ŚFiNiA

[rafal3006]

Algebra Boole’a

1.0 Równoważność

A.
Kupię ci komputer wtedy i tylko wtedy gdy zdasz egzamin
p=K komputer
q=E egzamin
p=K<=>q=E – zdanie w algebrze Boole’a

Zbudujmy dla tego zdania tabelę prawdy:

p=K q=E p=K<=>q=E
czyli:
p q p<=>q
1 1 1
0 0 1
0 1 0
1 0 0

Czy zamiana obu stron równoważności jest dopuszczalna ?

Zróbmy proste przekształcenie matematyczne !!!!

q=E p=K q=E<=>p=K
1 1 1
0 0 1
1 0 0
0 1 0

Odczytajmy zapisane w algebrze Boole’a zdanie które nam wyszło:

q=E<=>p=K

Zdasz egzamin to wtedy i tylko wtedy kupię ci komputer

Tabele prawdy są identyczne tak więc dozwolona jest zamiana równoważności miejscami !


2.0 Implikacja

Jeśli zdasz egzamin to kupię ci komputer
p=E - egzamin
q=K - komputer

Zapiszmy zdanie wypowiedziane w postaci algebry Boole’a:
E=>K

Zbudujmy tabelę prawdy dla zdania wypowiedzianego:

E K E=>K
1 1 1
0 0 1
0 1 1
1 0 0

Zróbmy proste przekształcenie matematyczne aby sprawdzić czy dozwolona jest zamiana poprzednika z następnikiem.

K E K=>E
1 1 1
0 0 1
1 0 0
0 1 1

Odczytajmy zdanie po przekształceniu matematycznym zgodnie ze świętą zasadą w algebrze Boole'a - jak się czyta tak się mówi !

K=>E

Jeśli masz komputer to zdałeś egzamin !!!!!

Tabele prawdy są różne zatem zamiana miejscami poprzednika z następnikiem jest wykluczona co potwierdza odczytane zdanie po zastosowanym przekształceniu matematycznym !

Jeśli zamienimy poprzednik z następnikiem to zmieni nam się tabela prawdy !

Wykluczone jest działanie podobne Zbójowi, gdzie Zbój zamienia sobie poprzednik z następnikiem i nie dokonuje zmian w tabeli prawdy !!!!

O to co niżej chodzi Zbóju !!!!!!!!!!!!

[rafal3006]

[rafal3006]

Zbóju wpadłem na pomysł jak ci to po góralsku wytłumaczyć.

X p q p=>q__p<=q
A 1 1 1_______1
B 0 0 1_______1
C 0 1 1_______0
D 1 0 0_______1

Powyższe to tabela prawdy implikacji p=>q nie do obalenia, zgadza się ?
Jedyna definicją implikacji jaką akceptujesz jest powyższa, zgadza się ?

Budujmy zatem linia po liniii tabelę prawdy dla implikacji odwrotnej p<=q według powyższej definicji niczego nie dotykając !!!!!

Linia A.
p=1, q=1 - zgadza się ?
p<=q = 1 - zgadza się ?

linia B.
p=0, q=0 - zgadza się ?
p<=q = 1 - zgadza się ?

linia C
p=0, q=1 - zgadza się ?
p<=q =0 - zgadza się ? zmiana wartości z 1 na 0 czyli 0 według def. implikacji

linia D
p=1, q=0 - zgadza się ?
p<=q = 1 - zgadza się zmiana wartości z 0 na 1 czyli 1 wg implikacji

I to wszystko - widzisz jakie to proste !!!!!!!!!!!!!!!!!!

To jest matematyczny dowód, że nigdy nie będzie:

p=>q = p<=q

Zgadzasz sie z tym ?

[rafal3006]

Zbóju, przeczytałem, zrozumiałem .... tylko że problem z twoimi tabelkami jest zupełnie inny !!!

[rafal3006]

[rafal3006]

[rafal3006]

[rafal3006]

Punkt odniesienia kluczowe zagadnienie w poruszaniu się po algebrze Boole’a i logice języka mówionego

Zbóju jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy q=>p jako definicję, to oczywistym jest że zarówno symbole q p jak i zera i jedynki możesz w tabelach q=>p ustawiać w sposób absolutnie dowolny. Jeśli ustalisz konkretny punkt odniesienia wybierając dowolną tabelkę q=>p to na jej podstawie możesz wygenerować tylko i wyłącznie jedno odwzorowanie odwrotne p=>q.

Analogicznie, jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy definicję p=>q to również tu możemy ustawiać p q oraz zera i jedynki jak nam się podoba. Jeśli jednak wybierzemy konkretny punkt odniesienia tzn. konkretną tabelkę p=>q to na jej podstawie możemy wygenerować tylko i wyłącznie jedno odwzorowanie odwrotne q=>p.

Porażka Zbója na lekcji matematyki w klasie I L.O.
Pani do uczniów.

To jest definicja implikacji:

D=definicja implikacji ustalona przez nauczycielkę
p q p=>q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

Kto z was napisze odwzorowanie odwrotne q=>p dla powyższej definicji ?

Jako pierwszy zgłasza się Kubuś.

K=Kubuś
p q q=>p
1 1 1
1 0 1
0 1 0
0 0 1

Kubuś sprytnie zauważył że w 3 wierszu jest zmiana z q=1 na p=0 i wstawił do wyniku 0, pozostałe wiersze muszą być 1 na mocy definicji implikacji Kubuś za powyższe dostaje zasłużoną piątkę.

Do akcji wkracza Zbój.

Proszę pani, to można zrobić dużo prościej i jaśniej nie ruszając tabeli zero-jedynkowej. W pani definicji wystarczy wszędzie pozamieniać symbole p na q i odwrotnie q na p … już pokazuję !

Z=Zbój
q p q=>p
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

Pani do Zbója:
Tak nie może być ! Udowodnij Zbóju że twoje odwzorowanie Z q=>p ma cokolwiek wspólnego z moją definicją implikacji D p=>q.

Zbój:
Na podstawie iloczynu Kartezjańskiego tabela Kubusia K i moja tabela Z są identyczne. Skoro uznała pani tabelę Kubusia K za poprawną to moja też musi być poprawna bo K=Z na podstawie definicji iloczynu Kartezjańskiego. CBDU.

Pani do Zbója:
Zauważ Zbóju że twoja tabelka q=>p jest identyczna jak moja definicja p=>q.

Czy według ciebie zachodzi zatem równość:
p=>q = q=>p

Zbój:
Tak proszę pani, jestem specjalistą Klasycznego Rachunku Zdań gdzie identyczność zer i jedynek w tabelkach jest wiążąca.

Pani:
Źle Zbóju, rozumując tak jak ty otrzymamy bardzo dużo różnych odwzorowań q=>p z mojej definicji D … a przecież odwzorowanie konkretnej definicji p=>q którą ci podałam na q=>p może być tylko i wyłącznie jedno, takie jak u Kubusia. Siadaj Zbóju dostajesz jedynkę.


Zobaczmy teraz, iż Zbój rzeczywiście twierdzi, że tabele K i Z są identyczne
K=Kubuś
p q q=>p
1 1 1
1 0 1
0 1 0
0 0 1

Z=Zbój
q p q=>p
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

[wujzboj]

Rafale, zamiast wypisywac absurdy i dyskutowac ze soba o nie wiadomo czym, racz udzielic spojnej i konkretnej odpowiedzi na dwa konkretne i trywialne pytania zadane ci zadane w watku, ktory z jakiegos powodu zalozyles na ten temat w Filozofii. Chyba, ze chcesz tu sobie mowic sam do siebie o sobie...

Przypomne ci, gdzie masz odpowiedziec i na co: #34794.

Nie mam zamiaru prowadzic z toba rozmow w stu miejscach na ten sam temat, przy czym w kazdym bedziesz zupelnie ignorowal moje odpowiedzi i wciskal mi w usta jakies wymyslone przez ciebie bzdury. To naprawde siega juz za daleko.

[rafal3006]

Zbóju, ja w tym wątku nie chcę z toba dyskutować.

Moim zamiarem jest zebranie w jednym wątku (tym właśnie) wszystkiego co najważniejsze w algebrze Boole'a, aby ludzie, w szczególności specjaliści KRZ zrozumieli jak piękna jest algebra Boole'a w kryształowo czystej postaci.

[rafal3006]

[rafal3006]

Algebra Boole'a dla opornych

Definicja:
Odwzorowaniem w algebrze Boole’a pozwalającym stwierdzić tożsamość dowolnych wzorów, jest odwzorowanie obu stron równości na tym samym zestawie danych wejściowych. Dane wejściowe muszą zawierać wszystkie możliwe kombinacje zer i jedynek.

Przykład:

Jeśli chcemy stwierdzić czy zachodzi tożsamość p=>q = q=>p to wystarczy obie strony powyższej równości przepuścić przez ten sam zestaw danych wejściowych.

Zakładając przypadek ogólny nie związany z wypowiadanym zdaniem za punkt odniesienia możemy przyjąć p=>q albo q=>p.

Przyjmijmy punkt odniesienia q=>p.

q p q=>p
1 1 1
0 0 1
0 1 1
1 0 0

W powyższej tabeli zera i jedynki możemy poustawiać jak nam się podoba. Pisząc to co wyżej ustaliliśmy jeden, wspólny dla wszystkich punkt odniesienia w którym:

q = [1 0 0 1]
p=[1 0 1 0]

Powyższe wartości p i q muszą być wspólne dla q=>p i q=>p abyśmy byli w stanie taką tożsamość stwierdzić czyli:

q p p=>q I sposób
1 1 1
0 0 1
0 1 0
1 0 1

p q p=>q II sposób
1 1 1
0 0 1
1 0 0
0 1 1

Widać, że dla wspólnych p i q kolumny wynikowe są różne zatem q=>p nie równa się p=>q.

Zauważmy, że w sposobie II zamieniliśmy p q i wraz z ich wartościami, to wolno nam robić bo wejściowy ciąg zer i jedynek w p i q nie zmienił się, jest identyczny dla wszystkich trzech tabelek wyżej !

q = [1 0 0 1]
p=[1 0 1 0]

Tylko i wyłącznie w tym przypadku w kolumnie wynikowej mamy jednoznaczne rozstrzygnięcie czy zachodzi q=>p = p=>q … oczywiście ta równość jest fałszywa.


Jeśli powyższe rozważania zwiążemy z analizą zdania to oczywiście wzór implikacji przybierze postać:

q=>p czyli: Jeśli q to p
q=poprzednik
p=następnik

Wolno nam tak zrobić ale to nie jest powszechnie przyjęta definicja implikacji, która wygląda tak:

p=>q czyli: Jeśli p to q
p=poprzednik
q=następnik

Aby uniknąć nieporozumień z kimkolwiek tzn. patrzeć na to samo z tego samego punktu odniesienia musimy trzymać się żelaznej zasady.

Zdanie wypowiedziane jest świętością (punktem odniesienia) i opisuje je zawsze wzór implikacji.

p=>q czyli: Jeśli p to q - przyszłość
p=poprzednik
q=następnik

Przykład:

Zdanie wypowiedziane :

Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer

Wzór matematyczny opisujący powyższe zdanie może być tylko i wyłącznie jeden, inaczej z nikim się nie dogadamy:

p=>q gdzie:
p= zdasz egzamin
q=dostaniesz komputer

Implikacjia p=>q to przyszłość, nie wiemy co będzie w przyszłości tzn. nie wiemy czy zdamy egzamin ? … jeśli nie zdamy to nie wiemy czy ojciec skorzysta z implikacji i dostaniemy komputer - ma prawo nie skorzystać.


Zdanie odwrotne do wyżej wypowiedzianego może przyjąć tylko i wyłącznie postać :

Jeśli masz komputer, to znaczy że zdałeś egzamin

q=>p - wzór matematyczny opisujący powyższe zdanie dla p i q ustalonych w punkcie odniesienia p=>q jak wyżej.

To jest przeszłość, tu wszystko wiemy i implikacja nie jest do niczego potrzebna, jest po prostu bez sensu.

q=>p - jeśli masz nagrodę q to zaszło zdarzenie p ????

Zauważmy, że powyższe zdanie q=>p może być fałszywe gdyż mogę nie zdać egzaminu i otrzymać komputer bo zaszła implikacja czyli: p=>q nie równa się q=>p.


Na koniec zobaczmy jak makaron i Zbój (ten od pani i klasy) dowodzą twierdzeń w algebrze Boole.a na przykładzie prostego twierdzenia:

(p=>q)*(q=>p) = p<=>q

Dowód przeprowadzony poprawnie przez Kubusia :