 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35368
Przeczytał: 20 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Wto 9:05, 05 Sie 2008 Temat postu: Równania równoważnościowe i implikacyjne ! |
|
|
Równania równoważnościowe i implikacyjne
1.0 Równania równoważnościowe
Zbudujmy tabelę prawdy dla równoważności p<=>q I q<=>p. Oczywiście w równoważności zamiana argumentów nie powinna mieć żadnego znaczenia. We wszystkich przypadkach mamy tu do czynienia z identycznym operatorem równoważności <=>.
| Kod: | A1: p<=>q = p*q+~p*~q A2: q<=>p = q*p + ~q*~p
B1: p<=>~q = p*~q+ ~p*q =0 B2: q<=>~p = q*~p + ~q*p =0
C1: ~p<=>~q = ~p*~q + p*q C2: ~q<=>~p = ~q*~p + q*p
D1: ~p<=>q = ~p*q + p*~q =0 D2: ~q<=>p = ~q*p + q*~p =0 |
W równoważności mamy na mocy definicji:
p*q=1 i ~p*~q=1
gdzie:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
W pozostałych kombinacjach p i q wynik jest równy zeru czyli:
p*~q =0
~q*p=0
Z tego wynika, iż wartość logiczna równań B1,B2,D1,D2 jest równa zeru. W równoważności te linie można pominąć. Nie robimy tego ze względu na analogię do implikacji o której za chwilę.
W równoważności spełnione są tożsamości we wszelkich możliwych kombinacjach: w pionie, w poziomie i po przekątnych.
Równoważności w pionie:
(A1=C1)*(B1=D1) = 1*1=1
(A2=C2)*(B2=D2) = 1*1=1
Równoważności w poziomie:
(A1=A2)*(B1=B2) = 1*1=1
(C1=C2)*(D1=D2) = 1*1=1
Równoważności po przekątnych:
(A1=C2)*(B1=D2) = 1*1=1
(A2=C1)*(B2=D2)=1*1=1
2.0 Równania implikacyjne
W implikacji nie można zamieniać poprzednika z następnikiem jak wyżej w równoważności bo p=>q i q~>p to dwa zupełnie różne zdania.
Wszelkie błędy w logice klasycznej wynikają z nie uznawania za legalną definicji implikacji odwrotnej i związanego z nią operatora „może” ~>. W języku mówionym człowiek używa implikacji prostej równie często jak implikacji odwrotnej. Tak więc aby opisać matematycznie język mówiony niezbędne są obie definicje. Istotę błędu najlepiej widać na przykładzie podręcznika matematyki dla pierwszej klasy LO.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p + q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
Zajście p jest warunkiem wystarczającym zajścia q.
Jeśli p jest warunkiem wystarczającym dla q to q jest warunkiem koniecznym dla p
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p + ~q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Zajście p jest warunkiem koniecznym dla q
Jeśli p jest warunkiem koniecznym dla q to q jest warunkiem wystarczającym dla p
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na równoważną implikację prostą
Wniosek z praw Kubusia:
Jeśli dwie implikacje różnią się od siebie wyłącznie zanegowanymi p i q to muszą być kodowane przeciwnymi operatorami.
Dowodem są tu prawa Kubusia, będące ścisłym odpowiednikiem praw de’Morgana w algebrze Boole’a. Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny. Gwałcenie praw Kubusia w implikacji jest odpowiednikiem gwałcenia praw de'Morgana w operatorach AND i OR.
Prawa de'Morgana:
Y=A+B
Negujemy zmienne i wymieniamy operatory:
~Y=~A*~B
Oczywiście:
Y=~(~Y)
zatem:
A+B = ~(~A*~B) - prawo de'Morgana dla sumy logicznej
W identyczny sposób wyprowadzamy prawo de'Morgana dla iloczynu logicznego.
A*B = ~(~A+~B)
Złamanie prawa żelaznego uścisku w implikacji to złamanie prawa de'Morgana w taki sposób:
A+B = ~(~A+~B) - negujemy zmienne, ale nie zamieniamy operatora na przeciwny.
To jest oczywiste rozwalenie całej algebry Boole'a w zakresie AND i OR !
Analogicznie, pogwałcenie praw Kubusia w implikacji, będzie rozwaleniem algebry Boole'a w zakresie implikacji !
Prawa de'Morgana w operatorach AND i OR oraz prawa Kubusia w implikacji to dwa najważniejsze prawa w całej logice klasycznej !
Zajrzyjmy do podręcznika matematyki dla I klasy LO. Widzimy definicję implikacji prostej identyczną jak wyżej, identyczny jest też opis warunku wystarczającego i koniecznego. O definicji implikacji odwrotnej oczywiście ani śladu bo ta jest nielegalna w dzisiejszej matematyce.
Dalej mamy tabelkę:
| Kod: |
A1: p=>q A2: q=>p
C1: ~p=>~q C2: ~q=>~q |
Pod którą autor stwierdza, że zachodzą tożsamości po przekątnych:
(A1=C1) p=>q = ~q => ~p
(A2=C1) q=>p = ~p => ~q
Jak widać, w dzisiejszej logice punktem odniesienia jest jedynie słuszne zdanie w implikacji prostej, gdzie p i q są ustalone sztywno.
p=>q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
Gdzie p jest musi być warunkiem wystarczającym dla q
Implikacja odwrotna będzie w tym przypadku miała zapis:
q~>p
Jeśli zajdzie q to „może” ~> zajść p
Gdzie q musi być warunkiem koniecznym dla p
Z powyższego widać pierwszy błąd w tabelce podręcznika logiki. Zapis A2 jest błędny, nie możemy tu użyć operatora implikacji prostej „musi” =>, bowiem po zamianie p i q mamy do czynienia z operatorem implikacji odwrotnej „może” ~> !
Dowód równoważny.
Powyższa tabelka w pionie jest matematycznie błędna, bowiem zgwałcone zostały prawa Kubusia. Implikacje różniące się między sobą wyłącznie zanegowanymi p i q musimy zapisywać przeciwnymi operatorami.
Jeśli poprawimy ten oczywisty błąd w tabelce to otrzymamy z prawej strony prawa Kubusia. Z lewej strony tabelki też muszą obowiązywać prawa Kubusia.
Poprawna i kompletna tabela wygląda tak.
| Kod: |
A1: p=>q = ~p+q A2: q~>p = q+~p
B1: p=>~q = ~p+~q B2: q~>~p = q+p
C1: ~p~>~q = ~p+q C2: ~q=>~p = q+~p
D1: ~p~>q = ~p+~q D2: ~q=>p = q+p
|
Prawe strony równań wynikają bezpośrednio z definicji.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
W poprawionej tabelce zachodzą bezdyskusyjne tożsamości w pionie (prawa Kubusia):
(A1=C1)*(B1=D1) = 1*1=1
(A2=C2)*(B2=D2) = 1*1=1
bo prawe strony równań są równe.
Jak widać, tożsamości muszą zachodzić dla kompletu operatorów => i ~>.
Oczywiście nie zachodzą tożsamości w poziomie:
(A1=A2)*(B1=B2) = 0*0=0
(C1=C2)*(D1=D2) = 0*0=0
Nie zachodzą też tożsamości po przekątnych:
(A1=C2)*(B1=D2) = 1*0 =0
(A2=C1)*(B2=D1) = 1*0=0
Zauważmy, że jeśli potraktujemy implikację jako równoważność, w której zamiana p i q jest dopuszczalna, to będą zachodzić tożsamości po przekątnych !
(A1=C2) =1
(A2=C1) =1
Ponieważ w równoważności mamy:
B1=D2=B2=D1 =0 !
W implikacji nie zachodzą tożsamości ani po przekątnych, ani w poziomie bowiem w implikacji nie wolno zamieniać poprzednika z następnikiem.
Alternatywny dowód matematyczny iż prawo kontrapozycji jest błędne w przypadku implikacji.
Prawo kontrapozycji:
A1=C2
p=>q = ~q=>~p
Prawo Kubusia:
A2=C2
q~>p = ~q=>~p
Z powyższego otrzymujemy matematyczny nonsens:
p=>q = q~>p - bo prawe strony równań są identyczne
W implikacji prawo kontrapozycji trzeba wyrzucić do kosza, ponieważ w implikacji nie wolno zamieniać p i q. Tabela prezentowana w podręczniku matematyki dla pierwszej klasy LO jest zatem błędna, błędne jest też prawo kontrapozycji z Wikipedii.
p=>q = ~q=>~p
Poprzednik z następnikiem wolno zamieniać wyłącznie w równoważności, wtedy zachodzą tożsamości we wszelkich możliwych połączeniach.
Prawo kontrapozycji z Wikipedii będzie poprawne tylko w jednym przypadku. Jeśli przyjmiemy implikację materialną, czyli p i q potraktujemy jako odrębne zdania nie mające ze sobą związku implikacyjnego w postaci warunku wystarczającego w implikacji prostej => i warunku koniecznego w implikacji odwrotnej ~> czyli zdań typu.
Jeśli kura ma dwie nogi to pies ma cztery łapy
Oczywistym jest, że dwie nogi u kury nie są ani warunkiem wystarczającym, ani też warunkiem koniecznym dla czterech łap u psa !
Mamy tu brak związku między p i q, wtedy i tylko wtedy prawo kontrapozycji z Wikipedii jest poprawne. Oczywiście w implikacji materialnej definicja implikacji odwrotnej nie jest do niczego potrzebna.
Jeśli implikacja materialna ma matematyczny sens (Kubusia to zupełnie nie interesuje) wówczas będziemy mieli do czynienia z dwoma definicjami implikacji matematycznej, z dwoma kompletnie rozłącznymi logikami, co jest oczywiście bardzo wątpliwe matematycznie.
Dla Kubusia implikacja materialna na zawsze pozostanie matematycznym śmieciem, którego miejsce jest w koszu na śmieci.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 10:42, 06 Sie 2008, w całości zmieniany 13 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
