 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35331
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Nie 19:58, 23 Cze 2019 Temat postu: AK V Algebra Kubusia w pigułce |
|
|
Algebra Kubusia
Część V
Algebra Kubusia w pigułce
Autor rzeczywisty:
Kubuś - stwórca naszego Wszechświata
Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele
W skład algebry Kubusia wchodzi pięć części:
Część I
Algebra Kubusia - Kubusiowy rachunek zero-jedynkowy
Część II
Algebra Kubusia - Kubusiowa teoria zbiorów
Część III
Algebra Kubusia - Kubusiowa teoria zdarzeń
Część IV
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego człowieka
Część V
Algebra Kubusia w pigułce
Podręczniki I-V napisane są w ten sposób, że dla zrozumienia dowolnego z nich w zasadzie nie jest wymagana znajomość pozostałych, choć oczywiście, pożądana kolejność czytania to I, II, III, IV, V
Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel i inni.
Szczególnie dziękuję cierpliwemu Fiklitowi za 7 letnią dyskusję, bez niego o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć.
Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2019
Część V
Algebra Kubusia w pigułce
[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]
Rozdziały części V algebry Kubusia:
1.0 Algebra Kubusia w pigułce
2.0 Teoria zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Spis treści
1.0 Algebra Kubusia w pigułce 2
1.1 Definicje funkcji logicznych dwóch zmiennych binarnych 2
2.0 Elementarne prawa rachunku zero-jedynkowego dla spójników „i”(*) i „lub”(+) 4
3.0 Kubusiowa teoria zbiorów 8
3.1 Podstawowe operacje na zbiorach 9
2.4 Dziedzina i zaprzeczenie zbioru 9
3.2 Zbiór wszystkich zbiorów 10
3.3 Zbiory właściwe i niewłaściwe 10
Wstęp:
Algebra Kubusia w pigułce to najważniejsze definicje i prawa logiki matematycznej wyłożone w częściach I do V
1.0 Algebra Kubusia w pigułce
Definicja aksjomatyki w algebrze Kubusia:
Aksjomatyka to zbiór definicji startowych w obrębie danej teorii.
Aksjomatyka nie musi być minimalna - musi natomiast poprawnie opisywać otaczającą nas rzeczywistość w obrębie danej teorii. Przykładowo, studentowi informatyki nie są potrzebne wiadomości w temacie „technologia wykonania mikroprocesora” mimo że programy pisze na komputerze którego sercem jest mikroprocesor. Co więcej, aksjomatyka może być na poziomie abstrakcyjnym jeśli takie podejście ułatwia zrozumienie teorii. Przykładowo w „Teorii zdarzeń” sięgnąłem po krasnoludki znakomicie ułatwiające zrozumienie teorii młodemu człowiekowi. Zauważmy, że minimalizacja aksjomatyki w sensie bezwzględnym (wszystko ma swoją przyczynę) niechybnie zaprowadzi nas do Wielkiego Wybuchu.
Aksjomatyka algebry Kubusia:
Aksjomatyka algebry Kubusia to teoria zbiorów wyłożona w części II algebry Kubusia:
„Algebra Kubusia - Kubusiowa teoria zbiorów”
Za aksjomatykę algebry Kubusia można też uznać zero-jedynkową tabelę szesnastu możliwych definicji spójników logicznych używanych w języku potocznym człowieka plus banalne zasady rachunku zero-jedynkowego z którego wynikają prawa logiki matematycznej.
1.1 Definicje funkcji logicznych dwóch zmiennych binarnych
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.
Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja
Definicja funkcji logicznej dwóch zmiennych binarnych:
Funkcja logiczna Y dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy
Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q to:
| Kod: |
Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
p q Y
A: 1 1 x
B: 1 0 x
C: 0 1 x
D: 0 0 x
Gdzie:
x=[0,1]
|
Z definicji funkcji logicznej wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
| Kod: |
T1
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
|Grupa I |Grupa II |Grupa III | Grupa IV
|Spójniki |Spójniki typu |Spójniki przeciwne | Wejścia
|„i”(*) i „lub” |Jeśli p to q |do grupy II | p i q
| Y Y | Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y
p q | * + | ~* ~+ | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>) $ ~(~~>)| p q ~p ~q
A: 1 1 | 1 1 | 0 0 | 1 1 1 1 | 0 0 0 0 | 1 1 0 0
B: 1 0 | 0 1 | 1 0 | 0 1 0 1 | 1 0 1 0 | 1 0 0 1
C: 0 1 | 0 1 | 1 0 | 1 0 0 1 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0
D: 0 0 | 0 0 | 1 1 | 1 1 1 1 | 0 0 0 0 | 0 0 1 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
|
W tabeli T1 po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.
Algebra Kubusia to dwa wyróżnione elementy [0,1] plus elementarne znaczki logiki matematycznej.
Elementarne znaczki logiki matematycznej to:
1: (~) - negacja
2: (*) - spójnik „i”(*)
3: (+) - spójnik „lub”(+)
4: (~~>) - zdarzenie możliwe ~~> (w zbiorach element wspólny zbiorów)
5: (=>) - warunek wystarczający =>
6: (~>) - warunek konieczny ~>
7: (<=>) - równoważność <=>
8: ($) - spójnik „albo”($)
Interpretacja elementarnych znaczków logiki matematycznej w języku potocznym człowieka:
1: (~) - przedrostek „NIE” w języku potocznym człowieka, negacja zmiennej binarnej, ~p
2: (*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym człowieka. p*q
3: (+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym człowieka, p+q
4: (~~>) - spójnik „Jeśli p to q” ze spełnioną definicją elementu wspólnego zbiorów p~~>q lub zdarzenie możliwe p~~>q
5: (=>) - spójnik „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym p=>q
6: (~>) - spójnik „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem koniecznym p~>q
7: (<=>) - spójnik „wtedy i tylko wtedy” (wtw) w języku potocznym człowieka, równoważność p<=>q
8: ($) - spójnik „albo”($) w języku potocznym człowieka. p$q
KONIEC!
W algebrze Kubusia elementarnych znaczków w logice matematycznej jest osiem i tylko osiem.
2.0 Elementarne prawa rachunku zero-jedynkowego dla spójników „i”(*) i „lub”(+)
Elementarne prawa rachunku zero-jedynkowego dla spójników „i”(*) i „lub”(+) to prawa niezbędne do minimalizacji dowolnie złożonych funkcji logicznych wyrażonych tymi spójnikami.
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0
Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja
| Kod: |
Zero-jedynkowa
definicja negacji
p ~p
A: 1 0
B: 0 1
1 2
|
W kolumnie 1 mamy zdefiniowaną zmienną binarną p która w osi czasu może przybierać tylko dwie wartości 1 albo 0.
Kolumna 2 to negacja (~) zmiennej binarnej p
~(1) = 0 - linia A
~(0) = 1 - linia B
Prawo podwójnego przeczenia w rachunku zero-jedynkowym:
p=~(~p)
Dowód formalny:
| Kod: |
p ~p ~(~p)
A: 1 0 1
B: 0 1 0
1 2 3
|
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 1=3 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Przykład:
Jestem uczciwy (U) = nie (~) jestem nieuczciwy (~U)
U = ~(~U)
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 1 0
D: 0* 0 0
1 2 3
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1
|
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 1 1
D: 0+ 0 0
1 2 3
Definicja spójnika „lub”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „lub”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
|
1.
Elementy neutralne w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Elementem neutralnym w spójniku „”i”(*) jest 1
A: p*1 =p
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest 0
B: p+0 =p
2.
Prawa redukcji zmiennych binarnych do 0 w spójniku „i”(*) oraz do 1 w spójniku „lub”(+)
Prawo redukcji zmiennych binarnych do 0 w spójniku „i”(*)
A: p*0 =0
Prawo redukcji zmiennych binarnych do 1 w spójniku „lub”(+)
B: p+1 =1
W ogólnym przypadku zmiennych może być dowolnie dużo i nie muszą to być te same zmienne:
p*q*r*0 =0
p+q+r+1 =1
3.
Prawo redukcji lub powielania dowolnej zmiennej binarnej:
A: p*p = p
B: p+p = p
Powyższe prawa działają dla dowolnej ilości zmiennych binarnych:
p*p*p*…*p =p
p+p+p+…+p =p
4.
Prawa definiujące dziedzinę dowolnego równania logicznego:
Zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p
A: D=p+~p =1
Zbiory p i ~p są rozłączne
Iloczyn logiczny zbiorów rozłącznych jest zbiorem pustym []
B: ~D=p*~p=[] =0
5.
Przemienność
Argumenty w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) są przemienne:
A: p*q = q*p
B: p+q = q+p
6.
Łączność
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) spełniają relację łączności
A: p*(q*r) = (p*q)*r
B: p+(q+r) = (p+q)+r
7.
Prawa De Morgana:
Prawo De Morgana dla spójnika „i”(*)
A: p*q = ~(~p+~q)
Prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+)
B: p+q = ~(~p*~q)
Wszystkie możliwe mutacje prawa De Morgana dla spójnika „i”(*) to:
p*q = ~(~p+~q)
p*~q = ~(~p+q)
~p*q = ~(p+~q)
~p*~q = ~(p+q)
Wszystkie możliwe mutacje prawa De Morgana dla spójnika „lub”(+) to:
p+q = ~(~p*~q)
p+~q = ~(~p*q)
~p+q = ~(p*~q)
~p+~q = ~(p*q)
8.
Definicja spójnika „lub”(+) w równaniu cząstkowym:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
9.
Definicja funkcji logicznej Y wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Funkcja logiczna Y wyrażona spójnikami „i”(+) i „lub”(+) to przyporządkowanie symbolowi Y dowolnej ilości zmiennych zanegowanych lub nie zanegowanych połączonych spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Funkcja logiczna może być zapisana w logice dodatniej (bo Y):
Przykład: Y=p+q*(r+s)
albo w logice ujemnej (bo ~Y)
Przykład: ~Y=a+~b*(c+~d)
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
Matematyczne tożsamości:
Spójnik „i”(*) = koniunkcja
Spójnik „lub”(+) = alternatywa
10.
Prawo negacji dowolnej funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną możemy wyłącznie dwustronnie negować
Y=f(x)
~Y=~f(x)
11.
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Przejście z logiki dodatniej (bo Y) do logiki ujemnej (bo ~Y) to dwustronna negacja funkcji logicznej Y
1.
Y=f(x)
2.
~Y=~f(x)
12.
Skrócone prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Przykład:
Y = p*q + ~p*~q
1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy
Y = (p*q)+(~p*~q)
2.
Negujemy zmienne wymieniając spójniki na przeciwne:
~Y = (~p+~q)*(p+q)
Domyślna kolejność wykonywania działań nie zmienia się:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
13.
Mnożenie wielomianów logicznych:
Zasady operowania na wielomianach logicznych są identyczne jak zasady operowania wielomianami w matematyce klasycznej.
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
Matematyczne tożsamości:
Spójnik „i”(*) = koniunkcja
Spójnik „lub”(+) = alternatywa
Przykład:
1.
Dana jest funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji):
Y = (p*q)+(~p*~q)
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = (~p+~q)*(p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
3.
Przejście z funkcji koniunkcyjno-alternatywnej do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej poprzez wymnożenie wielomianu.
~Y=(~p+~q)*(p+q)
~Y=~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p*~p=0
x*0 =0
stąd:
~Y=p*~q + ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna
4.
Przejście z funkcją 3 do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Krok 1
Uzupełniamy brakujące nawiasy
~Y = (p*~q)+(~p*q)
Krok 2
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Y = (~p+q)*(p+~q)
Matematycznie zachodzą tożsamości logiczne [=]:
1: Y=p*q+~p*~q [=] 4: Y=(~p+q)*(p+~q)
3: ~Y=p*~q + ~p*q [=] 2: (~p+~q)*(p+q)
Prawo Skowronka:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
3.0 Kubusiowa teoria zbiorów
Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze
Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć należących do Uniwersum
Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być zbiór.
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
W definicji zboru pustego wyraźnie chodzi o zawartość worka z napisem „zbiór pusty”, a nie o sam worek.
Zbiory mają wartość logiczną:
1 = prawda
0 = fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty (=1), zawierający przynajmniej jedno pojęcie zrozumiałe dla człowieka
[] =0 - zbiór pusty (=0), zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.
3.1 Podstawowe operacje na zbiorach
I.
Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
II.
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
III.
Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
2.4 Dziedzina i zaprzeczenie zbioru
Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy
Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.
Definicja zaprzeczenia (~) zbioru:
Zaprzeczeniem (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Zaprzeczenie zbioru (~) = Negacja zbioru (~)
Przykład
C=[M, K]
C- zbiór człowiek (nazwa zbioru)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
Dziedzina:
C = człowiek
Obliczenia przeczeń pojęć M i K tzn. ich uzupełnień do dziedziny D:
1.
~M=[C-M]=[M+K-M]=[K]=K
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~M=K
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie mężczyznę (~M=1) to na 100% => będzie to kobieta (K=1)
~M=>K =1
2.
~K=[C-K]=[M+K-K]=[M]=M
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~K=M
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% => będzie to mężczyzna (M=1)
~K=>M =1
3.2 Zbiór wszystkich zbiorów
Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z Uniwersum na mocy definicji Uniwersum.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Wszystkie pojęcia poza (~) Uniwersum są zbiorem pustym.
~U= [] =0
Dowód:
Przyjmijmy dziedzinę:
D = U
Na mocy definicji:
Zaprzeczenie zbioru (~) to jego uzupełnienie do dziedziny
Stąd:
~U=[D-U]=[U-U]=[] =0
Wynika z tego, że zbiór Uniwersum i zbiór pusty to zbiory rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny U
U+~U = U+[] =U =1 - zbiór ~U=[] jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru U
U*~U = U*[] =[] =0 - zbiory U i ~U=[] są rozłączne
3.3 Zbiory właściwe i niewłaściwe
Definicja zbioru właściwego:
Zbiór właściwy to zbiór mający nazwę własną należącą do Uniwersum (zrozumiałą dla człowieka)
Przykład:
C = [M, K] - zbiór C jest zbiorem 2-elementowym
C - zbiór człowiek (nazwa zbioru)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
[x] - zawartość zbioru, elementy zbioru rozdzielamy przecinkami
Nazwa zbioru „człowiek” jest zrozumiała przez każdego człowieka, dlatego ten zbiór należy do Uniwersum
Definicja zbioru niewłaściwego:
Zbiór niewłaściwy to zbiór którego nazwa własna nie należy do Uniwersum.
Przykłady zbiorów niewłaściwych p i q (typu mydło i powidło):
p=[pies, samochód, LN] - zbiór 3-elemetowy
q = [pies, samochód, LN, miłość] - zbiór 4-elementowy
Gdzie:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 7:46, 01 Kwi 2020, w całości zmieniany 6 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35331
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 20:00, 23 Cze 2019 Temat postu: |
|
|
4.0 Teoria zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Spis treści
4.0 Teoria zdań warunkowych „Jeśli p to q” 2
4.1 Definicje elementarne w zbiorach 2
4.1.1 Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów 2
4.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 2
4.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 3
4.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 3
4.1.5 Prawo Kobry w zbiorach 3
4.2 Definicje elementarne w zdarzeniach 3
4.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> 3
4.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach 4
4.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach 4
4.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 4
1.2.5 Prawo Kobry w zdarzeniach 4
4.3 Zdjęcie układu 4
4.3.1 Zdjęcie układu w zbiorach 4
4.3.2 Zdjęcie układu w zdarzeniach 5
4.4 Warunki wystarczające => i konieczne ~> w rachunku zero-jedynkowym 6
4.4.1 Zero-jedynkowe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 6
4.4.2 Brak przemienności argumentów w => i ~> 6
4.5 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 7
4.5.1 Prawa Kubusia 9
4.5.2 Prawa Tygryska 9
4.5.3 Prawa kontrapozycji 9
5.0 Definicje operatorów logicznych w algebrze Kubusia 9
5.1 Definicja operatora chaosu p|~~>q 9
5.2 Definicja operatora implikacji prostej p|=>q 10
5.3 Definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q 10
5.4 Definicja równoważności p<=>q 11
6.0 Szablony operatorów logicznych w zbiorach 11
6.1 Szablon operatora chaosu p|~~>q w zbiorach 12
6.2 Szablon implikacji prostej p|=>q w zbiorach 12
6.3 Szablon implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach 13
6.4 Szablon równoważności p<=>q w zbiorach 15
7.0 Szablony operatorów logicznych w zdarzeniach 16
7.1 Szablon operatora chaosu p|~~>q w zdarzeniach 17
7.2 Szablon implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach 17
7.3 Szablon implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach 18
7.4 Szablon równoważności p<=>q w zdarzeniach 20
6.0 Definicje obietnicy i groźby 21
6.1 Definicja obietnicy 21
6.2 Definicja groźby 22
6.3 Prawo Tygrysiątka 22
4.0 Teoria zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to dowodzenie prawdziwości/fałszywości zdań wypowiadanych przez człowieka.
Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik (fragment zdania po „Jeśli ..”)
q - następnik (fragment zdania po „to ..”)
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>
Definicje elementarne w algebrze Kubusia to:
p=>q - definicja warunku wystarczającego
p~>q - definicja warunku koniecznego
p~~>q - definicja elementu wspólnego zbiorów (zdarzenie możliwe w zdarzeniach)
p~~>~q=p*~q - definicja kontrprzykładu
4.1 Definicje elementarne w zbiorach
4.1.1 Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q=p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory mają co najmniej jeden element wspólny
4.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
4.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
4.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
Inaczej:
p~~>~q = p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
4.1.5 Prawo Kobry w zbiorach
Prawo Kobry w zbiorach:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” zakodowanego spójnikiem => lub ~> jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>
4.2 Definicje elementarne w zdarzeniach
4.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0
4.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
4.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
4.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
1.2.5 Prawo Kobry w zdarzeniach
Prawo Kobry w zdarzeniach:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” zakodowanego spójnikiem => lub ~> jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>
4.3 Zdjęcie układu
4.3.1 Zdjęcie układu w zbiorach
Zdjęcie układu w zbiorach:
Zdjęciem układu w zbiorach nazywamy analizę zdania warunkowego „Jeśli p to q” definicją elementu wspólnego zbiorów ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Jeśli p to q
p~~>q = p*q =?
p, q - zbiory definiowane przez zdanie „Jeśli p to q”
Czy istnieje element wspólny zbiorów p i q?
p~~>q =p*q =1 - TAK
Inaczej:
p~~>q=p*q =0 - NIE
Definicja negacji zbioru:
Negacją (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D
Przyjmujemy dziedzinę D.
Stąd mamy:
~p=[D-p]
~q=[D-q]
Zdjęcie układu opisywanego zdaniem „Jeśli p to q” definiuje tabela prawdy zdjęcia:
| Kod: |
Zdjęcie układu w zbiorach
A: p~~> q= p* q =?
B: p~~>~q= p*~q =?
C:~p~~>~q=~p*~q =?
D:~p~~> q=~p* q =?
p~~>q=p*q=1 - gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q=p*q=0
|
4.3.2 Zdjęcie układu w zdarzeniach
Zdjęcie układu w zdarzeniach:
Zdjęciem układu w zdarzeniach nazywamy analizę zdania warunkowego „Jeśli p to q” definicją zdarzenia możliwego ~~>
A.
Jeśli p to q
p~~>q = p*q =?
Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q?
p~~>q =p*q =1 - TAK
Inaczej:
p~~>q=p*q =0 - NIE
| Kod: |
Zdjęcie układu w zdarzeniach
A: p~~> q= p* q =?
B: p~~>~q= p*~q =?
C:~p~~>~q=~p*~q =?
D:~p~~> q=~p* q =?
p~~>q=p*q=1 - gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q=0
|
4.4 Warunki wystarczające => i konieczne ~> w rachunku zero-jedynkowym
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wynikają z rachunku zero-jedynkowego gdzie warunki te zdefiniowane są następująco.
4.4.1 Zero-jedynkowe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
| Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>
p q p=>q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 0 1
D: 0 1 1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
| Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>
p q p~>q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 0 1
D: 0 1 0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q
|
W obu definicjach p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Kolumny wynikowe są różne, z czego wynika różność powyższych tabel na mocy definicji:
p=>q ## p~>q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
4.4.2 Brak przemienności argumentów w => i ~>
Zbadajmy przemienność argumentów w warunku wystarczającym => i koniecznym ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego.
| Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>
p q p=>q q p q=>p
A: 1 1 1 1 1 1
B: 1 0 0 0 1 1
C: 0 0 1 0 0 1
D: 0 1 1 1 0 0
1 2 3 4 5 6
Brak tożsamości kolumn 3##6 jest dowodem formalnym
braku przemienności argumentów w warunku wystarczającym =>
|
| Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>
p q p~>q q p q~>p
A: 1 1 1 1 1 1
B: 1 0 1 0 1 0
C: 0 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 1 0 1
1 2 3 4 5 6
Brak tożsamości kolumn 3##6 jest dowodem formalnym
braku przemienności argumentów w warunku koniecznym ~>
|
4.5 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
| Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>
p q p=>q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 0 1
D: 0 1 1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
| Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>
p q p~>q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 0 1
D: 0 1 0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q
|
Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki miedzy warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
| Kod: |
Tabela A
Matematyczne związki znaczków => i ~>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1
1 2 3 4 5
|
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
| Kod: |
Tabela B
Matematyczne związki znaczków ~> i =>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0
1 2 3 4 5
|
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame)
Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Podsumowanie:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Definicje znaczków => i ~> w równaniu logicznym:
A: p=>q = ~p+q ## B: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Przykład wykorzystania:
Udowodnij prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
Definicja znaczka =>:
p=>q = ~p+q
Rozpisujemy prawą stronę:
~q=>~p = ~(~q)+~p = ~p+q = p=>q
cnd
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie kolumny zero-jedynkowe są różna na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Znaczenie znaczka różne na mocy definicji ##:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej przy pomocy którego jakiś człon z tożsamości A12345 stałby się tożsamy z którymkolwiek członem w tożsamości B12345. Gdyby tak się stało to logika matematyczna leży w gruzach.
Z powyższego układu równań mamy podstawowe prawa logiki matematycznej do codziennego stosowania.
4.5.1 Prawa Kubusia
Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne
Interpretacja dowolnego prawa logicznego
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
4.5.2 Prawa Tygryska
Prawa Tygryska:
Prawa Tygryska wiążą warunek wystarczający => i konieczny ~> z zamianą p i q
p=>q = q~>p
p~>q = q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne
4.5.3 Prawa kontrapozycji
Prawa kontrapozycji:
W prawach kontrapozycji negujemy zmienne p i q zamieniając je miejscami.
Spójnik logiczny (=> lub ~>) pozostaje bez zmian.
Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~q=>~q
q=>p = ~p=>~q
Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
p~>q = ~q~>~p
q~>p = ~p~>~q
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne p i q zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego => lub ~>.
5.0 Definicje operatorów logicznych w algebrze Kubusia
5.1 Definicja operatora chaosu p|~~>q
Definicja operatora chaosu p|~~>q
Operator chaosu p|~~>q to pokazanie jednego zdarzenia możliwego p~~>q oraz nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
p~~>q =p*q=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów (lub zdarzenie możliwe)
p=>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek konieczny ~>
Definicja operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
p|~~>q = (p~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1
Na mocy definicji operatora chaosu p|~~>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią operatora chaosu p|~~> potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość zdania p~~>q oraz udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii A1234 i fałszywość dowolnego zdania serii B1234
5.2 Definicja operatora implikacji prostej p|=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p=>q =1 - zachodzi (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Na mocy definicji implikacji prostej p|=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii B1234
5.3 Definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p~>q =1 - zachodzi (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
Na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii A1234
5.4 Definicja równoważności p<=>q
Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - zachodzi (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - zachodzi (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
Na mocy definicji równoważności p<=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz prawdziwość dowolnego zdania serii B1234
6.0 Szablony operatorów logicznych w zbiorach
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p i q
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i ~q mają element wspólny ~~>
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
6.1 Szablon operatora chaosu p|~~>q w zbiorach
Definicja operatora chaosu p|~~>q w zbiorach
Operator chaosu p|~~>q to pokazanie jednego elementu wspólnego zbiorów p i q (p~~>q=1) oraz nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
p~~>q =p*q=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
p|~~>q = (p~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1
| Kod: |
Tabela prawdy elementu wspólnego zbiorów ~~>
A: p~~> q= p* q=1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~~> p i q
B: p~~>~q= p*~q=1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~~> p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q=1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~~> ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q=1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~~> ~p i q
|
Operator chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q =1
2.
~Y = ~( A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q)=0
6.2 Szablon implikacji prostej p|=>q w zbiorach
Definicja implikacji prostej p|=>q
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Na mocy definicji implikacji prostej p|=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii B1234
| Kod: |
T1
Definicja implikacji prostej p|=>q w elementach wspólnych zbiorów ~~>
A: p~~> q= p* q =1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów p i q
B: p~~>~q= p*~q =0 - nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~p i q
1 2 3
|
| Kod: |
T2.
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach =>, ~> i ~~>
A: p=> q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B: p~~>~q= p*~q =0 - zbiory p i ~q nie mają (=0) części wspólnej
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A: p=>q = ~p~>~q
C:~p~> ~q =1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
D:~p~~> q=~p* q =1 - zbiory ~p i q mają (=1) część wspólną
1 2 3
|
Rozumowanie do zapamiętania:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =1
2.
Prawo Kubusia:
A: p=>q = ~p~>~q
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C
3.
Prawdziwość kontrprzykładu D wymusza fałszywość warunku wystarczającego => C:
C: ~p~>~q =0
4.
Prawo Kubusia:
C: ~p~>~q = A: p=>q
Fałszywość warunku wystarczającego C wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =0
Stąd mamy spełnioną definicję implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A: p=>q)*~(A: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1
6.3 Szablon implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
Na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii A1234
| Kod: |
T1
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w elementach wspólnych zbiorów ~~>
A: p~~> q= p* q =1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów p i q
B: p~~>~q= p*~q =1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =0 - nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~p i q
1 2 3
|
| Kod: |
T2.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach =>, ~> i ~~>
A: p~> q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
B: p~~>~q= p*~q =1 - zbiór p ma (=1) element wspólny ze zbiorem ~q
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A: p~>q = C: ~p=>~q
C:~p=> ~q =1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
D:~p~~> q=~p* q =0 - zbiór ~p nie ma (=0) elementu wspólnego ze zbiorem q
1 2 3
|
Rozumowanie do zapamiętania:
1.
Fałszywość kontrprzykładu D wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q =1
2.
Prawo Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Prawdziwość warunku wystarczającego => C wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B wymusza fałszywość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =0
4.
Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Fałszywość warunku wystarczającego A wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =0
Stąd mamy spełnioną definicję implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = (A: p~>q)*~(A: p=>q) =1*~(0) =1*1 =1
6.4 Szablon równoważności p<=>q w zbiorach
Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
Na mocy definicji równoważności p<=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz prawdziwość dowolnego zdania serii B1234
| Kod: |
T1
Definicja równoważności w elementach wspólnych zbiorów ~~>
A: p~~> q= p* q =1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów p i q
B: p~~>~q= p*~q =0 - nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =0 - nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~p i q
1 2 3
|
Rozumowanie do zapamiętania:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: p=>q =1
2.
Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =1
3.
Fałszywość kontrprzykładu D wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie)
C: ~p=>~q =1
4.
Prawo Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Prawdziwość warunku wystarczającego => C wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =1
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności w spójnikach => i ~~>:
| Kod: |
T2
Tabela prawdy równoważności <=> w spójnikach => i ~~>
RA:
p<=>q = (A: p=>q)*(C:~p=>~q)=1*1=1
A: p=> q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B: p~~>~q= p*~q=0 - zbiór p nie ma (=0) elementu wspólnego ze zbiorem ~q
RC:
~p<=>~q = (C:~p=>~q)*(A: p=>q)=1*1=1
C:~p=>~q =1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
D:~p~~> q=~p* q=0 - zbiór ~p nie ma (=0) elementu wspólnego ze zbiorem q
|
Z tabeli T2 odczytujemy definicję równoważności obowiązującą dla p:
RA.
p<=>q =(p=>q)*(~p=>~q) =1*1 =1
Prawo Kubusia zastosowane do RA:
~p=>~q = p~>q
Stąd definicja tożsama:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1
Prawo kontrapozycji zastosowane do RA:
~p=>~q = q=>p
Stąd definicja tożsama:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
Ostatnia definicja w zdarzeniach jest po prostu definicją tożsamości zbiorów p=q.
Twierdzenie śfinii:
Jeśli zbiory p i q są tożsame (p=q) to na 100% zachodzi równoważność p<=>q
p=q => p<=>q= (p=>q)*(q=>p)
Z tabeli T2 odczytujemy definicję równoważności obowiązującą dla ~p:
RC
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q) =1*1 =1
Prawo Kubusia zastosowane do RC:
p=>q = ~p~>~q
Stąd definicja tożsama:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~p~>~q) =1*1 =1
Prawo kontrapozycji zastosowane do RC:
p=>q = ~q=>~p
Stąd definicja tożsama:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p) =1*1 =1
Ostatnia definicja w zdarzeniach jest po prostu definicją tożsamości ~p=~q:
Twierdzenie śfinii:
Jeśli zbiory ~p i ~q są tożsame (~p=~q) to na 100% => zachodzi równoważność ~p<=>~q
~p=~q => ~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p) =1*1 =1
7.0 Szablony operatorów logicznych w zdarzeniach
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
7.1 Szablon operatora chaosu p|~~>q w zdarzeniach
Definicja operatora chaosu p|~~>q w zdarzeniach
Operator chaosu p|~~>q to pokazanie jednego zdarzenia możliwego p~~>q oraz nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
p~~>q =p*q=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów (lub zdarzenie możliwe)
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
p|~~>q = (p~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1
| Kod: |
Tabela prawdy zdarzenia zawsze możliwego ~~>
A: p~~> q= p* q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzenia p i q
B: p~~>~q= p*~q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesna zajście zdarzenia p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzenia ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzenia ~p i q
|
Operator chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q =1
2.
~Y = ~( A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q)=0
7.2 Szablon implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach
Definicja implikacji prostej p|=>q
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Na mocy definicji implikacji prostej p|=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii B1234
| Kod: |
T1
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach możliwych ~~>
A: p~~> q= p* q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q= p*~q =0 ;niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 ;możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1 ;możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
1 2 3
|
| Kod: |
T2.
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach =>, ~> i ~~>
A: p=> q =1 - zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla q
B: p~~>~q= p*~q =0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~> ~q =1 - zajście zdarzenia ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
D:~p~~> q=~p* q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
1 2 3
|
Rozumowanie do zapamiętania:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =1
2.
Prawo Kubusia:
A: p=>q = ~p~>~q
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C
3.
Prawdziwość kontrprzykładu D wymusza fałszywość warunku wystarczającego => C:
C: ~p~>~q =0
4.
Prawo Kubusia:
C: ~p~>~q = A: p=>q
Fałszywość warunku wystarczającego C wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =0
Stąd mamy spełnioną definicję implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A: p=>q)*~(A: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1
7.3 Szablon implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
Na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii A1234
| Kod: |
T1
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach możliwych ~~>
A: p~~> q= p* q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q= p*~q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 ;możliwe jest (=1)jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =0 ;niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
1 2 3
|
| Kod: |
T2.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach =>, ~> i ~~>
A: p~> q =1 - zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla q
B: p~~>~q= p*~q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p=> ~q =1 - zajście zdarzenia ~p jest wystarczające => dla ~q
D:~p~~> q=~p* q =0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
1 2 3
|
Rozumowanie do zapamiętania:
1.
Fałszywość kontrprzykładu D wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q =1
2.
Prawo Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Prawdziwość warunku wystarczającego => C wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B wymusza fałszywość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =0
4.
Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Fałszywość warunku wystarczającego A wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =0
Stąd mamy spełnioną definicję implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = (A: p~>q)*~(A: p=>q) =1*~(0) =1*1 =1
7.4 Szablon równoważności p<=>q w zdarzeniach
Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
Na mocy definicji równoważności p<=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz prawdziwość dowolnego zdania serii B1234
| Kod: |
T1
Definicja równoważności w zdarzeniach możliwych ~~>
A: p~~> q= p* q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q= p*~q =0 ;niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =0 ;niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
1 2 3
|
Rozumowanie do zapamiętania:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: p=>q =1
2.
Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =1
3.
Fałszywość kontrprzykładu D wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie)
C: ~p=>~q =1
4.
Prawo Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Prawdziwość warunku wystarczającego => C wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =1
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności w spójnikach => i ~~>:
| Kod: |
T2
Tabela prawdy równoważności <=> w spójnikach => i ~~>
A: p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B: p~~>~q= p*~q=0 - niemożliwa jest (=0) sytuacja zajdzie p i ~q
.. a jeśli nie zajdzie p (~p=1)?
C:~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
D:~p~~> q=~p* q=0 - niemożliwa jest (=0) sytuacja zajdzie ~p i q
|
Z tabeli T2 odczytujemy definicję równoważności obowiązującą dla p:
RA.
p<=>q =(p=>q)*(~p=>~q) =1*1 =1
Prawo Kubusia zastosowane do RA:
~p=>~q = p~>q)
Stąd definicja tożsama:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1
Prawo kontrapozycji zastosowane do RA:
~p=>~q = q=>p
Stąd definicja tożsama:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
Ostatnia definicja w zdarzeniach jest po prostu definicją tożsamości p=q:
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)
czyli:
Wciśnięcie przycisku p (p=1) jest tożsame [=] z zaświeceniem się diody LED (q=1)
Z tabeli T2 odczytujemy definicję równoważności obowiązującą dla ~p:
RC
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q) =1*1 =1
Prawo Kubusia zastosowane do RC:
p=>q = ~p~>~q
Stąd definicja tożsama:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~p~>~q) =1*1 =1
Prawo kontrapozycji zastosowane do RC:
p=>q = ~q=>~p
Stąd definicja tożsama:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p) =1*1 =1
Ostatnia definicja w zdarzeniach jest po prostu definicją tożsamości ~p=~q:
~p=~q <=> (~p=>~q)*(~q=>~p) =1*1 =1
czyli:
Nie wciśnięcie przycisku p (~p=1) jest tożsame [=] z nie zaświeceniem się diody LED (~q=1)
6.0 Definicje obietnicy i groźby
6.1 Definicja obietnicy
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1
Spełnienie warunku nagrody (W=1) jest warunkiem wystarczającym => otrzymania nagrody (N=1)
Na mocy definicji dowolna obietnica to warunek wystarczający => wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N o definicji.
W|=>N = (W=>N)*~(W~>N) = 1*~(0) =1*1 =1
W przypadku obietnicy nic a nic nie musimy udowadniać na mocy definicji:
Obietnica = warunek wystarczający => wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N
6.2 Definicja groźby
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Spełnienie warunku kary (W=1) jest warunkiem koniecznym ~> wykonania kary (K=1)
Na mocy definicji dowolna groźba to warunek konieczny ~> wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K o definicji.
W|~>K = (W~>K)*~(W=>K) = 1*~(0) =1*1 =1
W przypadku groźby nic a nic nie musimy udowadniać na mocy definicji:
Groźba = warunek konieczny ~> wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
6.3 Prawo Tygrysiątka
Prawo Tygrysiątka:
Wyłącznie w obietnicach i groźbach, w prawach Tygryska i kontrapozycji czas przyszły transformuje się do czasu przeszłego.
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => otworzę parasol
P=>OP =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => do tego bym otworzył parasol
Prawo kontrapozycji:
P=>OP = ~OP=>~P
Bez prawa Tygrysiątka:
Jeśli jutro nie otworzę parasola to na 100% => nie będzie padało
~OP=>~P =1
Z prawem Tygrysiątka:
Jeśli wczoraj nie otworzyłem parasola to na 100% => nie padało
~OP=>~P =1
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 6:17, 26 Wrz 2019, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
