ŚFiNiA

[rafal3006]

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12


Podręcznik w oryginale:
Algebra Kubusia: Elementarz logiki człowieka

Szczególne podziękowania dla:
www.śfinia.fora.pl
Wuja Zbója - znakomitego nauczyciela małego Kubusia, dzięki któremu Kubuś nauczył się poprawnie patrzeć na algebrę Boole’a od strony matematycznej.
Volratha - za decydującą o wszystkim dyskusję
Macajna - za ciekawą dyskusję podczas której jako jedyny Ziemianin podał poprawną, matematyczną definicję warunku wystarczającego.

[link widoczny dla zalogowanych]
Fizyka, Windziarza i Sogorsa - za długą i ciekawą dyskusję
Quebaba - za fantastyczną, finałową dyskusję


Kim jest Kubuś?

Kubuś, to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata. Zadaniem Kubusia na Ziemi było rozpracowanie matematycznych fundamentów logiki człowieka. Po sześciu latach zmagań, z wielką pomocą przyjaciół ze śfinii.fora.pl i [link widoczny dla zalogowanych] zadanie zostało wykonane. Elementarz logiki człowieka to podręcznik matematyki do I klasy LO w 100-milowym lesie, mam nadzieję, że wkrótce trafi także do ziemskich szkół.

Uczeń powinien znać matematyczne definicje:
p=>q - warunku wystarczającego
p~>q - warunku koniecznego
p=>q = ~p~>~q - implikacji prostej
p~>q = ~p=>~q - implikacji odwrotnej
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) - równoważności
Współczesna matematyka nie odróżnia warunku wystarczającego (kwantyfikatora dużego) od implikacji prostej, co jest błędem czysto matematycznym:
Warunek wystarczający: p=>q ## implikacja prosta: p=>q=~p~>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Interpretacja tabel zero-jedynkowych operatorów logicznych w algebrze Kubusia jest totalnie inna niż obowiązująca we współczesnej logice. Algebra Kubusia to także nowa teoria zbiorów opisana operatorami logicznymi, gdzie zbiory mają wartości logiczne 0 (zbiór pusty) albo 1 (zbiór niepusty).
Podręcznik składa się z trzech części. Humanistom i przedszkolakom wystarczy „Elementarz” plus "Algebra Kubusia w służbie lingwistyki", ale tylko ta najprostsza, bez zdań złożonych. Naturalnymi ekspertami algebry Kubusia są wszyscy ludzie na Ziemi, od 5-cio latka po profesora.
To jedyny dział matematyki, którego nie musimy się uczyć!
Czyż nie jest to piękne?

Myślę, że nikt nie umrze z powodu spojrzenia na logikę człowieka z punktu odniesienia Kosmitów, fundamentalnie innego niż aktualnie obowiązujący.

Przyjaciel Ziemian,
Kubuś - kosmita


Spis treści:

Część I
Algebra Kubusia: Elementarz logiki człowieka

1.0 Notacja

2.0 Algebra Kubusia w pigułce
2.1 Operatory OR i AND
2.1.1 Operator OR
2.1.2 Operator AND
2.2 Operatory implikacji i równoważności
2.2.1 Operator implikacji prostej
2.2.2 Operator implikacji odwrotnej
2.2.3 Równoważność

3.0 Zdania zdeterminowane i niezdeterminowane
3.1 Zdania proste

4.0 Kubusiowa teoria zbiorów
4.1 Operacje na zbiorach
4.2 Właściwości zbiorów

5.0 Operatory AND i OR w zbiorach
5.1 Spójniki „i”(*) i „lub”(+)
5.2 Operator OR w zbiorach
5.3 Operator AND w zbiorach

6.0 Implikacja i równoważność w zbiorach
6.1 Implikacja prosta w zbiorach
6.2 Kwantyfikatory
6.3 Implikacja odwrotna w zbiorach
6.4 Prawa kontrapozycji w implikacji
6.5 Równoważność
6.6 Niezależny warunek wystarczający
6.7 Prawo eliminacji implikacji
6.8 Gwarancje matematyczne w implikacji i równoważności
6.9 Operator chaosu
6.10 Operator śmierci

Część II
Algebra Kubusia: Nie tylko dla Orłów

7.0 Równania algebry Kubusia
7.1 Tworzenie równań algebry Kubusia
7.2 Minimalizacja funkcji logicznych
7.3 Osiem równań opisujących operator OR
7.4 Osiem równań opisujących operator AND
7.5 Logika zero

8.0 Pozostałe operatory algebry Kubusia
8.1 Abstrakcyjny model operatora logicznego
8.2 Operatory logiczne ~~> i N(~~>)
8.3 Operatory transmisji P i Q
8.4 Operatory negacji NP i NQ

9.0 Algebra zbiorów rozłącznych
9.1 Operator XOR
9.2 Nietypowe warunki wystarczające

10.0 Definicje operatorów w bramkach logicznych
10.1 Algebra Kubusia - czyż nie jest piękna?

Część III
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki

11.0 Złożone zdania naturalnego języka mówionego
11.1 Zdanie złożone ze spójnikiem „lub”(+)
11.2 Złożona implikacja prosta
11.3 Złożona implikacja odwrotna
11.4 Zdania złożone typu p+(q*r)
11.5 Zdania złożone typu p*(q+r)

12.0 Obietnice i groźby
12.1 Obietnica
12.2 Groźba
12.3 Obietnica w równaniach logicznych
12.4 Groźba w równaniach logicznych
12.5 Analiza złożonej obietnicy
12.6 Analiza złożonej groźby
12.7 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym
12.8 Rodzaje obietnic


1.0 Notacja

Algebra Kubusia to algebra dwuelementowa gdzie znane są tylko dwie cyferki 0 i 1

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady: p, q, r

~ - symbol przeczenia NIE
Fundament algebry Kubusia:
~1=0
~0=1
Wnioski:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli p=1 to ~p=0

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

Przykład:
Jutro będzie padało
Matematycznie powyższe zdanie jest równoważne zdaniu:
Jutro na pewno => będzie padało
J=>P =?
To nie jest zdanie w sensie matematycznym, bo nie da się określić jego prawdziwości.
Zbiór „będzie padło” może okazać się zbiorem pustym (gdy nie będzie padać), albo zbiorem niepustym (gdy będzie padać).
To zdanie może więc być albo prawdziwe, albo fałszywe.

ale!

Jutro może padać
J~~>P=1
To jest zdanie prawdziwe w sensie matematycznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

# - różne
Zbiór niepusty # zbiór pusty
Prawda # Fałsz
1 # 0

## - różne na mocy definicji

Prawa de’Morgana:
Prawa de’Morgana to pełne definicje operatorów OR i AND zapisane w równaniach algebry Kubusia.
p+q = ~(~p*~q) ## p*q = ~(~p+~q)
Definicja operatora OR ## Definicja operatora AND

Prawa Kubusia:
Prawa Kubusia to pełne definicje operatorów implikacji prostej i odwrotnej zapisane w równaniach algebry Kubusia.
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
Definicja operatora implikacji prostej ## Definicja operatora implikacji odwrotnej

Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z izolowanymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.

= - znak tożsamości

Tożsamość zbiorów:
A = B - identyczne elementy w zbiorach A i B

Tożsamość bramek logicznych:
Y = p*q = ~(~p+~q) - identyczne bramki logiczne
W dowolnym układzie logicznym w miejsce bramki:
Y=p*q
można wstawić bramkę:
Y = ~(~p+~q)
Takie bramki z punktu widzenia logiki są nierozróżnialne (tożsame), czyli generują identyczne tabele zero-jedynkowe (funkcje logiczne).

:= - symbol redukcji do funkcji minimalnej
Dla zbiorów rozłącznych p i q zachodzi:
p*~q := p

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+), =>, ~>, ~~>
W spójnikach =>, ~>, ~~> kolejność nie ma znaczenia bo są to operatory wyłącznie dwuargumentowe, czyli po lewej i prawej stronie tego znaku może być wyłącznie funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+)

Zdanie:
Zdanie w algebrze Kubusia to poprawne lingwistycznie zdanie sensowne któremu można przypisać prawdę lub fałsz, zrozumiałe dla człowieka.

Zdanie warunkowe:
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik
W algebrze Kubusia w zdaniu „Jeśli p to q” poprzednik musi być powiązany z następnikiem warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> albo naturalnym spójnikiem „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy. Inaczej zdanie jest fałszywe.

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.

Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q. Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.

Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia to matematyczny opis otaczającej nas rzeczywistości, w tym nieznanej przyszłości.

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, Y

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
W operatorach OR i AND, funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p*q - logika dodatnia bo Y
~Y=p*q - logika ujemna bo ~Y
W operatorach implikacji funkcja logiczna p=>q zapisana jest w logice dodatniej gdy q jest niezanegowane.
p=>q - logika dodatnia bo q
p=>~q - logika ujemna bo ~q

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Przykład 1.
Y=p+q
~Y=~p*~q
Przykład 2
p=>q
~p~>~q
Przykład 3.
(p+q) => (r*s)
(~p*~q)~>(~r+~s)

Fundament algebry Kubusia:
p+~p=1
p*~p=0

Kubusiowa teoria zbiorów:

W algebrze Kubusia rozróżniamy:
p=[1,2,3,4]
Konkretny zbiór z wyszczególnieniem wszystkich jego elementów ujętych w nawias kwadratowy.

od wartości logicznej zbioru!

W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną:
p=1 - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
p=0 - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu

Wartość logiczna zbioru to cyferki 0 albo 1, podane bez nawiasów kwadratowych.

p=[] - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu
p=0 - wartość logiczna zbioru pustego
p=[1,2,3,4] - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
p=1 - wartość logiczna zbioru niepustego

Dziedzina:
Zbiór który spełnia fundament algebry Kubusia:
p+~p=1
p*~p=0

p=[1,2,3,4] - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element

Dziedzina: Zbiór liczb naturalnych
p=[1,2,3,4]
~p = [5->oo]
5->oo - zbiór liczb naturalnych od 5 do nieskończoności

p+~p = 1+1 = 1 - zbiór pełny, tu zbiór liczb naturalnych
Zbiory p i ~p istnieją (p=1 i ~p=1), zbiór ~p jest dopełnieniem do dziedziny zbioru liczb naturalnych, stąd w wyniku 1
p*~p = 1*1 = 0
Zbiory p i ~p istnieją (p=1 i ~p=1), ale są rozłączne, stąd wynik iloczynu logicznego jest równy 0

Nasz Wszechświat:
P= pies (zbiór jednoelementowy)
Dziedzina: Zbiór wszystkich zwierząt

P - zbiór psów
~P - zbiór pozostałych zwierząt (kura, wąż, słoń …)
P+~P=1 - zbiór wszystkich zwierząt
Zbiory P i ~P istnieją (P=1 i ~P=1), zbiór ~P jest dopełnieniem zbioru P do dziedziny zbioru wszystkich zwierząt
P*~P=0 - iloczyn logiczny psów i NIE psów jest równy 0, zbiory rozłączne


2.0 Algebra Kubusia w pigułce

Algebra Kubusia w pigułce to streszczenie podręcznika, gołe definicje formalne.
Algebra Kubusia to algebra zbiorów dla potrzeb logiki.
Algebra Kubusia nie bada właściwości zbiorów, interesuje nas wyłącznie czy:
1 - zbiór istnieje, jest niepusty (zdanie prawdziwe)
0 - zbiór nie istnieje, jest pusty (zdanie fałszywe)

Operacje na zbiorach

1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
* - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q=[3,4]

2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
+ - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4,5,6]

3.
Różnica zbiorów to elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Y=p - q
gdzie:
„-„ - różnica zbiorów
Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]
Y = p - q = [1,2,3,4] - [1,2] = [3,4] - zbiór niepusty
Y = q - p = [1,2] - [1,2,3,4] = [] - zbiór pusty


2.1 Operatory OR i AND

Fundamentem operatorów OR i AND są zaledwie dwie definicje spójników logicznych “lub”(+) i “i”(*).

Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1

Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „i”(*):

[rafal3006]

5.2 Operator OR w zbiorach

Wyprowadzenie definicji operatora OR w zbiorach z aksjomatycznej definicji zero-jedynkowej:

[rafal3006]

6.4 Prawa kontrapozycji w implikacji

Implikację prostą i odwrotną traktowaliśmy wyżej jako dwa oddzielne zdania gdzie pod p i q możemy sobie podstawiać co nam się żywcem podoba. To są dwa niezależne układy logiczne i mamy prawo tak robić.

Diagram 1.
Punkt odniesienia:
p=[1,2]
~p=[3->oo]
q=[1,2,3,4,5,6]
~q=[7->oo]

Implikacja prosta w zbiorach.

Diagram 2.
p=[1,2,3,4,5,6]
~p=[7->oo]
q=[1,2]
~q=[3->oo]

Implikacja odwrotna w zbiorach.

To są dwa totalnie niezależne układy logiczne gdzie parametry p i q są totalnie niezależne. Pozorna kolizja zbiorów p i q nie ma tu żadnego znaczenia.

Oczywiście możemy ustalić sztywny punkt odniesienia na diagramie 1, to bez znaczenia.
Nasz diagram 2 przejdzie wówczas w diagram 3.

Diagram 3.
p=[1,2]
~p=[3->oo]
q=[1,2,3,4,5,6]
~q=[7->oo]

Implikacja odwrotna w zbiorach ze sztywnym punktem odniesienia ustawionym na diagramie 1.
p=[1,2]
~p=[3->oo]
q=[1,2,3,4,5,6]
~q=[7->oo]

A.
Jeśli zajdzie q to może ~> zajść p
q~>p=1
q~>p = q*p = [1,2,3,4,5,6]*[1,2]=[1,2]
q~>p = q*p = 1*1=1
B.
Jeśli zajdzie q to może ~~> zajść ~p
q~~>~p=1
q~~>~p = q*~p = [1,2,3,4,5,6]*[3->oo] = [3,4,5,6]
q~~>~p = 1*1=1
… a jeśli zajdzie ~q?
Prawo Kubusia:
q~>p = ~q=>~p
C.
Jeśli zajdzie ~q to na pewno => zajdzie ~p
~q=>~p=1
~q=>~p = ~q*~p = [7->oo]*[3->oo] = [7->oo]
~q=>~p = ~q*~p = 1*1=1
D.
Jeśli zajdzie ~q to może ~~> zajść q
~q~~>p=0
~q~~>p = ~q*p = [7->oo]*[1,2] =0
~q~~>p=1*1=0

Zauważmy że analiza matematyczna diagramu 2 i diagramu 3 niczym się nie różni, poza zamianą nazw p i q co jest bez znaczenia. W obu przypadkach warunkiem zachodzenia prawa Kubusia jest zachowanie ciągłości dziedziny, którą w naszym przypadku jest zbiór liczb naturalnych.

Na diagramach 2 i 3 mamy wyłącznie kolorowe obszary bez białych plam!

Fałszywość prawa kontrapozycji w implikacji

Prawo kontrapozycji w implikacji:
p=>q = ~q=>~p

W prawie kontrapozycji mamy ustalony sztywny punkt odniesienia na diagramie 1.
Diagram 1
p=[1,2]
~p=[3->oo]
q=[1,2,3,4,5,6]
~q=[7->oo]

Narysujmy diagram dla prawa kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p


Obalenie prawa kontrapozycji w implikacji

Doskonale widać białą plamę!

Prawo kontrapozycji nie obejmuje obszaru:
q~~>~p = q*~p = [1,2,3,4,5,6]*[3->oo] = [3,4,5,6]

Nie mamy zatem prawa postawić znaku tożsamości w prawie kontrapozycji dla implikacji.
cnd

Poprawny matematyczny zapis jest tu następujący.
Dla sztywnego punktu odniesienia ustalonym na zdaniu:
p=>q
zachodzi:
p=>q ## ~q=>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Śmieszność prawa kontrapozycji w implikacji widać szczególnie w implikacjach czasowych.
A.
Jeśli będzie padało to na pewno => otworzę parasol
P=>O=1
Prawo kontrapozycji:
P=>O = ~O=>~P
B.
Jeśli nie otworzę parasola to na pewno => nie będzie padało
~O=>~P=1

Prawo kontrapozycji jest poprawne wyłącznie w równoważności, co zostanie udowodnione w następnym punkcie.

W identyczny sposób można udowodnić fałszywość innego prawa z logiki Ziemian:
p=>q = q~>p



Błąd polega na tym, że brany jest poprawny warunek wystarczający z implikacji prostej:
p=>q=1

Natomiast w warunku koniecznym ~> zamieniane są nazwy p i q.
Zbiór:
q~>p=1
Jest wówczas dokładnie tym samym obszarem co:
p=>q=1

Dowód:
p=>q = p*q = [1,2]*[1,2,3,4,5,6] = [1,2]
q~>p = q*p = [1,2,3,4,5,6]*[1,2] = [1,2]

„Prawo” logiczne dotyczy więc wyłącznie obszaru zielonego, olbrzymia biała plama jest dowodem fałszywości prawa:
p=>q = q~>p
cnd

Poprawny matematyczny zapis jest tu następujący.
Dla sztywnego punktu odniesienia ustalonym na zdaniu:
p=>q
zachodzi:
p=>q ## q~>p
gdzie:
## - różne na mocy definicji


6.5 Równoważność

Definicja równoważności w zbiorach
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Wyprowadzenie definicji równoważności w zbiorach z aksjomatycznej definicji zero-jedynkowej:

[rafal3006]

7.0 Równania algebry Kubusia

Równania algebry Kubusia to naturalna logika człowieka.


7.1 Tworzenie równań algebry Kubusia

Poznamy teraz banalną technikę tworzenia równań algebry Kubusia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej, na przykładzie operatora OR.

Zero-jedynkowa definicja operatora OR:

[rafal3006]

11.0 Złożone zdania naturalnego języka mówionego

Człowiek w swoim naturalnym języku mówionym z reguły używa zdań prostych, łatwych w analizie matematycznej.

Co więcej, już 5-cio latki operują wyłącznie funkcjami minimalnymi.

Żaden 5-cio latek nie wypowiada zdań jak niżej:
A.
Pies ma cztery łapy lub szczeka
P=>4L+S =0 - zdanie fałszywe na mocy prawa Sowy.
B.
Pies ma cztery łapy lub nie szczeka
P=>4L+~S=0 - zdanie fałszywe na mocy prawa Sowy.

Dlaczego?
Oba powyższe zdania to błąd czysto matematyczny na mocy prawa Sowy.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z definicji operatora logicznego.

W naturalnym języku mówionym odpowiada to redukcji spójnika „lub”(+) do spójnika „i”(*).
Zdania A i B to świat totalnie zdeterminowany bo znamy z góry wartości logiczne p i q.
Dla psa mamy:
4L=1, ~4L=0
S=1, ~S=0

Pełna definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q +p*~q + ~p*q
Podstawiamy nasz przykład:
4L+S = (4L*S=1*1=1) + (4L*~S=1*0=0) + (~4L*S=0*1=0) := 4L*S
gdzie:
:= - symbol redukcji funkcji logicznej na mocy definicji spójnika „lub”(+)

Jedynym zdaniem prawdziwym będzie tu zdanie:
C.
Pies ma cztery łapy i szczeka
P=>4L*S=1*1=1
Wszelkie inne formy tego zdania będą matematycznie fałszywe.

Twierdzenie:
Dowolne zdanie z naturalnego języka mówionego musimy sprowadzić do zdania logicznie prawdziwego jak to zrobiono ze zdaniami A i B wyżej. Wtedy i tylko wtedy wolno nam stosować jakiekolwiek prawa logiczne.

Prawo Sowy jest tu brzytwą Ockhama, bezlitośnie obcinającą wszelkie zdaniowe śmiecie z naturalnego języka mówionego. Oczywiście wszyscy ludzie znają banalna algebrę Kubusia, dlatego możliwe są językowe niedomówienia, dowcip, porównania, przenośnie itd.

Prawo Sowy jest oczywistością, bo jak znamy w 100% rozwiązanie to składniki tego rozwiązania muszą być prawdziwe i połączone spójnikiem „i”.

Zdanie:
Jeśli Jan był w Warszawie to mógł zamordować
W~>Z
… a jeśli Jan nie był w Warszawie ?
Prawo Kubusia:
W~>Z = ~W=>~Z
Jeśli Jan nie był w Warszawie to na pewno nie zabił
~W=>~Z

Tego typu zdania są sensowne wyłącznie jeśli nie wiemy czy Jan jest mordercą.
Wtedy implikacjami w stylu jak wyżej dochodzimy prawdy.

Jeśli znamy prawdę „Jan nie był w Warszawie” to poprawne lingwistycznie zdanie jest wówczas takie:
Jan nie był w Warszawie i nie zamordował
J=>~W*~Z

Oczywiście sednem jest tu morderstwo, zatem po końcowym uproszczeniu:
Jan nie jest mordercą
J=>~M


11.1 Zdanie złożone ze spójnikiem „lub”(+)

Rozważmy zdanie:
A.
Dowolny kraj leży w Europie, Azji lub Afryce
Y=E+Az+Af
Dla uproszczenia celowo pominięto pozostałe kontynenty

Ogólna definicja spójnika „lub”(+) dla trzech zmiennych:
A.
Y=p+q+r
Y - wystąpi prawda, logika dodatnia bo Y
Y=1 <=> p=1 lub q=1 lub r=1
To samo w rozpisce szczegółowiej na podstawie szczegółowej definicji spójnika „lub”(+)
B.
Y=p+q+r = p*q*r+p*q*~r+p*~q*r+p*~q*~r+~p*q*r+~p*q*~r+~p*~q*r
… a kiedy wystąpi fałsz?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów
C.
~Y=~p*~q*~r
~Y - wystąpi fałsz, logika ujemna bo ~Y
Wyłącznie ta sekwencja iloczynu nie ma prawa pojawić się w równaniu B, pozostałe przypadki muszą być w równaniu B uwzględnione!

Wróćmy do naszego przykładu.
A.
Dowolny kraj leży w Europie, Azji lub Afryce
Y=E+Az+Af

Na mocy definicji spójnika „lub”(+) dla trzech zmiennych zdanie A będzie prawdziwe jeśli:
1: E*Az*Af =Y
lub
2: E*Az*~AF=Y
lub
3: E*~Az*Af=Y
lub
4: E*~Az*~Af=Y
lub
5: ~E*Az*Af=Y
lub
6: ~E*Az*~Af=Y
lub
11. ~E*~Az*Af=Y
… a kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę argumentów
8. ~E*~Az*~Af= ~Y

Zauważmy, że dowolny kraj musi gdzieś leżeć, zatem linia 8 będzie zawsze fałszem dla dowolnego, wylosowanego kraju

Losujemy kraj: Polska

Oczywiście w tym przypadku wyłącznie linia 4 będzie prawdziwa:
4.
Polska leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce
Y = E*~Az*~Af
Y=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1 = 1*1*1 =1
Ten punkt odniesienia determinuje:
E=1, ~E=0
~Az=1, Az=0
~Af=1, Af=0

Tabela zero-jedynkowa dla tego przypadku przybierze postać:
Y = E+Az+Af
czyli:
1: E*Az*Af =Y
1*0* 0 =0
lub
2: E*Az*~AF=Y
0*0*1=0
lub
3: E*~Az*Af=Y
0*1*0 =0
lub
Jedyne zdanie prawdziwe:
4: E*~Az*~Af=Y
1 1 1 =1
lub
5: ~E*Az*Af=Y
0*0*0 =0
lub
6: ~E*Az*~AF=Y
0*0*1 =0
lub
7. ~E*~Az*Af=Y
0*1*0 =0
… a kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę argumentów
8. ~E*~Az*~Af= ~Y
0*1*1 =0

Polska leży wyłącznie na jednym kontynencie, zatem otrzymaliśmy wyżej tabelę zero-jedynkową operatora AND dla zdania wypowiedzianego 4.

Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie wartości logiczne zmiennych są znane, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Dowód:
W przypadku spójnika „lub”(+) tylko i wyłącznie jedno zdanie może być prawdziwe spośród:
2^n-1
różnych zdań.
gdzie:
2^n - dwa do potęgi n
n - ilość zmiennych
Dla trzech zmiennych mamy:
2^n-1 = 2^3-1 = 8-1 = 7
Co jest zgodne z przykładem wyżej.

Z powyższego wynika, że jedynki w spójniku „lub” (zdania 1-7) wyrażają samą możliwość zajścia, że nie są to prawdy twarde, zachodzące zawsze, bez wyjątków.

Losujemy kraj: Rosja

Oczywiście w tym przypadku będzie prawdziwe wyłącznie zdanie 2.

Rosja leży w Europie i leży w Azji i nie leży w Afryce
Y=E*Az*~Af

Wszystkie pozostałe zdania będą tu fałszywe.
Mózg człowieka genialnie minimalizuje wszelkie funkcje logiczne.

Każde dziecko wypowie zdanie:
Dowolny kraj leży w Europie lub w Azji lub w Afryce
Y=E+Az+Af
(w celu uproszczenia ograniczamy liczbę kontynentów)

… ale już dla konkretnego kraju absolutnie nikt nie powie:
Polska leży w Europie lub w Azji lub w Afryce
P=E+Az+Af
bo doskonale wszyscy wiemy gdzie leży Polska.

W zagadkach takie zdanie jest jak najbardziej sensowne, ale przy znajomości rozwiązania jest bez sensu. Informacja precyzyjna po minimalizacji tej funkcji w sposób wyżej pokazany generuje jedynie słuszne zdanie:

Polska leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce
P = E*~Az*~Af
P=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1

Zauważmy, że takiego zdania również nikt nie wypowie z powodu znajomości rozwiązania.
W powyższym równaniu prawdy powstałe z negacji fałszu (~Az=1, ~AF=1) są bezwartościowe i każdy normalny człowiek je zignoruje wypowiadając zdanie precyzyjnie.

Polska leży w Europie
P=E

Zauważmy, że przy znajomości rozwiązania uwzględnianie w równaniu prawd powstałych z negacji fałszu jest bez sensu bo takich „prawd” jest nieskończenie wiele.

Przykład:
Polska leży w Europie i Polska to nie rzeka i Polska to nie wąsy dziadka ….
P = E * ~R * ~WD …
Formalnie to zdanie jest prawdziwe, tyle że sensu w tym nie ma.


11.2 Złożona implikacja prosta

A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C
To jest oczywiście zdanie intuicyjnie sensowne.
Zastanówmy się dlaczego!

Zajmijmy się na początek poprzednikiem.
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
P+K = P*K + P*~K + ~P*K
A: P*K = 1*1= 0
Zbiory P i K istnieją (P=1 i K=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
B: P*~K = P
Wspólną częścią zbiorów P i ~K jest zbiór psów
C: ~P*K = K
Wspólną częścią zbiorów ~P i K jest zbiór kotów
stąd:
P+K = P*K + P*~K + ~P*K = P+K
Poprzednika nie da się zminimalizować, ta funkcja jest minimalna.
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C

Następnik jest oczywiście prawdziwy, ale w iloczynie logicznym zawiera bezwartościową dla psa i kota prawdę powstałą z negacji fałszu. Ćwierkanie nie jest cechą ani psa, ani kota. Taką prawdę możemy usunąć, ale nie musimy tego robić.

Przeanalizujmy to zdanie w oryginale, bez minimalizacji następnika.

p=(P+K), q=(4L*~C), ~p=(~P*~K), ~q=(~4L+C)
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C=1 bo pies, kot
p=>q=1
Bycie psem lub kotem wystarcza aby mieć cztery łapy i nie ćwierkać
Zbiory:
(P+K)*(4L*~C)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(P+K)=1 i (4L*~C)=1) i mają cześć wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

Obliczenie ~q:
q=4L*~C
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację sygnałów i wymianę spójników na przeciwne
~q = ~4L+C
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to może ~~> nie mieć czterech łap lub ćwierkać
P+K ~~> ~4L+C =0
p~~>~q=0
Dla psa lub kota mamy tu determinizm:
~4L=0 i C=0
co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Zbiory:
(P+K)*(~4L+C)=1*1=0
Oba zbiory istnieją [(P+K)=1 i (~4L+C)=1] ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

... a jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Mamy A:
P+K => 4L*~C
stąd:
~P*~K~>~4L+C
To jest oczywiście prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
uzyskane metodą na skróty:
Mamy:
p=(P+K), q=(4L*~C), ~p=(~P*~K), ~q=(~4L+C)
~p~>~q = ~P*~K ~> ~4L+C
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem to może ~> nie mieć czterech łap lub ćwierkać
~P*~K~>~4L+C =1 bo kura, wąż (~4L=1), wróbelek (C=1)
~p~>~q=1
Nie bycie psem i nie bycie kotem jest warunkiem koniecznym aby nie mieć czterech łap lub ćwierkać
Zauważmy że jak wylosujemy zwierzaka i stwierdzimy iż nie ma czterech łap:
~4L=1
to już mamy pewność że to ani pies, ani kot, sprawdzać czy ćwierka nie musimy
Podobnie, jeśli wylosowany zwierzak ćwierka:
C=1
to już mamy pewność że to ani pies, ani kot, sprawdzać czy nie ma czterech łap nie musimy.
Dokładnie tak musi działać suma logiczna, spójnik „lub”(+)!
Zbiory:
(~P*~K)*(~4L+C)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(~P*~K)=1 i (~4L+C)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem to może ~~> mieć cztery łapy i nie ćwierkać
~P*~K~~>4L*~C=1 bo słoń, koń, hipopotam...
~p~~>q=1
Zbiory:
(~P*~K)*(4L*~C)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(~P*~K)=1 i (4L*~C)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone:
D: (~P*~K)~>(4L*~C) = B: (P+K) => (~4L+C) =0
Zdanie B jest fałszem zatem w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
mamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji prostej.

[rafal3006]

2012-08-15

5.6 Gwarancje matematyczne w implikacji i równoważności

Zacznijmy od równoważności.

Diagram równoważności:

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i jest tożsamy ze zbiorem q