 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35331
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Czw 23:09, 12 Lip 2018 Temat postu: Algebra Boole'a, której ziemianie nie rozumieją |
|
|
Algebra Boole’a, której ziemianie nie rozumieją!
Część I
Zero-jedynkowa algebra Boole’a
Spis treści
1.0 Notacja 1
2.0 Definicja algebry Boole’a 1
2.1 Fundamenty algebry Boole’a 2
2.1.1 Prawo Lwa 3
2.1.2 Prawa Prosiaczka 3
2.1.3 Zero-jedynkowa i symboliczna algebra Boole’a 3
3.0 Zero-jedynkowa algebra Boole’a 4
3.1 Rachunek zero-jedynkowy 6
3.2 Podstawowe prawa algebry Boole’a 6
2.3 Minimalizacja równań logicznych w algebrze Boole’a 9
3.4 Operatory logiczne AND(|*) i OR(|+) 12
3.5 Tworzenie tabel zero-jedynkowych dla zadanych funkcji logicznych 13
3.6 Podsumowanie algebry Boole’a w rachunku zero-jedynkowym 14
1.0 Notacja
Legalne symbole podstawowe używane w algebrze Boole’a to:
{0,1} - dwa wyróżnione elementy, zwykle 0 i 1
1 - prawda
0 - fałsz
(~) - przeczenie
1=~0 - prawda to zaprzeczenia fałszu
0=~1 - fałsz to zaprzeczenia prawdy
(*) - spójnik logiczny „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka zwany też koniunkcją
(+) - spójnik logiczny „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka zwany też alternatywą
2.0 Definicja algebry Boole’a
Algebra Boole’a to matematyka ścisła której niepotrzebne są jakiekolwiek odnośniki do świata rzeczywistego - jest ponad naszym Wszechświatem.
W szczególności, jeśli mówimy o algebrze Boole’a jako matematyce to musimy wykopać w kosmos Klasyczny Rachunek Zdań bowiem jego fundamentem jest język mówiony człowieka, a to już jest fizyka a nie matematyka.
Definicja algebry Boole’a
Algebra Boole’a to zaledwie pięć znaczków {0, 1}, (~), (*), (+) plus rachunek zero-jedynkowy z którego wynikają wszelkie prawa algebry Boole’a.
1.
{0,1} - dwa wyróżnione elementy (np. 0 i 1)
2.
Definicja negacji (~):
1=~0
0=~1
3.
Definicja spójnika „i”(*) w rachunku zero-jedynkowym:
| Kod: |
p q p*q
A: 1* 1 =1
B: 1* 0 =0
C: 0* 1 =0
D: 0* 0 =0
1 2 3
|
4.
Definicja spójnika „lub”(+) w rachunku zero-jedynkowym:
| Kod: |
p q p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
1 2 3
|
2.1 Fundamenty algebry Boole’a
Definicja stałej binarnej
Stała binarna to symbol którego wartość logiczna jest nam znana i której nie jesteśmy w stanie zmienić
Przykład:
Pies ma cztery łapy
P4L=1
Czytamy: prawdą jest (=1), że pies ma cztery łapy (P4L)
Tego faktu nie jesteśmy w stanie zmienić
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący przyjmować w funkcji czasu wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0
p=[1,0]
Notacja:
p=1 - w chwili t1 zmienna p ma wartość logiczną 1
p=0 - w chwili t2 zmienna p ma wartość logiczną 0
Oczywiście nie może być, że w tej samej chwili czasowej zmienna binarna p ma równocześnie wartość logiczną 1 i 0.
Zmienną binarną p możemy zapisać w tabeli prawdy uwzględniającej wszystkie możliwe wartości logiczne p
2.1.1 Prawo Lwa
Prawo Lwa:
Dowolna zmienna binarna p wymusza istnienie zmiennej ~p i odwrotnie
Z powyższej tabeli możemy odczytać prawa Prosiaczka.
2.1.2 Prawa Prosiaczka
I prawo Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
Wartość logiczna zmiennej p równa 1 (p=1) wymusza wartość logiczną zmiennej ~p równą 0 (~p=0) i odwrotnie
II Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Wartość logiczna zmiennej p równa 0 (p=0) wymusza wartość logiczną zmiennej ~p równą 1 (~p=1) i odwrotnie
Interpretacja praw Prosiaczka w świecie fizycznym.
I prawo Prosiaczka:
Prawdą jest (=1) że widzę kotka (K) = fałszem jest (=0) że nie widzę kotka (~K)
(K=1)=(~K=0)
II prawo Prosiaczka:
Fałszem jest (=0) że widzę kotka (K) = prawdą jest (=1) że nie widzę kotka (~K)
(K=0)=(~K=1)
Połączone I i II prawa Prosiaczka to tabela prawdy dla zmiennej K:
2.1.3 Zero-jedynkowa i symboliczna algebra Boole’a
Z praw Prosiaczka wynika:
I.
Zero-jedynkowa algebra Boole’a - rachunek zero-jedynkowy
Logikę matematyczną możemy uprawiać w zerach i jedynkach (rachunek zero-jedynkowy) gdzie o logice matematycznej decydują poprawnie zapisane nagłówki kolumn zero-jedynkowych.
I. (p=1)=(~p=0)
II. (p=0)=(~p=1)
p=1 - prawdą (=1) jest że zajdzie p
p=0 - fałszem jest (=0) że zajdzie p
Logikę matematyczną zapewniają nam tu I i II prawo Prosiaczka.
II.
Symboliczna algebra Boole’a - logika równań algebry Boole’a
Logikę matematyczną możemy uprawiać w symbolach p i ~p (równania algebry Boole’a) gdzie o logice matematycznej decydują sygnały p i ~p, żadnych tabel zero-jedynkowych tu nie ma!
I. (p=1)=(~p=0)
II. (~p=1)=(p=0)
p=1 - prawdą jest (=1) że zajdzie p
~p=1 - prawdą jest (=1) że zajdzie ~p
Logikę matematyczną zapewniają nam tu I i II prawo Prosiaczka.
3.0 Zero-jedynkowa algebra Boole’a
Algebra Boole’a operuje wyłącznie pięcioma znaczkami:
{0,1} - dwa element wyróżnione np. 0 i 1
(~) - negacja
(*) - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, zwany też koniunkcją
(+) - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, zwany też alternatywą
Wszelkie prawa zero-jedynkowej algebry Boole’a wyznacza rachunek zero-jedynkowy operujący tylko i wyłącznie powyższymi znaczkami.
Najpopularniejszą interpretacją 0 i 1 w świecie rzeczywistym jest technika TTL:
1=H - wysoki poziom logiczny (napięcie 2,4-5,0V)
0=L - niski poziom logiczny (napięcie 0,0-0,4V)
Przykład rzeczywistej bramki logicznej realizującej definicję spójnika „i”(*):
[link widoczny dla zalogowanych]
Definicja bramki logicznej 2-wejściowej:
Bramka logiczna tu układ scalony o dwóch wejściach cyfrowych (p, q) i tylko jednym wyjściu Y.
W algebrze Boole’a wszystkie sygnały są binarne (dwuwartościowe). Dotyczy to zarówno sygnałów wejściowych (p, q) jak i sygnału wyjściowego Y.
| Kod: |
Definicja spójnika „i”(*) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p q Y=p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 1 0
D: 0* 0 0
1 2 3
Definicja spójnika „i”(*) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
to kompletna tabela ABCD123.
|
Dowolną tabelę zero-jedynkową możemy jednoznacznie opisać biorąc pod uwagę wyłącznie jedynki (logika jedynek) albo wyłącznie zera (logika zer).
Logika jedynek:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej bierzemy pod uwagą wyłącznie jedynki.
Definicja słowna spójnika „i”(*) w logice jedynek:
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Wyłącznie linia A123
Inaczej:
Y=p*q=0
Obszar BCD123
Logika zer:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej bierzemy pod uwagę wyłącznie zera
Definicja słowna spójnika „i”(*) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 lub q=0
Obszar BCD123
Inaczej:
Y=1
Wyłącznie linia A123
Logika jedynek i logika zer to tożsame opisy matematyczne dowolnej tabeli zero-jedynkowej, jednak wyłącznie logika jedynek jest dla człowieka zrozumiała i ma przełożenie 1:1 na jego język potoczny, udowodnimy to niebawem w praktyce.
Powód niezrozumienia logiki zer widać jak na dłoni. W logice zer definiujemy spójnik „i”(*) wypowiadając de facto spójnik „lub”(+), różny na mocy definicji od spójnika „i”(*)
Dokładnie z tego powodu w algebrze Boole’a logikę zer będziemy dość konsekwentnie ignorować, jako matematycznie zbędną.
| Kod: |
Definicja spójnika „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p q Y=p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 1 1
D: 0+ 0 0
1 2 3
Definicja spójnika „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
to kompletna tabela ABCD123
|
Dowolną tabelę zero-jedynkową możemy jednoznacznie opisać biorąc pod uwagę wyłącznie jedynki (logika jedynek) albo wyłącznie zera (logika zer).
Logika jedynek:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej bierzemy pod uwagą wyłącznie jedynki.
Definicja słowna spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Obszar ABC123
Inaczej:
Y=p+q=0
Wyłącznie linia D123
Logika zer:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej bierzemy pod uwagę wyłącznie zera
Definicja słowna spójnika „lub”(+) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 i q=0
Wyłącznie linia D123
Inaczej:
Y=1
Obszar ABC123
Logika jedynek i logika zer to tożsame opisy matematyczne dowolnej tabeli zero-jedynkowej, jednak wyłącznie logika jedynek jest dla człowieka zrozumiała i ma przełożenie 1:1 na język potoczny człowieka, udowodnimy to niebawem w praktyce.
Powód niezrozumienia logiki zer widać jak na dłoni. W logice zer definiujemy spójnik „lub”(+) wypowiadając de facto spójnik „i”(*), różny na mocy definicji od spójnika „lub”(+)
Dokładnie z tego powodu w algebrze Boole’a logikę zer będziemy dość konsekwentnie ignorować, jako matematycznie zbędną.
3.1 Rachunek zero-jedynkowy
W zero-jedynkowej algebrze Boole’a (rachunek zero-jedynkowy) nie ma znaczenia czy korzystamy z logiki jedynek, czy też z logiki zer, możemy te logiki dowolnie mieszać, bowiem w rachunku zero-jedynkowym interesują nas wyłącznie poprawnie opisane nagłówki kolumn zero-jedynkowych. Tożsamość kompletnych kolumn zero-jedynkowych jest dowodem zachodzenia prawa algebry Boole’a zapisanego w nagłówkach kolumn.
W rachunku zero-jedynkowym interesuje nas nie bezmyślne i trywialne maglowanie zer i jedynek przy pomocy spójników „i”(*) i „lub”(+) w kolejnych liniach, ale poprawne matematycznie nagłówki kolumn gdzie tożsamość kolumn generuje nam podstawowe prawa algebry Boole’a.
Uwaga!
Alfą i omegą logiki matematycznej zwanej algebrą Boole’a jest technika bramek logicznych.
Wszelkie dowody w rachunku zero-jedynkowym można fizycznie zweryfikować w laboratorium techniki cyfrowej, zatem jest to matematyka ścisła pewna, bez najmniejszej skazy.
3.2 Podstawowe prawa algebry Boole’a
Zobaczmy na przykładach zasady posługiwania się rachunkiem zero-jedynkowym, udowadniając podstawowe prawa algebry Boole’a
1.
Prawo przemienności argumentów w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
p*q=q*p
p+q=q+p
Dowód w rachunku zero-jedynkowym:
| Kod: |
p q p*q q*p p+q q+p
A: 1 1 1 1 1 1
B: 1 0 0 0 1 1
C: 0 1 0 0 1 1
D: 0 0 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6 |
Tożsamość kolumn 3-4 jest dowodem przemienności argumentów w spójniku „i”(*):
p*q = q*p
Tożsamość kolumn 5=6 jest dowodem przemienności argumentów w spójniku „lub”(+):
p+q=q+p
2.
Prawa o elemencie neutralnym w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Elementem neutralnym w spójniku „i”(*) jest 1
p*1=p
p*0=0
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest 0
p+0=p
p+1=1
Dowód:
| Kod: |
Dla q=1 mamy:
p q p*q p+q
A: 1 1 1 1
B: 1 1 1 1
C: 0 1 0 1
D: 0 1 0 1
1 2 3 4
|
Prawa rachunku zero-jedynkowego:
1=3
p*q = p*1 =p
2=4
p+q = p+1 =1
cnd
| Kod: |
Dla q=0 mamy:
p q p*q p+q
A: 1 0 0 1
B: 1 0 0 1
C: 0 0 0 0
D: 0 0 0 0
1 2 3 4
|
Prawa rachunku zero-jedynkowego:
1=4
p+q = p+1 =p
2=3
p*q = p*0 =0
cnd
3.
Prawo redukcji lub powielania dowolnej zmiennej binarnej:
p*p=p
p+p=p
Dowód:
Rozważamy tu przypadek szczególny:
q=p
| Kod: |
Dla q=p mamy:
p p p*p p+p
A: 1 1 1 1
B: 1 1 1 1
C: 0 0 0 0
D: 0 0 0 0
1 2 3 4
|
Prawa rachunku zero-jedynkowego:
1=3
p*p =p
1=4
p+p =p
cnd
4.
Definicja dziedziny równania algebry Boole’a:
Dziedziną równania algebry Boole’a jest równanie alternatywno-koniunkcyjne opisujące wszystkie możliwe kombinacje zmiennych użytych w równaniu.
Dla dwóch zmiennych p i q dziedziną będzie równanie:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q =1 (dziedzina)
To samo w równaniach cząstkowych:
Y = Ya+Yb+Yc+Yd
Dowód:
Minimalizujemy:
Y=p*(q+~q)+~p*(q+~q)
Y = p+~p=1
cnd
4A:
Właściwości dziedziny równania algebry Boole’a:
Równania cząstkowe Ya, Yb, Yc i Yd są wzajemnie rozłączne i uzupełniają się do dziedziny (=1).
Wzajemną rozłączność równań cząstkowych bardzo łatwo udowodnić:
Ya*Yb = (p*q)*(p*~q) =0
Ya*Yc=(p*q)*(~p*q) =0
itd.
Uwaga:
We wszelkich prawach algebry Boole’a jedynkę możemy zastąpić dziedziną równania algebry Boole’a.
Przykład:
Udowodnij iż 1 jest elementem neutralnym dla spójnika „i”(*)
Dowód:
p*1 =p
Dziedzina dla jednej zmiennej to:
p+~p=1
p*~p=0
Podstawiamy:
p*1=p*(p+~p) = p*p + p*~p = p*p =p
cnd
5.
Prawo uzupełnienia do dziedziny równania algebry Boole’a:
Zmienna ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla zmiennej p
p+~p =1
Zmienne p i ~p są rozłączne
p*~p =0
W tym przypadku podstawiamy:
q=~p
| Kod: |
dla q=~p mamy:
p ~p p*~p p+~p
A: 1 0 0 1
B: 1 0 0 1
C: 0 1 0 1
D: 0 1 0 1
1 2 3 4
|
Prawa rachunku zero-jedynkowego:
p*~p =0
p+~p =1
6.
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, (*), (+)
7.
Zasady mnożenia wielomianów są identyczne jak w matematyce klasycznej.
Przykład:
Udowodnij tożsamość logiczną:
L: p*q+~p*~q = P: (p+~q)*(~p+q)
Przekształcamy prawą stronę:
P: (p+~q)*(~p+q) = p*~p + p*q + ~q*~p+~q*q = 0+p*p + ~p*~q +0 = p*q+~p*~q
cnd
2.3 Minimalizacja równań logicznych w algebrze Boole’a
Prawa logiki matematycznej udowodnione wyżej to:
1.
Prawo przemienności argumentów w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
p*q=q*p
p+q=q+p
2.
Prawa o elemencie neutralnym w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Elementem neutralnym w spójniku „i”(*) jest 1
p*1=p
p*0=0
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest 0
p+0=p
p+1=1
3.
Prawo redukcji lub powielania dowolnej zmiennej binarnej:
p*p=p
p+p=p
4.
Definicja dziedziny równania algebry Boole’a:
Dziedziną równania algebry Boole’a jest równanie alternatywno-koniunkcyjne opisujące wszystkie możliwe kombinacje zmiennych użytych w równaniu.
Dla dwóch zmiennych p i q dziedziną będzie równanie:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q =1 (dziedzina)
Y = Ya+Yb+Yc+Yd
4A:
Właściwości dziedziny równania algebry Boole’a:
Równania cząstkowe Ya, Yb, Yc i Yd są wzajemnie rozłączne i uzupełniają się do dziedziny (=1).
5.
Prawo uzupełnienia do dziedziny równania algebry Boole’a:
Zmienna ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla p
p+~p =1
Zmienne p i ~p są rozłączne
p*~p =0
6.
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, (*), (+)
7.
Zasady mnożenia wielomianów są identyczne jak w matematyce klasycznej.
Definicja bramki logicznej n-wejściowej:
Bramka logiczna to układ scalony o n wejściach cyfrowych (p, q, r, s..) i tylko jednym wyjściu Y.
W algebrze Boole’a wszystkie sygnały są binarne (dwuwartościowe). Dotyczy to zarówno sygnałów wejściowych (p, q, r, s..) jak i sygnału wyjściowego Y.
Definicja funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y):
Funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y) to dowolne zmienne binarne połączone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Przykład:
Y= p*q+~p*~q
Dowolną funkcję logiczną Y możemy tylko i wyłącznie negować stronami, zabronione jest tu jakikolwiek przenoszenie elementów z jednej strony na drugą charakterystyczne dla funkcji z matematyki klasycznej.
Definicja funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y):
Funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y) to dowolne zmienne binarne połączone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Przykład:
~Y = (p+~q)*(~p+q)
Prawo przejścia do logiki przeciwnej metodą Wuja Zbója:
1. Uzupełniamy nawiasy
2. Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Przykład:
Niech będzie dana funkcja alternatywno-koniunkcyjna:
Y=p*q+~p*~q - logika dodatnia (bo Y)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) metodą Wuja Zbója:
1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy:
Y = (p*q)+(~p*~q) - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = (~p+~q)*(p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Prawo przejścia z postaci koniunkcyjno-alternatywnej do postaci alternatywno-koniunkcyjnej:
Przejście z dowolnej postaci koniunkcyjno-alternatywnej do postaci alternatywno-koniunkcyjnej uzyskujemy wymnażając wielomiany w sposób identyczny jak w matematyce klasycznej.
To jedyny wspólny punkt z matematyką klasyczną, cała reszta jest fundamentalnie różna.
Obowiązują tu następujące reguły gry:
Argumenty w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) są przemienne
Kolejność wykonywania działań: nawiasy, (*), (+)
Przejdźmy z naszą funkcją 2 do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej poprzez wymnożenie wielomianu.
3.
~Y = (~p+~q)*(p+q)
~Y = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q
~Y = p*~q + ~p*q
Przejdźmy z funkcją 3 z powrotem do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.
Uzupełniamy nawiasy:
3: ~Y=(p*~q)+(~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4.
Y = (~p+q)*(p+~q)
W naszym przykładzie zachodzą tożsamości logiczne [=]:
1: Y=p*q+~p*~q [=] 4: Y=(~p+q)*(p+~q)
oraz:
2: ~Y=(~p+~q)*(p+q) [=] 3: ~Y=p*~q + ~p*q
Stąd mamy.
Prawo logiki matematycznej znane ziemianom:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci koniunkcyjno-alternatywnej i odwrotnie.
Dowód na przykładzie: wyżej
Podsumowanie:
Niniejszy punkt jest absolutnie wystarczający do minimalizacji wszelkich funkcji logicznych - nic a nic nie jest więcej konieczne.
3.4 Operatory logiczne AND(|*) i OR(|+)
Prawo Lwa:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej sygnały niezanegowane wymuszają sygnały zanegowane i odwrotnie.
Wniosek z prawa Lwa:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej musimy zapisać wszystkie sygnały niezanegowane i zanegowane.
Po stronie wejścia p i q mamy sygnały:
p. ~p, q, ~q
Po stronie wyjścia Y mamy sygnały:
Y, ~Y
Wszystkie te sygnały muszą być uwidocznione w dowolnej tabeli zero-jedynkowej, inaczej gwałcimy prawo Lwa, czyli popełniamy błąd czysto matematyczny.
Aktualna logika matematyczna ziemian nie zna pojęcia logii dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y), gwałci zatem prawo Lwa.
Innymi słowy:
Jest matematycznie fałszywa.
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to złożenie funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
1.
Y = f(p,q)
2.
~Y=~f(p,q)
Matematyczne związki spójnika „i”(*) ze spójnikiem „lub”(+) w rachunku zero-jedynkowym:
| Kod: |
~Y=~(Y) Y=~(~Y)
p q ~p ~q Y=p*q ~Y=~(p*q) ~Y=~p+~q Y=~(~p+~q)
A: 1 1 0 0 1 0 0 1
B: 1 0 0 1 0 1 1 0
C: 0 1 1 0 0 1 1 0
D: 0 0 1 1 0 1 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8
|
Definicja operatora AND(|*):
Operator AND(|*) to układ równań logicznych Y i ~Y z powyższej tabeli
1.
Y=p*q
2.
~Y=~p+~q
Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zaprzeczona logika ujemna
Y=~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p*q = ~(~p+~q)
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zaprzeczona logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając 2 i 1 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p+~q = ~(p*q)
Prawa De Morgana widać bezpośrednio w tabeli zero-jedynkowej w postaci tożsamości kolumn 5=8 i 6=7.
Matematyczne związki spójnika “lub”(+) ze spójnikiem „i”(*) w rachunku zero-jedynkowym:
| Kod: |
~Y=~(Y) Y=~(~Y)
p q ~p ~q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~Y=~p*~q Y=~(~p*~q)
A: 1 1 0 0 1 0 0 1
B: 1 0 0 1 1 0 0 1
C: 0 1 1 0 1 0 0 1
D: 0 0 1 1 0 1 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8
|
Definicja operatora OR(|+):
Operator OR(|+) to układ równań logicznych Y i ~Y z powyższej tabeli
1.
Y=p+q
2.
~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zaprzeczona logika ujemna
Y=~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = ~(~p*~q)
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zaprzeczona logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając 2 i 1 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q = ~(p+q)
Prawa De Morgana widać bezpośrednio w tabeli zero-jedynkowej w postaci tożsamości kolumn 5=8 i 6=7.
3.5 Tworzenie tabel zero-jedynkowych dla zadanych funkcji logicznych
Zadanie:
Dana jest funkcja logiczna:
Y=p*~q + ~p*q
Zapisz funkcję logiczną ~Y w postaci alternatywno-koniunkcyjnej oraz zapisz obie funkcje w rachunku zero-jedynkowym.
Rozwiązanie:
1.
Y = (p*~q)+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2.
~Y = (~p+q)*(p+~q)
Przejście do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej poprzez wymnożenie wielomianów:
3.
~Y=~p*p+~p*~q + q*p + q*~q
~Y = p*q + ~p*~q
~Y=~Ya+~Yb
Zapisujemy w tabeli zero-jedynkowej funkcję logiczną 3 (bo taką mamy zachciankę):
| Kod: |
~Y=~Ya+~Yb Y=~(~Y)=~(p*q+~p*~q)
p q ~p ~q ~Ya=p*q ~Yb=~p*~q ~Y=p*q+~p*~q Y=p*~q+~p*q
A: 1 1 0 0 1 0 1 0
B: 1 0 0 1 0 0 0 1
C: 0 1 1 0 0 0 0 1
D: 0 0 1 1 0 1 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8
|
3.6 Podsumowanie algebry Boole’a w rachunku zero-jedynkowym
W rachunku zero-jedynkowym mamy zakaz interesowania się zerami i jedynkami wewnątrz tabeli zero-jedynkowej. W rachunku zero-jedynkowym ważne są wyłącznie prawidłowo opisane nagłówki kolumn wynikowych w postaci funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) albo ujemnej (bo ~Y).
W symbolicznej algebrze Boole’a gdzie operujemy symbolami p i ~p jakiekolwiek tabele zero-jedynkowe kompletnie nas nie interesują bo ich po prostu tu nie ma!
Symboliczna algebra Boole’a (równania algebry Boole’a) jest nieporównywalnie precyzyjniejsza od zero-jedynkowej algebry Boole’a, o czym w następnym rozdziale.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 18:10, 06 Wrz 2019, w całości zmieniany 9 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
