ŚFiNiA

rafal3006

Końcowa wersja algebry Kubusia w podpisie lub w tym linku:
Algebra Kubusia 2013-05-05

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

Podręcznik w oryginale:
Algebra Kubusia: Logika człowieka
Skrócona wersja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia w definicjach
Polecam także:
Algebra Boole’a dla matematyków

Szczególne podziękowania dla:
www.śfinia.fora.pl
Wuja Zbója - znakomitego nauczyciela małego Kubusia, dzięki któremu Kubuś nauczył się poprawnie patrzeć na algebrę Boole’a od strony matematycznej.
Volratha - za decydującą o wszystkim dyskusję
Macjan - prekursor Algebry Kubusia

[link widoczny dla zalogowanych]
Fizyka, Windziarza, Sogorsa i Quebaba - za długą i ciekawą dyskusję

Yrizona
Daggera, Ducha i Fiklita (szczególnie) - za najważniejszą, bo stawiającą kropkę nad „i” dyskusję
Na forum Yrizona zapisano po raz pierwszy ogólne definicje znaczków =>, ~> i ~~>.
Finałowa dyskusja z Fiklitem dzięki której algebra Kubusia przybrała postać końcową:
Dyskusja wszech czasów z Fiklitem

Kim jest Kubuś?

Kubuś, to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata. Zadaniem Kubusia na Ziemi było rozpracowanie matematycznych fundamentów logiki człowieka. Po siedmiu latach zmagań, z wielką pomocą przyjaciół ze śfinii.fora.pl, [link widoczny dla zalogowanych] i [link widoczny dla zalogowanych] zadanie zostało wykonane.

Algebra Kubusia to podręcznik logiki matematycznej do I klasy LO w 100-milowym lesie, mam nadzieję, że wkrótce trafi także do ziemskich szkół.

Uczeń powinien znać matematyczne definicje:
p=>q - warunku wystarczającego
p~>q - warunku koniecznego
p=>q = ~p~>~q - implikacji prostej
p~>q = ~p=>~q - implikacji odwrotnej
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) - równoważności
Współczesna logika matematyczna Ziemian nie odróżnia warunku wystarczającego (kwantyfikatora dużego) od implikacji prostej, co jest błędem czysto matematycznym:
Warunek wystarczający: p=>q ## implikacja prosta: p=>q = ~p~>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Interpretacja tabel zero-jedynkowych operatorów logicznych w algebrze Kubusia jest totalnie inna niż obowiązująca we współczesnej logice. Algebra Kubusia to także nowa teoria zbiorów opisana operatorami logicznymi, gdzie zbiory mają wartości logiczne 0 (zbiór pusty) albo 1 (zbiór niepusty). Naturalnymi ekspertami algebry Kubusia są wszyscy ludzie na Ziemi, od 5-cio latka po profesora.

Najważniejszymi prawami w logice matematycznej są prawa Kubusia i prawa Prosiaczka.
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Prawa Prosiaczka:
p=0 <=> ~p=1
p=1 <=> ~p=0
Dlaczego najważniejsze?
Bo tylko i wyłącznie dzięki nim możliwy jest matematyczny opis naturalnej logiki człowieka, jego naturalnego języka mówionego. Ludzkość wreszcie poznała to, o czym marzy od 2500 lat.

Myślę, że nikt nie umrze z powodu spojrzenia na logikę człowieka z punktu odniesienia Kosmitów, fundamentalnie innego niż aktualnie obowiązujący.

Przyjaciel Ziemian,
Kubuś - kosmita

Spis treści:

1.0 Notacja
1.1 Po co komu algebra Kubusia?
1.2 Przewodnik po algebrze Kubusia

2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia
2.1 Operacje na zbiorach
2.2 Właściwości zbiorów
2.3 Diagramy Kubusia

3.0 Operatory logiczne OR i AND
3.1 Tworzenie równań logicznych z tabel zero-jedynkowych
3.2 Tworzenie równań logicznych w logice zero
3.3 Operator OR w zbiorach
3.4 Operator OR w bramkach logicznych
3.5 Operator AND w zbiorach
3.6 Operator AND w bramkach logicznych
3.7 Minimalizacja funkcji logicznych
3.8 Osiem równań opisujących operator OR
3.9 Osiem równań opisujących operator AND

4.0 Operatory implikacji
4.1 Implikacja i równoważność w pigułce
4.2 Implikacja prosta w zbiorach
4.3 Implikacja prosta w bramkach logicznych
4.4 Implikacja odwrotna w zbiorach
4.5 Implikacja odwrotna w bramkach logicznych
4.6 Przemienność argumentów w implikacji
4.7 Prawa kontrapozycji w implikacji
4.8 Porównanie nowych i starych praw kontrapozycji

5.0 Równoważność w zbiorach
5.1 Równoważność w bramkach logicznych
5.2 Prawa kontrapozycji w równoważności
5.3 Prawa kontrapozycji w bramkach logicznych

6.0 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata
6.1 Alternatywne definicje implikacji i równoważności
6.2 Implikacja i równoważność w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+)
6.3 Dowód poprawności definicji operatora i prawa Sowy w AK

7.0 Pozostałe operatory algebry Kubusia
7.1 Abstrakcyjny model operatora logicznego
7.2 Operatory logiczne ~~> i N(~~>)
7.3 Operatory transmisji P i Q
7.4 Operatory negacji NP i NQ
7.5 Operator XOR
7.6 Spójnik „albo”($), prawo Hipcia
7.7 Pseudo operator Słonia

8.0 Nietypowe problemy logiki
8.1 Nietypowa równoważność
8.2 Wynikanie równoważnościowe ->
8.3 Samodzielny warunek wystarczający
8.4 Algebra Kubusia - czyż nie jest piękna?

9.0 Obietnice i groźby
9.1 Definicje obietnicy i groźby
9.2 Obietnica
9.3 Groźba
9.4 Obietnica w równaniach logicznych
9.5 Groźba w równaniach logicznych
9.6 Analiza złożonej obietnicy
9.7 Analiza złożonej groźby
9.8 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym
9.9 Rodzaje obietnic

10.0 Złożone zdania naturalnego języka mówionego
10.1 Zdanie złożone ze spójnikiem „lub”(+)
10.2 Złożona implikacja prosta
10.3 Złożona implikacja odwrotna
10.4 Zdania złożone typu p+(q*r)
10.5 Zdania złożone typu p*(q+r)

Dodatek A
Definicje czworokątów w algebrze Kubusia

1.0 Notacja

Algebra Kubusia to algebra dwuelementowa gdzie znane są tylko dwie cyferki 0 i 1

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady: p, q, r

~ - symbol przeczenia NIE
Fundament algebry Kubusia:
1=~0
0=~1
Stąd:
Jeśli p=1 to ~p=0
Jeśli p=0 to ~p=1
Odwrotnie też zachodzi, stąd kluczowe prawa algebry Boole’a niezbędne dla tworzenia równań algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
Prawa Prosiaczka:
p=1 <=> ~p=0
p=0 <=> ~p=1

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

# - różne
Zbiór niepusty # zbiór pusty
Prawda # Fałsz
1 # 0

## - różne na mocy definicji

Prawa De Morgana:
Prawa De Morgana to pełne definicje operatorów OR i AND zapisane w równaniach algebry Kubusia.
Y = p+q = ~(~p*~q) ## Y = p*q = ~(~p+~q)
Definicja operatora OR ## Definicja operatora AND

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Prawa Kubusia to pełne definicje operatorów implikacji prostej i odwrotnej zapisane w równaniach algebry Kubusia.
Na mocy definicji zachodzi:
Y = p=>q = ~p~>~q ## Y = p~>q = ~p=>~q
Definicja operatora implikacji prostej ## Definicja operatora implikacji odwrotnej

Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z izolowanymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.

”=” - znak tożsamości

Tożsamość zbiorów:
A = B - identyczne elementy w zbiorach A i B

Tożsamość bramek logicznych:
Y = p*q = ~(~p+~q) - identyczne bramki logiczne
W dowolnym układzie logicznym w miejsce bramki:
Y=p*q
można wstawić bramkę:
Y = ~(~p+~q)
Takie bramki z punktu widzenia logiki są nierozróżnialne (tożsame), czyli generują identyczne tabele zero-jedynkowe (funkcje logiczne).

:= - symbol redukcji do funkcji minimalnej na mocy teorii zbiorów
Dla zbiorów rozłącznych p i q zachodzi:
p*~q := p

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
$ - spójnik „albo” z naturalnego języka mówionego

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+), =>, ~>, ~~>
W spójnikach =>, ~>, ~~> kolejność nie ma znaczenia bo są to operatory wyłącznie dwuargumentowe, czyli po lewej i prawej stronie tego znaku może być wyłącznie funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+)

Zdanie:
Zdanie w algebrze Kubusia to poprawne lingwistycznie zdanie sensowne któremu można przypisać prawdę lub fałsz, zrozumiałe dla człowieka.

Zdanie warunkowe:
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik
W algebrze Kubusia w zdaniu „Jeśli p to q” poprzednik musi być powiązany z następnikiem warunkiem wystarczającym =>, warunkiem koniecznym ~> albo naturalnym spójnikiem „może” ~~>.

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.

Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q. Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, Y

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
W operatorach OR i AND, funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p*q - logika dodatnia bo Y
~Y=p*q - logika ujemna bo ~Y
W operatorach implikacji funkcja logiczna p=>q zapisana jest w logice dodatniej gdy q jest niezanegowane.
p=>q - logika dodatnia bo q
~p~>~q - logika ujemna bo ~q

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
1.
Y=p+q
~Y=~p*~q
2.
p=>q
~p~>~q
3.
(p+q) => (r*s)
(~p*~q)~>(~r+~s)

Fundament algebry Kubusia:
p+~p=1
p*~p=0

Kubusiowa teoria zbiorów:

W algebrze Kubusia rozróżniamy:
p=[1,2,3,4]
Konkretny zbiór z wyszczególnieniem wszystkich jego elementów ujętych w nawias kwadratowy.

od wartości logicznej zbioru!

W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną:
p=1 - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
p=0 - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu

Wartość logiczna zbioru to cyferki 0 albo 1, podane bez nawiasów kwadratowych.

p=[] - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu
p=0 - wartość logiczna zbioru pustego
p=[1,2,3,4] - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
p=1 - wartość logiczna zbioru niepustego

Dziedzina:
Zbiór który spełnia fundament algebry Kubusia:
p+~p=1
p*~p=0

1.1 Po co komu algebra Kubusia?

Kubuś to przybysz ze świata techniki, ekspert technicznej algebry Boole’a.
Techniczna algebra Boole’a, zatem i algebra Kubusia to czysta matematyka, gdzie zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych potrzebne są tylko po to by wyprowadzić z nich odpowiednie, symboliczne definicje operatorów logicznych. Wyprowadzone definicje symboliczne to nowa algebra zbiorów, fundament AK. Definicje te mają zerowy związek z jakimkolwiek językiem, nie odnoszą się do niczego ze świata fizyki i … idealnie pasują do matematycznego opisu naturalnej logiki człowieka, jak również jego języka, ale to jest efekt uboczny, czyli zastosowanie algebry Kubusia w świecie fizyki, jakim jest język mówiony człowieka.

Fakty są takie:
Bez wątpienia człowiek budując komputer i wszelkie jego oprogramowanie posługiwał się naturalną logika człowieka (oczywiście AK), czyli de facto musiał zmałpować działanie własnego mózgu. Nie trudno zauważyć że bardzo ważny system przerwań w każdym procesorze to kopia rzeczywistego działania mózgu człowieka.
Mózg człowieka wyposażony jest we wspaniałe urządzenia wejścia/wyjścia przy pomocy których komunikuje się ze światem zewnętrznym: wzrok, słuch, narządy mowy, węch, dotyk, smak, narządy ruchu etc.
W życiu codziennym każdy człowiek wykonuje program tła dom-praca-dom, z reguły powtarzalny i mało ciekawy. Zauważmy że w pamięć zapadają nam wydarzenia które wybijają się ponad tło, to są właśnie przerwania.
System przerwań w procesorze działa tak:
Wyobraźmy sobie że czytamy książkę, w pewnej chwili dostajemy przerwanie z kuchni „obiad”, przerywamy czytanie i jemy obiad (I poziom przerwań), w czasie obiadu dzwoni telefon, przerywamy zatem obiad i rozmawiamy (II poziom przerwań) po skończeniu rozmowy wracamy do obiadu (powrót z II poziomu), natomiast po skończeniu obiadu wracamy do naszego głównego zajęcia, czytania książki. Identycznie działa system przerwań w każdym procesorze, zatem udowodniliśmy iż człowiek bezdyskusyjnie zmałpował tu działanie własnego mózgu.

Problem z logiką Ziemian jest taki, ze pewien człowiek ponad 100 lat temu narzucił jedyne słuszne rozumienia zer i jedynek w operatorach logicznych jako prawda/fałsz, z czego wynikła idiotyczna definicja implikacji materialnej i wszelkie inne głupoty z tym związane np. „z fałszu wynika wszystko”, czy też fundamentalnie błędne wywalenie implikacji odwrotnej jako zbędnej w logice.

W technicznej algebrze Boole’a nie ma pojęcia prawda/fałsz, nie ma niczego z KRZ poza rachunkiem zero-jedynkowym … i te wstrętne komputery działają inżynierom genialnie.

W algebrze Kubusia istnieje pojęcie prawda/fałsz, ale w znaczeniu jak niżej:
Znaczenie zer i jedynek w operatorach logicznych w algebrze Kubusia jest fundamentalnie inne:
1 = zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element, zdanie prawdziwe
0 = zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu, zdanie fałszywe

1.2 Przewodnik po algebrze Kubusia

Przewodnik po algebrze Kubusia pokazuje co nas czeka w trakcie lektury algebry Kubusia.

2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia
W tym rozdziale oprócz aksjomatyki poznajemy banalną, nową teorię zbiorów dla potrzeb logiki, fundamentalnie inną niż teoria mnogości.

3.0 Operatory logiczne OR i AND
W podręczniku „Wstęp do matematyki” [link widoczny dla zalogowanych] znajduje się dowód, iż Ziemianie potrafią utworzyć równanie algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
Kluczowych praw algebry Boole’a będących fundamentem przejścia z tabeli zero-jedynkowej do równań logicznych nie ma jednak w żadnym podręczniku matematyki.
Prawa Prosiaczka:
p=0 <=> ~p=1
p=1 <=> ~p=0
Dlaczego te prawa są niesłychanie ważne?
… bo bez nich nie można przejść z tabeli zero-jedynkowej do równań logicznych ją opisujących, czyli do naturalnej logiki człowieka!

Prof. Newelski ułożył zaledwie jedno równanie z tabeli zero-jedynkowej opisując wyłącznie wynikowe jedynki. Oczywiście zrobił to poprawnie, ale …

Twierdzenie AK:
Z dowolnej tabeli zero-jedynkowej można utworzyć osiem i tylko osiem równań logicznych opisujących ta tabelę (pkt. 3.8 i 3.9)

Co więcej!
Można to robić w naturalnej logice człowieka gdzie wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek (pkt.3.1), albo w logice ZERO gdzie wszystkie zmienne sprowadzamy do zera (pkt.3.2).
Logika ZERO jest totalnie sprzeczna z naturalną logiką człowieka, jednak jest to alternatywna logika równoważna.

W pkt. 3.7 opisano sposoby minimalizacji równań algebry Boole’a z minimalną ilością praw logicznych. Dzięki rewolucyjnej metodzie przechodzenia do logiki ujemnej i z powrotem ilość praw logicznych które trzeba znać na pamięć jest śladowa.

4.0 Operatory implikacji i równoważności
W tym rozdziale omówiono kluczowe znaczki w operatorach implikacji i równoważności: warunek wystarczający =>, warunek konieczny ~> i naturalny spójnik „może” ~~> (pkt. 4.1). W punkcie 4.7 udowodniono błędność praw kontrapozycji w implikacji, prawa kontrapozycji są poprawne wyłącznie w równoważności.

W punkcie 5.0 szczegółowo omówiono równoważność, zaś w pkt. 6.2 wyprowadzono gwarancje matematyczne w implikacji i równoważności w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+). Dowcipna historia powstania naszego Wszechświata (pkt.6.0) ułatwia zapamiętanie budowy kluczowych operatorów logicznych w algebrze Kubusia. Punkt 7.0 to omówienie pozostałych operatorów logicznych. Punkt 9.0 to ważne zastosowanie algebry Kubusia w obsłudze gróźb i obietnic.

2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia

Aksjomatyka algebry Kubusia to zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych zapisane w równaniach algebry Boole’a. Algebra Kubusia to techniczna algebra Boole’a zgodna w 100% z teorią i praktyką bramek logicznych, wszelkie prawa algebry Kubusia można dowieść w laboratorium techniki cyfrowej. W algebrze Kubusia zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych potrzebne są wyłącznie po to, aby wygenerować z nich odpowiednie definicje w równaniach algebry Boole’a.

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady: p, q, r

~ - symbol przeczenia NIE
Fundament algebry Kubusia:
1=~0
0=~1
Stąd:
Jeśli p=1 to ~p=0
Jeśli p=0 to ~p=1
Odwrotnie też zachodzi, stąd jedno z najważniejszych praw algebry Boole’a niezbędne dla tworzenia równań algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
Prawa Prosiaczka:
p=1 <=> ~p=0
p=0 <=> ~p=1

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Aksjomatyczne, zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych to pełna teoria zbiorów w algebrze Kubusia, uwzględniająca wszystkie możliwe przypadki wzajemnego położenia zbiorów.

Znaczenie 0 i 1 w Kubusiowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

W tabelach zero-jedynkowych po stronie wejścia p i q mamy:
1 - zmienna z nagłówka tabeli niezanegowana
0 - zmienna z nagłówka tabeli zanegowana

Korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli q=0 to ~q=1
sprowadzamy zmienne p i q do jedynek, czyli do teorii zbiorów.

rafal3006

Zauważmy, że dopiero teraz mamy logikę symboliczną w 100% zgodną z naturalną logiką człowieka.
W obszarze ABC123 mamy zero-jedynkową definicje spójnika „lub”(+) opisaną symbolicznie równaniem w logice dodatniej (bo Y):
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Pozostałe linie w tabeli ABCD123 uzupełniamy zerami w wyniku (tu linia D123).

W linii D456 mamy zero-jedynkową definicję spójnika „i”(*) opisaną symbolicznie równaniem w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=>~p=1 i ~q=1
Pozostałe linie w tabeli ABCD456 uzupełniamy zerami w wyniku (tu obszar ABC456).
Zero-jedynkowo tabela ABCD456 to definicja operatora AND.

Definicja operatora OR w bramkach logicznych:

Odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (Y=1) mamy w punkcie:
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Odpowiedź na pytanie kiedy skłamię ( ~Y=1) mamy w punkcie:
~Y=~p*~q

rafal3006

4.4 Implikacja odwrotna w zbiorach

Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q

rafal3006

5.1 Równoważność w bramkach logicznych

W poprzednim rozdziale wyprowadziliśmy definicję równoważności i wszelkie jej właściwości na mocy teorii zbiorów. W tym rozdziale skupimy się na tabelach zero-jedynkowych i dowodach zero-jedynkowych.

Równoważność w tabelach zero-jedynkowych to po prostu świat bramek logicznych. Poprawność wszystkich prezentowanych tu praw logicznych można udowodnić w laboratorium techniki cyfrowej. Jest to więc dowód namacalny, bezdyskusyjnie prawdziwy.

Definicja równoważności w bramkach logicznych:

Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie p (p=1) mamy w bramce „musi”=> po lewej stronie:
p=>q=1
p~~>~q=0
Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie ~p (~p=1) mamy w bramce „musi”=> po prawej stronie:
~p=>~q=1
~p~~>q=0

rafal3006

7.0 Pozostałe operatory algebry Kubusia

Aksjomatyka algebry Kubusia to po prostu wszystkie możliwe zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych, znane ludziom od ponad 100 lat.

rafal3006 · Raj, 2012-12-25

9.0 Obietnice i groźby

Najważniejszymi definicjami w świecie istot żywych są definicje obsługujące obietnice i groźby.
Podlegają pod nie wszystkie stworzenia żywe od bakterii poczynając.
Zwierzątka które nie posługują się w praktyce tymi definicjami dawno wyginęły.

9.1 Definicje obietnicy i groźby

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji
Gwarancja w obietnicy:
W=>N
Jeśli spełnisz warunek nagrody (W=1) to na pewno => dostaniesz nagrodę (N=1) z powodu że spełniłeś warunek nagrody (W=1)

Znaczenie znaczków => i ~>:
W=>N - obietnica =>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „na pewno” =>
Jeśli spełnisz warunek nagrody to na pewno => dostaniesz nagrodę, z powodu że spełniłeś warunek nagrody
~W~>~N - groźba ~>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „może” ~>
Jeśli nie spełnisz warunku nagrody to możesz ~> nie dostać nagrody lub możesz ~~> dostać nagrodę
Spójniki domyślne nie muszą być wypowiadane.

W obietnicy nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca spełni warunek nagrody i będzie mógł wręczyć nagrodę. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca może dać nagrodę lub nie dać, zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli nie spełni warunku nagrody to może otrzymać nagrodę (akt miłości). Odbiorca może zwolnić nadawcę z obietnicy np. w przypadkach losowych.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji
Gwarancja w groźbie:
~W=>~K
Jeśli nie spełnisz warunku kary (~W=1) to na pewno => nie zostaniesz ukarany (~K=1) z powodu że nie spełniłeś warunku kary (~W=1)
Jak widzimy znaczenie znaczka => jest identyczne w obu definicjach.

Znaczenie znaczków ~> i =>:
W~>K - groźba ~>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „może” ~>
Jeśli spełnisz warunek kary to możesz ~> zostać ukarany, lub możesz ~~> nie zostać ukarany.
~W=>~K - obietnica =>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „na pewno” =>
Jeśli nie spełnisz warunku kary to na pewno => nie zostaniesz ukarany, z powodu że nie spełniłeś warunku kary
Spójniki domyślne nie muszą być wypowiadane.

W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.

Wyprowadzenie definicji groźby

Definicja obietnicy jest we współczesnej logice poprawna i bezdyskusyjna:
Obietnica = implikacja prosta
To jest nasz pierwszy aksjomat.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji

Aksjomaty znane ludziom od tysiącleci:
1.
Nagroda to brak kary
N=>~K
Oczywiście w odwrotną stronę tez zachodzi:
~K=>N
stąd:
N<=>~K = (N=>~K)*(~K=>N)=1*1=1 - równoważność

2.
Kara to brak nagrody
K=>~N
Oczywiście w odwrotną stronę tez zachodzi:
~N=>K
stąd:
K<=>~N = (K=>~N)*(~N=>K)=1*1=1 - równoważność

Z powyższego mamy:
N=~K
K=~N

Definicja obietnicy:
W=>N = ~W~>~N

Transformujemy definicję obietnicy do definicji groźby:
1.
Zamieniamy w następniku nagrodę na karę
N=~K
~N=K
stąd:
1: W=>~K = ~W~>K

2.
Zamieniamy w poprzedniku warunek dostania nagrody na warunek wykonania kary.
W obietnicy odbiorca pragnie spełnienia warunku W, bo to jest warunek wystarczający => dla otrzymania nagrody.
W groźbie odbiorca pragnie NIE spełnienia warunku W, bo to jest warunek wystarczający => uniknięcia kary.
Stąd mamy:
W (obietnicy) = ~W (groźby)
Wynika z tego że w naszej niedokończonej definicji 1 musimy zanegować W.
~W=>~K = ~(~W)~>K
~W=>~K = W~>K

Stąd:
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~N
Implikacja odwrotna na mocy definicji

9.2 Obietnica

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji
Gwarancja w obietnicy:
W=>N
Jeśli spełnisz warunek nagrody (W=1) to na pewno => dostaniesz nagrodę (N=1) z powodu że spełniłeś warunek nagrody (W=1)

Typowa obietnica:
A.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - gwarancja matematyczna
Bycie grzecznym jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania czekolady.
stąd:
B.
Jeśli będziesz grzeczny to możesz ~~> nie dostać czekolady
G~~>~C =0 - złamanie obietnicy

… a jak będę niegrzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G~>~C

C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G~>~C
W groźbach spójnik „może” ~> jest domyślny i z reguły jest pomijany.

Matematyczne znaczenie zdania C jest oczywiście takie:
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~> nie dostać czekolady
~G~>~C =1
Bycie niegrzecznym jest warunkiem koniecznym ~>, aby nie dostać czekolady.
LUB
D.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~~> dostać czekoladę
~G~~>C =1 - akt miłości = akt łaski
To jest święte prawo nadawcy do darowania dowolnej kary zależnej od niego.
Oczywiście może ~~> darować, ale nie musi => darować.

9.3 Groźba

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji
Gwarancja w groźbie:
~W=>~K
Jeśli nie spełnisz warunku kary (~W=1) to na pewno => nie zostaniesz ukarany (~K=1) z powodu że nie spełniłeś warunku kary (~W=1)

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L = ~B=>~L - implikacja odwrotna bo groźba
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania z powodu brudnych spodni. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> jest z reguły pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności, gdyż definicje groźby i obietnicy są bardzo proste i precyzyjne.

Analiza:
A:
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym dla dostania lania z powodu brudnych spodni!
LUB
B:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz ~~> nie dostać lania
B ~~> ~L =1 - prawo do darowania kary (akt łaski)
Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>.
Nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski) zależnej od niego!
Przykład:
JPII i Ali Agca

… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia

C:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania
~B => ~L =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje warunek wystarczający =>.
stąd:
D:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to możesz ~~> dostać lanie
~B ~~> L =0 - twardy fałsz, zakaz karania niewinnego z powodu czystych spodni

W obietnicach i groźbach bardzo dobrze widać sens logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej i odwrotnej.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej i odwrotnej:
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.

Obietnica:
W=>N = ~W~>~N - prawo zamiany obietnicy => na równoważną groźbę ~>
Obietnica => w logice dodatniej (N) jest równoważna groźbie ~> w logice ujemnej (~N)

Groźba:
W~>K = ~W=>~K - prawo zamiany groźby ~> na równoważną obietnicę =>
Groźba ~> w logice dodatniej (K) jest równoważna obietnicy => w logice ujemnej (~K)

Piękna jest też następująca interpretacja obietnicy i groźby.

rafal3006

Dodatek A
Definicje czworokątów w algebrze Kubusia

Każda nowa idea potrzebuje jakiegoś spektakularnego zastosowania. Z algebrą Kubusia jest ten kłopot że nie jest w stanie nikogo zaskoczyć, bowiem algebrę Kubusia doskonale znają wszyscy ludzie na Ziemi od 5-cio latka po profesora. Myślę, że nowe definicje czworokątów w algebrze Kubusia w 100% jednoznaczne, oraz prawa matematyczne zachodzące pomiędzy tymi definicjami to piękny przykład realnego zastosowania algebry Kubusia, który mam nadzieję przekona wielu matematyków.

Dla zrozumienia artykułu konieczne jest zapoznanie się z algebrą Kubusia w pigułce, odłożenie na półkę wszelkiej wiedzy z zakresu logiki wykładanej w Ziemskich uczelniach oraz włączenie na czas czytania naturalnej logiki człowieka, algebry Kubusia, którą wszyscy doskonale znamy.

Aktualnie ludzkość zna wyłącznie logiki formalne z definicji totalnie sprzeczne z naturalną logiką człowieka.
Przykład:
Jeśli kura ma trąbę to świnie latają w kosmosie
Zdanie prawdziwe w logice formalnej zwanej Klasyczny Rachunek Zdań.

Spis treści:

1.0 Notacja

2.0 Ścisłe definicje czworokątów w algebrze Kubusia

3.0 Grupy równoległoboków, trapezów, prostokątów i rombów
3.1 Grupa trapezów
3.2 Grupa równoległoboków
3.3 Grupa prostokątów
3.4 Grupa rombów

4.0 Grupa deltoidów
5.0 Twierdzenie prostokątów
6.0 Równoważnościowe definicje grup czworokątów

7.0 Dowód poprawności definicji operatora i prawa Sowy w AK
8.0 Beznadziejna logika Ziemian w definiowaniu czworokątów
9.0 Kwadratura koła dla Ziemskich matematyków

1.0 Notacja

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy

Komentarz:
Logika matematyczna naszego Wszechświata jest jedna. Nie może być tak że do obsługi matematycznej zbiorów w matematyce obowiązuje logika X, a poza matematyką zbiory obsługiwane są logiką Y.

Podejrzyjmy zatem jak zbiory obsługują eksperci algebry Kubusia, humaniści i 5-cio latki … bo nie ma nic prostszego pod słońcem.

Dziedzina: Zbiór zwierząt
Kryterium tworzenia zbiorów: Ilość nóg

Zwierzęta dzielimy na zwierzęta bez nóg (wąż..), z dwiema nogami (kura ..), z czterema nogami (pies, kot ..) i pozostałe (np. mrówka)

Zwierzęta z czterema łapami to:
pies, kot, słoń i pozostałe
Implikacja prosta:
Jeśli zwierzę jest psem, kotem lub słoniem to na pewno => ma cztery łapy
P+K+S =>4L
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór P+K+S zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami
Każdy pies zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami
Każdy pies ma cztery łapy
Każdy kot zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami
Każdy kot ma cztery łapy

Prawo Kłapouchego:
W implikacjach bezczasowych implikacja prosta po zamianie argumentów przechodzi w implikację odwrotną (i odwrotnie).

Implikacja odwrotna:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem, kotem lub słoniem
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór zwierząt z czterema łapami zawiera w sobie ~> zbiór P+K+L
4L~>P+K+S

Zbiór psów, zbiór kotów i zbiór słoni to zbiory rozłączne.
Pies nie jest podzbiorem kota, ani odwrotnie.
Pies nie jest szczególnym przypadkiem kota ani odwrotnie.
Nie istnieje zwierzę pieso-kot, które by było jednocześnie psem i kotem.

Identycznie mamy w matematyce, co za chwilę zobaczymy.

2.0 Ścisłe definicje czworokątów w algebrze Kubusia

Znaczenie zmiennych:
KR = wszystkie kąty równe (grupa prostokątów)
~KR - nie wszystkie kąty równe
BR - wszystkie boki równe (grupa rombów)
~BR - nie wszystkie boki równe
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe (grupa równoległoboków)
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych (trapez - definicja ścisła)
PKP - przekątne przecinają się pod katem prostym (grupa deltoidów)

Grupa czworokątów:
Czworokąt to wielokąt o czterech bokach i o czterech kątach wewnętrznych.
CZ = kwadrat + prostokąt + romb + równoległobok + trapez + deltoid + pozostałe czworokąty
gdzie:
Pozostałe czworokąty to np. czworokąty o losowej długości boków

Ścisłe definicje czworokątów w algebrze Kubusia

Kwadrat
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty równe i wszystkie boki równe
KW=KR*BR
W logice Ziemian mamy precyzyjnie zdefiniowany kwadrat którego nie sposób pomylić z innym czworokątem. Możemy go zatem łatwo użyć do utworzenia ścisłej definicji prostokąta i rombu.

Prostokąt
Prostokąt to kwadrat o nie równych bokach
PR =KR*~BR

Romb
Romb to kwadrat o nie równych kątach
ROMB = ~KR*BR

Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe, który nie ma kątów równych i nie ma boków równych
RÓWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe

Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma dokładnie jedną parę boków równoległych, ale nie równych.
Trapez = JPBRiNR*~KR*~BR
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych
Zauważmy, że dołożyliśmy tu nieszkodliwy człon ~KR*~BR bowiem dla trapezu zachodzi:
~KR=1 i ~BR=1

Deltoid
Deltoid to czworokąt w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym, nie mający wszystkich kątów równych i nie mający wszystkich boków równych
Deltoid=PKP*~KR*~BR

3.0 Grupy równoległoboków, trapezów, prostokątów i rombów

Ziemska definicja równoległoboku:
[link widoczny dla zalogowanych]
Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe.

Ziemska definicja równoległoboku to definicja GRUPY równoległoboków a nie konkretnego, tego jedynego w swoim rodzaju równoległoboku o definicji INNEJ niż pozostałych równoległoboków.

Powinno być!
GRUPA równoległoboków
Grupa równoległoboków to czworokąty w których przeciwległe boki są parami równe i równoległe.

Definicja GRUPY równoległoboków w równaniu algebry Boole’a:
GR = ROWNOLEGŁOBOK + kwadrat + prostokąt + romb
GR = PBPRiR*~KR*~BR + BR*KR + ~BR*KR + BR*~KR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe

Definicja równoległoboku (tego jedynego o definicji INNEJ niż pozostałe czworokąty):
Równoległobok
Równoległobok to czworokąt w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe, nie mający kątów prostych i nie mający boków równych
ROWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR

Oczywiście równanie algebry Boole’a opisujące grupę równoległoboków mamy prawo zminimalizować.

Zadanie na poziomie I klasy LO:
Zminimalizować funkcję logiczną opisującą grupę równoległoboków

GR = PBPRiR*~KR*~BR + BR*KR + ~BR*KR + BR*~KR
Znaczenie zmiennych:
KR = wszystkie kąty równe
~KR - nie wszystkie kąty równe
BR - wszystkie boki równe
~BR - nie wszystkie boki równe
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe

Podstawmy:
r = PBPRiR
p=KR
q=BR
stąd nasze równanie przybiera postać:
GR = r*~p*~q + p*q +p*~q +~p*q
GR = r*~p*~q + p*(q+~q) + ~p*q
Zastosowane prawo algebry Boole’a: wyciągnięcie zmiennej przed nawias
GR = r*~p*~q + p + ~p*q
Użyte prawa:
q+~q=1
p*1=p
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników. Oczywiście możemy to prawo stosować lokalnie, co wyjaśni dalsze działanie Kubusia o bardzo małym rozumku.
W powyższym równaniu zajmiemy się na razie dwoma ostatnimi wyrażeniami.
~GR = ~(r*~p*~q)*[~p*(p+~q)]
~GR = ~(r*~p*~q)*[~p*p+~p*~q]
Prawo: mnożenie zmiennej przez wielomian
~GR = ~(r*~p*~q)*[~p*~q]
Wykorzystane prawa:
p*~p=0
p+0=p
… a teraz to sobie ruszymy ten pierwszy człon.
~GR = [~r+p+q]*[~p*~q]
… i mnożymy zmienną ~p*~q przez wielomian.
~GR = ~r*~p*~q + p*~p*~q + q*~p*~q
~GR = ~r*~p*~q
Wykorzystane prawa:
p*~p=0
0*p=0
0+x=x
Przechodzimy do logiki przeciwnej:
GR = r + p + q

Przywracając znaczenie zmiennych:
GR = PPBRiR + KR + BR
Znaczenie zmiennych:
KR = wszystkie kąty równe
~KR - nie wszystkie kąty równe
BR - wszystkie boki równe
~BR - nie wszystkie boki równe
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe

Jak działa genialna, techniczna algebra Boole’a?
GR = PBPRiR + KR + BR
Matematycznie to równanie oznacza:
GR=1 <=> PBPRiR=1 lub KR=1 lub BR=1
1.
Losujemy dowolny czworokąt: równoległobok
ROWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR
Stwierdzamy:
PBPRiR=1
STOP!
Dalszych zmiennych nie musimy sprawdzać!
Równoległobok (ten konkretny, jedyny w swoim rodzaju!) należy do grupy równoległoboków
2.
Losujemy: kwadrat lub prostokąt
Stwierdzamy:
KR=1
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać!
Kwadrat i prostokąt należy do grupy równoległoboków!
3.
Losujemy: romb lub kwadrat
Stwierdzamy:
BR=1
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać!
Kwadrat i romb należy do grupy równoległoboków!
4.
Losujemy: Trapez
Stwierdzamy:
DPBRiR=0
KR=0
BR=1
Trapez należy do grupy równoległoboków?!
Czy trapez ma przeciwległe boki parami równe i równoległe?

W ostatnim przypadku od razu wyszła tragiczna definicja trapezu w logice Ziemian.
[link widoczny dla zalogowanych]
Trapez:
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.

Poprawna definicja trapezu rozumiana jako ten JEDYNY w swoim rodzaju czworokąt różny od innych czworokątów musi być taka.

Algebra Kubusia:
Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma DOKŁADNIE jedną parę boków równoległych, ale nie równych.
Trapez = JPBRiNR
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych

Dopiero przy tej definicji nasza matematyczna definicja grupy równoległoboków jest GENIALNA!

Powtórzmy punkt 4.
4A.
Losujemy: Trapez
Stwierdzamy:
DPBRiR=0
KR=0
BR=0
Czyli:
Wszystkie boki równe = 0

Ziemska definicja trapezu tego nie wyklucza, czyli wedle Ziemian trapez może być:
kwadratem, prostokątem, rombem, równoległobokiem, trapezem

Ziemska definicja trapezu:

[link widoczny dla zalogowanych]
Trapez:
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.

Jak widzimy, jak bumerang wraca tu koszmar ziemskich matematyków.

Trapez to:
kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez

Czyli:
Trapez to trapez

Oczywiście chodzi tu o grupę trapezów!

Grupa trapezów to:
kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez

Zapis grupy trapezów w równaniu algebry Boole’a:
GT = kwadrat + prostokąt + romb + równoległobok + trapez
czyli:
GT = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR + JPBRiNR*~KR*~BR

Do definicji trapezu z AK dokładamy człon: ~KR*~BR
oczywiście to jest człon nieszkodliwy bo dla trapezu zachodzi:
~KR=1
~BR=1
Wolno nam!
stąd końcowe równanie grupy trapezów jest takie:
GT = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + (PBPRiR + JPBRiNR)*~KR*~BR

Jest oczywistością że po minimalizacji równanie logiczne dla GRUPY trapezów przyjmie postać!
GT = PBPRiR + KR + BR + JPBRiNR
czyli:
GT = GRUPA równoległoboków + trapez (ten konkretny trapez= JPBRiNR!)

5.
Losujemy: równoległobok
Sprawdzamy:
PBPRiR=1
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać!
Równoległobok należy do grupy trapezów!
6.
Losujemy: trapez
Sprawdzamy:
JPBRiNR=1
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać!
Trapez (ten konkretny trapez!) należy do grupy trapezów!

Czyż algebra Kubusia nie jest genialna?

Oczywiście nie Kubuś jest jej autorem bo … algebra Kubusia działała już w chwili Wielkiego Wybuchu!

Twierdzenie:
Autorem żadnego z praw fizyczno- matematycznych nie jest człowiek, człowiek to tylko odkrywca.

Czy człowiek mógłby odkryć jakiekolwiek prawo fizyczno-matematyczne gdyby nie działało ono od zawsze?
… czyli od wystarczająco długiego okresu.

Czy możliwy byłby Internet bez praw fizycznych działających od zawsze?

3.1 Grupa trapezów

I.
Grupa trapezów:
Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.
Definicja grupy trapezów: JPBR
JPBR - jedna para boków równoległych
Grupa trapezów to:
GT = kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez
GT = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR + JPBR*~KR*~BR
W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty będące trapezami:
Każdy kwadrat (KR*BR) jest trapezem (w znaczeniu iż należy do grupy trapezów: JPBR)
Każdy prostokąt (KR*~BR) jest trapezem ( w znaczeniu iż należy do grupy trapezów: JPBR)
Każdy trapez (ten konkretny: JPBR*~KR*~BR) jest trapezem (w znaczeniu iż należy do grupy trapezów: JPBR)
itd.

Równanie logiczne dla grupy trapezów po minimalizacji przyjmuje postać:
GT = KR + BR + PBPRiR (równoległobok) + JPBR (trapez)
gdzie:
Prostokąt (grupa prostokątów):
KR - wszystkie kąty równe (kwadrat, prostokąt)
Romb (grupa rombów):
BR - wszystkie boki równe (kwadrat, romb)
Równoległobok (grupa równoległoboków):
PBPRiR - przeciwległe boki parami równoległe i równe (kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok)
Trapez (grupa trapezów):
JPBR - przynajmniej jedna para boków równoległych (kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez)

Zauważmy, że mimo iż w definicji grupy trapezów użyliśmy liczby pojedynczej (trapez) to matematycznie musimy tą definicję rozumieć jako grupę trapezów (więcej niż jeden), na co jednoznacznie wskazuje treść definicji. Podobnie mamy z prostokątem, rombem i równoległobokiem.

Algebra Kubusia dopuszcza uproszczone, powszechnie używane skróty myślowe:
1.
Prostokąt jest trapezem
co matematycznie oznacza:
Prostokąt (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*~BR) należy do grupy trapezów (o definicji JPBR)
2.
Trapez jest trapezem
Trapez (ten jednoznacznie zdefiniowany: JPBR*~KR*~BR) należy do grupy trapezów (o definicji JPBR)
itd
Jeśli uczeń zdaje sobie sprawę ze stosowanych skrótów myślowych to wszystko jest w porządku.

Mamy tu przypadek identyczny jak w implikacji:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
To też jest powszechnie używany skrót myślowy który matematycznie oznacza:
B.
/\x P8(x)=>P2(x)
Dla dowolnej liczby naturalnej x, jeśli liczba x jest podzielna przez 8 to na pewno => liczba x jest podzielna przez 2
Matematycznie zdania A i B są tożsame.

3.2 Grupa równoległoboków

II.
Grupa równoległoboków:
Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe
Definicja grupy równoległoboków: PBPRiR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Grupa równoległoboków to:
GR = kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok
GR = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR
W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty będące równoległobokami:
Każdy kwadrat (KR*BR) jest równoległobokiem (w znaczeniu iż należy do grupy równoległoboków: PBPRiR)
Każdy prostokąt (KR*~BR) jest równoległobokiem ( w znaczeniu iż należy do grupy równoległoboków: PBPRiR)
Każdy równoległobok (ten konkretny: PBPRiR*~KR*~BR) jest równoległobokiem (w znaczeniu iż należy do grupy równoległoboków: PBPRiR)
itd

Równanie logiczne dla grupy równoległoboków po minimalizacji przyjmuje postać:
GR = KR + BR + PBPRiR (równoległobok)
gdzie:
Prostokąt (grupa prostokątów):
KR - wszystkie kąty równe (kwadrat, prostokąt)
Romb (grupa rombów):
BR - wszystkie boki równe (kwadrat, romb)
Równoległobok (grupa równoległoboków):
PBPRiR - przeciwległe boki parami równoległe i równe (kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok)

Matematycznie zachodzi.
Implikacja prosta:
Jeśli czworokąt jest kwadratem (KR*BR), prostokątem (KR*~BR), rombem (~KR*BR) lub równoległobokiem (PBPRiR*~KR*~BR) to na pewno => zawiera się w grupie równoległoboków (PBPRiR)
KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR => PBPRiR

Każdy kwadrat (KR*BR) należy do grupy równoległoboków (PBPRiR)
Każdy kwadrat (KR*BR) jest równoległobokiem (PBPRiR)
Każdy prostokąt (KR*~BR) należy do grupy równoległoboków (PBPRiR)
Każdy prostokąt (KR*~BR) jest równoległobokiem (PBPRiR)
Każdy równoległobok (ten ściśle zdefiniowany: PBPRiR*~KR*~BR) zawiera się w grupie równoległoboków (PBPRiR)
Każdy równoległobok (ten ściśle zdefiniowany: PBPRiR*~KR*~BR) jest równoległobokiem (PBPRiR)

Implikacja odwrotna:
Jeśli czworokąt jest równoległobokiem (PBPRiR) może [~>] być kwadratem (KR*BR), prostokątem (KR*~BR), rombem (~KR*BR) lub równoległobokiem (PBPRiR*~KR*~BR)

Oczywiście zbiory równoległoboków ściśle zdefiniowanych są rozłączne:
Kwadrat ## prostokąt ## romb ## równoległobok
KR*BR ## KR*~BR ## ~KR*BR ## PBPRiR*~KR*~BR
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Przykładowy dowód dla kwadratu i prostokąta:
Badamy czy istnieje część wspólna kwadratu (KR*BR) i prostokąta (KR*~BR)
Część wspólna = kwadrat * prostokąt = (KR*BR)*(KR*~BR) = KR*BR*~BR = KR*0 =0
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p*p=p
p*~p=0
p*0=0
Brak części wspólnej kwadratu i prostokąta jest dowodem iż te czworokąty są rozłączne.
Identycznie dowodzimy rozłączność wszystkich pozostałych równoległoboków.

Wynika z tego że:
Zbiór kwadratów (KR*BR) jest rozłączny ze zbiorem prostokątów (KR*~BR)
Nic co jest kwadratem (KR*BR) nie ma prawa być prostokątem (KR*~BR) i odwrotnie.
Kwadrat (KR*BR) nie jest szczególnym przypadkiem prostokąta (KR*~BR) i odwrotnie.
itd.

3.3 Grupa prostokątów

III.
Grupa prostokątów
Prostokąt
Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste.
Definicja alternatywna:
Prostokąt to czworokąt o wszystkich kątach równych
Cechy charakterystyczne:
Wszystkie kąty proste
Definicja grupy prostokątów:
GP=KR
Grupa prostokątów to:
GP = kwadrat + prostokąt
GP = KR*BR + KR*~BR
W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty będące prostokątami (należące do grupy prostokątów).
Kwadrat to czworokąt o kątach równych i bokach równych
Kwadrat = KR*BR
Prostokąt to czworokąt o kątach równych i nie równych bokach
Prostokąt = KR*~BR

Równanie logiczne opisujące grupę prostokątów po minimalizacji to:
GP=KR
Dowód:
GP = kwadrat + prostokąt = KR*BR + KR*~BR = KR*(BR+~BR) = KR*1 = KR
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
Wyciagnięcie zmiennej przed nawias
p+~p=1
p*1=p

Zauważmy, że mimo iż w definicji grupy prostokątów użyliśmy liczby pojedynczej (prostokąt) to matematycznie musimy tą definicję rozumieć jako grupę prostokątów (więcej niż jeden), na co jednoznacznie wskazuje treść definicji.

Każdy kwadrat (KR*BR) jest prostokątem (w znaczeniu iż należy do grupy prostokątów o definicji: KR)
Każdy prostokąt (ten ściśle zdefiniowany: KR*~BR) jest prostokątem (w znaczeniu iż należy do grupy prostokątów o definicji: KR)

Algebra Kubusia dopuszcza uproszczone, powszechnie używane skróty myślowe:
1.
Każdy kwadrat jest prostokątem
co matematycznie oznacza:
Kwadrat (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*BR) należy do grupy prostokątów (o definicji: KR)
2.
Każdy prostokąt jest prostokątem
co matematycznie oznacza:
Prostokąt (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*~BR) należy do grupy prostokątów (o definicji: KR)
3.
Dopuszczalne jest także stwierdzenie (choć to jest bardzo naciągane):
Kwadrat jest szczególnym przypadkiem prostokąta
co matematycznie oznacza:
Kwadrat (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*BR) należy do grupy prostokątów (o definicji: KR)

Nigdy nie może być!
Kwadrat (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*BR) jest podzbiorem prostokąta (tego jednoznacznie zdefiniowanego: KR*~BR)
bo to są zbiory rozłączne!
Dowód:
badamy czy istnieje część wspólna tych zbiorów:
Kwadrat* prostokąt = (KR*BR)*(KR*~BR) = KR*BR*~BR = KR*0 =0
bo prawa algebry Boole’a:
p*p=p
p*~p=0
p*0=0
Brak części wspólnej jest dowodem rozłączności ściśle zdefiniowanych czworokątów: kwadratu i prostokąta

Jeśli uczeń zdaje sobie sprawę ze stosowanych skrótów myślowych jak wyżej to wszystko jest w porządku.

3.4 Grupa rombów

IV.
Grupa rombów
Romb
Rombem nazywamy czworokąt, którego wszystkie boki są równe.
Cechy charakterystyczne:
Boki równe, przekątne przecinają się pod kątem prostym
Definicja grupy rombów:
GR=BR
Grupa rombów to:
GR = kwadrat, romb
GR = KR*BR + ~KR*BR
W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty należące do grupy rombów.
Kwadrat to czworokąt o kątach równych i bokach równych
Kwadrat = KR*BR
Romb to czworokąt o kątach nie równych i równych bokach
Romb = ~KR*BR

Równanie logiczne opisujące grupę rombów po minimalizacji to:
GR=BR
Dowód:
GR = kwadrat + romb = KR*BR + ~KR*BR = BR*(KR+~KR) = BR*1 = BR
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
Wyciagnięcie zmiennej przed nawias
p+~p=1
p*1=p

Zauważmy, że mimo iż w definicji grupy rombów użyliśmy liczby pojedynczej (romb) to matematycznie musimy tą definicję rozumieć jako grupę rombów (więcej niż jeden czworokąt), na co jednoznacznie wskazuje treść definicji.

Każdy kwadrat (KR*BR) jest rombem (w znaczeniu iż należy do grupy rombów o definicji: BR)
Każdy romb (ten ściśle zdefiniowany: ~KR*BR) jest rombem (w znaczeniu iż należy do grupy rombów o definicji: BR)

Oczywiście zbiory kwadratów (KR*BR) i rombów (~KR*BR) są rozłączne
czyli:
Nic co jest kwadratem (KR*BR) nie ma prawa być rombem (KR*~BR) i odwrotnie.
Kwadrat (KR*BR) nie jest szczególnym przypadkiem rombu (~KR*BR).
Romb zdefiniowany ściśle (~KR*BR) nie jest też szczególnym przypadkiem równoległoboku ściśle zdefiniowanego (PBPRiR*~KR*~BR)
gdzie:
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Dowód:
Badamy czy istnieje cześć wspólna:
ROMB*równoległobok = (~KR*BR)*(PBPRiR*~KR*~BR) = 0
bo prawo algebry Boole’a:
p*~p=0
0*x =0
cnd

Romb zdefiniowany ściśle (~KR*BR) zawiera się w grupie równoległoboków o definicji.
Grupa równoległoboków:
GR = kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok
GR = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR
Po minimalizacji:
GR = KR + BR + PBPRiR (równoległobok)

Możemy zatem powiedzieć że:
Każdy romb (~KR*BR) zawiera się w grupie (zbiorze) równoległoboków (o definicji: KR+BR+PBPRiR)
W skrócie:
Każdy romb (~KR*BR) jest równoległobokiem (o definicji: KR+BR+PBPRiR)

Zauważmy także że:
1.
Grupa rombów (o definicji: BR) zawiera się w zbiorze (grupie) równoległoboków (o definicji: KR+BR+PBPRiR)
W żargonie:
Każdy romb (BR) jest równoległobokiem (KR+BR+PBPRiR)
2.
Grupa prostokątów (o definicji: KR) zawiera się w zbiorze (grupie) równoległoboków (o definicji: KR+BR+PBPRiR)
W żargonie:
Każdy prostokąt (KR) jest równoległobokiem (KR+BR+PBPRiR)

4.0 Grupa deltoidów

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

Algebra Kubusia vs Klasyczny Rachunek Zdań

http://www.youtube.com/watch?v=CExlwc5DSpM

Ta bajka musi zakończyć się Happy Endem, zwolennicy KRZ przejdą wcześniej czy później do obozu AK.
Czy mają inne wyjście?
Tak, mogą prać sobie nawzajem mózgi badziewiem zwanym KRZ do końca świata …

Wykłady z algebry Kubusia

Temat:
Kończ waść, wstydu oszczędź

Fragment z Dodatku A w podpisie:
„Definicje czworokątów w algebrze Kubusia”

Spis treści:
7.0 Dowód poprawności definicji operatora i prawa Sowy w AK
8.0 Beznadziejna logika Ziemian w definiowaniu czworokątów
9.0 Kwadratura koła dla Ziemskich matematyków

7.0 Dowód poprawności definicji operatora i prawa Sowy w AK

W tym punkcie udowodnimy na przykładzie definicji czworokątów poprawność definicji operatora logicznego i prawa Sowy w algebrze Kubusia.

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.

Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q. Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy

Znaczenie zmiennych:
KR = wszystkie kąty równe (grupa prostokątów)
~KR - nie wszystkie kąty równe
BR - wszystkie boki równe (grupa rombów)
~BR - nie wszystkie boki równe
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe (grupa równoległoboków)
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych (trapez - definicja ścisła)
PKP - przekątne przecinają się pod katem prostym (grupa deltoidów)

Grupa czworokątów:
Czworokąt to wielokąt o czterech bokach i o czterech kątach wewnętrznych.
CZ = kwadrat + prostokąt + romb + równoległobok + trapez + deltoid + pozostałe czworokąty
gdzie:
Pozostałe czworokąty to np. czworokąty o losowej długości boków

Ścisłe definicje czworokątów w algebrze Kubusia

Kwadrat
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty równe i wszystkie boki równe
KW=KR*BR

Prostokąt
Prostokąt to czworokąt o kątach równych o nie równych bokach
PR =KR*~BR

Romb
Romb to czworokąt o nie równych kątach i równych bokach
ROMB = ~KR*BR

Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe, który nie ma kątów równych i nie ma boków równych
RÓWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe

Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma dokładnie jedną parę boków równoległych, ale nie równych.
Trapez = JPBRiNR*~KR*~BR
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych
Zauważmy, że dołożyliśmy tu nieszkodliwy człon ~KR*~BR bowiem dla trapezu zachodzi:
~KR=1 i ~BR=1

Deltoid
Deltoid to czworokąt w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym, nie mający wszystkich kątów równych i nie mający wszystkich boków równych
Deltoid=PKP*~KR*~BR

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Rozważmy twierdzenie:
AR.
Czworokąt jest kwadratem wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe i boki równe
KW<=>KR*BR = (KW=>KR*BR)*[~KW=>~(KR*BR)] = (KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
bo prawo De Morgana:
~(p*q) = ~p+~q
KW<=>KR*BR = (KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
Prawo algebry Boole’a:
p<=>q = ~p<=>~q
stąd:
~KW<=>~(KR*BR)
~KW<=>(~KR+~BR) = [~KW=>(~KR+~BR)]*(KW=>KR*BR)

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
AR.
KW<=>KR*BR = (KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
Zbiory tożsame: KW = KR*BR
A.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to na pewno => ma kąty równe i boki równe
KW=>KR*BR =1
Definicja znaczka => spełniona z powodu tożsamości zbiorów:
KW = KR*BR
Wymuszam dowolne KW i pojawia mi się KR*BR
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z KW:
KW=1 => KR*BR
KW: (KR=1)*( BR=1) =>1*1=1
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z KW:
PR: (KR=1)*( BR=0) => 1*0=0
ROMB: (KR=0)*( BR=1)=>0*1=0
INNE: (KR=0)*(BR=0) =>0*0 =0
B.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to może ~~> nie mieć kątów równych lub nie mieć boków równych
KW~~>(~KR+~BR) =0
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z KW:
KW=1 ~~> ~KR+~BR
KW: (~KR=0)+(~BR=0) =>0+0=0
Zbiór kwadratów nie mających kątów równych (~KR) jest zbiorem pustym, stąd ~KR=0
Zbiór kwadratów nie mających boków równych (~BR) jest zbiorem pustym, stąd ~BR=0
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z KW:
PR: (~KR=0)+(~BR=1) =>0+1=1
ROMB: (~KR=1)+(~BR=0) => 1+0=1
INNE: (~KR=1)+(~BR=1) =>1+1=1

… a jeśli czworokąt nie jest kwadratem?
~KW<=>(~KR+~BR) = [~KW=>(~KR+~BR)]*(KW=>KR*BR)
Zbiory tożsame: ~KW = ~KR+~BR
C.
~KW=>(~KR+~BR)
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem to na pewno => nie ma kątów równych lub nie ma boków równych
~KW=>(~KR+~BR) =1
Definicja znaczka => spełniona z powodu tożsamości zbiorów:
~KW = (~KR+~BR)
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z ~KW:
~KW=1 => ~KR+~BR
PR: (~KR=0)+(~BR=1) =>0+1 =1
ROMB: (~KR=1)+(~BR=0) => 1+0 =1
INNE: (~KR=1)+(~BR=1) =>1+1=1
Zbiór prostokątów nie mających kątów równych (~KR) jest zbiorem pustym, stąd ~KR=0
Zbiór prostokątów nie mających boków równych (~BR) jest zbiorem niepustym, stąd ~BR=1
Zbiór rombów nie mających kątów równych (~KR) jest zbiorem niepustym, stąd ~KR=1
Zbiór rombów nie mających boków równych (~BR) jest zbiorem pustym, stąd ~BR=0
itd.
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z ~KW:
KW: (~KR=0)+(~BR=0) =>0+0=0
D.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem to może ~> mieć kąty równe i boki równe
~KW~~>(KR*BR) =0
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z ~KW:
~KW=1 ~~> KR* BR
PR: (KR=1)*(BR=0) => 1*0 =0
ROMB: (KR=0)*(BR=1) => 0*1=0
INNE: (KR=0)*(BR=0) => 0*0 =0
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z ~KW:
KW: (KR=1)*(BR=1) =>1*1=1

Obszary fioletowe wykopujemy w kosmos bo są niezgodne z poprzednikiem i nie mają wpływu na wartość logiczną danego zdania.

Zróbmy to!

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
AR.
KW<=>KR*BR = (KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
Zbiory tożsame: KW = KR*BR
A.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to na pewno => ma kąty równe i boki równe
KW=>KR*BR =1
Definicja znaczka => spełniona z powodu tożsamości zbiorów:
KW = KR*BR
Wymuszam dowolne KW i pojawia mi się KR*BR
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z KW:
KW=1 => KR*BR
KW: (KR=1)*( BR=1) =>1*1=1
B.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to może ~~> nie mieć kątów równych lub nie mieć boków równych
KW~~>(~KR+~BR) =0
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z KW:
KW=1 ~~> ~KR+~BR
KW: (~KR=0)+(~BR=0) =>0+0=0

… a jeśli czworokąt nie jest kwadratem?
~KW<=>(~KR+~BR) = [~KW=>(~KR+~BR)]*(KW=>KR*BR)
Zbiory tożsame: ~KW = ~KR+~BR
C.
~KW=>(~KR+~BR)
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem to na pewno => nie ma kątów równych lub nie ma boków równych
~KW=>(~KR+~BR) =1
Definicja znaczka => spełniona z powodu tożsamości zbiorów:
~KW = (~KR+~BR)
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z ~KW:
~KW=1 => ~KR+~BR
PR: (~KR=0)+(~BR=1) =>0+1 =1
ROMB: (~KR=1)+(~BR=0) => 1+0 =1
INNE: (~KR=1)+(~BR=1) =>1+1=1
D.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem to może ~> mieć kąty równe i boki równe
~KW~~>(KR*BR) =0
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z ~KW:
~KW=1 ~~> KR* BR
PR: (KR=1)*(BR=0) => 1*0 =0
ROMB: (KR=0)*(BR=1) => 0*1=0
INNE: (KR=0)*(BR=0) => 0*0 =0

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem AR otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności:
KW<=>KR*BR
KW=1, ~KW=0
KR*BR=1, (~KR+~BR)=0

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

.....

rafal3006

........

rafal3006