 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Pon 8:31, 18 Sty 2021 Temat postu: Algebra Kubusia dla LO (Beta 2.0) |
|
|
18-01-2021
Algebra Kubusia dla LO przesunięta do wersji Beta ze względu na planowaną, dużą modyfikację w kierunku uproszczenia, a nie z powodu że coś jest tutaj źle.
10.0 Algebra Kubusia dla LO
10.1 Definicja implikacji prostej p|=>q
Spis treści
10.0 Algebra Kubusia dla LO 1
10.1 Układ minimalny implikacji prostej A|=>S 3
10.1.1 Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej A||=>S 10
10.1.2 warunek wystarczający => opisany spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 15
10.1.3 Dowód iż algebra Kubusia opisuje język potoczny 19
10.2 Układ minimalny implikacji odwrotnej S|~>A 23
10.0 Algebra Kubusia dla LO
Najprostszy wykład kompletnej logiki matematycznej w przykładach to omówienie czterech prostych układów sterowania żarówką poprzez różne zespoły przycisków.
Dlaczego najprostszy?
Bo układy fizyczne realizujące operatory implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q można fizycznie zbudować, dzięki czemu łatwo zrozumieć dlaczego ziemskim matematykom wychodzi zbędność implikacji odwrotnej p||~>q w logice matematycznej.
Matematycy robią po prostu nietrywialny błąd podstawienia którego nie wyłapali mając na to 2500 lat czasu - od Sokratesa, pioniera logiki matematycznej.
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” w obsłudze zdarzeń stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q
I.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
II.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
| Kod: |
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
AB12: | AB34:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
3.
Prawa kontrapozycji dla warunków wystarczających =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
4.
Prawa kontrapozycji dla warunków koniecznych ~>:
A2: ~p~>~q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
10.1 Układ minimalny implikacji prostej A|=>S
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q:
AB12: AB34:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5:~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A(x) i fałszywość dowolnego zdania serii B(x)
Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
| Kod: |
T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
AB12: | AB34:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
---------------------------------------------------------------
p|=>q=~p*q = ~p|~>~q=~p*q [=] q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wyprowadzenie definicji implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
stąd mamy:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
p|=>q = ~p*q
Warto zapamiętać różnicę:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
p=>q = ~p+q
Definicja implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = ~p*q
Wniosek:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) wskazuje jedyny prawdziwy kontrprzykład B2’ w tabeli AB12:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1
Na mocy definicji kontrprzykładu powyższy fakt wymusza fałszywy warunek wystarczający B2:
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
W implikacji prostej A|=>S drugi możliwy warunek wystarczający w układzie AB12 musi być prawdą:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Podstawowy schemat układu realizującego implikację prostą A|=>S w zdarzeniach jest następujący.
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
W
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Punkt odniesienia: przycisk A
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej W:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje A i B.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W. Oboje widzą dokładnie tą samą żarówkę S. Jaś nie widzi Zuzi, ani Zuzia nie widzi Jasia, ale oboje wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S1, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S1, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna).
Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna W będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(w) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(w) =1
oraz
f(w)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(w) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku W, gdzie daje się ustawić zarówno W=1 jak i W=0.
Przykład:
f(w) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty
Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte
Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S1 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S.
Warunkiem koniecznym, aby układ S1 był fizyczną, minimalną realizacją implikacji prostej A|=>S jest przyjęcie punktu odniesienia ustawionego na przycisku A.
Na początek musimy udowodnić, iż rzeczywiście układ S1 jest fizyczną realizacją implikacji prostej A|=>S.
Fizyczna realizacja implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta A|=>S to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie klawisza A jest (=1) wystarczające dla zaświecenia się żarówki S
##
B1: A~>S =0 - wciśnięcie klawisza A nie jest (=0) konieczne ~> dla zaświecenia się żarówki S
Gdzie:
## - różna na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Stąd mamy:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
Dowodzimy prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Stan zmiennej wolnej W jest bez znaczenia W=x gdzie x={0,1}
cnd
##
Dowodzimy fałszywości warunku koniecznego ~> B1:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =0
Wciśnięcie przycisku A (A=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> świecenia się żarówki S (S=1), bo żarówkę może zaświecić zmienna wolna W (gdy W=1), z definicji będąca poza naszą kontrolą.
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to zdania te nie są matematycznie tożsame. O różności matematycznej tych zdań decydują znaczki => i ~> wplecione w treść zdań.
Definicja warunku wystarczającego =>:
A=>S = ~A+S
##
Definicja warunku koniecznego ~>:
A~>S = A+~S
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Poprawność prawa Kameleona doskonale widać na przykładzie zdań A1 i B1 wyżej.
W tym momencie wali się fundament wszelkich logik „matematycznych” ziemian gdzie dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka są matematycznie tożsame … na mocy definicji!
Alternatywnie możemy tu skorzystać z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska:
B1: A~>S = B3: S=>A
B3.
Jeśli żarówka świeci się to na 100% => przycisk A jest wciśnięty
S=>A =0
Świecenie się żarówki S nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania, iż przycisk A jest wciśnięty, bo żarówkę może zaświecić zmienna wolna W (gdy W=1)
Stąd na mocy prawa Tygryska mamy:
B1: A~>S =0 - warunek konieczny ~> nie jest (=0) spełniony
cnd
Dopiero po udowodnieniu iż układ S1 jest fizyczną realizacją implikacji prostej A|=>S, co wyżej się stało, możemy skorzystać z gotowego szablonu implikacji prostej A|=>S wyrażonego spójnikami warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
| Kod: |
T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej A|=>S
AB12: | AB34:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S=1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: A~~>~S=0 = [=] = 4:~S~~>A =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: A~>S =0 = 2:~A=>~S=0 [=] 3: S=>A =0 = 4:~S~>~A =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
B’: = 2:~A~~>S=1 [=] 3: S~~>~A=1
---------------------------------------------------------------
p|=>q=~p*q = ~p|~>~q=~p*q [=] q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
A|=>S=~A*S = ~A|~>~S=~A*S [=] S|~>A=S*~A = ~S|=>~A=S*~A
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: A=>S=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: A~~>~S=A*~S=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~A=>~S=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~A~~>S =~A*S=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W tabeli T3 zachodzi:
I Prawo Kubusia:
A1: A=>S = A2: ~A~>~S =1
##
II Prawo Kubusia:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Z kolumny A1B1 odczytujemy:
Definicja implikacji prostej A|=>S w logice dodatniej (bo S):
A1B1:
Implikacja prosta A|=>S to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej A|=>S w równaniu logicznym:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = 1*~(0) =1*1 =1
Z kolumny A2B2 odczytujemy:
Definicja implikacji odwrotnej ~A|~>~S w logice ujemnej (bo ~S):
A2B2:
Implikacja odwrotna ~A|~>~S to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia się żarówki S
B2: ~A=>~S =0 - nie wciśnięcie A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia S
Stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej ~A|~>~S w równaniu logicznym:
~A|~>~S = (A2: ~A~>~S)*~(B2: ~A=>~S) =1*~(0) =1*1 =1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A|=>S = ~A|~>~S
Dowód:
Prawa Kubusia:
A1: A=>S = A2: ~A~>~S
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
stąd:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = (A2: ~A~>~S)*~(B2: ~A=>~S) = ~A|~>~S
cnd
Dowód matematycznie tożsamy.
Przejdźmy z powyższym na zapis formalny (ogólny) podstawiając:
p=A
q=S
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Mamy do udowodnienia tożsamość logiczną:
p|=>q = ~p|~>~q
Gdzie:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
oraz:
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
Prawe strony tożsamości logicznej są identyczne, co jest dowodem tożsamości logicznej:
p|=>q = ~p|~>~q
cnd
Definicja tożsamości logicznej „=”:
A|=>S = ~A|~>~S
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Wniosek:
Zachodzi tożsamość matematyczna pojęć:
Tożsamość logiczna „=” to spójnik „wtedy i tylko wtedy” <=> i odwrotnie.
W AK możemy używać obu znaczków „=” i <=> wymiennie co poprawia czytelność zapisów.
Podstawa matematyczna do wymiennego używania znaczków „=” i <=>:
Każda tożsamość matematyczna „=” spełnia definicję równoważności <=> i odwrotnie.
Dowód na przykładzie:
2=2 - tożsamość z matematyki klasycznej
Definicja równoważności <=>:
p<=>q = (A1: p=>q)*(A2: p~>q) =1*1 =1
Po podstawieniu:
p=2
q=2
mamy:
2<=>2 = (A1: 2=>2)*(B1: 2~>2)=1*1 =1
bo:
A1: 2=>2 =1 - każde pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
B1: 2~>2 =1 - każde pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd
Pojęcia A i ~A są rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny D:
A+~A =1 =D - ~A jest uzupełnieniem do dziedziny dla A
A*~A=[] =0 - zdarzenia A i ~A są rozłączne
Dziedziną jest w tym przypadku suma logiczna wszystkich możliwych zdarzeń w temacie wciśniętego przycisku A (A=1) oraz nie wciśniętego przycisku A (~A=1).
Przycisk A może być tylko i wyłącznie wciśnięty (A=1) albo($) nie wciśnięty (~A=1).
Dowód:
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q
Po podstawieniu:
p=A
q=~A
mamy:
A$~A = A*~(~A) + ~(A)*~A = A+~A =1
Oczywiście równoważność p<=>q definiująca tożsamość pojęć p=q musi być tu fałszem.
Dowód:
Definicja równoważności p<=>q:
p<=>q = p*q + ~p*~q
Po podstawieniu:
p=A
q=~A
mamy:
A<=>~A = A*(~A) + ~(A)*~(~A) = A*~A + ~A*A = []+[] =0
cnd
10.1.1 Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej A||=>S
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
W
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Punkt odniesienia: przycisk A
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A
|
Fakt iż powyższy schemat jest fizyczną realizacją implikacji prostej A|=>S udowodniliśmy wyżej.
Stąd mamy:
| Kod: |
T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w A|=>S
AB12: | AB34:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S=1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: A~~>~S=0 = [=] = 4:~S~~>A =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: A~>S =0 = 2:~A=>~S=0 [=] 3: S=>A =0 = 4:~S~>~A =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
B’: = 2:~A~~>S=1 [=] 3: S~~>~A=1
---------------------------------------------------------------
p|=>q=~p*q = ~p|~>~q=~p*q [=] q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
A|=>S=~A*S = ~A|~>~S=~A*S [=] S|~>A=S*~A = ~S|=>~A=S*~A
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: A=>S=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: A~~>~S=A*~S=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~A=>~S=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~A~~>S =~A*S=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora implikacji prostej A||=>S w logice dodatniej (bo S):
Operator implikacji prostej A||=>S w logice dodatniej (bo S) to odpowiedź w spójnikach implikacji prostej A|=>S i implikacji odwrotnej ~A|~>~S na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta A|=>S w logice dodatniej (bo S):
Implikacja prosta A|=>S to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1B1:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = 1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: A~~>~S = A*~S =0 - nie jest możliwe (=0) zdarzenie: wciśnięty A (A=1) i nie świeci S (~S=1)
Analiza szczegółowa w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
Odpowiedź:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka świeci się (S=1) - mówi o tym zdanie A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna ~>
Stan zmiennej wolnej W jest tu bez znaczenia: W=x gdzie x={0,1}
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1: A=>S=1 musi być fałszem
A1’.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0
Nie jest możliwe (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Stan zmiennej wolnej W jest tu bez znaczenia: W=x gdzie x={0,1}
Komentarz:
I.
Warunek wystarczający A=>S to zdanie A1
II.
Implikacja prosta A|=>S to:
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = 1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: A~~>~S = A*~S =0 - nie jest możliwe (=0) zdarzenie: wciśnięty A (A=1) i nie świeci S (~S=1)
III.
Operator implikacji prostej A||=>S to układ równań logicznych A1B1 i A2B2:
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = 1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: A~~>~S = A*~S =0 - nie jest możliwe (=0) zdarzenie: wciśnięty A (A=1) i nie świeci S (~S=1)
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla nie świecenia S
B2: ~A=>~S =0 - nie wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla nie świecenia S
~A|~>~S = (A2: ~A~>~S)*~(B2: ~A=>~S) = 1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Fałszywość warunku wystarczającego B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~A~~>S = ~A*S=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci (S=1)
gdy zmienna wolna W będzie ustawiona na W=1.
Definicja operatora implikacji odwrotnej ~A||~>~S w logice ujemnej (bo ~S):
Operator implikacji odwrotnej ~A||~>~S w logice ujemnej (bo ~S) to odpowiedź w spójnikach implikacji odwrotnej ~A|~>~S i implikacji prostej A|=>S na dwa pytania 2 i 1:
2.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
Kolumna AB2:
Implikacja odwrotna ~A|~>~S w logice ujemnej (bo ~S):
Implikacja odwrotna ~A|~>~S to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2B2:
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla nie świecenia S
B2: ~A=>~S =0 - nie wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla nie świecenia S
~A|~>~S = (A2: ~A~>~S)*~(B2: ~A=>~S) = 1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Fałszywość warunku wystarczającego B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~A~~>S = ~A*S=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci (S=1)
gdy zmienna wolna W będzie ustawiona na W=1.
Analiza szczegółowa.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
Odpowiedź:
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
A2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
~A~>~S =1
Zdarzenie możliwe ~> (=1), gdy zmienna wolna W będzie ustawiona na W=0
Nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia się żarówki S (~S=1) bo jak przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~A~>~S = A1: A=>S
LUB
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2:~A=>~S=0 musi być prawdą
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
Zdarzenie możliwe (=1) bowiem zmienna wolna W będąca poza naszą kontrolą z definicji, może być ustawiona na W=1 (żarówka świeci się)
Komentarz:
I.
Warunek konieczny ~A~>~S to zdanie A2
II.
Implikacja odwrotna ~A|~>~S to:
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli przyciska A nie jest wciśnięty (~A=1)?
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla nie świecenia S
B2: ~A=>~S =0 - nie wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla nie świecenia S
~A|~>~S = (A2: ~A~>~S)*~(B2: ~A=>~S) = 1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Fałszywość warunku wystarczającego B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~A~~>S = ~A*S=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci (S=1)
gdy zmienna wolna W będzie ustawiona na W=1.
III.
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1:
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli przyciska A nie jest wciśnięty (~A=1)?
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla nie świecenia S
B2: ~A=>~S =0 - nie wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla nie świecenia S
~A|~>~S = (A2: ~A~>~S)*~(B2: ~A=>~S) = 1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Fałszywość warunku wystarczającego B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~A~~>S = ~A*S=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci (S=1)
gdy zmienna wolna W będzie ustawiona na W=1.
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = 1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: A~~>~S = A*~S =0 - nie jest możliwe (=0) zdarzenie: wciśnięty A (A=1) i nie świeci S (~S=1)
Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy:
| Kod: |
T4
Y ~Y Analiza w logice dodatniej dla Y:
A1: A=> S =1 0 - wciśnięcie A wystarcza => dla świecenia S
A1’: A~~>~S=0 1 - nie jest możliwe (=0): wciśnięty A i nie świeci S
A2: ~A~>~S =1 0 - nie wciśnięcie A jest konieczne ~> dla nie świecenia S
B2’:~A~~>S =1 0 - możliwe jest (=1): nie wciśnięty A i świeci S
|
Podsumowanie:
Operator implikacji prostej A||=>S to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to mamy gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S.
Mówi o tym warunek wystarczający A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Stan zmiennej wolnej W jest tu bez znaczenia, W=x gdzie x={0,1}
2.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetę” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’.
A2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
~A~>~S =1 - gdy zmienna wolna jest ustawiona na W=0
LUB
B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1 - gdy zmienna wolna W jest ustawiona na W=1
10.1.2 warunek wystarczający => opisany spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
W
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Punkt odniesienia: przycisk A
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A
|
Warunek wystarczający => wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) opisana jest równaniem logicznym:
Y = (A=>S) = ~A+S
Definicja operatora OR(}+):
Dla dowolnej funkcji logicznej Y=f(x) operator OR(|+) to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Kiedy zajdzie Y (Y=1)
2.
Kidy zajdzie ~Y (~Y=1)
W przełożeniu na nasz przykład odpowiada to pytaniom:
1.
Które zdarzenia są możliwe (Y=1)?
2.
Które zdarzenia nie są możliwe (~Y=1)?
Znaczenie symboli:
Y=1 - zdarzenie możliwe
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że możliwe jest zdarzenie Y (Y=1)
~Y=1 - zdarzenie niemożliwe
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że nie jest możliwe (~) zdarzenie Y (~Y=1)
Zajmijmy się naszym przykładem:
1’
Y = (A=>S) = ~A+S
W tym przypadku najprostsze podejście do problemu to rozstrzygnięcie które zdarzenia nie są możliwe (~Y=1).
Negujemy w tym celu dwustronnie równanie 1’:
~Y = ~(A=>S) = ~(~A+S) = A*~S - na mocy prawa De Morgana
Stąd mamy:
Odpowiedź na pytanie 2:
2.
Które zdarzenia nie są możliwe (~Y=1)?
B: ~Y=A*~S
co w logice jedynek oznacza:
B: ~Y=1 <=> A=1 i ~S=1
Czytamy:
Zdarzenie niemożliwe (~Y=1) to:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
~Y=A*~S =1
Doskonale to widać na schemacie S1.
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1)= (Y=0)
stąd zapis tożsamy:
B: Y=0 <=> A=1 i ~S=1
Czytamy:
Fałszem jest że możliwe jest zdarzenie Y (Y=0):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Y=0 <=> A=1 i ~S=1
Zauważmy, ze tego zapisu nie da się zapisać w domyślnym równaniu algebry Boole’a bowiem w funkcji alternatywno-koniunkcyjnej domyślna wartość logiczna wszystkich zmiennych binarnych jest równa 1.
Odpowiedzmy teraz na pytanie 1
1.
Które zdarzenia są możliwe (Y=1)?
Oczywistym jest że wszelkie zdarzenia nie uwzględnione w równaniu 1 będą prawdziwe.
Stąd mamy rozłączne zdarzenia możliwe:
Y = A: A*S + C:~A*~S + D: ~A*S
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: A=1 i S=1 lub C: ~A=1 i ~S=1 lub D: ~A=1 i S=1
Czytamy:
Zdarzenia możliwe (Y=1) to:
A: Ya = A*S=1*1 =1 - możliwe jest zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci (S=1)
lub
C: Yb = ~A*~S=1*1=1 - możliwe jest zdarzenie: A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci (~S=1)
lub
D: Yd = ~A*S =1*1 =1 - możliwe jest zdarzenie: A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci (S=1)
Doskonale to widać na schemacie S1
Pozostaje nam udowodnić tożsamość logiczną:
Y = (A=>S) = A: A*S + C:~A*~S + D: ~A*S
Przejdźmy na zapisy formalne (ogólne) podstawiając:
p=A
q=S
stąd mamy:
Y = (p=>q) = p*q + ~p*~q + ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*q +~p*(~q+q)
Y = ~p + (p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = p*(~p+~q) = p*~p+p*~q
~Y = p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = ~p+q
Po odtworzeniu zmiennych aktualnych (z przykładu) mamy:
Y = (A=>S) = ~A+S = A: A*S + C:~A*~S + D: ~A*S
cnd
Oczywistym jest ze zdarzenia A, C i D są rozłączne matematycznie i fizycznie.
Dowód matematyczny:
A*C = (A*S)*(~A*~S) =[] =0
A*D = (A*S)*(~A*S) = [] =0
C*D = (~A*~S)*(~A*S) =[] =0
cnd
Otwórzmy na zakończenie tabelę zero-jedynkową warunku wystarczającego =>.
Zapiszmy w tym celu naszą analizę w postaci tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Analiza |Co w logice
symboliczna S1 |jedynek oznacza
Y ~Y | Y
A: A* S =1 =0 |( A=1)*( S=1) =1
B: A*~S =0 =1 |( A=1)*(~S=1) =0
C:~A*~S =1 =0 |(~A=1)*(~S=1) =1
D:~A* S =1 =0 |(~A=1)*( S=1) =1
a b c d e f g
|
Przejdźmy z powyższą tabelę na zapis formalny (ogólny) podstawiając:
p=A
q=S
stąd mamy:
| Kod: |
T1
Analiza |Co w logice
symboliczna S1 |jedynek oznacza
Y ~Y | Y
A: p* q =1 =0 |( p=1)*( q=1) =1
B: p*~q =0 =1 |( p=1)*(~q=1) =0
C:~p*~q =1 =0 |(~p=1)*(~q=1) =1
D:~p* q =1 =0 |(~p=1)*( q=1) =1
a b c d e f g
|
Mamy nasze równanie warunku wystarczającego =>:
Y = (p=>q)=~p+q
W warunku wystarczającym =>:
p=>q
mamy do czynie ze zmiennymi niezanegowanymi
Wniosek:
Aby otrzymać tabelę zero-jedynkową warunku wystarczającego => musimy wszystkie zmienne w tabeli T1 sprowadzić do postaci niezanegowanej.
To jest zadani trywialne dzięki prawu Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
Stąd mamy:
| Kod: |
T1
Analiza |Co w logice |Punkt odniesienia |Tabela matematycznie
symboliczna S1 |jedynek oznacza | p=>q |tożsama
Y ~Y | Y | Y | p q p=>q
A: p* q =1 =0 |( p=1)*( q=1) =1 |( p=1)*( q=1)=1 | 1=>1 =1
B: p*~q =0 =1 |( p=1)*(~q=1) =0 |( p=1)*( q=0)=0 | 1=>0 =0
C:~p*~q =1 =0 |(~p=1)*(~q=1) =1 |( p=0)*( q=0)=1 | 0=>0 =1
D:~p* q =1 =0 |(~p=1)*( q=1) =1 |( p=0)*( q=1)=1 | 0=>1 =1
a b c d e f g h i j 1 2 3
|
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Podsumowanie:
Zauważmy, ze po przejściu z definicją warunku wystarczającego p=>q do spójników „i”(*) i „lub”(+) o żadnym „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” mowy być nie może bowiem na mocy definicji operatora OR(|+) rozstrzygany tu tylko i wyłącznie dwie sprawy:
1.
Które zdarzenie są możliwe (Y)
Y = ~p+q
2.
Które zdarzenie nie są możliwe (~Y)
~Y=p*~q
Między funkcjami logicznymi Y i ~Y zachodzi definicja spójnika „albo”($).
Dowód:
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q
Nasz przykład:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y$~Y = Y*~(~Y) + ~Y*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y = Y+~Y =1
cnd
Oczywistym jest, ze relacja równoważności p<=>q definiująca tożsamość pojęć p=q musi tu być fałszem.
Dowód:
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Nasz przykład:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y<=>~Y = Y*(~Y) + ~Y*~(~Y) = Y*~Y + ~Y*Y = []+[] =0+0 =0
10.1.3 Dowód iż algebra Kubusia opisuje język potoczny
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
W
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Punkt odniesienia: przycisk A
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej W:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje A i B.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W. Oboje widzą dokładnie tą samą żarówkę S. Jaś nie widzi Zuzi, ani Zuzia nie widzi Jasia, ale oboje wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S1, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S1, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna).
Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.
Załóżmy, że udowodniliśmy iż schemat S1 jest fizyczną realizacją implikacji prostej A|=>S.
Znamy wówczas szczegółową definicję implikacji prostej A|=>S opisaną warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~> jak niżej:
| Kod: |
T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej A|=>S
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S=1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: A~~>~S=0 = [=] = 4:~S~~>A =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: A~>S =0 = 2:~A=>~S=0 [=] 3: S=>A =0 = 4:~S~>~A =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
B’: = 2:~A~~>S=1 [=] 3: S~~>~A=1
---------------------------------------------------------------
p|=>q=~p*q = ~p|~>~q=~p*q [=] q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
A|=>S=~A*S = ~A|~>~S=~A*S [=] S|~>A=S*~A = ~S|=>~A=S*~A
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: A=>S=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: A~~>~S=A*~S=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~A=>~S=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~A~~>S =~A*S=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W tabeli T3 zachodzi:
I Prawo Kubusia:
A1: A=>S = A2: ~A~>~S =1
##
II Prawo Kubusia:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku B2: ~A=>~S =0 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
Możliwe jest zdarzenie: nie wciśnięty przycisk A (~A=1) i żarówka świeci się (S=1), gdy zmienna wolna W będzie ustawiona na 1.
Mając udowodnioną prawdziwość kontrprzykładu B2’ dodatkowo jest nam potrzebne ~> i wystarczające => udowodnienie prawdziwości dowolnego zdania serii A(x), być w 100% pewnym, iż układ S1 jest fizyczną realizacją implikacji prostej A|=>S.
Wybieramy zdanie A1 bo warunek wystarczający => zawsze łatwiej się dowodzi ze względu na istnienie tu i tylko tu definicji kontrprzykładu.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S.
Zawsze gdy wciśniemy przycisk A, świeci się żarówka S - stan zmiennej wolnej W jest tu bez znaczenia.
Wniosek:
Układ S1 jest fizyczną realizacją implikacji prostej A|=>S
cnd
Udajmy się na lekcję fizyki w I klasie LO (póki co w 100-milowym lesie).
1.
Pan od fizyki:
Załóżmy, że na schemacie S1 przycisk W jest zmienną wolną, zaś punktem odniesienia jest przycisk A.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Jasiu, co możesz powiedzieć o świeceniu bądź nie świeceniu się żarówki gdy przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
Jaś:
A1.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S (S=1)
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zawsze gdy wciśniemy przycisk A żarówka zaświeci się (S=1) - stan zmiennej wolnej W jest bez znaczenia tzn. może być W=x, gdzie x={0,1}
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
2.
Pan od fizyki:
Jasiu, czy możesz zapisać zdanie warunkowe „Jeśli p to q” będące kontrprzykładem dla warunku wystarczającego B2?
Jaś:
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem inaczej fizyka leży w gruzach.
Sprawdzamy:
B2’
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0
Nie jest możliwe (=0) zdarzenie: klawisz A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
2.
Pan od fizyki:
Jasiu, co możesz powiedzieć o świeceniu bądź nie świeceniu się żarówki gdy przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
Jaś:
Odpowiadam na pytanie co może się wydarzyć z żarówką gdy przycisk A nie będzie wciśnięty:
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty to mamy matematyczno-fizyczny przypadek o jakim największym ziemskim matematykom i filozofom się nie śniło.
Dlaczego się nie śniło?
Dlatego!
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
A2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
~A~>~S =1
Nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) nie jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia się żarówki S (~S=1), bo klawisz A może nie być wciśnięty a mimo wszystko żarówka może się świecić, gdy zmienna wolna W=1.
Nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia się żarówki S (~S=1) bo jak przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~A~>~S = A1: A=>S =1
LUB
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku B2: ~A=>~S =0 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie wciśnięty przycisk A (~A=1) i żarówka świeci się (S=1), gdy zmienna wolna W będzie ustawiona na 1.
Innymi słowy:
Zauważmy, że zdarzenia A2 i B2’ są rozłączne, czyli po losowaniu (konkretnym iterowaniu) tylko jedno ze zdarzeń będzie miało szansę być prawdą, drugie będzie fałszem.
A2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka S może ~> się nie świecić (~S=1)
~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A jest konieczne ~> dla nie świecenia S
W tym przypadku po losowaniu (iterowaniu) prawdziwe będzie zdanie A2 i fałszywe B2’
ALBO!
B2’
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1 - zdarzenie możliwe gdy zmienna wolna W=1
W tym przypadku po losowaniu (iterowaniu) fałszywe będzie zdanie A2 i prawdziwe B2’
10.2 Układ minimalny implikacji odwrotnej S|~>A
Przypomnijmy sobie omówiony wyżej układ implikacji prostej A|=>S:
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
W
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Punkt odniesienia: przycisk A
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A
|
Tabela prawdy dla układu S1 z punktem odniesienia ustawionym na przycisku A jest następująca.
| Kod: |
T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej A|=>S
AB12: | AB34:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S=1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: A~~>~S=0 = [=] = 4:~S~~>A =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: A~>S =0 = 2:~A=>~S=0 [=] 3: S=>A =0 = 4:~S~>~A =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
B’: = 2:~A~~>S=1 [=] 3: S~~>~A=1
---------------------------------------------------------------
p|=>q=~p*q = ~p|~>~q=~p*q [=] q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
A|=>S=~A*S = ~A|~>~S=~A*S [=] S|~>A=S*~A = ~S|=>~A=S*~A
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: A=>S=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: A~~>~S=A*~S=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~A=>~S=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~A~~>S =~A*S=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Spójrzmy na omówiony wyżej schemat S1 z innego punktu odniesienia.
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej S|~>A w zdarzeniach:
S|~>A = (A3: S~>A)*~(B3: S=>A)=1*~(0)=1*1 =1
W
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Punkt odniesienia: żarówka S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji odwrotnej S|~>A jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A
|
Definicja implikacji odwrotnej S|~>A:
Implikacja odwrotne S|~>A to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Z tabeli prawdy T3 odczytujemy:
A3: S~>A =1 - świecenie S jest warunkiem koniecznym ~> dla wnioskowania o wciśniętym A
B3: S=>A =0 - świecenie S nie jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania o wciśniętym A
stąd mamy implikację odwrotną S|~>A opisaną równaniem logicznym:
S|~>A = (A3: S~>A)*~(B3: S=>A) = 1*~(0) =1*1 =1
Analiza szczegółowa zdań składowych A3 i B3:
A3.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to przycisk A może ~> być wciśnięty (A=1)
S~>A =1
Świecenie się żarówki (S=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla wnioskowania o wciśniętym przycisku A (A=1), bo jak żarówka nie świeci się (~S=1) to przycisk A na 100% => nie jest wciśnięty (~A=1)
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: S~>A = B2: ~S=>~A
B3.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to na 100% => przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S=>A =0
Świecenie żarówki nie jest (=0) jest wystarczające => dla wnioskowania o wciśniętym przycisku A, bo żarówka A może się świecić przy nie wciśniętym przycisku A, gdy zmienna wolna W ustawiona jest na W=1
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej S|~>A w równaniu logicznym:
S|~>A = (A3: S~>A)*~(B3: S=>A) = 1*~(0) =1*1 =1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna implikacji:
S|~>A = A|=>S
Dowód:
Mamy udowodnioną prawdziwość implikacji odwrotnej S|~>A:
S|~>A = (A3: S~>A)*~(B3: S=>A)
Prawa Tygryska:
A3: S~>A = A1: A=>S
B3: S=>A = B1: A~>S
stąd mamy:
S|~>A = (A3: S~>A)*~(B3: S=>A) = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = A|=>S
cnd
Podsumowanie:
Otaczająca nas rzeczywistość zależy od punktu odniesienia.
Dowód:
| Kod: |
S1 Schemat 1
W
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Punkt odniesienia: ?
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
|
Ten sam układ fizyczny S1 może być:
1.
Minimalną, fizyczną realizacją implikacji prostej A|=>S dla punktu odniesienia ustawionym na przycisku A:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S, bo może być A=0 i W=1.
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =1*~(0)=1*1 =1
ALBO
2.
Minimalną, fizyczną realizacją implikacji odwrotnej S|~>A dla punktu odniesienia ustawionym na żarówce S:
A3: S~>A =1 - świecenie żarówki S (S=1) jest konieczne ~> dla wnioskowania o wciśniętym A (A=1)
bo jak żarówka nie świeci (~S=1) to na 100% => przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A3: S~>A = A4: ~S=>~A
B3: S=>A =0 - świecenie S nie jest wystarczające => dla wnioskowania o wciśniętym przycisku A
bo żarówka będzie się świecić gdy zmienna wolna W=1, stan przycisku A jest wówczas bez znaczenia.
Stąd mamy:
S|~>A = (A3: S~>A)*~(B3: S=>A) = 1*~(0)=1*1 =1
Uwaga:
Szczegółowa analiza operatora implikacji odwrotnej S||~>A będzie analogiczna do przedstawionej wyżej analizy operatora implikacji prostej A||=>S.
Pozostawiam to czytelnikowi jako zadanie domowe.
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 8:32, 18 Sty 2021 Temat postu: |
|
|
10.2 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Spis treści
10.2 Fizyczna realizacja implikacji odwrotnej A|~>S 1
10.2.1 Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A||~>S 7
10.2.2 Dlaczego logika matematyczna ziemian nie widzi „rzucania monetą”? 11
10.2 Fizyczna realizacja implikacji odwrotnej A|~>S
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:[/b]
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest (=0) spełniony
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> jest (=1) spełniony
Stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 =1*1 =1
Stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q:
AB12: | AB34:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5:~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii A(x) i prawdziwość dowolnego zdania serii B(x)
Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
| Kod: |
T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q
AB12: | AB34:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
---------------------------------------------------------------
p|~>q=p*~q = ~p|=>~q=p*~q [=] q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
stąd mamy:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
p|~>q = p*~q
Warto zapamiętać różnicę:
Definicja warunku koniecznego p~>q:
p~>q = p+~q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = p*~q
Wniosek:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) wskazuje jedyny prawdziwy kontrprzykład A1’ w tabeli AB12:
A1’: p~~>~q = p*~q =1
Na mocy definicji kontrprzykładu powyższy fakt jest dowodem iż w układzie występuje wyłącznie jeden fałszywy warunek wystarczający => A1.
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
cnd
Drugi możliwy warunek wystarczający w układzie AB12 musi być prawdą:
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Podstawowy schemat układu realizującego implikację odwrotną A|~>S w zdarzeniach jest następujący.
| Kod: |
S2 Schemat 2
Fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1=1
S A W
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-------o o------
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
--------------------------------------------------
Punkt odniesienia: przycisk A
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej szeregowo z przyciskiem A
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej W:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje A i B.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W. Oboje widzą dokładnie tą samą żarówkę S. Jaś nie widzi Zuzi, ani Zuzia nie widzi Jasia, ale oboje wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S2, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S2, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna).
Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna W będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(w) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(w) =1
oraz
f(w)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(w) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku W, gdzie daje się ustawić zarówno W=1 jak i W=0.
Przykład:
f(w) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty
Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte
Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S1 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S
Warunkiem koniecznym, aby układ S1 był fizyczną, minimalną realizacją implikacji odwrotnej A|~>S jest przyjęcie punktu odniesienia ustawionego na przycisku A.
Na początek musimy udowodnić, iż rzeczywiście układ S2 jest fizyczną realizacją implikacji odwrotnej A|~>S.
Fizyczna realizacja implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A1B1:
Implikacja odwrotna A|~>S to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające dla zaświecenia się żarówki S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla zaświecenia się żarówki S
stąd:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1 =1*1=1
Dowodzimy prawdziwości warunku koniecznego ~> B1:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to żarówka może ~> się świecić
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla zaświecenia się żarówki S, koniecznym dlatego, że zmienna wolna W do której nie mamy dostępu musi być ustawiona na W=1.
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> świecenia się żarówki S (S=1), bo jak przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1).
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
stąd:
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Warunek wystarczający => jest spełniony (=1) bo przycisk A i zmienna wolna W są połączone szeregowo.
cnd
Dowodzimy fałszywości warunku wystarczającego => A1 między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku co zdania B1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S.
Nie zawsze gdy wciśniemy przycisk A (A=1), zaświeci się żarówka S (S=1), bowiem wszystko tu zależy od zmiennej wolnej W która przyjmuje losowe wartości logiczne poza świadomością człowieka.
Wniosek:
Układ S2 to fizyczna realizacja implikacji odwrotnej A|~>S:
A1B1:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) = ~(0)*1 =1*1 =1
Dopiero po udowodnieniu iż układ S2 jest fizyczną realizacją implikacji odwrotnej A|~>S, co wyżej się stało, możemy skorzystać z gotowego szablonu implikacji odwrotnej A|~>S wyrażonego spójnikami warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
| Kod: |
T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q
AB12: | AB34:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: A=>S =0 = 2:~A~>~S=0 [=] 3: S~>A =0 = 4:~S=>~A =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A’: 1: A~~>~S=1 = [=] = 4:~S~~>A =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: A~>S =1 = 2:~A=>~S=1 [=] 3: S=>A =1 = 4:~S~>~A =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
B’: = 2:~A~~>S=0 [=] 3: S~~>~A=0
---------------------------------------------------------------
p|~>q=p*~q = ~p|=>~q=p*~q [=] q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
A|~>S=A*~S = ~A|=>~S=A*~S [=] S|=>A=~S*A = ~S|~>~A=~S*A
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: A=>S=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: A~~>~S=A*~S=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~A=>~S=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~A~~>S =~A*S=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W tabeli T3 zachodzi:
I Prawo Kubusia:
A1: A=>S = A2: ~A~>~S =0
##
II Prawo Kubusia:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Z kolumny A1B1 odczytujemy:
Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w logice dodatniej (bo S):
A1B1:
Implikacja odwrotna A|~>S w logice dodatniej (bo S) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla nie świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
Stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w równaniu logicznym:
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1 =1*1 =1
Z kolumny A2B2 odczytujemy:
Definicja implikacji prostej ~A|=>~S w logice ujemnej (bo ~S):
A2B2:
Implikacja prosta ~A|=>~S w logice ujemnej (bo ~S) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~A~>~S =0 - nie wciśnięcie A nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia żarówki S
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A jest (=1) warunkiem wystarczającym => nie dla świecenia żarówki S
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej ~A=>~S w równaniu logicznym:
~A|=>~S = ~(A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =~(0)*1 =1*1 =1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A|~>S = ~A|=>~S
Dowód:
Prawa Kubusia:
A1: A=>S = A2: ~A~>~S
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
stąd:
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) = ~(A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) = ~A|=>~S
cnd
Dowód matematycznie tożsamy.
Przejdźmy na zapisy formalne (ogólne) podstawiając:
p=A
q=S
stąd mamy:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
stąd mamy:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
oraz:
~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
Stąd mamy:
p|~>q = ~p|=>~q
cnd
Definicja tożsamości logicznej „=”:
A|~>S = ~A|=>~S
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Wniosek:
Zachodzi tożsamość matematyczna pojęć:
Tożsamość logiczna „=” to spójnik „wtedy i tylko wtedy” <=> i odwrotnie.
W AK możemy używać obu znaczków „=” i <=> wymiennie co poprawia czytelność zapisów.
Podstawa matematyczna do wymiennego używania znaczków „=” i <=>:
Każda tożsamość matematyczna „=” spełnia definicję równoważności <=> i odwrotnie.
Dowód na przykładzie:
2=2 - tożsamość z matematyki klasycznej
Definicja równoważności <=>:
p<=>q = (A1: p=>q)*(A2: p~>q) =1*1 =1
Po podstawieniu:
p=2
q=2
mamy:
2<=>2 = (A1: 2=>2)*(B1: 2~>2)=1*1 =1
bo:
A1: 2=>2 =1 - każde pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
B1: 2~>2 =1 - każde pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd
Pojęcia A i ~A są rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny D:
A+~A =1 =D - ~A jest uzupełnieniem do dziedziny dla A
Definicja dziedziny dla przycisku A:
Przycisk A może być wyłącznie wciśnięty (A=1) albo nie wciśnięty (~A=1)
Trzeciej możliwości brak (tertium non datur)
A*~A=[] =0 - zdarzenia A i ~A są rozłączne
Nie jest możliwe (=0) aby przyciska A był jednocześnie wciśnięty (A=1) i nie wciśnięty (~A=1)
Przycisk A może być tylko i wyłącznie wciśnięty (A=1) albo($) nie wciśnięty (~A=1).
Dowód:
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q
Po podstawieniu:
p=A
q=~A
mamy:
A$~A = A*~(~A) + ~(A)*~A = A+~A =1
cnd
Oczywiście równoważność p<=>q definiująca tożsamość pojęć p=q musi być tu fałszem.
Dowód:
Definicja równoważności p<=>q:
p<=>q = p*q + ~p*~q
Po podstawieniu:
p=A
q=~A
mamy:
A<=>~A = A*(~A) + ~(A)*~(~A) = A*~A + ~A*A = []+[] =0
cnd
10.2.1 Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A||~>S
| Kod: |
S2 Schemat 2
Fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1=1
S A W
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-------o o------
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
--------------------------------------------------
Punkt odniesienia: przycisk A
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej szeregowo z przyciskiem A
|
Fakt iż schemat S4 jest fizyczną realizacją implikacji odwrotnej A|~>S udowodniliśmy wyżej.
| Kod: |
T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q
AB12: | AB34:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: A=>S =0 = 2:~A~>~S=0 [=] 3: S~>A =0 = 4:~S=>~A =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A’: 1: A~~>~S=1 = [=] = 4:~S~~>A =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: A~>S =1 = 2:~A=>~S=1 [=] 3: S=>A =1 = 4:~S~>~A =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
B’: = 2:~A~~>S=0 [=] 3: S~~>~A=0
---------------------------------------------------------------
p|~>q=p*~q = ~p|=>~q=p*~q [=] q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
A|~>S=A*~S = ~A|=>~S=A*~S [=] S|=>A=~S*A = ~S|~>~A=~S*A
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: A=>S=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: A~~>~S=A*~S=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~A=>~S=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~A~~>S =~A*S=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora implikacji odwrotnej A||~>S w logice dodatniej (bo S):
Operator implikacji odwrotnej A||~>S to odpowiedź w spójniku implikacji odwrotnej A|~>S i implikacji prostej ~A|=>~S na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co się stanie jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna A|~>S w logice dodatniej (bo S)
Implikacja odwrotna A|~>S to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1B1:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1 =1*1 =1
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla zaświecenia się żarówki S, konieczne dlatego, że w układzie występuje szeregowy przycisk W nad którym nie mamy kontroli (zmienna wolna), który musi być ustawiony w pozycję W=1 aby żarówka świeciła się przy wciśniętym przycisku A.
Wciśnięcie A (A=1) jest konieczne ~> dla świecenia S (S=1), bo jak klawisz A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
LUB
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1: A=>S =0 musi być prawdą
A1’.
Jeśli klawisz A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1 - zdarzenie możliwe (=1), gdy zmienna wolna W=0
Komentarz:
I.
Warunek konieczny A~>S to zdanie B1
II.
Implikacja odwrotna A|~>S to:
A1B1:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1 =1*1 =1
III.
Operator implikacji odwrotnej A||~>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2:
1.
A1B1:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1 =1*1 =1
2.
A2B2:
A2: ~A~>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla nie świecenia się żarówki S
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia żarówki S
~A|=>~S = ~(A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) = ~(0)*1 =1*1 =1
Definicja operatora implikacji prostej ~A|=>~S w logice ujemnej (bo ~S):
Operator implikacji prostej ~A||=>~S to odpowiedź w spójniku implikacji prostej ~A|=>~S i odwrotnej A|~>S na dwa pytania 2 i 1:
2.
Co się stanie jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
Kolumna A2B2:
Implikacja prosta ~A|=>~S w logice ujemnej (bo ~S):
Implikacja prosta ~A|=>~S to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2B2:
A2: ~A~>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla nie świecenia się żarówki S
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia się żarówki S
~A|=>~S = ~(A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) = ~(0)*1 =1*1 =1
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Oczywistość bo przycisk A i zmienna wolna W połączone są szeregowo.
Nie wciśnięcie klawisza A jest warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia się żarówki S, bo zawsze gdy przycisk A nie jest wciśnięty, żarówka S nie świeci się - wynika to z praw fizyki, a nie z nieskończonej ilości wciskania przycisku A … jak to robią ziemscy matematycy.
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2:~p=>~q=1 musi być fałszem
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Komentarz:
I.
Warunek wystarczający ~A=>~S to zdanie B2
II.
Implikacja prosta ~A|=>~S w logice ujemnej (bo ~S) to:
A2B2:
A2: ~A~>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla nie świecenia się żarówki S
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia żarówki S
~A|=>~S = ~(A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) = ~(0)*1 =1*1 =1
III.
Operator implikacji prostej ~A||=>~S to układ równań logicznych A2B2 i A1B1:
2.
A2B2:
A2: ~A~>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla nie świecenia się żarówki S
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia żarówki S
~A|=>~S = ~(A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) = ~(0)*1 =1*1 =1
1.
A1B1:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1 =1*1 =1
Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy:
| Kod: |
T4
Y ~Y Analiza w logice dodatniej dla Y:
B1: A~> S =1 0 - wciśnięcie A jest konieczne ~> dla świecenia S
konieczne bo dodatkowo musi być W=1 (zmienna wolna)
A1’: A~~>~S=1 0 - możliwe jest (=1): wciśnięty A i nie świeci S
możliwe gdy zmienna wolna W=0
B2: ~A=>~S =1 0 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest wystarczające =>
dla nie świecenia S (~S=1).
stan zmiennej wolnej W jest bez znaczenia W=x, x={0,1}
B2’:~A~~>S =0 1 - niemożliwe jest (=0): nie wciśnięty A (~A=1) i świeci S
stan zmiennej wolnej W jest bez znaczenia W=x, x={0,1}
|
Podsumowanie:
Zauważmy że:
1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetę” w sensie „na dwoje babka wróżyła”:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1 - gdy zmienna wolna W jest ustawiona na W=1
LUB
A1’.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1 - gdy zmienna wolna W jest ustawiona na W=0
Gwarancja matematyczna => w implikacji odwrotnej A|~>S jest po stronie ~A (~A=1):
2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to mamy gwarancję matematyczną => nie świecenia się żarówki S.
Mówi o tym warunek wystarczający => B2.
B2.
Jeśli przycisk A jest nie wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest wystarczające => dla nie świecenia się żarówki S (~S=1)
10.2.2 Dlaczego logika matematyczna ziemian nie widzi „rzucania monetą”?
| Kod: |
S2 Schemat 2
Fizyczna realizacja implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1=1
S A W
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-------o o------
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
--------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej szeregowo z przyciskiem A
|
Dlaczego logika matematyczna ziemskich matematyków nie widzi „rzucania monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”?
Warunek wystarczający B2: ~A=>~S w logice ujemnej (bo ~S) znany jest ziemskim matematykom (błędnie nazywają to implikacją):
B2.
Jeśli przycisk A jest nie wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest wystarczające => dla nie świecenia się żarówki S (~S=1)
Ziemscy matematycy korzystają tu z definicji warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Nasz przykład:
Podstawiamy:
p:=~A - pod p podstaw ~A
q:=~S - pod q podstaw ~S
Stąd mamy:
2.
Y = (~A=>~S) = ~(~A)+(~S) = A+~S = A~>S
Zauważmy, że zdanie B2 wraz z uzasadnieniem rozumie każdy uczeń I klasy LO:
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest wystarczające => dla nie świecenia się żarówki S (~S=1)
Natomiast po przejściu z tym zdaniem na wersję ze spójnikiem „lub”(+) nie każdy zrozumie sens takiego zdania:
B2: ~A=>~S = A+~S
co w logice jedynek oznacza:
Y = (~A=>~S)=1 <=> A=1 lub ~S=1
Czytamy:
Warunek wystarczający (~A=>~S) będzie spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk A (A=1) lub żarówka nie świeci się (~S=1)
Zdanie powyższe zrozumie ten, kto zna algebrę Kubusia, ale nie każdy uczeń I klasy LO.
Algebra Kubusia:
Dowolny operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Kiedy zajdzie Y (Y=1)?
2.
Kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
Może zajść tylko i wyłącznie 1 albo 2, zatem z definicji nie ma tu miejsca na jakiekolwiek „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”
Mamy nasz warunek wystarczający ~A=>~S wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
1A.
Y = (~A=>~S) = A+~S
Jak to zrozumieć?
1.
Korzystamy z definicji spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Podstawiamy nasz przykład:
p:=A - pod p podstaw A
q:=~S - pod q podstaw ~S
stąd mamy w zdarzeniach rozłącznych:
Y = (~A=>~S) = (A)+(~S) = (A)*(~S) + (A)*~(~S) + (~A)*(~S)
Y = (~A=>~S) = A+~S = A*S + A*~S + ~A*~S
stąd w zdarzeniach rozłącznych mamy:
Y = (~A=>~S) = A*S + A*~S + ~A*~S
Co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> A=1 I S=1 lub A=1 i ~S=1 lub ~A=1 i ~S=1
2.
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1A stronami:
~Y = ~(~A=>~S) = ~A*S
~Y=~A*S
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~A=1 i S=1
Prawo Prosiaczka które możemy używać w stosunku do dowolnej zmiennej:
(~Y=1) = (Y=0)
stąd:
(Y=0) <=> ~A=1 i S=1
Czytamy:
Nie może się zdarzyć (Y=0), że nie jest wciśnięty klawisz A (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Definicja:
Dowolny operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i “lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Kiedy zajdzie Y?
W zdarzeniach rozłącznych mamy:
Y = (~A=>~S) = A*S + A*~S + ~A*~S
co w logice jedynek w zdarzeniach rozłącznych oznacza:
Y=1 <=> A=1 i S=1 lub A=1 i ~S=1 lub ~A=1 i ~S=1
2.
Kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
~Y = ~(~A=>~S) = ~A*S
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~A=1 i S=1
Po dopasowaniu do naszej analizy symbolicznej operatora implikacji prostej ~A|=>~S w logice ujemnej (bo ~S) mamy analizę implikacji prostej ~A|=>~S w zdarzeniach możliwych ~~>.
Operator implikacji prostej ~A||=>~S w zdarzeniach możliwych ~~> to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Kiedy warunek wystarczający Y=(~A=>~S) będzie spełniony (Y=1)?
W zdarzeniach rozłącznych mamy:
Y = (~A=>~S) = B1: A*S + A1’: A*~S + B2: ~A*~S
co w logice jedynek w zdarzeniach rozłącznych oznacza:
Y=1 <=> B1: A=1 i S=1 lub A1’: A=1 i ~S=1 lub B2: ~A=1 i ~S=1
Czytamy:
Warunek wystarczający Y = (~A=>~S) będzie spełniony (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Y(B1): A~~>S = A*S =1*1 =1 - wciśnięty jest przyciska A (A=1) i żarówka świeci się (S=1)
W tym przypadku zmienna wolna W musi być ustawiona na W=1
LUB
Y(A1’): A~~>~S = A*~S =1*1 =1 - wciśnięty jest przycisk A (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
W tym przypadku zmienna wolna W musi być ustawiona na W=0
LUB
Y(B2): ~A~~>~S = ~A*~S=1*1 =1 - przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Zdarzenie możliwe (=1), stan zmiennej wolnej W jest bez znaczenia W=x gdzie: x={0,1}
Funkcja logiczna Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych:
Y = Y(B1) + Y(A1’) + Y(B2)
Po rozwinięciu mamy:
Y = B1: A*S + A1’: A*~S + B2: ~A*~S
Zdarzenia B1, A1’ I B2 są matematycznie i fizycznie rozłączne tzn. w przyszłości (w konkretnym iterowaniu) może zajść wyłącznie jedno z tych zdarzeń (prawda absolutna), pozostałe zdarzenia będą fałszem absolutnym.
Przejdźmy z powyższym na zapisy formalne (ogólne):
p=A
q=S
stąd mamy:
Y = B1: p*q + A1’: p*~q + B2: ~p*~q
Minimalizujemy funkcję logiczną Y:
Y = p*q + p*~q + ~p*~q
Y = p*(q+~q) + ~p*~q
Y = p+(~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych I wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+q) = ~p*p + ~p*q
~Y = ~p*q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = (~p=>~q) = p+~q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
stąd mamy prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q = p+~q
2.
Kiedy warunek wystarczający Y=(~A=>~S) nie będzie spełniony (~Y=1)?
~Y(B2’) = ~(~A=>~S) = ~A*S
co w logice jedynek oznacza:
~Y(B2’) =1 <=> ~A=1 i S=1
Czytamy:
Warunek wystarczający Y=(~A=>~S) nie będzie spełniony (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Y(B2’): ~A~~>S = ~A*S =1*1 =1
Prawo Prosiaczka które możemy zastosować do dowolnej zmiennej binarnej:
(~Y(B2’)=1) = (Y(B2’)=0
Stąd mamy zdanie tożsame:
Y(B2’): ~A~~>S = ~A*S =1*1 =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: klawisz A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1), co doskonale widać na schemacie ideowym S2
Uwaga:
Zauważmy, że po przejściu z warunkiem wystarczającym B2: ~A=>~S do spójników „i”(*) i „lub”(+) o żadnym „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” mowy być nie może.
Mamy tu twarde rozstrzygnięcia wtedy i tylko wtedy <=> zarówno po stronie Y jak i po stronie ~Y:
1.
Kiedy warunek wystarczający B2:~A=>~S jest spełniony (B2: ~A=>~S)=1?
Y = (~A=>~S) = B1: A*S + A1’: A*~S + B2: ~A*~S
co w logice jedynek w zdarzeniach rozłącznych oznacza:
Y=1 <=> B1: A=1 i S=1 lub A1’: A=1 i ~S=1 lub B2: ~A=1 i ~S=1
2.
Kiedy warunek wystarczający Y = (B2: ~A=>~S) nie jest spełniony ~Y=~(B2:~A=>~S)=1?
~Y = ~(~A=>~S) = ~A*S
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~A=1 i S=1
Zapiszmy naszą analizę układu S1 w zdarzeniach możliwych ~~> w tabeli prawdy:
| Kod: |
T5
Y ~Y Analiza w logice dodatniej dla Y:
B2: ~A~~>~S=1 0 - może zajść (=1): nie wciśnięty A i nie świeci S
B2’:~A~~> S=0 1 - nie może zajść (=0): nie wciśnięty A i świeci S
B1: A~~> S=1 0 - może zajść (=1): wciśnięty A (A=1) i świeci S (S=1)
A1’: A~~>~S=1 0 - może zajść (=1): wciśnięty A (A=1) i nie świeci S (~S=1)
|
Kolejność wypowiadanych zdań jest kompletnie bez znaczenia, zatem tabela T5 matematycznie tożsama jest taka:
| Kod: |
T5
Y ~Y Analiza w logice dodatniej dla Y:
B1: A~~> S=1 0 - może zajść (=1): wciśnięty A (A=1) i świeci S (S=1)
A1’: A~~>~S=1 0 - może zajść (=1): wciśnięty A (A=1) i nie świeci S (~S=1)
B2: ~A~~>~S=1 0 - może zajść (=1): nie wciśnięty A i nie świeci S
B2’:~A~~> S=0 1 - nie może zajść (=0): nie wciśnięty A i świeci S
|
Doskonale tu widać prawo Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0)
Tabelę T5 opisujemy ze stałego punktu odniesienia Y, bo łatwiej to zrozumieć.
Jak udowodnić że tabela T5 jest matematycznie tożsama z tabelą T4?
Bardzo prosto:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~A~~>S =0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => B2 (i odwrotnie):
B2: ~A=>~S =1
2.
Prawo Kubusia:
B2:~A=>~S = B1: A~>S
stąd:
Prawdziwość warunku wystarczającego => B2:
B2:~A=>~S =1
wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> B1:
B1: A~>S =1
Stąd otrzymujemy dokładnie tabelę T4:
| Kod: |
T4
Y ~Y Analiza w logice dodatniej dla Y:
B1: A~> S =1 0 - wciśnięcie A jest konieczne ~> dla świecenia S
konieczne bo dodatkowo musi być W=1 (zmienna wolna)
A1’: A~~>~S=1 0 - możliwe jest (=1): wciśnięty A i nie świeci S
możliwe gdy zmienna wolna W=0
B2: ~A=>~S =1 0 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest wystarczające =>
dla nie świecenia S (~S=1).
stan zmiennej wolnej W jest bez znaczenia W=x, x={0,1}
B2’:~A~~>S =0 1 - niemożliwe jest (=0): nie wciśnięty A (~A=1) i świeci S
stan zmiennej wolnej W jest bez znaczenia W=x, x={0,1}
|
cnd
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 8:33, 18 Sty 2021 Temat postu: |
|
|
10.5 Definicja chaosu p|~~>q
Spis treści
10.3 Fizyczna realizacja chaosu A|~~>S 1
10.3.1 Fizyczna realizacja operatora chaosu A||~~>S 5
10.3 Fizyczna realizacja chaosu A|~~>S
Definicja chaosu p|~~>q:
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1B1:
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniona (=0)
Stąd mamy:
Definicja chaosu w równaniu logicznym:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w chaosie p|~~>q wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
| Kod: |
T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~~>q:
AB12: | AB34:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0
##
B: 1: p~>q=0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p=0 = 4:~q~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z chaosem p|~~>q potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii A(x) i fałszywość dowolnego zdania serii B(x)
Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji chaosu p|~~>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Uzupełnijmy naszą tabelę T1 o relację zdarzenia możliwego ~~> wnikającą z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
| Kod: |
T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~~>q:
AB12: | AB34:
AB1: AB2: | AB3: AB4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1 [=] 4:~q~~>~p=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
B”: 2:~p~~>~q=1 [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Uwagi:
Zdania A1” i B2” kodowane zdarzeniem możliwym ~~> muszą być prawdziwe, bowiem wtedy i tylko wtedy będziemy mieli do czynienia z chaosem p|~~>q.
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że zdanie A1” jest fałszywe:
A1”: p~~>q =0
Wówczas na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy byłby warunek wystarczający =>:
A1S: p=>~q =1
co prowadzi do sprzeczności z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym spełnionym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identyczny dowód nie wprost możemy przeprowadzić w stosunku do zdania prawdziwego B2” oraz do zdań B3” i A4”.
| Kod: |
S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja chaosu A|~~>S w zdarzeniach:
A|~~>S=~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=~(0)*~(0)=1*1=1
W
______
---o o------
| |
S Z | A |
------------- ______ | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----o o-----|
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienne wolne: W, Z
Istotą operatora chaosu są zmienne wolne.
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Fizyczna interpretacja zmiennych wolnych W i Z:
Wyobraźmy sobie trzy pokoje A, B i C.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W, zaś w pokoju C siedzi Małgosia mając do dyspozycji wyłącznie przycisk Z. Jaś, Zuzia i Małgosia wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu ale nie widzą się wzajemnie.
Cała trójka dostaje do ręki schemat S3, czyli są świadomi, że przyciski których nie widzą istnieją w układzie S3, tylko nie mają do nich dostępu (zmienne wolne)
Przyjmijmy za punkt odniesienia Jasia i pokój A.
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna W będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(w) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(w) =1
oraz
f(w)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(w) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku W, gdzie daje się ustawić zarówno W=1 jak i W=0.
Przykład:
f(w) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty
Identycznie dla zmiennej wolnej Z:
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna Z będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(z) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(z) =1
oraz
f(z)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(z) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku Z, gdzie daje się ustawić zarówno Z=1 jak i Z=0.
Przykład:
f(z) = G*(~H+I)
Gdzie:
G, I - przyciski normalnie rozwarte
~H - przycisk normalnie zwarty
Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte
Na początek musimy udowodnić, iż rzeczywiście układ S3 jest fizyczną realizacją chaosu A|~~>S.
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S bo zmienna wolna Z może być ustawiona Z=0 - wtedy żarówka nie będzie się świecić (~S=1).
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~>B1:
B1:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =?
W takim przypadku zawsze najprościej jest skorzystać z prawa Tygryska:
B1: A~>S = B3: S=>A
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => B3.
B3.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to na 100% => przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S=>A =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo żarówka S może się świecić (S=1) zaś przycisk A wcale nie musi być wciśnięty, bowiem zmienna wolna W może być ustawiona na W=1
Stąd, na mocy prawa Tygryska warunek konieczny ~> B1 jest fałszem:
B1:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =0 - wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S.
cnd
Dopiero w tym momencie możemy skorzystać z szablonu chaosu p|~~>q wyrażonego warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>
| Kod: |
T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~~>q:
AB12: | AB34:
AB1: AB2: | AB3: AB4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: A=>S =0 = 2:~A~>~S =0 [=] 3: S~>A =0 = 4:~S=>~A =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A’: 1: A~~>~S=1 = [=] = 4:~S~~>A =1
A”: 1: p~~>q =1 [=] 4:~q~~>~p=1
A”: 1: A~~>S =1 [=] 4:~S~~>~A=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: A~>S =0 = 2:~A=>~S =0 [=] 3: S=>A =0 = 4:~S~>~A =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
B’: = 2:~A~~>S =1 [=] 3: S~~>~A=1
B”: 2:~p~~>~q=1 [=] 3: q~~>p =1
B”: 2:~A~~>~S=1 [=] 3: S~~>A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: A=>S=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~A=>~S=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wynika z tego że w serii zdań warunkowych „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowane zdarzeniem możliwym ~~> musimy mieć same jedynki. co oznacza zero warunków wystarczających =>, a tym samym zero warunków koniecznych ~>.
10.3.1 Fizyczna realizacja operatora chaosu A||~~>S
| Kod: |
S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja chaosu A|~~>S w zdarzeniach:
A|~~>S=~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=~(0)*~(0)=1*1=1
W
______
---o o------
| |
S Z | A |
------------- ______ | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----o o-----|
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienne wolne: W, Z
Istotą chaosu A|~~>S są zmienne wolne W i Z.
|
Dowód iż schemat S3 jest fizyczną realizacją operatora chaosu przedstawiliśmy wyżej.
Dopiero w tym momencie możemy skorzystać z szablonu chaosu p|~~>q wyrażonego warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>
| Kod: |
T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~~>q:
AB12: | AB34:
AB1: AB2: | AB3: AB4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: A=>S =0 = 2:~A~>~S =0 [=] 3: S~>A =0 = 4:~S=>~A =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A’: 1: A~~>~S=1 = [=] = 4:~S~~>A =1
A”: 1: p~~>q =1 [=] 4:~q~~>~p=1
A”: 1: A~~>S =1 [=] 4:~S~~>~A=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: A~>S =0 = 2:~A=>~S =0 [=] 3: S=>A =0 = 4:~S~>~A =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
B’: = 2:~A~~>S =1 [=] 3: S~~>~A=1
B”: 2:~p~~>~q=1 [=] 3: q~~>p =1
B”: 2:~A~~>~S=1 [=] 3: S~~>A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: A=>S=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~A=>~S=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora chaosu A||~~>S w logice dodatniej (bo S)
Definicja operatora chaosu A||~~>S to odpowiedź w spójnikach A|~~>S oraz ~A|~~>~S na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
Kolumna A1B1:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
stąd:
A|~~>S = ~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = ~(0)*~(0)=1*1 =1
Analiza szczegółowa:
A1:
Badamy warunek wystarczający A=>S:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
Może być:
A=1
a mimo to żarówka nie będzie świecić gdy zmienna wolna Z=0
Badamy warunek konieczny A~>S między tymi samymi punktami:
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest konieczne ~> dla świecenie S
Może być:
A=0
a mimo to żarówka będzie świecić gdy: zmienne wolne Z i W przyjmą wartości: Z=1 i W=1
stąd mamy:
A|~~>S = ~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = ~(0)*~(0)=1*1 =1
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A”:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
A~~>S = A*S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Gdy zmienna wolna Z ustawiona jest na Z=1
LUB
A’.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> nie świecić się (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Gdy zmienna wolna Z ustawiona jest na Z=0
Definicja operatora chaosu ~A||~~>~S w logice ujemnej (bo ~S)
Definicja operatora chaosu ~A||~~>~S to odpowiedź w spójnikach chaosu ~A|~~>~S i A|~~>S na dwa pytania 2 i 1:
2.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
Kolumna A2B2:
~A|~~>~S = ~(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B”.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> nie świecić się (~S=1)
~A~~>~S = ~A*~S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Gdy zmienna wolna Z ustawiona jest na Z=0
LUB
B’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> świecić się (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Gdy zmienna wolna Z ustawiona jest na Z=1 i zmienna wolna W ustawiona jest na W=1
Podsumowanie:
Operator chaosu p||~~>q to „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” zarówno po stronie wciśniętego klawisza A (A=1), jak i po stronie nie wciśniętego klawisza A (~A=1)
1.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
Kolumna A1B1:
A”:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
A~~>S = A*S =1
LUB
A’.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> nie świecić się (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1
2.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
Kolumna A2B2:
B”.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> nie świecić się (~S=1)
~A~~>~S = ~A*~S =1
LUB
B’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> świecić się (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 8:36, 18 Sty 2021 Temat postu: |
|
|
10.4 Definicja równoważności p<=>q
Spis treści
10.4 Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach 1
10.4.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach 9
10.4 Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
p<=>q = p*q + ~p*~q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
| Kod: |
T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p<=>q
A1B1 A2B2 A3B3 A4B4
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A(x) i prawdziwość dowolnego zdania serii B(x)
Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji równoważności p<=>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
| Kod: |
T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
AB12: | AB34:
A1A1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0 =
p<=>q = ~p<=>~q [=] q<=>p = ~q<=>~p
=A1*B1 =A2*B2 [=] =A3*B3 =A4*B4
/\ /\ /\ /\
|| || || ||
\/ \/ \/ \/
p=q # ~p=~q # q=p # ~q=~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Stąd mamy:
Definicji podstawowa równoważności w zdarzeniach:
Kolumna A1B1:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Innymi słowy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Definicja podstawowa równoważności jest znana i powszechnie używana przez wszystkich ludzi z ziemskimi matematykami na czele.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 7330
Klikamy na googlach:
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 12300
etc
| Kod: |
S4 Schemat 4
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna związana A będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(a) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty
Na początek musimy udowodnić, iż rzeczywiście układ S4 jest fizyczną realizacją równoważności A<=>S.
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
Równoważność A<=>S to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Dowodzimy prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
cnd
Dowodzimy prawdziwości warunku koniecznego ~> B1:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S, bo w układzie S4 nie ma przycisku W (zmienna wolna) podłączonego równolegle do A który mógłby zaświecić żarówkę S niezależnie od stanu przycisku A.
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> świecenia się żarówki S (S=1), bo jak przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie będzie się świecić (~S=1)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
Stąd mamy:
Podstawowa definicja równoważności:
Wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> i wystarczające => dla zaświecenia się żarówki S
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Innymi słowy:
Przycisk A jest wciśnięty wtedy i tylko wtedy gdy żarówka S świeci się
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Prawo Kameleona po raz n-ty:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Doskonale widać, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to zdania te nie są tożsame na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wplecionych w treść zdań.
Innymi słowy:
Wszystko zależy tu jak matematycznie zakodujemy banalne zdanie prawdziwe opisujące układ S4:
S4:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% świeci się (S=1)
Zapis aktualny zdań A1 i B1:
A1: A=>S=~A+S =1 ## B1: A~>S = A+~S =1
Zapis formalny (ogólny) zdań A1 i B1:
A1: p=>q =~p+q =1 ## B1: p~>q = p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Dopiero po udowodnieniu iż układ S4 jest fizyczną realizacją równoważności A<=>S, co wyżej się stało, możemy skorzystać z gotowego szablonu równoważności p<=>q wyrażonego spójnikami warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
| Kod: |
T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
AB12: | AB34:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S=1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: A~~>~S=0 = [=] = 4:~S~~>A =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: A~>S =1 = 2:~A=>~S=1 [=] 3: S=>A =1 = 4:~S~>~A =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0 =
B’: = 2:~A~~>S=0 [=] 3: S~~>~A=0 =
p<=>q = ~p<=>~q [=] q<=>p = ~q<=>~p
A<=>S = ~A<=>~S [=] S<=>A = ~S<=>~A
=A1*B1 =A2*B2 [=] =A3*B3 =A4*B4
/\ /\ /\ /\
|| || || ||
\/ \/ \/ \/
p=q # ~p=~q # q=p # ~q=~p
A=S # ~A=~S # S=A # ~S=~A
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: A=>S=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~A=>~S=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W tabeli T3 zachodzi:
I Prawo Kubusia:
A1: A=>S = A2: ~A~>~S =1
##
II Prawo Kubusia:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Z kolumny A1B1 odczytujemy:
1.
Definicja równoważności A<=>S dla wciśniętego przycisku A (A=1):
Kolumna A1B1:
Równoważność A<=>S to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest konieczne ~> dla świecenia S
Czytamy:
RA1:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy I tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Innymi słowy:
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla świecenia się żarówki S (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Każda równoważność to tożsamość pojęć (zbiorów), stąd:
Wiedza o wciśnięciu klawisza A (A=1) jest tożsama „=” z wiedzą o świecącej się żarówce S (S=1)
A=S
Sprawdźmy czy dla A=S zachodzi nasza równoważność:
S:=A - pod zmienną S podstaw :=> A
Stąd mamy:
A<=>A = (A1: A=>A)*(B1: A~>A) =1*1 =1 - relacja równoważności <=> zachodzi (=1).
bo:
Każde pojęcie (zbiór) jest podzbiorem => siebie samego
Każde pojęcie (zbiór) jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd
Oczywiście relacja spójnika „albo”($) musi tu być fałszem.
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q
podstawmy:
p=A
q=A
stąd:
A$A = A*~(A) + ~(A)*(A) = A*~A + ~A*A = []+[] =0
cnd
Prawa Kubusia:
A1: A=>S = A2:~A~>~S
B1: A~>S = B2:~A=>~S
Z kolumny A2B2 odczytujemy:
2.
Definicja równoważności ~A<=>~S dla nie wciśniętego przycisku A (~A=1):
Kolumna A2B2:
Równoważność ~A<=>~S to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
RB2.
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia S (~S=1)
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia S (~S=1)
Czytamy:
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy I tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Innymi słowy:
Nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla nie świecenia się żarówki S (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Każda równoważność to tożsamość pojęć (zbiorów), stąd:
Wiedza o nie wciśnięciu klawisza A (~A=1) jest tożsama „=” z wiedzą o nie świecącej się żarówce S (~S=1)
~A=~S
Sprawdźmy czy dla ~A=~S zachodzi nasza równoważność:
~S:=~A - pod zmienną ~S podstaw :=> ~A
Stąd mamy:
~A<=>~A = (A2: ~A~>~A)*(B2: ~A=>~A) =1*1 =1 - relacja równoważności zachodzi (=1)
bo:
Każde pojęcie (zbiór) jest podzbiorem => siebie samego
Każde pojęcie (zbiór) jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd
Oczywiście relacja spójnika „albo”($) musi tu być fałszem.
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q
podstawmy:
p=~A
q=~A
stąd:
~A$~A = (~A)*~(~A) + ~(~A)*(~A) = ~A*A + A*~A = []+[] =0
cnd
Zauważmy, że w kolumnie A1B1 równoważność A<=>S definiuje tożsamość pojęć:
A1B1: A=S
Natomiast w kolumnie A2B2 równoważność ~A<=>~S definiuje tożsamość pojęć:
A2B2: ~A=~S
Doskonale widać, ze między pojęciami A=S a ~A=~S zachodzi relacja spójnika „albo”($).
Przycisk A może być wciśnięty A=1 albo($) nie wciśnięty ~A=1
A$~A
Sprawdźmy to:
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q
Po podstawieniu:
p=A
q=~A
mamy:
A$~A = (A)*~(~A) + ~(A)*(~A) = A+~A =1 - relacja spójnika „albo”($) zachodzi (=1)
cnd
O obszarze AB34 opowiemy w skrócie:
Prawa Tygryska:
A1: A=>S = A3: S~>A
B1: A~>S = B3: S=>A
Z kolumny A3B3 odczytujemy:
Definicja równoważności S<=>A dla świecącej się żarówki S (S=1):
Kolumna A3B3:
Równoważność S<=>A to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A3B3:
A3: S~>A =1 - świecenie S jest konieczne ~> dla wnioskowania o wciśnięciu A
B3: S=>A =1 - świecenie S jest wystarczające => dla wnioskowania o wciśnięciu A
Czytamy:
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A)=1*1 =1
Innymi słowy:
Świecenie się żarówki S (S=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla wnioskowania o wciśniętym klawiszu A (A=1)
S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A)=1*1 =1
Każda równoważność to tożsamość pojęć (zbiorów), stąd:
Wiedza o świecącej się żarówce S (S=1) jest tożsama „=” z wiedzą o wciśniętym klawiszu A (A=1)
S=A
Prawa Kubusia:
A3: S~>A = A4: ~S=>~A
B3: S=>A = B4: ~S~>~A
Z kolumny A4B4 odczytujemy:
Definicja równoważności ~S<=>~A dla nie świecącej się żarówki S (~S=1):
Kolumna A4B4:
Równoważność ~S<=>~A to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A4B4:
A4: ~S=>~A =1 - nie świecenie S jest wystarczające => dla wnioskowania o nie wciśnięciu A
B4: ~S~>~A =1 - nie świecenie S jest konieczne ~> dla wnioskowania o nie wciśnięciu A
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A) = 1*1 =1
Innymi słowy:
Nie świecenie się żarówki S (~S=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla wnioskowania o nie wciśniętym klawiszu A (~A=1)
~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A) = 1*1 =1
Każda równoważność to tożsamość pojęć (zbiorów), stąd:
Wiedza o nie świecącej się żarówce S (~S=1) jest tożsama „=” z wiedzą o nie wciśniętym klawiszu A (~A=1)
~S=~A
10.4.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach
| Kod: |
S4 Schemat 4
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
| Kod: |
T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
AB12: | AB34:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S=1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: A~~>~S=0 = [=] = 4:~S~~>A =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: A~>S =1 = 2:~A=>~S=1 [=] 3: S=>A =1 = 4:~S~>~A =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0 =
B’: = 2:~A~~>S=0 [=] 3: S~~>~A=0 =
p<=>q = ~p<=>~q [=] q<=>p = ~q<=>~p
A<=>S = ~A<=>~S [=] S<=>A = ~S<=>~A
=A1*B1 =A2*B2 [=] =A3*B3 =A4*B4
/\ /\ /\ /\
|| || || ||
\/ \/ \/ \/
p=q # ~p=~q # q=p # ~q=~p
A=S # ~A=~S # S=A # ~S=~A
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: A=>S=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~A=>~S=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Obszar AB12:
Operator równoważności A|<=>S dla A to odpowiedź w spójnikach równoważności A<=>S oraz ~A<=>~S na dwa pytania 1 i 2:
1.
Kiedy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
Kolumna A1B1
Równoważność dla wciśniętego przyciska A (A=1):
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
Stąd:
RA1.
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Innymi słowy:
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, by żarówka świeciła się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1 - wciśnięcie A wystarcza => dla świecenia S
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego => A musi być fałszem
A1’.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0 - zdarzenie niemożliwe (=0)
Komentarz:
I.
Warunek wystarczający A=>S to zdanie A1
II.
Równoważność A<=>S dla wciśniętego przycisku A to:
RA1.
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
III.
Operator równoważności A|<=>S to układ równań logicznych RA1 i RB2:
RA1.
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
RB2:
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla nie świecenia S
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia S
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S)=1*1 =1
Operator równoważności ~A|<=>~S dla ~A to odpowiedź w spójnikach równoważności ~A<=>~S oraz A<=>S na dwa pytania 2 i 1:
2.
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
Kolumna AB2
Równoważność dla nie wciśniętego przycisku A (~A=1):
RB2.
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla nie świecenia S
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia S
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S)=1*1 =1
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A wystarcza => dla nie świecenia S
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0 - zdarzenie niemożliwe
Komentarz:
I.
Warunek wystarczający ~A=>~S to zdanie B2
II.
Równoważność ~A<=>~S dla nie wciśniętego przycisku A to:
RB2.
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla nie świecenia S
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia S
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S)=1*1 =1
III.
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych RB2 i RB1:
RB2.
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla nie świecenia S
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia S
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S)=1*1 =1
RA1.
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 7:44, 19 Sty 2021 Temat postu: |
|
|
Spis treści
11.0 Operatory implikacyjne z twardym wejściem p i twardym wyjściem q 1
11.1 Implikacja prosta p|=>q = A|=>S 2
11.1 Implikacja odwrotna p|~>q = A|~>S 8
11.2 Porównanie Implikacji prostej p|=>q=A|=>S z odwrotną p|~>q = A|~>S 14
11.0 Operatory implikacyjne z twardym wejściem p i twardym wyjściem q
Definicja zapisu aktualnego:
Zapis aktualny to zapis praw logiki matematycznej z użyciem symboli ze zdania wypowiedzianego
Definicja zapisu formalnego (ogólnego):
Zapis formalny (ogólny) to zapis praw logiki matematycznej z użyciem symboli nie mających związku ze zdaniem wypowiedzianym.
Standardowe symbole formalne (ogólne) używane w logice matematycznej to: Y, p, q, r…
Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to operator wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”.
Przykładem operatorów implikacyjnych z twardym wejściem p i twardym wyjściem q może być żarówka sterowana przez różne zespoły przycisków.
Weźmy następujący schemat elektryczny:
| Kod: |
S4 Schemat 4
q=S p=A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
p=A - twarde wejście (przyczyna)
q=S - twarde wyjście (skutek)
Jeśli p=A to q=S
Jeśli zajdzie przyczyna p=A to zajdzie skutek q=S
|
Na schemacie S4 twardym wejściem jest przycisk A, zaś twardym wyjściem żarówka S.
Dowód:
Załóżmy że wejściem jest przycisk p=A zaś wyjściem żarówka q=S
Oczywistość dla każdego 5-cio latka bo układ S4 steruje żarówką w naszych domach:
A1.
Jeśli przycisk p=A będzie wciśnięty to żarówka na 100% => zaświeci się q=S
Zapis aktualny:
A=>S =1 - wciśnięcie przycisku A (A=1) jest wystarczające => dla świecenia się żarówki S (S=1)
Zapis formalny:
p=>q =1 - zajście p (p=1) jest wystarczające => dla zajścia q (q=1)
p=>q =1
B2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty ~p=~A to żarówka na 100% => nie będzie się świecić ~q=~S
Zapis aktualny:
~A=>~S =1 - nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest wystarczające => dla nie świecenia się żarówki S (~S=1)
Zapis formalny:
~p=>~q =1 - zajście ~p (~p=1) jest wystarczające => dla zajścia ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Kluczowa uwaga:
Zauważmy, że odwrotnie nie zachodzi, czyli wkręcanie/wykręcanie żarówki (świecenie/brak świecenia) nie spowoduje zmian w położeniu przycisku A.
O tego typu układach mówimy, iż są to układy implikacyjne z twardym wejściem p=A (przyczyna) i twardym wyjściem q=S (skutek)
Rozważmy poznane wyżej definicje spójników implikacyjnych w różnych układach przycisków sterujących jedną żarówką w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>.
11.1 Implikacja prosta p|=>q = A|=>S
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1 =1
Przykład implikacji prostej p|=>q = A|=>S w logice dodatniej (bo S).
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
W
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Punkt odniesienia: p|=>q = A|=>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A
|
| Kod: |
T3
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q dla punktu odniesienia:
p|=>q = A|=>S
AB12: | AB34:
A1B1: | A3B3:
Implikacja prosta p|=>q | Implikacja odwrotna przeciwna q|~>p
w logice dodatniej (bo q): | w logice dodatniej (bo q)
p|=>q =(A1:p=>q)*~(A2: p~>q) [=] q|~>p=(A3: q~>p)*~(B3: q=>p)
A2B2: | A4B4:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q | Implikacja prosta przeciwna ~q|=>~p
w logice ujemnej (bo ~q): | w logice ujemnej (bo ~p)
~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) [=] ~q|=>~p =(A4:~q=>~p)*~(B4:~q~>~p)
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S=1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: A~>S =0 = 2:~A=>~S=0 [=] 3: S=>A =0 = 4:~S~>~A =0
---------------------------------------------------------------
p|=>q=~p*q = ~p|~>~q=~p*q [=] q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
A|=>S=~A*S = ~A|~>~S=~A*S [=] S|~>A=S*~A = ~S|=>~A=S*~A
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienie iż badany układ spełnia definicję implikacji prostej:
p|=>q = A|=>S
potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A(x) i fałszywość dowolnego zdania serii B(x).
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Cztery tożsame definicje układu S1 to:
I.
Implikacja proste p|=>q = A|=>S w logice dodatniej (bo S):
Kolumna A1B1:
Definicja implikacji prostej A|=>S w logice dodatniej (bo S):
Implikacja prosta A|=>S to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest (=1) wystarczające => dla świecenia S (S=1)
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A (A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S (S=1)
bo żarówkę może zaświecić zmienna wolna W=1, niezależnie od przycisku A
Punkt odniesienia:
A1B1: p|=>q = A1B1: A|=>S
Zapis aktualny:
A1B1: A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =1*~(0) =1*1=1
Zapis formalny:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0) =1*1 =1
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=(~p+q)*~(p+~q)=(~p+q))*(~p*q) = ~p*q
p|=>q = ~p*q - zapis formalny
A|=>S = ~A*S - zapis aktualny
Definicja implikacji prostej A|=>S wskazuje jedyny prawdziwy kontrprzykład w obszarze AB12:
Mamy:
B2: ~A=>~S=0
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2 musi być prawdą:
B2’: ~A~~>S=~A*S =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie:
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci (S=1)
II.
Implikacja odwrotna ~p|~>~q = ~A|~>~S w logice ujemnej (bo ~S):
Kolumna A2B2:
Definicja implikacji odwrotnej ~A|~>~S w logice ujemnej (bo ~S):
Implikacja odwrotna ~A|~>~S to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) konieczne ~> dla nie świecenia S (~S=1)
B2: ~A=>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) wystarczające => dla nie świecenia S (~S=1)
Punkt odniesienia:
A2B2: ~p|~>~q = A2B2: ~A|~>~S
Zapis aktualny:
A2B2: ~A|~>~S = (A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) =1*~(0) =1*1 =1
Zapis formalny:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0) =1*1=1
Definicja implikacji prostej ~p|~>~q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
~p|~>~q = ~p*q - zapis formalny
~A|~>~S = ~A*S - zapis aktualny
Definicja implikacji odwrotnej ~A|~>~S wskazuje jedyny prawdziwy kontrprzykład w obszarze AB12:
Mamy:
B2: ~A=>~S=0
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2 musi być prawdą:
B2’: ~A~~>S=~A*S =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie:
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci (S=1)
III.
Implikacja odwrotna przeciwna q|~>p = S|~>A w logice dodatniej (bo A):
Kolumna A3B3:
Definicja implikacji odwrotnej przeciwnej S|~>A w logice dodatniej (bo A):
Implikacja odwrotna przeciwna S|~>A w logice dodatniej (bo A) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A3: S~>A =1 - świecenie S jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla wnioskowania o wciśniętym A
koniecznym dlatego, że żarówka może się świecić dzięki W=1 niezależnie od A
B3: S=>A=0 - świecenie S (S=1) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania
o wciśniętym klawiszu A, bo przycisk A i zmienna wolna W połączone są równolegle.
Punkt odniesienia:
A3B3: q|~>p = A3B3: S|~>A
Zapis aktualny:
S|~>A = (A3: S~>A)*~(B3: S=>A)=1*~(0) =1*1 =1
Zapis formalny:
q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) = 1*~(0)=1*1=1
Definicja implikacji odwrotnej przeciwnej q|~>p w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3:q=>p) = (q+~p)*~(~q+p) = (q+~p)*(q*~p) = q*~p
q|~>p = q*~p - zapis formalny
S|~>A = S*~A - zapis aktualny
Definicja implikacji odwrotnej przeciwnej S|~>A w logice dodatniej (bo A) wskazuje jedyny prawdziwy kontrprzykład w obszarze AB34:
Mamy:
B3: S=>A =0
Kontrprzykład B3’ dla fałszywego warunku wystarczającego B3 musi być prawdą:
B3’: S~~>~A = S*~A =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie:
Żarówka świeci (S=1) i przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1), gdy zmienna wolna W=1
IV.
Implikacja prosta przeciwna ~q|=>~p = ~S|=>~A w logice ujemnej (bo ~A):
Kolumna A4B4:
Definicja implikacji prostej przeciwnej ~q|=>~p = ~S|=>~A w logice ujemnej (bo ~A):
Implikacja prosta przeciwna ~q|=>~p = ~S|=>~A w logice ujemnej (bo ~A) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A4: ~S=>~A=1 - brak świecenia żarówki (~S=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym =>
dla wnioskowania o nie wciśniętym przycisku A (~A=1)
Nie zawsze gdy żarówka nie świeci się (~S=1) przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
B4: ~S~>~A =0 - brak świecenia żarówki (~S=1) nie jest warunkiem koniecznym ~> dla wnioskowania
o nie wciśniętym przycisku A (~A=1), bo może być ~S=1 i A=1.
Punkt odniesienia:
A4B4: ~q|=>~p = A4B4: ~S|=>~A
Zapis aktualny:
A4B4: ~S|=>~A = (A4: ~S=>~A)*~(B4: ~S~>~A) =1*~(0) =1*1=1
Zapis formalny:
A4B4: ~q|=>~p = (A4: ~q=>~p)*~(B4: ~q~>~p) =1*~(0) =1*1=1
Definicja implikacji prostej przeciwnej ~q|=>~p w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~q|=>~p = (A4: ~q=>~p)*~(B4: ~q~>~p) = (q+~p)*~(~q+p) = (q+~p)*(q*~p) = q*~p
~q|=>~p = q*~p - zapis formalny
~S|=>~A = S*~A - zapis aktualny
Definicja implikacji prostej przeciwnej ~S|=>~A w logice ujemnej (bo ~A) wskazuje jedyny prawdziwy kontrprzykład w obszarze AB34:
Mamy:
B3: S=>A =0
Kontrprzykład B3’ dla fałszywego warunku wystarczającego B3 musi być prawdą:
B3’: S~~>~A = S*~A =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie:
Żarówka świeci (S=1) i przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1), gdy zmienna wolna W=1
Podsumowanie:
Matematycznie zachodzą tożsamości logiczne:
A1B1: p|=>q = A|=>S [=] A2B2: ~p|~>~q =~A|~>~S = ~p*q = ~A*S
[=]
A3B3: q|~>p = S|~>A [=] A4B4: ~q|=>~p = ~S|=>~A = q*~p = S*~A
Zachodzi tożsamość logiczna [=] bo iloczyn logiczny jest przemienny:
p*~q = ~q*p
~A*S = S*~A
Twierdzenie Bobra:
Z dowolnej powyższej implikacji można precyzyjnie odtworzyć układ które ona opisuje.
Przykład:
Dana jest żarówka i zespół przycisków sterujący tą żarówką.
Odtwórz schemat ideowy implikacji prostej przeciwnej w logice ujemnej.
Implikacja prosta przeciwna ~q|=>~p w logice ujemnej (bo ~p) opisana jest równaniem:
A4B4: ~q|=>~p = (A4: ~q=>~p)*~(B4: ~q~>~p)
Dla A4 korzystamy z prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A4: ~q=>~p = A1: p=>q
Dla B4 korzystamy z prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
B4: ~q~>~p = B1: p~>q
Stąd układ fizycznie tożsamy opisany jest równaniem:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej A|=>S w logice dodatniej (bo S):
Implikacja prosta A|=>S to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest (=1) wystarczające => dla świecenia S (S=1)
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A (A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S (S=1)
A1B1: A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = 1*~(0)=1*1 =1
A1: A=>S =1
Prawdziwy warunek wystarczający A1 oznacza, iż szeregowo z przyciskiem A nie może być szeregowo połączona zmienna wolna Z.
B1: A~>S =0
Fałszywy warunek konieczny B1 oznacza, iż w układzie istnieje zmienna wolna W połączona równolegle do A.
Stąd mamy fizyczną realizację implikacji odwrotnej A|=>S w logice dodatniej (bo S):
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
W
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Punkt odniesienia: p|=>q = A|=>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej W:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje A i B.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W. Oboje widzą dokładnie tą samą żarówkę S. Jaś nie widzi Zuzi, ani Zuzia nie widzi Jasia, ale oboje wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S1, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S1, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna).
Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna W będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(w) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(w) =1
oraz
f(w)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(w) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku W, gdzie daje się ustawić zarówno W=1 jak i W=0.
Przykład:
f(w) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty
Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte
Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S1 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S.
Warunkiem koniecznym, aby układ S1 był fizyczną, minimalną realizacją implikacji prostej A|=>S jest przyjęcie punktu odniesienia:
p|=>q = A|=>S
Zauważmy, że budowa przycisku A jest ujęta w równaniu logicznym opisującym układ S1:
p|=>q = A|=>S
Zatem jeśli przycisk A będzie funkcją logiczną:
p = A*~B+C
to ta funkcja będzie widoczna w opisie matematycznym układu S1:
p|=>q = (A*~B+C)|~>S
Natomiast szczegółowej budowy zmiennej wolnej W z definicji nie znamy, bo nie występuje ona w powyższym opisie. Minimalnie zmienna wolna W to pojedynczy przycisk i taki należy narysować na schemacie S2 mając świadomość, że w przypadku ogólnym przycisk W może być układem zastępczym dowolnej funkcji logicznej n-przycisków, byleby dało się ustawić W=1 oraz W=0.
11.1 Implikacja odwrotna p|~>q = A|~>S
| Kod: |
S2 Schemat 2
Fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1=1
S A W
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-------o o------
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
--------------------------------------------------
Punkt odniesienia: p|~>q = A|~>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej szeregowo z przyciskiem A
|
| Kod: |
T3
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q dla punktu odniesienia:
p|~>q = A|~>S
AB12: |AB34:
Implikacja odwrotna p|~>q | Implikacja prosta przeciwna q|=>p
w logice dodatniej (bo q): | w logice dodatniej (bo q)
p|~>q =~(A1:p=>q)*(A2: p~>q) [=] q|=>p=~(A3: q~>p)*(B3: q=>p)
Implikacja prosta ~p|=>~q | Implikacja odwrotna przeciwna ~q|~>~p
w logice ujemnej (bo ~q): | w logice ujemnej (bo ~p)
~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) [=] ~q|~>~p =~(A4:~q=>~p)*(B4:~q~>~p)
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: A=>S =0 = 2:~A~>~S=0 [=] 3: S~>A =0 = 4:~S=>~A =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: A~>S =1 = 2:~A=>~S=1 [=] 3: S=>A =1 = 4:~S~>~A =1
---------------------------------------------------------------
p|~>q=p*~q = ~p|=>~q=p*~q [=] q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
A|~>S=A*~S = ~A|=>~S=A*~S [=] S|=>A=~S*A = ~S|~>~A=~S*A
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienie iż badany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej:
p|~>q = A|~>S
potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii A(x) i prawdziwość dowolnego zdania serii B(x).
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Cztery tożsame definicje układu S2 to:
I.
Implikacja odwrotna p|~>q = A|~>S w logice dodatniej (bo S):
Kolumna A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w logice dodatniej (bo S):
Implikacja odwrotna A|~>S to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A (A=1) nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S (S=1)
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S (S=1)
Punkt odniesienia:
A1B1: p|~>q = A1B1: A|~>S
Zapis aktualny:
A1B1: A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1 =1*1=1
Zapis formalny:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 =1*1 =1
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(~p+q)*(p+~q)=(p*~q)*(p+~q) = p*~q
p|~>q = p*~q - zapis formalny
A|~>S = A*~S - zapis aktualny
Definicja implikacji odwrotnej A|~>S wskazuje jedyny prawdziwy kontrprzykład w obszarze AB12:
Mamy:
A1: A=>S =0
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1 musi być prawdą:
A1’: A~~>~S=A*~S =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci (~S=1)
II.
Implikacja prosta ~p|=>~q = ~A|=>~S w logice ujemnej (bo ~S):
Kolumna A2B2:
Definicja implikacji prostej ~A|=>~S w logice ujemnej (bo ~S):
Implikacja prosta ~A|=>~S to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A2: ~A~>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest konieczne ~> dla nie świecenia S (~S=1)
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest wystarczające => dla nie świecenia S (~S=1)
Punkt odniesienia:
A2B2: ~p|=>~q = A2B2: ~A|=>~S
Zapis aktualny:
A2B2: ~A|=>~S = ~(A2:~A~>~S)*(B2:~A=>~S) =~(0)*1 =1*1 =1
Zapis formalny:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =~(0)*1 =1*1=1
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
~p|=>~q = p*~q - zapis formalny
~A|=>~S = A*~S - zapis aktualny
Definicja implikacji prostej ~A|=>~S wskazuje jedyny prawdziwy kontrprzykład w obszarze AB12:
Mamy:
A1: A=>S =0
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1 musi być prawdą:
A1”: A~~>~S=A*~S =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci (~S=1), gdy zmienna wolna W=0
III.
Implikacja prosta przeciwna q|=>p = S|=>A w logice dodatniej (bo A):
Kolumna A3B3:
Definicja implikacji prostej przeciwnej S|=>A w logice dodatniej (bo A):
Implikacja prosta przeciwna S|=>A w logice dodatniej (bo A) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A3: S~>A =0 - świecenie S nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla wnioskowania o wciśniętym A
bo zabieram świecenie a mimo to przycisk A może być wciśnięty (gdy W=0)
B3: S=>A=1 - świecenie S (S=1) jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania
o wciśniętym klawiszu A, bo przycisk A i zmienna wolna W połączone są szeregowo.
Punkt odniesienia:
A3B3: q|=>p = A3B3: S|=>A
Zapis aktualny:
S|=>A = ~(A3: S~>A)*(B3: S=>A)=~(0)*1=1*1 =1
Zapis formalny:
q|=>p = ~(A3: q~>p)*(B3: q=>p) = ~(0)*1=1*1=1
Definicja implikacji prostej przeciwnej q|=>p w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
q|=>p = ~(A3: q~>p)*(B3:q=>p) = ~(q+~p)*(~q+p) = (~q*p)*(~q+p) = ~q*p
q|=>p = ~q*p - zapis formalny
S|=>A = ~S*A - zapis aktualny
Definicja implikacji prostej przeciwnej S|=>A w logice dodatniej (bo A) wskazuje jedyny prawdziwy kontrprzykład w obszarze AB34:
Mamy:
A4: ~S=>~A =0
Kontrprzykład A4’ dla fałszywego warunku wystarczającego A4 musi być prawdą:
A4’: ~S~~>A = ~S*A =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie:
Żarówka nie świeci (~S=1) i przycisk A jest wciśnięty (A=1), gdy zmienna wolna W=0
IV.
Implikacja odwrotna przeciwna ~q|~>~p = ~S|~>~A w logice ujemnej (bo ~A):
Kolumna A4B4:
Definicja implikacji odwrotnej przeciwnej ~q|~>~p = ~S|~>~A w logice ujemnej (bo ~A):
Implikacja odwrotna przeciwna ~q|~>~p = ~S|~>~A w logice ujemnej (bo ~A) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A4: ~S=>~A=0 - brak świecenia żarówki (~S=1) nie jest warunkiem wystarczającym =>
dla wnioskowania o nie wciśniętym przycisku A (~A=1), bo może być: S=0, A=1 i W=0
B4: ~S~>~A =1 - brak świecenia żarówki (~S=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla wnioskowania
o nie wciśniętym przycisku A (~A=1). Koniecznym dlatego, iż może być przypadek:
żarówka nie świeci (~S=1) a przycisk A jest wciśnięty (A=1), gdy W=0
Punkt odniesienia:
A4B4: ~q|~>~p = A4B4: ~S|~>~A
Zapis aktualny:
A4B4: ~S|~>~A = ~(A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A) =~(0)*1=1*1=1
Zapis formalny:
A4B4: ~q|~>~p = ~(A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p) =~(0)*1=1*1=1
Definicja implikacji odwrotnej przeciwnej ~q|~>~p w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~q|~>~p = ~(A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p) = (q+~p)*(~q+p) = (~q*p)*(~q+p) = ~q*p
~q|~>~p = ~q*p - zapis formalny
~S|~>~A = ~S*A - zapis aktualny
Definicja implikacji odwrotnej przeciwnej ~S|~>~A w logice ujemnej (bo ~A) wskazuje jedyny prawdziwy kontrprzykład w obszarze AB34:
Mamy:
A4: ~S=>~A =0
Kontrprzykład A4’ dla fałszywego warunku wystarczającego A4 musi być prawdą:
A4’: ~S~~>A = ~S*A =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie:
Żarówka nie świeci (~S=1) i przycisk A jest wciśnięty (A=1), gdy W=0
Podsumowanie:
Matematycznie zachodzą tożsamości logiczne:
A1B1: p|~>q = A|~>S [=] A2B2: ~p|=>~q =~A|=>~S = p*~q = A*~S
[=]
A3B3: q|=>p = S|=>A [=] A4B4: ~q|~>~p = ~S|~>~A = ~q*p = ~S*A
Zachodzi tożsamość logiczna [=] bo iloczyn logiczny jest przemienny:
p*~q = ~q*p
A*~S = ~S*A
Twierdzenie Bobra:
Z dowolnej powyższej implikacji można precyzyjnie odtworzyć układ które ona opisuje.
Przykład:
Dna jest żarówka i zespół przycisków sterujący tą żarówką.
Odtwórz schemat ideowy implikacji odwrotnej przeciwnej w logice ujemnej.
Implikacja odwrotna przeciwna ~q|~>~p w logice ujemnej (bo ~p) opisana jest równaniem:
A4B4: ~q|~>~p = ~(A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p)
Dla A4 korzystamy z prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A4: ~q=>~p = A1: p=>q
Dla B4 korzystamy z prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
B4: ~q~>~p = B1: p~>q
Stąd układ fizycznie tożsamy opisany jest równaniem:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
W układzie przycisków sterujących żarówką mamy precyzyjnie zdefiniowaną przyczynę:
p=A - układ wejściowy (przyczyna) to przycisk A
q=S - układ wyjściowy (skutek) to żarówka S
Stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w logice dodatniej (bo S):
Implikacja odwrotna A|~>S to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A (A=1) nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S (S=1)
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S (S=1)
A1B1: A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) = ~(0)*1=1*1 =1
A1: A=>S =0
Fałszywy warunek wystarczający A1 oznacza, iż szeregowo z przyciskiem A musi być połączona zmienna wolna W.
B1: A~>S =1
Prawdziwy warunek konieczny B1 oznacza, iż nie ma kolejnej zmiennej wolnej Z połączonej równolegle z przyciskiem A
Stąd mamy fizyczną realizację implikacji odwrotnej A|~>S w logice dodatniej (bo S):
| Kod: |
S2 Schemat 2
Fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1=1
S A W
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-------o o------
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
--------------------------------------------------
Punkt odniesienia: p|~>q = A|~>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej szeregowo z przyciskiem A
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej W:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje A i B.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W. Oboje widzą dokładnie tą samą żarówkę S. Jaś nie widzi Zuzi, ani Zuzia nie widzi Jasia, ale oboje wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S2, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S2, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna).
Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna W będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(w) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(w) =1
oraz
f(w)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(w) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku W, gdzie daje się ustawić zarówno W=1 jak i W=0.
Przykład:
f(w) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty
Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte
Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S2 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S
Warunkiem koniecznym, aby układ S2 był fizyczną, minimalną realizacją implikacji odwrotnej A|~>S jest przyjęcie punktu odniesienia:
p|~>q = A|~>S
Zauważmy, że budowa przycisku A jest ujęta w równaniu logicznym opisującym układ S2:
p|~>q = A|~>S
Zatem jeśli przycisk A będzie funkcją logiczną:
p = A*~B+C
to ta funkcja będzie widoczna w opisie matematycznym układu S2:
p|~>q = (A*~B+C)|~>S
Natomiast szczegółowej budowy zmiennej wolnej W z definicji nie znamy, bo nie występuje ona w powyższym opisie. Minimalnie zmienna wolna W to pojedynczy przycisk i taki należy narysować na schemacie S2 mając świadomość, że w przypadku ogólnym przycisk W może być układem zastępczym dowolnej funkcji logicznej n-przycisków, byleby dało się ustawić W=1 oraz W=0.
11.2 Porównanie Implikacji prostej p|=>q=A|=>S z odwrotną p|~>q = A|~>S
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1 =1
Przykład implikacji prostej p|=>q = A||=>S w logice dodatniej (bo S).
I.
Implikacja prosta p|=>q = A|=>S w logice dodatniej (bo S)
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
W
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Punkt odniesienia: p|=>q = A|=>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A
|
| Kod: |
T3_IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q dla punktu odniesienia:
p|=>q = A|=>S
AB12: | AB34:
Implikacja prosta p|=>q | Implikacja odwrotna przeciwna q|~>p
w logice dodatniej (bo q): | w logice dodatniej (bo q)
p|=>q =(A1:p=>q)*~(A2: p~>q) [=] q|~>p=(A3: q~>p)*~(B3: q=>p)
Implikacja odwrotna ~p|~>~q | Implikacja prosta przeciwna ~q|=>~p
w logice ujemnej (bo ~q): | w logice ujemnej (bo ~p)
~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) [=] ~q|=>~p =(A4:~q=>~p)*~(B4:~q~>~p)
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S=1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: A~>S =0 = 2:~A=>~S=0 [=] 3: S=>A =0 = 4:~S~>~A =0
---------------------------------------------------------------
p|=>q=~p*q = ~p|~>~q=~p*q [=] q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
A|=>S=~A*S = ~A|~>~S=~A*S [=] S|~>A=S*~A = ~S|=>~A=S*~A
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienie iż badany układ spełnia definicję implikacji prostej:
p|=>q = A|=>S
potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A(x) i fałszywość dowolnego zdania serii B(x).
###
II.
Implikacja odwrotna p|~>q = A|~>S w logice dodatniej (bo S)
| Kod: |
S2 Schemat 2
Fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A1: A=>S=0 - wciśniecie A nie jest wystarczające dla świecenia S
B1: A~>S=1 - wciśnięcie A jest konieczne ~> dla świecenia S
stąd:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1=1
To samo w zapisach formalnych:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
stąd:
p|~>q = A|~>S - implikacja odwrotna w logice dodatniej (bo S)
S A W
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-------o o------
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
--------------------------------------------------
Punkt odniesienia: p|~>q = A|~>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej szeregowo z przyciskiem A
|
###
| Kod: |
T3_IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q dla punktu odniesienia:
p|~>q = A|~>S
AB12: |AB34:
Implikacja odwrotna p|~>q | Implikacja prosta przeciwna q|=>p
w logice dodatniej (bo q): | w logice dodatniej (bo q)
p|~>q =~(A1:p=>q)*(A2: p~>q) [=] q|=>p=~(A3: q~>p)*(B3: q=>p)
Implikacja prosta ~p|=>~q | Implikacja odwrotna przeciwna ~q|~>~p
w logice ujemnej (bo ~q): | w logice ujemnej (bo ~p)
~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) [=] ~q|~>~p =~(A4:~q=>~p)*(B4:~q~>~p)
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: A=>S =0 = 2:~A~>~S=0 [=] 3: S~>A =0 = 4:~S=>~A =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: A~>S =1 = 2:~A=>~S=1 [=] 3: S=>A =1 = 4:~S~>~A =1
---------------------------------------------------------------
p|~>q=p*~q = ~p|=>~q=p*~q [=] q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
A|~>S=A*~S = ~A|=>~S=A*~S [=] S|=>A=~S*A = ~S|~>~A=~S*A
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienie iż badany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej:
p|~>q = A|~>S
potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii A(x) i prawdziwość dowolnego zdania serii B(x).
Doskonale widać że:
Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 14:12, 27 Sty 2021 Temat postu: |
|
|
Powód wywalenia do wersji Beta:
Im mniej o gównie zwanym KRZ tym lepiej.
Poza tym po co zmuszać ucznia I klasy LO do zapoznawania się z KRZ?
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
Matematyczny Raj: 2021-01-22
Pisana na żywo od początku nie dlatego że starsze wersje były złe, ale dlatego, że można to samo napisać lepiej tzn. w sposób bardziej zrozumiały dla ziemskich matematyków.
Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu
Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele
Wszystko należy upraszczać jak tylko można, ale nie bardziej.
Albert Einstein
Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki (vel Lucek), Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors (vel Dagger), Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski, MaluśnaOwieczka i inni.
Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez Fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?
Finałowa dyskusja z Irbisolem!
Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2021
Niniejszy podręcznik jest końcowym efektem 15-letniej dyskusji na forach śfinia, ateista.pl i yrizona - to około 30 tys postów, średnio 5 postów dziennie wyłącznie na temat logiki matematycznej.
Części:
1.0 Kubusiowa teoria zbiorów
2.0 Algebra Boole’a dla przedszkolaków
3.0 Nieznana algebra Boole’a
4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
Wstęp
Dlaczego od 15 lat zajmuję się logiką matematyczną?
1.
Jestem absolwentem elektroniki na Politechnice Warszawskiej (1980r) - specjalność automatyka.
Z racji wykształcenia techniczną algebrę Boole’a znam perfekcyjnie od czasów studiów i wiem, że złożone automaty cyfrowe w bramkach logicznych projektuje się w naturalnej logice matematycznej człowieka tzn. opisanej równaniami algebry Boole’a - nigdy tabelami zero-jedynkowymi!
2.
Pojęcie „Klasyczny Rachunek Zdań” usłyszałem po raz pierwszy w życiu 15 lat temu od Wuja Zbója.
Gdy usłyszałem zdania prawdziwe w KRZ to się we mnie zagotowało.
Przykładowe zdania prawdziwe w KRZ:
a) Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
b) Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
c) Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
Dowód (na serio!) prawdziwości tego zdania na gruncie KRZ jest tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
… i tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Bertrand Russell napisał: |
Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.
Kiedy Bertrand Russell wypowiedział ten warunek na jednym z publicznych wykładów jakiś sceptyczny złośliwiec poprosił go, by udowodnił, że jeśli 2 razy 2 jest 5, to osoba pytająca jest Papieżem. Russell odparł: "Jeśli 2 razy 2 jest 5, to 4 jest 5; odejmujemy stronami 3 i wówczas 1=2. A że pan i Papież to 2, więc pan i Papież jesteście jednym." |
3.
Dlaczego z takim uporem drążyłem algebrę Kubusia?
Po zapisaniu przeze mnie praw Kubusia 15 lat temu:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Zrozumiałem ich sens w obsłudze obietnicy Chrystusa:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z
Tylko i wyłącznie dlatego ciągnę temat „Logika matematyczna” od 15 lat
4.
Algebra Boole’a to najtrudniejsza część algebry Kubusia. Chodzi tu o matematyczną minimalizację złożonych równań algebry Boole’a które układa się i minimalizuje w projektowaniu automatów sterujących w bramkach logicznych na I roku elektroniki studiów wyższych.
Wbrew pozorom, naturalnymi ekspertami algebry Boole’a są wszystkie 5-cio latki bowiem w języku potocznym, w komunikacji człowieka z człowiekiem, nasz mózg operuje minimalnymi równaniami algebry Boole’a, których nie da się dalej minimalizować - nie jest tu zatem potrzebna jakakolwiek teoria minimalizacji równań logicznych. Dowód tego faktu jest w punkcie 2.0
Moja maksyma sprzed 35 lat:
1.
Każdy duży program komputerowy, w tym teorię matematyczną zwaną algebrą Kubusia, można udoskonalać w nieskończoność. Chodzi tu oczywiście nie o błędy czysto matematyczne, bo tych na 100% nie ma, ale o formę przekazu AK dla wybranych grup ludzkości: przedszkolaki, uczniowie szkoły podstawowej, średniej, studenci, prawnicy, humaniści na zawodowych matematykach kończąc.
2.
Im dłużej się myśli tym lepszy program można napisać, tym doskonalszą wersję algebry Kubusia można zapisać.
3.
Myślenie w nieskończoność nie ma sensu, tu trzeba tworzyć coraz doskonalsze wersje, dążąc do doskonałości absolutnej, której nie da się osiągnąć z definicji bo to co jest dobre dla 5-cio latka nie musi być wystarczające dla zawodowego matematyka.
Kluczowa uwaga:
W algebrze Kubusia 100% definicji z obszaru logiki matematycznej jest sprzecznych z definicjami obowiązującymi w Klasycznym Rachunku Zdań. Nie ma więc najmniejszego sensu czytanie algebry Kubusia i porównywanie tutejszych definicji z definicjami obowiązującymi w KRZ.
Jestem pewien, że nie ma wewnętrznej sprzeczności w algebrze Kubusia, bo wszystko jest tu w 100% zgodne z teorią bramek logicznych, której ekspertem jestem od czasu zaliczenia laboratorium techniki cyfrowej na I roku Politechniki Warszawskiej (1975r), gdzie budowaliśmy złożone automaty cyfrowe w bramkach logicznych - wtedy mikroprocesorów praktycznie jeszcze nie było, bowiem pierwszy przyzwoity mikroprocesor Intel i8080 narodził się w roku 1974.
Ciekawostka:
W 1974r Intel i8080 kosztował 360USD przy średniej płacy w Polsce 15USD.
[link widoczny dla zalogowanych]
Ile trzeba było pracować, by kupić ten szczyt techniki wymagający trzech napięć zasilania (+12V, +5V i -5V)?
W 1971r ukazała się pierwsza pamięć EPROM Intela i1702 o kosmicznej pojemności 256 bajtów wymagająca trzech napięć zasilania jak wyżej - w takiej pamięci można zapisać co najwyżej 256 liter.
[link widoczny dla zalogowanych]
… a dzisiaj (2020r)?
[link widoczny dla zalogowanych]
Na karcie pamięci microSD (wymiary: 11*15*1mm) z telefonu komórkowego mieści się 1024GB (1024GB=1024 miliardów bajtów-liter)
Dziś, 2021-01-22 jest dzień dziadka, zatem niniejszą wersję „Algebry Kubusia” dedykuję moim wnukom Naomi i Ferencowi mając nadzieję, że zdążą uczyć się logiki matematycznej w I klasie LO z niniejszego podręcznika który wkrótce zastąpi, co pewne, aktualny gówno-podręcznik logiki matematycznej do I klasy LO.
Ten gówno podręcznik:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Podręcznik gówno-matematyki do I klasy LO napisał: |
Spójnik logiczny „wtedy i tylko wtedy, gdy...” oznaczamy przez <=>.
Tabela równoważności będzie wyglądać tak:
| Kod: |
p q p<=>q
A: 0 0 1
B: 0 1 0
C: 1 0 0
D: 1 1 1
|
Powróćmy teraz do zdania „Księżyc krąży wokół Ziemi wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”. Na pierwszy rzut oka nam coś w nim nie pasuje.
Podzielmy to zdanie na dwa podzdania p i q:
p: „Księżyc krąży wokół Ziemi”
q: „pies ma osiem łap”
Wartość logiczna zdania p wynosi 1, a q wynosi 0. Ponieważ obie wartości logiczne zdań podrzędnych nie są sobie równe, więc zdanie to jest fałszywe, jego wartość logiczna wynosi 0.
Jednak gdyby to zdanie brzmiało:
„Ziemia krąży wokół Księżyca wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”
to wówczas byłoby prawdziwe, ponieważ wartości logiczne obu zdań podrzędnych byłyby sobie równe i wynosiłyby 0. |
W gówno podręczniku matematyki prawdziwa jest też inna równoważność:
„Księżyc krąży wokół Ziemi wtedy i tylko wtedy gdy pies ma cztery łapy”
bo p=1 i q=1 zatem z tabeli zero-jedynkowej odczytujemy że ta równoważność jest prawdziwa:
p<=>q =1
Poprawna, fizyczna realizacja równoważności z niniejszego podręcznika jest następująca:
| Algebra Kubusia napisał: |
4.6.1 Definicja równoważności p<=>q
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => jest (=1) spełniony
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> jest (=1) spełniony
Stąd mamy:
Podstawowa definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Podstawową definicję równoważności znają wszyscy ludzie, nie tylko matematycy.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 6 830
Klikamy na googlach:
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 2 260
etc
Nanieśmy definicję równoważności do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
AB12: | AB34:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Kubuś, nauczyciel fizyki w I klasie LO, póki co w 100-milowym lesie:
Załóżmy, że mamy do dyspozycji źródło napięcia zasilania, żarówkę S i dowolną ilość przycisków A, B, C … W, Z sterujących tą żarówką.
Czy ktoś potrafi narysować najprostszy obwód elektryczny spełniający definicję równoważności p<=>q?
Jaś:
To jest zadanie najprostsze z możliwych, oto ten obwód elektryczny.
| Kod: |
S4 Schemat 4
Fizyczny układ minimalny równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
To samo w zapisach formalnych (ogólnych):
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Punkt odniesienia:
p=A, q=S
A1B1: p<=>q = A<=>S
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Punkt odniesienia: p<=>q=A<=>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna związana A będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(a) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty
Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S4 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny równoważności A<=>S.
Definicja równoważności A<=>S w zdarzeniach w logice dodatniej (bo S):
Równoważność A<=>S to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1
B1: A~>S =1
stąd:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Definicja równoważności A<=>S w logice dodatniej (bo S) to odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A zostanie wciśnięty?
Odpowiedź mamy wyłącznie w kolumnie A1B1
Aby udowodnić iż badany warunek wystarczający/konieczny wyrażony zdaniem warunkowym „Jeśli p to q” jest częścią równoważności A<=>S musimy udowodnić punkty 1 i 2.
1.
Badamy prawdziwość warunku wystarczającego => A1 widniejącego w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
cnd
2.
Badamy prawdziwość warunku koniecznego ~> B1 widniejącego w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S, bo w układzie S4 nie ma przycisku W (zmienna wolna) podłączonego równolegle do A który mógłby zaświecić żarówkę S niezależnie od stanu przycisku A.
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> świecenia się żarówki S (S=1), bo jak przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie będzie się świecić (~S=1)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
Stąd mamy:
Podstawowa definicja równoważności:
Wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> i wystarczające => dla zaświecenia się żarówki S
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Innymi słowy:
Przycisk A jest wciśnięty wtedy i tylko wtedy gdy żarówka S świeci się
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Stąd mamy:
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Doskonale widać, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to zdania te nie są tożsame na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wplecionych w treść zdań.
Innymi słowy:
Wszystko zależy tu jak matematycznie zakodujemy banalne zdanie prawdziwe opisujące układ S4:
S4:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% świeci się (S=1)
Zapis aktualny zdań A1 i B1:
A1: A=>S=~A+S =1 ## B1: A~>S = A+~S =1
Zapis formalny (ogólny) zdań A1 i B1:
A1: p=>q =~p+q =1 ## B1: p~>q = p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
W tym momencie leży i kwiczy fundament wszelkich logik ziemskich matematyków.
Dogmat wszystkich ziemskich logik matematycznych:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka są matematycznie tożsame … na mocy definicji!
Ten dogmat jest fałszem, bo znaleźliśmy kontrprzykład - zdania A1 i B1 wyżej.
|
Kwadratura koła dla twardogłowych, ziemskich matematyków:
1.
Każdy ziemski matematyk doskonale rozumie równoważność opisującą powyższy schemat S4.
Podstawowa definicja równoważności:
Wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> i wystarczające => dla zaświecenia się żarówki S
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Innymi słowy:
Przycisk A jest wciśnięty wtedy i tylko wtedy gdy żarówka S świeci się
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
2.
Weźmy teraz gówno-równoważność z gówno-podręcznika matematyki do I klasy LO:
„Księżyc krąży wokół Ziemi wtedy i tylko wtedy gdy pies ma cztery łapy”
Pytanie do twardogłowych matematyków:
W jaki sposób fakt iż Księżyc krąży wokół Ziemi jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby pies miał cztery łapy?
Drodzy twardogłowi matematycy, powtórzę raz jeszcze poprawną, waszą definicję równoważności, której osobiście używacie milion razy na dobę.
Definicji podstawowa równoważności w zdarzeniach:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Dowód iż to jest Wasza definicja.
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 6 830
Klikamy na googlach:
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 2 260
etc
Mam nadzieję, ze po tym krótkim wykładzie każdy twardogłowy matematyk walnie się cepem w makówkę i zrozumie jak potwornie śmierdzącym gównem jest Klasyczny Rachunek Zdań
cnd
Przykładem twardogłowych matematyków których spotkałem w czasie 15-letniej historii rozszyfrowania algebry Kubusia są Irbisol i Idiota.
Do Irbisola prawdopodobnie nigdy nie dotrze, iż bez sensu jest jego wersja obalania algebry Kubusia gdzie zadaje pytania w temacie logiki matematycznej, żądając ode mnie jedynie słusznej odpowiedzi zgodnej z jego gównem zwanym Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Powtarzałem Irbisolowi do znudzenia iż 100% definicji w temacie logika matematyczna mamy sprzecznych, zatem nigdy nie doczeka się mojej odpowiedzi potwierdzającej poprawność gówna zwanego Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Rozpacz twardogłowych matematyków, Irbisola i Idioty z tego powodu najlepiej oddają poniższe cytaty.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/czysto-matematyczne-obalenie-logiki-matematycznej-ziemian,9269-225.html#310261
| idiota napisał: | | Chyba ostatecznie przegrzaliśmy rafałowi pozostałości mózgu. |
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/prawo-subalternacji,8368-2000.html#299283
| idiota napisał: | Boże, co za bzdury...
To niesamowite jak rafał swoim nierozumieniem niczego potrafi sobie w głowie posklejać co się da i zrobić to jakoś odnoszące się do jego idee fixe...
Przecież tego nie ma sensu nawet wyjaśniać, bo widać tu raczej symptomy choroby, a nie rozumowanie. |
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/p-1-i-q-1-ale-p-q-0,10575-450.html#369345
| Irbisol napisał: | | Ty jesteś naprawdę ograniczony - nie ma z tobą podstawowego kontaktu ... Nie wiem, jak do ciebie przemówić, bo twoja głupota przerasta wszystko, co do tej pory spotkałem na wielu forach |
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1050.html#415439
| Irbisol napisał: |
Po prostu nie mam już słów na wyrażenie stopnia twojego upośledzenia, które nie pozwala ci tego pojąć. |
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1150.html#418651
| Irbisol napisał: | | Debil by zrozumiał, dlatego nie nazywam cię debilem, żeby debili nie obrażać. |
http://www.sfinia.fora.pl/zgloszenia-naruszen-regulaminu,25/kto-jest-poszkodowany-przez-ataki-osobiste,14257-75.html#472339
| Irbisol napisał: | | Trzeba chyba osobnego moderatora zatrudnić do sprzątania spamu po Kubusiu. A Aurelka dobrze robi, że wywala to na Śmietnik - tam jest miejsce tych głupot, które ta uważająca się za logika miernota produkuje. |
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/dowod-debila-oparty-na-dwoch-sprzecznych-zalozeniach,14695.html#487745
| Irbisol napisał: |
Ty jesteś debilem...
Aż niemożliwe, że tego nie widzisz. Jesteś generalnie głupi, ale teraz przekraczasz własne rekordy. |
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/definicje-operatorow-implikacyjnych-w-ukladzie-przelacznikow,14719-225.html#491657
| Irbisol napisał: | Nie rozumiesz nadal, debilu, przesłania tego co piszę.
Ja ci mogę odpowiedzieć na każde twoje pierdolenie i przeczytać każdy
post, gdzie pokazujesz, jaki jesteś głupi.
Dlaczego tego więc nie robię?
Bo gdy dochodzimy do punktu, gdzie już wiesz, że zrobiłeś z siebie
debila, wtedy SPIERDALASZ od bieżącego tematu.
Mógłbym oczywiście też zmienić temat i wskazać w twoim nowym temacie,
gdzie się wysrywasz, ale tu historia znowu się powtórzy - w pewnym
momencie zmienisz temat i zaczniesz w panice przeklejać jakieś
definicje niezwiązane z omawianą kwestią (im więcej kilobajtów, tym
lepiej) albo "odkrywać" nowe "armagedony". I tak w nieskończoność.
Zatem najpierw skończ jeden temat i wtedy przejdziemy do następnego. W
każdym polegniesz rozpierdolony w drobny mak.
Ale nie spierdalaj co chwila, bo każdy widzi, że to zwykła taktyka
niedorozwoja, który boi się, że jego debilizm został zdemaskowany. |
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-2400.html#526961
| Irbisol napisał: | | Jestem tu tylko dlatego, żeby zobaczyć, jakiego jeszcze większego debila będziesz z siebie robił. Zawsze mam wrażenie, że sięgnąłeś dna - i zawsze się mylę - tam niżej jeszcze coś jest i ty to odkrywasz. |
Algebra Kubusia - wspomnienia z przeszłości
Po 15 latach burzliwych dyskusji w temacie algebra Kubusia dobijamy do brzegu.
Ostatnie pół roku to moje samotne przemyślenia, zadawanie sobie auto problemów, które w spokoju i ciszy rozwiązywałem.
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Paradygmat a rewolucja naukowa:
W czasach nauki instytucjonalnej (określenie również wprowadzone przez Kuhna) podstawowym zadaniem naukowców jest doprowadzenie uznanej teorii i faktów do najściślejszej zgodności. W konsekwencji naukowcy mają tendencję do ignorowania odkryć badawczych, które mogą zagrażać istniejącemu paradygmatowi i spowodować rozwój nowego, konkurencyjnego paradygmatu.
Na przykład Ptolemeusz spopularyzował pogląd, że Słońce obiega Ziemię, i to przekonanie było bronione przez stulecia nawet w obliczu obalających go dowodów.
Jak zaobserwował Kuhn, w trakcie rozwoju nauki „nowości wprowadzane są z trudem i z towarzyszącym mu, zgodnym z oczekiwaniami, jawnym oporem”. I tylko młodzi uczeni, nie tak głęboko indoktrynowani przez uznane teorie – jak Newton, Lavoisier lub Einstein – mogą dokonać odrzucenia starego paradygmatu.
Takie rewolucje naukowe następują tylko po długich okresach nauki instytucjonalnej, tradycyjnie ograniczonej ramami, w których musiała się ona (nauka) znajdować i zajmować się badaniami, zanim mogła te ramy zniszczyć”. Zresztą kryzys zawsze niejawnie tai się w badaniach, ponieważ każdy problem, który nauka instytucjonalna postrzega jako łamigłówkę, może być ujrzany z innej perspektywy, jako sprzeczność (wyłom), a zatem źródło kryzysu – jest to „istotne obciążenie” badań naukowych.
Kryzysy w nauce:
Kryzysy są wyzwalane, gdy uczeni uznają odkryte sprzeczności za anomalię w dopasowaniu istniejącej teorii z naturą.
Wszystkie kryzysy są rozwiązywane na trzy sposoby:
1.
Nauka instytucjonalna może udowodnić zdolność do objęcia kryzysowego problemu, i w tym przypadku wszystko wraca do „normalności”.
2.
Alternatywnie, problem pozostaje, jest zaetykietowany, natomiast postrzega się go jako wynik niemożności użycia niezbędnych przyrządów do rozwiązania go, więc uczeni pozostawiają go przyszłym pokoleniom z ich bardziej rozwiniętymi (zaawansowanymi) przyborami.
3.
W niewielu przypadkach pojawia się nowy kandydat na paradygmat, i wynika bitwa o jego uznanie będąca w istocie wojną paradygmatów.
Kuhn argumentuje, że rewolucje naukowe są nieskumulowanym epizodem rozwojowym, podczas którego starszy paradygmat jest zamieniany w całości lub po części przez niezgodny z nim paradygmat nowszy. Ale nowy paradygmat nie może być zbudowany na poprzedzającym go, a raczej może go tylko zamienić, gdyż „instytucjonalna tradycja naukowa wyłaniająca się z rewolucji naukowej jest nie tylko niezgodna, ale też nieuzgadnialna z tą, która pojawiła się przed nią”.
Rewolucja kończy się całkowitym zwycięstwem jednego z dwóch przeciwnych obozów.
|
Algebra Kubusia to punkt 3, bowiem 100% definicji z zakresu logiki matematycznej w algebrze Kubusia jest sprzecznych z fundamentem wszelkich logik matematycznych ziemian zwanym Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Wiem z historii, a i obecnie po dużych wzrostach liczników odwiedzin, że historię rozszyfrowywania algebry Kubusia czyta wielu wybitnych polskich logików.
Dlaczego bez zaproszenia najprawdopodobniej nigdy nie pójdę na forum matematyka.pl?
Po pierwsze:
Nie jest możliwa sensowna dyskusja dwóch stron „Rafal3006 vs ziemscy matematycy”, gdy obie strony będą się posługiwały sprzecznymi w 100% definicjami.
Ja wiem jakie definicje mają ziemscy matematycy w zakresie logiki matematycznej - wszystkie w 100% do bani. Oczywistym jest, że nie mogę zacząć myśleć definicjami rodem z KRZ, mimo że je doskonale znam, bo jestem świadom faktu, iż zacznę pływać w szambie zwanym Klasyczny Rachunek Zdań - tym szambie:
Przykładowe zdania prawdziwe w szambie zwanym KRZ:
a) Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
b) Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
c) Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
Przypadek dyskusji „gadał dziad do obrazu” już przerabiałem w dyskusji z Irbisolem, który za wszelką cenę dążył do obalenia algebry Kubusia.
Dowód w tym linku:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663.html#505427
Dlaczego dyskusja z Irbisolem była dla mnie bezcenna?
Bo przyczyniła się w znaczący sposób do rozszyfrowania algebry Kubusia - dzięki Irbisolu.
Po drugie i najważniejsze:
Zbyt wczesne wejście na matematykę.pl spowoduje zastopowanie rozwoju rozszyfrowywania algebry Kubusia, bowiem pewne jest, że będę musiał matematykom z matematyki.pl bez przerwy tłumaczyć algebrę Kubusia od zera, zatem zabraknie mi czasu na udoskonalanie przekazu algebry Kubusia w taki sposób, by bez problemu zrozumiał ją przeciętny uczeń I klasy LO. Dokładnie do tego cały czas dążę.
Po trzecie:
Nie mam ochoty na udział w dyskusji z bufonami z matematyki.pl dla których bogiem jest Klasyczny Rachunek Zdań, dokładnie dlatego, że 100% (powtórzę: 100%) definicji w zakresie logiki matematycznej mamy sprzecznych.
Dowód iż w roku 2009 w czasie mojego pierwszego wejścia na matematykę.pl spotkałem prawie samych bufonów, którzy zjedli wszystkie rozumy świata, łącznie z własnym.
Przykłady:
silicium2002 » 4 sierpnia 2009, 12:02
[link widoczny dla zalogowanych]
| silicium2002 napisał: |
To nie ma sensu. Czy ktoś czytał co za brednie powypisywał na tym forum do którego podał linki. Równie dobrze możemy założyć że 2 # 2 i zacząć pisać nową matematykę. Jestem przeciwny takiemu zaśmiecaniu forum. |
[link widoczny dla zalogowanych]
| miodzio1988 napisał: |
Znowu te brednie? Realne zastosowania poprosimy. Postaw problem i rozwiąż go za pomocą tego co napisałeś tutaj. Tylko konkrety poproszę. |
[link widoczny dla zalogowanych]
| miodzio1988 napisał: |
No i na żadne pytanie nie odpowiedziałeś. Żadnego problemu nie postawiłeś . Żadnego problemu nie rozwiązałeś. Wniosek? Nic ta Twoja teoria nie jest warta. Musiałeś trafiić na mnie żeby się do tego przekonać No, ale uświadomiłem Cie. Zajmij się czymś pożytecznym .
Ekstrema umiesz liczyć? Całki?
Jeśli następny Twój post nie będzie odpowiedzią na poprzednie pytania to stworzymy algebrę Miodzia. I ta algebra będzie równie absurdalna i równie nieprzydatna jak Twoja algebra.
|
Wyjątkiem był Rogal, moderator, który nawet stanął w mojej obronie:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Rogal do miodzio1988 napisał: |
Aleś się zacietwierzył - uważaj, abyś się jeszcze nie zapowietrzył :-).
Nie wiem, na jakiej podstawie uważasz to za brednie, skoro autor wyraźnie mówi, że robi sobie nowe definicji, które "przystosowują" klasyczną algebrę Boole'a do języka mówionego dzieci lat około pięciu w zakresie implikacji? Nie możesz obalać definicji. |
To dzięki Rogalowi moja najdłuższa dyskusja na matematyce.pl trwała aż 77 postów.
Trwała, dopóki Rogal mnie nie zbanował z uzasadnieniem jak niżej:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Moderator matematyki.pl, Rogal, w ostatnim poście napisał: |
Powtórzę się po raz ostatni - w matematyce niczego nie zmienisz, więc możesz nam przestać zawracać tym głowę - wszyscy już zrozumieli, o co chodzi - widzisz jaki entuzjazm? Nie jest potrzebny matematykom nowy operator do codziennego stosowania, bo te które są wystarczają.
Do wcześniej podanych przeze mnie rad, dodam jeszcze jedną - naprawdę zainteresuj się czymś takim jak logiki rozmyte - to jest prawdziwa logika człowieka, wszystko inne to tylko przybliżenia dla uproszczenia sprawy.
Jeśli ktoś będzie miał tutaj coś bardzo istotnego do dodania do tej dyskusji, co nie zostało powiedziane, niech napisze do mnie PW, to temat odblokuję.
|
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
