ŚFiNiA

rafal3006

Algebra Kubusia
11.4 Algorytm Kruka w równoważności TP<=>SK

Spis treści
11.4 Algorytm Kruka w równoważności TP<=>SK 1
11.4.1 Definicja operatora równoważności TP|<=>SK 11
11.4.2 Rozwiązanie zadania Nr.3 13
11.5 Algorytm Kruka w spójniku „albo”($) M$K 14

11.4 Algorytm Kruka w równoważności TP<=>SK

Algorytm Kruka:
1.
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” przeznaczone do analizy kodujemy elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia)
2.
Na mocy prawa Kłapouchego zapisujemy związek parametrów formalnych {p, q} z parametrami aktualnymi {A, B}
3.
Poprzednik i następnik zapisujemy w logice dodatniej (bo p, q)
4.
W zbiorach wyznaczamy zbiory: p, q, ~p, ~q które muszą być niepuste bowiem wtedy i tylko wtedy pojęcia p, q, ~p i ~q są rozpoznawalne.
W zdarzeniach wyznaczamy zdarzenia: p, q, ~p, ~q które muszą być niepuste bowiem wtedy i tylko wtedy zdarzenia p, q, ~p i ~q są rozpoznawalne.
5.
Wykonujemy zdjęcie układu, będące serią czterech zdań kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia) przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
6.
Na bazie zrobionego zdjęcia rozstrzygamy o przynależności serii czterech zdań do określonego operatora implikacyjnego.

Zadanie Nr.3
Przeanalizuj matematycznie zdanie:
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny to może w nim zachodzić suma kwadratów

Rozwiązanie:
Algorytm Kruka:
1.
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” przeznaczone do analizy kodujemy elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia)
D.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może w nim zachodzić suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK=~TP*SK=?
W algebrze Kubusia podstawowym zadaniem jest rozstrzygnięcie o prawdziwości/fałszywości zdania D oraz rozstrzygnięcie w skład jakiego operatora logicznego zdanie to wchodzi.
2.
Na mocy prawa Kłapouchego zapisujemy związek parametrów formalnych {p, q} z parametrami aktualnymi {A, B}.
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmujemy:
p=TP - zbiór trójkątów prostokątnych
q=SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów
3.
Poprzednik i następnik zapisujemy w logice dodatniej (bo p, q)
A.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
TP~~>SK = TP*SK =1
Definicja elementu wspólnego zbirów TP i SK jest spełniona (=1) bo pokazujemy jeden taki trójkąt [3,4,5] - to wystarczy dla dowodu prawdziwości zdania A
4.
W zbiorach wyznaczamy zbiory: p, q, ~p, ~q które muszą być niepuste bowiem wtedy i tylko wtedy pojęcia p, q, ~p i ~q są rozpoznawalne.
Poprzednik mówi tu o zbiorze trójkątów prostokątnych TP:
TP - zbiór trójkątów prostokątnych
Następnik mówi tu o zbiorze trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów SK:
SK - zbiór trójkątów ze spełniona suma kwadratów
Przyjmujemy dziedzinę minimalną:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Obliczamy przeczenia zbiorów definiowane jako ich uzupełnienia do dziedziny ZWT:
~TP=[ZWT-TP] - zbiór wszystkich trójkątów nieprostokątnych (~TP)
~SK = [ZWT-SK] - zbiór wszystkich trójkątów w których nie zachodzi suma kwadratów (~SK)
5.
Wykonujemy zdjęcie układu, będące serią czterech zdań kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia) przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

rafal3006

Algebra Kubusia
11.6 Algorytm Kruka w chaosie P8|~~>P3

Spis treści
11.6 Algorytm Kruka w chaosie P8|~~>P3 1

11.6 Algorytm Kruka w chaosie P8|~~>P3

Algorytm Kruka:
1.
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” przeznaczone do analizy kodujemy elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia)
2.
Na mocy prawa Kłapouchego zapisujemy związek parametrów formalnych {p, q} z parametrami aktualnymi {A, B}
3.
Poprzednik i następnik zapisujemy w logice dodatniej (bo p, q)
4.
W zbiorach wyznaczamy zbiory: p, q, ~p, ~q które muszą być niepuste bowiem wtedy i tylko wtedy pojęcia p, q, ~p i ~q są rozpoznawalne.
W zdarzeniach wyznaczamy zdarzenia: p, q, ~p, ~q które muszą być niepuste bowiem wtedy i tylko wtedy zdarzenia p, q, ~p i ~q są rozpoznawalne.
5.
Wykonujemy zdjęcie układu, będące serią czterech zdań kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia) przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
6.
Na bazie zrobionego zdjęcia rozstrzygamy o przynależności serii czterech zdań do określonego operatora implikacyjnego.

rafal3006

Algebra Kubusia
12.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych

Spis treści
12.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych 1
12.1 Definicja spójnika „i”(*) w bramkach logicznych 3
12.2 Definicja spójnika „lub”(+) w bramkach logicznych 4
12.3 Definicja warunku wystarczającego => w bramkach logicznych 5
12.4 Definicja warunku koniecznego ~> w bramkach logicznych 6
12.5 Definicje spójników implikacyjnych w bramkach logicznych 6
12.5.1 Implikacja prosta p|=>q w bramkach logicznych 8
12.5.2 Implikacja odwrotna p|~>q w bramkach logicznych 9
12.5.3 Równoważność p<=>q w bramkach logicznych 10
12.5.4 Spójnik „albo”($) w bramkach logicznych 12
12.5.5 Definicja „chaosu”(|~~>) w bramkach logicznych 14

12.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. ~p*~q) przypisane do tej funkcji.

Przykłady poprawnych funkcji logicznych:
Y = ~p*~q
Y = p+q
Y = p*~q+~p*q
etc

Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Negujemy dwustronnie:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Twierdzenia Pumy:
1.
Ziemski matematyk który będzie twierdził iż nie zna powyższej definicji funkcji logicznej algebry Boole’a powinien skreślić słówko „matematyk” sprzed swego nazwiska.
2.
Ziemski matematyk który będzie twierdził iż nie wolno dowolnej funkcji logicznej dwustronnie zanegować powinien spalić się ze wstydu i wziąć zimny prysznic.

Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) to:

rafal3006

Algebra Kubusia
13.0 Prawo niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego

Spis treści
13.0 Prawo niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego 1
13.1 Kto lepiej zna logikę matematyczną, ziemski matematyk czy 5-cio latek? 4
13.2 Funkcja logiczna algebry Boole’a to pięta Achillesowa ziemian 6
13.3 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego 8
13.4 „Implikacja materialna” nie opisuje wzajemnej relacji między pojęciami p i q 9
13.5 dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ w iterowaniu 14

13.0 Prawo niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości {0,1}

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramek logicznych
Y - wyjście bramki logicznej

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)

Matematyczne związki między p i ~p:
I.
p#~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
II.
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)

Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(p,q) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)

Przykład:
f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
p*q+~p*~q

Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a w osi czasu.
W technice funkcja algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y
Przykład to omówienie definicji znaczków # i ## w bramkach logicznych (punkt 4.5)

Przykład:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q

Zapiszmy poznane dotychczas spójniki logiczne w postaci funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).

rafal3006

Algebra Kubusia
14.0 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań

Wstęp

Algebra Kubusia to matematyczna obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie kluczową rolę odgrywają spójniki implikacyjne {~~>, =>, ~>, <=>, „albo”($)}, natomiast algebra Boole’a to wyłącznie 5 znaczków {1, 0, (~), „i”(*), „lub”(+)}.
Kluczowe pojęcia algebry Kubusia:
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
~~> - element wspólny zbiorów (zdarzenie możliwe)
są niedostępne z poziomu algebry Boole’a.
Jak widzimy „Algebra Kubusia” (spójniki =>, ~>, ~~>, <=>, „albo”($)) i „Algebra Boole’a” (wyłącznie spójniki „i”(*) i „lub”(+)) to wiedza rozłączna co oznacza, że można zrozumieć „Algebrę Kubusia” bez znajomości algebry Boole’a.

Kubuś i przyjaciele w drodze ku świetlanej przyszłości.

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.

Trzęsienie ziemi, czyli bezpardonowy atak na fundament wszelkich ziemskich logik matematycznych:
„Implikację materialną” i „Klasyczny Rachunek Zdań”

Spis treści
14.0 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań 2
14.1 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań po raz pierwszy 3
14.2 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań po raz drugi 5
14.3 Logika, sens i wątpliwości 8
14.4 Dlaczego przez 2500 lat ziemscy matematycy prali sobie mózgi gównem KRZ? 9
14.5 O potwornościach w ziemskiej logice matematycznej 12
14.6 Twardy dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ 17

14.0 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań

Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej znanej ziemianom, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.

1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0

2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0

3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0

Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

rafal3006

Algebra Kubusia
14.7 Kompromitacja ziemskiej matematyki w % klasie SP

Spis treści
14.7 Kompromitacja ziemskiej matematyki w 5 klasie szkoły podstawowej 1
14.7.1 Definicje czworokątów w 100-milowym lesie 7
14.7.2 Przykładowy błąd definicyjny w podręczniku matematyki do 5 klasy sp 9

14.7 Kompromitacja ziemskiej matematyki w 5 klasie szkoły podstawowej

Uwaga:
Poprawne definicje kwadratu KW i prostokąta PR rodem z podręcznika matematyki do 5 klasy szkoły podstawowej w 100-milowym lesie zaprezentowano w punkcie 11.2

W ziemskich podręcznikach matematyki do 5 klasy szkoły podstawowej definicje kwadratu KW i prostokąta PR są następujące.

Lekcja matematyki w ziemskiej 5 klasie ziemskiej szkoły podstawowej.
Pani:
Jasiu, podaj matematyczne definicje kwadratu i prostokąta.

Jaś:
Definicja kwadratu:
Kwadrat to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste i wszystkie boki równe
KW=KP*BR

rafal3006

Algebra Kubusia
14.8 Dekalog Kubusia plus jego zastosowanie

Spis treści
14.8 Wprowadzenie do dekalogu Kubusia 1
14.8.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 1
14.8.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 2
14.8.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 3
14.8.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 3
14.8.5 Fundamenty algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” 4
14.8.6 Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia 5
14.9 Dekalog Kubusia: 5
14.9.1 Definicja równoważności w zbiorach 8
14.10 Armagedony Klasycznego Rachunku Zdań 11
14.10.1 Armagedon Nr.1 Klasycznego Rachunku Zdań 11
14.10.2 Armagedon Nr.2 Klasycznego Rachunku Zdań 15
14.10.3 Armagedon Nr.3 Klasycznego Rachunku Zdań 19
14.10.4 Armagedon totalny Klasycznego Rachunku Zdań 22

14.8 Wprowadzenie do dekalogu Kubusia

W niniejszym punkcie wyłożona zostanie teoria konieczna dla zrozumienia dekalogu Kubusia.

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów/zdarzeń p i q.

14.8.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory p i q są rozłączne i nieskończone to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.

Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] np. 24

14.8.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach

Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q

Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
Innymi słowy:
Każda liczba podzielna przez 8 jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
(dowód przez pokazanie)

14.8.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach

Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q

Inaczej:
p~>q =0
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Przykład:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
cnd
(dowód przez pokazanie)

14.8.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

14.8.5 Fundamenty algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w algebrze Kubusia:

rafal3006

Algebra Kubusia
14.11 Dowód fałszywości kwantyfikatora dużego /\ w matematyce ziemian

Fragment dyskusji ze śfinii:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-3700.html#638287

Kwantyfikatory w logice matematycznej są zbędne, zaś ziemski kwantyfikator duży to czysto matematyczny fałsz!

[link widoczny dla zalogowanych]