 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35357
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Nie 21:38, 20 Paź 2019 Temat postu: Procedury weryfikacyjne algebry Kubusia |
|
|
Procedury weryfikacyjne Algebry Kubusia!
Autor: Kubuś
Spis treści
1.0 Teoria matematyczna potrzebna do zrozumienia podręcznika 1
1.1 Definicje elementarne w zdarzeniach 1
1.1.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> 1
1.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach 2
1.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach 2
1.1.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 2
1.2 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 2
1.2.1 Prawa Kubusia 4
1.2.2 Prawa Tygryska 5
1.2.3 Prawa kontrapozycji 5
2.0 Weryfikacja równoważności p<=>q w zdarzeniach 5
3.0 Weryfikacja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach 7
4.0 Weryfikacja implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach 12
5.0 Matematyczne związki <=>, |=> i |~> 17
Wstęp:
Kompletne procedury weryfikacyjne Algebry Kubusia w teorii zdarzeń są na poziomie ucznia szkoły podstawowej rozumiejącego co to jest w elektryce połączenie szeregowe i równoległe wyłączników sterujących żarówką.
1.0 Teoria matematyczna potrzebna do zrozumienia podręcznika
Ten podręcznik powinien być zrozumiały dla ucznia I klasy LO wiedzącego co to jest w elektryce połączenie szeregowe i równoległe dwóch przełączników sterujących żarówką.
1.1 Definicje elementarne w zdarzeniach
1.1.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0
1.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
1.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
1.1.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
1.2 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Ziemscy matematycy doskonale znają zero-jedynkowe definicje znaczków => i ~>, bowiem tabele zero-jedynkowe wszystkich możliwych, 16 spójników w logice matematycznej mamy wspólne.
Ziemscy matematycy nie znają tylko i wyłącznie prawidłowej interpretacji znaczków => i ~> która w algebrze Kubusia jest następująca.
Dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego wolno nam przyjąć definicje znaczków => i ~> jak niżej:
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
Ważne jest jak będą działały przyjęte definicje w otaczającym nas Wszechświecie, a działają perfekcyjnie co za chwilkę udowodnimy.
| Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>
p q p=>q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 0 1
D: 0 1 1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
| Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>
p q p~>q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 0 1
D: 0 1 0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q
|
Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki miedzy warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
| Kod: |
Tabela A
Matematyczne związki znaczków => i ~>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1
1 2 3 4 5
|
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
| Kod: |
Tabela B
Matematyczne związki znaczków ~> i =>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0
1 2 3 4 5
|
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame)
Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Podsumowanie:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Definicje znaczków => i ~> w równaniu logicznym:
A: p=>q = ~p+q ## B: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Przykład wykorzystania:
Udowodnij prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
Definicja znaczka =>:
p=>q = ~p+q
Rozpisujemy prawą stronę:
~q=>~p = ~(~q)+~p = ~p+q = p=>q
cnd
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie kolumny zero-jedynkowe są różna na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Znaczenie znaczka różne na mocy definicji ##:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej przy pomocy którego jakiś człon z tożsamości A12345 stałby się tożsamy z którymkolwiek członem w tożsamości B12345. Gdyby tak się stało to logika matematyczna leży w gruzach.
Z powyższego układu równań mamy podstawowe prawa logiki matematycznej do codziennego stosowania.
1.2.1 Prawa Kubusia
Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne
Interpretacja dowolnego prawa logicznego
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
1.2.2 Prawa Tygryska
Prawa Tygryska:
Prawa Tygryska wiążą warunek wystarczający => i konieczny ~> z zamianą p i q
p=>q = q~>p
p~>q = q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne
1.2.3 Prawa kontrapozycji
Prawa kontrapozycji:
W prawach kontrapozycji negujemy zmienne p i q zamieniając je miejscami.
Spójnik logiczny (=> lub ~>) pozostaje bez zmian.
Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~q=>~q
q=>p = ~p=>~q
Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
p~>q = ~q~>~p
q~>p = ~p~>~q
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne p i q zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego => lub ~>.
2.0 Weryfikacja równoważności p<=>q w zdarzeniach
Definicja weryfikacji:
Weryfikacja to rozumowanie zgodne z naturalną logiką człowieka którego żaden człowiek przy zdrowych zmysłach nie kwestionuje.
Oczywistym jest, że nie da się zweryfikować np. istnienia/nieistnienia Boga bo teiści i ateiści istnieli od zawsze i zawsze będą istnieć
Zacznijmy od najprostszego obwodu elektrycznego, czyli żarówki sterowanej jednym przyciskiem A.
| Kod: |
Układ równoważnościowy A<=>S:
A<=>S=(A=>S)*(A~>S)
A
------------- ______
-----| dioda LED |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
W poprawnej logice matematycznej opisujemy dokładnie to co widzimy w sposób zgodny z naturalną logiką matematyczną człowieka na poziomie co najwyżej ucznia 7 klasy szkoły podstawowej.
Matematyczny opis układu równoważnościowego A<=>S to:
A.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki
Zachodzi matematyczna tożsamość:
warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie)
B.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> nie świecić się
A~~>~S = A*~S =0
Sytuacja wykluczona o czym wie każdy uczeń 7 klasy SP.
… a jeśli przycisk A nie jest wciśnięty?
C.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się (~S=1)
Prawdziwy warunek wystarczający => C wymusza fałszywość kontrprzykładu D (i odwrotnie)
D.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Sytuacja wykluczona o czym wie każdy uczeń 7 klasy SP.
Stąd mamy:
Definicja równoważności dla przycisku wciśniętego (A=1):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = A: (A=>S) * C: (~A=>~S) =1*1 =1
Prawo kontrapozycji znane ziemskim matematykom:
~A=>~S = S=>A
stąd:
A<=>S = A: (A=>S)* C: (S=>A) =1*1 =1
Stąd mamy tożsamą definicję równoważności znaną ziemskim matematykom:
Równoważność to zachodzący warunek wystarczający => w dwie strony
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Stąd mamy także:
Definicja równoważności dla przycisku nie wciśniętego (~A=1)
Przycisk A nie jest wciśnięty (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1):
~A<=>~S = C: (~A=>~S) * A: (A=>S) =1*1 =1
Stąd mamy:
~A<=>~S = (~A=>~S)*(A=>S) = (A=>S)*(~A=>~S) = A<=>S
bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny.
Mamy:
A<=>S = (A=>S)*(~A=>~S)
Zastosujmy prawo kontrapozycji dla prawej strony:
A=>S = ~S=>~A
~A=>~S = S=>A
Stąd mamy:
A<=>S = ~A<=>~S = (~S=>~A)*(S=>A) = S<=>A = ~S<=>~A
bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny:
Wniosek:
Argumenty w równoważności <=> są przemienne
Zapiszmy raz jeszcze równoważność wynikającą z naszej analizy matematycznej:
A<=>S = A: (A=>S) * C: (~A=>~S) =1*1 =1
Prawo Kubusia:
C: ~A=>~S = A: A~>S
Stąd mamy tożsamą definicję równoważności A<=>S:
Równoważność to jednoczesne zajście zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A: A=>S =1
A: A~>S =1
Równoważność w równaniu logicznym:
A<=>S = A: (A=>S) * A: (A~>S) =1*1 =1
Zauważmy, że matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Wciśnięty przycisk A (A=1) = żarówka świeci się (S=1)
A=S
Nie wciśnięty przycisk A (~A=1) = żarówka nie świeci się (~S=1)
~A=~S
Oczywistym jest, że w pionie zachodzi prawo podwójnego przeczenia:
Nie jest prawdą ~(..) że przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) = prawdą jest że wciśnięty jest przycisk A (A=1)
~(~A) = A
Podsumowanie:
I.
Minimalna ilość elementów przy pomocy których da się zbudować równoważność to dwa elementy:
1: Przełącznik A
2: Żarówka S
II.
Przy dwóch elementach w układzie nie da się zbudować układu implikacyjnego tzn. spowodować, by przy ustalonym stanie przycisku A (wciśnięty albo nie wciśnięty) żarówka mogła losowo migać.
3.0 Weryfikacja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach
Zacznijmy od najprostszego obwodu elektrycznego, czyli żarówki sterowanej dwoma przyciskami A i B połączonymi równolegle
| Kod: |
Układ implikacji prostej A|=>S:
A|=>S=(A=>S)*~(A~>S)
B
______
-----o o-----
| A |
------------- | ______ |
-----| dioda LED |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
W poprawnej logice matematycznej opisujemy dokładnie to co widzimy w sposób zgodny z naturalną logiką matematyczną człowieka na poziomie co najwyżej ucznia 7 klasy szkoły podstawowej.
A.
Jeśli przycisk A lub B jest wciśnięty (A+B)=1 to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
(A+B)=>S =1
Wciśnięcie przycisku A lub B jest warunkiem wystarczającym => do tego, by żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A lub B daje nam gwarancję matematyczną => zaświecenia się żarówki
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie)
B.
Jeśli przycisk A lub B jest wciśnięty (A+B)=1 to żarówka może ~~> się nie świecić
(A+B)~~>~S = (A+B)*~S =0
Przypadek niemożliwy (=0) o czym doskonale wie każdy uczeń 7 klasy SP.
… a jeśli nie jest wciśnięty przycisk A lub B?
~(A+B) = ~A*~B - prawo De Morgana
Stąd mamy:
C.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) i nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1) to żarówka na 100% => nie świeci się
(~A*~B) => ~S =1
Nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) i nie wciśnięcie przycisku B (~B=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się
Oczywistość dla każdego ucznia 7 klasy SP.
Prawdziwość warunku wystarczającego => C wymusza fałszywość kontrprzykładu D (i odwrotnie)
D.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) i nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1) to żarówka może ~~> się świecić
(~A*~B) ~~> S = (~A*~B)*S =0
Przypadek niemożliwy (=0) o czym doskonale wie każdy uczeń 7 klasy SP.
Doskonale widać, że nasz analiza matematyczna opisuje:
1.
Równoważność dla wciśniętego przycisku A=1 lub B=1 (A+B):
Przycisk A lub B jest wciśnięty (A+B)=1 wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
(A+B)<=>S = A: [(A+B)=>S] * C: [(~A*~B)=>~S)] = 1*1 =1
2.
Równoważność dla przycisków nie wciśniętych ~A=1 i ~B=1 (~A*~B):
Oba przyciski nie są wciśnięte (~A=1) i (~B=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
(~A*~B)<=>~S = C: [(~A*~B)=>~S)] * A: [(A+B)=>S]
Doskonale tu widać, że póki co narysowany układ implikacyjny A|=>S żadną implikacją nie jest. Nasza analiza matematyczne jest dowodem iż mamy tu do czynienia z równoważnością gdzie o żadnym „rzucaniu monetą”, jednym z fundamentów implikacji mowy być nie może!
Dlaczego jest tak a nie inaczej?
Odpowiadam:
Bowiem w naszej analizie uwzględniliśmy wszystkie trzy elementy widniejące na schemacie ideowym
żarówka, przycisk A, przycisk B
Prawo Irbisa:
Jeśli w analizie matematycznej uwzględnimy wszystkie elementy (wszystkie zmienne binarne) widniejące na schemacie ideowym to taka analiza zawsze będzie analizą równoważnościową gdzie wykluczone jest jakiekolwiek „rzucanie monetą”
Dokładnie na tą minę nadział się biedny Irbisol bowiem w swoim programie opisującym schemat ideowy jak wyżej uwzględnił wszystkie występujące tu przyciski (A i B), co oczywiście spowodowało twarde lądowanie w operatorze równoważności, czego dowodem jest powyższa analiza matematyczna.
Jak spowodować, by układ logiczny zaprezentowany na schemacie wyżej opisywał układ implikacji prostej A|=>S:
A|=>S = (A=>S)*~(~A=>~S) = 1*~(0) = 1*1 =1
a nie układ równoważności:
(A+B)<=>S = A: [(A+B)=>S] * C: [(~A*~B)=>~S)] = 1*1 =1
Z definicji implikacji prostej A|=>S:
A|=>S = (A=>S)*~(~A=>~S) = 1*~(0) = 1*1 =1
Doskonale widać, że musimy tu wprowadzić pojęcie „zmiennej wolnej”.
Definicja zmiennej wolnej w algebrze Kubusia:
Dla danego układu „zmienna wolna” to zmienna binarna występująca w układzie rzeczywistym, ale nie występująca jawnie w analizie matematycznej układu.
Z powyższym pojęciem związana jest definicja zmiennej związanej.
Definicja „zmiennej związanej” w algebrze Kubusia:
Zmienna związana to każda zmienna binarna uwzględniona w analizie matematycznej układu.
Wystartujmy od początku:
| Kod: |
Układ implikacji prostej A|=>S:
A|=>S=(A=>S)*~(A~>S)
B
______
-----o o-----
| A |
------------- | ______ |
-----| dioda LED |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Zdefiniujmy:
Wyłącznik B - zmienna wolna której nie uwzględniamy jawnie w poniższej analizie matematycznej.
Analiza matematyczna układu implikacyjnego A|=>S (zmienna wolna = przycisk B):
A.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że stan zmiennej wolnej B jest tu bez znaczenia tzn. nie jest istotne czy przycisk B jest wciśnięty, czy niewciśnięty.
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie)
B.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić
A~~>~S = A*~S =0
Sytuacja niemożliwa (=0) o czym wie każdy uczeń 7 klasy SP.
… a jeśli przycisk A nie jest wciśnięty?
Prawo Kubusia:
A: A=>S = C: ~A~>~S
stąd mamy:
C.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
~A~>~S =1
Nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia żarówki S (~S=1) bo jak przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => się świeci (S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
C: ~A~>~S = A: A=>S
Ta sytuacja jest możliwa gdy zmienna wolna w postaci przycisku B zostanie ustawiona na 0.
Prawo Prosiaczka:
(B=0) = (~B=1)
~B=1 - prawdą jest (=1), że przycisk B nie jest wciśnięty (~B)
Sprawdzamy czy w tym przypadku spełniony jest warunek wystarczający =>.
C.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona (=0) bo może się zdarzyć, że przycisk A nie jest wciśnięty a mimo to żarówka świeci się, gdy zmienna wolna w postaci przycisku B zostanie ustawiona na 1 tzn. przycisk B będzie wciśnięty (B=1)
Fałszywość warunku wystarczającego => C wymusza prawdziwość kontrprzykładu D (i odwrotnie)
D.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to może ~~> się zdarzyć, że żarówka świeci (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
Ta sytuacja jest możliwa, gdy zmienna wolna w postaci przycisku B zostanie ustawiona na 1 tzn. przycisk B będzie wciśnięty (B=1)
Na mocy prawa Kubusia fałszywość warunku wystarczającego => w punkcie C wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> w punkcie A
C: ~A=>~S = A: A~>S =0
Zauważmy że:
Po stronie wciśniętego przycisku A (A=1) mamy tu gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S (S=1) o czym mówią zdania A i B.
Natomiast!
Po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A=1) mamy tu najzwyklejsze „rzucanie monetą” czyli:
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> nie świecić się (zdanie C), albo może ~~> się świecić (zdanie D).
Oczywiście, przy nie wciśniętym przycisku A (~A=1) wszystko zależy od aktualnego stanu zmiennej wolnej B:
Jeśli przycisk B jest wciśnięty (B=1) to żarówka S się świeci (S=1)
albo
Jeśli przycisk B nie jest wciśnięty (~B=1) to żarówka S nie świeci się (~S=1)
Jak fizycznie zrealizować ideę zmiennej wolnej?
Przycisk B możemy oddać we władanie na przykład 3-latkowi który będzie się bawił włączaniem wyłączaniem żarówki S przy nie wciśniętym przycisku A.
Stąd mamy:
Klasyczna definicja implikacji prostej A|=>S:
Implikacja prosta A|=>S to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A: A=>S =1
A: A~>S =0
Stąd:
Definicja implikacji prostej A|=>S w równaniu logicznym:
A|=>S = A: (A=>S)* A: ~(A~>S) = 1*~(0) =1*1 =1
Z naszej analizy odczytujemy również:
Klasyczna definicja implikacji odwrotnej ~A|~>~S:
Implikacja odwrotna ~A|~>~S to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
C: ~A~>~S =1
C: ~A=>~S =0
Stąd:
Definicja implikacji odwrotnej ~A|~>~S w równaniu logicznym:
~A|~>~S = C: (~A~>~S) * C: ~(~A=>~S) = 1*~(0) =1*1 =1
Zauważmy, że obie definicje: implikacji prostej A|=>S i odwrotnej ~A|~>~S tworzy ta sama seria zdań ABCD, stąd mamy tożsamość matematyczną:
A|=>S = ~A|~>~S
Podsumowanie:
1.
Implikację prostą A|=>S tworzy seria czterech zdań ABCD:
A|=>S = A: (A=>S)* A: ~(A~>S) = 1*~(0) =1*1 =1
Warunki: wystarczający => A: (A=>S =1) oraz konieczny ~> C: (~A~>~S =1) wchodzą w skład definicji implikacji prostej A|=>S.
Oczywistym jest że matematycznie zachodzi:
Implikacja prosta A|=>S (seria zdań ABCD) ## warunek wystarczający => A: (A=>S=1), jedno zdanie A
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
2.
Implikację odwrotną ~A|~>~S tworzy dokładnie ta sama seria zdań ABCD:
~A|~>~S = C: (~A~>~S) * C: ~(~A=>~S) = 1*~(0) =1*1 =1
Warunki: konieczny ~> C: (~A~>~S =1) i wystarczający ~> A: (A=>S=1) wchodzą w skład definicji implikacji odwrotnej ~A|~>~S
Matematycznie zachodzi:
Implikacja odwrotna ~A|~>~S (seria zań ABCD) ## warunek konieczny ~> C: (~A~>~S =1), jedno zdanie C
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
3.
Zauważmy że równoważność A<=>S jest tu fałszywa.
A<=>S = A: (A=>S)* C: (~A=>~S) =1*0 =0
cnd
4.0 Weryfikacja implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach
Zacznijmy od najprostszego obwodu elektrycznego, czyli żarówki sterowanej dwoma przyciskami A i B połączonymi szeregowo
| Kod: |
Układ implikacji odwrotnej A|~>S:
A|~>S=(A~>S)*~(A=>S)
B A
------------- ______ ______
-----| dioda LED |-------o o-----o o----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
----------------------------------------------
|
W poprawnej logice matematycznej opisujemy dokładnie to co widzimy w sposób zgodny z naturalną logiką matematyczną człowieka na poziomie co najwyżej ucznia 7 klasy szkoły podstawowej.
A.
Jeśli przyciski A i B są wciśnięte (A*B)=1 to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
(A*B)=>S =1
Wciśnięcie obu przycisków A i B jest warunkiem wystarczającym => do tego, by żarówka świeciła się
Wciśnięcie obu przycisków A i B daje nam gwarancję matematyczną => zaświecenia się żarówki
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie)
B.
Jeśli przyciski A i B są wciśnięte (A*B)=1 to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
(A*B)~~>~S = (A*B)*~S =0
Przypadek niemożliwy (=0) o czym doskonale wie każdy uczeń 7 klasy SP.
… a jeśli nie są wciśnięte przyciski A i B?
~(A*B) = ~A+~B - prawo De Morgana
Stąd mamy:
C.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) lub nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
(~A+~B) => ~S =1
Nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) lub nie wciśnięcie przycisku B (~B=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się (~S=1)
Oczywistość dla każdego ucznia 7 klasy SP.
Prawdziwość warunku wystarczającego => C wymusza fałszywość kontrprzykładu D (i odwrotnie)
D.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) lub nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
(~A+~B) ~~> S = (~A+~B)*S =0
Przypadek niemożliwy (=0) o czym doskonale wie każdy uczeń 7 klasy SP.
Doskonale widać, że nasz analiza matematyczna opisuje:
1.
Równoważność dla wciśniętych przycisków A i B (A*B)=1
Przyciski A i B są wciśnięte (A*B)=1 wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
(A*B)<=>S = A: [(A*B)=>S] * C: [(~A+~B)=>~S)] = 1*1 =1
2.
Równoważność dla nie wciśniętego przycisku A (~A=1) lub nie wciśniętego przycisku B (~B=1):
Nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) lub nie jest wciśnięty przyciska B (~B=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
(~A+~B)<=>~S = C: [(~A+~B)=>~S)] * A: [(A*B)=>S]
Doskonale tu widać, że póki co narysowany układ implikacyjny odwrotnej A|~>S żadną implikacją nie jest. Nasza analiza matematyczna jest dowodem iż mamy tu do czynienia z równoważnością gdzie o żadnym „rzucaniu monetą”, jednym z fundamentów implikacji mowy być nie może!
Dlaczego jest tak a nie inaczej?
Odpowiadam:
Bowiem w naszej analizie uwzględniliśmy wszystkie trzy elementy widniejące na schemacie ideowym
żarówka, przycisk A, przycisk B
Prawo Irbisa:
Jeśli w analizie matematycznej uwzględnimy wszystkie elementy (wszystkie zmienne binarne) widniejące na schemacie ideowym to taka analiza zawsze będzie analizą równoważnościową gdzie wykluczone jest jakiekolwiek „rzucanie monetą”
Jak spowodować, by układ logiczny zaprezentowany na schemacie wyżej opisywał układ implikacji odwrotnej A|~>S:
A|~>S = (A~>S)*~(A=>S) = 1*~(0) = 1*1 =1
a nie układ równoważności:
(A*B)<=>S = A: [(A*B)=>S] * C: [(~A+~B)=>~S)] = 1*1 =1
Definicja implikacji odwrotnej A|~>S:
Implikacja odwrotna to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A~>S =1
A=>S =0
Stąd:
A|~>S = (A~>S)*~(A=>S) = 1*~(0) = 1*1 =1
Z definicji implikacji odwrotnej A|~>S doskonale widać, że musimy tu wprowadzić pojęcie „zmiennej wolnej”.
Definicja zmiennej wolnej w algebrze Kubusia:
Dla danego układu „zmienna wolna” to zmienna binarna występująca w układzie rzeczywistym, ale nie występująca jawnie w analizie matematycznej układu.
Z powyższym pojęciem związana jest definicja zmiennej związanej.
Definicja „zmiennej związanej” w algebrze Kubusia:
Zmienna związana to każda zmienna binarna uwzględniona w analizie matematycznej układu.
Wystartujmy od początku:
| Kod: |
Układ implikacji odwrotnej A|~>S:
A|~>S=(A~>S)*~(A=>S)
B A
------------- ______ ______
-----| dioda LED |-------o o-----o o----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
----------------------------------------------
|
Zdefiniujmy:
Wyłącznik B - zmienna wolna której nie uwzględniamy jawnie w poniższej analizie matematycznej.
Analiza matematyczna układu implikacyjnego A|~>S (zmienna wolna = przycisk B):
A.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może się świecić (S=1)
A~>S =1
Innymi słowy:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (gdy zmienna wolna B=1) lub może się nie świecić (gdy zmienna wolna B=0)
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby żarówka świeciła (gdy wciśnięty B B=1) bo jak przycisk A nie jest wciśnięty to żarówka na 100% => nie będzie się świecić (stan przycisku B jest tu bez znaczenia)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A: A~>S = C: ~A=>~S
Sens warunku koniecznego ~> A i prawo Kubusia które tu wyskoczyło jest oczywistością dla każdego ucznia 7-klasy SP.
Zbadajmy warunek wystarczający między punktami A i S:
A.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% będzie się świecić (S=1)
A=>S =0
Warunek wystarczający => nie jest tu spełniony, bowiem wszystko zależy od ustawienia zmiennej wolnej B, do której nie mamy dostępu, a która może przyjmować dowolny stan:
B=1 - przycisk B włączony
Prawo Prosiaczka:
(B=0)=(~B=1) - przycisk B nie włączony (~B=1)
Stąd mamy spełnioną definicję implikacji odwrotnej A|~>S:
Implikacja odwrotna to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A: A~>S =1
A: A=>S =0
Stąd mamy implikację odwrotną A|~>S w równaniu logicznym:
A|~>S = A: (A~>S) * A: ~(A=>S) = 1*~(0) =1*1 =1
Fałszywy warunek wystarczający => A: A=>S=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B (albo odwrotnie)
B.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = ~A*S =1
Jest taka możliwość gdy zmienna wolna B zostanie ustawiona na 0.
Prawo Prosiaczka:
(B=0)=(~B=1) - przycisk B nie jest wciśnięty (~B=1)
… a jeśli przycisk A nie jest włączony (~A=1)?
Prawo Kubusia:
A: A~>S = C: ~A=>~S
Stąd:
C.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Nie wciśniecie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się
Nie wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => że żarówka nie będzie się świecić
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zdanie C to oczywistość dla każdego ucznia 7-klasy szkoły podstawowej.
Prawdziwość warunku wystarczającego => C wymusza fałszywość kontrprzykładu D (i odwrotnie)
D.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Przypadek niemożliwy, oczywistość dla ucznia 7 klasy SP.
Zauważmy teraz że:
Fałszywy warunek wystarczający A: A=>S =0 na mocy prawa Kubusia wymusza fałszywy warunek konieczny ~> C: A~>S =0
Prawo Kubusia:
A: A=>S = C: ~A~>~S
Stad mamy spełnioną definicje implikacji prostej ~A|=>~S:
Implikacja prosta ~A|=>~S to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
C: ~A=>~S =1
C: ~A~>~S =0
Stąd:
Definicja implikacji prostej ~A|=>~S w równaniu logicznym:
~A|=>~S = C: (~A=>~S)* C: ~(~A~>~S) = 1*~(0) =1*1 =1
Zauważmy że:
Po stronie wciśniętego przycisku A (A=1) mamy tu najzwyklejsze „rzucanie monetą” opisane zdaniami A i B, czyli:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> świecić się (zdanie A), albo może ~~> się nie świecić (zdanie B).
Oczywiście, przy wciśniętym przycisku A (A=1) wszystko zależy od aktualnego stanu zmiennej wolnej B:
Jeśli przycisk B jest wciśnięty (B=1) to żarówka S się świeci (S=1)
albo
Jeśli przycisk B nie jest wciśnięty (~B=1) to żarówka S nie świeci się (~S=1)
Natomiast!
Po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A=1) mamy gwarancję matematyczną => iż w tym przypadku żarówka na 100% => nie będzie się świecić, niezależnie od stanu zmiennej wolnej B, co jest oczywistością dla każdego ucznia 7 klasy SP.
Jak fizycznie zrealizować ideę zmiennej wolnej?
Przycisk B możemy oddać we władanie na przykład 3-letniemu Jasiowi który będzie się bawił włączaniem wyłączaniem żarówki S przy wciśniętym przycisku A.
Oczywiście gdy wyłączymy przycisk A to zabawa małemu Jasiowi szybko się znudzi gdyż żarówka przestanie reagować na włączenia/wyłączenia przycisku B - będzie non-stop wyłączona.
Podsumowanie:
Klasyczna definicja implikacji odwrotnej A|~>S:
Implikacja odwrotna A|~>S to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A: A~>S =1
A: A=>S =0
Stąd:
Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w równaniu logicznym:
A|~>S = A: (A~>S) * A: ~(A=>S) = 1*~(0) =1*1 =1
Z naszej analizy odczytujemy również:
Klasyczna definicja implikacji prostej ~A|=>~S:
Implikacja prosta ~A|=>~S to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
C: ~A=>~S =1
C: ~A~>~S =0
Stąd:
Definicja implikacji prostej ~A|=>~S w równaniu logicznym:
~A|=>~S = C: (~A=>~S)* C: ~(~A~>~S) = 1*~(0) =1*1 =1
Zauważmy, że obie definicje: implikacji odwrotnej A|~>S i prostej ~A|=>~S tworzy ta sama seria zdań ABCD, stąd mamy tożsamość matematyczną:
A|~>S = ~A|=>~S
Zauważmy że::
1.
Implikację odwrotną A|~>S tworzy seria czterech zdań ABCD:
A|~>S = A: (A~>S) * A: ~(A=>S) = 1*~(0) =1*1 =1
Warunki: konieczny ~> A: (A~>S =1) oraz wystarczający => C: (~A=>~S =1) wchodzą w skład definicji implikacji odwrotnej A|~>S.
Oczywistym jest że matematycznie zachodzi:
Implikacja odwrotna A|~>S (seria zdań ABCD) ## warunek konieczny A: (A~>S=1), jedno zdanie A
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
2.
Implikację prostą ~A|=>~S tworzy dokładnie ta sama seria zdań ABCD:
~A|=>~S = C: (~A=>~S)* C: ~(~A~>~S) = 1*~(0) =1*1 =1
Warunki: wystarczający => C: (~A=>~S =1) i konieczny ~> A: (A~>S=1) wchodzą w skład definicji implikacji prostej ~A|=>~S
Matematycznie zachodzi:
Implikacja prosta ~A|=>~S (seria zań ABCD) ## warunek wystarczający => C: (~A=>~S =1), jedno zdanie C
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
3.
Zauważmy że równoważność A<=>S jest tu fałszywa.
A<=>S = A: (A=>S)* C: (~A=>~S) =0*1 =0
cnd
5.0 Matematyczne związki <=>, |=> i |~>
Matematyczne związki między równoważnością A<=>S, implikacją prostą A|=>S i odwrotną A|~>S są następujące:
| Kod: |
Równoważność A<=>S ##Implikacja prosta A|=>S: ##Implikacja odwrotna A|~>S:
A<=>S=(A=>S)*(A~>S) ## A|=>S=(A=>S)*~(A~>S) ## A|~>S=(A~>S)*~(A=>S)
A<=>S=~A<=>~S ## A|=>S = ~A|~>~S ## A|~>S = ~A|=>~S
gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Znaczek różne na mocy definicji ## jest tu oczywistością bowiem jeden przycisk A i jedna żarówka S (równoważność A<=>S), to fundamentalnie co innego niż równoległe połączenie przycisków A i B (implikacja prosta A|=>S) oraz fundamentalnie co innego niż szeregowe połączenie przycisków A i B (implikacja odwrotna A|~>S).
Przypomnijmy sobie schematy ideowe:
| Kod: |
Układ równoważnościowy A<=>S:
A<=>S=(A=>S)*(A~>S)
A
------------- ______
-----| dioda LED |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
##
| Kod: |
Układ implikacji prostej A|=>S:
A|=>S=(A=>S)*~(A~>S)
B
______
-----o o-----
| A |
------------- | ______ |
-----| dioda LED |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
##
| Kod: |
Układ implikacji odwrotnej A|~>S:
A|~>S=(A~>S)*~(A=>S)
B A
------------- ______ ______
-----| dioda LED |-------o o-----o o----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
----------------------------------------------
|
##
| Kod: |
Układ operatora chaosu A|~~>S:
A~~>S=~(A=>S)*~(A~>S)
C
______
---o o----
| |
B | A |
------------- ______ | ______ |
-----| dioda LED |-------o o-----o o----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
----------------------------------------------
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 19:00, 17 Gru 2019, w całości zmieniany 4 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
