 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35576
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Wto 9:13, 26 Lis 2024 Temat postu: Przedszkole algebry Kubusia |
|
|
Przedszkole algebry Kubusia
2024-12-24 Premiera
Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu
Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele
I.
Pełna wersja "Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego" (Stron: 1389):
[link widoczny dla zalogowanych]
| Kod: | | https://www.dropbox.com/s/hy14p42kup25c32/Kompendium%20algebry%20Kubusia.pdf?dl=0 |
Link do pełnej wersji algebry Kubusia na forum śfinia:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,21937.html#680041
II.
Link do „Kwintesencji algebry Kubusia” w pdf (Stron 77)
[link widoczny dla zalogowanych]
| Kod: | | https://www.dropbox.com/scl/fi/avsk83obrx9t6vnfgnwkw/Algebra-Kubusia-Kwintesencja.pdf?rlkey=b24eegq1inibu9gs754ig5rcc&dl=0 |
III.
Link do „Kompendium algebry Kubusia” w pdf (Stron: 228)
[link widoczny dla zalogowanych]
| Kod: | | https://www.dropbox.com/scl/fi/uivxh4c74kaaiabg3e5ui/Algebra-Kubusia-Kwintesencja.pdf?rlkey=2hj7bsiq1e4ubn53rqabdwc9j&dl=0 |
Link do „Kompendium algebry Kubusia” na forum śfinia:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kwintesencja-algebry-kubusia,26413.html#812849
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum – bez cenzury.
Link do forum filozoficznego sfinia z jego niezwykłym regulaminem pozwalającym głosić dowolne herezje bez obawy o bana - tylko i wyłącznie dzięki temu algebra Kubusia została rozszyfrowana.
Na forum śfinia mamy dostęp do pełnej, 19 letniej historii rozszyfrowywania algebry Kubusia.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,60/
Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki (vel Lucek), Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors (vel Dagger), Słupek, Fiklit, Yorgin, Exodim, FlauFly, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski, MaluśnaOwieczka, Zefciu i inni.
Kluczowi przyjaciele Kubusia, którzy wnieśli największy wkład w rozszyfrowanie algebry Kubusia to: Rafal3006, Wuj Zbój, Volrath, Macjan, Irbisol, Fiklit (kolejność chronologiczna).
Uwaga:
„Przedszkole algebry Kubusia” to fragment z pełnej wersji algebry Kubusia.
Dla ułatwienia odnalezienia tego fragmentu w pełnej wersji AK zachowano oryginalną numerację rozdziałów.
Spis treści:
38.0 Przedszkole algebry Kubusia
38.7 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q w przedszkolu
Motto Rafała3006:
Napisać algebrę Kubusia w taki sposób, by ziemski matematyk był w stanie ją zrozumieć i zaakceptować, mimo iż na starcie nie zna ani jednej definicji obowiązującej w AK.
Algebra Kubusia to jedyna poprawna logika matematyczna pod którą podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy.
Kluczowe elementy algebry Kubusia w świecie żywym to matematyczna obsługa wszelkich obietnic i gróźb będąca fundamentem działania wszelkich istot żywych (nie tylko człowieka).
Naturalnymi ekspertami algebry Kubusia są 5-cio latki i humaniści.
Algebra Kubusia to podłożenie matematyki pod język potoczny człowieka, czyli coś, o czym matematycy marzą od 2500 lat (od Sokratesa).
Rozszyfrowanie algebry Kubusia to 19 lat dyskusji na forum filozoficznym w Polsce, to około 38 000 postów napisanych przez Rafała3006 wyłącznie w temacie "Logika matematyczna"
Pełna historia rozszyfrowywania algebry Kubusia dostępna jest na forum śfinia:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,60/
Matematycznego potwora którego nie sposób zrozumieć, zwanego dla niepoznaki Klasycznym Rachunkiem Zdań znajdziemy w każdym podręczniku matematyki do I klasy LO
Dowód iż KRZ to gwałt na rozumku każdego 5-cio latka to przykładowe zdania tu prawdziwe:
1: Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
2: Jeśli pies ma 8 łap to Księżyc krąży wokół Ziemi
3: Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.
Dowód na serio prawdziwości zdania 1 znajdziemy tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Dowód na serio prawdziwości zdania 2 znajdziemy w podręczniku matematyki do I klasy LO:
[link widoczny dla zalogowanych]
Komentarz do zdania 3 znajdziemy w Delcie'2013:
[link widoczny dla zalogowanych]
Algebrę Kubusia wyssaliśmy z mlekiem matki i nie musimy się jej uczyć - wszyscy jesteśmy jej ekspertami w praktyce bo po prostu pod nią podlegamy nie mając żadnych szans, by się od niej uwolnić. Aktualnie żaden ziemski matematyk nie wie, iż w komunikacji z 5-cio latkami i humanistami używa tylko i wyłącznie algebry Kubusia.
Mam nadzieję, że to się wkrótce zmieni, bowiem nie jest możliwe by matematycy na poziomie rozumiejący teorię bramek logicznych (są tacy) nie załapali algebry Kubusia mającej 100% pokrycie w bramkach logicznych w przełożeniu 1:1, czego dowód znajdziemy w punkcie 11.0.
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Algebra Kubusia = Biblia, napisana językiem zrozumiałym dla prostego człowieka.
Oznacza to, że 100% zdań w Biblii dotyczących obietnic i gróźb Chrystusa jest zgodnych z algebrą Kubusia tzn. żadne zdanie w Biblii w tym zakresie nie jest sprzeczne z AK.
Dowód tego faktu znajdziemy w punktach 3.6 i 4.6.
Podsumowując:
Matematyczna wersja algebry Kubusia jest tak samo potrzebna do szczęścia 5-cio latkowi i humaniście jak gramatyka języka polskiego, której nigdy nie znałem i nie znam, a mimo to po polsku piszę. Pewne elementy algebry Kubusia można nauczać już w przedszkolu w formie zabawy, bowiem 5-cio latki doskonale ją znają nie wiedząc, że to jest matematyka ścisła opisująca otaczającą nas rzeczywistość.
Polecam ciekawą genezę rozszyfrowania algebry Kubusia (punkt 39.0)
0.0 Skorowidz znaczków używanych w algebrze Kubusia
Definicje znaczków używanych w algebrze Kubusia poparto prostymi przykładami, zrozumiałymi dla każdego 5-cio latka.
I.
Nowa algebry Boole'a związana wyłącznie za spójnikami "lub"(+) i "i"(*)
1.
Znaczki elementarne (1.1):
1 = prawda
0 = fałsz
(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Definicja logiki dodatniej (bo p) i logiki ujemnej (bo ~p) (1.1.1)
2.
Spójniki podstawowe "lub"(+) i "i"(*) zgodne z językiem potocznym:
(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym (1.14)
(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym (1.15)
3.
Operatory logiczne "lub"(|+) i "i'(|*) definiowane spójnikami podstawowymi "lub"(+) i "i"(*):
(|+) - operator "lub"(|+) w języku potocznym (1.14.1)
(|*) - operator "i"(|*) w języku potocznym (1.15.1)
II.
Algebra Kubusia obsługująca zdania warunkowe "Jeśli p to q"
Definicja spójnika implikacyjnego:
Spójnik implikacyjny to spójnik związany w obsługą zdań warunkowych "Jeśli p to q" definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>
Definicje spójników implikacyjnych w algebrze Kubusia mają układ trzypoziomowy {1=>2=>3}:
1.
Elementarne spójniki implikacyjne: =>, ~>, ~~>
2.
Podstawowe spójniki implikacyjne: |=>, |~>, <=>, |~~> definiowane spójnikami elementarnymi
3.
Operatory implikacyjne: ||=>, ||~>, |<=>, ||~~> definiowane podstawowymi spójnikami implikacyjnymi.
1.
Spójniki elementarne zdań warunkowych "Jeśli p to q":
Zdarzenia:
~~> - zdarzenie możliwe w teorii zdarzeń (2.2.1)
=> - warunek wystarczający (2.2.2)
~> - warunek konieczny (2.2.3)
Zbiory:
~~> - element wspólny zbiorów w teorii zbiorów (2.3.1)
=> - warunek wystarczający (2.3.2)
~> - warunek konieczny (2.3.3)
2.
Podstawowe spójniki implikacyjne definiowane spójnikami elementarnymi:
|=> - implikacja prosta (2.12, 3.1)
|~> - implikacja odwrotna (2.13, 4.1)
<=> - równoważność (2.14, 6.1)
|~~> - chaos (2.15, 8.1)
$ - spójnik "albo" dostępny w rozszerzonej algebrze Kubusia (7.2)
3.
Operatory implikacyjne definiowane podstawowymi spójnikami implikacyjnymi:
||=> - operator implikacji prostej (2.12.1, 3.1.1)
||~> - operator implikacji odwrotnej (2.13.1, 4.1.1)
|<=> - operator równoważności (2.14.1, 6.1.1)
||~~> - operator chaosu (2.15.1, 8.1.1)
|$ - operator "albo" dostępny w rozszerzonej algebrze Kubusia (7.2.1)
III.
Pozostałe znaczki algebry Kubusia:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony (2.5.1)
## - różne na mocy definicji (2.5.1)
### - różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia (2.7.4)
Uwaga:
To są wszystkie znaczki używane w algebrze Kubusia tzn. nie są potrzebne w AK jakiekolwiek inne znaczki.
W szczególności nie ma w algebrze Kubusia rachunku kwantyfikatorów i związanych z nim znaczków: kwantyfikator mały (istnieje) \/ i kwantyfikator duży (dla każdego) /\
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 13:05, 26 Lis 2024, w całości zmieniany 3 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35576
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 9:16, 26 Lis 2024 Temat postu: |
|
|
Przedszkole algebry Kubusia
38.0 Przedszkole algebry Kubusia
Spis treści
38.0 Przedszkole algebry Kubusia 1
38.1 Elementarne spójniki implikacyjne w zbiorach 2
38.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 2
38.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 3
38.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 4
38.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 5
38.1.5 Nietrywialny błąd podstawienia ### 5
38.2 Prawa algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” 7
38.2.1 Prawo Kłapouchego 8
38.2.2 Prawo Słonia dla zbiorów 8
38.2.3 Prawo Irbisa dla zbiorów 10
38.4 Podstawowa teoria równoważności p<=>q 10
38.4.1 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach 11
38.4.2 Szybka analiza równoważności p<=>q 12
38.4.3 Równoważność Pitagorasa TP<=>SK 13
38.5 Przykład równoważności K<=>K z dziedziną minimalną D 15
38.6 Przykład równoważności K<=>K z dziedziną nieminimalną D 16
38.6.1 Operator równoważności K|<=>K z dziedziną nieminimalną D 17
38.6.2 Diagram operatora równoważności K|<=>K w dziedziną nieminimalną 21
38.6.3 Związek teorii zbiorów minimalnych z teorią zbiorów nieskończonych 23
38.0 Przedszkole algebry Kubusia
Definicja logiki abstrakcyjnej:
Logika abstrakcyjna to logika matematyczna z zerowym związkiem z naszym Wszechświatem
W podstawowej algebrze Kubusia zajmujemy się logiką matematyczną pod którą podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy (w tym matematyka).
Nie ma tu więc miejsca na logikę abstrakcyjną o definicji jak wyżej.
W algebrze Kubusia logika abstrakcyjna jest możliwa, co więcej, również jest to logika matematyczna na poziomie 5-cio latka.
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Logika abstrakcyjna = Przedszkole algebry Kubusia
Po co komu przedszkole algebry Kubusia?
W przedszkolu algebry Kubusia będziemy operować na zbiorach minimalnych, dzięki czemu wzajemne relacje wszystkich możliwych zbiorów {p, q, ~p, ~q} będziemy dowodzić w trywialny sposób (dosłownie na poziomie 5-cio latka), mający jednak przełożenie 1:1 na zbiory nieskończone których z definicji nie da się iterować element po elemencie.
Matematyka działa na zbiorach nieskończonych. Cała dotychczasowa algebra Kubusia w zbiorach również oparta była na zbiorach nieskończonych. Myślę, że ta dla wielu uczniów I klasy LO (to im dedykuję AK) zbiory nieskończone mogą okazać się potworem.
Tymczasem calusieńką AK można zrozumieć operując na zbiorach minimalnych doskonale rozumianych przez wszystkie 5-cio latki.
W przedszkolu ograniczymy się do czterech, różnych na mocy definicji elementów:
K=Kubuś
P=Prosiaczek
T=Tygrysek
S=Słoń
Maksymalna dziedzina Dmax której będziemy potrzebować to:
Dmax (dziedzina) = [K+P+T+S]
Dmax = [Kubuś + Prosiaczek + Tygrysek + Słoń]
Wyżej wymienione elementy są potrzebne i wystarczające dla 100% wyjaśnienia algebry Kubusia w zbiorach i wszystkich jej niuansów.
Mam nadzieję, że to posunięcie przekona do algebry Kubusia każdego matematyka.
Algebra Kubusia to nowa idea matematyczna, to spojrzenie na logikę matematyczną z dziewiczej strony, nieznanej ziemskim matematykom.
Tabele zero-jedynkowe operatorów dwuargumentowych używane w algebrze Kubusia znane są ziemskim matematykom, jednak ich interpretacja jest fundamentalnie inna.
Z powyższego wynika, że wszyscy ziemianie, także zawodowi matematycy, powinni zacząć swoją przygodę z algebrą Kubusia od przedszkola algebry Kubusia. W przełożeniu na matematykę klasyczną jest to odpowiednik nauki tabliczki mnożenia do 100 w IV klasie szkoły podstawowej.
38.1 Elementarne spójniki implikacyjne w zbiorach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów/zdarzeń p i q.
38.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] np. 24
38.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić relację podzbioru P8=>P2 potrafi każdy matematyk.
W zapisie formalnym mamy tu:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Gdzie:
p - przyczyna (część zdania po "Jeśli …")
q - skutek (część zdania po "to…")
Podsumowując:
| Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>:
Zapis formalny:
A1: p=>q = ~p+q
Zapis aktualny (przykład):
A1: p=P8
A1: q=P2
A1: P8=>P2=~P8+P2
|
38.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach
Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
W zapisie formalnym mamy tu:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Gdzie:
p - przyczyna (część zdania po "Jeśli …")
q - skutek (część zdania po "to…")
Podsumowując:
| Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>:
Zapis formalny:
B1: p~>q = p+~q
Zapis aktualny (przykład):
B1: p=P2
B1: q=P8
B1: P2~>P8=P2+~P8
|
38.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2=1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2, bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8…], co każdy matematyk udowodni.
Na mocy definicji kontrprzykładu, z prawdziwości warunku wystarczającego A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Dowód wprost:
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9…] bo dowolny zbiór liczb parzystych jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych.
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywości zdania A1' nie musimy udowadniać, ale możemy, co zrobiono wyżej.
Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’
38.1.5 Nietrywialny błąd podstawienia ###
Piętą Achillesową logiki matematycznej ziemian jest nieodróżnianie w rachunku zero-jedynkowym definicji warunku wystarczającego p=>q od definicji warunku koniecznego p~>q.
Fatalny sutek powyższego, to brak zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego p~>q w logice matematycznej ziemian.
Geneza tego błędu jest następująca:
I.
Weźmy przykład ilustrujący warunek wystarczający p=>q w logice matematycznej:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić relację podzbioru P8=>P2 potrafi każdy matematyk.
Podsumowując:
| Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>:
Zapis formalny:
A1: p=>q = ~p+q
Zapis aktualny (przykład - punkt odniesienia):
A1: p=P8
A1: q=P2
A1: P8=>P2=~P8+P2
|
###
I.
Weźmy przykład ilustrujący warunek konieczny p~>q w logice matematycznej:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Podsumowując:
| Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>:
Zapis formalny:
B1: p~>q = p+~q
Zapis aktualny (przykład - punkt odniesienia):
B1: p=P2
B1: q=P8
B1: P2~>P8=P2+~P8
|
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej popełniamy nietrywialny błąd podstawienia ###
Zapiszmy powyższe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w tabeli prawdy.
Dowód:
| Kod: |
Nietrywialny błąd podstawienia ###:
Definicja warunku wystarczającego =>: | Definicja warunku koniecznego ~>:
Zapis formalny: | Zapis formalny:
1. A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
------------------------------------------------------------------------
Zapis aktualny (punkt odniesienia): | Zapis aktualny (punkt odniesienia)
2. A1: p=P8 ### B1: p=P2
3. A1: q=P2 ### B1: q=P8
4. A1: P8=>P2=~P8+P2 ### B1: P2~>P8=P2+~P8
## - różne na mocy definicji
### - nietrywialny błąd podstawienia
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zauważmy że:
1.
Suma logiczna (+) jest przemienna stąd w linii 4 zachodzi pozorna tożsamość logiczna [=].
2.
W rzeczywistości pozorna tożsamość [=] w linii 4 nie zachodzi, bowiem mamy tu do czynienia z nietrywialnym błędem podstawienia ###
3.
W liniach 2 i 3 doskonale widać na czym ten nietrywialny błąd podstawienia ### polega:
Warunek wystarczający A1: p=>q jest tu obserwowany z punktu odniesienia p=P8 i q=P2
Natomiast:
Warunek konieczny B1: p~>q jest tu obserwowany z innego punktu odniesienia p=P2 i q=P8
Prawo punktu odniesienia:
Porównywanie czegokolwiek z czymkolwiek jest matematycznie poprawne wtedy i tylko wtedy gdy patrzymy na problem z tego samego punktu odniesienia.
Stąd mamy:
Definicja nietrywialnego błędu podstawienia ###:
Nietrywialny błąd podstawienia ### występuje wtedy i tylko wtedy gdy w zapisie formalnym mamy do czynienia ze znaczkiem różne na mocy definicji ##, zaś w zapisie aktualnym skolerowanym z zapisem formalnym zachodzi tożsamość logiczna [=].
Nietrywialny błąd podstawienia ### wymusza wprowadzenie do logiki matematycznej prawa Kłapouchego, zapobiegającego niejednoznaczności logiki matematycznej, o czym będzie za chwilkę.
38.2 Prawa algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej [=] dla zapisu wieloczłonowego (patrz prawo Słonia niżej)
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
38.2.1 Prawo Kłapouchego
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
38.2.2 Prawo Słonia dla zbiorów
Największą tragedią ziemskiej logiki matematycznej jest brak prawa Słonia dla zbiorów i zdarzeń.
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwości/fałszywości dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą ”nie wprost"
Przykład:
Zbadaj czy zachodzi warunek wystarczający => w poniższym zdaniu:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
A1: P8=>P2=?
Rozwiązanie:
Na mocy prawa Kłapouchego zapis formalny (ogólny) zdania A1 to:
A1: p=>q =1
Gdzie:
p=P8
q=P2
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q matematyczne twierdzenie proste =>
W metodzie "nie wprost" na mocy prawa Słonia dowodzimy prawdziwości relacji podzbioru =>.
Innymi słowy badamy:
Czy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]?
Oczywiście relacja podzbioru => jest (=1) tu spełniona:
P8=>P2=1
co każdy matematyk bez trudu udowodni.
W tym momencie na mocy prawa Słonia mamy udowodnione metodą "nie wprost" dwa fakty czysto matematyczne:
1.
Twierdzenie proste A1 jest prawdziwe
A1: P8=>P2 =1
2.
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2
A1: P8=>P2 =1
Podsumowując:
Z gołych definicji podzbioru => i warunku wystarczającego => nic w matematyce nie wynika, dopóki nie poznamy prawa Słonia.
Dopiero prawo Słonia w dowodzeniu prawdziwości warunku wystarczającego =>, czy też prawdziwości samego zdania warunkowego „Jeśli p to q" ma fundamentalne znaczenie, co udowodniono ciut wyżej.
38.2.3 Prawo Irbisa dla zbiorów
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Dowód:
Oczywistość, bo na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> siebie samego.
38.4 Podstawowa teoria równoważności p<=>q
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa.
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q=1
--------------------------------------------------------------------------
Równoważność <=> definiuje: | Równoważności <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1 [=] 5: p*q+~p*~q
tożsamość zbiorów/zdarzeń: | tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Relacje zbiorów w tabeli prawdy TR są następujące:
A1B1: p=q [=] A3B3: q=p - przemienność zbiorów tożsamych jest oczywistością
#
A2B2: ~p=~q [=] A4B4: ~q=~p - przemienność zbiorów tożsamych jest oczywistością
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna zbiorów
38.4.1 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q (p=q).
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie).
Dziedzina w równoważności p<=>q musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie zbiory {p, q, ~p, ~q} będą niepuste (będą rozpoznawalne), co widać na poniższym diagramie DR. Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka lub jeszcze nie zdefiniowanych.
Stąd łatwo rysujemy diagram równoważności p<=>q w zbiorach:
| Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach.
---------------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|-----------------------------------|-------------------------------------|
| q | ~q |
|-------------------------------------------------------------------------|
| p=q # ~p=~q |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Prawa Kubusia: |
| A1: p=>q=~p+q=1 (p*q=1) [=] A2:~p~>~q=~p+q=1 (~p*~q=1) |
| ## | ## |
| B1: p~>q=p+~q=1 (p*q=1) [=] B2:~p=>~q=p+~q=1 (~p*~q=1) |
| Stąd: |
| A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)[=]A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
|-------------------------------------------------------------------------|
| Tożsamości zbiorów na mocy prawa Irbisa |
| A1B1: p=q # A2B2: ~p=~q |
| Wyjaśnienie: |
| p=q - w równoważności p<=>q zbiory tożsame p=q na mocy prawa Irbisa |
| ~p=[D-p] - zaprzeczeniem # zbioru p jest zbiór ~p=[D-p] | | ~q=[D-q] - zaprzeczeniem # zbioru q jest zbiór ~q=[D-q]
|-------------------------------------------------------------------------|
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| Gdzie: |
| # - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony |
| ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>|
| [=], "=", <=> - znaczki tożsamości logicznej |
| p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia |
---------------------------------------------------------------------------
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
3.
Na mocy diagramu DR mamy:
Szybka analiza równoważności p<=>q w zbiorach:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
A1': p~~>~q=p*~q=0 - na mocy prawa kontrapozycji dla A1
.. a jeśli zajdzie ~p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2:~p=>~q=1 -zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
B2': ~p~~>q=~p*q=0 - na mocy prawa kontrapozycji dla B2
|
38.4.2 Szybka analiza równoważności p<=>q
Na mocy powyższego diagramu DR, zapisujemy szybką analizę równoważności przydatną w zbiorach minimalnych gdzie dowód wzajemnych relacji zborów p i q w dowolnych przeczeniach jest trywialny.
| Kod: |
Szybka analiza równoważności p<=>q:
A1: p=> q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
A1': p~~>~q=p*~q=0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne
.. a jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
B2':~p~~>q=~p*q=0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samym p i q, inaczej błąd podstawienia
|
38.4.3 Równoważność Pitagorasa TP<=>SK
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Współczesna matematyka klasyczna zawęża swoje działanie tylko i wyłącznie do dowodu twierdzeń prostych A1: p=>q i twierdzeń odwrotnych B3: q=>p.
Matematycy znają poprawną definicję równoważności p<=>q jako jednoczesną prawdziwość twierdzenia prostego A1: p=>q i odwrotnego B3: q=>p.
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie proste A1: p=>q i jednocześnie prawdziwe jest twierdzenie odwrotne B3: q=>p
Na mocy powyższej definicji matematycy poprawnie dowodzą prawdziwości/fałszywości równoważności p<=>q. Problem w tym, że nie wiedzą co w istocie oznacza udowodniona równoważność prawdziwa p<=>q.
Klasyczna definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 – zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy równoważność p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Prawą stronę możemy przeczytać jako:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~>(B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Równoważność jest przemienna, stąd kolejny zapis tożsamy:
Do tego by zaszło q potrzeba ~> (B1) i wystarcza =>(A1) by zaszło p
Prawa strona równoważności p<=>q to znana każdemu człowiekowi definicja równoważności:
Dowód:
Klikamy na googlach:
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: kilkanaście tysięcy
„konieczne i wystarczające”
Wyników: kilkanaście tysięcy
"potrzeba i wystarcza"
Wyników: kilkanaście tysięcy
Kluczowa dla matematyki jest tożsama definicja równoważności p<=>q w zbiorach sformułowana na mocy prawa Tygryska i prawa Słonia
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Prawa Słonia:
Warunek wystarczający => = Relacja podzbioru =>
Stąd mamy:
Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
A1: p=>q =1 – zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B3: q=>p =1 – zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
Stąd mamy równoważność p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1=1
Przykład:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Prawa strona to:
A1.
Twierdzenie proste Pitagorasa A1: p=>q:
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny TP to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów SK
TP=>SK=1
Bycie trójkątem prostokątnym TP jest (=1) warunkiem wystarczającym => by zachodziła w nim suma kwadratów wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu
B3.
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3: q=>p:
Jeśli w dowolnym trójkącie zachodzi suma kwadratów SK to na 100% => jest to trójkąt prostokątny TP
SK=>TP =1
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów SK jest (=1) warunkiem wystarczającym => by ten trójkąt był prostokątny TP wtedy i tylko wtedy gdy zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru q (B3)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
W przełożeniu na równoważność Pitagorasa TP<=>SK mamy:
A1B3: TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = A1B3: TP<=>SK
Zauważmy, że na mocy prawa Irbisa wystarczy nam informacja o tożsamości zbiorów:
A1B3: TP=SK
co powoduje, że znamy wynik iterowania po nieskończonych zbiorach TP i SK w dowolną stronę, bez potrzeby rzeczywistego iterowania!
Co oznacza tożsamość zbiorów:
TP=SK?
Czytamy:
Każdy trójkąt prostokątny ze zbioru TP ma swój unikalny odpowiednik w zbiorze trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów SK (i odwrotnie)
38.5 Przykład równoważności K<=>K z dziedziną minimalną D
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q (p=q). Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie).
Wniosek:
Dziedzina w równoważności p<=>q musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia {p, q, ~p, ~q} będą rozpoznawalne, czyli będą zbiorami niepustymi. Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka lub jeszcze nie zdefiniowanych.
Przykład 1
Oczywistym jest, że wystarczą dwa różne elementy zbiorów na których można zbudować definicję równoważności p<=>q np.
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Dziedzina minimalna to:
D=[K+P] (Kubuś+Prosiaczek)
Dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q =[K] bowiem wtedy i tyko wtedy możemy analizować zdania warunkowe „Jeśli p to q" definiujące równoważność p<=>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Innymi słowy:
Niepuste muszą być zbiory {p, q, ~p, ~q}
Obliczamy przeczenia zbiorów p i q definiowane jako ich uzupełnienia do dziedziny D
~p=[D-p]=[(K+P)-K]=[P] (Prosiaczek)
~q=[D-q]=[(K+P)-K] = [P] (Prosiaczek)
Podsumowanie:
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Dziedzina:
D=[K+P] (Kubuś+Prosiaczek)
~p=[P] (Prosiaczek)
~q=[P] (Prosiaczek)
Sprawdzenie poprawności zdefiniowanych zbiorów p i q oraz dziedziny szybką analizą równoważności p<=>q
| Kod: |
Szybka analiza równoważności p<=>q:
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Dziedzina:
D=[K+P] (Kubuś+Prosiaczek)
~p=[P] (Prosiaczek)
~q=[P] (Prosiaczek)
A1: p=> q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
A1: p=[K]=>q=[K]=1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
;
A1': p~~>~q=p*~q=0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne
A1': p=[K]~~>~q=[P]=[K]*[P]=[]=0 - zbiory p i ~q są rozłączne.
.. a jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
B2: ~p=[P]=>~q=[P]=1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
;
B2':~p~~>q=~p*q=0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne
B2':~p=[P]~~>q=[K]=[P]*[K]=[]=0 - zbiory ~p i q są rozłączne.
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samym p i q, inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać, że przyjęte zbiory p i q oraz dziedzina D spełniają definicję równoważności p<=>q
cnd
38.6 Przykład równoważności K<=>K z dziedziną nieminimalną D
Przykład 2
Rozważmy zbiory tożsame:
p=q
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Przyjmijmy ciut większą wspólną dziedzinę dla zbiorów p i q by przykład nie był zbyt trywialny:
D = [K+P+T]
D = [Kubuś+Prosiaczk+Tygrysek]
Obliczamy przeczenia zbiorów p i q definiowane jako ich uzupełnienia do dziedziny D
~p=[D-p] = [(K+P+T)-K] = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q=[D-q] = [(K+P+T)-K] = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
Podsumowanie:
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Wspólna dziedzina:
D = [K+P+T]
D = [Kubuś+Prosiaczk+Tygrysek]
~p = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
Zauważmy, że z punktu widzenia równoważności p<=>q wszystko jest tu w porządku:
Po pierwsze:
Tożsamość zbiorów:
p=q = [K] (Kubuś)
Wymusza tożsamość zbiorów:
~p=~q =[P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
Po drugie:
Spełniona jest definicja wspólnej dziedziny dla p i q:
p*q = [K]*[P+T] =[] =0
p+q = [K]+[P+T]=[K+P+T] =D(dziedzina) =1
cnd
Sprawdzenie poprawności zdefiniowanych zbiorów p i q oraz dziedziny szybką analizą równoważności p<=>q
| Kod: |
Szybka analiza równoważności p<=>q:
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Wspólna dziedzina:
D = p+q = [K+P+T]
D = [Kubuś+Prosiaczk+Tygrysek]
~p = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
A1: p=> q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
A1: p=[K]=>q=[K]=1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
;
A1': p~~>~q=0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne
A1': p=[K]~~>~q=[P+T]=[K]*[P+T]=0 - zbiory p i ~q są rozłączne.
.. a jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
B2: ~p=[P+T]=>~q=[P+T]=1 -każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
;
B2':~p~~>q =0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne
B2':~p=[P+T]~~>q=[K]=[P+T]*[K]=0 - zbiory ~p i q są rozłączne.
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samym p i q, inaczej błąd podstawienia
|
38.6.1 Operator równoważności K|<=>K z dziedziną nieminimalną D
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q (p=q).
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie).
Wniosek:
Dziedzina w równoważności p<=>q musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie zbiory {p, q, ~p, ~q} będą niepuste (rozpoznawalna). Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka lub jeszcze nie zdefiniowanych.
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa dla przykładu 2.
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku podzbioru => i nadzbioru ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Nasz przykład:
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Wspólna dziedzina:
D = [K+P+T]
D = [Kubuś+Prosiaczk+Tygrysek]
~p = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
A": 1: [K]=>[K] = 2:[P+T]~>[P+T] [=] 3: [K]~>[K] = 4: [P+T]~>[P+T]
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
B": 1: [K]~>[K] = 2: [P+T]=>[P+T] [=] 3: [K]=>[K] = 4: [P+T]~>[P+T]
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=> definiuje: | Równoważności <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2: ~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4: ~q<=>~p=1
AB": 1: [K]<=>[K] = 2: [P+T]<=>[P+T] [=] 3: [K]<=>[K] = 4: [P+T]<=>[P+T]
tożsamość zbiorów: | tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
AB": 1: [K]=[K] # 2: [P+T]=[P+T] | 3: [K]=[K] # 4: [P+T]=[P+T]
Zaprzeczenie zbiorów ~p i ~q dotyczy dziedziny:
D=[K+P+T]
Przykład:
~p=[D-p]=[D-K]=[K+P+T-K]=[P+T]
~q=[D-q]=[D-K]=[K+P+T-K]=[P+T]
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
W tabeli równoważności TR dla naszego przykładu doskonale widać spełnione relacje podzbioru => i nadzbioru ~> we wszystkich zdaniach serii Ax i Bx.
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Na mocy prawa Sowy równoważność prawdziwa p<=>q determinuje prawdziwość operatora równoważności p|<=>q.
Definicja operatora równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Nasz przykład:
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Wspólna dziedzina:
D = [K+P+T](Kubuś + Prosiaczek + Tygrysek)
~p = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom.
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q.
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Nasz przykład:
p=[K] => q=[K] =1 - bo każdy zbiór jest (=1) podzbiorem => siebie samego.
Czytamy:
Jeśli z dziedziny D=[K+P+T] wylosujemy element należący do zbioru p=[K] to ten element na 100% => gdzie należał do zbioru q=[K]
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p=[K] jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru q=[K] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K].
Jak widać prawo Słonia samo nam tu wyskoczyło.
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Fałszywość zdania A1' wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód "nie wprost"
Dowód wprost dla naszego przykładu mamy niżej.
p=[K]~~>~q=[P+T] = [K]*[P+T} =[] =0 - bo zbiory p=[K] i ~q=[P+T] są rozłączne
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p=[K] i ~q=[P+T]
cnd
… co się stanie jeśli z dziedziny D=[K+P+T] wylosujemy element należący do zbioru ~p=[P+T]?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom.
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q:
Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q.
A2B2: ~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)= A2B2: ~p<=>~q
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Nasz przykład:
~p=[P+T] => ~q=[P+T] =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
Czytamy:
Jeśli z dziedziny D=[K+P+T] wylosujemy element należący do zbioru ~p=[P+T] to ten element na 100% => gdzie należał do zbioru ~q=[P+T]
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p=[P+T] jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru ~q=[P+T] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p=[P+T] jest podzbiorem => zbioru ~q=[P+T]
Jak widać prawo Słonia samo nam tu wyskoczyło.
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Fałszywość zdania B2' wynika z definicji kontrprzykładu - to jest dowód "nie wprost"
Dowód wprost dla naszego przykładu mamy niżej.
~p=[P+T] ~~> q=[K] = [P+T]*[K] =[] =0 - bo zbiory ~p=[P+T] i q=[K] są rozłączne.
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~p i q
Podsumowując:
Równoważność p<=>q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to będziemy mieli za chwilkę w operatorach implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q.
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań tworzących operator równoważności p|<=>q (A1, A1’,B2, B2’) jest bez znaczenia co oznacza, iż zdania w powyższej analizie możemy dowolnie przestawiać
38.6.2 Diagram operatora równoważności K|<=>K w dziedziną nieminimalną
Przenieśmy nasz przykład równoważności do diagramu równoważności
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Wspólna dziedzina:
D = [K+P+T](Kubuś + Prosiaczek + Tygrysek)
~p = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
| Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach.
---------------------------------------------------------------------------
| p=[K] | ~p=[P+T] |
|-----------------------------------|-------------------------------------|
| q=[K] | ~q=[P+T] |
|-------------------------------------------------------------------------|
| p=q # ~p=~q |
| [K]=[K] # [P+T]=[P+T] |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Prawa Kubusia: |
| A1: p=>q=~p+q=1 (p*q=1) [=] A2: ~p~>~q=~p+q=1 (~p*~q=1) |
| A1": [K]=>[K] =1 [=] A2": [P+T]~>[P+T] =1 |
| ## | ## |
| B1: p~>q=p+~q=1 (p*q=1) [=] B2: ~p=>~q=p+~q=1 (~p*~q=1) |
| B1": [K]=>[K] =1 [=] B2": [P+T]=>[P+T] =1 |
| Stąd: |
| A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)[=]A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
|-------------------------------------------------------------------------|
| Tożsamości zbiorów na mocy prawa Irbisa |
| A1B1: p=q # A2B2: ~p=~q |
| A1B1": [K]=[K] # A2B2" [P+T]=[P+T] |
| Wyjaśnienie: |
| p=[K] |
| q=[K] |
| D=[K+P+T] |
| ~p=[D-p]=[D-K]=[P+T] - zaprzeczeniem # zbioru p=[K} jest zbiór ~p=[P+T] |
| ~q=[D-q]=[D-K]=[P+T] - zaprzeczeniem # zbioru q=[K} jest zbiór ~q=[P+T] |
|-------------------------------------------------------------------------|
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| A1": [K]~~>[P+T]= [K]*[P+T]=[]=0 - zbiory rozłączne |
| ; |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2": [P+T]~~>[K]= [P+T]*[K]= []=0 - zbiory rozłączne |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q + B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| D=A1: [K]*[K]+ B2: [P+T]*[P+T] = [K+P+T] - suma zbiorów niepustych |
| Gdzie: |
| # - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony |
| ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>|
| [=], "=", <=> - znaczki tożsamości logicznej |
| p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia |
---------------------------------------------------------------------------
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
3.
Na mocy diagramu DR mamy:
Szybka analiza równoważności p<=>q w zbiorach:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
A1': p~~>~q=p*~q=0 - na mocy prawa kontrapozycji dla A1
.. a jeśli zajdzie ~p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2:~p=>~q=1 -zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
B2': ~p~~>q=~p*q=0 - na mocy prawa kontrapozycji dla B2
|
38.6.3 Związek teorii zbiorów minimalnych z teorią zbiorów nieskończonych
Porównajmy omówiona wyżej analizę równoważności p<=>q w zbiorach minimalnych z równoważnością w zbiorach nieskończonych TP<=>SK (pkt. 16.9)
Doskonale widać przełożenie 1:1 czyli:
W obu przypadkach spełniona jest tabela prawdy równoważności p<=>q.
Analogia jest tu absolutna:
1.
Dziedziną w naszej przykładowej równoważności minimalnej p<=>q w zbiorach minimalnych są trzy elementy:
D= [K+P+T]
D=[Kubuś+Prosiaczek+Tygrysek]
wzajemnie rozłączne i uzupełniające się do dziedziny D:
2.
Dziedziną w równoważności TP<=>SK w zbiorach jest zbiór wszystkich trójkątów ZWT czyli nieskończony zbiór elementów rozłącznych, uzupełniających się do dziedziny ZWT.
D (dziedzina) = ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Elementów w zbiorze ZWT jest nieskończenie wiele ale istota działania równoważności TP<=>SK jest identyczna jak w naszej równoważności p<=>q operującej na zbiorze minimalnym D=[K+P+T]
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35576
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 9:18, 26 Lis 2024 Temat postu: |
|
|
Przedszkole algebry Kubusia
38.7 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q w przedszkolu
Spis treści
38.7 Implikacja prosta p|=>q w przedszkolu 1
38.7.1 Diagram implikacji prostej p|=>q 2
38.8 Przykład implikacji prostej p|=>q w zbiorach minimalnych 4
38.8.1 Operator implikacji prostej p||=>q w zbiorach minimalnych 5
38.8.2 Związek teorii zbiorów minimalnych z teorią zbiorów nieskończonych 9
38.9 Implikacja odwrotna p|~>q w przedszkolu 10
38.9.1 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q 11
38.10 Przykład implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach minimalnych 12
38.10.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach minimalnych 14
38.10.2 Związek teorii zbiorów minimalnych z teorią zbiorów nieskończonych 18
38.11 Implikacja prosta p|=>q vs implikacja odwrotna p|~>q 18
38.11.1 Definicja znaczka różne na mocy definicji ## 20
38.11.2 Definicja znaczka różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia ### 22
38.11.3 Warunek poprawności logiki matematycznej 25
38.7 Implikacja prosta p|=>q w przedszkolu
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1)
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: p|=>q=~p*q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej dla wielu zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
38.7.1 Diagram implikacji prostej p|=>q
Tożsamości pojęć na mocy prawa Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Stąd:
Na mocy prawa Słonia zapisujemy definicję implikacji prostej p|=>q w zbiorach
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q, inaczej nie wszystkie pojęcia {p, q,~p,~q} będą rozpoznawalne, co doskonale widać w diagramie DIP niżej.
A1: p=>q =1 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q (A1), ale nie jest nadzbiorem ~> q (B1)
Stąd mamy tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>:
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie relacji podzbioru =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 – zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q w zbiorach można bardzo ładnie przedstawić na diagramie zbiorów ilustrującym wszelkie zachodzące tu relacje.
| Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q + A2:~p*~q + B2’:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q:
A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Kontrprzykład dla prawdziwego A1 musi być fałszem:
A1’: p~~>~q=p*~q =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1:p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => ~q
Kontrprzykład dla fałszywego B2 musi być prawdą:
B2’:~p~~>q=~p*q=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
II.
Po zamianie p i q:
A3B3:
A3: q~>p =1 - zbiór q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru p
B3: q=>p =0 - zbiór q nie jest (=0) podzbiorem => zbioru p
Kontrprzykład dla fałszywego B3 musi być prawdą:
B3’: q~~>~p=q*~p=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów q i ~p
A3B3: q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) =1*~(0)=1*1 =1
A4B4:
A4:~q=>~p=1 - zbiór ~q jest (=1) podzbiorem => ~p
B4:~q~>~p=0 - zbiór ~q nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~p
Kontrprzykład dla prawdziwego A4 musi być fałszem:
A4’: ~q~~>p=~q*p=0
A4B4: ~q|=>~p = (A4:~q=>~p)*~(~q~>~p) =1*~(0)=1*1 =1II.
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
W implikacji prostej p|=>q po stronie p mamy gwarancję matematyczną =>
o czym mówi zdanie A1: p=>q=1
2.
W implikacji prostej p|=>q po stronie ~p mamy najzwyklejsze
„rzucanie monetą” o czym mówią zdania A2: ~p~~>~q=1 oraz B2’: ~p~~>q=1
3.
Implikacja prosta p|=>q to trzy i tylko trzy zbiory niepuste (A1, B2’, A2)
i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
|
Dowód rozłączności zbiorów A1, B2’ i A2 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1: p*q
B2’: ~p*q
A2: ~p*~q
Badamy rozłączność zbiorów każdy z każdym:
A1*B2’ = (p*q)*(~p*q) =[] - bo p*~p=[]
A1*A2 = (p*q)*(~p*~q)=[] - bo p*~p=[]
B2’*A2 = (~p*q)*(~p*~q)=[] - bo q*~q=[]
cnd
38.8 Przykład implikacji prostej p|=>q w zbiorach minimalnych
Łatwo widzieć, że dla spełnienia powyższej definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach minimalnych potrzeba i wystarcza trzy elementy.
Przyjmijmy następujące trzy elementy na poziomie 5-cio latka:
K – Kubuś
P – Prosiaczek
T – Tygrysek
Definicja dziedziny dla zbiorów:
Dziedziną nazywany zbiór elementów niepustych i wzajemnie rozłącznych na których operujemy.
W analizie matematycznej nie uwzględniamy żadnych elementów spoza wybranej dziedziny, bowiem dla elementów spoza dziedziny wszelkie zdania warunkowe "Jeśli p to q" będą fałszywe, co łatwo udowodnić.
Nasza dziedzina to:
D = [K+P+T]
D=[Kubuś+Prosiaczek+Tygrysek]
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmujemy zdanie wejściowe do analizy:
A1.
Jeśli p to q
A1: p=>q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Przynależność dowolnego elementu z dziedziny D do zbioru p jest wystarczająca => dla jego przynależności do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Na mocy prawa Słonia definiujemy minimalne zbiory p i q:
p=K
q=K+P
p+q = K+K+T = K+T
Na mocy definicji implikacji prostej p|=>q dziedzinę D musimy przyjąć szerszą od sumy logicznej zbiorów p+q, stąd potrzebny nam będzie trzeci element, zmienna wolna T.
D=K+P+T
D = [Kubuś+Prosiaczek+Tygrydek]
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów p i q definiowane jako ich uzupełnienia do dziedziny D.
~p=[D-p] = [D-K]=[K+P+T - K] = [P+T]
~q=[D-q]=[D-(K+T)=[K+P+T-(K+P)]=[T]
Podsumujmy:
p=[K]
q=[K+P]
~p=[P+T]
~q=[T]
Zauważmy, że wyłącznie dzięki zmienne wolnej T wszystkie zbiory {p, q, ~p, ~q} są niepuste i rozpoznawalne, co jest warunkiem koniecznym analizy zdania warunkowego "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q. Z definicji nie możemy bowiem operować na zbiorze pustym, czyli na pojęciach dla nas niezrozumiałych.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna nie występująca w opisie matematycznym układu, konieczna dla poprawnego działania układu.
W naszym układzie zmienną wolną jest T (tygrysek).
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q, inaczej nie wszystkie pojęcia {p, q,~p,~q} będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Doskonale widać spełnienie definicji implikacji prostej p|=>q zbudowanej na zaledwie trzech elementach.
38.8.1 Operator implikacji prostej p||=>q w zbiorach minimalnych
Nasz przykład:
D=[K+P+T] – dziedzina minimalna
D = [Kubuś+Prosiaczek+Tygrydek]
Wszystkie przeczenia zbiorów policzyliśmy wyżej:
p=[K]
q=[K+P]
~p=[P+T]
~q=[T]
Stąd mamy tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>:
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie relacji podzbioru =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zbiór p=[K] jest (=1) podzbiorem => zbioru q=[K+P]
B1: p~>q =0 – zbiór p=[K] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q=[K+P]
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia {p,q}:
p=[K]
q=[K+P]
~p=[P+T]
~q=[T]
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 = 2: ~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 = 4: ~q=> ~p =1
1: [K]=>[K+P]=1 = 2: [P+T]~>[T]=1 [=] 3: [K+T]~>[K]=1 = 4: [T]=>[P+T]=1
## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 = 2: ~p=> ~q =0 [=] 3: q=> p =0 = 4: ~q~> ~p =0
B: 1: [K]~>[K+P]=0 = 2: [P+T]=>[T]=0 [=] 3: [K+T]=>[K]=0 = 4: [T]~>[P+T]=0
Gdzie:
p=>q - relacja podzbioru =>, p jest (=1) podzbiorem => q
p~>q - relacja nadzbioru ~>, p jest (=1) nadzbiorem ~>q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja prosta p|=>q determinuje prawdziwość operatora implikacji prostej p||=>q.
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
Kolumna A1B1:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Nasze zbiory minimalne {p, q, ~p i ~q} to:
D=[K+P+T] - wspólna dziedzina dla p i q
D = [Kubuś+Prosiaczek+Tygrydek]
p=[K]
q=[K+P]
~p=[P+T]
~q=[T]
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
A1: p=>q =1
Zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Nasz przykład:
A1: p=[K] => q=[K+P] =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p=[K] jest warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru q=[K+P] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K+P]
Dowód bezpośredni zachodzącego tu warunku wystarczającego =>:
Jednoelementowy zbiór p=[Kubuś] jest podzbiorem => zbioru dwuelementowego q=[Kubuś+Prosiaczek]
cnd
Zdanie A1 czytamy również jako:
Jeśli z dziedziny D=[K+P+T] wylosujemy element należący do zbioru p=[K] to ten element na 100% => będzie należał do zbioru q=[K+T] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K+T].
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu należącego do zbioru p jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Powyższe zdanie prawdziwe to po prostu nasze prawo Słonia, gdzie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: p i ~q
Nasz przykład:
p=[K]~~>~q=[T] = [K]*[T] =[] =0
Dowód „nie wprost” fałszywości zdania A1’ wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
Dowód bezpośredni to:
Jednoelementowy zbiór p=[Kubuś] jest rozłączny (=0) z jednoelementowym zbiorem ~q=[Tygrysek]
cnd
… co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2
p=[K]
q=[K+P]
~p=[P+T]
~q=[T]
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajście ~q bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
Nasz przykład:
~p=[P+T]~>~q=[T]=1
Dowód "nie wprost" prawdziwości zdania A2 wynika z prawa Prosiaczka.
Sprawdzenie dowodem wprost:
Dwuelementowy zbiór ~p=[Prosiaczek + Tygrysek] jest (=1) nadzbiorem ~> jednoelementowego zbioru ~q=[Tygrysek]
cnd
Zdanie A2 czytamy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p jest warunkiem koniecznym ~> by ten element należał do zbioru ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbiory ~q.
Powyższe zdanie prawdziwe to po prostu nasze prawo Słonia, gdzie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
Prawdziwość zdania B2’ wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost” - nic a nic nie musimy więcej udowadniać.
Sprawdzenie dowodem wprost:
~p=[P+T]~~>q=[K+P] = [P+T]*[K+P] =[P] =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
Doskonale tu widać że zbiór ~p nie jest ani podzbiorem => zbioru q, ani też nadzbiorem ~> zbioru q
Ten przypadek pokazuje druzgocącą przewagę przedszkola algebry Kubusia gdzie operujemy na zbiorach minimalnych nad pełną algebrą Kubusia gdzie operujemy na zbiorach nieskończonych (np. P8|=>P2)
Dodatkowo możemy sprawdzić dowodem wprost, czy rzeczywiście fałszywy jest warunek wystarczający B2.
B2.
~p=>~q =0
Sprawdzenie:
~p=[P+T] => ~q=[T] =0
Zbiór dwuelementowy ~p=[Prosiaczek+Tygrysek] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru jednoelementowego ~q=[Tygrysek]
cnd
Zdania A2 i B2 możemy przeczytać łącznie w następujący sposób:
Jeśli z dziedziny D=[K+P+T] wylosujemy element należący do zbioru ~p=[P+T] to ten element może ~> należeć do zbioru ~q=[T] (zdanie A2) lub może ~~> należeć do zbioru q=[K+P] (zdanie B2')
Trzeciej możliwości brak.
Matematycznie zachodzi:
A2: ~q=[T] + B2": q=[K+P] = [K+P+T] =D (dziedzina) =1
co jest oczywistością bo musi być:
~q+q = D(dziedzina) =1
inaczej teoria byłaby do bani.
Podsumowując:
Implikacja prosta p|=>q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1 oraz najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p o czym mówią zdania A2 i B2’.
Zauważmy, że zdania wchodzące w skład implikacji prostej p|=>q, czyli A1, A1’, A2, B2’ mogą być wypowiadane w dowolnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
38.8.2 Związek teorii zbiorów minimalnych z teorią zbiorów nieskończonych
W implikacji prostej p|=>q związek teorii zbiorów minimalnych (przykład wyżej (D=K+T+P) z teorią zbiorów nieskończonych (P8|=>P2 - punkt 14.3) ma przełożenie 1:1.
Dowód:
Porównajmy analizę implikacji prostej p|=>q w zbiorach minimalnych (wyżej) z implikacją prostą w zbiorach nieskończonych P8|=>P2 omówioną w punkcie 14.3.
Doskonale widać przełożenie 1:1 czyli:
W obu przypadkach spełniona jest tabela prawdy implikacji prostej p|=>q.
cnd
Analogia jest tu absolutna:
1.
Dziedziną w naszej implikacji prostej p|=>q w zbiorach minimalnych są trzy elementy:
D= [K+T+P]
D=[Kubuś+Tygrysek+Prosiaczek]
wzajemnie rozłączne i uzupełniające się do dziedziny D:
2.
Dziedziną w implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach nieskończonych jest zbiór liczb naturalnych:
LN=[1+2+3+4…+n]
czyli nieskończony zbiór elementów rozłącznych i uzupełniających się do dziedziny LN.
Elementów w zbiorze LN jest nieskończenie wiele ale istota działania implikacji prostej P8|=>P2 jest identyczna jak w naszej implikacji prostej p|=>q operującej na zbiorze minimalnym D=K+T+P
cnd
38.9 Implikacja odwrotna p|~>q w przedszkolu
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1), ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0 [=] 5: ~p+ q =0
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej dla wielu zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
38.9.1 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q
Tożsamości pojęć na mocy prawa Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Stąd:
Na mocy prawa Słonia zapisujemy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia {p, ~p, q,~q} będą rozpoznawalne, co doskonale widać w diagramie DIO niżej
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1), ale nie jest podzbiorem => zbioru q (A1)
Stąd mamy tabelę prawdy implikacji odwrotnej p|~>q w relacjach nadzbioru ~> i podzbioru =>:
| Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|---------------------|----------------------------------------------|
| p | ~p |
|-------------------------------------------|------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q=p*~q=1 | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D =B1: p*q+ A1’: p*~q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą:
A1’: p~~>~q=p*~q=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
Kontrprzykład dla prawdziwego B2 musi być fałszem:
B2’: ~p~~>q=~p*q=[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
A2B2: ~p|~>~q= ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1
II.
Po zamianie p i q
A3B3:
A3: q~>p =0 - zbiór q nie jest (=0) nadzbiorem ~> p
B3: q=>p =1 - zbiór q jest (=1) podzbiorem => p
Kontrprzykład dla prawdziwego B3 musi być fałszem:
B3’: q~~>~p=q*~p=[]=0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów q i ~p
A3B3: q|=>p= ~(A3: q~>p)*(B3:~q=>~p)=~(0)*1=1*1=1
A4B4:
A4:~q=>~p=0 - zbiór ~q nie jest (=0) podzbiorem => ~p
B4:~q~>~p=1 - zbiór ~q jest (=1) nadzbiorem ~> ~p
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A4 musi być prawdą:
~q~~>p=~q*p=1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~q i p
A4B4: ~q|~>~p= ~(A4:~q=>~p)*(B4:~q~>~p)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Implikacja odwrotna p|~>q to trzy i tylko trzy zbiory niepuste i rozłączne
(B1, A1’, B2) uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
2.
W implikacji odwrotnej p|~>q po stronie p mamy do czynienia
z najzwyklejszym „rzucaniem monetą” o czym mówią zdania B1 i A1’
|
Dowód rozłączności zbiorów B1, A1’ i B2 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
B1: p*q
A1’: p*~q
B2: ~p*~q
Badamy rozłączność zbiorów każdy z każdym:
B1*A1’ = (p*q)*(p*~q) =[] - bo q*~q=[]
B1*B2 = (p*q)*(~p*~q)=[] - bo p*~p=[]
A1’*B2 = (p*~q)*(~p*~q)=[] - bo p*~p=[]
cnd
38.10 Przykład implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach minimalnych
Łatwo widzieć, że dla spełnienia powyższej definicji implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach minimalnych potrzeba i wystarcza trzy elementy.
Przyjmijmy następujące trzy elementy na poziomie 5-cio latka:
K – Kubuś
P – Prosiaczek
T – Tygrysek
Definicja dziedziny dla zbiorów:
Dziedziną nazywany zbiór elementów niepustych i wzajemnie rozłącznych na których operujemy.
W analizie matematycznej nie uwzględniamy żadnych elementów spoza wybranej dziedziny, bowiem dla elementów spoza dziedziny wszelkie zdania warunkowe "Jeśli p to q" będą fałszywe, co łatwo udowodnić.
Nasza dziedzina to:
D = [K+P+T]
D=[Kubuś+Prosiaczek+Tygrysek]
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmujemy zdanie wejściowe do analizy:
B1.
Jeśli p to q
B1: p~>q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p jest warunkiem konicznym ~> jego przynależności do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Na mocy prawa Słonia definiujemy zbiory minimalne p i q:
p=K+P
q=K
p+q = K+P+K = K+P
Na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q dziedzinę D musimy przyjąć szerszą od sumy logicznej zbiorów p+q, stąd potrzebny nam będzie trzeci element, zmienna wolna T.
D=K+P+T
D = [Kubuś+Prosiaczek+Tygrydek]
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów p i q definiowane jako ich uzupełnienia do dziedziny D.
~p=[D-p] = [D-(K+P)] = [K+P+T -(K+P)]=[T]
~q=[D-q] = [D-K] = [K+P+T -K]=[P+T]
Podsumujmy:
p=[K+P]
q=[K]
~p=[T]
~q=[P+T]
Zauważmy, że wyłącznie dzięki zmienne wolnej T wszystkie zbiory {p, q, ~p, ~q} są niepuste i rozpoznawalne, co jest warunkiem koniecznym analizy zdania warunkowego "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q. Z definicji nie możemy bowiem operować na zbiorze pustym, czyli na pojęciach dla nas niezrozumiałych.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna nie występująca w opisie matematycznym układu, konieczna dla poprawnego działania układu.
W naszym układzie zmienną wolną jest T (tygrysek).
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia {p, ~p, q,~q} będą rozpoznawalne, co doskonale widać w diagramie DIO.
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Doskonale widać spełnienie definicji implikacji odwrotnej p|~>q zbudowanej na zaledwie trzech elementach.
38.10.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach minimalnych
Nasz przykład:
D=[K+P+T] – dziedzina minimalna
D = [Kubuś+Prosiaczek+Tygrydek]
Wszystkie przeczenia zbiorów policzyliśmy wyżej:
p=[K+P]
q=[K]
~p=[T]
~q=[P+T]
Stąd mamy tabelę prawdy implikacji odwrotnej p|~>q w relacjach nadzbioru ~> i podzbioru =>:
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie relacji nadzbioru ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zbiór p=[K+T] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q=[K]
B1: p~>q =1 - p=[K+T] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru [K]
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Punkt odniesienia: {p,q}
p=[K+P]
q=[K]
~p=[T]
~q=[P+T]
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 = 2: ~p~> ~q =0 [=] 3: q~> p =0 = 4: ~q=> ~p =0
A: 1: [K+P]=>[K]=0 = 2: [T]~>[P+T]=0 [=] 3: [K]~>[K+P]=0 = 4: [P+T]=>[T]=0
## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2: ~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 = 4: ~q~> ~p =1
B: 1: [K+P]~>[K]=1 = 2: [T]=>[P+T]=1 [=] 3: [K]=>[K+P]=1 = 4: [P+T]~>[T]=1
Gdzie:
p~>q - relacja nadzbioru ~>, p jest (=1) nadzbiorem ~>q
p=>q - relacja podzbioru =>, p jest (=1) podzbiorem => q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja odwrotna p|~>q determinuje prawdziwość operatora implikacji odwrotnej p||~>q (albo odwrotnie)
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
Kolumna A1B1:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Nasze zbiory minimalne {p, q, ~p i ~q} to:
D=[K+P+T] – wspólna dziedzina dla p i q
D = [Kubuś+Prosiaczek+Tygrydek]
p=[K+P]
q=[K]
~p=[T]
~q=[P+T]
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 =1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
B1: p~>q =1
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Nasz przykład:
B1: p=[K+P] ~> q=[K] =1
Dwuelementowy zbiór p=[Kubuś+Prosiaczek] jest nadzbiorem ~> zbioru q=[Kubuś]
cnd
Zdanie B1 czytamy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> by ten element należał do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q.
Powyższe zdanie prawdziwe to po prostu nasze prawo Słonia, gdzie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
Prawdziwość zdania A1’ wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost” - nic a nic nie musimy więcej udowadniać.
Sprawdzenie dowodem wprost:
p=[K+P] ~~>~q=[P+T] = [K+P]*[P+T] = [P] =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów p i ~q
Doskonale tu widać że zbiór p nie jest ani podzbiorem => zbioru ~q, ani też nadzbiorem ~> zbioru ~q
Ten przypadek pokazuje druzgocącą przewagę przedszkola algebry Kubusia gdzie operujemy na zbiorach minimalnych nad pełną algebrą Kubusia gdzie operujemy na zbiorach nieskończonych (np. P2|~>P8)
Dodatkowo możemy sprawdzić dowodem wprost, czy rzeczywiście fałszywy jest warunek wystarczający A1.
A1.
p=>q =0
Sprawdzenie:
p=[K+P] => q=[K] =0
Zbiór dwuelementowy p=[Kubuś + Prosiaczek] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru jednoelementowego q=[Kubuś]
cnd
Zdania B1 i A1' możemy przeczytać łącznie w następujący sposób:
Jeśli z dziedziny D=[K+P+T] wylosujemy element należący do zbioru p=[K+P] to ten element może ~> należeć do zbioru q=[K] (zdanie A1) lub może ~~> należeć do zbioru ~q=[P+T] (zdanie A1')
Trzeciej możliwości brak.
Matematycznie zachodzi:
A1: q=[K] + A1': ~q=[P+T] = [K+P+T] =D (dziedzina) =1
co jest oczywistością bo musi być:
q+~q = D(dziedzina) =1
inaczej teoria byłaby do bani.
… co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
B2: ~p=>~q =1
Zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Nasz przykład:
B2: ~p=[T] => ~q=[P+T] =1
Zauważmy, że mając udowodniony warunek konieczny B1: p~>q nie musimy dowodzić prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>~q bo prawdziwość tą gwarantuje nam prawo Kubusia.
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
to jest dowód "nie wprost"
Dowód wprost prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>~q jest następujący
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru ~p=[T] jest warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru ~q=[P+T] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p=[T] jest podzbiorem => zbioru ~q=[P+T]
Dowód bezpośredni zachodzącego tu warunku wystarczającego =>:
B2: ~p=[T] => ~q=[P+T] =1
Jednoelementowy zbiór ~p=[Tygrysek] jest podzbiorem => zbioru dwuelementowego q=[Prosiaczek+Tygrysek]
cnd
Zdanie B2 czytamy również jako:
Jeśli z dziedziny D=[K+P+T] wylosujemy element należący do zbioru ~p=[T] to ten element na 100% => będzie należał do zbioru ~q=[P+T] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p=[T] jest podzbiorem => zbioru ~q=[P+T].
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu należącego do zbioru ~p jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Powyższe zdanie prawdziwe to po prostu nasze prawo Słonia, gdzie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~p i q
Nasz przykład:
~p=[T]~~>q=[K] = [T]*[K] =[] =0
Dowód „nie wprost” fałszywości zdania B2’ wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2'’
Dowód bezpośredni to:
~p=[T]~~>q=[K] = [T]*[K] =[] =0
Jednoelementowy zbiór ~p=[Tygrysek] jest rozłączny (=0) z jednoelementowym zbiorem q=[Kubuś]
cnd
Podsumowanie:
Implikacja odwrotna p|~>q to po stronie p najzwyklejsze "rzucanie monetą" w sensie "na dwoje babka wróżyła" o czym mówią zdania B1 i A1' oraz gwarancja matematyczna po stronie ~p o czym mówi zdanie B2.
Zauważmy, zdania wchodzące w skład implikacji prostej p|=>q, czyli B1, A1’, B2’ mogą być wypowiadane w dowolnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
38.10.2 Związek teorii zbiorów minimalnych z teorią zbiorów nieskończonych
W implikacji odwrotnej p|~>q związek teorii zbiorów minimalnych (przykład wyżej (D=K+T+P) z teorią zbiorów nieskończonych (P2|=>P8 - punkt 15.3) ma przełożenie 1:1.
Dowód:
Porównajmy analizę implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach minimalnych (wyżej) z implikacją odwrotną w zbiorach nieskończonych P2|=>P8 omówioną w punkcie 15.3.
Doskonale widać przełożenie 1:1 czyli:
W obu przypadkach spełniona jest tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q.
cnd
Analogia jest tu absolutna:
1.
Dziedziną w naszej implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach minimalnych są trzy elementy:
D= [K+T+P]
D=[Kubuś+Tygrysek+Prosiaczek]
wzajemnie rozłączne i uzupełniające się do dziedziny D:
2.
Dziedziną w implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach nieskończonych jest zbiór liczb naturalnych:
LN=[1+2+3+4…+n]
czyli nieskończony zbiór elementów rozłącznych i uzupełniających się do dziedziny LN.
Elementów w zbiorze LN jest nieskończenie wiele ale istota działania implikacji odwrotnej P2|~>P8 jest identyczna jak w naszej implikacji odwrotnej p|~>q operującej na zbiorze minimalnym D=K+T+P
cnd
38.11 Implikacja prosta p|=>q vs implikacja odwrotna p|~>q
Weźmy definicje formalne implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q w zbiorach w zapisach formalnych (ogólnych) bez wiązania tych definicji z jakimkolwiek przykładem.
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1)
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: p|=>q=~p*q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>:
Y = (p=>q) = ~p+q
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>:
Y = (p~>q) = p+~q
Stąd łatwo wyprowadzamy zero-jedynkową definicję implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q)=(~p+q)*(~p*q) = ~p*q
Do zapamiętania:
A1B1: Y = (p|=>q) =~p*q
##
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1), ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0 [=] 5: ~p+ q =0
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>:
Y = (p=>q) = ~p+q
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>:
Y = (p~>q) = p+~q
Stąd łatwo wyprowadzamy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q)=(p*~q)*(p+~q) = p*~q
Do zapamiętania:
A1B1: Y = (p|~>q) =p*~q
Podsumowując mamy:
Implikacja prosta: A1B1: Y = (p|=>q) =~p*q ## Implikacja odwrotna: A1B1: Y = (p|~>q) =p*~q
Gdzie:
## - funkcje logiczne Y różne na mocy definicji
38.11.1 Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y):
Funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach p, q, ~p i ~q dają różne odpowiedzi na wyjściu Y
Podsumujmy wyprowadzone wyżej definicje funkcji logicznych Y w logice dodatniej (bo Y).
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>:
A1: Y = (p=>q) = ~p+q
##
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>:
B1: Y = (p~>q) = p+~q
##
Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej p|=>q
IP_A1B1: Y = (p|=>q) =~p*q
##
Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
IO_A1B1: Y = (p|~>q) = p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Dowód iż nasze funkcje logiczne są różne na mocy definicji w rachunku zero-jedynkowym.
Potrzebne definicje algebry Boole'a.
| Kod: |
Definicja spójnika "lub"(+):
p q p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 1 =1
D: 0 0 =0
Najszybszy algorytm tworzenie tabeli zero-jedynkowej:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
|
| Kod: |
Definicja spójnika "i"(*):
p q p*q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 1 =0
D: 0 0 =0
Najszybszy algorytm wypełniania tabeli zero-jedynkowej:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q=0
|
Dowód iż zapisane wyżej funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) są różne na mocy definicji ##:
| Kod: |
T1
A1: B1: IP_A1B1: IO_A1B1:
Y=(p=>q) ## Y=(p~>q) ## Y=(p|=>q) ## Y=(p|~>p)
p q ~p ~q Y=~p+q ## Y=p+~q ## Y=~p*q ## Y=p*~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =0 =0
B: 1 0 0 1 =0 =1 =0 =1
C: 0 1 1 0 =1 =0 =1 =0
D: 0 0 1 1 =1 =1 =0 =0
1 2 3 4 5 6 7 8
|
Brak tożsamości dowolnych dwóch kolumn wynikowych Y {5, 6, 7, 8} jest dowodem spełnienia znaczka różne na mocy definicji ##.
Zbudowane w tabeli T1 układy to:
Y = (p=>q)=~p+q - warunek wystarczający =>
Y = (p=>q)=p+~q - warunek konieczny ~>
Y = (p|=>q)=~p*q - implikacja prosta |=>
Y = (p|~>q)=p*~q - implikacja odwrotna |~>
Dowód w laboratorium techniki cyfrowej:
Po zbudowaniu powyższych układów w bramkach „i"(*) i „lub"(+) zwarcie któregokolwiek wyjścia Y z jakimkolwiek innym wyjściem Y spowoduje kupę dymu i smrodu, wszystko wyleci w powietrze.
To jest twardy dowód różności na mocy definicji ## poniższych pojęć:
Y = (p=>q) =~p+q - warunek wystarczający =>
##
Y = (p~>q) =p+~q - warunek konieczny ~>
##
Y = (p|=>q)=~p*q - implikacja prosta |=>
##
Y = (p|~>q)=p*~q - implikacja odwrotna |~>
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
38.11.2 Definicja znaczka różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia ###
Zapiszmy omówione wyżej nasze przykłady implikacji prostej p|=>q i implikacji odwrotnej p|~>q.
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie relacji podzbioru =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zbiór p=[K] jest (=1) podzbiorem => zbioru q=[K+P]
B1: p~>q =0 – zbiór p=[K] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q=[K+P]
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia w implikacji prostej p|=>q dla naszego przykładu:
p=[K]
q=[K+P]
~p=[P+T]
~q=[T]
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 = 2: ~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 = 4: ~q=> ~p =1
1: [K]=>[K+P]=1 = 2: [P+T]~>[T]=1 [=] 3: [K+T]~>[K]=1 = 4: [T]=>[P+T]=1
## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 = 2: ~p=> ~q =0 [=] 3: q=> p =0 = 4: ~q~> ~p =0
B: 1: [K]~>[K+P]=0 = 2: [P+T]=>[T]=0 [=] 3: [K+T]=>[K]=0 = 4: [T]~>[P+T]=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Punkt odniesienia w implikacji prostej p|=>q dla naszego przykładu:
p=[K]
q=[K+P]
~p=[P+T]
~q=[T]
Definicja formalna implikacji prostej p|=>q:
IP_A1B1: p|=>q = ~p*q
Definicja aktualna implikacji prostej p|=>q (nasz przykład):
IP_A1B1: p|=>q = ~p*q = [P+T]*[K+P]
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
###
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Punkt odniesienia w implikacji odwrotnej p|~>q dla naszego przykładu:
p=[K+P]
q=[K]
~p=[T]
~q=[P+T]
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 = 2: ~p~> ~q =0 [=] 3: q~> p =0 = 4: ~q=> ~p =0
A: 1: [K+P]=>[K]=0 = 2: [T]~>[P+T]=0 [=] 3: [K]~>[K+P]=0 = 4: [P+T]=>[T]=0
## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2: ~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 = 4: ~q~> ~p =1
B: 1: [K+P]~>[K]=1 = 2: [T]=>[P+T]=1 [=] 3: [K]=>[K+P]=1 = 4: [P+T]~>[T]=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Punkt odniesienia w implikacji odwrotnej p|~>q dla naszego przykładu:
p=[K+P]
q=[K]
~p=[T]
~q=[P+T]
Definicja formalna implikacji odwrotnej p|~>q:
IO_A1B1: p|~>q = p*~q
Definicja aktualna implikacji odwrotnej p|~>q (nasz przykład):
IO_A1B1: p|~>q = p*~q = [K+P]*[P+T]
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Gdzie:
### - różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia
Na czym polega nietrywialny błąd podstawienia ### w powyższych tabelach prawdy implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q?
Zapiszmy jeszcze raz kluczowe fragmenty powyższych definicji:
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q:
Punkt odniesienia w implikacji prostej p|=>q dla naszego przykładu:
p=[K]
q=[K+P]
~p=[P+T]
~q=[T]
Definicja formalna implikacji prostej p|=>q:
IP_A1B1: Y=(p|=>q)=~p*q
Definicja aktualna implikacji prostej p|=>q (nasz przykład):
IP_A1B1: Y=(p|=>q)=~p*q=[P+T]*[K+P]
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
###
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q:
Punkt odniesienia w implikacji odwrotnej p|~>q dla naszego przykładu:
p=[K+P]
q=[K]
~p=[T]
~q=[P+T]
Definicja formalna implikacji odwrotnej p|~>q:
IO_A1B1: Y=(p|~>q)=p*~q
Definicja aktualna implikacji odwrotnej p|~>q (nasz przykład):
IO_A1B1: Y=(p|~>q)=p*~q=[K+P]*[P+T]
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
### - różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia
O co chodzi w tym nietrywialnym błędzie podstawienia ###?
Umieśćmy nasze przykłady IP i IO w tabeli prawdy:
| Kod: |
Nietrywialny błąd podstawienia ###:
Definicja implikacji prostej p|=>q: | Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Zapis formalny: | Zapis formalny:
1. IP_A1B1: Y=(p|=>q)=~p*q ## IO_A1B1: Y=(p|~>q)=p*~q
Zapis aktualny (przykład): | Zapis aktualny (przykład)
2. p=K (Kubuś) ### p=K+P (Kubuś + Prosiaczek)
3. q=K+P (Kubuś + Prosiaczek) ### q=K (Kubuś)
4. IP: Y=(p|=>q)=~p*q=[P+T]*[K+P] ### IO: Y=(p|~>q)=p*~q=[K+P]*[P+T]
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
### - różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zauważmy że:
1.
Iloczyn logiczny (*) jest przemienny stąd w linii 4 zachodzi pozorna tożsamość logiczna [=].
2.
W rzeczywistości pozorna tożsamość [=] w linii 4 nie zachodzi, bowiem mamy tu do czynienia z nietrywialnym błędem podstawienia ###
3.
W liniach 2 i 3 doskonale widać na czym ten nietrywialny błąd podstawienia ### polega:
Implikacja prosta IP: p|=>q jest tu obserwowana z punktu odniesienia:
p=K (Kubuś)
q=K+P (Kubuś + Prosiaczek)
Natomiast:
Implikacja odwrotna IO: p|~>q jest tu obserwowana z punktu odniesienia:
p=K+P (Kubuś + Prosiaczek)
q=K (Kubuś)
Prawo Wielbłąda:
Otaczająca nas rzeczywistość wygląda różnie z różnych punktów odniesienia.
Innymi słowy:
Otaczającą nas rzeczywistość opiszemy matematycznie poprawnie wtedy i tylko wtedy gdy będziemy na nią patrzeć z tego samego punktu odniesienia.
Stąd mamy:
Definicja nietrywialnego błędu podstawienia ###:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach formalnych (ogólnych) są różne na mocy definicji ## (linia 1), zaś w zapisach aktualnych (przykład) skolerowanych z zapisem formalnym funkcje te są tożsame (linia 4)
Wniosek:
Prawo Kłapouchego broni nas przed niejednoznacznością logiki matematycznej, bowiem tylko i wyłącznie dzięki niemu zauważymy nietrywialny błąd podstawienia ###
38.11.3 Warunek poprawności logiki matematycznej
Warunek poprawności logiki matematycznej:
W logice matematycznej, przed dowolną analizą zdań warunkowych „Jeśli p to q" w zapisach aktualnych musimy na wstępie przyjąć wspólny punkt odniesienia wiążąc parametry formalne {p, q} z parametrami aktualnymi (tymi z przykładów) bowiem wtedy i tylko wtedy dostaniemy jednoznaczną logikę matematyczną.
Dokładnie temu celowi służy prawo Kłapouchego.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
