ŚFiNiA

[rafal3006]

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

Algebra Kubusia
Autorzy: Kubuś i Przyjaciele

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Algebra Kubusia to końcowy efekt siedmioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, [link widoczny dla zalogowanych], [link widoczny dla zalogowanych] i [link widoczny dla zalogowanych]. Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do jej powstania. Szczególne podziękowania dla: Rafała3006(medium), Wuja Zbója, Voratha, Macjana, Quebaba, Windziarza, Fizyka, Sogorsa, Fiklita, Yorgina i Pana Baryckiego.


Wstęp.

Największą tragedią Ziemian w logice matematycznej jest grzebanie się non-stop w tabelach zero-jedynkowych, podczas gdy cały świat w programowaniu komputerów już wieki temu uciekł do symbolicznej algebry Boole’a. W programowaniu komputerów człowiek myślał w zerach i jedynkach przez mgnienie oka, praktycznie natychmiast skopiował działanie własnego mózgu uciekając do języków symbolicznych, izolowanych od idiotycznych zer i jedynek. Fundamentem wszelkich języków wysokiego poziomu w programowaniu komputerów jest język asemblera, będący w swej istocie 100% symboliczną algebrą Boole’a, czyli algebrą Kubusia. Poza tym każdy człowiek, od 5-cio latka po profesora biegle posługuje się logiką dodatnią i ujemną w algebrze Boole’a, o czym Ziemianie nie mają bladego pojęcia.

Algebra Kubusia to matematyka pod którą podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy, człowiek nie jest tu wyjątkiem. Fundamentem algebry Kubusia jest nowa teoria zbiorów. Z punktu widzenia dwuargumentowych operatorów logicznych teoria zbiorów to zaledwie dwa zbiory p i q we wszystkich możliwych wzajemnych położeniach z których wynikają zero-jedynkowe definicje znanych człowiekowi operatorów logicznych.

Aksjomat to założenie które przyjmuje się bez dowodu.

W świecie techniki inżynierowie przyjmują za aksjomat zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych plus banalny rachunek zero-jedynkowy z którego wynikają wszelkie prawa logiczne.
Takie podejście jest poprawne jeśli interesuje nas fizyczne zbudowanie komputera (hardware), jednak sprzęt bez oprogramowania (software) to tylko bezużyteczna kupa złomu. Software (naturalna logika człowieka) to zupełnie co innego niż hardware, mimo że w obu przypadkach fundamentem jest ta sama, symboliczna algebra Boole’a (algebra Kubusia).

Jest oczywistym, że jeśli istnieje matematyka pod którą podlega człowiek, to musi być ona absolutnie banalna, na poziomie 5-cio latka. Ta maksyma przyświecała Kubusiowi od samego początku walki o rozszyfrowanie matematycznych podstaw naturalnej logiki człowieka.

W nowej teorii zbiorów znaczenie zer i jedynek wewnątrz operatorów logicznych jest inne niż w aktualnej logice matematycznej Ziemian zwanej Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ). Żadne pojęcie i żadna definicja z KRZ nie pasuje do algebry Kubusia, wszystko mamy totalnie odwrotne. Z tego powodu praktycznie niemożliwa jest dyskusja na rzeczowe argumenty. Warunkiem koniecznym zrozumienia nowej teorii zbiorów i algebry Kubusia jest odłożenie na półkę wszelkiej wiedzy z logiki matematycznej uczonej w ziemskich szkołach i zaczęcie wszystkiego od zera.


Spis treści:

Część I
Fundamenty matematyczne

1.0 Notacja
1.1 Trzęsienie ziemi w logice

2.0 Matematyczne fundamenty algebry Kubusia
2.1 Pełna lista operatorów dwuargumentowych w algebrze Boole’a
2.2 Rachunek zero-jedynkowy
2.3 Prawa De Morgana
2.4 Związek rachunku zero-jedynkowego z naturalną logiką człowieka
2.5 Najważniejsze prawa algebry Boole’a
2.6 Prawa Prosiaczka
2.7 Wykresy czasowe w algebrze Kubusia
2.8 Tworzenie równań logicznych z tabel zero-jedynkowych
2.9 Definicja symboliczna operatora OR
2.10 Definicja symboliczna operatora AND

1.0 Notacja

Znaczenie 0 i 1 w matematycznych fundamentach algebry Kubusia:
1 - prawda
0 - fałsz

Zera i jedynki w nowej teorii zbiorów (NTZ) oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje)
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje)

~ - symbol negacji

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia:
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka

= - tożsamość
Zbiory:
p=q - zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q
Prawami tożsamościowymi w logice matematycznej są prawa De Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)
Y = p*q = ~(~p+~q)
Zbiory p+q i ~(~p*~q) to zbiory tożsame.
Zbiory p*q i ~(~p+q) to również zbiory tożsame.

Każda tożsamość to automatycznie równoważność.
Prawa De Morgana możemy zatem zapisać w formie równoważności:
p+q <=> ~(~p*~q)
p*q <=> ~(~p+~q)

# - różne
Zbiory:
p#q - zbiór p jest różny od zbioru q (zbiory rozłączne)

Definicja operatora OR w układzie równań logicznych:
A: Y=p+q
B: ~Y=~p*~q
Matematycznie zachodzi:
Y=p+q # ~Y=~p*~q
# - kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
Po obu stronach znaku # musimy mieć to samo p i q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Definicja operatora AND w układzie równań logicznych:
A: Y=p*q
B: ~Y=~p+~q
Matematycznie zachodzi:
Y=p*q # ~Y=~p+~q
# - kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
Po obu stronach znaku # musimy mieć to samo p i q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana dla spójnika „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)

## - różne na mocy definicji
Operator OR ## Operator AND
Y = p+q # ~Y=~p*~q ## Y=p*q # ~Y=~p+~q
Po obu stronach znaku ## możemy mieć dowolne p i q.
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Wszelkie znaczki z lewej strony znaku ## (Y,p,q) nie mają nic wspólnego ze znaczkami z prawej strony znaku ## (Y,p,q)

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Przykład:
Y = p+q - logika dodatnia bo Y
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*~q - logika ujemna bo ~Y
Zastosowanie:
Jeśli wiem kiedy dotrzymam słowa (Y=1) to automatycznie na mocy prawa przejścia do logiki przeciwnej wiem kiedy skłamię (~Y=1) i odwrotnie.
Mamy tu wynikanie w dwie strony, zatem zachodzi równoważność:
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Spełniona jest tu definicja dziedziny:
Y+~Y =1 - zdarzenie (zbiór) ~Y jest uzupełnieniem do dziedziny dla zdarzenia Y
Y*~Y=0 - zdarzenia Y i ~Y są rozłączne
Tej równoważności nie możemy zapisać w postaci tożsamości.
Tożsamość wynika tu z prawa podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)
Y = Y
Oczywiście każda tożsamość to automatycznie równoważność:
Y<=>Y

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów:

Definicja znaczka ~~> (naturalny spójnik „może”)
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Definicja znaczka => (warunek wystarczający, gwarancja matematyczna):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Po obu stronach tożsamości p i q muszą być tymi samymi parametrami

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Po obu stronach tożsamości p i q muszą być tymi samymi parametrami

Na mocy definicji zachodzi:
Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki tożsamościowe. Parametry p i q po obu stronach znaku ## mogą być absolutnie dowolne, w szczególności mogą być zamienione miejscami.

Definicje implikacji prostej i odwrotnej to jednocześnie prawa Kubusia.
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q
W równoważności musi zachodzić definicja dziedziny:
p+~p =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p*~p =0 - zbiory p i ~p są rozłączne
Uwaga:
Zbiory p i ~p musza być niepuste
Dowód:
Jest fizycznie niemożliwe abyśmy znając definicję p nie wiedzieli co to jest ~p
Przykład:
p = pies
~p = ~[pies] = [słoń, kura, wąż ..]

W równoważności zachodzą prawa kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
p=>q = ~q=>~p
Stąd mamy najpopularniejszą definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)


1.1 Trzęsienie ziemi w logice

Każda rewolucja powinna zaczynać się od trzęsienia ziemi, czyli zniszczenia starego porządku, by na gruzach budować nowe.

Dowód wewnętrznej sprzeczności systemu logicznego zwanego Klasycznym Rachunkiem Zdań.

Twierdzenie o prawdziwości zdania p=>q:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zdanie p=>q jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.
Stąd:
W przełożeniu na teorię zbiorów mamy:
p=>q = p*q =p
Wtedy i tylko wtedy zdanie p=>q jest prawdziwe.
Doskonale widać że zbiór ~p nie ma nic do prawdziwości zdania p=>q.

Dowód:
Zdanie p=>q wyrażone kwantyfikatorem dużym przybiera postać:
/\x p(x) => q(x)
Dla każdego elementu x, jeśli x należy do zbioru p(x) to na pewno => x należy do zbioru q(x).

Aby obalić to twierdzenie musimy znaleźć kontrprzykład.
Kontrprzykład to znalezienie jednego elementu należącego do zbioru p(x) i nie należącego do zbioru q(x).
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
p~~>~q =p*~q =1
gdzie:
~~> - wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów p i ~q
Oczywiście to jest sprzeczne z definicją zdania p=>q wyrażonego kwantyfikatorem dużym, zatem nie mamy żadnych szans na znalezienie kontrprzykładu.
cnd

Powyższy dowód jest poprawny zarówno w KRZ jak i AK, bowiem zachodzi tożsamość matematyczna kwantyfikatorów dużych w obu tych systemach co za chwilę udowodnimy.

Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ:
Załóżmy, że zbiór p jest zbiorem pustym:
p=[]
Na podstawie twierdzenia o prawdziwości zdania p=>q mamy:
p=>q = p*q = []*q = []
Zauważmy, że w tym przypadku następnik jest kompletnie bez znaczenia. Takie zdanie jest fałszywe bo wynik iloczynu logicznego poprzednika i następnika w zbiorach jest zbiorem pustym, czyli całe zdanie jest fałszywe.

Twierdzenie o prawdziwości zdania p=>q jest dowodem wewnętrznej sprzeczności całego KRZ. Zauważmy bowiem, że jeśli w poprzedniku mamy zbiór pusty (p=[]) to zdanie p=>q jest fałszywe bez względu na zawartość następnika co jest w jawnej sprzeczności z tym, co twierdzi KRZ: „z fałszu wynika cokolwiek”
cnd

Dlaczego KRZ działa?
KRZ działa bo zachodzi tożsamość matematyczna kwantyfikatorów dużego i małego w AK i KRZ. Definicje kwantyfikatorów małych w obu systemach są identyczne, istotna różnica jest w kwantyfikatorze dużym.

Definicja kwantyfikatora dużego w AK i KRZ:
/\x p(x) => q(x)
Dla każdego elementu x, jeśli należy on do zbioru p(x) to na pewno => należy do zbioru q(x).
KRZ iteruje tu po wszystkich obiektach p(x) i ~p(x), natomiast w algebrze Kubusia iterujemy wyłącznie po obiektach p(x).

Twierdzenie o tożsamości kwantyfikatorów:
Kwantyfikator duży z KRZ = kwantyfikator duży w AK

Dowód:
Matematycznie kwantyfikator duży z AK jest tożsamy z kwantyfikatorem dużym z KRZ bowiem oba te kwantyfikatory wypluwają identyczne rozstrzygnięcia o prawdziwości/fałszywości zdania p=>q.
Zauważmy, że w KRZ, w dowodzie prawdziwości zdania p=>q możemy zignorować wszelkie zdania w których poprzednik jest fałszem (p=0), bowiem dla p=0 forma zdaniowa zwróci nam prawdę niezależnie od wartości logicznej następnika. Takie zdania możemy natychmiast wyrzucać do kosza bo nie mają one żadnego wpływu na prawdziwość/fałszywość zdania p=>q.

Jeśli z góry wiemy iż dla p=0 zawsze dostaniemy prawdę bez wzglądu na wartość logiczną następnika q, to bez sensu jest pytać formę zdaniową o prawdziwość/fałszywość takiego zdania.

Wniosek:
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Kwantyfikator duży z KRZ = kwantyfikator duży w AK
cnd

Twierdzenie o matematycznym żółtodziobie:
Matematyk, który rozumie jak działa kwantyfikator duży w KRZ i mimo wszystko iteruje po obiektach ~p(x) w celu udowodnienia prawdziwości zdania p=>q jest matematycznym żółtodziobem.
Dowód wyżej.

Przykład:
Weźmy klasyczną implikację prostą prawdziwą.
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno=> jest podzielna przez 2
P8=>P2

Zdanie tożsame zapisane kwantyfikatorowo:
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego x jeśli x należy do zbioru p(x) to na pewno =>x należy do zbioru q(x)

Nasz przykład:
/\x P8(x) =>P2(x)
Dla każdego x jeśli x należy do zbioru P8 to na pewno => x należy do zbioru P2

Aby obalić to twierdzenie z reguły szukamy kontrprzykładu, bo to najprostsze.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
P8~~>~P2 =P8*~P2 =0
Szukamy jednej liczby należącej do zbioru P8 i nie należącej do zbioru P2
Oczywiście tu kontrprzykładu nie znajdziemy co oznacza, że zbiór P8 zawiera się w P2.

W ten sposób wyskoczyła nam poprawna definicja znaczka => w zbiorach:
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Stąd mamy równanie prawdziwości zdania P8=>P2:
P8=>P2 = P8*P2 = P8
Zauważmy że liczby niepodzielne przez 8 (~P8 ) nie maja nic do prawdziwości zdania P8=>P2.
W definicji znaczka => istotne jest aby zbiór P8 zawierał się w zbiorze P2, wszystko inne jest bez znaczenia.

Stąd mamy kluczową definicję o prawdziwości zdania p=>q.

Zdanie p=>q jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi poniższe równanie w zbiorach:
p=>q = p*q =p
Zbiór ~p nas kompletnie nie interesuje bo nie ma nic do prawdziwości zdania p=>q


2.0 Matematyczne fundamenty algebry Kubusia

Aksjomat to założenie które przyjmuje się bez dowodu.

Aksjomatyka algebry Kubusia to zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych plus banalne zasady rachunku zero-jedynkowego. Symboliczna algebra Boole’a (algebra Kubusia) to zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych zapisane w równaniach algebry Boole’a.

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Gdzie:
1 = prawda
0 = fałsz
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, ~r

~ - symbol przeczenia NIE
Fundament algebry Kubusia:
1=~0
0=~1

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Przykład:
A: Jestem uczciwy
A: U
B: Jestem nieuczciwy
B: ~U
C: Nieprawdą jest ~(…) że jestem nieuczciwy
C: ~(~U) = A: U
Zdania A i C znaczą dokładnie to samo
cnd

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości wejściowych zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p+q - logika dodatnia bo Y
~Y=~p*~q - logika ujemna bo ~Y


2.1 Pełna lista operatorów dwuargumentowych w algebrze Boole’a

Definicja operatora logicznego w technicznej algebrze Boole’a:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe stany 0 i 1 na wejściach p i q

Definicja operatora OR:

[rafal3006]

2.8 Tworzenie równań logicznych opisujących dowolną tabelę zero-jedynkową

Dowolną tabelę zero-jedynkową można opisać równaniami algebry Boole’a w spójnikach „lub”(+) oraz „i”(*).

Fundamentem algorytmu są definicje spójników „i”(*) i „lub”(+) oraz prawa Prosiaczka.

Definicja spójnika „lub”(+):
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
Y=0
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):