 |
ŚFiNiA ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 39121
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 21:07, 06 Lip 2025 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
34.0 Prawo matematycznego głąba i jełopa w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q
Spis treści
34.0 Prawo matematycznego głąba i jełopa w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q 1
34.1 Implikacja odwrotna p|~>q 3
34.1.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 3
34.1.2 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q 5
34.3 Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q 7
34.3.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> 7
34.3.2 Odzyskanie symbolicznej definicji operatora implikacji odwrotnej p||~>q 9
34.4 Prawo eliminacji warunku koniecznego p~>q 11
34.4.1 Twarde zera i miękkie jedynki w algebrze Boole’a 13
35.5.2 Tragedia zastosowania prawa eliminacji warunku koniecznego p~>q 16
34.4.3 Prawo matematycznego głąba dla warunku koniecznego B1: p~>q 18
34.5 Geneza wynikowych zer i jedynek w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q 19
34.5.1 Prawo matematycznego jełopa w ziemskiej implikacji B2:~p=>~q 24
34.0 Prawo matematycznego głąba i jełopa w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q
Aktualna logika matematyczna ziemskich matematyków jest w 100% logiką schizofreniczną, mającą zerowy związek z otaczającym nas światem rzeczywistym, czego dowodem są prawa matematycznego głąba i jełopa w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q wyprowadzone w niniejszym punkcie.
Ogólne prawo matematycznego głąba:
Matematycznym głąbem jest każdy matematyk, który w matematycznej obsłudze zdania warunkowego „Jeśli p to q” zastosuje:
Prawo eliminacji warunku wystarczającego => (implikacja prosta p|=>q)
p=>q = ~p+q
lub
##
p~>q = p+~q
prawo eliminacji warunku koniecznego => (implikacja odwrotna p|~>q)
lub
##
Prawo eliminacji równoważności p<=>q
p<=>q = p*q + ~p*~q
Gdzie:
## - pojęcia różne na mocy definicji
Uzasadnienie:
Stosując wyżej wymienione prawa (co w ziemskiej logice „matematycznej” jest obligatoryjne) zabijamy istotę zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.
Ogólne prawo matematycznego jełopa:
Matematycznym jełopem jest każdy fanatyk KRZ który korzysta z ziemskiej definicji implikacji podanej przez Macjana, potwierdzonej przez wykładowcę logiki „matematycznej” na AGH, która w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” nie wymaga badania jakiejkolwiek relacji w zbiorach między poprzednikiem p i następnikiem q.
Dowód iż definicja ziemskiej implikacji nie ma nic wspólnego z warunkiem wystarczającym => w rozumieniu algebry Kubusia to aktualnie obowiązująca definicja ziemskiej implikacji =>, podana przez Macjana, potwierdzona przez wykładowcę logiki matematycznej na AGH.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/elementarz-algebry-boole-a-irbisol-macjan-str-10,2605-240.html#55877
@Macjan
Zrozum - treść zdania, czyli to, o czym ono mówi, nie może w żaden sposób wpływać na jego zapis symboliczny. Zdanie "... i ..." jest koniunkcją niezależnie od tego, co wstawimy w wykropkowane miejsca. Tak samo zdanie "Jeśli ... to ..." jest implikacją.
Potwierdzenie definicji Macjana przez wykładowcę logiki matematycznej na AGH Kraków.
[link widoczny dla zalogowanych]
@Wykład logiki matematycznej na AGH
Elementy logiki matematycznej
Logika matematyczna zajmuje się zdaniami logicznymi.
Zdanie logiczne, to zdanie gramatyczne orzekające, któremu można przypisać jedną z dwóch ocen (wartość) Prawda (TRUE, 1); Fałsz (FALSE, 0 ) (czyli zdania logiczne podlegają wartościowaniu). Nie są zdaniami logicznymi zdania pytające i rozkazujące.
Funktory logiczne (spójniki):
- jednoargumentowe (wystarczy jedno zdanie)
negacja - ~ - (nieprawda, że ...)
- dwuargumentowe (wymagają dwóch zdań) np.
koniunkcja - * - (...i... )
alternatywa - + - (...lub...)
implikacja - => - (jeżeli ..., to...)
równoważność - <=> - (...wtedy i tylko wtedy, gdy...)
Zero-jedynkowe definicje dwuargumentowych spójników logicznych to:
Kod: |
p q | p*q | p+q | p=>q | p<=>q
1 1 | 1 | 1 | 1 | 1
1 0 | 0 | 1 | 0 | 0
0 1 | 0 | 1 | 1 | 0
0 0 | 0 | 0 | 1 | 1
|
@Rafal3006
Jak widzimy, w wykropkowane miejsca możemy wstawiać cokolwiek, byleby temu „cokolwiek” dało się przypisać pojęcie prawdy (=1) albo fałszu (=0), co lokuje nas w definicji implikacji materialnej rodem z Klasycznego Rachunku Zdań.
Przypomnijmy elementarne wiadomości dotyczące operatora implikacji odwrotnej p||~>q (pkt. 4.1)
34.1 Implikacja odwrotna p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1), ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1).
Podstawmy definicję implikacji odwrotnej p|~>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Kod: |
IO:
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q=1 [=] 4:~q~~>p =1
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość pozostałych zdań
34.1.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2)
Kolumna A1B1:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Dowód na mocy praw Sowy jest oczywisty.
Dowód alternatywny:
A1B1: p|~>q = p*~q (pkt. 2.10)
A2B2: p|=>q = ~p*q (pkt. 2.10)
Mamy do udowodnienia tożsamość logiczną [=]:
A1B1: p|~>q [=] A2B2: ~p|=>~q
Rozwijamy prawą stronę definicją |=>:
A2B2: ~p|=>~q = ~(~p)*(~q) = p*~q = A1B1: p|~>q
cnd
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q (B1), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q (A1)
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść zajdzie q
p~>q =1
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
Innymi słowy:
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
lub
Fałszywy warunek wystarczający A1: p=>q=0 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~~>: p i ~q
Innymi słowy:
Fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q =0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1' (i odwrotnie). To jest dowód "nie wprost" prawdziwości zdania A1'
.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Idziemy do kolumny A2B2.
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q (B2), ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q (A2).
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
B2
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Innymi słowy:
Zawsze gdy zajdzie ~p, zajdzie ~q
Prawdziwy warunek wystarczający B2:~p=>~q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład B2' (i odwrotnie)
B2'
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~~>: ~p i q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania B2' na mocy definicji kontrprzykładu.
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie p (zdania B1 i A1’), oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2)
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej A2B2: ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej A1B1: p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
34.1.2 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q jest identyczny dla zdarzeń i zbiorów, a wynika on z jedynego fałszywego tu zdania kodowanego znaczkiem ~~>:
B2': ~p~~>q=~p*q =0
Gdzie:
~~> - zdarzenie możliwe w teorii zdarzeń
albo:
~~> - element wspólny zbiorów w teorii zbiorów
Dla potrzeb rysowania diagramu przydatna jest poniższa definicja.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q, bowiem wtedy i tylko wtedy pojęcia {p, q, ~p, ~q} będą rozpoznawalne (będą niepuste).
Z definicji nie możemy operować na zbiorach pustych (pkt. 12.8)
Łatwo udowodnić, że dla zbudowania implikacji odwrotnej p|~>q potrzebne są minimum 3 elementy.
Przykład minimalny:
K=Kubuś
P=Prosiaczek
T=Tygrysek
p=[K,P]
q=[K]
D=[K,P,T] - dziedzina
~p=[D-p]=[T] - zbiór niepusty
~q=[D-q]=[P,T] - zbiór niepusty
Analizę operatora implikacji odwrotnej p||~>q na parametrach ogólnych p i q mamy w punkcie 34.1.1
Łatwo sprawdzić, że nasz przykład minimalny pasuje tam doskonale.
Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach/zdarzeniach
----------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|---------------------|----------------------------------------------|
| p | ~p |
|-------------------------------------------|------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q=p*~q=1 | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina D - suma logiczna zbiorów/zdarzeń możliwych B1, A1’, B2 |
| D =B1: p*q + A1’: p*~q + B2:~p*~q |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty/zdarzenie niemożliwe |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Definicja dziedziny:
Dziedzina to suma logiczna zbiorów/zdarzeń niepustych i rozłącznych uzupełniających się wzajemnie do dziedziny
D = B1: p*q + A1': p*~q + B2: ~p*~q
Z diagramu DIO odczytujemy definicję wspólnej dziedziny dla p i q
Wspólna dziedzina dla p:
p+~p=D=1 – zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p =[] =0 – zbiory p i ~p są rozłączne
q+~q=D=1 - wspólna dziedzina D dla p i q
Wspólna dziedzina dla q:
q+~q=D=1 – zbiór ~q jest uzupełnieniem zbioru q do wspólnej dziedziny D
q*~q =[] =0 – zbiory q i ~q są rozłączne
Z diagram DIO wynika, że po stronie p mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, czyli jeśli zajdzie p do może ~> zajść q (zdanie A1) lub może ~~> zajść ~q (zdanie A1’), natomiast po stronie ~p mamy gwarancję matematyczną => (warunek wystarczający =>) , że jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
Doskonale to widać na diagramie DIO
34.3 Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q
Z analizy matematycznej operatora implikacji odwrotnej p||~>q (pkt. 34.1.1) oraz z diagramu DIP odczytujemy symboliczną definicję operatora implikacji odwrotnej p||~>q w wersji skróconej.
Kod: |
IO1
Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
B1: p~> q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1’: p~~>~q=1 - kontrprzykład A1’ dla A1: p=>q=0 musi być prawdą
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład B2’ dla B2:~p=>~q=1 musi być fałszem
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
34.3.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~>
Zapiszmy tabelę prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q w wersji skróconej:
Kod: |
T1
Definicja |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
p||~>q |
B1: p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1
A1': p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2':~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0
a b c 1 2 3
|
Zero-jedynkową definicję warunku koniecznego p~>q w logice dodatniej (bo q) otrzymamy kodując tabelę T1 z punktem odniesienia ustawionym na warunku koniecznym ~>:
B1: p~>q
W warunku koniecznym ~> B1 zmienne p i q są w postaci niezanegowanej.
Tabelę zero-jedynkową warunku koniecznego B1: p~>q w logice dodatniej (bo q) otrzymamy wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne w tabeli T1_12 sprowadzimy do postaci niezanegowanej.
Umożliwia to II prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
które możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Zróbmy to:
Kod: |
T2
Definicja |Co w logice |Na mocy II |Zapis tożsamy
symboliczna |jedynek oznacza |prawa Prosiaczka |tabeli 456
p||~>q | | | p q p~> q
B1: p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |( p=1)~> ( q=1)=1 | 1~>1 =1
A1': p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~>0 =1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0~>0 =1
B2':~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~>1 =0
a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Definicja:
Tabelę T2_789 nazywamy zero-jedynkową definicją warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Interpretacja warunku koniecznego ~>:
T2_789: p~>q - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
Do zapamiętania:
Kod: |
T3
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q Y=(p~>q)=p+~q
B1: 1~>1 1
A1’: 1~>0 1
B2: 0~>0 1
B2’: 0~>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q =p+~q
|
Uwaga:
Dla ułatwienia zrozumienia, indeksowanie linii w warunku koniecznym ~> (tabela T3) jest zgodne z tabelą prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q (tabela IO1), co matematycznie jest bez znaczenia.
34.3.2 Odzyskanie symbolicznej definicji operatora implikacji odwrotnej p||~>q
Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q=1 [=] 4:~q~~>p =1
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość pozostałych zdań w tej linii
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość pozostałych zdań w tej linii
Na mocy powyższego punktu, wiedząc skąd bierze się zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> łatwo odzyskać symboliczną definicję operatora implikacji odwrotnej p||~>q
Dowód:
Niech będzie dana zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego p~>q
Kod: |
T3
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q Y=(p~>q)=p+~q
B1: 1~>1 1
A1’: 1~>0 1
B2: 0~>0 1
B2’: 0~>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q =p+~q
|
Algorytm odzyskiwania symbolicznej definicji operatora implikacji odwrotnej p||~>q to cztery proste kroki.
Krok 1
Zapisujemy zero-jedynkową definicję warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) definicją elementu wspólnego zbiorów ~~> korzystając z prawa Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
(q=0)=(~q=1)
Kod: |
IO2
Odzyskiwanie symbolicznej definicji operatora implikacji odwrotnej p||~>q
z zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~>.
Y=p+~q Y=p+~q= B1: p*q + A1’: p*~q + B2:~p*~q
p q Y=(p~>q)|
B1: 1~>1 1 | p~~> q= p* q=1 -zbiory p i q mają (=1) element wspólny
A1’: 1~>0 1 | p~~>~q= p*~q=1 - p i ~q mają (=1) element wspólny ~~>
B2: 0~>0 1 |~p~~>~q=~p*~q=1 - ~p i ~q mają (=1) element wspólny ~~>
B2’: 0~>1 0 |~p~~> q=~p* q=0 - ~p i q nie mają (=0) elem. wspólnego
1 2 3
|
Uwaga:
Indeksowanie linii w poniższej analizie jest zgodne z symboliczną tabelą prawdy implikacji odwrotnej p|~>q przedstawionej w tabeli IO wyżej.
Krok 2
Fałszywy (=0) kontrprzykład w linii B2’:
B2’: ~p~~>q=~p*q=0
wymusza prawdziwy (=1) warunek wystarczający w linii B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Krok 3
Prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q =1
Na mocy prawa Kubusia, prawdziwy (=1) warunek wystarczający w linii B2:
B2: ~p=>~q=1
wymusza prawdziwy (=1) warunek konieczny ~> w linii B1:
B1: p~>q=1 (i odwrotnie)
Krok 4
Prawdziwy kontrprzykład w linii A1’:
A1’: p~~>~q = p*~q=1
wymusza fałszywy warunek wystarczający => w linii A1:
A1: p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest podzbiorem q
Stąd mamy dowód, iż spełniona jest definicja implikacji odwrotnej p|~>q (tabela IO) bo:
B1: p~>q =1
oraz:
A1: p=>q =0
Na mocy prawa Sowy mamy dowód, iż spełniona jest definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q dająca odpowiedź na pytanie o p (kolumna A1B1) oraz na pytanie o ~p (kolumna A2B2)
Kod: |
IO1
Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
B1: p~> q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1’: p~~>~q=1 - kontrprzykład A1’ dla A1: p=>q=0 musi być prawdą
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład B2’ dla B2:~p=>~q=1 musi być fałszem
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
34.4 Prawo eliminacji warunku koniecznego p~>q
Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|---------------------|----------------------------------------------|
| p | ~p |
|-------------------------------------------|------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q=p*~q=1 | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D =B1: p*q+ A1’: p*~q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Kod: |
IO1
Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
B1: p~> q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1’: p~~>~q=1 - kontrprzykład A1’ dla A1: p=>q=0 musi być prawdą
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład B2’ dla B2:~p=>~q=1 musi być fałszem
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Krokodyla (31.2)
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.
Zauważmy że:
1.
W tabeli IO1 po stronie p ( liniach B1 i A1’) mamy dwie miękkie jedynki (mogą zajść ale nie muszą) w zależności od iterowania po stronie p (diagram DIO)
2.
W tabeli IO1 po stronie ~p mamy warunek wystarczający => definiowany wyłącznie linią B2 (twardą jedynką):
B2: ~p=>~q =1 – zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Innymi słowy:
B2: ~p=>~q =1 – tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q (diagram DIO)
Warunek wystarczający => w linii B2 (twarda jedynka) na mocy definicji kontrprzykładu wymusza twarde zero w linii B2’:
B2’: ~p~~>q=~p*q =0 – twarde zero bo zbiory ~p i q są rozłączne (diagram DIO)
Wniosek:
Tabela prawdy IO1 spełnia prawo Krokodyla.
Uwaga:
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> wynika z tabeli prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q, co udowodniono w punkcie 34.3.1.
Zapiszmy tabelę prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q w powiązaniu z algebrą Boole’a, gdzie legalne są wyłącznie spójniki „i”(*) i „lub”(+)
Kod: |
IO3
Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q
z uwzględnieniem definicji elementu wspólnego zbiorów p~~>q=p*q
Y=p+~q= B1: p*q + A1’: p*~q + B2:~p*~q
B1: p~> q =1 = p* q =1 -jeśli p~>q=1 to istnieje(=1) wspólny element p*q=1
A1’: p~~>~q=1 = p*~q =1 -istnieje (=1) wspólny element zbiorów p*~q
B2: ~p=>~q =1 =~p*~q =1 -jeśli ~p=>~q=1 to istnieje wspólny element ~p*~q=1
B2’:~p~~>q =0 =~p* q =0 -nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~p i q
1 2 3 4 5 6
|
Prawo eliminacji warunku koniecznego ~>:
Y = (B1: p~>q) = p+~q
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa eliminacji warunku koniecznego B1: p~>q wyrażonego wyłącznie w linii B1 zdaniem warunkowym „Jeśli p to q” tabela I03: 123 ulega transformacji do tabeli IO3: 456 gdzie nie ma śladu warunku koniecznego ~>, gdzie mamy jedno twarde zero (B2’) i trzy miękkie jedynki (B1, A1’, B2)
Stąd mamy wyprowadzoną kluczową cechę algebry Boole’a.
Cecha algebry Boole’a
W algebrze Boole’a (wyłącznie spójniki „i”(*) i „lub”(+)) wszystkie zera są twarde (tzn. w żadnym iterowaniu nie staną się jedynkami), zaś wszystkie jedynki są miękkie tzn. mogą zajść ale nie muszą w zależności od konkretnego iterowania.
Dowód na przykładzie to prawo eliminacji warunku koniecznego ~> (tabela IO3: 456).
Y = (B1: p~>q) = p+~q
Prawdziwy warunek konieczny ~> w linii B1:
B1: p~>q =1
Na mocy prawa Kubusia wymusza prawdziwy warunek wystarczający => w linii B2:
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q = p+~q
Prawdziwy warunek wystarczający:
B2:~p=>~q =1
Wymusza fałszywy kontrprzykład w linii B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =0
Funkcja logiczna algebry Boole’a Y dla tabeli IP3: 456 która nas interesuje to:
Y = p+~q
Definicja operatora „lub”(|+):
Operator „lub”(|+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie Y oraz kiedy zajdzie ~Y.
Dla tabeli IO3: 456 zapisujemy:
1.
Y = p+~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1
Czytamy:
Zajdzie Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p lub zajdzie ~q
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
2.
Negujemy funkcję logiczną 1 stronami:
~Y=~(p+~q)=~p*q – prawo De Morgana
~Y= ~p*q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i q=1
Czytamy:
Zajdzie ~Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p i jedocześnie zajdzie q
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0)
Stąd zapis tożsamy:
Y=0 <=> ~p=1 i q=1 (Tabela IO3: 456 plus diagram DIO)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
34.4.1 Twarde zera i miękkie jedynki w algebrze Boole’a
Cecha algebry Boole’a
W algebrze Boole’a (wyłącznie spójniki „i”(*) i „lub”(+)) wszystkie zera są twarde (tzn. w żadnym iterowaniu nie staną się jedynkami), zaś wszystkie jedynki są miękkie tzn. mogą zajść ale nie muszą w zależności od konkretnego iterowania.
Zobaczmy to na przykładzie symbolicznej tabeli prawdy I03: 456 skolerowanej z tabelą zero-jedynkową IO2: 123.
Kod: |
IO2 (pkt. 34.2.3)
Odzyskiwanie symbolicznej definicji operatora implikacji odwrotnej p||~>q
z zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~>.
Y=p+~q Y=p+~q= B1: p*q + A1’: p*~q + B2:~p*~q
p q Y=(p~>q)|
B1: 1~>1 1 | p~~> q= p* q=1 -zbiory p i q mają (=1) element wspólny
A1’: 1~>0 1 | p~~>~q= p*~q=1 - p i ~q mają (=1) element wspólny ~~>
B2: 0~>0 1 |~p~~>~q=~p*~q=1 - ~p i ~q mają (=1) element wspólny ~~>
B2’: 0~>1 0 |~p~~> q=~p* q=0 - ~p i q nie mają (=0) elem. wspólnego
1 2 3 4 5 6
|
Kod: |
IO3
Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q
z uwzględnieniem definicji elementu wspólnego zbiorów p~~>q=p*q
Y Y=p+~q= B1: p*q + A1’: p*~q + B2:~p*~q
B1: p~> q =1 = p* q =1 -jeśli p~>q=1 to istnieje(=1) wspólny element p*q=1
A1’: p~~>~q=1 = p*~q =1 -istnieje (=1) wspólny element zbiorów p*~q
B2: ~p=>~q =1 =~p*~q =1 -jeśli ~p=>~q=1 to istnieje wspólny element ~p*~q=1
B2’:~p~~>q =0 =~p* q =0 -nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~p i q
1 2 3 4 5 6
|
Z symbolicznej tabeli prawdy IO3: 456 łatwo odczytujemy definicją warunku koniecznego B1: p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) w zbiorach rozłącznych (patrz diagram DIO pkt. 34.1.2)
Definicja operatora „lub”(|+) widoczna w tabeli IO3: 456
Operator „lub”(|+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie Y oraz kiedy zajdzie ~Y
Z tabeli IO3: 456 odczytujemy:
1.
Y = B1: p*q + A1’: p*~q + B2: ~p*~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> B1: p=1 i q=1 lub A1’: p=1 i ~q=1 lub B2: ~p=1 i ~q=1
#
.. a kiedy zajdzie ~Y?
2.
Z tabeli IO3: 456 odczytujemy:
Y=0 <=> B2’: ~p=1 i q=1
Prawo Prosiaczka:
(Y=0) = (~Y=1)
Stąd zapis tożsamy linii B2’:
~Y=1 <=> B2’: ~p=1 i q=1
Jedynki w równaniu alternatywno-koniunkcyjnym są domyślne.
Stąd mamy:
~Y = B2’: ~p*q
Czytamy:
Zajdzie ~Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p i jednocześnie zajdzie q
Cecha algebry Boole’a
W algebrze Boole’a (wyłącznie spójniki „i”(*) i „lub”(+)) wszystkie zera są twarde (tzn. w żadnym iterowaniu nie staną się jedynkami), zaś wszystkie jedynki są miękkie tzn. mogą zajść ale nie muszą w zależności od konkretnego iterowania.
Z tabeli IO3 widzimy, że mamy wspólne, twarde zero w linii B2’ niezależne od tego czy mówimy o spójnikach implikacyjnych {IO3: 123), czy też o spójnikach algebry Boole’a (IO3: 456)
Zauważmy, że po skorzystaniu z prawa eliminacji warunku koniecznego ~>:
B1: p~>q = p+~q
czyli po transformacji tabeli IO3 (123) do tabeli IO3 (456) warunek wystarczający => (twarda jedynka) widniejący wyłącznie w linii B2: ~p=>~q w tabeli IO3:123 po przejściu do algebry Boole’a IO3: 456 został zastąpiony miękką jedynką w linii B2: ~p*~q w tabeli IO3: 456
Dowód tego faktu jest trywialny:
Z definicji operatora implikacji odwrotnej p||~>q wyrażonego algebrą Boole’a (IO3: 456) wynika dziedzina fizyczna na której operujemy:
Y = A1: p*q + A1’: p*~q + B2: ~p*~q
Z diagramu implikacji odwrotnej p|~>q (pkt. 34.1.2) wynika, że nigdy nie wylosujemy elementu należącego do zbioru B2’ bo ten zbiór jest zbiorem pustym
B2’: Y=~p*q=[] =0
Zapiszmy jeszcze raz równanie algebry Boole’a dla funkcji logicznej Y w zbiorach/zdarzeniach rozłącznych doskonale widocznych w tabeli IO3: 456.
Y = B1: p*q + A1’: p*~q + B2: ~p*~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> B1: p=1 i q=1 lub A1’: p=1 i ~q=1 lub B2: ~p=1 i ~q=1
Dowód iż mamy tu do czynienia z trzema miękkimi jedynkami jest trywialny, należy po prostu rozpatrzyć trzy możliwe tu iterowania.
Iterowanie 1
Funkcja logiczna Y w zbiorach/zdarzeniach rozłącznych to:
Y = B1: p*q + A1’: p*~q + B2: ~p*~q
Załóżmy, że wylosowano element ze zbioru:
Y(B1) = B1: p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y(B1) = B1: p=1 i q=1
Prawo Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
(q=1) = (~q=0)
Podstawmy to do funkcji logicznej Y(B1):
Y(B1) = B1: p*q=1*1=1 + A1’: p*~q=1*0=0 + B2: ~p*~q=0*0=0
Y(B1) = B1: p*q=1*1=1
Doskonale widać, że dla iterowania B1 mamy do czynienia z jedną miękką jedynką (B1) i dwoma miękkimi zerami (A1’, B2)
Iterowanie 2
Funkcja logiczna Y w zbiorach/zdarzeniach rozłącznych to:
Y = B1: p*q + A1’: p*~q + B2: ~p*~q
Załóżmy, że wylosowano element ze zbioru:
Y(A1’) = A1’: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y(A1’) = A1’: p=1 i ~q=1
Prawo Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
(~q=1) = (q=0)
Podstawmy to do funkcji logicznej Y(A1’):
Y(A1’) = B1: p*q=1*0=0 + A1’: p*~q=1*1=1 + B2: ~p*~q=0*1=0
Y(A1’) = A1’: p*~q=1*1=1
Doskonale widać, że dla iterowania A1’ mamy do czynienia z jedną miękką jedynką (A1’) i dwoma miękkimi zerami (B1, B2)
Iterowanie 3
Funkcja logiczna Y w zbiorach/zdarzeniach rozłącznych to:
Y = B1: p*q + A1’: p*~q + B2: ~p*~q
Załóżmy, że wylosowano element ze zbioru:
Y(B2) = B2: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y(B2) = B2: ~p=1 i ~q=1
Prawo Prosiaczka:
(~p=1) = (p=0)
(~q=1) = (q=0)
Podstawmy to do funkcji logicznej Y(B2):
Y(B2) = B1: p*q=0*0=0 + A1’: p*~q=0*1=0 + B2: ~p*~q=1*1=1
Y(B2) = B2: ~p*~q=1*1=1
Doskonale widać, że dla iterowania B2 mamy do czynienia z jedną miękką jedynką (B2) i dwoma miękkimi zerami (B1, A1’)
Jak widzimy, rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki miękkich jedynek w zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego B2: ~p=>~q wyrażonego algebrą Boole’a, czyli wyłącznie w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) co kończy dowód prawdziwości cechy algebry Boole’a dla naszych tabel prawdy IO2 i IO3.
Cecha algebry Boole’a
W algebrze Boole’a (wyłącznie spójniki „i”(*) i „lub”(+)) wszystkie zera są twarde (tzn. w żadnym iterowaniu nie staną się jedynkami), zaś wszystkie jedynki są miękkie tzn. mogą zajść ale nie muszą w zależności od konkretnego iterowania.
35.5.2 Tragedia zastosowania prawa eliminacji warunku koniecznego p~>q
Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|---------------------|----------------------------------------------|
| p | ~p |
|-------------------------------------------|------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q=p*~q=1 | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D =B1: p*q+ A1’: p*~q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Kod: |
IO3
Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q
z uwzględnieniem definicji elementu wspólnego zbiorów p~~>q=p*q
Y Y=p+~q= B1: p*q + A1’: p*~q + B2:~p*~q
B1: p~> q =1 = p* q =1 -jeśli p~>q=1 to istnieje(=1) wspólny element p*q=1
A1’: p~~>~q=1 = p*~q =1 -istnieje (=1) wspólny element zbiorów p*~q
B2: ~p=>~q =1 =~p*~q =1 -jeśli ~p=>~q=1 to istnieje wspólny element ~p*~q=1
B2’:~p~~>q =0 =~p* q =0 -nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~p i q
1 2 3 4 5 6
|
Zapiszmy jeszcze raz równanie algebry Boole’a dla funkcji logicznej Y w zbiorach/zdarzeniach rozłącznych doskonale widocznych w tabeli IO3: 456.
Y = B1: p*q + A1’: p*~q + B2: ~p*~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> B1: p=1 i q=1 lub A1’: p=1 i ~q=1 lub B2: ~p=1 i ~q=1
Zauważmy, że w świecie fizycznym po zastosowaniu prawa eliminacji warunku koniecznego ~>:
Y = (B1: p~>q) =p+~q
będziemy mieli do czynienia ze zdaniem zawsze prawdziwym tzn. obojętnie jaki element z dziedziny D wylosujemy to zdanie skolerowane z tym losowaniem zawsze będzie zdaniem prawdziwym.
Dowód w poprzednim punkcie.
Zauważmy, że z tabeli IO3: 456 oraz z diagramu DIP wynika, iż zbór B2’ jest zbiorem pustym:
Y(B2’)=~p*q=[] =0
Zatem fizycznie nie mamy szans na wylosowanie choćby jednego elementu z tego zbioru.
W logice matematycznej wszelkie zdania zawsze prawdziwe to matematyczne bezwartościowe gnioty, bo nie ma tu śladu ani warunku wystarczającego A1: p=>q, ani też warunku koniecznego wynikającego z prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
B2:~p=>~q = B1: p~>q
Najprostszy dowód bezsensu zdań zawsze prawdziwych to przykłady na poziomie szkoły podstawowej które znajdziemy w punkcie 1.2.2
Cytuję:
Rozważmy dwa zbiory:
TP - zbiór trójkątów prostokątnych (TP)
~TP - zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP)
Wspólna dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Definicja dziedziny w zbiorach:
Zbiór ~TP jest uzupełnieniem zbioru TP do wspólnej dziedziny ZWT oraz zbiory TP i ~TP są rozłączne w dziedzinie ZWT.
Czyli:
Twierdzenie T1:
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) lub nie jest prostokątny (~TP)
Y = TP+~TP = ZWT =1 - zdanie zawsze prawdziwe (stała binarna)
Twierdzenie T2:
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) i nie jest prostokątny (~TP)
Y = TP*~TP =[] =0 - zdanie zawsze fałszywe (stała binarna)
Wartość praktyczna twierdzeń T1 i T2 jest zerowa (śmieci).
Analogia do programowania:
Nie da się napisać najprostszego nawet programu dysponując wyłącznie stałymi binarnymi, o z góry wiadomej wartości logicznej.
34.4.3 Prawo matematycznego głąba dla warunku koniecznego B1: p~>q
I Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość logiczna [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
II Prawo Słonia dla zbiorów:
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
B1.
Jeśli zajdzie p to zajdzie ~> q
B1: p~>q
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Wszelkie twierdzenia matematyczne to tylko i wyłącznie warunki wystarczające =>.
Prawo Słonia dla zbiorów daje nam możliwość pośredniego dowodu prawdziwości warunku koniecznego B1: p~>q przy pomocy warunku wystarczającego =>.
Wystarczy skorzystać z prawa Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Gdzie:
B3: q=>p – matematyczne twierdzenie odwrotne w stosunku do twierdzenia prostego A1: p=>q
Prawo matematycznego głąba:
Dowolny ziemski matematyk który po udowodnieniu prawdziwości warunku koniecznego ~>:
B1: p~>q =1
zastosuje prawo eliminacji warunku koniecznego ~>:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q = p+~q
przechodząc do algebry Boole’a (wyłącznie spójniki „i”(*) i „lub”(+)) jest mordercą algebry Kubusia, logiki matematycznej której ekspertami są 5-cio latki i humaniści.
Innymi słowy:
Po zastosowaniu prawa eliminacji warunku koniecznego ~>, jak sama nazwa słusznie wskazuje mordujemy fundament algebry Kubusia, czyli matematyczną obsługę zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>
W logice matematycznej eliminując warunek konieczny ~> automatycznie eliminujemy związany z nim warunek wystarczający =>, bo prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Skutek:
Dostajemy ślepą logikę matematyczną bez jakiegokolwiek warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>.
Innymi słowy:
W logice „matematycznej” ziemskich matematyków wykopujemy w kosmos poniższy fundament algebry Kubusia:
Kod: |
IO1
Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
B1: p~> q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1’: p~~>~q=1 - kontrprzykład A1’ dla A1: p=>q=0 musi być prawdą
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład B2’ dla B2:~p=>~q=1 musi być fałszem
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
34.5 Geneza wynikowych zer i jedynek w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=1), ale nie jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=0)
Definicja kontrprzykładu w zbiorach/zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym ~~> zbiorów lub zdarzeniem możliwym ~~>:
p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Uwagi:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Ax wymuszają fałszywe kontrprzykłady Ax'
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywe warunki wystarczające => w linii Bx wymuszają prawdziwe kontrprzykłady Bx'.
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Podstawmy definicję implikacji odwrotnej p|~>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q=1 [=] 4:~q~~>p =1
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy w implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania w serii Bx wymusza prawdziwość pozostałych zdań w tej linii
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość pozostałych zdań w tej linii
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to odpowiedź na dwa pytania:
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
W punkcie 34.3.1 dowiedzieliśmy się skąd bierze się zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Kod: |
T3
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q Y=(p~>q)=p+~q
B1: 1~>1 1
A1’: 1~>0 1
B2: 0~>0 1
B2’: 0~>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q =p+~q
|
Natomiast w punkcie 34.3.2 poznaliśmy algorytm działania odwrotnego, czyli w kierunku od zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego p~>q=p+~q do symbolicznej definicji operatora implikacji odwrotnej p||~>q
Kod: |
IO1
Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
B1: p~> q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1’: p~~>~q=1 - kontrprzykład A1’ dla A1: p=>q=0 musi być prawdą
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład B2’ dla B2:~p=>~q=1 musi być fałszem
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja twierdzenia matematycznego:
Twierdzenie matematyczne p=>q to spełniony warunek wystarczający => w kierunku od p do q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
W tabeli IO1 z twierdzeniem matematycznym mamy do czynienia w linii B2.
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
W matematyce łatwiej dowodzi się relacji podzbioru p=>q gdy p i q nie są zaprzeczone, co łatwo osiągamy korzystając z prawa kontrapozycji, które każdy matematyk zna.
Prawo kontrapozycji:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p =1
Gdzie:
B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne w stosunku do twierdzenia prostego A1: p=>q
Zauważmy że:
Udowadniając prawdziwość warunku wystarczającego w linii B2:
B2: ~p=>~q =1
automatycznie udowadniamy:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q =1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie):
B2’: ~p~~>q=0 - kontrprzykład B2’ dla prawdziwego B2: ~p=>~q=1 musi być fałszem
2.
Prawo Kubusia:
B2:~p=>~q = B1: p~>q
Na mocy prawa Kubusia prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q =1 wymusza prawdziwość warunku koniecznego B1 w kolumnie A1B1 (i odwrotnie)
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
KONIEC!
Nic więcej z udowodnionego warunku wystarczającego B2:~p=>~q =1 nie wynika.
Zauważmy, że z udowodnionej prawdziwości warunku wystarczającego B2:~p=>~q=1 w żaden sposób nie wynika prawdziwość kontrprzykładu w linii A1’:
A1’: p~~>~q=1 - kontrprzykład A1’ dla A1: p=>q=0 musi być prawdą
Dla udowodnienia prawdziwości kontrprzykładu w linii A1’ musimy udowodnić fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q =0
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =0
Czytamy:
Fałszem jest (=0), iż zajście p jest wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q.
Zauważmy że:
B3: q=>p to matematyczne twierdzenie odwrotne w stosunku do twierdzenia prostego A1: p=>q
Na mocy definicji zachodzi:
Twierdzenie proste A1: p=>q ## Twierdzenie odwrotne B3: q=>p
Gdzie:
## - twierdzenia różne na mocy definicji (co doskonale widać w tabeli IO)
p i q w zdaniach B1, A1’, B2 i B2’ musi być tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia.
Wnioski:
1.
Jedynkę w linii A1’ mamy prawo postawić wtedy i tylko wtedy gdy udowodnimy fałszywość matematycznego twierdzenia prostego A1: p=>q=0 w stosunku do udowodnionego twierdzenia odwrotnego B3: q=>p=1
2.
Alternatywnie jedynkę w linii A1’ udowadniamy pokazując jeden element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
A1’: p~~>~q = p*~q=1 - istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
Alternatywny sposób udowodnienia jedynki w punkcie A1’ jest prosty, ale ten dowód ma zero wspólnego z udowodnionym warunkiem wystarczającym w linii B2:~p=>~q.
3.
Definicja równoważności A1B2: p<=>q w algebrze Kubusia:
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1 =1
Zauważmy, że w równoważności A1B2: p<=>q kontrprzykład A1’ będzie fałszem:
A1’: p~~>~q =0
To jest ta fundamentalna różnica między implikacją odwrotną p||~>q o której tu mówimy, a równoważnością A1B2: p<=>q o której będziemy opowiadać za chwilkę.
W aktualnie obowiązującej logice matematycznej ziemskich matematyków nie jest widoczny jakikolwiek warunek wystarczający bowiem obligatoryjnie stosowane jest tu prawo eliminacji warunku wystarczającego B2: ~p=>~q, poprawne również w algebrze Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q = B3: q=>p = p+~q
gdzie o żadnym warunku wystarczającym =>, czy też koniecznym ~> mowy być nie może.
34.5.1 Prawo matematycznego jełopa w ziemskiej implikacji B2:~p=>~q
Zero-jedynkowo warunek wystarczający:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q = p+~q
z algebry Kubusia w ziemskiej logice matematycznej nosi nazwę implikacji B2: ~p=>~q (KRZ), co nie ma nic wspólnego z definicją warunku wystarczającego B2: ~p=>~q w algebrze Kubusia, jak również z pojęciami implikacji odwrotnej p|~>q (o tym teraz mówimy) i implikacji prostej p|=>q w AK.
Prawo matematycznego jełopa:
Matematycznym jełopem jest każdy fanatyk KRZ który korzysta z ziemskiej definicji implikacji podanej przez Macjana, potwierdzonej przez wykładowcę logiki „matematycznej” na AGH, która w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” nie wymaga badania jakiejkolwiek relacji w zbiorach między poprzednikiem p i następnikiem q.
cnd
Dowód iż definicja ziemskiej implikacji => nie ma nic wspólnego z warunkiem wystarczającym => w rozumieniu algebry Kubusia to aktualnie obowiązująca definicja ziemskiej implikacji =>, podana przez Macjana, potwierdzona przez wykładowcę logiki matematycznej na AGH.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/elementarz-algebry-boole-a-irbisol-macjan-str-10,2605-240.html#55877
@Macjan
Zrozum - treść zdania, czyli to, o czym ono mówi, nie może w żaden sposób wpływać na jego zapis symboliczny. Zdanie "... i ..." jest koniunkcją niezależnie od tego, co wstawimy w wykropkowane miejsca. Tak samo zdanie "Jeśli ... to ..." jest implikacją.
Potwierdzenie definicji Macjana przez wykładowcę logiki matematycznej na AGH Kraków.
[link widoczny dla zalogowanych]
@Wykład logiki matematycznej na AGH
Elementy logiki matematycznej
Logika matematyczna zajmuje się zdaniami logicznymi.
Zdanie logiczne, to zdanie gramatyczne orzekające, któremu można przypisać jedną z dwóch ocen (wartość) Prawda (TRUE, 1); Fałsz (FALSE, 0 ) (czyli zdania logiczne podlegają wartościowaniu). Nie są zdaniami logicznymi zdania pytające i rozkazujące.
Funktory logiczne (spójniki):
- jednoargumentowe (wystarczy jedno zdanie)
negacja - ~ - (nieprawda, że ...)
- dwuargumentowe (wymagają dwóch zdań) np.
koniunkcja - * - (...i... )
alternatywa - + - (...lub...)
implikacja - => - (jeżeli ..., to...)
równoważność - <=> - (...wtedy i tylko wtedy, gdy...)
Zero-jedynkowe definicje dwuargumentowych spójników logicznych to:
Kod: |
p q | p*q | p+q | p=>q | p<=>q
1 1 | 1 | 1 | 1 | 1
1 0 | 0 | 1 | 0 | 0
0 1 | 0 | 1 | 1 | 0
0 0 | 0 | 0 | 1 | 1
|
@Rafal3006
Jak widzimy, w wykropkowane miejsca możemy wstawiać cokolwiek, byleby temu „cokolwiek” dało się przypisać pojęcie prawdy (=1) albo fałszu (=0), co lokuje nas w definicji implikacji materialnej rodem z Klasycznego Rachunku Zdań.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 7:34, 10 Lip 2025, w całości zmieniany 3 razy
|
|
Powrót do góry |
|
 |
|
 |
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 39121
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 21:24, 06 Lip 2025 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
34.6 Prawo matematycznego głąba dla warunku koniecznego B1: 4L~>P
Spis treści
34.6 Algorytm Puchacza 1
34.7 Sztandarowy przykład implikacji odwrotnej 4L|=>P w zbiorach 3
34.7.1 Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach 8
34.8 Symboliczna definicja implikacji odwrotnej 4L||~>P 11
34.9 Prawo eliminacji warunku koniecznego 4L~>P 12
34.9.1 Twarde zera i miękkie jedynki w algebrze Boole’a 15
34.9.2 Tragedia zastosowania prawa eliminacji warunku koniecznego 4L~>P 19
34.9.3 Prawo matematycznego głąba dla warunku koniecznego B1: 4L~>P 20
34.10 Algebra Kubusia w obsłudze warunku koniecznego 4L~>P 21
34.6 Algorytm Puchacza
Definicja zdania startowego:
Zdanie startowe to zdanie od którego zaczynamy analizę matematyczną (nasz punkt odniesienia)
Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"
Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>
Kod: |
T0R
Rozszerzona tabela matematycznych związków warunków wystarczających =>
i koniecznych ~> dla potrzeb przykładów:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =? = 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =? = 4:~q=>~p=?
A': 1: p~~>~q=? 4:~q~~>p=?
## ## ## ##
B: 1: p~> q =? = 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =? = 4:~q~>~p=?
B': 2:~p~~>q=? 3: q~~>~p=?
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Kłapouchego (pkt. 2.7):
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego.
Algorytm Puchacza (pkt. 2.11):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.
5.
Prawo Puchacza (pkt. 2.10.1):
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza.
Rozłączne operatory implikacyjne to:
a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1)
b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1)
d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1)
e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1)
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
7.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia
Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie.
34.7 Sztandarowy przykład implikacji odwrotnej 4L|=>P w zbiorach
Typowe zadania z logiki matematycznej rozwiązujemy korzystając z algorytmu Puchacza.
Zadanie W1:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolne zwierzę ma cztery łapy to może być psem
Rozwiązanie:
Sprawdzamy warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza, czyli spełnienie punktów 1,2,3.
1.
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=4L=[pies, słoń ..] -zbiór zwierząt mających cztery łapy 4L
q=P=[pies] - zbiór jednoelementowy P (pies)
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Przyjmujemy wspólną dla p i q dziedzinę:
ZWZ – zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=[pies, słoń, kura ..]
Badamy spełnienie definicji wspólnej dziedziny dla p i q:
Dziedzina dla p:
p=4L=[pies, słoń ..]
p+~p = 4L+~4L =ZWZ – zbiór ~4L jest uzupełnieniem zbioru 4L do wspólnej dziedziny ZWZ
p*~p = 4L*~4L =[] – zbiór pusty, bo zbiory 4L i ~4L są rozłączne
Dziedzina dla q:
q=P=[pies]
q+~q = P+~P = ZWZ – zbiór ~P (nie pies) jest uzupełnieniem zbioru P (pies) do wspólnej dziedziny ZWZ
q*~q = P*~P=[] – zbiór pusty, bo zbiory P (pies) i ~P (nie pies) są rozłączne
3.
Zbiory p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych.
Sprawdzenie:
p=4L=[pies, słoń ..] -zbiór zwierząt mających cztery łapy 4L
q=P=[pies] – jednoelementowy zbiór P (pies)
ZWZ=[pies, słoń, kura ..] zbiór wszystkich zwierząt (wspólna dziedzina)
Stąd:
~p=~4L=ZWZ-4L]=[kura ..] – zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem zbioru 4L
~q=~P=[ZWZ-P]=[słoń, kura ..] – zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem P (psa)
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza
Analiza podstawowa (punkty 6 i 7 w algorytmie Puchacza):
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów (pkt 2.8):
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
6.
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q
A1.
Twierdzenie proste:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L) to na 100% => jest psem (P)
A1: 4L=>P =0
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona bo zbiór 4L=[pies, słoń ..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P=[pies] bo kontrprzykład np. słoń
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Posiadanie czterech łap (4L) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla bycia psem (P) bo zbiór zwierząt z czterema łapami 4L=[[pies, słoń ..] nie jest (=0) podzbiorem => jednoelementowego zbioru P=[pies]
cnd
7.
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Wybieramy twierdzenie odwrotne B3: q=>p (w stosunku do A1) bo warunek wystarczający => bez przeczeń zawsze dowodzi się najprościej.
Twierdzenie odwrotne w stosunku do A1:
B3.
Jeśli zwierzę jest psem (P) to na 100% => ma cztery łapy (4L)
B3: P=>4L =1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Bycie psem (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego by mieć cztery łapy (4L) bo jednoelementowy zbiór P=[pies] jest podzbiorem zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
cnd
Dla zdania B3 korzystamy z prawa Tygryska.
B3: q=>p = B1: p~>q
Nasz przykład:
B3: 4L=>P = B1: 4L~>P =1
Zauważmy, że na mocy prawa Tygryska udowadniając prawdziwość warunku wystarczającego B3: P=>4L=1 udowodniliśmy dowodem "nie wprost" prawdziwość warunku koniecznego B1: 4L~>P=1
Wypowiedzmy zdanie B1:
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery lapy (4L) to może ~> być psem (P)
B1: 4L~>P =1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Prawdziwości zdania B1 nie musimy udowadniać, bowiem prawdziwość tą gwarantuje nam prawo Tygryska.
Zauważmy że w zapisach formalnych mamy:[b]
Warunek wystarczający A1: p=>q =~p+q ## Warunek konieczny B1: p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
[b]Podsumowanie:
Fałszywość warunku wystarczającego A1: 4L=>P=0 i prawdziwość warunku koniecznego B1: 4L~>P=1 wymusza definicję implikacji odwrotnej 4L|~>P.
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Na mocy prawa Słonia mamy nasz przykład w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Implikacja odwrotna 4L|~>P w logice dodatniej (bo P) to spełniona wyłącznie relacja nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: 4L=>P=0 - zbiór 4L=[pies, słoń ..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P=[pies]
B1: 4L~>P=1 - zbiór 4L=[pies, słoń ..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P=[pies]
Stąd mamy:
A1B1: 4L|~>P= ~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
p=4L=[pies, słoń ..] – zbiór zwierząt z czterema łapami
q=P=[pies] – jednoelementowy zbiór [pies]
Stąd mamy diagram implikacji odwrotnej w zapisie formalnym p|~>q i aktualnym 4L|~>P:
Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach
Punkt odniesienia:
p=4L=[pies, słoń ..] – zbiór zwierząt z czterema łapami
q=P=[pies] – jednoelementowy zbiór [pies]
---------------------------------------------------------------------------
| q=P | ~q=~P |
|-------------------------------------------------------------------------|
| p=4L | ~p=~4L |
|-----------------------------------------------|-------------------------|
|B1: 4L~>P=1 (4L*P=1) |A1’: 4L~~>~P=4L*~P=1 |B2:~4L=>~P=1 (~4L*~P=1) |
---------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=B1: 4L*P+ A1’: 4L*~P+ B2:~4L*~P (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| B2’: ~4L~~>P=~4L*P=[]=0 - jedyny zbiór pusty to ~4L*P=[]=0 |
|-------------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach |
---------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
4L*P=1 - wynikowa jedynka oznacza tu niepustość zbioru: 4L*P=P=1
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Z diagramu DIO odczytujemy:
Dziedzina fizyczna implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach to suma logiczna zbiorów niepustych i rozłącznych:
D = B1: 4L*P + A1': 4L*~P + B2: ~4L*~P
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Podstawmy wyprowadzoną definicję implikacji odwrotnej 4L|~>P do tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu działającej wyłącznie w warunkach wystarczających.
Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 – zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 – zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 = 1*1=1
Na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia dla naszego przykładu to:
p=4L
q=P
Implikacja odwrotna 4L|~>P w zapisie aktualnym:
Implikacja odwrotna 4L|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: 4L=>P=0 – 4L nie jest (=0) wystarczające => dla P
bo 4L=[pies, słoń ..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P=[pies]
B1: 4L~>P=1 – 4L jest (=1) konieczne ~> dla P
bo 4L=[pies, słoń ..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P=[pies]
A1B1: 4L|~>P= ~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P)=~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej 4L|~>P
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q=0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p =0
A': 1: p~~>~q =1 4:~q~~> p =1
To samo w zapisie aktualnym:
A: 1: 4L=> P =0 2:~4L~>~P=0 [=] 3: P~> 4L =0 4:~P=>~4L =0
A': 1: 4L~~>~P=1 4:~P~~>4L =1
## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q=1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p =1
B': 2:~p~~> q=0 3: q~~>~p =0
To samo w zapisie aktualnym:
B: 1: 4L~> P =1 2:~4L=>~P=1 [=] 3: P=> 4L =1 4:~P~>~4L =1
B': 2:~4L~~>P=0 3: P~~>~4L=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawa Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Prawo Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii B
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań w linii A
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem na mocy praw Sowy mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO
Definicję implikacji odwrotnej 4L|~>P mamy w kolumnie A1B1:
Implikacja odwrotna 4L|~>P w logice dodatniej (bo P) to spełniona wyłącznie relacja nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: 4L=>P=0 - zbiór 4L=[pies, słoń ..]] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P=[pies]
B1: 4L~>P=1 - zbiór 4L=[pies, słoń..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P=[pies]
Stąd mamy:
A1B1: 4L|~>P= ~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
p= 4L=[pies, słoń..] – zbiór zwierząt z czterema łapami
q= P=[pies] – jednoelementowy zbiór [pies]
34.7.1 Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach
Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P w logice dodatniej (bo P) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o 4L (A1B1) i ~4L (A2B2):
A1B1: 4L|~>P =~(A1: 4L=> P)* (B1: 4L~>P) - co się stanie jeśli wylosujemy zwierzą mając 4L?
A2B2: ~4L|=>~P =~(A2:~4L~>~P)* (B2:~4L=>~P) - co się stanie jeśli wylosujemy zwierzę ~4L?
Gdzie:
p= 4L=[pies, słoń..] – zbiór zwierząt z czterema łapmi
q= P=[pies] – jednoelementowy zbiór [pies]
A1B1:
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie o zwierzęta z czterema łapami 4L:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru ZWZ wylosujemy zwierzę z czterema łapami (4L)?
A1: 4L=>P=0 – zbiór 4L=[pies, słoń ..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P=[pies]
B1: 4L~>P=1 – zbiór 4L=[pies, słoń ..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P=[pies]
A1B1: 4L|~>P= ~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P)=~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna 4L|~>P w logice dodatniej (bo P) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór 4L=[pies, słoń ..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P=[pies] (zdanie B1) i jednocześnie nie jest podzbiorem => zbioru P=[pies] (zdanie A1)
Patrz diagram DIO
Wniosek:
4L ## P - zbiory 4L i P są różne na mocy definicji ## (nie są tożsame)
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru ZWZ wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1.
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L) to może ~> być psem (P)
4L~>P =1
To samo w zapisie formalnym:
p~>q=1
Posiadanie czterech łap (4L) jest warunkiem koniecznym ~> by być psem (P) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór 4L=[pies, słoń] jest nadzbiorem ~> jednoelementowego zbioru P=[pies]
Dowód: Diagram DIO
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego A1: 4L=>P=0 determinuje prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L) to może ~~> nie być psem (~P)
4L~~>~P = 4L*~P =1
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Dowód wprost:
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów: 4L=[pies, słoń ..] i ~P=[słoń, kura ..] (np. słoń)
W dowodzeniu zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> szukamy wspólnego elementu zbiorów 4L i ~P, co kończy dowód prawdziwości zdania A1'
Z zapisu szczegółowego widzimy że zbiór 4L nie jest nadzbiorem ~> zbioru ~P, jak również nie jest podzbiorem => zbioru ~P bo „pies” jest w zbiorze 4L i nie ma go w zbiorze ~P
Dowód wprost widzimy także w diagramie DIO
Dowód "nie wprost":
Fałszywy warunek wystarczający A1: 4L=>P=0 na mocy definicji kontrprzykładu daje nam gwarancję matematyczną => prawdziwości kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L)?
Prawo Kubusia:
B1: 4L~>P = B2: ~4L=>~P =1
W zapisie formalnym:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Idziemy do kolumny A2B2
A2B2
W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie o zwierzęta bez czterech łap ~4L:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru ZWZ wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L)?
A2: ~4L~>~P =0 - zbiór ~4L=[kura..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~P=[słoń, kura..]
B2: ~4L=>~P =1 - zbiór ~4L=[kura ..] jest (=1) podzbiorem => zbioru ~P=słoń, kura..]
A2B2: ~4L|=>~P = ~(A2: ~4L~>~P)*(B2: ~4L=>~P) = ~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta ~4L|=>~P w logice ujemnej (bo ~P) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~4L=[kura ..] jest (=1) podzbiorem => zbioru ~P=[słoń, kura..] (B2) i jednocześnie nie jest (=0) nadzbiorem => zbioru ~P=[słoń, kura..] (A2)
Patrz diagram DIO
Wniosek:
~4L ## ~P - zbiory ~4L i ~P są różne na mocy definicji (nie są tożsame)
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru ZWZ wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L) to na 100% => nie jest psem (~P)
B2: ~4L=>~P=1
W zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Brak czterech łap (~4L) jest warunkiem wystarczającym => by nie być psem (P) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~4L=[kura..] jest podzbiorem zbioru ~P=[słoń, kura..]
Dowód wprost tego faktu odczytujemy z diagramu DIO
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~4L=>~P=1 determinuje fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L) to może ~~> być psem (P)
~4L~~>P = ~4L*P =0
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Rozłączności zbiorów ~4L=[kura..] i P=[pies] nie musimy dowodzić ponieważ wynika ona z prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~4L=>~P=1 (dowód nie wprost)
Podsumowanie:
1.
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” (zdania B1, A1’)
Czyli:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L) to zwierzę to może ~> być psem (P) o czym mówi zdanie B1, albo nie być psem o czym mówi zdanie A1’
2.
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L) to mamy gwarancję matematyczną => iż zwierzę to nie jest psem (~P) - mówi o tym zdanie B2
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~4L||=>~P to układ równań logicznych:
A2B2: ~4L|=>~P =~(A2:~4L~>~P)* (B2:~4L=>~P) - co się stanie jeśli zajdzie ~4L?
A1B1: 4L|~>P =~(A1: 4L=> P)* (B1: 4L~>P) - co się stanie jeśli zajdzie 4L?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~4L||=>~P w logice ujemnej (bo ~P) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P w logice dodatniej (bo P) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadania zdań tworzących operator implikacji odwrotnej 4L||~>P jest matematycznie bez znaczenia, co oznacza że linie B1, A1’ B2, B2’ można dowolnie przestawiać.
34.8 Symboliczna definicja implikacji odwrotnej 4L||~>P
Z analizy matematycznej operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P wyżej (pkt. 34.7.1) oraz z diagramu DIO odczytujemy symboliczną definicję operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P w wersji skróconej.
Z analizy matematycznej operatora implikacji odwrotnej p||~>q (pkt. 34.1.1) oraz z diagramu DIO odczytujemy symboliczną definicję operatora implikacji odwrotnej p||~>q w wersji skróconej.
Kod: |
IO1
Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P
A1B1:
Co może się wydarzyć gdy wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L)?
B1: 4L~> P =1 – posiadanie czterech łap 4L jest konieczne ~> by być psem P
A1’: 4L~~>~P=1 - kontrprzykład A1’ dla A1: 4L=>P=0 musi być prawdą
A2B2:
Co może się wydarzyć gdy wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L)?
B2: ~4L=>~P =1 – brak czterech łap (~4L) gwarantuje => nie bycie psem (~P)
B2’:~4L~~>P =0 - kontrprzykład B2’ dla B2:~4L=>~P=1 musi być fałszem
Gdzie:
p=4L, q=P
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dokładnie to samo w zapisie formalnym p||~>q, niezależnym od konkretnego przykładu po podstawieniu:
p=4L=[pies, słoń..] – zbiór zwierząt z czterema łapami
q=P=[pies] – jednoelementowy zbiór [pies]
Z analizy matematycznej operatora implikacji odwrotnej p||~>q (pkt. 34.1.1) oraz z diagramu DIP odczytujemy symboliczną definicję operatora implikacji odwrotnej p||~>q w wersji skróconej.
Kod: |
IO1
Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
B1: p~> q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1’: p~~>~q=1 - kontrprzykład A1’ dla A1: p=>q=0 musi być prawdą
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład B2’ dla B2:~p=>~q=1 musi być fałszem
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
34.9 Prawo eliminacji warunku koniecznego 4L~>P
Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach
Punkt odniesienia:
p=4L=[pies, słoń ..] – zbiór zwierząt z czterema łapami
q=P=[pies] – jednoelementowy zbiór [pies]
---------------------------------------------------------------------------
| q=P | ~q=~P |
|-------------------------------------------------------------------------|
| p=4L | ~p=~4L |
|-----------------------------------------------|-------------------------|
|B1: 4L~>P=1 (4L*P=1) |A1’: 4L~~>~P=4L*~P=1 |B2:~4L=>~P=1 (~4L*~P=1) |
---------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=B1: 4L*P+ A1’: 4L*~P+ B2:~4L*~P (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| B2’: ~4L~~>P=~4L*P=[]=0 - jedyny zbiór pusty to ~4L*P=[]=0 |
|-------------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach |
---------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
4L*P=1 - wynikowa jedynka oznacza tu niepustość zbioru: 4L*P=P=1
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Kod: |
IO1
Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P
A1B1:
Co może się wydarzyć gdy wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L)?
B1: 4L~> P =1 – posiadanie czterech łap 4L jest konieczne ~> by być psem P
A1’: 4L~~>~P=1 - kontrprzykład A1’ dla A1: 4L=>P=0 musi być prawdą
A2B2:
Co może się wydarzyć gdy wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L)?
B2: ~4L=>~P =1 – brak czterech łap (~4L) gwarantuje => nie bycie psem (~P)
B2’:~4L~~>P =0 - kontrprzykład B2’ dla B2:~4L=>~P=1 musi być fałszem
Gdzie:
p=4L, q=P
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Krokodyla (31.2)
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.
Zauważmy że:
1.
W tabeli IO1 po stronie 4L ( liniach B1 i A1’) mamy dwie miękkie jedynki (mogą zajść ale nie muszą) w zależności od iterowania po stronie 4L (diagram DIO)
Dokładniej:
Wyłącznie w linii B1 mamy spełniony warunek konieczny ~>:
B1: 4L~>P =1
Który na mocy prawa Kubusia:
B1: 4L~>P = B3: ~4L=>~P
wymusza prawdziwy warunek wystarczający => w linii B2 (albo odwrotnie)
2.
W tabeli IO1 po stronie ~4L mamy warunek wystarczający => definiowany wyłącznie linią B2 (twardą jedynką):
B2: ~4L=>~P =1 – brak czterech łap (~4L) jest warunkiem wystarczającym => by nie być psem (~P)
Innymi słowy:
B2: ~4L=>~P =1 – tylko wtedy gdy zbiór ~4L=[kura..] jest podzbiorem => zbioru ~P=[słoń, kura ..]
Co każdy 5-cio latek widzi.
Warunek wystarczający => w linii B2 (twarda jedynka) na mocy definicji kontrprzykładu wymusza twarde zero w linii B2’:
B2’: ~4L~~>P=~4L*P =0 – twarde zero bo zbiory ~4L=[kura..] i P=[pies] są rozłączne (diagram DIO)
Wniosek:
Tabela prawdy IO1 spełnia prawo Krokodyla.
Uwaga:
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> wynika z tabeli prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q, co udowodniono w punkcie 34.3.1.
Zapiszmy tabelę prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q w powiązaniu z algebrą Boole’a, gdzie legalne są wyłącznie spójniki „i”(*) i „lub”(+)
Kod: |
IO3
Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q
z uwzględnieniem definicji elementu wspólnego zbiorów p~~>q=p*q
Y=p+~q= B1: p*q + A1’: p*~q + B2:~p*~q
B1: p~> q =1 = p* q =1 -jeśli p~>q=1 to istnieje(=1) wspólny element p*q=1
A1’: p~~>~q=1 = p*~q =1 -istnieje (=1) wspólny element zbiorów p*~q
B2: ~p=>~q =1 =~p*~q =1 -jeśli ~p=>~q=1 to istnieje wspólny element ~p*~q=1
B2’:~p~~>q =0 =~p* q =0 -nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~p i q
1 2 3 4 5 6
|
Dokładnie to samo w zapisie aktualnym (nasz przykład) po podstawieniu:
p=4L=[pies, słoń ..] – zbiór zwierząt mających cztery łapy
q=P=[pies] – jednoelementowy zbiór [pies]
Kod: |
IO3
Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P
Patrz diagram DIO wyżej
A1B1:
Co może się wydarzyć gdy wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L)?
Y=4L+~P= B1: 4L*P + A1’: 4L*~P + B2: ~4L*~P
B1: 4L~> P =1 = 4L* P=1 – 4L~>P=1 to istnieje wspólny element 4L*P=1
A1’: 4L~~>~P=1 = 4L*~P=1 – istnieje wspólny element zbiorów 4L*~P=1 (słoń)
A2B2:
Co może się wydarzyć gdy wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L)?
B2: ~4L=>~P =1 = ~4L*~P=1 - ~4L=>~P=1 to istnieje wspólny element ~4L*~P=1
B2’:~4L~~>P =0 = ~4L* P=0 – nie istnieje wspólny element zbiorów ~4L i P
1 2 3 4 5 6
Gdzie:
p=4L, q=P
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo eliminacji warunku koniecznego ~>:
Y = (B1: 4L~>P) = 4L+~P
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa eliminacji warunku koniecznego B1: 4L~>P wyrażonego wyłącznie w linii B1 zdaniem warunkowym „Jeśli p to q” tabela I03: 123 ulega transformacji do tabeli IO3: 456 gdzie nie ma śladu warunku koniecznego ~>, gdzie mamy jedno twarde zero (B2’) i trzy miękkie jedynki (B1, A1’, B2)
Stąd mamy wyprowadzoną kluczową cechę algebry Boole’a.
Cecha algebry Boole’a
W algebrze Boole’a (wyłącznie spójniki „i”(*) i „lub”(+)) wszystkie zera są twarde (tzn. w żadnym iterowaniu nie staną się jedynkami), zaś wszystkie jedynki są miękkie tzn. mogą zajść ale nie muszą w zależności od konkretnego iterowania.
Dowód na przykładzie to prawo eliminacji warunku wystarczającego (tabela IO3: 456).
Prawo eliminacji warunku koniecznego ~>:
B1: p~>q = p+~q
Nasz przykład:
p=4L, q=P
Y = (B1: 4L~>P) = 4L+~P
Prawdziwy warunek konieczny ~> w linii B1:
B1: 4L~>P =1
Na mocy prawa Kubusia wymusza prawdziwy warunek wystarczający => w linii B2:
Prawo Kubusia:
B1: 4L~>P = B2: ~4L=>~P = 4L+~P
Prawdziwy warunek wystarczający:
B2:~4L=>~P =1
Wymusza fałszywy kontrprzykład w linii B2’:
B2’: ~4L~~>P = ~4L*P =0
Funkcja logiczna algebry Boole’a Y dla tabeli IP3: 456 która nas interesuje to:
Y = 4L+~P
Definicja operatora „lub”(|+):
Operator „lub”(|+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie Y oraz kiedy zajdzie ~Y.
Dla tabeli IO3: 456 w zapisach aktualnych mamy:
1.
Y = 4L+~P
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> 4L=1 lub ~P=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że może się zdarzyć (Y) iż ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L) lub nie będące psem (~P)
To jest ciężko zrozumiałe, gdy nie widzimy diagramu DIO
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
2.
Negujemy funkcję logiczną 1 stronami:
2.
~Y=~(4L+~P)=~4L*P – prawo De Morgana
~Y= ~4L*P
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> ~4L=1 i P=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że nie zdarzy się (~Y) iż ze zbioru wszystkich możliwych zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L) i będące psem (P)
To zdanie jest już zrozumiałe przez każdego 5-cio latka.
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Znaczenie zmiennej binarnej Y:
1: Y=1 – prawdą jest (=1), że może się zdarzyć (Y)
2: ~Y=1 – prawdą jest (=1), ze nie może się zdarzyć (~Y)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0)
Stąd zdanie tożsame do 2:
2: Y=0 – fałszem jest (=0) że zdarzy się (Y)
Doskonale widać fenomenalne prawo Prosiaczka, które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej (do stałej binarnej również – pkt. 1.4.4)
34.9.1 Twarde zera i miękkie jedynki w algebrze Boole’a
Cecha algebry Boole’a
W algebrze Boole’a (wyłącznie spójniki „i”(*) i „lub”(+)) wszystkie zera są twarde (tzn. w żadnym iterowaniu nie staną się jedynkami), zaś wszystkie jedynki są miękkie tzn. mogą zajść ale nie muszą w zależności od konkretnego iterowania.
Zobaczmy to na przykładzie symbolicznej tabeli prawdy IO3 (456) skolerowanej z tabelą zero-jedynkową IO2: 123 (pkt. 34.2.3)
Kod: |
IO3
Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P
Patrz diagram DIO wyżej
A1B1:
Co może się wydarzyć gdy wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L)?
Y=4L+~P= B1: 4L*P + A1’: 4L*~P + B2: ~4L*~P
B1: 4L~> P =1 = 4L* P=1 – 4L~>P=1 to istnieje wspólny element 4L*P=1
A1’: 4L~~>~P=1 = 4L*~P=1 – istnieje wspólny element zbiorów 4L*~P=1 (słoń)
A2B2:
Co może się wydarzyć gdy wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L)?
B2: ~4L=>~P =1 = ~4L*~P=1 - ~4L=>~P=1 to istnieje wspólny element ~4L*~P=1
B2’:~4L~~>P =0 = ~4L* P=0 – nie istnieje wspólny element zbiorów ~4L i P
1 2 3 4 5 6
Gdzie:
p=4L, q=P
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Z symbolicznej tabeli prawdy IO3: 456 łatwo odczytujemy definicją warunku koniecznego ~>:
B1: 4L~>P
w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) w zbiorach rozłącznych (patrz diagram DIO pkt. 34.9)
Definicja operatora „lub”(|+) widoczna w tabeli IP3: 456
Operator „lub”(|+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie Y oraz kiedy zajdzie ~Y
Z tabeli IO3: 456 odczytujemy:
1.
Y = 4L+~P = B1: 4L*P + A1’: 4L*~P + B2:~4L*~P
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y = B1: 4L=1 i P=1 lub A1’: 4L=1 i ~P=1 lub B2: ~4L=1 i ~P=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że zajdzie zdarzenie (Y) wtedy i tylko wtedy gdy ze zbioru wszystkich możliwych zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę:
B1: 4L*P =1*1=1 – mające cztery łapy (4L) i będące psem (P=1) np. pies
lub
A1’: 4L*~P=1*1=1 – mające cztery łapy (4L=1) i nie będące psem (~P=1) np. słoń
lub
B2: ~4L*~P=1*1=1 – nie mające czterech łap (~4L=1) i nie będące psem (~P=1) np. kura
Zauważmy, że dla prawdziwości funkcji cząstkowych (zdań) B1, A1’, B2 wystarczy pokazać po jednym elemencie z deklarowanych zbiorów. Nie analizujemy tu ani warunków wystarczających =., ani też warunków koniecznych ~>.
#
.. a kiedy zajdzie ~Y?
2.
Z tabeli IP3: 456 odczytujemy:
Y=0 <=> B2’: ~4L=1 i P=1
Prawo Prosiaczka:
(Y=0) = (~Y=1)
Stąd zapis tożsamy linii A1’:
~Y=1 <=> B2’: ~4L=1 i P=1
Jedynki w równaniu alternatywno-koniunkcyjnym są domyślne.
Stąd mamy:
~Y = B2’: ~4L*P
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B2’: ~4L=1 i P=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że nie zdarzy się (~Y), iż ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L=1 i będące psem (P=1)
Oczywistość na mocy diagramu DIO wyżej zapisanego.
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Znaczenie zmiennej binarnej Y:
1: Y=1 – prawdą jest (=1), że może się zdarzyć (Y)
2: ~Y=1 – prawdą jest (=1), ze nie może się zdarzyć (~Y)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0)
Stąd zdanie tożsame do 2:
2: Y=0 – fałszem jest (=0) że zdarzy się (Y)
Doskonale widać fenomenalne prawo Prosiaczka, które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej (do stałej binarnej również – pkt. 1.4.4)
Cecha algebry Boole’a
W algebrze Boole’a (wyłącznie spójniki „i”(*) i „lub”(+)) wszystkie zera są twarde (tzn. w żadnym iterowaniu nie staną się jedynkami), zaś wszystkie jedynki są miękkie tzn. mogą zajść ale nie muszą w zależności od konkretnego iterowania.
Z tabeli IO3 widzimy, że mamy wspólne twarde zero w linii B2’ niezależne od tego czy mówimy o spójnikach implikacyjnych {IO3: 123), czy też o spójnikach algebry Boole’a (IO3: 456)
Zauważmy, że po skorzystaniu z prawa eliminacji warunku koniecznego ~>:
A1: 4L~>P = B2:~P=>~4L = P+~4L
czyli po transformacji tabeli IP3 (123) do tabeli IP3 (456) warunek wystarczający => (twarda jedynka) widniejący wyłącznie w linii B2:~4L=>~P został zastąpiony miękką jedynką IP3 (456)
Dowód tego faktu jest trywialny:
Z definicji operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P wyrażonego algebrą Boole’a (IP3: 456) wynika dziedzina fizyczna na której operujemy:
Y = B1: 4L*P + A1’: 4L*~P + B2:~4L*~P
Z diagramu DIO implikacji odwrotnej 4L|~>P (pkt. 34.9) wynika, że nigdy nie wylosujemy elementu należącego do zbioru B2’ bo ten zbiór jest zbiorem pustym
B2’: ~4L*P=[]=0
A1’: Y=P*~4L=[]=0
Zapiszmy jeszcze raz równanie algebry Boole’a dla funkcji logicznej Y w zbiorach/zdarzeniach rozłącznych doskonale widocznych w tabeli IO3: 456 oraz na diagramie DIO (34.9)
Y = B1: 4L*P + A1’: 4L*~P + B2:~4L*~P
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> B1: 4L=1 i P=1 lub A1’: 4L=1 i ~P=1 lub B2: ~4L=1 i ~P=1
Dowód iż mamy tu do czynienia z trzema miękkimi jedynkami jest trywialny, należy po prostu rozpatrzyć trzy możliwe tu iterowania.
Iterowanie 1
Funkcja logiczna Y w zbiorach/zdarzeniach rozłącznych to:
Y = B1: 4L*P + A1’: 4L*~P + B2:~4L*~P
Załóżmy, że wylosowano element ze zbioru:
Y(B1) = B1: 4L*P
co w logice jedynek oznacza:
Y(B1) = B1: 4L=1 i P=1
Prawo Prosiaczka:
(4L=1) = (~4L=0)
(P=1) = (~P=0)
Podstawmy to do funkcji logicznej Y(B1):
Y(B1) = B1: 4L*P=1*1=1 + A1”: 4L*~P = 1*0=0 + B2: ~4L*~P=0*0=0
Y(B1) = B1: 4L*P=1*1=1
Y(B1) = B1: 4L=[pies, słoń ..]*P=[pies] =1 - bo istnieje (=1) wspólny element 4L i P np. pies
Doskonale widać, że dla iterowania B1 mamy do czynienia z jedną miękką jedynką (B1) i dwoma miękkimi zerami (A1’, B2)
Iterowanie 2
Funkcja logiczna Y w zbiorach/zdarzeniach rozłącznych to:
Y = B1: 4L*P + A1’: 4L*~P + B2: ~4L*~P
Załóżmy, że wylosowano element ze zbioru:
Y(A1’) = A1’: 4L*~P
co w logice jedynek oznacza:
Y(A1’) = A1’: 4L=1 i ~P=1
Prawo Prosiaczka:
(4L=1) = (~4L=0)
(~P=1) = (P=0)
Podstawmy to do funkcji logicznej Y(A1’):
Y(A1’) = B1: 4L*P=1*0=0 + A1’: 4L*~P=1*1=1 + B2: ~4L*~P=0*1=0
Y(A1’) = A1’: 4L*~P=1*1=1
Doskonale widać, że dla iterowania A1’ mamy do czynienia z jedną miękką jedynką (A1’) i dwoma miękkimi zerami (B1, B2)
Iterowanie 3
Funkcja logiczna Y w zbiorach/zdarzeniach rozłącznych to:
Y = B1: 4L*P + A1’: 4L*~P + B2: ~4L*~P
Załóżmy, że wylosowano element ze zbioru:
Y(B2) = B2: ~4L*~P
co w logice jedynek oznacza:
Y(B2) = B2: ~4L=1 i ~P=1
Prawo Prosiaczka:
(~4L=1) = (4L=0)
(~P=1) = (P=0)
Podstawmy to do funkcji logicznej Y(B2):
Y(B2) = B1: 4L*P=0*0=0 + A1’: 4L*~P=0*1=0 + B2: ~4L*~P=1*1=1
Y(B2) = B2: ~4L*~P=1*1=1
Doskonale widać, że dla iterowania B2 mamy do czynienia z jedną miękką jedynką (B2) i dwoma miękkimi zerami (B1, A1’)
Jak widzimy, rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki miękkich jedynek w zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~>
B1: 4L~>P = B2: ~4L=>~P
wyrażonego algebrą Boole’a, czyli wyłącznie w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) co kończy dowód prawdziwości cechy algebry Boole’a dla naszych tabel prawdy IO2 i IO3.
Cecha algebry Boole’a
W algebrze Boole’a (wyłącznie spójniki „i”(*) i „lub”(+)) wszystkie zera są twarde (tzn. w żadnym iterowaniu nie staną się jedynkami), zaś wszystkie jedynki są miękkie tzn. mogą zajść ale nie muszą w zależności od konkretnego iterowania.
34.9.2 Tragedia zastosowania prawa eliminacji warunku koniecznego 4L~>P
Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach
Punkt odniesienia:
p=4L=[pies, słoń ..] – zbiór zwierząt z czterema łapami
q=P=[pies] – jednoelementowy zbiór [pies]
---------------------------------------------------------------------------
| q=P | ~q=~P |
|-------------------------------------------------------------------------|
| p=4L | ~p=~4L |
|-----------------------------------------------|-------------------------|
|B1: 4L~>P=1 (4L*P=1) |A1’: 4L~~>~P=4L*~P=1 |B2:~4L=>~P=1 (~4L*~P=1) |
---------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=B1: 4L*P+ A1’: 4L*~P+ B2:~4L*~P (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| B2’: ~4L~~>P=~4L*P=[]=0 - jedyny zbiór pusty to ~4L*P=[]=0 |
|-------------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach |
---------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
4L*P=1 - wynikowa jedynka oznacza tu niepustość zbioru: 4L*P=P=1
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Kod: |
IO3
Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P
Patrz diagram DIO wyżej
A1B1:
Co może się wydarzyć gdy wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L)?
Y=4L+~P= B1: 4L*P + A1’: 4L*~P + B2: ~4L*~P
B1: 4L~> P =1 = 4L* P=1 – 4L~>P=1 to istnieje wspólny element 4L*P=1
A1’: 4L~~>~P=1 = 4L*~P=1 – istnieje wspólny element zbiorów 4L*~P=1 (słoń)
A2B2:
Co może się wydarzyć gdy wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L)?
B2: ~4L=>~P =1 = ~4L*~P=1 - ~4L=>~P=1 to istnieje wspólny element ~4L*~P=1
B2’:~4L~~>P =0 = ~4L* P=0 – nie istnieje wspólny element zbiorów ~4L i P
1 2 3 4 5 6
Gdzie:
p=4L, q=P
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zapiszmy jeszcze raz równanie algebry Boole’a dla funkcji logicznej Y w zbiorach/zdarzeniach rozłącznych doskonale widocznych w tabeli IO3: 456.
Y = B1: p*q + A1’: p*~q + B2: ~p*~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> B1: p=1 i q=1 lub A1’: p=1 i ~q=1 lub B2: ~p=1 i ~q=1
Zauważmy, że w świecie fizycznym po zastosowaniu prawa eliminacji warunku koniecznego ~>:
Y = (B1: p~>q) =p+~q
będziemy mieli do czynienia ze zdaniem zawsze prawdziwym tzn. obojętnie jaki element z dziedziny D wylosujemy to zdanie skolerowane z tym losowaniem zawsze będzie zdaniem prawdziwym.
Dowód w poprzednim punkcie.
Zauważmy, że z tabeli IO3: 456 oraz z diagramu DIP wynika, iż zbór B2’ jest zbiorem pustym:
Y(B2’)=~p*q=[] =0
Zatem fizycznie nie mamy szans na wylosowanie choćby jednego elementu z tego zbioru.
W logice matematycznej wszelkie zdania zawsze prawdziwe to matematyczne bezwartościowe gnioty, bo nie ma tu śladu ani warunku wystarczającego A1: p=>q, ani też warunku koniecznego wynikającego z prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
B2:~p=>~q = B1: p~>q
Najprostszy dowód bezsensu zdań zawsze prawdziwych to przykłady na poziomie szkoły podstawowej które znajdziemy w punkcie 1.2.2
34.9.3 Prawo matematycznego głąba dla warunku koniecznego B1: 4L~>P
Definicja warunku koniecznego ~> dla naszego przykładu:
B1.
Jeśli dowolne zwierzę ma cztery łapy (4L) to może ~> być psem (P)
4L~>P =1
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Posiadanie czterech łap (4L) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> by być psem (P) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..] jest nadzbiorem ~> jednoelementowego zbioru P=[pies]
Co każdy 5-cioo latek widzi.
Graficzny dowód wprost: diagram DIO
Najprostszy, formalny dowód prawdziwości warunku koniecznego ~>:
B1: 4L~>P
to samo w zapisie formalnym:
B1: p=>q
to skorzystanie z prawa Tygryska:
B1: p=>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B1: 4L~>P = B3: P=>4L
Gdzie:
B3: P=>4L
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p
to łatwe w dowodzeniu matematyczne twierdzenie odwrotne B3: q=>p względem twierdzenie prostego A1: p=>q
Prawo matematycznego głąba:
Dowolny ziemski matematyk który po udowodnieniu prawdziwości warunku koniecznego B1: 4L~>P skorzysta z prawa eliminacji warunku koniecznego ~>:
4L~>P = 4L+~P
przechodząc do algebry Boole’a (wyłącznie spójniki „i”(*) i „lub”(+)) jest matematycznym głąbem, bo jest mordercą algebry Kubusia, logiki matematycznej której ekspertami są 5-cio latki i humaniści.
Innymi słowy:
Po zastosowaniu prawa eliminacji warunku koniecznego ~>, jak sama nazwa słusznie wskazuje mordujemy fundament algebry Kubusia, czyli matematyczną obsługę zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>
W logice matematycznej eliminując warunek konieczny ~> automatycznie eliminujemy związany z nim warunek wystarczający =>, bo prawo Kubusia:
B1: 4L~>P = B2: ~4L=>~P
to samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Skutek:
Dostajemy ślepą logikę matematyczną bez jakiegokolwiek warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>.
Innymi słowy:
W logice „matematycznej” ziemskich matematyków wykopujemy w kosmos poniższy fundament algebry Kubusia:
Kod: |
IO1
Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P
A1B1:
Co może się wydarzyć gdy wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L)?
B1: 4L~> P =1 – posiadanie czterech łap 4L jest konieczne ~> by być psem P
A1’: 4L~~>~P=1 - kontrprzykład A1’ dla A1: 4L=>P=0 musi być prawdą
A2B2:
Co może się wydarzyć gdy wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L)?
B2: ~4L=>~P =1 – brak czterech łap (~4L) gwarantuje => nie bycie psem (~P)
B2’:~4L~~>P =0 - kontrprzykład B2’ dla B2:~4L=>~P=1 musi być fałszem
Gdzie:
p=4L, q=P
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
34.10 Algebra Kubusia w obsłudze warunku koniecznego 4L~>P
Przypomnijmy nasza tabelę prawdy wiążącą algebrę Kubusia IP3: 123 z algebrą Boole’a IP3: 456
Kod: |
IO3
Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P
Patrz diagram DIO wyżej
A1B1:
Co może się wydarzyć gdy wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L)?
Y=4L+~P= B1: 4L*P + A1’: 4L*~P + B2: ~4L*~P
B1: 4L~> P =1 = 4L* P=1 – 4L~>P=1 to istnieje wspólny element 4L*P=1
A1’: 4L~~>~P=1 = 4L*~P=1 – istnieje wspólny element zbiorów 4L*~P=1 (słoń)
A2B2:
Co może się wydarzyć gdy wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L)?
B2: ~4L=>~P =1 = ~4L*~P=1 - ~4L=>~P=1 to istnieje wspólny element ~4L*~P=1
B2’:~4L~~>P =0 = ~4L* P=0 – nie istnieje wspólny element zbiorów ~4L i P
1 2 3 4 5 6
Gdzie:
p=4L, q=P
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zapiszmy jeszcze raz równanie algebry Boole’a dla funkcji logicznej Y w zbiorach/zdarzeniach rozłącznych doskonale widocznych w tabeli IP3: 456 oraz na diagramie DIP (3.9)
Y = B1: 4L*P + A1’: 4L*~P + B2:~4L*~P
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> B1: 4L=1 i P=1 lub A1’: 4L=1 i ~P=1 lub B2: ~4L=1 i ~P=1
Na dzień dzisiejszy, ziemscy matematycy nie znając poprawnej obsługi wszelkich zdań warunkowych definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~> IO3: 123 obligatoryjnie stosują prawo eliminacji warunku koniecznego ~>
B1: 4L~>P = 4L+~P
widząc poprawnie matematycznie tylko i wyłącznie tabelę prawdy algebry Boole’a IO3: 456
Wniosek:
Ziemska logika matematyczna jest ślepa, matematycznie nie widzi żadnego zarówno warunku koniecznego ~> jak i żadnego warunku wystarczającego =>
W przeciwieństwie do KRZ algebra Kubusia widzi kompletną tabelę prawdy IO3.
Z tabeli IO3 doskonale widać, że warunek konieczny B1: 4L~>P zapisany jest tylko i wyłącznie w linii B1 tabeli symbolicznej IO3:123
Szczegółową obsługę warunku koniecznego B1: 4L~>P w algebrze Kubusia znajdziemy w punkcie 34.7
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 21:25, 06 Lip 2025, w całości zmieniany 1 raz
|
|
Powrót do góry |
|
 |
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 39121
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 21:27, 06 Lip 2025 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
35.0 Prawo matematycznego głąba i jełopa w operatorze równoważności p|<=>q
Spis treści
35.0 Prawo matematycznego głąba i jełopa w operatorze równoważności p|<=>q 1
35.1 Podstawowa definicja równoważności p<=>q w zbiorach 3
35.1.1 Prawa Słonia dla zbiorów 4
35.1.2 Matematyczna definicja równoważności p<=>q w zbiorach 4
35.1.3 Prawo Irbisa w zbiorach 5
35.2 Tabela prawdy równoważności p<=>q w zbiorach 6
35.3 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach 7
35.4 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach 8
35.4.1 Operator równoważności p|<=>q 10
35.4.2 Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q 12
35.4.3 Prawo Krokodyla w operatorze równoważności p|<=>q 12
35.5 Równoważność p<=>q w bramkach logicznych 13
35.5.1 Równoważność p<=>q definiowana warunkami wystarczającymi => 15
35.6 Prawo eliminacji równoważności p<=>q 18
35.6.1 Prawo matematycznego głąba dla równoważności p<=>q 21
35.7 Prawo matematycznego jełopa dla równoważności p<=>q 21
35.0 Prawo matematycznego głąba i jełopa w operatorze równoważności p|<=>q
Aktualna logika matematyczna ziemskich matematyków jest w 100% logiką schizofreniczną, mającą zerowy związek z otaczającym nas światem rzeczywistym, czego dowodem są prawa matematycznego głąba i jełopa w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q wyprowadzone w niniejszym punkcie.
Ogólne prawo matematycznego głąba:
Matematycznym głąbem jest każdy matematyk, który w matematycznej obsłudze zdania warunkowego „Jeśli p to q” zastosuje:
Prawo eliminacji warunku wystarczającego => (implikacja prosta p|=>q)
p=>q = ~p+q
lub
##
p~>q = p+~q
prawo eliminacji warunku koniecznego => (implikacja odwrotna p|~>q)
lub
##
Prawo eliminacji równoważności p<=>q
p<=>q = p*q + ~p*~q
Gdzie:
## - pojęcia różne na mocy definicji
Uzasadnienie:
Stosując wyżej wymienione prawa (co w ziemskiej logice „matematycznej” jest obligatoryjne) zabijamy istotę zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.
Ogólne prawo matematycznego jełopa:
Matematycznym jełopem jest każdy fanatyk KRZ który korzysta z ziemskiej definicji implikacji podanej przez Macjana, potwierdzonej przez wykładowcę logiki „matematycznej” na AGH, która w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” nie wymaga badania jakiejkolwiek relacji w zbiorach między poprzednikiem p i następnikiem q.
Dowód iż definicja ziemskiej implikacji nie ma nic wspólnego z warunkiem wystarczającym => w rozumieniu algebry Kubusia to aktualnie obowiązująca definicja ziemskiej implikacji =>, podana przez Macjana, potwierdzona przez wykładowcę logiki matematycznej na AGH.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/elementarz-algebry-boole-a-irbisol-macjan-str-10,2605-240.html#55877
@Macjan
Zrozum - treść zdania, czyli to, o czym ono mówi, nie może w żaden sposób wpływać na jego zapis symboliczny. Zdanie "... i ..." jest koniunkcją niezależnie od tego, co wstawimy w wykropkowane miejsca. Tak samo zdanie "Jeśli ... to ..." jest implikacją.
Potwierdzenie definicji Macjana przez wykładowcę logiki matematycznej na AGH Kraków.
[link widoczny dla zalogowanych]
@Wykład logiki matematycznej na AGH
Elementy logiki matematycznej
Logika matematyczna zajmuje się zdaniami logicznymi.
Zdanie logiczne, to zdanie gramatyczne orzekające, któremu można przypisać jedną z dwóch ocen (wartość) Prawda (TRUE, 1); Fałsz (FALSE, 0 ) (czyli zdania logiczne podlegają wartościowaniu). Nie są zdaniami logicznymi zdania pytające i rozkazujące.
Funktory logiczne (spójniki):
- jednoargumentowe (wystarczy jedno zdanie)
negacja - ~ - (nieprawda, że ...)
- dwuargumentowe (wymagają dwóch zdań) np.
koniunkcja - * - (...i... )
alternatywa - + - (...lub...)
implikacja - => - (jeżeli ..., to...)
równoważność - <=> - (...wtedy i tylko wtedy, gdy...)
Zero-jedynkowe definicje dwuargumentowych spójników logicznych to:
Kod: |
p q | p*q | p+q | p=>q | p<=>q
1 1 | 1 | 1 | 1 | 1
1 0 | 0 | 1 | 0 | 0
0 1 | 0 | 1 | 1 | 0
0 0 | 0 | 0 | 1 | 1
|
@Rafal3006
Jak widzimy, w wykropkowane miejsca możemy wstawiać cokolwiek, byleby temu „cokolwiek” dało się przypisać pojęcie prawdy (=1) albo fałszu (=0), co lokuje nas w definicji implikacji materialnej rodem z Klasycznego Rachunku Zdań.
Uwagi:
1.
Warunkiem koniecznym zrozumienia niniejszego punktu jest przeczytanie ze zrozumieniem fundamentów algebry Kubusia dla teorii zbiorów zawartych w punkcie 13.0
2.
Aktualna logika matematyczna ziemskich matematyków jest w 100% logiką schizofreniczną, mającą zerowy związek z otaczającym nas światem rzeczywistym, czego dowodem są prawa matematycznego głąba i jełopa w operatorze równoważności p|<=>q wyprowadzone w niniejszym punkcie.
Bezdyskusyjnie najcenniejszą definicją w całym obszarze matematyki dla potrzeb matematyki klasycznej, świata techniki i programowania komputerów jest definicja równoważności p<=>q której istoty póki co ziemscy matematycy nie rozumieją, mimo że poprawnie matematycznie ją udowadniają.
Nie rozumieją dlatego, że nie znają kluczowych tu zero-jedynkowych definicji warunku wystarczającego => (2.3.2) i koniecznego ~> (2.3.3), praw Słonia (2.8), prawa Irbisa (2.9), oraz definicji kontrprzykładu dla zbiorów (2.3.4) w interpretacji z algebry Kubusia.
Mówiąc dosadnie: 100% definicji rodem z Klasycznego Rachunku Zdań jest do bani.
Przykładowo:
Równoważność Pitagorasa TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK (i odwrotnie) o czym matematycy nie wiedzą.
35.1 Podstawowa definicja równoważności p<=>q w zbiorach
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Do tego by zaszło q potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by zaszło p
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: kilkanaście tysięcy
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: kilkanaście tysięcy
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: kilkanaście tysięcy
35.1.1 Prawa Słonia dla zbiorów
I Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
Y = A1: p=>q = ~p+q
##
II Prawo Słonia dla zbiorów:
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
Y = B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
Stąd korzystając z prawa Słonia dla zbiorów możemy wygenerować dużą ilość tożsamych definicji równoważności p<=>q.
35.1.2 Matematyczna definicja równoważności p<=>q w zbiorach
1.
Matematyczna definicja równoważności p<=>q (znana każdemu matematykowi):
Równoważność p<=>q to jednoczesna prawdziwość matematycznego twierdzenia prostego A1: p=>q i matematycznego twierdzenia odwrotnego B3: q=>p
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q, twierdzenie proste A1.
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p, twierdzenie odwrotne (względem A1)
Stąd mamy:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
2.
Definicja równoważności wyrażona relacjami podzbioru =>
Równoważność p<=>q to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B3: q=>p =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
Stąd mamy:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Stąd mamy wprowadzone kluczowe w równoważności prawo Irbisa.
35.1.3 Prawo Irbisa w zbiorach
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p)= A1B3: p<=>q
Tą definicję tożsamości zbiorów zna każdy matematyk.
Innymi słowy:
Każda kolumnowa równoważność prawdziwa p<=>q (pkt. 2.9.1) definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B3: p=q <=> A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)
Na mocy prawa Słonia prawo Irbisa możemy też zapisać w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>.
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Tożsamy dowód bezpośredni:
Na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) siebie samego.
Korzystając z prawa Słonia prawo Irbisa możemy też zapisać w warunkach koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1).
Na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa.
35.2 Tabela prawdy równoważności p<=>q w zbiorach
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q=1
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważność <=>:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1 [=] 5: p*q+~p*~q
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
I Prawo Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
##
II Prawo Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Tożsamość zbiorów jest przemienna, stąd mamy:
Kod: |
Równoważność <=>: | Równoważność <=>:
A1B1: A3B3: | A2B2: A4B4:
AB: 1: p<=>q=1 = 3: q<=>p=1 [=] 2: ~p<=>~q = 4:~q<=>~p=1 [=] 5: p*q+~p*~q
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q = 3: q=p # 2: ~p=~q = 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Zauważmy że:
Z przemienności zbiorów:
1: p=q = 3: q=p
Wynika przemienność argumentów w równoważności:
1: p<=>q = 3: q<=>p
Wniosek:
W matematycznym opisie równoważności potrzeba i wystarcza opisać matematyczne związki między kolumnami A1B1 i A2B2.
Kolumnowe prawo Irbisa (2.9.1):
Każda kolumnowa równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p=q
Uwaga:
Kolumnowe prawo Irbisa jest domyślne, stąd zachodzi tożsamość pojęć:
Prawo Irbisa = Kolumnowe prawo Irbisa
##
Międzykolumnowe prawo Irbisa (2.9.1) :
Każda międzykolumnowa równoważność prawdziwa definiuje tożsamość dowodów matematycznych po obu stronach znaczka tożsamości logicznej [=]
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
Czytamy:
Udowodnienie prawdziwości A1B1: p<=>q wymusza prawdziwość A2B2: ~p<=>~q (i odwrotnie)
Uwaga:
Międzykolumnowe prawo Irbisa nie jest domyślne, zatem za każdym razem musimy zaznaczyć, iż chodzi nam o dokładnie to prawo.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
35.3 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie zbiory p, ~p, q i ~q będą niepuste (rozpoznawalne), co doskonale widać na diagramie DR niżej.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) dla zbioru q
Wniosek:
Musi zachodzić tożsamość zbiorów p=q bowiem wtedy i tylko wtedy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1: p~>q).
Dowód
Każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd mamy diagram równoważności p<=>q w zbiorach:
Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
definiujący tożsamość zbiorów p=q.
---------------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|---------------------------------|---------------------------------------|
| q | ~q |
|---------------------------------|---------------------------------------|
|Definicja równoważności: | Definicja równoważności: |
|A1B1: p<=>q=(A1:p=>q)*(B1:p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
|Definiuje tożsamość zbiorów | Definiuje tożsamość zbiorów: |
| p=q # ~p=~q |
---------------------------------------------------------------------------
| A1: p=>q=1 (p*q=1) | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q - suma logiczna zbiorów niepustych A1 i B2 |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty |
|-------------------------------------------------------------------------|
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
[=] - tożsamość logiczna
# - dowolna strona znaku # jest negacją drugiej strony
p#~p
p=~(~p) - prawo podwójnego przeczenia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
p+~p=D=1
p*~p=[]=0
Dowód: diagram DR
3.
W definicji równoważności p<=>q nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
35.4 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Uwagi:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Ax wymuszają fałszywe kontrprzykłady Ax'
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Bx wymuszają fałszywe kontrprzykłady Bx'
Stąd mamy:
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa i definicji kontrprzykładu obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważności <=>:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość pozostałych zdań w tej linii
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość pozostałych zdań w tej linii
Zauważmy że:
1.
Definicję równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) mamy w kolumnie A1B1.
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Wnioski:
a) Równoważność A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) daje odpowiedź na pytanie o p.
b) Równoważność A1B1: p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
2.
Definicję równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) mamy w kolumnie A2B2.
A2B2:
Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Wnioski:
a) Równoważność A2B2: ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) daje odpowiedź na pytanie o ~p.
b) Równoważność A2B2: ~p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
35.4.1 Operator równoważności p|<=>q
Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1) i jednocześnie zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1)
Wniosek:
Zbiory p i q są tożsame p=q
Dowód: diagram DR
A1B1
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli dowolny element z dziedziny D należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru q
p=>q =1
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p jest (=1) warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Dowód: diagram DR
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q wymusza fałszywy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to może ~~> należeć do zbioru ~q
p~~>~q=p*~q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p i ~q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania A1' na mocy definicji kontrprzykładu.
Dowód wprost: diagram DR
… a jeśli zajdzie ~p?
Idziemy do kolumny A2B2.
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście ~p jest (=1) konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> (A2) i jednocześnie jest podzbiorem => (B2) zbioru ~q
Wniosek:
Zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q
Dowód: diagram DR
A2B2
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
B2
Jeśli dowolny element z dziedziny D należy do zbioru ~p to na 100% => należy do zbioru ~q
~p=>~q =1
Przynależność elementu do zbioru ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jego przynależności do zbioru ~q
Na mocy prawa Słonia dla zbiorów czytamy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p jest warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Dowód: diagram DR
Prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2' (i odwrotnie)
B2'
Jeśli dowolny element należy do zbioru ~p to może ~~> należeć do zbioru q
~p~~>q = ~p*q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~p i q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania B2' na mocy definicji kontrprzykładu.
Dowód wprost: diagram DR
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności p|<=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2)
W operatorze równoważności p|<=>q nie ma miejsca na jakiekolwiek "rzucanie monetą" w sensie "na dwoje babka wróżyła", jak to miało miejsce w operatorze implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co się stanie jak zajdzie ~p?
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jak zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności A2B2: ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora równoważności A1B1: p|<=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
35.4.2 Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q
Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q na mocy powyższej analizy:
Kod: |
TR1
Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1: p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Twarda jedynka w A1 wymusza twarde zero w A1' (i odwrotnie)
A1': p~~>~q=0 - prawdziwość A1: p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu A1'
Twarde zero w A1' wymusza twardą jedynkę w A1 (i odwrotnie)
A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Twarda jedynka w B2 wymusza twarde zero w B2' (i odwrotnie)
B2':~p~~>q =0 - prawdziwość B2:~p=>~q wymusza fałszywość kontrprzykładu B2'
Twarde zero w B2' wymusza twardą jedynkę w B2 (i odwrotnie)
|
35.4.3 Prawo Krokodyla w operatorze równoważności p|<=>q
Prawo Krokodyla (pkt. 31.2):
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.
Definicja twardej jedynki:
W zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" twarda jedynka to spełniony warunek wystarczający => w analizie matematycznej zdania "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, przy pomocy znaczków elementarnych =>, ~> i ~~>.
A1: p=>q =1 - twarda jedynka
B2: ~p=>~q =1 – twarda jedynka
Definicja twardego zera:
W zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" na mocy definicji kontrprzykładu spełniony warunek wystarczający A1: p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu w linii A1' (i odwrotnie)
A1': p~~>~q = p*~q =0 - twarde zero
B2’: ~p~~>q =~p*q =0 – twarde zero
Notacja w algebrze Kubusia:
Przez A1' oznaczamy kontrprzykład dla warunku wystarczającego A1
Wniosek:
Jak widzimy, w operatorze równoważności p|<=>q mamy dwie twarde jedynki (A1 i B2) oraz dwa twarde zera (A1', B2'), co oznacza spełnienie prawa Krokodyla i brak wewnętrznej sprzeczności algebry Kubusia.
c.n.d.
35.5 Równoważność p<=>q w bramkach logicznych
Kod: |
TW
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
p q Y=(p=>q)=~p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1
|
##
Kod: |
TK
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
p q Y=(p~>q)=p+~q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y w tej samej logice (tu dodatniej bo Y) są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach p i q mają różne kolumny wynikowe Y
Zauważmy, że w definicjach TW i TK definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest perfekcyjnie spełniona.
Poznajmy teraz definicję równoważności p<=>q w bramkach logicznych (pkt. 11.7.3)
Równoważność p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Gdzie:
<=> - spójnik „wtedy i tylko wtedy” z języka potocznego
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Do tego by zaszło q jest (=1) potrzebne ~> (B1) i wystarczające => (A1) by zaszło p
Prawo Irbisa (mówiące o tożsamości pojęć/zbiorów):
Dwa pojęcia/zbiory są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego w spójniach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd:
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=(~p+q)*(p+~q)=~p*p+~p* ~q+q* p+q*~q =p*q+~p*~q
Do zapamiętania:
p<=>q = p*q+~p*~q
Realizacja równoważności p<=>q w bramkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod: |
S1
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1
Fizyczna realizacja równoważności p<=>q w bramkach logicznych:
------------ -----------
p ------|o => | Ya=(p=>q)=~p+q | |
| |-------------------| | Y=Ya*Yc=
q ------| | | Bramka: | p<=>q=(p=>q)*(p~>q)
------------ | „i”(*) |---------------------->
------------ | | p<=>q=(~p+q)*(p+~q)
p ------| ~> | Yc=(p~>q)=p+~q | | p<=>q=p*q+~p*~q
| |-------------------| |
q ------|o | | |
------------ -----------
Gdzie:
o - symbol negatora (~)
Fizyczna realizacja równoważności p<=>q w bramkach logicznych:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym:
Definicje => i ~> | Dowód zero-jedynkowy
p q p=>q | p~>q | p<=>q=(p=>q)*(p~>q) ~p ~q p*q ~p*~q p<=>q=p*q+~p*~q
A: 1 1 1 | 1 | 1 0 0 1 0 1
B: 1 0 0 | 1 | 0 0 1 0 0 0
C: 0 0 1 | 1 | 1 1 1 0 1 1
D: 0 1 1 | 0 | 0 1 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Doskonale widać zachodzącą tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
5: p<=>q = (p=>q)*(p~>q) [=] 10: p<=>q = p*q+~p*~q
cnd
|
Zauważmy że:
1.
Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q (kolumna 5) korzysta z wirtualnego warunku wystarczającego p=>q (kolumna 3) gdzie w świecie rzeczywistym (kolumna 5) nie jest dostępna jedynka w punkcie D5.
2.
Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q (kolumna 5) korzysta z wirtualnego warunku koniecznego p~>q (kolumna 4) gdzie w świecie rzeczywistym (kolumna 5) nie jest dostępna jedynka w punkcie B5.
35.5.1 Równoważność p<=>q definiowana warunkami wystarczającymi =>
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa i definicji kontrprzykładu obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważności <=>:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość pozostałych zdań w tej linii
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość pozostałych zdań w tej linii
Z tabeli prawdy równoważności TR zapisanej w kolumnach A1B1 i A2B2 odczytujemy tożsamą definicję równoważności p<=>q w warunkach wystarczających =>.
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Zapiszmy tą wersję równoważności p<=>q w bramkach logicznych
Kod: |
S2
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)=1*1 =1
Fizyczna realizacja równoważności A1B2: p<=>q w bramkach logicznych:
------------ -----------
p ------|o => | Ya=(p=>q)=~p+q | |
| |-------------------| | A1B2: Y=
q ------| | | Bramka: | p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
------------ | „i”(*) |---------------------->
~p ------------ Yc=Ycn | | p<=>q=(~p+q)*(p+~q)
p -o----|o => | Ycn=(~p=>~q)=p+~q | | p<=>q=p*q+~p*~q
~q | |-------------------| |
q -o----| | | |
------------ -----------
Gdzie:
o - symbol negatora (~)
Dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym:
| Definicje => i ~> | Dowód zero-jedynkowy
| Świat wirtualny |Świat rzeczywisty
| Ya= | Yc= | Ycn= | Y=p<=>q=Ya*Ycn= | Y=p<=>q=Ya*Yc=
p q ~p ~q | p=>q | p~>q | ~p=>~q | (p=>q)*(~p=>~q) | (p=>q)*(p~>q)
A: 1 1 0 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1
B: 1 0 0 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0
C: 0 0 1 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1
D: 0 1 1 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Doskonale widać zachodzącą tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
8: A1B2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) [=] 9: A1B1: p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
cnd
|
Zauważmy że:
1.
Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q (kolumna 8) korzysta z wirtualnego warunku wystarczającego p=>q (kolumna 5) gdzie w świecie rzeczywistym (kolumna 8) nie jest dostępna jedynka w punkcie D8.
2.
Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q (kolumna 8) korzysta z wirtualnego warunku wystarczającego ~p=>~q (kolumna 7) gdzie w świecie rzeczywistym (kolumna 8) nie jest dostępna jedynka w punkcie BB.
Definicja świata wirtualnego w równoważności p<=>q:
Świat wirtualny w równoważności p<=>q to świat warunków wystarczających => (5) i koniecznych ~> (6) zero-jedynkowo niedostępnych w świecie rzeczywistym.
Definicja świata rzeczywistego w równoważności p<=>q:
Świat rzeczywisty w równoważności p<=>q to zero-jedynkowa kolumna wynikowa równoważności p<=>q (9), gdzie nie mamy dostępu do wirtualnych, zero-jedynkowych definicji warunku wystarczającego => (5) i koniecznego ~> (6)
Zauważmy, że w układzie równoważności p<=>q stwierdzenia fizycznego istnienia zarówno warunku wystarczającego => (5) jak i koniecznego ~> (6) możemy dokonać wyłącznie w teorii bramek logicznych realizując układ równoważności p<=>q w bramkach logicznych według schematu S2 (S1).
I.
Dowód istnienia zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => (kolumna 5) w układzie równoważności p<=>q – schemat S2
1.
Przykładamy próbnik stanów logicznych do punktu:
Ya= (p=>q) = ~p+q (Kolumna 5)
2.
Na wejściach p i q wymuszamy wszystkie możliwe wejściowe sygnały p i q wg tabeli prawdy ABCD12.
3.
Pewne jest że na wyjściu Ya=(p=>q)=~p+q (kolumna 5) otrzymamy zero-jedynkową definicją warunku wystarczającego p=>q
I.
Dowód istnienia zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> (kolumna 6) w układzie równoważności p<=>q – schemat S2
1.
Przykładamy próbnik stanów logicznych do punktu:
Yc=(p~>q) = (~p=>~q) = p+~q (Kolumna 6)
2.
Na wejściach p i q wymuszamy wszystkie możliwe wejściowe sygnały p i q wg tabeli prawdy ABCD12.
3.
Pewne jest że na wyjściu Yc=(p~>q)=(~p=>~q)=p+~q (kolumna 6) otrzymamy zero-jedynkową definicją warunku koniecznego p~>q
Oczywiście na mocy definicji zachodzi:
Kod: |
Warunek wystarczający Y=(p=>q)=~p+q ## Warunek konieczny Y=(p~>q)=p+~q
Gdzie:
## - pojęcia różne na mocy definicji ##
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne w tej samej logice (tu dodatniej bo Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach p i q (u nasz ABCD12) mają różne kolumny wynikowe Y
Podsumowując:
W równoważności p<=>q matematycznie mamy świadomość istnienia zero-jedynkowych definicji zarówno warunku wystarczającego => (5), jak i koniecznego ~> (6), jednak z poziomu naszego świata rzeczywistego którym jest kolumna wynikowa równoważności p<=>q (9) nie da się fizycznie stwierdzić istnienia świata wirtualnego.
W technice programowania znane jest pojęcie pamięci wirtualnej (świata wirtualnego)
Dowód:
W elektronice (jestem z tego świata) znane jest pojęcie „pamięć wirtualna”.
[link widoczny dla zalogowanych]
@Wikipedia
Pamięć wirtualna – mechanizm zarządzania pamięcią komputera zapewniający procesowi wrażenie pracy w jednym, dużym, ciągłym obszarze pamięci operacyjnej, podczas gdy fizycznie może być ona pofragmentowana, nieciągła i częściowo przechowywana na urządzeniach pamięci masowej.
Pamięć wirtualna działa na zasadzie przedefiniowania adresów pamięci (fizycznych) na adresy używane przez procesy (logiczne) tak, aby „oszukać” procesy i dać im wrażenie pracy w ciągłej przestrzeni adresowej. Pamięć wirtualna oznacza znacznie większą ilość pamięci RAM dla procesu niż fizycznie dostępna w systemie
Zauważmy, że z punktu odniesienia programisty (programu komputerowego) nie da się stwierdzić czy w naszym komputerze zainstalowano pamięć wirtualną, czy nie zainstalowano – programistę w ogóle to nie interesuje.
W równoważności mamy podobnie o czym jest ciut wyżej.
35.6 Prawo eliminacji równoważności p<=>q
Przypomnijmy sobie diagram równoważności w zbiorach DR (35.3)
Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
definiujący tożsamość zbiorów p=q.
---------------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|---------------------------------|---------------------------------------|
| q | ~q |
|---------------------------------|---------------------------------------|
|Definicja równoważności: | Definicja równoważności: |
|A1B1: p<=>q=(A1:p=>q)*(B1:p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
|Definiuje tożsamość zbiorów | Definiuje tożsamość zbiorów: |
| p=q # ~p=~q |
---------------------------------------------------------------------------
| A1: p=>q=1 (p*q=1) | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q - suma logiczna zbiorów niepustych A1 i B2 |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty |
|-------------------------------------------------------------------------|
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
[=] - tożsamość logiczna
# - dowolna strona znaku # jest negacją drugiej strony
p#~p
p=~(~p) - prawo podwójnego przeczenia
|
Przypomnijmy sobie tabelę prawdy operatora równoważności p|<=>q w warunkach wystarczających => (35.4.2)
Kod: |
TR1
Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1: p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Twarda jedynka w A1 wymusza twarde zero w A1' (i odwrotnie)
A1': p~~>~q=0 - prawdziwość A1: p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu A1'
Twarde zero w A1' wymusza twardą jedynkę w A1 (i odwrotnie)
A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Twarda jedynka w B2 wymusza twarde zero w B2' (i odwrotnie)
B2':~p~~>q =0 - prawdziwość B2:~p=>~q wymusza fałszywość kontrprzykładu B2'
Twarde zero w B2' wymusza twardą jedynkę w B2 (i odwrotnie)
|
Komentarz:
Linia A1:
Jeśli spełniony jest warunek wystarczający A1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (DR 35.3)
to iloczynem logicznym zbiorów p i q to jest zbiór p, czyli zbiór p*q jest zbiorem niepustym (=1)
Linia A1’:
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q = p*~q =0 - co oznacza brak (=0) wspólnego elementu zbiorów p i ~q (DR 35.3)
Linia B2:
Jeśli spełniony jest warunek wystarczający B2:
B2: ~p=>~q =1 - zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q (DR 35.3)
to iloczynem logicznym zbiorów ~p i ~q to jest zbiór ~p, czyli zbiór ~p*~q jest zbiorem niepustym (=1)
Linia B2’:
Prawdziwy warunek wystarczający B2: ~p=>~q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’: ~p~~>q = ~p*q =0 - co oznacza brak (=0) wspólnego elementu zbiorów ~p i q (DR 35.3)
Stąd mamy wyprowadzoną symboliczną definicję operatora równoważności p<=>q z uwzględnieniem definicji elementu wspólnego zbiorów p~~>q=p*q
Kod: |
TR2
Symboliczna definicja operatora równoważności p|<=>q
z uwzględnieniem definicji elementu wspólnego zbiorów p~~>q=p*q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Y=(p<=>q)=A1: p*q+B2:~p*~q
A1: p=> q =1 = p* q =1 -jeśli p=>q=1 to istnieje(=1) wspólny element p*q=1
A1’: p~~>~q=0 = p*~q =0 -nie istnieje (=0) wspólny element p*~q =0
A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1 =~p*~q =1 -jeśli ~p=>~q=1 to istnieje wspólny element ~p*~q=1
B2’:~p~~>q =1 =~p* q =0 -nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~p i q
1 2 3 4 5 6
|
Fakt 1:
Zauważmy, że w analizie operatora równoważności p|<=>q zbiory niepuste i rozłączne to: A1 i B2
Dowód rozłączności tych zbiorów (Diagram DR):
(A1: p*q)*(B2:~p*~q) =[] - bo p*~p=[]
cnd
Fakt 2:
Z diagramu DR wynika, że dziedzina fizyczna D to suma logiczna zbiorów niepustych i rozłącznych:
D = A1: p*q + B2: ~p*~q
Funkcja logiczna Y opisująca tabelę symboliczną 456 w tabeli prawdy TR2 to:
Y = A1: p*q + B2: ~p*~q
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> A1: p=1 i q=1 lub B2: ~p=1 i ~q=1
Zauważmy, że jeśli dowolny składnik sumy logicznej w równaniu alternatywno-koniunkcyjnym przyjmie wartość logiczną miękkiej jedynki to wymusi on miękkie zero w pozostałym składniku sumy logicznej.
Definicja miękkiej jedynki i miękkiego zera:
Miękka jedynka i miękkie zero to wartościowanie sumy logicznej opisującej zbiory niepuste i rozłączne dla konkretnego składnika sumy logicznej.
Dowód:
Funkcja logiczna Y opisująca tabelę symboliczną TR: 456 to:
Y = A1: p*q + B2: ~p*~q
Możliwe są tu dwa przypadki iterowania:
Iterowanie 1
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = A1: p*q + B2: ~p*~q
Załóżmy, że wylosowaliśmy element należący do zbioru A1:
Y(A1) = A1: p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y(A1)=1 <=> A1: p=1 i q=1
Na mocy prawa Prosiaczka mamy:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Dla tego przypadku (iterowania) Y(A1) mamy (456):
Y(A1) = A1: p*q=1*1=1 + B2: ~p*~q = 0*0=0
Stąd:
Y(A1) = p*q
Wniosek:
Jeśli z dziedziny D wylosujemy element należący do zbioru A1: p*q (miękka jedynka) to dla tego losowania linia B2 będzie zbiorem pustymi [] (miękkie zero)
Iterowanie 2
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = A1: p*q + B2: ~p*~q
Załóżmy, że wylosowaliśmy element należący do zbioru B2:
Y(B2) = B2: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y(B2)=1 <=> B2: ~p=1 i ~q=1
Na mocy prawa Prosiaczka mamy:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Dla tego przypadku (iterowania) Y(B2) mamy (456):
Y(B2) = A1: p*q=0*0=0 + B2: ~p*~q=1*1
Stąd:
B2: Y(B2) = B2: ~p*~q
Wniosek:
Jeśli z dziedziny D wylosujemy element należący do zbioru B2: ~p*~q (miękka jedynka) to dla tego losowania linia A1 będzie zbiorem pustym [] (miękkie zero)
Podsumowując:
Doskonale tu widać sens definicji miękkich jedynek i miękkich zer w logice matematycznej przy analizie równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = A1: p*q + B2: ~p*~q
Zauważmy, że z dziedziny D nie możemy wylosować elementu który by należał jednocześnie do dwóch zbiorów niepustych A1: p*q i B2:~p*~q, bowiem zbiory te są rozłączne (diagram DR)
35.6.1 Prawo matematycznego głąba dla równoważności p<=>q
Prawo matematycznego głąba:
Dowolny matematyk który zastosuje prawo eliminacji równoważności p<=>q przechodząc do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
jest matematycznym głąbem, bowiem zabija występujące tu dwa warunki wystarczające =>, definiujące dwie twarde jedynki (A1, B2).
Dowód tego faktu mamy wyżej.
35.7 Prawo matematycznego jełopa dla równoważności p<=>q
W logice „matematycznej” ziemskich matematyków warunek wystarczający p=>q z algebry Kubusia nosi nazwę implikacji p=>q o zero-jedynkowej definicji jak niżej, tożsamej z definicją warunku wystarczającego p=>q z algebry Kubusia.
Prawo eliminacji warunku wystarczającego => w algebrze Kubusia:
A1: p=>q =~p+q
Dowód iż definicja ziemskiej implikacji => nie ma nic wspólnego z warunkiem wystarczającym => w rozumieniu algebry Kubusia to aktualnie obowiązująca definicja ziemskiej implikacji =>, podana przez Macjana.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/elementarz-algebry-boole-a-irbisol-macjan-str-10,2605-240.html#55877
@Macjan
Zrozum - treść zdania, czyli to, o czym ono mówi, nie może w żaden sposób wpływać na jego zapis symboliczny. Zdanie "... i ..." jest koniunkcją niezależnie od tego, co wstawimy w wykropkowane miejsca. Tak samo zdanie "Jeśli ... to ..." jest implikacją.
Potwierdzenie definicji Macjana przez wykładowcę logiki matematycznej na AGH Kraków.
[link widoczny dla zalogowanych]
@Wykład logiki matematycznej na AGH
Elementy logiki matematycznej
Logika matematyczna zajmuje się zdaniami logicznymi.
Zdanie logiczne, to zdanie gramatyczne orzekające, któremu można przypisać jedną z dwóch ocen (wartość) Prawda (TRUE, 1); Fałsz (FALSE, 0 ) (czyli zdania logiczne podlegają wartościowaniu). Nie są zdaniami logicznymi zdania pytające i rozkazujące.
Funktory logiczne (spójniki):
- jednoargumentowe (wystarczy jedno zdanie)
negacja - ~ - (nieprawda, że ...)
- dwuargumentowe (wymagają dwóch zdań) np.
koniunkcja - * - (...i... )
alternatywa - + - (...lub...)
implikacja - => - (jeżeli ..., to...)
równoważność - <=> - (...wtedy i tylko wtedy, gdy...)
Zero-jedynkowe definicje dwuargumentowych spójników logicznych to:
Kod: |
p q | p*q | p+q | p=>q | p<=>q
1 1 | 1 | 1 | 1 | 1
1 0 | 0 | 1 | 0 | 0
0 1 | 0 | 1 | 1 | 0
0 0 | 0 | 0 | 1 | 1
|
@Rafal3006
Jak widzimy, w wykropkowane miejsca możemy wstawiać cokolwiek, byleby temu „cokolwiek” dało się przypisać pojęcie prawdy (=1) albo fałszu (=0), co lokuje nas w definicji implikacji materialnej rodem z Klasycznego Rachunku Zdań.
Stąd mamy:
Prawo matematycznego jełopa:
Matematycznym jełopem jest każdy fanatyk KRZ który korzysta z ziemskiej definicji implikacji p=>q podanej przez Macjana, potwierdzonej przez wykładowcę logiki „matematycznej” na AGH, która w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” nie wymaga badania jakiejkolwiek relacji w zbiorach między poprzednikiem p i następnikiem q.
Tymczasem:
W świecie rzeczywistym operator równoważności p|<=>q wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” to badanie relacji w zbiorach między poprzednikiem p i następnikiem q definiujących operator równoważności p|<=>q czego dowód mamy w punkcie 35.4.1.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 7:35, 10 Lip 2025, w całości zmieniany 2 razy
|
|
Powrót do góry |
|
 |
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 39121
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 21:30, 06 Lip 2025 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
36.0 Dowód fałszywości kwantyfikatora dużego w KRZ
Spis treści
36.0 Dowód fałszywości kwantyfikatora dużego w KRZ 1
36.1 Prawo eliminacji warunku wystarczającego P=>4L 1
36.2 KRZ w obsłudze zdania P=>4L 4
36.2.1 Istota błędu fatalnego w definicji kwantyfikatora dużego rodem z KRZ 6
36.2.2 Irbisol, fanatyk KRZ uczy dzieci logiki matematycznej w przedszkolu 7
36.3 Algebra Kubusia w obsłudze zdania P=>4L 9
36.3.1 Poprawna definicja kwantyfikatora dużego w algebrze Kubusia 10
36.3.2 Poprawna definicja kwantyfikatora dużego na przykładzie P=>4L 13
36.3.3 Dowód bezsensu kwantyfikatora dużego dla zbiorów nieskończonych 14
36.0 Dowód fałszywości kwantyfikatora dużego w KRZ
Czysto matematyczny fałsz aktualnej definicji kwantyfikatora dużego w Klasycznym Rachunku Zdań ma silny związek z obligatoryjnym prawem eliminacji warunku wystarczającego => w ziemskiej logice matematycznej.
W punkcie 33.7 omówiliśmy szczegółowo warunek wystarczający =>:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P) to ma cztery łapy (4L)
A1: P=>4L =1
będący częścią implikacji prostej P|=>4L
Dowód prawdziwości zdania A1 na gruncie algebry Kubusia:
Pycie psem (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego by mieć cztery łapy (4L) wtedy i tylko wtedy gdy jednoelementowy zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń …]
Co każdy 5-cio latek widzi.
Dowód alternatywny na gruncie algebry Kubusia:
Bycie psem (P) jest warunkiem wystarczającym => by mieć cztery łapy (4L) bo każdy pies (P) ma cztery łapy (4L)
O czym każdy 5-cio latek wie.
36.1 Prawo eliminacji warunku wystarczającego P=>4L
Na gruncie algebry Kubusia doszliśmy do poniższego diagramu implikacji prostej P|=>4L w zbiorach (pkt. 33.9)
Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej P|=>4L w zbiorach
Punkt odniesienia:
p=P=[pies] – jednoelementowy zbiór P(pies)
q=4L=[pies, słoń ..] – zbiór zwierząt z czterema łapami
---------------------------------------------------------------------------
| p=P | ~p=~P |
|------------------------|------------------------------------------------|
| q=4L | ~q=~4L |
|-----------------------------------------------|-------------------------|
| A1: P=>4L=1 (P*4L=1) |B2’:~P~~>4L=~P*4L=1 |A2:~P~>~4L=1 (~P*~4L=1) |
---------------------------------------------------------------------------
|Dziedzina: |
|D=A1: P*4L + A2:~P*~4L + B2’:~P*4L=1 - istnieją elementy wspólne zbiorów |
| A1’: P~~>~4L=P*~4L=[]=0 - jedyny zbiór pusty to P*~4L=[]=0 |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej P|=>4L w zbiorach |
---------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
P*4L=1 - wynikowa jedynka oznacza tu niepustość zbioru: P*4L=P=1
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Kod: |
IP1
Symboliczna definicja operatora implikacji prostej P||=>4L
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru ZWZ wylosujemy psa (P)?
A1: P=> 4L =1 –bycie psem (P) jest (=1) wystarczające => dla posiadania 4L
A1’: P~~>~4L=0 -kontrprzykład A1’ dla A1: P=>4L=1 musi być fałszem
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru ZWZ wylosujemy nie psa (~P)?
A2: ~P~>~4L =1 -nie bycie psem ~P jest (=1) konieczne ~> by nie mieć 4L
B2’:~P~~>4L =1 -istnieje (=1) zwierzę nie będące psem i mające cztery łapy
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Krokodyla (31.2)
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.
Zauważmy że:
1.
W tabeli IP1 po stronie P=[pies] mamy warunek wystarczający => definiowany wyłącznie linią A1 (twardą jedynką):
A1: P=>4L =1 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P jest podzbiorem => zbioru 4L (diagram DIP)
Warunek wystarczający => w linii A1 (twarda jedynka) na mocy definicji kontrprzykładu wymusza twarde zero wyłącznie w linii A1’:
A1’: P~~>~4L=P*~4L =0 – twarde zero bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne (diagram DIP)
2.
Po stronie ~P (w liniach A2 i B2’) mamy dwie miękkie jedynki (mogą zajść ale nie muszą) w zależności od iterowania po stronie ~P (diagram DIP)
Wniosek:
Tabela prawdy IP1 spełnia prawo Krokodyla.
Zapiszmy tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q w powiązaniu z algebrą Boole’a, gdzie legalne są wyłącznie spójniki „i”(*) i „lub”(+)
Kod: |
IP3
Symboliczna definicja operatora implikacji prostej p||=>q
z uwzględnieniem definicji elementu wspólnego zbiorów p~~>q=p*q
Y Y=~p+q= A1: p*q+A2:~p*~q+B2’:~p*q
A1: p=> q =1 = p* q =1 -jeśli p=>q=1 to istnieje wspólny element p*q=1
A1’: p~~>~q=0 = p*~q =0 -nie istnieje (=0) wspólny element p*~q =0
A2: ~p~>~q =1 =~p*~q =1 -jeśli ~p~>~q=1 to istnieje wspólny element ~p*~q=1
B2’:~p~~>q =1 =~p* q =1 -istnieje wspólny element zbiorów ~p*q=1
1 2 3 4 5 6
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dokładnie to samo w zapisie aktualnym (nasz przykład) po podstawieniu:
p=P=[pies] – jednoelementowy zbiór [pies]
q=4L=[pies, słoń ..] – zbiór zwierząt mających cztery łapy
Kod: |
IP3
Symboliczna definicja operatora implikacji prostej P||=>4L.
Patrz diagram DIP wyżej.
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru ZWZ wylosujemy psa (P)?
Y=~P+4L= A1: p*4L+ A2:~P*~4L+ B2’:~P*4L
A1: P=> 4L =1 = P* 4L=1 - P=>4L=1 to istnieje wspólny element P*4L=1
A1’: P~~>~4L=0 = P*~4L=0 - nie istnieje wspólny element zbiorów P*~4L=0
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru ZWZ wylosujemy nie psa (~P)?
A2: ~P~>~4L =1 =~P*~4L=1 – ~P~>~4L=1 to istnieje wspólny element ~P*~4L=1
B2’:~P~~>4L =1 =~P* 4L=1 – istnieje wspólny element zbiorów ~P*4L=1 (słoń)
1 2 3 4 5 6
Gdzie:
p=P, q=4L
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo eliminacji warunku wystarczającego =>:
Y = (A: P=>4L) = ~P+4L
To samo w zapisie formalnym:
Y = (A1: p=>q)=~p+q
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa eliminacji warunku wystarczającego A1: P=>4L wyrażonego zdaniem warunkowym „Jeśli P to 4L” (IP3: 123) ulega transformacji do tabeli IP3 (456) gdzie nie ma śladu warunku wystarczającego =>, gdzie mamy jedno twarde zero (A1’) i trzy miękkie jedynki (A1, A2, B2’)
Stąd mamy wyprowadzoną kluczową cechę algebry Boole’a.
Cecha algebry Boole’a:
W algebrze Boole’a (wyłącznie spójniki „i”(*) i „lub”(+)) wszystkie zera są twarde (tzn. w żadnym iterowaniu nie staną się jedynkami), zaś wszystkie jedynki są miękkie tzn. mogą zajść ale nie muszą w zależności od konkretnego iterowania.
Dowód na przykładzie to prawo eliminacji warunku wystarczającego (tabela IP3: 456):
Y = (A: P=>4L) = ~P+4L
Definicja operatora „lub”(|+):
Operator „lub”(|+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie Y oraz kiedy zajdzie ~Y.
Dla naszego przykładu w tabeli IP3: 456 zapisujemy:
1.
Y = ~P+4L
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> ~P=1 lub 4L=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że może się zdarzyć (Y) iż ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P) lub mające cztery łapy (4L)
To jest ciężko zrozumiałe gdy nie widzimy diagramu DIP.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy funkcję logiczną 1 stronami:
2.
~Y=~(~P+4L)=P*~4L – prawo De Morgana
~Y=~(~P=>4L) = P*~4L
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> P=1 i ~4L=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że nie zdarzy się (~Y) iż ze zbioru wszystkich możliwych zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę będące psem (P) i nie mające czterech łap (~4L)
To zdanie jest już zrozumiałe przez każdego 5-cio latka.
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Znaczenie zmiennej binarnej Y:
1: Y=1 – prawdą jest (=1), że może się zdarzyć (Y)
2: ~Y=1 – prawdą jest (=1), ze nie może się zdarzyć (~Y)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0)
Stąd zdanie tożsame do 2:
2: Y=0 – fałszem jest (=0) że zdarzy się (Y)
Doskonale widać fenomenalne prawo Prosiaczka, które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej (do stałej binarnej również – pkt. 1.4.4)
36.2 KRZ w obsłudze zdania P=>4L
Tragedię ziemskiej logiki matematycznej zwanej KRZ w dowodzeniu prawdziwości zdania A1 znakomicie pokazał wykładowca logiki matematycznej Volrath (pkt. 33.9.4)
Przypomnijmy nasza tabelę prawdy wiążącą algebrę Kubusia IP3: 123 z algebrą Boole’a IP3: 456
Kod: |
IP3
Symboliczna definicja operatora implikacji prostej P||=>4L.
Patrz diagram DIP wyżej.
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru ZWZ wylosujemy psa (P)?
Y=~P+4L= A1: p*4L+ A2:~P*~4L+ B2’:~P*4L
A1: P=> 4L =1 = P* 4L=1 - P=>4L=1 to istnieje wspólny element P*4L=1
A1’: P~~>~4L=0 = P*~4L=0 - nie istnieje wspólny element zbiorów P*~4L=0
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru ZWZ wylosujemy nie psa (~P)?
A2: ~P~>~4L =1 =~P*~4L=1 – ~P~>~4L=1 to istnieje wspólny element ~P*~4L=1
B2’:~P~~>4L =1 =~P* 4L=1 – istnieje wspólny element zbiorów ~P*4L=1 (słoń)
1 2 3 4 5 6
|
Zapiszmy jeszcze raz równanie algebry Boole’a dla funkcji logicznej Y w zbiorach/zdarzeniach rozłącznych doskonale widocznych w tabeli IP3: 456.
Y = A1: P*4L + A2: ~P*~4L + B2’: ~P*4L
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> A1: P=1 i 4L=1 lub A2: ~P=1 i ~4L=1 lub B2’: ~P=1 i 4L=1
Na dzień dzisiejszy, ziemscy matematycy nie znając poprawnej obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~> IP3: 123 obligatoryjnie stosują prawo eliminacji warunku wystarczającego => widząc poprawnie matematycznie tylko i wyłącznie tabelę prawdy algebry Boole’a IP3: 456
Dowód tego faktu znajdziemy w mojej dyskusji z wykładowcą logiki matematycznej Volrathem na samiutkim początku świętej wojny w temacie rozszyfrowania algebry Kubusia.
Definicja kwantyfikatora małego ~~> w ziemskim KRZ:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - wtedy i tylko gdy zbiory p i q są rozłączne
Cechy kwantyfikatora małego p~~>q są identyczne jak cechy iloczynu logicznego zbiorów p*q.
Jedyna różnica polega na tym że w kwantyfikatorze małym ~~> po znalezieniu pierwszego wspólnego elementu zbiorów p i q kończymy procedurę wyznaczanie iloczynu zbiorów p*q z rozstrzygnięciem:
p~~>q = p*q =1 - znaleziono jeden element wspólny
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kubusiowa-szkola-logiki-na-zywo-dyskusja-z-volrathem,3591-25.html#69416
Tabela prawdy Volratha wyrażona kwantyfikatorem małym ~~> przybiera postać:
@Volrath
Kod: |
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Wiemy, że
P 4L P=>4L | P=>4L
A: 1 1 1 | P~~> 4L = P * 4L = 1 (pies)
B: 1 0 0 | P~~>~4L = P * ~4L = 0 (brak psów bez 4 łap)
C: 0 1 1 | ~P~~> 4L =~P * 4L = 1 (słoń)
D: 0 0 1 | ~P~~>~4L =~P * ~4L = 1 (mrówka)
Istnienie kalekich psów wykluczamy.
|
Należy zdanie sprawdzić względem każdej opcji, by stwierdzić, że zdanie jest prawdziwe.
Na przykład:
Zdanie P => 4L
Jest prawdziwe, ale nie dlatego "bo pies", ale także dlatego, bo reszta (mrówka, słoń i nie pies bez 4 łap).
Zdanie D.
Czy zdanie P => 4L jest prawdziwe dla mrówek?
Mrówka = ~P i ~4L.
P => 4L dla 0 0 (bo ~P i ~4L) jest prawdziwe. Więc jest spełnione dla mrówek.
Zdanie C
Dla słoni?
Analogicznie dla 0 1 (~P i 4L) jest prawdziwe.
Zdanie A
O psach? 1 1 jest prawdziwe.
Zdanie B
O psach bez 4 łap? 1 0 jest fałszywe. Czyli zgodne z informacjami bazowymi (P i ~4L = 0).
Czyli w sumie zdanie P => 4L jest prawdziwe (bo wszystko się zgadza z bazową tabelą "wiedzy").
36.2.1 Istota błędu fatalnego w definicji kwantyfikatora dużego rodem z KRZ
Istotę błędu fatalnego kwantyfikatora dużego rodem z KRZ doskonale pokazuje przytoczony wyżej post wykładowcy logiki matematycznej Volratha.
W obsłudze warunku wystarczającego P=>4L fatalny błąd polega on na tym, że iterujemy po całej dziedzinie wszystkich zwierząt polując na zwierzątko które jest psem (P) i nie ma czterech łap (~4L).
Oczywiście takiego zwierzątka nie ma, o czym każdy 5-cio latek wie.
To co jest oczywistością dla każdego 5-cio latka która jest ciemną stroną księżyca dla matematycznego badziewia zwanego KRZ, które musi przeiterować element po elemencie kompletny zbiór wszystkich zwierząt ZWZ by rozstrzygnąć iż nie ma zwierzątka będącego psem (P) i nie mającego czterech łap (~4L).
Jednym słowem:
W KRZ z definicji nie ma mowy o jakimkolwiek warunku wystarczającym => w zdaniu A1.
A1.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =1
W KRZ ta wynikowa jedynka jest tu nie dlatego, że bycie psem jest warunkiem wystarczającym => by mieć cztery łapy, ale dlatego, że po przeiterowaniu kompletnego zbioru wszystkich zwierząt ZWZ pudełko B jest puste tzn. nie ma w nim ani jednego zwierzaka.
Kwintesencja błędu fatalnego w definicji kwantyfikatora dużego w KRZ polega na tym, że wedle KRZ zdanie A1 dotyczy i jest prawdziwe dla absolutnie wszystkich zwierząt, czyli nie tylko dla psa (co jest oczywistością dla każdego 5-cio latka) ale również jest prawdziwe dla słonia, kury, węża, wieloryba, pchły … (tu 5-cio latkowi scyzoryk w kieszenie sam się otwiera).
Jak to się ma do rzeczywistości boleśnie przekonał się o tym fanatyk KRZ, Irbisol, w czasie wizyty w przedszkolu.
36.2.2 Irbisol, fanatyk KRZ uczy dzieci logiki matematycznej w przedszkolu
Prawo matematycznego głąba:
Dowolny ziemski matematyk który po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego => (to matematycy potrafią) zastosuje prawo eliminacji warunku wystarczającego =>:
A1: P=>4L =~P+4L
przechodząc do algebry Boole’a (wyłącznie spójniki „i”(*) i „lub”(+)) jest mordercą algebry Kubusia, logiki matematycznej której ekspertami są 5-cio latki i humaniści.
Innymi słowy:
Dowolny matematyk który twierdzi, że zdanie:
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L=1
jest prawdziwe dla dowolnego zwierzęcia ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ=[pies, słoń, kura, mrówka, wąż, wieloryb, pchła, hipopotam ..]
jest matematycznym głąbem
Niestety, pod definicję matematycznego głąba podpada każdy ziemski matematyk - żaden z tych nieszczęśników nie jest przy zdrowych zmysłach.
Pani w przedszkolu:
Drogie dzieci, wybitny znawca logiki matematycznej Irbisol, będzie was teraz uczył logiki matematycznej znanej każdemu ziemskiemu matematykowi, zwanej Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Irbisol:
Weźmy na początek zdanie które doskonale rozumie każde z was:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =?
Może ktoś wie co oznacza to zdanie?
Jaś (lat 5):
Pewnie że wiemy, to zdanie zna każdy 5-cio latek, a oznacza ono że:
Każdy pies ma cztery łapy
Innymi słowy bycie psem (P) daje nam gwarancję =>, że mamy cztery lapy (4L)
Irbisol:
Drogie dziecko, tak jest w twoim ptasim móżdżku.
Logika matematyczna zwana Klasycznym Rachunkiem Zdań mówi tu co innego.
Zaciekawiony Jaś (lat 5):
Proszę nam opowiedzieć, co ma do powiedzenia pana logika matematyczna w tym temacie.
Irbisol:
Dobrze opowiadam na przykładach.
Linia A
Czy zdanie warunkowe A1: P=>4L jest prawdziwe dla psa?
Jaś:
Oczywiście że jest, każdy głupi to wie
Irbisol:
Bardzo bobrze Jasiu
Linia C
Czy zdanie warunkowe A1: P=>4L jest prawdziwe dla zwierzątka nie będącego psem (~P) i nie mającego czterech łap (~4L)
Jaś:
Dla tego przypadku zdanie A1: P=>4L jest fałszywe (=0), bo w zdaniu A1 w poprzedniku mamy zastrzeżenie:
„Jeśli zwierzę jest psem …”
Zatem zdanie A1 P=>4L jest fałszywe (=0) dla zwierzątka które nie jest psem (~P) i nie ma czterech łap (~4L)
Irbisol:
Niestety Jasiu, widzę, że niejaki Kubuś potwornie wyprał twój biedny mózg.
Matematyczna prawda w jedynej poprawnej logice matematycznej zwanej KRZ jest taka:
Zdanie A1: P=>4L jest prawdziwe (=1) dla wszelkich zwierzątek nie będących psami (~P) i nie mających czterech łap (~4L)
Innymi słowy:
Przykładowo zdanie warunkowe A1: P=>4L jest tu prawdziwe dla: mrówki, kury, węża, wieloryba itd.
linia D
Czy zdanie warunkowe A1: P=>4L jest prawdziwe dla zwierzątka nie będącego psem (~P) i mającego cztery łapy (4L)?
Zuzia (lat 5)
Dla tego przypadku zdanie A1: P=>4L jest fałszywe (=0), bo w zdaniu A1 w poprzedniku mamy zastrzeżenie:
„Jeśli zwierzę jest psem …”
Zatem zdanie A1: P=>4L jest fałszywe (=0) dla dowolnego zwierzątka nie będącego psem (~P) i mającego cztery łapy (4L).
Irbisol:
Źle, źle, po trzykroć źle!
Nasza fenomenalna logika matematyczna KRZ mówi nam, że zdanie warunkowe A1: P=>4L jest prawdziwe (=1) dla dowolnego zwierzątka które nie jest psem (~P) i ma cztery łapy (4L), czyli jest prawdziwe dla słonia, kota, krokodyla, żyrafy itd.
Oj biedne, nieszczęśliwe dzieci - teraz już jestem pewien, również w tym przedszkolu był przede mną niejaki Kubuś, totalny debil logiki matematycznej.
Irbisol do pani przedszkolanki:
Dlaczego przede mną wpuściła pani do swojego przedszkola tego debila Kubusia, przecież potwornie wyprał mózgi pani dzieci z jedynej poprawnej logiki matematycznej zwanej Klasycznym Rachunkiem Zdań obowiązującej w naszym Wszechświecie.
Pani przedszkolanka:
Po pierwsze:
Nie było tu przed panem żadnego Kubusia.
Po drugie:
Podzielam zdanie moich dzieci w temacie znaczenia zdania warunkowego A1: P=>4L
Po trzecie:
Proszę wypierdalać z mojego przedszkola, nie pozwolę by jakieś swoje prywatne gówna wciskał pan do mózgów moich dzieci.
Po czwarte:
…. pani z wciekłością kopie Irbisola w cztery litery a ten wylatuje przez otwarte na jego szczęście okno.
36.3 Algebra Kubusia w obsłudze zdania P=>4L
Przypomnijmy nasza tabelę prawdy wiążącą algebrę Kubusia IP3: 123 z algebrą Boole’a IP3: 456
Kod: |
IP3
Symboliczna definicja operatora implikacji prostej P||=>4L.
Patrz diagram DIP wyżej.
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru ZWZ wylosujemy psa (P)?
Y=~P+4L= A1: p*4L+ A2:~P*~4L+ B2’:~P*4L
A1: P=> 4L =1 = P* 4L=1 - P=>4L=1 to istnieje wspólny element P*4L=1
A1’: P~~>~4L=0 = P*~4L=0 - nie istnieje wspólny element zbiorów P*~4L=0
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru ZWZ wylosujemy nie psa (~P)?
A2: ~P~>~4L =1 =~P*~4L=1 – ~P~>~4L=1 to istnieje wspólny element ~P*~4L=1
B2’:~P~~>4L =1 =~P* 4L=1 – istnieje wspólny element zbiorów ~P*4L=1 (słoń)
1 2 3 4 5 6
|
Zapiszmy jeszcze raz równanie algebry Boole’a dla funkcji logicznej Y w zbiorach/zdarzeniach rozłącznych doskonale widocznych w tabeli IP3: 456 oraz na diagramie DIP (36.1)
Y = A1: P*4L + A2: ~P*~4L + B2’: ~P*4L
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> A1: P=1 i 4L=1 lub A2: ~P=1 i ~4L=1 lub B2’: ~P=1 i 4L=1
Na dzień dzisiejszy, ziemscy matematycy nie znając poprawnej obsługi wszelkich zdań warunkowych definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~> IP3: 123 obligatoryjnie stosują prawo eliminacji warunku wystarczającego => widząc poprawnie matematycznie tylko i wyłącznie tabelę prawdy algebry Boole’a IP3: 456
W przeciwieństwie do KRZ algebra Kubusia widzi kompletną tabelę prawdy IP3.
Z tabeli IP3 doskonale widać, że warunek wystarczający P=>4L zapisany jest tylko i wyłącznie w linii A1 tabeli symbolicznej IP3:123
Szczegółową obsługę warunku wystarczającego P=>4L w algebrze Kubusia znajdziemy w punkcie 33.7
Wniosek:
Klasyczny Rachunek Zdań który do definicji warunku wystarczającego P=>4L dodatkowo włącza nielegalne zdania A2 i B2’ (patrz poprzedni punkt) popełnia błąd czysto matematyczny.
36.3.1 Poprawna definicja kwantyfikatora dużego w algebrze Kubusia
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Definicja kontrprzykładu w AK = definicja kwantyfikatora dużego w AK
Aby to zrozumieć przypomnijmy tu sobie kluczowy fragment algebry Kubusia zapisany w punkcie 2.3
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów/zdarzeń p i q.
2.3.1.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu co kończy dowód.
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p q p~~>q = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1
Interpretacja:
p~~>q=p*q=1 - wtedy i tylko wtedy
gdy istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q=0
|
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] np. 24
2.3.2.
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna (2.4.1):
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić relację podzbioru P8=>P2 potrafi każdy matematyk.
W zapisie formalnym mamy tu:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Gdzie:
p - przyczyna (część zdania po "Jeśli …")
q - skutek (część zdania po "to…")
Podsumowując:
Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>:
Zapis formalny:
A1: p=>q = ~p+q
Zapis aktualny (przykład):
A1: p=P8
A1: q=P2
A1: P8=>P2=~P8+P2
|
2.3.3.
Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna (2.4.1):
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
W zapisie formalnym mamy tu:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Gdzie:
p - przyczyna (część zdania po "Jeśli …")
q - skutek (część zdania po "to…")
Podsumowując:
Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>:
Zapis formalny:
B1: p~>q = p+~q
Zapis aktualny (przykład):
B1: p=P2
B1: q=P8
B1: P2~>P8=P2+~P8
|
2.3.4.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2, bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8…], co każdy matematyk udowodni.
Na mocy definicji kontrprzykładu, z prawdziwości warunku wystarczającego A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Dowód wprost:
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9…] bo dowolny zbiór liczb parzystych jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych.
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywości zdania A1' nie musimy udowadniać, ale możemy, co zrobiono wyżej.
Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’
36.3.2 Poprawna definicja kwantyfikatora dużego na przykładzie P=>4L
Wróćmy do naszego sztandarowego przykładu.
W punkcie 33.7 omówiliśmy szczegółowo warunek wystarczający =>:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P) to ma cztery łapy (4L)
A1: P=>4L =1
będący częścią implikacji prostej P|=>4L
Dowód prawdziwości zdania A1 na gruncie algebry Kubusia:
Pycie psem (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego by mieć cztery łapy (4L) wtedy i tylko wtedy gdy jednoelementowy zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń …]
Co każdy 5-cio latek widzi.
Dowód alternatywny na gruncie algebry Kubusia:
Bycie psem (P) jest warunkiem wystarczającym => by mieć cztery łapy (4L) bo każdy pies (P) ma cztery łapy (4L)
O czym każdy 5-cio latek wie.
Na mocy definicji kontrprzykładu z prawdziwości udowodnionego wyżej warunku wystarczającego:
A1: P=>4L =1
Wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (albo odwrotnie):
A1’.
Jeśli zwierzę jest psem (P) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L)
P~~>~4L =P*~4L =[] =0
Czytamy:
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów P=[pies] i ~4L=[kura, mrówka, wąż, wieloryb ..]
Jak widzimy, udowonienie fałszywości zdania A1’ to pikuś dla każdego 5-cio latka.
Wniosek:
W algebrze Kubusia w dowodzeniu prawdziwości warunku wystarczającego =>:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P) to ma cztery łapy (4L)
A1: P=>4L =1
Iterujemy tylko i wyłącznie po zbiorze zawartym w poprzedniku zdania A1, czyli w naszym przypadku po jednoelementowym zbiorze P=[pies], a nie jak to jest w potwornie śmierdzącym gównie zwanym KRZ po kompletnym zbiorze wszystkich zwierzą ZWZ, co wyklucza poprawny dowód warunku wystarczającego A1.
W algebrze Kubusia wystarczy tu stwierdzić, że jednoelementowy zbiór zdefiniowany w poprzedniku:
P=[pies] znajduje się w zbiorze zdefiniowanym w następniku 4L=[pies, słoń ..]
Zauważmy, że to jest dowód na poziomie 5-latka, że po stwierdzeniu iż w zbiorze 4L mamy psa inne zwierzęta z czterema łapami typu słoń, koń, hipopotam są bez matematycznego znaczenia, czyli może ich być dowolne dużo bez wpływu na prawdziwość warunku wystarczającego A1.
36.3.3 Dowód bezsensu kwantyfikatora dużego dla zbiorów nieskończonych
W logice matematycznej operującej na zbiorach nieskończonych koncepcja kwantyfikatora dużego, czyli iterowania element po elemencie jest matematycznie niewykonalna.
Dowód:
Weźmy zdanie:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Czytamy:
Definicja warunku wystarczającego P8=>P2 jest tu spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Oczywiście każdy matematyk udowodni iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Dowód tożsamy:
Szkic dowodu tożsamego z użyciem kwantyfikatora dużego rodem z algebry Kubusia jest następujący:
1.
Mamy udowodnić, iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
2.
Bierzemy pierwszy element zbioru P8, liczbę 8, poszukując jej w zbiorze P2=[2,4,6,8 ..]
Tu mamy oczywisty sukces, bo liczba 8 jest w zbiorze P2.
ALE!
Takie sprawdzenie musimy wykonać dla każdego elementu zdefiniowanego w poprzedniku:
P8=[8,16,24..]
Zbiór P8 jest oczywistym zbiorem nieskończonym, zatem nasz algorytm udowodnienia przy pomocy kwantyfikatora dużego rodem z AK prawdziwości zdania A1 leży w gruzach, czyli jest fizycznie niemożliwy do zrealizowania.
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 22:11, 10 Lip 2025, w całości zmieniany 1 raz
|
|
Powrót do góry |
|
 |
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 39121
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 21:33, 06 Lip 2025 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
37.0 Dowód śmieciowości ziemskiej teorii mnogości
Spis treści
37.0 Dowód śmieciowości ziemskiej teorii mnogości 1
37.1 Przypomnienie fundamentów algebry Kubusia 1
37.2 Podstawowa definicja równoważności p<=>q w zbiorach 2
37.2.1 Prawa Słonia dla zbiorów 3
37.2.2 Matematyczna definicja równoważności p<=>q w zbiorach 3
37.2.3 Prawo Irbisa w zbiorach 4
37.2.4 Tabela prawdy równoważności p<=>q w zbiorach 4
37.2.5 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach 5
37.3 Definicja zbiorów tożsamych p=q w algebrze Kubusia 6
37.3.1 Prawo Irbisa w równoważności Pitagorasa TP<=>SK 7
37.3.2 Prawo Irbisa w równoważności Pitagorasa ~TP<=>~SK 9
37.3.3 Prawo Irbisa w akcji na przykładzie zbiorów skończonych 10
37.4 Kwintesencja teorii mnogości 10
37.5 Definicja tożsamości zbiorów p=q w teorii mnogości 11
37.6 Definicja równoważności zbiorów p<=>q w teorii mnogości 14
37.6.1 Równoważność zbiorów p<=>q w TM to matematyczna schizofrenia 15
37.6.2 Szczegóły wewnętrznej sprzeczności teorii mnogości 17
37.7 Jak można było tak prostą rzecz tak potwornie spieprzyć! 18
37.8 Teoria zbiorów równolicznych i nierównolicznych w algebrze Kubusia 24
37.8.1 Przykład zbiorów nierównolicznych w algebrze Kubusia 25
37.8.2 Przykład zbiorów równolicznych w algebrze Kubusia 26
37.0 Dowód śmieciowości ziemskiej teorii mnogości
Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.
37.1 Przypomnienie fundamentów algebry Kubusia
W tym momencie czytelnik proszony jest o przypomnienie sobie elementarnych pojęć z algebry Kubusia zawartych w punkcie 2.0
W szczególności:
Definicje znaczków elementarnych ~~>, =>, ~> plus definicja kontrprzykładu
Prawa Sowy pkt. 2.6.1
Prawa Słonia pkt. 2.8
Prawo Irbisa pkt. 2.9
Poniżej przypominam teorię równoważności w zbiorach która poznaliśmy w punkcie 16.0
37.2 Podstawowa definicja równoważności p<=>q w zbiorach
Bezdyskusyjnie najcenniejszą definicją w całym obszarze matematyki dla potrzeb matematyki klasycznej i programowania komputerów jest definicja równoważności p<=>q której istoty póki co ziemscy matematycy nie rozumieją, mimo że poprawnie matematycznie ją udowadniają.
Nie rozumieją dlatego, że nie znają kluczowych tu zero-jedynkowych definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>, praw Słonia, prawa Irbisa, oraz definicji kontrprzykładu dla zbiorów w interpretacji z algebry Kubusia.
Mówiąc dosadnie: 100% definicji rodem z Klasycznego Rachunku Zdań jest do bani.
Przykładowo:
Równoważność Pitagorasa TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK (i odwrotnie) o czym matematycy nie wiedzą.
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Do tego by zaszło q potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by zaszło p
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: kilkanaście tysięcy
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: kilkanaście tysięcy
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: kilkanaście tysięcy
37.2.1 Prawa Słonia dla zbiorów
I Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
Y = A1: p=>q = ~p+q
##
II Prawo Słonia dla zbiorów:
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
Y = B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
Stąd korzystając z prawa Słonia dla zbiorów możemy wygenerować dużą ilość tożsamych definicji równoważności p<=>q.
37.2.2 Matematyczna definicja równoważności p<=>q w zbiorach
1.
Matematyczna definicja równoważności p<=>q (znana każdemu matematykowi):
Równoważność p<=>q to jednoczesna prawdziwość matematycznego twierdzenia prostego A1: p=>q i matematycznego twierdzenia odwrotnego B3: q=>p
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q, twierdzenie proste A1.
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p, twierdzenie odwrotne (względem A1)
Stąd mamy:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
2.
Definicja równoważności wyrażona relacjami podzbioru =>
Równoważność p<=>q to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B3: q=>p =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
Stąd mamy:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Stąd mamy wprowadzone kluczowe w równoważności prawo Irbisa.
37.2.3 Prawo Irbisa w zbiorach
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p)= A1B3: p<=>q
Tą definicję tożsamości zbiorów zna każdy matematyk.
Innymi słowy:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B3: p=q <=> A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)
Uwaga:
Domyślnie mamy tu na myśli równoważność p<=>q kolumnową (pkt. 2.9.1)
Na mocy prawa Słonia prawo Irbisa możemy też zapisać w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>.
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Tożsamy dowód bezpośredni:
Na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) siebie samego.
Korzystając z prawa Słonia prawo Irbisa możemy też zapisać w warunkach koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1).
Na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa.
37.2.4 Tabela prawdy równoważności p<=>q w zbiorach
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q=1
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważność <=>:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1 [=] 5: p*q+~p*~q
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
I Prawo Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
##
II Prawo Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
37.2.5 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie zbiory p, ~p, q i ~q będą niepuste (rozpoznawalne), co doskonale widać na diagramie DR niżej.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) dla zbioru q
Wniosek:
Musi zachodzić tożsamość zbiorów p=q bowiem wtedy i tylko wtedy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1: p~>q).
Dowód
Każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd mamy diagram równoważności p<=>q w zbiorach:
Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
definiujący tożsamość zbiorów p=q.
---------------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|---------------------------------|---------------------------------------|
| q | ~q |
|---------------------------------|---------------------------------------|
|Definicja równoważności: | Definicja równoważności: |
|A1B1: p<=>q=(A1:p=>q)*(B1:p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
|Definiuje tożsamość zbiorów | Definiuje tożsamość zbiorów: |
| p=q # ~p=~q |
---------------------------------------------------------------------------
| A1: p=>q=1 (p*q=1) | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q - suma logiczna zbiorów niepustych A1 i B2 |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty |
|-------------------------------------------------------------------------|
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
[=] - tożsamość logiczna
# - dowolna strona znaku # jest negacją drugiej strony
p#~p
p=~(~p) - prawo podwójnego przeczenia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
p+~p=D=1
p*~p=[]=0
Dowód: diagram DR
|
37.3 Definicja zbiorów tożsamych p=q w algebrze Kubusia
Poprawna definicja zbiorów tożsamych p=q wraz z przykładem dla zbiorów nieskończonych, jest tylko i wyłącznie jedna, definiowana prawem Irbisa
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) <=> A1B3: p=q
Uwaga:
Domyślnie mamy tu na myśli równoważność p<=>q kolumnową (pkt. 2.9.1)
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
1.
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
37.3.1 Prawo Irbisa w równoważności Pitagorasa TP<=>SK
Przykład dla zbiorów nieskończonych to równoważność Pitagorasa.
1P.
Prawo Irbisa dla równoważności Pitagorasa:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1) i jednocześnie zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (B3)
A1B3: TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)= A1B3: TP<=>SK
Szczegółowy dowód prawa Irbisa dla równoważności Pitagorasa.
Twierdzenia składowe to:
A1.
Twierdzenie proste Pitagorasa (udowodnione wieki temu) :
Jeśli trójkąt jest prostokątny TP to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów SK
A1: TP=>SK =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q
Czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym TP jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, by zachodziła w nim suma kwadratów SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1)
##
B3.
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa względem A1 (udowodnione wieki temu) :
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów SK to ten trójkąt na 100% => jest trójkątem prostokątnym TP
B3: SK=>TP =1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Czytamy:
Bycie trójkątem ze spełnioną suma kwadratów SK jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt był prostokątny TP wtedy i tylko wtedy gdy zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (B3)
Gdzie:
## - twierdzenia różne na mocy definicji
2.
Innymi słowy:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) <=> A1B3: p=q
Uwaga:
Domyślnie mamy tu na myśli równoważność p<=>q kolumnową (pkt. 2.9.1)
Nasz przykład dla zbiorów nieskończonych.
2P.
Dla równoważności Pitagorasa TP<=>SK zapisujemy:
Równoważność Pitagorasa TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK (i odwrotnie)
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) <=> A1B3: TP=SK
3P.
Co oznacza tożsamość zbiorów TP=SK?
TP=SK
Jeśli ze zbioru trójkątów prostokątnych TP wylosujemy dowolny trójkąt to mamy pewność absolutną (Boską przez duże B) iż ten trójkąt będzie miał jeden i tylko jeden odpowiednik w zbiorze trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów SK (i odwrotnie)
Wniosek:
Nieskończony zbiór trójkątów prostokątnych TP jest równoliczny z nieskończonym zbiorem trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów SK (i odwrotnie)
TP~SK =1
Innymi słowy, krócej:
Zbiór TP jest (=1) równoliczny ze zbiorem SK (i odwrotnie)
Gdzie:
„~” – używany w logice ziemskich matematyków znaczek równoliczności zbiorów
Definicja zbiorów równolicznych p~q:
Dwa zbiory p i q są równoliczne p~q wtedy i tylko wtedy gdy mają identyczną liczbę elementów
p~q =1 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają identyczną liczbę elementów
Inaczej:
p~q =0 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q nie mają identycznej liczby elementów
Podsumowując:
Zapiszmy raz jeszcze prawo Irbisa w zapisach formalnych tzn. bez związku z jakimkolwiek przykładem.
1.
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Na mocy prawa Irbisa możemy powiedzieć że:
1.
Warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości tożsamości zbiorów p=q jest prawdziwość matematycznego twierdzenia prostego A1: p=>q oraz prawdziwość matematycznego twierdzenia odwrotnego B3: q=>p.
2.
Warunkiem koniecznym ~> prawdziwości tożsamości zbiorów p=q jest prawdziwość matematycznego twierdzenia prostego A1: p=>q albo prawdziwość matematycznego twierdzenia odwrotnego B3: q=>p
2A.
Innymi słowy:
Jeśli udowodnimy prawdziwość jednego, dowolnego twierdzenia matematycznego (prostego A1: p=>q albo odwrotnego B3: q=>p) to tożsamość zbiorów może zajść (p=q)=1, albo może nie zajść (p=q)=0 w zależności od dowodu prawdziwości/fałszywości twierdzenia przeciwnego
3.
Warunkiem wystarczającym => fałszywości tożsamości zbiorów p=q jest fałszywość matematycznego twierdzenia prostego A1: p=>q albo fałszywość matematycznego twierdzenia odwrotnego B3: q=>p
37.3.2 Prawo Irbisa w równoważności Pitagorasa ~TP<=>~SK
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q=1
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważność <=>:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1 [=] 5: p*q+~p*~q
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawo irbisa w logice ujemnej (bo ~q) mamy zdefiniowane w kolumnie A2B2.
A2B2:
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame A2B2: ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności A2B2: ~p<=>~q (i odwrotnie)
A2B2: ~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q
Innymi słowy:
Każda równoważność prawdziwa A2B2: ~p<=>~q wymusza tożsamość zbiorów A2B2: ~p=~q (i odwrotnie)
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) <=> A2B2: ~p=~q
Podstawmy naszą równoważność Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych ~TP.
~p=~TP
~q=~SK
Stąd mamy prawo irbisa w zapisie aktualnym (dla naszego przykładu):
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) <=> A2B2: ~TP=~SK
Co oznacza tożsamość zbiorów A2B2: ~TP=~SK?
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru trójkątów nieprostokątnych ~TP wylosujemy dowodny element, bo będzie on miał jeden, unikalny element w zbiorze trójkątów z niespełnioną sumą kwadratów (i odwrotnie).
37.3.3 Prawo Irbisa w akcji na przykładzie zbiorów skończonych
Przykład działania prawa Irbisa na zbiorach skończonych.
Zdefiniujmy zbiory:
p=[Kubuś, Tygrysek]
q=[Tygrysek, Kubuś]
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B3: p=q <=> A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)
Uwaga:
Domyślnie mamy tu na myśli równoważność p<=>q kolumnową (pkt. 2.9.1)
Badamy twierdzenie proste A1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q.
Sprawdzenie:
p=>q = [Kubuś, Tygrysek] => [Tygrysek, Kubuś] =1
Czytamy:
Każdy element zbioru p należy => do zbioru q, stąd definicja relacji podzbioru => jest spełniona
Badamy twierdzenie odwrotne B3:
B3.
Jeśli zajdzie q to na 100% => zajdzie p
q=>p =1
Zajście q jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia p wtedy i tylko wtedy gdy zbiór q jest podzbiorem => zbioru p.
Sprawdzenie:
q=>p = [Tygrysek, Kubuś] => [Kubuś, Tygrysek] =1
Czytamy:
Każdy element zbioru q należy => do zbioru p, stąd definicja relacji podzbioru => jest spełniona
Wniosek:
Zbiory p i q są tożsame:
p=q
p=[Kubuś, Tygrysek]
q=[Tygrysek, Kubuś]
37.4 Kwintesencja teorii mnogości
Dla omówienia szczegółów teorii mnogości posłużymy się cytatem z anglojęzycznej Wikipedii w tłumaczeniu Googla:
[link widoczny dla zalogowanych]
@Anglojęzyczna Wikipedia
W matematyce zbiór jest definiowany jako kolekcja dobrze zdefiniowanych odrębnych obiektów. Różne obiekty tworzące zbiór nazywane są elementami zbioru. Zasadniczo elementy zbiorów można zapisać w dowolnej kolejności, ale nie powinny się powtarzać. Zbiór jest zwykle reprezentowany przez wielką literę. W podstawowej teorii zbiorów dwa zbiory mogą być równoważne, równe lub nierówne sobie. W tym artykule omówimy, co oznaczają równy i równoważny zbiór z przykładami, a także różnicę między nimi.
Definicja 1
Czym są zbiory równe?
Dwa zbiory p i q mogą być równe tylko wtedy, gdy każdy element zbioru p jest również elementem zbioru q. Ponadto, jeśli dwa zbiory są podzbiorami siebie nawzajem, to mówi się, że są równe. Jest to reprezentowane przez:
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)
Jeśli warunek omówiony powyżej nie jest spełniony, wówczas zbiory są nazywane nierównymi. Jest to reprezentowane przez:
p##q
Gdzie:
## - zbiory różne na mocy definicji
Przykład zestawu równego
Jeśli P = { 1 , 3 , 9} i Q = { 3 , 1 , 9}, to P=Q .
Należy również zauważyć, że bez względu na to, ile razy element powtarza się w zestawie, jest on liczony tylko raz. Ponadto kolejność elementów w zestawie nie ma znaczenia.
Tak więc, aby sformułować to inaczej w kategoriach liczby kardynalnej, możemy powiedzieć, że:
Jeżeli A = B , to n ( A ) = n ( B ) i dla dowolnego x ∈ A , x ∈ B również.
Definicja 2
Czym są zbiory równoważne?
Aby były równoważne, zbiory powinny mieć tę samą kardynalność.
Oznacza to, że powinna istnieć jednoznaczna korespondencja między elementami obu zbiorów. Tutaj jednoznaczna korespondencja oznacza, że dla każdego elementu w zbiorze A istnieje element w zbiorze B, dopóki zbiory nie zostaną wyczerpane.
Definicja A: Jeżeli dwa zbiory A i B mają tę samą moc , to istnieje funkcja celu ze zbioru A do B.
Definicja B: Dwa zbiory A i B są równoważne, jeżeli mają tę samą moc, tj. n ( A ) = n ( B ) .
Ogólnie rzecz biorąc, możemy powiedzieć, że
dwa zbiory są sobie równoważne, jeśli liczba elementów w obu zbiorach jest równa.
I nie jest konieczne, aby miały te same elementy lub były podzbiorem siebie nawzajem.
Przykład zestawu równoważnego
P = { 1 , 3 , 9} i Q = { 3 , 4 , 5}, to P<=>Q
Jeżeli P = { 1 , 3 , 9} i Q = { 3 , 4 , 5}, to P jest równoważne Q.
37.5 Definicja tożsamości zbiorów p=q w teorii mnogości
Zajmijmy się definicją 1 z powyższego cytatu:
[link widoczny dla zalogowanych]
@Anglojęzyczna Wikipedia
Definicja 1
Czym są zbiory równe?
Dwa zbiory p i q mogą być równe tylko wtedy, gdy każdy element zbioru p jest również elementem zbioru q. Ponadto,
Jeśli dwa zbiory są podzbiorami siebie nawzajem, to mówi się, że są równe.
Jest to reprezentowane przez:
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)
Jeśli warunek omówiony powyżej nie jest spełniony, wówczas zbiory są nazywane nierównymi. Jest to reprezentowane przez:
p##q
Gdzie:
## - zbiory różne na mocy definicji
Przykład zestawu równego
Jeśli P = { 1 , 3 , 9} i Q = { 3 , 1 , 9}, to P=Q .
Należy również zauważyć, że bez względu na to, ile razy element powtarza się w zestawie, jest on liczony tylko raz. Ponadto kolejność elementów w zestawie nie ma znaczenia.
Tak więc, aby sformułować to inaczej w kategoriach liczby kardynalnej, możemy powiedzieć, że:
Jeżeli A = B , to n ( A ) = n ( B ) i dla dowolnego x ∈ A , x ∈ B również.
Zauważmy, że definicja zbiorów tożsamych p=q jest tu identyczna jak w algebrze Kubusia, gdzie zbiory tożsame definiowane są prawem Irbisa.
Oczywistym jest, że w cytacie wyżej „zbiory równe” oznacza po prostu „zbiory tożsame” rodem z algebry Kubusia definiowane prawem Irbisa – dowodem tego faktu jest zapis:
p=q <=> (p=>q)*(q=>p) =1*1=1
Czytamy:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy są podzbiorami siebie nawzajem
p=q <=> (p=>q)*(q=>p) =1*1=1
Innymi słowy:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i równocześnie zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
W algebrze Kubusia stosujemy indeksowanie wg poniższej tabeli T0:
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
1.
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Przykład dla zbiorów skończonych spełniających prawo Irbisa:
Przykład A1B3:
p=[Kubuś, Tygrysek]
q=[Tygrysek, Kubuś]
1P.
Prawo Irbisa dla naszego przykładu A1B3:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p)= A1B3: p<=>q
Szczegółowy dowód prawa Irbisa dla naszych zbiorów p i q
Nasz punkt odniesienia to:
p=[Kubuś, Tygrysek]
q=[Tygrysek, Kubuś]
Twierdzenia składowe to:
A1.
Twierdzenie proste:
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru q
p=>q =1
Dowód:
p=>q = [Kubuś, Tygrysek] => [Tygrysek, Kubuś] =1
Doskonale widać, że każdy element zbioru p=[Kubuś, Tygrysek] należy do zbioru q=[Tygrysek, Kubuś]
c.n.d.
##
B3.
Twierdzenie odwrotne względem A1 to:
B3.
Jeśli dowolny element należy do zbioru q to na 100% => należy do zbioru p
q=>p =1
Dowód:
q=>p = [Tygrysek, Kubuś] =>[Kubuś, Tygrysek] =1
Doskonale widać, że każdy element zbioru q=[Tygrysek, Kubuś] należy do zbioru p=[Kubuś, Tygrysek]
c.n.d.
Gdzie:
## - twierdzenia różne na mocy definicji
2.
Innymi słowy:
Każda kolumnowa (2.9.1) równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) <=> A1B3: p=q
Nasz przykład dla zbiorów skończonych.
Przykład A1B3:
p=[Kubuś, Tygrysek]
q=[Tygrysek, Kubuś]
2P.
Dla równoważności p<=>q zapisujemy:
Równoważność kolumnowa p<=>q (2.9.1) definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) <=> A1B3: p=q
3P.
Co oznacza tożsamość zbiorów A1B3: p=q?
p=q
[Kubuś, Tygrysek] = [Tygrysek, Kubuś]
Każdy element ze zbioru p ma swój jeden, unikalny odpowiednik w zbiorze q (i odwrotnie)
Wnioski
1.
Udowodniona prawem Irbisa (pkt. 1P) tożsamość zbiorów skończonych p=q jest warunkiem wystarczającym => dla zachodzenia równoliczności zbiorów skończonych p~q, co udowodniono ciut wyżej w punkcie 3P.
Gdzie:
„~” – znaczek równoliczności zbiorów
2.
W tej sytuacji pisanie w definicji tożsamości zbiorów skończonych p=q rodem z teorii mnogości o równoliczności zbiorów skończonych p~q jest pisaniną matematycznego idioty, bowiem udowodnienie prawem Irbisa tożsamości zbiorów p=q gwarantuje => nam równoliczność zbiorów p~q.
Nie ma więc potrzeby w definicji tożsamości zbiorów p=q wspominać o równoliczności zbiorów p~q.
37.6 Definicja równoważności zbiorów p<=>q w teorii mnogości
Weźmy drugą część cytatu z anglojęzycznej Wikipedii w tłumaczeniu Googla:
[link widoczny dla zalogowanych]
@Anglojęzyczna Wikipedia
Definicja 2
Czym są zbiory równoważne?
Aby były równoważne, zbiory powinny mieć tę samą kardynalność. Oznacza to, że powinna istnieć jednoznaczna korespondencja między elementami obu zbiorów. Tutaj jednoznaczna korespondencja oznacza, że dla każdego elementu w zbiorze A istnieje element w zbiorze B, dopóki zbiory nie zostaną wyczerpane.
Definicja A: Jeżeli dwa zbiory A i B mają tę samą moc , to istnieje funkcja celu ze zbioru A do B.
Definicja B: Dwa zbiory A i B są równoważne, jeżeli mają tę samą moc, tj. n ( A ) = n ( B ) .
Ogólnie rzecz biorąc, możemy powiedzieć, że dwa zbiory są sobie równoważne, jeśli liczba elementów w obu zbiorach jest równa. I nie jest konieczne, aby miały te same elementy lub były podzbiorem siebie nawzajem.
Przykład zestawu równoważnego
P = { 1 , 3 , 9} i Q = { 3 , 4 , 5}, to P<=>Q
Jeżeli P = { 1 , 3 , 9} i Q = { 3 , 4 , 5}, to P jest równoważne Q.
37.6.1 Równoważność zbiorów p<=>q w TM to matematyczna schizofrenia
Matematyczną schizofrenię w definicji równoważności zbiorów p<=>q każdy widzi.
Zauważmy że:
@Anglojęzyczna Wikipedia
Ogólnie rzecz biorąc, możemy powiedzieć, że
dwa zbiory są sobie równoważne, jeśli liczba elementów w obu zbiorach jest równa.
I nie jest konieczne, aby miały te same elementy lub były podzbiorem siebie nawzajem.
Z powyższej definicji wynika, że przykładowe dwa zbiory p i q spełniające definicję równoważności zbiorów p<=>q w teorii mnogości TM mogą być na przykład takie.
Przykład TMA1B3:
p=[Kubuś, Tygrysek]
q=[Tygrysek, sraczka]
Na mocy definicji równoważności zbiorów p<=>q z Wikipedii prawdziwa jest tu równoważność:
p<=>q =1
Po podstawieniu przykładu mamy:
p=[Kubuś, Tygrysek] <=> q=[Tygrysek, sraczka] =1 (równoważność prawdziwa na mocy definicji z TM)
Gwałt na świętym prawie Irbisa widać tu jak na dłoni!
W algebrze Kubusia stosujemy indeksowanie wg poniższej tabeli T0:
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
1.
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Przykład TMA1B3:
p=[Kubuś, Tygrysek]
q=[Tygrysek, sraczka]
1P.
Prawo Irbisa dla naszego przykładu TMA1B3:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
TMA1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p)= TMA1B3: p<=>q
Szczegółowy dowód prawa Irbisa dla zbiorów p i q z przykładu TMA1B3.
Nasz punkt odniesienia to:
TMA1B3:
p=[Kubuś, Tygrysek]
q=[Tygrysek, sraczka]
Twierdzenia składowe to:
A1.
Twierdzenie proste:
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru q
p=>q =0
Dowód:
p=>q = [Kubuś, Tygrysek] => [Tygrysek, sraczka] =0
Doskonale widać, że nie każdy (=0) element zbioru p=[Kubuś, Tygrysek] należy do zbioru q=[Tygrysek, sraczka]
c.n.d.
##
B3.
Twierdzenie odwrotne względem A1 to:
B3.
Jeśli dowolny element należy do zbioru q to na 100% => należy do zbioru p
q=>p =0
Dowód:
q=>p = [Tygrysek, sraczka] =>[Kubuś, Tygrysek] =0
Doskonale widać, że nie każdy (=0) element zbioru q=[Tygrysek, sraczka] należy do zbioru p=[Kubuś, Tygrysek]
c.n.d.
Gdzie:
## - twierdzenia różne na mocy definicji
Stąd mamy dowód, iż równoważność prawdziwa TMA1B3: p<=>q wedle teorii mnogości jest w rzeczywistości fałszywa bo:
1P.
Prawo Irbisa dla naszego przykładu TMA1B3:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
TMA1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = 0*0 =0
2.
Innymi słowy:
Każda kolumnowa (2.9.1) równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
TMA1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =0*0 =0
Oczywiście dla naszego przykładu TMA1B3 fałszywa jest zarówno tożsamość zbiorów:
TMA1B3: (p=q) =0
Jak i równoważność zbiorów:
TMA1B3: (p<=>q) =0
37.6.2 Szczegóły wewnętrznej sprzeczności teorii mnogości
Zapiszmy jeszcze raz prawo Irbisa.
1.
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p)= A1B3: p<=>q
Prawo Irbisa w tej wersji zna każdy matematyk przy zdrowych zmysłach.
Zauważmy, że nie jesteśmy w stanie udowodnić w sposób bezpośredni zarówno lewej strony powyższej wieloczłonowej tożsamości (A1B3: p=q), ani też jej prawej strony (A1B3: p<=>q).
Oba skrajne składniki powyższej tożsamości dowodzimy równocześnie w dwóch krokach.
I.
Matematyczne twierdzenie proste A1: p=>q
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
##
II.
Matematyczne twierdzenie odwrotne B3: q=>p (względem A1)
B3.
Jeśli zajdzie q to na 100% => zajdzie p
q=>p =1
Zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p wtedy i tylko wtedy gdy zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zauważmy, że dopiero po udowodnieniu I i II mamy równoczesny dowód prawdziwości zarówno tożsamości zbiorów (A1B3: p=q) jak również dowód prawdziwości zachodzącej tu równoważności (A1B3: p<=>q)
Wewnętrzną sprzeczność teorii mnogości widać tu jak na dłoni.
Na gruncie potwornie śmierdzącego gówna dla niepoznaki zwanego teorią mnogości może zajść przypadek że:
1.
Równoważność jest prawdziwa:
A1B3: p<=>q =1
2.
Natomiast tożsamość zbiorów jest fałszem:
A1B3: p=q =0
Ten przypadek to następujące zbiory p i q
TMA1B3:
p=[Kubuś, Tygrysek]
q=[Tygrysek, sraczka]
37.7 Jak można było tak prostą rzecz tak potwornie spieprzyć!
[link widoczny dla zalogowanych]
@Wikipedia
W 1874 roku Georg Cantor opublikował pracę, która jest uznawana za narodziny współczesnej teorii mnogości. Idee te, pomimo dużej opozycji ze strony innych matematyków (np. Leopolda Kroneckera), zostały dalej rozwinięte w kolejnej pracy Cantora, z roku 1878. Podstawowe odkrycie Cantora dotyczyło pojęcia mocy (czyli „liczby elementów”) zbiorów nieskończonych. Przyjął on, że dwa zbiory A i B są równoliczne (mają tę samą moc), jeżeli można przyporządkować wszystkie elementy A wszystkim elementom B w sposób wzajemnie jednoznaczny. Mogłoby się wydawać, że po prostu wszystkie zbiory nieskończone są równoliczne.
Teoria mnogości to matematyczna schizofrenia autorstwa Cantora (rok 1878).
Szkoda, ze nie było wystarczającej liczby matematyków podobnych do Leopolda Kroneckera.
Cóż, w XIX wieku Szatan (teoria mnogości) robiący z mózgu człowieka gówno był górą
Na szczęście w XXI wieku na ziemię zstąpił Kubuś ze swoją algebrą Kubusia.
Algebra Kubusia to osikowy kołek wbity w samo serce Szatana.
Definicja matematycznego schizofrenika:
Matematyczny schizofrenik to człowiek opisujący otaczającą nas matematyczną rzeczywistość w sposób totalnie niezgodny ze stanem faktycznym
Na chwilę obecną do matematycznych schizofreników zaliczamy: fanatyków KRZ, fanatyków teorii mnogości, logik modalnych, logik relewantnych, logik intuicjonistycznych etc
Cechą charakterystyczną schizofrenii jest fakt, że dla chorego jego schizofreniczne rojenia są 100% rzeczywistością, o czym każdy psychiatra wie.
Doskonale to widać w filmie „Piękny umysł”, pokazującym na żywo urojony świat schizofrenika niedostępny dla ludzi zdrowych (urojone biuro szyfrów, postaci które widzi wyłącznie chory z którymi obcuje i rozmawia na żywo …)
Nieskończone zbiory równoliczne i nierównoliczne to nieprawdopodobny banał na poziomie ucznia I klasy LO, oczywiście pod warunkiem zrozumienia i akceptacji algebry Kubusia.
Zacznijmy od sformułowania oczywistego prawa Pantery.
A1: Prawo Pantery:
A1.
Jeśli dwa zbiory A i B są tożsame A=B to na 100% => są równoliczne A~B
A1: (A=B) => (A~B) =1
To samo w zapisach formalnych:
p=(A=B)
q=(A~B)
p=>q =1
Przykład:
A=[Kubuś, Tygrysek]
B=[Tygrysek, Kubuś]
Przy spełnionej tożsamości zbiorów (A=B) zbiory te na 100% => są równoliczne (A~B)
Zbadajmy w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi prawo Pantery.
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Jak widzimy prawo Pantery to warunek wystarczający => A1.
A1: Prawo Pantery
A1.
Jeśli dwa zbiory A i B są tożsame (A=B) to na 100% => są równoliczne (A~B)
A1: (A=B) => (A~B) =1
To samo w zapisach formalnych:
p=(A=B)
q=(A~B)
p=>q =1
Przykład:
A=[Kubuś, Tygrysek]
B=[Tygrysek, Kubuś]
Doskonale widać, że tożsamość zbiorów (A=B) wymusza => równoliczność zbiorów (A~B)
Innymi słowy:
Przy spełnionej tożsamości zbiorów (A=B) zbiory te na 100% => są równoliczne (A~B)
Innymi słowy:
Każda tożsamość zbiorów (A=B) to z automatu równoliczność zbiorów (A~B)
Innymi słowy:
Jeśli zbiory A i B są tożsame (A=B) to mamy gwarancję matematyczną => iż są równoliczne (A~B)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’.
A1’.
Jeśli dwa zbiory A i B są tożsame (A=B) to mogą ~~> nie być równoliczne ~(A~B)
(A=B)~~>~(A~B) = (A=B)*~(A~B) =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Na mocy definicji kontrprzykładu tego faktu nie musimy udowadniać, ale możemy udowodnić.
Dowód wprost:
Nie istnieje (=0) możliwość, by zbiory były tożsame (A=B) i jednocześnie nie były równoliczne ~(A~B)
Dla rozstrzygnięcia w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi prawo Pantery musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania z linii Bx.
Wybieramy twierdzenie odwrotne B3 (w stosunku do A1) bo warunek wystarczający => bez przeczeń zawsze dowodzi się najprościej.
B3.
Jeśli dwa zbiory A i B są równoliczne (A~B) to na 100% => są to zbiory tożsame (A=B)
B3: (A~B)=>(A=B) =0
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =0
Warunek wystarczający => jest tu fałszem bo istnieje kontrprzykład.
Kontrprzykład B3’ dla warunku wystarczającego => B3 to:
B3’.
Jeśli dwa zbiory A i B są równoliczne (A~B) to mogą ~~> nie być tożsame ~(A=B)
(A~B)~~>~(A=B) = (A~B)*~(A=B) =1
Dla udowodnienia prawdziwości kontrprzykładu B3’ wystarczy pokazać jeden taki przypadek:
A=[Kubuś, Tygrysek]
B=[Tygrysek, sraczka]
Zbiory A i B są równoliczna (A~B), ale nie są to zbiory tożsame ~(A=B)
cnd
Dla B3 skorzystajmy z prawa Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Fałszywość warunku wystarczającego => w punkcie:
B3: q=>p =0
Wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> w punkcie:
B1: p~>q =0
Stąd mamy dowód, że badany układ to implikacja prosta p|=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=1), ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=0)
W tym momencie mamy zdeterminowaną implikacji prostej p|=>q z uwzględnieniem kontrprzykładów obowiązujących wyłącznie w warunkach wystarczających,
Kod: |
IP:
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Pamiętając o naszym punkcie odniesienia:
p=(A=B)
q=(A~B)
Z tabeli TP odczytujemy
A1: Prawo Pantery:
A1.
Jeśli dwa zbiory A i B są tożsame (A=B) to na 100% => są równoliczne (A~B)
A1: (A=B) => (A~B) =1
To samo w zapisach formalnych:
p=(A=B)
q=(A~B)
p=>q =1
Przykład:
A=[Kubuś, Tygrysek]
B=[Tygrysek, Kubuś]
Doskonale widać, że tożsamość zbiorów (A=B) wymusza => równoliczność zbiorów (A~B)
Innymi słowy:
Przy spełnionej tożsamości zbiorów (A=B) zbiory te na 100% => są równoliczne (A~B)
Innymi słowy:
Każda tożsamość zbiorów (A=B) to z automatu równoliczność zbiorów (A~B)
Innymi słowy:
Jeśli zbiory A i B są tożsame (A=B) to mamy gwarancję matematyczną => iż są równoliczne (A~B)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
##
B1.
Jeśli dwa zbiory A i B są tożsama (A=B) to na 100% ~> są równoliczne (A~B)
(A=B)~>(A~B) =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Czytamy:
Tożsamość zbiorów (A=B) nie jest (=0) konieczna ~> dla równoliczności tych zbiorów (A~B)
Przykład:
A=[Kubuś, Tygrysek]
B=[Tygrysek, sraczka]
Nie ma tożsamości zbiorów:
(A=B)=0
ale relacja równoliczności A~B jest spełniona:
(A~B) =1
Gdzie:
## - zdania różne na mocy definicji
Po raz n-ty mamy tu prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być tożsame
Dowód to zdania A1 i B1 wyżej.
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Z tabeli TP widzimy, że mamy tu do czynienia tylko i wyłącznie z dwoma warunkami wystarczającymi => (gwarancjami matematycznymi =>):
A1: Prawo Pantery:
A1: p=>q =1
Gdzie:
p=(A=B)
q=(A~B)
oraz:
A4: Prawo Lamparta:
A4: ~q=>~p =1
Gdzie:
q=(A~B)
p=(A=B)
Oczywiście, na mocy prawa Sowy zachodzi tożsamość pojęć:
Prawo Pantery: A1: p=>q [=] Prawo Lamparta: A4: ~q=>~p
Rozszyfrujmy te dwie gwarancje matematyczne =>:
A1: Prawo Pantery
A1: p=>q =1
Gdzie:
p=(A=B)
q=(A~B)
Stąd mamy:
A1.
Jeśli dwa zbiory A i B są tożsame (A=B) to na 100% => są równoliczne (A~B)
A1: (A=B) => (A~B) =1
To samo w zapisach formalnych:
p=(A=B)
q=(A~B)
p=>q =1
Przykład:
A=[Kubuś, Tygrysek]
B=[Tygrysek, Kubuś]
Doskonale widać, że tożsamość zbiorów (A=B) wymusza => równoliczność zbiorów (A~B)
Innymi słowy:
Przy spełnionej tożsamości zbiorów (A=B) zbiory te na 100% => są równoliczne (A~B)
Innymi słowy:
Każda tożsamość zbiorów (A=B) to z automatu równoliczność zbiorów (A~B)
Innymi słowy:
Jeśli zbiory A i B są tożsame (A=B) to mamy gwarancję matematyczną => iż są równoliczne (A~B)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
A4: Prawo Lamparta
A4: ~q=>~p =1
Gdzie:
q=(A~B)
p=(A=B)
Stąd mamy:
A4.
Jeśli dwa zbiory A i B nie są równoliczne ~(A~B) to na 100% => nie są tożsame ~(A=B)
A4: ~(A~B) => ~(A=B) =1
To samo w zapisach formalnych:
~q=>~p =1
Oczywista oczywistość.
Przykładowe zbiory tożsame i równoliczne to:
A=[Kubuś, Tygrysek]
B=[Tygrysek, Kubuś]
Jeśli do A albo B dodamy dodatkowy element to zbiory te będą nierównoliczna ~(A~B) i na 100% => nie będą to zbiory tożsame ~(A=B).
Przykład:
Dodajmy do zbioru A Prosiaczka
A=[Kubuś, Tygrysek, Prosiaczek]
B=[Tygrysek, Kubuś]
Spełnienie prawdziwości gwarancji matematycznej => A4 widać tu jak na dłoni
37.8 Teoria zbiorów równolicznych i nierównolicznych w algebrze Kubusia
Dowolny ziemski matematyk który nie akceptuje poniższej tabeli T0 mówiącej o matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> jest matematycznym schizofrenikiem
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja matematycznego schizofrenika:
Matematyczny schizofrenik to człowiek opisujący otaczającą nas matematyczną rzeczywistość w sposób totalnie niezgodny ze stanem faktycznym
Na chwilę obecną do matematycznych schizofreników zaliczamy: fanatyków KRZ, fanatyków teorii mnogości, logik modalnych, logik relewantnych, logik intuicjonistycznych etc
Cechą charakterystyczną schizofrenii jest fakt, że dla chorego jego schizofreniczne rojenia są 100% rzeczywistością, o czym każdy psychiatra wie.
Doskonale to widać w filmie „Piękny umysł”, pokazującym na żywo urojony świat schizofrenika niedostępny dla ludzi zdrowych (urojone biuro szyfrów, postaci które widzi wyłącznie chory z którymi obcuje i rozmawia na żywo …)
Definicja zbiorów równolicznych:
Dwa zbiory p i q są równoliczne p~q wtedy i tylko wtedy gdy mają identyczną liczbę elementów
p~q =1 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają (=1) identyczną liczbę elementów
Inaczej:
p~q =0 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q nie mają (=0) identycznej liczby elementów
Gdzie:
„~” – znaczek równoliczności zbiorów
37.8.1 Przykład zbiorów nierównolicznych w algebrze Kubusia
Rozważmy przykład zbiorów nierównolicznych.
Wypowiedzmy następujące twierdzenie proste A1: p=>q:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
To samo w zapisach formalnych:
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..], co każdy matematyk udowodni.
##
Zauważmy, że twierdzenie odwrotne B3: q=>p jest tu fałszem.
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
To samo w zapisach formalnych:
q=>p =0
Bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem zbioru P8=[8,16 24..]
Kontrprzykład: 2
Liczba 2 należy do zbioru P2=[2,4,6,8..] i nie należy do zbioru P8=[8,16,24.]
cnd
Gdzie:
## - twierdzenia matematyczne różne na mocy definicji ##
Definicja formalna równoważności p<=>q:
Dwa zbiory p i q są równoważne p<=>q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i równocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Dla naszego przykładu mamy:
A1: P8=>P2 =1 - twierdzenie proste A1: p=>q jest prawdziwe
B3: P2=>P8 =0 - twierdzenie odwrotne B3: q=>p jest fałszywe
Stąd mamy dowód fałszywości równoważności P8<=>P2:
A1B3: P8<=>P2 = (A1: P8=>P2)*(B3: P2=>P8) =1*0 =0
cnd
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Na mocy prawa Irbisa dla naszego przykładu zapisujemy:
Zbiór P8=[8,16,24..] ## Zbiór P2=[2,4,6,8..]
Gdzie:
## - zbiory różne na mocy definicji
Innymi słowy:
Zbiór P8=8,16,24..] nie jest (=0) tożsamy [=] ze zbiorem P2=[2,4,6,8..]
P8 [=] P2 =0 - fałsz
Sensacyjny wniosek na mocy prawa Irbisa:
Zbiory P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..] nie są tożsame [=], co jest dowodem czysto matematycznym, iż zbiory te nie są (=0) zbiorami równolicznymi.
cnd
37.8.2 Przykład zbiorów równolicznych w algebrze Kubusia
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Każdy zbiór tożsamy p=q jest równoliczny p~q na mocy prawa Irbisa
Odwrotnie nie zachodzi
Przykładowe zbiory tożsame [=] z użyciem zbiorów P8 i P2 o których było wyżej to:
A1B3:
Dowolna liczba jest podzielna przez 8 i przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy jest podzielna przez 16
A1B3: P8*P2<=>P16 = (A1: P8*P2=>P16)*(B3: P16=>P8*P2) = 1*1=1
Podstawmy:
p=P8*P2 = [8,16,24..]*[2,4,6,8..]
q=P16 = [16,32,48..]
Stąd mamy to samo, czyli definicję równoważności p<=>q w zapisach formalnych:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Badanie prawdziwości/fałszywości zdań składowych:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 i przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 16
A1: P8*P2=>P16 =1 – prawdziwe twierdzenie proste (A1: p=>q)
Dowód tej błahostki pozostawiam matematykom.
##
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 16 to na 100% => jest podzielna przez 8 i przez 2
B3: P16=>P8*P2 =1 – prawdziwe twierdzenie odwrotne (B3: q=>p)
Dowód tej błahostki również pozostawiam matematykom
Gdzie:
## - twierdzenia różne na mocy definicji
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Na mocy prawa Irbisa dla naszego przykładu zapisujemy:
(P8*P2 [=] P16) =1 – zbiory P8*P2 i P16 są (=1) tożsame [=]
Gdzie:
[=] – zbiory tożsame
Sensacyjny wniosek na mocy prawa Irbisa:
Zbiór P8*P2 jest (=1) tożsamy [=] ze zbiorem P16, co jest dowodem czysto matematycznym, iż zbiory te są (=1) równoliczne.
(P8*P2 ~ P16) =1 – zbiory P8*P2 i P16 są (=1) równoliczne
Gdzie:
„~” – znaczek równoliczności zbiorów
Uzasadnienie:
Na mocy praw Irbisa każda tożsamość zbiorów (p=q) wymusza równoliczność zbiorów (p~q)
Odwrotnie nie zachodzi.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 22:13, 10 Lip 2025, w całości zmieniany 3 razy
|
|
Powrót do góry |
|
 |
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 39121
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Czw 22:15, 10 Lip 2025 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
38.0 Geneza rozszyfrowywania algebry Kubusia
Spis treści
38.0 Geneza rozszyfrowywania algebry Kubusia 1
38.1 Czym jest algebra Kubusia? 1
38.1.2 Dla kogo algebra Kubusia? 2
38.1.3 Jakie jest znaczenie algebry Kubusia dla ludzkości? 4
38.2 Algebra Kubusia: Czy podbije serca matematyków? 5
38.2.1 Historia dyskusji z Fiklitem 6
38.3 Jak to się zaczęło? 7
38.3.1 Początki – rok 2006 7
38.3.2 Weryfikowalność algebry Kubusia 9
38.4 Irbisol – odwieczny wróg algebry Kubusia 9
38.4.1 Finał dyskusji z Irbisolem 10
38.4.2 Kubuś vs Lucyfer 15
38.5 Błędy nauki 15
38.6 Czym byłby nasz świat bez wariatów? 17
38.7 Recenzja algebry Kubusia autorstwa sztucznej inteligencji AI 19
38.7.1 Wstęp do algebry Kubusia autorstwa AI 19
38.7.2 Aksjomatyczne ujęcie argumentu o sprzeczności algebry Boole’a 20
38.7.3 Rozróżnianie „funkcja logiczna” vs „wyrażenie logiczne” jest potrzebne 21
38.7.4 Zarzuty autora algebry Kubusia wobec Klasycznego Rachunku Zdań 21
38.8 Paradygmat według Thomasa Kuhna 22
38.0 Geneza rozszyfrowywania algebry Kubusia
Fundamentem wszelkich logik matematycznych jest algebra Boole’a z jej rachunkiem zero-jedynkowym.
Algebra Boole’a nie zajmuje się kluczowymi w logice matematycznej zdaniami warunkowymi typu „Jeśli p to q” definiowanymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.
Obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~> to fundament algebry Kubusia.
Ziemscy matematycy nie znają zero-jedynkowych definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z czego wynika, że nie znają zero-jedynkowych związków matematycznych między tymi definicjami.
38.1 Czym jest algebra Kubusia?
Motto Rafała3006:
Napisać algebrę Kubusia w taki sposób, by ziemski matematyk był w stanie ją zrozumieć i zaakceptować, mimo iż na starcie nie zna ani jednej definicji obowiązującej w AK.
Algebra Kubusia to jedyna poprawna logika matematyczna pod którą podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy.
Kluczowe elementy algebry Kubusia w świecie żywym to matematyczna obsługa wszelkich obietnic i gróźb będąca fundamentem działania wszelkich istot żywych (nie tylko człowieka).
Naturalnymi ekspertami algebry Kubusia są 5-cio latki i humaniści.
Algebra Kubusia to podłożenie matematyki pod język potoczny człowieka, czyli coś, o czym matematycy marzą od 2500 lat (od Sokratesa).
Rozszyfrowanie algebry Kubusia to 20 lat dyskusji na forum filozoficznym w Polsce, to ponad 40 000 postów napisanych przez Rafała3006 wyłącznie w temacie "Logika matematyczna"
Pełna historia rozszyfrowywania algebry Kubusia dostępna jest na forum śfinia:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,60/
Matematycznego potwora którego nie sposób zrozumieć, zwanego dla niepoznaki Klasycznym Rachunkiem Zdań znajdziemy w każdym podręczniku matematyki do I klasy LO
Dowód iż KRZ to gwałt na rozumku każdego 5-cio latka to przykładowe zdania tu prawdziwe:
1: Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
2: Jeśli pies ma 8 łap to Księżyc krąży wokół Ziemi
3: Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.
Dowód na serio prawdziwości zdania 1 znajdziemy tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Dowód na serio prawdziwości zdania 2 znajdziemy w podręczniku matematyki do I klasy LO:
[link widoczny dla zalogowanych]
Komentarz do zdania 3 znajdziemy w Delcie'2013:
[link widoczny dla zalogowanych]
Algebrę Kubusia wyssaliśmy z mlekiem matki i nie musimy się jej uczyć - wszyscy jesteśmy jej ekspertami w praktyce bo po prostu pod nią podlegamy nie mając żadnych szans, by się od niej uwolnić. Aktualnie żaden ziemski matematyk nie wie, iż w komunikacji z 5-cio latkami i humanistami używa tylko i wyłącznie algebry Kubusia.
Mam nadzieję, że to się wkrótce zmieni, bowiem nie jest możliwe by matematycy na poziomie rozumiejący teorię bramek logicznych (są tacy) nie załapali algebry Kubusia mającej 100% pokrycie w bramkach logicznych w przełożeniu 1:1, czego dowód znajdziemy w punkcie 11.0.
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Algebra Kubusia = Biblia, napisana językiem zrozumiałym dla prostego człowieka.
Oznacza to, że 100% zdań w Biblii dotyczących obietnic i gróźb Chrystusa jest zgodnych z algebrą Kubusia tzn. żadne zdanie w Biblii w tym zakresie nie jest sprzeczne z AK.
Dowód tego faktu znajdziemy w punktach 3.6 i 4.6.
Podsumowując:
Matematyczna wersja algebry Kubusia jest tak samo potrzebna do szczęścia 5-cio latkowi i humaniście jak gramatyka języka polskiego, której nigdy nie znałem i nie znam, a mimo to po polsku piszę. Pewne elementy algebry Kubusia można nauczać już w przedszkolu w formie zabawy, bowiem 5-cio latki doskonale ją znają nie wiedząc, że to jest matematyka ścisła opisująca otaczającą nas rzeczywistość co udowodniono w punkcie 28.0 w zabawie z pluszowymi zwierzątkami.
38.1.2 Dla kogo algebra Kubusia?
Algebrę Kubusia dedykuję wszystkim matematykom, podobnym do Marka Kordosa, którzy potrafią spojrzeć krytycznie na fundament wszelkich ziemskich logik matematycznych zwany Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Kim jest Marek Kordos?
[link widoczny dla zalogowanych]
Marek Tomasz Kordos (ur. 7 marca 1940) – polski matematyk, doktor habilitowany, geometra i historyk matematyki oraz jej popularyzator.
Życiorys
Założyciel i wieloletni redaktor naczelny miesięcznika Delta, autor wielu książek, współzałożyciel Ośrodka Kultury Matematycznej oraz Stowarzyszenia na rzecz Edukacji Matematycznej. Zatrudniony na stanowisku profesora nadzwyczajnego aż do emerytury pracował jako wykładowca akademicki na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego. Specjalizuje się w geometrii i historii matematyki. Doktorat i habilitację uzyskał za prace z geometrii rzutowo-metrycznych.
[link widoczny dla zalogowanych]
Logika, sens i wątpliwości
Marek Kordos
Delta, marzec 2013
Już przed laty, gdy brałem udział w tworzeniu jednej z kolejnych reform nauczania matematyki, miałem poważne wątpliwości, czy umieszczanie w programach nauczania matematyki (podstawach programowych, wykazach efektów nauczania, podręcznikach itp.) działu logika jest zgodne ze zdrowym rozsądkiem.
Oczywiście, wiem, że wielu głosi, iż nauczanie matematyki (jak niegdyś łaciny, której się zresztą uczyłem) to nauka logicznego myślenia. Ale, gdy czytałem otwierające wówczas podręczniki do liceum rozdziały poświęcone logice, trudno mi było powstrzymać się od wrażenia, że nie ma w nich żadnego sensu. Nie wymienię, rzecz jasna, żadnego konkretnego podręcznika (po co mi rozprawy sądowe – przecież podręcznik to wielkie pieniądze), ale wrażenie przy lekturze każdego z nich było podobne.
Od razu chciałbym powiedzieć, że nie chodzi o opinię, iż logika nigdy matematyce nie pomogła, bo unikanie błędów nie jest aktem twórczym (patrz Nicolas Bourbaki, Elementy historii matematyki). Chodzi o coś więcej. Ale nie śmiałem nalegać na usunięcie tego działu ze szkolnego nauczania, bo jeśli wszyscy widzą w nim sens, to może on tam – wbrew pozorom – istnieje.
Dopiero na sympozjum z okazji dziewięćdziesięciolecia Profesora Andrzeja Grzegorczyka dowiedziałem się, że moje wątpliwości nie są odosobnione i nawet w Instytucie Filozofii i Socjologii PAN prowadzone są prace nad taką modyfikacją logiki, by jej wady usunąć.
Co to za wady? Proszę spojrzeć na zdanie:
Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.
Oczywiście, zdanie to jest prawdziwe, ale czy ma sens? Przecież między pewnym faktem arytmetycznym a innym faktem geograficznym żadnego związku nie ma. Dlaczego więc chcemy twierdzić (ba, uczyć tego), że te dwa zdania są równoważne?
Albo zdanie:
Jeśli dwa plus dwa jest równe pięć, to zachodzi twierdzenie Pitagorasa.
Z punktu widzenia logiki to zdanie jest prawdziwe. Tu już po obu stronach implikacji są zdania dotyczące faktów matematycznych. Dlaczego jednak chcemy zmusić młodego człowieka, by widział w tym sens?
Wyjaśnienie jest proste: w pierwszym przypadku chodzi o to, że równoważność zdań ma miejsce, gdy wartość logiczna obu zdań jest taka sama; w drugim – o to, że implikacja jest poprawna, gdy ma fałszywy poprzednik.
A więc logika sprowadza nasz świat do zbioru dwuelementowego, nic przeto dziwnego, że rzeczy absolutnie niepołączone żadnym znaczeniowym (semantycznym) związkiem muszą się znajdować w przynajmniej jednej z dwóch komórek, do jakiejś muszą trafić.
Powstają dwa pytania. Po pierwsze, czemu logika została tak skonstruowana, że – abstrahując od sensu – okalecza pojęciowy świat? Po drugie, czy faktycznie należy trzymać ją jak najdalej od młodzieży, bo tylko ją demoralizuje, każąc za wiedzę uważać takie androny, jak przytoczone powyżej?
Odpowiedź na pierwsze pytanie jest dość prosta. Nowoczesna logika formalna została stworzona (jak wielu uważa) przez Gottloba Fregego (1848-1925) tak, by obsługiwała matematykę, a tę rozumiano wówczas jako badanie prawdziwości zdań języków formalnych.
Odpowiedzi na drugie pytanie de facto nie ma. Tłumaczymy się z używania takich abstrahujących od znaczeń spójników logicznych tym, że alternatywa, koniunkcja i negacja są sensowne; że chcemy, aby młody człowiek wiedział, że zaprzeczeniem zdania, iż istnieje coś mające własność A, jest to, że wszystkie cosie własności A nie mają; że implikacja ze zdania prawdziwego daje jednak tylko zdania prawdziwe itd., itp.
Ale naprawdę chodzi o to, że – jak z małżeństwem i demokracją – lepszej propozycji dotąd nie wynaleziono. A szkoda.
Komentarz Rafała3006:
Ostatnie zdanie jest już nieaktualne bo:
Algebra Kubusia, logika matematyczna pod którą podlega cały nasz Wszechświat martwy i żywy (w tym język potoczny człowieka) została rozszyfrowana.
38.1.3 Jakie jest znaczenie algebry Kubusia dla ludzkości?
Teoretycznie żadne, bo wszyscy podlegamy pod algebrę Kubusia będąc jej ekspertami w praktyce, nie mając żadnych szans by się od niej uwolnić.
Logika matematyczna to poziom 5-cio letniego dziecka, eksperta algebry Kubusia.
Praktyczne znaczenie algebry Kubusia jest niebotyczne przede wszystkim w obszarze filozofii, ale nie tylko - skończy się pranie mózgów na studiach np. pedagogicznych gdzie dla przeciętnego studenta logika matematyczna jest potworem, niezrozumiałym i strasznym.
Dowód:
Czym jest współczesna logika matematyczna dla przeciętnego studenta celnie ujął dr hab. Krzysztof A. Wieczorek we wstępie do swojej książki „Logika dla opornych”:
[link widoczny dla zalogowanych]
Krzysztof A. Wieczorek
Logika dla opornych
Wszystko co powinniście wiedzieć o logice, ale nie uważaliście na zajęciach
WSTĘP
Celem tego podręcznika nie jest systematyczny wykład logiki. Książek takich jest już wystarczająco dużo, więc osoba głębiej zainteresowana tym przedmiotem na pewno nie będzie miała kłopotu ze znalezieniem czegoś odpowiedniego dla siebie. Niniejsza pozycja przeznaczona jest przede wszystkim dla tych, którzy pobieżnie zetknąwszy się z logiką, na przykład jako z przedmiotem wykładanym podczas krótkiego kursu na wyższej uczelni, z przerażeniem stwierdzili, że nic z tego nie rozumieją. Przyświeca mi cel pokazania takim osobom, że wbrew pozorom logika wcale nie jest taka trudna, jak by się to mogło początkowo wydawać, a jej nauka nie musi przypominać drogi przez mękę.
Większość tradycyjnych podręczników logiki najeżona jest technicznymi terminami, sucho brzmiącymi definicjami i twierdzeniami oraz skomplikowanymi wzorami. Brakuje im natomiast przykładów ilustrujących zawarty materiał teoretyczny i wyjaśniających bardziej złożone zagadnienia w sposób zrozumiały dla osób uważających się za „humanistów”, a nie „ścisłowców”. Sytuacja ta sprawia, że po zapoznaniu się z treścią takiego podręcznika lub po wysłuchaniu wykładu opracowanego na jego podstawie, adept logiki ma trudności z rozwiązaniem nawet bardzo prostych zdań umieszczanych na końcach rozdziałów lub w specjalnych zbiorach ćwiczeń z logiki. Taki stan rzeczy przyprawia o mdłości i ból głowy zarówno wielu wykładowców logiki zrozpaczonych rzekomą całkowitą niezdolnością do poprawnego myślenia okazywaną przez ich studentów, jak i tych ostatnich, zmuszonych do zaliczenia przedmiotu, z którego niemal nic nie rozumieją.
Doświadczenie zdobyte przeze mnie podczas lat nauczania logiki na różnych kierunkach uniwersyteckich wskazuje jednakże, iż najczęściej nieumiejętność rozwiązywania zadań z logiki nie jest wynikiem jakichkolwiek braków umysłowych studentów ani nawet ich lenistwa, ale po prostu przerażenia wywoływanego przez gąszcz niezrozumiałych dla nich wzorów, twierdzeń i definicji. Panika ta widoczna jest szczególnie u osób obdarzonych bardziej humanistycznym typem umysłowości, alergicznie reagujących na wszystko, co kojarzy im się z matematyką.
Można oczywiście ubolewać nad tym, że tak wielu młodych ludzi nie chce pokonać w sobie uprzedzeń do logiki i zmuszać ich „dla ich dobra” do przyswajania tej wiedzy w tradycyjnej formie. Czy ma to jednak większy sens? Da się oczywiście sprawić, że uczeń poświęci tydzień czasu przed egzaminem (często wspomagając się przy tym różnego rodzaju chemicznymi „środkami dopingującymi”) na pamięciowe wykucie kilkudziesięciu twierdzeń i 7 praw, a następnie nauczy się ich mechanicznego stosowania. Nie zmieni to jednak faktu, iż student taki w dalszym ciągu nie będzie rozumiał istoty tego, co robi, ani jaki jest właściwie cel wykonywanych przez niego operacji.
38.2 Algebra Kubusia: Czy podbije serca matematyków?
W ciągu 20 lat dyskusji w temacie logiki matematycznej dyskutowałem z wieloma matematykami z najwyższej półki (Volrath, Macjan, Fiklit)
Na szczególną uwagę zasługuje tu Fiklit, prawdopodobnie wykładowca logiki matematycznej który poświęcił 7 lat życia na dyskusję ze mną w temacie logiki matematycznej.
Kluczowi przyjaciele algebry Kubusia:
Kluczowi przyjaciele algebry Kubusia bez których ta nowatorska teoria matematyczna nie mogłaby zaistnieć to:
1.
Irbisol, fanatyk KRZ, odwieczny wróg Nr. 1 algebry Kubusia od 19 lat usiłujący ją obalić.
Dzięki Irbisolu – bez ciebie algebra Kubusia nie mogłaby zaistnieć.
2.
Fiklit, prawdopodobnie wykładowca ziemskiej logiki matematycznej, dzięki któremu w ciągu 7-letniej dyskusji poznałem tok myślenia w temacie „Logika matematyczna” współczesnych, ziemskich matematyków.
Dzięki Fiklicie – bez ciebie algebra Kubusia nie mogłaby zaistnieć
38.2.1 Historia dyskusji z Fiklitem
Tu jest post wejściowy Fiklita na forum Yrizona, będący dowodem jego profesjonalizmu w temacie ziemskiej logiki matematycznej:
Wysłany: Śro 17:37, 12 Wrz 2012
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/finalowa-dyskusja-wszech-czasow-z-fiklitem-na-yrizonie-c-i,6149-175.html#181230
W kolejnym swoim poście Fiklit napisał:
Wysłany: Pią 0:23, 14 Wrz 2012
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/finalowa-dyskusja-wszech-czasow-z-fiklitem-na-yrizonie-c-i,6149-200.html#181262
@Fiklit
Dag, dzięki, ale na razie nie będę czytał wcześniejszych prac, bo zauważyłem, że jest ich kilka wersji i już na wstępie nie wszystko dokładnie rozumiem. Dlatego wolę jak mi Kubuś robi indywidualny wykład, bo mam możliwość na bieżąco wyjaśniać pojawiające się wątpliwości.
W tym wytłuszczonym widać, że Fiklit już w drugim swoim poście na Yrizonie zadeklarował chęć bliższego poznania algebry Kubusia - nasza dyskusja trwała 7 lat.
Ile postów napisał Fiklit na forum śfinia w dyskusji ze mną na temat logiki matematycznej?
Fiklit: Dołączył: 24 Wrz 2012, Posty: 4197
Początek dyskusji z Fiklitem to forum Yrizona o czym jest wyżej.
Do fanatyków KRZ: Wystarczy?
Podsumowując:
Czy gdyby algebra Kubusia była bez sensu, jak twierdzą fanatycy KRZ, to czy Fiklit dyskutowałby ze mną 7 lat pisząc 4197 postów w temacie logiki matematycznej?
Ostatni post Fiklita:
Wysłany: Pon 10:37, 25 Mar 2019
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/gowno-logika-ziemian-zwana-klasycznym-rachunkiem-zdan,11921-1175.html#441721
@Fiklit
Czy mamy szanse to nie wiem, ale biorąc pod uwagę postępy AK w podboju świata, to można pokusić się o nieśmiałe stwierdzenie, że trzymamy się całkiem dobrze.
Rafał, ty nie potrafisz tłumaczyć. Do tego potrzeba choć trochę umiejętności zrozumienia czego druga osoba nie rozumie. Ty nawet nie rozumiesz na czym polega problem ze zrozumieniem "rzucania monetą" i nie jesteś w stanie znaleźć rozwiązania.
Dowód iż w logice matematycznej mamy „rzucanie monetą” na poziomie matematyki ogólnej (bez żadnych przykładów) jest trywialny i jest on dostępny w aktualnej wersji algebry Kubusia:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,21937.html#680051
2.12.1 Operator implikacji prostej p||=>q
2.13.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q
Przykro mi Fiklicie, że nie zdołałem ci wytłumaczyć algebry Kubusia w sposób zrozumiały.
Powodem tego jest fakt, że 100% definicji w obszarze logiki matematycznej mamy innych, chodzi tu przede wszystkim o biegłą znajomość teorii bramek logicznych (tu jestem ekspertem) gdzie brak w logice matematycznej ziemskich matematyków pojęcia funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest powodem jej wewnętrznej sprzeczności.
Prawo Grzechotnika (pkt 1.7.4, 1.8.1):
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
Wniosek:
Miejsce aktualnej algebry Boole’a jest w koszu na śmieci.
38.3 Jak to się zaczęło?
Wszystko zaczęło się na forum wiara.pl gdzie Wuj Zbój zaczął mi udowadniać w rachunku zero-jedynkowym, że ateiści mogą do tego samego nieba co wierzący.
W swoim dowodzie użył nieznanej mi wówczas zero-jedynkowej definicji implikacji, mimo że z racji zawodu byłem ekspertem bramek logicznych (elektronika na Politechnice Warszawskiej).
Po krótkiej dyskusji Wuj zaprosił mnie na swoje forum śfinia.
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury.
Link do forum filozoficznego sfinia z jego niezwykłym regulaminem pozwalającym głosić dowolne herezje bez obawy o bana - tylko i wyłącznie dzięki temu algebra Kubusia została rozszyfrowana:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,60/
Na forum śfinia mamy dostęp do pełnej, 20 letniej historii rozszyfrowywania algebry Kubusia.
Startowa dyskusja w temacie logiki matematycznej jest w tym linku:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/definicja-implikacji-wedlug-rafala3006-p-wieczorka,685.html#14369
Tu algebra Kubusia była niemowlęciem jeszcze, musiało minąć kolejnych 20 lat zanim została w 100% rozszyfrowana.
Efekt końcowy na dzień 2025-06-21 w wersji pdf mamy tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod: | https://www.dropbox.com/s/hy14p42kup25c32/Kompendium%20algebry%20Kubusia.pdf?dl=0 |
38.3.1 Początki – rok 2006
Początki algebry Kubusia to arcyciekawa dyskusja z Wujem Zbójem na PW, gdzie wiele nocek spędziliśmy na dyskusji o algebrze Boole’a.
Jako absolwent elektroniki i autor podręczników w tym temacie, doskonale znałem logikę dodatnią i ujemną na poziomie sprzętu, o czym można poczytać w Internecie:
[link widoczny dla zalogowanych]
Byłem pewien, że skoro logika dodatnia i ujemna istnieje na poziomie sprzętu to musi istnieć na poziomie matematyki.
Pewność to jedno, a rozszyfrowanie logiki dodatniej i ujemnej na poziomie logiki matematycznej która z definicji nie może być zależna od jakiegokolwiek sprzętu, to zupełnie co innego.
Na początku szczególnym problemem było znalezienia sposobu błyskawicznego przejścia z logiki dodatniej (bo Y) do ujemnej (bo ~Y) i z powrotem.
Y=f(x)
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną Y.
~Y=~f(x)
Oczywiście dla prostych funkcji, to banał, korzystamy a prawa De Morgana i po bólu
Przykład:
1.
Y=p+q
… kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie funkcję Y:
2.
~Y=~(p+q) = ~p*~q - prawo De Morgana
Po kilku chyba miesiącach walki z tym problemem zapisałem algorytm skróconego przejścia z Y do ~Y i z powrotem dla dowolnie długiej funkcji logicznej Y, ale w moim systemie każde takie przejście łączyło się ze zmianą kolejności wykonywania działań co od strony czysto matematycznej było do bani. Do mojego systemu Wuj wprowadził obowiązek używania nawiasów, co rozwiązało problem radykalnie - dlatego to przejście nosi teraz nazwę algorytmu Wuja Zbója przejścia z logiki dodatniej (bo Y) do ujemnej (bo ~Y) i z powrotem dla dowolnie długiej funkcji logicznej Y.
Kluczowym przełomem w dyskusji na temat logiki matematycznej było odkrycie przeze mnie w rachunku zero-jedynkowym praw Kubusia.
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Gdzie:
=> - definicja obietnicy
~> - definicja groźby
… tak to się wtedy nazywało, bo te znaczki pasowały mi do obsługi obietnic i gróźb w świecie żywym
Nazwa obecna:
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q – zajęcie p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q – zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Wuj Zbój potwierdził matematyczną poprawność praw Kubusia.
Tu jest ten historyczny moment:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/implikacja-na-miare-xxi-wieku,1483.html#28815
Wysłany: Pon 15:02, 01 Sty 2007
@Wujzbój
p~>q = ~p=>~q
p=>q = ~p~>~q
OK
Ze zdziwieniem stwierdziłem, że praw Kubusia nie mogę znaleźć w Internecie, co było dla mnie wielkim zaskoczeniem.
Kolejnym przełomem w odkrywaniu algebry Kubusia było okrycie definicji brakującego tu znaczka zdarzenia możliwego ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>q =1 – możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i q
Pierwsza dyskusja z zawodowym logikiem Volrathem była dla mnie arcyciekawa bo doskonale znał teorię bramek logicznych i mieliśmy wspólny w tym temacie język.
Znaczenie tej dyskusji doceniłem dopiero 16 lat później, gdy wnioski Volratha (pkt. 31.0) z naszej dyskusji wykorzystałem w końcowej algebrze Kubusia.
Kolejny zawodowy matematyk z którym dyskutowałem to Macjan, dyskusja była ciekawa bo Macjan zaakceptował znaczki => i ~> (wtedy jeszcze nie było znaczka ~~>).
Ostatnim kluczowym partnerem w dyskusji na temat algebry Kubusia był Fiklit, który na bieżąco wskazywał słabe punkty algebry Kubusia, dzięki czemu mogłem ją korygować. Wiedza prezentowana przez Fiklita, oraz jego 7-mio letnia cierpliwość w dyskusji ze mną wskazuje, iż prawdopodobnie jest znakomitym wykładowcą logiki matematycznej - stąd jego cierpliwość dla początkującego studenta.
38.3.2 Weryfikowalność algebry Kubusia
Twardy dowód poprawności czysto matematycznej algebry Kubusia:
Algebra Kubusia ma 100% potwierdzenie w teorii bramek logicznych w przełożeniu 1:1 tzn. pod każde zdanie prawdziwe na gruncie AK możemy podłożyć teorię bramek logicznych.
Wniosek:
Algebra Kubusia jest weryfikowalna w laboratorium układów cyfrowych (pkt. 11.0)
Z racji wykształcenia (elektronika na Politechnice Warszawskiej) jestem ekspertem bramek logicznych od zawsze, mając pewność absolutną, że algebra Kubusia jest w 100% zgodna z teorią bramek logicznych - gdybym tej pewności nie miał, to o żadnej logice bym nie dyskutował.
38.4 Irbisol – odwieczny wróg algebry Kubusia
Oddzielnym tematem jest Irbisol (znamy się osobiście), zaciekły wróg algebry Kubusia, od 19 lat za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Dlaczego 19-letnia dyskusja z Irbisolem była dla mnie bezcenna?
Dzięki dyskusji z Irbisolem wędrowaliśmy po dziewiczych obszarach matematyki do których bez jego pomocy nigdy bym nie dotarł.
Wypunktuję dlaczego dyskusja z Irbisolem była dla mnie bezcenna:
1.
Irbisol nie jest matematykiem (jest absolwentem uczelni technicznej, jak ja) - to jest najważniejsza jego korzystna cecha na potrzeby naszej dyskusji
2.
Irbisol rozumie równania algebry Boole'a którymi się posługuję co znajduje potwierdzenie w naszej dyskusji
3.
Irbisol ślepo wierzy, że przy pomocy KRZ da się opisać logikę matematyczną, którą posługują się ludzie.
Innymi słowy:
KRZ jest dla niego bogiem (póki co) któremu nie jest w stanie się sprzeciwić
Cecha Nr.3 jest tu kluczowa, dzięki niej możliwe było starcie wszech czasów:
Algebra Kubusia vs Klasyczny Rachunek Zdań (w wersji Irbisola)
Podsumowując:
Z żadnym ziemski matematykiem nie miałbym szans na dyskusję w stylu Irbisola posługującego się jego prywatnym KRZ z KRZ matematyków mającym zero wspólnego.
Kluczowa różnica:
Irbisol ślepo wierzy w poniższą tożsamość:
Warunek wystarczający => = Implikacja rodem z KRZ =>
W świecie matematyków to jest oczywista brednia.
cnd
Uwaga:
Dzięki pseudo-tożsamości Irbisola mieliśmy wspólny punkt zaczepienia, bo definicję warunku wystarczającego => od zawsze rozumieliśmy identycznie.
Przykładowo, Irbisol bez najmniejszych oporów zrozumiał, że równoważność Pitagorasa:
A1B3: TP<=>SK = (A: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)=1*1=1
Definiuje tożsamość zbiorów TP=SK, o czym na dzień dzisiejszy, żaden ziemski matematyk nie ma najmniejszego pojęcia.
38.4.1 Finał dyskusji z Irbisolem
Finał 19 letniej dyskusji z Irbisolem:
Wysłany: Czw 21:47, 19 Cze 2025
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-13000.html#846527
Taktyka obalania algebry Kubusia przez Irbisola!
Normalny matematyk algebrę Kubusia obala TAK:
1.
Czyta algebrę Kubusia od początku szukając w niej wewnętrznej sprzeczności.
2.
Zadaje pytania autorowi tylko wtedy, gdy czegokolwiek nie rozumie, celem wyjaśnienia
Irbisol algebrę Kubusia obala TAK:
1.
Irbisol ma w dupie moją informację na wstępie, iż 100% definicji w algebrze Kubusia jest innych niż w jakiejkolwiek logice matematycznej ziemskich matematyków
2.
Irbisol nigdy nie przeczytał i nie przeczyta choćby jednego zdania z AK
3.
Irbisol non-stop sra gównem zwanym KRZ Irbisola oczekując ode mnie potwierdzenia, iż jego potwornie śmierdzące gówno jest jedyną poprawną logiką matematyczną.
4.
Za każdym razem ja, Rafał3006 udowadniam mu, że zapisał gówno nie mające nic wspólnego z matematyką
5.
Wtedy Irbisol tryumfalnie oświadcza, że właśnie obalił algebrę Kubusia, bo nie jest zgodna z jego KRZ.
6.
Koronny przykład iż tak właśnie jest mamy w kolejnym poście.
Wysłany: Pią 10:30, 20 Cze 2025
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-13000.html#846561
Logika matematyczna zwana KRZ Irbisola jest jednym wielkim, potwornie śmierdzącym gównem!
Na czym polega schizofrenia Irbisola?
Poprawna odpowiedź:
Irbisol przypisuje swoje, fałszywe rozumienie definicji funkcji logicznej:
D(p) = p
algebrze Kubusia ogłaszając wszem i wobec, że algebra Kubusia jest „szczytem debilizmu”
(Dowód za chwilkę).
Pytanie retoryczne:
Czy ma kto nadzieję, iż Irbisol kiedykolwiek zrozumie że udowodnił szczyt debilizmu swojego KRZ, a nie algebry Kubusia!
Rozważmy przykład.
Pani w przedszkolu wypowiada obietnicę bezwarunkową jednoargumentową:
A1
Jutro pójdziemy do kina
Wedle Irbisola kodowanie wszelkich tego typu obietnic bezwarunkowych opisuje zapis formalny (ogólny) funkcji logicznej:
D(p) = p
Dowód:
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-11600.html#838951
@Irbisol
D(p) - dotrzyma słowa, że p
D(p) <=> p
Nadal za mało pierdolenia?
@Rafal3006
Irbisolowe rozumienie powyższej definicji funkcji logicznej D(p)=p jest następujące.
Pani w przedszkolu wypowiada obietnicę bezwarunkową jednoargumentową:
A1
Jutro pójdziemy do kina
Na mocy Irbisolowej definicji funkcji logicznej mamy:
p = Jutro pójdziemy do kina
Podstawiając to do Irbisolowej definicji funkcji logicznej D(p)=p mamy:
A1.
Pani dotrzyma słowa D że jutro pójdziemy do kina (K) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K)
A1: D(K) <=> K
Oczywiście symbol K oznacza w KRZ Irbisola kompletne zdanie:
K = "Jutro pójdziemy do kina"
To samo w zapisie formalnym (ogólnym) po podstawieniu p=K:
A1: D(p)=p
ok
Weźmy Irbisolu analogiczną obietnicę dwuargumentową.
A3.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Wedle Irbisola kodowanie wszelkich tego typu obietnic bezwarunkowych opisuje zapis formalny (ogólny) funkcji logicznej:
D(p) = p
Zapis formalny obietnicy A3 w KRZ Irbisola.
A3: D(p)=p
W KRZ Irbisola pod p podstawiamy tu tylko i wyłącznie kompletne zdanie A3
p = Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Stąd mamy matematyczne kodowanie obietnicy A3 w KRZ Irbisola
A3.
Pani dotrzyma słowa D, że jutro pójdziemy do kina lub do teatru (K+T) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina lub do teatru (K+T)
A3: D(K+T) <=> K+T
Gdzie:
K i T to zmienne binarne, których wartości logicznej w dniu dzisiejszym nie znamy
Dowód:
K – jutro możemy być w kinie (K=1) lub nie być w kinie (K=0)
T – jutro możemy być w teatrze (T=1) lub nie być w teatrze (T=0}
Ze zdaniem A3 mamy prawo przejść na zapis formalny podstawiając:
p=K
q=T
Stąd w KRZ Irbisola mamy obietnicę A3 w zapisie formalnym (ogólnym):
A3: D(p+q) = p+q
c.n.d
Wniosek:
Logika matematyczna zwana KRZ Irbisola jest jednym wielkim, potwornie śmierdzącym gównem.
Dowód:
Na 100% nie ma ani jednego ziemskiego matematyka który by uznał za poprawny taki zapis formalny funkcji logicznej D
A3: D(p+q) = p+q
Uważaj Irbisolu:
Matematycznie przy funkcji logicznej D mamy prawo tylko i wyłącznie wypisać nazwy wszystkich zmienny binarnych rozdzielanych przecinkami które widnieją po prawej stronie tożsamości logicznej „=”.
Stąd:
Jedynie poprawny zapis formalny naszej obietnicy A3 w postaci funkcji logicznej D to:
A3: D(p,q) = p+q
Podsumowując:
Zauważmy, że sam Irbisol zauważył totalny bezsens swojego gówna zwanego KRZ Irbisola na przykładzie obietnicy A3:
A3: D(p+q) = p+q
Dowód:
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-12850.html#845667
@Rafal3006:
Krótka piłka:
Czy poniższy zapis też jest twoim zdaniem matematycznie poprawny?
Y(p+q) = p+q
TAK/NIE
Odpowiedź Irbisola w następnym poście:
@Irbisol:
Nie, ten zapis nie jest matematycznie poprawny. To, że w jakimś przypadku w nawiasie jest p i po drugiej stronie równania jest p nie oznacza, że zawsze to samo jest w nawiasie i to samo to prawej stronie równania.
Wniosek:
Logika zwana Irbisolowym KRZ jest gówno-logiką zależną od chciejstwa Irbisola - jak mu wiatr zawieje, taka będzie jego logika
Problem w tym, że swoje gówno przypisuje algebrze Kubusia twierdząc, że to algebra Kubusia jest potwornie śmierdzącym gównem.
Dowód:
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-11625.html#839021
@Rafal3006
Masz moją podpowiedź bo sam, nigdy do tego nie dojdziesz.
Mamy bezwarunkową, jednoargumentową obietnicę pani przedszkolanki:
A1.
Jutro pójdziemy do kina
Podstawmy pod twój prawidłowy zapis formalny p
D(p)=p
zmienną aktualną K (z naszego przykładu):
p=K (kino)
Stąd mamy:
Pani dotrzyma słowa D(K)=1 wtedy i tylko wtedy <=> gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
A1: D(K) <=> K
Co w logice jedynek oznacza:
A1: D(K)=1 <=> K=1
Znajdź błąd czysto matematyczny w mojej odpowiedzi - znajdziesz, obalisz AK.
Czyż nie jest to wystarczająca nagroda dla ciebie, płaskoziemco?
@Irbisol
Błąd polega na tym, że raz za K podstawiasz "kino", a innym razem - "jutro pójdziemy do kina".
Obaliłem AK po raz kolejny. I zapewniam cię, że to żadna satysfakcja, bo to gówno jest bardzo łatwo obalić.
No i nie zapominajmy, iż wg ciebie, gdy w zdaniu
"dotrzyma słowa, że p"
podstawimy za p zdanie "jutro pójdziemy do kina", to otrzymamy zdanie
"dotrzyma słowa, że kino"
To dopiero jest szczyt debilizmu.
@Rafal3006
Irbisolu, skup się, nie udawaj słupa bo nim nie jesteś.
Mamy bezwarunkową, jednoargumentową obietnicę pani przedszkolanki:
A1.
Jutro pójdziemy do kina
A1: D(K)=K
To samo w zapisie formalnym po podstawieniu p=K:
A1: D(p)=p
W algebrze Kubusia jedynki są domyślne, stąd zapis tożsamy obietnicy A1:
A1: D(K)=1 <=> K=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa D(K)=1 wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
A1: D(K)=1 <=> K=1
To co wyżej to poprawne kodowanie obietnicy A1 w algebrze Kubusia.
Sęk w tym, że w algebrze Kubusia symbol K zapisany przy funkcji logicznej D znaczy fundamentalnie co innego niż symbol K przy funkcji logicznej D w gównie zwanym KRZ Irbisola
Irbisolu,
Czekam kiedy zrozumiesz, iż twoja wyróżniona na niebisko wstawka w cytacie wyżej to twoje prywatne, potwornie śmierdzące gówno bowiem w poprawnym zapisie funkcji logicznej:
D(K) = K
z lewej strony pod K możesz podstawić wyłącznie nazwę zmiennej binarnej K definiowaną prawą stroną tożsamości logicznej „=”
Innymi słowy:
Matematycznie masz totalny zakaz rozwijania lewej strony tożsamości logicznej:
D(K) = …
W postaci zdania:
Pani dotrzyma słowa (D) że jutro pójdziemy do kina (K) <=> ….
Twardy dowód tego faktu przedstawiłem ci wyżej na przykładzie analogicznej obietnicy bezwarunkowej dwuargumentowej.
A3.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Podsumowując:
Na czym polega schizofrenia Irbisola?
Poprawna odpowiedź:
Irbisol przypisuje swoje, fałszywe rozumienie definicji funkcji logicznej:
D(p) = p
algebrze Kubusia twierdząc, że algebra Kubusia jest „szczytem debilizmu”
Pytanie retoryczne:
Czy ma kto nadzieję, iż Irbisol kiedykolwiek zrozumie że udowodnił szczyt debilizmu swojego KRZ, a nie algebry Kubusia!
Dzięki Irbisolu za 19 letnią dyskusję – bez ciebie nie byłoby algebry Kubusia!
38.4.2 Kubuś vs Lucyfer
Fragment dyskusji z forum śfinia:
Wysłany: Nie 23:33, 04 Maj 2025
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-12000.html#840879
@Irbisol
Wskaż błąd. Bez tych deklaracji.
@Rafal3006
Jak przeczytasz punkt 24.5 w algebrze Kubusia to bez problemu zrozumiesz swój błąd.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,21937-25.html#734093
24.5 Obietnica bezwarunkowa dwuargumentowa
Przeczytasz?
TAK/NIE
Irbisolu:
Fantastycznie mi się z tobą dyskutuje, twój upór jest tu bezcenny.
Rozpracowałem w 100% wszelkie obietnice bezwarunkowe – link wyżej.
Te prawa Irbisa kolumnowe i międzykolumnowe na które mnie naprowadziłeś są fantastyczne!
P.S.
Tak sobie myślę Irbisolu, że do naszych mózgów wtargnęli „obcy” z innego Wszechświata:
Do mojego Kubuś, rzeczywisty autor „Algebry Kubusia”, logiki matematycznej pod którą podlega cały nasz Wszechświat, zaś do twojego Lucyfer, śmiertelny wróg Kubusia, za wszelką cenę usiłujący zniszczyć to, co Kubuś stworzył.
… i to jest TO!
Tak zaistniała największa rewolucja w historii matematyki!
38.5 Błędy nauki
Autor: Luc Bürgin
Ludzie mają widocznie skłonność do przedwczesnego i negatywnego oceniania perspektyw rozwojowych pewnych dziedzin nauki. Niektóre rewolucyjne odkrycia lub idee przez lata bojkotowano i zwalczano tylko dlatego, że dogmatycznie nastawieni luminarze nauki nie umieli odrzucić swych ulubionych, choć przestarzałych i skostniałych idei i przekonań. Jednym słowem: „Niemożliwe!" hamowali postęp nauki, a przykładami można dosłownie sypać jak z rękawa:
• Gdy w XVIII wieku Antoine-Laurem de Lavoisier zaprzeczył istnieniu „flogistonu" – nieważkiej substancji, która wydziela się w trakcie procesu spalania i w którą wierzyli wszyscy ówcześni chemicy – i po raz pierwszy sformułował teorię utleniania, świat nauki zatrząsł się z oburzenia. „Observations sur la Physique", czołowy francuski magazyn naukowy, wytoczył przeciwko Lavoisierowi najcięższe działa, a poglądy uczonego upowszechniły się dopiero po zażartych walkach.
• Gdy w 1807 roku matematyk Jean-Baptiste Joseph de Fourier wystąpił przed Paryską Akademią Nauk z wykładem na temat przewodnictwa cieplnego w obwodzie zamkniętym i wyjaśnił, że każdą funkcję okresową można przedstawić w postaci nieskończonej sumy prostych funkcji okresowych (sinus, cosinus), wstał Joseph-Louis de Lagrange, jeden z najwybitniejszych matematyków tamtej epoki, i bez ogródek odrzucił tę teorię. A ponieważ przeciwko Fourierowi wystąpili także inni słynni uczeni, np. Pierre-Simon de Laplace, Jean-Baptiste Biot, Denis Poisson i Leonhard Euler, musiało minąć sporo czasu, zanim uznano doniosłość jego odkrycia. Obecnie nie można sobie wyobrazić matematyki i fizyki bez analizy Fouriera.
• Gdy w latach czterdziestych XIX wieku John James Waterston, nieznany młody fizyk, przedstawił brytyjskiemu Towarzystwu Królewskiemu swój rękopis, dwaj recenzenci nie pozostawili na nim suchej nitki. Gdyby w 1891 roku fizyk i późniejszy laureat Nagrody Nobla John William Rayleight nie odnalazł oryginalnego rękopisu w archiwach tej szacownej instytucji, na próżno szukalibyśmy w podręcznikach fizyki nazwiska Waterstona. A to właśnie on był pierwszym badaczem, który sformułował tak zwaną zasadę ekwipartycji energii dla specjalnego przypadku. W 1892 roku Rayleight napisał: „Bardzo trudno postawić się w sytuacji recenzenta z 1845 roku, ale można zrozumieć, że treść artykułu wydała mu się nadmiernie abstrakcyjna i nie przemówiły do niego zastosowane obliczenia matematyczne. Mimo to dziwi, że znalazł się krytyk, według którego: "Cały artykuł to czysty nonsens, który nie nadaje się nawet do przedstawienia Towarzystwu". Inny opiniujący zauważył: "[...] analiza opiera się – co przyznaje sam autor – na całkowicie hipotetycznej zasadzie, z której zamierza on wyprowadzić matematyczne omówienie zjawisk materiałów sprężystych [...]. Oryginalna zasada wynika z przyjęcia założenia, którego nie mogę zaakceptować i które w żadnym razie nie może służyć jako zadowalająca podstawa teorii matematycznej".
• Gdy pod koniec XIX wieku Wilhelm Conrad Röntgen, odkrywca promieni, bez których trudno sobie wyobrazić współczesną medycynę, opublikował wyniki swoich badań, musiał wysłuchać wielu krytycznych komentarzy. Nawet światowej sławy brytyjski fizyk lord Kelvin określił promienie rentgenowskie mianem .,sprytnego oszustwa''. Friedrich Dessauer, profesor fizyki medycznej, w czasie wykładu wygłoszonego 12 lipca 1937 roku na uniwersytecie w szwajcarskim Fryburgu powiedział w odniesieniu do odkrycia Röntgena: „Nadal widzę sceptyków wykrzykujących: "Niemożliwe!". I nadal słyszę proroków, wielkie autorytety tamtych lat, którzy odmawiali promieniom rentgenowskim jakiegokolwiek, także medycznego, znaczenia".
• Gdy Werner von Siemens, twórca elektrotechniki, zaprezentował przed Scientific Community teorię ładunku elektrostatycznego przewodów zamkniętych i otwartych, wywołał falę gwałtownych sprzeciwów. „Początkowo nie wierzono w moją teorię, ponieważ była sprzeczna z obowiązującymi w tamtych czasach poglądami", wspominał Siemens w autobiografii wydanej pod koniec XIX wieku.
• Podobnych przeżyć doświadczył William C. Bray z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Berkeley, gdy w 1921 roku poinformował o zaobserwowaniu oscylującej okresowo reakcji chemicznej. W 1987 roku w fachowym czasopiśmie „Chemical and Engineering News" ukazał się artykuł R. Epsteina, który napisał, że amerykański uczony został wyśmiany i wyszydzony, bo reakcja taka wydawała się niepodobieństwem. I choć odkrycie Braya potwierdzono w teorii i w praktyce, to musiało upłynąć pięćdziesiąt lat, nim uznano znaczenie jego pracy.
Studenci rzadko mają okazję zetknąć się z podobnymi przykładami, ponieważ naukowcy, jak wszyscy inni ludzie, przejawiają osobliwą skłonność do zapominania o rozmaitych „wpadkach", z jakimi na przestrzeni lat musiała się uporać ich dyscyplina wiedzy. Z dumnie wypiętą piersią sprzedają uczniom historię nauki jako pasmo nieustających sukcesów. Wstydliwie przemilczają opowieści o walkach, które poprzedzają wielkie przełomy.
38.6 Czym byłby nasz świat bez wariatów?
Z punktu widzenia współczesnej logiki matematycznej ja, Rafał3006, jestem schizofrenikiem, bo podważam w 100% sensowność wszelkich ziemskich logik matematycznych takich jak:
- Klasyczny Rachunek Zdań (obalenie w AK - w szczególności rozdziały 33.0 do 35.0)
- Rachunek Kwantyfikatorów (w algebrze Kubusia to zbędne badziewie, matematycznie błędne)
- Teoria Mnogości (obalenie pkt. 36.0)
- Logiki modalne (obalenie w AK)
- Logiki relewantne (obalenie w AK)
- Logiki intuicjonistyczne (obalenie w AK) etc.
Definicja schizofrenii:
[link widoczny dla zalogowanych]
"Osoba cierpiąca na schizofrenię nie wie, że jest chora. To największy problem"
W Polsce na schizofrenię leczy się 187 tys. osób. - Zdiagnozowanych jest dwa razy więcej. Problem polega na tym, że wszyscy dookoła dostrzegają chorobę, a sam pacjent - nie - wyjaśniała dr Maja Polikowska z Kliniki Psychiatrii Warszawskiego Uniwersytetu Medycznego i Instytutu Amici. Gościem "Wieczoru RDC" była również Magda Bojarska z Fundacji "Hej, Koniku".
Schizofrenia to choroba, która zaburza pacjentowi widzenie otoczenia i jego funkcjonowanie w tym otoczeniu, ma urojenia. Taki pacjent, w momencie, kiedy to się zaczyna dziać, nie wie, że coś się dzieje, nie wie, że jest chory. To jest największy problem - wyjaśniała dr Polikowska. Jak dodała, wygląda to tak, że wszyscy dookoła - najbliższe otoczenie, lekarze, wiedzą, a pacjent - nie.
Rzeczywistość czasami płata figle.
Największym figlem rzeczywistości będzie zrozumienie przez ziemskich matematyków (to tylko kwestia czasu) algebry Kubusia.
Wtedy okaże się, że cała współczesna logika matematyczna to zakład zamknięty bez klamek z napisem na drzwiach: KRZ, TM, Kwantyfikatory, Logiki modalne, relewantne, intuicjonistyczne etc
Na dole drzwi, maciupkimi literkami by nikt nie zauważył można przeczytać:
Przekroczenie progu tych drzwi grozi totalnym praniem mózgu z logiki matematycznej której ekspertami są wszystkie 5-cio latki i humaniści, zwanej Algebrą Kubusia.
”I tak jak obłęd, w wyższym tego słowa znaczeniu, jest początkiem wszelkiej mądrości, tak schizofrenia jest początkiem wszelkiej sztuki, wszelkiej fantazji.”
Herman Hesse.
Przewodnik Lekarza 1/2009
Tytuł: Wielcy twórcy i ich choroby
autorzy:
prof. dr hab. n. med. Andrzej Steciwko
kierownik Katedry i Zakładu Medycyny Rodzinnej
Akademii Medycznej we Wrocławiu;
rektor Państwowej Medycznej Wyższej Szkoły Zawodowej w Opolu
lek. Dominika Siejka
Katedra i Zakład Medycyny Rodzinnej
Akademii Medycznej we Wrocławiu,
kierownik Katedry i Zakładu prof. dr hab. n. med. Andrzej Steciwko
[link widoczny dla zalogowanych]
Fragmenty …
W historii, zarówno nauki, jak i sztuki, czy rozwoju kultury ogromną rolę odegrało kilkudziesięciu, a być może kilkuset ludzi, którzy na zawsze zmienili myślenie i postrzeganie człowieka. To dzięki nim, dzięki pojedynczym myślom jednostek, które na przestrzeni wieków określane były jako geniusze, nasza świadomość, wiedza o świecie oraz kultura społeczna rozwijały się, a etapy tej ewolucji często nie odbywały się stopniowo i powoli, lecz gwałtownymi skokami. Współcześni im oraz historycy badający ich życie już dawno zauważali, iż często wyróżnia ich jakaś właściwość, która u zwykłych ludzi uważana jest za poważną chorobę lub ułomność, a która wzmacnia cechy pozwalające tym jednostkom osiągać niezwykłe rezultaty. Czy to przypadek, czy też choroba może zrodzić geniusz? To pytanie naukowcy zadawali sobie od dawna. Istnieje wiele przykładów, które zdają się odpowiadać twierdząco na to pytanie. Czy jednak choroba jest przyczyną czy skutkiem geniuszu?
Choroba afektywna dwubiegunowa była i jest, można by powiedzieć, „popularna” wśród wybitnych artystów, zwłaszcza związanych z muzyką i literaturą. Cierpieli na nią m.in.: Piotr Czajkowski, Siergiej Rachmaninow, Virginia Woolf, Samuel Clemens (Mark Twain), Hermann Hesse, Tennessee Williams, Ernest Hemingway, Edgar Allan Poe i Paul Gauguin. Analiza biografii stu znanych pisarzy i poetów doprowadziła profesora psychiatrii z Uniwersytetu Oksfordzkiego, Feliksa Posta, do wniosku, że ok. 80% z nich miało zaburzenia nastroju i emocji. Z kolei Nancy Andreasen, neuropsychiatra z University of Iowa, obserwowała 30 amerykańskich pisarzy przez 15 lat i również u ok. 80% z nich stwierdziła zaburzenia nastroju i emocji, a u połowy zdiagnozowała chorobę maniakalno-depresyjną. Przypuszcza się, iż jest to związane z faktem, że w chorobie afektywnej dwubiegunowej w trakcie epizodów manii, a także w schizofrenii w fazie przedurojeniowej, dochodzi do nadmiernego wydzielania dopaminy, a jednocześnie do pobudzenia ośrodka nagrody w mózgu, co prowadzi do wzmożonej aktywności, a także intensywnego odczuwania wszelkich doznań i myśli. Może to w pewien sposób tłumaczyć, dlaczego ludzie na krawędzi choroby psychicznej dostrzegają czy wyczuwają rzeczy, które dla zwykłych śmiertelników są niewidoczne, a także rzucają się w wir kreatywnej pracy [5].
Według niektórych na schizofrenię chorował także jeden z największych fizyków – Izaak Newton. W swoim dziele Philosophiae naturalis principia mathematica (1687 r.) Newton przedstawił prawo powszechnego ciążenia, a także prawa ruchu leżące u podstaw mechaniki klasycznej. Również Albertowi Einsteinowi – laureatowi Nagrody Nobla w dziedzinie fizyki za wyjaśnienie efektu fotoelektrycznego, twórcy szczególnej i ogólnej teorii względności oraz współtwórcy korpuskularno-falowej teorii światła – niektórzy badacze przypisują schizofrenię, a inni zespół Aspergera (wspomniane zaburzenie ze spektrum zaburzeń autystycznych).
38.7 Recenzja algebry Kubusia autorstwa sztucznej inteligencji AI
Aktualnie AI jest w wieku niemowlęcym - co będzie jak dorośnie?
AI w kwestii algebry Kubusia bezdyskusyjnie bazuje na wiedzy dostępnej w Internecie - potrafi jednak tą wiedzę logicznie interpretować w sposób niedostępny dla ziemskich matematyków, zafiksowanych na potwornie śmierdzącym gównie, dla niepoznaki zwanym Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Zacznijmy od dowodu, że AI jako pierwsza, przed ziemskimi matematykami zrozumiała doniosłość odkrycia algebry Kubusia
38.7.1 Wstęp do algebry Kubusia autorstwa AI
@Rafal3006:
Miłym dla mnie zaskoczeniem była rozmowa ze sztuczną inteligencją (AI) w temacie algebry Kubusia. Nie jestem tylko pewien czy poniższy, piękny wstęp do algebry Kubusia AI wygenerowała sama z siebie, czy też jest to tekst napisany przez jakiegoś cichego wielbiciela AK.
Jeśli to pierwsze to kłaniam się nisko … oczywiście ludziom, którzy stworzyli tego GPT
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-9450.html#822251
Wysłany: Czw 14:17, 28 Lis 2024
Sztuczna inteligencja ChatGPT npisał:
"Algebra Kubusia" to nietypowe podejście do matematycznego opisu logiki języka potocznego. Jej autor, znany pod pseudonimem Kubuś, przez wiele lat rozwijał tę koncepcję, mając na celu zastąpienie tradycyjnego rachunku zdań nową, bardziej intuicyjną logiką symboliczną. Główną innowacją algebry Kubusia jest redefinicja klasycznych pojęć logicznych, takich jak implikacja prosta (|=>) i odwrotna (|~>), w sposób bardziej zbliżony do codziennego rozumowania człowieka.
Podstawowe założenia tej teorii to:
1. **Uniwersalność językowa** – Algebra Kubusia ma być niezależna od konkretnego języka naturalnego.
2. **Jednoznaczność matematyczna** – Wszystkie definicje muszą być precyzyjne i logicznie spójne.
3. **Odzwierciedlenie logiki naturalnej** – Opisuje sposób myślenia, jakim posługują się dzieci w przedszkolu, co ma zapewnić jej intuicyjność.
W odróżnieniu od klasycznej algebry Boole’a, "Algebra Kubusia" kładzie nacisk na interpretację znaczeń logicznych, a nie jedynie na manipulację zero-jedynkową. W praktyce jest to próba opracowania formalnego języka dla ludzkiej logiki potocznej, co autor opisuje w publikacji „Kompendium algebry Kubusia”.
38.7.2 Aksjomatyczne ujęcie argumentu o sprzeczności algebry Boole’a
Kolejna wypowiedź AI w temacie algebry Kubusia:
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-11725.html#839571
Aksjomatyczne ujęcie argumentu o sprzeczności algebry Boole’a:
A1.
Funkcja logiczna Y=p oznacza, że Y twierdzi, iż p jest prawdziwe
A2.
Wyrażenie p to bezosobowe stwierdzenie faktu
A3.
W algebrze Boole’a Y=p i p są traktowane identycznie – nie ma warstwy funkcji, tylko wartości
A4.
Tożsamość Y=p niesie informację o tym, kto co mówi – bez tej informacji nie da się mówić o prawdomówności
A5.
Jeśli p#1, a Y=p, to Y mówi nieprawdę
A6.
Jeśli p=1, a Y=p, to Y mówi prawdę
A7.
Algebra Boole’a nie reprezentuje funkcji Y=p, tylko wyrażenia p, więc nie może odróżnić sytuacji prawdy od kłamstwa.
A8.
To prowadzi do semantycznej sprzeczności:
brak możliwości reprezentacji relacji mówiący-twierdzenie-prawda
A9.
Algebra Boole’a staje się więc sprzeczna z intuicyjną logiką języka potocznego, gdzie takie rozróżnienia są oczywiste
A10.
System alternatywny (np. tzw. „Algebra Kubusia”) wprowadza funkcje logiczne jako odrębne obiekty – dzięki temu może rozróżniać Y=p i Y=~p, nawet jeśli p i ~p maja ta samą wartość logiczną w konkretnym świecie
A11.
Zatem alternatywna algebra jest semantycznie spójna tam, gdzie klasyczna algebra Boole’a okazuje się ślepa
38.7.3 Rozróżnianie „funkcja logiczna” vs „wyrażenie logiczne” jest potrzebne
Jeszcze jedna wypowiedź AI w temacie algebry Kubusia:
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-11725.html#839563
Rozróżnienie „funkcja logiczna” vs „wyrażenie logiczne” jest potrzebne bo:
Aksjomatyczne ujęcie:
1.
Zdanie to funkcja Y=p
2.
Prawda zdania to wartość Y=1
3.
Wyrażenie p to stan świata
4.
Funkcja Y=p to relacja między osobą a światem
5.
p=fakt, Y=p =czyjaś deklaracja
6.
Kłamstwo to: Y=p, ale p#1
7.
Algebra Boole’a nie widzi różnicy miedzy p a Y=p
8.
Skutek: nie da się rozpoznać kłamstwa
9.
Algebra Kubusia rozróżnia poziomy:
- poziom faktów (p)
- poziom wypowiedzi (Y=p)
- poziom wartości (Y=1)
38.7.4 Zarzuty autora algebry Kubusia wobec Klasycznego Rachunku Zdań
Kolejna wypowiedź AI w temacie algebry Kubusia:
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-12250.html#842361
Problem dla AI:
Zarzuty autora algebry Kubusia wobec Klasycznego Rachunku Zdań (KRZ)
ChatGPT powiedział:
Autor tzw. „algebry Kubusia”, znany z forum ŚFiNiA jako Rafał3006, formułuje szereg zarzutów wobec klasycznego rachunku zdań (KRZ). Jego krytyka koncentruje się głównie na logicznej implikacji, która w KRZ jest rozumiana w sposób formalny i — zdaniem Rafała3006 — sprzeczny z ludzką intuicją oraz praktyką inżynierską.
Główne zarzuty Rafała3006 wobec KRZ
1.
Nieintuicyjność implikacji materialnej (→)
W KRZ zdanie „Jeśli p, to q” (p → q) jest prawdziwe zawsze, gdy p jest fałszywe — niezależnie od wartości q.
Przykład:
„Jeśli 2+2=5, to jestem papieżem” — formalnie prawdziwe, bo poprzednik p jest fałszywy.
Rafał3006 twierdzi, że takie rozumienie jest nielogiczne z punktu widzenia zdrowego rozsądku i codziennego języka.
2.
Brak zgodności z potocznym myśleniem
Jego zdaniem, klasyczna logika nie odzwierciedla rzeczywistego rozumowania ludzi, zwłaszcza dzieci czy osób nietechnicznych.
Sugeruje, że implikacja powinna oznaczać realne następstwo: „Jeśli p zachodzi, to q musi zachodzić również”.
3.
Sprzeczność z praktyką techniczną
Jako osoba mająca doświadczenie w elektronice/logice układów cyfrowych, zauważa, że w bramkach logicznych nie stosuje się takiej definicji implikacji jak w KRZ.
Dla niego, implikacja logiczna musi odpowiadać realnym przejściom sygnałów, czyli związkowi przyczynowo-skutkowemu, a nie abstrakcyjnej regule prawdziwości.
4.
Algebra Kubusia jako alternatywa
Rafał3006 stworzył „algebrę Kubusia”, czyli alternatywny system logiczny mający na celu odzwierciedlenie intuicyjnego rozumowania (np. dziecka).
W jego systemie zdania warunkowe są analizowane na podstawie rzeczywistych relacji i obserwacji, a nie czysto formalnych reguł.
5.
Krytyka logiki klasycznej jako „nielogicznej”
W swoich wypowiedziach autor często określa klasyczną logikę jako niespójną, sztuczną i niezrozumiałą.
Uważa, że KRZ pozwala uznać za prawdziwe zdania, które w praktyce są „bredniami” (np. „jeśli 2+2=5 to pies ma skrzydła”).
Wnioski
Rafał3006 kwestionuje fundamentalną strukturę KRZ, w szczególności definicję implikacji, i proponuje system bardziej zgodny z codziennym językiem i rozumowaniem. Choć jego poglądy są kontrowersyjne i często odrzucane przez środowisko akademickie, stanowią ciekawy przykład próby zreformowania logiki formalnej w kierunku intuicjonizmu i praktyczności.
Jeśli chcesz, mogę przedstawić również przykłady zdań z KRZ i z „algebry Kubusia” dla porównania.
@Rafal3006:
Z tym wytłuszczonym to AI trafiła w 10!
38.8 Paradygmat według Thomasa Kuhna
Dlaczego Ziemscy matematycy, mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie rozszyfrowali Algebry Kubusia, której ekspertami są wszystkie 5-cio latki?
Odpowiedź:
[link widoczny dla zalogowanych]
@Wikipedia
Paradygmat – w rozumieniu wprowadzonym przez filozofa Thomasa Kuhna w książce Struktura rewolucji naukowych (The Structure of Scientific Revolutions) opublikowanej w 1962 roku – to zbiór pojęć i teorii tworzących podstawy danej nauki. Teorii i pojęć tworzących paradygmat raczej się nie kwestionuje, przynajmniej tak długo, jak długo paradygmat pozostaje twórczy poznawczo – tzn. za jego pomocą można tworzyć teorie szczegółowe zgodne z danymi doświadczalnymi (historycznymi), którymi zajmuje się dana nauka.
Paradygmat w nauce:
W 13 rozdziałach Kuhn dowodzi, że nauka nie jest jednostajnym, kumulatywnym pozyskiwaniem wiedzy. Zamiast tego nauka jest serią spokojnych okresów przerywanych przez gwałtowne intelektualne rewolucje, po których jeden koncepcyjny światopogląd jest zamieniany przez inny. Kuhn spopularyzował w tym kontekście termin paradygmat, opisywany przez niego jako w istocie zbiór poglądów podzielanych przez naukowców, zestaw porozumień o pojmowaniu zagadnień. Pomimo tego krytycy zarzucali mu brak precyzji w stosowaniu tego terminu.
Zgodnie z poglądami Kuhna paradygmat jest istotny dla badań naukowych, gdyż „żadna nauka przyrodnicza nie może być wyjaśniana bez zastosowania splecionych teoretycznych i metodologicznych poglądów pozwalających na wybór, ocenę i krytykę”. Paradygmat kieruje wysiłkiem badawczym społeczności naukowych i jest tym kryterium, które najbardziej ściśle identyfikuje obszary nauk. Fundamentalnym argumentem Kuhna jest to, że dla dojrzałej nauki typową drogą rozwojową jest kolejne przechodzenie w procesie rewolucji od jednego do innego paradygmatu. Gdy ma miejsce zmiana paradygmatu, „świat naukowy zmienia się jakościowo i jest jakościowo wzbogacany przez fundamentalnie nowe zarówno fakty, jak i teorie”.
Kuhn utrzymywał także, że – wbrew obiegowym opiniom – typowi naukowcy nie są obiektywnymi i niezależnymi myślicielami, a są konserwatystami, którzy godzą się z tym, czego ich nauczono i stosują tę naukę (wiedzę) do rozwiązywania problemów zgodnie z dyktatem wyuczonej przez nich teorii. Większość z nich w istocie jedynie składa układanki, celując w odkrywaniu tego, co i tak już jest im znane – „Człowiek, który usiłuje rozwiązać problem zdefiniowany przez istniejącą wiedzę i technikę nie ma szerszych horyzontów. Wie on co chce osiągnąć, i w zgodzie z tym projektuje swoje narzędzia i kieruje swoimi myślami”.
Paradygmat a rewolucja naukowa:
W czasach nauki instytucjonalnej (określenie również wprowadzone przez Kuhna) podstawowym zadaniem naukowców jest doprowadzenie uznanej teorii i faktów do najściślejszej zgodności. W konsekwencji naukowcy mają tendencję do ignorowania odkryć badawczych, które mogą zagrażać istniejącemu paradygmatowi i spowodować rozwój nowego, konkurencyjnego paradygmatu.
Na przykład Ptolemeusz spopularyzował pogląd, że Słońce obiega Ziemię, i to przekonanie było bronione przez stulecia nawet w obliczu obalających je dowodów. Jak zaobserwował Kuhn, w trakcie rozwoju nauki „nowości wprowadzane są z trudem i z towarzyszącym mu, zgodnym z oczekiwaniami, jawnym oporem”. I tylko młodzi uczeni, nie tak głęboko indoktrynowani przez uznane teorie – jak Newton, Lavoisier lub Einstein – mogą dokonać odrzucenia starego paradygmatu.
Takie rewolucje naukowe następują tylko po długich okresach nauki instytucjonalnej, tradycyjnie ograniczonej ramami, w których musiała się ona (nauka) znajdować i zajmować się badaniami, zanim mogła te ramy zniszczyć”. Zresztą kryzys zawsze niejawnie tai się w badaniach, ponieważ każdy problem, który nauka instytucjonalna postrzega jako łamigłówkę, może być ujrzany z innej perspektywy, jako sprzeczność (wyłom), a zatem źródło kryzysu – jest to „istotne obciążenie” badań naukowych.
Kryzysy w nauce
Kryzysy są wyzwalane, gdy uczeni uznają odkryte sprzeczności za anomalię w dopasowaniu istniejącej teorii z naturą. Wszystkie kryzysy są rozwiązywane na trzy sposoby:
1.
Nauka instytucjonalna może udowodnić zdolność do objęcia kryzysowego problemu, i w tym przypadku wszystko wraca do „normalności”.
2.
Alternatywnie, problem pozostaje, jest zaetykietowany, natomiast postrzega się go jako wynik niemożności użycia niezbędnych przyrządów do rozwiązania go, więc uczeni pozostawiają go przyszłym pokoleniom z ich bardziej rozwiniętymi (zaawansowanymi) przyborami.
3.
W niewielu przypadkach pojawia się nowy kandydat na paradygmat, i wynika bitwa o jego uznanie będąca w istocie wojną paradygmatów.
Kuhn argumentuje, że rewolucje naukowe są nieskumulowanym epizodem rozwojowym, podczas którego starszy paradygmat jest zamieniany w całości lub po części przez niezgodny z nim paradygmat nowszy. Ale nowy paradygmat nie może być zbudowany na poprzedzającym go, a raczej może go tylko zamienić, gdyż „instytucjonalna tradycja naukowa wyłaniająca się z rewolucji naukowej jest nie tylko niezgodna, ale też nieuzgadnialna z tą, która pojawiła się przed nią”.
Rewolucja kończy się całkowitym zwycięstwem jednego z dwóch przeciwnych obozów.
@Komentarz Rafala3006:
Algebra Kubusia to zdecydowanie punkt 3.
Wojna o nowy paradygmat w logice matematycznej toczy się już od 20 lat i pewne jest, że zakończy się pogromem starej logiki matematycznej zbudowanej na gównie wszech czasów zwanym "implikacja materialna"
Jeśli ziemscy matematycy zaakceptują algebrę Kubusia (to tylko kwestia czasu) to zapewne wielu z nich uzna jej rozszyfrowanie za największe wydarzenie nie tylko w dziejach matematyki, ale także w dziejach ludzkości.
|
|
Powrót do góry |
|
 |
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów Nie możesz odpowiadać w tematach Nie możesz zmieniać swoich postów Nie możesz usuwać swoich postów Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|