 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35364
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Pon 15:43, 06 Sty 2020 Temat postu: AK2 Algebra Kubusia - zdania warunkowe (beta 1.0) |
|
|
AK2 Algebra Kubusia - zdania warunkowe
Uwaga 1:
Brakujące części: implikacja, operator chaosu, obietnice i groźby
Zostaną dopisane wkrótce
Uwaga 2
Rozumiem już w 100% co oznacza ta definicja implikacji prostej |=>:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = ~p*q
Wyprowadzenie:
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Stąd:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
cnd
Powyższe odkrycie uważam za najważniejsze w całej historii rozszyfrowywania algebra Kubusia bo jest ostatnim z niezliczonej liczby wielkich odkryć.
Szczegóły wkrótce jak znajdę czas na dokończenie AK - na razie muszę w firmie harować jak wół.
Autor rzeczywisty:
Kubuś - stwórca naszego Wszechświata
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Kubuś, stwórca naszego Wszechświata = algebra Kubusia pod którą podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy
Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele
W skład algebry Kubusia wchodzą części:
AK1 Algebra Kubusia - rachunek zero-jedynkowy
AK2 Algebra Kubusia - zdania warunkowe
Podręczniki AK1 i AK2 napisane są w ten sposób, że dla zrozumienia dowolnego z nich w zasadzie nie jest wymagana znajomość drugiego, choć oczywiście, pożądana kolejność czytania to AK1, AK2.
Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel i inni.
Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuje w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006 - medium
2.
Wuj Zbój
W dyskusji z Wujem zapisałem po raz pierwszy prawa Kubusia mówiące o matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> których nie ma ani na studiach technicznych, ani też na studiach matematycznych.
3.
Fiklit, który poświęcił 7 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat w krzywym zwierciadle zwanym Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Bez Fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol, końcowy tester algebry Kubusia próbujący udowodnić, że algebra Kubusia to gówno a Rafal3006 to debil - lepszego testera nie można sobie wymarzyć.
Rzeczywistość jest dokładnie odwrotna - to Klasyczny Rachunek Zdań jest gównem, a ludzie się nim posługujący to (niedomówienie).
Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2020
Spis treści
1.0 Fundamenty algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych 2
1.1 Kubusiowa teoria zbiorów w pigułce 2
1.1.1 Definicje podzbioru => i nadzbioru ~> 3
1.1.2 Prawa Pustułki 3
1.1.3 Definicja tożsamości zbiorów 4
1.1.4 Równoważność Kukułki 4
1.1.5 Równoważność „albo”($) 5
1.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 6
1.2.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 7
1.2.2 Prawo Kobry dla zbiorów 7
1.3 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 7
1.3.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 8
1.3.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 8
1.4 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 8
1.4.1 Prawa Kubusia 11
1.4.2 Prawa Tygryska 11
1.4.3 Prawa kontrapozycji 11
1.5 Operatory implikacyjne 11
1.6 Matematyczne relacje między spójnikami i operatorami implikacyjnymi 15
2.0 Równoważność
2.4 Fizyczna realizacja równoważności w zdarzeniach
2.5 Fizyczna realizacja równoważności z zbiorach
1.0 Fundamenty algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych
Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to dowodzenie prawdziwości/fałszywości zdań wypowiadanych przez człowieka.
Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik (fragment zdania po „Jeśli ..”)
q - następnik (fragment zdania po „to ..”)
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>
Definicje elementarne w algebrze Kubusia to:
p~~>q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> (zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach)
p=>q - definicja warunku wystarczającego
p~>q - definicja warunku koniecznego
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” to podstawowe definicje znaczków ~~>, =>, ~> plus definicja kontrprzykładu.
1.1 Kubusiowa teoria zbiorów w pigułce
Matematyka klasyczna operuje wyłącznie na zbiorach nieskończonych gdzie logika matematyczna to zdania warunkowe „Jeśli p to q” opisujące wzajemne relacje zbiorów p i q.
Dokładnie dlatego musimy znać podstawowe pojęcia dotyczące teorii zbiorów wykorzystywane w logice matematycznej.
1.1.1 Definicje podzbioru => i nadzbioru ~>
Definicja podzbioru =>:
p=>q =1
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q
Innymi słowy:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
inaczej:
p=>q =0 - zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Relacja podzbioru => = warunek wystarczający =>
Definicja warunku wystarczającego => w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p+q
Przykład:
p=[pies, kot] => q=[pies, kot, kura] =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Losuję dowolny element ze zbioru p i mam 100% pewność =>, że ten element będzie w zbiorze q
Definicja nadzbioru ~>
p~>q =1
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
Zajście p jest konieczne ~> do tego aby zaszło q
Zabieram zbiór p i znika mi zbiór q
Inaczej:
p~>q =0
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Relacja nadzbioru ~> = warunek konieczny ~>
Definicja nadzbioru ~> w rachunku zero-jedynkowym:
p~>q = p+~q
Przykład:
p~>q =1
p=[pies, kot, kura] ~> q=[pies, kot] =1 - bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zbiór p jest konieczny ~> dla zbudowania zbioru q
1.1.2 Prawa Kukułki
Prawa Kukułki:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Prawa Kukułki wynikają bezpośrednio z definicji podzbioru => i nadzbioru ~>
Dowód na przykładzie:
Zdefiniujmy zbiór p
p=[pies, kot]
W oczywisty sposób spełniony tu jest zarówno podzbiór => siebie samego:
p=[pies, kot] => p=[pies, kot] =1 - definicja podzbioru => jest spełniona (=1)
jak i spełniona jest definicja nadzbioru ~> siebie samego:
p=[pies, kot] ~> p=[pies, kot] =1 - definicja nadzbioru ~> jest spełniona (=1)
1.1.3 Definicja tożsamości zbiorów
Definicja tożsamości zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame (=) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i odwrotnie.
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)
Przykład:
p=[pies,kot]
q=[pies,kot]
p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
q=>p =1 - zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
cnd
Bezpośrednio z powyższej definicji wynikają równoważności Kukułki.
1.1.4 Równoważność Kukułki
Matematyczna definicja równoważności w zbiorach (używana w matematyce):
Dwa zbiory są równoważne <=> wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i odwrotnie
p<=>q = (p=>q)(q=>p)
Twierdzenie proste Kukułki:
TPK:
Jeśli zachodzi równoważność p<=>q to na 100% => zachodzi tożsamość zbiorów p=q
p<=>q => p=q =1
Zachodzenie równoważności p<=>q jest warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła tożsamość zbiorów p=q
Innymi słowy:
Każda równoważność p<=>q prawdziwa wymusza => tożsamość zbiorów p=q
Dowód w zapisach ogólnych:
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Dla p=q mamy:
p=>p = ~p+p =1
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
cnd
Twierdzenie odwrotne Kukułki:
TOK:
Jeśli zachodzi tożsamość zbiorów p=q to na 100% => zachodzi równoważność p<=>q
p=q => p<=>q =1
Zachodzenie tożsamości zbiorów p=q jest warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła równoważność p<=>q
Innymi słowy:
Każda tożsamość zbiorów p=q wymusza => równoważność p<=>q
Dowód:
Dla p=q mamy:
p=p => p<=>p =1
cnd
Stąd mamy:
Równoważność Kukułki dla równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi tożsamość zbiorów p=q
(p<=>q)<=>(p=q) = [TPK: p<=>q => (p=q)]*[TOK: (p=q)=>p<=>q)]
oraz:
Równoważność Kukułki dla zbiorów tożsamych p=q:
Dwa zbiory są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi równoważność p<=>q
(p=q) <=> (p<=>q) = [TOK: (p=q)=>(p<=>q)]*[TPK: p<=>q=>(p=q)]
1.1.5 Równoważność „albo”($)
Równoważność „albo”($) nazywana jest przez ziemian „alternatywą wykluczającą” (XOR) lub sumą „modulo 2”
Zachodzi matematyczna tożsamość:
p$q = ~(p<=>q)
Spójnik „albo”($) jest zatem szczególnym przypadkiem równoważności.
Dowód:
Definicja równoważności <=> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = (p*q)+(~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~(p<=>q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q = p$q
cnd
Definicja równoważności „albo”($):
Z równoważnością „albo”($) mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy mamy do czynienia z dwoma stanami p i ~p wzajemnie się wykluczającymi lub dwoma zbiorami p i q uzupełniającymi się wzajemnie do dziedziny
p$q = (p=>~q)*(~p=>q)
Gdzie:
$ - symbol spójnika „albo”($)
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Stąd mamy równoważność „albo”($) wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
p$q = (p=>~q)*(~p=>q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
p$q = (p=>~q)*(~p=>q) = p*~q + ~p*q
Przykład w zbiorach:
A.
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) albo ($) kobietą (K=1)
M$K = (A: M=>~K)*(C: ~M=>K)
Mamy tu do czynienia z dwoma zbiorami M i K uzupełniającymi się wzajemnie do dziedziny C (człowiek):
M+K = C - zbiór K jest uzupełnieniem do dziedziny C dla zbioru M (i odwrotnie)
M*K =[] - zbiory M i K są rozłączne
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny:
~M=[C-M] = [M+K-M] = K
Podobnie:
~K=[C-K] = [M+K-K] = M
Stąd mamy:
M$K = (A: M=>M)*(C: K=>K) = 1*1 =1
Bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego:
M=>M =1
K=>K =1
Skorzystajmy z definicji spójnika „albo”($):
M$K = M*~K + ~M*K
Odczytajmy prawą stronę tożsamości:
M$K
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) i nie jest kobietą (~K=1) lub nie jest mężczyzną (~M=1) i jest kobietą (K=1)
M$K = M*~K +~M*K
Powyższe zdanie rozumie każdy 5-cio latek.
Doskonale tu widać 100% zgodność matematyki z językiem potocznym.
W języku potocznym zamiast spójnika „albo”($) najczęściej używamy spójnika „lub”(+).
Dla naszego mózgu jest to bez znaczenia bowiem pełna definicja spójnika „lub”(+) jest następująca:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Podstawiając nasz przykład mamy:
M+K = M*K + M*~K + ~M*K := M*~K + ~M*K = M$K
Gdzie:
:= - minimalizacja równania na mocy teorii zbiorów
M*K =[] =0 - bo żaden człowiek nie jest równocześnie mężczyzną i kobietą (zbiory M i K są rozłączne)
1.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q=p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
1.2.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
Inaczej:
p~~>~q = p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
1.2.2 Prawo Kobry dla zbiorów
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
1.3 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
1.3.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
1.3.2 Prawo Kobry dla zdarzeń
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
1.4 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Dowolne definicje mamy prawo przyjmować wedle swego „widzi mi się” - ważne jest jak to moje „widzi mi się” pasuje do otaczającej nas rzeczywistości.
Przyjęte niżej zero-jedynkowe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> pasują perfekcyjnie do otaczającej nas rzeczywistości co oznacza, że nikt nie znajdzie kontrprzykładu, gdzie definicje te się załamują (źle działają). Prawda jest taka, że kluczowe definicje spójników => i ~> wyprowadziłem z ich definicji zero-jedynkowych, co wkrótce zobaczymy.
Póki co przyjmijmy poniższe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na zasadzie mojego „widzi mi się”
| Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>
p q p=>q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 0 1
D: 0 1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
##
| Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>
p q p~>q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 0 1
D: 0 1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w tabelach zero-jedynkowych:
Dwie kolumny są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale wida,ć że w definicjach znaczków => i ~> w kolumnach wynikowych 3 zachodzi:
p=>q = ~p+q ## p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki miedzy warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
| Kod: |
Tabela A
Matematyczne związki znaczków => i ~>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1
1 2 3 4 5
|
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame)
##
| Kod: |
Tabela B
Matematyczne związki znaczków ~> i =>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0
1 2 3 4 5
|
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).
Znaczek [=] wyróżnia zmianę punktu odniesienia w patrzeniu na dokładnie to samo.
W zdaniach warunkowych podstawowe tożsamości logiczne spięte są znaczkiem tożsamości zwykłej „=”. W języku potocznym rzadko korzystamy ze znaczka [=], co nie oznacza że nie potrafimy z niego korzystać w naturalnej logice matematycznej człowieka.
Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Podsumowanie:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne A1 i B1 są różne na mocy definicji gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A12: p=>q = ~p~>q
##
B12: p~>q = ~p=>~q
2.
Prawa Tygryska:
A13: p=>q = q~>p
##
B13: p~>q = q=>p
3.
Prawa kontrapozycji:
A14: p=>q = ~q=>~p
##
B14: p~>q = ~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
1.4.1 Prawa Kubusia
Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
A12: p=>q = ~p~>~q
##
B12: p~>q = ~p=>~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne
Interpretacja dowolnego prawa logicznego
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
1.4.2 Prawa Tygryska
Prawa Tygryska:
Prawa Tygryska wiążą warunek wystarczający => i konieczny ~> z zamianą p i q
A13: p=>q = q~>p
##
B13: p~>q = q=>p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne
1.4.3 Prawa kontrapozycji
Prawa kontrapozycji:
W prawach kontrapozycji negujemy zmienne p i q zamieniając je miejscami.
Spójnik logiczny (=> lub ~>) pozostaje bez zmian.
A14: p=>q = ~q=>~p
##
B14: p~>q = ~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne p i q zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego => lub ~>.
1.5 Operatory implikacyjne
Definicja operatora implikacyjnego:
Operatory implikacyjne to operatory zbudowane ze zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
Fundamentem na którym zbudowane są definicje operatorów implikacyjnych są:
1.
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
2.
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
Na mocy powyższego zapisujemy:
Prawa Kubusia:
A12: p=>q = ~p~>q
##
B12: p~>q = ~p=>~q
Prawa Tygryska:
A13: p=>q = q~>p
##
B13: p~>q = q=>p
Prawa kontrapozycji:
A14: p=>q = ~q=>~p
##
B14: p~>q = ~q~>~p
Gdzie:
## - różna na mocy definicji
Do operatorów implikacyjnych zaliczamy:
1.
Równoważność <=>:
p<=>q=(p=>q)*(p~>q)
2.
Implikację prostą |=>:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q)
3.
Implikację odwrotną p|~>q:
p|~>q = ~(p=>q)*(p~>q)
4.
Operator chaosu |~~>:
p|~~>q= ~(p=>q)*~(p~>q)
1.
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego definiujące równoważność p<=>q to:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
Doskonale widać, że aby udowodnić iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1
Stąd mamy 16 możliwych, tożsamych definicji równoważności bowiem pod A1 możemy podstawić dowolne zdanie serii Ax, zaś pod B1 możemy podstawić dowolne zdanie serii Bx
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = p+~q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Stąd:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
p<=>q = p*q + ~p*~q
2.
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego definiujące implikację prostą p|=>q to:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
Doskonale widać, że aby udowodnić iż mamy do czynienia z implikacją prostą p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Stąd mamy 16 możliwych, tożsamych definicji implikacji prostej p|=>q bowiem pod A1 możemy podstawić dowolne zdanie serii Ax, zaś pod B1 możemy podstawić dowolne zdanie serii Bx
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = p+~q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Stąd:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
p|=>q = ~p*q
3.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
##
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = (B1: p~>q)*~(A1: p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego definiujące implikację odwrotną p|~>q to:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
Doskonale widać, że aby udowodnić iż mamy do czynienia z implikacją odwrotną p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx oraz fałszywość dowolnego zdania serii Ax
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = (B1: p~>q)*~(A1: p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Stąd mamy 16 możliwych, tożsamych definicji implikacji odwrotnej p|~>q bowiem pod B1 możemy podstawić dowolne zdanie serii Bx, zaś pod A1 możemy podstawić dowolne zdanie serii Ax
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = p+~q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Stąd:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = (p+~q)*~(~p+q) = (p+~q)*(p*~q) = p*~q
p|~>q = p*~q
4.
Definicja operatora chaosu p|~~>q:
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego definiujące operator chaosu p|~~>q to:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
Doskonale widać, że aby udowodnić iż mamy do czynienia z operatorem chaosu p|~~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax oraz fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Stąd mamy 16 możliwych, tożsamych definicji operatora chaosu p|~~>q bowiem pod A1 możemy podstawić dowolne zdanie serii Ax, zaś pod B1 możemy podstawić dowolne zdanie serii Bx
Definicja operatora chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = p+~q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Stąd:
p|~~>q = ~(p=>q)*~(p~>q) = ~(~p+q)*~(p+~q) = (p*~q)*(~p*q) = [] =0
p|~~>q = 0
1.6 Matematyczne relacje między spójnikami i operatorami implikacyjnymi
Na mocy poznanej teorii zapisujemy:
Zdarzenie możliwe ~~> (element wspólny zbiorów ~~):
p~~>q = p*q
##
Warunek wystarczający =>:
p=>q = ~p+q
##
Warunek konieczny ~>:
p~>q = ~p+q
##
Równoważność <=>:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*q + ~p*~q
##
Implikacja prosta |=>:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~p*q
##
Implikacja odwrotna |~>:
p|~>q = (B1: p~>q)*~(A1: p=>q) = p*~q
##
Operator chaosu |~~>:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 8:51, 07 Lut 2020, w całości zmieniany 26 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35364
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 15:51, 06 Sty 2020 Temat postu: |
|
|
Spis treści
2.0 Równoważność p<=>q 1
2.1 Definicja symboliczna równoważności p<=>q 4
2.2 Definicja zero-jedynkowa równoważności p<=>q 6
2.3 Definicja równoważności <=> w zdarzeniach 7
2.3.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 7
2.3.2 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 8
2.3.4 Ogólna definicja równoważności 9
2.0 Równoważność p<=>q
Cała logika matematyczna stoi na zaledwie trzech znaczkach ~~>, =>, ~> plus definicja kontrprzykładu.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q=p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
Inaczej:
p~~>~q = p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A12: p=>q = ~p~>q
B12: p~>q = ~p=>~q
2.
Prawa Tygryska:
A13: p=>q = q~>p
B13: p~>q = q=>p
3.
Prawa kontrapozycji:
A14: p=>q = ~q=>~p
B14: p~>q = ~q~>~p
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
RA1B1:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego definiujące równoważność p<=>q to:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
Doskonale widać, że aby udowodnić iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
W miejsce A1 możemy podstawić dowolne zdanie serii Ax zaś w miejsce B1 dowolne zdanie serii Bx.
Wynika z tego, że matematycznie mamy dostępnych 16 tożsamych definicji równoważności z których najpopularniejsze to:
RA1B1:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1
B1: p~>q =1
Stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Zajdzie q wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p
Innymi słowy:
Do tego aby zaszło q potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło p
RA1B3:
Matematyczna definicja równoważności p<=>q (używana w matematyce):
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
A1: p=>q =1
B3: q=>p =1
Stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*( B3: q=>p) =1*1 =1
Zajdzie q wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p
RA1B2:
Aksjomatyczna definicja równoważności z której wynika tabela zero-jedynkowa równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) i ujemnej (bo ~q) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1
B2: ~p=>~q =1
Stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1 =1
Zajdzie q wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p
Uwaga na notację:
Jak widzimy, możliwych jest 16 tożsamych definicji równoważności p<=>q.
Matematyczna precyzyjność wymaga od nas by w nazwie równoważności zawarta była informacja z której definicji równoważności aktualnie korzystamy.
Przykładowo, jeśli mówimy o równoważności podstawowej to mamy:
Równoważność podstawowa p<=>q to równoważność zbudowana z członów A1 i B1, co w nazwie równoważności zaznaczamy w ten sposób:
RA1B1 - Równoważność A1 i B1
RA1B1:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
etc
2.1 Definicja symboliczna równoważności p<=>q
RA1B1:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1
B1: p~>q =1
Stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Zajdzie q wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p
Innymi słowy:
Do tego aby zaszło q potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło p
Na mocy matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> mamy pełną definicję równoważności:
A 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
B 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Ogólna analiza równoważności p<=>q:
| Kod: |
T1
Symboliczna definicja równoważności p<=>q
TAx ## TBx
A1: p=> q =1 ## B1: p~> q =1
A’: p~~>~q= p*~q =0 ##
A2:~p~>~q =1 ## B2:~p=>~q =1
## B’:~p~~>q =~p* q =0
## - różne na mocy definicji
|
Oznaczmy:
TAx - prawa logiki matematycznej zachodzące w linii A
TBx - prawa logiki matematycznej zachodzące w linii B
Komentarz:
1.
Na mocy definicji równoważności p<=>q zapisujemy:
W tabeli TAx mamy:
A1: p=>q =1
W tabeli TBx mamy:
B1: p~>q =1
2.
Prawo Kubusia dla TAx:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
Prawo Kubusia dla TBx:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =1
3.
Na mocy definicji kontrprzykładu w tabeli TAx mamy:
Z prawdziwości warunku wystarczającego A1:
A1: p=>q =1
Wynika fałszywość kontrprzykładu A’ (i odwrotnie):
A’: p~~>~q =p*~q =0
Na mocy definicji kontrprzykładu w tabeli TBx mamy:
Z prawdziwości warunku wystarczającego B2:
B2: ~p=>~q =1
Wynika fałszywość kontrprzykładu B’ (i odwrotnie):
B’: ~p~~>q=~p*q =0
4.
W pełnej definicji symbolicznej równoważności p<=>q linie A’ i B’ zostają powielone do bloków przeciwnych bowiem definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest przemienna:
p~~>q = p*q [=] q~~>p = q*p
Pełna, symboliczna definicja implikacji równoważności p<=>q wygląda zatem następująco:
| Kod: |
T2
Symboliczna definicja równoważności p<=>q
TAx ## TBx
A1: p=> q =1 ## B1: p~> q =1
A’: p~~>~q= p*~q =0 ## A’: p~~>~q= p*~q =0
A2:~p~>~q =1 ## B2:~p=>~q =1
B’:~p~~>q =~p* q =0 ## B’:~p~~>q =~p* q =0
## - różne na mocy definicji
|
Aksjomatyczna definicja równoważności z której wynika tabela zero-jedynkowa równoważności:
RA1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1 =1
Iloczyn logiczny zbiorów (*) jest przemienny, stąd mamy równoważność tożsamą:
RB1A1: p<=>q = (B2: ~p=>~q)*(A1: p=>q) =1*1 =1
Prawa strona powyższych równoważności to twierdzenia matematyczne wyrażone zdaniem warunkowym „Jeśli p to q”
Zapiszmy to w tabeli symbolicznej:
| Kod: |
T1.
Tabela symboliczna spójnika: „wtedy i tylko wtedy” <=>
RA1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1 =1
A1: p=> q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B2:~p=>~q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Twierdzenia A1 i B2 to dwa różne na mocy definicji ## twierdzenia które dowodzimy oddzielnie, nie da się ich udowodnić za jednym zamachem bowiem te twierdzenia są różne na mocy definicji ##, czyli z dowodu prawdziwości A1 nie wynika prawdziwość B2 (i odwrotnie)
Korzystając z definicji kontrprzykładu rozwijamy powyższą tabelę otrzymując wszystkie możliwe przeczenia p i q zachodzące w tym samym kierunku.
| Kod: |
T2.
Tabela symboliczna spójnika: „wtedy i tylko wtedy” <=>
RA1B2: p<=>q=(A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
A1: p=> q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
A’: p~~>~q=0 - fałszywość kontrprzykładu A’ wynika z prawdziwości A1
##
B2:~p=>~q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B’:~p~~>q =0 - fałszywość kontrprzykładu B’ wynika z prawdziwości B2
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Naturalna logika matematyczna człowieka to logika jedynek (prawdy) co oznacza, że z definicji wszystkie zmienne w powyższej tabeli symbolicznej mają wartość logiczną 1.
2.2 Definicja zero-jedynkowa równoważności p<=>q
I.
Zakodujmy zero-jedynkowo tabelę symboliczną T2 przyjmując za punkt odniesienia zdanie:
RA1B2: p<=>q
korzystając z prawa Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
| Kod: |
T3.
Tabela symboliczna spójnika „wtedy i tylko wtedy” <=>
wraz z jej kodowaniem zero-jedynkowym dla RA1B2: p<=>q
|Co w logice |Dla punktu |Tabela tożsama
|jedynek oznacza |RA1: p<=>q mamy |
p<=>q | | | p q p<=>q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=> 1 =1
A’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1~~>0 =0
## | | |
B2:~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0~> 0 =1
B’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~~>1 =0
a b c d e f g h i 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|(~p=1)=( p=0) |
|(~q=1)=( q=0) |
|
II.
Zakodujmy zero-jedynkowo tabelę symboliczną T2 przyjmując za punkt odniesienia zdanie:
RB2A1: ~p<=>~q
korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
| Kod: |
T4.
Tabela symboliczna spójnika „wtedy i tylko wtedy” <=>
wraz z jej kodowaniem zero-jedynkowym dla RB2A1:~p<=>~q
|Co w logice |Dla punktu |Tabela tożsama
|jedynek oznacza |RB2:~p<=>~q mamy |
~p<=>~q| | |~p ~q ~p<=>~q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0=> 0 =1
A’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~~>1 =0
## | | |
B2:~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1~> 1 =1
B’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1~~>0 =0
a b c d e f g h i 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|( p=1)=(~p=0) |
|( q=1)=(~q=0) |
|
Tożsamość kolumny wynikowej 3 w tabelach T3 i T4 jest dowodem zachodzącej tożsamości logicznej:
p<=>q = ~p<=>~q
2.3 Definicja równoważności <=> w zdarzeniach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zdarzeniach stoi na zaledwie trzech znaczkach elementarnych ~~>, => i ~> plus definicja kontrprzykładu.
2.3.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
2.3.2 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
2.3.3 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A12: p=>q = ~p~>q
B12: p~>q = ~p=>~q
2.
Prawa Tygryska:
A13: p=>q = q~>p
B13: p~>q = q=>p
3.
Prawa kontrapozycji:
A14: p=>q = ~q=>~p
B14: p~>q = ~q~>~p
2.3.4 Ogólna definicja równoważności
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
RA1B1:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1
Na mocy matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> mamy pełną definicję równoważności:
A 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
B 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Doskonale widać, że aby udowodnić iż mamy do czynienia z równoważnością potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
W miejsce A1 możemy podstawić dowolne zdanie serii Ax zaś w miejsce B1 dowolne zdanie serii Bx.
Wynika z tego, że matematycznie mamy dostępnych 16 tożsamych definicji równoważności z których najpopularniejsze to:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Zajdzie q wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p
Innymi słowy:
Do tego aby zaszło q potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło p
RA1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczna definicja równoważności p<=>q (używana w matematyce):
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
RA1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*( B3: q=>p) =1*1 =1
Aksjomatyczna definicja równoważności z której wynika tabela zero-jedynkowa równoważności:
RA1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1 =1
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 8:52, 07 Lut 2020, w całości zmieniany 3 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35364
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 15:53, 06 Sty 2020 Temat postu: |
|
|
Spis treści
2.4 Fizyczna realizacja równoważności <=> w zdarzeniach 1
2.4.1 Równoważność definiująca tożsamość pojeć 3
2.4.2 Prawa Kukułki 7
2.4.3 Definicja znaczka różne # 9
2.4.4 Analiza równoważności aksjomatycznej w zdarzeniach 9
2.4.5 Równoważność typu „albo”(S) w zdarzeniach 12
2.4 Fizyczna realizacja równoważności <=> w zdarzeniach
| Kod: |
Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1 =1
S A
------------- ______
-----| żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane: S, A
Zmienne wolne: brak
|
Skorzystajmy z matematycznej definicji równoważności (używanej w matematyce):
p<=>q (A1: p=>q)*(B3: q=>p)
Nasz przykład:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B3: S=>A) =?
Gdzie:
A1: A=>S ## B3: S=>A
## - różne na mocy definicji
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występująca w równaniu logicznym opisującym układ.
Zmienne związane dla naszego układu to: S, A
S/~S - żarówka świeci (S=1)/ nie świeci (~S=1)
A/~A - przycisk A jest wciśnięty (A=1)/przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
Prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0) - żarówka świeci (S=1)
(~S=1)=(S=0) - żarówka nie świeci (~S=1)
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie zapisana w równaniu logicznym opisującym układ.
Na schemacie wyżej zmienną wolną byłby dodatkowy przycisk B podłączony równolegle lub szeregowo z przyciskiem A nie uwzględniony w poniższym równaniu:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B3: S=>A)
Jak widzimy na schemacie nasz układ nie zawiera zmiennych wolnych.
Pełna definicja równoważności z wykorzystaniem matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> jest następująca:
A1: A=>S =1
B3: S=>A =1
Stąd:
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4: ~S=>~A =1 (bo A1: A=>S =1)
##
B: 1: A~>S = 2: ~A=>~S [=] 3: S=>A = 4: ~S~>~A =1 (bo B3: S=>A =1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne A i S muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
Skorzystajmy z równoważności matematycznej (używanej w matematyce):
RA1B3:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B3: S=>A) =1*1 =1
Dowodzimy prawej strony równoważności A<=>S:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka świeci się (S=1)
A1: A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki (S=1)
Wciśnięcie przycisku A (A=1) daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki (S=1)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Innymi słowy:
W czasie nieskończenie długim, od minus do plus nieskończoności każde wciśnięcie przycisku A (A=1) daje nam gwarancję matematyczną => zaświecenia się żarówki (S=1)
To jest twardy dowód iż nie mamy tu do czynienia z „rzucaniem monetą”, bowiem zawsze, od minus do plus nieskończoności mamy 100% pewność.
B3.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to na 100% => wciśnięty jest przycisk A (A=1)
B3: S=>A =1
Świecenie się żarówki (S=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby być pewnym w 100%, że przycisk A jest wciśnięty (A=1)
Świecenie się żarówki S (S=1) daje nam gwarancję matematyczną => wciśnięcia przycisku A (A=1)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Innymi słowy:
W czasie nieskończenie długim, od minus do plus nieskończoności każde świecenie się żarówki (S=1) daje nam gwarancję matematyczną => wciśnięcia przycisku A (A=1)
To jest twardy dowód iż nie mamy tu do czynienia z „rzucaniem monetą”, bowiem zawsze, od minus do plus nieskończoności mamy 100% pewność.
2.4.1 Równoważność definiująca tożsamość pojeć
Weźmy naszą fizyczną realizację równoważności:
RA1B3.
Równoważność matematyczna dla przycisku A wciśniętego:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B3: S=>A) =1*1 =1
cnd
Powyższa równoważność definiuje nam tożsamość pojęć A=S:
Wciśnięty przycisk A (A=1) = żarówka świeci się (S=1)
Innymi słowy:
Pojęcie „przycisk A jest wciśnięty (A=1)” jest tożsame z pojęciem „ żarówka świeci się (S=1)”
A=S = (A1: A=>S)*(B3: S=>A) = RA1B3: A<=>S
Znaczenie tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony
I.
Analiza możliwych przypadków dla przycisku A wciśniętego (A=1):
Mamy:
RA1B3.
Matematyczna równoważność dla przycisku wciśniętego (A=1):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B3: S=>A) =1*1 =1
Dla B3 stosujemy prawo Tygryska:
B3: S=>A = B1: A~>S
Stąd mamy:
RA1B1.
Podstawowa definicja równoważności A<=>S dla przycisku A wciśniętego (A=1):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
Innymi słowy:
Do tego aby żarówka świeciła się (S=1) potrzeba ~> i wystarcza => by przycisk A był wciśnięty (A=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Wypowiedzmy zdanie A1:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% żarówka świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki (S=1)
Wypowiedzmy zdanie B1:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% żarówka świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> zaświecenia się żarówki S, bowiem nie ma tu przycisku B który by zaświecił żarówkę niezależnie od przycisku A.
Doskonale tu widać, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to zdania te nie są tożsame bowiem matematycznie zachodzi:
A1: A=>S ## B1: A~>S
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dowód nie wprost tego faktu jest następujący:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) = 1*1 =1
Załóżmy że zachodzi tożsamość:
A1: p=>q = B1: A~>S
Wtedy mamy sprzeczność czysto matematyczną jakoby równoważność <=> była tym samym co warunek wystarczający =>:
(A<=>S) = (A=>S)
Wniosek:
Musi zachodzić:
A1: A=>S ## B1: A~>S
gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd
W aktualnej logice matematycznej ziemian prawdziwe jest prawo czarnej mamby.
Prawo czarnej mamby:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka są matematycznie tożsame.
Prawo czarnej mamby jest fałszywe bo znaleźliśmy kontrprzykład wyżej.
cnd
Równoważność jest przemienna.
Dowód:
RA1B3: A<=>S = (A1: A=>S)*(B3: S=>A) = RB3A1: (B3: S=>A)* (A1: A=>S) = S<=>A
bo spójnik „i”(*) jest przemienny.
cnd
Stąd mamy:
RB3A1.
Równoważność matematyczna dla żarówki świecącej się (S=1):
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S<=>A = (B3: S=>A)* (A1: A=>S)
Dla A1 stosujemy prawo Tygryska:
A1: A=>S = A3: S~>A
Stąd mamy:
RB3A1
Podstawowa definicja równoważności S<=>A dla żarówki świecącej się (S=1):
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)
Innymi słowy:
Do tego aby przycisk A był wciśnięty (A=1) potrzeba ~> i wystarcza => by żarówka świeciła się (S=1)
S<=>A = (B3: S=>A)* (A3: S~>A)
II.
Analiza możliwych przypadków dla przycisku A nie wciśniętego (~A=1):
Wystartujmy od naszej udowodnionej równoważności dla przycisku A wciśniętego:
RA1.
Równoważność matematyczna dla przycisku A wciśniętego (A=1):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B3: S=>A)
Zastosujmy prawa kontrapozycji:
A1: A=>S = A4: ~S=>~A
B3: S=>A = B2: ~A=>~S
stąd:
RA1B3: A<=>S = (A1: A=>S)*(B3: S=>A) = (A4: ~S=>~A)*(B2: ~A=>~S) = RA4B2: ~S<=>~A = RB2A4: ~A<=>~S
Równoważność RB2A4 jest prawdziwa na mocy definicji równoważności:
Równoważność to zachodzenie warunku wystarczającego => w dwie strony miedzy tymi samymi punktami
B2: ~A=>~S =1
A4: ~S=>~A =1
Stąd mamy:
RB2A4.
Równoważność matematyczna dla przycisku A nie wciśniętego (~A=1):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (B2: ~A=>~S)*(A4: ~S=>~A)
Dla A4 stosujemy prawo Tygryska:
A4: ~S=>~A = A2: ~A~>~S
Stąd mamy:
RB2A2
Podstawowa definicja równoważności dla przycisku A nie wciśniętego (~A=1):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
Innymi słowy:
Do tego aby żarówka nie świeciła się (~A=1) potrzeba ~> i wystarcza => by przycisk A nie był wciśnięty (~A=1)
~A<=>~S = (B2: ~A=>~S)*(A2: ~A~>~S)
Równoważność jest przemienna.
Dowód:
RB2A4: ~A<=>~S = (B2: ~A=>~S)*(A4: ~S=>~A) = RA4B2: (A4: ~S=>~A)*(B2: ~A=>~S) = ~S<=>~A
bo spójnik „i”(*) jest przemienny.
cnd
Stąd mamy:
RA4B2.
Równoważność matematyczna dla żarówki nie świecącej się (~S=1):
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B2: ~A=>~S)
Dla B2 stosujemy prawo Tygryska:
B2: ~A=>~S = B4: ~S~>~A
Stąd mamy:
~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4:~S~>~A)
RA4B4.
Podstawowa definicja równoważności dla żarówki nie świecącej się (~S=1):
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
Innymi słowy:
Do tego aby przycisk A nie był wciśnięty (~A=1) potrzeba ~> i wystarcza => by żarówka świeciła się (~S=1)
~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4:~S~>~A)
Zapiszmy raz jeszcze:
RB2A4.
Równoważność matematyczna dla przycisku A nie wciśniętego (~A=1):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (B2: ~A=>~S)*(A4: ~S=>~A)
Równoważność matematyczna dla przycisku A nie wciśniętego (~A=1) definiuje tożsamość pojęć:
„Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)” = „żarówka nie świeci się (~S=1)”
Innymi słowy:
Pojęcie „przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)” jest tożsame z pojęciem „żarówka nie świeci się (~S=1)”
~A=~S = (B2: ~A=>~S)*(A4: ~S=>~A) = RB2A4: ~A<=>~S
Sprawdźmy czy nasze przekształcenia czysto matematyczne pasują do rzeczywistości:
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S=1)
B2: ~A=>~S =1
Brak wciśnięcia przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się
Brak wciśnięcia przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => nie świecenia się żarówki.
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Innymi słowy:
W czasie nieskończenie długim, od minus do plus nieskończoności zawsze, gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka nie świeci się (~S=1)
To jest twardy dowód iż nie mamy tu do czynienia z „rzucaniem monetą”, bowiem zawsze, od minus do plus nieskończoności mamy 100% pewność.
A4.
Jeśli żarówka nie świeci się (~S=1) to na 100% => przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
A4: ~S=>~A =1
Nie świecenie się żarówki jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby przycisk A nie był wciśnięty.
Nie świecenie się żarówki daje nam gwarancję matematyczną => nie wciśniętego przycisku A
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Innymi słowy:
W czasie nieskończenie długim, od minus do plus nieskończoności zawsze, gdy żarówka S nie świeci się (~S=1) to na 100% => przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
To jest twardy dowód iż nie mamy tu do czynienia z „rzucaniem monetą”, bowiem zawsze, od minus do plus nieskończoności mamy 100% pewność.
Stąd mamy:
Równoważność matematyczna dla przycisku A nie wciśniętego (~A=1):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (B2: ~A=>~S)*(A4: ~S=>~A) = 1*1 =1
cnd
2.4.2 Prawa Kukułki
Weźmy jeszcze raz nasz schemat:
| Kod: |
Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1 =1
S A
------------- ______
-----| żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane: S, A
Zmienne wolne: brak
|
Skorzystajmy z matematycznej definicji równoważności (używanej w matematyce):
p<=>q (A1: p=>q)*(B3: q=>p)
Nasz przykład:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B3: S=>A) =1*1 =1
Gdzie:
A1: A=>S ## B3: S=>A
## - różne na mocy definicji
Pełna definicja równoważności z wykorzystaniem matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> jest następująca:
A1: A=>S =1
B3: S=>A =1
Stąd:
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4: ~S=>~A =1 (bo A1: A=>S =1)
##
B: 1: A~>S = 2: ~A=>~S [=] 3: S=>A = 4: ~S~>~A =1 (bo B3: S=>A =1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne A i S muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
RA1B3.
Matematyczna definicja równoważności dla przycisku A wciśniętego (A=1):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy świeci się żarówka S (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B3: S=>A) =1*1 =1
Matematyczna definicja równoważności dla przycisku wciśniętego definiuje nam tożsamość pojęć A=S:
Pojęcie „przycisk A jest wciśnięty (A=1)” jest tożsame z pojęciem „żarówka świeci się (S=1)”
A=S = (A1: A=>S)*(B3: S=>A) = RA1B3: A<=>S
Zarówno tożsamość jak i równoważność są przemienne, stąd mamy:
RB3A1:
Matematyczna definicja równoważności dla żarówki świecącej się (S=1)
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk a jest wciśnięty (A=1)
S<=>A = (B3: S=>A)*(A1: A=>S) =1*1 =1
Matematyczna definicja równoważności dla żarówki świecącej się definiuje nam tożsamość pojęć S=A:
Pojęcie „żarówka świeci się (S=1)” jest tożsame z pojęciem „przycisk A jest wciśnięty (A=1)”
S=A = (B3: S=>A)*(A1: A=>S) = RB3A1: S<=>A
RB2A4:.
Matematyczna definicja równoważności dla przycisku A nie wciśniętego (~A=1):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie świeci się żarówka S (~S=1)
~A<=>~S = (B2: ~A=>~S)*(A4: ~S=>~A) =1*1 =1
Matematyczna definicja równoważności dla przycisku nie wciśniętego definiuje nam tożsamość pojęć ~A=~S:
Pojęcie „przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)” jest tożsame z pojęciem „żarówka nie świeci się (~S=1)”
~A=~S = (B2: ~A=>~S)*(A4: ~S=>~A) = RB2A4: ~A<=>~S
Zarówno tożsamość jak i równoważność są przemienne, stąd mamy:
RA4B2:
Matematyczna definicja równoważności dla żarówki nie świecącej się (~S=1)
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Matematyczna definicja równoważności dla żarówki nie świecącej się definiuje nam tożsamość pojęć ~S=~A:
Pojęcie „żarówka nie świeci się (~S=1)” jest tożsame z pojęciem „przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)”
~S=~A = (A4: ~S=>~A)*(B2: ~A=>~S) = ~S<=>~A
Na mocy powyższego formułujemy twierdzenia proste i odwrotne Kukułki dla pojęć (zbiorów) tożsamych:
TPK:
Twierdzenie proste Kukułki:
Jeśli zachodzi równoważność pojęć (zbiorów) p<=>q to na 100% => zachodzi tożsamość pojęć (zbiorów) p=q
p<=>q => p=q =1
Zachodzenie równoważności p<=>q jest warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła tożsamość pojęć (zbiorów) p=q
Innymi słowy:
Każda równoważność p<=>q prawdziwa wymusza => tożsamość pojęć (zbiorów) p=q
TOK:
Twierdzenie odwrotne Kukułki:
Jeśli zachodzi tożsamość pojęć (zbiorów) p=q to na 100% => zachodzi równoważność p<=>q
p=q => p<=>q =1
Zachodzenie tożsamości pojęć (zbiorów) p=q jest warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła równoważność p<=>q
Innymi słowy:
Każda tożsamość pojęć (zbiorów) p=q wymusza => równoważność p<=>q
Stąd mamy:
Równoważność Kukułki dla równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi tożsamość pojęć (zbiorów) p=q
(p<=>q)<=>(p=q) = [TPK: (p<=>q) =>(p=q)]*[TOK: (p=q)=>(p<=>q)]
oraz:
Równoważność Kukułki dla pojęć (zbiorów) tożsamych p=q:
Dwa pojęcia (zbiory) są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi równoważność p<=>q
(p=q) <=> (p<=>q) = [TOK: (p=q)=>(p<=>q)]*[TPK: (p<=>q)=>(p=q)]
Oczywiście dokładnie to samo będziemy mieli dla pojęć (zbiorów) zanegowanych.
Równoważność Kukułki dla równoważności ~p<=>~q:
Równoważność ~p<=>~q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi tożsamość pojęć (zbiorów) ~p=~q
(~p<=>~q)<=>(~p=~q)
oraz:
Równoważność Kukułki dla pojęć (zbiorów) tożsamych ~p=~q:
Dwa pojęcia (zbiory) są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi równoważność ~p<=>~q
(~p=~q) <=> (~p<=>~q)
2.4.3 Definicja znaczka różne #
Zauważmy, że w naszej równoważności A<=>S mamy do czynienia z dwoma różnymi stanami połączonymi znaczkiem różne #.
(A=S) # (~A=~S)
Definicja znaczka różne #:
Dowolne pojęcie leżące po jednej stronie znaczka różne # jest zaprzeczeniem pojęcia leżącego po jego drugiej stronie. Pojęcia te są rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dla naszego przykładu mamy:
A # ~A
Definicja dziedziny dla A:
A*~A = [] =0 - pojęcia A i ~A są rozłączne na mocy definicji (wciśnięty # nie wciśnięty)
A+~A = D =1 - dziedzina D definiuje wszystkie możliwe stany przycisku A (wciśnięty lub nie wciśnięty)
Dla naszego przykładu mamy również:
S # ~S
Definicja dziedziny dla S:
S*~S = [] =0 - pojęcia S i ~S są rozłączne na mocy definicji (świeci # nie świeci)
S+~S = D =1 - dziedzina D definiuje wszystkie możliwe stany żarówki (świeci lub nie świeci)
Rozważmy pierwszy przypadek (drugi jest symetryczny).
Dla naszego przykładu mamy:
A # ~A
Definicja dziedziny dla A:
A*~A = [] =0 - pojęcia A i ~A są rozłączne na mocy definicji (wciśnięty # nie wciśnięty)
A+~A = D =1 - dziedzina D definiuje wszystkie możliwe stany przycisku A (wciśnięty lub nie wciśnięty)
Oczywistym jest że zachodzi tu prawo podwójnego przeczenia:
Pojęcie A to zanegowane pojęcie ~A
A = ~(~A)
2.4.4 Analiza równoważności aksjomatycznej w zdarzeniach
| Kod: |
Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1 =1
S A
------------- ______
-----| żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane: S, A
Zmienne wolne: brak
|
Skorzystajmy z matematycznej definicji równoważności (używanej w matematyce):
p<=>q (A1: p=>q)*(B3: q=>p)
Nasz przykład:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B3: S=>A) =1*1 =1
Gdzie:
A1: A=>S ## B3: S=>A
## - różne na mocy definicji
Pełna definicja równoważności z wykorzystaniem matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> jest następująca:
A1: A=>S =1
B3: S=>A =1
Stąd:
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4: ~S=>~A =1 (bo A1: A=>S =1)
##
B: 1: A~>S = 2: ~A=>~S [=] 3: S=>A = 4: ~S~>~A =1 (bo B3: S=>A =1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne A i S muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
Dla B3 skorzystajmy z prawa kontrapozycji:
B3: S=>A = B2: ~A=>~S
Stąd mamy definicję aksjomatyczną równoważności z której wynika tabela zero-jedynkowa:
RA1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B2: ~A=>~S) = (B2: ~A=>~S)*(A1: A=>S) = RB2A1: ~A<=>~S
bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny.
Stąd mamy:
Równoważność dla przycisku A wciśniętego (A=1):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy świeci się żarówka S (S=1)
RA1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B2: ~A=>~S) = 1*1 =1
Równoważność dla przycisku A nie wciśniętego (~A=1)
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie świeci się żarówka S (~S=1)
RB2A1: ~A<=>~S = (B2: ~A=>~S)*(A1: A=>S) = 1*1 =1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
RA1B1: A<=>S = RB2A1: ~A<=>~S
Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość jednej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość jednej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony
Analiza symboliczna równoważności dla przycisku wciśniętego (A=1) przez wszystkie możliwe przeczenia poprzednika i następnika.
Równoważność dla przycisku A wciśniętego (A=1):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy świeci się żarówka S (S=1)
RA1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B2: ~A=>~S) = 1*1 =1
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia żarówki S (S=1)
Dowód: schemat
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A’ (i odwrotnie)
A’.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0
Nie ma takiej możliwości.
Dowód: schemat
##
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia się żarówki S (~S=1)
Dowód: schemat
Prawdziwość warunku wystarczającego B1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B’ (i odwrotnie)
B’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Nie ma takiej możliwości
Dowód: schemat
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Nie ma znaczenia czy jako pierwsze wypowiemy zdanie A1 czy też B2.
Stąd mamy dowód równoważności tożsamej dla przycisku nie wciśniętego:
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
RB2A1: ~A<=>~S = (B2: ~A=>~S)*(A1: A=>S) =1*1 =1
Zakodujmy naszą analizę symboliczną zero-jedynkowo przyjmując za punkt odniesienia równoważność:
RA1B2: A<=>S
Dla uogólnienia zapisu przejdźmy na zapis ogólny podstawiając:
p=A
q=S
Prawa Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Stąd mamy kodowanie zero-jedynkowe naszej analizy w zapisie ogólnym:
| Kod: |
Tabela symboliczna spójnika „wtedy i tylko wtedy” <=>
wraz z jej kodowaniem zero-jedynkowym dla RA1B2: p<=>q
|Co w logice |Dla punktu |Tabela tożsama
|jedynek oznacza |RA1: p<=>q mamy |
p<=>q | | | p q p<=>q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=> 1 =1
A’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1~~>0 =0
## | | |
B2:~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0~> 0 =1
B’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~~>1 =0
a b c d e f g h i 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|(~p=1)=( p=0) |
|(~q=1)=( q=0) |
|
Tabela zero-jedynkowa 123 to zero-jedynkowa definicja równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) = 1*1 =1
2.4.5 Równoważność typu „albo”(S) w zdarzeniach
Weźmy po raz kolejny nasz schemat:
| Kod: |
Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1 =1
S A
------------- ______
-----| żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane: S, A
Zmienne wolne: brak
|
Definicja równoważności „albo”($):
Zajdzie zdarzenie p albo($) q
p$q = (p=>~q)*(~p=>q)
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q =~p+q
Stąd mamy definicję równoważności albo($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p$q = (p=>~q)*(~p=>q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p+~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
p$q = p*~q + ~p*q
Zauważmy, ze:
1.
Równoważność „albo”($) wymusza rozłączność pojęć (zbiorów) p i q
p$q = p*~q + ~p*q
Dowód:
dla p=q mamy:
p&p = p*~p+~p*p = []+[] = [] =0
Matematycznie zachodzi:
p*~p =0
p+~p =1
2.
Równoważność klasyczna p<=>q wymusza tożsamość pojęć (zbiorów) p=q:
p<=>q = p*q+~p*~q
Dowód:
dla p=q mamy:
p<=>p = p*p + ~p*~q = p+~p =1
Matematycznie zachodzi:
p+~p=1
p*~p =0
Z naszego schematu odczytujemy:
Mamy definicje ogólną spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q
Po podstawieniu:
q=~S
mamy:
S$~S = S*S + ~S*~S = S+~S =1
S$~S = S+~S
Wniosek:
Jedno ze zdarzeń (S=1) albo (~S=1) na 100% zajdzie
Innymi słowy:
Zajdzie zdarzenie S albo($) ~S
Innymi słowy:
W dowolnej chwili czasowej od minus do plus nieskończoności może zajść zdarzenie S (żarówka świeci: S=1) albo ($) ~S ( żarówka nie świeci: ~S=1)
Dowód: schemat
W języku potocznym dla przypadku jak na naszym schemacie zamiast spójnika „albo”($) najczęściej wymawiamy spójnik „lub”(+).
Dlaczego to jest matematycznie poprawne?
Odpowiedź:
Bo nasz mózg to nie komputer
Dowód:
Pełna definicja spójnika „lub”(+) w równaniu logicznym:
p+q = p*q +p*~q+~p*q
dla q=~p mamy:
p+q = p*~p + p*~q +~p*q := [] + p*~q + ~p*q = p$q
bo:
p*~p =[] =0
Gdzie:
:= - minimalizacja funkcji logicznej Y na mocy teorii zdarzeń (zbiorów)
Innymi słowy:
W tym przypadku zamiast powiedzieć:
Żarówka będzie się świecić albo($) nie świecić
p$q=p*~q+~p*q
dla p=S i q=~S mamy:
S$~S = S*S +~S*~S = S+~S
możemy powiedzieć:
Żarówka może się świecić lub(+) nie świecić:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
dla p=S i q=~S mamy:
S+~S = S*~S + S*S + ~S*~S := S+~S
Gdzie:
:= - minimalizacja funkcji logicznej Y na mocy teorii zdarzeń (zbiorów)
Nasz mózg to nie komputer i doskonale wie że nie zawsze możemy zastąpić spójnik „albo”($) spójnikiem „lub”(+).
Przykład:
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y = K+T = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T = 1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T =1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C; ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Inaczej:
Y=0 - pani skłamie
Chwilą czasową jest tu cały dzień jutrzejszy, czyli jutro możemy iść i do kina (K=1) i do teatru (T=1)
A: K*T =1*1 =1
Zauważmy, że to zdanie jest zrozumiałe dla każdego 5-cio latka i w tym przypadku nie da się zastąpić spójnika „lub”(+) spójnikiem „albo”($) bowiem zdarzenie A jest możliwe do zaistnienia.
Oczywiście zdarzenia A, B i C są matematycznie rozłączne co oznacza, że jutro może zajść dowolne z tych zdarzeń (=1), pozostałe zdarzenia na 100% nie zajdą (=0).
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35364
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 15:54, 06 Sty 2020 Temat postu: |
|
|
Spis treści
2.5 Fizyczna interpretacja równoważności p<=>q w zbiorach 1
2.5.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 1
2.5.2 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 1
2.5.3 Prawo Kobry dla zbiorów 2
2.5.6 Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 7
2.5 Fizyczna interpretacja równoważności p<=>q w zbiorach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q
2.5.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q=p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
2.5.2 Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
Inaczej:
p~~>~q = p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
2.5.3 Prawo Kobry dla zbiorów
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
2.5.4 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A12: p=>q = ~p~>q
B12: p~>q = ~p=>~q
2.
Prawa Tygryska:
A13: p=>q = q~>p
B13: p~>q = q=>p
3.
Prawa kontrapozycji:
A14: p=>q = ~q=>~p
B14: p~>q = ~q~>~p
2.5.5 Przykład równoważności w zbiorach
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
RA1B1: p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1
Na mocy matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> mamy pełną definicję równoważności:
A 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
B 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Doskonale widać, że aby udowodnić iż mamy do czynienia z równoważnością potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Rozważmy twierdzenie proste Pitagorasa TP=>SK:
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
Twierdzenie proste Pitagorasa zostało udowodnione wieki temu co oznacza, że zbiór trójkątów prostokątnych (TP=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów (SK=1)
Czyli na mocy definicji znaczka => w zbiorach:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK+1)
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => gwarancja matematyczna =>
Innymi słowy:
W czasie nieskończenie długim, od minus do plus nieskończoności, jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt prostokątny (TP=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż w tym trójkącie będzie zachodziła suma kwadratów (SK=1)
To jest twardy dowód iż nie mamy tu do czynienia z „rzucaniem monetą”, bowiem zawsze, od minus do plus nieskończoności mamy 100% pewność.
Rozważmy twierdzenie odwrotne Pitagorasa SK=>TP:
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) to na 100% => ten trójkąt jest prostokątny (TP=1)
SK=>TP =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa zostało udowodnione wieki temu co oznacza, że zbiór trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów (SK=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP=1)
Czyli na mocy definicji znaczka => w zbiorach:
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1)
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż ten trójkąt jest prostokątny (TP=1)
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => gwarancja matematyczna =>
Innymi słowy:
W czasie nieskończenie długim, od minus do plus nieskończoności, jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt w którym spełniona jest suma kwadratów (SK=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż ten trójkąt jest prostokątny (TP=1)
To jest twardy dowód iż nie mamy tu do czynienia z „rzucaniem monetą”, bowiem zawsze, od minus do plus nieskończoności mamy 100% pewność.
Stad mamy dowód iż mamy tu do czynienia z równoważnością TP<=>SK.
Matematyczna definicja równoważności (używana w matematyce):
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
RA1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje nam tożsamość zbiorów TP=SK:
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK
Innymi słowy:
Każdy trójkąt prostokątny (TP=1) jest trójkątem w którym spełniona jest suma kwadratów (SK=1) i odwrotnie.
Czyli:
Zbiór trójkątów prostokątnych (TP=1) jest tożsamy ze zbiorem trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów (SK=1)
TP=SK
Znaczenie tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony (i odwrotnie)
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony (i odwrotnie)
Przykład:
TP=SK
co matematycznie oznacza:
(TP=1) = (SK=1)
Czytamy:
Trójkąt prostokątny (TP=1) jest tożsamy z trójkątem w którym zachodzi suma kwadratów (SK=1)
Na mocy matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności mamy:
A 1: TP=>SK = 2: ~TP~>~SK [=] 3: SK~>TP = 4: ~SK=>~TP =1
##
B 1: TP~>SK = 2:~TP=>~SK [=] 3: SK=>TP = 4: ~SK~>~TP =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Podstawowa definicja równoważności TP<=>SK dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
Innymi słowy:
Do tego aby w trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK=1) potrzeba ~> i wystarcza => aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1)
RA1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Zauważmy, że w teorii zdarzeń nie mieliśmy żadnych problemów z bezpośrednim dowodem dowolnego zdania warunkowego serii Ax i Bx.
W matematyce, operującej na zbiorach nieskończonych już tak nie jest.
Dowód:
Wypowiedzmy twierdzenie odwrotne Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych B2.
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP=>~SK =1
Dlaczego to jest twierdzenie odwrotne Pitagorasa?
Bo to twierdzenie jest jednym z twierdzeń tożsamości Bx w której jest twierdzenie odwrotne Pitagorasa (B3: SK=>TP)
cnd
Zauważmy, że w tym przypadku dowód wprost, czyli udowodnienie iż w każdym trójkącie nieprostokątnym (~TP=1) nie zachodzi suma kwadratów nie jest tak trywialny jak dowód twierdzenia prostego Pitagorasa (A1: TP=>SK).
Na szczęście nie musimy dowodzić bezpośrednio prawdziwości twierdzenia B2, bowiem po udowodnieniu twierdzenie odwrotnego Pitagorasa (B3: SK=>TP=1) prawdziwość twierdzenia B2 mamy gwarantowaną bo z matematyką się nie dyskutuje, tożsamość logiczna wszystkich zdań serii Bx to rzecz święta.
I.
Analiza możliwych przypadków dla trójkąta prostokątnego (TP=1):
Na mocy matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności mamy:
A 1: TP=>SK = 2: ~TP~>~SK [=] 3: SK~>TP = 4: ~SK=>~TP =1
##
B 1: TP~>SK = 2:~TP=>~SK [=] 3: SK=>TP = 4: ~SK~>~TP =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Mamy:
Matematyczna równoważność dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
RA1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Dla B3 stosujemy prawo Tygryska:
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK
Stąd mamy:
Podstawowa definicja równoważności TP<=>SK dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
Innymi słowy:
Do tego aby w trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK=1) potrzeba ~> i wystarcza => aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1)
RA1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Równoważność jest przemienna.
Dowód:
RA1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = (B3: SK=>TP)*(A1: TP=>SK) = BB3A1: SK<=>TP
bo spójnik „I”(*) jest przemienny.
cnd
Stąd mamy:
Równoważność dla trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów:
W trójkącie spełniona jest suma kwadratów (SK=1) wtedy i tylko wtedy gdy ten trójkąt jest prostokątny (TP=1)
RB3A1: SK<=>TP = (B3: SK=>TP)*(A1: TP=>SK)
Dla A1 stosujemy prawo Tygryska:
A1: TP=>SK = A3: SK~>TP
Stąd mamy:
RB3A3: SK<=>TP = (B3: SK=>TP)*(A3: SK~>TP)
Podstawowa definicja równoważności SK<=>TP dla trójkątów SK:
W trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) wtedy i tylko wtedy gdy ten trójkąt jest prostokątny (TP=1)
Innymi słowy:
Do tego aby trójkąt był prostokątny (TP=1) potrzeba ~> i wystarcza => aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
RB2A3: SK<=>TP = (B3: SK=>TP)*(A3: SK~>TP)
II.
Analiza możliwych przypadków dla trójkątów nieprostokątnych (~TP=1):
Na mocy matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności mamy:
A 1: TP=>SK = 2: ~TP~>~SK [=] 3: SK~>TP = 4: ~SK=>~TP =1
##
B 1: TP~>SK = 2:~TP=>~SK [=] 3: SK=>TP = 4: ~SK~>~TP =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wystartujmy od naszej udowodnionej równoważności dla trójkątów prostokątnych (TP=1).
Matematyczna równoważność dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
RA1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Zastosujmy prawa kontrapozycji:
A1: TP=>SK = A4: ~SK=>~TP
B3: SK=>TP = B2: ~TP=>~SK
stąd mamy:
RA1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = (A4: ~SK=>~TP)*(B2: ~TP=>~SK) = RB2A4: ~TP<=>~SK
Stąd mamy:
Matematyczna równoważność dla trójkątów nieprostokątnych:
Trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
RB2A4: ~TP<=>~SK = (B2:~TP=>~SK)*(A4:~SK=>~TP) =1*1 =1
Równoważność matematyczna definiuje nam tożsamość zbiorów ~TP=~SK:
~TP=~SK = (B2:~TP=>~SK)*(A4:~SK=>~TP) = RB2A4: ~TP<=>~SK
Dla A4 stosujemy prawo Tygryska:
A4:~SK=>~TP = A2: ~TP~>~SK
Stąd mamy:
RB2A2: ~TP<=>~SK = (B2:~TP=>~SK)*(A2: ~TP~>~SK)
Podstawowa definicja równoważności dla trójkątów nieprostokątnych:
Trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
Innymi słowy:
Do tego aby w trójkącie nie zachodziła suma kwadratów (~SK=1) potrzeba ~> i wystarcza => aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1)
RB2A2: ~TP<=>~SK = (B2:~TP=>~SK)*(A2: ~TP~>~SK)
Równoważność jest przemienna.
Dowód:
RB2A4: ~TP<=>~SK = (B2:~TP=>~SK)*(A4:~SK=>~TP) = (A4: ~SK=>~TP)*(B2:~TP=>~SK) = RA4B2: ~SK<=>~TP
bo spójnik „I”(*) jest przemienny.
cnd
Stąd mamy:
RA4B2: ~SK<=>~TP = (A4:~SK=>~TP)*(B2:~TP=>~SK)
Równoważność matematyczna dla trójkątów w których nie zachodzi suma kwadratów:
W trójkącie nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1) wtedy i tylko wtedy gdy trójkąt ten nie jest prostokątny (~TP=1)
RA4B2: ~SK<=>~TP = (A4:~SK=>~TP)*(B2:~TP=>~SK)=1*1 =1
Dla B2 stosujemy prawo Tygryska:
B2:~TP=>~SK = B4: ~SK~>~TP
Stąd mamy:
RA4B4: ~SK<=>~TP = (A4:~SK=>~TP)*(B4:~SK~>~TP)
Podstawowa definicja równoważności dla trójkątów w których nie zachodzi suma kwadratów:
W trójkącie nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1) wtedy i tylko wtedy gdy trójkąt ten nie jest prostokątny (~TP=1)
Innymi słowy:
Do tego aby trójkąt nie był prostokątny (~TP=1) potrzeba ~> i wystarcza => aby w tym trójkącie nie zachodziła suma kwadratów (~SK=1)
RA4B4: ~SK<=>~TP = (A4:~SK=>~TP)*(B4:~SK~>~TP)
2.5.6 Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicję spójnika „wtedy i tylko wtedy” wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+) można łatwo wyprowadzić korzystając z definicji znaczków => i ~>.
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = ~p=>~q = p+~q
Stąd mamy:
Y = p<=>q =(A1: p=>q)*( B2: ~p=>~q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q=p*q+~p*~q
1.
Y = p<=>q = p*q+~p*~q
co w logice jedynek (logice człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Funkcję logiczną ~Y generujemy przechodząc do logiki ujemnej metodą Wuja Zbója:
a)
Uzupełniamy brakujące nawiasy
Y = p<=>q = (p*q)+(~p*~q)
b)
Przechodzimy do logiki ujemnej (bo ~Y) negując zmienne i wymieniając spójniki na przeciwne:
~Y = ~(p<=>q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q+~p*q
2.
~Y = ~(p<=>q) = p*~q + ~p*q
co w logice jedynek (logice człowieka) oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
W języku potocznym definicja spójnika „wtedy i tylko wtedy” wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+) mówi nam kiedy ktoś wypowiadający spójnik „wtedy i tylko wtedy” dotrzyma słowa (Y=1) a kiedy skłamie (~Y=1)
Przykład:
Pani w przedszkolu wypowiada obietnicę bezwarunkową:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru (T=1)
Y = K<=>T = K*T + ~K*~T
co w logice jedynek (logice człowieka) oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1 lub ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*T =1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
„lub”(+)
~K*~T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
… a kiedy panie skłamie (~Y=1)?
2.
~Y=~(K<=>T) = K*~T + ~K*T
co w logice jedynek (logice człowieka) oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1 lub ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
„lub”(+)
~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Zauważmy, że obie odpowiedzi Y i ~Y wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) są doskonale rozumiane przez człowieka.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 17:09, 06 Sty 2020, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
