ŚFiNiA

[rafal3006]

[rafal3006]

[mar3x]

...

[rafal3006]

Funktory w AK wyglądają TAK!

Preludium - z dedykacją dla Zefcia, Fizyka, Idioty i Malaaviego!

[mar3x]

"Znaczki =>, ~> i ~~> z algebry Kubusia mają pokrycie w definicjach zero-jedynkowych dwuargumentowych operatorów logicznych."
Mają, ale czy ~> oznacza "może" i "warunek konieczny"? Bo tutaj się pojawia zgrzyt.

(Propozycja)
<-> „może”
<= „powinien” (warunek konieczny)
=> „musi” (warunek wystarczający)
|=> „tylko wtedy gdy”
|~> „tylko nie wtedy gdy”
<=> „wtedy i tylko wtedy gdy”

p q p<->q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 1

p q p<=q
1 1 1
1 0 1
0 1 0
0 0 1

p q p=>q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

To jest poprawne na pewno. Cokolwiek wstawisz pod to. To są funktory. Co do konieczności
|=> „tylko wtedy gdy”
|~> „tylko nie wtedy gdy”
się nie wypowiadam

[mar3x]

A może jeszcze inaczej:
<-> „może”
<= „powinien” (warunek konieczny)
=> „musi” (warunek wystarczający)
~> „nie wolno”
|=> „tylko wtedy gdy”
|~> „tylko nie wtedy gdy”, „nie musi”
<=> „wtedy i tylko wtedy gdy”
## „nie oznacza to samo co”

p q p<->q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 1

p q p<=q
1 1 1
1 0 1
0 1 0
0 0 1

p q p=>q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

p q p##q
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0

p=>q p##q p|=>q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

p~>q p##q p|~>q
1 1 0
1 0 1
0 1 0
0 0 0

p=>q p<=q p<=>q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Z powyższego wynika, że:
(p<->q) =1 => (p|=>q $ p|~>q $ p<=>q))

[rafal3006]

Konieczna teoria:

Symboliczna definicja implikacji prostej w wersji skróconej:

Diagram jest stary, ale może być.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Definicja obliczeniowa:
(p=>q=~p~>~q) = (p=>q)*~(p==q)
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q
Zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywany przez strzałkę wektora =>

Definicja obliczeniowa warunku wystarczającego =>:
p=>q = (p*q==p)
gdzie:
p==q - rozkaz porównania zwracający
1 - gdy zbiory p i q tożsame
0 - gdy zbiory p i q nie są tożsame

Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q
Zbiór na podstawie wektora ~> zawiera w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Definicja obliczeniowa warunku koniecznego ~>:
p~>q = (p*q==q)
gdzie:
p==q - rozkaz porównania zwracający
1 - gdy zbiory p i q tożsame
0 - gdy zbiory p i q nie są tożsame

Definicja symboliczna implikacji prostej odczytana z diagramu wyżej:

[mar3x]

Ale przecież mamy zdanie:
TP=>SK = ~TP~>~SK (zachodzi, więc jest implikacją prostą na postawie definicji implikacji prostej)

[rafal3006]

[mar3x]

Mówisz o implikacji, a ja mówię, że TP=>SK to implikacja prosta w AK, co przeczytałem wyżej od Ciebie.

Na podstawie definicji warunku koniecznego ~>, przy której kiedy próbowałem zmieniać, mnie zawróciłeś, zachodzi TP=>SK = ~TP~>~SK

i to zachodzi nawet wtedy, kiedy osobno mamy ~TP[~>]~SK. Przy tak sformułowanej definicji implikacji prostej, widzę nieporządek.

W pozostałych przypadkach oczywiście że to działa.

[rafal3006]

To nie jest implikacja prosta, popatrz.
Definicja obliczeniowa implikacji prostej którą zaakceptowałeś:
p|=>q = (p=>q)*~(p==q)

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q =(p*q==p)

Stąd definicja implikacji prostej:
p|=>q = (p*q==p)*~(p==q)

Twój przykład:
TP|=>SK = (TP*SK==TP)*~(TP==SK) = 1*~(1) = 1*0 =0

... no i gdzie ta implikacja?

Potraktujmy to obliczeniową definicją równoważności.

Definicja standardowa:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Definicja obliczeniowa:
p<=>q = (p*q==p)*(q*p==q)

Stąd:
TP<=>SK = (TP*SK==TP)*(SK*TP==SK) =1*1 =1

Ewidentna równoważność!

[mar3x]

Ja ją zaakceptowałem, ale Ty jej nie zaakceptowałeś, wobec tego AK pozostaje błędna. AK ma być jednoznaczna. Robisz obliczenia pod wynik? Nie. Osoba postronna, która miałaby się zaznajomić z AK TP=>SK ma prawo uznać za implikację prostą, a jednocześnie ma prawo tego nie uznawać. To wprowadza chaos, to jest nielogiczne.

[rafal3006]

[mar3x]

[rafal3006]

[rafal3006]

Kompletna algebra Kubusia w definicjach
Algebra Kubusia = Nowa Teoria Zbiorów

NTZ jest nieprawdopodobnie precyzyjna - czekam na znalezienie choćby najmniejszej nieścisłości.

Fragment najnowszej wersji AK.


2.5 Algebra Kubusia w definicjach obliczeniowych

Definicje obliczeniowe są nieczułe na rzeczywiste relacje zbiorów p i q tzn. dają poprawny wynik niezależnie od tego czy zbiory p o q są rozłączne, czy też jeden zawiera się w drugim częściowo lub całkowicie.

Definicja operacji porównania:
Y = p==q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p==q =1
Operacja porównania „==” porównuje zbiory p i q zwracając Y=1 wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q są tożsame

A.
Definicja warunku wystarczającego =>:
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
A1.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiór p musi zawierać się w zbiorze q
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q

Stąd mamy definicję obliczeniową warunku wystarczającego => niezależną od wzajemnej relacji zbiorów p i q.

A2.
Definicja obliczeniowa warunku wystarczającego =>:
p=>q = (p*q==p)
co matematycznie oznacza:
p=>q=1 <=> (p*q==p) =1
W wyniku p=>q dostaniemy jeden wtedy i tylko wtedy gdy zdanie A2 spełnia warunek wystarczający =>

B.
Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

B1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Zbiór p musi zawierać w sobie zbiór q
Zabieram p i musi zniknąć q

Stąd mamy definicję obliczeniową warunku koniecznego ~> niezależną od wzajemnej relacji zbiorów p i q.

B2.
Definicja obliczeniowa warunku koniecznego ~>:
p~>q = (p*q==q)
co matematycznie oznacza:
p~>q=1 <=> (p*q==q) =1
W wyniku p~>q dostaniemy jeden wtedy i tylko wtedy gdy zdanie B2 spełnia warunek konieczny ~>.


C.
Definicja implikacji prostej
p|=>q =(p=>q = ~p~>~q)

C1.
Definicja tożsama implikacji prostej:
p|=>q = (p=>q)*~(p==q)
Zdanie C1 spełnia definicję implikacji prostej wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera się => w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q.
(p=>q)*~(p==q)

Podstawiając A2 otrzymujemy definicję obliczeniową implikacji prostej niezależną od rzeczywistych relacji zbiorów p i q.

C2.
Definicja obliczeniowa implikacji prostej:
p|=>q = (p*q==p)*~(p==q)
co matematycznie oznacza:
p|=>q =1 <=> (p*q==p) =1 i ~(p==q) =1
W wyniku p|=>q dostaniemy jeden wtedy i tylko wtedy gdy zdanie C2 spełnia definicję implikacji prostej.

D.
Definicja implikacji odwrotnej:
p|~>q =(p~>q = ~p=>~q)

D1.
Definicja tożsama implikacji odwrotnej:
p|~>q = (p~>q)*~(p==q)
Zdanie D1 spełnia definicję implikacji odwrotnej wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera w sobie ~> zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q.
(p~>q)*~(p==q)

Podstawiając B2 otrzymujemy definicję obliczeniową implikacji prostej niezależną od rzeczywistych relacji zbiorów p i q.

D2.
Definicja obliczeniowa implikacji odwrotnej:
p|~>q = (p*q==q)*~(p==q)
co matematycznie oznacza:
p|~>q =1 <=> (p*q==q) =1 i ~(p==q) =1
W wyniku p|~>q dostaniemy jeden wtedy i tylko wtedy gdy zdanie D2 spełnia definicję implikacji odwrotnej.


E.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Równoważność to nic innego jak definicja tożsamości zbiorów p i q.

E1.
Definicja tożsamości zbiorów p i q:
Zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p zawiera się => w zbiorze q i każdy element zbioru q zawiera się => w zbiorze p.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Obliczeniowa definicja warunku wystarczającego => niezależna od wzajemnych relacji zbiorów p i q.
p=>q = (p*q==p)
q=>p = (q*p==q)

Podstawiając to do definicji równoważności otrzymujemy obliczeniową definicję równoważności niezależną od wzajemnej relacji zbiorów p i q.

E2.
Obliczeniowa definicja równoważności:
p<=>q = (p*q==p)*(q*p==q)
co matematycznie oznacza:
p<=>q =1 <=> (p*q==p) =1 i (q*p==q) =1
W wyniku p<=>q dostaniemy jeden wtedy i tylko wtedy gdy zdanie E2 spełnia definicję równoważności.


2.6 Przykłady

Obliczeniowa definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = (p*q==p)

Używane zbiory:
P8=[0,8,16,24 ..]
P2=[0,2,4,6,8,10,12..]
P8*P2 =[0,8,16,24..] =P8
P8*~P2 =[]
Przyjmijmy dziedzinę:
ZLN - zbiór liczb naturalnych
Stąd:
~P8=[ZLN-P8]
~P8=[1,2,3,4,5,6,7.. 9,10,11,12..]
~P2=[ZLN-P2]
~P2=[1,3,5,7,9,11..]
~P8*~P2 =[1,3,5,7,9,11..] =~P2
~P8*P2= [2,4,6 ..]

A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 = (P8*P2 == P8) = (P8==P8) =1
bo: P8*P2=P8
(P8==P8) =1 - zbiory porównywane są tożsame
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8 = (P2*P8==P2) = (P8==P2) =0
bo: P2*P8=P8
(P8==P2) =0 - zbiory porównywane nie są tożsame.


Obliczeniowa definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = (p*q==q)

C.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 = (P2*P8==P8) =(P8==P8) =1
bo: P2*P8 =P8
(P8==P8) =1 - zbiory porównywane są tożsame

D.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2 = (P8*P2==P2) = (P8==P2) =0
bo: P8*P2=P8
(P8==P2) =0 - zbiory porównywane nietożsame

E.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może ~> być podzielna przez 8
(P3~>P8) = (P3*P8 == P8) =0
P3*P8#P8
# - różne
Stąd:
(P3*P8 == P8) =0 - zbiory porównywane nietożsame


Obliczeniowa definicja implikacji prostej:
p|=>q = (p*q==p)*~(p==q)

A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8 zawiera się w P2
Sprawdzamy czy warunek wystarczający A wchodzi w skład definicji implikacji prostej, czyli jest jednocześnie implikacją prostą.
p|=>q = (p*q==p)*~(p==q)
P8|=>P2 = (P8*P2==P8)*~(P8==P2) = 1*~(0) = 1*1 =1

B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór TP zawiera się w SK
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów: TP=SK
Sprawdzamy czy warunek wystarczający B wchodzi w skład definicji implikacji prostej, czyli jest jednocześnie implikacją prostą.
p|=>q = (p*q==p)*~(p==q)
TP|=>SK = (TP*SK==TP)*~(TP=SK) = 1*~(1) = 1*0 =0
Wniosek:
Zdanie B na 100% nie wchodzi w skład definicji implikacji prostej, czyli nie jest jednocześnie implikacja prostą.
Wniosek:
Zdanie B musi wchodzić w skład definicji równoważności, o czym za chwilę.


Obliczeniowa definicja implikacji odwrotnej:
p|~>q = (p*q==q)*~(p==q)

A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór P2 zawiera w sobie zbiór P8
Zabieram P2 i znika mi P8

Sprawdźmy to obliczeniową definicją warunku koniecznego:
P2~>P8 = (P2*P8==P8) = (P8==P8) =1
Sprawdzamy czy warunek konieczny ~> A wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej, czyli jest jednocześnie implikacją odwrotną.

Definicja obliczeniowa implikacji odwrotnej:
p|~>q = (p*q==q)*~(p==q)
P2|~>P8 = [(P2*P8==P8)*~(P2==P8)] = [(P8==P8)*~(P2==P8)] = 1*~(0) = 1*1 =1
cnd

Zdanie odwrotne do powyższego:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2
Definicja warunku koniecznego nie jest spełniona bo zbiór P8 zawiera się w zbiorze P2. Warunek konieczny ~> wymaga czegoś dokładnie odwrotnego.
Sprawdźmy czy nasza definicja warunku koniecznego sobie z tym poradzi:
P8~>P2 = (P8*P2==P2) = (P8==P2) =0
Nasza definicja działa doskonale.

C.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~> zachodzić suma kwadratów
TP~>SK
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór TP zawiera w sobie SK
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów: TP=SK
Zabieram TP i znika mi SK.
Sprawdzamy warunek konieczny ~>:
TP~>SK = (TP*SK==SK) = (SK==SK) =1
Sprawdzamy czy warunek konieczny C wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej, czyli jest jednocześnie implikacją odwrotną.
Definicja obliczeniowa implikacji odwrotnej:
p|~>q = (p*q==q)*~(p==q)
TP|~>SK = (TP*SK==SK)*~(TP=SK) = 1*~(1) = 1*0 =0
Wniosek:
Warunek konieczny B na 100% nie wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej, czyli nie jest jednocześnie implikacja odwrotną.
cnd

Wniosek:
Warunek konieczny C musi wchodzić w skład definicji równoważności, o czym za chwilę.


Definicja obliczeniowa równoważności
p<=>q = (p*q==p)*(~p*~q==~p)

A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Definicja warunku wystarczającego spełniona bo zbiór P8 zawiera się w P2
Sprawdzamy ten fakt definicją obliczeniową warunku wystarczającego:
P8=>P2 = [(P8*P2==P8)*~(P8==P2)] = 1*~(0) =1*1 =1

Sprawdzamy definicją obliczeniową drugi człon definicji równoważności:
B.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to na pewno => nie jest podzielna przez 2
~P8=>~P2
Korzystamy z definicji obliczeniowej warunku wystarczającego:
~P8=>~P2 = [(~P8*~P2==~P8)*~(~P8==~P2)] = 0*~(0) = 0*1 =0
bo: ~P8*~P2 # ~P8
stąd:
(~P8*~P2 ==~P8) =0
Wniosek:
Wykluczone jest aby warunek wystarczający A wchodził w skład definicji równoważności, warunek ten wchodzi w skład definicji implikacji prostej co dowiedziono wyżej.

Na podstawie A i B mamy:
P8<=>P2 = (P8=>P2)*(~P8=>~P2) = 1*0 =0
Wniosek:
Wykluczone jest aby warunek wystarczający P8=>P2 wchodził w skład równoważności.

C.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK = (TP*SK==TP) = (TP==TP) =1
bo: TP*SK =TP

D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK = (~TP*~SK==~TP) =(~TP==~TP) =1
bo: ~TP*~SK =~TP

Wniosek:
Oba warunki wystarczające C i D wchodzą w skład definicji równoważności:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) =1*1=1

Oczywiście żaden z warunków wystarczających C lub D nie wchodzi w skład implikacji, czyli nie jest implikacją

Sprawdźmy: ~TP=>~SK
Obliczeniowa definicja implikacji prostej:
p|=>q = (p*q==p)*~(p==q)
Stąd mamy:
~TP|=>~SK = [(~TP*~SK==~TP)*~(~TP==~SK)] =[(~TP==~TP)*~(~TP==~TP)] = 1*~(1) = 1*0 =0
bo: ~TP=~SK
Wniosek:
Wykluczone jest aby zdanie D wchodziło w skład definicji implikacji prostej, czyli wykluczone jest aby warunek wystarczający D był jednocześnie implikacją prostą.


2.7 Problem zbioru pustego w algebrze Kubusia

Badamy relacje zbioru pustego w warunku wystarczającym =>:
p=>q = (p*q==p)

Możliwe są tu trzy przypadki:
1.
p=[], q=niepusty
p=>q = (p*q==p) = ([]*p==[]) =([]==[]) =1
Czy zbiór pusty zawiera się => w zbiorze niepustym?
Odpowiedź: TAK
2.
p=niepusty, q=[]
p=>q = (p*q==p) = (p*[]==p) =([]==p) =0
Czy zbiór niepusty zawiera się => zbiorze pustym?
Odpowiedź: NIE
3.
p=[], q=[]
p=>q = (p*q==p) = ([]==[]) =1
Czy zbiór pusty zawiera się => w zbiorze pustym?
Odpowiedź: TAK
Każdy zbiór, łącznie ze zbiorem pustym, jest podzbiorem niewłaściwym samego siebie

Dowód dla zbioru niepustego p=q:
p=>p = (p*p==p) = (p==p) =1
cnd


Badamy relację zbioru pustego w warunku koniecznym ~>:
p~>q = (p*q==q)

Możliwe są tu trzy przypadki:
1.
p=[], q=niepusty
p~>q = (p*q==q) = ([]*q==q) = ([]==p) =0
Czy zbiór pusty zawiera w sobie ~> zbiór niepusty?
Odpowiedź: NIE
2.
p=niepusty, q=[]
p~>q = (p*q==q) = (p*[]==[]) =([]==[]) =1
Czy zbiór niepusty zawiera w sobie ~> zbiór pusty?
Odpowiedź: TAK
3.
p=[], q=[]
p~>q = (p*q==q) = ([]==[]) =1
Czy zbiór pusty zawiera w sobie ~> zbiór pusty?
Odpowiedź: TAK
Każdy zbiór, łącznie ze zbiorem pustym, jest nadzbiorem niewłaściwym samego siebie.

Dowód dla zbioru niepustego p=q:
p~>p = (p*p==p) = (p==p)=1
cnd

Podsumowanie:
1.
Zbiór pusty zawiera się w każdym zbiorze niepustym
2.
Dowolny zbiór jest podzbiorem niewłaściwym samego siebie
3.
Dowolny zbiór jest nadzbiorem niewłaściwym samego siebie

Zbadajmy na koniec problem zbioru pustego w równoważności:
Definicja obliczeniowa równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

1.
p=[], q=niepusty
p=>q = (p*q==p) = ([]*p==[]) =([]==[]) =1
q=>p = (q*p==q) = (q*[]==q) = ([]==q)=0
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*0 =0
czyli:
zbiór pusty <=> zbiór niepusty
Wynik:
=0 - ok.

2.
p=niepusty, q=[]
p=>q = (p*q==p) = (p*[]==p) =([]==p) =0
q=>p = (q*p==q) = ([]*p==[]) = ([]==[])=1
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 0*1 =0
czyli:
zbiór niepusty <=> zbiór pusty
Wynik:
=0 - ok.

3.
p=[], q=[]
p=>q = (p*q==p) = ([]*[]==[]) =([]==[]) =1
q=>p = (q*p==q) = ([]*[]==[]) = ([]==[])=1
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*1 =1
czyli:
zbiór pusty <=> zbiór pusty
Wynik:
=1 - ok.

[mar3x]

[mar3x]

To był raczej ślepy zaułek z mojej strony. Ja się wycofuję z postulatów.

[malaavi]

[zefciu/konto zamknięte]

[malaavi]

[rafal3006]

[rafal3006]

[malaavi]

Łał, logika boga. Wcześniej byłeś uczciwszy pisząc, że po prostu naśladujesz niewiedzę pięciolatków. Ale z tą logiką boga to już idziesz w oszołomstwo pełną parą. Twoi znajomi z reala też mają możliwość poznać AK?

[rafal3006]