Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Szach-mat który przejdzie do historii matematyki!
Idź do strony Poprzedni  1, 2, 3 ... 133, 134, 135 ... 156, 157, 158  Następny
 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35502
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Sob 20:32, 01 Maj 2021    Temat postu:
4.0 Armagedon ziemskiej algebry Boole’a

Zdecydowanie najciekawszy fragment "Nowej algebry Boole'a!"

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/nowa-algebra-boole-a-w-finalna,18893.html#593691

Nowa algebra Boole’a
4.0 Armagedon ziemskiej algebry Boole’a

Spis treści
4.0 Nieznana algebra Boole’a 1
4.1 Wstęp do Armagedonu algebry Boole’a 2
4.2 Armagedon ziemskiej algebry Boole’a na poziomie przedszkola 3
4.3 Armagedon algebry Boole’a w funkcjach jednoargumentowych 6
4.3.1 Przykład Armagedonu ziemskiej algebry Boole’a w przedszkolu 8
4.4 Armagedon algebry Boole’a w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 10
4.4.1 Przykład Armagedonu ziemskiej algebry Boole’a w przedszkolu 12
4.5 Armagedon algebry Boole’a w spójnikach równoważności <=> i „albo”($) 14
4.5.1 Przykład Armagedonu ziemskiej algebry Boole’a w przedszkolu 16



4.0 Nieznana algebra Boole’a

Dlaczego nieznana?
W tabeli spójników TS po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Definicja funkcji logicznej dwóch zmiennych binarnych:
Funkcja logiczna Y dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q to:
Kod:

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
   p  q  Y
A: 1  1  x
B: 1  0  x
C: 0  1  x
D: 0  0  x
Gdzie:
x=[0,1]

Z definicji funkcji logicznej wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
Kod:

TS - tabela wszystkich możliwych spójników logicznych
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki „i”(*)|Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |oraz „lub”(+)  |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          A  A    A  A    A  A   A  A     A    A     A    A     A  A  A  A
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9     10   11    12 13 14 15

W tabeli spójników TS po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.

Znaczenie najważniejszych znaczków w logice matematycznej które sukcesywnie będziemy poznawać w algebrze Kubusia:
Y=p*q - spójnik „i”(*) w języku potocznym
Y=p+q - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Y = p=>q =~p+q - definicja warunku wystarczającego => w języku potocznym
Y = p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w języku potocznym
Y = p<=>q = p*q+~p*~q - definicja spójnika „wtedy i tylko wtedy” <=> w języku potocznym
Y = p$q = p*~q+~p*q - definicja spójnika „albo”($) w języku potocznym
Zdarzenia:
Y = p~~>q =p*q - definicja zdarzenia możliwego ~~> w teorii zdarzeń w języku potocznym
tu wystarczy udowodnić, że możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
lub
Zbiory:
Y = p~~>q =p*q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> w teorii zbiorów w języku potocznym
tu wystarczy udowodnić iż istnieje wspólny element zbiorów p i q

4.1 Wstęp do Armagedonu algebry Boole’a

Ziemska algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków:
1 - prawda
0 - fałsz
(~) - negacja
„i”(*) - spójnik „i” z języka potocznego
„lub”(+) - spójnik „lub” z języka potocznego

Ziemska algebra Boole’a akceptuje wyłącznie funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y):
Y=f(x)
Przykład:
Y=p+q
Co w logice jedynek (funkcje alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Ziemski matematyk który będzie twierdził, iż funkcje logiczne algebry Boole’a to nie jest algebra Boole’a powinien skreślić słówko matematyk sprzed swego nazwiska.

W algebrze Boole’a dowolną funkcję logiczną Y wolno nam tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
~Y=~f(x)
Nasz przykład:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - bo prawo De Morgana
~Y=~p*~q
Co w logice jedynek (funkcje alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Ziemski matematyk który będzie twierdził, iż nie wolno dowolnej funkcji logicznej Y dwustronnie negować powinien spalić się ze wstydu i wziąć zimny prysznic.

Ziemscy matematycy potrafią zapisywać dowolne funkcje logiczne algebry Boole’a tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y).

Twierdzenie Smoka:
Algebra Boole’a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna

Wniosek z twierdzenia Smoka:
Ziemska algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna

Dowód twierdzenia Smoka na przykładach w następnych punktach.

4.2 Armagedon ziemskiej algebry Boole’a na poziomie przedszkola

Fragment następnego rozdziału (pkt. 5.0):
S1
Fizyczna realizacja układu logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
A1: Y=p+q # B1: ~Y=~p*~q
Kod:

Schemat: S1                         q
                                 =======
                           ------o     o------
                           |                 |
           Y               |        p        |
     --------------        |     =======     |
   --|  żarówka   |--------|-----o     o-----|-------
   |  -------------                                 |
   |                                                |
-------                                             |
  ---   U (zasilanie)                               |
   |                                                |
   --------------------------------------------------
p, q - przyciski normalnie rozwarte (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)

Opis układu A1B1:
A1:
Żarówka świeci się (Y) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk p (p) lub wciśnięty jest przycisk q (q)
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Innymi słowy:
Wystarczy że którykolwiek z przycisków jest wciśnięty i już żarówka świeci się

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B1:
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q)
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Znaczenie zmiennych:
Y - żarówka świeci się
~Y - żarówka nie świeci się
Zapisy tożsame:
Y=1 - prawdą jest (=1), że żarówka świeci się (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1), że żarówka nie świeci się (~Y)

Jest oczywistym, że powyższy, trywialny opis działania układu ze schematu S1 znany jest każdemu uczniowi I klasy LO, znany jest każdemu ziemskiemu matematykowi.
Na czym polega tragedia wszystkich ziemskich matematyków w opisie układu S1?

Ziemski matematyk nie znając pojęcia funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) zapisuje zdania A1 i B1 jako dwa niezależne zdania tak:
A1’.
Żarówka świeci się (Y) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przyciska p (p) lub wciśnięty jest przycisk q (q)
Y = p+q

.. a kiedy żarówka nie świeci się?
Ziemski matematyk odpowiada:
B1’.
Żarówka nie świeci się (Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q)
Y=~p*~q

Zauważmy, że bez funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) sprzeczność czysto matematyczną widzi tu każdy uczeń I klasy LO (z wyjątkiem ziemskich matematyków, niestety).
A1’: Y - żarówka świeci się
B1’: Y - żarówka nie świeci się
Sprzeczność czysto matematyczną widzi tu każdy przedszkolak!
cnd

Matematycznym kodowaniem zdań A1’ i B1’ (wyłącznie funkcjami w logice dodatniej bo Y) ziemski matematyk obala własną algebrę Boole’a tylko nie jest tego świadom.
Dowód:
Poprawny opis matematyczny układu S1 jest następujący:
Kod:

T1
Tabela prawdy dla schematu S1
A1: Y=p+q # B1: ~Y=~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej

Teraz uwaga panowie matematycy:
Zapisując funkcję logiczną B1 w logice dodatniej (bo Y) robicie błąd czysto matematyczny polegający na zabiciu kluczowego tu znaczka różne #.

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Kod:

T2
Tabela gówno-prawdy dla schematu S1 ziemskich matematyków
A1’: Y=p+q # B1’: Y=~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej

Zauważmy, że w tabeli T2 definicja znaczka różne # legła w gruzach - dokładnie to morderstwo popełniają absolutnie wszyscy ziemscy matematycy nie będąc tego świadomym.
Doskonale widać, że matematycy kodując oba zdania A1’ i B1’ funkcją logiczną w logice dodatniej (bo Y) zabijają swoją własną algebrę Boole’a, czyniąc ją wewnętrznie sprzeczną na poziomie funkcji logicznych algebry Boole’a
cnd

Uwaga:
Jedyna linia obrony ziemskich matematyków może tu być taka:
B1’
Y=~p*~q
Gdzie:
a)
Y=0 - żarówka nie świeci się
stąd zapis zdania B1’:
Y=0 <=> ~p*~q
b)
Y=1 - żarówka świeci się
Stąd zapis zdania A1’:
Y=1 <=> p+q
Problem w tym, że matematyk który tak opisze schemat S1 wpada z deszczu pod rynnę, udowadniając iż nie zna definicji funkcji logicznej!
Dowód:
W dowolnym podręczniku matematyki znajdziemy funkcje logiczne typu:
Y = ~p*~q
ale nigdzie nie znajdziemy gówno-funkcji logicznej typu:
Y=0 <=> ~p*~q

Definicja funkcji logicznej Y w logice matematycznej:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. ~p*~q) przypisane do tej funkcji.

Przykłady poprawnych funkcji logicznych:
Y = ~p*~q
Y=p+q
etc

Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=0<=>~p*~q
Y=1<=>~p*~q
Y=~p*(~q=1)
etc


4.3 Armagedon algebry Boole’a w funkcjach jednoargumentowych

Operatory jednoargumentowe w tabel TS to:
A12: Y=p
A13: Y=q
A14: Y=~p
A15: Y=~q
Z faktu iż mamy tu do czynienia z operatorami jednoargumentowymi, za bazę do dalszych rozważań możemy przyjąć dwie funkcje logiczne.

Weźmy funkcję logiczną A12 zmieniając indeksowanie na A1 co jest bez znaczenia:
A1:
Y=p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1
Dowolną funkcję logiczną mamy prawo zanegować dwustronnie, stąd:
B1:
~Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1

Stąd mamy:
A1: Y=p # B1: ~Y=~p

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Weźmy funkcję logiczną A14 zmieniając indeksowanie na A2 co jest bez znaczenia:
A2:
Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
Dowolną funkcję logiczną mamy prawo zanegować dwustronnie, stąd:
B2:
~Y=p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1

Stąd mamy:
A2: Y=~p # B2: ~Y=p

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Zapiszmy funkcje logiczne A1 i A2 w tabeli prawdy:
Kod:

T1
A1: Y=p     ##  A2: Y=~p
    #       ##      #
B1:~Y=~p    ##  B2:~Y=p

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać iż w tabeli T1 definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Dogmat ziemskich matematyków:
My, ziemscy matematycy wszelkie funkcje logiczne zapisujemy tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y). Logika ujemna (bo ~Y) jest nam psu na budę potrzebna, to wymysł majaczeń Rafała3006.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/czysto-matematyczne-obalenie-logiki-matematycznej-ziemian,9269-225.html#310261
idiota napisał:
Chyba ostatecznie przegrzaliśmy rafałowi pozostałości mózgu.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/prawo-subalternacji,8368-2000.html#299283
idiota napisał:
Boże, co za bzdury...
To niesamowite jak rafał swoim nierozumieniem niczego potrafi sobie w głowie posklejać co się da i zrobić to jakoś odnoszące się do jego idee fixe...
Przecież tego nie ma sensu nawet wyjaśniać, bo widać tu raczej symptomy choroby, a nie rozumowanie.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/p-1-i-q-1-ale-p-q-0,10575-450.html#369345
Irbisol napisał:
Ty jesteś naprawdę ograniczony - nie ma z tobą podstawowego kontaktu ... Nie wiem, jak do ciebie przemówić, bo twoja głupota przerasta wszystko, co do tej pory spotkałem na wielu forach

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1050.html#415439
Irbisol napisał:

Po prostu nie mam już słów na wyrażenie stopnia twojego upośledzenia, które nie pozwala ci tego pojąć.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1150.html#418651
Irbisol napisał:
Debil by zrozumiał, dlatego nie nazywam cię debilem, żeby debili nie obrażać.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-2400.html#526961
Irbisol napisał:
Jestem tu tylko dlatego, żeby zobaczyć, jakiego jeszcze większego debila będziesz z siebie robił. Zawsze mam wrażenie, że sięgnąłeś dna - i zawsze się mylę - tam niżej jeszcze coś jest i ty to odkrywasz.


Zgodnie z aktualnym dogmatem ziemskich matematyków w tabeli T1 likwidujemy przeczenia przy funkcjach logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
Kod:

T1’
A1: Y=p     ##  A2: Y=~p
    #       ##      #
B1: Y=~p    ##  B2: Y=p

Doskonale widać, że dostaliśmy wewnętrzną sprzeczność ziemskiej algebry Boole’a:
Po pierwsze:
Znaczek negacji funkcji logicznej # leży w gruzach.
Po drugie:
Leży i kwiczy definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ## bowiem zachodzi tożsamość funkcji logicznych po przekątnych:
Kod:

A1: Y=p  [=] B2: Y=p
A2: Y=~p [=] B1: Y=~p

Wniosek:
Nie do obrony jest algebra Boole’a bez pojęcia funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz w funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) - taka algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna!
cnd

4.3.1 Przykład Armagedonu ziemskiej algebry Boole’a w przedszkolu

I.
Pani w przedszkolu nr.1 mówi:
A1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Y=K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1

Znaczenie funkcji logicznej Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)
Innymi słowy:
Y=1 - prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Pani skłamie (~Y) = Pani nie dotrzyma słowa (~Y)

… a kiedy pani skłamie?
Negujemy funkcję logiczną A1 dwustronnie:
B1.
~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina
~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1

Na mocy powyższego zapisujemy:
A1: Y=K # B1: ~Y=~K
gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej strony

II.
Pani w przedszkolu nr.2 mówi:
A2.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy funkcję logiczną A2 dwustronnie:
B2.
~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1

Na mocy powyższego zapisujemy:
A2: Y=~K # B2: ~Y=K
gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej strony

Zapiszmy dialogi z obu przedszkoli w tabeli prawdy:
Kod:

T1
A1: Y=K     ##  A2: Y=~K
    #       ##      #
B1:~Y=~K    ##  B2:~Y=K

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać iż w tabeli T1 definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Dogmat ziemskich matematyków:
My, ziemscy matematycy, wszelkie funkcje logiczne zapisujemy tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y). Logika ujemna (bo ~Y) jest nam psu na budę potrzebna, to wymysł majaczeń Rafała3006.

Zgodnie z aktualnym dogmatem wszystkich ziemskich matematyków w tabeli T1 likwidujemy przeczenia przy funkcjach logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
Kod:

T1’
A1: Y=K     ##  A2: Y=~K
    #       ##      #
B1: Y=~K    ##  B2: Y=K

Doskonale widać, że dostaliśmy wewnętrzną sprzeczność ziemskiej algebry Boole’a:
Po pierwsze:
Znaczek negacji funkcji logicznej # leży w gruzach.
Po drugie:
Leży i kwiczy definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ## bowiem zachodzi tożsamość funkcji logicznych po przekątnych:
Kod:

A1: Y=p  [=] B2: Y=p
A2: Y=~p [=] B1: Y=~p

Wniosek:
Nie do obrony jest algebra Boole’a bez pojęcia funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz w funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) - taka algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna!
cnd


4.4 Armagedon algebry Boole’a w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) w tabeli spójników TS to funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y):
A0: Y=p*q
A1: Y=p+q
A2: Y=~(p*q) = ~p+~q - na mocy prawa De Morgana
A3: Y=~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana

Weźmy funkcję logiczną A1: Y=p+q:
A1:
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

… a kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
Dowolną funkcję logiczną mamy prawo zanegować dwustronnie, stąd:
~Y=~(p+q)=~p*~q - prawo De Morgana
B1:
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1

Stąd mamy:
A1: Y=p+q # B1: ~Y=~p*~q

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Weźmy funkcję logiczną A3: Y=~p*~q zmieniając indeksowanie na A2: Y=~p*~q co jest bez znaczenia:
A2:
Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

… a kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
Dowolną funkcję logiczną mamy prawo zanegować dwustronnie, stąd:
~Y=~(~p*~q) = p+q - prawo De Morgana
B2:
~Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 lub q=1

Stąd mamy:
A1: Y=~p # B2: ~Y=p

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Zapiszmy funkcje logiczne A1 i A2 w tabeli prawdy:
Kod:

T1
A1: Y=p+q    ##  A2: Y=~p*~q
    #        ##      #
B1:~Y=~p*~q  ##  B2:~Y=p+q

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać iż w tabeli T1 definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Dogmat ziemskich matematyków:
My, ziemscy matematycy wszelkie funkcje logiczne zapisujemy tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y). Logika ujemna (bo ~Y) jest nam psu na budę potrzebna, to wymysł majaczeń Rafała3006.

Zgodnie z aktualnym dogmatem ziemskich matematyków w tabeli T1 likwidujemy przeczenia przy funkcjach logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
Kod:

T1’
A1: Y=p+q    ##  A2: Y=~p*~q
    #        ##      #
B1: Y=~p*~q  ##  B2: Y=p+q

Doskonale widać, że dostaliśmy wewnętrzną sprzeczność ziemskiej algebry Boole’a:
Po pierwsze:
Znaczek negacji funkcji logicznej # leży w gruzach.
Po drugie:
Leży i kwiczy definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ## bowiem zachodzi tożsamość funkcji logicznych po przekątnych:
Kod:

A1: Y=p+q   [=] B2: Y=p+q
A2: Y=~p*~q [=] B1: Y=~p*~q

Wniosek:
Nie do obrony jest algebra Boole’a bez pojęcia funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz w funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) - taka algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna!
cnd

4.4.1 Przykład Armagedonu ziemskiej algebry Boole’a w przedszkolu

I.
Pani w przedszkolu Nr.1 mówi:
A1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub to teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Innymi słowy:
Pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa (Y=1)

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną A1.
~Y=~(K+T) = ~K*~T - prawo De Morgana
Stąd mamy:
B1:
~Y = ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Pani w przedszkolu Nr.2 mówi:
A2.
Jutro nie pójdziemy ani do kina (~K=1), ani do teatru (~T=1)
zdanie tożsame:
Jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną A2:
~Y=~(~K*~T)=K+T
Stąd mamy:
B2:
~Y = K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
Innymi słowy:
Pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y=1)

Znaczenie symboli Y i ~Y:
1.
Znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa
Jedynki w logice matematycznej są domyślne, stąd zapis tożsamy:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(Y=1)=(~Y=0)
stąd kolejny zapis tożsamy:
~Y=0 - fałszem jest (=0), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa
2.
Znaczenie symbolu ~Y:
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Jedynki w logice matematycznej są domyślne, stąd zapis tożsamy:
~Y=1 - prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(~Y=1)=(Y=0)
Stąd kolejny zapis tożsamy:
Y=0 - fałszem jest (=0) że pani dotrzyma słowa (Y)
Innymi słowy:
Pani skłamie

Zapiszmy zdania z przedszkola Nr.1 i Nr.2 w tabeli prawdy:
Kod:

T1
A1:  Y= K+ T  ## A2:  Y=~K*~T
     #                #
B1: ~Y=~K*~T  ## B2: ~Y= K+ T
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać iż w tabeli T1 definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Dogmat ziemskich matematyków:
My, ziemscy matematycy, wszelkie funkcje logiczne zapisujemy tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y). Logika ujemna (bo ~Y) jest nam psu na budę potrzebna, to wymysł majaczeń Rafała3006.

Zgodnie z aktualnym dogmatem ziemskich matematyków w tabeli T1 likwidujemy przeczenia przy funkcjach logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
Kod:

T1’
A1: Y=K+T    ##  A2: Y=~K*~T
    #        ##      #
B1: Y=~K*~T  ##  B2: Y=K+T

Doskonale widać, że dostaliśmy wewnętrzną sprzeczność ziemskiej algebry Boole’a:
Po pierwsze:
Znaczek negacji funkcji logicznej # leży w gruzach.
Po drugie:
Leży i kwiczy definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ## bowiem zachodzi tożsamość funkcji logicznych po przekątnych:
Kod:

A1: Y=K+T   [=] B2: Y=K+T
A2: Y=~K*~T [=] B1: Y=~K*~T

Wniosek:
Nie do obrony jest algebra Boole’a bez pojęcia funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz w funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) - taka algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna!
cnd

4.5 Armagedon algebry Boole’a w spójnikach równoważności <=> i „albo”($)

Ziemska algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków:
1 - prawda
0 - fałsz
(~) - negacja
„i”(*) - spójnik „i” z języka potocznego
„lub”(+) - spójnik „lub” z języka potocznego

Z tabeli wszystkich możliwych spójników TS odczytujemy:
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”
A6: Y = (p<=>q) = p*q + ~p*~q
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
A10: Y = (p$q) = p*~q + ~p*q

Weźmy funkcję logiczną A6: Y=p<=>q zmieniając indeksowanie na A1: Y=p<=>q co jest bez znaczenia:
A1:
Y=(p<=>q) =p*q+~p*~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

… a kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
Dowolną funkcję logiczną mamy prawo zanegować dwustronnie.
A1: Y = (p<=>q) = (p*q)+(~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y = ~(p<=>q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
Stąd:
B1:
~Y=~(p<=>q) = p*~q + ~p*q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

Stąd mamy:
A1: Y=p*q+~p*~q # B1: ~Y=p*~q + ~p*q

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Weźmy funkcję logiczną A10: Y= p$q zmieniając indeksowanie na A2: Y= p$q co jest bez znaczenia:
A2:
Y= (p$q) = p*~q + ~p*q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

… a kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
Dowolną funkcję logiczną mamy prawo zanegować dwustronnie:
A2: Y = (p$q) = (p*~q)+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y=~(p$q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p +~p*~q + q*p + q*~q = p*q + ~p*~q
Stąd:
B2:
~Y= ~(p$q) = p*q + ~p*~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Stąd mamy:
A2: Y=(p$q) = p*~q + ~p*~q # B2: ~Y=~(p$q) = p*q + ~p*~q

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Zapiszmy funkcje logiczne A1 i A2 w tabeli prawdy:
Kod:

T1
A1: Y= (p<=>q)=p*q+~p*~q  ##  A2: Y= (p$q)=p*~q+~p*q
    #                     ##      #
B1:~Y=~(p<=>q)=p*~q+~p*q  ##  B2:~Y=~(p$q)=p*q+~p*~q

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać iż w tabeli T1 definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Dogmat ziemskich matematyków:
My, ziemscy matematycy wszelkie funkcje logiczne zapisujemy tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y). Logika ujemna (bo ~Y) jest nam psu na budę potrzebna, to wymysł majaczeń Rafała3006.

Zgodnie z aktualnym dogmatem ziemskich matematyków w tabeli T1 likwidujemy przeczenia przy funkcjach logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
Kod:

T1’
A1: Y= (p<=>q)=p*q+~p*~q  ##  A2: Y= (p$q)=p*~q+~p*q
    #                     ##      #
B1: Y= (p<=>q)=p*~q+~p*q  ##  B2: Y= (p$q)=p*q+~p*~q

Doskonale widać, że dostaliśmy wewnętrzną sprzeczność ziemskiej algebry Boole’a:
Po pierwsze:
Znaczek negacji funkcji logicznej # leży w gruzach.
Po drugie:
Leży i kwiczy definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ## bowiem zachodzi tożsamość funkcji logicznych po przekątnych:
Kod:

A1: Y=p*q+~p*~q  [=] B2: Y=p*q+~p*~q
A2: Y=p*~q+~p*q  [=] B1: Y=p*~q+~p*q

Wniosek:
Nie do obrony jest algebra Boole’a bez pojęcia funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz w funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) - taka algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna!
cnd

4.5.1 Przykład Armagedonu ziemskiej algebry Boole’a w przedszkolu

I.
Pani w przedszkolu Nr.1 mówi:
A1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) tylko wtedy, gdy pójdziemy do teatru (T=1)
Innymi słowy:
Jutro pójdziemy do kina (K=1) wtedy i tylko wtedy, gdy pójdziemy do teatru (T=1)
Y=(K<=>T) = A: K*T + C: ~K*~T
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = K*T =1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
Yc = ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną A1.
B1:
~Y = ~(K<=>T) = B: K*~T + D: ~K*T
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub D: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Yb=K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
~Yd = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Pani w przedszkolu Nr.2 mówi:
A2.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) „albo”($) do teatru (T=1)
Y= (K$T) = B: K*~T + D: ~K*T
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub D: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Yb=K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
Yd =~K*T =1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)


… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Stąd mamy:
B2:
~Y = ~(K$T) = A: K*T + C: ~K*~T
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Ya=K*T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
~Yc=~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Znaczenie symboli Y i ~Y:
1.
Znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa
Jedynki w logice matematycznej są domyślne, stąd zapis tożsamy:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(Y=1)=(~Y=0)
stąd kolejny zapis tożsamy:
~Y=0 - fałszem jest (=0), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa
2.
Znaczenie symbolu ~Y:
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Jedynki w logice matematycznej są domyślne, stąd zapis tożsamy:
~Y=1 - prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(~Y=1)=(Y=0)
Stąd kolejny zapis tożsamy:
Y=0 - fałszem jest (=0) że pani dotrzyma słowa (Y)
Innymi słowy:
Pani skłamie

Zapiszmy zdania z przedszkola Nr.1 i Nr.2 w tabeli prawdy:
Kod:

T1
Przedszkole Nr.1          ##  Przedszkole Nr.2
A1: Y= (K<=>T)=K*T+~K*~T  ##  A2: Y= (K$T)=K*~T+~K*T
    #                     ##      #
B1:~Y=~(K<=>T)=K*~T+~K*T  ##  B2:~Y=~(K$T)=K*T+~K*~T

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać iż w tabeli T1 definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Dogmat ziemskich matematyków:
My, ziemscy matematycy, wszelkie funkcje logiczne zapisujemy tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y). Logika ujemna (bo ~Y) jest nam psu na budę potrzebna, to wymysł majaczeń Rafała3006.

Zgodnie z aktualnym dogmatem ziemskich matematyków w tabeli T1 likwidujemy przeczenia przy funkcjach logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
Kod:

T1’
Przedszkole Nr.1          ##  Przedszkole Nr.2
A1: Y= (K<=>T)=K*T+~K*~T  ##  A2: Y= (K$T)=K*~T+~K*T
    #                     ##      #
B1: Y= (K<=>T)=K*~T+~K*T  ##  B2: Y= (K$T)=K*T+~K*~T

Doskonale widać, że dostaliśmy wewnętrzną sprzeczność ziemskiej algebry Boole’a:
Po pierwsze:
Znaczek negacji funkcji logicznej # leży w gruzach.
Po drugie:
Leży i kwiczy definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ## bowiem zachodzi tożsamość funkcji logicznych po przekątnych:
Kod:

A1: Y=(K<=>T)=K*T+~K*~T [=] B2: Y=(K$T)=K*T+~K*~T
A2: Y=(K$T)=K*~T+~K*T   [=] B1: Y=(K<=>T)=K*~T+~K*T

Wniosek:
Nie do obrony jest algebra Boole’a bez pojęcia funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz w funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) - taka algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna!
cnd

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 2:19, 03 Maj 2021, w całości zmieniany 5 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35502
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Nie 6:11, 02 Maj 2021    Temat postu:
Ziemscy matematycy to mordercy swojej własnej algebry Boole’a, tylko nie są tego faktu świadomi!

Do powyższego rozdziału, dosłownie przed chwilą, dopisałem dowód czysto matematyczny iż ziemscy matematycy to mordercy zabijający swoje własne dziecko - algebrę Boole'a.

Cytuję fragment demaskujący morderstwo ziemskich matematyków:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/nowa-algebra-boole-a-w-finalna,18893.html#593691


4.1 Wstęp do Armagedonu algebry Boole’a

Ziemska algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków:
1 - prawda
0 - fałsz
(~) - negacja
„i”(*) - spójnik „i” z języka potocznego
„lub”(+) - spójnik „lub” z języka potocznego

Ziemska algebra Boole’a akceptuje wyłącznie funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y):
Y=f(x)
Przykład:
Y=p+q
Co w logice jedynek (funkcje alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Ziemski matematyk który będzie twierdził, iż funkcje logiczne algebry Boole’a to nie jest algebra Boole’a powinien skreślić słówko matematyk sprzed swego nazwiska.

W algebrze Boole’a dowolną funkcję logiczną Y wolno nam tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
~Y=~f(x)
Nasz przykład:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - bo prawo De Morgana
~Y=~p*~q
Co w logice jedynek (funkcje alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Ziemski matematyk który będzie twierdził, iż nie wolno dowolnej funkcji logicznej Y dwustronnie negować powinien spalić się ze wstydu i wziąć zimny prysznic.

Ziemscy matematycy potrafią zapisywać dowolne funkcje logiczne algebry Boole’a tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y).

Twierdzenie Smoka:
Algebra Boole’a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna

Wniosek z twierdzenia Smoka:
Ziemska algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna

Dowód twierdzenia Smoka na przykładach w następnych punktach.

4.2 Armagedon ziemskiej algebry Boole’a na poziomie przedszkola

Fragment następnego rozdziału (pkt. 5.0):
S1
Fizyczna realizacja układu logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
A1: Y=p+q # B1: ~Y=~p*~q
Kod:

Schemat: S1                         q
                                 =======
                           ------o     o------
                           |                 |
           Y               |        p        |
     --------------        |     =======     |
   --|  żarówka   |--------|-----o     o-----|-------
   |  -------------                                 |
   |                                                |
-------                                             |
  ---   U (zasilanie)                               |
   |                                                |
   --------------------------------------------------
p, q - przyciski normalnie rozwarte (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)

Opis układu A1B1:
A1:
Żarówka świeci się (Y) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk p (p) lub wciśnięty jest przycisk q (q)
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Innymi słowy:
Wystarczy że którykolwiek z przycisków jest wciśnięty i już żarówka świeci się

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B1:
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q)
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Znaczenie zmiennych:
Y - żarówka świeci się
~Y - żarówka nie świeci się
Zapisy tożsame:
Y=1 - prawdą jest (=1), że żarówka świeci się (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1), że żarówka nie świeci się (~Y)

Jest oczywistym, że powyższy, trywialny opis działania układu ze schematu S1 znany jest każdemu uczniowi I klasy LO, znany jest każdemu ziemskiemu matematykowi.
Na czym polega tragedia wszystkich ziemskich matematyków w opisie układu S1?

Ziemski matematyk nie znając pojęcia funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) zapisuje zdania A1 i B1 jako dwa niezależne zdania tak:
A1’.
Żarówka świeci się (Y) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przyciska p (p) lub wciśnięty jest przycisk q (q)
Y = p+q

.. a kiedy żarówka nie świeci się?
Ziemski matematyk odpowiada:
B1’.
Żarówka nie świeci się (Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q)
Y=~p*~q

Zauważmy, że bez funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) sprzeczność czysto matematyczną widzi tu każdy uczeń I klasy LO (z wyjątkiem ziemskich matematyków, niestety).
A1’: Y - żarówka świeci się
B1’: Y - żarówka nie świeci się
Sprzeczność czysto matematyczną widzi tu każdy przedszkolak!
cnd

Matematycznym kodowaniem zdań A1’ i B1’ (wyłącznie funkcjami w logice dodatniej bo Y) ziemski matematyk obala własną algebrę Boole’a tylko nie jest tego świadom.
Dowód:
Poprawny opis matematyczny układu S1 jest następujący:
Kod:

T1
Tabela prawdy dla schematu S1
A1: Y=p+q # B1: ~Y=~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej

Teraz uwaga panowie matematycy:
Zapisując funkcję logiczną B1 w logice dodatniej (bo Y) robicie błąd czysto matematyczny polegający na zabiciu kluczowego tu znaczka różne #.

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Kod:

T2
Tabela gówno-prawdy dla schematu S1 ziemskich matematyków
A1’: Y=p+q # B1’: Y=~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej

Zauważmy, że w tabeli T2 definicja znaczka różne # legła w gruzach - dokładnie to morderstwo popełniają absolutnie wszyscy ziemscy matematycy nie będąc tego świadomym.
Doskonale widać, że matematycy kodując oba zdania A1’ i B1’ funkcją logiczną w logice dodatniej (bo Y) zabijają swoją własną algebrę Boole’a, czyniąc ją wewnętrznie sprzeczną na poziomie funkcji logicznych algebry Boole’a
cnd

Uwaga:
Jedyna linia obrony ziemskich matematyków może tu być taka:
B1’
Y=~p*~q
Gdzie:
a)
Y=0 - żarówka nie świeci się
stąd zapis zdania B1’:
Y=0 <=> ~p*~q
b)
Y=1 - żarówka świeci się
Stąd zapis zdania A1’:
Y=1 <=> p+q
Problem w tym, że matematyk który tak opisze schemat S1 wpada z deszczu pod rynnę, udowadniając iż nie zna definicji funkcji logicznej!
Dowód:
W dowolnym podręczniku matematyki znajdziemy funkcje logiczne typu:
Y = ~p*~q
ale nigdzie nie znajdziemy gówno-funkcji logicznej typu:
Y=0 <=> ~p*~q

Definicja funkcji logicznej Y w logice matematycznej:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. ~p*~q) przypisane do tej funkcji.

Przykłady poprawnych funkcji logicznych:
Y = ~p*~q
Y=p+q
etc

Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=0<=>~p*~q
Y=1<=>~p*~q
Y=~p*(~q=1)
etc

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 2:31, 03 Maj 2021, w całości zmieniany 6 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Kubuś




Dołączył: 03 Paź 2017
Posty: 872
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Nie 14:13, 02 Maj 2021    Temat postu:
http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie-script-src-http-wujzboj-com-sfinia-hideu-js-script,20/mord-na-sprawiedliwym-i-jego-zmartwychwstanie,4928-30625.html#593943

Kubuś napisał:
Komandor napisał:
Stek banałów pomieszany z bzdurami.

Poziom niedoszłego elektryka po 1 klasie zawodówki, któremu na starość udało się przeczytać podręcznik logiki dla LO i mu odjebało.

Co niemerytorycznie? A jak z takim merytorycznie? Strata czasu.

Komandorze, zacytuj jedną bzdurę z linku niżej - a widzisz, nie potrafisz.

Komandorze, zgoda iż dla matematyka który chociażby liznął algebrę Boole'a cały mój post do którego podaję link niżej to banał.
Sęk w tym że ty masz ZEROWE pojęcie o algebrze Boole'a - jeśli twierdzisz że nie to zacytuj mi kluczową w tym poście definicję funkcji logicznej algebry Boole'a (jest w końcu mojego postu).
Biorąc powyższe pod uwagę nie mamy żadnych szans na dyskusję.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-3325.html#593889
rafal3006 napisał:
Ziemscy matematycy to mordercy swojej własnej algebry Boole’a, tylko nie są tego faktu świadomi!

Do powyższego rozdziału, dosłownie przed chwilą, dopisałem dowód czysto matematyczny iż ziemscy matematycy to mordercy zabijający swoje własne dziecko - algebrę Boole'a.


P.S.
JWP Barycki, może Pan patrzeć i podziwiać jak przerażony Komandor zamiast zacytować jedną bzdurę z powyższego linku spieprza w krzaki ...
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Kubuś




Dołączył: 03 Paź 2017
Posty: 872
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Nie 14:15, 02 Maj 2021    Temat postu:
http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie-script-src-http-wujzboj-com-sfinia-hideu-js-script,20/mord-na-sprawiedliwym-i-jego-zmartwychwstanie,4928-30625.html#593951

Kubuś napisał:
Komandor napisał:
A1’: Y - żarówka świeci się
B1’: Y - żarówka nie świeci się
Sprzeczność czysto matematyczną widzi tu każdy przedszkolak!


http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-3325.html#593889

rafal3006 napisał:

Kod:

Schemat: S1                         q
                                 =======
                           ------o     o------
                           |                 |
           Y               |        p        |
     --------------        |     =======     |
   --|  żarówka   |--------|-----o     o-----|-------
   |  -------------                                 |
   |                                                |
-------                                             |
  ---   U (zasilanie)                               |
   |                                                |
   --------------------------------------------------
p, q - przyciski normalnie rozwarte (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)

Na czym polega tragedia wszystkich ziemskich matematyków w opisie układu S1?

Ziemski matematyk nie znając pojęcia funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) zapisuje zdana A1 i B1 jako dwa niezależne zdania tak:
A1’.
Żarówka świeci się (Y) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przyciska (normalnie rozwarty) p (p) lub wciśnięty jest przycisk (normalnie rozwarty) q (q)
Y = p+q

.. a kiedy żarówka nie świeci się?
Ziemski matematyk odpowiada:
B1’.
Żarówka nie świeci się (Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q)
Y=~p*~q

Zauważmy, że bez funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) sprzeczność czysto matematyczną widzi tu każdy uczeń I klasy LO (z wyjątkiem ziemskich matematyków, niestety).
A1’: Y - żarówka świeci się
B1’: Y - żarówka nie świeci się
Sprzeczność czysto matematyczną widzi tu każdy przedszkolak!
cnd

Komandorze, zacytowałeś sprzeczność, ale to jest sprzeczność w aktualnej algebrze Boole'a ziemskich matematyków, tak więc pudło - sam pod sobą wykopałeś dołek i w niego wpadłeś.
Czekam na cytat bzdury w algebrze Kubusia.
Chwała ci że znalazłeś bzdurę w algebrze Boole'a ziemskich matematyków, ale ja prosiłem cię o bzdurę w algebrze Kubusia!

Czekam ...
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Kubuś




Dołączył: 03 Paź 2017
Posty: 872
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Nie 15:56, 02 Maj 2021    Temat postu:
http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie-script-src-http-wujzboj-com-sfinia-hideu-js-script,20/mord-na-sprawiedliwym-i-jego-zmartwychwstanie,4928-30625.html#593967

Kubuś napisał:
Komandor napisał:
powyżej to nie ja,

czy hydraulik może te twoje banały opisać na zaworach. Kranie?

Np kran odkręcony -> leje się woda.
Zakręcony -> nie leje się woda.

Zakręcony i leje się woda -> jebła uszczelka

Okręcony i nie leje się woda -> przerwa w dostawę wody lub trzeba przepchać lub ten skurwysyn sąsiad znowu w piwnicy zakręcił.

Jak widzisz hydraulicy mają wyższy poziom logiczny od inżynierów elektryków.

U nich nawet występuje logika wielowartościowa albo rozmyta.

np chujowo leci ta woda. Albo za mocno ze kran urywa.

Musisz wiec sobie przeczytać jakiś poradnik hydraulika labo co...

Komandorze, bredzisz nie mając pojęcia o logice matematycznej.
W ten sposób to nic byś nie zaprojektował.
Logika zajmuje się prawami fizyczno-matematycznymi a nie losowymi awariami np. u ciebie tego kramu z wodą.
Logikę gówno interesuje czy "jebła uszczelka", czy "przerwa w dostawie wody" etc.
Kran odkręcony - woda musi lecieć
Kran zakręcony - woda nie prawa lecieć
Czy już rozumiesz dlaczego masz ZEROWE pojęcie o logice matematycznej?

P.S.
Czekam na zacytowanie jednej bzdury z mojego postu ...
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35502
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Czw 9:19, 06 Maj 2021    Temat postu:
Rewolucja w rewolucji!

... no i stało się.
Zrobiłem restart przebudowując algebrę Kubusia na nowo.
Dlaczego?
Podwód tego posunięcie jest taki:
Algebra Kubusia to matematyczna obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie kluczową rolę odgrywają spójniki implikacyjne {~~>, =>, ~>, <=>, „albo”($)}, natomiast algebra Boole’a to wyłącznie 5 znaczków {1, 0, (~), „i”(*), „lub”(+)}.
Jak widzimy „Algebra Kubusia” i „Algebra Boole’a” to w zasadzie wiedza rozłączna co oznacza, że można zrozumieć „Algebrę Kubusia” bez znajomości algebry Boole’a.

Doszedłem do wniosku, iż bez sensu jest katować uczniów I klasy LO trudną dla nich algebrą Boole'a.
Postanowiłem na początku algebry Kubusia wyłożyć matematyczną obsługę zdań warunkowych "Jeśli p to q" bez najmniejszego śladu algebry Boole'a.
Dzięki takiemu posunięciu algebra Kubusia będzie zrozumiała nie tylko dla uczniów I klasy LO, ale także dla 5-cio latków!
Dopiero w w rozszerzonej wersji algebry Kubusia dla matematyków (tylko dla nich) znajdą się wszelkie niuanse AK, uwzględniające w zdaniach warunkowych także spójniki algebry Boole'a: "i"(*) i "lub"(+)

Na razie gotowa jest teoria operatora implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q
c.d.n

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593821

Algebra Kubusia dla LO
3.0 Operatory implikacyjne - definicje podstawowe

Spis treści
3.0 Operatory implikacyjne - definicje podstawowe 1
3.1 Implikacja prosta p|=>q 1
3.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q 5
3.2 Implikacja odwrotna p|~>q 7
3.2.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 10



3.0 Operatory implikacyjne - definicje podstawowe

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery podstawowe operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja operatora równoważności:
p|$q - operator „albo”($)

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

3.1 Implikacja prosta p|=>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Kod:

T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Prawą stronę czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q i nigdy nie zdarzy się ~(..), że zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q

Podstawmy definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład operatora implikacji prostej p||=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.

Z tabeli prawdy IP odczytujemy.

IP.
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające dla zajścia ~q
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0)=1*1 =1

Kod:

T2.
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
Powyższa tożsamość logiczna zachodzi na mocy praw Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
B1: p~>q = B2~p=>~q


Dlaczego to jest równanie operatora implikacji prostej p||=>q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p

stąd mamy:
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
Kod:

T3
Operator implikacji prostej p||=>q:
p||=>q  =(A1B1: p|=>q)*(A2B2:~p|~>~q)=A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1:p~>q)
[=]
~p||~>~q=(A2B2:~p|~>~q)*(A1B1: p|=>q)=A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)
Zachodzi tożsamość logiczna [=] na mocy praw Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
B1: p~>q = B2:~p=>~q

Innymi słowy:
Wystarczy udowodnić, iż dany układ spełnia kolumnę A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1
aby mieć pewność absolutną prawdziwości wszystkich pozostałych członów w tabeli T3

Podobnie:
Wystarczy udowodnić, iż dany układ spełnia kolumnę A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
aby mieć pewność absolutną prawdziwości wszystkich pozostałych członów w tabeli T3

Definicja tożsamości logicznej [=]:
A1B1: p|=>q [=] A2B2:~p|~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję implikacji odwrotnej A2B2: ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

3.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Zapiszmy jeszcze raz tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q
Kod:

IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Stąd mamy:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedzi na pytania o p i ~p:

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q=1) - mówi o tym zdanie A1

Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

Kolumna A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q, bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

LUB

Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

3.2 Implikacja odwrotna p|~>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Kod:

T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


IO.
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Prawą stronę czytamy:
Implikacja odwrotne p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q i nigdy nie zdarzy się ~(..), że zajście p jest wystarczające => dla zajścia q

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.

Z tabeli prawdy odczytujemy.

IO.
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Implikacja prosta ~p=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1

Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Kod:

T2
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q


Dlaczego to jest równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p

Stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
Kod:

T3
 p||~>q =(A1B1: p|~>q)*(A2B2:~p|=>~q)=A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
[=]
~p||=>~q=(A2B2:~p|=>~q)*(A1B1: p|~>q)=A2B2:~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
Zachodzi tożsamość logiczna [=] na mocy praw Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
B1: p~>q = B2:~p=>~q

Innymi słowy:
Wystarczy udowodnić iż dany układ spełnia kolumnę A1B1:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
aby mieć pewność absolutną prawdziwości wszystkich pozostałych członów w tabeli T3

Podobnie:
Wystarczy udowodnić, iż dany układ spełnia kolumnę A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2:~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =~(0)*1=1*1=1
aby mieć pewność absolutną prawdziwości wszystkich pozostałych członów w tabeli T3

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p|~>q = A2B2: ~p|=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję implikacji prostej A2B2: ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

3.2.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Zapiszmy jeszcze raz tabelę prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kod:

IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Innymi słowy:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

Kolumna A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q, bo jak zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2:~p=>~q

LUB

Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1 musi być prawdą
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q (~q=1) - mówi o tym zdanie B2

Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zajdzie ~p i zajdzie q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest „rzucanie monetą” w sensie na dwoje babka wróżyła” po stronie p (zdania B1 i A1’) , oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).

Zauważmy że:
a)
Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 19:19, 06 Maj 2021, w całości zmieniany 4 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35502
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Pią 22:06, 07 Maj 2021    Temat postu:
Algorytm ogólny analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q”

Wstęp do największego odkrycia w algebrze Kubusia - największego, bo ostatniego z wielkich odkryć. Podobne odkrycia dzieją się non-stop od 15 lat tzn. odkrywam coraz to nowe zakamarki algebry Kubusia, których wcześniej nie znałem … i nie ma w tym nic dziwnego, jako że 100% definicji w algebrze Kubusia jest sprzecznych z jakąkolwiek logiką matematyczną ziemskich matematyków - tego faktu byłem świadom od samego początku, już 15 lat temu, dlatego moja dyskusja z ziemskimi matematykami z natury rzeczy była w stylu „gadał dziad do obrazu”, ja byłem tego świadom, natomiast ziemscy matematycy NIE (uważali mnie za wariata) - i taka była między nami różnica.

Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.

Fundament AK:

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery podstawowe operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja operatora równoważności:
p|$q - operator „albo”($)

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

W algebrze Kubusia mamy zaledwie trzy znaczki (=>, ~> i ~~>) na których zbudowana jest kompletna algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".
1.
Warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - gdy zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
p~>q =1 0 gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
3.
Definicja zdarzenia możliwego ~~> w zdarzeniach:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ``>:
p~~>q = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q=0

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
    ##         ##           ##          ##
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
    ##         ##           ##          ##
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593843

4.3 Algorytm ogólny analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q”

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery podstawowe operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja operatora równoważności:
p|$q - operator „albo”($)

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

Algorytm analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” to ostatnie i największe odkrycie w historii rozszyfrowywania algebry Kubusia.

Na czym polega wielkość tego odkrycia?
Na zapisaniu ogólnego algorytmu komputerowego pozwalającego błyskawicznie rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q".
Algorytm jest absolutnie wspaniały - widzi nawet operator "albo" p|$q!

Przykłady rewelacyjnego działania poniższego algorytmu w różnych operatorach implikacyjnych będziemy sukcesywnie prezentować.

Kluczowe dla poprawnego działania poniższego algorytmu jest prawo śfinii.

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Algorytm ogólny analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q”

START
1.
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

2.
Zbiory:
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
p~~>q=p*q =0
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zdarzenia niemożliwego (=0)
p~~>q=p*q =0
RETURN

3.
Zbiory:
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Zdarzenia:
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe ~~> idź do punktu 5

Inaczej:
4.
Zbiory:
Nie znaleziono zbioru pustego []
Zdarzenia:
Nie znaleziono zdarzenia niemożliwego ~~>
Operator logiczny zlokalizowany, to operator chaosu p||~~>q
Idź do operatora chaosu p||~~>q
STOP

5.
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
(~)p=>(~)q =1

6.
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q

7.
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p (~> albo =>) q =?

8.
W punktach 6 i 7 mamy zlokalizowaną kolumnę A1B1: p|?q będącą częścią operatora logicznego p||?q

Idź do tabeli prawdy zlokalizowanego operatora logicznego
STOP

Przedstawiony wyżej algorytm to algorytm podstawowy.

Uwaga:
Matematycznie możliwy jest alternatywny algorytm przeciwny gdzie w prawie śfinii po „Jeśli ..” zapisujemy q zaś po „to…” zapisujemy p, jednak aby matematyk A dogadał się z matematykiem B obaj muszą stosować identyczny, uzgodniony wzajemnie algorytm: podstawowy albo przeciwny.
W logice matematycznej za domyślny przyjmujemy algorytm podstawowy dzięki czemu nie musimy sygnalizować światu zewnętrznemu który algorytm stosujemy.
Ponieważ algorytm podstawowy jest z definicji algorytmem domyślnym, możemy pominąć słówko „podstawowy” w „algorytmie podstawowym”.

4.3.1 Jak działa algorytm ogólny analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q”

Weźmy przykładowy wzorzec którym będziemy sprawdzać powyższy algorytm.
Wx.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może zachodzić w nim suma kwadratów

Oczywistym jest, że przy sprawdzaniu algorytmu z założenia nie mamy pojęcia w skład jakiego operatora logicznego wchodzi badane zdanie Wx.

Wiemy tylko i wyłącznie to, iż badane zdanie może wchodzić tylko i wyłącznie w skład jednego z pięciu rozłącznych operatorów logicznych.
1. p||=>q - operator implikacji prostej
2. p||~>q - operator implikacji odwrotnej
3. p|<=>q - operator równoważności
4. p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja równoważności:
5. p|$q - operator „albo”($)

Z faktu iż powyższe operatory są rozłączne wynika, że dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” nie może należeć jednocześnie do dwóch, jakichkolwiek operatorów.

Kod:

T1
Matematycznie zachodzą tożsamości logiczne:
1: Y=(p||=>q) =(p|=>q)  = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)= ~p*q      # ~Y=p+~q
##
2: Y=(p||~>q) =(p|~>q)  =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)  = p*~q     # ~Y=~p+q
##
3: Y=(p|<=>q) =(p<=>q)  = (A1:p=>q)* (B1: p~>q)  =p*q+~p*~q # ~Y=p*~q+~p*q
##
4: Y=(p||~~>q)=(p|~~>q) =~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =0         # ~Y=1
##
5: Y=(p|$q)   = (p$q)   = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p*~q+~p*q # ~Y=p*q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawo Kubusia:
p=>q [=] ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczna są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

W tabeli T1 doskonale widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 7:02, 08 Maj 2021, w całości zmieniany 6 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35502
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Sob 11:58, 08 Maj 2021    Temat postu:
Błędy w logice matematycznej ziemskich matematyków!
Definicja kontrprzykładu w logice „matematycznej” ziemskich matematyków to twardy dowód jak potwornie można spieprzyć matematykę!
Definicja kwantyfikatora dużego ziemskich matematyków to potworny błąd czysto matematyczny!

Absolutnie banalna definicja kontrprzykładu w algebrze Kubusia:

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Błędy w logice matematycznej ziemskich matematyków!
(kluczowy fragment niniejszego postu)

7a.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0 - bo kontrprzykład: 2
Ten dowód znany jest ziemskim matematykom, mimo że nie znają poprawnej, matematycznej definicji kontrprzykładu.

Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Kontrprzykład to zdanie falsyfikujące, z którego wynika negacja pewnego zdania ogólnego. Kontrprzykład jest koniunkcją dwóch zdań elementarnych (tzn. takich, że jest to zdanie atomowe lub negacja zdania atomowego).
Jeżeli uda nam się znaleźć kontrprzykład to wyrażenie nie jest tautologią, ponieważ istnieje takie podstawienie wartości logicznych za konkretne zmienne w wyrażeniu, dla którego schemat jest fałszywy.
Kontrprzykładu używa się najczęściej do obalania fałszywych twierdzeń zawierających kwantyfikator ogólny ("dla każdego").


Definicja kontrprzykładu w logice „matematycznej” ziemskich matematyków to twardy dowód jak potwornie można spieprzyć matematykę!
Zauważmy, że definicja kontrprzykładu w algebrze Kubusia jest zrozumiała dla każdego 5-cio latka, oczywiście na przykładach stosownych do jego wieku … a który uczeń I klasy LO, czy nawet inżynier zrozumie jakieś brednie o zdaniu atomowym czy też o negacji zdania atomowego etc.
Zauważmy poza tym, że w algebrze Kubusia nie ma kolejnego gówna ziemskich matematyków zwanego kwantyfikatorem.
Definicja kwantyfikatora dużego /\ ziemskich matematyków to potworny błąd czysto matematyczny!
Dowód:
W algebrze Kubusia mamy tak:
A1.
Jeśli dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Matematycznie byłoby wszystko w porządku, gdyby matematycy kwantyfikator duży rozumieli identycznie jak w algebrze Kubusia:
Dla każdego x, jeśli liczba x należy do zbioru P8(x) to na 100% => należy do zbioru P2(x)
/\x P8(x) => P2(x)
Przy takim rozumieniu kwantyfikatora dużego mamy tu gwarancję matematyczną => iż jeśli dowolna liczba należy do zbioru P8=[8,16,24..] to na 100% => należy do zbioru P2=[2,4,6,8…]
Sęk w tym, że poprawne rozumienie kwantyfikatora dużego jak w algebrze Kubusia wymusza relację podzbioru => w zdaniu warunkowym A1 co jest Armagedonem zarówno dla ziemskiego gówna zwanego „implikacją materialną” jak i absolutnie wszystkich ziemskich logik formalnych, gdzie w zdaniu warunkowych „Jeśli p to q” o żadnej relacji w zbiorach między p i q z definicji mowy być nie może.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593993

Algebra Kubusia
4.6 Analiza operatora implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach

Spis treści
4.6 Algorytm analizy zdań warunkowych w implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 1
4.6.1 Zdanie bazowe P8~~>P2 3
4.6.2 Zdanie bazowe P8~~>~P2 8
4.6.3 Zdanie bazowe ~P8~~>~P2 10
4.6.4 Zdanie bazowe ~P8~~>P2 12
4.7 Tabela prawdy implikacji prostej P8|=>P2 14
4.7.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 15


4.6 Algorytm analizy zdań warunkowych w implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Algorytm analizy zdań warunkowych “Jeśli p to q” w operatorze implikacji prostej p||=>q w zbiorach:
(Algorytm ogólny - patrz punkt 2.5)

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Punkt 2
Zbiory:
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
p~~>q=p*q =0
RETURN

Punkt 3
Zbiory:
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5

Inaczej:
Punkt 4
Zbiory:
Nie znaleziono zbioru pustego []
Operator logiczny zlokalizowany, to operator chaosu p||~~>q
Idź do operatora chaosu p||~~>q
STOP

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
(~)p=>(~)q =1

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p (~> albo =>) q =?

Punkt 8
W punktach 6 i 7 mamy zlokalizowaną kolumnę A1B1: p|?q będącą częścią operatora logicznego p||?q

Idź do tabeli prawdy zlokalizowanego operatora logicznego
STOP

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja symboliczna operatora implikacji prostej p||=>q:
Kod:

A1B1:
A1:  p=> q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1:  p~> q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q =(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1:  p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
A1’: p~~>~q=0 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’
A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =1 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’



4.6.1 Zdanie bazowe P8~~>P2

Zadanie 461
Dane jest zdanie:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Sprawdzenie algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach:

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może być podzielna przez 2 (P2=1)
P8~~>P2 = P8*P2 =?
Na mocy prawa śfinii mamy punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Zapis zdania W1 w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =?

Poprzednik p mówi tu o zbiorze liczb podzielnych przez 8, natomiast następnik q o zbiorze liczb podzielnych przez 2.

Na potrzeby analizy musimy obliczyć wszystkie możliwe przeczenia zbiorów.
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (zbiór liczb parzystych)
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny LN:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (zbiór liczb nieparzystych)
Matematycznie zachodzi definicja wspólnej dziedziny LN zarówno dla P8 jak i dla P2.
Definicja dziedziny dla P8:
P8+~P8 = LN =1 - zbiór ~P8 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P8
P8*~P8 =[] =0 - zbiory P8 i ~P8 są rozłączne
Definicja dziedziny dla P2:
P2+~P2 = LN =1 - zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2 i ~P2 są rozłączne

Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: P8~~>P2 =1 - bo istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..24..] np.24
2: P8~~>~P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
RETURN

Niezbędny komentarz:
Fałszywość punktu 2 musimy udowodnić
Najprostszy dowód to:
Dowolny zbiór liczb parzystych (tu P8) jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych (tu ~P2)
Nie zawsze w tak prosty sposób daje się udowodnić rozłączność zbiorów nieskończonych.
Co robić gdy nie jest tak prosto?
Prawami logiki matematycznej należy poszukać najprostszego warunku wystarczającego => bo taki warunek zawsze dowodzi się najprościej.
a)
Na początek zakładamy fałszywość kontrprzykładu 2 z czego wynika prawdziwość warunku wystarczającego który musimy udowodnić tu:
2a: P8=>P2 =?
2a.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
Definicja podzbioru P8=>P2 jest tu spełniona (=1), dlatego spełniona jest definicja warunku wystarczającego =>.
cnd
Twierdzenie matematyczne 2a każdy matematyk klasyczny bez problemu udowodni, ja nie muszę bo nie jestem matematykiem klasycznym.
Moja matematyka, algebra Kubusia, to fundamentalnie co innego niż matematyka klasyczna.
Dowód:
W algebrze Kubusia mamy spójniki logiczne z języka potocznego „i”(*) oraz „lub”(+).
Znaczki „*” i „+” są tu identyczne jak w matematyce klasycznej ale znaczą fundamentalnie co innego, o czym mam nadzieję, każdy matematyk wie.
Zauważmy przykładowo, że nie da się wykonać operacji mnożenia 2*3=6 znaczkiem „i”(*) z logiki matematycznej.
Ta sama operacja w znaczku „i”(*) będzie znaczyła zupełnie co innego:
[2]*[3] =[] =0 - bo zbiory jednoelementowe [2] i [3] są rozłączne.
cnd

Udowodniona prawdziwość warunku wystarczającego:
2a: P8=>P2 =1
wymusza fałszywość kontrprzykładu 2a’:
2a’: P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
cnd

Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
3: P8~~>~P2 =[] =0

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
cnd

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice dodatniej (bo P2) zatem je tylko przepisujemy:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% ~> jest podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,6,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Dowód tożsamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2, bo liczba może nie być podzielna przez 8 (np. 2) a mimo to być podzielna przez 2.

Matematycznie warunek wystarczający => dowodzi się prościej, dlatego prawami logiki matematycznej można przejść do najprostszego warunku wystarczającego
7: P8~>P2 = 7a: P2=>P8 - prawo Tygryska w zapisie aktualnym
7: p~>q = 7a: q=>p - prawo Tygryska w zapisie formalnym
Zauważmy, że fałszywość zdania 7a dowodzi się prościej:
7a.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0 - bo kontrprzykład: 2
Ten dowód znany jest ziemskim matematykom, mimo że nie znają poprawnej, matematycznej definicji kontrprzykładu.

Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Kontrprzykład to zdanie falsyfikujące, z którego wynika negacja pewnego zdania ogólnego. Kontrprzykład jest koniunkcją dwóch zdań elementarnych (tzn. takich, że jest to zdanie atomowe lub negacja zdania atomowego).
Jeżeli uda nam się znaleźć kontrprzykład to wyrażenie nie jest tautologią, ponieważ istnieje takie podstawienie wartości logicznych za konkretne zmienne w wyrażeniu, dla którego schemat jest fałszywy.
Kontrprzykładu używa się najczęściej do obalania fałszywych twierdzeń zawierających kwantyfikator ogólny ("dla każdego").


Powyższy cytat to twardy dowód jak potwornie można spieprzyć matematykę!
Zauważmy, że definicja kontrprzykładu w algebrze Kubusia jest zrozumiała dla każdego 5-cio latka, oczywiście na przykładach stosownych do jego wieku … a który uczeń I klasy LO, czy nawet inżynier zrozumie jakieś brednie o zdaniu atomowym czy też o negacji zdania atomowego etc.
Zauważmy poza tym, że w algebrze Kubusia nie ma kolejnego gówna ziemskich matematyków zwanego kwantyfikatorem.
Definicja kwantyfikatora ziemskich matematyków to potworny błąd czysto matematyczny!
Dowód:
W algebrze Kubusia mamy tak:
A1.
Jeśli dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Matematycznie byłoby wszystko w porządku, gdyby matematycy kwantyfikator duży rozumieli identycznie jak w algebrze Kubusia:
Dla każdego x, jeśli liczba x należy do zbioru P8(x) to na 100% => należy do zbioru P2(x)
/\x P8(x) => P2(x)
Przy takim rozumieniu kwantyfikatora dużego mamy tu gwarancję matematyczną => iż jeśli dowolna liczba należy do zbioru P8=[8,16,24..] to na 100% => należy do zbioru P2=[2,4,6,8…]
Sęk w tym, że poprawne rozumienie kwantyfikatora dużego jak wyżej wymusza relację podzbioru => w zdaniu warunkowym A1 co jest Armagedonem zarówno dla ziemskiego gówna zwanego „implikacją materialną” jak i absolutnie wszystkich ziemskich logik formalnych, gdzie w zdaniu warunkowych „Jeśli p to q” o żadnej relacji w zbiorach między p i q z definicji mowy być nie może.

Zauważmy na koniec iż zdania 6 i 7 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to są to zdania różna na mocy definicji ##.
Porównajmy:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
##
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% ~> jest podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,6,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Stąd mamy tabelę T1.
Kod:

T1
 Y= (p=>q)=~p+q  ##  Y= (p~>q)= p+~q
 #                   #
~Y=~(p=>q)= p*~q ## ~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Doskonale widać, że w tabeli T1 obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Stąd mamy:
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Dowodem są tu nasze zdania 6 i 7 które rozróżniamy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P8=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0) =1*1 =1

Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P8|=>P2 zapisanej w punkcie 4.7

Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
P8~~>P2 = P8*P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] ma element wspólny ~~> ze zbiorem P2=[2,4,6,8..]

W punkcie 4.7.1 zlokalizowane zdanie W1 jako zdanie A1 będące częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Z prawa Kobry wynika, że zdanie wejściowe W1 które analizowaliśmy wchodzi w skład warunku wystarczającego A1: P8=>P2 będącego częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
cnd

4.6.2 Zdanie bazowe P8~~>~P2

Zadanie 462
Dane jest zdanie:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 2
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Sprawdzenie algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach:

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =?
Na mocy prawa śfinii mamy punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Zapis zdania W2 w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =?

Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: P8~~>~P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
RETURN

Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
3: P8~~>~P2 =[] =0

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
cnd

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice dodatniej (bo P2) zatem je tylko przepisujemy:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P8=1)
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,6,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]

Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P8=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
P8|=>P1 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0) =1*1 =1

Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P8|=>P2 zapisanej w punkcie 4.7

Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =1 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.

W punkcie 4.7.1 zlokalizowane zdanie W1 jako zdanie A1’ będące częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2=P8*~P2 =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
cnd

4.6.3 Zdanie bazowe ~P8~~>~P2

Zadanie 463
Dane jest zdanie:
W3.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 2
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Sprawdzenie algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach:

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W3.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~~>~P2 = ~P8*~P2 =?
Na mocy prawa śfinii mamy punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Zapis zdania W3 w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =?

Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: ~P8~~>~P2 =1 - bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] mają element wspólny np. 1
2: ~P8~~>P2 =1 - bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] mają element wspólny np. 2
3: P8~~>P2 =1 - bo zbiory P8=[8,16,24 ..] i P2=[2,4,6,8..24..] mają element wspólny np. 24
4: P8~~>~P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
RETURN

Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
3: P8~~>~P2 =[] =0

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
cnd

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice dodatniej (bo P2) zatem je tylko przepisujemy:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P8=1)
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,6,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]

Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P8=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
P8|=>P1 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0) =1*1 =1

Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P8|=>P2 zapisanej w punkcie 4.7

Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W3.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~~>~P2 = ~P8*~P2 =1 - bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] mają element wspólny

W punkcie 4.7.1 zlokalizowane zdanie W1 jako A2 będące częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~>~P2=1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
cnd

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Z prawa Kobry wynika, że zdanie wejściowe W3 które analizowaliśmy wchodzi w skład warunku koniecznego A2: ~P8~>~P2 będącego częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
cnd

4.6.4 Zdanie bazowe ~P8~~>P2

Zadanie 464
Dane jest zdanie:
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Sprawdzenie algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach:

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =?
Na mocy prawa śfinii mamy punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Zapis zdania W4 w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =?

Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: ~P8~~>P2 =1 - bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] mają element wspólny np. 2
2: P8~~>P2 =1 - bo zbiory P8=[8,16,24 ..] i P2=[2,4,6,8..24..] mają element wspólny np. 24
3: P8~~>~P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
RETURN

Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
3: P8~~>~P2 =[] =0

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
cnd

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice dodatniej (bo P2) zatem je tylko przepisujemy:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P8=1)
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,6,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]

Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P8=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
P8|=>P1 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0) =1*1 =1

Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P8|=>P2 zapisanej w punkcie 4.7

Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 =1 - bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] mają element wspólny np. 2

W punkcie 4.7.1 zlokalizowane zdanie W4 jako zdanie B2’ będące częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] jest spełniona bo np. 2
cnd

4.7 Tabela prawdy implikacji prostej P8|=>P2

Definicja implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1 =1

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q:
Kod:

IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
Tabela prawdy implikacji prostej P8|=>P2 w zapisie aktualnym
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8 jest (=1) podzbiorem => P2
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1 =1

       A1B1:           A2B2:      |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q    =1 = 2:~p~>~q  =1 [=] 3: q~>p    =1 = 4:~q=>~p   =1
A:  1: P8=>P2  =1 = 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~>P8  =1 = 4:~P2=>~P8 =1
A’: 1: p~~>~q  =0 =              [=]               = 4:~q~~>p   =0                   
A’: 1: P8~~>~P2=0 =              [=]               = 4:~P2~~>P8 =0                   
       ##             ##          |     ##            ##
B:  1: p~>q    =0 = 2:~p=>~q  =0 [=] 3: q=>p    =0 = 4:~q~>~p   =0
B:  1: P8~>P2  =0 = 2:~P8=>~P2=0 [=] 3: P2=>P8  =0 = 4:~P2~>~P8 =0
B’:               = 2:~p~~>q  =1 [=] 3: q~~>~p  =1
B’:               = 2:~P8~~>P2=1 [=] 3: P2~~>~P8=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Okład równań logicznych jest przemienny, stąd:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

4.7.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach

Operator implikacji prostej P8||=>q w logice dodatniej (bo P8) to układ równań logicznych:
A1B1: P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) - jeśli wylosujemy liczbę podzielną przez 8 to ..
A2B2: ~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) - jeśli wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 to ..

Innymi słowy:
Operator implikacji prostej P8||=>P2 to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8=1)?

Kolumna A1B1:
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) - zapis aktualny

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbą podzielną przez 8 to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2 - mówi o tym zdanie A1.
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2=P8*~P2 =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
Tego faktu nie musimy udowadniać, bo wymusza go prawdziwość warunku wystarczającego A1.

A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8=1)?

Kolumna A2B2:
A2: ~P8~>~P2 =1 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest (=1) nadzbiorem ~> ~P2=[1,3,5,7,9..]
B2: ~P8=>~P2 =0 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest (=0) podzbiorem => ~P2=[1,3,5,7,9..]
~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) - zapis aktualny

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielna przez 8 to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania prawdziwe A2 i B2’

A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~>~P2=1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Tego faktu nie musimy udowadniać, gwarantuje nam to prawo Kubusia:
A2:~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
Prawdziwość zdania A1 udowodniliśmy na samym początku.

LUB

Z fałszywości warunku wystarczającego B2 wynika prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] jest spełniona bo np. 2

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P8||=>P2 jest gwarancja matematyczna => po stronie P8 (zdanie A1) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P8 (zdania A2 i B2’)

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Kolejność zdań tworzących operator implikacji prostej p||=>q również jest bez znaczenia, tak więc zdania A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w dowolnej kolejności.

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 12:17, 08 Maj 2021, w całości zmieniany 4 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35502
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Wto 7:30, 11 Maj 2021    Temat postu:
Algebra Kubusia po przebudowie - praktycznie gotowa!
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593743

Myślę, że dobrą data premiery będzie "Dzień Dziecka" roku 2021 - bo przecież to jest algebra której ekspertami są wszystkie 5-cio latki.
Do tego czasu będzie szlifowanie, ulepszanie, usuwanie literówek etc.

Fragment:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-w-finalna,18263.html#582733

Algebra Kubusia
6.0 Operatory implikacyjne - równoważność p|<=>q


Spis treści
6.0 Operatory implikacyjne - równoważność p|<=>q 1
6.1 Definicja podstawowa równoważności p<=>q 2
6.2 Równoważność p<=>q jako tożsamość zbiorów/pojęć 6
6.2.1 Diagram równoważności w zbiorach 9
6.3 Definicja równoważności p<=>q 12
6.3.1 Definicja operatora równoważności p|<=>q 13
6.3.2 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q 15
6.4 Odtworzenie definicji operatora równoważności p|<=>q z definicji ~~> 18



6.0 Operatory implikacyjne - równoważność p|<=>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery podstawowe operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja operatora równoważności:
p|$q - operator „albo”($)

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

W algebrze Kubusia mamy zaledwie trzy znaczki (=>, ~> i ~~>) na których zbudowana jest kompletna algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".
1.
Warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - gdy zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
p~>q =1 0 gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
3.
Definicja zdarzenia możliwego ~~> w zdarzeniach:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ``>:
p~~>q = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q=0

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


6.1 Definicja podstawowa równoważności p<=>q

TR.
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zadzie q

Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest potrzebne ~> i wystarczające => do tego, aby zaszło q

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji równoważności p<=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

TR:
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład równoważności p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja podstawowa równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Innymi słowy:
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Definicja podstawowa równoważności p<=>q jest w praktyce doskonale znana każdemu człowiekowi.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 14 500
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 12 500
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 9890
„potrzebne i wystarczające”
wyników: 1 850
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
konieczne ~> = potrzebne ~>

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p+ ~p*~q+ q*p +q*~q = p*q+~p*~q
A1B1: p<=>q = p*q+~p*~q

Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1

Innymi słowy:
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)= (~p+q)*(p+~q) = ~p*p+ ~p*~q+ q*p +q*~q = p*q+~p*~q
A2B2: ~p<=>~q = p*q+~p*~q

Zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p<=>q = p*q+~p*~q [=] A2B2: ~p<=>~q = p*q+~p*~q

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
Kod:

T2.
Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                      A2B2
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|<=>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd


Dlaczego to jest równanie operatora równoważności p|<=>q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p

Stąd mamy:
Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
Kod:

T3
 p|<=>q  = (A1B1: p<=>q)*(A2B2:~p<=>~q) =A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
[=]
~p|<=>~q=(A2B2:~p<=>~q)*(A1B1: p<=>q) =A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
Zachodzi tożsamość logiczna [=] na mocy praw Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
B1: p~>q = B2:~p=>~q


Innymi słowy:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Wystarczy udowodnić, iż dany układ spełnia kolumnę A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
aby mieć pewność absolutną prawdziwości wszystkich pozostałych członów w tabeli T3

Podobnie:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
Wystarczy udowodnić, iż dany układ spełnia kolumnę A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
aby mieć pewność absolutną prawdziwości wszystkich pozostałych członów w tabeli T3

Definicja tożsamości logicznej [=]:
A1B1: p<=>q [=] A2B2:~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności A2B2:~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

6.2 Równoważność p<=>q jako tożsamość zbiorów/pojęć

TR
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
Kod:

TR:
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja dowolnego ziemskiego twierdzenia matematycznego TM:
Dowolne ziemskie twierdzenie matematyczne TM jest tożsame z warunkiem wystarczającym p=>q.

TM: Zbiory:
p=>q =1 - twierdzenie prawdziwe (=1)
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - twierdzenie fałszywe (=0)

TM: Zdarzenia:
p=>q =1 - twierdzenie prawdziwe (=1)
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest (=1) wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0 - twierdzenie fałszywe (=0)

Z tabeli TR odczytujemy matematyczną definicję równoważności p<=>q rozumianą jako warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony:
A1: p=>q =1 - twierdzenie proste
B3: q=>p =1 - twierdzenie odwrotne

Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
Matematyczna definicja równoważności to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q, czyli zbiór p jest podzbiorem => q
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p, czyli zbiór q jest podzbiorem => p
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1

Stąd mamy wyprowadzoną definicję tożsamości zbiorów p=q znaną każdemu ziemskiemu matematykowi.

A1B3:
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q

Dla B3 skorzystajmy z prawa Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q

Stąd mamy tożsamą definicję tożsamości zbiorów p=q zdefiniowaną kolumną A1B1.

A1B1: Zbiory
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q

Analogicznie mamy:

A1B1: Zdarzenia
Definicja tożsamości zdarzeń p=q:
Dwa zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q

Prawo rachunku zero-jedynkowego:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności A2B2:~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Stąd dla kolumny A2B2 mamy.
A2B2: Zbiory
Definicja tożsamości zbiorów ~p=~q:
Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q i jednocześnie zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q

Analogicznie mamy:

A2B2: Zdarzenia
Definicja tożsamości zdarzeń ~p=~q:
Dwa zdarzenia ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności ~p<=>~q
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q

6.2.1 Diagram równoważności w zbiorach

Prawo rachunku zero-jedynkowego:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q

Znaczenie powyższej tożsamości logicznej w przełożeniu na zbiory.
Tożsamość zbiorów p=q definiowana przez:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q definiowaną przez:
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q
(i odwrotnie)

Na tej podstawie łatwo rysujemy diagram równoważności p<=>q w zbiorach:
Kod:

 DR:
 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
-------------------------------------------------------------------------
| D - wspólna dziedzina dla p i q                                       |
| p+~p =D =1   | q+~q =D =1                                             |
| p*~p =[]=0   | q*~q =[]=0                                             |
-------------------------------------------------------------------------
| Zbiór: p=q                      # Zbiór: ~p=~q
| A1B1: Równoważność dla p:       | A2B2: Równoważność dla ~p           |
| p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)  [=] ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) |
| Definiuje tożsamość zbiorów:    |  Definiuje tożsamość zbiorów:       |
| p=q                             #  ~p=~q                              |
-------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna

Z diagramu widzimy że:
~p=~(p) - zbiór ~p jest zaprzeczeniem zbioru p
~q=~(q) - zbiór ~q jest zaprzeczeniem zbioru q
Prawa podwójnego przeczenia:
p = ~(~p) - zbiór p jest zaprzeczeniem zbioru ~p (prawo podwójnego przeczenia)
q = ~(~q) - zbiór q jest zaprzeczeniem zbioru ~q (prawo podwójnego przeczenia)
Dziedzina D dla zbiorów p i q musi być wspólna, bowiem wtedy i tylko wtedy między zbiorami p i q mogą zachodzić podstawowe relacje (=>, ~> i ~~>) w zbiorach.

Relacja podzbioru =>:
p=>q =1 - gdy zbiór p jest podzbiorem => q
inaczej:
p=>q =0

Relacja nadzbioru ~>:
p~>q =1 - gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0

Relacja elementu wspólnego ~~>:
p~~>q =1 - gdy zbiory p i q mają element wspólny
Inaczej:
p~~>q =0

Definicja wspólnej dziedziny D dla p:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne
Definicja wspólnej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1 - zbiór ~q jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru q
q*~q =[] =0 - zbiory q i ~q są rozłączne
Stąd mamy:
~p=[D-p] = [p+~p -p] = ~p
~q=[D-q] = [q+~q -q] = ~q

Sprawdzenie poprawności definicji tożsamości zbiorów p=q:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
dla q=p mamy:
p=p <=> (A1: p=>p)*(B1: p~>p) = 1*1 =1
cnd
Uzasadnienie:
p=>p =1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
p~>p =1 - każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd

Z diagramu DR widzimy, że równoważność p<=>q dla q=~p musi być fałszem.
Sprawdzenie:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
dla q=~p mamy:
p=~p <=> (A1: p=>~p)*(B1: p~>~p) = ~p*p =0
Bo:
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q=~p+q
stąd mamy:
A1: p=>~p = ~p+~p = ~p+~p = ~p
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
stąd mamy:
B1: p~>(~p) = p+~(~p) = p+p = p
stąd:
p=~p <=> (A1: p=>~p)*(B1: p~>~p) = ~p*p =0
cnd

Uwaga:
Istnieje wiele alternatywnych dowodów tego co wyżej.
Przykładowo, można skorzystać z definicji równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = ~p<=>~q = p*q+~p*~q

Podsumowując:
Jak widzimy matematyka działa doskonale bowiem poprawnie obliczyliśmy iż zachodzi (=1) tożsamość zbiorów p=q i nie zachodzi (=0) tożsamość zbiorów p=~p:
[p=p] =1 - bo zbiory p i p są tożsame
[p=~p] =0 - bo zbiory p i ~p są rozłączne

Sprawdzenie poprawności definicji tożsamości zbiorów ~p=~q:
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q
Dla ~q=~p mamy:
~p=~p <=> (A2: ~p~>~p)*(B2: ~p=>~p) = 1*1 =1
cnd
Uzasadnienie:
~p=>~p =1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
~p~>~p =1 - każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego

Z diagramu DR widzimy, że równoważność ~p<=>~q dla ~q=p musi być fałszem.
Sprawdzenie:
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q
dla ~q=p mamy:
~p=p <=> (A2: ~p~>p)*(B2:~p=>p) = ~p*p =[] =0
Bo:
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
stąd mamy:
A2: ~p~>p = ~p+~p = ~p
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q=~p+q
stąd mamy:
B2: ~p=>p = ~(~p)+p =p+p =p
Stąd:
~p=p <=> (A2: ~p~>p)*(B2:~p=>p) = ~p*p =[] =0
cnd

Uwaga:
Istnieje wiele alternatywnych dowodów tego co wyżej.
Przykładowo, można skorzystać z definicji równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = ~p<=>~q = p*q+~p*~q

Podsumowując:
Jak widzimy matematyka działa doskonale bowiem poprawnie obliczyliśmy iż zachodzi tożsamość zbiorów ~p=~p i nie zachodzi (=0) tożsamość zbiorów ~p=p
[~p=~p] =1 - bo zbiory ~p i ~p są tożsame
[~p=p] =0 - bo zbiory ~p i p są rozłączne


6.3 Definicja równoważności p<=>q

TR
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
Kod:

TR:
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p


6.3.1 Definicja operatora równoważności p|<=>q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Innymi słowy:
Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Stąd:
Zajście p (p=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q (q=1)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Tożsamość zbiorów/pojęć p=q wymusza tożsamość zbiorów/pojęć ~p=~q (albo odwrotnie)

Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie p w rozpisce na warunek wystarczający =>:
Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ i odwrotnie:
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q
Wynika to z tożsamości zbiorów/pojęć p=q która wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
p=q # ~p=~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
stąd:
Zajście ~p (~p=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q (~q=1)
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć:
~p=~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Tożsamość zbiorów/pojęć ~p=~q wymusza tożsamość zbiorów/pojęć p=q (albo odwrotnie)

A2B2:
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie ~p w rozpisce na warunek wystarczający =>:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q
Wynika to z tożsamości zbiorów/pojęć ~p=~q która wymusza tożsamość zbiorów p=q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
~p=~q # p=q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności p|<=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p|<=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

6.3.2 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q

Zapiszmy powyższą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

T1
Definicja symboliczna                |Co w logice jedynek
                                     |oznacza
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)    |
A1:  p=> q =1                        |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0                        |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) |
B2: ~p=>~q =1                        |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =0                        |(~p=1)~~>( q=1)=0


Zauważmy, że zero-jedynkowo tabelę T1 możemy kodować wyłącznie w odniesieniu do równoważności A1B1: p<=>q albo w odniesieniu do równoważności A2B2:~p<=>~q

Dlaczego tabeli T1 nie możemy kodować z punktem odniesienia ustawionym na warunku wystarczającym A1: p=>q?
Odpowiedź:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Warunek wystarczający A1: p=>q nie jest jedynym członem prawdziwym w równoważności p<=>q.

Zakodujmy powyższą analizę zero-jedynkowo z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
A1B1: p<=>q

Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(~p=1)=(p=0)

Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych binarnych.
Dla wygenerowania zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q jest potrzebne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka pozwalające na eliminację przeczeń w zapisach symbolicznych, bowiem w punkcie odniesienie A1B1: p<=>q mamy sygnały p i q bez przeczeń.

Potrzebne nam prawo Prosiaczka to:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)

Zakodujmy nasza tabelę T1 zero-jedynkowo:
Kod:

T2.
Definicja      |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna    |Jedynek oznacza   |A1B1: p<=>q       |
A1B1: p<=>q    |                  |                  | p   q  p<=>q
A1:  p=> q =1  |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1<=>1   =1
A1’: p~~>~q=0  |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1<=>0   =0
A2B2:~p<=>~q   |                  |                  |
B2: ~p=>~q =1  |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0<=>0   =1
B2’:~p~~>q =0  |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0<=>1   =0
     a   b  c     d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                  | Prawa Prosiaczka |
                                  | (~p=1)=(p=0)     |
                                  | (~q=1)=(q=0)     |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q), zwanego krótko równoważnością p<=>q

Zakodujmy zero-jedynkowo tabelę T1 z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
A2B2: ~p<=>~q
Prawo Kubusia z którego tu należy skorzystać to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Uzasadnienie:
Wszystkie zmienne musimy sprowadzić do postaci zanegowanej ~p i ~q bowiem w punkcie odniesienia:
A2B2: ~p<=>~q
obie zmienne mamy zanegowane.
Kod:

T3.
Definicja     |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna   |Jedynek oznacza   |A2B2: ~p<=>~q     |
A1B1: p<=>q   |                  |                  |~p  ~q ~p<=>~q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0<=>0   =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0<=>1   =0
A2B2:~p<=>~q  |                  |                  |
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1<=>1   =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1<=>0   =0
    a    b  c    d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                 | Prawa Prosiaczka |
                                 | (p=1)=(~p=0)     |
                                 | (q=1)=(~q=0)     |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), zwanego krótko równoważnością ~p<=>~q

Zauważmy, że w tabelach T2 i T3 wejściowa definicja symboliczna równoważności abc jest identyczna, stąd tożsamość kolumn wynikowych 3 w tabelach zero-jedynkowych 123 jest dowodem formalnym poprawności prawa rachunku zero-jedynkowego:
T2: p<=>q = T3: ~p<=>~q

Dowód powyższego prawa bezpośrednio w rachunku zero-jedynkowym jest następujący:
Kod:

Definicja równoważności p<=>q
     p   q p<=>q
A1:  1<=>1  =1
A1’: 1<=>0  =0
B2:  0<=>0  =1
B2’: 0<=>1  =0

Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
Dowód:
Kod:

Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p<=>q = ~p<=>~q
     p   q p<=>q  ~p  ~q ~p<=>~q
A1:  1<=>1  =1     0<=>0   =1
A1’: 1<=>0  =0     0<=>1   =0
B2:  0<=>0  =1     1<=>1   =1
B2’: 0<=>1  =0     1<=>0   =0
     1   2   3     4   5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q

Definicja tożsamości logicznej [=]:
p<=>q [=] ~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej [=] jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
Kod:

Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p<=>q = ~p<=>~q
     p   q p<=>q  ~p  ~q ~p<=>~q  p<=>q <=> ~p<=>~q
A1:  1<=>1  =1     0<=>0   =1            1
A1’: 1<=>0  =0     0<=>1   =0            1
B2:  0<=>0  =1     1<=>1   =1            1
B2’: 0<=>1  =0     1<=>0   =0            1
     1   2   3     4   5    6            7

Same jedynki w kolumnie wynikowej 7 również są dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q

6.4 Odtworzenie definicji operatora równoważności p|<=>q z definicji ~~>

Weźmy diagram równoważności p<=>q w zbiorach:
Kod:

 DR:
 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
-------------------------------------------------------------------------
| D - wspólna dziedzina dla p i q                                       |
| p+~p =D =1   | q+~q =D =1                                             |
| p*~p =[]=0   | q*~q =[]=0                                             |
-------------------------------------------------------------------------
| A1B1: Równoważność dla p:       | A2B2: Równoważność dla ~p           |
| p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)  [=] ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) |
| Definiuje tożsamość zbiorów:    |  Definiuje tożsamość zbiorów:       |
| p=q                             #  ~p=~q                              |
-------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna

Definicja wspólnej dziedziny D dla p:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne
Definicja wspólnej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1 - zbiór ~q jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru q
q*~q =[] =0 - zbiory q i ~q są rozłączne

Przeanalizujmy diagram DR zdarzeniem możliwym ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Tabela prawdy takiej analizy jest następująca:
Kod:

T1
Analiza diagramu DR równoważności elementem wspólnym ~~> zbiorów
A1B1:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1:  p~~>q =1 - istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i q (p=q)
A1’: p~~>~q=0 - nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q (p#~q)
A2B2:
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p~~>~q=1 - istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i ~q (~p=~q)
B2’:~p~~>q =0 - nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q (~p#q)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony (patrz diagram DR)


Analiza tabeli prawdy T1 - część I
1.
Fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q=0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A1 (i odwrotnie):
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2.
Kod:

T2.
A1:  p=> q =1 - zbiór p jest podzbiorem => q (p=q)
A1’: p~~>~q=0 - nie istnieje (=0) wspólny element ~~> p i ~q (p#~q)
B2: ~p~~>~q=1 - istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i ~q (~p=~q)
B2’:~p~~>q =0 - nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q (~p#q)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony (patrz diagram DR)

Analiza tabeli prawdy T1 - część II
1.
Fałszywość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q =0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =1
Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2.
Kod:

T3.
A1:  p=> q =1 - zbiór p jest podzbiorem => q (p=q)
A1’: p~~>~q=0 - nie istnieje (=0) wspólny element ~~> p i ~q (p#~q)
B2: ~p=>~q =1 - zbiór ~p jest podzbiorem => ~q (~p=~q)
B2’:~p~~>q =0 - nie istnieje (=0) wspólny element ~~> ~p i q (~p#q)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony (patrz diagram DR)

Z tabeli T3 odczytujemy definicję równoważności A1B2:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B2: ~p=>~q =1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q) =1*1 =1

Dla B2 stosujemy prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
Stąd mamy:
Kolumna A1B1 w tabeli prawdy równoważności p<=>q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Stąd mamy:
Podstawowa definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Zdefiniowawszy równoważność podstawową A1B1: p<=>q możemy ją podstawić do tabeli prawdy równoważności TR:
Kod:

TR:
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Szczegółową analizę operatora równoważności p|<=>q na podstawie powyższej tabeli mamy w punkcie 6.3.1

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 17:55, 11 Maj 2021, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35502
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Śro 22:06, 12 Maj 2021    Temat postu:
Stało się coś nieprawdopodobnego!

W ciągu dosłownie kilku godzin dopisałem punkt 3.0 będący kluczową częścią algebry Kubusia dla LO.

Kompletna algebra Kubusia dla LO to teraz zaledwie trzy rozdziały:
1.0, 2.0. 3.0
KONIEC!
Reszty można nie czytać!

Podjąłem też decyzję o wyczyszczeniu AK z wszelkich ataków na ziemskich matematyków bo to nie ich wina że mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie zdołali rozszyfrować logiki matematycznej której ekspertami są 5-cio latki.

Wszystkiemu winne jest gówno zwane "implikacją materialną".
Po prostu stało się tak, ze na bazie tego gówna ziemscy matematycy stworzyli nieprawdopodobną ilość logik formalnych, nieprawdopodobną ilość bzdurnych teorii jak np. teoria strun, której z definicji nie da się ani udowodnić, ani obalić etc ... i zamach na "implikację materialną" był po prostu fizycznie niemożliwy, bo wywołałby totalny sprzeciw wszystkich ziemskich matematyków.

Poza tym rozwalić system zbudowany na fundamencie "implikacji materialnej" mógł ktoś z zewnątrz, nie będący zawodowym matematykiem.
Na szczęcie nie jestem matematykiem, na 100% aktualnej matury z matematyki bym nie zdał, wszystko mi wyparowało nie wiem nawet co to jest jakaś delta z równania kwadratowego.
Moja matematyka, algebra Kubusia z definicji ma zero wspólnego z matematyką klasyczną, bo jak tu uprawiać matematykę klasyczną przy pomocy spójników logicznych np. "i"(*) czy "lub"(+) - po prostu NIE DA SIĘ!

W mojej matematyce, algebrze Kubusia jest tak:
2*3 =0 - bo pojęcia 2 i 3 są rozłączne

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593821

Algebra Kubusia dla LO
3.0 Definicje podstawowe - implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q

Spis treści
3.0 Operatory implikacyjne - definicje podstawowe 1
3.1 Implikacja prosta p|=>q 2
3.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q 4
3.1.2 Przykład implikacji prostej P|=>CH 6
3.1.3 Operator implikacji prostej P||=>CH 8
3.2 Implikacja odwrotna p|~>q 10
3.2.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 12
3.2.2 Przykład implikacji odwrotnej CH|~>P 13
3.2.3 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P 15


3.0 Operatory implikacyjne - definicje podstawowe

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery podstawowe operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja operatora równoważności:
p|$q - operator „albo”(|$)

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

W algebrze Kubusia mamy zaledwie trzy znaczki (=>, ~> i ~~>) na których zbudowana jest kompletna algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".
1.
Warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - gdy zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
p~>q =1 0 gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
3.
Definicja zdarzenia możliwego ~~> w zdarzeniach:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ``>:
p~~>q = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q=0

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

3.1 Implikacja prosta p|=>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Podstawmy definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład operatora implikacji prostej p||=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.

Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

3.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q

Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q=1) - mówi o tym zdanie A1

Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

Kolumna A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q, bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

LUB

Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

3.1.2 Przykład implikacji prostej P|=>CH

Zadanie w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno

Rozwiązanie:
Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie (P=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienie chmur (CH=1), bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie (P=1) daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur (CH), bo zawsze gdy pada, są chmury
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

W tym momencie zdanie A1 może być już tylko częścią implikacji prostej P|=>CH, albo równoważności P<=>CH, aby to rozstrzygnąć badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
Padanie nie jest warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
cnd
Dowód alternatywny to skorzystanie z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska:
B1: P~>CH = B3: CH=>P
stąd:
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padało (P=1)
CH=>P =0
Chmury nie są warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmur, pada
cnd
Fałszywość warunku wystarczającego => B3 na mocy prawa Tygryska gwarantuje nam fałszywość warunku koniecznego ~> B1.

Zauważmy, że zdania A1 i B2 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to zdania te nie są tożsame:
A1: P=>CH = ~P+CH ## B1: P~>CH =P+~CH
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd zapisujemy.

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Jak widzimy, nasz przykład spełnia definicje implikacji prostej P|=>CH:
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) =1*~(0)=1*1 =1

Podstawmy nasz przykład do tabeli prawdy implikacji prostej IP
Kod:

IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Definicja implikacji prostej P|=>CH w zapisie aktualnym:
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Definicja implikacji prostej P|=>CH w zapisie aktualnym:
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) =1*~(0)=1*1 =1
       A1B1:         A2B2:        |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1 = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>CH  =1 = 2:~P~>~CH=1    [=] 3: CH~>P  =1 = 4:~CH=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 =                [=]              = 4:~q~~>p  =0
A’: 1: P~~>~CH=0 =                [=]              = 4:~CH~~>P =0
       ##             ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0 = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>CH  =0 = 2:~P=>~CH=0    [=] 3: CH=>P  =0 = 4:~CH~>~P =0
B’:              = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~P~~>CH=1    [=] 3: CH~~>~P=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Okład równań logicznych jest przemienny, stąd:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

3.1.3 Operator implikacji prostej P||=>CH

Operator implikacji prostej P||=>CH w logice dodatniej (bo CH) to układ równań logicznych:
A1B1: P|=>CH =(A1: P=>CH)* ~(B1: P~>CH) - co się może się wydarzyć jeśli będzie padało?
A2B2: ~P|~>~CH =(A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH) - co się może się wydarzyć jeśli nie będzie padało?

Innymi słowy:
Operator implikacji prostej P||=>CH to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno (CH=1) - mówi o tym zdanie A1

A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Czytamy:
P=1 - prawdą jest (=1) że pada (P)
~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH)

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
Czytamy:
1: CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)
2: ~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH=1)
Prawo Prosiaczka:
(~CH=1) = (CH=0)
Stąd zdanie tożsame do 2 brzmi:
2’: CH=0 - fałszem jest (=0) iż są chmury (CH)
Jak widzimy wyłącznie sprowadzanie zmiennych do jedynek na mocy prawa Prosiaczka, czyni język potoczny przekładalny w skali 1:1 na logikę matematyczną.
Dowód:
W zdaniu 2 z języka potocznego mamy frazę:
„nie ma chmur” i tą frazę kodujemy matematycznie (~CH)
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym uwzględniamy przeczenie „nie” w postaci symbolu przeczenia (~).

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)
Czytamy:
~P=1 - prawdą jest (=1) że nie pada (~P)
CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P||=>CH jest gwarancja matematyczna po stronie P (pada) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P (nie pada), co widać w powyższej analizie.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.


3.2 Implikacja odwrotna p|~>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


IO.
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.

Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

3.2.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

Kolumna A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q, bo jak zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2:~p=>~q

LUB

Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1 musi być prawdą
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q (~q=1) - mówi o tym zdanie B2

Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zajdzie ~p i zajdzie q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest „rzucanie monetą” w sensie na dwoje babka wróżyła” po stronie p (zdania B1 i A1’) , oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).

Zauważmy że:
a)
Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

3.2.2 Przykład implikacji odwrotnej CH|~>P

Zadanie w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać

Rozwiązanie:
Sprawdzamy czy spełniony jest warunek konieczny ~>:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
cnd

Sprawdzamy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padać (P+1)
CH=>P =0
Chmury (CH=1) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P=1) bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd

Definicja implikacji odwrotnej:
IO.
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Jak widzimy nasz przykład spełnia definicję implikacji odwrotnej CH|~>P.

Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P
Implikacja odwrotna CH|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1

Podstawmy nasz przykład do tabeli prawdy IO.
Kod:

IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P w zapisie aktualnym:
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P w zapisie aktualnym:
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1
       A1B1:          A2B2:        |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q  =0   [=] 3: q~>p   =0  = 4:~q=>~p  =0
A:  1: CH=>P  =0 = 2:~CH~>~P =0   [=] 3: P~>CH  =0  = 4:~P=>~CH =0
A’: 1: p~~>~q =1 =                [=]               = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: CH~~>~P=1 =                [=]               = 4:~P~~>CH =1                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~> q  =1 = 2:~p=>~q  =1   [=] 3: q=>p   =1  = 4:~q~>~p  =1
B:  1: CH~>P  =1 = 2:~CH=>~P =1   [=] 3: P=>CH  =1  = 4:~P~>~CH =1
B’:              = 2:~p~~>q  =0   [=] 3: q~~>~p =0
B’:              = 2:~CH~~>P =0   [=] 3: P~~>~CH=0

Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?


3.2.3 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P

Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) - co może się wydarzyć jeśli będzie pochmurno (CH=1)?
A2B2: ~CH|~>~P = ~(A2: ~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P) - co się stanie jeśli nie będzie pochmurno (~CH=1)?

Innymi słowy:
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (CH=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są konieczne ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P

LUB

Fałszywość warunku wystarczającego A1: CH=>P=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)
Czytamy:
CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)
~P=1 - prawdą jest (=1) że nie pada (~P)

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~CH~>~P =0 - brak chmur nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla nie padania
B2: ~CH=>~P =1 - brak chmur jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie padania
A2B2: ~CH|=>~P = ~(A2: ~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P) =~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padało (~P=1) - mówi o tym zdanie B2.

B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P=1
Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby jutro nie padało (~P=1) bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.
Brak chmur (~CH=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jutro nie będzie padało (~P=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
Czytamy:
~CH=1 - prawdą jest (=1), że nie ma chmur (~CH)
P=1 - prawdą jest (=1), że pada

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji odwrotnej CH||~>P jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie CH (są chmury) i gwarancja matematyczna po stronie ~CH (nie ma chmur)

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~CH||=>~P w logice ujemnej (bo ~P) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w logice dodatniej (bo P) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 22:25, 12 Maj 2021, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35502
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Sob 0:45, 15 Maj 2021    Temat postu:
Poczwórny Armagedon wszelkich ziemskich logik "matematycznych"!
Dowód w punktach 1.3.5 i 1.4

Przed chwilą skorygowałem "Kubusiową teorię zbiorów" i wyszedł mi poczwórny Armagedon wszelkich ziemskich logik "matematycznych"

Prawo zagłady ziemskiej logiki matematycznej:
Dowolna równoważność p<=>q prawdziwa definiuje tożsamość zbiorów/pojęć p=q i odwrotnie.

Matematyka ziemian powyższego prawa nie zaakceptuje dopóty, dopóki jej bogiem będzie potwornie śmierdzące gówno zwane „implikacją materialną” gdzie o żadnym związku matematycznym między p i q mowy być nie może.
Ciekawe czy i kiedy ziemscy matematycy poślą „implikację materialną” tam gdzie jej miejsce - do piekła na wieczne piekielne męki, bez prawa powrotu na ziemię do końca naszego Wszechświata.


http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593745

Algebra Kubusia dla LO
1.0 Kubusiowa teoria zbiorów


Spis treści
1.0 Kubusiowa teoria zbiorów 1
1.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach 2
1.1.1 Suma logiczna zbiorów 3
1.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów 3
1.1.3 Różnica (-) zbiorów 4
1.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów 4
1.2.2 Definicja podzbioru => i nadzbioru ~> 6
1.3 Dziedzina 7
1.3.1 Zaprzeczenie zbioru 7
1.3.2 Nazwa własna zbioru 8
1.3.3 Dziedzina użyteczna w języku potocznym 8
1.3.4 Dlaczego Uniwersum nie jest dziedziną użyteczną? 11
1.3.5 Armagedon ziemskiej matematyki 13
1.4 Kryteria ustalania dziedziny dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” 14


1.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Kubusiowa teoria zbiorów to nieznana ziemianom teoria zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej, algebry Kubusia.

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, koło, miłość, krasnoludek. zbór wszystkich zwierząt ...]

Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda
0 = fałsz

Prawa Prosiaczka
Prawa Prosiaczka omówiono szczegółowo w „Nowej algebrze Boole’a” pkt. 1.3

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Przykład 1.
[pies]=1 - bo prawdą jest (=1) iż wiem co znaczy pojęcie pies
Prawo Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
Nasz przykład:
([pies]=1) = (~[pies]=0) - na mocy prawa Prosiaczka
stąd zdanie tożsame do 1:
~[pies]=0 - fałszem jest (=0), że nie wiem (~) co znaczy pojęcie [pies]

Przykład 2.
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=1 - prawdą jest (=1), iż wiem co znaczy pojęcie „zbiór wszystkich zwierząt”
Prawo Prosiaczka:
(ZWZ=1) = (~ZWZ=0)
Stąd zdanie tożsame do 2:
~ZWZ=0 - fałszem jest (=0) że nie wiem (~) co znaczy pojęcie ZWZ (zbiór wszystkich zwierząt)

ALE!
Przykład 3.
agstd=0 - bo fałszem jest (=0) iż wiem co znaczy pojęcie „agstd”
Prawo Prosiaczka:
(agstd=0) = (~agstd=1)
stąd zdanie tożsame do 3:
~agstd=1 - prawdą jest (=1), że nie wiem (~) co znaczy pojęcie agstd

Prawo Kłapouchego:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.

1.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach

Elementarne działania na zbiorach to:
(+) - suma logiczna zbiorów
(*) - iloczyn logiczny zbiorów
(-) - różnica logiczna zbiorów

1.1.1 Suma logiczna zbiorów

Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
Zdefiniujmy dwa zbiory p i q:
p=[K, T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T, P] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[K,T]+[T,P]=[K,T,T,P] = [K+T+T+P] = [K+T+P] = [K,T,P] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Bo prawo Algebry Boole’a:
p+p =p
Uwaga:
Przecinek przy wyliczaniu elementów zbioru jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) z algebry Boole’a co pokazano i udowodniono wyżej.

1.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów

Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny (zbiór wynikowy jest niepusty)
Y = p*q =0 - gdy zbiory p i q nie mają (=0) elementu wspólnego (są rozłączne)

Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
S - Słoń
Zdefiniujmy zbiory p, q, r:
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T,P] =1 - bo zbiór niepusty
r=[P,S] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[K,T]*[T,P]=[T] =1 - zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny
Y=p*r=[K,T]*[P,S] =[] =0 - zbiory p i q nie mają (=0) elementu wspólnego

Powyższe wyniki można uzyskać poprzez wymnażanie logiczne zbiorów.
Przykład:
p*q = [K+T]*[T+P] = K*T + K*P + T*T + T*P =[] + [] + T + [] = T
bo:
K*T+ K*P + T*P =[]+[]+[] =0+0+0 =0 - iloczyn logiczny „*” zbiorów (pojęć) rozłącznych jest zbiorem pustym
T*T =1
bo prawo algebry Boole’a:
p*p =p
Jak widzimy, przy wyliczaniu elementów zbioru przecinek jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) rodem z algebry Boole’a.

1.1.3 Różnica (-) zbiorów

Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q

Oznaczmy:
K - Kubuś
T - Tygrysek
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T] =1 - bo zbiór niepusty
Stąd:
Y=p-q = [K,T]-[T] =[K] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=q-p =[K]-[K,T]=[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty

1.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów

Przypomnijmy znane już definicje podstawowe.

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, miłość, krasnoludek. ZWZ, LN ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda
0 = fałsz

Prawo Kłapouchego:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)

Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum. Zauważmy, że zaledwie 40 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na Ziemi.

Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z Uniwersum na mocy definicji Uniwersum.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)

Definicja dziedziny absolutnej DA:
Dziedzina absolutna DA to zbiór wszelkich pojęć możliwych do zdefiniowania w naszym Wszechświecie.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum U to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Zbiór pusty zawiera nieskończenie wiele pojęć niezrozumiałych dla człowieka, jeszcze nie zdefiniowanych. Definiować elementy w naszym Wszechświecie może wyłącznie człowiek, świat martwy sam sobie nic nie definiuje.

Przed pojawieniem się człowieka na ziemi zawartość zbioru pustego była taka:
[] - wszystkie elementy naszego Wszechświata w sensie absolutnym, nie ma jeszcze człowieka który by cokolwiek definiował.

W dniu dzisiejszym sytuacja jest inna, taka:
Kod:

T1
Algebra Kubusia:
-------------------------------------------------------------------
| Zbiór pusty []                   | Uniwersum U                  |
| Pojęcia jeszcze przez człowieka  | Pojęcia przez człowieka już  |
| niezdefiniowane                  | zdefiniowane                 |
| Niezrozumiałe dla człowieka      | Zrozumiałe dla człowieka     |
|                                  |                              |
-------------------------------------------------------------------
|                         DA - dziedzina absolutna                |
-------------------------------------------------------------------

Na mocy powyższego zachodzi:
[] = ~U - zbiór pusty [] to zaprzeczenie Uniwersum U w dziedzinie absolutnej DA
U = ~[] - zbiór Uniwersum U to zaprzeczenie zbioru pustego [] w dziedzinie absolutnej DA

Na mocy definicji dziedziny absolutnej mamy:
1: U+~U = U+[] =U =1
2: U*~U = U*[] =[] =0
Komentarz:
1.
Do zbioru Uniwersum (pojęcia zrozumiałe dla człowieka) możemy dodać elementy ze zbioru ~U (pojęcia niezrozumiałe dla człowieka), ale na mocy definicji Uniwersum wszelkie elementy ze zbioru ~U=[] musimy natychmiast usunąć, inaczej gwałcimy definicję Uniwersum.
2.
U*~U=[] =0
Iloczyn logiczny elementów ze zbioru U (pojęcia zrozumiałe dla człowieka) i ~U (pojęcia niezrozumiałe dla człowieka) jest zbiorem pustym tzn. nie ma ani jednego elementu wspólnego w zbiorach U i ~U=[].

Prawo Owieczki:
Prawdziwe jest zdanie ziemskich matematyków iż „ze zbioru pustego [] wynika wszystko” wtedy i tylko wtedy gdy definicje zbioru pustego [] i Uniwersum U będą zgodne z definicjami obowiązującymi w algebrze Kubusia.

1.2.2 Definicja podzbioru => i nadzbioru ~>

Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - gdy definicja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - definicja podzbioru nie jest (=0) spełniona

Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - gdy definicja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - definicja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona

Powyższe definicje tylko pozornie są zgodne z matematyką ziemskich matematyków.
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
sjp napisał:

Podzbiór - w matematyce: zbiór będący częścią jakiegoś zbioru

[link widoczny dla zalogowanych]
sjp napisał:

Nadzbiór - w matematyce: dowolny zbiór zawierający dany zbiór


Dlaczego powyższe definicje są tylko pozornie zgodne z algebrą Kubusia?
Odpowiedź:
W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Istotą podzbioru => i nadzbioru ~> są relacje podzbioru => i nadzbioru ~> a nie gołe zbiory jak to jest w „matematyce” ziemian. Gołe zbiory niepuste w AK mają zawsze wartość logiczną 1, dlatego takie definicje są matematycznie błędne i nie jest prawdą, ze definicji się nie obala - jak twierdzą co niektórzy ziemscy „matematycy”.

Algebra Kubusia:
I.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

II.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q


1.3 Dziedzina

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy

Ograniczeniem górnym w definiowaniu dziedziny jest Uniwersum (zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka)
Zbiór pusty [] to zero pojęć zrozumiałych dla człowieka, zatem na tym zbiorze nie możemy operować
Innymi słowy:
Z definicji nie możemy przyjąć zbioru pustego za dziedzinę.

1.3.1 Zaprzeczenie zbioru

Definicja zaprzeczenia (~) zbioru:
Zaprzeczeniem (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Zaprzeczenie zbioru (~) = Negacja zbioru (~)

Uwaga:
Aby zapisać zbiór ~p będący negacją zbioru p musimy określić wspólną dziedzinę dla zbiorów p i ~p
Definicja dziedziny:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, iloczyn logiczny zbiorów jest zbiorem pustym []

Przykład:
K = Kubuś
T = Tygrysek
p=[K] - definiujemy zbiór p
D=[K,T] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[T]

1.3.2 Nazwa własna zbioru

Rozróżniamy dwa rodzaje zbiorów ze względu na nazwę:
- zbiory mające nazwę własną
- zbiory nie mające nazwy własnej

Definicja nazwy własnej zbioru:
Nazwa własna zbioru to nazwa jednoznacznie opisująca dany zbiór w sposób zrozumiały dla wszystkich ludzi

Przykład zbioru mającego nazwę własną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt

Przykład zbioru nie mającego nazwy własnej:
p = [ZWZ, miłość, samolot]

W praktycznej logice matematycznej z oczywistych względów użyteczne są wyłącznie dziedziny mające nazwy własne, zrozumiałe dla wszystkich, gdzie nie trzeba wypisywać wszystkich pojęć zawartych w dziedzinie.

1.3.3 Dziedzina użyteczna w języku potocznym

Definicja dziedziny użytecznej w języku potocznym:
Dziedzina użyteczna w języku potocznym do dowolny zbiór na którym operujemy mający nazwę własną, nie będący Uniwersum.

Rozważmy poniższe dziedziny (ZWZ, ZWS, U) mające nazwy własne:

Weźmy zbiór jednoelementowy:
P=[pies] - zbiór P zawiera tylko jeden element [pies].
Nie jest tu istotne że różnych psów jest bardzo dużo bo:
pies Jasia = pies Zuzi = po prostu [pies]
[pies]+[pies] = [pies] - bo pojęcia [pies] są tożsame (suma logiczna (+) pojęć/zbiorów)
[pies]*[pies] = [pies] - bo pojęcia [pies] są tożsame (iloczyn logiczny (*) pojęć/zbiorów)

A.
Dla dziedziny:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt minus jeden element P=[pies]

B.
Dla dziedziny:
ZWS - zbiór wszystkich ssaków:
otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWS-P] - zbiór wszystkich ssaków minus jeden element P=[pies]
C.
Dla dziedziny Uniwersum (zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka) otrzymamy ~P:
~P=[U-P] - zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka minus jeden element P=[pies]

Wnioski:
a)
Przyjęte dziedziny A i B mają poprawne nazwy własne należące do Uniwersum i nie są tożsame z Uniwersum, zatem te dziedziny są poprawne matematycznie i są to dziedziny użyteczne.
b)
Dziedzina A (ZWZ) wskazuje nam, że interesuje nas wyłącznie zbiór wszystkich zwierząt, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWZ są dla nas puste z definicji.
c)
Dziedzina B (ZWS) mówi nam że operujemy na zbiorze wszystkich ssaków, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWZ są dla nas puste z definicji.

Dowód na przykładzie:
W twierdzeniu Pitagorasa dziedziną użyteczną jest:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Nie interesują nas tu żadne pojęcia spoza dziedziny ZWT, o czym w praktyce każdy matematyk intuicyjnie wie.

Dowód czysto matematyczny tego faktu jest następujący:
TP
Twierdzenie proste Pitagorasa:
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów.

Poprzednik definiuje tu dziedzinę:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów

Przyjmijmy dyletancko za dziedzinę Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Wtedy nasze twierdzenie proste Pitagorasa będzie brzmiało:
Jeśli coś (x) jest trójkątem prostokątnym to na 100% => w tym cosiu będzie zachodziła suma kwadratów
x*TP => SK =?
Przyjmijmy:
x=koło
Wtedy mamy:
Jeśli koło jest trójkątem prostokątnym to …. (treść następnika jest tu kompletnie bez znaczenia)
Dowód:
[koło]*TP =[] =0 - bo pojęcie koło i TP są rozłączne

W identyczny sposób dowodzimy fałszywość twierdzenia prostego Pitagorasa dla dowolnego cosia spoza ZWT (zbioru wszystkich trójkątów) np. kwadrat, koło, miłość, pies, mydło, powidło etc.

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Wniosek z prawa Kobry:
Dla x=[koło] twierdzenie proste Pitagorasa jest fałszywe
Twierdzenie Pitagorasa dla [koła] przyjmie brzmienie:
Jeśli koło jest trójkątem prostokątnym to może ~~> w nim zachodzić suma kwadratów
[koło]*[TP] ~~>SK = [koło]*[TP]*[SK] = [] =0
Fałsz (=0) - bo pojęcie „koło” jest rozłączne ze zbiorem wszystkich trójkątów „ZWT”

Pani matematyczka w I klasie LO:
Jasiu narysuj koło będące trójkątem prostokątnym:
[koło]*[TP] =?
Jaś:
Ja nie potrafię, nie wiem jak wygląda „koło” będące „trójkątem prostokątnym”.
… a pani potrafi narysować ten twór?
Pani.
Hmmm … też nie potrafię Jasiu.
Jak sam widzisz dla każdego człowieka pojęcie „koło będące trójkątem prostokątnym” jest zbiorem pustym z definicji, nikt nie potrafi takiego tworu narysować.

Podsumowując:
Z punktu odniesienia twierdzenia Pitagorasa dowolne pojęcia spoza zbioru wszystkich trójkątów ZWT są dla nas zbiorem pustym tzn. z definicji pojęcia te umieszczamy w zbiorze pojęć niezrozumiałych.

Definicja zbioru pustego [] w algebrze Kubusia:
Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka tzn. nie należących do jego Uniwersum.
Przykład:
[] = [sdhrge=[], [koło]*TP=[], [kwadrat]*TP =[], [miłość]*TP=[] … etc.]

Zauważmy, że zbiór pusty [] z definicji jest podzbiorem => siebie samego.
[]=>[] =1
Nieistotna jest tu nieskończona ilość pojęć niezrozumiałych dla człowieka występująca w tym zbiorze.
W czasach gdy człowiek „żył jeszcze na drzewie” nawet koło było dla niego pojęciem pustym - jeszcze nie zdefiniowanym.
W tym sensie dogmat wiary współczesnych matematyków iż „ze zbioru pustego wynika wszystko” jest dogmatem prawdziwym, ale tylko i wyłącznie przy definicji zbioru pustego [] jak w algebrze Kubusia.

1.3.4 Dlaczego Uniwersum nie jest dziedziną użyteczną?

Definicja dziedziny użytecznej:
Dziedzina użyteczna do dowolny zbiór na którym operujemy mający nazwę własną, nie będący Uniwersum.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Dlaczego za dziedzinę użyteczną nie możemy przyjąć Uniwersum?

Odpowiedź:
Jeśli za dziedzinę przyjmiemy U(Uniwersum) to jedyną równoważnością jaką będziemy w stanie rozpoznać będzie równoważność:
U<=>U = (A1: U=>U)*(B1: U~>U) =1*1 =1
Definiująca tożsamość zbiorów U=U.

Żadnej innej równoważności w naszym Wszechświecie nie rozpoznamy!

Dowód:

Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - gdy definicja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - definicja podzbioru nie jest (=0) spełniona

Definicja nadzbioru ~>:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - gdy definicja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - definicja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona

Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Równoważność p<=>q to definicja podzbioru => zachodząca w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q - definicja formalna (ogólna)
To jest definicja znana każdemu ziemskiemu matematykowi, z wyjątkiem fanatyków gówna zwanego „implikacją materialną”

Prawo Tygryska (prawo rachunku zero-jedynkowego):
B3: q=>p = B1: p~>q
Stąd mamy tożsamą definicję tożsamości zbiorów p=q:

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q.
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q - definicja formalna (ogólna)

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Weźmy równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK i twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3: SK=>TP zostały udowodnione wieki temu, co jest dowodem prawdziwości równoważności Pitagorasa.

Zastosujmy dla B3 prawo Tygryska:
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK

Stąd mamy tożsamą definicję równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1

Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1

Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => aby zachodziła w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1

To jest najpopularniejsza definicja równoważności znana wszystkim ludziom (nie tylko matematykom).
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 6740
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 17 200
Zachodzi tożsamość pojęć:
Konieczne ~> = potrzebne ~>

Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych definiuje tożsamość zbiorów TP=SK.

Definicja tożsamości zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK i jednocześnie zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK.
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK
B1: TP~>SK =1 - zbiór TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru SK
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP<=>SK

Dziedzina minimalna w twierdzeniu Pitagorasa to:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów

1.3.5 Armagedon ziemskiej matematyki

Armagedon ziemskiej matematyki po raz pierwszy:

Zobaczmy co się stanie jak dla twierdzenia Pitagorasa przyjmiemy dziedzinę U (Uniwersum):

Dla dziedziny U (Uniwersum) twierdzenie proste Pitagorasa nie będzie częścią równoważności:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: TP~>SK) =1*1 =1

lecz częścią implikacji prostej TP|=>U o definicji:
Implikacja prosta TP|=>U to zachodząca wyłącznie definicja podzbioru => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: TP=>U =1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => U (Uniwersum)
B1: TP~>U =0 - zbiór TP nie jest (=0) nadzbiorem ~> U (Uniwersum)
stąd:
TP|=>U = (A1: TP=>U)*~(B1: TP~>U) = 1*~(0) =1*1 =1

Innymi słowy dostajemy Armagedon ziemskiej matematyki bo:
Jeśli w dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” za dziedzinę przyjmiemy U (Uniwersum) to żegnajcie absolutnie wszystkie równoważności udowodnione przez ziemskich matematyków np. równoważność Pitagorasa TP<=>SK
Dlaczego?
Ostatni wytłuszczony zapis to definicja implikacji prostej TP|=>U z definicji mająca zero wspólnego z równoważnością TP<=>SK

Szczegóły w temacie implikacji prostej p|=>q i równoważności p<=>q poznamy w kolejnych rozdziałach algebry Kubusia.

Armagedon ziemskiej matematyki po raz drugi:

Ten Armagedon jest kluczowy i najważniejszy.

Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Równoważność p<=>q to definicja podzbioru => zachodząca w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q - definicja formalna (ogólna)
Ta definicja tożsamości zbiorów p=q znana jest każdemu ziemskiemu matematykowi, z wyjątkiem fanatyków gówna zwanego „implikacją materialną”

Wniosek z powyższej definicji tożsamości zbiorów p=q to prawo zagłady ziemskiej logiki „matematycznej”.

Prawo zagłady ziemskiej logiki matematycznej:
Dowolna równoważność p<=>q prawdziwa definiuje tożsamość zbiorów/pojęć p=q i odwrotnie.

Matematyka ziemian powyższego prawa nie zaakceptuje dopóty, dopóki jej bogiem będzie potwornie śmierdzące gówno zwane „implikacją materialną” gdzie o żadnym związku matematycznym między p i q mowy być nie może.
Ciekawe czy i kiedy ziemscy matematycy poślą „implikację materialną” tam gdzie jej miejsce - do piekła na wieczne piekielne męki, bez prawa powrotu na ziemię do końca naszego Wszechświata.
Ziemscy logicy matematyczni popełniają uroczyste seppuku logiki matematycznej już w pierwszym zdaniu każdego ziemskiego podręcznika do nauki logiki „matematycznej”

Jedno z pierwszych zdań podręcznika dr hab. Krzysztofa A. Wieczorka „Logika dla opornych”
[link widoczny dla zalogowanych]
K.A Wieczorek napisał:

Termin „zdanie” oznacza w logice tylko i wyłącznie zdanie oznajmujące i schematy tylko takich zdań będziemy budować

Na mocy powyższego dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w logice „matematycznej” ziemian przyjmuje postać.
Jeśli zdanie twierdzące p to zdane twierdzące q
Przykład:
Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
etc
To jest zdecydowanie gorzej niż szpital psychiatryczny, bo tylko najciężej chorzy mogą pleść tego typu brednie. To jest samobójstwo dla całej dalszej treści tego podręcznika, zatem w tym momencie możemy zakończyć jego czytanie i wrzucić do kosza na śmieci, bo:
Fundamentem jedynej poprawnej logiki matematycznej, algebry Kubusia, są zdania warunkowe „Jeśli p to q”. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią tu wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).

1.4 Kryteria ustalania dziedziny dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”

Kryteria ustalania dziedziny dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” w języku potocznym.

1.
Dziedzina musi mieć nazwę własną

Definicja nazwy własnej zbioru:
Nazwa własna zbioru to nazwa jednoznacznie opisująca dany zbiór w sposób zrozumiały dla wszystkich ludzi

Przykłady poprawnych dziedzin mających nazwy własne:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ZWS - zbiór wszystkich ssaków
etc

2.
Dziedzina musi być wspólna dla p i q

3.
Dziedzinę w dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” definiuje treść zdania „Jeśli p to q”

Każdy z powyższych warunków to Armagedon dla wszelkich ziemskich logik formalnych.

Przykład:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
P2~~>P8 = P2*P8 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory P2=[2,4,6,8..24..] i P8=[8,16,24..] mają co najmniej jeden element wspólny np. 24
Zauważmy, że dziedziną dla zdania B1 może być dowolny zbiór liczb np. naturalnych, całkowitych czy rzeczywistych - to bez znaczenia.
Nie jest dziedziną dla zdania B1 zbiór Uniwersum (U) mimo ze dowolny zbiór liczb jest podzbiorem Uniwersum (U) dowód tego faktu poznaliśmy wyżej.

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 0:13, 18 Maj 2021, w całości zmieniany 21 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35502
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Wto 14:26, 18 Maj 2021    Temat postu:
Gówno-dogmat ziemskich matematyków!
Patrz końcówka niniejszego postu ..

Gówno-dogmat ziemskich matematyków:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka są matematycznie tożsame.

Powyższy dogmat to gówno-prawda, czego dowodem są zdania A1 i B1 wyżej.
cnd

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593747


2.5 Tajemnice logiki matematycznej

Po raz kolejny wziąłem się za ulepszanie przekazu algebry Kubusia.
Prawda jest taka, że nie ma szans na wprowadzenie do ziemskiej matematyki algebry Kubusia po dobroci - ziemscy twardogłowi matematycy dobrowolnie nigdy nie zrozumieją logiki matematycznej której ekspertami są wszystkie 5-cio latki ... bo wyklucza to ich bóg, "implikacja materialna"
Nie ma też najmniejszych szans na jakąkolwiek sensowną dyskusję między wyznawcą algebry Kubusia (np. Rafal3006) a wyznawcą ziemskiej gówno-logiki (np. Irbisol) bowiem 100% definicji w obszarze logiki matematycznej mamy sprzecznych.
Dowodem jest tu moja wielomiesięczna dyskusja z Irbisolem, fanatykiem gówno-logiki ziemian w stylu „gadał dziad do obrazu” po obu stronach barykady.
Finałowa dyskusja z Irbisolem!

Zatem wojna „Algebra Kubusia” vs gówno-logika ziemian jest nieunikniona!
Będzie co ma być, trudno, krew musi się polać.

Dwie największe tajemnice logiki matematycznej to prawo Kameleona i prawo Śfinii których ziemscy matematycy nie potrafili odkryć mając 2500 lat czasu (od Sokratesa).
Przyczyną tego stanu rzeczy jest „implikacja materialna” w której zdanie warunkowe „Jeśli p to q” rozumiane jest jako zlepek dwóch zdań twierdzących p i q o znanej z góry wartości logicznej, co wyklucza jakiekolwiek wynikanie w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q”.
Definicja „implikacji materialnej” wyklucza, aby z p wynikało q w jakikolwiek sposób!

Ziemscy logicy matematyczni popełniają seppuku logiki matematycznej już w pierwszym zdaniu każdego ziemskiego podręcznika do nauki logiki „matematycznej”
Dowód:
Jedno z pierwszych zdań podręcznika dr hab. Krzysztofa A. Wieczorka „Logika dla opornych”
[link widoczny dla zalogowanych]
K.A Wieczorek napisał:

Termin „zdanie” oznacza w logice tylko i wyłącznie zdanie oznajmujące i schematy tylko takich zdań będziemy budować

Na mocy powyższego dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w logice „matematycznej” ziemian przyjmuje postać.
Jeśli „zdanie twierdzące p” to „zdane twierdzące q”
Gdzie:
Zdania twierdzące p i q muszą mieć znaną z góry wartość logiczną prawda (=1) albo fałsz (=0).
Przykład:
Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
etc
To jest zdecydowanie gorzej niż szpital psychiatryczny, bo tylko najciężej chorzy mogą pleść tego typu brednie. To jest samobójstwo dla całej dalszej treści tego podręcznika, zatem w tym momencie możemy zakończyć jego czytanie i wrzucić do kosza na śmieci, bo:

Fundamentem jedynej poprawnej logiki matematycznej, algebry Kubusia, są zdania warunkowe „Jeśli p to q” gdzie między p i q występuje ścisły związek matematyczny w postaci:

1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0

2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0

3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0

Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).

Weźmy fragment wstępu „Logiki dla opornych” autorstwa dr hab. K.A. Wieczorka:
[link widoczny dla zalogowanych]
K.A Wieczorek napisał:

Większość tradycyjnych podręczników logiki najeżona jest technicznymi terminami, sucho brzmiącymi definicjami i twierdzeniami oraz skomplikowanymi wzorami. Brakuje im natomiast przykładów ilustrujących zawarty materiał teoretyczny i wyjaśniających bardziej złożone zagadnienia w sposób zrozumiały dla osób uważających się za „humanistów”, a nie „ścisłowców”. Sytuacja ta sprawia, że po zapoznaniu się z treścią takiego podręcznika lub po wysłuchaniu wykładu opracowanego na jego podstawie, adept logiki ma trudności z rozwiązaniem nawet bardzo prostych zdań umieszczanych na końcach rozdziałów lub w specjalnych zbiorach ćwiczeń z logiki.
Taki stan rzeczy przyprawia o mdłości i ból głowy zarówno wielu wykładowców logiki zrozpaczonych rzekomą całkowitą niezdolnością do poprawnego myślenia okazywaną przez ich studentów, jak i tych ostatnich, zmuszonych do zaliczenia przedmiotu, z którego niemal nic nie rozumieją.
Doświadczenie zdobyte przeze mnie podczas lat nauczania logiki na różnych kierunkach uniwersyteckich wskazuje jednakże, iż najczęściej nieumiejętność rozwiązywania zadań z logiki nie jest wynikiem jakichkolwiek braków umysłowych studentów ani nawet ich lenistwa, ale po prostu przerażenia wywoływanego przez gąszcz niezrozumiałych dla nich wzorów, twierdzeń i definicji.
Panika ta widoczna jest szczególnie u osób obdarzonych bardziej humanistycznym typem umysłowości, alergicznie reagujących na wszystko, co kojarzy im się z matematyką. Można oczywiście ubolewać nad tym, że tak wielu młodych ludzi nie chce pokonać w sobie uprzedzeń do logiki i zmuszać ich „dla ich dobra” do przyswajania tej wiedzy w tradycyjnej formie. Czy ma to jednak większy sens? Da się oczywiście sprawić, że uczeń poświęci tydzień czasu przed egzaminem (często wspomagając się przy tym różnego rodzaju chemicznymi „środkami dopingującymi”) na pamięciowe wykucie kilkudziesięciu twierdzeń i 7 praw, a następnie nauczy się ich mechanicznego stosowania. Nie zmieni to jednak faktu, iż student taki w dalszym ciągu nie będzie rozumiał istoty tego, co robi, ani jaki jest właściwie cel wykonywanych przez niego operacji.

Skomentuję tylko ostatni wytłuszczony fragment:
Panowie matematycy, nie da się zrozumieć wykładanej przez was gówno-logiki opartej na fundamencie „implikacji materialnej” gdzie na mocy definicji zabijane jest jakiekolwiek wynikanie matematyczne w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q”.
Najśmieszniejszy jest fakt, że matematycy nie wykładają swojej pseudo-logiki na studiach ścisłych, bowiem inżynierowie Klasyczny Rachunek Zdań, którego fundamentem jest „implikacja materialna” maja w głębokim poważaniu, czyli w (niedomówienie). Na studiach technicznych króluje techniczna algebra Boole’a mająca zerowy związek z posraną „implikacją materialną” rodem z KRZ.
Dowód:
Skończyłem elektronikę (Instytut Automatyki) na Politechnice Warszawskiej w 1980r gdzie techniczna algebra Boole’a była na najwyższym światowym poziomie a takie pojęcia jak „Klasyczny Rachunek Zdań” czy też „implikacja materialna” po raz pierwszy w życiu usłyszałem od Wuja Zbója 26 lat po ukończeniu studiów.

Dwa pytania retoryczne do ziemskich matematyków:
1.
Dlaczego wykładowcy elektroniki na Politechnice Warszawskiej nie przyznali wam ani jednej godziny wykładowej, byście mogli ten swój parszywy Klasyczny Rachunek Zdań oparty na gównie zwanym „implikacja materialna” zaprezentować inżynierom?
2.
Dlaczego wchodzicie z gównem zwanym Klasyczny Rachunek Zdań na studia humanistyczne typu pedagogika (tu wykładał nasz Idiota), prawo, psychologia etc siejąc popłoch wśród studentów humanistycznych?

2.5.1 Prawo Kameleona

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Rozważmy najprostszy schemat elektryczny:
Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych


Lekcja fizyki w I klasie LO w roku 2031 (przenosimy się do przyszłości):
Pan od fizyki:
Czy wciśnięcie przycisku A na schemacie S3 jest wystarczające => dla świecenia się żarówki S?
Jaś:
Tak.
Pan:
Jasiu wypowiedz zdanie warunkowe „Jeśli p to q” opisujące ten przypadek.
Jaś:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => będzie się świecić (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie klawisza A jest warunkiem wystarczającym => do tego aby żarówka świeciła się bo zawsze gdy wciśniemy A, żarówka świeci się

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Nasz schemat S3:
A=>S = ~A+S =1

Pan od fizyki:
Czy wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby żarówka świeciła się?
Zuzia:
Tak.
Pan
Zuziu, wypowiedz zdanie warunkowe „Jeśli p to q” opisujące ten przypadek.
Zuzia:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> będzie się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie klawisza A jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S, bo w układzie S3 nie ma przycisku W (zmienna wolna) połączonego równolegle do A, który mógłby zaświecić żarówkę niezależnie od stanu przycisku A.

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Nasz schemat S3:
A~>S = A+~S =1

Pan od fizyki:
Jaki jest wniosek z prawdziwości zdań A1 i B1?
Jaś:
Wniosek jest taki, iż zdania te wchodzą w skład definicji równoważności A<=>S.

Definicja równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S to jednoczesne spełnienie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie klawisza A (A=1) jest wystarczające => dla świecenia się żarówki S (S=1)
B1: A~>S =1 - wciśnięcie klawisza A (A=1) jest konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1)
stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1=1

Lewą stronę czytamy:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka S świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1=1

Prawą stronę czytamy:
Wciśnięcie klawisza A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1=1

Pan od fizyki:
Zauważcie drogie dzieci, że 10 lat temu ziemscy matematycy doskonale o tym wiedzieli, a mimo to nie odkryli banalnego prawa Kameleona.
Dowodem jest tu Wikipedia w tym temacie identyczna jak ta sprzed 10 lat.

Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 6190
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 10700
Zachodzi oczywiście tożsamość pojęć:
konieczne ~> = potrzebne ~>

Pan od fizyki:
Pokazuje i objaśniam o co chodzi w prawie Kameleona.

Zapiszmy jeszcze raz treść zdań A1 i B1.
A1.
Jeśli przyciska A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => będzie się świecić (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie klawisza A jest warunkiem wystarczającym => do tego aby żarówka świeciła się bo zawsze gdy wciśniemy A, żarówka świeci się
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Nasz schemat S3:
A=>S = ~A+S =1

##

B1.
Jeśli przyciska A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> będzie się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie klawisza A jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S, bo w układzie S3 nie ma przycisku W (zmienna wolna) połączonego równolegle do A, który mógłby zaświecić żarówkę niezależnie od stanu przycisku A.
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Nasz schemat S3:
A~>S = A+~S =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Dowód:
Kod:

T1
 Definicja:                ##  Definicja:
 Warunek wystarczający =>  ##  Warunek konieczny ~>
 Y = (p=>q) =~p+q          ##  Y= (p~>q) = p+~q
 #                         ##  #
~Y =~(p=>q) = p*~q         ## ~Y=~(p~>q) =~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej

W tabeli prawdy T1 widzimy, że definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w sposób perfekcyjny spełniają definicję znaczka różna na mocy definicji ##.
cnd

Stąd mamy drogie dzieci wyprowadzone prawo Kameleona.

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie musza być matematycznie tożsame.

Dowodem są tu dwa nasze zdania A1 i B1.
Niniejszy wykład jest bezpośrednim uderzeniem w gówno-dogmat ziemskich matematyków.

Gówno-dogmat ziemskich matematyków:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka są matematycznie tożsame.

Powyższy dogmat to gówno-prawda, czego dowodem są zdania A1 i B1 wyżej.
cnd

2.5.2 Prawo Śfinii

W tym momencie robię pauzę, by ziemscy matematycy mogli ochłonąć po nokaucie ich gówno-logiki prawem Kameleona.

Ciąg dalszy za chwilę …

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 16:58, 18 Maj 2021, w całości zmieniany 8 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Kubuś




Dołączył: 03 Paź 2017
Posty: 872
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Wto 18:18, 18 Maj 2021    Temat postu:
http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie-script-src-http-wujzboj-com-sfinia-hideu-js-script,20/mord-na-sprawiedliwym-i-jego-zmartwychwstanie,4928-30875.html#597095

Kubuś napisał:
inZynier napisał:
Państwo nie wiedzą, bo nie są inZynierami. W każdym inZynierze drzemie przemożna siła aby rozwalić to co zbudował, a szczególnie z mozołem budę wybudował zgodnie z prawem budowlanym.
Każdy inZynier chce to zburzyć.

Gówno tam prawda Krowo.
Który architekt marzy, by wybudowany przez niego budynek zawalił się z jego winy bo się pomylił w obliczeniach i mu to udowodniono np. zawalenie hali w Katowicach
https://www.youtube.com/watch?v=83zqdoYyNmM

Aparat matematyczny którym dysponuje architekt jest dobry - dokładnie dlatego można mu udowodnić winę.
Możliwe Krowo, że tobie coś podobnego udowodniono i dlatego jesteś w stanie w jakim jesteś?
... współczuję.

Moja wojna z gównem zwanym gówno-logiką ziemian jest fundamentalnie czym innym - tu aparat matematyczny matematyków jest do dupy i to jest łatwe do udowodnienia, co czynię od 15 lat.
Wcześniej czy później matematycy to zrozumieją bo nie mają żadnego wyjścia awaryjnego - nie da się zarzucić na "implikację materialną" szmaty by nie śmierdziała, smród to smród, zawsze wyjdzie na wierzch.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35502
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Wto 23:56, 18 Maj 2021    Temat postu:
Czy ziemscy matematycy okażą się dupkami?
Ja rafa3006 jestem pewien że nie są ... no, może z wyjątkiem twardogłowych matematyków typu Irbisol czy Idiota.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/czysto-matematyczne-obalenie-logiki-matematycznej-ziemian,9269-225.html#310261
idiota napisał:
Chyba ostatecznie przegrzaliśmy rafałowi pozostałości mózgu.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/prawo-subalternacji,8368-2000.html#299283
idiota napisał:
Boże, co za bzdury...
To niesamowite jak rafał swoim nierozumieniem niczego potrafi sobie w głowie posklejać co się da i zrobić to jakoś odnoszące się do jego idee fixe...
Przecież tego nie ma sensu nawet wyjaśniać, bo widać tu raczej symptomy choroby, a nie rozumowanie.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/p-1-i-q-1-ale-p-q-0,10575-450.html#369345
Irbisol napisał:
Ty jesteś naprawdę ograniczony - nie ma z tobą podstawowego kontaktu ... Nie wiem, jak do ciebie przemówić, bo twoja głupota przerasta wszystko, co do tej pory spotkałem na wielu forach

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1050.html#415439
Irbisol napisał:

Po prostu nie mam już słów na wyrażenie stopnia twojego upośledzenia, które nie pozwala ci tego pojąć.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1150.html#418651
Irbisol napisał:
Debil by zrozumiał, dlatego nie nazywam cię debilem, żeby debili nie obrażać.


O co chodzi?
Zrozumiesz jak przeczytasz cały ten post.
Końcówka postu:
Najbardziej sensacyjne podsumowanie w historii logiki matematycznej:
Zauważmy, ze w zapisach aktualnych {P,CH} całą logikę formalną szlag trafił bowiem suma logiczna jest przemienna, zatem w zapisach aktualnych ewidentnie zachodzi tożsamość logiczna [=] między A1 i B1.
Kod:

T2AB’:
Gówno-tożsamość logiczna:
A1: Y= (P=>CH)=~P+CH                [=] B1: Y= (CH~>P)=CH+~P

Wniosek:
Coś tu jest do dupy - nie może być bowiem by logika w zapisach aktualnych {P,CH} gwałciła logikę w zapisach formalnych {p,q}

Odpowiedź:
Gówno-tożsamość w tabeli T2AB’ nie zachodzi bo dupek który zapisze taką tożsamość popełni trywialny błąd czysto matematyczny, błąd podstawienia.
Mam nadzieję, że ziemscy matematycy nie są dupkami i bez problemu zauważą ten banał nad banałami - błąd podstawienia.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593747

2.5.2 Prawo Śfinii

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Uwaga:
Matematycznie możliwy jest alternatywny algorytm przeciwny gdzie w prawie śfinii po „Jeśli ..” zapisujemy q zaś po „to…” zapisujemy p, jednak aby matematyk A dogadał się z matematykiem B obaj muszą stosować identyczny, uzgodniony wzajemnie algorytm: podstawowy albo przeciwny.
W logice matematycznej za domyślny przyjmujemy algorytm podstawowy dzięki czemu nie musimy sygnalizować światu zewnętrznemu który algorytm stosujemy.
Ponieważ algorytm podstawowy jest z definicji algorytmem domyślnym, możemy pominąć słówko „podstawowy” w „algorytmie podstawowym”.

Lekcja logiki matematycznej w I klasie LO w roku 2031 (przenosimy się 10 lat do przodu).
Zobaczmy jak będzie wyglądała logika matematyczna za 10 lat w każdej pierwszej klasie ziemskiego LO.
Rozpatrzmy w tym celu dwa kluczowe zadanka A i B.

Zadnie A
Dane jest zdanie:
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Polecenie:
Zapisz kompletną tabelę prawdy matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> mających związek z tym zdaniem.

Rozwiązanie Jasia:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
A1: P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury.
cnd
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Na mocy prawa śfinii domyślny punkt odniesienia to:
p= P (pada)
q= CH (chmury)
Stąd zdania A1 w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1

W tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> mamy w tym momencie taką sytuację:
Kod:

T1A
Tabela prawdy Jasia dla zdania A1: P=>CH
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
dla punktu odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
      A1B1:      A2B2:   |     A3B3:      A4B4:
A: 1: p=>q  = 2:~p~>~q  [=] 3: q~>p  = 4:~q=>~p  [=] 5: ~p+q  =1
A: 1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P [=] 5: ~P+CH =1
      ##        ##             ##         ##             ##
B: 1: p~>q  = 2:~p=>~q  [=] 3: q=>p  = 4:~q~>~p  [=] 5:  p+~q =?   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
„=” = [=] - tożsamość logiczna (symbole tożsame)

Jak widzimy, udowadniając prawdziwość zaledwie jednego zdania warunkowego A1: P=>CH =1 automatycznie udowodniliśmy prawdziwość kolejnych trzech zdań warunkowych: A2, A3 i A4
Nie musimy tego sprawdzać … ale możemy sprawdzić.
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
A2: ~P~>~CH =1
to samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> aby jutro nie było pochmurno (~CH=1) bo jak będzie padać (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
to samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

Definicja dowolnego prawa logiki matematycznej:
A2: ~P~>~CH [=] A1: P=>CH
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Jak widzimy, w zdaniach A2 i A1 prawo Kubusia działa perfekcyjnie, bo musi działać perfekcyjnie.

Sprawdźmy dalszą część tożsamości logicznych Ax:
A3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
A3: CH~>P =1
to samo w zapisie formalnym:
A3: q~>p =1
Chmury (CH=1) są konieczne ~> aby padało (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Jak widzimy prawo Kubusia znów samo nam tu wyskoczyło:
A3: CH~>P = A4: ~CH=>~P
To samo w zapisie formalnym:
A3: q~>p = A4: ~q=>~p
Ostatnie zdanie prawdziwe A4 brzmi:
A4.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padać (~P=1)
~CH=>~P =1
To samo w zapisie formalnym:
~q=>~p =1
Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie padania (~P=1), bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada

Zauważmy teraz że:
1.
Potwierdziliśmy perfekcyjne działanie algebry Kubusia dla linii Ax w tabeli T1A.
2.
Prawo śfinii wymusza w zdaniu A1 następujący punkt odniesienia:
p = P (pada)
q = CH (chmury)
i ten punkt odniesienia musimy utrzymać w linii Bx inaczej popełniamy błąd podstawienia!
3.
Aby zapisać kompletna tabelę prawdy dla zdania A1: P=>CH musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx
4.
Prawdziwość/fałszywość najprostszego warunku wystarczającego => zawsze dowodzi się najprościej.
Do udowodnienia wybieramy zatem zdanie:
B3: q=>p
dla naszego punktu odniesienia będzie to zdanie:
B3: CH=>P =?
Dowodzimy:
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padało (P=1)
CH=>P =0
Chmury (CH=1) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P=1) bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
cnd.
5.
Fałszywość zdania B3 wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx.

Stąd otrzymujemy kompletną tabelę prawdy T2A dla badanego zdania:
A1: P=>CH =1
Kod:

T2A
Tabela prawdy Jasia dla zdania A1: P=>CH
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
dla punktu odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
      A1B1:      A2B2:   |     A3B3:      A4B4:
A: 1: p=>q  = 2:~p~>~q  [=] 3: q~>p  = 4:~q=>~p  [=] 5: ~p+q  =1
A: 1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P [=] 5: ~P+CH =1
      ##        ##             ##         ##             ##
B: 1: p~>q  = 2:~p=>~q  [=] 3: q=>p  = 4:~q~>~p  [=] 5:  p+~q =0   
A: 1: P~>CH = 2:~P=>~CH [=] 3: CH=>P = 4:~CH~>~P [=] 5:  P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
„=” = [=] - tożsamość logiczna


Zadnie B
Dane jest zdanie:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
Polecenie:
Zapisz kompletną tabelę prawdy matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> mających związek z tym zdaniem.

Rozwiązanie Zuzi:
B1.
Jeśli jutro będzie będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
B1: CH~>P
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> do tego by padało (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
cnd
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Na mocy prawa śfinii domyślny punkt odniesienia to:
p= CH (chmury)
q= P (pada)
Stąd zdania B1 w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1

W tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> mamy w tym momencie taką sytuację:
Kod:

T1B
Tabela prawdy Zuzi dla zdania B1: CH~>P
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
dla punktu odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
      A1B1:      A2B2:   |     A3B3:      A4B4:
A: 1: p=>q  = 2:~p~>~q  [=] 3: q~>p  = 4:~q=>~p  [=] 5: ~p+q  =?
      ##        ##             ##         ##             ##
B: 1: p~>q  = 2:~p=>~q  [=] 3: q=>p  = 4:~q~>~p  [=] 5:  p+~q =1
B: 1: CH~>P = 2:~CH=>~P [=] 3: P=>CH = 4:~P=>~CH [=] 5: CH+~P =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
„=” = [=] - tożsamość logiczna (symbole tożsame)

Jak widzimy, udowadniając prawdziwość zaledwie jednego zdania warunkowego B1: CH~>P =1 automatycznie udowodniliśmy prawdziwość kolejnych trzech zdań warunkowych: B2, B3, B4
Niedowiarków odsyłam do rozwiązania Jasia, bowiem w zapisach aktualnych zdania Jasia A1, A2, A3 i A4 są identyczne jak zdania Zuzi.

Dla zapisania kompletnej tabeli prawdy związanej ze zdaniem warunkowym B1: CH~>P konieczne jest udowodnienie prawdziwości/fałszywości dowolnego zdania serii Ax.
Punkt odniesienia w tabeli Zuzi to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
W linii Ax bezwzględnie musimy ten punkt odniesienia utrzymać, inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Do udowodnienie wybieramy zdanie A1: p=>q bo tu mamy najłatwiejszy do udowodnienia, najprostszy warunek wystarczający =>.
Dla punktu odniesienia Zuzi zdanie A1 przyjmuje brzmienie:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padać (P=1)
CH=>P =0
Chmury nie sa warunkiem wystarczającym => do tego by padało, bo nie zawsze gdy jest pochmurno, pada
cnd
Fałszywość zdania A1 wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax.

Stąd końcowa tabela Zuzi jest następująca:
Kod:

T2B
Tabela prawdy Zuzi dla zdania B1: CH~>P
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
dla punktu odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
      A1B1:      A2B2:   |     A3B3:      A4B4:
A: 1: p=>q  = 2:~p~>~q  [=] 3: q~>p  = 4:~q=>~p  [=] 5: ~p+q  =0
A: 1: CH=>P = 2:~CH~>~P [=] 3: P~>CH = 4:~P=>~CH [=] 5:~CH+P  =0
      ##        ##             ##         ##             ##
B: 1: p~>q  = 2:~p=>~q  [=] 3: q=>p  = 4:~q~>~p  [=] 5:  p+~q =1
B: 1: CH~>P = 2:~CH=>~P [=] 3: P=>CH = 4:~P=>~CH [=] 5: CH+~P =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
„=” = [=] - tożsamość logiczna (symbole tożsame)


Pozostaje kluczowe do rozstrzygnięcia pytanie:
W jakiej relacji matematycznej są ze sobą tabele prawdy Jasia i Zuzi.

Zapiszmy w tym celu te tabele jedna pod drugą:
Kod:

T2A
Tabela prawdy Jasia dla zdania A1: P=>CH
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
dla punktu odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
      A1B1:      A2B2:   |     A3B3:      A4B4:
A: 1: p=>q  = 2:~p~>~q  [=] 3: q~>p  = 4:~q=>~p  [=] 5: ~p+q  =1
A: 1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P [=] 5: ~P+CH =1
      ##        ##             ##         ##             ##
B: 1: p~>q  = 2:~p=>~q  [=] 3: q=>p  = 4:~q~>~p  [=] 5:  p+~q =0   
A: 1: P~>CH = 2:~P=>~CH [=] 3: CH=>P = 4:~CH~>~P [=] 5:  P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
„=” = [=] - tożsamość logiczna

##
Kod:

T2B
Tabela prawdy Zuzi dla zdania B1: CH~>P
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
dla punktu odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
      A1B1:      A2B2:   |     A3B3:      A4B4:
A: 1: p=>q  = 2:~p~>~q  [=] 3: q~>p  = 4:~q=>~p  [=] 5: ~p+q  =0
A: 1: CH=>P = 2:~CH~>~P [=] 3: P~>CH = 4:~P=>~CH [=] 5:~CH+P  =0
      ##        ##             ##         ##             ##
B: 1: p~>q  = 2:~p=>~q  [=] 3: q=>p  = 4:~q~>~p  [=] 5:  p+~q =1
B: 1: CH~>P = 2:~CH=>~P [=] 3: P=>CH = 4:~P=>~CH [=] 5: CH+~P =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
„=” = [=] - tożsamość logiczna (symbole tożsame)

Gdzie:
## - różna na mocy definicji

Teraz uwaga wszyscy ziemscy matematycy:
1.
Zauważmy że w zapisach formalnych między tabelami T2A i T2B zachodzi relacja rożne na mocy definicji ##.

Dowód:
Kod:

T2AB:
Tabela T2A (Jaś)                     ## Tabela T2B (Zuzia)
Definicja warunku wystarczającego => ## Definicja warunku koniecznego ~>
A1: Y= (p=>q)=~p+q                   ## B1: Y= (p~>q)=p+~q
    #                                ##     #
   ~Y=~(p=>q)= p*~q                  ##    ~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej

W tabeli prawdy T2AB widzimy, że definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w sposób perfekcyjny spełniają definicję znaczka różna na mocy definicji ##.
cnd

Nanieśmy teraz do tabel T2AB zdania Jasia i Zuzi w zapisach aktualnych.
Kod:

T2AB:
Tabela T2A (Jaś)                     ## Tabela T2B (Zuzia)
Punkt odniesienia Jasia:             ## Punkt odniesienia Zuzi:
p=P (pada)                           ## p=CH (chmury)
q=CH (chmury)                        ## q=P (pada)
Definicja warunku wystarczającego => ## Definicja warunku koniecznego ~>
A1: Y= (p=>q) =~p+q                  ## B1: Y= (p~>q)=p+~q
A1: Y= (P=>CH)=~P+CH                 ## B1: Y= (CH~>P)=CH+~P
    #                                ##     #
   ~Y=~(p=>q)= p*~q                  ##    ~Y=~(p~>q)=~p*q
   ~Y=~(P=>CH)=P*~CH                 ##    ~Y=~(CH~>P)=~CH*P
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Najbardziej sensacyjne podsumowanie w historii logiki matematycznej:
Zauważmy, ze w zapisach aktualnych {P,CH} całą logikę formalną szlag trafił bowiem suma logiczna jest przemienna, zatem w zapisach aktualnych ewidentnie zachodzi tożsamość logiczna [=] między A1 i B1.
Kod:

T2AB’:
Gówno-tożsamość logiczna:
A1: Y= (P=>CH)=~P+CH                [=] B1: Y= (CH~>P)=CH+~P

Wniosek:
Coś tu jest do dupy - nie może być bowiem by logika w zapisach aktualnych {P,CH} gwałciła logikę w zapisach formalnych {p,q}

Odpowiedź:
Gówno-tożsamość w tabeli T2AB’ nie zachodzi bo dupek który zapisze taką tożsamość popełni trywialny błąd czysto matematyczny, błąd podstawienia.
Mam nadzieję, że ziemscy matematycy nie są dupkami i bez problemu zauważą ten banał nad banałami - błąd podstawienia.

Zauważmy, że aby zauważyć ten błąd Jaś i Zuzia muszą oglądać otaczającą ich rzeczywistość aktualną {P,CH} z tego samego formalnego punktu odniesienia {p.q}
Dokładnie temu służy prawo Śfinii, wymusza na wszystkich matematykach wspólny punkt odniesienia.

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Sytuacja jest tu identyczna jak z jeżdżeniem po Anglii i Polsce samochodem:
Anglik będzie twierdził że samochodem musimy jeździć lewą stroną
Polak będzie twierdził że samochodem musimy jeździć prawą stroną

W rzeczywistości zależy to od punktu odniesienia:
Jeżdżąc po Anglii musimy jeździć lewą stroną, zaś jeżdżąc po Polsce prawą.

Jeśli Anglik powie, że on ma punkt odniesienia w logice matematycznej w dupie i będzie jeździł po Polsce lewą stroną … to długo nie pojeździ, co mam nadzieję wszyscy rozumieją.

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 0:03, 19 Maj 2021, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35502
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Czw 10:26, 20 Maj 2021    Temat postu:
Nie będzie ataków na KRZ wewnątrz "Algebry Kubusia"

Właśnie przystąpiłem do ostatniego czytania ostatecznej już algebry Kubusia (będzie trochę przemeblowania).
Doszedłem do wniosku, iż wewnątrz algebry Kubusia nie powinno być ataków na Klasyczny Rachunek Zdań (może z kilkoma drastycznymi wyjątkami).
Pozostawiam atak na KRZ we wstępie, z dedykacją dla przyszłych czytelników aby mieli świadomość do jak wielkiego przełomu doszło w logice matematycznej dzięki rozszyfrowaniu "Algebry Kubusia" autorstwa Kubusia - stwórcy naszego Wszechświata.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593743

Algebra Kubusia w przebudowie
Matematyczny Raj: 2021-05-01

Jaki jest cel przebudowy algebry Kubusia?
Jedynym moim celem jest dotarcie do serc matematyków, zatem im prostszy układ AK tym lepiej - od zawsze staram się iść w tym kierunku.
2021-05-11
Wersja prawie skończona, w trakcie końcowej weryfikacji i poprawek - premiera 2021-06-01

Kompletna algebra Kubusia to dwa podręczniki:
Część I.
Nowa algebra Boole’a
Część II.
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego

Algebra Kubusia to matematyczna obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie kluczową rolę odgrywają spójniki implikacyjne {~~>, =>, ~>, <=>, „albo”($)}, natomiast algebra Boole’a to wyłącznie 5 znaczków {1, 0, (~), „i”(*), „lub”(+)}.
Jak widzimy „Algebra Kubusia” i „Algebra Boole’a” to w zasadzie wiedza rozłączna co oznacza, że można zrozumieć „Algebrę Kubusia” bez znajomości algebry Boole’a.

Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia (cytuję w kolejności zaistnienia):
Wuj Zbój, Miki (vel Lucek), Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors (vel Dagger), Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski, MaluśnaOwieczka i inni.

Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez Fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?
Finałowa dyskusja z Irbisolem!
5.
MaluśnaOwieczka - końcowy uczestnik dyskusji o algebrze Kubusia w trakcie której wiele definicji zostało doprecyzowanych.

Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2021
Niniejszy podręcznik jest końcowym efektem 15-letniej dyskusji na forach śfinia, ateista.pl i yrizona - to około 30 tys postów, średnio 5 postów dziennie wyłącznie na temat logiki matematycznej.




Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego

Części:
1.0 Kubusiowa teoria zbiorów
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Operatory implikacyjne - definicje podstawowe:
3.0 Definicje podstawowe - implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q
3.3 Definicje podstawowe - równoważność <=> i „albo”($)
3.5 Definicje podstawowe - chaos p|~~>q
3.6 Dziedzina matematyczna i fizyczna, zdjęcia układów

Operator implikacji prostej p||=>q:
4.0 Operatory implikacyjne - implikacja prosta p||=>q
4.4 Analiza operatora implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach
4.6 Analiza operatora implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach
4.8 Przykłady analizy operatorów implikacji prostej p||=>q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q:
5.0 Operatory implikacyjne - implikacja odwrotna p||~>q
5.4 Analiza operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach
5.6 Analiza operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach
5.8 Przykłady operatorów implikacji odwrotnej p||~>q

Operator równoważności p|<=>q:
6.0 Operatory implikacyjne - równoważność p|<=>q
6.6 Analiza operatora równoważności A|<=>S w zdarzeniach
6.8 Analiza operatora równoważności TP|<=>SK w zbiorach
6.10 Przykłady operatorów równoważności p|<=>q

Operator „albo”($) p|$q
7.0 Operatory implikacyjne - operatora „albo” p|$q
7.6 Analiza operatora „albo” D|$S w zdarzeniach
7.8 Analiza operatora „albo” M|$K w zbiorach
7.10 Przykłady operatora „albo” p|$q

Operator chaosu p||~~>q
8.0 Operatory implikacyjne - operator chaosu p||~~>q
8.3 Przykłady operatorów chaosu p||~~>q
8.5 Zdania bazowe w operatorze chaosu A||~~>S w zdarzeniach
8.7 Zdania bazowe w operatorze chaosu P8||~~>P3 w zbiorach

Zastosowania algebry Kubusia
9.0 Zastosowania spójników „i”, „lub”(+), <=> i „albo”($) w języku potocznym
9.6 Kompromitacja ziemskiej matematyki w 5 klasie szkoły podstawowej

Obietnice i groźby:
10.0 Obietnice i groźby
10.1 Obietnica
10.2 Groźba
10.3 Analiza obietnicy E=>K z różnych punktów odniesienia
10.4 Kto wierzy we mnie będzie zbawiony

Wstęp

Dlaczego od 15 lat zajmuję się logiką matematyczną?

1.
Jestem absolwentem elektroniki (instytut automatyki) na Politechnice Warszawskiej (1980r).
Z racji wykształcenia techniczną algebrę Boole’a znam perfekcyjnie od czasów studiów i wiem, że złożone automaty cyfrowe w bramkach logicznych projektuje się w naturalnej logice matematycznej człowieka tzn. opisanej równaniami algebry Boole’a - nigdy tabelami zero-jedynkowymi!

2.
Pojęcie „Klasyczny Rachunek Zdań” usłyszałem po raz pierwszy w życiu 26 lat po skończeniu studiów (2006r) od Wuja Zbója na forum śfinia.
Ziemscy logicy matematyczni popełniają seppuku logiki matematycznej już w pierwszym zdaniu każdego ziemskiego podręcznika do nauki logiki „matematycznej”
Dowód:
Jedno z pierwszych zdań podręcznika dr hab. Krzysztofa A. Wieczorka „Logika dla opornych”
[link widoczny dla zalogowanych]
K.A Wieczorek napisał:

Termin „zdanie” oznacza w logice tylko i wyłącznie zdanie oznajmujące i schematy tylko takich zdań będziemy budować

Na mocy powyższego dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w logice „matematycznej” ziemian przyjmuje postać.
Jeśli „zdanie twierdzące p” to „zdane twierdzące q”
Gdzie:
Zdania twierdzące p i q muszą mieć znaną z góry wartość logiczną prawda (=1) albo fałsz (=0), aby na mocy „implikacji materialnej” można było rozstrzygnąć o prawdziwości/fałszywości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q”
Przykładowe zdania prawdziwe w KRZ:
1. Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
2. Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
3. Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
Dowód (na serio!) prawdziwości zdania 3 na gruncie Klasycznego Rachunku Zdań jest tu:
[link widoczny dla zalogowanych]

… a tu bloger Gżdacz potwornie szydzi (i słusznie) zarówno z logiki formalnej ziemian (Cytat pierwszy) jak i z samego dowodu Russella (cytat drugi):
[link widoczny dla zalogowanych]
Gżdacz napisał:

Jeśli 2+2=5, to jestem papieżem

Z książki Johna D. Barrowa Kres możliwości? wypisuję cytaty, które są cytatami drugiego rzędu, bo w rzeczonej książce są to również cytaty.

Cytat pierwszy (s. 226).
Sądzę, że mistycyzm można scharakteryzować jako badanie tych propozycji, które są równoważne swoim zaprzeczeniom. Z zachodniego punktu widzenia, klasa takich propozycji jest pusta. Ze wschodniego punktu widzenia klasa ta jest pusta wtedy i tylko wtedy, kiedy nie jest pusta. (Raymond Smullyan)

Przepisałem wiernie, pozostawiając niepoprawną interpunkcję oraz nadużycie leksykalne polegające na tłumaczeniu angielskiego proposition jako propozycja, zamiast stwierdzenie.

Cytat drugi (s. 226) wymaga lekkiego wprowadzenia.
Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.

Kiedy Bertrand Russell wypowiedział ten warunek na jednym z publicznych wykładów jakiś sceptyczny złośliwiec poprosił go, by udowodnił, że jeśli 2 razy 2 jest 5, to osoba pytająca jest Papieżem. Russell odparł:
Jeśli 2 razy 2 jest 5, to 4 jest 5; odejmujemy stronami 3 i wówczas 1=2. A że pan i Papież to 2, więc pan i Papież jesteście jednym!

W ramach zadania domowego zadałem sobie wykazanie, że jeśli Napoleon Bonaparte był kobietą, to ja jestem jego ciotką. Na razie zgłaszam "bz".
Autor: Gżdacz o 21:30


3.
Dlaczego z takim uporem drążyłem algebrę Kubusia?
Po zapisaniu przeze mnie praw Kubusia 15 lat temu:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Zrozumiałem ich sens w obsłudze obietnicy Chrystusa:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z
Tylko i wyłącznie dlatego ciągnę temat „Logika matematyczna” od 15 lat

4.
Algebrę Kubusia dedykuję naszym wnukom, aby nikt, nigdy więcej, nie prał im mózgów gównem zwanym „implikacja materialna”.
Tu nie chodzi o gołą tabelę zero-jedynkową zwaną przez ziemian „implikacją materialną” (sama tabela jest identyczna jak w algebrze Kubusia), ale o jej przełożenie na prawa matematyczno-fizyczne obowiązujące w naszym Wszechświecie w tym na język potoczny człowieka.
Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, totalnie nieznana ziemskim matematykom, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.
W algebrze Kubusia mamy zaledwie trzy znaczki (=>, ~> i ~~>) na których zbudowana jest kompletna algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".

a)
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - gdy zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury.
cnd

b)
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
Przykład:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Istnienie chmur (CH) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P) bo jak nie ma chmur (~CH) to na 100% => nie pada (~P)
Prawo Kubusia wiążące warunek konieczny ~> z warunkiem wystarczającym => samo nam tu wyskoczyło
Prawo Kubusia:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
cnd

c)
Definicja zdarzenia możliwego ~~> w zdarzeniach lub definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> w zbiorach

Definicja zdarzenia możliwego ~~> w zdarzeniach:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0

Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> w zbiorach:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q=0

Przykład w zdarzeniach:
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
cnd

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

5.
Czy algebra Kubusia znajdzie zastosowanie w świecie techniki?
Odpowiedź jest jednoznaczna:
TAK - algebra Kubusia to fundament wszelkich wynalazków w świecie techniki, od czasów gdy człowiek „zszedł z drzewa”.
Uzasadnienie:
Wszyscy jesteśmy naturalnymi ekspertami algebry Kubusia od 5-cio latka poczynając, znamy ją perfekcyjnie bo po prostu pod nią podlegamy, nie mając żadnych szans by się od niej uwolnić.
Bez algebry Kubusia życie na ziemi nie byłoby możliwe bowiem algebra Kubusia to między innymi matematyczna obsługa obietnic i gróźb - zwierzątka które nie odróżniały nagrody od kary dawno wyginęły.
Bez algebry Kubusia człowiek nie byłby w stanie niczego skonstruować, nawet koła.
Zatem:
Po co komu algebra Kubusia skoro wszyscy ją perfekcyjnie znamy?
Algebra Kubusia potrzebna jest wyłącznie zawodowym matematykom by skorygowali potworne bzdury istniejące w ich logikach formalnych zbudowanych na bazie „implikacji materialnej”.
Świat techniki od zawsze pojęcie „implikacja materialna” ma w głębokim poważaniu, czyli w (niedomówienie). W praktyce każdy inżynier myśli algebrą Kubusia (nie będąc tego świadomym), nigdy jakąkolwiek logiką formalną stworzoną przez ziemskich matematyków np. logika intuicjonistyczna, modalna, logiki relewantne (modne ostatnio) etc.

Krótka historia mojego życia.

W roku 1984 przytrafiła mi się taka historia.
Będąc świeżo po studiach elektronicznych (Politechnika Warszawska) zrobiłem na mikroprocesorze Z80 bardzo prosty i fajny sterownik edukacyjny gdzie samemu można było pisać programy z klawiatury szesnastkowej w kodzie maszynowym.
Wbrew pozorom nie było to trudne bo było sporo procedur systemowych możliwych do użycia we własnym programie. Poza tym sterownik posiadał prosty debugger (odpluskwiacz) pozwalający łatwo znajdować i usuwać popełnione błędy. Ten tani sterownik edukacyjny (miał to w nazwie) okazał się wielka ścianą dla elektroników hobbystów których wiedza elektroniczna była w zdecydowanej większości mizerna.
Co zatem miałem robić by to moje dziecko było sprzedawalne?

Idea która zawładnęła mną całkowicie przez następne dwa lata była następująca.
Dopisać do sterownika instrukcję zakładając, że wiedza wstępna w zakresie elektryki i elektroniki potencjalnego czytelnika jest równa zeru - czyli z założenia miała to być instrukcja-podręcznik dla ucznia I klasy LO który nie zna jeszcze prawa Ohma, nie ma pojęcia co to jest prąd, napięcie etc.

… i ta idea została z powodzeniem zrealizowana.
Dowód to przykładowe dwie recenzje czytelników:
1.
Serdecznie dziękuję za dwa podręczniki na temat podstaw elektroniki i techniki mikroprocesorowej. Są one naprawdę doskonale napisane. Mimo, że przesyłkę otrzymałem dwa dni temu to już zdążyłem je obie przeczytać - bardzo trudno się od nich oderwać.
Obecnie jestem uczniem I klasy LO …
2.
Jestem zachwycony Pańskimi książkami na temat mikroprocesorów. Książki są wyjątkowo przejrzyście napisane. Takiej metodyki mogą pozazdrościć najlepsze uczelnie w kraju - jednej z nich jestem absolwentem.

Mam nadzieję, że już niedługo, podobne wrażenia z czytania „Algebry Kubusia” odniosą ziemscy matematycy, bo o nich tu przede wszystkim chodzi. Reszta ludzkości, od 5-cio latka poczynając to naturalni eksperci algebry Kubusia, zatem w ogóle nie musi się jej uczyć!

Napisanie podręczników na temat mikroprocesorów kosztowało mnie dwa lata ciężkiej harówy bo cały czas musiałem pamiętać że odbiorca nie wie nic a nic w temacie elektryki i elektroniki prowadząc go po łagodnej równi pochyłej od prawa Ohma poprzez podstawy elektryki, podstawy elektroniki, podstawy techniki cyfrowej (bramki logiczne), podstawy sprzętowego działania mikroprocesora, na podstawach programowania mikroprocesorów kończąc gdzie musiałem wytłumaczyć czytelnikowi język asemblera i zasady pisania programów w tym języku.

Niestety, albo na szczęście dla ludzkości, w roku 2006r Wuj Zbój, właściciel forum śfinia, zaraził mnie kolejną ideą - rozszyfrować logikę matematyczną pod którą podlega język potoczny człowieka od 5-cio latka poczynając na najwybitniejszych ziemskich matematykach kończąc.

Tu nie było tak „lekko” jak w przypadku sterownika edukacyjnego. Rozszyfrowanie poprawnej logiki matematycznej pod którą podlega język potoczny kosztowało mnie 15 lat ciężkiej harówy - ale warto było.
Całe szczęście, że dzięki dobrym ludziom (także dzięki zagorzałym oponentom typu Irbisol) którzy ze mną dyskutowali cel swój osiągnąłem - efekt końcowy to:
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego

Prawdę mówiąc, ta „harówa” to była 15 letnia uczta dla mojego małego rozumku, czyli poruszanie się po dziewiczych terenach matematyki, po których żaden człowiek wcześniej nie stąpał.
Nie stąpał dlatego, że w temacie logika matematyczna 100% definicji z algebry Kubusia jest sprzecznych z jakąkolwiek logiką „matematyczną” znaną ziemskim matematykom.

Innymi słowy:
Non-stop odkrywałem coraz to nowe prawa logiki matematycznej pod które podlega cały nasz świat żywy i martwy (w tym matematyka i język potoczny), których wcześniej nie znałem - to było tak ekscytujące, że nie mogłem przestać myśleć o algebrze Kubusia.




Kubuś i przyjaciele w drodze ku świetlanej przyszłości.

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 10:50, 20 Maj 2021, w całości zmieniany 4 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35502
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Nie 7:34, 23 Maj 2021    Temat postu:
Wersja ostateczna algebry Kubusia - punkt 1.0
Rozpocząłem czytanie całej AK od początku, oczywiście ulepszając przekaz i likwidując literówki.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593745

Algebra Kubusia dla LO
1.0 Kubusiowa teoria zbiorów


Spis treści
1.0 Kubusiowa teoria zbiorów 1
1.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach 2
1.1.1 Suma logiczna zbiorów 3
1.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów 3
1.1.3 Różnica (-) zbiorów 4
1.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów 4
1.2.2 Definicja podzbioru => i nadzbioru ~> 6
1.3 Dziedzina 7
1.3.1 Zaprzeczenie zbioru 7
1.3.2 Nazwa własna zbioru 8
1.3.3 Dziedzina użyteczna w języku potocznym 8
1.3.4 Dlaczego Uniwersum nie jest dziedziną użyteczną? 11
1.3.5 Armagedon ziemskiej matematyki 13
1.4 Kryteria ustalania dziedziny dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” 14


1.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Kubusiowa teoria zbiorów to nieznana ziemianom teoria zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej, algebry Kubusia.

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, koło, miłość, krasnoludek, zbór wszystkich zwierząt ...]

Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda
0 = fałsz

Prawa Prosiaczka
Prawa Prosiaczka omówiono szczegółowo w „Nowej algebrze Boole’a” pkt. 1.3

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Przykład 1.
[pies]=1 - bo prawdą jest (=1) iż wiem co znaczy pojęcie pies
Prawo Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
Nasz przykład:
([pies]=1) = (~[pies]=0) - na mocy prawa Prosiaczka
stąd zdanie tożsame do 1:
~[pies]=0 - fałszem jest (=0), że nie wiem (~) co znaczy pojęcie [pies]

Przykład 2.
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=1 - prawdą jest (=1), iż wiem co znaczy pojęcie „zbiór wszystkich zwierząt”
Prawo Prosiaczka:
(ZWZ=1) = (~ZWZ=0)
Stąd zdanie tożsame do 2:
~ZWZ=0 - fałszem jest (=0) że nie wiem (~) co znaczy pojęcie ZWZ (zbiór wszystkich zwierząt)

Przykład 3.
agstd=0 - bo fałszem jest (=0) iż wiem co znaczy pojęcie „agstd”
Prawo Prosiaczka:
(agstd=0) = (~agstd=1)
stąd zdanie tożsame do 3:
~agstd=1 - prawdą jest (=1), że nie wiem (~) co znaczy pojęcie agstd

Prawo Kłapouchego:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.

1.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach

Elementarne działania na zbiorach to:
(+) - suma logiczna zbiorów
(*) - iloczyn logiczny zbiorów
(-) - różnica logiczna zbiorów

1.1.1 Suma logiczna zbiorów

Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
Zdefiniujmy dwa zbiory p i q:
p=[K, T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T, P] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[K,T]+[T,P]=[K,T,T,P] = [K+T+T+P] = [K+T+P] = [K,T,P] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Bo prawo Algebry Boole’a:
p+p =p
Uwaga:
Przecinek przy wyliczaniu elementów zbioru jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) z algebry Boole’a co pokazano i udowodniono wyżej.

1.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów

Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny (zbiór wynikowy jest niepusty)
Y = p*q =0 - gdy zbiory p i q nie mają (=0) elementu wspólnego (są rozłączne)

Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
S - Słoń
Zdefiniujmy zbiory p, q, r:
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T,P] =1 - bo zbiór niepusty
r=[P,S] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[K,T]*[T,P]=[T] =1 - zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny
Y=p*r=[K,T]*[P,S] =[] =0 - zbiory p i r nie mają (=0) elementu wspólnego

Powyższe wyniki można uzyskać poprzez wymnażanie logiczne zbiorów.
Przykład:
p*q = [K+T]*[T+P] = K*T + K*P + T*T + T*P =[] + [] + T + [] = T
bo:
K*T+ K*P + T*P =[]+[]+[] =0+0+0 =0 - iloczyn logiczny „*” zbiorów (pojęć) rozłącznych jest zbiorem pustym
T*T =T
bo prawo algebry Boole’a:
p*p =p
Jak widzimy, przy wyliczaniu elementów zbioru przecinek jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) rodem z algebry Boole’a.

1.1.3 Różnica (-) zbiorów

Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q

Oznaczmy:
K - Kubuś
T - Tygrysek
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T] =1 - bo zbiór niepusty
Stąd:
Y=p-q = [K,T]-[T] =[K+T-T] =[K] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=q-p =[K]-[K,T]=[K-(K+T]=[K-K-T]= [-T] =[-T] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty

Prawo odejmowania zbiorów:
Jeśli w operacji odejmowania zbiorów wynikowy zbiór jest z minusem {-} to taki zbiór zamieniamy na zbiór pusty [].

1.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów

Przypomnijmy znane już definicje podstawowe.

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, miłość, krasnoludek, ZWZ, LN ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda
0 = fałsz

Prawo Kłapouchego:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)

Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum.
Zauważmy, że zaledwie 40 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na Ziemi.

Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z Uniwersum na mocy definicji Uniwersum.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)

Definicja dziedziny absolutnej DA:
Dziedzina absolutna DA to zbiór wszelkich pojęć możliwych do zdefiniowania w naszym Wszechświecie.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum U to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Zbiór pusty zawiera nieskończenie wiele pojęć niezrozumiałych dla człowieka, jeszcze nie zdefiniowanych. Definiować elementy w naszym Wszechświecie może wyłącznie człowiek, świat martwy sam sobie nic nie definiuje.

Przed pojawieniem się człowieka na ziemi zawartość zbioru pustego była taka:
[] - wszystkie elementy naszego Wszechświata w sensie absolutnym, nie ma jeszcze człowieka który by cokolwiek definiował.

W dniu dzisiejszym sytuacja jest inna, taka:
Kod:

T1
Algebra Kubusia:
-------------------------------------------------------------------
| Zbiór pusty []                   | Uniwersum U                  |
| Pojęcia jeszcze przez człowieka  | Pojęcia przez człowieka już  |
| niezdefiniowane                  | zdefiniowane                 |
| Niezrozumiałe dla człowieka      | Zrozumiałe dla człowieka     |
|                                  |                              |
-------------------------------------------------------------------
|                         DA - dziedzina absolutna                |
-------------------------------------------------------------------

Na mocy powyższego zachodzi:
[] = ~U - zbiór pusty [] to zaprzeczenie Uniwersum U w dziedzinie absolutnej DA
U = ~[] - zbiór Uniwersum U to zaprzeczenie zbioru pustego [] w dziedzinie absolutnej DA

Na mocy definicji dziedziny absolutnej mamy:
1: U+~U = U+[] =U =1
2: U*~U = U*[] =[] =0
Komentarz:
1.
Do zbioru Uniwersum (pojęcia zrozumiałe dla człowieka) możemy dodać elementy ze zbioru ~U (pojęcia niezrozumiałe dla człowieka), ale na mocy definicji Uniwersum wszelkie elementy ze zbioru ~U=[] musimy natychmiast usunąć, inaczej gwałcimy definicję Uniwersum.
2.
U*~U=[] =0
Iloczyn logiczny elementów ze zbioru U (pojęcia zrozumiałe dla człowieka) i ~U (pojęcia niezrozumiałe dla człowieka) jest zbiorem pustym tzn. nie ma ani jednego elementu wspólnego w zbiorach U i ~U=[].

Prawo Owieczki:
Prawdziwe jest zdanie ziemskich matematyków iż „ze zbioru pustego [] wynika wszystko” wtedy i tylko wtedy gdy definicje zbioru pustego [] i Uniwersum U będą zgodne z definicjami obowiązującymi w algebrze Kubusia.

1.2.2 Definicja podzbioru => i nadzbioru ~>

Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - gdy definicja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - definicja podzbioru nie jest (=0) spełniona

Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - gdy definicja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - definicja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona

Powyższe definicje tylko pozornie są zgodne z matematyką ziemskich matematyków.
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
sjp napisał:

Podzbiór - w matematyce: zbiór będący częścią jakiegoś zbioru

[link widoczny dla zalogowanych]
sjp napisał:

Nadzbiór - w matematyce: dowolny zbiór zawierający dany zbiór

Dlaczego powyższe definicje są tylko pozornie zgodne z algebrą Kubusia?
Odpowiedź:
W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Z punktu widzenia logiki matematycznej istotą podzbioru => i nadzbioru ~> są relacje podzbioru => i nadzbioru ~> a nie gołe zbiory jak to jest w „matematyce” ziemian.

Algebra Kubusia:
I.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

II.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q


1.3 Dziedzina

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy

Ograniczeniem górnym w definiowaniu dziedziny jest Uniwersum (zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka)
Zbiór pusty [] to zero pojęć zrozumiałych dla człowieka, zatem na tym zbiorze nie możemy operować
Innymi słowy:
Z definicji nie możemy przyjąć zbioru pustego za dziedzinę.

1.3.1 Zaprzeczenie zbioru

Definicja zaprzeczenia (~) zbioru:
Zaprzeczeniem (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Zaprzeczenie zbioru (~) = Negacja zbioru (~)

Uwaga:
Aby zapisać zbiór ~p będący negacją zbioru p musimy określić wspólną dziedzinę dla zbiorów p i ~p
Definicja dziedziny:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, iloczyn logiczny zbiorów jest zbiorem pustym []

Przykład:
K = Kubuś
T = Tygrysek
p=[K] - definiujemy zbiór p
D=[K,T] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[T]

1.3.2 Nazwa własna zbioru

Rozróżniamy dwa rodzaje zbiorów ze względu na nazwę:
- zbiory mające nazwę własną
- zbiory nie mające nazwy własnej

Definicja nazwy własnej zbioru:
Nazwa własna zbioru to nazwa jednoznacznie opisująca dany zbiór w sposób zrozumiały dla wszystkich ludzi

Przykład zbioru mającego nazwę własną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt

Przykład zbioru nie mającego nazwy własnej:
p = [ZWZ, miłość, samolot]

W praktycznej logice matematycznej z oczywistych względów użyteczne są wyłącznie dziedziny mające nazwy własne, zrozumiałe dla wszystkich, gdzie nie trzeba wypisywać wszystkich pojęć zawartych w dziedzinie.

1.3.3 Dziedzina użyteczna w języku potocznym

Definicja dziedziny użytecznej w języku potocznym:
Dziedzina użyteczna w języku potocznym do dowolny zbiór na którym operujemy mający nazwę własną, nie będący Uniwersum.

Rozważmy poniższe dziedziny (ZWZ, ZWS, U) mające nazwy własne:

Przykład:
Weźmy zbiór jednoelementowy:
P=[pies] - zbiór P zawiera tylko jeden element [pies].
Uwaga:
Nie jest tu istotne że różnych psów jest bardzo dużo bo:
pies Jasia = pies Zuzi = po prostu [pies]
[pies]+[pies] = [pies] - prawo algebry Boole’a (p+p=p)
Pojęcia [pies] są tożsame, nieistotne jest że jeden pies należy do Jasia a drugi do Zuzi.

[pies]*[pies] = [pies] - prawo algebry Boole’a (p*p=p)
Pojęcia [pies] są tożsame, nieistotnej jest że jeden pies należy do Jasia a drugi do Zuzi.

A.
Dla dziedziny:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt minus jeden element P=[pies]

B.
Dla dziedziny:
ZWS - zbiór wszystkich ssaków:
otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWS-P] - zbiór wszystkich ssaków minus jeden element P=[pies]
C.
Dla dziedziny Uniwersum (zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka) otrzymamy ~P:
~P=[U-P] - zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka minus jeden element P=[pies]

Wnioski:
a)
Przyjęte dziedziny A i B mają poprawne nazwy własne należące do Uniwersum i nie są tożsame z Uniwersum, zatem te dziedziny są poprawne matematycznie i są to dziedziny użyteczne.
b)
Dziedzina A (ZWZ) wskazuje nam, że interesuje nas wyłącznie zbiór wszystkich zwierząt, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWZ są dla nas puste z definicji.
c)
Dziedzina B (ZWS) mówi nam że operujemy na zbiorze wszystkich ssaków, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWS są dla nas puste z definicji.

Dowód na przykładzie:
W twierdzeniu Pitagorasa dziedziną użyteczną jest:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Nie interesują nas tu żadne pojęcia spoza dziedziny ZWT, o czym w praktyce każdy matematyk intuicyjnie wie.

Dowód czysto matematyczny tego faktu jest następujący:
TP
Twierdzenie proste Pitagorasa:
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów.

Poprzednik definiuje tu dziedzinę:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów

Przyjmijmy dyletancko za dziedzinę Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Wtedy nasze twierdzenie proste Pitagorasa będzie brzmiało:
Jeśli coś (x) jest trójkątem prostokątnym to na 100% => w tym cosiu będzie zachodziła suma kwadratów
x*TP => SK =?
Przyjmijmy:
x=koło
Wtedy mamy:
Jeśli koło jest trójkątem prostokątnym to …. (treść następnika jest tu kompletnie bez znaczenia)
Dowód:
[koło]*TP =[] =0 - bo pojęcie koło i TP są rozłączne

W identyczny sposób dowodzimy fałszywość twierdzenia prostego Pitagorasa dla dowolnego cosia spoza ZWT (zbioru wszystkich trójkątów) np. kwadrat, koło, miłość, pies, mydło, powidło etc.

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Wniosek z prawa Kobry:
Dla x=[koło] twierdzenie proste Pitagorasa jest fałszywe
Z punktu odniesienia prawa Kobry twierdzenie Pitagorasa dla [koła] przyjmie brzmienie:
Jeśli koło jest trójkątem prostokątnym to może ~~> w nim zachodzić suma kwadratów
[koło]*[TP] ~~>SK = [koło]*[TP]*[SK] = [] =0
Fałsz (=0) - bo pojęcie „koło” jest rozłączne ze zbiorem wszystkich trójkątów „ZWT”

Pani matematyczka w I klasie LO:
Jasiu narysuj koło będące trójkątem prostokątnym:
[koło]*[TP] =?
Jaś:
Ja nie potrafię, nie wiem jak wygląda „koło” będące „trójkątem prostokątnym”.
… a pani potrafi narysować ten twór?
Pani.
Hmmm … też nie potrafię Jasiu.
Jak sam widzisz dla każdego człowieka pojęcie „koło będące trójkątem prostokątnym” jest zbiorem pustym z definicji, nikt nie potrafi takiego tworu narysować.

Podsumowując:
Z punktu odniesienia twierdzenia Pitagorasa dowolne pojęcia spoza zbioru wszystkich trójkątów ZWT są dla nas zbiorem pustym tzn. z definicji pojęcia te umieszczamy w zbiorze pojęć niezrozumiałych.

Definicja zbioru pustego [] w algebrze Kubusia:
Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka tzn. nie należących do jego Uniwersum.
Przykład:
[] = [sdhrge=[], [koło]*TP=[], [kwadrat]*TP =[], [miłość]*TP=[] … etc.]

Zauważmy, że zbiór pusty [] z definicji jest podzbiorem => siebie samego.
[]=>[] =1
Nieistotna jest tu nieskończona ilość pojęć niezrozumiałych dla człowieka występująca w tym zbiorze.
W czasach gdy człowiek „żył jeszcze na drzewie” nawet koło było dla niego pojęciem pustym - jeszcze nie zdefiniowanym.
W tym sensie dogmat wiary współczesnych matematyków iż „ze zbioru pustego wynika wszystko” jest dogmatem prawdziwym, ale tylko i wyłącznie przy definicji zbioru pustego [] jak w algebrze Kubusia.

1.3.4 Dlaczego Uniwersum nie jest dziedziną użyteczną?

Definicja dziedziny użytecznej:
Dziedzina użyteczna do dowolny zbiór na którym operujemy mający nazwę własną, nie będący Uniwersum.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Dlaczego za dziedzinę użyteczną nie możemy przyjąć Uniwersum?

Prawo Kłapouchego
Jeśli za dziedzinę przyjmiemy U(Uniwersum) to jedyną równoważnością jaką będziemy w stanie rozpoznać będzie równoważność:
U<=>U = (A1: U=>U)*(B1: U~>U) =1*1 =1
Definiująca tożsamość zbiorów U=U.

Żadnej innej równoważności w naszym Wszechświecie nie rozpoznamy!

Dowód:

Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - gdy definicja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - definicja podzbioru nie jest (=0) spełniona

Definicja nadzbioru ~>:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - gdy definicja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - definicja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona

Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Równoważność p<=>q to definicja podzbioru => zachodząca w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q - definicja formalna (ogólna)
To jest definicja znana każdemu ziemskiemu matematykowi.

Prawo Tygryska (prawo rachunku zero-jedynkowego):
B3: q=>p = B1: p~>q
Stąd mamy tożsamą definicję tożsamości zbiorów p=q:

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q.
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q - definicja formalna (ogólna)

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Weźmy równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK i twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3: SK=>TP zostały udowodnione wieki temu, co jest dowodem prawdziwości równoważności Pitagorasa.

Zastosujmy dla B3 prawo Tygryska:
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK

Stąd mamy tożsamą definicję równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1

Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1

Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => aby zachodziła w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1

To jest najpopularniejsza definicja równoważności znana wszystkim ludziom (nie tylko matematykom).
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 6740
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 17 200
Zachodzi tożsamość pojęć:
Konieczne ~> = potrzebne ~>

Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych definiuje tożsamość zbiorów TP=SK.

Definicja tożsamości zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK i jednocześnie zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK.
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK
B1: TP~>SK =1 - zbiór TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru SK
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP<=>SK

Dziedzina minimalna w twierdzeniu Pitagorasa to:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów

1.3.5 Armagedon ziemskiej matematyki

Armagedon ziemskiej matematyki po raz pierwszy:
Zobaczmy co się stanie jak dla twierdzenia Pitagorasa przyjmiemy dziedzinę U (Uniwersum):

Dla dziedziny U (Uniwersum) twierdzenie proste Pitagorasa nie będzie częścią równoważności:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: TP~>SK) =1*1 =1

lecz częścią implikacji prostej TP|=>U o definicji:
Implikacja prosta TP|=>U to zachodząca wyłącznie definicja podzbioru => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: TP=>U =1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => U (Uniwersum)
B1: TP~>U =0 - zbiór TP nie jest (=0) nadzbiorem ~> U (Uniwersum)
stąd:
TP|=>U = (A1: TP=>U)*~(B1: TP~>U) = 1*~(0) =1*1 =1

Innymi słowy dostajemy Armagedon ziemskiej matematyki bo:
Jeśli w dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” za dziedzinę przyjmiemy U (Uniwersum) to żegnajcie absolutnie wszystkie równoważności udowodnione przez ziemskich matematyków np. równoważność Pitagorasa TP<=>SK
Dlaczego?
Ostatni wytłuszczony zapis to definicja implikacji prostej TP|=>U z definicji mająca zero wspólnego z równoważnością TP<=>SK

Szczegóły w temacie implikacji prostej p|=>q i równoważności p<=>q poznamy w kolejnych rozdziałach algebry Kubusia.

Armagedon ziemskiej matematyki po raz drugi:
Ten Armagedon jest kluczowy i najważniejszy.

Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Równoważność p<=>q to definicja podzbioru => zachodząca w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q - definicja formalna (ogólna)
Ta definicja tożsamości zbiorów p=q znana jest każdemu ziemskiemu matematykowi, z wyjątkiem fanatyków gówna zwanego „implikacją materialną”

Wniosek z powyższej definicji tożsamości zbiorów p=q to prawo zagłady ziemskiej logiki „matematycznej”.

Prawo zagłady ziemskiej logiki matematycznej:
Dowolna równoważność p<=>q prawdziwa definiuje tożsamość zbiorów/pojęć p=q i odwrotnie.

Matematyka ziemian powyższego prawa nie zaakceptuje dopóty, dopóki jej bogiem będzie potwornie śmierdzące gówno zwane „implikacją materialną” gdzie o żadnym związku matematycznym między p i q mowy być nie może.
Ciekawe czy i kiedy ziemscy matematycy poślą „implikację materialną” tam gdzie jej miejsce - do piekła na wieczne piekielne męki, bez prawa powrotu na ziemię do końca naszego Wszechświata.
Ziemscy logicy matematyczni popełniają seppuku logiki matematycznej już w pierwszym zdaniu każdego ziemskiego podręcznika do nauki logiki „matematycznej”
Dowód:
Jedno z pierwszych zdań podręcznika dr hab. Krzysztofa A. Wieczorka „Logika dla opornych”
[link widoczny dla zalogowanych]
K.A Wieczorek napisał:

Termin „zdanie” oznacza w logice tylko i wyłącznie zdanie oznajmujące i schematy tylko takich zdań będziemy budować

Na mocy powyższego dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w logice „matematycznej” ziemian przyjmuje postać.
Jeśli zdanie twierdzące p to zdane twierdzące q
Przykład:
Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
etc
To jest zdecydowanie gorzej niż szpital psychiatryczny, bo tylko najciężej chorzy mogą pleść tego typu brednie. To jest samobójstwo dla całej dalszej treści tego podręcznika, zatem w tym momencie możemy zakończyć jego czytanie i wrzucić do kosza na śmieci, bo:
Fundamentem jedynej poprawnej logiki matematycznej, algebry Kubusia, są zdania warunkowe „Jeśli p to q”. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią tu wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).

1.4 Kryteria ustalania dziedziny dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”

Kryteria ustalania dziedziny dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” w języku potocznym.

1.
Dziedzina musi mieć nazwę własną

Definicja nazwy własnej zbioru:
Nazwa własna zbioru to nazwa jednoznacznie opisująca dany zbiór w sposób zrozumiały dla wszystkich ludzi

Przykłady poprawnych dziedzin mających nazwy własne:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ZWS - zbiór wszystkich ssaków
etc

2.
Dziedzina musi być wspólna dla p i q

3.
Dziedzinę w dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” definiuje treść zdania „Jeśli p to q”

Każdy z powyższych warunków to Armagedon dla wszelkich ziemskich logik formalnych!

Przykład:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
P2~~>P8 = P2*P8 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory P2=[2,4,6,8..24..] i P8=[8,16,24..] mają co najmniej jeden element wspólny np. 24
Zauważmy, że dziedziną dla zdania B1 może być dowolny zbiór liczb np. naturalnych, całkowitych czy rzeczywistych - to bez znaczenia.
Nie jest dziedziną dla zdania B1 zbiór Uniwersum (U) mimo ze dowolny zbiór liczb jest podzbiorem Uniwersum (U) dowód tego faktu poznaliśmy wyżej.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35502
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Nie 10:23, 23 Maj 2021    Temat postu:
Kolejny rozdział 2.0 po weryfikacji i poprawkach

Nowość:
Algorytm Kłapouchego!

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593747

Algebra Kubusia dla LO
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Spis treści
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 1
2.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 1
2.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 2
2.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów 3
2.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 3
2.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 4
2.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 4
2.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~> 4
2.4 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 8
2.5 Tajemnice logiki matematycznej 10
2.5.1 Prawo Kameleona 11
2.5.2 Prawo Śfinii 15
2.6 Algorytm Kłapouchego 22
2.6.1 Algorytm ogólny analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” 24



2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

2.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q.

I.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory p i q są rozłączne i nieskończone to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

2.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

2.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem => samego siebie:
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].

Zbiór pusty jest zbiorem zewnętrznym w stosunku do dowolnego zbioru niepustego.
Wynika to z definicji zbioru pustego [] w algebrze Kubusia (pkt. 1.2).

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.

2.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

I.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

2.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

2.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

2.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicja znaczka różne # dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy jedna z nich jest zaprzeczeniem (~) drugiej
Przykład:
A1: Y=(p=>q)=~p+q # A1N: ~Y=~(p=>q)=p*~q

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Weźmy nasze funkcje logiczne A1 i B1:
Kod:

A1:  Y= (p=>q)=~p+q  ##  B1:  Y= (p~>q)=p+~q 
     #                        #
A1N:~Y=~(p=>q)=p*~q  ##  B1N:~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
A1:  Y= (p=>q)=~p+q - funkcja logiczna A1 w logice dodatniej (bo Y)
A1N:~Y=~(p=>q)=p*~q - funkcja logiczna A1 w logice ujemnej (bo ~Y)

Doskonale widać, że definicje znaczków # i ## są tu spełnione.

Kod:

T1
Definicja warunku wystarczającego =>
        Y=
   p  q p=>q=~p+q
A: 1=>1  1
B: 1=>0  0
C: 0=>0  1
D: 0=>1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

##
Kod:

T2
Definicja warunku koniecznego ~>
        Y=
   p  q p~>q=p+~q
A: 1~>1  1
B: 1~>0  1
C: 0~>0  1
D: 0~>1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

##
Kod:

T3
Definicja spójnika “lub”(+)
        Y=
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 0  0
D: 0+ 1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

##
Kod:

T4
Definicja spójnika “i”(*)
        Y=
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 0  0
D: 0* 1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Dowód iż funkcje logiczne z tabel T1, T2, T3 i T4 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
Kod:

T1:  Y= (p=>q)=~p+q  ## T2:  Y =(p~>q)=p+~q ## T3:  Y= p+q  ## T4:  Y=p*q
     #                       #                      #               #
T1N:~Y=~(p=>q)= p*~q ## T2N:~Y=~(p~>q)=~p*q ## T3N:~Y=~p*~q ## T4N:~Y=~p+~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
T1:  Y= (p=>q)=~p+q - funkcja logiczna T1 w logice dodatniej (bo Y)
T1N:~Y=~(p=>q)=p*~q - funkcja logiczna T1 w logice ujemnej (bo ~Y)

Doskonale widać, że dowolna funkcja z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

Wyprowadźmy w rachunku zero-jedynkowym matematyczne związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
              Y=    Y=        Y=    Y=        Y=        #  ~Y=
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q # ~(p=>q)=p*~q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0       #    =1
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
                1     2         3     4         5             6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q

##
Kod:

Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
              Y=    Y=        Y=    Y=        Y=        #  ~Y=
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q # ~(p~>q)=~p*q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0       #    =1
                1     2         3     4         5
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Y = (p=>q) = ~p+q ## Y=(p~>q) =p+~q

Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).

Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż w zdaniu A1 spełniony jest warunek wystarczający =>:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
jest tożsame z udowodnieniem iż w zdaniu A2 spełniony jest warunek konieczny ~>:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
(albo odwrotnie)

Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno (CH), bo zawsze gdy pada (P), jest pochmurno (CH)

Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
Prawdziwość zdania A1 wymusza prawdziwość zdania A2, z czego wynika, że prawdziwości zdania A2 nie musimy dowodzić.
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH), bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH

2.4 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Mutacje powyższych praw logiki matematycznej:

Pod p i q w powyższych prawach możemy podstawiać zanegowane zmienne w dowolnych konfiguracjach.

Przykład:
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1.
Podstawiamy:
p:=~p - pod p podstaw := ~p
q:=~q - pod q podstaw := ~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>~q = ~(~p)~>~(~q) = p~>q
2.
Podstawiamy:
p:=p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q
3.
Podstawiamy:
p:=~p
q:=q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>q = ~(~p)~>~q = p~>~q

Podsumowanie:

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia



2.5 Tajemnice logiki matematycznej

Fundamentem jedynej poprawnej logiki matematycznej, algebry Kubusia, są zdania warunkowe „Jeśli p to q” gdzie między p i q występuje ścisły związek matematyczny w postaci:

1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0

2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0

3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0

Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).

2.5.1 Prawo Kameleona

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Rozważmy najprostszy schemat elektryczny:
Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych


Lekcja fizyki w I klasie LO w roku 2031 (przenosimy się do przyszłości):
Pan od fizyki:
Czy wciśnięcie przycisku A na schemacie S3 jest wystarczające => dla świecenia się żarówki S?
Jaś:
Tak.
Pan:
Jasiu wypowiedz zdanie warunkowe „Jeśli p to q” opisujące ten przypadek.
Jaś:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => będzie się świecić (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie klawisza A jest warunkiem wystarczającym => do tego aby żarówka świeciła się bo zawsze gdy wciśniemy A, żarówka świeci się

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Nasz schemat S3:
A=>S = ~A+S =1

Pan od fizyki:
Czy wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby żarówka świeciła się?
Zuzia:
Tak.
Pan
Zuziu, wypowiedz zdanie warunkowe „Jeśli p to q” opisujące ten przypadek.
Zuzia:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> będzie się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie klawisza A jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S, bo w układzie S3 nie ma przycisku W (zmienna wolna) połączonego równolegle do A, który mógłby zaświecić żarówkę niezależnie od stanu przycisku A.

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Nasz schemat S3:
A~>S = A+~S =1

Pan od fizyki:
Jaki jest wniosek z prawdziwości zdań A1 i B1?
Jaś:
Wniosek jest taki, iż zdania te wchodzą w skład definicji równoważności A<=>S.

Definicja równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S to jednoczesne spełnienie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie klawisza A (A=1) jest wystarczające => dla świecenia się żarówki S (S=1)
B1: A~>S =1 - wciśnięcie klawisza A (A=1) jest konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1)
stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1=1

Lewą stronę czytamy:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka S świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1=1

Prawą stronę czytamy:
Wciśnięcie klawisza A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1=1

Pan od fizyki:
Zauważcie drogie dzieci, że 10 lat temu ziemscy matematycy doskonale o tym wiedzieli, a mimo to nie odkryli banalnego prawa Kameleona.

Dowodem jest tu Wikipedia w tym temacie identyczna jak ta sprzed 10 lat.
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 6190
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 10700
Zachodzi oczywiście tożsamość pojęć:
konieczne ~> = potrzebne ~>

Pan od fizyki:
Pokazuje i objaśniam o co chodzi w prawie Kameleona.

Zapiszmy jeszcze raz treść zdań A1 i B1.
A1.
Jeśli przyciska A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => będzie się świecić (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie klawisza A jest warunkiem wystarczającym => do tego aby żarówka świeciła się bo zawsze gdy wciśniemy A, żarówka świeci się
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Nasz schemat S3:
A=>S = ~A+S =1

##

B1.
Jeśli przyciska A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> będzie się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie klawisza A jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S, bo w układzie S3 nie ma przycisku W (zmienna wolna) połączonego równolegle do A, który mógłby zaświecić żarówkę niezależnie od stanu przycisku A.
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Nasz schemat S3:
A~>S = A+~S =1

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Dowód:
Kod:

T1
 Definicja:                ##  Definicja:
 Warunek wystarczający =>  ##  Warunek konieczny ~>
 Y = (p=>q) =~p+q          ##  Y= (p~>q) = p+~q
 #                         ##  #
~Y =~(p=>q) = p*~q         ## ~Y=~(p~>q) =~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej

W tabeli prawdy T1 widzimy, że definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w sposób perfekcyjny spełniają definicję znaczka różna na mocy definicji ##.
cnd

Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie musza być matematycznie tożsame.

Dowodem są tu dwa nasze zdania A1 i B1.
Niniejszy wykład jest bezpośrednim uderzeniem w dogmat ziemskich matematyków.

Dogmat ziemskich matematyków:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka są matematycznie tożsame.

Powyższy dogmat jest fałszem, czego dowodem są zdania A1 i B1 (kontrprzykład) wyżej.
cnd

2.5.2 Prawo Śfinii

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Uwaga:
Matematycznie możliwy jest alternatywny algorytm przeciwny gdzie w prawie śfinii po „Jeśli ..” zapisujemy q zaś po „to…” zapisujemy p, jednak aby matematyk A dogadał się z matematykiem B obaj muszą stosować identyczny, uzgodniony wzajemnie algorytm: podstawowy albo przeciwny.
W logice matematycznej za domyślny przyjmujemy algorytm podstawowy dzięki czemu nie musimy sygnalizować światu zewnętrznemu który algorytm stosujemy.
Ponieważ algorytm podstawowy jest z definicji algorytmem domyślnym, możemy pominąć słówko „podstawowy” w „algorytmie podstawowym”.

Lekcja logiki matematycznej w I klasie LO w roku 2031 (przenosimy się 10 lat do przodu).
Zobaczmy jak będzie wyglądała logika matematyczna za 10 lat w każdej pierwszej klasie ziemskiego LO.
Rozpatrzmy w tym celu dwa kluczowe zadanka A i B.

Zadnie A
Dane jest zdanie:
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Polecenie:
Zapisz kompletną tabelę prawdy matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> mających związek z tym zdaniem.

Rozwiązanie Jasia:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
A1: P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury.
cnd
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Na mocy prawa śfinii domyślny punkt odniesienia to:
p= P (pada)
q= CH (chmury)
Stąd zdania A1 w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1

W tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> mamy w tym momencie taką sytuację:
Kod:

T1A
Tabela prawdy Jasia dla zdania A1: P=>CH
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
dla punktu odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
      A1B1:      A2B2:   |     A3B3:      A4B4:
A: 1: p=>q  = 2:~p~>~q  [=] 3: q~>p  = 4:~q=>~p  [=] 5: ~p+q  =1
A: 1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P [=] 5: ~P+CH =1
      ##        ##             ##         ##             ##
B: 1: p~>q  = 2:~p=>~q  [=] 3: q=>p  = 4:~q~>~p  [=] 5:  p+~q =?   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
„=” = [=] - tożsamość logiczna (symbole tożsame)

Jak widzimy, udowadniając prawdziwość zaledwie jednego zdania warunkowego A1: P=>CH =1 automatycznie udowodniliśmy prawdziwość kolejnych trzech zdań warunkowych: A2, A3 i A4
Nie musimy tego sprawdzać … ale możemy sprawdzić.
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
A2: ~P~>~CH =1
to samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> aby jutro nie było pochmurno (~CH=1) bo jak będzie padać (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
to samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

Definicja dowolnego prawa logiki matematycznej:
A2: ~P~>~CH [=] A1: P=>CH
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Jak widzimy, w zdaniach A2 i A1 prawo Kubusia działa perfekcyjnie, bo musi działać perfekcyjnie.

Sprawdźmy dalszą część tożsamości logicznych w linii Ax:
A3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
A3: CH~>P =1
to samo w zapisie formalnym:
A3: q~>p =1
Chmury (CH=1) są konieczne ~> aby padało (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Jak widzimy prawo Kubusia znów samo nam tu wyskoczyło:
A3: CH~>P = A4: ~CH=>~P
To samo w zapisie formalnym:
A3: q~>p = A4: ~q=>~p
Ostatnie zdanie prawdziwe A4 brzmi:
A4.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padać (~P=1)
~CH=>~P =1
To samo w zapisie formalnym:
~q=>~p =1
Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie padania (~P=1), bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada

Zauważmy teraz że:
1.
Potwierdziliśmy perfekcyjne działanie algebry Kubusia dla linii Ax w tabeli T1A.
2.
Prawo śfinii wymusza w zdaniu A1 następujący punkt odniesienia:
p = P (pada)
q = CH (chmury)
i ten punkt odniesienia musimy utrzymać w linii Bx inaczej popełniamy błąd podstawienia!
3.
Aby zapisać kompletna tabelę prawdy dla zdania A1: P=>CH musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx
4.
Prawdziwość/fałszywość najprostszego warunku wystarczającego => zawsze dowodzi się najprościej.
Do udowodnienia wybieramy zatem zdanie:
B3: q=>p
dla naszego punktu odniesienia będzie to zdanie:
B3: CH=>P =?
Dowodzimy:
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padało (P=1)
CH=>P =0
Chmury (CH=1) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P=1) bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
cnd.
5.
Fałszywość zdania B3 wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx.

Stąd otrzymujemy kompletną tabelę prawdy T2A dla badanego zdania:
A1: P=>CH =1
Kod:

T2A
Tabela prawdy Jasia dla zdania A1: P=>CH
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
dla punktu odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
      A1B1:      A2B2:   |     A3B3:      A4B4:
A: 1: p=>q  = 2:~p~>~q  [=] 3: q~>p  = 4:~q=>~p  [=] 5: ~p+q  =1
A: 1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P [=] 5: ~P+CH =1
      ##        ##             ##         ##             ##
B: 1: p~>q  = 2:~p=>~q  [=] 3: q=>p  = 4:~q~>~p  [=] 5:  p+~q =0   
A: 1: P~>CH = 2:~P=>~CH [=] 3: CH=>P = 4:~CH~>~P [=] 5:  P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
„=” = [=] - tożsamość logiczna (symbole tożsame)


Zadnie B
Dane jest zdanie:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
Polecenie:
Zapisz kompletną tabelę prawdy matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> mających związek z tym zdaniem.

Rozwiązanie Zuzi:
B1.
Jeśli jutro będzie będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
B1: CH~>P
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> do tego by padało (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
cnd
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Na mocy prawa śfinii domyślny punkt odniesienia to:
p= CH (chmury)
q= P (pada)
Stąd zdania B1 w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1

W tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> mamy w tym momencie taką sytuację:
Kod:

T1B
Tabela prawdy Zuzi dla zdania B1: CH~>P
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
dla punktu odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
      A1B1:      A2B2:   |     A3B3:      A4B4:
A: 1: p=>q  = 2:~p~>~q  [=] 3: q~>p  = 4:~q=>~p  [=] 5: ~p+q  =?
      ##        ##             ##         ##             ##
B: 1: p~>q  = 2:~p=>~q  [=] 3: q=>p  = 4:~q~>~p  [=] 5:  p+~q =1
B: 1: CH~>P = 2:~CH=>~P [=] 3: P=>CH = 4:~P=>~CH [=] 5: CH+~P =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
„=” = [=] - tożsamość logiczna (symbole tożsame)

Jak widzimy, udowadniając prawdziwość zaledwie jednego zdania warunkowego B1: CH~>P =1 automatycznie udowodniliśmy prawdziwość kolejnych trzech zdań warunkowych: B2, B3, B4
Niedowiarków odsyłam do rozwiązania Jasia, bowiem w zapisach aktualnych zdania Jasia A1, A2, A3 i A4 są identyczne jak zdania Zuzi.

Dla zapisania kompletnej tabeli prawdy związanej ze zdaniem warunkowym B1: CH~>P konieczne jest udowodnienie prawdziwości/fałszywości dowolnego zdania serii Ax.
Punkt odniesienia w tabeli Zuzi to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
W linii Ax bezwzględnie musimy ten punkt odniesienia utrzymać, inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Do udowodnienie wybieramy zdanie A1: p=>q bo tu mamy najłatwiejszy do udowodnienia, najprostszy warunek wystarczający =>.
Dla punktu odniesienia Zuzi zdanie A1 przyjmuje brzmienie:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padać (P=1)
CH=>P =0
Chmury nie są warunkiem wystarczającym => do tego by padało, bo nie zawsze gdy jest pochmurno, pada
cnd
Fałszywość zdania A1 wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax.

Stąd końcowa tabela Zuzi jest następująca:
Kod:

T2B
Tabela prawdy Zuzi dla zdania B1: CH~>P
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
dla punktu odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
      A1B1:      A2B2:   |     A3B3:      A4B4:
A: 1: p=>q  = 2:~p~>~q  [=] 3: q~>p  = 4:~q=>~p  [=] 5: ~p+q  =0
A: 1: CH=>P = 2:~CH~>~P [=] 3: P~>CH = 4:~P=>~CH [=] 5:~CH+P  =0
      ##        ##             ##         ##             ##
B: 1: p~>q  = 2:~p=>~q  [=] 3: q=>p  = 4:~q~>~p  [=] 5:  p+~q =1
B: 1: CH~>P = 2:~CH=>~P [=] 3: P=>CH = 4:~P=>~CH [=] 5: CH+~P =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
„=” = [=] - tożsamość logiczna (symbole tożsame)


Pozostaje kluczowe do rozstrzygnięcia pytanie:
W jakiej relacji matematycznej są ze sobą tabele prawdy Jasia i Zuzi.

Zapiszmy w tym celu te tabele jedna pod drugą:
Kod:

T2A
Tabela prawdy Jasia dla zdania A1: P=>CH
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
dla punktu odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
      A1B1:      A2B2:   |     A3B3:      A4B4:
A: 1: p=>q  = 2:~p~>~q  [=] 3: q~>p  = 4:~q=>~p  [=] 5: ~p+q  =1
A: 1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P [=] 5: ~P+CH =1
      ##        ##             ##         ##             ##
B: 1: p~>q  = 2:~p=>~q  [=] 3: q=>p  = 4:~q~>~p  [=] 5:  p+~q =0   
A: 1: P~>CH = 2:~P=>~CH [=] 3: CH=>P = 4:~CH~>~P [=] 5:  P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
„=” = [=] - tożsamość logiczna (symbole tożsame)

##
Kod:

T2B
Tabela prawdy Zuzi dla zdania B1: CH~>P
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
dla punktu odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
      A1B1:      A2B2:   |     A3B3:      A4B4:
A: 1: p=>q  = 2:~p~>~q  [=] 3: q~>p  = 4:~q=>~p  [=] 5: ~p+q  =0
A: 1: CH=>P = 2:~CH~>~P [=] 3: P~>CH = 4:~P=>~CH [=] 5:~CH+P  =0
      ##        ##             ##         ##             ##
B: 1: p~>q  = 2:~p=>~q  [=] 3: q=>p  = 4:~q~>~p  [=] 5:  p+~q =1
B: 1: CH~>P = 2:~CH=>~P [=] 3: P=>CH = 4:~P=>~CH [=] 5: CH+~P =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
„=” = [=] - tożsamość logiczna (symbole tożsame)

Gdzie:
## - różna na mocy definicji

Zauważmy że:
1.
W zapisach formalnych {p,q} między tabelami T2A i T2B zachodzi relacja rożne na mocy definicji ##.

Dowód:
Kod:

T2AB:
Tabela T2A (Jaś)                     ## Tabela T2B (Zuzia)
Definicja warunku wystarczającego => ## Definicja warunku koniecznego ~>
A1: Y= (p=>q)=~p+q                   ## B1: Y= (p~>q)=p+~q
    #                                ##     #
   ~Y=~(p=>q)= p*~q                  ##    ~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej

W tabeli prawdy T2AB widzimy, że definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w sposób perfekcyjny spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
cnd

Nanieśmy teraz do tabel T2AB zdania Jasia i Zuzi w zapisach aktualnych {P,CH}.
Kod:

T2AB:
Tabela T2A (Jaś)                     ## Tabela T2B (Zuzia)
Punkt odniesienia Jasia:             ## Punkt odniesienia Zuzi:
p=P (pada)                           ## p=CH (chmury)
q=CH (chmury)                        ## q=P (pada)
Definicja warunku wystarczającego => ## Definicja warunku koniecznego ~>
A1: Y= (p=>q) =~p+q                  ## B1: Y= (p~>q)=p+~q
A1: Y= (P=>CH)=~P+CH                 ## B1: Y= (CH~>P)=CH+~P
    #                                ##     #
   ~Y=~(p=>q)= p*~q                  ##    ~Y=~(p~>q)=~p*q
   ~Y=~(P=>CH)=P*~CH                 ##    ~Y=~(CH~>P)=~CH*P
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Najbardziej sensacyjne podsumowanie w historii logiki matematycznej:
Zauważmy, że w zapisach aktualnych {P,CH} całą logikę formalną szlag trafił bowiem suma logiczna jest przemienna, zatem w zapisach aktualnych ewidentnie zachodzi tożsamość logiczna [=] między A1 i B1.
Kod:

T2AB’:
Gówno-tożsamość logiczna:
A1: Y= (P=>CH)=~P+CH                [=] B1: Y= (CH~>P)=CH+~P

Wniosek:
Coś tu jest do bani - nie może być bowiem by logika w zapisach aktualnych {P,CH} gwałciła logikę w zapisach formalnych {p,q}

Odpowiedź:
Gówno-tożsamość w tabeli T2AB’ nie zachodzi, bowiem jeśli zapiszemy taką tożsamość to popełnimy błąd czysto matematyczny, błąd podstawienia.
Punkt odniesienia Jasia w zapisie formalnym (p, q} to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Punkt odniesienia Zuzi w zapisie formalnym (p, q} to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Mam nadzieję, że wszyscy bez problemu widzą ten banał nad banałami - błąd podstawienia.

Zauważmy, że aby zauważyć ten błąd Jaś i Zuzia muszą oglądać otaczającą ich rzeczywistość aktualną {P,CH} z tego samego formalnego punktu odniesienia {p,q}
Dokładnie temu służy prawo Śfinii, wymusza na wszystkich matematykach wspólny punkt odniesienia.

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Sytuacja jest tu podobna jak z jeżdżeniem po Anglii i Polsce samochodem:
Anglik będzie twierdził że samochodem musimy jeździć lewą stroną
Polak będzie twierdził że samochodem musimy jeździć prawą stroną

W rzeczywistości zależy to od punktu odniesienia:
Jeżdżąc po Anglii musimy jeździć lewą stroną, zaś jeżdżąc po Polsce prawą.

Jeśli Anglik powie, że on ma punkt odniesienia w logice matematycznej w dupie i będzie jeździł po Polsce lewą stroną … to długo nie pojeździ, co mam nadzieję wszyscy rozumieją.

2.6 Algorytm Kłapouchego

Algorytm Kłapouchego:
Algorytm Kłapouchego to algorytm ogólny analizy dowolnego zdania bazowego „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q pozwalający jednoznacznie rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi badane zdanie bazowe.

Definicja zdania bazowego w zdarzeniach:
Zdanie bazowe „Jeśli p to q” to zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> należące do jednego z pięciu, rozłącznych operatorów implikacyjnych.

Definicja zdania bazowego w zbiorach:
Zdanie bazowe „Jeśli p to q” to zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> należące do jednego z pięciu, rozłącznych operatorów implikacyjnych.

Uwaga:
Algorytm Kłapouchego pozwala na precyzyjne rozstrzygnięcie w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi badane zdanie bazowe bez względu na jego prawdziwość/fałszywość.

Innymi słowy:
Algorytm Kłapouchego obsługuje wszelkie zdania bazowe, zarówno prawdziwe, jak i fałszywe.

Oczywistym jest, że z założenia nie mamy pojęcia w skład jakiego operatora logicznego wchodzi badane zdanie bazowe „Jeśli p to q”.

Wiemy tylko i wyłącznie to, iż badane zdanie bazowe może wchodzić tylko i wyłącznie w skład jednego z pięciu rozłącznych operatorów logicznych.
1. p||=>q - operator implikacji prostej
2. p||~>q - operator implikacji odwrotnej
3. p|<=>q - operator równoważności
4. p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja równoważności p<=>q:
5. p|$q - operator „albo”($)

Z faktu iż powyższe operatory są rozłączne wynika, że dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” nie może należeć jednocześnie do dwóch, jakichkolwiek operatorów.
Kod:

T1
Definicje operatorów implikacyjnych które niebawem poznamy:
1: Y=(p||=>q) =(p|=>q)  = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)= ~p*q      # ~Y=p+~q
##
2: Y=(p||~>q) =(p|~>q)  =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)  = p*~q     # ~Y=~p+q
##
3: Y=(p|<=>q) =(p<=>q)  = (A1:p=>q)* (B1: p~>q)  =p*q+~p*~q # ~Y=p*~q+~p*q
##
4: Y=(p||~~>q)=(p|~~>q) =~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =0         # ~Y=1
##
5: Y=(p|$q)   = (p$q)   = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p*~q+~p*q # ~Y=p*q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawo Kubusia:
p=>q [=] ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczna są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

W tabeli T1 doskonale widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


2.6.1 Algorytm ogólny analizy zdań bazowych „Jeśli p to q”

Kluczowe dla poprawnego działania algorytmu Kłapouchego jest prawo śfinii.

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Typowe zadanie matematyczne w I klasie LO w 100-milowym lesie jest następujące.

Dane jest zdanie:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =?
Polecenia:
Określi prawdziwość/fałszywość zdania A1.
Jeśli okaże się, że zdanie A1 jest fałszywe to zbadaj algorytmem Kłapouchego w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie bazowe związane z tym zdaniem.

Początek rozwiązania Jasia:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 2 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
cnd

Zdanie bazowe dla zdania A1 to:
Wx:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
P2~~>P8 = P2*P8 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) bo istnieje wspólny element zbiorów P2=[2,4,6,8..24..] i P8=[8,16,24..] np. 24
cnd

Na mocy prawa śfinii przyjmujemy punkt odniesienia:
p= P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q= P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8

Dalszy, szczegółowy algorytm Kłapouchego zawiązany ze zdanie Wx poznamy przy okazji omawiania operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8.

Algorytm ogólny analizy zdania bazowego „Jeśli p to q”

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie bazowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Punkt 2
Zbiory:
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
p~~>q=p*q =0
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zdarzenia niemożliwego (=0)
p~~>q=p*q =0
RETURN

Punkt 3
Zbiory:
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Zdarzenia:
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe ~~> idź do punktu 5

Inaczej:
Punkt 4
Zbiory:
Nie znaleziono zbioru pustego []
Zdarzenia:
Nie znaleziono zdarzenia niemożliwego ~~>
Operator logiczny zlokalizowany, to operator chaosu p||~~>q
Idź do operatora chaosu p||~~>q
STOP

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
(~)p=>(~)q =1

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p (~> albo =>) q =?

Punkt 8
W punktach 6 i 7 mamy zlokalizowaną kolumnę A1B1: p|?q będącą częścią operatora logicznego p||?q

Idź do tabeli prawdy zlokalizowanego operatora logicznego
STOP

Przedstawiony wyżej algorytm to algorytm podstawowy.

Uwaga:
Matematycznie możliwy jest alternatywny algorytm przeciwny gdzie w prawie śfinii po „Jeśli ..” zapisujemy q zaś po „to…” zapisujemy p, jednak aby matematyk A dogadał się z matematykiem B obaj muszą stosować identyczny, uzgodniony wzajemnie algorytm: podstawowy albo przeciwny.
W logice matematycznej za domyślny przyjmujemy algorytm podstawowy dzięki czemu nie musimy sygnalizować światu zewnętrznemu który algorytm stosujemy.
Ponieważ algorytm podstawowy jest z definicji algorytmem domyślnym, możemy pominąć słówko „podstawowy” w „algorytmie podstawowym”.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35502
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Nie 15:05, 23 Maj 2021    Temat postu:
Punkty 3.1 i 3.2 po ostatnim czytaniu i korektach

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593821

Algebra Kubusia dla LO
3.0 Definicje podstawowe - implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q

Spis treści
3.0 Operatory implikacyjne - definicje podstawowe 1
3.1 Implikacja prosta p|=>q 2
3.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q 4
3.1.2 Przykład implikacji prostej P|=>CH 6
3.1.3 Operator implikacji prostej P||=>CH 9
3.2 Implikacja odwrotna p|~>q 10
3.2.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 13
3.2.2 Przykład implikacji odwrotnej CH|~>P 14
3.2.3 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P 16


3.0 Operatory implikacyjne - definicje podstawowe

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery podstawowe operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja operatora równoważności:
p|$q - operator „albo”(|$)

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

W algebrze Kubusia mamy zaledwie trzy znaczki (=>, ~> i ~~>) na których zbudowana jest kompletna algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".
1.
Warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - gdy zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
p~>q =1 0 gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> lub element wspólny zbiorów ~~>
Zdarzenia:
Definicja zdarzenia możliwego ~~> w zdarzeniach:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0
Zbiory:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q=0

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

3.1 Implikacja prosta p|=>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Podstawmy definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład operatora implikacji prostej p||=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.

Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

3.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q

Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q=1) - mówi o tym zdanie A1

Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

Kolumna A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q, bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

LUB

Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

3.1.2 Przykład implikacji prostej P|=>CH

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Zadanie w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno

Rozwiązanie:
Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie (P=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienie chmur (CH=1), bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie (P=1) daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur (CH), bo zawsze gdy pada, są chmury
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Na mocy prawa śfinii nasz punkt odniesienia to:
p = P (pada)
q = CH (chmury)
Stąd:
Zdanie A1 w zapisie formalnym to:
p=>q =1

W tym momencie zdanie A1 może być już tylko częścią implikacji prostej P|=>CH, albo równoważności P<=>CH, aby to rozstrzygnąć badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
cnd
Dowód alternatywny to skorzystanie z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska w zapisie formalnym {p, q}:
B1: p~>q = B3: q=>p
Prawo Tygryska w zapisie aktualnym {P, CH):
B1: P~>CH = B3: CH=>P
stąd:
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padało (P=1)
CH=>P =0
Chmury nie są warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd
Fałszywość warunku wystarczającego => B3 na mocy prawa Tygryska gwarantuje nam fałszywość warunku koniecznego ~> B1.

Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to zdania te nie są tożsame:
A1: P=>CH = ~P+CH ## B1: P~>CH =P+~CH
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd zapisujemy.

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Jak widzimy, nasz przykład spełnia definicje implikacji prostej P|=>CH:
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) =1*~(0)=1*1 =1

Podstawmy nasz przykład do tabeli prawdy implikacji prostej IP
Kod:

IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Definicja implikacji prostej P|=>CH w zapisie aktualnym:
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) =1*~(0)=1*1 =1
       A1B1:         A2B2:        |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1 = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>CH  =1 = 2:~P~>~CH=1    [=] 3: CH~>P  =1 = 4:~CH=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 =                [=]              = 4:~q~~>p  =0
A’: 1: P~~>~CH=0 =                [=]              = 4:~CH~~>P =0
       ##             ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0 = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>CH  =0 = 2:~P=>~CH=0    [=] 3: CH=>P  =0 = 4:~CH~>~P =0
B’:              = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~P~~>CH=1    [=] 3: CH~~>~P=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Okład równań logicznych jest przemienny, stąd:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

3.1.3 Operator implikacji prostej P||=>CH

Operator implikacji prostej P||=>CH w logice dodatniej (bo CH) to układ równań logicznych:
A1B1: P|=>CH =(A1: P=>CH)* ~(B1: P~>CH) - co się może się wydarzyć jeśli będzie padało?
A2B2: ~P|~>~CH =(A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH) - co się może się wydarzyć jeśli nie będzie padało?

Innymi słowy:
Operator implikacji prostej P||=>CH to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno (CH=1) - mówi o tym zdanie A1

A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Czytamy:
P=1 - prawdą jest (=1) że pada (P)
~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH)

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
Czytamy:
1: CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)
2: ~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH)
Prawo Prosiaczka:
(~CH=1) = (CH=0)
Stąd zdanie tożsame do 2 brzmi:
2’: CH=0 - fałszem jest (=0) iż są chmury (CH)
Jak widzimy wyłącznie sprowadzanie zmiennych do jedynek na mocy prawa Prosiaczka, czyni język potoczny przekładalny w skali 1:1 na logikę matematyczną.
Dowód:
W zdaniu 2 z języka potocznego mamy frazę:
„nie ma chmur” i tą frazę kodujemy matematycznie (~CH)
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym uwzględniamy przeczenie „nie” w postaci symbolu przeczenia (~).

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)
Czytamy:
~P=1 - prawdą jest (=1) że nie pada (~P)
CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P||=>CH jest gwarancja matematyczna po stronie P (pada) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P (nie pada), co widać w powyższej analizie.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.


3.2 Implikacja odwrotna p|~>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


IO.
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.

Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

3.2.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

Kolumna A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q, bo jak zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2:~p=>~q

LUB

Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ i odwrotnie:
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q (~q=1) - mówi o tym zdanie B2

Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zajdzie ~p i zajdzie q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest „rzucanie monetą” w sensie na dwoje babka wróżyła” po stronie p (zdania B1 i A1’) , oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).

Zauważmy że:
a)
Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

3.2.2 Przykład implikacji odwrotnej CH|~>P

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Zadanie w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać

Rozwiązanie:
Sprawdzamy czy spełniony jest warunek konieczny ~>:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
cnd

Na mocy prawa śfinii nasz punkt odniesienia to:
p = CH (chmury)
q = P (pada)
stąd zdanie B1 w zapisie formalnym:
p~>q =1

Sprawdzamy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padać (P+1)
CH=>P =0
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =0
Chmury (CH=1) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P=1) bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd

Definicja implikacji odwrotnej:
IO.
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Jak widzimy nasz przykład spełnia definicję implikacji odwrotnej CH|~>P.

Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P
Implikacja odwrotna CH|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1

Podstawmy nasz przykład do tabeli prawdy IO.
Kod:

IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P w zapisie aktualnym:
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1
       A1B1:          A2B2:        |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q  =0   [=] 3: q~>p   =0  = 4:~q=>~p  =0
A:  1: CH=>P  =0 = 2:~CH~>~P =0   [=] 3: P~>CH  =0  = 4:~P=>~CH =0
A’: 1: p~~>~q =1 =                [=]               = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: CH~~>~P=1 =                [=]               = 4:~P~~>CH =1                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~> q  =1 = 2:~p=>~q  =1   [=] 3: q=>p   =1  = 4:~q~>~p  =1
B:  1: CH~>P  =1 = 2:~CH=>~P =1   [=] 3: P=>CH  =1  = 4:~P~>~CH =1
B’:              = 2:~p~~>q  =0   [=] 3: q~~>~p =0
B’:              = 2:~CH~~>P =0   [=] 3: P~~>~CH=0

Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?


3.2.3 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P

Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w logice dodatniej (bo P) to układ równań logicznych:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) - co może się wydarzyć jeśli będzie pochmurno (CH=1)?
A2B2: ~CH|~>~P = ~(A2: ~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P) - co się stanie jeśli nie będzie pochmurno (~CH=1)?

Innymi słowy:
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (CH=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są konieczne ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P

LUB

Fałszywość warunku wystarczającego A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie:
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)
Czytamy:
CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)
~P=1 - prawdą jest (=1) że nie pada (~P)

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~CH~>~P =0 - brak chmur nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla nie padania
B2: ~CH=>~P =1 - brak chmur jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie padania
A2B2: ~CH|=>~P = ~(A2: ~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P) =~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padało (~P=1) - mówi o tym zdanie B2.

B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P=1
Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby jutro nie padało (~P=1) bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.
Brak chmur (~CH=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jutro nie będzie padało (~P=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
Czytamy:
~CH=1 - prawdą jest (=1), że nie ma chmur (~CH)
P=1 - prawdą jest (=1), że pada

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji odwrotnej CH||~>P jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie CH (zdania B1 i A1’) i gwarancja matematyczna po stronie ~CH (zdanie B2)

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~CH||=>~P w logice ujemnej (bo ~P) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w logice dodatniej (bo P) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35502
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Czw 4:46, 27 Maj 2021    Temat postu:
http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie-script-src-http-wujzboj-com-sfinia-hideu-js-script,20/mord-na-sprawiedliwym-i-jego-zmartwychwstanie,4928-31025.html#598387
Kubuś napisał:
Anonymous napisał:

Malina prześladowana? Dostała bana i mają jej pierdolenie z głowy.

Tak, prześladowana - Malina została zbanowana z forum NIE za swoje przekonania. Dokładnie na tym polega wyższość naszej śfinii nad wszelkimi innymi forami tego świata.
Ja również za głoszenie algebry Kubusia zostałem zbanowany z wszelkich forów tego świata.

Wniosek:
Bez śfinii rozszyfrowanie algebry Kubusia, największego odkrycia w dziejach ludzkości, nie byłoby możliwe


http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie-script-src-http-wujzboj-com-sfinia-hideu-js-script,20/mord-na-sprawiedliwym-i-jego-zmartwychwstanie,4928-31025.html#598425

Kubuś napisał:
IroB napisał:

a Maline zbanowano za pierdolenie kocopolow a nie za poglady, na FoNIE nikt nie jest banowany za poglady a za przynudzanie do zerzygania ....czasami :)

Dokładnie takie same argumenty mieli moderatorzy ziemskich forów w stosunku do algebry Kubusia.
Jakże łyso będzie wszystkim palantom którzy zwalczali AK na wszystkich forach świata, gdy dzięki śfinii algebra Kubusia stanie się największym odkryciem w historii ludzkości - to jest już przesądzone!

[link widoczny dla zalogowanych]

Przykładowy palant Windziarz z ateisty.pl napisał(a):
A na pożegnanie z tym durnym wątkiem, ostatnia odsłona kącika muzycznego:

♫♬♩

To już jest koniec, nie ma już nic,
Jesteśmy wolni, możemy iść,
To już jest koniec, możemy iść,
Jesteśmy wolni, bo nie ma już nic,

To już jest koniec, nie ma już nic,
Jesteśmy wolni, możemy iść,
To już jest koniec, możemy iść,
Jesteśmy wolni, bo nie ma już nic,

Niedźwiadek w swej norce jak rady nadzorcze,
inżynier na haju jak stado buhajów,
tak dłubie i gmera, napisze, nie myśli,
odwiedzi dwa fora i je zanieczyści,
mu matma po drodze jak Kaczor Tuskowi,
weź temat, a on źle się o nim wypowie,
logika bez sensu i fakty olane,
rozmowa z niedźwiedziem jak grochem o ścianę,
a po co a po co tak skrobie i skrobie,
a za co a za co właściwie to robię
i tak się przykładam i jemu tłumaczę,
a potem na bzdury od niego znów patrzę...

To już jest koniec (to jest już koniec), nie ma już nic (nie ma już nic),
Jesteśmy wolni (jesteśmy wolni) możemy iść (możemy iść),
To już jest koniec (to jest już koniec), możemy iść (możemy iść),
Jesteśmy wolni (jesteśmy wolni), bo nie ma już nic (bo nie ma już nic),
nie ma już nic nic nic nic


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 15:47, 27 Maj 2021, w całości zmieniany 4 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35502
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Czw 6:10, 27 Maj 2021    Temat postu:
Doprowadzanie przekazu algebry Kubusia do perfekcji!

Właśnie doszedłem do wniosku iż uprawiam wszystkoizm mający zero wspólnego z matematyką języka potocznego.
Dlaczego?
W języku potocznym absolutnie nikt nie przechodzi ze zdań warunkowych "Jeśli p to q" do matematycznej obsługi tych zdań wyrażonych spójnikami "i"(*) i "lub"(+).
Nie potrafią tego robić najwybitniejsi dzisiejsi matematycy, a nie potrafią dlatego, iż nikt w języku potocznym z tego nie korzysta.
Nie ma zatem potrzeby, by ucznia I klasy LO katować tego typu działaniami.
Owszem, zrobię wykład na temat związku warunków wystarczających p=>q i koniecznych p~>q ze spójnikami "i"(*) oraz "lub"(+) ale w wersji rozszerzonej algebry Kubusia dla matematyków, a nie dla humanistów (czytaj 5-cio latków) z reguły nienawidzących matematyki.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593821

Algebra Kubusia dla LO
3.0 Definicje podstawowe - implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q

Spis treści
3.0 Operatory implikacyjne - definicje podstawowe 1
3.1 Implikacja prosta p|=>q 2
3.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q 6
3.1.2 Przykład implikacji prostej P|=>CH 7
3.1.3 Operator implikacji prostej P||=>CH 10
3.2 Implikacja odwrotna p|~>q 11
3.2.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 15
3.2.2 Przykład implikacji odwrotnej CH|~>P 16
3.2.3 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P 18


3.0 Operatory implikacyjne - definicje podstawowe

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery podstawowe operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja operatora równoważności:
p|$q - operator „albo”(|$)

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

W algebrze Kubusia mamy zaledwie trzy znaczki (=>, ~> i ~~>) na których zbudowana jest kompletna algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".
1.
Warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - gdy zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
p~>q =1 0 gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> lub element wspólny zbiorów ~~>
Zdarzenia:
Definicja zdarzenia możliwego ~~> w zdarzeniach:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0
Zbiory:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q=0

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

3.1 Implikacja prosta p|=>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Podstawmy definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład operatora implikacji prostej p||=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):[/b]
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Definicja definicji podstawowej dowolnego spójnika implikacyjnego:
Definicja podstawowa dowolnego spójnika implikacyjnego to definicja tego spójnika w logice dodatniej (bo q). Jeśli w definicji dowolnego spójnika implikacyjnego nie zaznaczamy w jakiej jest logice to domyślnie chodzi nam o definicję podstawową tego spójnika.

Mówiąc o definicji podstawowej możemy zatem pominąć sygnalizację w jakiej logice ta definicja jest wyrażona.

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd:
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0) =1*1=1

Definicja dowolnego operatora implikacyjnego p||?q:
Operator implikacyjny p||?q to odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p oraz co się stanie jeśli zajdzie ~p

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
Kod:

T2:
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q

Dlaczego to jest równanie operatora implikacji prostej p||=>q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p

stąd mamy:
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Z tabeli T2 odczytujemy tożsamość logiczną:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy
1.
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Na mocy definicji operatorów logicznych p||=>q i ~p||~>~q widzimy, że udowodnienie prawdziwości 1 pociąga za sobą prawdziwość 2:
2.
p||=>q = ~p||~>q
cnd


3.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q

Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q=1) - mówi o tym zdanie A1

Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

Kolumna A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q, bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

LUB

Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

3.1.2 Przykład implikacji prostej P|=>CH

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Zadanie w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno

Rozwiązanie:
Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie (P=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienie chmur (CH=1), bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie (P=1) daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur (CH), bo zawsze gdy pada, są chmury
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Na mocy prawa śfinii nasz punkt odniesienia to:
p = P (pada)
q = CH (chmury)
Stąd:
Zdanie A1 w zapisie formalnym to:
p=>q =1

W tym momencie zdanie A1 może być już tylko częścią implikacji prostej P|=>CH, albo równoważności P<=>CH. Rozstrzygamy to badając warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Padanie (P=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (CH=1), bo może nie padać (~P=1), a chmury mogą istnieć (CH=1).
cnd
Dowód alternatywny to skorzystanie z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska w zapisie formalnym {p, q}:
B1: p~>q = B3: q=>p
Prawo Tygryska w zapisie aktualnym {P, CH):
B1: P~>CH = B3: CH=>P
stąd:
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padało (P=1)
CH=>P =0
Chmury nie są warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd
Fałszywość warunku wystarczającego => B3 na mocy prawa Tygryska gwarantuje nam fałszywość warunku koniecznego ~> B1.

Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to zdania te nie są tożsame:
A1: P=>CH = ~P+CH ## B1: P~>CH =P+~CH
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd zapisujemy.

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Jak widzimy, nasz przykład spełnia podstawową definicję implikacji prostej P|=>CH.
IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) =1*~(0)=1*1 =1

Podstawmy nasz przykład do tabeli prawdy implikacji prostej IP
Kod:

IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Definicja implikacji prostej P|=>CH w zapisie aktualnym:
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) =1*~(0)=1*1 =1
       A1B1:         A2B2:        |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1 = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>CH  =1 = 2:~P~>~CH=1    [=] 3: CH~>P  =1 = 4:~CH=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 =                [=]              = 4:~q~~>p  =0
A’: 1: P~~>~CH=0 =                [=]              = 4:~CH~~>P =0
       ##             ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0 = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>CH  =0 = 2:~P=>~CH=0    [=] 3: CH=>P  =0 = 4:~CH~>~P =0
B’:              = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~P~~>CH=1    [=] 3: CH~~>~P=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

3.1.3 Operator implikacji prostej P||=>CH

Operator implikacji prostej P||=>CH w logice dodatniej (bo CH) to układ równań logicznych:
A1B1: P|=>CH =(A1: P=>CH)* ~(B1: P~>CH) - co się może się wydarzyć jeśli będzie padało?
A2B2: ~P|~>~CH =(A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH) - co się może się wydarzyć jeśli nie będzie padało?

Innymi słowy:
Operator implikacji prostej P||=>CH to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno (CH=1) - mówi o tym zdanie A1

A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Czytamy:
P=1 - prawdą jest (=1) że pada (P)
~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH)

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
Czytamy:
1: CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)
2: ~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH)
Prawo Prosiaczka:
(~CH=1) = (CH=0)
Stąd zdanie tożsame do 2 brzmi:
2’: CH=0 - fałszem jest (=0) iż są chmury (CH)
Jak widzimy wyłącznie sprowadzenie zmiennych do jedynek na mocy prawa Prosiaczka, czyni język potoczny przekładalny w skali 1:1 na logikę matematyczną.
Dowód:
W zdaniu 2 z języka potocznego mamy frazę:
„nie ma chmur” i tą frazę kodujemy matematycznie (~CH)
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym uwzględniamy przeczenie „nie” w postaci symbolu przeczenia (~).

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)
Czytamy:
~P=1 - prawdą jest (=1) że nie pada (~P)
CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P||=>CH jest gwarancja matematyczna po stronie P (pada) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P (nie pada), co widać w powyższej analizie.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.


3.2 Implikacja odwrotna p|~>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


IO.
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Definicja definicji podstawowej dowolnego spójnika implikacyjnego:
Definicja podstawowa dowolnego spójnika implikacyjnego to definicja tego spójnika w logice dodatniej (bo q). Jeśli w definicji dowolnego spójnika implikacyjnego nie zaznaczamy w jakiej jest logice to domyślnie chodzi nam o definicję podstawową tego spójnika.

Mówiąc o definicji podstawowej możemy zatem pominąć sygnalizację w jakiej logice ta definicja jest wyrażona.

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Implikacja proste ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd:
~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1 =1*1=1

Definicja dowolnego operatora implikacyjnego p||?q:
Operator implikacyjny p||?q to odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p oraz co się stanie jeśli zajdzie ~p

Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Kod:

T2:
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q

Dlaczego to jest równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p

stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Z tabeli T2 odczytujemy tożsamość logiczną:
A1B1: p|~>q = A2B2: ~p|=>~q

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy
1.
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Na mocy definicji operatorów logicznych p||~>q i ~p||=>~q widzimy, że udowodnienie prawdziwości 1 pociąga za sobą prawdziwość 2:
2.
p||=>q = ~p||~>q
cnd

3.2.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

Kolumna A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q, bo jak zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2:~p=>~q

LUB

Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ i odwrotnie:
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q (~q=1) - mówi o tym zdanie B2

Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zajdzie ~p i zajdzie q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest „rzucanie monetą” w sensie na dwoje babka wróżyła” po stronie p (zdania B1 i A1’) , oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).

Zauważmy że:
a)
Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

3.2.2 Przykład implikacji odwrotnej CH|~>P

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Zadanie w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać

Rozwiązanie:
Sprawdzamy czy spełniony jest warunek konieczny ~>:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
cnd

Na mocy prawa śfinii nasz punkt odniesienia to:
p = CH (chmury)
q = P (pada)
stąd zdanie B1 w zapisie formalnym:
p~>q =1

Sprawdzamy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padać (P+1)
CH=>P =0
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =0
Chmury (CH=1) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P=1) bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd

Jak widzimy nasz przykład spełnia definicję implikacji odwrotnej CH|~>P.

Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P
Implikacja odwrotna CH|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1

Podstawmy nasz przykład do tabeli prawdy IO.
Kod:

IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P w zapisie aktualnym:
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1
       A1B1:          A2B2:        |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q  =0   [=] 3: q~>p   =0  = 4:~q=>~p  =0
A:  1: CH=>P  =0 = 2:~CH~>~P =0   [=] 3: P~>CH  =0  = 4:~P=>~CH =0
A’: 1: p~~>~q =1 =                [=]               = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: CH~~>~P=1 =                [=]               = 4:~P~~>CH =1                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~> q  =1 = 2:~p=>~q  =1   [=] 3: q=>p   =1  = 4:~q~>~p  =1
B:  1: CH~>P  =1 = 2:~CH=>~P =1   [=] 3: P=>CH  =1  = 4:~P~>~CH =1
B’:              = 2:~p~~>q  =0   [=] 3: q~~>~p =0
B’:              = 2:~CH~~>P =0   [=] 3: P~~>~CH=0

Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

3.2.3 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P

Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w logice dodatniej (bo P) to układ równań logicznych:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) - co może się wydarzyć jeśli będzie pochmurno (CH=1)?
A2B2: ~CH|~>~P = ~(A2: ~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P) - co się stanie jeśli nie będzie pochmurno (~CH=1)?

Innymi słowy:
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (CH=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są konieczne ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P

LUB

Fałszywość warunku wystarczającego A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie:
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)
Czytamy:
CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)
~P=1 - prawdą jest (=1) że nie pada (~P)

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~CH~>~P =0 - brak chmur nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla nie padania
B2: ~CH=>~P =1 - brak chmur jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie padania
A2B2: ~CH|=>~P = ~(A2: ~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P) =~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padało (~P=1) - mówi o tym zdanie B2.

B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P=1
Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby jutro nie padało (~P=1) bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.
Brak chmur (~CH=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jutro nie będzie padało (~P=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
Czytamy:
~CH=1 - prawdą jest (=1), że nie ma chmur (~CH)
P=1 - prawdą jest (=1), że pada

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji odwrotnej CH||~>P jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie CH (zdania B1 i A1’) i gwarancja matematyczna po stronie ~CH (zdanie B2)

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~CH||=>~P w logice ujemnej (bo ~P) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w logice dodatniej (bo P) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35502
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Czw 21:51, 27 Maj 2021    Temat postu:
Algebra Kubusia to matematyka przyszłych pokoleń matematyków!

Sorry panowie matematycy za twierdzenie Kłapouchego.

Twierdzenie Kłapouchego:
Ziemski matematyk który nie zrozumie niniejszego postu jest biednym człowiekiem z potwornie wypranym mózgiem gównem zwanym "implikacja materialna".

Co zrobić z twardogłowymi matematykami (np. Irbisol i Idiota) którzy nie będą w stanie zrozumieć niniejszego postu?

Odpowiedź jest bardzo prosta:
NIC!
Pozwólmy im umrzeć w spokoju w przekonaniu że bogiem jest "implikacja materialna" zaś algebra Kubusia jest gównem.

Algebra Kubusia to matematyka przyszłych pokoleń matematyków!

[link widoczny dla zalogowanych]
J. Ławecki napisał:

Za największego wroga ludzie mają tego, kto mówi im prawdę

To popularne powiedzenie Platona jest aktualne mimo tak dużego upływu czasu. Zastanawiam się kiedy w końcu zrozumiemy wszyscy, że lepiej znać prawdę i się z nią zmierzyć, niż zatykać uszy albo się na nią oburzać i dąsać?

Pewien bardzo mądry człowiek powiedział kiedyś znamienne słowa: Poznacie prawdę a prawda was wyzwoli. Wyzwoli was ze strachu. Strachu przed jej ujawnieniem, ale także ze skutków jej ukrywania. Mam proste przesłanie do Was. Zmierzcie się z prawdą i zróbcie wszystko, aby jak najszybciej naprawić to co zepsuli Wasi poprzednicy.


Za największego wroga ludzie mają tego, kto mówi im prawdę
Platon

Twardym dowodem jest tu historia wojny o zaistnienie algebry Kubusia w ziemskiej matematyce między Rafałem3006 a ziemskimi twardogłowymi matematykami (np. Irbisol i Idiota).

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/czysto-matematyczne-obalenie-logiki-matematycznej-ziemian,9269-225.html#310261
idiota napisał:
Chyba ostatecznie przegrzaliśmy rafałowi pozostałości mózgu.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/prawo-subalternacji,8368-2000.html#299283
idiota napisał:
Boże, co za bzdury...
To niesamowite jak rafał swoim nierozumieniem niczego potrafi sobie w głowie posklejać co się da i zrobić to jakoś odnoszące się do jego idee fixe...
Przecież tego nie ma sensu nawet wyjaśniać, bo widać tu raczej symptomy choroby, a nie rozumowanie.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/p-1-i-q-1-ale-p-q-0,10575-450.html#369345
Irbisol napisał:
Ty jesteś naprawdę ograniczony - nie ma z tobą podstawowego kontaktu ... Nie wiem, jak do ciebie przemówić, bo twoja głupota przerasta wszystko, co do tej pory spotkałem na wielu forach

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1050.html#415439
Irbisol napisał:

Po prostu nie mam już słów na wyrażenie stopnia twojego upośledzenia, które nie pozwala ci tego pojąć.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1150.html#418651
Irbisol napisał:
Debil by zrozumiał, dlatego nie nazywam cię debilem, żeby debili nie obrażać.


Kolejny rozdział algebry Kubusia po ostatecznych poprawkach!

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593837

Algebra Kubusia dla LO
3.3 Definicje podstawowe - równoważność <=>

Spis treści
3.3 Definicja podstawowa równoważności p<=>q 1
3.3.1 Równoważność p<=>q jako tożsamość zbiorów/pojęć 5
3.3.2 Diagram równoważności w zbiorach 7
3.3.3 Definicja operatora równoważności p|<=>q 8
3.3.4 Równoważność Pitagorasa TP<=>SK 11
3.3.5 Operator równoważności Pitagorasa TP|<=>SK 15
3.3.6 Diagram równoważności Pitagorasa TP<=>SK i ~TP<=>~SK 17


3.3 Definicja podstawowa równoważności p<=>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


TR.
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zadzie q

Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest potrzebne ~> i wystarczające => do tego, aby zaszło q

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji równoważności p<=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

TR:
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład równoważności p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.

Definicja podstawowa równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Innymi słowy:
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Definicja podstawowa równoważności p<=>q jest w praktyce doskonale znana każdemu człowiekowi.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 14 500
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 12 500
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 9890

Definicja definicji podstawowej dowolnego spójnika implikacyjnego:
Definicja podstawowa dowolnego spójnika implikacyjnego to definicja tego spójnika w logice dodatniej (bo q). Jeśli w definicji dowolnego spójnika implikacyjnego nie zaznaczamy w jakiej jest logice to domyślnie chodzi nam o definicję podstawową tego spójnika.

Mówiąc o definicji podstawowej możemy zatem pominąć sygnalizację w jakiej logice ta definicja jest wyrażona.

Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1

Innymi słowy:
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1

Definicja dowolnego operatora implikacyjnego p||?q:
Operator implikacyjny p||?q to odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p oraz co się stanie jeśli zajdzie ~p

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
Kod:

T2.
Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                      A2B2
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd


Dlaczego to jest równanie operatora równoważności p|<=>q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p

Stąd mamy:
Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Z tabeli T2 odczytujemy tożsamość logiczną:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy
1.
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Na mocy definicji operatorów logicznych p|<=>q i ~p|<=>~q widzimy, że udowodnienie prawdziwości 1 pociąga za sobą prawdziwość 2:
2.
p|<=>q = ~p|<=>~>q
cnd

3.3.1 Równoważność p<=>q jako tożsamość zbiorów/pojęć

TR
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
Kod:

TR:
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja dowolnego ziemskiego twierdzenia matematycznego TM:
Dowolne ziemskie twierdzenie matematyczne TM jest tożsame z warunkiem wystarczającym p=>q.

Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
Matematyczna definicja równoważności to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q, czyli zbiór p jest podzbiorem => q
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p, czyli zbiór q jest podzbiorem => p
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1

Stąd mamy wyprowadzoną definicję tożsamości zbiorów p=q znaną każdemu ziemskiemu matematykowi.

A1B3:
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q

Dla B3 skorzystajmy z prawa Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q

Stąd mamy tożsamą definicję tożsamości zbiorów p=q zdefiniowaną kolumną A1B1.

A1B1: Zbiory
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q

Prawo rachunku zero-jedynkowego:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności A2B2:~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Stąd dla kolumny A2B2 mamy.
A2B2: Zbiory
Definicja tożsamości zbiorów ~p=~q:
Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q i jednocześnie zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q

3.3.2 Diagram równoważności w zbiorach

Prawo rachunku zero-jedynkowego:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q

Znaczenie powyższej tożsamości logicznej w przełożeniu na zbiory.
Tożsamość zbiorów p=q definiowana przez:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q definiowaną przez:
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q
(i odwrotnie)

Na tej podstawie łatwo rysujemy diagram równoważności p<=>q w zbiorach:
Kod:

 DR:
 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
-------------------------------------------------------------------------
| D - wspólna dziedzina dla p i q                                       |
| p+~p =D =1   | q+~q =D =1                                             |
| p*~p =[]=0   | q*~q =[]=0                                             |
-------------------------------------------------------------------------
| Zbiór: p=q                      # Zbiór: ~p=~q
| A1B1: Równoważność dla p:       | A2B2: Równoważność dla ~p           |
| p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)  [=] ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) |
| Definiuje tożsamość zbiorów:    |  Definiuje tożsamość zbiorów:       |
| p=q                             #  ~p=~q                              |
-------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna

Z diagramu widzimy że:
~p=~(p) - zbiór ~p jest zaprzeczeniem zbioru p
~q=~(q) - zbiór ~q jest zaprzeczeniem zbioru q
Prawa podwójnego przeczenia:
p = ~(~p) - zbiór p jest zaprzeczeniem zbioru ~p (prawo podwójnego przeczenia)
q = ~(~q) - zbiór q jest zaprzeczeniem zbioru ~q (prawo podwójnego przeczenia)
Dziedzina D dla zbiorów p i q musi być wspólna, bowiem wtedy i tylko wtedy między zbiorami p i q mogą zachodzić podstawowe relacje (=>, ~> i ~~>) w zbiorach.

Relacja podzbioru =>:
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
inaczej:
p=>q =0

Relacja nadzbioru ~>:
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0

Relacja elementu wspólnego ~~>:
p~~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają element wspólny
Inaczej:
p~~>q =0

Definicja wspólnej dziedziny D dla p:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne
Definicja wspólnej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1 - zbiór ~q jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru q
q*~q =[] =0 - zbiory q i ~q są rozłączne
Stąd mamy:
~p=[D-p] = [p+~p -p] = ~p
~q=[D-q] = [q+~q -q] = ~q

3.3.3 Definicja operatora równoważności p|<=>q

TR
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
Kod:

TR:
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p :
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Stąd:
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p (p=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q (q=1)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć:
Zbiory:
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Zdarzenia:
Zdarzenie p jest tożsame ze zdarzeniem q p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Tożsamość zbiorów/pojęć p=q wymusza tożsamość zbiorów/pojęć ~p=~q (albo odwrotnie)

Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie p w rozpisce na warunek wystarczający =>:
Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ i odwrotnie:
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q
Wynika to z tożsamości zbiorów/pojęć p=q która wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
p=q # ~p=~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q

Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
stąd:
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć:
Zbiory:
Zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
~p=~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Zdarzenia:
Zdarzenie ~p jest tożsame ze zdarzeniem ~q ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
~p=~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Tożsamość zbiorów/pojęć ~p=~q wymusza tożsamość zbiorów/pojęć p=q (albo odwrotnie)

A2B2:
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie ~p w rozpisce na warunek wystarczający =>:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q
Wynika to z tożsamości zbiorów/pojęć ~p=~q która wymusza tożsamość zbiorów p=q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
~p=~q # p=q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności p|<=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p|<=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

3.3.4 Równoważność Pitagorasa TP<=>SK

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Weźmy twierdzenie proste Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK=1
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Ten dowód oznacza, że zbiór trójkątów prostokątnych (TP=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1)
Na mocy prawa śfinii zdanie A1 przyjmujemy za punkt odniesienia:
p=TP
q=SK
stąd zdanie A1 w zapisie formalnym {p, q}
A1: p=>q =1

W tym momencie twierdzenie proste Pitagorasa może być już tylko częścią implikacji prostej TP|=>SK albo częścią równoważności TP<=>SK. Aby to rozstrzygnąć musimy zbadać warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.

B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% ~> zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP~>SK =?
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =?

Definicja twierdzenia matematycznego:
Dowolne twierdzenie matematyczne jest tożsame z warunkiem wystarczającym =>.

W zdaniu B1 nie mamy warunku wystarczającego => ale to nie problem, bo możemy skorzystać z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska w zapisie formalnym:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
A1: TP~>SK = B3: SK=>TP

Wniosek:
Aby udowodnić prawdziwość warunku koniecznego ~> w zdaniu B1: TP~>SK potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić twierdzenie odwrotne Pitagorasa: B3: SK=>TP

Twierdzenie odwrotne Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) to na 100% => ten trójkąt jest prostokątny (TP=1)
SK=>TP =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Ten dowód oznacza, że zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP.

Oba twierdzenia łącznie (A1 i B3) definiują znaną każdemu matematykowi tożsamości zbiorów.

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q

Nasz przykład:
Definicja tożsamości zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (twierdzenie proste) i zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (twierdzenie odwrotne)
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK

Dla B3 korzystamy z prawa Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q - prawo Tygryska w zapisie formalnym {p, q}
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK - prawo Tygryska w zapisie aktualnym {p=TP, q=SK}

Stąd mamy tożsamą definicje tożsamości zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK i jednocześnie zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK.
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP<=>SK

Stąd mamy dowód iż twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK jest częścią równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych TP.

Równoważność Pitagorasa TP<=>SK dla trójkątów prostokątnych:
Równoważność TP<=>SK to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK
B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1

Prawo rachunku zero-jedynkowego:
[code]
A1B1: A2B2:
TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)[=](A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)=~TP<=>~SK
bo prawa Kubusia:
A1: TP=>SK = A2:~TP=>~SK
B1: TP~>SK = B2:~TP=>~SK
[code]

Stąd mamy udowodnioną tożsamość zbiorów ~TP=~SK:
Kolumna A2B2:
Zbiory ~TP i ~SK są tożsame ~TP=~SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~TP jest podzbiorem => zbioru ~SK i jednocześnie zbiór ~TP jest nadzbiorem ~> zbioru ~SK
~TP=~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~S) = ~TP<=>~SK

Z powyższego wynika, że po udowodnieniu równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych definiującej tożsamość zbiorów TP=SK:
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
nie musimy dowodzić równoważności Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych definiującej tożsamość zbiorów ~TP=~SK:
~TP=~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~S) = ~TP<=>~SK
bowiem gwarantuje nam to prawo rachunku zero-jedynkowego:
TP<=>SK = ~TP<=>~SK
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = ~p<=>~q
cnd

Podstawmy naszą równoważność TP<=>SK do tabeli prawdy równoważności TR.
[code]
TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Aktualny punkt odniesienia na mocy prawa śfinii:
p=TP
q=SK
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym:
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK
B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: TP=>SK =1 = 2:~TP~>~SK=1 [=] 3: SK~>TP =1 = 4:~SK=>~TP =1
A’: 1: p~~>~q =0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: TP~~>~SK=0 = [=] = 4:~SK~~>TP =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: TP~>SK =1 = 2:~TP=>~SK=1 [=] 3: SK=>TP =1 = 4:~SK~>~TP =1
B’: = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p =0
B’: = 2:~TP~~>SK=0 [=] 3: SK~~>~TP=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1: A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
[/code]
Dla poprawienia czytelności tabeli prawdy TR zmienne aktualne (TR i SK) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli i jej części głównej, odpowiedzialnej za generowanie zdań warunkowych wchodzących w skład operatora równoważności p|<=>q.

3.3.5 Operator równoważności Pitagorasa TP|<=>SK

Operator równoważności TP|<=>SK to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o TP i ~TP:
A1B1: TP<=>SK =(A1: TP=>SK)* (B1: TP~>SK) - co się stanie jeśli zajdzie TP
A2B2:~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK) - co się stanie jeśli zajdzie ~TP

Innymi słowy:
Operator równoważności TP|<=>SK to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt prostokątny (TP=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK
B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, by zachodziła w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP<=>SK
Tożsamość zbiorów TP=SK wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie)
Zachodzi relacja matematyczna:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Kolumna A1B1:
W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokąty (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż będzie zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK=1)
TP~~>~SK = TP*~SK =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> TP i ~SK nie jest spełniona bo zbiory TP i ~SK są rozłączne.
Wynika to z tożsamości zbiorów TP=SK która wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt nieprostokątny (~TP=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~TP~>~SK =1 - zajście ~TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~SK
B2: ~TP=>~SK =1 - zajście ~TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~SK
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
~TP=~SK <=> (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =~TP<=>~SK
Tożsamość zbiorów ~TP=~SK wymusza tożsamość zbiorów TP=SK (albo odwrotnie)
Zachodzi relacja matematyczna:
~TP=~SK # TP=SK
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Kolumna A2B2:
W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP=>~SK =1
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego by nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie będzie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to może ~~> zachodzić w nim w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP~~>~SK=~TP*SK =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~TP i SK nie jest spełniona bo zbiory ~TP i SK są rozłączne.
Wynika to z tożsamości zbiorów ~TP=~SK która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów TP=SK (albo odwrotnie)

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności TP|<=>SK jest gwarancja matematyczna => po stronie TP (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~TP (zdanie B2).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p|<=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

3.3.6 Diagram równoważności Pitagorasa TP<=>SK i ~TP<=>~SK

Graficznie równoważności Pitagorasa możemy przedstawić tak
[code]
T1:
Zbiór trójkątów prostokątnych: |Zbiór trójkątów nieprostokątnych:
TP=SK |~TP=~SK
Równoważność Pitagorasa | Równoważność Pitagorasa
dla trójkątów prostokątnych (TP) | dla trójkątów nieprostokątnych (~TP)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)
Definiuje tożsamość zbiorów: | Definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK # ~TP=~SK
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna
[/code]
Przyjmijmy dziedzinę minimalną dla równoważności Pitagorasa:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Definicja wspólnej dziedziny ZWT dla TP:
TP+~TP =D =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru TP
TP*~TP =[] =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
Definicja wspólnej dziedziny ZWT dla SK:
SK+~SK =D =1 - zbiór ~SK jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru SK
SK*~SK =[] =0 - zbiory SK i ~SK są rozłączne
Stąd mamy:
~TP=[D-TP] = [TP+~TP -TP] =~TP
~SK=[D-SK] = [SK+~SK -SK] =~SK
Zachodzi również:
TP = ~(~TP) - zbiór TP jest zaprzeczeniem zbioru ~TP (prawo podwójnego przeczenia)
SK = ~(~SK) - zbiór SK jest zaprzeczeniem zbioru ~SK (prawo podwójnego przeczenia)
oraz:
~TP=~(TP) - zbiór ~TP jest zaprzeczeniem zbioru TP
~SK=~(SK) - zbiór ~SK jest zaprzeczeniem zbioru SK

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Na poziomie spójnika równoważności <=> mamy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności A2B2:~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Nasz przykład:
Udowodnienie równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1B1: TP<=>SK - ta równoważność definiuje tożsamość zbiorów TP=SK
jest tożsame z udowodnieniem równoważności Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych:
A2B2: ~TP<=>~SK - ta równoważność definiuje tożsamość zbiorów ~TP=~SK

Wniosek z zachodzącej tożsamości logicznej:
A1B1: TP<=>SK = A2B2:~TP<=>~SK
Udowodnienie tożsamości zbiorów TP=SK jest tożsame z udowodnieniem tożsamości zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie)

Objaśnienia:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (TP=1):
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Prawo Tygryska:
B1: TP~>SK = B3: SK=>TP
stąd tożsama równoważność Pitagorasa znana każdemu matematykowi:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Gdzie:
A1: TP=>SK - twierdzenie proste Pitagorasa
A1: p=>q =1 - twierdzenie proste Pitagorasa w zapisie formalnym
B3: SK=>TP - twierdzenie odwrotne Pitagorasa
B3: q=>p =1 - twierdzenie odwrotne Pitagorasa w zapisie formalnym

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 13:38, 29 Maj 2021, w całości zmieniany 11 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35502
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Sob 13:22, 29 Maj 2021    Temat postu:
Algebra Kubusia to matematyka przyszłych pokoleń matematyków!

Sorry panowie matematycy za twierdzenie Kłapouchego.

Twierdzenie Kłapouchego:
Ziemski matematyk który nie zrozumie niniejszego postu jest biednym człowiekiem z potwornie wypranym mózgiem gównem zwanym "implikacja materialna".

Co zrobić z twardogłowymi matematykami (np. Irbisol i Idiota) którzy nie będą w stanie zrozumieć niniejszego postu?

Odpowiedź jest bardzo prosta:
NIC!
Pozwólmy im umrzeć w spokoju w przekonaniu że bogiem jest "implikacja materialna" zaś algebra Kubusia jest gównem.

Algebra Kubusia to matematyka przyszłych pokoleń matematyków!

[link widoczny dla zalogowanych]
J. Ławecki napisał:

Za największego wroga ludzie mają tego, kto mówi im prawdę

To popularne powiedzenie Platona jest aktualne mimo tak dużego upływu czasu. Zastanawiam się kiedy w końcu zrozumiemy wszyscy, że lepiej znać prawdę i się z nią zmierzyć, niż zatykać uszy albo się na nią oburzać i dąsać?

Pewien bardzo mądry człowiek powiedział kiedyś znamienne słowa: Poznacie prawdę a prawda was wyzwoli. Wyzwoli was ze strachu. Strachu przed jej ujawnieniem, ale także ze skutków jej ukrywania. Mam proste przesłanie do Was. Zmierzcie się z prawdą i zróbcie wszystko, aby jak najszybciej naprawić to co zepsuli Wasi poprzednicy.


Za największego wroga ludzie mają tego, kto mówi im prawdę
Platon

Twardym dowodem jest tu historia wojny o zaistnienie algebry Kubusia w ziemskiej matematyce między Rafałem3006 a ziemskimi twardogłowymi matematykami (np. Irbisol i Idiota).

Wszyscy wiedzą, że czegoś nie da się zrobić, aż znajdzie się taki jeden, który nie wie, że się nie da, i on to robi.
Albert Einstein
Komentarz:
Z racji wykształcenia będąc specjalistą od projektowania układów w bramkach logicznych od samego początku byłem w 100% => pewien, że "implikacja materialna" ziemskich matematyków to potwornie śmierdzące gówno.
Innymi słowy:
Mój problem polegał tylko i wyłącznie na udowodnieniu ziemskim matematykom, że ich bóg, "implikacja materialna" jest Szatanem (gównem) który opanował ich mózgi.

Historia wynalazków naukowych i technicznych uczy nas, że rasa ludzka uboga jest w niezależną myśl twórczą i wyobraźnię... człowiek musi niejako dosłownie potknąć się o rzecz samą, aby mu zakwitła Idea.
Albert Einstein

To jest święta prawda - w początkach odkrywania algebry Kubusia popełniałem błędy np. wściekle zwalczałem prawo kontrapozycji, bo mi nie pasowało do opisu języka potocznego.
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => otworzę parasol
P=>OP =1
Prawo kontrapozycji:
A1: P=>OP = A4: ~OP=>~P
stąd:
A4.
Jeśli jutro nie otworzę parasola to na 100% => nie będzie padało
~OP=>~P =1
:shock: :shock: :shock:
Oczywiście koniec końców prawem transformacji rozwiązałem powyższy problem i przestałem walczyć z prawem kontrapozycji - jest dobre.

Jedyną pewną metodą unikania porażek jest nie mieć żadnych, nowych pomysłów.
Albert Einstein

Normalny matematyk pewnie by poległ na opisanym wyżej paradoksie prawa kontrapozycji i dałby sobie spokój z dalszym rozszyfrowywaniem matematyki języka potocznego dochodząc do fałszywego wniosku, iż nie da się matematycznie opisać języka potocznego ... na szczęście nie jestem matematykiem.
Koniec końców wyjdzie na to, że największego odkrycia w dziejach matematyki, rozszyfrowania matematyki języka potocznego dokonał zwykły człowiek, Rafal3006, nie będący matematykiem, który na 100% nie zdałby z marszu matury z matematyki na poziomie podstawowym.

Relacja na żywo:
Kolejny rozdział algebry Kubusia po ostatecznych poprawkach!

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593841

Algebra Kubusia dla LO
3.4 Definicje podstawowe - „albo” p$q i chaos p|~~>q

Spis treści
3.4 Spójnik „albo”($) 1
3.4.1 Operator „albo” p|$q 7
3.4.2 Spójnik „albo” M$K 9
3.4.3 Operator „albo” M|$K 12
3.5 Chaos p|~~>q 14
3.5.1 Operator chaosu p||~~>q 18
3.5.2 Chaos P8|~~>P3 19
3.5.3 Operator chaosu P8||~~>P3 21



3.4 Spójnik „albo”($)

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


W wyjaśnianiu definicji spójnika „albo” p$q i operatora „albo” p|$q wspomożemy się konkretnym przykładem z teorii zbiorów {M$K), mającym przełożenie 1:1 na logikę formalną {p$q} pozwalającym łatwo zrozumieć o co tu chodzi.

Rozważmy zdanie:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi
Stąd mamy definicję dziedziny:
M+K = C =1 - bo zbiór kobiet (K) jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru mężczyzn (M)
M*K =[] =0 - bo zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem kobiet (K)
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny:
~M = [C-M] = [M+K-M] =K
~K = [C-K] = [M+K-K]=M
to samo po zamianie argumentów w tożsamości zbiorów:
M = ~K - człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K=1)
K=~M - człowiek jest kobietą (K=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest mężczyzną (~M=1)
Narysujmy diagram w zbiorach pasujący do tego zdania.

Diagram operatora „albo” p|$q wspomagany przykładem o mężczyźnie (M) i kobiecie (K)
Kod:

 DA:
 Diagram operatora „albo” p|$q w zbiorach/zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D (dziedzina)                                                          |
| p+q =D =1 - zbiór q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p     |
| p*q =[]=0 - zbiory p i q są rozłączne                                  |
| Dla zmiennych aktualnych M (mężczyzna) i K (kobieta) mamy:             |
| C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi                                  |
| K+M =C =1 - zbiór M jest uzupełnieniem do dziedziny C dla K            |
| K*M =[]=0 - zbiór M jest rozłączny ze zbiorem K w dziedzinie C         |
--------------------------------------------------------------------------
: Zbiór: p=M (mężczyzna)          | Zbiór: q=K (kobieta)                 |
| A1B1: Spójnik „albo”($) dla p:  | A2B2: Spójnik „albo”($) dla ~p       |
| p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)  [=] ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)       |
| M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)  [=] ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K)       |
| Stąd mamy:                      |  Stąd mamy:                          |
| p=~q - p jest negacją (~)q w D  |  q=~p - q jest negacją (~)p w D      |
| M=~K - M jest negacją (~)K w C  |  K=~M - K jest negacją (~)M w C      |
--------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna

Dla naszego przykładu mamy:
Definicja podstawowa spójnika „albo” M$K w logice dodatniej (bo K):
Spójnik „albo” M$K w logice dodatniej (bo K) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od M do ~K
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną (M=1) jest (=1) wystarczające => by nie być kobietą (~K=1)
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną (M=1) jest (=1) konieczne ~> by nie być kobietą (~K=1)
stąd:
A1B1: p$q = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1
Dowody formalne (patrz diagram DA):
Dla ~K=M mamy:
A1: M=>~K = M=>M =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
B1: M~>~K = M~>M =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd
To samo w zapisie formalnym po podstawieniu:
M=p
K=q
Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Spójnik „albo” p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Dowody formalne (patrz diagram DA):
Dla ~q=p mamy:
A1: p=>~q = p=>p =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>~q = p~>p =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd

Podstawmy definicję spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q) do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo” p$q w logice dodatniej (bo q)
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>~q = 2:~p~>q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p =1 [=] 5: ~p+~q
      ##         ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>~q = 2:~p=>q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p =1 [=] 5:  p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład spójnika „albo” p$q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji spójnika „albo” p$q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>~q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>q=p*q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>~q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>q=p*q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>~q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>q=p*q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>~q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>q=p*q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

TA:
Tabela prawdy spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
       A1B1:        A2B2:       |      A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>~q=1 = 2:~p~>q  =1   [=] 3: ~q~>p  =1 = 4: q=>~p =1
A’: 1: p~~>q=0 =               [=]              = 4: q~~>p =0
       ##           ##          |      ##            ##
B:  1: p~>~q=1 = 2:~p=>q  =1   [=] 3: ~q=>p  =1 = 4: q~>~p =1
B’:            = 2:~p~~>~q=0   [=] 3: ~q~~>~p=0

Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1:                                                   A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q

Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Spójnik „albo” p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Trzeciej możliwości brak

Nasz przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) albo($) kobietą (K)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1
Trzeciej możliwości brak

Prawą stronę czytamy:
Do tego aby zaszło p potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Zdanie matematycznie tożsame:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p$q

Nasz przykład:
Aby dowolny człowiek był mężczyzną (M) potrzeba ~> i wystarcza => aby nie był kobietą (~K)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1
Zdanie matematycznie tożsame:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M$K

Definicja definicji podstawowej dowolnego spójnika implikacyjnego:
Definicja podstawowa dowolnego spójnika implikacyjnego to definicja tego spójnika w logice dodatniej (bo q). Jeśli w definicji dowolnego spójnika implikacyjnego nie zaznaczamy w jakiej jest logice to domyślnie chodzi nam o definicję podstawową tego spójnika.

Mówiąc o definicji podstawowej możemy zatem pominąć sygnalizację w jakiej logice ta definicja jest wyrażona.

Definicja spójnika „albo” ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Spójnik „albo” ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od ~p do q
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia q
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1 =1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p albo ($) zajdzie ~q
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1 =1
Trzeciej możliwości brak

Nasz przykład:
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) albo ($) nie jest kobietą (~K)
A2B2: ~M$~K = (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K) =1*1 =1
Trzeciej możliwości brak.

Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest potrzebne ~> i wystarczające => do tego, aby zaszło q
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1 =1
Zdanie matematycznie tożsame:
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
~p<=>q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) = ~p$~q

Nasz przykład:
Aby nie być mężczyzną (~M) potrzeba ~> i wystarcza => być kobietą (K)
A2B2: ~M$~K = (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K) =1*1 =1
Zdanie matematycznie tożsame:
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K)
~M<=>K = (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K) = ~M$~K

Definicja dowolnego operatora implikacyjnego p||?q:
Operator implikacyjny p||?q to odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p oraz co się stanie jeśli zajdzie ~p
Kod:

T2.
Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1:                                                   A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>~q = A2: ~p~>q
B1: p~>~q = B2: ~p=>q
cnd


Dlaczego to jest równanie operatora „albo” p|$q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p

Stąd mamy:
Operator „albo” p|$q w logice dodatniej (bo p) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dających odpowiedź na pytanie o p i ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~p) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Z tabeli T2 odczytujemy tożsamość logiczną:
A1B1: p$q = A2B2:~p$~q

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy
1.
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję spójnika „albo” ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Na mocy definicji operatorów logicznych p|$q i ~p|$~q widzimy, że udowodnienie prawdziwości 1 pociąga za sobą prawdziwość 2:
2.
p|$q = ~p|$~>q
cnd

3.4.1 Operator „albo” p|$q

Operator „albo” p|$q w logice dodatniej (bo p) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dających odpowiedź na pytanie o p i ~p

Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) =1*1=1
Dowody formalne (patrz diagram DA):
Dla ~q=p mamy:
A1: p=>~q = p=>p =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>~q = p~>p =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd

Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie p w rozpisce na warunek wystarczający =>:
Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
p=>~q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zdarzenia:
Zajście zdarzenia p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia ~q
p=>~q =1
Zbiory:
Jeśli dowolny element zbioru należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru ~q
p=>~q =1
Przykład:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% => nie jest kobietą (~K=1)
M=>~K =1
Bycie mężczyzną (M=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie jesteśmy kobietą (~K=1)
Matematycznie zachodzi (patrz diagram DA):
~K=M
stąd:
A1: M=>~K = M=>M =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
cnd

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ i odwrotnie:
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
p~~>q = p*q =[] =0 - bo zbiory/zdarzenia p i q są rozłączne
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i q
Przykład:
A1’
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to może ~~> być kobietą (K=1)
M~~>K = M*K =[] =0
Nie istnieje wspólny element zbioru mężczyzna (M=1) i kobieta K (K=1)
Dowód:
K=~M - patrz diagram DA, stąd:
A1’: M~~>K = M~~>~M = M*~M =[] =0

Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia q
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1=1
Dowody formalne (patrz diagram DA):
Dla q=~p mamy:
A2: ~p~>q = ~p~>~p =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
B2: ~p=>q = ~p=>~p =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
cnd

Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie ~p w rozpisce na warunek wystarczający =>:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
~p=>q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zdarzenia:
Jeśli zajdzie zdarzenie ~p to na 100% => zajdzie zdarzenie q
~p=>q =1
Zbiory:
Jeśli dowolny element należy do zbioru ~p to na 100% => należy do zbioru q
~p=>q =1 - przynależność do ~p jest wystarczająca => dla przynależności do q
Przykład:
B2.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to na 100% => jest kobietą (K=1)
~M=>K=1
Nie bycie mężczyzną (~M=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jesteśmy kobietą (K=1)
Matematycznie zachodzi tożsamość (patrz diagram DA)
~M=K
stąd:
B2: ~M=>K = K=>K =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
cnd

Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
~p~~>~q = ~p*~q =[] =0 - bo zbiory/zdarzenia ~p i ~q są rozłączne
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i ~q
~p~~>~q = ~p*~q =[] =0
Dowód:
Matematycznie zachodzi tożsamość (patrz diagram DA):
~q=p
stąd mamy:
B2’: ~p~~>~q = ~p~~>p = ~p*p =[] =0
cnd

Zbiory:
B2’.
Jeśli dowolny element należy do zbioru ~p to może ~~> należeć do zbioru ~q
~p~~>~q = ~p*~q =[] =0 - bo zbiory/zdarzenia ~p i ~q są rozłączne
Przykład:
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to może ~~> nie być kobietą (~K=1)
~M~~>~K = ~K*~K =[] =0
Nie istnieje wspólny element zbioru nie mężczyzna ~M i nie kobieta ~K
Dowód:
Matematycznie zachodzi tożsamość (patrz diagram DA):
~K=M
stąd mamy:
B2’: ~M~~>~K = ~M~~>M = ~M*M =[] =0
cnd

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora „albo” p|$q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora „albo” ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~p) będzie identyczna jak operatora „albo” p|$q w logice dodatniej (bo p) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.


3.4.2 Spójnik „albo” M$K

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Rozważmy zdanie:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi
Stąd mamy definicję dziedziny:
M+K = C =1 - bo zbiór kobiet (K) jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru mężczyzn (M)
M*K =[] =0 - bo zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem kobiet (K)
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny:
~M = [C-M] = [M+K-M] =K
~K = [C-K] = [M+K-K]=M
to samo po zamianie argumentów w tożsamości zbiorów:
M = ~K
K=~M
Narysujmy diagram w zbiorach pasujący do tego zdania.

Diagram operatora „albo” p|$q wspomagany przykładem o mężczyźnie (M) i kobiecie (K)
Kod:

 DA:
 Diagram operatora „albo” p|$q w zbiorach/zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D (dziedzina)                                                          |
| p+q =D =1 - zbiór q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p     |
| p*q =[]=0 - zbiory p i q są rozłączne                                  |
| Dla zmiennych aktualnych M (mężczyzna) i K (kobieta) mamy:             |
| C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi                                  |
| K+M =C =1 - zbiór M jest uzupełnieniem do dziedziny C dla K            |
| K*M =[]=0 - zbiór M jest rozłączny ze zbiorem K w dziedzinie C         |
--------------------------------------------------------------------------
: Zbiór: p=M (mężczyzna)          | Zbiór: q=K (kobieta)                 |
| A1B1: Spójnik „albo”($) dla p:  | A2B2: Spójnik „albo”($) dla ~p       |
| p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)  [=] ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)       |
| M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)  [=] ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K)       |
| Stąd mamy:                      |  Stąd mamy:                          |
| p=~q - p jest negacją (~)q w D  |  q=~p - q jest negacją (~)p w D      |
| M=~K - M jest negacją (~)K w C  |  K=~M - K jest negacją (~)M w C      |
--------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna

Dla naszego przykładu mamy:
Definicja podstawowa spójnika „albo” M$K w logice dodatniej (bo K):
Spójnik „albo” M$K w logice dodatniej (bo K) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od M do ~K
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną (M=1) jest (=1) wystarczające => by nie być kobietą (~K=1)
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną (M=1) jest (=1) konieczne ~> by nie być kobietą (~K=1)
stąd:
A1B1: p$q = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1
Dowody formalne (patrz diagram DA):
Dla ~K=M mamy:
A1: M=>~K = M=>M =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
B1: M~>~K = M~>M =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd
To samo w zapisie formalnym po podstawieniu:
M=p
K=q
Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Spójnik „albo” p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Dowody formalne (patrz diagram DA):
Dla ~q=p mamy:
A1: p=>~q = p=>p =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>~q = p~>p =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd

Podstawmy to do tabeli prawdy spójnika „albo” M$K:
Kod:

TA:
Tabela prawdy spójnika „albo”($)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym:
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
Dla naszego przykładu mamy punkt odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym:
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną jest wystarczające => by nie być kobietą
B1: M~>~K=1 - bycie mężczyzną jest konieczne ~> by nie być kobietą
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
       A1B1:        A2B2:       |      A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>~q=1 = 2:~p~>q  =1   [=] 3: ~q~>p  =1 = 4: q=>~p =1
A:  1: M=>~K=1 = 2:~M~>K  =1   [=] 3: ~K~>M  =1 = 4: K=>~M =1
A’: 1: p~~>q=0 =               [=]              = 4: q~~>p =0
A’: 1: M~~>K=0 =               [=]              = 4: K~~>M =0
       ##           ##          |      ##            ##
B:  1: p~>~q=1 = 2:~p=>q  =1   [=] 3: ~q=>p  =1 = 4: q~>~p =1
B:  1: M~>~K=1 = 2:~M=>K  =1   [=] 3: ~K=>M  =1 = 4: K~>~M =1
B’:            = 2:~p~~>~q=0   [=] 3: ~q~~>~p=0
B’:            = 2:~M~~>~K=0   [=] 3: ~K~~>~M=0

Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1:                                                   A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q

Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności powyższej tabeli zmienne aktualne D i K podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”

3.4.3 Operator „albo” M|$K

Definicja dowolnego operatora implikacyjnego p||?q:
Operator implikacyjny p||?q to odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p oraz co się stanie jeśli zajdzie ~p

Innymi słowy:
Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Innymi słowy w przełożeniu na nasz przykład:
Operator „albo” M|$K to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli człowiek jest mężczyzną (M=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną (M=1) jest wystarczające => by nie być kobietą (~K=1)
B1: M~>~K=1 - bycie mężczyzną (M=1) jest konieczne ~> by nie być kobietą (~K=1)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K) = (B1: M~>~K)

Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli ktoś jest mężczyzną (M=1) w rozpisce na warunek wystarczający =>:
Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli ktoś jest mężczyzną (M=1) to na 100% => nie będzie kobietą (~K=1)
M=>~K =1
Bycie mężczyzną (M=1) jest warunkiem wystarczającym => by nie być kobietą (~K=1)
Bycie mężczyzną (M=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie jesteśmy kobietą (~K=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Matematycznie zachodzi tożsamość (patrz diagram DA):
~K=M
stąd:
A1: M=>~K = M=>M =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
cnd

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ i odwrotnie:
A1’.
Jeśli ktoś jest mężczyzną (M=1) to może ~~> to być kobietą (K=1)
M~~>K = M*K =[] =0
Nie jest możliwe (=0) aby jakiś człowiek był jednocześnie mężczyzną (M) i kobietą (K)
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona (=0) bo zbiór mężczyzn (M=1) jest rozłączny ze zbiorem kobiet (K=1)
Dowód:
Matematycznie zachodzi tożsamość K=~M (patrz diagram DA), stąd:
A1’: M~~>K = M~~>~M = M*~M =[] =0
cnd

Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~M~>K =1 - nie bycie mężczyzną (~M=1) jest warunkiem koniecznym ~> aby być kobietą (K=1)
B2: ~M=>K =1 - nie bycie mężczyzną (~M=1) jest warunkiem wystarczającym => by nie być kobietą
A2B2: ~M$~K = (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K)

Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli ktoś nie jest mężczyzną (~M=1) w rozpisce na warunek wystarczający =>:
B2.
Jeśli ktoś nie jest mężczyzną (~M=1) to na 100% => jest kobietą (K=1)
~M=>K =1
Nie bycie mężczyzną (~M=1) jest warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K=1)
Nie bycie mężczyzną (~M=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jesteśmy kobietą (K=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~M=K
stąd:
B2: ~M=>K = K=>K =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
cnd

Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli ktoś nie jest mężczyzną (~M=1) to może ~~> nie być kobietą (~K=1)
~M~~>~K = ~M*~K =[] =0
Nie jest możliwe ~~> aby ktokolwiek nie był mężczyzną (~M=1) i nie był kobietą (~K=1)
Dowód:
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć (patrz diagram DA):
~K =M
B2’: ~M~~>~K = ~M*M =[] =0
cnd

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora „albo”($) M|$K jest gwarancja matematyczna => po stronie M (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~M (zdanie B2).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora „albo” ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~p) będzie identyczna jak operatora „albo” p|$q w logice dodatniej (bo p) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.


3.5 Chaos p|~~>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


CH.
Definicja podstawowa chaosu p|~~>q:
Kolumna A1B1:
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w chaosie p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład chaosu p|~~>q potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji chaosu p|~~>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Kod:

CH
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1                  [=]               4:~q~~>~p=1
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p=1
B”:               2:~p~~>~q=1    [=] 3: q~~>p =1

Równanie operatora chaosu p||~~>q:
A1B1:                                                           A2B2:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~~>~q

Operator chaosu p||~~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~~>q  =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~p||~~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~~>q  =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Uwaga:
Zdania A1” i B2” kodowane zdarzeniem możliwym ~~> muszą być prawdziwe, bowiem wtedy i tylko wtedy będziemy mieli do czynienia z chaosem p|~~>q.
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że zdanie A1” jest fałszywe:
A1”: p~~>q =0
Wówczas na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy byłby warunek wystarczający =>:
A1S: p=>~q =1
co prowadzi do sprzeczności z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym spełnionym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identyczny dowód nie wprost możemy przeprowadzić w stosunku do zdania prawdziwego B2” oraz do zdań B3” i A4”.

CH.
Definicja podstawowa chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1

Definicja definicji podstawowej dowolnego spójnika implikacyjnego:
Definicja podstawowa dowolnego spójnika implikacyjnego to definicja tego spójnika w logice dodatniej (bo q). Jeśli w definicji dowolnego spójnika implikacyjnego nie zaznaczamy w jakiej jest logice to domyślnie chodzi nam o definicję podstawową tego spójnika.

Mówiąc o definicji podstawowej możemy zatem pominąć sygnalizację w jakiej logice ta definicja jest wyrażona.

CH.
Definicja chaosu ~p|~~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Chaos ~p|~~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~~>~q = ~(A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1

Definicja dowolnego operatora implikacyjnego p||?q:
Operator implikacyjny p||?q to odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p oraz co się stanie jeśli zajdzie ~p

Kod:

T2.
Równanie operatora chaosu p||~~>q:
A1B1:                                                           A2B2:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~~>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
B1: p~>q = B2:~p=>~q
cnd

Dlaczego to jest równanie operatora chaosu p||~~>q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p

Operator chaosu p||~~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~p||~~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Z tabeli T2 odczytujemy tożsamość logiczną:
A1B1: p|~~>q = A2B2: ~p|~~>~q

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy
1.
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję chaosu ~p|~~>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Na mocy definicji operatorów logicznych p||~~>q i ~p||~~>~q widzimy, że udowodnienie prawdziwości 1 pociąga za sobą prawdziwość 2:
2.
p||~~>q = ~p||~~>~q
cnd

3.5.1 Operator chaosu p||~~>q

Definicja operatora chaosu p||~~>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:

A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Kolumna A1B1:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej bo (q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1

Kolumna A1B1:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla spełnionego p:
A’’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q

LUB

A’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q

A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Kolumna A2B2:
Definicja chaosu ~p|~~>~q w logice ujemnej bo (~q):
Chaos ~p|~~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A2: ~p~>~q =0 - ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~~>~q = ~(A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1

Kolumna A2B2:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla nie spełnionego p (~p):
B’’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i ~q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q

LUB

B’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q

Podsumowanie:
Doskonale widać, że zarówno po stronie p jak i po stronie ~p mamy tu najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.

Zauważmy że:
a)
Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator chaosu ~p||~~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora chaosu ~p||~~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora chaosu p||~~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A’’, A’, B’’, B’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

3.5.2 Chaos P8|~~>P3

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Zadanie w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3

Rozwiązanie:
Badamy warunek wystarczający =>:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 3
P8=>P3 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona (=0) bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9..]
cnd
Badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 3
P8~>P3 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona (=0) bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9..]

Stąd mamy dowód iż mamy tu do czynienia z chaosem.
Definicja chaosu p|~~>q:
Definicja chaosu p|~~>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest wystarczające => dla q i jednocześnie zajście p nie jest konieczne ~> dla q
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1

Nasz przykład:
Definicja chaosu P8|~~>P3:
A1: P8=>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => P3
B1: P8~>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3
A1B1: P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3)=~(0)*~(0)=1*1 =1

Podstawmy nasz przykład do szablonu chaosu CH:
Kod:

CH
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Aktualny punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P3=[3,6,9..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Kolumna A1B1 to również punkt odniesienia w zapisie aktualnym:
A1: P8=>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => P3
B1: P8~>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3
A1B1: P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3)=~(0)*~(0)=1*1 =1

       A1B1:           A2B2:       |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q  =0   = 2:~p~>~q   =0 [=] 3: q~>p    =0 = 4:~q=>~p   =0
A’: 1: p~~>~q=1   =               [=]               = 4:~q~~>p   =1
A’: 1: P8~~>~P3=1 =               [=]               = 4:~P3~~>P8 =1
A”: 1: p~~>q =1                   [=]                 4:~q~~>~p  =1
A”: 1: P8~~>P3 =1                 [=]                 4:~P3~~>~P8=1
       ##              ##          |     ##              ##
B:  1: p~>q  =0   = 2:~p=>~q   =0 [=] 3: q=>p    =0 = 4:~q~>~p   =0
B’:               = 2:~p~~>q   =1 [=] 3: q~~>~p  =1
B’:               = 2:~P8~~>P3 =1 [=] 3: P3~~>~P8=1
B”:                 2:~p~~>~q  =1 [=] 3: q~~>p   =1
B”:                 2:~P8~~>~P3=1 [=] 3: P3~~>P8 =1

Równanie operatora chaosu p||~~>q:
A1B1:                                                           A2B2:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~~>~q

Operator chaosu p||~~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~~>q  =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~p||~~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~~>q  =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator chaosu p||~~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

3.5.3 Operator chaosu P8||~~>P3

Nasz przykład:
Operator chaosu P8||~~>P3 to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedzi na pytanie o P8 i ~P8:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba będzie podzielna przez 8 (P8=1)?
Kolumna A1B1:
A1: P8=>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => P3
B1: P8~>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3
A1B1: P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3)=~(0)*~(0)=1*1 =1

Z kolumny A1B1 odczytujemy:
A1”.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo element wspólny np. 24
Zbiory P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] mają element wspólny ~~> np. 24

LUB

A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo element wspólny np. 8
Zbiory P8=[8,16,24..] i ~P3=[1,2..4.5..7,8..] mają element wspólny ~~> np. 8

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba nie będzie podzielna przez z 8 (~P8=1)?
Kolumna A2B2:
A2: ~P8~>~P3 =0 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~P3=[1,2..4,5..7,8..]
B2: ~P8=>~P3=0 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest (=0) podzbiorem => ~P3=[1,2..4,5..7,8..]
~P8|~~>~P3=~(A2: ~P8~>~P3)*~(B2: ~P8=>~P3) =~(0)*~(0) =1*1 =1

Z kolumny A2B2 odczytujemy:
B2”.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 bo element wspólny 2
Zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P3=[1,2..4,5..7,8..] mają element wspólny np. 2

LUB

B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo element wspólny 3
Zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P3=[3,6,9..24..] mają element wspólny np. 3

Podsumowanie:
Istotą operatorach chaosu P8|~~>P3 jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” zarówno po stronie P8 (zdania A1’’, A1’) jak i po stronie ~P8 (zdania B2’’ i B2’)

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~p||~~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1’’, A1’, B2’’, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 14:19, 29 Maj 2021, w całości zmieniany 7 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35502
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Nie 11:45, 30 Maj 2021    Temat postu:
4.1.1 Katastrofalny błąd ziemskich matematyków w rachunku zero-jedynkowym

Niestety panowie matematycy, wasz rachunek zero-jedynkowy jest wewnętrznie sprzeczny.
Twardy dowód macie w punkcie 4.1.1.
Jestem pewien, że bez problemu zrozumiecie ten dowód.
Oczywiście mówię tu o matematykach normalnych, z wykluczeniem twardogłowych matematyków typu Idiota i Irbisol, dla których algebra Kubusia będzie czarną magią do śmierci ... a może się mylę?
Co ty na to Irbisolu?
Irbisol napisał:
Ty jesteś naprawdę ograniczony - nie ma z tobą podstawowego kontaktu ... Nie wiem, jak do ciebie przemówić, bo twoja głupota przerasta wszystko, co do tej pory spotkałem na wielu forach

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1050.html#415439
Irbisol napisał:

Po prostu nie mam już słów na wyrażenie stopnia twojego upośledzenia, które nie pozwala ci tego pojąć.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1150.html#418651
Irbisol napisał:
Debil by zrozumiał, dlatego nie nazywam cię debilem, żeby debili nie obrażać.


Kolejna część AK punkt 4.0 po końcowej korekcie.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593983

Algebra Kubusia - wykład rozszerzony
4.0 Operatory implikacyjne - implikacja prosta p||=>q


Spis treści
4.0 Operatory implikacyjne - implikacja prosta p||=>q 1
4.1. Definicja implikacji prostej p|=>q 2
4.1.1 Katastrofalny błąd ziemskich matematyków w rachunku zero-jedynkowym 6
4.1.2 Operator implikacji prostej p||=>q 7
4.1.3 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego => 10
4.2 Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach 13
4.2.1 Odtworzenie definicji operatora implikacji prostej p||=>q z definicji ~~> 16
4.2.2 Najmniejsza możliwa liczba elementów w operatorze p||=>q 21



4.0 Operatory implikacyjne - implikacja prosta p||=>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery podstawowe operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja operatora równoważności:
p|$q - operator „albo”($)

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

W algebrze Kubusia mamy zaledwie trzy znaczki (=>, ~> i ~~>) na których zbudowana jest kompletna algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".
1.
Warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - gdy zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
p~>q =1 0 gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
3.
Definicja zdarzenia możliwego ~~> w zdarzeniach:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ``>:
p~~>q = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q=0

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


4.1. Definicja implikacji prostej p|=>q

IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Lewą stronę czytamy:
p|=>q - implikacja prosta |=> w logice dodatniej (bo q)

Prawą stronę czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q i nigdy nie zdarzy się ~(..), że zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
p|=>q = ~p*q

Definicja definicji podstawowej dowolnego spójnika implikacyjnego:
Definicja podstawowa dowolnego spójnika implikacyjnego to definicja tego spójnika w logice dodatniej (bo q). Jeśli w definicji dowolnego spójnika implikacyjnego nie zaznaczamy w jakiej jest logice to domyślnie chodzi nam o definicję podstawową tego spójnika.

Mówiąc o definicji podstawowej możemy zatem pominąć sygnalizację w jakiej logice ta definicja jest wyrażona.

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Stąd:
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)= (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
~p|~>~q = ~p*q

Zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p|=>q =~p*q [=] A2B2: ~p|~>~q = ~p*q

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Definicja dowolnego operatora implikacyjnego p||?q:
Operator implikacyjny p||?q to odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p oraz co się stanie jeśli zajdzie ~p

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
Kod:

T2:
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q


Dlaczego to jest równanie operatora implikacji prostej p||=>q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p

stąd mamy:
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Z tabeli T2 odczytujemy tożsamość logiczną:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Wnioski:
1.
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Na mocy definicji operatorów logicznych p||=>q i ~p||~>~q widzimy, że udowodnienie prawdziwości 1 pociąga za sobą prawdziwość 2:
2.
p||=>q = ~p||~>q
cnd

Innymi słowy:
Wystarczy udowodnić, iż dany układ spełnia kolumnę A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1
aby mieć pewność absolutną prawdziwości wszystkich pozostałych członów w tabeli T2

Warto zapamiętać różnicę:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~p*q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Weźmy nasze funkcje logiczne A1, A1B1 i B1:
Kod:

TA1B1:
A1:   Y= (p=>q)=~p+q  ## A1B1:  Y=(p|=>q)=~p*q  ## B1:  Y=(p~>q) =p+~q
      #                         #                       #
A1N: ~Y=~(p=>q)= p*~q ## A1B1N:~Y=~(p|=>q)=p+~q ## B1N:~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że dowolna funkcja logiczna z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

4.1.1 Katastrofalny błąd ziemskich matematyków w rachunku zero-jedynkowym

Ziemscy matematycy nie znają poprawnego rachunku zero-jedynkowego, ponieważ nigdy w tym rachunku nie uwzględniają funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y).
Tabela prawdy TA!B1 bez funkcji logicznych Y i ~Y przybierze postać:
Kod:

TA1B1’:
A1:  ~p+q   ## A1B1: ~p*q  ## B1:   p+~q
      #               #             #
A1N:  p*~q  ## A1B1N: p+~q ## B1N: ~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Doskonale widać, że w tabeli TA1B1’ definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ## legła w gruzach, bo ewidentnie zachodzą tożsamości logiczne [=]
A1B1: ~p*q [=] B1N: ~p*q
oraz
B1: p+~q [=] A1B1N: p+~q
cnd
Wniosek:
Miejsce ziemskiego rachunku zero-jedynkowego, który w kolumnach wynikowych nie uwzględnia funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest w piekle, na wiecznych piekielnych mękach.
Innymi słowy:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy jest wewnętrznie sprzeczny - dowód wyżej.

4.1.2 Operator implikacji prostej p||=>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Kod:

IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Innymi słowy:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedzi na pytania o p i ~p:

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q=1) - mówi o tym zdanie A1

Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

Kolumna A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q, bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

LUB

Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

4.1.3 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>

Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q przedstawioną wyżej:
Kod:

T1:
Analiza symboliczna                              |Co w logice
operatora implikacji prostej p||=>q              |jedynek oznacza
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A1:  p=> q =1 - zajście p wystarcza => dla q     |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład dla A1 musi być 0  |( p=1)~~>(~q=1)=0
Kolumna A2B2:
A2:~p~>~q =1
B2: ~p=>~q =0
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest konieczne ~> dla ~q      |(~p=1)~> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =1 - kontrprzykład dla B2 musi być 1  |(~p=1)~~>( q=1)=1
     a   b  c                                       d        e    f

Z tabeli T1 możemy wyprowadzić zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego A1: p=>q kodując analizę symboliczną względem linii A1, albo zero-jedynkową definicję warunku koniecznego A2:~p~>~q kodując analizę symboliczną względem linii A2

Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek wystarczający => widoczny w linii A1:
A1: p=>q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam potrzebne do wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
Kod:

T2:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego A1: p=>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |A1: p=>q =1       |definicja =>
              |                  |                  | p  q  A1: p=>q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=>1       =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1=>0       =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0=>0       =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0=>1       =1
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2        3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |(~p=1)=( p=0)     |
                                 |(~q=1)=( q=0)     |

Nagłówek A1: p=>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A1: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że w tabeli T1 mamy również warunek konieczny ~> widniejący w linii A2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię A2 i wygenerujmy tabelę zero-jedynkową warunku koniecznego ~>:
A2:~p~>~q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A2 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
Kod:

T3:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego A2:~p~>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |A2:~p~>~q =1      |definicja ~>
              |                  |                  |~p ~q A2:~p~>~q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0~>0      =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~>1      =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 | 1~>1      =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |(~p=1)~~>(~q=0)=1 | 1~>0      =1
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2       3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |( p=1)=(~p=0)     |
                                 |( q=1)=(~q=0)     |

Nagłówek A2:~p~>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A2: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T2 i T3 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T2 i T3 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T2: p=>q = T3: ~p~>~q

Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => (T2: 123) i koniecznego ~> (T3: 123).
Oto on:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
   p  q  p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>0  =1
D: 0=>1  =1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
   p  q  p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>0  =1
D: 0~>1  =0

Stąd mamy:
Kod:

T4
Dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p~>~q
     p  q  p=>q ~p ~q ~p~>~q
A1:  1=>1  =1    0~>0   =1
A1’: 1=>0  =0    0~>1   =0
A2:  0=>0  =1    1~>1   =1
B2’: 0=>1  =1    1~>0   =1
     1  2   3    4  5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Uwaga:
Warunkiem koniecznym wnioskowania o tożsamości kolumn wynikowych 3=6 jest identyczna matryca zero-jedynkowa na wejściach p i q.
Matematycznie wiersze 456 można dowolnie przestawiać względem wierszy 123, ale wtedy wnioskowanie o zachodzącym prawie Kubusia będzie dużo trudniejsze - udowodnił to Makaron Czterojajeczny w początkach rozszyfrowywania algebry Kubusia.
Problem można tu porównać do tabliczki mnożenia do 100. Porządna tablica spotykana w literaturze jest zawsze ładnie uporządkowana. Dowcipny uczeń może jednak zapisać poprawną tabliczkę mnożenia do 100 w sposób losowy, byleby zawierała wszystkie przypadki. Pani matematyczka, od strony czysto matematycznej nie ma prawa zarzucić uczniowi iż nie zna się na matematyce, wręcz przeciwnie, doskonale wie o co tu chodzi a dowodem tego jest jego bałaganiarski dowcip.

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q = p=>q
cnd

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p=>q = ~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
Kod:

Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
     p  q  p=>q ~p ~q ~p~>~q (p=>q)<=>(~p~>~q)
A1:  1=>1  =1    0~>0   =1          =1
A1’: 1=>0  =0    0~>1   =0          =1
A2:  0=>0  =1    1~>1   =1          =1
B2’: 0=>1  =1    1~>0   =1          =1
     1  2   3    4  5    6           7

Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

4.2 Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

1.
Dlaczego dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p i q?
Dla zbiorów tożsamych p=q mielibyśmy:
A1: p=>q =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>q =1 - bo każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Otrzymana sprzeczność z definicją implikacji prostej p|=>q w zbiorach jest dowodem, iż zbiory p i q nie mogą być tożsame.
Stąd mamy pierwszą część definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)

2.
Dlaczego przyjęta dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q?
Przyjmijmy za dziedzinę sumę logiczną zbiorów p+q
D = p+q =q - bo na mocy punktu 1 zbiór p jest podzbiorem zbioru q
Wtedy mamy:
~q=[D-q] = [q-q] =[] =0
Oznacza to że pojęcie ~q jest dla nas zbiorem pustym.

Definicja zbioru pustego [] w algebrze Kubusia:
Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka
[] =[asegft, uaytfds…]
Oczywistym jest, że nie możemy operować na pojęciach dla nas niezrozumiałych, stąd zastrzeżenie w definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.

Stąd mamy:
IP.
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Kod:

IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Kod:

D1
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
----------------------------------------------------------------------
|     p                     |                    ~p                  |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     q                                      |   ~q                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|                           |~p~~>q = ~p*q   | p~~>~q = p*~q =[]     |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q+~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych)    |
|--------------------------------------------------------------------|

Diagram implikacji prostej p|=>q
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q:
A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1:p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => ~q
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1

II.
Po zamianie p i q:
A3B3:
A3: q~>p =1 - zbiór q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru p
B3: q=>p =0 - zbiór q nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
A3B3: q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) =1*~(0)=1*1 =1
A4B4:
A4:~q=>~p=1 - zbiór ~q jest (=1) podzbiorem => ~p
B4:~q~>~p=0 - zbiór ~q nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~p
A4B4: ~q|=>~p = (A4:~q=>~p)*~(~q~>~p) =1*~(0)=1*1 =1
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Jeśli zajdzie p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q - mówi o tym zdanie A1

Z diagramu D1 odczytujemy:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Doskonale to widać na diagramie D1

Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q = [] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory p i ~q są rozłączne, co również widać na diagramie D1

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => ~q
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” o czym mówią zdania A2 i B2’

Z diagramu D1 odczytujemy:
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Wyśmienicie to widać na diagramie D1

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2:~p=>~q=0 musi być prawdą.
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~p i q jest spełniona, co doskonale widać na diagramie D1.

4.2.1 Odtworzenie definicji operatora implikacji prostej p||=>q z definicji ~~>

Weźmy diagram implikacji prostej w zbiorach p|=>q wyżej zapisany.
Kod:

D1
Diagram operatora implikacji prostej p||=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
|     p                     |                    ~p                  |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     q                                      |   ~q                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|                           |~p~~>q = ~p*q   | p~~>~q = p*~q =[]     |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q+~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych)    |
|--------------------------------------------------------------------|
|                                                                    |
|Operator implikacji prostej p||=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)   |
----------------------------------------------------------------------
|    Ya=p~~>q=p*q           | Yd=~p~~>q=~p*q | Yc=~p~~>~q=~p*~q      |
----------------------------------------------------------------------
|                            ~Yb=p~~>~q=p*~q (zbiór pusty!)          |
----------------------------------------------------------------------

Spójniki iloczynu logicznego zbiorów „i”(*) oraz sumy logicznej zbiorów „lub”(+) z definicji nie są w stanie opisać relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~> między dowolnymi dwoma zbiorami p i q.

Wniosek:
W opisie dowolnego diagramu w zbiorach wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) chodzi tylko i wyłącznie o spełnienie lub nie spełnienie definicji elementu wspólnego zbiorów ~~>.

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.

Stąd mamy tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q definiowaną elementami wspólnymi zbiorów ~~>:
Kod:

T0.
Operator p||=>q       |
w spójnikach          |Co w logice
elementu wspólnego ~~>|jedynek oznacza
                 Y ~Y |                 Y   Z diagramu D1 odczytujemy:
A: p~~>q = p* q =1  0 |( p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny p i q
B: p~~>~q= p*~q =0  1 |( p=1)~~>(~q=1) =0 - nie istnieje el. wspólny p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1  0 |(~p=1)~~>(~q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1  0 |(~p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i q

Między funkcjami logicznymi Y i ~Y zachodzi relacja spójnika „albo”($).
Dowód:
Definicja spójnika „albo”($)
p$q =p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y$~Y = Y*~(~Y) + ~Y*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y =Y+~Y =1

Oczywiście relacja równoważności p<=>q definiująca tożsamość zbiorów/pojęć p=q musi tu być fałszem.
Dowód:
Definicja równoważności p<=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y<=>~Y = Y*(~Y) + ~Y*~(~Y) = Y*~Y + ~Y*Y = []+[] =0
cnd

Zapiszmy powyższą tabelę wyłącznie w spójnikach elementu wspólnego zbiorów ~~> zmieniając indeksowanie linii do postaci zgodnej z teorią wykładaną w algebrze Kubusia - matematycznie ten ruch jest bez znaczenia.
Kod:

T1.
Operator implikacji prostej p||=>q
definiowany elementem wspólnym zbiorów ~~>
             Y   Analiza dla punktu odniesienia Y
A1:  p~~>q  =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów p i q
A1’: p~~>~q =0 - nie istnieje (=0) el. wspólny zbiorów p i ~q
A2: ~p~~>~q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i ~q
B2’:~p~~> q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i q

Kluczowym punktem zaczepienia do przejścia z tabelą T1 do tabeli tożsamej T2 opisującej operator implikacji prostej p||=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> będzie definicja kontrprzykładu w zbiorach działająca wyłącznie w obszarze warunku wystarczającego =>.

Dodatkowo potrzebne nam będą prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicja tożsamości logicznej „=” na przykładzie prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony.

Z powyższego wynika, że mając udowodnioną prawdziwość warunku wystarczającego => A1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
nie musimy udowadniać prawdziwości warunku koniecznego ~> A2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne dla zajścia ~q
bowiem gwarantuje nam to prawo Kubusia, prawo rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Analiza tabeli prawdy T1 - część I
1.
Fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q =0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A1 (i odwrotnie):
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
2.
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Stąd:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1:
A1: p=>q =1
wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A2 (i odwrotnie):
A2: ~p~>~q =1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q

Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2.
Kod:

T2.
Operator implikacji prostej p||=>q
w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
             Y   Analiza dla punktu odniesienia Y
A1:  p=> q  =1 - zbiór p jest podzbiorem => q
A1’: p~~>~q =0 - kontrprzykład dla A1 musi być fałszem
A2: ~p~>~q  =1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> ~q
B2’:~p~~> q =1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~p i q

Analiza tabeli prawdy T1 - część II
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q =1
wymusza fałszywość warunku wystarczającego B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =0
4.
Prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
stąd:
Fałszywość warunku wystarczającego B2:
B2: ~p=>~q =0
wymusza fałszywość warunku koniecznego B1 (i odwrotnie):
B1: p~>q =0

Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2
Kod:

T3.
Operator implikacji prostej p||=>q
w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
A1:  p=> q  =1 | B1: p~>q=0
A1’: p~~>~q =0
A2: ~p~>~q  =1 | B2:~p=>~q=0
B2’:~p~~> q =1

Stąd mamy:
Linia A1B1:
Podstawowa definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1

Zdefiniowawszy implikację prostą p|=>q w zbiorach jako:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
możemy ją podstawić do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q.
Kod:

IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Stąd mamy to, co już doskonale znamy.

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

Szczegółową analizę operatora implikacji prostej p||=>q znajdziemy w punkcie 4.1.2

4.2.2 Najmniejsza możliwa liczba elementów w operatorze p||=>q

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Z definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach wynika, że najmniejsza liczba elementów potrzebnych do zbudowania operatora implikacji prostej p||=>q to trzy elementy.
Zdefiniujmy trzy, różne na mocy definicji elementy których będziemy używać.
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
Zbudujmy zbiory p i q spełniające definicję implikacji prostej w zbiorach:
p=[K]
q=[K+T]
Dziedzina:
D=[K+T+P]
stąd mamy niepuste przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do wspólnej dziedziny D:
~p=[D-p]=[K+T+P-K]=[T+P]
~q=[D-q]=[K+T+P-[K+T]=[P]
Podsumujmy:
p=[K], ~p=[T+P]
q=[K+T], ~q=[P]
Zapiszmy diagram operatora implikacji p||=>q dla powyższych elementów.
Kod:

D2
Diagram operatora implikacji prostej p||=>q w zbiorach
-----------------------------------------------------------------------
|  p=[K],   ~p=[T+P]                                                  |
|  q=[K+T], ~q=[P]                                                    |
-----------------------------------------------------------------------
|     p=[K]                 |                     ~p=[T+P]            |
|---------------------------|-----------------------------------------|
|     q=[K+T]                                -|   ~q=[P]              |
|---------------------------------------------|-----------------------|
|                           |~p~~>q=~p*q=[T]  | p~~>~q = p*~q =[]     |
-----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina fizyczna: DF =p*q+~p*~q+~p*q (suma zbiorów niepustych)    |
-----------------------------------------------------------------------

Doskonale widać, że w diagramie D2 spełniona jest definicji implikacji prostej p|=>q, a tym samym definicja operatora implikacji prostej p||=>q.

Zapiszmy pełny diagram implikacji prostej p|=>q:
Kod:

IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Nasze zbiory na których operujemy to:
p=[K], ~p=[T+P]
q=[K+T], ~q=[P]

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q, bo p jest podzbiorem => q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q, bo p nie jest nadzbiorem ~> q
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q=1) - mówi o tym zdanie A1

A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Sprawdzamy:
p=[K] => q=[K+T]
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K+T}
cnd

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
Sprawdzamy:
p=[K] ~~> ~q=[P] = [K]*[P] =[] =0
Zbiory jednoelementowe Kubuś (K) i Prosiaczek (P) są rozłączne
cnd

A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Sprawdzenie:
~p=[T+P] ~> ~q=[P] =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona bo zbiór ~p=[T+P] jest nadzbiorem ~> zbioru ~q=[P]

LUB

Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
Sprawdzenie:
~p=[T+P]~~>q=[K+T] = [T+K]*[K+T] =[T] =1
Istnieje element wspólny zbiorów ~p=[T+P] i q=[K+T] - to Tygrysek (T)

Doskonale tu widać, że w zdaniu B2’ nie jest spełniony ani warunek wystarczający => ani też konieczny ~>.
Dowód:
~p=[T+P] => q=[K+T] =0 - bo zbiór ~p=[T+P] nie jest (=0) podzbiorem => q=[K+T]
~p=[T+P} ~> q=[K+T] =0 - bo zbiór ~p=[T+P] nie jest (=0) nadzbiorem ~> q=[K+T]

Jak widzimy wszystko tu pięknie gra i buczy, a zabawę z implikacją prostą p|=>q można zacząć w przedszkolu dysponując trzema pluszowymi zabawkami:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 11:53, 30 Maj 2021, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35502
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Wto 22:37, 01 Cze 2021    Temat postu:
Kolejna część algebry Kubusia po końcowej korekcie

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593993

Algebra Kubusia
4.3 Przykłady operatorów implikacji prostej p||=>q

Spis treści
4.3 Implikacja prosta A|=>S w zdarzeniach 1
4.3.1 Operator implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach 4
4.3.2 Wisienka na torcie w operatorze implikacji prostej A||=>S 6
4.4 Implikacja prosta P8|=>P2 w zbiorach 8
4.4.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 12
4.5 Implikacja prosta P|=>4L w zbiorach w przedszkolu 13
4.5.1 Operator implikacji prostej P||=>4L w zbiorach w przedszkolu 17
4.6 Alternatywne dojście do operatora implikacji prostej P||=>4L w zbiorach 18
4.6.1 Implikacja prosta P|=>4L w zbiorach 21
4.6.2 Operator implikacji prostej P||=>4L w zbiorach 22


4.3 Implikacja prosta A|=>S w zdarzeniach

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.

Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod:

S1 Schemat 1
                             W
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------


Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Tak, stan przycisku W jest tu nieistotny, może być W=x gdzie x=[1,0]
Zauważmy, że pytanie A1 nie dotyczy przycisku W.
Przycisk W tu jest zmienną wolną którą możemy zastać w dowolnej pozycji W=x gdzie x=[1,0]
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Przyjmijmy zdanie A1 za punkt odniesienia:
p=>q =1 - na mocy prawa śfinii
Nasz punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że stan przycisku W jest bez znaczenia W=x gdzie x={0,1}

B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Nie.
Przycisk A może nie być wciśnięty (A=0), a mimo to żarówka może się świecić, gdy zmienna wolna W będzie ustawiona na W=1.
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =0
Wciśnięcie przycisku A (A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1), bowiem może być sytuacja A=0 i W=1 i żarówka będzie się świecić
cnd

Jak widzimy na dzień dobry wyskoczyło nam prawo Kameleona.

Popatrzmy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
##
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1).
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Zapiszmy zdania A1 i B1 w tabeli prawdy:
Kod:

A1: p=>q = ~p+q   ## B1: p~>q = p+~q - zapis formalny
A1: A=>S = ~A+S   ## B1: A~>S = A+~S - zapis aktualny
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo to nie są to zdania tożsame. Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.

Prawa Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame

Różność ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdania A1 i B1 tworzą definicję implikacji prostej A|=>S.

Definicja podstawowa implikacji prostej A|=>S:
Implikacja prosta A|=>S to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie klawisza A jest wystarczające => dla świecenia się żarówki S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie klawisza A nie jest (=0) konieczne dla świecenia się żarówki S
bo żarówkę S może zaświecić przycisk W (W=1)
Stąd mamy:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =1*~(0)=1*1=1

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q
Kod:

IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=A (przycisk A wciśnięty)
q=S (żarówka S świeci się)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1

       A1B1:          A2B2:       |    A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1  [=] 3: q~>p   =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: A=>S   =1 = 2:~A~>~S =1  [=] 3: S~>A   =1 = 4:~S=>~A =1
A’: 1: p~~>~q =0 =              [=]              = 4:~q~~>p =0                   
A’: 1: A~~>~S =0 =              [=]              = 4:~S~~>A =0                   
       ##             ##         |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0  [=] 3: q=>p   =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: A~>S   =0 = 2:~A=>~S =0  [=] 3: S=>A   =0 = 4:~S~>~A =0
B’:              = 2:~p~~>q =1  [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~A~~>S =1  [=] 3: S~~>~A =1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W tabeli prawdy implikacji prostej A|=>S, dla poprawienia czytelności zapisu zmienne aktualne (A, S) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o brzmieniu zdań warunkowych „Jeśli p to q”

Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 odpowiadający na pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 odpowiadający na pytania o ~p i p:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

4.3.1 Operator implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach
Kod:

S1 Schemat 1
                             W
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------


Operator implikacji prostej A||=>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 odpowiadający na pytania o A i ~A:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka będzie się świecić (S=1) - mówi o tym zdanie A1

A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że stan przycisku W jest bez znaczenia W=x gdzie x={0,1}

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S=A*~S=0
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1).

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) konieczne ~> dla nie świecenia się S (~S=1)
B2: ~A=>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) wystarczające => dla nie świecenia się S (~S=1)
A2B2:~A|~>~S=(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) =`*~(0)=1*1=1
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
~A~>~S =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia się żarówki S (~S=1) bo jak przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2:~A~>~S = A1: A=>S

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Gdy zmienna wolna W ustawiona jest na W=1.

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej A||=>S jest gwarancja matematyczna => po stronie A (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~A (zdania A2 i B2’) .

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~P||~>~4L w logice ujemnej (bo ~4L) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej P||=>4L w logice dodatniej (bo 4L) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

4.3.2 Wisienka na torcie w operatorze implikacji prostej A||=>S

Wisienką na torcie w operatorze implikacji prostej A||=>S jest podstawowy schemat układu realizującego implikację prostą A|=>S w zdarzeniach zrealizowany przy pomocy zespołu przycisków (wejście) i żarówki (wyjście).
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A1B1: A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1 - zapis aktualny
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 - zapis formalny
Punkt odniesienia:
p=A - przycisk A (wejście)
q=S - żarówka S (wyjście)
                             W
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Punkt odniesienia: A1B1: p|=>q = A|=>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.

Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej W:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje A i B.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W. Oboje widzą dokładnie tą samą żarówkę S. Jaś nie widzi Zuzi, ani Zuzia nie widzi Jasia, ale oboje wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S1, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S1, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna). Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.
Punktem odniesienia na schemacie S1 jest Jaś siedzący w pokoju A, bowiem w równaniu opisującym układ występuje wyłącznie przycisk A - Jaś nie widzi przycisku W.

Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna W będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(w) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(w) =1
oraz
f(w)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(w) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku W, gdzie daje się ustawić zarówno W=1 jak i W=0.
Przykład:
f(w) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty

Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte

Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S1 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S.

4.4 Implikacja prosta P8|=>P2 w zbiorach

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Twierdzenia matematyczne operują wyłącznie na zbiorach nieskończonych, logika matematyczna jest tu identyczna jak opisana wyżej banalna logika zdarzeń, jednak zbiory nieskończone z oczywistych powodów są trudniejsze do analizy.
Niemniej jednak możliwe są operacje na zbiorach nieskończonych zrozumiałe dla ucznia I klasy LO i do takich zbiorów ograniczymy się w wykładzie.

Definicja twierdzenia matematycznego:
Dowolne twierdzenie matematyczne prawdziwe to spełniony warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
inaczej:
p=>q =0 - twierdzenie matematyczne jest fałszywe.

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Weźmy następujące twierdzenie matematyczne:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Zapis formalny na mocy prawa śfinii to:
p=>q =1
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
Przyjmijmy dziedzinę LN:
LN=[2,4,6,8..] - zbiór liczb naturalnych
Poprzednik mówi o zbirze P8, zaś następnik o P2:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Obliczenie przeczeń zbiorów rozumianych jako ich uzupełnienie do dziedziny:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
Dla powyższych zbiorów musi być spełniona definicja wspólnej dziedziny LN.
Definicja dziedziny dla P8:
P8+~P8 =LN =1 - zbiór ~P8 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P8
P8*~P8 =[] =0 - zbiory P8 i ~P8 są rozłączne
Definicja dziedziny dla P2:
P2+~P2 =LN =1 - zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2 i ~P2 są rozłączne

Aby udowodnić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie A1 musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość zdania A1 kodowanego warunkiem koniecznym ~>:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8~>P2 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd

Zauważmy, że znów kłania się nam prawo Kameleona.

Porównajmy zdania A1 i B1 wyżej:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona, bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona, bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]

Zapiszmy zdania A1 i B1 w tabeli prawdy:
Kod:

A1: p=> q  = ~p+q    ## B1: p~> q  = p+~q  - zapis formalny
A1: P8=>P2 = ~P8+P2  ## B1: P8~>P2 = P8+~P2 - zapis aktualny
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo to nie są to zdania tożsame. Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.

Prawa Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame

Różność ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdania A1 i B1 tworzą definicję implikacji prostej P8|=>P2.

Definicja implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1 =1

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q:
Kod:

IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
Tabela prawdy implikacji prostej P8|=>P2 w zapisie aktualnym
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8 jest (=1) podzbiorem => P2
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1 =1

       A1B1:           A2B2:      |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q    =1 = 2:~p~>~q  =1 [=] 3: q~>p    =1 = 4:~q=>~p   =1
A:  1: P8=>P2  =1 = 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~>P8  =1 = 4:~P2=>~P8 =1
A’: 1: p~~>~q  =0 =              [=]               = 4:~q~~>p   =0                   
A’: 1: P8~~>~P2=0 =              [=]               = 4:~P2~~>P8 =0                   
       ##             ##          |     ##            ##
B:  1: p~>q    =0 = 2:~p=>~q  =0 [=] 3: q=>p    =0 = 4:~q~>~p   =0
B:  1: P8~>P2  =0 = 2:~P8=>~P2=0 [=] 3: P2=>P8  =0 = 4:~P2~>~P8 =0
B’:               = 2:~p~~>q  =1 [=] 3: q~~>~p  =1
B’:               = 2:~P8~~>P2=1 [=] 3: P2~~>~P8=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Okład równań logicznych jest przemienny, stąd:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

4.4.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach

Operator implikacji prostej P8||=>q w logice dodatniej (bo P8) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o P8 i ~P8:
A1B1: P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) - Jeśli liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to…
A2B2: ~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) - Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to..

A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbą podzielną przez 8 to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2 - mówi o tym zdanie A1.

A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2=P8*~P2 =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
Tego faktu nie musimy udowadniać, bo wymusza go prawdziwość warunku wystarczającego A1.

A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~P8~>~P2 =1 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest (=1) nadzbiorem ~> ~P2=[1,3,5,7,9..]
B2: ~P8=>~P2 =0 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest (=0) podzbiorem => ~P2=[1,3,5,7,9..]
~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2)=1*~(0)=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielna przez 8 to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania prawdziwe A2 i B2’

A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~>~P2=1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Tego faktu nie musimy udowadniać, gwarantuje nam to prawo Kubusia:
A2:~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
Prawdziwość zdania A1 udowodniliśmy na samym początku.

LUB

Z fałszywości warunku wystarczającego B2 wynika prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] jest spełniona bo np. 2

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P8||=>P2 jest gwarancja matematyczna => po stronie P8 (zdanie A1) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P8 (zdania A2 i B2’)

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Kolejność zdań tworzących operator implikacji prostej p||=>q również jest bez znaczenia, tak więc zdania A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w dowolnej kolejności.


4.5 Implikacja prosta P|=>4L w zbiorach w przedszkolu

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Zadanie matematyczne w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Każdy pies ma cztery łapy
Dokonaj analizy matematycznej tego operatora

Zdanie matematycznie tożsame brzmi:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => jest tu spełniona (=1) bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym => do tego aby mieć cztery łapy
Bycie psem daje nam gwarancję matematyczną => posiadania czterech łap
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Uwaga:
W logice matematycznej za psa przyjmujemy zwierzę zdrowe z czterema łapami.
Pies z trzema łapami to też pies, jednak z logiki matematycznej musimy usunąć psy kalekie bowiem wówczas warunek wystarczający A1 leży w gruzach, gdyż będzie tu istniał kontrprzykład w postaci psa z trzema łapami. Jeśli uwzględnimy psy kalekie to wylądujemy w operatorze chaosu P|~~>4L bez żadnej gwarancji matematycznej =>.

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Na mocy prawa śfinii zapis formalny zdania A1 to:
A1: p=>q =1
p=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
A1: P=>4L =1

Aby udowodnić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi warunek wystarczający A1: P=>4L musimy zbadać prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> B1: P~>4L między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.

Warunek wystarczający A1 definiuje nam dwa zbiory:
Poprzednik p:
p=P=[pies] - zbiór jednoelementowy pies
Następnik q:
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.

Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy zaprzeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnia do wspólnej dziedziny ZWZ:
~P=[ZWZ-P] =[słoń, kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
~4L=[ZWZ-4L] = [kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem zwierząt z czterema łapami
Gdzie:
[słoń] - jest przedstawicielem zwierząt nie będących psami które mają cztery łapy
[kura] - jest przedstawicielem zwierząt nie mających czterech łap

Badamy teraz czy spełniony jest warunek konieczny P~>4L=?
B1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% ~> ma cztery łapy (4L=1)
P~>4L =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona (=0) bo zbiór P=[pies] nie jest nadzbiorem ~> zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]

Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to nie są to zdania tożsame:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => jest tu spełniona (=1) bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
##
B1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% ~> ma cztery łapy (4L=1)
P~>4L =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P=[pies] nie jest nadzbiorem ~> zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Różność ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Podsumowując:
W zapisie aktualnym mamy:
A1: P=>4L=~P+4L ## B1: P~>4L = P+~4L
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Stąd mamy:
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdanie A1: P=>4L jest częścią operatora implikacji prostej P||=>4L.

Definicja implikacji prostej P|=>4L
Implikacja prosta P=>4L to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: P=>4L =1 - bycie psem jest (=1) wystarczające => do tego aby mieć cztery łapy
bo każdy pies ma cztery łapy
B1: P~>4L =0 - bycie psem nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> do tego by mieć cztery łapy
Słoń nie jest psem a mimo to ma cztery łapy.
Stąd:
P|=>4L = (A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L) = 1*~(0)=1*1=1

Podstawmy nasze zdania A1: P=>4L=1 i B1: P~>4L=0 do tabeli prawdy implikacji prostej p||=>q.
Kod:

IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia:
p=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt mających cztery łapy
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym:
A1: P=>4L=1 - bycie psem jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla 4 łap
B1: P~>4L=0 - bycie psem nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla 4 łap
P|=>4L=(A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L)=1*~(0)=1*1=1

       A1B1:          A2B2:       |      A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1  = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>4L  =1 = 2:~P~>~4L=1    [=] 3: 4L~>P  =1  = 4:~4L=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 =                [=]               = 4:~q~~>p  =0                   
A’: 1: P~~>~4L=0 =                [=]               = 4:~4L~~>P =0                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0  = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>4L  =0 = 2:~P=>~4L=0    [=] 3: 4L=>P  =0  = 4:~4L~>~P =0
B’:              = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~P~~>4L=1    [=] 3: 4L~~>~P=1

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

4.5.1 Operator implikacji prostej P||=>4L w zbiorach w przedszkolu

Operator implikacji prostej P||=>4L w logice dodatniej (bo 4L) to układ równań logicznych:
A1B1: P|=>4L =(A1: P=>4L)* ~(B1: P~>4L) - co się stanie jeśli wylosujemy psa (P=1)?
A2B2: ~P|~>~4L =(A2:~P~>~4L)*~(B2:~P=>~4L) - co się stanie jeśli wylosujemy nie psa (~P=1)?

Operator implikacji prostej P||=>4L w logice dodatniej (bo 4L) to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2 o P I ~P:

A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa (P=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: P=>4L =1 - bycie psem jest (=1) wystarczające => by mieć cztery łapy
B1: P~>4L =0 - bycie psem nie jest (=0) konieczne by mieć cztery łapy
A1B1: P|=>4L =(A1: P=>4L)* ~(B1: P~>4L) - co się stanie jeśli wylosujemy psa (P=1)?
Stąd mamy:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy psa to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie on miał cztery łapy - mówi o tym zdanie A1.

A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
P=>4L =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies słoń ..]
Wylosowanie ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWT) psa, daje nam gwarancję matematyczną => iż będzie on miał cztery łapy
Zachodzi tożsamość matematyczna pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = gwarancja matematyczna =>

Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
P~~>~4L = P*~4L =0
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura ..] są rozłączne.

A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~P~>~4L =1 - nie bycie psem (~P) jest (=1) konieczne ~> aby nie mieć czterech łap (~4L)
B2: ~P=>~4L =0 - nie bycie psem (~P) nie jest (=0) wystarczające => aby nie mieć czterech łap (~4L)
A2B2: ~P|~>~4L =(A2:~P~>~4L)*~(B2:~P=>~4L) - co się stanie jeśli wylosujemy nie psa (~P=1)?
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy zwierzę nie będące psem to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania prawdziwe A2 i B2’

Kolumna A2B2:
A2.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
~P~>~4L =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór ~P=[słoń, kura ..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~4L=[kura ..]
Zauważmy, że po udowodnieniu prawdziwości zdania A1: P=>4L nie musimy dowodzić wprost prawdziwości zdania A2 bo prawo Kubusia:
A1: P=>4L = A2: ~P~>~4L

LUB

Fałszywy warunek wystarczający B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
Prawdziwości zdania B2’ nie musimy zatem dowodzić wprost, ale możemy dowodzić.
B2’.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> mieć cztery łapy (4L=1)
~P~~>4L = ~P*4L =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P=[słoń, kura ..] i 4L=[pies, słoń ..] jest spełniona bo np. słoń.
Zauważmy, że między zbiorami ~P=[słoń, kura ..] i 4L=[pies, słoń ..] nie zachodzi ani warunek wystarczający => ani też konieczny ~> w obie strony.
Dowód:
~P=[słoń, kura ..] => 4L=[pies, słoń ..] =0 - bo zbiór ~P nie jest podzbiorem => zbioru 4L (bo kura)
~P=[słoń, kura ..] ~> 4L=[pies, słoń ..] =0 - bo zbiór ~P nie jest nadzbiorem ~> zbioru 4L (bo kura)
cnd

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej P||=>4L jest gwarancja matematyczna => po stronie P (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P (zdania A2 i B2’) .

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~P||~>~4L w logice ujemnej (bo ~4L) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej P||=>4L w logice dodatniej (bo 4L) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

4.6 Alternatywne dojście do operatora implikacji prostej P||=>4L w zbiorach

Udajmy się do przedszkola, do naszych ekspertów logiki matematycznej, algebry Kubusia.

Pani w przedszkolu:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa (P=1) i będzie on miał cztery lapy (4L=1)?
Jaś (lat 5): TAK, np. pies
Stąd:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> mieć cztery łapy (4L=1)
P~~>4L = P*4L =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów P=[pies] i 4L=[pies, słoń ..] jest spełniona (bo pies).
Dla udowodnienia prawdziwości zdania A1 kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> wystarczy pokazać jednego pieska który ma cztery łapy. Nie trzeba tu badać, czy wszystkie psy mają cztery łapy jak to ma miejsce w warunku wystarczającym P=>4L=1.

Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa (P=1) i nie będzie on miał czterech lap (~4L=1)?
Jaś: NIE, bo wszystkie psy mają cztery łapy.
Stąd:
A1’.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
P~~>~4L= P*~4L =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne.

Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1) i to zwierzę nie będzie miało czterech lap (~4L=1)?
Jaś: TAK np. kura
Stąd:
A2.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
~P~~>~4L = ~P*~4L =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory ~P=[słoń, kura..] i ~4L=[kura..] mają co najmniej jeden element wspólny np. kurę.

Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1) i to zwierzę będzie miało cztery lapy (4L=1)?
Jaś: TAK np. słoń
stąd:
B2’.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~~> mieć cztery łapy (4L=1)
~P~~>4L = ~P*4L =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają co najmniej jeden element wspólny np. słoń

Zapiszmy dialog pani z Jasiem w tabeli prawdy:
Kod:

T1           Y ~Y   Odpowiedzi dla Y:
A1:  P~~> 4L=1  0 - zbiory P=[pies] i 4L=[pies, słoń ..] mają el. wspólny
A1’: P~~>~4L=0  1 - zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne
A2: ~P~~>~4L=1  0 - zbiory ~P=[słoń, kura..] i ~4L=[kura] mają el. wspólny
B2’:~P~~> 4L=1  0 - ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają el. wspólny

Kluczową definicją umożliwiającą przejście z dialogu pani przedszkolanki do definicji operatora implikacji prostej P||=>4L jest definicja kontrprzykładu w zbiorach.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym ~~> zbiorów: p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

W zbiorach zachodzą tożsamości pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Analiza matematyczna tabeli T1 - część I:

Na mocy definicji kontrprzykładu w zbiorach mamy:
1.
Z fałszywości kontrprzykładu A1’:
A1’: P~~>~4L=0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A1 (i odwrotnie):
A1: P=>4L =1 - bycie psem jest warunkiem wystarczającym => do tego, by mieć cztery łapy.
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru 4L=[pies, słoń ..]
2.
Prawo Kubusia:
A1: P=>4L = A2: ~P~>~4L
stąd:
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1: P=>4L =1
wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> A2 (i odwrotnie):
A2: ~P~>~4L =1
Stąd nasza tabela T1 przybiera postać:
Kod:

T2
A1:  P=> 4L =1 - bo P=[pies] jest podzbiorem => 4L=[pies, słoń..]
A1’: P~~>~4L=0 - zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne
A2: ~P~> ~4L=1 - bo ~P=[słoń, kura..] jest nadzbiorem ~> ~4L=[kura..]
B2’:~P~~> 4L=1 - ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają element wspólny


Analiza matematyczna tabeli T1 - część II:

Na mocy definicji kontrprzykładu w zbiorach mamy:
3.
Z prawdziwości kontrprzykładu B2’:
B2’: ~P~~>4L =1
wynika fałszywość warunku wystarczającego => B2 (i odwrotnie):
B2: ~P=>~4L =0
Uwaga:
Z fałszywości warunku wystarczającego B2: ~P=>~4L=0 wynika prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~P~~>4L = ~P*4L =1 - bo np. słoń nie jest psem (~P=1) i ma cztery łapy (4L=1)
4.
Prawo Kubusia:
B2: ~P=>~4L = B1: P~>4L
stąd:
Z fałszywości warunku wystarczającego => B2:
B2: ~P=>~4L =0
wynika fałszywość warunku koniecznego ~> B1 (i odwrotnie):
B1: P~>4L =0
Nanieśmy kompletną analizę do tabeli T3.
Kod:

T3
A1:  P=> 4L =1 |B1: P~> 4L =0
A1’: P~~>~4L=0
A2: ~P~>~4L =1 |B2:~P=>~4L =0
B2’:~P~~>4L =1

Zauważmy że:
Zauważmy, że w linii A1 zapisaną mamy implikację prostą P|=>4L w logice dodatniej (bo 4L).

4.6.1 Implikacja prosta P|=>4L w zbiorach

Definicja implikacji prostej P|=>4L:
Implikacja prosta P|=>4L to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>4L =1 - bycie psem jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby mieć cztery łapy
B1: P~>4L =0 - bycie psem nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> aby mieć cztery łapy
bo. np. słoń ma cztery łapy, a nie jest psem
Stąd mamy:
P|=>4L = (A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L) = 1*~(0)=1*1 =1

Pozostaje nam tylko podstawić nasze odkrycie do gotowej tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q.
Kod:

IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia:
p=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt mających cztery łapy
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym:
A1: P=>4L=1 - bycie psem jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla 4 łap
B1: P~>4L=0 - bycie psem nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla 4 łap
P|=>4L=(A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L)=1*~(0)=1*1=1

       A1B1:          A2B2:       |      A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1  = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>4L  =1 = 2:~P~>~4L=1    [=] 3: 4L~>P  =1  = 4:~4L=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 =                [=]               = 4:~q~~>p  =0                   
A’: 1: P~~>~4L=0 =                [=]               = 4:~4L~~>P =0                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0  = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>4L  =0 = 2:~P=>~4L=0    [=] 3: 4L=>P  =0  = 4:~4L~>~P =0
B’:              = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~P~~>4L=1    [=] 3: 4L~~>~P=1

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


4.6.2 Operator implikacji prostej P||=>4L w zbiorach

Teraz pozostaje nam wykonać skok do punktu 4.5.1 gdzie mamy szczegółową analizę operatora implikacji prostej P||=>4L.

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 5:46, 02 Cze 2021, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35502
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Śro 8:46, 02 Cze 2021    Temat postu:
Kolejny fragment algebry Kubusia po ostatecznej korekcie


http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#594185

Algebra Kubusia
4.8 Zdania bazowe w operatorze implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach

Spis treści
4.7 Zdanie bazowe 1
4.7.1 Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q” 2
4.7.2 Definicja symboliczna operatora implikacji prostej p||=>q 4
4.8 Zdania bazowe w operatorze implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach 5
4.8.1 Zdanie bazowe P~~>CH 5
4.8.2 Zdanie bazowe P~~>~CH 8
4.8.3 Zdanie bazowe ~P~~>~CH 9
4.8.4 Zdanie bazowe ~P~~>CH 12
4.9 Tabela prawdy implikacji prostej P|=>CH 13
4.9.1 Operator implikacji prostej P||=>CH 15


4.7 Zdanie bazowe

Definicja zdania bazowego:
Zdanie bazowe to zdanie warunkowe „Jeśli p to q” kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia) spełniające poniższe warunki:
1.
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” żadne z pojęć p, q, ~p i ~q nie może być zbiorem pustym, co gwarantuje rozpoznawalność tych pojęć.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą należeć do wspólnej dziedziny.

Algorytm analizy zdania bazowego:
Algorytm analizy dowolnego zdania bazowego „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q pozwala na jednoznaczne rozstrzygnięcie w skład jakiego operatora logicznego wchodzi badane zdanie bazowe bez względu na jego prawdziwość/fałszywość.

Dowolne zdanie bazowe „Jeśli p to q” może wchodzić tylko i wyłącznie w skład jednego z pięciu rozłącznych operatorów logicznych.
1. p||=>q - operator implikacji prostej
2. p||~>q - operator implikacji odwrotnej
3. p|<=>q - operator równoważności
4. p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja równoważności p<=>q:
5. p|$q - operator „albo”($)

Z faktu iż powyższe operatory są rozłączne wynika, że dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” nie może należeć jednocześnie do dwóch, jakichkolwiek operatorów.
Kod:

T1
Definicje operatorów implikacyjnych które niebawem poznamy:
1: Y=(p||=>q) =(p|=>q)  = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)= ~p*q      # ~Y=p+~q
##
2: Y=(p||~>q) =(p|~>q)  =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)  = p*~q     # ~Y=~p+q
##
3: Y=(p|<=>q) =(p<=>q)  = (A1:p=>q)* (B1: p~>q)  =p*q+~p*~q # ~Y=p*~q+~p*q
##
4: Y=(p||~~>q)=(p|~~>q) =~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =0         # ~Y=1
##
5: Y=(p|$q)   = (p$q)   = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p*~q+~p*q # ~Y=p*q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawo Kubusia:
p=>q [=] ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczna są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

W tabeli T1 doskonale widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Kluczowe dla poprawnego działania algorytmu jest prawo śfinii.

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

4.7.1 Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q”

Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q”

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie bazowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Punkt 2
Zbiory:
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia p i q poszukując zbioru pustego (=0)
p~~>q=p*q =0
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia p i q poszukując zdarzenia niemożliwego (=0)
p~~>q=p*q =0
RETURN

Punkt 3
Zbiory:
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Zdarzenia:
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe ~~> idź do punktu 5

Inaczej:
Punkt 4
Zbiory:
Nie znaleziono zbioru pustego []
Zdarzenia:
Nie znaleziono zdarzenia niemożliwego ~~>
Operator logiczny zlokalizowany, to operator chaosu p||~~>q
Idź do operatora chaosu p||~~>q
STOP

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
(~)p=>(~)q =1

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p (~> albo =>) q =?

Punkt 8
W punktach 6 i 7 mamy zlokalizowaną kolumnę A1B1: p|?q będącą częścią operatora logicznego p||?q

Idź do tabeli prawdy zlokalizowanego operatora logicznego
STOP

Przedstawiony wyżej algorytm to algorytm podstawowy.

Uwaga:
Matematycznie możliwy jest alternatywny algorytm przeciwny gdzie w prawie śfinii po „Jeśli ..” zapisujemy q zaś po „to…” zapisujemy p, jednak aby matematyk A dogadał się z matematykiem B obaj muszą stosować identyczny, uzgodniony wzajemnie algorytm: podstawowy albo przeciwny.
W logice matematycznej za domyślny przyjmujemy algorytm podstawowy dzięki czemu nie musimy sygnalizować światu zewnętrznemu który algorytm stosujemy.
Ponieważ algorytm podstawowy jest z definicji algorytmem domyślnym, możemy pominąć słówko „podstawowy” w „algorytmie podstawowym”.

4.7.2 Definicja symboliczna operatora implikacji prostej p||=>q

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


W sprawdzaniu poprawności algorytmu analizy dowolnego zdania bazowego postępujemy identycznie jak w sprawdzaniu programu komputerowego. Na wejściu podajemy dane co do których jesteśmy pewni do jakiego operatora logicznego powinien nas algorytm zaprowadzić sprawdzając czy rzeczywiście tak się stanie.

Definicja symboliczna operatora implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na pytania o p i ~p:
Kod:

A1B1:
A1:  p=> q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1:  p~> q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q =(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1:  p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
A1’: p~~>~q=0 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’
A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =1 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’


Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Na mocy prawa Kobry definicja implikacji prostej p||=>q wyrażona zdaniami bazowymi przyjmuje postać:

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q w zdaniach bazowych:
Kod:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1:  p~~>q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
A1’: p~~>~q=0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesna zajście zdarzeń p i ~q
A2B2:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~~>~q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
B2’:~p~~>q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesna zajście zdarzeń ~p i q


4.8 Zdania bazowe w operatorze implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach

Sprawdzenia poprawności działania algorytmu analizy dowolnego zdania bazowego w operatorze implikacji prostej p||=>q wykonamy na konkretnym przykładzie, by łatwiej było zrozumieć.
p = P (pada)
q = CH (chmury)
Kod:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli będzie padało (P=1)?
A1:  P~~>CH =1 - możliwe jest zdarzenie: pada (P) i są chmury (CH)
A1’: P~~>~CH=0 - niemożliwe jest zdarzenie: pada (P) i nie ma chmur (~CH)
A2B2:
Co może się zdarzyć jeśli nie będzie padało (~P=1)?
A2: ~P~~>~CH=1 - możliwe jest zdarzenie: nie pada (~P) i nie ma chmur (~CH)
B2’:~P~~>CH =1 - możliwe jest zdarzenie: nie pada (~P) i są chmury (CH)


4.8.1 Zdanie bazowe P~~>CH

Zadanie 481
Dane jest zdanie:
W1.
Jeśli jutro będzie padało to może być pochmurno
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Sprawdzenie algorytmu analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” w zdarzeniach:

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
P~~>CH = P*CH =?
Na mocy prawa śfinii mamy:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Zapis zdania W1 w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =?

Punkt 2
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując pierwszego zdarzenia niemożliwego.
1: P~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
2: P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
RETURN

Punkt 3
Znalezione zdarzenie niemożliwe:
P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe (=0) idź do punktu 5

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
5.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 jest w logice dodatniej (bo CH) zatem tylko przepisujemy:
6.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
p~>q =0 - na mocy prawa śfinii
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a mimo to chmury mogą istnieć.
Podpowiedź:
Jeśli ktoś ma problem ze zrozumieniem dowodu fałszywości zdania 7 to prawem Tygryska może przejść do najprostszego warunku wystarczającego =>.
Prawo Tygryska w zapisie aktualnym:
7: P~>CH = 7a: CH=>P
Prawo Tygryska w zapisie formalnym:
7: p~>q = 7a: q=>p - na mocy prawa śfinii
Zdanie po prawej stronie brzmi:
7a.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padało (P=1)
CH=>P =0
Chmury nie są warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada
Na mocy prawa Tygryska fałszywość zdania 7a wymusza fałszywość zdania 7
cnd

Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
Stąd:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0)=1*1 =1

Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P|=>CH zapisanej w punkcie 4.9

Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W1.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
P~~>CH = P*CH =1 - możliwe jest zdarzenie ~~>: pada (P=1) i jest pochmurno (CH=1)

W punkcie 4.9.1 zlokalizowane zdanie W1 jako zdanie A1 będące częścią operatora implikacji prostej P||=>CH
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Z prawa Kobry wynika, że zdanie wejściowe W1 które analizowaliśmy wchodzi w skład warunku wystarczającego A1: P=>CH =1
cnd

4.8.2 Zdanie bazowe P~~>~CH

Zadanie 482
Dane jest zdanie:
W2.
Jeśli jutro będzie padało to może nie być pochmurno
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Sprawdzenie algorytmu analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” w zdarzeniach:

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W2.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =?
Na mocy prawa śfinii mamy:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Zapis zdania W2 w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =?

Punkt 2
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując pierwszego zdarzenia niemożliwego.
1: P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
RETURN

Punkt 3
Znalezione zdarzenie niemożliwe:
P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe (=0) idź do punktu 5

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
5.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 jest w logice dodatniej (bo CH) zatem tylko przepisujemy:
6.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a mimo to chmury mogą istnieć.

Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
Stąd:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0)=1*1 =1

Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P|=>CH zapisanej w punkcie 4.9

Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W2.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH=P*~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie jest pochmurno (~CH=1)

W punkcie 4.9.1 zlokalizowano zdanie W1 jako zdanie A1’ będące częścią operatora implikacji prostej P||=>CH
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)

4.8.3 Zdanie bazowe ~P~~>~CH

Zadanie 483
Dane jest zdanie:
W3.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Sprawdzenie algorytmu analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” w zdarzeniach:

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W3.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
~P~~>~CH = ~P*~CH =?
Na mocy prawa śfinii mamy:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Zapis zdania W3 w zapisie formalnym:
~p~~>~q = ~p*~q =?

Punkt 2
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując pierwszego zdarzenia niemożliwego.
1: ~P~~>~CH=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i nie jest pochmurno (~CH=1)
2: ~P~~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i są chmury (CH=1)
3. P~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
4: P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
RETURN

Punkt 3
Znalezione zdarzenie niemożliwe:
P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe (=0) idź do punktu 5

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
5.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 jest w logice dodatniej (bo CH) zatem tylko przepisujemy:
6.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a mimo to chmury mogą istnieć.

Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
Stąd:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0)=1*1 =1

Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P|=>CH zapisanej w punkcie 4.9

Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W3.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
~P~~>~CH = ~P*~CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i nie jest pochmurno (~CH=1)

W punkcie 4.9.1 zlokalizowane zdanie W3 jako zdanie A2 będące częścią operatora implikacji prostej P||=>CH
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Z prawa Kobry wynika, że zdanie wejściowe W3 które analizowaliśmy wchodzi w skład warunku koniecznego ~> A2: ~P~>~CH =1
cnd

4.8.4 Zdanie bazowe ~P~~>CH

Zadanie 484
Dane jest zdanie:
W4.
Jeśli jutro nie będzie padało to może być pochmurno
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Sprawdzenie algorytmu analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” w zdarzeniach:

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W4.
Jeśli jutro nie będzie padało to może być pochmurno
~P~~>CH = ~P*CH =?
Na mocy prawa śfinii mamy:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Zapis zdania W4 w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =?

Punkt 2
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując pierwszego zdarzenia niemożliwego.
1: ~P~~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i są chmury (CH=1)
2. P~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
3: P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
RETURN

Punkt 3
Znalezione zdarzenie niemożliwe:
P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe (=0) idź do punktu 5

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
5.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 jest w logice dodatniej (bo CH) zatem tylko przepisujemy:
6.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a mimo to chmury mogą istnieć.

Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
Stąd:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0)=1*1 =1

Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P|=>CH zapisanej w punkcie 4.9

Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W4.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH = ~P*CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)

W punkcie 4.9.1 zlokalizowane zdanie W4 jako zdanie B2’ będące częścią operatora implikacji prostej P||=>CH
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)

4.9 Tabela prawdy implikacji prostej P|=>CH

IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Nasz przykład:
IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) =1*~(0)=1*1 =1

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q:
Kod:

IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Definicja implikacji prostej P|=>CH w zapisie aktualnym:
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Definicja implikacji prostej P|=>CH w zapisie aktualnym:
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) =1*~(0)=1*1 =1
       A1B1:         A2B2:        |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1 = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>CH  =1 = 2:~P~>~CH=1    [=] 3: CH~>P  =1 = 4:~CH=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 =                [=]              = 4:~q~~>p  =0
A’: 1: P~~>~CH=0 =                [=]              = 4:~CH~~>P =0
       ##             ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0 = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>CH  =0 = 2:~P=>~CH=0    [=] 3: CH=>P  =0 = 4:~CH~>~P =0
B’:              = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~P~~>CH=1    [=] 3: CH~~>~P=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Okład równań logicznych jest przemienny, stąd:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

4.9.1 Operator implikacji prostej P||=>CH

Operator implikacji prostej P||=>CH w logice dodatniej (bo CH) to układ równań logicznych:
A1B1: P|=>CH =(A1: P=>CH)* ~(B1: P~>CH) - co się może się wydarzyć jeśli będzie padało?
A2B2: ~P|~>~CH =(A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH) - co się może się wydarzyć jeśli nie będzie padało?

Innymi słowy:
Operator implikacji prostej P||=>CH to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2 o P i ~P:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) =1*~(0)=1*1 =1
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno (CH=1) - mówi o tym zdanie A1

A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Czytamy:
P=1 - prawdą jest (=1) że pada (P)
~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH)

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~P~>~CH =1 - brak padania (~P) jest (=1) konieczny ~> dla braku chmur (~CH)
B2: ~P=>~CH =0 - brak padania (~P) nie jest (=0) wystarczający => dla braku chmur (~CH)
bo nie zawsze gdy nie pada, nie ma chmu.
A2B2: ~P|~>~CH = (A2:~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH) =1*~(0) =1*1=1
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
Czytamy:
1: CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)
2: ~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH=1)
Prawo Prosiaczka:
(~CH=1) = (CH=0)
Stąd zdanie tożsame do 2 brzmi:
2’: CH=0 - fałszem jest (=0) iż są chmury (CH)
Jak widzimy wyłącznie sprowadzanie zmiennych do jedynek na mocy prawa Prosiaczka, czyni język potoczny przekładalny w skali 1:1 na logikę matematyczną.
Dowód:
W zdaniu 2 z języka potocznego mamy frazę:
„nie ma chmur” i tą frazę kodujemy matematycznie (~CH)
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym uwzględniamy przeczenie „nie” w postaci symbolu przeczenia (~).

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)
Czytamy:
~P=1 - prawdą jest (=1) że nie pada (~P)
CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P||=>CH jest gwarancja matematyczna po stronie P (pada) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P (nie pada), co widać w powyższej analizie.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Idź do strony Poprzedni  1, 2, 3 ... 133, 134, 135 ... 156, 157, 158  Następny
Strona 134 z 158

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin
Na skróty:BiuroKomentarze do artykułówŚwiatopoglądNaukaSztukaTowarzystwoStopkaFilozofiaWięzienieKretowiskoKawiarniaApologia kontra krytyka teizmuMetodologiaForum KubusiaRozbieranie irracjonalizmuBlog: hushekKatolicyzmGwiezdne WojnyNauki społeczneBlog: Michał DyszyńskiReligie i wyznaniaŚwięte KsięgiBlog: IroBKosmosGenesisBlog: MMMPowitaniaNauka a światopoglądŚmietnikRegulamin