najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p o czym mówią zdania A2 i B2’.
Kolejność wypowiadania zdań A1. A1’, A2, B2’ w powyższej analizie jest bez znaczenia.
7.1.2 Przykład operatora implikacji prostej P||=>CH
Zadanie:
Wzorując się na teorii ogólnej podanej wyżej udowodnij, że poniższe zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią operatora implikacji prostej P||=>CH
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => do tego aby jutro było pochmurno, bo zawsze gdy pada, jest pochmurno
cnd
Podpowiedź:
Odpowiedź znajdziemy w pkt. 6.10
7.2 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
| Kod: |
IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q)=p*~q
Do zapamiętania:
A1B1: p|~>q = p*~q
Między kolumnami A1B1 i A2B2 zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p|=>~q=~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Dowód:
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =0
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =1
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
cnd
Tożsame znaczki tożsamości logicznej:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
7.2.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q)
| Kod: |
IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q)
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Matematyczna oczywistość na mocy praw Sowy:
Udowodnieni prawdziwości implikacji odwrotnej p|~>q jest tożsame udowodnieniem prawdziwości operatora implikacji odwrotnej p||~>q
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) rozbiciu na zdania warunkowe „Jeśli p to q”:
B1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
Prawdziwość zdania A1’ wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost” - nic a nic nie musimy więcej udowadniać.
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2B2:
Implikacja prosta ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) w rozbiciu na zdania warunkowe „Jeśli p to q”:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie zajdzie p (~p) i zajdzie q (q)
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~p i q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
Podsumowując:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to po stronie p najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” o czym mówią zdania B1 i A1’, natomiast po stronie ~p mamy gwarancję matematyczną => w postaci zdania B2.
Kolejność wypowiadania zdań B1. A1’, B2, B2’ w powyższej analizie jest bez znaczenia.
7.2.2 Przykład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P
Zadanie:
Wzorując się na teorii ogólnej podanej wyżej udowodnij, że poniższe zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią operatora implikacji odwrotnej CH||~>P
B1.
Jeśli jutro będzie pochmrno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
cnd
Podpowiedź:
Rozwiązanie znajdziemy w pkt. 6.11
7.3 Definicja równoważności p<=>q
Z tabeli TF2 (punkt 7.0) wycinamy linie TF8-9
| Kod: |
TF8-9:
Spójniki równoważnościowe p<=>q i p$q
A8.
Równoważność p<=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
;
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p<=>q= p* q + ~p*~q # ~Y=~(p<=>q)= p*~q + ~p* q
A9.
Spójnik „albo”($):
A1: p=>~q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
;
Definicja spójnika „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p$q= p*~q + ~p* q # ~Y= ~(p$q) = p* q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana (nie tylko matematykom).
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 9 100
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 80 300
stąd mamy:
Tabela prawdy równoważności p<=>q:
| Kod: |
TR
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie
zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q)= ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
Do zapamiętania:
A1B1: p<=>q = p*q + ~p*~q
Kolumna A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Kolumna A2B2:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=~q:
~p=~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~p<=>~q
Między kolumnami A1B1 i A2B2 zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q=(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Dowód:
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =1
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
cnd
Tożsame znaczki tożsamości logicznej:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
7.3.1 Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q)
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste =>
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
| Kod: |
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q)
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Matematyczna oczywistość na mocy praw Sowy:
Udowodnienie prawdziwości równoważności p<=>q jest tożsame z udowodnieniem prawdziwości operatora równoważności p|<=>q
Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Stąd:
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p (p=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q (q=1)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń:
Zbiory:
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Zdarzenia:
Zdarzenie p jest tożsame ze zdarzeniem q p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Tożsamość zbiorów/pojęć p=q wymusza tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=~q (albo odwrotnie)
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie p w rozpisce na warunek wystarczający =>.
Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ i odwrotnie:
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q
Wynika to z tożsamości zbiorów/zdarzeń p=q która wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
p=q # ~p=~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
stąd:
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń:
Zbiory:
Zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
~p=~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Zdarzenia:
Zdarzenie ~p jest tożsame ze zdarzeniem ~q ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
~p=~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=~q wymusza tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (albo odwrotnie)
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie ~p w rozpisce na warunek wystarczający =>.
Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q
Wynika to z tożsamości zbiorów/pojęć ~p=~q która wymusza tożsamość zbiorów p=q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
~p=~q # p=q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności p|<=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).
Kolejność wypowiadania zdań A1. A1’, B2, B2’ w powyższej analizie jest bez znaczenia.
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.
7.3.2 Przykład operatora równoważności TP|<=>SK
Zadanie:
Wzorując się na teorii ogólnej podanej wyżej udowodnij, że poniższe zdanie warunkowe A1 jest częścią operatora równoważności TP|<=>SK
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
A1: TP=>SK =1
To samo w zapisie formalnym na mocy prawa Kłapouchego:
A1: p=>q =1
Twierdzenie proste Pitagorasa A1: p=>q zostało udowodnione wieki temu co oznacza, że zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną suma kwadratów (SK)
cnd
Podpowiedź:
Definicja równoważności TP<=>SK:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Twierdzenie proste Pitagorasa A1: p=>q mamy udowodnione wyżej.
Pytanie podstawowe brzmi:
Jak udowodnić prawdziwość twierdzenie B1: p~>q?
Podpowiedź:
Najprościej skorzystać z prawa Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B1: TP~>SK = B3: SK=>TP
Jak widzimy, by udowodnić prawdziwość twierdzenia B1: TP~>SK wystarczy udowodnić prawdziwość twierdzenia odwrotnego Pitagorasa B3: SK=>TP, a to zostało zrobione wieki temu.
Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Rozpisanie równoważności TP<=>SK w postaci serii czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w oparciu o przedstawioną wyżej analizę formalną pozostawiam czytelnikowi.
Niebawem poznamy szczegółowe rozwiązanie tego zadania, ale próba samodzielnego jego rozwiązania przez czytelnika jest ze wszech miar wskazana.
7.4 Definicja spójnika „albo”($)
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste =>
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak i wystarczającego => w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Podstawmy definicję spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
TA
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) to jednoczesne zachodzenie zarówno
warunku koniecznego ~> jak i wystarczającego => w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q =1 = 2:~p~>q =1 [=] 3: ~q~>p =1 = 4: q=>~p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>~q =1 = 2:~p=>q =1 [=] 3: ~q=>p =1 = 4: q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($):
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (~p+~q)*(p+q)= ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
Do zapamiętania:
A1B1: p$q = p*~q + ~p*q
Kolumna A1B1:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q:
p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p$q
Kolumna A2B2:
Spójnik „albo”($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=q:
~p=q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) = ~p$~q
Między kolumnami A1B1 i A2B2 zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) [=] A2B2: ~p$~q=(A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)
Dowód:
Prawa Kubusia:
A1: p=>~q = A2: ~p~>q =1
B1: p~>~q = B2: ~p=>q =1
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
cnd
Tożsame znaczki tożsamości logicznej:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
7.4.1 Operator „albo”($) p|$q
| Kod: |
TA
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q =1 [=] 3: ~q~>p =1 = 4: q=>~p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q =1 [=] 3: ~q=>p =1 = 4: q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($):
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q)
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Matematyczna oczywistość na mocy praw Sowy:
Udowodnienie prawdziwości spójnika „albo”($) jest tożsame z udowodnieniem prawdziwości operatora „albo” p|$q
Operator „albo” p|$q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
A1B1: p$q = p<=>~p) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Stąd:
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie q, trzeciej możliwości brak.
A1B1: p$q = p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p (p=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
A1B1: p$q = p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć p=~q:
Zbiory:
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem ~q (p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Zdarzenia:
Zdarzenie p jest tożsame ze zdarzeniem ~q (p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q wymusza tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=q (albo odwrotnie)
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie p w rozpisce na warunek wystarczający =>.
Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
p=>~q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ i odwrotnie:
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
p~~>q = p*q =0
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i q
Wynika to z tożsamości zbiorów/zdarzeń p=~q która wymusza tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
p=~q # ~p=q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
A2B2: ~p$~q = ~p<=>q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1=1
stąd:
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p „albo”($) zajdzie ~q, trzeciej możliwości brak
A2B2: ~p$~q = ~p<=>q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
A2B2: ~p<=>q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q)=1*1=1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń:
Zbiory:
Zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem q (~p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
~p=q <=> (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p<=>q
Zdarzenia:
Zdarzenie ~p jest tożsame ze zdarzeniem q (~p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
~p=q <=> (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p<=>q
Tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=q wymusza tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q (albo odwrotnie)
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie ~p w rozpisce na warunek wystarczający =>.
Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
~p=>q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów/pojęć ~p=q
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
~p~~>~q = ~p*~q =0
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i ~q
Wynika to z tożsamości zbiorów/zdarzeń ~p=q która wymusza tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
~p=q # p=~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora „albo” p|$q w logice dodatniej (bo q) jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).
W powyższej analizie kolejność wypowiadania zdań A1, A1’, B2, B2’ jest bez znaczenia.
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.
7.4.2 Przykład operatora „albo”($) M|$K
Zadanie:
Wzorując się na teorii ogólnej podanej wyżej udowodnij, że poniższe zdanie warunkowe M$K jest częścią operatora „albo”($) M|$K
M$K:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
M$K = M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Dowodzimy prawdziwości zdania składowego A1:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% => nie jest kobietą (~K=1)
A1: M=>~K =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>~q =1
Bycie mężczyzną (M) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie być kobietą (~K)
cnd
Jak udowodnić prawdziwość zdania B1: M~>~K z warunkiem koniecznym ~>?
Na przykład tak:
Prawo Tygryska:
B1: M~>~K = B3: ~K=>M
to samo w zapisie formalnym:
B1: p~>~q = B3: ~q=>p
Stąd udowodnienie prawdziwości twierdzenia odwrotnego B3: ~q=>p gwarantuje nam prawdziwość warunku koniecznego B1: p~>~q
B3.
Jeśli dowolny człowiek nie jest kobietą (~K) to na 100% => jest mężczyzną (M)
~K=>M =1
To samo w zapisie formalnym:
~q=>p
Nie bycie kobietą (~K) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby być mężczyzną (M)
cnd
Na mocy prawa Tygryska mamy gwarantowaną prawdziwość zdania B1: M~>~K z warunkiem koniecznym ~>.
B1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% ~> nie jest kobietą (~K)
B1: M~>~K =1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>~q =1
Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo to są to zdania różne na mocy definicji ##
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% => nie jest kobietą (~K=1)
A1: M=>~K =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>~q =1
##
B1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% ~> nie jest kobietą (~K)
B1: M~>~K =1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Różność matematyczną zdań A1 i B1 rozpoznajmy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań
Stąd mamy:
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód to zdania A1 i B1 wyżej.
Operator „albo” p|$q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Analizę zdania spójnika „albo”($) przez wszystkie możliwe przeczenia p i q a podstawie przeprowadzonej wyżej analizy formalnej p$q pozostawiam czytelnikowi.
Niebawem poznamy szczegółowe rozwiązanie tego zadania, ale próba samodzielnego jego rozwiązania przez czytelnika jest ze wszech miar wskazana.
7.5 Definicja chaosu p|~~>q
Fragment tabeli TF2 z punktu 7.0
| Kod: |
TF10-11:
Spójnik chaosu Y=(p|~~>q)=1 i śmierci Y=~(p|~~>q)=0
A10.
Spójnik chaosu Y=(p|~~>q):
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q,
i jednocześnie zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
;
Definicja spójnika chaosu (p|~~>q)=1 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y= (p|~~>q) =p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 # ~Y=~(p|~~>q)=0
##
A11.
Spójnik śmierci Y=~(p|~~>q)=0 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y =~(p|~~>q)= ~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0 # ~Y= (p|~~>q)=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
W kolumnach A10 i A11 mamy prawa Prosiaczka.
Dowód iż mamy tu prawa Prosiaczka będzie identyczny jak w operatorach jednoargumentowych - patrz punkt 1.4.
Zajmiemy się bliżej definicją chaosu p|~~>q.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajęcie p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
Podstawiając do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> mamy:
| Kod: |
CH
Tabela prawdy chaosu p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1 [=] 4:~q~~>~p=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
B”: 2:~p~~>~q=1 [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Komentarz:
Kolumna A1B1:
Fałszywy warunek wystarczający:
A1: p=>q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
A1’: p~~>~q=1
Dodatkowo musi być:
A1’’: p~~>q =1
Dowód nie wprost.
Załóżmy, że zachodzi:
A1’’: p~~>q=p*q=0 - zbiory p i q są rozłączne
Wtedy, na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy jest warunek wystarczający:
A1’’’: p=>~q=1
co to sprzeczne z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym warunku wystarczającym mowy być nie może.
cnd
Identycznie mamy w kolumnie A2B2:
Fałszywy warunek wystarczający:
B2: ~p=>~q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 - istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
Dodatkowo musi istnieć element wspólny zbiorów ~p i ~q:
B2’’: ~p~~>~q=~p*~q =1
gwarantujący brak fałszywego kontrprzykładu po stronie p, co wyklucza warunek wystarczający => po stronie p
7.5.1 Operator chaosu p||~~>q
Operator chaosu p||~~>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1”: p~~>q = p*q =1 - istnieje wspólny element zbiorów p i q (zdarzenie możliwe ~~>)
A1’: p~~>~q = p*~q =1 - istnieje wspólny element zbiorów p i ~q (zdarzenie możliwe ~~>)
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A1” i A1’
Kolumna A1B1:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla spełnionego p:
A1’’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
LUB
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
B2”: ~p~~>~q = ~p*~q =1 - istnieje wspólny element zbiorów ~p i ~q (zdarzenie możliwe ~~>)
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 - istnieje wspólny element zbiorów ~p i q (zdarzenie możliwe ~~>)
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B2” i B2’
Kolumna A2B2:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla niespełnionego p (~p):
B2’’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i ~q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
LUB
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Podsumowanie:
Doskonale widać, że zarówno po stronie p jak i po stronie ~p mamy tu najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Kolejność wypowiadania zdań z poniższej analizy jest bez znaczenia.
7.5.2 Przykład operatora chaosu P8||~~>P3
Zadanie:
Wzorując się na teorii ogólnej podanej wyżej udowodnij, że poniższe zdanie warunkowe P8~~>P3 jest częścią operatora chaosu P8||~~>P3
A1’’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =P8*P3 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9,12,15,18,21,24..] jest spełniona bo. 24
cnd
Dowód iż zdanie A1’’ jest częścią operatora chaosu P8||~~>P3 jest trywialny.
Należy udowodnić prawdziwość wszystkich czterech zdań „Jeśli p to q” kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Dowód:
| Kod: |
A: P8~~> P3= P8* P3=1 - bo 24
B: P8~~>~P3= P8*~P3=1 - bo 8
C:~P8~~>~P3=~P8*~P3=1 - bo 2
D:~P8~~> P3=~P8* P3=1 - bo 3
|
cnd
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35517
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 12:08, 19 Cze 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.0 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q
Spis treści
8.0 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q 1
8.0 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q
W tabeli wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych TF2 (niżej) po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.
| Kod: |
TF2
Tabela prawdy wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych Y
w logice dodatniej (bo Y)
|Grupa I |Grupa II |Grupa III | Grupa IV
|Spójniki „i”(*)|Spójniki =>, ~>|Spójniki <=>, $ | Wejścia
|oraz „lub”(+) ||=>, |~> ||~~>, ~(|~~>q) | p i q
| Y Y | Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y
p q | * + | ~* ~+ | => ~> |=> |~> | <=> $ |~~> ~(|~~>)| p q ~p ~q
A: 1 1 | 1 1 | 0 0 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 1 1 0 0
B: 1 0 | 0 1 | 1 0 | 0 1 0 1 | 0 1 1 0 | 1 0 0 1
C: 0 1 | 0 1 | 1 0 | 1 0 1 0 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0
D: 0 0 | 0 0 | 1 1 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 0 0 1 1
A A A A A A A A A A A A A A A A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
|
Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q to najczęściej występujące spójniki logiczne w naszym Wszechświecie. Konkurencyjna równoważność p<=>q to kropla w morzu otaczającej ją implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Definicje podstawowych spójników logicznych obsługujących zdania warunkowe „Jeśli p to q”
| Kod: |
TF4-7
Tabela prawdy podstawowych spójników obsługujących zdania „Jeśli p to q”:
------
TF4-5:
Warunek wystarczający => i konieczny ~>
A4.
Warunek wystarczający p=>q:
Y= p=>q
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
;
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y= p=>q = ~p+q # ~Y=~(p=>q) = p*~q
##
A5.
Warunek konieczny p~>q:
Y= p~>q
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
;
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y= p~>q = p+~q # ~Y=~(p|~>q)=~p* q
##
---------------------------------------
| TF6-7: |
| Spójniki implikacyjne p|=>q i p|~>q |
---------------------------------------
A6.
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1),
ale nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
;
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p|=>q = ~p* q # ~Y=~(p|=>q)= p+~q
##
A7.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1),
ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
;
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p|~>q = ~p* q # ~Y=~(p|~>q)= p+~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF4-7 obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35517
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 12:22, 19 Cze 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.1 Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)
Spis treści
8.1 Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) 1
8.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) 5
8.1.2 Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) 7
8.1.3 Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach 8
8.1.4 Diagram implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach 11
8.1 Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)
Przypomnijmy sobie definicje podstawowe:
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej dla wielu zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste =>
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste =>
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Wracając do tematu implikacji prostej p|=>q
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+ q=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p=0 = 4:~q~>~p=0 [=] 5: p+~q=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
Kolumna A1B1:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja prosta p|=>q determinuje prawdziwość operatora implikacji prostej p||=>q (albo odwrotnie)
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =(~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
Do zapamiętania:
p|=>q = ~p*q
W tabeli IP na mocy kolumny A2B2 odczytujemy tożsamą definicję implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q).
A2B2.
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q (A2) ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q (B2)
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q [=] A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)=~p*q
Dowód:
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =0
cnd
Innymi słowy:
Prawa Kubusia:
A1: p=>q=1 <=> A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q=0 <=> B2: ~p=>~q =0
<=> - wtedy i tylko wtedy
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
„=”, [=], <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej.
8.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q)
| Kod: |
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+ q=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p=0 = 4:~q~>~p=0 [=] 5: p+~q=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja prosta p|=>q determinuje prawdziwość operatora implikacji prostej p||=>q (albo odwrotnie)
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: zajdzie p (p) i nie zajdzie q (~q)
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: p i ~q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
… co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajście ~q bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie zajdzie p (~p) i zajdzie q (q)
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
Prawdziwość zdania B2’ wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost” - nic a nic nie musimy więcej udowadniać.
Podsumowując:
Implikacja prosta p|=>q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1 oraz najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p o czym mówią zdania A2 i B2’.
Zauważmy, zdania wchodzące w skład implikacji prostej p|=>q, czyli A1, A1’, A2, B2’ mogą być wypowiadane w dowolnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
8.1.2 Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q)
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny.
Stąd mamy tożsamą definicję operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q).
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
p|=>q = p||=>q [=] ~p|~>~q = ~p||~>~q = p*~q
Gdzie:
„=”, [=], <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Definicje znaczków:
p|=>q = p||=>q = p*~q
##
p|~>q = p||~>q = ~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
stąd mamy:
~p|~>~q = ~(~p)*(~q) = p*~q = p|=>q
cnd
Definicja operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na dwa pytania o ~p i p:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Kluczowy wniosek:
Analiza operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 (kiedy zajdzie ~p?) kończąc na kolumnie A1B1 (kiedy zajdzie p?)
8.1.3 Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
Prawo Słonia:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru A1: p=>q = twierdzenie proste A1: p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru B1: p~>q = twierdzenie odwrotne B3: q=>p=~q+p
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne, co doskonale widać w diagramie DIP niżej.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1), ale nie jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
Ważna uwaga:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach dzieli dziedzinę D na trzy zbiory A1, B2’ i A2 niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
Dowód w diagramie implikacji prostej DIP niżej.
Na mocy powyższej definicji rysujemy diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach.
| Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+A2:~p*~q+B2’:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q:
A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Kontrprzykład dla prawdziwego A1 musi być fałszem:
A1’: p~~>~q=p*~q =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1:p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => ~q
Kontrprzykład dla fałszywego B2 musi być prawdą:
B2’:~p~~>q=~p*q=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
II.
Po zamianie p i q:
A3B3:
A3: q~>p =1 - zbiór q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru p
B3: q=>p =0 - zbiór q nie jest (=0) podzbiorem => zbioru p
Kontrprzykład dla fałszywego B3 musi być prawdą:
B3’: q~~>~p=q*~p=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów q i ~p
A3B3: q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) =1*~(0)=1*1 =1
A4B4:
A4:~q=>~p=1 - zbiór ~q jest (=1) podzbiorem => ~p
B4:~q~>~p=0 - zbiór ~q nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~p
Kontrprzykład dla prawdziwego A4 musi być fałszem:
A4’: ~q~~>p=~q*p=0
A4B4: ~q|=>~p = (A4:~q=>~p)*~(~q~>~p) =1*~(0)=1*1 =1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
W implikacji prostej p|=>q po stronie p mamy gwarancję matematyczną =>
o czym mówi zdanie A1: p=>q=1
2.
W implikacji prostej p|=>q po stronie ~p mamy najzwyklejsze
„rzucanie monetą” o czym mówią zdania A2: ~p~~>~q=1 oraz B2’: ~p~~>q=1
3.
Implikacja prosta p|=>q to trzy i tylko trzy zbiory niepuste (A1, B2’, A2)
i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
|
Dowód rozłączności zbiorów A1, B2’ i A2 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1: p*q
B2’: ~p*q
A2: ~p*~q
Badamy rozłączność zbiorów każdy z każdym:
A1*B2’ = (p*q)*(~p*q) =[] - bo p*~p=[]
A1*A2 = (p*q)*(~p*~q)=[] - bo p*~p=[]
B2’*A2 = (~p*q)*(~p*~q)=[] - bo q*~q=[]
cnd
| Kod: |
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p=0 = 4:~q~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2: ~p=>~q =0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~q
~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Warunek poprawności dziedziny:
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
Dowód na podstawie diagramu DIP:
Zauważmy, że jeśli przyjmiemy za dziedzinę D sumę logiczną zbiorów p i q:
D=p+q
to zbiór ~q będzie zbiorem pustym, czyli będzie nierozpoznawalny, co widać na diagramie DIP
Wniosek:
Dziedzina D musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
D>p+q
Dowód nie wprost iż dziedzina D musi być szersza od sumy zbiorów p+q.
Przyjmijmy dziedzinę:
D=p+q
W implikacji prostej p|=>q zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
p=>q =1
stąd nasza definicja dziedziny D w zbiorach ulega redukcji do:
D = p+q = q - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
D=q
Obliczamy zaprzeczenie zbioru q (~q) definiowane uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru q (q)
~q = [D-q] = [q-q] =[] - zbiór pusty [], zbiór ~q jest nierozpoznawalny
cnd
Wniosek:
Dziedzina D musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
D>p+q
8.1.4 Diagram implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru A1: p=>q = twierdzenie proste A1: p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru B1: p~>q = twierdzenie odwrotne B3: q=>p=~q+p
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Prawo słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = twierdzenie proste A1: p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = twierdzenie odwrotne B3: q=>p=~q+p
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Z powyższego wynika że:
Diagram implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach jest identyczny jak diagram w zbiorach z tym, że:
1. Pojęcie „zbiór” zastępujemy pojęciem „zdarzenie”
2. Pojęcie „podzbiór” => zastępujemy pojęciem „warunek wystarczający” =>
3. Pojęcie „nadzbiór” ~> zastępujemy pojęciem „warunek konieczny” ~>
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach:
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q, ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zdarzeń p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne, co widać na diagramie DIP niżej.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)= 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1), ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1)
Ważna uwaga:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach dzieli dziedzinę D na trzy zdarzenia A1, B2’ i A2 niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
Dowód w diagramie implikacji prostej DIP niżej.
| Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach
------------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|---------------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-------------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+A2:~p*~q+B2’:~p*q (suma logiczna zdarzeń możliwych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście p i ~q |
|----------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach |
------------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q:
A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Kontrprzykład dla prawdziwego A1 musi być fałszem:
A1’: p~~>~q = p*~q=[]=0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1:p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q=0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Kontrprzykład dla fałszywego B2 musi być prawdą:
B2’:~p~~>q=~p*q=1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
II.
Po zamianie p i q:
A3B3:
A3: q~>p =1 - zajście q jest (=1) konieczne ~> dla zajścia p
B3: q=>p =0 - zajście q nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia p
Kontrprzykład dla fałszywego B3 musi być prawdą:
B3’: q~~>~p=q*~p=1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń q i ~p
A3B3: q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) =1*~(0)=1*1 =1
A4B4:
A4:~q=>~p=1 - zajście ~q jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~p
B4:~q~>~p=0 - zajście ~q nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~p
Kontrprzykład dla prawdziwego A4 musi być fałszem:
A4’: ~q~~>p=~q*p=0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~q i p
A4B4: ~q|=>~p = (A4:~q=>~p)*~(B4:~q~>~p) =1*~(0)=1*1 =1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35517
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 13:22, 19 Cze 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.2 Przykłady implikacji prostej p|=>q
Spis treści
8.2 Przykład implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach 1
8.2.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 5
8.2.2 Diagram implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach 7
8.3 Przykład implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach 9
8.3.1 Operator implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach 12
8.3.2 Diagram implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach 15
8.4 Implikacja prosta A|=>S w zdarzeniach 17
8.4.1 Zmienne związane i zmienne wolne w implikacji prostej A|=>S 17
8.4.2 Wyprowadzenie definicji implikacji prostej A|=>S 19
8.4.3 Operator implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach 22
8.2 Przykład implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste =>
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Zadanie:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może być podzielna przez 2 (P2)
Rozwiązanie:
W.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =?
Na mocy prawa Kłapouchego zapisujemy wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Obliczamy przeczenia zbiorów ~P8 i ~P2 definiowane jako uzupełnienia zbiorów P8 i P2 do dziedziny.
~p=~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
~q=~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2
Jeśli p to q
Po stronie poprzednika p dowolna liczba naturalna może być podzielna przez 8 (P8) albo nie być podzielna przez 8 (~P8) - trzeciej możliwości brak
Po stronie następnika q dowolna liczba naturalna może być podzielna przez 2 (P2) albo nie być podzielna przez 2 (~P2) - trzeciej możliwości brak
Wszystkie możliwe kombinacje zbiorów jakie mogą wystąpić między p i q opisuje seria czterech zdań warunkowych przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~>:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
P8~~>P2 = P8*P2 =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..] np. 8
cnd
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =?
Tu przez iterowanie ciężko jest znaleźć wspólny element ~~> zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..].
Na razie podejrzewamy tylko że zbiory P8 i ~P2 są rozłączne.
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~~>~P2 = ~P8*~P2 =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] np. 1
cnd
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] np. 2
cnd
Zauważmy, że po stronie liczb niepodzielnych przez 2 (~P2) oba zdania C i D są prawdziwe, co na mocy definicji kontrprzykładu wyklucza tu warunek wystarczający =>.
Po stronie liczb podzielnych przez 2 (P2) w zdaniu B najszybszy komputer świata próbował znaleźć wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] przez iterowanie, męczył się biedak cały tydzień i nie znalazł wspólnego elementu zbiorów P8 i ~P2, podejrzewamy zatem ze zbiory P8 i ~P2 są rozłączne.
Jak to udowodnić matematycznie?
Zakładamy, że zdanie B jest fałszem:
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
Stąd na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy musi być warunek wystarczający A.
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Zachodzącą tu relację podzbioru P8=>P2 potrafi udowodnić każdy matematyk.
cnd
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=P8
q=P2
Stąd mamy:
Prawdziwość warunku wystarczającego A: P8=>P2=1 determinuje prawdziwość kompletnej linii Ax w tabeli T0.
| Kod: |
T0.
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p =1 [=] 5:~p+ q =1
1: P8=> P2=1 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~> P8=1 4:~P2=>~P8=1 [=] 5:~P8+ P2=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =? 2:~p=> ~q =? [=] 3: q=> p =? 4:~q~> ~p =? [=] 5: p+ ~q =?
1: P8~> P2=? 2:~P8=>~P2=? [=] 3: P2=> P8=? 4:~P2~>~P8=? [=] 5: P8+~P2=?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Wybieramy zdanie B3 bowiem warunek wystarczający bez negacji p i q zawsze dowodzi się najprościej.
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8)
P2=>P8 =0
Zdane B3 w zapisie formalnym:
q=>p =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
cnd
Fałszywość warunku wystarczającego B3: P2=>P8=0 wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx.
Stąd mamy:
| Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej P8|=>P2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej P8|=>P2
A1: P8=>P2=1 - zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6..]
B1: P8~>P2=0 - zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2
A1B1: P8|=>P2=(A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p =1 [=] 5:~p+ q =1
1: P8=> P2=1 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~> P8=1 4:~P2=>~P8=1 [=] 5:~P8+ P2=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q =0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p =0 [=] 5: p+ ~q =0
1: P8~> P2=0 2:~P8=>~P2=0 [=] 3: P2=> P8=0 4:~P2~>~P8=0 [=] 5: P8+~P2=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
„=”, [=] - tożsame znaczki tożsamości logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W tabeli IP mamy rozstrzygnięcie iż badane zdanie:
W=B2’
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2=~P8*P2=1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q=1
wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2 w logice dodatniej (bo P2)
Dowód:
Z fałszywości warunku wystarczającego B2: ~P8=>~P2=0 wynika prawdziwość kontrprzykładu B2’: ~P8~~>P2=~P8*P2=1
cnd
8.2.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach
| Kod: |
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej P8|=>P2
A1: P8=>P2=1 - zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6..]
B1: P8~>P2=0 - zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2
A1B1: P8|=>P2=(A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p =1 [=] 5:~p+ q =1
1: P8=> P2=1 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~> P8=1 4:~P2=>~P8=1 [=] 5:~P8+ P2=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q =0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p =0 [=] 5: p+ ~q =0
1: P8~> P2=0 2:~P8=>~P2=0 [=] 3: P2=> P8=0 4:~P2~>~P8=0 [=] 5: P8+~P2=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator implikacji prostej p||=>q w zapisie formalnym
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zapisie aktualnym
Operator implikacji prostej P8||=>P2 to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o P8 i ~P8:
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie P8?
A2B2: ~P8|~>~P2 = (A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P8?
A1B1:
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie o P8:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8)?
A1: P8=>P2=1 - zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6..]
B1: P8~>P2=0 - zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie P8?
Czytamy:
Implikacja P8|=>P2 w logice dodatniej (bo P2) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] (zdania A1) i jednocześnie nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
A1B1:
Z kolumny A1B1 odczytujemy co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba będzie podzielna przez 8 (P8)
w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
Zdane A1 w zapisie formalnym:
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2 potrafi każdy matematyk.
Innymi słowy:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8) to ta liczba na 100% => będzie podzielna przez 2 (P2)
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
Fałszywość kontrprzykładu A1’ wynika z definicji kontrprzykładu - to jest dowód „nie wprost”.
Nie musimy tu wykonywać dowodu wprost, czyli udowadniać iż zbiory P8 i ~P2 są rozłączne.
… a jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8)?
Prawo Kubusia:
A1: P8=>P2 = A2: ~P8~>~P2
W zapisie formalnym:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
A2B2:
W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie o ~P8:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba nie będzie podzielna przez 8 (~P8)?
A2: ~P8~>~P2 =1 - zbiór ~P8 jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2
B2: ~P8=>~P2 =0 - zbiór ~P8 nie jest podzbiorem => zbioru ~P2
A2B2: ~P8|~>~P2 = (A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P8?
Czytamy:
Implikacja odwrotna ~P8|~>~P2 w logice ujemnej (bo ~P2) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P8 jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2 (A2) i jednocześnie nie jest podzbiorem => zbioru ~P2 (B2)
A2B2:
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~>~P2 =1
Prawdziwość warunku koniecznego ~> A2 gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Z prawa Kubusia wynika, że zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6.7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Zauważmy, że dowód wprost jest tu dużo trudniejszy - przez iterowanie na pewno niewykonalny, bo oba zbiory są nieskończone.
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 8 (~P8) jest warunkiem koniecznym ~> dla jej niepodzielności przez 2 (~P2) bo jeśli liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
A2: ~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
LUB
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P8=>~P2=0 na mocy definicji kontrprzykładu daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości kontrprzykładu B2’
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Udowodnienie prawdziwości B2’ na mocy definicji kontrprzykładu to dowód „nie wprost”.
Dowód bezpośredni to:
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów: ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] np. 2
cnd
Podsumowanie:
Operator implikacji prostej P8||=>P2 to gwarancja matematyczna => po stronie liczb podzielnych przez 8 (P8) o czym mówi zdanie A1 i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie liczb niepodzielnych przez 8 (~P8) o czym mówią zdania A2 i B2’
Innymi słowy:
1.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8) to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2 (P2) - mówi o tym zdanie A1
2.
Natomiast:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania A2 i B2’
Czyli:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8) to ta liczba może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2) o czym mówi zdanie A2 albo może ~~> być podzielna przez 2 na mocy zdania B2’
Zauważmy, zdania wchodzące w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2, czyli A1, A1’, A2, B2’ mogą być wypowiadane w dowolnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
8.2.2 Diagram implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste =>
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne, co widać na diagramie DIP niżej
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1), ale nie jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
Ważna uwaga:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach dzieli dziedzinę D na trzy zbiory A1, B2’ i A2 niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
Dowód w diagramie implikacji prostej DIP niżej.
Na mocy powyższej definicji rysujemy diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach.
| Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+A2:~p*~q+B2’:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla naszego przykładu A1B1: P8|=>P2 w powyższym diagramie wstawiamy wszędzie punkt odniesienia:
p = P8 - poprzednik zdania warunkowego, zbiór liczb podzielnych przez 8, P8=[8,16,24..]
q = P2 - następnik zdana warunkowego, zbiór liczb podzielnych przez 2, P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
| Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach
Punkt odniesienia:
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8, P8=[8,16,24..]
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2, P2=2,4,6,8..]
---------------------------------------------------------------------------
| p=P8 | ~p=~P8 |
|------------------------|------------------------------------------------|
| q=P2 | ~q=~P2 |
|-----------------------------------------------|-------------------------|
| A1: P8=>P2=1 (P8*P2=1) |B2’:~P8~~>P2=~P8*P2=1 |A2:~P8~>~P2=1 (~P8*~P2=1)|
---------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: P8*P2+A2:~P8*~P2+B2’:~P8*P2=1 - istnieją elementy wspólne zbiorów |
| A1’: P8~~>~P2=P8*~P2=[]=0 - jedyny zbiór pusty to P8*~P2=[]=0 |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach |
---------------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q:
A1B1:
A1: P8=>P2 =1 - P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
Kontrprzykład dla prawdziwego A1 musi być fałszem:
A1’: P8~~>~P2=P8*~P2=[]=0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów P8=[8,16..] i ~P2=[1,3,5..]
A1B1: P8|=>P2=(A1: P8=>P2)*~(B1:P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
A2B2:
A2:~P8~>~P2=1 - ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9] jest (=1) nadzbiorem ~> ~P2=[1,3..]
B2:~P8=>~P2=0 - ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9] nie jest podzbiorem => ~P2=1,3..]
Kontrprzykład dla fałszywego B2 musi być prawdą:
B2’:~P8~~>P2=~P8*P2=1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~P8=[1,2,3..] i P2=[2,4,6..] np. 2
A2B2: ~P8|~>~P2=(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2)=1*~(0)=1*1=1
II.
Po zamianie p i q:
A3B3:
A3: P2~>P8 =1 - P2=[2,4,6..] jest (=1) nadzbiorem ~> P8=[8,16,24..]
B3: P2=>P8 =0 - P2=[2,4,6..] nie jest (=0) podzbiorem => P8=[8,16,24..]
Kontrprzykład dla fałszywego B3 musi być prawdą:
B3’: P2~~>~P8=P2*~P8=1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P2=[2,4,6..] i ~P8=1,2,3..] np. 2
A3B3: P2|~>P8 = (A3: P2~>P8)*~(B3: P2=>P8) =1*~(0)=1*1 =1
A4B4:
A4:~P2=>~P8=1 - ~P2=[1,3..] jest (=1) podzbiorem => ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9]
B4:~P2~>~P8=0 - ~P2=[1,3..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~P8=[1,2,3,4,5..]
Kontrprzykład dla prawdziwego A4 musi być fałszem:
A4’: ~P2~~>P8=~P2*P8=[]=0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~P2=[1,3,5..] i P8=[8,16,24..]
A4B4: ~P2|=>~P8 = (A4:~P2=>~P8)*~(~P2~>~P8) =1*~(0)=1*1 =1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
8.3 Przykład implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, gdzie mamy odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2)
Zadanie:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W.
Jeśli jutro będzie padało to może nie być pochmurno
Rozwiązanie:
W.
Jeśli jutro będzie padało to może nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =?
Na mocy prawa Kłapouchego zapisujemy wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Jeśli p to q
Po stronie poprzednika p może wyłącznie padać (P) albo nie padać (~P)
Po stronie następnika q może wyłącznie być pochmurno (CH) albo nie być pochmurno (~CH)
Wszystkie możliwe zdarzenia jakie mogą wystąpić między p i q opisuje seria czterech zdań warunkowych przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>:
A.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> być pochmurno (CH)
P~~>CH = P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P) i jest pochmurno (CH)
B.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
C.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
~P~~>~CH = ~P*~CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P) i nie jest pochmurno (~CH)
D.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> być pochmurno (CH)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P) i jest pochmurno (CH)
Jak widzimy, w zdarzeniach określenie prawdziwości/fałszywości zdań ABCD jest trywialne.
Po stronie „nie pada” (zdania C i D) nie mamy zdania fałszywego zatem tu na mocy definicji kontrprzykładu wykluczony jest warunek wystarczający =>.
Po stronie „pada” (zdania A i B) mamy zdanie fałszywe B.
Na mocy definicji kontrprzykładu mamy zatem pewność iż w zdaniu A1 (tabela T0) spełniony jest warunek wystarczający.
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada (P) są chmury (CH)
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego A1: P=>CH=1 determinuje prawdziwość wszystkich zdań w linii Ax w tabeli T0.
| Kod: |
T0.
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =? 2:~p=> ~q=? [=] 3: q=> p =? 4:~q~> ~p=? [=] 5: p+~q =?
1: P~> CH=? 2:~P=>~CH=? [=] 3: CH=> P=? 4:~CH~>~P=? [=] 5: P+~CH=?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Wybieramy zdanie B3 bowiem warunek wystarczający bez negacji p i q zawsze dowodzi się najprościej.
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
CH=>P =0
Zdane B3 w zapisie formalnym:
q=>p =0
Chmury (CH) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P) bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd
Fałszywość warunku wystarczającego B3: CH=>P=0 wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx.
Stąd mamy:
| Kod: |
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej P|=>CH
A1: P=>CH=1 - padanie (P) jest wystarczające => dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH=0 - padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W tabeli IP mamy rozstrzygnięcie, iż badane zdanie:
A1’
Jeśli jutro będzie padało to może nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
wchodzi w skład operatora implikacji prostej P||=>CH w logice dodatniej (bo CH)
Dowód:
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego A1: P=>CH=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’: P~~>~CH=0 (i odwrotnie)
8.3.1 Operator implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach
| Kod: |
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej P|=>CH
A1: P=>CH=1 - padanie (P) jest wystarczające => dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH=0 - padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora implikacji prostej P||=>CH w zapisie aktualnym
Operator implikacji prostej P||=>CH to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o P i ~P:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie P?
A2B2: ~P|~>~CH = (A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P?
A1B1:
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)?
A1: P=>CH=1 - padanie (P) jest wystarczające => dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH=0 - padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (CH)
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli będzie padało P?
Czytamy:
Implikacja prosta P|=>CH jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (A1) i jednocześnie nie jest warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (B1)
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => aby było pochmurno (CH) bo zawsze gdy pada, są chmury.
Prawdziwy warunek wystarczający A1 determinuje fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Fałszywości zdania A1’ nie musimy dowodzić, bowiem wynika ona z prawdziwości warunku wystarczającego A1.
… a jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
A2B2:
W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie
Co może się wydarzyć, jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
A2: ~P~>~CH=1 - brak opadów (~P) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH)
B2: ~P=>~CH=0 - brak opadów (~P) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => do tego
by nie było pochmurno (~CH), bo nie zawsze gdy nie pada (~P), nie ma chmur (~CH)
A2B2: ~P|~>~CH = (A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P?
Czytamy:
Implikacja odwrotna ~P|~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy brak padania (~P) jest konieczny ~> dla braku chmur (~CH) i jednocześnie nie jest wystarczający => dla braku chmur (~CH)
A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
Odpowiedź na pytanie o ~P w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” odczytujemy z kolumny A2B2:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
Prawdziwość warunku koniecznego A2 gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Dowód bezpośredni to:
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla braku chmur (~CH) bo jeśli pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
LUB
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P=>~CH=0 na mocy definicji kontrprzykładu determinuje zdarzenie możliwe ~~> B2’: ~P~~>CH=1
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> być pochmurno (CH)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Udowodnienie prawdziwości B2’ na mocy definicji kontrprzykładu to dowód „nie wprost”.
Dowód bezpośredni to:
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P) i są chmury (CH)
cnd
Podsumowanie:
Operator implikacji prostej P||=>CH to gwarancja matematyczna => po stronie „pada” (P) o czym mówi zdanie A1 oraz najzwyklejsze „rzucanie monetą” po stronie „nie pada” (~P) o czym mówią zdania A2 i B2’
Innymi słowy:
1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno - mówi o tym zdanie A1
2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania A2 i B2’.
Czyli:
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH) o czym mówi zdanie A2 lub może ~~> być pochmrno (CH) na mocy zdania B2’.
Zauważmy, zdania wchodzące w skład operatora implikacji prostej P||=>CH, czyli A1, A1’, A2, B2’ mogą być wypowiadane w dowolnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
8.3.2 Diagram implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste =>
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Z powyższego wynika że:
Diagram implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach jest identyczny jak diagram w zbiorach z tym, że:
1. Pojęcie „zbiór” zastępujemy pojęciem „zdarzenie”
2. Pojęcie „podzbiór” => zastępujemy pojęciem „warunek wystarczający” =>
3. Pojęcie „nadzbiór” ~> zastępujemy pojęciem „warunek konieczny” ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach:
Zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q (A1), ale nie jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q (B1)
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zdarzeń p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne, co widać na diagramie DIP niżej.
A1: p=>q =1 - zajście zdarzenia p jest (=1) wystarczające => dla zajścia zdarzenia q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zajście zdarzenia p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q (z definicji)
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => zajścia q (A1), ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1)
Ważna uwaga:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach dzieli dziedzinę D na trzy zdarzenia A1, B2’ i A2 niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
Dowód w diagramie implikacji prostej DIP niżej.
| Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+A2:~p*~q+B2’:~p*q (suma logiczna zdarzeń możliwych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście p i ~q |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla naszego przykładu A1B1: P|=>CH w powyższym diagramie wstawiamy wszędzie punkt odniesienia:
p = P (pada) - poprzednik zdania warunkowego
q = CH (chmury) następnik zdana warunkowego
Gdzie:
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Stąd mamy:
| Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach:
Punkt odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
---------------------------------------------------------------------------
| p=P (pada) | ~p=~P (nie pada) |
|--------------------------|----------------------------------------------|
| q=CH (chmury) | ~q=~CH (nie chmury) |
|------------------------------------------------|------------------------|
| A1: P=>CH=1 (P*CH=1) |B2’: ~P~~>CH=~P*CH=1 |A2:~P~>~CH=1 (~P*~CH=1)|
---------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D= A1: P*CH+A2:~P*~CH+B2’:~P*CH =1 suma logiczna zdarzeń możliwych (=1) |
| A1’: P~~>~CH=P*~CH=[]=0 - zdarzenie niemożliwe (=0) |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach |
---------------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q:
A1B1:
A1: P=>CH =1 - padanie P jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur CH
B1: P~>CH =0 - padanie P nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur CH
Kontrprzykład dla prawdziwego A1 musi być fałszem:
A1’: P~~>~CH = P*~CH=[]=0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1:P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
A2B2:
A2:~P~>~CH=1 - brak padania ~P jest (=1) konieczny ~> dla braku chmur ~CH
B2:~P=>~CH=0 - brak padania ~P nie jest (=0) wystarczający => ~CH
Kontrprzykład dla fałszywego B2 musi być prawdą:
B2’:~P~~>CH=~P*CH=1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń:
nie pada (~P) i jest pochmurno (CH)
A2B2: ~P|~>~CH=(A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH)=1*~(0)=1*1=1
II.
Po zamianie p i q:
A3B3:
A3: CH~>P =1 - chmury CH są (=1) konieczne ~> dla padania P
B3: CH=>P =0 - chmury CH nie są (=0) wystarczające => dla padania P
Kontrprzykład dla fałszywego B3 musi być prawdą:
B3’: CH~~>~P=CH*~P=1
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń: są chmury (CH) i nie pada (~P)
A3B3: CH|~>P = (A3: CH~>P)*~(B3: CH=>P) =1*~(0)=1*1 =1
A4B4:
A4:~CH=>~P=1 - brak chmur ~CH jest (=1) wystarczający => dla nie padania ~P
B4:~CH~>~P=0 - brak chmur ~CH nie jest (=0) konieczny ~> dla nie padania ~P
Kontrprzykład dla prawdziwego A4 musi być fałszem:
B4’: ~CH~~>P=~CH*P=[]=0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: nie ma chmur ~CH i pada P
A4B4: ~CH|=>~P = (A4:~CH=>~P)*~(~CH~>~P) =1*~(0)=1*1 =1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
8.4 Implikacja prosta A|=>S w zdarzeniach
Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.
8.4.1 Zmienne związane i zmienne wolne w implikacji prostej A|=>S
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1 - zapis aktualny
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 - zapis formalny
Punkt odniesienia:
p=A - przycisk A (wejście)
q=S - żarówka S (wyjście)
W
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Punkt odniesienia: A1B1: p|=>q = A|=>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej W:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje A i B.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W. Oboje widzą dokładnie tą samą żarówkę S. Jaś nie widzi Zuzi, ani Zuzia nie widzi Jasia, ale oboje wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S1, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S1, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna). Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.
Punktem odniesienia na schemacie S1 jest Jaś siedzący w pokoju A, bowiem w równaniu opisującym układ występuje wyłącznie przycisk A - Jaś nie widzi przycisku W.
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna W będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(w) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(w) =1
oraz
f(w)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(w) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku W, gdzie daje się ustawić zarówno W=1 jak i W=0.
Przykład:
f(w) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty
Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte
Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S1 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S.
8.4.2 Wyprowadzenie definicji implikacji prostej A|=>S
Niech będzie dany schemat elektryczny:
| Kod: |
S1 Schemat 1
W
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Tak, stan przycisku W jest tu nieistotny, może być W=x gdzie x=[1,0]
Zauważmy, że pytanie A1 nie dotyczy przycisku W.
Przycisk W tu jest zmienną wolną którą możemy zastać w dowolnej pozycji W=x gdzie x={1,0}
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A1: A=>S =1
Przyjmijmy zdanie A1 za punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - na mocy prawa Kłapouchego
Nasz punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że stan przycisku W jest bez znaczenia W=x gdzie x={0,1}
B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Nie.
Przycisk A może nie być wciśnięty (A=0), a mimo to żarówka może się świecić, gdy zmienna wolna W będzie ustawiona na W=1.
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
B1: A~>S =0
Wciśnięcie przycisku A (A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1), bowiem może być sytuacja A=0 i W=1 i żarówka będzie się świecić
cnd
Jak widzimy na dzień dobry wyskoczyło nam prawo Kameleona.
Prawa Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Różność ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdania A1 i B1 tworzą definicję implikacji prostej A|=>S.
IP
Definicja implikacji prostej A|=>S w logice dodatniej (bo S):
Implikacja prosta A|=>S to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie klawisza A jest wystarczające => dla świecenia się żarówki S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie klawisza A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S
bo żarówkę S może zaświecić zmienna wolna W (W=1)
Stąd mamy:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta A|=>S jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia żarówki S (A1) i nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia żarówki S (B1)
Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q
| Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym {A,S}:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S =1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: A~>S =0 = 2:~A=>~S =0 [=] 3: S=>A =0 = 4:~S~>~A =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla poprawienia czytelności zapisu zmienne aktualne (A, S) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o brzmieniu zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP.
Uwaga:
Tabela IP zawiera zdania warunkowe „Jeśli p to q” zarówno prawdziwe jak i fałszywe dla wszelkich możliwych przeczeń p i q (plus zamiana p i q) istotne w implikacji prostej p|=>q.
Zdania w tabeli IP mogą być dowolnie pomieszane (groch z kapustą), matematycznie to bez znaczenia, jednak dla lepszego zrozumienia problemu układamy je dokładnie tak jak w tabeli IP.
W kolumnach mamy wtedy odpowiedzi na pytania:
A1B1: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
A2B2: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A3B3: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie q?
A4B4: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~q?
Definicja implikacji prostej A|=>S w logice dodatniej (bo S) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o A (A=1)?
A1B1: A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) - co się stanie jeśli wciśniemy A (A=1)?
[b]Operator implikacji prostej A||=>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 odpowiadający na pytania o A i ~A:
A1B1: A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) - co się stanie jeśli wciśniemy A (A=1)?
A2B2:~A|~>~S=(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli nie wciśniemy A (~A=1)?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~A||~>~S w logice ujemnej (bo ~S) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 odpowiadający na pytania o ~A i A:
A2B2:~A|~>~S=(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli nie wciśniemy A (~A=1)?
A1B1: A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) - co się stanie jeśli wciśniemy A (A=1)?
Z prawa Sowy wynika, że wystarczy udowodnić zachodzącą implikację prostą A|=>S aby mieć gwarancję matematyczną prawdziwości operatora implikacji prostej A||=>S (i odwrotnie)
8.4.3 Operator implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach
| Kod: |
S1 Schemat 1
W
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Operator implikacji prostej A||=>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 odpowiadający na pytania o A i ~A:
A1B1: A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) - co się stanie jeśli zajdzie A
A2B2:~A|~>~S=(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli zajdzie ~A
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka będzie się świecić (S=1) - mówi o tym zdanie A1
Kolumna A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że stan przycisku W jest bez znaczenia W=x gdzie x={0,1}
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S=A*~S=0
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1).
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) konieczne ~> dla nie świecenia się S (~S=1)
B2: ~A=>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) wystarczające => dla nie świecenia się S (~S=1)
A2B2:~A|~>~S=(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) =`*~(0)=1*1=1
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
Kolumna A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
~A~>~S =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia się żarówki S (~S=1) bo jak przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2:~A~>~S = A1: A=>S
LUB
Z prawdziwości warunku wystarczającego B2 wynika fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Gdy zmienna wolna W ustawiona jest na W=1.
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej A||=>S jest gwarancja matematyczna => po stronie A (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~A (zdania A2 i B2’) .
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~A||~>~S w logice ujemnej (bo ~S) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 odpowiadający na pytania o ~A i A:
A2B2:~A|~>~S=(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli nie wciśniemy A (~A=1)?
A1B1: A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) - co się stanie jeśli wciśniemy A (A=1)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~A||~>~S w logice ujemnej (bo ~S) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej A||=>S w logice dodatniej (bo S) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 7:49, 28 Cze 2022, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35517
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 15:34, 19 Cze 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.5 Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q)
Spis treści
8.5 Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) 1
8.5.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) 5
8.5.2 Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) 7
8.5.3 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach 8
8.5.4 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach 11
8.5 Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q)
Przypomnijmy sobie definicje podstawowe:
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
„=”, [=] - znaczki tożsamości logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Sowy to definicja tożsamości logicznej dla wielu zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste =>
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Wracając do tematu implikacji odwrotnej p|~>q.
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
| Kod: |
IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0 [=] 5: ~p+ q =0
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
Kolumna A1B1:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja odwrotna p|~>q determinuje prawdziwość operatora implikacji odwrotnej p||~>q (albo odwrotnie)
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q)=p*~q
Do zapamiętania:
p|~>q = p*~q
W tabeli IO na mocy kolumny A2B2 odczytujemy tożsamą definicję implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q).
A2B2.
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Implikacja prosta ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q (B2) ale nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q (A2)
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p*~q [=] A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=p*~q
Dowód:
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =0
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =1
cnd
Innymi słowy:
Prawa Kubusia:
A1: p=>q=0 <=> A2: ~p~>~q =0
B1: p~>q=1 <=> B2: ~p=>~q =1
<=> - wtedy i tylko wtedy
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
„=”, [=], <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej.
8.5.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q)
| Kod: |
IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0 [=] 5: ~p+ q =0
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja odwrotna p|~>q determinuje prawdziwość operatora implikacji odwrotnej p||~>q (albo odwrotnie)
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1:
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
Prawdziwość zdania A1’ wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost” - nic a nic nie musimy więcej udowadniać.
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie zajdzie p (~p) i zajdzie q (q)
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~p i q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
Podsumowując:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to po stronie p najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” o czym mówią zdania B1 i A1’, natomiast po stronie ~p mamy gwarancję matematyczną => w postaci zdania B2.
Zauważmy, że operatorze implikacji odwrotnej p||~>q kolejność wypowiadania zdań B1, A1’, B2 i B2’ jest matematycznie bez znaczenia.
8.5.2 Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q)
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny.
Stąd mamy tożsamą definicję operatora implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q).
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
p|~>q = p||~>q [=] ~p|=>~q = ~p||=>~q = ~p*q
Gdzie:
„=”, [=], <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Definicje znaczków:
p|~>q = p||~>q = ~p*q
##
p|=>q = p||=>q = p*~q
Gdzie”
## - rożne na mocy definicji
stąd mamy:
~p|=>~q = (~p)*~(~q)=~p*q
cnd
Definicja operatora implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Kluczowy wniosek:
Analiza operatora implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 (kiedy zajdzie ~p?) kończąc na kolumnie A1B1 (kiedy zajdzie p?)
8.5.3 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste =>
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne, co doskonale widać w diagramie DIO niżej
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1), ale nie jest podzbiorem => zbioru q (A1)
Ważna uwaga:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach dzieli dziedzinę D na trzy zbiory B1, A1’ i B2 niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
Dowód w diagramie implikacji prostej DIO niżej.
Na mocy powyższej definicji rysujemy diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach.
| Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|---------------------|----------------------------------------------|
| p | ~p |
|-------------------------------------------|------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q=p*~q=1 | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D =B1: p*q+ A1’: p*~q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą:
A1’: p~~>~q=p*~q=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
Kontrprzykład dla prawdziwego B2 musi być fałszem:
B2’: ~p~~>q=~p*q=[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
A2B2: ~p|~>~q= ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1
II.
Po zamianie p i q
A3B3:
A3: q~>p =0 - zbiór q nie jest (=0) nadzbiorem ~> p
B3: q=>p =1 - zbiór q jest (=1) podzbiorem => p
Kontrprzykład dla prawdziwego B3 musi być fałszem:
B3’: q~~>~p=q*~p=[]=0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów q i ~p
A3B3: q|=>p= ~(A3: q~>p)*(B3:~q=>~p)=~(0)*1=1*1=1
A4B4:
A4:~q=>~p=0 - zbiór ~q nie jest (=0) podzbiorem => ~p
B4:~q~>~p=1 - zbiór ~q jest (=1) nadzbiorem ~> ~p
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A4 musi być prawdą:
~q~~>p=~q*p=1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~q i p
A4B4: ~q|~>~p= ~(A4:~q=>~p)*(B4:~q~>~p)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Implikacja odwrotna p|~>q to trzy i tylko trzy zbiory niepuste i rozłączne
(B1, A1’, B2) uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
2.
W implikacji odwrotnej p|~>q po stronie p mamy do czynienia
z najzwyklejszym „rzucaniem monetą” o czym mówią zdania B1 i A1’
|
Dowód rozłączności zbiorów B1, A1’ i B2 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
B1: p*q
A1’: p*~q
B2: ~p*~q
Badamy rozłączność zbiorów każdy z każdym:
B1*A1’ = (p*q)*(p*~q) =[] - bo q*~q=[]
B1*B2 = (p*q)*(~p*~q)=[] - bo p*~p=[]
A1’*B2 = (p*~q)*(~p*~q)=[] - bo p*~p=[]
cnd
| Kod: |
IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zbiór ~p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2: ~p=>~q =1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Warunek poprawności dziedziny:
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
Dowód na podstawie diagramu DIO:
Zauważmy, że jeśli przyjmiemy za dziedzinę D sumę logiczną zbiorów p i q:
D=p+q
to zbiór ~p będzie zbiorem pustym, czyli będzie nierozpoznawalny, co widać na diagramie DIO
Wniosek:
Dziedzina D musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
D>p+q
Dowód nie wprost iż dziedzina D musi być szersza od sumy zbiorów p+q.
Przyjmijmy dziedzinę:
D=p+q
W implikacji odwrotnej p|~>q zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p~>q =1
stąd nasza definicja dziedziny D w zbiorach ulega redukcji do:
D = p+q = p - bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
D=p
Obliczamy zaprzeczenie zbioru p (~p) definiowane uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru p (p)
~p = [D-p] = [p-p] =[] - zbiór pusty [], zbiór ~p jest nierozpoznawalny
cnd
Wniosek:
Dziedzina D musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
D>p+q
8.5.4 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
„=”, [=] - znaczki tożsamości logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste =>
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Z powyższego wynika że:
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach jest identyczny jak diagram w zbiorach z tym, że:
1. Pojęcie „zbiór” zastępujemy pojęciem „zdarzenie”
2. Pojęcie „podzbiór” => zastępujemy pojęciem „warunek wystarczający” =>
3. Pojęcie „nadzbiór” ~> zastępujemy pojęciem „warunek konieczny” ~>
Stąd mamy:
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach:
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q, ale nie jest wystarczające => dla zajścia q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zdarzeń p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne, co widać na diagramie DIO niżej.
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (z definicji)
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (B1), ale nie jest wystarczające => dla zajścia q (A1)
Ważna uwaga:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach dzieli dziedzinę D na trzy zdarzenia B1, A1’ i B2 niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
Dowód w diagramie implikacji odwrotnej DIO niżej.
| Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach
------------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|----------------------|-----------------------------------------------|
| p | ~p |
|--------------------------------------------|-------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q = p*~q | B2: ~p=>~q (~p*~q=1) |
------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D =B1: p*q+A1’: p*~q+B2: ~p*~q (suma logiczna zdarzeń możliwych) |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście ~p i q |
|----------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach |
------------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą:
A1’: p~~>~q=p*~q=1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
A1B1: p|~>q= ~(A1:p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q=1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Kontrprzykład dla prawdziwego B2 musi być fałszem:
B2’: ~p~~>q=~p*q=[] =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
A2B2: ~p|~>~q= ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1
II.
Po zamianie p i q
A3B3:
A3: q~>p =0 - zajście q nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia p
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p
Kontrprzykład dla prawdziwego B3 musi być fałszem:
B3’: q~~>~p=q*~p=[]=0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń q i ~p
A3B3: q|=>p= ~(A3: q~>p)*(B3:~q=>~p)=~(0)*1=1*1=1
A4B4:
A4:~q=>~p=0 - zajście ~q nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~p
B4:~q~>~p=1 - zajście ~q jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~p
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A4 musi być prawdą:
A4’: ~q~~>p=~q*p=1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~q i p
A4B4: ~q|~>~p= ~(A4:~q=>~p)*(B4:~q~>~p)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35517
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 16:32, 19 Cze 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.6 Przykłady implikacji odwrotnej p|~>q
Spis treści
8.6 Przykład implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach 1
8.6.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach 5
8.6.2 Diagram implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach 8
8.7 Przykład implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach 10
8.7.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach 13
8.7.2 Diagram implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach 16
8.8 Implikacja odwrotna A|~>S w zdarzeniach 18
8.8.1 Zmienne związane i zmienne wolne w implikacji odwrotnej A|~>S 18
8.8.2 Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej A|~>S 20
8.8.3 Operator implikacji odwrotnej A||~>S w zdarzeniach 22
8.6 Przykład implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste =>
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Zadanie:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
Rozwiązanie:
W.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =?
Na mocy prawa Kłapouchego zapisujemy wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Obliczamy przeczenia zbiorów ~P2 i ~P8 definiowane jako uzupełnienia zbiorów P2 i P8 do dziedziny.
~p=~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2
~q=~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
Jeśli p to q
Po stronie poprzednika p dowolna liczba naturalna może być podzielna przez 2 (P2) albo nie być podzielna przez 2 (~P2) - trzeciej możliwości brak
Po stronie następnika q dowolna liczba naturalna może być podzielna przez 8 (P8) albo nie być podzielna przez 8 (~P8) - trzeciej możliwości brak
Wszystkie możliwe kombinacje zbiorów jakie mogą wystąpić między p i q opisuje seria czterech zdań warunkowych przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~>:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~~>P8 = P2*P8 =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..] np. 8
cnd
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8=P2*~P8=1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów: P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np. 2
cnd
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
~P2~~>~P8=~P2*~P8=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: ~P2=[1,3,5,7,9..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np. 1
cnd
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
~P2~~>P8=~P2*P8=?
Tu przez iterowanie ciężko jest znaleźć wspólny element ~~> zbiorów ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..]
Na razie podejrzewamy tylko że zbiory ~P2 i P8 są rozłączne.
Zauważmy, że po stronie liczb podzielnych przez 2 (P2) oba zdania A i B są prawdziwe, co na mocy definicji kontrprzykładu wyklucza tu warunek wystarczający =>.
Zauważmy, że po stronie liczb niepodzielnych przez 2 (~P2) nie sposób przez iterowanie stwierdzić rozłączność zbiorów ~P2 i P8 bo zbiory te są nieskończone, padnie tu największy komputer stworzony przez człowieka choćby szukał wspólnego elementu w czasie nieskończonym, zatem to jest tylko nasze założenie, które musimy udowodnić.
Jak to udowodnić matematycznie?
Zakładamy, że zdanie D jest fałszem:
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
~P2~~>P8=~P2*P8=0
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów: ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..]
Stąd na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy musi być warunek wystarczający => C.
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
~P2=>~P8 =1
to samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 (~P2) jest warunkiem wystarczającym => dla jej niepodzielności przez 8 (~P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P2=[1,3,5,7,9…] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Jak udowodnić prawdziwość warunku wystarczającego => C?
Najprościej dowodem „nie wprost” korzystając z prawa kontrapozycji:
C: ~p=>~q = E: q=>p
Nasz przykład:
C: ~P2=>~P8 = E: P8=>P2
Stąd aby udowodnić prawdziwość warunku wystarczającego C: ~P2=>~P8 potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość warunku wystarczającego E
E.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
q=>p =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Każdy matematyk bez problemu udowodni iż zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2.
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego:
C: ~P2=>~P8=1
to samo w z zapisie formalnym:
C: ~p=>~q=1
determinuje prawdziwość kompletnej linii Bx w tabeli T0.
Tabela T0 przyjmuje zatem postać:
| Kod: |
T0.
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =? 2:~p~> ~q =? [=] 3: q~> p =? 4:~q=> ~p =? [=] 5:~p+ q =?
1: P2=> P8=? 2:~P2~>~P8=? [=] 3: P8~> P2=? 4:~P8=>~P2=? [=] 5:~P2+ P8=?
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p =1 [=] 5: p+ ~q =1
1: P2~> P8=1 2:~P2=>~P8=1 [=] 3: P8=> P2=1 4:~P8~>~P2=1 [=] 5: P2+~P8=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Nasz punkt odniesienia zdeterminowany prawem Kłapouchego to:
p=P2
q=P8
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Wybieramy zdanie A1 bowiem warunek wystarczający bez negacji p i q zawsze dowodzi się najprościej.
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8)
P2=>P8 =0
Zdane A1 w zapisie formalnym:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..] bo kontrprzykład 2
cnd
Fałszywość warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0 wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax.
Stąd mamy:
| Kod: |
IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej P2|~>P8:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej P2|~>P8
A1: P2=>P8=0 - P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8=1 - P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> P8=[8,16,24..]
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q =0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p =0 [=] 5:~p+ q =0
1: P2=> P8=0 2:~P2~>~P8=0 [=] 3: P8~> P2=0 4:~P8=>~P2=0 [=] 5:~P2+ P8=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p =1 [=] 5: p+ ~q =1
1: P2~> P8=1 2:~P2=>~P8=1 [=] 3: P8=> P2=1 4:~P8~>~P2=1 [=] 5: P2+~P8=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
„=”, [=] - tożsame znaczki tożsamości logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W tabeli IO mamy rozstrzygnięcie iż badane zdanie
W=A1’:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8=P2*~P8=1
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q=p*~q=1
wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 w logice dodatniej (bo P8)
Dowód:
Z fałszywości warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0 wynika prawdziwość kontrprzykładu A1’:
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8=P2*~P8=1.
cnd
8.6.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach
| Kod: |
IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej P2|~>P8:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej P2|~>P8
A1: P2=>P8=0 - P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8=1 - P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> P8=[8,16,24..]
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q =0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p =0 [=] 5:~p+ q =0
1: P2=> P8=0 2:~P2~>~P8=0 [=] 3: P8~> P2=0 4:~P8=>~P2=0 [=] 5:~P2+ P8=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p =1 [=] 5: p+ ~q =1
1: P2~> P8=1 2:~P2=>~P8=1 [=] 3: P8=> P2=1 4:~P8~>~P2=1 [=] 5: P2+~P8=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
„=”, [=] - tożsame znaczki tożsamości logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zapisie formalnym:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zapisie aktualnym:
Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o P2 i ~P2:
A1B1: P2|~>P8 =~(A1: P2=> P8)* (B1: P2~>P8) - co się stanie jeśli zajdzie P2?
A2B2: ~P2|=>~P8 =~(A2:~P2~>~P8)* (B2:~P2=>~P8) - co się stanie jeśli zajdzie ~P2?
A1B1:
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie o P2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2)?
A1: P2=>P8=0 - P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8=1 - P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> P8=[8,16,24..]
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..] (B1) i jednocześnie nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
A1B1:
Z kolumny A1B1 odczytujemy co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba będzie podzielna przez 2 (P2)
w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~>P8 =1
W zapisie formalnym:
p~>q=1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 (P2) jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 (P8) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..].
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0 determinuje prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =1
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów: P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] bo np. 2
Formalnie tego faktu nie musimy dowodzić bowiem prawdziwość kontrprzykładu A1’ wynika z fałszywości warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0
… a jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2)?
Prawo Kubusia:
B1: P2~>P8 = B2: ~P2=>~P8
W zapisie formalnym:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
A2B2
W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie o ~P2:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba nie będzie podzielna przez 2 (~P2)?
A2: ~P2~>~P8 =0 - zbiór ~P2 nie jest nadzbiorem ~> zbioru ~P8
B2: ~P2=>~P8 =1 - zbiór ~P2 jest podzbiorem => zbioru ~P8
A2B2: ~P2|=>~P8 = ~(A2: ~P2~>~P8)*(B2: ~P2=>~P8) = ~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta ~P2|=>~P8 w logice ujemnej (bo ~P8) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest (=1) podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] (B2) i jednocześnie nie jest nadzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] (A2)
A2B2:
Z kolumny A2B2 odczytujemy co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba nie będzie podzielna przez 2 (~P2) w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
~P2=>~P8=1
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 gwarantuje nam prawo Kubusia - dowód „nie wprost”.
Kolejny dowód „nie wprost” to skorzystanie dla B2 z prawa kontrapozycji:
Prawo kontrapozycji:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B2: ~P2=>~P8 = B3: P8=>P2
Udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] każdy matematyk bez problemu udowodni, co wymusza prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8=1
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8=1 determinuje fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =0
Rozłączności zbiorów nieskończonych ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..] nie musimy dowodzić ponieważ wynika ona z prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8=1 (dowód nie wprost)
Podsumowanie:
Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 to najzwyklejsze „rzucanie monetą” po stronie liczb podzielnych przez 2 (P2) o czym mówią zdania B1 i A1’ oraz gwarancja matematyczna po stronie liczb niepodzielnych przez 2 (~P2) - mówi o tym zdanie B2
Innymi słowy:
1.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Czyli:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2) to ta liczba może ~> być podzielna przez 8 (P8) o czym mówi zdanie B1, albo może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8) o czym mówi zdanie A1’
2.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2) to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba nie będzie podzielna przez 8 (~P8) - mówi o tym zdanie B2
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań tworzących operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 jest matematycznie bez znaczenia, co oznacza że linie B1, A1’ B2, B2’ można dowolnie przestawiać.
8.6.2 Diagram implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste =>
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne, co widać na diagramie DIO niżej.
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1), ale nie jest podzbiorem => zbioru q (A1)
Ważna uwaga:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach dzieli dziedzinę D na trzy zbiory B1, A1’ i B2 niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
Dowód w diagramie implikacji prostej DIO niżej.
Na mocy powyższej definicji rysujemy diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach.
| Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|---------------------|----------------------------------------------|
| p | ~p |
|-------------------------------------------|------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q=p*~q=1 | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D =B1: p*q+A1’: p*~q+B2: ~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla naszego przykładu A1B1: P2|~>P8 w powyższym diagramie wstawiamy wszędzie punkt odniesienia:
p = P2 - poprzednik zdania warunkowego, zbiór liczb podzielnych przez 2, P2=[2,4,6,8..]
q = P8 - następnik zdana warunkowego, zbiór liczb podzielnych przez 8, P8=[8,16,24..]
Gdzie:
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Stąd mamy:
| Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach
Punkt odniesienia:
p=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2, P2=2,4,6,8..]
q=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8, P8=[8,16,24..]
---------------------------------------------------------------------------
| q=P8 | ~q=~P8 |
|-------------------------------------------------------------------------|
| p=P2 | ~p=~P2 - |
|-----------------------------------------------|-------------------------|
|B1: P2~>P8=1 (P2*P8=1) |A1’: P2~~>~P8=P2*~P8=1 |B2:~P2=>~P8=1 (~P2*~P8=1)|
---------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=B1: P2*P8+A1’: P2*~P8+B2: ~P2*~P8 (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| B2’: ~P2~~>P8=~P2*P8=[]=0 - jedyny zbiór pusty to ~P2*P8=[]=0 |
|-------------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach |
---------------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: P2=>P8 =0 - zbiór P2 nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8
B1: P2~>P8 =1 - zbiór P2 jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą:
A1’: P2~~>~P8=P2*~P8=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów P2 i ~P8 np. 2
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
A2B2:
A2:~P2~>~P8=0 - zbiór ~P2 nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~P8
B2:~P2=>~P8=1 - zbiór ~P2 jest (=1) podzbiorem => zbioru ~P8
Kontrprzykład dla prawdziwego B2 musi być fałszem:
B2’: ~P2~~>P8=~P2*P8=[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~P2 i P8
A2B2: ~P2|~>~P8= ~(A2:~P2~>~P8)*(B2: ~P2=>~P8)=~(0)*1=1*1=1
II.
Rozpiskę co może się wydarzyć po zamianie p i q pozostawiam czytelnikowi.
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
8.7 Przykład implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 albo A2B2, gdzie mamy odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2)
Zadanie:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
Rozwiązanie:
W.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
CH~~>~P = CH~~>~P =?
Na mocy prawa Kłapouchego zapisujemy wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Jeśli p to q
Po stronie poprzednika p może wyłącznie być pochmurno (CH) albo nie być pochmurno (~CH)
Po stronie następnika q może wyłącznie padać (P) albo nie padać (~P)
Wszystkie możliwe zdarzenia jakie mogą wystąpić między p i q opisuje seria czterech zdań warunkowych przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> padać (P)
CH~~>P = CH*P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jest pochmurno (CH) i pada (P)
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jest pochmurno (CH) i nie pada (~P)
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to może ~~> nie padać (~P)
~CH~~>~P = ~CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie jest pochmurno (~CH) i nie pada (~P)
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to może ~~> padać (P)
~CH~~>P = ~CH*~P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie jest pochmurno (~CH) i pada (P)
Jak widzimy, w zdarzeniach określenie prawdziwości/fałszywości zdań ABCD jest trywialne.
Po stronie „chmury” (zdania A i B) nie mamy zdania fałszywego zatem tu na mocy definicji kontrprzykładu wykluczony jest warunek wystarczający =>.
Po stronie „nie chmury” (zdania C i D) mamy zdanie fałszywe D.
Na mocy definicji kontrprzykładu mamy zatem pewność iż w zdaniu C=B2 (tabela T0) spełniony jest warunek wystarczający.
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padało (~P)
~CH=>~P =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => dla braku opadów (~P) bo padać może wyłącznie z chmurki
cnd
Dowód tożsamy to skorzystanie z prawa kontrapozycji:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B2: ~CH=>~P = B3: P=>CH
Dowodzimy prawdziwości warunku wystarczającego B3:
B3.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Chmury są (=1) warunkiem wystarczającym => dla padania (P) bo zawsze gdy pada (P) są chmury (CH)
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~CH=>~P=1 determinuje prawdziwość wszystkich zdań w linii Bx w tabeli T0.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =? 2:~p~> ~q=? [=] 3: q~> p =? 4:~q=> ~p=? [=] 5:~p+ q =?
1: CH=> P=? 2:~CH~>~P=? [=] 3: P~> CH=? 4:~P=>~CH=? [=] 5:~CH+ P=?
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q=1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p=1 [=] 5: p+~q =1
1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Wybieramy zdanie A1 bowiem warunek wystarczający bez negacji p i q zawsze dowodzi się najprościej.
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
CH=>P =0
Zdane A1 w zapisie formalnym:
p=>q =0
Chmury (CH) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P) bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd
Fałszywość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax.
Stąd mamy:
| Kod: |
IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1: CH=>P=0 - chmury (CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania (P)
B1: CH~>P=1 - chmury (CH) są (=1) konieczne dla padania (P)
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q=0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p=0 [=] 5:~p+ q =0
1: CH=> P=0 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~> CH=0 4:~P=>~CH=0 [=] 5:~CH+ P=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q=1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p=1 [=] 5: p+~q =1
1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W tabeli IO mamy rozstrzygnięcie iż badane zdanie
A1’
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P = CH*~P =1
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w logice dodatniej (bo P)
Dowód:
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość warunku wystarczającego A1: CH=>P=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’: CH~~>~P=1 (i odwrotnie)
8.7.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach
| Kod: |
IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1: CH=>P=0 - chmury (CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania (P)
B1: CH~>P=1 - chmury (CH) są (=1) konieczne dla padania (P)
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q=0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p=0 [=] 5:~p+ q =0
1: CH=> P=0 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~> CH=0 4:~P=>~CH=0 [=] 5:~CH+ P=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q=1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p=1 [=] 5: p+~q =1
1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja implikacji odwrotnej CH||~>P w zapisie aktualnym:
Implikacja odwrotna CH|~>P to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o chmury (CH):
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie CH?
Definicja operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w zapisie aktualnym:
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o CH i ~CH:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie CH?
A2B2: ~CH|=>~P =~(A2:~CH~>~P)*(B2: ~CH=>~P) = ~(0)*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~CH?
A1B1:
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH)?
A1: CH=>P=0 - chmury (CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania (P)
B1: CH~>P=1 - chmury (CH) są (=1) konieczne dla padania (P)
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1 =1 - co się stanie jeśli będą chmury CH?
Czytamy:
Implikacja odwrotna CH|~>P jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy chmury (CH) są warunkiem koniecznym ~> dla padania P (B1) i jednocześnie nie są warunkiem wystarczającym => dla padania (P)
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
W zapisie formalnym:
p~>q =1
Chmury (CH) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P) bo padać może wyłącznie z chmury
Innymi słowy:
Chmury (CH) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P) bo jak nie ma chmur (~CH) to na 100% => nie pada (~P)
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
W zapisie formalnym:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
LUB
Fałszywy warunek wystarczający A1: CH=>P=0 na mocy definicji kontrprzykładu determinuje zdarzenie możliwe ~~> A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P = CH*~P =1
Udowodnienie prawdziwości A1’ na mocy definicji kontrprzykładu to dowód „nie wprost”.
Dowód bezpośredni to:
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
cnd
… a jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH)?
Prawo Kubusia:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
W zapisie formalnym:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
A2B2:
W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć, jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH)?
A2: ~CH~>~P =0 - brak chmur (~CH) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla nie padania (~P)
B2: ~CH=>~P =1 - brak chmur (~CH) jest (=1) warunkiem wystarczającym =>
dla nie padania (~P) bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada
A2B2: ~CH|=>~P =~(A2:~CH~>~P)*(B2: ~CH=>~P) = ~(0)*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~CH?
Czytamy:
Implikacja prosta ~CH|=>~P w logice ujemnej (bo ~P) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => dla nie padania (~P) (zdanie B2) i jednocześnie nie jest warunkiem koniecznym ~> dla nie padania (~P) (zdanie A2)
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochurno (~CH)?
Odpowiedź na pytanie o ~CH w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” odczytujemy z kolumny A2B2:
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padało (~P)
~CH=>~P =1
W zapisie formalnym:
~p=>~q=1
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Dowód bezpośredni to:
Brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => dla braku opadów (~P) bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.
Prawdziwy warunek wystarczający B2 determinuje fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie).
B2’.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to może ~~> padać (P)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Dowód „nie wprost” fałszywości zdania B2’ wynika z definicji kontrprzykładu
Dowód wprost to:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH) i pada (P)
Podsumowanie:
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P to najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie chmury (CH) o czym mówią zdania B1 i A1’ oraz gwarancja matematyczna => po stronie „brak chmury” (~CH) o czym mówi zdanie B2.
Innymi słowy:
1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” o czym mówią zdania B1 i A1’
Czyli:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P) (zdanie B1) lub może ~~> nie padać (~P) (zdanie A1’)
2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padać (~P - mówi o tym zdanie B2.
Zauważmy, że matematycznie kolejność wypowiadania zdań B1, A1’ B2, B2’ nie ma żadnego znaczenia, co oznacza, że linie B1, A1’, B2, B2’ można dowolnie przestawiać.
8.7.2 Diagram implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste =>
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Z powyższego wynika że:
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach jest identyczny jak diagram w zbiorach z tym, że:
1. Pojęcie „zbiór” zastępujemy pojęciem „zdarzenie”
2. Pojęcie „podzbiór” => zastępujemy pojęciem „warunek wystarczający” =>
3. Pojęcie „nadzbiór” ~> zastępujemy pojęciem „warunek konieczny” ~>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach:
Zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q (B1), ale nie jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q (A1).
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zdarzeń p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne, co widać na diagramie DIO niżej.
A1: p=>q =0 - zajście zdarzenia p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
B1: p~>q =1 - zajście zdarzenia p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (B1), ale nie jest wystarczające => dla zajścia q (A1)
Ważna uwaga:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach dzieli dziedzinę D na trzy zdarzenia B1, A1’ i B2 niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
Dowód w diagramie implikacji prostej DIO niżej.
| Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach
-------------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|----------------------|------------------------------------------------|
| p | ~p |
|---------------------------------------------|-------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q = p*~q=1 | B2: ~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
-------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D =B1: p*q+A1’: p*~q+B2: ~p*~q (suma logiczna zdarzeń możliwych) |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście ~p i q |
|-----------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach |
-------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla naszego przykładu A1B1: CH|~>P w powyższym diagramie wstawiamy wszędzie punkt odniesienia:
p = CH (chmury) - poprzednik zdania warunkowego
q = P (pada) - następnik zdana warunkowego
Gdzie:
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Stąd mamy:
| Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach:
Punkt odniesienia:
p=CH (chmury) - poprzednik zdania warunkowego
q=P (pada) - następnik zdana warunkowego
---------------------------------------------------------------------------
| q=P (pada) | ~q=~P (nie pada) |
|----------------------|--------------------------------------------------|
| p=CH (chmury) | ~p=~CH (nie chmury) |
|---------------------------------------------|---------------------------|
| B1: CH~>P=1 (CH*P=1) | A1’: CH~~>~P=CH*~P=1 | B2: ~CH=>~P=1 (~CH*~P=1) |
---------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D= B1: CH*P+A1’: CH*~P+B2: ~CH*~P (suma logiczna zdarzeń możliwych) |
| B2’: ~CH~~>P=~CH*P=0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście ~CH i P |
|-------------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach |
---------------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: CH=>P =0 - chmury (CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania (P)
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania (P)
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą:
A1’: CH~~>~P=CH*~P=1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń: są chmury CH i nie pada ~P
A1B1: CH|~>P= ~(A1:CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1=1
A2B2:
A2:~CH~>~P=0 - brak chmur ~CH nie jest (=0) konieczny ~> dla nie padania ~P
B2:~CH=>~P=1 - brak chmur ~CH jest (=1) wystarczający => dla nie padania ~P
Kontrprzykład dla prawdziwego B2 musi być fałszem:
B2’: ~CH~~>P=~CH*P=[] =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: nie ma chmur ~CH i pada P
A2B2: ~CH|~>~P= ~(A2:~CH~>~P)*(B2: ~CH=>~P)=~(0)*1=1*1=1
II.
Rozpiskę co może się wydarzyć po zamianie p i q pozostawiam czytelnikowi.
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
8.8 Implikacja odwrotna A|~>S w zdarzeniach
Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.
8.8.1 Zmienne związane i zmienne wolne w implikacji odwrotnej A|~>S
| Kod: |
S2 Schemat 2
Fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1=1 - zapis aktualny
S A W
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-------o o------
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
--------------------------------------------------
Punkt odniesienia: A1B1: A|~>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej szeregowo z przyciskiem A
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej W:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje A i B.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W. Oboje widzą dokładnie tą samą żarówkę S. Jaś nie widzi Zuzi, ani Zuzia nie widzi Jasia, ale oboje wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S2, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S2, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna). Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.
Punktem odniesienia na schemacie S2 jest Jaś siedzący w pokoju A, bowiem w równaniu opisującym układ występuje wyłącznie przycisk A - Jaś nie widzi przycisku W.
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna W będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(w) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(w) =1
oraz
f(w)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(w) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku W, gdzie daje się ustawić zarówno W=1 jak i W=0.
Przykład:
f(w) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty
Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte
Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S1 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S.
8.8.2 Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej A|~>S
Niech będzie dany schemat elektryczny:
| Kod: |
S2 Schemat 2
S W A
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-------o o------
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
--------------------------------------------------
|
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Nie, bo nie zawsze gdy wciśniemy przycisk A żarówka zaświeci się.
Żarówka zaświeci się wtedy i tylko wtedy gdy dodatkowo przycisk W będzie wciśnięty.
Zauważmy, że pytanie A1 nie dotyczy przycisku W.
Przycisk W jest tu zmienną wolną którą możemy zastać w dowolnej pozycji W=x gdzie x={0,1}
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A nie daje nam (=0) gwarancji matematycznej => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Tak
Konieczne dlatego, że dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiona na W=1 (przycisk wciśnięty).
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Przyjmijmy zdanie B1 za punkt odniesienia:
p~>q =1 - na mocy prawa Kłapouchego
Nasz punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka)
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1).
Konieczne dlatego, że dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiona na W=1
cnd
Zauważmy, że zdania A1 i B1 lokalizują nam implikację odwrotną A|~>S.
IO.
Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w logice dodatniej (bo S):
Implikacja odwrotna A|~>S to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =0 - wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia się żarówki S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia żarówki S
bo dodatkowo musi być wciśnięty przycisk W (W=1)
stąd mamy:
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna A|~>S jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia żarówki S (B1) i nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla świecenia żarówki S (A1)
Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
| Kod: |
IO:
Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w zapisie aktualnym:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|~>S= ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: A=>S =0 = 2:~A~>~S =0 [=] 3: S~>A =0 = 4:~S=>~A =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: A~>S =1 = 2:~A=>~S =1 [=] 3: S=>A =1 = 4:~S~>~A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO.
Uwaga:
Tabela IO zawiera zdania warunkowe „Jeśli p to q” zarówno prawdziwe jak i fałszywe dla wszelkich możliwych przeczeń p i q (plus zamiana p i q) istotne w implikacji odwrotnej p|~>q.
Zdania w tabeli IO mogą być dowolnie pomieszane (groch z kapustą), matematycznie to bez znaczenia, jednak dla lepszego zrozumienia problemu układamy je dokładnie tak jak w tabeli IO.
W kolumnach mamy wtedy odpowiedzi na pytania:
A1B1: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
A2B2: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A3B3: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie q?
A4B4: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~q?
8.8.3 Operator implikacji odwrotnej A||~>S w zdarzeniach
| Kod: |
S2 Schemat 2
S W A
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-------o o------
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
--------------------------------------------------
|
Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w logice dodatniej (bo S) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o A (A=1)?
A1B1: A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) - co się stanie jeśli wciśniemy A (A=1)?
[b]Operator implikacji odwrotnej A||~>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 odpowiadający na pytania o A i ~A:
A1B1: A|~>S =~(A1: A=> S)* (B1: A~>S) - co się stanie jeśli wciśniemy A (A=1)?
A2B2:~A|=>~S =~(A2:~A~>~S)* (B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli nie wciśniemy A (~A=1)?
Z prawa Sowy wynika, że wystarczy udowodnić zachodzącą implikację odwrotną A|~>S aby mieć gwarancję matematyczną prawdziwości operatora implikacji odwrotnej A||~>S (i odwrotnie)
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia S
A1B1: A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) = ~(0)*1=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’
Kolumna A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B1.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S (S=1), koniecznym dlatego, że dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiony na W=1.
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S (S=1) bo jak przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego A1: A=>S=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Gdy zmienna wolna W ustawiona jest na W=0.
A2B2
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~A~>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla nie świecenia S (~S=1)
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia S (~S=1)
A2B2: ~A|=>~S = ~(A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =~(0)*1=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka nie będzie się świecić (~S=1) - mówi o tym zdanie B2.
Kolumna A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie będzie się świecić (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcia A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia S (~S=1), bo zawsze gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1), żarówka nie świeci się (~S=1)
Zauważmy, że prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wynika z praw fizyczno-matematycznych i nie ma tu potrzeby, wykonywać nieskończonej ilości wciśnięć przycisku A sprawdzając czy za każdym wciśnięciem, żarówka świeci się.
Brak wciśnięcie przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż żarówka nie będzie się świecić (~S=1), bo przyciski A i W połączone są szeregowo.
Stan przycisku W jest tu bez znaczenia W=x gdzie: x={0,1}
Zachodzi tożsamość pojęć:
Gwarancja matematyczna => = Warunek wystarczający =>
Prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie).
B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Zauważmy, że przyciski A i W połączone są szeregowo, z czego wynika że:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Stan zmiennej wolnej W jest tu bez znaczenia: W=x gdzie: x={0,1}
Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji odwrotnej A||~>S jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie wciśniętego przycisku A (A=1 - zdania B1 i A1’), oraz gwarancja matematyczna => po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A=1 - zdanie B2).
Doskonale to widać w powyższej analizie.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~A||=>~S w logice ujemnej (bo ~S) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 odpowiadający na pytania o ~A i A:
A2B2:~A|=>~S =~(A2:~A~>~S)* (B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli nie wciśniemy A (~A=1)?
A1B1: A|~>S =~(A1: A=> S)* (B1: A~>S) - co się stanie jeśli wciśniemy A (A=1)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~A||=>~S w logice ujemnej (bo ~S) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej A||~>S w logice dodatniej (bo S) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35517
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 17:43, 19 Cze 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.9 Implikacja prosta p|=>q vs implikacja odwrotna p|~>q
Spis treści
8.9 Implikacja prosta p|=>q vs implikacja odwrotna p|~>q 1
8.10 Prawa Puchacza 2
8.10.1 I prawo Puchacza p|=>q ## p|~>q 3
8.10.2 2 II prawo Puchacza p|~>q ## p|=>q 4
8.11 Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ### 4
8.11.1 Prawo Kłapouchego = Kot Schrödingera 7
8.9 Implikacja prosta p|=>q vs implikacja odwrotna p|~>q
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+ q=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p=0 = 4:~q~>~p=0 [=] 5: p+~q=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
##
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
| Kod: |
IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0 [=] 5: ~p+ q =0
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
8.10 Prawa Puchacza
Wzajemna relacja implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q to relacja różne na mocy definicji ##, co ilustruje poniższa tabela prawdy.
| Kod: |
T1.
Definicja implikacji prostej p|=>q ## Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
A1: p=>q=1 ## A1: p=>q=0
B1: p~>q=0 ## B1: p~>q=1
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) ## A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Definicja implikacji prostej p|=>q ## Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
w spójnikach „i”(*) i „lub”(+): ## w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p|=>q)= ~p* q ## Y = (p|~>q)= p*~q
# ## #
~Y =~(p|=>q)= p+~q ## ~Y =~(p|~>q)=~p+ q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli T1 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
cnd
Interpretacja słowna:
Jeśli dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q to na 100% => nie wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q (i odwrotne)
8.10.1 I prawo Puchacza p|=>q ## p|~>q
I prawo Puchacza p|=>q ## p|~>q
Jeśli dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do implikacji prostej p|=>q to na 100% => nie należy do implikacji odwrotnej p|~>q
Dowód:
| Kod: |
T1.
Definicja implikacji prostej p|=>q ## Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
A1: p=>q=1 ## A1: p=>q=0
B1: p~>q=0 ## B1: p~>q=1
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) ## A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Definicja implikacji prostej p|=>q ## Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
w spójnikach „i”(*) i „lub”(+): ## w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p|=>q)= ~p* q ## Y = (p|~>q)= p*~q
# ## #
~Y =~(p|=>q)= p+~q ## ~Y =~(p|~>q)=~p+ q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Załóżmy, że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do implikacji prostej p|=>q.
Wówczas mamy spełnione:
Założenie 1.
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Z tabeli T1 odczytujemy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Po podstawieniu założenia 1 mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(1)*(0) =0*0 =0
Wniosek:
Wykluczone jest, aby zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należące do implikacji prostej p|=>q należało jednocześnie do implikacji odwrotnej p|~>q
cnd
8.10.2 2 II prawo Puchacza p|~>q ## p|=>q
II prawo Puchacza p|~>q ## p|=>q
Jeśli dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do implikacji odwrotnej p|~>q to na 100% => nie należy do implikacji prostej p|=>q
Dowód:
| Kod: |
T1.
Definicja implikacji prostej p|=>q ## Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
A1: p=>q=1 ## A1: p=>q=0
B1: p~>q=0 ## B1: p~>q=1
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) ## A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Definicja implikacji prostej p|=>q ## Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
w spójnikach „i”(*) i „lub”(+): ## w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p|=>q)= ~p* q ## Y = (p|~>q)= p*~q
# ## #
~Y =~(p|=>q)= p+~q ## ~Y =~(p|~>q)=~p+ q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Załóżmy, że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do implikacji odwrotnej p|~>q.
Wówczas mamy spełnione:
Założenie 2.
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Z tabeli T1 odczytujemy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Po podstawieniu założenia 2 mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (0)*~(1) =0*0 =0
Wniosek:
Wykluczone jest, aby zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należące do implikacji odwrotnej p|~>q należało jednocześnie do implikacji prostej p|=>q
cnd
8.11 Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
Rozważmy wzajemne relacje między chmurką (CH) i deszczem (P).
Zapiszmy serię zdań definiujących implikację prostą P|=>CH i odwrotną CH|~>P:
| Kod: |
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Punkt odniesienia:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: Y=(p|=>q)=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
###
| Kod: |
IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Punkt odniesienia:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne dla zajścia q
A1B1: Y=(p|~>q)=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)= p*~q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q=0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p=0 [=] 5:~p+ q =0
1: CH=> P=0 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~> CH=0 4:~P=>~CH=0 [=] 5:~CH+ P=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q=1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p=1 [=] 5: p+~q =1
1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Gdzie w zapisie aktualnym (przykład) mamy:
### - różne na mocy błędu podstawienia
Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
Dwie funkcje logiczne w zapisie aktualnym są różne na mocy błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy ich zapis formalny (teoria ogólna) jest niezgodny z zapisem aktualnym (przykład)
Doskonale widać, że między implikacją prostą IP: p|=>q a implikacją odwrotną IO: p|~>q występuje błąd podstawienia ### w powiązaniu z zapisem aktualnym IP: P|=>CH oraz IO: CH|~>P
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód:
Weźmy zdanie A1 z implikacji prostej IP p|=>q:
IP_A1:
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100%=> będzie pochmurno (CH)
A1: P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Punkt odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Padanie (P) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH), bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
###
Weźmy zdanie B3 z implikacji odwrotnej IO: p|~>q:
IO_B3.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100%=> będzie pochmurno (CH)
B3: P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Punkt odniesienia:
q=P (pada)
p=CH (chmury)
Padanie (P) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH), bo zawsze gdy pada, są chmury
Gdzie:
### - różne na mocy błędu podstawienia
Jak widzimy zdania IP_A1: P=>CH oraz IO_B3: P=>CH są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, jednak zdania te są różne z powodu błędu podstawienia ###.
Fakt ten wyróżniono pogrubioną czcionką.
cnd
[link widoczny dla zalogowanych]
8.11.1 Prawo Kłapouchego = Kot Schrödingera
| Kod: |
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Punkt odniesienia:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: Y=(p|=>q)=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
###
| Kod: |
IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Punkt odniesienia:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne dla zajścia q
A1B1: Y=(p|~>q)=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)= p*~q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q=0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p=0 [=] 5:~p+ q =0
1: CH=> P=0 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~> CH=0 4:~P=>~CH=0 [=] 5:~CH+ P=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q=1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p=1 [=] 5: p+~q =1
1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Gdzie:
### - dla zapisu aktualnego (przykład) różne na mocy błędu podstawienia
Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
Dwie funkcje logiczne są różna na mocy błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy ich zapis formalny (teoria ogólna) jest niezgodny z zapisem aktualnym (przykład)
Doskonale widać, że między implikacją prostą IP: p|=>q a implikacją odwrotną IO: p|~>q występuje błąd podstawienia ### w powiązaniu z zapisem aktualnym IP: P|=>CH oraz IO: CH|~>P
Zauważmy że:
W zapisie aktualnym błąd podstawienia ### dotyczy dowolnego zdania serii Ax w implikacji prostej IP względem dowolnego zdania serii Bx w implikacji odwrotnej IO.
Zauważmy, że jeśli pominiemy zapisy formalne to seria zdań Ax i Bx będzie identyczna i o żadnym błędzie podstawienia ### mowy być wówczas nie może.
Dowód:
| Kod: |
Jeśli pominiemy zapisy formalne to tabela zdań prawdziwych w implikacji prostej IP: P|=>CH i odwrotnej IO: CH~>P wygląda jak niżej:
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
[=]
IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
B: 1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
[=] - bez zapisu formalnego zachodzi tożsamość zdań serii Ax i Bx
|
Bez zapisów formalnych tożsamość zdań serii Ax i Bx jest oczywista, bo zdania możemy dowolnie przestawiać.
Wyobraźmy sobie, że mamy pudełko z czterema zdaniami prawdziwymi:
| Kod: |
Matematyczny raj 5-cio latka:
1: P=>CH=1 [=] 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P=1 [=] 4:~CH=>~P=1
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
|
Definicja ogólna tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów
Tożsame znaczki tożsamości logicznej które możemy stosować zamiennie w zależności od potrzeb:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
Dlaczego to jest matematyczny raj 5-cio latka?
Oczywistym jest, że 5-cio latek nie zna teorii algebry Kubusia którą tu poznajemy, jednak doskonale posługuje się w praktyce wszystkimi prawami logiki matematycznej.
Prawa logiki matematycznej w raju zna w praktyce każdy 5-cio latek:
Prawo Kubusia:
1: P=>CH = 2:~P~>~CH
[=]
Prawo Tygryska:
1: P=>CH = 3: CH~>P
[=]
Prawo Kubusia:
3: CH~>P = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
1: P=>CH = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
3: CH~>P = 2: ~P~>~CH
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej [=].
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
Zarówno treść zdań w raju 5-cio latka, jak i wszystkie prawa logiki matematycznej są doskonale znane każdemu 5-cio latkowi.
Aby to udowodnić udajmy się do przedszkola
Pani:
3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
3: CH~>P =1
Jasiu, czy chmury są konieczne ~> by padało?
Jaś (lat 5):
Tak, bo padać może wyłącznie z chmurki
Pani:
Jasiu, a jeśli jutro nie będzie pochmurno to może padać czy może nie padać?
Jaś:
Prawo Kubusia:
3: CH~>P = 4:~CH=>~P
Jaś:
4:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padać (~P)
4: ~CH=>~P =1
Pani:
Czy brak chmur (~CH) daje nam gwarancję => nie padania (~P)?
Jaś:
Tak, bo zawsze gdy nie ma chmur, to nie pada
Pani:
Prawo kontrapozycji:
4: ~CH=>~P = 1: P=>CH
Pani:
Jasiu, jeśli jutro będzie padało to może być pochmurno lub może nie być pochmurno?
Jaś:
1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100%=> będzie pochmurno (CH)
1: P=>CH =1
Pani:
Jasiu czy padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH)
Jaś:
Tak, bo zawsze gdy pada, są chmury
Pani:
Jasiu, a jeśli jutro nie będzie padało?
Jaś:
Prawo Kubusia:
1: P=>CH = 2: ~P~>~CH
2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
2: ~P~>~CH =1
Pani:
Czy brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH)?
Jaś:
Tak, brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH) bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
2: ~P~>~CH = 1: P=>CH
Jak widzimy w ostatnim zdaniu prawo Kubusia samo Jasiowi wyskoczyło, mimo że nie jest tego świadom.
Podsumowując:
Wszyscy ludzie, od 5-cio latka poczynając na ziemskim matematyku kończąc podlegają pod algebrę Kubusia nie mając żadnych szans by się od niej uwolnić, tylko póki co, o tym nie wiedzą.
Zapiszmy jeszcze raz matematyczny raj 5-cio latka:
| Kod: |
Matematyczny raj 5-cio latka:
1: P=>CH=1 [=] 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P=1 [=] 4:~CH=>~P=1
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
|
Zauważmy że przykładowe zdanie:
1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH
Może należeć do implikacji prostej P|=>CH albo do różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej CH|~>P.
Takie niuanse 5-cio latka zupełnie nie interesują, nie są mu do niczego potrzebne i w niczym nie ograniczają jego biegłego posługiwania się prawami logiki matematycznej.
Inaczej jest z matematykiem, znającym teorię algebry Kubusia którą tu omawiamy.
Matematyka nie może być niejednoznaczna tzn. matematyk A mówi że zdanie P=>CH należy do implikacji prostej A1B1: P|=>CH (A1: P=>CH), zaś matematyk B twierdzi, że zdanie P=>CH należy do różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej A1B1: CH|~>P (B3: P=>CH)
Jednoznaczność matematyki dla wszystkich matematyków uzyskamy w banalny sposób wprowadzając do logiki matematycznej prawo Kłapouchego.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Wniosek:
Prawo Kłapouchego wymusza na wszystkich matematykach identyczny punkt odniesienia i poprzez analogię jest tożsame z otwarciem drzwiczek do pudełka z kotem Schrödingera.
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Prawo Kłapouchego = otwarcie drzwiczek do pudełka z kotem Schrödingera.
Innymi słowy:
1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
Przed zastosowaniem prawa Kłapouchego jeśli spytamy dowolnego matematyka czy powyższe zdanie 1 wchodzi w skład implikacji prostej IP:
IP: A1B1: P|=>CH (A1: P=>CH)
to samo w zapisie formalnym:
IP: A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)
czy też w skład różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej IO:
IO: A1B1: CH|~>P (B3: P=>CH)
to samo w zapisie formalnym:
IO: A1B1: p|~>q (B3: q=>p)
matematyk ów musi odpowiedzieć:
NIE WIEM!
.. dopóki nie zastosuje prawa Kłapouchego.
Uwaga:
Nie wolno nam twierdzić, że zdanie 1: P=>CH może kiedykolwiek należeć (stan drzwiczek jest tu nieistotny) równocześnie do implikacji prostej IP: p|=>q i różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej IO: p|~>q, bo to jest fizycznie niemożliwe, czego dowodem jest prawo Puchacza (pkt. 1.6)
Analogicznie w stosunku do pudełka z kotem Schrödingera nie wolno nam twierdzić, że dopóki nie otworzymy drzwiczek to kot jest jednocześnie żywy i martwy - to jest matematyczny fałsz, co udowadnia przykład z logiki matematycznej wyżej opisany.
[link widoczny dla zalogowanych]
| Kot Schrödingera napisał: |
Jeden z najsłynniejszych eksperymentów świata. Prawie każdy coś słyszał o „Kocie Schrödingera”, ale już nie każdy pojął, o co w tym wszystkim chodziło. Co ma kot do fizyki? Czemu go zabili, a może go jednak nie zabili?
„Koci” eksperyment został opisany w 1935 roku przez znakomitego austriackiego fizyka Erwina Schrödingera. Specjalnie piszemy, że eksperyment został opisany a nie przeprowadzony, ponieważ był to eksperyment myślowy. Oznacza to, że żaden kot w jego trakcie nie ucierpiał.
Eksperyment ten jest próbą wyjaśnienia zasad mechaniki kwantowej na przykładzie obiektów w skali makro. Opisane w nim zjawisko nazwane jest superpozycją. Polega to na tym, że obiekt przyjmuje wszystkie możliwe stany w tym samym momencie. W eksperymencie Schrödingera w tym samym momencie kot jest żywy i martwy. Ale uwaga – sytuacja ta ma miejsce w pod warunkiem, że pudełko jest zamknięte i nie widzimy, co się dzieje z kotem w środku. Dopiero w momencie obserwacji obiektu (w tym przypadku kota) przyjmuję on tylko jeden z możliwych stanów. Po otwarciu pudełka zastaniemy kota martwego lub żywego. Następuję załamanie funkcji falowej. |
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35517
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 20:09, 19 Cze 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
6.12 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q
Spis treści
6.12 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q 1
6.12.1 Relacja między implikacją prostą p|=>q a odwrotną p|~>q 4
6.12.2 Tabela prawdy dla zdania warunkowego „Jeśli p to q” 5
6.12.3 Prawo Kameleona 6
6.13 Prawo Kłapouchego 7
6.14 Implikacja prosta P|=>CH w zdarzeniach 8
6.14.1 Operator implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach 10
6.15 Implikacja odwrotna CH|~>P w zdarzeniach 12
6.15.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach 13
6.16 Definicja znaczków ## i ### 16
6.16.1 Definicja znaczka różne na mocy definicji ## 17
6.16.2 Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ### 18
6.16.3 Prawo Kłapouchego = Kot Schrödingera 20
6.12 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q
W niniejszym rozdziale omówimy szczegółowo definicję implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q na konkretnym przykładzie o chmurce i deszczu.
Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q to kręgosłup algebry Kubusia, jego zrozumienie gwarantuje bezproblemowe zrozumienie całej algebry Kubusia.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Poznajmy najważniejsze definicje logiki matematycznej w naszym Wszechświecie (|=>, |~>), najważniejsze, bo najczęściej występujące.
Konkurencyjna równoważność p<=>q to kropla w morzu implikacji prostych p|=>q i odwrotnych p|~>q.
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - rożne na mocy definicji
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|=>q = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q)=~p*q
A1B1: p|=>q = ~p*q
Podstawiając do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> mamy.
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: p|=>q=~p*q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja prosta p|=>q determinuje prawdziwość operatora implikacji prostej p||=>q (i odwrotnie)
Definicja Implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q)
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Zachodzi tożsamość logiczna [=] kolumn A1B1 i A2B2:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q [=] A2B2: ~p|~>~q=(A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)=~p*q
Dowód:
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|~>q = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
A1B1: p|~>q=p*~q
Podstawiając do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> mamy.
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: p|~>q=p*~q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =0
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja odwrotna p|~>q determinuje prawdziwość operatora implikacji odwrotnej p||~>q (albo odwrotnie)
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q)
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Zachodzi tożsamość logiczna [=] kolumn A1B1 i A2B2:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p*~q [=] A2B2: ~p|=>~q=~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=p*~q
Dowód:
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Kluczowa relacja między implikacją prostą p|=>q a odwrotną p|~>q:
A1B1: p|=>q=~p*q ## A1B1: p|~>q=p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Uwaga:
Zarówno w implikacji prostej p|=>q jak i w implikacji odwrotnej p|~>q parametry aktualne p i q (te z przykładów) muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej popełniamy błąd podstawienia
6.12.1 Relacja między implikacją prostą p|=>q a odwrotną p|~>q
Relacja między implikacją prostą p|=>q a odwrotną p|~>q to relacja różne na mocy definicji ##
Dowód:
| Kod: |
RIPIO:
Tabela IP:
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: Y=(p|=>q)=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q
Warunek wystarczający =>:
Y=(p=>q) =~p+ q # ~Y=~(p=>q) = p*~q
## ##
Implikacja prosta p|=>q:
Y=(p|=>q)=~p* q # ~Y=~(p|=>q)= p+~q
## ##
Tabela IO:
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p*~q
Warunek konieczny ~>:
Y=(p~>q) = p+~q # ~Y=~(p~>q) =~p* q
## ##
Implikacja odwrotna p|~>q:
Y=(p|~>q)= p*~q # ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli RIPIO definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
cnd
6.12.2 Tabela prawdy dla zdania warunkowego „Jeśli p to q”
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja tabeli prawdy dla zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Tabela prawdy dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” to:
Po pierwsze:
Jednoznaczne ustalenie wartości logicznych serii zdań Ax oraz serii zdań Bx co determinuje przynależność badanego zdania do jednego ze spójników implikacyjnych (przykład pkt. 6.14)
Po drugie:
Przeanalizowanie zdania warunkowego „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w tym samym kierunku co wyznacza operator implikacyjny (przykład 6.14.1)
Wniosek:
Tabela prawdy dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” to cztery i tylko cztery zdania warunkowe „Jeśli p to q”
6.12.3 Prawo Kameleona
Zadanie:
Zbuduj tabelę prawdy dla poniższego zdania:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie (P) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH) bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
##
Aby zbudować tabelę prawdy dla zdania A1 musimy rozstrzygnąć prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Padanie (P) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (CH) bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Dowód:
Zdania A1 i B1 wyżej.
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań
W logice formalnej zachodzi:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy rozstrzygnięcie, iż zdanie A1 wchodzi w skład implikacji prostej P|=>CH
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: p|=>q=~p*q
Punkt odniesienia:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
A1: P=>CH =1 – padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =1 – padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
Stąd mamy:
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: P|=>CH=~P*CH
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
6.13 Prawo Kłapouchego
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego wymusza na wszystkich matematykach ten sam punkt odniesienia definiowany kolumnami A1B1 i A2B2.
Oczywiście w treści zadania może być wymuszony inny punkt odniesienia.
Przykład:
Zbuduj tabelę prawdy dla twierdzenia odwrotnego Pitagorasa:
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK) to na 100% => ten trójkąt jest prostokątny (TP)
SK=>TP =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Tu ignorujemy prawo Kłapouchego i przyjmujemy twierdzenie odwrotne w zapisie formalmym:
B3: q=>p
q=SK – zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów
p=TP – zbiór trójkątów prostokątnych
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Bez zdefiniowanego, wspólnego punktu odniesienia matematyk A nie dogada się z matematykiem B.
Maksyma:
Otaczająca nas rzeczywistość wygląda różnie z różnych punktów odniesienia.
Z czarnego zawsze można zrobić białe i odwrotnie, wystarczy zmienić punkt odniesienia
[link widoczny dla zalogowanych]
6.14 Implikacja prosta P|=>CH w zdarzeniach
Zadanie:
Zbuduj tabelę prawdy dla poniższego zdania:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie (P) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH) bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
W tym momencie na mocy prawa Kłapouchego dla dalszej analizy przyjmujemy:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Stąd zapis zdania A1 w zapisie formalnym to:
p=>q =1
Aby zbudować tabelę prawdy dla zdania A1 musimy rozstrzygnąć prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Padanie (P) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (CH) bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
cnd
Stąd mamy rozstrzygnięcie, iż zdania A1 wchodzi w skład implikacji prostej P|=>CH
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: p|=>q=~p*q
Punkt odniesienia:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
A1: P=>CH =1 – padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =1 – padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: P|=>CH=~P*CH
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
6.14.1 Operator implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
| Kod: |
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej P|=>CH
A1: P=>CH=1 - padanie (P) jest wystarczające => dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH=0 - padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja Implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q)
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Zapis aktualny – nasz przykład:
Definicja implikacji prostej P||=>CH w logice dodatniej (bo CH):
Implikacja prosta P|=>CH to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o padanie (P):
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie P?
Definicja operatora implikacji prostej P||=>CH:
Operator implikacji prostej P||=>CH to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o P i ~P:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie P?
A2B2: ~P|~>~CH = (A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P?
A1B1:
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)?
A1: P=>CH=1 - padanie (P) jest wystarczające => dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH=0 - padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (CH)
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli będzie padało P?
Czytamy:
Implikacja prosta P|=>CH w logice dodatniej (bo CH) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (A1) i jednocześnie nie jest warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (B1)
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => aby było pochmurno (CH) bo zawsze gdy pada, są chmury.
Padanie (P) daje nam (=1) gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 determinuje fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Fałszywości zdania A1’ nie musimy dowodzić, bowiem wynika ona z prawdziwości warunku wystarczającego A1.
… a jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
A2B2:
W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie
Co może się wydarzyć, jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
A2: ~P~>~CH=1 - brak opadów (~P) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH)
B2: ~P=>~CH=0 - brak opadów (~P) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => do tego
by nie było pochmurno (~CH), bo nie zawsze gdy nie pada (~P), nie ma chmur (~CH)
A2B2: ~P|~>~CH = (A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P?
Czytamy:
Implikacja odwrotna ~P|~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy brak padania (~P) jest konieczny ~> dla braku chmur (~CH) i jednocześnie nie jest wystarczający => dla braku chmur (~CH)
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
Odpowiedź na pytanie o ~P w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” odczytujemy z kolumny A2B2:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
Prawdziwość warunku koniecznego A2 gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Dowód bezpośredni to:
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla braku chmur (~CH) bo jeśli pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
LUB
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P=>~CH=0 na mocy definicji kontrprzykładu determinuje zdarzenie możliwe ~~> B2’: ~P~~>CH=1
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> być pochmurno (CH)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Udowodnienie prawdziwości B2’ na mocy definicji kontrprzykładu to dowód „nie wprost”.
Dowód bezpośredni to:
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P) i są chmury (CH)
cnd
Podsumowanie:
Operator implikacji prostej P||=>CH to gwarancja matematyczna => po stronie „pada” (P) o czym mówi zdanie A1 oraz najzwyklejsze „rzucanie monetą” po stronie „nie pada” (~P) o czym mówią zdania A2 i B2’
Innymi słowy:
1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno - mówi o tym zdanie A1
2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania A2 i B2’.
Czyli:
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH) o czym mówi zdanie A2 lub może ~~> być pochmrno (CH) na mocy zdania B2’.
Zauważmy, zdania wchodzące w skład operatora implikacji prostej P||=>CH, czyli A1, A1’, A2, B2’ mogą być wypowiadane w dowolnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
6.15 Implikacja odwrotna CH|~>P w zdarzeniach
Zadanie:
Zbuduj tabelę prawdy dla poniższego zdania:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P) bo padać może wyłącznie z chmury
cnd
W tym momencie na mocy prawa Kłapouchego dla dalszej analizy przyjmujemy:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Stąd zapis zdania B1 w zapisie formalnym to:
p~>q =1
Aby zbudować tabelę prawdy dla zdania B1 musimy rozstrzygnąć prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
CH=>P =0
Chmury (CH) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P) bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd
Stąd mamy rozstrzygnięcie, iż zdania B1 wchodzi w skład implikacji odwrotnej CH|~>P
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: p|~>q=p*~q
Punkt odniesienia:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
A1: CH=>P=0 - chmury (CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania (P)
B1: CH~>P=1 - chmury (CH) są (=1) konieczne dla padania (P)
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: CH|~>P=CH*~P
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q=0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p=0 [=] 5:~p+ q =0
1: CH=> P=0 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~> CH=0 4:~P=>~CH=0 [=] 5:~CH+ P=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q=1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p=1 [=] 5: p+~q =1
1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
6.15.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
| Kod: |
IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej CH|~>P
A1: CH=>P=0 - chmury (CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania (P)
B1: CH~>P=1 - chmury (CH) są (=1) konieczne dla padania (P)
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q=0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p=0 [=] 5:~p+ q =0
1: CH=> P=0 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~> CH=0 4:~P=>~CH=0 [=] 5:~CH+ P=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q=1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p=1 [=] 5: p+~q =1
1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q)
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Zapis aktualny – nasz przykład:
Definicja implikacji odwrotnej CH||~>P w logice dodatniej (bo P):
Implikacja odwrotna CH|~>P to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o chmury (CH):
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie CH?
Definicja operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w logice dodatniej (bo P):
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o CH i ~CH:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie CH?
A2B2: ~CH|=>~P =~(A2:~CH~>~P)*(B2: ~CH=>~P) = ~(0)*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~CH?
A1B1:
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH)?
A1: CH=>P=0 - chmury (CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania (P)
B1: CH~>P=1 - chmury (CH) są (=1) konieczne dla padania (P)
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1 =1 - co się stanie jeśli będą chmury CH?
Czytamy:
Implikacja odwrotna CH|~>P w logice dodatniej (bo P) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy chmury (CH) są warunkiem koniecznym ~> dla padania P (B1) i jednocześnie nie są warunkiem wystarczającym => dla padania P (A1)
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
W zapisie formalnym:
p~>q =1
Chmury (CH) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P) bo padać może wyłącznie z chmury
Innymi słowy:
Chmury (CH) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P) bo jak nie ma chmur (~CH) to na 100% => nie pada (~P)
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
W zapisie formalnym:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
LUB
Fałszywy warunek wystarczający A1: CH=>P=0 na mocy definicji kontrprzykładu determinuje zdarzenie możliwe ~~> A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P = CH*~P =1
Udowodnienie prawdziwości A1’ na mocy definicji kontrprzykładu to dowód „nie wprost”.
Dowód bezpośredni to:
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
cnd
… a jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH)?
Prawo Kubusia:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
W zapisie formalnym:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
A2B2:
W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć, jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH)?
A2: ~CH~>~P =0 - brak chmur (~CH) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla nie padania (~P)
B2: ~CH=>~P =1 - brak chmur (~CH) jest (=1) warunkiem wystarczającym =>
dla nie padania (~P) bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada
A2B2: ~CH|=>~P =~(A2:~CH~>~P)*(B2: ~CH=>~P) = ~(0)*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~CH?
Czytamy:
Implikacja prosta ~CH|=>~P w logice ujemnej (bo ~P) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => dla nie padania (~P) (zdanie B2) i jednocześnie nie jest warunkiem koniecznym ~> dla nie padania (~P) (zdanie A2)
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochurno (~CH)?
Odpowiedź na pytanie o ~CH w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” odczytujemy z kolumny A2B2:
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padało (~P)
~CH=>~P =1
W zapisie formalnym:
~p=>~q=1
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Dowód bezpośredni to:
Brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => dla braku opadów (~P) bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.
Brak chmur (~CH) daje nam gwarancję matematyczną => braku opadów (~P)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający B2 determinuje fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie).
B2’.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to może ~~> padać (P)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Dowód „nie wprost” fałszywości zdania B2’ wynika z definicji kontrprzykładu
Dowód wprost to:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH) i pada (P)
Podsumowanie:
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P to najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie chmury (CH) o czym mówią zdania B1 i A1’ oraz gwarancja matematyczna => po stronie „brak chmury” (~CH) o czym mówi zdanie B2.
Innymi słowy:
1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” o czym mówią zdania B1 i A1’
Czyli:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P) (zdanie B1) lub może ~~> nie padać (~P) (zdanie A1’)
2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padać (~P) - mówi o tym zdanie B2.
Zauważmy, że matematycznie kolejność wypowiadania zdań B1, A1’ B2, B2’ nie ma żadnego znaczenia, co oznacza, że linie B1, A1’, B2, B2’ można dowolnie przestawiać.
6.16 Definicja znaczków ## i ###
Zapiszmy wyprowadzone wyżej tabele prawdy implikacji prostej P|=>CH i odwrotnej CH|~>P jedna pod drugą.
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: p|=>q=~p*q
Punkt odniesienia:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
A1B1: P|=>CH=~P*CH
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
## - zapis formalny
### - zapis aktualny (przykład)
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: p|~>q=p*~q
Punkt odniesienia:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
A1B1: CH|~>P=CH*~P
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q=0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p=0 [=] 5:~p+ q =0
1: CH=> P=0 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~> CH=0 4:~P=>~CH=0 [=] 5:~CH+ P=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q=1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p=1 [=] 5: p+~q =1
1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji – dla zapisu formalnego (ogólnego)
### - różne na mocy błędu podstawienia – dla zapisu aktualnego (przykładu)
6.16.1 Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Relacja między definicją formalną implikacji prostej p|=>q a definicją aktualną implikacji odwrotnej odwrotną p|~>q to relacja różne na mocy definicji ##
Dowód:
| Kod: |
RIPIO:
Relacja między implikacją prostą p|=>q a odwrotną p|~>q
w zapisach formalnych
Tabela IP:
Implikacja prosta p|=>q w zapisach formalnych:
A1B1: Y=(p|=>q)=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q
Warunek wystarczający =>:
Y=(p=>q) =~p+ q # ~Y=~(p=>q) = p*~q
## ##
Implikacja prosta p|=>q:
Y=(p|=>q)=~p* q # ~Y=~(p|=>q)= p+~q
## ##
Tabela IO:
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisach formalnych:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p*~q
Warunek konieczny ~>:
Y=(p~>q) = p+~q # ~Y=~(p~>q) =~p* q
## ##
Implikacja odwrotna p|~>q:
Y=(p|~>q)= p*~q # ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli RIPIO definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
cnd
6.16.2 Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
Wprowadźmy do zapisanej wyżej tabeli relacji implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q (RIPIO) odpowiednie zapisy aktualne P|=>CH i CH|~>P
| Kod: |
RIPIO:
Formalna relacja między implikacją prostą p|=>q a odwrotną p|~>q
Aktualna relacja między implikacją prostą P|=>CH a odwrotną CH|~>P
Tabela IP:
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym:
A1: A1B1: Y=(p|=>q)=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q
Punkt odniesienia:
A2: p=P (pada)
A3: q=CH (chmury)
Implikacja prosta P|=>CH w zapisie aktualnym:
A4: A1B1: Y=(P|=>CH)=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=~P*CH
;
Warunek wystarczający => w zapisie formalnym:
A5: Y=(p=>q) =~p+ q # ~Y=~(p=>q) = p*~q
Warunek wystarczający => w zapisie aktualnym:
A6: Y=(P=>CH) =~P+ CH # ~Y=~(P=>CH) = P*~CH
## ##
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym:
A7: Y=(p|=>q) =~p* q # ~Y=~(p|=>q) = p+~q
Implikacja prosta P|=>CH w zapisie aktualnym:
A8: Y=(P|=>CH)=~P* CH # ~Y=~(P|=>CH)= P+~CH
## ##
----------------------------------------------------------
### ###
----------------------------------------------------------
Tabela IO:
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym:
B1: A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p*~q
Punkt odniesienia:
B2: p=CH (chmury)
B3: q=P (pada)
Implikacja odwrotna CH|~>P w zapisie aktualnym:
B4: A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=CH*~P
;
Warunek konieczny ~> w zapisie formalnym:
B5: Y=(p~>q) = p+ ~q # ~Y=~(p~>q) =~p* q
Warunek konieczny w zapisie aktualnym:
B6: Y=(CH~>P) = CH+~P # ~Y=~(CH~>P) =~CH*P
## ##
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym:
B7: Y=(p|~>q) = p* ~q # ~Y=~(p|~>q) =~p+ q
Implikacja odwrotna CH|~>P w zapisie aktualnym:
B8: Y=(CH|~>P)= CH*~P # ~Y=~(CH|~>P)=~CH+P
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji (dla zapisu formalnego)
### - różna na mocy błędu podstawienia (dla zapisu aktualnego)
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji w zapisie formalnym:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli RIPIO w zapisach formalnych {Y, p, q} definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
cnd
ALE!
Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy ich zapis formalny (teoria ogólna) jest niezgodny z zapisem aktualnym (przykład)
Uwypuklijmy to w tabeli RIPIO.
| Kod: |
RIPIO:
Znaczek różne na mocy definicji ##
vs
Znaczek różne na mocy błędu podstawienia ###
Zapisy formalne i aktualne:
Implikacja prosta p|=>q ## Implikacja odwrotna p|~>q
A1: Y=(p|=>q) =~p*q ## B1: Y=(p|~>q)= p*~q
Punkt odniesienia: ### Punkt odniesienia:
p=P (pada) ### p=CH (chmury)
q=CH (chmury) ### q=P (pada)
A4: Y=(P|=>CH)=~P*CH ### B4: Y=(CH|~>P = CH*~P
;
Zapis formalny i aktualny:
A5: Y=(p=>q) =~p+ q ## B5: Y=(p~>q) = p+ ~q
A6: Y=(P=>CH) =~P+ CH ### B6: Y=(CH~>P) = CH+~P
;
Zapis formalny i aktualny:
A7: Y=(p|=>q) =~p* q ## B7: Y=(p|~>q) = p* ~q
A8: Y=(P|=>CH)=~P* CH ### B8: Y=(CH|~>P)= CH*~P
Uwaga:
Zarówno iloczyn logiczny p*q jak i suma logiczna p+q są przemienne z czego
wynika, że po usunięciu linii ze znakiem różne na mocy definicji ## w liniach separowanych znakiem ### możemy zapisać tożsamość logiczną [=].
|
W powyższej tabeli doskonale widać znaczenia znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###.
Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy ich zapis formalny (teoria ogólna) jest niezgodny z zapisem aktualnym (przykład)
6.16.3 Prawo Kłapouchego = Kot Schrödingera
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: p|=>q=~p*q
Punkt odniesienia:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
A1B1: P|=>CH=~P*CH
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
###
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: p|~>q=p*~q
Punkt odniesienia:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
A1B1: CH|~>P=CH*~P
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q=0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p=0 [=] 5:~p+ q =0
1: CH=> P=0 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~> CH=0 4:~P=>~CH=0 [=] 5:~CH+ P=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q=1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p=1 [=] 5: p+~q =1
1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Gdzie:
### - dla zapisu aktualnego (przykład) różne na mocy błędu podstawienia
Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
Dwie funkcje logiczne są różna na mocy błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy ich zapis formalny (teoria ogólna) jest niezgodny z zapisem aktualnym (przykład)
Doskonale widać, że między implikacją prostą IP: p|=>q a implikacją odwrotną IO: p|~>q występuje błąd podstawienia ### w powiązaniu z zapisem aktualnym IP: P|=>CH oraz IO: CH|~>P
Zauważmy że:
W zapisie aktualnym błąd podstawienia ### dotyczy dowolnego zdania serii Ax w implikacji prostej IP względem dowolnego zdania serii Bx w implikacji odwrotnej IO.
Zauważmy, że jeśli pominiemy zapisy formalne to seria zdań prawdziwych Ax i i seria zdań prawdziwych Bx będzie identyczna i o żadnym błędzie podstawienia ### mowy być wówczas nie może.
Dowód:
| Kod: |
Jeśli pominiemy zapisy formalne to tabela zdań prawdziwych w implikacji prostej IP: P|=>CH i odwrotnej IO: CH~>P wygląda jak niżej:
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
[=]
IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
B: 1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
[=] - bez zapisu formalnego zachodzi tożsamość zdań serii Ax i Bx
|
Bez zapisów formalnych tożsamość zdań serii Ax i Bx jest oczywista, bo zdania możemy dowolnie przestawiać.
Wyobraźmy sobie, że mamy pudełko z czterema zdaniami prawdziwymi:
| Kod: |
Matematyczny raj 5-cio latka:
1: P=>CH=1 [=] 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P=1 [=] 4:~CH=>~P=1
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
|
Definicja ogólna tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów
Tożsame znaczki tożsamości logicznej które możemy stosować zamiennie w zależności od potrzeb:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
Dlaczego to jest matematyczny raj 5-cio latka?
Oczywistym jest, że 5-cio latek nie zna teorii algebry Kubusia którą tu poznajemy, jednak doskonale posługuje się w praktyce wszystkimi prawami logiki matematycznej.
Prawa logiki matematycznej w raju zna w praktyce każdy 5-cio latek:
Prawo Kubusia:
1: P=>CH = 2:~P~>~CH
[=]
Prawo Tygryska:
1: P=>CH = 3: CH~>P
[=]
Prawo Kubusia:
3: CH~>P = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
1: P=>CH = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
3: CH~>P = 2: ~P~>~CH
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej [=].
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
Zarówno treść zdań w raju 5-cio latka, jak i wszystkie prawa logiki matematycznej są doskonale znane każdemu 5-cio latkowi.
Aby to udowodnić udajmy się do przedszkola
Pani:
3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
3: CH~>P =1
Jasiu, czy chmury są konieczne ~> by padało?
Jaś (lat 5):
Tak, bo padać może wyłącznie z chmurki
Pani:
Jasiu, a jeśli jutro nie będzie pochmurno to może padać czy może nie padać?
Jaś:
Prawo Kubusia:
3: CH~>P = 4:~CH=>~P
Jaś:
4:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padać (~P)
4: ~CH=>~P =1
Pani:
Czy brak chmur (~CH) daje nam gwarancję => nie padania (~P)?
Jaś:
Tak, bo zawsze gdy nie ma chmur, to nie pada
Pani:
Prawo kontrapozycji:
4: ~CH=>~P = 1: P=>CH
Pani:
Jasiu, jeśli jutro będzie padało to może być pochmurno lub może nie być pochmurno?
Jaś:
1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100%=> będzie pochmurno (CH)
1: P=>CH =1
Pani:
Jasiu czy padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH)
Jaś:
Tak, bo zawsze gdy pada, są chmury
Pani:
Jasiu, a jeśli jutro nie będzie padało?
Jaś:
Prawo Kubusia:
1: P=>CH = 2: ~P~>~CH
2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
2: ~P~>~CH =1
Pani:
Czy brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH)?
Jaś:
Tak, brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH) bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
2: ~P~>~CH = 1: P=>CH
Jak widzimy w ostatnim zdaniu prawo Kubusia samo Jasiowi wyskoczyło, mimo że nie jest tego świadom.
Podsumowując:
Wszyscy ludzie, od 5-cio latka poczynając na ziemskim matematyku kończąc podlegają pod algebrę Kubusia nie mając żadnych szans by się od niej uwolnić, tylko póki co, o tym nie wiedzą.
Zapiszmy jeszcze raz matematyczny raj 5-cio latka:
| Kod: |
Matematyczny raj 5-cio latka:
1: P=>CH=1 [=] 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P=1 [=] 4:~CH=>~P=1
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
|
Zauważmy że przykładowe zdanie:
1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH
Może należeć do implikacji prostej P|=>CH (A1: P=>CH) albo do różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej CH|~>P (B3: P=>CH).
Takie niuanse 5-cio latka zupełnie nie interesują, nie są mu do niczego potrzebne i w niczym nie ograniczają jego biegłego posługiwania się prawami logiki matematycznej.
Inaczej jest z matematykiem, znającym teorię algebry Kubusia którą tu omawiamy.
Matematyka nie może być niejednoznaczna tzn. matematyk A mówi że zdanie P=>CH należy do implikacji prostej A1B1: P|=>CH (A1: P=>CH), zaś matematyk B twierdzi, że zdanie P=>CH należy do różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej A1B1: CH|~>P (B3: P=>CH)
Jednoznaczność matematyki dla wszystkich matematyków uzyskamy w banalny sposób wprowadzając do logiki matematycznej prawo Kłapouchego.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Wniosek:
Prawo Kłapouchego wymusza na wszystkich matematykach identyczny punkt odniesienia i poprzez analogię jest tożsame z otwarciem drzwiczek do pudełka z kotem Schrödingera.
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Prawo Kłapouchego = otwarcie drzwiczek do pudełka z kotem Schrödingera.
Innymi słowy:
1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
Przed zastosowaniem prawa Kłapouchego jeśli spytamy dowolnego matematyka czy powyższe zdanie 1 wchodzi w skład implikacji prostej IP:
IP: A1B1: P|=>CH (A1: P=>CH)
to samo w zapisie formalnym:
IP: A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)
czy też w skład różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej IO:
IO: A1B1: CH|~>P (B3: P=>CH)
to samo w zapisie formalnym:
IO: A1B1: p|~>q (B3: q=>p)
matematyk ów musi odpowiedzieć:
NIE WIEM!
.. dopóki nie zastosuje prawa Kłapouchego.
Uwaga:
Nie wolno nam twierdzić, że zdanie 1: P=>CH może kiedykolwiek należeć (stan drzwiczek jest tu nieistotny) równocześnie do implikacji prostej IP: p|=>q i różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej IO: p|~>q, bo to jest fizycznie niemożliwe, czego dowodem jest prawo Puchacza (pkt. 1.6)
Analogicznie w stosunku do pudełka z kotem Schrödingera nie wolno nam twierdzić, że dopóki nie otworzymy drzwiczek to kot jest jednocześnie żywy i martwy - to jest matematyczny fałsz, co udowadnia przykład z logiki matematycznej wyżej opisany.
[link widoczny dla zalogowanych]
| Kot Schrödingera napisał: |
Jeden z najsłynniejszych eksperymentów świata. Prawie każdy coś słyszał o „Kocie Schrödingera”, ale już nie każdy pojął, o co w tym wszystkim chodziło. Co ma kot do fizyki? Czemu go zabili, a może go jednak nie zabili?
„Koci” eksperyment został opisany w 1935 roku przez znakomitego austriackiego fizyka Erwina Schrödingera. Specjalnie piszemy, że eksperyment został opisany a nie przeprowadzony, ponieważ był to eksperyment myślowy. Oznacza to, że żaden kot w jego trakcie nie ucierpiał.
Eksperyment ten jest próbą wyjaśnienia zasad mechaniki kwantowej na przykładzie obiektów w skali makro. Opisane w nim zjawisko nazwane jest superpozycją. Polega to na tym, że obiekt przyjmuje wszystkie możliwe stany w tym samym momencie. W eksperymencie Schrödingera w tym samym momencie kot jest żywy i martwy. Ale uwaga – sytuacja ta ma miejsce w pod warunkiem, że pudełko jest zamknięte i nie widzimy, co się dzieje z kotem w środku. Dopiero w momencie obserwacji obiektu (w tym przypadku kota) przyjmuję on tylko jeden z możliwych stanów. Po otwarciu pudełka zastaniemy kota martwego lub żywego. Następuję załamanie funkcji falowej. |
[link widoczny dla zalogowanych]
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 14:57, 01 Lip 2022, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35517
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 20:17, 19 Cze 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.0 Spójniki równoważności p<=>q i „albo”($) p$q
Spis treści
9.0 Spójniki równoważności p<=>q i „albo”($) p$q 1
9.0 Spójniki równoważności p<=>q i „albo”($) p$q
Spójniki równoważności p<=>q i „albo”($) to niesłychane rzadkości w otaczającym nas wszechświecie, gdzie królują poznane wyżej implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Tabela wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych TF2.
| Kod: |
TF2
Tabela prawdy wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych Y
w logice dodatniej (bo Y)
|Grupa I |Grupa II |Grupa III | Grupa IV
|Spójniki „i”(*)|Spójniki =>, ~>|Spójniki <=>, $ | Wejścia
|oraz „lub”(+) ||=>, |~> ||~~>, ~(|~~>q) | p i q
| Y Y | Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y
p q | * + | ~* ~+ | => ~> |=> |~> | <=> $ |~~> ~(|~~>)| p q ~p ~q
A: 1 1 | 1 1 | 0 0 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 1 1 0 0
B: 1 0 | 0 1 | 1 0 | 0 1 0 1 | 0 1 1 0 | 1 0 0 1
C: 0 1 | 0 1 | 1 0 | 1 0 1 0 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0
D: 0 0 | 0 0 | 1 1 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 0 0 1 1
A A A A A A A A A A A A A A A A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
|
Definicje podstawowych spójników logicznych obsługujących zdania warunkowe „Jeśli p to q”
| Kod: |
TF4-7
-------------------------------------------------------------------------
Tabela prawdy podstawowych spójników obsługujących zdania „Jeśli p to q”:
TF4-5:
Warunek wystarczający => i konieczny ~>
A4.
Warunek wystarczający p=>q:
Y= p=>q
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
;
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y= p=>q = ~p+q # ~Y=~(p=>q) = p*~q
##
A5.
Warunek konieczny p~>q:
Y= p~>q
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
;
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y= p~>q = p+~q # ~Y=~(p|~>q)=~p* q
##
------
TF6-7:
Spójniki implikacyjne p|=>q i p|~>q:
A6.
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1),
ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q
;
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p|=>q = ~p* q # ~Y=~(p|=>q)= p+~q
##
A7.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (B1),
ale nie jest wystarczające => dla zajścia q (A1)
;
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p|~>q = ~p* q # ~Y=~(p|~>q)= p+~q
##
---------------------------------------------------------------------
| TF8-9: |
| Spójniki równoważnościowe p<=>q i p$q |
---------------------------------------------------------------------
A8.
Równoważność p<=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
;
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p<=>q= p* q + ~p*~q # ~Y=~(p<=>q)= p*~q + ~p* q
##
A9.
Spójnik „albo”($):
A1: p=>~q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
;
Definicja spójnika „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p$q= p*~q + ~p* q # ~Y= ~(p$q) = p* q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF4-9 obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 13:09, 20 Cze 2022, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35517
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 21:36, 19 Cze 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.1 Równoważność p<=>q
Spis treści
9.1 Równoważność p<=>q 1
9.1.1 Matematyczna definicja równoważności p<=>q 3
9.1.2 Prawa Irbisa dla zbiorów i zdarzeń 6
9.2 Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) 8
9.2.1 Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) 10
9.2.2 Operator równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) 13
9.2.3 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach 13
9.1 Równoważność p<=>q
Przypomnijmy sobie definicje podstawowe:
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej [=] dla zapisu wieloczłonowego (patrz prawo Słonia niżej)
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy i tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
9.1.1 Matematyczna definicja równoważności p<=>q
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q.
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Matematyka klasyczna zajmuje się dowodzeniem twierdzeń prostych A1: p=>q oraz twierdzeń odwrotnych B3: q=>p rozpoznając poprawnie wyłącznie równoważność p<=>q
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Relacja między twierdzeniem prostym p=>q a odwrotnym q=>p to relacja różne na mocy definicji ##:
A1: p=>q = ~p+q ## B3: q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zastanówmy się nad efektywnymi sposobami dowodzenia równoważności p<=>q w matematyce klasycznej, gdzie operuje się wyłącznie na zbiorach nieskończonych.
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy i tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Z prawa Słonia wynika, że:
1.
Jeśli udowodnimy prawdziwość twierdzenia prostego A1: p=>q to automatycznie udowodnimy zachodzącą relację podzbioru p=>q:
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
2.
Jeśli udowodnimy prawdziwość twierdzenia odwrotnego B3: q=>p to automatycznie udowodnimy relację podzbioru q=>p:
B3: q=>p =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
Zapiszmy nasze wnioskowanie z prawa Słonia.
Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
A1B3:
Równoważność p<=>q to prawdziwość twierdzenia prostego A1: p=>q i jednoczesna prawdziwość twierdzenia odwrotnego B3: q=>p
Innymi słowy na mocy prawa Słonia:
Równoważność p<=>q to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony:
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B3: q=>p =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
Stąd mamy:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
Ostatnie zdanie to doskonale znana każdemu matematykowi definicja tożsamości zbiorów p=q.
Definicja tożsamości zbiorów p i q (p=q) w relacjach podzbioru =>:
A1B3:
Dwa zbiory p i q są tożsame (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Dla B3 zastosujmy prawo kontrapozycji:
B3: q=>p = B1: p~>q
Stąd mamy tożsamą definicję tożsamości zbiorów.
Definicja tożsamości zbiorów p i q (p=q) w relacji podzbioru => i nadzbioru ~>:
A1B1:
Dwa zbiory p i q są tożsame (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
9.1.2 Prawa Irbisa dla zbiorów i zdarzeń
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy i tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Na mocy prawa Słonia dla zbiorów mamy.
Definicja tożsamości zbiorów p i q (p=q) w warunku wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1:
Dwa zbiory p i q są tożsame (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q.
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Na mocy prawa Słonia dla zdarzeń mamy.
Definicja tożsamości zdarzeń p i q (p=q) w warunku wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1.
Dwa zdarzenia p i q są tożsame (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q.
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Prawo Irbisa dla zdarzeń:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy ogólne prawo Irbisa.
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Tabela prawdy równoważności p<=>q uwzględniająca prawo Irbisa:
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
----------------------------------------------------------------
Równoważność <=> definiuje: | Równoważności <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q = 2:~p<=>~q [=] 3: q<=>p = 4:~q<=>~p [=] 5: p*q+~p*~q
tożsamość zbiorów/zdarzeń: | tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Doskonale widać że:
1.
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q:
A1B1:
Dwa zbiory/zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q.
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
2.
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=~q:
A2B2:
Dwa zbiory/zdarzenia ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajęcie ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q.
A2B2: ~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)= A2B2: ~p<=>~q
3.
Kolumna A3B3 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń q=p:
A3B3.
Dwa zbiory/zdarzenia q i p są tożsame q=p wtedy i tylko wtedy gdy zajście q jest konieczne ~> (A3) i wystarczające => (B3) dla zajścia p.
A3B3: q=p <=> (A3: q~>p)*(B3: q=>p) = A3B3: q<=>p
4.
Kolumna A4B4 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~q=~p:
A4B4:
Dwa zbiory/zdarzenia ~q i ~p są tożsame ~q=>~p wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~q jest konieczne ~> (B4) i wystarczające => A4) dla zajścia ~p
A4B4: ~q=~p <=> (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p) = A4B4: ~q<=>~p
Przemienność w tożsamości zbiorów/zdarzeń jest oczywista, stąd mamy tożsamości:
A1B1: p=q [=] A3B3: q=p
#
A2B2: ~p=~q [=] A4B4: ~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony we wspólnej dziedzinie D
W równoważności p<=>q wspólna dziedzina D to suma logiczna zbiorów/zdarzeń niepustych:
D=p*q+~p*~q
W równoważności p<=>q zachodzi tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q wymuszająca tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=~q.
Stąd mamy dowód poprawności dziedziny D:
D = p*q + ~p*~q = p*p +~p*~p = p+~p=1
cnd
9.2 Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q)
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa.
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
----------------------------------------------------------------
Równoważność <=> definiuje: | Równoważności <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q = 2:~p<=>~q [=] 3: q<=>p = 4:~q<=>~p [=] 5: p*q+~p*~q
tożsamość zbiorów/zdarzeń: | tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
Kolumna A1B1:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Na mocy prawa Sowy równoważność prawdziwa p<=>q determinuje prawdziwość operatora równoważności p|<=>q (albo odwrotnie)
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =(~p+q)*(p+~q) = ~p*p+~p*~q+q*p+q*~q=p*q+~p*~q
Do zapamiętania:
p<=>q = p*q+~p*~q
W tabeli TR na mocy kolumny A2B2 odczytujemy tożsamą definicję równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q).
A2B2.
Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~>, jak i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Dowód:
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =1
cnd
Innymi słowy:
Prawa Kubusia:
A1: p=>q=1 <=> A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q=1 <=> B2: ~p=>~q =1
<=> - wtedy i tylko wtedy
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
„=”, [=], <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej.
9.2.1 Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q)
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Na mocy prawa Sowy równoważność prawdziwa p<=>q determinuje prawdziwość operatora równoważności p|<=>q (albo odwrotnie)
Definicja operatora równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom.
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q:
Dwa zbiory/zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q.
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zbiory:
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zdarzenia:
Zajście zdarzenia p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia q
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: p i ~q
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: p i ~q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
… co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom.
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=~q:
Dwa zbiory/zdarzenia ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajęcie ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q.
A2B2: ~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)= A2B2: ~p<=>~q
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zbiory:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Zdarzenia:
Zajście zdarzenia ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia ~q
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~p i q
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: ~p i q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
Podsumowując:
Równoważność p<=>q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań tworzących operator równoważności p|<=>q (A1, A1’,B2, B2’) jest bez znaczenia co oznacza, iż zdania w powyższej analizie możemy dowolnie przestawiać
9.2.2 Operator równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q)
Definicja operatora równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny.
Stąd mamy tożsamą definicję operatora równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q).
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p<=>q = p|<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q = ~p|<=>~q = p*q+~p*~q
Gdzie:
„=”, [=], <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Definicja znaczka równoważności <=> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q+~p*~q
stąd mamy:
~p<=>~q = (~p)*(~q)+ ~(~p)*~(~q) = p*q+~p*~q
Czyli:
p<=>q = ~p<=>~q
cnd
Definicja operatora równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Operator równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na dwa pytania o ~p i p:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
Kluczowy wniosek:
Analiza operatora równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 (kiedy zajdzie ~p?) kończąc na kolumnie A1B1 (kiedy zajdzie p?)
9.2.3 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Zacznijmy od znanego nam diagramu implikacji prostej DIP: p|=>q.
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne, co widać w diagramie DIP
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Ważna uwaga:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach dzieli dziedzinę D na trzy zbiory A1, B2’ i A2 niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
Dowód w diagramie implikacji prostej DIP niżej.
Stąd mamy diagram implikacji prostej DIP: p|=>q:
| Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+ A2:~p*~q+ B2’:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
W implikacji prostej p|=>q po stronie p mamy gwarancję matematyczną =>
o czym mówi zdanie A1: p=>q=1
2.
W implikacji prostej p|=>q po stronie ~p mamy najzwyklejsze
„rzucanie monetą” o czym mówią zdania A2: ~p~~>~q=1 oraz B2’: ~p~~>q=1
3.
Implikacja prosta p|=>q to trzy i tylko trzy zbiory niepuste (A1, B2’, A2)
i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
|
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Na mocy prawa Irbisa w diagramie implikacji prostej DIP p|=>q musimy zrównać ze sobą zbiory p i q, bo w równoważności zachodzi tożsamość zbiorów p=q.
Innymi słowy:
W diagramie implikacji prostej DIP p|=>q musimy usunąć zbiór B2’ bowiem ten zbiór w równoważności p<=>q jest zbiorem pustym.
Po usunięciu pola B2’ z diagramu implikacji prostej DIP otrzymujemy poprawny diagram równoważności DR.
| Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Dla B1 stosujemy prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Stąd mamy tożsamą definicje równoważności:
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q)=1*1=1
-----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|-------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|-------------------------|-------------------------------------------|
| p=q # ~p=~q |
|---------------------------------------------------------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
| Prawo Irbisa: | Prawo Irbisa: |
| A1B1: p<=>q = A1B1: p=q | A2B2: ~p<=>~q = A2B2: ~p=~q |
|---------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty |
|---------------------------------------------------------------------|
| Diagram równoważności p<=>q definiujący tożsamość zbiorów: |
| p=q # ~p=~q |
| Gdzie: |
| # - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony |
-----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
3.
W definicji równoważności p<=>q nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
Wniosek z diagramów DIP: p|=>q i DR: p<=>q:
Diagram implikacji prostej DIP: p|=>q gdzie jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła (zdania A2 i B2’) to fundamentalnie co innego niż diagram równoważności DR: p<=>q gdzie o żadnym „rzucaniu monetą” mowy być nie może.
Z diagramu równoważności DR: p<=>q doskonale widać, że dziedzina D musi być szersza od sumy zbiorów p+q
D>p+q
Dowód:
Jeśli przyjmiemy dziedzinę D=p+q to oba zbiory ~p i ~q będą zbiorami pustymi, czyli będą nierozpoznawalne, co widać na diagramie DR.
Dowód tożsamy metodą „nie wprost”:
Załóżmy dziedzinę:
D=p+q = p =q - bo zachodzi tożsamość zbiorów p=q
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów ~p i ~q definiowane jako uzupełniania zbiorów p i q do dziedziny D
~p=[D-p]=[p-p]=[]
~q=[D-q]=[q-q]=[]
Jak widzimy, oba zbiory ~p i ~q są zbiorami pustymi, czyli są nierozpoznawalne.
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach w logice dodatniej (bo p):
Zbiór/zdarzenie p jest podzbiorem => zbioru/zdarzenia q i jest tożsamy ze zbiorem/zdarzeniem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów/zdarzeń p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne, co doskonale widać na diagramie DR
A1: p=>q =1 - zbiór/zdarzenie p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór/zdarzenie p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia q (z definicji)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zbiór/zdarzenie p jest (=1) nadzbiorem ~> (B1) zbioru/zdarzenia q i jednocześnie zbiór/zdarzenie p jest podzbiorem => (A1) zbioru/zdarzenia q
Omówimy teraz szczegółowo wyprowadzony wyżej diagram równoważności w zbiorach/zdarzeniach:
| Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Dla B1 stosujemy prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Stąd mamy tożsamą definicje równoważności:
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q)=1*1=1
-----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|-------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|-------------------------|-------------------------------------------|
| p=q # ~p=~q |
|---------------------------------------------------------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
| Prawo Irbisa: | Prawo Irbisa: |
| A1B1: p<=>q = A1B1: p=q | A2B2: ~p<=>~q = A2B2: ~p=~q |
|---------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty |
|---------------------------------------------------------------------|
| Diagram równoważności p<=>q definiujący tożsamość zbiorów: |
| p=q # ~p=~q |
| Gdzie: |
| # - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony |
-----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór/zdarzenie p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia q
B1: p~>q =1 - zbiór/zdarzenie p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia q
Stąd:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Wnioski:
Równoważność A1B1: p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
A2B2:
A2:~p~>~q=1 -zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia ~q
B2:~p=>~q=1 -zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Wnioski:
Równoważność ~p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
II
Po zamianie p i q
A3B3:
A3: q~>p =1 - zbiór/zdarzenie q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia p
B3: q=>p =1 - zbiór/zdarzenie q jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia p
stąd:
A3B3: q<=>p=(A3: q~>p)*(B3: q=>p)=1*1=1
Wnioski:
Równoważność q<=>p definiuje tożsamość zbiorów q=p
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
A4B4:
A4:~q=>~p=1 -zbiór/zdarzenie ~q jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~p
B4:~q~>~p=1 -zbiór/zdarzenie ~q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia ~p
Stąd:
A4B4: ~q<=>~p=(A4:~q=>~p)*(B4:~q~>~p)=1*1=1
Wnioski:
Równoważność ~q<=>~p definiuje tożsamość zbiorów ~q=~p
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory/zdarzenia niepuste i rozłączne
p=q oraz ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny D
3.
W definicji równoważności p<=>q nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
Dodatkowego wyjaśnienia wymagają wnioski w części I przed zamianą p i q oraz w części II po zamianie p i q.
Tożsamość zbiorów jest przemienna:
A1B1: p=q [=] A3B3: q=p
#
A2B2: ~p=~q [=] A4B4: ~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony w obrębie dziedziny D
Dla zbiorów p i ~p mamy:
p+~p=1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p
p*~p=[] - zbiory p i ~p są rozłączne
Tak samo dla zbiorów q i ~q:
q+~q=1 - zbiór ~q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru q
q*~q=[] - zbiory q i ~q są rozłączne
Z powyższego wynika, że wystarczy omówić wnioski z części I przed zamiana p i q
| Kod: |
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór/zdarzenie p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia q
B1: p~>q =1 - zbiór/zdarzenie p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia q
Stąd:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Wnioski:
Równoważność A1B1: p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
A2B2:
A2:~p~>~q=1 -zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia ~q
B2:~p=>~q=1 -zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Wnioski:
Równoważność ~p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory/zdarzenia niepuste i rozłączne
p=q oraz ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
3.
W definicji równoważności p<=>q nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Lewa strona tożsamości logicznej [=] definiuje tożsamość zbiorów p=q:
p=q <=> A1B1: (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Dwa zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
Prawa strona tożsamości logicznej [=] definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q:
~p=~q <=> (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q (B2) i jednocześnie zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q (A2)
W algebrze Kubusia tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=>
Oczywistym jest, że z faktu zachodzącej tożsamości logicznej:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
Wynika iż zbiory p=q i ~p=~q są rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny, do widać na diagramie DR.
Stąd dla diagramu DR możemy zapisać:
| Kod: |
DMZR
Diagram matematycznych związków w równoważności dla zbiorów:
Równoważność p<=>q: [=] Równoważność ~p<=>~q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
Definiująca tożsamość zbiorów | Definiująca tożsamość zbiorów:
p=q # ~p=~q
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
w obrębie tej samej dziedziny D
Dziedzina D w równoważności to dwa zbiory niepuste i wzajemnie rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny D.
Stąd:
D=p+~p =1
Zapis tożsamy:
D=q+~q=1
bo zachodzi tożsamość zbiorów p=q wymuszająca tożsamość zbiorów ~p=~q
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
~p=[D-p]=[p+~p-p]=~p
~q=[D-q]=[q+~q-q]=~q
Zachodzi prawo podwójnego przeczenia:
Zbiór p w logice dodatniej (bo p) to negacja # zbioru ~p w logice ujemnej (bo ~p) w dziedzinie D
p=~(~p)
Zbiór q w logice dodatniej (bo q) to negacja # zbioru ~q w logice ujemnej (bo ~q) w dziedzinie D
q=~(~q)
Oczywiście zachodzi również:
Zbiór ~p w logice ujemnej (bo ~p) to negacja # zbioru p w logice dodatniej (bo p) w dziedzinie D
~p=~(p)
Zbiór ~q w logice ujemnej (bo ~q) to negacja # zbioru q w logice dodatniej (bo q) w dziedzinie D
~q=~(q)
Jak widzimy, od strony czysto matematycznej jest tu wszystko w porządku.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35517
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 7:12, 20 Cze 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.3 Przykłady równoważności p<=>q w zbiorach oraz w zdarzeniach
Spis treści
9.3 Przykład równoważności TP<=>SK w zbiorach 1
9.3.1 Operator równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK) 6
9.3.2 Operator równoważności ~TP|<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK) 9
9.3.3 Relacje zbiorów w definicji równoważności TP<=>SK 9
9.3.4 Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach 12
9.3.5 Równoważność dwukierunkowa TP<=>SK w zbiorach 14
9.4 Przykład równoważności A<=>S w zdarzeniach 15
9.4.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach 19
9.4.2 Równoważności jednokierunkowa A<=>S w zdarzeniach 22
9.3 Przykład równoważności TP<=>SK w zbiorach
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Stąd mamy:
Tabela prawdy równoważności p<=>q:
| Kod: |
TR
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy i tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Zadanie:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
Rozwiązanie:
W.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK =?
Na mocy prawa Kłapouchego zapisujemy wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia:
p=TP - zbiór trójkątów prostokątnych
q=SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów
Przyjmujemy dziedzinę minimalną:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Obliczamy przeczenia zbiorów ~TP i ~SK definiowane jako uzupełnienia zbiorów TP i SK do wspólnej dziedziny ZWT.
~TP=[ZWT-TP] - zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP)
~SK=[ZWT-SK] - zbiór trójkątów z niespełnioną sumą kwadratów (~SK)
Jeśli p to q
Po stronie poprzednika p dowolny trójkąt może być prostokątny (TP) albo być nieprostokątny (~TP) - trzeciej możliwości brak
Po stronie następnika q w dowolnym trójkącie może być spełniona suma kwadratów (SK) albo może nie być spełniona suma kwadratów (~SK) - trzeciej możliwości brak
Wszystkie możliwe kombinacje zbiorów jakie mogą wystąpić między p i q opisuje seria czterech zdań warunkowych przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~>:
A.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
TP~~>SK = TP*SK=1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów TP i SK np. [3,4,5]
Tu wystarczy pokazać jeden trójkąt prostokątny TP w którym spełniona jest suma kwadratów (SK) np. [3,4,5], co kończy dowód prawdziwości zdania A
cnd
B.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
TP~~>~SK = TP*~SK=?
Tu przez iterowanie ciężko jest znaleźć wspólny element zbiorów TP i ~SK.
Na razie podejrzewamy tylko że zbiory TP i ~SK są rozłączne.
C.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
~TP~~>~SK = ~TP*~SK =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~TP i ~SK np. [3,4,6]
Tu wystarczy pokazać jeden trójkąt nieprostokątny ~TP w którym nie jest spełniona suma kwadratów (~SK) np. [3,4,6], co kończy dowód prawdziwości zdania C
cnd
D.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK=?
Tu przez iterowanie ciężko jest znaleźć wspólny element zbiorów ~TP i SK.
Na razie podejrzewamy tylko że zbiory ~TP i SK są rozłączne.
Zauważmy, że po stronie trójkątów prostokątnych (TP) podejrzewamy, że zdanie B jest fałszem.
Jak to udowodnić matematycznie?
Oczywiście dowodem „nie wprost” zakładając, że zdanie B jest fałszem:
B: TP~~>~SK = TP*~SK=0
Stąd na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy musi być warunek wystarczający => A:
A.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
To jest twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu.
Kluczowym jest tu pytanie co oznacza prawdziwość warunku wystarczającego => A?
Odpowiedź na mocy prawa Słonia:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=TP
q=SK
Stąd mamy:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1: TP=>SK determinuje prawdziwość kompletnej linii Ax w tabeli T0.
| Kod: |
T0.
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p =1 [=] 5:~p+ q =1
1: TP=> SK=1 2:~TP~>~SK=1 [=] 3: SK~> TP=1 4:~SK=>~TP=1 [=] 5:~TP+ SK=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =? 2:~p=> ~q =? [=] 3: q=> p =? 4:~q~> ~p =? [=] 5: p+ ~q =?
1: TP~> SK=? 2:~TP=>~SK=? [=] 3: SK=> TP=? 4:~SK~>~TP=? [=] 5: TP+~SK=?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Wybieramy zdanie B3 bowiem warunek wystarczający => bez negacji p i q zawsze dowodzi się najprościej.
Dodatkową zaletą tego wyboru jest błyskawiczne znalezienie prawdziwego kontrprzykładu (jeśli istnieje) a tym samym udowodnienie fałszywości badanego warunku wystarczającego.
B3.
Jeśli w dowolnym trójkącie spełniona jest suma kwadratów (SK) to ten trójkąt na 100% => jest prostokątny (TP)
SK=>TP=1
To samo w zapisie formalnym:
q=>p =1
To jest twierdzenie odwrotne Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu.
Kluczowym jest tu pytanie co oznacza prawdziwość warunku wystarczającego => B3?
Odpowiedź na mocy prawa Słonia:
Bycie trójkątem w którym spełniona jest suma kwadratów (SK) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten trójkąt był prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP)
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego => B3: SK=>TP wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx.
Stąd mamy:
| Kod: |
TR
Definicja równoważności p<=>q w zapisie formalnym:
Równoważność p<=>q to spełniony zarówno warunek konieczny ~> (B1) jak i
wystarczający => (A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku A1: p=>q=1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Na mocy prawa Słonia równoważność TP<=>SK w zapisie aktualnym to:
A1: TP=>SK=1 - zbiór TP jest podzbiorem => SK
B1: TP~>SK=1 - zbiór TP jest nadzbiorem ~> SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Punkt odniesienia to:
p=TP
q=SK
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności TP<=>SK
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p =1 [=] 5:~p+ q =1
1: TP=> SK=1 2:~TP~>~SK=1 [=] 3: SK~> TP=1 4:~SK=>~TP=1 [=] 5:~TP+ SK=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p =1 [=] 5: p+ ~q =1
1: TP~> SK=1 2:~TP=>~SK=1 [=] 3: SK=> TP=1 4:~SK~>~TP=1 [=] 5: TP+~SK=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W tabeli TR mamy rozstrzygnięcie, iż badane zdanie:
W =B2’
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
B2’: ~TP~~>SK = ~TP*SK =0
wchodzi w skład operatora równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK)
Dowód:
Z prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK=1 wynika fałszywość kontrprzykładu B2’:
B2’.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
B2’: ~TP~~>SK = ~TP*SK =0
cnd
9.3.1 Operator równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK)
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy i tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Na mocy prawa Słonia możemy w dowolnym momencie:
a) Relację podzbioru => zastąpić warunkiem wystarczającym => ( albo odwrotnie)
b) Relację nadzbioru ~> zastąpić warunkiem koniecznym ~> (albo odwrotnie)
Stąd mamy:
| Kod: |
TR
Definicja równoważności p<=>q w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)8(B1: p~>q)=1*1=1
Definicja równoważności TP<=>SK w zapisie aktualnym {TP,SK}:
A1: TP=>SK=1 - bycie trójkątem TP jest (=1) wystarczające => dla SK
B1: TP~>SK=1 - bycie trójkątem TP jest (=1) konieczne ~> dla SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności TP<=>SK
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p =1 [=] 5:~p+ q =1
1: TP=> SK=1 2:~TP~>~SK=1 [=] 3: SK~> TP=1 4:~SK=>~TP=1 [=] 5:~TP+ SK=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p =1 [=] 5: p+ ~q =1
1: TP~> SK=1 2:~TP=>~SK=1 [=] 3: SK=> TP=1 4:~SK~>~TP=1 [=] 5: TP+~SK=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla równoważności Pitagorasa przyjmujemy dziedzinę minimalną:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Definicja operatora równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK):
Operator równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o TP i ~TP:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy TP?
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy ~TP?
A1B1:
Co się stanie jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt prostokątny TP?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: TP=>SK=1 - bycie TP jest wystarczające => dla zachodzenia SK
B1: TP~>SK=1 - bycie TP jest konieczne ~> dla zachodzenia SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
Całość czytamy:
Definicja równoważności TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) to tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów.
Ta definicja równoważności TP<=>SK jest doskonale znana wszystkim ludziom.
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK=1
To jest twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu.
Kluczowym jest tu pytanie co oznacza prawdziwość warunku wystarczającego => A1?
Odpowiedź na mocy prawa Słonia to:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
TP~~>~SK=TP*~SK=0
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: TP i ~SK
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: TP=>SK=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
cnd
A2B2:
Co się stanie jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt nieprostokątny ~TP?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~TP~>~SK=1 - bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem koniecznym ~>
dla nie zachodzenia sumy kwadratów (~SK)
B2: ~TP=>~SK=1 - bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem wystarczającym =>
dla nie zachodzenia sumy kwadratów (~SK)
Stąd:
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest nieprostokątny (~TP) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
Całość czytamy:
Równoważność ~TP<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) to tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK)
Ta definicja równoważności ~TP<=>~SK jest doskonale znana wszystkim ludziom.
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
~TP=>~SK=1
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK)
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) nieprostokątnym (~TP) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK=1 dowodzimy korzystając z prawa kontrapozycji.
Prawo kontrapozycji:
B2: ~TP=>~SK = B3: SK=>TP
Zdanie B3: SK=>TP to twierdzenie odwrotne Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu.
Prawo kontrapozycji gwarantuje nam prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK=0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~TP i SK.
Dowód:
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’: ~TP~~>SK=0 (i odwrotnie)
Prawdziwość zdania B2’ wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost” - nic a nic nie musimy więcej udowadniać.
Podsumowując:
Równoważność TP<=>SK to gwarancja matematyczna => po stronie TP, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna po stronie ~TP o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań warunkowych A1, A1’, B2. B2’ wchodzących w skład operatora równoważności TP|<=>SK jest bez znaczenia, czyli linie w powyższej analizie możemy dowolnie przestawiać.
9.3.2 Operator równoważności ~TP|<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK)
Definicja operatora równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK):
Operator równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o TP i ~TP:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy TP?
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy ~TP?
Układ równań logicznych jest przemienny.
Stąd mamy tożsamą definicję operatora równoważności ~TP|<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK)
Definicja operatora równoważności ~TP|<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK):
Operator równoważności ~TP|<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK) to układ równań A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na dwa pytania o ~TP i TP:
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy ~TP?
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy TP?
Kluczowy wniosek:
Analiza operatora równoważności ~TP|<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK) będzie identyczna jak operatora równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 (kiedy zajdzie ~TP?) kończąc na kolumnie A1B1 (kiedy zajdzie TP?)
9.3.3 Relacje zbiorów w definicji równoważności TP<=>SK
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Weźmy matematyczną definicję równoważności doskonale znaną wszystkim matematykom.
Matematyczna definicja równoważności TP<=>SK:
Równoważność TP<=>SK to jednoczesna prawdziwość twierdzenia prostego (A1: TP=>SK=1) i twierdzenia odwrotnego (B3: SK=>TP=1)
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Innymi słowy na mocy prawa Słonia mamy:
Matematyczna definicja równoważności TP<=>SK
Równoważność TP<=>SK to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest wystarczające => dla zajście SK (twierdzenie proste Pitagorasa)
B3: SK=>TP=1 - zajście SK jest wystarczające => dla zajścia TP (twierdzenie odwrotne Pitagorasa)
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Równoważność w zbiorach TP<=>SK jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście TP jest wystarczające => dla zajścia SK (A1) i jednocześnie zajście SK jest wystarczające => dla zajścia TP (B3)
Innymi słowy na mocy prawa Słonia mamy:
Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność w zbiorach TP<=>SK jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1: TP=>SK=1) i jednocześnie zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (B3: SK=>TP=1)
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Zauważmy że prawa strona to znana każdemu matematykowi definicja tożsamości zbiorów TP=SK
Stąd mamy:
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Dla B3 zastosujmy prawo Tygryska:
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK
Stąd mamy kolejną, tożsamą definicję tożsamości zbiorów TP=SK.
Tożsama definicja tożsamości zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1: TP=>SK=1) i jednocześnie zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK (B1: TP~>SK=1)
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = A1B1: TP<=>SK
| Kod: |
TR
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności TP<=>SK z uwzględnieniem prawa Irbisa
Gdzie w zbiorach zachodzą tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
A1: TP=>SK=1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK
B1: TP~>SK=1 - zbiór TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru SK
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 = 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 = 4:~q=> ~p =1
A: 1: TP=>SK=1 = 2:~TP~>~SK=1 [=] 3: SK~>TP=1 = 4:~SK=>~TP=1
## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2:~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 = 4:~q~> ~p =1
B: 1: TP~>SK=1 = 2:~TP=>~SK=1 [=] 3: SK=>TP=1 = 4:~SK~>~TP=1
----------------------------------------------------------------
Spójnik równoważności <=>: | Spójnik równoważności <=>:
AB: 1: TP<=>SK = 2:~TP<=>~SK [=] 3: SK<=>TP = 4:~SK<=>~TP
Definiuje tożsamość zbiorów: | Definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: TP=SK # 2:~TP=~SK | 3: SK=TP # 4:~SK=~TP
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać że:
1.
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1: TP=>SK=1) i jednocześnie zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK (B1: TP~>SK=1)
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = A1B1: TP<=>SK
2.
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów ~TP=~SK:
Dwa zbiory ~TP i ~SK są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~TP jest nadzbiorem ~> zbioru ~SK (A2: ~TP~>~SK=1) i jednocześnie zbiór ~TP jest podzbiorem => zbioru ~SK (B2: ~TP=>~SK=1)
~TP=~SK <=> (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK)= A2B2: ~TP<=>~SK
3.
Kolumna A3B3 definiuje tożsamość zbiorów SK=TP:
Dwa zbiory SK i TP są tożsame SK=TP wtedy i tylko wtedy gdy zbiór SK jest nadzbiorem ~> zbioru TP (A3: SK~>TP=1) i jednocześnie zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (B3: SK=>TP=1)
SK=TP <=> (A3: SK~>TP)*(B3: SK=>TP) = A3B3: SK<=>TP
4.
Kolumna A4B4 definiuje tożsamość zbiorów ~SK=~TP:
Dwa zbiory ~SK i ~TP są tożsame ~SK=>~TP wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~SK jest podzbiorem => zbioru ~TP (A4: ~SK=>~TP=1) i jednocześnie zbiór ~SK jest nadzbiorem ~> zbioru ~TP (B4: ~SK~>~TP=1)
~SK=~TP <=> (A4: ~SK=>~TP)*(B4: ~SK~>~TP) = A4B4: ~SK<=>~TP
Przemienność tożsamości zbiorów jest oczywista:
A1B1: TP=SK [=] A3B3: SK=TP
A2B2: ~TP=~SK [=] A4B4: ~SK=~TP
Stąd w dalszych rozważaniach wystarczy skupić się na zbiorach A1B1: TP=SK oraz A2B2: ~TP=~SK.
9.3.4 Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach
Definicja równoważności TP<=>SK w zbiorach:
Zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK i jest tożsamy ze zbiorem SK
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów TP+SK bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia TP, ~TP, SK i ~SK będą rozpoznawalne, co doskonale widać na diagramie DR
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK (z definicji)
B1: TP~>SK =1 - zbiór TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru SK (z definicji)
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) dla zbioru SK
Stąd mamy:
| Kod: |
DR
Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach
------------------------------------------------------------------------
| p=TP | ~p=~TP |
|----------------------------|-----------------------------------------|
| q=SK | ~q=~SK |
|----------------------------|-----------------------------------------|
| A1: TP=>SK=1 (TP*SK=1) | B2:~TP=>~SK=1 (~TP*~SK=1) |
------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: TP*SK+ B2:~TP*~SK - suma logiczna zbiorów niepustych A1 i B2 |
| A1’: TP~~>~SK=TP*~SK=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~TP~~>SK =~TP*SK=[]=0 - zbiór pusty |
|----------------------------------------------------------------------|
| Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach definiujący |
| tożsamości zbiorów TP=SK i ~TP=~SK |
------------------------------------------------------------------------
A1B1:
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK
B1: TP~>SK =1 - zbiór TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Wnioski:
Równoważność TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Kontrprzykład dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem:
A1’: TP~~>~SK=TP*~SK =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów TP i ~SK (zbiory rozłączne)
A2B2:
A2:~TP~>~SK=1 - zbiór ~TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~SK
B2:~TP=>~SK=1 - zbiór ~TP jest (=1) podzbiorem => zbioru ~SK
Stąd:
A2B2: ~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)=1*1=1
Wnioski:
Równoważność ~TP<=>~SK definiuje tożsamość zbiorów ~TP=~SK
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Kontrprzykład dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem:
B2’:~TP~~>SK=~TP*SK=[]=0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~TP i SK (zbiory rozłączne)
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (i odwrotnie)
2.
Równoważność TP<=>SK to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
TP=SK i ~TP=~SK uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
3.
W definicji równoważności TP<=>SK nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] A2B2: ~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: TP=>SK = A2: ~TP~>~SK
B1: TP~>SK = B2: ~TP=>~SK
cnd
Stąd dla diagramu DR możemy zapisać:
| Kod: |
DMZR
Diagram matematycznych związków w równoważności dla zbiorów:
Równoważność TP<=>SK: [=] Równoważność ~TP<=>~SK
A1B1: | A2B2:
TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] ~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)
Definiująca tożsamość zbiorów | Definiująca tożsamość zbiorów:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
w obrębie tej samej dziedziny D
Dziedzina D w równoważności to dwa zbiory niepuste i rozłączne
TP=SK i ~TP=~SK uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
Stąd:
D=TP+~TP =1
Zapis tożsamy:
D=SK+~SK=1
bo zachodzi tożsamość zbiorów TP=SK wymuszająca tożsamość zbiorów ~TP=~SK
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
~TP=[D-TP]=[TP+~TP-TP]=~TP
~SK=[D-SK]=[SK+~SK-SK]=~SK
Jak widzimy, od strony czysto matematycznej jest tu wszystko w porządku.
Zachodzi oczywiście prawo podwójnego przeczenia:
TP = ~(~TP) - zbiór TP to zaprzeczenie zbioru ~TP w obrębie dziedziny D
SK = ~(~SK) - zbiór SK to zaprzeczenie zbioru ~SK w obrębie dziedziny D
oraz:
~TP=~(TP) - zbiór ~TP to zaprzeczenie zbioru TP w obrębie dziedziny D
~SK=~(SK) - zbiór ~SK to zaprzeczenie zbioru SK w obrębie dziedziny D
Oczywistym jest, że z powodu tożsamości zbiorów TP=SK wymuszającej tożsamość zbiorów ~TP=~SK w powyższych zapisach można sobie „rzucać monetą”, czyli dowolnie zamieniać TP z SK albo ~TP z ~SK.
9.3.5 Równoważność dwukierunkowa TP<=>SK w zbiorach
Definicja równoważności p<=>q dwukierunkowej:
Równoważność p<=>q jest dwukierunkowa wtedy i tylko wtedy gdy możliwa jest fizyczna zamiana przyczyny p ze skutkiem q.
Uwaga:
W logice matematycznej możliwa jest też równoważność jednokierunkowa o czym będzie w punkcie 9.4.2.
Przykładem równoważności dwukierunkowej jest równoważność Pitagorasa, gdzie prawdziwe fizycznie jest zarówno twierdzenie proste Pitagorasa (A1: TP=>SK) jak i twierdzenie odwrotne Pitagorasa (B3: SK=>TP)
A1:
Twierdzenie proste Pitagorasa:
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Dowód ten oznacza że:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
Innymi słowy:
Mając do dyspozycji dwa pudełka p i q:
p - pudełko z trójkątami prostokątnymi (TP)
q - pudełko z trójkątami ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
możemy losować kolejne trójkąty z pudełka p sprawdzając czy dokładnie ten sam trójkąt jest w pudełku q.
Prawdziwość twierdzenia prostego Pitagorasa daje nam gwarancję matematyczną => iż każdy trójkąt z pudełka p będzie miał swój 100% odpowiednik w pudełku q.
Oczywiście po zamianie p i q mamy twierdzenie odwrotne Pitagorasa:.
B3:
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
Jeśli w trójkącie spełniona jest suma kwadratów (SK) to na 100% => ten trójkąt jest prostokątny (TP)
B3: SK=>TP =1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Dowód ten oznacza że:
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten trójkąt był prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP)
Innymi słowy:
Mając do dyspozycji dwa pudełka p i q:
p - pudełko z trójkątami prostokątnymi (TP)
q - pudełko z trójkątami ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
możemy losować kolejne trójkąty z pudełka q sprawdzając czy dokładnie ten sam trójkąt jest w pudełku p.
Prawdziwość twierdzenia odwrotnego Pitagorasa daje nam gwarancję matematyczną => iż każdy trójkąt z pudełka q będzie miał swój 100% odpowiednik w pudełku p.
Stąd mamy klasyczną definicję równoważności Pitagorasa:
Równoważność Pitagorasa TP<=>SK to spełnienie relacji podzbioru => w dwie strony:
A1: TP=>SK =1 - prawdziwe jest twierdzenie proste Pitagorasa, zachodzi relacja podzbioru TP=>SK
B3: SK=>TP =1 - prawdziwe jest twierdzenie odwrotne Pitagorasa, zachodzi relacja podzbioru SK=>TP
Stąd mamy prawdziwą równoważność Pitagorasa:
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q
Na mocy prawa Irbisa równoważność Pitagorasa TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK.
9.4 Przykład równoważności A<=>S w zdarzeniach
Niech będzie dany schemat elektryczny:
| Kod: |
S1 Schemat 1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
A1: A=>S =1
Tak, bo zawsze gdy wciśniemy przycisk A żarówka zaświeci się.
Zauważmy, że gdyby szeregowo z przyciskiem A występował przycisk zmiennej wolnej W to odpowiedź na powyższe pytanie byłaby negatywna (=0).
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A1: A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka S świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam (=1) gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmujemy zdanie A1 za punkt odniesienia:
p=A - przycisk A
q=S - żarówka S
Stąd mamy zdanie A1 w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
B1: A~>S =1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Tak
Konieczne ~> dlatego, że nie ma przycisku zmiennej wolnej W podłączonego równolegle do przycisku A, który by zaświecił żarówkę niezależnie od stanu przycisku A.
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka S na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1).
cnd
Stąd mamy:
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak, nie ma żadnych innych przycisków z wyjątkiem A
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna związana A będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(a) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty
Na początek musimy udowodnić, iż rzeczywiście układ S1 jest fizyczną realizacją równoważności A<=>S.
Jak udowodnić, iż schemat S1 to fizyczna realizacja równoważności?
Definicja równoważności klasycznej p<=>q w zdarzeniach:
Równoważność klasyczna A1B1: p<=>q to jednoczesna zajście warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Nasz przykład:
Definicja równoważności klasycznej A<=>S w zdarzeniach:
Równoważność klasyczna A1B1: A<=>S to jednoczesna zajście warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) wystarczające => dla świecenia żarówki S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia żarówki S
stąd:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Przycisk A jest wciśnięty wtedy i tylko wtedy gdy żarówka S świeci się
Prawą stronę czytamy:
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla świecenia się żarówki S
Ostatnie zdanie to powszechnie znana definicja równoważności.
Dowodzimy prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S bo w układzie nie ma przycisku W (zmienna wolna) połączonego szeregowo z A który by gwałcił warunek wystarczający =>.
cnd
Dowodzimy prawdziwości warunku koniecznego ~> B1:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S, bo w układzie S1 nie ma przycisku W (zmienna wolna) podłączonego równolegle do A który mógłby zaświecić żarówkę S niezależnie od stanu przycisku A.
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> świecenia się żarówki S (S=1), bo jak przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie będzie się świecić (~S=1)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
Stąd mamy spełnioną podstawową definicję równoważności.
Prawo Kameleona po raz n-ty:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Doskonale widać, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to zdania te nie są tożsame na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wplecionych w treść zdań.
Innymi słowy:
Wszystko zależy tu od tego, którym znaczkiem (=> albo ~>) zakodujemy banalne zdanie prawdziwe opisujące układ S1:
S1:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% świeci się (S=1)
Zapis aktualny zdań A1 i B1:
A1: A=>S=~A+S =1 ## B1: A~>S = A+~S =1
Zapis formalny zdań A1 i B1:
A1: p=>q =~p+q =1 ## B1: p~>q = p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
9.4.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach
Nanieśmy nasz matematyczny dowód spełnionej definicji równoważności A<=>S do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q.
Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia S
Stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Przyjęty na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym {A, S}:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S=1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: A~>S =1 = 2:~A=>~S=1 [=] 3: S=>A =1 = 4:~S~>~A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Sowy dla równoważności:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii A
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii B
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli TR
Nasz przykład:
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest konieczne ~> dla świecenia S
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak, nie ma żadnych innych przycisków z wyjątkiem A
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Operator równoważności A|<=>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o A i ~A:
A1B1: A<=>S =(A1: A=>S)* (B1: A~>S) - kiedy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
A2B2:~A<=>~S=(A2:~A~>~S)*(B2:~A=>~S) - kiedy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
A1B1:
Kiedy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
Kolumna A1B1
RA1B1:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
Całość czytamy:
Równoważność A<=>S jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięcie przycisku A (A=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, by żarówka świeciła się (S=1)
Równoważność A<=>S definiuje tożsamość pojęć A=S:
A=S <=> (A1: A=>S)*(B1: A~>S) = A<=>S
Tożsamość pojęć A=S wymusza tożsamość pojęć ~A=~S (i odwrotnie)
Matematycznie zachodzi tu relacja:
A=S # ~A=~S
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Odpowiedź na pytanie A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” jest następująca:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zawsze gdy wciśniemy przycisk A zaświeci się żarówka S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
A2B2:
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
Kolumna A2B2
RA2B2:
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Klawisz A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
Całość czytamy:
Równoważność ~A<=>~S jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla braku świecenia się żarówki S (~S=1)
Równoważność ~A<=>~S definiuje tożsamość pojęć ~A=~S:
~A=~S <=> (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) = ~A<=>~S
Tożsamość pojęć ~A=~S wymusza tożsamość pojęć A=S (i odwrotnie)
Matematycznie zachodzi tu relacja:
A=S # ~A=~S
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Odpowiedź na pytanie A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” jest następująca:
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla braku świecenia żarówki S (~S=1)
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => braku świecenia się żarówki S (~S=1)
Zawsze, gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1), żarówka nie świeci się (~S=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Niemożliwe jest zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka S świeci się (S=1)
Podsumowanie:
1.
Istotą operatora równoważności A|<=>S jest gwarancja matematyczna => zarówno po stronie wciśniętego przycisku A (A=1) - zdanie A1, jak i po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A=1) - zdanie B2.
2.
Prawdziwości/fałszywości powyższych zdań dowodzimy na gruncie fizyki teoretycznej.
Jakiekolwiek iterowanie nie ma tu sensu, bowiem wcześniej czy później żarówka spali się i nie będziemy mieli fizycznego potwierdzenia prawdziwości/fałszywości powyższych zdań.
9.4.2 Równoważności jednokierunkowa A<=>S w zdarzeniach
Zauważmy, że omawiana równoważność A<=>S jest równoważnością jednokierunkową.
Weźmy nasz przykład:
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest konieczne ~> dla świecenia S
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak, nie ma żadnych innych przycisków z wyjątkiem A
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Definicja równoważności p<=>q jednokierunkowej:
Równoważność p<=>q jest jednokierunkowa wtedy i tylko wtedy gdy zamiana przyczyny p ze skutkiem q jest fizycznie niemożliwa.
Co to oznacza?
Na schemacie S1 przyczyną jest przycisk A co oznacza, że możemy włączać/wyłączać przycisk A obserwując skutek - żarówka jest zaświecona albo zgaszona w zależności od stanu przycisku A.
Odwrotnie nie zachodzi:
Żarówka S nie jest tu przyczyną ustawienia przycisku A na określoną pozycję, tzn. jeśli żarówka świeci się to możemy wykręcać i wkręcać żarówkę S powodując jej wygaszenie albo zaświecenie co nie ma żadnego wpływu na aktualny stan przycisku A.
Nasz przykład:
Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia S
Stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Przyjęty na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym {A, S}:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S=1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: A~>S =1 = 2:~A=>~S=1 [=] 3: S=>A =1 = 4:~S~>~A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W tabeli prawdy równoważności A<=>S sytuacja po zamianie przyczyny A i ze skutkiem S opisana jest kolumnami A3B3 i A4B4.
A3B3
Weźmy równoważność S<=>A opisaną kolumną A3B3:
A3: S~>A=1 - świecenie się żarówki S jest warunkiem koniecznym ~>
dla wnioskowania, iż przycisk A jest wciśnięty
B3: S=>A=1 - świecenie się żarówki S jest warunkiem wystarczającym =>
dla wnioskowania, iż przycisk A jest wciśnięty
Stąd:
A3B3: S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Żarówka S świeci się wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty
Prawą stronę czytamy:
Świecenie się żarówki S jest warunkiem koniecznym ~> (A3) i wystarczającym => (B3) dla wnioskowania, iż przycisk A jest wciśnięty
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Nasz przykład:
Równoważność prawdziwa A3B3: S<=>A definiuje tożsamość zdarzeń S=A
czyli:
S=A
Zdarzenie żarówka S świeci się (S=1) jest tożsame ze zdarzeniem przycisk A jest wciśnięty (A=1)
Innymi słowy:
Z faktu że żarówka S świeci się (S=1) wnioskujemy, iż przycisk A jest wciśnięty (A=1) co wynika z teorii fizycznej - nie musimy tego faktu sprawdzać doświadczalnie
A4B4:
Weźmy równoważność ~S<=>~A opisaną kolumną A4B4:
A4: ~S=>~A=1 - brak świecenia żarówki S (~S=1) jest warunkiem wystarczającym =>
dla wnioskowania, iż przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
B4: ~S~>~A=1 - brak świecenia żarówki S (~S=1) jest warunkiem koniecznym ~>
dla wnioskowania, iż przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
Stąd:
A4B4: ~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Żarówka S nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
Prawą stronę czytamy:
Brak świecenia żarówki S (~S=1) jest warunkiem koniecznym ~> (B4) i wystarczającym => (A4) dla wnioskowania, iż przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Nasz przykład:
Równoważność prawdziwa A4B4: ~S<=>~A definiuje tożsamość zdarzeń ~S=~A
czyli:
~S=~A
Zdarzenie żarówka S nie świeci się (~S=1) jest tożsame ze zdarzeniem przyciska A nie jest wciśnięty (~A=1)
Innymi słowy:
Z faktu że żarówka S nie świeci się (~S=1) wnioskujemy, iż przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) co wynika z teorii fizycznej - nie musimy tego faktu sprawdzać doświadczalnie
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35517
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 7:49, 20 Cze 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.5 Spójnik „albo”($) p$q
Spis treści
9.5 Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) 1
9.5.1 Operator „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo q) 5
9.5.2 Operator „albo”($) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) 8
9.6 Diagram spójnika „albo”($) w zbiorach 8
9.5 Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q)
Przypomnijmy sobie definicje podstawowe:
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej dla wielu członów (patrz prawo Słonia niżej)
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Wracając do tematu:
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p (p) do zanegowanego q (~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= p<=>~q
Środek czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Definicja równoważności p<=>~q znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Dla spójnika „albo”($) mamy:
Każda równoważność prawdziwa p<=>~q=1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q (i odwrotnie)
Nanieśmy definicję spójnika „albo”($) do tabeli prawdy z uwzględnieniem prawa Irbisa.
| Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q = 2:~p~>q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p [=] 5: ~p+~q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q = 2:~p=>q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p [=] 5: p+ q =1
-------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3:~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
AB: 1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($):
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Stąd warunek wystarczający => dla spójnika „albo”($)
p=>~q=~p+~q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Stąd warunek konieczny ~> dla spójnika „albo”($)
p~>~q=p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (~p+~q)*(p+q)=~p*p+~p*q+~q*p+~q*q = p*~q+~p*q
Do zapamiętania:
p$q = p*~q+~p*q
W tabeli TA na mocy kolumny A2B2 odczytujemy tożsamą definicję spójnika „albo”($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q).
A2B2.
Definicja spójnika „albo”($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q):
Spójnik „albo”($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od ~p do q
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
stąd:
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=1*1=1
Czytamy:
Spójnik „albo”($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście ~p jest (=1) konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
Prawa strona to definicja równoważności ~p<=>q.
Stąd mamy:
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) = ~p<=>q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q [=] A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q
Dowód:
Prawa Kubusia:
A1: p=>~q = A2: ~p~>q =1
B1: p~>~q = B2: ~p=>q =1
cnd
Innymi słowy:
Prawa Kubusia:
A1: p=>~q=1 <=> A2: ~p~>q =1
B1: p~>~q=1 <=> B2: ~p=>q =1
<=> - wtedy i tylko wtedy
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
„=”, [=], <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej.
9.5.1 Operator „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo q)
| Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q = 2:~p~>q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p [=] 5: ~p+~q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q = 2:~p=>q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p [=] 5: p+ q =1
-------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3:~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
AB: 1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($):
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja spójnika „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja operatora „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo p):
Operator „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo p) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Z prawa Sowy wynika, iż udowodnienie prawdziwości spójnika „albo”($) p$q jest tożsame z udowodnieniem prawdziwości operatora „albo”(|$) p|$q i odwrotnie.
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Prawa strona A1B1 to definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1 =1
Stąd mamy:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie ~q
p=>~q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zbiory:
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru ~q
Zdarzenia:
Zajście zdarzenia p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia ~q
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: p i q
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: p i q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>~q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Stąd:
A2B2: ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
Prawa strona A3B2 to definicja równoważności ~p<=>q:
Równoważność ~p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
Stąd mamy:
A2B2: ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p<=>q
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie q
~p=>q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zbiory:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru q
Zdarzenia:
Zajście zdarzenia ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia q
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~p i ~q
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: ~p i ~q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
Podsumowując:
Spójnik „albo”($) p$q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań tworzących operator „albo”(|$) p|$q (A1’, A1’, B2, B2’) jest bez znaczenia co oznacza, iż zdania w powyższej analizie możemy dowolnie przestawiać
9.5.2 Operator „albo”($) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q)
Definicja operatora „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo p):
Operator „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo p) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny.
Stąd mamy tożsamą definicję operatora „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q).
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
p$q = p|$q = p<=>~q [=] ~p$~q = ~p|$~q = ~p<=>q = p*~q+~p*q
Gdzie:
„=”, [=], <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Definicja znaczka „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p$q = p*~q+~p*q
stąd mamy:
~p$~q = (~p)*~(~q)+ ~(~p)*(~q) = ~p*q + p*~q = p*~q+~p*q
Czyli:
p$q = ~p$~q
cnd
Definicja operatora „albo”($) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q):
Operator „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na dwa pytania o ~p i p:
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
Kluczowy wniosek:
Analiza operatora „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora „albo”(|$) p|$q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 (kiedy zajdzie ~p?) kończąc na kolumnie A1B1 (kiedy zajdzie p?)
9.6 Diagram spójnika „albo”($) w zbiorach
| Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q = 2:~p~>q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p [=] 5: ~p+~q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q = 2:~p=>q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p [=] 5: p+ q =1
-------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3:~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
AB: 1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Relacje zbiorów w tabeli prawdy TA są następujące:
A1B1: p=~q [=] A3B3: ~q=p - przemienność zbiorów jest oczywistością
#
A2B2: ~p=q [=] A4B4: q=~p - przemienność zbiorów jest oczywistością
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna zbiorów
Stąd mamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w zbiorach:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to dwa zbiory niepuste i rozłączne p i q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
Stąd mamy definicję dziedziny dla spójnika „albo”($)
D=p+q
| Kod: |
DA
Diagram „albo”($) A1B1: p$q w zbiorach/zdarzeniach:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Równoważność p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q (prawo Irbisa)
Diagram „albo”($) A2B2: ~p$~q w zbiorach:
A2B2: ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2: ~p=>q) = ~p<=>q
Równoważność ~p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=q (prawo Irbisa)
----------------------------------------------------------------------
| p | q |
|------------------------|-------------------------------------------|
| ~q | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| p=~q # ~p=q |
|--------------------------------------------------------------------|
| A1: p=>~q=1 (p*~q=1) | B2:~p=>q=1 (~p*q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina to suma logiczna zbiorów niepustych p*~q i ~p*q: |
| D=A1: p*~q+ B2:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>q = p* q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>~q=~p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Spójnik „albo”($) p$q definiuje tożsamości zbiorów/zdarzeń: |
| p=~q # ~p=q |
| Gdzie: |
| # - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony|
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>~q =1 -zbiór/zdarzenie p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~q
B1: p~>~q =1 -zbiór/zdarzenie p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia ~q
Stąd:
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Wnioski:
Równoważność p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów p=~q
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
A2B2:
A2:~p~>q=1 -zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia q
B2:~p=>q=1 -zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia q
Stąd:
A2B2: ~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)= ~p<=>q
Wnioski:
Równoważność ~p<=>q definiuje tożsamość zbiorów ~p=q
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
II
Po zamianie p i q
A3B3:
A3: q~>~p =1 -zbiór/zdarzenie q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia ~p
B3: q=>~p =1 -zbiór/zdarzenie q jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~p
stąd:
A3B3: q$p=(A3: q~>~p)*(B3: q=>~p)= q<=>~p
Wnioski:
Równoważność q<=>~p definiuje tożsamość zbiorów q=~p
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
A4B4:
A4:~q=>p=1 -zbiór/zdarzenie ~q jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia p
B4:~q~>p=1 -zbiór/zdarzenie ~q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia p
Stąd:
A4B4: ~q$~p=(A4:~q=>p)*(B4:~q~>p)= ~q<=>p
Wnioski:
Równoważność ~q<=>p definiuje tożsamość zbiorów ~q=p
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja spójnika „albo”($) p$q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=q (i odwrotnie)
2.
Spójnik „albo”($) p$q to dwa i tylko dwa zbiory/zdarzenia niepuste i rozłączne p=~q oraz ~p=q uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny
3.
W definicji spójnika „albo”($) nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q [=] A2B2: ~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)=~p<=>q
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>~q = A2: ~p~>q
B1: p~>~q = B2: ~p=>q
cnd
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Lewa strona tożsamości logicznej [=] definiuje tożsamość zbiorów p=~q:
A1B1: p=~q <=> A1B1: (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Dwa zbiory p i ~q są tożsame (p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru ~q (A1) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q (B1)
Prawa strona tożsamości logicznej [=] definiuje tożsamość zbiorów ~p=q:
A2B2: ~p=q <=> A2B2: (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)=~p<=>q
Dwa zbiory ~p i q są tożsame (~p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru q (B2) i jednocześnie zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru q (A2)
W algebrze Kubusia tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=>
Z faktu zachodzącej tożsamości logicznej [=]:
A1B1: (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q [=] A2B2: (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)=~p<=>q
wynika iż zbiory p=~q i ~p=q są rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny, do widać na diagramie DA.
Stąd dla diagramu DA możemy zapisać:
| Kod: |
DMZDA
Diagram matematycznych związków w spójniku „albo”($) dla zbiorów:
Spójnik „albo”($) p$q [=] Spójnik „albo”($) ~p$~q
A1B1: [=] A2B2:
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q [=] ~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)=~p<=>q
Definiujący tożsamość zbiorów | Definiujący tożsamość zbiorów:
p=~q # ~p=q
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
w obrębie tej samej dziedziny D
Dziedzina D w „albo”($) to dwa zbiory niepuste i wzajemnie rozłączne
p=~q oraz ~p=q uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny D.
Stąd:
D=p+q = p+~p =1
Zapis tożsamy:
D=~p+~q = q+~q=1
bo zachodzi tożsamość zbiorów p=~q wymuszająca tożsamość zbiorów ~p=q
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
~p=[D-p]=[p+~p-p]=~p
~q=[D-q]=[q+~q-q]=~q
Zachodzi prawo podwójnego przeczenia:
Zbiór p w logice dodatniej (bo p) to negacja # zbioru ~p w logice ujemnej (bo ~p) w dziedzinie D
p=~(~p)
Zbiór q w logice dodatniej (bo q) to negacja # zbioru ~q w logice ujemnej (bo ~q) w dziedzinie D
q=~(~q)
Doskonale to widać na diagramie DA
Oczywiście zachodzi również:
Zbiór ~p w logice ujemnej (bo ~p) to negacja # zbioru p w logice dodatniej (bo p) w dziedzinie D
~p=~(p)
Zbiór ~q w logice ujemnej (bo ~q) to negacja # zbioru q w logice dodatniej (bo q) w dziedzinie D
~q=~(q)
Doskonale to widać na diagramie DA
Jak widzimy, od strony czysto matematycznej jest tu wszystko w porządku.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35517
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 8:56, 20 Cze 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.7 Przykłady spójnika „albo”($) w zbiorach oraz w zdarzeniach
Spis treści
9.7 Spójnik „albo”($) M$K w zbiorach 1
9.7.1 Operator „albo”($) M|$K w zbiorach w logice dodatniej (bo K) 4
9.7.2 Operator „albo”($) ~M|$~K w logice ujemnej (bo ~K) 6
9.7.3 Diagram spójnika „albo”($) M$K w zbiorach 7
9.8 Spójnik „albo”($) S$Z w zdarzeniach 8
9.8.1 Operator „albo”(|$) S|$Z w zdarzeniach w logice dodatniej (bo Z) 12
9.8.2 Operator „albo”(|$) ~S|$~Z w zdarzeniach w logice ujemnej (bo ~Z) 15
9.8.3 Diagram spójnika „albo”($) S$Z w zdarzeniach 15
9.7 Spójnik „albo”($) M$K w zbiorach
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p (p) do zanegowanego q (~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= A1B1: p<=>~q
Środek czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Definicja równoważności p<=>~q znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Dla spójnika „albo”($) mamy:
Każda równoważność prawdziwa p<=>~q=1 definiuje tożsamość zbiorów p=~q (i odwrotnie)
A1B1: p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= A1B1: p<=>~q = A1B1: p$q
Rozważmy zdanie:
A1B1.
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) albo($) kobietą (K)
Zdanie tożsame:
Dowolny człowiek może być mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
(trzeciej możliwości brak)
A1B1: M$K= (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Czytamy:
Zdanie A1B1 ze spójnikiem „albo”($) M$K w logice dodatniej (bo K) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie mężczyzną (M) jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) aby nie być kobietą (~K)
Stąd mamy:
Potoczna definicja spójnika „albo”($):
Spójnik „albo”($) to wybór jednej z dwóch możliwości (trzeciej możliwości brak)
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmujemy w zapisach formalnych:
p = M - zbiór mężczyzn
q = K - zbiór kobiet
Oczywista dziedzina to:
C (człowiek) = M+K - zbiór wszystkich ludzi
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności M<=>~K:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)= A1B1: M<=>~K
Lewą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
(trzeciej możliwości brak)
A1B1: M$K =1
Prawą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
A1B1: M<=>~K =1
Środek czytamy:
Bycie mężczyzną (M) jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) by nie być kobietą (~K)
A1B1: M<=>~K) = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Definicja równoważności M<=>~K znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Dla warunku wystarczającego B1 zastosujmy prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Nasz przykład:
B1: M~>~K = B2: ~M=>K
Stąd mamy tożsamą definicję spójnika „albo”($):
A1B2: M$K = (A1: M=>~K)*(B2: ~M=>K)=1*1=1
Dowodzimy prawdziwości warunków wystarczających A1 i B2:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
M=>~K=1
Bycie mężczyzną (M) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie być kobieta (~K)
Bycie mężczyzną (M) daje nam (=1) gwarancję matematyczną => iż nie jesteśmy kobietą (K)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
cnd
B2.
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) to na 100% => jest kobietą (K)
~M=>K =1
Nie bycie mężczyzną (~M) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby być kobietą (K)
Nie bycie mężczyzną (~M) daje nam (=1) gwarancję matematyczną => iż jesteśmy kobietą (K)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
cnd
Innymi słowy:
Definicja spójnika „albo”($) jest tu spełniona albowiem zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem kobiet (K) zaś zbiory M i K uzupełniają się wzajemnie do wspólnej dziedziny C (człowiek)
Zapis matematyczny tego faktu to:
C (człowiek) = M+K
Podstawmy udowodnioną definicję spójnika „albo”($) M$K do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla spójnika „albo”($) z uwzględnieniem prawa Irbisa.
| Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) dla przykładu M$K
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
To samo w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną M jest (=1) wystarczające =>
aby nie być kobietą (~K)
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną M jest (=1) konieczne ~>
aby nie być kobietą (~K)
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q = 2:~p~>q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p [=] 5: ~p+~q =1
A: 1: M=>~K = 2:~M~>K [=] 3: ~K~>M = 4: K=>~M [=] 5: ~M+~K =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q = 2:~p=>q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p [=] 5: p+ q =1
B: 1: M~>~K = 2:~M=>K [=] 3: ~K=>M = 4: K~>~M [=] 5: M+ K =1
-------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3:~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
AB: 1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
To samo w zapisie aktualnym (nasz przykład):
AB: 1: M$K = 2:~M$~K [=] 3:~K$~M = 4: K$M [=] 5: M*~K+~M*K
Definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: M<=>~K = 2:~M<=>K | 3:~K<=>M = 4: K<=>~M
AB: 1: M=~K # 2:~M=K | 3:~K=M # 4: K=~M
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($):
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
9.7.1 Operator „albo”($) M|$K w zbiorach w logice dodatniej (bo K)
Definicja operatora „albo”($) M|$K w logice dodatniej (bo K):
Operator „albo”($) M|$K w logice dodatniej (bo K) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o M i ~M:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)= M<=>~K - co się stanie jeśli wylosujemy mężczyznę (M)?
A2B2: ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) = ~M<=>K - co będzie jeśli wylosujemy nie mężczyznę (~M)?
A1B1:
Co się stanie jeśli ze zbioru (C) człowiek wylosujemy mężczyznę (M)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną M jest (=1) warunkiem wystarczającym => aby nie być kobietą (~K)
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną M jest (=1) warunkiem koniecznym ~> by nie być kobietą (~K)
Stąd:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)= A1B1: M<=>~K
Od lewej strony czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) M$K w logice dodatniej (bo K) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie mężczyzną (M) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) by nie być kobietą (~K)
Prawa strona A1B1 to definicja równoważności M<=>~K:
A1B1: M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)
Lewą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
M=>~K =1
Bycie mężczyzną (M) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie być kobietą (~K)
Bycie mężczyzną (M) daje nam (=1) gwarancję matematyczną => iż nie jest się kobietą (~K)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy że:
A1B1: M$K <=> (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K <=> M=~K
Spójnik „albo”($) M$K definiuje tożsamość zbiorów M=~K, zaś każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego.
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to może ~~> być kobietą (K)
M~~>K = M*K =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów M (mężczyzna) i K (kobieta) bo zbiory te są rozłączne.
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: M=>~K=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
A2B2:
Co się stanie jeśli ze zbioru C (człowiek) wylosujemy nie mężczyznę (~M)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~M~>K =1 - nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem koniecznym ~> by być kobietą (K)
B2: ~M=>K =1 - nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K)
Stąd:
A2B2: ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) = A2B2: ~M<=>K
Od lewej strony czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) ~M$~K w logice ujemnej (bo ~K) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie bycie mężczyzną (~M) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla bycia kobietą (K)
Prawa strona A2B2 to definicja równoważności ~M<=>K:
Równoważność ~M<=>K jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie bycie mężczyzną (~M) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla bycia kobietą
A2B2: ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) = A2B2: ~M<=>K
Prawą stronę czytamy również jako:
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K)
A2B2: ~M<=>K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K)
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) to na 100% => jest kobietą (K)
~M=>K =1
Nie bycie mężczyzną (~M) jest (=1) warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K)
Nie bycie mężczyzną (~M) daje nam (=1) gwarancję matematyczną => bycia kobietą (K)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy że:
A2B2: ~M$~K <=> (A2: ~M=>K)*(B2: ~M~>K) = ~M<=>K <=> ~M=K
Spójnik „albo”($) ~M$~K definiuje tożsamość zbiorów ~M=K, zaś każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego.
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~M=>K=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) to może ~~> nie być kobietą (~K)
~M~~>~K = ~M*~K =[] =0
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~M i ~K bo zbiory te są rozłączne.
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~M=>K=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
Podsumowując:
Spójnik „albo”($) M$K to gwarancja matematyczna => po stronie M, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~M o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań warunkowych A1, A1’, B2. B2’ wchodzących w skład operatora „albo”(|$) M|$K jest bez znaczenia, czyli linie w powyższej analizie możemy dowolnie przestawiać.
9.7.2 Operator „albo”($) ~M|$~K w logice ujemnej (bo ~K)
Definicja operatora „albo”($) M|$K w logice dodatniej (bo K):
Operator „albo”($) M$K w logice dodatniej (bo K) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o M i ~M:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)= M<=>~K - co się stanie jeśli wylosujemy mężczyznę (M)?
A2B2: ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) = ~M<=>K - co będzie jeśli wylosujemy nie mężczyznę (~M)?
Układ równań logicznych jest przemienny.
Stąd mamy tożsamą definicję operatora „albo”(|$) ~M|<=>~K w logice ujemnej (bo ~K)
Definicja operatora „albo”($) ~M|$~K w logice ujemnej (bo ~K):
Operator „albo”($) ~M|$~K w logice ujemnej (bo ~K) to układ równań A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na dwa pytania o ~M i M:
A2B2: ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) = ~M<=>K - co będzie jeśli wylosujemy nie mężczyznę (~M)?
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)= M<=>~K - co się stanie jeśli wylosujemy mężczyznę (M)?
Kluczowy wniosek:
Analiza operatora „albo”(|$) ~M|$~K w logice ujemnej (bo ~K) będzie identyczna jak operatora „albo”(|$) M|$K w logice dodatniej (bo K) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 (kiedy zajdzie ~M?) kończąc na kolumnie A1B1 (kiedy zajdzie M?)
9.7.3 Diagram spójnika „albo”($) M$K w zbiorach
Rozważmy zdanie:
A1.
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
Zdanie tożsame:
Dowolny człowiek może być mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
(trzeciej możliwości brak)
M$K= (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Czytamy:
Zdanie A1 ze spójnikiem „albo”($) M$K w logice dodatniej (bo K) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie mężczyzną (M) jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) aby nie być kobietą (~K)
Stąd mamy:
Potoczna definicja spójnika „albo”($):
Spójnik „albo”($) to wybór jednej z dwóch możliwości (trzeciej możliwości brak)
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności M<=>~K:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)= A1B1: M<=>~K
Środek czytamy:
Bycie mężczyzną (M) jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) by nie być kobietą (~K)
Definicja równoważności M<=>~K znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom).
Definicja spójnika „albo”($) jest tu spełniona albowiem zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem kobiet (K) oraz zbiory M i K uzupełniają się wzajemnie do wspólnej dziedziny C (człowiek)
Zapis matematyczny tego faktu to:
C=M+K
Podstawmy udowodnioną definicję spójnika „albo”($) M$K do diagramu ogólnego spójnika „albo”($).
| Kod: |
DA
Diagram „albo”($) M$K w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| p=M | q=K |
|------------------------|-------------------------------------------|
| ~q=~K | ~p=~M |
|------------------------|-------------------------------------------|
| A1: p=>~q=1 (p*~q=1) | B2:~p=>q=1 (~p*q=1) |
| A1: M=>~K=1 (M*~K=1) | B2:~M=>K=1 (~M*K=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina to suma logiczna zbiorów niepustych M*~K i ~M*K: |
| D=A1: p*~q+ B2:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| D=A1: M*~K+ B2:~M*K (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>q = p* q=[]=0 - zbiór pusty |
| A1’: M~~>K = M* K=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>~q=~p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~M~~>~K=~M*~K=[]=0 - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram spójnika „albo”($) M$K w zbiorach definiujący |
| tożsamości zbiorów M=~K i ~M=K |
----------------------------------------------------------------------
Komentarz dla kolumn A1B1 i A2B2
A1B1:
A1: p=>~q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
A1: M=>~K =1 - zbiór M jest (=1) podzbiorem => zbioru ~K
B1: p~>~q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B1: M~>~K =1 - zbiór M jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~K
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd:
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
A1B1: M$K=(A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M<=>~K
Wniosek:
Równoważność p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów p=~q
Równoważność M<=>~K definiuje tożsamość zbiorów M=~K
Innymi słowy:
A1 i B1 definiuje tu tożsamość zbiorów p=~q
A1 i B1 definiuje tu tożsamość zbiorów M=~K
A2B2:
A2:~p~>q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
A2:~M~>K=1 - zbiór ~M jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru K
B2:~p=>q=1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B2:~M=>K=1 - zbiór ~M jest (=1) podzbiorem => zbioru K
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd:
A2B2: ~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)= ~p<=>q
A2B2: ~M$~K=(A2:~M~>K)*(B2:~M=>K)= ~M<=>K
Wniosek:
Równoważność ~p<=>q definiuje tożsamość zbiorów ~p=q
Równoważność ~M<=>K definiuje tożsamość zbiorów ~M=K
Innymi słowy:
A2 i B2 definiuje tu tożsamość zbiorów ~p=q
A2 i B2 definiuje tu tożsamość zbiorów ~M=K
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
1.
Definicja spójnika „albo”($) p$q definiuje tożsamość zbiorów p=~q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=q (i odwrotnie)
2.
Spójnik „albo”($) p$q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p i q uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny
3.
W definicji spójnika „albo”($) nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
9.8 Spójnik „albo”($) S$Z w zdarzeniach
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p (p) do zanegowanego q (~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= A1B1: p<=>~q
Środek czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Definicja równoważności p<=>~q znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Dla spójnika „albo”($) mamy:
Każda równoważność prawdziwa p<=>~q=1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q (i odwrotnie)
Niech będzie dany schemat elektryczny:
| Kod: |
S1 Schemat 1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Doskonale widać że:
Żarówka może się świecić (S=1) „albo”($) być zgaszona (Z=1)
Trzeciej możliwości brak co oznacza, że mamy tu do czynienia ze spójnikiem „albo”($).
Dowód tożsamy zachodzącej tu definicji spójnika „albo”($).
Rozważmy zdanie:
A1B1:
W dowolnej chwili czasowej żarówka może się świecić (S) „albo”($) być zgaszona (Z)
A1B1: S$Z = (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z)=1*1=1
Czytamy:
Zdanie A1B1 ze spójnikiem „albo”($) S$Z w logice dodatniej (bo Z) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy świecenie żarówki (S) jest potrzebne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla stwierdzenia iż żarówka nie jest zgaszona (~Z)
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmujemy w zapisach formalnych:
p = S - żarówka świeci się
q = Z - żarówka jest zgaszona
Oczywista dziedzina to:
ZWMSZ = S+Z - zbiór wszystkich możliwych stanów żarówki (ZWMSZ)
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności S<=>~Z:
A1B1: S$Z = (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z)= A1B1: S<=>~Z
Prawą stronę czytamy:
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zgaszona (~Z=1)
Środek czytamy:
Świecenie żarówki S (S=1) jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla stwierdzenia iż żarówka nie jest zgaszona (~Z=1).
Ta wersja równoważności S<=>~Z znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom)
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Dla B1 zastosujmy prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Nasz przykład:
B1: S~>~Z = B2: ~S=>Z
Stąd mamy tożsamą definicję spójnika „albo”($) S$Z w logice dodatniej (bo Z):
A1B2: S$Z = (A1: S=>~Z)*(B2: ~S=>Z)= A1B1: S<=>~Z
W tym momencie dowód prawdziwości warunków wystarczających A1 i B3 jest trywialny:
A1.
Jeśli żarówka świeci się (S) to na 100% => nie jest zgaszona (~Z)
S=>~Z =1
Świecenie się żarówki (S) jest (=1) wystarczające => dla stwierdzenia faktu, iż nie jest zgaszona (~Z)
Świecenie żarówki (S) daje nam (=1) gwarancję matematyczną => iż nie jest zgaszona (~Z)
Zachodzie tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
cnd
B2.
Jeśli żarówka nie świeci się (~S) to na 100% => jest zgaszona (Z)
~S=>Z =1
Brak świecenia żarówki (~S) jest warunkiem wystarczającym => dla stwierdzenia iż jest zgaszona (Z)
Brak świecenia żarówki (~S) daje nam (=1) gwarancję matematyczną => iż jest zgaszona (Z)
Zachodzie tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
cnd
Innymi słowy:
Definicja spójnika „albo”($) jest tu spełniona albowiem zdarzenie „żarówka świeci się” (S) jest rozłączne ze zdarzeniem „żarówka jest zgaszona” (Z) oraz zdarzenia S i Z uzupełniają się wzajemnie do zbioru wszystkich możliwych zdarzeń (ZWMZ) związanych ze świeceniem bądź nie świeceniem żarówki S.
Zapis matematyczny tego faktu to:
ZWMZ = S+Z
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Dla spójnika „albo”($) mamy:
Każda równoważność prawdziwa p<=>~q=1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q (i odwrotnie)
Na mocy prawa Irbisa, dla naszego przykładu zapisujemy matematyczną tożsamość zdarzeń S=~Z:
Zdarzenie „żarówka świeci” (S) jest tożsame ze darzeniem „żarówka nie jest zgaszona” (~Z) wtedy i tylko wtedy świecenie żarówki (S) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) aby nie była zgaszona (~Z)
S=~Z <=> A1B1: S$Z = (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z) [=] A1B1: S<=>~Z
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów
W algebrze Kubusia tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
[=], „=”, <=>
Podstawmy udowodnioną definicję spójnika „albo”($) S$Z do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla spójnika „albo”($) z uwzględnieniem prawa Irbisa.
| Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) dla przykładu S$Z
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
To samo w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: S=>~Z =1 - świecenia żarówki S (S=1) jest (=1) wystarczające =>
dla stwierdzenia braku zgaszenia żarówki (~Z=1)
B1: S~>~Z =1 - świecenia żarówki S (S=1) jest (=1) konieczne ~>
dla stwierdzenia braku zgaszenia żarówki (~Z=1)
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: S$~Z = (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q = 2:~p~>q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p [=] 5: ~p+~q =1
A: 1: S=>~Z = 2:~S~>Z [=] 3: ~Z~>S = 4: Z=>~S [=] 5: ~S+~Z =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q = 2:~p=>q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p [=] 5: p+ q =1
B: 1: S~>~Z = 2:~S=>Z [=] 3: ~Z=>S = 4: Z~>~S [=] 5: S+ Z =1
-------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3:~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
AB: 1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
To samo w zapisie aktualnym (nasz przykład):
AB: 1: S$Z = 2:~S$~Z [=] 3:~Z$~S = 4: Z$S [=] 5: S*~Z+~S*Z
Definiuje tożsamość zdarzeń:
AB: 1: S<=>~Z = 2:~S<=>Z | 3:~Z<=>S = 4: Z<=>~S
AB: 1: S=~Z # 2:~S=Z | 3:~Z=S # 4: Z=~S
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($):
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
9.8.1 Operator „albo”(|$) S|$Z w zdarzeniach w logice dodatniej (bo Z)
Definicja operatora „albo”(|$) S|$Z w zdarzeniach w logice dodatniej (bo Z):
Operator „albo”($) S$Z w logice dodatniej (bo Z) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o S i ~S:
A1B1: S$Z = (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z)= S<=>~Z - kiedy żarówka świeci się (S)?
A2B2: ~S$~Z = (A2:~S~>Z)*(B2:~S=>Z) = ~S<=>Z - kiedy żarówka nie świeci się (~S)?
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli żarówka świeci się (S=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: S=>~Z=1 - świecenie (S=1) jest wystarczające => dla stwierdzenia braku zgaszenia (~Z=1)
B1: S~>~Z=1 - świecenie (S=1) jest konieczne ~> dla stwierdzenia braku zgaszenia (~Z=1)
Stąd:
A1B1: S$Z = (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z)= A1B1: S<=>~Z
Od lewej strony czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) S$Z w logice dodatniej (bo Z) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy świecenie żarówki S (S=1) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla stwierdzenia braku zgaszenia żarówki ~Z (~Z=1)
Prawa strona A1B1 to definicja równoważności S<=>~Z:
A1B1: S<=>~Z = (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z)
Lewą stronę czytamy:
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zagaszona (~Z=1)
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to na 100% => nie jest zgaszona (~Z=1)
S=>~Z =1
Świecąca się żarówka jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla stwierdzenia faktu iż nie jest zgaszona (~Z=1)
Świecąca się żarówka daje nam (=1) gwarancję matematyczną => iż nie jest zgaszona (~Z=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy że:
A1B1: S$Z <=> (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z) = A1B1: S<=>~Z <=> S=~Z
Spójnik „albo”($) S$Z definiuje tożsamość zdarzeń S=~Z, zaś każde zdarzenie jest zarówno podzbiorem => (A1) jak i nadzbiorem ~> (B1) siebie samego.
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa S<=>~Z=1 definiuje tożsamość zdarzeń S=~Z (i odwrotnie)
Oczywiście:
Każde zdarzenie jest zarówno podzbiorem => (A1) jak i nadzbiorem ~> (B1) samego siebie o czym mówi prawo Irbisa.
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to może być zgaszona (Z=1)
S~~>Z = S*Z =[] =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: żarówka świeci się (S=1) i jednocześnie jest zgaszona (Z=1)
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: S=>~Z=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli żarówka nie świeci się (~S=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~S~>Z=1 - brak świecenia żarówki (~S=1) jest konieczne ~> dla stwierdzenia iż jest zgaszona (Z=1)
B2: ~S=>Z=1 - brak świecenia żarówki (~S=1) wystarcza => dla stwierdzenia iż jest zgaszona (Z=1)
Stąd:
A2B2: ~S$~Z = (A2:~S~>Z)*(B2:~S=>Z) = A2B2: ~S<=>Z
Od lewej strony czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) ~S$~Z w logice ujemnej (bo ~Z) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy brak świecenia żarówki S (~S=1) jest konieczny ~> (A2) i wystarczający => (B2) dla stwierdzenia faktu iż żarówka jest zgaszona (Z=1)
Prawa strona A2B2 to definicja równoważności ~S<=>Z:
Równoważność ~S<=>Z jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy brak świecenia żarówki S (~S=1) jest konieczny ~> (A2) i wystarczający => (B2) dla stwierdzenia faktu iż żarówka jest zgaszona (Z=1)
A2B2: ~S$~Z = (A2:~S~>Z)*(B2:~S=>Z) = A2B2: ~S<=>Z
Prawą stronę czytamy również jako:
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy jest zgaszona (Z=1)
A2B2: ~S<=>Z = (A2:~S~>Z)*(B2:~S=>Z)
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli żarówka nie świeci się (~S=1) to na 100% => jest zgaszona (Z=1)
~S=>Z =1
Brak świecenia żarówki (~S=1) jest warunkiem wystarczającym => dla stwierdzenia faktu, iż jest zgaszona (Z=1)
Brak świecenia żarówki (~S=1) daje nam gwarancję matematyczną =>, iż żarówka jest zgaszona (Z=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy że:
A2B2: ~S$~Z <=> (A2: ~S=>Z)*(B2: ~S~>Z) = A2B2: ~S<=>Z <=> ~S=Z
Spójnik „albo”($) ~S$~Z w logice ujemnej (bo ~Z) definiuje tożsamość pojęć ~S=Z, zaś każde pojęcie jest zarówno podzbiorem => (A2) jak i nadzbiorem ~> (B2) siebie samego.
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa ~S<=>Z=1 definiuje tożsamość zdarzeń ~S=Z (i odwrotnie)
Oczywiście:
Każde zdarzenie jest zarówno podzbiorem => (A1) jak i nadzbiorem ~> (B1) samego siebie o czym mówi prawo Irbisa.
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~S=>Z=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli żarówka nie świeci się (~S=1) to może ~~> nie być zgaszona (~Z=1)
~S~~>~Z = ~S*~Z =[] =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: żarówka nie świeci się (~S=1) (jest zgaszona) i jednocześnie ta sama żarówka nie jest zgaszona (~Z=1) (świeci się).
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~S=>Z=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
Podsumowując:
Spójnik „albo”($) S$Z to gwarancja matematyczna => po stronie S, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~S o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań warunkowych A1, A1’, B2. B2’ wchodzących w skład operatora „albo”(|$) S$Z jest bez znaczenia, czyli linie w powyższej analizie możemy dowolnie przestawiać.
9.8.2 Operator „albo”(|$) ~S|$~Z w zdarzeniach w logice ujemnej (bo ~Z)
Definicja operatora „albo”(|$) S|$Z w zdarzeniach w logice dodatniej (bo Z):
Operator „albo”($) S$Z w logice dodatniej (bo Z) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o S i ~S:
A1B1: S$Z = (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z)= S<=>~Z - kiedy żarówka świeci się (S)?
A2B2: ~S$~Z = (A2:~S~>Z)*(B2:~S=>Z) = ~S<=>Z - kiedy żarówka nie świeci się (~S)?
Układ równań logicznych jest przemienny.
Stąd mamy tożsamą definicję operatora „albo”(|$) ~S|$~Z w logice ujemnej (bo ~Z)
Definicja operatora „albo”(|$) ~S|$~Z w zdarzeniach w logice ujemnej (bo ~Z):
Operator „albo”(|$) ~S$~Z w logice ujemnej (bo ~Z) to układ równań A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na dwa pytania o ~S i S:
A2B2: ~S$~Z = (A2:~S~>Z)*(B2:~S=>Z) = ~S<=>Z - kiedy żarówka nie świeci się (~S)?
A1B1: S$Z = (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z)= S<=>~Z - kiedy żarówka świeci się (S)?
Kluczowy wniosek:
Analiza operatora „albo”(|$) ~S|$~Z w logice ujemnej (bo ~Z) będzie identyczna jak operatora „albo”(|$) S|$Z w logice dodatniej (bo Z) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 (kiedy zajdzie ~S?) kończąc na kolumnie A1B1 (kiedy zajdzie S?)
9.8.3 Diagram spójnika „albo”($) S$Z w zdarzeniach
Niech będzie dany schemat elektryczny:
| Kod: |
S1 Schemat 1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Doskonale widać że:
Żarówka może się świecić (S=1) „albo”($) być zgaszona (Z=1)
Trzeciej możliwości brak co oznacza, że mamy tu do czynienia ze spójnikiem „albo”($).
Dowód tożsamy zachodzącej tu definicji spójnika „albo”($).
Rozważmy zdanie:
A1B1:
W dowolnej chwili czasowej żarówka może się świecić (S) „albo”($) być zgaszona (Z)
A1B1: S$Z = (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z)=1*1=1
Czytamy:
Zdanie A1 ze spójnikiem „albo”($) S$Z w logice dodatniej (bo Z) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy świecenie żarówki (S) jest potrzebne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla stwierdzenia iż żarówka nie jest zgaszona (~Z)
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności S<=>~Z:
A1B1: S$Z = (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z)= A1B1: S<=>~Z
Prawą stronę czytamy:
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zgaszona (~Z=1)
Środek czytamy:
Świecenie żarówki S (S=1) jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla stwierdzenia iż żarówka nie jest zgaszona (~Z=1).
Powyższa wersja definicji równoważności S<=>~Z znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom)
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Definicja spójnika „albo”($) jest tu spełniona albowiem zdarzenie „żarówka świeci się” (S=1) jest rozłączne ze zdarzeniem „żarówka jest zgaszona” (Z=1) zaś zdarzenia S i Z uzupełniają się wzajemnie do zbioru wszystkich możliwych zdarzeń (ZWMZ) związanych ze świeceniem bądź nie świeceniem żarówki S.
Zapis matematyczny tego faktu to:
ZWMZ = S+Z
Podstawmy udowodnioną definicję spójnika „albo”($) S$Z do diagramu ogólnego spójnika „albo”($).
| Kod: |
DA
Diagram „albo”($) S$Z w zdarzeniach
----------------------------------------------------------------------
| p=S | q=Z |
|------------------------|-------------------------------------------|
| ~q=~Z | ~p=~S |
|------------------------|-------------------------------------------|
| A1: p=>~q=1 (p*~q=1) | B2:~p=>q=1 (~p*q=1) |
| A1: S=>~Z=1 (S*~Z=1) | B2:~S=>Z=1 (~S*Z=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina to suma logiczna zbiorów niepustych S*~Z i ~S*Z: |
| D=A1: p*~q+ B2:~p*q (suma logiczna zdarzeń niepustych) |
| D=A1: S*~Z+ B2:~S*Z (suma logiczna zdarzeń niepustych) |
| A1’: p~~>q = p* q=[]=0 - zdarzenie niemożliwe |
| A1’: S~~>Z = S* Z=[]=0 - zdarzenie niemożliwe |
| B2’: ~p~~>~q=~p*~q=[]=0 - zdarzenie niemożliwe |
| B2’: ~S~~>~Z=~S*~Z=[]=0 - zdarzenie niemożliwe |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram spójnika „albo”($) S$Z w zdarzeniach definiujący |
| tożsamości zdarzeń S=~Z i ~S=Z |
----------------------------------------------------------------------
Komentarz dla kolumn A1B1 i A2B2
A1B1:
A1: p=>~q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A1: S=>~Z=1 - świecenie S jest (=1) wystarczające => dla nie zgaszenia (~Z)
B1: p~>~q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B1: S~>~Z=1 - świecenie S jest (=1) konieczne ~> dla nie zgaszenia (~Z)
Każde zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd:
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
A1B1: S$Z=(A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z) = S<=>~Z
Wniosek:
Równoważność p<=>~q definiuje tożsamość zdarzeń p=~q
Równoważność S<=>~Z definiuje tożsamość zdarzeń S=~Z
Innymi słowy:
A1 i B1 definiuje tu tożsamość zdarzeń p=~q
A1 i B1 definiuje tu tożsamość zdarzeń S=~Z
A2B2:
A2:~p~>q=1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A2:~S~>Z=1 - brak świecenia (~S) jest konieczny ~> dla zgaszenia (Z)
B2:~p=>q=1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B2:~S=>Z=1 - brak świecenia (~S) jest wystarczający => dla zgaszenia (Z)
Każde zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd:
A2B2: ~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)= ~p<=>q
A2B2: ~S$~Z=(A2:~S~>Z)*(B2:~S=>Z)= ~S<=>Z
Wniosek:
Równoważność ~p<=>q definiuje tożsamość zbiorów ~p=q
Równoważność ~S<=>Z definiuje tożsamość zbiorów ~S=Z
Innymi słowy:
A2 i B2 definiuje tu tożsamość zdarzeń ~p=q
A2 i B2 definiuje tu tożsamość zdarzeń ~S=Z
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja spójnika „albo”($) p$q definiuje tożsamość zdarzeń p=~q
która to tożsamość wymusza tożsamość zdarzeń ~p=q (i odwrotnie)
2.
Spójnik „albo”($) p$q to dwa i tylko dwa zdarzenia niepuste i rozłączne
p i q uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny
D=p+q
3.
W definicji spójnika „albo”($) nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35517
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 11:31, 20 Cze 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.9 Definicja n-argumentowego spójnika „albo”($)
Spis treści
9.9 Definicja n-argumentowego spójnika „albo”($) 1
9.10 Implikacja prosta w zbiorach (P+K+S)=>4L gdzie zachodzi (P+K+S):=(P$K$S) 2
9.10.1 Opis dowolnej tabeli zero-jedynkowej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 3
9.11 Implikacja prosta (P+K+S)|=>4L w warunkach wystarczających => i koniecznych~> 7
9.11.1 Operator implikacji prostej (P+K+S)||=>4L w zbiorach 9
9.12 Równoważność w zdarzeniach S<=>(A+B+C) gdzie zachodzi (A+B+C)##(A$B$C) 12
9.12.1 Opis dowolnej tabeli zero-jedynkowej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 14
9.13 Równoważność S<=>(A+B+C) w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> 18
9.13.1 Operator równoważności S|<=>(A+B+C) w zdarzeniach 20
9.9 Definicja n-argumentowego spójnika „albo”($)
Definicja n-argumentowego spójnika „albo”($):
Definicja n-argumentowego spójnika „albo”($) p$q...$n jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy w obrębie danej dziedziny D funkcja logiczna zbiorów/zdarzeń:
Y=p$q..$n
opisuje zbiory/zdarzenia niepuste i rozłączne gdzie iloczyn logiczny dowolnego zbioru/zdarzenia z innym zbiorem/zdarzeniem jest zbiorem pustym [].
Wtedy na mocy teorii zbiorów zachodzi tożsamość logiczna:
Y = p+q…+n := p$q..$n
Gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy teorii zbiorów/zdarzeń
Oznacza to, że przy spełnionej definicji n-argumentowego spójnika „albo”(+) możemy stosować wymiennie spójnik „albo”($) albo spójnik „lub”(+). Obie formy zapisu są matematycznie poprawne, choć bezpieczniejszy jest spójnik „lub”(+), dlatego ten spójnik jest (podświadomie) zdecydowanie częściej używany przez człowieka.
Potoczna definicja spójnika „albo”($) dla dwóch argumentów:
Spójnik „albo”($) to wybór jednej z dwóch możliwości (trzeciej możliwości brak)
Przykłady dla n=2 mamy w punktach 9.7 i 9.8.
Przykład z punktu 9.7:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M<=>~K
Tu praktycznie każdy człowiek użyje spójnika „lub”(+) zamiast spójnika „albo”($) i to nie jest błąd matematyczny - wolno mu, co wyjaśnimy za chwilkę.
Na mocy teorii zbiorów zachodzi tożsamość zdań:
Dowolny człowiek jest mężczyzną „lub”(+) kobietą := Dowolny człowiek jest mężczyzną „albo”($) kobietą
M+K := M$K
Gdzie:
:= - tożsamość matematyczna na mocy teorii zbiorów.
Uwaga:
Nie zawsze w miejsce spójnika „lub”(+) możemy użyć spójnik „albo”(+) co pokażemy w punkcie 9.12, dlatego spójnik „lub”(+) jest bezpieczniejszy.
9.10 Implikacja prosta w zbiorach (P+K+S)=>4L gdzie zachodzi (P+K+S):=(P$K$S)
Przykładowa 3-argumentowa funkcja logiczna spełniająca definicję spójnika „albo”($) (n=3) jest następująca
A1+:
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) lub kotem (K) lub słoniem (S) to na 100% => ma cztery łapy (4L)
P+K+S => 4L=1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Bycie psem (P) lub kotem (K) lub słoniem (S) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby mieć cztery łapy (4L)
Przyjmujemy naturalną, wspólną dziedzinę dla p i q:
ZWZ – zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=[pies, kot, słoń, tygrys, wąż ..]
Stąd w poprzedniku zdania A1+ mamy zbiór 3-elementowy spełniający definicję n-argumentowego spójnika „albo”($).
Dowód:
p = ZWZ*(P+K+S) = [P+K+S] – bo zbiór 3-elementowy bo [P+K+S] jest podzbiorem => ZWZ
W następniku zdania A1 mamy zbiór wszystkich zwierząt z czterema łapami bo:
q = ZWZ*4L = 4L =[pies, kot, słoń, tygrys ..] – bo zbiór 4L jest podzbiorem => ZWZ
Stąd dla udowodnienia prawdziwości warunku wystarczającego => w zdaniu A1+ badamy czy spełniona jest relacja podzbioru =>:
p=[P+K+S] => q=[P+K+S+T..]
Po rozpisce mamy:
p=[pies+kot+słoń] => q=[pies, kot, słoń, tygrys..] =1
Jak widzimy relacja podzbioru p=>q jest tu spełniona
cnd
Zauważmy, że w zbiorze trzyelementowym p=[P+K+S] zbiory jednoelementowe P(pies), K(kot) i S(słoń) są niepuste i rozłączne, zaś dowolny iloczyn logiczny tych trzech argumentów {P,K,T} jest zbiorem pustym [], bo żadne zwierzę nie może być jednocześnie np. P(psem) i K(kotem)
Stąd na mocy definicji n-elementowego spójnika „albo”($) zdanie tożsame do A1+ brzmi:
A1$:
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) „albo”($) kotem (K) „albo”($) słoniem (S) to na 100% => ma cztery łapy (4L)
P$K$S => 4L=1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Jak udowodnić na gruncie teorii zbiorów tożsamość zdań:
A1+: Y=P+K+S := A1$: Y=P$K$S
Gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy teorii zbiorów/zdarzeń
Dowód:
Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+):
| Kod: |
T1
Y=
p q p+q
A: 1 + 1 =1
B: 1 + 0 =1
C: 0 + 1 =1
D: 0 + 0 =0
Spójnik „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y), obszar ABC:
Y=p+q=1 <=> p=1 lub q=1
Spójnik „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y), linia D:
Y=p+q=0 <=> p=0 i q=0
Prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
Stąd zapis tożsamy linii D:
~Y=~p*~q
Co w logice jedynak oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
|
Zapiszmy zdanie A1+ w tabeli prawdy 3-elementowego spójnika „lub”(+) przechodząc na zapisy formalne poprzez podstawienie:
p = P(pies)
q = K(kot)
r = S(słoń)
Zauważmy, że w tym momencie pojęcia formalne p, q i r są w poniższej tabeli prawdy niepuste i rozłączne oraz iloczyn logiczny dowolnej kombinacji p, q i r (np. p*q) jest zbiorem pustym [].
| Kod: |
T2
p q r Y=p+q+r
A: 1 1 1 1
B: 1 1 0 1
C: 1 0 1 1
D: 1 0 0 1
E: 0 1 1 1
F: 0 1 0 1
G: 0 0 1 1
H: 0 0 0 0
|
9.10.1 Opis dowolnej tabeli zero-jedynkowej spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa układu logicznego (bramka logiczna) to zero-jedynkowy zapis wszystkich sygnałów wejściowych w postaci niezanegowanej (p, q, r..) i zanegowanej (~p, ~q, ~r..) oraz zapis wyjścia Y również w postaci niezanegowanej (Y) i zanegowanej (~Y).
Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Tworzymy pełną definicję tabeli zero-jedynkowej, czyli:
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2.
SD - standard dodatni języka potocznego = logika jedynek
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
3.
SU - standard ujemny (niezrozumiały dla człowieka) = logika zer
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu zawsze wymnażamy wielomian koniunkcyjno-alternatywny przechodząc do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej.
Zastosujmy logikę jedynek do tabeli T2 tworząc jej opis równaniem alternatywno-koniunkcyjnym.
| Kod: |
T3
Pełna definicja |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y=p+q+r |oznacza |cząstkowe
Y= ~Y= | |
p q r ~p ~q ~r p+q+r ~p*~q*~r| |
A: 1 1 1 0 0 0 1 0 | Ya=1<=> p=1 i q=1 i r=1 | Ya= p* q* r
B: 1 1 0 0 0 1 1 0 | Yb=1<=> p=1 i q=1 i ~r=1 | Yb= p* q*~r
C: 1 0 1 0 1 0 1 0 | Yc=1<=> p=1 i ~q=1 i r=1 | Yc= p*~q* r
D: 1 0 0 0 1 1 1 0 | Yd=1<=> p=1 i ~q=1 i ~r=1 | Yd= p*~q*~r
E: 0 1 1 1 0 0 1 0 | Ye=1<=>~p=1 i q=1 i r=1 | Ye=~p* q* r
F: 0 1 0 1 0 1 1 0 | Yf=1<=>~p=1 i q=1 i ~r=1 | Yf=~p* q*~r
G: 0 0 1 1 1 0 1 0 | Yg=1<=>~p=1 i ~q=1 i r=1 | Yg=~p*~q* r
H: 0 0 0 1 1 1 0 1 |~Yh=1<=>~p=1 i ~q=1 i ~r=1 |~Yh=~p*~q*~r
1 2 3 4 5 6 7 8 a b c d e f g h
|
Operator „lub”(|+) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Kiedy zajdzie Y (Y=1)?
Y=p+q+r
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1 lub r=1
Doskonale to widać w tabeli prawdy ABCDEFGH1237.
2.
Kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(p+q+r) = ~p*~q*~r – prawo De Morgana
stąd mamy:
2.
~Y=~p*~q*~r
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 i ~r=1
Doskonale to widać w tabeli prawdy ABCDEFGH4568.
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy realizację funkcji logicznej:
1: Y=p+q+r
w zbiorach/zdarzeniach niepustych i rozłącznych
Dla naszego przykładu:
p=P(pies)
q=K(kot)
r=S(słoń)
Y=p+q+r = P(pies)+K(kot)+S(słoń)
na mocy teorii zbiorów mamy zdeterminowane następujące funkcje cząstkowe (znamy wartość logiczną tych funkcji) w obrębie wspólnej dziedziny:
ZWZ – zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=[pies, kot, słoń, tygrys, wąż ..]
| Kod: |
T4
Y=
A: Ya= P* K* S=0 – bo zbiory jednoelementowe P(pies) i K(kot) są rozłączne
„lub”(+)
B: Yb= P* K*~S=0 - bo zbiory jednoelementowe P(pies) i K(kot) są rozłączne
„lub”(+)
C: Yc= P*~K* S=0 - bo zbiory jednoelementowe P(pies) i S(słoń) są rozłączne
„lub”(+)
D: Yd= P*~K*~S=1 – bo prawo teorii zbiorów: P*~K*~S=P(pies)
„lub”(+)
E: Ye=~P* K* S=0 - bo zbiory jednoelementowe K(kot) i S(słoń) są rozłączne
„lub”(+)
F: Yf=~P* K*~S=1 - bo prawo teorii zbiorów: ~P*K*~S=K(kot)
„lub”(+)
G: Yg=~P*~K* S=1 – bo prawo teorii zbiorów: ~P*~K*S=S(słoń)
Wspólna dziedzina:
ZWZ – zbiór wszystkich zwierząt
|
Zastosowane prawa teorii zbiorów:
D – wspólna dziedzina dla zbiorów/zdarzeń niepustych i rozłącznych p, q, r …
x – iloczyn logiczny dowolnej kombinacji zbiorów/zdarzeń niepustych i rozłącznych p, q, r ..
1.
p*q*x = []*x =0 – gdy argumenty p i q są niepuste i rozłączne, zaś ich iloczyn logiczny p*q=[]
2.
p*~q*~r .. =p – gdy w iloczynie logicznym wyłącznie jeden argument jest niezanegowany (tu p)
Dowody na przykładzie.
Dane są zbiory jednoelementowe:
P(pies)
K(kot)
S(słoń)
Dziedzina:
ZWZ – zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=[pies, kot, słoń, tygrys, wąż ..]
Obliczamy przeczenia kluczowych zbiorów definiowanych jako ich uzupełnienia do dziedziny ZWZ
~P=[ZWZ-P] = [kot, słoń, tygrys, wąż …] – zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa (~P)
~K=[ZWZ-K]=[pies, słoń, tygrys, wąż…] – zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem kota (~K)
~S=[ZWZ-S)=[pies, kot, tygrys, wąż …] – zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem słonia (~S)
;
~K*~S=[ZWZ-(K+S)]=[ZWZ*~K*~S]=[pies, tygrys, wąż ..] – ZWZ pomniejszony o kota i słonia (~K*~S)
Stąd mamy:
P*~K*~S = P(pies)
cnd
;
~P*~S=[ZWZ-(P+S)] = [ZWZ*~P*~S]=[kot, tygrys, wąż ..] – ZWZ pomniejszony o psa i słonia (~P*~S)
Stąd mamy:
~P*K*~S = K(kot)
cnd
;
~P*~K=[ZWZ-(P+K)} = [ZWZ*~P*~K] = [słoń, tygrys, waż..] – ZWZ pomniejszony o psa i kota (~P*~K)
Stąd mamy:
~P*~K*S = S(słoń)
cnd
Na mocy tabeli prawdy T4 uwzględniającej teorię zbiorów mamy:
3.
Y = P+K+S := Yd+Yf+Yg := P*~K*~S + ~P*K*~S + ~P*~K*S := P+K+S := P$K$S
Gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej Y=P+K+S na mocy teorii zbiorów.
Przypomnijmy nasze zdanie do analizy:
A1+:
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) lub kotem (K) lub słoniem (S) to na 100% => ma cztery łapy (4L)
P+K+S => 4L=1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Bycie psem (P) lub kotem (K) lub słoniem (S) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby mieć cztery łapy (4L)
Z równania 3 widzimy, że na mocy teorii zbiorów możemy tu używać wymiennie spójnika „lub”(+) albo spójnika „albo”($).
A1$:
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) „albo”($) kotem (K) „albo”($) słoniem (S) to na 100% => ma cztery łapy (4L)
P$K$S => 4L=1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Dlaczego praktycznie każdy człowiek użyje tu spójnika „lub”(+)?
Odpowiedź:
Spójnik „lub”(+) podlega pod algebrę Boole’a rozpoznającą zaledwie 5 znaczków {0, 1, (~), „i”(*), „lub”(+)} natomiast spójnik „albo”($) jest poza algebrą Boole’a.
Wyłącznie w algebrze Boole’a mamy trywialne przejście z logiki dodatniej (bo Y) do logiki ujemnej (bo ~Y).
Dowód:
Operator „lub”(|+) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Kiedy zajdzie Y (Y=1)?
Y=p+q+r
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1 lub r=1
Doskonale to widać w tabeli prawdy ABCDEFGH1237.
2.
Kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(p+q+r) = ~p*~q*~r – prawo De Morgana
stąd mamy:
2.
~Y=~p*~q*~r
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 i ~r=1
Doskonale to widać w tabeli prawdy ABCDEFGH4568.
Uwaga:
W zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” nie zawsze poprzednik p (albo następnik q) podlega pod n-elementową definicję spójnika „albo”($) jak w naszym przykładzie wyżej.
Z tego powodu bezpieczniej jest stosować spójnik „lub”(+) zamiast spójnika „albo”($) w każdym przypadku, co w praktyce prawie każdy człowiek robi.
Nic na tym nie tracimy, bo mózg każdego człowieka, od 5-cio latka poczynając, doskonale wie że nie istnieje zwierzę które by było jednocześnie psem i kotem tzn. redukcja spójnika „lub”(+) do spójnika „albo”($) wyżej opisana w tabeli T4 jest dla naszego mózgu bezproblemowa i naturalna.
Przykład gdzie nie możemy spójnika „lub”(+) zastąpić spójnikiem „albo”($) omówimy za chwilkę w punkcie 9.12.
9.11 Implikacja prosta (P+K+S)|=>4L w warunkach wystarczających => i koniecznych~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Zgodnie z uzasadnieniem wyżej w analizie zdania A1 stosować będziemy spójnik „lub”(+), zamiast spójnika „albo”($), tu również poprawnego.
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) lub kotem (K) lub słoniem (S) to na 100% => ma cztery łapy (4L)
P+K+S => 4L=1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
p=[P+K+S]
q=4L
Bycie psem (P) lub kotem (K) lub słoniem (S) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby mieć cztery łapy (4L)
Przyjmujemy naturalną, wspólną dziedzinę dla p i q:
ZWZ – zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=[pies, kot, słoń, tygrys, wąż ..]
Stąd w poprzedniku zdania A1 mamy zbiór 3-elementowy spełniający dodatkowo definicję n-argumentowego spójnika „albo”($), co udowodniliśmy wyżej.
P = ZWZ*(P+K+S) = [P+K+S] – bo zbiór 3-elementowy bo [P+K+S] jest podzbiorem => ZWZ
W następniku zdania A1 mamy zbiór wszystkich zwierząt z czterema łapami bo:
q = ZWZ*4L = 4L =[pies, kot, słoń, tygrys ..] – bo zbiór 4L jest podzbiorem => ZWZ
Stąd dla udowodnienia prawdziwości warunku wystarczającego => w zdaniu A1 badamy czy spełniona jest relacja podzbioru =>:
p=[P+K+S] => q=[pies, kot, słoń, tygrys..] =1
Jak widzimy relacja podzbioru p=>q jest tu spełniona
cnd
Dla rozstrzygnięcia z jakim operatorem logicznym mamy do czynienia musimy zbadać prawdziwość/fałszywość zdania A1 kodowanego warunkiem koniecznym ~>.
B1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) lub kotem (K) lub słoniem (S) to na 100% ~> ma cztery łapy (4L)
P+K+S ~> 4L=0
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Bycie psem (P) lub kotem (K) lub słoniem (S) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> do tego aby mieć cztery łapy (4L) bo 3-elemenowy zbiór p=[P+K+S] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q=[P+K+S+T..]
cnd
Stąd mamy rozstrzygnięcie, iż mamy tu do czynienia z implikacją prostą p|=>q.
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+ q=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p=0 = 4:~q~>~p=0 [=] 5: p+~q=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
9.11.1 Operator implikacji prostej (P+K+S)||=>4L w zbiorach
Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 – zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 – zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 – co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 – zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 – zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1 – co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Nasze analizowane zdanie wchodzące w skład implikacji prostej p|=>q to:
1.
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy psa (P), kota (K) lub słonia (S)
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1.
Rozpisujemy kolumnę A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Zapis formalny:
p=>q =1
To samo w zapisie aktualnym (nasze zdanie):
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) lub kotem (K) lub słoniem (S) to na 100% => ma cztery łapy (4L)
(P+K+S) => 4L=1
Bycie psem (P) lub kotem (K) lub słoniem (S) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby mieć cztery łapy (4L) wtedy i tylko wtedy gdy 3-elementowy zbiór p=[pies+kot+słoń] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami q = 4L=[pies+kot+słoń+tygrys …].
Relacja podzbioru => jest tu spełniona, stąd wartość logiczna zdania A1 to 1.
Zdanie A1 wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q co rozstrzygnęliśmy wyżej.
Dla naszego przykładu mamy:
P(pies)
K(kot)
S(słoń)
p=[P+K+S] – zbiór 3-elementowy {pies, kot, słoń}
q=4L=[P+K+S+T+…] – zbiór zwierząt z czterema łapami, zbiór n elementowy {pies, kot, słoń, tygrys..]
Przyjmujemy dziedzinę:
ZWZ – zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=[pies, kot, słoń, tygrys, wąż ..]
Mamy:
A1: (P+K+S) => 4L
to samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q
Obliczenie ~p:
p=(P+K+S) – 3-elementowy zbiór {pies, kot, słoń}
Przejście do logiki ujemnej (bo ~p) poprzez dwustronną negację powyższego zapisu:
~p=~(P+K+S)=~P*~K*~S =[tygrys, wąż ..] – ZWZ z wykluczeniem psa (~P), kota (~K) i słonia (~S)
Alternatywnie obliczamy przeczenie p rozumiane jako uzupełnienie zbioru (P+K+S) do dziedziny ZWZ:
~P=[ZWZ-(P+K+S)] = [ZWZ*~P*~K*~S) = [~P*~K*~S] = [tygrys, wąż ..]
Obliczenie ~q:
q=4L=[pies, kot, słoń, tygrys ..] – zbiór zwierząt z czterema łapami
~q=~4L=[ZWZ-4L] = [wąż ..] – zbiór zwierząt nie mających czterech łap (~4L)
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’.
A1’.
Zapis formalny:
p~~>~q = p*~q = [] =0
To samo w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) lub kotem (K) lub słoniem (S) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L)
(P+K+S)~~>~4L = (P+K+S)*(~4L)=[] =0
Definicja elementu wspólnego ~~> nie jest (=0) spełniona, bo 3-elementowy zbiór p={P+K+S] jest rozłączny ze zbiorem zwierząt nie mających czterech łap ~q=~4L=[wąż…], stąd iloczyn logiczny tych zbiorów jest zbiorem pustym [] =0.
1.
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy zwierzę nie będące ani psem (~P), ani kotem (~K), ani też słoniem (~S)?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2.
Rozpisujemy kolumnę A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A2.
Zapis formalny:
~p~>~q =1
To samo w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Jeśli dowolne zwierzę nie jest ani psem (~P), ani kotem (~K), ani też słoniem (~S) to może nie mieć czterech łap (~4L)
(~P*~K*~S)~>~4L =1
~p=~P*~K*~S = [ZWZ-(P+K+S)]= [ZWZ*~P*~K*~S]=[tygrys, wąż ..] – zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa (~P), kota (~K) i słonia (~S)
~4L=[ZWZ-4L]=[wąż ..] – zbiór wszystkich zwierząt nie mających 4 łap (~4L)
Stąd mamy:
Definicja warunku koniecznego ~> w zdaniu A2 jest spełniona (=1) bo zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa(~P), kota(~K i słonia(~S)
~p=[tygrys, wąż ..]
jest nadzbiorem ~> zbioru zwierząt nie mających 4 łap
~q=~4L=[wąż ..].
cnd
Zauważmy, że na mocy prawa Kubusia prawdziwości warunku koniecznego ~> w zdaniu A2 nie musieliśmy dowodzić, bo prawdziwość tą gwarantuje prawo Kubusia.
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Wykonaliśmy dowód bezpośredni by sprawdzić, iż wszystko jest w porządku.
Zauważmy teraz, że w kolumnie A2B2 mamy fałszywy warunek wystarczający B2.
B2.
~p=>~q =0
Fałszywy warunek wystarczający B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’.
B2’
~p~~>q = ~p*q =[] =1
W przełożeniu na nasz przykład otrzymujemy zdanie.
B2’
Jeśli dowolne zwierzę nie jest ani psem (~P), ani kotem (~K), ani też słoniem (~S) to może ~~> mieć cztery lapy (4L)
(~P*~K*~S)~~>4L = (~P*~K*~S)*4L =1
~p=[ZWZ-(P+K+S] = [ZWZ*~P*~K*~S] = [~P*~K*~S] = [tygrys, wąż ..]
q = 4L=[pies, kot, słoń, tygrys..]
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~p=[tygrys, wąż ..] i q=[pies, kot, słoń, tygrys ..] jest spełniona bo [tygrys]
cnd
Zauważmy, ze prawdziwości zdania B2’ również nie musieliśmy dowodzić w sposób bezpośredni bo prawdziwość kontrprzykładu B2’ gwarantuje fałszywość warunku wystarczającego B2.
Zrobiliśmy to wyłącznie dla sprawdzenia teorii, w tym przypadku sprawdziliśmy działanie definicji kontrprzykładu.
Podsumowanie:
Jak widzimy, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt wylosujemy psa (P), kota (K) lub słonia (S) to mamy gwarancję matematyczną => iż te zwierzęta mają cztery łapy (4L) – mówi o tym warunek wystarczający A1.
Natomiast:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P), nie będące kotem (~K) i nie będące słoniem (~S) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie na dwoje babka wróżyła.
Takie zwierzę może ~> nie mieć czterech łap (~4L) o czym mówi zdanie A2, lub może ~~> mieć cztery łapy (4L) o czym mówi zdanie B2’.
9.12 Równoważność w zdarzeniach S<=>(A+B+C) gdzie zachodzi (A+B+C)##(A$B$C)
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja równoważności n-argumentowej w zdarzeniach.
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności S<=>(A+B+C) w zdarzeniach:
S<=>(A+B+C)=(A1: S=>(A+B+C)*(B1: S~>(A+B+C)=1*1=1
C
______
-----o o-----
| B |
| ______ |
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, B, C, S
Zmienna wolna: brak, nie ma żadnych innych przycisków z wyjątkiem A, B i C
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Schemat S1 to fizyczna realizacja równoważności p<=>q:
Żarówka będzie się świecić (S) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty będzie przycisk A lub B lub C
A1B1: S<=>(A+B+C) = (A1: S=>(A+B+C))*(B1: S~>(A+B+C))
Pan od fizyki w I klasie LO:
Jacku, kiedy na schemacie S1 żarówka S będzie się świecić?
Jacek:
Żarówka będzie się świecić (S) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty będzie przycisk A „albo”($) B „albo”($) C
S<=>(A$B$C) = (A1: S=>(A$B$C))*(B1: S~>(A$B$C))
Pan od fizyki:
Nie jest to prawdą Jacku, dostajesz pałę.
Kto wytłumaczy Jackowi, że na schemacie S1 nie wolno łączyć przycisków A, B i C spójnikiem „albo”($).
Jaś:
Ja spróbuję.
Poprawny matematyczny opis schematu S1 jest tylko taki:
Żarówka będzie się świecić wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty będzie przycisk A „lub”(+) B „lub”(+) C
A1B1: S<=>(A+B+C) = (A1: S=>(A+B+C))*(B1: S~>(A+B+C))
to samo w zapisie formalnym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Gdzie:
p = S (żarówka świeci się)
q = (A+B+C)
Zapiszmy następnik q w postaci funkcji logicznej Y=(A+B+C) w tabeli prawdy 3-elementowego spójnika „lub”(+) przechodząc na zapisy formalne poprzez podstawienie:
p = A
q = B
r = C
Użyte tu zmienne formalne p, q, r mają zero wspólnego z wytłuszczonymi wyżej zmiennymi formalnymi p=S, q=(A+B+C)
Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+):
| Kod: |
T1
Y=
p q p+q
A: 1 + 1 =1
B: 1 + 0 =1
C: 0 + 1 =1
D: 0 + 0 =0
Spójnik „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y), obszar ABC:
Y=p+q=1 <=> p=1 lub q=1
Spójnik „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y), linia D:
Y=p+q=0 <=> p=0 i q=0
Prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
Stąd zapis tożsamy linii D:
~Y=~p*~q
Co w logice jedynak oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
|
Tabela prawdy 3-argumentowego spójnika „lub”(+).
| Kod: |
T2
p q r Y=p+q+r
A: 1 1 1 1
B: 1 1 0 1
C: 1 0 1 1
D: 1 0 0 1
E: 0 1 1 1
F: 0 1 0 1
G: 0 0 1 1
H: 0 0 0 0
|
9.12.1 Opis dowolnej tabeli zero-jedynkowej spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa układu logicznego (bramka logiczna) to zero-jedynkowy zapis wszystkich sygnałów wejściowych w postaci niezanegowanej (p, q, r..) i zanegowanej (~p, ~q, ~r..) oraz zapis wyjścia Y również w postaci niezanegowanej (Y) i zanegowanej (~Y).
Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Tworzymy pełną definicję tabeli zero-jedynkowej, czyli:
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2.
SD - standard dodatni języka potocznego = logika jedynek
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
3.
SU - standard ujemny (niezrozumiały dla człowieka) = logika zer
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu zawsze wymnażamy wielomian koniunkcyjno-alternatywny przechodząc do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej.
Zastosujmy logikę jedynek do tabeli T2 tworząc jej opis równaniem alternatywno-koniunkcyjnym.
| Kod: |
T3
Pełna definicja |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y=p+q+r |oznacza |cząstkowe
Y= ~Y= | |
p q r ~p ~q ~r p+q+r ~p*~q*~r| |
A: 1 1 1 0 0 0 1 0 | Ya=1<=> p=1 i q=1 i r=1 | Ya= p* q* r
B: 1 1 0 0 0 1 1 0 | Yb=1<=> p=1 i q=1 i ~r=1 | Yb= p* q*~r
C: 1 0 1 0 1 0 1 0 | Yc=1<=> p=1 i ~q=1 i r=1 | Yc= p*~q* r
D: 1 0 0 0 1 1 1 0 | Yd=1<=> p=1 i ~q=1 i ~r=1 | Yd= p*~q*~r
E: 0 1 1 1 0 0 1 0 | Ye=1<=>~p=1 i q=1 i r=1 | Ye=~p* q* r
F: 0 1 0 1 0 1 1 0 | Yf=1<=>~p=1 i q=1 i ~r=1 | Yf=~p* q*~r
G: 0 0 1 1 1 0 1 0 | Yg=1<=>~p=1 i ~q=1 i r=1 | Yg=~p*~q* r
H: 0 0 0 1 1 1 0 1 |~Yh=1<=>~p=1 i ~q=1 i ~r=1 |~Yh=~p*~q*~r
1 2 3 4 5 6 7 8 a b c d e f g h
|
Operator „lub”(|+) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Kiedy zajdzie Y (Y=1)?
Y=p+q+r
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1 lub r=1
Doskonale to widać w tabeli prawdy ABCDEFGH1237.
2.
Kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(p+q+r) = ~p*~q*~r – prawo De Morgana
stąd mamy:
2.
~Y=~p*~q*~r
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 i ~r=1
Doskonale to widać w tabeli prawdy ABCDEFGH4568.
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy realizację funkcji logicznej:
1: Y=p+q+r
w zbiorach/zdarzeniach niepustych i rozłącznych
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności S<=>(A+B+C) w zdarzeniach:
S<=>(A+B+C)=(A1: S=>(A+B+C)*(B1: S~>(A+B+C)=1*1=1
C
______
-----o o-----
| B |
| ______ |
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, B, C, S
Zmienna wolna: brak, nie ma żadnych innych przycisków z wyjątkiem A, B i C
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Dla naszego schematu S1 mamy:
p=A
q=B
r=C
Y=p+q+r = A+B+C
na mocy teorii zdarzeń rozłącznych mamy zdeterminowane następujące funkcje cząstkowe (znamy wartość logiczną tych funkcji) w obrębie wspólnej dziedziny:
ZWMZ – zbiór wszystkich możliwych zdarzeń rozłącznych
D = ZWMZ=p*q+p*~q + ~p*q + ~p*~q = p*(q+~q)+~p*(q+~q)=p+~p=1 – dziedzina jest poprawna
| Kod: |
T5
Wszystkie zdarzenia opisane niżej są możliwe do zaistnienia, co jest dowodem braku spełnienia definicji spójnika „albo”($).
Oznacza to, że użycie tu spójnika „albo”($) zamiast spójnika „lub”(+)
jest błędem czysto matematycznym
Porównaj z tabelą T4 w punkcie 9.10.1 gdzie definicja spójnika „albo”($)
była spełniona
Y=
A: Ya= A* B* C=1 – wciśnięty A=1 i wciśnięty B=1 i wciśnięty C=1
„lub”(+)
B: Yb= A* B*~C=1 – wciśnięty A=1 i wciśnięty B=1 i nie wciśnięty ~C=1
„lub”(+)
C: Yc= A*~B* C=1 – wciśnięty A=1 i nie wciśnięty ~B=1 i wciśnięty C=1
„lub”(+)
D: Yd= A*~B*~C=1 – wciśnięty A=1 i nie wciśnięty ~B=1 i nie wciśnięty ~C=1
„lub”(+)
E: Ye=~A* B* C=1 – nie wciśnięty ~A=1 i wciśnięty B=1 i wciśnięty C=1
„lub”(+)
F: Yf=~A* B*~C=1 - nie wciśnięty ~A=1 i wciśnięty B=1 i nie wciśnięty ~C=1 „lub”(+)
G: Yg=~A*~B* C=1 – nie wciśnięty ~A=1 i nie wciśnięty ~B=1 i wciśnięty C=1
Wspólna dziedzina:
ZWZM – zbiór wszystkich zdarzeń możliwych
D=Ya+Yb+Yc+Yd+Ye+Yf+Yg+Yh=1
|
Doskonale widać, że zdarzenia ABCDEFG są niepuste i rozłączne co łatwo udowodnić tworząc iloczyny logiczne każdego zdarzenia z każdym np.
Ya*Yb = (A*B*C)*(A*B*~C)=[] =0 – bo C*~C=[] =0
cnd
ALE!
Definicja spójnika „albo”($) nie jest tu spełniona bowiem iloczyn logiczny dwóch dowolnych zdarzeń A,B,C nie jest zbiorem pustym.
Przykład:
A*B =1 – możliwe jest jednoczesne wciśnięcie przycisków A i B
Porównaj z tabelą T4 w punkcie 9.10.1 gdzie definicja spójnika „albo”($) była spełniona
Operator „lub”(|+) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Kiedy zajdzie Y (Y=1)?
Y=p+q+r
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1 lub r=1
Doskonale to widać w tabeli prawdy ABCDEFGH1237.
2.
Kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(p+q+r) = ~p*~q*~r – prawo De Morgana
stąd mamy:
2.
~Y=~p*~q*~r
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 i ~r=1
Doskonale to widać w tabeli prawdy ABCDEFGH4568.
9.13 Równoważność S<=>(A+B+C) w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Prawo Irbisa dla zdarzeń:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q=1 w zdarzeniach definiuje tożsamość zdarzeń p=q i odwrotnie
Wróćmy do naszego schematu:
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności S<=>(A+B+C) w zdarzeniach:
S<=>(A+B+C)=(A1: S=>(A+B+C)*(B1: S~>(A+B+C)=1*1=1
C
______
-----o o-----
| B |
| ______ |
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, B, C, S
Zmienna wolna: brak, nie ma żadnych innych przycisków z wyjątkiem A, B i C
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Jak udowodnić, że mamy tu do czynienia z równoważnością S<=>(A+B+C)?
Odpowiedź:
Należy udowodnić prawdziwość zdań składowych równoważności A1 i B1.
A1.
Jeśli żarówka świeci się (S) to na 100% => wciśnięty jest przycisk A lub B lub C (A+B+C)
S=>(A+B+C) =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
p=S(żarówka świeci się)
q=(A+B+C) – zespół przycisków A, B, C połączony równolegle
Świecenie się żarówki (S) jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania iż wciśnięty jest przycisk A lub B lub C, bo nie ma tu zmiennej wolnej W1 w postaci czwartego przycisku połączonego szeregowo z układem przycisków równoległych A,B i C.
cnd
B1.
Jeśli żarówka świeci się (S) to na 100% ~> wciśnięty jest przycisk A lub B lub C (A+B+C)
S~>(A+B+C) =1
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Świecenie się żarówki S jest warunkiem koniecznym ~> dla wnioskowania iż wciśnięty jest przycisk A lub B lub C, bo nie ma tu zmiennej wolnej W2 w postaci przycisku połączonego równolegle z zespołem przycisków równoległych (A+B+C)
cnd
Zauważmy, że na dzień dobry wyskoczyło nam tu prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Nasz schemat w zapisie formalnym:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
Nasz przykład:
A1: S=>(A+B+C)=~S+(A+B+C) ## B1: S~>(A+B+C) = S+~(A+B+C)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to nie są to zdania matematycznie tożsame.
Różność matematyczną zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
W tym momencie mamy pewność, iż układ S1 to fizyczna realizacja równoważności p<=>q:
Żarówka będzie się świecić (S) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty będzie przycisk A lub B lub C
A1B1: S<=>(A+B+C) = (A1: S=>(A+B+C))*(B1: S~>(A+B+C))
9.13.1 Operator równoważności S|<=>(A+B+C) w zdarzeniach
Nanieśmy nasz matematyczny dowód spełnionej definicji równoważności S<=>(A+B+C) do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q.
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q.
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Nasz przykład:
Żarówka będzie się świecić (S) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty będzie przycisk A lub B lub C
A1B1: S<=>(A+B+C) = (A1: S=>(A+B+C))*(B1: S~>(A+B+C))
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Gdzie:
p=S(żarówka świeci)
q=(A+B+C) – równanie przycisków A,B,C połączonych równolegle
Operator równoważności S|<=>(A+B+C) w logice dodatniej (bo (A+B+C)) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o S i ~S
A1: S=>(A+B+C)=1 – świecenie żarówki wystarcza => dla wnioskowania iż (A+B+C)=1
B1: S~>(A+B+C)=1 – świecenie żarówki jest konieczne ~> dla wnioskowania iż (A+B+C)=1
A1B1: S<=>(A+B+C) =(A1: S=>(A+B+C))* (B1: S~>(A+B+C)) - kiedy żarówka świeci się (S=1)?
… a kiedy żarówka nie świeci się?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2B2:~S<=>~(A+B+C)=(A2:~S~>~(A+B+C))*(B2:~S=>~(A+B+C) - kiedy żarówka nie świeci się (~S=1)?
Zapis tożsamy:
A2B2:~S<=>~A*~B*~C=(A2:~S~>(~A*~B*~C))*(B2:~S=>(~A*~B*~C)) - kiedy żarówka nie świeci się?
A1B1:
Kiedy żarówka świeci się?
Kolumna A1B1
A1B1:
Żarówka świeci się (S) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przyciska A lub B lub C
A1B1: S<=>(A+B+C) =(A1: S=>(A+B+C))* (B1: S~>(A+B+C))=1*1=1
Całość czytamy:
Równoważność S<=>(A+B+C) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy świecenie żarówki S (S+1) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla wnioskowania iż którykolwiek z przycisków A,B lub C jest wciśnięty:
S=1 <=> A=1 lub B=1 lub C=1
Na mocy prawa Irbisa równoważność S<=>(A+B+C) definiuje tożsamość pojęć S=(A+B+C):
S=(A+B+C) <=> (A1: S=>(A+B+C))*(B1: S~>(A+B+C)) = S<=>(A+B+C)
Tożsamość pojęć S=(A+B+C) wymusza tożsamość pojęć ~S=~(A+B+C) (i odwrotnie)
Matematycznie zachodzi tu relacja:
S=(A+B+C) # ~S=~(A+B+C)
Zapis tożsamy:
S=(A+B+C) # ~S=(~A*~B*~C)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Odpowiedź na pytanie A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” jest następująca:
A1.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to na 100% => wciśnięty jest przycisk A lub B lub C (A+B+C=1)
S=>(A+B+C)=1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Świecenie się żarówki S jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowaniu o wciśnięciu któregokolwiek z przycisków (A+B+C)=1
Świecenie się żarówki S daje nam gwarancję matematyczną => iż na 100% wciśnięty jest którykolwiek z przycisków (A+B+C)=1
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=S
co w logice jedynek oznacza:
p=1 <=>S=1
;
q=(A+B+C)
Co w logice jedynek oznacza:
q=1 ><=> A=1 lub B=1 lub C=1
Obliczenia przeczeń p i q:
~p=~S
co w logice jedynek oznacza:
~p=1 <=> ~S=1
;
~q=~(A+B+C)= ~A*~B*~C – prawo De Morgana
~q=~A*~B*~C
co w logice jedynek oznacza:
~q=1 <=> ~A=1 i ~B=1 i ~C=1
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to mogą nie być wciśnięte wszystkie 3 przyciski (~A*~B*~C)=1
S~~>(~A*~B*~C) = S*(~A*~B*~C) = [] =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: żarówka świeci się (S=1) i żaden z przycisków nie jest wciśnięty (~A*~B*~C)=1
A2B2:
Kiedy żarówka S nie świeci się (~S=1)?
Kolumna A2B2
RA2B2:
Żarówka S nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) i nie jest wciśnięty przyciska B (~B=1) i nie jest wciśnięty przycisk C (~C=1)
A2: ~S~>~(A+B+C) = (~A*~B*~C) – prawo De Morgana
A2: ~S~>(~A*~B*~C) – brak świecenia (~S=1) jest konieczny ~> dla wnioskowania,
że żaden z przycisków nie jest wciśnięty (~A*~B*~C)=1
B2: ~S=>~(A+B+C) = (~A*~B*~C) – prawo De Morgana
B2: ~S=>(~A*~B*~C) – brak świecenia (~S=1) jest wystarczający => dla wnioskowania,
że żaden z przycisków nie jest wciśnięty (~A*~B*~C)=1
Stąd:
A2B2:~S<=>~(A+B+C)=(A2:~S~>~(A+B+C))*(B2:~S=>~(A+B+C)
~(A+B+C) = (~A*~B*~C) – prawo De Morgana
Stąd zapis tożsamy:
A2B2:~S<=>(~A*~B*~C)=(A2:~S~>(~A*~B*~C))*(B2:~S=>(~A*~B*~C)
Całość czytamy:
Równoważność ~S<=>(~A*~B*~C) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy brak świecenie żarówki S (~S=1) jest warunkiem koniecznym ~> (A2) i wystarczającym => B2) to tego aby nie był wciśnięty przycisk A (~A=1) i nie był wciśnięty przycisk B (~B=1) i nie był wciśnięty przycisk C (~C=1)
Na mocy prawa Irbisa równoważność ~S<=>(~A*~B*~C) definiuje tożsamość pojęć ~S=(~A*~B*~C):
A2B2:~S=(~A*~B*~C)<=>(A2:~S~>(~A*~B*~C))*(B2:~S=>(~A*~B*~C) = A2B2: ~S<=>(~A*~B*~C)
Tożsamość pojęć ~S=(~A*~B*~C) wymusza tożsamość pojęć S=(A+B+C) (i odwrotnie)
Matematycznie zachodzi tu relacja #:
S=(A+B+C) # ~S=(~A*~B*~C) =~(A+B+C) – prawo De Morgana
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Odpowiedź na pytanie A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” jest następująca:
B2.
Jeśli żarówka nie świeci się (~S=1) to na 100% => nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) i nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1) i nie jest wciśnięty przycisk C (~C=1)
~S=>(~A*~B*~C) =1
Brak świecenia się żarówki S (~S=1) jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania, iż żaden z przycisków {A,B,C} nie jest wciśnięty (~A*~B*~C)=1
Brak świecenia się żarówki S (~S=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż żaden z przycisków {A,B,C} nie jest wciśnięty (~A*~B*~C)=1
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli żarówka nie świeci się (~S=1) to którykolwiek z przycisków może ~~> być wciśnięty (A+B+C)=1
~S~~>(A+B+C) = ~S*(A+B+C) =[] =0
Niemożliwy jest (=0) przypadek: żarówka nie świeci (~S=1) i którykolwiek z przycisków jest wciśnięty (A+B+C)=1
Podsumowanie:
1.
Istotą operatora równoważności S|<=>(A+B+C) jest gwarancja matematyczna => zarówno po stronie świecącej się żarówki (S=1) - zdanie A1, jak i po stronie nie świecącej się żarówki (~S=1) - zdanie B2.
2.
Prawdziwości/fałszywości powyższych zdań dowodzimy na gruncie fizyki teoretycznej.
Jakiekolwiek iterowanie (czyli machanie przyciskami A,B i C) nie ma tu sensu, bowiem wcześniej czy później żarówka spali się i nie będziemy mieli fizycznego potwierdzenia prawdziwości/fałszywości powyższych zdań.
3.
Zauważmy, że przyczyną świecenia/nie świecenia się żarówki jest „machanie” przyciskami A,B,C
Oznacza to że możemy zbudować układ S1 i „machając” przyciskami A,B,C sprawdzić poprawność teorii sterowania żarówki przez zespół przycisków równoległych:
Y=A+B+C
4.
Zauważmy że dla schematu S1 nie da się zamienić przyczyny (A+B+C) ze skutkiem (żarówką S)
Dowód:
Łatwo można zbudować układ S1 i przekonać się że możemy do prawda wykręcać/wkręcać żarówkę S powodując jest zgaszenie/zaświecenie, ale nie spowoduje to jakiejkolwiek zmiany stanu przycisków A+B+C
Dokładnie dlatego jeśli na wejściu mamy żarówkę S (jak w naszym przykładzie) to możemy mówić tylko i wyłącznie o wnioskowaniu w jakim stanie mogą być przyciski A+B+C.
Dokładnie dlatego to wnioskowanie jest w całym przykładzie pogrubione.
Oczywistym jest że wnioskujemy na bazie teorii czysto fizycznej sterowania żarówki zespołem przycisków równoległych A+B+C
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35517
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 12:05, 20 Cze 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.14 Geneza tabel zero-jedynkowych równoważności <=> i „albo”($)
Spis treści
9.14 Geneza tabel zero-jedynkowych równoważności „<=>” i „albo”($) 1
9.15 Równoważność p<=>q 1
9.15.1 Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) 2
9.15.2 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q 4
9.15.3 Co oznacza definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)? 7
9.15.4 Odtworzenie operatora równoważności p|<=>q 8
9.16 Spójnik „albo”($) p$q 9
9.16.1 Operator „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo q) 11
9.16.2 Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($) p$q 13
9.16.3 Co oznacza definicja „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)? 16
9.16.4 Odtworzenie operatora „albo”($) p|$q 17
9.14 Geneza tabel zero-jedynkowych równoważności „<=>” i „albo”($)
W niniejszym rozdziale udowodnimy, iż zero-jedynkowe definicje warunku równoważności p<=>q i spójnika „albo”($) generuje język potoczny człowieka.
Znając ten fakt łatwo udowodnić twierdzenie odwrotne iż fundamentem języka potocznego są tabele zero-jedynkowe spójników logicznych.
Wychodzi z tego odwieczne pytanie, co było pierwsze „jajko, czy kura”?
Poprawna odpowiedź to „kura”, gdyż jajko nie potrafi myśleć, natomiast „kura” potrafi udowodnić, iż tabele zero-jedynkowe spójników logicznych generuje język potoczny „kury”, znaczy język potoczny człowieka, co niniejszym wykażemy.
9.15 Równoważność p<=>q
Przypomnijmy sobie definicję podstawową równoważności.
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q.
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
9.15.1 Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q)
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom.
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zbiory:
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zdarzenia:
Zajście zdarzenia p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia q
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: p i ~q
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: p i ~q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Czytamy:
Równoważność ~p<=>~q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom.
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zbiory:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Zdarzenia:
Zajście zdarzenia ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia ~q
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~p i q
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: ~p i q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
Podsumowując:
Równoważność p<=>q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
9.15.2 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q
Zapiszmy powyższą analizę w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Definicja symboliczna |Co w logice jedynek
|oznacza
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) |
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) |
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0
|
Zauważmy, że zero-jedynkowo tabelę T1 możemy kodować wyłącznie w odniesieniu do równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) albo w odniesieniu do równoważności A2B2:~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q)
Dlaczego tabeli T1 nie możemy kodować z punktem odniesienia ustawionym na warunku wystarczającym A1: p=>q?
Odpowiedź:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Warunek wystarczający A1: p=>q nie jest jedynym członem prawdziwym w równoważności p<=>q.
Zakodujmy powyższą analizę zero-jedynkowo z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
A1B1: p<=>q
Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(~p=1)=(p=0)
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych binarnych.
Dla wygenerowania zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q jest potrzebne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka pozwalające na eliminację przeczeń w zapisach symbolicznych, bowiem w punkcie odniesienie A1B1: p<=>q mamy sygnały p i q bez przeczeń.
Potrzebne nam prawo Prosiaczka to:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Zakodujmy nasza tabelę T1 zero-jedynkowo:
| Kod: |
T2.
Definicja |Co w logice |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna |Jedynek oznacza |A1B1: p<=>q |
A1B1: p<=>q | | | p q p<=>q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1<=>1 =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1<=>0 =0
A2B2:~p<=>~q | | |
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0<=>0 =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0<=>1 =0
a b c d e f g h i 1 2 3
| Prawa Prosiaczka |
| (~p=1)=(p=0) |
| (~q=1)=(q=0) |
|
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q), zwanego krótko równoważnością p<=>q
Zakodujmy zero-jedynkowo tabelę T1 z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
A2B2: ~p<=>~q
Prawo Prosiaczka z którego tu należy skorzystać to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Uzasadnienie:
Wszystkie zmienne musimy sprowadzić do postaci zanegowanej ~p i ~q bowiem w punkcie odniesienia:
A2B2: ~p<=>~q
obie zmienne mamy zanegowane.
| Kod: |
T3.
Definicja |Co w logice |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna |Jedynek oznacza |A2B2: ~p<=>~q |
A1B1: p<=>q | | |~p ~q ~p<=>~q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0<=>0 =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0<=>1 =0
A2B2:~p<=>~q | | |
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1<=>1 =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1<=>0 =0
a b c d e f g h i 1 2 3
| Prawa Prosiaczka |
| (p=1)=(~p=0) |
| (q=1)=(~q=0) |
|
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), zwanego krótko równoważnością ~p<=>~q
Zauważmy, że w tabelach T2 i T3 wejściowa definicja symboliczna równoważności abc jest identyczna, stąd tożsamość kolumn wynikowych 3 w tabelach zero-jedynkowych 123 jest dowodem formalnym poprawności prawa rachunku zero-jedynkowego:
T2: p<=>q = T3: ~p<=>~q
Dowód powyższego prawa bezpośrednio w rachunku zero-jedynkowym jest następujący:
| Kod: |
Definicja równoważności p<=>q
p q p<=>q
A1: 1<=>1 =1
A1’: 1<=>0 =0
B2: 0<=>0 =1
B2’: 0<=>1 =0
|
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
Dowód:
| Kod: |
Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p<=>q = ~p<=>~q
p q p<=>q ~p ~q ~p<=>~q
A1: 1<=>1 =1 0<=>0 =1
A1’: 1<=>0 =0 0<=>1 =0
B2: 0<=>0 =1 1<=>1 =1
B2’: 0<=>1 =0 1<=>0 =0
1 2 3 4 5 6
|
Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
Definicja tożsamości logicznej [=]:
p<=>q [=] ~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej [=] jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>
Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
p q p<=>q
A: 1<=>1 =1
B: 1<=>0 =0
C: 0<=>0 =1
D: 0<=>1 =0
|
Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
| Kod: |
Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p<=>q = ~p<=>~q
p q p<=>q ~p ~q ~p<=>~q p<=>q <=> ~p<=>~q
A1: 1<=>1 =1 0<=>0 =1 1
A1’: 1<=>0 =0 0<=>1 =0 1
B2: 0<=>0 =1 1<=>1 =1 1
B2’: 0<=>1 =0 1<=>0 =0 1
1 2 3 4 5 6 7
|
Same jedynki w kolumnie wynikowej 7 również są dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
9.15.3 Co oznacza definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)?
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Stąd mamy:
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora równoważności p|<=>q przedstawioną wyżej:
| Kod: |
T1.
Analiza symboliczna |Co w logice
operatora implikacji równoważności p|<=>q |jedynek oznacza
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =1
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1: p=> q =1 - zajście p wystarcza => dla q |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład dla A1 musi być 0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
Kolumna A2B2:
A2:~p~>~q =1
B2: ~p=>~q =0
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - ~p jest wystarczające => dla ~q |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład dla B2 musi być 0 |(~p=1)~~>( q=1)=0
a b c d e f
|
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =(~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q + ~p*~q
Do zapamiętania:
p<=>q = p*q + ~p*~q
Łatwo widzieć, iż definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = A1: p*q + B2: ~p*~q
wskazuje wszystkie możliwe zbiory mające element wspólny, bo nic innego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nie da się wskazać.
9.15.4 Odtworzenie operatora równoważności p|<=>q
Znajomość definicji równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) umożliwia łatwe odtworzenie operatora równoważności p|<=>q jak w tabeli T1.
Dowód:
| Kod: |
p q Y=p*q+~p*~q
A1: 1 1 =1
A1’: 1 0 =0
B2: 0 0 =1
B2’: 0 1 =0
|
Prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
Korzystając z prawa Prosiaczka zapisujemy wejścia p i q postaci symbolicznej
| Kod: |
|Co w logice |Jedynki są |Finalnie mamy
p q Y=p*q+~p*~q |jedynek oznacza |domyślne, stąd: |
A1: 1 1 =1 |( p=1)~~>( q=1)=1 | p~~>q =1 |A1: p=> q =1
A1’: 1 0 =0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 | p~~>~q=0 |A1’: p~~>~q=0
B2: 0 0 =1 |(~p=1)~~>(~q=1)=1 |~p~~>~q=1 |B2: ~p=>~q =1
B2’: 0 1 =0 |(~p=1)~~>( q=0)=0 |~p~~> q=0 |B2’:~p~~>q =0
1 2 3 a b c d e f 3 4 5
|
Doskonale widać, że w tabeli 345 mamy odtworzoną z definicji zero-jedynkowej 123 definicję operatora równoważności p|<=>q opisana tabelą T1.
cnd
W przekształceniu finalnym skorzystaliśmy z definicji kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
9.16 Spójnik „albo”($) p$q
Przypomnijmy sobie definicję podstawową spójnika „albo”($) p$q
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p (p) do zanegowanego q (~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= p<=>~q
Środek czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Definicja równoważności p<=>~q znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Dla spójnika „albo”($) mamy:
Każda równoważność prawdziwa p<=>~q=1 definiuje tożsamość zbiorów p=~q (i odwrotnie)
Nanieśmy definicję spójnika „albo”($) do tabeli prawdy z uwzględnieniem prawa Irbisa.
| Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q = 2:~p~>q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p [=] 5: ~p+~q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q = 2:~p=>q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p [=] 5: p+ q =1
-------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3:~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
AB: 1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
9.16.1 Operator „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo q)
| Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q = 2:~p~>q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p [=] 5: ~p+~q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q = 2:~p=>q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p [=] 5: p+ q =1
-------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3:~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
AB: 1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora „albo”($) p|$q:
Operator „albo”($) p$q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Prawa strona A1B1 to definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1 =1
Stąd mamy:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie ~q
p=>~q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zbiory:
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru ~q
Zdarzenia:
Zajście zdarzenia p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia ~q
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: p i q
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: p i q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>~q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Stąd:
A2B2: ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
Prawa strona A3B2 to definicja równoważności ~p<=>q:
Równoważność ~p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
Stąd mamy:
A2B2: ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p<=>q
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie q
~p=>q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zbiory:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru q
Zdarzenia:
Zajście zdarzenia ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia q
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~p i ~q
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: ~p i ~q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
Podsumowując:
Spójnik „albo”($) p$q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
9.16.2 Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($) p$q
Zapiszmy powyższą analizę w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Definicja symboliczna |Co w logice jedynek
|oznacza
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) |
A1: p=>~q =1 |( p=1)=> (~q=1)=1
A1’: p~~>q =0 |( p=1)~~>( q=1)=0
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) |
B2: ~p=> q =1 |(~p=1)=> ( q=1)=1
B2’:~p~~>~q=0 |(~p=1)~~>(~q=1)=0
|
Zauważmy, że zero-jedynkowo tabelę T1 możemy kodować wyłącznie w odniesieniu do spójnika „albo”($) A1B1: p$q w logice dodatniej (bo q) albo w odniesieniu do spójnika „albo”($) A2B2:~p$~q w logice ujemnej (bo ~q)
Dlaczego tabeli T1 nie możemy kodować z punktem odniesienia ustawionym na warunku wystarczającym A1: p=>~q?
Odpowiedź:
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Warunek wystarczający A1: p=>~q nie jest jedynym członem prawdziwym w spójniku „albo”($) p$q.
Zakodujmy powyższą analizę zero-jedynkowo z punktem odniesienia ustawionym na spójniku „albo”($):
A1B1: p$q
Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(~p=1)=(p=0)
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych binarnych.
Dla wygenerowania zero-jedynkowej definicji spójnika „albo”($) p$q jest potrzebne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka pozwalające na eliminację przeczeń w zapisach symbolicznych, bowiem w punkcie odniesienie A1B1: p$q mamy sygnały p i q bez przeczeń.
Potrzebne nam prawo Prosiaczka to:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Zakodujmy nasza tabelę T1 zero-jedynkowo:
| Kod: |
T2.
Definicja |Co w logice |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna |Jedynek oznacza |A1B1: p$q |
A1B1: p$q | | | p q p$q
A1: p=>~q =1 |( p=1)=> (~q=1)=1 |( p=1)=> ( q=0)=1 | 1 $ 0 =1
A1’: p~~>q =0 |( p=1)~~>( q=1)=0 |( p=1)~~>( q=1)=0 | 1 $ 1 =0
A2B2:~p$~q | | |
B2: ~p=> q =1 |(~p=1)=> ( q=1)=1 |( p=0)=> ( q=1)=1 | 0 $ 1 =1
B2’:~p~~>~q=0 |(~p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=0)~~>( q=0)=0 | 0 $ 0 =0
a b c d e f g h i 1 2 3
| Prawa Prosiaczka |
| (~p=1)=(p=0) |
| (~q=1)=(q=0) |
|
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q).
Zakodujmy zero-jedynkowo tabelę T1 z punktem odniesienia ustawionym na spójniku ~p$~q:
A2B2: ~p$~q
Prawo Kubusia z którego tu należy skorzystać to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Uzasadnienie:
Wszystkie zmienne musimy sprowadzić do postaci zanegowanej ~p i ~q bowiem w punkcie odniesienia:
A2B2: ~p$~q
obie zmienne mamy zanegowane.
| Kod: |
T3.
Definicja |Co w logice |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna |Jedynek oznacza |A2B2: ~p$~q |
A1B1: p$q | | |~p ~q ~p$~q
A1: p=>~q =1 |( p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=1)=1 | 0 $ 1 =1
A1’: p~~>q =0 |( p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=0)=0 | 0 $ 0 =0
A2B2:~p$~q | | |
B2: ~p=> q =1 |(~p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=0)=1 | 1 $ 0 =1
B2’:~p~~>~q=0 |(~p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=1)=0 | 1 $ 1 =0
a b c d e f g h i 1 2 3
| Prawa Prosiaczka |
| (p=1)=(~p=0) |
| (q=1)=(~q=0) |
|
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q).
Zauważmy, że w tabelach T2 i T3 wejściowa definicja symboliczna operatora „albo”($) p|$q (abc) jest identyczna, stąd tożsamość kolumn wynikowych 3 w tabelach zero-jedynkowych 123 jest dowodem formalnym poprawności prawa rachunku zero-jedynkowego:
T2: p$q = T3: ~p$~q
Dowód powyższego prawa bezpośrednio w rachunku zero-jedynkowym jest następujący:
| Kod: |
Definicja spójnika „albo”($) p$q
p q p$q
A: 1 $ 1 =0
B: 1 $ 0 =1
C: 0 $ 0 =0
D: 0 $ 1 =1
|
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p$q = ~p$~q
Dowód:
| Kod: |
Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p$q = ~p$~q
p q p$q ~p ~q ~p$~q
A1’: 1 $ 1 =0 0 $ 0 =0
A1: 1 $ 0 =1 0 $ 1 =1
B2’: 0 $ 0 =0 1 $ 1 =0
B2: 0 $ 1 =1 1 $ 0 =1
1 2 3 4 5 6
|
Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p$q = ~p$~q
Definicja tożsamości logicznej [=]:
p$q [=] ~p$~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej [=] jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>
Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
p q p<=>q
A: 1<=>1 =1
B: 1<=>0 =0
C: 0<=>0 =1
D: 0<=>1 =0
|
Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa rachunku zero-jedynkowego:
p$q = ~p$~q
| Kod: |
Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p$q = ~p$~q
p q p$q ~p ~q ~p$~q p$q <=> ~p$~q
A1’: 1 $ 1 =0 0 $ 0 =0 1
A1: 1 $ 0 =1 0 $ 1 =1 1
B2’: 0 $ 0 =0 1 $ 1 =0 1
B2: 0 $ 1 =1 1 $ 0 =1 1
1 2 3 4 5 6 7
|
Same jedynki w kolumnie wynikowej 7 również są dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p$q = ~p$~q
9.16.3 Co oznacza definicja „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)?
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p (p) do zanegowanego q (~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Stąd mamy:
| Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q = 2:~p~>q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p [=] 5: ~p+~q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q = 2:~p=>q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p [=] 5: p+ q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora „albo”($) p|$q przedstawioną wyżej:
| Kod: |
T1.
Analiza symboliczna |Co w logice
operatora „albo”($) p|$q |jedynek oznacza
Kolumna A1B1:
A1: p=>~q =1
B1: p~>~q =1
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1: p=>~q =1 - zajście p wystarcza => dla ~q |( p=1)=> (~q=1)=1
A1’: p~~>q =0 - kontrprzykład dla A1 musi być 0 |( p=1)~~>( q=1)=0
Kolumna A2B2:
A2:~p~> q =1
B2: ~p=>q =1
A2B2:~p$~q=(A2:~p~> q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=> q =1 - ~p jest wystarczające => dla q |(~p=1)=> ( q=1)=1
B2’:~p~~>~q=0 - kontrprzykład dla B2 musi być 0 |(~p=1)~~>(~q=1)=0
a b c d e f
|
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =(~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
Do zapamiętania:
p$q = p*~q + ~p*q
Łatwo widzieć, iż definicja „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p$q = p*~q + ~p*q
wskazuje wszystkie możliwe zbiory mające element wspólny, bo nic innego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nie da się wskazać.
9.16.4 Odtworzenie operatora „albo”($) p|$q
Znajomość definicji „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) umożliwia łatwe odtworzenie operatora „albo”($) p|$q jak w tabeli T1.
Dowód:
| Kod: |
p q Y=p*~q+~p*q
A1’: 1 1 =0
A1: 1 0 =1
B2’: 0 0 =0
B2: 0 1 =1
|
Prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
Korzystając z prawa Prosiaczka zapisujemy wejścia p i q postaci symbolicznej
| Kod: |
|Co w logice |Jedynki są |Finalnie mamy
p q Y=p*~q+~p*q |jedynek oznacza |domyślne, stąd: |
A1’: 1 1 =0 |( p=1)~~>( q=1)=0 | p~~>q =0 |A1’: p~~> q =0
A1: 1 0 =1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 | p~~>~q=1 |A1: p=> ~q =1
B2’: 0 0 =0 |(~p=1)~~>(~q=1)=0 |~p~~>~q=0 |B2’:~p~~>~q =0
B2: 0 1 =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |~p~~> q=1 |B2: ~p=> q =1
1 2 3 a b c d e f 3 4 5
|
Doskonale widać, że w tabeli 345 mamy odtworzoną z definicji zero-jedynkowej 123 definicję operatora „albo”($) p|$q) opisana tabelą T1.
cnd
W przekształceniu finalnym skorzystaliśmy z definicji kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35517
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 15:39, 20 Cze 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.17 Równoważność p<=>q vs „albo”($) p$q
Spis treści
9.17 Równoważność p<=>q vs spójnik „albo”($) p$q 1
9.18 Związek definicji spójnika „albo”($) p$q z równoważnością p<=>~q 3
9.18.1 Związek spójnika „albo”($) z równoważnością p<=>~q w języku potocznym 8
9.19 Związek równoważności p<=>q z definicją spójnika „albo”($) p$~q 9
9.19.1 Związek równoważności p<=>q z „albo”($) p$~q w języku potocznym 16
9.20 Prawa Puchacza 19
9.20.1 I prawo Puchacza p<=>q ## p$q 20
9.20.1 II prawo Puchacza p$q ## p<=>q 21
9.17 Równoważność p<=>q vs spójnik „albo”($) p$q
Tabela wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych TF2.
| Kod: |
TF2
Tabela prawdy wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych Y
w logice dodatniej (bo Y)
|Grupa I |Grupa II |Grupa III | Grupa IV
|Spójniki „i”(*)|Spójniki =>, ~>|Spójniki <=>, $ | Wejścia
|oraz „lub”(+) ||=>, |~> ||~~>, ~(|~~>q) | p i q
| Y Y | Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y
p q | * + | ~* ~+ | => ~> |=> |~> | <=> $ |~~> ~(|~~>)| p q ~p ~q
A: 1 1 | 1 1 | 0 0 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 1 1 0 0
B: 1 0 | 0 1 | 1 0 | 0 1 0 1 | 0 1 1 0 | 1 0 0 1
C: 0 1 | 0 1 | 1 0 | 1 0 1 0 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0
D: 0 0 | 0 0 | 1 1 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 0 0 1 1
A A A A A A A A A A A A A A A A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
|
Definicje podstawowych spójników logicznych obsługujących zdania warunkowe „Jeśli p to q”
| Kod: |
TF4-7
-------------------------------------------------------------------------
Tabela prawdy podstawowych spójników obsługujących zdania „Jeśli p to q”:
TF4-5:
Warunek wystarczający => i konieczny ~>
A4.
Warunek wystarczający p=>q:
Y= p=>q
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
;
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y= p=>q = ~p+q # ~Y=~(p=>q) = p*~q
##
A5.
Warunek konieczny p~>q:
Y= p~>q
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
;
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y= p~>q = p+~q # ~Y=~(p|~>q)=~p* q
##
---------------------------------------
| TF6-7: |
| Spójniki implikacyjne p|=>q i p|~>q |
---------------------------------------
A6.
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1),
ale nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
;
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p|=>q = ~p* q # ~Y=~(p|=>q)= p+~q
##
A7.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1),
ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
;
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p|~>q = ~p* q # ~Y=~(p|~>q)= p+~q
Gdzie:
##
---------------------------------------------------------------------
| TF8-9: |
| Spójniki równoważnościowe p<=>q i p$q |
---------------------------------------------------------------------
A8.
Równoważność p<=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
;
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p<=>q= p* q + ~p*~q # ~Y=~(p<=>q)= p*~q + ~p* q
##
A9.
Spójnik „albo”($):
A1: p=>~q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
;
Definicja spójnika „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p$q= p*~q + ~p* q # ~Y= ~(p$q) = p* q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
9.18 Związek definicji spójnika „albo”($) p$q z równoważnością p<=>~q
Przepiszmy podstawowe definicje spójka „albo”($) oraz równoważności p<=>q podane w poprzednim punkcie.
| Kod: |
---------------------------------------------------------------------
| TF8-9: |
| Spójniki równoważnościowe p<=>q i p$q |
---------------------------------------------------------------------
A8.
Równoważność p<=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
;
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p<=>q= p* q + ~p*~q # ~Y=~(p<=>q)= p*~q + ~p* q
##
A9.
Spójnik „albo”($):
A1: p=>~q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
;
Definicja spójnika „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p$q= p*~q + ~p* q # ~Y= ~(p$q) = p* q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF8-9 obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p (p) do zanegowanego q (~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= p<=>~q
Środek czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Definicja równoważności p<=>~q znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Dla spójnika „albo”($) mamy:
Każda równoważność prawdziwa p<=>~q=1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q (i odwrotnie)
Nanieśmy definicję spójnika „albo”($) do tabeli prawdy z uwzględnieniem prawa Irbisa.
| Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q = 2:~p~>q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p [=] 5: ~p+~q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q = 2:~p=>q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p [=] 5: p+ q =1
-------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3:~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
AB: 1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($):
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Stąd mamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w zbiorach:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to dwa zbiory różne i niepuste p i q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
Stąd mamy definicje dziedziny dla spójnika „albo”($)
D=p+q
Innymi słowy:
W spójniku „albo”($) dziedzina D na mocy definicji spójnika „albo”($) w zbiorach jest zbiorem dwuelementowym:
D = p+q (trzeciej możliwości brak)
| Kod: |
DA
Diagram „albo”($) A1B1: p$q w zbiorach:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Diagram „albo”($) A2B2: ~p$~q w zbiorach:
Stąd mamy tożsamą definicję spójnika „albo”($):
A2B2: ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2: ~p=>q) = ~p<=>q
----------------------------------------------------------------------
| p | q |
|------------------------|-------------------------------------------|
| ~q | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| p=~q # ~p=q |
|--------------------------------------------------------------------|
| A1: p=>~q=1 (p*~q=1) | B2:~p=>q=1 (~p*q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina to suma logiczna zbiorów niepustych p*~q i ~p*q: |
| D=A1: p*~q+ B2:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>q = p* q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>~q=~p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram spójnika „albo”($) p$q definiujący tożsamości zbiorów: |
| p=~q # ~p=q |
| Gdzie: |
| # - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony|
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>~q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
B1: p~>~q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd:
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Wniosek:
Równoważność p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów p=~q
Innymi słowy:
A1 i B1 definiuje tu tożsamość zbiorów p=~q
A2B2:
A2:~p~>q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
B2:~p=>q=1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd:
A2B2: ~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)= ~p<=>q
Wniosek:
Równoważność ~p<=>q definiuje tożsamość zbiorów ~p=q
Innymi słowy:
A2 i B2 definiuje tu tożsamość zbiorów ~p=q
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja spójnika „albo”($) p$q definiuje tożsamość zbiorów p=~q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=q (i odwrotnie)
2.
Spójnik „albo”($) p$q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p i q uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny
3.
W definicji spójnika „albo”($) nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
Komentarz ogólny:
1.
Definicja „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p$q = p*~q + ~p*q
2.
Definicja spójnika „albo”($) w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Ostatnie zdanie to znana każdemu człowiekowi definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 7 300
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 75 500
cnd
Stąd mamy matematyczny związek spójnika „albo”($) ze spójnikiem równoważności p<=>~q:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
Zapiszmy definicję równoważności p<=>~q tożsamą ze spójnikiem „albo”($):
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
A1B1: p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
p<=>~q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Zdania składowe spójnika równoważności p<=>~q, A1 i B1 czytamy:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie ~q
A1: p=>~q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby zaszło ~q
##
B1.
Jeśli zajdzie p to na 100% ~> zajdzie ~q
B1: p~>~q =1
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby zaszło ~q
Dowód:
Dziedzina D na mocy definicji spójnika „albo”($) w zbiorach jest zbiorem dwuelementowym:
D = p+q (trzeciej możliwości brak)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Po raz n-ty wyskoczyło nam tu prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód to zdania A1 i B1 wyżej.
cnd
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego wbudowanych w treść zdań
9.18.1 Związek spójnika „albo”($) z równoważnością p<=>~q w języku potocznym
Zobaczmy teraz jak genialnie wyłożona wyżej teoria spójnika „albo”($) pasuje do języka potocznego 5-cio latka i humanistów.
Dowód przełożenia 1:1 będzie polegał na zastąpieniu parametrów formalnych {p, q} parametrami aktualnymi {M,K}
Czyli:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
Jedziemy!
Definicja spójnika „albo”($) w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
Dziedzina spójnika „albo”($) jest tu spełniona:
C (człowiek) = M+K (trzeciej możliwości brak)
Prawą stronę czytamy:
Bycie mężczyzną M jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) aby nie być kobietą ~K
Ostatnie zdanie to znana każdemu człowiekowi definicja równoważności M<=>~K:
A1B1: M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 7 300
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 75 500
cnd
Stąd mamy matematyczny związek spójnika „albo”($) ze spójnikiem równoważności M<=>~K:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K
Zapiszmy definicję równoważności M<=>~K tożsamą ze spójnikiem „albo”($):
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
A1B1: M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
M<=>~K
Prawą stronę czytamy:
Bycie mężczyzną (M) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego, aby nie być kobietą (~K)
M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Zdania składowe spójnika równoważności M<=>~K A1 i B1 czytamy:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
A1: M=>~K =1
Bycie mężczyzną (M) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby nie być kobietą (~K)
##
B1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% ~> nie jest kobietą (~K)
B1: M~>~K =1
Bycie mężczyzną (M) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie być kobietą (~K)
Zauważmy że:
Zbiór C (człowiek) jest zbiorem dwuelementowym:
C = M+K (trzeciej możliwości brak)
co spełnia definicję spójnika „albo”($) w zbiorach
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Po raz n-ty wyskoczyło nam tu prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód to zdania A1 i B1 wyżej.
cnd
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego wbudowanych w treść zdań
9.19 Związek równoważności p<=>q z definicją spójnika „albo”($) p$~q
Przepiszmy podstawowe definicje spójka „albo”($) p$q oraz równoważności p<=>q podane w punkcie 9.9
| Kod: |
---------------------------------------------------------------------
| TF8-9: |
| Spójniki równoważnościowe p<=>q i p$q |
---------------------------------------------------------------------
A8.
Równoważność p<=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
;
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p<=>q= p* q + ~p*~q # ~Y=~(p<=>q)= p*~q + ~p* q
##
A9.
Spójnik „albo”($):
A1: p=>~q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
;
Definicja spójnika „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p$q= p*~q + ~p* q # ~Y= ~(p$q) = p* q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF8-9 obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Tabela prawdy równoważności p<=>q uwzględniająca prawo Irbisa:
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
----------------------------------------------------------------
Spójnik równoważności <=>: | Spójnik równoważności <=>:
AB: 1: p<=>q = 2:~p<=>~q [=] 3: q<=>p = 4:~q<=>~p [=] 5: p*q+~p*~q
Definiuje tożsamość zbiorów: | Definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej [=] dla zapisu wieloczłonowego.
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy i tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
W tabeli prawdy równoważności DR doskonale widać że:
1.
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q=1) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1: p~>q=1)
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
2.
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q:
Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q (A2: ~p~>~q=1) i jednocześnie zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q (B2: ~p=>~q=1)
A2B2: ~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)= A2B2: ~p<=>~q
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne, co widać na diagramie DR niżej.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Stąd mamy:
| Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Dla B1 stosujemy prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Stąd mamy tożsamą definicję równoważności:
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q)=1*1=1
-----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|-------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|-------------------------|-------------------------------------------|
| p=q # ~p=~q |
|---------------------------------------------------------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
| Prawo Irbisa: | Prawo Irbisa: |
| A1B1: p<=>q = A1B1: p=q | A2B2: ~p<=>~q = A2B2: ~p=~q |
|---------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty |
|---------------------------------------------------------------------|
| Diagram równoważności p<=>q definiujący tożsamość zbiorów: |
| p=q # ~p=~q |
| Gdzie: |
| # - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony |
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Wniosek:
Równoważność p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Wniosek:
Równoważność ~p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
3.
W definicji równoważności p<=>q nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
Komentarz:
Zacznijmy od podstawowej definicji równoważności p<=>q:
1.
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
2.
Definicja równoważności p<=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Ostatnie zdanie to znana każdemu człowiekowi definicja równoważności p<=>q:
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 7 300
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 75 500
cnd
Przytoczmy teraz wyprowadzoną wyżej definicję spójnika „albo”($) w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q = p*~q+~p*q
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q wymusza tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Dla naszej równoważności p<=>~q mamy zatem:
Spełniona równoważność p<=>~q jest dowodem tożsamości zbiorów p=~q, która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=q
Doskonale widać że:
Zmienną q w definicji spójnika „albo”($) możemy zanegować przechodząc do różnej na mocy definicji ## równoważności p<=>q.
Zróbmy to:
Mamy definicję spójnika „albo”($):
1.
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q = p*~q+~p*q
Negujemy (~) wyłącznie zmienną q:
##
2.
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p$~q = A1B1: p<=>q = p*q + ~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W przejściu z punktu 1 do punktu 2 wyłącznie zanegowaliśmy zmienną binarną q, zatem równania logiczne 1 i 2 nie mogą być tożsame.
Dowód iż między równoważnością A1B1: p<=>q a spójnikiem „albo”($) A1B1: p$q zachodzi relacja różne na mocy definicji znajdziemy w punkcie 9.9.
Podsumowanie:
Zapiszmy definicję równoważności p<=>q tożsamą ze spójnikiem „albo”($) p$~q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p$~q
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Środek czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie ~q
p$~q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - trzeciej możliwości brak
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Zdania składowe spójnika równoważności p<=>q, A1 i B1 czytamy:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
A1: p=>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby zaszło q
##
B1.
Jeśli zajdzie p to na 100% ~> zajdzie q
B1: p~>q =1
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby zaszło q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Po raz n-ty wyskoczyło nam tu prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód to zdania A1 i B1 wyżej.
cnd
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego wbudowanych w treść zdań
9.19.1 Związek równoważności p<=>q z „albo”($) p$~q w języku potocznym
Zobaczmy teraz jak genialnie wyłożona wyżej teoria równoważności p<=>q pasuje do języka potocznego ucznia 8 klasy szkoły podstawowej, bo tu jest twierdzenie Pitagorasa które posłuży nam za przykład.
Dowód przełożenia 1:1 będzie polegał na zastąpieniu parametrów formalnych {p, q} parametrami aktualnymi {M,K}
Czyli:
p=TP (trójkąt prostokątny)
q=SK (trójkąt ze spełnioną sumą kwadratów)
Jedziemy!
Definicja równoważności TP<=>SK w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest w nim suma kwadratów (SK)
Całość czytamy:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Definicja równoważności TP<=>SK jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest potrzebne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego, aby w tym trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK)
Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest potrzebne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego, aby w tym trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK)
(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Ostatnie zdanie to znana każdemu człowiekowi definicja równoważności TP<=>SK:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 7 300
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 75 500
cnd
Przed analizą zdań składowych A1 i B1 przypomnijmy sobie prawo Słonia dla zbiorów.
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste =>
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Zdania składowe spójnika równoważności TP<=>SK, A1 i B1 czytamy:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
To jest twierdzenie proste Pitagorasa które ludzkość udowodniła wieki temu.
Na mocy prawa Słonia dowód ten oznacza że:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) bo zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną suma kwadratów (SK)
##
B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% ~> zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
B1: TP~>SK =1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Co na mocy prawa Słonia oznacza:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem koniecznym ~> aby zachodziła w nim suma kwadratów wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK
Jak udowodnić zachodzący w B1 warunek konieczny ~>?
Prawo Tygryska:
B1: p=>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B1: TP~>SK = B3: SK=>TP
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK) to ten trójkąt na 100% => jest prostokątny (SK)
B3: SK=>TP =1
To samo w zapisie formalnym:
B3: SK=>TP=1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3) ludzkość udowodniła wieki temu.
Na mocy prawa Tygryska dowód ten oznacza prawdziwość warunku koniecznego ~> w zdaniu B1:
B1: TP~>SK=1
to samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Po raz n-ty wyskoczyło nam tu prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód to zdania A1 i B1 wyżej.
cnd
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego wbudowanych w treść zdań
Pozostaje nam ostatnie kwestia, czyli zapisanie równoważności Pitagorasa przy pomocy spójnika „albo”($) p$~q
Mamy wyprowadzoną wyżej tożsamość logiczną:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p$~q
Nasz przykład:
p=TP
q=SK
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP$~SK
Prawą stronę czytamy:
1.
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) „albo”($) nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
TP$~SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)
Na mocy prawa Irbisa w równoważności TP<=>SK zachodzi tożsamość zbiorów TP=SK, która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK.
Korzystając z powyższych tożsamości zbiorów zdanie 1 możemy zapisać jako:
TP$~TP = (A1: TP=>TP)*(B1: TP~>TP) =1*1=1
Dowód prawdziwości zdań A1 i B1 jest tu trywialny:
Dowolny zbiór/pojęcie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego.
Natomiast zdanie po lewej stronie odczytujemy jako:
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) „albo”($) nie jest prostokątny (~TP)
TP$~TP = (A1: TP=>TP)*(B1: TP~>TP) =1*1=1
Oczywistym jest że w przypadku twierdzenia Pitagorasa przyjmujemy dziedzinę minimalną:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
W algebrze Kubusia wszelkie pojęcia poza przyjęta dziedziną są z definicji zbiorem pustym, czyli totalnie nas nie interesującym.
Dowód:
Żaden człowiek w dowodzeniu twierdzenia prostego Pitagorasa nie będzie szukał spełnienia sumy kwadratów (SK) w takich pojęciach jak: koło, pies, rower, miłość etc.
9.20 Prawa Puchacza
Podsumowanie związków równoważności <=> ze spójnikiem „albo”($)
| Kod: |
T1
Równoważność p<=>q ## Spójnik „albo”($) p$q
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p$~q ## p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q
Definicja w „i”(*) i „lub”(+): ## Definicja w „i”(*) i „lub”(+):
Y = p<=>q=p*q+~p*~q ## Y = p$q=p*~q+~p*q
Definiująca tożsamość zbiorów: ## Definiujący tożsamość zbiorów:
p=q # ~p=~q ## p=~q # ~p=q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Relacja matematyczna między p<=>q a p$q jaka tu obowiązuje to relacja różne na mocy definicji ##:
| Kod: |
T1’
Definicja p<=>q ## Definicja p$q
Y = p<=>q = p* q + ~p*~q ## Y = p$q = p*~q + ~p* q
# ## #
~Y =~(p<=>q)= p*~q + ~p* q ## ~Y=~(p$q)= p* q + ~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli T1 i T1’ obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione
Interpretacja słowna:
Jeśli dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy operatora równoważności p|<=>q to na 100% => nie należy do operatora „albo”(|$) p|$q (i odwrotnie)
Dowody szczegółowe to I i II prawo Puchacza niżej udowodnione.
9.20.1 I prawo Puchacza p<=>q ## p$q
I Prawo Puchacza p<=>q ## p$q:
Jeśli dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do spójnika równoważności p<=>q to na 100% => nie należy do spójnika „albo”($) p$q
Dowód:
| Kod: |
Równoważność p<=>q ## Spójnik „albo”($) p$q
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p$~q ## p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q
Definicja w „i”(*) i „lub”(+): ## Definicja w „i”(*) i „lub”(+):
Y = p<=>q=p*q+~p*~q ## Y = p$q=p*~q+~p*q
Definiująca tożsamość zbiorów: ## Definiujący tożsamość zbiorów:
p=q # ~p=~q ## p=~q # ~p=q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Załóżmy, że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do równoważności p<=>q.
Równoważność p<=>q definiuje nam następujące tożsamości zbiorów:
p=q # ~p=~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
Korzystając z powyższej tożsamości zbiorów łatwo dowodzimy spełnionej definicji równoważności dwoma sposobami:
Sposób 1.
p<=>q = p*q+~p*~q
dla p=q i ~p=~q mamy:
p<=>q = p*p + ~p*~q = p+~p =1 - równoważność spełniona
cnd
Sposób 2.
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
dla p=q i ~p=~q mamy:
p<=>q = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) = 1*1 =1
bo:
Każdy zbiór/pojęcie jest zarówno podzbiorem => siebie samego jak i nadzbiorem ~> siebie samego
p=>p = ~p+p =1
p~>p = p+~p =1
cnd
Oczywiście dla tych samych tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q definicja spójnika „albo”($) musi być fałszem.
Sprawdzenie sposób 1.
p$q = p*~q + ~p*q
dla p=q i ~p=~q mamy:
p$q = p*~p + ~q*q = 0+0 =0 - definicja spójnika „albo”($) nie jest spełniona
cnd
Sprawdzenie sposób 2.
Definicja znaczka =>:
p=>q = ~p+q
Definicja znaczka ~>:
p~>q = p+~q
stąd:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)
dla p=q i ~p=~q mamy:
p$q = (A1: p=>~p)*(B1: p~>~p) =0
bo:
p=>~p = ~p+~p=~p
p~>~p = p+p =p
Stąd:
p$q = (A1: p=>~p)*(B1: p~>~p) = ~p*p =0
cnd
9.20.1 II prawo Puchacza p$q ## p<=>q
II Prawo Puchacza p$q ## p<=>q:
Jeśli dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do spójnika „albo”($) to na 100% => nie należy do spójnika równoważności p<=>q
Dowód:
| Kod: |
Równoważność p<=>q ## Spójnik „albo”($) p$q
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p$~q ## p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q
Definicja w „i”(*) i „lub”(+): ## Definicja w „i”(*) i „lub”(+):
Y = p<=>q=p*q+~p*~q ## Y = p$q=p*~q+~p*q
Definiująca tożsamość zbiorów: ## Definiujący tożsamość zbiorów:
p=q # ~p=~q ## p=~q # ~p=q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Załóżmy, że zdanie warunkowe „Jeśli p to ~q” należy do spójnika „albo”($).
Definicja spójnika „albo”($):
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Definicja spójnika „albo”($) p$q definiuje nam następujące tożsamości zbiorów:
p=~q # ~p=q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
Korzystając z powyższej tożsamości zbiorów łatwo dowodzimy spełnionej definicji spójnika „albo”($) dwoma sposobami:
Sposób 1.
p$q = p*~q+~p*q
dla p=~q i ~p=q mamy:
p$q = p*p + ~p*~p = p+~p =1 - definicja spójnika „albo”($) jest spełniona
cnd
Sposób 2.
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
dla p=~q i ~p=q mamy:
p$q = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) = 1*1 =1
bo:
Każdy zbiór/pojęcie jest zarówno podzbiorem => siebie samego jak i nadzbiorem ~> siebie samego
p=>p = ~p+p =1
p~>p = p+~p =1
cnd
Oczywiście dla tych samych tożsamości zbiorów p=~q i ~p=q definicja spójnika równoważności p<=>q musi być fałszem.
Sprawdzenie sposób 1.
p<=>q = p*q + ~p*~q
dla p=~q i ~p=q mamy:
p<=>q = p*~p + ~p*p = 0+0 =0 - definicja równoważności p<=>q nie jest spełniona
cnd
Sprawdzenie sposób 2.
Definicja znaczka =>:
p=>q = ~p+q
Definicja znaczka ~>:
p~>q = p+~q
stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
dla p=~q i ~p=q mamy:
p<=>q = (A1: p=>~p)*(B1: p~>~p) =0
bo:
p=>~p = ~p+~p=~p
p~>~p = p+p =p
Stąd:
p$q = (A1: p=>~p)*(B1: p~>~p) = ~p*p =0
cnd
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
