 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 38737
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Pon 10:39, 20 Lut 2023 Temat postu: Smieci |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
1.0 Nowa algebra Boole'a
Spis treści
1.0 Nowa algebra Boole’a 2
1.1 Definicje elementarne algebry Boole'a 3
1.1.1 Definicja negacji 4
1.1.2 Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej i ujemnej 4
1.1.3 Negator dwukierunkowy w bramkach logicznych 5
1.2 Fundamenty algebry Boole'a 6
1.2.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a 6
1.2.2 Definicja dziedziny w logice matematycznej 7
1.2.3 Definicja bramki logicznej 8
1.2.4 Definicja funkcji logicznej Y w logice dodatniej i ujemnej 8
1.2.5 Prawo negacji funkcji logicznej 8
1.2.6 Ogólna definicja logiki matematycznej 8
1.3 Definicja funkcji logicznej jednoargumentowej Y=x 9
1.3.1 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=x 9
1.3.2 Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych 10
1.3.3 Prawo Pytona 10
1.4 Prawa Prosiaczka 11
1.4.1 Dowód I prawa Prosiaczka 12
1.4.2 Dowód II prawa Prosiaczka 13
1.4.3 Prawa Prosiaczka w bramkach logicznych 14
1.4.4 Przykład działania praw Prosiaczka na gruncie fizyki 15
1.4.5 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka 15
1.5 Logika matematyczna stałych binarnych 16
1.5.1 Stałe binarne w wieku niemowlęcym 16
1.5.2 Stałe binarne w wieku 9 miesięcy 17
1.5.3 Pułapki w operatorach jednoargumentowych 18
1.6 Zasady kodowania zdań w operatorach jednoargumentowych 18
1.6.1 Funkcja logiczna Y zmiennej binarnej p 19
1.6.2 Funkcja logiczna Y stałej binarnej p 20
1.6.3 Kodowanie obietnic bezwarunkowych 20
1.7 Funkcje Y=x i operatory Y|=x jednoargumentowe 21
1.7.1 Definicja funkcji transmisji Y=p i operatora transmisji Y|=p 21
1.7.2 Definicja funkcji negacji Y=~p i operatora negacji Y|=~p 22
1.7.3 Relacja matematyczna między operatorami Y|=p a Y|=~p 23
1.7.4 Prawo Grzechotnika dla funkcji jednoargumentowych 24
1.7.5 Prawo Sokoła 25
1.7.6 Prawo Grzechotnika dla stałych binarnych 25
1.7.7 Prawo Sokoła dla stałych binarnych 26
1.8 Prawo Grzechotnika na przykładzie zrozumiałym dla 5-cio latka 27
1.8.1 Dowód prawa Grzechotnika na poziomie przedszkola 30
1.9 Prawo Puchacza dla zdań twierdzących jednoargumentowych 31
1.9.1 Prawo Puchacza w rachunku zero-jedynkowym 31
1.9.2 Przykład operatora transmisji A0B0: Y|=K 32
1.0 Nowa algebra Boole’a
Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego (w tym matematyki i fizyki).
Algebra Kubusia zawiera w sobie nową algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Aktualna algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.
Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
Dowód tego faktu na poziomie 5-cio latka znajdziemy w punkcie 1.11 (sterowanie windą).
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo p) i logika ujemna (bo ~p). Definicję znajdziemy w pkt. 1.1.1
3.
Stara algebra Boole'a jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y), co udowodnimy za chwilkę (pkt. 1.7.4, 1.7.6, 1.8.1 – poziom 5-cio latka)
W algebrze Kubusia rozróżniamy cztery rozłączne działy logiki matematycznej:
0.
Dział definiowania pojęć w języku potocznym (12.0)
1.
Dział obietnic bezwarunkowych (1.19, 20.9-20.11)
2.
Dział obietnic i gróźb warunkowych definiowanych zdaniami warunkowymi "Jeśli p to q" (3.6, 4.6)
3.
Dział opisu świata martwego (w tym matematyki i fizyki) – to jest clou algebry Kubusia
Działy 0 do 3 to rozłączne działy logiki matematycznej na tej samej zasadzie jak rozłączne jest w matematyce rozwiązywanie równań liniowych i równań kwadratowych.
Łatwo zauważyć, że trywialne obietnice bezwarunkowe (1.19) opisywane funkcjami logicznym algebry Boole'a Y=f(x) do matematyczny odpowiednik równań liniowych (banał), zaś obietnice i groźby warunkowe opisywane zdaniami warunkowymi "Jeśli p to q" to odpowiednik matematycznych równań kwadratowych (które już banałem nie są).
1.1 Definicje elementarne algebry Boole'a
1 = prawda
0 = fałsz
Gdzie:
1##0
Prawda (1) jest różna na mocy definicji ## od fałszu (0)
Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja
Innymi słowy:
Prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu (0)
Fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy (1)
Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)
Pani w przedszkolu:
Pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 - zdanie zawsze prawdziwe
Pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 - zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y - stała binarna
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.
Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa
1.1.1 Definicja negacji
Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.
W szczególnym przypadku symbol w nagłówku kolumny może być stałą binarną gdy w kolumnie są same jedynki albo same zera.
| Kod: |
DN
Definicja negacji:
p # ~p
A: 1 # 0
B: 0 # 1
1 2
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
|
Definicja znaczka w logice matematycznej:
Znaczek w logice matematycznej to symbol zdefiniowany odpowiednią tabelą zero-jedynkową
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
p#~p
Dowodem jest tu definicja negacji DN.
1.1.2 Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej i ujemnej
Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna p wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)
Zauważmy, że w definicji negacji DN symbole p i ~p są zmiennymi binarnymi.
Dowód:
W osi czasu (kolumna A1B1) może zajść przypadek, że zmienna binarna p przyjmie wartość logiczną 1 (A1) albo wartość logiczną 0 (B1).
W osi czasu (kolumna B2A2) może zajść przypadek, że zmienna binarna ~p przyjmie wartość logiczną 1 (B2) albo wartość logiczną 0 (A2)
Stąd mamy:
Definicja osi czasu w logice matematycznej
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej oś czasu to zero-jedynkowa zawartość kolumny opisanej symbolem nad tą kolumną.
W logice matematycznej odpowiednikiem układu Kartezjańskiego są wykresy czasowe.
Dowód na przykładzie (strona 5):
[link widoczny dla zalogowanych]
1.1.3 Negator dwukierunkowy w bramkach logicznych
W technice cyfrowej znaczek różne # o definicji jak wyżej jest odpowiednikiem dwukierunkowego negatora „O”.
Zachodzi tożsamość znaczków: # = O
| Kod: |
Realizacja dwukierunkowego negatora „O” w bramkach logicznych
----- ~p=~(p)
p --x-------->| ~ |o-x------> ~p
| ----- |
| |
| p=~(~p) ----- |
-<-------o| ~ |<-x------- ~p
-----
Gdzie:
„O” - symbol dwukierunkowego negatora o budowie jak wyżej
"o"(~) - symbole negacji w technice „o” i w języku potocznym „~”
--->| - wejście bramki logicznej negatora (~)
|o--> - wyjście bramki logicznej negatora (~)
W świecie rzeczywistym musi tu być negator z otwartym kolektorem (OC)
na przykład typu SN7406. Wyjście OC musi być podparte rezystorem do Vcc.
|
W świecie rzeczywistym podajemy sygnały cyfrowe {0,1} na wejściu negatora p albo ~p obserwując co jest na jego wyjściu. Wszystko musi być zgodne z definicją DN.
Matematyczne związki między p i ~p:
a)
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
p#~p
b)
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
c)
Prawo zaprzeczenia logiki dodatniej (bo p):
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)
Dowód w rachunku zero-jedynkowym:
| Kod: |
Matematyczne związki w definicji negacji:
p ~p ~(~p) ~(p)
A: 1 0 1 0
B: 0 1 0 1
1 2 3 4
|
Tożsamość kolumn 1=3 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Tożsamość kolumn 2=4 jest dowodem formalnym prawa negacji logiki dodatniej (bo p):
~p=~(p)
Uwaga:
Budowa dwukierunkowego transmitera w bramkach logicznych będzie identyczna jak wyżej lecz z układem SN7407 w miejsce układu SN7406.
1.2 Fundamenty algebry Boole'a
Kluczowe znaczki algebry Boole’a to definicje spójników „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
| Kod: |
Definicja dwuargumentowego spójnika „i”(*):
p* q Y=p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 1 0
D: 0* 0 0
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0
;
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
Y=1
Przy wypełnianiu tabel zerojedynkowych szybsza jest logika jedynek
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
|
| Kod: |
Definicja dwuargumentowego spójnika „lub”(+):
p+ q Y=p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 1 1
D: 0+ 0 0
Definicja „lub”(+) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
;
Definicja „lub”(+) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
Y=1
Przy wypełnianiu tabel zerojedynkowych szybsza jest logika zer.
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
|
Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zerojedynkowych nie ma znaczenia czy będziemy stosowali logikę jedynek, czy też logikę zer.
1.2.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a
Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna Y algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a f(x) w osi czasu.
W technice funkcja algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y.
Przykład:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
f(x)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a
Stąd na mocy definicji funkcji logicznej mamy:
Y = f(x) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q
W szczególnym przypadku funkcja logiczna Y może być stałą binarną, gdy w kolumnie opisującej symbol Y są same jedynki albo same zera.
1.2.2 Definicja dziedziny w logice matematycznej
Ogólna definicja dziedziny D:
Pojęcie ~x jest uzupełnieniem dla pojęcia x do wspólnej dziedziny D oraz pojęcia x i ~x są rozłączne
x+~x =D =1 - zdanie zawsze prawdziwe (stała binarna)
x*~x =[] =0 - zdanie zawsze fałszywe (stała binarna)
Definicja dziedziny w zbiorach:
Zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D oraz zbiory p i ~p są rozłączne.
Czyli:
Y = p+~p =D =1 - zdanie zawsze prawdziwe (stała binarna)
Y = p*~p =[] =0 - zdanie zawsze fałszywe (stała binarna)
W algebrze Kubusia zdanie zawsze prawdziwe (Y=1) oraz zdanie zawsze fałszywe (Y=0) to bezużyteczne śmieci zarówno w matematyce, jak i w języku potocznym
Przykład wykorzystania w praktyce definicji dziedziny.
Rozważmy dwa zbiory:
TP - zbiór trójkątów prostokątnych (TP)
~TP - zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP)
Wspólna dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Definicja dziedziny w zbiorach:
Zbiór ~TP jest uzupełnieniem zbioru TP do wspólnej dziedziny ZWT oraz zbiory TP i ~TP są rozłączne w dziedzinie ZWT.
Czyli:
Twierdzenie T1:
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) lub nie jest prostokątny (~TP)
Y = TP+~TP = ZWT =1 - zdanie zawsze prawdziwe (stała binarna)
Twierdzenie T2:
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) i nie jest prostokątny (~TP)
Y = TP*~TP =[] =0 - zdanie zawsze fałszywe (stała binarna)
Wartość praktyczna twierdzeń T1 i T2 jest zerowa (śmieci).
Analogia do programowania:
Nie da się napisać najprostszego nawet programu dysponując wyłącznie stałymi binarnymi, o z góry wiadomej wartości logicznej.
1.2.3 Definicja bramki logicznej
Definicja bramki logicznej:
Bramka logiczna to układ cyfrowy o n wejściach binarnych {p,q,r..} i tylko jednym wyjściu binarnym Y
Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y
Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r … - wejścia bramki logicznej
Y - wyjście bramki logicznej
Przykład:
Y = p*q+~p*~q
1.2.4 Definicja funkcji logicznej Y w logice dodatniej i ujemnej
Definicja funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y):
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej (bo Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
W przeciwnym przypadku mamy do czynienia z funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y)
1.2.5 Prawo negacji funkcji logicznej
Prawo negacji funkcji logicznej Y:
Dowolną funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y) wolno nam dwustronnie zanegować przechodząc do funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) i odwrotnie.
1.2.6 Ogólna definicja logiki matematycznej
Ogólna definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to matematyczny opis nieznanego tzn. nieznanej przyszłości albo nieznanej przeszłości.
Nie wszystko w czasie przeszłym jest nam wiadome - logika matematyczna służy tu do ustalenia co się w przeszłości zdarzyło
Przykład:
Poszukiwanie mordercy
Po długich poszukiwaniach mordercy, Kowalskiemu udowodniono zabójstwo x-a, i się do tego przyznał.
Po co komu potrzebna jest tu dalsza logika matematyczna prowadząca do wykrycia znanego już wszystkim zabójcy x-a?
Stąd mamy:
Prawo Nietoperza:
Jeśli znamy zaistniałe w przeszłości fakty to żadna logika matematyczna ich nie zmieni, jest psu na budę potrzebna.
Przykład:
Hitler - wiemy kim był i co zrobił, to jest fakt, którego żadna logika matematyczna nie zmieni
Nie możemy cofnąć czasu i spowodować by Hitler zginął w zamachu na jego życie przed wybuchem II Wojny Światowej.
1.3 Definicja funkcji logicznej jednoargumentowej Y=x
Prawo Lwa:
Warunkiem koniecznym zrozumienia logiki matematycznej jest jej znajomość na poziomie funkcji logicznych jednoargumentowych.
W najprostszym przypadku mamy do czynienia z funkcją logiczną jednej zmiennej binarnej x
Y=x
Gdzie:
x = {p, ~p, 1, 0}
Definicja funkcji logicznej jednoargumentowej Y=x
Funkcja logiczna jednoargumentowa Y=x to odpowiedź na pytanie o Y.
Kiedy zajdzie Y?
A1.
Y=x
Zajdzie Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie x
Gdzie:
x = {p, ~p, 1, 0}
Wszystkie możliwe funkcje jednoargumentowe to:
Y=p - transmisja, na wyjściu Y mamy zawsze niezanegowany sygnał p
Y=~p - negacja, na wyjściu Y mamy zawsze zanegowany sygnał p (~p)
Y=1 - stała binarna, na wyjściu Y mamy zawsze 1
Y=0 - stała binarna, na wyjściu Y mamy zawsze 0
1.3.1 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=x
Operatory jednoargumentowe to kwintesencja działania operatorów logicznych definiowanych spójnikami „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego 5-cio latka.
Zrozumienie istoty działania operatorów jednoargumentowych jest warunkiem koniecznym dla zrozumienia istoty działania operatorów logicznych n-argumentowych definiowanych spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Operatory jednoargumentowy to zaledwie cztery operatory różne na mocy definicji ## (pkt.1.3.2)
Przy dwóch argumentach mamy już 16 różnych na mocy definicji ## operatorów (pkt. 1.18)
Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=x:
Operator logiczny jednoargumentowy Y|=x to układ równań logicznych Y=x i ~Y=~x dający odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie Y, a kiedy zajdzie ~Y
Kiedy zajdzie Y?
A1.
Y=x
Zajdzie Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie x
#
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie jednoargumentową funkcję logiczną A1.
B1.
~Y = ~x
Zajdzie ~Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~x
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
1.3.2 Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych
Zapiszmy wszystkie możliwe operatory jednoargumentowe w tabeli prawdy
| Kod: |
TJ
Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych
Operator transmisji Y|=p
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
## ##
Operator negacji Y=|~p
A2: Y=~p # B2: ~Y= p
## ##
Zdanie zawsze prawdziwe Y|=1 (stała binarna)
A3: Y=1 # B3: ~Y=0
## ##
Zdanie zawsze fałszywe Y|=0 (stała binarna)
A4: Y=0 # B4: ~Y=1
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
Stąd mamy:
p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne (Y,~Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Doskonale widać, że w tabeli TJ definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Linie A3B3 i A4B4 to bezcenne zero-jedynkowe definicje praw Prosiaczka.
Znaczenie alternatywne:
Linie A3B3 i A4B4 to stałe binarne, w logice matematycznej totalnie bezużyteczne czego dowód mieliśmy w punkcie 1.2.2
1.3.3 Prawo Pytona
Prawo Pytona:
Logika matematyczna to tylko i wyłącznie logika stałych binarnych i zmiennych binarnych
Stałe binarne są w logice matematycznej bezużyteczne, co wynika bezpośrednio z ogólnej definicji logiki matematycznej zawartej w punkcie 1.2.6.
Z prawa Pytona wynika, że:
1.
Użyteczna logika matematyczna to tylko i wyłącznie zmienne binarne (dwuwartościowe).
2.
W logice języka potocznego musimy zlokalizować wszystkie zmienne binarne tu występujące, inaczej nie mamy do czynienia z logiką matematyczną
3.
Zrozumienie istoty działania operatora jednoargumentowego jest konieczne dla zrozumienia istoty działania operatorów logicznych n-argumentowych
4.
W czasie przeszłym mamy do czynienia tylko i wyłącznie ze stałymi binarnymi co wynika z definicji logiki matematycznej (1.2.6)
5.
W czasie przeszłym, gdy nie znamy zaistniałego faktu stała binarna pełni rolę zmiennej binarnej dopóki tego faktu nie poznamy
1.4 Prawa Prosiaczka
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
A3: (Y=1) <=> B3: (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
A4: (Y=0) <=> B4: (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo Y) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~Y). Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej, jak również w stosunku do dowolnej stałej binarnej.
Prawo dwustronnej negacji funkcji Y=f(x):
Dowolną funkcje logiczną mamy prawo dwustronnie zanegować przechodząc do logiki przeciwnej
Y=f(x)
#
Przejście do funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) poprzez dwustronną negację:
~Y=~f(x)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negację drugiej strony
Znaczenie linii A3B3 i A4B4 w tabeli prawdy operatorów jednoargumentowych w odniesieniu do praw Prosiaczka.
Rozważmy funkcję logiczną:
Y=f(x)
A3B3:
W szczególności może być:
f(x) =1
Stąd mamy linię A3B3:
A3: (Y=1) # B3: (~Y=0)
##
A4B4:
W szczególności może być:
f(x)=0
Stąd mamy linię A4B4:
A4: (Y=0) # B4: (~Y=1)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negację drugiej strony
## - różne na mocy definicji
Zapiszmy funkcje logiczne A3 i A4 w tabeli prawdy
| Kod: |
TJ34
A3: Y=1 # B3: ~Y=0
## ##
A4: Y=0 # B4: ~Y=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negację drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że tabela TJ34 perfekcyjnie spełnia zarówno definicję znaczka różne # jak i definicję znaczka różne na mocy definicji ##
Interpretacja matematyczna linii A3B3 oraz A4B4.
Wiersze A3B3 i A4B4 definiują prawa Prosiaczka na mocy definicji dwustronnej negacji funkcji logicznej.
1.4.1 Dowód I prawa Prosiaczka
Podstawmy:
p= A3: (Y=1)
q= B3: (~Y=0)
Linia A3B3:
Twierdzenie proste dotyczące zmiennej binarnej lub stałej binarnej Y:
TP
Jeśli wiemy że A3: (Y=1) to na 100% => wiemy że B3: (~Y=0)
A3: (Y=1) => B3: (~Y=0)
To samo w zapisie formalnym:
A3: p => B3: q
Wynika to z definicji dwustronnej negacji tożsamości „=”
Twierdzenie odwrotne dotyczące zmiennej binarnej lub stałej binarnej Y również jest prawdziwe:
TO
Jeśli wiemy że B3: (~Y=0) to na 100% => wiemy że A3: (Y=1)
B3: (~Y=0) => A3: (Y=1)
To samo w zapisie formalnym:
B3: q => A3: p
Wynika to z definicji dwustronnej negacji tożsamości „=”
W matematyce jednoczesna prawdziwość twierdzenie prostego i twierdzenia odwrotnego definiuje równoważność prawdziwą:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
Nasz przykład:
(A3: (Y=1) <=> B3: (~Y=0)) = ((A3: (Y=1) => B3: (~Y=0))*(( B3: (~Y=0) => A3: (Y=1))
W naszym przypadku równoważność prawdziwa definiuje tożsamość [=] dowodów matematycznych o czym mówi twierdzenie proste TP i twierdzenie odwrotne TO.
Lewą stronę czytamy:
Wiemy że A3: (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wiemy że B3: (~Y=0)
Stąd mamy:
I prawo Prosiaczka
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
Gdzie:
Znaczek tożsamości „=” oznacza tu tożsamość dowodów matematycznych.
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Prawo Prosiaczka = międzykolumnowe prawo Irbisa (co poznamy za chwilkę w pkt. 2.9.1)
1.4.2 Dowód II prawa Prosiaczka
Podstawmy:
p= A4: (Y=0)
q= B4: (~Y=1)
Linia A4B4:
Twierdzenie proste dotyczące zmiennej binarnej lub stałej binarnej Y:
TP
Jeśli wiemy że A4: (Y=0) to na 100% => wiemy że B4: (~Y=1)
A4: (Y=0) => B4: (~Y=1)
To samo w zapisie formalnym:
A4: p => B4: q
Wynika to z definicji dwustronnej negacji tożsamości „=”
Twierdzenie odwrotne dotyczące zmiennej binarnej lub stałej binarnej Y również jest prawdziwe:
TO
Jeśli wiemy że B4: (~Y=1) to na 100% => wiemy że A4: (Y=0)
B4: (~Y=1) => A4: (Y=0)
To samo w zapisie formalnym:
B4: q => A4: p
Wynika to z definicji dwustronnej negacji tożsamości „=”
W matematyce jednoczesna prawdziwość twierdzenie prostego i twierdzenia odwrotnego definiuje równoważność prawdziwą:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
Nasz przykład:
(A4: (Y=0) <=> B4: (~Y=1)) = ((A4: (Y=0) => B4: (~Y=1))*(( B4: (~Y=1) => A4: (Y=0))
W naszym przypadku równoważność prawdziwa definiuje tożsamość [=] dowodów matematycznych o czym mówi twierdzenie proste TP i twierdzenie odwrotne TO.
Lewą stronę czytamy:
Wiemy że A4: (Y=0) wtedy i tylko wtedy gdy wiemy że B4: (~Y=1)
Stąd mamy:
II prawo Prosiaczka
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
Znaczek tożsamości „=” oznacza tu tożsamość dowodów matematycznych.
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Prawo Prosiaczka = międzykolumnowe prawo Irbisa (co poznamy za chwilkę w pkt. 2.9.1)
1.4.3 Prawa Prosiaczka w bramkach logicznych
Realizacja praw Prosiaczka w bramkach logicznych:
| Kod: |
I prawo Prosiaczka:
(Y=1)<=>(~Y=0)
Y=1 ------ <=> ~Y=0
------------->| # |o----------------->
------
Po minięciu negatora # funkcję Y=1 musimy negować dwustronnie ~Y=0
## ##
II Prawo Prosiaczka:
(Y=0)<=>(~Y=1)
Y=0 ------ <=> ~Y=1
------------->| # |o----------------->
------
Po minięciu negatora # funkcję Y=0 musimy negować dwustronnie ~Y=1
Gdzie:
„o” - symbol negatora (#)
## - różne na mocy definicji
|
Stąd mamy:
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej lub stałej binarnej.
1.4.4 Przykład działania praw Prosiaczka na gruncie fizyki
Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
Linia A3B3 w tabeli TJ34:
S - żarówka świeci
Co w logice jedynek oznacza:
A3: S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
B3: ~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)
##
Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
Linia A4B4 w tabeli TJ34:
~S - żarówka nie świeci
Co w logice jedynek oznacza:
B4: ~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
A4: S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Innymi słowy:
Pojęcie "żarówka świeci" (S=1) jest różne na mocy definicji ## od pojęcia "żarówka nie świeci" (~S=1)
1.4.5 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka.
Logiką matematycznie zgodną z językiem potocznym człowieka jest tylko i wyłącznie standard dodatni.
Prawo Prosiaczka:
(~q=1) = (q=0)
Poprawne kodowanie zmiennych w języku potocznym jest tylko i wyłącznie takie:
~q=1 - tu mamy zmienną q=0 sprowadzoną do logicznej jedynki.
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, stąd zapis skrócony:
~q
jest matematycznie poprawny.
Błędne jest natomiast opuszczenie wartościowania w tym zapisie:
q=0
tu nie wolno użyć skrótu:
q
bo zera w logice matematycznej nie są domyślne.
1.5 Logika matematyczna stałych binarnych
Logikę matematyczną stałych binarnych opisują linie A3B3 i A4B4 z pełnej tabeli operatorów jednoargumentowych
| Kod: |
TJ34 Logika matematyczna stałych binarnych
Zdanie zawsze prawdziwe Y|=1 (stała binarna)
A3: Y=1 # B3: ~Y=0
## ##
Zdanie zawsze fałszywe Y|=0 (stała binarna)
A4: Y=0 # B4: ~Y=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
1.5.1 Stałe binarne w wieku niemowlęcym
Logika matematyczna niemowlaków 0-2 lat to definiowanie stałych binarnych, które to definicje będą im niezbędne by w wieku 5 lat opanować biegle algebrę Kubusia.
Mama pokazuje 6-miesięcznemu synkowi na obrazku kurę i mówi:
A3.
To jest kura
K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że to jest kura (K)
Prawo Prosiaczka:
A3: (K=1) = B3: (~K=0)
B3:
~K=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że to nie jest kura (~K)
Tożsamość zdań:
A3: (K=1) = B3: (~K=0)
rozumie każdy 5-cio latek
Wniosek:
Prawo Prosiaczka działa fenomenalnie
„To jest kura” z filmu CK Dezerterzy:
[link widoczny dla zalogowanych]
Czy mama może pokazywać niemowlakowi na obrazku kurę, twierdząc że to jest osioł?
Może, ale wyląduje w szpitalu psychiatrycznym co przydarzyło się von Nogayowi w filmie CK Dezerterzy.
1.5.2 Stałe binarne w wieku 9 miesięcy
Przysłowiowy Jaś zapewne pamięta, jak w wieku 9 miesięcy mama trzymając go na rączkach i pstrykając pstryczkiem elektryczkiem na ścianie pierwszy raz tłumaczyła mu co znaczą pojęcia:
„Żarówka świeci” vs „Żarówka nie świeci”?
| Kod: |
TJ34
A3.
Żarówka świeci
A3: Y=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że żarówka świeci (Y)
##
oraz
B4.
Żarówka nie świeci
B4: ~Y=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że żarówka nie świeci (~Y)
Gdzie:
## - pojęcia różne na mocy definicji
|
Znaczenie stałej binarnej Y:
Y – żarówka świeci (Y=1)
~Y – żarówka nie świeci (~Y=1)
Jasiowi bardzo się to podobało, bo z zapałem dorwał się do pstryczka elektryczka powtarzając wiele razy:
O, żarówka świeci
A3: Y=1
##
Klikając pstryczkiem kolejny raz mówi:
O, żarówka nie świeci
B4:~Y=1
Gdzie:
## - pojęcia różne na mocy definicji
… i tak w koło Macieju Jaś utrwalił sobie w swoim małym móżdżku dwa, różne na mocy definicji pojęcia ## (stałe binarne):
A3: Y=1 (żarówka świeci Y) ## B4: ~Y=1 (żarówka nie świeci ~Y)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
1.5.3 Pułapki w operatorach jednoargumentowych
Dane są trzy zdania „żarówka świeci”:
1.
Świat martwy bez udziału człowieka: „żarówka świeci”
2.
Jaś wypowiada zdanie „żarówka świeci” gdzie my widzimy żarówkę o której mówi Jaś
3.
Jaś wypowiada zdanie „żarówka świeci” gdzie my nie widzimy żarówki o której mówi Jaś
Komentarz:
W punktach 1 i 2 nie ma mowy by świat martwy (1) albo świat żywy (2) nas okłamał.
Stąd zdanie „żarówka świeci” przyporządkowujemy do punktu A3.
A3: Y=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że żarówka świeci (Y)
Prawo Prosiaczka:
A3: (Y=1) = B3: (~Y=0)
Stąd zdanie tożsame do A3:
B3: (~Y=0)
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że żarówka nie świeci (~S)
Genialność praw Prosiaczka każdy widzi.
W punkcie 3 Jaś ma wolną wolę i może nas okłamywać, zatem zdanie „żarówka świeci” musimy przypisać do punktu A1.
A1.
Jaś mówi „żarówka świeci” (gdzie nie widzimy żarówki o której mówi Jaś)
Y=S
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> S=1
Czytamy:
Jaś mówi prawdę (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
… a kiedy Jaś nie mówi prawdy (~Y=1)
Negujemy funkcję A1 stronami:
B1.
~Y=~S
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~S=1
Czytamy:
Jaś nie mówi prawdy (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
1.6 Zasady kodowania zdań w operatorach jednoargumentowych
| Kod: |
TJ
Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych
Operator transmisji Y|=p
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
## ##
Operator negacji Y=|~p
A2: Y=~p # B2: ~Y= p
## ##
Zdanie zawsze prawdziwe Y|=1 (stała binarna)
A3: Y=1 # B3: ~Y=0
## ##
Zdanie zawsze fałszywe Y|=0 (stała binarna)
A4: Y=0 # B4: ~Y=1
Gdzie:
p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Uwagi:
Linie A1B1 i A2B2 dotyczą świata żywego w którym kłamstwo (~Y) jest możliwe, zatem tu nie znamy z góry wartości logicznej zdań.
Linie A3B3 i A4B4 dotyczą świata martwego, który z definicji nie może kłamać, zatem tu znamy z góry wartość logiczną zdań 1 albo 0.
1.6.1 Funkcja logiczna Y zmiennej binarnej p
Definicja funkcji logicznej Y zmiennej binarnej p:
Funkcja logiczna Y zmiennej binarnej p jest poprawnie zbudowana wtedy i tylko wtedy gdy nie zawiera choćby jednego wartościowania w swoim zapisie.
To jest poprawnie zbudowana funkcja logiczna Y:
A1: Y=p
Co w logice jedynek oznacza:
A1’: Y=1 <=> p=1
.. a kiedy zajdzie ~Y?
#
Negujemy funkcję A1 dwustronnie:
B1: ~Y=~p
Co w logice jedynek oznacza:
B1’: ~Y=1 <=> ~p=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Zauważmy, że znaczek # dotyczy wyłącznie funkcji logicznych A1 i B1 oraz nie dotyczy wartościowań A1’ i B1’
Dowód przez podanie kontrprzykładu.
W miejsce zmiennej binarnej A1: Y nie wolno nam wstawić jej wartościowania A1’: Y=1 bo dostaniemy sprzeczność czysto matematyczną.
To jest fałszywa funkcja logiczna Y:
A1”: Y=1 <=> p
… a kiedy zajdzie ~Y?
#
Negujemy A1” dwustronnie:
B1”: ~Y=0 <=> ~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Dowód sprzeczności czysto matematycznej:
Powinno być: B1’: ~Y=1 ## Jest: B1”: ~Y=0 (sprzeczność)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
1.6.2 Funkcja logiczna Y stałej binarnej p
Funkcja logiczna Y stałej binarnej p to po prostu prawa Prosiaczka omówione w punkcie 1.4
1.6.3 Kodowanie obietnic bezwarunkowych
Wszelkie obietnice dotyczą wyłącznie świata żywego, bowiem wyłącznie świat żywy ma „wolną wolę” i może kłamać do woli, czyli gwałcić wszelkie prawa logiki matematycznej wyznaczane przez świat martwy (w tym przez matematykę)
Wniosek:
Kodowanie obietnic bezwarunkowych mamy wyłącznie w liniach A1B1 i A2B2 w tabeli TJ
Definicja funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y):
Funkcja logiczna zapisana jest w logice dodatniej (bo Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej zapisana jest w logice ujemnej (bo ~Y)
Przykłady: tabela TJ
Definicja logiki jedynek w języku potocznym:
Z logiką jedynek w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie zmienne występujące w zdaniu sprowadzone są do wartości logicznej 1.
Jedynki są w logice matematycznej domyślne i możemy je pominąć.
Innymi słowy:
Wszelkie przeczenia w kodowaniu matematycznym muszą być zapisane jawnie
Sprowadzenie wszystkich zmiennych do wartości logicznej 1 umożliwiają prawa Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej lub stałej binarnej.
(p=1)=(~p=0)
(p=0) = (~p=1)
Przykład:
1.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 - to jest logika jedynek bo ~K=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Prawo Prosiaczka:
(~K=1) = (K=0)
Stąd zapis tożsamy:
Y=1 <=> K=0 - to nie jest logika jedynek bo K=0
Kodowanie obietnic bezwarunkowych:[/b]
Wszelkie obietnice bezwarunkowe dotyczące świata żywego mającego „wolną wolę” kodujemy matematycznie wyłącznie w postaci funkcji logicznych algebry Boole’a
Y=f(x)
Gdzie:
Y - istota żywa dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - istota żywa nie dotrzyma słowa (~Y=1)
f(x) – dowolne wyrażenie algebry Boole’a (treść obietnicy)
Niedozwolone jest kodowanie zdań twierdzących w postaci samego wyrażenia f(x) bowiem prowadzi to do wewnętrznej sprzeczności logiki matematycznej w postaci prawa Grzechotnika (pkt. 1.8.1)
1.7 Funkcje Y=x i operatory Y|=x jednoargumentowe
Z tabeli wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych zajmiemy się wyłącznie liniami A1B1 i A2B2 opisującymi świat żywy mający „wolną wolę”.
| Kod: |
TJO
Operator transmisji Y|=p
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
## ##
Operator negacji Y=|~p
A2: Y=~p # B2: ~Y= p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia
|
1.7.1 Definicja funkcji transmisji Y=p i operatora transmisji Y|=p
Definicja transmitera:
Transmiter to bramka logiczna jednowejściowa gdzie na wyjście Y transmitowany jest zawsze niezanegowany sygnał wejściowy p (Y=p)
Realizacja rzeczywista:
SN7407 (Strona 1: Y=p)
[link widoczny dla zalogowanych]
Definicja matematyczna:
Funkcja logiczna transmitera Y=p w logice dodatniej (bo Y) to funkcja definiowana tabelą prawdy:
| Kod: |
FT
Funkcja transmisji Y=p
Wejście |Wyjście
| A1:
p # ~p | Y=p
1 # 0 | 1
0 # 1 | 0
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Na wyjściu Y mamy tu zawsze niezanegowany sygnał p (Y=p)
Definicja operatora transmisji Y|=p:
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych A1: Y=p i B1: ~Y=~p dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej:
| Kod: |
OT
Definicja operatora transmisji: Y|=p
Wejście |Wyjście
| A1: B1:
p # ~p | Y=p # ~Y=~p
A: 1 # 0 | 1 # 0
B: 0 # 1 | 0 # 1
1 2 3 4
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Doskonale tu widać że:
A1:
Y=p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1
#
… kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie A1.
B1:
~Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1
1.7.2 Definicja funkcji negacji Y=~p i operatora negacji Y|=~p
Definicja negatora:
Negator to bramka logiczna jednowejściowa gdzie na wyjście Y transmitowany jest zawsze zanegowany sygnał wejściowy p (Y=~p)
Realizacja rzeczywista:
SN7406 (strona 2: Y=~p)
[link widoczny dla zalogowanych]
Definicja matematyczna:
Funkcja logiczna negatora Y=~p to funkcja definiowana tabelą prawdy:
| Kod: |
FN
Funkcja negatora Y=~p
Wejście |Wyjście
| A2:
p # ~p | Y=~p
1 # 0 | 0
0 # 1 | 1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Na wyjściu Y mamy tu zawsze zanegowany sygnał p (Y=~p)
Definicja operatora negacji Y|=~p:
Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych A2: Y=~p i B2: ~Y=p dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej:
| Kod: |
ON
Definicja operatora negacji: Y|=~p
Wejście |Wyjście
| A2: B2:
p # ~p | Y=~p # ~Y=p
A: 1 # 0 | 0 # 1
B: 0 # 1 | 1 # 0
1 2 3 4
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Doskonale tu widać że:
A2:
Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
#
… kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie A2.
B2:
~Y=p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1
1.7.3 Relacja matematyczna między operatorami Y|=p a Y|=~p
| Kod: |
OT
Definicja operatora transmisji: Y|=p
Wejście |Wyjście
| A1: B1:
p # ~p | Y=p # ~Y=~p
1 # 0 | 1 # 0
0 # 1 | 0 # 1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
##
| Kod: |
ON
Definicja operatora negacji: Y|=~p
Wejście |Wyjście
| A2: B2:
p # ~p | Y=~p # ~Y=p
1 # 0 | 0 # 1
0 # 1 | 1 # 0
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zapiszmy tabele OT i ON w symbolicznej tabeli prawdy:
| Kod: |
OTON:
Operator transmisji Y|=p
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
## ##
Operator negacji Y|=~p
A2: Y=~p # B2: ~Y= p
|
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
Stąd mamy:
Zmienne p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne (Y,~Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
W tabeli OTON widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Doskonale też widać, że wprowadzenie do logiki matematycznej funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) wymusza wprowadzenie do logiki matematycznej znaczków # i ##
1.7.4 Prawo Grzechotnika dla funkcji jednoargumentowych
Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.
| Kod: |
OTON:
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
## ##
A2: Y=~p # B2: ~Y= p
|
Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
Dowód:
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Innymi słowy:
Ziemscy matematycy operując w rachunku zero-jedynkowym wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) z definicji usuwają zewsząd wszelkie funkcje Y i ~Y.
Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli OTON
| Kod: |
OTON”:
A1: p # B1: ~p
## ##
A2:~p # B2: p
|
Doskonale widać, że w tabeli OTON" najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą tożsamości po przekątnych.
W tabeli OTON” zgubiona została kluczowa informacja o tym kiedy zajdzie Y, a kiedy zajdzie ~Y.
To jest dowód wewnętrznej sprzeczności wszelkich ziemskich logik matematycznych, które w rachunku zero-jedynkowym nie widzą funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
1.7.5 Prawo Sokoła
Z chwilą zaakceptowania przez ziemskich matematyków algebry Kubusia która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) prawo Grzechotnika zostanie zastąpione prawem Sokoła.
Prawo Sokoła:
Algebra Kubusia, która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie niesprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
1.7.6 Prawo Grzechotnika dla stałych binarnych
Rozważmy przykład:
A3: Y=1 - prawdą jest (=1), że żarówka świeci się (Y)
##
B4: ~Y=1 - prawdą jest (=1), że żarówka nie świeci się (~Y)
Gdzie:
## - zdarzenia różne na mocy definicji ##
Zapiszmy wszystkie możliwe operatory jednoargumentowe dotyczące stałych binarnych
| Kod: |
TJ34
Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych
Dotycząca stałych binarnych
Zdanie zawsze prawdziwe Y|=1 (stała binarna)
A3: Y=1 # B3: ~Y=0
## ##
Zdanie zawsze fałszywe Y|=0 (stała binarna)
A4: Y=0 # B4: ~Y=1
p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne (Y,~Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
W tabeli TJ34 widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Doskonale też widać, że wprowadzenie do logiki matematycznej funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) wymusza wprowadzenie do logiki matematycznej znaczków # i ##
Definicja stałej binarnej.
Stała binarna to funkcja logiczna {Y,~Y} której wartość logiczna jest nam znana.
Innymi słowy:
Stała binarna to pojęcie {Y,~Y} którego wartość logiczna jest nam znana.
Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
Dowód:
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli T2.
| Kod: |
TJ34”.
A3: 1 # B3: 0
## ##
A4: 0 # B4: 1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Doskonale widać, że w tabeli TJ34" najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą tożsamości po przekątnych.
W tabeli TJ34” zgubiona została kluczowa informacja o tym kiedy zajdzie Y (żarówka świeci), a kiedy zajdzie ~Y (żarówka nie świeci)
To jest dowód wewnętrznej sprzeczności wszelkich ziemskich logik matematycznych na poziomie funkcji logicznych o znanej z góry wartości logicznej (stałe binarne)
1.7.7 Prawo Sokoła dla stałych binarnych
Z chwilą zaakceptowania przez ziemskich matematyków algebry Kubusia która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) prawo Grzechotnika zostanie zastąpione prawem Sokoła.
Prawo Sokoła:
Algebra Kubusia, która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie niesprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
1.8 Prawo Grzechotnika na przykładzie zrozumiałym dla 5-cio latka
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
Przykład konsekwentnego stosowania standardu dodatniego w języku potocznym mamy niżej
| Kod: |
OT
Definicja operatora transmisji: Y|=p
Wejście |Wyjście
| A1: B1:
p # ~p | Y=p # ~Y=~p
1 # 0 | 1 # 0
0 # 1 | 0 # 1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
##
| Kod: |
ON
Definicja operatora negacji: Y|=~p
Wejście |Wyjście
| A2: B2:
p # ~p | Y=~p # ~Y=p
1 # 0 | 0 # 1
0 # 1 | 1 # 0
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
Stąd mamy:
Zmienne p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne (Y,~Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
W niniejszym punkcie zajmiemy się dowodem prawa Grzechotnika dla funkcji jednoargumentowych A1: Y=p i A2: Y=~p na konkretnym przykładzie, doskonale rozumianym przez każdego 5-cio latka.
Zadanko Kubusia:
Dane są dwa zdania pań przedszkolanek z dwóch różnych przedszkoli A1 i A2.
Pani w przedszkolu A1:
A1.
Jutro pójdziemy do kina
Pani w przedszkolu A2:
A2.
Jutro nie pójdziemy do kina
Treść polecenia:
Zapisz w funkcjach logicznych kiedy panie dotrzymają słowa a kiedy skłamią?
Rozwiązanie Jasia, ucznia I klasy LO w 100-milowym lesie.
Przedszkole A1:
| Kod: |
OT
Definicja operatora transmisji: Y|=p
Wejście |Wyjście
| A1: B1:
p # ~p | Y=p # ~Y=~p
Przykład który za chwilkę zrobimy p=K:
K # ~K | Y=K # ~Y=~K
1 # 0 | 1 # 0
0 # 1 | 0 # 1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Pani w przedszkolu A1:
A1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 - doskonale to widać w tabeli OT
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
#
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy równanie A1 stronami:
B1.
~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 - doskonale to widać w tabeli OT
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
##
Przedszkole A2:
| Kod: |
ON
Definicja operatora negacji: Y|=~p
Wejście |Wyjście
| A2: B2:
p # ~p | Y=~p # ~Y=p
Przykład który za chwilkę zrobimy p=K:
K # ~K | Y=~K # ~Y=K
1 # 0 | 0 # 1
0 # 1 | 1 # 0
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Pani w przedszkolu A2:
A2.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 - doskonale to widać w tabeli ON
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
#
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy równanie A2 dwustronnie.
~Y=K
Stąd mamy:
B2.
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K)
~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 - doskonale to widać w tabeli ON
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Gdzie:
Zmienne Y i K muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi, inaczej błąd podstawienia
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
Znaczenie zmiennych Y i K w logice dodatniej (bo p) i ujemnej (bo ~p):
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)
K - jutro pójdziemy do kina (K=1)
~K - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Definicja dziedziny D dla zdarzeń:
Dziedzina D dla zdarzeń to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń jakie mogą wystąpić
K+~K =D =1 - zdanie zawsze prawdziwe (stała binarna)
K*~K =[] =0 - zdanie zawsze fałszywe (stała binarna)
Zauważmy, że pojęcia K (kino) i ~K (nie kino) nie są zdaniami.
Zdaniami są dopiero funkcje logiczne Y=x
Zapiszmy dialogi pań z przedszkola A1 i A2 w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Pani w przedszkolu A1:
A1: Y= K # B1: ~Y=~K
## ##
Pani w przedszkolu A2:
A2: Y=~K # B2: ~Y= K
|
Definicja znaczka #:
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne (Y,~Y) są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
W tabeli T1 doskonale widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Jak widzimy wyżej, wprowadzenie do logiki matematycznej funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) wymusza wprowadzenie do logiki matematycznej znaczków # i ##
1.8.1 Dowód prawa Grzechotnika na poziomie przedszkola
Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
Dowód:
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Doskonale widać, że jeśli z tabeli T1 usuniemy wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y zostawiając wyłącznie wyrażenia algebry Boole’a widniejące z prawej strony, to najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## zostanie zgwałcony bo zachodzić będą tożsamości po przekątnych:
| Kod: |
T1
Pani w przedszkolu A1:
A1: K # B1: ~K
Pani w przedszkolu A2:
A2: ~K # B2: K
|
To jest dowód wewnętrznej sprzeczności wszelkich ziemskich logik matematycznych, które w rachunku zero-jedynkowym nie widzą funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Z chwilą zaakceptowania przez ziemskich matematyków algebry Kubusia która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) prawo Grzechotnika zostanie zastąpione prawem Sokoła.
Prawo Sokoła:
Algebra Kubusia, która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie niesprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
1.9 Prawo Puchacza dla zdań twierdzących jednoargumentowych
| Kod: |
TJ
Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych
Operator transmisji Y|=p
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
## ##
Operator negacji Y=|~p
A2: Y=~p # B2: ~Y= p
## ##
Zdanie zawsze prawdziwe Y|=1 (stała binarna)
A3: Y=1 # B3: ~Y=0
## ##
Zdanie zawsze fałszywe Y|=0 (stała binarna)
A4: Y=0 # B4: ~Y=1
Gdzie:
p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Prawo Puchacza dla zdań twierdzących jednoargumentowych w języku potocznym:
Funkcje logiczne Y i ~Y opisujące linię x w tabeli TJ dostępne są tylko i wyłącznie w linii x.
Żadna z tych funkcji nie jest dostępna w jakiejkolwiek linii poza linią x
Dowód formalny:
Wybieramy przykładową funkcję logiczną z linii A2B2:
B2: ~Y=p
Sprawdzamy iż funkcji tej nie ma w żadnej innej linii poza linią A2B2.
itd.
Omówienie prawa Puchacza na poziomie tabel zero-jedynkowych znajdziemy w punkcie:
20.0 Zero-jedynkowe tajemnice algebry Boole’a
1.9.1 Prawo Puchacza w rachunku zero-jedynkowym
Weźmy omówiony w punkcie 20.2 operator transmisji A0B0: Y|=p w rachunku zero-jedynkowym
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: A1: A2: A3:
K ~K Y=K (przykład)
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~K K ~Y=~K (przykład)
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora transmisji Y|=p:
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych funkcji transmisji A0: Y=p w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji transmisji B0: ~Y=~p w logice ujemnej (bo ~Y)
A0.
Y=p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
Ten przypadek doskonale widać w tabeli AB123
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A0 stronami:
B0.
~Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
Ten przypadek doskonale widać w tabeli CD123
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
1.9.2 Przykład operatora transmisji A0B0: Y|=K
Pani w przedszkolu A0 wypowiada zdanie:
A0.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
To samo w logice formalnej:
p=K (kino)
stąd:
Y=p
Doskonale widać, że zdanie A0: Y=K możemy przyporządkować wyłącznie do kolumny A0B0
Przykład A0
Pani w przedszkolu A0 wypowiada zdanie:
A0.
Jutro pójdziemy do kina
A0: Y=K
co w logice jedynek oznacza:
A0: Y=1 <=> K=1
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy juro pójdziemy do kina (K=1)
Ten przypadek doskonale widać w tabeli AB123
Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek).
Czy wiesz kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Jaś:
Oczywiście, że wiem.
Negujemy równanie A0 stronami:
B0: ~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
B0: ~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Ten przypadek doskonale widać w tabeli CD123
Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 3.
W części A0 doskonale widać że:
Y=1 <=> K=1
W części B0 doskonale widać, że:
~Y=1 <=> ~K=1
cnd
Wnioski:
1.
Zauważmy, że nasze zdanie A0: Y=K w logice dodatniej (bo Y) możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 123.
2.
Także odpowiedź B0 na pytanie o ~Y możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 123.
3.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 123 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 123 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
cnd
Stąd mamy wyprowadzone prawo Puchacza.
Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego
AAA
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 123 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 8:09, 30 Maj 2025, w całości zmieniany 2948 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 38737
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 0:02, 28 Paź 2024 Temat postu: |
|
|
...
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 0:06, 28 Paź 2024, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
