ŚFiNiA

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
10.0 Definicja chaosu p|~~>q=1 i śmierci p|~~>q=0


Spis treści
10.0 Definicja chaosu p|~~>q=1 i śmierci p|~~>q=0 1
10.1 Chaos p|~~>q 3
10.1.1 Operator chaosu p||~~>q 4
10.1.2 Zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 6
10.1.3 Diagram chaosu p|~~>q w zbiorach 7
10.1.4 Zaprzeczenie chaosu p|~~>q 9
10.2 Śmierć p|~~>q=0 10
10.2.1 Matematyczny związek śmierci p|~~>q=0 z chaosem p|~~>q=1 11


10.0 Definicja chaosu p|~~>q=1 i śmierci p|~~>q=0

W tabeli wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych TF2.

[rafal3006]

Algebra Kubusia
10.3 Przykłady operatorów chaosu p||~~>q


Spis treści
10.3 Przykład chaosu P8|~~>P3 w zbiorach 1
10.3.1 Operator chaosu P8||~~>P3 w zbiorach 3
10.4 Przykład chaosu A|~~>S w zdarzeniach 5
10.4.1 Operator chaosu A||~~>S w zdarzeniach 9


10.3 Przykład chaosu P8|~~>P3 w zbiorach

[rafal3006]

Algebra Kubusia
11.0 Obietnice i groźby

Spis treści
11.0 Obietnice i groźby 1
11.1 Implikacja prosta p|=>q 2
11.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q 3
11.2 Implikacja odwrotna p|~>q 5
11.2.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 7
11.3 Prawa transformacji w obietnicy i groźbie 8
11.3.1 Prawo transformacji w obietnicy 8
11.3.2 Prawo transformacji w groźbie 10


11.0 Obietnice i groźby

Największą tragedią ziemskich matematyków jest fakt, że mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie doszli do poprawnych matematycznie definicji obietnicy i groźby niżej zapisanych.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.

Przykład:
A1.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
Dostanie komputera to nagroda, zatem warunek wystarczający A1: E=>K z definicji jest częścią implikacji prostej E|=>K. W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania komputera
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => otrzymania komputera
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Przykład:
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L =1
Dostanie lania to kara, zatem warunek konieczny B1: B~>L z definicji jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L. W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Brudne spodnie są warunkiem koniecznym ~> dostania lania, ale nie jest to warunek wystarczający => bowiem na mocy definicji implikacji odwrotnej B|~>L każdy człowiek ma prawo do odstąpienia wykonania kary zależnej od niego.
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43);

Przypomnijmy sobie teorię implikacji prostej p|=>q i implikacji odwrotnej p|~>q.

11.1 Implikacja prosta p|=>q

IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q (A1) i jednocześnie p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:

[rafal3006]

Algebra Kubusia
11.4 Przykłady obietnicy


Spis treści
11.4 Obietnica E=>K 1
11.4.1 Operator implikacji prostej E||=>K 2
11.4.2 Kluczowe dialogi ojca z synem 5
11.5 Obietnica W=>Z 5
11.5.1 Operator implikacji prostej W||=>Z 7
11.5.2 Kluczowe dialogi Chrystusa z człowiekiem 10



11.4 Obietnica E=>K

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.

Zajmijmy się sztandarowym przykładem obietnicy.

A1.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
Dostanie komputera to nagroda, zatem zdanie A1: E=>K z definicji jest częścią implikacji prostej E|=>K. W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Definicja podstawowa implikacji prostej E|=>K:
A1: E=>K =1 - zdanie egzaminu (E=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym =>
dla otrzymania komputera (K=1)
B1: E~>K =0 - zdanie egzaminu (E=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~>
dla otrzymania komputera (K=1)
Stąd:
A1B1: E|=>K = (A1: E=>K)*~(B1: E~>K) = 1*~(0) =1*1 =1

Podstawmy nasz przykład do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q

[rafal3006]

Algebra Kubusia
11.6 Właściwości obietnic


Spis treści
11.6 Właściwości obietnic 1
11.6.1 Prawo transformacji w obietnicy 1
11.6.2 Definicja „wolnej woli” 5
11.6.3 Obietnica w równaniach logicznych 7
11.6.4 Obietnica w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 11
11.6.5 Rodzaje obietnic 17


11.6 Właściwości obietnic

W rozdziale tym zajmiemy się głównie właściwościami obietnic oraz ich alternatywną obsługą w praktyce nieużywaną, dlatego ten punkt należy traktować jako ciekawostkę.

11.6.1 Prawo transformacji w obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.

Zajmijmy się sztandarowym przykładem obietnicy.
A1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
„Dostanie komputera” to nagroda, stąd na mocy definicji obietnicy mamy rozstrzygnięcie iż warunek wystarczający A1: E=>K jest częścią implikacji prostej E|=>K, poza tym faktem nic a nic nie musimy udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane.

Szczegółowa rozpiska implikacji prostej E|=>K w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> jest następująca.

[rafal3006]

Algebra Kubusia
11.7 Groźba B~>L


Spis treści
11.7 Groźba B~>L 1
11.7.1 Operator implikacji odwrotnej B||~>L 2
11.8 Właściwości groźby 5
11.8.1 Prawo transformacji w groźbie 6
11.8.2 Groźba w równaniach logicznych 7
11.8.3 Groźba w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 9



11.7 Groźba B~>L

Największą tragedią ziemskich matematyków jest fakt, że mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie doszli do poprawnych definicji obietnicy i groźby tu przedstawionych.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q.

Zajmijmy się sztandarowym przykładem groźby.
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
Dostanie lania to kara, zatem zdanie B1 z definicji jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L. W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej B|~>L:
A1: B=>L =0 - brudne spodnie (B=1) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla dostania lania (L=1)
B1: B~>L =1 - brudne spodnie (B=1) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1)
Stąd:
A1B1: B|~>L = ~(A1: B=>L)*(B1: B~>L) = ~(0)*1 =1*1=1

Podstawmy nasz przykład do tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:

[rafal3006]

Algebra Kubusia
12.0 Zastosowanie algebry Kubusia w świecie techniki

Spis treści
12.0 Zastosowanie algebry Kubusia w świecie techniki 1
12.1 Operator równoważności p|<=>q w świecie techniki 1
12.2 Operator implikacji prostej p||=>q w świecie techniki 6
12.3 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w świecie techniki 11



12.0 Zastosowanie algebry Kubusia w świecie techniki

Jedynym operatorem logicznym przydatnym w świecie techniki jest operator równoważności p|<=>q.
W świecie techniki operatory implikacji prostej p||=>q i implikacji odwrotnej p||~>q nie mają prawa bytu bowiem definiują one „wolną wolę” istot żywych.

Definicja „wolnej woli” istot żywych:
„Wolna wola” istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Najłatwiej pokazać o to tu chodzi prezentując komputerowe algorytmy działania operatorów równoważności p|<=>q, implikacji prostej p||=>q i implikacji odwrotnej p||~>q.

Prawo programisty:
Operator równoważności p|<=>q gdzie nie ma miejsca na „rzucania monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jest jedynym operatorem logicznym przydatnym w świecie techniki (np. w programowaniu komputerów).
Operatory implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q, których cechą charakterystyczną jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” są idiotyzmem w świecie techniki i nigdy nie znajdą tu zastosowania (np. w świecie programowania komputerów)

To tłumaczy dlaczego ziemscy matematycy, mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) do tej pory nie znają takich kluczowych pojęć z logiki matematycznej, jak implikacja prosta p|=>q czy też implikacja odwrotna p|~>q.

12.1 Operator równoważności p|<=>q w świecie techniki

A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q

Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000

Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q.

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
13.0 Błąd fatalny w podręczniku akademickim matematyki

Spis treści
13.0 Błąd fatalny w podręczniku akademickim matematyki 1
13.1 Jak udowodnić błędność dowodu prof. L. Newelskiego? 3
13.2 Geneza błędu czysto matematycznego prof. L. Newelskiego w oryginale 4
13.2.1 Poprawny matematycznie dowód prof. L. Newelskiego w oryginale 6
13.2.2 Igraszki masochistów dla funkcji Y 12
13.2.2 Igraszki masochistów dla funkcji ~Y 15



13.0 Błąd fatalny w podręczniku akademickim matematyki

Niniejszy punkt nawiązuje do prawa Małpki omówionego w punkcie 2.6.1

Przepraszam prof. Ludomira Newelskiego za znalezienie błędu czysto matematycznego w jego dowodzie prawa Małpki w podręczniku akademickim dla studentów I roku matematyki "Wstęp do matematyki".

Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)

Dowód prawa Małpki (Uwaga 2.7) w podręczniku „Wstęp do matematyki” autorstwa prof. L. Newelskiego.
[link widoczny dla zalogowanych]

Cytuję słowo w słowo dowód prawa Małpki w wykonaniu prof. L. Newelskiego na prostszym przykładzie, co jest bez znaczenia:
1.
Załóżmy tabelę zero-jedynkową z dwoma zmiennymi wejściowymi {p,q} i jedną zmienną wyjściową Y (funkcja logiczna)
Y = f(p,q)

[rafal3006]

Algebra Kubusia
14.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych

Spis treści
14.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych 1
14.1 Opis bramek logicznych w postaci funkcji algebry Boole’a Y=f(x) 1
14.2 Definicje spójników logicznych w bramkach logicznych 4
14.2.1 Definicja spójnika „i”(*) w bramkach logicznych 6
14.2.2 Definicja spójnika „lub”(+) w bramkach logicznych 7
14.2.3 Definicja warunku wystarczającego => w bramkach logicznych 8
14.2.4 Definicja warunku koniecznego ~> w bramkach logicznych 9
14.3 Definicje spójników implikacyjnych p|?q w logice dodatniej (bo q) 10
14.3.1 Implikacja prosta p|=>q w bramkach logicznych 11
14.3.2 Implikacja odwrotna p|~>q w bramkach logicznych 13
14.3.3 Równoważność p<=>q w bramkach logicznych 14
14.3.4 Spójnik „albo”($) w bramkach logicznych 15
14.3.5 Definicja „chaosu” (|~~>) w bramkach logicznych 18
14.4 Dowód poprawności algebry Kubusia w laboratorium bramek logicznych 19


14.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych

Nie ma na ziemi matematyka, który by twierdził, iż funkcja logiczna algebry Boole’a Y=f(x) to nie jest algebra Boole’a, a tym samym, że nie jest to Klasyczny Rachunek Zdań.
Jeśli taki jest, to zdecydowanie powinien skreślić słówko matematyk sprzed swego nazwiska.

14.1 Opis bramek logicznych w postaci funkcji algebry Boole’a Y=f(x)

Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
3.
Ziemski rachunek zero-jedynkowy (fundament logiki matematycznej) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych Y i ~Y algebry Boole’a, co udowodnimy w pkt. 14.5

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)

Przykłady:
Y=p+~p=1 – zdanie zawsze prawdziwe
Y=p*~p=0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

To samo w logice 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 – zdanie zawsze prawdziwe
Jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1

Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramek logicznych
Y - wyjście bramki logicznej

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)

Matematyczne związki między p i ~p:
I.
p#~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
II.
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)

Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)

Przykład:
f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
p*q+~p*~q

W najprostszym przypadku wyrażeniem algebry Boole’a może być pojedyńcza zmienna binarna p
f(p) =p

Uwaga na notację:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
f(p,q)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a (przykład)

Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a w osi czasu.
W technice funkcja logiczna algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y

Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y

Przykład:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q = (p*q)+(~p*~q)
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=1<=>p+q
Y=0<=>~p*~q
etc
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy

Prawo negacji funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana
Stąd:
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

W świecie techniki opis bramek logicznych podawany jest zawsze i wszędzie w postaci funkcji logicznej Y.
Y=f(x)

Dowody:
1.
SN7404
[link widoczny dla zalogowanych]
Negator – strona 3
Y=~p
2.
SN7408
[link widoczny dla zalogowanych]
Bramka AND(*) – strona 1
Y=p*q = ~(~p+~q) – prawo De Morgana
3.
SN7432
[link widoczny dla zalogowanych]
Bramka OR(+) – strona 1
Y=p+q = ~(~p*~q) – prawo De Morgana

Nie ma potrzeby produkowania pozostałych bramek logicznych bowiem wszystkie można łatwo zbudować przy pomocy trzech, wyżej wymienionych znaczków {~, *, +)
Nie ma potrzeby nie oznacza, że się nie produkuje np. popularne w świecie techniki bramki NAND i NOR. W tym przypadku produkcja jest uzasadniona bowiem istnienie tych bramek upraszcza rzeczywistą realizację bardziej złożonych funkcji logicznych Y=f(x) algebry Boole’a.
4.
SN7400
[link widoczny dla zalogowanych]
Bramka NAND – strona 1
Y = ~(p*q)=~p+~q – prawo De Morgana
Zauważmy, że zwierając wejścia bramki NAND otrzymujemy często pożądany w praktyce negator.
Dla p=q mamy:
Y==~(p*q)=~(p*p)=~(p)=~p
cnd
5.
SN7402
[link widoczny dla zalogowanych]
Bramka NOR – strona 1
Y=~(p+q)=~p*~q – prawo De Morgana
Zauważmy, że zwierając wejścia bramki NOR otrzymujemy często pożądany w praktyce negator.
Dla p=q mamy:
Y==~(p+q)=~(p+p)=~(p)=~p
cnd

14.2 Definicje spójników logicznych w bramkach logicznych

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. ~p*~q) przypisane do tej funkcji.

Przykłady poprawnych funkcji logicznych:
Y = ~p*~q
Y = p+q
Y = p*~q+~p*q
etc

Prawo negacji funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Negujemy dwustronnie:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana
stąd:
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) to:

[rafal3006]

Algebra Kubusia
14.5 Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego na poziomie funkcji Y=f(x)

Spis treści
14.5 Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego na poziomie funkcji Y=f(x) 1
14.5.1 Fundamentalne definicje i prawa algebry Boole’a 1
14.5.2 Wewnętrzna sprzeczność rachunku zero-jedynkowego na poziomie Y=f(x) 3


14.5 Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego na poziomie funkcji Y=f(x)

Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego na poziomie funkcji logicznych algebry Boole’a Y=f(x) zostanie udowodniony w laboratorium bramek logicznych, np. na I roku elektroniki Politechniki Warszawskiej w którym kiedyś osobiście byłem.

14.5.1 Fundamentalne definicje i prawa algebry Boole’a

Nie ma na ziemi matematyka, który by twierdził, iż funkcja logiczna algebry Boole’a Y=f(x) to nie jest algebra Boole’a, a tym samym, że nie jest to Klasyczny Rachunek Zdań.
Jeśli taki jest, to zdecydowanie powinien skreślić sobie słówko matematyk sprzed swego nazwiska.

Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
3.
Ziemski rachunek zero-jedynkowy (fundament logiki matematycznej) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych Y i ~Y algebry Boole’a, co udowodnimy za chwilkę.

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)

Przykłady:
Y=p+~p=1 – zdanie zawsze prawdziwe
Y=p*~p=0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

To samo w logice 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 – zdanie zawsze prawdziwe
Jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1

Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramek logicznych
Y - wyjście bramki logicznej

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)

Matematyczne związki między p i ~p:
I.
p#~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
II.
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)

Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)

Przykład:
f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
p*q+~p*~q

W najprostszym przypadku wyrażeniem algebry Boole’a może być pojedyńcza zmienna binarna p
f(p) =p

Uwaga na notację:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
f(p,q)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a (przykład)

Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a w osi czasu.
W technice funkcja logiczna algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y

Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y

Przykład:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q = (p*q)+(~p*~q)
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=1<=>p+q
Y=0<=>~p*~q
etc
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy

Prawo negacji funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

14.5.2 Wewnętrzna sprzeczność rachunku zero-jedynkowego na poziomie Y=f(x)

Ziemski rachunek zero-jedynkowy jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych algebry Boole’a Y=f(x), co niniejszym udowodnimy na przykładzie.

Prawo negacji dowolnej funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną algebry Boole’a Y=f(x) mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować
1.
Y=f(x)
#
2.
~Y=~f(x)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugie strony

Przykład 1.
1.
Niech będzie dana funkcja logiczna równoważności p<=>q algebry Boole’a:
Y = p<=>q = p*q+~p*~q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

1.
Y=(p*q)+(~p*~q)

.. a kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
Przejście z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
2.
~Y = (~p+~q)*(p+q) – postać koniunkcyjno-alternatywna
W przełożeniu na język potoczny postaci koniunkcyjno-alternatywnej żaden człowiek nie rozumie.
Wymnażamy zatem wielomian przechodząc do postaci alternatywno-koniunkcyjnej rozumianej przez każdego 5-cio latka (dowód w pkt. 2.3).
~Y=(~p+~q)*(p+q)=~p*p + ~p*q + ~q*p+ ~q*q = p*~q+~p*q
stąd mamy tożsamą postać alternatywno-koniunkcyjną:
~Y=p*~q + ~p*q
co w logice jedynek (naturalnej logice człowieka) oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

Przykład 2.
1.
Niech będzie dana funkcja logiczna spójnika „albo”($) w algebrze Boole’a:
Y = p$q = p*~q+~p*q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

1.
Y=(p*~q)+(~p*q)

.. a kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
Przejście z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
2.
~Y = (~p+q)*(p+~q) – postać koniunkcyjno-alternatywna
W przełożeniu na język potoczny postaci koniunkcyjno-alternatywnej żaden człowiek nie rozumie.
Wymnażamy zatem wielomian przechodząc do postaci alternatywno-koniunkcyjnej rozumianej przez każdego 5-cio latka (dowód w pkt. 2.3).
~Y=(~p+q)*(p+~q)=~p*p + ~p*~q + q*p+ q*~q = p*q+~p*~q
stąd mamy tożsamą postać alternatywno-koniunkcyjną:
~Y=p*q + ~p*~q
co w logice jedynek (naturalnej logice człowieka) oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Zapiszmy przykłady 1 i 2 w tabeli prawdy: