Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia - Elementarz teorii zbiorów

 
Napisz nowy temat   Ten temat jest zablokowany bez możliwości zmiany postów lub pisania odpowiedzi    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 11:57, 16 Kwi 2024    Temat postu: Algebra Kubusia - Elementarz teorii zbiorów

Algebra Kubusia - Elementarz teorii zbiorów

2024-04-16 Premiera

Linki do wszystkich części algebry Kubusia w pdf:
1.
Premiera wersji końcowej: 2024-05-30
"Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego" (Stron: 1363):
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod:
https://www.dropbox.com/s/hy14p42kup25c32/Kompendium%20algebry%20Kubusia.pdf?dl=0

Pełna wersja algebry Kubusia zawierająca wszystkie możliwe szczegóły w tym temacie.

2.
Premiera: 2024-04-01
„Algebra Kubusia - Elementarz teorii zdarzeń” (stron: 160):
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod:
https://www.dropbox.com/scl/fi/kgktscz3uhlxdr91hdq1q/AK-Zwiastun-w-pdf.pdf?rlkey=umxrjdxmw4dhb8yh6pp01awdb&dl=0

„Elementarz teorii zdarzeń” to kompendium wiedzy w temacie teorii zdarzeń.

3.
Premiera: 2024-04-16
„Algebra Kubusia - Elementarz teorii zbiorów” (stron 114)
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod:
https://www.dropbox.com/scl/fi/71ic2mnqn98lhwdg8cuao/Algebra-Kubusia-dla-5-cio-latk-w-w-pdf.pdf?rlkey=1mis89ihnc1b2ftratvjbt1t5&dl=0

„Elementarz teorii zbiorów” to kompendium wiedzy w temacie teorii zbiorów.

4.
Premiera: 2024-08-15
„Algebra Kubusia dla matematyków” (stron 183)
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod:
https://www.dropbox.com/scl/fi/2d1t5a5hfd1zgu8046p8k/Algebra-Kubusia-dla-matematyk-w.pdf?rlkey=wloqlepqk810buz0b8sy5gn3d&dl=0

„Algebra Kubusia dla matematyków” to dowód schizofrenii we wszelkich ziemskich logikach


Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury.

Link do forum filozoficznego sfinia z jego niezwykłym regulaminem pozwalającym głosić dowolne herezje bez obawy o bana - tylko i wyłącznie dzięki temu algebra Kubusia została rozszyfrowana:
http://www.sfinia.fora.pl/zaprzyjaznione-portale,60/
Na forum śfinia mamy dostęp do pełnej, 18 letniej historii rozszyfrowywania algebry Kubusia.

Link do debiutu „Algebry Kubusia” na forum matematyka.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]


Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki (vel Lucek), Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors (vel Dagger), Słupek, Fiklit, Yorgin, Exodim, FlauFly, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski, MaluśnaOwieczka, Zefciu i inni.

Kluczowi przyjaciele Kubusia, którzy wnieśli największy wkład w rozszyfrowanie algebry Kubusia to: Rafal3006, Wuj Zbój, Volrath, Macjan, Irbisol, Fiklit (kolejność chronologiczna).

Rozszyfrowanie algebry Kubusia to 18 lat dyskusji na forum filozoficznym w Polsce, to około 33 000 postów napisanych wyłącznie w temacie "Logika matematyczna"
Algebra Kubusia to podłożenie matematyki pod język potoczny człowieka, czyli coś, o czym matematycy marzą od 2500 lat (od Sokratesa).
Krótką historię rozszyfrowania algebry Kubusia znajdziemy w punkcie 28.0




Spis treści:
1.0 Nowa algebra Boole'a

2.0 Kubusiowa teoria zbiorów
3.0 Kompendium algebry Kubusia w zbiorach

4.0 Implikacja prosta p|=>q w przedszkolu
5.0 Implikacja odwrotna p|~>q w przedszkolu
6.0 Równoważność p<=>q w przedszkolu
7.0 Chaos p|~~>q

Wstęp:

Rozszyfrowanie algebry Kubusia to 19 lat dyskusji na forum filozoficznym w Polsce, to około 37 000 postów napisanych wyłącznie w temacie "Logika matematyczna"
Algebra Kubusia to podłożenie matematyki pod język potoczny człowieka, czyli coś, o czym matematycy marzą od 2500 lat (od Sokratesa).
Krótką historię rozszyfrowania algebry Kubusia znajdziemy w punkcie 37.0

„Algebra Kubusia - Elementarz teorii zbiorów” to kompletna teoria na zbiorach minimalnych rodem z przedszkola, gdzie przykłady są trywialne, zrozumiałe dla każdego 5-cio latka.
Elementarz teorii zbiorów dedykuję naturalnym jej ekspertom, 5-cio latkom, którzy teorię algebry Kubusia wyssali z mlekiem matki i nie muszą się jej uczyć.
Nauka algebry Kubusia w przedszkolu w formie zabawy to pluszowe zwierzaczki plus pudełka {p, q, ~p, ~q} gdzie poznajemy takie pojęcia z teorii zbiorów jak: element wspólny zbiorów ~~>, podzbiór =>, nadzbiór ~>, tożsamość zbiorów <=>, warunek wystarczający =>, warunek konieczny ~>.

Myślę, że studenci studiów humanistycznych (pedagogika, psychologia, studia prawnicze etc) będą przeszczęśliwi, że doczekali czasów, gdzie nikt już nie pierze ich mózgów aktualną logiką matematyczną która jest dla nich potworem, strasznym i niezrozumiałym.

Dowód:
Czym jest współczesna logika matematyczna dla przeciętnego studenta uczelni humanistycznych celnie ujął dr hab. Krzysztof A. Wieczorek we wstępie do swojej książki „Logika dla opornych”:
[link widoczny dla zalogowanych]

Krzysztof A. Wieczorek
Logika dla opornych
Wszystko co powinniście wiedzieć o logice, ale nie uważaliście na zajęciach

WSTĘP
Celem tego podręcznika nie jest systematyczny wykład logiki. Książek takich jest już wystarczająco dużo, więc osoba głębiej zainteresowana tym przedmiotem na pewno nie będzie miała kłopotu ze znalezieniem czegoś odpowiedniego dla siebie. Niniejsza pozycja przeznaczona jest przede wszystkim dla tych, którzy pobieżnie zetknąwszy się z logiką, na przykład jako z przedmiotem wykładanym podczas krótkiego kursu na wyższej uczelni, z przerażeniem stwierdzili, że nic z tego nie rozumieją. Przyświeca mi cel pokazania takim osobom, że wbrew pozorom logika wcale nie jest taka trudna, jak by się to mogło początkowo wydawać, a jej nauka nie musi przypominać drogi przez mękę.

Większość tradycyjnych podręczników logiki najeżona jest technicznymi terminami, sucho brzmiącymi definicjami i twierdzeniami oraz skomplikowanymi wzorami. Brakuje im natomiast przykładów ilustrujących zawarty materiał teoretyczny i wyjaśniających bardziej złożone zagadnienia w sposób zrozumiały dla osób uważających się za „humanistów”, a nie „ścisłowców”. Sytuacja ta sprawia, że po zapoznaniu się z treścią takiego podręcznika lub po wysłuchaniu wykładu opracowanego na jego podstawie, adept logiki ma trudności z rozwiązaniem nawet bardzo prostych zdań umieszczanych na końcach rozdziałów lub w specjalnych zbiorach ćwiczeń z logiki. Taki stan rzeczy przyprawia o mdłości i ból głowy zarówno wielu wykładowców logiki zrozpaczonych rzekomą całkowitą niezdolnością do poprawnego myślenia okazywaną przez ich studentów, jak i tych ostatnich, zmuszonych do zaliczenia przedmiotu, z którego niemal nic nie rozumieją.

Doświadczenie zdobyte przeze mnie podczas lat nauczania logiki na różnych kierunkach uniwersyteckich wskazuje jednakże, iż najczęściej nieumiejętność rozwiązywania zadań z logiki nie jest wynikiem jakichkolwiek braków umysłowych studentów ani nawet ich lenistwa, ale po prostu przerażenia wywoływanego przez gąszcz niezrozumiałych dla nich wzorów, twierdzeń i definicji. Panika ta widoczna jest szczególnie u osób obdarzonych bardziej humanistycznym typem umysłowości, alergicznie reagujących na wszystko, co kojarzy im się z matematyką.

Można oczywiście ubolewać nad tym, że tak wielu młodych ludzi nie chce pokonać w sobie uprzedzeń do logiki i zmuszać ich „dla ich dobra” do przyswajania tej wiedzy w tradycyjnej formie. Czy ma to jednak większy sens? Da się oczywiście sprawić, że uczeń poświęci tydzień czasu przed egzaminem (często wspomagając się przy tym różnego rodzaju chemicznymi „środkami dopingującymi”) na pamięciowe wykucie kilkudziesięciu twierdzeń i 7 praw, a następnie nauczy się ich mechanicznego stosowania. Nie zmieni to jednak faktu, iż student taki w dalszym ciągu nie będzie rozumiał istoty tego, co robi, ani jaki jest właściwie cel wykonywanych przez niego operacji.



Spis treści
0.0 Skorowidz znaczków używanych w algebrze Kubusia 4


0.0 Skorowidz znaczków używanych w algebrze Kubusia

Definicje znaczków używanych w algebrze Kubusia poparto prostymi przykładami, zrozumiałymi dla każdego 5-cio latka.

I.
Nowa algebry Boole'a związana wyłącznie za spójnikami "lub"(+) i "i"(*)


1.
Znaczki elementarne (1.1):

1 = prawda
0 = fałsz
(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Definicja logiki dodatniej (bo p) i logiki ujemnej (bo ~p) (1.1.1)

2.
Spójniki podstawowe "lub"(+) i "i"(*) zgodne z językiem potocznym:

(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym (1.5)
(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym (1.6)

3.
Operatory logiczne "lub"(|+) i "i'(|*) definiowane spójnikami podstawowymi "lub"(+) i "i"(*):

(|+) - operator "lub"(|+) w języku potocznym (1.5.1)
(|*) - operator "i"(|*) w języku potocznym (1.6.1)

II.
Algebra Kubusia obsługująca zdania warunkowe "Jeśli p to q"


Definicja spójnika implikacyjnego:
Spójnik implikacyjny to spójnik związany w obsługą zdań warunkowych "Jeśli p to q" definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

Definicje spójników implikacyjnych w algebrze Kubusia mają układ trzypoziomowy {1=>2=>3}:
1.
Elementarne spójniki implikacyjne: =>, ~>, ~~>
2.
Podstawowe spójniki implikacyjne: |=>, |~>, <=>, |~~> definiowane spójnikami elementarnymi
3.
Operatory implikacyjne: ||=>, ||~>, |<=>, ||~~> definiowane podstawowymi spójnikami implikacyjnymi.

1.
Spójniki elementarne zdań warunkowych "Jeśli p to q":

~~> - element wspólny zbiorów w teorii zbiorów (3.1.1)
=> - warunek wystarczający (3.1.2)
~> - warunek konieczny (3.1.3)

2.
Podstawowe spójniki implikacyjne definiowane spójnikami elementarnymi:

|=> - implikacja prosta (4.2)
|~> - implikacja odwrotna (5.2)
<=> - równoważność (6.5)
|~~> - chaos (7.1)

3.
Operatory implikacyjne definiowane podstawowymi spójnikami implikacyjnymi:

||=> - operator implikacji prostej (4.2.1)
||~> - operator implikacji odwrotnej (5.2.1)
|<=> - operator równoważności (6.5.1)
||~~> - operator chaosu (7.1.1)

III.
Pozostałe znaczki algebry Kubusia:

# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony (3.2.1)
## - różne na mocy definicji (3.2.1)
### - różne na mocy błędu podstawienia (3.1.5)

Uwaga:
To są wszystkie znaczki używane w algebrze Kubusia tzn. nie są potrzebne w AK jakiekolwiek inne znaczki.
W szczególności nie ma w algebrze Kubusia rachunku kwantyfikatorów i związanych z nim znaczków: kwantyfikator mały (istnieje) \/ i kwantyfikator duży (dla każdego) /\


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 8:21, 16 Sie 2024, w całości zmieniany 19 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 12:12, 16 Kwi 2024    Temat postu:

Algebra Kubusia - Elementarz teorii zbiorów
1.0 Nowa algebra Boole'a

Spis treści
1.0 Nowa algebra Boole’a 1
1.1 Definicje elementarne algebry Boole'a 2
1.1.1 Definicja negacji 2
1.1.2 Negator dwukierunkowy w bramkach logicznych 3
1.2 Prawa Prosiaczka 4
1.2.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki 5
1.3 Fundamenty algebry Boole'a 6
1.3.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a: 6
1.3.2 Prawa De Morgana 8
1.4 Definicja funkcji logicznej Y=f(x) definiowanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 9
1.4.1 Definicja operatora Y|=f(x) definiowanego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 9
1.5 Definicja spójnika „lub”(+) Y=K+T 10
1.5.1 Definicja operatora „lub”(|+) Y|=K+T 10
1.6 Definicja spójnika „i”(*) Y=K*T 11
1.6.1 Definicja operatora „i”(|*) Y|=K*T 11


1.0 Nowa algebra Boole’a

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego (w tym matematyki i fizyki).

Algebra Kubusia zawiera w sobie nową algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Aktualna algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.

Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo p) i logika ujemna (bo ~p). Definicję znajdziemy w pkt. 1.1.1
3.
Stara algebra Boole'a jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y), co udowodnimy za chwilkę (pkt. 1.10.2. 1.12)

1.1 Definicje elementarne algebry Boole'a

1 = prawda
0 = fałsz

Gdzie:
1##0
Prawda (1) jest różna na mocy definicji ## od fałszu (0)

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Innymi słowy:
Prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu (0)
Fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy (1)

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)

Pani w przedszkolu:
Pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 - zdanie zawsze prawdziwe
Pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 - zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y - stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa

1.1.1 Definicja negacji

Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.

W szczególnym przypadku symbol w nagłówku kolumny może być stałą binarną gdy w kolumnie są same jedynki albo same zera.
Kod:

DN
Definicja negacji:
   p # ~p
A: 1 #  0
B: 0 #  1
   1    2
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka w logice matematycznej:
Znaczek w logice matematycznej to symbol zdefiniowany odpowiednią tabelą zero-jedynkową

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
p#~p
Dowodem jest tu definicja negacji DN.

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna p wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)

Zauważmy, że w definicji negacji DN symbole p i ~p są zmiennymi binarnymi.
Dowód:
W osi czasu (kolumna A1B1) może zajść przypadek, że zmienna binarna p przyjmie wartość logiczną 1 (A1) albo wartość logiczną 0 (B1).
W osi czasu (kolumna B2A2) może zajść przypadek, że zmienna binarna ~p przyjmie wartość logiczną 1 (B2) albo wartość logiczną 0 (A2)

Stąd mamy:
Definicja osi czasu w logice matematycznej
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej oś czasu to zero-jedynkowa zawartość kolumny opisanej symbolem nad tą kolumną.

W logice matematycznej odpowiednikiem układu Kartezjańskiego są wykresy czasowe.
Dowód na przykładzie (strona 5):
Kod:
https://www.ti.com/lit/ds/symlink/sn54ls193-sp.pdf


1.1.2 Negator dwukierunkowy w bramkach logicznych

W technice cyfrowej znaczek różne # o definicji jak wyżej jest odpowiednikiem dwukierunkowego negatora „O”.
Zachodzi tożsamość znaczków: # = O
Kod:

Realizacja dwukierunkowego negatora „O” w bramkach logicznych
              -----
p --x-------->| ~ |o-x--> ~p
    |         -----  |
    |                |
    | p=~(~p) -----  |
    -<-------o| ~ |<-x--- ~p
              -----
Gdzie:
„O” - symbol dwukierunkowego negatora o budowie jak wyżej
"o"(~) - symbole negacji w technice „o” i w języku potocznym „~”
--->| - wejście bramki logicznej negatora (~)
|o--> - wyjście bramki logicznej negatora (~)
W świecie rzeczywistym musi tu być negator z otwartym kolektorem (OC)
na przykład typu SN7406. Wyjście OC musi być podparte rezystorem do Vcc.

W świecie rzeczywistym podajemy sygnały cyfrowe {0,1} na wejściu negatora p albo ~p obserwując co jest na jego wyjściu. Wszystko musi być zgodne z definicją DN.

Matematyczne związki między p i ~p:
a)
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
p#~p
b)
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
c)
Prawo zaprzeczenia logiki dodatniej (bo p):
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)

Dowód w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Matematyczne związki w definicji negacji:
   p ~p ~(~p) ~(p)
A: 1  0    1    0
B: 0  1    0    1
   1  2    3    4

Tożsamość kolumn 1=3 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Tożsamość kolumn 2=4 jest dowodem formalnym prawa negacji logiki dodatniej (bo p):
~p=~(p)

1.2 Prawa Prosiaczka

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo p) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=0) = (~p=1)

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że negując dwustronnie I prawo Prosiaczka dalej będziemy w I prawie Prosiaczka bez możliwości przejścia do II prawa Prosiaczka, stąd znak różne na mocy definicji ##

Dowód:
I prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
Negujemy dwustronnie:
(~p=0)=(p=1) - dalej jesteśmy w I prawie Prosiaczka, bez możliwości dojścia do II prawa Prosiaczka

##

Identycznie będziemy mieli w II prawie Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
Negujemy dwustronnie:
(~p=1)=(p=0) - dalej jesteśmy w II prawie Prosiaczka, bez możliwości dojścia do I prawa Prosiaczka

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Znaczek różne na mocy definicji ## to brak matematycznych powiązań między prawą i lewą stroną znaczka ##

Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo p) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p). Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej lub stałej binarnej.

1.2.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki

Rozważmy żarówkę istniejącą w naszym pokoju

Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z językiem potocznym człowieka gdzie wszelkie przeczenia w kodowaniu matematycznym muszą być zapisane jawnie.

Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
A.
S - żarówka świeci
Co w logice jedynek oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)

##

Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
B.
~S - żarówka nie świeci
Co w logice jedynek oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Innymi słowy:
Pojęcie "żarówka świeci" (S=1) jest różne na mocy definicji ## od pojęcia "żarówka nie świeci" (~S=1)

1.3 Fundamenty algebry Boole'a

Kluczowe znaczki algebry Boole’a to definicje spójników „i”(*) i „lub”(+)
Kod:

Definicja dwuargumentowego spójnika „i”(*):
   p* q  Y=p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0

Kod:

Definicja dwuargumentowego spójnika „lub”(+):
   p+ q  Y=p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0

Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy

1.3.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:

Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)

Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna Y algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a f(x) w osi czasu.

W technice funkcja algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y.
Przykład:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
f(x)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a
Tu zamiast x możemy wyliczyć wszystkie zmienne binarne w logice dodatniej (to wystarczy) tworzące funkcję logiczną, ale nie jest to konieczne.
f(p, q) = p*q + ~p*~q - funkcja logiczna dwóch zmiennych binarnych p i q
Stąd na mocy definicji funkcji logicznej mamy:
Y = f(p, q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q

W szczególnym przypadku funkcja logiczna Y może być stałą binarną, gdy w kolumnie opisującej symbol Y są same jedynki albo same zera.

Ogólna definicja dziedziny D:
Pojęcie ~x jest uzupełnieniem dla pojęcia x do wspólnej dziedziny D oraz pojęcia x i ~x są rozłączne
x+~x =D =1 - zdanie zawsze prawdziwe (stała binarna)
x*~x =[] =0 - zdanie zawsze fałszywe (stała binarna)

Definicja dziedziny w zbiorach:
Zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D oraz zbiory p i ~p są rozłączne.
Czyli:
Y = p+~p =D =1 - zdanie zawsze prawdziwe (stała binarna)
Y = p*~p =[] =0 - zdanie zawsze fałszywe (stała binarna)
W algebrze Kubusia zdanie zawsze prawdziwe (Y=1) oraz zdanie zawsze fałszywe (Y=0) to bezużyteczne śmieci zarówno w matematyce, jak i w języku potocznym
Dowód na przykładzie.

Rozważmy dwa zbiory:
TP - zbiór trójkątów prostokątnych (TP)
~TP - zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP)
Wspólna dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów

Definicja dziedziny w zbiorach:
Zbiór ~TP jest uzupełnieniem zbioru TP do wspólnej dziedziny ZWT oraz zbiory TP i ~TP są rozłączne w dziedzinie ZWT.

Czyli:
Twierdzenie T1:
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) lub nie jest prostokątny (~TP)
Y = TP+~TP =ZWT =1 - zdanie zawsze prawdziwe (stała binarna)

Twierdzenie T2:
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) i nie jest prostokątny (~TP)
Y = TP*~TP =[] =0 - zdanie zawsze fałszywe (stała binarna)

Wartość matematyczna twierdzeń T1 i T2 jest zerowa (śmieci).

Analogia do programowania:
Nie da się napisać najprostszego nawet programu dysponując wyłącznie stałymi binarnymi, o z góry wiadomej wartości logicznej.

Definicja bramki logicznej:
Bramka logiczna to układ cyfrowy o n wejściach binarnych {p,q,r..} i tylko jednym wyjściu binarnym Y

Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y

Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r … - wejścia bramki logicznej
Y - wyjście bramki logicznej

Przykład:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q

1.3.2 Prawa De Morgana

Prawa De Morgana to jedne z najważniejszych praw logiki matematycznej.

Prawa De Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q) - prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+)
##
Y = p*q = ~(~p+~q) - prawo De Morgana dla spójnika „i”(*)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne w tej samej logice (tu Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy prawe strony tych funkcji nie są tożsame.

Jak widzimy, w zaprezentowanych wyżej prawach De Morgana definicja znaczka różne na mocy definicji jest spełniona.

Prawo negacji funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną można dwustronnie zanegować.

Zastosujmy to prawo do powyższych definicji prawa De Morgana.

Prawa De Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q) - prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+)
#
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)
##
Y = p*q = ~(~p+~q) - prawo De Morgana dla spójnika „i”(*)
#
~Y = ~(p*q) = ~p+~q - prawo De Morgana dla spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Prawo podwójnego przeczenia z którego skorzystaliśmy to:
p=~(~p)

Zauważmy, że prawa De Morgana nie zmieniają logiki matematycznej, zatem obowiązują niezależnie od tego, czy jesteśmy w logice dodatniej (bo Y), czy też w ujemnej (bo ~Y)

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)

Dowód na przykładzie:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y=K+T
Prawo De Morgana:
(K+T)=~(~K*~T)
Stąd zdanie matematycznie tożsame do zdania 1
1”
Nie może się zdarzyć ~(..), że jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
Y = ~K*~T

1.4 Definicja funkcji logicznej Y=f(x) definiowanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Definicja funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y):
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
W przeciwnym przypadku mamy do czynienia z funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y)

Definicja funkcji logicznej Y=f(x):
Funkcja logiczna Y=f(x) to odpowiedź na pytanie o Y
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y=f(x) - zajdzie Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie f(x)

1.4.1 Definicja operatora Y|=f(x) definiowanego spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Definicja operatora Y|=f(x) definiowanego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny Y|=f(x) to układ równań logicznych 1 i 2 dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y

Definicja funkcji logicznej Y=f(x):
Funkcja logiczna Y=f(x) to odpowiedź na pytanie o Y
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y=f(x) - zajdzie Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie f(x)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną 1:
2.
~Y=~f(x) - zajdzie ~Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~f(x)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

W dalszej części omówimy na przykładach najważniejsze definicje spójników logicznych i operatorów logicznych dwuargumentowych.

1.5 Definicja spójnika „lub”(+) Y=K+T

Definicja spójnika „lub”(+) Y=K+T:
Spójnik „lub”(+) Y=K+T to odpowiedź na pytanie o Y (dotrzymanie słowa):

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)

1.5.1 Definicja operatora „lub”(|+) Y|=K+T

Definicja operatora „lub”(|+) Y|=K+T:
Operator „lub”(|+) Y|=K+T to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:

Definicja spójnika „lub”(+) Y=K+T:
Spójnik „lub”(+) Y=K+T to odpowiedź na pytanie o Y (dotrzymanie słowa):

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)

Innymi słowy:
Wystarczy, że pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa (Y).
Stąd wszystkie zdarzenia rozłączne w których pani dotrzyma słowa (Y) to:
1”: Y = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya=A: K*T=1 - jutro pójdziemy do kina (K) i pójdziemy do teatru (T)
lub
Yb=B: K*~T=1 - jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
lub
Yc=C: ~K*T=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K) i pójdziemy do teatru (T)
Wszystkie możliwe przypadki w których pani dotrzyma słowa (Y) to suma logiczna funkcji cząstkowych:
Y = Ya+Yb+Yc

#

Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną 1.
~Y = ~(K+T) = ~K*~T - na mocy prawa De Morgana.
Stąd mamy:
2.
D: ~Y=~K*~T
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T).

Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Kod:

1: Y=K*T # 2: ~Y=~K*~T

Znaczenie zmiennej binarnej Y:
Y - pani dotrzyma słowa Y
~Y - pani nie (~) dotrzyma słowa Y

Bonus:
Dowód „nie wprost” serii zdarzeń rozłącznych w których pani dotrzyma słowa (Y).
Zauważmy, że zdanie 2 to jedno, jedyne zdarzenie w którym pani nie dotrzyma słowa (~Y):
2: ~Y=~K*~T
W pozostałych rozłącznych zdarzeniach możliwych pani na 100% dotrzyma słowa (Y).
Te pozostałe rozłączne zdarzenia możliwe to:
1”: Y = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
cnd

1.6 Definicja spójnika „i”(*) Y=K*T

Definicja spójnika „i”(*) Y=K*T:
Spójnik „i”(*) Y=K*T to odpowiedź na pytanie o Y (dotrzymanie słowa):

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
A: Y=K*T
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) i pójdziemy do teatru (T)

1.6.1 Definicja operatora „i”(|*) Y|=K*T

Definicja operatora „i”(|*) Y|=K*T:
Operator „i”(|*) Y|=K*T to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:

Definicja spójnika „i”(*) Y=K*T:
Spójnik „i”(*) Y=K*T to odpowiedź na pytanie o Y (dotrzymanie słowa):

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
A: Y=K*T
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) i pójdziemy do teatru (T)

#

Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną 1.
~Y = ~(K*T) = ~K+~T - na mocy prawa De Morgana
Stąd mamy:
2.
~Y=~K+~T
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T).

Wystarczy że nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani nie dotrzyma słowa (~Y).
Stąd:
Wszystkie możliwe przypadki w zdarzeniach rozłącznych w których pani nie dotrzyma słowa (~Y) to:
2”: ~Y = B: ~K*~T + C: ~K*T + D: K*~T
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Yb=A: ~K*~T=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
lub
~Yc=C: ~K*T=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K) i pójdziemy do teatru (T)
lub
~Yd=D: K*~T=1 - jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
Wszystkie możliwe przypadki w których pani nie dotrzyma słowa (~Y) to suma logiczna funkcji cząstkowych:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd

Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Kod:

1: Y=K*T # 2: ~Y=~K+~T

Znaczenie zmiennej binarnej Y:
Y - pani dotrzyma słowa Y
~Y - pani nie (~) dotrzyma słowa Y

Bonus:
Dowód „nie wprost” serii zdarzeń rozłącznych w których pani nie dotrzyma słowa (~Y).
Zauważmy, że zdanie 1 to jedno, jedyne zdarzenie w którym pani dotrzyma słowa (Y):
1: Y=K*T
W pozostałych rozłącznych zdarzeniach możliwych pani na 100% nie dotrzyma słowa (Y).
Te pozostałe rozłączne zdarzenia możliwe to:
2”: ~Y = B: ~K*~T + C: ~K*T + D: K*~T
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 20:52, 15 Maj 2024, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 12:13, 16 Kwi 2024    Temat postu:

Algebra Kubusia - Elementarz teorii zbiorów
2.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Spis treści
2.0 Kubusiowa teoria zbiorów 1
2.1 Definicje elementarne Kubusiowej teorii zbiorów 1
2.2 Elementarne działania logiczne na zbiorach 2
2.2.1 Suma logiczna zbiorów 2
2.2.2 Iloczyn logiczny zbiorów 2
2.2.3 Różnica (-) zbiorów 3
2.3 Kluczowe definicje Kubusiowej Teorii Zbiorów 3
2.3.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 3
2.3.2 Definicja podzbioru => 3
2.3.3 Definicja nadzbioru ~> 3
2.3.4 Prawo Słonia dla zbiorów 4


2.0 Kubusiowa teoria zbiorów

W algebrze Kubusia dla 5-cio latków operować będziemy wyłącznie czterema pluszowymi zwierzaczkami - to wystarczy, by pokazać wszelkie niuanse logiki matematycznej w zbiorach.
K – Kubuś
P – Prosiaczek
T – Tygrysek
S – Słoń

2.1 Definicje elementarne Kubusiowej teorii zbiorów

Minimalna teoria zbiorów dla potrzeb obsługi zdań warunkowych „Jeśli p to q” jest następująca.

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, koło, miłość, krasnoludek, zbór wszystkich zwierząt ...]

Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies)
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.

Zbiory, podobnie jak pojęcia, mają wartości logiczne:
[x]=1 - zbiór niepusty, zawierający pojęcia zrozumiałe dla człowieka
[] =0 - zbiór pusty, zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka

Podstawowy zapis zbioru:
p=[zbiór wszystkich ssaków, pies, miłość, krasnoludek ..]
Gdzie:
p - nazwa zbioru
W nawiasach mamy wyszczególnione elementy zbioru rozdzielane przecinkiem

2.2 Elementarne działania logiczne na zbiorach

Elementarne działania na zbiorach to:
(+) - suma logiczna zbiorów
(*) - iloczyn logiczny zbiorów
(-) - różnica logiczna zbiorów

2.2.1 Suma logiczna zbiorów

Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
Zdefiniujmy dwa zbiory p i q:
p=[K, T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T, P] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[K,T]+[T,P]=[K,T,P]

2.2.2 Iloczyn logiczny zbiorów

Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny (zbiór wynikowy jest niepusty)
Y = p*q =0 - gdy zbiory p i q nie mają (=0) elementu wspólnego (są rozłączne)

Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
S - Słoń
Zdefiniujmy zbiory p, q, r:
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T,P] =1 - bo zbiór niepusty
r=[P,S] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[K,T]*[T,P]=[T] =1 - zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny
Y=p*r=[K,T]*[P,S] =[] =0 - zbiory p i r nie mają (=0) elementu wspólnego

2.2.3 Różnica (-) zbiorów

Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q

Oznaczmy:
K - Kubuś
T - Tygrysek
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T] =1 - bo zbiór niepusty
Stąd:
Przykład 1
Y=p-q = [K,T]-[T] =[K+T-T] =[K] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Przykład 2
Y=q-p =[K]-[K,T]=[] =0 - bo po usunięciu ze zbioru q=[K] elementu [K] zbiór q będzie zbiorem pustym.
W tym przypadku zachodzi tożsamość:
Zbiór wynikowy Y = zbiór q po wykonaniu odejmowania elementów

2.3 Kluczowe definicje Kubusiowej Teorii Zbiorów

W algebrze Kubusia Istnieją zaledwie trzy kluczowe definicje, będące fundamentem matematycznej obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w teorii zbiorów

2.3.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>

Definicja elementy wspólnego ~~> zbiorów:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
p~~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q =0 - zbiór pusty, brak elementu wspólnego zbiorów

2.3.2 Definicja podzbioru =>

Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona

2.3.3 Definicja nadzbioru ~>

Definicja nadzbioru ~>:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona

2.3.4 Prawo Słonia dla zbiorów

Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu w prawie Słonia [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu w prawi Słonia [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.

Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu w prawie Słonia gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu w prawie Słonia gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów

Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwości/fałszywości dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą ”nie wprost"

Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie jego elementy należą do zbioru q

Definicja nadzbioru ~>
Zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q

W logice matematycznej zachodzi tożsamość pojęć:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór ~> = relacja nadzbioru ~>
W logice matematycznej rozstrzygamy o zachodzącej lub nie zachodzącej relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~>.

Rozstrzygnięcia logiki matematycznej w relacji podzbioru =>:
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q

##

Rozstrzygnięcia logiki matematycznej w relacji nadzbioru ~>:
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q

Gdzie:
## - różne na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~>


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 20:51, 15 Maj 2024, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 12:15, 16 Kwi 2024    Temat postu:

Algebra Kubusia - Elementarz teorii zbiorów
3.0 Kompendium algebry Kubusia w zbiorach

Spis treści
3.0 Kompendium algebry Kubusia w zbiorach 1
3.1 Elementarne spójniki implikacyjne w zbiorach 1
3.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 2
3.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 2
3.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 4
3.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 5
3.1.5 Nietrywialny błąd podstawienia ### 6
3.2 Rachunek zero-jedynkowy warunków wystarczających => i koniecznych ~> 8
3.2.1 Definicje znaczków # i ## 11
3.3 Prawa algebry Kubusia wynikłe z rachunku zero-jedynkowego 11
3.4 Fundamentalne definicje i prawa algebry Kubusia 13
3.4.1 Prawa Sowy 13
3.4.2 Definicja tożsamości logicznej 14
3.4.3 Definicja dowodu "nie wprost" w algebrze Kubusia 14
3.4.4 Prawa Prosiaczka 14
3.4.5 Prawo Kłapouchego - kluczowe prawo logiki matematycznej 14
3.4.6 Prawo Słonia dla zbiorów 15
3.4.7 Prawo Irbisa dla zbiorów 15
3.4.8 Definicja spójnika implikacyjnego p?q 15
3.4.9 Definicja operatora implikacyjnego p|?q 16
3.5 Podstawowe spójniki implikacyjne 16
3.5.1 Prawo Puchacza 18


3.0 Kompendium algebry Kubusia w zbiorach

W logice matematycznej zawodowców operujemy warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.
W przedszkolu, na mocy prawa Słonia, najczęściej będziemy mówić o relacjach podzbioru => i nadzbioru ~> łatwych do wizualizacji przy pomocy pluszowych zabawek.

3.1 Elementarne spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q.

Matematycznie na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = Relacja nadzbioru ~>
Warunek wystarczający => = Relacja podzbioru =>

3.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Przykłady:
Elementy zbiorów:
K (Kubuś)
P (Prosiaczek]
1.
Przykład pozytywny:
Niech będą dane dwa zbiory umieszczone w pudełkach p i q:
p=[K]
q=[K,P]
stąd mamy:
p~~>q = [K]~~>[K,P] =1 - istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i q, to K (Kubuś)
Uwaga:
Dla celów dydaktycznych operujemy tu zbiorami prawie minimalnymi.
W ogólnym przypadku zarówno pudełko p jak i pudełko q może zawierać dowolne dużo pluszowych zwierzaków.
Definicja elementu wspólnego ~~> wspólnego zbiorów p i q będzie spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q będą miały co najmniej jeden element wspólny.

2.
Przykład negatywny:
Niech będą dane dwa zbiory:
p=[K]
q=[P]
stąd mamy:
p~~>q = [K]~~>[P] =0 - nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i q
Uwaga:
W ogólnym przypadku pudełka p i q mogą zawierać dowolnie dużo zwierzaków.

3.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach

Matematycznie na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = Relacja podzbioru =>

Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Przykłady:
Elementy zbiorów:
K (Kubuś)
P (Prosiaczek]

1.
Przykład pozytywny:
Niech będą dane dwa zbiory w pudełkach p i q:
p=[K]
q=[K,P]
stąd mamy:
A1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru q
p=>q =[K]=>[K,P] =1 - bo zbiór [K] jest (=1) podzbiorem => zbioru [K,P]
Innymi słowy na mocy prawa Słonia:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p jest (=1) warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K] jest (=1) podzbiorem => zbioru q=[K,P].
Uwaga:
W ogólnym przypadku w pudełkach p i q może być dowolnie dużo pluszowych zwierzaków.
Definicja relacji podzbioru => będzie spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zwierzątka ze zbioru p znajdują się w zbiorze q
p=>q =1
Inaczej:
p=>q =0 - definicja relacji podzbioru nie jest (=0) spełniona.

2.
Przykład negatywny:
Niech będą dane dwa zbiory w pudełkach p i q:
p=[K,P]
q=[K]
Stąd mamy:
A1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru q
p=>q = [K,P]=>[K] =0 - bo zbiór p=[K,P] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru [K]
Innymi słowy na mocy prawa Słonia:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K,P] nie jest (=0) jest podzbiorem => zbioru q=[K].

3.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach

Matematycznie na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = Relacja nadzbioru ~>
Warunek wystarczający => = Relacja podzbioru =>

Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Przykłady:
Elementy zbiorów:
K (Kubuś)
P (Prosiaczek]

1.
Przykład pozytywny:
Niech będą dane dwa zbiory w pudełkach p i q:
p=[K,P]
q=[K]
B1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to może ~> należeć do zbioru q
p~>q = [K, P]~>[K] =1 - bo zbiór p=[K, P] zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q=[K]
Innymi słowy na mocy prawa Słonia:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla jego przynależności do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K,P] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q=[K]

2.
Przykład negatywny:
p=[K]
q=[K,P]
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to może ~> należeć do zbioru q
p~>q = [K]~>[K, P] =0 - zbiór p=[K] nie jest nadzbiorem ~> zbioru q=[K,P]
Innymi słowy na mocy prawa Słonia:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p=[K] nie jest (=0) konieczna ~> by ten element należał do zbioru q=[K,T] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q=[K,P]

W ogólnym przypadku elementów w pudełkach p i q może być dużo.
Wtedy najprościej jest skorzystać z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Na mocy prawa Tygryska, zamiast sprawdzać prawdziwość relacji nadzbioru p~>q możemy sprawdzić prostszą relację podzbioru q=>p w odwrotną stronę (twierdzenie odwrotne)
Dla naszego przykładu mamy:
B3: q=>p = [K,P] => [K] =0 - nie wszystkie (=0) elementy zbioru q=[K,P] należą => do zbioru p=[K]
Stąd:
B1: p~>q = [K] ~>[K,P] =0
Na mocy prawa Tygryska zbiór p=[K] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q=[K,P]
W logice matematycznej taki dowód nosi nazwę dowodu „nie wprost” - tu za pomocą prawa Tygryska.
W naszym przykładzie elementów jest tyle co kot napłakał i tu brak relacji nadzbioru ~>:
B1: p~>q=[K]~>[K,P]=0
widać gołym okiem, ale w ogólnym przypadku elementów w pudełkach p i q może być dowolnie dużo i tu skorzystanie z prawa Tygryska jest w praktyce obowiązkowe.

3.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Przykład:
Elementy zbiorów:
K (Kubuś)
P (Prosiaczek]
T (Tygrysek)

Przykład:
Przyjmijmy zbiory:
p=[K]
q=[K,P]
A1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru q
p=>q = [K]=>[K,P] =1 - bo zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K,P]
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p jest (=1) warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K,P]
Jak widzimy, warunek wystarczający => jest tu spełniony (=1).

Na mocy definicji kontrprzykładu musi istnieć niepusty zbiór ~p.
Wynika z tego, że minimalna dziedzina dla warunku wystarczającego A1: p=>q musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
Obliczamy:
p+q = [K]+[K,P] = [K,P]
Do sumy zbiorów p+q musimy dołożyć co najmniej jedno zwierzątko.
Niech to będzie:
T (Tygrysek)
Stąd nasza dziedzina D minimalna to:
D=[K,P,T]
Dla potrzeb kontrprzykładu dla warunku wystarczającego A1: p=>q obliczamy przeczenie zbioru q (~q) definiowanej jako uzupełnienie zbioru q do dziedziny D
~q = [D-q] = [[K,P,T]-[K,P]] = [T] =1 - bo zbiór niepusty

Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego A1: p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
Sprawdzenie:
A1’: p~~>~q = [K]~~>[T] =[]=0 - bo zbiory p=[K] i ~q=[T] nie mają (=0) elementu wspólnego
cnd

Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’

3.1.5 Nietrywialny błąd podstawienia ###

Piętą Achillesową logiki matematycznej ziemian jest nieodróżnianie w rachunku zero-jedynkowym definicji warunku wystarczającego p=>q od definicji warunku koniecznego p~>q.
Fatalny sutek powyższego, to brak zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego p~>q w logice matematycznej ziemian.

Geneza tego błędu jest następująca:
I.
Weźmy przykład ilustrujący warunek wystarczający p=>q w logice matematycznej:


Niech będą dane dwa elementy zbiorów:
K (Kubuś)
P (Prosiaczek)
Przyjmijmy zbiory:
p=[K]
q=[K,P]
stąd mamy:
A1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru q
p=>q = [K]=>[K,P] =1
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p jest warunkiem wystarczającym => by należał on do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K] jest (=1) podzbiorem zbioru q=[K,T]
Relacja podzbioru => jest tu spełniona (=1).

Podsumowując:
Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>:
Zapis formalny:
A1: p=>q = ~p+q
Zapis aktualny (przykład - punkt odniesienia):
A1: p=[K]
A1: q=[K,P]
A1: p=>q=[K]=>[K,P]= ~[K]+[K,P]


###

I.
Weźmy przykład ilustrujący warunek konieczny p~>q w logice matematycznej:


Mamy dwa elementy zbiorów:
K (Kubuś)
P (Prosiaczek)
Przyjmijmy zbiory:
p=[K,P]
q=[K]
stąd mamy:
B1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to może ~> należeć do zbioru q
p~>q = [K,P]~>[K] =1
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p jest warunkiem koniecznym ~> by należał on do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K,P] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q=[K]
Relacja nadzbioru ~> jest tu spełniona (=1).

Podsumowując:
Kod:

Definicja warunku koniecznego ~>:
Zapis formalny:
B1: p~>q = p+~q
Zapis aktualny (przykład - punkt odniesienia):
B1: p=[K,P]
B1: q=[K]
B1: p~>q=[K,P]~>[K]=[K,P]+~[K]

Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej popełniamy nietrywialny błąd podstawienia ###

Zapiszmy powyższe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w tabeli prawdy.
Dowód:
Kod:

Nietrywialny błąd podstawienia ###:
Definicja warunku wystarczającego =>:  |  Definicja warunku koniecznego ~>:
   Zapis formalny:                     |  Zapis formalny:
1. A1: p=>q = ~p+q                     ##  B1: p~>q = p+~q
------------------------------------------------------------------------
Zapis aktualny (punkt odniesienia):    | Zapis aktualny (punkt odniesienia)
2. A1: p=[K]                           ###  B1: p=[K,P]
3. A1: q=[K,P]                         ###  B1: q=[K]
4. A1: p=>q=[K]=>[K,P]=~[K]+[K,P]      ###  B1: p~>q=[K,P]~>[K]=[K,P]+~[K]
## - różne na mocy definicji
### - nietrywialny błąd podstawienia
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Zauważmy że:
1.
Suma logiczna (+) jest przemienna stąd w linii 4 zachodzi pozorna tożsamość logiczna [=].
2.
W rzeczywistości pozorna tożsamość [=] w linii 4 nie zachodzi, bowiem mamy tu do czynienia z nietrywialnym błędem podstawienia ###
3.
W liniach 2 i 3 doskonale widać na czym ten nietrywialny błąd podstawienia ### polega:
Warunek wystarczający A1: p=>q jest tu obserwowany z punktu odniesienia p=[K] i q=[K,P]
Natomiast:
Warunek konieczny B1: p~>q jest tu obserwowany z innego punktu odniesienia p=[K,P] i q=[K]

Prawo punktu odniesienia:
Porównywanie czegokolwiek z czymkolwiek jest matematycznie poprawne wtedy i tylko wtedy gdy patrzymy na problem z tego samego punktu odniesienia.

Stąd mamy:
Definicja nietrywialnego błędu podstawienia ###:
Nietrywialny błąd podstawienia ### występuje wtedy i tylko wtedy gdy w zapisie formalnym mamy do czynienia ze znaczkiem różne na mocy definicji ##, zaś w zapisie aktualnym skolerowanym z zapisem formalnym zachodzi pozorna tożsamość logiczna [=].

Nietrywialny błąd podstawienia ### wymusza wprowadzenie do logiki matematycznej prawa Kłapouchego, zapobiegającego niejednoznaczności logiki matematycznej, o czym będzie za chwilkę.

3.2 Rachunek zero-jedynkowy warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Rachunek zero-jedynkowy dla teorii zdarzeń i teorii zbiorów jest wspólny.

Definicja stałej binarnej
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną 0 albo 1.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, przyjmujący w osi czasu wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna p wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)

Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny (bramka logiczna) dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.

Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.

W poniższych tabelach T1 do T4 w kolumnach opisujących symbole {p, q Y} nie mamy stałych wartości 1 albo 0 co oznacza, że symbole te są zmiennymi binarnymi.
Kod:

T1
Definicja warunku wystarczającego =>
        Y=
   p  q p=>q=~p+q
A: 1=>1  1
B: 1=>0  0
C: 0=>0  1
D: 0=>1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Gdzie:
Podstawa wektora => zawsze wskazuje poprzednik, część zdania po "Jeśli.."
Strzałka wektora => zawsze wskazuje następnik, część zdania po "to.."
Nazwy symboliczne poprzednika i następnika nie mają tu znaczenia.
;
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

##
Kod:

T2
Definicja warunku koniecznego ~>
        Y=
   p  q p~>q=p+~q
A: 1~>1  1
B: 1~>0  1
C: 0~>0  1
D: 0~>1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Gdzie:
Podstawa wektora ~> zawsze wskazuje poprzednik, część zdania po "Jeśli.."
Strzałka wektora ~> zawsze wskazuje następnik, część zdania po "to.."
Nazwy symboliczne poprzednika i następnika nie mają tu znaczenia.
;
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

##
Kod:

T3
Definicja spójnika “lub”(+):
        Y=
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 0  0
D: 0+ 1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
;
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych szybsza jest logika zer.

##
Kod:

T4
Definicja spójnika “i”(*)
        Y=
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 0  0
D: 0* 1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q=0

Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y):
Funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach p i q:
p - w logice dodatniej (bo p)
oraz
q - w logice dodatniej (bo q)
mają różne kolumny wynikowe Y ( w logice dodatniej bo Y)

Wniosek:
Funkcje logiczne definiowane tabelami T1 do T4 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##

Wyprowadźmy w rachunku zero-jedynkowym matematyczne związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Ax:
Warunek wystarczający =>:
p=>q = ~p+q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
              Y=    Y=        Y=    Y=        Y=        #  ~Y=
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q # ~(p=>q)=p*~q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0       #    =1
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
                1     2         3     4         5             6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

##
Kod:

Bx:
Warunek konieczny ~>:
p~>q = p+~q
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
              Y=    Y=        Y=    Y=        Y=        #  ~Y=
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q # ~(p~>q)=~p*q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0       #    =1
                1     2         3     4         5             6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Gdzie:
## - różne na mocy definicji
"=", [=], <=> (wtedy i tylko wtedy) - tożsame znaczki tożsamości logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej "=" wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej "=" wymusza fałszywość drugiej strony

3.2.1 Definicje znaczków # i ##

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Doskonale widać, że w tabelach Ax i Bx definicja znaczka # jest spełniona

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach {p, q} mają różne kolumny wynikowe i żadna z tych funkcji nie jest negacją drugiej.

Jak widzimy, między tabelami Ax i Bx obowiązuje znaczek różne na mocy definicji ##

3.3 Prawa algebry Kubusia wynikłe z rachunku zero-jedynkowego

Na mocy rachunku zero-jedynkowego wyżej mamy matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w zapisie skróconym.
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> bez zamiany p i q
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

2.
Prawa Tygryska:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z zamianą p i q
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

3.
Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B3: q=>p = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

4.
Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
B1: p~>q = B4: ~q~>~p
##
A3: q~>p = A2: ~p~>~q
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

3.4 Fundamentalne definicje i prawa algebry Kubusia

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

3.4.1 Prawa Sowy

I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

3.4.2 Definicja tożsamości logicznej

Prawa Sowy to:
Ogólna definicja tożsamości logicznej „=” dla wielu zdań:
Prawdziwość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Fałszywość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych zdań

Tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)

3.4.3 Definicja dowodu "nie wprost" w algebrze Kubusia

Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.

3.4.4 Prawa Prosiaczka

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo Y) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~Y).
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki znajdziemy w punkcie 1.2.1

3.4.5 Prawo Kłapouchego - kluczowe prawo logiki matematycznej

Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).

Uwaga:
Na mocy praw Sowy prawdziwość podstawowego spójnika implikacyjnego p?q definiowanego kolumną A1B1 (pytanie o p) wymusza prawdziwość odpowiedniego operatora implikacyjnego p|?q definiowanego dwoma kolumnami A1B1 (pytanie o p) i A2B2 (pytanie o ~p).

Prawo Kłapouchego obowiązuje dla standardu dodatniego w języku potocznym człowieka.

Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka.
Innymi słowy:
Logiką matematycznie zgodną z językiem potocznym człowieka jest tylko i wyłącznie standard dodatni.

3.4.6 Prawo Słonia dla zbiorów

Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

3.4.7 Prawo Irbisa dla zbiorów

Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Dowód:
Oczywistość, bo na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> siebie samego.

3.4.8 Definicja spójnika implikacyjnego p?q
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja spójnika implikacyjnego p?q:
Spójnik implikacyjny to dwa zdania warunkowe „Jeśli p to q” dające odpowiedź na pytanie o p

Jak widzimy w tabeli T0 spójnik ten definiowany jest kolumną A1B1

3.4.9 Definicja operatora implikacyjnego p|?q

Definicja operatora implikacyjnego p|?q
Operator implikacyjny p|?q to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz na pytanie o ~p (A2B2)

Jak widzimy operator implikacyjny p|?q definiowany jest dwoma kolumnami A1B1 (pytanie o p) i A2B2 (pytanie o ~p)
Na mocy praw Sowy udowodnienie prawdziwości spójnika implikacyjnego p?q wymusza prawdziwość operatora implikacyjnego p|?q

3.5 Podstawowe spójniki implikacyjne
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja podstawowego spójnika implikacyjnego:
Podstawowy spójnik implikacyjny to spójnik definiowany kolumną A1B1 w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dający odpowiedź na pytanie o p:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =? - czy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q? TAK=1/NIE=0
B1: p~>q =? - czy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q? TAK=1/NIE=0
A1B1: p?q = (~)(A1: p=>q)*(~)(B1: p~>q)
Gdzie:
? - symbol spójnika implikacyjnego
(~) - symbol negacji który może wystąpić, ale nie musi, w zależności od wartości logicznej A1 i B1

Z definicji spójnika implikacyjnego wynika, że możliwe są cztery podstawowe spójniki implikacyjne:

1.
Implikacja prosta p|=>q:

Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1

##
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:

Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1

##
3.
Równoważność p<=>q:

Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1

##
4.
Chaos p|~~>q:

Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego =>, ani też koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

3.5.1 Prawo Puchacza

Prawo Puchacza:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego i tylko jednego spójnika implikacyjnego.

Dowód prawa Puchacza będzie polegał na założeniu, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią spójnika implikacyjnego x i pokazaniu iż pozostałe spójniki będą dla tego przypadku fałszem.

Dowód prawa Puchacza:

I.
Założenie p|=>q

Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1

Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(1)*0=0*0=0
3.
Równoważność p<=>q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*0=0
4.
Chaos p|~~>q:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(1)*~(0)=0*1=0
c.n.d.

II.
Założenie p|~>q

Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1

Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=0*~(1)=0*0=0
3.
Równoważność p<=>q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 0*1=0
4.
Chaos p|~~>q:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(1)=1*0=0
c.n.d.

III.
Założenie p<=>q

Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1

Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(1)=1*0=0
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(1)*1=0*1=0
4.
Chaos p|~~>q:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(1)*~(1)=0*0=0
c.n.d.

IV
Założenie p|~~>q

Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią chaosu p|~~>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1

Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=0*~(0)=0*1=0
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*0=1*0=0
3.
Równoważność p<=>q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 0*0=0
ok
c.n.d.

Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki I, II, III i IV pozytywnie, co kończy dowód prawa Puchacza.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 20:50, 15 Maj 2024, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 12:16, 16 Kwi 2024    Temat postu:

Algebra Kubusia - Elementarz teorii zbiorów
4.0 Implikacja prosta p|=>q w przedszkolu

Spis treści
4.0 Implikacja prosta p|=>q w przedszkolu 1
4.1 Definicja implikacji prostej p|=>q 1
4.1.1 Diagram implikacji prostej p|=>q 2
4.2 Przykład implikacji prostej p|=>q w zbiorach minimalnych 4
4.2.1 Operator implikacji prostej p||=>q w zbiorach minimalnych 7
4.3 Laboratorium algebry Kubusia - implikacja prosta p|=>q 10
4.3.1 Ćwiczenie laboratoryjne w temacie implikacji prostej p|=>q 12


4.0 Implikacja prosta p|=>q w przedszkolu

Fundamentem algebry Kubusia w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" są zaledwie trzy znaczki: ~~>, => i ~>.

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


4.1 Definicja implikacji prostej p|=>q

A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):

Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1)
Kod:

IP
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: p|=>q=~p*q
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q  =1
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx

Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej dla wielu zdań warunkowych „Jeśli p to q”

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy

4.1.1 Diagram implikacji prostej p|=>q

Tożsamości pojęć na mocy prawa Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Stąd:
Na mocy prawa Słonia zapisujemy definicję implikacji prostej p|=>q w zbiorach

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q, inaczej nie wszystkie pojęcia {p, q,~p,~q} będą rozpoznawalne, co doskonale widać w diagramie DIP niżej.
A1: p=>q =1 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q (A1), ale nie jest nadzbiorem ~> q (B1)

Stąd mamy tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>:
Kod:

IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie relacji podzbioru =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 – zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q  =1
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q =0
Gdzie:
p=>q - relacja podzbioru => spełniona (=1), gdy p jest (=1) podzbiorem => q
p~>q - relacja nadzbioru ~>, spełniona (=1), gdy p jest (=1) nadzbiorem ~>q ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q w zbiorach można bardzo ładnie przedstawić na diagramie zbiorów ilustrującym wszelkie zachodzące tu relacje.
Kod:

DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
|     p                  |                       ~p                  |
|------------------------|-------------------------------------------|
|     q                                      |   ~q                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|  A1: p=>q=1   (p*q=1)  |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1  (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina:                                                         |
| D=A1: p*q + A2:~p*~q + B2’:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |     
|   A1’: p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty                                |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach                        |
----------------------------------------------------------------------
I.
A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Kontrprzykład dla prawdziwego A1 musi być fałszem:
A1’: p~~>~q=p*~q =[] =0 - zbiory p i ~q są rozłączne
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1:p~>q)=1*~(0)=1*1=1

A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => ~q
Kontrprzykład dla fałszywego B2 musi być prawdą:
B2’:~p~~>q=~p*q=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1

Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Wnioski:
1.
W implikacji prostej p|=>q po stronie p mamy gwarancję matematyczną =>
o czym mówi zdanie A1: p=>q=1
2.
W implikacji prostej p|=>q po stronie ~p mamy najzwyklejsze
„rzucanie monetą” o czym mówią zdania A2: ~p~~>~q=1 oraz B2’: ~p~~>q=1
3.
Implikacja prosta p|=>q to trzy i tylko trzy zbiory niepuste (A1, B2’, A2)
i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.

Dowód rozłączności zbiorów A1, B2’ i A2 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1: p*q
B2’: ~p*q
A2: ~p*~q
Badamy rozłączność zbiorów każdy z każdym:
A1*B2’ = (p*q)*(~p*q) =[] - bo p*~p=[]
A1*A2 = (p*q)*(~p*~q)=[] - bo p*~p=[]
B2’*A2 = (~p*q)*(~p*~q)=[] - bo q*~q=[]
cnd

4.2 Przykład implikacji prostej p|=>q w zbiorach minimalnych

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q, inaczej nie wszystkie zbiory {p, q,~p,~q} będą rozpoznawalne, co doskonale widać w diagramie DIP wyżej.
A1: p=>q =1 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1

Łatwo widzieć, że dla spełnienia powyższej definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach minimalnych potrzeba i wystarcza trzy elementy.

Dowód:
Przyjmijmy następujące trzy elementy na poziomie 5-cio latka:
K – Kubuś
P – Prosiaczek
T – Tygrysek

Definiujemy minimalny zbiór p=[K] który jest podzbiorem => zbioru q=[K,P] i zbiory te nie są tożsame.
A1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru q
p=>q = [K]=>[K,P] =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p jest warunkiem wystarczającym => do tego aby należał on do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K] jest (=1) podzbiorem => zbioru q=[K,P]

Na mocy prawa Kameleona przyjmujemy zdanie A1 za punkt odniesienia.
Dziedzina D musi być szersza od sumy zbiorów p+q:
p+q = [K]+[K,P] = [K,P]
Stąd do dziedziny D musimy dołożyć minimum jedno zwierzątko, niech to będzie T (Tygrysek):
D = [K,P,T]

Obliczamy zaprzeczenia zbiorów p i q definiowane jako ich uzupełnienia do dziedziny D.
~p=[D-p] = [D-[K]]=[[K,P,T] - [K]] = [P,T]
~q=[D-q]=[D-[K,T])=[[K,P,T]-[K,P]]=[T]
Podsumujmy:
p=[K]
q=[K,P]
~p=[P,T]
~q=[T]

Definicja zmiennej wolnej w implikacji prostej p|=>q:
Zmienna wolna to zmienna nie występująca w relacji podzbioru:
p=>q =[K] =>[K,P]
konieczna dla zapewnienia niepustości zbiorów {p, q, ~p, ~q} potrzebnych do analizy matematycznej.
W naszym układzie zmienną wolną jest T (Tygrysek).

Aby zlokalizować do jakiego spójnika implikacyjnego należy zdanie A1 badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.

B1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% ~> należy do zbioru q
p~>q = [K]~>[K,P] =0
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> by należał on do zbioru q bo zbiór p=[K] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q=[K,T]

Jak widzimy wyskoczyło nam tu jedno z kluczowych praw logiki matematycznej, prawo Kameleona.

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Dowodem są tu zdania A1 i B1 wyżej.
Różność matematyczną zdań A1 i B1 rozpoznamy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wplecionych w treść zdań.
Dowód:
Warunek wystarczający p=>q=~p+q ## Warunek konieczny p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji (definicja - patrz tabela prawdy IP wyżej)

Analogia do języka polskiego:
morze ## może
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy rozstrzygniecie, iż badane zdanie A1 należy do implikacji prostej p|=>q.

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q, inaczej nie wszystkie pojęcia {p, q,~p,~q} będą rozpoznawalne, co doskonale widać na diagramie DIP wyżej.
A1: p=>q =1 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1

Nasz przykład:
p=[K]
q=[K,P]
A1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru q
p=>q = [K]=>[K,P] =1
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona, bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

Definicja zmiennej wolnej w logice matematycznej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie rzeczywistym, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym.

W definicji implikacji prostej p|=>q nie ma mowy o tygrysku (T), dlatego T (tygrysek) jest zmienną wolną.
Pozostaje nam sprawdzić, czy dla powyższych zbiorów {p, q, ~p, ~q} spełniona jest pełna tabela prawdy implikacji prostej p|=>q.

Na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość pojęć::
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Stąd mamy tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>:
Kod:

IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie relacji podzbioru =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zbiór p=[K] jest (=1) podzbiorem => zbioru q=[K+P]
B1: p~>q =0 – zbiór p=[K] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q=[K+P]
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia {p,q}:
 p=[K]
 q=[K,P]
~p=[P,T]
~q=[T]
       A1B1:            A2B2:         |      A3B3:            A4B4:
A: 1:  p=>  q   =1 = 2: ~p~>   ~q =1 [=] 3:  q~>   p  =1 = 4: ~q=> ~p   =1
   1: [K]=>[K,P]=1 = 2: [P,T]~>[T]=1 [=] 3: [K,T]~>[K]=1 = 4: [T]=>[P,T]=1
      ##                 ##                  ##               ##
B: 1:  p~>  q   =0 = 2: ~p=>   ~q =0 [=] 3:  q=>   p  =0 = 4: ~q~> ~p   =0
B: 1: [K]~>[K,P]=0 = 2: [P,T]=>[T]=0 [=] 3: [K,T]=>[K]=0 = 4: [T]~>[P,T]=0
Gdzie:
p=>q - relacja podzbioru => spełniona (=1), gdy p jest (=1) podzbiorem => q
p~>q - relacja nadzbioru ~>, spełniona (=1), gdy p jest (=1) nadzbiorem ~>q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać spełnienie definicji implikacji prostej p|=>q zbudowanej na zaledwie trzech elementach {K, P, T}

Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx

Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja prosta p|=>q determinuje prawdziwość operatora implikacji prostej p||=>q.

4.2.1 Operator implikacji prostej p||=>q w zbiorach minimalnych

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
Kolumna A1B1:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Nasze zwierzaczki to:
K (Kubuś)
P (Prosiaczek)
T (Tygrysek)

Nasze zbiory minimalne {p, q, ~p i ~q} to:
p=[K]
q=[K,P]
D=[K,P,T] - wspólna dziedzina dla p i q
~p=[P,T]
~q=[T]

A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?

A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?

Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
A1: p=>q =1
Zbiór p=[K] jest (=1) podzbiorem => zbioru q=[K,P]
Doskonale to widać w diagramie DIP (4.1.1)

Nasz przykład:
A1: p=>q=[K]=>[K+P] =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p=[K] jest (=1) warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru q=[K,P] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K] jest (=1) podzbiorem => zbioru q=[K,P]
Zdanie A1 czytamy również jako:
Jeśli z dziedziny D=[K,P,T] wylosujemy element należący do zbioru p=[K] to ten element na 100% => będzie należał do zbioru q=[K,T] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K,T].
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu należącego do zbioru p jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K,P]

Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: p i ~q
Doskonale to widać w diagramie DIP (4.1.1)

Nasz przykład:
p~~>~q=[K]~~>[T] =[] =0
Dowód „nie wprost” fałszywości zdania A1’ wynika z definicji kontrprzykładu (pkt. 3.1.4), czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
Dowód bezpośredni to:
Jednoelementowy zbiór p=[K] jest rozłączny (=0) z jednoelementowym zbiorem ~q=[T]

… co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2

A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?

A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Na mocy prawa Kubusia i Słonia zapisujemy:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru ~p jest (=1) konieczna ~> by ten element należał do zbioru ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
Doskonale to widać w diagramie DIP (4.1.1)

Zauważmy że:
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajście ~q bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

Nasz przykład:
A2: ~p~>~q=[P,T]~>[T] =1
Dowód "nie wprost" prawdziwości zdania A2 wynika z prawa Kubusia.
Sprawdzenie dowodem wprost:
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p jest warunkiem koniecznym ~> by ten element należał do zbioru ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p=[P,T] jest nadzbiorem ~> zbioru ~q=[T].

LUB

Fałszywość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =1
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
Doskonale to widać w diagramie DIP (4.1.1)

Dowód „nie wprost”:
Z fałszywości warunku wystarczającego B2:
B2: ~p=>~q=0
wynika prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q =1
(i odwrotnie)
Sprawdzenie dowodem wprost:
~p~~>q=[P,T]~~>[K,P] =[P] =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q, to P (Prosiaczek)
Doskonale tu widać że zbiór ~p nie jest ani podzbiorem => zbioru q, ani też nadzbiorem ~> zbioru q
Ten przypadek pokazuje druzgocącą przewagę przedszkola algebry Kubusia gdzie operujemy na zbiorach minimalnych nad pełną algebrą Kubusia gdzie operujemy na zbiorach nieskończonych (np. P8|=>P2)

Dodatkowo możemy sprawdzić dowodem wprost, czy rzeczywiście fałszywy jest warunek wystarczający B2.
B2.
~p=>~q =0
Sprawdzenie:
~p=>~q=[P,T]=>[T] =0
Zbiór dwuelementowy ~p=[P,T] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru jednoelementowego ~q=[T]
cnd

Zdania A2 i B2’ możemy przeczytać łącznie w następujący sposób:
Jeśli z dziedziny D=[K,P,T] wylosujemy element należący do zbioru ~p=[P,T] to ten element może ~> należeć do zbioru ~q=[T] (zdanie A2) lub może ~~> należeć do zbioru q=[K,P] (zdanie B2')

Podsumowanie:
Implikacja prosta p|=>q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1 oraz najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p o czym mówią zdania A2 i B2’.
Zauważmy, zdania wchodzące w skład implikacji prostej p|=>q, czyli A1, A1’, A2, B2’ mogą być wypowiadane w dowolnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.

4.3 Laboratorium algebry Kubusia - implikacja prosta p|=>q

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q, inaczej nie wszystkie pojęcia {p, q,~p,~q} będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Łatwo widzieć, że dla spełnienia powyższej definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach minimalnych potrzeba i wystarcza trzy elementy.

Dowód:
Przyjmijmy następujące trzy elementy na poziomie 5-cio latka:
K – Kubuś
P – Prosiaczek
T – Tygrysek
Zdefiniujmy zbiory:
p=[K]=[Kubuś]
q=[K,P]=[Kubuś, Prosiaczek]
Dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej p+q:
p+q = [K]+[K,P]=[K,P]
Stąd do dziedziny D musimy dołożyć co najmniej jeden dodatkowy element zwany zmienną wolną, niech to będzie T(Tygrysek)
D = [K,P,T] = [Kubuś, Prosiaczek, Tygrysek]

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna [T] to zmienna nie uwzględniona w relacji podzbioru p=>q:
p=>q = [K]=>[K,P]
zapewniająca niepustość wszelkich potrzebnych przeczeń zbiorów {p, q, ~p, ~q}
Uzasadnienie:
Z definicji nie możemy operować na zbiorach pustych.

Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka

Dla potrzeb definicji implikacji prostej p|=>q definiujemy minimalny zbiór p=[K] który jest podzbiorem => zbioru q=[K,P] i zbiory te nie są tożsame.
A1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru q
p=>q = [K]=>[K,P] =1 - bo zbiór p=[K] jest (=1) podzbiorem => zbioru q=[K,P]
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p jest warunkiem wystarczającym => by należał on do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K] jest (=1) podzbiorem => zbioru q=[K,P]

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
Kolumna A1B1:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Nasze zwierzaczki to:
K (Kubuś)
P (Prosiaczek)
T (Tygrysek)

Nasze zbiory minimalne {p, q, ~p i ~q} to:
p=[K]
q=[K,P]
D=[K,P,T] - wspólna dziedzina dla p i q
~p=[P,T]
~q=[T]

Nasz sztandarowy przykład implikacji prostej p|=>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>:
Kod:

IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie relacji podzbioru =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zbiór p=[K] jest (=1) podzbiorem => zbioru q=[K,P]
B1: p~>q =0 – zbiór p=[K] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q=[K,P]
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia {p,q}:
 p=[K]
 q=[K,P]
~p=[P,T]
~q=[T]
       A1B1:            A2B2:         |      A3B3:            A4B4:
A: 1:  p=>  q   =1 = 2: ~p~>   ~q =1 [=] 3:  q~>   p  =1 = 4: ~q=> ~p   =1
   1: [K]=>[K,P]=1 = 2: [P,T]~>[T]=1 [=] 3: [K,T]~>[K]=1 = 4: [T]=>[P,T]=1
      ##                 ##                  ##               ##
B: 1:  p~>  q   =0 = 2: ~p=>   ~q =0 [=] 3:  q=>   p  =0 = 4: ~q~> ~p   =0
B: 1: [K]~>[K,P]=0 = 2: [P,T]=>[T]=0 [=] 3: [K,T]=>[K]=0 = 4: [T]~>[P,T]=0
Gdzie:
p=>q - relacja podzbioru => spełniona (=1), gdy p jest (=1) podzbiorem => q
p~>q - relacja nadzbioru ~>, spełniona (=1), gdy p jest (=1) nadzbiorem ~>q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać spełnienie definicji implikacji prostej p|=>q zbudowanej na zaledwie trzech elementach {K, P, T}

4.3.1 Ćwiczenie laboratoryjne w temacie implikacji prostej p|=>q

Celem poniższego ćwiczenia laboratoryjnego jest ustalenie następujących relacji w zbiorach:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Bowiem wtedy i tylko wtedy będziemy mieli do czynienia z definicją implikacji prostej p|=>q

Czynności przygotowawcze:
Do pudełka p pani przedszkolanka wkłada pluszowego Kubusia:
p=[K] =[Kubuś]
zaś do pudełka q wkłada dwa pluszowe zwierzaczki:
q=[K,P] = [Kubuś, Prosiaczek]

W ćwiczeniu w sposób bezpośredni biorą udział:
Jaś (lat 5) właściciel pudełka p=[K]
oraz Zuzia (lat 5) właścicielka pudełka q=[K,P]
Reszta 5-cio latków z zaciekawieniem ogląda co wyprawiają Jaś i Zuzia.

Zasady laboratorium:
Zawartość pudełka Jasia p=[K] jest widoczna dla wszystkich 5-cio latków, łącznie z Jasiem i Zuzią
Zawartość pudełka Zuzi q=[K.P] widzi wyłącznie Zuzia

Kolejne kroki ćwiczenia:
1.
Jaś wyciąga z pudełka p Kubusia i pyta Zuzię:
Czy w twoim pudełku q też masz Kubusia?
Zuzia:
Tak, mam, po czym wyjmuje ze swojego pudełka Kubusia i stawia obok siebie.

2.
Tu Jaś logicznie rozumuje jak niżej:

2a
Pewne jest że zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K, r]
Gdzie:
r - możliwe dalsze zwierzaki w pudełku Zuzi

2b
Jeśli r nie jest zbiorem pustym r=[x] to mamy do czynienia z implikacją prostą o definicji:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
A1: p=>q =[K]=>[K, r] =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =[K]~>[K, r] =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*1=1
Jaś pyta Zuzi:
Czy w twoim pudełku q masz jeszcze jakiegoś zwierzaka?
Zuzia:
Tak, mam
Jaś:
Hura, wszystko zostało rozszyfrowane mamy tu do czynienia z implikacją prostą p|=>q o definicji jak wyżej
ale, ale!

2c
Jaś drapie się za uszkiem i myśli ..
Co będzie jeśli zbiór r u Zuzi będzie tu zbiorem pustym r=[]?
Zasymulujmy ten przypadek.
Jaś do Zuzi:
Zuzia wyjmij z pudełka wszystkie zwierzaki wkładając do niego naszego wspólnego Kubusia (K), ja również to zrobię.

Pani:
Brawo Jasiu za logiczne myślnie.
Zobaczcie dzieci, że w tej chwili mamy następującą sytuację:
A1: p=>q = [K]=>[K] =1
Bo każdy zbiór (także jednoelementowy) jest (=1) podzbiorem => siebie samego
oraz:
B1: p~>q = [K]~>[K] =1
Bo każdy zbiór (także jednoelementowy) jest (=1) nadzbiorem ~> siebie samego
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1

Wniosek:
Gdyby u Zuzi nie było nadmiarowych zwierzaków r=[] (zbiór pusty), to mielibyśmy do czynienia z równoważnością p<=>q.

Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i zbiory te są tożsame p=q
A1: p=>q = [K]=>[K] =1
B1: p~>q = [K]~>[K] =1
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Innymi słowy:
Równoważność A1B1: p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest jednocześnie podzbiorem => zbioru q (A1) i nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
Szczegółową definicję równoważności A1B1: p<=>q poznamy za chwilkę w punkcie 6.5

Uwaga końcowa:
Rozpatrzyliśmy wyżej definicję implikacji prostej p|=>q na zbiorach minimalnych.
Oczywistym jest, że implikacja prosta p|=>q będzie prawdziwa (=1) dla dowolnej liczby elementów w pudełkach p i q byleby spełniona była relacja podzbioru:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
oraz by zbiory p i q były nietożsame p##q.
Przyjęta dziedzina D musi być tu szersza od sumy logicznej zbiorów p+q.
Gdzie:
## - zbiory różne na mocy definicji
Wynika z tego, że można się pobawić w przedszkolu z ciut większą ilością zwierzaczków … byłe nie za dużą, bo to byłoby nużąco długie, nic nowego do definicji implikacji prostej p|=>q nie wnoszące.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 20:49, 15 Maj 2024, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 12:18, 16 Kwi 2024    Temat postu:

Algebra Kubusia - Elementarz teorii zbiorów
5.0 Implikacja odwrotna p|~>q w przedszkolu


Spis treści
5.0 Implikacja odwrotna p|~>q w przedszkolu 1
5.1 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q 1
5.1.1 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q 2
5.2 Przykład implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach minimalnych 4
5.2.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach minimalnych 6
5.3 Laboratorium algebry Kubusia - implikacja odwrotna p|~>q 9
5.3.1 Ćwiczenie laboratoryjne w temacie implikacji odwrotnej p|~>q 11



5.0 Implikacja odwrotna p|~>q w przedszkolu

Fundamentem algebry Kubusia w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" są zaledwie trzy znaczki: ~~>, => i ~>.

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


5.1 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q

A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):

Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1), ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
Kod:

IO
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
      A1B1:     A2B2:      |     A3B3:       A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0 [=] 5: ~p+ q =0
      ##          ##             ##          ##              ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5:  p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax

Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej dla wielu zdań warunkowych „Jeśli p to q”

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy

5.1.1 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q

Tożsamości pojęć na mocy prawa Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Stąd:
Na mocy prawa Słonia zapisujemy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia {p, ~p, q,~q} będą rozpoznawalne, co doskonale widać w diagramie DIO niżej
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1), ale nie jest podzbiorem => zbioru q (A1)

Tabelę prawdy implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach można bardzo ładnie przedstawić na diagramie zbiorów ilustrującym wszelkie zachodzące tu relacje.
Kod:

DIO
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
|     q               |                         ~q                   |
|---------------------|----------------------------------------------|
|     p                                     |   ~p                   |
|-------------------------------------------|------------------------|
|  B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q=p*~q=1  | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1)  |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina:                                                         |
| D =B1: p*q+ A1’: p*~q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
|    B2’: ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty                               |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach                       |
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą:
A1’: p~~>~q=p*~q=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1

A2B2:
A2:~p~>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
Kontrprzykład dla prawdziwego B2 musi być fałszem:
B2’: ~p~~>q=~p*q=[] =0 - zbiory ~p i q są rozłączne
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
A2B2: ~p|~>~q= ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1

Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Wnioski:
1.
W implikacji odwrotnej p|~>q po stronie p mamy do czynienia
z najzwyklejszym „rzucaniem monetą” o czym mówią zdania B1 i A1’
2.
W implikacji odwrotnej p|~>q po stronie ~p mamy gwarancję matematyczną =>
o czym mówi zdanie B2: ~p=>~q=1
3.
Implikacja odwrotna p|~>q to trzy i tylko trzy zbiory niepuste i rozłączne
(B1, A1’, B2) uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.


Dowód rozłączności zbiorów B1, A1’ i B2 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
B1: p*q
A1’: p*~q
B2: ~p*~q
Badamy rozłączność zbiorów każdy z każdym:
B1*A1’ = (p*q)*(p*~q) =[] - bo q*~q=[]
B1*B2 = (p*q)*(~p*~q)=[] - bo p*~p=[]
A1’*B2 = (p*~q)*(~p*~q)=[] - bo p*~p=[]
cnd

5.2 Przykład implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach minimalnych

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie zbiory {p, ~p, q,~q} będą rozpoznawalne, co doskonale widać w diagramie DIO wyżej
A1: p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1

Łatwo widzieć, że dla spełnienia powyższej definicji implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach minimalnych potrzeba i wystarcza trzy elementy.

Dowód:
Przyjmijmy następujące trzy elementy na poziomie 5-cio latka:
K – Kubuś
P – Prosiaczek
T – Tygrysek

Definiujemy minimalny zbiór p=[K,P] który jest nadzbiorem ~> zbioru q=[K] i zbiory te nie są tożsame.
B1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to może ~> należeć do zbioru q
p~>q = [K,P]~>[K] =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby należał on do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K,P] jest (=1) podzbiorem => zbioru q=[K]

Na mocy prawa Kameleona przyjmujemy zdanie B1 za punkt odniesienia.
Dziedzina D musi być szersza od sumy zbiorów p+q:
p+q = [K,P]+[K] = [K,P]
Stąd do dziedziny D musimy dołożyć minimum jedno zwierzątko, niech to będzie T (Tygrysek):
D = [K,P,T]

Obliczamy zaprzeczenia zbiorów p i q definiowane jako ich uzupełnienia do dziedziny D.
~p=[D-p] = [D-(K,P)] = [[K,P,T] -[K,P]]=[T]
~q=[D-q] = [D-[K]] = [[K,P,T] -[K]]=[P,T]
Podsumujmy:
p=[K,P]
q=[K]
~p=[T]
~q=[P,T]

Definicja zmiennej wolnej w implikacji odwrotnej p|~>q:
Zmienna wolna to zmienna nie występująca w relacji nadzbioru:
p~>q =[K,P] ~>[K]
konieczna dla zapewnienia niepustości zbiorów {p, q, ~p, ~q} potrzebnych do analizy matematycznej.
W naszym układzie zmienną wolną jest T (Tygrysek).

Aby zlokalizować do jakiego spójnika implikacyjnego należy zdanie B1 badamy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.

A1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru q
p=>q = [K,P]=>[K] =0
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p nie jest (=0) wystarczające => by należał on do zbioru q bo zbiór p=[K,T] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q=[K]

Stąd mamy rozstrzygniecie, iż badane zdanie B1 należy do implikacji odwrotnej p|~>q.

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia {p, ~p, q,~q} będą rozpoznawalne, co doskonale widać w diagramie DIO wyżej.
A1: p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1

Nasz przykład:
p={K,P]
q=[K]
B1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to może ~> należeć do zbioru q
p~>q = [K,P]~>[K] =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona, bo zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q.

Definicja zmiennej wolnej w logice matematycznej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie rzeczywistym, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym.

W definicji implikacji odwrotnej p|~>q nie ma mowy o tygrysku (T), dlatego T (tygrysek) jest zmienną wolną.
Pozostaje nam sprawdzić, czy dla powyższych zbiorów {p, q, ~p, ~q} spełniona jest pełna tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q.

Na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Stąd mamy tabelę prawdy implikacji odwrotnej p|~>q w relacjach nadzbioru ~> i podzbioru =>:
Kod:

IO
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie relacji nadzbioru ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zbiór p=[K,T] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q=[K]
B1: p~>q =1 - zbiór p=[K,T] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru [K]
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Punkt odniesienia: {p,q}
 p=[K,P]
 q=[K]
~p=[T]
~q=[P,T]
       A1B1:            A2B2:         |      A3B3:            A4B4:
A: 1:  p=>   q  =0 = 2: ~p~>   ~q =0 [=] 3:  q~>   p  =0 = 4: ~q=> ~p   =0
A: 1: [K,P]=>[K]=0 = 2: [T]~>[P,T]=0 [=] 3: [K]~>[K,P]=0 = 4: [P,T]=>[T]=0
      ##                 ##                  ##               ##
B: 1:  p~>  q   =1 = 2: ~p=>   ~q =1 [=] 3:  q=>   p  =1 = 4: ~q~> ~p   =1
B: 1: [K,P]~>[K]=1 = 2: [T]=>[P,T]=1 [=] 3: [K]=>[K,P]=1 = 4: [P,T]~>[T]=1
Gdzie:
p~>q - relacja nadzbioru ~>, spełniona (=1), gdy p jest (=1) nadzbiorem ~>q
p=>q - relacja podzbioru => spełniona (=1), gdy p jest (=1) podzbiorem => q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać spełnienie definicji implikacji odwrotnej p|~>q zbudowanej na zaledwie trzech elementach {K,P,T}

Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja odwrotne p|~>q determinuje prawdziwość operatora implikacji odwrotnej p||~>q.

5.2.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach minimalnych

Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
Kolumna A1B1:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Nasze zwierzaczki to:
K (Kubuś)
P (Prosiaczek)
T (Tygrysek)

Nasze zbiory minimalne {p, q, ~p i ~q} to:
p=[K,P]
q=[K]
D=[K,P,T] - wspólna dziedzina dla p i q
~p=[T]
~q=[P,T]

A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 =1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?

A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?

Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
B1: p~>q =1
Zbiór p=[K,P] jest nadzbiorem ~> zbioru q=[K]
Doskonale to widać na diagramie DIO (5.1.1)

Nasz przykład:
B1: p~>q = [K,P]~>[K] =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p=[K,P] jest (=1) warunkiem koniecznym ~> by ten element należał do zbioru q=[K] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K,P] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q=[K]

LUB

Fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
Doskonale to widać na diagramie DIO (5.1.1)

Prawdziwość zdania A1’ wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost” - nic a nic nie musimy więcej udowadniać.
Sprawdzenie dowodem wprost:
p~~>~q= [K,P]*[P,T] = [P] =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów p i ~q
Doskonale tu widać że zbiór p nie jest ani podzbiorem => zbioru ~q, ani też nadzbiorem ~> zbioru ~q
Ten przypadek pokazuje druzgocącą przewagę przedszkola algebry Kubusia gdzie operujemy na zbiorach minimalnych nad pełną algebrą Kubusia gdzie operujemy na zbiorach nieskończonych (np. P2|~>P8)

Dodatkowo możemy sprawdzić dowodem wprost, czy rzeczywiście fałszywy jest warunek wystarczający A1.
A1.
p=>q =0
Sprawdzenie:
p=[K,P] => q=[K] =0
Zbiór dwuelementowy p=[K,P] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru jednoelementowego q=[K]
cnd

Zdania B1 i A1' możemy przeczytać łącznie w następujący sposób:
Jeśli z dziedziny D=[K,P,T] wylosujemy element należący do zbioru p=[K,P] to ten element może ~> należeć do zbioru q=[K] (zdanie A1) lub może ~~> należeć do zbioru ~q=[P,T] (zdanie A1')
Matematycznie zachodzi:
A1: q=[K] + A1': ~q=[P,T] = [K,P,T] =D (dziedzina) =1
co jest oczywistością bo musi być:
q+~q = D(dziedzina) =1
Inaczej teoria byłaby do bani.

… co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2

A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
B2: ~p=>~q =1
Zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Na mocy prawa Kubusia i Słonia czytamy:
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
Doskonale to widać na diagramie DIO (5.1.1)

Nasz przykład:
B2: ~p=>~q = [T]=>[P,T] =1
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p jest warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p=[T] jest podzbiorem => zbioru ~q=[P,T].
Zdanie B2 czytamy również jako:
Jeśli z dziedziny D=[K,P,T] wylosujemy element należący do zbioru ~p=[T] to ten element na 100% => będzie należał do zbioru ~q=[P,T] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p=[T] jest podzbiorem => zbioru ~q=[P,T].

Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~p i q
Doskonale to widać na diagramie DIO (5.1.1)

Nasz przykład:
~p~~>q = [T]~~>[K] =[] =0
Dowód „nie wprost” fałszywości zdania B2’ wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
Dowód bezpośredni to:
~p~~>q = [T]~~>[K] =[] =0
Jednoelementowy zbiór ~p=[T] jest rozłączny (=0) z jednoelementowym zbiorem q=[K]
cnd

Podsumowanie:
Implikacja odwrotna p|~>q to po stronie p najzwyklejsze "rzucanie monetą" w sensie "na dwoje babka wróżyła" o czym mówią zdania B1 i A1' oraz gwarancja matematyczna po stronie ~p o czym mówi zdanie B2.
Zauważmy, zdania wchodzące w skład implikacji prostej p|=>q, czyli B1, A1’, B2’ mogą być wypowiadane w dowolnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.

5.3 Laboratorium algebry Kubusia - implikacja odwrotna p|~>q

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia {p, ~p, q, ~q} będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1

Łatwo widzieć, że dla spełnienia powyższej definicji implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach minimalnych potrzeba i wystarcza trzy elementy.

Dowód:
Przyjmijmy następujące trzy elementy na poziomie 5-cio latka:
K – Kubuś
P – Prosiaczek
T – Tygrysek
Zdefiniujmy zbiory:
p=[K,P]=[Kubuś, Prosiaczek]
q=[K]=[Kubuś]
Dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej p+q:
p+q = [K,P]+[K]=[K,P]
Stąd do dziedziny D musimy dołożyć co najmniej jeden dodatkowy element zwany zmienną wolną, niech to będzie T(Tygrysek)
D = [K,P,T] = [Kubuś, Prosiaczek, Tygrysek]

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna [T] to zmienna nie uwzględniona w relacji nadzbioru p~>q:
p~>q = [K,P]~>[K]
zapewniająca niepustość wszelkich potrzebnych przeczeń zbiorów {p, q, ~p, ~q}
Uzasadnienie:
Z definicji nie możemy operować na zbiorach pustych.

Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka

Dla potrzeb implikacji odwrotnej p|~>q definiujemy minimalny zbiór p=[K,P] który jest nadzbiorem ~> zbioru q=[K] i zbiory te nie są tożsame.
B1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to może ~> należeć do zbioru q
p~>q = [K,P]~>[K] =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p jest warunkiem koniecznym ~> by należał on do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K, P] jest (=1) podzbiorem => zbioru q=[K]

Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
Kolumna A1B1:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Nasze zwierzaczki to:
K (Kubuś)
P (Prosiaczek)
T (Tygrysek)

Nasze zbiory minimalne {p, q, ~p i ~q} to:
p=[K,P]
q=[K]
D=[K,P,T] - wspólna dziedzina dla p i q
~p=[T]
~q=[P,T]

Nasz sztandarowy przykład implikacji odwrotnej p|~>q w relacjach nadzbioru ~> i podzbioru =>:
Kod:

IO
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie relacji nadzbioru ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zbiór p=[K,T] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q=[K]
B1: p~>q =1 - zbiór p=[K,T] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru [K]
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Punkt odniesienia: {p,q}
 p=[K,P]
 q=[K]
~p=[T]
~q=[P,T]
       A1B1:            A2B2:         |      A3B3:            A4B4:
A: 1:  p=>   q  =0 = 2: ~p~>   ~q =0 [=] 3:  q~>   p  =0 = 4: ~q=> ~p   =0
A: 1: [K,P]=>[K]=0 = 2: [T]~>[P,T]=0 [=] 3: [K]~>[K,P]=0 = 4: [P,T]=>[T]=0
      ##                 ##                  ##               ##
B: 1:  p~>  q   =1 = 2: ~p=>   ~q =1 [=] 3:  q=>   p  =1 = 4: ~q~> ~p   =1
B: 1: [K,P]~>[K]=1 = 2: [T]=>[P,T]=1 [=] 3: [K]=>[K,P]=1 = 4: [P,T]~>[T]=1
Gdzie:
p~>q - relacja nadzbioru ~>, spełniona (=1), gdy p jest (=1) nadzbiorem ~>q
p=>q - relacja podzbioru => spełniona (=1), gdy p jest (=1) podzbiorem => q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać spełnienie definicji implikacji odwrotnej p|~>q zbudowanej na zaledwie trzech elementach {K,P,T}

5.3.1 Ćwiczenie laboratoryjne w temacie implikacji odwrotnej p|~>q

Celem poniższego ćwiczenia laboratoryjnego jest ustalenie następujących relacji w zbiorach:
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Bowiem wtedy i tylko wtedy będziemy mieli do czynienia z definicją implikacji prostej p|=>q

Czynności przygotowawcze:
Do pudełka p pani przedszkolanka wkłada dwa pluszowe zwierzaczki, Kubusia i Prosiaczka:
p=[K,P] =[Kubuś, Prosiaczek]
zaś do pudełka q wkłada tylko Kubusia
q=[K] = [Kubuś]

W ćwiczeniu w sposób bezpośredni biorą udział:
Jaś (lat 5) właściciel pudełka p=[K,P]
oraz Zuzia (lat 5) właścicielka pudełka q=[K]
Reszta 5-cio latków z zaciekawieniem ogląda co wyprawiają Jaś i Zuzia.

Zasady laboratorium:
Zawartość pudełka Jasia p=[K,P] jest widoczna dla wszystkich 5-cio latków, łącznie z Jasiem i Zuzią
Zawartość pudełka Zuzi q=[K] widzi wyłącznie Zuzia

Kolejne kroki ćwiczenia:
1.
Jaś wyciąga z pudełka p Kubusia i pyta Zuzię:
Czy w twoim pudełku q też masz Kubusia?
Zuzia:
Tak, mam, po czym wyjmuje ze swojego pudełka Kubusia i stawia obok siebie.
1a
Jaś wyciąga z pudełka p Prosiaczka i Pyta Zuzię:
Czy w twoim pudełku q masz Prosiaczka?
Zuzia:
Nie mam.

2.
Tu Jaś logicznie rozumuje jak niżej:

2a
Pewne jest że zbiór p=[K,P] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q=[K, r] bo w zbiorze q nie ma Prosiaczka.
Stąd mamy:
p=>q = [K,P]=>[K,r] =0 - zbiór p=[K,P] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q=[K,r]
Gdzie:
r - możliwe dalsze zwierzaki w pudełku Zuzi z wykluczeniem Prosiaczka

2b
Wniosek:
Wykluczona jest równoważność p<=>q definiowana jako jednoczesna relacja podzbioru => i nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1
Szczegóły równoważności w zbiorach poznamy w punkcie 6.5
Hip,hip hura - problem równoważności p<=>q mamy z głowy, nie jest tu możliwa.

2c
Jeśli r jest zbiorem pustym r=[] to mamy do czynienia z implikacją odwrotną p|~>q o definicji:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
A1: p=>q =[K,P]=>[K, r] =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (bo w r nie ma Prosiaczka)
B1: p~>q =[K,P]~>[K] =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (tylko wtedy gdy r=[] - zbiór pusty)
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
Jaś pyta Zuzi:
Czy w twoim pudełku q masz jeszcze jakiegoś zwierzaka?
Zuzia:
Nie mam, moje pudełko jest puste.
Jaś:
Hura, wszystko zostało rozszyfrowane mamy tu do czynienia z implikacją odwrotną p|~>q o definicji jak wyżej
ale, ale!

2c
Jaś drapie się za uszkiem i myśli ..
Co będzie, jeśli po przeiterowaniu całego mojego zbioru p=[K,P] pudełko Zuzi nie będzie puste?
Zasymulujmy ten przypadek:
p=[K,P] = [Kubuś, Prosiaczek]
q=[K,T] = [Kubuś, Tygrysek]
Oczywistym jest, że w tym momencie będziemy mieli:
A1: p=>q = [K,P]=>[K,T] =0 - bo zbiór p=[K,P] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q=[K,T]
B1: p~>q = [K.P]~>[K,T] =0 - bo zbiór p=[K,P] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q=[K,T]
Stąd mamy:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0)=1*1=1
Jak widzimy wylądowaliśmy w spójniku chaosu o definicji:
Zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q (A1) i równocześnie zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
Szczegóły co do spójnika chaosu p|~~>q poznamy w punkcie 7.1.2

Uwaga końcowa:
Rozpatrzyliśmy wyżej definicję implikacji odwrotnej p|~>q na zbiorach minimalnych.
Oczywistym jest, że implikacja odwrotna p|~>q będzie prawdziwa (=1) dla dowolnej liczby elementów w pudełkach p i q byleby spełniona była relacja nadzbioru:
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
oraz by zbiory p i q były nietożsame p##q
Przyjęta dziedzina D musi być tu szersza od sumy logicznej zbiorów p+q.
Gdzie:
## - zbiory różne na mocy definicji
Wynika z tego, że można się pobawić w przedszkolu z ciut większą ilością zwierzaczków … byłe nie za dużą, bo to byłoby nużąco długie, nic nowego do definicji implikacji odwrotnej p|~>q nie wnoszące.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 20:49, 15 Maj 2024, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 12:20, 16 Kwi 2024    Temat postu:

Algebra Kubusia - Elementarz teorii zbiorów
6.0 Równoważność p<=>q w przedszkolu

Spis treści
6.0 Równoważność p<=>q w przedszkolu 1
6.1 Definicja równoważności p<=>q 1
6.2 Prawa Słonia dla zbiorów 2
6.3 Prawo Irbisa dla zbiorów 4
6.4 Diagram równoważność p<=>q 7
6.5 Równoważność p<=>q w zbiorach minimalnych 11
6.5.1 Operator równoważności p|<=>q w zbiorach minimalnych 14
6.6 Laboratorium algebry Kubusia - równoważność p<=>q 17
6.6.1 Ćwiczenie laboratoryjne w temacie równoważności p<=>q 19



6.0 Równoważność p<=>q w przedszkolu

Fundamentem algebry Kubusia w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" są zaledwie trzy znaczki: ~~>, => i ~>.

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


6.1 Definicja równoważności p<=>q

A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):

Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku koniecznego ~> jak i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Do tego by zaszło q potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by zaszło p

Zauważmy, że ta definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom, nie tylko matematykom.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 7 090
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 8 850
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 3 990
cnd

6.2 Prawa Słonia dla zbiorów

Prawa Słonia dla zbiorów to najważniejsze prawo w logice matematycznej.
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q

Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.

Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów

Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwości/fałszywości dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą ”nie wprost"

Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie jego elementy należą do zbioru q

Definicja nadzbioru ~>
Zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q

W logice matematycznej zachodzi tożsamość pojęć:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór ~> = relacja nadzbioru ~>
W logice matematycznej rozstrzygamy o zachodzącej lub nie zachodzącej relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~>.

Rozstrzygnięcia logiki matematycznej w relacji podzbioru =>:
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q

##

Rozstrzygnięcia logiki matematycznej w relacji nadzbioru ~>:
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q

Gdzie:
## - różne na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~>

Przykład:
Zbadaj czy zachodzi warunek wystarczający => w poniższym zdaniu:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
A1: P8=>P2=?

Rozwiązanie:
Na mocy prawa Kłapouchego zapis formalny (ogólny) zdania A1 to:
A1: p=>q =1
Gdzie:
p=P8
q=P2

Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q matematyczne twierdzenie proste =>

W metodzie "nie wprost" na mocy prawa Słonia dowodzimy prawdziwości relacji podzbioru =>.
Innymi słowy badamy:
Czy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]?
Oczywiście relacja podzbioru => jest (=1) tu spełniona:
P8=>P2=1
co każdy matematyk bez trudu udowodni.

W tym momencie na mocy prawa Słonia mamy udowodnione metodą "nie wprost" dwa fakty czysto matematyczne:
1.
Twierdzenie proste A1 jest prawdziwe
A1: P8=>P2 =1
2.
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2
A1: P8=>P2 =1

Podsumowując:
Z gołych definicji podzbioru => i warunku wystarczającego => nic w matematyce nie wynika, dopóki nie poznamy prawa Słonia.
Dopiero prawo Słonia w dowodzeniu prawdziwości warunku wystarczającego =>, czy też prawdziwości samego zdania warunkowego „Jeśli p to q" ma fundamentalne znaczenie, co udowodniono ciut wyżej.

6.3 Prawo Irbisa dla zbiorów
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Do tego by zaszło q potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by zaszło p

I Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
Y = A1: p=>q = ~p+q
##
II Prawo Słonia dla zbiorów:
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
Prawo Tygryska:
Y = B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy

Na mocy prawa Słonia oraz tabeli T0 możemy wygenerować dużą ilość tożsamych definicji równoważności p<=>q.

Przykładowe, najbardziej użyteczne definicje to:
1.
Matematyczna definicja równoważności p<=>q (znana każdemu matematykowi):

Równoważność p<=>q to jednoczesna prawdziwość matematycznego twierdzenia prostego A1: p=>q i matematycznego twierdzenia odwrotnego B3: q=>p
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q, twierdzenie proste A1.
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p, twierdzenie odwrotne (względem A1)
Stąd mamy:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

2.
Definicja równoważności wyrażona relacjami podzbioru =>

Równoważność p<=>q to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B3: q=>p =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
Stąd mamy:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Stąd mamy:

Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p)= A1B3: p<=>q
Prawo Irbisa znane jest każdemu matematykowi.

Innymi słowy:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B3: p=q <=> A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)

Prawo Irbisa możemy też zapisać w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>.

Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Dowód:
Oczywistość, bo na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> siebie samego.

Korzystając z prawa Słonia prawo Irbisa możemy też zapisać w warunkach koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1).

Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q

6.4 Diagram równoważność p<=>q

Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie zbiory p, ~p, q i ~q będą niepuste (rozpoznawalne), co doskonale widać na diagramie DR niżej.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) dla zbioru q
Wniosek:
Musi zachodzić tożsamość zbiorów p=q bowiem wtedy i tylko wtedy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1: p~>q).
Dowód
Każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> siebie samego
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Irbisa dla kolumny A1B1:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Dowód:
Oczywistość, bo na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> siebie samego.

Prawo Irbisa dla kolumny A2B2:
Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q (A2) i jednocześnie zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q (B2)
A2:~p~>~q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
Stąd mamy:
A2B2: ~p=~q <=> (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2:~p<=>~q
Dowód:
Oczywistość, bo na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> siebie samego.

Po uwzględnieniu prawa Irbisa mamy następującą tabelę prawdy równoważności p<=>q
Kod:

TR
Definicja równoważności:
Kolumna A1B1:
Równoważność to jednocześnie zachodzący warunek wystarczający => i konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Dla kolumny A1B1 mamy:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) <=> p=q (tożsamość zbiorów)
Kolumna A2B2:
Zawartość kolumny A2B2 wynika z prawa Sowy i prawa Irbisa
Równoważność to jednocześnie zachodzący warunek wystarczający => i konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2:~p~>~q=1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q=1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) <=> ~p=~q (tożsamość zbiorów)
       A1B1:       A2B2:      |     A3B3:       A4B4:
A:  1: p=>q=1  = 2:~p~>~q=1  [=] 3: q~>p=1  = 4:~q=>~p=1
       ##           ##              ##           ##
B:  1: p~>q=1  = 2:~p=>~q=1  [=] 3: q=>p=1  = 4:~q~>~p=1
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>:             |     Równoważność <=>:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1
definiuje tożsamość zbiorów:  |     definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q     # 2:~p=~q      |  3: q=p     # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - znaczki tożsamości logicznej

Prawo Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość pozostałych zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość pozostałych zdań serii Bx

Z prawa Sowy wynika że:
Udowodnienie prawdziwości równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) definiowanej kolumną A1B1 jest tożsame z udowodnieniem równoważności we wszystkich pozostałych kolumnach.

Dowód:
Ogólna definicja równoważności <=> w zbiorach:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie relacji podzbioru => i nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku

A1B1:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie relacji podzbioru => i nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Załóżmy, że udowodniliśmy równoważność p<=>q definiowaną kolumną A1B1:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Dowód:
Każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) siebie samego
Udowodniona równoważność p<=>q w kolumnie A1B1 na mocy prawa Sowy wymusza równoważności w pozostałych kolumnach.

Prawo Irbisa dla kolumny A1B1:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1

Sprawdzenie:
A2B2:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie relacji podzbioru => i nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =1*1=1
Dowód:
Każdy zbiór jest jednocześnie nadzbiorem ~> (A2) i podzbiorem => (B2) siebie samego

Prawo Irbisa dla kolumny A2B2:
Dwa zbiory ~p i~ q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności ~p<=>~q
~p=~q <=> A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=1*1=1

A3B3:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie relacji podzbioru => i nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A3B3: q<=>p = (A3: q=>p)*(B3: q~>p) =1*1=1
Dowód:
Każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => (A3) i nadzbiorem ~> (B3) siebie samego

Prawo Irbisa dla kolumny A3B3:
Dwa zbiory q i p są tożsame q=p wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności q<=>p q=p <=> A3B3: q<=>p = (A3: q=>p)*(B3: q~>p)=1*1=1

A4B4:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie relacji podzbioru => i nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A4B4: ~q<=>~p = (A4: ~q~>~p)*(B4:~q=>~p) =1*1=1
Dowód:
Każdy zbiór jest jednocześnie nadzbiorem ~> (A4) i podzbiorem => (B4) siebie samego

Prawo Irbisa dla kolumny A4B4:
Dwa zbiory ~q i~ p są tożsame ~q=~p wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności ~q<=>~p
~q=~p <=> A4B4: ~q<=>~p = (A4: ~q~>~p)*(B4: ~q=>~p)=1*1=1

Relacje matematyczne jakie zachodzą między powyższymi kolumnami to:
I.
Relacja między równoważnościami <=> w kolumnach to relacja tożsamości logicznej [=]

Kod:

TR1
Relacje między równoważnościami definiowanymi w poszczególnych kolumnach:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q [=] A3B3: q<=>p [=] A4B4: ~q<=>~p
Gdzie:
[=] - relacja tożsamości logicznej

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość wszystkich pozostałych członów
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość wszystkich pozostałych członów

W tabeli TR1 na mocy praw Sowy udowodnienie prawdziwości równoważności dla kolumny A1B1 wymusza prawdziwość równoważności w pozostałych kolumnach.

I.
Relacje między zbiorami definiowanymi w poszczególnych kolumnach mamy niżej

Kod:

TR2
Relacje między równoważnościami definiowanymi w poszczególnych kolumnach:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q [=] A3B3: q<=>p [=] A4B4: ~q<=>~p
Poszczególne kolumny definiują odpowiednie tożsamości zbiorów:
A1B1: p=q    #  A2B2: ~p=~q    |  A3B3: q=p    #  A4B4: ~q=~p
Gdzie:
[=] - relacja tożsamości logicznej
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne # w zbiorach:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony.

Oczywistym jest, że aby wyznaczyć zbiory zanegowane ~p i ~q musimy zdefiniować wspólną dziedzinę D dla p i q.
Wtedy na mocy definicji mamy:
~p=[D-p] - zbiór ~p to uzupełnienie zbioru p do wspólnej dziedziny D
~q=[D-q] - zbiór ~q to uzupełnienie zbioru q do wspólnej dziedziny D

Zauważmy że:
Tożsamość zbiorów jest przemienna, stąd nasze zainteresowanie równoważnością możemy ograniczyć do kolumn A1B1 i A2B2.

Stąd łatwo rysujemy diagram równoważności p<=>q w zbiorach.
Kod:

DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
definiujący tożsamość zbiorów p=q.
---------------------------------------------------------------------------
|         p                       |               ~p                      |
|---------------------------------|---------------------------------------|
|         q                       |               ~q                      |
|---------------------------------|---------------------------------------|
|Definicja równoważności:         |  Definicja równoważności:             |
|A1B1: p<=>q=(A1:p=>q)*(B1:p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
|Definiuje tożsamość zbiorów      |  Definiuje tożsamość zbiorów:         |
|        p=q                      #              ~p=~q                    |
---------------------------------------------------------------------------
|  A1: p=>q=1   (p*q=1)           |  B2:~p=>~q=1  (~p*~q=1)               |
| Dziedzina:                                                              |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q - suma logiczna zbiorów niepustych  A1 i B2         |     
|   A1’:  p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty                                  |
|   B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty                                  |
|-------------------------------------------------------------------------|
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
[=] - tożsamość logiczna
# - dowolna strona znaku # jest negacją drugiej strony
p#~p
p=~(~p) - prawo podwójnego przeczenia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
p+~p=D=1
p*~p=[]=0
Dowód: diagram DR
3.
W definicji równoważności p<=>q nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q


6.5 Równoważność p<=>q w zbiorach minimalnych

W analizie równoważności p<=>q w zbiorach minimalnych często będziemy korzystać z prawa Słonia.
Przypomnijmy sobie prawo Słonia.

Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q

Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q (p=q). Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie).
Wniosek:
Dziedzina w równoważności p<=>q musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia {p, q, ~p, ~q} będą rozpoznawalne, czyli będą zbiorami niepustymi.

Dla naszych dalszych rozważań przyjmijmy za dziedzinę D dwa elementy:
K (Kubuś)
P (Prosiaczek)
D = [K+P]
To jest minimalna dziedzina przy której wszystkie zbiory {p, q, ~p, ~q} będą niepuste i rozpoznawalne.
Dowód:
Na gruncie przyjętej dziedziny przyjmujemy zbiory minimalne dla potrzeb równoważności <=>:
p=[K]
q=[K]
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
p=q
[K]=[K]
Przyjmujemy wspólną dla p i q dziedzinę:
D = [K+P]
Obliczamy przeczenia zbiorów p i q definiowane jako ich uzupełnienia do dziedziny D
~p=~[K]= [D-p] = [[K,P]-[K]] = ~[P]
~q=~[K]= [D-q] = [[K,P]-[K]] = ~[P]
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
~p=~q
~[P] = ~[P]
Innymi słowy:
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q

Definicja dziedziny minimalnej w teorii zbiorów:
Dziedzina w równoważności p<=>q musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia {p, q, ~p, ~q} będą rozpoznawalne, czyli będą zbiorami niepustymi.

Sprawdzenie:
Nasz przykład:
p=[K]
q=[K]
p+q = [K]+[K] = [K]
Jak widzimy, dziedzina D=[K,P] jest szersza do p=[K]
cnd

Zapiszmy to w tabeli prawdy w zapisach formalnych {p,q} i zapisach aktualnych {K,P}:
Kod:

TR
Definicja równoważności:
Równoważność to jednocześnie zachodzący warunek wystarczający => i konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Dla kolumny A1B1 mamy:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Dla naszego przykładu mamy:
p=[K]
p=[K]
D=[K,P]
stąd mamy:
~p=[P]
~q=[P]
Stąd nasza tabela prawdy przyjmuje postać:
        A1B1:            A2B2:        |      A3B3:            A4B4:
A:  1:  p=> q  =1  = 2: ~p~>~ q  =1  [=] 3:  q~> p  =1  = 4: ~q=> ~p  =1
A:  1: [K]=>[K]=1  = 2:~[P]~>~[P]=1  [=] 3: [K]~>[K]=1  = 4:~[P]=>~[P]=1
        ##               ##                  ##               ##
B:  1:  p~> q  =1  = 2: ~p=> ~q  =1  [=] 3:  q=> p  =1  = 4: ~q~> ~p  =1
B:  1: [K]~>[K]=1  = 2:~[P]=>~[P]=1  [=] 3: [K]=>[K]=1  = 4:~[P]~>~[P]=1
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>:                     |     Równoważność <=>:
AB: 1:  p<=>q   =1 = 2: ~p<=>~q   =1 [=] 3:  q<=>p   =1 = 4: ~q<=>~p   =1
AB: 1: [K]<=>[K]=1 = 2:~[P]<=>~[P]=1 [=] 3: [K]<=>[K]=1 = 4:~[P]<=>~[P]=1
definiuje tożsamość zbiorów:          |     definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1:  p=q        # 2: ~p=~q         |  3:  q=p        # 4:~q=~p
AB: 1: [K]=[K]     # 2:~[P]=~[P]      |  3: [K]=[K]     # 4:~[P]=~[P]
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - znaczki tożsamości logicznej

Zauważmy, że nasza równoważność w kolumnie A1B1 jest prawdziwa.
Dowód:
A1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru q
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p jest warunkiem wystarczającym => aby ten element należał do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Nasz przykład:
A1: p=>q = [K]=>[K] =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego

Dla rozstrzygnięcia w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi badanie zdanie A1 musimy sprawdzić warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
B1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% ~> należy do zbioru q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem zbioru q
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p jest warunkiem koniecznym ~> aby ten element należał do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Nasz przykład:
B1: p~>q = [K]~>[K] =1 - bo każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego

Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdania A1 i B1 wchodzą w skład definicji równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q).
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: (p~>q)=1*1=1
Nasz przykład:
p=[K]
q=[K}
Stąd mamy definicję równoważności w zbiorach p i q:
A1B1: [K]<=>[K] = (A1: [K]=>[K])*(B1: [K]~>[K})=1*1=1

6.5.1 Operator równoważności p|<=>q w zbiorach minimalnych

Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Na mocy prawa Sowy równoważność prawdziwa p<=>q determinuje prawdziwość operatora równoważności p|<=>q.

Definicja operatora równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Nasz przykład:
Kod:

p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Wspólna dziedzina:
D = [K,P]
Stąd na mocy definicji mamy:
~p = [D-p]=[[K,P]-[K]= [P] (Prosiaczek)
~q = [D-q]=[[K,P]-[K]= [P] (Prosiaczek)


A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom.

Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów p=q:
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q.
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q

A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?

Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p wystarcza => dla zajścia q
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => [=] Relacja podzbioru =>
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => [=] Relacja podzbioru =>

Nasz przykład:
p=[K]
q=[K]
Stąd mamy:
A1: p=>q = [K]=>[K] =1 - bo każdy zbiór jest (=1) podzbiorem => siebie samego
Czytamy:
Jeśli z dziedziny D=[K+P] wylosujemy element należący do zbioru p=[K] to ten element na 100% => gdzie należał do zbioru q=[K]
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p=[K] jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru q=[K] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K].
Jak widać prawo Słonia samo nam tu wyskoczyło.

Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
A1”: p~~>~q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i ~q są rozłączne
Fałszywość zdania A1' wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód "nie wprost"

Dowód wprost dla naszego przykładu:
A1’: p~~>~q = [K]~~>[P] =0 - bo zbiory p=[K] i q=[P] są rozłączne

… co się stanie jeśli z dziedziny D=[K,P] wylosujemy element należący do zbioru ~p=[P]?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2

A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom.

Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q:
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q.
A2B2: ~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)= A2B2: ~p<=>~q

A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
B2: ~p=>~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p wystarcza => dla zajścia ~q
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => [=] Relacja podzbioru =>
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => [=] Relacja podzbioru =>

Nasz przykład:
~p=[P]
~q=[P]
stąd mamy:
B2: ~p=>~q =[P]=>[P] =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Czytamy:
Jeśli z dziedziny D=[K,P] wylosujemy element należący do zbioru ~p=[P] to ten element na 100% => gdzie należał do zbioru ~q=[P]

Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Fałszywość kontrprzykładu B2' wynika z prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=1
To jest dowód "nie wprost" - nic więcej nie musimy udowadniać, ale możemy

Dowód wprost dla naszego przykładu:
~p=[P]
q=[K]
Stąd mamy:
~p~~>q = [P]~~>[K] =0 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiory ~p=[P] i q=[K]
co jest oczywistością.

Podsumowując:
Równoważność A1B1: p<=>q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.

Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań tworzących operator równoważności p|<=>q (A1, A1’,B2, B2’) jest bez znaczenia co oznacza, iż zdania w powyższej analizie możemy dowolnie przestawiać

6.6 Laboratorium algebry Kubusia - równoważność p<=>q

W analizie równoważności p<=>q w zbiorach minimalnych często będziemy korzystać z prawa Słonia.
Przypomnijmy sobie prawo Słonia.

Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q

Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q (p=q). Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie).
Wniosek:
Dziedzina w równoważności p<=>q musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia {p, q, ~p, ~q} będą rozpoznawalne, czyli będą zbiorami niepustymi.

Dla naszych dalszych rozważań przyjmijmy za dziedzinę D dwa elementy:
K (Kubuś)
P (Prosiaczek)
D = [K+P]
To jest minimalna dziedzina przy której wszystkie zbiory {p, q, ~p, ~q} będą niepuste i rozpoznawalne.
Dowód:
Na gruncie przyjętej dziedziny przyjmujemy zbiory minimalne dla potrzeb równoważności <=>:
p=[K]
q=[K]
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
p=q
[K]=[K]
Przyjmujemy wspólną dla p i q dziedzinę:
D = [K+P]
Obliczamy przeczenia zbiorów p i q definiowane jako ich uzupełnienia do dziedziny D
~p=~[K]= [D-p] = [[K,P]-[K]] = ~[P]
~q=~[K]= [D-q] = [[K,P]-[K]] = ~[P]
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
~p=~q
~[P] = ~[P]
Innymi słowy:
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q

Definicja dziedziny minimalnej w teorii zbiorów:
Dziedzina w równoważności p<=>q musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia {p, q, ~p, ~q} będą rozpoznawalne, czyli będą zbiorami niepustymi.

Sprawdzenie:
Nasz przykład:
p=[K]
q=[K]
p+q = [K]+[K] = [K]
Jak widzimy, dziedzina D=[K,P] jest szersza do p=[K]
cnd

Zapiszmy to w tabeli prawdy w zapisach formalnych {p,q} i zapisach aktualnych {K,P}:
Kod:

TR
Definicja równoważności:
Równoważność to jednocześnie zachodzący warunek wystarczający => i konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Dla kolumny A1B1 mamy:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Dla naszego przykładu mamy:
p=[K]
p=[K]
D=[K,P]
stąd mamy:
~p=[P]
~q=[P]
Stąd nasza tabela prawdy przyjmuje postać:
        A1B1:            A2B2:        |      A3B3:            A4B4:
A:  1:  p=> q  =1  = 2: ~p~>~ q  =1  [=] 3:  q~> p  =1  = 4: ~q=> ~p  =1
A:  1: [K]=>[K]=1  = 2:~[P]~>~[P]=1  [=] 3: [K]~>[K]=1  = 4:~[P]=>~[P]=1
        ##               ##                  ##               ##
B:  1:  p~> q  =1  = 2: ~p=> ~q  =1  [=] 3:  q=> p  =1  = 4: ~q~> ~p  =1
B:  1: [K]~>[K]=1  = 2:~[P]=>~[P]=1  [=] 3: [K]=>[K]=1  = 4:~[P]~>~[P]=1
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>:                     |     Równoważność <=>:
AB: 1:  p<=>q   =1 = 2: ~p<=>~q   =1 [=] 3:  q<=>p   =1 = 4: ~q<=>~p   =1
AB: 1: [K]<=>[K]=1 = 2:~[P]<=>~[P]=1 [=] 3: [K]<=>[K]=1 = 4:~[P]<=>~[P]=1
definiuje tożsamość zbiorów:          |     definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1:  p=q        # 2: ~p=~q         |  3:  q=p        # 4:~q=~p
AB: 1: [K]=[K]     # 2:~[P]=~[P]      |  3: [K]=[K]     # 4:~[P]=~[P]
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - znaczki tożsamości logicznej


6.6.1 Ćwiczenie laboratoryjne w temacie równoważności p<=>q

Celem poniższego ćwiczenia laboratoryjnego jest ustalenie następujących relacji w zbiorach:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Bowiem wtedy i tylko wtedy będziemy mieli do czynienia z definicją równoważności p<=>q

Czynności przygotowawcze:
Do pudełka p pani przedszkolanka wkłada pluszowego Kubusia:
p=[K] =[Kubuś]
zaś do pudełka q również wkłada Kubusia, bo zbioru p i q z założenia muszą być tożsame p=q:
q=[K] = [Kubuś]

W ćwiczeniu w sposób bezpośredni biorą udział:
Jaś (lat 5) właściciel pudełka p=[K]
oraz Zuzia (lat 5) właścicielka pudełka q=[K]
Reszta 5-cio latków z zaciekawieniem ogląda co wyprawiają Jaś i Zuzia.

Zasady laboratorium:
Zawartość pudełka Jasia p=[K] jest widoczna dla wszystkich 5-cio latków, łącznie z Jasiem i Zuzią
Zawartość pudełka Zuzi q=[K] widzi wyłącznie Zuzia

Kolejne kroki ćwiczenia:
1.
Jaś wyciąga z pudełka p Kubusia i pyta Zuzię:
Czy w twoim pudełku q też masz Kubusia?
Zuzia:
Tak, mam, po czym wyjmuje ze swojego pudełka Kubusia i stawia obok siebie.

2.
Tu Jaś logicznie rozumuje jak niżej:

2a
Pewne jest że zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K, r]
Gdzie:
r - możliwe dalsze zwierzaki w pudełku Zuzi

2b
Jeśli r nie jest zbiorem pustym r=[x] to mamy do czynienia z implikacją prostą o definicji:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
A1: p=>q =[K]=>[K, r] =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =[K]~>[K, r] =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*1=1
Jaś pyta Zuzi:
Czy w twoim pudełku q masz jeszcze jakiegoś zwierzaka?
Zuzia:
Nie mam już żadnych zwierzaczków
Jaś:
Zuziu włóżmy naszego Kubusia z powrotem do naszych pudełek i pokażmy zawartość naszych pudełek widowni starszaków w naszym przedszkolu.

Jak wszyscy widzimy mamy tu do czynienia równoważnością p<=>q:

Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i zbiory te są tożsame p=q
A1: p=>q = [K]=>[K] =1
B1: p~>q = [K]~>[K] =1
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Innymi słowy:
Równoważność A1B1: p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest jednocześnie podzbiorem => zbioru q (A1) i nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
Szczegółową definicję równoważności A1B1: p<=>q poznamy za chwilkę w punkcie 6.5

Uwagi końcowe:
Rozpatrzyliśmy wyżej definicję równoważności p<=>q na zbiorach minimalnych.
Oczywistym jest, że równoważność p<=>q będzie prawdziwa (=1) dla dowolnej liczby elementów w pudełkach p i q byleby spełniona była definicja równoważności w zbiorach.
Innymi słowy zawartość pudełek p i q musi być następująca:
p= [K,P] = [Kubuś, Prosiaczek]
q= [T,S] = [Tygrysek, Słoń]
W równoważności dziedzina D musi być sumą logiczną zbiorów p i q:
D=p+q
D=p+q =KP+TS = [K,P,T,S] = [Kubuś, Prosiaczek, Tygrysek, Słoń]
Obliczamy przeczenia zbiorów:
~p=[D-p] = [K,P,T,S]-[K,P] = [T,S] = q
~q=[D-q] = [K,P,T,S]-[T,S] = [K,P] =p
Z powyższego wynika że w równoważności jest spełniona wspólna dziedzina dla p i q.
Definicja dziedziny:
p+~p =D =1 - zbiór ~p musi być musi uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p=[] =0 - zbiory p i ~p muszą być rozłączne, bo wtedy i tylko wtedy p*~p jest zbiorem pustym

Sprawdzenie poprawności dziedziny dla naszego przykładu:
p=[K,P]
~p=q=[T,S]
Stąd mamy:
p+~p=[K,P]+[T,S] = [K,P,T,S] = D =1 - ok
p*~p=[K,P]*[T,S] =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne
Doskonale widać, że w pudełkach p i q może być dowolna ilość zwierzaków, byle byłaby spełniona definicja dziedziny D jak wyżej.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 20:47, 15 Maj 2024, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 20:45, 15 Maj 2024    Temat postu:

Algebra Kubusia - Elementarz teorii zbiorów
7.0 Chaos p|~~>q

Spis treści
7.0 Chaos p|~~>q 1
7.1 Spójnik chaosu p|~~>q w zbiorach minimalnych 5
7.1.1 Operator chaosu p||~~>q w zbiorach minimalnych 8
7.1.2 Ćwiczenie laboratoryjne w temacie chaosu p|~~>q 10


7.0 Chaos p|~~>q

Przypomnijmy sobie definicje podstawowe:

Fundamentem algebry Kubusia w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" są zaledwie trzy znaczki: ~~>, => i ~>:

Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> lub zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)

Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Definicja warunku koniecznego ~>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej [=] dla zapisu wieloczłonowego (patrz prawo Słonia niżej)

Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste =>
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy

Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów

Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"

Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie jego elementy należą do zbioru q

Definicja nadzbioru ~>
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q

W logice matematycznej na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość pojęć:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór ~> = relacja podzbioru ~>
W logice matematycznej rozstrzygamy o zachodzącej lub nie zachodzącej relacji podzbioru => czy tez nadzbioru ~>

CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):

Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Dziedzina D musi być szersza od sumy logiczne zbiorów/zdarzeń p+q
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajęcie p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)

Na mocy prawa Słonia mamy.
Definicja chaosu p|~~>q w zbiorach minimalnych:
Chaos p|~~>q to niespełniona relacja ani nadzbioru ~> (B1), ani też podzbioru => (A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0) =1

Wniosek:
Definicja chaosu p|~~>q będzie spełniona wtedy i tylko wtedy gdy każdy z możliwych zbiorów {p, q, ~p, ~q} ma element wspólny ~~> każdy z każdym, bowiem wtedy i tylko wtedy mamy gwarancję niespełnienia w układzie ani relacji podzbioru =>, ani też relacji nadzbioru ~> w dowolnym kierunku, między dowolnymi dwoma punktami.

Na tej podstawie zapisujemy szybką analizę chaosu p|~~>q rozstrzygającą, czy badany układ spełnia definicję spójnika chaosu p|~~>q?
Kod:

TCH
Szybka analiza chaosu p|~~>q:
A: p~~> q= p* q =1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów p i q
B: p~~>~q= p*~q =1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~p i q

Same wynikowe jedynki w szybkiej analizie chaosu p|~~>q są dowodem że badany układ zbiorów spełnia definicję chaosu p|~~>q tzn. że nie ma tu ani relacji podzbioru =>, ani też relacji nadzbioru ~> między dowolnymi dwoma punktami i w dowolnym kierunku.

Minimalna ilość elementów na których można zbudować definicję chaosu p|~~>q to cztery elementy.
Przyjmijmy następujące zbiory:
p=[K,P] (Kubuś, Prosiaczek)
q=[K,T] (Kubuś, Tygrysek)
Zauważmy, że dla powyższych zbiorów mamy:
A1: p=>q = [K,P]=>[K,T] =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q = [K,P]~> [K,T] =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Na mocy definicji chaosu muszą istnieć wspólne elementy zbiorów {p, q, ~p, ~q} każdy z każdym
Aby spełnić ten warunek do sumy logicznej p+q musimy dodać czwarte zwierzątko słonika S.
D=[p+q]=[K,P,T,S]
~p=[D-p]=[(K,P,T,S)-(K,P)]=[T,S]
~q=[D-q]=[(K,P,T,S)-(K,T)]=[P,S]

Sprawdźmy czy spełniona jest tu definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> każdy z każdym
Kod:

Szybka analiza chaosu p|~~>q:
A: p=[K,P]~~> q=[K,T]=[K,P]*[K,T]=[K]=1 - istnieje (=1) wspólny element
B: p=[K,T]~~>~q=[P,S]=[K,P]*[P,S]=[P]=1 - istnieje (=1) wspólny element
C:~p=[T,S]~~>~q=[P,S]=[T,S]*[P,S]=[S]=1 - istnieje (=1) wspólny element
D:~p=[T,S]~~> q=[K,T]=[T,S]*[K,T]=[T]=1 - istnieje (=1) wspólny element

Jak widzimy dla wejściowego układu zbiorów p, q i przyjętej dziedziny D definicja chaosu p|~~>q jest spełniona tzn. w układzie nie ma ani jednego przypadku relacji podzbioru =>.
Brak spełnionej relacji podzbioru => gwarantuje brak spełnionej relacji nadzbioru ~> . Wynika to z prawa Tygryska.

Prawo Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
Interpretacja prawa Tygryska w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
Warunek wystarczający A1: p=>q jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy w przeciwną stronę spełniony jest warunek konieczny A3: q~>p, albo odwrotnie.
Z powyższego wynika, że warunek wystarczający => i warunek konieczny ~> to papużki nierozłączki, jeden bez drugiego nie może istnieć.

W logice matematycznej na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = podzbiór => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = nadzbiór ~> = relacja podzbioru ~>

Stąd prawo Tygryska obowiązuje także dla podzbiorów => i nadzbiorów ~>:
Relacja podzbioru A1: p=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy w przeciwną stronę spełniona jest relacja nadzbioru A3: q~>p, albo odwrotnie.
Przykład:
p=[K] (Kubuś)
q=[K,P] (Kubuś , Prosiaczek)
A1: p=>q =[K}=>[K,P] =1 - bo relacja podzbioru jest (=1) spełniona
Na mocy prawa Tygryska w odwrotną stronę musi zachodzić relacja nadzbioru ~>.
Sprawdzenie:
B3: q~>p = [K,P]~>[K] =1 - bo relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
cnd

7.1 Spójnik chaosu p|~~>q w zbiorach minimalnych

CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):

Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Dziedzina D musi być szersza od sumy logiczne zbiorów/zdarzeń p+q
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajęcie p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)

Na mocy prawa Słonia mamy.
Definicja chaosu p|~~>q w zbiorach minimalnych:
Chaos p|~~>q to niespełniona relacja ani nadzbioru ~> (B1), ani też podzbioru => (A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0) =1

Przykład:
Przyjmijmy następujące zbiory:
p=[K,P] = [Kubuś , Prosiaczek]
q=[K,T] = [Kubuś , Tygrysek]
Nasza dziedzina gwarantująca istnienie wspólnego elementu zbiorów {p, q, ~p, ~q} dla kombinacji każdy z każdym to}
D=[p+q]=[K,P,T,S] =[Kubuś, Prosiaczek, Tygrysek, Słoń]
~p=[D-p]=[(K,P,T,S)-(K,P)]=[T,S]
~q=[D-q]=[(K,P,T,S)-(K,T)]=[P,S]

Najprostszym dowodem iż zdefiniowane wyżej zbiory p, q oraz dziedzina D tworzą układ chaosu w zbiorach p|~~>q jest skorzystanie z podstawowej definicji chaosu.

Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => A1.
A1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru q
A1: p=>q = [K,P] =>[K,T] =0
To samo w zapisach formalnych:
A1: p=>q =0 - bo zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Przynależność elementu do zbioru p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru q bo zbiór p=[K,P] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q=[K,T}
cnd

Badamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> B1.
B1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to może ~> należeć do zbioru q
B1: p~>q = [K,P] ~>[K,T] =0
To samo w zapisach formalnych:
B1: p~>q =0 - bo zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Przynależność elementu do zbioru p nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> do tego aby ten element należał do zbioru q bo zbiór p=[K,P] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q=[K,T}

Udowadniając fałszywość A1 i B1 udowodniliśmy, iż mamy tu do czynienia ze spójnikiem chaosu p|~~>q.
Podstawmy udowodnione wyżej:
A1: p=>q =0 - bo zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - bo zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Kod:

CH
Tabela prawdy chaosu p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Nasz punkt odniesienia w zapisie aktualnym (przykład):
p=[K,P]
q=[K,T]
D=[K,P,T,S]
~p=[T,S]
~q=[P,S]
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1                  [=]               4:~q~~>~p=1
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p=1
B”:               2:~p~~>~q=1    [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Komentarz:
Kolumna A1B1:
Fałszywy warunek wystarczający:
A1: p=>q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
A1’: p~~>~q=1
Dodatkowo musi być spełnione:
A1’’: p~~>q =1
Dowód nie wprost.
Załóżmy, że zachodzi:
A1’’: p~~>q=p*q=0 - zbiory p i q są rozłączne
Wtedy, na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy jest warunek wystarczający:
A1’’’: p=>~q=1
co to sprzeczne z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym warunku wystarczającym mowy być nie może.
cnd

Identycznie mamy w kolumnie A2B2:
Fałszywy warunek wystarczający:
B2: ~p=>~q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 - istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
Dodatkowo musi być spełnione:
B2’’: ~p~~>~q=1
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że zachodzi:
B2’’: ~p~~>~q=~p*~q=0 - zbiory ~p i ~q są rozłączne
Wtedy, na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy jest warunek wystarczający:
B2’’’: ~p=>q=1
co to sprzeczne z definicją chaosu ~p|~~>~q gdzie o żadnym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd

7.1.1 Operator chaosu p||~~>q w zbiorach minimalnych

Kod:

CH
Tabela prawdy chaosu p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Nasz przykład (punkt odniesienia):
p=[K,P]
q=[K,T]
D=[p+q]=[K,P,T,S]
~p=[T,S]
~q=[P,S]
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1                  [=]               4:~q~~>~p=1
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p=1
B”:               2:~p~~>~q=1    [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator chaosu p||~~>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Nasz przykład (punkt odniesienia):
p=[K,P]
q=[K,T]
D=[K,P,T,S]
~p=[T,S]
~q=[P,S]

A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1”: p~~>q = p*q =1 - istnieje wspólny element zbiorów p i q (zdarzenie możliwe ~~>)
A1’: p~~>~q = p*~q =1 - istnieje wspólny element zbiorów p i ~q (zdarzenie możliwe ~~>)
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A1” i A1’

Kolumna A1B1:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla spełnionego p:
A1’’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
A1”: p~~>q = p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i q:
A1": p~~>q = [K,P]~~>[K,T]=[K,P]*[K,T]=[K]=1 - istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
cnd

LUB

A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
A1: p~~>~q = p*~q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q:
A1': p~~>~q =[K,P] ~~>[P,S] = [K,P]*[P,S]=[P]=1 - istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q

A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
B2”: ~p~~>~q = ~p*~q =1 - istnieje wspólny element zbiorów ~p i ~q (zdarzenie możliwe ~~>)
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 - istnieje wspólny element zbiorów ~p i q (zdarzenie możliwe ~~>)
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B2” i B2’

A2B2:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla ~p:
B2’’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
B2”: ~p~~>~q = ~p*~q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i ~q:
B2": ~p~~>~q = [T,S] ~~>[P,S] = [T,S]*[P,S] =[S]=1 - istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i ~q

LUB

B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
B2': ~p~~>q =[T,S] ~~>[K,T] = [T,S]*[K,T]=[T]=1 - bo istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q

Podsumowanie:
Kod:

T1
Dziedziną Y są tu wszystkie możliwe zbiory niepuste i rozłączne:
Y=Ya+Yb+Yc+Yd -dziedzina Y to suma logiczna funkcji cząstkowych Ya+Yb+Yc+Yd

Operator chaosu p||~~>q odpowiada na dwa pytania A1B1 oraz A2B2:
Kolumna A1B1:
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1”: Ya= p~~>q = p* q =1
A1": Ya= p~~>q =[K,P]~~>[K,T]=[K,P]*[K,T]=[K]=1
LUB
A1’: Yb= p~~>~q= p*~q =1
A1': Yb= p~~>~q=[K,P]~~>[P,S]=[K,P]*[P,S]=[P]=1
LUB
Kolumna A2B2:
A2B2:~p|~~>~q=~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2”: Yc=~p~~>~q=~p*~q =1
B2": Yc= ~p~~>~q=[T,S]~~>[P,S]=[T,S]*[P,S]=[S]=1
LUB
B2’: Yd= ~p~~> q=~p* q =1
B2': ~p~~>q=[T,S]~~>[K,T]=[T,S]*[K,T]=[T]=1
Stąd mamy dowód poprawności dziedziny D:
Y = Ya+Yb+Yc+Yd =[K]+[P]+[S]+[T]=[K+P+S+T] =1
cnd

Doskonale widać, że w operatorze chaosu p||~~>q zarówno po stronie p jak i po stronie ~p mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.

7.1.2 Ćwiczenie laboratoryjne w temacie chaosu p|~~>q

Celem poniższego ćwiczenia laboratoryjnego jest ustalenie następujących relacji w zbiorach:
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Bowiem wtedy i tylko wtedy będziemy mieli do czynienia z definicją chaosu p|~`>q

Nasz przykład (punkt odniesienia):
p=[K,P]
q=[K,T]
D=[K,P,T,S]
~p=[T,S]
~q=[P,S]

Czynności przygotowawcze:
Do pudełka p pani przedszkolanka wkłada dwa pluszowe zwierzaczki, Kubusia i Prosiaczka:
p=[K,P] =[Kubuś, Prosiaczek]
zaś do pudełka q także wkłada dwa pluszowe zwierzaczki, Kubusia i Tygryska
q=[K,T] = [Kubuś, Tygrysek]

W ćwiczeniu w sposób bezpośredni biorą udział:
Jaś (lat 5) właściciel pudełka p=[K,P]
oraz Zuzia (lat 5) właścicielka pudełka q=[K,T]
Reszta 5-cio latków z zaciekawieniem ogląda co wyprawiają Jaś i Zuzia.

Zasady laboratorium:
Zawartość pudełka Jasia p=[K,P] jest widoczna dla wszystkich 5-cio latków, łącznie z Jasiem i Zuzią
Zawartość pudełka Zuzi q=[K,T] widzi wyłącznie Zuzia

Kolejne kroki ćwiczenia:
1.
Jaś wyciąga z pudełka p Kubusia i pyta Zuzię:
Czy w twoim pudełku q też masz Kubusia?
Zuzia:
Tak, mam, po czym wyjmuje ze swojego pudełka Kubusia i stawia obok siebie.
1a
Jaś wyciąga z pudełka p Prosiaczka i Pyta Zuzię:
Czy w twoim pudełku q masz Prosiaczka?
Zuzia:
Nie mam.

2.
Tu Jaś logicznie rozumuje jak niżej:

2a
Pewne jest że zbiór p=[K,P] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q=[K, r] bo w zbiorze q nie ma Prosiaczka.
Stąd mamy:
p=>q = [K,P]=>[K,r] =0 - zbiór p=[K,P] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q=[K,r]
Gdzie:
r - możliwe dalsze zwierzaki w pudełku Zuzi z wykluczeniem Prosiaczka

2b
Wniosek:
Wykluczona jest równoważność p<=>q definiowana jako jednoczesna relacja podzbioru => i nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1
Szczegóły równoważności w zbiorach poznamy w punkcie 6.5
Hip,hip hura - problem równoważności p<=>q mamy z głowy, nie jest tu możliwa.

2c
Jeśli r jest zbiorem pustym r=[] to mamy do czynienia z implikacją odwrotną p|~>q o definicji:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
A1: p=>q =[K,P]=>[K, r] =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (bo w r nie ma Prosiaczka)
B1: p~>q =[K,P]~>[K] =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (tylko wtedy gdy r=[] - zbiór pusty)
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
Jaś pyta Zuzi:
Czy w twoim pudełku q masz jeszcze jakiegoś zwierzaka?
Zuzia:
Tak, mam (Tygryska)
Jaś:
Wniosek:
Implikacja odwrotna p|~>q odpada, bo w pudełku Zuzi jest zwierzaczek.

2c
Jaś drapie się za uszkiem i myśli ..
Skoro po przeiterowaniu całego mojego zbioru p=[K,P] pudełko Zuzi nie jest puste, to na 100% => mamy tu do czynienia z definicją chaosu p|~~>q
Zasymulujmy ten przypadek:
p=[K,P] = [Kubuś, Prosiaczek]
q=[K,T] = [Kubuś, Tygrysek]
Oczywistym jest, że w tym momencie będziemy mieli:
A1: p=>q = [K,P]=>[K,T] =0 - bo zbiór p=[K,P] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q=[K,T]
B1: p~>q = [K.P]~>[K,T] =0 - bo zbiór p=[K,P] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q=[K,T]
Stąd mamy:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0)=1*1=1
Jak widzimy wylądowaliśmy w spójniku chaosu o definicji:
Zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q (A1) i równocześnie zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 21:59, 15 Maj 2024    Temat postu:

4.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Ten temat jest zablokowany bez możliwości zmiany postów lub pisania odpowiedzi    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin