ŚFiNiA

[rafal3006]

Algebra Kubusia
Matematyka języka potocznego

Matematyczna wojna wszech czasów:
Algebra Kubusia vs Klasyczny Rachunek Zdań

2024-05-30 Premiera wersji końcowej

Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu




Algebra Kubusia – miejsce, do którego Kubuś ze 100-milowego lasu prowadził ziemskich matematyków po wyprowadzeniu ich z Klasycznego Rachunku Zdań

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

I.
Pełna wersja "Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego" (Stron: 1453):
[link widoczny dla zalogowanych]

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
1.0 Nowa algebra Boole'a

Spis treści
1.0 Nowa algebra Boole’a 2
1.1 Definicje elementarne algebry Boole'a 3
1.1.1 Definicja negacji 3
1.1.2 Negator dwukierunkowy w bramkach logicznych 4
1.2 Fundamenty algebry Boole'a 5
1.2.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a 6
1.2.2 Prawo negacji funkcji logicznej Y 7
1.2.3 Ogólna definicja logiki matematycznej 7
1.3 Definicja funkcji logicznej jednoargumentowej Y=x 8
1.3.1 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=x 8
1.3.2 Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych 9
1.4 Prawa Prosiaczka 9
1.4.1 Wyprowadzenie I prawa Prosiaczka 10
1.4.2 Wyprowadzenie II prawa Prosiaczka 12
1.4.3 Prawa Prosiaczka w bramkach logicznych 13
1.4.4 Przykład działania praw Prosiaczka na gruncie fizyki 14
1.4.5 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka 14
1.5 logika matematyczna stałych binarnych 15
1.5.1 Stałe binarne w wieku niemowlęcym 16
1.5.2 Stałe binarne w wieku 9 miesięcy 16
1.5.3 Stałe binarne w pierwszej klasie LO na lekcji logiki matematycznej 17
1.5.4 Pułapki w operatorach jednoargumentowych 20
1.6 Zasady kodowania zdań w operatorach jednoargumentowych 20
1.6.1 Zasady kodowania zdań twierdzących w świecie żywym 21
1.6.2 Funkcja logiczna Y zmiennej binarnej p 22
1.6.3 Funkcja logiczna Y stałej binarnej p 23
1.7 Prawo Puchacza dla zdań twierdzących jednoargumentowych 23
1.7.1 Jak działa prawo Puchacza? 23
1.7.2 Miękkie jedynki i miękkie zera w logice matematycznej 24
1.8 Funkcje Y=x i operatory Y|=x jednoargumentowe 25
1.8.1 Definicja funkcji transmisji Y=p i operatora transmisji Y|=p 25
1.8.2 Definicja funkcji negacji Y=~p i operatora negacji Y|=~p 26
1.8.3 Relacja matematyczna między operatorami Y|=p a Y|=~p 27
1.8.4 Prawo Grzechotnika dla funkcji jednoargumentowych 28
1.8.5 Prawo Sokoła 29
1.8.6 Prawo Grzechotnika dla stałych binarnych 29
1.8.7 Prawo Sokoła dla stałych binarnych 30
1.9 Prawo Grzechotnika na przykładzie zrozumiałym dla 5-cio latka 31
1.9.1 Dowód prawa Grzechotnika na poziomie przedszkola 34



Wstęp.

Operatory jednoargumentowe to kwintesencja działania operatorów logicznych definiowanych spójnikami „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego 5-cio latka.
Zrozumienie istoty działania operatorów jednoargumentowych jest warunkiem koniecznym dla zrozumienia istoty działania operatorów logicznych n-argumentowych definiowanych spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Operatory jednoargumentowy to zaledwie cztery operatory różne na mocy definicji ## (pkt.1.3.2)
Przy dwóch argumentach mamy już 16 różnych na mocy definicji ## operatorów (pkt. 1.18)

1.0 Nowa algebra Boole’a

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego (w tym matematyki i fizyki).

Algebra Kubusia zawiera w sobie nową algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Aktualna algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.

Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
Dowód tego faktu na poziomie 5-cio latka znajdziemy w punkcie 1.11 (sterowanie windą).
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo p) i logika ujemna (bo ~p). Definicję znajdziemy w pkt. 1.1.1
3.
Stara algebra Boole'a jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y), co udowodnimy za chwilkę (pkt. 1.8.4, 1.8.6, 1.9.1)

1.1 Definicje elementarne algebry Boole'a

1 = prawda
0 = fałsz

Gdzie:
1##0
Prawda (1) jest różna na mocy definicji ## od fałszu (0)

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Innymi słowy:
Prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu (0)
Fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy (1)

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)

Pani w przedszkolu:
Pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 - zdanie zawsze prawdziwe
Pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 - zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y - stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa

1.1.1 Definicja negacji

Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.

W szczególnym przypadku symbol w nagłówku kolumny może być stałą binarną gdy w kolumnie są same jedynki albo same zera.

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
1.18 Funkcje logiczne dwuargumentowe

Spis treści
1.10 Aksjomatyka algebry Boole’a 2
1.10.1 Aksjomatyka minimalna algebry Boole'a 3
1.11 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków 6
1.12 Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej 8
1.12.1 Prawo Małpki 9
1.13 Równoważność K<=>T w świecie żywym 10
1.14 Definicja spójnika „lub”(+) 11
1.14.1 Definicja operatora „lub”(+) 12
1.14.2 Diagram operatora „lub"(|+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych 12
1.14.3 Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych 13
1.14.4 Przykład operatora „lub"(|+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych 14
1.15 Definicja spójnika „i”(*) 16
1.15.1 Definicja operatora „i”(|*) 16
1.15.2 Diagram operatora „i”(|*) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych 17
1.15.3 Przykład operatora „i”(|*) w zdarzeniach 18
1.16 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a 19
1.16.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 20
1.16.2 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer 22
1.17 Związek opisu tabel zero-jedynkowych w logice jedynek i w logice zer 23
1.17.1 Prawo Małpki 23
1.17.2 Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej 25
1.17.3 Tworzenie tabeli zero-jedynkowej dla funkcji logicznej Y 25
1.18 Funkcje logiczne dwuargumentowe 25
1.18.1 Tabela wszystkich możliwych funkcji dwuargumentowych 27
1.18.2 Tabela wszystkich możliwych operatorów dwuargumentowych 28
1.18.3 Prawo Grzechotnika 30
1.19 Definicja spójników zupełnych w języku potocznym 30
1.19.1 Prawo Puchacza dla spójników zupełnych w języku potocznym 30
1.19.2 Startowa funkcja logiczna 31




1.10 Aksjomatyka algebry Boole’a

Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.

Definicja znaczka w logice matematycznej:
Znaczek w logice matematycznej to symbol zdefiniowany odpowiednią tabelą zero-jedynkową

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
Dowód w pkt. 1.11

Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+):

I.
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka
Znaczek tożsamy w matematyce:
(*) - znaczek koniunkcji
Znaczek tożsamy w technice:
(*) - bramka logiczna AND

Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2.0 Kwintesencja algebry Kubusia

Spis treści
2.0 Kwintesencja algebry Kubusia 2
2.1 Skorowidz definicji implikacyjnych algebry Kubusia 2
2.2 Elementarne spójniki implikacyjne w zdarzeniach 2
2.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> 2
2.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach 3
2.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach 4
2.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 6
2.3 Elementarne spójniki implikacyjne w zbiorach 6
2.3.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 7
2.3.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 7
2.3.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 8
2.3.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 9
2.4 Rachunek zero-jedynkowy warunków wystarczających => i koniecznych ~> 10
2.5 Prawa algebry Kubusia wynikłe z rachunku zero-jedynkowego 13
2.5.1 Definicje znaczków # i ## 15
2.6 Fundamentalne definicje i prawa algebry Kubusia 16
2.6.1 Prawa Sowy 16
2.6.2 Definicja tożsamości logicznej 16
2.6.3 Definicja dowodu "nie wprost" w algebrze Kubusia 17
2.6.4 Prawa Prosiaczka 17
2.7 Prawo Kłapouchego - kluczowe prawo logiki matematycznej 17
2.7.1 Definicja podstawowego spójnika implikacyjnego 17
2.7.2 Prawo Kłapouchego i prawo Kameleona w implikacji prostej p|=>q 18
2.7.3 Prawo Kłapouchego w implikacji odwrotnej p|~>q 20
2.7.4 Nietrywialny błąd podstawienia ### 21
2.8 Prawa Słonia 22
2.8.1 Prawa Słonia dla zbiorów 23
2.8.2 Prawa Słonia dla zdarzeń 25
2.9 Prawo Irbisa 26
2.9.1 Prawo Irbisa dla zbiorów 26
2.9.2 Prawo Irbisa dla zdarzeń 28


2.0 Kwintesencja algebry Kubusia

Niniejszy punkt to kwintesencja algebry Kubusia zawierająca wszystkie potrzebne definicje i prawa algebry Kubusia konieczne i wystarczające do zrozumienia matematycznej obsługi zdań warunkowych "Jeśli p to q" zarówno na gruncie teorii zdarzeń, jak i na gruncie teorii zbiorów.

2.1 Skorowidz definicji implikacyjnych algebry Kubusia

Definicja spójnika implikacyjnego:
Spójnik implikacyjny to spójnik związany w obsługą zdań warunkowych "Jeśli p to q" definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

Definicje spójników implikacyjnych w algebrze Kubusia mają układ trzypoziomowy {1=>2=>3}:
1.
Elementarne spójniki logiczne w zdarzeniach:
~~> - spójnik zdarzenia możliwego (2.2.1)
=> - warunek wystarczający (2.2.2)
~> - warunek konieczny (2.2.3)
Elementarne spójniki logiczne w zbiorach:
~~> - element wspólny zbiorów (2.3.1)
=> - warunek wystarczający tożsamy z relacją podzbioru =>(2.3.2)
~> - warunek konieczny tożsamy z relacją nadzbioru ~>(2.3.3)
2.
Podstawowe spójniki implikacyjne definiowane spójnikami elementarnymi:
|=> - implikacja prosta (2.12)
|~> - implikacja odwrotna (2.13)
<=> - równoważność (2.14)
|~~> - chaos (2.15)
3.
Operatory implikacyjne definiowane podstawowymi spójnikami implikacyjnymi
||=> - operator implikacji prostej (2.12.1)
||~> - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
|<=> - operator równoważności (2.14.1)
||~~> - operator chaosu (2.15.1)

2.2 Elementarne spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech elementarnych znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń/zbiorów p i q

2.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~>

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2.10 Podstawowe spójniki implikacyjne

Spis treści
2.10 Podstawowe spójniki implikacyjne 1
2.10.1 Prawo Puchacza 4
2.11 Algorytm Puchacza 6
2.11.1 Przykłady zdań niespełniających algorytmu Puchacza 7
2.11.2 Zdanie warunkowe typu „Jeśli p to p” 8
2.11.3 Zdanie warunkowe typu „Jeśli [] to []” 9
2.12 Implikacja prosta p|=>q 10
2.12.1 Operator implikacji prostej p||=>q 11
2.13 Implikacja odwrotna p|~>q 13
2.13.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 14
2.14 Równoważność p<=>q 16
2.14.1 Operator równoważności p|<=>q 17
2.15 Chaos p|~~>q 19
2.15.1 Operator chaosu p||~~>q 20
2.16 Sztandarowy przykład implikacji prostej P|=>CH 22
2.16.1 Prawo Kameleona 23
2.16.2 Operator implikacji prostej P||=>CH 23
2.16.3 Twarde i miękkie zera i jedynki 26
2.17 Tabela prawdy operatora implikacji prostej p||=>q 27
2.17.1 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q 27


2.10 Podstawowe spójniki implikacyjne

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
3.0 Implikacja prosta p|=>q w zdarzeniach

Spis treści
3.0 Implikacja prosta p|=>q w zdarzeniach 1
3.1 Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q dla zbiorów/zdarzeń 3
3.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q 4
3.2 Diagram implikacji prostej p|=>q 6
3.2.1 Zdjęcie układu 8
3.2.2 Prawo Orła 9
3.2.3 Prawo Słonia dla zdarzeń i zbiorów z uwzględnieniem prawa Orła 10
3.2.4 Prawo Orła w zdarzeniach w praktyce 11
3.2.5 Prawo Orła w zbiorach w praktyce 13
3.3 Algorytm Puchacza 15
3.4 Sztandarowy przykład implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach 17
3.4.1 Operator implikacji prostej P||=>CH 21
3.5 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza 24
3.5.1 Zdanie W1: P~~>CH 24
3.5.2 Zdanie W2: P=>CH 25
3.5.3 Zdanie W3: P~~>~CH 25
3.5.4 Zdanie W4: ~P~~>~CH 26
3.5.5 Zdanie W5: ~P~>~CH 27
3.5.6 Zdanie W6: ~P~~>CH 27
3.5.7 Zdanie W7: ~P=>~CH 28


3.0 Implikacja prosta p|=>q w zdarzeniach

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
3.6 Definicja obietnicy

Spis treści
3.6 Definicja obietnicy E=>K 1
3.6.1 Operator implikacji prostej E||=>K 4
3.6.2 Prawo transformacji w obietnicy 7
3.6.3 Prawo Kłapouchego w obietnicy 12
3.7 Wyjaśnienie definicji "wolnej woli" istot żywych 13
3.8 Obietnica w równaniach logicznych 14
3.9 Rodzaje obietnic 16
3.10 Obietnica W=>Z 17
3.10.1 Operator implikacji prostej W||=>Z 19
3.10.2 Kluczowe dialogi Chrystusa z człowiekiem 22
3.10.3 Algebra Kubusia = Biblia 23
3.11 Interpretacja obietnicy wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 24


3.6 Definicja obietnicy E=>K

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
4.0 Implikacja odwrotna p|~>q

Spis treści
4.0 Implikacja odwrotna p|~>q 1
4.1 Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q dla zbiorów/zdarzeń 3
4.1.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 4
4.2 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q 6
4.2.1 Zdjęcie układu 8
4.2.2 Prawo Orła 9
4.2.3 Prawo Słonia dla zdarzeń i zbiorów z uwzględnieniem prawa Orła 10
4.2.4 Prawo Orła w zdarzeniach w praktyce 11
4.2.5 Prawo Orła w zbiorach w praktyce 13
4.3 Algorytm Puchacza 15
4.4 Sztandarowy przykład implikacji odwrotnej CH|~>P 17
4.4.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P 21
4.5 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza 24
4.5.1 Zdanie W1: CH~~>P 24
4.5.2 Zadanie W2: CH~>P 25
4.5.3 Zdanie W3: CH~~>~P 25
4.5.4 Zdanie W4: ~CH~~>~P 26
4.5.5 Zdanie W5: ~CH=>~P 27
4.5.6 Zdanie W6: ~CH~~>P 27
4.5.7 Zdanie W7: CH=>P 28


4.0 Implikacja odwrotna p|~>q

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
4.6 Definicja groźby B~>L

Spis treści
4.6 Definicja groźby B~>L 1
4.6.1 Operator implikacji odwrotnej B||~>L 4
4.6.2 Prawo transformacji w groźbie 8
4.7 Wyjaśnienie definicji "wolnej woli" istot żywych 12
4.8 Groźba w równaniach logicznych 13
4.9 Interpretacja groźby wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 15
4.10 Definicja świata martwego i żywego! 18
4.10.1 Fundamentalna różnica między kłamstwem a fałszem 19


4.6 Definicja groźby B~>L

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
5.0 Definicje znaczków ## i ###

Spis treści
5.0 Definicje znaczków ## i ### 1
5.1 Przykład implikacji prostej P|=>CH 2
5.2 Przykład implikacji odwrotnej CH|~>P 3
5.3 Nietrywialny błąd podstawienia ### 5
5.4 Matematyczny raj 5-cio latka 9
5.4.1 Istota pudełka z kotem Schrödingera 12
5.4.2 Kot Schrödingera w logice matematycznej 16
5.5 Implikacja prosta A|=>S na gruncie fizyki teoretycznej 16
5.5.1 Zmienne związane i zmienne wolne w implikacji prostej A|=>S 17
5.5.2 Wyprowadzenie definicji implikacji prostej A|=>S 18
5.5.3 Operator implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach 20
5.6 Implikacja odwrotna A|~>S na gruncie fizyki teoretycznej 22
5.6.1 Zmienne związane i zmienne wolne w implikacji odwrotnej A|~>S 22
5.6.2 Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej A|~>S 23
5.6.3 Operator implikacji odwrotnej A||~>S w zdarzeniach 24


5.0 Definicje znaczków ## i ###

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
6.0 Równoważność p<=>q

Spis treści
6.0 Równoważność p<=>q w zdarzeniach 1
6.1 Tabela prawdy równoważności p<=>q 4
6.1.1 Operator równoważności p|<=>q 5
6.2 Diagram równoważności p<=>q 7
6.2.1 Prawo Irbisa 9
6.2.2 Prawo Orła dla równoważności p<=>q 10
6.3 Analiza układu metodą zdjęciową 11
6.3.1 Zdjęcie układu 11
6.3.2 Prawo Orła 12
6.3.3 Prawo Słonia dla zbiorów/zdarzeń z uwzględnieniem prawa Orła 13
6.4 Definicja równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa 14
6.4.1 Operator równoważności p|<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa 16


6.0 Równoważność p<=>q w zdarzeniach

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
6.5 Algorytm Puchacza w rozwiązywaniu przykładów równoważności p<=>q

Spis treści
6.5 Rozwiązywanie równoważności p<=>q algorytmem Puchacza 1
6.5.1 Algorytm Puchacza 2
6.6 Sztandarowy przykład równoważności A<=>S 3
6.6.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach 9
6.6.2 Diagram równoważności A<=>S w zapisie formalnym i aktualnym 12
6.6.3 Równoważność jednokierunkowa A<=>S w zdarzeniach 13
6.7 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza 15
6.7.1 Zdanie W1: A~~>S 16
6.7.2 Zadania W2: A=>S 17
6.7.3 Zdanie W3: A~~>~S 17
6.7.4 Zdanie W4: ~A~~>~S 18
6.7.5 Zdanie W5: ~A=>~S 19
6.7.6 Zdanie W6: ~A~~>S 19
6.8 Rozwiązanie równoważności A<=>S metodą zdjęciową 20
6.9 Zadnie typu "zbuduj układ minimalny równoważności p<=>q" 22
6.10 Równoważność w języku potocznym 5-cio latka 24



6.5 Rozwiązywanie równoważności p<=>q algorytmem Puchacza

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"

Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
7.0 Spójnik "albo"($) w języku potocznym

Spis treści
7.0 Spójnik "albo"($) w języku potocznym 1
7.1 Diagram spójnika "albo"($) 4
7.1.1 Równanie spójnika "albo"($) 5
7.2 Definicja spójnika „albo”($) p$q zilustrowana przykładem S$Z 8
7.2.1 Operator "albo"($) p|$q w logice dodatniej (bo q) 11
7.2.2 Operator „albo”($) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) 15
7.3 Rozwiązywanie zadań dotyczących operatora "albo"(|$) 16
7.4 Spójnik "lub"(+) vs spójnik "albo"($) 16
7.4.1 Prawo Bobra w świecie martwym 17
7.4.2 Odwrotne prawo Bobra w świecie martwym 19
7.4.3 Dowód fałszywości prawa Bobra w świecie żywym 20
7.5 O wyższości spójnika "lub"(+) nad spójnikiem "albo"($) w świecie żywym 21
7.6 Analiza układu metodą zdjęciową 22
7.6.1 Zdjęcie układu 23
7.6.2 Prawo Orła 23
7.7 Zadanie S$Z 24
7.8 Wnioskowania w różnych punktach odniesienia 27


7.0 Spójnik "albo"($) w języku potocznym

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.0 Chaos p|~~>q

Spis treści
8.0 Chaos p|~~>q 1
8.1 Symboliczna definicja chaosu p|~~>q 3
8.1.1 Operator chaosu p||~~>q 5
8.2 Sztandarowy przykład chaosu A|~~>S w zdarzeniach 6
8.2.1 Operator chaosu A||~~>S w zdarzeniach 10
8.3 Algorytm Puchacza w rozwiązywaniu przykładów chaosu p|~~>q 12
8.4 Sztandarowy przykład chaosu A|~~>S 15
8.5 Rozszyfrowywanie algebry Kubusia - ostatni akord 19
8.5.1 Znaczenie operatora chaosu p||~~>q 19
8.5.2 Znaczenie operatora śmierci p||~~~>q 23


8.0 Chaos p|~~>q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"

Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.0 Alternatywne rozwiązywanie zadań prawem Orła

Spis treści
9.0 Alternatywne rozwiązywanie zadań prawem Orła 1
9.1 Kluczowe prawa Logiki matematycznej 2
9.1.1 Definicje podzbioru => i nadzbioru ~> 2
9.1.2 Prawo Słonia 3
9.2 Algorytm Puchacza 4
9.2.1 Definicja zdjęcia układu 5
9.2.2 Prawo Orła 6
9.3 Prawo Orła w Implikacji prostej P|=>CH 7
9.3.1 Operator implikacji prostej P||=>CH 13
9.4 Algorytm Orła w implikacji odwrotnej CH|~>P 13
9.4.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P 19
9.5 Nietrywialny błąd podstawienia ### między P|=>CH a CH|~>P 20
9.6 Prawo Orła w równoważności A<=>S 21
9.7 Prawo Orła w spójniku "albo"($) S$Z 25
9.8 Prawo Orła w chaosie P8|~~>P3 25


9.0 Alternatywne rozwiązywanie zadań prawem Orła

W niniejszym rozdziale udowodnimy, iż teorię zdarzeń w trywialny sposób można przekształcić do teorii zbiorów przy wykorzystaniu prawa Orła.

Klasyczny dowód prawdziwości warunku wystarczającego => w zdarzeniach jest następujący:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno, bo zawsze gdy pada, jest pochmurno ... o czym każdy 5-cio latek wie.

Zdanie A1 można w trywialny sposób przekształcić do teorii zbiorów.

Dowód:
Po stronie poprzednika w zdaniu A1 mamy jedno zdarzenie pada i są chmury (P*CH), bo zdarzenie pada i nie ma chmur (P*~CH) jest fałszem
Po stronie następnika w zdaniu A1 mamy dwa zdarzenia: są chmury i pada (CH*P) lub są chmury i nie pada (CH*~P)
Stąd mamy:
A1: P*CH=> CH*P + CH*~P
Korzystając z przemienności iloczynu logicznego (*) w następniku mamy:
A1: P*CH=> P*CH + ~P*CH
Doskonale widać, że zdarzenie (P*CH) jest podzbiorem => zdarzenia (P*CH+~P*CH)
cnd

9.1 Kluczowe prawa Logiki matematycznej

Kluczowe prawa logiki matematycznej to definicje podzbioru => i nadzbioru ~> oraz prawo Słonia

9.1.1 Definicje podzbioru => i nadzbioru ~>

Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

##

Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

W logice matematycznej rozstrzygamy o zachodzącej lub nie zachodzącej relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~> w zbiorach/zdarzeniach.

9.1.2 Prawo Słonia

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.9 Alternatywne rozwiązywanie zadań algorytmem zdjęciowym

Spis treści
9.9 Alternatywne rozwiązywanie zadań algorytmem zdjęciowym 1
9.9.1 Najważniejsze definicje i prawa algebry Kubusia 1
9.10 Zdjęcie układu 3
9.11 Algorytm zdjęciowy 3
9.11.1 Przykłady zdań niespełniających algorytmu zdjęciowego 5
9.12 Algorytm zdjęciowy w implikacji prostej P|=>CH 6
9.12.1 Rozwiązanie zadania W: P=>CH 10
9.13 Algorytm zdjęciowy w implikacji odwrotnej CH|~>P 11
9.13.1 Rozwiązanie zadania W: CH~>P 14
9.14 Algorytm zdjęciowy w równoważności A<=>S 15
9.14.1 Rozwiązanie zadania W: A=>S 19


9.9 Alternatywne rozwiązywanie zadań algorytmem zdjęciowym

Alternatywne oznacza tu inne niż przy pomocy prawa Orła, opisane wyżej

Typowe zadanie z logiki matematycznej w algebrze Kubusia brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego p|?q wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"

Zanim weźmiemy się za rozwiązywanie tego typu zadań algorytmem zdjęciowym przypomnijmy sobie kluczowe definicje i prawa algebry Kubusia

9.9.1 Najważniejsze definicje i prawa algebry Kubusia

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
10.0 Algebra Kubusia w tabelach zero-jedynkowych

Spis treści
10.0 Algebra Kubusia w tabelach zero-jedynkowych 1
10.1 Symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q 2
10.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q 4
10.1.2 Tabela prawdy operatora implikacji prostej p||=>q 6
10.1.3 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego => 7
10.1.4 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~p~>~q 8
10.1.5 Prawo porównywania w rachunku zero-jedynkowym 9
10.2 Odtworzenie p||=>q z tabeli zero-jedynkowej warunku wystarczającego => 9
10.2.1 Odtworzenia operatora implikacyjnego p|?q z funkcji logicznej Y=~p+q 13


10.0 Algebra Kubusia w tabelach zero-jedynkowych

Nie ma na świecie 5-cio latka, który nosi w kieszeniach tabele zero-jedynkowe spójników logicznych i wyciąga je, by cokolwiek powiedzieć w języku potocznym, którego jest naturalnym ekspertem.
W "Kompendium algebry Kubusia" planowałem nie pisać skąd biorą się tabele zero-jedynkowe spójników logicznych bo po co tym, czego w praktyce języka potocznego absolutnie nikt nie używa zawracać głowę uczniowi I klasy LO - to jemu dedykowane jest kompendium.

Zmieniłem zdanie po wpływem dyskusji z Irbisolem - to jest ważne dla matematyków którzy od zer i jedynek w tabelach zero-jedynkowych spójników logicznych nie są w stanie się uwolnić.
Dowód tego stanu rzeczy mamy choćby w tym wykładzie dla uczniów I klasy LO:
https://www.youtube.com/watch?v=69mxNcONL-4

Skąd biorą się tabele zero-jedynkowe dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego?

Pytanie analogiczne to:
Co było pierwsze, jajko czy kura?

Możliwe są tu dwie odpowiedzi:
1.
Tabele zero-jedynkowe dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego stworzył Kubuś, po czym na mocy praw logiki matematycznej wynikłych z tego rachunku stworzył nasz Wszechświat, podlegający pod wyprowadzone prawa logiki matematycznej.
2.
Tabele zero-jedynkowe dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego wynikają z matematycznego opisu otaczającego nas świata martwego (w tym matematyki i fizyki).
Świat żywy jest tu bezużyteczny ze względu na wolną wolę istot żywych.

Definicja "wolnej woli" istot żywych:
"Wolna wola" istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wynikłych z opisu świata martwego (w tym z matematyki i fizyki)
Szczegóły w tym zakresie poznaliśmy w punktach 3.6 i 4.6.

Zauważmy że:
Do rozumowania Kubusia na mocy punktu 1 z definicji nie mamy dostępu, zatem niemożliwe jest pełne rozszyfrowanie logiki matematycznej od tej strony co ludzkość próbuje robić od 2500 lat (od Sokratesa).
Algebra Kubusia rozszyfrowana została w 100% tylko i wyłącznie dlatego, że po pierwsze z wykształcenia jestem ekspertem bramek logicznych w teorii i praktyce, a po drugie i najważniejsze starałem się opisać logikę matematyczną którą posługują się 5-cio latki przy pomocy bramek logicznych, co mi się udało.
W pełnej algebrze Kubusia jest kluczowy rozdział "Algebra Kubusia w bramkach logicznych" i dokładnie ten rozdział jest twardym dowodem poprawności matematycznej algebry Kubusia.

Na szczęście w świecie martwym (w tym w matematyce i fizyce) mamy bezproblemowy dostęp do działania praw logiki matematycznej stworzonej przez Kubusia … i to na poziomie 5-cio taka, co pokazaliśmy w punktach 3.0 i 4.0 przy pomocy przykładów o chmurce i deszczu.

10.1 Symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
10.3 Symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q

Spis treści
10.3 Symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q 1
10.3.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 3
10.3.2 Tabela prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q 5
10.3.3 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> 6
10.3.4 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego ~p=>~q 7
10.3.5 Prawo porównywania w rachunku zero-jedynkowym 8
10.4 Odtworzenie p||~>q z tabeli zero-jedynkowej warunku koniecznego ~> 8
10.4.1 Otworzenie operatora implikacyjnego p|?q z funkcji logicznej Y=p+~q 12


10.3 Symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
10.5 Symboliczna definicja równoważności p<=>q

Spis treści
10.5 Symboliczna definicja równoważność p<=>q 1
10.5.1 Operator równoważności p|<=>q 3
10.5.2 Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q 5
10.5.3 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q 6
10.5.4 Zero-jedynkowa definicja równoważności ~p<=>~q 8
10.5.5 Prawo porównywania w rachunku zero-jedynkowym 9
10.6 Odtworzenie p|<=>q z tabeli zero-jedynkowej równoważności <=> 9
10.6.1 Odtworzenia operatora p|?q z funkcji logicznej Y=p*q+~p*~q 12


10.5 Symboliczna definicja równoważność p<=>q

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
10.7 Symboliczna definicja spójnika "albo"($)

Spis treści
10.7 Symboliczna definicja spójnia "albo"($) 1
10.7.1 Równanie spójnika "albo"($) 1
10.8 Definicja spójnika "albo"($) zilustrowana przykładem P$K 3
10.8.1 Operator "albo"($) p|$q w logice dodatniej (bo q) 6
10.8.2 Tabela prawdy operatora "albo" p|$q 10
10.8.3 Zero-jedynkowa definicja spójnika "albo"($) 11
10.8.4 Zero-jedynkowa definicja spójnika "albo" ~p$~q 12
10.8.5 Prawo porównywania w rachunku zero-jedynkowym 13
10.9 Odtworzenie p|$q z tabeli zero-jedynkowej "albo"($) 13
10.9.1 Odtworzenia operatora p|?q z funkcji logicznej Y=p*~q+~p*q 17


10.7 Symboliczna definicja spójnia "albo"($)

"$" - znaczek spójnika "albo" w algebrze Kubusia

Spójnik "albo"($) p$q to szczególny przypadek równoważności p<=>~q a nie szczególny przypadek spójnika "lub"(+) jak wielu, nawet matematyków uważa.
Dowód w niniejszym punkcie.

Spójnik "albo"($) to najtrudniejszy do zrozumienia spójnik implikacyjny, dlatego w niniejszym rozdziale prezentuję pełną jego definicję na przykładzie ze świata żywego.
Przykład ze świata martwego (fizyki) mam w punkcie 8.0

Brzytwa Ockhama - zasada, zgodnie z którą w wyjaśnianiu zjawisk należy dążyć do prostoty, wybierając takie wyjaśnienia, które opierają się na jak najmniejszej liczbie pojęć i założeń.

W języku potocznym czasami zdarza się (rzadko), że człowiek wbrew brzytwie Ockhama, nadaje zaprzeczonemu pojęciu nazwę specjalną bez przeczenia.

10.7.1 Równanie spójnika "albo"($)

Spójnik "albo"($) wielu ludziom sprawia kłopoty, wielu utożsamia go spójnikiem "lub"(+) co jest błędem czysto matematycznym.
Tymczasem spójnik "albo"($) to trywialny, szczególny przypadek równoważności <=> opisany poniższym równaniem.

Równanie spójnika "albo"($):

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
10.10 Symboliczna definicja chaosu p|~~>q

Spis treści
10.10 Symboliczna definicja chaosu p|~~>q 1
10.10.1 Operator chaosu p||~~>q 3
10.10.2 Tabela prawdy operatora chaosu p||~~>q 4
10.10.3 Zero-jedynkowa definicja zdarzenia możliwego ~~> 4
10.10.4 Odtworzenie operatora chaosu p||~~>q ze zdarzenia możliwego p~~>q 6


10.10 Symboliczna definicja chaosu p|~~>q

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
10.11 Geneza tabel zero-jedynkowych spójników "lub"(+) i "i"(*)

Spis treści
10.11 Geneza tabeli zero-jedynkowej spójnika "lub"(+) 1
10.11.1 Tabela zero-jedynkowa spójnika "lub"(+) w logice dodanej (bo Y) 5
10.11.2 Tabela zero-jedynkowa spójnika "i"(*) w logice ujemnej (bo ~Y) 7
10.11.3 Relacje między logiką dodatnią (bo Y) i ujemną (bo ~Y) 9
10.12 Geneza tabeli zero-jedynkowej spójnika "i"(*) 9
10.12.1 Tabela zero-jedynkowa spójnika "i"(*) w logice dodanej (bo Y) 12
10.12.2 Tabela zero-jedynkowa spójnika "i"(*) w logice ujemnej (bo ~Y) 14
10.12.3 Relacje między logiką dodatnią (bo Y) i ujemną (bo ~Y) 16
10.13 Prawo Puchacza 16
10.14 Zabawa rachunkiem zero-jedynkowym 18
10.14.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q 21



10.11 Geneza tabeli zero-jedynkowej spójnika "lub"(+)

W niniejszym rozdziale na przykładzie żarówki Y sterowanej przyciskami p i q połączonymi równolegle omówimy teorię spójnika "lub"(+)

Rozważmy sterowanie żarówką Y przy pomocy dwóch przycisków p i q

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
11.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych

Spis treści
11.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych 1
11.1 Definicja negacji 2
11.1.1 Negator dwukierunkowy w bramkach logicznych 2
11.2 Operatory logiczne jednoargumentowe w bramkach logicznych 4
11.2.1 Realizacja zdania zawsze prawdziwego ZP w bramkach logicznych 5
11.2.2 Realizacja zdania zawsze fałszywego ZF w bramkach logicznych 5
11.3 Definicja funkcji transmisji Y=p i operatora transmisji Y|=p 5
11.3.1 Realizacja operatora transmisji Y|=p w bramkach logicznych 6
11.4 Definicja funkcji negacji Y=~p i operatora negacji Y|=~p 7
11.4.1 Realizacja operatora negacji Y|=~p w bramkach logicznych 8
11.5 Fizyczne realizacje spójników „i”(*) i „lub”(+) 9
11.5.1 Definicja operatora „i”(|*) w bramkach logicznych 10
11.5.2 Definicja operatora „lub”(|+) w bramkach logicznych 11
11.6 Spójniki związane z obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” 13
11.6.1 Definicja warunku wystarczającego => w bramkach logicznych 13
11.6.2 Definicja warunku koniecznego ~> w bramkach logicznych 14
11.7 Definicje spójników implikacyjnych p|?q w logice dodatniej (bo q) 14
11.7.1 Implikacja prosta p|=>q w bramkach logicznych 17
11.7.2 Implikacja odwrotna p|~>q w bramkach logicznych 18
11.7.3 Równoważność p<=>q w bramkach logicznych 19
11.7.4 Spójnik „albo”($) w bramkach logicznych 20
11.7.5 Definicja „chaosu” (|~~>) w bramkach logicznych 23
11.7.6 Zero-jedynkowa interpretacja znaczka różne na mocy definicji ## 25
11.8 Dowód poprawności algebry Kubusia w funkcjach logicznych 25
11.8.1 Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego 27


11.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych

W niniejszym rozdziale udowodnimy że 100% algebry Kubusia ma przełożenie na teorię bramek logicznych w przełożeniu 1:1 co oznacza, że algebra Kubusia jest weryfikowalna w laboratorium bramek logicznych.
Potrzebne w laboratorium układy scalone TTL to:
SN7406, SN74LS04, SN74LS08, SN74LS32

11.1 Definicja negacji

Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.

W szczególnym przypadku symbol w nagłówku kolumny może być stałą binarną gdy w kolumnie są same jedynki albo same zera.

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
12.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Spis treści
12.0 Kubusiowa teoria zbiorów 2
12.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach 3
12.1.1 Suma logiczna zbiorów 3
12.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów 4
12.1.3 Różnica (-) zbiorów 4
12.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów 5
12.2.1 Definicja pojęcia 5
12.2.2 Definicja elementu zbioru 5
12.2.3 Definicja zbioru 5
12.2.4 Definicja Uniwersum U 5
12.2.5 Definicja zbioru pustego [] w sensie absolutnym 6
12.3 Dziedzina 6
12.3.1 Zaprzeczenie zbioru 6
12.3.2 Nazwa własna zbioru 7
12.3.3 Dziedzina użyteczna w języku potocznym 7
12.4 Definicja definicji 9
12.4.1 Dowód iż każdy 5-cio latek zna definicję Uniwersum 10
12.5 Warunek konieczny prawdziwości zdania warunkowego "Jeśli p to q" 11
12.5.1 Zdanie "Jeśli p to q" ze spełnioną definicją wspólnej dziedziny 11
12.6 Zdania "Jeśli p to q" z niespełnioną definicją wspólnej dziedziny dla p i q 12
12.6.1 Zdanie "Jeśli p to q" z niespełnioną definicją wspólnej dziedziny dla p i q 12
12.6.2 Zdania "Jeśli p to q" gdzie p lub q jest zbiorem/zdarzeniem pustym 13
12.7 Zaprzeczenie zdania w algebrze Kubusia 14
12.7.1 Definicje kontrprzykładu w zdarzeniach i zbiorach 14
12.7.2 Przykłady zaprzeczeń zdań w algebrze Kubusia 16
12.8 Definicje zbioru pustego 18
12.8.1 Definicja zbioru pustego [] w sensie absolutnym 19
12.8.2 Definicja zbioru pustego [] względem wybranej dziedziny 19
12.8.3 Definicja zbioru pustego [] będącego twardym fałszem 19
12.9 Uniwersum vs zbiór pusty [] w sensie absolutnym 21
12.9.1 Definicja dziedziny absolutnej DA 21
12.9.2 Definicja zbioru wszystkich zbiorów 22
12.9.3 Prawo Owieczki 22
12.10 Jak wynalazłem niebieską diodę i zmieniłem świat 23
12.10.1 Geneza wszelkich okryć w naszym Wszechświecie 26



12.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Punkty 1.0 do 11.0 dotyczą teorii zdarzeń, czyli logiki matematycznej którą w praktyce rozumie każdy 5-cio latek na przykładach stosownych do jego wieku np. o chmurce i deszczu.
Teoria zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej opisana w punktach 12.0 do 18.0 jest analogiczna do teorii zdarzeń.

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, koło, miłość, krasnoludek, zbór wszystkich zwierząt ...]

Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies)
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)

Prawa Prosiaczka
Prawa Prosiaczka omówiono szczegółowo w punkcie 1.4

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Przykład 1.
(p=1) = (~p=0)
1.
[pies]=1 - prawdą jest (=1) iż wiem co znaczy pojęcie pies
Prawo Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
Nasz przykład:
(pies=1) = (~pies=0) - na mocy prawa Prosiaczka
stąd zdanie tożsame do 1:
~pies=0 - fałszem jest (=0), że nie wiem (~) co znaczy pojęcie [pies]

Przykład 2.
(~p=1) = (p=0)
2.
agstd=0 - fałszem jest (=0) iż wiem co znaczy pojęcie „agstd”
Prawo Prosiaczka:
(agstd=0) = (~agstd=1)
stąd zdanie tożsame do 2:
~agstd=1 - prawdą jest (=1), że nie wiem (~) co znaczy pojęcie agstd

Prawo Rekina:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.

Zbiory, podobnie jak pojęcia, mają wartości logiczne:
[x]=1 - zbiór niepusty, zawierający pojęcia zrozumiałe dla człowieka
[] =0 - zbiór pusty, zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka

12.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach

Elementarne działania na zbiorach to:
(+) - suma logiczna zbiorów
(*) - iloczyn logiczny zbiorów
(-) - różnica logiczna zbiorów

12.1.1 Suma logiczna zbiorów

Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
Zdefiniujmy dwa zbiory p i q:
p=[K, T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T, P] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[K,T]+[T,P]=[K,T,T,P] = [K+T+T+P] = [K+T+P] = [K,T,P] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Bo prawo Algebry Boole’a:
p+p =p
Uwaga:
Przecinek przy wyliczaniu elementów zbioru jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) z algebry Boole’a co pokazano i udowodniono wyżej.

12.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów

Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny (zbiór wynikowy jest niepusty)
Y = p*q =0 - gdy zbiory p i q nie mają (=0) elementu wspólnego (są rozłączne)

Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
S - Słoń
Zdefiniujmy zbiory p, q, r:
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T,P] =1 - bo zbiór niepusty
r=[P,S] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[K,T]*[T,P]=[T] =1 - zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny
Y=p*r=[K,T]*[P,S] =[] =0 - zbiory p i r nie mają (=0) elementu wspólnego

Identyczne wyniki można uzyskać poprzez wymnażanie logiczne zbiorów.
Przykład:
p*q = [K+T]*[T+P] = K*T + K*P + T*T + T*P =[] + [] + T + [] = T
bo:
K*T+ K*P + T*P =[]+[]+[] =0+0+0 =0 - iloczyn logiczny „*” zbiorów (pojęć) rozłącznych jest zbiorem pustym []
T*T =T
bo prawo algebry Boole’a:
p*p =p
Jak widzimy, przy wyliczaniu elementów zbioru przecinek jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) rodem z algebry Boole’a.

12.1.3 Różnica (-) zbiorów

Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q

Oznaczmy:
K - Kubuś
T - Tygrysek
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T] =1 - bo zbiór niepusty
Stąd:
Y=p-q = [K,T]-[T] =[K+T-T] =[K] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=q-p =[K]-[K,T]=[K-(K+T)]=[K-K-T]= [] + [-T] =[-T] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty

Prawo odejmowania zbiorów:
Jeśli w operacji odejmowania zbiorów wynikowy zbiór jest z minusem {-} to taki zbiór zamieniamy na zbiór pusty [].

12.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów

Przypomnijmy znane już definicje podstawowe.

12.2.1 Definicja pojęcia

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, miłość, krasnoludek, ZWZ, LN ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies)
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)

Prawo Rekina:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie

12.2.2 Definicja elementu zbioru

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

12.2.3 Definicja zbioru

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.

Zbiory, podobnie jak pojęcia, mają wartości logiczne:
[x]=1 - zbiór niepusty, zawierający pojęcia zrozumiałe dla człowieka
[] =0 - zbiór pusty, zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka

12.2.4 Definicja Uniwersum U

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)

Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum.
Zauważmy, że zaledwie 40 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na Ziemi.

Uniwersum lokalne:
Uniwersum lokalne to zbiór pojęć związanych z konkretną gałęzią wiedzy np. medycznej, elektronicznej etc. gdzie znane każdemu człowiekowi niektóre słówka znaczą co innego.

Przykład:
Bramka w teorii bramek logicznych to co innego niż bramka na boisku piłkarskim
W rzadkich przypadkach w dowolnym języku mogą występować dwa słowa identyczne, ale znaczące co innego.
Przykład:
W języku polskim morze i może
Tu różnice są rozpoznawalne albo w pisowni (jak wyżej) albo w kontekście użycia tego słówka:
Może pojedziemy nad morze?
Z reguły dla najpopularniejszych słówek mamy sporo synonimów, co w logice jest bez znaczenia.

Podsumowując:
Przedstawiona wyżej definicja Uniwersum jest pojęciem rzeczywistym łatwym do zrozumienia przez każdego ucznia I klasy LO.

12.2.5 Definicja zbioru pustego [] w sensie absolutnym

Definicja zbioru pustego [] w sensie absolutnym:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)

Zauważmy, że zbiór pusty [] będzie tu podzbiorem => siebie samego (wyjaśnienie w pkt. 12.9):
[]=>[] =1
0=>0 =1

12.3 Dziedzina

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy

Ograniczeniem górnym w definiowaniu dziedziny jest Uniwersum (zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka)
Zbiór pusty [] to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka, zatem na tym zbiorze nie możemy operować.
Wniosek:
Z definicji nie możemy przyjąć zbioru pustego za dziedzinę.

12.3.1 Zaprzeczenie zbioru

Definicja zaprzeczenia (~) zbioru:
Zaprzeczeniem (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D
~p=[D-p]

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Zaprzeczenie zbioru (~) = Negacja zbioru (~)

Uwaga:
Aby zapisać zbiór ~p będący negacją zbioru p musimy określić wspólną dziedzinę dla zbiorów p i ~p
Definicja dziedziny:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, iloczyn logiczny zbiorów jest zbiorem pustym []

Przykłady:
1.
Przykład na poziomie 5-cio latka:
K = Kubuś
T = Tygrysek
p=[K] - definiujemy zbiór p
D=[K,T] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] = [(K+T)-K]=[T]
2.
Przykład na poziomie ucznia I klasy LO:
K - zbiór wszystkich kobiet
M - zbiór wszystkich mężczyzn
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi (wspólna dziedzina dla M i K)
C=M+K - zbiór człowiek to suma logiczna zbiorów M i K
Stąd:
~M=[C-M]=[M+K-M]=K
~K=[C-K]=[M+K-K]=M
Stąd:
K=~M - zbiór kobiet (K) to zanegowany zbiór mężczyzn (~M) w dziedzinie C (człowiek)
M=~K - zbiór mężczyzn (M) to zanegowany zbiór kobiet (~K) w dziedzinie C (człowiek)

12.3.2 Nazwa własna zbioru

Rozróżniamy dwa rodzaje zbiorów ze względu na nazwę:
- zbiory mające nazwę własną
- zbiory nie mające nazwy własnej

Definicja nazwy własnej zbioru:
Nazwa własna zbioru to nazwa jednoznacznie opisująca dany zbiór w sposób zrozumiały dla wszystkich ludzi

Przykład zbioru mającego nazwę własną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt

Przykład zbioru nie mającego nazwy własnej:
p = [ZWZ, miłość, samolot]

W języku potocznym z oczywistych względów użyteczne są wyłącznie dziedziny mające nazwy własne, zrozumiałe dla wszystkich, gdzie nie trzeba wypisywać wszystkich pojęć zawartych w dziedzinie.

12.3.3 Dziedzina użyteczna w języku potocznym

Definicja dziedziny użytecznej w języku potocznym:
Dziedzina użyteczna w języku potocznym do dowolny zbiór na którym operujemy mający nazwę własną nie będący Uniwersum.

Uniwersum - zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
W języku potocznym nikt nie używa pojęcia Uniwersum w przeciwieństwie do np. zbioru wszystkich zwierząt.

Rozważmy poniższe dziedziny [ZWZ, ZWS] mające nazwy własne:

Weźmy zbiór jednoelementowy:
P=[pies] - zbiór P zawiera tylko jeden element [pies].
Uwaga:
Nie jest tu istotne że różnych psów jest bardzo dużo bo:
pies Jasia = pies Zuzi = po prostu [pies]
[pies]+[pies] = [pies] - prawo algebry Boole’a (p+p=p)
Pojęcia [pies] są tożsame, nieistotne jest, że jeden pies jest kundelkiem a drugi jamnikiem, że jeden należy do Jasia a drugi do Zuzi.
[pies]*[pies] = [pies] - prawo algebry Boole’a (p*p=p)

ZWZ.
Dla zbioru P=[pies] przyjmijmy dziedzinę:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy zbiór ~P:
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt minus jeden element P=[pies]

ZWS.
Dla zbioru P=[pies] przyjmijmy dziedzinę:
ZWS - zbiór wszystkich ssaków
Stąd mamy zbiór ~P:
~P=[ZWS-P] - zbiór wszystkich ssaków minus jeden element P=[pies]

Wnioski:
Przyjęte dziedziny ZWZ i ZWS mają poprawne nazwy własne należące do Uniwersum, które nie są tożsame z Uniwersum, zatem te dziedziny są poprawne matematycznie i są to dziedziny użyteczne.
a)
Dziedzina ZWZ wskazuje nam, że interesuje nas wyłącznie zbiór wszystkich zwierząt, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWZ są dla nas puste z definicji.
b)
Dziedzina ZWS mówi nam że operujemy na zbiorze wszystkich ssaków, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWS są dla nas puste z definicji.

Przykład:
Twierdzenie proste Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK =1
W twierdzeniu Pitagorasa dziedziną użyteczną i minimalną jest:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Dziedzina ZWT wskazuje nam, że interesują nas wyłącznie trójkąty, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWT są dla nas puste z definicji
Nikt nie będzie brał do ręki koła i sprawdzał czy zachodzi w nim suma kwadratów.

12.4 Definicja definicji

Definicja definicji:
W świecie człowieka (bo tylko on świadomie definiuje) definicja dowolnego pojęcia jest matematycznie poprawna wtedy i tylko wtedy jest jednoznaczna w Uniwersum człowieka.

Innymi słowy:
Definicja dowolnego pojęcia jest matematycznie poprawna wtedy i tylko wtedy gdy jest jedyna w całym obszarze Uniwersum.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)

Przykład poprawnej definicji:
Pies to zwierzę domowe, szczekające.
P = ZD*S=1*1=1
To jest minimalna, jednoznaczna definicja psa rozumiana przez każdego 5-cio latka.
Oznacza to że pojęcia P oraz ZD*S są matematycznie tożsame P=ZD*S, czyli są w relacji równoważności P<=>ZD*S w całym obszarze Uniwersum

Przykład błędnej definicji z filmu „Rejs”:
[link widoczny dla zalogowanych]
Zwierzę domowe, hodowlane, występujące nad Wisłą - podać jego odgłos

Inny przykład:

Prawo Irbisa:
Dwa pojęcia/zbiory/zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q (i odwrotnie)
p=q <=> A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1

Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q

Stąd mamy:
Tożsame prawo Irbisa:
Dwa pojęcia/zbiory/zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q (i odwrotnie)
p=q <=> A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1

Podstawmy:
p=K (krasnoludek)
q=K (krasnoludek)
Przyjmijmy dziedzinę:
D=U (Uniwersum)
Obliczmy przeczenia p i q rozumiane jako uzupełnienia p i q do wspólnej dziedziny (u nas Uniwersum).
~p = ~K = [U-K] -zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka minus jedno pojęcie "krasnoludek"
~q = ~K = [U-K] -zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka minus jedno pojęcie "krasnoludek"

Definicja równoważności A1B2 generująca tabelę zero-jedynkową równoważności:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B2: ~p=>~q=1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd;
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1

Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Podstawmy nasz przykład:
A1B2: K<=>K = (A1: K=>K)*(B2: [U-K]=>[U-K]) =?
A1: K=>K =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B2: [U-K]=>[U-K] =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
stąd mamy:
A1B2: K<=>K = (A1: K=>K)*(B2: [U-K]=>[U-K]) =1*1=1
cnd

12.4.1 Dowód iż każdy 5-cio latek zna definicję Uniwersum

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Dowód iż każdy 5-cio latek zna w praktyce definicję Uniwersum, niezależnie od swego języka ojczystego jest banalny.
Udajmy się do przedszkola.

Scenka 1.
Pani przedszkolanka wydaje polecenie:
Drogie dzieci narysujcie człowieka.
Pamięć człowieka (w tym pamięć 5-cio latków) jest pamięcią fotograficzną, czyli nasz mózg przywołuje w tym przypadku jakąś panią albo jakiegoś pana i na tej podstawie dzieci wykonują rysunek.
Tu każdy 5-co latek podświadomie rozstrzyga, że człowiekiem nie może być cokolwiek innego w całym obszarze Uniwersum, bo inaczej nie mógłby jednoznacznie rozstrzygnąć co ma narysować.
C =[C] (człowiek) - ten obiekt 5-cio latek rysuje
Zaprzeczenie pojęcia człowiek w obszarze U Uniwersum to:
~C = [U-C]=[zwierzę, krasnoludek, koło ..] - Uniwersum U z wykluczeniem pojęcia C (człowiek)
Matematycznie musi zachodzić:
C+~C =U
C*~C =[]
Inaczej 5-cio latek nie będzie wiedział co ma narysować
cnd

Scenka 2.
Pani przedszkolanka wydaje kolejne polecenie:
Drogie dzieci narysujcie swoją mamę
Pamięć człowieka (w tym pamięć 5-cio latków) jest pamięcią fotograficzną, czyli mózg 5-cio latka przywołuje w tym przypadku swoją mamę i na tej podstawie wykonuje rysunek.
Tu przykładowy Jaś (lat 5) podświadomie rozstrzyga, że mamę ma tylko i wyłącznie jedną i ją rysuje.
Zauważmy, że mama Jasia jest jedyną w całym obszarze Uniwersum, bo inaczej Jaś nie mógłby jednoznacznie narysować swojej mamy.
MJ =[MJ] - mama Jasia, tą mamę Jaś rysuje
Zaprzeczenie pojęcia mama Jasia w obszarze U Uniwersum to:
~MJ = [U-MJ] =[mama Zuzi, tata Jasia, zwierzę, krasnoludek, koło …] - Uniwersum U z wykluczeniem pojęcia mama Jasia MJ.
Matematycznie musi zachodzić:
MJ+~MJ =U
MJ*~MJ =[]
Inaczej 5-cio latek nie będzie wiedział co ma narysować
cnd

12.5 Warunek konieczny prawdziwości zdania warunkowego "Jeśli p to q"

Definicja wspólnej dziedziny w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q":
Wspólna dziedzina D w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" musi zawierać wszystkie elementy zbioru p i wszystkie elementy zbioru q.
Inaczej zdanie "Jeśli p to q" jest fałszywe.

Stąd mamy:
1.
Definicja dziedziny D po stronie p:
p+~p = D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla zbioru p
p*~p=[]=0 - zbiory p i ~p są rozłączne
Stąd mamy:
~p=[D-p] - zbiór ~p jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla zbioru p
2.
Definicja dokładnie tej samej dziedziny D po stronie q:
q+~q = D =1 - zbiór ~q jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla zbioru q
q*~q=[]=0 - zbiory q i ~q są rozłączne
Stąd mamy:
~q=[D-q] - zbiór ~q jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla zbioru q

Warunek konieczny prawdziwości zdania warunkowego "Jeśli p to q"
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" jest wspólna dziedzina D dla p i q

Nie jest to warunek konieczny i wystarczający bo kontrprzykład:
A1'.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Wspólna dziedzina dla p i q to:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
Po stronie poprzednika p mamy tu:
p=LN=P8+~P8 =1 - LN to suma logiczna zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Po stronie następnika q mamy tu identyczną dziedzinę:
q=LN=P2+~P2 =1 - LN to suma logiczna zbiorów P2=[2,4,6,8..] i ~P2=[1,3,5,7,9..]
Wniosek:
Definicja wspólnej dziedziny dla p i q jest spełniona, ale zdanie A1’ jest fałszem, bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7..] są rozłączne.

12.5.1 Zdanie "Jeśli p to q" ze spełnioną definicją wspólnej dziedziny

Definicja wspólnej dziedziny w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q":
Wspólna dziedzina D w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" musi zawierać wszystkie elementy zbioru p i wszystkie elementy zbioru q.
Inaczej zdanie "Jeśli p to q" jest fałszywe.

Przykład zdania warunkowego "Jeśli p to q" mającego wspólną dziedzinę dla p i q:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => ta sama liczba jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 (P8) jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 (P2) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8 jest podzbiorem => P2 potrafi każdy matematyk
cnd

Po stronie poprzednika p mamy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] – zbiór liczb naturalnych
LN=P8+~P8 =1 – zbiór ~P8 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P8
P8*~P8=[]=0 – zbiory P8 i ~P8 są rozłączne
Po stronie następnika q mamy dokładnie ta samą dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] – zbiór liczb naturalnych
LN=P2+~P2 =1 – zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P2
P2*~P2=[]=0 - zbiory P2 i ~P2 są rozłączne
Wniosek:
Wspólna dziedzina minimalna LN dla p i q w zdaniu A1 jest spełniona.

12.6 Zdania "Jeśli p to q" z niespełnioną definicją wspólnej dziedziny dla p i q

Warunek konieczny prawdziwości zdania warunkowego "Jeśli p to q"
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" jest wspólna dziedzina D dla p i q

Wniosek:
Zdania warunkowe Jeśli p to q” które nie spełniają warunku koniecznego prawdziwości zdania warunkowego „Jeśli p to q” są fałszywe
W dalszej części podamy przykłady takich zdań.

12.6.1 Zdanie "Jeśli p to q" z niespełnioną definicją wspólnej dziedziny dla p i q

Definicja wspólnej dziedziny w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q":
Wspólna dziedzina D w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" musi zawierać wszystkie elementy zbioru p i wszystkie elementy zbioru q.
Inaczej zdanie "Jeśli p to q" jest fałszywe.

Przykład zdania warunkowego "Jeśli p to q" z niespełnioną definicją wspólnej dziedziny dla p i q:
A1.
Jeśli dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 8 (P8) to zachodzi twierdzenie Pitagorasa (TP)
P8=>TP =0
Powyższe zdanie warunkowe jest fałszywe bo nie jest tu spełniona definicja wspólnej dziedziny dla p i q w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q”.

Dowód:
1.
W obrębie poprzednika p mamy dziedzinę LN:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] – zbiór liczb naturalnych
LN=P8+~P8 =1
Zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest (=1) uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru P8=[8,16,24..]
stąd mamy:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
Matematycznie zachodzi:
P8*~P8=[]=0 – zbiory P8 i ~P8 są rozłączne

2.
W obrębie następnika q mamy dziedzinę:
ZWT – zbiór wszystkich trójkątów
ZWT=TP+~TP =1
Zbiór trójkątów nieprostokątnych ~TP jest uzupełnieniem do dziedziny ZWT dla zbioru trójkątów prostokątnych TP
Stąd mamy:
~TP=[ZWT-TP]
Matematycznie zachodzi:
TP*~TP=[] =0 – zbiory TP i ~TP są rozłączne

Wnioski:
1.
Dziedziny LN i ZWT są rozłączne:
LN~~>ZWT = LN*ZWT =[] =0
Oznacza to, że nie istnieje choćby jeden element zbioru LN który by należał do zbioru ZWT (i odwrotnie)
2.
Zdanie A1 jest fałszywe, bo nie jest spełniona definicja wspólnej dziedziny dla p i q.
cnd

12.6.2 Zdania "Jeśli p to q" gdzie p lub q jest zbiorem/zdarzeniem pustym

Zdania "Jeśli p to q" gdzie p lub q jest zbiorem/zdarzeniem pustym w języku potocznym nie są używane, bowiem nie możemy operować na zbiorze pustym [], z definicji zawierającym pojęcia niezrozumiałe dla człowieka.

Przykład 1
A1
Jeśli 2+2=5 to 2+2=4

Uwagi:
Logika matematyczna nie zajmuje się działaniami arytmetycznymi bo nie są to zdarzenia zero-jedynkowe, podlegające pod logikę matematyczną.
Logika matematyczna zajmuje się tylko i wyłącznie:
- rozpoznawalnością pojęć
- relacjami zero-jedynkowymi między pojęciami

Stąd zdanie A1 zapisujemy:
A1
Jeśli zbiór pusty [] to liczba 4
Gdzie:
[] - zbiór pusty lub zdarzenie niemożliwe

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.

W poprzedniku p zdania A1 mamy tu zbiór pusty [] zawierający wszelkie pojęcia możliwe do zdefiniowania w naszym Wszechświecie, ale jeszcze niezdefiniowane, natomiast w następniku mamy liczbę 4, pojęcie już zdefiniowane w naszym Wszechświecie.
Oczywistym jest, że iloczyn logiczny poprzednika p=[] z następnikiem q=[4] będzie tu zbiorem pustym [], bo zbiory p=[] i q=[4] są zbiorami rozłącznymi.
Stąd nasze zdanie A1 jest twardym fałszem:
A1
Jeśli zbiór pusty [] to liczba 4
[]~~>[4] = []*[4] =[] =0 - twardy fałsz, bo zbiór pusty [] i jednoelementowy zbiór [4] są rozłączne

Przykład 2
B1.
Jeśli 2+2=4 to 2+2=5

Mamy tu sytuację identyczną jak w przykładzie 1, zatem wnioskowanie będzie tu identyczne
Innymi słowy:
Zdanie B1 możemy zapisać w postaci:
B1.
Jeśli liczba 4 to zbiór pusty []
[4]~~>[] = [4]*[] = [] =0 - twardy fałsz, bo jednoelementowy zbiór [4] i zbiór pusty [] są rozłączne

Wyjątkową sytuacją jest przypadek gdy w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" mamy zbiory puste (zdarzenia niemożliwe), zarówno w poprzedniku p jak i w następniku q

Przykład 3
C1.
Jeśli 2+2=5 to pójdę piechotą na Księżyc

W tym przypadku w poprzedniku p mamy zbiór pusty [], zaś w następniku q zdarzenie niemożliwe [].
Stąd zdanie tożsame do C1 możemy zapisać jako.
C1.
Jeśli zbiór pusty [] to zdarzenie niemożliwe []
[]=>[] =1
Przynależność dowolnego pojęcia do zbioru pustego [] jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby to pojęcie należało do zbioru pustego []
Innymi słowy:
Każdy zbiór jest (=1) podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty []
Szczegółowy dowód tego faktu wraz ze szczegółowym wyjaśnieniem o co tu chodzi mamy w punkcie 12.9.3 (prawo Owieczki)

12.7 Zaprzeczenie zdania w algebrze Kubusia

Zaprzeczenie zdanie w algebrze Kubusia wynika z definicji kontrprzykładu

12.7.1 Definicje kontrprzykładu w zdarzeniach i zbiorach

1.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury

Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy warunek wystarczający A1: P=>CH=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1' (i odwrotnie)
A1'
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH=0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu tego faktu nie musimy udowadniać, ale możemy, co wyżej uczyniliśmy.

Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’

2.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2=1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2, bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8…], co każdy matematyk udowodni.

Na mocy definicji kontrprzykładu, z prawdziwości warunku wystarczającego A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Dowód wprost:
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9…] bo dowolny zbiór liczb parzystych jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych.
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywości zdania A1' nie musimy udowadniać, ale możemy, co zrobiono wyżej.

Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’

12.7.2 Przykłady zaprzeczeń zdań w algebrze Kubusia

Definicja zaprzeczenia zdania w algebrze Kubusia:
Zaprzeczeniem zdania w algebrze Kubusia jest fałszywy kontrprzykład obowiązujący w zdaniach warunkowych i twierdzących

Na mocy definicji kontrprzykład jest nierozerwalnie związany ze zdaniem warunkowym „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym =>

Prawo Mrówki:
Dowolne zdanie twierdzące prawdziwe to spełniony warunek wystarczający =>

Przykłady:
1.
Pies ma cztery łapy
P=>4L =1
2.
Ziemia krąży dookoła słońca
Z=>DS =1
3.
Trójkąt o bokach [3,4,5] jest prostokątny
T345=>TP =1
4.
Kopernik był mężczyzną
K=>M =1
5.
Kubuś Puchatek jest misiem
KP=>M =1


Przykład 1
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P) to ma cztery łapy (4L)
P=>4L =1
Bycie psem (P) jest warunkiem wystarczającym => by mieć cztery lapy (4L) bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń, koń ..]
Innymi słowy:
Bycie psem jest (=1) warunkiem wystarczającym => by mieć cztery łapy bo każdy pies ma cztery łapy

Kontrprzykład dla A1 brzmi:
A1’.
Jeśli zwierzę jest psem (P) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L)
P~~>~4L = P*~4L =0
Nie może się zdarzyć (=0) że zwierzę jest psem (P) i nie ma czterech łap (~4L)

Wynikowe zero jest tu twardym zerem tzn. jest fizycznie niemożliwe ustawienie tu jedynki, bo psów z innymi łapami niż cztery, po prostu nie ma

Zdane twierdzące wynikłe ze zdania A1 to:
A1”
Pies ma cztery łapy
P=>4L =1
Zauważmy, że matematyczne kodowanie zdania A1” jest identyczne jak zdania A1.

Stąd zaprzeczenie zdania A1” to:
1: ~A1”
Nie może się zdarzyć (=0), że zwierzę jest psem (P) i nie ma czterech łap (~4L)
P~~>~4L = P*~4L =0

Zaprzeczenie zdania A1” można wypowiedzieć tak:
2: ~A1”
Pies nie ma czterech łap
P~~>~4L = P*~4L =0

Matematycznie zachodzi tożsamość zdań:
1: ~A1” = 2: ~A1”

Przykład 2

Ziemia krąży dookoła Słońca
Zdanie tożsame:
A2
Ziemia na 100% => krąży dookoła Słońca
kodowanie matematyczne:
Z=>DS =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Gdzie:
p=Z (Ziemia)
q=DS (dookoła Słońca)
Czytamy:
Bycie Ziemią (Z) jest (=1) warunkiem wystarczającym => by krążyła ona dookoła Słońca (DS)

Kontrprzykład dla A2 to:
A2’
Ziemia (Z) może ~~> nie krążyć dookoła Słońca (~DS.)
Z~~>~DS =Z*~DS =0
Nie może się zdarzyć ~~> (=0), że Ziemia nie krąży dookoła Słońca

Zaprzeczenia zdania A2 można wypowiedzieć tak:
Ziemia nie krąży dookoła Słońca
Z~~>~DS =Z*~DS =0
Fałszem jest (=0), że Ziemia krąży dookoła Słońca

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
p=>q=1
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Relacja podzbioru

Dowód czysto matematyczny, iż poprzednik p=Z jest podzbiorem następnika q=DS

Przyjmijmy dziedzinę:
ZWP - Zbiór wszystkich planet krążących dookoła naszego Słońca
ZWP=[Ziemia, Mars, Wenus..]
Oczywistym jest, że wszystkie te planety krążą dookoła naszego Słońca

Prawo Orła:
Rozstrzygające o relacji warunek wystarczający => albo warunek konieczny ~> między p i q zarówno w zdarzeniach, jak i w zbiorach:
p*(q+~q) (=>, ~>) q*(p+~p)

Wyprowadzenie prawa Orła:
W AK poprzednik p i następnik q muszą należeć do wspólnej dziedziny D, czyli:
p+~p = D =1
q+~q = D =1
p (=>, ~>) q
Prawo algebry Boole’a:
p*1 (=>, ~>) q*1
Stąd mamy wyprowadzone prawo Orła:
p*(q+~q) (=>, ~>) q*(p+~p)
cnd

Nasz przykład:

Prawo Orła:
Rozstrzygające o relacji między p i q zarówno w zdarzeniach, jak i w zbiorach:
p*(q+~q) => q*(p+~p)
p=Z
q=DS
Obliczamy ~Z:
~Z=[ZWP-Z]=[Mars, Wenus..] - wszystkie planety z wykluczeniem Ziemi

Stąd mamy:
Z*(DS+~DS) => DS*(Z+~Z)
Z*DS + Z*~DS => Z*DS + ~Z*DS
Z*~DS=0 - fałszem jest (=0), że Ziemia nie krąży dookoła Słońca
Stąd mamy:
Z*DS => Z*DS + ~Z*DS - relacja podzbioru => jest spełniona!

Doskonale widać, że relacja podzbioru => w zdarzeniach jest tu spełniona:
Z => DS =1
cnd

12.8 Definicje zbioru pustego

W logice matematycznej rozróżniamy trzy rodzaje zbioru pustego [].

12.8.1 Definicja zbioru pustego [] w sensie absolutnym

Definicja zbioru pustego [] w sensie absolutnym:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)

Zauważmy, że zbiór pusty [] będzie tu podzbiorem => siebie samego (wyjaśnienie w pkt. 12.9):
[]=>[] =1
0=>0 =1

12.8.2 Definicja zbioru pustego [] względem wybranej dziedziny

Definicja zbioru pustego [] względem wybranej dziedziny:
Zbiór pusty [] to wszelkie pojęcia poza wybraną dziedziną

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy

Przykład:
Twierdzenie proste Pitagorasa:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu
Oczywista dziedzina na której operuje twierdzenie Pitagorasa to:
ZWT – zbiór wszystkich trójkątów
Zbiorem [] pustym będą tu wszelkie pojęcia z Uniwersum pomniejszone o zbiór wszystkich trójkątów
[] = [U-ZWT]
Przykładowe pojęcia puste [] ze względu na zbiór wszystkich trójkątów (ZWT) to:
[] = [kwadrat, koło, kula, pies, miłość, krasnoludek …]

Zauważmy, że zbiór pusty [] będzie tu podzbiorem => siebie samego:
[]=>[] =1
0=>0 =1

12.8.3 Definicja zbioru pustego [] będącego twardym fałszem

Definicja zbioru pustego [] będącego twardym fałszem:
Zbiór pusty [] to wszelkie twarde fałsze (=0) w otaczającym nas świecie.

Definicja twardego fałszu (=0):
Twardy fałsz (=0) to pojęcie które w dowolnym iterowaniu (losowaniu) nie ma prawa stać się prawdą (=1)

W logice matematycznej istnieją twarde jedynki i twarde zera jak również miękkie jedynki i miękkie zera. O co tu chodzi mamy wytłumaczone na przykładzie w punkcie 2.16.3 oraz 2.17.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach (pkt. 2.3.4):
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Przykłady twardej prawdy i twardego fałszu:
1.
Pies na cztery lapy
P=>4L =1 – twarda prawda (=1)
Bycie psem jest (=1) wystarczające => by mieć cztery łapy wtedy i tylko wtedy
gdy zbiór P=[pies] jest (=1) podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
2.
Kontrprzykład dla 1 to:
Nie istnieje (=0) zwierzę będące psem i nie mające czterech łap
P~~>~4L=P*~4L=[] =0 – twardy fałsz (=0)
Zbiór P=[pies] i zbiór zwierząt bez czterech łap ~4L=[kura ..] to zbiory rozłączne (=[] =0)
3.
2+2=4 – twarda prawda (=1)
Prawdziwe jest (=1) działania 2+2=4
4.
2+2=5 =[] =0 – twardy fałsz
Fałszywe jest (=0) działanie 2+2=5
etc

Zauważmy, że twarde fałsze należą do Uniwersum bo potrafimy udowodnić iż są to twarde fałsze.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Wszelkie pojęcia w Uniwersum wiąże ze sobą spójnik „lub”(+).
Stąd mamy:
U = [pies ma cztery łapy (=1) + pies nie ma czterech łap (=0) + miłość (=1) + krasnoludek (=1) ...]
- wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)

Zauważmy, że jeśli ze zbioru U (Uniwersum) usuniemy twarde fałsze (=0) to nic nie stracimy na jednoznaczności U (Uniwersum) bowiem wszelkie twarde fałsze (=0) wynikają z twardych prawd (=1) na mocy definicji kontrprzykładu.

Zajdzie więc tożsamość zbioru U (Uniwersum) z twardymi fałszami:
U = [pies ma cztery łapy (=1) + pies nie ma czterech łap (=0) + miłość (=1) + krasnoludek (=1) ...]
oraz zbioru U (Uniwersum) pomniejszonego o wszelkie twarde fałsze:
U = [pies ma cztery łapy (=1) + miłość (=1) + krasnoludek (=1) ...]

To samo w zapisie ogólnym możemy zapisać jako:
U-[] =U-0 = U
Czytamy:
Z dowolnego zbioru (w tym z Uniwersum) możemy usunąć twarde fałsze i zbiór nie zmieni się na mocy definicji spójnika „lub”(+).

Komentarz:
W logice matematycznej za psa przyjmujemy wzorzec psa, czyli psa zdrowego z czterema łapami.
Oczywiście wiemy, że pies kaleki z trzema łapami to też pies, ale tego przypadku nie wolno nam podpinać pod logikę matematyczną, bo będziemy mieli chaos, czyli brak warunku wystarczającego =>.

Dowód:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P) to na 100% => ma cztery łapy (4L)
A1: P=>4L =0
Przyjmijmy za dziedzinę psa z czterema łapami plus psa kalekiego (z trzema łapami)
Wtedy mamy:
Warunek wystarczający A1: P=>4L nie jest (=0) spełniony, bo istnieje pies z trzema łapami

Podsumowując:
Nie wolno obalać logiki matematycznej przysłowiowym „psem z trzema łapami”

12.9 Uniwersum vs zbiór pusty [] w sensie absolutnym

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek, pies ma cztery łapy ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)

Definicja zbioru pustego [] w sensie absolutnym:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)

Z definicji wiadomo, że wyłącznie człowiek (mimo że podobno pochodzi od małpy) jest zdolny do odkrywania i świadomego definiowania dowolnych pojęć związanych z otaczającym go światem.
Przed pojawieniem się pierwszego człowieka na ziemi mieliśmy zatem do czynienia ze zbiorem pustym [].

Aktualna wiedza o otaczającym nas Wszechświecie to wiedza dostępna wyłącznie człowiekowi z wykluczeniem wszelkich zwierząt.
Matematycznie zachodzi:
Człowiek ## Dowolne zwierzę
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy wyprowadzoną definicje zbioru pustego [] w sensie absolutnym, czyli przed pojawieniem się pierwszego człowieka na Ziemi (zaledwie 200tys lat temu)

Definicja zbioru pustego [] w sensie absolutnym:
Zbiór pusty [] w sensie absolutnym to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)

12.9.1 Definicja dziedziny absolutnej DA

Idąc dalej tropem zbioru pustego [] w sensie absolutnym łatwo zdefiniować nowatorskie pojęcie zwane dziedziną absolutną DA.

Definicja dziedziny absolutnej DA:
Dziedzina absolutna DA to zbiór wszelkich pojęć możliwych do zdefiniowania w naszym Wszechświecie.

Zauważmy, że największy współczesny wynalazek ludzkości, Internet, mógł zaistnieć tylko i wyłącznie dlatego, że na naszej Ziemi były ku temu warunki niezależne od człowieka, które istniały „od zawsze”.
Nie wiadomo jakimi jeszcze wynalazkami w przyszłości ludzkość zostanie zaskoczona, pewne jest, że zostanie zaskoczona wynalazkami tylko i wyłącznie możliwymi do zaistnienia w naszym Wszechświecie.

Ludzkość w tym zakresie nieustannie marzy, próbując zrealizować swoje marzenia.

Wiele z tych marzeń jest wątpliwej jakości.
Przykłady:
Faraonowie w grobowcach gromadzili niebotyczne skarby marząc o życiu w zaświatach gdzie będą ich potrzebować.
Średniowieczni alchemicy marzyli o zrobieniu złota z piasku bo to żółte i to żółte
etc

Przykłady zrealizowanych marzeń ludzkości o których największym ziemskim, średniowiecznym filozofom się nie śniło to:
- radio i telewizja
- prom kosmiczny
- Internet
etc

Jak widzimy, na bazie powyższych rozważań pojęcie dziedziny absolutnej DA jest pojęciem rzeczywistym, dziejącym się na naszych oczach, tu i teraz.
W żadnym przypadku pojęcie dziedziny absolutnej DA nie jest pojęciem abstrakcyjnym.

12.9.2 Definicja zbioru wszystkich zbiorów

Jak udowodniliśmy wyżej, kluczowe pojęcia Kubusiowej Teorii Zbiorów:
- Uniwersum (U)
- Zbiór pusty ([]) w sensie absolutnym
- Dziedzina absolutna (DA)
To pojęcia rzeczywiste, weryfikowalne w naszym Wszechświecie.
Stąd mamy łatwo wyprowadzoną definicję zbioru wszystkich zbiorów.

Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z dziedziną absolutną DA.

12.9.3 Prawo Owieczki

Definicja Uniwersum:
Uniwersum U to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Definicja zbioru pustego [] w sensie absolutnym:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Zbiór pusty zawiera nieskończenie wiele pojęć niezrozumiałych dla człowieka, jeszcze niezdefiniowanych. Definiować elementy w naszym Wszechświecie może wyłącznie człowiek, świat martwy sam sobie nic nie definiuje.

Przed pojawieniem się człowieka na ziemi zawartość zbioru pustego była taka:
[] - wszystkie elementy naszego Wszechświata w sensie absolutnym, nie ma jeszcze człowieka który by cokolwiek definiował.

W dniu dzisiejszym sytuacja jest inna, taka:

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
13.0 Algebra Kubusia w zbiorach

Spis treści
13.0 Algebra Kubusia w zbiorach 2
13.1 Elementarne spójniki implikacyjne w zbiorach 2
13.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 2
13.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 3
13.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 4
13.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 5
13.1.5 Nietrywialny błąd podstawienia ### 5
13.2 Rachunek zero-jedynkowy warunków wystarczających => i koniecznych ~> 7
13.3 Prawa algebry Kubusia wynikłe z rachunku zero-jedynkowego 11
13.3.1 Definicje znaczków # i ## 12
13.4 Fundamentalne definicje i prawa algebry Kubusia 13
13.4.1 Prawa Sowy 13
13.4.2 Definicja tożsamości logicznej 14
13.4.3 Definicja dowodu "nie wprost" w algebrze Kubusia 14
13.4.4 Prawa Prosiaczka 14
13.4.5 Prawo Kłapouchego - kluczowe prawo logiki matematycznej 14
13.4.6 Prawo Słonia dla zbiorów 15
13.4.7 Prawo Irbisa dla zbiorów 15
13.4.8 Definicja spójnika implikacyjnego p?q 15
13.4.9 Definicja operatora implikacyjnego p|?q 16
13.5 Podstawowe spójniki implikacyjne 16
13.5.1 Prawo Puchacza 18
13.5.2 Dowód prawa Puchacza 19
13.5.3 Alternatywny dowód prawa Puchacza 20
13.6 Algorytm Puchacza 21
13.6.1 Przykłady zdań niespełniających algorytmu Puchacza 22
13.7 Zdjęcie układu 23
13.7.1 Definicja zdjęcia układu w teorii zdarzeń 23
13.7.2 Definicja zdjęcia układu w teorii zbiorów 24
13.8 Prawo Orła 24
13.8.1 Przykład wykorzystania prawa Orła 25
13.8.2 Algorytm ogólny dowodzenia twardych zer w zdjęciu układu 29


13.0 Algebra Kubusia w zbiorach

Niniejszy punkt to kompendium algebry Kubusia zawierające wszystkie potrzebne definicje i prawa algebry Kubusia konieczne i wystarczające do zrozumienia matematycznej obsługi zdań warunkowych "Jeśli p to q" na gruncie teorii zbiorów.

Definicja podstawowego spójnika implikacyjnego:
Podstawowy spójnik implikacyjny to spójnik związany w obsługą zdań warunkowych "Jeśli p to q" definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

Definicje spójników implikacyjnych w algebrze Kubusia mają układ trzypoziomowy {1=>2=>3}:
1.
Elementarne spójniki logiczne w zdarzeniach:
~~> - spójnik zdarzenia możliwego (2.2.1)
=> - warunek wystarczający (2.2.2)
~> - warunek konieczny (2.2.3)
Elementarne spójniki logiczne w zbiorach:
~~> - element wspólny zbiorów (2.3.1)
=> - warunek wystarczający tożsamy z relacją podzbioru =>(2.3.2)
~> - warunek konieczny tożsamy z relacją nadzbioru ~>(2.3.3)
2.
Podstawowe spójniki implikacyjne definiowane spójnikami elementarnymi:
|=> - implikacja prosta (2.12)
|~> - implikacja odwrotna (2.13)
<=> - równoważność (2.14)
|~~> - chaos (2.15)
3.
Operatory implikacyjne definiowane podstawowymi spójnikami implikacyjnymi
||=> - operator implikacji prostej (2.12.1)
||~~> - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
|<=> - operator równoważności (2.14.1)
||~~> - operator chaosu (2.15.1)

13.1 Elementarne spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów/zdarzeń p i q.

13.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu co kończy dowód, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)

Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] np. 24

13.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach

Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić relację podzbioru P8=>P2 potrafi każdy matematyk.

W zapisie formalnym mamy tu:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Gdzie:
p - przyczyna (część zdania po "Jeśli …")
q - skutek (część zdania po "to…")

Podsumowując: