 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Pon 14:05, 06 Lis 2023 Temat postu: Algebra Kubusia - kwintesencja rewolucji matematycznej |
|
|
Algebra Kubusia
Kwintesencja rewolucji matematycznej
2023-11-24 Rezygnacja
Powód: Nie ma sensu wydzielać pierwszych 27 stron w postaci oddzielnej publikacji
Link do "Algebry Kubusia" w pdf:
[link widoczny dla zalogowanych]
Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu
Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele
Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia (cytuję w kolejności zaistnienia):
Wuj Zbój, Miki (vel Lucek), Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors (vel Dagger), Słupek, Fiklit, Yorgin, Exodim, FlauFly, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski, MaluśnaOwieczka, Zefciu i inni.
Kluczowi przyjaciele Kubusia, którzy wnieśli największy wkład w rozszyfrowanie algebry Kubusia to: Rafal3006, Wuj Zbój, Volrath, Macjan, Irbisol, Fiklit (kolejność chronologiczna).
1
"Wszyscy wiedzą, że czegoś nie da się zrobić, aż znajdzie się taki jeden, który nie wie, że się nie da, i on to robi."
2.
"Historia wynalazków naukowych i technicznych uczy nas, że rasa ludzka uboga jest w niezależną myśl twórczą i wyobraźnię... człowiek musi niejako dosłownie potknąć się o rzecz samą, aby mu zakwitła Idea."
3.
"Jedyną pewną metodą unikania porażek jest nie mieć żadnych, nowych pomysłów."
Albert Einstein
Ad.1
Dopiero 26 lat po ukończeniu elektroniki na Politechnice Warszawskiej (rok 1980) po raz pierwszy w życiu usłyszałem termin Klasyczny Rachunek Zdań, tak więc z definicji nie wiedziałem, że u ziemskich matematyków KRZ jest nie do obalenia.
Ad.2
Moje potknięcie o KRZ to wyjaśnienia Wuja Zbója, że ateiści mogą do tego samego nieba co wierzący na mocy definicji implikacji która w technice jest idiotyzmem bo opisuje "wolną wolę" istot żywych. Świat martwy z definicji "wolnej woli" nie ma i nigdy mieć nie może. Puszka Pandory prowadząca do zagłady wszelkich ziemskich logik matematycznych została otwarta.
Ad.3
Mój nowy pomysł po bliższym zapoznaniu się z KRZ to wniosek, iż KRZ to gwałt na rozumku każdego 5-cio latka zatem musi być fałszem, co zostało udowodnione na pierwszych 16 stronach algebry Kubusia w postaci prawa Grzechotnika.
Dowód iż KRZ to gwałt na rozumku każdego 5-cio latka to przykładowe zdania tu prawdziwe:
1: Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
2: Jeśli pies ma 8 łap to Księżyc krąży wokół Ziemi
3: Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.
Dowód na serio prawdziwości zdania 1 znajdziemy tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Dowód na serio prawdziwości zdania 2 znajdziemy w podręczniku matematyki do I klasy LO:
[link widoczny dla zalogowanych]
Komentarz do zdania 3 znajdziemy w Delcie'2013:
[link widoczny dla zalogowanych]
Spis treści
1.0 Nowa algebra Boole’a 5
1.1 Definicje elementarne algebry Boole'a 5
1.1.1 Definicja negacji 6
1.2 Prawa Prosiaczka 8
1.2.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki 8
1.3 Definicja wyrażenia algebry Boole'a 9
1.3.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a: 10
1.3.2 Prawo negacji funkcji logicznej Y 11
1.4 Definicja funkcji logicznej jednoargumentowej Y=x 11
1.4.1 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=x 12
1.4.2 Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych 12
1.5 Prawo Grzechotnika 13
1.5.1 Definicja funkcji transmisji Y=p w logice dodatniej (bo Y) 13
1.5.2 Definicja funkcji negacji Y=~p w logice dodatniej (bo Y) 13
1.5.3 Relacja matematyczna między funkcjami Y=p oraz Y=~p 14
1.5.4 Definicja operatora transmisji Y|=p 14
1.5.5 Definicja operatora negacji Y|=~p 15
1.5.6 Relacja matematyczna między operatorami Y|=p a Y|=~p 15
1.5.7 Prawo Grzechotnika dla funkcji jednoargumentowych 17
1.5.8 Prawo Grzechotnika dla dowolnych funkcji n-argumentowych 18
1.5.9 Prawo Sokoła 20
1.6 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym 20
1.7 Prawo Grzechotnika na przykładzie zrozumiałym dla 5-cio latka 20
1.7.1 Dowód prawa Grzechotnika na poziomie przedszkola 22
1.7.2 Definicja poprawnej budowy funkcji logicznej Y 23
1.8 Aksjomatyka algebry Boole’a 24
1.8.1 Aksjomatyka minimalna algebry Boole'a 25
1.9 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków 29
Wstęp:
Motto Rafała3006:
Napisać algebrę Kubusia w taki sposób, by ziemski matematyk był w stanie ją zrozumieć i zaakceptować, mimo iż na starcie nie zna ani jednej definicji obowiązującej w AK.
Rozszyfrowanie algebry Kubusia to 18 lat dyskusji na forum filozoficznym w Polsce, to około 33 000 postów napisanych wyłącznie w temacie "Logika matematyczna"
Cechą charakterystyczną algebry Kubusia jest fakt, że czytając ją od A do Z nie powinniśmy się spotkać z pojęciem, które wcześniej nie byłoby zdefiniowane i wyjaśnione na przykładzie.
Czym jest algebra Kubusia?
Algebra Kubusia to podłożenie matematyki pod język potoczny człowieka, czyli coś, o czym matematycy marzą od 2500 lat (od Sokratesa).
Algebra Kubusia to przede wszystkim matematyczna obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.
Kwintesencję algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” zawarto w punkcie 2.0.
2023-12-24
Premiera końcowej wersji algebry Kubusia:
"Algebra Kubusia – matematyka języka mówionego"
| Kod: | | https://www.dropbox.com/s/hy14p42kup25c32/Kompendium%20algebry%20Kubusia.pdf?dl=0 |
W ciągu ostatniego roku algebra Kubusia przeszła nieskończoną ilość liftingów głównie za sprawą jej wroga Nr. 1 Irbisola na forum filozoficznym w Polsce.
W dniu dzisiejszym uznaję algebrę Kubusia za w 100% rozszyfrowaną.
Przekaz każdej nowej i dużej teorii można udoskonalać w nieskończoność, tak więc mutacje AK są możliwe, a nawet pożądane np. jak najprostsza mutacja dla uczniów I klasy LO, czy też do nauczania w przedszkolu (sic!), co zostawiam wyobraźni matematyków oraz wszystkich, którzy zrozumieją banalną algebrę Kubusia.
Z algebry Kubusia wydzieliłem jej kwintesencję, czyli pierwsze 23 strony:
”Algebra Kubusia – kwintesencja rewolucji matematycznej”
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,24295.html#761525 | Kod: | | http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,24295.html#761525 |
Ta publikacja będzie decydującą bitwą o uznanie algebry Kubusia jako jedynej poprawnej logiki matematycznej pod którą podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy.
Mam nadzieję, że wkrótce matematycy będą ten fragment czytać z zapartym tchem nie znajdując w nim ani jednej wewnętrznej sprzeczności, gdzie na deser dostaną dowód na przykładach (pkt. 1.7 i 1.9) iż wszystkie 5-cio latki znają perfekcyjnie algebrę Kubusia, bo po prostu pod nią podlegają.
Świat techniki, skąd przybyłem, zna pojęcie sprzętowej logiki dodatniej i ujemnej.
Od początku było dla mnie oczywistym, że skoro logika dodatnia i ujemna występuje na poziomie sprzętu, bo musi również występować w matematyce. Zdefiniowanie logiki dodatniej i ujemnej w matematyce zajęło mi 18 lat, ale na szczęście, udało się, głownie dzięki dyskusji na forum filozoficznym.
Istotą rewolucji w logice matematycznej jest odkrycie nieznanej ziemskim matematykom logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y), co jest odpowiednikiem odkrycia liczb dodatnich i ujemnych w matematyce klasycznej. Z arytmetyką liczb ujemnych matematycy walczyli 1700 lat (od Chiny I w.n.e.) zanim ją ostatecznie zdefiniowali w dzisiejszym tego słowa znaczeniu dopiero na początku XIX wieku, czego dowód w poniższym linku.
[link widoczny dla zalogowanych]
| Kod: | | https://www.medianauka.pl/kiedy-odkryto-liczby-ujemne |
Mam nadzieję, że z akceptacją logiki ujemnej w logice matematycznej nie będzie tylu kłopotów, bowiem na co dzień wszyscy się nią perfekcyjnie posługujemy od 5-cio latków poczynając, czego dowód mamy w punkcie 1.9 (sterowanie windą).
Uwaga:
100% definicji w algebrze Kubusia jest innych, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej ziemskich matematyków.
Znaną każdemu matematykowi tabelę zero-jedynkową wszystkich możliwych spójników logicznych w ilości 16 sztuk mamy wspólną. Algebra Kubusia to nieznana ziemskim matematykom, poprawna matematycznie, interpretacja tej tabeli.
Jak czytać podręcznik:
Algebra Kubusia – kwintesencja rewolucji matematycznej
1. Na początek proponuję skupić się na pierwszych 16 stronach algebry Kubusia od punktu 1.0 do punktu 1.5.8 zawierającego dowód formalny (ogólny) wewnętrznej sprzeczności ziemskiej algebry Boole’a w postaci prawa Grzechotnika, wraz z niezbędnymi definicjami i prawami logiki matematycznej.
2. Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
3. W punkcie 1.7 mamy potwierdzenie poprawności prawa Grzechotnika w języku potocznym zrozumiałym dla każdego 5-cio latka.
4. W punkcie 1.9 (sterowanie windą) mamy dowód, iż wszystkie 5-cio latki doskonale posługują się w praktyce logiką dodatnią (bo Y) i ujemną (bo ~Y)
5. Zrozumienie pierwszych 23 stron algebry Kubusia jest warunkiem koniecznym dla zrozumienia dalszej części tego rewolucyjnego podręcznika logiki matematycznej.
1.0 Nowa algebra Boole’a
Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego (w tym matematyki i fizyki).
Algebra Kubusia zawiera w sobie nową algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Aktualna algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.
Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
Dowód tego faktu na poziomie 5-cio latka znajdziemy w punkcie 1.9 (sterowanie windą).
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo p) i logika ujemna (bo ~p). Definicję znajdziemy w pkt. 1.1.1
3.
Stara algebra Boole'a jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y), co udowodnimy za chwilkę (pkt. 1.5.7 i 1.5.8)
1.1 Definicje elementarne algebry Boole'a
1 = prawda
0 = fałsz
Gdzie:
1##0
Prawda (1) jest różna na mocy definicji ## od fałszu (0)
Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) – negacja
Innymi słowy:
Prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu (0)
Fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy (1)
Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)
Pani w przedszkolu:
Pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 - zdanie zawsze prawdziwe
Pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 - zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y - stała binarna
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.
Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa
1.1.1 Definicja negacji
Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.
W szczególnym przypadku symbol w nagłówku kolumny może być stałą binarną gdy w kolumnie są same jedynki albo same zera.
| Kod: |
DN
Definicja negacji:
p # ~p
A: 1 # 0
B: 0 # 1
1 2
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
|
Definicja znaczka w logice matematycznej:
Znaczek w logice matematycznej to symbol zdefiniowany odpowiednią tabelą zero-jedynkową
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
p#~p
Dowodem jest tu definicja negacji DN.
Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna p wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)
Zauważmy, że w definicji negacji DN symbole p i ~p są zmiennymi binarnymi.
Dowód:
W osi czasu (kolumna A1B1) może zajść przypadek, że zmienna binarna p przyjmie wartość logiczną 1 (A1) albo wartość logiczną 0 (B1).
W osi czasu (kolumna B2A2) może zajść przypadek, że zmienna binarna ~p przyjmie wartość logiczną 1 (B2) albo wartość logiczną 0 (A2)
Stąd mamy:
Definicja osi czasu w logice matematycznej
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej oś czasu to zero-jedynkowa zawartość kolumny opisanej symbolem nad tą kolumną.
W logice matematycznej odpowiednikiem układu Kartezjańskiego są wykresy czasowe.
Dowód na przykładzie (strona 5):
| Kod: | | https://www.ti.com/lit/ds/symlink/sn54ls193-sp.pdf |
W technice cyfrowej znaczek różne # o definicji jak wyżej jest odpowiednikiem dwustronnego negatora (~).
| Kod: |
Definicja znaczka różne # w bramkach logicznych
-----
p --x-------->| ~ |o-x--> ~p
| ----- |
| |
| p=~(~p) ----- |
-<-------o| ~ |<-x--- ~p
-----
Gdzie:
"o"(~) - symbole negacji
--->| - wejście bramki logicznej negatora (~)
|o--> - wyjście bramki logicznej negatora (~)
W świecie rzeczywistym musi tu być negator z otwartym kolektorem (OC)
na przykład typu SN7406. Wyjście OC musi być podparte rezystorem do Vcc.
|
W świecie rzeczywistym podajemy sygnały cyfrowe {0,1} na wejściu negatora obserwując co jest na jego wyjściu. Wszystko musi być zgodne z definicją DN.
Matematyczne związki między p i ~p:
a)
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
p#~p
b)
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
c)
Prawo zaprzeczenia logiki dodatniej (bo p):
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)
Dowód w rachunku zero-jedynkowym:
| Kod: |
Matematyczne związki w definicji negacji:
p ~p ~(~p) ~(p)
A: 1 0 1 0
B: 0 1 0 1
1 2 3 4
|
Tożsamość kolumn 1=3 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Tożsamość kolumn 2=4 jest dowodem formalnym prawa negacji logiki dodatniej (bo p):
~p=~(p)
1.2 Prawa Prosiaczka
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo p) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=0) = (~p=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zauważmy, że negując dwustronnie I prawo Prosiaczka dalej będziemy w I prawie Prosiaczka bez możliwości przejścia do II prawa Prosiaczka, stąd znak różne na mocy definicji ##
Dowód:
I prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
Negujemy dwustronnie:
(~p=0)=(p=1) - dalej jesteśmy w I prawie Prosiaczka, bez możliwości dojścia do II prawa Prosiaczka
##
Identycznie będziemy mieli w II prawie Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
Negujemy dwustronnie:
(~p=1)=(p=0) - dalej jesteśmy w II prawie Prosiaczka, bez możliwości dojścia do I prawa Prosiaczka
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Znaczek różne na mocy definicji ## to brak matematycznych powiązań między prawą i lewą stroną znaczka ##
Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo p) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p). Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej lub stałej binarnej.
1.2.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki
Rozważmy żarówkę istniejącą w naszym pokoju
Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z językiem potocznym człowieka gdzie wszelkie przeczenia w kodowaniu matematycznym muszą być zapisane jawnie.
Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
A.
S - żarówka świeci
Co w logice jedynek oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)
##
Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
B.
~S - żarówka nie świeci
Co w logice jedynek oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Innymi słowy:
Pojęcie "żarówka świeci" (S=1) jest różne na mocy definicji ## od pojęcia "żarówka nie świeci" (~S=1)
1.3 Definicja wyrażenia algebry Boole'a
| Kod: |
Definicja dwuargumentowego spójnika „i”(*):
p* q Y=p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 1 0
D: 0* 0 0
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0 |
| Kod: |
Definicja dwuargumentowego spójnika „lub”(+):
p+ q Y=p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 1 1
D: 0+ 0 0
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
|
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
Uwaga na notację:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
Przykład:
f(p,q)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a (przykład)
1.3.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna Y algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a f(x) w osi czasu.
W technice funkcja algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y.
Zapis funkcji logicznej Y w technice cyfrowej:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Gdzie:
Y - funkcja logiczna dwóch zmiennych binarnych {p, q}
W szczególnym przypadku funkcja logiczna Y może być stałą binarną, gdy w kolumnie opisującej symbol Y są same jedynki albo same zera.
Definicja dziedziny w zbiorach:
Zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D oraz zbiory p i ~p są rozłączne.
Czyli:
Y = p+~p =D =1 - zdanie zawsze prawdziwe (stała binarna)
Y = p*~p =[] =0 - zdanie zawsze fałszywe (stała binarna)
W algebrze Kubusia zdanie zawsze prawdziwe (Y=1) oraz zdanie zawsze fałszywe (Y=0) to bezużyteczne śmieci zarówno w matematyce, jak i w języku potocznym
Dowód na przykładzie.
Rozważmy dwa zbiory:
TP - zbiór trójkątów prostokątnych (TP)
~TP - zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP)
Wspólna dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Definicja dziedziny w zbiorach:
Zbiór ~TP jest uzupełnieniem zbioru TP do wspólnej dziedziny ZWT oraz zbiory TP i ~TP są rozłączne w dziedzinie ZWT.
Czyli:
Twierdzenie T1:
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) lub nie jest prostokątny (~TP)
Y = TP+~TP =ZWT =1 - zdanie zawsze prawdziwe (stała binarna)
Twierdzenie T2:
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) i nie jest prostokątny (~TP)
Y = TP*~TP =[] =0 - zdanie zawsze fałszywe (stała binarna)
Wartość matematyczna twierdzeń T1 i T2 jest zerowa (śmieci).
Analogia do programowania:
Nie da się napisać najprostszego nawet programu dysponując wyłącznie stałymi binarnymi, o z góry wiadomej wartości logicznej.
Definicja bramki logicznej:
Bramka logiczna to układ cyfrowy o n wejściach binarnych {p,q,r,s..} i tylko jednym wyjściu binarnym Y
Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y
Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramki logicznej
Y - wyjście bramki logicznej
Przykład:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q
1.3.2 Prawo negacji funkcji logicznej Y
Definicja funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y):
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
W przeciwnym przypadku mamy do czynienia z funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y)
Prawo negacji funkcji logicznej Y:
Dowolną funkcję logiczną Y=f(x) wolno nam dwustronnie zanegować przechodząc do logiki przeciwnej ~Y=~f(x).
1.4 Definicja funkcji logicznej jednoargumentowej Y=x
W najprostszym przypadku mamy do czynienia z funkcją logiczną jednej zmiennej binarnej x
Y = f(x) =x
Zapis tożsamy:
Y=x
Gdzie:
x = {p, ~p, 1, 0}
Zdanie zawsze prawdziwe (Y=1) i zdanie zawsze fałszywe (Y=0) to matematyczne śmieci co udowodniono ciut wyżej, dlatego te przypadki mało nas interesują.
Definicja funkcji logicznej jednoargumentowej Y=x
Funkcja logiczna jednoargumentowa Y=x to odpowiedź na pytanie o Y.
Kiedy zajdzie Y?
A1.
Y=x
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> x=1
Gdzie:
x = {p, ~p, 1, 0}
Wszystkie możliwe funkcje jednoargumentowe to:
Y=p - transmisja, na wyjściu Y mamy zawsze niezanegowany sygnał p
Y=~p - negacja, na wyjściu Y mamy zawsze zanegowany sygnał p (~p)
Y=1 - stała binarna, na wyjściu Y mamy zawsze 1
Y=0 - stała binarna, na wyjściu Y mamy zawsze 0
1.4.1 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=x
Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=x:
Operator logiczny jednoargumentowy Y|=x to układ równań logicznych Y=x i ~Y=~x dający odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie Y, a kiedy zajdzie ~Y
Kiedy zajdzie Y?
A1.
Y=x
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie jednoargumentową funkcję logiczną A1.
B1.
~Y = ~x
1.4.2 Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych
Zapiszmy wszystkie możliwe operatory jednoargumentowe w tabeli prawdy
| Kod: |
TWJ
Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych
Operator transmisji Y|=p
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
## ##
Operator negacji Y=|~p
A2: Y=~p # B2: ~Y= p
## ##
Zdanie zawsze prawdziwe Y|=1 (stała binarna)
A3: Y=1 # B3: ~Y=0
## ##
Zdanie zawsze fałszywe Y|=0 (stała binarna)
A4: Y=0 # B4: ~Y=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Doskonale widać, że w tabeli TWJ definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
1.5 Prawo Grzechotnika
Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
W kolejnych podpunktach zajmiemy się dowodem formalnym (ogólnym) prawa Grzechotnika.
1.5.1 Definicja funkcji transmisji Y=p w logice dodatniej (bo Y)
Definicja transmitera:
Transmiter to bramka logiczna jednowejściowa gdzie na wyjście Y transmitowany zawsze niezanegowany sygnał p (Y=p)
Realizacja rzeczywista:
SN7407 (strona 1)
| Kod: | | https://www.ti.com/lit/ds/symlink/sn7407.pdf |
Definicja matematyczna:
Funkcja logiczna transmitera Y=p w logice dodatniej (bo Y) to funkcja definiowana tabelą prawdy:
| Kod: |
FT
A1:
p ~p Y=p
1 0 1
0 1 0
|
Na wyjściu Y mamy tu zawsze niezanegowany sygnał p (Y=p)
1.5.2 Definicja funkcji negacji Y=~p w logice dodatniej (bo Y)
Definicja negatora:
Negator to bramka logiczna jednowejściowa gdzie na wyjście Y transmitowany jest zawsze zanegowany sygnał p (Y=~p)
Realizacja rzeczywista:
SN7406 (strona 2)
| Kod: | | https://www.ti.com/lit/ds/symlink/sn7406.pdf |
Definicja matematyczna:
Funkcja logiczna negatora Y=~p to funkcja definiowana tabelą prawdy:
| Kod: |
FN
A2:
p ~p Y=~p
1 0 0
0 1 1
|
Na wyjściu Y mamy tu zawsze zanegowany sygnał p (Y=~p)
1.5.3 Relacja matematyczna między funkcjami Y=p oraz Y=~p
Oczywistym jest, że matematycznie zachodzi tu:
A1: Y=p ## A2: Y=~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dowód:
| Kod: |
FTFN:
A1: A2:
p ~p Y=p ## Y=~p
1 0 1 ## 0
0 1 0 ## 1
|
Definicja znaczka rożne na mocy definicji ## dla funkcji jednoargumentowej:
Dwie funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściu p w logice dodatniej (bo p) mają różne kolumny wynikowe Y.
Jak widzimy, w tabeli FTFN definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest perfekcyjnie spełniona
1.5.4 Definicja operatora transmisji Y|=p
Definicja operatora transmisji Y|=p:
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych Y=p i ~Y=~p dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej:
| Kod: |
OT
A1: B1:
p ~p Y=p # ~Y=~p
1 0 1 # 0
0 1 0 # 1
|
Doskonale tu widać że:
A1:
Y=p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1
#
… kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie A1.
B1:
~Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1
1.5.5 Definicja operatora negacji Y|=~p
Definicja operatora negacji Y|=~p:
Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych Y=~p i ~Y=p dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej:
| Kod: |
ON
Definicja operatora negacji Y|=~p:
A2: B2:
p ~p Y=~p # ~Y=p
1 0 0 # 1
0 1 1 # 0
|
Doskonale tu widać że:
A2:
Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
#
… kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie A2.
B2:
~Y=p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1
1.5.6 Relacja matematyczna między operatorami Y|=p a Y|=~p
| Kod: |
OT
Definicja operatora transmisji Y|=p:
A1: B1:
p ~p Y=p # ~Y=~p
1 0 1 # 0
0 1 0 # 1
|
##
| Kod: |
ON
Definicja operatora negacji Y|=~p:
A2: B2:
p ~p Y=~p # ~Y=p
1 0 0 # 1
0 1 1 # 0
|
Gdzie:
Zmienna wejściowa p musi być wszędzie tą samą zmienną p, inaczej błąd podstawienia
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
Zauważmy, że jeśli pominiemy nagłówki albo uwzględnimy wyłącznie prawe strony funkcji logicznych Y i ~Y to kolumna A1 będzie tożsama z kolumną B2.
Jeśli uwzględnimy nagłówki to relacja kolumn A1 i B2 nie będzie tożsamościowa mimo że zero-jedynkowo kolumny te są identyczne.
A1: Y=p ## B2: ~Y=p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Uwaga:
Czy ktokolwiek widział w ziemskim rachunku zero-jedynkowym przypadek jak wyżej w tabelach OT i ON gdzie kolumny zero-jedynkowe A1 i B2 są tożsame a funkcje logiczne opisujące te kolumny nie są tożsame?
Zapiszmy tabele OT i ON w symbolicznej tabeli prawdy:
| Kod: |
OTON:
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
## ##
A2: Y=~p # B2: ~Y= p
|
Gdzie:
Zmienna wejściowa p musi być wszędzie tą samą zmienną p, inaczej błąd podstawienia
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
W tabeli OTON widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Doskonale też widać, że wprowadzenie do logiki matematycznej funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) wymusza wprowadzenie do logiki matematycznej znaczków # i ##
Komentarz do znaczków # i ##
1.
Dowolną funkcję logiczną, w naszym przypadku jednoargumentową wolno nam dwustronnie zanegować
Stąd mamy jasną dla wszystkich definicję znaczka #:
| Kod: |
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
A2: Y=~p # B2: ~Y= p |
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
2.
| Kod: |
OTON:
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
## ##
A2: Y=~p # B2: ~Y= p
|
W tabeli OTON między liniami A1B1 oraz A2B2 obowiązuje znaczek różne na mocy definicji ##.
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Sprawdzenie:
A1B1:
Weźmy dowolną funkcję logiczną z linii A1B1 np.:
A1: Y=p
##
A2B2:
Weźmy dowolną funkcję logiczną z linii A2B2 np.:
B2: ~Y=p
Zadajmy sobie teraz dwa banalne pytania:
a)
Czy funkcja logiczna A1: Y=p jest tożsama z funkcją logiczną B2: ~Y=p?
Oczywiście: nie jest.
Dowód:
Aby porównywać dwie funkcje logiczne musimy je sprowadzić do tej samej logiki dodatniej (bo Y) albo ujemnej (bo ~Y)
Zanegujmy funkcję logiczną A1: Y=p sprowadzając ją do logiki ujemnej (bo ~Y):
A1”: ~Y=~p ## B2: ~Y=p
Definicję znaczka różne na mocy definicji ## widać tu jak na dłoni.
b)
Czy funkcja logiczna A1: Y=p jest negacją funkcji logicznej B2: ~Y=p
Oczywiście: nie jest.
Dowód:
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną B2 sprowadzając ją do tej samej logiki dodatniej (bo Y):
A1: Y=p ## B2”: Y=~p
Definicję znaczka różne na mocy definicji ## widać tu jak na dłoni.
Stąd:
Poprawność definicji znaczka ## została sprawdzona
1.5.7 Prawo Grzechotnika dla funkcji jednoargumentowych
Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Innymi słowy:
Ziemscy matematycy operując w rachunku zero-jedynkowym wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) z definicji usuwają zewsząd wszelkie funkcje Y i ~Y.
Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli OTON
| Kod: |
OTON":
A1: p # B1: ~p
A2: ~p # B2: p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Doskonale widać, że w tabeli OTON" najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą tożsamości po przekątnych.
Stąd mamy:
Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
1.5.8 Prawo Grzechotnika dla dowolnych funkcji n-argumentowych
Cechą charakterystyczną prawidłowo rozumianej algebry Boole’a jest fakt, że pod dowolną zmienną binarną x możemy podstawić dowolnie długie wyrażenie algebry Boole’a f(x) i wszelkie prawa logiki matematycznej dalej będą działały poprawnie, w tym prawo Grzechotnika.
Wyżej udowodniliśmy prawo Grzechotnika dla jednoargumentowej funkcji transmisji FT oraz jednoargumentowej funkcji negacji FN między którymi zachodzi relacja różne na mocy definicji ##.
FT - funkcja logiczna transmisji
A1: Y=p
##
FN - funkcja logiczna negacji
A2: Y=~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zgodnie z prawidłowo rozumianą algebrą Boole’a pod p możemy podstawić dowolnie długie wyrażenie algebry Boole’a f(x) i prawo Grzechotnika dalej musi działać.
f(x) - dowolne wyrażenie algebry Boole'a
Przykład:
f(x)=p*~q + r*~s
Stąd mamy:
Niech będą dane dwie funkcje logiczne Y n-argumentowe o następującej budowie:
A1: Y = f(x)
##
A2: Y = ~f(x)
Gdzie:
## - rożne na mocy definicji
Weźmy funkcję A1:
A1: Y=f(x)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie funkcję A1:
B1: ~Y=~f(x)
##
Weźmy funkcję A2:
A2: Y=~f(x)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie funkcję A2:
B2: ~Y=f(x)
Umieśćmy naszą analizę w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Funkcja A1:
A1: Y= f(x) # B1: ~Y=~f(x)
## ##
Funkcja A2:
A2: Y=~f(x) # B2: ~Y= f(x)
|
Gdzie:
Funkcja wejściowa f(x) musi być wszędzie tą samą funkcją f(x), inaczej błąd podstawienia
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznej
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
W tabeli T1 widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Innymi słowy:
Ziemscy matematycy operując w rachunku zero-jedynkowym wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) z definicji usuwają zewsząd wszelkie funkcje Y i ~Y.
Usuńmy zatem z tabeli T1 wszelkie funkcje logiczne Y i ~Y.
| Kod: |
T1"
Funkcja A1:
A1: f(x) # B1:~f(x)
Funkcja A2:
A2:~f(x) # B2: f(x)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Doskonale widać, że w tabeli T1" najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą tożsamości po przekątnych.
Stąd mamy:
Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
Nieznaną matematykom logikę dodatnią (bo Y) i ujemną (bo ~Y) doskonale znają w praktyce wszystkie 5-cio latki, czego dowód znajdziemy w punkcie 1.9 (sterowanie windą).
1.5.9 Prawo Sokoła
Oczywistym jest, że z chwilą zaakceptowania przez ziemskich matematyków algebry Kubusia która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) prawo Grzechotnika zostanie zastąpione prawem Sokoła.
Prawo Sokoła:
Algebra Kubusia, która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) nie jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
Wniosek:
Wewnętrzna sprzeczność w KRZ zostanie usunięta wtedy i tylko wtedy gdy wszyscy ziemscy matematycy przejdą do obozu algebry Kubusia.
1.6 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
Przykład konsekwentnego stosowania standardu dodatniego w języku potocznym mamy w następnym punkcie.
1.7 Prawo Grzechotnika na przykładzie zrozumiałym dla 5-cio latka
W niniejszym punkcie zajmiemy się dowodem prawa Grzechotnika dla funkcji jednoargumentowych Y=p i Y=~p na konkretnym przykładzie, doskonale rozumianym przez każdego 5-cio latka.
Zadanko Kubusia:
Dane są dwa zdania pań przedszkolanek z dwóch różnych przedszkoli A1 i A2.
Pani w przedszkolu A1:
A1.
Jutro pójdziemy do kina
Pani w przedszkolu A2:
A2.
Jutro nie pójdziemy do kina
Treść polecenia:
Zapisz w funkcjach logicznych kiedy panie dotrzymają słowa a kiedy skłamią?
Rozwiązanie Jasia, ucznia I klasy LO w 100-milowym lesie.
Pani w przedszkolu A1:
A1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
#
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy równanie A1 stronami:
B1.
~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
##
Pani w przedszkolu A2:
A2.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
#
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy równanie A2 dwustronnie.
~Y=K
Stąd mamy:
B2.
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K)
~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Gdzie:
Zmienna wejściowa K musi być wszędzie tą samą zmienną wejściową K, inaczej błąd podstawienia
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Znaczenie zmiennej Y w standardzie dodatnim:
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)
Zapiszmy dialogi pań z przedszkola A1 i A2 w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Pani w przedszkolu A1:
A1: Y= K # B1: ~Y=~K
## ##
Pani w przedszkolu A2:
A2: Y=~K # B2: ~Y= K
|
Gdzie:
Zmienna wejściowa K musi być wszędzie ta samą zmienną K, inaczej błąd podstawienia
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznej
Definicja znaczka #:
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
W tabeli T1 doskonale widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Jak widzimy wyżej, wprowadzenie do logiki matematycznej funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) wymusza wprowadzenie do logiki matematycznej znaczków # i ##
1.7.1 Dowód prawa Grzechotnika na poziomie przedszkola
Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Innymi słowy:
Ziemscy matematycy operując w rachunku zero-jedynkowym wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) z definicji usuwają zewsząd wszelkie funkcje Y i ~Y.
Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli T1.
| Kod: |
T1"
Pani w przedszkolu A1:
A1: K # B1: ~K
Pani w przedszkolu A2:
A2: ~K # B2: K
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Doskonale widać, że w tabeli T1" najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą tożsamości po przekątnych.
1.7.2 Definicja poprawnej budowy funkcji logicznej Y
Zapiszmy jeszcze raz początek dialogu z przedszkola A1.
Pani w przedszkolu A1:
A1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Sprawdźmy, czy poprawny jest następujący zapis funkcji logicznej A1:
A1”: Y=1 <=> K
Sprawdźmy, czy możliwe jest przejście z zapisem A1" do logiki ujemnej (bo ~Y=1).
1.
Negujemy dwustronnie zapis A1":
B1": ~Y=0 <=> ~K
Prawo Prosiaczka, które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(p=1)=(~p=0)
Nasz przykład:
(Y=1)=(~Y=0)
Stąd mamy:
B1”: Y=1 <=> ~K
Wniosek:
Niemożliwe jest przejście z równaniem A1” do logiki ujemnej (bo ~Y=1)
cnd
Stąd mamy:
Definicja poprawnej budowy funkcji logicznej Y:
Funkcja logiczna Y jest poprawnie zbudowana wtedy i tylko wtedy gdy operuje na zmiennych binarnych, czyli nie zawiera choćby jednego wartościowania jakiejkolwiek zmiennej binarnej.
Przykład:
Y=K - to jest poprawnie zbudowana funkcja logiczna Y
Y=1 <=> K - to jest fałszywa funkcja logiczna Y
Identycznie będziemy mieli dla dowolnej funkcji n-argumentowej.
To jest poprawnie zapisana funkcja logiczna dwuargumentowa:
Y=p*q+~p*~q
To jest błędnie zapisana funkcja logiczna dwuargumentowa:
Y=1 <=> p*q + ~p*~q
bo zawiera jedno wartościowanie zmiennej binarnej (tu Y) co wystarczy, aby uznać ją za fałszywą funkcję logiczną Y.
1.8 Aksjomatyka algebry Boole’a
Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Definicja minimalnej aksjomatyki algebry Boole’a:
Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a to minimalny zestaw definicji i praw algebry Boole’a koniecznych i wystarczających do minimalizacji równań algebry Boole’a.
Należy zaznaczyć, że nasz mózg prezentuje w tym zakresie mistrzostwo świata tzn. z reguły operuje minimalnymi równaniami algebry Boole'a których nie da się minimalizować.
Definicja znaczka w logice matematycznej:
Znaczek w logice matematycznej to symbol zdefiniowany odpowiednią tabelą zero-jedynkową
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
Dowód w pkt. 1.9
Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+):
I.
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka
Znaczek tożsamy w matematyce:
(*) - znaczek koniunkcji
Znaczek tożsamy w technice:
(*) - bramka logiczna AND
Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
| Kod: |
p* q Y=p*q
A: 1* 1 =1
B: 1* 0 =0
C: 0* 1 =0
D: 0* 0 =0
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
Y=1
|
Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia którą logiką będziemy się posługiwać. W przypadku spójnika „i”(*) użycie logiki jedynek jest najszybszym sposobem wypełnienia wynikowej kolumny zero-jedynkowej.
II.
(+) - spójnik „lub”(+) z języka potocznego człowieka
Znaczek tożsamy w matematyce:
(+) - znaczek alternatywy
Znaczek tożsamy w technice:
(+) - bramka logiczna OR
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
| Kod: |
p+ q Y=p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
Y=1
|
Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia którą logiką będziemy się posługiwać. W przypadku spójnika „lub”(+) użycie logiki zer jest najszybszym sposobem wypełnienia wynikowej kolumny zero-jedynkowej.
1.8.1 Aksjomatyka minimalna algebry Boole'a
Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a to minimalny zestaw definicji i praw algebry Boole’a koniecznych i wystarczających do minimalizacji równań algebry Boole’a.
1.
1=prawda
0=fałsz
1=~(0)=~0 - prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu (0)
0=~(1)=~1 - fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy (1)
2.
p =~(~p) - logika dodatnia (bo p) jest tożsama z zanegowaną (~) logiką ujemną (bo ~p)
Prawo podwójnego przeczenia.
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p jest tożsama z zanegowaną (~) logiką dodatnią (bo p)
3.
Elementem neutralnym w spójniku „i”(*) jest jedynka
p*1=p - łatwe do zapamiętania przez analogię do zwykłego mnożenia: x*1=x
p+1=1 - to jedyny wyjątek nie mający odpowiednika w zwykłym dodawaniu
4.
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest zero
p+0=p - łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego dodawania: x+0=x
p*0=0 - łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego mnożenia: x*0=0
5.
Definicja dziedziny D w zbiorach:
A: p+~p=D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny (D)
B: p*~p=[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, stąd ich iloczyn logiczny to zbiór pusty []=0
Definicja dziedziny D w zdarzeniach:
C: p+~p=D =1 - zdarzenie ~p jest uzupełnieniem zdarzenia p do wspólnej dziedziny (D)
D: p*~p=[] =0 - zdarzenia p i ~p są rozłączne, stąd ich iloczyn logiczny to zbiór pusty []=0
Przykłady:
5A
Zdanie zawsze prawdziwe w zbiorach:
Dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 2 lub nie jest podzielna przez 2
D=LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] – zbiór liczb naturalnych, wspólna dziedzina dla P2 i ~P2
P2+~P2=D =1 - zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest uzupełnieniem zbioru P2=[2,4,6,8..] do dziedziny LN
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb naturalnych LN pomniejszony o zbiór liczb parzystych P2
5B.
Zdanie zawsze fałszywe w zbiorach:
Dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 2 i nie jest podzielna przez 2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2=[2,4,6,8..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne, stąd ich iloczyn logiczny to 0
Uwaga:
W matematyce zdanie zawsze prawdziwe (5A) i zdanie zawsze fałszywe (5B) to bezużyteczne śmieci tzn. nie ma ani jednego twierdzenia matematycznego typu 5A albo 5B.
5C.
Zdanie zawsze prawdziwe w zdarzeniach:
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
Y = K+~K =D =1 - zdarzenie ~K jest uzupełnieniem zdarzenia K do wspólnej dziedziny D
D=[K,~K] - zbiór wszystkich możliwych zdarzeń w dniu jutrzejszym, wspólna dziedzina D
Chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień.
5D.
Zdanie zawsze fałszywe w zdarzeniach:
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y = K*~K =[] =0 - zdarzenie ~K jest rozłączne ze zdarzeniem K
Chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień
6.
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) są przemienne
p*q=q*p
p+q=q+p
7.
Prawo redukcji/powielania zmiennych binarnych:
p*p=p
p+p=p
8.
Prawa De Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
p*q = ~(~p+~q)
9.
Obsługa wielomianów logicznych jest identyczna jak wielomianów klasycznych pod warunkiem przyjęcia analogii:
Spójnik „lub”(+) to odpowiednik sumy algebraicznej (+) np. x+y
Spójnik „i”(*) to odpowiednik iloczynu algebraicznego (*) np. x*y
Stąd mamy:
Kolejność wykonywania działań w wielomianach logicznych:
przeczenie (~), nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
bo robimy analogię do wielomianów klasycznych.
Przykład mnożenia wielomianów logicznych:
Niech będzie dana funkcja logiczna Y:
Y = (p+~q)*(~p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Minimalizujemy:
Y = (p+~q)*(~p+q)
Y = p*~p + p*q +~q*~p + ~q*q - mnożenie logiczne każdego z każdym (jak w matematyce klasycznej)
Y = 0 + p*q + ~q*~p + 0 - prawo algebry Boole'a: x*~x=0
Y = p*q + ~q*~p - prawo algebry Boole'a: x+0=x
Y = p*q + ~p*~q - przemienność x*y=y*x
Stąd:
Nasza funkcja logiczna Y po minimalizacji przybiera postać:
Y = (p+~q)*(~p+q) = p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Inny przykład wykorzystania praw algebry Boole’a.
Udowodnij prawo algebry Boole’a:
p + p*q =p
Dowód:
p + p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p=p*1
Wyciągnięcie zmiennej p przed nawias identyczne jak w wielomianach klasycznych
p*(1+q)
1+q =1
p*1=p
cnd
Każde z praw logiki matematycznej można udowodnić w rachunku zero-jedynkowym.
Przykład 1.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo rachunku zero-jedynkowego:
p+1 =1
Mamy tu:
p - zmienna binarna, mogąca przyjmować w osi czasu wartości logiczne 1 albo 0.
q=1 - stała binarna, twarda jedynka niezależna od czasu.
Korzystamy z definicji spójnika „lub”(+).
| Kod: |
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
p+ q Y=p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
|
Stąd mamy:
| Kod: |
Dla p i q=1 mamy:
p+ q=1 Y=p+1
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 1 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 1 =1
|
Stąd mamy dowód prawdziwości prawa rachunku zero-jedynkowego:
p+1 =1
cnd
Przykład 2.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo algebry Boole’a:
p+~p =1
| Kod: |
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
p+ q Y=p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
|
Stąd mamy:
| Kod: |
Dla p i q=~p mamy:
p+~p Y=p+~p
A: 1+ 0 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 1 =1
|
Stąd mamy dowód prawdziwości prawa rachunku zero-jedynkowego:
p+~p =1
cnd
Przykład 3.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo De Morgana dla sumy logicznej „lub”(+):
p+q = ~(~p*~q)
Zaczynamy od definicji spójnika „lub”(+)
| Kod: |
p+ q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q Y=~(~Y)=~(~p*~q)
A: 1+ 1 =1 =0 0* 0 =0 =1
B: 1+ 0 =1 =0 0* 1 =0 =1
C: 0+ 1 =1 =0 1* 0 =0 =1
D: 0+ 0 =0 =1 1* 1 =1 =0
1 2 3 4 5 6 7 8
Gdzie:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
|
Tożsamość kolumn wynikowych 3=8 (Y=Y) jest dowodem poprawności prawa De Morgana:
Y = 3: p+q = 8: ~(~p*~q)
#
Tożsamość kolumn wynikowych 4=7 (~Y=~Y) jest dowodem poprawności prawa De Morgana:
~Y = 4: ~(p+q) = 7:~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
cnd
Zadanie dla czytelnika:
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo De Morgana dla iloczynu logicznego „i”(*):
p*q = ~(~p+~q)
1.9 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków
Rozważmy projektowanie sterowania windą.
Przyjmijmy wejście układu windy:
Na poziomie 5-cio latka zakładamy że winda ma dwa przyciski wejściowe układu (zmienne binarne):
Opis przycisku D=drzwi:
D=1 - drzwi zamknięte (D)
~D=1 - drzwi nie zamknięte (~D)
Opis przycisku P=piętro:
P=1 - przycisk piętro wciśnięty (P)
~P=1 - przycisk piętro nie wciśnięty (~P)
Przyjmijmy wyjście układu windy:
Wyjście układu opisane jest przez zmienną binarną J=jedzie:
J=1 - winda jedzie (J).
~J=1 - winda nie jedzie (~J)
I.
Pani przedszkolanka do Jasia (lat 5):
Powiedz nam Jasiu kiedy winda jedzie (J=1)?
Jaś:
A1.
Winda jedzie (J=1) wtedy i tylko wtedy gdy drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
A1: J=D*P
co w logice jedynek oznacza:
J=1 <=> D=1 i P=1
Wniosek:
Jaś zaprojektował sterownie windą w logice dodatniej (bo J)
II.
Pani przedszkolanka do Zuzi (lat 5):
Powiedz nam Zuziu kiedy winda nie jedzie (~J=1)?
Zuzia:
B1.
Winda nie jedzie (~J=1) wtedy i tylko wtedy gdy drzwi nie są zamknięte (~D=1) "lub"(+) nie jest wciśnięty przycisk piętro (~P=1)
B1: ~J = ~D + ~P
co w logice jedynek oznacza:
~J=1 = ~D=1 lub ~P=1
Wniosek:
Zuzia zaprojektowała sterowanie windą w logice ujemnej (bo ~J)
Wnioski końcowe:
Rozwiązanie Jasia i Zuzi są matematycznie równoważne bo oczywisty związek logiki dodatniej (bo J) i ujemnej (bo ~J) jest następujący:
Jaś:
A1: J=D*P
Moja logika dodatnia (bo J) to zanegowana logika ujemna (bo ~J), stąd mamy:
J = ~(~J)
Po podstawieniu:
B1: ~J = ~D + ~P
Mamy:
J = ~(~D+~P)
czyli:
A1: J = ~(~D+~P) = D*P - prawo De Morgana
cnd
Zuzia:
B1: ~J=~D+~P
Moja logika ujemna (bo ~J) to zanegowana logika dodatnia (bo J), stąd mamy:
~J = ~(J)
Po podstawieniu:
A1: J=D*P
Mamy:
~J = ~(D*P)
czyli:
B1: ~J = ~(D*P) = ~D+~P - prawo De Morgana
cnd
Doskonale tu widać, że zarówno Jaś jak i Zuzia (oboje po 5 wiosenek) perfekcyjnie znają algebrę Kubusia bo po prostu pod nią podlegają.
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = znana inżynierom bramka AND
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = znana inżynierom bramka OR
Znaczek przeczenia (~) ma swój odpowiednik w bramkach logicznych w postaci układu negatora:
„o”(~) - bramka negatora „o”(~)
Bramka negatora "o"(~) w każdej chwili czasowej zamienia cyfrowy sygnał wyjściowy (J) na jego negację na wyjściu negatora (~J) i odwrotnie.
Przełożenie powyższych zdań na bramki logiczne jest trywialne:
Wszędzie, gdzie wymawiamy spójnik „i”(*) wstawiamy bramę AND.
Wszędzie, gdzie wymawiamy spójnik „lub”(+) wstawiamy bramkę OR
| Kod: |
T1
Zdania Jasia i Zuzi przełożone na język bramek logicznych „i”(*) i „lub”(+)
-------------
D------x-------->| |
| | „i”(*) |---x-----x----> A1: J=D*P (Jaś)
P--x------------>| | | |
| | ------------- \/ |
| | o o # (negator w obu kierunkach)
| | ~D ------------- | /\
| |--o----->| | | |
| ~P | „lub”(+) |---x-----x----> A2: ~J=~D+~P (Zuzia)
|------o----->| |
-------------
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
„o”(~) - bramka negatora „o”(~)
Negator w każdej chwili czasowej zamienia cyfrowy sygnał wejściowy
na jego negację na wyjściu negatora.
W świecie rzeczywistym musi tu być negator z otwartym kolektorem (OC)
na przykład SN74LS06. Wyjście OC musi być podparte rezystorem do Vcc.
|
Opis działania układu:
Jaś:
A1:
Winda jedzie (J) gdy drzwi są zamknięte (D) i wciśnięty przycisk piętro (P)
J=D*P
… a kiedy winda nie jedzie (~J)?
#
Dowolną funkcję logiczną (np. J=D*P) mamy prawo dwustronnie zanegować (#)
Negujemy funkcję logiczną A1 dwustronnie:
B1:
~J=~(D*P)=~D+~P - prawo De Morgana
Stąd:
B1.
Zuzia:
Winda nie jedzie (~J) gdy drzwi nie są zamknięte (~D) lub nie jest wciśnięty przycisk piętro (~P)
~J=~D+~P
To jest cała filozofia przełożenia logiki matematycznej Jasia i Zuzi na teorię bramek logicznych.
Uwaga:
W użytecznym sterowaniu trzeba wprowadzić dodatkową zmienną binarną sygnalizującą dojechanie windy na żądane piętro, gdzie winda automatycznie staje i przycisk P (piętro) wyskakuje. Przy zamkniętych drzwiach warunkiem koniecznym kolejnej jazdy jest wciśnięcie piętra różnego od tego, na którym winda aktualnie stoi. Takie sterownie to temat na ćwiczenie laboratoryjne na I roku studiów elektronicznych.
Weźmy jeszcze raz naszego Jasia:
A1.
Jeśli winda jedzie (J=1) to na 100% => drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
A1: J=> D*P
Jazda windą jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania, że drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
W drugą stronę warunek wystarczający => też jest prawdziwy:
B3.
Jeśli drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1) to na 100% => winda jedzie (J=1)
B3: D*P=>J =1
Zamknięte drzwi (D=1) i wciśnięty przycisk piętro (P=1) jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania, że winda jedzie.
Uwaga:
Zakładamy tu, że wciskamy przycisk piętro (P) różny od piętra na którym aktualnie winda stoi.
Stąd mamy dowód iż zachodzi równoważność o definicji:
Równoważność p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Nasz przykład:
p=J
q=D*P
RA1B3:
Winda jedzie (J=1) wtedy i tylko wtedy gdy drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
RA1B3: J<=>D*P = (A1: J=>D*P)*(B3: D*P=>J) =1*1 =1
cnd
Prawo Irbisa (poznamy niebawem):
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/pojęć p=q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Dla naszego przykładu możemy zapisać:
Zdarzenie „winda jedzie” (J) jest tożsame „=” ze zdarzeniem „zamknięte drzwi i wciśnięty przycisk piętro” (D*P)
J=D*P <=> (A1: J=>D*P)*(B3: D*P=>J) = J<=>D*P
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 23:03, 24 Lis 2023, w całości zmieniany 24 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
