ŚFiNiA

[rafal3006]

Algebra Kubusia w definicjach

Autor: Kubuś

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, WLR i inni.


Wstęp:
Algebra Kubusia to wynik 12-letniej dyskusji przede wszystkim na forum śfinia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2018
Szczególne podziękowania dla Wuja Zbója za początkową dyskusję oraz za stworzenie forum śfinia bez banów, dzięki któremu algebra Kubusia w ogóle mogła zaistnieć, bowiem z wszelkich innych forów Rafał3006 był natychmiast banowany z uzasadnieniem „Algebra Kubusia jest sprzeczna z Wikipedią”. Szczególne podziękowania także dla Fiklita za kluczową, 6-cio letnią dyskusję z Rafałem3006. Bez Wuja i Fiklita algebra Kubusia nigdy by się nie narodziła.

Spis treści
1.0 Algebra Kubusia w definicjach 2
2.0 Teoria zbiorów w algebrze Kubusia 2
2.1 Podstawowe operacje na zbiorach 5
2.2 Relacje między zbiorami 6
3.0 Algebra Kubusia w definicjach zero-jedynkowych 7
3.1 Definicja spójnika „i”(*) 7
3.2 Definicja spójnika „lub”(+) 7
3.3 Definicja warunku wystarczającego => 8
3.4 Definicja warunku koniecznego ~> 8
3.5 Definicja kwantyfikatora małego ~~> 8
3.6 Definicja równoważności <=> 9
3.7 Definicja spójnika „albo”($) 9
4.0 Podstawowe definicje w algebrze Kubusia 10
4.1 Definicja warunku wystarczającego => 10
4.2 Definicja warunku koniecznego ~> 10
4.3 Definicja kwantyfikatora małego ~~> 10
4.3.1 Definicja kontrprzykładu 11
4.3.2 Prawo Kobry 11
4.4 Definicja równoważności <=> 11
4.5 Definicja spójnika „albo”($) 12
5.0 Podstawowe prawa w algebrze Kubusia 12
5.1 Prawa Prosiaczka 13
5.2 Prawa Kubusia 13
5.3 Prawa Tygryska 13
5.4 Prawo rozpoznawalności pojęcia p 14
5.5 Interpretacja dowolnego prawa logicznego 14
5.6 Prawo Przedszkolaka 14
6.0 Operatory implikacyjne 14
6.1 Operator implikacji prostej p|=>q 16
6.2 Operator implikacji odwrotnej p|~>q 20
6.3 Operator równoważności <=> 23
6.4 Operator chaosu p|~~>q 27



1.0 Algebra Kubusia w definicjach

Kompletną algebrę Kubusia precyzyjnie opisuje zaledwie 10 znaczków:
1 - prawda
0 - fałsz
(~) - negacja
(*) - spójnik „i”(*)
(+) - spójnik „lub”(+)
($) - spójnik „albo”($), ziemski XOR
(=>) - warunek wystarczający =>
(~>) - warunek konieczny ~>
(~~>) - kwantyfikator mały
(<=>) - równoważność

Zauważmy, że znaczki te są w powszechnym użyciu w logice matematycznej ziemian (z wyjątkiem dwóch: ~> i ~~>)
Co więcej:
Poprawne definicje matematyczne absolutnie wszystkich wyżej wymienionych znaczków można znaleźć w Wikipedii, niestety między wierszami, co wielokrotnie udowadniałem.


2.0 Teoria zbiorów w algebrze Kubusia

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Przykłady:
Pies, miłość, krasnoludek, zbiór liczb naturalnych, zbiór wszystkich zwierząt ...

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Rozróżniamy dwa rodzaje Uniwersum.

Uniwersum lokalne:
Uniwersum lokalne związane z konkretnym człowiekiem

Uniwersum ogólne:
Uniwersum ogólne to Uniwersum ludzkości

Każdy człowiek ma swoje indywidualne Uniwersum.
Fundament Uniwersum przeciętnego człowieka to zaledwie kilkanaście tysięcy pojęć plus gramatyka języka którym operuje. Uniwersum jest pojęciem dynamicznym, rozszerza się gdy się uczymy i zawęża gdy zapominamy. Z definicji żaden człowiek nie może wyjść poza swoje Uniwersum.
W obszarze Uniwersum lokalnego mieszczą się wszelkie marzenia indywidualne człowieka np. wyobrażam sobie że jestem Johnem Lennonem - dokładnie taki człowiek, chory psychicznie, zabił Lennona.

W Uniwersum ogólnym mieszczą się wszelkie pojęcia akceptowane przez wszystkich ludzi (np. pies, rower, krasnoludek, miłość …) jak również pojęcia znane wyłącznie specjalistom w określonej dziedzinie np. ramipryl - pojęcie z dziedziny medycyny, substancja aktywna leku na nadciśnienie.

Definicja Absolutu
Absolut to zbiór wszystkich pojęć dostępnych w naszym Wszechświecie.

Do absolutu zaliczamy nie tylko pojęcia z obszaru Uniwersum znane obecnie ludzkości, ale też wszelkie pojęcia które człowiek jest w stanie poznać (zdefiniować) w przyszłości.
Oczywistym jest, że nigdy nie poznamy absolutu w 100% choćby dlatego, że fantazja człowieka jest nieskończona (pojęcia abstrakcyjne). W swojej historii człowiek non-stop wyrywa nie znane mu pojęcia z obszaru Absolutu i dołącza je do swojego Uniwersum. Człowiek nie jest w stanie myśleć na poziomie absolutu, bo nie jest Bogiem.

Fakty z algebry Kubusia:
1.
Algebra Kubusia nie zajmuje się Absolutem
Absolut = Bóg filozofów
Bóg filozofów to Bóg który zna historię naszego Wszechświata od momentu jego powstania do momentu jego śmierci z dokładnością do położenia każdego atomu w naszym Wszechświecie z dokładnością do znajomości wszelkich myśli i poczynań istot żywych z wyprzedzeniem.
Wnioski:
a).
Bóg filozofów nie ma wolnej woli bo niczego nie może zmienić z tego co wie
b).
Istoty żywe też nie mają wolnej woli bo istnieje osoba trzecia (Bóg filozofów) która zna poczynania wszelkich istot żywych z wyprzedzeniem, co oznacza że je determinuje.
2.
Algebra Kubusia operuje wyłącznie w Uniwersum
Uniwersum to wszelkie pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Pojęcia w Uniwersum istnieją (=1) dlatego mają wartość logiczną JEDEN:
pies =1 - istnieje (=1) pies
miłość =1 - istnieje (=1) miłość
krasnoludek =1 - istnieje (=1) krasnoludek

Bez znaczenie jest czy pojęcie jest obiektem fizycznym (pies), czy nie fizycznym (miłość) czy też pojęciem abstrakcyjnym (krasnoludek)
Wszystkie te pojęcia istnieją (=1) dlatego maja wartość logiczną jeden.

Jeśli mówię:
Istnieje pies =1
To oczywistym jest, że mam na myśli obiekt fizyczny

Jeśli mówię:
Istnieje miłość =1
To oczywistym jest, że mam na myśli obiekt nie fizyczny

Jeśli mówię:
Istnieje krasnoludek =1
To oczywistym jest, że mam na myśli obiekt abstrakcyjny

Nie wolno nam zapisać:
Istnieje miłość =0
bo to jest czysto matematyczny fałsz

Nie wolno nam również zapisać:
Istnieje krasnoludek =0
Bo to jest czysto matematyczny fałsz

Rozróżnianie kategorii pojęć (fizyczne, nie fizyczne, abstrakcyjne) leży w fundamentach logiki matematycznej, jest jasne dla każdego człowieka tzn. każdy człowiek rozróżnia te pojęcia.

Innymi słowy, jeśli mówię:
Istnieje krasnoludek =1
To nie musze dodawać komentarza, że krasnoludek to obiekt abstrakcyjny.

Prawo Jastrzębia:
Dziedzina: Uniwersum
A.
Jeśli dowolne pojęcie (P=1) istnieje w Uniwersum to na 100% znana jest jego definicja (D=1)
P=>D =1
Istnienie pojęcia w Uniwersum jest warunkiem wystarczającym => do znajomości jego definicji
Kontrprzykład B jest tu fałszem:
B.
Jeśli dowolne pojęcie (P=1) istnieje w Uniwersum to może ~~> nie być znana jego definicja (~D=1)
P~~>~D = P*~D =1*1 =0 - nie ma takiej możliwości

Prawdziwe jest twierdzenie odwrotne:
AO.
Jeśli znana jest definicja pojęcia w Uniwersum, to na 100% => pojęcie to istnieje w Uniwersum
D=>P =1
Istnienie definicji pojęcia w obszarze Uniwersum jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby to pojęcie istniało (w Uniwersum)
Kontrprzykład jest tu fałszem:
BO.
Jeśli znana jest definicja pojęcia z Uniwersum, to pojęcie to może ~~> nie istnieć (w Uniwersum)
D~~>~P = D*~P = 1*1 =0 - nie ma takiej możliwości
cnd

W obszarze Uniwersum mamy tu do czynienia z równoważnością:
Pojęcie P istnieje w obszarze Uniwersum wtedy i tylko wtedy gdy znana jest jego definicja.
P<=>D = (P=>D)*(D=>P) = 1*1 =1

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć mający swoją nazwę własną rozumianą przez człowieka

Budowa zbioru:
C = [M, K]
C - zbiór człowiek (nazwa zbioru)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
[x] - zawartość zbioru, elementy zbioru rozdzielamy przecinkami
Nazwa zbioru „człowiek” jest zrozumiała rzez każdego człowieka, dlatego ten zbiór należy do Uniwersum

2.1 Podstawowe operacje na zbiorach

I.
Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

II.
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

III.
Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy.

Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji. Oznacza to, że wszelkie pojęcia poza przyjętą dziedziną są dla nas nierozpoznawalne, czyli nie znamy definicji tych pojęć z założenia. Ograniczeniem dolnym w definiowaniu dziedziny jest zbiór pusty [], natomiast ograniczeniem górnym jest Uniwersum.

IV.
Zaprzeczenie zbioru (~):
Zaprzeczeniem zbioru nazywamy uzupełnienie zbioru do dziedziny
Przykład:
p=[1,2] - definiujemy zbiór
D=[1,2,3,4] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[3,4]

Definicja przecinka w zapisie elementów zbioru:
Przecinek rozdzielający elementy w dowolnym zbiorze to spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, będący matematycznie sumą logiczną zbiorów.

Przykład działania na zbiorach w algebrze Kubusia
C=[M, K]
C- zbiór człowiek (nazwa zbioru)
Elementy zbioru rozdzielone przecinkiem:
M - mężczyzna
K - kobieta
Dziedzina:
C = człowiek (zbiór wszystkich ludzi)

Obliczenia przeczeń pojęć M i K tzn. ich uzupełnień do dziedziny D:
~M=[C-M]=[M+K-M]=[K]=K
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru człowiek wylosujemy nie mężczyznę (~M=1) to na 100% będzie to kobieta (K=1)
~K=[C-K]=[M+K-K]=[M]=M
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% będzie to mężczyzna (M=1)


2.2 Relacje między zbiorami

W algebrze Kubusia występują następujące relacje między zbiorami:
p=>q - relacja podzbioru =>, zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
p~>q - relacja nadzbioru ~>, zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p~~>q=p*q - relacja elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q
p=q - relacja tożsamości zbiorów

Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy => do zbioru q
p=>q =1 - gdy relacja podzbioru => jest spełniona
Inaczej:
p=>q =0

Definicja nadzbioru ~>:
Zbiór p jest nadzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - gdy relacja nadzbioru ~> jest spełniona
Inaczej:
p~>q =0

Definicja elementu wspólnego ~~> zbioru:
Zbiór p ma element wspólny ~~> ze zbiorem q wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny zbiorów nie jest zbiorem pustym
p~~>q =p*q =1 - gdy zbiory mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0 - zbiory p i q są rozłączne
[] - zbiór pusty

Tożsamość zbiorów:
Zbiory p i q nazywamy tożsamymi wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru p jest elementem zbioru q i na odwrót
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)
Prawa strona to definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Stąd mamy:
Każda tożsamość matematyczna to automatycznie równoważność
(p=q) = (p<=>q)


3.0 Algebra Kubusia w definicjach zero-jedynkowych

Pojęcia elementarne:
1 = prawda
0 = fałsz
(~) - przedrostek NIE przed dowolnym symbolem

3.1 Definicja spójnika „i”(*)

[rafal3006]

Algebra Kubusia - bramy Raju

Część II
Operatory implikacyjne |=>, |~>, <=>,|~~>

Spis treści
6.0 Operatory implikacyjne 1
6.1 Słownik Chińsko-Polski 2
6.2 Spójniki implikacyjne ~~>, =>, ~> 7
6.3 Prawa Kubusia 8
6.4 Prawo Kobry 10
6.5 Wspólna dziedzina w zdaniach warunkowych 10
7.0 Operatory implikacyjne |=>, |~>, <=>, |~~> w spójnikach implikacyjnych =>, ~>, ~~> 11
8.0 Operatory implikacyjne |=>, |~>, <=>, |~~> w zbiorach 16
8.1 Operator implikacji prostej p|=>q 16
8.2 Operator implikacji odwrotnej p|~>q 20
8.3 Operator równoważności p<=>q 25
8.4 Operator chaosu p|~~>q 30


6.0 Operatory implikacyjne

Definicje zero-jedynkowe operatorów implikacyjnych:

[rafal3006]

Algebra Kubusia - bramy Raju

Część III
Operatory implikacyjne w praktyce

Spis treści
9.0 Operatory implikacyjne w praktyce 1
9.1 Operatory implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q 1
9.2 Operator równoważności p<=>q 7
9.3 Operatory implikacyjne - przypadki szczególne 8
9.3.1 Tożsamość logiczna 8
9.3.2 Tożsamość logiczna vs tożsamość klasyczna 9
10.0 Obietnice i groźby 11
10.1 Klasyka obietnicy 13
10.2 Klasyka groźby 13
10.3 Obietnica w równaniach logicznych 14
10.4 Groźba w równaniach logicznych 16
10.5 Analiza złożonej obietnicy 18
10.6 Analiza złożonej groźby 19
10.7 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym 21
10.8 Rodzaje obietnic 23


9.0 Operatory implikacyjne w praktyce

9.1 Operatory implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q

[rafal3006]

Algebra Kubusia - bramy Raju

Część IV
Dodatek A
Kompendium algebry Kubusia


Spis treści
1.0 Notacja 1
2.0 Kompendium algebry Kubusia 4
2.1 Spójniki „lub”(+) i „i”(*) 4
2.2 Operatory OR(|+) i AND(|*) 4
2.3 Prawa Prosiaczka 5
2.4 Spójniki implikacyjne ~~>, =>, ~> 5
2.5 Prawa Kubusia 6
2.6 Prawo Kobry 7
2.7 Operatory implikacyjne |=>, |~>, |~~> 7
3.0 Operatory implikacyjne w zbiorach 11
3.1 Operator implikacji prostej p|=>q 11
3.2 Operator implikacji odwrotnej p|~>q 16
8.3 Operator równoważności p<=>q 20
8.4 Operator chaosu p|~~>q 26
4.0 Obietnice i groźby 27
4.1 Klasyka obietnicy 27
4.2 Klasyka groźby 28



1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz

Operatory OR(|+) i AND(|*)
(~) - symbol negacji, przeczenia (~p=NIE p)
(+) - spójnik „lub”(+)
(*) - spójnik „i”(*)
(|+) - operator OR(|+)
(|*) - operator AND(|*)

Operatory implikacyjne:
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
~~> - kwantyfikator mały
|=> - operator implikacji prostej
|~> - operator implikacji odwrotnej
|~~> - operator chaosu
<=> - równoważność

Spójniki „lub”(+) i „i”(*) z naturalnej logiki człowieka:
(+) - spójnik „lub”(+)
(*) - spójnik „i”(*)

Definicje operatorów OR(|+) i AND(|*) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):

(|+) - operator OR
Y=p+q
~Y=~p*~q

(|*) - operator AND
Y=p*q
~Y=~p+~q

Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => i ~>:
Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące we wspólnej dziedzinie

1.
p~~>q = p*q - kwantyfikator mały ~~>
Zdarzenia:
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Zbiory:
Istnieje wspólny element zbiorów p i q

2.
p=>q - warunek wystarczający =>
Zdarzenia:
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Zbiory:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

3.
p~>q - warunek konieczny ~>
Zdarzenia:
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Zbiory:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q

Matematycznie zachodzi:
p=>q ## p~>q ## p~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
I prawo Kubusia:
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice dodatniej (bo q)
~p~>~q = p=>q
II prawo Kubusia:
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) jest tożsamy w warunkiem koniecznym ~> w logice dodatniej (bo q)
~p=>~q = p~>q

Interpretacja praw Kubusia:
Zdanie prawdziwe po dowolnej stronie prawa Kubusia wymusza zdanie prawdziwe po drugiej stronie.
Zdanie fałszywe po dowolnej stronie prawa Kubusia wymusza zdanie fałszywe po drugiej stronie

Definicje operatorów implikacyjnych w spójnikach implikacyjnych:

O przynależności zdania warunkowego „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym p=>q lub koniecznym p~>q do konkretnego operatora decyduje zdanie wypowiedziane w logice dodatniej (bo q). Jeśli ktokolwiek wypowie jako pierwsze zdanie „Jeśli p to q” w logice ujemnej (~p=>~q lub ~p~>~q) to musimy to zdanie sprowadzić do logiki dodatniej korzystając z praw Kubusia, bowiem poniższe definicje operują wyłącznie na zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” w logice dodatniej, z niezanegowanym następnikiem q.

p|=>q - operator implikacji prostej
p=>q=1
p~>q=0
p~~>q=1
Definicja:
p|=>q=(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

p|~>q - operator implikacji odwrotnej
p=>q =0
p~>q =1
p~~>q =1
Definicja:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1

p<=>q - operator równoważności
p=>q =1
p~>q =1
p~~>q =1
Definicja:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1

p|~~>q - operator chaosu
p=>q =0
p~>q =0
p~~>q =1
Definicja:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1

Matematycznie zachodzi:
p|=>q ## p|=>q ## p|~>q ## p|~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji


2.0 Kompendium algebry Kubusia

1 = prawda
0 = fałsz

„~” - symbol przeczenia np. ~p (nie p)


2.1 Spójniki „lub”(+) i „i”(*)

Spójniki „i” i „lub”:
1.
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1


2.2 Operatory OR(|+) i AND(|*)

1.
„|+” - operatora OR(|+) opisany jest układem równań logicznych w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
A.
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
B.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q = ~(~p*~q)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnie (bo Y)
~Y = ~(Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y = ~p*~q = ~(p+q)
Uwaga:
Przejście do logiki przeciwnej jest odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia znanych z matematyki klasycznej.
Zapis tożsamy takiego przejścia to po prostu negacja dwustronna tożsamości logicznej:
Y=p+q
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana

2.
„|*” - operator AND(|*) opisany jest układem równań logicznych w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
A.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
B.
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y)
Y = p*q = ~(~p+~q)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y)
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnie (bo Y)
~Y = ~(Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y = ~p+~q = ~(p*q)

2.3 Prawa Prosiaczka

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)


2.4 Spójniki implikacyjne ~~>, =>, ~>

Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => i ~>:
Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące we wspólnej dziedzinie

1.
p~~>q = p*q - kwantyfikator mały ~~>
Zdarzenia:
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Zbiory:
Istnieje wspólny element zbiorów p i q

2.
p=>q - warunek wystarczający =>
Zdarzenia:
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Zbiory:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

3.
p~>q - warunek konieczny ~>
Zdarzenia:
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Zbiory:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q

O co chodzi w pierwszym zdaniu?

Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => i ~>:
Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące na wspólnej dziedzinie

„We wspólnej dziedzinie” chodzi o to, że dziedziną poprzednika nie może być mydło, a dziedziną następnika powidło.
Przykład takiego bełkotu.
B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to kwadrat ma wszystkie kąty proste i boki równe
TP=>KWKPBR

Tu dziedziną poprzednika jest:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
… a dziedziną następnika jest:
ZWC - zbiór wszystkich czworokątów

Te dziedziny są rozłączne, zatem zdanie B1 jest też fałszywe na mocy prawa Kobry.

Dla naszego zdania B1 mamy:
Jeśli ZWT to ZWC
ZWT~~>ZWC = ZWT*ZWC =0
bo te dziedziny są rozłączne.

Wniosek:
Skoro dziedzina poprzednika jest rozłączna z dziedziną następnika to jest oczywistym, że poprzednik nie może mieć nic wspólnego z następnikiem, zatem zdanie B1 jest matematycznie fałszywe.
Czyli:
Dowolny trójkąt nie ma nic wspólnego z dowolnym czworokątem


2.5 Prawa Kubusia

Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
I prawo Kubusia:
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo p) jest tożsamy z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q
II prawo Kubusia:
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = ~p=>~q

Interpretacja praw Kubusia:
Zdanie prawdziwe po dowolnej stronie prawa Kubusia wymusza zdanie prawdziwe po drugiej stronie.
Zdanie fałszywe po dowolnej stronie prawa Kubusia wymusza zdanie fałszywe po drugiej stronie

2.6 Prawo Kobry

Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
p~~>q = p*q =1
Wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów p i q by zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> było prawdziwe.
Wystarczy sama możliwość jednoczesnego zajścia zdarzeń p i q i już zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> jest prawdziwe.


2.7 Operatory implikacyjne |=>, |~>, |~~>

Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => i ~>:
Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące we wspólnej dziedzinie

1.
p~~>q = p*q - kwantyfikator mały ~~>
Zdarzenia:
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Zbiory:
Istnieje wspólny element zbiorów p i q

2.
p=>q - warunek wystarczający =>
Zdarzenia:
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Zbiory:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

3.
p~>q - warunek konieczny ~>
Zdarzenia:
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Zbiory:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q

Matematycznie zachodzi:
p=>q ## p~>q ## p~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
I prawo Kubusia:
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice dodatniej (bo q)
~p~>~q = p=>q
II prawo Kubusia:
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) jest tożsamy w warunkiem koniecznym ~> w logice dodatniej (bo q)
~p=>~q = p~>q

O przynależności zdania warunkowego „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym p=>q lub koniecznym p~>q do konkretnego operatora decyduje zdanie wypowiedziane w logice dodatniej (bo q). Jeśli ktokolwiek wypowie jako pierwsze zdanie „Jeśli p to q” w logice ujemnej (~p=>~q lub ~p~>~q) to musimy to zdanie sprowadzić do logiki dodatniej korzystając z prawa Kubusia, bowiem poniższe definicje operują wyłącznie na zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” w logice dodatniej, z niezanegowanym następnikiem q.

Definicje operatorów implikacyjnych |=>, |~>, |~~> w spójnikach implikacyjnych =>, ~>, ~~>:

p|=>q - operator implikacji prostej
p=>q=1
p~>q=0
p~~>q=1
Definicja:
p|=>q=(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

p|~>q - operator implikacji odwrotnej
p=>q =0
p~>q =1
p~~>q =1
Definicja:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1

p<=>q - operator równoważności
p=>q =1
p~>q =1
p~~>q =1
Definicja:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1

p|~~>q - operator chaosu
p=>q =0
p~>q =0
p~~>q =1
Definicja:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1

Matematycznie zachodzi:
p|=>q ## p|=>q ## p|~>q ## p|~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Przykład 1.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi twierdzenie:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]
Badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Warunek konieczny ~> nie jest spełniony bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]

Definicja operatora implikacji prostej p|=>q:
p=>q =1
p~>q =0
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Wniosek:
Warunek wystarczający A wchodzi w skład operatora implikacji prostej p|=>q o definicji:
P8=>P2 =1
P8~>P2 =0
P8|=>P2 = (P8=>P2)*~(P8~>P2) = 1*~(0) = 1*1 =1
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q)

Przykład 2.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi twierdzenie matematyczne:
A.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1
Zauważmy, że wszystkie operatory logiczne mamy zdefiniowane dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” w logice dodatniej (bo q).
Dla naszego zdania A musimy skorzystać z prawa Kubusia, aby uzyskać zdanie tożsame w logice dodatniej (bez zanegowanego następnika).

Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Nasz przykład:
~P2=>~P8 = P2~>P8

Stąd zdanie tożsame do A.
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Badamy warunek wystarczający => zachodzący między punktami P2 i P8:
C.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Warunek wystarczający => nie jest spełniony bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]

Definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q:
p~>q =1
p=>q =0
Definicja:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Wniosek:
Warunek konieczny B: P2~>P8 (wraz z tożsamym zdaniem A:~P2=>~P8) jest częścią operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8 o definicji:
P2~>P8 =1
P2=>P8 =0
P2|~>P8 = (P2~>P8)*~(P2=>P8) = 1*~(0) = 1*1 =1

Przykład 3.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi twierdzenie Pitagorasa.
TP.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów TP=SK
TP~>SK =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów TP=SK

Definicja równoważności p<=>q:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Stąd mamy odpowiedź:
Twierdzenie Pitagorasa jest częścią operatora równoważności:
TP=>SK =1
TP~>SK =1
TP<=>SK = (TP=>SK)*(TP~>SK) = 1*1 =1

Przykład 4.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~>:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem P3=[3,6,9..24..]
Sprawdzamy warunek wystarczający => między punktami P8 i P3:
P8=>P3 =0
Warunek wystarczający => nie jest spełniony bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9..24..]
Sprawdzamy warunek konieczny ~> między punktami P8 i P3:
P8~>P3 =0
Warunek konieczny ~> nie jest spełniony bo zbiór P8=[8,16,24 ..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9..24..]

Definicja operatora chaosu p|~~>q:
p=>q =0
p~>q =0
p~~>q=1
Definicja:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1

Wniosek:
Nasze zdanie A: P8~~>P3 wchodzi w skład definicji operatora chaosu P8|~~>P3:
P8|~~>P3 = (P8~~>P3)*~(P8=>P3)*~(P8~>P3) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1

Podsumowując nasze cztery przykłady mamy:
1: P8|=>P2 ## 2: P2|~>P8 ## 3: TP<=>SK ## 4: P8|~~>P3
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Najbardziej interesujące są tu dwa pierwsze człony:
1: P8|=>P2 = (P8=>P2)*~(P8~>P2) ## 2: P2|~>P8 = (P2~>P8)*~(P2=>P8)

Prawa Kubusia zachodzące zawsze i wszędzie:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Stąd mamy:
1: P8|=>P2 = (P8=>P2 = ~P8~>~P2)*~(P8~>P2) ## 2: P2|~>P8 = (P2~>P8 = ~P2=>~P8)*~(P2=>P8)
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 ## P2~>P8 = ~P2=>~P8
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
P8=>P2 ## ~P2=>~P8
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
Znane Ziemianom prawo kontrapozycji w tej postaci:
P8=>P2 = ~P2=>~P8
jest fałszywe w implikacji.

Znane Ziemianom prawo kontrapozycji obowiązuje wyłącznie w równoważności:
p=>q = ~q=>~p
Prosty dowód, na gruncie banalnej teorii zbiorów za chwilę


3.0 Operatory implikacyjne w zbiorach

3.1 Operator implikacji prostej p|=>q

Definicja operatora implikacji prostej |=> w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]

Definicja tożsama implikacji prostej |=> w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q wtedy i tylko wtedy gdy między punktami p i q zachodzi:
p=>q =1
p~>q =0
Stąd mamy tożsamą definicję implikacji prostej |=> wyrażoną spójnikami implikacyjnymi => i ~>:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..].
Dodatkowo zbiory P8 i P2 nie są tożsame co oznacza, że musi być fałszywy warunek konieczny ~> między punktami P8 i P2.
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]

Wniosek:
Warunek wystarczający A: P8=>P2 jest częścią operatora implikacji prostej |=>:
P8|=>P2 = (P8=>P2)*~[P8=P2] = 1*~(0) = 1*1 =1

Definicja operatora implikacji prostej |=> w zdarzeniach:
Zajście zdarzenia p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia q i nie jest tożsame ze zdarzeniem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zawsze gdy pada, jest pochmurno
Wymuszam stan „pada” i na 100” pojawi się stan „chmury”
Dodatkowo pojęcia „pada” i „chmury” nie są tożsame bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
Wniosek:
Warunek wystarczający A wchodzi w skład operatora implikacji prostej |=>:
P|=>CH = (P=>CH)*~[P=CH] = 1* ~(0) = 1*1 =1

Diagram implikacji prostej |=> w zbiorach:


Definicję symboliczną operatora implikacji prostej odczytujemy z diagramu:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór p jest podzbiorem zbioru q
p=>q = [p*q=p] =1
Prawdziwość warunku wystarczającego A wymusza fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie)
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona bo zbiory p i ~q są rozłączne
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q = [~p*~q=~q] =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów ~p i q
Warunek konieczny ~p~>q tu nie zachodzi bo prawo Kubusia:
~p~>q = p=>~q = p*~q =0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego A: p=>q nazywamy zdanie B: p~~>~q z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym ~~>
A: p=>q
B: p~~>~q
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu B: p~~>~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A: p=>q =1 (i odwrotnie)
Prawdziwość kontrprzykładu B: p~~>~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego A: p=>q =0 (i odwrotnie)

Zauważmy, że w implikacji prostej p|=>q po stronie p mamy gwarancję matematyczną =>:
A.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Natomiast po stronie ~p mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”:
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q (zdanie C) lub może ~~> zajść q (zdanie D)

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na pewno => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH = P*CH =1
W zapisie formalnym:
p=>q = p*q =1
co matematycznie oznacza:
(p=1)=>(q=1) =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo wymuszam padanie i na pewno pojawią się chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Prawdziwość warunku wystarczającego A wymusza fałszywość kontrprzykładu B
B.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0 - sytuacja niemożliwa
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
co matematycznie oznacza:
(p=1) ~~> (~q=1) =0
… a jeśli jutro nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
C.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH = ~P*~CH =1
W zapisie formalnym:
~p~>~q = ~p*~q =1
co matematycznie oznacza:
(~p=1)~>(~q=1) =1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno bo jak są opady to na pewno => są chmury
Zauważmy że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
C: ~P~>~CH = A: P=>CH
lub
D.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1 - sytuacja możliwa
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
co matematycznie oznacza:
(~p=1)~~>(q=1) =1
Warunek konieczny ~> nie jest tu spełniony bo prawo Kubusia:
~P~>CH = P=>~CH = P*~CH =0
Prawa strona jest fałszem zatem w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~>.

Logika matematyczna człowieka ma tą piękną cechę, że przekłada się w stosunku 1:1 na zapisy formalne (zwyczajowo p, q i Y) niezależne od konkretnego zdania.
Dla naszego przykładu wystarczy podstawić:
p=P
q=CH
i lądujemy w zapisach formalnych.

Kodowanie zero-jedynkowe analizy symbolicznej implikacji prostej p|=>q:

[rafal3006]

Algebra Kubusia - algebra zbiorów

Wstęp:
Od 11 lat Kubuś każde pojęcie z zakresu logiki matematycznej ziemian wywraca do góry nogami - wtedy i tylko wtedy lądujemy w poprawnej logice matematycznej opisującej nasz Wszechświat żywy i martwy, logice matematycznej wszystkich 5-cio latków i humanistów - algebrze Kubusia.
Fiklit: „Wszystko czego Kubuś dotknie zamienia w absurd”
To pokazuje skalę rewolucji w logice matematycznej jaka wkrótce nastąpi bo nie wierzę, iż na ziemi nie znajdzie się grupka matematyków która nie stanie murem za AK - dalej wszystko potoczy się lawinowo.

Spis treści
1.0 Notacja 1
2.0 Algebra zbiorów 1
2.1 Podstawowe operacje na zbiorach 2
2.2 Właściwości algebry zbiorów 3
2.3 Znaczenie przecinka w algebrze zbiorów 6
2.4 Relacje zbiorów 7
2.5 O co chodzi w logice matematycznej 8
2.6 Właściwości podzbioru => i nadzbioru ~> 10
2.7 Prawa Prosiaczka 12
2.8 Prawo rozpoznawalności pojęcia 13
3.0 Zbiory jednoargumentowe 13
3.1 Aksjomatyka Nowej Teorii Zbiorów 13
3.2 Definicje jednoargumentowych operatorów logicznych w zbiorach 15
3.2.1 Operator transmisji 16
3.2.2 Operator negacji 17
3.2.3 Operator chaosu 18
3.2.4 Operator śmierci 19
3.3 Zestawienie jednoargumentowych operatorów logicznych 19
3.4 Operatory jednoargumentowe a technika cyfrowa 20
3.5 Prawo Rekina 20



1.0 Notacja


2.0 Algebra zbiorów

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zwrot „dowolnych pojęć” oznacza, że przy doborze elementów zbioru człowiek ma 100% wolnej woli, może do zbioru wrzucać mydło i powidło jak niżej:
p=[LN, pies, miłość, krasnoludek]
gdzie:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9...] - zbiór liczb naturalnych

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka
Człowiek nie jest w stanie zdefiniować zbioru wykraczającego z przyjętą wyżej definicję Uniwersum.
Każdy zbiór zdefiniowany przez człowieka będzie podzbiorem Uniwersum.

Budowa zbioru:
p = [LN, pies, miłość, krasnoludek]
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9...] - zbiór liczb naturalnych
Legenda:
p - nazwa zbioru
[x] - zawartość zbioru, elementy zbioru rozdzielamy przecinkami
Element zbioru to dowolne pojęcie z obszaru Uniwersum
Elementy zbioru mogą być zbiorami np. LN

Zbiory mają wartość logiczną:
1 = prawda
0 = fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
[] =0 - zbiór pusty, zawierający zero elementów

Właściwości elementów Uniwersum:
Elementem zbioru może być dowolne pojęcie z obszaru Uniwersum zrozumiałe dla człowieka.
Pojęcie zrozumiałe dla człowieka to niepusty element ze zbioru Uniwersum.
Każdy element niepusty ma wartość logiczną 1
Element niepusty w dowolnym zbiorze czyni ten zbiór niepustym którego wartość logiczna to 1.
p=[miłość] =1 - zbiór niepusty o wartości logicznej 1


2.1 Podstawowe operacje na zbiorach

I.
Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2,3,4]+[3,4,5,6]=[1,2,3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty

II.
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Zbiór wynikowy pusty oznacza rozłączność zbiorów p i q
Y =[] =0 - w przypadku zbiorów rozłącznych
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
r=[5,6,7,8] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2,3,4]*[3,4,5,6]=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*r=[1,2,3,4]*[5,6,7,8] =[] =0 - bo zbiór pusty

III.
Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p-q = [1,2,3,4]-[3,4] =[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
Y=q-p =[3,4]-[1,2,3,4]=[] =0 - bo zbiór pusty

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór utworzony przez człowieka na którym operujemy
Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.
Oznacza to, że wszelkie pojęcia poza przyjętą dziedziną są dla nas nierozpoznawalne, czyli nie znamy definicji tych pojęć z założenia.
Właściwości dziedziny:
D+~D = D+[] =D =1 - bo zbiór pełny, dziedzina
D*~D = D*[] =[] =0 - bo zbiór pusty

IV.
Zaprzeczenie zbioru (~):
Zaprzeczeniem zbioru nazywamy uzupełnienie zbioru do dziedziny
Przykład:
p=[1,2] - definiujemy zbiór
D=[1,2,3,4] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[3,4]


2.2 Właściwości algebry zbiorów

Różnica między algebrą klasyczną gdzie chodzi o wykonywanie operacji algebraicznych na liczbach a algebrą zbiorów, gdzie chodzi o rozpoznawalność pojęć w zbiorze jest fundamentalna.
Porównajmy:
2+2 =4 - algebra klasyczna (+ - znak dodawania algebraicznego)
2 „lub”(+) 2 =2 - teoria zbiorów (+ - suma logiczna zbiorów, spójnik „lub”(+))
2*2=4 - algebra klasyczna (* - znak mnożenia algebraicznego)
2 „i”(*) 2 =2 - teoria zbiorów (* - iloczyn logiczny zbiorów, spójnik „i”(*))

Kolizja znaczków jest tu ewidentna ale nieszkodliwa, bowiem algebra klasyczna jest rozłączna z teorią zbiorów, czyli możemy operować albo w doskonale nam znanej algebrze klasycznej, albo w algebrze zbiorów - nie ma tu ani jednego punktu wspólnego.
W całym niniejszym podręczniku znaczki „*” i „+” mają jedno i tylko jedno znaczenie:
„lub”(+) - suma logiczna zbiorów, spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka
„i”(*) - iloczyn logiczny zbiorów, spójnik „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka

Wynika z tego, że nasze cyfry [1,2,3,4,5…] to nie są cyfry na których można wykonać jakąkolwiek klasyczną operację arytmetyczną typu dodawanie/odejmowanie algebraiczne.
Zdecydowanie NIE!
Cyfry [1,2,3,4,5…] to symbole [jeden, dwa ,trzy, cztery, pięć …] jednoznacznie zdefiniowane w całym Uniwersum, to po prostu zbiory jednoelementowe [1,2,3,4,5..] które nie mają absolutnie nic wspólnego z jakąkolwiek klasyczną operacją arytmetyczną. Jakiekolwiek dodawanie/mnożenie algebraiczne tych symboli to z punktu widzenia teorii zbiorów błąd czysto matematyczny!

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to algebra zbiorów w której chodzi o rozpoznawalność pojęć z obszaru Uniwersum, a nie o jakiekolwiek działania algebraiczne na elementach dowolnego zbioru.
Logika matematyczna która liczy algebraicznie elementy w zbiorze (np. Teoria Mnogości - moce zbiorów), jest fałszywą logiką matematyczną.

Wspólne są jednak niektóre właściwości obu algebr co zaznaczymy w opisie właściwości algebry zbiorów.

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Zobaczmy na przykładzie o co chodzi w teorii zbiorów:
K=[kino] - pojęcie „kino”, zbiór jednoelementowy „kino”
T=[teatr] - pojęcie „teatr”, zbiór jednoelementowy „teatr”
A1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru i do teatru
Y=K+T*T
Prawo powielania/redukcji elementów połączonych spójnikiem „i”(*):
p=p*p
Stąd zdanie tożsame:
A2.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
A1: K+T*T = A2: K+T

B1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru lub do teatru
Y = K+T+T
Prawo powielania/redukcji elementów zbioru połączonych spójnikiem „lub”(+):
p=p+p
Stąd zdanie tożsame:
B2.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
B1: K+T+T = B2: K+T

Właściwości algebry zbiorów:
1.
Tożsamość zbiorów
Brak odpowiednika w algebrze klasycznej
Dla zbiorów tożsamych (pojęć tożsamych) p=p zachodzi:
p*p =p
p+p =p

2.
Pochłanianie w algebrze zbiorów
Brak odpowiednika w algebrze klasycznej
Dla zbiorów rozłącznych p i ~p uzupełniających się wzajemnie do dziedziny D zachodzi:
p+~p =D =1
p*~p =[] =0
Dowód:
Przyjmijmy dziedzinę:
U = uniwersum, wszelkie pojęcia zrozumiałe dla człowieka
p - pewien zbiór p
Obliczmy zaprzeczenie zbioru p:
~p=[U-p]
stąd mamy:
p+~p = p+[U-p] = [p+U-p] =U =1
p*~p = p*[U-p] = [p*U-p*p] =[p-p] =[] =0

3.
Łączność w algebrze zbiorów
Cechy identyczne jak w algebrze klasycznej
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r) = (p*q)*r

4.
Przemienność w algebrze zbiorów
Cechy identyczne jak w algebrze klasycznej
p+q = q+p
p*q = q*p

5.
Rozdzielność w algebrze zbiorów
5a.
p*(q+r) = p*q+p*r - cecha identyczna jak w algebrze klasycznej
5b.
p+(q*r) = (p+q)*(p+r) - to jest coś innego niż algebra klasyczna
Dowód ostatniego równania:
L=(p+q)*(p+r) = p*p + p*r+p*q + q*r
L=p+p*r+p*q+q*r
L=p*1+p*r+p*q+q*r
L=p*(1+r+q)+q*r
L=p*1+q*r
L=p+(q*r)
cnd
Wyjaśnienie.
Dziedzina:
D=1 zbiór pełny, zawierający w sobie wszelkie zbiory w równaniu zbiorów
Stąd mamy tożsamość:
p*(1+q+r) = p*(D+q+r) = p*D =p

6.
Absorpcja w algebrze zbiorów
Brak odpowiednika w algebrze klasycznej
6a.
p+p*q =q
Dowód:
p+p*a = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wyjaśnienie.
D=1 zbiór pełny, zawierający w sobie wszelkie zbiory w równaniu zbiorów
Stąd mamy tożsamość:
p*(1+q) = p*(D+q) = p*D =p
6b.
p*(p+q) =p
Dowód:
p*(p+q) = p*p+p*q = p+p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*(D+q) = p*D =p
gdzie:
D=1 - zbiór pełny, zawierający w sobie wszystkie zbiory w równaniu zbiorów
cnd


2.3 Znaczenie przecinka w algebrze zbiorów

Definicja:
Przecinek rozdzielający elementy w dowolnym zbiorze to spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, będący matematycznie sumą logiczną zbiorów.

Matematycznie zachodzi tożsamość:
(,) = „lub”(+)

Zobaczmy to na podstawowych operacjach na zbiorach:

I.
Suma logiczna
[1+2]+[1+3] = [1+2+1+3] = [1+2+3] - to jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Prawo powielania/redukcji elementów w zbiorze
p=p+p
stąd:
1+1=1

II.
Iloczyn logiczny
[1+2]*[1+3] = 1*1 + 1*3 + 2*1 + 2*3 = 1+[]+[]+[] =1 - to też jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
p=p*p
stąd:
1*1=1
Przykładowe pojęcia (zbiory jednoelementowe) 1 i 3 są rozłączne, stąd:
1*3=[]

III.
Różnica logiczna
[1+2+3]-[2+3] = 1+2+3-2-3 =1+[2-2]+[3-3] = 1+[]+[] = 1
[2+3]-[1+2=3] = 2+3 -1-2-3 = []+2+3-1-2-3 = [[]-1] +[2-2]+[3-3] = []+[]+[] =[]
W ostatnim równaniu skorzystaliśmy z neutralności zbioru pustego [] w sumie logicznej dokładając zbiór pusty [] do sumy logicznej
Wyjaśnienie:
[]-1 =[] - jeśli ze zbioru pustego usuniemy dowolny element to zbiór pusty dalej pozostanie pusty.
Alternatywa:
Wszelkie elementy ze znakiem minus które pozostaną po wykonaniu operacji odejmowania z definicji zamieniamy na zbiór posty [].
[2+3]-[1+2=3] = 2+3 -1-2-3 = 2+3-1-2-3 = -1 +[2-2]+[3-3] = -1+[]+[] =[]+[]+[] =[]


2.4 Relacje zbiorów

Definicja podzbioru =>:
Jeśli wszystkie elementy zbioru A należą do zbioru B to mówimy, że zbiór A jest podzbiorem => zbioru B i zapisujemy
A=>B

Przykład:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
P8=>P2 =1
Definicja podzbioru => spełniona (=1) bo każdy element zbioru P8=[8,16,24..] należy do zbioru P2=[2,4,6,8..]

Definicja nadzbioru ~>:
Jeśli zbiór A zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru B to mówimy, że zbiór A jest nadzbiorem ~> zbioru B i zapisujemy
A~>B

Przykład:
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P2~>P8 =1
Definicja nadzbioru ~> spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] zawiera wszystkie elementy zbioru P8=[8,16,24..]

Tożsamość zbiorów
Zbiory A i B nazywamy są tożsamymi wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B i na odwrót
A=B <=> (A=>B)*(B=>A)

Przykład:
TP - zbiór trójkątów prostokątnych
SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów
TP=SK <=> (TP=>SK)*(SK=>TP)


2.5 O co chodzi w logice matematycznej

Logika matematyczna ziemian rozróżnia w zbiorze elementy podstawowe które nie są podzbiorami oraz elementy podzbiorowe które są podzbiorami.
Rozróżnianie elementów zbioru na podstawowe i podzbiorowe jest z punktu widzenia logiki bez sensu bo w logice matematycznej chodzi podział dziedziny na cztery różne podzbiory rozłączne wzajemnie uzupełniające się do dziedziny.

Definicja dziedziny dla operatorów logicznych dwuargumentowych jest stała i niezmienna, nie zależy od operatora, to definicja operatora chaosu p|~~>q
D = p*q + p*~q + ~p*q +~p*~q
Mamy tu cztery zbiory rozłączne, uzupełniające się do dziedziny.
Sprawdzenie poprawności dziedziny:
D = p*(q+~q) + ~p*(q+~q) = p+~p =1
ok

Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny

Definicja implikacji prostej p|=>q:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]

Definicja operatora chaosu p|~~>q w zbiorach:
Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(q=>p)

Definicje operatorów OR(|+) i AND(|*) w zbiorach:
Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(q=>p)

Na mocy powyższych definicji operatorów logicznych zawartość zbiorów jest kompletnie bez znaczenia może to być zbiór typu mydło i powidło i logika matematyczna doskonale działa.
Przykład:
p=[LN, K, M, P]
LN - zbiór liczb naturalnych
K - krasnoludek
M - miłość
P - pies

Definicja równoważności:
p=[LN+K]
q=[M+P]
p<=>q =1!

Definicja implikacji prostej:
p=[LN]
q=[LN+K+M]
p|=>q =1!

Definicja implikacji odwrotnej:
p=[LN+K+M]
q=[LN]
p|~>q =1!

Definicja operatora chaosu p|~~>q
p=[LN+K+M]
q=[K+M+P]
p|~~>q =1!

Podsumowując:
Teoria Mnogości idzie do piachu, bo z punktu widzenia logiki matematycznej jest bez sensu.

Dlaczego?
TM działa tak!
Definiuję zbiór:
p=[1+2]
Dodaję jeden element:
q=[1+2+3]
[link widoczny dla zalogowanych]

[rafal3006]

Algebra Kubusia

Wstęp:
Od 11 lat Kubuś każde pojęcie z zakresu logiki matematycznej ziemian wywraca do góry nogami - wtedy i tylko wtedy lądujemy w poprawnej logice matematycznej opisującej nasz Wszechświat żywy i martwy, logice matematycznej wszystkich 5-cio latków i humanistów - algebrze Kubusia.
Fiklit: „Wszystko czego Kubuś dotknie zamienia w absurd”
To pokazuje skalę rewolucji w logice matematycznej jaka wkrótce nastąpi bo nie wierzę, iż na ziemi nie znajdzie się grupka matematyków która nie stanie murem za AK - dalej wszystko potoczy się lawinowo.

Spis treści
1.0 Notacja 1
2.0 Algebra zbiorów 1
2.1 Podstawowe operacje na zbiorach 2
2.2 Właściwości algebry zbiorów 3
2.3 Znaczenie przecinka w algebrze zbiorów 6
2.4 Relacje zbiorów 7
2.5 Teoria zbiorów a technika podstawień 8
2.6 Właściwości podzbioru => i nadzbioru ~> 11
2.7 Logika matematyczna zbiorów 12
2.8 Prawa Prosiaczka 16
2.9 Prawo rozpoznawalności pojęcia 18
3.0 Zbiory jednoargumentowe 18
3.1 Aksjomatyka Nowej Teorii Zbiorów 18
3.2 Definicje jednoargumentowych operatorów logicznych w zbiorach 20
3.2.1 Operator transmisji 21
3.2.2 Operator negacji 22
3.2.3 Operator chaosu 23
3.2.4 Operator śmierci 24
3.3 Zestawienie jednoargumentowych operatorów logicznych 24
3.4 Operatory jednoargumentowe a technika cyfrowa 25
3.5 Prawo Rekina 25



1.0 Notacja


2.0 Algebra zbiorów

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zwrot „dowolnych pojęć” oznacza, że przy doborze elementów zbioru człowiek ma 100% wolnej woli, może do zbioru wrzucać mydło i powidło jak niżej:
p=[LN, pies, miłość, krasnoludek]
gdzie:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9...] - zbiór liczb naturalnych

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka
Człowiek nie jest w stanie zdefiniować zbioru wykraczającego z przyjętą wyżej definicję Uniwersum.
Każdy zbiór zdefiniowany przez człowieka będzie podzbiorem Uniwersum.

Budowa zbioru:
p = [LN, pies, miłość, krasnoludek]
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9...] - zbiór liczb naturalnych
Legenda:
p - nazwa zbioru
[x] - zawartość zbioru, elementy zbioru rozdzielamy przecinkami
Element zbioru to dowolne pojęcie z obszaru Uniwersum
Elementy zbioru mogą być zbiorami np. LN

Zbiory mają wartość logiczną:
1 = prawda
0 = fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
[] =0 - zbiór pusty, zawierający zero elementów

Właściwości elementów Uniwersum:
Elementem zbioru może być dowolne pojęcie z obszaru Uniwersum zrozumiałe dla człowieka.
Pojęcie zrozumiałe dla człowieka to niepusty element ze zbioru Uniwersum.
Każdy element niepusty ma wartość logiczną 1
Element niepusty w dowolnym zbiorze czyni ten zbiór niepustym którego wartość logiczna to 1.
p=[miłość] =1 - zbiór niepusty o wartości logicznej 1


2.1 Podstawowe operacje na zbiorach

I.
Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2,3,4]+[3,4,5,6]=[1,2,3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty

II.
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Zbiór wynikowy pusty oznacza rozłączność zbiorów p i q
Y =[] =0 - w przypadku zbiorów rozłącznych
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
r=[5,6,7,8] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2,3,4]*[3,4,5,6]=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*r=[1,2,3,4]*[5,6,7,8] =[] =0 - bo zbiór pusty

III.
Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p-q = [1,2,3,4]-[3,4] =[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
Y=q-p =[3,4]-[1,2,3,4]=[] =0 - bo zbiór pusty

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór utworzony przez człowieka na którym operujemy
Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.
Oznacza to, że wszelkie pojęcia poza przyjętą dziedziną są dla nas nierozpoznawalne, czyli nie znamy definicji tych pojęć z założenia.
Właściwości dziedziny:
D+~D = D+[] =D =1 - bo zbiór pełny, dziedzina
D*~D = D*[] =[] =0 - bo zbiór pusty
Ograniczeniem dolnym w definiowaniu dziedziny jest zbiór pusty [], natomiast ograniczeniem górnym jest Uniwersum.

IV.
Zaprzeczenie zbioru (~):
Zaprzeczeniem zbioru nazywamy uzupełnienie zbioru do dziedziny
Przykład:
p=[1,2] - definiujemy zbiór
D=[1,2,3,4] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[3,4]


2.2 Właściwości algebry zbiorów

Różnica między algebrą klasyczną gdzie chodzi o wykonywanie operacji algebraicznych na liczbach a algebrą zbiorów, gdzie chodzi o rozpoznawalność pojęć w zbiorze jest fundamentalna.
Porównajmy:
2+2 =4 - algebra klasyczna (+ - znak dodawania algebraicznego)
2 „lub”(+) 2 =2 - teoria zbiorów (+ - suma logiczna zbiorów, spójnik „lub”(+))
2*2=4 - algebra klasyczna (* - znak mnożenia algebraicznego)
2 „i”(*) 2 =2 - teoria zbiorów (* - iloczyn logiczny zbiorów, spójnik „i”(*))

Kolizja znaczków jest tu ewidentna ale nieszkodliwa, bowiem algebra klasyczna jest rozłączna z teorią zbiorów, czyli możemy operować albo w doskonale nam znanej algebrze klasycznej, albo w algebrze zbiorów - nie ma tu ani jednego punktu wspólnego.
W całym niniejszym podręczniku znaczki „*” i „+” mają jedno i tylko jedno znaczenie:
„lub”(+) - suma logiczna zbiorów, spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka
„i”(*) - iloczyn logiczny zbiorów, spójnik „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka

Wynika z tego, że nasze cyfry [1,2,3,4,5…] to nie są cyfry na których można wykonać jakąkolwiek klasyczną operację arytmetyczną typu dodawanie/odejmowanie algebraiczne.
Cyfry [1,2,3,4,5…] to symbole [jeden, dwa ,trzy, cztery, pięć …] jednoznacznie zdefiniowane w całym Uniwersum, to po prostu zbiory jednoelementowe [1,2,3,4,5..] które nie mają absolutnie nic wspólnego z jakąkolwiek klasyczną operacją arytmetyczną. Jakiekolwiek dodawanie/mnożenie algebraiczne tych symboli to z punktu widzenia teorii zbiorów błąd czysto matematyczny.

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to algebra zbiorów w której chodzi o rozpoznawalność pojęć z obszaru Uniwersum, a nie o jakiekolwiek działania algebraiczne na elementach dowolnego zbioru.

Wspólne są jednak niektóre właściwości obu algebr co zaznaczymy w opisie właściwości algebry zbiorów.

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Zobaczmy na przykładzie o co chodzi w teorii zbiorów:
K=[kino] - pojęcie „kino”, zbiór jednoelementowy „kino”
T=[teatr] - pojęcie „teatr”, zbiór jednoelementowy „teatr”
A1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru i do teatru
Y=K+T*T
Prawo powielania/redukcji elementów połączonych spójnikiem „i”(*):
p=p*p
Stąd zdanie tożsame:
A2.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
A1: K+T*T = A2: K+T

B1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru lub do teatru
Y = K+T+T
Prawo powielania/redukcji elementów zbioru połączonych spójnikiem „lub”(+):
p=p+p
Stąd zdanie tożsame:
B2.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
B1: K+T+T = B2: K+T

Właściwości algebry zbiorów:
1.
Tożsamość zbiorów
Brak odpowiednika w algebrze klasycznej
Dla zbiorów tożsamych (pojęć tożsamych) p=p zachodzi:
p*p =p
p+p =p

2.
Pochłanianie w algebrze zbiorów
Brak odpowiednika w algebrze klasycznej
Dla zbiorów rozłącznych p i ~p uzupełniających się wzajemnie do dziedziny D zachodzi:
p+~p =D =1
p*~p =[] =0
Dowód:
Przyjmijmy dziedzinę:
U = uniwersum, wszelkie pojęcia zrozumiałe dla człowieka
p - pewien zbiór p
Obliczmy zaprzeczenie zbioru p:
~p=[U-p]
stąd mamy:
p+~p = p+[U-p] = [p+U-p] =U =1
p*~p = p*[U-p] = [p*U-p*p] =[p-p] =[] =0

3.
Łączność w algebrze zbiorów
Cechy identyczne jak w algebrze klasycznej
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r) = (p*q)*r

4.
Przemienność w algebrze zbiorów
Cechy identyczne jak w algebrze klasycznej
p+q = q+p
p*q = q*p

5.
Rozdzielność w algebrze zbiorów
5a.
p*(q+r) = p*q+p*r - cecha identyczna jak w algebrze klasycznej
5b.
p+(q*r) = (p+q)*(p+r) - to jest coś innego niż algebra klasyczna
Dowód ostatniego równania:
L=(p+q)*(p+r) = p*p + p*r+p*q + q*r
L=p+p*r+p*q+q*r
L=p*1+p*r+p*q+q*r
L=p*(1+r+q)+q*r
L=p*1+q*r
L=p+(q*r)
cnd
Wyjaśnienie.
Dziedzina:
D=1 zbiór pełny, zawierający w sobie wszelkie zbiory w równaniu zbiorów
Stąd mamy tożsamość:
p*(1+q+r) = p*(D+q+r) = p*D =p

6.
Absorpcja w algebrze zbiorów
Brak odpowiednika w algebrze klasycznej
6a.
p+p*q =q
Dowód:
p+p*a = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wyjaśnienie.
D=1 zbiór pełny, zawierający w sobie wszelkie zbiory w równaniu zbiorów
Stąd mamy tożsamość:
p*(1+q) = p*(D+q) = p*D =p
6b.
p*(p+q) =p
Dowód:
p*(p+q) = p*p+p*q = p+p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*(D+q) = p*D =p
gdzie:
D=1 - zbiór pełny, zawierający w sobie wszystkie zbiory w równaniu zbiorów
cnd


2.3 Znaczenie przecinka w algebrze zbiorów

Definicja:
Przecinek rozdzielający elementy w dowolnym zbiorze to spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, będący matematycznie sumą logiczną zbiorów.

Matematycznie zachodzi tożsamość:
(,) = „lub”(+)

Zobaczmy to na podstawowych operacjach na zbiorach:

I.
Suma logiczna
[1+2]+[1+3] = [1+2+1+3] = [1+2+3] - to jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Prawo powielania/redukcji elementów w zbiorze
p=p+p
stąd:
1+1=1

II.
Iloczyn logiczny
[1+2]*[1+3] = 1*1 + 1*3 + 2*1 + 2*3 = 1+[]+[]+[] =1 - to też jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
p=p*p
stąd:
1*1=1
Przykładowe pojęcia (zbiory jednoelementowe) 1 i 3 są rozłączne, stąd:
1*3=[]

III.
Różnica logiczna
[1+2+3]-[2+3] = 1+2+3-2-3 =1+[2-2]+[3-3] = 1+[]+[] = 1
[2+3]-[1+2=3] = 2+3 -1-2-3 = []+2+3-1-2-3 = [[]-1] +[2-2]+[3-3] = []+[]+[] =[]
W ostatnim równaniu skorzystaliśmy z neutralności zbioru pustego [] w sumie logicznej dokładając zbiór pusty [] do sumy logicznej
Wyjaśnienie:
[]-1 =[] - jeśli ze zbioru pustego usuniemy dowolny element to zbiór pusty dalej pozostanie pusty.
Alternatywa:
Wszelkie elementy ze znakiem minus które pozostaną po wykonaniu operacji odejmowania z definicji zamieniamy na zbiór posty [].
[2+3]-[1+2+3] = 2+3 -1-2-3 = 2+3-1-2-3 = -1 +[2-2]+[3-3] = -1+[]+[] =[]+[]+[] =[]

Zdefiniujmy zbiór typu mydło i powidło:
A = [LN, pies, miłość, krasnoludek]
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
P - pies
M - miłość
K - krasnoludek
A=[LN, P, M, K]
Elementy zbioru rozdzielamy przecinkami.
Matematycznie zachodzi tożsamość:
(,) przecinek = suma logiczna zbiorów (elementów zbiorów), spójnik „lub”(+).
Stąd zapis tożsamy:
A=[LN+P+M+K]
Elementy dowolnego zbioru można powielać w nieskończoność na mocy prawa powielania/redukcji dowolnego elementu w zbiorze:
p=p+p
Stąd:
[LN+P+M+K] = [LN+LN+P+M+K+K+K]
Logika matematyczna to rozróżnianie nazw elementów a nie fizyczne liczenie elementów, stąd zbiory po obu stronach tożsamości są tożsame i zawierają po cztery różne nazwy elementów.


2.4 Relacje zbiorów

Definicja podzbioru =>:
Jeśli wszystkie elementy zbioru A należą do zbioru B to mówimy, że zbiór A jest podzbiorem => zbioru B i zapisujemy
A=>B

Przykład:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Relacja podzbioru => spełniona (=1):
P8=>P2 =1
Relacja podzbioru => spełniona (=1) bo każdy element zbioru P8=[8,16,24..] należy do zbioru P2=[2,4,6,8..]
Relacja podzbioru => niespełniona (=0):
P2=>P8 =0
Relacja podzbioru => nie jest spełniona (=0) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]

Definicja nadzbioru ~>:
Jeśli zbiór A zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru B to mówimy, że zbiór A jest nadzbiorem ~> zbioru B i zapisujemy
A~>B

Przykład:
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Relacja nadzbioru ~> spełniona (=1):
P2~>P8 =1
Relacja nadzbioru spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] zawiera wszystkie elementy zbioru P8=[8,16,24..]
Relacja nadzbioru ~> niespełniona (=0):
P8~>P2 =0
Relacja nadzbioru nie jest spełniona (=0) bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]

Tożsamość zbiorów
Zbiory A i B są tożsame wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B i na odwrót
A=B <=> (A=>B)*(B=>A)

Przykład:
TP - zbiór trójkątów prostokątnych
SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów
TP=SK <=> (TP=>SK)*(SK=>TP)

Kwantyfikator mały ~~>
Definicja kwantyfikatora małego ~~> jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem q.
p~~>q = p*q
Rozstrzygnięcia:
Jeśli zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny to definicja kwantyfikatora małego ~~> jest spełniona (=1):
p~~>q = p*q =1 - bo zbiory p i q mają element wspólny
Dla zbiorów rozłącznych definicja kwantyfikatora małego nie jest spełniona (=0):
p~~>q = p*q =0 - bo zbiory p i q są rozłączne


2.5 Teoria zbiorów a technika podstawień

Zacznijmy od analogii do matematyki klasycznej:
Przykład:
1. 2x+4y-1 =0
Podstawiamy:
2. z=4y-1
stąd:
3. 2x+z =0

Zauważmy że:
Jeśli pokażemy dowolnemu matematykowi równania 1 i 3 z pytaniem czy te równania są tożsame to odpowiedź może być tylko jedna:
Nie są tożsame.
ALE!
Jeśli dowolnemu matematykowi, nawet uczniowi szkoły podstawowej pokażemy komplet równań 1,2,3 z pytaniem czy równania 1 i 3 są tożsame to odpowiedź może być tylko jedna:
Tak, równania 1 i 3 są tożsame bo widzę podstawienie:
z=4y-1

Identycznie jest w teorii zbiorów:
1. A=[1+2+3]
Podstawmy:
2. B=[1+2]
stąd:
3. C=[B+3]
Sytuacja jest tu identyczna jak w matematyce klasycznej:
Jeśli pokażemy wyłącznie 1 i 3 to matematycznie zachodzi:
A ## C
## - różne na mocy definicji
ALE!
Jeśli pokażemy komplet równań 1,2,3 to matematycznie zachodzi:
A = C
Oczywistym jest że przed porównywaniem A=C należy odtworzyć podstawienie w zbiorze C, czyli:
C = [B+3] = [[1+2]+3] = [1+2+3]
Teraz doskonale widać zachodzącą tożsamość:
(A=[1+2+3]) = (C=[1+2+3])

Inny przykład:
1. [1+2+3] = [1+2+3]
1. [1+2+3] = [1+2+3+1+2]
bo prawo powielania/redukcji dowolnych elementów w zbiorze:
p=p+p
W kolejnym kroku dokonujemy podstawienia:
2. C=[1+2]
Stąd:
3. [1+2+3] = [1+2+3+C]
bo znane jest podstawienie C.

Jeśli pokażemy wyłącznie 1 i 3 to będzie:
1. [1+2+3] ## 3. [1+2+3+C]
## - różne na mocy definicji
bo nie wiem co się pod tym C kryje tzn. nie mogę odtworzyć podstawienia C!

Można też zapisać tak:
1. [1+2+3] = [1+2+3]
1. [1+2+3] = [1+2+3+1+2]

2. [1+2+3] = [1+2+3+[1+2]]
Zapisując jak wyżej gramy w otwarte karty. W tym przypadku podstawienie [1+2] możemy zredukować do:
1. [1+2+3] = [1+2+3+1+2] =[1+2+3]
Żeby porównywać lewą i prawą stronę równania 2 podstawienie [1+2] musimy zredukować!

Identycznie jest tu:
P2=[2,4,6,8,10,12,16 ...] - zbiór liczb podzielnych przez 2
P8=[8,16 …] - zbiór liczb podzielnych przez 8
~P8=[LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9,10,11,12,13,14,15.. 17..]
~P8*P2 = [2,4,6..10,12,14…]

Oczywista oczywistość jest taka:
P2=P2
Czyli:
1. (P2=[2+4+6+8+10+12+14+16…]) = (P2=[2+4+6+8+10+12+14+16…])

Zbiór P2 z prawej strony porządkujemy do takiej postaci:
1. (P2=[2+4+6+8+10+12+14+16…])=( P2=[8+16… +2+4+6..10+12+14..])
Z prawej strony tożsamości dokonujemy jawnego podstawienia (gramy w otwarte karty identycznie jak wyżej):
2. (P2=[2+4+6+8+10+12+14+16…]) = (P2=[[8+16…]+ [2+4+6..10+12+14..]]
stąd:
2. P2=[P8+~P8*P2]

Pytanie jest tu bardzo proste:
P2=[P8+~P8*P2]
Czy zachodzi powyższa tożsamość w zbiorach?

Dowód czysto matematyczny iż zachodzi jest następujący:
P2=P8+(~P8*P2)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~P2=~P8*(P8+~P2)
~P2=~P8*P8 + ~P8*~P2
~P2=~P8*~P2
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.
P2=P8+P2
stąd:
P2=P2
bo P8 jest podzbiorem => P2

Uwaga!
Z powyższego wynika że teoria zbiorów jest pojęciem szerszym niż algebra Boole’a bowiem ostatni szach-mat nie jest możliwy na gruncie algebry Boole’a
Historyczny wniosek:
Algebra Boole’a jest podzbiorem właściwym teorii zbiorów!

Dokładnie to samo w algebrze Boole’a:
P2 = P8+~P8*P2
p=P2
q=P8
stąd:
p=q+(~q*p)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~p=~q*(q+~p)
~p=~q*q+~p*~q
~p=~p*~q
Powrót do logiki dodatniej:
p=p+q
W algebrze Boole’a mamy tu sprzeczność czysto matematyczną!
Oczywiście jeśli wiemy ze q jest podzbiorem p to matematyczna sprzeczność w teorii zbiorów znika:
p=p
bo q jest podzbiorem p

Kluczowy i historyczny wniosek!
Zapiszmy dziewiczą tożsamość matematyczną P2=P2:
1. (P2=[2+4+6+8+10+12+14+16…])=( P2=[8+16… +2+4+6..10+12+14..])
Z prawej strony tożsamości dokonujemy jawnego podstawienia (- gramy w otwarte karty!):
2. (P2=[2+4+6+8+10+12+14+16…]) = (P2=[[8+16…]+ [2+4+6..10+12+14..]]
stąd:
2. P2=[P8+~P8*P2]

Teraz pytanie do ziemskich matematyków!
Czy z faktu że dokonaliśmy banalnego podstawienia w równaniu 1 generując równanie 2 wynika, że tożsamość matematyczna w równaniu 2 nam się zawali?

Oczywiście NIE!
Gdyby tak się stało to cała matematyka ległaby w gruzach bo żadnych podstawień nie wolno by nam było wykonać.
Przykład:
1. 2x+4y-1 =0
Podstawiamy:
2. z=4y-1
stąd:
3. 2x+z =0

W algebrze Kubusia wolno dowolny zbiór zapisywać w postaci tożsamej z użyciem podstawień byleby te podstawienia były znane.
Przykład:
ZWS - zbiór wszystkich ssaków
ZWS1=[pies+pozostałe] - tu człowiek zbiór wszystkich ssaków zdefiniował tak
ZWS2=[człowiek+pozostałe] - tu człowiek zbiór wszystkich ssaków zdefiniował tak
Oba zbiory zawierają zbiór wszystkich ssaków, zatem są tożsame:
ZWS1=ZWS2
[pies+pozostałe] = [człowiek+pozostałe]
W tym przypadku podstawienia, czyli rozbicie ZWS na dwa podzbiory są oczywiste.
Aby tą tożsamość udowodnić musimy udowodnić że człowiek należy do zbioru wszystkich ssaków i pies należy do zbioru wszystkich ssaków, to wystarczy.


2.6 Właściwości podzbioru => i nadzbioru ~>

I prawo Smoka
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy p
p=>q <=> p*q=p
Zauważmy, że I prawo Smoka to w istocie tożsama definicja podzbioru =>

Przykład:
p=[1+2]
q=[1+2+3]
p=[1+2]=>q=[1+2+3] <=> [1+2]*[1+2+3] = [1+2] =p

Wniosek
Jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q to zbiór p jest elementem zarówno zbioru p jak i do zbioru q.

Dowód na przykładzie:
p=[1+2] => q=[1+2+3]
W prawej stronie znaku => podstawiamy:
p=[1+2]
Stąd:
p=[1+2] => q=[p+3]

II prawo Smoka
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy q
p~>q <=> p*q=q
Zauważmy, że II prawo Smoka to w istocie tożsama definicja nadzbioru ~>

Przykład:
p=[1+2+3]
q=[1+2]
p=[1+2+3]~>q=[1+2] <=> [1+2+3]*[1+2] =[1,2] =q

Wniosek
Jeśli zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q to zbiór q jest elementem zarówno zbioru p jak i do zbioru q.

Dowód na przykładzie:
p=[1+2+3] ~> q=[1+2]
W lewej stronie znaku ~> podstawiamy:
q=[1+2]
Stąd:
p=[q+3] ~> q=[1+2]


2.7 Logika matematyczna zbiorów

Z punktu widzenia logiki matematycznej teoria zbiorów naszego Wszechświata to poziom 5-cio letniego dziecka, działa fenomenalnie nawet na zbiorach typu mydło i powidło

Zdefiniujmy zbiór typu mydło i powidło:
A = [LN, pies, miłość, krasnoludek]
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
P - pies
M - miłość
K - krasnoludek
A=[LN, P, M, K]
Elementy zbioru rozdzielamy przecinkami.
Matematycznie zachodzi tożsamość:
(,) przecinek = suma logiczna zbiorów (elementów zbiorów), spójnik „lub”(+).
Stąd zapis tożsamy:
A=[LN+P+M+K]

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie przyjęty zbiór z obszaru Uniwersum na którym pracujemy.

Wszystko co jest poza dziedziną jest zbiorem pustym z definicji, czyli nie znamy definicji żadnego pojęcia spoza dziedziny. Dziedzinę możemy dowolnie poszerzać lub zawężać. Ograniczeniem dolnym jest tu zbiór pusty [], natomiast ograniczeniem górnym jest Uniwersum.

Definicja logiki matematycznej zbiorów:
Logika matematyczna zbiorów opisuje wszystkie możliwe relacje między dwoma zbiorami p i q z uwzględnieniem przeczeń tych zbiorów ~p i ~q w obrębie wybranej dziedziny.

Przyjmijmy za dziedzinę zbiór typu mydło i powidło:
D = [LN, pies, miłość, krasnoludek]
D = [LN+P+M+K]
Na mocy definicji wszelkie pojęcia spoza tej dziedziny są dla nas zbiorem pustym, nie znamy definicji tych pojęć. Z elementów tego zbioru możemy budować dowolne podzbiory.


Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Przyjmijmy dziedzinę:
D = [LN, pies, miłość, krasnoludek]
D = [LN, P, M, K]
Przykładowa relacja zbiorów spełniająca definicję implikacji prostej |=> w zbiorach to:
p=[LN+P]
q=[LN+P+M]
Obliczenia zaprzeczeń zbiorów:
~p=[D-p] = [[LN+P+M+K]-[LN+P]] =[M+K]
~q=[D-q] = [[LN+P+M+K]-[LN+P+M]] =[K]