 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35357
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Wto 0:42, 29 Wrz 2020 Temat postu: Algebra Kubusia dla LO (Beta 1.0) |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego dla LO
(w trakcie pisania)
Stan na dzień: 2020-10-31
Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu
Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele
Wszystko należy upraszczać jak tylko można, ale nie bardziej.
Albert Einstein
Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski i inni.
Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?
Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2020
Niniejszy podręcznik jest końcowym efektem 15-letniej dyskusji na forach śfinia, ateista.pl i yrizona - to około 30 tys postów, średnio 5 postów dziennie wyłącznie na temat logiki matematycznej.
1.0 Kubusiowa teoria zbiorów
Spis treści
1.0 Kubusiowa teoria zbiorów 7
1.1 Podstawowe operacje na zbiorach 8
1.1.1 Znaczenie przecinka w teorii zbiorów 9
1.2 Zbiór wszystkich zbiorów 10
1.2.1 Nazwa własna zbioru 10
1.3 Dziedzina 11
1.3.1 Zaprzeczenie zbioru 11
1.3.2 Dziedzina minimalna 11
1.4 Zbiory rozłączne uzupełniające się do dziedziny 12
1.4.1 Definicja tożsamości zbiorów p=q 13
1.4.2 Spójnik „lub”(+) vs spójnik „albo”($) 14
Wstęp:
Dlaczego od 15 lat zajmuję się logiką matematyczną?
1.
Z wykształcenia jestem elektronikiem po Politechnice Warszawskiej. Studenci w laboratorium techniki cyfrowej myślą matematycznym językiem potocznym mającym przełożenie 1:1 na prawa logiki matematycznej obowiązujące w algebrze Boole’a
2.
Pojęcie „Klasyczny Rachunek Zdań” usłyszałem po raz pierwszy 15 lat temu od Wuja Zbója.
Gdy po raz pierwszy usłyszałem zdania prawdziwe w KRZ to się we mnie zagotowało.
Przykładowe zdania prawdziwe w KRZ:
a) Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
b) Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
c) Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
Dowód (na serio!) prawdziwości tego zdania na gruncie KRZ jest tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
… i tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Bertrand Russell napisał: |
Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.
Kiedy Bertrand Russell wypowiedział ten warunek na jednym z publicznych wykładów jakiś sceptyczny złośliwiec poprosił go, by udowodnił, że jeśli 2 razy 2 jest 5, to osoba pytająca jest Papieżem. Russell odparł: "Jeśli 2 razy 2 jest 5, to 4 jest 5; odejmujemy stronami 3 i wówczas 1=2. A że pan i Papież to 2, więc pan i Papież jesteście jednym." |
3.
Dlaczego z takim uporem drążyłem algebrę Kubusia?
Po zapisaniu przeze mnie praw Kubusia 15 lat temu:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Zrozumiałem ich sens w obsłudze obietnicy Chrystusa:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z
Tylko i wyłącznie dlatego ciągnę temat „Logika matematyczna” od 15 lat
W początkowym okresie rozszyfrowywania algebry Kubusia dużą rolę odegrał Wuj Zbój.
Toczyliśmy pasjonującą i rzeczową dyskusję głównie na PW, często w godzinach późnonocnych.
Wspólny język mieliśmy na poziomie spójników „i”(*) i „lub”(+) bo na szczęście, Wuj znał technikę równań logicznych w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).
Po zapisaniu przeze mnie praw Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
to Wuj po raz pierwszy udowodnił ich prawdziwość nie korzystając z tabel zero-jedynkowych a zrobił to tak:
Definicja znaczka =>:
p=>q = ~p+q
Definicja znaczka ~>:
p~>q = p+~q
stąd:
~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q = p=>q
~p=>~q = ~(~p)+~q = p+~q = p~>q
cnd
Prawda, że proste?
Poza tym Wuj jest autorem skróconego przejścia do logiki ujemnej, będącego odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia w wielomianie klasycznym np.
(x+y)*(x-y) = x^2 + y^2
Podobnie jest w logice matematycznej.
Niech będzie dana funkcja logiczna:
1: Y = pq + ~p~q - zapis często stosowany w technice cyfrowej z pominięciem znaczka (*).
Kolejność wykonywania działań w technicznej algebrze Boole’a to:
nawiasy, spójnik „i”(*), spójnik „lub”(+)
Gdzie:
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) to spójniki z języka potocznego człowieka.
Algorytm Wuja przejścia do logiki ujemnej (bo ~Y) jest następujący:
1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
1: Y = (p*q)+(~p*~q) - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2: ~Y=(~p+~q)*(p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec!
… ale możemy działać dalej bawiąc się logiką matematyczną.
3.
W równaniu 2 wymnażamy wielomian ~Y uzyskując funkcję alternatywno-koniunkcyjną
~Y=(~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p+~q*q = p*~q + ~p*q
3: ~Y = p*~q+ ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna
4.
Z równaniem 3 przechodzimy do logiki dodatniej (bo Y) algorytmem Wuja Zbója.
3: ~Y = (p*~q)+(~p*q) - uzupełniamy brakujące nawiasy
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4: Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna
W ten sposób udowodniliśmy na przykładzie twierdzenie znane ziemskim matematykom.
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej i odwrotnie.
Dowód na naszym przykładzie:
1: Y = p*q+~p*~q = 4: Y = (~p+q)*(p+~q)
3: ~Y = p*~q+~p*q = 2: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
cnd
Jak wygląda dokładnie ten sam dowód (horror) w logice matematycznej ziemian można zobaczyć w podręczniku Ludomira Newelskiego „Wstęp do matematyki” w punkcie 2.7 tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć.
Alfred Hitchcock
Błąd w akademickim podręczniku matematyki!
Wstęp do matematyki
Ludomir Newelski
Link do błędu czysto matematycznego (punkt 2.7):
[link widoczny dla zalogowanych]
Zadanie:
Dana jest tabela zero-jedynkowa funkcji logicznej Y:
| Kod: |
T1.
p q r Y
A: 0 0 0 0
B: 0 0 1 1
C: 0 1 0 1
D: 0 1 1 0
E: 1 0 0 0
F: 1 0 1 1
G: 1 1 0 0
H: 1 1 1 0
|
Z tabeli za prof. Newelskim odczytujemy:
1:
Y=1 <=> B: p=0 i q=0 i r=1 lub C: p=0 i q=1 r=0 lub F: p=1 i q=0 i r=1
Jeśli chcemy otrzymać postać alternatywno-koniunkcyjną funkcji Y opisującą powyższą tabelę to musimy skorzystać z prawa Prosiaczka, sprowadzając wszystkie zmienne do jedynek.
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych binarnych.
Potrzebne prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
Stąd mamy:
2:
Y=1 <=> B: ~p=1 i ~q=1 i r=1 lub C: ~p=1 i q=1 ~r=1 lub F: p=1 i ~q=1 i r=1
Jedynki w funkcji alternatywno-koniunkcyjnej są domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd mamy równanie alternatywno-koniunkcyjne opisujące naszą tabelę.
3: Y = (~p*~q*r)+(~p*q*~r) + (p*~q*r) - postać alternatywno-koniunkcyjna
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B: ~p=1 i ~q=1 i r=1 lub C: ~p=1 i q=1 ~r=1 lub F: p=1 i ~q=1 i r=1
Zauważmy, że prof. Newelski nie podał studentom banalnego prawa Prosiaczka dzięki któremu przeszedł z zapisu 1 do równania 3
Przejście z równaniem 3 do logiki ujemnej (bo ~Y) algorytmem Wuja Zbója:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne:
4: ~Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r) - postać koniunkcyjno-alternatywna
W swoim rozwiązaniu:
[link widoczny dla zalogowanych]
prof. Newelski doszedł do banalnych równań 3 i 4, ale błędnie twierdzi iż funkcja logiczna 3 jest tożsama z funkcją logiczną 4.
Oczywiście między 3 i 4 zachodzi definicja spójnika „albo”($) a nie tożsamość logiczna, czyli równoważność <=>.
Zapis matematycznie poprawny:
3: Y = (~p*~q*r)+(~p*q*~r) + (p*~q*r) „albo”($) 4: ~Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)
Zapis matematycznie błędny prof. Newelskiego:
3: Y = (~p*~q*r)+(~p*q*~r) + (p*~q*r) <=> 4: ~Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)
To jest do bani!
W laboratorium techniki cyfrowej wszystko wyleci w powietrze - będzie kupa dymu i smrodu.
Błąd czysto matematyczny prof. Newelskiego udowodni w laboratorium techniki cyfrowej każdy student I roku elektroniki na dowolnej uczelni.
Temat ćwiczenia:
Udowodnij doświadczalnie tożsamość logiczną lub jej brak dla poniższych funkcji logicznych:
3: Y = (~p*~q*r)+(~p*q*~r) + (p*~q*r) - postać alternatywno-koniunkcyjna
4: Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r) - postać koniunkcyjno-alternatywna
Oczywistym jest, że po stronie wejścia p i q w równaniach 3 i 4 muszą być te same p i q.
Pewne jest, że po zbudowaniu układów logicznych 3 i 4 oraz po połączeniu ich wyjść Y student zobaczy kupę dymu i smrodu, co oznacza że funkcje logiczne 3 i 4 nie są matematycznie tożsame.
Uwaga:
Rzeczywiste realizacje bramek logicznych są idioto-odporne co oznacza, że nawet jeśli będzie kolizja sygnałów wyjściowych Y to nie będzie dymu i smrodu, tylko układ będzie źle działał co łatwo zaobserwować np. na oscyloskopie, przyrządzie pomiarowym służącym do wizualizacji przebiegów zmiennych.
Jak uzyskać poprawną postać koniunkcyjno-alternatywną tożsamą do postaci alternatywno-koniunkcyjnej 3?
Rozwiązanie 1.
Wymnażamy wielomian 4 uzyskując postać alternatywną dla funkcji logicznej:
5: ~Y = …………… - postać alternatywno-koniunkcyjna
Przechodzimy z 5 do postaci koniunkcyjno-alternatywnej metodą Wuja Zbója:
6: Y = ……………. - postać koniunkcyjno-alternatywna
Dopiero w tym momencie możemy zapisać tożsamości:
3: Y = 6: Y
5: ~Y = 4: ~Y
Masochistą nie jestem, zatem nie będę wymnażał wielomianu 4.
Rozwiązanie 2
Tożsame rozwiązanie tego problemu wygląda następująco.
Uzupełnijmy tabelę T1 o funkcję logiczną ~Y będącą zaprzeczeniem funkcji logicznej Y.
| Kod: |
T2
p q r Y ~Y
A: 0 0 0 0 1
B: 0 0 1 1 0
C: 0 1 0 1 0
D: 0 1 1 0 1
E: 1 0 0 0 1
F: 1 0 1 1 0
G: 1 1 0 0 1
H: 1 1 1 0 1
1 2 3 4 5
|
W tabeli T2 opisujemy jedynki w kolumnie 5:
~Y=1 <=> A: p=0 i q=0 i r=0 lub D: p=0 i q=1 i r=1 lub
lub E: p=1 i q=0 i r=0 lub G: p=1 i q=1 i r=0 lub H: p=1 i q=1 i r=1
Aby otrzymać postać alternatywno-koniunkcyjną musimy na mocy prawa Prosiaczka wszystkie zmienne sprowadzić do jedynek.
Potrzebne prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
stąd mamy:
~Y=1 <=> A: ~p=1 i ~q=1 i ~r=1 lub D: ~p=1 i q=1 i r=1 lub
LUB E: p=1 i ~q=1 i ~r=1 lub G: p=1 i q=1 i ~r=1 lub H: p=1 i q=1 i r=1
Jedynki w równaniu alternatywno-koniunkcyjnym są domyślne stąd mamy:
5: ~Y = (~p*~q*~r)+(~p*q*r)+(p*~q*~r)+( p*q*~r)+(p*q*r) - postać alternatywno-koniunkcyjna
Przejście z 5 to logiki dodatniej (bo Y) algorytmem Wuja Zbója.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne:
6: Y = (p+q+r)*(p+~q+~r)*(~p+q+r)*(~p+~q+r)*(~p+~q+~r) - postać koniunkcyjno-alternatywna
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej i odwrotnie.
Dopiero w tym momencie mamy matematycznie poprawną tożsamość funkcji logicznych:
3: Y = (~p*~q*r)+(~p*q*~r) + (p*~q*r) <=> 6: Y = (p+q+r)*(p+~q+~r)*(~p+q+r)*(~p+~q+r)*(~p+~q+~r)
5: ~Y = (~p*~q*~r)+(~p*q*r)+(p*~q*~r)+( p*q*~r)+(p*q*r) <=> 4: ~Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)
Podsumowując:
Ciekawe co by było, gdybym ten czysto matematyczny błąd prof. Newelskiego zapisał na matematyce.pl?
Czy matematycy byliby w stanie zrozumieć ten błąd?
Nie jestem tego pewien, ale pewne jest że ten czysto matematyczny błąd prof. Newelskiego można łatwo UDOWODNIĆ (pokazać) w laboratorium techniki cyfrowej … w sposób zrozumiały dla każdego ucznia I klasy LO (oczywiście na prostszym przykładzie by nie być masochistą).
1.0 Kubusiowa teoria zbiorów
Kubusiowa teoria zbiorów to nieznana ziemianom teoria zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej, algebry Kubusia.
Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Przykłady pojęć zrozumiałych:
Pies, miłość, krasnoludek, zbiór liczb naturalnych, zbiór wszystkich zwierząt ...
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
agstd, sdked, skdjatxz …
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum.
Zauważmy, że zaledwie 50 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na ziemi.
Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze
Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć należących do Uniwersum
Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być zbiór.
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
W definicji zboru pustego wyraźnie chodzi o zawartość worka z napisem „zbiór pusty”, a nie o sam worek.
Zbiory mają wartość logiczną:
1 = prawda
0 = fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty (=1), zawierający przynajmniej jedno pojęcie zrozumiałe dla człowieka
[] =0 - zbiór pusty (=0), zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.
1.1 Podstawowe operacje na zbiorach
I.
Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Przykład:
p=[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
q=[2,3] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[1,2]+[2,3]=[1,2,3] =1 - bo zbiór niepusty
II.
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Zbiór wynikowy pusty oznacza rozłączność zbiorów p i q
Y =p*q=[] =0 - w przypadku zbiorów rozłącznych p i q
Przykład:
p=[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
q=[2,3] =1 - bo zbiór niepusty
r=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2]*[2,3]=[2] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=p*r=[1,2]*[3,4] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty
III.
Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p=[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
q=[2] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p-q = [1,2]-[2] =[1] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=q-p =[2]-[1,2]=[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty
1.1.1 Znaczenie przecinka w teorii zbiorów
Definicja:
Przecinek rozdzielający elementy w dowolnym zbiorze to spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka, będący matematycznie sumą logiczną pojęć lub zbiorów (+).
Matematycznie zachodzi tożsamość:
„przecinek”(,) = „lub”(+)
Zobaczmy to na podstawowych operacjach na zbiorach:
I.
Suma logiczna
[1+2]+[1+3] = [1+2+1+3] = [1+2+3] - to jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Prawo powielania/redukcji elementów w zbiorze
p=p+p
stąd:
1+1=1
II.
Iloczyn logiczny
[1+2]*[1+3] = 1*1 + 1*3 + 2*1 + 2*3 = 1+[]+[]+[] =1 - to też jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Identycznie jak w matematyce klasycznej mnożymy każdy element z każdym po czym korzystamy w praw rachunku zbiorów (rachunku zero-jedynkowego):
p=p*p
stąd:
1*1=1
Przykładowe pojęcia (zbiory jednoelementowe) 1 i 3 są rozłączne, stąd:
1*3=[]
III.
Różnica logiczna
[1+2+3]-[2+3] = 1+2+3-2-3 =1+[2-2]+[3-3] = 1+[]+[] = 1
[2+3]-[1+2+3] = 2+3-1-2-3 = []+2+3-1-2-3 = ([]-1) +[2-2]+[3-3] = []+[]+[] =[]
W różnicy logicznej jeśli przed nawiasem jest znak minus (-) to zapisujemy ten znak przed każdym elementem zbioru widniejącym w nawiasie.
W ostatnim równaniu skorzystaliśmy z neutralności zbioru pustego [] w sumie logicznej dokładając zbiór pusty [].
Wyjaśnienie:
[]-1 =[] - jeśli ze zbioru pustego usuniemy nieistniejący element to zbiór pusty dalej pozostanie pusty.
Alternatywnie:
Wszelkie elementy ze znakiem minus które pozostaną po wykonaniu operacji odejmowania z definicji zamieniamy na zbiór pusty [].
[2+3]-[1+2+3] = 2+3 -1-2-3 = 2+3-1-2-3 = -1 +[2-2]+[3-3] = -1+[]+[] =[]+[]+[] =[]
1.2 Zbiór wszystkich zbiorów
Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z Uniwersum na mocy definicji Uniwersum.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Wszystkie pojęcia poza (~) Uniwersum są zbiorem pustym.
~U= [] =0
Dowód:
Przyjmijmy dziedzinę:
D = U
Na mocy definicji:
Zaprzeczenie zbioru (~) to jego uzupełnienie do dziedziny
Stąd:
~U=[D-U]=[U-U]=[] =0
Wynika z tego, że zbiór Uniwersum i zbiór pusty to zbiory rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny U
U+~U = U+[] =U =1 - zbiór ~U=[] jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru U
U*~U = U*[] =[] =0 - zbiory U i ~U=[] są rozłączne
1.2.1 Nazwa własna zbioru
Rozróżniamy dwa rodzaje zbiorów ze względu na nazwę:
- zbiory mające nazwę własną
- zbiory nie mające nazwy własnej
Definicja nazwy własnej zbioru:
Nazwa własna zbioru to to nazwa jednoznacznie opisująca dany zbiór w sposób zrozumiały dla wszystkich ludzi
Przykład zbioru mającego nazwę własną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Przykład zbioru niemającego nazwy własnej:
p = [ZWZ, miłość, samolot]
1.3 Dziedzina
Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy
Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.
Oznacza to, że wszelkie pojęcia poza przyjętą dziedziną są dla nas nierozpoznawalne, czyli nie znamy definicji tych pojęć z założenia. Ograniczeniem dolnym w definiowaniu dziedziny jest zbiór pusty [], natomiast ograniczeniem górnym jest Uniwersum.
1.3.1 Zaprzeczenie zbioru
Definicja zaprzeczenia (~) zbioru:
Zaprzeczeniem (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Zaprzeczenie zbioru (~) = Negacja zbioru (~)
Uwaga:
Aby zapisać zbiór ~p będący negacją zbioru p musimy określić wspólną dziedzinę dla zbiorów p i ~p
Definicja dziedziny:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, iloczyn logiczny zbiorów jest zbiorem pustym []
Przykład:
p=[1] - definiujemy zbiór p
D=[1,2] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[2]
1.3.2 Dziedzina minimalna
Definicja dziedziny minimalnej:
Dziedzina minimalna to minimalny zbiór na którym operujemy.
Wszystko co jest poza dziedziną minimalną jest zbiorem pustym z definicji
Rozważmy poniższe zbiory mające nazwy własne:
P=[pies]
A.
Dla dziedziny:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt minus jeden element P=[pies]
B.
Dla dziedziny:
ZWS - zbiór wszystkich ssaków:
otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWS-P] - zbiór wszystkich ssaków minus jeden element P=[pies]
C.
Dla dziedziny Uniwersum (zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka) otrzymamy ~P:
~P=[U-P] - zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka minus jeden element P=[pies]
Wnioski:
1.
Nie ma sensu mówienie o zaprzeczeniu zbioru ~p dopóki nie wybierzemy dziedziny w której ten zbiór zaprzeczamy.
2.
Dziedzina minimalna dla „psa” P=[pies] to zbiór wszystkich zwierząt - przypadek A.
1.4 Zbiory rozłączne uzupełniające się do dziedziny
Rozważmy zdanie:
MLK
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) lub kobietą (K)
C=M+K
Zbiór człowiek (C) to suma logiczna (+) zbiorów M+K
Dziedzina minimalna to:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi.
| Kod: |
S1
------------------------------------------
| M - zbiór mężczyzn | K - zbiór kobiet |
| M=~K | K=~M |
| | |
------------------------------------------
| Dziedzina: C (człowiek) |
| Zbiór wszystkich ludzi |
| C=M+K |
------------------------------------------
|
Rozważmy dziedzinę minimalną dla człowieka (C):
C=[M, K]
C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina (= zbiór wszystkich ludzi)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
Dziedzina:
C = człowiek
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
C = M+K
Obliczenia przeczeń pojęć M i K tzn. ich uzupełnień do dziedziny D:
1.
~M=[C-M]=[M+K-M]=[K]=K
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~M=K
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie mężczyznę (~M=1) to na 100% => będzie to kobieta (K=1)
2.
~K=[C-K]=[M+K-K]=[M]=M
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~K=M
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% => będzie to mężczyzna (M=1)
~K=>M =1
Kluczowy wniosek:
Jeśli mamy zbiór mężczyzn M to minimalną dziedziną jaką możemy tu przyjąć jest zbiór:
C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina (= zbiór wszystkich ludzi)
Zauważmy, że gdybyśmy dziedzinę zawęzili do zbioru M to pojęcie nie mężczyzna (~M) byłoby dla nas nierozpoznawalne.
Dowód:
M - mężczyzna
D=M - przyjęta dziedzina
~M=[D-M]=[M-M]=[]
cnd
1.4.1 Definicja tożsamości zbiorów p=q
| Kod: |
S1
------------------------------------------
| M - zbiór mężczyzn | K - zbiór kobiet |
| M=~K | K=~M |
| | |
------------------------------------------
| Dziedzina: C (człowiek) |
| Zbiór wszystkich ludzi |
| C=M+K |
------------------------------------------
|
W zbiorach zachodzi:
M = ~(K)=~K - zbiór mężczyzn to zaprzeczony zbiór kobiet w dziedzinie C
K = ~(M)=~M - zbiór kobiet za zaprzeczony zbiór mężczyzn w dziedzinie C
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q
Definicja relacji podzbioru =>:
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q
Z powyższego wynika że zachodzi tożsamość pojęć:
Definicja podzbioru => = relacja podzbioru =>
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja => podzbioru:
p=>q =1 - relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Na mocy powyższej definicji mamy:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
p=>p =1
Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Masz przykład:
RA1:
Człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy <=> gdy nie jest kobietą (~K=1)
M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B3: ~K=>M) =1*1 =1
Każda równoważność prawdziwa w zbiorach definiuje tożsamość zbiorów:
M = ~K - zbiór mężczyzn to zaprzeczenie zbioru kobiet w dziedzinie C (człowiek)
Z diagramu widać, iż tak jest w istocie.
cnd
Sprawdzenie równoważności RA1:
A1:
Twierdzenie proste:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy mężczyznę (M=1) to na 100% => nie będzie to kobieta (~K=1)
M=>~K =1
Zachodzi tożsamość zbiorów:
M=~K
stąd:
M=>M =1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B3:
Twierdzenie odwrotne:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% => będzie to mężczyzna (M=1)
~K=>M =1
Zachodzi tożsamość zbiorów:
M=~K
stąd:
~K=>~K =1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
1.4.2 Spójnik „lub”(+) vs spójnik „albo”($)
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych na przykładzie ze świata fizyki.
| Kod: |
S2
Fizyczna realizacja spójnika „lub”(+):
S=p+q
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> p=1 lub q=1
q
______
-----o o-----
S | p |
------------- | ______ |
-----| dioda LED |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Fizyczna realizacja spójnika „lub”(+):
S=p+q
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> p=1 lub q=1
Czytamy:
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk p (p=1) lub wciśnięty jest przycisk q (q=1)
Innymi słowy:
Wystarczy, że którykolwiek z przycisków p lub q jest wciśnięty i już żarówka świeci się.
Zapiszmy wszystkie zdarzenia rozłączne których efektem jest świecenie się żarówki.
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy:
A: Sa = p*q =1*1=1 - wciśnięty jest przycisk p (p=1) i wciśnięty jest przycisk q (q=1)
lub
B: Sb=p*~q =1*1 =1 - wciśnięty jest przycisk p (p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1)
lub
C: Sc= ~p*q =1*1 =1 - nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i jest wciśnięty przycisk q (q=1)
Gdzie:
S = Sa+Sb+Sc - zdarzenie S=1 (żarówka świeci) jest sumą logiczną zdarzeń cząstkowych Sa, Sb i Sc
Po podstawieniu zdarzeń cząstkowych mamy:
S = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> p=1 lub q=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
Zauważmy, że wszystkie trzy zdarzenia rozłączne A, B i C są tu możliwe, zatem nie możemy usunąć żadnego ze zdarzeń cząstkowych A, B, C z uzasadnieniem iż zdarzenie X jest niemożliwe w świecie rzeczywistym.
Fundamentalnie inaczej ma się sprawa ze spójnikiem „albo”($)
Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) lub kobietą (K)
C=M+K - zbiór C to suma logiczna (+) zbiorów M+K
Dziedzina minimalna to:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi.
| Kod: |
S1
------------------------------------------
| M - zbiór mężczyzn | K - zbiór kobiet |
| M=~K | K=~M |
| | |
------------------------------------------
| Dziedzina: C (człowiek) |
| Zbiór wszystkich ludzi |
| C=M+K |
------------------------------------------
|
Rozważmy dziedzinę minimalną dla człowieka (C):
C=[M, K]
C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina (= zbiór wszystkich ludzi)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
Dziedzina:
C = człowiek
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
C=M+K - zbiór C to suma logiczna (+) zbiorów M+K
Obliczenia przeczeń pojęć M i K tzn. ich uzupełnień do dziedziny D:
1.
~M=[C-M]=[M+K-M]=[K]=K
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~M=K
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie mężczyznę (~M=1) to na 100% => będzie to kobieta (K=1)
2.
~K=[C-K]=[M+K-K]=[M]=M
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~K=M
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% => będzie to mężczyzna (M=1)
~K=>M =1
Definicja spójnika „albo”($):
Dwa pojęcia (zbiory) p i q są różne w znaczeniu spójnika „albo”($) wtedy i tylko wtedy gdy dowolna strona tego spójnika jest zaprzeczeniem drugiej strony.
Sprawdzamy na naszym przykładzie:
Dowolny człowiek jest mężczyzną „albo”($) kobietą
M $ K = M $ ~M =1
Definicja spójnika „albo”($) jest spełniona.
To samo inaczej:
M =~(K) = ~(~M) =M
bo: K=~M
cnd
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
Y=p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Podstawmy na mocy schematu S1:
p=M
q=K
Y = C(człowiek)
Stąd mamy:
C=M+K = A: M*K + B: M*~K + C: ~M*K := B: M*~K + C: ~M*K = M$K
Gdzie:
:= - redukcja równania na mocy teorii zbiorów bo zbiory M i K są rozłączne M*K=0.
W języku potocznym często zamiast wypowiedzi matematycznie wzorcowej:
MAK:
Dowolny człowiek jest mężczyzną „albo”($) kobietą
M$K = B: M*~K + C: ~M*K
stosujemy spójnik „lub”(+):
MLK:
Dowolny człowiek jest mężczyzną „lub”(+) kobietą
C=M+K = A: M*K + B: M*~K + C: ~M*K := B: M*~K + C: ~M*K = M$K
Gdzie:
:= - redukcja równania na mocy teorii zbiorów bo zbiory M i K są rozłączne
To jest dowód iż nasz mózg to zdecydowanie nie komputer, przy pomocy odpowiedniej procedury (istniejącej w mózgu) zapisze wytłuszczone równanie MLK dochodząc podświadomie do poprawnej tu definicji spójnika „albo”($) wyrażonej równaniem MAK
MAK
Dowolny człowiek jest mężczyzną „albo”($) kobietą
M$K = B: M*~K + C: ~M*K
Dowód:
Załóżmy że Jaś (lat 5) wypowiada zdanie:
Dowolny człowiek jest mężczyzną „lub”(+) kobietą
C=M+K
Zbiór C to suma logiczna zbiorów M+K
Uzasadnienie znaczka sumy logicznej (+) jest tu jak najbardziej poprawne.
Pani:
Jasiu, czy dowolny człowiek może być jednocześnie mężczyzną i kobietą:
A: M*K=?
Jaś:
NIE
A: M*K =0
stąd mamy:
MAK
Dowolny człowiek może być mężczyzną „albo”($) kobietą
Innymi słowy:
Dowolny człowiek może być albo mężczyzną, albo kobietą
Dowolny człowiek nie może być równocześnie mężczyzną (M) i kobietą (K):
A: M*K =0
Stąd mamy wyprowadzoną definicję spójnika „albo”($) wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
MAK.
Dowolny człowiek może być mężczyzną „albo”($) kobietą
M$K = B: M*~K + C:~M*K
Definicja spójnika „albo”($) w zapisie formalnym (ogólnym):
p$q = p*~q + ~p*q
Zauważmy teraz, że w dziedzinie C (człowiek) w zbiorach zachodzi:
M=~K
K=~M
Stąd mamy:
M$K = B: M*~K + C: ~M*K := B: M*M + C: K*K = B: M + C: K = M+K
Gdzie:
:= - redukcja równania na mocy teorii zbiorów
Wniosek:
MLA.
Zdanie:
Dowolny człowiek jest mężczyzną „lub”(+) kobietą
C=M+K
można uznać za matematycznie poprawne bo:
1.
C=M+K - zbiór człowiek to suma logiczna (+) zbiorów M+K (w zbiorach to jest prawda)
2.
Każdy 5-cio latek wie, że zbiory M i K są rozłączne zatem w zbiorach zachodzi:
M*K =[] =0
Wniosek:
Mózg każdego człowieka (także poza jego świadomością) bez problemu poradzi sobie z wszystkimi przekształceniami w zbiorach wyżej zapisanymi.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 9:54, 03 Lis 2020, w całości zmieniany 34 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35357
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 0:43, 29 Wrz 2020 Temat postu: |
|
|
2.0 Nieznana algebra Boole’a
Spis treści
2.0 Nieznana algebra Boole’a 1
2.1 Zmienna binarna i stała binarna 2
2.1.1 Zapis formalny i aktualny w logice matematycznej 5
2.2 Prawa Prosiaczka 6
2.2.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki 7
2.2.2 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka 7
2.3 Minimalna aksjomatyka algebry Boole’a 9
2.4 Algorytm Wuja Zbója 12
2.4.1 Alternatywne przejście do logiki przeciwnej 14
2.5 Operator OR(|+) w języku potocznym w logice dodatniej 15
2.5.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „lub”(+) 17
2.5.2 Definicja operatora logicznego OR(|+) 19
2.6 Operator AND(|*) w języku potocznym w logice dodatniej 21
2.6.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „i”(*) 23
2.6.2 Definicja operatora logicznego AND(|*) 26
2.7 Matematyczne związki operatora OR(|+) z operatorem AND(|*) 28
2.8 logika dodatnia i ujemna w języku potocznym 28
2.8.1 Definicja logiki dodatniej w języku potocznym 29
2.8.2 Definicja logiki ujemnej w języku potocznym 29
2.8.3 Logika dodatnia vs logika ujemna na poziomie sprzętu 31
2.9 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a 32
2.9.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 33
2.0 Nieznana algebra Boole’a
Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego, zatem tylko z tego punktu widzenia będziemy patrzeć na algebrę Boole’a.
Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
Dlaczego ten rozdział nosi nazwę nieznanej algebry Boole’a?
Dwa główne powody to:
1.
Klasyczna algebra Boole’a nie zna pojęcia logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
2.
Klasyczna algebra Boole’a nie odróżnia definicji spójnika „i”(*) od definicji operatora logicznego AND(*) jak również nie odróżnia definicji spójnika „lub”(+) od definicji operatora OR(|+).
Definicja algebry Boole’a:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Algebra Boole’a to dwa wyróżnione elementy (zwykle {1,0}) o znaczeniu:
1 = prawda
0 = fałsz
oraz trzy spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
2.1 Zmienna binarna i stała binarna
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.
Gdzie:
1 = prawda
0 = fałsz
Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona
Przykład:
M=[mężczyzna]
Definicja zmiennej binarnej w logice ujemnej (bo ~p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice ujemnej (bo ~p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona
Przykład:
~M=~[mężczyzna]
Dla dziedziny:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi
mamy:
C=M+K - suma logiczna (+) zbiorów M i K
Gdzie:
M = [mężczyzna] - zbiór wszystkich mężczyzn
K = [kobieta] - zbiór wszystkich kobiet
Stąd mamy:
~M = [C-M] = [M+K-M] =K
Wnioski to:
Twierdzenie proste p=>q:
Człowiek nie będący mężczyzną (~M) na 100% => jest kobietą (K)
~M=>K =1
… i odwrotnie:
Twierdzenie odwrotne q=>p:
Człowiek będący kobietą (K) na 100% => nie jest mężczyzną (~M)
K=>~M =1
Ogólna definicja równoważności znana każdemu ziemskiemu matematykowi:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
Stąd prawdziwa jest równoważność:
Człowiek nie jest mężczyzną (~M) wtedy i tylko wtedy <=> gdy jest kobietą (K)
~M<=>K = (~M=>K)*(K=>~M) =1*1 =1
Oczywistość dla każdego 5-cio latka
Wróćmy do definicji podstawowej zmiennej binarnej.
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.
W programach komputerowych są to wszystkie zmienne jednobitowe na przykład wskaźnik przeniesienia CY.
Zdefiniujmy następującą operację dodawania dwóch liczb binarnych 8-bitowych:
A:=A+B - do liczby A dodaj liczbę B i zapisz wynik w A
Wskaźnik przeniesienia CY oznacza tu co następuje:
CY=1 - wystąpiło przepełnienie 8-bitowego rejestru A
CY=0 - przepełnienie nie wystąpiło
Zapiszmy sensowny program z wykorzystaniem zmiennej binarnej CY.
Program dodawania:
| Kod: |
1: A:=A+B ;Wykonaj operację dodawania.
2: JP C,ET2 ;Jeśli CY=1 skocz do ET2, inaczej wykonaj rozkazy niżej
- - - - - - -
|
Co oznacz rozkaz 2?
Jeśli CY=1 (przepełnienie wystąpiło) to skocz do procedury ET2 obsługującej przepełnienie
Inaczej wykonaj ciąg instrukcji umieszczonych bezpośrednio pod rozkazem 2
Koniec najprostszego, sensownego programu.
Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną 1 albo 0.
Przykład:
Zdefiniujmy na początku programu symbol CY jako stałą binarną przypisując mu wartość logiczną 1.
CY=1
Stała binarna CY nie może być w żaden sposób zmieniona przez program, bo to jest z definicji stała binarna której program nie jest w stanie zmienić.
Oczywistym jest, że w tym momencie nasz „program dodawania” przestaje działać poprawnie bowiem przy absolutnie każdym wykonaniu rozkazu 2 wykonany zostanie skok do etykiety E2.
Wniosek 1.
Sensowny program komputerowy można napisać tylko i wyłącznie z użyciem zmiennych binarnych
Wniosek 2.
Żadna logia, w tym logika matematyczna, nie ma prawa działać na stałych binarnych, bo po prostu wtedy nie ma żadnej logiki matematycznej.
Przykład:
Pani w I klasie SP mówi:
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
Dopóki nie minie cały jutrzejszy dzień zmienne binarna Y może przyjąć dwie wartości logiczne:
Y=1 - gdy pani dotrzyma jutro słowa
Y=0 - gdy pani nie dotrzyma słowa (=skłamie)
Załóżmy teraz, że jest pojutrze i dzieci nie były wczoraj w kinie (nieistotne z jakiego powodu - kwestię zwolnienia z danej obietnicy pomijamy).
Pojutrze przychodzi do klasy Jaś który wczoraj nie był w szkole bo był z mamą na badaniach lekarskich i pyta Zuzię:
Jaś:
Czy byliście wczoraj w kinie?
Zuzia:
Nie byliśmy.
Jaś:
To znaczy że nasza pani jest kłamczucha
Zuzia:
Tak
Doskonale tu widać, że logika matematyczna działa także w stosunku do zdeterminowanej przeszłości, ale wtedy i tylko wtedy, gdy tej przeszłości nie znamy.
Pani oczywiście nie ma najmniejszych szans by cofnąć czas i spowodować by jednak dzieci były wczoraj w kinie, co nie zmienia faktu, że logika matematyczna wśród osób które tego nie wiedzą dalej działa, czyli sensowne jest pytanie:
Czy dzieci wczoraj były w kinie?
Z chwilą gdy Jaś poznał prawdę jego ponowne pytanie:
Czy byliście wczoraj w kinie?
ma mniej więcej taki sens jak stwierdzenie:
Kopernik była kobietą.
Stąd mamy wyprowadzoną definicję logiki matematycznej.
Definicja logiki matematycznej w AK:
Logika matematyczna to przewidywanie przyszłości na podstawie znanych faktów.
Logika matematyczna to również dochodzenie do prawdy na podstawie znanych faktów w nieznanej przeszłości (np. poszukiwanie mordercy)
1.
Opis nieznanej przyszłości:
Znany fakt: obietnica Pani w temacie pójścia do kina
Przewidywanie nieznanego: wiemy kiedy jutro pani dotrzyma słowa a kiedy skłamie
2.
Opis nieznanej przeszłości:
Znany fakt: obietnica Pani w temacie pójścia do kina
Opis nieznanego: Jaś nie wie czy dzieci były wczoraj w kinie, dlatego wszczyna prywatne śledztwo by ustalić zaistniały fakt.
Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Dowolny symbol binarny zapisany jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowany (bo p) inaczej jest symbolem binarnym w logice ujemnej (bo ~p)
W logice dodatniej i ujemnej mogą być zapisane zarówno zmienne binarne jak i stałe binarne.
Przykład:
Stała binarna „pies” zapisana jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona.
p = pies
Stała binarna „pies” zapisana jest w logice ujemnej (bo ~p) wtedy i tylko wtedy gdy jest zaprzeczona.
~p=nie pies
2.1.1 Zapis formalny i aktualny w logice matematycznej
Definicja zmiennej formalnej:
Zmienna formalna to zwyczajowa zmienna binarna nie mająca związku ze zmienną aktualną.
Zwyczajowo w logice matematycznej zmienne formalne oznaczane są symbolami Y, p, q, r ..
Definicja zmiennej aktualnej:
Zmienna aktualna to zmienna mająca ścisły związek z językiem potocznym człowieka
Przykłady:
P = pies
~P - nie pies
TP - trójkąt prostokątny (zmienna w logice dodatniej bo TP)
~TP - trójkąt nieprostokątny (zmienna w logice ujemnej bo ~TP)
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów (dziedzina dla trójkątów)
etc
Definicja dziedziny:
TP+~TP = ZWT =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny ZWT dla zbioru TP
TP*~TP =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
To samo w zapisach formalnych dla punktu odniesienia:
p=TP (zbiór trójkątów prostokątnych
D = ZWT (wspólna dziedzina)
Formalna definicja dziedziny:
p+~p =D =1
p*~p=0
Stąd mamy:
~p=[D-p)
Definicja zapisu formalnego:
Zapis formalny w logice matematycznej to zapis praw logiki matematycznej z użyciem zmiennych formalnych (zwyczajowo Y, p, q, r ..) nie związany bezpośrednio z językiem potocznym człowieka.
Definicja zapisu aktualnego:
Zapis aktualny w logice matematycznej to operowanie symbolami mającymi ścisły związek ze zdaniami w języku potocznym.
Wszelkie prawa logiki matematycznej stosujemy tu bezpośrednio w zapisach aktualnych.
Przykład:
Twierdzenie proste Pitagorasa:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1 - zapis aktualny
p=>q =1 - zapis formalny
Przyjęty punkt odniesienia to:
p=TP
q=SK
Twierdzenie proste Pitagorasa udowodniono wieki temu, stąd wartość logiczna tego zdania to 1.
Prawo kontrapozycji w zapisie formalnym:
A1: p=>q = A4:~q=>~p
Prawo kontrapozycji w zapisie aktualnym dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A1:
A1: TP=>SK = A4: ~SK=>~TP
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
stąd:
A4.
Jeśli w trójkącie nie zachodzi suma kwadratów to na 100% => trójkąt ten nie jest prostokątny
~SK=>~TP =1
Po udowodnieniu twierdzenia prostego Pitagorasa A1, co ludzkość zrobiła wieki temu, nie musimy udowadniać twierdzenia A4, bowiem jego prawdziwość gwarantuje nam prawo logiki matematycznej, prawo kontrapozycji.
2.2 Prawa Prosiaczka
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.
Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona
Definicja zmiennej binarnej w logice ujemnej (bo ~p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice ujemnej (bo ~p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona
Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo p) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p).
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
2.2.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki
Rozważmy sterowanie żarówką jednym przyciskiem A
| Kod: |
Schemat 1
Przykład ilustracji praw Prosiaczka w fizyce:
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z naturalną logiką człowieka, gdzie symbol przeczenia (~) oznacza w języku potocznym słówko „NIE”.
Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
S - żarówka świeci
Co matematycznie oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)
Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
~S - żarówka nie świeci
Co matematycznie oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)
Zauważmy, że prawa Prosiaczka wiążą ze sobą pojęcia prawdy i fałszu w języku potocznym.
2.2.2 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka
Dla zrozumienie praw Prosiaczka nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.
Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO
Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)
Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0
Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)
Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń
Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)
2.3 Minimalna aksjomatyka algebry Boole’a
Definicja minimalnej aksjomatyki algebry Boole’a:
Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a to minimalny zestaw praw algebry Boole’a koniecznych i wystarczających do poruszania się po równaniach algebry Boole’a.
Chodzi tu głównie o minimalizację równań algebry Boole’a, której w języku potocznym prawie nie ma bo nasz mózg to naturalny ekspert algebry Kubusia tzn. z reguły operuje na funkcjach minimalnych które nie wymagają zewnętrznej minimalizacji.
Wynika z tego, że tabele zero-jedynkowe w takiej aksjomatyce nas kompletnie nie interesują.
Jak zobaczymy za chwilę, minimalna aksjomatyka algebry Boole’a to zaledwie osiem punktów które trzeba znać na pamięć.
Znaczenie 1 i 0 w algebrze Boole’a:
1 = prawda
0 = fałsz
Znaczenie spójników „i”(*) i „lub”(+):
I.
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka
Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
| Kod: |
p q p*q
A: 1* 1 =1
B: 1* 0 =0
C: 0* 1 =0
D: 0* 0 =0
|
II.
(+) - spójnik „lub”(+) z języka potocznego człowieka
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
| Kod: |
p q p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
|
Najważniejsze prawa algebry Boole’a (aksjomatyka minimalna) to:
1.
1=~(0)=~0 - prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu
0=~(1)=~1 - fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy
2.
Elementem neutralnym w spójniku „i”(*) jest jedynka
p*1=p (łatwe do zapamiętania przez analogię do zwykłego mnożenia: x*1=x)
p+1=1 (to jedyny wyjątek nie mający odpowiednika w zwykłym dodawaniu)
3.
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest zero
p*0=0 (łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego mnożenia: x*0=0)
p+0=p (łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego dodawania: x+0=0)
4.
Definicja dziedziny w zdarzeniach:
p+~p=1 - zdarzenie ~p jest uzupełnieniem do dziedziny (D=1) dla zdarzenia p
p*~p=0 - zdarzenia p i ~p są rozłączne (p*~p=[]=0), stąd ich iloczyn logiczny to 0
5.
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) są przemienne
p*q=q*p
p+q=q+p
6.
Prawo redukcji/powielania zmiennych:
p*p=p
p+p=p
7.
Prawa De Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
p*q = ~(~p+~q)
8.
Obsługa wielomianów logicznych jest identyczna jak wielomianów klasycznych pod warunkiem przyjęcia analogii:
Spójnik „lub”(+) to odpowiednik sumy klasycznej (+) np. x+y
Spójnik „i”(*) to odpowiednik iloczynu klasycznego (*) np. x*y
Stąd mamy kolejność wykonywania działań w wielomianach logicznych:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
bo robimy analogię do wielomianów klasycznych.
Przykład mnożenia wielomianów logicznych:
Dane jest wyrażenie logiczne:
(p+~q)*(~p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Minimalizujemy:
(p+~q)*(~p+q) = p*~p + p*q +~q*~p + ~q*q = 0 + p*q + ~q*~p + 0 = p*q + ~p*~q
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p*~p=0
p+0 =p
Przemienność:
~q*~p = ~p*~q
Stąd:
Nasze wyrażenie po minimalizacji przybiera postać:
(p+~q)*(~p+q) = p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Inny przykład wykorzystania praw algebry Boole’a.
Udowodnij prawo algebry Boole’a:
p + p*q =p
Dowód:
p + p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p=p*1
Wyciągnięcie zmiennej p przed nawias identyczne jak w wielomianach klasycznych
1+q=1
p*1=p
cnd
Każde z praw logiki matematycznej można udowodnić w rachunku zero-jedynkowym.
Przykład 1.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo rachunku zero-jedynkowego:
p+1 =1
Mamy tu:
p=p - zmienna algebry Boole’a mogąca przyjmować dowolne wartości logiczne 0 albo 1.
q=1 - wartość logiczna stała, niezmienna
Korzystamy z definicji spójnika „lub”(+).
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
| Kod: |
p q p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
|
Stąd mamy:
| Kod: |
Dla p=p i q=1 mamy:
p 1 p+1
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 1 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 1 =1
|
Stąd mamy dowód prawdziwości prawa rachunku zero-jedynkowego:
p+1 =1
cnd
Przykład 2.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo algebry Boole’a:
p+~p =1
Korzystamy z definicji spójnika „lub”(+).
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
| Kod: |
p q p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
|
Stąd mamy:
| Kod: |
Dla p=p i q=~p mamy:
p ~p p+~p
A: 1+ 0 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 1 =1
|
Stąd mamy dowód prawdziwości prawa rachunku zero-jedynkowego:
p+~p =1
cnd
Przykład 3.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo De Morgana dla sumy logicznej „lub”(+):
p+q = ~(~p*~q)
Zaczynamy od definicji spójnika „lub”(+)
| Kod: |
p q p+q ~p ~q ~p*~q ~(~p*~q)
A: 1+ 1 =1 0* 0 0 1
B: 1+ 0 =1 0* 1 0 1
C: 0+ 1 =1 1* 0 0 1
D: 0+ 0 =0 1* 1 1 0
1 2 3 4 5 6 7
|
Tożsamość kolumn wynikowych 3=7 jest dowodem poprawności prawa algebry Boole’a:
p+q = ~(~p*~q)
cnd
Praca domowa:
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo De Morgana dla iloczynu logicznego „i”(*):
p*q = ~(~p+~q)
2.4 Algorytm Wuja Zbója
Algorytm Wuja Zbója poznamy na przykładzie z życia wziętym, korzystając z definicji równoważności „wtedy i tylko wtedy” p<=>q wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) opisanej równaniem algebry Boole’a:
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
Co w logice jedynek, będącej naturalną logiką matematyczną człowieka oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Przykład:
Pani w przedszkolu wypowiada obietnicę bezwarunkową:
1.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
K<=>T
Podstawmy celem skrócenia zapisów:
Y = K<=>T
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = K*T +~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1 lub ~K=1 i ~T=1
Przyjmijmy następujące znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y), czyli pani skłamie
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
W każdym innym przypadku, pani skłamie:
(~Y=1)=(Y=0) - prawo Prosiaczka
Jak widzimy, odpowiedź kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) jest intuicyjnie zrozumiała.
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej
Dowód tego prawa na naszym przykładzie jest trywialny o ile skorzystamy z algorytmu przejścia do logiki przeciwnej autorstwa Wuja Zbója.
Przejdźmy z naszym przykładem na postać ogólną podstawiając:
K=p
T=q
Stąd mamy:
1.
Y = p*q + ~p*~q
W technicznej algebrze Boole’a często pomija się spójnik „i”(*) traktując go jako spójnik domyślny.
Stąd mamy funkcję matematycznie tożsamą:
1.
Y = pq+~p~q
W technice cyfrowej spójnik „i”(*) jest domyślny i często jest pomijany (wyżej: pq oraz ~p~q)
Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója
Zauważmy że:
Jeśli wymnożymy wielomian 2 to otrzymamy tożsamą do niego postać alternatywno-koniunkcyjną.
Zróbmy to:
~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
3.
~Y = p*~q + ~p*q - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Dla funkcji logicznej 3 ponownie korzystamy z algorytmu Wuja przechodząc do logiki dodatniej:
Mamy:
3.
~Y = (p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4.
Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Oczywistym jest, że zachodzą matematyczne tożsamości:
Y - pani dotrzyma słowa:
1: Y = p*q + ~p*~q [=] 4: Y=(p+~q)*(~p+q)
oraz:
~Y - pani skłamie
3: ~Y = p*~q + ~p*q [=] 2: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
W tak bajecznie prosty sposób udowodniliśmy prawo Kameleona.
Zauważmy, że odpowiedź kiedy pani skłamie (~Y) zapisana w formie funkcji alternatywno-koniunkcyjnej również jest intuicyjnie zrozumiała dla każdego ucznia I klasy LO.
Nasz przykład:
3.
~Y=K*~T + ~K*T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1 lub ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Funkcja koniunkcyjno-alternatywna jest niezrozumiała w języku potocznym.
Dowód:
Y - pani dotrzyma słowa:
1: Y = p*q + ~p*~q [=] 4: Y=(p+~q)*(~p+q)
Weźmy przykładowo odpowiedź na pytanie „kiedy pani dotrzyma słowa” (Y=1) opisaną równaniem koniunkcyjno-alternatywnym 4.
Nasz przykład:
4.
Y = (K+~T)*(~K+T) - postać koniunkcyjno-alternatywna
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
(K+~T) - jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
„i”(*)
(~K+T) - jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub pójdziemy do teatru (T)
Jak widzimy stało się coś strasznego.
Powyższe zdanie to twardy dowód iż w języku potocznym postaci koniunkcyjno-alternatywnej żaden człowiek nie rozumie.
2.4.1 Alternatywne przejście do logiki przeciwnej
Mamy naszą funkcję logiczną w postaci alternatywno-koniunkcyjnej:
1.
Y = (p*q) + (~p*~q)
W logice matematycznej dowolną funkcję logiczną możemy dwustronnie zanegować:
~Y = ~((p*q)+(~p*~q))
Korzystamy z prawa De Morgana dla nawiasu zewnętrznego otrzymując:
~Y = ~(p*q) * ~(~p*~q)
Ponownie korzystamy z prawa De Morgana dla pozostałych nawiasów:
~Y = (~p+~q)*(p+q)
To co wyżej to przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) „na piechotę” z wykorzystaniem praw De Morgana.
To „na piechotę” przy długich funkcjach logicznych będzie koszmarem trudnym do ogarnięcia.
Natomiast algorytm przejścia do logiki przeciwnej Wuja Zbója jest trywialny dla dowolnie długiej funkcji logicznej Y
Doskonale widać, że algorytm Wuja Zbója jest odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia znanych z wielomianów klasycznych.
Trudne - dla ambitnych:
Zminimalizujmy teraz funkcję logiczną podaną w zadaniu na matematyce.pl
[link widoczny dla zalogowanych]
Zadanie:
Zminimalizuj poniższe wyrażenie logiczne:
(q=>r*p)+~r
W poniższej minimalizacji korzystamy z definicji znaczka =>:
p=>q = ~p+q
Rozwiązanie:
Zapiszmy nasze wyrażenie w postaci funkcji logicznej Y:
Y = (q=>r*p) + ~r = ~q+r*p + ~r
Uzupełniamy brakujące nawiasy bo kolejność wykonywania działań w logice to:
nawiasy, “i”(*), “lub”(+)
stąd mamy:
Y = ~q+(r*p)+~r
Zdefiniujmy funkcję cząstkową Y1:
Y1=(r*p)+~r
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y1 = (~r+~p)*r
Po wymnożeniu wielomianu logicznego mamy:
~Y1 = ~r*r + ~p*r = ~p*r
~Y1=r*~p
Powrót do logiki dodatniej (bo Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
Y1=~r+p
Odtwarzając podstawienie mamy:
Y = ~q+~r+p
Stąd w zapisie p=>q mamy:
Y = q=>(~r+p)
Stąd mamy tożsamość matematyczną:
Y = (q=>r*p)+~r = q=>(~r+p)
cnd
2.5 Operator OR(|+) w języku potocznym w logice dodatniej
Definicja logiki dodatniej w języku potocznym:
Z logiką dodatnią w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach aktualnych tzn. związanych z wypowiadanym zdaniem, słówko NIE będzie kodowane symbolem przeczenia (~).
Przykład kodowania w logice dodatniej:
K=1 - idziemy do kina
~K=1 - nie idziemy do kina
T=1 - idziemy do teatru
~T=1 - nie idziemy do teatru
Y=1 - pani dotrzyma słowa
~Y=1 - pani skłamie (= pani nie (~) dotrzyma słowa Y)
Rozważmy zdanie pani przedszkolanki:
ABC:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Matematycznie oznacza to że pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa, czyli:
ABC:
Y=A: K*T + B: K*~T + C:~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
B: Yb=K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: Yc=~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Matematycznie musi zachodzić tożsamość funkcji logicznych:
Y = Ya+Yb+Yc
Gdzie:
Ya, Yb, Yc - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji Y
Dowód iż tak jest w istocie w zapisach formalnych:
K=p
T=q
stąd:
Y = Ya+Yb+Yc = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
minimalizujemy funkcję logiczną Y:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p+~q
~Y = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
cnd
Matematycznie zachodzi:
Y=Y
stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych ABC którą warto zapamiętać:
p+q = p*q + p*~q +~p*q
… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie ABC (Y) dwustronnie:
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
D.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
2.5.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „lub”(+)
Przejdźmy z powyższym dialogiem na poziomie 5-cio latka na zapisy formalne (niezależne od wypowiadanego zdania) podstawiając:
p=K
q=T
Zapiszmy zdania ABCD wchodzące w skład powyższego dialogu w języku potocznym w tabeli prawdy
z kodowaniem zero-jedynkowym dla punktu odniesienia:
ABC: Y=p+q
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam w tym celu potrzebne to:
(~x=1) = (x=0)
| Kod: |
T1: Y=p+q
Analiza w |Co w logice |Kodowanie dla punktu |zapis
j. potocznym |jedynek oznacza |odniesienia ABC: Y=p+q |tożsamy
| | | p q Y=p+q
A: p* q = Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1) |( p=1)*( q=1)=( Ya=1) | 1+ 1 =1
B: p*~q = Yb |( p=1)*(~q=1)=( Yb=1) |( p=1)*( q=0)=( Yb=1) | 1+ 0 =1
C:~p* q = Yc |(~p=1)*( q=1)=( Yc=1) |( p=0)*( q=1)=( Yc=1) | 0+ 1 =1
D:~p*~q =~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1) |( p=0)*( q=0)=( Yd=0) | 0+ 0 =0
a b c d e f | g h i | 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|(~p=1 )=( p=0 ) |
|(~q=1 )=( q=1 ) |
|(~Yx=1)=( Yx=0) |
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej
|
Zauważmy, że zdarzenia ABCDabc są matematycznie rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dowód rozłączności zdarzeń ABCDabc:
Ya*Yb = (p*q)*(p*~q) =[] =0
Ya*Yc = (p*q)*(~p*q) =[] =0
Ya*~Yd = (p*q)*(~p*~q) =[] =0
Yb*Yc=(p*~q)*(~p*q) =[] =0
…
cnd
Dowód iż zdarzenia ABCD uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
Y=Ya+Yb+Yc+~Yd = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D:~p*~q = p*(q+~q) + ~p*(q+~q) = p+~p =1
cnd
Podsumowanie:
1.
Tabela zero-jedynkowa ABCD123 nosi nazwę definicji spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.
Zauważmy, że nagłówek w kolumnie wynikowej 3: Y=p+q opisuje wyłącznie obszar ABCabc w którym zapisana jest funkcja logiczna:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Na mocy wynikowego nagłówka 3: Y=p+q w tabeli zero-jedynkowej we wszystkich liniach zapisujemy znaczek „lub”(+). Tabela zero-jedynkowa ABCD123 jest wówczas zero-jedynkową definicją spójnika „lub”(+) niezależną od jakiegokolwiek przykładu.
2.
Alternatywne kodowanie serii zdań z języka potocznego ABCDabc możemy wykonać wzglądem linii D gdzie mamy:
D: ~Y=~Yd - bo jest tylko jedna funkcja cząstkowa w logice ujemnej (bo ~Yd).
Stąd:
D: ~Y=~p*~q
Zróbmy to:
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam w tym celu potrzebne to:
(x=1) = (~x=0)
| Kod: |
T2: ~Y=~p*~q
Analiza w |Co w logice |Kodowanie dla punktu |zapis
j. potocznym |jedynek oznacza |odniesienia D:~Y=~p*~q |tożsamy
| | |~p ~q ~Y=~p*~q
A: p* q = Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1) |(~p=0)*(~q=0)=(~Ya=0) | 0* 0 =0
B: p*~q = Yb |( p=1)*(~q=1)=( Yb=1) |(~p=0)*(~q=1)=(~Yb=0) | 0* 1 =0
C:~p* q = Yc |(~p=1)*( q=1)=( Yc=1) |(~p=1)*(~q=0)=(~Yc=0) | 1* 0 =0
D:~p*~q =~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1) |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1) | 1* 1 =1
a b c d e f | g h i | 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|( p=1 )=(~p=0 ) |
|( q=1 )=(~q=0 ) |
|( Yx=1)=(~Yx=0) |
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej
|
Tabela zero-jedynkowa ABCD123 nosi nazwę definicji spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.
Zauważmy, że nagłówek w kolumnie wynikowej 3:~Y=~p*~q wskazuje wyłącznie linię D w obszarze ABCDabc w której zapisana jest funkcja logiczna:
~Y=~Yd = ~p*~q
Na mocy wynikowego nagłówka 3: ~Y=~p*~q w tabeli zero-jedynkowej we wszystkich liniach zapisujemy znaczek „i”(*). Tabela zero-jedynkowa ABCD123 jest wówczas zero-jedynkową definicją spójnika „i”(*) niezależną od jakiegokolwiek przykładu.
W tabelach T1 i T2 mamy do czynienia wszędzie z tymi samymi zmiennymi p, q i Y o czym świadczy identyczność zdań cząstkowych w języku potocznym ABCDabc.
Stąd mamy wyprowadzoną definicję znaczka różne # w odniesieniu do funkcji logicznych.
Definicja znaczka różne #:
Dwie funkcje logiczne są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy jedna z nich jest zaprzeczeniem drugiej.
Nasz przykład:
T1: Y=p+q # T2: ~Y=~p*~q
Stąd mamy związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
1.
Y = ~(~Y)
Po podstawieniu T1 i T2 mamy:
Y = p+q = ~(~p*~q) - prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
2..
~Y=~(Y)
Po podstawieniu T1 i T2 mamy:
~Y = ~p*~q = ~(p+q) - prawo De Morgana dla spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
2.5.2 Definicja operatora logicznego OR(|+)
Operator logiczny OR(|+) to odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie 1: Y a kiedy zajdzie 2: ~Y?
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
2.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(p+q) = ~p*~q
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Matematycznie zachodzi:
Operator OR(|+):
1: Y=p+q
2: ~Y=~p*~q
##
spójnik „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
1: Y = p+q
#
spójnik „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
2: ~Y=~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, p i q musi być wszędzie tym samym p i q
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
Powyższą sytuację w równaniu logicznym możemy opisać następująco:
| Kod: |
Operator OR(|+): ## 1: Y=p+q # 2: ~Y=~p*~q
1: Y=p+q ##
2:~Y=~p*~q ##
Gdzie:
## - różne na mocy definicji (p i q muszą być tymi samymi p i q)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Zobaczmy dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym.
Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
| Kod: |
T1
Definicja spójnika „i”(*)
p q p*q
A: 1* 1 =1
B: 1* 0 =0
C: 0* 1 =0
D: 0* 0 =0
|
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
| Kod: |
T2.
Definicja spójnika „lub”(+)
p q p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
|
Jedziemy:
| Kod: |
T3
Definicja operatora OR{|+):
1: Y=p+q
2:~Y=~p*~q
p q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q
A: 1+ 1 1 0 0* 0 0
B: 1+ 0 1 0 0* 1 0
C: 0+ 1 1 0 1* 0 0
D: 0+ 0 0 1 1* 1 1
1 2 3 4 5 6 7
|
Doskonale widać, że kolumna 7 jest negacją kolumny 3 (i odwrotnie):
7: ~Y=~p*~q # 3: Y=p+q
cnd
W tabeli T3 widzimy że:
| Kod: |
Operator OR(|+): ## 1: Y=p+q # 2: ~Y=~p*~q
1: Y=p+q ##
2:~Y=~p*~q ##
Gdzie:
## - różne na mocy definicji (p i q muszą być tymi samymi p i q)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Definicja operatora OR(|+):
Operator OR(|+) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123
cnd
2.
Kiedy zajdzie ~Y?
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 * ~q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD567
cnd
2.6 Operator AND(|*) w języku potocznym w logice dodatniej
Definicja logiki dodatniej w języku potocznym:
Z logiką dodatnią w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach aktualnych tzn. związanych z wypowiadanym zdaniem, słówko NIE będzie kodowane symbolem przeczenia (~).
Przykład kodowania w logice dodatniej:
K=1 - idziemy do kina
~K=1 - nie idziemy do kina
T=1 - idziemy do teatru
~T=1 - nie idziemy do teatru
Y=1 - pani dotrzyma słowa
~Y=1 - pani skłamie (= pani nie (~) dotrzyma słowa Y)
Rozważmy zdanie pani przedszkolanki:
A.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie A (Y) dwustronnie:
BCD:
~Y=~(K*T) = ~K+~T - prawo De Morgana
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
BCD:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Matematycznie oznacza to, że jutro nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y=1), czyli:
~Y=B: K*~T + C: ~K*T + D:~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~Yb = K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: ~Yc = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
LUB
D: ~Yd = ~K*~T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Matematycznie musi zachodzić tożsamość funkcji logicznych:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
Gdzie:
~Yb, ~Yc, ~Yd - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji ~Y
Dowód iż tak jest w istocie w zapisach formalnych (nie związanych z konkretnym zdaniem):
K=p
T=q
stąd:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
minimalizujemy funkcję logiczną ~Y:
~Y = p*~q + ~p*q + ~p*~q
~Y = p*~q + ~p*(q+~q)
~Y = ~p + (p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q
Y=p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
cnd
2.6.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „i”(*)
Przejdźmy z powyższym dialogiem na poziomie 5-cio latka na zapisy formalne (niezależne od wypowiadanego zdania) podstawiając:
p=K
q=T
A.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A stronami:
~Y=~(p*q) = ~p+~q
stąd mamy:
BCD:
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Skorzystajmy z definicji spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Podstawiając p=~p i q=~q do ~Y mamy opis funkcji logicznej ~Y w zdarzeniach rozłącznych:
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*~(~q) + ~(~p)*~q
~Y = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Stąd w przełożeniu 1:1 na przykład 5-cio latka mamy:
BCD:
~Y = B: p*~q + C: p*~q + D: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub C:~p=1 i q=1 lub D:~p=1 i ~q=1
Matematycznie zachodzi:
BCD:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd = B: p*~q + C: p*~q + D: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub C:~p=1 i q=1 lub D:~p=1 i ~q=1
Gdzie:
~Yb, ~Yc, ~Yd - funkcje cząstkowe (zdarzenia rozłączne) wchodzące w skład funkcji ~Y
Jak to udowodniliśmy wyżej zapis matematycznie tożsamy to:
BCD:
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Matematycznie zachodzi:
~Y=~Y
stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych BCD dla naszego przykładu:
~Y = ~p+~q = B: p*~q + C: p*~q + D: ~p*~q
Zapiszmy zdania ABCD wchodzące w skład powyższego dialogu w języku potocznym w tabeli prawdy
z kodowaniem zero-jedynkowym dla punktu odniesienia:
A: Y=p*q
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam w tym celu potrzebne to:
(~x=1) = (x=0)
| Kod: |
T1: A: Y=p*q
Analiza w |Co w logice |Kodowanie dla punktu |zapis
j. potocznym |jedynek oznacza |odniesienia A: Y=p*q |tożsamy
| | | p q Y=p*q
A: p* q = Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1) |( p=1)*( q=1)=( Ya=1) | 1* 1 =1
B: p*~q =~Yb |( p=1)*(~q=1)=(~Yb=1) |( p=1)*( q=0)=( Yb=0) | 1* 0 =0
C:~p* q =~Yc |(~p=1)*( q=1)=(~Yc=1) |( p=0)*( q=1)=( Yc=0) | 0* 1 =0
D:~p*~q =~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1) |( p=0)*( q=0)=( Yd=0) | 0* 0 =0
a b c d e f | g h i | 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|(~p=1 )=( p=0 ) |
|(~q=1 )=( q=0 ) |
|(~Yx=1)=( Yx=0) |
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej
|
Zauważmy, że zdarzenia ABCD są matematycznie rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dowód rozłączności zdarzeń ABCDabc:
Ya*~Yb = (p*q)*(p*~q) =[] =0
Ya*~Yc = (p*q)*(~p*q) =[] =0
Ya*~Yd = (p*q)*(~p*~q) =[] =0
~Yb*~Yc=(p*~q)*(~p*q) =[] =0
…
cnd
Dowód iż zdarzenia rozłączne ABCD uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
Y=Ya+~Yb+~Yc+~Yd = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D:~p*~q = p*(q+~q) + ~p*(q+~q) = p+~p =1
cnd
Podsumowanie:
1.
Tabela zero-jedynkowa ABCD123 nosi nazwę definicji spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.
Zauważmy, że nagłówek w kolumnie wynikowej 3: Y=p*q opisuje wyłącznie linię Aabc w której zapisana jest funkcja logiczna:
Y=p*q
Na mocy wynikowego nagłówka 3: Y=p*q w tabeli zero-jedynkowej we wszystkich liniach zapisujemy znaczek „i”(*). Tabela zero-jedynkowa ABCD123 jest wówczas zero-jedynkową definicją spójnika „i”(*) niezależną od jakiegokolwiek przykładu.
2.
Alternatywne kodowanie serii zdań z języka potocznego ABCDabc możemy wykonać wzglądem obszaru BCDabc gdzie mamy:
BCD:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd = B: p*~q + C: p*~q + D: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub C:~p=1 i q=1 lub D:~p=1 i ~q=1
Zapis matematycznie tożsamy (co wyżej udowodniliśmy):
BCD:
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Zakodujmy naszą analizę w języku potocznym względem funkcji logicznej:
BCD: ~Y=~p+~q
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam w tym celu potrzebne to:
(x=1) = (~x=0)
| Kod: |
T2: ~Y=~p+~q
Analiza w |Co w logice |Kodowanie dla punktu |zapis
j. potocznym |jedynek oznacza |odniesien BCD:~Y=~p+~q |tożsamy
| | |~p ~q ~Y=~p+~q
A: p* q = Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1) |(~p=0)*(~q=0)=(~Ya=0) | 0+ 0 =0
B: p*~q =~Yb |( p=1)*(~q=1)=(~Yb=1) |(~p=0)*(~q=1)=(~Yb=1) | 0+ 1 =1
C:~p* q =~Yc |(~p=1)*( q=1)=(~Yc=1) |(~p=1)*(~q=0)=(~Yc=1) | 1+ 0 =1
D:~p*~q =~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1) |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1) | 1+ 1 =1
a b c d e f | g h i | 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|( p=1 )=(~p=0 ) |
|( q=1 )=(~q=0 ) |
|( Yx=1)=(~Yx=0) |
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej
|
Tabela zero-jedynkowa ABCD123 nosi nazwę definicji spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.
Zauważmy, że nagłówek w kolumnie wynikowej 3:~Y=~p+~q wskazuje obszar BCDabc w którym zapisana jest funkcja logiczna:
BCD: ~Y = ~p+~q
Na mocy wynikowego nagłówka 3: ~Y=~p+~q w tabeli zero-jedynkowej we wszystkich liniach zapisujemy znaczek „lub”(+).
W tabelach T1 i T2 mamy do czynienia wszędzie z tymi samymi zmiennymi p, q i Y o czym świadczy identyczność zdań cząstkowych w języku potocznym ABCDabc.
Stąd mamy wyprowadzoną definicję znaczka różne # w odniesieniu do funkcji logicznych.
Definicja znaczka różne #:
Dwie funkcje logiczne są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy jedna z nich jest zaprzeczeniem drugiej.
Nasz przykład:
T1: Y=p*q # T2: ~Y=~p+~q
Stąd mamy związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
1.
Y = ~(~Y)
Po podstawieniu T1 i T2 mamy:
Y = p*q = ~(~p+~q) - prawo De Morgana dla spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y)
2..
~Y=~(Y)
Po podstawieniu T1 i T2 mamy:
~Y = ~p+~q = ~(p*q) - prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)
2.6.2 Definicja operatora logicznego AND(|*)
Operator logiczny AND(|*) to odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie 1: Y a kiedy zajdzie 2: ~Y?
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(p*q) = ~p+~q
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Matematycznie zachodzi:
Operator AND(|*):
1: Y=p*q
2: ~Y=~p+~q
##
spójnik „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):
1: Y = p*q
#
spójnik „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
2: ~Y=~p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, p i q musi być wszędzie tym samym p i q
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
Powyższą sytuację w równaniu logicznym możemy opisać następująco:
| Kod: |
Operator AND(|*): ## 1: Y=p*q # 2: ~Y=~p+~q
1: Y=p*q ##
2:~Y=~p+~q ##
Gdzie:
## - różne na mocy definicji (p i q muszą być tymi samymi p i q)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Zobaczmy dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym.
Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
| Kod: |
T1
Definicja spójnika „i”(*)
p q p*q
A: 1* 1 =1
B: 1* 0 =0
C: 0* 1 =0
D: 0* 0 =0
|
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
| Kod: |
T2.
Definicja spójnika „lub”(+)
p q p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
|
Jedziemy:
| Kod: |
T3
Definicja operatora AND(|*):
1: Y=p*q
2:~Y=~p+~q
p q Y=p*q ~Y=~(p*q) ~p ~q ~Y=~p+~q
A: 1* 1 1 0 0+ 0 0
B: 1* 0 0 1 0+ 1 1
C: 0* 1 0 1 1+ 0 1
D: 0* 0 0 1 1+ 1 1
1 2 3 4 5 6 7
|
Doskonale widać, że kolumna 7 jest negacją kolumny 3 (i odwrotnie):
7: ~Y=~p+~q # 3: Y=p*q
cnd
W tabeli T3 widzimy że:
| Kod: |
Operator AND(|*): ## 1: Y=p*q # 2: ~Y=~p+~q
1: Y=p*q ##
2:~Y=~p+~q ##
Gdzie:
## - różne na mocy definicji (p i q muszą być tymi samymi p i q)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Definicja operatora AND(|*):
Operator AND to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123
cnd
2.
Kiedy zajdzie ~Y?
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD567
cnd
2.7 Matematyczne związki operatora OR(|+) z operatorem AND(|*)
Operator OR(|+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1: Y=p+q
2: ~Y=~p*~q
###
Operator AND(|*) to układ równań logicznych:
1: Y=p*q
2: ~Y=~p+~q
Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych
Definicja znaczka różne na mocy definicji operatorowych ###:
Znaczek różne na mocy definicji operatorowych ### oznacza, że między układami związanymi tym znaczkiem nie zachodzą absolutnie żadne związki matematyczne tzn. wykluczone są jakiekolwiek tożsamości logiczne jak również wykluczone jest aby jedna strona znaczka ### była negacją drugiej strony #.
Doskonale to widać w powyższych definicjach operatora OR(|+) i AND(|*)
2.8 logika dodatnia i ujemna w języku potocznym
Logika dodatnia i ujemna w języku potocznym jest odpowiednikiem sprzętowej logiki dodatniej i ujemnej w teorii układów cyfrowych.
Chodzi tu o przyporządkowanie symboli 1 i 0 na których operuje rachunek zero-jedynkowy do symboli aktualnych wynikłych z języka potocznego. Matematycznie to przyporządkowanie może być dowolne pod warunkiem, że znamy startową tabelę przyporządkowań (punkt odniesienia).
O co tu chodzi dowiemy się za chwilkę.
2.8.1 Definicja logiki dodatniej w języku potocznym
Definicja logiki dodatniej w języku potocznym:
Z logiką dodatnią w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach aktualnych tzn. związanych z wypowiadanym zdaniem, słówko NIE będzie kodowane symbolem przeczenia (~).
Przykład kodowania w logice dodatniej:
K=1 - idziemy do kina
~K=1 - nie idziemy do kina
T=1 - idziemy do teatru
~T=1 - nie idziemy do teatru
Y=1 - pani dotrzyma słowa
~Y=1 - pani skłamie (= pani nie (~) dotrzyma słowa Y)
Rozważmy zdanie pani przedszkolanki:
ABC:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
2.8.2 Definicja logiki ujemnej w języku potocznym
Definicja logiki ujemnej w języku potocznym:
W logice ujemnej w języku potocznym kodowanie wszelkich zmiennych binarnych jest przeciwne do kodowania w logice dodatniej.
Przykład kodowania zdania pani przedszkolanki w logice ujemnej.
Przykład kodowania w logice ujemnej:
K=1 - nie idziemy do kina
~K=1 - idziemy do kina
T=1 - nie idziemy do teatru
~T=1 - idziemy do teatru
Y=1 - pani nie dotrzyma słowa
~Y=1 - pani dotrzyma słowa (~Y)
Rozważmy zdanie pani przedszkolanki:
ABC’:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (~K=1) lub do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Matematycznie wszystko jest tu jak najbardziej w porządku jednak ktoś kto nie wie iż zdanie ABC’ kodowane jest w logice ujemnej nie zrozumie tego kodowania.
W sumie dla trzech zmiennych binarnych Y, K, T możemy ustalić osiem różnych punktów odniesienia.
Łatwo wyobrazić sobie dyskusję ośmiu ludzi z których każdy patrzy na to samo zdanie pani przedszkolanki:
ABC:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
???
… z innego punktu odniesienia.
Przykłady:
Człowiek A zakoduje zdanie ABC w logice dodatniej:
Y = K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Człowiek B zakoduje zdanie ABC w logice ujemnej:
~Y = ~K+~T
co w logice ujemnej oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Pozostałe 6 osób za punkt odniesienia przyjmie pozostałe możliwości.
Przykładowo człowiek C zakoduje zdanie ABC w ten sposób:
~Y=~K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub T=1
Matematycznie wszystkie te kodowania są dobre pod warunkiem, że znamy punkt odniesienia przyjęty przez nadawcę.
Ten fakt opisałem już 35 lat temu w moich podręcznikach do nauki techniki mikroprocesorowej podając twierdzenie ogólne.
Twierdzenie o ilości możliwych punktów odniesienia:
W równaniu logicznym n-zmiennych binarnych możliwych jest 2^n różnych punktów odniesienia
Gdzie:
2^n = 2 do potęgi n
Dla trzech zmiennych binarnych możliwych różnych punktów odniesienia jest:
2^3 =8
Dla 8 zmiennych binarnych możliwych różnych punktów odniesienia jest:
2^8 = 256
Przedstawiony wyżej problem prosi się o ustalenie domyślnego punktu odniesienia w logice matematycznej. Za domyślny punkt odniesienia przyjmijmy definicję logiki dodatniej w języku potocznym bez problemu zrozumiałą przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
Definicja logiki dodatniej w języku potocznym:
Z logiką dodatnią w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach aktualnych tzn. związanych z wypowiadanym zdaniem, słówko NIE będzie kodowane symbolem przeczenia (~).
2.8.3 Logika dodatnia vs logika ujemna na poziomie sprzętu
Przykład z techniki cyfrowej:
Definicja operatora OR(|+) w logice dodatniej (bramka SN7432):
[link widoczny dla zalogowanych]
1: Y=p+q
2: ~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y=~(~Y)
Stąd mamy prawo De Morgana:
Y = ~(~p+~q)
Gdzie w technice TTL 1 i 0 to poziomy napięć:
1 = H (high) - napięcie 2,4-5,0V
0 = L (low) - napięcie 0,0-0,4V
Zauważmy że nieprzypadkowo pionier układów TTL firma Texas Instruments obok wzorku:
Y=A+B
Y= ~(~A*~B) - na mocy prawa De Morgana
pisze:
pisitive logic = logika dodatnia.
UWAGA!
Przyjęcie logiki ujemnej dla dokładnie tej samej bramki logicznej SN7432 to przypisanie do symboli logicznych 1 i 0 napięć odwrotnych:
1 = L (low) - napięcie 0,0-0,4V
0 = H (high) - napięcie 2,4-5,0V
Wtedy mamy:
Bramka logiczna OR(|+) SN7432 w logice dodatniej:
1: Y=p+q
2: ~Y=~p*~q
Dokładnie ta sama, fizyczna bramka SN7432 widziana w logice ujemnej to:
1: ~Y=~p+~q
2: Y = p*q
bowiem w logice ujemnej wszystkie poziomy napięć są odwrotne.
Wniosek:
Dokładnie ta sama bramka logiczna OR(|+) typu SN7432 w logice ujemnej jest fizyczną realizacją bramki AND(|*)!
1: Y=p*q
2: ~Y=~p+~q
Tu Texas Instruments musiałby napisać:
Y=p*q
Y = ~(~p+~q) - na mocy prawa De Morgana
negative logic = logika ujemna
Gdzie:
Logika ujemna oznacza tu odwrotne przypisanie napięć symbolom logicznym 1 i 0:
1 = L (low) - napięcie 0,0-0,4V
0 = H (high) - napięcie 2,4-5,0V
Doskonale tu widać, dlaczego w jednym rozumowaniu logicznym nie wolno mieszać logiki dodatniej i ujemnej.
Zauważmy bowiem że bramka AND(|*) SN7408 w logice dodatniej opisana jest układem równań logicznych:
1: Y=p*q
2: ~Y=~p+~q
Karta katalogowa fizycznej bramki AND(|*) SN7408 jest tu taka:
[link widoczny dla zalogowanych]
Opis bramki AND(|*) w katalogu TI jest następujący:
Y=p*q
Y=~(~p+~q) - prawo De Morgana
Tu obok powyższych wzorków firma Texas Instruments pisze:
Positive logic = logika dodatnia
co oznacza następujące przyporządkowanie napięć symbolom logicznym 1 i 0:
1 = H (high) - napięcie 2,4-5,0V
0 = L (low) - napięcie 0,0-0,4V
Jest oczywistym, że jeśli w jednym rozumowaniu logicznym będziemy mieszać logikę dodatnią z logiką ujemną to wyjdą nam potworne głupoty, czyli że zaprojektowany układ nie ma prawa działać poprawnie.
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Przedziały napięć w układzie logicznym
W układach logicznych, gdzie są zdefiniowane tylko dwie wartości liczbowe, rozróżnia się dwa przedziały napięć: wysoki (ozn. H, z ang. high) i niski (ozn. L, z ang. low); pomiędzy nimi jest przerwa, dla której nie określa się wartości liczbowej – jeśli napięcie przyjmie wartość z tego przedziału, to stan logiczny układu jest nieokreślony.
Jeśli do napięć wysokich zostanie przyporządkowana logiczna jedynka, a do niskich logiczne zero, wówczas mówi się, że układ pracuje w logice dodatniej (inaczej zwanej pozytywną), w przeciwnym razie mamy do czynienia z logiką ujemną (lub negatywną). |
2.9 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a
Algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków: {0, 1, „nie”(~), „i”(*), „lub”(+)}
Weźmy zero-jedynkową definicję równoważności p<=>q:
| Kod: |
T1
p q Y=p<=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0
|
Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
2.
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
2B.
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu logiką zer nie będziemy się zajmowali.
2.9.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Zastosujmy logikę jedynek do naszej tabeli równoważności p<=>q:
| Kod: |
T2
Pełna definicja |Co w logice jedynek |Równania |Dokładnie to samo
zero-jedynkowa Y |oznacza |cząstkowe |w zdarzeniach
| | |możliwych ~~>
p q ~p ~q Y ~Y | | | Y ~Y
A: 1 1 0 0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i q=1 | Ya= p* q | p~~> q= p* q =1 0
B: 1 0 0 1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q | p~~>~q= p*~q =0 1
C: 0 0 1 1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q |~p~~>~q=~p*~q =1 0
D: 0 1 1 0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i q=1 |~Yd=~p* q |~p~~> q=~p* q =0 1
1 2 3 4 5 6 a b c d e f
|
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1.
Y = A: p*q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yb+~Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
2.
~Y=B: p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.
Dokładnie to samo co wyżej, a nawet dużo więcej można uzyskać operując równaniami algebry Boole’a, co udowodniono w punkcie 2.4.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 14:21, 29 Paź 2020, w całości zmieniany 20 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35357
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 8:18, 05 Paź 2020 Temat postu: |
|
|
3.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
Spis treści
3.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 1
3.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 1
3.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 2
3.1.2 Prawa Kobry dla zbiorów 2
3.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 3
3.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 3
3.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 4
3.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~> 4
3.3.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 6
3.4 Definicje operatorów implikacyjnych 7
3.5 Punkt odniesienia w logice matematycznej, prawo Kameleona 11
3.6 Prawda miękka i twarda, prawda absolutna 16
3.7 Dziedzina minimalna - prawo Kobry, Pytona i Zaskrońca 20
3.7.1 Filozoficzna definicja zbioru pustego [] 24
4.8 Prawdziwość/fałszywość zdań warunkowych przy znanej wartości logicznej p i q 25
3.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.
3.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory nieskończone są rozłączne to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
3.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
3.1.2 Prawa Kobry dla zbiorów
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem samego siebie.
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].
3.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
3.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
3.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
3.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Weźmy nasze funkcje logiczne A1 i B1:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
Funkcja logiczna p=>q = ~p+q nie jest tożsama z funkcją logiczną p~>q = p+~q
oraz nie jest zaprzeczeniem funkcji logicznej p~>q = p+~q:
~(p~>q) = ~(p+~q) = ~p*q - na mocy prawa De Morgana
cnd
| Kod: |
T1
Definicja warunku wystarczającego =>
p q p=>q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 0 1
D: 0 1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
##
| Kod: |
T2
Definicja warunku koniecznego ~>
p q p~>q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 0 1
D: 0 1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q
|
##
| Kod: |
T3
Definicja spójnika “lub”(+)
p q p+q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 0 0
D: 0 1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p=>q=~p+q ## p~>q=p+~q ## p+q
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w rachunku zero-jedynkowym:
Dwie kolumny są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale to widać w kolumnach wynikowych tabel T1, T2 i T3. Warunek konieczny jaki musi tu być spełniony to identyczna matryca zero-jedynkowa po stronie wejść p i q bowiem wtedy i tylko wtedy możemy wnioskować o tożsamości lub braku tożsamości kolumn zero-jedynkowych. Warunek wspólnej matrycy zero-jedynkowej tabelach T1, T2 i T3 jest spełniony.
Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
| Kod: |
Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1
1 2 3 4 5
|
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
Przy wypełnianiu tabeli zero-jedynkowej w rachunku zero-jedynkowym nie wolno nam zmieniać linii w sygnałach wejściowych p i q, bowiem wtedy i tylko wtedy o tym czy dane prawo zachodzi decyduje tożsamość kolumn wynikowych.
##
| Kod: |
Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0
1 2 3 4 5
|
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p=>q = ~p+q ## p~>q =p+~q
Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).
3.3.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
| Kod: |
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
3.
Prawa kontrapozycji dla warunków wystarczających =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B4: q=>p = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
4.
Prawa kontrapozycji dla warunków koniecznych ~>:
A3: q~>p = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
3.4 Definicje operatorów implikacyjnych
Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to operator logiczny wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”
Rozróżniamy cztery operatory implikacyjne:
I.
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => jest (=1) spełniony
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest (=0) spełniony
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Definicja implikacji prostej p|=>q w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q:
AB12: AB34:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5:~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
Warto zapamiętać:
p|=>q=~p*~q
###
II.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest (=0) spełniony
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> jest (=1) spełniony
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q:
AB12: AB34:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5:~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
Warto zapamiętać:
p|~>q = p*~q
###
III.
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => jest (=1) spełniony
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> jest (=1) spełniony
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Definicja równoważności p<=>q w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p<=>q:
AB12: AB34:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5:~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
Warto zapamiętać:
p<=>q = p*q+~p*~q
###
IV.
Definicja operatora chaosu p|~~>q:
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest (=0) spełniony
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest (=0) spełniony
Stąd mamy definicję operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Definicja operatora chaosu p|~~>q w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~~>q:
AB12: AB34:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5:~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję operatora chaosu p|~~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Stąd mamy definicję operatora chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(~p+q)*~(p+~q) = (p*~q)*(~p*q) =0
Warto zapamiętać:
p|~~>q =0
Zauważmy, że pomiędzy zdefiniowanymi wyżej operatorami implikacyjnymi zachodzi matematyczna relacja różne na mocy definicji operatorowych ###:
p|=>q = ~p*q ### p|~>q = p*~q ### p<=>q =p*q+~p*~q ### p|~~>q =0
Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych
Znaczenie relacji różne na mocy definicji operatorowych ###:
Relacja różne na mocy definicji operatorowych ### oznacza, że p i q w dowolnej definicji operatorowej nie jest tożsame z p i q w dowolnej innej definicji operatorowej.
Dowód w następnym punkcie.
3.5 Punkt odniesienia w logice matematycznej, prawo Kameleona
Definicja zmiennej formalnej:
Zmienna formalna to zwyczajowa zmienna binarna nie mająca związku ze zmienną aktualną.
Zwyczajowo w logice matematycznej zmienne formalne oznaczane są symbolami Y, p, q, r ..
Definicja zmiennej aktualnej:
Zmienna aktualna to zmienna mająca ścisły związek z językiem potocznym człowieka
P- pies
~P - nie(~) pies
Definicja zapisu formalnego:
Zapis formalny w logice matematycznej to zapis praw logiki matematycznej z użyciem zmiennych formalnych (zwyczajowo Y, p, q, r ..) nie związany bezpośrednio z językiem potocznym człowieka.
Definicja zapisu aktualnego:
Zapis aktualny w logice matematycznej to operowanie symbolami mającymi ścisły związek ze zdaniami w języku potocznym.
Wszelkie prawa logiki matematycznej stosujemy tu bezpośrednio w zapisach aktualnych.
Przykład w zapisach aktualnych:
TP - trójkąt prostokątny (zmienna w logice dodatniej bo TP)
~TP - trójkąt nieprostokątny (zmienna w logice ujemnej bo ~TP)
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów (dziedzina dla trójkątów)
etc
Definicja dziedziny:
TP+~TP = ZWT =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny ZWT dla zbioru TP
TP*~TP =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
To samo w zapisach formalnych dla punktu odniesienia:
p=TP (zbiór trójkątów prostokątnych
D = ZWT (wspólna dziedzina)
Formalna definicja dziedziny:
p+~p =D =1
p*~p=0
Stąd mamy:
~p=[D-p)
Punkt odniesienia w logice matematycznej:
Dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym punkt odniesienia ustalamy wtedy i tylko wtedy gdy zamierzamy rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane.
Wtedy dla zdania warunkowego „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjęty punkt odniesienia to:
Parametr aktualny z wypowiedzianego zdania po „Jeśli …” = parametr formalny p (poprzednik)
Parametr aktualny z wypowiedzianego zdania po „to …”= parametr formalny q (następnik)
Przykład:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
To samo w zapisach formalnych to:
TP=p
SK=q
Stąd:
p=>q =1
Prawo punktu odniesienia:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjętym za punkt odniesienia zawsze zapisujemy po „Jeśli …” poprzednik p, zaś po „to…” następnik q.
p=poprzednik
q=następnik
Przykład 1.
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
Zawsze gdy pada, są chmury.
Dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu A1 mamy:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Stąd:
P=>CH =1 - zapis aktualny
p=>q =1 - zapis formalny
Aby rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie A1 musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> B1 między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~> być pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur bo może nie padać (~P=1) a mimo to chmury mogą istnieć (CH=1)
Oczywistość dla każdego ośmiolatka.
Dla B1 możemy tu skorzystać z prawa Tygryska gdzie będzie to jaśniej widoczne.
Prawo Tygryska w zapisach aktualnych:
B1: P~>CH = B3: CH=>P
Prawo Tygryska w zapisach formalnych:
B1: p~>q = B3: q=>p
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość zdania po drugiej stronie
Prawdziwość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość zdania po drugiej stronie
Stąd mamy:
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padało (P=1)
CH=>P =0
q=>p =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania bo nie zawsze gdy są chmury, pada
Oczywistość dla każdego 5-cio latka
Fałszywość warunku wystarczającego => B3 na mocy prawa Tygryska wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> B1.
Stąd wnioskujemy, iż mamy tu do czynienia z implikacją prostą P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P=>CH =1 - definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona
B1: P~>CH =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Zapis aktualny:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0) =1*1 =1
Zapis formalny:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1 =1
Podstawmy zdania A1 i B1 w zapisach aktualnych do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
IP: P|=>CH
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
A: 1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P=1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
B: 1: P~>CH = 2:~P=>~CH [=] 3: CH=>P = 4:~CH~>~P=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Zauważmy, że nie ma tu błędu podstawienia bo wszędzie mamy:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
|
Przykład 2.
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P
Dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu B1 mamy:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Stąd:
CH~>P =1 - zapis aktualny
p~>q =1 - zapis formalny
Aby rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie B1 musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1 między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padać (P=1)
CH=>P =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
Wie o tym każdy 5-cio latek
Stąd wnioskujemy, iż mamy tu do czynienia z implikacją odwrotną CH|~>P:
Implikacja odwrotna CH|~>P to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: CH=>P =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
B1: CH~>P =1 - definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona
Zapis aktualny:
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1 =1*1 =1
Zapis formalny:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 =1*1 =1
Podstawmy zdania A1 i B1 w zapisach aktualnych do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej p|~>q:
| Kod: |
IO: CH|~>P
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
A: 1: CH=>P = 2:~CH~>~P [=] 3: P~>CH = 4:~P=>~CH=0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
B: 1: CH~>P = 2:~CH=>~P [=] 3: P=>CH = 4:~P~>~CH=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Zauważmy, że nie ma tu błędu podstawienia bo wszędzie mamy:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
|
Porównajmy tabele prawdy z przykładu 1 i 2.
Przykład 1
Wypowiedzmy raz jeszcze zdanie A1 z implikacji prostej IP: P|=>CH:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
Zawsze gdy pada, są chmury.
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Gdzie:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
###
Przykład 2
Wypowiedzmy raz jeszcze zdanie B1 z implikacji odwrotnej IO: CH|~>P:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> do tego by padało (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Gdzie:
p = CH (chmury)
q = P (pada)
Zastosujmy do zdania B1 prawo Tygryska:
B1: CH~>P = B3: P=>CH
to samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q = B3: q=>p
Wypowiedzmy zdanie B3:
B3.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury.
To samo w zapisie formalnym:
q=>p =1
Gdzie:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Gdzie dla przykładu 1 i 2 mamy:
### - różne na mocy definicji operatorowych
Podsumowanie:
Doskonale widać, że zdanie A1 z przykładu 1 jest identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka ze zdaniem B3 z przykładu 2, a mimo to są to zdania różne na mocy definicji operatorowych ### bo mamy tu szkolny błąd podstawienia.
Zobaczmy to jeszcze raz:
Przykład 1
A1: P=>CH =1
A1: p=>q =1
p=P (pada)
q=CH (chmury)
###
Przykład 2
B3: P=>CH =1
B3: q=>p =1
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych
Błąd podstawienia widać tu jak na dłoni.
cnd
Stąd mamy:
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
3.6 Prawda miękka i twarda, prawda absolutna
Rozważmy zdanie:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1 - chmury są konieczne ~> dla deszczu
Analiza podstawowa zdania A przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
Operator implikacyjny to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2
1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1)?
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1 - chmury są konieczne ~> dla deszczu
LUB
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=CH*~P =1 - możliwy jest przypadek „są chmury” i „nie pada”
Chwilą czasową jest w powyższym przypadku cały jutrzejszy dzień.
Zauważmy, że:
W dniu dzisiejszym w czasie przyszłym obie jedynki są miękkimi jedynkami pociągającymi za sobą miękkie zera.
Dopóki jesteśmy dzisiaj i nie znamy przyszłości w przypadku zdań A i B możemy mówić o miękkich prawdach pociągających za sobą miękkie fałsze.
Czyli:
A: Jeśli jutro zajdzie zdarzenie A: CH*P =1 to zdarzenie B będzie fałszem B: CH*~P=0
i odwrotnie:
B: Jeśli jutro zajdzie zdarzenie B: CH*~P=1 to zdarzenie A będzie fałszem A: CH*P =0
Stąd mamy:
Definicja miękkiej prawdy w logice matematycznej:
Miękka prawda to prawda która może zajść ale nie musi.
Istnienie miękkiej prawdy pociąga za sobą istnienie miękkiego fałszu
Kontynuujemy dalsze możliwe przypadki związane ze zdaniami A i B.
2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1)?
.. a jeśli jutro nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
A: CH~>P = C: ~CH=>~P
stąd mamy:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało
~CH=>~P =1 - twarda jedynka
Brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => do tego by nie padało (~P)
Brak chmur (~CH) daje nam gwarancję matematyczną => braku opadów (~P)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna
Prawdziwy warunek wystarczający C:~CH=>~P =1 wymusza fałszywy kontrprzykład D
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P =~CH*P =0 - twarde zero
Zdarzenie wykluczone od minus do plus nieskończoności, nie ma najmniejszych szans aby zdarzenie D kiedykolwiek zaszło na planecie Ziemia w przedziale czasowym od minus do plus nieskończoności.
Definicja twardej prawdy:
Jeśli p to q
Z twardą prawdą mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Przykład to zdanie C wyżej.
Koniec analizy podstawowej.
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Na mocy prawa Kobry powyższą analizę możemy rozpisać w zdarzeniach możliwych ~~>.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>q = p*q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0
Stąd mamy tabelę zdarzeń możliwych które mogą zajść jutro:
| Kod: |
T1
A: CH~~> P= CH* P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „pada”
B: CH~~>~P= CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „nie pada”
C:~CH~~>~P=~CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „nie pada”
D:~CH~~> P=~CH* P=0 - niemożliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „pada”
|
Zauważmy, że:
1.
Na planecie Ziemia zdarzenie D nie jest możliwe, nigdy nie zaszło i nigdy nie zajdzie.
Wniosek:
Zdarzenie D to fałsz absolutny który nie ma szans stać się prawdą (jakąkolwiek prawdą)
2.
Zdarzenia ABC są wzajemnie rozłączne zarówno fizycznie jak i matematycznie.
Dowód matematycznej rozłączności zdarzeń ABC:
A*B = (CH*P)*(CH*~P) =[] =0
A*C = (CH*P)*(~CH*~P)=[] =0
B*C=(CH*~P)*(~CH*~P)=[] =0
3.
Z powyższego wynika, że:
Jeśli jutro zajdzie którekolwiek ze zdarzeń możliwych A, B lub C (prawda absolutna) to pozostałe dwa zdarzenia będą fałszem absolutnym.
W tym momencie logika matematyczna kończy swoją działalność, bo znamy rozstrzygnięcie i nie jesteśmy w stanie zmienić zaistniałego faktu.
Żadna logika matematyczna nie ma prawa zmienić zaistniałego faktu.
Przykładowo:
Załóżmy, że jest pojutrze i zaszło znane nam zdarzenie w Warszawie:
CH*~P =1 - wczoraj było pochmurno i nie padało
W tym przypadku wyłącznie linia B będzie prawdą absolutną, pozostałe linie będą fałszem absolutnym.
Dowód:
Z założenia wiemy że:
CH~~>~P = CH*~P =1 - wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało
Na mocy tego założenia nasza tabela prawdy dla znanej i zdeterminowanej przeszłości wygląda tak:
| Kod: |
T2
A: CH~~> P= CH* P=0 - wczoraj były chmury i padało
B: CH~~>~P= CH*~P=1 - wczoraj były chmury i nie padało
C:~CH~~>~P=~CH*~P=0 - wczoraj nie było chmur i nie padało
D:~CH~~> P=~CH* P=0 - niemożliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „pada”
|
Zdarzenie B miało miejsce w Warszawie.
Zauważmy, że nie wszyscy muszą wiedzieć jaka była pogoda w dniu wczorajszym w Warszawie.
Tylko i wyłącznie dla mieszkańców spoza Warszawy, którzy nie znają prawdy absolutnej o pogodzie w Warszawie logika matematyczna działa dalej i jest sensowna.
Innymi słowy:
Jeśli nie znamy rozstrzygnięcia to logika dalej działa w postaci identycznej serii zdań jak w naszej analizie podstawowej, tylko w zdaniach zapisanych w czasie przeszłym.
Definicja prawdy absolutnej:
Prawda absolutna to znany „fakt” który nie ma szans przejścia w fałsz.
Przykład:
Nasze zdarzenie które zaszło w Warszawie:
B: Wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało
B: CH~~>~P =CH*~P =1 - znamy zaistniały „fakt”, będący prawdą absolutną
Czasu nie da się cofnąć, zatem tego „faktu” (prawdy absolutnej) nie da się zmienić.
Definicja fałszu absolutnego:
Fałsz absolutny to znany „fakt” który nie ma szans stać się prawdą
W momencie zaistnienia powyższej prawdy absolutnej na terenie Warszawy wszystkie pozostałe, możliwe zdarzenia tj. A i C stają się fałszami absolutnymi. Znanych faktów nie jesteśmy w stanie zmienić bo czasu nie da się cofnąć.
Zauważmy, że w czasie przyszłym (lub przeszłym gdy nie znamy zaistniałego faktu) zdanie C jest twardą prawdą.
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało
~CH=>~P =1 - twarda jedynka
To jest twarda prawda w czasie przyszłym lub przeszłym gdy nie znamy zaistniałego faktu.
Innymi słowy:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało.
~CH=>~P =1 - twarda prawda
Brak chmur jest wystarczający => dla nie padania
To samo zdanie w czasie przeszłym gdy nie znamy zaistniałego faktu:
C1.
Jeśli wczoraj nie było pochmurno to na 100% => nie padało
~CH=>~P=1
Brak chmur jest wystarczający => dla nie padania
Jak widzimy z naszego przykładu twarda prawda w czasie przyszłym może przejść w fałsz absolutny w czasie przeszłym gdy zajdzie jedna z miękkich jedynek, w naszym przykładzie gdy zajdzie zdarzenie B.
Jak powyższe rozważania udowodnić matematycznie?
Mamy naszą tabelę prawdy T1 opisująca naszą rzeczywistość w czasie przyszłym lub przeszłym gdy nie znamy faktów.
| Kod: |
T1
A: CH~~> P= CH* P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „pada”
B: CH~~>~P= CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „nie pada”
C:~CH~~>~P=~CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „nie pada”
D:~CH~~> P=~CH* P=0 - niemożliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „pada”
|
Nasze zdarzenie które zaszło w Warszawie:
B: Wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało
B: CH~~>~P =CH*~P =1 - znamy zaistniały „fakt”, będący prawdą absolutną
Czasu nie da się cofnąć, zatem tego „faktu” (prawdy absolutnej) nie da się zmienić.
Dowód czysto matematyczny naszych rozważań to po prostu iloczyn logiczny zaistniałego faktu CH*~P w każdej z linii ABCD.
| Kod: |
T3
Tabela prawdy dla zaistniałego zdarzenia CH*~P
A: CH~~> P=( CH* P)*( CH*~P)=0 - fałsz absolutny
B: CH~~>~P=( CH*~P)*( CH*~P)=1 - prawda absolutna
C:~CH~~>~P=(~CH*~P)*( CH*~P)=0 - fałsz absolutny
D:~CH~~> P=(~CH* P)*( CH*~P)=0 - fałsz absolutny
|
Czytamy:
A.
Czy wczoraj w Warszawie było pochmurno i padało?
NIE - fałsz absolutny
B.
Czy wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało?
TAK - prawda absolutna
C.
Czy wczoraj w Warszawie nie było pochmurno i nie padało?
NIE - fałsz absolutny
D.
Czy wczoraj w Warszawie nie było pochmurno i padało?
NIE - fałsz absolutny
Podsumowując:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało
~CH=>~P =1 - twarda jedynka
To jest twarda prawda w czasie przyszłym lub przeszłym gdy nie znamy zaistniałego faktu.
Prawda ta może przejść w fałsz absolutny w czasie przeszłym.
Kontrprzykład D dla prawdziwego warunku wystarczającego C musi być fałszem.
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0 - niemożliwe jest zdarzenie: nie ma chmur (~CH) i pada (P)
Zauważmy że:
1.
Twarda prawda w czasie przyszłym (zdanie C) może przejść w fałsz absolutny w czasie przeszłym (tabela T3, zdanie C)
2.
Twardy fałsz w czasie przyszłym (zdanie D) nie może przejść w twardą prawdę w czasie przeszłym, bowiem niemożliwe jest (=0) zajście zdarzenia D w czasie od minus do plus nieskończoności.
3.7 Dziedzina minimalna - prawo Kobry, Pytona i Zaskrońca
Weźmy zdanie bazowe (punkt odniesienia):
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
cnd
Nasze zdanie A1 definiuje dwa zbiory:
P=[pies] =1 - zbiór jednoelementowy P=[pies] (wartość logiczna 1 bo zbiór nie jest pusty)
4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami (wartość logiczna 1 bo zbiór nie jest pusty)
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=[pies, słoń, kura ..] (kura jest przedstawicielem zwierząt nie mających czterech łap)
Stąd mamy zaprzeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do wspólnej dziedziny:
~P = [ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
~P=[słoń, kura ..] =1
~4L=[ZWZ-4L] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem zwierząt mających cztery lapy
~4L=[kura ..] =1
Analiza matematyczna warunku wystarczającego => A1 przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowane elementem wspólnym ~~> zbiorów.
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> mieć cztery łapy (4L=1)
P~~>4L = P*4L =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów P=[pies] i 4L=[pies, słoń ..] jest spełniona bo pies.
A1’.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
P~~>~4L= P*~4L =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne.
A2.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
~P~~>~4L = ~P*~4L =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory ~P=[słoń, kura..] i ~4L=[kura..] mają co najmniej jeden element wspólny np. kurę.
B2’.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~~> mieć cztery łapy (4L=1)
~P~~>4L = ~P*4L =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają co najmniej jeden element wspólny np. słoń
Zapiszmy powyższą analizę w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
A1: P~~> 4L=1 - zbiory P=[pies] i 4L=[pies, słoń ..] mają element wspólny
A1’: P~~>~4L=0 - zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne
A2: ~P~~>~4L=1 - zbiory ~P=[słoń, kura..] i ~4L=[kura] mają element wspólny
B2’:~P~~> 4L=1 - ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają element wspólny
|
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym ~~> zbiorów: p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Analiza matematyczna- część I:
Na mocy definicji kontrprzykładu w zbiorach mamy:
1.
Z fałszywości kontrprzykładu A1’:
A1’: P~~>~4L=0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A1:
A1: P=>4L =1 - bycie psem jest warunkiem wystarczającym => do tego, by mieć cztery łapy.
2.
Prawo Kubusia:
A1: P=>4L = A2: ~P~>~4L
stąd:
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1: P=>4L =1
wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> A2:
A2: ~P~>~4L =1
Stąd nasza tabela T1 przybiera postać:
| Kod: |
T2
A1: P=> 4L =1 - bo P=[pies] jest podzbiorem => 4L=[pies, słoń..]
A1’: P~~>~4L=0 - zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne
A2: ~P~> ~4L=1 - bo ~P=[słoń, kura..] jest nadzbiorem ~> ~4L=[kura..]
B2’:~P~~> 4L=1 - ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają element wspólny
|
Dla zdania A1 ustalmy przykładową, najszerszą możliwą dziedzinę Uniwersum.
Uniwersum (U) to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka
Innymi słowy:
U=[zbiór wszystkich zwierząt ZWZ, zbiór liczb naturalnych, mydło, powidło, miłość, rower, krasnoludek ..]
Nasze zdanie A1 przyjmie wtedy brzmienie:
A1U.
Jeśli coś jest psem to na 100% => ma cztery łapy
P=>4L =?
Zauważmy, że jeśli z obszaru Uniwersum będziemy losować cosie z dziedziny minimalnej będącej zbiorem wszystkich zwierząt ZWZ to wtedy znajdziemy się w analizie matematycznej jak wyżej omówionej dla zdania A1 (tabela T2)
Na mocy prawa Kobry warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>, co możemy zapisać jako.
A1UE.
Jeśli coś (x) jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
x*P~~>4L = x*P*4L =?
Losujemy:
x=P (pies)
Wtedy mamy:
P*P~~>4L = P*P*4L = P*4L =1
Zdanie prawdziwe bo istnieje element wspólny zbioru P=[pies] i zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
Na mocy prawa Kobry widzimy, że wylosowanie jakiegokolwiek cosia spoza dziedziny minimalnej zbioru wszystkich zwierząt ZWZ czyni zdanie A1UE zdaniem fałszywym bez względu na zawartość następnika.
Dowód:
Podstawmy:
x=M (miłość)
Wtedy w poprzedniku mamy:
M*P~~>4L = M*P*4L =[] =0 - bo pojęcie „miłość” jest rozłączne ze zbiorem P=[pies]
Stąd mamy.
Prawo Pytona dla zbiorów:
Dla dowolnego zdania „Jeśli p to q” nie ma sensu iterowane po elementach spoza dziedziny minimalnej definiowanej treścią zdania „Jeśli p to q” bowiem wszystkie takie zdania będą na 100% fałszywe.
Na mocy prawa Pytona mamy rozstrzygnięcie iż jedyną matematycznie poprawną dziedziną dla zdania A1 jest dziedzina minimalna:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Mamy nasze zdanie bazowe (punkt odniesienia):
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
cnd
Dziedzina minimalna zdefiniowana treścią zdania to:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Zastosujmy do zdania A1 prawo kontrapozycji:
A1: P=>4L = A4: ~4L=>~P
Prawdziwość zdania A1 wymusza prawdziwość zdania A4 inaczej matematyka ścisła (prawo kontrapozycji) leży w gruzach, co jest oczywiście niemożliwe.
A4.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest psem (~P=1)
~4L=>~P =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór zwierząt nie mających czterech łap ~4L=[kura..] jest podzbiorem => zwierząt nie będących psem ~P=[słoń, kruk ..]
Tu również treść zdania A4 precyzyjnie definiuje nam dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy wyprowadzone wniosek w postaci prawa Zaskrońca.
Prawo Zaskrońca:
W dowolnym prawie logiki matematycznej dziedzina musi być wspólna i minimalna
Weźmy nasze prawo kontrapozycji:
A1: P=>4L = A4: ~4L=>~P
Znaczenie tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony
Na mocy prawa Zaskrońca dziedzina dla zdań związanych tożsamością logiczną musi być wspólna i minimalna, zdefiniowana treścią zdania.
3.7.1 Filozoficzna definicja zbioru pustego []
Nawiązując do powyższych rozważań oraz do praw Kobry, Pytona i Zaskrońca podanych wyżej możemy pokusić się o podsumowanie problemu zbioru pustego [].
Podsumowanie problemu zbioru pustego []:
1.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Uniwersum możemy podzielić na:
a)
Uniwersum indywidualne związane z konkretnym człowiekiem
b)
Uniwersum ludzkości, czyli zbiór pojęć historycznych rozpoznawalnych przez ludzkość w okresie swojego istnienia.
Oba typy Uniwersum są dynamiczne tzn. rozszerzają się gdy poznajmy nowe pojęcia oraz zawężają się gdy pojęcie ulegają zapomnieniu.
Przykład:
W okresie maturalnym bardzo dobrze znałem matematykę ale w dniu dzisiejszym pewne jest, że z marszu nie zaliczyłbym matury podstawowej z matematyki.
2.
Filozoficzna definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to wszelkie pojęcia spoza Uniwersum.
Innymi słowy:
Wszystko co jest poza Uniwersum jest dla nas zbiorem pustym, co nie oznacza iż tam już nic nie ma, czyli nie ma pojęć których jeszcze nie znamy, a które możemy poznać w przyszłości.
Ten zbiór pusty poza Uniwersum jest nieskończenie wielki, pewne pojęcia na zawsze pozostaną dla nas tajemnicą np. kwestia istnienia lub nie istnienia Boga w rozumieniu różnych odłamów ludzkości.
Jest oczywistym, że ten z naszego punktu odniesienia zbiór pusty leżący poza naszym Uniwersum jest podzbiorem => siebie samego.
Stąd mamy:
[]=>[] =1
Definicja warunku wystarczającego => jest tu spełniona bo każdy zbiór jest podzbiorem siebie samego, dotyczy to także wszystkich, nieskończonych z definicji pojęć spoza naszego Uniwersum, których jeszcze nie znamy, ale które możemy poznać w przyszłości.
4.8 Prawdziwość/fałszywość zdań warunkowych przy znanej wartości logicznej p i q
W algebrze Kubusia zbiory mają wartości logiczne:
[x] =1 - zbiór niepusty, zawierający co najmniej jeden element, ma wartość logiczną 1
[] =1 - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu, ma wartość logiczną 0
Rozważmy problem rodem z teorii logiki matematycznej.
Zbadaj prawdziwość/fałszywość poniższego zdania:
A.
Jeśli 2+2=4 to na 100% => 2*2=4
4=>4 =1
p=1, q=1
1=>1 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Zbiór jednoelementowy p=[4] jest podzbiorem => zbioru jednoelementowego q=[4]
Komentarz:
Użyte w zdaniu A1 znaczki sumy algebraicznej (+) i iloczynu algebraicznego (*) są dla logiki matematycznej kompletnie bez znaczenia, bowiem logika matematyczna z definicji nie zajmuje się jakimkolwiek algebraicznym liczeniem elementów w zbiorze bo jak to zrobić przy pomocy spójników „lub”(+) oraz „i”(*) z naturalnego języka potocznego?
Oczywiście to jest niewykonalne, czyli nie da się.
Uwaga!
Użyte w zdaniu A1 znaczki dodawania algebraicznego (+) i mnożenia algebraicznego (*) mają zero wspólnego z logiką matematyczną gdzie znaczki „lub”(+) oraz „i”(*) znaczą zupełnie co innego:
p+q - suma logiczna (+) zbiorów p i q
p*q = iloczyn logiczny (*) zbiorów p i q
Rozpatrzmy przypadek gdzie poprzednik i następnik jest twardą prawdą, ale nie są to zbiory tożsame.
A1
Jeśli 2+2=4 to 2*3=6
4=> 6 =0
Wartości logiczne p i q:
p=1, q=1
1=>1 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo zbiór jednoelementowy p=[4] nie jest podzbiorem zbioru jednoelementowego q=[6]
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem samego siebie.
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].
Trzy pozostałe przypadki mutacji zdań gdzie wartość logiczna poprzednika i następnika jest znana z góry to:
B.
Jeśli 2+2=4 to 2+2=5
(2+2=4) => (2+2=5) =0
Dowód:
Korzystamy z prawa Kobry:
Jeśli 2+2=4 to może ~~> się zdarzyć, że 2+2=5
224~~>225 = 224*225 = 1*[] =1*0 =0
1~~>0 =1*0 =0
Gdzie:
[] - zbiór pusty
stąd na mocy prawa Kobry zdanie B jest fałszem
B: (2+2=4)=>(2+2=5) =0
cnd
Zamieńmy teraz miejscami poprzednik z następnikiem:
C.
Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
(2+2=5)=>(2+2=4) =0
Dowód:
Korzystamy z prawa Kobry:
Jeśli 2+2=5 to może ~~> się zdarzyć, że 2+2=4
225~~>224 = 225*224 =[]*1 = 0*1 =0
0~~>1 = 0*1 =0
Stąd na mocy prawa Kobry zdanie C jest fałszem
(2+2=5)=>(2+2=4) =0
cnd
Weźmy ostatni możliwy przypadek:
D.
Jeśli 2+2=5 to 2+2=6
(2+2=5) => (2+2=6) =1
Dowód:
Korzystamy z prawa Kobry:
Jeśli 2+2=5 to może ~~> się zdarzyć, że 2+2=6
225~~>226 = 225*226 = []*[] =0
ALE!
0=>0 =1
Dlaczego mamy tu wynikową jedynkę a nie zero?
Odpowiedź:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego na mocy definicji podzbioru.
Zbiór pusty [] również jest podzbiorem => siebie samego, czyli podzbiorem zbioru pustego []
Stąd:
[]=>[] =1
0=>0 =1
Na mocy powyższego otrzymujemy tabelę zero-jedynkową równoważności:
| Kod: |
p q p<=>q
A: 1=> 1 =1
B: 1~~>0 =1*0 =0
C: 0~~>1 =0*1 =0
D: 0=> 0 =1
|
Teoria 5-cio latków.
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona, zbiór p jest podzbiorem => zbioru q.
inaczej:
p=>q =0 - gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona, zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
Definicja podzbioru => = spełniona relacja podzbioru =>
Definicja podzbioru => w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p+q
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Dowód iż definicja podzbioru z algebry Kubusia jest identyczna jak w teorii zbiorów ziemian:
[link widoczny dla zalogowanych]
| sjp napisał: |
podzbiór - część danego zbioru |
Wniosek:
Matematycznie istotą definicji podzbioru jest spełniona relacja podzbioru =>.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 23:30, 17 Paź 2020, w całości zmieniany 25 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35357
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 23:25, 17 Paź 2020 Temat postu: |
|
|
4.0 Implikacja prosta p|=>q
Spis treści
4.0 Implikacja prosta p|=>q 1
4.1 Aksjomatyczna definicja implikacji prostej p|=>q 4
4.1.1 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q 5
4.1.2 Twierdzenie o warunku wystarczającym p=>q w implikacji prostej p|=>q 7
4.2 Przykład implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach 9
4.2.1 Aksjomatyczna definicja implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach 12
4.2.2 Alternatywne dojście do implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach 14
4.3 Przykład implikacji prostej P|=>4L w zbiorach 17
4.3.1 Aksjomatyczna definicja implikacji prostej P|=>4L w zbiorach 19
4.3.2 Alternatywne dojście do implikacji prostej P|=>4L w zbiorach 22
4.0 Implikacja prosta p|=>q
Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to operator logiczny wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => jest (=1) spełniony
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest (=0) spełniony
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Przykład:
p=P (pada)
q= CH (chmury)
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienie chmur, zawsze gdy pada, są chmury
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Przykład:
p=P8 =[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0) =1*1 =1
Przyjmujemy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy przeczenia zbiorów rozumiane jako uzupełnienia zbiorów do dziedziny:
~p=~P8=[LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór LN minus zbiór P8
~q=~P2=[LN-P2] = [1,3,5,7,9..] - zbiór liczb nieparzystych
Definicja dziedziny po stronie q=P2:
P2+~P2 = LN =1 - zbiór liczb naturalnych, zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2 i ~P2 są rozłączne
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
Zauważmy, że dla naszego przykładu wymóg iż przyjęta dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów P2 i P8 jest spełniony
P8=[8,16,24..] + P2=[2,4,6,8..] => LN=[1,2,3,4,5,6,7,8..]
Jak widzimy, suma zbiorów P8+P2 jest podzbiorem => dziedziny LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Wniosek:
Przyjęta dziedzina minimalna LN jest poprawna, bowiem żaden ze zbiorów P2, ~P2, P8 i ~P8 nie jest zbiorem pustym [], co udowodniono ciut wyżej.
Zauważmy, że jeśli za dziedzinę przyjmiemy zbiór:
D = P2=[2,4,6,8..]
to zbiór ~P2 będzie zbiorem pustym:
~P2 = [D-P2] = P2-P2]=[] =0
Wniosek:
Przyjęta dziedzina D=[2,4,6,8..] jest matematycznie błędna bowiem zbiór ~P2 jest zbiorem pustym [] co oznacza, że pojęcie ~P2 jest nierozpoznawalne.
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia.
Definicja implikacji prostej p|=>q w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q:
AB12: AB34:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5:~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
| Kod: |
T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
---------------------------------------------------------------
p|=>q=~p*q = ~p|~>~q=~p*q [=] q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
4.1 Aksjomatyczna definicja implikacji prostej p|=>q
Aksjomatyczną definicję implikacji prostej p|=>q z której wynika tabela zero-jedynkowa spójnika warunku wystarczającego => mamy tu jak na dłoni w obszarze AB12.
| Kod: |
T3:
AB12 - aksjomatyczna definicja implikacji prostej p|=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1:
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Zbiory: Zbiór p jest podzbiorem => q
A1’:
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q=p*~q=0
Nie jest (=0) możliwe równoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Zbiory: zbiory p i ~q są rozłączne (=0)
2.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
A2:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście zdarzenia ~p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia ~q
Zbiory: na mocy prawa Kubusia zbiór ~p jest nadzbiorem ~> ~q
LUB
B2’:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q =~p*q=1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Zbiory: istnieje wspólna część ~~> zbiorów ~p i q
|
Uwaga:
Operator implikacji prostej p|=>q to wszystkie cztery zdania A1, A1’, A2, B2’ a nie jakiekolwiek jedno, wyróżnione zdanie.
4.1.1 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q
Zapiszmy skróconą tabelę prawdy aksjomatycznej definicji implikacji prostej p|=>q
| Kod: |
T4:
Definicja implikacji prostej p|=>q
Analiza |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1
a b c d e f
|
Zakodujmy zero-jedynkowo definicję symboliczną implikacji prostej p|=>q z tabeli T4 względem warunku wystarczającego => A1:
A1: p=>q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(~x=1)=(x=0)
bo wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
| Kod: |
T5:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego p=>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza |Co w logice |Kodowanie dla |
symboliczna |jedynek oznacza |A1: p=>q =1 |
| | | p q p=>q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=>1 =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1=>0 =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0=>0 =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0=>1 =1
a b c d e f g h i 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|(~p=1)=( p=0) |
|(~q=1)=( q=0) |
|
Nagłówek A1: p=>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A1: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Zakodujmy teraz zero-jedynkowo definicję symboliczną implikacji prostej p|=>q z tabeli T4 względem warunku koniecznego ~> A2:
A2:~p~>~q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
| Kod: |
T6:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego A2:~p~>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza |Co w logice |Kodowanie dla |
symboliczna |jedynek oznacza |A2:~p~>~q =1 |
| | |~p ~q ~p~>~q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0~>0 =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~>1 =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 | 1~>1 =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |(~p=1)~~>(~q=0)=1 | 1~>0 =1
a b c d e f g h i 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|( p=1)=(~p=0) |
|( q=1)=(~q=0) |
|
Nagłówek A2:~p~>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A2: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T5 i T6 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T5 i T6 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T5: p=>q = T6: ~p~>~q
Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => (T5: 123) i koniecznego ~> (T6: 123).
Oto on:
| Kod: |
Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
A1: 1=>1 =1 0~>0 =1
A1’: 1=>0 =0 0~>1 =0
A2: 0=>0 =1 1~>1 =1
B2’: 0=>1 =1 1~>0 =1
1 2 3 4 5 6
|
Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Uwaga:
Warunkiem koniecznym wnioskowania o tożsamości kolumn wynikowych 3=6 jest identyczna matryca zero-jedynkowa na wejściach p i q.
Matematycznie wiersze 456 można dowolnie przestawiać, ale wtedy wnioskowanie o zachodzącym prawie Kubusia będzie dużo trudniejsze - udowodnił to Makaron Czterojajeczny w początkach rozszyfrowywania algebry Kubusia.
Problem można tu porównać do tabliczki mnożenia do 100. Porządna tablica spotykana w literaturze jest zawsze ładnie uporządkowana. Dowcipny uczeń może jednak zapisać poprawną tabliczkę mnożenia do 100 w sposób losowy, byle zawierała wszystkie przypadki - pani matematyczka, od strony czysto matematycznej nie ma prawa zarzucić uczniowi iż nie zna się na matematyce, wręcz przeciwnie, doskonale wie o co tu chodzi a dowodem tego jest jego bałaganiarski dowcip.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Stąd mamy:
~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q = p=>q
cnd
Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p=>q = ~p~>~q
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
p q p<=>q
A: 1<=>1 =1
B: 1<=>0 =0
C: 0<=>0 =1
D: 0<=>1 =0
|
Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
| Kod: |
Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q (p=>q)<=>(~p~>~q)
A1: 1=>1 =1 0~>0 =1 =1
A1’: 1=>0 =0 0~>1 =0 =1
A2: 0=>0 =1 1~>1 =1 =1
B2’: 0=>1 =1 1~>0 =1 =1
1 2 3 4 5 6 7
|
Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
4.1.2 Twierdzenie o warunku wystarczającym p=>q w implikacji prostej p|=>q
Twierdzenie o warunku wystarczającym p=>q w implikacji prostej p|=>q:
Warunek wystarczający p=>q =~p+q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest definicja operatora OR(|+) w warunku wystarczającym p=>q=~p+q
Definicja operatora OR(|+) to układ równań logicznych 1: (p=>q) oraz 2: ~(p=>q)
1.
Kiedy warunek wystarczający p=>q będzie spełniony (p=>q) =1?
p=>q = ~p+q
co w logice jedynek oznacza:
(p=>q)=1 <=> ~p=1 lub q=1
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q +~p*q
Stąd mamy:
p=>q = ~p+q = ~p*q + p*q + ~p*~q
Po dopasowaniu do definicji implikacji prostej p|=>q mamy:
p=>q = A1: p*q + A2: ~p*~q + B2’: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
(p=>q)=1 <=> A1: p=1 i q=1 lub A2: ~p=1 i ~q=1 lub B2’: ~p=1 i q=1
Czytamy:
Warunek wystarczający p=>q jest (=1) częścią implikacji prostej p|=>q wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest zajście każdego z trzech zdarzeń rozłącznych A1, A2 i B2’ oraz niemożliwe jest zajście zdarzenia A1’
Gdzie:
A1’: p*~q =0
2.
Kiedy warunek wystarczający p=>q nie będzie spełniony ~(p=>q) =1?
Negujemy równanie 1 stronami:
~(p=>q) = ~(~p+q) = p*~q - prawo De Morgana
stąd:
A1’: ~(p=>q)= p*~q
co w logice jedynek oznacza:
A1’: ~(p=>q)=1 <=> p=1 i ~q=1
Prawo Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
~(p=>q) =1 <=> p=>q =0
stąd mamy:
A1’: p=>q =0 <=> p=1 i ~q=1
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
Definicja implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach:
Implikacja prosta P|=>CH to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH =1 - padanie (P=1) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH=1)
B1” P~>CH =0 - padanie (P=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (CH=1)
Stąd mamy spełnioną podstawową definicję implikacji prostej P|=>CH:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0) =1*1 =1
Wniosek:
Warunek wystarczający A1: P=>CH jest częścią implikacji prostej P|=>CH
cnd
Dowód alternatywny powyższego faktu to skorzystanie z twierdzenia o warunku wystarczającym p=>q wchodzącym w skład implikacji prostej p|=>q.
Dla naszego przykładu mamy:
Warunek wystarczający A1: P=>CH wchodzi w skład implikacji prostej P|=>CH wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest zajście każdego z poniższych zdarzeń:
A1: P~~>CH = P*CH =1 - możliwe jest (=1) darzenie pada (P=1) i są chmury (CH=1)
Oczywistość dla każdego 5-cio latka
LUB
A2: ~P~~>~CH = ~P*~CH=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie nie pada (~P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Wie o tym każdy 5-cio latek
LUB
B2’: ~P~~>CH = ~P*CH =1 - możliwe jest zdarzenie nie pada (~P=1) i są chmury (CH=1)
Pikuś dla każdego 5-cio latka
Kluczowa i decydująca jest tu fałszywość (=0) ostatniego zdarzenia możliwego:
A1’.
P~~>~CH = P*~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Oczywistość dla każdego 5-cio latka
Wniosek:
Warunek wystarczający A1: P=>CH na 100% wchodzi w skład definicji implikacji prostej P|=>CH.
Nic więcej nie musimy udowadniać.
4.2 Przykład implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach
Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w rachunku zero-jedynkowym:
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
| Kod: |
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
AB12 AB34
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja zmiennej formalnej:
Zmienna formalna to zmienna binarna nie mająca związku z językiem potocznym człowieka (ze zmienną aktualną)
Zwyczajowo w logice matematycznej zmienne formalne oznaczane są symbolami Y, p, q, r ..
Definicja zmiennej aktualnej:
Zmienna aktualna to zmienna mająca ścisły związek z językiem potocznym człowieka
Przykłady:
P = pies
~P - nie pies
TP - trójkąt prostokątny (zmienna w logice dodatniej bo TP)
~TP - trójkąt nieprostokątny (zmienna w logice ujemnej bo ~TP)
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów (dziedzina dla trójkątów)
etc
Definicja dziedziny:
TP+~TP = ZWT =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny ZWT dla zbioru TP
TP*~TP =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
To samo w zapisach formalnych dla punktu odniesienia:
p=TP (zbiór trójkątów prostokątnych)
D = ZWT (wspólna dziedzina)
Formalna definicja dziedziny:
p+~p =D =1
p*~p=0
Stąd mamy:
~p=[D-p)
Punkt odniesienia w logice matematycznej:
Dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym punkt odniesienia ustalamy wtedy i tylko wtedy gdy zamierzamy rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane.
Wtedy dla zdania warunkowego „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjęty punkt odniesienia to:
Parametr aktualny z wypowiedzianego zdania po „Jeśli …” = parametr formalny p (poprzednik)
Parametr aktualny z wypowiedzianego zdania po „to …”= parametr formalny q (następnik)
Przykład:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
To samo w zapisach formalnych to:
TP=p
SK=q
Stąd:
p=>q =1
Prawo punktu odniesienia:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjętym za punkt odniesienia zawsze zapisujemy po „Jeśli …” poprzednik p, zaś po „to…” następnik q.
p=poprzednik
q=następnik
Zadanie matematyczne w 100-milowym lesie:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury.
Oczywistość dla każdego 5-cio latka.
Na mocy prawa punktu odniesienia podstawiamy:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Stąd mamy zdanie A1 w zapisie formalnym:
p=>q =1
Zajście p (pada) jest wystarczające => dla zajścia q (chmury)
W tym momencie, po udowodnieniu warunku wystarczającego A1 tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wygląda następująco.
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
| Kod: |
T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
AB12 AB34
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
A: 1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =?
B: 1: P~>CH = 2:~P=>~CH [=] 3: CH=>P = 4:~CH~>~P =?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać, że aby rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie A1 musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Wybieramy zdanie B3 bo najprostszy warunek wystarczający => zawsze dowodzi się najprościej.
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padać
CH=>P =0
q=>p =0
Istnienie chmur nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy jest pochmurno, pada
O czym każdy 5-cio latek wie
Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Podstawiając parametry aktualne ze zdania A1 mamy:
B3: CH=>P = B1: P~>CH =0
Fałszywości zdania B1 nie musimy udowadniać, bowiem gwarantuje nam to prawo Tygryska.
Definicja tożsamości logicznej „=” w prawie Tygryska:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Z faktu iż nie musimy udowadniać fałszywości zdania B1 nie wynika, że nie wolno nam udowodnić fałszywości zdania B1 w sposób bezpośredni bez korzystania z prawa Tygryska.
B1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% ~> będzie pochmurno
P~>CH =0
p~>q =0
„Padanie” nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia „chmur”, bo może się zdarzyć że „nie pada” a „chmury” istnieją.
Zabieram stan „nie pada” a „chmury” nie znikają.
Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Doskonale widać, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to zdania te nie są tożsame na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Zapis aktualny zdań A1 i B1:
A1: P=>CH =~P+CH =1 ## B1: P~>CH = P+~CH =0
Zapis formalny zdań A1 i B1:
A1: p=>q =~p+q =1 ## B1: p~>q = p+~q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Stąd mamy rozstrzygnięcie, iż badane zdanie A1 wchodzi w skład definicji implikacji prostej P|=>CH.
Definicja implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur
bo chmury mogą istnieć bez padania
Rozwiązanie końcowe w postaci tabeli prawdy implikacji prostej P|=>CH
| Kod: |
T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w P|=>CH:
AB12 AB34
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
A: 1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
B: 1: P~>CH = 2:~P=>~CH [=] 3: CH=>P = 4:~CH~>~P =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
4.2.1 Aksjomatyczna definicja implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach
Weźmy nasze zdanie bazowe, punkt odniesienia:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury.
Oczywistość dla każdego 5-cio latka.
Prawo punktu odniesienia:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjętym za punkt odniesienia zawsze zapisujemy po „Jeśli …” poprzednik p, zaś po „to…” następnik q.
p=poprzednik
q=następnik
Na mocy prawa punktu odniesienia podstawiamy:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Stąd mamy zdanie A1 w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Zajście p (pada) jest wystarczające => dla zajścia q (chmury)
Podstawmy nasze zdanie do pełnej definicji implikacji prostej P|=>CH z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu ~~>:
| Kod: |
T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: P=>CH =1 = 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P =1 = 4:~CH=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: P~~>~CH=0 = [=] = 4:~CH~~>P =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: P~>CH =0 = 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=>P =0 = 4:~CH~>~P =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p =1
B’: = 2:~P~~>CH=1 [=] 3: CH~~>~P=1
---------------------------------------------------------------
p|=>q=~p*q = ~p|~>~q=~p*q [=] q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
P|=>CH=~P*CH = ~P|~>~CH=~P*CH [=] CH|~>P=CH*~P = ~CH|=>~P=CH*~P
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: P=>CH=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: P~~>~CH=P*~CH=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~P=>~CH=0 -fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~P~~>CH =~P*CH=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Aksjomatyczną definicję implikacji prostej P|=>CH z której wynika tabela zero-jedynkowa warunku wystarczającego => mamy w obszarze AB12.
Operator implikacji prostej P|=>CH to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co się stanie jeśli jutro będzie padało (P=1)?
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury.
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
2.
Co się stanie jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2:~P~>~CH
stąd:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby jutro nie było pochmurno (~CH=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1).
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
LUB
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest zdarzenie: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH+1)
Podsumowanie:
1.
Doskonale widać, że jeśli jutro będzie padało (P=1) to mamy gwarancję matematyczną => istnienia chmur (CH=1) - mówi o tym zdanie A1.
2.
Jeśli natomiast jutro nie będzie padało (~P=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
LUB
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Definicja implikacji prostej P|=>CH to wszystkie cztery zdania A1, A1’, A2, B2’.
Nie wolno, jak to robią ziemianie, wykopać w kosmos drugą część części definicji implikacji prostej P|=>CH i błędnie twierdzić, że implikacja prosta to wyłącznie zdanie A1.
4.2.2 Alternatywne dojście do implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach
Udajmy się do przedszkola, do naszych ekspertów logiki matematycznej, algebry Kubusia.
Pani w przedszkolu:
Czy może się zdarzyć ~~> że jutro będzie padało i będzie pochmurno?
Jaś (lat 5): TAK
Stąd:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
P~~>CH = P*CH =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Dla udowodnienia prawdziwości zdania A1 wystarczy pokazać jeden taki przypadek.
Pani:
Czy może się zdarzyć, że jutro będzie padało i nie będzie pochmurno?
Jaś: NIE
Stąd:
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0 - zdarzenie niemożliwe (=0)
Pani:
Czy może się zdarzyć, że jutro nie będzie padało i nie będzie pochmurno?
Jaś: TAK
Stąd:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~~>~CH = ~P*~CH =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Pani:
Czy może się zdarzyć, że jutro nie będzie padało i będzie pochmurno?
Jaś: TAK
stąd:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Zapiszmy dialog pani z Jasiem w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
A1: P~~> CH=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie pada i są chmury
A1’: P~~>~CH=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie pada i nie ma chmur
A2: ~P~~>~CH=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie nie pada i nie ma chmur
B2’:~P~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie nie pada i są chmury
|
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Analiza matematyczna- część I:
Na mocy definicji kontrprzykładu w zdarzeniach mamy:
1.
Z fałszywości kontrprzykładu A1’:
A1’: P~~>~CH=0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A1:
A1: P=>CH =1 - padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
2.
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
stąd:
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1: P=>CH =1
wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> A2:
A2: ~P~>~CH =1
Stąd nasza tabela T1 przybiera postać:
| Kod: |
T2
A1: P=> CH =1 - padanie jest wystarczające => dla istnienia chmur
A1’: P~~>~CH=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie pada i nie ma chmur
A2: ~P~> ~CH=1 - brak opadów jest konieczny ~> dla nie istnienia chmur
B2’:~P~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie nie pada i są chmury
|
Analiza matematyczna- część II:
Na mocy definicji kontrprzykładu w zdarzeniach mamy:
3.
Z prawdziwości kontrprzykładu B2’:
B2’: ~P~~>CH =1
wynika fałszywość warunku wystarczającego => B2:
B2: ~P=>~CH =0
4.
Prawo Kubusia:
B2: ~P=>~CH = B1: P~>CH
stąd:
Z fałszywości warunku wystarczającego => B2:
B2: ~P=>~CH =0
wynika fałszywość warunku koniecznego ~> B1:
B1: P~>CH =0
Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2.
| Kod: |
T2
A1: P=> CH =1 |B1: P~> CH =0
A1’: P~~>~CH=0
A2: ~P~> ~CH=1 |B2:~P=>~CH =0
B2’:~P~~>CH =1
|
Stąd dla punktu odniesienia:
A1: P=>CH
A1: p=>q
mamy odtworzoną definicję implikacji prostej P|=>CH w logice dodatniej (bo CH):
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
Stąd mamy:
Kompletną definicję implikacji prostej P|=>CH w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>.
| Kod: |
T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: P=>CH =1 = 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P =1 = 4:~CH=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: P~~>~CH=0 = [=] = 4:~CH~~>P =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: P~>CH =0 = 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=>P =0 = 4:~CH~>~P =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p =1
B’: = 2:~P~~>CH=1 [=] 3: CH~~>~P=1
---------------------------------------------------------------
p|=>q=~p*q = ~p|~>~q=~p*q [=] q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
P|=>CH=~P*CH = ~P|~>~CH=~P*CH [=] CH|~>P=CH*~P = ~CH|=>~P=CH*~P
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: P=>CH=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: P~~>~CH=P*~CH=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~P=>~CH=0 -fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~P~~>CH =~P*CH=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
4.3 Przykład implikacji prostej P|=>4L w zbiorach
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Gdzie:
1 - prawda
0 - fałsz
Definicja zmiennej formalnej:
Zmienna formalna to zmienna binarna nie mająca związku z językiem potocznym człowieka (ze zmienną aktualną)
Zwyczajowo w logice matematycznej zmienne formalne oznaczane są symbolami Y, p, q, r ..
Definicja zmiennej aktualnej:
Zmienna aktualna to zmienna mająca ścisły związek z językiem potocznym człowieka
Przykłady:
P = pies
~P - nie pies
TP - trójkąt prostokątny (zmienna w logice dodatniej bo TP)
~TP - trójkąt nieprostokątny (zmienna w logice ujemnej bo ~TP)
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów (dziedzina dla trójkątów)
etc
Definicja dziedziny:
TP+~TP = ZWT =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny ZWT dla zbioru TP
TP*~TP =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
To samo w zapisach formalnych dla punktu odniesienia:
p=TP (zbiór trójkątów prostokątnych)
D = ZWT (wspólna dziedzina)
Formalna definicja dziedziny:
p+~p =D =1
p*~p=0
Stąd mamy:
~p=[D-p)
Punkt odniesienia w logice matematycznej:
Dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym punkt odniesienia ustalamy wtedy i tylko wtedy gdy zamierzamy rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane.
Wtedy dla zdania warunkowego „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjęty punkt odniesienia to:
Parametr aktualny z wypowiedzianego zdania po „Jeśli …” = parametr formalny p (poprzednik)
Parametr aktualny z wypowiedzianego zdania po „to …”= parametr formalny q (następnik)
Przykład:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
To samo w zapisach formalnych to:
TP=p
SK=q
Stąd:
p=>q =1
Prawo punktu odniesienia:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjętym za punkt odniesienia zawsze zapisujemy po „Jeśli …” poprzednik p, zaś po „to…” następnik q.
p=poprzednik
q=następnik
Powyższe prawo punktu odniesienia to zaproponowany standard w logice dodatniej obowiązujący wszystkich ludzi. Matematycznie jest wszystko jedno co nazwiemy p a co q, jednak w imię wspólnego języka musimy trzymać się zaproponowanego standardu - inaczej będziemy mieli kociokwik we wzajemnym porozumiewaniu się (dowód w pkt.3.5).
Analogia ze świata fizyki, czyli powszechnie przyjęty standard:
1. Wektor napięcia wskazuje zawsze wyższy potencjał
2. Prąd elektryczny płynie zawsze od wyższego do niższego potencjału
Matematycznie, dla 1 i 2 możliwe są cztery różne punkty odniesienia, ale rozwiązując np. sieć elektryczną nie wolno mieszać przyjętego standardu w jednym rozumowaniu (zadaniu) bo wyjdą nam kosmiczne głupoty. Punkty 1 i 2 są powszechnie przyjętym standardem we wszystkich podręcznikach fizyki i należy to uszanować, nie robiąc bałaganu.
Ciekawostka:
W Niemieckich i Węgierskich podręcznikach fizyki znajdziemy inny punku odniesienia dla napięcia, gdzie wektor napięcia wskazuje zawsze niższy potencjał, a nie jak w krajach anglosaskich i w Polsce potencjał wyższy.
Zadanie matematyczne w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
Zdanie tożsame:
Każdy pies ma => cztery łapy
P=>4L =1
Kodowanie w zapisie formalnym:
p=>q =1
Zdanie A1 przyjmujemy za punkt odniesienia dla dalszej analizy matematycznej:
p=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
Definicja warunku wystarczającego => jest tu spełniona (=1) bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym => do tego aby mieć cztery łapy
Bycie psem daje nam gwarancję matematyczną => posiadania czterech łap
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Uwaga:
W logice matematycznej za psa przyjmujemy zwierzę zdrowe z czterema łapami.
Pies z trzema łapami to też pies, jednak z logiki matematycznej musimy usunąć psy kalekie bowiem wówczas warunek wystarczający => A1 leży w gruzach.
Jeśli uwzględnimy psy kalekie to wylądujemy w operatorze chaosu P|~~>4L bez żadnej gwarancji matematycznej =>.
Aby udowodnić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi warunek wystarczający A1: P=>4L musimy zbadać prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> B1: P~>4L między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
B1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% ~> ma cztery łapy (4L=1)
P~>4L =0
W zapisie formalnym:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P=[pies] nie jest nadzbiorem ~> zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
… o czym każdy 5-cio latek wie.
Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to nie są to zdania tożsame bo:
A1: P=>4L=~P+4L ## B1: P~>4L = ~P+4L
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Po raz kolejny wyskakuje nam tu prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdanie A1: P=>4L jest częścią implikacji prostej P|=>4L.
Definicja implikacji prostej P|=>4L
Implikacja prosta P=>4L to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: P=>4L =1 - bycie psem jest (=1) wystarczające => do tego aby mieć cztery łapy
B1: P~>4L =0 - bycie psem nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> do tego by mieć cztery łapy
Słoń nie jest psem a mimo to ma cztery łapy.
4.3.1 Aksjomatyczna definicja implikacji prostej P|=>4L w zbiorach
Podstawmy nasze zdania A1: P=>4L=1 i B1: P~>4L=0 do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji prostej P|=>4L.
| Kod: |
T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: P=>4L =1 = 2:~P~>~4L=1 [=] 3: 4L~>P =1 = 4:~4L=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: P~~>~4L=0 = [=] = 4:~4L~~>P =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: P~>4L =0 = 2:~P=>~4L=0 [=] 3: 4L=>P =0 = 4:~4L~>~P =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p =1
B’: = 2:~P~~>4L=1 [=] 3: 4L~~>~P=1
---------------------------------------------------------------
p|=>q=~p*q = ~p|~>~q=~p*q [=] q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
P|=>4L=~P*4L = ~P|~>~4L=~P*4L [=] 4L|~>P=4L*~P = ~4L|=>~P=4L*~P
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: P=>4L=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: P~~>~4L=P*~4L=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~P=>~4L=0 -fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~P~~>4L =~P*4L=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Nasze zadanie matematyczne brzmiało.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
Zdanie tożsame:
Każdy pies ma => cztery łapy
P=>4L =1
Kodowanie w zapisie formalnym:
p=>q =1
Zdanie A1 przyjmujemy za punkt odniesienia dla dalszej analizy matematycznej:
p=P=[pies] - pies
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
Definicja warunku wystarczającego => jest tu spełniona (=1) bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
Warunek wystarczający A1 definiuje nam dwa zbiory:
Poprzednik p:
p=P=[pies] - zbiór jednoelementowy pies
Następnik q:
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy zaprzeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnia do wspólnej dziedziny ZWZ:
~P=[ZWZ-P] =[słoń, kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
~4L=[ZWZ-4L] = [kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem zwierząt z czterema łapami
Gdzie:
[słoń] - jest przedstawicielem zwierząt nie będących psami które mają cztery łapy
[kura] - jest przedstawicielem zwierząt nie mających czterech łap
Stąd mamy alternatywną definicję implikacji prostej P|=>4L w zbiorach.
Definicja implikacji prostej P|=>4L w zbiorach:
Zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru 4L=[pies, słoń ..] i nie jest tożsamy ze zbiorem 4L=[pies, słoń ..]
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów P+4L bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia P, ~P, 4L i ~4L będą rozpoznawalne.
A1: P=>4L =1 - zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru 4L=[pies, słoń ..]
B1: P~>4L =0 - zbiór P=[pies] nie jest nadzbiorem ~> zbioru 4L=[pies, słoń ..]
P|=>4L = (A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L) =1*~(0) = 1*1 =1
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Analizę aksjomatyczną definicji implikacji prostej P|=>4L mamy w obszarze AB12.
Operator implikacji prostej P|=>4L to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
AB12:
Co się stanie jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa (P=1)?
A1.
Jeśli zwierzą jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies słoń ..]
Oczywistość dla każdego 5-cio latka
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
P~~>~4L = P*~4L =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura ..] są rozłączne.
Wie o tym każdy 5-cio latek.
2.
AB12:
Co się stanie jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1)?
Prawo Kubusia:
A1: P=>4L = A2: ~P~>~4L
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A2 (i odwrotnie) - na mocy prawa Kubusia.
Stąd:
Prawdziwości warunku koniecznego A2 nie musimy dowodzić bezpośrednio, ale możemy.
A2.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
~P~>~4L =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór ~P=[słoń, kura ..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~4L=[kura ..]
O czym każdy 5-cio latek wie.
LUB
B2’.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> mieć cztery łapy (4L=1)
~P~~>4L = ~P*4L =1 - bo kura
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P=[słoń, kura ..] i 4L=[pies, słoń ..] jest spełniona bo np. słoń.
Doskonale widać że między zbiorami ~P=[słoń, kura ..] i 4L=[pies, słoń ..] nie zachodzi ani warunek wystarczający => ani tez konieczny ~> w obie strony:
~P=[słoń, kura ..] => 4L=[pies, słoń ..] =0 - bo zbiór ~P nie jest podzbiorem => zbioru 4L (bo kura)
~P=[słoń, kura ..] ~> 4L=[pies, słoń ..] =0 - bo zbiór ~P nie jest nadzbiorem ~> zbioru 4L (bo kura)
cnd
Podsumowanie:
1.
Doskonale widać, że jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa P=[pies] to mamy gwarancję matematyczną => iż ma on cztery łapy - mówi o tym zdanie A1.
2.
Jeśli natomiast ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzą nie będące psem ~P=[słoń, kura ..] to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”:
A2.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
~P~>~4L =1 bo kura
LUB
B2’.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> mieć cztery łapy (4L=1)
~P~~>4L = ~P*4L =1 - bo słoń
Definicja implikacji prostej P|=>4L to wszystkie cztery zdania A1, A1’, A2, B2’.
Nie wolno, jak to robią ziemianie, wykopać w kosmos drugą część części definicji implikacji prostej P|=>4L i błędnie twierdzić, że implikacja prosta to wyłącznie zdanie A1.
4.3.2 Alternatywne dojście do implikacji prostej P|=>4L w zbiorach
Udajmy się do przedszkola, do naszych ekspertów logiki matematycznej, algebry Kubusia.
Pani w przedszkolu:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa (P=1) i będzie on miał cztery lapy (4L=1)?
Jaś (lat 5): TAK, np. pies
Stąd:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> mieć cztery łapy (4L=1)
P~~>4L = P*4L =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów P=[pies] i 4L=[pies, słoń ..] jest spełniona bo pies.
Dla udowodnienia prawdziwości zdania A1 kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> wystarczy pokazać jednego pieska który ma cztery łapy. Nie trzeba tu badać, czy wszystkie psy mają cztery łapy jak to ma miejsce w warunku wystarczającym P=>4L=1.
Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa (P=1) i nie będzie on miał czterech lap (~4L=1)?
Jaś: NIE, bo wszystkie psy mają cztery łapy.
Stąd:
A1’.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
P~~>~4L= P*~4L =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne.
Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1) i to zwierzę nie będzie miało czterech lap (~4L=1)?
Jaś: TAK np. kura
Stąd:
A2.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
~P~~>~4L = ~P*~4L =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory ~P=[słoń, kura..] i ~4L=[kura..] mają co najmniej jeden element wspólny np. kurę.
Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1) i to zwierzę będzie miało cztery lapy (4L=1)?
Jaś: TAK np. słoń
stąd:
B2’.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~~> mieć cztery łapy (4L=1)
~P~~>4L = ~P*4L =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają co najmniej jeden element wspólny np. słoń
Zapiszmy dialog pani z Jasiem w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
A1: P~~> 4L=1 - zbiory P=[pies] i 4L=[pies, słoń ..] mają element wspólny
A1’: P~~>~4L=0 - zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne
A2: ~P~~>~4L=1 - zbiory ~P=[słoń, kura..] i ~4L=[kura] mają element wspólny
B2’:~P~~> 4L=1 - ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają element wspólny
|
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym ~~> zbiorów: p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Analiza matematyczna- część I:
Na mocy definicji kontrprzykładu w zbiorach mamy:
1.
Z fałszywości kontrprzykładu A1’:
A1’: P~~>~4L=0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A1:
A1: P=>4L =1 - bycie psem jest warunkiem wystarczającym => do tego, by mieć cztery łapy.
2.
Prawo Kubusia:
A1: P=>4L = A2: ~P~>~4L
stąd:
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1: P=>4L =1
wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> A2:
A2: ~P~>~4L =1
Stąd nasza tabela T1 przybiera postać:
| Kod: |
T2
A1: P=> 4L =1 - bo P=[pies] jest podzbiorem => 4L=[pies, słoń..]
A1’: P~~>~4L=0 - zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne
A2: ~P~> ~4L=1 - bo ~P=[słoń, kura..] jest nadzbiorem ~> ~4L=[kura..]
B2’:~P~~> 4L=1 - ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają element wspólny
|
Analiza matematyczna- część II:
Na mocy definicji kontrprzykładu w zbiorach mamy:
3.
Z prawdziwości kontrprzykładu B2’:
B2’: ~P~~>4L =1
wynika fałszywość warunku wystarczającego => B2:
B2: ~P=>~4L =0
4.
Prawo Kubusia:
B2: ~P=>~4L = B1: P~>4L
stąd:
Z fałszywości warunku wystarczającego => B2:
B2: ~P=>~4L =0
wynika fałszywość warunku koniecznego ~> B1:
B1: P~>4L =0
Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2.
| Kod: |
T2
A1: P=> 4L =1 |B1: P~> 4L =0
A1’: P~~>~4L=0
A2: ~P~> ~4L=1 |B2:~P=>~4L =0
B2’:~P~~>4L =1
|
Stąd dla punktu odniesienia:
A1: P=>4L
A1: p=>q
mamy odtworzoną definicję implikacji prostej P|=>4L w logice dodatniej (bo 4L):
Implikacja prosta P|=>4L to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>4L =1 - bycie psem jest (=1) wystarczające => do tego, by mieć cztery łapy
B1: P~>4L =0 - bycie psem nie jest (=0) konieczne ~> do tego by mieć cztery łapy (np. słoń ma cztery lapy)
Stąd mamy:
Kompletną definicję implikacji prostej P|=>4L w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>.
| Kod: |
T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: P=>4L =1 = 2:~P~>~4L=1 [=] 3: 4L~>P =1 = 4:~4L=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: P~~>~4L=0 = [=] = 4:~4L~~>P =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: P~>4L =0 = 2:~P=>~4L=0 [=] 3: 4L=>P =0 = 4:~4L~>~P =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p =1
B’: = 2:~P~~>4L=1 [=] 3: 4L~~>~P=1
---------------------------------------------------------------
p|=>q=~p*q = ~p|~>~q=~p*q [=] q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
P|=>4L=~P*4L = ~P|~>~4L=~P*4L [=] 4L|~>P=4L*~P = ~4L|=>~P=4L*~P
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: P=>4L=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: P~~>~4L=P*~4L=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~P=>~4L=0 -fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~P~~>4L =~P*4L=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 8:59, 20 Paź 2020, w całości zmieniany 6 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35357
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 22:26, 18 Paź 2020 Temat postu: |
|
|
5.0 Implikacja odwrotna p|~>q
Spis treści
5.0 Implikacja odwrotna p|~>q 1
5.1 Aksjomatyczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q 4
5.1.1 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> 5
5.1.2 Twierdzenie o warunku koniecznym p~>q w implikacji odwrotnej p|~>q 7
5.2 Przykład implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach 9
5.2.1 Aksjomatyczna definicja implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach 12
5.2.2 Alternatywne dojście do implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach 14
5.3 Przykład implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach 16
5.3.1 Aksjomatyczna definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach 19
5.3.2 Alternatywne dojście do implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach 21
5.0 Implikacja odwrotna p|~>q
Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to operator logiczny wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest (=0) spełniony
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> jest (=1) spełniony
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Przykład:
p= CH (chmury)
q=P (pada)
A1: CH=>P =0 - chmury (CH=1) nie są warunkiem wystarczającym => dla padania (P=1)
bo nie zawsze gdy są chmury, pada
B1: CH~>P =1 - chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1)
bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Przykład:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8 =[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
A1: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8 =1 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Przyjmujemy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy przeczenia zbiorów rozumiane jako uzupełnienia zbiorów do dziedziny:
~p=~P2=[LN-P2] = [1,3,5,7,9..] - zbiór liczb nieparzystych
~q=~P8=[LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór LN minus zbiór P8
Definicja dziedziny po stronie P2:
P2+~P2 = LN =1 - zbiór liczb naturalnych, zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2 i ~P2 są rozłączne
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
Zauważmy, że dla naszego przykładu wymóg iż przyjęta dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów P2 i P8 jest spełniony
P2=[2,4,6,8..] + P8=[8,16,24..] => LN=[1,2,3,4,5,6,7,8..]
Jak widzimy, suma zbiorów P2+P2 jest podzbiorem => dziedziny LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Wniosek:
Przyjęta dziedzina minimalna LN jest poprawna, bowiem żaden ze zbiorów P2, ~P2, P8 i ~P8 nie jest zbiorem pustym, co udowodniono ciut wyżej.
Zauważmy, że jeśli za dziedzinę przyjmiemy zbiór:
D = P2=[2,4,6,8..]
to zbiór ~P2 będzie zbiorem pustym:
~P2 = [D-P2] = P2-P2]=[] =0
Wniosek:
Przyjęta dziedzina D=[2,4,6,8..] jest matematycznie błędna bowiem zbiór ~P2 jest zbiorem pustym [] co oznacza że pojęcie ~P2 jest nierozpoznawalne.
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q:
AB12: AB34:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5:~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
| Kod: |
T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
---------------------------------------------------------------
p|~>q=p*~q = ~p|=>~q=p*~q [=] q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
5.1 Aksjomatyczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Aksjomatyczną definicję implikacji odwrotnej p|~>q z której wynika tabela zero-jedynkowa spójnika warunku koniecznego ~> mamy tu jak na dłoni w obszarze AB12.
| Kod: |
T3:
AB12 - aksjomatyczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co się stanie jeśli zajdzie p?
B1:
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
Zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Zbiory: Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
LUB
A1’:
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q =p*~q=1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Zbiory: istnieje wspólna część ~~> zbiorów p i ~q
2.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
stąd:
B2:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście zdarzenia ~p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia ~q
Zbiory: Na mocy prawa Kubusia zbiór ~p jest podzbiorem => ~q
B2’:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
p~~>~q=p*~q=0
Nie jest (=0) możliwe równoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Zbiory: zbiory ~p i q są rozłączne (=0)
|
Uwaga:
Operator implikacji odwrotnej p|~>q wszystkie cztery zdania B1, A1’, B2, B2’ a nie jakiekolwiek jedno, wyróżnione zdanie.
5.1.1 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
Zapiszmy skróconą tabelę prawdy aksjomatycznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q
| Kod: |
T4:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Analiza |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
B1: p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0
a b c d e f
|
Zakodujmy zero-jedynkowo definicję symboliczną implikacji odwrotnej p|~>q z tabeli T4 względem warunku koniecznego ~> B1:
B1: p~>q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(~x=1)=(x=0)
bo wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
| Kod: |
T5:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego A: p~>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza |Co w logice |Kodowanie dla |
symboliczna |jedynek oznacza |B1: p~>q =1 |
| | | p q p~>q
B1: p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |( p=1)~> ( q=1)=1 | 1~>1 =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~>0 =1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0~>0 =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~>1 =0
a b c d e f g h i 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|(~p=1)=( p=0) |
|(~q=1)=( q=0) |
|
Nagłówek B1: p~>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię B1: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Zakodujmy teraz zero-jedynkowo definicję symboliczną implikacji odwrotnej p|~>q z tabeli T4 względem warunku wystarczającego B2:
B2:~p=>~q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
| Kod: |
T6:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego B2:~p=>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza |Co w logice |Kodowanie dla |
symboliczna |jedynek oznacza |B2:~p=>~q =1 |
| | |~p ~q ~p=>~q
B1: p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |(~p=0)~> (~q=0)=1 | 0=>0 =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |(~p=0)~~>(~q=1)=1 | 0=>1 =1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1=>1 =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1=>0 =0
a b c d e f g h i 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|( p=1)=(~p=0) |
|( q=1)=(~q=0) |
|
Nagłówek B2:~p=>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię B2: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T5 i T6 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T5 i T6 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T5: p~>>q = T6: ~p=>~q
Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> (T5: 123) i wystarczającego => (T6: 123).
Oto on:
| Kod: |
Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
B1: 1~>1 =1 0=>0 =1
A1’: 1~>0 =1 0=>1 =1
B2: 0~>0 =1 1=>1 =1
B2’: 0~>1 =0 1=>0 =0
1 2 3 4 5 6
|
Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Uwaga:
Warunkiem koniecznym wnioskowania o tożsamości kolumn wynikowych 3=6 jest identyczna matryca zero-jedynkowa na wejściach p i q.
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Stąd mamy:
~p=>~q = ~(~p)+~q = p+~q = p~>q
cnd
Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p~>q = ~p=>~q
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
p q p<=>q
A: 1<=>1 =1
B: 1<=>0 =0
C: 0<=>0 =1
D: 0<=>1 =0
|
Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
| Kod: |
Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q (p~>q)<=>(~p=>~q)
B1: 1~>1 =1 0=>0 =1 1
A1’: 1~>0 =1 0=>1 =1 1
B2: 0~>0 =1 1=>1 =1 1
B2’: 0~>1 =0 1=>0 =0 1
1 2 3 4 5 6 7
|
Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
5.1.2 Twierdzenie o warunku koniecznym p~>q w implikacji odwrotnej p|~>q
Twierdzenie o warunku koniecznym w implikacji odwrotnej p|~>q:
Warunek konieczny p~>q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest definicja operatora OR(|+) w warunku koniecznym p~>q=p+~q
Definicja operatora OR(|+) to układ równań logicznych 1: (p~>q) oraz 2: ~(p~>q)
1.
Kiedy warunek konieczny p~>q będzie spełniony (p~>q) =1?
p~>q = p+~q
co w logice jedynek oznacza:
(p~>q)=1 <=> p=1 lub ~q=1
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q +~p*q
Stąd mamy:
p~>q = p+~q = p*~q + p*q + ~p*~q
Po dopasowaniu do definicji implikacji odwrotnej p|~>q mamy:
p~>q = B1: p*q + A1’: p*~q + B2: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
(p~>q)=1 <=> B1: p=1 i q=1 lub A1’: p=1 i ~q=1 lub B2: ~p=1 i ~q=1
Czytamy:
Warunek konieczny p~>q jest (=1) częścią implikacji odwrotnej p|~>q wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest zajście każdego z trzech zdarzeń rozłącznych B1, A1’ i B2 oraz niemożliwe jest zajście zdarzenia B2’’
Gdzie:
B2’: ~p*q =0
2.
Kiedy warunek konieczny p~>q nie będzie spełniony ~(p~>q) =1?
Negujemy równanie 1 stronami:
~(p~>q) = ~(p+~q) = ~p*q - prawo De Morgana
stąd:
B2’: ~(p~>q)= ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
B2’: ~(p~>q)=1 <=> ~p=1 i q=1
Prawo Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
~(p~>q) =1 <=> p~>q =0
stąd mamy:
B2’: p~>q =0 <=> ~p=1 i q=1
Przykład:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach:
Implikacja odwrotna CH|~>P to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH=>P =0 - chmury (CH=1) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania
bo nie zawsze gdy są chmury, pada
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania
bo jak nie ma chmur to na 100% =>nie pada.
Stąd mamy spełnioną podstawową definicję implikacji odwrotnej CH|~>P:
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Wniosek:
Warunek konieczny B1: CH~>P jest częścią implikacji odwrotnej CH|~>P
cnd
Dowód alternatywny powyższego faktu to skorzystanie z twierdzenia o warunku koniecznym ~> wchodzącym w skład implikacji odwrotnej p|~>q.
Dla naszego przykładu mamy:
Warunek konieczny CH~>P wchodzi w skład implikacji odwrotnej CH|~>P wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest zajście każdego z poniższych zdarzeń:
B1: CH~~>P = CH*P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie są chmury (CH=1) i pada (P=1)
Oczywistość dla każdego 5-cio latka
LUB
A1’: CH~~>~P = CH*~P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)
Wie o tym każdy 5-cio latek
LUB
B2: ~CH~~>~P = ~CH*~P =1 możliwe jest zdarzenie nie ma chmur (~CH=1) i nie pada (~P=1)
Pikuś dla każdego 5-cio latka
Kluczowa i decydująca jest tu fałszywość (=0) ostatniego zdarzenia możliwego:
B2’.
~CH~~>P = ~CH*P =[] =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
Oczywistość dla każdego 5-cio latka
Wniosek:
Warunek konieczny B1: CH~>P na 100% wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej CH|~>P.
Nic więcej nie musimy udowadniać.
5.2 Przykład implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach
Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w rachunku zero-jedynkowym:
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
| Kod: |
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
AB12 AB34
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja zmiennej formalnej:
Zmienna formalna to zmienna binarna nie mająca związku z językiem potocznym człowieka (ze zmienną aktualną)
Zwyczajowo w logice matematycznej zmienne formalne oznaczane są symbolami Y, p, q, r ..
Definicja zmiennej aktualnej:
Zmienna aktualna to zmienna mająca ścisły związek z językiem potocznym człowieka
Przykłady:
P = pies
~P - nie pies
TP - trójkąt prostokątny (zmienna w logice dodatniej bo TP)
~TP - trójkąt nieprostokątny (zmienna w logice ujemnej bo ~TP)
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów (dziedzina dla trójkątów)
etc
Definicja dziedziny:
TP+~TP = ZWT =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny ZWT dla zbioru TP
TP*~TP =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
To samo w zapisach formalnych dla punktu odniesienia:
p=TP (zbiór trójkątów prostokątnych)
D = ZWT (wspólna dziedzina)
Formalna definicja dziedziny:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Stąd mamy:
~p=[D-p)
Punkt odniesienia w logice matematycznej:
Dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym punkt odniesienia ustalamy wtedy i tylko wtedy gdy zamierzamy rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane.
Wtedy dla zdania warunkowego „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjęty punkt odniesienia to:
Parametr aktualny z wypowiedzianego zdania po „Jeśli …” = parametr formalny p (poprzednik)
Parametr aktualny z wypowiedzianego zdania po „to …”= parametr formalny q (następnik)
Przykład:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
To samo w zapisach formalnych to:
TP=p
SK=q
Stąd:
p=>q =1
Prawo punktu odniesienia:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjętym za punkt odniesienia zawsze zapisujemy po „Jeśli …” poprzednik p, zaś po „to…” następnik q.
p=poprzednik
q=następnik
Zadanie matematyczne w 100-milowym lesie:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
Oczywistość dla każdego 5-cio latka.
Na mocy prawa punktu odniesienia podstawiamy:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Stąd mamy zdanie B1 w zapisie formalnym:
p~>q =1
Zajście p (chmury) jest konieczne ~> dla zajścia q (pada)
W tym momencie, po udowodnieniu warunku koniecznego B1: CH~>P =1 tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wygląda następująco.
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
| Kod: |
T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
AB12 AB34
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =?
A: 1: CH=>P = 2:~CH~>~P [=] 3: P~>CH = 4:~P=>~CH =?
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
B: 1: CH~>P = 2:~CH=>~P [=] 3: P=>CH = 4:~P~>~CH =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać, że aby rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie B1: CH~>P musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Wybieramy zdanie A1 bo najprostszy warunek wystarczający => zawsze dowodzi się najprościej.
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padać
CH=>P =0
p=>q =0
Istnienie chmur nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy jest pochmurno, pada
O czym każdy 5-cio latek wie
Stąd mamy rozstrzygnięcie, iż badane zdanie B1: CH~>P wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej CH|~>P.
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P:
Implikacja odwrotna CH|~> to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania
bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania
bo jak nie ma chmur to na 100% => nie pada
Rozwiązanie końcowe w postaci tabeli prawdy implikacji odwrotnej CH|~>P:
| Kod: |
T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w CH|~>P:
AB12 AB34
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
A: 1: CH=>P = 2:~CH~>~P [=] 3: P~>CH = 4:~P=>~CH =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
B: 1: CH~>P = 2:~CH=>~P [=] 3: P=>CH = 4:~P~>~CH =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
5.2.1 Aksjomatyczna definicja implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach
Weźmy nasze zdanie bazowe, punkt odniesienia:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Oczywistość dla każdego 5-cio latka.
Prawo punktu odniesienia:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjętym za punkt odniesienia zawsze zapisujemy po „Jeśli …” poprzednik p, zaś po „to…” następnik q.
p=poprzednik
q=następnik
Na mocy prawa punktu odniesienia podstawiamy:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Stąd mamy zdanie B1 w zapisie formalnym:
B1: p=>q =1
Zajście p (pada) jest wystarczające => dla zajścia q (chmury)
Podstawmy nasze zdanie do pełnej definicji implikacji odwrotnej CH|~>P z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu ~~>:
| Kod: |
T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w CH|~>P:
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: CH=>P =0 = 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~>CH =0 = 4:~P=>~CH =0
A’: 1: p~~>~q =1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A’: 1: CH~~>~P=1 = [=] = 4:~P~~>CH =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: CH~>P =1 = 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=>CH =1 = 4:~P~>~CH =1
B’: = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p =0
B’: = 2:~CH~~>P=0 [=] 3: P~~>~CH=0
---------------------------------------------------------------
p|~>q=p*~q = ~p|=>~q=p*~q [=] q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
CH|~>P=CH*~P = ~CH|=>~P=CH*~P [=] P|=>CH=~P*CH = ~P|~>~CH=~P*CH
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: CH=>P=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: CH~~>~P=CH*~P=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~CH=>~P=1 -prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~CH~~>P =~CH*P=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Aksjomatyczną definicję implikacji odwrotnej CH|~>P z której wynika tabela zero-jedynkowa warunku koniecznego ~> mamy w obszarze AB12.
Operator implikacji odwrotnej CH|~>P to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co się stanie jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1)?
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P
LUB
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwe ~~> jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)
2.
Co się stanie jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1)?
Prawo Kubusia:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P
stąd:
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padać (~P=1)
~CH=>~P =1
Brak chmur jest warunkiem wystarczającym => dla nie padania bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
Podsumowanie:
1.
Doskonale widać, że jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w znaczeniu „na dwoje babka wróżyła”:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
LUB
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1
2.
Jeśli natomiast jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż na 100% nie będzie padać - mówi o tym zdanie B2.
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padać (~P=1)
~CH=>~P =1
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P to wszystkie cztery zdania B1, A1’, B2, B2’.
Nie wolno, jak to robią ziemianie, wykopać w kosmos pierwszej części implikacji odwrotnej (zdań B1 i A1’) i błędnie twierdzić, że implikacja prosta to wyłącznie zdanie B2.
5.2.2 Alternatywne dojście do implikacji odwrotnej CH|~>P w zdarzeniach
Udajmy się do przedszkola, do naszych ekspertów logiki matematycznej, algebry Kubusia.
Pani w przedszkolu:
Czy może się zdarzyć ~~> że jutro będzie pochmurno i będzie padało?
Jaś (lat 5): TAK
Stąd:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> padać (P=1)
CH~~>P = CH*P =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Pani:
Czy może się zdarzyć, że jutro będzie pochmurno i nie będzie padało?
Jaś: TAK
Stąd:
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Pani:
Czy może się zdarzyć, że jutro nie będzie pochmurno i nie będzie padać?
Jaś: TAK
Stąd:
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochumurno (~CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
~CH~~>~P = ~CH*~P =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Pani:
Czy może się zdarzyć, że jutro nie będzie pochmurno i może padać?
Jaś: NIE
stąd:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0 - zdarzenie niemożliwe (=0)
Zapiszmy dialog pani z Jasiem w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
B1: CH~~> P=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury i pada
A1’: CH~~>~P=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury i nie pada
B2: ~CH~~>~P=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie ma chmur i nie pada
B2’:~CH~~> P=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur i pada
|
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Analiza matematyczna- część I:
Na mocy definicji kontrprzykładu w zdarzeniach mamy:
1.
Z fałszywości kontrprzykładu B2’:
B2’:~CH~~>P =0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => B2:
B2:~CH=>~P =1 - brak chmur jest warunkiem wystarczającym = dla nie padania
2.
Prawo Kubusia:
B2:~CH=>~P = B1: CH~>P
stąd:
Z prawdziwości warunku wystarczającego => B2:
B2:~CH=>~P =1
wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> B1:
B1: CH~>P =1
Stąd nasza tabela T1 przybiera postać:
| Kod: |
T2
B1: CH~> P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania
A1’: CH~~>~P=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury i nie pada
B2: ~CH=> ~P=1 - brak chmur jest (=1) wystarczający => dla nie padania
B2’:~CH~~> P=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur i pada
|
Analiza matematyczna- część II:
Na mocy definicji kontrprzykładu w zdarzeniach mamy:
3.
Z prawdziwości kontrprzykładu A1’:
A1’: CH~~>~P =1
wynika fałszywość warunku wystarczającego => A1:
A1: CH=>P =0
4.
Prawo Kubusia:
A1: CH=>P = A2:~CH~>~P =0
stąd:
Z fałszywości warunku wystarczającego => A1:
A1: CH=>P =0
wynika fałszywość warunku koniecznego ~> A2:
A2:~CH~>~P =0
Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2.
| Kod: |
T2
B1: CH~> P =1 | A1: CH=>P =0
A1’: CH~~>~P=1
B2: ~CH=> ~P=1 | A2:~CH~>~P=0
B2’:~CH~~> P=0
|
Stąd dla punktu odniesienia:
B1: CH~>P =1
B1: p~>q =1
p=CH (chmury)
q=P (pada)
mamy odtworzoną definicję implikacji odwrotnej CH|~>P w logice dodatniej (bo P):
Implikacja odwrotna CH|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania
bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> do tego by padało
Stąd mamy:
Kompletną definicję implikacji odwrotnej CH|~>P w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>.
| Kod: |
T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w CH|~>P:
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: CH=>P =0 = 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~>CH =0 = 4:~P=>~CH =0
A’: 1: p~~>~q =1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A’: 1: CH~~>~P=1 = [=] = 4:~P~~>CH =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: CH~>P =1 = 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=>CH =1 = 4:~P~>~CH =1
B’: = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p =0
B’: = 2:~CH~~>P=0 [=] 3: P~~>~CH=0
---------------------------------------------------------------
p|~>q=p*~q = ~p|=>~q=p*~q [=] q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
CH|~>P=CH*~P = ~CH|=>~P=CH*~P [=] P|=>CH=~P*CH = ~P|~>~CH=~P*CH
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: CH=>P=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: CH~~>~P=CH*~P=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~CH=>~P=1 -prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~CH~~>P =~CH*P=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
5.3 Przykład implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Gdzie:
1 - prawda
0 - fałsz
Definicja zmiennej formalnej:
Zmienna formalna to zmienna binarna nie mająca związku z językiem potocznym człowieka (ze zmienną aktualną)
Zwyczajowo w logice matematycznej zmienne formalne oznaczane są symbolami Y, p, q, r ..
Definicja zmiennej aktualnej:
Zmienna aktualna to zmienna mająca ścisły związek z językiem potocznym człowieka
Przykłady:
P = pies
~P - nie pies
TP - trójkąt prostokątny (zmienna w logice dodatniej bo TP)
~TP - trójkąt nieprostokątny (zmienna w logice ujemnej bo ~TP)
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów (dziedzina dla trójkątów)
etc
Definicja dziedziny:
TP+~TP = ZWT =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny ZWT dla zbioru TP
TP*~TP =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
To samo w zapisach formalnych dla punktu odniesienia:
p=TP (zbiór trójkątów prostokątnych)
D = ZWT (wspólna dziedzina)
Formalna definicja dziedziny:
p+~p =D =1
p*~p=0
Stąd mamy:
~p=[D-p)
Punkt odniesienia w logice matematycznej:
Dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym punkt odniesienia ustalamy wtedy i tylko wtedy gdy zamierzamy rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane.
Wtedy dla zdania warunkowego „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjęty punkt odniesienia to:
Parametr aktualny z wypowiedzianego zdania po „Jeśli …” = parametr formalny p (poprzednik)
Parametr aktualny z wypowiedzianego zdania po „to …”= parametr formalny q (następnik)
Przykład:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
To samo w zapisach formalnych to:
TP=p
SK=q
Stąd:
p=>q =1
Prawo punktu odniesienia:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjętym za punkt odniesienia zawsze zapisujemy po „Jeśli …” poprzednik p, zaś po „to…” następnik q.
p=poprzednik
q=następnik
Powyższe prawo punktu odniesienia to zaproponowany standard w logice dodatniej obowiązujący wszystkich ludzi. Matematycznie jest wszystko jedno co nazwiemy p a co q, jednak w imię wspólnego języka musimy trzymać się zaproponowanego standardu - inaczej będziemy mieli kociokwik we wzajemnym porozumiewaniu się (dowód w pkt. 3.5)
Analogia ze świata fizyki, czyli powszechnie przyjęty standard:
1. Wektor napięcia wskazuje zawsze wyższy potencjał
2. Prąd elektryczny płynie zawsze od wyższego do niższego potencjału
Matematycznie, dla 1 i 2 możliwe są cztery różne punkty odniesienia, ale rozwiązując np. sieć elektryczną nie wolno mieszać przyjętego standardu w jednym rozumowaniu (zadaniu) bo wyjdą nam kosmiczne głupoty. Punkty 1 i 2 są powszechnie przyjętym standardem we wszystkich podręcznikach fizyki i należy to uszanować, nie robiąc bałaganu.
Ciekawostka:
W Niemieckich i Węgierskich podręcznikach fizyki znajdziemy inny punku odniesienia dla napięcia, gdzie wektor napięcia wskazuje zawsze niższy potencjał, a nie jak w krajach anglosaskich i w Polsce potencjał wyższy.
Zadanie matematyczne w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~> być psem (P=1)
4L~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór zwierząt mających cztery łapy 4L=[pies, słoń ..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru jedno elementowego P=[pies]
Kodowanie w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Zdanie B1 przyjmujemy za punkt odniesienia dla dalszej analizy matematycznej:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
q=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
Aby udowodnić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi warunek konieczny B1: 4L~>P musimy zbadać prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: 4L=>P między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to na 100% => jest psem (P=1)
4L=>P =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo zbiór zwierząt mających cztery łapy 4L=[pies, słoń ..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru jedno elementowego P=[pies]
W zapisie formalnym:
A1: p=>q =0
Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdanie B1: 4L~>P jest częścią implikacji odwrotnej 4L|~>P.
Definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P
Implikacja odwrotna 4L|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: 4L=>P =0 - posiadanie czterech łap nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => aby być psem
bo nie każde zwierzę mające cztery łapy jest psem
B1: 4L~>P =1 - cztery lapy (4L=1) są konieczne ~> do tego by być psem (P=1)
bo jak się nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest się psem (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: 4L~>P = B2: ~4L=>~P =1
5.3.1 Aksjomatyczna definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach
Podstawmy nasze zdania B1: 4L~>P=1 i A1: 4L=>P=0 do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji odwrotnej 4L|~>P
| Kod: |
T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w 4L|~>P
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: 4L=>P =0 = 2:~4L~>~P=0 [=] 3: P~>4L =0 = 4:~P=>~4L =0
A’: 1: p~~>~q =1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A’: 1: 4L~~>~P=1 = [=] = 4:~P~~>4L =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: 4L~>P =1 = 2:~4L=>~P=1 [=] 3: P=>4L =1 = 4:~P~>~4L =1
B’: = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p =0
B’: = 2:~4L~~>P=0 [=] 3: P~~>~4L=0
---------------------------------------------------------------
p|~>q=p*~q = ~p|=>~q=p*~q [=] q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
4L|~>P=4L*~P = ~4L|=>~P=4L*~P [=] P|=>4L=~P*4L = ~P|~>~4L=~P*4L
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: 4L=>P=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: 4L~~>~P=4L*~P=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~4L=>~P=1 -prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~4L~~>P =~4L*P=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Nasze zadanie matematyczne brzmiało.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~> być psem (P=1)
4L~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór zwierząt mających cztery łapy 4L=[pies, słoń ..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru jedno elementowego P=[pies]
Kodowanie w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Zdanie B1 przyjmujemy za punkt odniesienia dla dalszej analizy matematycznej:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
q=P=[pies] - jednoelementowy zbiór „pies”
Warunek konieczny B1 definiuje nam dwa zbiory:
Poprzednik p:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
Następnik q:
q=P=[pies] - jednoelementowy zbiór „pies”
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy zaprzeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnia do wspólnej dziedziny ZWZ:
~p=~4L=[ZWZ-4L] = [kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem zwierząt z czterema łapami
~q=~P=[ZWZ-P] =[słoń, kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
Gdzie:
[kura] - jest przedstawicielem zwierząt nie mających czterech łap
[słoń] - jest przedstawicielem zwierząt nie będących psami które mają cztery łapy
Stąd mamy alternatywną definicję implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach.
Definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach:
Zbiór 4L=[pies, słoń..] jest nadzbiorem zbioru P=[pies] i nie jest tożsamy ze zbiorem P=[pies]
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów 4L+P bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia P, ~P, 4L i ~4L będą rozpoznawalne.
A1: 4L=>P =0 - zbiór 4L=[pies, słoń ..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P=[pies]
B1: 4L~>P =1 - zbiór 4L=[pies, słoń..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P=[pies]
Stąd mamy:
4L|~>P = ~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P) = ~(0)*1 = 1*1 =1
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Analizę aksjomatyczną definicji implikacji odwrotnej 4L|~>P mamy w obszarze AB12.
Operator implikacji odwrotnej 4L|~>P to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
AB12:
Co się stanie jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzą mające cztery łapy (4L=1)?
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~> być psem (P=1)
4L~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona (=1) bo zbiór 4L=[pies, słoń ..] jest nadzbiorem ~> zbioru P=[pies]
LUB
A1’.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~~> nie być psem (~P=1)
4L~~>~P = 4L*~P =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 4L=[pies, słoń ..] i ~P=[słoń, kura..] jest spełniona (np. słoń)
Doskonale widać że między zbiorami 4L=[pies, słoń ..] i ~P=[słoń kura..] nie zachodzi ani warunek wystarczający => ani tez konieczny ~> w obie strony:
4L=[pies, słoń ..] => ~P=[słoń, kura..] =0 - bo zbiór 4L nie jest podzbiorem => zbioru ~P (bo kura)
4L=[pies, słoń ..] ~> ~P=[słoń, kura..] =0 - bo zbiór 4L nie jest nadzbiorem ~> zbioru ~P (bo kura)
cnd
2.
AB12:
Co się stanie jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L=1)?
Prawo Kubusia:
B1: 4L~>P = B2:~4L=>~P
Prawdziwość warunku koniecznego ~> B1 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego B2 (i odwrotnie) - na mocy prawa Kubusia.
Stąd:
Prawdziwości warunku wystarczającego => B2 nie musimy dowodzić bezpośrednio, ale możemy.
B2.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest psem (~P=1)
~4L=>~P =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór ~4L=[kura..] jest (=1) podzbiorem => zbioru ~P=[słoń, kura ..]
LUB
B2’.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to może ~~> być psem (P=1)
~4L~~>P = ~4L*P =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona (=0) bo zbiory ~4L=[kura..] i P=[pies] są rozłączne
Podsumowanie:
1.
Doskonale widać, że jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w znaczeniu „na dwoje babka wróżyła”:
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~> być psem (P=1)
4L~>P =1
LUB
A1’.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~~> nie być psem (~P=1)
4L~~>~P = 4L*~P =1
2.
Jeśli natomiast ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż wylosowane zwierzę na 100% nie jest psem - mówi o tym zdanie B2.
B2.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest psem (~P=1)
~4L=>~P =1
Definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P to wszystkie cztery zdania B1, A1’, B2, B2’.
Nie wolno, jak to robią ziemianie, wykopać w kosmos pierwszej części definicji implikacji odwrotnej 4L|~>P (zdania B1 i A1’) i błędnie twierdzić, że implikacja prosta to wyłącznie zdanie B2.
5.3.2 Alternatywne dojście do implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach
Udajmy się do przedszkola, do naszych ekspertów logiki matematycznej, algebry Kubusia.
Pani w przedszkolu:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L=1) i to zwierzę będzie psem (P=1)?
Jaś (lat 5): TAK, np. pies
Stąd:
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~~> być psem (P=1)
4L~~>P = 4L*P =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów P=[pies] i 4L=[pies, słoń ..] jest spełniona bo pies.
Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L=1) i to zwierzę nie będzie psem (~P=1)?
Jaś: TAK np. słoń
Stąd:
A1’.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~~> nie być psem (~P=1)
4L~~>~P = 4L*~P =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów 4L=[pies, słoń ..] i P=[pies] jest spełniona bo pies.
Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L=1) i to zwierzę nie będzie psem (~P=1)?
Jaś: TAK np. kura
Stąd:
B2.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to może ~~> nie być psem (~P=1)
~4L~~>~P = ~4L*~P =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory ~4L=[kura..] i ~P=[słoń, kura..] mają co najmniej jeden element wspólny np. kurę.
Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L=1) i to zwierzę będzie psem (P=1)?
Jaś: NIE, bo wszystkie psy mają cztery łapy
stąd:
B2’.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to może ~~> być psem (P=1)
~4L~~>P = ~4L*P =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona (=0) bo zbiory ~4L=[kura..] i P=[pies] są rozłączne.
Zapiszmy dialog pani z Jasiem w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
B1: 4L~~>P =1 - istnieje zwierzę które ma cztery łapy i jest psem
A1’: 4L~~>~P=1 - istnieje zwierzę które ma cztery łapy i nie jest psem
B2: ~4L~~>~P=1 - istnieje zwierzę które nie ma czterech łap i nie jest psem
B2’:~4L~~>P =0 - nie istnieje zwierzę które nie ma czterech łap i jest psem
|
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym ~~> zbiorów: p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Analiza matematyczna- część I:
Na mocy definicji kontrprzykładu w zbiorach mamy:
1.
Z fałszywości kontrprzykładu B2’:
B2’: ~4L~~>P =0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => B2:
B2: ~4L=>~P =1 - brak czterech łap jest warunkiem wystarczającym => do tego by nie być psem.
2.
Prawo Kubusia:
B2: ~4L=>~P = B1: 4L~>P =1
stąd:
Z prawdziwości warunku wystarczającego => B2:
B2: ~4L=>~P =1
wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> B1:
B1: 4L~>P =1
Stąd nasza tabela T1 przybiera postać:
| Kod: |
T2
B1: 4L~> P =1 - posiadanie czterech łap jest konieczne ~> by być psem
A1’: 4L~~>~P=1 - istnieje zwierzę które ma cztery łapy i nie jest psem
B2: ~4L=>~P =1 - brak czterech lap wystarcza => by nie być psem
B2’:~4L~~>P =0 - nie istnieje zwierzę które nie ma czterech łap i jest psem
|
Analiza matematyczna- część II:
Na mocy definicji kontrprzykładu w zbiorach mamy:
3.
Z prawdziwości kontrprzykładu A1’:
A1’: 4L~~>P=1
wynika fałszywość warunku wystarczającego => A1:
A1: 4L=>P =0
4.
Prawo Kubusia:
A1: 4L=>P = A2: ~4L~>~P =0
stąd:
Z fałszywości warunku wystarczającego => A1:
A1: 4L=>P =0
wynika fałszywość warunku koniecznego ~> A2:
A2: ~4L~>~P =0
Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2.
| Kod: |
T2
B1: 4L~> P =1 | A1: 4L=>P =0
A1’: 4L~~>~P=1
B2: ~4L=>~P =1 | A2:~4L~>~P =0
B2’:~4L~~>P =0
|
Stąd dla punktu odniesienia:
B1: 4L~>P
B1: p~>q
p=4L
q=P
mamy odtworzoną definicję implikacji odwrotnej 4L|~>P w logice dodatniej (bo P):
Definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P
Implikacja odwrotna 4L|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: 4L=>P =0 - posiadanie czterech łap nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => aby być psem
bo nie każde zwierzę mające cztery łapy jest psem
B1: 4L~>P =1 - cztery lapy (4L=1) są konieczne ~> do tego by być psem (P=1)
bo jak się nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest się psem (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: 4L~>P = B2: ~4L=>~P =1
Stąd mamy:
Kompletną definicję implikacji odwrotnej 4L|~>P w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>.
| Kod: |
T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w 4L|~>P
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: 4L=>P =0 = 2:~4L~>~P=0 [=] 3: P~>4L =0 = 4:~P=>~4L =0
A’: 1: p~~>~q =1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A’: 1: 4L~~>~P=1 = [=] = 4:~P~~>4L =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: 4L~>P =1 = 2:~4L=>~P=1 [=] 3: P=>4L =1 = 4:~P~>~4L =1
B’: = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p =0
B’: = 2:~4L~~>P=0 [=] 3: P~~>~4L=0
---------------------------------------------------------------
p|~>q=p*~q = ~p|=>~q=p*~q [=] q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
4L|~>P=4L*~P = ~4L|=>~P=4L*~P [=] P|=>4L=~P*4L = ~P|~>~4L=~P*4L
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: 4L=>P=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: 4L~~>~P=4L*~P=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~4L=>~P=1 -prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~4L~~>P =~4L*P=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 9:00, 20 Paź 2020, w całości zmieniany 3 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35357
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 12:18, 24 Paź 2020 Temat postu: |
|
|
6.0 Równoważność <=>
Spis treści
6.0 Równoważność p<=>q 1
6.1 Najważniejsze definicje równoważności p<=>q 2
6.1.1 Podstawowa definicja równoważności p<=>q 2
6.1.2 Matematyczna definicja równoważności p<=>q 3
6.1.3 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach 4
6.1.4 Aksjomatyczna definicja równoważności p<=>q 6
6.2 Operatory równoważności p|<=>q i q|<=>p 13
6.2.1 Operator równoważności p|<=>q 14
6.2.2 Operator równoważności q|<=>p 15
6.3 Operator równoważności Pitagorasa TP|<=>SK i SK|<=>TP 16
6.3.1 Operator równoważności TP|<=>SK 18
6.3.2 Operator równoważności SK|<=>TP 19
6.0 Równoważność p<=>q
Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to operator logiczny wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
| Kod: |
T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p<=>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
W zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
6.1 Najważniejsze definicje równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
| Kod: |
T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p<=>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Trzy najważniejsze definicje równoważności w logice matematycznej to:
1.
Podstawowa definicja równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
2.
Matematyczna definicja równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
3.
Aksjomatyczna definicja równoważności, generująca tabelę zero-jedynkową równoważności.
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q)
6.1.1 Podstawowa definicja równoważności p<=>q
Podstawowa definicja równoważności p<=>q:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Stąd mamy równoważność wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = (~p+q)*(p+~q)=~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q
p<=>q = p*q+~p*~q
Zauważmy, że argumenty w równoważności są przemienne:
p<=>q = p*q+~p*~q [=] q<=>p = q*p + ~q*~p
bowiem iloczyn logiczny „i”(*) jest przemienny
W logice matematycznej zachodzą tożsamości nazw:
p=>q - warunek wystarczający => zwany także dostatecznym =>
p~>q - warunek konieczny ~> zwany także warunkiem potrzebnym ~>
W praktyce języka potocznego najczęściej korzystamy z podstawowej definicji równoważności.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 9 910
„konieczny i wystarczający”
wyników: 8 700
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 8 140
„potrzeba i wystarczy”
Wyników: 5 380
„koniecznym i dostatecznym”
Wyników: 2 160
Przykład 1.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
Równoważność tożsama:
Do tego aby w trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK) potrzeba ~> i wystarcza => aby ten trójkąt był prostokątny (TP)
Kolejna równoważność tożsama:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
Przykład 2.
[link widoczny dla zalogowanych]
| matemaks napisał: |
Podzielność liczby całkowitej przez 2 i przez 3 jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => podzielności tej liczby przez 6.
P2*P3<=>P6 = (B1: P2*P3~>P6)*(A1: P2*P3=>P6)=1*1=1 |
Powyższą równoważność matematycy udowodnili (nie ważne jak) zatem musi zachodzić tożsamość zbiorów:
P2*P3=P6
Niestety, ziemscy matematycy nie mają bladego pojęcia, że w dowolna równoważność prawdziwa w zbiorach definiuje tożsamość zbiorów. Uznanie tego oczywistego faktu natychmiast posyła Klasyczny Rachunek Zdań tam gdzie jego miejsce - do piekła, na wieczne piekielne męki.
6.1.2 Matematyczna definicja równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
| Kod: |
T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p<=>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony:
A1: p=>q =1 - twierdzenie proste prawdziwe
##
B3: q=>p =1 - twierdzenie odwrotne prawdziwe
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
W matematyce najczęściej korzystamy z matematycznej definicji równoważności co nie oznacza, że nie wolno nam skorzystać z dowolnej z 16 tożsamych definicji równoważności.
Przykład:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)=1*1 =1
Twierdzenie proste Pitagorasa TP=>SK i twierdzenie odwrotne Pitagorasa SK=>TP zostały udowodnione wieki temu, stąd ta równoważność jest prawdziwa
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
stąd mamy równoważność wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = (~p+q)*(~q+p) = ~p*~q + ~p*p + q*~q + q*p
p<=>q = p*q+~p*~q
Zauważmy, że równoważność p<=>q definiuje de facto tożsamość zbiorów p=q.
Matematycznie w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja tożsamości zbiorów p=q w warunkach wystarczających =>:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q i zbiór q jest podzbiorem => p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q =1
Powyższa relacja jest prawdziwa bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
Sprawdzenie czy dla zbiorów tożsamych p=q równoważność p<=>q jest prawdziwa.
Definicja podzbioru:
p=>q = ~p+q
Stąd dla p=q mamy:
p=p <=> (A1: p=>p)*(B3: p=>p) = (~p+p)*(~p+p) =1*1 =1
cnd
6.1.3 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q (p=q)
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Zauważmy, że wyłącznie dla zbiorów tożsamych p=q zachodzi jednocześnie warunek wystarczający => i konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
Definicja podzbioru =>:
Podzbiór to dowolna część danego zbioru
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
[link widoczny dla zalogowanych]
Definicja nadzbioru ~>:
Nadzbiór - dla danego zbioru każdy zbiór zawierający ten zbiór
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0
Na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> mamy:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości pojęć dla zbiorów:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Uzasadnienie:
Matematycznie istotą podzbioru => i nadzbioru ~> są zachodzące tu relacje podzbioru => i nadzbioru ~>
Istotne zastrzeżenie:
W równoważności p<=>q dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q co jest warunkiem koniecznym i wystarczającym rozpoznawalności wszystkich pojęć p, q, ~p i ~q.
Przykład:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
Równoważność tożsama:
Do tego aby w trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK) potrzeba ~> i wystarcza => aby ten trójkąt był prostokątny (TP)
Równoważność tożsama:
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => aby zachodziła w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK
Dziedziną minimalną jest tu:
D=ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Stąd dla TP=SK mamy:
Dziedzina ZWT=TP+~TP jest szersza do sumy zbiorów TP+SK = TP dzięki czemu rozpoznawalne są wszystkie zmienne TP, SK, ~TP, ~SK
~TP=[ZWT-TP]
~SK=[ZWT-SK]
Zauważmy, że gdybyśmy za dziedzinę przyjęli:
D=TP - zbiór trójkątów prostokątnych
To pojęcie ~TP byłoby nierozpoznawalne.
Dowód:
~TP=[D-TP]=[TP-TP] =[] =0
cnd
6.1.4 Aksjomatyczna definicja równoważności p<=>q
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
| Kod: |
T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p<=>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji równoważności p<=>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
| Kod: |
T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0 =
p<=>q = ~p<=>~q [=] q<=>p = ~q<=>~p
=A1*B1 =A2*B2 [=] =A3*B3 =A4*B4
/\ /\ /\ /\
|| || || ||
\/ \/ \/ \/
p=q # ~p=~q # q=p # ~q=~p
I II III IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Stąd:
Definicje podstawowe równoważności p<=>q wymuszające tożsamości zbiorów p=q w tabeli T2 to:
I.
RA1:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
p<=>q = wymusza tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
p=q
II.
RB2:
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =1*1 =1
~p<=>~q = wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
~p=~q
III.
RB3:
q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p) =1*1 =1
q<=>p = wymusza tożsamość zbiorów q=p (i odwrotnie)
q=p
IV.
RA4:
~q<=>~p = (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~P) = 1*1 =1
~q<=>~p = wymusza tożsamość zbiorów ~q=~p (i odwrotnie)
~q=~p
Aksjomatyczną definicję równoważności p<=>q z wykorzystaniem warunku wystarczającego => mamy w obszarze AB12. Musimy tu skompletować serię czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” zawierającą wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Jednoznaczne matematyczne rozwiązanie mamy w postaci poniższej definicji.
Aksjomatyczna definicja równoważności:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1 =1
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Stąd mamy równoważność wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q
p<=>q = p*q+~p*~q
Każda równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć:
p=q
Podstawmy:
q:=p - pod zmienną binarną q podstaw zmienną p
stąd mamy:
p<=>p = p*p + ~p*~p = p+~p =1
Jak widzimy tożsamość zbiorów wymusza równoważność prawdziwą (i odwrotnie)
Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to seria czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” uwzględniająca wszystkie możliwe przeczenia p i q
Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź w spójnikach równoważności p<=>q na dwa pytania 1 i 2:
1.
Kiedy zajdzie p?
Na mocy tabeli symbolicznej T2: AB12 mamy:
RA1:
p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q)
stąd mamy:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem.
A1’
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q =p*~q =0
W zbiorach:
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p i ~q
W zdarzeniach:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
2.
Kiedy zajdzie ~p?
Na mocy tabeli symbolicznej T2: AB12 mamy:
RB2:
~p (~p=1) zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q (~q=1)
~p<=>~q = (B2: ~p=>~q)*(A1: p=>q)
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem.
B2’
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
W zbiorach:
Nie istnieje (=0) wspólny element zbioru ~p i q
W zdarzeniach:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Cecha charakterystyczna równoważności:
Równoważność p<=>q to jedyny spójnik logiczny gdzie mamy gwarancję matematyczną => (warunek wystarczający =>) zarówno po stronie p, jak i po stronie ~p.
Zakodujmy powyższą analizę zero-jedynkowo z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
RA1: p<=>q
Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(~p=1)=(p=0)
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych binarnych.
Dla wygenerowania zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q jest potrzebne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka pozwalające na eliminację przeczeń w zapisach symbolicznych, bowiem w punkcie odniesienie RA1: p<=>q mamy sygnały p i q bez przeczeń.
Potrzebne nam prawo Prosiaczka to:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Zakodujmy nasza tabelę T2: AB12 zero-jedynkowo:
| Kod: |
T3.
Definicja |Co w logice |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna |Jedynek oznacza |RA1: p<=>q |
RA1: p<=>q | | | p q p<=>q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1<=>1 =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1<=>0 =0
RB2:~p<=>~q | | |
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0<=>0 =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0<=>1 =0
a b c d e f g h i 1 2 3
| Prawa Prosiaczka |
| (~p=1)=(p=0) |
| (~q=1)=(q=0) |
|
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q), zwanego krótko równoważnością p<=>q
Zakodujmy zero-jedynkowo tabelę T2: AB12 z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
RB2: ~p<=>~q
Prawo Kubusia z którego tu należy skorzystać to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Uzasadnienie:
Wszystkie zmienne musimy sprowadzić do postaci zanegowanej ~p i ~q bowiem w punkcie odniesienia:
RB2: ~p<=>~q
obie zmienne mamy zanegowane.
| Kod: |
T4.
Definicja |Co w logice |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna |Jedynek oznacza |RB2: ~p<=>~q |
RA1: p<=>q | | |~p ~q ~p<=>~q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0<=>0 =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0<=>1 =0
RB2:~p<=>~q | | |
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1<=>1 =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1<=>0 =0
a b c d e f g h i 1 2 3
| Prawa Prosiaczka |
| (p=1)=(~p=0) |
| (q=1)=(~q=0) |
|
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), zwanego krótko równoważnością <=>
Zauważmy, że w tabelach T3 i T4 wejściowa definicja symboliczna równoważności abc jest identyczna, stąd tożsamość kolumn wynikowych 3 w tabelach zero-jedynkowych 123 jest dowodem formalnym poprawności prawa rachunku zero-jedynkowego:
T3: p<=>q = T4: ~p<=>~q
Dowód powyższego prawa bezpośrednio w rachunku zero-jedynkowym jest następujący:
| Kod: |
Definicja równoważności p<=>q
p q p<=>q
A1: 1<=>1 =1
A1’: 1<=>0 =0
B2: 0<=>0 =1
B2’: 0<=>1 =0
|
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
Dowód:
| Kod: |
Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p<=>q = ~p<=>~q
p q p<=>q ~p ~q ~p<=>~q
A1: 1<=>1 =1 0<=>0 =1
A1’: 1<=>0 =0 0<=>1 =0
B2: 0<=>0 =1 1<=>1 =1
B2’: 0<=>1 =0 0<=>1 =0
1 2 3 4 5 6
|
Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
Definicja dowolnego prawa logicznego definiowanego tożsamością logiczną „=”:
p<=>q = ~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
p q p<=>q
A: 1<=>1 =1
B: 1<=>0 =0
C: 0<=>0 =1
D: 0<=>1 =0
|
Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
| Kod: |
Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p<=>q = ~p<=>~q
p q p<=>q ~p ~q ~p<=>~q p<=>q <=> ~p<=>~q
A1: 1<=>1 =1 0<=>0 =1 1
A1’: 1<=>0 =0 0<=>1 =0 1
B2: 0<=>0 =1 1<=>1 =1 1
B2’: 0<=>1 =0 0<=>1 =0 1
1 2 3 4 5 6 7
|
Same jedynki w kolumnie wynikowej 7 również są dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
Nasze prawo rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q <=> ~p<=>~q
można też udowodnić korzystając z definicji równoważności p<=>q w spójnikach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Oto przykładowy dowód:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Stąd mamy:
RA1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) =~p*p+~p*~q+q*p+q*~q = p*q+~p*~q
Dla ~p<=>~q mamy:
RB2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = (~p+q)*(p+~q) = p*q+~p*~q
Prawe strony RA1 i RB2 są tożsame, stąd mamy:
RA1: p<=>q = RB1: ~p<=>~q
cnd
Podsumowanie:
Równoważność to jedyny sensowny spójnik logiczny w świecie techniki, tylko i wyłącznie dzięki niemu działają wszelkie urządzenia techniczne od lodówki poczynając na komputerach i promie kosmicznym kończąc.
Dlaczego?
Równoważność p<=>q w świecie techniki:
Przykład:
Równoważność p<=>q zaimplementowana w elektronicznym sterowaniu kierownicy w samochodzie będzie działać tak:
a)
Jeśli skręcamy kierownicą w prawo to samochód zawsze skręci w prawo
P<=>P
b)
Jeśli skręcamy kierownicą w lewo to samochód zawsze skręci w lewo
L<=>L
L=~P
Stąd:
~P<=>~P
Nie ma tu miejsca na wybryki komputera sterującego kierownicą w postaci „rzucania monetą” jak w implikacji czy operatorze chaosu które podaję niżej.
Wniosek:
Równoważność to jedyny sensowny operator logiczny w świecie techniki.
Natomiast:
W operatorach implikacji prostej p|=>q, odwrotnej p|~>q (które już poznaliśmy) oraz w operatorze chaosu p|~~>q (poznamy za chwilę) mamy do czynienia z najzwyklejszym „rzucaniem monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” które wyklucza zastosowanie tych operatorów w świecie techniki.
Implikacja w świecie techniki:
Przykład:
Implikacja p|=>q zaimplementowana w elektronicznym sterowaniu kierownicy w samochodzie będzie działać tak:
a)
Jeśli skręcamy kierownicą w prawo to samochód zawsze skręci w prawo
P=>P =1
ALE!
b)
Jeśli skręcamy kierownicą w lewo to komputer sterujący kierownicą wywołuje generator cyfr losowych G(x)={0,1} i w zależności od wyniku skręca:
1 - skręcam w lewo zgodnie z żądaniem kierowcy
0 - skręcam w prawo ignorując żądanie kierowcy
~P=L - skręcam w lewo
~P~>~P =1 - skręcam w lewo (~P=1) zgodnie z życzeniem kierowcy
lub
~P~~>P =1 - skręcam w prawo (P=1) ignorując życzenie kierowcy
Mam nadzieję, że wszyscy widzą, iż sterownie kierownicą samochodu za pośrednictwem implikacji prostej p|=>q to samobójstwo - identycznie jest w implikacji odwrotnej p|~>q.
W operatorze chaosu p|~~>q (poznamy za chwilę) to już tragedia bo tu komputer sterujący kierownicą za każdym razem będzie sobie wywoływał generator cyfr losowych G(x)={0,1} i skręcał tam gdzie mu się podoba totalnie ignorując wszelkie żądania kierowcy.
6.2 Operatory równoważności p|<=>q i q|<=>p
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q z uwzględnieniem kontrprzykładów ~~> dotyczących wyłącznie warunku wystarczającego =>
| Kod: |
T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0 =
p<=>q = ~p<=>~q [=] q<=>p = ~q<=>~p
=A1*B1 =A2*B2 [=] =A3*B3 =A4*B4
/\ /\ /\ /\
|| || || ||
\/ \/ \/ \/
p=q # ~p=~q # q=p # ~q=~p
I II III IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
6.2.1 Operator równoważności p|<=>q
Obszar AB12:
Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:
I.
Kiedy zajdzie p (p=1)?
p (p=1) zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q (q=1)
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Każda równoważność <=> definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
Zbiór (pojęcie) p jest tożsamy ze zbiorem (pojęciem) q
p=q
Stąd mamy:
A1: p=>q =1 - zbiór (pojęcie) p jest podzbiorem => q
B1: p~>q =1 - zbiór (pojęcie) p jest nadzbiorem ~> q
Oczywistość dla zbiorów tożsamych p=q bo:
Każdy zbiór (pojęcie) jest podzbiorem siebie samego
Każdy zbiór (pojęcie) jest nadzbiorem siebie samego
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q +~p*~q
II.
Kiedy zajdzie ~p (~p=1)?
Nie p (~p=1) zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q (~q=1)
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Każda równoważność <=> definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
Zbiór (pojęcie) ~p jest tożsamy ze zbiorem (pojęciem) ~q
~p=~q
Stąd mamy:
A2: ~p~>~q =1 - zbiór (pojęcie) ~p jest nadzbiorem ~> ~q
B2: ~p=>~q =1 - zbiór (pojęcie) ~p jest podzbiorem => ~q
Oczywistość dla zbiorów tożsamych p=q bo:
Każdy zbiór (pojęcie) jest podzbiorem siebie samego
Każdy zbiór (pojęcie) jest nadzbiorem siebie samego
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~p<=>~q = p*q +~p*~q
6.2.2 Operator równoważności q|<=>p
Obszar AB34:
Operator równoważności q|<=>p to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:
III.
Kiedy zajdzie q (q=1)?
q (q=1) zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p (p=1)
q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p)
Każda równoważność <=> definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
Zbiór (pojęcie) q jest tożsamy ze zbiorem (pojęciem) p
q=p
Stąd mamy:
A3: q~>p =1 - zbiór (pojęcie) q jest nadzbiorem ~> p
B3: q=>p =1 - zbiór (pojęcie) q jest podzbiorem => p
Oczywistość dla zbiorów tożsamych q=p bo:
Każdy zbiór (pojęcie) jest podzbiorem siebie samego
Każdy zbiór (pojęcie) jest nadzbiorem siebie samego
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
q<=>p = p*q +~p*~q
IV.
Kiedy zajdzie ~q (~q=1)?
Nie q (~q=1) zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p (~p=1)
~q<=>~p = (A4:~q=>~p)*(B4: ~q~>~p)
Każda równoważność <=> definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
Zbiór (pojęcie) ~q jest tożsamy ze zbiorem (pojęciem) ~p
~q=~p
Stąd mamy:
A4: ~q=>~p =1 - zbiór (pojęcie) ~q jest podzbiorem => ~p
B4: ~q~>~p =1 - zbiór (pojęcie) ~q jest nadzbiorem ~> ~p
Oczywistość dla zbiorów tożsamych ~q=~p bo:
Każdy zbiór (pojęcie) jest podzbiorem siebie samego
Każdy zbiór (pojęcie) jest nadzbiorem siebie samego
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~q<=>~p = p*q +~p*~q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna równoważności I, II, III i IV
I. p<=>q = II. ~p<=>~q = III. q<=>p = IV. ~q<=>~p = p*q + ~p*~q
6.3 Operator równoważności Pitagorasa TP|<=>SK i SK|<=>TP
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q z uwzględnieniem kontrprzykładów ~~> dotyczących wyłącznie warunku wystarczającego =>
| Kod: |
T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0 =
p<=>q = ~p<=>~q [=] q<=>p = ~q<=>~p
=A1*B1 =A2*B2 [=] =A3*B3 =A4*B4
/\ /\ /\ /\
|| || || ||
\/ \/ \/ \/
p=q # ~p=~q # q=p # ~q=~p
I II III IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Weźmy twierdzenie proste Pitagorasa:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów.
Twierdzenie proste Pitagorasa udowodniono wieki temu.
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
Aby udowodnić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi twierdzenie proste Pitagorasa musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania Bx.
Wybieramy twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3.
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny
SK=>TP =1
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt był prostokątny.
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa udowodniono wieki temu
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
Stąd mamy dowód, iż oba twierdzenia Pitagorasa są częścią równoważności Pitagorasa TP<=>SK.
Matematyczna definicja równoważności p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Matematyczna definicja równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = TP<=>SK
Wniosek:
Równoważność Pitagorasa TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK
Nanieśmy twierdzenie Pitagorasa do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> w równoważności p<=>q.
| Kod: |
T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
AB12: | AB34:
A: 1: p=> q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~> p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: TP=>SK =1 = 2:~TP~>~SK=1 [=] 3: SK~>TP =1 = 4:~SK=>~TP=1
A’: 1: p~~>~q =0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: TP~~>~SK=0 = [=] = 4:~SK~~>TP=0
## ## | ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=> p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: TP~>SK =1 = 2:~TP=>~SK=1 [=] 3: SK=>TP =1 = 4:~SK~>~TP=1
B’: = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p =0 =
B’: = 2:~TP~~>SK=0 [=] 3: SK~~>~TP=0 =
p<=>q = ~p<=>~q [=] q<=>p = ~q<=>~p
TP<=>SK = ~TP<=>~SK [=] SK<=>TP = ~SK<=>~TP
=A1*B1 =A2*B2 [=] =A3*B3 =A4*B4
/\ /\ /\ /\
|| || || ||
\/ \/ \/ \/
TP=SK # ~TP=~SK # SK=TP # ~SK=~TP
I II III IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: TP=>SK=1 -prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~TP=>~SK=1-prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
6.3.1 Operator równoważności TP|<=>SK
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Obszar AB12:
Operator równoważności TP|<=>SK to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:
I.
Kiedy trójkąt jest prostokątny (TP=1)?
RA1:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych TP:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1:~TP~>~SK) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p=>q) =1*1=1
Twierdzenie proste Pitagorasa przyjmujemy za punkt odniesienia, stąd w zapisach formalnych mamy:
p=TP
q=SK
Każda równoważność p<=>q prawdziwa definiuje tożsamość zbiorów p=q, stąd:
Zbiór TP jest tożsamy ze zbiorem SK
TP=SK
Stąd mamy:
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
B1: TP~>SK =1 - zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK
Oczywistość dla zbiorów tożsamych TP=SK bo:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
RA1: TP<=>SK = TP*SK + ~TP*~SK
II.
Kiedy trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1)?
RB2:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych (~TP=1)
Trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =1*1 =1
Każda równoważność <=> definiuje tożsamość zbiorów, stąd:
Zbiór ~TP jest tożsamy ze zbiorem ~SK
~TP=~SK
Stąd mamy:
A2: ~TP~>~SK =1 - zbiór ~TP jest nadzbiorem ~> zbioru ~SK
B2: ~TP=>~SK =1 - zbiór ~TP jest podzbiorem => zbioru ~SK
Oczywistość dla zbiorów tożsamych ~TP=~SK bo:
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
RB2: ~TP<=>~SK = TP*SK + ~TP*~SK
6.3.2 Operator równoważności SK|<=>TP
Przypomnijmy że punkt odniesienia w równoważności Pitagorasa to:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)
p=TP
q=SK
Obszar AB34:
Operator równoważności SK|<=>TP to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:
III.
Kiedy w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1)?
RB3:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów ze spełnioną suma kwadratów
W dowolnym trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) wtedy i tylko wtedy gdy trójkąt ten jest prostokątny (TP=1)
SK<=>TP = (A3: SK~>TP)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p)
Każda równoważność p<=>q prawdziwa definiuje tożsamość zbiorów p=q, stąd:
Zbiór SK jest tożsamy ze zbiorem TP
SK=TP
q=p
Stąd mamy:
A3: SK~>TP =1 - zbiór SK jest nadzbiorem ~> zbioru TP
B3: SK=>TP =1 - zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP
Oczywistość dla zbiorów tożsamych SK=TP bo:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
RB3: SK<=>TP = TP*SK + ~TP*~SK
IV.
Kiedy w trójkącie nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1)?
RA4:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów z nie spełnioną sumą kwadratów
W dowolnym trójkącie nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1) wtedy i tylko wtedy gdy trójkąt ten nie jest prostokątny (~TP=1)
~SK<=>~TP = (A4: ~SK=>~TP)*(B4: ~SK~>~TP) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
~q<=>~p = (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p))
Każda równoważność p<=>q prawdziwa definiuje tożsamość zbiorów p=q, stąd:
Zbiór ~SK jest tożsamy ze zbiorem ~TP
~SK=~TP
~q=~p
Stąd mamy:
A4: ~SK=>~TP =1 - zbiór ~SK jest podzbiorem => zbioru ~TP
B4: ~SK~>~TP =1 - zbiór ~SK jest nadzbiorem ~> zbioru ~TP
Oczywistość dla zbiorów tożsamych ~SK=~TP bo:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
RA4: ~SK<=>~TP = TP*SK + ~TP*~SK
Podsumowanie:
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna równoważności:
RA1: TP<=>SK = RB2: ~TP<=>~SK [=] RB3: SK<=>TP = RA4: ~SK<=>~TP [=] TP*SK + ~TP*~SK
To samo w zapisach formalnych:
RA1 p<=>q = RB2: ~p<=>~a [=] RB3: q<=>p = RA4: ~q<=>~p [=] p*q + ~p*~q
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 22:52, 27 Paź 2020, w całości zmieniany 4 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35357
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 22:53, 27 Paź 2020 Temat postu: |
|
|
7.0 Prawa papużki nierozłączki
Spis treści
7.0 Prawa papużki nierozłączki 1
7.1 Równoważność p<=>q oraz I prawo Papugi 4
7.1.1 Równoważność p<=>q oraz I prawo Papugi w zbiorach 7
7.1.2 Równoważność p<=>q oraz I prawo Papugi w zdarzeniach 11
7.2 Spójnik „albo”($) oraz II prawo Papugi w zbiorach 14
7.3 Algebra Kubusia w rachunku zero-jedynkowym 16
7.3.1 Spójniki logiczne wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 18
7.3.2 Równoważność <=> wyrażona spójnikiem „albo”($) 19
7.3.3 Spójnik „albo”($) wyrażony równoważnością <=> 20
7.0 Prawa papużki nierozłączki
Prawa papużki nierozłączki to:
I Prawo Papugi:
Między dowolnymi dwoma, tymi samymi punktami:
Jeśli prawdziwe jest zdanie ze spójnikiem „wtedy i tylko wtedy <=>” to fałszywe jest zdanie ze spójnikiem „albo”($) (odwrotnie nie zachodzi)
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~(p$q)
Czytamy:
Jeśli p<=>q =1 to musi być p$q=0 bowiem wtedy tylko wtedy będzie zachodziła tożsamość logiczna:
p<=>q = ~(p$q) = ~(0) =1
Dowód w równaniach logicznych zachodzącego wyżej prawa rachunku zer-jedynkowego.
Definicja spójnika równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p$q = (p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~(p$q)) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~(p$q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q = p<=>q
cnd
Każda równoważność prawdziwa:
p<=>q =1
definiuje tożsamość zbiorów/pojęć p=q (i odwrotnie)
Definicja tożsamości zbiorów/pojęć p=q:
Zbiór/pojęcie p jest tożsame z pojęciem q (p=q) wtedy i tylko wtedy zajście p jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => dla zajścia q
RA1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q = p*q +~p*~q
Definicja równoważności <=> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q+~p*~q
Dla p=q mamy:
p<=>p = p*p + ~p*~p = p+~p =1
cnd
Na mocy I prawa Papugi zdanie ze spójnikiem „albo”($) między tymi samymi punktami musi być fałszem.
Sprawdzenie:
Definicja spójnika „albo”(S) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Dla p=q (bo z założenia prawdziwa jest równoważność p<=>q) mamy:
p$p = p*~p + ~p*p = [] +[] =[] =0
cnd
II Prawo Papugi:
Między dowolnymi dwoma, tymi samymi punktami:
Jeśli prawdziwe jest zdanie ze spójnikiem „albo”($) to fałszywe jest zdanie ze spójnikiem „tedy i tylko wtedy <=>” (odwrotnie nie zachodzi)
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p$q = ~(p<=>q)
Czytamy:
Jeśli p$q =1 to musi być p<=>q =0 bowiem wtedy tylko wtedy będzie zachodziła tożsamość logiczna:
p$q = ~(p<=>q) = ~(0) =1
Dowód w równaniach logicznych zachodzącego wyżej prawa rachunku zero-jedynkowego.
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Definicja spójnika równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = (p*q) + (~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~(p<=>q)) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~(p<=>q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q = p$q
cnd
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q
Doskonale widać, że zdanie ze spójnikiem „albo”($) będzie prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi relacja w zdarzeniach/zbiorach q:=~p albo p:=~q:
Sprawdzamy dla:
q:=~p - pod zmienną binarną q podstaw zmienną binarną ~p
stąd mamy:
p$~p = p*~(~p) + ~p*(~p) = p*p + ~p*~p = p+~p =1
cnd
Równoważność między tymi samymi punktami musi być fałszem.
Sprawdzenie:
Definicja równoważności <=> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q+~p*~q
Dla q:=~p mamy:
p<=>~p = p*(~p) + ~p*~(~p) = p*~p + ~p*p = [] +[] =0
cnd
Jak widzimy:
I prawo Papugi dotyczy spójnika „wtedy i tylko wtedy p<=>q natomiast II prawo Papugi dotyczy spójnika „albo”($)
Na mocy definicji zachodzi:
p<=>q = p*q+~p*~q
##
p$q = p*~q + ~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Interpretacja znaczka różne na mocy definicji ## na poziomie 5-cio latka.
Pani w przedszkolu Nr.1:
RA1:
Jutro pójdziemy do kina tylko wtedy, gdy pójdziemy do teatru
Zdanie tożsame:
Jutro pójdziemy do kina (K=1) wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru (T=1)
Y = K<=>T = K*T + ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1 lub ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy tylko wtedy gdy:
K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
~K*~T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=)
W każdym innym przypadku pani skłamie (~Y=1).
Innymi słowy w spójniku równoważności K<=>T:
Y = K<=>T = K*T + ~K*~T
Pani dotrzyma słowa (Y=1) gdy jutro pójdziemy w oba miejsca (K*T=1) albo nie pójdziemy w oba miejsca (~K*~T=1)
W każdym innym przypadku pani skłamie (~Y=1).
Pani w przedszkolu Nr.2:
AL1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) „albo”($) do teatru (T=1)
Y = K$T = K*~T + ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i ~T=1 lub ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy tylko wtedy gdy:
K*~T = 1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
W każdym innym przypadku pani skłamie (~Y=1).
Innym słowy w spójniku „albo”($) K$T:
Y = K$T = K*~T + ~K*T
Pani dotrzyma słowa (Y=1) gdy jutro pójdziemy dokładnie w jedno miejsce, albo do kina, albo do teatru
W każdym innym przypadku pani skłamie (~Y=1).
Mam nadzieję, że nie muszę nikogo przekonywać, w szczególności ziemskich matematyków, iż zdania pań przedszkolanek z przedszkola Nr.1 i Nr.2 są różne na mocy definicji ## tzn. znaczą fundamentalnie co innego.
7.1 Równoważność p<=>q oraz I prawo Papugi
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
| Kod: |
T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p<=>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji równoważności p<=>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
| Kod: |
T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0 =
p<=>q = ~p<=>~q [=] q<=>p = ~q<=>~p
=A1*B1 =A2*B2 [=] =A3*B3 =A4*B4
/\ /\ /\ /\
|| || || ||
\/ \/ \/ \/
p=q # ~p=~q # q=p # ~q=~p
I II III IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Zachodzi tożsamość znaczków:
Różne # w znaczeniu jak wyżej = spójnik „albo”($)
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Klasyczna równoważność p<=>q opisuje rzeczywistość w zbiorach/zdarzeniach jak na poniższym diagramie.
| Kod: |
T3
Diagram równoważności p<=>q
---------------------------------- -----------------------------------
| RA1: | |RB2: |
| p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) | <=> |~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
---------------------------------- -----------------------------------
/\ /\
RA1: p<=>q <=> TA1: p=q || RB2:~p<=>~q <=> TB2:~p=~q ||
\/ \/
---------------------------------- -----------------------------------
| TA1: | |TB2: |
| p=q - zbiory/zdarzenia tożsame | $ |~p=~q - zbiory/zdarzenia tożsame |
| p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) | |~p=~q <=> (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
--------------------------------------------------------------------------
| Wspólna dziedzina D dla p i q: |
| p+~p =D =1 - zbiór/zdarzenie ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla p |
| p*~p =[]=0 - zbiory/zdarzenia p i ~p są rozłączne |
| 1: p=~(~p) - prawo podwójnego przeczenia |
| Ponieważ zachodzi tożsamość zbiorów/pojęć ~p=~q to: |
| 2: p=~(~q) |
| Wspólna dziedzina D dla p i q: |
| q+~q =D =1 - zbiór/zdarzenie ~q jest uzupełnieniem do dziedziny dla q |
| q*~q =[]=0 - zbiory/zdarzenia q i ~q są rozłączne |
| 3: q=~(~q) - prawo podwójnego przeczenia |
| Ponieważ zachodzi ~p=~q to: |
| 4: q=~(~p) |
--------------------------------------------------------------------------
|
Diagram T3 to teoria ogólna w zapisach formalnych, bez związku z językiem potocznym człowieka.
W algebrze Kubusia przełożenie teorii ogólnej na język potoczny człowieka występuje w skali 1:1.
Wniosek:
Nauczając algebry Kubusia należy jak najwięcej posługiwać się językiem potocznym człowieka mającym bezpośrednie przełożenie na powyższe zapisy formalne, przy czym wszystko jedno jest czy będziemy to robić w zbiorach, czy też w zdarzeniach co za chwilkę udowodnimy.
Definicja tożsamości zbiorów/zdarzeń p=q:
Dwa zbiory/zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy zajście p jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => dla zajścia q
RA1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Definicja tożsamości zbiorów/zdarzeń ~p<=>~q:
RB2: ~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~p<=>~q
Między punktami RA1 i RB1 zachodzi tożsamość logiczna [=] (prawo rachunku zero-jedynkowego):
RA1: p<=>q [=] RB1: ~p<=>~q
p i q muszą być tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia.
Definicja tożsamości logicznej [=]:
RA1: p<=>q [=] RB1: ~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony.
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony.
Wniosek:
Zachodzi tożsamość pojęć:
Tożsamość logiczna [=] = Równoważność <=>
Zauważmy że:
Jeśli w zdaniu użyjemy pojęcia „tożsamość logiczna” to matematycznie determinuje to relację równoważności <=>.
Na mocy powyższego matematyka będzie jednoznaczna jeśli użyjemy pojęcia „tożsamość logiczna” opisanego dowolnym znaczkiem tożsamości [=] albo „=”.
Nie ma tu kolizji z matematyką klasyczną bowiem używamy terminu „tożsamość logiczna”
Wtedy zachodzi tożsamość znaczków:
(<=>) = ([=]) = („=”)
1: RA1: p<=>q <=> RB1: ~p<=>~q - zapis wzorcowo poprawny
2: RA1: p<=>q [=] RB1: ~p<=>~q - zapis tożsamy do 1
3: RA1: p<=>q = RB1: ~p<=>~q - zapis tożsamy do 1
Powyższe zapisy są matematycznie tożsame bo w zapisach 2 i 3 domyślnie wiadomo, iż chodzi o znak „tożsamości logicznej”.
Gdyby to była tożsamość w sensie matematyki klasycznej to otrzymalibyśmy bzdurę:
p=~p
Wniosek:
Mózg człowieka to zdecydowanie nie komputer, bez problemu zinterpretuje wyżej „tożsamość logiczną <=>” bez względu jak jest zapisana, tak <=>, tak [=] czy też tak „=”
Gołe pojęcie tożsamość „=” oznacza tożsamość w sensie matematyki klasycznej:
p=p - tożsamość pojęć w sensie matematyki klasycznej
~p=~p - tożsamość pojęć w sensie matematyki klasycznej
2=2 - tożsamość pojęć w sensie matematyki klasycznej
[1,2] = [2,1] - tożsamość zbiorów w sensie matematyki klasycznej (elementy można dowolnie przestawiać)
Każda tożsamość matematyczna p=q, na mocy definicji wyżej wymusza prawdziwość równoważności p<=>q (i odwrotnie):
Definicja tożsamości matematycznej zbiorów/zdarzeń p=q:
Dwa zbiory/zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy zajście p jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => dla zajścia q
RA1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q = p*q +~p*~q
Dla:
q:=p - pod zmienną binarną q podstaw zmienną p
mamy:
RA1: p=p <=> (A1: p=>p)*(B1: p~>p) = p<=>p = p*p +~p*~p = p+~p =1
To samo można udowodnić drugim sposobem:
A1: p=>q =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>q =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd mamy:
p<=>p = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) =1*1 =1
cnd
Na mocy I prawa Papugi zdanie ze spójnikiem „albo”($) między tymi samymi punktami musi być fałszem.
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q
Dla zbiorów/pojęć tożsamych:
q:=p - pod zmienną q podstaw zmienną p
mamy:
p$p = p*~p + ~p*p = []+[] = [] =0
Gdzie:
[] - zbiór pusty tożsamy z logicznym zerem.
cnd
Jak widać I prawo Papugi działa perfekcyjnie.
7.1.1 Równoważność p<=>q oraz I prawo Papugi w zbiorach
Zbadajmy powyższa teorię ogólną na przykładach.
I Prawo Papugi:
Między dowolnymi dwoma, tymi samymi punktami:
Jeśli prawdziwe jest zdanie ze spójnikiem „wtedy i tylko wtedy <=>” to fałszywe jest zdanie ze spójnikiem „albo”($) (odwrotnie nie zachodzi)
Definicja tożsamości zbiorów/zdarzeń p=q:
Zbiory:
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> q
RA1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q = p*q +~p*~q
Przykład:
Matematyczna (używana w matematyce) definicja równoważności:
Równoważność p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony:
RA1’: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Rozważmy równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych.
RA1’.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Twierdzenie proste Pitagorasa:
A1: p=>q =1
A1: TP=>SK =1
i twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
B3: q=>p =1
B3: SK=>TP
ludzkość udowodniła wieki temu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Wniosek:
Równoważność Pitagorasa jest bezdyskusyjnie prawdziwa.
Uwaga:
Przyjęty punkt odniesienia w ziemskiej matematyce to:
TP=>SK =1 - twierdzenie proste Pitagorasa
Stąd:
p=TP
q=SK
To jest świętość której w analizach równoważności Pitagorasa nie wolno nam tyknąć.
Co to oznacza?
Dla zdania B3 w równoważności RA1’ skorzystajmy z prawa Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Nasz przykład:
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK
Stąd mamy:
Podstawowa definicja równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
Zdanie matematycznie tożsame:
Do tego aby trójkąt był prostokątny potrzeba ~> i wystarcza => aby zachodziła w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Innymi słowy:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy są w relacji równoważności p<=>q.
Innymi słowy:
Każda tożsamość matematyczna p=q to automatycznie równoważność prawdziwa p<=>q (i odwrotnie)
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q + ~p*~q
Do zapamiętania:
p<=>q = p*q + ~p*~q
Stąd mamy:
Równoważność podstawowa Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Zbiór TP jest tożsamy ze zbiorem SK (TP=SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => SK i jednocześnie zbiór TP jest nadzbiorem ~> SK
RA1: TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP<=>SK = TP*SK +~TP*~SK
Zbadajmy czy równoważność TP<=>SK jest prawdziwa dwoma sposobami.
Sposób 1.
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>S) =1*1 =1
bo:
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK, oczywistość wobec tożsamości zbiorów TP=SK
B1: TP~>SK =1 - zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK, oczywistość wobec tożsamości zbiorów TP=SK
Prawa teorii zbiorów:
1: Każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
2: Każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
Dla TP=SK mamy:
SK:=TP - pod zmienną SK podstaw zmienną SK
stąd:
TP<=>TP = (A1: TP=>TP)*(B1: TP~>TP) = (~TP+TP)*(TP+~TP) = 1*1 =1
bo:
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
cnd
Na mocy I prawa Papugi, jeśli w zdaniu TP<=>SK użyjemy spójnika „albo”($) w miejsce spójnika równoważności <=> to takie zdanie musi być fałszem.
Sprawdzenie:
TP$SK = TP*~SK + ~TP*SK
Z założenia mamy TP=SK (bo równoważność TP<=>SK jest prawdziwa)
Dla podstawienia:
SK:=>TP - pod zmienną binarną SK podstaw zmienną binarną TP
mamy:
TP$TP = TP*~TP + ~TP*TP = []+[] =0
cnd
Jak widzimy, w równoważności I prawo Papugi działa doskonale, przypomnijmy:
I Prawo Papugi:
Między dowolnymi dwoma, tymi samymi punktami:
Jeśli prawdziwe jest zdanie ze spójnikiem „wtedy i tylko wtedy <=>” to fałszywe jest zdanie ze spójnikiem „albo”($) (odwrotnie nie zachodzi)
Nanieśmy na zakończenie zmienna aktualne związane z równoważnościami Pitagorasa do tabeli formalnej równoważności T3.
| Kod: |
T4
Diagram równoważności TP<=>SK
---------------------------------- -----------------------------------
| RA1: | |RB2: |
| TP<=>SK = | <=> |~TP<=>~SK = |
| (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) | | (A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK) |
---------------------------------- -----------------------------------
/\ /\
RA1: TP<=>SK <=> TA1: TP=SK || RB2:~TP<=>~SK <=> TB2:~TP=~SK ||
\/ \/
---------------------------------- -----------------------------------
| TA1: | |TB2: |
| TP=SK - zbiory tożsame | $ |~TP=~SK - zbiory tożsame |
| TP=SK <=> | |~TP=~SK <=> |
| (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) | |(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK) |
--------------------------------------------------------------------------
| Wspólna dziedzina D: |
| TP+~TP =D =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do dziedziny dla TP |
| TP*~TP =[]=0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne |
| 1: TP=~(~TP) - prawo podwójnego przeczenia |
| Ponieważ zachodzi tożsamość zbiorów ~TP=~SK to: |
| 2: TP=~(~SK) |
| Wspólna dziedzina D: |
| SK+~SK =D =1 - zbiór ~SK jest uzupełnieniem do dziedziny dla SK |
| SK*~SK =[]=0 - zbiory SK i ~SK są rozłączne |
| 3: SK=~(~SK) - prawo podwójnego przeczenia |
| Ponieważ zachodzi tożsamość zbiorów ~TP=~SK to: |
| 4: SK=~(~TP) |
--------------------------------------------------------------------------
|
Jak doskonale widać, algebra formalna Kubusia (tabela T3) ma przełożenie w skali 1:1 na język potoczny człowieka (tabela T4).
Wypowiedzmy na zakończenie ciekawe zdania 1,2,3,4 z tabeli T4:
1.
TP=~(~TP) = TP<=>~(~TP)
Czytamy prawą stronę:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest prawdą ~(…) iż nie jest trójkątem nieprostokątnym (~TP)
TP<=>~(~TP) - prawo podwójnego przeczenia
stąd:
TP<=>TP = (A1: TP=>TP)*(B1: TP~>TP) = (~TP+TP)*(TP+~TP) =1*1 =1
bo:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
cnd
Oczywista, 100% zgodność z matematycznym językiem potocznym
2.
TP=~(~SK) = TP<=>~(~SK)
Czytamy prawą stronę:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest prawdą ~(…) iż nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
TP<=>~(~SK)
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów ~SK=~TP, stąd lądujemy w zdaniu 1:
1: TP<=>~(~TP) - prawo podwójnego przeczenia
3.
SK=~(~SK) = SK<=>~(~SK)
Czytamy prawą stronę:
W trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest prawdą ~(…) iż w trójkącie nie zachodzi suma kwadratów (~SK)
SK<=>~(~SK) - prawo podwójnego przeczenia
stąd:
SK<=>SK = (A1: SK=>SK)*(B1: SK~>SK) = (~SK+SK)*(SK+~SK) =1*1 =1
bo:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
cnd
Oczywista, 100% zgodność z matematycznym językiem potocznym
4.
SK=~(~TP) = SK<=>~(~TP)
Czytamy prawą stronę:
W trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest prawdą ~(…) iż ten trójkąt nie jest prostokątny (~TP)
SK<=>~(~TP)
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów ~SK=~TP, stąd lądujemy w zdaniu 3:
3: SK<=>~(~SK) - prawo podwójnego przeczenia.
7.1.2 Równoważność p<=>q oraz I prawo Papugi w zdarzeniach
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
| Kod: |
T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p<=>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Definicja tożsamości zdarzeń p=q:
Zdarzenie p jest tożsame ze zdarzeniem q (p=q) wtedy i tyko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
RA1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q = p*q +~p*~q
Przykład równoważności w zdarzeniach:
| Kod: |
S1.
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
RA1.
Przycisk A jest wciśnięty wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się
Zdanie matematycznie tożsame:
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => dla zaświecenia się żarówki S
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to żarówka na 100% => świeci się
A=>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla zaświecenia się żarówki S.
Dlaczego?
Nie ma tu przycisku B połączonego szeregowo z A który zgwałcił gwarancją matematyczną => iż każde wciśnięcie A powoduje zaświecenia żarówki S
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to żarówka na 100% ~> świeci się
A~>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla zaświecenia się żarówki S
Dlaczego?
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla zaświecenia się żarówki S (S=1) bo jak nie wciśniemy przycisku A (~A=1) to żarówka na 100% => nie zaświeci się (~S=1).
Jak widzimy, prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = ~A=>~S
Stąd mamy dowód, iż schemat S1 jest rzeczywiście matematyczną interpretacją równoważności <=>:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Zauważmy, że słownie zdania warunkowe A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to są to zdania różne na mocy definicji ##.
Dowód:
Definicja warunku wystarczającego =>:
A=>S = ~A+S
##
Definicja warunku koniecznego ~>:
A~>S = A+~S
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia.
cnd
O tym że zdanie A1 jest różne na mocy definicji od zdania B1 informują nas znaczki => i ~> wplecione w treść zdania.
Powyższy dowód to uderzenie w fundament wszelkich ziemskich logik matematycznych, gdzie twierdzi się, iż zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki są matematycznie tożsame. W naszym Wszechświecie tak nie jest, czego dowodem jest znaleziony wyżej kontrprzykład.
Wniosek:
Miejsce wszelkich ziemskich logik „matematycznych” jest w piekle na wiecznych, piekielnych mękach.
Wracając do tematu:
Każda równoważność prawdziwa to tożsamość zbiorów/pojęć, stąd mamy:
A=S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) = A<=>S
Wniosek:
Wciśnięcie klawisza A jest matematycznie tożsame ze świeceniem się żarówki S
A=S
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
RA1: A<=>S = RB1: ~A<=>~S
Znaczenie tożsamości logicznej „=”:
RA1: A<=>S = RB1: ~A<=>~S
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Równoważność prawdziwa:
RB1: ~A<=>~S=1
definiuje tożsamość pojęć:
~A=~S
Czytamy:
Nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest tożsame z nie świeceniem się żarówki S (~S=1)
Na schemacie S1 widać, że to prawda.
Sprawdzenie I prawa Papugi w zdarzeniach.
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)= A*S + ~A*~S
Skorzystajmy z tożsamości pojęć A=S.
Podstawmy:
S:=>A - pod zmienną binarną S podstaw zmienną binarną A
stąd mamy:
A<=>A = A*A + ~A*~A = A+~A =1
cnd
Mamy nasze zdanie bazowe, punkt odniesienia:
RA1.
Przycisk A jest wciśnięty wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Na mocy I prawa Papugi to samo zdanie wyrażone spójnikiem „albo”($) musi być fałszem
Sprawdzenie:
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Nasz przykład:
A$S = A*~S + ~A*S
Z definicji równoważności prawdziwej A<=>S mamy tożsamość pojęć A=S.
Podstawmy zatem:
S:=A - pod zmienną binarną S podstaw zmienną binarną A
stąd mamy:
A$A = A*~A + ~A*A = [] +[] =[] =0
cnd
Podsumowanie:
Jak widzimy I prawo Papugi dzieła fenomenalnie zarówno w zbiorach (pkt.7.1.1), jak i w zdarzeniach (pkt.7.1.2)
7.2 Spójnik „albo”($) oraz II prawo Papugi w zbiorach
II Prawo Papugi:
Między dowolnymi dwoma, tymi samymi punktami:
Jeśli prawdziwe jest zdanie ze spójnikiem „albo”($) to fałszywe jest zdanie ze spójnikiem „tedy i tylko wtedy <=>” (odwrotnie nie zachodzi)
II prawo Papugi opisuje rzeczywistość w zbiorach/zdarzeniach jak na poniższym diagramie.
Y = p$q = p<=>~q = ~(p<=>q) = p*~q +~p*q
| Kod: |
------------------------------------------------------------------
| p | q |
| p=(~)q=~q | q=~(p)=~p |
| | |
------------------------------------------------------------------
| Wspólna dziedzina D: |Wspólna dziedzina D: |
| p+~p =D =1 | q+~q = D=1 |
| p*~p =[]=0 | q*~q =[]=0 |
------------------------------------------------------------------
| Definicja spójnika „albo”($) w zbiorach: |
| Zbiory p i q są rozłączne i uzupełniają się do dziedziny |
| p$q = p*~q + ~p*q |
| Na mocy diagramu zapisujemy: |
| p=~(q)=~q - zbiór p jest tożsamy z zaprzeczeniem (~) zbioru q |
| q=~(p)=~p - zbiór q jest tożsamy z zaprzeczeniem (~) zbioru p |
| Podstawmy do definicji spójnika „albo”($) tożsamość: |
| q=~p |
| stąd: |
| p$~p = p*~(~p)+~p*(~p)= p*p+~p*~p = p+~p =1 |
| Na mocy II prawa Papugi równoważność <=> |
| między punktami p i ~p musi być fałszem. |
| Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+): |
| p<=>q = p*q + ~p*~q |
| dla q=~p mamy: |
| p<=>~p = p*(~p)+~p*~(~p)=p*~p+~p*p=[]+[]=[]=0 |
|cnd |
------------------------------------------------------------------
|
Dowód iż w algebrze Kubusia teoria formalna jak wyżej ma przełożenie 1:1 na język potoczny człowieka.
Rozważmy zdanie prawdziwe ze spójnikiem „albo”($):
AL1.
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) albo kobietą (K=1)
C = M$K = M*~K + ~M*K
co w logice jedynek oznacza:
C =1 <=> M=1 i ~K=1 lub ~M=1 i K=1
Czytamy:
Dowolny człowiek (C=1):
M*~K=1*1 =1 - jest mężczyzną (M=1) i nie jest kobietą (~K=1)
LUB
~M*K=1*1 =1 - nie jest mężczyzną (~M=1) i jest kobietą (K=1)
Wspólna dziedzina dla zdania AL1 to:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi
Definicja dziedziny:
M+K = C =1 - zbiór kobiet (K) jest uzupełnieniem do dziedziny C dla zbioru mężczyzn (M)
M*K =[] =0 - zbiory M i K są rozłączne
Na mocy definicji spójnika „albo”($) we wspólnej dziedzinie C (człowiek) zachodzi:
1.
Zbiór mężczyzn (M) jest tożsamy z zanegowanym zbiorem kobiet (~K).
M=~(K)=~K
Innymi słowy na mocy definicji tożsamości zbiorów:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
2.
Zbiór kobiet (K) jest tożsamy z zanegowanym zbiorem mężczyzn (~M)
K=~(M) =~M
Innymi słowy na mocy definicji tożsamości zbiorów:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Dowolny człowiek jest kobietą (K) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest mężczyzną (~M)
K<=>~M = (A1: K=>~M)*(B1: K~>~M) =1*1 =1
Definicja spójnika „albo”($):
M$K = M*~K + ~M*K
Skorzystajmy z tożsamości zbiorów K=~M sprawdzając poprawność definicji spójnika „albo”($).
Dla K=~M mamy:
M$~M = M*~(~M) + ~M*~M = M+~M =1
cnd
Na mocy II prawa Papugi równoważność między tymi samymi punktami M i K musi być fałszem.
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Nasz przykład:
Człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K)
M<=>K = M*K + ~M*~K
dla K=~M mamy:
M<=>~M = M*(~M) + ~M*~(~M) = M*~M + ~M*M = [] +[] =[] =0
cnd
Dowód matematycznie tożsamy:
Podstawowa definicja równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1 p~>q)
Nasz przykład:
Człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K=1)
M<=>K = (A1: M=>K)*(B1: M~>K)
A1: M=>K =0 - zbiór mężczyzn nie jest (=0) podzbiorem => zbioru kobiet bo M i K to zbiory rozłączne
B1: M~>K =0 - zbiór mężczyzn nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru kobiet bo M i K to zbiory rozłączne
stąd mamy:
M<=>K = (A1: M=>K)*(B1: M~>K) = 0*0 =0
cnd
Jak widzimy II prawo Papugi dla spójnika „albo”($) działa perfekcyjnie.
7.3 Algebra Kubusia w rachunku zero-jedynkowym
Definicje spójników logicznych dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
„i”(*) - spójnik „i” z języka potocznego
„lub”(+) - spójnik „lub” z języka potocznego
=> - warunek wystarczający => z języka potocznego
~> - warunek konieczny ~> z języka potocznego
<=> - spójnik „wtedy i tylko wtedy” z języka potocznego
„albo”($) - spójnik „albo” z języka potocznego
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*)
p q p*q
A: 1 * 1 =1
B: 1 * 0 =0
C: 0 * 0 =0
D: 0 * 1 =0
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q =0
|
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+)
p q p+q
A: 1 + 1 =1
B: 1 + 0 =1
C: 0 + 0 =0
D: 0 + 1 =1
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p+q =0
|
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>:
p q p=>q
A: 1=> 1 =1
B: 1=> 0 =0
C: 0=> 0 =1
D: 0=> 1 =1
p=>q = ~p+q
co w logice jedynek oznacza:
p=>q=1 <=> ~p=1 lub q=1
Inaczej:
p=>q =0
|
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>:
p q p~>q
A: 1~> 1 =1
B: 1~> 0 =1
C: 0~> 0 =1
D: 0~> 1 =0
p~>q = p+~q
co w logice jedynek oznacza:
p~>q=1 <=> p=1 i ~q=1
Inaczej:
p~>q =0
|
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q
p q p<=>q
A: 1<=>1 =1
B: 1<=>0 =0
C: 0<=>0 =1
D: 0<=>1 =0
p<=>q = p*q + ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
p<=>q=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Inaczej:
p<=>q =1
|
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($)
p q p$q
A: 1 $ 1 =0
B: 1 $ 0 =1
C: 0 $ 0 =0
D: 0 $ 1 =1
p$q = p*~q + ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
p$q=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Inaczej:
p$q =0
|
Dla tego samego punktu odniesienia p i q zachodzi:
p*q ## p+q ## p=>q ## p~>q = p$q ## p<=>q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
7.3.1 Spójniki logiczne wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Definicja warunku wystarczającego => wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
p=>q = ~p+q
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>:
p q p=>q ~p p=>q=~p+q
A: 1=> 1 =1 0 1
B: 1=> 0 =0 0 0
C: 0=> 0 =1 1 1
D: 0=> 1 =1 1 1
1 2 3 4 5
|
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 3=5 jest dowodem formalnym tożsamości logicznej:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q
| Kod: |
p q p~>q ~q p~>q=p+~q
A: 1~> 1 =1 0 1
B: 1~> 0 =1 1 1
C: 0~> 0 =1 1 1
D: 0~> 1 =0 0 0
1 2 3 4 5
|
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 3=5 jest dowodem formalnym tożsamości logicznej:
p~>q = p+~q
Definicja spójnika „wtedy i tylko wtedy <=>” wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q
p q p<=>q ~p ~q p*q ~p*~q p<=>q=p*q+~p*~q
A: 1<=>1 =1 0 0 1 0 1
B: 1<=>0 =0 0 1 0 0 0
C: 0<=>0 =1 1 1 0 1 1
D: 0<=>1 =0 1 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6 7 8
|
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 3=8 jest dowodem formalnym tożsamości logicznej:
p<=>q = p*q + ~p*~q
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Sprawdzenie:
| Kod: |
p q p$q ~p ~q p*~q ~p*q p$q=p*~q+~p*q
A: 1 $ 1 =0 0 0 0 0 0
B: 1 $ 0 =1 0 1 1 0 1
C: 0 $ 0 =0 1 1 0 0 0
D: 0 $ 1 =1 1 0 0 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8
|
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 3=8 jest dowodem formalnym tożsamości logicznej:
p$q = p*~q + ~p*q
7.3.2 Równoważność <=> wyrażona spójnikiem „albo”($)
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q
p q p<=>q
A: 1<=>1 =1
B: 1<=>0 =0
C: 0<=>0 =1
D: 0<=>1 =0
|
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($)
p q p$q
A: 1 $ 1 =0
B: 1 $ 0 =1
C: 0 $ 0 =0
D: 0 $ 1 =1
|
Sprawdzamy czy matematycznie zachodzi I prawo Papugi.
| Kod: |
p q p<=>q p$q p<=>q=~(p$q) ~p ~q p$~q ~p$q
A: 1<=>1 =1 0 1 0 0 1 1
B: 1<=>0 =0 1 0 0 1 0 0
C: 0<=>0 =1 0 1 1 1 1 1
D: 0<=>1 =0 1 0 1 0 0 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Prawa rachunku zero-jedynkowego to:
3=5=8=9
p<=>q = ~(p$q) = p$~q = ~p$q
I Prawo Papugi:
Między dowolnymi dwoma, tymi samymi punktami:
Jeśli prawdziwe jest zdanie ze spójnikiem „wtedy i tylko wtedy <=>” to fałszywe jest zdanie ze spójnikiem „albo”($) (odwrotnie nie zachodzi)
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~(p$q)
Czytamy:
Jeśli p<=>q =1 to musi być p$q=0 bowiem wtedy tylko wtedy będzie zachodziła tożsamość logiczna:
p<=>q = ~(p$q) = ~(0) =1
Dowód w równaniach logicznych zachodzącego wyżej prawa rachunku zer-jedynkowego.
Definicja spójnika równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p$q = (p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~(p$q)) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~(p$q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q = p<=>q
cnd
7.3.3 Spójnik „albo”($) wyrażony równoważnością <=>
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($)
p q p$q
A: 1 $ 1 =0
B: 1 $ 0 =1
C: 0 $ 0 =0
D: 0 $ 1 =1
|
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q
p q p<=>q
A: 1<=>1 =1
B: 1<=>0 =0
C: 0<=>0 =1
D: 0<=>1 =0
|
Sprawdzamy czy matematycznie zachodzi II prawo Papugi.
| Kod: |
p q p$q p<=>q p$q=~(p<=>q) ~p ~q p<=>~q ~p<=>q
A: 1 $ 1 =0 1 0 0 0 0 0
B: 1 $ 0 =1 0 1 0 1 1 1
C: 0 $ 0 =0 1 0 1 1 0 0
D: 0 $ 1 =1 0 1 1 0 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Prawa rachunku zero-jedynkowego to:
3=5=8=9
p$q = ~(p<=>q) = p<=>~q = ~p<=>q
II Prawo Papugi:
Między dowolnymi dwoma, tymi samymi punktami:
Jeśli prawdziwe jest zdanie ze spójnikiem „albo”($) to fałszywe jest zdanie ze spójnikiem „tedy i tylko wtedy <=>” (odwrotnie nie zachodzi)
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p$q = ~(p<=>q)
Czytamy:
Jeśli p$q =1 to musi być p<=>q =0 bowiem wtedy tylko wtedy będzie zachodziła tożsamość logiczna:
p$q = ~(p<=>q) = ~(0) =1
Dowód w równaniach logicznych zachodzącego wyżej prawa rachunku zer-jedynkowego.
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Definicja spójnika równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = (p*q) + (~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~(p<=>q)) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~(p<=>q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q = p$q
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 23:26, 27 Paź 2020, w całości zmieniany 4 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35357
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 0:50, 30 Paź 2020 Temat postu: |
|
|
8.0 Obietnice i groźby
Spis treści
8.0 Obietnice i groźby 1
8.1 Dlaczego pojęcie Boga jest w logice matematycznej bezcenne? 2
8.2 Obietnica 3
8.2.1 Definicja implikacji prostej p|=>q 4
8.2.2 Obietnica Chrystusa 6
8.2.3 Groźba Chrystusa 9
8.2.4 Historyczne zdanie Chrystusa 12
8.3 Prawo transformacji 15
8.3.1 Prawo transformacji w obietnicy Chrystusa 16
8.0 Obietnice i groźby
Gdy 15 lat temu po raz pierwszy zapisałem prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
i zrozumiałem sens tych praw dzięki obietnicy Chrystusa:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1
nie mogłem odpuścić, musiałem drążyć logikę matematyczną do skutku tzn. do dnia dzisiejszego.
Od początku byłem pewien, że logika matematyczna obowiązująca w naszym Wszechświecie musi być na poziomie 5-cio letniego dziecka, bowiem wykluczone jest aby dzieciak szedł przez życie na bazie chaosu, czyli każda jego decyzja na TAK/NIE byłaby wynikiem „rzucania monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Z punktu widzenia zrozumienia logii matematycznej rządzącej naszym Wszechświatem definicja matematyczna Boga jest bezcenna.
Założenia jakie tu poczyniłem 15 lat temu były następujące:
1.
Logika matematyczna obowiązująca w naszym Wszechświecie musi być identyczna dla Boga i człowieka, inaczej nagroda i kara, niebo i piekło, nie mają sensu.
2.
Bóg nigdy nie kłamie.
Założenie 2 jest tu kluczowe, bowiem człowiek mając większą „wolną wolę” od Boga może kłamać do woli, czyli może gwałcić wszelkie prawa logiki matematycznej obowiązującej w świecie martwym i matematyce. Wzorzec postepowania, rozstrzyganie co jest dobrem a co złem, wyznacza człowiekowi Bóg który bezwzględnie musi spełniać założenie 2.
8.1 Dlaczego pojęcie Boga jest w logice matematycznej bezcenne?
Rozważmy obietnicę:
A.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania komputera
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Nasz przykład:
A: Y = E=>K = ~E+K
Najprostsze rozstrzygnięcie czysto matematyczne kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1) a kiedy nie dotrzyma słowa (~Y=1) jest następujące.
Punkt 1.
Rozstrzygamy kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1).
W tym celu negujemy tożsamość logiczną A dwustronnie:
~Y = ~(~E+K) = E*~K - prawo De Morgana
B: ~Y = E*~K
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> E=1 i ~K=1
Czytamy:
B.
Ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy syn zda egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
B: ~Y = E*~K
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> E=1 i ~K=1
Punkt 2.
W trzech pozostałych zdarzeniach rozłącznych ojciec dotrzyma słowa (Y=1).
Te pozostałe rozłączne zdarzenia to:
Y = A: E*K + C: ~E*~K + D: ~E*K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: E=1 i K=1 lub C: ~E=1 i ~K=1 lub D: ~E=1 i K=1
Czytamy:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya = E*K =1*1 =1 - syn zda egzamin (E=1) i dostanie komputer (K=1)
lub
C: Yc = ~E*~K =1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i nie dostane komputera (~K=1)
lub
D: Yd = ~E*K = 1*1 =1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i dostanie komputer (K=1)
Gdzie:
Ya, Yc, Yd to funkcje logiczne cząstkowe wchodzące w skład funkcji matki Y:
Y = Ya + Yc + Yd
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> Ya=1 lub Yb=1 lub Yc=1
Ostatnie zdanie D: ~E*K to powszechnie znany wśród istot żywych (nie tylko w świecie człowieka) „akt miłości” w stosunku do obietnicy A1: E=>K, czyli wręczenie nagrody (tu komputera) mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (nie zdał egzaminu: ~E=1)
Załóżmy teraz że jest po egzaminie i zaszło zdarzenie:
D: Yd = ~E*K = 1*1 =1 - syn nie zdał egzaminu (~E=1) i dostał komputer (K=1)
Jeśli znamy rozwiązanie D to nastąpi śmierć logiki matematycznej związanej z obietnicą A: E=>K.
Oczywiście pozostałe możliwe zdarzenia w przypadku znajomości rozwiązania będą fałszem tzn. po zajściu zdarzenia D mamy:
A: Ya = E*K =1*1 =0 - nie zaszło (=0) zdarzenie A
B: Yb = E*~K =1*1 =0 - nie zaszło (=0) zdarzenie B
C: Yc = ~E*~K = 1*1 =0 - nie zaszło (=0) zdarzenie C
Jak widzimy w dowolnej obietnicy przy znajomości rozwiązania logika matematyczne popełnia seppuku, czyli w temacie zdania A: E=>K logika nie jest nam potrzebna bo znamy prawdę absolutną:
D: Yd = ~E*K = 1*1 =1 - syn nie zdał egzaminu (~E=1) i dostał komputer (K=1)
… a żadna logika nie ma prawa zmieniać zaistniałej prawdy absolutnej.
Oczywiście jeśli jest po egzaminie A: E=>K i nie znamy rozwiązania, to logika matematyczna dalej wyśmienicie działa, tylko w czasie przeszłym np. poszukiwanie nieznanego mordercy.
Weźmy teraz obietnicę Chrystusa:
A.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1
Wiara w Boga jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Wiara w Boga daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
O tym co zrobi Bóg dowiemy się po śmieci, czyli żaden ziemianin nie zna rozwiązania i tu, na ziemi, nigdy znał nie będzie.
Wobec nieznajomości rozwiązania logika matematyczna związana z obietnicą Chrystusa A: W=>Z w naszym Wszechświecie nigdy nie umrze.
Dokładnie dlatego pojęcie Boga jest w logice matematycznej bezcenne.
8.2 Obietnica
[link widoczny dla zalogowanych]
| Biblia Tysiąclecia napisał: |
Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony; a kto nie uwierzy, będzie potępiony
MK16 |
Zachodzi tożsamość matematyczna pojęć:
Kara:
potępiony = nie zbawiony = piekło
Nagroda:
zbawiony = niebo
stąd:
Zdanie matematycznie tożsame:
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony a kto nie wierzy nie będzie zbawiony
Zajmijmy się pierwszą częścią zdania:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =?
Definicja obietnicy:
A1.
Jeśli dowolny warunek (W=1) to nagroda (N=1)
W=>N =1
Obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N
Na mocy definicji nic a nic nie musimy tu udowadniać, wszystko mamy rozstrzygnięte na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.
8.2.1 Definicja implikacji prostej p|=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => jest (=1) spełniony
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest (=0) spełniony
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia.
Definicja implikacji prostej p|=>q w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q:
AB12: AB34:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5:~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
| Kod: |
T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
---------------------------------------------------------------
p|=>q=~p*q = ~p|~>~q=~p*q [=] q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej ~p|~>~q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
Stąd mamy:
Na mocy definicji zachodzi tożsamość logiczna <=>:
Implikacja prosta p|=>q=~p*q <=> implikacja odwrotna ~p|~>~q = ~p*q
Zauważmy, że implikacja odwrotna ~p|~>~q zachodzi w kolumnie A2B2 w tabeli T2.
Dowód:
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Z kolumny A2B2 odczytujemy:
A2: ~p~>~q =1 - warunek konieczny ~> jest (=1) spełniony
B2: ~p=>~q =0 - warunek wystarczający => między tymi samymi punktami nie jest (=0) spełniony
Stąd mamy:
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = 1*~(0) = 1*1 =1
8.2.2 Obietnica Chrystusa
Definicja obietnicy:
A1.
Jeśli dowolny warunek (W=1) to nagroda (N=1)
W=>N =1
Obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N
Chrystus wypowiada obietnicę:
A1.
Kto wierzy we mnie (W=1) będzie zbawiony (Z=1)
W=>Z =1
Wiara w Boga (W=1) jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia (Z=1)
Zdanie A1 to obietnica będąca częścią implikacji prostej W|=>Z na mocy definicji obietnicy.
Podstawmy w tabeli T2 pod parametry formalne p i q parametry aktualne W i Z z naszego zdania A1.
Podstawiamy:
p=W (wierzy)
q=Z (zbawiony)
Stąd mamy tabelę T3 z naniesionymi parametrami aktualnymi W i Z.
| Kod: |
T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w W|=>Z
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: W=>Z =1 = 2:~W~>~Z=1 [=] 3: Z~>W =1 = 4:~Z=>~W =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: W~~>~Z=0 = [=] = 4:~Z~~>W =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: W~>Z =0 = 2:~W=>~Z=0 [=] 3: Z=>W =0 = 4:~Z~>~W =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
B’: = 2:~W~~>Z=1 [=] 3: Z~~>~W=1
---------------------------------------------------------------
p|=>q=~p*q = ~p|~>~q=~p*q [=] q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
W|=>Z=~W*Z = ~W|~>~Z=~W*Z [=] Z|~>W=Z*~W = ~Z|=>~W=Z*~W
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: W=>Z=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: W~~>~Z=W*~Z=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~W=>~Z=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~W~~>Z =~W*Z=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Obsługę obietnicy W=>Z w czasie przyszłym mamy tu wyłącznie w części AB12.
Część AB34 to obsługa obietnicy W=>Z w czasie przeszłym, tą częścią tabeli zajmiemy się za chwilę, po zrozumieniu części AB12.
Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to operator wyrażony dokładnie czterema zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” które uwzględniają wszystkie możliwe przeczenia p i q w tym samym kierunku.
Aksjomatyczną definicję implikacji prostej W|=>Z z której wynika tabela zero-jedynkowa spójnika warunku wystarczającego => mamy tu jak na dłoni w obszarze AB12.
Definicja implikacji prostej W|=>Z to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2.
Odpowiedź na te pytania mamy w obszarze AB12.
1.
Co się stanie z człowiekiem który wierzy (W=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1, to zdania A1 i A1’
Chrystus:
A1.
Kto wierzy we mnie (W=1) na 100% => będzie zbawiony (Z=1)
W=>Z =1
Kto wierzy w Boga na 100% => zostanie zbawiony z powodu wiary w Boga.
Wiara w Boga jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Wiara w Boga daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem.
A1’
Kto wierzy we mnie może ~~> nie zostać zbawiony
W~~>~Z = W*~Z =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: człowiek wierzy (W=1) i nie zostaje zbawiony (~Z=1).
Wykluczone jest (=0) aby Bóg, wierzącego w niego człowieka nie zbawił.
Zauważmy, że człowiek w swoich obietnicach typu A1 ma prawo do kłamstwa (oszuści z tego korzystają), czyli może ustawić jedynkę w zdaniu A1. Bóg nie prawa do kłamstwa, czyli nie ma prawa ustawić w zdaniu A1 logicznej jedynki, z czego wynika że ma mniejszą „wolną wolę” od człowieka.
2.
Co się stanie z człowiekiem który nie wierzy (~W=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2, to zdania A2 i B2’
Prawo Kubusia:
A1: W=>Z = A2: ~W~>~Z
Człowiek do Chrystusa:
… a jak kto nie wierzy Panie?
Chrystus:
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) nie będzie zbawiony (~Z=1)
~W~>~Z =1
Brak wiary w Boga (~W=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z=1), bo jak kto wierzy (W=1) to na 100% => zostanie zbawiony (Z=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~W~>~Z = A1: W=>Z
LUB
B2’
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) może ~~> zostać zbawiony (Z=1)
~W~~>Z = ~W*Z =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: człowiek nie wierzy (~W=1) i zostaje zbawiony (Z=1)
Taką możliwość mamy na mocy definicji obietnicy W=>Z wchodzącej w skład implikacji prostej W|=>Z, tu nic a nic nie musimy udowadniać.
Zdanie B2’ to piękny akt miłości z punktu widzenia obietnicy A1: W=>Z.
Na mocy zdania B2’ Bóg ma możliwość zbawienia nie wierzącego w niego człowieka i matematycznym kłamcą nie jest.
To jest „akt miłości”, czyli prawo do wręczenia nagrody (zbawienie) mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (nie wierzył).
Zdanie B2’ to również „akt łaski” w stosunku do groźby A2: ~W~>~Z.:
Jeśli człowiek spełni warunek kary (nie wierzy: ~W=1) to Chrystus ma prawo darować karę zależną od niego, czyli mimo wszystko zbawić nieszczęśnika (Z=1).
„Akt miłości” i „akt łaski” to powszechnie znane prawa logiki matematycznej nie tylko wśród ludzi, ale także wśród zwierząt.
W groźbie nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary zależnej od niego:
Przykład 1:
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)
Przykład 2:
Jan Paweł II i Ali Agca
Zauważmy, że prywatnie JPII wybaczył Ali Agcy zamach na swoje życie, nie ma jednak prawa do zmiany ustawodawstwa które za taki czyn karze więzieniem, bez względu na to czy poszkodowany wybaczył zamachowcowi, czy nie wybaczył.
Podsumowanie:
Mamy obietnicę Chrystusa:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1
Przypadek 1.
Zauważmy, że wypowiadając obietnicę A1 Chrystus pozbawia się „wolnej woli” w sensie absolutnym (wszystko może się zdarzyć) bowiem wierzącego w niego człowieka musi wpuścić do nieba - nie może posłać do piekła.
Zauważmy jednak, że „wolnej woli” w sensie absolutnym (wszystko może się zdarzyć) Chrystus pozbawił się dobrowolnie wypowiadając obietnicę A1.
Nie ma tu zatem mowy o ograniczeniu rzeczywistej „wolnej woli” Chrystusa.
Przypadek 2.
… a jak kto nie wierzy Panie?
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) nie będzie zbawiony (~Z=1)
~W~>~Z =1
Brak wiary w Boga (~W=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z=1), bo jak kto wierzy (W=1) to na 100% => zostanie zbawiony (Z=1)
LUB
B2’
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) może ~~> zostać zbawiony (Z=1)
~W~~>Z = ~W*Z =1
Możliwe jest zdarzenie: człowiek nie wierzy (~W=1) i zostaje zbawiony (Z=1).
Zauważmy, że w przypadku człowieka nie wierzącego (~W=1) Chrystus nie ma szans na matematyczne kłamstwo.
Cokolwiek nie zrobi to nie skłamie.
Innymi słowy:
Nie wierzącego w niego człowieka może posłać do piekła na mocy zdania A2 (wtedy prawdziwe będzie zdanie A2 i fałszywe B2’) albo posłać do nieba na mocy zdania B2’ (tu prawdziwe będzie zdanie B2’ i fałszywe A2)
W skrajnym przypadku Chrystus może zbawić wszystkich ludzi (nawet Hitlera) i nie będzie matematycznym kłamcą. W tym przypadku zdanie B2’ będzie prawdą absolutną (zbawieni wszyscy) natomiast zdanie A2 będzie fałszem absolutnym (nie ma nikogo w piekle)
Wiedzą o tym filozofowie, wystarczy kliknąć na googlach:
powszechne zbawienie
Wyników: 601 000
Przykład:
[link widoczny dla zalogowanych]
Na zakończenie zauważmy, że groźba B2’ może być wypowiedziana w dowolnie ostrej formie na przykład tak:
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) na 100% ~> nie będzie zbawiony (~Z=1)
~W~>~Z =1
Na mocy definicji dowolną groźbę musimy kodować warunkiem koniecznym ~> A2 z możliwością darowania kary w zdaniu B2’.
Nawet osławiony „grzech przeciwko Duchowi Świętemu” również musimy kodować warunkiem koniecznym A2: ~W~>~Z wchodzącym w skład implikacji odwrotnej ~W|~>~Z, czyli z prawem Chrystusa do darowania dowolnej kary zależnej od niego.
Chrystus ma prawo wybaczyć niewierzącemu także grzech przeciwko Duchowi Świętemu, inaczej „wolna wola” Chrystusa, czyli prawo do darowania dowolnej kary zależnej od niego, leży w gruzach.
Stąd mamy wyprowadzoną definicję groźby.
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Tu nic a nic nie musimy udowadniać. W groźbie mamy zdeterminowaną serię czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w tym samym kierunku.
8.2.3 Groźba Chrystusa
Ogólną definicję groźby wyprowadziliśmy ciut wyżej.
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Załóżmy, że Chrystus wypowiada zdanie:
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) na 100% ~> nie zostanie zbawiony (~Z=1)
~W~>~Z =1
Brak zbawienia to kara, zatem zdanie A2 musimy kodować warunkiem koniecznym A2:~W~>~Z wchodzącym w skład implikacji odwrotnej ~W|~>~Z.
Brak wiary jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia, ale nie wystarczającym => bo Chrystus, identycznie jak człowiek, ma prawo do darowania dowolnej kary zależnej od niego zdaniem B2’.
LUB
B2’
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) może ~~> zostać zbawiony (Z=1)
~W~~>Z = ~W*Z =1
Zauważmy, że w przypadku człowieka nie wierzącego (~W=1) Chrystus nie ma szans na matematyczne kłamstwo - może człowiek nie zbawić na mocy zdania A2 albo może go zbawić na mocy zdania B2’.
Cokolwiek nie zrobi to nie skłamie.
.. a jak kto wierzy Panie?
Prawo Kubusia:
A2: ~W~>~Z = A1: W=>S
stąd:
A1.
Kto wierzy we mnie (W=1) na 100% => będzie zbawiony (Z=1)
W=>Z =1
Kto wierzy w Boga na 100% => zostanie zbawiony z powodu wiary w Boga.
Wiara w Boga jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem.
A1’
Kto wierzy we mnie może ~~> nie zostać zbawiony
W~~>~Z = W*~Z =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: człowiek wierzy (W=1) i nie zostaje zbawiony (~Z=1)
Wykluczone jest (=0) aby Bóg, wierzącego w niego człowieka nie zbawił.
Podsumowanie:
Groźba Chrystusa:
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) na 100% ~> nie zostanie zbawiony (~Z=1)
~W~>~Z =1
Każda groźba, na mocy definicji jest częścią implikacji odwrotnej ~W|~>~Z.
Definicja implikacji odwrotnej ~W|~>~Z:
Implikacja odwrotna ~W|~>~Z to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~W~>~Z =1 - brak wiary jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia
B2: ~W=>~Z =0 - brak wiary nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla nie zbawienia
bo zarówno Chrystus, jak i człowiek mają prawo do darowania dowolnej kary
zależnej od nadawcy - na mocy definicji groźby.
Stąd mamy implikację odwrotną ~W|~>~Z w równaniu logicznym:
~W|~>~Z = (A2: ~W~>~Z)*~(B2: ~W=>~Z) = 1*~(0) = 1*1 =1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna <=> implikacji:
Implikacja prosta W|=>Z =~W*Z <=> Implikacja odwrotna ~W|~>~Z = ~W*Z
Z powyższego wynika że implikacja odwrotna ~W|~>~Z będzie opisana identyczną tabelą związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> jak implikacja prosta W|=>Z.
| Kod: |
T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w ~W|~>~Z
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: W=>Z =1 = 2:~W~>~Z=1 [=] 3: Z~>W =1 = 4:~Z=>~W =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: W~~>~Z=0 = [=] = 4:~Z~~>W =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: W~>Z =0 = 2:~W=>~Z=0 [=] 3: Z=>W =0 = 4:~Z~>~W =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
B’: = 2:~W~~>Z=1 [=] 3: Z~~>~W=1
---------------------------------------------------------------
p|=>q=~p*q = ~p|~>~q=~p*q [=] q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
W|=>Z=~W*Z = ~W|~>~Z=~W*Z [=] Z|~>W=Z*~W = ~Z|=>~W=Z*~W
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: W=>Z=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: W~~>~Z=W*~Z=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~W=>~Z=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~W~~>Z =~W*Z=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Podsumowanie:
| Kod: |
T4
AB12 - implikacja prosta W|=>Z
Implikacja prosta W|=>Z to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co się stanie z wierzącymi (W=1)?
A1: W=>Z =1 - kto wierzy (W=1) ma gwarancję => zbawienia (Z=1)
A1’: W~~>~Z=0 - zakaz posyłania wierzących (W=1) do piekła (~Z=1)
2.
Co się stanie z niewierzącymi (~W=1)?
A2: ~W~>~Z =1 - brak wiary jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia
Bóg może ~> umieścić niewierzącego w piekle
LUB
B2’:~W~~>Z =1 - prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy
Bóg może ~~> wybaczyć brak wiary (~W=1) i wpuścić do nieba
|
| Kod: |
T5
AB12 - implikacja odwrotna ~W|~>~Z
Implikacja odwrotna to odpowiedź na dwa pytania 2 i 1:
2.
Co się stanie z niewierzącymi (~W=1)?
A2: ~W~>~Z =1 - brak wiary jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia
Bóg może ~> umieścić niewierzącego w piekle
LUB
B2’:~W~~>Z =1 - prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy
Bóg może ~~> wybaczyć brak wiary (~W=1) i wpuścić do nieba
1.
Co się stanie z wierzącymi (W=1)?
A1: W=>Z =1 - kto wierzy (W=1) ma gwarancję => zbawienia (Z=1)
A1’: W~~>~Z=0 - zakaz posyłania wierzących (W=1) do piekła (~Z=1)
|
Doskonale widać, że zdania warunkowe A1, A1’, A2 i B2’ w tabelach T4 i T5 są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka.
Matematycznie, zdania w tabelach T4 i T5 możemy wypowiadać w dowolnej (losowej) kolejności, to bez znaczenia.
Wynika z tego że implikacja prosta W|=>Z jest tożsama z implikacją odwrotną ~W|~>~Z co potwierdzają prawa rachunku zero-jedynkowego:
Implikacja prosta W|=>Z=~W*Z <=> implikacja odwrotna ~W|~>~Z = ~W*Z
cnd
8.2.4 Historyczne zdanie Chrystusa
Historyczne zdanie Chrystusa to połącznie w jedynym zdaniu obietnicy W=>Z i groźby ~W~>~Z
Weźmy na tapetę to historyczne zdanie:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Biblia Tysiąclecia napisał: |
Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony; a kto nie uwierzy, będzie potępiony
MK16 |
Zachodzi tożsamość matematyczna pojęć:
Kara:
potępiony = nie zbawiony = piekło
Nagroda:
zbawiony = niebo
stąd:
Zdanie matematycznie tożsame:
A1A2:
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony a kto nie wierzy nie będzie zbawiony
A1A2: (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z) =1*1 =1
Wyjaśnienie:
I.
Pierwsza część zdania to obietnica którą musimy kodować warunkiem wystarczającym =>:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1 - wiara jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
II.
Druga część zdania to groźba którą musimy kodować warunkiem koniecznym ~>:
A2.
Kto nie wierzy we mnie, nie będzie zbawiony
~W~>~Z =1 - brak wiary (W=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z=1)
bo jak kto wierzy (W=1) to na 100% => zostanie zbawiony (Z=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2:~W~>~Z = A1: W=>Z
Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Na mocy definicji tożsamości logicznej Chrystus może wypowiedzieć dowolne zdanie wchodzące w skład prawa Kubusia, to wystarczy, bowiem prawdziwość jednego determinuje prawdziwość drugiego.
A1: W=>Z =1 - warunek wystarczający ~> wchodzący w skład implikacji prostej W|=>Z
A2: ~W~>~Z=1 - warunek konieczny ~> wchodzący w skład implikacji odwrotnej ~W~>~Z
Nic też nie stoi na przeszkodzie, by wypowiedzieć oba zdania jednocześnie jak to zrobił Chrystus:
A1A2:
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony a kto nie wierzy nie będzie zbawiony
A1A2: (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z) =1*1 =1
Zauważmy, że w prawie Kubusia po stronie A1: W=>Z mamy niebo (=zbawiony) natomiast po stronie A2: ~W~>~Z mamy piekło (nie zbawiony)
Relacja matematyczna wiążąca niebo (zbawiony: Z=1) i piekło (nie zbawiony: ~Z=1) to relacja spójnika logicznego „albo”($) z języka potocznego człowieka.
NAP:
Po śmierci dowolny człowiek może trafić do nieba albo do piekła (trzeciej możliwości brak)
N$P =1
Zdanie matematycznie tożsame:
Po śmierci dowolny człowiek może zostać zbawiony (Z=1) albo nie zostać zbawiony (~Z=1)
Z$~Z =1
Sprawdźmy czy to zdanie spełnia definicję spójnika „albo”($).
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Z
q=~Z
Stąd mamy:
Z$~Z = Z*~(~Z) + ~(Z)*(~Z) = Z*Z + ~Z*~Z = Z+~Z =1
Oczywistym jest że relacja równoważności między niebem (Z=1) a piekłem (~Z=1) musi być fałszem.
Definicja równoważności <=> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=Z
q=~Z
Stąd mamy:
Z<=>~Z = Z*~Z + ~(Z)*~(~Z) = Z*~Z + ~Z*Z = [] + [] =[] =0
gdzie:
[] - zbiór pusty, bo piekło i niebo są rozłączne
Analiza zdania złożonego A1A2:
A1A2:
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony a kto nie wierzy nie będzie zbawiony
A1A2: (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z) =1*1 =1
Prawo Kubusia:
A1: W=>Z = A2: ~W~>~Z
Na mocy prawa Kubusia ze zdania A1A2 możemy wyrugować zdanie A2:~W~>~Z:
A1A2: (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z) = (A1: W=>Z)*(A1: W=>Z) = A1: W=>Z
Wynika z tego, że zdanie tożsame do zdania A1A2 brzmi:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1 - wiara jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Podobnie:
Prawo Kubusia:
A1: W=>Z = A2: ~W~>~Z
Na mocy prawa Kubusia ze zdania A1A2 możemy wyrugować zdanie A1: W=>Z:
A1A2: (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z) = (A2:~W~>~Z)*(A2:~W~>~Z) = A2: ~W~>~Z
Wynika z tego, że zdanie tożsame do zdania A1A2 brzmi:
A2.
Kto nie wierzy we mnie nie będzie zbawiony
~W~>~Z =1 - brak wiary jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia
Z powyższego wynika, że zachodzi tożsamość logiczna zdań:
A1A2: (A1: W=>Z)*(A2:~W~>~Z) = A1: W=>Z = A2: ~W~>~Z
to samo w zapisie formalnym:
W=p
Z=q
A1A2: (A1: p=>q)*(A2:~p~>~q) = A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Dowód zachodzących tożsamości logicznych w rachunku zero-jedynkowym:
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
stąd mamy:
A2: ~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q = A1: p=>q
cnd
oraz:
A1A2: (A1: p=>q)*(A2:~p~>~q) = (A1: p=>q)*(A1: p=>q) = A1: p=>q = ~p+q
Historyczne wnioski:
Jest kompletnie bez znaczenia które ze zdań wypowie Chrystus A1A2, A1 czy też A2 bowiem te zdania są matematycznie tożsame.
A1A2:
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony a kto nie wierzy nie będzie zbawiony
A1A2: (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z) =1*1 =1
A1A2 = A1
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1 - wiara jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
A1A2=A1=A2
A2.
Kto nie wierzy we mnie nie będzie zbawiony
~W~>~Z =1 - brak wiary jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia
Bez względu które ze zdań wypowie Chrystus to końcowy skutek w postaci czterech zdań warunkowych A1, A1’, A2 i B2’ wchodzących w skład implikacji prostej W|=>Z będzie identyczny.
| Kod: |
T4
AB12 - implikacja prosta W|=>Z
Implikacja prosta W|=>Z to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co się stanie z wierzącymi (W=1)?
A1: W=>Z =1 - kto wierzy (W=1) ma gwarancję => zbawienia (Z=1)
A1’: W~~>~Z=0 - zakaz posyłania wierzących (W=1) do piekła (~Z=1)
2.
Co się stanie z niewierzącymi (~W=1)?
A2: ~W~>~Z =1 - brak wiary jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia
Bóg może ~> umieścić niewierzącego w piekle
LUB
B2’:~W~~>Z =1 - prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy
Bóg może ~~> wybaczyć brak wiary (~W=1) i wpuścić do nieba
|
8.3 Prawo transformacji
Definicja transformacji:
Transformacja to uwzględnienie zależności przyczynowo skutkowych z uwzględnieniem czasu w logice matematycznej
Zauważmy, że każda obietnica jest naturalnym zdarzeniem przyczynowo skutkowym dotyczącym tylko i wyłącznie w przyszłości, bowiem w obietnicy typu p=>q nie można zamienić przyczyny p ze skutkiem q w czasie przyszłym.
Przykład obietnicy w czasie przyszłym:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => otworzę parasolkę (P=1)
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie przyczyna (będzie padało) to nastąpi skutek (otworzę parasolkę)
P=>OP =1
Padanie w dniu jutrzejszym jest warunkiem wystarczającym => do tego abym otworzył parasolkę
Dlaczego w obietnicy A1 nie wolno zamieniać poprzednika p z następnikiem q?
Prawo kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
Nasz przykład:
A1: P=>OP = A4: ~OP=>~P
Czytamy zdanie A4 w czasie przyszłym:
A4.
Jeśli jutro nie otworzę parasolki (~OP=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~OP=>~P =?
Brak otwarcia parasolki w dniu jutrzejszym jest warunkiem wystarczającym => do tego aby jutro nie padało
Mam nadzieję, że wszyscy już zrozumieli dlaczego w obietnicy nie wolno zamieniać poprzednika z następnikiem.
…ale, ale!
Czyżby to było równoznaczne z obaleniem matematycznej świętości, prawa kontrapozycji?
Oczywiście NIE!
Prawo transformacji:
Wszelkie zdania warunkowe przyczynowo skutkowe „Jeśli p to q” w czasie przyszłym, po zamianie p i q transformują się do czasu przeszłego.
Zróbmy restart naszej analizy:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => otworzę parasolkę (P=1)
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie przyczyna (będzie padało) to nastąpi skutek (otworzę parasolkę)
P=>OP =1
Padanie w dniu jutrzejszym jest warunkiem wystarczającym => do tego abym otworzył parasolkę
Prawo kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
Nasz przykład:
A1: P=>OP = A4: ~OP=>~P
Na mocy prawa transformacji zdanie A4 musimy czytać w czasie przeszłym:
A4.
Jeśli wczoraj nie otworzyłem parasolki to na 100% => nie padało
~OP=>~P =1
Jak widzimy teraz wszystko gra i buczy, logika matematyczna obowiązująca w naszym Wszechświecie została uratowana w banalnie prosty sposób.
8.3.1 Prawo transformacji w obietnicy Chrystusa
Chrystus:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1
Wiara w Boga daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia
Spójrzmy na obietnicę Chrystusa z punktu widzenia prawa transformacji.
Przypomnijmy sobie definicję implikacji prostej W|=>Z w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>.
| Kod: |
T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w ~W|~>~Z
AB12: | AB34:
Przyszłość/przeszłość | Przeszłość
----------------------------------------------------------
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: W=>Z =1 = 2:~W~>~Z=1 [=] 3: Z~>W =1 = 4:~Z=>~W =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: W~~>~Z=0 = [=] = 4:~Z~~>W =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: W~>Z =0 = 2:~W=>~Z=0 [=] 3: Z=>W =0 = 4:~Z~>~W =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
B’: = 2:~W~~>Z=1 [=] 3: Z~~>~W=1
---------------------------------------------------------------
p|=>q=~p*q = ~p|~>~q=~p*q [=] q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
W|=>Z=~W*Z = ~W|~>~Z=~W*Z [=] Z|~>W=Z*~W = ~Z|=>~W=Z*~W
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: W=>Z=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: W~~>~Z=W*~Z=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~W=>~Z=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~W~~>Z =~W*Z=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo transformacji:
Wszelkie zdania warunkowe przyczynowo skutkowe „Jeśli p to q” w czasie przyszłym, po zamianie p i q transformują się do czasu przeszłego (obszar AB34).
Wszelkie zdania warunkowe przyczynowo skutkowe „Jeśli p to q” bez zamiany p i q prawdziwe są zarówno w czasie przyszłym (obszar AB12) jak i w czasie przeszłym (obszar AB12).
Zobaczmy jak działa prawo transformacji na przykładzie obietnicy Chrystusa.
Chrystus:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1 - wiara w Boga jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia.
p=>q =1
Zdanie startowe, punkt odniesienia:
p=W
q=Z
W całej dalszej analizie nie wolno nam zmienić tego punktu odniesienia.
Doskonale widać, że obsługę obietnicy W=>Z w czasie przyszłym mamy tu wyłącznie w części AB12.
Obsługę obietnicy W=>Z w czasie przeszłym bez zamiany przyczyny (wierzy) ze skutkiem (zbawiony) również mamy w obszarze AB12.
Część AB34 to obsługa obietnicy po zamianie przyczyny (wierzy) ze skutkiem (zbawiony) prawdziwa wyłącznie w czasie przeszłym.
Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to operator wyrażony dokładnie czteroma zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” które uwzględniają wszystkie możliwe przeczenia p i q w tym samym kierunku.
Aksjomatyczną definicję implikacji prostej W|=>Z z której wynika tabela zero-jedynkowa spójnika warunku wystarczającego => mamy tu jak na dłoni w obszarze AB12.
Przypadek I
Obszar AB12:
Czas teraźniejszy, X jest żywy, wśród nas:
Definicja implikacji prostej W|=>Z to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2.
Odpowiedź na te pytania mamy w obszarze AB12.
1.
Co się stanie z X-sem który wierzy (W=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1, to zdania A1 i A1’
A1.
Jeśli X wierzy to na 100% => zostanie zbawiony
W=>Z =1
p=>q =1
Wiara w Boga jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem
A1’
Jeśli X wierzy to może ~~> nie zostać zbawiony
W~~>~Z = W*~Z =0
p~~>~q = p*~q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: człowiek wierzy (W=1) i nie zostaje zbawiony (~Z=1) bowiem Bóg z definicji nie ma prawa do kłamstwa.
2.
Co się stanie z X-sem który nie wierzy (~W=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2, to zdania A2 i B2’
Prawo Kubusia:
A1: W=>Z = A2: ~W~>~Z
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Stąd:
A2.
Jeśli X nie wierzy to może ~> nie zostać zbawiony
~W~>~Z =1
~p~>~q =1
Brak wiary w Boga (~W=1) jest warunkiem koniecznym dla nie zbawienia (~Z=1), bo jak kto wierzy (W=1) to na 100% => zostanie zbawiony (Z=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~W~>~Z = A1: W=>Z
LUB
B2’
Jeśli X nie wierzy to może ~~> zostać zbawiony
~W~~>Z = ~W*Z =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: człowiek nie wierzy (~W=1) i zostaje zbawiony (Z=1)
Taką możliwość mamy na mocy definicji obietnicy W=>Z wchodzącej w skład implikacji prostej W|=>Z, tu nic a nic nie musimy udowadniać.
Zdanie B2’ to piękny akt miłości z punktu widzenia obietnicy A1: W=>Z tożsamy z aktem łaski z punktu widzenia groźby A2: ~W~>~Z.
Przypadek II
Czas przeszły, X umarł 10 lat temu:
Czas przeszły bez zamiany p (przyczyna) z q (skutek) opisuje identyczna seria zdań jak wyżej lecz wypowiadanych w czasie przeszłym - z tego powodu do zdań niżej dodajemy na końcu literkę P sygnalizującą czas przeszły.
A1P.
Jeśli X wierzył w Boga to na pewno => został zbawiony
W=>Z =1
p=>q =1
Wiara w Boga jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Kontrprzykład A1P’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1P musi być fałszem.
A1P’.
Jeśli X wierzył w Boga to mógł ~~> nie zostać zbawiony
W~~>~Z = W*~Z =0
Nie jest możliwe (=0), że wierzący X nie został zbawiony jeśli wierzył w Boga, na mocy gwarancji matematycznej A1: W=>Z =1
… a jeśli kto nie wierzył?
Prawo Kubusia działa zawsze, niezależnie od czasu:
A1P: W=>Z = A2P: ~W~>~Z
A2P.
Jeśli X nie wierzył w Boga to mógł ~> nie zostać zbawiony
~W~>~Z =1
~p~>~q =1
Brak wiary jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia, mogło się zatem zdarzyć że niewierzący X wylądował w piekle (nie został zbawiony: ~Z=1)
LUB
B2P’.
Jeśli X nie wierzył w Boga to mógł ~~> zostać zbawiony
~W~~>Z = ~W*Z =1
~p~~>q = ~p*q =1
Tu Bóg miał prawo do skorzystania z „aktu miłości” względem obietnicy A1P: W=>Z, czyli wręczył X-owi nagrodę (niebo), mimo że ten nie spełnił warunku nagrody (nie wierzył: ~W).
Przypadek III
Czas przeszły z zamianą p i q, X umarł 10 lat temu:
W obietnicy A1: W=>Z po zamianie p i q obowiązuje nas prawo transformacji, czyli zdanie A3: Z~>W prawdziwe jest wyłącznie w czasie przeszłym.
Idziemy do obszaru AB34:
A3.
Jeśli X został zbawiony (Z=1) to mógł ~> wierzyć (W=1)
Z~>W =1
q~>p =1
Wszyscy wierzący mają gwarancję matematyczną => zbawienia na mocy obietnicy A1: W=>Z, zatem jeśli X został zbawiony to mógł wierzyć.
LUB
B3’.
Jeśli X został zbawiony to mógł ~~> nie wierzyć
Z~~>~W =1
q~~>~p =1
Jest taka możliwość, tu Chrystus skorzystał z aktu łaski (zdanie B2’:~W~~>Z =1) w stosunku do X-a, czyli X nie wierzył (~W=1) a mimo wszystko został zbawiony (Z=1).
… a jeśli X nie został zbawiony?
Prawo Kubusia działające także w czasie przeszłym:
A3: q~>p = A4:~q=>~p
A3: Z~>W = A4: ~Z=>~W
A4.
Jeśli X nie został zbawiony to na 100% => nie wierzył
~Z=>~W =1
~q=>~p =1
Wszyscy wierzący mają gwarancję matematyczną zbawienia A1: W=>Z =1, zatem jeśli X nie został zbawiony to na 100% => nie wierzył
Kontrprzykład A4’ do prawdziwego warunku wystarczającego A4 musi być fałszem.
A4’.
Jeśli X nie został zbawiony to mógł ~~> wierzyć
~Z~~>W = ~Z*W =0
Nie jest możliwe (=0), aby ktoś wierzył i nie został zbawiony, bo wszyscy wierzący mają gwarancję matematyczną=> zbawienia A1: W=>Z =1
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 8:49, 31 Paź 2020, w całości zmieniany 12 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35357
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 8:53, 30 Paź 2020 Temat postu: |
|
|
Spis treści
8.4 Definicja „wolnej woli” 1
8.5 Klasyka obietnicy 2
8.5.1 Rozstrzygnięcia w obietnicy w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 5
8.5.2 Obietnica w równaniach logicznych 7
8.6 Klasyka groźby 9
8.6.1 Rozstrzygnięcia w groźbie w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 12
8.6.2 Groźba w równaniach logicznych 14
8.7 Rodzaje obietnic 15
8.4 Definicja „wolnej woli”
Definicja wolnej woli:
Wolna wola to możliwość gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej obowiązujących w świecie martwym.
Z definicji wynika, że o „wolnej woli” możemy mówić wyłącznie w stosunku do świata żywego. Z powyższej definicji wynika, że „wolną wolę” mają wszelkie istoty żywe.
Matematyka:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Podzielność dowolnej liczby przez 8 daje nam gwarancję matematyczną => jej podzielności przez 2
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego A1 musi być fałszem:
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów nie jest (=0) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
Na mocy definicji elementu wspólnego zbiorów ~~> nie ma tu szans na zaznaczenie iż element wspólny zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] istnieje (=1) bo zbiory P8 i ~P2 są rozłączne.
Świat martwy:
A2.
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład A2’ dla warunku wystarczającego A2 musi być fałszem:
A2’
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =[] =0
Nie jest możliwe (=0) zdarzenie: pada (P) i nie ma chmur (~CH).
Tu również nie ma najmniejszych przypisania zdaniu A2’ logicznej jedynki, bo zdarzenie A2’ jest po prostu niemożliwe (=0) … o czym każdy 5-cio latek wie.
Jest oczywistym, że powyższe gwarancje matematyczne => nie mogą być złamane tzn. świat matematyki i świat martwy nie jest w stanie złamać tych gwarancji (ustawić wynikową jedynkę) bo nie ma „wolnej woli”!
Zobaczmy teraz jak jest z identyczną gwarancją matematyczną => w świecie żywym.
Kowalski do Maliniaka:
A3.
Jeśli pożyczysz mi 100 tys złotych to za rok oddam ci 130tys złotych
P100=>O130 =1
Innymi słowy:
Kowalski daje Maliniakowi gwarancję matematyczną => 30% zysku w skali roku pod warunkiem że Maliniak zainwestuje te 100tys.
Kontrprzykład A3’ dla warunku wystarczającego => A3 musi być fałszem.
A3.
Jeśli pożyczysz mi 100 tys złotych to za mogę ~~> nie oddać ci 130tys złotych
P100~~>~O130 = P100*~O130 =0
Zakaz (=0) nie dotrzymania obietnicy A3
Pytanie:
Czy gwarancja matematyczna => A3 ma identyczną pewność absolutną jak w przypadku gwarancji matematycznej A1, czy też fizycznej A2?
Odpowiedź: NIE!
Jest oczywistym, że Kowalski może tu kłamać do woli, zatem może gwałcić identyczną gwarancję matematyczną => jak w świecie matematyki A1, czy też w świecie martwym A2
Zgwałcenie gwarancji matematycznej A3 polega tu na ustawieniu jedynki w zdaniu A3’, czyli Maliniak pożycza Kowalskiemu 100tys a ten nie odda mu obiecanych 130tys.
Każde udane oszustwo musi być tak skonstruowane, by odbiorca nie domyślił się że jest oszukiwany.
Przykładem jednego z największych oszustów jest Madoff, który przy pomocy piramidy Madoffa wyłudził od swoich klientów 35mld USD.
[link widoczny dla zalogowanych]
Podsumowując:
Zauważmy, że wyłącznie dzięki gwarancjom matematycznym ze świata matematyki A1, czy też ze świata martwego A2 jesteśmy w stanie odpowiedzieć na pytanie:
Kiedy w przyszłości Kowalski dotrzyma słowa (Y=1) a kiedy skłamie (~Y=1 - nie dotrzyma słowa)?
8.5 Klasyka obietnicy
Definicja obietnicy =>:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodząca w skład implikacji prostej W|=>N:
W|=>N = (A1: W=>N)*~(B1: W~>N) =1*~(0) =1*1 =1
Rozważmy obietnicę:
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) dostaniesz komputer (K=1)
E=>K
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostanie komputera
Na mocy definicji obietnicy warunek wystarczający A1: E=>K jest częścią implikacji prostej E|=>K.
Podstawmy tą obietnicę do diagramu warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji prostej E|=>K.
| Kod: |
T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w E|=>K
AB12: | AB34:
Przyszłość/przeszłość | Przeszłość
----------------------------------------------------------
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: E=>K =1 = 2:~E~>~K=1 [=] 3: K~>E =1 = 4:~K=>~E =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: E~~>~K=0 = [=] = 4:~K~~>E =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: E~>K =0 = 2:~E=>~K=0 [=] 3: K=>E =0 = 4:~K~>~E =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
B’: = 2:~E~~>K=1 [=] 3: K~~>~E=1
---------------------------------------------------------------
p|=>q=~p*q = ~p|~>~q=~p*q [=] q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
E|=>K=~E*K = ~E|~>~K=~E*K [=] K|~>E=K*~E = ~K|=>~E=K*~E
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: E=>K=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: E~~>~K=E*~K=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~E=>~K=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~E~~>K =~E*K=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Obsługę obietnicy w czasie przyszłym mamy w części AB12.
Operator implikacji prostej E|=>K to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co może się wydarzyć jeśli zdam egzamin (E=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1.
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) do na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania komputera.
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem
A1’.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to możesz ~~> nie dostać komputera (~K=1)
E~~>~K =E*~K =0 - zakaz złamania obietnicy A1, dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Świat martwy i matematyka nie jest fizycznie w stanie ustawić tu wynikowej jedynki, ale człowiek, mając „wolną wolę” wynikową jedynkę w zdaniu A1’ może ustawić, czyli ojciec po zdanym egzaminie może nie kupić synowi komputera. W tym przypadku ojciec będzie kłamcą (nie dotrzyma obietnicy) … o czym każdy 5-cio latek wie.
2.
Co może się wydarzyć jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2
… a jeśli nie zdam egzaminu ?
Prawo Kubusia:
A1: E=>K = A2:~E~>~K
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to nie dostaniesz komputera (~K=1)
~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu (~E=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie dostania komputera (~K=1), bo jak syn zda egzamin (E=1) to na 100% => dostanie komputer (K=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2:~E~>~K = A1: E=>K
LUB
B2’.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to możesz ~~> dostać komputer (K=1)
~E~~>K =1
To jest powszechnie znany w przyrodzie „akt miłości” w odniesieniu do obietnicy A1: E=>K, czyli prawo wręczenia nagrody (komputera: K=1) mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (nie zdał egzaminu: ~E=1).
Zdanie B2’ to również powszechnie znany w przyrodzie „akt łaski” w odniesieniu do groźby A2: ~E~>K, czyli prawo do wręczenia nagrody (K=1), mimo że odbiorca spełnił warunek kary (nie zdał egzaminu: ~E=1)
Definicja matematycznej „wolnej woli”:
Matematyczna „wolna wola” w świecie żywym to warunek konieczny ~> w implikacji prostej p|=>q lub odwrotnej p|~>q.
Zauważmy, że o „wolnej woli” możemy mówić wyłącznie w stosunku do świata żywego, w świecie martwym możemy mówić tylko i wyłącznie o „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”
W przypadku nie zdania egzaminu, ojciec może nie dać komputera (~K) lub dać komputer (K) co zależy tylko i wyłącznie od jego „widzi mi się” czyli wolnej woli.
W skrajnym przypadku może wyjąć monetę i rzucać:
orzełek - dam komputer
reszka - nie dam komputera
… i nie ma szans na zostanie kłamcą.
„Rzucanie monetą” jest matematyczną wolną wolą, ale nie jest wolną wolą człowieka.
Człowiek rzucający monetą staje się maszyną, wobec której nie można mówić o „wolnej woli”.
Definicja „wolnej woli” człowieka:
Wolna wola człowieka to świadoma decyzja negatywna lub pozytywna, nadawca powinien umieć uzasadnić decyzję.
Decyzja negatywna:
A2:~E~>~K =1
Nie zdałeś egzaminu, nie dostaniesz komputera
Domyślne jest tu „z powodu że nie zdałeś egzaminu”, nadawca może to rozwinąć np. bo kompletnie się nie uczyłeś itp.
Decyzja pozytywna (akt miłości w stosunku obietnicy do A1= akt łaski w stosunku do groźby A2):
B2’: ~E~~>K = ~E*K =1
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer, bo cię kocham, bo widziałem że się uczyłeś ale miałeś pecha itp.
Prawdopodobieństwo zajścia „aktu miłości” w obietnicy:
1.
Zauważmy, że nadawca dobrowolnie obiecuje nagrodę, czyli chce tą nagrodę dać. Jeśli zobaczy że odbiorca starał się ale mu nie wyszło to z reguły i tak wręczy nagrodę (akt miłości).
2.
Obietnice „szyte są na miarę” odbiorcy, czyli nadawca nie daje obietnic gdzie spełnienie warunku nagrody jest niemożliwe lub bardzo mało prawdopodobne. Stąd najczęściej odbiorca spełnia warunek nagrody, nadawca wręcza nagrodę … i wszyscy są szczęśliwi.
Oczywiście obietnice to przyszłość której nie znamy, jednak jeśli obietnica wypowiedziana jest między przyjaciółmi, znajomymi czy nawet miedzy osobami obcymi to z reguły jest dotrzymywana. Czyli prawdopodobieństwo iż nagroda znajdzie się u odbiorcy jest tu bardzo wysokie, myślę że na poziomie 90% lub wyższym.
Odrębnym zagadnieniem jest składanie fałszywych obietnic wobec wrogów których chcemy zniszczyć, tu podstęp i fałsz jest na porządku dziennym w myśl zasady, wszystkie chwyty dozwolone byleby zniszczyć wroga. Zauważmy jednak, że nasz wróg dał się złapać w pułapkę dzięki temu że spodziewa się nagrody, czyli również doskonale zna symboliczną algebrę Kubusia.
Każde żywe stworzenie, chce mieć jak najmniej wrogów i jak najwięcej przyjaciół, zatem w powodzi wypowiedzianych obietnic te fałszywe stanowią margines. Zauważmy, że stworzenia żywe żyją w grupach w ramach swojego gatunku. Tu również działa algebra Kubusia, człowiek nie jest tu żadnym wyjątkiem.
Zauważmy, że jeśli przyjmiemy „akt miłości” i „akt łaski” za dobro i wykluczymy linie fałszywe w groźbach i obietnicach to otrzymamy taki wynik:
Dobro-Zło = 4:2
Zatem matematycznie nasz Wszechświat ustawiony jest na dobro.
8.5.1 Rozstrzygnięcia w obietnicy w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Weźmy naszą obietnicę:
A.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
A: E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania komputera
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = p+~q
Nasz przykład:
A: Y = E=>K = ~E+K
Najprostsze rozstrzygnięcie czysto matematyczne kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1) a kiedy nie dotrzyma słowa (~Y=1) jest następujące.
Punkt 1.
Rozstrzygamy kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1).
W tym celu negujemy tożsamość logiczną A1 dwustronnie:
~Y = ~(~E+K) = E*~K
B: ~Y = E*~K
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> E=1 i ~K=1
Czytamy:
B.
Ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy syn zda egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
B: ~Y = E*~K
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> E=1 i ~K=1
Punkt 2.
W trzech pozostałych zdarzeniach rozłącznych ojciec dotrzyma słowa (Y=1).
Te pozostałe rozłączne zdarzenia to:
Y = A: E*K + C: ~E*~K + D: ~E*K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: E=1 i K=1 lub C: ~E=1 i ~K=1 lub D: ~E=1 i K=1
Czytamy:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya = E*K =1*1 =1 - syn zda egzamin (E=1) i dostanie komputer (K=1)
lub
C: Yc = ~E*~K =1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i nie dostane komputera (~K=1)
lub
D: Yd = ~E*K = 1*1 =1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i dostanie komputer (K=1)
Gdzie:
Ya, Yc, Yd to funkcje logiczne cząstkowe wchodzące w skład funkcji matki Y:
Y = Ya + Yc + Yd
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> Ya=1 lub Yb=1 lub Yc=1
Ostatnie zdanie D: ~E*K to powszechnie znany wśród istot żywych (nie tylko w świecie człowieka) „akt miłości” w stosunku do obietnicy A1: E=>K, czyli wręczenie nagrody (tu komputera) mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (nie zdał egzaminu: ~E=1)
Załóżmy teraz że jest po egzaminie i zaszło zdarzenie:
D: Yd = ~E*K = 1*1 =1 - syn nie zdał egzaminu (~E=1) i dostał komputer (K=1)
Jeśli znamy rozwiązanie D to nastąpi śmierć logiki matematycznej związanej z obietnicą A: E=>K.
Oczywiście pozostałe możliwe zdarzenia w przypadku znajomości rozwiązania będą fałszem tzn. po zajściu zdarzenia D mamy:
A: Ya = E*K =1*1 =0 - nie zaszło zdarzenie A
B: Yb = E*~K =1*1 =0 - nie zaszło zdarzenie B
C: Yc = ~E*~K = 1*1 =0 - nie zaszło zdarzenie C
Jak widzimy w dowolnej obietnicy przy znajomości rozwiązania logika matematyczne popełnia seppuku, czyli w temacie zdania A: E=>K logika nie jest nam potrzebna bo znamy prawdę absolutną:
D: Yd = ~E*K = 1*1 =1 - syn nie zdał egzaminu (~E=1) i dostał komputer (K=1)
… a żadna logika nie ma prawa zmieniać zaistniałej prawdy absolutnej.
Oczywiście jeśli jest po egzaminie A: E=>K i nie znamy rozwiązania, to logika matematyczna dalej wyśmienicie działa, tylko w czasie przeszłym np. poszukiwanie nieznanego mordercy.
8.5.2 Obietnica w równaniach logicznych
Zastosujmy świętą zasadę algebry Boole’a „Jak się mówi tak się pisze” doskonale znaną wszystkim dobrym logikom praktykom, ci od cyfrowych układów logicznych..
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym => dostania nagrody
Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Dostanę nagrodę (N) gdy spełnię warunek nagrody (W) lub gdy nadawca zdecyduje o daniu nagrody (U).
Wprowadźmy zmienną uznaniową nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody
Równanie obietnicy:
N=W+U
Gdzie:
N=1 - mam nagrodę
N=0 - nie mam nagrody
W=1 - warunek nagrody spełniony
W=0 - warunek nagrody nie spełniony
Zmienna uznaniowa nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody
Analiza równania obietnicy.
Przypadek A:
W=1 - odbiorca spełnił warunek nagrody.
Równanie obietnicy przybierze wówczas postać:
N = 1+U = 1 - muszę dostać nagrodę.
W przypadku gdy odbiorca spełni warunek nagrody nadawca nie ma wyjścia i musi dać nagrodę, inaczej jest kłamcą. Zauważmy, że nikt nie zmuszał nadawcy do obiecania czegokolwiek, że nadawca obiecał nagrodę z własnej woli, że chce dać nagrodę. Nie ma tu zatem mowy o jakimkolwiek ograniczeniu wolnej woli nadawcy.
Przypadek B:
W=0 - warunek nagrody nie spełniony
Równanie obietnicy przybiera postać:
N=W+U=0+U=U
Wszystko w rękach nadawcy który podejmuje decyzję o daniu nagrody zgodnie ze swoją wolną wolą, niczym nie ograniczoną.
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody
Przy niespełnionym warunku nagrody (W=0) nadawca może zrobić co mu się podoba i nie zostaje kłamcą. Większość nadawców tak czy siak da nagrodę pod byle pretekstem niezależnym (U=1 - akt miłości), ale nie musi tego robić !
W tym przypadku nadawca może wszystko z maleńkim wyjątkiem:
Nie spełniłeś warunku nagrody (W=0) dostajesz nagrodę (N=1), bo nie spełniłeś warunku nagrody (U=W=0)
Równanie obietnicy przybierze tu postać:
N = W+U = 0+0 =0
Zakaz wręczenia nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu nie spełnienia warunku nagrody (W=0).
Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka!
Przykład:
A.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
Równanie obietnicy:
K = W+U
Jeśli egzamin zdany = warunek otrzymania nagrody spełniony (W=1) to:
K=1+U =1 - gwarancja otrzymania komputera
Zmienna uznaniowa nadawcy jest tu bez znaczenia.
Jeśli egzamin nie zdany, warunek otrzymania komputera nie spełniony (W=0) to:
K=W+U = 0+U =U
Wszystko w rękach nadawcy:
U=1 - dam komputer
U=0 - nie dam komputera
Akt miłości nie zaszedł:
U=0
Nie zdałeś egzaminu (W=0), nie dostajesz komputera (K=0) ... bo kompletnie się nie uczyłeś (U=0)
Równanie obietnicy:
K=W+U = 0+0 =0 - nie mam komputera
Akt miłości zaszedł:
U=1
Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer (K=1) ... bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha, bo cię kocham itp. (U=1 dowolne uzasadnienie niezależne)
Równanie obietnicy:
K=W+U=0+1=1 - mam komputer dzięki dobremu sercu nadawcy (akt miłości)
Nadawca może wręczyć nagrodę pod byle pretekstem, ale nie może wręczyć nagrody z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek otrzymania nagrody.
Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer (K=1) ... bo nie zdałeś egzaminu (U=W=0).
Równanie obietnicy:
K=W+U=0+0=0 - zakaz wręczania nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu „nie zdania egzaminu” (W=U=0)
W tym przypadku, ojciec jest mimo wszystko kłamcą, bo wręczył komputer mimo iż miał matematyczny zakaz wręczenia o czym mówi wynikowe zero w powyższym równaniu.
Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.
8.6 Klasyka groźby
Definicja groźby ~>:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K:
W|~>K = ~(A1: W=>K)*(B1: W~>K) = ~(0)*1 =1*1 =1
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest (=0) spełniony
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> jest (=1) spełniony
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q:
AB12: AB34:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5:~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
| Kod: |
T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
---------------------------------------------------------------
p|~>q=p*~q = ~p|=>~q=p*~q [=] q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
Weźmy klasykę groźby.
Ojciec do syna:
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L =1
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym dostania lania A1: B~>L =1, ale nie wystarczającym B1: B=>L=0 bowiem nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary zależnej od niego.
Na mocy definicji groźby warunek konieczny A1: B~>L wchodzi w skład implikacji odwrotnej B|~>L.
Nanieśmy nasza groźbę do definicji implikacji odwrotnej B|~>L wyrażonej warunkami koniecznymi ~> i wystarczającymi =>
| Kod: |
T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w B|~>L
AB12: | AB34:
Przyszłość/przeszłość | Przeszłość
----------------------------------------------------------
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: B=>L =0 = 2:~B~>~L=0 [=] 3: L~>B =0 = 4:~L=>~B =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A’: 1: B~~>~L=1 = [=] = 4:~L~~>B =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: B~>L =1 = 2:~B=>~L=1 [=] 3: L=>B =1 = 4:~L~>~B =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
B’: = 2:~B~~>L=0 [=] 3: L~~>~B=0
---------------------------------------------------------------
p|~>q=p*~q = ~p|=>~q=p*~q [=] q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
B|~>L=B*~L = ~B|=>~L=B*~L [=] L|=>B=~L*B = ~L|~>~B=~L*B
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: B=>L=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: B~~>~L=B*~L=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~B=>~L=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~B~~>L =~B*L=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Obsługę groźby w czasie przyszłym mamy w części AB12.
Operator implikacji odwrotnej B|~>L to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co może się wydarzyć jeśli ubrudzę spodnie (B=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) dostaniesz lanie (L=1)
B~>L =1
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym B1: B~>L =1 dostania lania, ale nie wystarczającym A1: B=>L=0 bowiem nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary zależnej od niego.
LUB
A1’.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to możesz ~~> nie dostać lania (~L=1)
B~~>~L = B*~L =1
Zdanie A1’ to powszechnie znany w przyrodzie „akt łaski” czyli prawo do darowania kary (brak lania: ~L=1) zależnej od nadawcy, mimo że odbiorca spełnił warunek kary (ubrudził spodnie: B=1)
2.
Co może się wydarzyć jeśli nie ubrudzę spodni (B=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2
… a jeśli nie ubrudzę spodni?
Prawo Kubusia:
B1: B~>L = B2:~B=>~L
stąd:
B2.
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na 100% => nie dostaniesz lania (z powodu czystych spodni)
~B=>~L =1
Czyste spodnie (~B=1) dają nam gwarancję matematyczną => braku lania (~L=1) z powodu czystych spodni. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje nam warunek wystarczający => w zdaniu B2.
Z dowolnego innego powodu ojciec może walić i nie będzie kłamcą, zatem jeśli jest sadystą i musi walić to kij zawsze znajdzie np.
Przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1), dostajesz lanie (L=1) bo masz brudne buty.
Kontrprzykład B2’ dla warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem.
B2’
Jeśli nie ubrudzisz spodni to możesz ~~> dostać lanie
~B~~>L = ~B*L =0 - zakaz karania z powodu czystych spodni (~B=1)
Zauważmy że:
Gwarancja B2 jest bardzo silną gwarancją matematyczną, aby ją złamać ojciec musi być idiotą, czyli powiedzieć słowo w słowo:
Przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1), dostajesz lanie (L=1) bo przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1).
To jest uzasadnienie zależne, identyczne jak poprzednik i tu ojciec mimo wszystko jest kłamcą.
Fakt ten udowodniłem na samym początku mojej przygody z logiką matematyczną z 14 lat temu - to też była jedna z przyczyn, dla której z takim uporem walczyłem o 100% rozszyfrowanie logiki matematycznej obowiązującej w naszym Wszechświecie.
Prawo Kubusia:
B1: B~>L = B2: ~B=>~L
Znaczenie tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Zauważmy że:
1.
Po prawej stronie mamy 100% determinizm (B2: ~B=>~L), przyjście w czystych spodniach (~B=1) daje nam gwarancję matematyczną => braku lania (~L=1) z powodu czystych spodni.
2.
Po lewej stronie mamy matematyczną „wolną wolę” człowieka, czyli jeśli syn przyjdzie w brudnych spodniach to ojciec może lać (zdanie B1) albo darować lanie (zdanie A1’) ... i nie ma szans na zostanie kłamcą.
8.6.1 Rozstrzygnięcia w groźbie w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicja groźby ~>:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K:
W|~>K = ~(A1: W=>K)*(B1: W~>K) = ~(0)*1 =1*1 =1
Weźmy naszą groźbę:
A.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lania
B~>L =1
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym ~> lania na mocy definicji groźby
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Nasz przykład:
A: Y = B~>L = B+~L
Najprostsze rozstrzygnięcie czysto matematyczne kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1) a kiedy nie dotrzyma słowa (~Y=1) jest następujące.
Punkt 1.
Rozstrzygamy kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1).
W tym celu negujemy tożsamość logiczną A dwustronnie:
~Y = ~B*L
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~B=1 i L=1
Czytamy:
D.
Ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy syn przyjdzie w czystych spodniach (~B=1) i dostanie lanie (L=1) z powodu czystych spodni.
D: ~Y = ~B*L
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~B=1 i L=1
Z dowolnego innego powodu ojciec może lać.
Punkt 2.
W trzech pozostałych zdarzeniach rozłącznych ojciec dotrzyma słowa (Y=1).
Te pozostałe rozłączne zdarzenia to:
Y = A: B*L + B: B*~L + C: ~B*~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: B=1 i L=1 lub B: B=1 i ~L=1 lub C: ~B=1 i ~L=1
Czytamy:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya = B*L = 1*1 =1 - syn przyjdzie w brudnych spodniach (B=1) i dostanie lanie (L=1)
lub
B: Yb = B*~L = 1*1 =1 - syn przyjdzie w brudnych spodniach (B=1) i nie dostanie lania (L=1)
Zdarzenie B to powszechnie znany w przyrodzie „akt łaski”,
czyli prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy.
lub
C: Yc = ~B*~L =1*1 =1 - syn przyjdzie w czystych spodniach (~B=1) i nie dostanie lania (~L=1)
Gdzie:
Ya, Yc, Yd to funkcje logiczne cząstkowe wchodzące w skład funkcji matki Y:
Y = Ya + Yc + Yd
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> Ya=1 lub Yb=1 lub Yc=1
Załóżmy teraz że jest po egzaminie i zaszło zdarzenie:
B: Yb = B*~L = 1*1 =1 - syn przyszedł w brudnych spodniach (B=1) i nie dostał lania (~L=1)
Ojciec skorzystał ze swojego świętego prawa, „aktu łaski”
Jeśli znamy rozwiązanie B to następuje śmierć logiki matematycznej związanej z groźbą A: B~>L.
Pozostałe możliwe zdarzenia w przypadku znajomości rozwiązania będą fałszem tzn. po zajściu zdarzenia B mamy:
A: Ya = B*L =1*1 =0 - nie zaszło zdarzenie A
C: Yc = ~B*~L = 1*1 =0 - nie zaszło zdarzenie C
D: Yd = ~B*L =1*1 =0 - nie zaszło zdarzenie D
Jak widzimy w dowolnej groźbie przy znajomości rozwiązania logika matematyczne popełnia seppuku, czyli w temacie zdania A: B~>L logika nie jest nam potrzebna bo znamy prawdę absolutną:
B: Yb = B*~L = 1*1 =1 - syn przyszedł w brudnych spodniach (B=1) i nie dostał lania (~L=1)
… a żadna logika nie ma prawa zmieniać zaistniałej prawdy absolutnej.
Oczywiście jeśli nie znamy rozwiązania, to logika matematyczna dalej wyśmienicie działa, tylko w czasie przeszłym np. poszukiwanie nieznanego mordercy.
8.6.2 Groźba w równaniach logicznych
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek (W) to kara (K)
Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Zostanę ukarany (K) gdy spełnię warunek kary (W) i nadawca zdecyduje o ukaraniu (U).
W groźbie nadawca może skorzystać z aktu łaski ale nie musi tego robić.
Przyjmijmy zmienną uznaniową U, którą nadawca może ustawić na dowolną wartość.
Matematyczne równanie groźby:
K=W*U
Gdzie:
K=1 - zostanę ukarany
K=0 - nie zostanę ukarany
W=1 - warunek kary spełniony
W=0 - warunek kary nie spełniony
Nadawca może ustawić zmienną uznaniową na dowolną wartość:
U=1 - ukarać
U=0 - nie karać (akt łaski)
Akt łaski w groźbie zajdzie wtedy, gdy odbiorca spełni warunek kary zaś nadawca odstąpi od wykonania kary (U=0 - akt łaski).
Analiza równania groźby.
K=W*U
Przypadek A.
W=0 - warunek kary nie spełniony
Równanie groźby przybierze wówczas postać:
K=W*U=0*U=0 - zakaz karanie jeśli warunek kary nie zostanie spełniony.
Zauważmy, że nadawca nie ma tu nic do gadania. Może sobie ustawiać swoją zmienną długo i namiętnie na U=1 (karać) ... a i tak ma zakaz karania z powodu nie spełnienia warunku kary.
Przypadek B.
W=1 - warunek kary spełniony
Równanie groźby przybiera postać:
K=W*U=1*U=U
Wszystko w rękach nadawcy który może zrobić co mu się podoba wedle wolnej woli:
U=1 - karać
U=0 - nie karać
Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostaniesz lania ... bo samochód cię ochlapał, bo dziś mam dobry humor, bo cię kocham itp. (U=0 - dowolne uzasadnienie niezależne)
K=W*U=1*0=0 - nie zostałem ukarany, bo nadawca zastosował akt łaski
Zauważmy, że nadawca może robić co mu się podoba z małym wyjątkiem, nie może darować kary z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek kary.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostajesz lania, bo ubrudziłeś spodnie (U=W=1).
Równanie groźby:
K=W*U=1*1=1 - kara musi być wykonana, zakaz darowania kary z uzasadnieniem zależnym
Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.
8.7 Rodzaje obietnic
1.
Obietnica z natychmiastową wykonalnością:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
… a jak nie zdam egzaminu.
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli jeśli syn nie zda egzaminu to mogę mu tego komputera nie kupić lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.
Po egzaminie następuje rozstrzygnięcie
2.
Obietnica z odroczoną wykonalnością:
Kto przyjdzie jutro dostanie gotowca
J=>G
… a jak przyjdę pojutrze ?
J=>G = ~J~>~G
Oczywiście jak ktoś przyjdzie później, byle przed egzaminem to też może dostać gotowca ale nie musi. Po egzaminie ta obietnica traci sens.
3.
Obietnica w której spełnienie warunku obietnicy jest bardzo mało prawdopodobne:
Jeśli wygram milion w TOTKA to kupię ci samochód
W=>S
… a jak nie wygram w TOTKA ?
Prawo Kubusia:
W=>S = ~W~>~S
Jeśli nie wygram w TOTKA to mogę ci nie kupić samochodu lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 22:08, 30 Paź 2020, w całości zmieniany 3 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
