ŚFiNiA

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
17-04-2022 Prapremiera

Link do wersji w pdf:
[link widoczny dla zalogowanych]
*https://www.dropbox.com/s/61wb5f86lm2i5dv/Algebra%20Kubusia%2017-04-2022.pdf?dl=0

Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia (cytuję w kolejności zaistnienia):
Wuj Zbój, Miki (vel Lucek), Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors (vel Dagger), Słupek, Fiklit, Yorgin, Exodim, FlauFly, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski, MaluśnaOwieczka i inni.

Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
Rafał3006 to przybysz ze świata techniki gdzie implikacja nie ma prawa bytu, bowiem opisuje „wolną wolę” istot żywych.
Definicja „wolnej woli” istot żywych:
„Wolna wola” istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy (w tym przez matematykę).
3.
Fiklit - zdecydowanie najlepszy specjalista logiki matematycznej, który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań. Bez Fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć.
4.
Irbisol - znakomity tester algebry Kubusia od 15 lat, za wszelką cenę usiłujący ją obalić na każdym etapie jej rozszyfrowywania. Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera, lepszego partnera w dyskusji?
5.
MaluśnaOwieczka - końcowy uczestnik dyskusji o algebrze Kubusia w trakcie której uściślona została teoria zbiorów na poziomie fundamentalnym (prawo Owieczki).




Spis treści:
1.0 Operatory jednoargumentowe
2.0 Podstawowa algebra Boole’a
2.7 Geneza błędu czysto matematycznego prof. L. Newelskiego
3.0 Dwuargumentowe funkcje logiczne
4.0 Operatory Y|=f(x) z grupy TF0-TF3 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

5.0 Kubusiowa teoria zbiorów
6.0 Fundamenty obsługi zdań warunkowych w algebrze Kubusia
7.0 Spójniki obsługujące zdania warunkowe „Jeśli p to q”

8.0 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q
8.1 Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)
8.2 Przykłady implikacji prostej p|=>q
8.5 Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q)
8.6 Przykłady implikacji odwrotnej p|~>q
8.9 Implikacja prosta p|=>q vs implikacja odwrotna p|~>q
8.12 Geneza tabel zero-jedynkowych warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

9.0 Spójniki równoważności p<=>q i „albo”($) p$q
9.1 Równoważność p<=>q
9.3 Przykłady równoważności p<=>q w zbiorach oraz w zdarzeniach
9.5 Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q)
9.7 Przykłady spójnika „albo”($) w zbiorach oraz w zdarzeniach
9.9 Definicja n-argumentowego spójnika „albo”($)
9.14 Geneza tabel zero-jedynkowych równoważności <=> i „albo”($)
9.17 Równoważność p<=>q vs „albo”($) p$q

10.0 Definicja chaosu p|~~>q=1 i śmierci p|~~>q=0
10.3 Przykłady operatorów chaosu p||~~>q

11.0 Obietnice i groźby
11.4 Przykłady obietnicy
11.6 Właściwości obietnic
11.7 Groźba B~>L

12.0 Zastosowania algebry Kubusia

 
Spis treści
0.0 Wstęp: 4
0.1 Znaczki elementarne obsługujące zdania warunkowe „Jeśli p to q” 4
0.1.1 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 5
0.1.2 Znaczki rozszerzone zbudowane ze znaczków elementarnych 8
0.2 Nowa algebra Boole’a 10
0.3 Przewodnik po algebrze Kubusia dla zawodowych matematyków 11
0.4 Geneza rozszyfrowania algebry Kubusia 11
0.4 1 Po co komu algebra Kubusia skoro wszyscy jesteśmy jej ekspertami? 13
0.4.2 Co było powodem iż na serio zainteresowałem się logiką matematyczną? 13
0.5 Możliwe scenariusze przyszłości 15
0.6 Wojna światów: Algebra Kubusia vs Klasyczny Rachunek Zdań 15


0.0 Wstęp:

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock

0.1 Znaczki elementarne obsługujące zdania warunkowe „Jeśli p to q”

Logika matematyczna to tylko i wyłącznie zdania warunkowe „Jeśli p to q” będące odpowiednikiem skoków warunkowych w programowaniu komputerów.
Dla każdego programisty jest oczywiste, że jeśli z programowania komputerów zabierzemy wszystkie rozgałęzienia warunkowe to nie da się napisać najprostszego nawet programu, bowiem wszystko jest wówczas zdeterminowane (znane z góry).
Istotę problemu omówimy na bazie teorii zbiorów.
Teoria zdarzeń będzie analogiczna co poznamy w punkcie 6.0.

W obsłudze wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” potrzebne i wystarczające są zaledwie trzy znaczki:
1.
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q=p*q=1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> p i q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny ~~>
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - zbiory p i q są rozłączne
;
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~~>P8=1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..] jest spełniona (=1) bo istnieje co najmniej jeden wspólny element tych zbiorów (np. 8), nie dowodzimy tu faktu, iż zbiór P2 jest nadzbiorem ~> zbioru P8

##
2.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego p=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
;
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
;
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Każdy matematyk bez problemu udowodni tu, że zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2.

##
3.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
;
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
;
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wejście Smoka:
Do opisu kompletnej algebry Kubusia operującej na zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” są potrzebne i wystarczające zaledwie trzy znaczki ~~>, => i ~> o definicjach jak wyżej.

W algebrze Kubusia występuje dodatkowych kilka znaczków zdefiniowanych znaczkami ~~>, => i ~>, co oznacza, że można się bez nich obejść.

Podsumowując:
Obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia stoi na zaledwie trzech znaczkach elementarnych: =>, ~> i ~~>

0.1.1 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wynikłe z rachunku zero-jedynkowego:

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
1.0 Operatory jednoargumentowe


Spis treści
1.0 Nowa algebra Boole’a 1
1.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a: 4
1.1.1 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym 5
1.1.2 Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q 5
1.2 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego 6
1.3 Zero-jedynkowe definicje jednoargumentowych operatorów logicznych 7
1.3.1 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego 11
1.4 Prawa Prosiaczka 15
1.4.1 Wyprowadzenie I prawa Prosiaczka 16
1.4.2 Wyprowadzenie II prawa Prosiaczka 17
1.4.3 Prawa Prosiaczka w bramkach logicznych 18
1.4.4 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki 19
1.4.5 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka 20
1.5 Operatory jednoargumentowe w logice 5-cio latków 21
1.5.1 Operator transmisji Y|=p 22
1.5.2 Operator negacji Y|=~p 24
1.5.3 Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p 26
1.5.4 Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p 29
1.6 Prawo Puchacza 32



1.0 Nowa algebra Boole’a

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego, zatem tylko z tego punktu widzenia będziemy patrzeć na algebrę Boole’a.

Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
3.
Ziemski rachunek zero-jedynkowy (fundament logiki matematycznej) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych Y i ~Y algebry Boole’a, co udowodnimy za chwilkę już na poziomie operatorów logicznych jednoargumentowych.

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) – negacja

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)

Przykłady:
Y=p+~p=1 – zdanie zawsze prawdziwe
Y=p*~p=0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

To samo w logice 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 – zdanie zawsze prawdziwe
Jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa
W logice matematycznej wszelkie właściwości zmiennych binarnych zapisujemy w tabelach prawdy.

Definicja tabeli prawdy:
Tabela prawdy w logice matematycznej to zapis wszystkich możliwych właściwości zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.

Przykład to poniższa definicja negacji.

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2.0 Podstawowa algebra Boole’a

Spis treści
2.0 Podstawowa algebra Boole’a 1
2.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole’a 2
2.1.1 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym 4
2.2 Minimalna aksjomatyka algebry Boole’a 4
2.3 Logika matematyczna w przedszkolu 9
2.3.1 Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej 11
2.3.2 Kolejność wykonywania działań w algebrze Kubusia 11
2.4 Piękna algebra Boole’a 12
2.4.1 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków 12
2.4.2 Przykład minimalizacji funkcji logicznej z matematyki.pl 15
2.5 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a 16
2.5.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 17
2.5.2 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer 18
2.6 Związek opisu tabel zero-jedynkowych w logice jedynek i w logice zer 20
2.6.1 Prawo Małpki 20
2.6.2 Dowód prawa Małpki bez tabel zero-jedynkowych 21


2.0 Podstawowa algebra Boole’a

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego, zatem tylko z tego punktu widzenia będziemy patrzeć na algebrę Boole’a.

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce

Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Definicja algebry Boole’a:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Algebra Boole’a to dwa wyróżnione elementy, zwykle {1,0}, o znaczeniu:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
oraz dwa spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

2.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole’a

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)

Przykłady:
Y=p+~p=1 – zdanie zawsze prawdziwe
Y=p*~p=0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

To samo w logice 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 – zdanie zawsze prawdziwe
Jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1

Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramek logicznych
Y - wyjście bramki logicznej

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)

Matematyczne związki między p i ~p:
I.
p#~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
II.
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)

Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)

Przykład:
f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
p*q+~p*~q

W najprostszym przypadku wyrażeniem algebry Boole’a może być pojedyńcza zmienna binarna p
f(p) =p

Uwaga na notację:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
f(p,q)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a (przykład)

Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a w osi czasu.
W technice funkcja logiczna algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y

Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y

Przykład:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q = (p*q)+(~p*~q)
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=1<=>p+q
Y=0<=>~p*~q
etc
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy

Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana (poznamy za chwilę)
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

2.1.1 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym

Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Inaczej mamy do czynienia ze standardem ujemnym lub mieszanym.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka

Podstawa matematyczna dla powyższej definicji to prawa Prosiaczka
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej.

2.2 Minimalna aksjomatyka algebry Boole’a

Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy

Definicja minimalnej aksjomatyki algebry Boole’a:
Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a to minimalny zestaw praw algebry Boole’a koniecznych i wystarczających do poruszania się po równaniach algebry Boole’a.

Chodzi tu głównie o minimalizację równań algebry Boole’a, której w języku potocznym praktycznie nie ma bo nasz mózg to naturalny ekspert algebry Kubusia tzn. z reguły operuje na funkcjach minimalnych które nie wymagają zewnętrznej minimalizacji.
Wynika z tego, że tabele zero-jedynkowe w takiej aksjomatyce nas nie interesują.
Jak zobaczymy za chwilę, minimalna aksjomatyka algebry Boole’a to zaledwie osiem punktów które trzeba znać na pamięć.

Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+):

I.
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka
Znaczek tożsamy w matematyce:
(*) - znaczek koniunkcji
Znaczek tożsamy w technice:
(*) - bramka logiczna AND

Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2.7 Geneza błędu czysto matematycznego prof. L. Newelskiego

Spis treści
2.7 Geneza błędu czysto matematycznego prof. L. Newelskiego 1
2.7.1 Jak udowodnić błędność dowodu prof. L. Newelskiego? 3
2.8 Geneza błędu czysto matematycznego prof. L. Newelskiego w oryginale 4
2.8.1 Poprawny matematycznie dowód prof. L. Newelskiego w oryginale 6
2.8.2 Igraszki masochistów dla funkcji Y 12
2.8.2 Igraszki masochistów dla funkcji ~Y 15



2.7 Geneza błędu czysto matematycznego prof. L. Newelskiego

Przepraszam prof. Ludomira Newelskiego za znalezienie błędu czysto matematycznego w jego dowodzie prawa Małpki w podręczniku akademickim dla studentów I roku matematyki "Wstęp do matematyki".

Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)

Dowód prawa Małpki (Uwaga 2.7) w podręczniku „Wstęp do matematyki” autorstwa prof. L. Newelskiego.
[link widoczny dla zalogowanych]

Cytuję słowo w słowo dowód prawa Małpki w wykonaniu prof. L. Newelskiego na prostszym przykładzie, co jest bez znaczenia:
1.
Załóżmy tabelę zero-jedynkową z dwoma zmiennymi wejściowymi {p,q} i jedną zmienną wyjściową Y (funkcja logiczna)
Y = f(p,q)

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
3.0 Dwuargumentowe funkcje logiczne

Spis treści
3.0 Dwuargumentowe funkcje logiczne 1
3.1 Dowody wewnętrznej sprzeczności rachunku zero-jedynkowego ziemian 8
3.1.1 Grupa spójników „lub”(+) i „i’”(*) 8
3.1.2 Grupa spójników implikacyjnych „Jeśli p to q” i równoważnościowych p<=>q 9
3.1.3 Grupa spójników jednoargumentowych 11
3.2 Operatory Y|=f(x) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 13
3.3 Zdania warunkowe „Jeśli p to q” 16
3.3.1 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 18
3.3.2 Znaczki rozszerzone zbudowane ze znaczków elementarnych 20



3.0 Dwuargumentowe funkcje logiczne

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego, zatem tylko z tego punktu widzenia będziemy patrzeć na algebrę Boole’a.

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce

Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Dlaczego niniejszy podręcznik nosi nazwę nowej algebry Boole’a?

Dwa główne powody to:
1.
Klasyczna algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
2.
Ziemski rachunek zero-jedynkowy (fundament logiki matematycznej) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych Y i ~Y, co udowodnimy za chwilkę na poziomie operatorów logicznych dwuargumentowych.

Definicja algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Algebra Boole’a to dwa wyróżnione elementy (zwykle {1,0}) o znaczeniu:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
oraz dwa spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)

Przykłady:
Y=p+~p=1 – zdanie zawsze prawdziwe
Y=p*~p=0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

To samo w logice 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 – zdanie zawsze prawdziwe
Jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości {0,1}

Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
4.0 Operatory Y|=f(x) z grupy TF0-3 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Spis treści
4.0 Operatory Y|=f(x) z grupy TF0-3 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 1
4.1 Operator A1: Y|=p+q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 3
4.1.1 Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych 4
4.1.2 Diagram operatora „lub”(|+) w zdarzeniach 4
4.1.3 Przykład operatora Y|=K+T w zdarzeniach 6
4.2 Operator A0: Y|=p*q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 10
4.2.1 Przykład operatora Y|=K*T w zdarzeniach 11
4.3 Operator A3: Y|=~p*~q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 14
4.2.1 Przykład operatora Y|=~K*~T w zdarzeniach 16
4.4 Operator A2: Y|=~p+~q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 18
4.4.1 Przykład operatora A2: Y|=~K+~T w zdarzeniach 20
4.5 Związek teorii zdarzeń z teorią zbiorów dla operatorów TF0-TF3 22
4.5.1 Przykład operatora chaosu P8||~~>P3 w zbiorach 23
4.6 Operatory z grupy TF4-7 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 25
4.6.1 Operator A7: Y|=p*~q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 26
4.6.2 Przykład operatora A7: Y|=K*~T w zdarzeniach 27
4.6.3 Przykład operatora A6: Y|=~K*T w zdarzeniach 30
4.7 Operatory z grupy TF4-TF11 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 32


4.0 Operatory Y|=f(x) z grupy TF0-3 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
5.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Spis treści
5.0 Kubusiowa teoria zbiorów 1
5.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach 2
5.1.1 Suma logiczna zbiorów 2
5.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów 3
5.1.3 Różnica (-) zbiorów 3
5.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów 4
5.2.1 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 6
5.2.2 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 7
5.2.3 Prawo Słonia dla zbiorów 8
5.3 Dziedzina 9
5.3.1 Zaprzeczenie zbioru 9
5.3.2 Nazwa własna zbioru 10
5.3.3 Dziedzina użyteczna w języku potocznym 10



5.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Kubusiowa teoria zbiorów to nieznana ziemskim matematykom teoria zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej, algebry Kubusia.

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, koło, miłość, krasnoludek, zbór wszystkich zwierząt ...]

Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies)
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)

Prawa Prosiaczka
Prawa Prosiaczka omówiono szczegółowo w punkcie 1.4

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Przykład 1.
(p=1) = (~p=0)
1.
[pies]=1 - prawdą jest (=1) iż wiem co znaczy pojęcie pies
Prawo Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
Nasz przykład:
(pies=1) = (~pies=0) - na mocy prawa Prosiaczka
stąd zdanie tożsame do 1:
~pies=0 - fałszem jest (=0), że nie wiem (~) co znaczy pojęcie [pies]

Przykład 2.
(~p=1) = (p=0)
2.
agstd=0 - fałszem jest (=0) iż wiem co znaczy pojęcie „agstd”
Prawo Prosiaczka:
(agstd=0) = (~agstd=1)
stąd zdanie tożsame do 2:
~agstd=1 - prawdą jest (=1), że nie wiem (~) co znaczy pojęcie agstd

Prawo Rekina:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.

5.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach

Elementarne działania na zbiorach to:
(+) - suma logiczna zbiorów
(*) - iloczyn logiczny zbiorów
(-) - różnica logiczna zbiorów

5.1.1 Suma logiczna zbiorów

Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
Zdefiniujmy dwa zbiory p i q:
p=[K, T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T, P] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[K,T]+[T,P]=[K,T,T,P] = [K+T+T+P] = [K+T+P] = [K,T,P] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Bo prawo Algebry Boole’a:
p+p =p
Uwaga:
Przecinek przy wyliczaniu elementów zbioru jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) z algebry Boole’a co pokazano i udowodniono wyżej.

5.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów

Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny (zbiór wynikowy jest niepusty)
Y = p*q =0 - gdy zbiory p i q nie mają (=0) elementu wspólnego (są rozłączne)

Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
S - Słoń
Zdefiniujmy zbiory p, q, r:
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T,P] =1 - bo zbiór niepusty
r=[P,S] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[K,T]*[T,P]=[T] =1 - zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny
Y=p*r=[K,T]*[P,S] =[] =0 - zbiory p i r nie mają (=0) elementu wspólnego

Identyczne wyniki można uzyskać poprzez wymnażanie logiczne zbiorów.
Przykład:
p*q = [K+T]*[T+P] = K*T + K*P + T*T + T*P =[] + [] + T + [] = T
bo:
K*T+ K*P + T*P =[]+[]+[] =0+0+0 =0 - iloczyn logiczny „*” zbiorów (pojęć) rozłącznych jest zbiorem pustym []
T*T =T
bo prawo algebry Boole’a:
p*p =p
Jak widzimy, przy wyliczaniu elementów zbioru przecinek jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) rodem z algebry Boole’a.

5.1.3 Różnica (-) zbiorów

Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q

Oznaczmy:
K - Kubuś
T - Tygrysek
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T] =1 - bo zbiór niepusty
Stąd:
Y=p-q = [K,T]-[T] =[K+T-T] =[K] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=q-p =[K]-[K,T]=[K-(K+T]=[K-K-T]= [] - [-T] =[-T] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty
Prawo odejmowania zbiorów:
Jeśli w operacji odejmowania zbiorów wynikowy zbiór jest z minusem {-} to taki zbiór zamieniamy na zbiór pusty [].

5.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów

Przypomnijmy znane już definicje podstawowe.

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, miłość, krasnoludek, ZWZ, LN ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies)
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)

Prawo Rekina:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)

Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum.
Zauważmy, że zaledwie 40 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na Ziemi.
Podobnie będzie z algebrą Kubusia, aktualnie wyłącznie mieszkańcy 100-milowego lasu ją znają i rozumieją, ale wkrótce pojęcie „Algebra Kubusia” znane będzie każdemu ziemianinowi od 5-cio latka poczynając, bowiem algebra Kubusia będzie uczona we wszystkich ziemskich przedszkolach - oczywiście w formie zabawy praktycznej, bez teorii którą znają wszystkie żywe stworzenia, nie będąc tego świadomym.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)

Definicja dziedziny absolutnej DA:
Dziedzina absolutna DA to zbiór wszelkich pojęć możliwych do zdefiniowania w naszym Wszechświecie.

Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z dziedziną absolutną DA.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum U to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Zbiór pusty zawiera nieskończenie wiele pojęć niezrozumiałych dla człowieka, jeszcze niezdefiniowanych. Definiować elementy w naszym Wszechświecie może wyłącznie człowiek, świat martwy sam sobie nic nie definiuje.

Przed pojawieniem się człowieka na ziemi zawartość zbioru pustego była taka:
[] - wszystkie elementy naszego Wszechświata w sensie absolutnym, nie ma jeszcze człowieka który by cokolwiek definiował.

W dniu dzisiejszym sytuacja jest inna, taka:

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
6.0 Fundamenty obsługi zdań warunkowych w algebrze Kubusia

Spis treści
6.0 Fundamenty obsługi zdań warunkowych w algebrze Kubusia 1
6.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 2
6.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 2
6.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 2
6.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 3
6.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 4
6.1.5 Prawo Kobry dla zbiorów 5
6.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 5
6.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> 5
6.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach 6
6.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach 6
6.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 6
6.2.5 Prawo Kobry dla zdarzeń 7
6.3 Wyprowadzenie matematycznych związków znaczków => i ~> 7
6.3.1 Definicja znaczka różne # i różne na mocy definicji ## 7
6.3.2 Rachunek zero-jedynkowego warunków wystarczających => i koniecznych ~> 8
6.4 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 10
6.4.1 Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia 12
6.5 Prawa Sowy 12
6.6 Prawo Słonia 13
6.6.1 Prawo Słonia dla zbiorów 13
6.6.2 Prawo Słonia dla zdarzeń 15
6.6.3 Prawo Słonia w praktyce 15
6.7 Prawo Kłapouchego 15
6.7.1 Prawo Kameleona 22
6.8 Prawo Irbisa 22
6.7.1 Prawo Irbisa dla zbiorów 22
6.8.2 Prawo Irbisa dla zdarzeń 26


6.0 Fundamenty obsługi zdań warunkowych w algebrze Kubusia

Logika matematyczna to tylko i wyłącznie zdania warunkowe „Jeśli p to q” będące odpowiednikiem skoków warunkowych w programowaniu komputerów.
Dla każdego programisty jest oczywiste, że jeśli z programowania komputerów zabierzemy wszystkie rozgałęzienia warunkowe to nie da się napisać najprostszego nawet programu, bowiem wszystko jest wówczas zdeterminowane (znane z góry).

6.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów/zdarzeń p i q.

6.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)

Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] np. 24

6.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach

Prawo Słonia dla warunku wystarczającego =>:
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych członów
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych członów

Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q.
Na mocy prawa Słonia udowodnienie relacji podzbioru p=>q jest tożsame z udowodnieniem warunku wystarczającego p=>q, czyli że zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q

Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Przykład twierdzenia matematycznego:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd

6.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach

Prawo Słonia dla warunku koniecznego ~>:
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych członów
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych członów

Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q

Inaczej:
p~>q =0
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Przykład:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Na mocy prawa Słonia mamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
cnd

6.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2=1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2, bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8…], co każdy matematyk bez trudu udowodni.

Na mocy definicji kontrprzykładu, z prawdziwości warunku wystarczającego A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=1,3,5,7,9…] bo zbiory te są rozłączne.
Na mocy definicji kontrprzykładu nie musimy udowadniać w sposób bezpośredni iż zbiór liczb parzystych P8=[8,16,24..] jest rozłączny ze zbiorem liczb nieparzystych ~P2=[1,3,5,7,9..], bowiem dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu.

Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’

6.1.5 Prawo Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem => samego siebie:
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].

Zbiór pusty jest zbiorem zewnętrznym w stosunku do dowolnego zbioru niepustego przyjętego za dziedzinę na której operujemy.
Wynika to z definicji Uniwersum i zbioru pustego [] w algebrze Kubusia - szczegóły wyjaśnione są w punkcie 5.2.

6.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń/zbiorów p i q

6.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~>

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)

6.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Przykład:
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury

6.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki.

6.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
Z prawdziwości warunku wystarczającego A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH=0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Na mocy definicji kontrprzykładu tego faktu nie musimy udowadniać, ale możemy, co wyżej uczyniliśmy.

Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’

6.2.5 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

6.3 Wyprowadzenie matematycznych związków znaczków => i ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

6.3.1 Definicja znaczka różne # i różne na mocy definicji ##

Definicję znaczka różne na mocy definicji ## poznamy na przykładzie definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> które wyżej zapisaliśmy.

Zobaczmy to w tabeli prawdy:

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
7.0 Spójniki obsługujące zdania warunkowe „Jeśli p to q”

Spis treści
7.0 Spójniki logiczne w algebrze Kubusia 1
7.1 Definicja implikacji prostej p|=>q 2
7.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) 4
7.1.2 Przykład operatora implikacji prostej P||=>CH 6
7.2 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q 6
7.2.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) 8
7.2.2 Przykład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P 10
7.3 Definicja równoważności p<=>q 10
7.3.1 Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) 13
7.3.2 Przykład operatora równoważności TP|<=>SK 15
7.4 Definicja spójnika „albo”($) 16
7.4.1 Operator „albo”($) p|$q 18
7.4.2 Przykład operatora „albo”($) M|$K 21
7.5 Definicja chaosu p|~~>q 23
7.5.1 Operator chaosu p||~~>q 25
7.5.2 Przykład operatora chaosu P8||~~>P3 26


7.0 Spójniki logiczne w algebrze Kubusia

W tabeli wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych TF2 (niżej) po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.0 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q

Spis treści
8.0 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q 1

8.0 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q

W tabeli wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych TF2 (niżej) po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.1 Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)


Spis treści
8.1 Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) 1
8.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) 5
8.1.2 Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) 7
8.1.3 Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach 8
8.1.4 Diagram implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach 11



8.1 Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)

Przypomnijmy sobie definicje podstawowe:

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.2 Przykłady implikacji prostej p|=>q

Spis treści
8.2 Przykład implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach 1
8.2.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 5
8.2.2 Diagram implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach 7
8.3 Przykład implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach 9
8.3.1 Operator implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach 12
8.3.2 Diagram implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach 15
8.4 Implikacja prosta A|=>S w zdarzeniach 17
8.4.1 Zmienne związane i zmienne wolne w implikacji prostej A|=>S 17
8.4.2 Wyprowadzenie definicji implikacji prostej A|=>S 19
8.4.3 Operator implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach 22


8.2 Przykład implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.5 Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q)

Spis treści
8.5 Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) 1
8.5.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) 5
8.5.2 Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) 7
8.5.3 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach 7
8.5.4 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach 10


8.5 Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q)

Przypomnijmy sobie definicje podstawowe:

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.6 Przykłady implikacji odwrotnej p|~>q

Spis treści
8.6 Przykład implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach 1
8.6.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach 5
8.6.2 Diagram implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach 8
8.7 Przykład implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach 10
8.7.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach 13
8.7.2 Diagram implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach 16
8.8 Implikacja odwrotna A|~>S w zdarzeniach 18
8.8.1 Zmienne związane i zmienne wolne w implikacji odwrotnej A|~>S 18
8.8.2 Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej A|~>S 20
8.8.3 Operator implikacji odwrotnej A||~>S w zdarzeniach 22


8.6 Przykład implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.9 Implikacja prosta p|=>q vs implikacja odwrotna p|~>q


Spis treści
8.9 Implikacja prosta p|=>q vs implikacja odwrotna p|~>q 1
8.10 Prawa Puchacza 2
8.10.1 I prawo Puchacza p|=>q ## p|~>q 3
8.10.2 2 II prawo Puchacza p|~>q ## p|=>q 4
8.11 Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ### 4
8.11.1 Prawo Kłapouchego = Kot Schrödingera 7


8.9 Implikacja prosta p|=>q vs implikacja odwrotna p|~>q

A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q:

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.12 Geneza tabel zero-jedynkowych warunku wystarczającego => i koniecznego ~>


Spis treści
8.12 Geneza tabel zero-jedynkowych warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 1
8.13 Implikacja prosta p|=>q 1
8.13.1 Operator implikacji prostej p||=>q 2
8.13.2 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego => 4
8.13.3 Co oznacza zero-jedynkowa definicji implikacji prostej p|=>q? 8
8.14 Implikacja odwrotna p|~>q 9
8.14.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 10
8.14.2 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> 12
8.14.3 Co oznacza zero-jedynkowa definicji implikacji odwrotnej p|~>q? 15


8.12 Geneza tabel zero-jedynkowych warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

W niniejszym rozdziale udowodnimy, iż zero-jedynkowe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> generuje język potoczny człowieka, od 5-cio latka poczynając.
Znając ten fakt łatwo udowodnić twierdzenie odwrotne iż fundamentem języka potocznego są tabele zero-jedynkowe spójników logicznych.
Wychodzi z tego odwieczne pytanie, co było pierwsze „jajko, czy kura”?
Poprawna odpowiedź to „kura”, gdyż jajko nie potrafi myśleć, natomiast „kura” potrafi udowodnić, iż tabele zero-jedynkowe spójników logicznych generuje język potoczny „kury”, znaczy język potoczny 5-cio latka, co niniejszym wykażemy.

W algebrze Kubusia matematycznym fundamentem obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” są zaledwie trzy znaczki ~~>, =>, ~> plus definicja kontrprzykładu.
Definicje tych znaczków podaję na gruncie teorii zdarzeń bo jest nieporównywalnie prostsza od teorii zbiorów.

8.13 Implikacja prosta p|=>q

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.0 Spójniki równoważności p<=>q i „albo”($) p$q

Spis treści
9.0 Spójniki równoważności p<=>q i „albo”($) p$q 1


9.0 Spójniki równoważności p<=>q i „albo”($) p$q

Spójniki równoważności p<=>q i „albo”($) to niesłychane rzadkości w otaczającym nas wszechświecie, gdzie królują poznane wyżej implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q.

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.1 Równoważność p<=>q


Spis treści
9.1 Równoważność p<=>q 1
9.1.1 Matematyczna definicja równoważności p<=>q 3
9.1.2 Prawa Irbisa dla zbiorów i zdarzeń 6
9.2 Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) 8
9.2.1 Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) 10
9.2.2 Operator równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) 13
9.2.3 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach 13



9.1 Równoważność p<=>q

Przypomnijmy sobie definicje podstawowe:

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.3 Przykłady równoważności p<=>q w zbiorach oraz w zdarzeniach

Spis treści
9.3 Przykład równoważności TP<=>SK w zbiorach 1
9.3.1 Operator równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK) 6
9.3.2 Operator równoważności ~TP|<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK) 9
9.3.3 Relacje zbiorów w definicji równoważności TP<=>SK 9
9.3.4 Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach 12
9.3.5 Równoważność dwukierunkowa TP<=>SK w zbiorach 14
9.4 Przykład równoważności A<=>S w zdarzeniach 15
9.4.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach 19
9.4.2 Równoważności jednokierunkowa A<=>S w zdarzeniach 22


9.3 Przykład równoważności TP<=>SK w zbiorach

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.5 Spójnik „albo”($) p$q

Spis treści
9.5 Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) 1
9.5.1 Operator „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo q) 5
9.5.2 Operator „albo”($) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) 8
9.6 Diagram spójnika „albo”($) w zbiorach 8


9.5 Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q)

Przypomnijmy sobie definicje podstawowe:

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.7 Przykłady spójnika „albo”($) w zbiorach oraz w zdarzeniach


Spis treści
9.7 Spójnik „albo”($) M$K w zbiorach 1
9.7.1 Operator „albo”($) M|$K w zbiorach w logice dodatniej (bo K) 4
9.7.2 Operator „albo”($) ~M|$~K w logice ujemnej (bo ~K) 6
9.7.3 Diagram spójnika „albo”($) M$K w zbiorach 7
9.8 Spójnik „albo”($) S$Z w zdarzeniach 8
9.8.1 Operator „albo”(|$) S|$Z w zdarzeniach w logice dodatniej (bo Z) 12
9.8.2 Operator „albo”(|$) ~S|$~Z w zdarzeniach w logice ujemnej (bo ~Z) 14
9.8.3 Diagram spójnika „albo”($) S$Z w zdarzeniach 15


9.7 Spójnik „albo”($) M$K w zbiorach

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.9 Definicja n-argumentowego spójnika „albo”($)

Spis treści
9.9 Definicja n-argumentowego spójnika „albo”($) 1
9.10 Implikacja prosta w zbiorach (P+K+S)=>4L gdzie zachodzi (P+K+S):=(P$K$S) 2
9.10.1 Opis dowolnej tabeli zero-jedynkowej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 3
9.11 Implikacja prosta (P+K+S)|=>4L w warunkach wystarczających => i koniecznych~> 7
9.11.1 Operatora implikacji prostej (P+K+S)||=>4L w zbiorach 9
9.12 Równoważność w zdarzeniach S<=>(A+B+C) gdzie zachodzi (A+B+C)##(A$B$C) 12
9.12.1 Opis dowolnej tabeli zero-jedynkowej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 15
9.13 Równoważność S<=>(A+B+C) w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> 18
9.13.1 Operator równoważności S|<=>(A+B+C) w zdarzeniach 20



9.9 Definicja n-argumentowego spójnika „albo”($)

Definicja n-argumentowego spójnika „albo”($):
Definicja n-argumentowego spójnika „albo”($) p$q...$n jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy w obrębie danej dziedziny D funkcja logiczna zbiorów/zdarzeń:
Y=p$q..$n
opisuje zbiory/zdarzenia niepuste i rozłączne gdzie iloczyn logiczny dowolnego zbioru/zdarzenia z innym zbiorem/zdarzeniem jest zbiorem pustym [].

Wtedy na mocy teorii zbiorów zachodzi tożsamość logiczna:
Y = p+q…+n := p$q..$n
Gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy teorii zbiorów/zdarzeń

Oznacza to, że przy spełnionej definicji n-argumentowego spójnika „albo”(+) możemy stosować wymiennie spójnik „albo”($) albo spójnik „lub”(+). Obie formy zapisu są matematycznie poprawne, choć bezpieczniejszy jest spójnik „lub”(+), dlatego ten spójnik jest (podświadomie) zdecydowanie częściej używany przez człowieka.

Potoczna definicja spójnika „albo”($) dla dwóch argumentów:
Spójnik „albo”($) to wybór jednej z dwóch możliwości (trzeciej możliwości brak)

Przykłady dla n=2 mamy w punktach 9.7 i 9.8.

Przykład z punktu 9.7:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M<=>~K
Tu praktycznie każdy człowiek użyje spójnika „lub”(+) zamiast spójnika „albo”($) i to nie jest błąd matematyczny - wolno mu, co wyjaśnimy za chwilkę.

Na mocy teorii zbiorów zachodzi tożsamość zdań:
Dowolny człowiek jest mężczyzną „lub”(+) kobietą := Dowolny człowiek jest mężczyzną „albo”($) kobietą
M+K := M$K
Gdzie:
:= - tożsamość matematyczna na mocy teorii zbiorów.

Uwaga:
Nie zawsze w miejsce spójnika „lub”(+) możemy użyć spójnik „albo”(+) co pokażemy w punkcie 9.12, dlatego spójnik „lub”(+) jest bezpieczniejszy.

9.10 Implikacja prosta w zbiorach (P+K+S)=>4L gdzie zachodzi (P+K+S):=(P$K$S)

Przykładowa 3-argumentowa funkcja logiczna spełniająca definicję spójnika „albo”($) (n=3) jest następująca
A1+:
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) lub kotem (K) lub słoniem (S) to na 100% => ma cztery łapy (4L)
P+K+S => 4L=1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Bycie psem (P) lub kotem (K) lub słoniem (S) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby mieć cztery łapy (4L)
Przyjmujemy naturalną, wspólną dziedzinę dla p i q:
ZWZ – zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=[pies, kot, słoń, tygrys, wąż ..]
Stąd w poprzedniku zdania A1+ mamy zbiór 3-elementowy spełniający definicję n-argumentowego spójnika „albo”($).
Dowód:
p = ZWZ*(P+K+S) = [P+K+S] – bo zbiór 3-elementowy bo [P+K+S] jest podzbiorem => ZWZ
W następniku zdania A1 mamy zbiór wszystkich zwierząt z czterema łapami bo:
q = ZWZ*4L = 4L =[pies, kot, słoń, tygrys ..] – bo zbiór 4L jest podzbiorem => ZWZ

Stąd dla udowodnienia prawdziwości warunku wystarczającego => w zdaniu A1+ badamy czy spełniona jest relacja podzbioru =>:
p=[P+K+S] => q=[P+K+S+T..]
Po rozpisce mamy:
p=[pies+kot+słoń] => q=[pies, kot, słoń, tygrys..] =1
Jak widzimy relacja podzbioru p=>q jest tu spełniona
cnd

Zauważmy, że w zbiorze trzyelementowym p=[P+K+S] zbiory jednoelementowe P(pies), K(kot) i S(słoń) są niepuste i rozłączne, zaś dowolny iloczyn logiczny tych trzech argumentów {P,K,T} jest zbiorem pustym [], bo żadne zwierzę nie może być jednocześnie np. P(psem) i K(kotem)

Stąd na mocy definicji n-elementowego spójnika „albo”($) zdanie tożsame do A1+ brzmi:
A1$:
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) „albo”($) kotem (K) „albo”($) słoniem (S) to na 100% => ma cztery łapy (4L)
P$K$S => 4L=1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1

Jak udowodnić na gruncie teorii zbiorów tożsamość zdań:
A1+: Y=P+K+S := A1$: Y=P$K$S
Gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy teorii zbiorów/zdarzeń

Dowód:
Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+):

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.14 Geneza tabel zero-jedynkowych równoważności <=> i „albo”($)


Spis treści
9.14 Geneza tabel zero-jedynkowych równoważności „<=>” i „albo”($) 1
9.15 Równoważność p<=>q 1
9.15.1 Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) 2
9.15.2 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q 4
9.15.3 Co oznacza definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)? 7
9.15.4 Odtworzenie operatora równoważności p|<=>q 8
9.16 Spójnik „albo”($) p$q 9
9.16.1 Operator „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo q) 11
9.16.2 Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($) p$q 13
9.16.3 Co oznacza definicja „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)? 16
9.16.4 Odtworzenie operatora „albo”($) p|$q 17



9.14 Geneza tabel zero-jedynkowych równoważności „<=>” i „albo”($)

W niniejszym rozdziale udowodnimy, iż zero-jedynkowe definicje warunku równoważności p<=>q i spójnika „albo”($) generuje język potoczny człowieka.
Znając ten fakt łatwo udowodnić twierdzenie odwrotne iż fundamentem języka potocznego są tabele zero-jedynkowe spójników logicznych.
Wychodzi z tego odwieczne pytanie, co było pierwsze „jajko, czy kura”?
Poprawna odpowiedź to „kura”, gdyż jajko nie potrafi myśleć, natomiast „kura” potrafi udowodnić, iż tabele zero-jedynkowe spójników logicznych generuje język potoczny „kury”, znaczy język potoczny człowieka, co niniejszym wykażemy.

9.15 Równoważność p<=>q

Przypomnijmy sobie definicję podstawową równoważności.

A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q

Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000

Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q.

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.17 Równoważność p<=>q vs „albo”($) p$q

Spis treści
9.17 Równoważność p<=>q vs spójnik „albo”($) p$q 1
9.18 Związek definicji spójnika „albo”($) p$q z równoważnością p<=>~q 3
9.18.1 Związek spójnika „albo”($) z równoważnością p<=>~q w języku potocznym 8
9.19 Związek równoważności p<=>q z definicją spójnika „albo”($) p$~q 9
9.19.1 Związek równoważności p<=>q z „albo”($) p$~q w języku potocznym 16
9.20 Prawa Puchacza 19
9.20.1 I prawo Puchacza p<=>q ## p$q 20
9.20.1 II prawo Puchacza p$q ## p<=>q 21


9.17 Równoważność p<=>q vs spójnik „albo”($) p$q

Definicje podstawowych spójników logicznych obsługujących zdania warunkowe „Jeśli p to q”

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
10.0 Definicja chaosu p|~~>q=1 i śmierci p|~~>q=0


Spis treści
10.0 Definicja chaosu p|~~>q=1 i śmierci p|~~>q=0 1
10.1 Chaos p|~~>q 2
10.1.1 Operator chaosu p||~~>q 3
10.1.2 Zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 5
10.1.3 Diagram chaosu p|~~>q w zbiorach 6
10.1.4 Zaprzeczenie chaosu p|~~>q 8
10.2 Śmierć p|~~>q=0 9
10.2.1 Matematyczny związek śmierci p|~~>q=0 z chaosem p|~~>q=1 10


10.0 Definicja chaosu p|~~>q=1 i śmierci p|~~>q=0