ŚFiNiA

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
Matematyczny Raj: 2021-10-16
(W trakcie poprawek)

Kompletna algebra Kubusia to dwa podręczniki:

Część I.
Nowa algebra Boole’a

Część II.
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego

Dodatek do algebry Kubusia dostępny wyłącznie w wersji pdf:
[link widoczny dla zalogowanych]
*https://www.dropbox.com/s/tnbrf4kocp84ly0/Algebra%20Kubusia%20-%20Elementarz%20Mikroelektroniki.pdf?dl=0
W dodatku znajdziemy odpowiedź na pytanie:
Jaki jest matematyczny fundament działania wszelkich komputerów?

Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia (cytuję w kolejności zaistnienia):
Wuj Zbój, Miki (vel Lucek), Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors (vel Dagger), Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski, MaluśnaOwieczka i inni.

Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez Fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?
5.
MaluśnaOwieczka - końcowy uczestnik dyskusji o algebrze Kubusia w trakcie której wiele definicji zostało doprecyzowanych.

Niniejszy podręcznik jest końcowym efektem 15-letniej dyskusji na forach śfinia, ateista.pl i yrizona - to około 30 tys postów, średnio 5 postów dziennie wyłącznie na temat logiki matematycznej.




Spis treści:

1.0 Kubusiowa teoria zbiorów
1.0 Kubusiowa teoria zbiorów

2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

3.0 Definicje spójników implikacyjnych
3.0 Definicje spójników implikacyjnych

4.0 Operatory implikacyjne - implikacja prosta p||=>q
4.0 Operatory implikacyjne - implikacja prosta p||=>q
4.4 Przykłady operatorów implikacji prostej p||=>q dla przedszkolaków
4.8 Przykłady operatorów implikacji prostej p||=>q dla LO

5.0 Operatory implikacyjne - implikacja odwrotna p||~>q
5.0 Operatory implikacyjne - implikacja odwrotna p||~>q
5.4 Przykłady operatorów implikacji odwrotnej p||~>q dla przedszkolaków
5.8 Przykłady operatorów implikacji odwrotnej p||~>q dla LO

6.0 Operatory implikacyjne - równoważność p|<=>q
6.0 Operatory implikacyjne - równoważność p|<=>q
6.5 Równoważności Pitagorasa
6.8 Równoważność A<=>S w zdarzeniach

7.0 Operatory implikacyjne - operator „albo” p|$q
7.0 Operatory implikacyjne - operator „albo” p|$q
7.4 Przykłady operatora „albo” p|$q
7.6 Spójniki zdaniowe „lub”(+) i „albo”($) w praktyce

8.0 Operatory implikacyjne - operator chaosu p||~~>q
8.0 Operatory implikacyjne - operator chaosu p||~~>q
8.3 Przykłady operatorów chaosu p||~~>q

9.0 Obietnice i groźby
9.0 Obietnice i groźby
9.5 Obietnica
9.6 Groźba
9.7 Kto wierzy we mnie będzie zbawiony

10.0 Obietnice i groźby złożone
10.0 Obietnice i groźby złożone
10.5 Groźby złożone typu f(p)~>f(q)

11.0 Algorytm Kruka
11.0 Algorytm Kruka
11.4 Algorytm Kruka w równoważności TP<=>SK
11.5 Algorytm Kruka w chaosie P8|~~>P3

12.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych
12.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych

13.0 Prawo niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego
13.0 Prawo niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego

14.0 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań
14.0 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań
14.7 Kompromitacja ziemskiej matematyki w 5 klasie SP
14.8 Dekalog Kubusia plus jego zastosowanie
14.11 Dowód fałszywości kwantyfikatora dużego /\ w matematyce ziemian

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.

Wstęp do algebry Kubusia

Spis treści
0.0 Wstęp do algebry Kubusia 4
0.1.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki 5
0.1.2 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka 6
0.2 Wyprowadzenie znaczków obowiązujących w algebrze Kubusia 7
0.2.1 Wyprowadzenie tabel zero-jedynkowych obowiązujących w algebrze Kubusia 10


0.0 Wstęp do algebry Kubusia

Wyprowadzenie poprawnych znaczków w logice matematycznej, o fundamentalnie innym znaczeniu niż znane matematykom obecne znaczki!

Fundament algebry Kubusia:
Wszelkie znaczki logiki matematycznej oraz tabele zero-jedynkowe w logice matematycznej zwanej algebrą Kubusia wynikają z opisu świata martwego na poziomie 5-cio latka co oznacza, że wszyscy podlegamy pod algebrę Kubusia nie mając żadnych szans by się spod niej uwolnić.

Kluczowym jest tu zauważenie, że świat martwy nie jest w stanie złamać żadnego z praw logiki matematycznej zwanej algebrą Kubusia, pod którą podlega. Dokładnie dlatego wyłącznie świat martwy (w tym matematyka) idealnie nadaje się do wyznaczenia wszelkich znaczków obowiązujących w logice matematycznej.
Świat żywy nie nadaje się do wyznaczania znaczków logiki matematycznej ze względu na „wolną wolę” istot żywych, czyli możliwość zgwałcenia dowolnego prawa logiki matematycznej obowiązującego w świecie martwym.

0.1 Prawa Prosiaczka

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.

Gdzie:
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa wyrażenia PP1 i PP2 są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadne z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
PP1: (Y=1)=(~Y=0) ## PP2: (Y=0)=(~Y=1)

Doskonale widać, że jak zaprzeczymy dwustronnie PP2 to nie otrzymamy PP1.
Dowód:
PP2’: (~Y=1)=(Y=0) ## PP1: (Y=1)=(~Y=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

0.1.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki

Rozważmy sterowanie żarówką jednym przyciskiem A

[rafal3006]

Nowa algebra Boole’a
1.0 Operatory jednoargumentowe


Spis treści
1.0 Nowa algebra Boole’a 1
1.1 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego 5
1.2 Zero-jedynkowe definicje jednoargumentowych operatorów logicznych 5
1.2.1 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego 9
1.3 Operatory jednoargumentowe w logice 5-cio latków 11
1.3.1 Operator transmisji Y|=p 11
1.3.2 Operator negacji Y|=~p 13
1.3.3 Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p 15
1.3.4 Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p 17
1.4 Prawa Prosiaczka 20
1.4.1 Formalne wyprowadzenie praw Prosiaczka 21
1.4.2 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki 24
1.4.3 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka 25



1.0 Nowa algebra Boole’a

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego, zatem tylko z tego punktu widzenia będziemy patrzeć na algebrę Boole’a.

Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Dlaczego niniejszy podręcznik nosi nazwę nowej algebry Boole’a?

Dwa główne powody to:
1.
Klasyczna algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
2.
Ziemski rachunek zero-jedynkowy (fundament logiki matematycznej) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych Y i ~Y, co udowodnimy za chwilkę już na poziomie operatorów logicznych jednoargumentowych.

Definicja algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Algebra Boole’a to dwa wyróżnione elementy (zwykle {1,0}) o znaczeniu:
1 = prawda
0 = fałsz
oraz trzy spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości {0,1}

Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

[rafal3006]

Algebra Kubusia
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Spis treści
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 2
2.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 2
2.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 2
2.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 3
2.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 3
2.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 4
2.1.5 Prawo Kobry dla zbiorów 5
2.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 5
2.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> 5
2.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach 5
2.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach 6
2.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 6
2.2.5 Prawo Kobry dla zdarzeń 6
2.3 Warunki wystarczający => i konieczny ~> w rachunku zero-jedynkowym 7
2.3.1 Stała binarna i zmienna binarna 7
2.3.2 Definicja funkcji logicznej, logika dodatnia (bo Y) i ujemna (bo ~Y) 8
2.3.3 Definicja znaczka różne # i różne na mocy definicji ## 9
2.3.4 Rachunek zero-jedynkowego warunków wystarczających => i koniecznych ~> 10
2.3.5 Definicja tożsamości logicznej „=” 12
2.4 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 13
2.5 Fundamenty algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” 14
2.5.1 Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia 15
2.5.2 Definicja logiki matematycznej w algebrze Kubusia 15
2.6 Skąd biorą się prawa logiki matematycznej? 16
2.6.1 Prawo Kangurka i prawo Kangura 16
2.7 Prawo Kameleona 18
2.8 Kwintesenscja algebry Kubusia 19
2.8.1 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów 19
2.8.2 Definicja logiki matematycznej w algebrze Kubusia 21
2.8.3 Kluczowe relacje w algebrze Kubusia 21
2.8.4 Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia 22
2.8.5 Definicja kontrprzykładu 22
2.8.6 Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q” 23
2.8.7 Analiza ogólna zdania warunkowego „Jeśli p to q” 24
2.8.8 Prawo Skowronka 25
2.9 Analiza matematyczna zdania warunkowego P=>4L 26



2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Legalne znaczki w algebrze Kubusia obsługujące zdania warunkowe „Jeśli p to q”:
p=>q - warunek wystarczający =>
p~>q - warunek konieczny ~>
p~~>q - zdarzenie możliwe ~~> lub element wspólny zbiorów ~~>.
p<=>q - równoważność
p$q - spójnik "albo"($)
p|=>q - implikacja prosta odpowiadająca na pytanie o p
p||=>q - operator implikacji prostej p|=>q odpowiadający na pytanie o p i ~p
p|~>q - implikacja odwrotna odpowiadająca na pytanie o p
p||~>q - operator implikacji odwrotnej p|~>q odpowiadający na pytania o p i ~p

2.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów/zdarzeń p i q.

2.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory p i q są rozłączne i nieskończone to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.

Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] np. 24

2.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach

Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q

Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
Innymi słowy:
Każda liczba podzielna przez 8 jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
(dowód przez pokazanie)

2.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach

Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q

Inaczej:
p~>q =0
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Przykład:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
cnd
(dowód przez pokazanie)

2.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

2.1.5 Prawo Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem => samego siebie:
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].

Zbiór pusty jest zbiorem zewnętrznym w stosunku do dowolnego zbioru niepustego przyjętego za dziedzinę na której operujemy.
Wynika to z definicji Uniwersum i zbioru pustego [] w algebrze Kubusia - szczegóły wyjaśnione są w punkcie 1.2.

2.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń/zbiorów p i q

2.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~>

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)

2.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Przykład:
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zawsze gdy pada, jest pochurno

2.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki.

2.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

2.2.5 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

2.3 Warunki wystarczający => i konieczny ~> w rachunku zero-jedynkowym

Przypomnijmy sobie podstawowe definicje z Kubusiowej teorii zbiorów (pkt. 1.0).

2.3.1 Stała binarna i zmienna binarna

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, koło, miłość, krasnoludek, zbór wszystkich zwierząt ...]

Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

W algebrze Kubusia pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies) = stała binarna
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną 1 albo 0.

Przykład stałej binarnej:
1: (pies)=1 - prawdą jest (=1) że wiem co znaczy pojęcie „pies”
Prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
stąd zdanie tożsame do 1:
1’: ~(pies)=0 - fałszem jest (=0) że nie wiem (~) co znaczy pojęcie „pies”

Definicja „psa” jest niezmienna od minus do plus nieskończoności, ściślej mówiąc od czasu gdy człowiek zdefiniował pojęcie „pies”.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.
Gdzie:
1 = prawda
0 = fałsz

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo Y)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona

Przykład 1:
Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina
Y = K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Y=1<=> K=1
Lewą stronę czytamy:
Y=1
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)

Definicja zmiennej binarnej w logice ujemnej (bo ~Y)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice ujemnej (bo ~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jest zaprzeczona

Kontynuujemy przykład 1.
Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
Czy wiesz kiedy jutro pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Zachodzi tożsamość pojęć:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) = Pani skłamie (S)
~Y = S

Jaś:
Negujemy zdanie 1 stronami:
2.
~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
~Y=1 <=> ~K=1
Lewą stronę czytamy:
~Y=1
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)

W dniu jutrzejszym wyłącznie jedno ze zdarzeń Y (pani dotrzyma słowa) albo ~Y (pani nie dotrzyma słowa) może przyjąć wartość logiczną 1, drugie na 100% przyjmie wartość logiczną 0. Dokładnie dlatego symbole Y i ~Y w dniu dzisiejszym to zmienne binarne.

Pojutrze, zmienne binarne Y i ~Y staną się stałymi binarnymi o z góry znanej wartości logicznej bo czasu nie da się cofnąć.
Przykład:
Załóżmy że jest pojutrze i wczoraj pani skłamała (~Y=1) bo dzieci nie były w kinie (~K=1).
(~Y=1) <=> (~K=1)
Lewą stronę czytamy:
~Y=1
Prawdą jest (=1), że pani wczoraj skłamała (~Y)
Czasu nie da się cofnąć i spowodować by wczoraj dzieci były jednak w kinie, zatem pani pozostanie tu kłamcą do końca naszego Wszechświata.
Symbol ~Y jest w tym przypadku stałą binarną o znanej z góry wartości logicznej równej ~Y=1, która nie może już przyjąć wartości logicznej ~Y=0, bo czasu nie da się cofnąć.

2.3.2 Definicja funkcji logicznej, logika dodatnia (bo Y) i ujemna (bo ~Y)

Definicja funkcji logicznej:
Funkcja logiczna to dowolny symbol do którego przypisujemy wyrażenie algebry Boole’a
W technice zwyczajowo jest to symbol Y.

Przykłady poprawnych funkcji logicznych:
Y=~p+q
Y=p+~q

Dowolną funkcję logiczną wolno nam dwustronnie zanegować:
Y=~p+q - logika dodatnia (bo Y)
~Y=~(~p+q) = p*~q (prawo De Morgana) - logika ujemna (bo ~Y)

Definicja logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) w algebrze Kubusia:
Dowolna funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej (bo Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana:
Y=1 - prawdą jest (=1) że zajdzie Y
Inaczej:
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=1 - prawdą jest (=1) że zajdzie ~Y

Zauważmy, że dowolna funkcja logiczna jest zmienną binarną, zatem powyższa definicja dotyczy także dowolnej zmiennej binarnej p która nie musi być funkcją logiczną Y.

2.3.3 Definicja znaczka różne # i różne na mocy definicji ##

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicję znaczka różne na mocy definicji ## poznamy na przykładzie definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> które wyżej zapisaliśmy.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Zobaczmy to w tabeli prawdy:

[rafal3006]

3.0 Definicje spójników implikacyjnych

Spis treści
3.0 Definicje spójników implikacyjnych 1
3.1 Implikacja prosta p|=>q 2
3.2 Implikacja odwrotna p|~>q 4
3.3 Równoważność p<=>q 5
3.4 Spójnik „albo”($) p$q 8
3.5 Spójnik chaosu p|~~>q 10
3.6 Prawo Puchacza 11
3.7 Prawo Kłapouchego 14
3.7.1 Prawo Kłapouchego determinujące implikację odwrotną CH|~>P 15
3.7.2 Prawo Kłapouchego determinujące implikację prostą P|=>CH 17
3.7.3 Matematyczny raj 5-cio latka 19
3.7.4 Prawo Kłapouchego a kot Schrödingera 22


3.0 Definicje spójników implikacyjnych

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

[rafal3006]

Algebra Kubusia
4.0 Operatory implikacyjne - implikacja prosta p||=>q

Spis treści
4.0 Operatory implikacyjne - implikacja prosta p||=>q 1
4.1 Implikacja prosta p|=>q 3
4.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q 7
4.1.2 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego => 9
4.1.3 Zmienne związane i zmienne wolne w implikacji prostej p|=>q 12
4.2 Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach 14
4.2.1 Diagram implikacji prostej p|=>q 15
4.2.1 Odtworzenie implikacji prostej p|=>q z definicji ~~> 17
4.3 Dziedzina matematyczna i fizyczna w implikacji prostej p|=>q 22



4.0 Operatory implikacyjne - implikacja prosta p||=>q

Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej znanej ziemianom, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.

1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0

Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

[rafal3006]

Algebra Kubusia
4.4 Przykłady operatorów implikacji prostej p||=>q dla przedszkolaków

Spis treści
4.4 Minimalna ilość elementów w implikacji prostej p|=>q 1
4.5 Implikacja prosta w zdarzeniach P|=>CH w przedszkolu 4
4.5.1 Operator implikacji prostej P||=>CH 8
4.6 Implikacja prosta w zbiorach P|=>4L w przedszkolu 10
4.6.1 Operator implikacji prostej P||=>4L w zbiorach w przedszkolu 13
4.7 Alternatywne dojście do implikacji prostej P|=>4L w zbiorach 15
4.7.1 Implikacja prosta P|=>4L w zbiorach 18
4.7.2 Operator implikacji prostej P||=>4L w zbiorach 19



4.4 Minimalna ilość elementów w implikacji prostej p|=>q

Zastanówmy się ile różnych elementów musi liczyć dziedzina, aby dało się na niej zbudować implikację prostą p|=>q.

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) i nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

Z definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach wynika, że najmniejsza liczba elementów potrzebnych do zbudowania to trzy elementy.
Zdefiniujmy trzy, różne na mocy definicji elementy których będziemy używać.
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
Zbudujmy zbiory p i q spełniające definicję implikacji prostej w zbiorach:
p=[K]
q=[K+T]
Dziedzina:
D=[K+T+P]
stąd mamy niepuste przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do wspólnej dziedziny D:
~p=[D-p]=[K+T+P-K]=[T+P]
~q=[D-q]=[K+T+P-[K+T]=[P]
Podsumujmy:
p=[K], ~p=[T+P]
q=[K+T], ~q=[P]
Zapiszmy diagram implikacji prostej p|=>q dla powyższych elementów.

[rafal3006]

Algebra Kubusia
4.8 Przykłady operatorów implikacji prostej p||=>q dla LO


Spis treści
4.8 Implikacja prosta A|=>S w zdarzeniach 1
4.8.1 Operator implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach 5
4.8.2 Wisienka na torcie w operatorze implikacji prostej A||=>S 7
4.9 Implikacja prosta P8|=>P2 w zbiorach 8
4.9.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 12
4.9.2 Relacje zbiorów niepustych w implikacji prostej P8|=>P2 14
4.10 Relacje zbiorów niepustych w implikacji prostej p|=>q 15
4.11 Implikacja prosta typu P|=>~K w zbiorach 17
4.11.1 Najprostszy dowód implikacji prostej P|=>~K 18
4.12 Alternatywny dowód implikacji prostej P|=>~K 19
4.12.1 Operator implikacji prostej P||=>~K w zbiorach 22



4.8 Implikacja prosta A|=>S w zdarzeniach

Wstęp teoretyczny:

[rafal3006]

Algebra Kubusia
5.0 Operatory implikacyjne - implikacja odwrotna p||~>q


Spis treści
5.0 Operatory implikacyjne - implikacja odwrotna p||~>q 1
5.1. Implikacja odwrotna p|~>q 2
5.1.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 6
5.1.2 Matematyczne związki implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q 8
5.1.3 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> 9
5.1.4 Zmienne związane i zmienne wolne w implikacji odwrotnej p|~>q 12
5.2 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach 14
5.2.1 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach 15
5.2.2 Odtworzenie implikacji odwrotnej p|~>q z definicji ~~> 17
5.3 Dziedzina matematyczna i fizyczna w implikacji odwrotnej p|~>q 22


5.0 Operatory implikacyjne - implikacja odwrotna p||~>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

[rafal3006]

Algebra Kubusia
5.4 Przykłady operatorów implikacji odwrotnej p||~>q dla przedszkolaków

Spis treści
5.4 Minimalna ilość elementów w implikacji odwrotnej p|~>q 1
5.5 Implikacja odwrotna w zdarzeniach CH|~>P w przedszkolu 4
5.5.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P 8
5.6 Implikacja odwrotna 4L|~>P w zbiorach w przedszkolu 9
5.6.1 Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach w przedszkolu 12
5.7 Alternatywne dojście do implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach 14
5.7.1 Implikacja odwrotna 4L|~>P w zbiorach 17
5.7.2 Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach 18



5.4 Minimalna ilość elementów w implikacji odwrotnej p|~>q

Zastanówmy się ile różnych elementów musi liczyć dziedzina, aby dało się na niej zbudować implikację odwrotną p|~>q.

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotne p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q i nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q

Z definicji implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach wynika, że najmniejsza liczba elementów potrzebnych do jej zbudowania to trzy elementy.
Zdefiniujmy trzy, różne na mocy definicji elementy których będziemy używać.
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
Zbudujmy zbiory p i q spełniające definicję implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
p=[K+T]
q=[K]
Dziedzina:
D=[K+T+P]
stąd mamy niepuste przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do wspólnej dziedziny D:
~p=[D-p]=[K+T+P-[K+T]]=[P]
~q=[D-q]=[K+T+P-K]=[T+P]
Podsumujmy:
p=[K+T], ~p=[P]
q=[K], ~q=[T+P]
Zapiszmy diagram implikacji odwrotnej p|~>q dla powyższych elementów.

[rafal3006]

Algebra Kubusia
5.8 Przykłady operatorów implikacji odwrotnej p||~>q dla LO


Spis treści
5.8 Implikacja odwrotna A|~>S w zdarzeniach 1
5.8.1 Operator implikacji odwrotnej A||~>S 4
5.8.2 Wisienka na torcie w operatorze implikacji odwrotnej A||~>S 6
5.9 Implikacja odwrotna P2|~>P8 w zbiorach 8
5.9.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach 13
5.9.2 Relacje zbiorów niepustych w implikacji odwrotnej p|~>q 14
5.10 Relacje zbiorów niepustych w implikacji odwrotnej p|~>q 15


5.8 Implikacja odwrotna A|~>S w zdarzeniach

Wstęp teoretyczny:

[rafal3006]

Algebra Kubusia
6.0 Operatory implikacyjne - równoważność p|<=>q


Spis treści
6.0 Operatory implikacyjne - równoważność p|<=>q 1
6.1 Równoważność p<=>q 3
6.1.1 Operator równoważności p|<=>q 8
6.1.2 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q 13
6.1.3 Zmienne związane i zmienne wolne w równoważności p<=>q 16
6.2 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach 18
6.2.1 Diagram równoważności w zbiorach 19
6.3 Odtworzenie definicji równoważności p<=>q z definicji ~~> 21
6.4 Dziedzina matematyczna i fizyczna w równoważności p<=>q 23


6.0 Operatory implikacyjne - równoważność p|<=>q

Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej znanej ziemianom, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.

1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0

2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0

3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0

Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

[rafal3006]

Algebra Kubusia
6.5 Równoważności Pitagorasa

Spis treści
6.5 Równoważność TP<=>SK w zbiorach 1
6.5.1 Definicja operatora równoważności TP|<=>SK 6
6.5.2 Diagram równoważności Pitagorasa TP<=>SK 9
6.5.3 Definicja operatora równoważności SK|<=>TP 10
6.6 Równoważność w zbiorach typu Pm*Pn<=>Pm*n 13
6.7 Definicja definicji 14


6.5 Równoważność TP<=>SK w zbiorach

[rafal3006]

Algebra Kubusia
6.8 Równoważność A<=>S w zdarzeniach

Spis treści
6.8 Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach 1
6.8.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach 4
6.8.2 Operator równoważności S|<=>A w zdarzeniach 9


6.8 Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach

Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.

Niech będzie dany schemat elektryczny:

[rafal3006]

Algebra Kubusia
7.0 Operatory implikacyjne - operator „albo” p|$q


Spis treści
7.0 Operatory implikacyjne - operator „albo”($) p|$q 1
7.1 Geneza spójnika „albo”($) 3
7.1.1 Diagram równoważności w zbiorach 6
7.1.2 Równoważność typu p<=>p 7
7.2 Diagram spójnika „albo”($) 8
7.3 Tabela prawdy spójnika „albo”($) p$q 9
7.3.1 Operator „albo”($) p|$q 13
7.3.2 Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($) 16
7.3.3 Zmienne związane i zmienne wolne w spójniku „albo”($) 18
7.4 Odtworzenie spójnika „albo” p$q z definicji ~~> 20


7.0 Operatory implikacyjne - operator „albo”($) p|$q

Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej znanej ziemianom, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.

1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0

2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0

3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0

Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

[rafal3006]

Algebra Kubusia
7.4 Przykłady operatora „albo” p|$q


Spis treści
7.4 Definicja spójnika „albo” p$q wsparta przykładem M$K 1
7.4.1 Operator „albo” p|$q wsparty przykładem M|$K 7
7.5 Spójnik „albo”($) D$S w zdarzeniach 11
7.5.1 Definicja operatora „albo” D|$S w zdarzeniach 15


7.4 Definicja spójnika „albo” p$q wsparta przykładem M$K

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

[rafal3006]

Algebra Kubusia
7.6 Spójniki zdaniowe „lub”(+) i „albo”($) w praktyce

Spis treści
7.6 Spójniki zdaniowe „lub”(+) i „albo”($) w praktyce 1
7.6.1 Definicja spójnika „lub”(+) 2
7.6.2 Definicja spójnika „albo”($) p$q 3
7.7 Definicja spójnika „lub”(+) vs definicja spójnika „albo”($) 8
7.8 Przykłady gdzie spójniki „albo”($) i „lub”(+) można używać zamiennie 9
7.8.1 Dowolny człowiek jest mężczyzną lub kobietą 9
7.8.2 Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to ma cztery lapy 9
7.9 Przykłady gdzie spójnika „lub”(+) nie można zastąpić spójnikiem „albo”($) 10
7.9.1 Jutro pójdziemy do kina lub do teatru 10
7.9.2 Jutro pójdziemy do kina albo do teatru 12
7.9.3 Sterownie żarówki przyciskami połączonymi równolegle 14



7.6 Spójniki zdaniowe „lub”(+) i „albo”($) w praktyce

Spójniki „lub”(+) i „albo”($) to najciekawsze ze spójników zdaniowych.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

[rafal3006]

Algebra Kubusia
8.0 Operatory implikacyjne - operator chaosu p||~~>q


Spis treści
8.0 Operatory implikacyjne - operator chaosu p||~~>q 1
8.1 Definicja chaosu p|~~>q 3
8.1.1 Operator chaosu p||~~>q 7
8.1.2 Zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 10
8.1.3 Zmienne wolne i zmienne związane w chaosie p|~~>q 11
8.2 Minimalny zbiór konieczny do zbudowania chaosu p|~~>q 13



8.0 Operatory implikacyjne - operator chaosu p||~~>q

Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej znanej ziemianom, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.

1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0

2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0

3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0

Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

[rafal3006]

Algebra Kubusia
8.3 Przykłady operatorów chaosu p||~~>q


Spis treści
8.3 Przykład chaosu P8|~~>P3 w zbiorach 1
8.3.1 Operator chaosu P8||~~>P3 w zbiorach 2
8.4 Przykład chaosu A|~~>S w zdarzeniach 6
8.4.1 Operator chaosu A||~~>S w zdarzeniach 9



8.3 Przykład chaosu P8|~~>P3 w zbiorach

[rafal3006]

Algebra Kubusia
9.0 Obietnice i groźby

Spis treści
9.0 Obietnice i groźby 1
9.1 Implikacja prosta p|=>q 3
9.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q 5
9.2 Implikacja odwrotna p|~>q 7
9.2.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 8
9.3 Prawa transformacji w obietnicy i groźbie 10
9.3.1 Prawo transformacji w obietnicy 10
9.3.2 Prawo transformacji w groźbie 12
9.4 Uproszczone analizy obietnicy i groźby 14
9.4.1 Uproszczona analiza obietnicy 14
9.4.2 Uproszczona analiza groźby 16


9.0 Obietnice i groźby

Największą tragedią ziemskich matematyków jest fakt, że mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie doszli do poprawnych matematycznie definicji obietnicy i groźby niżej zapisanych.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

Przykład:
A1.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
Dostanie komputera to nagroda, zatem zdanie A1 z definicji jest częścią implikacji prostej E|=>K.
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania komputera
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => otrzymania komputera
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Przykład:
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L =1
Dostanie lania to kara, zatem zdanie B1 z definicji jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L.
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Brudne spodnie są warunkiem koniecznym ~> dostania lania, ale nie jest to warunek wystarczający => bowiem na mocy definicji implikacji odwrotnej B|~>L każdy człowiek ma prawo do odstąpienia wykonania kary zależnej od niego.
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43);

Przypomnijmy sobie teorię implikacji prostej p|=>q i implikacji odwrotnej p|~>q.

Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej znanej ziemianom, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.

1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0

Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

[rafal3006]

Algebra Kubusia
9.5 Obietnica


Spis treści
9.5 Obietnica 1
9.5.1 Prawo transformacji 8
9.5.2 Definicja „wolnej woli” 12
9.5.3 Obietnica w równaniach logicznych 14
9.5.4 Obietnica w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 19
9.5.5 Rodzaje obietnic 24



9.5 Obietnica

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:

[rafal3006]

Algebra Kubusia
9.6 Groźba


Spis treści
9.6 Groźba 1
9.6.1 Prawo transformacji 10
9.6.3 Groźba w równaniach logicznych 11
9.6.4 Groźba w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 13



9.6 Groźba

Największą tragedią ziemskich matematyków jest fakt, że mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie doszli do poprawnych definicji obietnicy i groźby tu przedstawionych.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

Przykład:
A1.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
Dostanie komputera to nagroda, zatem zdanie A1 z definicji jest częścią implikacji prostej E|=>K.
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania komputera
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => otrzymania komputera
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Przykład:
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L =1
Dostanie lania to kara, zatem zdanie B1 z definicji jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L.
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q.

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunku konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:

[rafal3006]

Algebra Kubusia
9.7 Kto wierzy we mnie będzie zbawiony

Spis treści
9.7 Kto wierzy we mnie będzie zbawiony 1
9.7.1 Największe wydarzenie w historii ziemskiej matematyki 9
9.7.2 Bóg nie stworzył człowieka na obraz i podobieństwo swoje 11



9.7 Kto wierzy we mnie będzie zbawiony

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Chrystus:
A1A2 (MK16):
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony a kto nie wierzy nie będzie zbawiony
Y = (A1: W=>Z)*(A2:~W~>~Z)

Zdanie matematycznie tożsame:
A1A2:
Kto wierzy we mnie na 100% => będzie zbawiony a kto nie wierzy na 100% ~> nie będzie zbawiony
Y = (A1: W=>Z)*(A2:~W~>~Z)

Łącznik „a” pełni tu funkcję spójnika „i”(*), zatem kodowanie zdania A1A2 jest następujące:
Y = (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z)

Zajmijmy się na początek pierwszą częścią zdania A1A2 Chrystusa.
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1
Wiara w Boga jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Wiara w Boga daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Na mocy definicji obietnicy zdanie A1: W=>Z to warunek wystarczający => będący częścią implikacji prostej W|=>Z.
Z definicji obietnicy wynika, że jedyne co mamy do roboty w zdaniu A1 to rozstrzygnięcie iż zbawienie jest nagrodą dla człowieka.
Cała reszta jest w tym momencie totalnie zdeterminowana, czyli znana góry.

Zapiszmy znaną nam doskonale tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q z naniesionym podkładem aktualnym W|=>Z.

[rafal3006]

Algebra Kubusia
10.0 Obietnice i groźby złożone

Spis treści
10.0 Obietnice i groźby złożone 1
10.1 Definicja obietnicy złożonej typu f(p)=>f(q) 1
10.1.1 Prawo transformacji w obietnicy 3
10.2 Algorytm obsługi dowolnej obietnicy złożonej typu f(p)=>f(q) 4
10.3 Kto uwierzy i przyjmie chrzest będzie zbawiony 7
10.3.1 Analiza operatora implikacji prostej (W*CH)||=>Z 9
10.3.2 Uproszczona analiza złożonej obietnicy 12
10.4 Jeśli powiesz wierszyk lub zaśpiewasz to dostaniesz czekoladę lub lego 14
10.4.1 Analiza operatora implikacji prostej (W+P)||=>(C+L) 15



10.0 Obietnice i groźby złożone

Niezbyt złożone obietnice i groźby dość często występują w języku potocznym, dlatego z ich matematyczną obsługą teraz się zapoznamy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

10.1 Definicja obietnicy złożonej typu f(p)=>f(q)

Definicja obietnicy złożonej typu f(p)=>f(q)
Obietnica złożona typu f(p)=>f(q) to obietnica klasyczna W=>N gdzie f(p) i f(q) są dowolnymi funkcjami algebry Boole’a tzn. funkcjami akceptującymi wyłącznie spójniki „i”(*) oraz „lub”(+).

Definicja funkcji logicznej w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna f(p) w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a przypisane do tej funkcji
Przykłady:
f(p)=p*~q
f(p)=p*~q + ~p*q

Dowolną funkcję logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować.
Przykład:
f(p)=p*~q
~f(p)=~(p*~q) = ~p+q - na mocy prawa De Morgana

Zgodnie z definicją obietnicy warunek otrzymania nagrody f(p) może być dowolny, ale funkcja f(q) musi zawierać tylko i wyłącznie nagrody.

Przykład:
A1.
Jeśli posprzątasz pokój i będziesz grzeczny to dostaniesz czekoladę
P*G=>C =1
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p = P*G - posprzątasz pokój i będziesz grzeczny
q = C - dostaniesz czekoladę
Posprzątanie pokoju i bycie grzecznym jest warunkiem wystarczającym => dla dostania czekolady.
Dostanie czekolady jest dla dziecka nagrodą, stąd obietnicę A1 musimy kodować warunkiem wystarczającym p=>q wchodzącym w skład implikacji prostej p|=>q

IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q (A1) i jednocześnie p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

Zapiszmy tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q:

[rafal3006]

Spis treści
10.5 Groźby złożone typu f(p)~>f(q) 1
10.5.1 Prawo transformacji w groźbie 3
10.6 Algorytm obsługi dowolnej groźby złożonej typu f(p)~>f(q) 5
10.7 Analiza złożonej groźby (~P+B)~>L 8
10.8 Groźba złożona (~P+B)~>(L*~D) 10
10.8.1 Analiza operatora implikacji odwrotnej (~P+B)|~>(L*~D) 11



10.5 Groźby złożone typu f(p)~>f(q)

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N

Definicja groźby złożonej typu f(p)~>f(q)
Groźba złożona typu f(p)~>f(q) to groźba klasyczna W~>K gdzie f(p) i f(q) są dowolnymi funkcjami algebry Boole’a tzn. funkcjami akceptującymi wyłącznie spójniki „i”(*) oraz „lub”(+).

Definicja funkcji logicznej w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna f(p) w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a przypisane do tej funkcji
Przykłady:
f(p)=p*~q
f(p)=p*~q + ~p*q

Dowolną funkcję logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować.
Przykład:
f(p)=p*~q
~f(p)=~(p*~q) = ~p+q - na mocy prawa De Morgana

Zgodnie z definicją groźby warunek ukarania f(p) może być dowolny, ale funkcja f(q) musi zawierać tylko i wyłącznie kary.

Przykład:
B1.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz lanie
p~>q
~P+B~>L
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmijmy punkt odniesienia:
p = ~P+B - nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B)
q = L - dostaniesz lanie (L)
Nie posprzątanie pokoju lub bicie siostry jest warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania.
Lanie jest dla dziecka karą, stąd groźbę B1 musimy kodować warunkiem koniecznym p~>q wchodzącym w skład implikacji odwrotnej p|~>q.

IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => (A1) dla zajścia q.

Zapiszmy tabelę prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:

[rafal3006]

Algebra Kubusia
11.0 Algorytm Kruka

Spis treści
11.0 Algorytm Kruka 1
11.1 Algorytm Kruka w implikacji prostej P8|=>P2 5
11.1.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 10
11.1.2 Rozwiązane zadania Nr.1 11
11.2 Algorytm Kruka w implikacji odwrotnej P2|~>P8 12
11.2.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach 16
11.2.2 Rozwiązane zadania Nr.2 18
11.3 Implikacja prosta P8|=>P2 vs implikacja odwrotna P2|~>P8 18



11.0 Algorytm Kruka

Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej znanej ziemianom, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.

1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0

Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>