 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Pon 2:07, 15 Sie 2016 Temat postu: Algebra Kubusia - bramy Raju (beta 2.0) |
|
|
Algebra Kubusia - bramy Raju
Część I
Definicje podstawowe, Operatory OR(|+) i AND(|*)
Część II i III w kolejnych postach.
Autorzy:
Kubuś i przyjaciele
Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.
Gdzie powstawała algebra Kubusia?
Forum śfinia.fora.pl to hlefik Kubusia, zawierający pełną historię powstawania AK:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,60/
Forum ateista.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum yrizzona.freeforums.org:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum matematyka.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]
Algebra Kubusia to końcowy efekt dziesięcioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, ateista.pl, yrizona.freeforums.org i matematyka.pl. Warunkiem koniecznym powstania algebry Kubusia było wolne od wszelkiej cenzury forum śfinia oraz kluczowe dyskusje z Rafalem3006, Wujem Zbójem i Fiklitem. Śfinia to hlefik Kubusia z zapisem pełnej historii narodzin algebry Kubusia.
Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do powstania algebry Kubusia:
Rafał3006(medium), Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72 i inni.
Kubuś
Wstęp:
Algebra Kubusia to największe wydarzenie w historii ludzkości.
Dlaczego?
Algebra Kubusia to logika matematyczna pod którą podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy (z matematyką włącznie). W znanym nam Wszechświecie martwym to mniej więcej tak, jakby komputer zrozumiał logikę matematyczną, dzięki której działa.
Wszystkie definicje w algebrze Kubusia są sprzeczne z aktualną logiką matematyczną Ziemian. Matematycy proszeni są zatem o skasowanie (na czas czytania) wszystkiego, czego uczono ich w szkole.
Spis treści
1.0 Notacja 2
1.1 Operatory OR(|+) i AND(|*) 3
1.2 Operatory implikacyjne |=>, |~>, <=>, |~~> w spójnikach implikacyjnych =>, ~>, ~~> 3
1.3 Operatory implikacyjne |=>, |~>, <=> w zbiorach i zdarzeniach 5
1.3.1 Operator implikacji prostej p|=>q 5
1.3.2 Operator implikacji odwrotnej p|~>q 5
1.3.3 Operator równoważności p<=>q 6
2.0 Definicje podstawowe 8
2.1 Podstawowe operacje na zbiorach 9
2.2 Rodzaje tożsamości w logice matematycznej 9
2.2.1 Tożsamość definiująca i wartościująca 9
2.3 Definicja definicji 10
2.3.1 Definicja minimalna 10
2.4 Podstawowe działania na zbiorach 11
2.4.1 Iloczyn logiczny zbiorów 11
2.4.2 Suma logiczna zbiorów 12
2.4.3 Różnica zbiorów p-q 12
2.4.4 Zaprzeczenie zbioru 13
2.5 Relacje między zbiorami 13
2.5.1 Podzbiór => 13
2.5.2 Nadzbiór ~> 14
2.5.3 Tożsamość zbiorów 14
3.0 Prawa Prosiaczka 14
3.1 Prawa Prosiaczka w zbiorach 16
3.2 Prawa Prosiaczka w logice 3-latka 17
3.3 Prawa Prosiaczka w przedszkolu 18
4.0 Operatory logiczne 20
5.0 Operatory OR(|+) i AND(|*) 21
5.1 Definicje spójników „lub”(+) i „i”(*) 21
5.2 Operator OR(|+) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) 22
5.3 Operator AND(|*) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) 24
5.4 Klasyczny rachunek zero-jedynkowy 26
5.5 Równania alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne 32
1.0 Notacja
1 = prawda
0 = fałsz
(~) - symbol negacji, przeczenia (~p=NIE p)
Operatory OR(|+) i AND(|*)
(+) - spójnik „lub”(+)
(*) - spójnik „i”(*)
(|+) - operator OR(|+)
(|*) - operator AND(|*)
Operatory implikacyjne:
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
~~> - kwantyfikator mały
|=> - operator implikacji prostej
|~> - operator implikacji odwrotnej
|~~> - operator chaosu
<=> - równoważność
1.1 Operatory OR(|+) i AND(|*)
Definicje operatorów OR(|+) i AND(|*) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
(|+) - operator OR
Y=p+q
~Y=~p*~q
(|*) - operator AND
Y=p*q
~Y=~p+~q
1.2 Operatory implikacyjne |=>, |~>, <=>, |~~> w spójnikach implikacyjnych =>, ~>, ~~>
Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => i ~>:
Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące we wspólnej dziedzinie
1.
p~~>q = p*q - kwantyfikator mały ~~>
Zdarzenia:
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Zbiory:
Istnieje wspólny element zbiorów p i q
2.
p=>q - warunek wystarczający =>
Zdarzenia:
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Zbiory:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
3.
p~>q - warunek konieczny ~>
Zdarzenia:
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Zbiory:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Matematycznie zachodzi:
p=>q ## p~>q ## p~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
I prawo Kubusia:
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice dodatniej (bo q)
~p~>~q = p=>q
II prawo Kubusia:
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) jest tożsamy w warunkiem koniecznym ~> w logice dodatniej (bo q)
~p=>~q = p~>q
Interpretacja praw Kubusia:
Zdanie prawdziwe po dowolnej stronie prawa Kubusia wymusza zdanie prawdziwe po drugiej stronie.
Zdanie fałszywe po dowolnej stronie prawa Kubusia wymusza zdanie fałszywe po drugiej stronie
Definicje operatorów implikacyjnych w spójnikach implikacyjnych:
O przynależności zdania warunkowego „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym p=>q lub koniecznym p~>q do konkretnego operatora decyduje zdanie wypowiedziane w logice dodatniej (bo q). Jeśli ktokolwiek wypowie jako pierwsze zdanie „Jeśli p to q” w logice ujemnej (~p=>~q lub ~p~>~q) to musimy to zdanie sprowadzić do logiki dodatniej korzystając z praw Kubusia, bowiem poniższe definicje operują wyłącznie na zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” w logice dodatniej, z niezanegowanym następnikiem q.
p|=>q - operator implikacji prostej
p=>q=1
p~>q=0
p~~>q=1
Definicja:
p|=>q=(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
p|~>q - operator implikacji odwrotnej
p=>q =0
p~>q =1
p~~>q =1
Definicja:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
p<=>q - operator równoważności
p=>q =1
p~>q =1
p~~>q =1
Definicja:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1
p|~~>q - operator chaosu
p=>q =0
p~>q =0
p~~>q =1
Definicja:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1
Matematycznie zachodzi:
p|=>q ## p|~>q ## p<=>q ## p|~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
1.3 Operatory implikacyjne |=>, |~>, <=> w zbiorach i zdarzeniach
1.3.1 Operator implikacji prostej p|=>q
Definicja operatora implikacji prostej |=> w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Definicja operatora implikacji prostej |=> w zdarzeniach:
Zajście zdarzenia p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia q i nie jest tożsame ze zdarzeniem q
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Diagram implikacji prostej |=> w zbiorach:
Definicję symboliczną operatora implikacji prostej odczytujemy z diagramu:
| Kod: |
IP: Implikacja prosta p|=>q
p|=>q
A: p=> q = p* q =1 Zbiór p jest podzbiorem => q
B: p~~>~q= p*~q =0 Zbiór p jest rozłączny z ~q
C:~p~>~q =~p*~q =1 Zbiór ~p jest nadzbiorem ~> ~q
D:~p~~>q =~p* q =1 Zbiór ~p ma część wspólną z q |
Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego A: p=>q nazywamy zdanie B: p~~>~q z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym ~~>
A: p=>q
B: p~~>~q =p*q
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu B: p~~>~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A: p=>q =1 (i odwrotnie)
Prawdziwość kontrprzykładu B: p~~>~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego A: p=>q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy, że w implikacji prostej p|=>q po stronie p mamy gwarancję matematyczną =>:
A.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Natomiast po stronie ~p mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”:
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q (zdanie C) lub może ~~> zajść q (zdanie D)
1.3.2 Operator implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja operatora implikacji odwrotnej |~> w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q)
Definicja operatora implikacji odwrotnej |~> w zdarzeniach:
Zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q i nie jest tożsame ze zdarzeniem q
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
Diagram implikacji odwrotnej |~> w zbiorach:
Symboliczną definicję implikacji odwrotnej p|~>q odczytujemy z diagramu:
| Kod: |
IO: Implikacja odwrotna p|~>q
p|~>q
A: p~> q = p* q =1 Zbiór p jest nadzbiorem ~> q
B: p~~>~q= p*~q =1 Zbiór p ma część wspólną z ~q
C:~p=>~q =~p*~q =1 Zbiór ~p jest podzbiorem ~q
D:~p~~>q =~p* q =0 Zbiór ~p jest rozłączny z q |
Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego C: ~p=>~q nazywamy zdanie D: ~p~~>q z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym ~~>
C: ~p=>~q
D: ~p~~>q =~p*q
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu D: ~p~~>q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego C: ~p=>~q =1 (i odwrotnie)
Prawdziwość kontrprzykładu D: ~p~~>q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego C: ~p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy, że w implikacji odwrotnej p|~>q po stronie p mamy „rzucanie monetą”:
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q (zdanie A) lub może ~~> zajść ~q (zdanie B)
Natomiast po stronie ~p mamy gwarancję matematyczną =>:
C.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zauważmy, że w implikacji prostej było dokładnie odwrotnie i to jest ta fundamentalna różnica między implikacją prostą p|=>q i odwrotną p|~>q.
Gdzie ta różnica znajduje zastosowanie?
Obsługa wszelkich obietnic to na mocy definicji implikacja prosta p|=>q
Obsługa wszelkich gróźb to na mocy definicji implikacja odwrotna p|~>q
1.3.3 Operator równoważności p<=>q
Zacznijmy od definicji implikacji prostej p|=>q:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q =(p=>q)*~[p=q]
Definicja równoważności w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
p<=>q = (p=>q)*[p=q]
Definicja równoważności w zdarzeniach:
Zdarzenie p wymusza => zdarzenie q i jest tożsame ze zdarzeniem q
p<=>q = (p=>q)*[p=q]
Z definicji równoważności wynika, że powyższy diagram będzie pasował do równoważności wtedy i tylko wtedy gdy zlikwidujemy obszar niebieski.
Obszar niebieski zniknie wtedy i tylko wtedy będzie zachodziła tożsamość zbiorów p=q
która wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q.
Doskonale widać, że przy tożsamości zbiorów p=q znika obszar niebieski. Niebieską obwódkę, ślad po zbiorze występującym w implikacji, pozostawiono dla celów edukacyjnych.
Fizyczna realizacja zlikwidowania obszaru niebieskiego, jedna z wielu możliwych, jest następująca.
Obszar niebieski zlikwidujemy gdy:
p=>q - zbiór p będzie podzbiorem => zbioru q
i jednocześnie:
~p=>~q - zbiór ~p będzie podzbiorem => zbioru ~q
Stąd mamy aksjomatyczną definicję równoważności dającą w wyniku tabelę zero-jedynkową równoważności w sposób bezpośredni.
Aksjomatyczna definicja równoważności w logice dodatniej (bo q):
RA:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Symetryczna definicja w logice ujemnej (bo ~q):
RC:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Doskonale widać, że w tej definicji obszar niebieski znika.
Symboliczna definicja równoważności z diagramu.
| Kod: |
RA: p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
A: p=> q = p* q = p =1 - zbiór p jest podzbiorem => q
B: p~~>~q= p*~q =0 - zbiory p i ~q są rozłączne
RC: ~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
C:~p=>~q =~p*~q =~p =1 - zbiór ~p jest podzbiorem => ~q
D:~p~~>q =~p* q =0 - zbiory ~p i q są rozłączne
|
Zauważmy, że obszaru niebieskiego w implikacji prostej p|=>q pozbędziemy się również w ten sposób.
Obszar niebieski zniknie gdy:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
i
Zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Stąd mamy tożsamą definicję równoważności:
RA:
p<=>q = (p~>q)*(~p~>~q)
Definicja symetryczna:
RC:
~p<=>~q = (~p~>~q)*(p~>q)
Definicja symboliczna równoważności przyjmie tu postać:
| Kod: |
RA: p<=>q=(p~>q)*(~p~>~q)
A: p~> q = p* q = p =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> q
B: p~~>~q= p*~q =0 - zbiory p i ~q są rozłączne
RC: ~p<=>~q=(~p~>~q)*(p~>q)
C:~p~>~q =~p*~q =~p =1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> ~q
D:~p~~>q =~p* q =0 - zbiory ~p i q są rozłączne
|
Zauważmy, że w równoważności p<=>q warunek konieczny ~> oznacza identyczną pewność matematyczną jaką mamy w warunku wystarczającym =>, bo linie B i D są twardym fałszem
Warunek konieczny ~> wchodzący w skład równoważności możemy zapisać tak:
AK.
Jeśli zajdzie p to na pewno ~> zajdzie q
p~>q =1
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów p=q
Warunek wystarczający => wchodzący w skład równoważności zapisujemy tak:
AW.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Wymuszam dowolne p i pojawia się q
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów p=q
Zauważmy, że w zapisie słownym zdania AK i AW brzmią identycznie oznaczając co innego jeśli chodzi o matematykę ścisłą.
Matematycznie zachodzi bowiem:
Warunek wystarczający => ## warunek konieczny ~>
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Popularna definicja równoważności w spójnikach implikacyjnych => i ~>:
Równoważność <=> to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między dowolnymi dwoma punktami
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
Ta definicja także wymusza tożsamość zbiorów p=q, która to tożsamość wymusza tożsamość ~p=~q
2.0 Definicje podstawowe
Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć z obszaru Uniwersum
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka
Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór na którym operujemy, nic spoza dziedziny nas nie interesuje
W szczególności dziedziną może być Uniwersum.
Definicja zbioru niepustego i pustego:
Zbiór jest niepusty gdy zawiera co najmniej jeden element
p =[x] - zbiór niepusty
Zbiór jest pusty gdy nie zawiera żadnych elementów
p =[] - zbiór pusty
Wartości logiczne:
1 = prawda
0 = fałsz
Zbiory mają wartości logiczne:
p =[x] =1 - zbiór niepusty
p =[] =0 - zbiór pusty
2.1 Podstawowe operacje na zbiorach
„~” - symbol negacji (przeczenia), słówko „NIE” z naturalnego języka mówionego człowieka
Podstawowe operacje na zbiorach:
(-) - różnica zbiorów p-q
Y=p-q - wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
(*) - symbol iloczynu logicznego zbiorów p*q, spójnik „i”(*) w naturalnej logice człowieka
Y=p*q - wspólna część zbiorów p*q
(+) - symbol sumy logicznej zbiorów p+q, spójnik „lub”(+) w naturalnej logice człowieka
Y=p+q - wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Wartościowanie podstawowych operacji na zbiorach:
1 (prawda) - zbiór wynikowy jest niepusty
0 (fałsz) - zbiór wynikowy jest pusty
2.2 Rodzaje tożsamości w logice matematycznej
W logice matematycznej mamy do czynienia z trzema rodzajami tożsamości:
1. Tożsamość definiująca
2. Tożsamość wartościująca
3. Tożsamość logiczna (tożsama z równoważnością)
Pojęcie tożsamości w logice jest wystarczająco precyzyjne, bowiem rodzaj tożsamości wynika z konkretnego zapisu matematycznego.
2.2.1 Tożsamość definiująca i wartościująca
Zbiory:
p =[x] =1
Pierwsza tożsamość (p=[x]) definiuje zbiór o nazwie p, (tożsamość definiująca) natomiast druga (=1) przypisuje temu zbiorowi wartość logiczną (tożsamość wartościująca).
Przykład:
p =[pies, kot] =1
p - nazwa zbioru
[pies, kot] - zawartość zbioru, wypisujemy elementy zbioru
=1 - wartość logiczna zbioru 1, bo zbiór niepusty
2.3 Definicja definicji
Definicja definicji:
Pojęcie definiowane = właściwa definicja pojęcia definiowanego
Prawa strona tożsamości to opis lewej strony przy pomocy innych pojęć.
Definicja psa:
Pies = zwierzę domowe, mające cztery łapy, szczekające
… a nawet.
Pies = zwierzę domowe, szczekające
gdzie:
„=” - tożsamość definicyjna
Dla każdego człowieka ta definicja jest wystarczająca.
Lewa strona znaku „=” to pojęcie definiowane.
Właściwa definicja pojęcia definiowanego to wyłącznie prawa strona.
Na mocy tej definicji (prawa strona) każdy człowiek jednoznacznie rozpozna tu psa, od 5-cio latka poczynając. Ta definicja definicji obowiązuje także w matematyce.
Przykład błędnej definicji:
Zwierzę domowe, hodowlane, występujące nad Wisłą, podać jego odgłos.
http://youtu.be/K0uwEbIxhQw
2.3.1 Definicja minimalna
Definicja psa:
A.
Pies to zwierzę domowe, szczekające, przyjaciel człowieka
P = ZD*S*PC =1
Pojęcia ZD, S i PC to stałe symboliczne których wartość logiczna w odniesieniu do psa jest nam znana, w naszym przypadku wartość logiczna tych stałych symbolicznych to 1 (wszystkie pasują do psa).
Czy pies jest zwierzęciem domowym?
TAK (ZD =1)
Czy pies szczeka?
TAK (S =1)
Czy pies jest przyjacielem człowieka?
TAK (PC =1)
Definicja stałej symbolicznej:
Stała symboliczna to nazwa symboliczna której wartość logiczna jest nam z góry znana i której nie jesteśmy w stanie zmienić.
Definicja „pojęcia”:
Dowolne „pojęcie” w naszym Wszechświecie definiowane jest iloczynem logicznym stałych symbolicznych o wartości logicznej równej 1.
Definicja definicji minimalnej:
Definicja jest definicją minimalną, jeśli usunięcie dowolnego członu w definicji powoduje matematyczną niejednoznaczność, czyli kolizję z innym „pojęciem”.
Definicja wystarczająco jednoznaczna:
Definicja wystarczająco jednoznaczna to definicja zrozumiała dla drugiego człowieka
Zauważmy, że można przyjąć nawet taką definicję minimalną psa:
B.
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
P = S*PC =1*1 =1
Tu również nikt nie ma wątpliwości że chodzi o psa.
Zauważmy, że zabierając jedno pojęcie lądujemy w niejednoznaczności, zatem ta definicja złożona zaledwie z dwóch elementów jest definicją minimalną.
Przykład definicji nadmiarowej sprowadzonej do absurdu:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka, nie będące kurą, nie będące drzewem, nie będące galaktyką … etc
P = S*PC*~K*~D*~G … =1
W iloczynie logicznym, definiującym pojęcie „pies” łatwo można dodać nieskończoną ilość pojęć prawdziwych w stosunku do psa, będących zaprzeczeniem fałszu:
Pies to nie kura
TAK (P*~K =1)
Pies to nie drzewo
TAK (P*~D =1)
etc
2.4 Podstawowe działania na zbiorach
W logice matematycznej dostępne są zaledwie cztery podstawowe operacje na zbiorach.
2.4.1 Iloczyn logiczny zbiorów
Iloczyn logiczny zbiorów p*q to wspólna część tych zbiorów
p*q
Wartościowanie:
p*q =1 - jeśli zbiór wynikowy jest niepusty
p*q =0 - jeśli zbiór wynikowy jest pusty
Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
r=[7,8]
p*q =q*p =[1,2,3,4]*[3,4,5,6] = [3,4] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
p*r =r*p =[1,2,3,4]*[7,8] =[] =0 - bo zbiór wynikowy jest pusty
Wnioski:
1.
Jeśli iloczyn logiczny zbiorów p i q jest zbiorem pustym to zbiory p i q są rozłączne (i odwrotnie)
2.
Iloczyn logiczny zbiorów jest przemienny: p*q = q*p
2.4.2 Suma logiczna zbiorów
Suma logiczna zbiorów p+q to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
p+q
Wartościowanie:
1 - jeśli zbiór wynikowy jest niepusty
Z IV aksjomatu Kubusia (punkt 4.2) wnioskujemy, iż wynikiem sumy logicznej zbiorów może być wyłącznie zbiór niepusty.
Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
p+q = [1,2,3,4]+[3,4,5,6] = [1,2,3,4,5,6] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
2.4.3 Różnica zbiorów p-q
Różnica zbiorów p-q to wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p-q
Wartościowanie:
p-q =1 - jeśli zbiór wynikowy jest niepusty
p-q =0 - jeśli zbiór wynikowy jest pusty
Przykład:
Zdefiniujmy zbiory:
p=[1,2,3,4] =1 - zbiór wejściowy niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - zbiór wejściowy niepusty
r=[1,2] =1 - zbiór wejściowy niepusty
s=[1,2] =1 - zbiór wejściowy niepusty
p-q = [1,2,3,4]-[3,4,5,6] =[1,2] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
q-p =[3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
p-r =[1,2,3,4]-[1,2] =[3,4] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
r-p =[1,2]-[1,2,3,4] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty
r-s =[1,2]-[1,2] =[] =0
Wnioski:
1.
Jeśli zbiory p i q są nie są tożsame ~[p=q] to różnica zbiorów nie jest przemienna, bo zbiór wynikowy p-q jest różny od q-p
Jeśli zbiory p i q nie są tożsame ~[p=q] to nie jest wszystko jedno który zbiór nazwiemy p a który q
2.
Jeśli zbiory p i q są tożsame [p=q] to różnica zbiorów p-q jest zbiorem pustym [] (i odwrotnie)
p-q = q-p =[]
Jeśli zbiory p i q są tożsame [p=q] to różnica zbiorów jest przemienna, co oznacza iż wszystko jedno jest który zbiór nazwiemy p a który q.
2.4.4 Zaprzeczenie zbioru
Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór na którym operujemy, nic spoza dziedziny nas nie interesuje
Definicja zaprzeczenia zbioru:
Zaprzeczenie zbioru to różnica dziedziny D i dowolnego zbioru x wewnątrz dziedziny (w tym D)
Oznaczmy:
D - dziedzina
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty []:
~D=[D-D] =[] =0 - zbiór pusty
Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~[] = D =1 - zbiór pełny (dziedzina)
Przykład:
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6] =1 - zbiór pełny
p=[1,2,3,4] =1 - zbiór wejściowy niepusty
~p =[D-p] =[1,2,3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Nazwa tożsama „zaprzeczenia zbioru”
Nazwa tożsama „zaprzeczenia zbioru” to „uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny”
W naszym przykładzie zbiór ~p=[5,6] jest uzupełnieniem do dziedziny D=[1,2,3,4,5,6] dla zbioru p=[1,2,3,4]
2.5 Relacje między zbiorami
Oznaczenia:
p=>q - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
p~>q - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p<=>q - zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q
2.5.1 Podzbiór =>
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q
Przykład:
p=[1,2]
q=[1,2,3,4]
p=>q =1 - wartość logiczna 1 bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
p=>p =1 - wartość logiczna 1 bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru p
q=>p =0 - wartość logiczna 0 bo zbiór q nie jest podzbiorem => zbioru p
Relację zbiorów odczytujemy zawsze zgodnie ze strzałką, stąd zapisy matematycznie tożsame:
p=>q = q<=p =1
q=>p = p<=q =0
Z definicji podzbioru wynika, że każdy zbiór jest podzbiorem => samego siebie
2.5.2 Nadzbiór ~>
Definicja nadzbioru ~>:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]
p~>q =1 - wartość logiczna 1 bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p~>p =1 - wartość logiczna 1 bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru p
q~>p =0 - wartość logiczna 0 bo zbiór q nie jest nadzbiorem ~> zbioru p
Relację zbiorów odczytujemy zawsze zgodnie ze strzałką, stąd zapisy matematycznie tożsame:
p~>q = q<~p =1
q~>p = p<~q =0
Z definicji nadzbioru wynika, że każdy zbiór jest nadzbiorem ~> samego siebie
2.5.3 Tożsamość zbiorów
Definicja tożsamości p<=>q:
Mówimy że zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q i każdy element zbioru q należy do zbioru p
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Definicja tożsama:
Zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy zawierają identyczne elementy
Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[1,2,3,4]
3.0 Prawa Prosiaczka
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1
p=[0,1]
Zmienna binarna = Zmienna dwuwartościowa
Definicja negacji:
Negacją „~” zmiennej binarnej p nazywamy jej przeciwny stan zero-jedynkowy
| Kod: |
p ~p
A: 1 0
B: 0 1
1 2
„~” - symbol negacji
|
Wyprowadzenie I prawa Prosiaczka:
Opis linii A12:
A.
Jeśli p=1 to na pewno => ~p=0
(p=1)=>(~p=0)
Jeśli ~p=0 to na pewno => p=1
(~p=0)=>(P=1)
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Podstawiamy:
p=(p=1)
q=(~p=0)
Stąd mamy:
(p=1)<=>(~p=0) = [(p=1)=>(~p=0)]*[(~p=0)=>(p=1)] = 1*1 =1
Stąd mamy:
I prawo Prosiaczka:
(p=1) <=> (~p=0)
Równoważność oznacza tu matematyczną tożsamość logiczną:
(p=1) = (~p=0)
Wyprowadzenie II prawa Prosiaczka:
Opis linii B12:
B.
Jeśli p=0 to na pewno => ~p=1
(p=0)=>(~p=1)
Jeśli ~p=1 to na pewno => p=0
(~p=1)=>(p=0)
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Podstawiamy:
p=(~p=1)
q=(p=0)
Stąd mamy:
(p=0)<=>(~p=1) = [(p=0)=>(~p=1)]*[(p=0)=>(~p=1)] = 1*1 =1
Stąd mamy:
II prawo Prosiaczka:
(p=0) <=> (~p=1)
Równoważność oznacza tu matematyczną tożsamość logiczną:
(p=0) = (~p=1)
Definicja tożsamości logicznej:
p<=>p
Zapis tożsamy:
p=p
Prawda po dowolnej stronie znaku tożsamości logicznej „=” wymusza prawdę po stronie przeciwnej
Fałsz po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza fałsz po stronie przeciwnej
Tożsamość logiczna ma wszelkie cechy tożsamości klasycznej, dlatego możemy tu użyć znaku tożsamości klasycznej.
Przykład:
2=2
Zapis matematycznie tożsamy:
2<=>2
dowód:
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
2<=>2 = (2=>2)*(~2=>~2) = 1*1 =1
Dziedzina jest tu bez znaczenia, może być:
Uniwersum - wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka
Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Dowolna zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej gdy nie jest zanegowana, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.
Stąd mamy końcową definicję praw Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~q)
(p=1) = (~p=0)
II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
3.1 Prawa Prosiaczka w zbiorach
| Kod: |
-------------
|P |
| p=1 |
| ~p=0 |
-------------
|
I prawo Prosiaczka dla zbiorów:
(p=1) = (~p=0)
Zdanie:
Prawdą jest (=1) że to jest zbiór p
(p=1)
jest tożsame ze zdaniem:
Fałszem jest (=0) że to jest zbiór ~p
(~p=0)
stąd:
(p=1) = (~p=0)
| Kod: |
-------------
|~P |
| ~p=1 |
| p=0 |
-------------
|
II Prawo Prosiaczka dla zbiorów
(~p=1) = (p=0)
Zdanie:
Prawdą jest (=1) że to jest zbiór ~p
(~p=1)
jest tożsame ze zdaniem:
Fałszem jest (=0) że to jest zbiór p
p=0
Stąd:
(~p=1) = (p=0)
3.2 Prawa Prosiaczka w logice 3-latka
I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~q)
(p=1) = (~p=0)
II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.
Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO
Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)
Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0
Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)
Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń
Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)
3.3 Prawa Prosiaczka w przedszkolu
Świat niezdeterminowany, matematyczny opis nieznanej przyszłości.
Pani:
A.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
… a kiedy pani skłamie?
Negujemy zdanie A stronami:
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
stąd:
B.
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y), wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
To jest matematyczny opis przyszłości, pani mająca wolną wolę jutro może dotrzymać słowa (Y=1), ale równie dobrze może skłamać (~Y=1).
Świat zdeterminowany:
Załóżmy że jest pojutrze i wiemy, że wczoraj byliśmy w kinie.
Mamy zdeterminowaną i znaną przeszłość.
Zaszło zdarzenie:
K=1 - wczoraj byliśmy w kinie
Zdanie A jest tu prawdziwe:
AP1.
Prawdą jest (=1), że pani dotrzymała słowa (Y) bo wczoraj byliśmy w kinie (K=1)
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Zastosujmy prawo Prosiaczka:
(Y=1) =(~Y=0)
Zdanie tożsame do AP:
AP2.
Fałszem jest (=0), że pani skłamała (~Y) bo wczoraj byliśmy w kinie (K=1)
(~Y=0) <=> K=1)
Matematycznie zachodzi tożsamość zdań:
AP1 = AP2
W równaniach algebry Boole’a zmienne binarne sprowadzone są do jedynek na mocy praw Prosiaczka (patrz AP1=AP2). W logice matematycznej jedynki są domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności, co widać w równaniu AP1. Równania AP2 nie da się zapisać w postaci równania algebry Boole’a izolowanego od wszelkich zer i jedynek, jak to zrobiono w równaniu AP1.
Zdanie B jest dla naszego zdeterminowanego przypadku (K=1) fałszywe.
Dowód:
Mamy przyszłość opisaną zdaniem B.
B.
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y), wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Wczoraj zaszło:
(K=1)=(~K=0) - byliśmy w kinie (prawo Prosiaczka)
Do równania B z prawej strony możemy zatem podstawić:
K=1 albo ~K=0
Podstawiamy (K=1)
~Y=1 <=> K=1
Równoważność <=> to tożsamość logiczna „=”:
Prawa strona K=1 wymusi tu zatem:
Y=1 <=> K=1
czyli:
Pani dotrzymała słowa Y=1.
Podstawmy drugi możliwy wariant z prawej strony (~K=0), co wymusi (~Y=0)
Czyli:
(~Y=0) <=> (~K=0)
Lewą stronę czytamy:
Fałszem jest (=0) że pani skłamała (~Y).
Podsumowując:
Doskonale widać, że prawa Prosiaczka działają fenomenalnie zarówno w świecie niezdeterminowanym, jak i zdeterminowanym. Możemy je zatem stosować wszędzie, do dowolnej zmiennej binarnej (także do dowolnej funkcji logicznej), bez żadnych ograniczeń.
4.0 Operatory logiczne
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1
p=[0,1]
Zmienna binarna = Zmienna dwuwartościowa
Definicja układu logicznego:
Układ logiczny to obiekt o n-wejściach binarnych i tylko jednym wyjściu binarnym Y
| Kod: |
------------------
p0 -----| |
| |
p1 -----| f(p1,p2..pn)=? |------> Y=f(p1,p2..pn)
..... | |
pn -----| |
------------------
|
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to jednoznaczna odpowiedź układu zwana funkcją logiczną Y na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach układu.
Innymi słowy:
Odpowiedź operatora, to pojawienie się konkretnego stanu na wyjściu w odpowiedzi na stan na wejściach. Odpowiedź na dany stan jest zawsze taka sama. Zestawienie wszystkich możliwych stanów na wejściach oraz przypisanych im odpowiedzi opisuje operator.
Na wejściach [p1,p2..pn] mogą pojawiać się tylko i wyłącznie sygnały 0 albo 1
Na wyjściu Y również mogą się pojawiać tylko i wyłącznie sygnały 0 albo 1
W naszym Wszechświecie dostępne są wyłącznie operatory jednoargumentowe i dwuargumentowe, co odpowiada logice jednowartościowej i dwuwartościowej.
Operatory 3-ardumentowe i większe to czysta abstrakcja, bez związku z dostępną nam rzeczywistością, warta mniej więcej tyle co teoria o nieskończonej ilości Wszechświatów (skala makro) lub teoria strun (skala mikro). Obie te teorie mają tylko jedną zaletę, żadnej z nich nie da się zweryfikować, czyli obalić - na zawsze pozostaną one w sferze bajek (wierzeń).
Tablica dwuargumentowych operatorów logicznych:
| Kod: |
Najważniejsze, dwuargumentowe operatory logiczne
|Operator |Operator |Implikacja |Implikacja |Równoważność
|OR(|+) |AND(|*) |prosta p|=>q |odwrotna p|~>q|p<=>q
|Y= ~Y= |Y= ~Y= |Y= ~Y= |Y= ~Y= |Y= ~Y=
p q |p+q ~(p+q) |p*q ~(p*q) |p=>q ~(p=>q) |p~>q ~(p~>q) |p<=>q ~(p<=>q)
A: 1 1 | =1 =0 | =1 =0 | =1 =0 | =1 =0 | =1 =0
B: 1 0 | =1 =0 | =0 =1 | =0 =1 | =1 =0 | =0 =1
C: 0 1 | =1 =0 | =0 =1 | =1 =0 | =0 =1 | =0 =1
D: 0 0 | =0 =1 | =0 =1 | =1 =0 | =1 =0 | =1 =0
1 2 a b c d e f g h i j
|
| Kod: |
Pozostałe, dwuargumentowe operatory logiczne
|Operator |Operator |Operator chaosu |~~>: kolumna Y+~Y
|transmisji(P) |transmisji (Q) |Definicja dziedziny D
| | |dla dowolnego operatora
|Y= ~Y= |Y= ~Y= |D= ~D=
p q |pPq ~(pPq) |pQq ~(pQq) |Y+~Y ~(Y+~Y)=Y*~Y
A: 1 1 | =1 =0 | =1 =0 | =1 =0
B: 1 0 | =1 =0 | =0 =1 | =1 =0
C: 0 1 | =0 =1 | =1 =0 | =1 =0
D: 0 0 | =0 =1 | =0 =1 | =1 =0
1 2 k l m n o p
|
Matematycznie dla funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) zachodzi:
Y=p+q ## Y=p*q ## Y=(p=>q) ## Y=(p~>q) ## Y=(p<=>q)
gdzie:
Funkcja logiczna Y to kompletna kolumna wynikowa Y powiązana z wejściami p i q.
## - różne na mocy definicji
Wewnątrz dowolnego operatora logicznego zachodzi:
Y # ~Y
gdzie:
# - różne w znaczeniu iż pojęcia (zbiory) Y i ~Y są rozłączne
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
~Y=~(Y)
Dowolny operator spełnia definicję dziedziny:
D = Y+~Y =1
~D = ~(Y+~Y) = Y*~Y =0 (prawo De Morgana)
co doskonale widać w tablicy operatorów logicznych.
Ciekawostka:
Powyższa tabela przedstawia funkcję logiczną Y w logice spójników logicznych zgodnych z naturalną logiką matematyczną człowieka. Możliwy jest matematycznie tożsamy zestaw funkcji Y w logice totalnie przeciwnej do naturalnej logiki człowieka (spójniki NOR i NAND), który z oczywistych względów nas nie interesuje.
5.0 Operatory OR(|+) i AND(|*)
5.1 Definicje spójników „lub”(+) i „i”(*)
Definicja spójnika „lub”(+) w operatorze dwuargumentowym:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Definicja spójnika „lub”(+) w zapisie ogólnym (n-argumentowym):
Y = F1 + F2 + … Fn
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> F1=1 lub F2=1 lub … Fn=1
gdzie:
Fx - dowolnie złożona funkcja logiczna, byleby była skończona.
W szczególnym przypadku funkcje F1, F2..Fn mogą być pojedynczymi zmiennymi binarnymi A1, A2 .. An - to bez znaczenia.
Definicja spójnika „i”(*) w operatorze dwuargumentowym:
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Definicja spójnika „i”(*) w zapisie ogólnym (n-argumentowym):
Y = F1 * F2 * … Fn
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> F1=1 i F2=1 i … Fn=1
gdzie:
Fx - dowolnie złożona funkcja logiczna, byleby była skończona.
W szczególnym przypadku funkcje F1, F2..Fn mogą być pojedynczymi zmiennymi binarnymi A1, A2 .. An - to bez znaczenia.
5.2 Operator OR(|+) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
Zero-jedynkowa definicja operatora OR(|+) w równaniach algebry Boole’a:
| Kod: |
Definicja operatora OR(|+) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p q ~p ~q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~Y=~p*~q Y=~(~p*~q)
A: 1 1 0 0 1 0 0 1
B: 1 0 0 1 1 0 0 1
C: 0 1 1 0 1 0 0 1
D: 0 0 1 1 0 1 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8
|
Klasyczna definicja zero-jedynkowa operatora OR(|+) to kompletna tabela ABCD125.
Z definicji klasycznej ABCD125 wynika kompletna tabela zero-jedynkowa ABCD123456
Dlaczego?
Wszystkie sygnały zanegowane i niezanegowane muszą istnieć na mocy prawa rozpoznawalności pojęcia p, najważniejszego prawa w logice matematycznej.
Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
Dowód na przykładzie:
Wyobraźmy sobie że żyjemy w innym Wszechświecie gdzie panuje idealna temperatura (obojętnie jaka). W takim Wszechświecie pojęcia ciepło-zimno są nierozpoznawalne, bo nie możemy zmierzyć choćby najmniejszej różnicy temperatur. W takim Wszechświecie nawet na poziomie abstrakcyjnym nie będziemy w stanie wyobrazić sobie, a tym samym zdefiniować pojęć ciepło-zimno, bo te pojęcia nie są dostępne w tym Wszechświecie.
Z prawa rozpoznawalności pojęcia wynika, że kompletna tabela operatora OR(|+) to nie tylko tabela znana Ziemianom ABCD125, ale także kompletna tabela ABCD12345678 opisująca wszystkie możliwe związki między sygnałami niezanegowanymi i zanegowanymi.
Stąd mamy:
Kompletna definicja operatora OR(|+) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) to układ równań logicznych:
1.
Tożsamość kolumn: 5=8
Y= p+q = ~(~p*~q)
2.
Tożsamość kolumn: 6=7
~Y= ~(p+q)=~p*~q
Doskonale tu widać, że spójnik „lub”(+) w nagłówku kolumny 5 to nie jest operator OR(|+) bo nagłówek ten opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tabeli ABCD125, obszar ABC125.
1
ABC125:
Logika dodatnia (bo Y)
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Wniosek:
Nagłówek tabeli ABCD125 (Y=p+q) opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli.
Prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
Na mocy prawa Prosiaczka linia D125 jest tożsama z linią D347.
Linia D125=D347 opisuje spójnik logiczny „i”(*) co doskonale widać w tabeli ABCD347
Z nagłówka kolumny 7 odczytujemy:
2.
D347:
Logika ujemna (bo ~Y)
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Wniosek:
Nagłówek tabeli ABCD347 (~Y=~p*~q) opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli.
Stąd mamy.
Prawo Sowy
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli
Wszystkie sygnały zanegowane i niezanegowane są ze sobą w matematycznym związku.
Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = ~(~p*~q)
Potwierdza to tożsamość kolumn 5=8
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~(p+q) = ~p*~q
Potwierdza to tożsamość kolumn 6=7
Stąd mamy prawo przejścia do logiki przeciwnej będące odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia w matematyce klasycznej.
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
1: Y=p*q
2: ~Y=~p+~q
Przykład 5.2
Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
… a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie stronami:
~Y=~(K+T) = ~K*~T
W naturalnej logice człowieka wyłącznie równania alternatywo-koniunkcyjne są bez problemu zrozumiałe. Takim równaniem jest w tym przypadku.
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Odczytujemy:
2.
Prawdą jest (=1), że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
5.3 Operator AND(|*) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
Zero-jedynkowa definicja operatora AND(|*) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
| Kod: |
Definicja operatora AND(|*) w równaniach logicznych:
p q ~p ~q Y=p*q ~Y=~(p*q) ~Y=~p+~q Y=~(~p+~q)
A: 1 1 0 0 1 0 0 1
B: 1 0 0 1 0 1 1 0
C: 0 1 1 0 0 1 1 0
D: 0 0 1 1 0 1 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8
|
Klasyczna definicja zero-jedynkowa operatora AND(|*) to kompletna tabela ABCD125.
Z definicji klasycznej ABCD125 wynika kompletna tabela zero-jedynkowa ABCD123456
Kompletna definicja operatora AND(|*) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) to układ równań logicznych:
1.
Tożsamość kolumn: 5=8
Y= p*q = ~(~p+~q)
2.
Tożsamość kolumn: 6=7
~Y= ~(p*q)=~p+~q
Doskonale tu widać, że spójnik „i”(*) w nagłówku kolumny 5 to nie jest operator AND(|*) bo nagłówek ten opisuje wyłącznie wynikową jedynkę w tabeli ABCD125, linia A125.
1
Linia A125:
Logika dodatnia (bo Y)
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Wniosek:
Nagłówek tabeli ABCD125 (Y=p*q) opisuje wyłącznie wynikową jedynkę w tej tabeli.
Prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
Na mocy prawa Prosiaczka linia B125 jest tożsama z linią B347.
Także linia C125 jest tożsama z linią C347, zaś D125 jest tożsama z linią D347
Z nagłówka kolumny 7 odczytujemy funkcję logiczną ~Y:
2.
BCD347:
Logika ujemna (bo ~Y)
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Wniosek:
Nagłówek tabeli ABCD347 (~Y=~p+~q) opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli.
Stąd mamy.
Prawo Sowy
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli
Wszystkie sygnały zanegowane i niezanegowane są ze sobą w matematycznym związku.
Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p*q = ~(~p+~q)
Potwierdza to tożsamość kolumn 5=8
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~(p*q) = ~p+~q
Potwierdza to tożsamość kolumn 6=7
Stąd mamy prawo przejścia do logiki przeciwnej będące odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia w matematyce klasycznej.
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
1: Y=p+q
2: ~Y=~p*~q
Przykład 5.3
Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
… a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie stronami:
~Y=~(K*T) = ~K+~T
W naturalnej logice człowieka wyłącznie równania alternatywo-koniunkcyjne są bez problemu zrozumiałe. Takim równaniem jest w tym przypadku.
~Y=~K+~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Odczytujemy:
2.
Prawdą jest (=1), że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
5.4 Klasyczny rachunek zero-jedynkowy
Definicje podstawowe.
Zmienna binarna (techniczna algebra Boole’a):
Zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady:
p, q, ~r
Funkcja logiczna (techniczna algebra Boole’a):
Funkcja przyjmująca w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1 w zależności od aktualnego stanu zmiennych binarnych i użytego operatora logicznego.
Przykłady funkcji logicznych:
Y=p*q+~r
p=>q
gdzie:
„*”, „+”, => - spójniki logiczne
Funkcja logiczna opisana spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Funkcja logiczna Y (wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości wejściowych zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p+q - logika dodatnia bo Y
~Y=~p*~q - logika ujemna bo ~Y
| Kod: |
Definicja spójnika „lub”(+) dla potrzeb klasycznego rachunku zero-jedynkowego
p q Y=p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 1 =1
D: 0 0 =0
1 2 3
|
Definicja spójnika „lub”(+):
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Definicja spójnika „lub”(+) to wyłącznie obszar ABC123, co doskonale widać w powyższej tabeli.
Linia D123 to tylko uzupełnienie definicji spójnika „lub”(+) do pełnego operatora logicznego OR(|+).
Prawo Sowy:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli.
| Kod: |
Definicja spójnika „i”(*) dla potrzeb klasycznego rachunku zero-jedynkowego
p q Y=p*q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 1 =0
D: 0 0 =0
1 2 3
|
Definicja spójnika „i”(*):
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Definicja spójnika „i”(*) to wyłącznie linia A123.
Obszar BCD123 to wyłącznie uzupełnienie definicji spójnika „i”(*) do pełnego operatora logicznego AND(|*)
Prawo Sowy:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli.
W klasycznym rachunku zero-jedynkowym nie interesuje nas wewnętrzna budowa operatora logicznego, czyli nie interesują nas cząstkowe równania logiczne opisujące poszczególne linie operatora, które niebawem poznamy.
Najważniejsze prawa algebry Boole’a
Definicja zero-jedynkowa (maszynowa) operatora OR:
| Kod: |
p q Y=p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 1 =1
D: 0 0 =0
1 2 3 |
Prawa zero-jedynkowe wynikające z definicji operatora OR:
1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0
Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji operatora OR:
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1
Dowody formalne:
| Kod: |
p ~p 1 0 p+1 p+0 p+~p
A: 1 0 1 0 1 1 1
B: 0 1 1 0 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 |
Poprawność wszystkich praw algebry Boole’a widać jak na dłoni.
W szczególności:
p+0=p
czego dowodem jest tożsamość kolumn 1 i 6.
Definicja zero-jedynkowa (maszynowa) operatora AND:
| Kod: |
p q Y=p*q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 1 =0
D: 0 0 =0
1 2 3 |
Prawa zero-jedynkowe wynikające z definicji operatora AND:
1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0
Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji operatora AND:
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0
Dowody formalne:
| Kod: |
p ~p 1 0 p*1 p*0 p*~p
A: 1 0 1 0 1 0 0
B: 0 1 1 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6 7 |
Poprawność wszystkich praw algebry Boole’a widać jak na dłoni.
W szczególności:
p*1=p
czego dowodem jest tożsamość kolumn 1 i 5.
Fundament algebry Boole’a:
p*~p =0
p+~p =1
Przydatne prawa dodatkowe
Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r)=(p*q)*r
Przemienność:
p+q=q+r
p*q=q*r
Mnożenie logiczne wielomianów:
(p+q)*(r+s) = p*r+p*s+q*r+q*s
Wyciąganie zmiennej przed nawias:
p*q+p*r = p*(q+r)
Najważniejszym prawem algebry Boole’a jest prawo przejścia do logiki przeciwnej.
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Przykład:
Y=p+q(r+~s)
Algorytm Wuja Zbója:
A.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki
Y = p+[q*(r+~s)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub [q=1 i (r=1 lub ~s=1)]
B.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne, „lub”(+) na „i”(*) i odwrotnie
~Y = ~p*[~q+(~r*s)]
C.
Opuszczamy zbędne nawiasy
~Y = ~p*(~q+~r*s)
Powyższe równanie to postać koniunkcyjno-alternatywna, sprzeczna z naturalną logiką człowieka, co wkrótce udowodnimy. Mnożąc zmienną ~p przez wielomian otrzymamy postać alternatywno-koniunkcyjną, zgodną z naturalną logiką człowieka.
D.
~Y = ~p*~q + ~p*~r*s
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~p*~q)=1 lub (~p*~r*s)=1
Kolejność wykonywania działań zarówno w logice dodatniej jak i ujemnej:
Nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i C mamy prawo De Morgana dla naszej funkcji logicznej A.
Y = p+q*(r+~s) = ~[~p*(~q+~r*s)]
Przykład minimalizacji funkcji logicznej:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód tożsamości:
0. Y = p*q + p*~q + ~p*q
1. Y = p(q+~q) + ~p*q
2. Y = p*1 + ~p*q
3. Y = p+~p*q
Wykorzystane prawa:
1. Wyciągniecie zmiennej p przed nawias
2. q+~q=1
3. p*1=p
Mamy:
3. Y=p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
4. ~Y = ~p*(p+~q)
5. ~Y = p*~p + ~p*~q
6. ~Y = 0 + ~p*~q
7. ~Y = ~p*~q
Wykorzystane prawa
4. Przejście do logiki ujemnej
5. Mnożenie zmiennej ~p przez wielomian
6. p*~p=0
7. 0+x=x
Mamy funkcję minimalną w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Przechodząc do logiki przeciwnej mamy funkcje minimalną w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q
cnd
Układ równań minimalnych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
to nic innego jak definicja operatora OR w algebrze Kubusia.
Twierdzenie przydatne w minimalizacji równań logicznych.
Twierdzenie:
Dowolny fragment funkcji logicznej wolno nam wydzielić i zapisać jako niezależną funkcję logiczną, którą po minimalizacji możemy z powrotem wstawić do układu.
Przydatność tego twierdzenia poznamy na przykładzie:
Zminimalizuj funkcję logiczną Y metodą równań algebry Boole’a:
A: Y = ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r
Rozwiązanie:
Y = ~p*q*~r + ~p*~q(r+~r) /wyciągnięcie ~p*~q przed nawias
Y = ~p*q*~r + ~p*~q /r+~r=1; ~p*~q*1 =~p*~q
Y = ~p(q*~r+~q) /wyciągnięcie ~p przed nawias
B: Y = ~p*(z) / Podstawienie: z=q*~r+~q
-----------------------------------------------------------------
z=(q*~r) + ~q
Przejście do logiki ujemnej (bo ~z) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~z = (~q+r)*q
~z = ~q*q + r*q /po wymnożeniu wielomianu
~z = r*q /~q*q=0; 0+r*p = r*p
~z = q*r
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
z = ~q + ~r / Funkcja logiczna „z” po minimalizacji
------------------------------------------------------------------
B: Y = ~p*(z) /Przepisanie równania B
C: Y = ~p*(~q + ~r) / Podstawienie zminimalizowanej funkcji „z”
Po wymnożeniu zmiennej przez wielomian mamy:
D: Y = ~p*~q + ~p*~r
Funkcje C i D to funkcje minimalne, których nie da się dalej minimalizować.
5.5 Równania alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne
Zobaczmy o co tu chodzi na przykładzie poniższej tabeli zero-jedynkowej:
| Kod: |
Tabela zero-jedynkowa |Opis tabeli w układzie równań cząstkowych
|opisujących wyłącznie jedynki w tabeli ABCD123456
p q ~p ~q Y ~Y | |co matematycznie oznacza
A: 1 1 0 0 1 0 | Ya= p* q | Ya=1<=> p=1 i q=1
B: 1 0 0 1 0 1 |~Yb= p*~q |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1
C: 0 0 1 1 1 0 | Yc=~p*~q | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1
D: 0 1 1 0 0 1 |~Yd=~p* q |~Yd=1<=>~p=1 i q=1
1 2 3 4 5 6 a b c d e f
|
Tabela zero-jedynkowa ABCD123456 pokazuje wszystkie możliwe związki między sygnałami zanegowanymi i niezanegowanymi.
Dokładnie ta sama tabela opisania równaniami algebry Boole’a to obszar ABCDabcdef.
Z tabeli symbolicznej ABCDabc odczytujemy:
1.
Y = Ya+Yc
Y=A: p*q+ C: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: (p=1 i q=1) lub C: (~p=1 i ~q=1)
To równanie opisuje wynikowe jedynki w tabeli zero-jedynkowej ABCD125
Z tabeli ABCDabc odczytujemy także:
2.
~Y= ~Yb+~Yc
~Y = B: p*~q + D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> B: (p=1 i ~q=1) lub D: (~p=1 i q=1)
To równanie opisuje wynikowe jedynki w tabeli zero-jedynkowej ABCD346
Równania 1 i 2 to równania alternatywno-koniunkcyjne (alternatywa koniunkcji).
Jak wyglądają i skąd się biorą równania koniunkcyjno-alternatywne (koniunkcja alternatyw)?
Odpowiedź:
Z dwustronnej negacji równań 1 i 2
1.
Y=A: (p*q) + C: (~p*~q)
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
3.
~Y=A: (~p+~q) * C: (p+q)
2.
~Y = B: (p*~q) + D: (~p*q)
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
4.
Y= B: (~p+q) * D: (p+~q)
Matematycznie zachodzi:
1: Y = 4: Y
Y = A: p*q + C: ~p*~q = B: (~p+ q) * D: (p+~q)
Matematycznie zachodzi także:
2: ~Y = 3: ~Y
~Y = B: (p*~q) + D: (~p*q) = A: (~p+~q) * D: (p+q)
Ciekawostka:
Równania koniunkcyjno-alternatywne otrzymamy bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej ABCD123456 opisując zera w tej tabeli stosując w wierszach spójnik „lub”(+) natomiast w kolumnach przy opisie funkcji logicznej w tej samej polaryzacji spójnik „i”(*).
Wynika to bezpośrednio z powyższych rozważań czysto matematycznych, z banalnego przejścia od równań alternatywno-koniunkcyjnych (1 i 2) do równań koniunkcyjno-alternatywnych (3 i 4).
Dlaczego to jest ciekawostka?
Równań koniunkcyjno-alternatywnych nie zrozumie żaden człowiek, bo to jest logika totalnie przeciwna do jego logiki - wyssanej z mlekiem matki.
Naturalną logiką matematyczną człowieka są wyłącznie równania alternatywno-koniunkcyjne, dowolnie złożone, które zrozumie bez problemu każdy 5-cio latek
Dowód na przykładzie niżej.
| Kod: |
Tabela zero-jedynkowa |Opis tabeli w układzie równań cząstkowych
|opisujących wyłącznie zera w tabeli ABCD123456
p q ~p ~q Y ~Y | |co matematycznie oznacza
A: 1 1 0 0 1 0 |~Ya=~p+~q |~Ya=0<=>~p=0 lub ~q=0
B: 1 0 0 1 0 1 | Yb=~p+ q | Yb=0<=>~p=0 lub q=0
C: 0 0 1 1 1 0 |~Yc= p+ q |~Yc=0<=> p=0 lub q=0
D: 0 1 1 0 0 1 | Yd= p+~q | Yd=0<=> p=0 lub ~q=0
1 2 3 4 5 6 a b c d e f
|
Z tabeli symbolicznej ABCDabc odczytujemy:
3.
~Y=~Ya*~Yc
~Y= A: (~p+~q)* C: (p+q)
oraz:
4.
Y=Yb*Yd
Y = B: (~p+q)* D: (p+~q)
Matematycznie zachodzi:
1: Y = 4: Y
Y = A: p*q + C: ~p*~q = B: (~p+ q) * D: (p+~q)
Przykład 2.3
Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru lub nie pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru
Y=K*T + ~K*~T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (K*T)=1 lub (~K*~T)=1
Na mocy definicji spójnika „lub”(+) wystarczy że jutro zajdzie którekolwiek z powyższych zdarzeń i już pani dotrzyma słowa. Dalsze jej działania będą bez znaczenia.
Matematycznie zachodzi:
Y= 1: p*q + ~p*~q = 4: (~p+q)*(p+~q)
stąd mamy zdanie matematycznie tożsame 4:
1A.
Jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1) i pójdziemy do kina (K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Po pierwsze:
Kolejność wykonywania działań w logice:
„i”(*), „lub”(+)
Stąd zdanie wyżej musimy zakodować tak:
Y = ~K+T*K+~T
Oczywistym jest że to jest zupełnie inne zdanie niż zdanie 1.
Nawet jak wiemy o co chodzi i w zdaniu 1A postawimy nawiasy to i tak żaden człowiek nie pojmie iż to jest zdanie tożsame ze zdaniem 1.
1A
Jutro (nie pójdziemy do kina (~K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)) i (pójdziemy do kina (K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1))
Y = (~K+T)*(K+~T)
Pokażcie mi człowieka który zrozumie intuicyjnie tożsamość zdań:
1=1A
Nie ma takiego człowieka z prof. matematyki na czele.
Matematycznie można przejść w banalny sposób od równania 1A do równia 1, wystarczy wymnożyć wielomiany
Dowód:
1A.
Y= (~p+q)*(p+~q)
Y = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q
stąd mamy:
1.
Y = p*q + ~p*~q
cnd
Prawo Bociana:
Naturalną logiką każdego człowieka są równania alternatywno-koniunkcyjne
Wróćmy do naszego zdania wypowiedzianego:
Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru lub nie pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru
Y=K*T + ~K*~T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (K*T)=1 lub (~K*~T)=1
Na mocy definicji spójnika „lub”(+) wystarczy że jutro zajdzie którekolwiek z powyższych zdarzeń i już pani dotrzyma słowa. Dalsze jej działania będą bez znaczenia.
… a kiedy pani skłamie?
Nasze zdanie w zapisie formalnym:
Y=(p*q)+(~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=(~p+~q)*(p+q)
Wymnażamy wielomian by otrzymać postać alternatywno-koniunkcyjną, zrozumiałą dla człowieka.
~Y = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q
~Y = p*~q + ~p*q
Stąd mamy odpowiedź:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
~Y = K*~T + ~K*T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1 lub ~K=1 i T=1
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 8:58, 15 Sie 2016, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 2:09, 15 Sie 2016 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - bramy Raju
Część II
Operatory implikacyjne |=>, |~>, <=>,|~~>
Spis treści
6.0 Operatory implikacyjne 1
6.1 Słownik Chińsko-Polski 2
6.2 Spójniki implikacyjne ~~>, =>, ~> 7
6.3 Prawa Kubusia 8
6.4 Prawo Kobry 10
6.5 Wspólna dziedzina w zdaniach warunkowych 10
7.0 Operatory implikacyjne |=>, |~>, <=>, |~~> w spójnikach implikacyjnych =>, ~>, ~~> 11
8.0 Operatory implikacyjne |=>, |~>, <=>, |~~> w zbiorach 16
8.1 Operator implikacji prostej p|=>q 16
8.2 Operator implikacji odwrotnej p|~>q 20
8.3 Operator równoważności p<=>q 25
8.4 Operator chaosu p|~~>q 30
6.0 Operatory implikacyjne
Definicje zero-jedynkowe operatorów implikacyjnych:
| Kod: |
Najważniejsze, dwuargumentowe operatory logiczne
|Implikacja |Implikacja |Równoważność |Operator chaosu: Y+~Y
|prosta p|=>q |odwrotna p|~>q| p<=>q |Definicja dziedziny D
| | | |dla dowolnego operatora
|Y= ~Y= |Y= ~Y= |Y= ~Y= |Y+~Y Y*~Y
p q |p=>q ~(p=>q) |p~>q ~(p~>q) |p<=>q ~(p<=>q)| =1 =0
A: 1 1 | =1 =0 | =1 =0 | =1 =0 | =1 =0
B: 1 0 | =0 =1 | =1 =0 | =0 =1 | =1 =0
C: 0 1 | =1 =0 | =0 =1 | =0 =1 | =1 =0
D: 0 0 | =1 =0 | =1 =0 | =1 =0 | =1 =0
1 2 a b c d e f g h |
Najważniejsze prawa logiki matematycznej to prawa Kubusia:
I prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
II prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Dowód formalny praw Kubusia:
| Kod: |
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q p~>q ~p=>~q
A: 1 1 1 1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =0 =0 =1 =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =1 =1 =0 =0
1 2 3 4 5 6 7 8
|
Tożsamość kolumn wynikowych 5=6 jest dowodem formalnym I prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Tożsamość kolumn wynikowych 7=8 jest dowodem formalnym II prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
6.1 Słownik Chińsko-Polski
Oznaczmy:
Język Polski - naturalna logika człowieka (algebra Kubusia)
Język Chiński - logika formalna (Rachunek Predykatów)
AK - algebra Kubusia
LZ - logika Ziemian
Nadszedł czas, by po 10 latach wojny Kubuś vs reszta świata zbudować słownik Chińsko-Polski pozwalający Ziemskim matematykom, operującym językiem Chińskim, zrozumieć niezrozumiałe, algebrę Kubusia, operującą w języku polskim.
Oczywistym jest, że należy zacząć od języka Chińskiego, tłumacząc RP na AK.
| fiklit napisał: | Jeszcze uwaga co to tego, że matematycy nie rozumieją tabelek. To nie jest tak, że punktem wyjścia jest tabelka, którą się interpretuje. Punktem wyjścia jest pewna idea operatora logicznego (w znaczeniu LZ, które jest inne niż twoje), tę ideę można zapisać w formie tabelki. Zatem zarzuty, że matematycy nie rozumieją tabeli jest zupełnie bez sensu. To ty nie rozumiesz co matematycy zapisali za pomocą tabeli. Natomiast twoja interpretacja w formie "tabelki" może być zapisana w LZ i wygląda tak:
| Kod: | \/x: P(x)* Q(x) = ...
\/x: P(x)* ~Q(x) = ...
\/x: ~P(x)* ~Q(x) = ...
\/x: ~P(x)* Q(x) = ... |
I teraz jeśli wartości w kolejnych wierszach będą 1,0,1,1 to jest to twoja implikacja prosta |=>. Ale tymi zagadnieniami nie zajmują działy logiki typu rachunek zdań, rachunek kwantyfikatorów. |
To jest implikacja prosta p|=>q także Ziemian, bowiem Ziemianie potrafią zakodować tabelę zero-jedynkową implikacji prostej w postaci symbolicznej, jak ty to zapisałeś, uzupełnioną o kolumnę wynikową.
Zauważ, że gdyby Ziemianie nie potrafili uzupełnić twojej tabeli o kolumnę wynikową to nie umieli by opisać dowolnej tabeli zero-jedynkowej funkcją logiczną Y w spójnikach „lub”(+) i „i”(*), co jest nonsensem - bo akurat to Ziemianie potrafią robić (nie wszyscy ale potrafią np. prof. L. Newelski)
Patrz Uwaga 2.7 w tym linku:
[link widoczny dla zalogowanych]
Dowód iż Ziemianie potrafią opisać implikację prostą p|=>q przy pomocy kwantyfikatorów małych \/:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kubusiowa-szkola-logiki-na-zywo-dyskusja-z-volrathem,3591-25.html#69416
| Wykładowca logiki Volrath napisał: |
Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
/\x P(x)=>4L(x)
| Kod: |
Wiemy, że:
P i 4L = 1 (pies)
P i~4L = 0 (brak psów bez 4 łap)
~P i 4L = 1 (słoń)
~P i~4L = 1 (mrówka) |
|
Zauważ, że Volrath podał po jednym zwierzątku w każdej linii tabeli symbolicznej implikacji prostej.
Zatem zapis Voratha jest tożsamy z twoją tabelką uzupełnioną o kolumnę wynikową.
Zacznijmy od początku.
Myślenie w RP.
[link widoczny dla zalogowanych]
Definicja podzbioru:
p=>q
Jeżeli każdy element zbioru p jest elementem zbioru q, to mówimy, że p jest podzbiorem => q i zapisujemy p=>q.
Zapis definicji podzbioru na gruncie RP.
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego x, jeśli x należy do zbioru p(x) to x należy do zbioru q(x)
Weźmy przykład:
AK i LZ:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]
LZ.
Zapis zdania A przy pomocy kwantyfikatora dużego o definicji z LZ.
A.
Dla każdego x, jeśli x należy do zbioru P8(x) to x należy do zbioru P2(x)
/\x P8(x)=>P2(x)
Przyjmijmy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Wyznaczmy wszystkie możliwe zbiory:
P8(x)=[8,16,24..]
P2(x)=[2,4,6,8..]
~P8(x) = [LN-P8] =[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2(x)=[LN-P2] =[1,3,5,7,9..]
Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej.
| Kod: |
P8 P2 Y
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1
|
Zapis tabeli zero-jedynkowej implikacji prostej Y w kwantyfikatorach małych zgodny z zapisem Fiklita i Volratha, czyli zgodny z logiką Ziemian!
| Kod: |
Y
A: \/x P8(x)* P2(x) =1
B: \/x P8(x)*~P2(x) =0
C: \/x~P8(x)*~P2(x) =1
D: \/x~P8(x)* P2(x) =1
|
Dalej myślimy naturalną logiką matematyczną człowieka, zgodnie z jego podstawową znajomością matematyki klasycznej.
[link widoczny dla zalogowanych]
Definicja podzbioru:
p=>q
Jeżeli każdy element zbioru p jest elementem zbioru q, to mówimy, że p jest podzbiorem => q i zapisujemy p=>q.
Zapis definicji podzbioru na gruncie RP.
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego x, jeśli x należy do zbioru p(x) to x należy do zbioru q(x)
Nasz przykład:
Dla każdego x, jeśli x należy do zbioru P8(x) to x należy do zbioru P2(x)
/\x P8(x)=>P2(x)
Zauważmy że w naszej tabeli linię A możemy zapisać w postaci definicji podzbioru, bo to jest zgodne z podstawową wiedzą matematyczną każdego człowieka.
| Kod: |
Y
A: /\x P8(x)=> P2(x) =1
B: \/x P8(x)* ~P2(x) =0
C: \/x~P8(x)* ~P2(x) =1
D: \/x~P8(x)* P2(x) =1
|
Definicja nadzbioru:
p~>q
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
~> - symbol nadzbioru
Przyjrzyjmy się linii C.
~P8(x) = [LN-P8] =[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2(x)=[LN-P2] =[1,3,5,7,9..]
Łatwo zauważyć, że zbiór ~P8(x)=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2(x)=[1,3,5,7,9..]
Stąd linię C możemy zapisać tak:
~P8(x)~>~P2(x)
Zauważmy, że definicji nadzbioru ~> nie da się opisać w aktualnej logice matematycznej człowieka tzn. nie da się jej opisać ani kwantyfikatorem małym \/ ani też dużym /\.
To jest podstawowy znaczek logiki matematycznej którego brakuje w logice matematycznej Ziemian.
Nasza końcowa tabela implikacji prostej wygląda tak.
| Kod: |
Y
A: /\x P8(x)=> P2(x) =1
B: \/x P8(x)* ~P2(x) =0
C: ~P8(x)~>~P2(x) =1
D: \/x~P8(x)* P2(x) =1
|
Zapiszmy teraz równanie prawdziwości funkcji logicznej Y
Y=1<=> A: /\x P8(x)=>P2(x) =1 lub C: ~P8(x)~>~P2(x) =1 lub D: \/x~P8(x)*P2(x) =1
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd mamy równanie algebry Boole’a implikacji prostej Y:
Y= A: /\x P8(x)=>P2(x) + C: ~P8(x)~>~P2(x) + D: \/x~P8(x)*P2(x)
Kiedy implikacja prosta Y będzie prawdziwa?
Wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwy będzie dowolny człon w powyższym równaniu.
Zauważmy, że symbolem implikacji prostej nie może to być znaczek podzbioru „=>” bo wylądujemy w niejednoznaczności matematycznej.
Musimy zatem wprowadzić do logiki kolejny znaczek, znaczek implikacji prostej.
Zróbmy to:
P8(x)|=>P2(x)
|=> - znaczek implikacji prostej
Stąd nasza końcowa tabela przyjmuje postać:
| Kod: |
P8(x)|=>P2(x)
A: /\x P8(x)=> P2(x) =1 - warunek wystarczający => znany ziemianom
B: \/x P8(x)* ~P2(x) =0 - kwantyfikator mały znany ziemianom
C: ~P8(x)~>~P2(x) =1 - warunek konieczny ~> znany ziemianom
D: \/x~P8(x)* P2(x) =1 - kwantyfikator mały znany ziemianom
|
Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego A:
A: /\x P8(x)=>P2(x)
Nazywamy zdanie B zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym \/
Nasz przykład:
B: \/x P8(x)*~P2(x) =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu B=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A=1 (i odwrotnie)
Prawdziwość kontrprzykładu B=1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego A=0 (i odwrotnie)
Zauważmy, że linia D jest kontrprzykładem prawdziwym:
D: \/x ~P8(x)*P2(x) =1
Definicja kontrprzykładu spełniona bo zbiór ~P8(x)=[1,2,3,4,5,6,7..9..] ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem P2(x)=[2,4,6,8..]
Prawdziwość kontrprzykładu w linii D wyklucza warunek wystarczający => w linii C.
~P8(x)=>~P2(x) =0
Sprawdźmy na piechotę poprawność definicji kontrprzykładu, nie wiedzieć czemu … nieznanej Ziemianom!
~P8(x)=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2(x)=[1,3,5,7,9..]
Doskonale widać, że zbiór ~P8(x) nie jest podzbiorem => zbioru ~P2(x)
Definicje kluczowych znaczków w algebrze Kubusia, będących jej fundamentem, są identyczne jak w logice matematycznej Ziemian
Te znaczki to:
p~~>q = p*q - kwantyfikator mały, istnieje wspólny element zbiorów p i q
p=>q - warunek wystarczający =>, zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
p~>q - warunek konieczny ~>, zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Dowód.
Definicja kwantyfikatora małego \/:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/prawo-subalternacji,8368-1575.html#287095
| rafal3006 napisał: | | fiklit napisał: | | rafal3006 napisał: | Zdanie pod kwantyfikatorem małym wygląda tak:
\/x P8(x)*P2(x) =1 dla x=8 |
Prawie. Jeśli już ma być z tym "=1"
(\/x P8(x)*P2(x) )=1 bo dla x=8 (P8(x)*P2(x))=1
Czyli czytając normalnie
Istnieje liczba podzielna i przez 8 i przez 2, bo taką liczbą jest 8 podzielne i przez 8 i przez 2 |
Dzięki, to jest to czego mi brakowało bo pozostałe znaczki => i ~> mam, czyli łatwo znaleźć ich definicje w Wikipedii. |
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Warunek wystarczający (inaczej warunek dostateczny) – każdy warunek, z którego dany fakt wynika.
Jeżeli warunek wystarczający zachodzi (wystarczy, by zachodził), wówczas zachodzi dany fakt.
Na przykład,
A.
Jeżeli liczba jest podzielna przez 8, to jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Fakt podzielności przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla podzielności przez 2 |
Czyli:
Fakt przynależności dowolnej liczby do zbioru P8=[8,16,24..] jest warunkiem wystarczającym => aby ta liczba należała do zbioru P2=[2,4,6,8..] bo zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2
Fakt przynależności dowolnej liczby do zbioru P8=[8,16,24..] daje nam gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie należała do zbioru P2=[2,4,6,8..] bo zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2
To wytłuszczone jest w powyższej definicji kluczowe i najważniejsze.
Zauważmy, że na mocy definicji podzbioru mamy 100% pewność, że jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
Zauważmy, że warunek konieczny ~> (definicja nadzbioru ~>) to relacja P8 i P2 zapisana w kierunku odwrotnym:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Zauważmy, że zbiory P2 i P8 są różne stąd relacja warunku koniecznego ~> opisuje tu najzwyklejsze „rzucanie monetą”.
Czyli:
Jeśli liczba będzie podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8 (np. 8) lub może ~~> nie być podzielna przez 8 (np.2)
Pytanie:
Dlaczego LZ uznaje za matematykę relację warunku wystarczającego:
P8=>P2 =1
gdzie mamy 100% pewność, że jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na 100% jest podzielna przez 2
Natomiast nie uznaje relacji warunku koniecznego ~>:
P2~>P8 =1
Gdzie mamy „rzucanie monetą”.
Przecież to są dokładnie te same zbiory!
Nie może być tak że jak patrzymy na dowolny przedmiot np. krzesło, to od frontu jest to krzesło bo ma nogi siedlisko i oparcie, natomiast jak patrzymy od góry na to samo krzesło już krzesłem nie jest bo nóg nie widać.
6.2 Spójniki implikacyjne ~~>, =>, ~>
Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => i ~>:
Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące we wspólnej dziedzinie
1.
p~~>q = p*q - kwantyfikator mały ~~>
Zdarzenia:
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Zbiory:
Istnieje wspólny element zbiorów p i q
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2=P8*P2 =1 bo 8
Zdanie A pod kwantyfikatorem małym prawdziwe, bo istnieje wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..]. Wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów P8 i P2 i już zdanie A jest prawdziwe, dalsze działania są nieistotne.
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
Zdanie B pod kwantyfikatorem małym ~~> jest fałszywe bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
2.
p=>q - warunek wystarczający =>
Zdarzenia:
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Zbiory:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zawsze gdy pada (P=1), są chmury (CH=1)
Wymuszam stan „pada” (P=1) i na 100% muszą być „chmury” (CH=1)
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
CH=>P =0
Zdanie fałszywe bo wymuszam „chmury” i wcale nie musi „padać”
3.
p~>q - warunek konieczny ~>
Zdarzenia:
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Zbiory:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zabieram „chmury” wykluczając „padanie”.
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na pewno => nie pada (~P=1)
W sposób naturalny odkryliśmy tu prawo Kubusia wiążące warunek konieczny ~> z warunkiem wystarczającym =>:
CH~>P = ~CH=>~P
co matematycznie oznacza:
(CH=1)~>(P=1) = (~CH=1) => (~P=1)
Prawo Kubusia w zapisie formalnym:
p~>q = ~p=>~q
co matematycznie oznacza:
(p=1)~>(q=1) = (~p=1) => (~q=1)
Znaczenie prawa Kubusia (tożsamości logicznej <=>):
CH~>P <=> ~CH=>~P
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej <=> wymusza prawdziwość drugiej strony.
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej <=> wymusza fałszywość drugiej strony
Matematycznie zachodzi:
Tożsamość logiczna <=> = Tożsamość klasyczna „=”
Stąd znaczki <=> i „=” można używać zamiennie i zwykle tak się robi dla poprawienia czytelności zapisu.
6.3 Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
I prawo Kubusia:
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo p) jest tożsamy z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q
II prawo Kubusia:
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = ~p=>~q
Interpretacja praw Kubusia:
Zdanie prawdziwe po dowolnej stronie prawa Kubusia wymusza zdanie prawdziwe po drugiej stronie.
Zdanie fałszywe po dowolnej stronie prawa Kubusia wymusza zdanie fałszywe po drugiej stronie
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Dziedzina:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
P8=[8,16,24..]
P2=[2,4,6,8..]
~P8=[LN-P8] =[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2=[LN-P2] =[1,3,5,7,9..]
Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8~>~P2
Prawej strony tożsamości nie musimy sprawdzać, bo jest pewna na mocy prawa Kubusia.
Nie musimy, ale możemy.
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7,..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
lub
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
~P8~~>P2 =1 bo 2
Definicja kwantyfikatora małego ~~> jest spełniona bo istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..]
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
D1: ~P8~>P2 = P8=>~P2
Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdanie „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
p~~>q = p*q =1
Wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów p i q by zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> było prawdziwe
Sprawdzamy prawą stronę tożsamości D1 prawem Kobry:
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest rozłączny ze zbiorem ~P2=[1,3,5,7,9..]
Wniosek:
W zdaniu D na 100% nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy kwantyfikatora małego ~~>.
Prawa Kubusia w obsłudze zdań fałszywych:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Prawo Kubusia:
P2=>P8 = ~P2~>~P8
Lewa strona tożsamości Kubusia jest fałszem, zatem prawa strona musi być fałszem.
Nie musimy tego dowodzić, ale możemy.
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
~P2~>~P8 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest tu spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] nie jest nadzbiorem zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Wniosek:
P2=>P8 = ~P2~>~P8 =0
Prawa Kubusia działają fantastycznie!
6.4 Prawo Kobry
Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
p~~>q = p*q =1
Wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów p i q by zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> było prawdziwe.
Przykład zdania niespełniającego prawa Kobry:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
Kwantyfikator mały ~~> nie jest tu spełniony, bo zbiory P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..] są rozłączne.
Przykład zdania spełniającego prawo Kobry:
A1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Warunek wystarczający => spełniony bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Oczywistym jest że warunek wystarczający A1 spełnia prawo Kobry:
A2.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2 = P8*P2 =1 bo 8
Dla udowodnienia prawdziwości zdania A2 pod kwantyfikatorem małym ~~> wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..]
6.5 Wspólna dziedzina w zdaniach warunkowych
Przypomnijmy sobie definicje spójników implikacyjnych.
Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => i ~>:
Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące we wspólnej dziedzinie
1.
p~~>q = p*q - kwantyfikator mały ~~>
Zdarzenia:
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Zbiory:
Istnieje wspólny element zbiorów p i q
2.
p=>q - warunek wystarczający =>
Zdarzenia:
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Zbiory:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
3.
p~>q - warunek konieczny ~>
Zdarzenia:
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Zbiory:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
O co chodzi w pierwszym zdaniu?
Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => i ~>:
Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące na wspólnej dziedzinie
„We wspólnej dziedzinie” chodzi o to, że dziedziną poprzednika nie może być mydło, a dziedziną następnika powidło.
Przykład takiego bełkotu.
B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to kwadrat ma wszystkie kąty proste i boki równe
TP=>KWKPBR
Tu dziedziną poprzednika jest:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
… a dziedziną następnika jest:
ZWC - zbiór wszystkich czworokątów
Te dziedziny są rozłączne, zatem zdanie B1 jest też fałszywe na mocy prawa Kobry.
Dla naszego zdania B1 mamy:
Jeśli ZWT to ZWC
ZWT~~>ZWC = ZWT*ZWC =0
bo te dziedziny są rozłączne.
Wniosek:
Skoro dziedzina poprzednika jest rozłączna z dziedziną następnika to jest oczywistym, że poprzednik nie może mieć nic wspólnego z następnikiem, zatem zdanie B1 jest matematycznie fałszywe.
Czyli:
Dowolny trójkąt nie ma nic wspólnego z dowolnym czworokątem
7.0 Operatory implikacyjne |=>, |~>, <=>, |~~> w spójnikach implikacyjnych =>, ~>, ~~>
Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => i ~>:
Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące we wspólnej dziedzinie
1.
p~~>q = p*q - kwantyfikator mały ~~>
Zdarzenia:
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Zbiory:
Istnieje wspólny element zbiorów p i q
2.
p=>q - warunek wystarczający =>
Zdarzenia:
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Zbiory:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
3.
p~>q - warunek konieczny ~>
Zdarzenia:
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Zbiory:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Matematycznie zachodzi:
p=>q ## p~>q ## p~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
I prawo Kubusia:
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice dodatniej (bo q)
~p~>~q = p=>q
II prawo Kubusia:
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) jest tożsamy w warunkiem koniecznym ~> w logice dodatniej (bo q)
~p=>~q = p~>q
O przynależności zdania warunkowego „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym p=>q lub koniecznym p~>q do konkretnego operatora decyduje zdanie wypowiedziane w logice dodatniej (bo q). Jeśli ktokolwiek wypowie jako pierwsze zdanie „Jeśli p to q” w logice ujemnej (~p=>~q lub ~p~>~q) to musimy to zdanie sprowadzić do logiki dodatniej korzystając z prawa Kubusia, bowiem poniższe definicje operują wyłącznie na zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” w logice dodatniej, z niezanegowanym następnikiem q.
Definicje operatorów implikacyjnych |=>, |~>, |~~> w spójnikach implikacyjnych =>, ~>, ~~>:
p|=>q - operator implikacji prostej
p=>q=1
p~>q=0
p~~>q=1
Definicja:
p|=>q=(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
p|~>q - operator implikacji odwrotnej
p=>q =0
p~>q =1
p~~>q =1
Definicja:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
p<=>q - operator równoważności
p=>q =1
p~>q =1
p~~>q =1
Definicja:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1
p|~~>q - operator chaosu
p=>q =0
p~>q =0
p~~>q =1
Definicja:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1
Matematycznie zachodzi:
p|=>q ## p|=>q ## p|~>q ## p|~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Przykład 1.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi twierdzenie:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]
Badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Warunek konieczny ~> nie jest spełniony bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]
Definicja operatora implikacji prostej p|=>q:
p=>q =1
p~>q =0
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
Wniosek:
Warunek wystarczający A wchodzi w skład operatora implikacji prostej p|=>q o definicji:
P8=>P2 =1
P8~>P2 =0
P8|=>P2 = (P8=>P2)*~(P8~>P2) = 1*~(0) = 1*1 =1
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q)
Przykład 2.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi twierdzenie matematyczne:
A.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1
Zauważmy, że wszystkie operatory logiczne mamy zdefiniowane dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” w logice dodatniej (bo q).
Dla naszego zdania A musimy skorzystać z prawa Kubusia, aby uzyskać zdanie tożsame w logice dodatniej (bez zanegowanego następnika).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Nasz przykład:
~P2=>~P8 = P2~>P8
Stąd zdanie tożsame do A.
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Badamy warunek wystarczający => zachodzący między punktami P2 i P8:
C.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Warunek wystarczający => nie jest spełniony bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q:
p~>q =1
p=>q =0
Definicja:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
Wniosek:
Warunek konieczny B: P2~>P8 (wraz z tożsamym zdaniem A:~P2=>~P8) jest częścią operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8 o definicji:
P2~>P8 =1
P2=>P8 =0
P2|~>P8 = (P2~>P8)*~(P2=>P8) = 1*~(0) = 1*1 =1
Przykład 3.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi twierdzenie Pitagorasa.
TP.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów TP=SK
TP~>SK =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów TP=SK
Definicja równoważności p<=>q:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
Stąd mamy odpowiedź:
Twierdzenie Pitagorasa jest częścią operatora równoważności:
TP=>SK =1
TP~>SK =1
TP<=>SK = (TP=>SK)*(TP~>SK) = 1*1 =1
Przykład 4.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~>:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem P3=[3,6,9..24..]
Sprawdzamy warunek wystarczający => między punktami P8 i P3:
P8=>P3 =0
Warunek wystarczający => nie jest spełniony bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9..24..]
Sprawdzamy warunek konieczny ~> między punktami P8 i P3:
P8~>P3 =0
Warunek konieczny ~> nie jest spełniony bo zbiór P8=[8,16,24 ..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9..24..]
Definicja operatora chaosu p|~~>q:
p=>q =0
p~>q =0
p~~>q=1
Definicja:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1
Wniosek:
Nasze zdanie A: P8~~>P3 wchodzi w skład definicji operatora chaosu P8|~~>P3:
P8|~~>P3 = (P8~~>P3)*~(P8=>P3)*~(P8~>P3) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1
Podsumowując nasze cztery przykłady mamy:
1: P8|=>P2 ## 2: P2|~>P8 ## 3: TP<=>SK ## 4: P8|~~>P3
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Najbardziej interesujące są tu dwa pierwsze człony:
1: P8|=>P2 = (P8=>P2)*~(P8~>P2) ## 2: P2|~>P8 = (P2~>P8)*~(P2=>P8)
Prawa Kubusia zachodzące zawsze i wszędzie:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Stąd mamy:
1: P8|=>P2 = (P8=>P2 = ~P8~>~P2)*~(P8~>P2) ## 2: P2|~>P8 = (P2~>P8 = ~P2=>~P8)*~(P2=>P8)
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 ## P2~>P8 = ~P2=>~P8
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
P8=>P2 ## ~P2=>~P8
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Znane Ziemianom prawo kontrapozycji w tej postaci:
P8=>P2 = ~P2=>~P8
jest fałszywe w implikacji.
Znane Ziemianom prawo kontrapozycji obowiązuje wyłącznie w równoważności:
p=>q = ~q=>~p
Prosty dowód, na gruncie banalnej teorii zbiorów poznamy wkrótce.
8.0 Operatory implikacyjne |=>, |~>, <=>, |~~> w zbiorach
8.1 Operator implikacji prostej p|=>q
Definicja operatora implikacji prostej |=> w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..].
Dodatkowo zbiory P8 i P2 nie są tożsame co jest dowodem iż zdanie A jest częścią operatora implikacji prostej:
P8|=>P2 = (P8=>P2)*~[P8=P2] = 1*~(0) = 1*1 =1
Definicja operatora implikacji prostej |=> w zdarzeniach:
Zajście zdarzenia p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia q i nie jest tożsame ze zdarzeniem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zawsze gdy pada, jest pochmurno
Wymuszam stan „pada” i na 100” pojawi się stan „chmury”
Dodatkowo pojęcia „pada” i „chmury” nie są tożsame bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
Wniosek:
Warunek wystarczający A wchodzi w skład operatora implikacji prostej |=>:
P|=>CH = (P=>CH)*~[P=CH] = 1* ~(0) = 1*1 =1
Diagram implikacji prostej |=> w zbiorach:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Implikacja to trzy i tylko trzy zbiory niepuste w obrębie dowolnej dziedziny:
A: p=>q =p*q =1 - bo zbiór niepusty (warunek wystarczający => nas tu nie interesuje)
C: ~p~>~q = ~p*~q =1 - bo zbiór niepusty (warunek konieczny ~> nas tu nie interesuje)
D: ~p~~>q = ~p*q =1 - bo zbiór niepusty (zbiory ~p i q mają część wspólną)
W dowolnej implikacji jeden i tylko jeden ze zbiorów musi być zbiorem pustym:
B: p~~>~q = p*~q =0 - bo zbiór pusty (zbiory p i ~q są rozłączne)
Definicję symboliczną operatora implikacji prostej odczytujemy z diagramu:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór p jest podzbiorem zbioru q
p=>q = [p*q=p] =1
Prawdziwość warunku wystarczającego A wymusza fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie)
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona bo zbiory p i ~q są rozłączne
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q = [~p*~q=~q] =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów ~p i q
Warunek konieczny ~p~>q tu nie zachodzi bo prawo Kubusia:
~p~>q = p=>~q = p*~q =0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne
Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego A: p=>q nazywamy zdanie B: p~~>~q z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym ~~>
A: p=>q
B: p~~>~q =p*q
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu B: p~~>~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A: p=>q =1 (i odwrotnie)
Prawdziwość kontrprzykładu B: p~~>~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego A: p=>q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy, że w implikacji prostej p|=>q po stronie p mamy gwarancję matematyczną =>:
A.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Natomiast po stronie ~p mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”:
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q (zdanie C) lub może ~~> zajść q (zdanie D)
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na pewno => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH = P*CH =1
W zapisie formalnym:
p=>q = p*q =1
co matematycznie oznacza:
(p=1)=>(q=1) =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo wymuszam padanie i na pewno pojawią się chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Prawdziwość warunku wystarczającego A wymusza fałszywość kontrprzykładu B
B.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0 - sytuacja niemożliwa
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
co matematycznie oznacza:
(p=1) ~~> (~q=1) =0
… a jeśli jutro nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
C.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH = ~P*~CH =1
W zapisie formalnym:
~p~>~q = ~p*~q =1
co matematycznie oznacza:
(~p=1)~>(~q=1) =1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno bo jak są opady to na pewno => są chmury
Zauważmy że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
C: ~P~>~CH = A: P=>CH
lub
D.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1 - sytuacja możliwa
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
co matematycznie oznacza:
(~p=1)~~>(q=1) =1
Warunek konieczny ~> nie jest tu spełniony bo prawo Kubusia:
~P~>CH = P=>~CH = P*~CH =0
Prawa strona jest fałszem zatem w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Logika matematyczna człowieka ma tą piękną cechę, że przekłada się w stosunku 1:1 na zapisy formalne (zwyczajowo p, q i Y) niezależne od konkretnego zdania.
Dla naszego przykładu wystarczy podstawić:
p=P
q=CH
i lądujemy w zapisach formalnych.
Kodowanie zero-jedynkowe analizy symbolicznej implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
IP: Implikacja prosta p|=>q
Y ~Y p q ~p ~q p=>q ~p~>~q |Co matematycznie oznacza
A: p=> q = p* q =1 0 1 1 0 0 =1 =1 |( p=1)=> ( q=1) =1
B: p~~>~q= p*~q =0 1 1 0 0 1 =0 =0 |( p=1)~~>(~q=1) =0
C:~p~>~q =~p*~q =1 0 0 0 1 1 =1 =1 |(~p=1)~> (~q=1) =1
D:~p~~>q =~p* q =1 0 0 1 1 0 =1 =1 |(~p=1)~~>( q=1) =1
1 2 a b 3 c 4 5 6 7 8 9 d e f
Y=(p|=>q)
|
Definicję symboliczną operatora implikacji prostej ABCD123 możemy zakodować z dwóch różnych punktów odniesienia.
1.
Kodowanie implikacji prostej p|=>q w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
Prawo Sowy:
Nagłówek kolumny wynikowej w dowolnej tabeli zero-jedynkowej wyrażonej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej kolumnie.
Z tabeli symbolicznej ABCDab3c odczytujemy:
Tabela ABCDab3:
Y=(p|=>q) = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: (p=1 i q=1) lub C: (~p=1 i ~q=1) lub D: (~p=1 i q=1)
Tabela ABCDabc:
~Y=(p|=>q) = B: p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> B: (p=1 i ~q=1)
Operator logiczny implikacji prostej p|=>q to wszystkie cztery linie A, B, C, D a nie jedna, wybrana.
Implikacja prosta będzie prawdziwa p|=>q =1 gdy prawdziwe będzie jedno ze zdań A, C lub D
Inaczej implikacja prosta będzie fałszywa p|=>q =0 (zdanie B)
2.
Kodowanie implikacji prostej p|=>q wyrażonej spójnikami implikacyjnymi =>, ~>, ~~>
Prawo Puchacza:
Nagłówek kolumny wynikowej w operatorze implikacyjnym opisuje wybrany punkt odniesienia względem którego kodujemy tabelę symboliczną.
Kodowanie zero-jedynkowe definicji symbolicznej ABCD123
Ustalmy punkt odniesienia na warunku wystarczającym =>:
A: p=>q =1
co matematycznie oznacza:
A: (p=1) => (q=1)
Kodowanie poprzednika:
(p=1) = (p=1)
(~p=1)=(p=0) - prawo Prosiaczka
Kodowanie następnika:
(q=1) = (q=1)
(~q=1) = (q=0) - prawo Prosiaczka
Efekty kodowania dla punktu odniesienia A: p=>q widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD458
Ustalmy kolejny punkt odniesienia na warunku koniecznym ~>:
C: ~p~>~q =1
co matematycznie oznacza:
C: (~p=1)~>(~q=1)
Kodowanie poprzednika:
(~p=1) = (~p=1)
(p=1) = (~p=0) - prawo Prosiaczka
Kodowanie następnika:
(~q=1) = (~q=1)
(q=1) = (~q=0) - prawo Prosiaczka
Efekty kodowania dla punktu odniesienia C: ~p~>~q widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD679
Operator logiczny implikacji prostej p|=>q to wszystkie cztery linie A, B, C, D a nie jedna, wybrana.
Implikacja prosta będzie prawdziwa p|=>q =1 gdy prawdziwe będzie jedno ze zdań A, C lub D
Inaczej implikacja prosta będzie fałszywa p|=>q =0 (zdanie B)
Tożsamość kolumn wynikowych 8=9 jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia to tożsamość logiczna (równoważność) o znaczeniu:
p=>q = ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony
Logika dodatnia i ujemna w implikacji:
p=>q = ~p~>~q
Warunek wystarczający => lub konieczny ~> wyrażony jest w logice dodatniej p=>q wtedy i tylko wtedy gdy następnik nie jest zanegowany (q)
Warunek wystarczający => lub konieczny ~> wyrażony jest w logice ujemnej ~p~>~q wtedy i tylko wtedy gdy następnik jest zanegowany (~q)
Zauważmy, że w tabeli symbolicznej ABCDdef występujące tu jedynki możemy odczytać z wejściowej matrycy zero-jedynkowej ABCD4567.
8.2 Operator implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja operatora implikacji odwrotnej |~> w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Zbiór P2 jest konieczny ~> dla zbudowania zbioru P8
Zabieram zbiór P2 i znika mi zbiór P8
Dodatkowo zbiory P2 i P8 nie są tożsame co wymusza przynależność warunku wystarczającego A do operatora implikacji odwrotnej:
P2|~>P8 = (P2~>P8)*~[P2=P8] = 1*~(0) = 1*1 =1
Definicja operatora implikacji odwrotnej |~> w zdarzeniach:
Zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q i nie jest tożsame ze zdarzeniem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zabieram chmury wykluczając padanie
Dodatkowo pojęcie „chmury” nie jest tożsame z pojęciem „pada” bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
Stąd mamy dowód, iż warunek wystarczający => A jest częścią operatora implikacji odwrotnej |~>:
CH|~>P = (CH~>P)*~[CH=P] = 1*~(0) = 1*1 =1
Diagram implikacji odwrotnej |~> w zbiorach:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Implikacja to trzy i tylko trzy zbiory niepuste w obrębie dowolnej dziedziny:
A: p~>q =p*q =1 - bo zbiór niepusty (warunek konieczny ~> nas tu nie interesuje)
B: p~~>~q = p*~q =1 - bo zbiór niepusty
C: ~p=>~q = ~p*~q =1 - bo zbiór niepusty (warunek wystarczający => nas tu nie interesuje)
W dowolnej implikacji jeden i tylko jeden ze zbiorów musi być zbiorem pustym:
D: ~p~~>q = ~p*q =0 - bo zbiór pusty (zbiory ~p i q są rozłączne)
Symboliczną definicję implikacji odwrotnej p|~>q odczytujemy z diagramu:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q =[p*q=q] =1
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zabieram zbiór p i znika mi zbiór q
lub
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów p i ~q.
Zajście p nie jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q bo prawo Kubusia:
p~>~q = ~p=>q = ~p*q =0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q = [~p*~q=~p] =1
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Wymuszam dowolny element ze zbioru ~p i ten element na 100% będzie w zbiorze ~q
Prawdziwość warunku wystarczającego C wymusza fałszywość kontrprzykładu D.
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Bo zbiory ~p i q są rozłączne
Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego C: ~p=>~q nazywamy zdanie D: ~p~~>q z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym ~~>
C: ~p=>~q
D: ~p~~>q =~p*q
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu D: ~p~~>q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego C: ~p=>~q =1 (i odwrotnie)
Prawdziwość kontrprzykładu D: ~p~~>q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego C: ~p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy, że w implikacji odwrotnej p|~>q po stronie p mamy „rzucanie monetą”:
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q (zdanie A) lub może ~~> zajść ~q (zdanie B)
Natomiast po stronie ~p mamy gwarancję matematyczną =>:
C.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zauważmy, że w implikacji prostej było dokładnie odwrotnie i to jest ta fundamentalna różnica między implikacją prostą p|=>q i odwrotną p|~>q.
Gdzie ta różnica znajduje zastosowanie?
Obsługa wszelkich obietnic to na mocy definicji implikacja prosta p|=>q
Obsługa wszelkich gróźb to na mocy definicji implikacja odwrotna p|~>q
Szczegóły poznamy niebawem.
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P = CH*P =1
W zapisie formalnym:
p~>q = p*q =1
co matematycznie oznacza:
(p=1)~>(q=1) =1
Chmury są konieczne ~> aby jutro padało bo jak nie będzie chmur to na pewno => nie będzie padać
W naturalny sposób odkryliśmy tu prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
lub
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
co matematycznie oznacza:
(p=1)~~>(~q=1) =1
Kwantyfikator mały ~~> spełniony bo możliwa ~~> jest sytuacja są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)
… a jeśli nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmuro (~CH=1) to na pewno => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P = ~CH*~P =1
W zapisie formalnym:
~p=>~q = ~p*~q =1
co matematycznie oznacza:
(~p=1)=>(~q=1) =1
Definicja warunku wystarczającego => bo brak chmur wymusza => brak opadów
Spełniony warunek wystarczający => C wymusza fałszywość kontrprzykładu D.
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0 - sytuacja niemożliwa
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
co matematycznie oznacza:
(~p=1)~~>(q=1) =1
Przechodzimy na zapis formalny podstawiając:
p=CH
q=P
Kodowanie zero-jedynkowe analizy symbolicznej implikacji odwrotnej p|~>q:
| Kod: |
IO: Implikacja odwrotna p|~>q
Y ~Y p q ~p ~q p~>q ~p=>~q |Co matematycznie oznacza
A: p~> q = p* q =1 0 1 1 0 0 =1 =1 |( p=1)~> ( q=1) =1
B: p~~>~q= p*~q =1 0 1 0 0 1 =1 =1 |( p=1)~~>(~q=1) =1
C:~p=>~q =~p*~q =1 0 0 0 1 1 =1 =1 |(~p=1)=> (~q=1) =1
D:~p~~>q =~p* q =0 1 0 1 1 0 =0 =0 |(~p=1)~~>( q=1) =0
1 2 a b 3 c 4 5 6 7 8 9 d e f
Y=(p|~>q)
|
Definicję symboliczną operatora implikacji odwrotnej ABCD123 możemy zakodować z dwóch różnych punktów odniesienia.
1.
Kodowanie implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
Prawo Sowy:
Nagłówek kolumny wynikowej w dowolnej tabeli zero-jedynkowej wyrażonej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej kolumnie.
Z tabeli symbolicznej ABCDab3c odczytujemy:
Tabela ABCDab3:
Y=(p|~>q) = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: (p=1 i q=1) lub B: (p=1 i ~q=1) lub C: (~p=1 i ~q=1)
Tabela ABCDabc:
~Y=(~p|~>q) = D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> D: (~p=1 i q=1)
Operator logiczny implikacji odwrotnej p|~>q to wszystkie cztery linie A, B, C, D a nie jedna, wybrana.
Implikacja odwrotna będzie prawdziwa p|~>q =1 gdy prawdziwe będzie jedno ze zdań A, B lub C
Inaczej implikacja odwrotna będzie fałszywa p|~>q =0 (zdanie D)
2.
Kodowanie implikacji prostej p|=>q wyrażonej spójnikami implikacyjnymi =>, ~>, ~~>
Prawo Puchacza:
Nagłówek kolumny wynikowej w operatorze implikacyjnym opisuje wybrany punkt odniesienia względem którego kodujemy tabelę symboliczną.
Kodowanie zero-jedynkowe definicji symbolicznej ABCD123
Ustalmy punkt odniesienia na warunku koniecznym ~>:
A: p~>q =1
co matematycznie oznacza:
A: (p=1) ~> (q=1)
Kodowanie poprzednika:
(p=1) = (p=1)
(~p=1)=(p=0) - prawo Prosiaczka
Kodowanie następnika:
(q=1) = (q=1)
(~q=1) = (q=0) - prawo Prosiaczka
Efekty kodowania dla punktu odniesienia A: p~>q widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD458
Ustalmy kolejny punkt odniesienia na warunku wystarczającym ~>:
C: ~p=>~q =1
co matematycznie oznacza:
C: (~p=1)=>(~q=1)
Kodowanie poprzednika:
(~p=1) = (~p=1)
(p=1) = (~p=0) - prawo Prosiaczka
Kodowanie następnika:
(~q=1) = (~q=1)
(q=1) = (~q=0) - prawo Prosiaczka
Efekty kodowania dla punktu odniesienia C: ~p=>~q widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD679
Operator logiczny implikacji odwrotnej p|~>q to wszystkie cztery linie A, B, C, D a nie jedna, wybrana.
Implikacja odwrotna będzie prawdziwa p|~>q =1 gdy prawdziwe będzie jedno ze zdań A, B lub C
Inaczej implikacja odwrotna będzie fałszywa p|~>q =0 (zdanie D)
Tożsamość kolumn wynikowych 8=9 jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Zauważmy, że w tabeli symbolicznej ABCDdef występujące tu jedynki możemy odczytać z wejściowej matrycy zero-jedynkowej ABCD4567.
8.3 Operator równoważności p<=>q
Zacznijmy od definicji implikacji prostej p|=>q:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
p|=>q =(p=>q)*~[p=q]
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Definicja równoważności w zbiorach:
p<=>q = (p=>q)*[p=q]
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
Z definicji równoważności wynika, że powyższy diagram będzie pasował do równoważności wtedy i tylko wtedy gdy zlikwidujemy obszar niebieski.
Obszar niebieski zniknie wtedy i tylko wtedy będzie zachodziła tożsamość zbiorów p=q
która wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q.
Stąd mamy:
Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to dwa i tylko dwa zbiory niepuste w obrębie dowolnej dziedziny
Zbiory niepuste to:
A: p=>q = p*q =1 - bo zbiór niepusty (warunek wystarczający => nas tu nie interesuje)
C: ~p=>~q = ~p*~q =1 - bo zbiór niepusty (warunek wystarczający => nas tu nie interesuje)
Zbiory puste to:
B: p~~>~q = p*~q =0 - bo zbiór pusty (zbiory p i ~q są rozłączne)
D: ~p~~>q = ~p*q =0 - bo zbiór pusty (zbiory ~p i q są rozłączne)
Doskonale widać, że przy tożsamości zbiorów p=q znika obszar niebieski. Niebieską obwódkę, ślad po zbiorze występującym w implikacji, pozostawiono dla celów edukacyjnych.
Przykładowa, fizyczna realizacja zlikwidowania obszaru niebieskiego, jedna z wielu możliwych, jest następująca.
Obszar niebieski zlikwidujemy gdy:
p=>q - zbiór p będzie podzbiorem => zbioru q
i jednocześnie:
~p=>~q - zbiór ~p będzie podzbiorem => zbioru ~q
Stąd mamy aksjomatyczną definicję równoważności dającą w wyniku tabelę zero-jedynkową równoważności w sposób bezpośredni.
Aksjomatyczna definicja równoważności w logice dodatniej (bo q):
RA: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Symetryczna definicja w logice ujemnej (bo ~q):
RC: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Doskonale widać, że w tej definicji obszar niebieski znika.
Zapiszmy symbolicznie definicję równoważności w zbiorach odczytaną z powyższego diagramu.
| Kod: |
RA: p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
A: p=> q = p* q = p =1 - zbiór p jest podzbiorem => q
B: p~~>~q= p*~q =0 - zbiory p i ~q są rozłączne
RC: ~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
C:~p=>~q =~p*~q =~p =1 - zbiór ~p jest podzbiorem => ~q
D:~p~~>q =~p* q =0 - zbiory ~p i q są rozłączne
|
Dla kodowania definicji symbolicznej z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu A: p=>q otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności w logice dodatniej (bo q):
RA: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Punkt odniesienia:
A: p=>q
Kodowanie definicji symbolicznej dla p
(p=1) = (p=1)
(~p=1) = (p=0) - prawo Prosiaczka
Kodowanie definicji symbolicznej dla q
(q=1) = (q=1)
(~q=1) = (q=0) - prawo Prosiaczka
Dla kodowania definicji symbolicznej z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu C: ~p=>~q otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności w logice ujemnej (bo ~q):
RC: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Punkt odniesienia:
C: ~p=>~q
Kodowanie definicji symbolicznej dla ~p
(~p=1) = (~p=1)
(p=1) = (~p=0) - prawo Prosiaczka
Kodowanie definicji symbolicznej dla q
(~q=1) = (~q=1)
(~q=1) = (q=0) - prawo Prosiaczka
| Kod: |
Definicja symboliczna |Matryca |Kodowanie |Kodowanie
równoważności p<=>q |wejściowa |dla A: p=>q |dal C: ~p=>~q
| | p<=>q |~p<=>~q
p<=>q | p q ~p ~q | =(p=>q*(~p=>~q) | =(~p=>~q)*(p=>q)
A: p=> q = p* q =1 | 1 1 0 0 | =1 | =1
B: p~~>~q= p*~q =0 | 1 0 0 1 | =0 | =0
C:~p=>~q =~p*~q =1 | 0 0 1 1 | =1 | =1
D:~p~~>q =~p* q =0 | 0 1 1 0 | =0 | =0
a b c d e 1 2 3 4 5 6
|
Tożsamość kolumn wynikowych 5=6 jest dowodem formalnym prawa algebry Boole’a:
p<=>q = ~p<=>~q
Zauważmy, że obszaru niebieskiego w implikacji prostej p|=>q pozbędziemy się również w ten sposób.
Obszar niebieski zniknie wtedy i tylko wtedy gdy:
zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
i
Zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Stąd mamy tożsamą definicję równoważności:
RA1: p<=>q = (p~>q)*(~p~>~q)
Definicja symetryczna:
RC1: ~p<=>~q = (~p~>~q)*(p~>q)
Definicja symboliczna równoważności przyjmie tu postać:
| Kod: |
RA1: p<=>q=(p~>q)*(~p~>~q)
A: p~> q = p* q = p =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> q
B: p~~>~q= p*~q =0 - zbiory p i ~q są rozłączne
RC1: ~p<=>~q=(~p~>~q)*(p~>q)
C:~p~>~q =~p*~q =~p =1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> ~q
D:~p~~>q =~p* q =0 - zbiory ~p i q są rozłączne
|
Zauważmy, że w równoważności p<=>q warunek konieczny ~> oznacza identyczną pewność matematyczną jaką mamy w warunku wystarczającym =>, bo linie B i D są twardym fałszem
Warunek konieczny ~> wchodzący w skład równoważności możemy zapisać tak:
AK.
Jeśli zajdzie p to na pewno ~> zajdzie q
p~>q =1
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów p=q
Warunek wystarczający => wchodzący w skład równoważności zapisujemy tak:
AW.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów p=q
Zauważmy, że w zapisie słownym zdania AK i AW brzmią identycznie oznaczając co innego jeśli chodzi o matematykę ścisłą.
Matematycznie zachodzi bowiem:
Warunek wystarczający => ## warunek konieczny ~>
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Popularna definicja równoważności:
Równoważność <=> to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między dowolnymi dwoma punktami
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
Wyprowadziliśmy wyżej prawo algebry Boole’a:
R1: p<=>q = ~p<=>~q
Inne trywialne zapisy umożliwiające pozbycie się obszaru niebieskiego w implikacji są następujące:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R3: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
R4: p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
R5: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
Z R1 i R5 wynika R6:
R1: p<=>q = ~p<=>~q
R5: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
R6: p<=>q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
Z R2 i R6 wynika I prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R6: p<=>q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
p=>q = ~q=>~p
Z R2 i R4 wynika II prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R4: p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
q=>p = ~p=>~q
Kolejne definicje równoważności:
R7.
Obszar niebieski zniknie jeśli zbiór p będzie podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p będzie nadzbiorem ~> zbioru q
R7: p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
Definicja symetryczna.
R8.
Obszar niebieski zniknie jeśli zbiór ~p będzie podzbiorem => zbioru ~q i jednocześnie zbiór ~p nadzbiorem ~> zbioru ~q
R8: p<=>q = (~p=>~q)*(~p~>~q)
Z R2 i R8 mamy I prawo Kubusia w równoważności:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R8: p<=>q = (~p=>~q)*(~p~>~q)
p=>q = ~p~>~q
Z R2 i R7 mamy II prawo Kubusia w równoważności:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R7: p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
p~>q = ~p=>~q
Twierdzenie Pitagorasa.
Twierdzenie Pitagorasa:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Zbiory TP i SK są tożsame co wymusza definicję równoważności.
RA.
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
TP=>SK
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo SK) to wyłącznie linia A:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1
Bycie trójkątem prostokątnym wystarcza => do tego, aby zachodziła suma kwadratów.
Zbiory:
TP=>SK = [TP*SK = TP] =[TP=TP] =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK .
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów TP=SK.
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego A jest zdanie B.
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów
TP~~>~SK=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z A
Zbiory:
TP~~>~SK = [TP*~SK] =[]=0
Zbiory TP i ~SK są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
RC.
~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
~TP=>~SK
Warunek wystarczający w logice ujemnej bo (~SK) to wyłącznie linia C:
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1
Nie bycie trójkątem prostokątnym wystarcza => do tego, aby nie zachodziła suma kwadratów.
Zbiory:
~TP=>~SK = [~TP*~SK = ~TP] =[~TP=~TP] =1
Definicja warunku wystarczającego spełniona bo:
Zbiór ~TP jest podzbiorem => zbioru ~SK
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów ~TP=~SK.
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego C jest zdanie D.
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
~TP~~>SK=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z C
Zbiory:
~TP~~>SK = [~TP*SK] =[]=0
Zbiory ~TP i SK są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
Definicja równoważności:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) =1*1=1
Z prawej strony mamy do czynienia wyłącznie z warunkami wystarczającymi o definicjach w A i C.
To nie są operatory logiczne, to zaledwie „połówki” operatora równoważności.
8.4 Operator chaosu p|~~>q
Definicja operatorów chaosu p|~~>q w zbiorach:
Zbiór p ma część wspólną ~~> ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(q=>p)
Operator chaosu |~~> jest mało ciekawy bo nie ma tu żadnej gwarancji matematycznej =>, omówimy go zatem wyłącznie na przykładzie.
Przykład z matematycznego przedszkola:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3=1 bo 24
Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
p~~>q=p*q =1
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
p~~>~q =p*~q =1
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 bo 5
~p~~>~q = ~p*~q =1
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo 3
~p~~>q = ~p*q =1
Wystarczy znaleźć po jednym elemencie wspólnym dla A, B, C, D i mamy rozstrzygnięcie.
Zdanie A jest zawsze prawdziwe, niezależnie od przeczeń p i q, zatem jest to matematyczny śmieć, bez żadnej gwarancji matematycznej =>.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 2:10, 15 Sie 2016 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - bramy Raju
Część III
Operatory implikacyjne w praktyce
Spis treści
9.0 Operatory implikacyjne w praktyce 1
9.1 Operatory implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q 1
9.2 Operator równoważności p<=>q 7
9.3 Operatory implikacyjne - przypadki szczególne 8
9.3.1 Tożsamość logiczna 8
9.3.2 Tożsamość logiczna vs tożsamość klasyczna 9
10.0 Obietnice i groźby 11
10.1 Klasyka obietnicy 13
10.2 Klasyka groźby 13
10.3 Obietnica w równaniach logicznych 14
10.4 Groźba w równaniach logicznych 16
10.5 Analiza złożonej obietnicy 18
10.6 Analiza złożonej groźby 19
10.7 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym 21
10.8 Rodzaje obietnic 23
9.0 Operatory implikacyjne w praktyce
9.1 Operatory implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q
| Kod: |
IP:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach implikacyjnych: =>,~>,~~>
Wejścia: |Definicja zero-jedynkowe |Definicje symboliczne
p,q,~p,~q |spójników => i ~> w IP |w spójnikach =>, ~> i ~~>
p q ~p ~q | p=>q ~p~>~q q~>p ~q=>~p | Y Y
A: 1 1 0 0 | 1 1 1 1 | p=> q = p* q=1 | q~> p = q* p =1
B: 1 0 0 1 | 0 0 0 0 | p~~>~q= p*~q=0 |~q~~>p =~q* p =0
C: 0 0 1 1 | 1 1 1 1 |~p~>~q =~p*~q=1 |~q=>~p =~q*~p =1
D: 0 1 1 0 | 1 1 1 1 |~p~~>q =~p* q=1 | q~~>~p= q*~p =1
1 2 3 4 5 6 7 8 a b c d e f g h i j
Matematycznie zachodzi:
p=>q = ~p~>~q == q~>p = ~q=>~p
|
Symboliczną definicję implikacji prostej p|=>q (ABCDabcde) poznaliśmy wyżej.
Tabela ABCDfghij pokazuje sytuację po zamianie argumentów p i q.
Zauważmy, że kontrprzykład przed zamianą argumentów B: p~~>~q =0 (Babcde) przechodzi w kontrprzykład B: ~q~~>p =0 (Bfghij) po zamianie argumentów.
To jest kluczowe spostrzeżenie, bowiem fałszywy kontrprzykład B: ~q~~>p =0 wymusza prawdziwy warunek wystarczający C: ~q=>~p =1.
Z kolei prawdziwy warunek wystarczający C: ~q=>~p =1 wymusza prawdziwy warunek konieczny A: q~>p =1 na mocy prawa Kubusia:
C: ~q=>~p = A: q~>p
Ostatnia linia D: q~~>~p =1 to zdanie prawdziwe pod kwantyfikatorem małym ~~>.
Prawdziwość linii D decyduje o tym iż mamy do czynienia z operatorem implikacji odwrotnej q|~>p:
- „rzucanie monetą” (warunek konieczny ~>) po stronie q (realizują zdania A: q~>p =1 i D: q~~>~p =1)
- gwarancja matematyczna (warunek wystarczający =>) po stronie ~q (realizują zdania C: ~q=>~p=1 i B: ~q~~>p =0)
Wniosek:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) opisana tabelą symboliczną ABCDabcde po zamianie argumentów przeszła w implikację odwrotną q|~>p w logice dodatniej (bo p) opisaną tabelą symboliczną ABCDfghij.
Nasza analiza jest dowodem prawdziwości równania w spójnikach implikacyjnych => i ~> dla implikacji prostej p|=>q:
IP: p=>q = ~p~>~q == q~>p = ~q=>~p
Dowodem formalnym tej tożsamości w rachunku zero-jedynkowym jest tożsamość kolumn 5678.
Definicja zdania warunkowego p=>q:
Jeśli zajdzie przyczyna p to na pewno => zajdzie skutek q
IP: p=>q = ~p~>~q
Po zamianie argumentów implikacja prosta transformuje się do czasu przeszłego:
Jeśli zaszedł skutek q to mogła ~> zajść przyczyna p
IO: q~>p = ~q=>~p
Stąd mamy:
IP: p=>q = ~p~>~q == q~>p = ~q=>~p
gdzie:
== - znak transformacji
Prawo transformacji dla implikacji prostej p|=>q:
Niezdeterminowana przyszłość:
p=>q = ~p~>~q
przechodzi w zdeterminowaną, lecz nieznaną przeszłość:
q~>p = ~q=>~p
Wbrew pozorom przeszłość może być nieznana np. poszukiwanie mordercy.
Jeśli przeszłość jest znana to logika nie jest nam do niczego potrzebna.
Przykładowo, jeśli złapaliśmy mordercę to po co komu logika prowadząca do jego złapania?
Wiemy wszystko i matematycznie nic więcej nie jesteśmy w stanie się dowiedzieć.
Przyszłość to fundamentalnie co innego niż przeszłość.
Istoty żywe na przyszłość mają wpływ, mogą ją abstrakcyjnie kształtować wedle swych marzeń.
Realizując marzenia tworzymy zdeterminowaną przeszłość.
Na przeszłość nie mamy żadnego wpływu, co się stało to się nie odstanie.
Definicja teraźniejszości:
Teraźniejszość to nieskończenie krótki odcinek czasowy oddzielający niezdeterminowaną przyszłość od zdeterminowanej przeszłości.
Zróbmy to samo dla implikacji odwrotnej p|~>q.
| Kod: |
IO:
Definicja implikacji odwrotne p|~>q w spójnikach implikacyjnych: ~>,=>
Wejścia: |Definicja zero-jedynkowe |Definicje symboliczne
p,q,~p,~q |spójników ~> i => w IO |w spójnikach ~>, => i ~~>
p q ~p ~q | p~>q ~p=>~q q=>p ~q~>~p |
A: 1 1 0 0 | 1 1 1 1 | p~> q = p* q=1 | q=> p = q* p =1
B: 1 0 0 1 | 1 1 1 1 | p~~>~q= p*~q=1 |~q~~>p =~q* p =1
C: 0 0 1 1 | 1 1 1 1 |~p=>~q =~p*~q=1 |~q~>~p =~q*~p =1
D: 0 1 1 0 | 0 0 0 0 |~p~~>q =~p* q=0 | q~~>~p= q*~p =0
1 2 3 4 5 6 7 8 a b c d e f g h i j
Matematycznie zachodzi:
p~>q = ~p=>~q == q=>p = ~q~>~p
|
Tu także zaczynamy analizę od fałszywego kontrprzykładu D: q~~>~p =0 w tabeli symbolicznej ABCDfghij.
Fałszywy kontrprzykład D: q~~>~p =0 wymusza prawdziwy warunek wystarczający A: q=>p =1
Na mocy prawa Kubusia:
A: q=>p = C: ~q~>~p
w linii C zachodzi warunek konieczny C: ~q~>~p =1
Linia B: ~q~~>p =1 to zdanie prawdziwe pod kwantyfikatorem małym ~~>.
Prawdziwość linii B decyduje o tym iż mamy do czynienia z operatorem implikacji prostej q|=>p w logice dodatniej (bo p):
- gwarancja matematyczna (warunek wystarczający =>) po stronie q (realizują zdania A: q=>p=1 i D: q~~>~p =0)
- „rzucanie monetą” (warunek konieczny ~>) po stronie ~q (realizują zdania C: ~q~>~p =1 i B: ~q~~>p =1)
Wniosek:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) opisana tabelą symboliczną ABCDabcde po zamianie argumentów przeszła w implikację prostą q|=>p w logice dodatniej (bo p) opisaną tabelą symboliczną ABCDfghij.
Nasza analiza jest dowodem prawdziwości równania w spójnikach implikacyjnych => i ~> dla implikacji odwrotnej p|~>q:
IO: p~>q = ~p=>~q == q=>p = ~q~>p
Dowodem formalnym tej tożsamości w rachunku zero-jedynkowym jest tożsamość kolumn 5678.
Definicja zdania warunkowego:
Jeśli zajdzie przyczyna p to może ~> zajść zajdzie skutek q
IO: p~>q = ~p=>~q
Po zamianie argumentów implikacja odwrotna transformuje się do czasu przeszłego:
Jeśli zaszedł skutek q to na pewno => zaszła przyczyna p
IP: q=>p = ~q~>~p
Stąd mamy:
IO: p~>q = ~p=>~q == q=>p = ~q=>~p
gdzie:
== - znak transformacji
Prawo transformacji dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Niezdeterminowana przyszłość:
p~>q = ~p=>~q
przechodzi w zdeterminowaną, lecz nieznaną przeszłość:
q=>p = ~q~>~p
Wbrew pozorom przeszłość może być nieznana np. poszukiwanie mordercy.
Jeśli przeszłość jest znana to logika nie jest nam do niczego potrzebna.
Przykładowo, jeśli złapaliśmy mordercę to po co komu logika prowadząca do jego złapania?
Wiemy wszystko i matematycznie nic więcej nie jesteśmy w stanie się dowiedzieć.
Przyszłość to fundamentalnie co innego niż przeszłość.
Istoty żywe na przyszłość mają wpływ, mogą ją abstrakcyjnie kształtować wedle swych marzeń.
Realizując marzenia tworzymy zdeterminowaną przeszłość.
Na przeszłość nie mamy żadnego wpływu, co się stało to się nie odstanie.
Definicja teraźniejszości:
Teraźniejszość to nieskończenie krótki odcinek czasowy oddzielający niezdeterminowaną przyszłość od zdeterminowanej przeszłości.
Zauważmy, że na mocy definicji zachodzi:
| Kod: |
Implikacja prosta p|=>q ## Implikacja odwrotna p|~>q
p|=>q=(p=>q)*~[p=q] ## p|~>q=(p~>q)*~[p=q]
Prawa w spójnikach => i ~> ## Prawa w spójnikach ~> i =>
IP: p=>q=~p~>~q==q~>p=~q=>~p ## IO: p~>q=~p=>~q==q=>p=~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
== - znak transformacji przyszłości (lewa strona) do przeszłości (prawa strona)
|
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo wymuszam padanie (P=1) i na 100% pojawią się chmury
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach:
Zdarzenie p wymusza => zdarzenie q i nie jest tożsame z q
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Dla naszego przykładu ta definicja jest spełniona:
P|=>CH = (P=>CH)*~[P=CH] = 1*~(0) = 1*1 =1
Stąd mamy pewność, że warunek wystarczający A wchodzi w skład definicji implikacji prostej p|=>q.
Dalsza analiza to formalność dla byle komputera.
… a jeśli jutro nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
stąd:
C1.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH =1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> dla braku chmur bo jak są chmury to na pewno => pada
~P~>~CH = P=>CH
lub
D1.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH = ~P*CH =1 - sytuacja możliwa
Prawdziwość zdania D1 jest dowodem, iż mamy do czynienie z implikacją prostą p|=>q opisaną równaniem w spójnikach implikacyjnych => i ~>:
IP: p=>q = ~p~>~q == q~>p = ~q=>~p
Po zamianie argumentów mamy zdeterminowaną przeszłość:
AO1:
Jeśli wczoraj było pochmurno to mogło ~> padać
CH~>P =1
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla deszczu bo jak nie ma chmur to na pewno => nie pada
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
CH~>P = ~CH=>~P
stąd:
CO1.
Jeśli wczoraj nie było pochmurno to na pewno => nie padało
~CH=>~P =1
Brak chmur jest warunkiem wystarczającym => dla braku opadów
Zauważmy, że po udowodnieniu iż zdanie A1: P=>CH jest częścią operatora implikacji prostej P|=>CH nie musimy dowodzić prawdziwości jakiegokolwiek innego zdania wchodzącego w skład definicji implikacji prostej p|=>q, mówi o tym równanie implikacji prostej.
IP: P=>CH = ~P~>~CH == CH~>P = ~CH=>~P
gdzie:
== - znak transformacji przyszłości do przeszłości
Po wypowiedzeniu zdania A1 człowiek może zapytać o przyszłość zamieniając p i q.
… a jeśli jutro będzie pochmurno?
Odpowiedź:
A2.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla deszczu
Zdanie A2 traktujemy jako zdanie nowo wypowiedziane p~>q wchodzące w skład definicji implikacji odwrotnej p|~>q opisanej równaniem.
IO: p~>q = ~p=>~q == q=>p = ~q~>~p
Wynika z tego, że warunek konieczny ~> musimy tu udowodnić od nowa.
A2.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla deszczu
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach:
Zdarzenie p jest konieczne ~> dla q i nie jest tożsame z q
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
Dla naszego przykładu ta definicja jest spełniona:
CH|~>P = (CH~>P)*~[CH=P] = 1*~(0) = 1*1 =1
Stąd mamy pewność, że warunek konieczny ~> A2 wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej p|~>q.
Dalsza analiza to formalność dla byle komputera.
… a jeśli jutro nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
stąd:
C2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P
Brak chmur jest warunkiem wystarczającym => dla braku opadów
Równanie implikacji odwrotnej p|~>q:
IO: CH~>P = ~CH=>~P == P=>CH = ~P~>~CH
Stąd mamy matematyczny opis przeszłości:
AO2.
Jeśli wczoraj padło to na pewno => było pochmurno
P=>CH =1
Padanie wystarcza => dla istnienia chmur
CO2.
Jeśli wczoraj nie padało to mogło ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było chmur bo jak pada to na pewno => są chmury
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
~P~>~CH = P=>CH
Zauważmy, że algebra Kubusia eliminuje głupoty z aktualnej logiki matematycznej Ziemian.
Przykład:
A3.
Jeśli jutro będzie padało to otworzę parasol
P=>OP =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => abym otworzył parasol
… a jeśli nie otworzysz parasola?
Prawo kontrapozycji w logice Ziemian:
A3: P=>OP = C3: ~OP=>~P
Stąd:
C3.
Jeśli nie otworzę parasola to na pewno => nie będzie padało
~OP => ~P =1
W algebrze Kubusia takich głupot nie ma bo po zamianie argumentów w zdaniu A3, w pytaniu o przyszłość mamy do czynienia z nowo wypowiedzianym zdaniem A4: p~>q=~p=>~q gdzie na nowo musimy udowodnić warunek konieczny p~>q albo wystarczający ~p=>~q.
A4.
Jeśli jutro otworzę parasol to może ~> padać
OP~>P =0
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest tu spełniona bo zabieram parasol nie wykluczając możliwości padania
Prawo Kubusia:
OP~>P = ~OP=>~P
p~>q = ~p=>~q
Lewa strona prawa Kubusia jest fałszem zatem prawa strona również musi być fałszem
~OP=>~P =0
Podsumowując:
Algebra Kubusia nie pozwala na robienie z człowieka Idioty - i tak musi być!
9.2 Operator równoważności p<=>q
Zacznijmy od definicji implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
| Kod: |
IP:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach implikacyjnych: =>,~>,~~>
Wejścia: |Definicja zero-jedynkowe |Definicje symboliczne
p,q,~p,~q |spójników => i ~> w IP |w spójnikach =>, ~> i ~~>
p q ~p ~q | p=>q ~p~>~q q~>p ~q=>~p | Y Y
A: 1 1 0 0 | 1 1 1 1 | p=> q = p* q=1 | q~> p = q* p =1
B: 1 0 0 1 | 0 0 0 0 | p~~>~q= p*~q=0 |~q~~>p =~q* p =0
C: 0 0 1 1 | 1 1 1 1 |~p~>~q =~p*~q=1 |~q=>~p =~q*~p =1
D: 0 1 1 0 | 1 1 1 1 |~p~~>q =~p* q=1 | q~~>~p= q*~p =1
1 2 3 4 5 6 7 8 a b c d e f g h i j
Matematycznie zachodzi:
p=>q = ~p~>~q == q~>p = ~q=>~p
|
| Kod: |
IO:
Definicja implikacji odwrotne p|~>q w spójnikach implikacyjnych: ~>,=>
Wejścia: |Definicja zero-jedynkowe |Definicje symboliczne
p,q,~p,~q |spójników ~> i => w IO |w spójnikach ~>, => i ~~>
p q ~p ~q | p~>q ~p=>~q q=>p ~q~>~p |
A: 1 1 0 0 | 1 1 1 1 | p~> q = p* q=1 | q=> p = q* p =1
B: 1 0 0 1 | 1 1 1 1 | p~~>~q= p*~q=1 |~q~~>p =~q* p =1
C: 0 0 1 1 | 1 1 1 1 |~p=>~q =~p*~q=1 |~q~>~p =~q*~p =1
D: 0 1 1 0 | 0 0 0 0 |~p~~>q =~p* q=0 | q~~>~p= q*~p =0
1 2 3 4 5 6 7 8 a b c d e f g h i j
Matematycznie zachodzi:
p~>q = ~p=>~q == q=>p = ~q~>~p
|
W technice cyfrowej jak dwie bramki p=>q i p~>q wpuścimy na wejścia bramki „i”(*) (AND) to na wyjściu otrzymamy bramkę równoważności p<=>q gdzie wycięte zostaną wszystkie pozycje o różnych stanach.
Zróbmy to:
| Kod: |
RR:
Definicja implikacji równoważności p<=>q w spójnikach implikacyjnych: =>,~>,~~>
Wejścia: |Definicja zero-jedynkowe |Definicje symboliczne
p,q,~p,~q |równoważności p<=>q |w spójnikach => i ~>
p q ~p ~q | Y Y Y Y | Y Y
A: 1 1 0 0 | 1 1 1 1 | p=> q = p* q=1 | q~> p = q* p =1
B: 1 0 0 1 | 0 0 0 0 | p~~>~q= p*~q=0 |~q~~>p =~q* p =0
C: 0 0 1 1 | 1 1 1 1 |~p~>~q =~p*~q=1 |~q=>~p =~q*~p =1
D: 0 1 1 0 | 0 0 0 0 |~p~~>q =~p* q=0 | q~~>~p= q*~p =0
1 2 3 4 5 6 7 8 a b c d e f g h i j
Matematycznie zachodzi:
p=>q = ~p~>~q == q~>p = ~q=>~p
|
W technice bramek logicznych zrobiliśmy to:
p<=>q = IP: (p=>q = ~p=>~q = q~>p = ~q=>~p) * IO: (p~>q = ~p=>~q = q=>p = ~q~>~p)
Stąd mamy 16 tożsamych definicji równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p) = (p=>q)*(~q~>~p)
p<=>q = (~p~>~q)*(p~>q) = (~p~>~q)*(~p=>~q) = (~p~>~q)*(q=>p) = (~p~>~q)*(~q~>~p)
p<=>q = (q~>p)*(p~>q) = (q~>p)*(~p=>~q) = (q~>p)*(q=>p) = (q~>p)*(~q~>~p)
p<=>q = (~q=>~p)*(p~>q) = (~q=>~p)*(~p=>~q) = (~q=>~p)*(q=>p) = (~q=>~p)*(~q~>~p)
Najważniejsze definicje równoważności to:
1.
Popularna definicja równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
2.
Definicja równoważności uwielbiana przez matematyków:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
3.
Aksjomatyczna definicja równoważności (wynikała z tabeli zero-jedynkowej):
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego p=>q i ~p=>~q
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zauważmy, że w tabeli symboliczne ABCDabcdefghij wycięte zostały jedynki odpowiedzialne za rzucanie monetą. Wynika z tego że fundament każdej implikacji, „rzucanie monetą” w jednej połówce implikacji, leży w gruzach.
W świecie rzeczywistym nie da się zlikwidować „rzucania monetą” w implikacji chciejstwem człowieka np.
Pada wtedy i tylko wtedy gdy są chmury
P<=>CH = (P=>CH)*(CH=>P) = 1*0 =0
Wynika z tego, że implikacja ma zero wspólnego z równoważnością.
Jeśli równoważność jest prawdziwa p<=>q =1 to na 100% fałszywa jest implikacja p|=>q =0.
Jeśli implikacja jest prawdziwa p|=>q =1 to na 100% fałszywa jest równoważność p<=>q =0
Nic co jest implikacją prawdziwą p|=>q =1 nie będzie jednocześnie równoważnością prawdziwą p<=>q =1 (i odwrotnie).
Wszystkie 16 definicji równoważności w spójnikach implikacyjnych => i ~> są matematycznie poprawne, ale chodzi w nich o warunki wystarczające => i konieczne ~> wchodzące w skład operatorów implikacyjnych.
9.3 Operatory implikacyjne - przypadki szczególne
9.3.1 Tożsamość logiczna
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q - warunek wystarczający => (gwarancja matematyczna =>), wymuszam dowolne p i pojawia się q
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1*1 =1
Warunek konieczny ~> spełniony (=1) bo zabieram chmury (CH=1) i znika mi możliwość padania (P=1)
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla deszczu bo jak nie będzie chmur (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padać (~P=1).
W naturalnej logice 5-cio latka odkryliśmy tu matematyczny związek między warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym =>.
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony.
Na mocy prawa Kubusia mamy matematyczną pewność prawdziwości zdania C.
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na pewno => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P =1*1 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo jak nie będzie chmur (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padać (~P=1)
Doskonale tu widać poprawność prawa Kubusia:
Prawdziwość zdania A: CH~>P daje nam gwarancję matematyczną => prawdziwości zdania C: ~CH=>~P i odwrotnie.
Prawa Kubusia w zapisie ogólnym:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
„=” - tożsamość logiczna
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony.
p=>q = ~p~>~q
W logice matematycznej tożsamość logiczna „=” jest tożsama z równoważnością <=>:
„=” = „<=>”
Prawa Kubusia możemy więc zapisać w sposób matematycznie tożsamy:
p=>q <=> ~p~>~q
p~>q <=> ~p=>~q
9.3.2 Tożsamość logiczna vs tożsamość klasyczna
Prawo Słonia:
Każda tożsamość klasyczna jest tożsamością logiczną (i odwrotnie).
Dowód:
Definicja równoważności:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Dla p=q otrzymujemy:
p<=>p = (p=>p)*(~p=>~p) =1*1 =1
gdzie:
p - dowolne pojęcie z obszaru Uniwersum
Matematycznie zachodzi:
Tożsamość klasyczna p=p jest dokładnie tym samym co tożsamość logiczna p<=>p
| Kod: |
Tożsamość klasyczna = Tożsamość logiczna
p=p = p<=>p
|
Przykład:
Rozważmy tożsamość klasyczną:
pies=pies
Przyjmijmy dziedzinę:
U = Uniwersum (dowolne pojęcie zrozumiałe dla człowieka)
Wyznaczenie zbioru „nie pies” (~P=1)
~P=[U-P] - zbiór wszelkich pojęć z obszaru Uniwersum z wykluczeniem „psa”
Warunek wystarczający prosty p=>p:
A.
Jeśli coś jest psem to na pewno => jest psem
P=>P =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Każdy zbiór jest podzbiorem => samego siebie
Warunek wystarczający odwrotny ~p=>~p:
C.
Jeśli coś nie jest psem to na pewno => nie jest psem
~P=>~P =1
Po podstawieniu zbioru ~P mamy:
[U-P] => [U-P] =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Każdy zbiór jest podzbiorem => samego siebie
Stąd prawdziwa jest równoważność:
Zwierzę jest psem wtedy i tylko wtedy gdy jest psem
P<=>P = (P=>P)*(~P=>~P) =1*1 =1
Zauważmy, że dziedzina jest tu nieistotna, byleby zawierała w sobie zbiór wszystkich psów.
W naszym przykładzie przyjęliśmy najszerszą możliwą dziedzinę:
D=Uniwersum (zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka)
Równie dobrze moglibyśmy przyjąć dziedzinę:
D = ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Doskonale widać, że matematycznie to bez znaczenia.
Na mocy powyższego przykładu prawdziwe są zdania z logiki matematycznej, używane czasami przez człowieka dla podkreślenia „istoty rzeczy”:
pies to pies
koń to koń, jaki jest każdy widzi
dolar to dolar
Jeśli kocha to kocha, nie ucieknie
etc
10.0 Obietnice i groźby
Najważniejszymi definicjami w świecie istot żywych są definicje obsługujące obietnice i groźby.
Podlegają pod nie wszystkie stworzenia żywe od bakterii poczynając.
Zwierzątka które nie posługują się w praktyce tymi definicjami dawno wyginęły.
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta W|=>N na mocy definicji
Gwarancja w obietnicy:
W=>N
Jeśli spełnisz warunek nagrody (W=1) to na pewno => dostaniesz nagrodę (N=1) z powodu że spełniłeś warunek nagrody (W=1)
W obietnicy nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca spełni warunek nagrody i będzie mógł wręczyć nagrodę. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca może dać nagrodę lub nie dać, zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli nie spełni warunku nagrody to może otrzymać nagrodę (akt miłości). Odbiorca może zwolnić nadawcę z obietnicy np. w przypadkach losowych.
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna W|~>K na mocy definicji
Gwarancja w groźbie:
~W=>~K
Jeśli nie spełnisz warunku kary (~W=1) to na pewno => nie zostaniesz ukarany (~K=1) z powodu że nie spełniłeś warunku kary (~W=1)
Jak widzimy znaczenie znaczka => jest identyczne w obu definicjach.
W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.
Wyprowadzenie definicji groźby
Definicja obietnicy jest we współczesnej logice poprawna i bezdyskusyjna:
Obietnica = implikacja prosta W|=>N
To jest nasz pierwszy aksjomat.
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta W|=>N na mocy definicji
Aksjomaty znane ludziom od tysiącleci:
1.
Nagroda to brak kary
N=>~K
Oczywiście w odwrotną stronę tez zachodzi:
~K=>N
stąd:
N<=>~K = (N=>~K)*(~K=>N)=1*1=1 - równoważność
2.
Kara to brak nagrody
K=>~N
Oczywiście w odwrotną stronę tez zachodzi:
~N=>K
stąd:
K<=>~N = (K=>~N)*(~N=>K)=1*1=1 - równoważność
Z powyższego mamy:
N=~K
K=~N
Definicja obietnicy:
W=>N = ~W~>~N
Transformujemy definicję obietnicy do definicji groźby:
1.
Zamieniamy w następniku nagrodę na karę
N=~K
~N=K
stąd:
1: W=>~K = ~W~>K
2.
Zamieniamy w poprzedniku warunek dostania nagrody na warunek wykonania kary.
W obietnicy odbiorca pragnie spełnienia warunku W, bo to jest warunek wystarczający => dla otrzymania nagrody.
W groźbie odbiorca pragnie NIE spełnienia warunku W, bo to jest warunek wystarczający => uniknięcia kary.
Stąd mamy:
W (obietnicy) = ~W (groźby)
Wynika z tego że w naszej niedokończonej definicji 1 musimy zanegować W.
~W=>~K = ~(~W)~>K
~W=>~K = W~>K
Stąd:
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~N
Implikacja odwrotna W|~>K na mocy definicji
10.1 Klasyka obietnicy
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta W|=>N na mocy definicji
Przykład:
A.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - gwarancja matematyczna
Bycie grzecznym jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania czekolady.
stąd:
B.
Jeśli będziesz grzeczny to możesz ~~> nie dostać czekolady
G~~>~C =0 - złamanie obietnicy
… a jak będę niegrzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G~>~C
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G~>~C =1
Bycie niegrzecznym jest warunkiem koniecznym ~>, aby nie dostać czekolady.
Na mocy definicji obietnicy (implikacja prosta G|=>C) nie ma znaczenia w jak ostrej formie wypowiemy groźbę C. Zdanie C musimy kodować warunkiem koniecznym ~>, inaczej gwałcimy matematykę ścisłą, definicję implikacji prostej G|=>C!
LUB
D.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~~> dostać czekoladę
~G~~>C =1 - akt miłości = akt łaski
Prawdziwość zdania C gwarantuje nam matematyka ścisła (implikacja prosta) która nie zależy od widzi mi się człowieka.
To jest matematyczne prawo nadawcy do darowania dowolnej kary zależnej od niego.
Oczywiście może ~~> darować, ale nie musi => darować.
Ojciec może tu darować karę mówiąc:
Synku, byłeś niegrzeczny, dostajesz czekoladę bo cię kocham.
Uzasadnienie nie może być zależne, czyli identyczne jak poprzednik:
Synku, byłeś niegrzeczny, dostajesz czekoladę bo byłeś niegrzeczny
Tu ojciec jest kłamcą - dowód w punkcie 10.3
10.2 Klasyka groźby
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna W|~>K na mocy definicji
Przykład:
A:
Jeśli ubrudzisz spodnie to na 100% dostaniesz lanie
B~>L =1
Na mocy definicji groźby (implikacja odwrotna B|~>L) brudne spodnie są warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania z powodu brudnych spodni!
Zdania A nie wolno nam kodować warunkiem wystarczającym => bo zgwałcimy definicję implikacji odwrotnej B|~>L którą na mocy definicji jest dowolna groźba.
LUB
B:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz ~~> nie dostać lania
B ~~> ~L =1 - prawo do darowania kary (akt łaski)
Prawdziwość zdania B gwarantuje nam matematyka ścisła (implikacja odwrotna B|~>L), która nie zależy od chciejstwa człowieka.
Nadawca ma matematyczne prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski) zależnej od niego:
I rzekł mu: "Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze mną w raju". (Łk 23, 43)
Nadawca może darować karę z dowolnym uzasadnieniem niezależnym:
Synku, ubrudziłeś spodnie, nie dostajesz lania bo cię kocham
Nadawca będzie kłamcą, jeśli wypowie uzasadnienie zależne, identyczne jak poprzednik:
Synku, ubrudziłeś spodnie, nie dostajesz lania, bo ubrudziłeś spodnie (dowód pkt. 10.4)
… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia
C:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania
~B => ~L =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje warunek wystarczający =>.
stąd:
D:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to możesz ~~> dostać lanie
~B ~~> L =0 - twardy fałsz, zakaz karania niewinnego tzn. z powodu czystych spodni!
10.3 Obietnica w równaniach logicznych
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
Ideę obietnicy możemy zapisać tak:
Dostanę nagrodę (N) gdy spełnię warunek nagrody (W) lub gdy nadawca zdecyduje o daniu nagrody.
Wprowadźmy zmienną uznaniową nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody
Równanie obietnicy:
N=W+U
Gdzie:
N=1 - mam nagrodę
N=0 - nie mam nagrody
W=1 - warunek nagrody spełniony
W=0 - warunek nagrody nie spełniony
Zmienna uznaniowa nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody
Analiza równania obietnicy.
A.
W=1 - odbiorca spełnił warunek nagrody.
Równanie obietnicy przybierze wówczas postać:
N = 1+U = 1 - muszę dostać nagrodę.
W przypadku gdy odbiorca spełni warunek nagrody nadawca nie ma wyjścia i musi dać nagrodę, inaczej jest kłamcą. Zauważmy, że nikt nie zmuszał nadawcy do obiecania czegokolwiek, że nadawca obiecał nagrodę z własnej woli, że chce dać nagrodę. Nie ma tu zatem mowy o jakimkolwiek ograniczeniu wolnej woli nadawcy.
B.
W=0 - warunek nagrody nie spełniony
Równanie obietnicy przybiera postać:
N=W+U=0+U=U
Wszystko w rękach nadawcy który podejmuje decyzję o daniu nagrody zgodnie ze swoją wolną wolą, niczym nie ograniczoną.
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody
Przy niespełnionym warunku nagrody (W=0) nadawca może zrobić co mu się podoba i nie zostaje kłamcą. Większość nadawców tak czy siak da nagrodę pod byle pretekstem niezależnym (U=1 - akt miłości), ale nie musi tego robić !
W tym przypadku nadawca może wszystko z maleńkim wyjątkiem:
Nie spełniłeś warunku nagrody (W=0) dostajesz nagrodę, bo nie spełniłeś warunku nagrody (U=W=0)
Równanie obietnicy przybierze tu postać:
N = W+U = 0+0 =0
Zakaz wręczenia nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu nie spełnienia warunku nagrody (W=0).
Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.
Przykład:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Równanie obietnicy:
K = W+U
Jeśli egzamin zdany (W=1) to:
K=1+U =1 - gwarancja otrzymania komputera.
Zmienna uznaniowa nadawcy jest tu bez znaczenia.
Jeśli egzamin nie zdany (W=0) to:
K=W+U = 0+U =U
Wszystko w rękach nadawcy:
U=1 - dam komputer
U=0 - nie dam komputera
Akt miłości nie zaszedł:
U=0
Nie zdałeś egzaminu (W=0), nie dostajesz komputera ... bo kompletnie się nie uczyłeś (U=0)
Równanie obietnicy:
K=W+U = 0+0 =0 - nie mam komputera
Akt miłości zaszedł:
U=1
Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha, bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem kupić ci komputer itp. (U=1 dowolne uzasadnienie niezależne)
Równanie obietnicy:
N=W+U=0+1=1 - mam komputer dzięki dobremu sercu nadawcy (akt miłości)
Nadawca może wręczyć nagrodę pod byle pretekstem, ale nie może wręczyć nagrody z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek nagrody.
Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo nie zdałeś egzaminu (U=W=0).
Równanie obietnicy:
N=W+U=0+0=0 - zakaz wręczania nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu „nie zdania egzaminu” (W=U=0)
Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.
10.4 Groźba w równaniach logicznych
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W naturalnej logice człowieka ideę groźby możemy zapisać tak:
Zostanę ukarany (K) gdy spełnię warunek kary (W) i nadawca zdecyduje o ukaraniu (U).
W groźbie nadawca może skorzystać z aktu łaski ale nie musi tego robić. Przyjmijmy zmienna uznaniową U, którą nadawca może ustawić na dowolną wartość.
Matematyczne równanie groźby:
K=W*U
Gdzie:
K=1 - zostanę ukarany
K=0 - nie zostanę ukarany
W=1 - warunek kary spełniony
W=0 - warunek kary nie spełniony
Nadawca może ustawić zmienną uznaniową na dowolną wartość:
U=1 - ukarać
U=0 - nie karać (akt łaski)
Akt łaski w groźbie zajdzie wtedy, gdy odbiorca spełni warunek kary zaś nadawca odstąpi od wykonania kary (U=0 - akt łaski).
Analiza równania groźby.
K=W*U
A.
W=0 - warunek kary nie spełniony
Równanie groźby przybierze wówczas postać:
K=W*U=0*U=0 - zakaz karanie jeśli warunek kary nie zostanie spełniony.
Zauważmy, że nadawca nie ma tu nic do gadania. Może sobie ustawiać swoją zmienną długo i namiętnie na U=1 (karać) ... a i tak ma zakaz karania z powodu nie spełnienia warunku kary.
B.
W=1 - warunek kary spełniony
Równanie groźby przybiera postać:
K=W*U=1*U=U
Wszystko w rękach nadawcy który może zrobić co mu się podoba wedle wolnej woli:
U=1 - karać
U=0 - nie karać
Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostaniesz lania ... bo samochód cię ochlapał, bo dziś mam dobry humor, bo cię kocham itp. (U=0 - dowolne uzasadnienie niezależne)
K=W*U=1*0=0 - nie zostałem ukarany, bo nadawca zastosował akt łaski
Zauważmy, że nadawca może robić co mu się podoba z małym wyjątkiem, nie może darować kary z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek kary.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostajesz lania, bo ubrudziłeś spodnie (U=W=1).
Równanie groźby:
K=W*U=1*1=1 - kara musi być wykonana, zakaz darowania kary z uzasadnieniem zależnym
Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.
10.5 Analiza złożonej obietnicy
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
A.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę
p=>q
P*~B=>C*D=1
Posprzątanie pokoju i nie bicie siostry jest warunkiem wystarczającym dla dostania czekolady i obejrzenia dobranocki.
B.
p~~>~q
~q=~(C*B)=~C+~D
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to możesz ~~> nie dostać czekolady lub nie obejrzysz dobranocki
P*~B~~>~C+~D =0
Zakaz karania z powodu spełnienia warunku nagrody.
Rozpisujemy następnik przez definicje spójnika „lub”(+):
p+q = p*q+p*~q+~p*q
~C+~D
Możliwe kary
A: ~C*~D=0 - to jest 100% kary
B: ~C*D =0 - tu też jest element kary (~C)
C: C*~D=0 - tu również jest kara (~D)
Zatem suma logiczna:
A+B+C = 0+0+0=0 - zakaz wykonywania jakiejkolwiek kary w przypadku spełnienia warunku nagrody
… a jeśli nie spełnię warunku nagrody ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Czyli negujemy zmienne w równaniu A i odwracamy operatory - prawo Kubusia na skróty.
Mamy zdanie A:
P*~B=>C*D
stąd:
~P+B~>~C+~D
Oczywiście w tym przypadku mamy do czynienia z groźbą ~>.
czyli:
C.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to możesz nie dostać czekolady lub nie obejrzeć dobranocki
~p~>~q
~P+B~>~C+~D=1
Warunki ukarania, analiza poprzednika:
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
~P+B = ~P*B+~P*~B+P*B
D: ~P*B=1 - warunek kary spełniony
E: ~P*~B=1 - warunek ukarania spełniony
F: P*B=1 - warunek ukarania spełniony
Równanie kary:
D+E+F = x+x+x=x
Jeśli dowolny warunek spełniony to mama ma 100% wolnej woli.
Zdanie C pozwala na częściowe darowanie kary, natomiast łącznie ze zdaniem D (niżej) kara może być darowana w 100% !
Jeśli warunek ukarania jest spełniony to mama może wybrać dowolny z poniższych przypadków:
~C+~D
Możliwe kary
A: ~C*~D=1 - to jest 100% kary
B: ~C*D =1 - tu też jest element kary (~C)
C: C*~D=1 - tu również jest kara (~D)
LUB
D.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę
~p~~>q=1
~P+B~~>C*D=1
W tej linii jest prawo do darowania kary w 100%
10.6 Analiza złożonej groźby
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji
A.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to nie dostaniesz czekolady i nie obejrzysz dobranocki
p~>q
~P+B~>~C*~D
Warunek kary mamy określony w poprzedniku.
Analiza poprzednika na mocy definicji spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
~P+B = ~P*B + ~P*~B + P*B
stąd:
1: ~P*B=1*1=1 - nie posprzątałem pokoju i biłem siostrę, warunek kary spełniony
lub
2: ~P*~B=1*1=1 - nie posprzątałem pokoju i nie bilem siostry, warunek kary spełniony
lub
3: P*B=1*1=1 - posprzątałem pokój i biłem siostrę, warunek kary spełniony
Wystarczy, że którykolwiek warunek kary jest spełniony i już mama może wykonać karę w 100%, czyli brak czekolady i zakaz obejrzenia dobranocki.
Oczywiście na mocy definicji implikacji odwrotnej mama może wykonać karę w 100% (zdanie A), wykonać karę częściową (zdanie B), lub nawet całkowicie zrezygnować z wykonania jakiejkolwiek kary (zdanie B).
Przekształcenie pomocnicze w celu uzyskania ~q dla:
p~~>~q
~q:
~(~C*~B)= C+D
stąd:
B.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz czekoladę lub obejrzysz dobranockę
p~~>~q
~P+B~~>C+D
Rozwijamy następnik na mocy definicji spójnika „lub”(+):
p+q = p*q+~p*q+p*~q
stąd:
C+D = C*D+C*~D+~C*D
1: C*D=1 - dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę, 100% darowanie kary
2: C*~D=1 - dostaniesz czekoladę i nie obejrzysz dobranocki, częściowe darowanie kary
3: ~C*D=1 - nie dostaniesz czekolady i obejrzysz dobranockę, częściowe darowanie kary
Mamy tu akt łaski, mama może darować karę całkowicie lub częściowo, cokolwiek nie zrobi to nie ma szans na zostanie kłamcą, czyli ma 100% wolnej woli.
… a jeśli posprzątam pokój i nie będę bił siostry ?
Mamy równanie A:
~P+B~>~C*~D
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów, czyli prawo Kubusia uzyskane metoda na skróty:
P*~B=>C+D
stąd:
C.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to na pewno => dostaniesz czekoladę lub obejrzysz dobranockę
~P=>~q
P*~B=>C+D
Rozwinięcie sumy logicznej C+D mamy wyżej.
Oczywiście tu nie może być mowy o najmniejszej nawet karze bowiem warunek groźby nie został spełniony.
Mamy zatem:
C+D = C*D+C*~D+~C*D
C*D=1 - dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę, 100% darowanie kary
C*~D=0 - dostaniesz czekoladę i nie obejrzysz dobranocki, bo zakaz karania
~C*D=0 - nie dostaniesz czekolady i obejrzysz dobranockę, bo zakaz karania
W tym przypadku mama nie ma prawa na wykonanie choćby najmniejszej kary, zatem musi dać czekoladę i pozwolić na obejrzenie bajki.
stąd:
D.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to możesz ~~> nie dostać czekolady i nie obejrzysz dobranocki
~p=>q=0
P*~B=>~C*~D=0
Całkowity zakaz karania, bowiem warunek kary nie został spełniony
10.7 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji
Zdanie wypowiedziane:
A.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Gwarancja w implikacji prostej:
E=>K
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer z powodu że zdałeś egzamin, poza tym wszystko może się zdarzyć - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej w obietnicy.
Analiza matematyczna:
A.
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania komputera.
stąd:
B.
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => nie dostaniesz komputera
E=>~K =0 - dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
… a jeśli nie zdam egzaminu ?
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli:
C.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~> nie dostać komputera
~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu jest warunkiem koniecznym dla nie dostania komputera. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.
LUB
D.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~~> dostać komputer
~E~~>K =1 - akt miłości
Prawo nadawcy do wręczenia nagrody, mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (tu nie zdał egzaminu).
Matematyczna wolna wola:
Matematyczna wolna wola to warunek konieczny ~>.
W przypadku nie zdania egzaminu, nadawca może nie dać komputera (C) lub dać komputer (D) co zależy tylko i wyłącznie od jego „widzi mi się” czyli wolnej woli.
W skrajnym przypadku może wyjąć monetę i rzucać:
orzełek - dam komputer
reszka - nie dam komputera
… i nie ma szans na zostanie kłamcą.
„Rzucanie monetą” jest matematyczną wolną wolą, ale nie jest wolną wolą człowieka !
Człowiek rzucający monetą staje się maszyną, wobec której nie można mówić o „wolnej woli”.
Wolna wola człowieka:
Wolna wola człowieka to świadoma decyzja negatywna lub pozytywna, nadawca powinien umieć uzasadnić decyzję.
Decyzja negatywna:
Nie zdałeś egzaminu, nie dostaniesz komputera
oczywiście domyślne jest tu „z powodu że nie zdałeś egzaminu”, nadawca może to rozwinąć np. bo kompletnie się nie uczyłeś itp.
Decyzja pozytywna (akt miłości):
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer, bo cie kocham, bo widziałem że się uczyłeś ale miałeś pecha itp.
Oczywiście matematycznie zabronione jest tu uzasadnienie zależne, identyczne jak warunek czyli:
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo nie zdałeś egzaminu
Matematyczny dowód pkt. 8.3
Prawdopodobieństwo zajścia „aktu miłości” w obietnicy:
1.
Zauważmy, że nadawca dobrowolnie obiecuje nagrodę, czyli chce tą nagrodę dać. Jeśli zobaczy że odbiorca starał się ale mu nie wyszło to z reguły i tak wręczy nagrodę (akt miłości).
2.
Obietnice „szyte są na miarę” odbiorcy, czyli nadawca nie daje obietnic gdzie spełnienie warunku nagrody jest niemożliwe lub bardzo mało prawdopodobne. Stąd najczęściej odbiorca spełnia warunek nagrody, nadawca wręcza nagrodę … i wszyscy są szczęśliwi.
Oczywiście obietnice to przyszłość której nie znamy, jednak jeśli obietnica wypowiedziana jest między przyjaciółmi, znajomymi czy nawet miedzy osobami obcymi to z reguły jest dotrzymywana. Czyli prawdopodobieństwo iż nagroda znajdzie się u nadawcy jest tu bardzo wysokie, myślę że na poziomie 90% lub wyższym.
Odrębnym zagadnieniem jest składanie fałszywych obietnic wobec wrogów których chcemy zniszczyć, tu podstęp i fałsz jest na porządku dziennym w myśl zasady, wszystkie chwyty dozwolone byleby zniszczyć wroga. Zauważmy jednak, że nasz wróg dał się złapać w pułapkę dzięki temu że spodziewa się nagrody, czyli również doskonale zna symboliczna algebrę Kubusia.
Każde żywe stworzenie, chce mieć jak najmniej wrogów i jak najwięcej przyjaciół, zatem w powodzi wypowiedzianych obietnic te fałszywe stanowią margines. Zauważmy, że stworzenia żywe żyją w grupach w ramach swojego gatunku. Tu również działa algebra Kubusia, człowiek nie jest tu żadnym wyjątkiem.
Zauważmy, że jeśli przyjmiemy „akt miłości” i „akt łaski” za dobro i wykluczymy linie fałszywe w groźbach i obietnicach to otrzymamy taki wynik:
Dobro-Zło = 4:2
Zatem matematycznie nasz Wszechświat ustawiony jest na dobro.
Weźmy na koniec typowa groźbę.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
B~>L = ~B=>~L
czyli:
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach to na pewno => nie dostaniesz lania
~B=>~L
... z powodu czystych spodni - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji odwrotnej.
Równanie jest absolutnie genialne:
B~>L = ~B=>~L
Po prawej stronie mamy 100% determinizm.
Po lewej stronie mamy matematyczna wolną wolę człowieka, czyli jeśli syn przyjdzie w brudnych spodniach to nadawca może go nawet zabić albo darować lanie (gwarancja wolnej woli) ... i nie ma szans na zostanie kłamcą. Tożsamość to tożsamość, z matematyką się nie dyskutuje.
Determinizm filozoficzny i fizyczny:
Determinizm w ujęciu filozoficznym można sprowadzić do jednego zdania:
Jeśli ktokolwiek zna moje myśli z wyprzedzeniem to moja wolna wola leży w gruzach, mój Wszechświat jest zdeterminowany.
Determinizm w ujęciu fizycznym opisuje genialna implikacja. W jednej połówce implikacji zarówno prostej jak i odwrotnej mamy 100% determinizm (=>), zaś w drugiej "rzucania monetą” ( ~>)
Oczywiście determinizm fizyczny to również równoważność p<=>q, ale ta występuje głównie w matematyce, w świecie rzeczywistym króluje implikacja.
10.8 Rodzaje obietnic
1.
Obietnica z natychmiastową wykonalnością:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
… a jak nie zdam egzaminu.
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli jeśli syn nie zda egzaminu to mogę mu tego komputera nie kupić lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.
Po egzaminie następuje rozstrzygnięcie
2.
Obietnica z odroczoną wykonalnością:
Kto przyjdzie jutro dostanie gotowca
J=>G
… a jak przyjdę pojutrze ?
J=>G = ~J~>~G
Oczywiście jak ktoś przyjdzie później, byle przed egzaminem to też może dostać gotowca ale nie musi. Po egzaminie ta obietnica traci sens.
3.
Obietnica w której spełnienie warunku obietnicy jest bardzo mało prawdopodobne:
Jeśli wygram milion w TOTKA to kupię ci samochód
W=>S
… a jak nie wygram w TOTKA ?
Prawo Kubusia:
W=>S = ~W~>~S
Jeśli nie wygram w TOTKA to mogę ci nie kupić samochodu lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.
… właśnie przed chwilą na ekranie mojego komputera pojawił się napis:
2016-08-15
Koniec matematycznego wariatkowa - żyjecie w Raju.
Kubuś
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 2:12, 15 Sie 2016 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - bramy Raju
Część IV
Dodatek A
Kompendium algebry Kubusia
Spis treści
1.0 Notacja 1
2.0 Kompendium algebry Kubusia 4
2.1 Spójniki „lub”(+) i „i”(*) 4
2.2 Operatory OR(|+) i AND(|*) 4
2.3 Prawa Prosiaczka 5
2.4 Spójniki implikacyjne ~~>, =>, ~> 5
2.5 Prawa Kubusia 6
2.6 Prawo Kobry 7
2.7 Operatory implikacyjne |=>, |~>, |~~> 7
3.0 Operatory implikacyjne w zbiorach 11
3.1 Operator implikacji prostej p|=>q 11
3.2 Operator implikacji odwrotnej p|~>q 16
8.3 Operator równoważności p<=>q 20
8.4 Operator chaosu p|~~>q 26
4.0 Obietnice i groźby 27
4.1 Klasyka obietnicy 27
4.2 Klasyka groźby 28
1.0 Notacja
1 = prawda
0 = fałsz
Operatory OR(|+) i AND(|*)
(~) - symbol negacji, przeczenia (~p=NIE p)
(+) - spójnik „lub”(+)
(*) - spójnik „i”(*)
(|+) - operator OR(|+)
(|*) - operator AND(|*)
Operatory implikacyjne:
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
~~> - kwantyfikator mały
|=> - operator implikacji prostej
|~> - operator implikacji odwrotnej
|~~> - operator chaosu
<=> - równoważność
Spójniki „lub”(+) i „i”(*) z naturalnej logiki człowieka:
(+) - spójnik „lub”(+)
(*) - spójnik „i”(*)
Definicje operatorów OR(|+) i AND(|*) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
(|+) - operator OR
Y=p+q
~Y=~p*~q
(|*) - operator AND
Y=p*q
~Y=~p+~q
Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => i ~>:
Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące we wspólnej dziedzinie
1.
p~~>q = p*q - kwantyfikator mały ~~>
Zdarzenia:
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Zbiory:
Istnieje wspólny element zbiorów p i q
2.
p=>q - warunek wystarczający =>
Zdarzenia:
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Zbiory:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
3.
p~>q - warunek konieczny ~>
Zdarzenia:
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Zbiory:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Matematycznie zachodzi:
p=>q ## p~>q ## p~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
I prawo Kubusia:
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice dodatniej (bo q)
~p~>~q = p=>q
II prawo Kubusia:
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) jest tożsamy w warunkiem koniecznym ~> w logice dodatniej (bo q)
~p=>~q = p~>q
Interpretacja praw Kubusia:
Zdanie prawdziwe po dowolnej stronie prawa Kubusia wymusza zdanie prawdziwe po drugiej stronie.
Zdanie fałszywe po dowolnej stronie prawa Kubusia wymusza zdanie fałszywe po drugiej stronie
Definicje operatorów implikacyjnych w spójnikach implikacyjnych:
O przynależności zdania warunkowego „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym p=>q lub koniecznym p~>q do konkretnego operatora decyduje zdanie wypowiedziane w logice dodatniej (bo q). Jeśli ktokolwiek wypowie jako pierwsze zdanie „Jeśli p to q” w logice ujemnej (~p=>~q lub ~p~>~q) to musimy to zdanie sprowadzić do logiki dodatniej korzystając z praw Kubusia, bowiem poniższe definicje operują wyłącznie na zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” w logice dodatniej, z niezanegowanym następnikiem q.
p|=>q - operator implikacji prostej
p=>q=1
p~>q=0
p~~>q=1
Definicja:
p|=>q=(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
p|~>q - operator implikacji odwrotnej
p=>q =0
p~>q =1
p~~>q =1
Definicja:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
p<=>q - operator równoważności
p=>q =1
p~>q =1
p~~>q =1
Definicja:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1
p|~~>q - operator chaosu
p=>q =0
p~>q =0
p~~>q =1
Definicja:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1
Matematycznie zachodzi:
p|=>q ## p|=>q ## p|~>q ## p|~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
2.0 Kompendium algebry Kubusia
1 = prawda
0 = fałsz
„~” - symbol przeczenia np. ~p (nie p)
2.1 Spójniki „lub”(+) i „i”(*)
Spójniki „i” i „lub”:
1.
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
2.2 Operatory OR(|+) i AND(|*)
1.
„|+” - operatora OR(|+) opisany jest układem równań logicznych w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
A.
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
B.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q = ~(~p*~q)
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnie (bo Y)
~Y = ~(Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y = ~p*~q = ~(p+q)
Uwaga:
Przejście do logiki przeciwnej jest odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia znanych z matematyki klasycznej.
Zapis tożsamy takiego przejścia to po prostu negacja dwustronna tożsamości logicznej:
Y=p+q
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana
2.
„|*” - operator AND(|*) opisany jest układem równań logicznych w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
A.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
B.
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y)
Y = p*q = ~(~p+~q)
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y)
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnie (bo Y)
~Y = ~(Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y = ~p+~q = ~(p*q)
2.3 Prawa Prosiaczka
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
2.4 Spójniki implikacyjne ~~>, =>, ~>
Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => i ~>:
Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące we wspólnej dziedzinie
1.
p~~>q = p*q - kwantyfikator mały ~~>
Zdarzenia:
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Zbiory:
Istnieje wspólny element zbiorów p i q
2.
p=>q - warunek wystarczający =>
Zdarzenia:
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Zbiory:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
3.
p~>q - warunek konieczny ~>
Zdarzenia:
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Zbiory:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
O co chodzi w pierwszym zdaniu?
Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => i ~>:
Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące na wspólnej dziedzinie
„We wspólnej dziedzinie” chodzi o to, że dziedziną poprzednika nie może być mydło, a dziedziną następnika powidło.
Przykład takiego bełkotu.
B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to kwadrat ma wszystkie kąty proste i boki równe
TP=>KWKPBR
Tu dziedziną poprzednika jest:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
… a dziedziną następnika jest:
ZWC - zbiór wszystkich czworokątów
Te dziedziny są rozłączne, zatem zdanie B1 jest też fałszywe na mocy prawa Kobry.
Dla naszego zdania B1 mamy:
Jeśli ZWT to ZWC
ZWT~~>ZWC = ZWT*ZWC =0
bo te dziedziny są rozłączne.
Wniosek:
Skoro dziedzina poprzednika jest rozłączna z dziedziną następnika to jest oczywistym, że poprzednik nie może mieć nic wspólnego z następnikiem, zatem zdanie B1 jest matematycznie fałszywe.
Czyli:
Dowolny trójkąt nie ma nic wspólnego z dowolnym czworokątem
2.5 Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
I prawo Kubusia:
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo p) jest tożsamy z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q
II prawo Kubusia:
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = ~p=>~q
Interpretacja praw Kubusia:
Zdanie prawdziwe po dowolnej stronie prawa Kubusia wymusza zdanie prawdziwe po drugiej stronie.
Zdanie fałszywe po dowolnej stronie prawa Kubusia wymusza zdanie fałszywe po drugiej stronie
2.6 Prawo Kobry
Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
p~~>q = p*q =1
Wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów p i q by zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> było prawdziwe.
Wystarczy sama możliwość jednoczesnego zajścia zdarzeń p i q i już zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> jest prawdziwe.
2.7 Operatory implikacyjne |=>, |~>, |~~>
Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => i ~>:
Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące we wspólnej dziedzinie
1.
p~~>q = p*q - kwantyfikator mały ~~>
Zdarzenia:
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Zbiory:
Istnieje wspólny element zbiorów p i q
2.
p=>q - warunek wystarczający =>
Zdarzenia:
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Zbiory:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
3.
p~>q - warunek konieczny ~>
Zdarzenia:
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Zbiory:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Matematycznie zachodzi:
p=>q ## p~>q ## p~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
I prawo Kubusia:
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice dodatniej (bo q)
~p~>~q = p=>q
II prawo Kubusia:
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) jest tożsamy w warunkiem koniecznym ~> w logice dodatniej (bo q)
~p=>~q = p~>q
O przynależności zdania warunkowego „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym p=>q lub koniecznym p~>q do konkretnego operatora decyduje zdanie wypowiedziane w logice dodatniej (bo q). Jeśli ktokolwiek wypowie jako pierwsze zdanie „Jeśli p to q” w logice ujemnej (~p=>~q lub ~p~>~q) to musimy to zdanie sprowadzić do logiki dodatniej korzystając z prawa Kubusia, bowiem poniższe definicje operują wyłącznie na zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” w logice dodatniej, z niezanegowanym następnikiem q.
Definicje operatorów implikacyjnych |=>, |~>, |~~> w spójnikach implikacyjnych =>, ~>, ~~>:
p|=>q - operator implikacji prostej
p=>q=1
p~>q=0
p~~>q=1
Definicja:
p|=>q=(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
p|~>q - operator implikacji odwrotnej
p=>q =0
p~>q =1
p~~>q =1
Definicja:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
p<=>q - operator równoważności
p=>q =1
p~>q =1
p~~>q =1
Definicja:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1
p|~~>q - operator chaosu
p=>q =0
p~>q =0
p~~>q =1
Definicja:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1
Matematycznie zachodzi:
p|=>q ## p|=>q ## p|~>q ## p|~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Przykład 1.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi twierdzenie:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]
Badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Warunek konieczny ~> nie jest spełniony bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]
Definicja operatora implikacji prostej p|=>q:
p=>q =1
p~>q =0
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
Wniosek:
Warunek wystarczający A wchodzi w skład operatora implikacji prostej p|=>q o definicji:
P8=>P2 =1
P8~>P2 =0
P8|=>P2 = (P8=>P2)*~(P8~>P2) = 1*~(0) = 1*1 =1
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q)
Przykład 2.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi twierdzenie matematyczne:
A.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1
Zauważmy, że wszystkie operatory logiczne mamy zdefiniowane dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” w logice dodatniej (bo q).
Dla naszego zdania A musimy skorzystać z prawa Kubusia, aby uzyskać zdanie tożsame w logice dodatniej (bez zanegowanego następnika).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Nasz przykład:
~P2=>~P8 = P2~>P8
Stąd zdanie tożsame do A.
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Badamy warunek wystarczający => zachodzący między punktami P2 i P8:
C.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Warunek wystarczający => nie jest spełniony bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q:
p~>q =1
p=>q =0
Definicja:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
Wniosek:
Warunek konieczny B: P2~>P8 (wraz z tożsamym zdaniem A:~P2=>~P8) jest częścią operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8 o definicji:
P2~>P8 =1
P2=>P8 =0
P2|~>P8 = (P2~>P8)*~(P2=>P8) = 1*~(0) = 1*1 =1
Przykład 3.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi twierdzenie Pitagorasa.
TP.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów TP=SK
TP~>SK =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów TP=SK
Definicja równoważności p<=>q:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
Stąd mamy odpowiedź:
Twierdzenie Pitagorasa jest częścią operatora równoważności:
TP=>SK =1
TP~>SK =1
TP<=>SK = (TP=>SK)*(TP~>SK) = 1*1 =1
Przykład 4.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~>:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem P3=[3,6,9..24..]
Sprawdzamy warunek wystarczający => między punktami P8 i P3:
P8=>P3 =0
Warunek wystarczający => nie jest spełniony bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9..24..]
Sprawdzamy warunek konieczny ~> między punktami P8 i P3:
P8~>P3 =0
Warunek konieczny ~> nie jest spełniony bo zbiór P8=[8,16,24 ..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9..24..]
Definicja operatora chaosu p|~~>q:
p=>q =0
p~>q =0
p~~>q=1
Definicja:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1
Wniosek:
Nasze zdanie A: P8~~>P3 wchodzi w skład definicji operatora chaosu P8|~~>P3:
P8|~~>P3 = (P8~~>P3)*~(P8=>P3)*~(P8~>P3) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1
Podsumowując nasze cztery przykłady mamy:
1: P8|=>P2 ## 2: P2|~>P8 ## 3: TP<=>SK ## 4: P8|~~>P3
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Najbardziej interesujące są tu dwa pierwsze człony:
1: P8|=>P2 = (P8=>P2)*~(P8~>P2) ## 2: P2|~>P8 = (P2~>P8)*~(P2=>P8)
Prawa Kubusia zachodzące zawsze i wszędzie:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Stąd mamy:
1: P8|=>P2 = (P8=>P2 = ~P8~>~P2)*~(P8~>P2) ## 2: P2|~>P8 = (P2~>P8 = ~P2=>~P8)*~(P2=>P8)
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 ## P2~>P8 = ~P2=>~P8
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
P8=>P2 ## ~P2=>~P8
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Znane Ziemianom prawo kontrapozycji w tej postaci:
P8=>P2 = ~P2=>~P8
jest fałszywe w implikacji.
Znane Ziemianom prawo kontrapozycji obowiązuje wyłącznie w równoważności:
p=>q = ~q=>~p
Prosty dowód, na gruncie banalnej teorii zbiorów za chwilę
3.0 Operatory implikacyjne w zbiorach
3.1 Operator implikacji prostej p|=>q
Definicja operatora implikacji prostej |=> w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Definicja tożsama implikacji prostej |=> w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q wtedy i tylko wtedy gdy między punktami p i q zachodzi:
p=>q =1
p~>q =0
Stąd mamy tożsamą definicję implikacji prostej |=> wyrażoną spójnikami implikacyjnymi => i ~>:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..].
Dodatkowo zbiory P8 i P2 nie są tożsame co oznacza, że musi być fałszywy warunek konieczny ~> między punktami P8 i P2.
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Wniosek:
Warunek wystarczający A: P8=>P2 jest częścią operatora implikacji prostej |=>:
P8|=>P2 = (P8=>P2)*~[P8=P2] = 1*~(0) = 1*1 =1
Definicja operatora implikacji prostej |=> w zdarzeniach:
Zajście zdarzenia p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia q i nie jest tożsame ze zdarzeniem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zawsze gdy pada, jest pochmurno
Wymuszam stan „pada” i na 100” pojawi się stan „chmury”
Dodatkowo pojęcia „pada” i „chmury” nie są tożsame bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
Wniosek:
Warunek wystarczający A wchodzi w skład operatora implikacji prostej |=>:
P|=>CH = (P=>CH)*~[P=CH] = 1* ~(0) = 1*1 =1
Diagram implikacji prostej |=> w zbiorach:
Definicję symboliczną operatora implikacji prostej odczytujemy z diagramu:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór p jest podzbiorem zbioru q
p=>q = [p*q=p] =1
Prawdziwość warunku wystarczającego A wymusza fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie)
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona bo zbiory p i ~q są rozłączne
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q = [~p*~q=~q] =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów ~p i q
Warunek konieczny ~p~>q tu nie zachodzi bo prawo Kubusia:
~p~>q = p=>~q = p*~q =0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne
Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego A: p=>q nazywamy zdanie B: p~~>~q z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym ~~>
A: p=>q
B: p~~>~q
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu B: p~~>~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A: p=>q =1 (i odwrotnie)
Prawdziwość kontrprzykładu B: p~~>~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego A: p=>q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy, że w implikacji prostej p|=>q po stronie p mamy gwarancję matematyczną =>:
A.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Natomiast po stronie ~p mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”:
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q (zdanie C) lub może ~~> zajść q (zdanie D)
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na pewno => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH = P*CH =1
W zapisie formalnym:
p=>q = p*q =1
co matematycznie oznacza:
(p=1)=>(q=1) =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo wymuszam padanie i na pewno pojawią się chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Prawdziwość warunku wystarczającego A wymusza fałszywość kontrprzykładu B
B.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0 - sytuacja niemożliwa
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
co matematycznie oznacza:
(p=1) ~~> (~q=1) =0
… a jeśli jutro nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
C.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH = ~P*~CH =1
W zapisie formalnym:
~p~>~q = ~p*~q =1
co matematycznie oznacza:
(~p=1)~>(~q=1) =1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno bo jak są opady to na pewno => są chmury
Zauważmy że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
C: ~P~>~CH = A: P=>CH
lub
D.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1 - sytuacja możliwa
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
co matematycznie oznacza:
(~p=1)~~>(q=1) =1
Warunek konieczny ~> nie jest tu spełniony bo prawo Kubusia:
~P~>CH = P=>~CH = P*~CH =0
Prawa strona jest fałszem zatem w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Logika matematyczna człowieka ma tą piękną cechę, że przekłada się w stosunku 1:1 na zapisy formalne (zwyczajowo p, q i Y) niezależne od konkretnego zdania.
Dla naszego przykładu wystarczy podstawić:
p=P
q=CH
i lądujemy w zapisach formalnych.
Kodowanie zero-jedynkowe analizy symbolicznej implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
IP: Implikacja prosta p|=>q
Y ~Y p q ~p ~q p=>q ~p~>~q |Co matematycznie oznacza
A: p=> q = p* q =1 0 1 1 0 0 =1 =1 |( p=1)=> ( q=1) =1
B: p~~>~q= p*~q =0 1 1 0 0 1 =0 =0 |( p=1)~~>(~q=1) =0
C:~p~>~q =~p*~q =1 0 0 0 1 1 =1 =1 |(~p=1)~> (~q=1) =1
D:~p~~>q =~p* q =1 0 0 1 1 0 =1 =1 |(~p=1)~~>( q=1) =1
1 2 a b 3 c 4 5 6 7 8 9 d e f
Y=(p|=>q)
|
Definicję symboliczną operatora implikacji prostej ABCD123 możemy zakodować z dwóch różnych punktów odniesienia.
1.
Kodowanie implikacji prostej p|=>q w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
Prawo Sowy:
Nagłówek kolumny wynikowej w dowolnej tabeli zero-jedynkowej wyrażonej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej kolumnie.
Z tabeli symbolicznej ABCDab3c odczytujemy:
Tabela ABCDab3:
Y=(p|=>q) = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: (p=1 i q=1) lub C: (~p=1 i ~q=1) lub D: (~p=1 i q=1)
Tabela ABCDabc:
~Y=(~p|=>q) = B: p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> B: (p=1 i ~q=1)
Operator logiczny implikacji prostej p|=>q to wszystkie cztery linie A, B, C, D a nie jedna, wybrana.
Implikacja prosta będzie prawdziwa p|=>q =1 gdy prawdziwe będzie jedno ze zdań A, C lub D
Inaczej implikacja prosta będzie fałszywa p|=>q =0 (zdanie B)
2.
Kodowanie implikacji prostej p|=>q wyrażonej spójnikami implikacyjnymi =>, ~>, ~~>
Prawo Puchacza:
Nagłówek kolumny wynikowej w operatorze implikacyjnym opisuje wybrany punkt odniesienia względem którego kodujemy tabelę symboliczną.
Kodowanie zero-jedynkowe definicji symbolicznej ABCD123
Ustalmy punkt odniesienia na warunku wystarczającym =>:
A: p=>q =1
co matematycznie oznacza:
A: (p=1) => (q=1)
Kodowanie poprzednika:
(p=1) = (p=1)
(~p=1)=(p=0) - prawo Prosiaczka
Kodowanie następnika:
(q=1) = (q=1)
(~q=1) = (q=0) - prawo Prosiaczka
Efekty kodowania dla punktu odniesienia A: p=>q widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD458
Ustalmy kolejny punkt odniesienia na warunku koniecznym ~>:
C: ~p~>~q =1
co matematycznie oznacza:
C: (~p=1)~>(~q=1)
Kodowanie poprzednika:
(~p=1) = (~p=1)
(p=1) = (~p=0) - prawo Prosiaczka
Kodowanie następnika:
(~q=1) = (~q=1)
(q=1) = (~q=0) - prawo Prosiaczka
Efekty kodowania dla punktu odniesienia C: ~p~>~q widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD679
Operator logiczny implikacji prostej p|=>q to wszystkie cztery linie A, B, C, D a nie jedna, wybrana.
Implikacja prosta będzie prawdziwa p|=>q =1 gdy prawdziwe będzie jedno ze zdań A, C lub D
Inaczej implikacja prosta będzie fałszywa p|=>q =0 (zdanie B)
Tożsamość kolumn wynikowych 8=9 jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia to tożsamość logiczna (równoważność) o znaczeniu:
p=>q = ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony
Logika dodatnia i ujemna w implikacji:
p=>q = ~p~>~q
Warunek wystarczający => lub konieczny ~> wyrażony jest w logice dodatniej p=>q wtedy i tylko wtedy gdy następnik nie jest zanegowany (q)
Warunek wystarczający => lub konieczny ~> wyrażony jest w logice ujemnej ~p~>~q wtedy i tylko wtedy gdy następnik jest zanegowany (~q)
Zauważmy, że w tabeli symbolicznej ABCDdef występujące tu jedynki możemy odczytać z wejściowej matrycy zero-jedynkowej ABCD4567.
3.2 Operator implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja operatora implikacji odwrotnej |~> w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q)
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Zbiór P2 jest konieczny ~> dla zbudowania zbioru P8
Zabieram zbiór P2 i znika mi zbiór P8
Dodatkowo zbiory P2 i P8 nie są tożsame co wymusza przynależność warunku wystarczającego A do operatora implikacji odwrotnej:
P2|~>P8 = (P2~>P8)*~[P2=P8] = 1*~(0) = 1*1 =1
Definicja operatora implikacji odwrotnej |~> w zdarzeniach:
Zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q i nie jest tożsame ze zdarzeniem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zabieram chmury wykluczając padanie
Dodatkowo pojęcie „chmury” nie jest tożsame z pojęciem „pada” bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
Stąd mamy dowód, iż warunek wystarczający => A jest częścią operatora implikacji odwrotnej |~>:
CH|~>P = (CH~>P)*~[CH=P] = 1*~(0) = 1*1 =1
Diagram implikacji odwrotnej |~> w zbiorach:
Symboliczną definicję implikacji odwrotnej p|~>q odczytujemy z diagramu:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q =[p*q=q] =1
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zabieram zbiór p i znika mi zbiór q
lub
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów p i ~q.
Zajście p nie jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q bo prawo Kubusia:
p~>~q = ~p=>q = ~p*q =0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q = [~p*~q=~p] =1
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Wymuszam dowolny element ze zbioru ~p i ten element na 100% będzie w zbiorze ~q
Prawdziwość warunku wystarczającego C wymusza fałszywość kontrprzykładu D.
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Bo zbiory ~p i q są rozłączne
Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego C: ~p=>~q nazywamy zdanie D: ~p~~>q z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym ~~>
C: ~p=>~q
D: ~p~~>q
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu D: ~p~~>q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego C: ~p=>~q =1 (i odwrotnie)
Prawdziwość kontrprzykładu D: ~p~~>q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego C: ~p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy, że w implikacji odwrotnej p|~>q po stronie p mamy „rzucanie monetą”:
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q (zdanie A) lub może ~~> zajść ~q (zdanie B)
Natomiast po stronie ~p mamy gwarancję matematyczną =>:
C.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zauważmy, że w implikacji prostej było dokładnie odwrotnie i to jest ta fundamentalna różnica między implikacją prostą p|=>q i odwrotną p|~>q.
Gdzie ta różnica znajduje zastosowanie?
Obsługa wszelkich obietnic to na mocy definicji implikacja prosta p|=>q
Obsługa wszelkich gróźb to na mocy definicji implikacja odwrotna p|~>q
Szczegóły poznamy niebawem.
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P = CH*P =1
W zapisie formalnym:
p~>q = p*q =1
co matematycznie oznacza:
(p=1)~>(q=1) =1
Chmury są konieczne ~> aby jutro padało bo jak nie będzie chmur to na pewno => nie będzie padać
W naturalny sposób odkryliśmy tu prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
lub
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
co matematycznie oznacza:
(p=1)~~>(~q=1) =1
Kwantyfikator mały ~~> spełniony bo możliwa ~~> jest sytuacja są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)
… a jeśli nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmuro (~CH=1) to na pewno => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P = ~CH*~P =1
W zapisie formalnym:
~p=>~q = ~p*~q =1
co matematycznie oznacza:
(~p=1)=>(~q=1) =1
Definicja warunku wystarczającego => bo brak chmur wymusza => brak opadów
Spełniony warunek wystarczający => C wymusza fałszywość kontrprzykładu D.
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0 - sytuacja niemożliwa
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
co matematycznie oznacza:
(~p=1)~~>(q=1) =1
Przechodzimy na zapis formalny podstawiając:
p=CH
q=P
Kodowanie zero-jedynkowe analizy symbolicznej implikacji odwrotnej p|~>q:
| Kod: |
IO: Implikacja odwrotna p|~>q
Y ~Y p q ~p ~q p~>q ~p=>~q |Co matematycznie oznacza
A: p~> q = p* q =1 0 1 1 0 0 =1 =1 |( p=1)~> ( q=1) =1
B: p~~>~q= p*~q =1 0 1 0 0 1 =1 =1 |( p=1)~~>(~q=1) =1
C:~p=>~q =~p*~q =1 0 0 0 1 1 =1 =1 |(~p=1)=> (~q=1) =1
D:~p~~>q =~p* q =0 1 0 1 1 0 =0 =0 |(~p=1)~~>( q=1) =0
1 2 a b 3 c 4 5 6 7 8 9 d e f
Y=(p|~>q)
|
Definicję symboliczną operatora implikacji odwrotnej ABCD123 możemy zakodować z dwóch różnych punktów odniesienia.
1.
Kodowanie implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
Prawo Sowy:
Nagłówek kolumny wynikowej w dowolnej tabeli zero-jedynkowej wyrażonej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej kolumnie.
Z tabeli symbolicznej ABCDab3c odczytujemy:
Tabela ABCDab3:
Y=(p|~>q) = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: (p=1 i q=1) lub B: (p=1 i ~q=1) lub C: (~p=1 i ~q=1)
Tabela ABCDabc:
~Y=(~p|~>q) = D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> D: (~p=1 i q=1)
Operator logiczny implikacji odwrotnej p|~>q to wszystkie cztery linie A, B, C, D a nie jedna, wybrana.
Implikacja odwrotna będzie prawdziwa p|~>q =1 gdy prawdziwe będzie jedno ze zdań A, B lub C
Inaczej implikacja odwrotna będzie fałszywa p|~>q =0 (zdanie D)
2.
Kodowanie implikacji prostej p|=>q wyrażonej spójnikami implikacyjnymi =>, ~>, ~~>
Prawo Puchacza:
Nagłówek kolumny wynikowej w operatorze implikacyjnym opisuje wybrany punkt odniesienia względem którego kodujemy tabelę symboliczną.
Kodowanie zero-jedynkowe definicji symbolicznej ABCD123
Ustalmy punkt odniesienia na warunku koniecznym ~>:
A: p~>q =1
co matematycznie oznacza:
A: (p=1) ~> (q=1)
Kodowanie poprzednika:
(p=1) = (p=1)
(~p=1)=(p=0) - prawo Prosiaczka
Kodowanie następnika:
(q=1) = (q=1)
(~q=1) = (q=0) - prawo Prosiaczka
Efekty kodowania dla punktu odniesienia A: p~>q widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD458
Ustalmy kolejny punkt odniesienia na warunku wystarczającym ~>:
C: ~p=>~q =1
co matematycznie oznacza:
C: (~p=1)=>(~q=1)
Kodowanie poprzednika:
(~p=1) = (~p=1)
(p=1) = (~p=0) - prawo Prosiaczka
Kodowanie następnika:
(~q=1) = (~q=1)
(q=1) = (~q=0) - prawo Prosiaczka
Efekty kodowania dla punktu odniesienia C: ~p=>~q widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD679
Operator logiczny implikacji odwrotnej p|~>q to wszystkie cztery linie A, B, C, D a nie jedna, wybrana.
Implikacja odwrotna będzie prawdziwa p|~>q =1 gdy prawdziwe będzie jedno ze zdań A, B lub C
Inaczej implikacja odwrotna będzie fałszywa p|~>q =0 (zdanie D)
Tożsamość kolumn wynikowych 8=9 jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Zauważmy, że w tabeli symbolicznej ABCDdef występujące tu jedynki możemy odczytać z wejściowej matrycy zero-jedynkowej ABCD4567.
8.3 Operator równoważności p<=>q
Zacznijmy od definicji implikacji prostej p|=>q:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
p|=>q =(p=>q)*~[p=q]
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Definicja równoważności w zbiorach:
p<=>q = (p=>q)*[p=q]
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
Z definicji równoważności wynika, że powyższy diagram będzie pasował do równoważności wtedy i tylko wtedy gdy zlikwidujemy obszar niebieski.
Obszar niebieski zniknie wtedy i tylko wtedy będzie zachodziła tożsamość zbiorów p=q
która wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q.
Stąd mamy:
Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to dwa i tylko dwa zbiory niepuste w obrębie dowolnej dziedziny
Doskonale widać, że przy tożsamości zbiorów p=q znika obszar niebieski. Niebieską obwódkę, ślad po zbiorze występującym w implikacji, pozostawiono dla celów edukacyjnych.
Przykładowa, fizyczna realizacja zlikwidowania obszaru niebieskiego, jedna z wielu możliwych, jest następująca.
Obszar niebieski zlikwidujemy wtedy i tylko wtedy gdy:
p=>q - zbiór p będzie podzbiorem => zbioru q
i jednocześnie:
~p=>~q - zbiór ~p będzie podzbiorem => zbioru ~q
Stąd mamy aksjomatyczną definicję równoważności dającą w wyniku tabelę zero-jedynkową równoważności w sposób bezpośredni.
Aksjomatyczna definicja równoważności w logice dodatniej (bo q):
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Symetryczna definicja w logice ujemnej (bo ~q):
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Doskonale widać, że w tej definicji obszar niebieski znika.
Zapiszmy symbolicznie definicję równoważności w zbiorach odczytaną z powyższego diagramu.
| Kod: |
RA: p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
A: p=> q = p* q = p =1 - zbiór p jest podzbiorem => q
B: p~~>~q= p*~q =0 - zbiory p i ~q są rozłączne
RC: ~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
C:~p=>~q =~p*~q =~p =1 - zbiór ~p jest podzbiorem => ~q
D:~p~~>q =~p* q =0 - zbiory ~p i q są rozłączne
|
Dla kodowania definicji symbolicznej z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu A: p=>q otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności w logice dodatniej (bo q):
RA: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Punkt odniesienia:
A: p=>q
Kodowanie definicji symbolicznej dla p
(p=1) = (p=1)
(~p=1) = (p=0) - prawo Prosiaczka
Kodowanie definicji symbolicznej dla q
(q=1) = (q=1)
(~q=1) = (q=0) - prawo Prosiaczka
Dla kodowania definicji symbolicznej z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu C: ~p=>~q otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności w logice ujemnej (bo ~q):
RC: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Punkt odniesienia:
C: ~p=>~q
Kodowanie definicji symbolicznej dla ~p
(~p=1) = (~p=1)
(p=1) = (~p=0) - prawo Prosiaczka
Kodowanie definicji symbolicznej dla q
(~q=1) = (~q=1)
(~q=1) = (q=0) - prawo Prosiaczka
| Kod: |
Definicja symboliczna |Matryca |Kodowanie |Kodowanie
równoważności p<=>q |wejściowa |dla A: p=>q |dal C: ~p=>~q
| | p<=>q |~p<=>~q
p<=>q | p q ~p ~q | =(p=>q*(~p=>~q) | =(~p=>~q)*(p=>q)
A: p=> q = p* q =1 | 1 1 0 0 | =1 | =1
B: p~~>~q= p*~q =0 | 1 0 0 1 | =0 | =0
C:~p=>~q =~p*~q =1 | 0 0 1 1 | =1 | =1
D:~p~~>q =~p* q =0 | 0 1 1 0 | =0 | =0
a b c d e 1 2 3 4 5 6
|
Tożsamość kolumn wynikowych 5=6 jest dowodem formalnym prawa algebry Boole’a:
p<=>q = ~p<=>~q
Zauważmy, że obszaru niebieskiego w implikacji prostej p|=>q pozbędziemy się również w ten sposób.
Obszar niebieski zniknie wtedy i tylko wtedy gdy:
zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
i
Zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Stąd mamy tożsamą definicję równoważności:
p<=>q = (p~>q)*(~p~>~q)
Definicja symboliczna równoważności przyjmie tu postać:
| Kod: |
RA: p<=>q=(p~>q)*(~p~>~q)
A: p~> q = p* q = p =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> q
B: p~~>~q= p*~q =0 - zbiory p i ~q są rozłączne
RC: ~p<=>~q=(~p~>~q)*(p~>q)
C:~p~>~q =~p*~q =~p =1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> ~q
D:~p~~>q =~p* q =0 - zbiory ~p i q są rozłączne
|
Zauważmy, że w równoważności p<=>q warunek konieczny ~> oznacza identyczną pewność matematyczną jaką mamy w warunku wystarczającym =>, bo linie B i D są twardym fałszem
Warunek konieczny ~> wchodzący w skład równoważności możemy zapisać tak:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno ~> zajdzie q
p~>q =1
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów p=q
Warunek wystarczający => wchodzący w skład równoważności zapisujemy tak:
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów p=q
Zauważmy, że w zapisie słownym zdania A i B brzmią identycznie oznaczając co innego jeśli chodzi o matematykę ścisłą.
Matematycznie zachodzi bowiem:
Warunek wystarczający => ## warunek konieczny ~>
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Popularna definicja równoważności:
Równoważność <=> to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między dowolnymi dwoma punktami
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
Wyprowadziliśmy wyżej prawo algebry Boole’a:
R1: p<=>q = ~p<=>~q
Inne trywialne zapisy umożliwiające pozbycie się obszaru niebieskiego w implikacji są następujące:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R3: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
R4: p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
R5: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
Z R1 i R5 wynika R6:
R1: p<=>q = ~p<=>~q
R5: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
R6: p<=>q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
Z R2 i R6 wynika I prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R6: p<=>q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
p=>q = ~q=>~p
Z R2 i R4 wynika II prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R4: p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
q=>p = ~p=>~q
Kolejne definicje równoważności:
R7.
Obszar niebieski zniknie jeśli zbiór p będzie podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p będzie nadzbiorem ~> zbioru q
R7: p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
Definicja symetryczna.
R8.
Obszar niebieski zniknie jeśli zbiór ~p będzie podzbiorem => zbioru ~q i jednocześnie zbiór ~p nadzbiorem ~> zbioru ~q
R8: p<=>q = (~p=>~q)*(~p~>~q)
Z R2 i R8 mamy I prawo Kubusia w równoważności:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R8: p<=>q = (~p=>~q)*(~p~>~q)
p=>q = ~p~>~q
Z R2 i R7 mamy II prawo Kubusia w równoważności:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R7: p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
p~>q = ~p=>~q
Twierdzenie Pitagorasa.
Twierdzenie Pitagorasa:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Zbiory TP i SK są tożsame co wymusza definicję równoważności.
RA.
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
TP=>SK
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo SK) to wyłącznie linia A:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1
Bycie trójkątem prostokątnym wystarcza => do tego, aby zachodziła suma kwadratów.
Zbiory:
TP=>SK = [TP*SK = TP] =[TP=TP] =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK .
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów TP=SK.
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego A jest zdanie B.
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów
TP~~>~SK=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z A
Zbiory:
TP~~>~SK = [TP*~SK] =[]=0
Zbiory TP i ~SK są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
RC.
~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
~TP=>~SK
Warunek wystarczający w logice ujemnej bo (~SK) to wyłącznie linia C:
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1
Nie bycie trójkątem prostokątnym wystarcza => do tego, aby nie zachodziła suma kwadratów.
Zbiory:
~TP=>~SK = [~TP*~SK = ~TP] =[~TP=~TP] =1
Definicja warunku wystarczającego spełniona bo:
Zbiór ~TP jest podzbiorem => zbioru ~SK
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów ~TP=~SK.
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego C jest zdanie D.
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
~TP~~>SK=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z C
Zbiory:
~TP~~>SK = [~TP*SK] =[]=0
Zbiory ~TP i SK są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
Definicja równoważności:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) =1*1=1
Z prawej strony mamy do czynienia wyłącznie z warunkami wystarczającymi o definicjach w A i C.
To nie są operatory logiczne, to zaledwie „połówki” operatora równoważności.
8.4 Operator chaosu p|~~>q
Definicja operatorów chaosu p|~~>q w zbiorach:
Zbiór p ma część wspólną ~~> ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(q=>p)
Operator chaosu |~~> jest mało ciekawy bo nie ma tu żadnej gwarancji matematycznej =>, omówimy go zatem wyłącznie na przykładzie.
Przykład z matematycznego przedszkola:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3=1 bo 24
Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
p~~>q=p*q =1
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
p~~>~q =p*~q =1
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 bo 5
~p~~>~q = ~p*~q =1
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo 3
~p~~>q = ~p*q =1
Wystarczy znaleźć po jednym elemencie wspólnym dla A, B, C, D i mamy rozstrzygnięcie.
Zdanie A jest zawsze prawdziwe, niezależnie od przeczeń p i q, zatem jest to matematyczny śmieć, bez żadnej gwarancji matematycznej.
4.0 Obietnice i groźby
Najważniejszymi definicjami w świecie istot żywych są definicje obsługujące obietnice i groźby.
Podlegają pod nie wszystkie stworzenia żywe od bakterii poczynając.
Zwierzątka które nie posługują się w praktyce tymi definicjami dawno wyginęły.
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta W|=>N na mocy definicji
Gwarancja w obietnicy:
W=>N
Jeśli spełnisz warunek nagrody (W=1) to na pewno => dostaniesz nagrodę (N=1) z powodu że spełniłeś warunek nagrody (W=1)
W obietnicy nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca spełni warunek nagrody i będzie mógł wręczyć nagrodę. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca może dać nagrodę lub nie dać, zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli nie spełni warunku nagrody to może otrzymać nagrodę (akt miłości). Odbiorca może zwolnić nadawcę z obietnicy np. w przypadkach losowych.
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna W|~>K na mocy definicji
Gwarancja w groźbie:
~W=>~K
Jeśli nie spełnisz warunku kary (~W=1) to na pewno => nie zostaniesz ukarany (~K=1) z powodu że nie spełniłeś warunku kary (~W=1)
Jak widzimy znaczenie znaczka => jest identyczne w obu definicjach.
W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.
4.1 Klasyka obietnicy
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta W|=>N na mocy definicji
Przykład:
A.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - gwarancja matematyczna
Bycie grzecznym jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania czekolady.
stąd:
B.
Jeśli będziesz grzeczny to możesz ~~> nie dostać czekolady
G~~>~C =0 - złamanie obietnicy
… a jak będę niegrzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G~>~C
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G~>~C =1
Bycie niegrzecznym jest warunkiem koniecznym ~>, aby nie dostać czekolady.
Na mocy definicji obietnicy (implikacja prosta G|=>C) nie ma znaczenia w jak ostrej formie wypowiemy groźbę C. Zdanie C musimy kodować warunkiem koniecznym ~>, inaczej gwałcimy matematykę ścisłą, definicję implikacji prostej G|=>C!
LUB
D.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~~> dostać czekoladę
~G~~>C =1 - akt miłości = akt łaski
Prawdziwość zdania C gwarantuje nam matematyka ścisła (implikacja prosta) która nie zależy od widzi mi się człowieka.
To jest matematyczne prawo nadawcy do darowania dowolnej kary zależnej od niego.
Oczywiście może ~~> darować, ale nie musi => darować.
Ojciec może tu darować karę mówiąc:
Synku, byłeś niegrzeczny, dostajesz czekoladę bo cię kocham.
Uzasadnienie nie może być zależne, czyli identyczne jak poprzednik:
Synku, byłeś niegrzeczny, dostajesz czekoladę bo byłeś niegrzeczny
Tu ojciec jest kłamcą.
4.2 Klasyka groźby
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna W|~>K na mocy definicji
Przykład:
A:
Jeśli ubrudzisz spodnie to na 100% dostaniesz lanie
B~>L =1
Na mocy definicji groźby (implikacja odwrotna B|~>L) brudne spodnie są warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania z powodu brudnych spodni!
Zdania A nie wolno nam kodować warunkiem wystarczającym => bo zgwałcimy definicję implikacji odwrotnej B|~>L którą na mocy definicji jest dowolna groźba.
LUB
B:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz ~~> nie dostać lania
B ~~> ~L =1 - prawo do darowania kary (akt łaski)
Prawdziwość zdania B gwarantuje nam matematyka ścisła (implikacja odwrotna B|~>L), która nie zależy od chciejstwa człowieka.
Nadawca ma matematyczne prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski) zależnej od niego:
I rzekł mu: "Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze mną w raju". (Łk 23, 43)
Nadawca może darować karę z dowolnym uzasadnieniem niezależnym:
Synku, ubrudziłeś spodnie, nie dostajesz lania bo cię kocham
Nadawca będzie kłamcą, jeśli wypowie uzasadnienie zależne, identyczne jak poprzednik:
Synku, ubrudziłeś spodnie, nie dostajesz lania, bo ubrudziłeś spodnie
… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia
C:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania
~B => ~L =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje warunek wystarczający =>.
stąd:
D:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to możesz ~~> dostać lanie
~B ~~> L =0 - twardy fałsz, zakaz karania niewinnego tzn. z powodu czystych spodni!
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
