Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Porzucone wersje bata algebry Kubusia
Idź do strony 1, 2, 3  Następny
 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Nie 10:00, 11 Paź 2020    Temat postu: Porzucone wersje bata algebry Kubusia
Porzucone dlatego, że można to samo napisać prościej ...

3.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń


Spis treści
3.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 1
3.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 1
3.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 2
3.1.2 Prawa Kobry dla zbiorów 2
3.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 3
3.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 4
3.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 4
3.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~> 4
3.3.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 6
3.3.2 Tożsamość matematyczna „==” i logiczna „=” 7
3.3.3 Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w teorii zbiorów (pojęć) 9
3.3.4 Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w rachunku zero-jedynkowym 10
3.3.5 Definicja znaczka różne # w rachunku zero-jedynkowym 11
3.3.6 Definicja znaczka różne # w teorii zbiorów (pojęć) 13
3.3.7 Nadmierna precyzja 15
3.4 Definicje operatorów implikacyjnych 17
3.5 Zapis formalny i aktualny w logice matematycznej 21
3.6 Punkt odniesienia w logice matematycznej, prawo Kameleona 22
3.7 Prawdziwość/fałszywość zdań warunkowych przy znanej wartości logicznej p i q 28



3.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.

3.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory nieskończone są rozłączne to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

3.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

3.1.2 Prawa Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem samego siebie.
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].

To jest wyjątek identyczny jak w matematyce klasycznej:
Pamiętaj cholero nie dziel przez 0.

3.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

3.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

3.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)


3.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Kod:

T1
Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  0  1
D: 0  1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

##
Kod:

T2
Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  1
D: 0  1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

##
Kod:

T3
Definicja spójnika “lub”(+)
   p  q p+q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  0
D: 0  1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p=>q=~p+q ## p~>q=p+~q ## p+q

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w rachunku zero-jedynkowym:
Dwie kolumny są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale to widać w kolumnach wynikowych tabel T1, T2 i T3. Warunek konieczny jaki musi tu być spełniony to identyczna matryca zero-jedynkowa po stronie wejść p i q bowiem wtedy i tylko wtedy możemy wnioskować o tożsamości lub braku tożsamości kolumn zero-jedynkowych. Warunek wspólnej matrycy zero-jedynkowej tabelach T1, T2 i T3 jest spełnione.

Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki miedzy warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
Przy wypełnianiu tabeli zero-jedynkowej w rachunku zero-jedynkowym nie wolno nam zmieniać linii w sygnałach wejściowych p i q, bowiem wtedy i tylko wtedy o tym czy dane prawo zachodzi decyduje tożsamość kolumn wynikowych.
##
Kod:

Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p=>q = ~p+q ## p~>q =p+~q

Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).

3.3.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji dla warunków wystarczających =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B4: q=>p = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

4.
Prawa kontrapozycji dla warunków koniecznych ~>:
A3: q~>p = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

3.3.2 Tożsamość matematyczna „==” i logiczna „=”

Definicja tożsamości matematycznej „==”:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p==q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q (i odwrotnie).
p==q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q =1
Inaczej:
p<=>q =0 - zbiory (pojęcia) p i q są różne na mocy definicji ## albo różne # w znaczeniu iż zbiór (pojęcie) p jest zaprzeczeniem q

Przykład:
Definicja tożsamości zbiorów p==q:
Zbiory p i q są matematycznie tożsame „==” wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q i zbiór q jest podzbiorem => p.
p==q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Dla zbiorów tożsamych p==q mamy:
p==q <=> (A1: p=>p)*(B3: p=>p) = (~p+p)*(~p+p) =1*1 =1
cnd

Weźmy równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
RP1.
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK i twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3: SK=>TP udowodniono wieki temu, co oznacza iż zachodzi tu tożsamość zbiorów TP==SK:
TP==SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1

Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Zauważmy, że de facto zachodzi:
Tożsamość logiczna „=” == Równoważność <=>

Dygresja:
W świecie techniki, w algebrze Boole’a, zawsze używany jest znaczek „=” w rozumieniu równoważności <=> bo … tak jest bardziej czytelne.
Uzasadnienie:
W prawach algebry Boole’a znaczek tożsamości matematycznej „==” nigdy nie występuje, dlatego świat techniki poprawnie stosuje znaczek „=” w rozumieniu tożsamości logicznej <=>.
Dowód choćby tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Gdzie przykładowe prawo De Morgana zapisano tak:
~(p+q) = ~p*~q
zamiast tak:
~(p+q) <=> ~p*~q
U matematyków De Morgan zapisywany jest tak:
[link widoczny dla zalogowanych]
~(p+q) <=> ~p*~q

Dla udowodnionej równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych mamy:
TP<=>SK = ~TP<=>~SK
Prawej strony tożsamości logicznej „=” nie musimy udowadniać bowiem jej prawdziwość wymusza powyższe prawo rachunku zero-jedynkowego.

Stąd mamy:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych:
RP2:
Trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = (B2: ~TP=>~SK)*(A4: ~SK=>~TP) =1*1 =1
Ta równoważność wymusza tożsamość zbiorów ~TP==~SK:
~TP==~SK = (B2: ~TP=>~SK)*(A4: ~SK=>~TP) =1*1 =1

Podsumowanie:
Udowodniliśmy następujące przypadki:
RP1: TP<=>SK wymusza tożsamość zbiorów TP==SK (i odwrotnie)
RP2: ~TP<=>~SK wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (i odwrotnie)

W równaniu logicznym możemy to zapisać tak:
RP1: TP<=>SK <=> TP==SK = RP2: ~TP<=>~SK <=> ~TP==~SK

Oczywistym jest, że znaku tożsamości logicznej „=” nie wolno tu zastąpić tożsamością matematyczną „==” bo wyjdzie nam bzdura jakoby zachodziła tożsamość w zbiorach:
TP==~TP
To jest oczywista, czysto matematyczna bzdura.

3.3.3 Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w teorii zbiorów (pojęć)

Definicja tożsamości matematycznej „==”:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p==q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p==q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q =1
Inaczej:
p<=>q =0 - zbiory (pojęcia) p i q są różne na mocy definicji ## albo różne # w znaczeniu iż zbiór (pojęcie) p jest zaprzeczeniem q

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są w relacji równoważności <=> oraz zbiór (pojęcie) p nie jest zaprzeczeniem # pojęcia q.

Przykład:
Weźmy definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Zbadajmy w rachunku zero-jedynkowym czy zachodzi tu relacja równoważności między znaczkami => i ~>.

Zero-jedynkowa definicja równoważności:
Kod:

   p  q p<=>q
A: 1  1   1
B: 1  0   0
C: 0  0   1
D: 0  1   0
   1  2   3

Sprawdzenie czy między warunkiem wystarczającym p=>q i koniecznym p~>q zachodzi relacja równoważności <=>
Kod:

   p  q p=>q p~>q (p=>q)<=>(p~>q)
A: 1  1  1    1          1
B: 1  0  0    1          0
C: 0  0  1    1          1
D: 0  1  1    0          0
   1  2  3    4          5

Brak samych jedynek w kolumnie wynikowej 5 jest dowodem formalnym, że między warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~> nie zachodzi relacja równoważności <=>

To samo możemy udowodnić w równaniach logicznych.
Definicja równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
bo prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = ~p*~q + q*p
stąd:
p<=>q = p*q + ~p*~q
Nie otrzymaliśmy tu wynikowej jedynki co oznacza że warunek wystarczający A1: p=>q nie jest tożsamy z warunkiem koniecznym B1: p~>q.

Sprawdźmy czy otrzymamy tożsamość zbiorów (pojęć) dla tożsamości matematycznej p==q.
Dla p==q mamy:
p==q <=> p<=>p = p*p + ~p*~p = p+~p =1
cnd

Dokładnie to samo, najprościej:
(A1: p=>q = ~p+q) <=> (B1: p~>q=p+~q) =0 - równoważność fałszywa
Równoważność jest tu fałszywa bo prawe strony tożsamości logicznej (~p+q) i (p+~q) nie są identyczne, ani też jedna strona nie jest zaprzeczeniem drugiej strony.
Dlatego mamy tu znaczek różne na mocy definicji ##:
(A1: p=>q = ~p+q) ## (B1: p~>q = p+~q)

3.3.4 Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w rachunku zero-jedynkowym

Kod:

T1
Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  0  1
D: 0  1  1
   1  2  3

##
Kod:

T2
Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  1
D: 0  1  0
   1  2  3

##
Kod:

T3
Definicja spójnika “lub”(+)
   p  q p+q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  0
D: 0  1  1
   1  2  3

Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p=>q=~p+q ## p~>q=p+~q ## p+q

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w rachunku zero-jedynkowym:
Dwie kolumny są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale to widać w kolumnach wynikowych tabel T1, T2 i T3. Warunek konieczny jaki musi tu być spełniony to identyczna matryca zero-jedynkowa po stronie wejść p i q bowiem wtedy i tylko wtedy możemy łatwo wnioskować o tożsamości lub braku tożsamości wynikowych kolumn zero-jedynkowych - tu kolumna 3. Warunek wspólnej matrycy zero-jedynkowej po stronie wejścia p i q w tabelach T1, T2 i T3 jest spełniony.

Uwaga:
Matematycznie wspomniany wyżej warunek konieczny nie musi być spełniony co udowodnił w początkach rozszyfrowywania algebry Kubusia Makaron Czterojajeczny, ale wtedy będziemy mieli horror w główkowaniu czy relacja tożsamości zachodzi, czy też nie zachodzi.

3.3.5 Definicja znaczka różne # w rachunku zero-jedynkowym

Potrzebne definicje spójników „lub”(+) i „i”(*).
Kod:

T1
Definicja spójnika “lub”(+)
   p  q p+q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  0
D: 0  1  1
   1  2  3

Kod:

T2
Definicja spójnika “i”(*)
   p  q p*q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  0  0
D: 0  1  0
   1  2  3


Rozważmy funkcję logiczną Y w logice dodatniej (bo Y):
1.
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację stronami:
~Y=~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana
Stąd mamy:
2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=>~p=1 i ~q=1

Stąd mamy:
Definicja znaczka różne # w rachunku zero-jedynkowym:
Funkcja logiczna Y jest różna w znaczeniu znaczka # od funkcji po przeciwnej stronie wtedy i tylko wtedy gdy jedna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Nasz przykład:
Y=p+q # ~Y=~p*~q
Gdzie:
# - różne o definicji jak wyżej

Dokładnie to samo metodą na piechotę, czyli w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

   p  q Y=(p+q) ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q
A: 1  1  1        0        0  0   0
B: 1  0  1        0        0  1   0
C: 0  0  0        1        1  1   1
D: 0  1  1        0        1  0   0
   1  2  3        4        5  6   7

Doskonale widać, że kolumna 7 jest zaprzeczeniem kolumny 3.
3: Y=p+q # 7: ~Y=~p*~q

Doskonale tu widać znaczenie logiki jedynek:
1.
Tabela zero-jedynkowa ABCD123:
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
2.
Tabela zero-jedynkowa ABCD127:
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
cnd

3.3.6 Definicja znaczka różne # w teorii zbiorów (pojęć)

Definicja dziedziny minimalnej:
Dziedzina minimalna to minimalny zbiór na którym operujemy.
Wszystko co jest poza dziedziną minimalną jest zbiorem pustym z definicji.

Rozważmy poniższe zbiory mające nazwy własne:
P=[pies]
A.
Dla dziedziny:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt minus jeden element P=[pies]
B.
Dla dziedziny:
ZWS - zbiór wszystkich ssaków:
otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWS-P] - zbiór wszystkich ssaków minus jeden element P=[pies]
C.
Dla dziedziny Uniwersum (zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka) otrzymamy ~P:
~P=[U-P] - zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka minus jeden element P=[pies]

Wnioski:
1.
Nie ma sensu mówienie o zaprzeczeniu zbioru ~p dopóki nie wybierzemy dziedziny w której ten zbiór zaprzeczamy.
2.
Dziedzina minimalna dla „psa” P=[pies] to zbiór wszystkich zwierząt ZWZ - przypadek A.

Przykład:
Kod:

------------------------------------------
| M - zbiór mężczyzn  | K - zbiór kobiet |
| M=~K                | K=~M             |
|                     |                  |
------------------------------------------
|         Dziedzina: C (człowiek)        |
|         Zbiór wszystkich ludzi         |
|                   C=M+K                |
------------------------------------------

Rozważmy dziedzinę minimalną dla człowieka (C):
C=[M, K]
C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina minimalna (= zbiór wszystkich ludzi)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
Dziedzina:
C = człowiek
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
C = M+K
Obliczenia przeczeń pojęć M i K tzn. ich uzupełnień do dziedziny D:
1.
~M=[C-M]=[M+K-M]=[K]=K
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~M=K
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie mężczyznę (~M=1) to na 100% => będzie to kobieta (K=1)
~M=>K =1
2.
~K=[C-K]=[M+K-K]=[M]=M
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~K=M
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% => będzie to mężczyzna (M=1)
~K=>M =1

Zauważmy, że jeśli przyjmiemy dziedzinę szerszą niż dziedzinę minimalną p.
ZWS - zbiór wszystkich ssaków
To kluczowa tu tożsamość w zbiorach:
~M=K
przestanie obowiązywać, czyli leży i kwiczy, bowiem nie mężczyzną może być np. słoń
~M=S (słoń)

Kluczowy wniosek:
Jeśli mamy zbiór mężczyzn M to minimalną dziedziną jaką możemy tu przyjąć jest zbiór:
C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina (= zbiór wszystkich ludzi)
Zauważmy, że gdybyśmy dziedzinę zawęzili do zbioru M to pojęcie nie mężczyzna (~M) byłoby dla nas nierozpoznawalne.
Dowód:
M - mężczyzna
D=M - przyjęta dziedzina
~M=[D-M]=[M-M]=[]
cnd

Nawiązując do przykładu wyżej matematycznie zachodzi też:
M=~K # K=~M

Definicja znaczka różne # dla zbiorów (pojęć):
Dwa zbiory (pojęcia) są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony.
Sprawdzamy:
M =~(K) = ~(~M) =M
cnd

3.3.7 Nadmierna precyzja

Moja maksyma sprzed 35 lat z czasów gdy pisałem podręczniki do nauki techniki mikroprocesorowej.

Twierdzenie głosu rozsądku:
Zginąć można zarówno w chaosie, jak i nadmiernej precyzyjności

Przykład:
W początkach techniki mikroprocesorowej stosowano super precyzyjną notację np. dla mikroprocesora i8080 było tak.

A - nazwa rejestru wewnątrz mikroprocesora
(A) - zawartość rejestru o nazwie A
HL - nazwa rejestru wewnątrz mikroprocesora
(HL) - zwartość rejestru o nazwie HL

(HL) - adres komórki pamięci zewnętrznej wskazywana przez zawartość (HL) rejestru o nazwie HL
((HL)) - zawartość komórki pamięci zewnętrznej o adresie w (HL)

Pobranie zawartości pamięci o adresie w (HL) do rejestru (A) zapisywane było w sposób super precyzyjny:
(A) := ((HL))
Czytamy:
Wpisz do rejestru o nazwie A zawartość komórki pamięci wskazywaną przez zawartość rejestru o nazwie HL.

Ta „super precyzyjna” notacja prowadziła do potwornych krzaków trudnych do ogarnięcia przez umysł ludzi normalnych tzn. programistów-praktyków.

Co zrobili programiści-praktycy?
Wykopali w kosmos „super precyzyjną” notacje jak wyżej opuszczając wszędzie po jednym nawiasie.

W zapisie praktyków (patrz katalogi mikroprocesorów) polecenie:
Wpisz do rejestru o nazwie A zawartość komórki pamięci wskazywaną przez zawartość rejestru o nazwie HL.

Zapisywane jest tak:
A := (HL)
Czytamy:
Wpisz do rejestru o nazwie A zawartość komórki pamięci wskazywaną przez zawartość rejestru o nazwie HL.

Po co to wszystko piszę?

W kilku punktach wyżej zacząłem uściślać definicje w algebrze Kubusia precyzyjnie odróżniając tożsamość matematyczną „==” od tożsamości logicznej „=”.
Matematycznie te definicje są różne, ale wprowadzenie dwóch różnych znaczków „==” i „=” komplikuje zapisy matematyczne tzn. trzeba uważać kiedy zapisać znaczek „==” a kiedy znaczek „=”
… no i jestem w kropce, co dalej robić?

Myślę że należy tu skorzystać z twierdzenia głosu rozsądku.

Twierdzenie głosu rozsądku:
Zginąć można zarówno w chaosie, jak i nadmiernej precyzyjności

Na mocy tego twierdzenia wywalamy znaczek „==” w kosmos, bowiem o tym czy mamy do czynienia z tożsamością matematyczną „==” czy też z tożsamością logiczną „=” decyduje zapis związany z językiem potocznym gdzie bez problemu rozróżnimy o jaką tożsamość chodzi - matematyczną „==” czy też logiczną „=”

Podsumowując:
Zdecydowanie wywalamy znaczek tożsamości matematycznej „==” w kosmos gdyż prowadzi on do komplikacji zapisów matematycznych.

Matematycy którzy tego faktu nie będą w stanie strawić mogą sobie napisać swoją algebrę Kubusia gdzie w zapisach matematycznych będą precyzyjnie odróżniać znaczek „==” od znaczka „=”. Nie mam nie przeciwko, ale osobiście jestem wrogiem nadmiernej precyzyjności.

Zauważmy, że w języku potocznym nawet w zapisach formalnych (nie związanych z językiem potocznym) jasne jest kiedy mówimy o tożsamości matematycznej „==” a kiedy o tożsamości logicznej „=”.

Przykład:
Dwa zbiory pojęcia są matematycznie tożsame „=” wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności <=>:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1

Pierwszy znaczek tożsamości p=q to tożsamość matematyczna typu:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK
Twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK oraz twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3: SK=>TP udowodniono wieki temu co jest dowodem tożsamości zbiorów:
TP=SK
Zbiór trójkątów prostokątnych (TP=1) jest tożsamy ze zbiorem trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów (SK=1)

Dalsze przykłady:
pies=pies
2=2
Zbiór P2=[2,4,6,8..] = zbiór P2=[2,4,6,8 ..]
etc

W prawach logiki matematycznej mamy do czynienia z tożsamością logiczną „=”:

Przykład:
Twierdzenie proste Pitagorasa:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
Twierdzenie proste Pitagorasa udowodniono wieki temu, stąd wartość logiczna tego zdania to 1.

Prawo kontrapozycji:
A1: TP=>SK = A4: ~SK=>~TP
stąd:
A4.
Jeśli w trójkącie nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1) to na 100% => trójkąt ten nie jest prostokątny (~TP=1)
~SK=>~TP =1
Po udowodnieniu twierdzenia prostego Pitagorasa A1, co zrobiono wieki temu, nie musimy udowadniać twierdzenia A4, bowiem jego prawdziwość gwarantuje nam prawo logiki matematycznej, prawo kontrapozycji.

Stąd mamy wyprowadzoną definicję tożsamości logicznej „=”.
A1: TP=>SK = A4: ~SK=>~TP

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Salomonowe rozwiązanie:
Na mocy twierdzenia głosu rozsądku wywalamy w kosmos znaczek tożsamości matematycznej „==” domyślnie przyjmując że jeśli używamy pojęcia „tożsamość” to chodzi nam precyzyjnie o tożsamość „==” w rozumieniu matematyki klasycznej typu:
pies=pies
2=2
P2=[2,4,6,8 ..] = P2=[2,4,6,8..]
W przypadku gdy będziemy mieli do czynienia z tożsamością logiczną „=” powinniśmy to słownie zaznaczyć.
„powinniśmy” nie oznacza że „musimy”

Przykład:
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony.

Zauważmy, że w tożsamości matematycznej np.
2=2
na mocy definicji spełniona jest również równoważność:
2<=>2
Dowód:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Dowód:
dla p=q mamy:
2=2 <=> (A1: 2=>2)*(B1: 2~>2) =1*1 =1
Dowód:
A1: 2=>2 =1 - bo każdy zbiór (pojęcie) jest podzbiorem => siebie samego
B1: 2~>2 =1 - bo każdy zbiór (pojęcie) jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd

3.4 Definicje operatorów implikacyjnych

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to operator logiczny wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

Rozróżniamy cztery operatory implikacyjne:

I.
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => jest (=1) spełniony
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest (=0) spełniony

Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Definicja implikacji prostej p|=>q w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5:~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q

###

II.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest (=0) spełniony
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> jest (=1) spełniony

Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5:~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q

###

III.
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => jest (=1) spełniony
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> jest (=1) spełniony

Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Definicja równoważności p<=>q w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p<=>q:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5:~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q

###

IV.
Definicja operatora chaosu p|~~>q:
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest (=0) spełniony
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest (=0) spełniony

Stąd mamy definicję operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1

Definicja operatora chaosu p|~~>q w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~~>q:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5:~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję operatora chaosu p|~~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy definicję operatora chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(~p+q)*~(p+~q) = (p*~q)*(~p*q) =0

Zauważmy, że pomiędzy zdefiniowanymi wyżej operatorami implikacyjnymi zachodzi matematyczna relacja różne na mocy definicji operatorowych ###:
p|=>q = ~p*q ### p|~>q = p*~q ### p<=>q =p*q+~p*~q ### p|~~>q =0
Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych

Znaczenie relacji różne na mocy definicji operatorowych ###:
Relacja różne na mocy definicji operatorowych ### oznacza, że p i q w dowolnej definicji operatorowej nie jest tożsame z p i q w dowolnej innej definicji operatorowej.
Dowód w następnym punkcie.


3.5 Zapis formalny i aktualny w logice matematycznej

Definicja zmiennej formalnej:
Zmienna formalna to zwyczajowa zmienna binarna nie mająca związku ze zmienną aktualną.
Zwyczajowo w logice matematycznej zmienne formalne oznaczane są symbolami Y, p, q, r ..

Definicja zmiennej aktualnej:
Zmienna aktualna to zmienna mająca ścisły związek z językiem potocznym człowieka
Przykłady:
P = pies
~P - nie pies
TP - trójkąt prostokątny (zmienna w logice dodatniej bo TP)
~TP - trójkąt nieprostokątny (zmienna w logice ujemnej bo ~TP)
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów (dziedzina dla trójkątów)
etc
Definicja dziedziny:
TP+~TP = ZWT =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny ZWT dla zbioru TP
TP*~TP =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne

To samo w zapisach formalnych dla punktu odniesienia:
p=TP (zbiór trójkątów prostokątnych
D = ZWT (wspólna dziedzina)
Formalna definicja dziedziny:
p+~p =D =1
p*~p=0
Stąd mamy:
~p=[D-p)

Definicja zapisu formalnego:
Zapis formalny w logice matematycznej to zapis praw logiki matematycznej z użyciem zmiennych formalnych (zwyczajowo Y, p, q, r ..) nie związany bezpośrednio z językiem potocznym człowieka.

Definicja zapisu aktualnego:
Zapis aktualny w logice matematycznej to operowanie symbolami mającymi ścisły związek ze zdaniami w języku potocznym.
Wszelkie prawa logiki matematycznej stosujemy tu bezpośrednio w zapisach aktualnych.

Przykład:
Twierdzenie proste Pitagorasa:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Twierdzenie proste Pitagorasa udowodniono wieki temu, stąd wartość logiczna tego zdania to 1.

Prawo kontrapozycji:
A1: TP=>SK = A4: ~SK=>~TP

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

stąd:
A4.
Jeśli w trójkącie nie zachodzi suma kwadratów to na 100% => trójkąt ten nie jest prostokątny
~SK=>~TP =1
Po udowodnieniu twierdzenia prostego Pitagorasa A1, co ludzkość zrobiła wieki temu, nie musimy udowadniać twierdzenia A4, bowiem jego prawdziwość gwarantuje nam prawo logiki matematycznej, prawo kontrapozycji.


3.6 Punkt odniesienia w logice matematycznej, prawo Kameleona

Punkt odniesienia w logice matematycznej:
Dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym punkt odniesienia ustalamy wtedy i tylko wtedy gdy zamierzamy rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane.
Wtedy dla zdania warunkowego „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjęty punkt odniesienia to:
Parametr aktualny z wypowiedzianego zdania po „Jeśli …” = parametr formalny p (poprzednik)
Parametr aktualny z wypowiedzianego zdania po „to …”= parametr formalny q (następnik)

Przykład:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
To samo w zapisach formalnych to:
TP=p
SK=q
Stąd:
p=>q =1

Prawo punktu odniesienia:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjętym za punkt odniesienia zawsze zapisujemy po „Jeśli …” poprzednik p, zaś po „to…” następnik q.
p=poprzednik
q=następnik

Przykład 1.
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
Zawsze gdy pada, są chmury.
Dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu A1 mamy:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Stąd:
P=>CH =1 - zapis aktualny
p=>q =1 - zapis formalny

Aby rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie A1 musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> B1 między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~> być pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur bo może nie padać (~P=1) a mimo to chmury mogą istnieć (CH=1)
Oczywistość dla każdego ośmiolatka.
Dla B1 możemy tu skorzystać z prawa Tygryska gdzie będzie to jaśniej widoczne.
Prawo Tygryska w zapisach aktualnych:
B1: P~>CH = B3: CH=>P
Prawo Tygryska w zapisach formalnych:
B1: p~>q = B3: q=>p

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość zdania po drugiej stronie
Prawdziwość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość zdania po drugiej stronie

Stąd mamy:
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padało (P=1)
CH=>P =0
q=>p =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania bo nie zawsze gdy są chmury, pada
Oczywistość dla każdego 5-cio latka
Fałszywość warunku wystarczającego => B3 na mocy prawa Tygryska wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> B1.

Stąd wnioskujemy, iż mamy tu do czynienia z implikacją prostą P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P=>CH =1 - definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona
B1: P~>CH =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona

Zapis aktualny:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0) =1*1 =1
Zapis formalny:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1 =1

Podstawmy zdania A1 i B1 w zapisach aktualnych do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q:
Kod:

IP: P|=>CH
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q:
A: 1: p=>q  = 2:~p~>~q  [=] 3: q~>p  = 4:~q=>~p =1
A: 1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P=1
##
B: 1: p~>q  = 2:~p=>~q  [=] 3: q=>p  = 4:~q~>~p =0
B: 1: P~>CH = 2:~P=>~CH [=] 3: CH=>P = 4:~CH~>~P=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Zauważmy, że nie ma tu błędu podstawienia bo wszędzie mamy:
p=P (pada)
q=CH (chmury)


Przykład 2.
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P
Dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu B1 mamy:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Stąd:
CH~>P =1 - zapis aktualny
p~>q =1 - zapis formalny

Aby rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie B1 musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1 między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padać (P=1)
CH=>P =1
Chmury nie są warunkiem wystarczającym => dla padania bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
Wie o tym każdy 5-cio latek

Stąd wnioskujemy, iż mamy tu do czynienia z implikacją odwrotną CH|~>P:
Implikacja odwrotna CH|~>P to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P=>CH =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
B1: P~>CH =1 - definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona

Zapis aktualny:
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1 =1*1 =1
Zapis formalny:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 =1*1 =1

Podstawmy zdania A1 i B1 w zapisach aktualnych do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej p|~>q:
Kod:

IO: CH|~>P
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q:
A: 1: p=>q  = 2:~p~>~q  [=] 3: q~>p  = 4:~q=>~p =0
A: 1: CH=>P = 2:~CH~>~P [=] 3: P~>CH = 4:~P=>~CH=0
##
B: 1: p~>q  = 2:~p=>~q  [=] 3: q=>p  = 4:~q~>~p =1
B: 1: CH~>P = 2:~CH=>~P [=] 3: P=>CH = 4:~P~>~CH=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Zauważmy, że nie ma tu błędu podstawienia bo wszędzie mamy:
p=CH (chmury)
q=P (pada)


Porównajmy tabele prawdy z przykładu 1 i 2.

Przykład 1.
Zapis aktualny:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0) =1*1 =1
Zapis formalny:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1 =1

Podstawmy zdania A1 i B1 w zapisach aktualnych do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q:
Kod:

IP: P|=>CH
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q:
A: 1: p=>q  = 2:~p~>~q  [=] 3: q~>p  = 4:~q=>~p =1
A: 1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P=1
##
B: 1: p~>q  = 2:~p=>~q  [=] 3: q=>p  = 4:~q~>~p =0
B: 1: P~>CH = 2:~P=>~CH [=] 3: CH=>P = 4:~CH~>~P=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Zauważmy, że nie ma tu błędu podstawienia bo wszędzie mamy:
p=P (pada)
q=CH (chmury)


###

Przykład 2.
Zapis aktualny:
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1 =1*1 =1
Zapis formalny:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 =1*1 =1

Podstawmy zdania A1 i B1 w zapisach aktualnych do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej p|~>q:
Kod:

IO: CH|~>P
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q:
A: 1: p=>q  = 2:~p~>~q  [=] 3: q~>p  = 4:~q=>~p =0
A: 1: CH=>P = 2:~CH~>~P [=] 3: P~>CH = 4:~P=>~CH=0
##
B: 1: p~>q  = 2:~p=>~q  [=] 3: q=>p  = 4:~q~>~p =1
B: 1: CH~>P = 2:~CH=>~P [=] 3: P=>CH = 4:~P~>~CH=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Zauważmy, że nie ma tu błędu podstawienia bo wszędzie mamy:
p=CH (chmury)
q=P (pada)

Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych

Zauważmy, że p i q z implikacji prostej IP: P|=>CH = p|=>q nie jest tożsame z p i q z implikacji odwrotnej IO: CH|~>P = p|~>q bo mamy tu szkolny błąd podstawienia:
W implikacji prostej IP: P|=>CH mamy:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
natomiast w implikacji odwrotnej IO: CH|~>P mamy:
p=CH (chmury)
q=P (pada)

Stąd mamy:

Znaczenie relacji różne na mocy definicji operatorowych ###:
Relacja różne na mocy definicji operatorowych ### oznacza, że p i q w dowolnej definicji operatorowej nie jest tożsame z p i q w dowolnej innej definicji operatorowej.

Przykład 1
Wypowiedzmy raz jeszcze zdanie A1 z implikacji prostej IP: P|=>CH:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
Zawsze gdy pada, są chmury.
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Gdzie:
p=P (pada)
q=CH (chmury)

###

Przykład 2
Wypowiedzmy raz jeszcze zdanie B1 z implikacji odwrotnej IO: CH|~>P:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> do tego by padało (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Gdzie:
p = CH (chmury)
q = P (pada)

Zastosujmy do zdania B1 prawo Tygryska:
B1: CH~>P = B3: P=>CH
to samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q = B3: q=>p
Wypowiedzmy zdanie B3:
B3.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury.
To samo w zapisie formalnym:
q=>p =1
Gdzie:
p=CH (chmury)
q=P (pada)

Gdzie dla przykładu 1 i 2 mamy:
### - różne na mocy definicji operatorowych

Podsumowanie:
Doskonale widać, że zdanie A1 z przykładu 1 jest identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka ze zdaniem B3 z przykładu 2, a mimo to są to zdania różne na mocy definicji operatorowych ### bo mamy tu szkolny błąd podstawienia.

Zobaczmy to jeszcze raz:

Przykład 1
A1: P=>CH =1
A1: p=>q =1
p=P (pada)
q=CH (chmury)

###

Przykład 2
B3: P=>CH =1
B3: q=>p =1
p=CH (chmury)
q=P (pada)

Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych

Błąd podstawienia widać tu jak na dłoni.
cnd

Stąd mamy:

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.


3.7 Prawdziwość/fałszywość zdań warunkowych przy znanej wartości logicznej p i q

W algebrze Kubusia zbiory mają wartości logiczne:
[x] =1 - zbiór niepusty, zawierający co najmniej jeden element, ma wartość logiczną 1
[] =1 - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu, ma wartość logiczną 0

Rozważmy problem rodem z teorii logiki matematycznej.

Zbadaj prawdziwość/fałszywość poniższego zdania:
A.
Jeśli 2+2=4 to na 100% => 2*2=4
4=>4 =1
p=1, q=1
1=>1 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Zbiór jednoelementowy p=[4] jest podzbiorem => zbioru jednoelementowego q=[4]

Komentarz:
Użyte w zdaniu A1 znaczki sumy algebraicznej (+) i iloczynu algebraicznego (*) są dla logiki matematycznej kompletnie bez znaczenia, bowiem logika matematyczna z definicji nie zajmuje się jakimkolwiek algebraicznym liczeniem elementów w zbiorze bo jak to zrobić przy pomocy spójników „lub”(+) oraz „i”(*) z naturalnego języka potocznego?
Oczywiście to jest niewykonalne, czyli nie da się.

Uwaga!
Użyte w zdaniu A1 znaczki dodawania algebraicznego (+) i mnożenia algebraicznego (*) mają zero wspólnego z logiką matematyczną gdzie znaczki „lub”(+) oraz „i”(*) znaczą zupełnie co innego:
p+q - suma logiczna (+) zbiorów p i q
p*q = iloczyn logiczny (*) zbiorów p i q

Rozpatrzmy przypadek gdzie poprzednik i następnik jest twardą prawdą, ale nie są to zbiory tożsame.

A1
Jeśli 2+2=4 to 2*3=6
4=> 6 =0
Wartości logiczne p i q:
p=1, q=1
1=>1 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo zbiór jednoelementowy p=[4] nie jest podzbiorem zbioru jednoelementowego q=[6]

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem samego siebie.
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].

To jest wyjątek identyczny jak w matematyce klasycznej:
Pamiętaj cholero nie dziel przez 0.


Trzy pozostałe przypadki mutacji zdań gdzie wartość logiczna poprzednika i następnika jest znana z góry to:

B.
Jeśli 2+2=4 to 2+2=5
(2+2=4) => (2+2=5) =0
Dowód:
Korzystamy z prawa Kobry:
Jeśli 2+2=4 to może ~~> się zdarzyć, że 2+2=5
224~~>225 = 224*225 = 1*[] =1*0 =0
1~~>0 =1*0 =0
Gdzie:
[] - zbiór pusty
stąd na mocy prawa Kobry zdanie B jest fałszem
B: (2+2=4)=>(2+2=5) =0
cnd

Zamieńmy teraz miejscami poprzednik z następnikiem:
C.
Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
(2+2=5)=>(2+2=4) =0
Dowód:
Korzystamy z prawa Kobry:
Jeśli 2+2=5 to może ~~> się zdarzyć, że 2+2=4
225~~>224 = 225*224 =[]*1 = 0*1 =0
0~~>1 = 0*1 =0
Stąd na mocy prawa Kobry zdanie C jest fałszem
(2+2=5)=>(2+2=4) =0
cnd

Weźmy ostatni możliwy przypadek:
D.
Jeśli 2+2=5 to 2+2=6
(2+2=5) => (2+2=6) =1
Dowód:
Korzystamy z prawa Kobry:
Jeśli 2+2=5 to może ~~> się zdarzyć, że 2+2=6
225~~>226 = 225*226 = []*[] =0
ALE!
0=>0 =1
Dlaczego mamy tu wynikową jedynkę a nie zero?
Odpowiedź:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego na mocy definicji podzbioru.
Zbiór pusty [] również jest podzbiorem => siebie samego, czyli podzbiorem zbioru pustego []
Stąd:
[]=>[] =1
0=>0 =1

Na mocy powyższego otrzymujemy tabelę zero-jedynkową równoważności:
Kod:

   p   q     p<=>q
A: 1=> 1      =1
B: 1~~>0 =1*0 =0
C: 0~~>1 =0*1 =0
D: 0=> 0      =1


Teoria 5-cio latków.
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona, zbiór p jest podzbiorem => zbioru q.
inaczej:
p=>q =0 - gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona, zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
Definicja podzbioru => = spełniona relacja podzbioru =>

Definicja podzbioru => w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p+q

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Dowód iż definicja podzbioru z algebry Kubusia jest identyczna jak w teorii zbiorów ziemian:
[link widoczny dla zalogowanych]
sjp napisał:

podzbiór - część danego zbioru

Wniosek:
Matematycznie istotą definicji podzbioru jest spełniona relacja podzbioru =>.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Nie 8:02, 25 Paź 2020    Temat postu:
Prawo papużek nierozłączek można zapisać dużo prościej!
6.0 Równoważność <=>



Spis treści
6.0 Równoważność p<=>q 1
6.1 Najważniejsze definicje równoważności p<=>q 2
6.1.1 Podstawowa definicja równoważności p<=>q 2
6.1.2 Matematyczna definicja równoważności p<=>q 3
6.1.3 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach 5
6.1.4 Aksjomatyczna definicja równoważności p<=>q 6
6.2 Operatory równoważności p|<=>q i q|<=>p 13
6.2.1 Operator równoważności p|<=>q 14
6.2.2 Operator równoważności q|<=>p 15
6.3 Prawo papużek nierozłączek 16
6.3.1 Związek równoważności p<=>q i „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 19
6.3.2 Związek „albo”($) i równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 21
6.4 Równoważność p<=>q i spójnik „albo”($) w rachunku zero-jedynkowym 24
6.4.1 Związki równoważności <=> i spójnika „albo”($) w rachunku zero-jedynkowym 24
6.4.2 Związki spójnika „albo”($) i równoważności <=> w rachunku zero-jedynkowym 26



6.0 Równoważność p<=>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to operator logiczny wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
Kod:

T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p<=>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx

W zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>


6.1 Najważniejsze definicje równoważności p<=>q

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
Kod:

T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p<=>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Trzy najważniejsze definicje równoważności w logice matematycznej to:
1.
Podstawowa definicja równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
2.
Matematyczna definicja równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
3.
Aksjomatyczna definicja równoważności, generująca tabelę zero-jedynkową równoważności.
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q)

6.1.1 Podstawowa definicja równoważności p<=>q

Podstawowa definicja równoważności p<=>q:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Stąd mamy równoważność wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = (~p+q)*(p+~q)=~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q
p<=>q = p*q+~p*~q

Zauważmy, że argumenty w równoważności są przemienne:
p<=>q = p*q+~p*~q [=] q<=>p = q*p + ~q*~p
bowiem iloczyn logiczny „i”(*) jest przemienny

W logice matematycznej zachodzą tożsamości nazw:
p=>q - warunek wystarczający => zwany także dostatecznym =>
p~>q - warunek konieczny ~> zwany także warunkiem potrzebnym ~>

W praktyce języka potocznego najczęściej korzystamy z podstawowej definicji równoważności.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 9 910
„konieczny i wystarczający”
wyników: 8 700
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 8 140
„potrzeba i wystarczy”
Wyników: 5 380
„koniecznym i dostatecznym”
Wyników: 2 160

Przykład 1.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
Równoważność tożsama:
Do tego aby w trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK) potrzeba ~> i wystarcza => aby ten trójkąt był prostokątny (TP)
Kolejna równoważność tożsama:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1

Przykład 2.
[link widoczny dla zalogowanych]
matemaks napisał:

Podzielność liczby całkowitej przez 2 i przez 3 jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => podzielności tej liczby przez 6.
P2*P3<=>P6 = (B1: P2*P3~>P6)*(A1: P2*P3=>P6)=1*1=1

Powyższą równoważność matematycy udowodnili (nie ważne jak) zatem musi zachodzić tożsamość zbiorów:
P2*P3=P6
Niestety, ziemscy matematycy nie mają bladego pojęcia, że w dowolna równoważność prawdziwa w zbiorach definiuje tożsamość zbiorów. Uznanie tego oczywistego faktu natychmiast posyła Klasyczny Rachunek Zdań tam gdzie jego miejsce - do piekła, na wieczne piekielne męki.

6.1.2 Matematyczna definicja równoważności p<=>q

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
Kod:

T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p<=>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony:
A1: p=>q =1 - twierdzenie proste prawdziwe
##
B3: q=>p =1 - twierdzenie odwrotne prawdziwe
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
W matematyce najczęściej korzystamy z matematycznej definicji równoważności co nie oznacza, że nie wolno nam skorzystać z dowolnej z 16 tożsamych definicji równoważności.

Przykład:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)=1*1 =1
Twierdzenie proste Pitagorasa TP=>SK i twierdzenie odwrotne Pitagorasa SK=>TP zostały udowodnione wieki temu, stąd ta równoważność jest prawdziwa

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
stąd mamy równoważność wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = (~p+q)*(~q+p) = ~p*~q + ~p*p + q*~q + q*p
p<=>q = p*q+~p*~q
Zauważmy, że równoważność p<=>q definiuje de facto tożsamość zbiorów p=q.

Matematycznie w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja tożsamości zbiorów p=q w warunkach wystarczających =>:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q i zbiór q jest podzbiorem => p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q =1
Powyższa relacja jest prawdziwa bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.

Sprawdzenie czy dla zbiorów tożsamych p=q równoważność p<=>q jest prawdziwa.
Definicja podzbioru:
p=>q = ~p+q
Stąd dla p=q mamy:
p=p <=> (A1: p=>p)*(B3: p=>p) = (~p+p)*(~p+p) =1*1 =1
cnd

6.1.3 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach

Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q (p=q)
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Zauważmy, że wyłącznie dla zbiorów tożsamych p=q zachodzi jednocześnie warunek wystarczający => i konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
Definicja podzbioru =>:
Podzbiór to dowolna część danego zbioru
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0

[link widoczny dla zalogowanych]
Definicja nadzbioru ~>:
Nadzbiór - dla danego zbioru każdy zbiór zawierający ten zbiór
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0

Na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> mamy:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości pojęć dla zbiorów:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Uzasadnienie:
Matematycznie istotą podzbioru => i nadzbioru ~> są zachodzące tu relacje podzbioru => i nadzbioru ~>

Istotne zastrzeżenie:
W równoważności p<=>q dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q co jest warunkiem koniecznym i wystarczającym rozpoznawalności wszystkich pojęć p, q, ~p i ~q.

Przykład:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
Równoważność tożsama:
Do tego aby w trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK) potrzeba ~> i wystarcza => aby ten trójkąt był prostokątny (TP)
Równoważność tożsama:
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => aby zachodziła w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1

Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK
Dziedziną minimalną jest tu:
D=ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Stąd dla TP=SK mamy:
Dziedzina ZWT=TP+~TP jest szersza do sumy zbiorów TP+SK = TP dzięki czemu rozpoznawalne są wszystkie zmienne TP, SK, ~TP, ~SK
~TP=[ZWT-TP]
~SK=[ZWT-SK]

Zauważmy, że gdybyśmy za dziedzinę przyjęli:
D=TP - zbiór trójkątów prostokątnych
To pojęcie ~TP byłoby nierozpoznawalne.
Dowód:
~TP=[D-TP]=[TP-TP] =[] =0
cnd

6.1.4 Aksjomatyczna definicja równoważności p<=>q

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
Kod:

T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p<=>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji równoważności p<=>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                 
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0 =
      p<=>q     =  ~p<=>~q       [=]    q<=>p    =   ~q<=>~p
      =A1*B1       =A2*B2        [=]    =A3*B3       =A4*B4
        /\           /\                   /\           /\
        ||           ||                   ||           ||
        \/           \/                   \/           \/
        p=q     #   ~p=~q         #       q=p    #    ~q=~p
        I            II                   III          IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.

Stąd:
Definicje podstawowe równoważności p<=>q wymuszające tożsamości zbiorów p=q w tabeli T2 to:
I.
RA1:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
p<=>q = wymusza tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
p=q
II.
RB2:
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =1*1 =1
~p<=>~q = wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
~p=~q
III.
RB3:
q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p) =1*1 =1
q<=>p = wymusza tożsamość zbiorów q=p (i odwrotnie)
q=p
IV.
RA4:
~q<=>~p = (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~P) = 1*1 =1
~q<=>~p = wymusza tożsamość zbiorów ~q=~p (i odwrotnie)
~q=~p

Aksjomatyczną definicję równoważności p<=>q z wykorzystaniem warunku wystarczającego => mamy w obszarze AB12. Musimy tu skompletować serię czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” zawierającą wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Jednoznaczne matematyczne rozwiązanie mamy w postaci poniższej definicji.

Aksjomatyczna definicja równoważności:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1 =1
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Stąd mamy równoważność wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q
p<=>q = p*q+~p*~q

Każda równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć:
p=q
Podstawmy:
q:=p - pod zmienną binarną q podstaw zmienną p
stąd mamy:
p<=>p = p*p + ~p*~p = p+~p =1
Jak widzimy tożsamość zbiorów wymusza równoważność prawdziwą (i odwrotnie)

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to seria czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” uwzględniająca wszystkie możliwe przeczenia p i q

Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź w spójnikach równoważności p<=>q na dwa pytania 1 i 2:
1.
Kiedy zajdzie p?
Na mocy tabeli symbolicznej T2: AB12 mamy:
RA1:
p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q)
stąd mamy:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem.
A1’
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q =p*~q =0
W zbiorach:
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p i ~q
W zdarzeniach:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q

2.
Kiedy zajdzie ~p?
Na mocy tabeli symbolicznej T2: AB12 mamy:
RB2:
~p (~p=1) zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q (~q=1)
~p<=>~q = (B2: ~p=>~q)*(A1: p=>q)
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem.
B2’
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
W zbiorach:
Nie istnieje (=0) wspólny element zbioru ~p i q
W zdarzeniach:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q

Cecha charakterystyczna równoważności:
Równoważność p<=>q to jedyny spójnik logiczny gdzie mamy gwarancję matematyczną => (warunek wystarczający =>) zarówno po stronie p, jak i po stronie ~p.

Zakodujmy powyższą analizę zero-jedynkowo z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
RA1: p<=>q

Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(~p=1)=(p=0)

Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych binarnych.
Dla wygenerowania zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q jest potrzebne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka pozwalające na eliminację przeczeń w zapisach symbolicznych, bowiem w punkcie odniesienie RA1: p<=>q mamy sygnały p i q bez przeczeń.

Potrzebne nam prawo Prosiaczka to:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)

Zakodujmy nasza tabelę T2: AB12 zero-jedynkowo:
Kod:

T3.
Definicja      |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna    |Jedynek oznacza   |RA1: p<=>q        |
RA1: p<=>q     |                  |                  | p   q  p<=>q
A1:  p=> q =1  |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1<=>1   =1
A1’: p~~>~q=0  |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1<=>0   =0
RB2:~p<=>~q    |                  |                  |
B2: ~p=>~q =1  |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0<=>0   =1
B2’:~p~~>q =0  |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0<=>1   =0
  a    b  c       d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                  | Prawa Prosiaczka |
                                  | (~p=1)=(p=0)     |
                                  | (~q=1)=(q=0)     |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q), zwanego krótko równoważnością p<=>q

Zakodujmy zero-jedynkowo tabelę T2: AB12 z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
RB2: ~p<=>~q
Prawo Kubusia z którego tu należy skorzystać to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Uzasadnienie:
Wszystkie zmienne musimy sprowadzić do postaci zanegowanej ~p i ~q bowiem w punkcie odniesienia:
RB2: ~p<=>~q
obie zmienne mamy zanegowane.
Kod:

T4.
Definicja     |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna   |Jedynek oznacza   |RB2: ~p<=>~q      |
RA1: p<=>q    |                  |                  |~p  ~q ~p<=>~q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0<=>0   =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0<=>1   =0
RB2:~p<=>~q   |                  |                  |
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1<=>1   =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1<=>0   =0
  a    b  c      d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                 | Prawa Prosiaczka |
                                 | (p=1)=(~p=0)     |
                                 | (q=1)=(~q=0)     |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), zwanego krótko równoważnością <=>

Zauważmy, że w tabelach T3 i T4 wejściowa definicja symboliczna równoważności abc jest identyczna, stąd tożsamość kolumn wynikowych 3 w tabelach zero-jedynkowych 123 jest dowodem formalnym poprawności prawa rachunku zero-jedynkowego:
T3: p<=>q = T4: ~p<=>~q

Dowód powyższego prawa bezpośrednio w rachunku zero-jedynkowym jest następujący:
Kod:

Definicja równoważności p<=>q
     p   q p<=>q
A1:  1<=>1  =1
A1’: 1<=>0  =0
B2:  0<=>0  =1
B2’: 0<=>1  =0

Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
Dowód:
Kod:

Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p<=>q = ~p<=>~q
     p   q p<=>q  ~p  ~q ~p<=>~q
A1:  1<=>1  =1     0<=>0   =1
A1’: 1<=>0  =0     0<=>1   =0
B2:  0<=>0  =1     1<=>1   =1
B2’: 0<=>1  =0     0<=>1   =0
     1   2   3     4   5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q

Definicja dowolnego prawa logicznego definiowanego tożsamością logiczną „=”:
p<=>q = ~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
Kod:

Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p<=>q = ~p<=>~q
     p   q p<=>q  ~p  ~q ~p<=>~q  p<=>q <=> ~p<=>~q
A1:  1<=>1  =1     0<=>0   =1            1
A1’: 1<=>0  =0     0<=>1   =0            1
B2:  0<=>0  =1     1<=>1   =1            1
B2’: 0<=>1  =0     0<=>1   =0            1
     1   2   3     4   5    6            7

Same jedynki w kolumnie wynikowej 7 również są dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q

Nasze prawo rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q <=> ~p<=>~q
można też udowodnić korzystając z definicji równoważności p<=>q w spójnikach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.

Oto przykładowy dowód:

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
RA1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) =~p*p+~p*~q+q*p+q*~q = p*q+~p*~q
Dla ~p<=>~q mamy:
RB2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = (~p+q)*(p+~q) = p*q+~p*~q

Prawe strony RA1 i RB2 są tożsame, stąd mamy:
RA1: p<=>q = RB1: ~p<=>~q
cnd

Podsumowanie:
Równoważność to jedyny sensowny spójnik logiczny w świecie techniki, tylko i wyłącznie dzięki niemu działają wszelkie urządzenia techniczne od lodówki poczynając na komputerach i promie kosmicznym kończąc.
Dlaczego?

Równoważność p<=>q w świecie techniki:
Przykład:
Równoważność p<=>q zaimplementowana w elektronicznym sterowaniu kierownicy w samochodzie będzie działać tak:
a)
Jeśli skręcamy kierownicą w prawo to samochód zawsze skręci w prawo
P<=>P
b)
Jeśli skręcamy kierownicą w lewo to samochód zawsze skręci w lewo
L<=>L
L=~P
Stąd:
~P<=>~P
Nie ma tu miejsca na wybryki komputera sterującego kierownicą w postaci „rzucania monetą” jak w implikacji czy operatorze chaosu które podaję niżej.
Wniosek:
Równoważność to jedyny sensowny operator logiczny w świecie techniki.

Natomiast:
W operatorach implikacji prostej p|=>q, odwrotnej p|~>q (które już poznaliśmy) oraz w operatorze chaosu p|~~>q (poznamy za chwilę) mamy do czynienia z najzwyklejszym „rzucaniem monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” które wyklucza zastosowanie tych operatorów w świecie techniki.

Implikacja w świecie techniki:
Przykład:
Implikacja p|=>q zaimplementowana w elektronicznym sterowaniu kierownicy w samochodzie będzie działać tak:
a)
Jeśli skręcamy kierownicą w prawo to samochód zawsze skręci w prawo
P=>P =1
ALE!
b)
Jeśli skręcamy kierownicą w lewo to komputer sterujący kierownicą wywołuje generator cyfr losowych G(x)={0,1} i w zależności od wyniku skręca:
1 - skręcam w lewo zgodnie z żądaniem kierowcy
0 - skręcam w prawo ignorując żądanie kierowcy
~P=L - skręcam w lewo
~P~>~P =1 - skręcam w lewo (~P=1) zgodnie z życzeniem kierowcy
lub
~P~~>P =1 - skręcam w prawo (P=1) ignorując życzenie kierowcy
Mam nadzieję, że wszyscy widzą, iż sterownie kierownicą samochodu za pośrednictwem implikacji prostej p|=>q to samobójstwo - identycznie jest w implikacji odwrotnej p|~>q.
W operatorze chaosu p|~~>q (poznamy za chwilę) to już tragedia bo tu komputer sterujący kierownicą za każdym razem będzie sobie wywoływał generator cyfr losowych G(x)={0,1} i skręcał tam gdzie mu się podoba totalnie ignorując wszelkie żądania kierowcy.

6.2 Operatory równoważności p|<=>q i q|<=>p

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q z uwzględnieniem kontrprzykładów ~~> dotyczących wyłącznie warunku wystarczającego =>
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                 
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0 =
      p<=>q     =  ~p<=>~q       [=]    q<=>p    =   ~q<=>~p
      =A1*B1       =A2*B2        [=]    =A3*B3       =A4*B4
        /\           /\                   /\           /\
        ||           ||                   ||           ||
        \/           \/                   \/           \/
        p=q     #   ~p=~q         #       q=p    #    ~q=~p
        I            II                   III          IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx

6.2.1 Operator równoważności p|<=>q

Obszar AB12:
Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:

I.
Kiedy zajdzie p (p=1)?
p (p=1) zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q (q=1)
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Każda równoważność <=> definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
Zbiór (pojęcie) p jest tożsamy ze zbiorem (pojęciem) q
p=q
Stąd mamy:
A1: p=>q =1 - zbiór (pojęcie) p jest podzbiorem => q
B1: p~>q =1 - zbiór (pojęcie) p jest nadzbiorem ~> q
Oczywistość dla zbiorów tożsamych p=q bo:
Każdy zbiór (pojęcie) jest podzbiorem siebie samego
Każdy zbiór (pojęcie) jest nadzbiorem siebie samego

Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q +~p*~q

II.
Kiedy zajdzie ~p (~p=1)?
Nie p (~p=1) zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q (~q=1)
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Każda równoważność <=> definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
Zbiór (pojęcie) ~p jest tożsamy ze zbiorem (pojęciem) ~q
~p=~q
Stąd mamy:
A2: ~p~>~q =1 - zbiór (pojęcie) ~p jest nadzbiorem ~> ~q
B2: ~p=>~q =1 - zbiór (pojęcie) ~p jest podzbiorem => ~q
Oczywistość dla zbiorów tożsamych p=q bo:
Każdy zbiór (pojęcie) jest podzbiorem siebie samego
Każdy zbiór (pojęcie) jest nadzbiorem siebie samego

Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~p<=>~q = p*q +~p*~q

6.2.2 Operator równoważności q|<=>p

Obszar AB34:
Operator równoważności q|<=>p to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:

III.
Kiedy zajdzie q (q=1)?
q (q=1) zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p (p=1)
q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p)
Każda równoważność <=> definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
Zbiór (pojęcie) q jest tożsamy ze zbiorem (pojęciem) p
q=p
Stąd mamy:
A3: q~>p =1 - zbiór (pojęcie) q jest nadzbiorem ~> p
B3: q=>p =1 - zbiór (pojęcie) q jest podzbiorem => p
Oczywistość dla zbiorów tożsamych q=p bo:
Każdy zbiór (pojęcie) jest podzbiorem siebie samego
Każdy zbiór (pojęcie) jest nadzbiorem siebie samego

Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
q<=>p = p*q +~p*~q

IV.
Kiedy zajdzie ~q (~q=1)?
Nie q (~q=1) zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p (~p=1)
~q<=>~p = (A4:~q=>~p)*(B4: ~q~>~p)
Każda równoważność <=> definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
Zbiór (pojęcie) ~q jest tożsamy ze zbiorem (pojęciem) ~p
~q=~p
Stąd mamy:
A4: ~q=>~p =1 - zbiór (pojęcie) ~q jest podzbiorem => ~p
B4: ~q~>~p =1 - zbiór (pojęcie) ~q jest nadzbiorem ~> ~p
Oczywistość dla zbiorów tożsamych ~q=~p bo:
Każdy zbiór (pojęcie) jest podzbiorem siebie samego
Każdy zbiór (pojęcie) jest nadzbiorem siebie samego
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~q<=>~p = p*q +~p*~q

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna równoważności I, II, III i IV
I. p<=>q = II. ~p<=>~q = III. q<=>p = IV. ~q<=>~p = p*q + ~p*~q

6.3 Prawo papużek nierozłączek

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q z uwzględnieniem kontrprzykładów ~~> dotyczących wyłącznie warunku wystarczającego =>
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                 
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0 =
      p<=>q     =  ~p<=>~q       [=]    q<=>p    =   ~q<=>~p
      =A1*B1       =A2*B2        [=]    =A3*B3       =A4*B4
        /\           /\                   /\           /\
        ||           ||                   ||           ||
        \/           \/                   \/           \/
        p=q     #   ~p=~q         #       q=p    #    ~q=~p
        I            II                   III          IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja zmiennej formalnej:
Zmienna formalna to zmienna binarna nie mająca związku z językiem potocznym człowieka (ze zmienną aktualną)
Zwyczajowo w logice matematycznej zmienne formalne oznaczane są symbolami Y, p, q, r ..

Definicja zmiennej aktualnej:
Zmienna aktualna to zmienna mająca ścisły związek z językiem potocznym człowieka
Przykłady:
P = pies
~P - nie pies
TP - trójkąt prostokątny (zmienna w logice dodatniej bo TP)
~TP - trójkąt nieprostokątny (zmienna w logice ujemnej bo ~TP)
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów (dziedzina dla trójkątów)
etc
Definicja dziedziny:
TP+~TP = ZWT =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny ZWT dla zbioru TP
TP*~TP =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne

To samo w zapisach formalnych dla punktu odniesienia:
p=TP (zbiór trójkątów prostokątnych)
D = ZWT (wspólna dziedzina)
Formalna definicja dziedziny:
p+~p =D =1
p*~p=0
Stąd mamy:
~p=[D-p)

Punkt odniesienia w logice matematycznej:
Dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym punkt odniesienia ustalamy wtedy i tylko wtedy gdy zamierzamy rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane.
Wtedy dla zdania warunkowego „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjęty punkt odniesienia to:
Parametr aktualny z wypowiedzianego zdania po „Jeśli …” = parametr formalny p (poprzednik)
Parametr aktualny z wypowiedzianego zdania po „to …”= parametr formalny q (następnik)

Przykład:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
To samo w zapisach formalnych to:
TP=p
SK=q
Stąd:
p=>q =1

Prawo punktu odniesienia:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjętym za punkt odniesienia zawsze zapisujemy po „Jeśli …” poprzednik p, zaś po „to…” następnik q.
p=poprzednik
q=następnik

Na mocy prawa punktu odniesienia w tabeli T2 interesuje nas wyłącznie obszar AB12.
Obszar AB12 graficznie możemy zilustrować w następujący sposób:
Kod:

----------------------------------     -----------------------------------
| R12:                           |     |R34:                             |
| p<=>q                          | [=] |~p<=>~q                          |
| p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)  |     |~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q |
----------------------------------     -----------------------------------
               /\                                    /\
               ||                                    ||
               \/                                    \/
----------------------------------     -----------------------------------
| T12:                           |     |T34:                             |
| p=q - zbiory (pojęcia) tożsame |  $  |~p=~q - zbiory (pojęcia) tożsame |
| p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q)  |     |~p=~q <=> (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q |
----------------------------------     -----------------------------------
-------------------------------------------------------------------------
| D = wspólna dziedzina dla p i q                                       |
| p+~p =D =1 - zbiór (pojęcie) ~p jest uzupełnieniem p do dziedziny D   |
| p*~p =[]=0 - zbiór (pojęcie) ~p jest rozłączny ze zbiorem p           |
| q+~q =D =1 - zbiór (pojęcie) ~q jest uzupełnieniem q do dziedziny D   |
| q*~q =[]=0 - zbiór (pojęcie) ~q jest rozłączny ze zbiorem q           |
-------------------------------------------------------------------------


Prawo papużek nierozłączek:
Spójnik równoważności p<=>q i spójnik „albo”($) to papużki nierozłączki bo:
R12:
Spójnik równoważności p<=>q to zanegowany spójnik „albo”($)
Y = p<=>q = ~(p$q) = p*q+~p*~q
T12:
Spójnik „albo”($) to zanegowany spójnik równoważności:
Y = p$q = ~(p<=>q) = p*~q+~p*q

Między funkcją logiczną Y wyrażoną relacją równoważności::
R12: Y = p<=>q = ~(p$q) = p*q+~p*~q
a funkcją logiczną Y wyrażoną relacją spójnika „albo”($):
T12: Y = p$q = ~(p<=>q) = p*~q+~p*q
zachodzi relacja różne na mocy definicji ##.

Dowód:
Definicja relacji różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji wtedy i tyko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej #

Definicja znaczka #
Dwie funkcje logiczne są różne w znaczeniu znaczka różne # wtedy i tylko wtedy gdy jedna z nich jest zaprzeczeniem drugiej

Matematycznie zachodzi tożsamość znaczków:
Różne # = spójnik „albo”($)

Mamy wyżej:
R12: Y=p<=>q # T12: Y=~(p<=>q) =0
Definicja znaczka różne # nie jest spełniona (=0) bo funkcja logiczna R12:
R12: Y=p<=>q
Nie jest zaprzeczeniem funkcji logicznej T12 po drugiej stronie znaczka #:
~T12 = ~Y=p<=>q
Prawe strony są tożsame ale nie zachodzi tożsamość funkcji logicznych:
Y<=>~Y
Dowód:
Definicja równoważności:
p<=>q = p*q + ~p*~q
dla relacji Y<=>~Y mamy:
Y<=>~Y = Y*(~Y) + ~Y*~(~Y) = Y*~Y + ~Y*Y = [] +[] =0
Relacja równoważności Y<=>~Y, a tym samym relacja tożsamości pojęć Y=~Y jest tu fałszem.

Między Y a ~Y spełniona jest definicja spójnika „albo”($).
Dowód:
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q
Stąd mamy:
Y$~Y = Y*~(~Y) + ~Y*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y =Y+~Y =1
cnd

6.3.1 Związek równoważności p<=>q i „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Operator równoważności p|<=>q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
R12:
1.
Kiedy zajdzie Y (Y=1)?
Y = p<=>q = ~(p$q) = p*q+~p*~q
2.
Kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
Negujemy równane 1 stronami:
~Y=~(p<=>q) = p$q = p*~q + ~p*q

Między 1 i 2 zachodzi relacja różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony:
1: Y=p<=>q # 2: ~Y=~(p<=>q)

Przykład z przedszkola w języku potocznym:
Pani:
1A.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Y = K<=>T = ~(K$T) =K*~T + ~K*~T

Operator równoważności p|<=>q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1)?
1A.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Y = K<=>T = ~(K$T) =K*~T + ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1 lub ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*T = 1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
LUB
~K*~T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Dokładnie to samo inaczej:
1B.
Y = K<=>T = ~(K$T)
Pani dotrzyma słowa gdy nie zdarzy się ~(…) że jutro pójdziemy do kina „albo”($) do teatru
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa gdy nie zdarzy się ~(…) że jutro pójdziemy wyłącznie w jedno z dwóch miejsc, do kina „albo”($) do teatru.

Dokładnie to samo jeszcze inaczej:
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
Y = p<=>q = p$~q = ~p$q
Dowód:
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q
Mamy obliczyć:
p$~q =?
Do definicji spójnika „albo”($) podstawiamy:
q:=~q - pod zmienną binarną q podstaw ~q
Stąd:
p$~q = p*~(~q) + ~p*(~q) = p*q + ~p*~q = p<=>q
cnd

Nasz przykład:
Y = K<=>T = K$~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 „albo”($) ~T=1
Czytamy:
1C.
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Jutro pójdziemy do kina (K=1) albo ($) nie pójdziemy do teatru
Y = K$~T

Oczywiście musi być jeszcze spełnione także:
Y=~K$T
1D.
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) „albo”($) pójdziemy do teatru
Y = ~K$T

Zauważmy że przypadek 1A jest zrozumiały przez każdego 5-cio latka ale 1B, 1C i 1D już nie - te przypadki wymagają umiejętności czysto matematycznych.

2.
.. kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Gdzie:
Skłamie = nie dotrzyma słowa (~Y=1).
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y = ~(K<=>T) = K$T = K*~T + ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1 lub ~K=1 i T=1
Czytamy:
2A.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*~T = 1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do kina (~K=1)
LUB
~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Dokładnie to samo inaczej:
2B.
~Y=K$T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 „albo”($) T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) „albo”($) pójdziemy do teatru (T=1)
Spójnik „albo”($) oznacza tu pójście wyłącznie w jedno z dwóch miejsce: albo do kina, albo do teatru.

Możemy tu jeszcze skorzystać z kolejnej tożsamości:
1C.
~Y = ~(p<=>q)
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…) że pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy <=> gdy pójdziemy do teatru.

Zauważmy, że przypadek 2A jest zrozumiały dla każdego 5-cio latka, natomiast przypadki 2B i 2C w języku potocznym nie są zrozumiałe bezproblemowo - wymagają znajomości zaawansowanej matematyki.

6.3.2 Związek „albo”($) i równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Operator „albo”(|$) wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
A12:
1.
Kiedy zajdzie Y (Y=1)?
Y = p$q = ~(p<=>q) = p<=>~q = ~p<=>q = p*~q+~p*q
2.
Kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(p$q) = p<=>q = p$~q = ~p$q = p*q+~p*~q
Dowód:
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q
Mamy do udowodnienia:
~Y = p$~q =?
Podstawmy do p$q:
q:=~q - podstaw w miejsce zmiennej q zmienną ~q
stąd:
~Y = p$~q = p*~(~q) + ~p*(~q) = p*q + ~p*~q = p<=>q
cnd

Między 1 i 2 zachodzi relacja różne # w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony:
1: Y=p$q # 2: ~Y=~(p$q)

Przykład z przedszkola w języku potocznym:
Pani:
1A.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) „albo”($) do teatru (T=1)
Y = K$T = K*~T + ~K*T

Operator logiczny „albo”($) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1)?
1A.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) „albo”($) do teatru (T=1)
Y = K$T = K*~T + ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i ~T=1 lub ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*~T = 1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
1B.
Innymi słowy zapis:
Y=K$T
w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 „albo”($) T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy wyłącznie w jedno miejsce, albo do kina (K=1), albo do teatru (T=1)

Trzecia możliwość powiedzenia dokładnie tego samego to skorzystanie z tożsamości:
Y = K$T = ~(K<=>T)
stąd mamy:
1C.
Y = ~(K<=>T)
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) gdy:
nie zdarzy się ~(…), że jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru

Kolejna możliwość odpowiedzi na pytanie kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) to skorzystanie z funkcji logicznej:
1D.
Y = p$q = p<=>~q = ~p<=>q
Dowód:
Definicja spójnika równoważności p<=>q:
p<=>q = p*q + ~p*~q
Mamy do udowodnienia:
Y = p<=>~q =?
Do definicji równoważności podstawiamy:
q:=>~q - w miejsce zmiennej q podstaw ~q
Y = p<=>(~q) = p*(~q) + ~p*~(~q) = p*~q + ~p*q =p$q
cnd
Nasz przykład:
Y = K$T = K<=>~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> (K=1)<=>(~T=1)
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) gdy zdarzy się że:
Jutro pójdziemy do kina (K=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Zauważmy, że 1A i 1B są bez problemu zrozumiałe w języku potocznym, natomiast przypadki 1C i 1D już nie - wymagają umiejętności matematycznych.

2.
.. a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Gdzie:
Skłamie = nie dotrzyma słowa (~Y=1).
Negujemy równanie 1A stronami:
2A.
~Y = ~(K$T) = K*T + ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i T=1 lub ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
2A.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*T = 1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do kina (K=1)
LUB
~K*~T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Dokładnie to samo możemy wyrazić przy pomocy spójnika równoważności p<=>q:
2B.
~Y = ~(K$T) = K<=>T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1<=>T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) gdy:
Jutro pójdziemy do kina (K=1) wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru (T=1)
~Y= K<=>T

Możemy tu jeszcze skorzystać z kolejnej tożsamości:
2C.
~Y = ~(K$T)
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…) że pójdziemy do kina „albo”($) do teatru
~Y=~(K$T)

Ostatnia możliwość to skorzystanie z tożsamości:
2D.
~Y= p<=>q = p$~q
Nasz przykład:
~Y = K<=>T = K$~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> (K=1)$(~T=1)
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Jutro pójdziemy do kina (K=1) „albo”($) nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y = K$~T

Zauważmy, że przypadki 2A i 2B są w języku potocznym zrozumiałe, natomiast przypadki 2C i 2D w języku potocznym nie są zrozumiałe - wymagają znajomości zaawansowanej matematyki.


6.4 Równoważność p<=>q i spójnik „albo”($) w rachunku zero-jedynkowym

Prawo papużek nierozłączek:
Spójnik równoważności p<=>q i spójnik „albo”($) to papużki nierozłączki bo:
R12:
Spójnik równoważności p<=>q to zanegowany spójnik „albo”($)
Y = p<=>q = ~(p$q) = p*q+~p*~q
T12:
Spójnik „albo”($) to zanegowany spójnik równoważności:
Y = p$q = ~(p<=>q) = p*~q+~p*q

Między funkcją logiczną Y wyrażoną relacją równoważności::
R12: Y = p<=>q = ~(p$q) = p*q+~p*~q
a funkcją logiczną Y wyrażoną relacją spójnika „albo”($):
T12: Y = p$q = ~(p<=>q) = p*~q+~p*q
zachodzi relacja różne na mocy definicji ##.

R12: Y=p<=>q ## T12: Y=p$q
Gdzie:
## - różna na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

6.4.1 Związki równoważności <=> i spójnika „albo”($) w rachunku zero-jedynkowym

Definicja tożsamości zbiorów:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy są w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =p<=>q
Dowód:
dla p=q mamy:
A1: p=>p = ~p+p =1 - każdy zbiór (pojęcie) jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>p = p+~p =1 - każdy zbiór (pojęcie) jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd
Wniosek:
Równoważność p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q

I.
Spójnik równoważności p<=>q wyrażony spójnikiem „albo”($):
Y = p<=>q = ~(p$q) =p$~q = ~p$q = p*q+~p*~q
Dowody:
1.
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q
Mamy do udowodnienia:
Y = ~(p$q)=?
Stąd:
Y = ~(p$q) = ~(p*~q + ~p*q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q = p<=>q
cnd
2.
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q
Mamy do udowodnienia:
Y = p$~q =?
Podstawmy do p$q:
q:=~q - postaw w miejsce zmiennej q zmienną ~q
mamy:
Y = p$~q = p*~(~q) + ~p*(~q) = p*q + ~p*~q = p<=>q
cnd
3.
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q
Mamy do udowodnienia:
Y = ~(~p$q) =?
Podstawmy do p$q:
p:=~p
Y = ~p$q = (~p)*~q + ~(~p)*q = ~p*~q + p*q = p<=>q
cnd

II.
Spójnik równoważności <=> wyrażony spójnikiem równoważności <=>:
Y = p<=>q = ~(p<=>~q) = ~(~p<=>q) =p*q + ~p*~q
Dowody:
4.
Definicja równoważności p<=>q:
p<=>q = p*q + ~p*~q
Mamy do udowodnienia:
Y = ~(p<=>~q) =?
Podstawmy do prawej strony:
q:=~q - podstaw w miejsce zmiennej q zmienną ~q
Y = ~(p<=>~q) = ~(p*~q + ~p*q) = (~p+q)*(p+~q) - prawo De Morgana
Y = ~(p<=>~q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q = p<=>q
cnd

III.
Spójnik równoważności <=> wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Y = p<=>q = p*q+~p*~q
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q
Stąd dla p=q po podstawieniu:
q:=p - podstaw w miejsce zmiennej q zmienną p
mamy:
Y = p<=>p = p*p+~p*~p = p+~p =1
cnd

Wybrane dowody w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($)
   p   q  p$q
A: 1 $ 1  =0
B: 1 $ 0  =1
C: 0 $ 0  =0
D: 0 $ 1  =1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Mamy do udowodnienia w rachunku zero-jedynkowym tożsamość logiczną:
Y = p<=>q = ~(p$q) =~(p$~q) = ~(~p$q) = p*q+~p*~q
Kod:

T1
Dowód iż matematycznie zachodzi:
Y = p<=>q = ~(p$q) = ~(p$~q) = ~(~p$q)
          Y=   ~Y= ~(~Y)=Y=         Y=   ~(~Y)=Y=  ~Y=    ~(~Y)=Y=
   p   q p<=>q p$q ~(p$q)   ~p ~q   p$~q  ~(p$~q)   ~p$q   ~(~p$q)
A: 1<=>1  =1    0     1      0  0    1       1        1        1
B: 1<=>0  =0    1     0      0  1    0       0        0        0
C: 0<=>0  =1    0     1      1  1    1       1        1        1
D: 0<=>1  =0    1     0      1  0    0       0        0        0
   p   q   1    2     3      4  5    6       7        8        9
Zachodzi tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
1: Y=p<=>q = 3:Y=~(p$q) = 7: Y=~(p<=>~q) = 9: Y=~(~p<=>q)
cnd

Kod:

T2
Dowód iż matematycznie zachodzi:
Y = p<=>q = p*q+~p*~q

   p   q p<=>q p*q ~p ~q ~p*~q Y=p*q+~p*~q
A: 1<=>1  =1    1   0  0   0    1
B: 1<=>0  =0    0   0  1   0    0
C: 0<=>0  =1    0   1  1   1    1
D: 0<=>1  =0    0   1  0   0    0
   p   q   1    2   3  4   5    6
Zachodzi tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
1: Y=p<=>q = 6: Y=p*q+~p*~q
cnd


6.4.2 Związki spójnika „albo”($) i równoważności <=> w rachunku zero-jedynkowym

Definicja spójnika „albo”($):
p$q = p*~q+~p*q

Definicja równoważności p<=>q
p<=>q = p*q+~p*~q

Zdefiniujmy funkcję logiczną Y wiążącą spójnik „albo”($):
Y = p$q = p*~q +~p*~q

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Y = p$q = ~(p<=>q) = (p<=>~q) = (~p<=>q) = p*~q + ~p*q

Dowody:
1.
Definicja równoważności p<=>q:
p<=>q = p*q+~p*~q
Mamy do udowodnienia:
Y = ~(p<=>q) =?
Y = ~(p<=>q) = ~((p*q)+(~p*~q)) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q+~p*q = p$q
cnd
2.
Definicja równoważności p<=>q:
p<=>q = p*q+~p*~q
Mamy do udowodnienia:
Y = ~(p<=>~q) =?
Podstawmy do definicji równoważności p<=>q:
q:=~q - podstaw w miejsce zmiennej q zmienną ~q
Y = (p<=>~q) = p*~q + ~p*q =p$q
Podobnie:
Y = (~p<=>q) = ~p*q + p*~q = p$q
cnd

Wybrane dowody w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($)
   p   q  p$q
A: 1 $ 1  =0
B: 1 $ 0  =1
C: 0 $ 0  =0
D: 0 $ 1  =1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Mamy do udowodnienia w rachunku zero-jedynkowym tożsamość logiczną:
Y = p$q = ~(p<=>q) = (p<=>~q) = (~p<=>q) = p*~q + ~p*q
Kod:

T1
Dowód iż matematycznie zachodzi:
Y = p$q = ~(p<=>q) = (p<=>~q) = (~p<=>q)

          Y=   ~Y=     Y=              Y=       Y=
   p   q  p$q  p<=>q ~(p<=>q)  ~p ~q  p<=>~q  ~p<=>q
A: 1 $ 1  =0     1       0      0  0    0        0
B: 1 $ 0  =1     0       1      0  1    1        1
C: 0 $ 0  =0     1       0      1  1    0        0
D: 0 $ 1  =1     0       1      1  0    1        1
   p   q   1     2       3      4  5    6        7
Zachodzi tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
1: Y=p$q = 3:Y=~(p<=>q) = 6: Y=p<=>q = 7: Y=~p<=>q
cnd

Kod:

T2
Dowód iż matematycznie zachodzi:
Y = p$q = p*~q+~p*q

   p   q  p$q ~p ~q  p*~q ~p*q Y=p*~q+~p*q
A: 1 $ 1  =0   0  0   0     0   0
B: 1 $ 0  =1   0  1   1     0   1
C: 0 $ 0  =0   1  1   0     0   0
D: 0 $ 1  =1   1  0   0     1   1
   p   q   1   2  3   4     5   6
Zachodzi tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
1: Y=p$q = 6: Y=p*~q+~p*q
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 20:23, 26 Paź 2020, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Nie 15:55, 03 Sty 2021    Temat postu:
2021-01-03
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2020-12-06,17779.html#559421

Wymieniam treść punktu 3.0 na inną.
Stara wersja:

3.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń


Spis treści
3.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 1
3.1 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów 1
3.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 2
3.2.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 3
3.2.2 Prawa Kobry dla zbiorów 4
3.3 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 4
3.3.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 5
3.3.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 5
3.4 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~> 5
3.4.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 8
3.5 Definicje operatorów logicznych w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 9
3.6 Definicje spójników implikacyjnych w logice dodatniej (bo q) 9
3.7 Teoria operatorów implikacyjnych 11
3.7.1 Definicja operatora implikacji prostej p||=>q i odwrotnej ~p||~>~q 11
3.7.2 Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q i prostej ~p||=>~q 14
3.7.3 Definicja operatorów równoważności p|<=>q oraz ~p|<=>~q 18
3.7.4 Definicje operatorów chaosu p||~~>q i ~p||~~>~q 21



3.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.

3.1 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów

Przypomnijmy sobie definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów.

Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Definicja relacji podzbioru =>:
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Z powyższego wynika że zachodzi tożsamość pojęć:
Definicja podzbioru => = relacja podzbioru =>

Pełna definicja relacji podzbioru:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja podzbioru =>:
p=>q =1 - relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona

Wniosek z powyższej definicji:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
p=>p =1

Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Definicja nadzbioru:
Zbiór p jest nadzbiorem zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q

Definicja relacji nadzbioru ~>:
Relacja nadzbioru p~>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q

Z powyższego wynika, że zachodzi tożsamość pojęć:
Definicja nadzbioru ~> = relacja nadzbioru ~>

Pełna definicja relacji nadzbioru ~>:
Relacja nadzbioru p~>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona

Wniosek z powyższej definicji:
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
p~>p =1

3.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q

I.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory nieskończone są rozłączne to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

3.2.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

3.2.2 Prawa Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem => samego siebie.
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].

3.3 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

I.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

3.3.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

3.3.2 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

3.4 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Weźmy nasze funkcje logiczne A1 i B1:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
Funkcja logiczna p=>q = ~p+q nie jest tożsama z funkcją logiczną p~>q = p+~q
oraz nie jest zaprzeczeniem funkcji logicznej p~>q = p+~q:
~(p~>q) = ~(p+~q) = ~p*q - na mocy prawa De Morgana
cnd

Kod:

T1
Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q=~p+q
A: 1=>1  1
B: 1=>0  0
C: 0=>0  1
D: 0=>1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

##
Kod:

T2
Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q=p+~q
A: 1~>1  1
B: 1~>0  1
C: 0~>0  1
D: 0~>1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

##
Kod:

T3
Definicja spójnika “lub”(+)
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 0  0
D: 0+ 1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p=>q=~p+q ## p~>q=p+~q ## p+q

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w rachunku zero-jedynkowym:
Dwie kolumny są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale to widać w kolumnach wynikowych tabel T1, T2 i T3. Warunek konieczny jaki musi tu być spełniony to identyczna matryca zero-jedynkowa po stronie wejść p i q bowiem wtedy i tylko wtedy możemy wnioskować o tożsamości lub braku tożsamości kolumn zero-jedynkowych. Warunek wspólnej matrycy zero-jedynkowej tabelach T1, T2 i T3 jest spełniony.

Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
Przy wypełnianiu tabeli zero-jedynkowej w rachunku zero-jedynkowym nie wolno nam zmieniać linii w sygnałach wejściowych p i q, bowiem wtedy i tylko wtedy o tym czy dane prawo zachodzi decyduje tożsamość kolumn wynikowych.
##
Kod:

Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p=>q = ~p+q ## p~>q =p+~q

Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).

3.4.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      AB12:            |     AB34:
      AB1:     AB2:    |     AB3:     AB4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji dla warunków wystarczających =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

4.
Prawa kontrapozycji dla warunków koniecznych ~>:
A2: ~p~>~q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

3.5 Definicje operatorów logicznych w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Dowolny operator logiczny można wyrazić spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Dowolny operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Kiedy funkcja logiczna przybierze wartość Y=1?
Przykład:
Y = (p*q)+ (~p*~q) - funkcja alternatywno-koniunkcyjna
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
2.
Kiedy funkcja logiczna przybierze wartość ~Y=1?
Nasz przykład:
Przejście z 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = (~p+~q)*(p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna
W logice jedynek opisana jest wyłącznie funkcja alternatywno-koniunkcyjna, musimy zatem wymnożyć powyższy wielomian:
~Y = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*p = p*~q + ~p*q
~Y = p*~q + ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

3.6 Definicje spójników implikacyjnych w logice dodatniej (bo q)

Definicja spójnika implikacyjnego:
Spójnik implikacyjny to spójnik wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      AB12:            |     AB34:
      AB1:     AB2:    |     AB3:     AB4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Rozróżniamy cztery spójniki implikacyjne w logice dodatniej (bo q):
I.
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => jest (=1) spełniony
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest (=0) spełniony

Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q =1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie):
A1’: p~~>~q =p*~q =0

II.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest (=0) spełniony
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> jest (=1) spełniony

Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający A1: p=>q =0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie):
A1’: p~~>~q =p*~q =1

III.
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => jest (=1) spełniony
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> jest (=1) spełniony

Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Uwaga:
1.
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q =1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie):
A1’: p~~>~q =p*~q =0
2.
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q =1
stąd mamy tożsamą definicję równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q) =1*1 =1
Prawdziwy warunek wystarczający B2:~p=>~q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie):
B2’: ~p~~>q = ~p*q =0

IV.
Definicja chaosu p|~~>q:
Definicja chaosu p|~~>q to nie zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest (=0) spełniony
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest (=0) spełniony

Stąd mamy definicję chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1

3.7 Teoria operatorów implikacyjnych

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to operator wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

3.7.1 Definicja operatora implikacji prostej p||=>q i odwrotnej ~p||~>~q

Definicje spójników implikacyjnych p|=>q i ~p|~>~q

I.
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Definicja implikacji prostej p|=>q w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q:
      AB12:                   |      AB34:
      AB1:         AB2:       |      AB3:         AB4:
A: 1: p=>q=1  =  2:~p~>~q=1  [=]  3: q~>p=1  =  4:~q=>~p=1
##
B: 1: p~>q=0  =  2:~p=>~q=0  [=]  3: q=>p=0  =  4:~q~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A(x) i fałszywość dowolnego zdania serii B(x)

W kolumnie AB2 mamy:
II.
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Implikacja odwrotna ~p|~>~q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
B2: ~p=>~q =0 - ~p nie jest (=0) wystarczające => dla ~q
Stąd:
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) =1*~(0)=1*1 =1

Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q

Mamy definicję implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Po skorzystaniu z praw Kubusia mamy:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = ~p|~>~q
stąd mamy tożsamość logiczną:
p|=>q = ~p|~>~q
cnd

Operator implikacji prostej p||=>q zdefiniowany jest w obszarze AB12.

III.
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź w spójnikach implikacji prostej p|=>q i implikacji odwrotnej ~p|~>~q na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Kolumna AB1
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1

Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego A1 musi być fałszem.
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Nie jest możliwe (=0) jednoczesna zajście p i ~q

Komentarz:
1.
Warunek wystarczający p=>q to zdanie A1
2.
A1B1:
Implikacja prosta p|=>q to:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
3:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2:
A1B1:
Implikacja prosta p|=>q to:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0) =1*1 =1

IV.
Definicja operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to odpowiedź w spójnikach implikacji odwrotnej ~p|~>~q i implikacji prostej p|=>q na dwa pytania 2 i 1:

2.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Kolumna AB2
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q)
Implikacja odwrotna ~p|~>~q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0) =1*1 =1

Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A2.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
LUB
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście ~p i q

Komentarz:
1.
Warunek konieczny ~p~>~q to zdanie A2
2.
Implikacja odwrotna ~p|~>~q to:
A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0) =1*1 =1
3.
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1:
A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0) =1*1 =1
A1B1:
Implikacja prosta p|=>q to:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)

Podsumowanie istoty operatora implikacji prostej p||=>q:
1.
Doskonale widać, ze jeśli zajdzie p to mamy gwarancję matematyczną => zajścia q.
Mówi o tym zdanie A1
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
2.
Jeśli natomiast zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła”:
A2.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
LUB
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1

3.7.2 Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q i prostej ~p||=>~q

I.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p||~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 =1*1 =1

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q:
      AB12:                   |      AB34:
      AB1:         AB2:       |      AB3:         AB4:
A: 1: p=>q=0  =  2:~p~>~q=0  [=]  3: q~>p=0  =  4:~q=>~p=0
##
B: 1: p~>q=1  =  2:~p=>~q=1  [=]  3: q=>p=1  =  4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B(x) i fałszywość dowolnego zdania serii A(x)

W kolumnie AB2 mamy:
II.
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Implikacja prosta ~p|=>~q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla ~q
B2: ~p=>~q =1 - ~p jest (=1) wystarczające => dla ~q
~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =~(0)*1=1*1 =1

Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q

Mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Po skorzystaniu z praw Kubusia mamy:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~p|=>~q
stąd mamy tożsamość logiczną:
p|~>q = ~p|=>~q
cnd

Operator implikacji odwrotnej p||~>q i prostej ~p||=>~q zdefiniowany jest w obszarze AB12.

III.
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to odpowiedź w spójnikach implikacji odwrotnej p|~>q i implikacji prostej ~p|=>~q na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Kolumna AB1
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1

Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q =1
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
LUB
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście p i ~q

Komentarz:
1.
Warunek konieczny p~>q to zdanie B1
2: Implikacja odwrotna p|~>q to:
A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
3:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2:
A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla ~q
B2: ~p=>~q =1 - ~p jest (=1) wystarczające => dla ~q
~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =~(0)*1=1*1 =1

IV.
Definicja operatora implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to odpowiedź w spójnikach implikacji prostej ~p|=>~q i odwrotnej p|~>q na dwa pytania 2 i 1:

2.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Kolumna AB2
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Implikacja prosta ~p|=>~q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla ~q
B2: ~p=>~q =1 - ~p jest (=1) wystarczające => dla ~q
~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =~(0)*1=1*1 =1

Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład B2’ dla warunku wystarczającego B2 musi być fałszem.
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Nie jest możliwe (=0) jednoczesna zajście ~p i q

Komentarz:
1.
Warunek wystarczający ~p=>~q to zdanie B2
2.
Implikacja prosta ~p|=>~q to:
A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla ~q
B2: ~p=>~q =1 - ~p jest (=1) wystarczające => dla ~q
~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =~(0)*1=1*1 =1
3.
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1:
A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla ~q
B2: ~p=>~q =1 - ~p jest (=1) wystarczające => dla ~q
~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =~(0)*1=1*1 =1
A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1

Podsumowanie istoty operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
1.
Doskonale widać że zajdzie p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła”:
B1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q =1
LUB
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
2.
Jeśli natomiast zajdzie ~p to mamy gwarancję matematyczną => zajścia ~q.
Mówi o tym zdanie B2
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1

3.7.3 Definicja operatorów równoważności p|<=>q oraz ~p|<=>~q

I.
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q

Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Definicja równoważności p<=>q w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p<=>q:
      AB12:                   |      AB34:
      AB1:         AB2:       |      AB3:         AB4:
A: 1: p=>q=1  =  2:~p~>~q=1  [=]  3: q~>p=1  =  4:~q=>~p=1
##
B: 1: p~>q=1  =  2:~p=>~q=1  [=]  3: q=>p=1  =  4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A(x) i prawdziwość dowolnego zdania serii B(x)

W kolumnie AB2 mamy:
II.
Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Równoważność ~p<=>~q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
B2: ~p=>~q =1 - ~p jest (=0) wystarczające => dla ~q
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1 =1

Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q

Mamy definicję równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Po skorzystaniu z praw Kubusia mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~p<=>~q
stąd mamy tożsamość logiczną:
p<=>q = ~p<=>~q
cnd

Operatory równoważności p|<=>q i ~p|<=>~q zdefiniowane są w obszarze AB12.

III.
Definicja operatora równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź w spójnikach równoważności p<=>q i ~p<=>~q na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Kolumna AB1
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
RA1.
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1: p=>q=1 musi być fałszem.
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście p i ~q

Komentarz:
1.
Warunek wystarczający p=>q to zdanie A1
2.
Równoważność p<=>q to:
RA1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
3.
Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych RA1 i RB2:
RA1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
RB2:
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
B2: ~p=>~q =1 - ~p jest (=0) wystarczające => dla ~q
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=1*1=1

IV.
Definicja operatora równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Operator implikacji równoważności ~p|<=>~q to odpowiedź w spójnikach równoważności ~p<=>~q i p<=>q na dwa pytania 2 i 1:

2.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Kolumna AB2
Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q)
Równoważność ~p<=>~q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
B2: ~p=>~q =1 - ~p jest (=0) wystarczające => dla ~q
Stąd mamy definicję równoważności ~p<=>~q w równaniu logicznym:
RB2.
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1 =1

Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście ~p i q

Komentarz:
1.
Warunek wystarczający ~p=>~q to zdanie B2
2.
Równoważność ~p<=>~q to:
RB2:
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
B2: ~p=>~q =1 - ~p jest (=0) wystarczające => dla ~q
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=1*1=1
3.
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych RB2 i RA1:
RB2:
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
B2: ~p=>~q =1 - ~p jest (=0) wystarczające => dla ~q
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=1*1=1
RA1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Podsumowanie istoty operatora równoważności p|<=>q:
1.
Doskonale widać, ze jeśli zajdzie p to mamy gwarancję matematyczną => zajścia q.
Mówi o tym zdanie A1
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
2.
Doskonale też widać, że jeśli zajdzie ~p to również mamy gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Mówi o tym zdanie B2.
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Wniosek:
W przeciwieństwie do implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q w operatorze równoważności p|<=>q nie ma śladu jakiegokolwiek „rzucania monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
W operatorze równoważności zarówno po stronie p jak i po stronie ~p mamy gwarancje matematyczne =>.
Wniosek:
Operator równoważności p|<=>q to jedyny operator logiczny możliwy do zastosowania w świecie techniki.
W przełożeniu na programowanie komputerów programista musi mieć 100% pewność => jak zareaguje program kiedy zajdzie p oraz jak zareaguje program kiedy zajdzie ~p. O żadnym „rzucaniu monetą” w sensie na dwoje babka wróżyła” w programowaniu komputerów mowy być nie może.

3.7.4 Definicje operatorów chaosu p||~~>q i ~p||~~>~q

I.
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna AB1
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1B1:
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniona (=0)
p|~~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w chaosie p|~~>q wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
Kod:

T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~~>q:
      AB12:                   |      AB34:
      AB1:         AB2:       |      AB3:         AB4:
A: 1: p=>q=0  =  2:~p~>~q=0  [=]  3: q~>p=0  =  4:~q=>~p=0
##
B: 1: p~>q=0  =  2:~p=>~q=0  [=]  3: q=>p=0  =  4:~q~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z chaosem p|~~>q potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii A(x) i fałszywość dowolnego zdania serii B(x)

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji chaosu p|~~>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę T1 o relację elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q wnikającą z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~~>q:
       AB12:                      |     AB34:
       AB1:         AB2:          |     AB3:         AB4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1                  [=]               4:~q~~>~p=1
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p=1
B”:               2:~p~~>~q=1    [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Uwagi:
Zdania A1” i B2” kodowane zdarzeniem możliwym ~~> muszą być prawdziwe, bowiem wtedy i tylko wtedy będziemy mieli do czynienia z chaosem p|~~>q.
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że zdanie A1” jest fałszywe:
A1”: p~~>q =0
Wówczas na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy byłby warunek wystarczający =>:
A1S: p=>~q =1
co prowadzi do sprzeczności z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym spełnionym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identyczny dowód nie wprost możemy przeprowadzić w stosunku do zdania prawdziwego B2” oraz do zdań B3” i A4”.

II.
Definicja chaosu ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q)
Kolumna AB2
Chaos ~p|~~>~q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla ~q
B2: ~p=>~q =0 - ~p nie jest (=0) wystarczające => dla ~q
~p|~~>~q = ~(A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = ~(0)*~(0) =1*1=1

Operatory chaosu p||~~>q i ~p||~~>~q

III.
Definicja operatora chaosu p||~>q to odpowiedź w spójnikach chaosu p|~~>q i ~p|~~>~q na dwa pytania 1 i 2

1.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Kolumna AB1.
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej bo (q):
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1B1:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1

Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A’’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście p i q
LUB
A’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście p i ~q

IV.
Definicja operatora chaosu ~p||~>~q to odpowiedź w spójnikach chaosu ~p|~~>~q i p|~~>q na dwa pytania 2 i 1

1.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Kolumna AB2.
Definicja chaosu ~p|~~>~q w logice ujemnej bo (~q):
Chaos ~p|~~>~q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
~p|~~>~q = ~(A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1

Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B’’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście ~p i ~q
LUB
B’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście ~p i q

Doskonale widać, że zarówno po stronie p jak i po stronie ~p mamy tu najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 16:14, 03 Sty 2021, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Nie 16:11, 03 Sty 2021    Temat postu:
2021-01-03
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2020-12-06,17779.html#559439

Wymieniam treść punktu 3.8 na inną.
Stara wersja:

Spis treści
3.8 Punkt odniesienia w logice matematycznej 1
3.8.1 Prawo Kameleona w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q 3
3.8.2 Prawo Kameleona w równoważności p<=>q 11
3.9 Prawda miękka i twarda, prawda absolutna 15
3.10 Dziedzina minimalna - prawo Kobry, Pytona i Zaskrońca 19
3.10.1 Filozoficzna definicja zbioru pustego [] 23
3.11 Prawdziwość/fałszywość zdań warunkowych przy znanej wartości logicznej p i q 24



3.8 Punkt odniesienia w logice matematycznej

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Przykład:
1: uczciwy / 2: nie uczciwy
1.
U=1 - prawdą jest (=1) że jestem uczciwy (U)
albo
2.
U=0 - fałszem jest (=0), że jestem uczciwy (U)

Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Stąd mamy zmienną binarną w zapisie symbolicznym izolowaną od wszelkich zer:
1.
U - uczciwy
co w logice jedynek oznacza:
U=1 - prawdą jest (=1) że jestem uczciwy (U)
2.
~U - nie (~) uczciwy
co w logice jedynek oznacza:
~U=1 - prawdą jest (=1) że jestem nieuczciwy (~U)

Doskonale widać, że wyłącznie symboliczne zmienne binarne używane są w języku potocznym człowieka:
1: U (uczciwy) # 2: ~U (nie uczciwy)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Definicja zmiennej aktualnej:
Zmienna aktualna to zmienna mająca ścisły związek z językiem potocznym człowieka
P- pies
~P - nie(~) pies

Definicja zmiennej formalnej:
Zmienna formalna to zwyczajowa zmienna binarna nie mająca związku ze zmienną aktualną.
Zwyczajowo w logice matematycznej zmienne formalne oznaczane są symbolami Y, p, q, r ..

Definicja zapisu formalnego:
Zapis formalny w logice matematycznej to zapis praw logiki matematycznej z użyciem zmiennych formalnych (zwyczajowo Y, p, q, r ..) nie związany bezpośrednio z językiem potocznym człowieka.

Definicja zapisu aktualnego:
Zapis aktualny w logice matematycznej to operowanie symbolami mającymi ścisły związek ze zdaniami w języku potocznym.
Wszelkie prawa logiki matematycznej stosujemy tu bezpośrednio w zapisach aktualnych.

Przykład:
Prawo podwójnego przeczenia w zapisach aktualnych:
Jestem uczciwy U = nie jest prawdą ~(…) że jestem nieuczciwy ~U
U = ~(~U)
To samo w zapisach formalnych:
U:=p - pod U podstaw p
stąd mamy prawo podwójnego przeczenia w zapisach formalnych (ogólnych):
p=~(~p)

Punkt odniesienia w logice matematycznej:
Dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym punkt odniesienia ustalamy wtedy i tylko wtedy gdy zamierzamy rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane.

Prawo punktu odniesienia:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjętym za punkt odniesienia zawsze zapisujemy po „Jeśli …” poprzednik p, zaś po „to…” następnik q.
p=poprzednik
q=następnik

Przykład:
Twierdzenie proste Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Wartość logiczna zdania A1 jest równa 1, bo twierdzenie proste Pitagorasa matematycy udowodnili poprawnie wieki temu.

Przyjmijmy zdanie A1 za punkt odniesienia.
Na mocy prawa punktu odniesienia zapisujemy w zapisach formalnych (ogólnych):
p=>q =1
Gdzie:
p=TP
q=SK

Powyższe prawo punktu odniesienia to zaproponowany standard w logice dodatniej obowiązujący wszystkich ludzi. Matematycznie jest wszystko jedno co nazwiemy p a co q, jednak w imię wspólnego języka musimy trzymać się zaproponowanego standardu - inaczej będziemy mieli kociokwik we wzajemnym porozumiewaniu się, czego dowód będzie w kolejnym punkcie.

Analogia do świata fizyki, czyli powszechnie przyjęty standard:
1. Wektor napięcia wskazuje zawsze wyższy potencjał
2. Prąd elektryczny płynie zawsze od wyższego do niższego potencjału
Matematycznie, dla 1 i 2 możliwe są cztery różne punkty odniesienia matematycznie równie dobre, ale rozwiązując np. sieć elektryczną nie wolno mieszać przyjętego standardu w jednym rozumowaniu (zadaniu) bo wyjdą nam kosmiczne głupoty. Punkty 1 i 2 są powszechnie przyjętym standardem we wszystkich podręcznikach do nauki elektryki i elektroniki i należy to uszanować, nie robiąc bałaganu.
Ciekawostka:
W Węgierskich i Niemieckich podręcznikach fizyki znajdziemy inny punku odniesienia dla napięcia, gdzie wektor napięcia wskazuje zawsze niższy potencjał, a nie jak w krajach anglosaskich i w Polsce potencjał wyższy.

3.8.1 Prawo Kameleona w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Prawo Kameleona to najważniejsze prawo logiki matematycznej!
Dlaczego?
Odpowiadam:
Prawo Kameleona to bezpośrednie uderzenie w fundament wszelkich ziemskich logik matematycznych gdzie dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka są z definicji tożsame.

Nie jest możliwe, aby niniejszego punktu nie zrozumiał normalny ziemski matematyk przy zdrowych zmysłach.

Zacznijmy od przypomnienia sobie fundamentów algebry Kubusia.

Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

I.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      AB12:            |     AB34:
      AB1:     AB2:    |     AB3:     AB4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji dla warunków wystarczających =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

4.
Prawa kontrapozycji dla warunków koniecznych ~>:
A2: ~p~>~q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Definicja implikacji prostej p|=>q w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q:
      AB12:                  AB34:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5:~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A(x) i fałszywość dowolnego zdania serii B(x)

Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada są chmury
Zdanie A1 przyjmujemy za punkt odniesienia:
Stąd mamy:
A1: P=>CH =1
A1: p=>q =1
p=P (pada)
q=CH (chmury)
##
Badamy prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii B(x)
B1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% ~> będzie pochmurno
P~>CH =0
p~>q =0
Padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
Stąd mamy dowód iż zdania A1 i B1 są częścią implikacji prostej P|=>CH:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: CH~>P) = 1*~(0)=1*1 =1
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód:
Zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to zdania te nie są logicznie tożsame, bowiem definicja warunku wystarczającego p=>q=~p+q to co innego niż definicja warunku koniecznego p~>q=p+~q. O różności tych zdań decydują znaczki => i ~> wplecione w treść zdań.

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q:
      AB12:            |     AB34:
      AB1:     AB2:    |     AB3:     AB4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5:~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii A(x) i prawdziwość dowolnego zdania serii B(x)

Przykład:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
cnd
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~P=>~CH
Zdanie B1 przyjmujemy za punkt odniesienia:
Stąd mamy:
B1: CH~>P=1
B1: p~>q =1
p=CH (chmury)
q=P (pada)
##
Badamy prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii A(x)
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padać
CH=>P =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd

Wypowiedzmy zdanie B1 kodując je zdarzeniem możliwym ~~>:
B1’
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> padać
CH~~>P = CH*P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH=1) i pada (P=1)
W dowodzie zdarzenia możliwego ~~> B1’ wystarczy pokazać jeden przypadek gdy są chmury (CH=1) i pada (P=1) co kończy dowód prawdziwości zdania B1’. Nie musimy tu odwadniać czy chmury są warunkiem koniecznym ~> dla padania.

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód:
Zdania B1 i B1’ brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to zdania te nie są matematycznie tożsame bowiem definicja warunku koniecznego ~> to co innego niż definicja zdarzenia możliwego ~~>. O różności tych zdań decydują znaczki ~> i ~~> wplecione w treść zdań.

Udajmy się do laboratorium techniki cyfrowej na I roku elektroniki Politechniki Warszawskiej:

Bramka „lub”(+) w poniższym opisie jest tożsama z bramką OR(+) znaną każdemu elektronikowi.
Kod:

U1
Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
w implikacji prostej p|=>q w laboratorium techniki cyfrowej
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH=1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
Punkt odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q=~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q =p+~q
Stąd mamy:
      ~p      -------------------
p --o---------|Bramka „lub”(+)  |
              |                 |---
q ------------|A1: p=>q=~p+q    |  | A1: p=>q  = A2:~p~>~q  = ~p+q
              -------------------  | A1: P=>CH = A2:~P~>~CH = ~P+CH
                                   |--------------------------------
      ~p      -------------------  |                               |U1:
p --o---------|Bramka „lub”(+)  |  |                               |Y=p=>q
      ~q   q  |                 |---                               |Y=P=>CH
q---o----o----|A2:~p~>~q=~p+q   |                                  |Y=~p+q
              -------------------                                  |Y=~P+CH
                                                                   |------>
      ~p      -------------------                                  |
p --o---------|Bramka “lub”(+)  |                                  |
              |                 |---                               |
q ------------|A3: q~>p=q+~p    |  | A3: q~>p  = A4:~q=>~p  = q+~p |
              -------------------  | A3: CH~>P = A4:~CH=>~P = CH+~P|
                                   |--------------------------------
      ~p      -------------------  |
p --o---------|Bramka „lub”(+)  |  |
      ~q   q  |                 |---
q---o----o----|A4:~q=>~p=q+~p   |
              -------------------
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

###
Kod:

U2
Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q w laboratorium techniki cyfrowej
Przykład:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1
Chmury są konieczne ~> do tego, by padało
Punkt odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q=~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q =p+~q
Stąd mamy:
       p      -------------------
p ------------|Bramka „lub”(+)  |
      ~q      |                 |---
q --o---------|B1: p~>q=p+~q    |  | B1: p~>q  = B2:~p=>~q  = p+~q
              -------------------  | B1: CH~>P = B2:~CH=>~P = CH+~P
                                   |--------------------------------
      ~p   p  -------------------  |                               |U2:
p --o----o----|Bramka „lub”(+)  |  |                               |Y=p~>q
      ~q      |                 |---                               |Y=CH~>P
q---o---------|B2:~p=>~q=p+~q   |                                  |Y=p+~q
              -------------------                                  |Y=CH+~P
                                                                   |------>
              -------------------                                  |
p ------------|Bramka “lub”(+)  |                                  |
      ~q      |                 |---                               |
q --o---------|B3: q=>p=~q+p    |  | B3: q=>p  = B4:~q~>~p  =~q+ p |
              -------------------  | B3: P=>CH = B4:~P=>~CH =~P+CH |
                                   |--------------------------------
      ~p   p  -------------------  |
 p --o---o----|Bramka „lub”(+)  |  |
      ~q      |                 |---
 q---o--------|B4:~q~>~p=~q+p   |
              -------------------
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Gdzie:
### - różne na mocy definicji implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q
Uwaga:
Matematycznie wykluczone jest, aby w definicjach implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q parametry p i q były identyczne.
Nasz przykład:
U1.
p=P (pada)
q=CH (chmury)
U2.
p=CH (chmury)
q=P (pada)
cnd

Matematyczne relacje R1 między układami U1 i U2 są następujące:
Kod:

R1.
Matematyczne relacje między układami U1 i U2
U1:                               ### U2:
Implikacja prosta: p|=>q          ### Implikacja odwrotna p|~>q:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q ### p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p*~q
Punkt odniesienia:                ### Punkt odniesienia:
p=P (pada)                        ### p=CH (chmury)
q=CH (chmury)                     ### q=P (pada)
U1: A1: p=>q  = ~p+q              ### U2: B1: p~>q  = p+~q
U1: A1: P=>CH = ~P+CH             ### U2: B1: CH~>P = CH+~P
Prawo Tygryska:                   ### Prawo Tygryska:
A1: p=>q  = A3: q~>p              ### B1: p~>q  = B3: q=>p
A1: P=>CH = A3: CH~>P             ### B3: P=>CH = B3: P=>CH
U1: A3: q~>p  = q+~p              ### U2: B3: q=>p  = ~q+p
U1: A3: CH~>P = CH+~P             ### U2: B3: P=>CH =~P+CH
Gdzie:
### - różne na mocy definicji implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q
p i q po obu stronach znaczka ### nie mają prawa być tymi samymi p i q
co widać na powyższym przykładzie.

Zauważmy, że matematycznie zachodzi:
Kod:

R1.
Matematyczne relacje między układami U1 i U2
U1:                               ### U2:
Implikacja prosta: p|=>q          ### Implikacja odwrotna p|~>q:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q ### p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p*~q
Punkt odniesienia:                ### Punkt odniesienia:
p=P (pada)                        ### p=CH (chmury)
q=CH (chmury)                     ### q=P (pada)
-----------------------------------------------------------------------
U1: A1: p=>q  = ~p+q              ### U2: B3: q=>p  = ~q+p
U1: A1: P=>CH = ~P+CH             ### U2: B3: P=>CH = ~P+CH
Gdzie:
### - różne na mocy definicji implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q
p i q po obu stronach znaczka ### nie mają prawa być tymi samymi p i q
co widać na powyższym przykładzie.


Twierdzenie o matematycznym osiołku:
Dowolny ziemski matematyk który twierdzi iż tabela R1 jest matematycznie błędna powołując się na identyczność zdań w języku potocznym U1_A1: P=>CH oraz U2_B3: P=>CH z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka jest matematycznym osiołkiem

Dowód:
Proszę się udać do laboratorium techniki cyfrowej na I roku elektroniki Politechniki Warszawskiej, które osobiście zaliczyłem 45 lat temu, zbudować układy U1 i U2 a następnie proszę połączyć wyjścia Y:
Kod:

Y = U1: A1: p=>q  = ~p+q  oraz Y = U2: B1: p~>q  = B3: q=>p  = ~q+p
Nasz przykład:
Y = U1: A1: P=>CH = ~P+CH oraz Y = U2: B1: CH~>P = B3: P=>CH = ~P+CH
Punkt odniesienia:         ### Punkt odniesienia:
U1_A1:                     ### U2_B3:
p=P (pada)                 ### p=CH (chmury)
q=CH (chmury)              ### q=P (pada)
Gdzie:
### - różne na mocy definicji implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q
p i q po obu stronach znaczka ### nie mają prawa być tymi samymi p i q
co widać na powyższym przykładzie.

Pewne jest, że matematyk osiołek zobaczy kupę dymu i smrodu, co jest dowodem poprawności prawa Kameleona, powszechnie występującego w logice matematycznej.

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Brzmienie zdania U1_A1: P=>CH w języku potocznym jest następujące:
U1_A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada są chmury
cnd

Brzmienie zdania U2_B3: P=>CH w języku potocznym jest identyczne:
U2_B3.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada są chmury
cnd

Nie oznacza to jednak iż zachodzi tożsamość zdań:
U1_A1 = U2_B3
gdyż zdania te widziane są z różnych punktów odniesienia.
1.
Punkt odniesienia dla zdania:
U1_A1: P=>CH
U1_A1: p=>q
to
p=p (pada)
q=CH (chmury)
2.
Punkt odniesienia dla zdania:
U2_B3: P=>CH
U2_B3: q=>p
to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)

Prawo Kameleona:
Otaczająca nas rzeczywistość wygląda różnie z różnych punktów odniesienia

Dla nazistów dobrem będzie brak Żydów, zaś dla Żydów dobrem będzie brak nazistów
Dla wierzących w Boga dobrem będzie brak ateistów, zaś dla ateistów dobrem będzie brak wierzących w Boga.
etc.

3.8.2 Prawo Kameleona w równoważności p<=>q

Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy najczęściej używaną w języku potocznym definicję równoważności:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
innymi słowy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 6040
Klikamy na googlach:
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 12400
cnd
Gdzie:
potrzebne ~> = konieczne ~>

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
Kod:

T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p<=>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A(x) i prawdziwość dowolnego zdania serii B(x)

Dowolna równoważność definiuje tożsamość zbiorów p=q
Dowód:
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
stąd mamy:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy jest częścią zbioru q

Wniosek:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Dowód w rachunku zero-jedynkowym:
Definicja podzbioru =>:
p=>q = ~p+q
dla p=q mamy:
p=>p = ~p+p =1
cnd

Definicja nadzbioru ~>:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
Wniosek:
Każdy zbiór jest nadzbiorem => siebie samego
Dowód w rachunku zero-jedynkowym:
Definicja nadzbioru ~>:
p~>q = p+~q
dla p=q mamy:
p~>p = p+~p =1
cnd

Wypowiedzmy równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
RA1B1:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego aby w tym trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1

Zdanie matematycznie tożsame:
RA1B1:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1

Prawo Tygryska:
B1: TP~>SK = B3: SK=>TP

Stąd:
Równoważność tożsama TP<=>SK dla trójkątów prostokątnych:
RA1B3:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1

Równoważność TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK:
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = SK<=>TP
Twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK i twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3: SK=>TP ludzkość udowodniła wieki temu.

Stąd mamy:
A1.
Twierdzenie proste Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów, bowiem zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów:
TP=SK
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Przyjmijmy zdanie A1 za punkt odniesienia:
A1: TP=>SK =1
A1: p=>q =1
stąd:
p=TP
q=SK

B3.
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) to na 100% => ten trójkąt jest prostokątny
SK=>TP =~SK+TP =1
q=>p =1
p=TP
q=SK
W dowolnym trójkącie, spełniona suma kwadratów (SK=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1), bowiem zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów:
SK=TP
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego

Prawo Tygryska:
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK
B3: q=>p = B1: p~>q
stąd:
Wypowiedzmy twierdzenie odwrotne Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych w formie zdania B1.
B1.
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% ~> zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP~>SK = TP+~SK =1
p~>q =1
p=TP
q=SK
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów, bowiem zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów:
TP=SK
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego

Zauważmy że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to zdania te nie są matematycznie tożsame.
Kod:

Dowód:
A1: TP=>SK = ~TP+SK ## B1: TP~>SK = TP+~SK
A1: p=>q   = ~p+q   ## B1: p~>q   = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mino to zdania te nie są matematycznie tożsame. O matematycznej różności tych zdań decydują znaczki => i ~> wplecione w treść zdań.

3.9 Prawda miękka i twarda, prawda absolutna

Rozważmy zdanie:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1 - chmury są konieczne ~> dla deszczu

Analiza podstawowa zdania A przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:

Operator implikacyjny to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2

1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1)?
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1 - chmury są konieczne ~> dla deszczu
LUB
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=CH*~P =1 - możliwy jest przypadek „są chmury” i „nie pada”

Chwilą czasową jest w powyższym przypadku cały jutrzejszy dzień.
Zauważmy, że:
W dniu dzisiejszym w czasie przyszłym obie jedynki są miękkimi jedynkami pociągającymi za sobą miękkie zera.
Dopóki jesteśmy dzisiaj i nie znamy przyszłości w przypadku zdań A i B możemy mówić o miękkich prawdach pociągających za sobą miękkie fałsze.
Czyli:
A.
Jeśli jutro zajdzie zdarzenie A: CH*P =1 to zdarzenie B będzie fałszem B: CH*~P=0
i odwrotnie:
B.
Jeśli jutro zajdzie zdarzenie B: CH*~P=1 to zdarzenie A będzie fałszem A: CH*P =0
Stąd mamy:

Definicja miękkiej prawdy w logice matematycznej:
Miękka prawda to prawda która może zajść ale nie musi.
Istnienie miękkiej prawdy pociąga za sobą istnienie miękkiego fałszu

Kontynuujemy dalsze możliwe przypadki związane ze zdaniami A i B.

2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1)?

.. a jeśli jutro nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
A: CH~>P = C: ~CH=>~P
stąd mamy:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało
~CH=>~P =1 - twarda jedynka
Brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => do tego by nie padało (~P)
Brak chmur (~CH) daje nam gwarancję matematyczną => braku opadów (~P)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna
Prawdziwy warunek wystarczający C:~CH=>~P =1 wymusza fałszywy kontrprzykład D
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P =~CH*P =0 - twarde zero
Zdarzenie wykluczone od minus do plus nieskończoności, nie ma najmniejszych szans aby zdarzenie D kiedykolwiek zaszło na planecie Ziemia w przedziale czasowym od minus do plus nieskończoności.

Definicja twardej prawdy:
Jeśli p to q
Z twardą prawdą mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q

Przykład to zdanie C wyżej.
Koniec analizy podstawowej.

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Na mocy prawa Kobry powyższą analizę możemy rozpisać w zdarzeniach możliwych ~~>.

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>q = p*q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i q

Stąd dla naszej chmurki i deszczu mamy tabelę zdarzeń możliwych ~~> które mogą zajść jutro:
Kod:

T1
A: CH~~> P= CH* P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „pada”
B: CH~~>~P= CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „nie pada”
C:~CH~~>~P=~CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „nie pada”
D:~CH~~> P=~CH* P=0 - niemożliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „pada”

Zauważmy, że:
1.
Na planecie Ziemia zdarzenie D nie jest możliwe, nigdy nie zaszło i nigdy nie zajdzie.
Wniosek:
Zdarzenie D to fałsz absolutny który nie ma szans stać się prawdą (jakąkolwiek prawdą)
2.
Zdarzenia ABC są wzajemnie rozłączne zarówno fizycznie jak i matematycznie.
Dowód matematycznej rozłączności zdarzeń ABC:
A*B = (CH*P)*(CH*~P) =[] =0
A*C = (CH*P)*(~CH*~P)=[] =0
B*C=(CH*~P)*(~CH*~P)=[] =0
3.
Z powyższego wynika, że:
Jeśli jutro zajdzie którekolwiek ze zdarzeń możliwych A, B lub C (prawda absolutna) to pozostałe dwa zdarzenia będą fałszem absolutnym.
W tym momencie logika matematyczna kończy swoją działalność, bo znamy rozstrzygnięcie i nie jesteśmy w stanie zmienić zaistniałego faktu.
Żadna logika matematyczna nie ma prawa zmienić zaistniałego faktu.

Przykładowo:
Załóżmy, że jest pojutrze i zaszło znane nam zdarzenie w Warszawie:
CH*~P =1 - wczoraj było pochmurno i nie padało
W tym przypadku wyłącznie linia B będzie prawdą absolutną, pozostałe linie będą fałszem absolutnym.

Dowód:
Z założenia wiemy że:
CH~~>~P = CH*~P =1 - wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało
Na mocy tego założenia nasza tabela prawdy dla znanej i zdeterminowanej przeszłości wygląda tak:
Kod:

T2
A: CH~~> P= CH* P=0 - wczoraj były chmury i padało
B: CH~~>~P= CH*~P=1 - wczoraj były chmury i nie padało
C:~CH~~>~P=~CH*~P=0 - wczoraj nie było chmur i nie padało
D:~CH~~> P=~CH* P=0 - niemożliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „pada”

Zdarzenie B miało miejsce w Warszawie.
Zauważmy, że nie wszyscy muszą wiedzieć jaka była pogoda w dniu wczorajszym w Warszawie.
Tylko i wyłącznie dla mieszkańców spoza Warszawy, którzy nie znają prawdy absolutnej o pogodzie w Warszawie logika matematyczna działa dalej i jest sensowna.
Innymi słowy:
Jeśli nie znamy rozstrzygnięcia to logika dalej działa w postaci identycznej serii zdań jak w naszej analizie podstawowej, tylko w zdaniach zapisanych w czasie przeszłym.

Definicja prawdy absolutnej:
Prawda absolutna to znany „fakt” który nie ma szans przejścia w fałsz.

Przykład:
Nasze zdarzenie które zaszło w Warszawie:
B: Wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało
B: CH~~>~P =CH*~P =1 - znamy zaistniały „fakt”, będący prawdą absolutną
Czasu nie da się cofnąć, zatem tego „faktu” (prawdy absolutnej) nie da się zmienić.

Definicja fałszu absolutnego:
Fałsz absolutny to znany „fakt” który nie ma szans stać się prawdą.
W momencie zaistnienia powyższej prawdy absolutnej B: CH*~P na terenie Warszawy wszystkie pozostałe, możliwe zdarzenia tj. A i C stają się fałszami absolutnymi. Znanych faktów nie jesteśmy w stanie zmienić bo czasu nie da się cofnąć.

Zauważmy, że w czasie przyszłym (lub przeszłym gdy nie znamy zaistniałego faktu) zdanie C jest twardą prawdą.
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało
~CH=>~P =1 - twarda jedynka
To jest twarda prawda w czasie przyszłym lub przeszłym gdy nie znamy zaistniałego faktu.
Innymi słowy:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało.
~CH=>~P =1 - twarda prawda
Brak chmur jest wystarczający => dla nie padania
To samo zdanie w czasie przeszłym gdy nie znamy zaistniałego faktu:
C1.
Jeśli wczoraj nie było pochmurno to na 100% => nie padało
~CH=>~P=1
Brak chmur jest wystarczający => dla nie padania

Jak widzimy z naszego przykładu twarda prawda w czasie przyszłym może przejść w fałsz absolutny w czasie przeszłym gdy zajdzie jedna z miękkich jedynek, w naszym przykładzie gdy zajdzie zdarzenie B.

Jak powyższe rozważania udowodnić matematycznie?
Mamy naszą tabelę prawdy T1 opisująca naszą rzeczywistość w czasie przyszłym lub przeszłym gdy nie znamy faktów.
Kod:

T1
A: CH~~> P= CH* P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „pada”
B: CH~~>~P= CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „nie pada”
C:~CH~~>~P=~CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „nie pada”
D:~CH~~> P=~CH* P=0 - niemożliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „pada”

Nasze zdarzenie które zaszło w Warszawie:
B: Wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało
B: CH~~>~P =CH*~P =1 - znamy zaistniały „fakt”, będący prawdą absolutną
Czasu nie da się cofnąć, zatem tego „faktu” (prawdy absolutnej) nie da się zmienić.

Dowód czysto matematyczny naszych rozważań to po prostu iloczyn logiczny zaistniałego faktu CH*~P w każdej z linii ABCD.
Kod:

T3
Tabela prawdy dla zaistniałego zdarzenia x=CH*~P
                      x=
A: CH~~> P=( CH* P)*( CH*~P)=0 - fałsz absolutny
B: CH~~>~P=( CH*~P)*( CH*~P)=1 - prawda absolutna
C:~CH~~>~P=(~CH*~P)*( CH*~P)=0 - fałsz absolutny
D:~CH~~> P=(~CH* P)*( CH*~P)=0 - fałsz absolutny

Czytamy:
A.
Czy wczoraj w Warszawie było pochmurno i padało?
NIE - fałsz absolutny
B.
Czy wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało?
TAK - prawda absolutna
C.
Czy wczoraj w Warszawie nie było pochmurno i nie padało?
NIE - fałsz absolutny
D.
Czy wczoraj w Warszawie nie było pochmurno i padało?
NIE - fałsz absolutny

Podsumowując:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało
~CH=>~P =1 - twarda jedynka
To jest twarda prawda w czasie przyszłym lub przeszłym gdy nie znamy zaistniałego faktu.
Prawda ta może przejść w fałsz absolutny w czasie przeszłym.
Kontrprzykład D dla prawdziwego warunku wystarczającego C musi być fałszem.
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0 - niemożliwe jest zdarzenie: nie ma chmur (~CH) i pada (P)

Zauważmy że:
1.
Twarda prawda w czasie przyszłym (zdanie C) może przejść w fałsz absolutny w czasie przeszłym (tabela T3, zdanie C)
2.
Twardy fałsz w czasie przyszłym (zdanie D) nie może przejść w twardą prawdę w czasie przeszłym, bowiem niemożliwe jest (=0) zajście zdarzenia D: ~CH*P w czasie od minus do plus nieskończoności.

3.10 Dziedzina minimalna - prawo Kobry, Pytona i Zaskrońca

Weźmy zdanie bazowe (punkt odniesienia):
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
cnd

Nasze zdanie A1 definiuje dwa zbiory:
P=[pies] =1 - zbiór jednoelementowy P=[pies] (wartość logiczna 1 bo zbiór nie jest pusty)
4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami (wartość logiczna 1 bo zbiór nie jest pusty)
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=[pies, słoń, kura ..] (kura jest przedstawicielem zwierząt nie mających czterech łap)
Stąd mamy zaprzeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do wspólnej dziedziny:
~P = [ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
~P=[słoń, kura ..] =1
~4L=[ZWZ-4L] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem zwierząt mających cztery lapy
~4L=[kura ..] =1

Analiza matematyczna warunku wystarczającego => A1 przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowane elementem wspólnym ~~> zbiorów.
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> mieć cztery łapy (4L=1)
P~~>4L = P*4L =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów P=[pies] i 4L=[pies, słoń ..] jest spełniona bo pies.
A1’.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
P~~>~4L= P*~4L =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne.
A2.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
~P~~>~4L = ~P*~4L =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory ~P=[słoń, kura..] i ~4L=[kura..] mają co najmniej jeden element wspólny np. kurę.
B2’.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~~> mieć cztery łapy (4L=1)
~P~~>4L = ~P*4L =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają co najmniej jeden element wspólny np. słoń

Zapiszmy powyższą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

T1
A1:  P~~> 4L=1 - zbiory P=[pies] i 4L=[pies, słoń ..] mają element wspólny
A1’: P~~>~4L=0 - zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne
A2: ~P~~>~4L=1 - zbiory ~P=[słoń, kura..] i ~4L=[kura] mają element wspólny
B2’:~P~~> 4L=1 - ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają element wspólny


Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym ~~> zbiorów: p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Analiza matematyczna - część I:

Na mocy definicji kontrprzykładu w zbiorach mamy:
1.
Z fałszywości kontrprzykładu A1’:
A1’: P~~>~4L=0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A1:
A1: P=>4L =1 - bycie psem jest warunkiem wystarczającym => do tego, by mieć cztery łapy.
2.
Prawo Kubusia:
A1: P=>4L = A2: ~P~>~4L
stąd:
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1: P=>4L =1
wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> A2:
A2: ~P~>~4L =1
Stąd nasza tabela T1 przybiera postać:
Kod:

T2
A1:  P=> 4L =1 - bo P=[pies] jest podzbiorem => 4L=[pies, słoń..]
A1’: P~~>~4L=0 - zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne
A2: ~P~> ~4L=1 - bo ~P=[słoń, kura..] jest nadzbiorem ~> ~4L=[kura..]
B2’:~P~~> 4L=1 - ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają element wspólny


Dla zdania A1 ustalmy przykładową, najszerszą możliwą dziedzinę Uniwersum.
Uniwersum (U) to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka
Innymi słowy:
U=[zbiór wszystkich zwierząt ZWZ, zbiór liczb naturalnych, mydło, powidło, miłość, rower, krasnoludek ..]

Nasze zdanie A1 przyjmie wtedy brzmienie:
A1U.
Jeśli coś jest psem to na 100% => ma cztery łapy
P=>4L =?
Zauważmy, że jeśli z obszaru Uniwersum będziemy losować cosie z dziedziny minimalnej będącej zbiorem wszystkich zwierząt ZWZ to wtedy znajdziemy się w analizie matematycznej jak wyżej omówionej dla zdania A1 (tabela T2)

Na mocy prawa Kobry warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>, co możemy zapisać jako.

A1UE.
Jeśli coś (x) jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
x*P~~>4L = x*P*4L =?

Losujemy:
x=P (pies)
Wtedy mamy:
P*P~~>4L = P*P*4L = P*4L =1
Zdanie prawdziwe bo istnieje element wspólny zbioru P=[pies] i zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]

Na mocy prawa Kobry widzimy, że wylosowanie jakiegokolwiek cosia spoza dziedziny minimalnej zbioru wszystkich zwierząt ZWZ czyni zdanie A1UE zdaniem fałszywym bez względu na zawartość następnika.

Dowód:
Podstawmy:
x=M (miłość)
Wtedy w poprzedniku mamy:
M*P~~>4L = M*P*4L =[] =0 - bo pojęcie „miłość” jest rozłączne ze zbiorem P=[pies]

Stąd mamy.

Prawo Pytona dla zbiorów:
Dla dowolnego zdania „Jeśli p to q” nie ma sensu iterowane po elementach spoza dziedziny minimalnej definiowanej treścią zdania „Jeśli p to q” bowiem wszystkie takie zdania będą na 100% fałszywe.

Na mocy prawa Pytona mamy rozstrzygnięcie iż jedyną matematycznie poprawną dziedziną dla zdania A1 jest dziedzina minimalna:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt

Mamy nasze zdanie bazowe (punkt odniesienia):
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
cnd
Dziedzina minimalna zdefiniowana treścią zdania to:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt

Zastosujmy do zdania A1 prawo kontrapozycji:
A1: P=>4L = A4: ~4L=>~P

Prawdziwość zdania A1 wymusza prawdziwość zdania A4 inaczej matematyka ścisła (prawo kontrapozycji) leży w gruzach, co jest oczywiście niemożliwe.

A4.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest psem (~P=1)
~4L=>~P =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór zwierząt nie mających czterech łap ~4L=[kura..] jest podzbiorem => zwierząt nie będących psem ~P=[słoń, kruk ..]

Tu również treść zdania A4 precyzyjnie definiuje nam dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt

Stąd mamy wyprowadzone wniosek w postaci prawa Zaskrońca.

Prawo Zaskrońca:
W dowolnym prawie logiki matematycznej dziedzina musi być wspólna i minimalna

Weźmy nasze prawo kontrapozycji:
A1: P=>4L = A4: ~4L=>~P

Znaczenie tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Na mocy prawa Zaskrońca dziedzina dla zdań związanych tożsamością logiczną musi być wspólna i minimalna, zdefiniowana treścią zdania.

3.10.1 Filozoficzna definicja zbioru pustego []

Nawiązując do powyższych rozważań oraz do praw Kobry, Pytona i Zaskrońca podanych wyżej możemy pokusić się o podsumowanie problemu zbioru pustego [].

Podsumowanie problemu zbioru pustego []:
1.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Uniwersum możemy podzielić na:
a)
Uniwersum indywidualne związane z konkretnym człowiekiem
b)
Uniwersum ludzkości, czyli zbiór pojęć historycznych rozpoznawalnych przez ludzkość w okresie swojego istnienia.

Oba typy Uniwersum są dynamiczne tzn. rozszerzają się gdy poznajmy nowe pojęcia oraz zawężają się gdy pojęcie ulegają zapomnieniu.
Przykład:
W okresie maturalnym bardzo dobrze znałem matematykę ale w dniu dzisiejszym pewne jest, że z marszu nie zaliczyłbym matury podstawowej z matematyki - nawet nie mam pojęcia co to jest delta w równaniu kwadratowym.
Wniosek:
Pojęć których się nie używa w życiu zawodowym w naturalny sposób zapominamy.

2.
Filozoficzna definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to wszelkie pojęcia spoza Uniwersum.
Innymi słowy:
Wszystko co jest poza Uniwersum jest dla nas zbiorem pustym, co nie oznacza iż tam już nic nie ma, czyli nie ma pojęć których jeszcze nie znamy, a które możemy poznać w przyszłości.
Ten zbiór pusty poza Uniwersum jest nieskończenie wielki, pewne pojęcia na zawsze pozostaną dla nas tajemnicą np. kwestia istnienia lub nie istnienia Boga w rozumieniu różnych odłamów ludzkości.

Jest oczywistym, że ten z naszego punktu odniesienia zbiór pusty leżący poza naszym Uniwersum jest podzbiorem => siebie samego.
Stąd mamy:
[]=>[] =1
Definicja warunku wystarczającego => jest tu spełniona bo każdy zbiór jest podzbiorem siebie samego, dotyczy to także wszystkich, nieskończonych z definicji pojęć spoza naszego Uniwersum, których jeszcze nie znamy, ale które możemy poznać w przyszłości.

3.11 Prawdziwość/fałszywość zdań warunkowych przy znanej wartości logicznej p i q

W algebrze Kubusia zbiory mają wartości logiczne:
[x] =1 - zbiór niepusty, zawierający co najmniej jeden element, ma wartość logiczną 1
[] =1 - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu, ma wartość logiczną 0

Rozważmy problem rodem z teorii logiki matematycznej.

Zbadaj prawdziwość/fałszywość poniższego zdania:
A1
Jeśli 2+2=4 to na 100% => 2*2=4
4=>4 =1
p=1, q=1
1=>1 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Zbiór jednoelementowy p=[4] jest podzbiorem => zbioru jednoelementowego q=[4]

Komentarz:
Użyte w zdaniu A1 znaczki sumy algebraicznej (+) i iloczynu algebraicznego (*) są dla logiki matematycznej kompletnie bez znaczenia, bowiem logika matematyczna z definicji nie zajmuje się jakimkolwiek algebraicznym liczeniem elementów w zbiorze bo jak to zrobić przy pomocy spójników „lub”(+) oraz „i”(*) z naturalnego języka potocznego?
Oczywiście to jest niewykonalne, czyli nie da się.

Uwaga!
Użyte w zdaniu A1 znaczki dodawania algebraicznego (+) i mnożenia algebraicznego (*) mają zero wspólnego z logiką matematyczną gdzie znaczki „lub”(+) oraz „i”(*) znaczą zupełnie co innego:
p+q - suma logiczna (+) zbiorów p i q
p*q = iloczyn logiczny (*) zbiorów p i q

Rozpatrzmy przypadek gdzie poprzednik i następnik jest twardą prawdą, ale nie są to zbiory tożsame.
A2.
Jeśli 2+2=4 to 2*3=6
4=> 6 =0
Wartości logiczne p i q:
p=1, q=1
1=>1 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo zbiór jednoelementowy p=[4] nie jest podzbiorem zbioru jednoelementowego q=[6]

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem samego siebie.
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].

Trzy pozostałe przypadki mutacji zdań gdzie wartość logiczna poprzednika i następnika jest znana z góry to:
B.
Jeśli 2+2=4 to 2+2=5
(2+2=4) => (2+2=5) =0
Dowód:
Korzystamy z prawa Kobry:
Jeśli 2+2=4 to może ~~> się zdarzyć, że 2+2=5
224~~>225 = 224*225 = 1*[] =1*0 =0
1~~>0 =1*0 =0
Gdzie:
[] - zbiór pusty
stąd na mocy prawa Kobry zdanie B jest fałszem
B: (2+2=4)=>(2+2=5) =0
cnd

Zamieńmy teraz miejscami poprzednik z następnikiem:
C.
Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
(2+2=5)=>(2+2=4) =0
Dowód:
Korzystamy z prawa Kobry:
Jeśli 2+2=5 to może ~~> się zdarzyć, że 2+2=4
225~~>224 = 225*224 =[]*1 = 0*1 =0
0~~>1 = 0*1 =0
Stąd na mocy prawa Kobry zdanie C jest fałszem
(2+2=5)=>(2+2=4) =0
cnd

Weźmy ostatni możliwy przypadek:
D.
Jeśli 2+2=5 to 2+2=6
(2+2=5) => (2+2=6) =1
Dowód:
Korzystamy z prawa Kobry:
Jeśli 2+2=5 to może ~~> się zdarzyć, że 2+2=6
225~~>226 = 225*226 = []*[] =0
ALE!
0=>0 =1
Dlaczego mamy tu wynikową jedynkę a nie zero?
Odpowiedź:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego na mocy definicji podzbioru.
Zbiór pusty [] również jest podzbiorem => siebie samego, czyli podzbiorem zbioru pustego []
Stąd:
[]=>[] =1
0=>0 =1

Na mocy powyższego otrzymujemy tabelę zero-jedynkową równoważności:
Kod:

   p   q     p<=>q
A: 1=> 1      =1
B: 1~~>0 =1*0 =0
C: 0~~>1 =0*1 =0
D: 0=> 0      =1


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 16:13, 03 Sty 2021, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Sob 18:43, 09 Sty 2021    Temat postu:
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
Matematyczny Raj: 2021-01-06

Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

Wszystko należy upraszczać jak tylko można, ale nie bardziej.
Albert Einstein

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki (vel Lucek), Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors (vel Dagger), Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski i inni.

Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez Fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?
Finałowa dyskusja z Irbisolem!

Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2021
Niniejszy podręcznik jest końcowym efektem 15-letniej dyskusji na forach śfinia, ateista.pl i yrizona - to około 30 tys postów, średnio 5 postów dziennie wyłącznie na temat logiki matematycznej.



Części:
1.0 Kubusiowa teoria zbiorów
2.0 Nieznana algebra Boole’a
3.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
4.0 Implikacja prosta p|=>q
5.0 Implikacja odwrotna p|~>q
6.0 Definicja chaosu p|~~>q
7.0 Definicja równoważności p<=>q
8.0 Obietnice i groźby

Algebra Boole’a dla przedszkolaków
9.0 Algebra Boole’a dla przedszkolaków

Algebra Kubusia dla LO
10.0 Algebra Kubusia dla LO
10.1 Definicja implikacji prostej p|=>q
10.2 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
10.3 Definicja chaosu p|~~>q
10.4 Definicja równoważności p<=>q

Dodatek 11.0: Błędy fatalne w logice matematycznej ziemian
11.0 Dodatek: Błędy fatalne w logice matematycznej ziemian

Dodatek 12.0: Prawo Kameleona w zdaniach z języka potocznego
12.0 Dodatek: Prawo Kameleona w zdaniach z języka potocznego


Wstęp

Nie jest możliwe, aby normalny ziemski matematyk nie zrozumiał wykładu algebry Kubusia dla LO:
10.0 Algebra Kubusia dla LO
Dla zrozumienia AK dla LO nie jest potrzebna algebra Boole’a.
Dokładnie z tego powodu zalecam ziemskim matematykom by swoją przygodę z algebrą Kubusia zaczęli od zrozumienia AK dla LO.
Śmietanka wiedzy w temacie algebry Kubusia zawarta jest w punkcie 3.0 który gorąco polecam wszystkim matematykom. Wymagana wiedza wstępna konieczna do zrozumienia punktu 3.0 to znajomość podstawowej algebry Boole’a.

Dlaczego od 15 lat zajmuję się logiką matematyczną?

1.
Jestem absolwentem elektroniki na Politechnice Warszawskiej (1980r) - specjalność automatyka.
Z racji wykształcenia techniczną algebrę Boole’a znam perfekcyjnie od czasów studiów i wiem, że złożone automaty cyfrowe w bramkach logicznych projektuje się w naturalnej logice matematycznej człowieka tzn. opisanej równaniami algebry Boole’a - nigdy tabelami zero-jedynkowymi!

2.
Pojęcie „Klasyczny Rachunek Zdań” usłyszałem po raz pierwszy w życiu 15 lat temu od Wuja Zbója.
Gdy usłyszałem zdania prawdziwe w KRZ to się we mnie zagotowało.
Przykładowe zdania prawdziwe w KRZ:
a) Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
b) Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
c) Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
Dowód (na serio!) prawdziwości tego zdania na gruncie KRZ jest tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
… i tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Bertrand Russell napisał:

Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.

Kiedy Bertrand Russell wypowiedział ten warunek na jednym z publicznych wykładów jakiś sceptyczny złośliwiec poprosił go, by udowodnił, że jeśli 2 razy 2 jest 5, to osoba pytająca jest Papieżem. Russell odparł: "Jeśli 2 razy 2 jest 5, to 4 jest 5; odejmujemy stronami 3 i wówczas 1=2. A że pan i Papież to 2, więc pan i Papież jesteście jednym."


3.
Dlaczego z takim uporem drążyłem algebrę Kubusia?
Po zapisaniu przeze mnie praw Kubusia 15 lat temu:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Zrozumiałem ich sens w obsłudze obietnicy Chrystusa:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z
Tylko i wyłącznie dlatego ciągnę temat „Logika matematyczna” od 15 lat

4.
Algebra Boole’a to najtrudniejsza część algebry Kubusia. Chodzi tu o matematyczną minimalizację złożonych równań algebry Boole’a które układa się i minimalizuje w projektowaniu automatów sterujących w bramkach logicznych na I roku elektroniki studiów wyższych.
Wbrew pozorom, naturalnymi ekspertami algebry Boole’a są wszystkie 5-cio latki bowiem w języku potocznym, w komunikacji człowieka z człowiekiem, nasz mózg operuje minimalnymi równaniami algebry Boole’a, których nie da się dalej minimalizować - nie jest tu zatem potrzebna jakakolwiek teoria minimalizacji równań logicznych.
Dowód tego faktu jest tu:
9.0 Algebra Boole’a dla przedszkolaków

Początkowo chciałem napisać kompletną algebrę Kubusia dla 5-cio latków z omówieniem na przykładach wszystkich możliwych operatorów implikacyjnych:
1: Operator implikacji prostej p||=>q
2: Operator implikacji odwrotnej p||~>q
3: Operator równoważności p|<=>q
4: Operator chaosu p||~~>q
Wyszła z tego zamiaru cała masa kopiuj-wklejek z podstawowej części algebry Kubusia, dlatego z tego pomysłu zrezygnowałem.
Pozostawiam napisanie wersji algebry Kubusia dla 5-cio latków ziemskim matematykom, trzeba tu po prostu wybrać odpowiednie fragmenty z podstawowej wersji algebry Kubusia lub napisać własną wersję algebry Kubusia dla 5-cio latków.
Mam nadzieję, że klonów algebry Kubusia w różnych postaciach będzie dużo - nikt nie ma monopolu na napisanie najlepszej wersji AK, łącznie ze mną.

Moja maksyma sprzed 35 lat:
1.
Każdy duży program komputerowy, w tym teorię matematyczną zwaną algebrą Kubusia, można udoskonalać w nieskończoność. Chodzi tu oczywiście nie o błędy czysto matematyczne, bo tych na 100% nie ma, ale o formę przekazu AK dla wybranych grup ludzkości: przedszkolaki, uczniowie szkoły podstawowej, średniej, studenci, prawnicy, humaniści na zawodowych matematykach kończąc.
2.
Im dłużej się myśli tym lepszy program można napisać, tym doskonalszą wersję algebry Kubusia można zapisać.
3.
Myślenie w nieskończoność nie ma sensu, tu trzeba tworzyć coraz doskonalsze wersje, dążąc do doskonałości absolutnej, której nie da się osiągnąć z definicji bo to co jest dobre dla 5-cio latka nie musi być wystarczające dla zawodowego matematyka.

Kluczowa uwaga:
W algebrze Kubusia 100% definicji z obszaru logiki matematycznej jest sprzecznych z definicjami obowiązującymi w Klasycznym Rachunku Zdań. Nie ma więc najmniejszego sensu czytanie algebry Kubusia i porównywanie tutejszych definicji z definicjami obowiązującymi w KRZ.
Jestem pewien, że nie ma wewnętrznej sprzeczności w algebrze Kubusia, bo wszystko jest tu w 100% zgodne z teorią bramek logicznych, której ekspertem jestem od czasu zaliczenia laboratorium techniki cyfrowej na I roku Politechniki Warszawskiej (1975r), gdzie budowaliśmy złożone automaty cyfrowe w bramkach logicznych - wtedy mikroprocesorów praktycznie jeszcze nie było, bowiem pierwszy przyzwoity mikroprocesor Intel i8080 narodził się w roku 1974.
Ciekawostka:
W 1974r Intel i8080 kosztował 360USD przy średniej płacy w Polsce 15USD.
[link widoczny dla zalogowanych]
Ile trzeba było pracować, by kupić ten szczyt techniki wymagający trzech napięć zasilania (+12V, +5V i -5V)?
W 1971r ukazała się pierwsza pamięć EPROM Intela i1702 o kosmicznej pojemności 256 bajtów wymagająca trzech napięć zasilania jak wyżej - w takiej pamięci można zapisać co najwyżej 256 liter.
[link widoczny dla zalogowanych]
… a dzisiaj (2020r)?
[link widoczny dla zalogowanych]
Na karcie pamięci microSD (wymiary: 11*15*1mm) z telefonu komórkowego mieści się 1024GB (1024GB=1024 miliardów bajtów-liter)


Dowód wewnętrznej sprzeczności Klasycznego Rachunku Zdań!

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć.
Alfred Hitchcock

Wstęp:

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Definicja funkcji logicznej dwóch zmiennych binarnych:
Funkcja logiczna Y dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q to:
Kod:

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
   p  q  Y
A: 1  1  x
B: 1  0  x
C: 0  1  x
D: 0  0  x
Gdzie:
x=[0,1]

Z definicji funkcji logicznej wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
Kod:

TS - tabela wszystkich możliwych spójników logicznych
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki „i”(*)|Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |oraz „lub”(+)  |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

W tabeli spójników TS po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.

Znaczenie najważniejszych znaczków w logice matematycznej które sukcesywnie będziemy poznawać w algebrze Kubusia:
Y=p*q - spójnik „i”(*) w języku potocznym
Y=p+q - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Y = p=>q =~p+q - definicja warunku wystarczającego => w języku potocznym
Y = p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w języku potocznym
Y = p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - definicja spójnika „wtedy i tylko wtedy” <=> w języku potocznym
Y = p$q = p*~q+~p*q - definicja spójnika „albo”($) w języku potocznym
Y = p~~>q =p*q - definicja zdarzenia możliwego ~~> w teorii zdarzeń w języku potocznym
lub
Y = p~~>q =p*q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> w teorii zbiorów w języku potocznym

Zacznijmy od zero-jedynkowych definicji znaczków => i ~> w algebrze Kubusia i w Klasycznym Rachunku Zdań (sic!).

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja zero-jedynkowa znaczka =>:
Kod:

T1
Zero-jedynkowa definicja znaczka =>
w algebrze Kubusia i w klasycznym Rachunku Zdań!
   p  q  p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>1  =1
D: 0=>0  =1


Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Definicja zero-jedynkowa znaczka ~>:
Kod:

T2
Zero-jedynkowa definicja znaczka ~>
w algebrze Kubusia i w Klasycznym Rachunku Zdań!
   p  q  p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>1  =0
D: 0~>0  =1


Twierdzenie Rekina:
Dowolny ziemski matematyk który stwierdzi iż tabele zero-jedynkowe T1 i T2 nie należą do legalnych tabel zero-jedynkowych w Klasycznym Rachunku Zdań jest pacjentem zakładu zamkniętego bez klamek.

Każdy ziemski matematyk, także twardogłowy ziemski matematyk dla którego bogiem jest gówno zwane Klasycznym Rachunkiem Zdań, z dziecinną łatwością wygeneruje tu matematyczne związki znaczków => i ~>.

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      AB12:            |     AB34:
      AB1:     AB2:    |     AB3:     AB4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji dla warunków wystarczających =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

4.
Prawa kontrapozycji dla warunków koniecznych ~>:
A2: ~p~>~q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>


Dowód wewnętrznej sprzeczności Klasycznego Rachunku Zdań

Weźmy tabelę zero-jedynkową znaczka => i jej legalną interpretację w Klasycznym Rachunku Zdań.

Definicja zero-jedynkowa znaczka =>:
Kod:

T1
Zero-jedynkowa definicja znaczka =>
w algebrze Kubusia i w klasycznym Rachunku Zdań!
   p  q  p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>1  =1
D: 0=>0  =1


Z książki Johna D. Barrowa „Kres możliwości”:

[link widoczny dla zalogowanych]
Bertrand Russell napisał:

Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.

Kiedy Bertrand Russell wypowiedział ten warunek na jednym z publicznych wykładów jakiś sceptyczny złośliwiec poprosił go, by udowodnił, że jeśli 2 razy 2 jest 5, to osoba pytająca jest Papieżem. Russell odparł: "Jeśli 2 razy 2 jest 5, to 4 jest 5; odejmujemy stronami 3 i wówczas 1=2. A że pan i Papież to 2, więc pan i Papież jesteście jednym."


Bertrand Russell, twórca Klasycznego Rachunku Zdań, swoją interpretacją tabeli zero-jedynkowej T1 zanurkował w potwornie śmierdzącym gównie stwierdzając iż linie C i D w tabeli zero-jedynkowej T1 należy interpretować tak.
Bertrand Russell napisał:

Wniosek z tabeli T1:
Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.
Mówią o tym linie C i D w tabeli T1.


Weźmy teraz legalną w Klasycznym Rachunku Zdań, bliźniaczą tabelę zero-jedynkową T2 definiującą znaczek ~>:
Kod:

T2
Zero-jedynkowa definicja znaczka ~>
w algebrze Kubusia i w Klasycznym Rachunku Zdań!
   p  q  p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>1  =0
D: 0~>0  =1


Teraz uwaga panowie matematycy!

W przypadku znaczka ~> nasz „geniusz” logiki matematycznej Bertrand Russell analogicznie musi tu stwierdzić co następuje.
Bertrand Russell napisał:

Wniosek z tabeli T2:
Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania prawdziwego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.
Mówią o tym linie A i B w tabeli T2.


Podsumowując:
Klasyczny Rachunek Zdań jest wewnętrznie sprzeczny bowiem dla tych samych wymuszeń p i q na mocy tabeli T1 stwierdza iż:
Ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe

Natomiast na mocy tabeli T2 Klasyczny Rachunek Zdań stwierdza iż:
Ze zdania prawdziwego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe

cnd

Twardy dowód iż ziemscy pseudo-matematycy połknęli gówno, które rzucił im na pożarcie ziemski „geniusz” logiki matematycznej Bertrand Russell:

[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Matryca implikacji od wieków budzi kontrowersje, niekiedy sięgające samej istoty logiki.
Matryca implikacji:
Kod:

 p  q  p=>q
 1  1   1
 0  1   1
 1  0   0
 0  0   1

Z dowolnego zdania fałszywego wynika dowolne zdanie prawdziwe (drugi wiersz matrycy) i dowolne zdanie fałszywe (czwarty wiersz matrycy). Twierdzenie to znane jest od wielu wieków w postaci łacińskiej formuły Falsum sequitur quodlibet (z fałszu wynika cokolwiek, czyli wszystko).

Mimo to, gdy Bertrand Russell opublikował swój system logiki oparty na omawianej matrycy implikacji materialnej, niektórzy filozofowie przyjęli ten system za rodzaj herezji logicznej.

Ktoś próbował wykpić B. Russella, ogłaszając list otwarty, w którym zaproponował mu do rozwiązania następujące zadanie:
Ponieważ według pana można udowodnić wszystko na podstawie jednego zdania fałszywego, proszę na podstawie fałszywego zdania "5 = 4" udowodnić, że jest pan papieżem.

Na pierwszy rzut oka zadanie to może się wydać niewykonalne. Intuicyjnie bowiem nie potrafimy dojrzeć żadnego związku między zdaniem "5 = 4" a zdaniem: "B. Russell jest papieżem". Intuicji nie można jednak wierzyć ślepo, jest bowiem zawodna. Russell podjął zadanie i rozwiązał je w wyniku następującego rozumowania:
Opierając się na regule głoszącej, że od obu stron równości wolno odjąć tę samą liczbę, odejmuję od obu stron równości: "5 = 4", liczbę 3. Wyprowadzam w ten sposób ze zdania "5 = 4" zdanie "2 = 1".
Dowód, że jestem papieżem, jest już teraz zupełnie prosty: papież i ja to dwie osoby, ale 2 = 1 (w tym przypadku papież i B. Russell, czyli dwie osoby są jedną osobą), więc jestem papieżem.
Rozumowanie to jest zupełnie poprawne, zatem początkowa intuicja zgodnie z którą zadanie dane Russellowi wydawało się nierozwiązalne, okazała się zawodna.
Zdanie "B. Russell jest papieżem" rzeczywiście wynika ze zdania "5 = 4". Jest to przykład wynikania fałszu z fałszu (odpowiednik czwartego wiersza matrycy).

Równie łatwo możemy wykazać, że z tego samego zdania fałszywego wynika zdanie prawdziwe, np. zdanie "B. Russell jest wykształcony". Wystarczy do już wyprowadzonego zdania "B. Russell jest papieżem" dodać oczywiście prawdziwe zdanie "Każdy papież jest wykształcony" i mamy:
B. Russell jest papieżem
Każdy papież jest wykształcony
zatem B. Russell jest wykształcony

Można również łatwo wskazać inne, prawdziwe konsekwencje zdania "5 = 4", np. "B. Russell jest mężczyzną", "B. Russell zna język łaciński", B. Russell jest osobistością znaną w całym świecie" itp.
Teoretyczna możliwość wyprowadzenia dowolnego zdania z danego zdania fałszywego nie zawsze jest równoznaczna z praktyczna łatwością wykonania takiego zadania. Ale takie zadanie jest do rozwiązania.
________________________________________
Prof. Tadeusz Kwiatkowski (Jego Wykłady i szkice z logiki ogólnej to źródło dzisiejszej notki) komentuje:
"Twierdzenie Falsum sequitur quodlibet i — tym samym — równoważne mu łącznie drugi i czwarty wiersze matrycy implikacji są nie tylko twierdzeniami logiki, lecz stanowią ujęcie głębokiej prawdy filozoficznej dotyczącej istoty prawdy i fałszu. Prawda ma tę istotną własność, że kierowana konsekwentnie prawami logiki. nigdy nie doprowadzi do konsekwencji fałszywej. Fałsz natomiast konsekwentnie stosowany przekreśla możliwość rozróżnienia prawdy i fałszu, czyli przekreśla wartość poznania (burzy wszelki porządek logiczny!)."


Panowie ziemscy matematycy:
Czy wy na serio nie widzicie, iż połknęliście potwornie śmierdzące gówno rzucone wam przez B. Russella opisane w cytacie wyżej?

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 18:46, 09 Sty 2021, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Nie 18:40, 17 Sty 2021    Temat postu:
17-01-2021
Wywalone bo można to samo napisać prościej

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-01-06,17779.html#564439

10.0 Algebra Kubusia dla LO

10.1 Definicja implikacji prostej p|=>q

Spis treści
10.0 Algebra Kubusia dla LO 1
10.1 Układ minimalny implikacji prostej A|=>S 3
10.1.1 Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej A||=>S 11
10.1.2 Warunek wystarczający => wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 15
10.1.3 Operator implikacji prostej A||=>S w I klasie LO 20
10.1.4 Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej S||~>A 24


10.0 Algebra Kubusia dla LO

Najprostszy wykład kompletnej logiki matematycznej w przykładach to omówienie czterech prostych układów sterowania żarówką poprzez różne zespoły przycisków.
Dlaczego najprostszy?
Bo układy fizyczne realizujące operatory implikacji prostej p||=>q, odwrotnej p||~>q, równoważności p|<=>q oraz chaosu p||~~>q można fizycznie zbudować, dzięki czemu łatwo zrozumieć dlaczego ziemskim matematykom wychodzi zbędność implikacji odwrotnej p||~>q w logice matematycznej.
Matematycy robią po prostu nietrywialny błąd podstawienia którego nie wyłapali mając na to 2500 lat czasu - od Sokratesa.

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” w obsłudze zdarzeń stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

I.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      AB12:            |     AB34:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji dla warunków wystarczających =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

4.
Prawa kontrapozycji dla warunków koniecznych ~>:
A2: ~p~>~q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

10.1 Układ minimalny implikacji prostej A|=>S

Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q:
      AB12:                  AB34:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5:~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A(x) i fałszywość dowolnego zdania serii B(x)

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
       AB12:                      |     AB34:
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
---------------------------------------------------------------
    p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Wyprowadzenie definicji implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
stąd mamy:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
p|=>q = ~p*q

Warto zapamiętać różnicę:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
p=>q = ~p+q
Definicja implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = ~p*q

Wniosek:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) wskazuje prawdziwy kontrprzykład B2’ w tabeli AB12.
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1
Na mocy definicji kontrprzykładu powyższy fakt wymusza fałszywy warunek wystarczający B2:
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q

W implikacji prostej A|=>S drugi możliwy warunek wystarczający w układzie AB12 musi być prawdą:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q

Podstawowy schemat układu realizującego implikację prostą A|=>S w zdarzeniach jest następujący.
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
                             W
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Punkt odniesienia: p=>q = A=>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.

Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej W:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje A i B.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W. Oboje widzą dokładnie tą samą żarówkę S. Jaś nie widzi Zuzi, ani Zuzia nie widzi Jasia, ale oboje wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S1, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S1, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna).
Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.

Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna W będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(w) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(w) =1
oraz
f(w)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(w) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku W, gdzie daje się ustawić zarówno W=1 jak i W=0.
Przykład:
f(w) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty

Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte

Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S1 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S.
Warunkiem koniecznym, aby układ S1 był fizyczną, minimalną realizacją implikacji prostej A|=>S jest przyjęcie punktu odniesienia ustawionego na przycisku A.

Na początek musimy udowodnić, iż rzeczywiście układ S1 jest fizyczną realizacją implikacji prostej A|=>S.

Fizyczną realizację implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach opisuje kolumna A1B1.
A1B1:
Implikacja prosta A|=>S to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie klawisza A jest (=1) wystarczające dla zaświecenia się żarówki S
##
B1: A~>S =0 - wciśnięcie klawisza A nie jest (=0) konieczne ~> dla zaświecenia się żarówki S
Gdzie:
## - różna na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Stąd mamy:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1

Dowodzimy prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Stan zmiennej wolnej W jest bez znaczenia W=x gdzie x={0,1}
cnd
##
Dowodzimy fałszywości warunku koniecznego ~> B1:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =0
Wciśnięcie przycisku A (A=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> świecenia się żarówki S (S=1), bo żarówkę może zaświecić zmienna wolna W (gdy W=1), z definicji będąca poza naszą kontrolą.
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to zdania te nie są matematycznie tożsame. O różności matematycznej tych zdań decydują znaczki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wplecione w treść zdań.

Definicja warunku wystarczającego =>:
A=>S = ~A+S
##
Definicja warunku koniecznego ~>:
A~>S = A+~S
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Poprawność prawa Kameleona doskonale widać na przykładzie zdań A1 i B1 wyżej.
W tym momencie wali się fundament wszelkich logik „matematycznych” ziemian gdzie dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka są matematycznie tożsame … na mocy definicji!

Alternatywnie możemy tu skorzystać z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska:
B1: A~>S = B3: S=>A
B3.
Jeśli żarówka świeci się to na 100% => przycisk A jest wciśnięty
S=>A =0
Świecenie się żarówki S nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania, iż przycisk A jest wciśnięty, bo żarówkę może zaświecić zmienna wolna W (gdy W=1)
Stąd na mocy prawa Tygryska mamy:
B1: A~>S =0 - warunek konieczny ~> nie jest (=0) spełniony
cnd
Dopiero po udowodnieniu iż układ S1 jest fizyczną realizacją implikacji prostej A|=>S, co wyżej się stało, możemy skorzystać z gotowego szablonu implikacji prostej A|=>S wyrażonego spójnikami warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Kod:

T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej A|=>S
       AB12:                      |     AB34:
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: A=>S  =1 = 2:~A~>~S=1     [=] 3: S~>A  =1 = 4:~S=>~A =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
A’: 1: A~~>~S=0 =                [=]             = 4:~S~~>A =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: A~>S  =0 = 2:~A=>~S=0     [=] 3: S=>A  =0 = 4:~S~>~A =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~A~~>S=1     [=] 3: S~~>~A=1
---------------------------------------------------------------
    p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
    A|=>S=~A*S  = ~A|~>~S=~A*S   [=]  S|~>A=S*~A = ~S|=>~A=S*~A
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: A=>S=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: A~~>~S=A*~S=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~A=>~S=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~A~~>S =~A*S=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W tabeli AB12 zachodzi:
I Prawo Kubusia:
A1: A=>S = A2: ~A~>~S =1
##
II Prawo Kubusia:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Z kolumny A1B1 odczytujemy:

Definicja implikacji prostej A|=>S w logice dodatniej (bo S):
A1B1:
Implikacja prosta A|=>S to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej A|=>S w równaniu logicznym:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = 1*~(0) =1*1 =1

Z kolumny A2B2 odczytujemy:

Definicja implikacji odwrotnej ~A|~>~S w logice ujemnej (bo ~S):
A2B2:
Implikacja odwrotna ~A|~>~S to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia się żarówki S
B2: ~A=>~S =0 - nie wciśnięcie A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia S
Stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej ~A|~>~S w równaniu logicznym:
~A|~>~S = (A2: ~A~>~S)*~(B2: ~A=>~S) =1*~(0) =1*1 =1

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A|=>S = ~A|~>~S
Dowód:
Prawa Kubusia:
A1: A=>S = A2: ~A~>~S
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
stąd:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = (A2: ~A~>~S)*~(B2: ~A=>~S) = ~A|~>~S
cnd

Dowód matematycznie tożsamy.
Przejdźmy z powyższym na zapis formalny (ogólny) podstawiając:
p=A
q=S
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q

Mamy do udowodnienia tożsamość logiczną:
p|=>q = ~p|~>~q
Gdzie:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
oraz:
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
Prawe strony tożsamości logicznej są identyczne, co jest dowodem tożsamości logicznej:
p|=>q = ~p|~>~q
cnd

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A|=>S = ~A|~>~S
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Wniosek:
Zachodzi tożsamość matematyczna pojęć:
Tożsamość logiczna „=” to spójnik „wtedy i tylko wtedy” <=> i odwrotnie.

W AK możemy używać obu znaczków „=” i <=> wymiennie co poprawia czytelność zapisów.

Podstawa matematyczna do wymiennego używania znaczków „=” i <=>:
Każda tożsamość matematyczna „=” spełnia definicję równoważności <=> i odwrotnie.

Dowód na przykładzie:
2=2 - tożsamość z matematyki klasycznej
Definicja równoważności <=>:
p<=>q = (A1: p=>q)*(A2: p~>q) =1*1 =1
Po podstawieniu:
p=2
q=2
mamy:
2<=>2 = (A1: 2=>2)*(B1: 2~>2)=1*1 =1
bo:
A1: 2=>2 =1 - każde pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
B1: 2~>2 =1 - każde pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd

Pojęcia A i ~A są rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny D:
A+~A =1 =D - ~A jest uzupełnieniem do dziedziny dla A
A*~A=[] =0 - zdarzenia A i ~A są rozłączne
Dziedziną jest w tym przypadku suma logiczna wszystkich możliwych zdarzeń w temacie wciśniętego przycisku A (A=1) oraz nie wciśniętego przycisku A (~A=1).

Przycisk A może być tylko i wyłącznie wciśnięty (A=1) albo($) nie wciśnięty (~A=1).

Dowód:
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q
Po podstawieniu:
p=A
q=~A
mamy:
A$~A = A*~(~A) + ~(A)*~A = A+~A =1

Oczywiście równoważność p<=>q definiująca tożsamość pojęć p=q musi być tu fałszem.
Dowód:
Definicja równoważności p<=>q:
p<=>q = p*q + ~p*~q
Po podstawieniu:
p=A
q=~A
mamy:
A<=>~A = A*(~A) + ~(A)*~(~A) = A*~A + ~A*A = []+[] =0
cnd

10.1.1 Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej A||=>S

Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
                             W
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Punkt odniesienia: p=>q = A=>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A

Fakt iż powyższy schemat jest fizyczną realizacją implikacji prostej A|=>S udowodniliśmy wyżej.
Stąd mamy:
Kod:

T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w A|=>S
       AB12:                      |     AB34:
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: A=>S  =1 = 2:~A~>~S=1     [=] 3: S~>A  =1 = 4:~S=>~A =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
A’: 1: A~~>~S=0 =                [=]             = 4:~S~~>A =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: A~>S  =0 = 2:~A=>~S=0     [=] 3: S=>A  =0 = 4:~S~>~A =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~A~~>S=1     [=] 3: S~~>~A=1
---------------------------------------------------------------
    p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
    A|=>S=~A*S  = ~A|~>~S=~A*S   [=]  S|~>A=S*~A = ~S|=>~A=S*~A
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: A=>S=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: A~~>~S=A*~S=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~A=>~S=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~A~~>S =~A*S=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora implikacji prostej A||=>S w logice dodatniej (bo S):
Operator implikacji prostej A||=>S w logice dodatniej (bo S) to odpowiedź w spójnikach implikacji prostej A|=>S i implikacji odwrotnej ~A|~>~S na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta A|=>S w logice dodatniej (bo S):
Implikacja prosta A|=>S to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1B1:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = 1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: A~~>~S = A*~S =0 - nie jest możliwe (=0) zdarzenie: wciśnięty A (A=1) i nie świeci S (~S=1)

Analiza szczegółowa w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”.
1.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
Odpowiedź:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka świeci się (S=1) - mówi o tym zdanie A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna ~>
Stan zmiennej wolnej W jest tu bez znaczenia: W=x gdzie x={0,1}
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1: A=>S=1 musi być fałszem
A1’.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0
Nie jest możliwe (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Stan zmiennej wolnej W jest tu bez znaczenia: W=x gdzie x={0,1}

Komentarz:
I.
Warunek wystarczający A=>S to zdanie A1

II.
Implikacja prosta A|=>S to:
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = 1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: A~~>~S = A*~S =0 - nie jest możliwe (=0) zdarzenie: wciśnięty A (A=1) i nie świeci S (~S=1)

III.
Operator implikacji prostej A||=>S to układ równań logicznych A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = 1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: A~~>~S = A*~S =0 - nie jest możliwe (=0) zdarzenie: wciśnięty A (A=1) i nie świeci S (~S=1)

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla nie świecenia S
B2: ~A=>~S =0 - nie wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla nie świecenia S
~A|~>~S = (A2: ~A~>~S)*~(B2: ~A=>~S) = 1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Fałszywość warunku wystarczającego B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~A~~>S = ~A*S=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci (S=1)
gdy zmienna wolna W będzie ustawiona na W=1.

Definicja operatora implikacji odwrotnej ~A||~>~S w logice ujemnej (bo ~S):
Operator implikacji odwrotnej ~A||~>~S w logice ujemnej (bo ~S) to odpowiedź w spójnikach implikacji odwrotnej ~A|~>~S i implikacji prostej A|=>S na dwa pytania 2 i 1:

2.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
Kolumna AB2:
Implikacja odwrotna ~A|~>~S w logice ujemnej (bo ~S):
Implikacja odwrotna ~A|~>~S to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2B2:
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla nie świecenia S
B2: ~A=>~S =0 - nie wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla nie świecenia S
~A|~>~S = (A2: ~A~>~S)*~(B2: ~A=>~S) = 1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Fałszywość warunku wystarczającego B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~A~~>S = ~A*S=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci (S=1)
gdy zmienna wolna W będzie ustawiona na W=1.

Analiza szczegółowa w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”.
2.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
Odpowiedź:
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
A2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
~A~>~S =1

Przypadek możliwy gdy zmienna wolna W=0.
Nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia się żarówki S (~S=1) bo jak przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~A~>~S = A1: A=>S
Wystarczy udowodnić prawdziwość A1, co wyżej się stało, by na mocy prawa Kubusia mieć pewność absolutną prawdziwości A2

LUB
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2:~A=>~S=0 musi być prawdą
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
Zdarzenie możliwe (=1) bowiem zmienna wolna W będąca poza naszą kontrolą z definicji, może być ustawiona na W=1 (żarówka świeci się)

Komentarz:
I.
Warunek konieczny ~A~>~S to zdanie A2

II.
Implikacja odwrotna ~A|~>~S to:
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli przyciska A nie jest wciśnięty (~A=1)?
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla nie świecenia S
B2: ~A=>~S =0 - nie wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla nie świecenia S
~A|~>~S = (A2: ~A~>~S)*~(B2: ~A=>~S) = 1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Fałszywość warunku wystarczającego B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~A~~>S = ~A*S=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci (S=1)
gdy zmienna wolna W będzie ustawiona na W=1.

III.
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1:

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli przyciska A nie jest wciśnięty (~A=1)?
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla nie świecenia S
B2: ~A=>~S =0 - nie wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla nie świecenia S
~A|~>~S = (A2: ~A~>~S)*~(B2: ~A=>~S) = 1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Fałszywość warunku wystarczającego B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~A~~>S = ~A*S=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci (S=1)
gdy zmienna wolna W będzie ustawiona na W=1.

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = 1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: A~~>~S = A*~S =0 - nie jest możliwe (=0) zdarzenie: wciśnięty A (A=1) i nie świeci S (~S=1)

Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

T4
            Y ~Y   Analiza w logice dodatniej dla Y:
A1:  A=> S =1  0 - wciśnięcie A (A=1) wystarcza => dla świecenia S (S=1)
A1’: A~~>~S=0  1 - nie jest możliwe (=0): wciśnięty A i nie świeci S (~S)
A2: ~A~>~S =1  0 - nie wciśnięcie A jest konieczne ~> dla nie świecenia S
B2’:~A~~>S =1  0 - możliwe jest (=1): nie wciśnięty A (~A) i świeci S (S)


Podsumowanie:

Operator implikacji prostej A||=>S to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to mamy gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S.
Mówi o tym warunek wystarczający A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Stan zmiennej wolnej W jest tu bez znaczenia, W=x gdzie x={0,1}

2.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetę” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’.
A2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
~A~>~S =1 - gdy zmienna wolna jest ustawiona na W=0
LUB
B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1 - gdy zmienna wolna W jest ustawiona na W=1

10.1.2 Warunek wystarczający => wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
                             W
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Punkt odniesienia: p=>q = A=>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A

Warunek wystarczający => wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) opisany jest równaniem logicznym:
Y = (A=>S) = ~A+S

Definicja operatora OR(|+):
Dla funkcji logicznej typu Y=p+q operator OR(|+) to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Kiedy zajdzie Y (Y=1)
2.
Kidy zajdzie ~Y (~Y=1)

W przełożeniu na nasz przykład odpowiada to pytaniom:
1.
Które zdarzenia są możliwe (Y=1)?
2.
Które zdarzenia nie są możliwe (~Y=1)?

Znaczenie symboli:
Y=1 - zdarzenie możliwe
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że możliwe jest zdarzenie Y (Y=1)
~Y=1 - zdarzenie niemożliwe
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że nie jest możliwe (~) zdarzenie Y (~Y=1)

Zajmijmy się naszym przykładem:
1’
Y = (A=>S) = ~A+S
W tym przypadku najprostsze podejście do problemu to na początek rozstrzygnięcie które zdarzenia nie są możliwe (~Y=1).
Negujemy w tym celu dwustronnie równanie 1’:
~Y = ~(A=>S) = ~(~A+S) = A*~S - na mocy prawa De Morgana

Stąd mamy odpowiedź na pytanie 2:
2.
Które zdarzenia nie są możliwe (~Y=1)?
B: ~Y=A*~S
co w logice jedynek oznacza:
B: ~Y=1 <=> A=1 i ~S=1
Czytamy:
Zdarzenie niemożliwe (~Y=1) to:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
~Y=A*~S =1
Doskonale to widać na schemacie S1.

Prawo Prosiaczka:
(~Y=1)= (Y=0)
stąd zapis tożsamy:
B: Y=0 <=> A=1 i ~S=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że możliwe jest zdarzenie Y (Y=0):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Y=0 <=> A=1 i ~S=1
Zauważmy, ze tego zapisu nie da się zapisać w domyślnym równaniu algebry Boole’a bowiem w spójniku „lub”(+) oraz w funkcji alternatywno-koniunkcyjnej domyślna wartość logiczna wszystkich zmiennych binarnych jest równa 1.
Dopiero po skorzystaniu z prawa Prosiaczka:
(Y=0)=(~Y=1)
możemy zapisać:
B: ~Y=A*~S
co w logice jedynek oznacza:
B: ~Y=1 <=> A=1 i ~S=1

Odpowiedzmy teraz na pytanie 1.
1.
Które zdarzenia są możliwe (Y=1)?
Oczywistym jest że wszelkie zdarzenia nie uwzględnione w równaniu 2 będą prawdziwe.
Stąd mamy rozłączne zdarzenia możliwe:
Y = A: A*S + C:~A*~S + D: ~A*S
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: A=1 i S=1 lub C: ~A=1 i ~S=1 lub D: ~A=1 i S=1

Czytamy:
Zdarzenia możliwe (Y=1) to:
A: Ya = A*S=1*1 =1 - możliwe jest zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci (S=1)
lub
C: Yc = ~A*~S=1*1=1 - możliwe jest zdarzenie: A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci (~S=1)
lub
D: Yd = ~A*S =1*1 =1 - możliwe jest zdarzenie: A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci (S=1)
Doskonale to widać na schemacie S1

Wszystkie zdarzenia możliwe to suma logiczna funkcji cząstkowych Ya, Yc i Yd:
Y = Ya+Yc+Yd
po rozwinięciu mamy:
Y = (A=>S) = A: A*S + C:~A*~S + D: ~A*S = ~A+S

Pozostaje nam udowodnić tożsamość logiczną:
Y = A: A*S + C:~A*~S + D: ~A*S = ~A+S

Przejdźmy na zapisy formalne (ogólne) podstawiając:
p=A
q=S
stąd mamy:
Y = (p=>q) = p*q + ~p*~q + ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*q +~p*(~q+q)
Y = ~p + (p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = p*(~p+~q) = p*~p+p*~q
~Y = p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = ~p+q

Po odtworzeniu zmiennych aktualnych (z przykładu) mamy:
Y = (A=>S) = ~A+S = A: A*S + C:~A*~S + D: ~A*S = ~A+S
cnd

Oczywistym jest ze zdarzenia możliwe A, C i D są rozłączne matematycznie i fizycznie.
Dowód matematyczny:
A*C = (A*S)*(~A*~S) =[] =0
A*D = (A*S)*(~A*S) = [] =0
C*D = (~A*~S)*(~A*S) =[] =0
cnd

Otwórzmy na zakończenie tabelę zero-jedynkową warunku wystarczającego =>.
Zapiszmy w tym celu naszą analizę w postaci tabeli prawdy:
Kod:

T1
Analiza        |Co w logice
symboliczna S1 |jedynek oznacza
         Y  ~Y |               Y
A: A* S =1  =0 |( A=1)*( S=1) =1
B: A*~S =0  =1 |( A=1)*(~S=1) =0
C:~A*~S =1  =0 |(~A=1)*(~S=1) =1
D:~A* S =1  =0 |(~A=1)*( S=1) =1
   a  b  c   d    e      f     g

Przejdźmy z powyższą tabelą na zapis formalny (ogólny) podstawiając:
p=A
q=S
stąd mamy:
Kod:

T1
Analiza        |Co w logice
symboliczna S1 |jedynek oznacza
         Y  ~Y |               Y
A: p* q =1  =0 |( p=1)*( q=1) =1
B: p*~q =0  =1 |( p=1)*(~q=1) =0
C:~p*~q =1  =0 |(~p=1)*(~q=1) =1
D:~p* q =1  =0 |(~p=1)*( q=1) =1
   a  b  c   d    e      f     g


Mamy nasz warunek wystarczający => wyrażony spójnikami „lub”(+) i „i”(*):
Y = (p=>q)=~p+q
W warunku wystarczającym =>:
p=>q
mamy do czynie ze zmiennymi niezanegowanymi

Wniosek:
Aby otrzymać tabelę zero-jedynkową warunku wystarczającego => musimy wszystkie zmienne w tabeli T1 sprowadzić do postaci niezanegowanej.
To jest zadanie trywialne dzięki prawu Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
Stąd mamy:
Kod:

T1
Analiza        |Co w logice      |Punkt odniesienia |Tabela matematycznie
symboliczna S1 |jedynek oznacza  | p=>q             |tożsama
         Y  ~Y |               Y |              Y   | p  q p=>q
A: p* q =1  =0 |( p=1)*( q=1) =1 |( p=1)*( q=1)=1   | 1=>1  =1
B: p*~q =0  =1 |( p=1)*(~q=1) =0 |( p=1)*( q=0)=0   | 1=>0  =0
C:~p*~q =1  =0 |(~p=1)*(~q=1) =1 |( p=0)*( q=0)=1   | 0=>0  =1
D:~p* q =1  =0 |(~p=1)*( q=1) =1 |( p=0)*( q=1)=1   | 0=>1  =1
   a  b  c   d    e      f     g    h      i    j     1  2   3

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Podsumowanie:
Zauważmy, ze po przejściu z definicją warunku wystarczającego p=>q do spójników „i”(*) i „lub”(+) o żadnym „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” mowy być nie może bowiem na mocy definicji operatora OR(|+) rozstrzygany tu tylko i wyłącznie dwie sprawy:
1.
Które zdarzenie są możliwe (Y)
Y = ~p+q
2.
Które zdarzenie nie są możliwe (~Y)
~Y=p*~q

Między funkcjami logicznymi Y i ~Y zachodzi definicja spójnika „albo”($).

Dowód:
Definicja spójnika „albo”($) wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p$q = p*~q + ~p*q

Nasz przykład:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y$~Y = Y*~(~Y) + ~Y*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y = Y+~Y =1
cnd

Oczywistym jest, ze relacja równoważności p<=>q definiująca tożsamość pojęć p=q musi tu być fałszem.
Dowód:
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Nasz przykład:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y<=>~Y = Y*(~Y) + ~Y*~(~Y) = Y*~Y + ~Y*Y = []+[] =0+0 =0

Dlaczego ziemscy matematycy nie widzą „rzucania monetą” w logice matematycznej?
Odpowiedź:
Bo zawsze korzystają z prawa przejścia z warunku wystarczającego p=>q do spójników „lub”(+) i „i”(*):
p=>q = ~p+q
gdzie o żadnym „rzucaniu monetą” mowy być nie może czego dowód mamy w niniejszym podsumowaniu.

10.1.3 Operator implikacji prostej A||=>S w I klasie LO

Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
                             W
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Punkt odniesienia: przycisk A
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A

Udajmy się na lekcję fizyki w I klasie LO (póki co w 100-milowym lesie).

Pan od fizyki:
A.
Czy może się zdarzyć, że przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1)?
Jaś:
TAK
Ya = A~~>S = A*S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Stan przycisku W (zmienna wolna) jest bez znaczenia. W=x, gdzie: x={0,1}

Pan od fizyki:
B.
Czy może się zdarzyć, że przycisk A jest wciśnięty (S=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)?
Jaś:
NIE
Yb = A~~>~S = A*~S =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Stan przycisku W (zmienna wolna) jest bez znaczenia. W=x, gdzie: x={0,1}

Pan od fizyki:
C.
Czy może się zdarzyć, że przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)?
Jaś:
TAK
Yc = ~A~~>~S = ~A*~S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Gdy przycisk W (zmienna wolna) ustawiony jest na W=0.

Pan od fizyki:
D.
Czy może się zdarzyć, że przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)?
Jaś:
TAK
Yd = ~A~~>S = ~A*S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Gdy przycisk W (zmienna wolna) ustawiony jest na W=1.

Powyższe odpowiedzi na bazie schematu S1 udzieli każdy uczeń 8 klasy szkoły podstawowej. Zauważmy, że przy udzielaniu poprawnych odpowiedzi TAK/NIE definicja zmiennej wolnej sama nam wyskoczyła.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Nasz przykład:
W=x - zmienna wolna W która może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.

Stąd mamy też:
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Nasz przykład:
A=x - zmienna związana która może być ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka
Zmienna związana A jest punktem odniesienia w naszej analizie schematu S1, stąd możemy ja ustawiać na 0 albo 1.

Zapiszmy powyższą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

T1
          Y   Analiza dla Y:
A: A~~> S=1 - możliwe jest zdarzenie: wciśnięty A (A=1) i świeci S (S=1)
B: A~~>~S=0 - niemożliwe jest zdarzenie: wciśnięty A i nie świeci S (~S=
C:~A~~>~S=1 - możliwe jest zdarzenie: nie wciśnięty A i nie świeci S
D:~A~~> S=1 - możliwe jest zdarzenie: nie wciśnięty A i świeci S

Analiza tabeli T1 w oparciu o definicję kontrprzykładu i prawa logiki matematycznej:
Część I
1.
Fałszywość kontrprzykładu B:
B: A~~>~S =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: wciśnięty A (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A:
A: A=>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
2.
Prawo Kubusia:
A: A=>S = C: ~A~>~S =1
stąd:
C: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) konieczne ~> dla nie świecenia S (~S=1)
konieczne ~>, bo dodatkowo musi być zmienna wolna W=0
3.
D: ~A~~>S =1 - możliwe jest zdarzenie: nie wciśnięty A (~A=1) i świeci S (S=1)
gdy zmienna wolna W ustawiona jest na wartość W=1

Nanieśmy to do tabeli prawdy T1:
Kod:

T2
          Y   Analiza dla Y:
A: A=>  S=1 - wciśnięcie A jest wystarczające => dla świecenia S
B: A~~>~S=0 - niemożliwe jest zdarzenie: wciśnięty A i nie świeci S (~S)
C:~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A jest konieczne ~> dla nie świecenia S
D:~A~~> S=1 - możliwe jest zdarzenie: nie wciśnięty A i świeci S

Analiza tabeli T1 w oparciu o definicję kontrprzykładu i prawa logiki matematycznej:
Część II
4.
Prawdziwość kontrprzykładu D:
D: ~A~~>S =1 - możliwe jest zdarzenie: nie wciśnięty A (~A=1) i świeci S (S=1)
wymusza fałszywość warunku wystarczającego CW:
CW: ~A=>~S=0
5.
Prawo Kubusia:
CW: ~A=>~S = AW: A~>S =0
Stąd:
Fałszywość warunku wystarczającego CW wymusza fałszywość warunku koniecznego AW:
AW: A~>S =0
Wciśnięcie A (A=1) nie jest (=0) konieczne dla świecenia się żarówki S (S=1),
bo żarówkę może zaświecić zmienna wolna W (gdy W=1) niezależnie od stanu przycisku A

Nanieśmy tą analizę do tabeli T2.
Kod:

T3
          Y
A: A=>  S=1 | AW: A~>S=0
B: A~~>~S=0 |
C:~A~>~S =1 | CW:~A=>~S=0
D:~A~~> S=1 |
            |Fałszywy warunek wystarczający CW
            |wymusza prawdziwość kontrprzykładu CW’:
            |CW’:~A~~>S=~A*S=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie:
            |przycisk A nie wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
            |Gdy zmienna wolna W ustawiona jest na W=1

Operator implikacji prostej A||=>S to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
Definicja implikacji prostej A|=>S w logice dodatniej (bo S):
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A: A=> S=1 - wciśnięcie A (A=1) jest (=1) wystarczające => dla świecenia S (S=1)
AW: A~>S=0 - wciśnięcie A (A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S (S=1)
A|=>S = (A: A=>S)*~(AW: A~>S) = 1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A wymusza fałszywość kontrprzykładu A’:
A’: A~~>~S=A*~S =0 - nie jest możliwe (=0) zdarzenie: wciśnięty A (A=1) i nie świeci S (~S=1)

Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”.
1.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
Odpowiedź:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka będzie się świecić (S=1) - mówi o tym zdanie A.
A.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => świeci się żarówka S (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Stan zmiennej wolnej W jest bez znaczenia. W=x gdzie x={0,1}

Kontrprzykład B dla prawdziwego warunku wystarczającego => A musi być fałszem.
B.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S=0
Nie jest możliwe (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Stan zmiennej wolnej W jest bez znaczenia. W=x gdzie x={0,1}

… a jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?

2.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
Definicja implikacji odwrotnej ~A|~>~S w logice ujemnej (bo ~S):
Implikacja odwrotna ~A|~>~S to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Z tabeli T3 odczytujemy:
C: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) konieczne ~>, aby żarówka S nie świeciła (~S=1)
Konieczne dlatego, że dodatkowo musi być W=0
CW: ~A=>~S=0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) wystarczające => dla nie świecenia S (~S=1)
Dodatkowo musi być W=0
Uwaga:
Fałszywość warunku wystarczającego CW wymusza prawdziwość kontrprzykładu CW’:
CW’: ~A~~>S = ~A*S =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie wciśnięty A (~A=1) i żarówka świeci S (S=1)
Gdy zmienna wolna W ustawiona jest na W=1
Analiza w zdaniach warunkowych „jeśli p to q”.
2.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
Odpowiedź:
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania C i CW’
C.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
~A~>~S =1
Nie wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia się żarówki S
Koniecznym ~> dlatego, że dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiona na W=0
Nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia się żarówki S (~S=1) bo jak przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
C: ~A~>~S = A: A=>S =1
lub
D.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
Możliwe jest zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
gdy zmienna wolna W ustawiona jest na W=1.

Podsumowanie:
Doskonale widać jak łatwo przejść z opisu schematu S1 w zdarzeniach możliwych ~~> (tabela T1) do wygenerowania pełnej definicji operatora implikacji prostej A||=>S opisanego analizą ciut wyżej.

10.1.4 Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej S||~>A

Przypomnijmy sobie omówiony wyżej układ implikacji prostej A|=>S:
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
                             W
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Punkt odniesienia: p=>q = A=>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A

Tabela prawdy dla układu S1 z punktem odniesienia ustawionym na przycisku A jest następująca.
Kod:

T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej A|=>S
       AB12:                      |     AB34:
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: A=>S  =1 = 2:~A~>~S=1     [=] 3: S~>A  =1 = 4:~S=>~A =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
A’: 1: A~~>~S=0 =                [=]             = 4:~S~~>A =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: A~>S  =0 = 2:~A=>~S=0     [=] 3: S=>A  =0 = 4:~S~>~A =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~A~~>S=1     [=] 3: S~~>~A=1
---------------------------------------------------------------
    p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
    A|=>S=~A*S  = ~A|~>~S=~A*S   [=]  S|~>A=S*~A = ~S|=>~A=S*~A
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: A=>S=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: A~~>~S=A*~S=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~A=>~S=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~A~~>S =~A*S=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Spójrzmy na omówiony wyżej schemat S1 z punktu odniesienia żarówki S.
Kod:

S1_AB34 Schemat 1_AB34
Fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej S|~>A w zdarzeniach:
S|~>A = (A3: S~>A)*~(B3: S=>A)=1*~(0)=1*1 =1
                             W
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Punkt odniesienia: q~>p = S~>A
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji odwrotnej S|~>A jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A


Implikacja odwrotna S||~>A to odpowiedź w spójnikach implikacji odwrotnej S|~>A i prostej ~S|=>~A na dwa pytania 3 i 4.

3.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to w jakim stanie może być przycisk A?
Kolumna A3B3
Definicja implikacji odwrotnej S|~>A w logice dodatniej (bo A):
Implikacja odwrotne S|~>A to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Z kolumny A3B3 odczytujemy:
A3: S~>A =1 - świecenie S (S=1) jest (=1) konieczne ~> dla wnioskowania o wciśniętym A (A=1)
bo jak żarówka nie świeci (~S=1) to na 100% => nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1)
B3: S=>A =0 - świecenie S (S=1) nie jest (=0) wystarczające => dla wnioskowania o wciśniętym A (A=1)
bo nie zawsze gdy żarówka świeci (S=1) przycisk A jest wciśnięty (A=1).
Może być zdarzenie: S=1, A=0, W=1
stąd mamy implikację odwrotną S|~>A opisaną równaniem logicznym:
S|~>A = (A3: S~>A)*~(B3: S=>A) = 1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Fałszywość warunku wystarczającego B3 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B3’:
B3’: S~~>~A=S*~A =1 - możliwe jest zdarzenie: żarówka S świeci się i przycisk A nie jest wciśnięty (~A)
gdy zmienna wolna W będzie ustawiona na W=1

Analiza szczegółowa w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
Kolumna A3B3 daje odpowiedź na pytanie 3.
3.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to w jakim stanie może być przycisk A?
Odpowiedź:
Jeśli żarówka świeci się to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A3 i B3’

Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A3.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to przycisk A może ~> być wciśnięty (A=1)
S~>A =1
Świecenie się żarówki (S=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla wnioskowania o wciśniętym przycisku A (A=1), bo jak żarówka nie świeci się (~S=1) to przycisk A na 100% => nie jest wciśnięty (~A=1)
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A3: S~>A = A4: ~S=>~A =1
LUB
B3’.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to przycisk A może ~> nie być wciśnięty (~A=1)
S~~>~A = S*~A =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: żarówka świeci się (S=1) i przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
Doskonale to widać na schemacie S1

4.
Jeśli żarówka nie świeci się (~S=1) to w jakim stanie może być przycisk A?
Kolumna A4B4.
Definicja implikacji prostej ~S|=>~A w logice ujemnej (bo ~A):
Implikacja prosta ~S|=>~A to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Z kolumny A4B4 odczytujemy:
A4: ~S=>~A =1 - brak świecenia żarówki S (~S) jest (=1) warunkiem wystarczającym =>
dla wnioskowania o nie wciśniętym przycisku A (~A)
B4: ~S~>~A =0 - brak świecenia żarówki (~S=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~>
dla wnioskowania o nie wciśniętym przycisku A (~A=1)
Stąd mamy definicję implikacji prostej ~S|=>~A opisaną równaniem logicznym:
~S|=>~A = (A4:~S=>~A)*~(B4:~S~>~A) = 1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwość warunku wystarczającego A4 wymusza fałszywość kontrprzykładu A4’:
A4’: ~S~~>A=~S*A=0 - niemożliwe jest zdarzenie: żarówka nie świeci (~S=1) i wciśnięty A (A=1)

Kolumna A4B4 daje odpowiedź na pytanie:
4.
Jeśli żarówka nie świeci się (~S=1) to w jakim stanie może być przycisk A?
Odpowiedź:
Jeśli żarówka nie świeci się to na 100% => przycisk A nie jest wciśnięty - mówi o tym zdanie A4

Analiza szczegółowa w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A4.
Jeśli żarówka nie świeci się (~S=1) to na 100% => przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
~S=>~A=1
Brak świecenia się żarówki S (~S=1) jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania o braku wciśnięcie przycisku A, bo zawsze, gdy żarówka nie świeci się, przycisk A nie jest wciśnięty.
Wynika to bezpośrednio ze schematu S1.
Jedyny przypadek gdzie żarówka nie świeci się opisany jest zdarzeniem:
~S=1, ~A=1 i ~W=1
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
Stąd zapis tożsamy w logice dodatniej (brak przeczeń przy zmiennych):
S=0, A=0 i W=0
Prawdziwość warunku wystarczającego A4 wymusza fałszywość kontrprzykładu A4’:
A4’.
Jeśli żarówka nie świeci się (~S=1) to przycisk A może ~~> być wciśnięty (A=1)
~S~~>A=~S*A=0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: żarówka nie świeci (~S=1) i przycisk A jest wciśnięty (A=1)
Doskonale to widać na schemacie S1
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Nie 19:00, 17 Sty 2021    Temat postu:
17-01-2021
Wywalone bo to samo można napisać prościej
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-01-06,17779.html#564441

10.2 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q


Spis treści
10.2 Fizyczna realizacja implikacji odwrotnej A|~>S 1
10.2.1 Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A||~>S 8
10.2.2 Warunek konieczny ~> wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 12
10.2.3 Operator implikacji odwrotnej A||~>S w I klasie LO 17
10.2.4 Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej S||=>A 21


10.2 Fizyczna realizacja implikacji odwrotnej A|~>S

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:[/b]
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest (=0) spełniony
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> jest (=1) spełniony
Stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 =1*1 =1

Stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q:
      AB12:            |     AB34:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5:~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii A(x) i prawdziwość dowolnego zdania serii B(x)

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q
       AB12:                      |     AB34:
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
---------------------------------------------------------------
    p|~>q=p*~q  = ~p|=>~q=p*~q   [=]  q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
stąd mamy:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
p|~>q = p*~q

Warto zapamiętać różnicę:
Definicja warunku koniecznego p~>q:
p~>q = p+~q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = p*~q

Wniosek:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) wskazuje jedyny prawdziwy kontrprzykład A1’ w tabeli AB12:
A1’: p~~>~q = p*~q =1
Na mocy definicji kontrprzykładu powyższy fakt jest dowodem iż w układzie występuje fałszywy warunek wystarczający => A1.
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
cnd

W implikacji odwrotnej p|~>q drugi możliwy warunek wystarczający w układzie AB12 musi być prawdą:
B2: ~p=>~q=1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q

Podstawowy schemat układu realizującego implikację odwrotną A|~>S w zdarzeniach jest następujący.
Kod:

S2 Schemat 2
Fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1=1
             S               A            W
       -------------       ______       ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
Punkt odniesienia: p|~>q = A|~>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej szeregowo z przyciskiem A

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.

Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej W:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje A i B.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W. Oboje widzą dokładnie tą samą żarówkę S. Jaś nie widzi Zuzi, ani Zuzia nie widzi Jasia, ale oboje wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S2, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S2, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna).
Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.

Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna W będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(w) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(w) =1
oraz
f(w)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(w) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku W, gdzie daje się ustawić zarówno W=1 jak i W=0.
Przykład:
f(w) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty

Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte

Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S2 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S
Warunkiem koniecznym, aby układ S2 był fizyczną, minimalną realizacją implikacji odwrotnej A|~>S jest przyjęcie punktu odniesienia:
p|~>q = A|~>S

Na początek musimy udowodnić, iż rzeczywiście układ S2 jest fizyczną realizacją implikacji odwrotnej A|~>S.

Fizyczna realizacja implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A1B1:
Implikacja odwrotna A|~>S to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla zaświecenia się żarówki S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla zaświecenia się żarówki S
stąd:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1 =1*1=1

Dowodzimy prawdziwości warunku koniecznego ~> B1:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla zaświecenia się żarówki S, koniecznym dlatego, że zmienna wolna W do której nie mamy dostępu musi być ustawiona na W=1.
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> świecenia się żarówki S (S=1), bo jak przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1).
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S =1
stąd:
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Warunek wystarczający => jest spełniony (=1) bo przycisk A i zmienna wolna W są połączone szeregowo.
cnd

Dowodzimy fałszywości warunku wystarczającego => A1 między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku co zdania B1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S.
Nie zawsze gdy wciśniemy przycisk A (A=1), zaświeci się żarówka S (S=1), bowiem wszystko tu zależy od zmiennej wolnej W która przyjmuje losowe wartości logiczne poza świadomością człowieka.
Wniosek:
Układ S2 to fizyczna realizacja implikacji odwrotnej A|~>S:
A1B1:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) = ~(0)*1 =1*1 =1

Dopiero po udowodnieniu iż układ S2 jest fizyczną realizacją implikacji odwrotnej A|~>S, co wyżej się stało, możemy skorzystać z gotowego szablonu implikacji odwrotnej A|~>S wyrażonego spójnikami warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Kod:

T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q dla punktu odniesienia:
p|~>q = A|~>S
       AB12:                      |     AB34:
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A:  1: A=>S  =0 = 2:~A~>~S=0     [=] 3: S~>A  =0 = 4:~S=>~A =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
A’: 1: A~~>~S=1 =                [=]             = 4:~S~~>A =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B:  1: A~>S  =1 = 2:~A=>~S=1     [=] 3: S=>A  =1 = 4:~S~>~A =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
B’:             = 2:~A~~>S=0     [=] 3: S~~>~A=0
---------------------------------------------------------------
    p|~>q=p*~q  = ~p|=>~q=p*~q   [=]  q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
    A|~>S=A*~S  = ~A|=>~S=A*~S   [=]  S|=>A=~S*A = ~S|~>~A=~S*A
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: A=>S=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: A~~>~S=A*~S=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~A=>~S=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~A~~>S =~A*S=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W tabeli AB12 zachodzi:
I Prawo Kubusia:
A1: A=>S = A2: ~A~>~S =0
##
II Prawo Kubusia:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Z kolumny A1B1 odczytujemy:

Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w logice dodatniej (bo S):
A1B1:
Implikacja odwrotna A|~>S w logice dodatniej (bo S) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =0 - wciśnięcie przycisku A (A=1) nie jest (=0) wystarczające => dla nie świecenia S (S=1)
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S (S=1)
Stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w równaniu logicznym:
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1 =1*1 =1

Z kolumny A2B2 odczytujemy:

Definicja implikacji prostej ~A|=>~S w logice ujemnej (bo ~S):
A2B2:
Implikacja prosta ~A|=>~S w logice ujemnej (bo ~S) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~A~>~S =0 - nie wciśnięcie A nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia żarówki S
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A jest (=1) warunkiem wystarczającym => nie dla świecenia żarówki S
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej ~A=>~S w równaniu logicznym:
~A|=>~S = ~(A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =~(0)*1 =1*1 =1

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A|~>S = ~A|=>~S
Dowód:
Prawa Kubusia:
A1: A=>S = A2: ~A~>~S
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
stąd:
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) = ~(A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) = ~A|=>~S
cnd

Dowód matematycznie tożsamy.
Przejdźmy na zapisy formalne (ogólne) podstawiając:
p=A
q=S
stąd mamy:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
stąd mamy:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
oraz:
~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
Stąd mamy:
p|~>q = ~p|=>~q
cnd

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A|~>S = ~A|=>~S
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Wniosek:
Zachodzi tożsamość matematyczna pojęć:
Tożsamość logiczna „=” to spójnik „wtedy i tylko wtedy” <=> i odwrotnie.

W AK możemy używać obu znaczków „=” i <=> wymiennie co poprawia czytelność zapisów.

Podstawa matematyczna do wymiennego używania znaczków „=” i <=>:
Każda tożsamość matematyczna „=” spełnia definicję równoważności <=> i odwrotnie.

Dowód na przykładzie:
2=2 - tożsamość z matematyki klasycznej
Definicja podstawowa równoważności <=>:
p<=>q = (A1: p=>q)*(A2: p~>q) =1*1 =1
Po podstawieniu:
p=2
q=2
mamy:
2<=>2 = (A1: 2=>2)*(B1: 2~>2)=1*1 =1
bo:
A1: 2=>2 =1 - każde pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
B1: 2~>2 =1 - każde pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd

Pojęcia A i ~A są rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny D:
A+~A =1 =D - brak wciśnięcia A (~A=1) jest uzupełnieniem do dziedziny dla wciśniętego A (A=1)
Definicja dziedziny dla przycisku A:
Przycisk A może być wyłącznie wciśnięty (A=1) albo nie wciśnięty (~A=1)
Trzeciej możliwości brak (tertium non datur)
A*~A=[] =0 - zdarzenia A i ~A są rozłączne
Nie jest możliwe (=0) aby przyciska A był jednocześnie wciśnięty (A=1) i nie wciśnięty (~A=1)

Przycisk A może być tylko i wyłącznie wciśnięty (A=1) albo($) nie wciśnięty (~A=1).
Dowód:
Definicja spójnika „albo”($) wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Po podstawieniu:
p=A
q=~A
mamy:
A$~A = A*~(~A) + ~(A)*~A = A+~A =1
cnd

Oczywiście równoważność p<=>q definiująca tożsamość pojęć p=q musi być tu fałszem.
Dowód:
Definicja równoważności p<=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Po podstawieniu:
p=A
q=~A
mamy:
A<=>~A = A*(~A) + ~(A)*~(~A) = A*~A + ~A*A = []+[] =0
cnd


10.2.1 Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A||~>S

Kod:

S2 Schemat 2
Fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1=1
             S               A            W
       -------------       ______       ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
Punkt odniesienia: p|~>q = A|~>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej szeregowo z przyciskiem A


Fakt iż schemat S2 jest fizyczną realizacją implikacji odwrotnej A|~>S udowodniliśmy wyżej.
Kod:

T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q
       AB12:                      |     AB34:
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A:  1: A=>S  =0 = 2:~A~>~S=0     [=] 3: S~>A  =0 = 4:~S=>~A =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
A’: 1: A~~>~S=1 =                [=]             = 4:~S~~>A =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B:  1: A~>S  =1 = 2:~A=>~S=1     [=] 3: S=>A  =1 = 4:~S~>~A =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
B’:             = 2:~A~~>S=0     [=] 3: S~~>~A=0
---------------------------------------------------------------
    p|~>q=p*~q  = ~p|=>~q=p*~q   [=]  q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
    A|~>S=A*~S  = ~A|=>~S=A*~S   [=]  S|=>A=~S*A = ~S|~>~A=~S*A
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: A=>S=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: A~~>~S=A*~S=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~A=>~S=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~A~~>S =~A*S=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora implikacji odwrotnej A||~>S w logice dodatniej (bo S):
Operator implikacji odwrotnej A||~>S to odpowiedź w spójniku implikacji odwrotnej A|~>S i implikacji prostej ~A|=>~S na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Implikacja odwrotna A|~>S w logice dodatniej (bo S)
Implikacja odwrotna A|~>S to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1B1:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S (bo może być W=0)
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S (bo dodatkowo musi być W=1)
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1 =1*1 =1
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’:
A1’: A~~>~S=A*~S=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: wciśnięty A (A=1) i nie świeci żarówka S (~S=1)
gdy zmienna wolna W ustawiona jest na W=0

Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
1.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’.
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla zaświecenia się żarówki S, konieczne dlatego, że w układzie występuje szeregowy przycisk W nad którym nie mamy kontroli (zmienna wolna), który musi być ustawiony w pozycję W=1 aby żarówka świeciła się przy wciśniętym przycisku A.
Wciśnięcie A (A=1) jest konieczne ~> dla świecenia S (S=1), bo jak klawisz A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
LUB
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1: A=>S =0 musi być prawdą
A1’.
Jeśli klawisz A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1 - możliwe jest zdarzenie (=1): przycisk A wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci (~S=1)
gdy zmienna wolna W ustawiona jest na W=0

Komentarz:
I.
Warunek konieczny A~>S to zdanie B1

II.
Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna A|~>S to:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1 =1*1 =1
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’:
A1’: A~~>~S=A*~S=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: wciśnięty A (A=1) i nie świeci żarówka S (~S=1)

III.
Operator implikacji odwrotnej A||~>S w logice dodatniej (bo S) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
Odpowiedź w kolumnie A1B1:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
stąd:
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1 =1*1 =1
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’:
A1’: A~~>~S=A*~S=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: wciśnięty A (A=1) i nie świeci żarówka S (~S=1)

2.
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
A2: ~A~>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla nie świecenia się żarówki S
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia się żarówki S
Stąd:
~A|=>~S = ~(A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) = ~(0)*1 =1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~A~~>S=~A*S=0 - nie jest możliwe (=0): przycisk A nie wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci (S=1)

Definicja operatora implikacji prostej ~A|=>~S w logice ujemnej (bo ~S):
Operator implikacji prostej ~A||=>~S w logice ujemnej (bo ~S) to odpowiedź w spójniku implikacji prostej ~A|=>~S i odwrotnej A|~>S na dwa pytania 2 i 1:

2.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
Kolumna A2B2:
Implikacja prosta ~A|=>~S w logice ujemnej (bo ~S):
Implikacja prosta ~A|=>~S to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2B2:
A2: ~A~>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla nie świecenia się żarówki S
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia się żarówki S
~A|=>~S = ~(A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) = ~(0)*1 =1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~A~~>S=~A*S=0 - nie jest możliwe (=0): przycisk A nie wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci (S=1)

Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
2.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
Odpowiedź w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Oczywistość bo przycisk A i zmienna wolna W połączone są szeregowo.
Nie wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia się żarówki S, bo zawsze gdy przycisk A nie jest wciśnięty, żarówka nie świeci się (~S=1) - wynika to z praw fizyki, a nie z nieskończonej ilości wciskania przycisku A … jak to robią ziemscy matematycy.
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2:~p=>~q=1 musi być fałszem
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)

Komentarz:
I.
Warunek wystarczający ~A=>~S to zdanie B2

II.
Implikacja prosta ~A|=>~S w logice ujemnej (bo ~S) to:
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
Odpowiedź w kolumnie A2B2 definiującej implikację prostą ~A|=>~S:
A2: ~A~>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla nie świecenia się żarówki S
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia się żarówki S
stąd:
~A|=>~S = ~(A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) = ~(0)*1 =1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~A~~>S=~A*S=0 - nie jest możliwe (=0): przycisk A nie wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci (S=1)

III.
Operator implikacji prostej ~A||=>~S w logice ujemnej (bo ~S) to odpowiedź na dwa pytania 2 i 1
2.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
Odpowiedź w kolumnie A2B2 definiującej implikację prostą ~A|=>~S
A2: ~A~>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla nie świecenia się żarówki S
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia żarówki S
stąd:
~A|=>~S = ~(A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) = ~(0)*1 =1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~A~~>S=~A*S=0 - nie jest możliwe (=0): przycisk A nie wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci (S=1)

1.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
Odpowiedź w kolumnie A1B1 definiującej implikację odwrotną A|~>S:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
stąd:
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1 =1*1 =1
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’:
A1’: A~~>~S=A*~S=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: wciśnięty A (A=1) i nie świeci żarówka S (~S=1)

Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

T4
            Y ~Y   Analiza w logice dodatniej dla Y:
B1:  A~> S =1  0 - wciśnięcie A jest konieczne ~> dla świecenia S
                   konieczne bo dodatkowo musi być W=1 (zmienna wolna)
A1’: A~~>~S=1  0 - możliwe jest (=1): wciśnięty A i nie świeci S
                   możliwe gdy zmienna wolna W=0
B2: ~A=>~S =1  0 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest wystarczające =>
                   dla nie świecenia S (~S=1).
                   stan zmiennej wolnej W jest bez znaczenia W=x, x={0,1}
B2’:~A~~>S =0  1 - niemożliwe jest (=0): nie wciśnięty A (~A=1) i świeci S
                   stan zmiennej wolnej W jest bez znaczenia W=x, x={0,1}


Podsumowanie:
Zauważmy że:
1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetę” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’.
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1 - wciśnięcie przycisku A (A=1) jest konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1)
Konieczne, bo dodatkowo musi być W=1
LUB
A1’.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
gdy dodatkowo zmienna wolna W ustawiona jest na W=0.

Gwarancja matematyczna => w implikacji odwrotnej A|~>S jest po stronie ~A (~A=1):
2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to mamy gwarancję matematyczną => nie świecenia się żarówki S (~S=1) - mówi o tym zdanie B2.
B2.
Jeśli przycisk A jest nie wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest wystarczające => dla nie świecenia się żarówki S (~S=1)
bo przycisk A i zmienna wolna W połączone są szeregowo.

10.2.2 Warunek konieczny ~> wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Kod:

S2 Schemat 2
Fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1=1
             S               A            W
       -------------       ______       ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
Punkt odniesienia: p|~>q = A|~>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej szeregowo z przyciskiem A

Fakt iż schemat S2 jest fizyczną realizacją implikacji odwrotnej A|~>S udowodniliśmy wyżej.
Warunek konieczny ~> wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) opisany jest równaniem logicznym:
Y = (A~>S) = A+~S

Definicja operatora OR(|+):
Dla funkcji logicznej typu Y=p+q operator OR(|+) to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Kiedy zajdzie Y (Y=1)
2.
Kidy zajdzie ~Y (~Y=1)

W przełożeniu na nasz przykład odpowiada to pytaniom:
1.
Które zdarzenia są możliwe (Y=1)?
2.
Które zdarzenia nie są możliwe (~Y=1)?

Znaczenie symboli:
Y=1 - zdarzenie możliwe
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że możliwe jest zdarzenie Y (Y=1)
~Y=1 - zdarzenie niemożliwe
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że nie jest możliwe (~) zdarzenie Y (~Y=1)

Zajmijmy się naszym przykładem:
1’
Y = (A~>S) = A+~S
W tym przypadku najprostsze podejście do problemu to na początek rozstrzygnięcie które zdarzenia nie są możliwe (~Y=1).
Negujemy w tym celu dwustronnie równanie 1’:
~Y = ~(A~>S) = ~(A+~S) = ~A*S - na mocy prawa De Morgana

Stąd mamy odpowiedź na pytanie 2:
2.
Które zdarzenia nie są możliwe (~Y=1)?
D: ~Y=~A*S
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~A=1 i S=1
Czytamy:
Zdarzenie niemożliwe (~Y=1) to:
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
~Y=~A*S =1
Doskonale to widać na schemacie S2.

Prawo Prosiaczka:
(~Y=1)= (Y=0)
stąd zapis tożsamy:
D: Y=0 <=> ~A=1 i S=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że możliwe jest zdarzenie Y (Y=0):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Y=0 <=> ~A=1 i S=1
Zauważmy, ze tego zapisu nie da się zapisać w domyślnym równaniu algebry Boole’a bowiem w spójniku „lub”(+) oraz w funkcji alternatywno-koniunkcyjnej domyślna wartość logiczna wszystkich zmiennych binarnych jest równa 1.
Dopiero po skorzystaniu z prawa Prosiaczka:
(Y=0)=(~Y=1)
możemy zapisać:
D: ~Y=~A*S
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~A=1 i S=1

Odpowiedzmy teraz na pytanie 1.
1.
Które zdarzenia są możliwe (Y=1)?
Oczywistym jest, że wszelkie zdarzenia nie uwzględnione w równaniu 2 będą prawdziwe.
Stąd mamy rozłączne zdarzenia możliwe:
Y = A: A*S + B: A*~S + C:~A*~S
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: A=1 i S=1 lub B: A=1 i ~S=1 lub C: ~A=1 i ~S=1

Czytamy:
Zdarzenia możliwe (Y=1) to:
A: Ya = A*S=1*1 =1 - możliwe jest zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci (S=1)
lub
B: Yb = A*~S=1*1=1 - możliwe jest zdarzenie: A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci (~S=1)
lub
C: Yc = ~A*~S=1*1=1 - możliwe jest zdarzenie: A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci (~S=1)
Doskonale to widać na schemacie S1

Wszystkie zdarzenia możliwe to suma logiczna funkcji cząstkowych Ya, Yb i Yc:
Y = Ya+Yb+Yc
po rozwinięciu mamy:
Y = (A~>S) = A: A*S + B: A*~S + C:~A*~S

Pozostaje nam udowodnić tożsamość logiczną:
Y = A: A*S + B: A*~S + C:~A*~S = A+~S

Przejdźmy na zapisy formalne (ogólne) podstawiając:
p=A
q=S
stąd mamy:
Y = (p~>q) = p*q + p*~q + ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*~q
Y = p+(~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+q) = ~p*p + ~p*q
~Y = ~p*q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+~q

Po odtworzeniu zmiennych aktualnych (z przykładu) mamy:
Y = (A~>S) = A: A*S + B: A*~S + C:~A*~S = A+~S
cnd

Oczywistym jest ze zdarzenia możliwe A, B i C są rozłączne matematycznie i fizycznie.
Dowód matematyczny:
A*B = (A*S)*(A*~S) =[] =0
A*C = (A*S)*(~A*~S) =[] =0
B*C = (A*~S)*(~A*~S) = [] =0
cnd

Otwórzmy na zakończenie tabelę zero-jedynkową warunku koniecznego ~>.
Zapiszmy w tym celu naszą analizę w postaci tabeli prawdy:
Kod:

T1
Analiza        |Co w logice
symboliczna S2 |jedynek oznacza
         Y  ~Y |               Y
A: A* S =1  =0 |( A=1)*( S=1) =1
B: A*~S =1  =0 |( A=1)*(~S=1) =1
C:~A*~S =1  =0 |(~A=1)*(~S=1) =1
D:~A* S =0  =1 |(~A=1)*( S=1) =0
   a  b  c   d    e      f     g

Przejdźmy z powyższą tabelą na zapis formalny (ogólny) podstawiając:
p=A
q=S
stąd mamy:
Kod:

T1
Analiza        |Co w logice
symboliczna S2 |jedynek oznacza
         Y  ~Y |               Y
A: p* q =1  =0 |( p=1)*( q=1) =1
B: p*~q =1  =0 |( p=1)*(~q=1) =1
C:~p*~q =1  =0 |(~p=1)*(~q=1) =1
D:~p* q =0  =1 |(~p=1)*( q=1) =0
   a  b  c   d    e      f     g


Mamy nasze równanie warunku koniecznego ~>:
Y = (p~>q)=p+~q
W warunku koniecznym ~>:
p~>q
mamy do czynienia ze zmiennymi niezanegowanymi

Wniosek:
Aby otrzymać tabelę zero-jedynkową warunku koniecznego ~> musimy wszystkie zmienne w tabeli T1 sprowadzić do postaci niezanegowanej.
To jest zadanie trywialne dzięki prawu Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)

Stąd mamy:
Kod:

T1
Analiza        |Co w logice      |Punkt odniesienia |Tabela matematycznie
symboliczna S2 |jedynek oznacza  | p~>q             |tożsama
         Y  ~Y |               Y |              Y   | p  q p~>q
A: p* q =1  =0 |( p=1)*( q=1) =1 |( p=1)*( q=1)=1   | 1~>1  =1
B: p*~q =1  =0 |( p=1)*(~q=1) =1 |( p=1)*( q=0)=1   | 1~>0  =1
C:~p*~q =1  =0 |(~p=1)*(~q=1) =1 |( p=0)*( q=0)=1   | 0~>0  =1
D:~p* q =0  =1 |(~p=1)*( q=1) =0 |( p=0)*( q=1)=0   | 0~>1  =0
   a  b  c   d    e      f     g    h      i    j     1  2   3

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Podsumowanie:
Zauważmy, ze po przejściu z definicją warunku koniecznego ~> do spójników „i”(*) i „lub”(+) o żadnym „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” mowy być nie może bowiem na mocy definicji operatora OR(|+) rozstrzygany tu tylko i wyłącznie dwie sprawy:
1.
Które zdarzenie są możliwe (Y)
Y = p+~q
2.
Które zdarzenie nie są możliwe (~Y)
~Y=~p*q

Między funkcjami logicznymi Y i ~Y zachodzi definicja spójnika „albo”($).

Dowód:
Definicja spójnika „albo”($) wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p$q = p*~q + ~p*q

Nasz przykład:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y$~Y = Y*~(~Y) + ~Y*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y = Y+~Y =1
cnd

Oczywistym jest, ze relacja równoważności p<=>q definiująca tożsamość pojęć p=q musi tu być fałszem.
Dowód:
Definicja równoważności p<=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Nasz przykład:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y<=>~Y = Y*(~Y) + ~Y*~(~Y) = Y*~Y + ~Y*Y = []+[] =0+0 =0

Dlaczego ziemscy matematycy nie widzą „rzucania monetą” w logice matematycznej?
Odpowiedź:
Bo zawsze korzystają z prawa przejścia z warunku koniecznego p~>q do spójników „lub”(+) i „i”(*):
p~>q = p+~q
gdzie o żadnym „rzucaniu monetą” mowy być nie może czego dowód mamy w niniejszym podsumowaniu.

10.2.3 Operator implikacji odwrotnej A||~>S w I klasie LO

Kod:

S2 Schemat 2
Fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1=1
             S               A            W
       -------------       ______       ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
Punkt odniesienia: p|~>q = A|~>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej szeregowo z przyciskiem A


Fakt iż schemat S2 jest fizyczną realizacją implikacji odwrotnej A|~>S udowodniliśmy wyżej.
Udajmy się na lekcję fizyki w I klasie LO (póki co w 100-milowym lesie).

Pan od fizyki:
A.
Czy może się zdarzyć, że przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1)?
Jaś:
TAK
Ya = A~~>S = A*S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Gdy zmienna wolna W=1.

Pan od fizyki:
B.
Czy może się zdarzyć, że przycisk A jest wciśnięty (S=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)?
Jaś:
TAK
Yb = A~~>~S = A*~S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Gdy zmienna wolna W=0.

Pan od fizyki:
C.
Czy może się zdarzyć, że przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)?
Jaś:
TAK
Yc = ~A~~>~S = ~A*~S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Stan zmiennej wolnej W jest bez znaczenia. W=x gdzie x={0,1}

Pan od fizyki:
D.
Czy może się zdarzyć, że przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)?
Jaś:
NIE
Yd = ~A~~>S = ~A*S =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Stan zmiennej wolnej W jest bez znaczenia. W=x gdzie x={0,1}

Powyższe odpowiedzi na bazie schematu S1 udzieli każdy uczeń 8 klasy szkoły podstawowej. Zauważmy, że przy udzielaniu poprawnych odpowiedzi TAK/NIE definicja zmiennej wolnej sama nam wyskoczyła.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Nasz przykład:
W=x - zmienna wolna W która może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.

Stąd mamy też:
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Nasz przykład:
A=x - zmienna związana która może być ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka
Zmienna związana A jest punktem odniesienia w naszej analizie schematu S1, stąd możemy ja ustawiać na 0 albo 1.

Zapiszmy powyższą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

T1
          Y   Analiza dla Y:
A: A~~> S=1 - możliwe jest zdarzenie: wciśnięty A (A=1) i świeci S (S=1)
B: A~~>~S=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: wciśnięty A i nie świeci S (~S=
C:~A~~>~S=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie wciśnięty A i nie świeci S
D:~A~~> S=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie wciśnięty A i świeci S

Analiza matematyczna T1 w oparciu o definicję kontrprzykładu i prawa logiki matematycznej:
Część I
1.
Fałszywość kontrprzykładu D:
D:~A~~> S=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie wciśnięty A i świeci S
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C:
C: ~A=>~S =1 - brak wciśnięcia A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia S (~S=1)
Stan zmiennej wonnej W jest bez znaczenia. W=x gdzie x={0,1}
2.
Prawo Kubusia:
C: ~A=>~S = A: A~>S =1
stąd:
A: A~>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla zaświecenia się żarówki S (S=1)
bo jak A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A: A~>S = ~A=>~S =1
3.
Z prawdziwości warunku wystarczającego C wynika fałszywość kontrprzykładu D:
D: ~A~~>S =0 - niemożliwe jest zdarzenie: nie wciśnięty A (~A=1) i świeci S (S=1)

Nanieśmy to do tabeli prawdy T1:
Kod:

T2
          Y   Analiza dla Y:
A: A~>  S=1 - wciśnięcie A (A=1) jest konieczne ~> dla świecenia S (S=1)
B: A~~>~S=1 - możliwe jest zdarzenie: wciśnięty A i nie świeci S (~S)
C:~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A jest wystarczające dla nie świecenia S
D:~A~~> S=0 - niemożliwe jest zdarzenie: nie wciśnięty A i świeci S

Analiza matematyczna T1 w oparciu o definicję kontrprzykładu i prawa logiki matematycznej:
Część II
4.
Prawdziwy kontrprzykład B:
B: A~~>~S=1
Wymusza fałszywy warunek wystarczający AW:
AW: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Gdy zmienna wolna W=0 to S=0
5.
Prawo Kubusia:
AW: A=>S = CW: ~A~>~S =0
stąd:
Fałszywy warunek wystarczający AW wymusza fałszywy warunek konieczny CW:
CW: ~A~>~S=0

Nanieśmy to do tabeli T2:
Kod:

T2
          Y |
A: A~>  S=1 | AW: A=>S =0
B: A~~>~S=1 |
C:~A=>~S =1 | CW:~A~>~S 0
D:~A~~> S=0 |
            |Uwaga:
            |Fałszywy warunek wystarczający AW wymusza prawdziwość
            |kontrprzykładu WA’:
            |AW’: A~~>~S=A*~S=1
            |Możliwe jest: wciśnięty A (A=1) i nie świeci S (~S=1)


Operator implikacji odwrotnej A||~>S to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć, jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w logice dodatniej (bo S):
Implikacja odwrotna A|~>S to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A: A~>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S (S=1)
AW: A=>S=0 - wciśnięcie A (A=1) nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S (S=1)
A|~>S = (A: A~>S)*~(AW: A=>S) =1*~(0)=1*1=1
Stąd mamy analizę implikacji odwrotnej A|~>S w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”.
1.
Co może się wydarzyć, jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
Odpowiedź:
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty to mamy najzwyklejsze „rzucane monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A i AW’
A.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S
Koniecznym ~> dlatego, że dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiona na W=1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S (S=1) bo jak przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A: A~>S = C: ~A=>~S =1
lub
AW’.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1 - możliwe jest: przycisk a wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Gdy zmienna wolna W=0

2.
Co może się wydarzyć, jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
Definicja implikacji prostej ~A|=>~S w logice ujemnej (bo ~S):
Implikacja prosta ~A|=>~S to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
C: ~A=>~S=1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia S (~S=1)
CW: ~A~>~S=0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla nie świecenia S (~S=1)
Stąd:
~A|=>~S = (C:~A=>~S)*~(CW: ~A~>~S) = 1*~(0)=1*1=1
Stąd mamy analizę implikacji prostej ~A|=>~S w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”.
2.
Co może się wydarzyć, jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
Odpowiedź:
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty to mamy gwarancję matematyczną =>, iż żarówka nie będzie się świecić - mówi o tym zdanie C.
C.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest wystarczające => dla nie świecenia S (~S=1)
Stan zmiennej wolnej W jest bez znaczenia. W=x gdzie x={0,1}
Prawdziwy warunek wystarczający C wymusza fałszywość kontrprzykładu D:
D.
C.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Nie jest możliwe zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Stan zmiennej wolnej W jest bez znaczenia. W=x gdzie x={0,1}

Podsumowanie:
Doskonale widać jak łatwo przejść z opisu schematu S2 w zdarzeniach możliwych ~~> (tabela T1) do wygenerowania pełnej definicji operatora implikacji odwrotnej A||~>S opisanego analizą ciut wyżej.

10.2.4 Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej S||=>A

Przypomnijmy sobie omówiony wyżej układ implikacji odwrotnej A|~>S:
Kod:

S2 Schemat 2
Fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1=1
             S               A            W
       -------------       ______       ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
Punkt odniesienia: p|~>q = A|~>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej szeregowo z przyciskiem A

Tabela prawdy dla układu S1 z punktem odniesienia ustawionym na przycisku A jest następująca.
Kod:

T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q
       AB12:                      |     AB34:
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A:  1: A=>S  =0 = 2:~A~>~S=0     [=] 3: S~>A  =0 = 4:~S=>~A =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
A’: 1: A~~>~S=1 =                [=]             = 4:~S~~>A =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B:  1: A~>S  =1 = 2:~A=>~S=1     [=] 3: S=>A  =1 = 4:~S~>~A =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
B’:             = 2:~A~~>S=0     [=] 3: S~~>~A=0
---------------------------------------------------------------
    p|~>q=p*~q  = ~p|=>~q=p*~q   [=]  q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
    A|~>S=A*~S  = ~A|=>~S=A*~S   [=]  S|=>A=~S*A = ~S|~>~A=~S*A
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: A=>S=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: A~~>~S=A*~S=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~A=>~S=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~A~~>S =~A*S=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Spójrzmy na omówiony wyżej schemat S2 z punktu odniesienia żarówki S.
Kod:

S2_AB34 Schemat 2_AB34
Fizyczny układ minimalny implikacji prostej S|=>A w zdarzeniach:
S|=>A=~(A3: S~>A)*(B3: S=>A)=~(0)*1=1*1=1
             S               A            W
       -------------       ______       ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
Punkt odniesienia: q|=>p = S|=>A
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji prostej S|=>A jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej szeregowo z przyciskiem A


Implikacja prosta S||=>A to odpowiedź w spójnikach implikacji prostej S|=>A i odwrotnej ~S|~>~A na dwa pytania 3 i 4.

3.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to w jakim stanie może być przycisk A?
Kolumna A3B3
Definicja implikacji prostej S|=>A w logice dodatniej (bo A):
Implikacja prosta S|=>A to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Z kolumny A3B3 odczytujemy:
A3: S~>A =0 - świecenie S (S=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla wnioskowania o wciśniętym A (A=1)
bo żarówka może nie świecić, a przycisk A może być wciśnięty (gdy W=0)
B3: S=>A =1 - świecenie S (S=1) jest (=1) wystarczające => dla wnioskowania o wciśniętym A (A=1)
bo zawsze gdy żarówka świeci (S=1) przycisk A jest wciśnięty (A=1).
Wynika to z połączenia szeregowego przycisków A i W.
stąd mamy implikację prostą S|=>A opisaną równaniem logicznym:
S|=>A=~(A3: S~>A)*(B3: S=>A)=~(0)*1=1*1=1
Uwaga:
Prawdziwość warunku wystarczającego B3 wymusza fałszywość kontrprzykładu B3’:
B3’: S~~>~A=S*~A =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie:
żarówka S świeci się (S=1) i przycisk A nie jest wciśnięty (~A)
bo przyciski A i W połączone są szeregowo.

Analiza szczegółowa w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”.
Kolumna A3B3 daje odpowiedź na pytanie 3.
3.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to w jakim stanie może być przycisk A?
Odpowiedź:
Jeśli żarówka świeci się to mamy gwarancję matematyczną => iż przycisk A jest wciśnięty - mówi o tym zdanie B3.
B3.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to na 100% => przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S=>A =1
Świecenie się żarówki (S=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania o wciśniętym przycisku A, bo przyciski A i W połączone są szeregowo.
Prawdziwość warunku wystarczającego B3 wymusza fałszywość kontrprzykładu B3’:
B3’.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to przycisk A może ~> nie być wciśnięty (~A=1)
S~~>~A = S*~A =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: żarówka świeci się (S=1) i przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
bo przyciski A i W połączone są szeregowo.

4.
Jeśli żarówka nie świeci się (~S=1) to w jakim stanie może być przycisk A?
Kolumna A4B4.
Definicja implikacji odwrotnej ~S|~>~A w logice ujemnej (bo ~A):
Implikacja odwrotna ~S|~>~A to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Z kolumny A4B4 odczytujemy:
A4: ~S=>~A =0 - brak świecenia żarówki S (~S) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym =>
dla wnioskowania o nie wciśniętym przycisku A (~A)
bo żarówka może nie świecić (~S=1), a przycisk A może być wciśnięty (gdy W=0)
B4: ~S~>~A =1 - brak świecenia żarówki (~S=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~>
dla wnioskowania o nie wciśniętym przycisku A (~A=1)
Bo jak żarówka świeci (S=1) to na 100% => przycisk A jest wciśnięty (A=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B4: ~S~>~A = B3: S=>A
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej ~S|~>~A opisaną równaniem logicznym:
~S|~>~A = ~(A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A) =~(0)*1=1*1=1
Uwaga:
Fałszywość warunku wystarczającego A4 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A4’:
A4’: ~S~~>A=~S*A=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: żarówka nie świeci (~S=1) i wciśnięty A (A=1)
gdy W=0

Kolumna A4B4 daje odpowiedź na pytanie:
4.
Jeśli żarówka nie świeci się (~S=1) to w jakim stanie może być przycisk A?
Odpowiedź:
Jeśli żarówka nie świeci się to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B4 i A4’

Analiza szczegółowa w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B4.
Jeśli żarówka nie świeci się (~S=1) to przycisk A może ~> nie być wciśnięty (~A=1)
~S~>~A=1
brak świecenia żarówki (~S=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla wnioskowania o nie wciśniętym przycisku A (~A=1), bo jak żarówka świeci (S=1) to na 100% => przycisk A jest wciśnięty (A=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B4: ~S~>~A = B3: S=>A
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego A4 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A4’:
A4’.
Jeśli żarówka nie świeci się (~S=1) to przycisk A może ~~> być wciśnięty (A=1)
~S~~>A=~S*A=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: żarówka nie świeci (~S=1) i przycisk A jest wciśnięty (A=1), gdy W=0
Doskonale to widać na schemacie S2
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Wto 8:49, 02 Mar 2021    Temat postu:
Powód:
2021-03-02 - będzie modyfikacja

4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń


Spis treści
4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 1
4.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 1
4.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 2
4.1.2 Prawa Kobry dla zbiorów 2
4.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 3
4.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 4
4.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 4
4.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~> 4
4.3.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 7
4.4 Definicje spójników implikacyjnych 8
4.4.1 Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q 9
4.4.2 Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q 11
4.4.3 Definicja podstawowa równoważności p<=>q 13
4.4.4 Definicja podstawowa chaosu p|~~>q 18



4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.

4.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q

I.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory nieskończone są rozłączne to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

4.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

4.1.2 Prawa Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem => samego siebie:
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].

Zbiór pusty jest zbiorem zewnętrznym w stosunku do dowolnego zbioru niepustego.
Dowód tego faktu znajdziemy w punkcie 3.3

4.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

I.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

4.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

4.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

4.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Weźmy nasze funkcje logiczne A1 i B1:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
Funkcja logiczna p=>q = ~p+q nie jest tożsama z funkcją logiczną p~>q = p+~q
oraz nie jest zaprzeczeniem funkcji logicznej p~>q = p+~q:
B1: ~(p~>q) = ~(p+~q) = ~p*q ## A1: p=>q=~p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
cnd

Kod:

T1
Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q=~p+q
A: 1=>1  1
B: 1=>0  0
C: 0=>0  1
D: 0=>1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

##
Kod:

T2
Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q=p+~q
A: 1~>1  1
B: 1~>0  1
C: 0~>0  1
D: 0~>1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

##
Kod:

T3
Definicja spójnika “lub”(+)
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 0  0
D: 0+ 1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p=>q=~p+q ## p~>q=p+~q ## p+q

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w rachunku zero-jedynkowym:
Dwie kolumny są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale to widać w kolumnach wynikowych tabel T1, T2 i T3. Warunek konieczny jaki musi tu być spełniony to identyczna matryca zero-jedynkowa po stronie wejść p i q bowiem wtedy i tylko wtedy możemy wnioskować o tożsamości lub braku tożsamości kolumn zero-jedynkowych. Warunek wspólnej matrycy zero-jedynkowej tabelach T1, T2 i T3 jest spełniony.

Uwaga:
Powyższa definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest definicją uproszczoną, w zdecydowanej większości wystarczającą - mogą jednak zajść przypadki których powyższa definicja poprawnie nie definiuje. Pełna definicja znaczka różne na mocy definicji ##, dla wszystkich możliwych przypadków, omówiona jest w punkcie 2.12.

Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
Przy wypełnianiu tabeli zero-jedynkowej w rachunku zero-jedynkowym nie wolno nam zmieniać linii w sygnałach wejściowych p i q, bowiem wtedy i tylko wtedy o tym czy dane prawo zachodzi decyduje tożsamość kolumn wynikowych.
##
Kod:

Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p=>q = ~p+q ## p~>q =p+~q

Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).

4.3.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Mutacje powyższych praw logiki matematycznej:

Pod p i q w powyższych prawach możemy podstawiać zanegowane zmienne w dowolnych konfiguracjach.

Przykład:
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1.
Podstawiamy:
p:=~p - pod p podstaw := ~p
q:=~q - pod q podstaw := ~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>~q = ~(~p)~>~(~q) = p~>q
2.
Podstawiamy:
p:=p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q
3.
Podstawiamy:
p:=~p
q:=q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>q = ~(~p)~>~q = p~>~q


4.4 Definicje spójników implikacyjnych

Definicja spójnika implikacyjnego:
Spójnik implikacyjny, to spójnik definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery spójniki implikacyjne:
p|=>q - implikacja prosta
p|~>q - implikacja odwrotna
p<=>q - równoważność
p|~~>q - chaos

Wszystkie definicje spójników implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

Definicja warunku wystarczającego p=>q dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

4.4.1 Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja warunku wystarczającego p=>q:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q):
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q

Warto zapamiętać różnicę:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
p=>q = ~p+q
##
Definicja implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z niech nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Jak widzimy, funkcje logiczne p=>q i p|=>q spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Przykład 4.4.1
Zbadaj w skład jakiego spójnika logicznego wchodzi zdanie A1:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
##
Badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% ~> jest podzielna przez 2
P8~>P2 =0
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy:
Prawo Kameleona:
Dwa zdanie brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być logicznie tożsame.
Dowód:
Zdania A1 i B1 których prawdziwość/fałszywość rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań

Rozwiązanie:
Zdanie A1 jest częścią spójnika implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~p*q - zapis formalny
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)= ~P8*P2 - zapis aktualny
Gdzie:
p=P8
q=P2
Kod:

T2.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q - zapis formalny
P8|=>P2=(A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=~P8*P2 - zapis aktualny
Punkt odniesienia:
p=P8
q=P2
       A1B1:          A2B2:          |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q    =1 = 2:~p~>~q  =1    [=] 3: q~>p    =1  = 4:~q=>~p   =1
A:  1: P8=>P2  =1 = 2:~P8~>~P2=1    [=] 3: P2~>P8  =1  = 4:~P2=>~P8 =1
       ##            ##              |     ##             ##
B:  1: p~>q    =0 = 2:~p=>~q  =0    [=] 3: q=>p    =0   = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P8~>P2  =0 = 2:~P8=>~P2=0    [=] 3: P2=>P8  =0   = 4:~P2~>~P8=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


4.4.2 Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)= ~(0)*1 =1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja warunku wystarczającego p=>q:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q):
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q

Warto zapamiętać różnicę:
Definicja warunku koniecznego p~>q:
p~>q = p+~q
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z niech nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Jak widzimy, funkcje logiczne p~>q i p|~>q spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Przykład 4.4.2
Zbadaj w skład jakiego spójnika logicznego wchodzi zdanie B1:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
##
Badamy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Podzielność dowolnej liczby przez 2 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 6 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Rozwiązanie:
Zdanie B1 jest częścią spójnika implikacji odwrotnej p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*~q - zapis formalny
A1B1: P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8) = P2*~P8 - zapis aktualny
Gdzie:
p=P2
q=P8
Kod:

T2.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p*~q - zapis formalny
P2|~>P8=~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=P2*~P8 - zapis aktualny
Punkt odniesienia:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
       A1B1:          A2B2:          |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q    =0 = 2:~p~>~q  =0    [=] 3: q~>p    =0  = 4:~q=>~p   =0
A:  1: P2=>P8  =0 = 2:~P2~>~P8=0    [=] 3: P8~>P2  =0  = 4:~P8=>~P2 =0
       ##            ##              |     ##             ##
B:  1: p~>q    =1 = 2:~p=>~q  =1    [=] 3: q=>p    =1   = 4:~q~>~p  =1
B:  1: P2~>P8  =1 = 2:~P2=>~P8=1    [=] 3: P8=>P2  =1   = 4:~P8~>~P2=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


4.4.3 Definicja podstawowa równoważności p<=>q

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
RA1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja warunku wystarczającego p=>q:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q):
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p+~p*~q+q*p+q*~q = p*q+~p*~q
p<=>q = p*q+~p*~q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Przykład 4.4.3
Zbadaj w skład jakiego spójnika logicznego wchodzi twierdzenie Pitagorasa:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
to samo w zapisie formalnym
p=>q =1
Twierdzenie proste p=>q Pitagorasa udowodniono wieki temu.
Ten dowód oznacza że:
Bycie trójkątem prostokątnym jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów bo zbiór trójkątów prostokątnych jest podzbiorem => zbioru trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów.

Badamy twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny
SK=>TP =1
to samo w zapisie formalnym
q=>p =1
Twierdzenie odwrotne q=>p Pitagorasa udowodniono wieki temu.
Ten dowód oznacza że:
Bycie trójkątem w którym spełniona jest (=1) suma kwadratów jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten trójkąt był prostokątny bo zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych

Definicja tożsamości zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1

Nasz przykład dowód tożsamości zbiorów TP=SK:
Zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK i zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)=1*1=1
to samo w zapisie formalnym:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1

Dla B3 zastosujmy prawo Tygryska:
B3: p=>q = B1: p~>q
Stąd mamy tożsamą definicję tożsamości zbiorów p=q;
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór p jest nadzbiorem~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Ostatni zapis to definicja podstawowa równoważności p<=>q.

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1

Stąd mamy dowód iż twierdzenie proste Pitagorasa jest częścią równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych.

Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Bycie trójkątem prostokątnym jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów
Innymi słowy:
Dowolny trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK

Powyższa, podstawowa definicja równoważności znana jest ludzkości.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8090
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 6290
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 2080
etc

Dla A1 i B1 zastosujmy prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p=>~q
B1: p~>q = B2: ~p~>~q
Stąd mamy:
p<=>q = (A2: ~p=>~q)*(B2: ~p~>~q) = ~p<=>~q

Nasz przykład:
A1: TP=>SK = A2: ~TP~>~SK
B1: TP~>SK = B2: ~TP=>~SK
Stąd mamy logicznie tożsamą definicję równoważności Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych.

Równoważność Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych:
Do tego aby być trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) potrzeba ~> i wystarcza => aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
Innymi słowy:
Dowolny trójkąt jest nieprostokątny (~TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK) =1*1 =1
to samo w zapisie formalnym:
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=1*1=1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
~TP=~SK

Definicja tożsamości logicznej:
TP<=>SK = ~TP<=>~SK
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Wniosek:
Mając udowodnioną równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1 =1
nie musimy dowodzić równoważności Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych:
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK) =1*1 =1
bowiem prawdziwość równoważności ~TP<=>~SK gwarantuje nam prawo rachunku zero-jedynkowego:
TP<=>SK = ~TP<=>~SK

Zauważmy ze:
Kod:

Równoważność:                        |  Równoważność:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)
Definiuje tożsamość zbiorów:         |  Definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK                                #  ~TP=~SK

Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna o definicji wyżej

Definicja znaczka różne #:
Dwa pojęcia/zbiory p i q są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy jedno jest zaprzeczeniem drugiego

Pojęcia/zbiory spełniające definicję znaczka różne # spełniają definicję spójnika „albo”($).
Dowód:
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q
dla q=~p mamy:
p$~p = p*~(~p) + ~p*(~p) = p+~p=1
cnd
Nasz przykład:
Dowolny trójkąt może być tylko i wyłącznie prostokątny „albo”($) nieprostokątny.
TP$~TP = TP*~(~TP)+~TP*(~TP) = TP+~TP =1
Trzeciej możliwości brak.

Oczywiście równoważność między pojęciami (zbiorami) spełniającymi definicje znaczka różne # musi być fałszem.
Sprawdzenie:
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
podstawmy:
q=~p
stąd mamy:
p<=>~p = p*~p + ~p*~(~p) = p*~p + ~p*p =[]+[] =0
cnd

Nanieśmy naszą równoważność to matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q.
Kod:

T2.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p*q+~p*~q - zapis formalny
TP<=>SK=~(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=TP*SK+~TP*~SK - zapis aktualny
Punkt odniesienia:
p=TP - zbiór trójkątów prostokątnych
q=SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów
       A1B1:          A2B2:          |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q    =1 = 2:~p~>~q  =1    [=] 3: q~>p    =1  = 4:~q=>~p   =1
A:  1: TP=>SK  =1 = 2:~TP~>~SK=1    [=] 3: SK~>TP  =1  = 4:~SK=>~TP =1
       ##            ##              |     ##             ##
B:  1: p~>q    =1 = 2:~p=>~q  =1    [=] 3: q=>p    =1   = 4:~q~>~p  =1
B:  1: TP~>SK  =1 = 2:~TP=>~SK=1    [=] 3: SK=>TP  =1   = 4:~SK~>~TP=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


4.4.4 Definicja podstawowa chaosu p|~~>q

Definicja podstawowa chaosu p|~~>q:
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w chaosie p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład chaosu p|~~>q potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja warunku wystarczającego p=>q:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy:
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
p<=>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(~p+q)*~(p+~q) = (p*~q)*(~p*q) =[] =0
p<=>q = p*q+~p*~q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Przykład 4.4.4
Zbadaj w skład jakiego spójnika logicznego wchodzi zdanie:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 3
P8=>P3=0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => do tego, aby ta liczba była podzielna przez 3 bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9,12..]

Badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 3
P8~>P3 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 3 bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9..]

Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdanie A1 jest częścią chaosu P8|~~>P3.

Nanieśmy to do tabeli matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla operatora chaosu p|~~>q
Kod:

T2.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w chaosie p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=0 - zapis formalny
P8~~>P3=~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3)=0 - zapis aktualny
Punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P3=[3,6,9,12..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
       A1B1:          A2B2:          |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q    =1 = 2:~p~>~q  =1    [=] 3: q~>p    =1  = 4:~q=>~p   =1
A:  1: P8=>P3  =1 = 2:~P8~>~P3=1    [=] 3: P3~>P8  =1  = 4:~P3=>~P8 =1
       ##            ##              |     ##             ##
B:  1: p~>q    =0 = 2:~p=>~q  =0    [=] 3: q=>p    =0   = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P8~>P3  =0 = 2:~P8=>~P3=0    [=] 3: P3=>P8  =0   = 4:~P3~>~P8=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Wto 8:51, 02 Mar 2021    Temat postu:
Powód:
2021-03-02 - będzie modyfikacja


4.5 Prawo śfinii

Porównajmy rozwiązania dwóch przykładów 4.4.1 i 4.4.2.

Przykład 4.4.1
Zbadaj w skład jakiego spójnika logicznego wchodzi zdanie A1:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
##
Badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% ~> jest podzielna przez 2
P8~>P2 =0
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Rozwiązanie 4.4.1:
Zdanie A1 jest częścią spójnika implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~p*q - zapis formalny
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)= ~P8*P2 - zapis aktualny
Gdzie:
p=P8
q=P2

Przykład 4.4.2
Zbadaj w skład jakiego spójnika logicznego wchodzi zdanie B1:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
##
Badamy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Podzielność dowolnej liczby przez 2 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 6 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Rozwiązanie 4.4 2:
Zdanie B1 jest częścią spójnika implikacji odwrotnej p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*~q - zapis formalny
A1B1: P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8) = P2*~P8 - zapis aktualny
Gdzie:
p=P2
q=P8

Skupmy się na rozwiązaniach zapisując:
Rozwiązanie 4.4.1:
Zdanie A1 jest częścią spójnika implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~p*q - zapis formalny
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)= ~P8*P2 - zapis aktualny
Gdzie:
p=P8
q=P2
###
Rozwiązanie 4.4 2:
Zdanie B1 jest częścią spójnika implikacji odwrotnej p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*~q - zapis formalny
A1B1: P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8) = P2*~P8 - zapis aktualny
Gdzie:
p=P2
q=P8
Gdzie:
### - różne na mocy prawa śfinii

Zauważmy, że w zapisach formalnych zachodzi:
p|=>q =~p*q ## p|~>q =p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różna na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Definicje funkcji logicznych p|=>q i p|~>q spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji
p|=>q = ~p*q ## ~(p|~>q) = ~(p*~q)=~p+q
cnd

Natomiast w zapisach aktualnych zachodzi:
P8|=>P2 = ~P8*P2 #= P2|~>P8 = P2*~P8
Gdzie:
#= - fałszywa tożsamość logiczna z powodu błędu podstawienia o czym niżej.

Zauważmy że mamy tu czysto matematyczną sprzeczność między zapisem formalnym a zapisem aktualnym.
Aby uratować logikę matematyczną musimy wprowadzić do logiki matematycznej prawo śfinii.

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.
Prawo śfinii to inaczej trywialny błąd podstawienia

Dowód:
Rozwiązanie 4.4.1:
Zdanie A1 jest częścią spójnika implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~p*q - zapis formalny
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)= ~P8*P2 - zapis aktualny
Punkt odniesienia dla powyższych definicji:
p=P8
q=P2

###

Rozwiązanie 4.4 2:
Zdanie B1 jest częścią spójnika implikacji odwrotnej p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*~q - zapis formalny
A1B1: P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8) = P2*~P8 - zapis aktualny
Punkt odniesienia dla powyższych definicji:
p=P2
q=P8

Gdzie:
### - różne na mocy prawa śfinii
Innymi słowy:
### - różne na mocy niezgodności punktu odniesienia
Innymi słowy:
### - różne z powodu błędu podstawienia

Zachodzi tożsamość pojęć:
Prawo śfinii = Błąd podstawienia

Prawo sfinii to zatem trywialny błąd podstawienia na poziomie szkoły podstawowej.

4.6 Prawo śfinii w przedszkolu

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

4.6.1 Prawo śfinii z punktem odniesienia ustawionym na warunku wystarczającym =>

Przykład:
Pani w przedszkolu:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Na mocy prawa śfinii musimy tu przyjąć:
p=P
q=CH
Stąd zdania A1 w zapisie formalnym przyjmuje postać:
p=>q =1
P=>CH =1

Dla zdania A1 skorzystajmy z prawa Kubusia:
A1: P=>H = A2: ~P~>~CH
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
to samo w zapisach formalnych:
~p~>~q =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> aby jutro nie było pochmurno (~CH=1), bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1)
Jak widzicie drogie dzieci prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło.
Prawo Kubusia:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
to samo w zapisach formalnych:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

Znaczenie tożsamości logicznej „=”:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Czy ktoś zechce pociągnąć dalej tą analizę, bo ziemscy matematycy nas oglądają dzięki ziemskiemu Internetowi.

Małgosia (lat 5):
Poprawną zamianę poprzednika p z następnikiem q mamy dzięki prawu Tygryska:
Prawo Tygryska:
A1: P=>CH = A3: CH~>P
to samo w zapisach formalnych:
A1: p=>q = A3: q~>p
(jak widzimy Małgosia podświadomie przyjęła zdanie A1 za punkt odniesienia)
stąd:
A3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
to samo w zapisach formalnych:
q~>p =1
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> aby jutro padało (P=1), bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Jak widzicie drodzy ziemianie, prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło.
Prawo Kubusia:
A3: CH~>P = A4: ~CH=>~P
to samo w zapisie formalnym:
A3: q~>p = A4: ~q=>~p
stąd:
A4.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P =1
Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => aby nie padało (~P=1) bo zawsze gdy nie ma chmur (~CH=1), nie pada (~P=1)

Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

Tabela prawdy dla punktu odniesienia A1: P=>CH
A1: p=> q =1 = A2:~p~> ~q =1 [=] A3: q~> p =1 = A4:~q=> ~p =1
A1: P=>CH =1 = A2:~P~>~CH =1 [=] A3: CH~>P =1 = A4:~CH=>~P =1


Definicja tabeli prawdy:
Tabela prawdy pokazuje wszystkie możliwe przypadki jakie mogą zajść dla dowolnego punktu odniesienia.

4.6.2 Prawo śfinii z punktem odniesienia ustawionym na warunku koniecznym ~>

Przykład:
Pani w przedszkolu:
B1:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> do tego aby jutro padało (P=1), bo jak nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
Jak widzicie drogie dzieci prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
Stąd:
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P=1
Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby nie padało (~P=1), bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.

Zdanie B1 pani przedszkolanki to punkt odniesienia.
Na mocy prawa śfinii musimy tu przyjąć:
p=CH
q=P
Stąd zdanie B1 w zapisach formalnych przyjmuje postać:
B1: CH~>P =1
B1: p~>q =1
Zaś prawo Kubusia w zapisach formalnych brzmi:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
B1: p~>q = B2: ~p=>~q

Zamienić poprzednik z następnikiem możemy tu tylko i wyłącznie ma mocy prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Pani przedszkolanka wypowiedziała zdanie B1.
Jaś (lat 5) pyta:
Proszę pani a jeśli jutro będzie padało (P=1)?

Pani przedszkolanka:
Prawo Tygryska:
B1: CH~>P = B3: P=>CH
to samo w zapisach formalnych:
B1: p~>q = B3: q=>p
(jak widzimy, swoim pytaniem Jaś wymusił na pani zamianę p i q w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q”)

Na mocy prawa Tygryska dostajemy Jasiu odpowiedź:
B3.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Zapis formalny:
B3: q=>p
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zawsze gdy pada, jest pochmurno

Zuzia (lat 5):
Proszę pani, a jeśli jutro nie będzie padało?

Pani:
Oczywiście w stosunku do B3 możemy skorzystać z prawa Kubusia:
B3: q=>p = B4: ~q~>~p
stąd:
B4.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
Zapis formalny:
B4: ~q~>~p
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby jutro nie było pochmurno (~CH=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1)

Ponownie prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B4: ~P~>~CH = B3: P=>CH
zapis formalny:
B4: ~q~>~p = B3: q=>p

Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

Tabela prawdy dla punktu odniesienia B1: CH~>P
B1: p~> q =1 = B2:~p =>~q =1 [=] B3: q=>p  =1 = B4:~q~>~p  =1
B1: CH~>P =1 = B2:~CH=>~P =1 [=] B3: P=>CH =1 = B4:~P~>~CH =1


Definicja tabeli prawdy:
Tabela prawdy pokazuje wszystkie możliwe przypadki jakie mogą zajść dla dowolnego punktu odniesienia.

4.6.3 Istota prawa śfinii

Zapiszmy tabele prawdy naszych analiz matematycznych wyżej.

I.
Prawo śfinii z punktem odniesienia ustawionym na warunku wystarczającym =>:
A1: P=>CH
Kod:

T1
Tabela prawdy dla punktu odniesienia A1: P=>CH
A1: p=> q =1 = A2:~p~> ~q =1 [=] A3: q~> p =1 = A4:~q=> ~p =1
A1: P=>CH =1 = A2:~P~>~CH =1 [=] A3: CH~>P =1 = A4:~CH=>~P =1

###
II.
Prawo śfinii z punktem odniesienia ustawionym na warunku koniecznym ~>:
B1: CH~>P =1
Kod:

T2
Tabela prawdy dla punktu odniesienia B1: CH~>P
B1: p~> q =1 = B2:~p =>~q =1 [=] B3: q=>p  =1 = B4:~q~>~p  =1
B1: CH~>P =1 = B2:~CH=>~P =1 [=] B3: P=>CH =1 = B4:~P~>~CH =1

Gdzie:
### - różne na mocy prawa śfinii

Co wynika z prawa śfinii?

Na przykład to:
Kod:

T1
Tabela prawdy dla punktu odniesienia A1: P=>CH
A1: p=> q =1
A1: P=>CH =1
Punkt odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)

###
Kod:

T2
Tabela prawdy dla punktu odniesienia B1: CH~>P
B3: q=>p  =1
B3: P=>CH =1
Punkt odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)

Gdzie:
### - różne na mocy prawa śfinii
Innymi słowy:
### - różne na mocy niezgodności punktu odniesienia
Innymi słowy:
### - różne z powodu błędu podstawienia

Zachodzi tożsamość pojęć:
Prawo śfinii = Błąd podstawienia

Zauważmy że zdanie A1: P=>CH z tabeli prawdy T1 brzmi identycznie i dowodzi się identycznie jak zdanie B3: P=>CH z tabeli prawdy T2

ALE!
Zdania te są różne z powodu błędu podstawienia ###
Zdania te są różne na mocy prawa śfinii

Zauważmy bowiem, że w tabeli T1 mamy punkt odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmur)
Natomiast w tabeli T2 mamy punkt odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Błąd podstawienia na poziomie szkoły podstawowej widać tu jak na dłoni.

4.6.4 Prawo śfinii dla zdań „Jeśli p to q” wyrażonych spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji:

Pani w przedszkolu wypowiada zdanie:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Definicja warunku wystarczającego => wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Stąd:
Dla naszego zdania A1 mamy:
A1: P=>CH = ~P+CH
Na mocy prawa śfinii musimy tu przyjąć domyślny punkt odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Stąd zdanie A1 w zapisach formalnych brzmi
A1: p=>q = ~p+q

Stąd:
Tabela prawdy dla zdania A1:
Kod:

T1
Tabela prawdy dla zdania A1 wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
dla punktu odniesienia A1: P=>CH
A1: P=>CH = ~P+CH
to samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q = ~p+q
Punkt odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)


Po chwili pani wypowiada kolejne zdanie:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla opadów, bo jak nie ma chmur to na 100% => nie pada.

Zauważmy, że w zdaniu B1 pani w żaden sposób nie nawiązała do zdania A1 (np. prawem Tygryska lub kontrapozycji), zatem zdanie B1 musimy przyjąć jako nowy, bieżący punkt odniesienia.
p=CH
q=P
Stąd zdanie B1 w zapisie formalnym:
B1: p~>q
Definicja warunku koniecznego ~> wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Stąd:
Dla naszego zdania B1 mamy:
B1: CH~>P = CH+~P
Stąd zdanie B1 w zapisach formalnych brzmi
B1: p~>q = p+~q

Stąd:
Tabela prawdy dla zdania B1:
Kod:

T2
Tabela prawdy dla zdania B1 wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
dla punktu odniesienia B1: CH~>P
B1: CH~>P = CH+~P
to samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q = p+~q
Punkt odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)


Porównajmy tabele T1 i T2:
Kod:

T1
Tabela prawdy dla zdania A1 wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
dla punktu odniesienia A1: P=>CH
A1: P=>CH = ~P+CH
to samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q = ~p+q
Punkt odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)


###

Kod:

T2
Tabela prawdy dla zdania B1 wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
dla punktu odniesienia B1: CH~>P
B1: CH~>P = CH+~P
to samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q = p+~q
Punkt odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)

Gdzie:
### - różne na mocy prawa śfinii
Innymi słowy:
### - różne na mocy niezgodności punktu odniesienia
Innymi słowy:
### - różne z powodu błędu podstawienia

Zachodzi tożsamość pojęć:
Prawo śfinii = Błąd podstawienia

Zauważmy że:
Tabela T1: A1: P=>CH = ~P+CH
Tabela T2: B1: CH~>P = CH+~P
Jak widzimy w zapisach aktualnych (mających związek ze zdaniem wypowiedzianym) prawe strony są tożsame bo spójnik „lub”(+) jest przemienny, z czego pozornie wynika tożsamość zdań A1=B1

ALE!
Zdania te są różne z powodu błędu podstawienia ###
Zdania te są różne na mocy prawa śfinii

Zauważmy bowiem, że w tabeli T1 mamy punkt odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Natomiast w tabeli T2 mamy punkt odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Błąd podstawienia na poziomie szkoły podstawowej widać tu jak na dłoni.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Pon 8:55, 05 Kwi 2021    Temat postu:
2021-04-05 - zamierzam napisać prościej

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Spis treści
4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 1
4.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 1
4.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 2
4.1.2 Prawa Kobry dla zbiorów 2
4.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 3
4.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 4
4.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 4
4.3 Notacja stosowana w przykładach w algebrze Kubusia 4
4.5 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~> 6
4.5.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 10
4.6 Prawo śfinii 11



4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

4.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q.

I.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory p i q są rozłączne i nieskończone to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

4.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

4.1.2 Prawa Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem => samego siebie:
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].

Zbiór pusty jest zbiorem zewnętrznym w stosunku do dowolnego zbioru niepustego.
Wynika to z definicji zbioru pustego [] w algebrze Kubusia (pkt. 3.0)

4.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

I.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

4.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

4.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

4.3 Notacja stosowana w przykładach w algebrze Kubusia

Notacja stosowana w przykładach w algebrze Kubusia jest zgodna z naturalną logiką matematyczną człowieka, gdzie wszystkie przeczenia „nie” muszą być uwidocznione w kodowaniu (szczegóły w pkt. 3.11)

Zapis pełny:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH=1
co w logice jedynek oznacza:
(P=1)=>(CH=1) =1
Padanie (P=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby istniały chmury (CH=1), bo zawsze gdy pada (P=1) są chmury (CH=1)
Prawdziwy warunek wystarczający => A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’.
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
co w logice jedynek oznacza:
(P=1)~~>(~CH=1) = (P=1)*(~CH=1) =0
Czytamy:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie jest pochmurno (~CH=1)

Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej (omówiono w punkcie 1.3).
Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(~p=1)=(p=0)

Weźmy poprzednik w zdaniu A1’:
1:
P=1 - prawdą jest (=1) że pada (P)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(P=1) = (~P=0)
stąd mamy zapis symboliczny tożsamy:
2:
~P=0 - fałszem jest (=0), że nie pada (~P)
Jak widzimy zachodzi tożsamość zdań:
1: (P=1) = 2: (~P=0)

Weźmy następnik w zdaniu A1’:
3:
~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(~CH=1) = (CH=0)
stąd mamy zapis symboliczny tożsamy:
4:
CH=0 - fałszem jest (=0), że jest pochmurno (CH)
Jak widzimy zachodzi tożsamość zdań:
3: (~CH=1) = 4: (CH=0)

W logice matematycznej jedynki są domyślne i możemy je pominąć, stąd matematycznie tożsamy zapis zdań A1 i A1’ jest następujący.
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby istniały chmury (CH), bo zawsze gdy pada (P) są chmury (CH)
Prawdziwy warunek wystarczający => A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’.
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)

Podsumowanie:
1.
Prosty manewr z pominięciem domyślnych jedynek zredukował nam logikę matematyczną dosłownie do poziomu 5-cio latka, gdzie wszelkie przeczenia muszą być uwidocznione w kodowaniu symbolicznym zdań.
P - pada (zapis pełny: P=1)
~P - nie pada (zapis pełny: ~P=1)
CH - są chmury (zapis pełny: CH=1)
~CH - nie ma chmur (zapis pełny: ~CH=1)
2.
Porównajmy:
P - pada (zapis pełny: p=1)
~P - nie pada (zapis pełny: ~P=1)
Tożsamy zapis ostatniego zdania jest następujący:
~P - nie pada (zapis pełny matematycznie tożsamy: P=0)
Sęk w tym, że w ostatnim zapisie mamy po lewej stronie zmienną zaprzeczoną ~P, natomiast w zapisie pełnym matematycznie tożsamym mamy zmienną P niezaprzeczoną (P=0).
Sprowadzenie wszystkich zmiennych użytych w zdaniu do jedynek na mocy praw Prosiaczka powoduje rzecz bezcenną tzn. dostajemy przełożenie języka potocznego na matematykę w przełożeniu 1:1, co widać chociażby w ostatnich dwóch zdaniach A1 i A1’.
Prawa Prosiaczka (omówiono w punkcie 1.3):
(~p=0)=(p=1)
(p=0)=(~p=1)

4.5 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicja znaczka różne # dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy jedna z nich jest zaprzeczeniem (~) drugiej
Przykład:
A1: Y=(p=>q)=~p*q # A1N: ~Y=~(p=>q)=p+~q

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej (szczegóły w pkt. 2.1)

Weźmy nasze funkcje logiczne A1 i B1:
Kod:

A1:  Y= (p=>q)=~p+q  #  A1N: ~Y=(p=>q)=~p+q
      ##                      ##
B1: Y=(p~>q)= p+~q   #  B1N: ~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
## - różna na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że definicje znaczków # i ## są tu spełnione.

Kod:

T1
Definicja warunku wystarczającego =>
        Y=
   p  q p=>q=~p+q
A: 1=>1  1
B: 1=>0  0
C: 0=>0  1
D: 0=>1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

##
Kod:

T2
Definicja warunku koniecznego ~>
        Y=
   p  q p~>q=p+~q
A: 1~>1  1
B: 1~>0  1
C: 0~>0  1
D: 0~>1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

##
Kod:

T3
Definicja spójnika “lub”(+)
        Y=
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 0  0
D: 0+ 1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

##
Kod:

T4
Definicja spójnika “i”(*)
        Y=
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 0  0
D: 0* 1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Dowód iż funkcje logiczne z tabel T1, T2, T3 i T4 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
Kod:

T1:  Y= (p=>q)=~p+q  ## T2:  Y =(p~>q)=p+~q ## T3:  Y= p+q  ## T4:  Y=p*q
     #                       #                      #               #
T1N:~Y=~(p=>q)= p*~q ## T2N:~Y=~(p~>q)=~p*q ## T3N:~Y=~p*~q ## T4N:~Y=~p+~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że dowolna funkcja z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
              Y=    Y=        Y=    Y=        Y=        #  ~Y=
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q # ~(p=>q)=p*~q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0       #    =1
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
                1     2         3     4         5             6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
Przy wypełnianiu tabeli zero-jedynkowej w rachunku zero-jedynkowym nie wolno nam zmieniać linii w sygnałach wejściowych p i q, bowiem wtedy i tylko wtedy o tym czy dane prawo zachodzi decyduje tożsamość kolumn wynikowych.
##
Kod:

Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
              Y=    Y=        Y=    Y=        Y=        #  ~Y=
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q # ~(p~>q)=~p*q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0       #    =1
                1     2         3     4         5
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Y = (p=>q) = ~p+q ## Y=(p~>q) =p+~q

Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).

Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż w zdaniu A1 spełniony jest warunek wystarczający =>:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
jest tożsame z udowodnieniem iż w zdaniu A2 spełniony jest warunek konieczny ~>:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
(albo odwrotnie)

Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno (CH), bo zawsze gdy pada (P), jest pochmurno (CH)

Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
Prawdziwość zdania A1 wymusza prawdziwość zdania A2, z czego wynika, że prawdziwości zdania A2 nie musimy dowodzić.
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH), bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH

4.5.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Mutacje powyższych praw logiki matematycznej:

Pod p i q w powyższych prawach możemy podstawiać zanegowane zmienne w dowolnych konfiguracjach.

Przykład:
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1.
Podstawiamy:
p:=~p - pod p podstaw := ~p
q:=~q - pod q podstaw := ~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>~q = ~(~p)~>~(~q) = p~>q
2.
Podstawiamy:
p:=p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q
3.
Podstawiamy:
p:=~p
q:=q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>q = ~(~p)~>~q = p~>~q

4.6 Prawo śfinii

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Podstawowa definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

IP: Implikacja prosta p|=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Podstawowa definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

IO: Implikacja odwrotna p|~>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):[/b]
p=>q =~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):[/b]
p~>q =p+~q

Wyprowadzenie definicji implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
IP:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
A1B1: p|=>q = ~p*q

Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
IO:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
A1B1: p|~>q = p*~q

Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
IP: p|=>q =~p*q
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
IO: p|~>q = p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Dowód iż funkcje logiczne p|=>q i p|~>q spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
Kod:

IP:  Y =(p|=>q)=~p*q  ## IO:  Y =(p|~>q)=p*~q
     #                        #
IPN:~Y=~(p|=>q)=p+~q  ## ION:~Y=~(p|~>q)=~p+q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Doskonale widać, że dowolna funkcja logiczna z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

Definicja twierdzenia matematycznego:
Twierdzenie matematyczne to zdanie warunkowe „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym.
p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q

Rozróżniamy dwa podstawowe twierdzenia matematyczne różne na mocy definicji ##:
A1: p=>q = ~p+q - twierdzenie proste
##
B3: q=>p = ~q+p - twierdzenie odwrotne
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Dowód iż funkcje logiczne A1 i B3 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
Kod:

A1:  Y= (p=>q)=~p+q  ## B3:  Y= (q=>p)=~q+p
     #                       #
A1N:~Y=~(p=>q)= p*~q ## B3N:~Y=~(q=>p)=q*~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Doskonale widać, że dowolna funkcja logiczna z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Twierdzenie matematyczne => = warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Przykład:

[link widoczny dla zalogowanych]

Dlaczego Jaś i Kuba tak zaciekle się bija?
Odpowiedź:
Obaj w swoich stwierdzeniach mają racją, a biją się dlatego, gdyż nie ustalili wspólnego punktu odniesienia.

Bez ustalenie wspólnego punktu odniesienia Jaś ma rację:
Jaś:
P8=>P2 - to jest twierdzenie proste p=>q!
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
A1: P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
A1: p=>q =1
Punkt odniesienia:
p=P8
q=P2

Bez ustalonego wspólnego punktu doniesienia Kuba również ma rację:
Kuba:
P8=>P2 - to jest twierdzenie odwrotne q=>p!
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
B3: P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
B3: q=>p =1
Punkt odniesienia:
p=P2
q=P8

Gdzie:
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczba podzielnych przez 2
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8

I.
Zdanie bazowe Jasia, punkt odniesienia:

Twierdzenie proste A1: p=>q:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
A1: P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest (=1) wystarczająca => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

Punkt odniesienia dla twierdzenia prostego Jasia p=>q to:
p=P8
q=P2

Badamy prawdziwość/fałszywość twierdzenia odwrotnego B3: q=>p w stosunku do twierdzenia prostego A1: p=>q.

Twierdzenie odwrotne B3: q=>p:
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8)
B3: P2=>P8 =0 - bo kontrprzykład: 2
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =0
Punkt odniesienia dla zdania B3: q=>p to:
q=P2
p=P8

Podsumowanie:
Zauważmy, ze punkt odniesienia (p=P8, q=P2) dla zdania A1: p=>q (A1: P8=>P2) jest identyczny jak dla zdania B3: q=>p (B3: P2=>P8), dlatego porównywania A1 z B3 jest matematycznie poprawne (ma sens).

II.
Zdanie bazowe Kuby, punkt odniesienia:
Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem koniecznym:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
B1: P2~>P8 =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
B1: p~>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest konieczna ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]

Punkt odniesienia Kuby dla zdania bazowego B1: p~>q to:
p=P2
q=P8

Kuba ma prawo skorzystać z dowolnego prawa logiki matematycznej.
Zastosujmy dla zdania bazowego B1 prawo Tygryska.
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
stąd mamy w zapisach aktualnych:
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2
Gdzie:
p=P2
q=P8
stąd Kuba wypowiada:

Twierdzenie odwrotne prawdziwe B3: q=>p:
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
B3: P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
B3: q=>p =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest (=1) wystarczająca => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

Punkt odniesienia Kuby dla zdania B3: q=>p to:
q=P8
p=P2

Mamy prawdziwe twierdzenie odwrotne Kuby B3: q=>p (B3: P8=>P2).
Badamy prawdziwość/fałszywość twierdzenie prostego A1: p=>q w stosunku do znanego twierdzenia odwrotnego B3: q=>p (B3: P8=>P2):

Twierdzenie proste A1: p=>q:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8)
P2=>P8 =0 - bo kontrprzykład: 2
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0
Punkt odniesienia dla zdania A1 to:
p=P2
q=P8

Podsumowanie:
Zauważmy, ze punkt odniesienia (p=P2 i q=P8) dla zdania B3: q=>p (B3: P8=>P2) jest identyczny jak dla zdania A1: p=>q (A1: P2=>P8), dlatego porównywanie B3 z A1 jest matematycznie poprawne (ma sens).

Wróćmy do bijatyki Jasia z Kubą:



[link widoczny dla zalogowanych]

Doskonale widać, że Jaś i Kuba patrzą na identyczne zdanie P8=>P2 z różnych punktów odniesienia.

Jaś:
P8=>P2 - to jest twierdzenie proste p=>q!
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
A1: p=>q =1
A1: P8=>P2 =1
Punkt odniesienia:
p=P8
q=P2

Kuba:
P8=>P2 - to jest twierdzenie odwrotne q=>p!
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
B3: q=>p =1
B3: P8=>P2 =1
Punkt odniesienia:
p=P2
q=P8

Podsumowanie:
Porównanie zdania Jasia A1: p=>q (A1: P8=>P2) ze zdaniem Kuby B3: q=>p (B3: P8=>P2) jest matematycznie błędne bowiem są to zdania widziane z różnych punktów odniesienia.
Punkt odniesienia Jasia:
p=P8
q=P2
Punkt odniesienia Kuby:
q=P8
p=P2

Zauważmy, że zdanie prawdziwe Jasia A1: p=>q (A1: P8=>P2) i zdanie prawdziwe Kuby B3: q=>p (B3: P8=>P2) brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, również kodowanie tych zdań warunkiem wystarczającym => jest identyczne - a mimo to są to zdania różne na mocy definicji ## z powodu trywialnego błędu podstawienia.

Jak zapobiec tego typu nieporozumieniom?

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Jaś wypowiada zdanie:
X.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
Na mocy prawa śfinii kodowanie formalne zdania X jest tylko jedno:
A1: p=>q =1
Stąd:
p=P8
q=P2

Kuba wypowiada zdanie:
X.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
Na mocy prawa śfinii kodowanie formalne zdania X jest tylko jedno:
A1: p=>q =1
Stąd:
p=P8
q=P2

Jak widzimy, prawo śfinii wymusza na uczestnikach matematycznej dyskusji identyczny punkt odniesienia czyniąc dyskusję sensowną, bez wzajemnej bijatyki.

Prawo naszego Wszechświata:
Otaczająca nas rzeczywistość zależy od punktu odniesienia.
Z „czarnego” zawsze można zrobić „białe” i odwrotnie, wystarczy zmienić punkt odniesienia.

Wniosek:
Zanim zaczniemy się kłócić o cokolwiek ustalmy wspólny punkt odniesienia.

W logice matematycznej wspólny punkt odniesienia zapewnia prawo śfinii.

W świecie rzeczywistym nie ma jednak lekko.
Przykład:
Z punktu odniesienia Żyda dobro to brak Nazistów
ale:
Z punktu odniesienia Nazisty dobro to brak Żydów
etc

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 8:56, 05 Kwi 2021, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Nie 16:41, 11 Kwi 2021    Temat postu:
2021-04-11
Radykalnie skracam wstęp - za dużo tu ataków na gówno zwane "implikacja materialna".
Nie muszę atakować - czytelnik który zrozumie AK z własnej woli wykopie "implikację materialną" do piekła na wieczne piekielne męki

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-w-finalna,18263.html#574079

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
Matematyczny Raj: 2021-04-05
Wersja finalna!

Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

Wszystko należy upraszczać jak tylko można, ale nie bardziej.
Albert Einstein

Z dedykacją dla naszych wnuków, aby nikt, nigdy więcej, nie prał im mózgów gównem zwanym „implikacja materialna”

Tym gównem:
Cytuję zdania prawdziwe z gówno-podręcznika matematyki do I klasy LO:
[link widoczny dla zalogowanych]
Jeśli pies ma cztery łapy to Księżyc krąży wokół Ziemi
Jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi
Jeśli 2+2=5 to Płock leży nad Wisłą
Ziemia krąży wokół Księżyca wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap
Księżyc krąży wokół Ziemi wtedy i tylko wtedy gdy pies ma cztery łapy

Dowolny matematyk który broni prawdziwości powyższych zdań (wielu jest takich) jest pacjentem zakładu zamkniętego bez klamek, tylko o tym nie wie.
Dowód iż wielu matematyków na serio broni powyższego gówna:
[link widoczny dla zalogowanych]

Jeśli ziemscy matematycy nie zrozumieją banalnego wykładu algebry Kubusia dla przedszkolaków:
3.0 Kubusiowa teoria zbiorów

To będę miał takie samo zdanie o nich jak twardogłowi matematycy, Idiota i Irbisol, o mnie:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/prawo-subalternacji,8368-2000.html#299283
idiota napisał:
Boże, co za bzdury...
To niesamowite jak rafał swoim nierozumieniem niczego potrafi sobie w głowie posklejać co się da i zrobić to jakoś odnoszące się do jego idee fixe...
Przecież tego nie ma sensu nawet wyjaśniać, bo widać tu raczej symptomy choroby, a nie rozumowanie.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/p-1-i-q-1-ale-p-q-0,10575-450.html#369345
Irbisol napisał:
Ty jesteś naprawdę ograniczony - nie ma z tobą podstawowego kontaktu ... Nie wiem, jak do ciebie przemówić, bo twoja głupota przerasta wszystko, co do tej pory spotkałem na wielu forach

W algebrze Kubusia 100% definicji w obszarze logiki matematycznej jest sprzecznych z jakąkolwiek logiką „matematyczną” ziemskich matematyków.
Wniosek:
Z definicji niemożliwy jest jakikolwiek kontakt między ekspertem algebry Kubusia (5-cio latkiem) a ziemskim, twardogłowym matematykiem.
Algebra Kubusia to Armagedon wszelkich ziemskich logik „matematycznych” - zrozumie to każdy, kto zrozumie AK. Życzę wszystkim ziemskim matematykom, nawet tym twardogłowym, by udało im się zrozumieć algebrę Kubusia.
Na 100% nie wszyscy ziemscy matematycy są twardogłowi dla których „implikacja materialna” jest bogiem tzn. odcina im zdolność do logicznego myślenia (nawet na maleńkiej sfinii spotkałem takich: Wuj Zbój, Volrath, Macjan, Fiklit) - w nich cala nadzieja, to od nich zależy czy ludzkość zrozumie kiedykolwiek algebrę Kubusia.

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki (vel Lucek), Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors (vel Dagger), Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski, MaluśnaOwieczka i inni.

Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez Fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?
Finałowa dyskusja z Irbisolem!
5.
MaluśnaOwieczka - końcowy uczestnik dyskusji o algebrze Kubusia w trakcie której wiele definicji zostało doprecyzowanych.

Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2021
Niniejszy podręcznik jest końcowym efektem 15-letniej dyskusji na forach śfinia, ateista.pl i yrizona - to około 30 tys postów, średnio 5 postów dziennie wyłącznie na temat logiki matematycznej.



Części:

Wstęp do algebry Kubusia:
1.0 Algebra Boole’a
2.0 Nieznana algebra Boole’a
3.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Algebra Kubusia - wykład podstawowy:
4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
5.0 Operator implikacji prostej p||=>q
5.2 Przykłady operatorów implikacji prostej p||=>q
6.0 Operator implikacji odwrotnej p||~>q
6.2 Przykłady operatorów implikacji odwrotnej p||~>q
7.0 Operator równoważności p|<=>q
7.2 Przykłady operatorów równoważności p|<=>q
8.0 Operator albo p|$q
8.2 Przykłady operatorów albo p|$q
9.0 Operator chaosu p||~~>q
9.2 Przykłady operatorów chaosu p||~~>q

Obietnice i groźby:
10.0 Obietnice i groźby
10.1 Obietnica
10.2 Groźba
10.3 Analiza obietnicy E=>K z różnych punktów odniesienia
10.4 Kto wierzy we mnie będzie zbawiony


Wstęp

Dlaczego od 15 lat zajmuję się logiką matematyczną?

1.
Jestem absolwentem elektroniki na Politechnice Warszawskiej (1980r) - specjalność automatyka.
Z racji wykształcenia techniczną algebrę Boole’a znam perfekcyjnie od czasów studiów i wiem, że złożone automaty cyfrowe w bramkach logicznych projektuje się w naturalnej logice matematycznej człowieka tzn. opisanej równaniami algebry Boole’a - nigdy tabelami zero-jedynkowymi!

2.
Pojęcie „Klasyczny Rachunek Zdań” usłyszałem po raz pierwszy w życiu 15 lat temu (26 lat po skończeniu studiów) od Wuja Zbója.
Gdy usłyszałem zdania prawdziwe w KRZ to się we mnie zagotowało.
Przykładowe zdania prawdziwe w KRZ:
a) Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
b) Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
c) Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
Dowód (na serio!) prawdziwości tego zdania na gruncie KRZ jest tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
… i tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Bertrand Russell napisał:

Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.

Kiedy Bertrand Russell wypowiedział ten warunek na jednym z publicznych wykładów jakiś sceptyczny złośliwiec poprosił go, by udowodnił, że jeśli 2 razy 2 jest 5, to osoba pytająca jest Papieżem. Russell odparł: "Jeśli 2 razy 2 jest 5, to 4 jest 5; odejmujemy stronami 3 i wówczas 1=2. A że pan i Papież to 2, więc pan i Papież jesteście jednym."


3.
Dlaczego z takim uporem drążyłem algebrę Kubusia?
Po zapisaniu przeze mnie praw Kubusia 15 lat temu:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Zrozumiałem ich sens w obsłudze obietnicy Chrystusa:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z
Tylko i wyłącznie dlatego ciągnę temat „Logika matematyczna” od 15 lat

4.
Z algebrą Kubusia jest identycznie jak z gramatyką języka mówionego.
Czy trzeba znać gramatykę by posługiwać się językiem ojczystym?
Czy 5-cio latek musi znać gramatykę języka by posługiwać się językiem ojczystym?
Odpowiedź jest jednoznaczna:
NIE!
Fundamentem języka mówionego jest algebra Kubusia, nigdy jakaś tam gramatyka, której osobiście nigdy nie znałem tzn. do dzisiaj nie wiem co to jest jakiś tam podmiot, orzeczenie, przysłówek, dupówek etc.
Algebra Kubusia to logika matematyczna rządząca naszym Wszechświatem, zarówno żywym, jak i martwym z matematyką włącznie. Wszyscy perfekcyjnie znamy algebrę Kubusia od momentu narodzin, do śmierci, nie mamy żadnych szans, aby się od niej uwolnić.

5.
Fundamenty algebry Kubusia to w 100% logika formalna (ogólna) powstała na bazie praw logiki matematycznej obowiązujących w świecie martwym tzn. z fundamentów algebry Kubusia wywalamy wszelkie zdania w których możemy zarzucić człowiekowi kłamstwo.

Definicja wolnej woli w świecie żywym:
Wolna wola (prawo do kłamstwa) to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej rodem ze świata martwego.

Z powyższej definicji wynika, że warunkiem koniecznym do opisania języka potocznego człowieka jest poznanie praw logiki matematycznej obowiązującej w świecie martwym (w tym w matematyce).
Świat martwy nie ma prawa gwałcić (i nie gwałci!) swoich własnych praw logiki matematycznej pod które podlega.

W algebrze Kubusia język potoczny człowieka ma przełożenie 1:1 na logikę formalną (ogólną).
Definicje w algebrze Kubusia i KRZ są totalnie sprzeczne, sprzeczne mamy nawet pojęcia podstawowe: podzbiór, nadzbiór, logika formalna.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

6.
Algebra Boole’a to najtrudniejsza część algebry Kubusia. Chodzi tu o matematyczną minimalizację złożonych równań algebry Boole’a które układa się i minimalizuje w projektowaniu automatów sterujących w bramkach logicznych na I roku elektroniki studiów wyższych.
Wbrew pozorom, naturalnymi ekspertami algebry Boole’a są wszystkie 5-cio latki bowiem w języku potocznym, w komunikacji człowieka z człowiekiem, nasz mózg operuje minimalnymi równaniami algebry Boole’a, których nie da się dalej minimalizować - nie jest tu zatem potrzebna jakakolwiek teoria minimalizacji równań logicznych.
Wskazówki dla nauczycieli jak uczyć algebry Boole’a by była zrozumiała dla przedszkolaków zawarto w punkcie 2.3.

Moja maksyma sprzed 35 lat:
1.
Każdy duży program komputerowy, w tym teorię matematyczną zwaną algebrą Kubusia, można udoskonalać w nieskończoność. Chodzi tu oczywiście nie o błędy czysto matematyczne, bo tych na 100% nie ma, ale o formę przekazu AK dla wybranych grup ludzkości: przedszkolaki, uczniowie szkoły podstawowej, średniej, studenci, prawnicy, humaniści na zawodowych matematykach kończąc.
2.
Im dłużej się myśli tym lepszy program można napisać, tym doskonalszą wersję algebry Kubusia można zapisać.
3.
Myślenie w nieskończoność nie ma sensu, tu trzeba tworzyć coraz doskonalsze wersje, dążąc do doskonałości absolutnej, której nie da się osiągnąć z definicji bo to co jest dobre dla 5-cio latka nie musi być wystarczające dla zawodowego matematyka.

Kluczowa uwaga:
W algebrze Kubusia 100% definicji z obszaru logiki matematycznej jest sprzecznych z definicjami obowiązującymi w Klasycznym Rachunku Zdań. Nie ma więc najmniejszego sensu czytanie algebry Kubusia i porównywanie tutejszych definicji z definicjami obowiązującymi w KRZ.
Jestem pewien, że nie ma wewnętrznej sprzeczności w algebrze Kubusia, bo wszystko jest tu w 100% zgodne z teorią bramek logicznych, której ekspertem jestem od czasu zaliczenia laboratorium techniki cyfrowej na I roku Politechniki Warszawskiej (1975r), gdzie budowaliśmy złożone automaty cyfrowe w bramkach logicznych - wtedy mikroprocesorów praktycznie jeszcze nie było, bowiem pierwszy przyzwoity mikroprocesor Intel i8080 narodził się w roku 1974.
Ciekawostka:
W 1974r Intel i8080 kosztował 360USD przy średniej płacy w Polsce 15USD.
[link widoczny dla zalogowanych]
Ile trzeba było pracować, by kupić ten szczyt techniki wymagający trzech napięć zasilania (+12V, +5V i -5V)?
W 1971r ukazała się pierwsza pamięć EPROM Intela i1702 o kosmicznej pojemności 256 bajtów wymagająca trzech napięć zasilania jak wyżej - w takiej pamięci można zapisać co najwyżej 256 liter.
[link widoczny dla zalogowanych]
… a dzisiaj (2021r)?
[link widoczny dla zalogowanych]
Na karcie pamięci microSD (wymiary: 11*15*1mm) z telefonu komórkowego mieści się 1024GB (1024GB=1024 miliardów bajtów-liter)


Prawo Owieczki - najbardziej zaskakujące twierdzenie w historii matematyki!

Prawo Owieczki:
Prawdziwe jest zdanie ziemskich matematyków iż „ze zbioru pustego [] wynika wszystko” wtedy i tylko wtedy gdy definicje zbioru pustego [] i Uniwersum U będą zgodna z definicjami obowiązującymi w algebrze Kubusia.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-3150.html#575901
MaluśnaOwieczka napisał:

rafal3006 napisał:
Czy zgadzasz się z fundamentem wszelkich ziemskich logik mówiącym iż:
„z fałszu wynika wszystko”

Tak, zgadzam się.


MaluśnaOwieczko:
Nie zamierzam udowadniać fałszywości poniższych dogmatów ziemskich matematyków:
1: z fałszu wynika wszystko
2: ze zbioru pustego wynika wszystko
3: ze zdania fałszywego wynika wszystko
bowiem zdanie „ze zbioru pustego wynika wszystko” jest prawdziwe pod warunkiem przyjęcia definicji zbioru pustego [] i Uniwersum U z algebry Kubusia.

Dowód prawdziwości prawa Owieczki (punkt. 3.2):
3.0 Kubusiowa teoria zbiorów
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Wto 20:58, 27 Kwi 2021    Temat postu:
27-04-27
Jutro wymieniam poniższy rozdział w 100%.

Powód:
Odkrycie ogólnego algorytmu pozwalającego zakwalifikować dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" do jednego z 5 operatorów logicznych!

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-w-finalna,18263.html#578755

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
6.2 Przykłady operatorów implikacji odwrotnej p||~>q

Spis treści
6.2 Przykład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach 1
6.2.1 Perła w koronie operatora implikacji odwrotnej CH||~>P 5
6.3 Przykład operatora implikacji odwrotnej A||~>S w zdarzeniach 12
6.3.1 Wisienka na torcie w operatorze implikacji odwrotnej A||~>S 16
6.4 Przykład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach 17




6.2 Przykład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach

Przypomnijmy sobie elementarz algebry Kubusia.

Elementarne spójniki implikacyjne w zdarzeniach to:
1.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0 - gdy nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
2.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p wymusza => zajście zdarzenia q
p=>q =1
inaczej:
p=>q =0
3.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q.
p~>q =1
Inaczej:
p~>q =0

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q.

Zadanie matematyczne w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Dane jest zdanie:
W.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
Polecenia:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę szczegółową zlokalizowanego operatora logicznego.

Rozwiązanie Jasia (I klasa LO):
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p
      ##        ##           ##        ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Uwaga:
Tabelę T1 każdy matematyk musi znać na pamięć jak tabliczkę mnożenia do 100, bez tej znajomości może zapomnieć o jakiejkolwiek, poprawnej logice matematycznej.

Na początek sprawdzamy prawo Kobry:
WK.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> padać (P=1)
CH~~>P = CH*P =1
Tożsamy zapis formalny:
p~~>q = p*q =1 - punkt odniesienia na mocy prawa śfinii
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p = CH (chmury)
q = P (pada)
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: są chmury (CH=1) i pada (P=1).
Jak widzimy zdanie B1 kodowane zdarzeniem możliwym ~~> jest prawdziwe.

Załóżmy, że zdanie WK spełnia definicję warunku wystarczającego =>, wtedy mamy:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padało (P=1)
CH=>P =0
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
Indeksowanie B1 wymusza tu tabela T1.
Zauważmy bowiem, że w kolumnach A1B1 i A2B2 (tylko te nas interesują na mocy prawa śfinii) warunek wystarczający p=>q mamy wyłącznie na pozycji A1.
cnd

Aby rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie A1 badamy prawdziwość/fałszywość zdania A1 kodowanego warunkiem koniecznym ~>.
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> do tego aby jutro padało (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P

Definicja tożsamości logicznej „=”:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Sprawdźmy iż dowód prawdziwości/fałszywości zdania B2 jest prostszy.
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => nie będzie padało
~CH=>~P =1
Wszelkie opady biorą się z chmur, zatem jeśli ich zabraknie to na 100% nie będzie padało
cnd

Kolejny trywialny dowód tożsamy to skorzystanie dla zdania B1 z prawa Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p - zapis formalny
B1: CH~>P = B3: P=>CH - zapis aktualny
Zdanie B3 jest już absolutnie trywialne.
B3.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury

Na mocy prawa Tygryska prawdziwość warunku wystarczającego B3: P=>CH =1 wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> B1: CH~>P =1
cnd

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy T3.
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania bo nie zawsze gdy są chmury, pada
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo deszcz bierze się z chmur
Kod:

T3
Analiza matematyczna zdania:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=>q =1
Gdzie:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
       A1B1:         A2B2:        |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p   =0 = 4:~q=>~p  =0
A:  1: CH=>P  =0 = 2:~CH~>~P=0    [=] 3: P~>CH  =0 = 4:~P=>~CH =0
A’: 1: p~~>~q =1 =                [=]              = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: CH~~>~P=1 =                [=]              = 4:~P~~>CH =1                   
       ##             ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q   =1 = 2:~p=>~q =1    [=] 3: q=>p   =1 = 4:~q~>~p  =1
B:  1: CH~>P  =1 = 2:~CH=>~P=1    [=] 3: P=>CH  =1 = 4:~P~>~CH =1
B’:              = 2:~p~~>q =0    [=] 3: q~~>~p =0
B’:              = 2:~CH~~>P=0    [=] 3: P~~>~CH=0
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
p|~>q  = ~(A1: p=>q) * (B1: p~>q) - zapis formalny
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)* (B1: CH~>P) - zapis aktualny
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
~p|=>~q  = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - zapis formalny
~CH|=>~P = ~(A2:~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P) - zapis aktualny
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Innymi słowy:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
To samo w zapisie formalnym (na mocy prawa śfinii):
p~>q =1
Chmury (CH=1) są konieczne ~> by jutro padało (P=1), bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P - prawo Kubusia w zapisie aktualnym
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =1 - prawo Kubusia w zapisie formalnym

LUB

A1: CH=>P =0
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1 musi być prawdą.
Sprawdzenie:
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padało (~P=1) - mówi o tym zdanie B2.

B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P =1
Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby nie padało (~P=1), bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.

Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem.
Sprawdzenie:
B2’
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji odwrotnej CH||~>P jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie CH (chmury) i gwarancja matematyczna => po stronie ~CH (brak chmur), co widać w powyższej analizie.

6.2.1 Perła w koronie operatora implikacji odwrotnej CH||~>P

Perłą w koronie operatora implikacji odwrotnej CH|~>P w logice dodatniej (bo P) jest tożsamy logicznie operator implikacji prostej ~CH||=>~P w logice ujemnej (bo ~P).

Definicja tożsamości logicznej:
CH||~>P = ~CH|=>~P
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony

Wniosek:
Jeśli udowodnimy iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do operatora implikacji odwrotnej CH||~>P to tym samym udowodnimy, iż zdanie to jest częścią składową implikacji prostej ~CH||=>~P (albo odwrotnie)

Sprawdźmy, czy tak jest w istocie.

Przypomnijmy sobie elementarz algebry Kubusia.

Elementarne spójniki implikacyjne w zdarzeniach to:
1.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0 - gdy nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
2.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p wymusza => zajście zdarzenia q
p=>q =1
inaczej:
p=>q =0
3.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q.
p~>q =1
Inaczej:
p~>q =0

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q.

Zadanie matematyczne w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Dane jest zdanie wypowiedziane:
W.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może padać
Polecenia:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę szczegółową zlokalizowanego operatora logicznego.

Rozwiązanie Jasia (I klasa LO):
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p
      ##        ##           ##        ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Uwaga:
Tabelę T1 każdy matematyk musi znać na pamięć jak tabliczkę mnożenia do 100, bez tej znajomości może zapomnieć o jakiejkolwiek, poprawnej logice matematycznej.

Lokalizacji do którego operatora logicznego należy zdanie wypowiedziane W dokonujemy w dwóch krokach.

Krok 1

Na początek badamy prawem Kobry czy zdanie W ma szansę być prawdziwym.
WK.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
To jest zdane od którego zaczynamy analizę matematyczną, zatem na mocy prawa śfinii zapisujemy:
~p~~>q = ~p*q =0
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p= CH (chmury)
q = P (pada)
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
Zdanie WK jest ewidentnie fałszywe, jednak każdy 5-cio latek wie, że istnieje związek między chmurką a deszczem.
Wniosek:
Zdanie WK na 100% jest fałszywym kontrprzykładem dla prawdziwego warunku wystarczającego B2.
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmuro (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P =1
to samo w zapisie formalnym na mocy prawa śfinii:
~p=>~q =1
Brak chmur jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla braku opadów (~P=1) bo zawsze gdy nie a chmur, nie pada.
Uwaga:
Indeksowanie B2 wynika z tabeli T1
Dlaczego?
W kolumnach A1B1 i A2B2 (na mocy prawa śfinii tylko te kolumny nas interesują) warunek wystarczający ~p=>~q występuje wyłącznie na pozycji B2.
cnd

Zauważmy, że jeśli skorzystamy z prawa kontrapozycji to dowód prawdziwości zdania B2 będzie prostszy

Prawo kontrapozycji:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B2: ~CH=>~P = B3: P=>CH

Dowodzimy warunku wystarczającego B3.
B3:
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
to samo w zapisie formalnym:
q=>p =1
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona bo zawsze gdy spada, są chmury.
cnd

Definicja tożsamości logicznej „=”:
B2: ~CH=>~P = B3: P=>CH
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Na mocy definicji tożsamości logicznej jest wszystko jedno którą stronę weźmiemy na cel i będziemy dowodzić jej prawdziwości/fałszywości.
W przypadku prostej teorii zdarzeń (nasz przykład) dowód fałszywości którejkolwiek ze stron jest banalny, ale w operacjach na zbiorach nieskończonych, gdzie obowiązuje identyczna logika matematyczna jak w teorii zdarzeń, już tak nie jest - tu zdania z najprostszym warunkiem wystarczającym => zawsze dowodzi się najprościej, czego wkrótce doświadczymy.

Krok 2

Badamy prawdziwość/fałszywość zdania B2 kodowanego warunkiem koniecznym ~>.
A2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~> nie padać (~P=1)
~CH~>~P =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~>~q=1
Brak chmur (~CH=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> aby jutro nie padało (~P=1) bo mogą być chmury i może nie padać.
Indeksowanie A2 wynika tu z tabeli T1.

Jak sprawdzić czy zdanie A2 jest prawdziwe/fałszywe w najprostszy możliwy sposób?
Odpowiedź:
Trzeba skorzystać z prawa Kubusia sprowadzając zdanie A2 do najprostszego warunku wystarczającego =>.
Prawo Kubusia na mocy tabeli T1:
A2: ~CH~>~P = A1: CH=>P
Dowodzimy prawdziwości/fałszywości zdania A1:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padało
CH=>P =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona, bo nie zawsze, gdy jest pochmuro, pada.
cnd
Na mocy prawa Kubusia fałszywość warunku wystarczającego A1: CH=>P=0 wymusza fałszywość warunku koniecznego A2:~CH~>~P =0
cnd

Zdanie które przeanalizowaliśmy logicznie brzmi:
W.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może padać
~CH~~>P = ~CH*P =0
Nie jest możliwe (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
na mocy prawa śfinii to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Gdzie:
p=CH(chmury)
q=P(pada)

Rozstrzygnięcie:
Jak to wyżej udowodniliśmy zdanie W jest fałszywym kontrprzykładem:
B2’: ~CH~~>P = ~CH*P =0
dla prawdziwego warunku wystarczającego B2:
B2: ~CH=>~P =1

Udowodniliśmy także fałszywość zdania B2 kodowanego warunkiem koniecznym ~>:
A2: ~CH~>~P =0

Te dwa dowody, B2 i A2 dają nam pewność, że mamy tu do czynienia z implikacją prostą ~CH|=>~P w logice ujemnej (bo ~P).

Definicja implikacji prostej ~CH|=>~P w logice ujemnej (bo ~P):
Implikacja prosta ~CH||=>~P to zachodzący wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~CH~>~P =0 - brak chmur nie jest (=0) konieczny ~> dla braku opadów
B2: ~CH=>~P =1 - brak chmur jest (=1) wystarczający => dla braku opadów
stąd:
~CH|=>~P = ~(A2: ~CH~>~P)*(B2: ~CH=>~P) = ~(0)*1 = 1*1 =1

Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy implikacji odwrotnej ~P|~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH):
Kod:

T3
Analiza matematyczna zdania:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
~p~~>q = ~p*q =0
Gdzie:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
       A1B1:         A2B2:        |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p   =0 = 4:~q=>~p  =0
A:  1: CH=>P  =0 = 2:~CH~>~P=0    [=] 3: P~>CH  =0 = 4:~P=>~CH =0
A’: 1: p~~>~q =1 =                [=]              = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: CH~~>~P=1 =                [=]              = 4:~P~~>CH =1                   
       ##             ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q   =1 = 2:~p=>~q =1    [=] 3: q=>p   =1 = 4:~q~>~p  =1
B:  1: CH~>P  =1 = 2:~CH=>~P=1    [=] 3: P=>CH  =1 = 4:~P~>~CH =1
B’:              = 2:~p~~>q =0    [=] 3: q~~>~p =0
B’:              = 2:~CH~~>P=0    [=] 3: P~~>~CH=0
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
p|~>q  = ~(A1: p=>q) * (B1: p~>q) - zapis formalny
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)* (B1: CH~>P) - zapis aktualny
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
~p|=>~q  = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - zapis formalny
~CH|=>~P = ~(A2:~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P) - zapis aktualny

Układ równań logicznych jest przemienny.
Stąd mamy tożsame logicznie równanie operatora implikacji prostej ~p||=>~q.
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
~p|=>~q  = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - zapis formalny
~CH|=>~P = ~(A2:~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P) - zapis aktualny
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
p|~>q  = ~(A1: p=>q) * (B1: p~>q) - zapis formalny
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)* (B1: CH~>P) - zapis aktualny

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~p||=>~q zdefiniowanego tabelą T3.

Operator logiczny implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to odpowiedź na dwa pytania A2B2 i A1B1:

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padało (~P=1) - mówi o tym zdanie B2.

B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P =1
Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby nie padało (~P=1), bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.

Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem.
Sprawdzenie:
B2’
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
To samo w zapisie formalnym (na mocy prawa śfinii):
p~>q =1
Chmury (CH=1) są konieczne ~> by jutro padało (P=1), bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P - prawo Kubusia w zapisie aktualnym
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =1 - prawo Kubusia w zapisie formalnym

LUB

A1: CH=>P =0
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1 musi być prawdą.
Sprawdzenie:
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)

Jak łatwo zauważyć zostałem leniwcem, czyli skopiowałem analizę matematyczną tabeli T3 zamieszczoną w punkcie 4.8.2 w odwrotnej kolejności, najpierw odpowiedź na pytanie A2B2 a następnie odpowiedź na pytanie A1B1.

To jest praktycznym dowodem zachodzącej to tożsamości logicznej:
A2B2: ~CH|=>~P = A1B1: CH|~>P

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej ~CH||=>~P jest gwarancja matematyczna po stronie ~CH (brak chmur) oraz najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie CH (są chmury).

Doskonale widać, że szczegółowa analiza operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w logice dodatniej (bo P) poczyniona w poprzednim punkcie jest w 100% tożsama ze szczegółową analizą implikacji prostej ~CH||=>~P w logice ujemnej (bo ~P) przedstawioną w niniejszym punkcie, bowiem zdania z obu tych analiz możemy wypowiadać w dowolnej kolejności.

Potwierdza to udowodnioną wyżej tożsamość operatorów logicznych:
CH||~>P = ~CH||=>~P
to samo w zapisie formalnym:
p||~>q = ~p||=>~q

6.3 Przykład operatora implikacji odwrotnej A||~>S w zdarzeniach

Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.

Przypomnijmy sobie elementarz algebry Kubusia.

Elementarne spójniki implikacyjne w zdarzeniach to:
1.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0 - gdy nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
2.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p wymusza => zajście zdarzenia q
p=>q =1
inaczej:
p=>q =0
3.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q.
p~>q =1
Inaczej:
p~>q =0

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q.

Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod:

S2 Schemat 2
             S               W            A
       -------------       ______       ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------


Zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Nie, bo nie zawsze gdy wciśniemy przycisk A żarówka zaświeci się.
Żarówka zaświeci się wtedy i tylko wtedy gdy dodatkowo przycisk W będzie wciśnięty.
Zauważmy, że pytanie A1 nie dotyczy przycisku W.
Przycisk W tu jest zmienną wolną którą możemy zastać w dowolnej pozycji W=x gdzie x={0,1}
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A nie daje nam (=0) gwarancji matematycznej => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Tak
Konieczne dlatego, że dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiona na W=1 (przycisk wciśnięty).
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Przyjmijmy zdanie B1 za punkt odniesienia:
p=>q =1 - na mocy prawa śfinii
Nasz punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A wciśnięty)
q=S (żarówka świeci się)
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1).
Konieczne dlatego, że dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiona na W=1
cnd

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej A|~>S:
Implikacja odwrotna A|~>S to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =0 - wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia się żarówki S
##
B1: A~>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia żarówki S
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1 = 1*1 =1

Podstawmy to do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T3
Analiza matematyczna zdania:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to żarówka może ~> się świecić
A~>S=1 - wciśnięcie A jest konieczne ~> dla świecenia S
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=>q =1
Gdzie:
p=A (przycisk)
q=S (żarówka)
       A1B1:          A2B2:      |     A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q =0  [=] 3: q~>p   =0 = 4:~q=>~p =0
A:  1: A=>S   =0 = 2:~A~>~S =0  [=] 3: S~>A   =0 = 4:~S=>~A =0
A’: 1: p~~>~q =1 =              [=]              = 4:~q~~>p =1                   
A’: 1: A~~>~S =1 =              [=]              = 4:~S~~>A =1                   
       ##             ##         |     ##            ##
B:  1: p~>q   =1 = 2:~p=>~q =1  [=] 3: q=>p   =1 = 4:~q~>~p =1
B:  1: A~>S   =1 = 2:~A=>~S =1  [=] 3: S=>A   =1 = 4:~S~>~A =1
B’:              = 2:~p~~>q =0  [=] 3: q~~>~p =0
B’:              = 2:~A~~>S =0  [=] 3: S~~>~A =0
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1:
Co się stanie jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
p|~>q = ~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - zapis formalny
A|~>S = ~(A1: A=>S)* (B1: A~>S) - zapis aktualny
A2B2:
Co się stanie jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - zapis formalny
~A|=>~S = ~(A2:~A~>~S)*(B2:~A=>~S) - zapis aktualny

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator implikacji odwrotnej A||~>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych:
A1B1:
Co się stanie jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
A|~>S = ~(A1: A=>S)* (B1: A~>S) - zapis aktualny
A2B2:
Co się stanie jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
~A|=>~S = ~(A2:~A~>~S)*(B2:~A=>~S) - zapis aktualny

Innymi słowy:
Operator implikacji odwrotnej A||~>S to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

B1.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S (S=1) bo jak przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S

Analizę matematyczną zaczynamy od zdania B1 zatem na mocy prawa śfinii zapis formalny to:
B1: p~>q =1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii:
p=A - przycisk A (wejście)
q=S - żarówka S (wyjście)

LUB

Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą, stąd:
A1’.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Gdy zmienna wolna W ustawiona jest na W=1.

A2B2
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka nie będzie się świecić - mówi o tym zdanie B2.

B2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie będzie się świecić (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcie przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż żarówka nie będzie się świecić (~S=1), bo przyciski A i W połączone są szeregowo.
Stan przycisku W jest tu bez znaczenia W=x gdzie: x={0,1}
Zachodzi tożsamość pojęć:
Gwarancja matematyczna => = Warunek wystarczający =>
Prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie).

B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Zauważmy, że przyciski A i W połączone są szeregowo, z czego wynika że:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Stan zmiennej wolnej W jest tu bez znaczenia: W=x gdzie: x={0,1}

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji odwrotnej A||~>S jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie wciśniętego przycisku A (zdania B1 i A1”), oraz gwarancja matematyczna => po stronie nie wciśniętego przycisku A (zdanie B2).
Doskonale to widać w powyższej analizie.


6.3.1 Wisienka na torcie w operatorze implikacji odwrotnej A||~>S

Wisienką na torcie w implikacji odwrotnej A||~>S jest podstawowy schemat układu realizującego implikację odwrotną A|~>S w zdarzeniach zrealizowany przy pomocy zespołu przycisków (wejście) i żarówki (wyjście).
Kod:

S2 Schemat 2
Fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1=1
             S               A            W
       -------------       ______       ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
Punkt odniesienia: przycisk A
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej szeregowo z przyciskiem A

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.

Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej W:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje A i B.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W. Oboje widzą dokładnie tą samą żarówkę S. Jaś nie widzi Zuzi, ani Zuzia nie widzi Jasia, ale oboje wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S2, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S2, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna). Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.
Punktem odniesienia na schemacie S2 jest Jaś siedzący w pokoju A, bowiem w równaniu opisującym układ występuje wyłącznie przycisk A - Jaś nie widzi przycisku W.

Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna W będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(w) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(w) =1
oraz
f(w)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(w) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku W, gdzie daje się ustawić zarówno W=1 jak i W=0.
Przykład:
f(w) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty

Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte

Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S2 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S

6.4 Przykład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach

Twierdzenia matematyczne operują wyłącznie na zbiorach nieskończonych, logika matematyczna jest tu identyczna jak opisana wyżej banalna logika zdarzeń, jednak zbiory nieskończone z oczywistych powodów są trudniejsze do analizy.
Niemniej jednak możliwe są operacje na zbiorach nieskończonych zrozumiałe dla ucznia I klasy LO i do takich zbiorów ograniczymy się w wykładzie.

Definicja twierdzenia matematycznego:
Dowolne twierdzenie matematyczne prawdziwe to spełniony warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
inaczej:
p=>q =0 - twierdzenie matematyczne jest fałszywe.
Koniec i kropka, nie ma żadnych innych twierdzeń matematycznych.

Przypomnijmy sobie elementarz algebry Kubusia dla zbiorów.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Elementarne spójniki implikacyjne w zbiorach to:
1.
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy istnieje (=1) wspólny element zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0 - gdy nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p i q (zbiory rozłączne)
2.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q.
p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony, gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
inaczej:
p=>q =0
3.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony, gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>:
p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q.

Zadanie matematyczne w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Dane jest zdanie:
W.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
Polecenia:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę szczegółową zlokalizowanego operatora logicznego.

Rozwiązanie Jasia (I klasa LO):
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p
      ##        ##           ##        ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Uwaga:
Tabelę T1 każdy matematyk musi znać na pamięć jak tabliczkę mnożenia do 100, bez tej znajomości może zapomnieć o jakiejkolwiek, poprawnej logice matematycznej.

Na początek sprawdzamy prawo Kobry:
WK.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
P2~~>P8 = P2*P8 =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów jest spełniona bo zbiory P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..] mają co najmniej jeden element wspólny np. 8.
cnd
To samo zdanie w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =1 - na mocy prawa śfinii
Punkt odniesienia na mocy praw śfinii to:
p=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8

Sprawdźmy czy w zdaniu WK spełniony jest warunek wystarczający =>:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8=1)
P2=>P8 =0
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8…]
Indeksowanie A1 wymusza tu tabela T1.
Zauważmy bowiem, że w kolumnach A1B1 i A2B2 (tylko te nas interesują na mocy prawa śfinii) warunek wystarczający p=>q mamy wyłącznie na pozycji A1.
cnd

Aby stwierdzić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi nasze zdanie W musimy zbadać prawdziwość/fałszywość zdania A1 kodowanego warunkiem koniecznym ~>
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona, bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Indeksowanie B1 wynika tu z tabeli T1,

Najprostszy warunek wystarczający zawsze łatwiej się dowodzi.
Zastosujmy zatem prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p - zapis formalny
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2 - zapis aktualny
Dowodzimy prawdziwości B3.
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8…]
Dowód przez pokazanie 😊
cnd

Definicja tożsamości logicznej:
Prawo Tygryska:
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Oczywistym jest że w prawie Tygryska łatwiej dowodzi się warunek wystarczający B3:
B3: P8=>P2 =1
Po udowodnieniu, na mocy prawa Tygryska, mamy gwarancję matematyczną prawdziwości warunku koniecznego B1.
B1: P2~>P8 =1

Mamy nasze zdanie W.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~~>P8 = P2*P8 =1 bo 8

Udowodniliśmy wyżej, że zdanie to jest częścią implikacji odwrotnej P2|~>P8:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P2=>P8 =0 - podzielność liczby przez 2 nie jest (=0) wystarczająca => dla jej podzielności przez 8
B1: P2~>P8=1 - podzielność liczby przez 2 jest (=1) konieczna ~> dla jej podzielności przez 8
P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: ~P2=>~P8) = ~(0)*1 =1*1 =1

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy T3.
Kod:

T3
Analiza matematyczna zdania:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
P2~~>P8=P2*P8=1 bo 8
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p~~>q = p*q =1
Gdzie:
p=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8 - zbiór liczba podzielnych przez 8
       A1B1:           A2B2:      |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   = 0 = 2:~p~>~q  =0 [=] 3: q~>p    =0 = 4:~q=>~p  =0
A:  1: P2=>P8  =0 = 2:~P2~>~P8=0 [=] 3: P8~>P2  =0 = 4:~P8=>~P2=0
A’: 1: p~~>~q  =1 =              [=]               = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: P2~~>~P8=1 =              [=]               = 4:~P8~~>P2=1                   
       ##             ##          |     ##            ##
B:  1: p~>q    =1 = 2:~p=>~q  =1 [=] 3: q=>p    =1 = 4:~q~>~p  =1
B:  1: P2~>P8  =1 = 2:~P2=>~P8=1 [=] 3: P8=>P2  =1 = 4:~P8~>~P2=1
B’:               = 2:~p~~>q  =0 [=] 3: q~~>~p  =0
B’:               = 2:~P2~~>P8=0 [=] 3: P8~~>~P2=0
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
p|~>q  = ~(A1: p=>q) * (B1: p~>q) - zapis formalny
P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)* (B1: P2~>P8) - zapis aktualny
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
~p|=>~q  = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - zapis formalny
~P2|=>~P8 = ~(A2:~P2~>~P8)*(B2:~P2=>~P8) - zapis aktualny
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Weźmy zdanie B1.
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
zapis formalny:
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona, bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
W poprzedniku tu mamy zbiór liczb podzielnych przez 2:
P2=[2,4,6,8..]
W następniku mamy zbiór liczb podzielnych przez 8:
P8=[8,16,24..]
Przyjmijmy wspólną dziedzinę:
LN=1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór wszystkich liczb naturalnych
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny:
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (zbiór liczb nieparzystych)
~P8=[LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
p|~>q = ~(A1: p=>q) * (B1: p~>q) - zapis formalny
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - zapis formalny

Innymi słowy w zapisach aktualnych:
Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co się stanie jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę podzielna przez 2 (P2=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~> być podzielna przez 8 (P8=1)
P2~>P8 =1
zapis formalny:
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona, bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]

LUB

A1: P2=>P8=0
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1 mus być prawdą.
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P2~~>~P8=P2*~P8 =1
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest (=1) spełniona bo zbiory P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6..9..] mają co najmniej jeden element wspólny np. 2
W zdaniu A1’ nie zachodzi ani warunek wystarczający =>, ani tez konieczny ~> i tego faktu nie musimy dowodzić na mocy algebry Kubusia.

A2B2:
Co się stanie jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba nie będzie podzielna przez 8 - mówi o tym zdanie B2.

B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
~P2=>~P8 =1
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 wystarcza => dla jej niepodzielności przez 8 bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Oczywiście ten fakt dowodzimy korzystając z prawa kontrapozycji:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p - zapis formalny
B2: ~P2=>~P8 = B3: P8=>P2 - zapis aktualny
Udowodnienie prawdziwości B3: P8=>P2 =1 na mocy prawa kontrapozycji gwarantuje prawdziwość zdania B2:~P2=>~P8 =1

Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem.
B2’
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8=1)
~P2~~>P8=~P2*P8 =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest rozłączny ze zbiorem P8=[8,16, 24..]
Dowolny zbiór liczb nieparzystych jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb parzystych,
cnd

Podsumowanie:
Cechą charakterystyczną operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie liczb podzielnych przez 2 (zdania B1 i A1’) oraz gwarancja matematyczna => po stronie liczb niepodzielnych przez 2 (zdanie B2)
Doskonale to widać w analizie wyżej.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Pią 11:37, 30 Kwi 2021    Temat postu:
30-04-2021
Ta wersja punktu 4.0 idzie do poprawek, nie dlatego iż cokolwiek jest tu źle, ale zamierzam to samo napisać lepiej.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-w-finalna,18263.html#577211

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Spis treści
4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 1
4.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 1
4.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 2
4.1.2 Prawa Kobry dla zbiorów 3
4.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 3
4.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 4
4.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 4
4.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~> 4
4.4 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 8
4.5 Porównanie implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q 10
4.5.1 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiej algebry Boole’a 13
4.6 Prawo śfinii 15
4.7 Skrócone definicje operatorów implikacyjnych 15



4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

4.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q.

I.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory p i q są rozłączne i nieskończone to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

4.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

4.1.2 Prawa Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem => samego siebie:
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].

Zbiór pusty jest zbiorem zewnętrznym w stosunku do dowolnego zbioru niepustego.
Wynika to z definicji zbioru pustego [] w algebrze Kubusia (pkt. 3.0)


4.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

I.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

4.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

4.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)


4.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicja znaczka różne # dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy jedna z nich jest zaprzeczeniem (~) drugiej
Przykład:
A1: Y=(p=>q)=~p*q # A1N: ~Y=~(p=>q)=p+~q

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej (szczegóły w pkt. 2.1)

Weźmy nasze funkcje logiczne A1 i B1:
Kod:

A1:  Y= (p=>q)=~p+q  ##  B1:  Y= (p~>q)=p+~q 
     #                        #
A1N:~Y=~(p=>q)=p*~q  ##  B1N:~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
A1:  Y= (p=>q)=~p+q - funkcja logiczna A1 w logice dodatniej (bo Y)
A1N:~Y=~(p=>q)=p*~q - funkcja logiczna A1 w logice ujemnej (bo ~Y)

Doskonale widać, że definicje znaczków # i ## są tu spełnione.

Kod:

T1
Definicja warunku wystarczającego =>
        Y=
   p  q p=>q=~p+q
A: 1=>1  1
B: 1=>0  0
C: 0=>0  1
D: 0=>1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

##
Kod:

T2
Definicja warunku koniecznego ~>
        Y=
   p  q p~>q=p+~q
A: 1~>1  1
B: 1~>0  1
C: 0~>0  1
D: 0~>1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

##
Kod:

T3
Definicja spójnika “lub”(+)
        Y=
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 0  0
D: 0+ 1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

##
Kod:

T4
Definicja spójnika “i”(*)
        Y=
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 0  0
D: 0* 1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Dowód iż funkcje logiczne z tabel T1, T2, T3 i T4 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
Kod:

T1:  Y= (p=>q)=~p+q  ## T2:  Y =(p~>q)=p+~q ## T3:  Y= p+q  ## T4:  Y=p*q
     #                       #                      #               #
T1N:~Y=~(p=>q)= p*~q ## T2N:~Y=~(p~>q)=~p*q ## T3N:~Y=~p*~q ## T4N:~Y=~p+~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
T1:  Y= (p=>q)=~p+q - funkcja logiczna T1 w logice dodatniej (bo Y)
T1N:~Y=~(p=>q)=p*~q - funkcja logiczna T1 w logice ujemnej (bo ~Y)

Doskonale widać, że dowolna funkcja z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

Wyprowadźmy w rachunku zero-jedynkowym matematyczne związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
              Y=    Y=        Y=    Y=        Y=        #  ~Y=
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q # ~(p=>q)=p*~q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0       #    =1
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
                1     2         3     4         5             6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q

##
Kod:

Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
              Y=    Y=        Y=    Y=        Y=        #  ~Y=
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q # ~(p~>q)=~p*q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0       #    =1
                1     2         3     4         5
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Y = (p=>q) = ~p+q ## Y=(p~>q) =p+~q

Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).

Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż w zdaniu A1 spełniony jest warunek wystarczający =>:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
jest tożsame z udowodnieniem iż w zdaniu A2 spełniony jest warunek konieczny ~>:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
(albo odwrotnie)

Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno (CH), bo zawsze gdy pada (P), jest pochmurno (CH)

Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
Prawdziwość zdania A1 wymusza prawdziwość zdania A2, z czego wynika, że prawdziwości zdania A2 nie musimy dowodzić.
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH), bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH

4.4 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Mutacje powyższych praw logiki matematycznej:

Pod p i q w powyższych prawach możemy podstawiać zanegowane zmienne w dowolnych konfiguracjach.

Przykład:
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1.
Podstawiamy:
p:=~p - pod p podstaw := ~p
q:=~q - pod q podstaw := ~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>~q = ~(~p)~>~(~q) = p~>q
2.
Podstawiamy:
p:=p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q
3.
Podstawiamy:
p:=~p
q:=q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>q = ~(~p)~>~q = p~>~q

4.5 Porównanie implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q

Poznajmy kluczowe definicje implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q

Podstawowa definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

IP: Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5:~p+q
      ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):[/b]
p=>q =~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):[/b]
Y = (p~>q) =p+~q
stąd mamy:
Wyprowadzenie definicji implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
IP:
Kolumna A1B1:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
A1B1: p|=>q = ~p*q

Porównajmy.

IP: Implikacja prosta p|=>q
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
Y = (p=>q) =~p+q
##
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Y = (p|=>q) = ~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Podstawowa definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

IO: Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
      ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):[/b]
p=>q =~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):[/b]
Y = (p~>q) =p+~q
stąd mamy:

Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
IO:
Kolumna A1B1:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
A1B1: p|~>q = p*~q

Porównajmy:

IO: Implikacja odwrotna p|~>q
Definicja warunku koniecznego p~>q:
Y = (p~>q) =p+~q
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Y = (p|~>q) = p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

W tabelach IP (implikacja prosta) i IO (implikacja odwrotna) p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Na mocy powyższego zapisujemy:

IP: Implikacja prosta p|=>q
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
Y = (p=>q) =~p+q
##
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Y = (p|=>q) = ~p*q

IO Implikacja odwrotna p|~>q
Definicja warunku koniecznego p~>q:
Y = (p~>q) =p+~q
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Y = (p|~>q) = p*~q

Doskonale widać, że między implikacją prostą IP a implikacją odwrotną IO zachodzi relacja matematyczna:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Dowód formalny:
Kod:

IPIO:
 WW:               IP:                WK:               IO:
 Y=(p=>q)=~p+q  ## Y=(p|=>q)=~p*q  ## Y=(p~>q)=p+~q  ## Y=(p|~>q)=p*~q
 #                 #                  #                 #
 WWN:              IPN:               WKN:              ION:
~Y=~(p=>q)=p*~q ##~Y=~(p|=>q)=p+~q ##~Y=~(p~>q)=~p*q ##~Y=~(p|~>q)=~p+q
Gdzie:
WW - warunek wystarczający (WWN - negacja WW)
IP - implikacja prosta (IPN - negacja IP)
WK - warunek konieczny (WKN - negacja WK)
IO - implikacja odwrotna (ION - negacja IO)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Doskonale widać, że definicja znaczka różna na mocy definicji ## dla funkcji logicznych w tabeli IPIO spełniona jest perfekcyjnie.

4.5.1 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiej algebry Boole’a

Biedni ziemscy matematycy nie odróżniają funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) od funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
W algebra Boole’a ziemian wszystkie funkcje logiczne zapisywane są wyłącznie w logice dodatniej (bo Y).
Zapiszmy zatem w tabeli IPIO wszystkie funkcje w logice dodatniej (bo Y):
Kod:

IPIOZ: - matematyczna głupota ziemskich matematyków
 WW:               IP:                WK:               IO:
 Y=(p=>q)=~p+q  ## Y=(p|=>q)=~p*q  ## Y=(p~>q)=p+~q  ## Y=(p|~>q)=p*~q
 #                 #                  #                 #
 WWN:              IPN:               WKN:              ION:
 Y=~(p=>q)=p*~q ## Y=~(p|=>q)=p+~q ## Y=~(p~>q)=~p*q ## Y=~(p|~>q)=~p+q
Gdzie:
WW - warunek wystarczający (WWN - negacja WW)
IP - implikacja prosta (IPN - negacja IP)
WK - warunek konieczny (WKN - negacja WK)
IO - implikacja odwrotna (ION - negacja IO)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Jak widzimy, w tym momencie algebra Boole’a ziemskich matematyków leży, kwiczy i błaga o litość - jest wewnętrznie sprzeczna.

Dowód:
Bez logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) nie jest spełniona definicja znaczka:
## - różne na mocy definicji dla funkcji logicznych

Przykład z tabeli IPIOZ:
WW: Y=(p=>q)=~p+q [=] ION: Y=~(p|~>q) =~p+q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
Funkcja logiczna WW jest (=1) tożsama [=] z funkcją logiczną ION

Gdy tymczasem w poprawnej algebrze Boole’a według tabeli IPIO powinno być:
WW: Y=(p=>q)=~p+q ## ION: ~Y=~(p|~>q) = ~p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
Funkcja logiczna WW nie jest (=0) tożsama z funkcją logiczną ION

Twierdzenie masakrujące ziemską algebrę Boole’a:
Poprawna algebra Boole’a musi widzieć funkcje logiczne zarówno w logice dodatniej (bo Y) jak i w logice ujemnej (bo ~Y), inaczej jest wewnętrznie sprzeczna.
Wniosek:
Ziemska algebra Boole’a, która nie widzi funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna
cnd

Uwagi:

I.
Ziemski matematyk który będzie twierdził iż funkcje logiczne algebry Boole’a to nie jest algebra Boole’a powinien spalić się ze wstydu … i wziąć zimny prysznic.
1: Y=p+q

II.
Ziemski matematyk który będzie twierdził, iż dowolnej funkcji logicznej nie wolno dwustronnie negować powinien spalić się ze wstydu … albo wziąć zimny prysznic (do wyboru)
1: Y=p+q
Negujemy dwustronnie:
2: ~Y=~(p+q)
2: ~Y=~p*~q - na mocy prawa De Morgana
To jest niewyobrażalne, jak ziemscy matematycy, mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) zdołali uniknąć odkrycia logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jak na powyższym przykładzie znanym każdemu 5-cio latkowi, ekspertowi algebry Kubusia ( i Boole’a oczywiście).

Dowód:
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y=K+T
Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
Czy wiesz kiedy pani jutro skłamie?
Jaś:
Oczywiście że wiem, przechodzę do logiki ujemnej (bo ~Y) i mam odpowiedź:
~Y=~K*~T
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
~Y=~K*~T
Znaczenie symboli:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa (= pani skłamie)

Niestety, o powyższych banałach, czyli logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) w banalnym zastosowaniu jak wyżej najwięksi ziemscy matematycy nie mają najmniejszego pojęcia.
Dowód:
Nie ma tego typu przykładów zastosowania logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) w żadnym podręczniku matematyki, ani nawet w żadnym miejscu w Internecie … z wyjątkiem forum śfinia oczywiście.

4.6 Prawo śfinii

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q.

4.7 Skrócone definicje operatorów implikacyjnych

1.
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Kod:

IP: Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


2.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznyego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Kod:

IO: Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia



3.
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


4.
Definicja chaosu p|~~>q:
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystraczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Kod:

CH: Tabela prawdy chaosu p|~~>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w chaosie p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1                  [=]               4:~q~~>~p=1
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p=1
B”:               2:~p~~>~q=1    [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Równanie operatora chaosu p||~~>q:
A1B1: A2B2
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(B1:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~~>~q

Operator chaosu p||~~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~~>~q=~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p||~~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~~>~q=~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
[/code]
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Nie 8:38, 09 Maj 2021    Temat postu:
2021-05-09
Ten rozdział w finalnej wersji będzie zmieniony

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-w-finalna,18263.html#581665

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
8.0 Spójnik „albo”($) p$q i operator „albo”(|$) p|$q


Spis treści
8.0 Spójnik „albo”($) p$q i operator „albo”(|$) p|$q 1
8.1 Armagedon ziemskiej algebry Boole’a w temacie spójników „albo”($) i p<=>q 5
8.2 Spójnik „albo” p$q 7
8.2.1 Spójnik „albo”($) w logice dodatniej p$q i ujemnej ~p$~q 9
8.2.2 Spójnik „albo” p$q jako negacja zbiorów/pojęć 14
8.3 Operator „albo” p|$q 18
8.4 Operator „albo” q|$p 21
8.5 Skąd bierze się zero-jedynkowa definicja spójnika „albo” p$q? 23


8.0 Spójnik „albo”($) p$q i operator „albo”(|$) p|$q

Spójnik „albo”($) to spójnik kompletnie przez ziemskich matematyków nierozumiany.

Dowód:
Który z ziemskich matematyków wie, że spójnik „albo”($) to szczególny rodzaj równoważności o definicji:
p$q = ~(p<=>q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Definicja spójnika równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zajście warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q

Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (p=q), natomiast przedstawiona niżej definicja spójnika „albo”($) definiuje negację zbiorów (p=~q) - różnica jest więc fundamentalna.

Definicja spójnika „albo”($):
Spójnik „albo”($) to jednoczesne zajście warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Definicja negacji zbiorów p=~q:
Zbiór p jest negacją zbioru q (p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest definicja spójnika „albo” p$q:
p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p) = p$q

Lewą stronę spójnika „albo”($) czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Przykład 1:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) albo kobietą (K=1)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1

Natomiast matematycznie tożsamą:
Prawą stronę definicji spójnika „albo”($) czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
p$q = ~(p<=>q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Przykład 2:
Bycie mężczyzną (M=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby nie być kobietą (K=1)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1

Oczywistym jest, że powyższe przykłady 1 i 2 są poprawne w dziedzinie:
C (człowiek) = M (mężczyzna) + K (kobieta)
Innymi słowy:
Zbiór wszystkich ludzi C (człowiek) jest sumą logiczną (+) zbiorów mężczyzn M i kobiet K.
C = M+K
Obliczenie przeczeń zbiorów rozumianych jako ich uzupełnień do dziedziny
~M = [C-M] = [M+K-M] =K
~K = [C-K] = [M+K-K] =M
Stąd mamy następujące tożsamości zbiorów:
M=~(K) - zbiór mężczyzn (M) to zaprzeczenie (~) zbioru kobiet (K) w dziedzinie C
K = ~(M) - zbiór kobiet (K) to zaprzeczenie (~) zbioru mężczyzn (M) w dziedzinie C

Graficzne związki matematyczne między zbiorami M (mężczyzna) i K (kobieta) można przedstawić następująco:
Kod:

Graficzna interpretacja spójnika „albo” M(mężczyzna) $ K(kobieta)
--------------------------------------------------------------------
| TAZ - tabela prawdy spójnika „albo” M$K w zbiorach               |
| Dziedzina minimalna:                                             |
| C=M+K - dziedzina C(człowiek) to suma logiczna zbiorów M+K       |
--------------------------------------------------------------------
| M - zbiór M(mężczyzn)          | K - zbiór K(kobiet)             |
| M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)  | K$M = (A4: K=>~M)*(B4: K~>~M)   |
| M$K definiuje:                 | K$M definiuje:                  |
| M=~(K)- zbiór M jest negacją K | K=~(M) - zbiór K jest negacją M |
| M=~K - zapis tożsamy           | K=~M - zapis tożsamy            |
| W zbiorach zachodzi również:   | W zbiorach zachodzi również:    |
| M=~(K)=~(~M) - bo K=~M         | K=~(M)=~(~K) - bo M=~K          |
--------------------------------------------------------------------

Dokładnie ta sama tabela w zapisach formalnych (oderwanych od przykładu) dla punktu odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
wygląda następująco.
Kod:

Graficzna interpretacja spójnika „albo” p$q
-------------------------------------------------------------------
| TAZ - tabela prawdy spójnika „albo” p$q w zbiorach              |
| Dziedzina minimalna:                                            |
| D=p+q - dziedzina minimalna to suma logiczna zbiorów p+q        |
-------------------------------------------------------------------
| p - zbiór p                   | q - zbiór q                     |
|p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)  | q$p = (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p)   |
|p$q definiuje:                 | q$p definiuje:                  |
|p=~(q)- zbiór p jest negacją q | q=~(p) - zbiór q jest negacją p |
|p=~q - zapis tożsamy           | q=~p - zapis tożsamy            |
|W zbiorach zachodzi również:   |W zbiorach zachodzi również:     |
|p=~(~p) bo q=~p                | q=~(~q) bo p=~q                 |
-------------------------------------------------------------------

Zauważmy, że spójnik „albo”($) definiuje negację zbiorów/pojęć p=~q.

Definicja negacji zbiorów/pojęć p=~q:
Zbiór p jest negacją zbioru q (p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q i jednocześnie zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
p=~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p$q

Dowód:
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = ~(p<=>q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Podstawmy do definicji spójnika „albo”($) tożsamość:
q=~p
stąd mamy:
p$~p = (A1: p=>~(~p))*(B1: p~>~(~p)) = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) =1*1 =1
p$~p = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) =1*1 =1
bo:
A1: p=>p =1 - każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>p =1 - każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego

Ziemscy matematycy nie mają bladego pojęcia, iż w logice matematycznej w zbiorach zachodzą tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Gdzie:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy tożsamy dowód iż spójnik „albo”($) to w istocie definicja negacji pojęć/zbiorów p=~q.
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = ~(p<=>q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
stąd mamy:
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
p$q = p*~q + ~p*q
Dla q=~p mamy:
p$~p = p*~(~p) + ~p*(~p) = p+~p=1
cnd

Podsumujmy nasze rozważania wyżej.

Definicja spójnika „albo”($):
Spójnik „albo”($) to jednoczesne zajście warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Tożsama definicja szersza:
p$q = ~(p<=>q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Spójnik „albo”($) definiuje negację zbiorów/pojęć p=~q.

Definicja negacji zbiorów/pojęć p=~q:
Zbiór p jest negacją zbioru q (p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q i jednocześnie zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
p=~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p$q

Definicja spójnika równoważności p<=>q jest inna i definiuje tożsamość zbiorów/pojęć p=q a nie jak to jest w spójniku „albo”($) negację zbiorów/pojęć p=~q

Definicja spójnika równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zajście warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q

Rozważmy najszerszą definicję spójnika „albo”($):
p$q = ~(p<=>q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Z powyższej tożsamości wynika, że jeśli prawdziwa jest relacja negacji zbiorów p=~q definiowana spójnikiem „albo”($) to dla tej relacji równoważność p<=>q definiująca tożsamość zbiorów p=q musi być fałszem.

Dowód:
Dla relacji negacji zbiorów q=~p definiowanej spójnikiem „albo”($) mamy:
p$~p = ~(p<=>~p) = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) =1*1 =1
bo:
p=>p =1 - każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
p~>p =1 - każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego

Definicja równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Sprawdźmy iż w istocie, dla relacji q=~p równoważność p<=>q jest fałszem.
p<=>~p = (A1: p=>~p)*B1: p~>~p) = (A1: ~p)*(B1: p) =~p*p =0
bo:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q =~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q =p+~q
Stąd mamy:
A1: p=>~p = ~p+~p =~p
B1: p~>~p = p+p =p
cnd

8.1 Armagedon ziemskiej algebry Boole’a w temacie spójników „albo”($) i p<=>q

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock

Ziemska algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków:
1 - prawda
0 - fałsz
(~) - negacja
„i”(*) - spójnik „i” z języka potocznego
„lub”(+) - spójnik „lub” z języka potocznego

Ziemska algebra Boole’a akceptuje wyłącznie funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y):
Y=f(x)
Przykład:
Y=p+q
Co w logice jedynek (funkcje alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Ziemski matematyk który będzie twierdził, iż funkcje logiczne algebry Boole’a to nie jest algebra Boole’a powinien skreślić słówko matematyk sprzed swego nazwiska.

W algebrze Boole’a dowolną funkcję logiczną Y wolno nam tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
~Y=~f(x)
Nasz przykład:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - bo prawo De Morgana
~Y=~p*~q
Co w logice jedynek (funkcje alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Ziemski matematyk który będzie twierdził, iż nie wolno dowolnej funkcji logicznej Y dwustronnie negować powinien spalić się ze wstydu i wziąć zimny prysznic.

W celu obalenia ziemskiej algebry Boole’a tzn. wykazania jej wewnętrznej sprzeczności, wyprowadźmy na początek definicje spójników „albo”($) p$q i równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q =~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q =p+~q

Definicja spójnika „albo”($):
Y = p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (~p+~q)*(p+q)=~p*p + ~p*q ~q*p + ~q*q = p*~q+~p*q
Y = p$q = p*~q+~p*q
Negujemy powyższą funkcję logiczną dwustronnie:
~Y = ~(p$q) = p*q+~p*~q

Definicja spójnika równoważności p<=>q:
Y = p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p +~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
Negujemy powyższą funkcję logiczną dwustronnie:
~Y = ~(p<=>q) = p*~q + ~p*q

Zapiszmy te dwie definicje w tabeli prawdy:
Kod:

T1
Definicja równoważności p<=>q: ## Definicja spójnika „albo”($):
 Y= (p<=>q)=p*q+~p*~q          ##  Y= (p$q)=p*~q+~p*q
 #                             ##  #
~Y=~(p<=>q)=p*~q+~p*q          ## ~Y=~(p$q)=p*q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych


Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji funkcji logicznych ## gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej.

W naszej tabeli T1 doskonale widać, że spójnik równoważności p<=>q jest różny na mocy definicji funkcji logicznych ## od spójnika „albo”($).

Ziemscy matematycy potrafią zapisywać dowolne funkcje logiczne algebry Boole’a tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y).
Zapiszmy zatem tabelę T1 tylko i wyłącznie w funkcjach logicznych w logice dodatniej (bo Y):
Kod:

T2
Definicja równoważności p<=>q: ## Definicja spójnika „albo”($):
 Y= (p<=>q)=p*q+~p*~q          ##  Y= (p$q)=p*~q+~p*q
 #                             ##  #
 Y= (p<=>q)=p*~q+~p*q          ##  Y= (p$q)=p*q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Doskonale widać, że wszędzie dostaliśmy wewnętrzną sprzeczność ziemskiej algebry Boole’a:
Po pierwsze:
Znaczek negacji funkcji logicznej # leży w gruzach.
Po drugie:
Leży i kwiczy definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##


8.2 Spójnik „albo” p$q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p$q - spójnik „albo”($) to nietypowa równoważność p$q = ~(p<=>q) = p<=>~q
p||~~>q - operator chaosu

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo”($) p$q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym następniku q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo” p$q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
      A1B1:      A2B2:  |      A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>~q = 2:~p~> q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p =1 [=] 5: ~p+~q
      ##         ##            ##        ##               ##
B: 1: p~>~q = 2:~p=> q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p =1 [=] 5:  p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład spójnika „albo”($) potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji spójnika „albo”($) jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>~q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>q=p*q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>~q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>q=p*q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>~q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>q=p*q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>~q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>q=p*q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

TA: Tabela prawdy spójnika „albo” p$q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo” p$q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:      |      A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>~q =1 = 2:~p~>q  =1  [=] 3: ~q~>p  =1 = 4: q=>~p =1
A’: 1: p~~>q =0 =              [=]              = 4: q~~>p =0
       ##            ##         |      ##            ##
B:  1: p~>~q =1 = 2:~p=>q  =1  [=] 3: ~q=>p  =1 = 4: q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>~q=0  [=] 3: ~q~~>~p=0

Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1:                                                   A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B2 p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q
Stąd mamy:
Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2
dający odpowiedź na dwa pytania o p (A1B1) i ~p (A2B2):
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1
dający odpowiedź na dwa pytania o ~p (A2B2) i p (A1B1):
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


8.2.1 Spójnik „albo”($) w logice dodatniej p$q i ujemnej ~p$~q

W dalszej części wykładu, dla lepszego zrozumienia, będziemy się wspomagać prostym przykładem.

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie od którego zaczynamy analizę matematyczną wyznacza punkt odniesienia, czyli jednoznacznie definiuje parametry formalne p i q.

Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1

Na mocy prawa śfinii przyjmujemy punkt odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
Przyjmujemy dziedzinę:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi
C=M+K
C (człowiek) = M (mężczyzna) „lub”(+) K (kobieta)
Stąd:
~M=[C-M] = [M+K -M] =K
~K = [C-K] = [M+K -K] =M
Innymi słowy:
K=~M - zbiór K to zaprzeczenie (~) zbioru M w dziedzinie C
M=~K - zbiór M to zaprzeczenie (~) zbioru K w dziedzinie C

Zapis formalny naszego przykładu to:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Prawą stronę czytamy:
Bycie mężczyzną (M=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby nie być kobietą
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1

To samo w zapisie formalnym zgodnie z przyjętym punktem odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Jak widzimy, logika matematyczna obsługująca spójnik „albo” M$K jest dla wszystkich zrozumiała.

Tabela prawdy naszego przykładu rozpisana na zbiory to:
Kod:

Graficzna interpretacja spójnika „albo” M(mężczyzna) $ K(kobieta)
--------------------------------------------------------------------
| TAZ - tabela prawdy spójnika „albo” M$K w zbiorach               |
| Dziedzina minimalna:                                             |
| C=M+K - dziedzina C(człowiek) to suma logiczna zbiorów M+K       |
--------------------------------------------------------------------
| M - zbiór M(mężczyzn)          | K - zbiór K(kobiet)             |
| M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)  | K$M = (A4: K=>~M)*(B4: K~>~M)   |
| M$K definiuje:                 | K$M definiuje:                  |
| M=~(K)- zbiór M jest negacją K | K=~(M) - zbiór K jest negacją M |
| M=~K - zapis tożsamy           | K=~M - zapis tożsamy            |
| W zbiorach zachodzi również:   | W zbiorach zachodzi również:    |
| M=~(K)=~(~M) - bo K=~M         | K=~(M)=~(~K) - bo M=~K          |
--------------------------------------------------------------------

Dokładnie ta sama tabela w zapisach formalnych (oderwanych od przykładu) dla punktu odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
wygląda następująco.
Kod:

Graficzna interpretacja spójnika „albo” p$q
-------------------------------------------------------------------
| TAZ - tabela prawdy spójnika „albo” p$q w zbiorach              |
| Dziedzina minimalna:                                            |
| D=p+q - dziedzina minimalna to suma logiczna zbiorów p+q        |
-------------------------------------------------------------------
| p - zbiór p                   | q - zbiór q                     |
|p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)  | q$p = (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p)   |
|p$q definiuje:                 | q$p definiuje:                  |
|p=~(q)- zbiór p jest negacją q | q=~(p) - zbiór q jest negacją p |
|p=~q - zapis tożsamy           | q=~p - zapis tożsamy            |
|W zbiorach zachodzi również:   |W zbiorach zachodzi również:     |
|p=~(~p) bo q=~p                | q=~(~q) bo p=~q                 |
-------------------------------------------------------------------


Nanieśmy nasz przykład do tabeli prawdy spójnika „albo”($)
Kod:

TA: Tabela prawdy spójnika „albo” p$q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo” p$q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis formalny):
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis aktualny):
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną wystarcza => by nie być kobietą
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną jest konieczne ~> by nie być kobietą
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: m~>~K) =1*1=1
Punkt odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
       A1B1:         A2B2:      |      A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>~q =1 = 2:~p~>q  =1  [=] 3: ~q~>p  =1 = 4: q=>~p =1
A:  1: M=>~K =1 = 2:~M~>K  =1  [=] 3: ~K~>M  =1 = 4: K=>~M =1
A’: 1: p~~>q =0 =              [=]              = 4: q~~>p =0
A’: 1: M~~>K =0 =              [=]              = 4: K~~>M =0
       ##            ##         |      ##            ##
B:  1: p~>~q =1 = 2:~p=>q  =1  [=] 3: ~q=>p  =1 = 4: q~>~p =1
B:  1: M~>~K =1 = 2:~M=>K  =1  [=] 3: ~K=>M  =1 = 4: K~>~M =1
B’:             = 2:~p~~>~q=0  [=] 3: ~q~~>~p=0
B’:             = 2:~M~~>~K=0  [=] 3: ~K~~>~M=0

Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1:                                                   A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B2 p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q
Stąd mamy:
Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2
dający odpowiedź na dwa pytania o p (A1B1) i ~p (A2B2):
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1
dający odpowiedź na dwa pytania o ~p (A2B2) i p (A1B1):
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W powyższej tabeli, dla poprawienia czytelności, uwidoczniono zmienne aktualne (związane z przykładem) w nagłówku tabeli oraz części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q.

Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Spójnik „albo” p$q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym następniku q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1

Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Przykład:
Bycie mężczyzną jest konieczne ~> i wystarczające => by nie być kobietą
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1

Definicja spójnika „albo” ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Spójnik „albo” ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) to jednoczesne spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym poprzedniku p
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Stąd:
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q)=1*1=1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p „albo”($) zajdzie ~q
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q)=1*1=1
Przykład:
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) „albo”($) nie jest kobietą (~K=1)
A2B2: ~M$~K = (A2: ~M~>K)*(B2:~M=>K)=1*1=1
Trzeciej możliwości brak.
Zauważmy, że lewa strona spójnika „albo” ~p$~q jest zrozumiała, ale to zrozumienie nie jest trywialne.

Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
A2B2: ~p$q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q)=1*1=1
Nie bycie mężczyzną (~M=1) jest konieczne ~> i wystarczające => aby być kobietą (K=1)
A2B2: ~M$K = (A2: ~M~>K)*(B2:~M=>K)=1*1=1
Zauważmy, że tą wersję spójnika „albo”($) bez problemu rozumie każdy 5-cio latek.

Równanie operatora „albo” p|$q:
Kod:

T1.
Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1:                                                    A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>~q = A2: ~p~>q
B1: p~>~q = B2: ~p=>q
cnd

Dlaczego to jest równanie operatora „albo” p|$q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p

Stąd mamy:
Operator „albo” p|$q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator „albo” ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Zachodzi tożsamość logiczna spójnika „albo”($):
A1B1: p$q = A2B2:~p$~q
co udowodniono wyżej w tabeli T1 prawami Kubusia.

Dowód matematycznie tożsamy:

Definicja warunku wystarczającego p=>q dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
A1B1:
Spójnik „albo” p$q w logice dodatniej (bo q):
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
p$q = p*~q + ~p*q

A2B2:
Spójnika „albo” ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q):
A2:~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
stąd:
~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q)= (~p+~q)*(p+q) = ~p*p+~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
~p$~q = p*~q + ~p*q

Stąd mamy logiczną tożsamość:
A1B1: p$q = A2B2: ~p$~q = p*~q + ~p*q
cnd

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p$q = A2B2:~p$~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Na poziomie spójnika „albo”($) mamy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję spójnika „albo” A1B1: p$q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję spójnika „albo” A2B2:~p$~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Przechodząc na wyższy poziom operatorów p|$q mamy tak:
Udowodnienie iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią operatora „albo” A1B1: p|$q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż to samo zdanie jest częścią operatora „albo” A2B2: ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

8.2.2 Spójnik „albo” p$q jako negacja zbiorów/pojęć

Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo”($) p$q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym następniku q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Kod:

TA: Tabela prawdy spójnika „albo” p$q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo” p$q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:      |      A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>~q =1 = 2:~p~>q  =1  [=] 3: ~q~>p  =1 = 4: q=>~p =1
A’: 1: p~~>q =0 =              [=]              = 4: q~~>p =0
       ##            ##         |      ##            ##
B:  1: p~>~q =1 = 2:~p=>q  =1  [=] 3: ~q=>p  =1 = 4: q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>~q=0  [=] 3: ~q~~>~p=0

Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1:                                                   A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B2 p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q
Stąd mamy:
Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2
dający odpowiedź na dwa pytania o p (A1B1) i ~p (A2B2):
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1
dający odpowiedź na dwa pytania o ~p (A2B2) i p (A1B1):
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Z tabeli TA odczytujemy matematyczną definicję spójnika „albo”($).

Matematyczna definicja spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo” p$q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony dla zanegowanego q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B3: ~q=>p =1 - zajście ~q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p
Zajdzie p „albo”($) q
A1B3: p$q = (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p)=1*1=1

Prawo Albatrosa:
W spójniku „albo” p$q relacja warunku wystarczającego => w obie strony zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy spełniona będzie tożsamość:
q=~p
Dowód:
A1B3: p$q = (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p)=1*1=1
dla q=~p mamy:
p$~p = (A1: p=>~(~p))*(B3: ~(~p)=>p)
p$~p = (A1: p=>p)*(B3: p=>p) =1*1 =1
bo:
p=>p =1 - każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
cnd

Stąd mamy:
Definicja negacji zbiorów p=~q:
Zbiór p jest negacją zbioru q (p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest definicja spójnika „albo” p$q:
p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p) = p$q

Dla B3 Zastosujmy prawo Tygryska:
B3: ~q=>p = B1: p~>~q
stąd mamy tożsamą definicję spójnika „albo”($).

Podstawowa definicja spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo” p$q to jednocześnie zachodzący zarówno warunek wystarczający => jak i konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku dla zanegowanego q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p “albo”($) zajdzie q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) albo kobietą (K=1)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1

Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby zaszło ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Przykład:
Bycie mężczyzną (M=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby nie być kobietą (~K=1)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1

Prawo Albatrosa:
Spójnik „albo” p$q będzie spełniony wtedy i tylko wtedy gdy spełniona będzie tożsamość:
q=~p

Dowód:
Podstawowa definicja spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo” p$q to jednocześnie zachodzący zarówno warunek wystarczający => jak i konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku dla zanegowanego q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
dla q=~p mamy:
p$~p = (A1: p=>~(~p))*(B1: p~>~(~p))
p$~p = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) =1*1 =1
bo:
p=>p =1 - każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
p~>p =1 - każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd

Zauważmy że:
W całej tabeli TA obowiązuje ten sam punkt odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
Inaczej popełniamy błąd podstawienia.

Zastosujmy do definicji A1B1 prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1: p=>~q = A4: q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
B1: p~>~q = B4: q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>

stąd mamy:
Definicja spójnika „albo” q$p:
Spójnik „albo” q$p to jednocześnie zachodzący zarówno warunek wystarczający => jak i konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku dla zanegowanego p
A4: q=>~p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~p
B4: q~>~p =1 - zajście q jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~p
Stąd:
A4B4: q$p = (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p)
Łatwo to widzieć w tabeli TA.

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie q „albo”($) zajdzie p
A4B4: q$p = (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p)
Nasz przykład:
Dowolny człowiek jest kobietą (K=1) albo mężczyzną (M=1)
A4B4: K$M = (A4: K=>~M)*(B4: K~>~M)

Prawą stronę czytamy:
q jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby zaszło ~p
A4B4: q$p = (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p)
Nasz przykład:
Bycie kobietą (K=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby nie być mężczyzną (~M=1)
A4B4: K$M = (A4: K=>~M)*(B4: K~>~M)

Prawo Albatrosa:
Spójnik „albo” q$p będzie spełniony wtedy i tylko wtedy gdy spełniona będzie tożsamość:
p=~q

Dowód:
Definicja spójnika „albo” q$p:
Spójnik „albo” q$p to jednocześnie zachodzący zarówno warunek wystarczający => jak i konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku dla zanegowanego p
A4: q=>~p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~p
B4: q~>~p =1 - zajście q jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~p
Stąd:
A4B4: q$p = (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p)
Łatwo to widzieć w tabeli TA.

Dla p=~q mamy:
q$~q = (A4: q=>~(~q))*(B4: q~>~(~q))
q$~q = (A4: q=>q)*(B4: q~>q) =1*1 =1
bo:
q=>q =1 - każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
q~>q =1 - każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd

Stąd mamy:
Definicja negacji zbiorów q=~p:
Zbiór q jest negacją zbioru p (q=~p) wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest definicja spójnika „albo” q$p:
q=~p <=> (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p) = q$p

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
# = $
Definicja znaczka #:
Dwa zbiory/pojęcia p i q są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony.

Graficzna interpretacja spójnika „albo” p$q
Kod:

Graficzna interpretacja spójnika „albo” p$q
-------------------------------------------------------------------
| TAZ - tabela prawdy spójnika „albo” p$q w zbiorach              |
| Dziedzina minimalna:                                            |
| D=p+q - dziedzina minimalna to suma logiczna zbiorów p+q        |
-------------------------------------------------------------------
| p - zbiór p                   | q - zbiór q                     |
|p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)  | q$p = (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p)   |
|p$q definiuje:                 | q$p definiuje:                  |
|p=~(q)- zbiór p jest negacją q | q=~(p) - zbiór q jest negacją p |
|p=~q - zapis tożsamy           | q=~p - zapis tożsamy            |
|W zbiorach zachodzi również:   |W zbiorach zachodzi również:     |
|p=~(~p) bo q=~p                | q=~(~q) bo p=~q                 |
-------------------------------------------------------------------
[code]
Przykład interpretacji spójnika „albo”($) dla zdania:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)
[/code]
Graficzna interpretacja spójnika „albo” M(mężczyzna) $ K(kobieta)
--------------------------------------------------------------------
| TAZ - tabela prawdy spójnika „albo” M$K w zbiorach               |
| Dziedzina minimalna:                                             |
| C=M+K - dziedzina C(człowiek) to suma logiczna zbiorów M+K       |
--------------------------------------------------------------------
| M - zbiór M(mężczyzn)          | K - zbiór K(kobiet)             |
| M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)  | K$M = (A4: K=>~M)*(B4: K~>~M)   |
| M$K definiuje:                 | K$M definiuje:                  |
| M=~(K)- zbiór M jest negacją K | K=~(M) - zbiór K jest negacją M |
| M=~K - zapis tożsamy           | K=~M - zapis tożsamy            |
| W zbiorach zachodzi również:   | W zbiorach zachodzi również:    |
| M=~(K)=~(~M) - bo K=~M         | K=~(M)=~(~K) - bo M=~K          |
--------------------------------------------------------------------


8.3 Operator „albo” p|$q

Zapiszmy wyprowadzoną wyżej tabelę prawdy dla spójnika „albo”($) wraz z przykładem.
A1B1:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) albo($) kobietą (K=1)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)

Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo”($) p$q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym następniku q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Kod:

TA: Tabela prawdy spójnika „albo” p$q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo” p$q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis formalny):
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis aktualny):
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną wystarcza => by nie być kobietą
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną jest konieczne ~> by nie być kobietą
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: m~>~K) =1*1=1
Punkt odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
       A1B1:         A2B2:      |      A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>~q =1 = 2:~p~>q  =1  [=] 3: ~q~>p  =1 = 4: q=>~p =1
A:  1: M=>~K =1 = 2:~M~>K  =1  [=] 3: ~K~>M  =1 = 4: K=>~M =1
A’: 1: p~~>q =0 =              [=]              = 4: q~~>p =0
A’: 1: M~~>K =0 =              [=]              = 4: K~~>M =0
       ##            ##         |      ##            ##
B:  1: p~>~q =1 = 2:~p=>q  =1  [=] 3: ~q=>p  =1 = 4: q~>~p =1
B:  1: M~>~K =1 = 2:~M=>K  =1  [=] 3: ~K=>M  =1 = 4: K~>~M =1
B’:             = 2:~p~~>~q=0  [=] 3: ~q~~>~p=0
B’:             = 2:~M~~>~K=0  [=] 3: ~K~~>~M=0

Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1:                                                   A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B2 p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q
Stąd mamy:
Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2
dający odpowiedź na dwa pytania o p (A1B1) i ~p (A2B2):
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1
dający odpowiedź na dwa pytania o ~p (A2B2) i p (A1B1):
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W powyższej tabeli, dla poprawienia czytelności, uwidoczniono zmienne aktualne (związane z przykładem) w nagłówku tabeli oraz części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q.

Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p (A1B1) i ~p (A2B2):

A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1.
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q)
Nasz przykład:
Bycie mężczyzną (M=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, by nie być kobietą (~K)
A1B1: M$K =(A1: M=>~K)* (B1: M~>~K)

Odpowiedź w warunku wystarczającym => mamy w zdaniu A1.
A1.
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% => nie jest kobietą (~K=1)
M=>~K =1
Bycie mężczyzną jest warunkiem wystarczającym => do tego, by nie być kobietą
Bycie mężczyzną daje nam gwarancję matematyczną => iż nie jesteśmy kobietą
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem.
Sprawdzamy:
A1’
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M=1) to może ~~> być kobietą (K=1)
M~~>K = M*K =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem kobiet (K)

A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2.
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)
Nasz przykład:
Nie bycie mężczyzną (~M=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby być kobietą (K=1)
A2B2:~M$~K=(A2:~M~>K)*(B2:~M=>K)

Odpowiedź w warunku wystarczającym => mamy w zdaniu B2.
B2.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to na 100% => jest kobietą (K=1)
~M=>K =1
Nie bycie mężczyzną jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby być kobietą
Nie bycie mężczyzną daje nam gwarancję matematyczną => iż jesteśmy kobietą
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem.
Sprawdzamy:
B2’
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to może ~~> nie być kobietą (~K=1)
~M~~>~K = ~M*~K =0
Dowód:
zachodzi tożsamość zbiorów:
K=~M - zbiór kobiet (K) to zanegowany zbiór mężczyzn (M) w dziedzinie C (człowiek)
stąd mamy
K~~>~K = K*~K =[] =0
bo zbiór kobiet (K) jest rozłączny ze zbiorem nie kobiet (~K)
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~K=M - zbiór mężczyzn (M) to zanegowany zbiór kobiet (K) w dziedzinie C (człowiek)
Stąd:
K~~>M = K*M =[] =0 - bo zbiór kobiet (K) jest rozłączny ze zbiorem mężczyzn (M)
cnd

Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na dwa pytania o ~p (A2B2) i p (A1B1):
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Doskonale widać, że operator „albo” ~p|$~q to identyczna seria zdań jak wyżej, tylko analizę rozpoczynamy od A2B2 a kończymy na A1B1.

8.4 Operator „albo” q|$p

Zapiszmy wyprowadzoną wyżej tabelę prawdy dla spójnika „albo”($) wraz z przykładem.
A1B1:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) albo($) kobietą (K=1)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)

Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo”($) p$q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym następniku q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Kod:

TA: Tabela prawdy spójnika „albo” p$q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo” p$q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis formalny):
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis aktualny):
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną wystarcza => by nie być kobietą
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną jest konieczne ~> by nie być kobietą
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: m~>~K) =1*1=1
Punkt odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
       A1B1:         A2B2:      |      A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>~q =1 = 2:~p~>q  =1  [=] 3: ~q~>p  =1 = 4: q=>~p =1
A:  1: M=>~K =1 = 2:~M~>K  =1  [=] 3: ~K~>M  =1 = 4: K=>~M =1
A’: 1: p~~>q =0 =              [=]              = 4: q~~>p =0
A’: 1: M~~>K =0 =              [=]              = 4: K~~>M =0
       ##            ##         |      ##            ##
B:  1: p~>~q =1 = 2:~p=>q  =1  [=] 3: ~q=>p  =1 = 4: q~>~p =1
B:  1: M~>~K =1 = 2:~M=>K  =1  [=] 3: ~K=>M  =1 = 4: K~>~M =1
B’:             = 2:~p~~>~q=0  [=] 3: ~q~~>~p=0
B’:             = 2:~M~~>~K=0  [=] 3: ~K~~>~M=0

Równanie operatora „albo” q|$p:
A4B4:                                                    A3B3:
q$p = (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p) = (A3:~q~>p)*(B3:~q=>p) = ~q$~p
Stąd mamy:
Operator „albo” q|$p to układ równań logicznych A4B4 i A3B3
dający odpowiedź na dwa pytania o q (A4B4) i ~q (A3B3):
A4B4: q$p =(A4: q=>~p)*(B4 q~>~p) - co się stanie jeśli zajdzie q
A3B3:~q$~p=(A3:~q~> p)*(B3:~q=>p) - co się stanie jeśli zajdzie ~q

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~q|$~p to układ równań logicznych A3B3 i A4B4
dający odpowiedź na dwa pytania o ~p (A3B3) i p (A4B4):
A3B3:~q$~p=(A3:~q~> p)*(B3:~q=>p) - co się stanie jeśli zajdzie ~q
A4B4: q$p =(A4: q=>~p)*(B4 q~>~p) - co się stanie jeśli zajdzie q

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W powyższej tabeli, dla poprawienia czytelności, uwidoczniono zmienne aktualne (związane z przykładem) w nagłówku tabeli oraz części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q.

Operator „albo” q|$p to układ równań logicznych A4B4 i A3B3 dający odpowiedź na dwa pytania o q (A4B4) i ~q (A3B3):

A4B4:
Co się stanie jeśli zajdzie q?
Odpowiedź mamy w kolumnie A4B4.
Zajście q jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~p
A4B4: q$p =(A4: q=>~p)*(B4 q~>~p)
Nasz przykład:
Bycie kobietą (K=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, by nie być mężczyzną (~M=1)
A4B4: K$M =(A4: K=>~M)*(B4 K~>~M)

Odpowiedź w warunku wystarczającym => mamy w zdaniu A4.
A4.
Jeśli człowiek jest kobietą (K=1) to na 100% => nie jest mężczyzną (~M=1)
K=>~M =1
Bycie kobietą jest warunkiem wystarczającym => do tego, by nie być mężczyzną
Bycie kobietą daje nam gwarancję matematyczną => iż nie jesteśmy mężczyzną
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład A4’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A4 musi być fałszem.
Sprawdzamy:
A4’
Jeśli człowiek jest kobietą (K=1) to może ~~> być mężczyzną (M=1)
K~~>K = K*M =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiór kobiet (K) jest rozłączny ze zbiorem mężczyzn (M)

A3B3:
Co się stanie jeśli zajdzie ~q?
Odpowiedź mamy w kolumnie A3B3.
Zajście ~q jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia p
A3B3:~q$~p=(A3:~q~> p)*(B3:~q=>p)
Nasz przykład:
Nie bycie kobietą (~K=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby być mężczyzną (M=1)
A3B3:~K$~M=(A3:~K~> M)*(B3:~K=>M)

Odpowiedź w warunku wystarczającym => mamy w zdaniu B3.
B3.
Jeśli człowiek nie jest kobietą (~K=1) to na 100% => jest mężczyzną (M=1)
~K=>M =1
Nie bycie kobietą jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby być mężczyzną
Nie bycie kobietą daje nam gwarancję matematyczną => iż jesteśmy mężczyzną
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład B3’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B3 musi być fałszem.
Sprawdzamy:
B3’
Jeśli człowiek nie jest kobietą (~K=1) to może ~~> nie być mężczyzną (~M=1)
~K~~>~M = ~K*~M =0
Dowód:
Zachodzi tożsamość zbiorów:
M=~K - zbiór mężczyzn (M) to zanegowany zbiór kobiet (K) w dziedzinie C (człowiek)
stąd mamy
M~~>~M = M*~M =[] =0
bo zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem nie mężczyzn (~M)
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~M=K - zbiór kobiet (K) to zanegowany zbiór mężczyzn (M) w dziedzinie C (człowiek)
Stąd:
M~~>K = M*K =[] =0 - bo zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem kobiet (K)
cnd

Operator „albo” ~q|$~p to układ równań logicznych A3B3 i A4B4 dający odpowiedź na dwa pytania o ~q (A3B3) i q (A4B4):
A3B3:~q$~p=(A3:~q~> p)*(B3:~q=>p) - co się stanie jeśli zajdzie ~q
A4B4: q$p =(A4: q=>~p)*(B4 q~>~p) - co się stanie jeśli zajdzie q

Doskonale widać, że operator „albo” ~q|$~p to identyczna seria zdań jak wyżej, tylko analizę rozpoczynamy od A3B3 a kończymy na A4B4.

8.5 Skąd bierze się zero-jedynkowa definicja spójnika „albo” p$q?

Kod:

T1
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>:
   p  q  p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>0  =1
D: 0=>1  =1
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1

Kod:

T2
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>:
   p  q  p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>0  =1
D: 0~>1  =0
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p=>q=1


Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo”($) p$q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym następniku q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Stąd mamy:
Kod:

T3
               A1:    B1:     p$q=
   p  q ~p ~q  p=>~q  p~>~q   (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)
A: 1  1  0  0   0      1       0
B: 1  0  0  1   1      1       1
C: 0  0  1  1   1      0       0
D: 0  1  1  0   1      1       1

Stąd mamy zero-jedynkową definicję spójnika „albo”($):
Kod:

T4
Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($):
   p  q  p$q
A: 1$ 1  =0
B: 1$ 0  =1
C: 0$ 0  =0
D: 0$ 1  =1
p$q=1 <=> p=1 i q=0 lub p=0 i q=1
Inaczej:
p$q=0


Zadanie domowe dla czytelnika:
Wyprowadź definicję spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) dwoma sposobami.

Sposób 1
Skorzystaj z definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q

Sposób 2
Wyprowadź definicję spójnika „albo”($) bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej (T4) definiującej ten spójnik.

Wskazówka:
Patrz punkt 1.10.1
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Sob 19:26, 05 Cze 2021    Temat postu:
Poniższy rozdział będzie zmieniony, nie dlatego że jest zły, ale dlatego że da się napisać jaśniej.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#594185

Algebra Kubusia
4.8 Zdania bazowe w operatorze implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach

Spis treści
4.7 Zdanie bazowe 1
4.7.1 Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q” 2
4.7.2 Definicja symboliczna operatora implikacji prostej p||=>q 4
4.8 Zdania bazowe w operatorze implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach 5
4.8.1 Zdanie bazowe P~~>CH 5
4.8.2 Zdanie bazowe P~~>~CH 8
4.8.3 Zdanie bazowe ~P~~>~CH 9
4.8.4 Zdanie bazowe ~P~~>CH 12
4.9 Tabela prawdy implikacji prostej P|=>CH 13
4.9.1 Operator implikacji prostej P||=>CH 15


4.7 Zdanie bazowe

Definicja zdania bazowego:
Zdanie bazowe to zdanie warunkowe „Jeśli p to q” kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia) spełniające poniższe warunki:
1.
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” żadne z pojęć p, q, ~p i ~q nie może być zbiorem pustym, co gwarantuje rozpoznawalność tych pojęć.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą należeć do wspólnej dziedziny.

Algorytm analizy zdania bazowego:
Algorytm analizy dowolnego zdania bazowego „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q pozwala na jednoznaczne rozstrzygnięcie w skład jakiego operatora logicznego wchodzi badane zdanie bazowe bez względu na jego prawdziwość/fałszywość.

Dowolne zdanie bazowe „Jeśli p to q” może wchodzić tylko i wyłącznie w skład jednego z pięciu rozłącznych operatorów logicznych.
1. p||=>q - operator implikacji prostej
2. p||~>q - operator implikacji odwrotnej
3. p|<=>q - operator równoważności
4. p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja równoważności p<=>q:
5. p|$q - operator „albo”($)

Z faktu iż powyższe operatory są rozłączne wynika, że dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” nie może należeć jednocześnie do dwóch, jakichkolwiek operatorów.
Kod:

T1
Definicje operatorów implikacyjnych które niebawem poznamy:
1: Y=(p||=>q) =(p|=>q)  = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)= ~p*q      # ~Y=p+~q
##
2: Y=(p||~>q) =(p|~>q)  =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)  = p*~q     # ~Y=~p+q
##
3: Y=(p|<=>q) =(p<=>q)  = (A1:p=>q)* (B1: p~>q)  =p*q+~p*~q # ~Y=p*~q+~p*q
##
4: Y=(p||~~>q)=(p|~~>q) =~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =0         # ~Y=1
##
5: Y=(p|$q)   = (p$q)   = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p*~q+~p*q # ~Y=p*q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawo Kubusia:
p=>q [=] ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczna są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

W tabeli T1 doskonale widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Kluczowe dla poprawnego działania algorytmu jest prawo śfinii.

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

4.7.1 Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q”

Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q”

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie bazowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Punkt 2
Zbiory:
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia p i q poszukując zbioru pustego (=0)
p~~>q=p*q =0
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia p i q poszukując zdarzenia niemożliwego (=0)
p~~>q=p*q =0
RETURN

Punkt 3
Zbiory:
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Zdarzenia:
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe ~~> idź do punktu 5

Inaczej:
Punkt 4
Zbiory:
Nie znaleziono zbioru pustego []
Zdarzenia:
Nie znaleziono zdarzenia niemożliwego ~~>
Operator logiczny zlokalizowany, to operator chaosu p||~~>q
Idź do operatora chaosu p||~~>q
STOP

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
(~)p=>(~)q =1

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p (~> albo =>) q =?

Punkt 8
W punktach 6 i 7 mamy zlokalizowaną kolumnę A1B1: p|?q będącą częścią operatora logicznego p||?q

Idź do tabeli prawdy zlokalizowanego operatora logicznego
STOP

Przedstawiony wyżej algorytm to algorytm podstawowy.

Uwaga:
Matematycznie możliwy jest alternatywny algorytm przeciwny gdzie w prawie śfinii po „Jeśli ..” zapisujemy q zaś po „to…” zapisujemy p, jednak aby matematyk A dogadał się z matematykiem B obaj muszą stosować identyczny, uzgodniony wzajemnie algorytm: podstawowy albo przeciwny.
W logice matematycznej za domyślny przyjmujemy algorytm podstawowy dzięki czemu nie musimy sygnalizować światu zewnętrznemu który algorytm stosujemy.
Ponieważ algorytm podstawowy jest z definicji algorytmem domyślnym, możemy pominąć słówko „podstawowy” w „algorytmie podstawowym”.

4.7.2 Definicja symboliczna operatora implikacji prostej p||=>q

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


W sprawdzaniu poprawności algorytmu analizy dowolnego zdania bazowego postępujemy identycznie jak w sprawdzaniu programu komputerowego. Na wejściu podajemy dane co do których jesteśmy pewni do jakiego operatora logicznego powinien nas algorytm zaprowadzić sprawdzając czy rzeczywiście tak się stanie.

Definicja symboliczna operatora implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na pytania o p i ~p:
Kod:

A1B1:
A1:  p=> q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1:  p~> q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q =(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1:  p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
A1’: p~~>~q=0 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’
A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =1 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’


Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Na mocy prawa Kobry definicja implikacji prostej p||=>q wyrażona zdaniami bazowymi przyjmuje postać:

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q w zdaniach bazowych:
Kod:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1:  p~~>q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
A1’: p~~>~q=0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesna zajście zdarzeń p i ~q
A2B2:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~~>~q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
B2’:~p~~>q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesna zajście zdarzeń ~p i q


4.8 Zdania bazowe w operatorze implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach

Sprawdzenia poprawności działania algorytmu analizy dowolnego zdania bazowego w operatorze implikacji prostej p||=>q wykonamy na konkretnym przykładzie, by łatwiej było zrozumieć.
p = P (pada)
q = CH (chmury)
Kod:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli będzie padało (P=1)?
A1:  P~~>CH =1 - możliwe jest zdarzenie: pada (P) i są chmury (CH)
A1’: P~~>~CH=0 - niemożliwe jest zdarzenie: pada (P) i nie ma chmur (~CH)
A2B2:
Co może się zdarzyć jeśli nie będzie padało (~P=1)?
A2: ~P~~>~CH=1 - możliwe jest zdarzenie: nie pada (~P) i nie ma chmur (~CH)
B2’:~P~~>CH =1 - możliwe jest zdarzenie: nie pada (~P) i są chmury (CH)


4.8.1 Zdanie bazowe P~~>CH

Zadanie 481
Dane jest zdanie:
W1.
Jeśli jutro będzie padało to może być pochmurno
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Sprawdzenie algorytmu analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” w zdarzeniach:

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
P~~>CH = P*CH =?
Na mocy prawa śfinii mamy:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Zapis zdania W1 w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =?

Punkt 2
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując pierwszego zdarzenia niemożliwego.
1: P~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
2: P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
RETURN

Punkt 3
Znalezione zdarzenie niemożliwe:
P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe (=0) idź do punktu 5

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
5.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 jest w logice dodatniej (bo CH) zatem tylko przepisujemy:
6.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
p~>q =0 - na mocy prawa śfinii
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a mimo to chmury mogą istnieć.
Podpowiedź:
Jeśli ktoś ma problem ze zrozumieniem dowodu fałszywości zdania 7 to prawem Tygryska może przejść do najprostszego warunku wystarczającego =>.
Prawo Tygryska w zapisie aktualnym:
7: P~>CH = 7a: CH=>P
Prawo Tygryska w zapisie formalnym:
7: p~>q = 7a: q=>p - na mocy prawa śfinii
Zdanie po prawej stronie brzmi:
7a.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padało (P=1)
CH=>P =0
Chmury nie są warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada
Na mocy prawa Tygryska fałszywość zdania 7a wymusza fałszywość zdania 7
cnd

Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
Stąd:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0)=1*1 =1

Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P|=>CH zapisanej w punkcie 4.9

Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W1.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
P~~>CH = P*CH =1 - możliwe jest zdarzenie ~~>: pada (P=1) i jest pochmurno (CH=1)

W punkcie 4.9.1 zlokalizowane zdanie W1 jako zdanie A1 będące częścią operatora implikacji prostej P||=>CH
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Z prawa Kobry wynika, że zdanie wejściowe W1 które analizowaliśmy wchodzi w skład warunku wystarczającego A1: P=>CH =1
cnd

4.8.2 Zdanie bazowe P~~>~CH

Zadanie 482
Dane jest zdanie:
W2.
Jeśli jutro będzie padało to może nie być pochmurno
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Sprawdzenie algorytmu analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” w zdarzeniach:

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W2.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =?
Na mocy prawa śfinii mamy:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Zapis zdania W2 w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =?

Punkt 2
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując pierwszego zdarzenia niemożliwego.
1: P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
RETURN

Punkt 3
Znalezione zdarzenie niemożliwe:
P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe (=0) idź do punktu 5

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
5.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 jest w logice dodatniej (bo CH) zatem tylko przepisujemy:
6.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a mimo to chmury mogą istnieć.

Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
Stąd:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0)=1*1 =1

Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P|=>CH zapisanej w punkcie 4.9

Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W2.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH=P*~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie jest pochmurno (~CH=1)

W punkcie 4.9.1 zlokalizowano zdanie W1 jako zdanie A1’ będące częścią operatora implikacji prostej P||=>CH
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)

4.8.3 Zdanie bazowe ~P~~>~CH

Zadanie 483
Dane jest zdanie:
W3.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Sprawdzenie algorytmu analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” w zdarzeniach:

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W3.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
~P~~>~CH = ~P*~CH =?
Na mocy prawa śfinii mamy:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Zapis zdania W3 w zapisie formalnym:
~p~~>~q = ~p*~q =?

Punkt 2
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując pierwszego zdarzenia niemożliwego.
1: ~P~~>~CH=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i nie jest pochmurno (~CH=1)
2: ~P~~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i są chmury (CH=1)
3. P~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
4: P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
RETURN

Punkt 3
Znalezione zdarzenie niemożliwe:
P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe (=0) idź do punktu 5

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
5.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 jest w logice dodatniej (bo CH) zatem tylko przepisujemy:
6.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a mimo to chmury mogą istnieć.

Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
Stąd:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0)=1*1 =1

Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P|=>CH zapisanej w punkcie 4.9

Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W3.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
~P~~>~CH = ~P*~CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i nie jest pochmurno (~CH=1)

W punkcie 4.9.1 zlokalizowane zdanie W3 jako zdanie A2 będące częścią operatora implikacji prostej P||=>CH
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Z prawa Kobry wynika, że zdanie wejściowe W3 które analizowaliśmy wchodzi w skład warunku koniecznego ~> A2: ~P~>~CH =1
cnd

4.8.4 Zdanie bazowe ~P~~>CH

Zadanie 484
Dane jest zdanie:
W4.
Jeśli jutro nie będzie padało to może być pochmurno
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Sprawdzenie algorytmu analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” w zdarzeniach:

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W4.
Jeśli jutro nie będzie padało to może być pochmurno
~P~~>CH = ~P*CH =?
Na mocy prawa śfinii mamy:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Zapis zdania W4 w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =?

Punkt 2
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując pierwszego zdarzenia niemożliwego.
1: ~P~~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i są chmury (CH=1)
2. P~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
3: P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
RETURN

Punkt 3
Znalezione zdarzenie niemożliwe:
P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe (=0) idź do punktu 5

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
5.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 jest w logice dodatniej (bo CH) zatem tylko przepisujemy:
6.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a mimo to chmury mogą istnieć.

Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
Stąd:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0)=1*1 =1

Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P|=>CH zapisanej w punkcie 4.9

Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W4.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH = ~P*CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)

W punkcie 4.9.1 zlokalizowane zdanie W4 jako zdanie B2’ będące częścią operatora implikacji prostej P||=>CH
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)

4.9 Tabela prawdy implikacji prostej P|=>CH

IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Nasz przykład:
IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) =1*~(0)=1*1 =1

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q:
Kod:

IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Definicja implikacji prostej P|=>CH w zapisie aktualnym:
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Definicja implikacji prostej P|=>CH w zapisie aktualnym:
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) =1*~(0)=1*1 =1
       A1B1:         A2B2:        |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1 = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>CH  =1 = 2:~P~>~CH=1    [=] 3: CH~>P  =1 = 4:~CH=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 =                [=]              = 4:~q~~>p  =0
A’: 1: P~~>~CH=0 =                [=]              = 4:~CH~~>P =0
       ##             ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0 = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>CH  =0 = 2:~P=>~CH=0    [=] 3: CH=>P  =0 = 4:~CH~>~P =0
B’:              = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~P~~>CH=1    [=] 3: CH~~>~P=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Okład równań logicznych jest przemienny, stąd:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

4.9.1 Operator implikacji prostej P||=>CH

Operator implikacji prostej P||=>CH w logice dodatniej (bo CH) to układ równań logicznych:
A1B1: P|=>CH =(A1: P=>CH)* ~(B1: P~>CH) - co się może się wydarzyć jeśli będzie padało?
A2B2: ~P|~>~CH =(A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH) - co się może się wydarzyć jeśli nie będzie padało?

Innymi słowy:
Operator implikacji prostej P||=>CH to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2 o P i ~P:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) =1*~(0)=1*1 =1
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno (CH=1) - mówi o tym zdanie A1

A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Czytamy:
P=1 - prawdą jest (=1) że pada (P)
~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH)

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~P~>~CH =1 - brak padania (~P) jest (=1) konieczny ~> dla braku chmur (~CH)
B2: ~P=>~CH =0 - brak padania (~P) nie jest (=0) wystarczający => dla braku chmur (~CH)
bo nie zawsze gdy nie pada, nie ma chmu.
A2B2: ~P|~>~CH = (A2:~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH) =1*~(0) =1*1=1
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
Czytamy:
1: CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)
2: ~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH=1)
Prawo Prosiaczka:
(~CH=1) = (CH=0)
Stąd zdanie tożsame do 2 brzmi:
2’: CH=0 - fałszem jest (=0) iż są chmury (CH)
Jak widzimy wyłącznie sprowadzanie zmiennych do jedynek na mocy prawa Prosiaczka, czyni język potoczny przekładalny w skali 1:1 na logikę matematyczną.
Dowód:
W zdaniu 2 z języka potocznego mamy frazę:
„nie ma chmur” i tą frazę kodujemy matematycznie (~CH)
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym uwzględniamy przeczenie „nie” w postaci symbolu przeczenia (~).

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)
Czytamy:
~P=1 - prawdą jest (=1) że nie pada (~P)
CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P||=>CH jest gwarancja matematyczna po stronie P (pada) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P (nie pada), co widać w powyższej analizie.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~P||~>~CH to układ równań logicznych:
A2B2: ~P|~>~CH =(A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH) - co się może się wydarzyć jeśli nie będzie padało?
A1B1: P|=>CH =(A1: P=>CH)* ~(B1: P~>CH) - co się może się wydarzyć jeśli będzie padało?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~P||~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej P||=>CH w logice dodatniej (bo CH) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Sob 19:27, 05 Cze 2021    Temat postu:
POwód jak wyżej:

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#594305

Algebra Kubusia
4.10 Zdania bazowe w operatorze implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach

Spis treści
4.10 Zdania bazowe w operatorze implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 1
4.10.1 Zdanie bazowe P8~~>P2 2
4.10.2 Zdanie bazowe P8~~>~P2 7
4.10.3 Zdanie bazowe ~P8~~>~P2 8
4.10.4 Zdanie bazowe ~P8~~>P2 11
4.11 Tabela prawdy implikacji prostej P8|=>P2 13
4.11.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 14


4.10 Zdania bazowe w operatorze implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach

Sprawdzenia poprawności działania algorytmu analizy dowolnego zdania bazowego w operatorze implikacji prostej P8||=>P2 wykonamy na konkretnym przykładzie, by łatwiej było zrozumieć.

W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może być podzielna przez 2 (P2=1)
P8~~>P2 = P8*P2 =?
Na mocy prawa śfinii mamy punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Zapis zdania W1 w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =?

Na potrzeby analizy musimy obliczyć wszystkie możliwe przeczenia zbiorów.
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (zbiór liczb parzystych)
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny LN:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (zbiór liczb nieparzystych)
Matematycznie zachodzi definicja wspólnej dziedziny LN zarówno dla P8 jak i dla P2.
Definicja dziedziny dla P8:
P8+~P8 = LN =1 - zbiór ~P8 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P8
P8*~P8 =[] =0 - zbiory P8 i ~P8 są rozłączne
Definicja dziedziny dla P2:
P2+~P2 = LN =1 - zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2 i ~P2 są rozłączne

Definicja operatora implikacji prostej P8||=>P2 w zdaniach bazowych to odpowiedź na pytania o P8 i ~P8:

Kod:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli liczba będzie podzielna przez 8 (P8=1)?
A1:  P8~~>P2 =1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów P8 i P2 np. 8
A1’: P8~~>~P2=0 - nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów P8 i ~P2
A2B2:
Co może się zdarzyć jeśli liczba nie będzie podzielna przez 8 (~P8=1)?
A2: ~P8~~>~P2=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~P8 i ~P2 np. 1
B2’:~P8~~>P2 =1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~P8 i P2 np. 2


4.10.1 Zdanie bazowe P8~~>P2

Zadanie 4101
Dane jest zdanie bazowe:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Sprawdzenie algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach:

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może być podzielna przez 2 (P2=1)
P8~~>P2 = P8*P2 =?
Na mocy prawa śfinii mamy punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Zapis zdania W1 w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =?

Poprzednik p mówi tu o zbiorze liczb podzielnych przez 8, natomiast następnik q o zbiorze liczb podzielnych przez 2.

Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: P8~~>P2 =1 - bo istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..24..] np.8
2: P8~~>~P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
RETURN

Niezbędny komentarz:
Fałszywość punktu 2 musimy udowodnić
Najprostszy dowód to:
Dowolny zbiór liczb parzystych (tu P8) jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych (tu ~P2)
Nie zawsze w tak prosty sposób daje się udowodnić rozłączność zbiorów nieskończonych.
Co robić gdy nie jest tak prosto?
Prawami logiki matematycznej należy poszukać najprostszego warunku wystarczającego => bo taki warunek zawsze dowodzi się najprościej.
a)
Na początek zakładamy fałszywość kontrprzykładu 2:
2: P8~~>~P2 =0
z czego wynika prawdziwość warunku wystarczającego => który musimy udowodnić tu:
2a: P8=>P2 =?
2a.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
Definicja podzbioru P8=>P2 jest tu spełniona (=1), dlatego spełniona jest definicja warunku wystarczającego =>.
cnd
Twierdzenie matematyczne 2a każdy matematyk klasyczny bez problemu udowodni, ja nie muszę bo nie jestem matematykiem klasycznym.
Moja matematyka, algebra Kubusia, to fundamentalnie co innego niż matematyka klasyczna.
Dowód:
W algebrze Kubusia mamy spójniki logiczne z języka potocznego „i”(*) oraz „lub”(+).
Znaczki „*” i „+” są tu identyczne jak w matematyce klasycznej ale znaczą fundamentalnie co innego, o czym mam nadzieję, każdy matematyk wie.
Zauważmy przykładowo, że nie da się wykonać operacji mnożenia 2*3=6 znaczkiem „i”(*) z logiki matematycznej.
Ta sama operacja w znaczku „i”(*) będzie znaczyła zupełnie co innego:
[2]*[3] =[] =0 - bo zbiory jednoelementowe [2] i [3] są rozłączne.
cnd

Udowodniona prawdziwość warunku wystarczającego:
2a: P8=>P2 =1
wymusza fałszywość kontrprzykładu 2a’:
2a’: P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
cnd

Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
3: P8~~>~P2 =[] =0

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
cnd

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice dodatniej (bo P2) zatem je tylko przepisujemy:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% ~> jest podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,6,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Dowód tożsamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2, bo liczba może nie być podzielna przez 8 (np. 2) a mimo to być podzielna przez 2.

Matematycznie warunek wystarczający => dowodzi się prościej, dlatego prawami logiki matematycznej można przejść do najprostszego warunku wystarczającego
7: P8~>P2 = 7a: P2=>P8 - prawo Tygryska w zapisie aktualnym
7: p~>q = 7a: q=>p - prawo Tygryska w zapisie formalnym
Zauważmy, że fałszywość zdania 7a dowodzi się prościej:
7a.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0 - bo kontrprzykład: 2
Ten dowód znany jest ziemskim matematykom, mimo że nie znają poprawnej, matematycznej definicji kontrprzykładu.

Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Kontrprzykład to zdanie falsyfikujące, z którego wynika negacja pewnego zdania ogólnego. Kontrprzykład jest koniunkcją dwóch zdań elementarnych (tzn. takich, że jest to zdanie atomowe lub negacja zdania atomowego).
Jeżeli uda nam się znaleźć kontrprzykład to wyrażenie nie jest tautologią, ponieważ istnieje takie podstawienie wartości logicznych za konkretne zmienne w wyrażeniu, dla którego schemat jest fałszywy.
Kontrprzykładu używa się najczęściej do obalania fałszywych twierdzeń zawierających kwantyfikator ogólny ("dla każdego").


Definicja kontrprzykładu w logice „matematycznej” ziemskich matematyków to twardy dowód jak potwornie można spieprzyć matematykę!
Zauważmy, że definicja kontrprzykładu w algebrze Kubusia jest zrozumiała dla każdego 5-cio latka, oczywiście na przykładach stosownych do jego wieku … a który uczeń I klasy LO, czy nawet inżynier zrozumie jakieś brednie o zdaniu atomowym czy też o negacji zdania atomowego etc.

Kolejna tragedia ziemskiej logiki „matematycznej”:
Definicja kwantyfikatora dużego /\ ziemskich matematyków to potworny błąd czysto matematyczny!
Dowód:
W algebrze Kubusia mamy tak:
A1.
Jeśli dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Matematycznie byłoby wszystko w porządku, gdyby matematycy kwantyfikator duży rozumieli identycznie jak w algebrze Kubusia:
Dla każdego x, jeśli liczba x należy do zbioru P8(x) to na 100% => należy do zbioru P2(x)
/\x P8(x) => P2(x)
Przy takim rozumieniu kwantyfikatora dużego mamy tu gwarancję matematyczną => iż jeśli dowolna liczba należy do zbioru P8=[8,16,24..] to na 100% => należy do zbioru P2=[2,4,6,8…]
Sęk w tym, że poprawne rozumienie kwantyfikatora dużego jak w algebrze Kubusia wymusza relację podzbioru => w zdaniu warunkowym A1 co jest Armagedonem zarówno dla ziemskiego gówna zwanego „implikacją materialną” jak i absolutnie wszystkich ziemskich logik formalnych, gdzie w zdaniu warunkowych „Jeśli p to q” o żadnej relacji w zbiorach między p i q z definicji mowy być nie może.

Zauważmy na koniec iż zdania 6 i 7 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to są to zdania różna na mocy definicji ##.
Porównajmy:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
##
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% ~> jest podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,6,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Stąd mamy tabelę T1.
Kod:

T1
 Y= (p=>q)=~p+q  ##  Y= (p~>q)= p+~q
 #                   #
~Y=~(p=>q)= p*~q ## ~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Doskonale widać, że w tabeli T1 obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Stąd mamy:
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Dowodem są tu nasze zdania 6 i 7 które rozróżniamy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0) =1*1 =1

Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P8|=>P2 zapisanej w punkcie 4.11

Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
P8~~>P2 = P8*P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] ma element wspólny ~~> ze zbiorem P2=[2,4,6,8..]

W punkcie 4.11.1 zlokalizowane zdanie W1 jako zdanie A1 będące częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Z prawa Kobry wynika, że zdanie wejściowe W1 które analizowaliśmy wchodzi w skład warunku wystarczającego A1: P8=>P2 będącego częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
cnd

4.10.2 Zdanie bazowe P8~~>~P2

Zadanie 4102
Dane jest zdanie bazowe:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 2
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Sprawdzenie algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach:

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =?
Na mocy prawa śfinii mamy punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Zapis zdania W2 w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =?

Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: P8~~>~P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
RETURN

Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
3: P8~~>~P2 =[] =0

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
cnd

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice dodatniej (bo P2) zatem je tylko przepisujemy:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P8=1)
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,6,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]

Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
P8|=>P1 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0) =1*1 =1

Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P8|=>P2 zapisanej w punkcie 4.11

Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.

W punkcie 4.11.1 zlokalizowane zdanie W1 jako zdanie A1’ będące częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2=P8*~P2 =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
cnd

4.10.3 Zdanie bazowe ~P8~~>~P2

Zadanie 4103
Dane jest zdanie bazowe:
W3.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 2
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Sprawdzenie algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach:

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W3.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~~>~P2 = ~P8*~P2 =?
Na mocy prawa śfinii mamy punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Zapis zdania W3 w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =?

Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: ~P8~~>~P2 =1 - bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] mają element wspólny np. 1
2: ~P8~~>P2 =1 - bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] mają element wspólny np. 2
3: P8~~>P2 =1 - bo zbiory P8=[8,16,24 ..] i P2=[2,4,6,8..24..] mają element wspólny np. 24
4: P8~~>~P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
RETURN

Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
3: P8~~>~P2 =[] =0

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
cnd

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice dodatniej (bo P2) zatem je tylko przepisujemy:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P8=1)
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,6,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]

Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
P8|=>P1 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0) =1*1 =1

Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P8|=>P2 zapisanej w punkcie 4.11

Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W3.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~~>~P2 = ~P8*~P2 =1 - bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] mają element wspólny

W punkcie 4.11.1 zlokalizowane zdanie W1 jako A2 będące częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~>~P2=1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
cnd

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Z prawa Kobry wynika, że zdanie wejściowe W3 które analizowaliśmy wchodzi w skład warunku koniecznego A2: ~P8~>~P2 będącego częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
cnd

4.10.4 Zdanie bazowe ~P8~~>P2

Zadanie 4104
Dane jest zdanie bazowe:
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Sprawdzenie algorytmu analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” w zbiorach:

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =?
Na mocy prawa śfinii mamy punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Zapis zdania W4 w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =?

Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: ~P8~~>P2 =1 - bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] mają element wspólny np. 2
2: P8~~>P2 =1 - bo zbiory P8=[8,16,24 ..] i P2=[2,4,6,8..24..] mają element wspólny np. 8
3: P8~~>~P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
RETURN

Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
3: P8~~>~P2 =[] =0

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
cnd

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice dodatniej (bo P2) zatem je tylko przepisujemy:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P8=1)
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,6,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]

Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
P8|=>P1 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0) =1*1 =1

Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P8|=>P2 zapisanej w punkcie 4.11

Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 =1 - bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] mają element wspólny np. 2

W punkcie 4.11.1 zlokalizowane zdanie W4 jako zdanie B2’ będące częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] jest spełniona bo np. 2
cnd

4.11 Tabela prawdy implikacji prostej P8|=>P2

IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Nasz przykład:
Definicja implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1 =1

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q:
Kod:

IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
Tabela prawdy implikacji prostej P8|=>P2 w zapisie aktualnym
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8 jest (=1) podzbiorem => P2
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1 =1

       A1B1:           A2B2:      |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q    =1 = 2:~p~>~q  =1 [=] 3: q~>p    =1 = 4:~q=>~p   =1
A:  1: P8=>P2  =1 = 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~>P8  =1 = 4:~P2=>~P8 =1
A’: 1: p~~>~q  =0 =              [=]               = 4:~q~~>p   =0                   
A’: 1: P8~~>~P2=0 =              [=]               = 4:~P2~~>P8 =0                   
       ##             ##          |     ##            ##
B:  1: p~>q    =0 = 2:~p=>~q  =0 [=] 3: q=>p    =0 = 4:~q~>~p   =0
B:  1: P8~>P2  =0 = 2:~P8=>~P2=0 [=] 3: P2=>P8  =0 = 4:~P2~>~P8 =0
B’:               = 2:~p~~>q  =1 [=] 3: q~~>~p  =1
B’:               = 2:~P8~~>P2=1 [=] 3: P2~~>~P8=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Okład równań logicznych jest przemienny, stąd:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

4.11.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach

Operator implikacji prostej P8||=>q w logice dodatniej (bo P8) to układ równań logicznych:
A1B1: P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) - jeśli wylosujemy liczbę podzielną przez 8 to ..
A2B2: ~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) - jeśli wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 to ..

Innymi słowy:
Operator implikacji prostej P8||=>P2 to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2 o P8 i ~P8:

A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) - zapis aktualny
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbą podzielną przez 8 to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2 - mówi o tym zdanie A1.

A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2=P8*~P2 =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
Tego faktu nie musimy udowadniać, bo wymusza go prawdziwość warunku wystarczającego A1.

A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~P8~>~P2 =1 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest (=1) nadzbiorem ~> ~P2=[1,3,5,7,9..]
B2: ~P8=>~P2 =0 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest (=0) podzbiorem => ~P2=[1,3,5,7,9..]
~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) - zapis aktualny
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielna przez 8 to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania prawdziwe A2 i B2’

A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~>~P2=1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Tego faktu nie musimy udowadniać, gwarantuje nam to prawo Kubusia:
A2:~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
Prawdziwość zdania A1 udowodniliśmy na samym początku.

LUB

Z fałszywości warunku wystarczającego B2 wynika prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] jest spełniona bo np. 2

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P8||=>P2 jest gwarancja matematyczna => po stronie P8 (zdanie A1) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P8 (zdania A2 i B2’)

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Kolejność zdań tworzących operator implikacji prostej p||=>q również jest bez znaczenia, tak więc zdania A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w dowolnej kolejności.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Śro 19:43, 21 Lip 2021    Temat postu:
21-07-2021
Powód porzucenia:
Prawo Kłapouchego jest zbyt zawile wytłumaczone

Algebra Kubusia
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Spis treści
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 1
2.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 2
2.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 2
2.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 2
2.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 3
2.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 4
2.1.5 Prawo Kobry dla zbiorów 4
2.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 5
2.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> 5
2.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach 5
2.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach 6
2.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 6
2.2.5 Prawo Kobry dla zdarzeń 6
2.3 Warunki wystarczający => i konieczny ~> w rachunku zero-jedynkowym 6
2.3.1 Definicja znaczka różne # i różne na mocy definicji ## 7
2.3.2 Rachunek zero-jedynkowego warunków wystarczających => i koniecznych ~> 7
2.3.3 Definicja tożsamości logicznej [=] 10
2.4 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 10
2.4.1 Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” 12
2.5 Skąd biorą się prawa logiki matematycznej? 13
2.5.1 Prawo Kangurka i prawo Kangura 13
2.6 Definicje spójników implikacyjnych w pigułce 15
2.7 Prawo Kłapouchego 19
2.7.1 Dowód prawa Kłapouchego 21
2.7.2 Pudełko Schrödingera vs implikacja odwrotna CH|~>P 24
2.7.3 Pudełko Schrödingera vs implikacja prosta P|=>CH 25
2.7.4 Prawo Kameleona 27
2.7.5 Pudełko Schrödingera to matematyczny raj 5-cio latka 28



2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

2.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q.

2.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory p i q są rozłączne i nieskończone to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.

Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] np. 24

2.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach

Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q

Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
Innymi słowy:
Każda liczba podzielna przez 8 jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
(dowód przez pokazanie)

2.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach

Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q

Inaczej:
p~>q =0
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Przykład:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
cnd
(dowód przez pokazanie)

2.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

2.1.5 Prawo Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem => samego siebie:
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].

Zbiór pusty jest zbiorem zewnętrznym w stosunku do dowolnego zbioru niepustego.
Wynika to z definicji Uniwersum i zbioru pustego [] w algebrze Kubusia (pkt. 1.2).

Definicja Uniwersum:
Uniwersum U to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.

2.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

2.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~>

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)

2.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Przykład:
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zawsze gdy pada, jest pochurno

2.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Przykład:
Jeśli juro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki
Prawo Kubusia (poznamy za chwilkę):
Chmury (CH=1) są konieczne ~> dla padania (P), bo jak nie ma chmur (~CH) to na 100% => nie pada (~P).
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P

2.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

2.2.5 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

2.3 Warunki wystarczający => i konieczny ~> w rachunku zero-jedynkowym

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

2.3.1 Definicja znaczka różne # i różne na mocy definicji ##

Definicję znaczka różne na mocy definicji poznamy na przykładzie definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> które wyżej zapisaliśmy.

Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. ~p*~q) przypisane do tej funkcji.

Przykłady poprawnych funkcji logicznych:
Y=~p+q
Y=p+~q

Dowolną funkcję logiczną wolno nam dwustronnie negować:
Y=~p+q
~Y=~(~p+q) = p*~q

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Zobaczmy to w tabeli prawdy:
Kod:

T1
Definicja warunku wystarczającego => |  Definicja warunku koniecznego ~>
 Y = (p=>q) = ~p+q                   ##  Y = (p~>q) = p+~q
 #                                       #
~Y =~(p=>q) = p*~q                   ## ~Y =~(p~>q) = ~p*q
Uwagi:
Dowolna funkcję logiczną wolno nam tylko i wyłącznie dwustronnie negować
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Doskonale widać, że definicje obu znaczków # i ## są w tabeli T1 perfekcyjnie spełnione.
cnd

2.3.2 Rachunek zero-jedynkowego warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Kod:

T1
Definicja warunku wystarczającego =>
        Y=
   p  q p=>q=~p+q
A: 1=>1  1
B: 1=>0  0
C: 0=>0  1
D: 0=>1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

##
Kod:

T2
Definicja warunku koniecznego ~>
        Y=
   p  q p~>q=p+~q
A: 1~>1  1
B: 1~>0  1
C: 0~>0  1
D: 0~>1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

##
Kod:

T3
Definicja spójnika “lub”(+)
        Y=
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 0  0
D: 0+ 1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

##
Kod:

T4
Definicja spójnika “i”(*)
        Y=
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 0  0
D: 0* 1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Wyprowadźmy w rachunku zero-jedynkowym matematyczne związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
              Y=    Y=        Y=    Y=        Y=        #  ~Y=
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q # ~(p=>q)=p*~q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0       #    =1
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
                1     2         3     4         5             6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q

##
Kod:

Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
              Y=    Y=        Y=    Y=        Y=        #  ~Y=
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q # ~(p~>q)=~p*q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0       #    =1
                1     2         3     4         5
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Y = (p=>q) = ~p+q ## Y=(p~>q) =p+~q

Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).

2.3.3 Definicja tożsamości logicznej [=]

Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż w zdaniu A1 spełniony jest warunek wystarczający =>:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
jest tożsame z udowodnieniem iż w zdaniu A2 spełniony jest warunek konieczny ~>:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
(albo odwrotnie)

Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno (CH), bo zawsze gdy pada (P), jest pochmurno (CH)

Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
Prawdziwość zdania A1 wymusza prawdziwość zdania A2, z czego wynika, że prawdziwości zdania A2 nie musimy dowodzić.
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH), bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH

2.4 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
      Y=        Y=           Y=        Y=            Y=   # ~Y=
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q  #  p*~q
      ##        ##           ##        ##            ##      ##
      Y=        Y=           Y=        Y=            Y=   # ~Y=
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q # ~p*q
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Mutacje powyższych praw logiki matematycznej:

Pod p i q w powyższych prawach możemy podstawiać zanegowane zmienne w dowolnych konfiguracjach.

Przykład:
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1.
Podstawiamy:
p:=~p - pod p podstaw := ~p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>~q = ~(~p)~>~(~q) = p~>q
2.
Podstawiamy:
p:=p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q
3.
Podstawiamy:
p:=~p
q:=q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>q = ~(~p)~>~q = p~>~q

2.4.1 Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


2.5 Skąd biorą się prawa logiki matematycznej?

Wszelkie prawa logiki matematycznej wyznacza świat martwy (w tym matematyka).
Świat żywy nie nadaje się do wyznaczania praw logiki matematycznej ze względu na definicję „wolnej woli” którą ma każda istota żywa, człowiek nie jest tu wyjątkiem.

Definicja „wolnej woli” istot żywych:
„Wolna wola” istot żywych to możliwość gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy i matematykę.

Dokładnie z powyższego powodu o logice matematycznej możemy dyskutować pewnie i niezawodnie wyłącznie na gruncie świata martwego i matematyki.
Związek praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy i matematykę ze światem żywym poznamy w końcowej części podręcznika - obsługa obietnic i gróźb.

2.5.1 Prawo Kangurka i prawo Kangura

Prawo Kangurka:
W języku potocznym wszelkie przeczenia występujące w zdaniu muszą być uwzględnione w zapisie aktualnym np. {CH,~CH}
1: CH=1 - prawdą jest (=1), iż jest pochmurno (CH)
2: ~CH=1 - prawdą jest (=1), iż nie jest pochmurno (~CH)

I Prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
Dla naszego przykładu mamy tożsamość zdań 1 i 1’:
1: (CH=1) = 1’: (~CH=0)
1: CH=1 - prawdą jest (=1), iż jest pochmurno (CH)
1’: ~CH=0 - fałszem jest (=0) iż nie jest pochmurno (~CH)

II Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
Podobnie dla naszego przykładu zachodzi tożsamość zdań 2 i 2’:
2: (~CH=1) = 2’: (CH=0)
2: ~CH=1 - prawdą jest (=1), iż nie jest pochmurno (~CH)
2’: CH=0 - fałszem jest (=0), iż jest pochmurno (CH)

Uwaga:
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, stąd zdania 1 i 2 można zapisać krótko w następujący sposób:
1: CH - jest pochmurno
2: ~CH - nie jest pochmurno
Doskonale widać, że mamy teraz pełną zgodność z językiem potocznym, gdzie nikt nie operuje jedynkami - bo te są domyślne.

Przykład zapisu zdania w algebrze Kubusia:
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padać (~P=1)
~CH=>~P=1
Brak chmur (~CH=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie padania (~P=1), bo zawsze gdy nie ma chmur (~CH=1), nie pada (~P=1)

Zapis tożsamy powyższego zdania w języku potocznym:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padać (~P)
~CH=>~P=1
Brak chmur (~CH) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie padania (~P), bo zawsze gdy nie ma chmur (~CH), nie pada (~P)

Zachodzi tożsamość słownych zapisów matematycznych (tożsamość zdań):
B2: ~CH=>~P = B2’: ~CH=>~P

W niniejszym podręczniku będziemy dość konsekwentnie stosować zapis słowny B2, by odzwyczaić ziemskich matematyków od badziewia zwanego Klasycznym Rachunkiem Zdań, gdzie w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” poprzednik p i następnik q są stałymi binarnymi (zdaniami twierdzącymi) o znanej z góry wartości logicznej.
W algebrze Kubusia w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” poprzednik p i następnik q to zmienne binarne o nieznanej z góry wartości logicznej.
Małe, a robi fundamentalną różnicę.

Uwaga:
W algebrze Kubusia w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” zarówno poprzednik p jak i następnik q mogą być dowolnie złożonymi funkcjami logicznymi.

Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. ~p*~q) przypisane do tej funkcji.

Przykłady poprawnych funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y):
Y = ~p*~q
Y = p+q
Y = p*~q+~p*q
etc

Uwaga:
Dowolną funkcję logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie negować o czym ziemianie, niestety nie wiedzą
Dowód:
W żadnym podręczniku matematyki nie znajdziemy dwustronnej negacji funkcji logicznej

Podsumowując:
Algebra Kubusia to fundamentalnie co innego niż badziewie zwane Klasycznym Rachunkiem Zdań.

Prawo Kangura:
W algebrze Kubusia wszelkie przeczenia występujące w zmiennych aktualnych np. {~CH} muszą być przeniesione do zapisu formalnego np. {~p}

Przykład:
1: p = CH (chmury) - funkcja logiczna p w logice dodatniej (bo p)
Negując dwustronnie powyższą funkcję logiczną mamy:
2: ~p=~CH (nie chmury) - funkcja logiczna ~p w logice ujemnej (bo ~p)
Zauważmy, że między 1 i 2 zachodzi definicja znaczka #:
1: p=CH # 2: ~p=~CH
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
p - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo p)
~p - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~p)

Zauważmy, że teoretycznie możemy sobie podstawić:
s=~p
i zapisać tak:
1: p=CH # 2: s=~CH
Znając podstawienie powyższy zapis też jest poprawny, tyle że kłania się brzytwa Ockhama.

[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Brzytwa Ockhama (nazywana także zasadą ekonomii myślenia) – zasada, zgodnie z którą w wyjaśnianiu zjawisk należy dążyć do prostoty, wybierając takie wyjaśnienia, które opierają się na jak najmniejszej liczbie pojęć i założeń. Tradycyjnie wiązana jest z nazwiskiem Williama Ockhama.


2.6 Definicje spójników implikacyjnych w pigułce

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja spójnika implikacyjnego p|?q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik implikacyjny p|?q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 w tabeli matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dająca odpowiedź na pytanie o p

W logice matematycznej rozróżniamy pięć podstawowych spójników implikacyjnych dających odpowiedź na pytanie o p:

1.
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) jest wystarczające => dla zajścia q (A1) i jednocześnie zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

Przykład:
A1: P=>CH =1 - padanie jest wystarczające => dla chmur, bo zawsze gdy pada są chmury
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest konieczne ~> dla chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (A1) i jednocześnie padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (B1)

2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajście p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q (A1)

Przykład:
A1: CH=>P =0 - chmury nie są wystarczające => dla padania , bo nie zawsze gdy są chmury, pada
B1: CH~>P =1 - chmury są konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Chmury są (=1) konieczne ~> dla padania (B1) i jednocześnie chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania (A1)


3.
Równoważność p<=>q:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q

Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajście p jest (=1) wystarczające => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy w skrócie:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1

Przykład:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1 =1

Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby zachodziła suma kwadratów (SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1 =1

Tą wersję równoważności zna absolutnie każdy ziemski matematyk.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
wyników: 7 170
„potrzeba i wystarcza”
wyników: 192 000!
cnd

4.
Spójnik implikacyjny „albo”($):
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p albo($) q

Prawą stronę czytamy:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Zajście p jest (=1) konieczne dla zajścia ~q (B1) i jednocześnie zajście p jest (=1) wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Innymi słowy w skrócie:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q

Doskonale widać, że spójnik implikacyjny „albo”($) to szczególny przypadek równoważności:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Stąd:
p$q = p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)

Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Do tego aby być mężczyzną (M) potrzeba ~> i wystarcza => że nie jest się kobietą (~K)

Prawa strona definiuje nam równoważność:
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M<=>~K
stąd mamy tożsamość logiczną:
M$K = M<=>~K
Prawą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)

5.
Spójnik implikacyjny chaosu p|~~>q:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
Innymi słowy w skrócie:
Zajęcie p nie jest (=0) ani konieczne ~>, ani wystarczające => dla zajścia q

Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3)
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Poprzednik definiuje nam zbiór P8:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Następnik definiuje nam zbiór P3:
P3=[3,6,9..] - zbiór liczb podzielnych przez 3

Badamy czy spełniony jest warunek wystarczający => miedzy P8 i P3 w kierunku od P8 do P3:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 3
P8=>P3 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) wystarczająca => dla jej podzielności przez 3 bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9..]
cnd

Badamy czy spełniony jest warunek konieczny ~> miedzy tymi samymi P8 i P3 w tym samym kierunku:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 3
P8~>P3 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) konieczna ~> dla jej podzielności przez 3 bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9..]
cnd

Stąd mamy dowód, iż zdania A1 i B1 tworzą definicję spójnika chaosu p|~~>q:
A1: P8=>P3 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) podzbiorem => P3=[3,6,9..]
B1: P8~>P3 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3=[3,6,9..]
P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3) =~(0)*~(0) =1*1 =1

Prawą stronę czytamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) ani warunkiem koniecznym ~> (B1), ani też warunkiem wystarczającym => (A1) dla jej podzielności przez 3
P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3)

Wszystkie definicje spójników implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub niespełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>, tak jak to zrobiliśmy w przypadku chaosu p|~~>q.

2.7 Prawo Kłapouchego

Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.

O co chodzi w prawi Kłapouchego?

Weźmy implikację prostą p|=>q wraz z przykładem:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) jest wystarczające => dla zajścia q (A1) i jednocześnie zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

Przykład:
A1: P=>CH =1 - padanie jest wystarczające => dla chmur, bo zawsze gdy pada są chmury
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest konieczne ~> dla chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (A1) i jednocześnie padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (B1)

Podstawmy to do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
A1: P=>CH=1
B1: P~>CH=0
A1B1: P|=>CH=(A1: p=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1 = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>CH  =1 = 2:~P~>~CH=1    [=] 3: CH~>P  =1 = 4:~CH=>~P =1
       ##             ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0 = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>CH  =0 = 2:~P=>~CH=0    [=] 3: CH=>P  =0 = 4:~CH~>~P =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja warunku wystarczającego =>
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>
p~>q = p+~q
Stąd mamy:
Kolumna A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
stąd mamy:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
p|=>q = ~p*q

Kolumna A3B3:
Definicja implikacji odwrotnej q|~>p:
q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) = (q+~p)*~(~q+p) = (q+~p)*(q*~p) = q*~p = ~p*q

Stąd mamy:
p|=>q = q|~>p = ~p*q

Weźmy implikację odwrotną p|~>q wraz z przykładem:
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajście p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q (A1)

Przykład:
A1: CH=>P =0 - chmury nie są wystarczające => dla padania , bo nie zawsze gdy są chmury, pada
B1: CH~>P =1 - chmury są konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1=1
Chmury są (=1) konieczne ~> dla padania (B1) i jednocześnie chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania (A1)

Podstawmy to do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
A1: CH=>P =1
B1: CH~>P =1
A1B1: CH|~>P =~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:          A2B2:        |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q  =0   [=] 3: q~>p   =0  = 4:~q=>~p  =0
A:  1: CH=>P  =0 = 2:~CH~>~P =0   [=] 3: P~>CH  =0  = 4:~P=>~CH =0
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~> q  =1 = 2:~p=>~q  =1   [=] 3: q=>p   =1  = 4:~q~>~p  =1
B:  1: CH~>P  =1 = 2:~CH=>~P =1   [=] 3: P=>CH  =1  = 4:~P~>~CH =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja warunku wystarczającego =>
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>
p~>q = p+~q
Stąd mamy:
Kolumna A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
stąd mamy:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
p|~>q = p*~q

Kolumna A3B3:
Definicja implikacji prostej q|=>p:
q|=>p = ~(A3: q~>p)*(B3: q=>p) = ~(q+~p)*(~q+p) = (~q*p)*(~q+p) = ~q*p = p*~q

Stąd mamy:
p|~>q = q|=>p = p*~q

2.7.1 Dowód prawa Kłapouchego

Zapiszmy wyprowadzone wyżej tabele prawdy jedna pod drugą, by lepiej się im przyjrzeć.
Kod:

IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
       A1B1:         A2B2:        |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1 = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>CH  =1 = 2:~P~>~CH=1    [=] 3: CH~>P  =1 = 4:~CH=>~P =1
       ##             ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0 = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>CH  =0 = 2:~P=>~CH=0    [=] 3: CH=>P  =0 = 4:~CH~>~P =0
Gdzie:
Zapis formalny:
A1B1: p|=>q = A3B3: q|~>p =~p*q
Zapis aktualny:
A1B1: P|=>CH = A3B3: CH|~>P = ~P*CH
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

##
Kod:

IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
       A1B1:          A2B2:        |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q  =0   [=] 3: q~>p   =0  = 4:~q=>~p  =0
A:  1: CH=>P  =0 = 2:~CH~>~P =0   [=] 3: P~>CH  =0  = 4:~P=>~CH =0
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~> q  =1 = 2:~p=>~q  =1   [=] 3: q=>p   =1  = 4:~q~>~p  =1
B:  1: CH~>P  =1 = 2:~CH=>~P =1   [=] 3: P=>CH  =1  = 4:~P~>~CH =1
Gdzie:
Zapis formalny:
A1B1: p|~>q = A3B3: q|=>p = p*~q
Zapis aktualny:
A1B1: CH|~>P = A3B3: P|=>CH = CH*~P = ~P*CH
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Zauważmy, że między tabelami prawdy spójników implikacyjnych IP i IO w zapisach formalnych definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest perfekcyjnie spełniona, natomiast w zapisach aktualnych NIE!

Dowód:
Kod:

T1
IP                          |     IO
Implikacja prosta p|=>q:    |     Implikacja odwrotna p|~>q
 Y = (p|=>q) = ~p*q         ##     Y = (p|~>q) = p*~q
 Y = (P|=>CH)= ~P*CH        ##     Y = (CH|~>P)= CH*~P = ~P*CH
 Punkt odniesienia:          |     Punkt odniesienia:
 p=P (pada)                  |     p=CH (chmury)
 q=CH (chmury)               |     q=P (pada)
 #                                 #
~Y = ~(p|=>q) = p+~q         ##   ~Y = ~(p|~>q) = ~p+q
~Y = ~(P|=>CH)= P+~CH        ##   ~Y = ~(CH~>P) = ~CH+P = P+~CH
 Punkt odniesienia:          |     Punkt odniesienia:
 p=P (pada)                  |     p=CH (chmury)
 q=CH (chmury)               |     q=P (pada)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych IP: p|=>q oraz IO: p|~>q


Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem # drugiej

Doskonale widać, że:
1.
W zapisach formalnych {p, q} obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
2.
W zapisach aktualnych {P, CH} spełniona jest definicja znaczka różne # ale definicja znaczka różne na mocy definicji ## leży i kwiczy, nie jest spełniona.

Dlaczego definicja znaczka różne na mocy definicji ## nie jest spełniona?

Przyczyną tego faktu jest patrzenie na obiekt fizyczny z różnych punktów odniesienia.

Zauważmy, że w implikacji prostej IP: p|=>q punkt odniesienia to:
p|=>q = P|=>CH = ~p*q
p=P (pada)
q = CH (chmury)
P|=>CH = ~P*CH
Natomiast w implikacji odwrotnej IO: p|~>q punkt odniesienia to:
p|~>q = CH|~>P = p*~q
p=CH (chmury)
q=P (pada)
CH|~>P = CH*~P = ~P*CH

Mamy tu sytuację identyczną jak z kotem Schrödingera, dopóki nie otworzymy drzwiczek to nie wiemy, czy kot jest żywy czy martwy.

Analogicznie:
Dopóki nie zastosujemy prawa Kłapouchego to nie wiemy:
Czy dane zdanie w zapisie aktualnym {P, CH} należy do implikacji prostej:
p|=>q = ~p*q
##
Czy też do implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych p|=>q i p|~>q

Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.

Wniosek:
Prawo Kłapouchego wymusza na wszystkich matematykach identyczny punkt odniesienia.

Dowód:
Mamy serię identycznych zdań prawdziwych w języku potocznym (w zmiennych aktualnych):
Kod:

Logiczne pudełko Schrödingera:
1: P=>CH  = 2:~P~>~CH  [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P

Prawa logiki matematycznej w pudełku Schrödingera:
Prawo Kubusia:
1: P=>CH = 2:~P~>~CH
[=]
Prawo Tygryska:
1: P=>CH = 3: CH~>P
[=]
Prawo Kubusia:
3: CH~>P = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
1: P=>CH = 4: ~CH=>P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
3: CH~>P = 2: ~P~>~CH


Posługując się językiem potocznym żyjemy sobie w powyższym pudełku Schrödingera.
Nikogo nie obchodzą takie pojęcia jak implikacja prosta p|=>q=~p*q czy też implikacja odwrotna p|~>q=p*~q.

Bez prawa Kłapouchego każdy człowiek zapytany do jakiego spójnika logicznego należy przykładowe zdanie 3: CH~>P musi odpowiedzieć:
NIE WIEM!

2.7.2 Pudełko Schrödingera vs implikacja odwrotna CH|~>P

Prawo Kłapouchego to otwarcie drzwiczek do logicznego pudełka Schrödingera.

Weźmy przykładowe zdanie z logicznego pudełka Schrödingera:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
B1: CH~>P =1
Chmury są konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
cnd

Matematyk A mówi:
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmuję w zdaniu B1 punkt odniesienia:
p= CH (chmury)
q= P (pada)
Zapis zdania B1 w zapisie formalnym to:
B1: p~>q =1

Zauważmy, że matematyk A stosując jawnie prawo Kłapouchego do zdania B1, o czym wszyscy matematycy wiedzą rozstrzygnął to, czego nie wiedział żyjąc w pudełku Schrödingera.

Aby rozstrzygnąć w skład jakiego spójnika logicznego wchodzi zdanie B1 musimy udowodnić jego prawdziwość/fałszywość przy kodowaniu warunkiem wystarczającym =>.
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
A1: CH=>P =0
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0
Chmury nie są warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd

Stąd mamy rozwiązanie:
Zdanie B1: CH~>P należy do implikacji odwrotnej CH|~>P:
A1: CH=>P =0 - chmury (CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania (P)
B1: CH~>P =1 - chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P)
stąd:
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1=1
cnd

Podstawmy to do tabeli prawdy implikacji odwrotnej CH|~>P:
Kod:

IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
       A1B1:          A2B2:        |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q  =0   [=] 3: q~>p   =0  = 4:~q=>~p  =0
A:  1: CH=>P  =0 = 2:~CH~>~P =0   [=] 3: P~>CH  =0  = 4:~P=>~CH =0
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~> q  =1 = 2:~p=>~q  =1   [=] 3: q=>p   =1  = 4:~q~>~p  =1
B:  1: CH~>P  =1 = 2:~CH=>~P =1   [=] 3: P=>CH  =1  = 4:~P~>~CH =1
Gdzie:
Zapis formalny:
A1B1: p|~>q = A3B3: q|=>p = p*~q
Zapis aktualny:
A1B1: CH|~>P = A3B3: P|=>CH = CH*~P = ~P*CH
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Zauważmy, że żyjąc w logicznym pudełku Schrödingera dopóki nie zastosujemy prawa Kłapouchego nie jesteśmy w stanie rozstrzygnąć do jakiego spójnika logicznego należy przykładowe zdanie 3: CH~>P.
Nie oznacza to jednak, że zdanie 3: CH~>P może należeć jednocześnie do implikacji odwrotnej p|~>q:
IO: p|~>q = p*~q
##
i implikacji prostej p|=>q:
IP: p|=>q = ~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznej

O fakcie do którego spójnika logicznego (p|=>q albo p|~>q) wchodzi wylosowane zdanie rozstrzyga jednoznacznie otwarcie drzwiczek pudełka Schrödingera, czyli zastosowanie prawa Kłapouchego.

2.7.3 Pudełko Schrödingera vs implikacja prosta P|=>CH

Kod:

Logiczne pudełko Schrödingera:
1: P=>CH  = 2:~P~>~CH  [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P

Prawa logiki matematycznej w pudełku Schrödingera:
Prawo Kubusia:
1: P=>CH = 2:~P~>~CH
[=]
Prawo Tygryska:
1: P=>CH = 3: CH~>P
[=]
Prawo Kubusia:
3: CH~>P = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
1: P=>CH = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
3: CH~>P = 2: ~P~>~CH

Prawo Kłapouchego to otwarcie drzwiczek do logicznego pudełka Schrödingera.

Weźmy przykładowe zdanie z logicznego pudełka Schrödingera:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
A1: P=>CH =1
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd

Matematyk B mówi:
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmuję w zdaniu A1 punkt odniesienia:
p= P (pada)
q= CH (chmury)
Zapis zdania A1 w zapisie formalnym to:
A1: p=>q =1

Zauważmy, że matematyk B stosując jawnie prawo Kłapouchego do zdania A1, o czym wszyscy matematycy wiedzą rozstrzygnął to, czego nie wiedział żyjąc w pudełku Schrödingera.

Aby rozstrzygnąć w skład jakiego spójnika logicznego wchodzi zdanie A1 musimy udowodnić jego prawdziwość/fałszywość przy kodowaniu warunkiem koniecznym ~>.
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
B1: P~>CH =0
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =0
Padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
cnd

Stąd mamy rozwiązanie:
Zdanie A1: P=>CH należy do implikacji prostej P|=>CH:
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
stąd:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0) =1*1 =1
cnd

Podstawmy to do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q:
Kod:

IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
       A1B1:         A2B2:        |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1 = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>CH  =1 = 2:~P~>~CH=1    [=] 3: CH~>P  =1 = 4:~CH=>~P =1
       ##             ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0 = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>CH  =0 = 2:~P=>~CH=0    [=] 3: CH=>P  =0 = 4:~CH~>~P =0
Gdzie:
Zapis formalny:
A1B1: p|=>q = A3B3: q|~>p =~p*q
Zapis aktualny:
A1B1: P|=>CH = A3B3: CH|~>P = ~P*CH
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Zauważmy, że żyjąc w logicznym pudełku Schrödingera dopóki nie zastosujemy prawa Kłapouchego nie jesteśmy w stanie rozstrzygnąć do jakiego spójnika logicznego należy przykładowe zdanie
1: P=>CH
Nie oznacza to jednak, że zdanie 1: P=>CH może należeć jednocześnie do implikacji prostej p|=>q:
IP: p|=>q =~p*q
##
i implikacji odwrotnej :
IO: p|~>q =p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznej

O fakcie do którego spójnika logicznego (p|=>q albo p|~>q) wchodzi wylosowane zdanie rozstrzyga jednoznacznie otwarcie drzwiczek pudełka Schrödingera, czyli zastosowanie prawa Kłapouchego.

Podsumowanie:
Twierdzenie ziemskich matematyków, że kot Schrödingera może być w jakiejś tam chwili czasowej jednocześnie żywy i martwy to zagłada algebry Kubusia, czyli zagłada logiki matematycznej pod którą podlega cały nasz Wszechświat żywy i martwy, autorstwa stwórcy naszego Wszechświata.
Innymi słowy:
Kot Schrödingera jednocześnie żywy i martwy to majaczenia pacjenta zakładu zamkniętego bez klamek, czyli fanatyka „implikacji materialnej”

2.7.4 Prawo Kameleona

Zapiszmy zdania A1 i B1 z punktu wyżej:

A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
A1: P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd

##

B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
B1: P~>CH =0
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =0
Padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
cnd

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Dowód poprawności znaczka różne na mocy definicji ## na przykładzie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> znajdziemy w punkcie 2.3.1.

Zauważmy, że:
Zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to są to zdania różne na mocy definicji ##.

Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Dowodem są tu nasze zdania A1 i B1.
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => (A1) i koniecznego ~> (B1) wbudowanych w treść zdań.

2.7.5 Pudełko Schrödingera to matematyczny raj 5-cio latka

Kod:

Logiczne pudełko Schrödingera:
1: P=>CH  = 2:~P~>~CH  [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P

Prawa logiki matematycznej w pudełku Schrödingera:
Prawo Kubusia:
1: P=>CH = 2:~P~>~CH
[=]
Prawo Tygryska:
1: P=>CH = 3: CH~>P
[=]
Prawo Kubusia:
3: CH~>P = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
1: P=>CH = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
3: CH~>P = 2: ~P~>~CH

Zauważmy, że w pudełku Schrödingera są zaledwie cztery zdania 1,2,3,4 oraz prawa logiki matematycznej wiążące te zdania.
Zarówno treść zdań jak i wszystkie prawa logiki matematycznej są doskonale znane każdemu 5-cio latkowi, mimo że nie jest tego świadom.

Aby to udowodnić udajmy się do przedszkola.
Pani:
3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
3: CH~>P =1
Jasiu, czy chmury są konieczne ~> by padało?
Jaś (lat 5):
Tak, bo padać może wyłącznie z chmurki

Pani:
Jasiu, a jeśli jutro nie będzie pochmurno to może padać czy może nie padać?
Jaś:
Prawo Kubusia:
3: CH~>P = 4:~CH=>~P
Jaś:
4:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padać (~P)
4: ~CH=>~P =1
Pani:
Czy brak chmur (~CH) daje nam gwarancję => nie padania (~P)?
Jaś:
Tak, bo zawsze gdy nie ma chmur, to nie pada

Pani:
Prawo kontrapozycji:
4: ~CH=>~P = 1: P=>CH
Pani:
Jasiu, jeśli jutro będzie padało to może być pochmurno lub może nie być pochmurno?
Jaś:
1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100%=> będzie pochmurno (CH)
1: P=>CH =1
Pani:
Jasiu czy padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH)
Jaś:
Tak, bo zawsze gdy pada, są chmury
Pani:
Jasiu, czy padanie jest warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur?
Jaś:
Padanie nie jest warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
Pani:
Jasiu, a jeśli jutro nie będzie padało?
Jaś:
Prawo Kubusia:
1: P=>CH = 2: ~P~>~CH
2.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
2: ~P~>~CH =1
Pani:
Czy brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH)?
Jaś:
Tak, brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH) bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)

Podsumowanie:
Jak widzimy w ostatnim zdaniu prawo Kubusia samo Jasiowi wyskoczyło, mimo że nie jest tego świadom.
Prawo Kubusia:
2: ~P~>~CH = 1: P=>CH
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Pon 8:02, 26 Lip 2021    Temat postu:
Stara wersja beta punktu 3.0 z dnia 22.07.2021

Algebra Kubusia
3.0 Definicje podstawowe spójników implikacyjnych


Spis treści
3.0 Definicje podstawowe spójników implikacyjnych 1
3.0.1 Spójniki implikacyjne 2
3.1 Implikacja prosta p|=>q 4
3.1.1 Prawo Kameleona 5
3.2 Implikacja odwrotna p|~>q 6
3.3 Równoważność p<=>q 7
3.3.1 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań po raz pierwszy 11
3.3.2 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań po raz drugi 12
3.3.3 Logika, sens i wątpliwości 14
3.4 Spójnik „albo” p$q 16
3.5 Chaos p|~~>q 18
3.6 Prawo niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego 19
3.6.1 Kto lepiej zna logikę matematyczną, ziemski matematyk czy 5-cio latek? 21
3.6.2 Funkcja logiczna algebry Boole’a to pięta Achillesowa ziemian 23
3.6.3 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego 26



3.0 Definicje podstawowe spójników implikacyjnych

Fundamentem jedynej poprawnej logiki matematycznej, algebry Kubusia, są zdania warunkowe „Jeśli p to q” gdzie między p i q występuje ścisły związek matematyczny w postaci:

1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0

2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0

3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0

Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


3.0.1 Spójniki implikacyjne

Definicja spójnika implikacyjnego:
Spójnik implikacyjny to seria zdań warunkowych „Jeśli p to q” związana z wybraną kolumną w tabeli matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.

Rozróżniamy 5 spójników implikacyjnych różnych na mocy definicji funkcji logicznej ##:

IP+
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0) =1*1=1
Czytamy:
Implikacji prosta p|=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) i nie jest (=0) konieczne ~> (B1) dla zajścia q
A1B1: Y = (p|=>q) = ~p*q

##

IO+
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 =1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
A1B1: Y = (p|~>q) =p*~q

##

TR+
Równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
A1B1: Y= (p<=>q) = p*q+~p*~q

##

TA+
Definicja spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku dla zanegowanego następnika q (~q).
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd mamy:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Czytamy:
Spójnik p$q jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q (B1) i jednocześnie zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q (A1)
A1B1: Y = (p$q) = p*~q+~p*q

##

CH+
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q i jednocześnie zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q.
A1B1: Y = (p|~~>q) =0

Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznej Y zdefiniowanej jak wyżej.


3.1 Implikacja prosta p|=>q

IP+
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0) =1*1=1
Czytamy:
Implikacji prosta p|=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) i nie jest (=0) konieczne ~> (B1) dla zajścia q

Podstawiając A1 i B1 do tabeli prawdy T0 otrzymujemy tabelę prawdy implikacji prostej IP.
Kod:

IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0) =1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1  [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##                ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0  [=] 5:  p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Wyprowadzenie definicji implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q)=(~p+q)*(~p*q)=~p*q
A1B1: p|=>q = ~p*q
Matematycznie zachodzi tożsamość:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q = A3B3: q|~>p = A4B4: ~q|=>~p = ~p*q
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie kolumna A1B1 w tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> dająca odpowiedź na pytanie:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?

Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie (P=1) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH=1), bo zawsze gdy pada, są chmury.

Badamy prawdziwość/fałszywość zdania A1 z wymienionym znaczkiem z => na ~>:
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
Padanie (P=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (CH=1), bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.

Stąd mamy spełnioną definicję implikacji prostej P|=>CH w logice dodatniej (bo CH):
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta P|=>CH jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (A1) i nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (B1).

3.1.1 Prawo Kameleona

Zapiszmy jeszcze raz zdania A1 i B1 wypowiedziane wyżej.
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie (P=1) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH=1), bo zawsze gdy pada, są chmury.
##
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
Padanie (P=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (CH=1), bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to, zdania te nie są matematycznie tożsame.
Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.

Prawo Kameleona
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => (A1) i koniecznego ~> (B1) wbudowanych w treść zdań.

Dowód iż warunek wystarczający p=>q = P=>CH jest różny na mocy definicji ## od warunku koniecznego p~>q = P~>CH znajdziemy w punkcie 2.3.1

3.2 Implikacja odwrotna p|~>q

IO+
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 =1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)

Podstawiając A1 i B1 do tabeli prawdy T0 otrzymujemy tabelę prawdy implikacji odwrotnej IO.
Kod:

IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 =1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0  [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##                ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1  [=] 5:  p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q)=(p*~q)*(p+~q)=p*~q
A1B1: p|~>q=p*~q
Matematycznie zachodzi tożsamość:
A1B1: p|~>q = A2B2: ~p|=>~q = A3B3: q|=>p = A4B4: ~q|~>~p = p*~q
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie kolumna A1B1 w tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> dająca odpowiedź na pytanie:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?

Przykład:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1), bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: P~>CH = B2: ~P=>~CH
Zdanie B2 jest oczywiście prawdziwe z czego wynika prawdziwość zdania B1
cnd

Badamy prawdziwość/fałszywość zdania B1 z wymienionym znaczkiem ~> na =>:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padać (P=1)
CH=>P =0
Chmury (CH=1) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P=1), bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd

Stąd mamy spełnioną definicję implikacji odwrotnej CH|~>P w logice dodatniej (bo P):
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy istnienie chmur jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (B1) i nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (A1)

3.3 Równoważność p<=>q

TR+
Równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (B2) dla zajścia q

Lewą stronę czytamy:
p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1

Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
Zdanie tożsame:
Zajście p jest potrzebne ~> i wystarczające ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1

Ostatnia definicja jest powszechnie znana wszystkim ziemianom, nie tylko matematykom:
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 16 100
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 174 000!

Podstawiając A1 i B1 do tabeli prawdy T0 otrzymujemy tabelę prawdy równoważności TR:
Kod:

TR:
Tabela prawdy równoważności p<=>q:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1  [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##                ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1  [=] 5:  p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Wyprowadzenie definicji równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q)= ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
A1B1: p<=>q = p*q+~p*~q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q = A3B3: q<=>p = A4B4: ~q<=>~p = p*q+~p*~q
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład tabeli prawdy równoważności p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie kolumna A1B1 w tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> dająca odpowiedź na pytanie:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości w zbiorach:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.

Przykład:
Twierdzenie proste Pitagorasa:
A1: p=>q
A1: TP=>SK
Punkt odniesienia:
p=TP
q=SK
Twierdzenie proste Pitagorasa:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
A1: TP=>SK =1
To samo w zapisie formalnym (na mocy prawa Kłapouchego)
A1: p=>q =1
Punkt odniesienia:
p=TP
q=SK
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Dowód ten oznacza, że zbiór trójkątów prostokątnych (TP=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1)

Twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
B3.
Jeśli w trójkącie spełniona jest suma kwadratów (SK=1) to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny (TP=1)
B3: SK=>TP=1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1).
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Z dowodu tego wynika, że zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP=1).

Definicja tożsamości zbiorów p i q p=q w zapisie formalnym:
RA1B3:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q

Innymi słowy przy odczycie skrajnych tożsamości logicznych:
RA1B3:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q

Innymi słowy prawą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q

Nasz przykład:
RA1B1:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK i jednocześnie prawdziwe jest twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3: SK=>TP
TP=SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK

Innymi słowy przy odczycie skrajnych tożsamości logicznych:
RA1B3:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności TP<=>SK.
TP=SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK

Innymi słowy prawą stronę czytamy:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK

Dla zdania B3 stosujemy prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q

Stąd mamy tożsamą definicję tożsamości zbiorów:
RA1B1:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q

Środek czytamy:
RA1B1:
Do tego aby zaszło p potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) aby zaszło q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q

Nasz przykład:
RA1B1:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności TP<=>SK.
TP=SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP<=>SK

Środek czytamy:
RA1B1:
Do tego aby trójkąt był prostokątny (TP=1) potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
RA1B1:
TP=SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP<=>SK

Stąd mamy spełnioną definicję równoważności TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK):
RA1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1 =1
Czytamy:
Równoważność TP<=>SK jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście TP jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia SK

3.3.1 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań po raz pierwszy

Zauważmy, że powyższa definicja tożsamości zbiorów p=q to Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań!

Twierdzenie Smoka Wawelskiego:
Dowolny ziemski matematyk, który twierdzi iż definicja „implikacji materialnej” jest matematycznie poprawna w naszym Wszechświecie żywym i martwym (w tym w matematyce) jest pacjentem zakładu zamkniętego bez klamek.
Innymi słowy:
Ziemska interpretacja równoważności p<=>q z Wikipedii to ciężki przypadek schizofrenii.

Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Równoważność p<=>q (lub: ekwiwalencja) – twierdzenie, w którym poprzednik p jest zarówno warunkiem koniecznym ~>, jak i wystarczającym => dla następnika q.
To zdanie zapisuje się za pomocą spójnika wtedy i tylko wtedy (wtw), gdy...

Przykłady równoważności prawdziwych:
Trawa jest zielona wtedy i tylko wtedy gdy 2 + 2 = 4
2+2=4 wtedy i tylko wtedy gdy Płock leży nad Wisłą
etc

Zauważmy, że wytłuszczona część definicji równoważności p<=>q z Wikipedii jest poprawna i identyczna jak w algebrze Kubusia … ale przykłady równoważności prawdziwych z Wikipedii to jedno wielkie, potwornie śmierdzące gówno.

Puenta ziemskiej definicji równoważności p<=>q z Wikipedii:
Ziemska definicja równoważności p<=>q to ciężki przypadek schizofrenii - zdradzają to przykłady z Wikipedii.

Rozważmy pierwszy przykład:
Na mocy wytłuszczonej, poprawnej definicji równoważności z Wikipedii ziemscy twardogłowi „matematycy” zapisują:
RA1B1:
Trawa jest zielona wtedy i tylko wtedy, gdy 2 + 2 = 4
TZ<=>224 <=> (A1: TZ=>224)*(B1: TZ~>224) = 1*1 =1

Jak widzimy, ziemski „matematyk” twierdząc, że powyższa równoważność RA1B1 jest prawdziwa musi udowodnić prawdziwość zdań składowych A1 i B1.

Dowód prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1.
Jeśli trawa jest zielona to na 100% => 2+2=4
TZ=>224 =1
Fakt iż trawa jest zielona jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby 2+2=4

Jak prawdziwość warunku wystarczającego => A1 dowodzą ziemscy „matematycy”?
Oczywiście: nie wiem!
Po odpowiedź należy się udać do zakładu zamkniętego bez klamek, będącego domem dla absolutnie wszystkich fanatyków „implikacji materialnej”, czyli ziemskich twardogłowych matematyków.

Dowód prawdziwości warunku koniecznego ~> B1:
B1.
Jeśli trawa jest zielona to na 100% ~> 2+2=4
TZ~>224 =1
Zieloność trawy jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego, aby 2+2=4

Jak prawdziwość warunku koniecznego ~> B1 dowodzą ziemscy „matematycy”?
Oczywiście: nie wiem!
Po odpowiedź należy się udać do zakładu zamkniętego bez klamek, będącego domem dla fanatyków „implikacji materialnej”, czyli ziemskich twardogłowych matematyków.

3.3.2 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań po raz drugi

[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Równoważność p<=>q (lub: ekwiwalencja) – twierdzenie, w którym poprzednik p jest zarówno warunkiem koniecznym ~>, jak i wystarczającym => dla następnika q.
To zdanie zapisuje się za pomocą spójnika wtedy i tylko wtedy (wtw), gdy...

Przykłady równoważności prawdziwych:
Trawa jest zielona wtedy i tylko wtedy gdy 2 + 2 = 4
2+2=4 wtedy i tylko wtedy gdy Płock leży nad Wisłą
etc

Geneza schizofrenicznej definicji równoważności w Klasycznym Rachunku Zdań

Jedno z pierwszych zdań podręcznika dr hab. Krzysztofa A. Wieczorka „Logika dla opornych”
[link widoczny dla zalogowanych]
K.A Wieczorek napisał:

Termin „zdanie” oznacza w logice tylko i wyłącznie zdanie oznajmujące i schematy tylko takich zdań będziemy budować

Na mocy powyższego dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w logice „matematycznej” ziemian przyjmuje postać.
Jeśli „zdanie twierdzące p” to „zdane twierdzące q”
Gdzie:
Zdania twierdzące p i q muszą mieć znaną z góry wartość logiczną prawda (=1) albo fałsz (=0), aby na mocy „implikacji materialnej” można było rozstrzygnąć o prawdziwości/fałszywości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q”
Przykładowe zdania prawdziwe w KRZ:
1. Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
2. Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
3. Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
Dowód (na serio!) prawdziwości zdania 3 na gruncie Klasycznego Rachunku Zdań jest tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Falsum sequitur quodlibet

Matryca implikacji od wieków budzi kontrowersje, niekiedy sięgające samej istoty logiki.
Matryca implikacji:
Kod:

 p  q  p=>q
 1  1   1
 0  1   1
 1  0   0
 0  0   1

Z dowolnego zdania fałszywego wynika dowolne zdanie prawdziwe (drugi wiersz matrycy) i dowolne zdanie fałszywe (czwarty wiersz matrycy). Twierdzenie to znane jest od wielu wieków w postaci łacińskiej formuły Falsum sequitur quodlibet (z fałszu wynika cokolwiek, czyli wszystko).

Mimo to, gdy Bertrand Russell opublikował swój system logiki oparty na omawianej matrycy implikacji materialnej, niektórzy filozofowie przyjęli ten system za rodzaj herezji logicznej.

Ktoś próbował wykpić B. Russella, ogłaszając list otwarty, w którym zaproponował mu do rozwiązania następujące zadanie:
Ponieważ według pana można udowodnić wszystko na podstawie jednego zdania fałszywego, proszę na podstawie fałszywego zdania "5 = 4" udowodnić, że jest pan papieżem.

Na pierwszy rzut oka zadanie to może się wydać niewykonalne. Intuicyjnie bowiem nie potrafimy dojrzeć żadnego związku między zdaniem "5 = 4" a zdaniem: "B. Russell jest papieżem". Intuicji nie można jednak wierzyć ślepo, jest bowiem zawodna. Russell podjął zadanie i rozwiązał je w wyniku następującego rozumowania:

Opierając się na regule głoszącej, że od obu stron równości wolno odjąć tę samą liczbę, odejmuję od obu stron równości: "5 = 4", liczbę 3. Wyprowadzam w ten sposób ze zdania "5 = 4" zdanie "2 = 1".
Dowód, że jestem papieżem, jest już teraz zupełnie prosty: papież i ja to dwie osoby, ale 2 = 1 (w tym przypadku papież i B. Russell, czyli dwie osoby są jedną osobą), więc jestem papieżem.

Rozumowanie to jest zupełnie poprawne, zatem początkowa intuicja zgodnie z którą zadanie dane Russellowi wydawało się nierozwiązalne, okazała się zawodna.
Zdanie "B. Russell jest papieżem" rzeczywiście wynika ze zdania "5 = 4". Jest to przykład wynikania fałszu z fałszu (odpowiednik czwartego wiersza matrycy).

Równie łatwo możemy wykazać, że z tego samego zdania fałszywego wynika zdanie prawdziwe, np. zdanie "B. Russell jest wykształcony".


… a tu bloger Gżdacz potwornie szydzi (i słusznie) zarówno z logiki formalnej ziemian (Cytat pierwszy) jak i z samego dowodu Russella (cytat drugi):
[link widoczny dla zalogowanych]
Gżdacz napisał:

Jeśli 2+2=5, to jestem papieżem

Z książki Johna D. Barrowa Kres możliwości? wypisuję cytaty, które są cytatami drugiego rzędu, bo w rzeczonej książce są to również cytaty.

Cytat pierwszy (s. 226).
Sądzę, że mistycyzm można scharakteryzować jako badanie tych propozycji, które są równoważne swoim zaprzeczeniom. Z zachodniego punktu widzenia, klasa takich propozycji jest pusta. Ze wschodniego punktu widzenia klasa ta jest pusta wtedy i tylko wtedy, kiedy nie jest pusta. (Raymond Smullyan)

Cytat drugi (s. 226) wymaga lekkiego wprowadzenia.
Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.

Kiedy Bertrand Russell wypowiedział ten warunek na jednym z publicznych wykładów jakiś sceptyczny złośliwiec poprosił go, by udowodnił, że jeśli 2 razy 2 jest 5, to osoba pytająca jest Papieżem. Russell odparł:
Jeśli 2 razy 2 jest 5, to 4 jest 5; odejmujemy stronami 3 i wówczas 1=2. A że pan i Papież to 2, więc pan i Papież jesteście jednym!

W ramach zadania domowego zadałem sobie wykazanie, że jeśli Napoleon Bonaparte był kobietą, to ja jestem jego ciotką. Na razie zgłaszam "bz".
Autor: Gżdacz o 21:30


Podsumowując:
Mam nadzieję, że w tym momencie każdy ziemski matematyk rozumie dlaczego nie ma sensu moja dyskusja z fanatykami Klasycznego Rachunku Zdań, gdzie ja stosuję definicje obowiązujące w algebrze Kubusia (np. definicję równoważności z algebry Kubusia) a fanatyk KRZ swoje, jedynie słuszne definicje.

Wielu matematyków doskonale rozumie, że aktualna logika matematyczna ziemian to szpital psychiatryczny - dowód w kolejnym punkcie.

3.3.3 Logika, sens i wątpliwości

Pełna treść artykułu zawodowego matematyka, który odważył się poddać w wątpliwość sens aktualnej logiki matematycznej Ziemian.
Dlaczego takich matematyków jest tak mało?
Bo zawsze są wściekle atakowani przez fanatyków Klasycznego Rachunku Zdań.

Kim jest pan Marek Kordos?
[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Marek Tomasz Kordos - polski matematyk, doktor habilitowany, geometra i historyk matematyki oraz jej popularyzator.
Życiorys:
Założyciel i wieloletni redaktor naczelny miesięcznika Delta, autor wielu książek, współzałożyciel Ośrodka Kultury Matematycznej oraz Stowarzyszenia na rzecz Edukacji Matematycznej. Zatrudniony na stanowisku profesora nadzwyczajnego pracuje jako wykładowca akademicki na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego. Specjalizuje się w geometrii i historii matematyki. Doktorat i habilitację uzyskał za prace z geometrii rzutowo-metrycznych.


[link widoczny dla zalogowanych]

Logika, sens i wątpliwości
Marek Kordos
Delta, marzec 2013

Już przed laty, gdy brałem udział w tworzeniu jednej z kolejnych reform nauczania matematyki, miałem poważne wątpliwości, czy umieszczanie w programach nauczania matematyki (podstawach programowych, wykazach efektów nauczania, podręcznikach itp.) działu logika jest zgodne ze zdrowym rozsądkiem.

Oczywiście, wiem, że wielu głosi, iż nauczanie matematyki (jak niegdyś łaciny, której się zresztą uczyłem) to nauka logicznego myślenia. Ale, gdy czytałem otwierające wówczas podręczniki do liceum rozdziały poświęcone logice, trudno mi było powstrzymać się od wrażenia, że nie ma w nich żadnego sensu. Nie wymienię, rzecz jasna, żadnego konkretnego podręcznika (po co mi rozprawy sądowe – przecież podręcznik to wielkie pieniądze), ale wrażenie przy lekturze każdego z nich było podobne.
Od razu chciałbym powiedzieć, że nie chodzi o opinię, iż logika nigdy matematyce nie pomogła, bo unikanie błędów nie jest aktem twórczym (patrz Nicolas Bourbaki, Elementy historii matematyki). Chodzi o coś więcej. Ale nie śmiałem nalegać na usunięcie tego działu ze szkolnego nauczania, bo jeśli wszyscy widzą w nim sens, to może on tam – wbrew pozorom – istnieje.

Dopiero na sympozjum z okazji dziewięćdziesięciolecia Profesora Andrzeja Grzegorczyka dowiedziałem się, że moje wątpliwości nie są odosobnione i nawet w Instytucie Filozofii i Socjologii PAN prowadzone są prace nad taką modyfikacją logiki, by jej wady usunąć.

Co to za wady? Proszę spojrzeć na zdanie:
Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.

Oczywiście, zdanie to jest prawdziwe, ale czy ma sens? Przecież między pewnym faktem arytmetycznym a innym faktem geograficznym żadnego związku nie ma. Dlaczego więc chcemy twierdzić (ba, uczyć tego), że te dwa zdania są równoważne?

Albo zdanie:
Jeśli dwa plus dwa jest równe pięć, to zachodzi twierdzenie Pitagorasa.

Z punktu widzenia logiki to zdanie jest prawdziwe. Tu już po obu stronach implikacji są zdania dotyczące faktów matematycznych. Dlaczego jednak chcemy zmusić młodego człowieka, by widział w tym sens?
Wyjaśnienie jest proste: w pierwszym przypadku chodzi o to, że równoważność zdań ma miejsce, gdy wartość logiczna obu zdań jest taka sama; w drugim – o to, że implikacja jest poprawna, gdy ma fałszywy poprzednik.

A więc logika sprowadza nasz świat do zbioru dwuelementowego, nic przeto dziwnego, że rzeczy absolutnie niepołączone żadnym znaczeniowym (semantycznym) związkiem muszą się znajdować w przynajmniej jednej z dwóch komórek, do jakiejś muszą trafić.

Powstają dwa pytania. Po pierwsze, czemu logika została tak skonstruowana, że – abstrahując od sensu – okalecza pojęciowy świat? Po drugie, czy faktycznie należy trzymać ją jak najdalej od młodzieży, bo tylko ją demoralizuje, każąc za wiedzę uważać takie androny, jak przytoczone powyżej?

Odpowiedź na pierwsze pytanie jest dość prosta. Nowoczesna logika formalna została stworzona (jak wielu uważa) przez Gottloba Fregego (1848-1925) tak, by obsługiwała matematykę, a tę rozumiano wówczas jako badanie prawdziwości zdań języków formalnych.

Odpowiedzi na drugie pytanie de facto nie ma. Tłumaczymy się z używania takich abstrahujących od znaczeń spójników logicznych tym, że alternatywa, koniunkcja i negacja są sensowne; że chcemy, aby młody człowiek wiedział, że zaprzeczeniem zdania, iż istnieje coś mające własność A, jest to, że wszystkie cosie własności A nie mają; że implikacja ze zdania prawdziwego daje jednak tylko zdania prawdziwe itd., itp.

Ale naprawdę chodzi o to, że – jak z małżeństwem i demokracją – lepszej propozycji dotąd nie wynaleziono. A szkoda.

3.4 Spójnik „albo” p$q

TA+
Definicja spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku dla zanegowanego następnika q (~q).
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd mamy:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Czytamy:
Spójnik p$q jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q (B1) i jednocześnie zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q (A1)
Innymi słowy w skrócie:
Spójnik p$q jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q

Podstawiając A1 i B1 do tabeli prawdy T0 otrzymujemy tabelę prawdy spójnika „albo”($) TA:
Kod:

TA+:
Tabela prawdy spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
A1B1: p|=>~q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>~q = 2:~p~>q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p =1  [=] 5: ~p+~q
      ##         ##           ##        ##                ##
B: 1: p~>~q = 2:~p=>q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p =1  [=] 5:  p+ q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Wyprowadzenie definicji spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (~p+~q)*(p+q)= ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
A1B1: p$q = p*~q + ~p*q
Matematycznie zachodzi tożsamość:
A1B1: p$q = A2B2: ~p$~q = A3B3: q$p = A4B4: ~q$~p = p*~q+~p*q
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład tabeli prawdy spójnika „albo”($) potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja spójnika implikacyjnego w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie kolumna A1B1 w tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> dająca odpowiedź na pytanie:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?

Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1

Czytamy:
Definicja spójnika „albo” M$K jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie mężczyzną (M=1) jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1), by nie być kobietą (~K=1)

Zdania składowe A1 i B1 czytamy:
A1.
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% => nie jest kobietą (~K=1)
M=>~K =1
Bycie mężczyzną (M=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie być kobietą (~K=1), bo każdy mężczyzna nie jest kobietą

Badamy prawdziwość/fałszywość zdania A1 z wymienionym znaczkiem => na ~>:
B1.
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% ~> nie jest kobietą (~K=1)
M~>~K =1
Bycie mężczyzną (M=1) jest warunkiem koniecznym ~> by nie być kobietą (~K=1), bo nie ma innego człowieka poza mężczyzną, który nie jest kobietą.

Stąd mamy spełnioną definicję spójnika „albo” M$K w logice dodatniej (bo K):
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1

Ogólna definicja równoważności:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)

Zauważmy, że spójnik „albo”($) spełnia ogólną definicję równoważności, stąd mamy tożsamość logiczną:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q

Nasz przykład:
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M<=>~K

Stąd mamy kolejne zdanie tożsame do spójnika „albo”($):
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K=1)
M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1


3.5 Chaos p|~~>q

CH+
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q i jednocześnie zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q.

Podstawiając A1 i B1 do tabeli prawdy T0 otrzymujemy tabelę prawdy chaosu p|~~>q:
Kod:

CH:
Tabela prawdy chaosu p|~~>q:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0  [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##                ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0  [=] 5:  p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Wyprowadzenie definicji chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(~p+q)*~(p+~q)=(p*~q)*(~p*q) =0
A1B1: p|~~>q = 0
Matematycznie zachodzi tożsamość:
A1B1: p|~~>q = A2B2: ~p|~~>~q = A3B3: q|~~>p = A4B4: ~q|~~>~p = 0
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład tabeli prawdy chaosu p|~~>q potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie kolumna A1B1 w tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> dająca odpowiedź na pytanie:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Poprzednik definiuje zbiór:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Następnik definiuje zbiór:
P3=[3,6,9,12 .. 24..] - zbiór liczb podzielnych przez 3

Sprawdzamy warunek wystarczający => między P8 i P3:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 3
P8=[8,16,24..] => P3=[3,6,9,12..24..] =0
Bo zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => P3
cnd

Sprawdzamy warunek konieczny ~> między P8 i P3:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 3
P8=[8,16,24..] ~> P3=[3,6,9,12..24..] =0
Bo zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3
cnd

Stąd mamy spełnioną definicję chaosu P8|~~>P3 w logice dodatniej (bo P3):
P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3) = ~(0)*~(0) =1*1 =1

3.6 Prawo niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego

Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. ~p*~q) przypisane do tej funkcji.

Przykłady poprawnych funkcji logicznych:
Y = ~p*~q
Y = p+q
etc

Dowolną funkcję logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować.
Y=p+q
~Y=~p*~q

Zapiszmy poznane dotychczas spójniki logiczne w postaci funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
Kod:

TSL - tabela spójników logicznych wyrażonych spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

A:
Spójnik „lub”(+):
1. Y=p+q                      # 2. ~Y=~p*~q
##
B:
Spójnik „i”(*):
1. Y=p*q                      # 2. ~Y=~p+~q
##
C:
Warunek wystarczający p=>q:
1. Y=(p=>q)=~p+q              # 2. ~Y=~(p=>q)=p*~q
##
D.
Warunek konieczny p~>q:
1. Y=(p~>q)=p+~q              # 2. ~Y=~(p~>q)=~p*q
##
E.
Implikacja prosta p|=>q:
1. Y=(p|=>q)=~p*q             # 2. ~Y=~(p|=>q)=p+~q
##
F.
Implikacja odwrotna p|~>q
1. Y=(p|~>q)=p*~q             # 2. ~Y=~(p|~>q)=~p+q
##
G.
Równoważność p<=>q:
1. Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q        # 2. ~Y=~(p<=>q)=p*~q+~p*q
##
H.
Spójnik „albo”($):
1. Y=(p$q)=p*~q+~p*q          # 2. ~Y=~(p$q)=p*q+~p*~q
##
I.
Chaos p|~~>q:
1. Y = (p|~~>q)=0             # 2. ~Y=~(p|~~>q)=1

Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Prawo niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego:
Warunkiem koniecznym niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego jest uwzględnianie funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y) w kolumnach wynikowych rachunku zero-jedynkowego.

Doskonale widać, że tabela TSL perfekcyjnie spełnia definicje obu znaczków # i ##.

Zauważmy że:
Spójniki logiczne wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to wyłącznie funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) dające odpowiedź na pytanie o Y.

W tabeli TSL doskonale widać, że każdy spójnik logiczny definiowany funkcją logiczną w logice dodatniej (bo Y) wymusza funkcję logiczną w logice ujemnej (bo ~Y) i odwrotnie.

Stąd mamy:
Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y

Przykład:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p=>q) = ~p+q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1

Definicja operatora logicznego warunku wystarczającego p=>q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny warunku wystarczającego p=>q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
1.
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p=>q) = ~p+q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Czytamy:
Warunek wystarczający =>:
Y=(p=>q)=1 jest spełniony (Y=1)
wtedy i tylko wtedy gdy ~p=1 lub q=1

… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y = ~(p=>q) = ~(~p+q) = p*~q - na mocy prawa De Morgana
~Y = ~(p=>q) = p*~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Czytamy:
Warunek wystarczający =>:
~Y=~(p=>q)=1 nie jest spełniony (~Y=1)
wtedy i tylko wtedy gdy p=1 i ~q=1

3.6.1 Kto lepiej zna logikę matematyczną, ziemski matematyk czy 5-cio latek?

Odpowiedź jest jednoznaczna: 5-cio latek

Dowód:
Weźmy przykład ze świata żywego, rodem z przedszkola.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N - poznamy niebawem.

Weźmy obietnicę ojca dla syna:
W.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1

Na mocy definicji warunku wystarczającego E=>K wchodzącego w skład implikacji prostej E|=>K w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) mamy odpowiedź na dwa kluczowe pytania, kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1) oraz kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1).
Zachodzi tożsamość pojęć:
~Y=1 - ojciec nie dotrzyma słowa (~Y) [=] S=1 - ojciec skłamie (S)

1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1)?
Y = (E=>K) = ~E+K
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> ~E=1 lub K=1
Odpowiedź:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy syn nie zda egzaminu (~E=1) lub dostanie komputer (K=1)

Oczywiście tej odpowiedzi, żaden normalny człowiek nie zrozumie.
Czy istnieje sposób, by odpowiedzi na pytanie „Kiedy ojciec dotrzyma słowa?” udzielił ekspert algebry Kubusia, 5-cio letni Jaś?

Odpowiedź na ten problem jest twierdząca.
Należy tu zacząć od opisania przypadku „Kiedy ojciec skłamie (~Y=1)?”

Zuzia do Jasia:
Jasiu czy wiesz kiedy ojciec skłamie?
Jaś:
Oczywiście, że wiem.

Pytasz mnie:
2.
Kiedy ojciec skłamie (~Y=1)?

Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y = ~(E=>K) = ~(~E+K) = E*~K - na mocy prawa De Morgana
czyli:
~Y = E*~K
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> E=1 i ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że ojciec nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
E=1 i ~K=1 - syn za egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)

Oczywistym jest, że ojciec może tylko i wyłącznie nie dotrzymać słowa (~Y=1) albo dotrzymać słowa (Y=1).
Innymi słowy:
We wszystkich pozostałych możliwych przypadkach ojciec dotrzyma słowa (Y=1).

Czy teraz już wiesz Zuziu kiedy ojciec dotrzyma słowa?
Zuzia:
Phi, to bułka z masłem, czyli pikuś.
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1), czyli nie skłamie, wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
E=1 i K=1 - syn za egzamin (E=1) i dostanie komputer (K=1)
LUB
~E=1 i ~K=1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
LUB
~E=1 i K=1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i dostanie komputer (K=1)
Ostatni przypadek to piękny „akt miłości” gwarantowany przez algebrę Kubusia, czyli ojciec może wręczyć dziecku nagrodę (komputer: K=1) mimo ze ten nie spełnił warunku nagrody (nie zdał egzaminu: ~E=1)

Doskonale widać, że w definicji operatora warunku wystarczającego p=>q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nie ma mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” które dostaniemy przy definicji implikacji prostej p|=>q definiowanej zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” dającej odpowiedź na pytanie o p i ~p.
Szczegóły poznamy za chwilkę.

3.6.2 Funkcja logiczna algebry Boole’a to pięta Achillesowa ziemian

Pojęcie funkcji logicznej algebry Boole’a to pięta Achillesowa ziemskich matematyków.

Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. ~p*~q) przypisane do tej funkcji.

Przykłady poprawnych funkcji logicznych:
Y = ~p*~q
Y = p+q
Y = p*~q+~p*q
etc

Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej ze zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=1<=>p+q
Y=0<=>~p*~q
etc

Właściwości funkcji logicznej Y:
Dowolną funkcję logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować

Przykład:
Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y = K+T
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy w dowolne miejsce.

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
Czy wiesz kiedy jutro pani skłamie?

Jaś.
Oczywiście że wiem.
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y = ~(K+T) = ~K*~T - na mocy prawa De Morgana
Czyli:
~Y=~K*~T
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Znaczenie zmiennej Y:
Y=1 - prawdą jest (=1) że pani jutro dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1) że pani jutro nie dotrzyma słowa (~Y)

Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
~Y (pani nie dotrzyma słowa: ~Y) = S (pani skłamie: S)

Zuzia:
Dzięki Jasiu, pięknie to wszystko wytłumaczyłeś.

Jaś:
Niestety Zuziu, to co dla nas jest bajecznie proste, dla ziemskich matematyków jest czarną magią nie do pojęcia.

Zuzia:
Jakie są tego przyczyny?

Jaś:
Po pierwsze:
Ziemscy matematycy nie znają banalnej definicji funkcji logicznej Y wyżej zapisanej.
Po drugie:
Ziemscy matematycy nie wiedzą, iż dowolną funkcję logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować.
Po trzecie:
W rachunku zero-jedynkowym ziemscy matematycy w opisie kolumn wynikowych operują wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, nigdy na funkcjach logicznych.
Dokładnie ten fakt powoduje, że ich rachunek zero-jedynkowy jest wewnętrznie sprzeczny co udowodnię w następnym punkcie.

Ciekawostka:
Świat techniki (inżynierowie elektronicy) doskonale zna pojęcie funkcji logicznej w algebrze Boole’a - sam z tego świata przybyłem.
Dowód:
W żadnym katalogu bramek logicznych nie znajdziemy opisu choćby jednej bramki logicznej przedstawionej w postaci wyrażenia algebry Boole’a z pominięciem funkcji logicznej Y.

Przykład:
[link widoczny dla zalogowanych]
Texas Instruments - pionier układów TTL napisał:

74HC86
These devices contain four independent 2-input exclusive-OR gates.
They perform the Boolean function Y = A*~B + ~A*B

Oczywistym jest że nie jest funkcją Boole’a samo wyrażenie algebry Boole’a:
A*~B+~A*B
Wyłącznie jełopy mogą tego nie wiedzieć.

Podsumowując:
1.
Ziemski matematyk który nie zna poniższej definicji funkcji algebry Boole’a powinien spalić się ze wstydu.

Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. p*q+~p*~q) przypisane do tej funkcji.
Przykład:
Y = (p<=>q) = p*q+~p*~q

2.
Ziemski matematyk który nie wie że dowolną funkcje logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować powinien wziąć zimny prysznic.
Nasz przykład:
~Y = ~(p<=>q) = p*~q + ~p*q

Stąd mamy prawa De Morgana mówiące o związku logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
I.
Logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y):
Y=~(~Y) = ~(p*~q+~p*q) = p*q+~p*~q
II.
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnia (bo Y):
~Y=~(Y) = ~(p*q+~p*~q) = p*~q + ~p*q

3.6.3 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego

Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który w wypełnianiu tabel zero-jedynkowych operuje tylko i wyłącznie wyrażeniami algebry Boole’a ignorując totalnie zarówno funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i jak i funkcje logiczne w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.

Twardy dowód to podana wyżej tabela spójników logicznych (TSL) zapisana wyłącznie w postaci wyrażeń algebry Boole’a z pominięciem funkcji logicznych Y i ~Y.
Dokładnie ten błąd fatalny popełniają wszyscy ziemscy matematycy.
Kod:

TSL’ - tabela spójników logicznych
       po zostawieniu wyłącznie wyrażeń algebry Boole’a

A: Spójnik „lub”(+)
1. p+q                        # 2. ~p*~q
##
B: Spójnik „i”(*)
1. p*q                        # 2. ~p+~q
##
C: Warunek wystarczający =>
1. ~p+q                       # 2.  p*~q
##
D. Warunek konieczny ~>
1. p+~q                       # 2. ~p*q
##
E. Implikacja prosta p|=>q
1. ~p*q                       # 2.  p+~q
##
F. Implikacja odwrotna p|~>q
1. p*~q                       # 2. ~p+q
##
G. Równoważność p<=>q
1. p*q+~p*~q                  # 2.  p*~q+~p*q
##
H. Spójnik „albo”($) p$q
1. p*~q+~p*q                  # 2.  p*q+~p*~q
##
I. Chaos p|~~>q
1. =0                         # 2.  =1

Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Zauważmy, że po zostawieniu w tabeli TSL samych wyrażeń algebry Boole’a definicja znaczka różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony jest wszędzie spełniona.
ALE!
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest gwałcona w następujących miejscach:
Kod:

TSL’
C1: ~p+q       [=] F2:~p+q
D1: p+~q       [=] E2: p+~q
E1: ~p*q       [=] D2:~p*q
F1: p*~q       [=] C2: p*~q
G1: p*q+~p*~q  [=] H2: p*q+~p*~q
H1: p*~q+~p*q  [=] G2: p*~q+~p*q

cnd

Wniosek:
Rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
cnd
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Sob 21:22, 14 Sie 2021    Temat postu:
2021-08-14
To jest za trudne i niepotrzebne.

Nowa algebra Boole’a
5.0 Fizyczne realizacje wszystkich 16 funkcji logicznych

Spis treści
5.0 Fizyczne realizacje wszystkich 16 funkcji logicznych 1
5.1 Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) 1
5.2 Grupa spójników implikacyjnych 6
5.3 Grupa spójników jednoargumentowych 14



5.0 Fizyczne realizacje wszystkich 16 funkcji logicznych

Kod:

TS - tabela wszystkich możliwych spójników logicznych
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki „i”(*)|Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |oraz „lub”(+)  |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          A  A    A  A    A  A   A  A     A    A     A    A     A  A  A  A
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9     10   11    12 13 14 15

W tabeli spójników TS po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.
Funkcje logiczne Y (16 sztuk) to funkcje różne na mocy definicji ##.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Zauważmy, że w definicji znaczka różne na mocy definicji ## mowa jest o funkcjach logicznych Y dla dowolnej z kolumn, a nie o gołych zerach i jedynkach w dowolnej z kolumn!

5.1 Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+)

Grupa I
Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+):
Kod:

T1
A0:  Y= p* q          #  B0: ~Y=~p+~q
     ##
A1:  Y= p+q           #  B1: ~Y=~p*~q
     ##
A2:  Y=~(p*q)=~p*+~q  #  B2: ~Y=~(~p+~q)=p*q
     ##
A3:  Y=~(p+q)=~p*~q   #  B3: ~Y=~(~p*~q)=p+q

Zauważmy, że między dowolnymi dwoma wierszami spełniona jest definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych.
Przykładowo:
A1: Y=p+q ## B3: ~Y=~(~p*~q) = p+q - definicja znaczka ## dla funkcji logicznych jest spełniona

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Zapiszmy tabelę T1 w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

T2
Schemat: A0B0
   p  q ~p ~q  A0: Y=p*q          # B0:~Y=~(p*q)=~p+~q
A: 1  1  0  0       1                    1
B: 1  0  0  1       0                    1
C: 0  1  1  0       0                    1
D: 0  0  1  1       0                    0
                   ##
Schemat: A1B1:
   p  q ~p ~q  A1: Y=p+q           # B1:~Y=~(p+q)=~p*~q
A: 1  1  0  0       1                     0
B: 1  0  0  1       1                     0
C: 0  1  1  0       1                     0
D: 0  0  1  1       0                     1
                   ##
Schemat: A2B2:
   p  q ~p ~q  A2: Y=~(p*q)=~p+~q   # B2:~Y=~(~p+~q)=p*q
A: 1  1  0  0       0                      1
B: 1  0  0  1       1                      0
C: 0  1  1  0       1                      0
D: 0  0  1  1       1                      0
                   ##
Schemat: A3B3:
   p  q ~p ~q  A3: Y=~(p+q)=~p*~q   # B3:~Y=~(~p*~q)=p+q
A: 1  1  0  0       0                      1
B: 1  0  0  1       0                      1
C: 0  1  1  0       0                      1
D: 0  0  1  1       1                      0

Doskonale widać, że w pionie spełniona jest definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Przyjmijmy konieczną dla zrozumienia przykładów notację:
Kod:

1.
Przycisk normalnie rozwarty (trzeba go wcisnąć aby zewrzeć styki):
         p
      ======
------o    0-----

2.
Przycisk normalnie zwarty (trzeba go wcisnąć, aby rozewrzeć styki)

         q
------o  |  o-----
      =======

W świecie techniki oba rodzaje przycisków są popularne i produkowane.


Fizyczne realizacje układów A0B0, A1B1, A2B2, A3B3 są następujące:

A0B0
Fizyczna realizacja układu A0B0:
A0: Y=p*q # B0: ~Y=~p+~q
Kod:

Schemat: A0B0
           Y                        p               q
     --------------              =======         =======
   --|  żarówka   |--------------o     o---------o     o----
   |  -------------                                        |
   |                                                       |
-------                                                    |
  ---   U (zasilanie)                                      |
   |                                                       |
   ---------------------------------------------------------
p, q - przyciski normalnie rozwarte (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)

Opis układu A0B0:
A0:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przyciska (normalnie rozwarty) p (p=1) i wciśnięty jest przycisk (normalnie rozwarty) q (q=1)
Y = p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A0 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B0:
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk p nie będzie wciśnięty (~p=1) lub przycisk q nie będzie wciśnięty (~q=1).
Innymi słowy:
Którykolwiek z przycisków p lub q nie będzie wciśnięty i już żarówka nie świeci się

Zrozumienie poniższej notacji jest konieczne dla zrozumienia niniejszego wykładu.

Znaczenie symboli Y i ~Y:
1.
Znaczenie symbolu Y:
Y - żarówka świeci się
Jedynki w logice matematycznej są domyślne, stąd zapis tożsamy:
Y=1 - prawdą jest (=1), że żarówka świeci się (Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(Y=1)=(~Y=0)
stąd kolejny zapis tożsamy:
~Y=0 - fałszem jest (=0), że żarówka nie świeci się (~Y)
Innymi słowy:
Żarówka świeci się
2.
Znaczenie symbolu ~Y:
~Y - żarówka nie świeci się (~Y)
Jedynki w logice matematycznej są domyślne, stąd zapis tożsamy:
~Y=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci się (~Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(~Y=1)=(Y=0)
Stąd kolejny zapis tożsamy:
Y=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci się (Y)
Innymi słowy:
Żarówka nie świeci się

A1B1
Fizyczna realizacja układu A1B1
A1: Y=p+q # B1: ~Y=~p*~q
Kod:

Schemat: A1B1                       q
                                 =======
                           ------o     o------
                           |                 |
           Y               |        p        |
     --------------        |     =======     |
   --|  żarówka   |--------|-----o     o-----|-------
   |  -------------                                 |
   |                                                |
-------                                             |
  ---   U (zasilanie)                               |
   |                                                |
   --------------------------------------------------
p, q - przyciski normalnie rozwarte (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)

Opis układu A1B1:
A1:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przyciska (normalnie rozwarty) p (p=1) lub wciśnięty jest przycisk (normalnie rozwarty) q (q=1)
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Innymi słowy:
Wystarczy że którykolwiek z przycisków jest wciśnięty i już żarówka świeci się

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B1:
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1)

A2B2
Fizyczna realizacja układu A2B2
A2: Y=~p+~q # B2:~Y=p*q
Kod:

Schemat: A2B2                       q

                           ------o  |  o------
                           |     =======     |
           Y               |        p        |
     --------------        |                 |
   --|  żarówka   |--------|-----o  |  o-----|-------
   |  -------------              =======            |
   |                                                |
-------                                             |
  ---   U (zasilanie)                               |
   |                                                |
   --------------------------------------------------
p, q - przyciski normalnie zwarte (wciśnięcie przycisku powoduje rozwarcie)

Opis układu A2B2:
A2:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy nie jest wciśnięty przycisk (normalnie zwarty) p (~p=1) lub nie jest wciśnięty przycisk (normalnie zwarty) q (~q=1)
Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Innymi słowy:
Wystarczy, że dowolny przycisk nie jest wciśnięty i już żarówka świeci się (Y=1)

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A2 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B2:
~Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk (normalnie zwarty) p (p=1) i wciśnięty jest przycisk (normalnie zwarty) q (q=1)

A3B3
Fizyczna realizacja układu A3B3:
A3: Y=~p*~q # B3: ~Y=p+q
Kod:

Schemat: A3B3
           Y                        p               q
     --------------
   --|  żarówka   |--------------o  |  o---------o  |  o----
   |  -------------              =======         =======   |
   |                                                       |
-------                                                    |
  ---   U (zasilanie)                                      |
   |                                                       |
   ---------------------------------------------------------
p, q - przyciski normalnie zwarte (wciśnięcie przycisku powoduje rozwarcie)

Opis układu A3B3:
A3:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty jest przycisk (normalnie zwarty) p (~p=1) i nie jest wciśnięty jest przycisk (normalnie zwarty) q (~q=1)
Y = ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A3 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B3:
~Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 lub q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk (normalnie zwarty) p (p=1) lub wciśnięty jest przycisk (normalnie zwarty) q (q=1).
Innymi słowy:
Wystarczy, że którykolwiek z przycisków p lub q będzie wciśnięty i już żarówka nie świeci się (~Y=1)

5.2 Grupa spójników implikacyjnych

Definicja spójnika implikacyjnego:
Spójnik implikacyjny to spójnik wyrażony szczegółowo zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Do grupy spójników implikacyjnych należą spójniki (~~>, =>, ~~>, <=>, „albo”($))
W algebrze Boole’a z definicji znającej wyłącznie 5 znaczków {0, 1, (~), „i”(*), „lub”(+)} interesują nas definicje znaczków ~~>, =>, ~>, <=>, „albo”($) wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+).
Kod:

TS - tabela wszystkich możliwych spójników logicznych
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki „i”(*)|Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |oraz „lub”(+)  |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          A  A    A  A    A  A   A  A     A    A     A    A     A  A  A  A
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9     10   11    12 13 14 15

Funkcje logiczne Y i ~Y w obszarze spójników implikacyjnych (zdania Jeśli p to q”) są następujące.
Kod:

Zdania warunkowe „Jeśli p to q” wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
A4:  Y=(p=>q)=~p+q            # B4: ~Y=~(p=>q)=p*~q
     ##
A5:  Y=(p~>q)=p+~q            # B5: ~Y=~(p~>q)=~p*q
     ##
A6:  Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q      # B6: ~Y=~(p<=>q)=p*~q+~p*q
     ##
A7: Y=(p~~>q)=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=p*(q+~q)+~p*(q+~q) = p+~p=1
stąd:
A7:  Y=(p~~>q)=1              # B7: ~Y=~(p~~>q)=~(1)=0
     ##
Spójniki przeciwne do w/w:
A8:  Y=~(p=>q)=p*~q           # B8: ~Y=(p=>q)=~p+q
     ##
A9:  Y=~(p~>q)=~p*q           # B9: ~Y=(p~>q)=p+~q
     ##
A10: Y=p$q=~(p<=>q)=p*~q+~p*q # B10: ~Y=~(p$q)=(p<=>q)=p*q+~p*~q
     ##
A11: Y=~(p~~>q)=0             # B11: ~Y=(p~~>q)=~(0)=1

Doskonale widać, że między wierszami spełniona jest definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

A4B4:
Fizyczna realizacja układu A4B4
A4: Y=~p+q # B4: ~Y=p*~q
Kod:

Schemat: A4B4                       q
                                 =======
                           ------o     o------
                           |                 |
           Y               |        p        |
     --------------        |                 |
   --|  żarówka   |--------|-----o  |  o-----|-------
   |  -------------              =======            |
   |                                                |
-------                                             |
  ---   U (zasilanie)                               |
   |                                                |
   --------------------------------------------------
p - przycisk normalnie zwarty (wciśnięcie przycisku powoduje rozwarcie)
q - przycisk normalnie rozwarty (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)

Opis układu A4B4:
A4:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy nie jest wciśnięty przycisk (normalnie zwarty) p (~p=1) lub wciśnięty jest przycisk (normalnie rozwarty) q (q=1)
Y=~p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A4 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B4:
~Y=p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk (normalnie zwarty) p (p=1) i nie jest wciśnięty przycisk (normalnie rozwarty) q (~q=1)

A5B5:
Fizyczna realizacja układu A5B5
A5: Y=p+~q # B5: ~Y=~p*q
Kod:

Schemat: A5B5                       q
                           ------o  |  o------
                           |     =======     |
           Y               |        p        |
     --------------        |     =======     |
   --|  żarówka   |--------|-----o     o-----|-------
   |  -------------                                 |
   |                                                |
-------                                             |
  ---   U (zasilanie)                               |
   |                                                |
   --------------------------------------------------
p - przycisk normalnie rozwarty (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)
q - przycisk normalnie zwarty (wciśnięcie przycisku powoduje rozwarcie)

Opis układu A5B5:
A5:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wciśnięty przycisk (normalnie rozwarty) p (p=1) lub nie jest wciśnięty przycisk (normalnie zwarty) q (~q=1)
Y=p+~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A5 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
BB:
~Y=~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk (normalnie rozwarty) p (p=1) i wciśnięty jest przycisk (normalnie zwarty) q (q=1)

A6B6:
Fizyczna realizacja układu A6B6
A6: Y=(p<=>q)= p*q+~p*~q # B6: ~Y= ~(p<=>q) = p*~q+~p*q
Kod:

Schemat: A6B6                     
           q                        p
     --------------              =======
   --|  żarówka   |--------------o     o----------
   |  -------------                              |
   |                                             |
-------                                          |
  ---   U (zasilanie)                            |
   |                                             |
   -----------------------------------------------
p - przycisk normalnie rozwarty (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)
q - żarówka

Opis układu A6B6 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A6.
Y=p*q+~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Czytamy:
Zdarzenia możliwe (Y=1) na schemacie A6B6 to:
Ya=1 <=> p=1 i q=1
Możliwe jest zdarzenie cząstkowe (Ya=1): przycisk p jest wciśnięty (p=1) i żarówka q świeci się (q=1)
lub
Yc=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Możliwe jest zdarzenie cząstkowe (Yc=1): przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) i żarówka q nie świeci się (~q=1)

Zdarzenia możliwe (Y=1) na schemacie A6B6 opisuje równanie algebry Boole’a:
Y=p*q+~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Pozostałe zdarzenia na schemacie A6B6 nie są możliwe (~Y=1).
B6.
~Y=p*~q +~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Czytamy:
Zdarzenia niemożliwe (~Y=1) na schemacie A6B6 to:
~Yb=1 <=> p=1 i ~q=1
Niemożliwe jest zdarzenie cząstkowe (~Yb=1): przycisk p jest wciśnięty (p=1) i żarówka q nie świeci się (~q=1)
lub
Niemożliwe jest zdarzenie cząstkowe (~Yd=1): przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) i żarówka q świeci się (q=1)

Zdarzenia niemożliwe (~Y=1) na schemacie A6B6 opisuje równanie algebry Boole’a:
~Y=p*~q +~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

Uwaga:
W logice matematycznej każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość pojęć (zbiorów) p=q.

Definicja tożsamości zbiorów p=q znana ziemskim matematykom:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem =>zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q

Stąd łatwo udowodnić że równanie:
Y= p<=>q = p*q+~p*~q
opisuje równoważność prawdziwą.
Dowód:
dla p=q mamy:
p<=>p = p*p + ~p*~p = p+~p =1
cnd

Oczywistym jest że definicja spójnika „albo”($) musi tu być fałszem.
Definicja spójnika „albo”($) w równaniu algebry Boole’a:
p$q = p*~q + ~p*q
W równoważności zachodzi tożsamość zdarzeń (zbiorów):
p=q
stąd mamy:
p$p = p*~p + ~p*p = [] +[] =[] =0
Jak widzimy wszystko tu pięknie gra i buczy.
cnd

A7B7:
Fizyczna realizacja układu A7B7
A7: Y=(p~~>q)=1 # B7: ~Y=~(p~~>q)=~(1)=0
Kod:

Schemat: A7B7                     
           Y                        p           q
     --------------              =======     =======
   --|  żarówka   |---------   --o     o-----o     o---
   |  -------------        |
   |                       |
-------                    |
  ---   U (zasilanie)      |
   |                       |
   -------------------------
p, q - przyciski normalnie rozwarte (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)

Myślę, że tu wszystkich zaskoczę:
Najprostszy układ elektryczny chaosu Y=(p~~>q)=1 gdzie wszystko może się zdarzyć to żarówka na stałe podłączona do zasilania i dwie atrapy przycisków p i q - w jakimkolwiek nie byłyby stanie to żarówka musi się świecić.

A8B8:
Fizyczna realizacja układu A8B8
A8: Y=p*~q # B8: ~Y=~p+q
Kod:

Schemat: A8B8
           Y                        p               q
     --------------              =======
   --|  żarówka   |--------------o     o---------o  |  o----
   |  -------------                              =======   |
   |                                                       |
-------                                                    |
  ---   U (zasilanie)                                      |
   |                                                       |
   ---------------------------------------------------------
p - przycisk normalnie rozwarty (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)
q - przycisk normalnie zwarty (wciśnięcie przycisku powoduje rozwarcie)

Opis układu A8B8:
A8:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy wciśnięty jest przycisk (normalnie rozwarty) p (p=1) i nie jest wciśnięty przycisk (normalnie zwarty) q (~q=1)
Y=p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A8 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B8:
~Y=~p+q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk (normalnie rozwarty) p (~p=1) lub jest wciśnięty przycisk (normalnie zwarty) q (q=1)

A9B9:
Fizyczna realizacja układu A9B9
A9: Y=~p*q # B9: ~Y=p+~q
Kod:

Schemat: A9B9
           Y                        q               p
     --------------              =======
   --|  żarówka   |--------------o     o---------o  |  o----
   |  -------------                              =======   |
   |                                                       |
-------                                                    |
  ---   U (zasilanie)                                      |
   |                                                       |
   ---------------------------------------------------------
p - przycisk normalnie zwarty (wciśnięcie przycisku powoduje rozwarcie)
q - przycisk normalnie rozwarty (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)

Opis układu A9B9:
A9:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk (normalnie zwarty) p (~p=1) i wciśnięty jest przycisk (normalnie rozwarty) q (q=1)
Y=~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 i q=1

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A9 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B9:
~Y=p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 lub ~q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk (normalnie zwarty) p (p=1) lub nie jest wciśnięty przycisk (normalnie rozwarty) q (~q=1)

A10B10:
Fizyczna realizacja układu A10B10
A10: Y=p$q=~(p<=>q)=p*~q+~p*q # B10: ~Y=~(p$q)=(p<=>q)=p*q+~p*~q
Kod:

Schemat: A10B10                     
           q                        p
     --------------
   --|  żarówka   |--------------o  |  o----------
   |  -------------              =======         |
   |                                             |
-------                                          |
  ---   U (zasilanie)                            |
   |                                             |
   -----------------------------------------------
p - przycisk normalnie zwarty (wciśnięcie przycisku powoduje rozwarcie)
q - żarówka

Opis układu A10B10 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A10.
Y=(p$q) = p*~q+~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Czytamy:
Zdarzenia możliwe (Y=1) na schemacie A10B10 to:
Ya=1 <=> p=1 i ~q=1
Możliwe jest zdarzenie cząstkowe (Ya=1): przycisk p jest wciśnięty (p=1) i żarówka q nie świeci się (~q=1)
lub
Yc=1 <=> ~p=1 i q=1
Możliwe jest zdarzenie cząstkowe (Yc=1): przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) i żarówka q świeci się (q=1)

Zdarzenia możliwe (Y=1) na schemacie A10B10 opisuje równanie algebry Boole’a:
Y= (p$q) = p*~q+~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

Pozostałe zdarzenia na schemacie A10B10 nie są możliwe (~Y=1).
B10.
~Y=~(p$q) = p<=>q = p*q +~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Czytamy:
Zdarzenia niemożliwe (~Y=1) na schemacie A10B10 to:
~Yb=1 <=> p=1 i q=1
Niemożliwe jest zdarzenie cząstkowe (~Yb=1): przycisk p jest wciśnięty (p=1) i żarówka q świeci się (q=1)
lub
Niemożliwe jest zdarzenie cząstkowe (~Yd=1): przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) i żarówka q nie świeci się (~q=1)

Zdarzenia niemożliwe (~Y=1) na schemacie A6B6 opisuje równanie algebry Boole’a:
~Y=p*q +~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Uwaga:
W logice matematycznej spójnik „albo”($) definiuje tożsamość p=~q
p=~q <=> p$q = p*~q+~p*q
Zachodzi także:
q=~p <=> q$p = q*~p + ~q*p = p*~q + ~p*q
cnd

Stąd łatwo udowodnić że równanie:
Y= p$q = p*~q+~p*q
opisuje prawdziwość zdania ze spójnikiem „albo”($):
Dowód:
dla q=~p mamy:
p$~p = p*~(~p)+~p*~(p) = p*p + ~p*~q = p+~p=1
cnd

Oczywistym jest że definicja spójnika równoważności p<=>q musi tu być fałszem.
Definicja spójnika równoważności p<=>q w równaniu algebry Boole’a:
p<=>q = p*q + ~p*~q
W spójniku „albo”($) zachodzi tożsamość zdarzeń (zbiorów):
q=~p
stąd mamy:
p<=>~p = p*(~p) + ~p*~(~p) = p*~p + ~p*p = [] +[] =[] =0
Jak widzimy wszystko tu pięknie gra i buczy.
cnd

A11B11:
Fizyczna realizacja układu A11B11
A11: Y=~(p~~>q)=0 # B11: ~Y=(p~~>q)=~(0)=1
Kod:

Schemat: A11B11                     
           Y                        p           q
     --------------              =======     =======
   --|  żarówka   |-------   ----o     o-----o     o---
   |  -------------
   |
-------
  ---   U (zasilanie)
   |
   -----------------------
p, q - przyciski normalnie rozwarte (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)

Myślę, że tu także wszystkich zaskoczę:
Najprostszy układ elektryczny śmierci Y=~(p~~>q)=0 to żarówka nigdzie nie podłączona, czyli na stałe jest wygaszona plus dwie atrapy przycisków p i q - w jakimkolwiek nie byłyby stanie to żarówka nie będzie się świecić.

5.3 Grupa spójników jednoargumentowych

Kod:

TS’ - fragment z tabeli wszystkich możliwych spójników logicznych TS
        | Y  Y  Y  Y
   p  q | p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1  0  0
B: 1  0 | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0  1  1
          A  A  A  A
          12 13 14 15

Grupa spójników jednoargumentowych to:
A12: Y=p # B12: ~Y=~p
##
A14: Y=~p # B14: ~Y=p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

A12B12:
Fizyczna realizacja układu A12B12
A12: Y=p # B12: ~Y=~p
Układ A12B12 to operator transmisji, transmituje cyfrowy sygnał z wejścia p na wyjście Y w przełożeniu 1:1, bez żadnych zniekształceń
Kod:

Schemat: A12B12                     
           Y                        p
     --------------              =======
   --|  żarówka   |--------------o     o----------
   |  -------------                              |
   |                                             |
-------                                          |
  ---   U (zasilanie)                            |
   |                                             |
   -----------------------------------------------
p - przycisk normalnie rozwarty (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)
Y - żarówka (wyjście sygnału)

Opis układu A12B12:
A12:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk (normalnie rozwarty) p (p=1)
Y=p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1
W laboratorium techniki cyfrowej chodzi o to, że logiczna jedynka z wejścia p (p=1) jest transmitowana na wyjście Y (Y=1)

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A12 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B12:
~Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=>~p=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
(~p=1) = (p=0)
Zapis matematycznie tożsamy:
(Y=0) <=> (p=0)
W laboratorium techniki cyfrowej chodzi o to, że logiczne zero z wejścia p (p=0) transmitowane jest na wyjście Y (Y=0)

Podsumowując:
Równanie operatora transmisji:
Y=p
oznacza, że zero-jedynkowy sygnał na wejściu p przesyłany jest na wyjście Y bez żadnych zniekształceń w skali 1:1.

A14B14:
Fizyczna realizacja układu A14B14
A14: Y=~p # B14: ~Y=p
Układ A14B14 to operator negacji, transmituje zawsze zanegowany sygnał z wejścia p na wyjście Y
Kod:

Schemat: A14B14                     
           Y                        p
     --------------
   --|  żarówka   |--------------o  |  o----------
   |  -------------              =======         |
   |                                             |
-------                                          |
  ---   U (zasilanie)                            |
   |                                             |
   -----------------------------------------------
p - przycisk normalnie zwarty (wciśnięcie przycisku powoduje rozwarcie)
Y - żarówka

Opis układu A14B14:
A14:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk (normalnie zwarty) p (~p=1)
Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
Zapis matematycznie tożsamy:
Y=1 <=> p=0
W laboratorium techniki cyfrowej chodzi o to, że logiczne zero na wejściu p (p=0) wymusza logiczną jedynkę na wyjściu Y (Y=1)

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A14 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B14:
~Y=p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy przycisk p jest wciśnięty (p=1)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Zapis matematycznie tożsamy:
(Y=0) <=> (p=1)
W laboratorium techniki cyfrowej chodzi o to, że logiczna jedynka na wejściu p (p=1) wymusza logiczne zero na wyjściu Y (Y=0)

Podsumowując:
Równanie operatora negacji:
Y=~p
oznacza, że na wyjście Y transmitowany jest zawsze zanegowany sygnał z wejścia p.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Sob 21:23, 14 Sie 2021    Temat postu:
2021-08-14
To jest niepotrzebne

Nowa algebra Boole’a
6.0 Jak uczyć algebry Boole’a

Spis treści
6.0 Jak uczyć algebry Boole’a? 1
6.1 Operator AND(|*) 2
6.2 Operator OR(|+) 5


6.0 Jak uczyć algebry Boole’a?

Jak uczyć algebry Boole’a?
Niniejszy rozdział to wskazówki dla nauczycieli matematyki co powinni wymagać od uczniów uzdolnionych humanistycznie (nie matematycznie) w temacie algebra Boole’a.

W niniejszym puncie prezentuję algebrę Boole’a dla humanistów (nie matematyków), czyli zero jakichkolwiek tabel zero-jedynkowych.

Algebra Boole’a to najtrudniejsza część algebry Kubusia. Chodzi tu o matematyczną minimalizację złożonych równań algebry Boole’a które układa się i minimalizuje w projektowaniu automatów sterujących w bramkach logicznych na I roku elektroniki studiów wyższych.
Wbrew pozorom naturalnymi ekspertami także algebry Boole’a używanej w języku potocznym są wszystkie 5-cio latki, czego dowód w niniejszym punkcie.

Definicje symboli

Niezbędne definicje symboli to:
1 - prawda
0 - fałsz
(~) - przeczenie „NIE” z języka potocznego człowieka
Gdzie:
Prawda to brak fałszu
1 = ~(0)
Fałsz to brak prawdy
0 = ~(1)
(*) - spójnik „i”(*) z naturalnego języka potocznego
(+) - spójnik „lub”(+) z naturalnego języka potocznego

Prawo podwójnego przeczenia

Przykład kodowania matematycznego zdań twierdzących symbolami powiązanymi z wypowiadanym zdaniem:
1.
Jestem uczciwy
U
2.
Jestem nieuczciwy
~U - wszelkie przeczenia w zdaniach muszą być uwzględnione w kodowaniu symbolicznym zdania
3.
Nieprawdą jest ~( … ) że jestem nieuczciwy ~U

Stąd mamy prawo podwójnego przeczenia:
1: Jestem uczciwy = 3: nieprawdą jest ~(…) że jestem nieuczciwy ~U
1: U = 3: ~(~U)
W matematyce tego typu prawa zapisujemy przy pomocy symboli formalnych Y, p, q … nie mających związku z wypowiedzianym zdaniem (symbole aktualne np. U wyżej)
Prawo podwójnego przeczenia w zapisie formalnym (ogólnym):
p = ~(~p)

6.1 Operator AND(|*)

Pani wypowiada zdanie:
Jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y = K*T
Gdzie:
Y - funkcja logiczna opisująca powyższe zdanie w znaczeniu:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie (~) dotrzyma słowa Y (= pani skłamie)

Operator AND(|*) to odpowiedź w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) na dwa pytania:
1
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y)?
2.
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?

Logika dodatnia (bo p) i ujemna (bo ~p)
Dowolny symbol (w tym funkcja logiczna Y) zapisany jest w logice dodatniej gdy nie ma przeczenia (~) przed symbolem, inaczej zapisany jest w logice ujemnej.

Aby odpowiedzieć na pytania które stawia przed nami definicja operatora AND(|*) musimy poznać algorytm Wuja Zbója przejścia z logiki dodatniej (bo Y) do logiki ujemnej (bo ~Y) - albo odwrotnie.

Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy symbole wymieniając spójniki na przeciwne tzn. „i”(*) na „lub”(+), albo odwrotnie.

Przykład:
1: Y=K*T
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację symboli i wymianę spójników:
2: ~Y = ~K+~T
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez ponowną negacje symboli i wymianę spójników:
3: ~(~Y) = ~(~K)*~(~T)
Po skorzystaniu z prawa podwójnego przeczenia:
~(~p)=p
lądujemy w równaniu 1:
1: Y=K*T

Dopiero w tym momencie jesteśmy w stanie odpowiedzieć w logice 5-cio latka, na pytania stawiane przez operator AND(|*):

Pani w przedszkolu mówi::
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
1.
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y)?
Jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y = K*T
co matematycznie oznacza:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y=K*T
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy w oba miejsca, do kina (K) i do teatru (T).

2.
Kiedy pani skłamie?
Przechodzimy z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację symboli i wymianę spójników:
~Y=~K+~T
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
2: ~Y=~K+~T
Wystarczy, że nie pójdziemy w którekolwiek miejsce i już pani skłamie (~Y)

Jak rozpisać na zdarzenie rozłączne przypadek kiedy pani skłamie (~Y)?
Wróćmy do zdania wypowiedzianego:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y = K*T
co matematycznie oznacza:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y=K*T =1

inaczej pani skłamie!
Tu 5-cio latki będą miały niezłą zabawę jakie jeszcze zdarzenia mogą jutro zajść z wykluczeniem:
Y=K*T

Poprawna odpowiedź to:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Yb = K*~T =1 - jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
LUB
~Yc =~K*~T =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
LUB
~Yd = ~K*T =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K) i pójdziemy do teatru (T)

Zauważmy że funkcje cząstkowe ~Yb, ~Yc i ~Yd połączone są spójnikiem „lub”(+) z funkcją matką ~Y:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
Po rozwinięciu mamy:
3: ~Y = B: K*~T + C: ~K*~T + D: ~K*T
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna <=> funkcji logicznych:
2: ~Y = ~K+~T <=> 3: ~Y = B: K*~T + C: ~K*~T + D: ~K*T

Z powyższej tożsamości logicznej wynika, że odpowiedzieć na pytanie kiedy pani skłamie (~Y) możemy dwoma tożsamymi sposobami. Obie odpowiedzi są zrozumiałe dla 5-cio latka.

Definicja tożsamości logicznej <=>:
Prawdziwość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej <=> wymusza prawdziwość po drugiej stronie
Fałszywość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej <=> wymusza fałszywość po drugiej stronie

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wszystkie prawdy (=1) w powyższej analizie to prawdy miękkie mogą zajść ale nie muszą, od pani przedszkolanki zależy które z możliwych czterech zdarzeń rozłącznych Y, ~Yb, ~Yc, ~Yd zajdzie jutro.
Zdarzenie ~Yb, ~Yc, ~Yd oraz Y są wzajemnie rozłącznie co oznacza, że pojutrze wyłącznie jedno z tych zdarzeń może zajść, pozostałe będą fałszem (nie zaszły)

Przykład:
Załóżmy że wczoraj zaszło zdarzenie:
~Yd = ~K*T =1 - prawdą jest (=1) że wczoraj nie byliśmy w kinie (~K) i byliśmy w teatrze (T)
Pani oczywiście skłamała bo funkcja cząstkowa jest zanegowana (~Yd)

… a co z pozostałymi zdarzeniami, jak je matematycznie opisać w czasie przeszłym?
Tak!
Y = K*T =0 - fałszem jest (=0) że wczoraj byliśmy w kinie (K) i byliśmy w teatrze (T)
~Yb=K*~T =0 - fałszem jest (=0) że wczoraj byliśmy w kinie i (K) i nie byliśmy w teatrze (~T)
~Yc = ~K*~T =0 - fałszem jest (=0) że wczoraj nie byliśmy w kinie (~K) i nie byliśmy w teatrze (~T)

Zauważmy, że w czasie przeszłym, gdy znamy rozwiązanie mamy do czynienia z prawdą i fałszem absolutnym. Żadna logika nie ma prawa zmienić zaistniałej rzeczywistości.

…ale!
Jeśli nie znamy rozwiązania (prawdy i fałszów absolutnych) to logika matematyczna dalej świetnie działa, tyle że w stosunku do nieznanej przeszłości np. poszukiwanie mordercy.

Stąd mamy:

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to matematyczny opis nieznanej przyszłości - nie wiemy które z czterech możliwych zdarzeń Y, ~Yb, ~Yc, ~Yd zajdzie jutro.
albo
Logika matematyczna to matematyczny opis nieznanej przeszłości np. poszukiwanie mordercy.

Weźmy bliźniacze zdanie pani przedszkolanki:
1.
Jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
Y=~K*~T
Czytamy:
Pan dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i pójdziemy do teatru (T)
Y=~K*~T
2.
.. a kiedy pani skłamie (~Y)?
Przejście z funkcja logiczną 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = K+T
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) lub pójdziemy do teatru (T)
~Y=K+T
Innymi słowy:
Wystarczy że pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y).

6.2 Operator OR(|+)

Pani wypowiada zdanie:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y = K+T
Gdzie:
Y - funkcja logiczna opisująca powyższe zdanie w znaczeniu:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie (~) dotrzyma słowa Y (= pani skłamie)

Operator OR(|+) to odpowiedź w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) na dwa pytania:
1
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y)?
2.
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?

Pani przedszkolanka mówi:
Jutro pójdziemy do kina kub do teatru
1.
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y)?
Jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
1: Y = K+T =1
co matematycznie oznacza:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y=K+T =1
Innymi słowy:
Wystarczy że jutro pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa.

Co to znaczy „w dowolne miejsce” od strony czysto matematycznej?
Jak do tego podejść najprościej?

Tu na pierwszy ogień możemy sobie odpowiedzieć na pytanie 2:
2.
Kiedy pani skłamie (~Y)?
Przejście z równaniem 1 do logiki ujemnej poprzez negację symboli i wymianę spójników:
~Y=~K*~T =1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
~Y=~K*~T
w pozostałych przypadkach pani dotrzyma słowa!

Te pozostałe przypadki to:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = K*T =1 - jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (Yb)
LUB
Yb = K*~T =1 - jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
LUB
Yc = ~K*T =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K) i pójdziemy do teatru (T=1)

Funkcje cząstkowe w logice dodatniej Ya, Yb, Yc są częścią funkcji matki w logice dodatniej Y:
Y=Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy:
3: Y = K*T + K*~T +~K*T
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna <=> funkcji logicznych:
1: Y=K+T <=> 3: Y = K*T + K*~T +~K*T

Oznacza to, że odpowiedzieć na pytanie kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y) możemy na dwa tożsame sposoby. Oba są zrozumiałe przez 5-cio latka

Wszystkie prawdy (=1) w powyższej analizie to prawdy miękkie mogą zajść ale nie muszą, od pani przedszkolanki zależy które z możliwych czterech zdarzeń rozłącznych Ya, Yb, Yc ~Y zajdzie jutro.
Zdarzenia Ya, Yb, Yc oraz ~Y są wzajemnie rozłącznie co oznacza, że pojutrze wyłącznie jedno z tych zdarzeń może zajść, pozostałe będą fałszem (nie zaszły)

Przykład:
Załóżmy że wczoraj zaszło zdarzenie:
~Y = ~K*~T =1 - prawdą jest (=1) że wczoraj nie byliśmy w kinie (~K) i nie byliśmy w teatrze (~T)
Pani oczywiście skłamała bo funkcja jest zanegowana (~Y)

… a co z pozostałymi zdarzeniami, jak je matematycznie opisać w czasie przeszłym?
Tak!
Ya = K*T =0 - fałszem jest (=0) że wczoraj byliśmy w kinie (K) i byliśmy w teatrze (T)
Yb=K*~T =0 - fałszem jest (=0) że wczoraj byliśmy w kinie i (K) i nie byliśmy w teatrze (~T)
Yc = ~K*T =0 - fałszem jest (=0) że wczoraj nie byliśmy w kinie (~K) i byliśmy w teatrze (T)

Zauważmy, że w czasie przeszłym, gdy znamy rozwiązanie mamy do czynienia z prawdą i fałszem absolutnym. Żadna logika nie ma prawa zmienić zaistniałej rzeczywistości.

…ale!
Jeśli nie znamy rozwiązania (prawdy i fałszów absolutnych) to logika matematyczna dalej świetnie działa, także w stosunku do nieznanej przeszłości np. poszukiwanie mordercy.

Weźmy bliźniacze zdanie pani przedszkolanki:
1.
Jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
Y=~K+~T
Czytamy:
Pan dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (T)
Y=~K+~T
Nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa
2.
.. a kiedy pani skłamie (~Y)?
Przejście z funkcją logiczną 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = K*T
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) i pójdziemy do teatru (T)
~Y=K*T

W tym momencie kończę omówienie algebry Boole’a w wersji dla 5-cio latków.
Kluczową i najważniejszą część algebry Kubusia tzn. obsługę zdań warunkowych w algebrze Kubusia w wersji dla 5-cio latków pozostawiam ziemskim matematykom.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Śro 6:48, 25 Sie 2021    Temat postu:
2021-08-25
Wywaliłem logikę dodatnią i ujemną człowieka, bo człowiek myśli wyłącznie w logice dodatniej

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/nowa-algebra-boole-a,18893.html#593687

Nowa algebra Boole’a
2.0 Algebra Boole’a w języku potocznym


Spis treści
2.0 Algebra Boole’a w języku potocznym 1
2.1 Operator „lub”(|+) Y=p|+q w logice dodatniej (bo Y) 1
2.1.1 Operator „lub”(|+) Y=K|+T na przykładzie 3
2.1.2 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „lub”(+) 5
2.2 Operator „i”(|*) Y=p|*q w logice dodatniej (bo Y) 7
2.2.1 Operator „i”(|*) Y=K|*T na przykładzie 9
2.2.2 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „i”(*) 11
2.3 Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ## 14
2.4 Logika dodatnia i ujemna w języku potocznym 14
2.4.1 Definicja logiki dodatniej w języku potocznym 15
2.4.2 Definicja logiki ujemnej w języku potocznym 15
2.4.3 Logika dodatnia vs logika ujemna na poziomie sprzętu 17


2.0 Algebra Boole’a w języku potocznym

Zacznijmy od operatorów „lub”(|+) i „i”(|*)

2.1 Operator „lub”(|+) Y=p|+q w logice dodatniej (bo Y)

Definicja operatora „lub”(|+) Y=p|+q w logice dodatniej (bo Y):
Operator „lub”(+) Y=p|+q w logice dodatniej (bo Y) to układ równań logicznych 1: Y i 2: ~Y dający odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie Y oraz kiedy zajdzie ~Y:
1.
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

… kiedy zajdzie ~Y?
Przejście z funkcją w logice dodatniej (bo Y) do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Matematycznie zachodzi tu definicja dziedziny:
A: Y+~Y =D =1 - funkcja logiczna ~Y jest zaprzeczeniem do dziedziny D dla funkcji logicznej Y
B: Y*~Y =[] =0 - funkcje logiczne Y i ~Y są rozłączne

Dowód dla A:
Y+~Y = (p+q)+(~p*~q) = (p+q)+ ~(p+q) =1
bo prawo De Morgana:
~p*~q = ~(p+q)
oraz prawo algebry Boole’a:
x+~x =1
gdzie:
x=p+q
cnd

Dowód dla B:
Y*~Y = (p+q)*(~p*~q) = (p+q)*~(p+q) =[] =0
bo prawo De Morgana:
~p*~q = ~(p+q)
oraz prawo algebry Boole’a:
x*~x =[] =0
gdzie:
x=p+q
cnd

Zauważmy, że znajomość dowolnej funkcji logicznej Y albo ~Y wymusza znajomość funkcji przeciwnej, jak również znajomość definicji operatora „i”(|*)

Powyższą sytuację możemy opisać następująco:
Kod:

Operator “lub”(|+):
1: Y=p+q
   #
2:~Y=~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Zauważmy że:
Znajomość funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y):
Y=p+q
wymusza znajomość funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~p*~q
(i odwrotnie)
jak również wymusza znajomość definicji operatora „lub”(|+) Y=p|+q w logice dodatniej (bo Y) będącego układem równań Y i ~Y.

Zobaczmy dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym.
Kod:

T3
Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
   p  q  Y=p*q
A: 1* 1  =1
B: 1* 0  =0
C: 0* 1  =0
D: 0* 0  =0

Kod:

T4.
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
   p  q  Y=p+q
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 0  =0


Jedziemy:
Kod:

T5
Definicja operatora OR(|+):
1: Y=p+q
2:~Y=~p*~q
   p  q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q Y=~(~Y)=~(~p*~q)
A: 1+ 1   1     0        0* 0   0       1
B: 1+ 0   1     0        0* 1   0       1
C: 0+ 1   1     0        1* 0   0       1
D: 0+ 0   0     1        1* 1   1       0
   1  2   3     4        5  6   7       8

Doskonale widać, że kolumna 7 jest negacją kolumny 3 (i odwrotnie):
7: ~Y=~p*~q # 3: Y=p+q
Widoczne prawa De Morgana to:
3: Y=p+q [=] 8: Y=~(~p*~q)
4:~Y=~(p+q) [=] 7:~Y=~p*~q
cnd

2.1.1 Operator „lub”(|+) Y=K|+T na przykładzie

Definicja logiki dodatniej w języku potocznym:
Z logiką dodatnią w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach aktualnych tzn. związanych z wypowiadanym zdaniem, słówko NIE będzie kodowane symbolem przeczenia (~).

Przykład kodowania w logice dodatniej:
K=1 - idziemy do kina
~K=1 - nie idziemy do kina
T=1 - idziemy do teatru
~T=1 - nie idziemy do teatru
Y=1 - pani dotrzyma słowa
~Y=1 - pani skłamie (= pani nie (~) dotrzyma słowa Y)

Rozważmy zdanie pani przedszkolanki:
1.
ABC:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

Matematycznie oznacza to że pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa, czyli:
ABC:
Y=A: K*T + B: K*~T + C:~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
B: Yb=K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: Yc=~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Matematycznie zachodzi tożsamość funkcji logicznych:
Y = Ya+Yb+Yc
Gdzie:
Ya, Yb, Yc - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji Y

Dowód iż tak jest w istocie w zapisach formalnych.
Przejdźmy na zapisy formalne podstawiając:
K=p
T=q
stąd:
Y = Ya+Yb+Yc = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
minimalizujemy funkcję logiczną Y:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p+~q
~Y = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
cnd

Matematycznie zachodzi:
Y=Y
stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych ABC którą warto zapamiętać

Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q +~p*q

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
2.
Negujemy równanie 1 (ABC) dwustronnie:
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
D.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

2.1.2 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „lub”(+)

Przejdźmy z powyższym dialogiem na poziomie 5-cio latka na zapisy formalne (niezależne od wypowiadanego zdania) podstawiając:
p=K
q=T

Zapiszmy zdania ABCD wchodzące w skład powyższego dialogu w języku potocznym w tabeli prawdy:
Kod:

T0: Y=p+q
Analiza w    |Co w logice
j. potocznym |jedynek oznacza
             |
A: p* q = Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1) |
B: p*~q = Yb |( p=1)*(~q=1)=( Yb=1) |
C:~p* q = Yc |(~p=1)*( q=1)=( Yc=1) |
D:~p*~q =~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1) |
   a  b   c     d      e      f

Zakodujmy zero-jedynkowo tabelę T0 z punktem odniesienia ustawionym na spójniku „lub”(+):
ABC: Y=p+q
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam w tym celu potrzebne to:
(~x=1) = (x=0) - sprowadzenie wszystkich zmiennych binarnych do logiki dodatniej (bez przeczeń)
Kod:

T1: Y=p+q
Analiza w    |Co w logice           |Kodowanie dla punktu   |zapis
j. potocznym |jedynek oznacza       |odniesienia ABC: Y=p+q |tożsamy
             |                      |                       | p  q Y=p+q
A: p* q = Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1) |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)  | 1+ 1  =1
B: p*~q = Yb |( p=1)*(~q=1)=( Yb=1) |( p=1)*( q=0)=( Yb=1)  | 1+ 0  =1
C:~p* q = Yc |(~p=1)*( q=1)=( Yc=1) |( p=0)*( q=1)=( Yc=1)  | 0+ 1  =1
D:~p*~q =~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1) |( p=0)*( q=0)=( Yd=0)  | 0+ 0  =0
   a  b   c     d      e      f     |  g      h      i      | 1  2   3
                                    |Prawa Prosiaczka       |
                                    |(~p=1 )=( p=0 )        |
                                    |(~q=1 )=( q=1 )        |
                                    |(~Yx=1)=( Yx=0)        |
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej

Zauważmy, że zdarzenia ABCDabc są matematycznie rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dowód rozłączności zdarzeń ABCDabc:
Ya*Yb = (p*q)*(p*~q) =[] =0
Ya*Yc = (p*q)*(~p*q) =[] =0
Ya*~Yd = (p*q)*(~p*~q) =[] =0
Yb*Yc=(p*~q)*(~p*q) =[] =0
…
cnd

Dowód iż zdarzenia ABCD uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
Y=Ya+Yb+Yc+~Yd = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D:~p*~q = p*(q+~q) + ~p*(q+~q) = p+~p =1
cnd

Podsumowanie:
1.
Tabela zero-jedynkowa ABCD123 nosi nazwę definicji spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.

Zauważmy, że nagłówek w kolumnie wynikowej 3: Y=p+q opisuje wyłącznie obszar ABCabc w którym zapisana jest funkcja logiczna:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Na mocy wynikowego nagłówka 3: Y=p+q w tabeli zero-jedynkowej we wszystkich liniach zapisujemy znaczek „lub”(+). Tabela zero-jedynkowa ABCD123 jest wówczas zero-jedynkową definicją spójnika „lub”(+) niezależną od jakiegokolwiek przykładu.

2.
Alternatywne kodowanie serii zdań z języka potocznego T0 (ABCDabc) możemy wykonać wzglądem linii D gdzie mamy:
D: ~Y=~Yd - bo jest tylko jedna funkcja cząstkowa w logice ujemnej (bo ~Yd).
Stąd:
D: ~Y=~p*~q
Zróbmy to:
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam w tym celu potrzebne to:
(x=1) = (~x=0)
Wszystkie zmienne musimy sprowadzić do logiki ujemnej (bo ~x) bo w aktualnie przyjętym punkcie odniesienia mamy do czynienia wyłącznie ze zmiennymi w logice ujemnej (bo ~p):
D: ~Y=~p*~q

Kod:

T2: ~Y=~p*~q
Analiza w    |Co w logice           |Kodowanie dla punktu   |zapis
j. potocznym |jedynek oznacza       |odniesienia D:~Y=~p*~q |tożsamy
             |                      |                       |~p ~q ~Y=~p*~q
A: p* q = Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1) |(~p=0)*(~q=0)=(~Ya=0)  | 0* 0  =0
B: p*~q = Yb |( p=1)*(~q=1)=( Yb=1) |(~p=0)*(~q=1)=(~Yb=0)  | 0* 1  =0
C:~p* q = Yc |(~p=1)*( q=1)=( Yc=1) |(~p=1)*(~q=0)=(~Yc=0)  | 1* 0  =0
D:~p*~q =~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1) |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)  | 1* 1  =1
   a  b   c     d      e      f     |  g      h      i      | 1  2   3
                                    |Prawa Prosiaczka       |
                                    |( p=1 )=(~p=0 )        |
                                    |( q=1 )=(~q=0 )        |
                                    |( Yx=1)=(~Yx=0)        |
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej

Tabela zero-jedynkowa ABCD123 nosi nazwę definicji spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.

Zauważmy, że nagłówek w kolumnie wynikowej 3:~Y=~p*~q wskazuje wyłącznie linię D w obszarze ABCDabc w której zapisana jest funkcja logiczna:
~Y=~Yd = ~p*~q
Na mocy wynikowego nagłówka 3: ~Y=~p*~q w tabeli zero-jedynkowej we wszystkich liniach zapisujemy znaczek „i”(*). Tabela zero-jedynkowa ABCD123 jest wówczas zero-jedynkową definicją spójnika „i”(*) niezależną od jakiegokolwiek przykładu.

W tabelach T1 i T2 mamy do czynienia wszędzie z tymi samymi zmiennymi p, q i Y o czym świadczy identyczność zdań cząstkowych w języku potocznym ABCDabc.
Stąd mamy wyprowadzoną definicję znaczka różne # w odniesieniu do funkcji logicznych.

Definicja znaczka różne #:
Dwie funkcje logiczne są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy jedna z nich jest zaprzeczeniem drugiej.

Nasz przykład:
T1: Y=p+q # T2: ~Y=~p*~q

Stąd mamy związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
1.
Logika dodatnia (bo Y) to zaprzeczenie (~) logiki ujemnej (bo ~Y)
Y = ~(~Y)
Po podstawieniu T1 i T2 mamy:
Y = p+q = ~(~p*~q) - prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
2.
Logika ujemne (bo ~Y) to zaprzeczenie (~) logiki dodatniej (bo Y)
~Y=~(Y)
Po podstawieniu T2 i T1 mamy:
~Y = ~p*~q = ~(p+q) - prawo De Morgana dla spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)

2.2 Operator „i”(|*) Y=p|*q w logice dodatniej (bo Y)

Definicja operatora „i”(|*) Y=p|*q w logice dodatniej (bo Y):
Operator „i”(|*) Y=p|*q w logice dodatniej (bo Y) to układ równań logicznych 1: Y i 2: ~Y dający odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie Y oraz kiedy zajdzie ~Y:
1.
Y = p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

… kiedy zajdzie ~Y?
Przejście z funkcją 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Matematycznie zachodzi tu definicja dziedziny:
A: Y+~Y =D =1 - funkcja logiczna ~Y jest zaprzeczeniem do dziedziny D dla funkcji logicznej Y
B: Y*~Y =[] =0 - funkcje logiczne Y i ~Y są rozłączne

Dowód dla A:
Y+~Y = (p*q)+(~p+~q) = (p*q)+~(p*q) =1
bo prawo De Morgana:
~p+~q = ~(p*q)
oraz prawo algebry Boole’a:
x+~x =1
gdzie:
x=p*q
cnd

Dowód dla B:
Y*~Y = (p*q)*(~p+~q) = (p*q)*~(p*q) =[] =0
bo prawo De Morgana:
~p+~q = ~(p*q)
oraz prawo algebry Boole’a:
x*~x =[] =0
gdzie:
x=p*q
cnd

Zauważmy, że znajomość dowolnej funkcji logicznej Y albo ~Y wymusza znajomość funkcji przeciwnej, jak również znajomość definicji operatora „i”(|*) i odwrotnie.

Powyższą sytuację możemy opisać następująco:
Kod:

Operator „i”(|*) Y=p|*q w logice dodatniej (bo Y):
1: Y=p*q
   #
2:~Y=~p+~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Zauważmy że:
Znajomość funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y):
Y=p*q
wymusza znajomość funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~p+~q
(i odwrotnie)
jak również wymusza znajomość operatora „i”(|*) Y=p|*q

Zobaczmy dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym.
Kod:

T3
Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
   p  q  Y=p*q
A: 1* 1  =1
B: 1* 0  =0
C: 0* 1  =0
D: 0* 0  =0

Kod:

T4.
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
   p  q  Y=p+q
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 0  =0


Jedziemy:
Kod:

T5
Definicja operatora „i”(|*):
1: Y=p*q
2:~Y=~p+~q
   p  q Y=p*q ~Y=~(p*q) ~p ~q ~Y=~p+~q Y=~(~Y)=~(~p+~q)
A: 1* 1   1     0        0+ 0   0       1
B: 1* 0   0     1        0+ 1   1       0
C: 0* 1   0     1        1+ 0   1       0
D: 0* 0   0     1        1+ 1   1       0
   1  2   3     4        5  6   7       8

Doskonale widać, że kolumna 7 jest negacją kolumny 3 (i odwrotnie):
7: ~Y=~p+~q # 3: Y=p*q
Widoczne prawa De Morgana to:
3: Y=p*q [=] 8: Y=~(~p+~q)
4: ~Y=~(p*q) [=] 7: ~Y=~p+~q
cnd

2.2.1 Operator „i”(|*) Y=K|*T na przykładzie

Definicja logiki dodatniej w języku potocznym:
Z logiką dodatnią w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach aktualnych tzn. związanych z wypowiadanym zdaniem, słówko NIE będzie kodowane symbolem przeczenia (~).

Przykład kodowania w logice dodatniej:
K=1 - idziemy do kina
~K=1 - nie idziemy do kina
T=1 - idziemy do teatru
~T=1 - nie idziemy do teatru
Y=1 - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - pani nie dotrzyma słowa (~Y)

Rozważmy zdanie pani przedszkolanki:
1.
A.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
2.
Negujemy równanie 1 (A) dwustronnie:
BCD:
~Y=~(K*T) = ~K+~T - prawo De Morgana
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
BCD:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1

Matematycznie oznacza to, że jutro nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y=1), czyli:
~Y=B: K*~T + C: ~K*T + D:~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~Yb = K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: ~Yc = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
LUB
D: ~Yd = ~K*~T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Matematycznie musi zachodzić tożsamość funkcji logicznych:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
Gdzie:
~Yb, ~Yc, ~Yd - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji ~Y

Dowód iż tak jest w istocie w zapisach formalnych (nie związanych z konkretnym zdaniem).
Podstawmy:
K=p
T=q
stąd:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
minimalizujemy funkcję logiczną ~Y:
~Y = p*~q + ~p*q + ~p*~q
~Y = p*~q + ~p*(q+~q)
~Y = ~p + (p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q
Y=p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
cnd

2.2.2 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „i”(*)

Przejdźmy z powyższym dialogiem na poziomie 5-cio latka na zapisy formalne (niezależne od wypowiadanego zdania) podstawiając:
K=p
T=q
Stąd mamy:
A.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A stronami:
BCD:
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Równanie tożsame w zdarzeniach rozłącznych (patrz przykład wyżej) to:
BCD.
~Y=B: p*~q + C: ~p*q + D:~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1 lub D: ~p=1 i ~q=1

Zapiszmy zdania ABCD wchodzące w skład powyższego dialogu w języku potocznym w tabeli prawdy:
Kod:

T0: A: Y=p*q
Analiza w    |Co w logice
j. potocznym |jedynek oznacza
             |
A: p* q = Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1) |
B: p*~q =~Yb |( p=1)*(~q=1)=(~Yb=1) |
C:~p* q =~Yc |(~p=1)*( q=1)=(~Yc=1) |
D:~p*~q =~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1) |
   a  b   c     d      e      f

Zakodujmy tabelę T0 zero-jedynkowo przyjmując za punkt odniesienia linię A:
A: Y=p*q
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam w tym celu potrzebne to:
(~x=1) = (x=0)
Wszystkie zmienne musimy sprowadzić do logiki dodatniej (bo x), bo w punkcie odniesienia wszystkie zmienne mamy zapisane w logice dodatniej (bo x):
A: Y=p*q
Kod:

T1: A: Y=p*q
Analiza w    |Co w logice           |Kodowanie dla punktu   |zapis
j. potocznym |jedynek oznacza       |odniesienia A: Y=p*q   |tożsamy
             |                      |                       | p  q Y=p*q
A: p* q = Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1) |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)  | 1* 1  =1
B: p*~q =~Yb |( p=1)*(~q=1)=(~Yb=1) |( p=1)*( q=0)=( Yb=0)  | 1* 0  =0
C:~p* q =~Yc |(~p=1)*( q=1)=(~Yc=1) |( p=0)*( q=1)=( Yc=0)  | 0* 1  =0
D:~p*~q =~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1) |( p=0)*( q=0)=( Yd=0)  | 0* 0  =0
   a  b   c     d      e      f     |  g      h      i      | 1  2   3
                                    |Prawa Prosiaczka       |
                                    |(~p=1 )=( p=0 )        |
                                    |(~q=1 )=( q=0 )        |
                                    |(~Yx=1)=( Yx=0)        |
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej

Zauważmy, że zdarzenia ABCD są matematycznie rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dowód rozłączności zdarzeń ABCDabc:
Ya*~Yb = (p*q)*(p*~q) =[] =0
Ya*~Yc = (p*q)*(~p*q) =[] =0
Ya*~Yd = (p*q)*(~p*~q) =[] =0
~Yb*~Yc=(p*~q)*(~p*q) =[] =0
…
cnd

Dowód iż zdarzenia rozłączne ABCD uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
Y=Ya+~Yb+~Yc+~Yd = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D:~p*~q = p*(q+~q) + ~p*(q+~q) = p+~p =1
cnd

Podsumowanie:
1.
Tabela zero-jedynkowa ABCD123 nosi nazwę definicji spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.

Zauważmy, że nagłówek w kolumnie wynikowej 3: Y=p*q opisuje wyłącznie linię Aabc w której zapisana jest funkcja logiczna:
Y=p*q
Na mocy wynikowego nagłówka 3: Y=p*q w tabeli zero-jedynkowej we wszystkich liniach zapisujemy znaczek „i”(*). Tabela zero-jedynkowa ABCD123 jest wówczas zero-jedynkową definicją spójnika „i”(*) niezależną od jakiegokolwiek przykładu.

2.
Alternatywne kodowanie serii zdań z języka potocznego ABCDabc możemy wykonać wzglądem obszaru BCDabc gdzie mamy:
BCD:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd = B: p*~q + C: p*~q + D: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub C:~p=1 i q=1 lub D:~p=1 i ~q=1
Zapis matematycznie tożsamy (co wyżej udowodniliśmy):
BCD:
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Zakodujmy naszą analizę w języku potocznym względem funkcji logicznej:
BCD: ~Y=~p+~q
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam w tym celu potrzebne to:
(x=1) = (~x=0)
Wszystkie zmienne musimy sprowadzić do logiki ujemnej (bo ~x), bo w punkcie odniesienia wszystkie zmienne mamy zapisane w logice ujemnej (bo ~x):
BCD: ~Y=~p+~q
Kod:

T2: ~Y=~p+~q
Analiza w    |Co w logice           |Kodowanie dla punktu   |zapis
j. potocznym |jedynek oznacza       |odniesien BCD:~Y=~p+~q |tożsamy
             |                      |                       |~p ~q ~Y=~p+~q
A: p* q = Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1) |(~p=0)*(~q=0)=(~Ya=0)  | 0+ 0  =0
B: p*~q =~Yb |( p=1)*(~q=1)=(~Yb=1) |(~p=0)*(~q=1)=(~Yb=1)  | 0+ 1  =1
C:~p* q =~Yc |(~p=1)*( q=1)=(~Yc=1) |(~p=1)*(~q=0)=(~Yc=1)  | 1+ 0  =1
D:~p*~q =~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1) |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)  | 1+ 1  =1
   a  b   c     d      e      f     |  g      h      i      | 1  2   3
                                    |Prawa Prosiaczka       |
                                    |( p=1 )=(~p=0 )        |
                                    |( q=1 )=(~q=0 )        |
                                    |( Yx=1)=(~Yx=0)        |
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej

Tabela zero-jedynkowa ABCD123 nosi nazwę definicji spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.

Zauważmy, że nagłówek w kolumnie wynikowej 3:~Y=~p+~q wskazuje obszar BCDabc w którym zapisana jest funkcja logiczna:
BCD: ~Y = ~p+~q
Na mocy wynikowego nagłówka 3: ~Y=~p+~q w tabeli zero-jedynkowej we wszystkich liniach zapisujemy znaczek „lub”(+).

W tabelach T1 i T2 mamy do czynienia wszędzie z tymi samymi zmiennymi p, q i Y o czym świadczy identyczność zdań cząstkowych w języku potocznym ABCDabc.
Stąd mamy wyprowadzoną definicję znaczka różne # w odniesieniu do funkcji logicznych.

Definicja znaczka różne #:
Dwie funkcje logiczne są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy jedna z nich jest zaprzeczeniem drugiej.

Nasz przykład:
T1: Y=p*q # T2: ~Y=~p+~q

Stąd mamy związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
1.
Logika dodatnie (bo Y) to zaprzeczona (~) logika ujemna (bo ~Y:
Y = ~(~Y)
Po podstawieniu T1 i T2 mamy:
Y = p*q = ~(~p+~q) - prawo De Morgana dla spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y)
2.
Logika ujemna (bo ~Y) to zaprzeczona (~) logika dodatnia (bo Y):
~Y=~(Y)
Po podstawieniu T2 i T1 mamy:
~Y = ~p+~q = ~(p*q) - prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)

2.3 Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##

Zapiszmy w tabeli prawdy matematyczne związki operatora „lub”(|+) z operatorem „i”(|*)
Kod:

T1
Operator „lub”(|+)  ## Operator „i”(|*)
1:  Y= p+q          ## 1:  Y= p*q
    #                      #
2: ~Y=~p*~q         ## 2: ~Y=~p+~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych


Definicja znaczka różne #
Definicja znaczka różne # jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy jedna strona jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać, że w tabeli T1 obie definicje znaczków # i ## są spełnione.

2.4 Logika dodatnia i ujemna w języku potocznym

Logika dodatnia i ujemna w języku potocznym nie ma nic wspólnego ze sprzętową logiką dodatnią i ujemną znaną z Wikipedii.
[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Ze względu na różne czynniki, takie jak wahania napięcia zasilającego, zakłócenia zewnętrzne, rozrzut parametrów itp., sygnały przetwarzane w układach cyfrowych nie mają ściśle określonych wartości, stąd też liczby przypisuje się nie wartościom napięć, ale przedziałom napięć.
Technika TTL:
Logiczne 1 = H(high) = 2,4-5.0V
Logiczne 0 = L(low) = 0,0-0,4V
W układach logicznych, gdzie są zdefiniowane tylko dwie wartości liczbowe, rozróżnia się dwa przedziały napięć: wysoki (ozn. H, z ang. high) i niski (ozn. L, z ang. low); pomiędzy nimi jest przerwa, dla której nie określa się wartości liczbowej – jeśli napięcie przyjmie wartość z tego przedziału, to stan logiczny układu jest nieokreślony.
Jeśli do napięć wysokich zostanie przyporządkowana logiczna jedynka, a do niskich logiczne zero, wówczas mówi się, że układ pracuje w logice dodatniej (inaczej zwanej pozytywną), w przeciwnym razie mamy do czynienia z logiką ujemną (lub negatywną).


2.4.1 Definicja logiki dodatniej w języku potocznym

Definicja logiki dodatniej w języku potocznym:
Z logiką dodatnią w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach aktualnych tzn. związanych z wypowiadanym zdaniem, słówko NIE będzie kodowane symbolem przeczenia (~).

Przykład kodowania w logice dodatniej:
K=1 - idziemy do kina
~K=1 - nie idziemy do kina
T=1 - idziemy do teatru
~T=1 - nie idziemy do teatru
Y=1 - pani dotrzyma słowa
~Y=1 - pani nie (~) dotrzyma słowa Y (=pani skłamie)

Rozważmy zdanie pani przedszkolanki:
ABC:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

2.4.2 Definicja logiki ujemnej w języku potocznym

Definicja logiki ujemnej w języku potocznym:
W logice ujemnej w języku potocznym kodowanie wszelkich zmiennych binarnych jest przeciwne do kodowania w logice dodatniej.

Przykład kodowania zdania pani przedszkolanki w logice ujemnej.

Przykład kodowania w logice ujemnej:
K=1 - nie idziemy do kina
~K=1 - idziemy do kina
T=1 - nie idziemy do teatru
~T=1 - idziemy do teatru
Y=1 - pani nie dotrzyma słowa
~Y=1 - pani dotrzyma słowa (~Y)

Rozważmy zdanie pani przedszkolanki:
ABC’:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (~K=1) lub do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1

Matematycznie wszystko jest tu jak najbardziej w porządku jednak ktoś kto nie wie iż zdanie ABC’ kodowane jest w logice ujemnej nie zrozumie tego kodowania.

W sumie dla trzech zmiennych binarnych Y, K, T możemy ustalić osiem różnych punktów odniesienia.
Łatwo wyobrazić sobie dyskusję ośmiu ludzi z których każdy patrzy na to samo zdanie pani przedszkolanki:
ABC:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
???
… z innego punktu odniesienia.

Przykłady:
Człowiek A zakoduje zdanie ABC w logice dodatniej:
Y = K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

Człowiek B zakoduje zdanie ABC w logice ujemnej:
~Y = ~K+~T
co w logice ujemnej oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1

Pozostałe 6 osób za punkt odniesienia przyjmie pozostałe możliwości.
Przykładowo człowiek C zakoduje zdanie ABC w ten sposób:
~Y=~K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub T=1

Matematycznie wszystkie te kodowania są dobre pod warunkiem, że znamy punkt odniesienia przyjęty przez nadawcę.
Ten fakt opisałem już 35 lat temu w moich podręcznikach do nauki techniki mikroprocesorowej podając twierdzenie ogólne.

Twierdzenie o ilości możliwych punktów odniesienia:
W równaniu logicznym n-zmiennych binarnych możliwych jest 2^n różnych punktów odniesienia
Gdzie:
2^n = 2 do potęgi n

Dla trzech zmiennych binarnych możliwych różnych punktów odniesienia jest:
2^3 =8
Dla 8 zmiennych binarnych możliwych różnych punktów odniesienia jest:
2^8 = 256

Przedstawiony wyżej problem prosi się o ustalenie domyślnego punktu odniesienia w logice matematycznej. Za domyślny punkt odniesienia przyjmijmy definicję logiki dodatniej w języku potocznym bez problemu zrozumiałą przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.

Definicja logiki dodatniej w języku potocznym:
Z logiką dodatnią w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach aktualnych tzn. związanych z wypowiadanym zdaniem, słówko NIE będzie kodowane symbolem przeczenia (~).

2.4.3 Logika dodatnia vs logika ujemna na poziomie sprzętu

Przykład z techniki cyfrowej:
Definicja operatora „lub”(|+) w logice dodatniej (bramka SN7432):
[link widoczny dla zalogowanych]

1: Y=p+q
2: ~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y=~(~Y)
Stąd mamy prawo De Morgana:
Y = ~(~p+~q)
Gdzie w technice TTL 1 i 0 to poziomy napięć:
1 = H (high) - napięcie 2,4-5,0V
0 = L (low) - napięcie 0,0-0,4V
Zauważmy że nieprzypadkowo pionier układów TTL firma Texas Instruments obok wzorku:
Y=A+B
Y= ~(~A*~B) - na mocy prawa De Morgana
pisze:
pisitive logic = logika dodatnia.

UWAGA!
Przyjęcie logiki ujemnej dla dokładnie tej samej bramki logicznej „lub”(|+) typu SN7432 to przypisanie do symboli logicznych 1 i 0 napięć odwrotnych:
1 = L (low) - napięcie 0,0-0,4V
0 = H (high) - napięcie 2,4-5,0V

Wtedy mamy:
Bramka logiczna „lub”(|+) SN7432 w logice dodatniej:
1: Y=p+q
2: ~Y=~p*~q

Dokładnie ta sama, fizyczna bramka SN7432 widziana w logice ujemnej to:
1: ~Y=~p+~q
2: Y = p*q
bowiem w logice ujemnej wszystkie poziomy napięć są odwrotne.

Wniosek:
Dokładnie ta sama bramka logiczna „lub”(|+) typu SN7432 w logice ujemnej jest fizyczną realizacją bramki „i”(|*)!
1: Y=p*q
2: ~Y=~p+~q
Tu Texas Instruments w opisie bramki SN7432 musiałby napisać:
Y=p*q
Y = ~(~p+~q) - na mocy prawa De Morgana
negative logic = logika ujemna
Gdzie:
Logika ujemna oznacza tu odwrotne przypisanie napięć symbolom logicznym 1 i 0:
1 = L (low) - napięcie 0,0-0,4V
0 = H (high) - napięcie 2,4-5,0V

Doskonale tu widać, dlaczego w jednym rozumowaniu logicznym nie wolno mieszać logiki dodatniej i ujemnej.
Zauważmy bowiem że bramka „i”(|*) SN7408 w logice dodatniej opisana jest układem równań logicznych:
1: Y=p*q
2: ~Y=~p+~q
Karta katalogowa fizycznej bramki AND(|*) SN7408 jest tu taka:
[link widoczny dla zalogowanych]

Opis bramki „i”(|*) w katalogu TI jest następujący:
Y=p*q
Y=~(~p+~q) - prawo De Morgana
Tu obok powyższych wzorków firma Texas Instruments pisze:
Positive logic = logika dodatnia
co oznacza następujące przyporządkowanie napięć symbolom logicznym 1 i 0:
1 = H (high) - napięcie 2,4-5,0V
0 = L (low) - napięcie 0,0-0,4V
Jest oczywistym, że jeśli w jednym rozumowaniu logicznym będziemy mieszać logikę dodatnią z logiką ujemną to wyjdą nam potworne głupoty, czyli że zaprojektowany układ nie ma prawa działać poprawnie.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Pią 20:48, 10 Wrz 2021    Temat postu:
10-09-2021
Rozdział idzie do kosmetycznych poprawek

Algebra Kubusia
4.0 Operatory implikacyjne - implikacja prosta p||=>q

Spis treści
4.0 Operatory implikacyjne - implikacja prosta p||=>q 1
4.1 Implikacja prosta p|=>q 2
4.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q 7
4.1.2 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego => 9
4.2 Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach 12
4.2.1 Odtworzenie implikacji prostej p|=>q z definicji ~~> 16
4.3 Dziedzina matematyczna i fizyczna w implikacji prostej p|=>q 21
4.3.1 Znaczenie definicji implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 23



4.0 Operatory implikacyjne - implikacja prosta p||=>q

Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej znanej ziemianom, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.

1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0

2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0

3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0

Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (ziemskie twierdzenia matematyczne) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.

4.1 Implikacja prosta p|=>q

IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q (A1) i jednocześnie p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

Podstawiając A1 i B1 do tabeli prawdy T0 otrzymujemy tabelę prawdy implikacji prostej IP.
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Wyprowadzenie definicji implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q)=(~p+q)*(~p*q)=~p*q

Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: Y = p|=>q =~p*q

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna kolumn:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q = A3B3: q|~>p = A4B4: ~q|=>~p = ~p*q
Gdzie:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =~p*q
A3B3: q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) =~p*q
A4B4: ~q|=>~p=(A4: ~q=>~p)*~(B4:~q~>~p) =~p*q
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.

Najprostszy dowód tożsamości powyższych kolumn wynika z praw logiki matematycznej zapisanych w tabeli T0: prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego => i prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>.

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP

IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q (A1) i jednocześnie p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

IO
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy ~p jest (=1) konieczne ~> dla ~q (A2) i jednocześnie ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q (B2)

Dla A2B2 korzystamy z praw Kubusia:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
stąd mamy:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = A1B1: p|=>q
stąd mamy tożsamość logiczną:
A2B2: ~p|~>~q = A1B1: p|=>q
cnd

Ćwiczenie dla czytelnika:
Udowodnij tożsamość:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = A1B1: p|=>q
korzystając z definicji:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>

Podaję rozwiązanie:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q)=(~p+q)*(~p*q)=~p*q
A1B1: p|=>q = ~p*q
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = (~p+q)*~(p+~q)=(~p+q)*(~p*q)=~p*q
A2B2: ~p|~>~q = ~p*q
Stąd mamy tożsamość logiczną:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q = ~p*q
cnd
Kto nie wierzy, niech sobie sprawdzi w tabelach zero-jedynkowych.

Definicje podstawowe:

IP
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to odpowiedź na pytanie o p:
Kolumna A1B1:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

IO
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to odpowiedź na pytanie o ~p:
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

OIP
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań jest przemienny stąd mamy tożsamy układ równań:
OIO
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p|=>q = A2B2:~p|~>~q = A1B1|A2B2: p||=>q = A2B2|A1B1:~p||~>~q

Tożsamość logiczną pierwszych dwóch członów udowodniliśmy wyżej:
A1B1: p|=>q = A2B2:~p|~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Udowodnienie prawdziwości dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Udowodnienie fałszywości dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Podkreślmy:
Jeśli udowodnimy prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej to tym samym udowodnimy prawdziwość drugiej strony.

Co oznacza pełna tożsamość logiczna?
A1B1: p|=>q = A2B2:~p|~>~q = A1B1|A2B2: p||=>q = A2B2|A1B1:~p||~>~q

Dokładnie to:
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu poniższej tożsamości logicznej:
A1B1: p|=>q = A2B2:~p|~>~q
jest potrzebne ~> i wystarczające => dla dowodu prawdziwości obu operatorów implikacyjnych (= obu układów równań logicznych):
A1B1|A2B2: p||=>q = A2B2|A1B1:~p||~>~q

4.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q (A1) i jednocześnie p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Definicja implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP

Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedzi na pytania o p i ~p:

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q=1) - mówi o tym zdanie A1

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q, bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

LUB

Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

4.1.2 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>

Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q przedstawioną wyżej:
Kod:

T1:
Analiza symboliczna                              |Co w logice
operatora implikacji prostej p||=>q              |jedynek oznacza
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A1:  p=> q =1 - zajście p wystarcza => dla q     |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład dla A1 musi być 0  |( p=1)~~>(~q=1)=0
Kolumna A2B2:
A2:~p~>~q =1
B2: ~p=>~q =0
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest konieczne ~> dla ~q      |(~p=1)~> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =1 - kontrprzykład dla B2 musi być 1  |(~p=1)~~>( q=1)=1
     a   b  c                                       d        e    f

Z tabeli T1 możemy wyprowadzić zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego A1: p=>q kodując analizę symboliczną względem linii A1, albo zero-jedynkową definicję warunku koniecznego A2:~p~>~q kodując analizę symboliczną względem linii A2

Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek wystarczający => widoczny w linii A1:
A1: p=>q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam potrzebne do wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
Kod:

T2:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego A1: p=>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |A1: p=>q =1       |definicja =>
              |                  |                  | p  q  A1: p=>q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=>1       =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1=>0       =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0=>0       =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0=>1       =1
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2        3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |(~p=1)=( p=0)     |
                                 |(~q=1)=( q=0)     |

Nagłówek A1: p=>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A1: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że w tabeli T1 mamy również warunek konieczny ~> widniejący w linii A2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię A2 i wygenerujmy tabelę zero-jedynkową warunku koniecznego ~>:
A2:~p~>~q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A2 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
Kod:

T3:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego A2:~p~>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |A2:~p~>~q =1      |definicja ~>
              |                  |                  |~p ~q A2:~p~>~q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0~>0      =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~>1      =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 | 1~>1      =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |(~p=1)~~>(~q=0)=1 | 1~>0      =1
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2       3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |( p=1)=(~p=0)     |
                                 |( q=1)=(~q=0)     |

Nagłówek A2:~p~>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A2: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T2 i T3 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T2 i T3 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T2: p=>q = T3: ~p~>~q

Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => (T2: 123) i koniecznego ~> (T3: 123).
Oto on:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
   p  q  p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>0  =1
D: 0=>1  =1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
   p  q  p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>0  =1
D: 0~>1  =0

Stąd mamy:
Kod:

T4
Dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p~>~q
     p  q  p=>q ~p ~q ~p~>~q
A1:  1=>1  =1    0~>0   =1
A1’: 1=>0  =0    0~>1   =0
A2:  0=>0  =1    1~>1   =1
B2’: 0=>1  =1    1~>0   =1
     1  2   3    4  5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q = p=>q
cnd

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p=>q = ~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
Kod:

Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
     p  q  p=>q ~p ~q ~p~>~q (p=>q)<=>(~p~>~q)
A1:  1=>1  =1    0~>0   =1          =1
A1’: 1=>0  =0    0~>1   =0          =1
A2:  0=>0  =1    1~>1   =1          =1
B2’: 0=>1  =1    1~>0   =1          =1
     1  2   3    4  5    6           7

Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

4.2 Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Przedstawione wyżej zastrzeżenia dowodzimy w dwóch krokach.

Krok 1.
Dlaczego dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p i q?
Dla zbiorów tożsamych p=q mielibyśmy:
A1: p=>q =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>q =1 - bo każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Otrzymana sprzeczność z definicją implikacji prostej p|=>q w zbiorach jest dowodem, iż zbiory p i q nie mogą być tożsame.
Stąd mamy pierwszą część definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)

Krok 2.
Dlaczego przyjęta dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q?
Przyjmijmy za dziedzinę sumę logiczną zbiorów p+q
D = p+q =q - bo na mocy definicji p|=>q zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Wtedy mamy:
~q=[D-q] = [q-q] =[] =0
Oznacza to że pojęcie ~q jest dla nas zbiorem pustym, czyli pojęciem nierozpoznawalnym.

Definicja zbioru pustego [] w algebrze Kubusia:
Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka
[] =[asegft, uaytfds…]
Oczywistym jest, że nie możemy operować na pojęciach dla nas niezrozumiałych, stąd zastrzeżenie w definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.

Stąd mamy:
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Definicja implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Na mocy powyższej definicji rysujemy diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach.
Kod:

D1
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
----------------------------------------------------------------------
|     p       B1: p~>q=0    |                    ~p                  |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     q                                      |   ~q                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|  A1: p=>q=1      (p*q=1)  |~p~~>q = ~p*q   |A2:~p~>~q=1   (~p*~q=1)|
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q+~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych)    |
|            p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty                            |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q                                   |
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q:
A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1:p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => ~q
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1

II.
Po zamianie p i q:
A3B3:
A3: q~>p =1 - zbiór q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru p
B3: q=>p =0 - zbiór q nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
A3B3: q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) =1*~(0)=1*1 =1
A4B4:
A4:~q=>~p=1 - zbiór ~q jest (=1) podzbiorem => ~p
B4:~q~>~p=0 - zbiór ~q nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~p
A4B4: ~q|=>~p = (A4:~q=>~p)*~(~q~>~p) =1*~(0)=1*1 =1
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Jeśli zajdzie p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q - mówi o tym zdanie A1

Z diagramu D1 odczytujemy:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Doskonale to widać na diagramie D1

Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q = [] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory p i ~q są rozłączne, co również widać na diagramie D1

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => ~q
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” o czym mówią zdania A2 i B2’

Z diagramu D1 odczytujemy:
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Wyśmienicie to widać na diagramie D1

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2:~p=>~q=0 musi być prawdą.
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~p i q jest spełniona, co doskonale widać na diagramie D1.

4.2.1 Odtworzenie implikacji prostej p|=>q z definicji ~~>

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

Na mocy prawa Sowy, jeśli odtworzymy definicję implikacji prostej p|=>q to automatycznie odtworzymy definicję operatora implikacji prostej p||=>q

Weźmy diagram implikacji prostej w zbiorach p|=>q wyżej zapisany wyrażony definicją elementu wspólnego zbiorów ~~>.
Kod:

D1’
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
----------------------------------------------------------------------
|     p       B1: p~>q=0    |                    ~p                  |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     q                                      |   ~q                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|  A1: p=>q=1      (p*q=1)  |~p~~>q = ~p*q   |A2:~p~>~q=1   (~p*~q=1)|
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q+~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych)    |
|            p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty                            |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q                                   |
---------------------------------------------------------------------|
|                                                                    |
|Implikacja prosta p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)              |
----------------------------------------------------------------------
|    Ya=p~~>q=p*q           | Yd=~p~~>q=~p*q | Yc=~p~~>~q=~p*~q      |
----------------------------------------------------------------------
|                            ~Yb=p~~>~q=p*~q (zbiór pusty!)          |
----------------------------------------------------------------------

Spójniki iloczynu logicznego zbiorów „i”(*) oraz sumy logicznej zbiorów „lub”(+) z definicji nie są w stanie opisać relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~> między dowolnymi dwoma zbiorami p i q.

Wniosek:
W opisie dowolnego diagramu w zbiorach wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) chodzi tylko i wyłącznie o spełnienie lub nie spełnienie definicji elementu wspólnego zbiorów ~~>.

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.

Stąd mamy tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q definiowaną elementami wspólnymi zbiorów ~~>:
Kod:

T1.
Implikacja p|=>q      |
w spójnikach          |Co w logice
elementu wspólnego ~~>|jedynek oznacza
                 Y ~Y |                 Y   Z diagramu D1 odczytujemy:
A: p~~>q = p* q =1  0 |( p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny p i q
B: p~~>~q= p*~q =0  1 |( p=1)~~>(~q=1) =0 - nie istnieje el. wspólny p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1  0 |(~p=1)~~>(~q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1  0 |(~p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i q

Między funkcjami logicznymi Y i ~Y zachodzi relacja spójnika „albo”($).
Dowód:
Definicja spójnika „albo”($)
p$q =p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y$~Y = Y*~(~Y) + ~Y*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y =Y+~Y =1

Oczywiście relacja równoważności p<=>q definiująca tożsamość zbiorów/pojęć p=q musi tu być fałszem.
Dowód:
Definicja równoważności p<=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y<=>~Y = Y*(~Y) + ~Y*~(~Y) = Y*~Y + ~Y*Y = []+[] =0
cnd

Zapiszmy powyższą tabelę wyłącznie w spójnikach elementu wspólnego zbiorów ~~> zmieniając indeksowanie linii do postaci zgodnej z teorią wykładaną w algebrze Kubusia - matematycznie ten ruch jest bez znaczenia.
Kod:

T2.
Implikacja prosta p|=>q
definiowana elementem wspólnym zbiorów ~~>
             Y   Analiza dla punktu odniesienia Y
A1:  p~~>q  =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów p i q
A1’: p~~>~q =0 - nie istnieje (=0) el. wspólny zbiorów p i ~q
A2: ~p~~>~q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i ~q
B2’:~p~~> q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i q

Kluczowym punktem zaczepienia do przejścia z tabelą T2 do tabeli tożsamej T3 opisującej implikację prostą p|=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> będzie definicja kontrprzykładu w zbiorach działająca wyłącznie w obszarze warunku wystarczającego =>.

Dodatkowo potrzebne nam będą prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicja tożsamości logicznej „=” na przykładzie prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony.

Z powyższego wynika, że mając udowodnioną prawdziwość warunku wystarczającego => A1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
nie musimy udowadniać prawdziwości warunku koniecznego ~> A2 (i odwrotnie):
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne dla zajścia ~q
bowiem gwarantuje nam to prawo Kubusia, prawo rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Analiza tabeli prawdy T2 - część I
1.
Fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q =0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A1 (i odwrotnie):
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
2.
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Stąd:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1:
A1: p=>q =1
wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A2 (i odwrotnie):
A2: ~p~>~q =1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q

Nanieśmy naszą analizę do tabeli T3.
Kod:

T3.
Implikacja prosta p|=>q
w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
             Y   Analiza dla punktu odniesienia Y
A1:  p=> q  =1 - zbiór p jest podzbiorem => q
A1’: p~~>~q =0 - kontrprzykład dla A1 musi być fałszem
A2: ~p~>~q  =1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> ~q
B2’:~p~~> q =1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~p i q

Analiza tabeli prawdy T2 - część II
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q =1
wymusza fałszywość warunku wystarczającego B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =0
4.
Prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
stąd:
Fałszywość warunku wystarczającego B2:
B2: ~p=>~q =0
wymusza fałszywość warunku koniecznego B1 (i odwrotnie):
B1: p~>q =0

Nanieśmy naszą analizę do tabeli T4
Kod:

T4.
Implikacja prosta p|=>q
w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
A1:  p=> q  =1 | B1: p~>q=0
A1’: p~~>~q =0
A2: ~p~>~q  =1 | B2:~p=>~q=0
B2’:~p~~> q =1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Stąd mamy:
Linia A1B1:
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) w zbiorach:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) i nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

Zdefiniowawszy implikację prostą p|=>q w zbiorach możemy ją podstawić do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Definicja implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Stąd mamy to, co już doskonale znamy.

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2 o p i ~p.

Szczegółową analizę operatora implikacji prostej p||=>q znajdziemy w punkcie 4.1.1

4.3 Dziedzina matematyczna i fizyczna w implikacji prostej p|=>q

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Weźmy diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach opisany definicją elementu wspólnego zbiorów ~~>.
Kod:

D1’
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
----------------------------------------------------------------------
|     p       B1: p~>q=0    |                    ~p                  |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     q                                      |   ~q                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|  A1: p=>q=1      (p*q=1)  |~p~~>q = ~p*q   |A2:~p~>~q=1   (~p*~q=1)|
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q+~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych)    |
|            p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty                            |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q                                   |
---------------------------------------------------------------------|
|                                                                    |
|Implikacja prosta p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)              |
----------------------------------------------------------------------
|    Ya=p~~>q=p*q           | Yd=~p~~>q=~p*q | Yc=~p~~>~q=~p*~q      |
----------------------------------------------------------------------
|                            ~Yb=p~~>~q=p*~q (zbiór pusty!)          |
----------------------------------------------------------------------

Spójniki iloczynu logicznego zbiorów „i”(*) oraz sumy logicznej zbiorów „lub”(+) z definicji nie są w stanie opisać relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~> między dowolnymi dwoma zbiorami p i q.

Wniosek:
W opisie dowolnego diagramu w zbiorach wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) chodzi tylko i wyłącznie o spełnienie lub nie spełnienie definicji elementu wspólnego zbiorów ~~>.

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Stąd mamy tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q definiowaną elementami wspólnymi zbiorów ~~>:
Kod:

T1.
Implikacja p|=>q      |
w spójnikach          |Co w logice
elementu wspólnego ~~>|jedynek oznacza
                 Y ~Y |                 Y   Z diagramu D1 odczytujemy:
A: p~~>q = p* q =1  0 |( p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny p i q
B: p~~>~q= p*~q =0  1 |( p=1)~~>(~q=1) =0 - nie istnieje el. wspólny p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1  0 |(~p=1)~~>(~q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1  0 |(~p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i q


Definicja dziedziny matematycznej DM:
Dziedzina matematyczna DM jest identyczna dla wszelkich operatorów logicznych wyrażonych funkcjami logicznymi Y i ~Y, to suma logiczna Y+~Y
Gdzie:
Y - zdarzenia możliwe (zbiory niepuste)
~Y - zdarzenia niemożliwe (zbiory puste)
DM = Y+~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p+~p =1

Definicja dziedziny fizycznej D:
Dziedzina fizyczna D to suma logiczna zbiorów/zdarzeń niepustych.
D = Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q =1
Dowód:
Y = p*q + ~p*(~q+q)
Y = (p*q) + ~p
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = (~p+~q)*p = ~p*p + ~q*p
~Y = p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = ~p+q
Z diagramu D1’ doskonale widać, że suma logiczna zbiorów ~p+q stanowi dziedzinę D. W sumie logicznej nie ma znaczenia że część elementów występuje dwa razy, bo takie element redukujemy do jednego prawem algebry Boole’a:
p*p=p

Oczywiście można też obliczyć wszystko dokładnie gdzie nie będzie dublowanych elementów.
Z diagramu D2 odczytujemy:
D= A: p*q + C:~p*~q + D: ~p*q =1
Doskonale widać, że zbiory A, C i D dzielą dziedzinę fizyczną na trzy zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się do dziedziny.

Prawo dziedziny w implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q dzieli dziedzinę fizyczną D na trzy zbiory niepuste i rozłączne

Dowód iż zbiory A, C i D są rozłączne jest na gruncie algebry Kubusia trywialny, badamy po prostu iloczyny logiczne wszystkich możliwych kombinacji zbiorów A, C i D.
A: (p*q)
C: (~p*~q)
D: (~p*q)
Wszystkie możliwe kombinacje iloczynów logicznych to:
1: A*C = (p*q)*(~p*~q =(p*~p)*(q*~q) =[] =0 - zbiory A i B są rozłączne
2: A*D = (p*q)*(~p*q( = (p*~p)*q =[] =0 - zbiory A I C są rozłączne
3: C*D = (~p*~q)*(~p*q) =[] =0 - zbiory C i D są rozłączne
Dowód 2:
Iloczyn logiczny zbiorów p i ~p jest zbiorem pustym [].
Jeśli wszystkie elementy zbioru q przeiterujemy zbiorem [] pustym to wynikiem będzie zbiór pusty bez względu na to ile elementów jest w zbiorze q (może być nawet nieskończenie wiele).
Podstawa matematyczna to prawo algebry Boole’a:
x*[] = x*0 = 0 - obojętnie co ten x zawiera
cnd

Na zakończenie dowód jak bajecznie prosta i piękna jest algebra Kubusia.
Z diagramu D2 odczytujemy matematyczną tożsamość:
~p = ~p*q + ~p*~q = ~p*(q+~q) = ~p
cnd

4.3.1 Znaczenie definicji implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q

Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = ~p*q

Co oznacza ta tajemnicza definicja?

Weźmy tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q.
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:         |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1      [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                 [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0      [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=~p*q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Zauważmy że:
1.
W interesującym nas obszarze A1B1 i A2B2 definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) wskazuje jedyny kontrprzykład prawdziwy B2’ w tym obszarze
B2’: ~p~~>q =~p*q =1
2.
Prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywość warunku wystarczającego B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =0
3.
Na mocy prawa Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
fałszywy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość warunku koniecznego B1:
B1: p~>q =0
4.
Z kluczowej informacji iż w obszarze A1B1 i A2B2 występuje jedyny prawdziwy kontrprzykład B2’ wynika, że drugi możliwy tu kontrprzykład A1’ musi być fałszem
A1’: p~~>~q =0
5.
Z fałszywości kontrprzykładu A1’ wynika prawdziwość warunku wystarczającego A1 (i odwrotnie)
A1: p=>q =1
6.
Na mocy prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwy warunek konieczny A2
A2: ~p~>~q =1

Podsumowując:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = ~p*q
Jak widzimy, na podstawie powyższej definicji bez problemu odtworzyliśmy definicję implikacji prostej p|=>q (tabela IP) w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”.
Dokładnie na tym polega piękno algebry Kubusia.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Nie 17:17, 19 Wrz 2021    Temat postu:
19-09-2021 zmiana treści
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,19257.html#605629

Algebra Kubusia
4.0 Operatory implikacyjne - implikacja prosta p||=>q

Spis treści
4.0 Operatory implikacyjne - implikacja prosta p||=>q 1
4.1 Implikacja prosta p|=>q 2
4.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q 6
4.1.2 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego => 9
4.2 Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach 12
4.2.1 Odtworzenie implikacji prostej p|=>q z definicji ~~> 15
4.3 Dziedzina matematyczna i fizyczna w implikacji prostej p|=>q 20
4.3.1 Znaczenie definicji implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 22



4.0 Operatory implikacyjne - implikacja prosta p||=>q

Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej znanej ziemianom, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.

1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0

Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (ziemskie twierdzenia matematyczne) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.

4.1 Implikacja prosta p|=>q

IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q (A1) i jednocześnie p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

Podstawiając A1 i B1 do tabeli prawdy T0 otrzymujemy tabelę prawdy implikacji prostej IP.
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0) =1*1=1
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|=>q = ~p*q

Wyprowadzenie definicji implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q)=(~p+q)*(~p*q)=~p*q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna kolumn:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q = A3B3: q|~>p = A4B4: ~q|=>~p = ~p*q
Gdzie:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =~p*q
A3B3: q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) =~p*q
A4B4: ~q|=>~p=(A4: ~q=>~p)*~(B4:~q~>~p) =~p*q
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.

Najprostszy dowód tożsamości powyższych kolumn wynika z praw logiki matematycznej zapisanych w tabeli T0: prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego => i prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>.

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP

IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q (A1) i jednocześnie p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

IO
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy ~p jest (=1) konieczne ~> dla ~q (A2) i jednocześnie ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q (B2)

Na mocy prawa Sowy zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Dowód:
Dla A2B2 korzystamy z praw Kubusia:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
stąd mamy:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = A1B1: p|=>q
stąd mamy tożsamość logiczną:
A2B2: ~p|~>~q [=] A1B1: p|=>q
cnd

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

Z prawa Sowy wynika, iż Zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p|=>q = A2B2:~p|~>~q = A1B1|A2B2: p||=>q = A2B2|A1B1:~p||~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Udowodnienie prawdziwości dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Udowodnienie fałszywości dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Co oznacza pełna tożsamość logiczna?
A1B1: p|=>q = A2B2:~p|~>~q = A1B1|A2B2: p||=>q = A2B2|A1B1:~p||~>~q

Dokładnie to:
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej:
A1B1: p|=>q
jest potrzebne ~> i wystarczające => dla dowodu prawdziwości obu operatorów implikacyjnych (= obu układów równań logicznych):
A1B1|A2B2: p||=>q = A2B2|A1B1:~p||~>~q

4.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q (A1) i jednocześnie p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Definicja implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP

Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedzi na pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q=1) - mówi o tym zdanie A1

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q, bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

LUB

Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

4.1.2 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>

Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q przedstawioną wyżej:
Kod:

T1:
Analiza symboliczna                              |Co w logice
operatora implikacji prostej p||=>q              |jedynek oznacza
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A1:  p=> q =1 - zajście p wystarcza => dla q     |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład dla A1 musi być 0  |( p=1)~~>(~q=1)=0
Kolumna A2B2:
A2:~p~>~q =1
B2: ~p=>~q =0
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest konieczne ~> dla ~q      |(~p=1)~> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =1 - kontrprzykład dla B2 musi być 1  |(~p=1)~~>( q=1)=1
     a   b  c                                       d        e    f

Z tabeli T1 możemy wyprowadzić zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego A1: p=>q kodując analizę symboliczną względem linii A1, albo zero-jedynkową definicję warunku koniecznego A2:~p~>~q kodując analizę symboliczną względem linii A2

Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek wystarczający => widoczny w linii A1:
A1: p=>q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam potrzebne do wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
Kod:

T2:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego A1: p=>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |A1: p=>q =1       |definicja =>
              |                  |                  | p  q  A1: p=>q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=>1       =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1=>0       =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0=>0       =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0=>1       =1
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2        3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |(~p=1)=( p=0)     |
                                 |(~q=1)=( q=0)     |

Nagłówek A1: p=>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A1: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że w tabeli T1 mamy również warunek konieczny ~> widniejący w linii A2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię A2 i wygenerujmy tabelę zero-jedynkową warunku koniecznego ~>:
A2:~p~>~q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A2 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
Kod:

T3:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego A2:~p~>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |A2:~p~>~q =1      |definicja ~>
              |                  |                  |~p ~q A2:~p~>~q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0~>0      =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~>1      =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 | 1~>1      =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |(~p=1)~~>(~q=0)=1 | 1~>0      =1
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2       3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |( p=1)=(~p=0)     |
                                 |( q=1)=(~q=0)     |

Nagłówek A2:~p~>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A2: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T2 i T3 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T2 i T3 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T2: p=>q = T3: ~p~>~q

Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => (T2: 123) i koniecznego ~> (T3: 123).
Oto on:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
   p  q  p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>0  =1
D: 0=>1  =1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
   p  q  p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>0  =1
D: 0~>1  =0

Stąd mamy:
Kod:

T4
Dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p~>~q
     p  q  p=>q ~p ~q ~p~>~q
A1:  1=>1  =1    0~>0   =1
A1’: 1=>0  =0    0~>1   =0
A2:  0=>0  =1    1~>1   =1
B2’: 0=>1  =1    1~>0   =1
     1  2   3    4  5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q = p=>q
cnd

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p=>q = ~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
p=>q = ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
Kod:

Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
     p  q  p=>q ~p ~q ~p~>~q (p=>q)<=>(~p~>~q)
A1:  1=>1  =1    0~>0   =1          =1
A1’: 1=>0  =0    0~>1   =0          =1
A2:  0=>0  =1    1~>1   =1          =1
B2’: 0=>1  =1    1~>0   =1          =1
     1  2   3    4  5    6           7

Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

4.2 Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Przedstawione wyżej zastrzeżenia dowodzimy w dwóch krokach.

Krok 1.
Dlaczego dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p i q?
Dla zbiorów tożsamych p=q mielibyśmy:
A1: p=>q =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>q =1 - bo każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Otrzymana sprzeczność z definicją implikacji prostej p|=>q w zbiorach jest dowodem, iż zbiory p i q nie mogą być tożsame.
Stąd mamy pierwszą część definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)

Krok 2.
Dlaczego przyjęta dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q?
Przyjmijmy za dziedzinę sumę logiczną zbiorów p+q
D = p+q =q - bo na mocy definicji p|=>q zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Wtedy mamy:
~q=[D-q] = [q-q] =[] =0
Oznacza to że pojęcie ~q jest dla nas zbiorem pustym, czyli pojęciem nierozpoznawalnym.

Definicja zbioru pustego [] w algebrze Kubusia:
Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka
[] =[asegft, uaytfds…]
Oczywistym jest, że nie możemy operować na pojęciach dla nas niezrozumiałych, stąd zastrzeżenie w definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.

Stąd mamy:
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Definicja implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Na mocy powyższej definicji rysujemy diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach.
Kod:

D1
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
----------------------------------------------------------------------
|     p       B1: p~>q=0    |                    ~p                  |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     q                                      |   ~q                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|  A1: p=>q=1      (p*q=1)  |~p~~>q = ~p*q   |A2:~p~>~q=1   (~p*~q=1)|
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q+~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych)    |
|            p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty                            |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q                                   |
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q:
A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1:p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => ~q
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1

II.
Po zamianie p i q:
A3B3:
A3: q~>p =1 - zbiór q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru p
B3: q=>p =0 - zbiór q nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
A3B3: q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) =1*~(0)=1*1 =1
A4B4:
A4:~q=>~p=1 - zbiór ~q jest (=1) podzbiorem => ~p
B4:~q~>~p=0 - zbiór ~q nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~p
A4B4: ~q|=>~p = (A4:~q=>~p)*~(~q~>~p) =1*~(0)=1*1 =1
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Jeśli zajdzie p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q - mówi o tym zdanie A1

Z diagramu D1 odczytujemy:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Doskonale to widać na diagramie D1

Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q = [] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory p i ~q są rozłączne, co również widać na diagramie D1

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => ~q
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” o czym mówią zdania A2 i B2’

Z diagramu D1 odczytujemy:
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Wyśmienicie to widać na diagramie D1

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2:~p=>~q=0 musi być prawdą.
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~p i q jest spełniona, co doskonale widać na diagramie D1.

4.2.1 Odtworzenie implikacji prostej p|=>q z definicji ~~>

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

Na mocy prawa Sowy, jeśli odtworzymy definicję implikacji prostej p|=>q to automatycznie odtworzymy definicję operatora implikacji prostej p||=>q

Weźmy diagram implikacji prostej w zbiorach p|=>q wyżej zapisany wyrażony definicją elementu wspólnego zbiorów ~~>.
Kod:

D1’
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
----------------------------------------------------------------------
|     p       B1: p~>q=0    |                    ~p                  |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     q                                      |   ~q                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|  A1: p=>q=1      (p*q=1)  |~p~~>q = ~p*q   |A2:~p~>~q=1   (~p*~q=1)|
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q+~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych)    |
|            p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty                            |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q                                   |
---------------------------------------------------------------------|
|                                                                    |
|Implikacja prosta p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)              |
----------------------------------------------------------------------
|    Ya=p~~>q=p*q           | Yd=~p~~>q=~p*q | Yc=~p~~>~q=~p*~q      |
----------------------------------------------------------------------
|                            ~Yb=p~~>~q=p*~q (zbiór pusty!)          |
----------------------------------------------------------------------

Spójniki iloczynu logicznego zbiorów „i”(*) oraz sumy logicznej zbiorów „lub”(+) z definicji nie są w stanie opisać relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~> między dowolnymi dwoma zbiorami p i q.

Wniosek:
W opisie dowolnego diagramu w zbiorach wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) chodzi tylko i wyłącznie o spełnienie lub nie spełnienie definicji elementu wspólnego zbiorów ~~>.

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.

Stąd mamy tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q definiowaną elementami wspólnymi zbiorów ~~>:
Kod:

T1.
Implikacja p|=>q      |
w spójnikach          |Co w logice
elementu wspólnego ~~>|jedynek oznacza
                 Y ~Y |                 Y   Z diagramu D1 odczytujemy:
A: p~~>q = p* q =1  0 |( p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny p i q
B: p~~>~q= p*~q =0  1 |( p=1)~~>(~q=1) =0 - nie istnieje el. wspólny p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1  0 |(~p=1)~~>(~q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1  0 |(~p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i q

Między funkcjami logicznymi Y i ~Y zachodzi relacja spójnika „albo”($).
Dowód:
Definicja spójnika „albo”($)
p$q =p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y$~Y = Y*~(~Y) + ~Y*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y =Y+~Y =1

Oczywiście relacja równoważności p<=>q definiująca tożsamość zbiorów/pojęć p=q musi tu być fałszem.
Dowód:
Definicja równoważności p<=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y<=>~Y = Y*(~Y) + ~Y*~(~Y) = Y*~Y + ~Y*Y = []+[] =0
cnd

Zapiszmy powyższą tabelę wyłącznie w spójnikach elementu wspólnego zbiorów ~~> zmieniając indeksowanie linii do postaci zgodnej z teorią wykładaną w algebrze Kubusia - matematycznie ten ruch jest bez znaczenia.
Kod:

T2.
Implikacja prosta p|=>q
definiowana elementem wspólnym zbiorów ~~>
             Y   Analiza dla punktu odniesienia Y
A1:  p~~>q  =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów p i q
A1’: p~~>~q =0 - nie istnieje (=0) el. wspólny zbiorów p i ~q
A2: ~p~~>~q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i ~q
B2’:~p~~> q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i q

Kluczowym punktem zaczepienia do przejścia z tabelą T2 do tabeli tożsamej T3 opisującej implikację prostą p|=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> będzie definicja kontrprzykładu w zbiorach działająca wyłącznie w obszarze warunku wystarczającego =>.

Dodatkowo potrzebne nam będą prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicja tożsamości logicznej „=” na przykładzie prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony.

Z powyższego wynika, że mając udowodnioną prawdziwość warunku wystarczającego => A1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
nie musimy udowadniać prawdziwości warunku koniecznego ~> A2 (i odwrotnie):
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne dla zajścia ~q
bowiem gwarantuje nam to prawo Kubusia, prawo rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Analiza tabeli prawdy T2 - część I
1.
Fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q =0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A1 (i odwrotnie):
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
2.
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Stąd:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1:
A1: p=>q =1
wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A2 (i odwrotnie):
A2: ~p~>~q =1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q

Nanieśmy naszą analizę do tabeli T3.
Kod:

T3.
Implikacja prosta p|=>q
w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
             Y   Analiza dla punktu odniesienia Y
A1:  p=> q  =1 - zbiór p jest podzbiorem => q
A1’: p~~>~q =0 - kontrprzykład dla A1 musi być fałszem
A2: ~p~>~q  =1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> ~q
B2’:~p~~> q =1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~p i q

Analiza tabeli prawdy T2 - część II
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q =1
wymusza fałszywość warunku wystarczającego B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =0
4.
Prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
stąd:
Fałszywość warunku wystarczającego B2:
B2: ~p=>~q =0
wymusza fałszywość warunku koniecznego B1 (i odwrotnie):
B1: p~>q =0

Nanieśmy naszą analizę do tabeli T4
Kod:

T4.
Implikacja prosta p|=>q
w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
A1:  p=> q  =1 | B1: p~>q=0
A1’: p~~>~q =0
A2: ~p~>~q  =1 | B2:~p=>~q=0
B2’:~p~~> q =1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Stąd mamy:
Linia A1B1:
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) w zbiorach:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) i nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

Zdefiniowawszy implikację prostą p|=>q w zbiorach możemy ją podstawić do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Definicja implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Stąd mamy to, co już doskonale znamy.

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2 o p i ~p.

Szczegółową analizę operatora implikacji prostej p||=>q znajdziemy w punkcie 4.1.1

4.3 Dziedzina matematyczna i fizyczna w implikacji prostej p|=>q

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Weźmy diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach opisany definicją elementu wspólnego zbiorów ~~>.
Kod:

D1’
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
----------------------------------------------------------------------
|     p       B1: p~>q=0    |                    ~p                  |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     q                                      |   ~q                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|  A1: p=>q=1      (p*q=1)  |~p~~>q = ~p*q   |A2:~p~>~q=1   (~p*~q=1)|
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q+~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych)    |
|            p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty                            |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q                                   |
---------------------------------------------------------------------|
|                                                                    |
|Implikacja prosta p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)              |
----------------------------------------------------------------------
|    Ya=p~~>q=p*q           | Yd=~p~~>q=~p*q | Yc=~p~~>~q=~p*~q      |
----------------------------------------------------------------------
|                            ~Yb=p~~>~q=p*~q (zbiór pusty!)          |
----------------------------------------------------------------------

Spójniki iloczynu logicznego zbiorów „i”(*) oraz sumy logicznej zbiorów „lub”(+) z definicji nie są w stanie opisać relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~> między dowolnymi dwoma zbiorami p i q.

Wniosek:
W opisie dowolnego diagramu w zbiorach wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) chodzi tylko i wyłącznie o spełnienie lub nie spełnienie definicji elementu wspólnego zbiorów ~~>.

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Stąd mamy tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q definiowaną elementami wspólnymi zbiorów ~~>:
Kod:

T1.
Implikacja p|=>q      |
w spójnikach          |Co w logice
elementu wspólnego ~~>|jedynek oznacza
                 Y ~Y |                 Y   Z diagramu D1 odczytujemy:
A: p~~>q = p* q =1  0 |( p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny p i q
B: p~~>~q= p*~q =0  1 |( p=1)~~>(~q=1) =0 - nie istnieje el. wspólny p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1  0 |(~p=1)~~>(~q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1  0 |(~p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i q


Definicja dziedziny matematycznej DM:
Dziedzina matematyczna DM jest identyczna dla wszelkich operatorów logicznych wyrażonych funkcjami logicznymi Y i ~Y, to suma logiczna Y+~Y
Gdzie:
Y - zdarzenia możliwe (zbiory niepuste)
~Y - zdarzenia niemożliwe (zbiory puste)
DM = Y+~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p+~p =1

Definicja dziedziny fizycznej D:
Dziedzina fizyczna D to suma logiczna zbiorów/zdarzeń niepustych.
D = Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q =1
Dowód:
Y = p*q + ~p*(~q+q)
Y = (p*q) + ~p
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = (~p+~q)*p = ~p*p + ~q*p
~Y = p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = ~p+q
Z diagramu D1’ doskonale widać, że suma logiczna zbiorów ~p+q stanowi dziedzinę D. W sumie logicznej nie ma znaczenia że część elementów występuje dwa razy, bo takie element redukujemy do jednego prawem algebry Boole’a:
p*p=p

Oczywiście można też obliczyć wszystko dokładnie gdzie nie będzie dublowanych elementów.
Z diagramu D2 odczytujemy:
D= A: p*q + C:~p*~q + D: ~p*q =1
Doskonale widać, że zbiory A, C i D dzielą dziedzinę fizyczną na trzy zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się do dziedziny.

Prawo dziedziny w implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q dzieli dziedzinę fizyczną D na trzy zbiory niepuste i rozłączne

Dowód iż zbiory A, C i D są rozłączne jest na gruncie algebry Kubusia trywialny, badamy po prostu iloczyny logiczne wszystkich możliwych kombinacji zbiorów A, C i D.
A: (p*q)
C: (~p*~q)
D: (~p*q)
Wszystkie możliwe kombinacje iloczynów logicznych to:
1: A*C = (p*q)*(~p*~q =(p*~p)*(q*~q) =[] =0 - zbiory A i B są rozłączne
2: A*D = (p*q)*(~p*q( = (p*~p)*q =[]*q =[]=0 - zbiory A I C są rozłączne
3: C*D = (~p*~q)*(~p*q) =[] =0 - zbiory C i D są rozłączne
Dowód 2:
Iloczyn logiczny zbiorów p i ~p jest zbiorem pustym [].
Jeśli wszystkie elementy zbioru q przeiterujemy zbiorem [] pustym to wynikiem będzie zbiór pusty bez względu na to ile elementów jest w zbiorze q (może być nawet nieskończenie wiele).
Podstawa matematyczna to prawo algebry Boole’a:
x*[] = x*0 = 0 - obojętnie co ten x zawiera
cnd

Na zakończenie dowód jak bajecznie prosta i piękna jest algebra Kubusia.
Z diagramu D2 odczytujemy matematyczną tożsamość:
~p = ~p*q + ~p*~q = ~p*(q+~q) = ~p
cnd

4.3.1 Znaczenie definicji implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q

Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = ~p*q

Co oznacza ta tajemnicza definicja?

Weźmy tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q.
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:         |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1      [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                 [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0      [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=~p*q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Zauważmy że:
1.
W interesującym nas obszarze A1B1 i A2B2 definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) wskazuje jedyny kontrprzykład prawdziwy B2’ w tym obszarze
B2’: ~p~~>q =~p*q =1
2.
Prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywość warunku wystarczającego B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =0
3.
Na mocy prawa Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
fałszywy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość warunku koniecznego B1:
B1: p~>q =0
4.
Z kluczowej informacji iż w obszarze A1B1 i A2B2 występuje jedyny prawdziwy kontrprzykład B2’ wynika, że drugi możliwy tu kontrprzykład A1’ musi być fałszem
A1’: p~~>~q =0
5.
Z fałszywości kontrprzykładu A1’ wynika prawdziwość warunku wystarczającego A1 (i odwrotnie)
A1: p=>q =1
6.
Na mocy prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwy warunek konieczny A2
A2: ~p~>~q =1

Podsumowując:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = ~p*q
Jak widzimy, na podstawie powyższej definicji bez problemu odtworzyliśmy definicję implikacji prostej p|=>q (tabela IP) w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”.
Dokładnie na tym polega piękno algebry Kubusia.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Nie 17:20, 19 Wrz 2021    Temat postu:
19-09-2021 Zmiana treści

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,19257.html#605643

Algebra Kubusia
5.0 Operatory implikacyjne - implikacja odwrotna p||~>q


Spis treści
5.0 Operatory implikacyjne - implikacja odwrotna p||~>q 1
5.1. Implikacja odwrotna p|~>q 2
5.1.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 6
5.1.2 Matematyczne związki implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q 8
5.1.3 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> 9
5.2 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach 12
5.2.1 Odtworzenie implikacji odwrotnej p|~>q z definicji ~~> 16
5.3 Dziedzina matematyczna i fizyczna w implikacji odwrotnej p|~>q 20
5.3.1 Znaczenie definicji implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 23


5.0 Operatory implikacyjne - implikacja odwrotna p||~>q

Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej znanej ziemianom, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.

1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (ziemskie twierdzenia matematyczne) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.

5.1. Implikacja odwrotna p|~>q

IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => (A1) dla zajścia q.

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 =1*1=1
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|~>q = p*~q

Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q)=(p*~q)*(p+~q)=p*~q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna kolumn:
A1B1: p|~>q = A2B2: ~p|=>~q = A3B3: q|=>p = A4B4: ~q|~>~p = p*~q
Gdzie:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =p*~q
A3B3: q|=>p = ~(A3: q~>p)*(B3: q=>p) =p*~q
A4B4: ~q|~>~p=~(A4: ~q=>~p)*(B4:~q~>~p) =p*~q
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to formalny punkt odniesienia {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO

IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1).

IP-
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Implikacja prosta ~p=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy ~p jest (=1) wystarczające => dla ~q (B2) i jednocześnie ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q (B1)

Na mocy prawa Sowy zachodzi tożsamość logiczna „=”:
A1B1: p|~>q = A2B2: ~p|=>~q = A3B3: q|=>p = A4B4: ~q|~>~p = p*~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Najprostszy dowód prawa Sowy wynika z praw logiki matematycznej: prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego => i prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>.

Przykładowy dowód:
A1B1: p|~>q = A2B2: ~p|=>~q
Na mocy definicji mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2: ~p|=>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd
Dowód tożsamości pozostałych kolumn pozostawiam czytelnikowi.

Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO

Z prawa Sowy wynika, iż zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p|~>q = A2B2:~p|=>~q = A1B1|A2B2: p||~>q = A2B2|A1B1:~p||=>~q

Co oznacza tożsamość logiczna?
A1B1: p|~>q = A2B2:~p|=>~q = A1B1|A2B2: p||~>q = A2B2|A1B1:~p||=>~q

Dokładnie to:
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej (na przykład):
A1B1: p|~>q
jest potrzebne ~> i wystarczające => dla dowodu prawdziwości obu operatorów implikacyjnych, czyli obu układów równań logicznych A1B1|A2B2 i A2B2|A1B1:
A1B1|A2B2: p||~>q = A2B2|A1B1:~p||=>~q

5.1.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Mówią o tym zdania B1 i A1’

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q, bo jak zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2:~p=>~q

LUB

Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie):
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q (~q=1).
Mówi o tym zdanie B2

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie):
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zajdzie ~p i zajdzie q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie p (zdania B1 i A1’) , oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).

Zauważmy że:
a)
Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję logicznie tożsamą:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

5.1.2 Matematyczne związki implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q

IP
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
Y = (p|=>q) = ~p*q

##

IO:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
Y = (p|~>q) = p*~q

Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Zapiszmy matematyczne relacje między implikacją prostą p|=>q a implikacją odwrotną p|~>q w tabeli prawdy.
Kod:

IP: Implikacja prosta p|=>q  ## IO: Implikacja odwrotna p|~>q
 Y = (p|=>q)=~p*q            ##  Y= (p|~>q)=p*~q
 #                           ##  #
~Y =~(p|=>q)=p+~q            ## ~Y=~(p|~>q)=~p+q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Doskonale widać, iż definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
cnd

5.1.3 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>

Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q przedstawioną wyżej:
Kod:

T1:
Analiza symboliczna                              |Co w logice
operatora implikacji odwrotnej p||~>q            |jedynek oznacza
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
A1B1:  p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
B1:  p~> q =1 - p jest konieczne ~> dla q        |( p=1)~> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=1 - kontrprzykład dla A1 musi być 1  |( p=1)~~>(~q=1)=1
Kolumna A2B2:
A2: ~p~>~q =0
B2: ~p=>~q =1
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p wystarcza => dla ~q   |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład dla B2 musi być 0  |(~p=1)~~>( q=1)=0
     a   b  c                                       d        e    f

Z tabeli T1 możemy wyprowadzić zero-jedynkową definicję warunku koniecznego B1: p~>q kodując analizę symboliczną względem linii B1, albo zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego B2:~p=>~q kodując analizę symboliczną względem linii B2

Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek konieczny ~> widoczny w linii B1:
B1: p~>q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam potrzebne do wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia B1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
Kod:

T2:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego B1: p~>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |B1: p~>q          |definicja ~>
              |                  |                  | p  q  B1: p~>q
B1:  p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |( p=1)~> ( q=1)=1 | 1~>1      =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~>0      =1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0~>0      =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~>1      =0
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2       3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |(~p=1)=( p=0)     |
                                 |(~q=1)=( q=0)     |

Nagłówek B1: p~>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię B1: p~>q w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że w tabeli T1 mamy również warunek wystarczający => widniejący w linii B2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię B2 i wygenerujmy tabelę zero-jedynkową warunku wystarczającego =>:
B2:~p=>~q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia B2 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
Kod:

T3:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego B2:~p=>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |B2:~p=>~q         |definicja =>
              |                  |                  |~p ~q B2: ~p=>~q
B1:  p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |(~p=0)~> (~q=0)=1 | 0=>0      =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |(~p=0)~~>(~q=1)=1 | 0=>1      =1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1=>1      =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1=>0      =0
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2       3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |( p=1)=(~p=0)     |
                                 |( q=1)=(~q=0)     |

Nagłówek B2: ~p=>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię B2 w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T2 i T3 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T2 i T3 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T2: p~>q = T3: ~p=>~q

Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> (T2: 123) i wystarczającego => (T3: 123).
Oto on:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
   p  q  p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>0  =1
D: 0~>1  =0

Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
   p  q  p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>0  =1
D: 0=>1  =1

Stąd mamy:
Kod:

T4
Dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym:
p~>q = ~p=>~q
     p  q  p~>q ~p ~q ~p=>~q
B1:  1~>1  =1    0=>0   =1
A1’: 1~>0  =1    0=>1   =1
B2:  0~>0  =1    1=>1   =1
B2’: 0~>1  =0    1=>0   =0
     1  2   3    4  5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q

Stąd mamy:
~p=>~q = ~(~p)+~q = p+~q = p~>q
cnd

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p~>q = ~p=>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
p~>q = ~p=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
Kod:

Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p~>q <=> ~p=>~q
     p  q  p~>q ~p ~q ~p=>~q (p~>q)<=>(~p=>~q)
B1:  1~>1  =1    0=>0   =1          1
A1’: 1~>0  =1    0=>1   =1          1
B2:  0~>0  =1    1=>1   =1          1
B2’: 0~>1  =0    1=>0   =0          1
     1  2   3    4  5    6          7

Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

5.2 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1

Przedstawione wyżej zastrzeżenia dowodzimy w dwóch krokach.

Krok 1.
Dlaczego dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p i q?
Dla zbiorów tożsamych p=q mielibyśmy:
A1: p=>q =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>q =1 - bo każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Otrzymana sprzeczność z definicją implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach jest dowodem, iż zbiory p i q nie mogą być tożsame.
Stąd mamy pierwszą część definicji implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)

Krok 2.
Dlaczego przyjęta dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q?
Przyjmijmy za dziedzinę sumę logiczną zbiorów p+q
D = p+q =p - bo na mocy definicji p|~>q zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Wtedy mamy:
~p=[D-p] = [p-p] =[] =0
Oznacza to że pojęcie ~p jest dla nas zbiorem pustym.

Definicja zbioru pustego [] w algebrze Kubusia:
Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka
[] =[asegft, uaytfds…]
Oczywistym jest, że nie możemy operować na pojęciach dla nas niezrozumiałych, stąd zastrzeżenie w definicji implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.

Stąd mamy:
IO
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Kod:

IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Kod:

D2
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
|     q                     |                    ~q                  |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     p     A1: p=>q=0                       |   ~p                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|     B1: p~>q=1    (p*q=1) | p~~>~q = p*~q  | B2: ~p=>~q   (~p*~q=1)|
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+p*~q+~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych)    |
|           ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty                             |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q                                  |
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem =>q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> q
p|~>q= ~(A1:p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~q
B2:~p=>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
~p|~>~q= ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1

II.
Po zamianie p i q
A3B3:
A3: q~>p =0 - zbiór q nie jest (=0) nadzbiorem ~> p
B3: q=>p =1 - zbiór q jest (=1) podzbiorem => p
q|=>p= ~(A3: q~>p)*(B3:~q=>~p)=~(0)*1=1*1=1
A4B4:
A4:~q=>~p=0 - zbiór ~q nie jest (=0) podzbiorem => ~p
B4:~q~>~p=1 - zbiór ~q jest (=1) nadzbiorem ~> ~p
~q|~>~p= ~(A4:~q=>~p)*(B4:~q~>~p)=~(0)*1=1*1=1
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

Z diagramu D2 odczytujemy:
B1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
Zbiory:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q, co widać na diagramie D2.

LUB

Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
Widać to doskonale na diagramie D2

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q (~q=1) - mówi o tym zdanie B2

Z diagramu D2 odczytujemy:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zbiory:
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q, co widać na diagramie D2

Z prawdziwości warunku wystarczającego => B2 wynika fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
Potwierdza to diagram D2.

5.2.1 Odtworzenie implikacji odwrotnej p|~>q z definicji ~~>

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO

Na mocy prawa Sowy, jeśli odtworzymy definicję implikacji odwrotnej p|~>q to automatycznie odtworzymy definicję operatora implikacji odwrotnej p||~>q

Weźmy diagram implikacji prostej w odwrotnej p|~>q w zbiorach wyżej zapisany.
Kod:

D2’
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
|     q                     |                    ~q                  |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     p     A1: p=>q=0                       |   ~p                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|     B1: p~>q=1    (p*q=1) | p~~>~q = p*~q  | B2: ~p=>~q   (~p*~q=1)|
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+p*~q+~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych)    |
|           ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty                             |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q                                  |
|--------------------------------------------------------------------|
|                                                                    |
| Operator implikacji odwrotnej p||~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)|
----------------------------------------------------------------------
| Ya=p~~>q=p*q              |Yb=p~~>~q=p*~q  |Yc=~p~~>~q=~p*~q       |
----------------------------------------------------------------------
|                        ~Yd=~p~~>q=~p*q (zbiór pusty!)              |
----------------------------------------------------------------------

Spójniki iloczynu logicznego zbiorów „i”(*) oraz sumy logicznej zbiorów „lub”(+) z definicji nie są w stanie opisać relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~> między dowolnymi dwoma zbiorami p i q.

Wniosek:
W opisie dowolnego diagramu w zbiorach wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) chodzi tylko i wyłącznie o spełnienie lub nie spełnienie definicji elementu wspólnego zbiorów ~~>.

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.

Stąd mamy tabelę prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q definiowaną elementami wspólnymi zbiorów ~~>:
Kod:

T1.
Implikacja p|~>q      |
w spójnikach          |Co w logice
elementu wspólnego ~~>|jedynek oznacza
                 Y ~Y |                 Y   Z diagramu D2’ odczytujemy:
A: p~~>q = p* q =1  0 |( p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny p i q
B: p~~>~q= p*~q =1  0 |( p=1)~~>(~q=1) =1 - istnieje el. wspólny p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1  0 |(~p=1)~~>(~q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =0  1 |(~p=1)~~>( q=1) =0 - nie istnieje el. wspólny ~p i q

Między funkcjami logicznymi Y i ~Y zachodzi relacja spójnika „albo”($).
Dowód:
Definicja spójnika „albo”($)
p$q =p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y$~Y = Y*~(~Y) + ~Y*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y =Y+~Y =1

Oczywiście relacja równoważności p<=>q definiująca tożsamość zbiorów/pojęć p=q musi tu być fałszem.
Dowód:
Definicja równoważności p<=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y<=>~Y = Y*(~Y) + ~Y*~(~Y) = Y*~Y + ~Y*Y = []+[] =0
cnd

Zapiszmy powyższą tabelę wyłącznie w spójnikach elementu wspólnego zbiorów ~~> zmieniając indeksowanie linii do postaci zgodnej z teorią wykładaną w algebrze Kubusia - matematycznie ten ruch jest bez znaczenia.
Kod:

T2.
Implikacja odwrotna p|~>q
definiowana elementem wspólnym zbiorów ~~>
             Y   Analiza dla punktu odniesienia Y
B1:  p~~>q  =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów p i q
A1’: p~~>~q =1 - istnieje (=0) el. wspólny zbiorów p i ~q
B2: ~p~~>~q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i ~q
B2’:~p~~> q =0 - nie istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i q

Kluczowym punktem zaczepienia do przejścia z tabelą T2 do tabeli tożsamej T3 opisującej implikację odwrotną p|~>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> będzie definicja kontrprzykładu w zbiorach działająca wyłącznie w obszarze warunku wystarczającego =>.

Dodatkowo potrzebne nam będą prawa Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
##
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=~p+q ## B1: p~>q=p+~q

Definicja tożsamości logicznej „=” na przykładzie prawa Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony.

Z powyższego wynika, że mając udowodnioną prawdziwość warunku koniecznego ~> B1:
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
nie musimy udowadniać prawdziwości warunku wystarczającego => B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
bowiem gwarantuje nam to prawo Kubusia, prawo rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Analiza tabeli prawdy T2 - część I
1.
Fałszywość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q=0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =1 - zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
2.
Prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
Stąd:
Prawdziwość warunku wystarczającego B2:
B2: ~p=>~q =1
wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> B1 (i odwrotnie):
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q

Nanieśmy naszą analizę do tabeli T3.
Kod:

T3.
Operator implikacji odwrotnej p||~>q
w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
             Y   Analiza dla punktu odniesienia Y
B1:  p~>q   =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> q
A1’: p~~>~q =1 - istnieje (=0) el. wspólny zbiorów p i ~q
B2: ~p=>~q  =1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
B2’:~p~~> q =0 - kontrprzykład dla B2’ musi być fałszem

Analiza tabeli prawdy T2 - część II
3.
Prawdziwość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q =1
wymusza fałszywość warunku wystarczającego A1 (i odwrotnie):
A1: p=>q =0
4.
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
stąd:
Fałszywość warunku wystarczającego A1:
A1: p=>q =0
wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> A2 (i odwrotnie):
A2: ~p~>~q =0

Nanieśmy naszą analizę do tabeli T4
Kod:

T4.
Implikacji odwrotna p|~>q
w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
B1:  p~>q   =1 | A1: p=>q =0
A1’: p~~>~q =1
B2: ~p=>~q  =1 | A2:~p~>~q =0
B2’:~p~~> q =0

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Stąd mamy:
Linia B1A1:
IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)

Zdefiniowawszy implikację odwrotną p|~>q w zbiorach możemy ją podstawić do tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kod:

IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to formalny punkt odniesienia {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO

Stąd mamy to, co już doskonale znamy:

Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2 o p i ~p.

Szczegółową analizę operatora implikacji odwrotnej p||~>q znajdziemy w punkcie 5.1.1

5.3 Dziedzina matematyczna i fizyczna w implikacji odwrotnej p|~>q

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1

Weźmy diagram implikacji prostej w zbiorach opisany definicją elementu wspólnego zbiorów ~~>.
Kod:

D2’
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
|     q                     |                    ~q                  |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     p     A1: p=>q=0                       |   ~p                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|     B1: p~>q=1    (p*q=1) | p~~>~q = p*~q  | B2: ~p=>~q   (~p*~q=1)|
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+p*~q+~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych)    |
|           ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty                             |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q                                  |
|--------------------------------------------------------------------|
|                                                                    |
| Operator implikacji odwrotnej p||~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)|
----------------------------------------------------------------------
| Ya=p~~>q=p*q              |Yb=p~~>~q=p*~q  |Yc=~p~~>~q=~p*~q       |
----------------------------------------------------------------------
|                        ~Yd=~p~~>q=~p*q (zbiór pusty!)              |
----------------------------------------------------------------------


Spójniki iloczynu logicznego zbiorów „i”(*) oraz sumy logicznej zbiorów „lub”(+) z definicji nie są w stanie opisać relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~> między dowolnymi dwoma zbiorami p i q.

Wniosek:
W opisie dowolnego diagramu w zbiorach wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) chodzi tylko i wyłącznie o spełnienie lub nie spełnienie definicji elementu wspólnego zbiorów ~~>.

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Stąd mamy tabelę prawdy implikacji odwrotnej p|~>q definiowaną elementami wspólnymi zbiorów ~~>:
Kod:

T1.
Implikacja p|~>q      |
w spójnikach          |Co w logice
elementu wspólnego ~~>|jedynek oznacza
                 Y ~Y |                 Y   Z diagramu D2’ odczytujemy:
A: p~~>q = p* q =1  0 |( p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny p i q
B: p~~>~q= p*~q =1  0 |( p=1)~~>(~q=1) =1 - istnieje el. wspólny p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1  0 |(~p=1)~~>(~q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =0  1 |(~p=1)~~>( q=1) =0 - nie istnieje el. wspólny ~p i q


Definicja dziedziny matematycznej DM:
Dziedzina matematyczna DM jest identyczna dla wszelkich operatorów logicznych wyrażonych funkcjami logicznymi Y i ~Y, to suma logiczna Y+~Y
Gdzie:
Y - zdarzenia możliwe (zbiory niepuste)
~Y - zdarzenia niemożliwe (zbiory puste)
DM = Y+~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p+~p =1

Definicja dziedziny fizycznej D:
Dziedzina fizyczna D to suma logiczna zbiorów/zdarzeń niepustych Y
D = Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q =1
Dowód:
Y = p*(q+~q)+~p*~q
Y = p + (~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+q) = ~p*p + ~p*q
~Y=~p*q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+~q
Z diagramu D2’ doskonale widać, że suma logiczna zbiorów p+~q stanowi dziedzinę D. W sumie logicznej nie ma znaczenia że część elementów występuje dwa razy, bo takie element redukujemy do jednego prawem algebry Boole’a:
p*p=p

Oczywiście można też obliczyć wszystko dokładnie gdzie nie będzie dublowanych elementów.
Z diagramu D2 odczytujemy:
D= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q =1
Doskonale widać, że zbiory A, B i C dzielą dziedzinę fizyczną na trzy zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się do dziedziny.

Prawo dziedziny w implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q dzieli dziedzinę fizyczną D na trzy zbiory niepuste i rozłączne

Dowód iż zbiory A, B i C są rozłączne jest na gruncie algebry Kubusia trywialny, badamy po prostu iloczyny logiczne wszystkich możliwych kombinacji zbiorów A, B i C.
A: (p*q)
B: (p*~q)
C: (~p*~q)
Wszystkie możliwe kombinacje iloczynów logicznych to:
1: A*B = (p*q)*(p*~q) =(p*p)*(q*~q) =[] =0 - zbiory A i B są rozłączne
2: A*C = (p*q)*(~p*~q( = (p*~p)*(q*~q) =[] =0 - zbiory A I C są rozłączne
3: B*C = (p*~q)*(~p*~q) = (p*~p)*~q =[]*~q =[] =0 - zbiory C i D są rozłączne
Dowód 3:
Iloczyn logiczny zbiorów p i ~p jest zbiorem pustym [].
Jeśli wszystkie elementy zbioru ~q przeiterujemy zbiorem [] pustym to wynikiem będzie zbiór pusty bez względu na to ile elementów jest w zbiorze ~q (może być nawet nieskończenie wiele).
Podstawa matematyczna to prawo algebry Boole’a:
x*[] = x*0 = 0 - obojętnie co ten x zawiera
cnd

Na zakończenie dowód jak bajecznie prosta i piękna jest algebra Kubusia.
Z diagramu D2 odczytujemy matematyczną tożsamość:
~q = p*~q+~p*~q = ~q*(p+~p) = ~q
cnd

5.3.1 Znaczenie definicji implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q = p*~q

Co oznacza ta tajemnicza definicja?

Weźmy tabelę prawdy implikacji odwrotnej p|~>q.
Kod:

IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Zauważmy że:
1.
W interesującym nas obszarze A1B1 i A2B2 definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) wskazuje jedyny kontrprzykład prawdziwy A1’ w tym obszarze
A1’: p~~>~q =1
2.
Prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywość warunku wystarczającego A1 (i odwrotnie):
A1: p=>q =0
3.
Na mocy prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość warunku koniecznego A2:
A2: ~p=>~q =0
4.
Z kluczowej informacji, iż w obszarze A1B1 i A2B2 występuje jedyny prawdziwy kontrprzykład A1’ wynika i drugi tu możliwy kontrprzykład B2’ musi być fałszem
B2’: ~p~~>q =0
5.
Z fałszywości kontrprzykładu B2’ wynika prawdziwość warunku wystarczającego B2 (i odwrotnie)
B2: ~p=>~q =1
6.
Na mocy prawa Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza prawdziwy warunek konieczny B1
B1: p~>q =1

Podsumowując:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q = p*~q
Jak widzimy, na podstawie powyższej definicji bez problemu odtworzyliśmy definicję implikacji odwrotnej p|~>q (tabela IO) w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”.
Dokładnie na tym polega piękno algebry Kubusia.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Nie 17:22, 19 Wrz 2021    Temat postu:
19-09-2021 Zmiana treści

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,19257.html#606223

Algebra Kubusia
6.0 Operatory implikacyjne - równoważność p|<=>q


Spis treści
6.0 Operatory implikacyjne - równoważność p|<=>q 1
6.1 Równoważność p<=>q 2
6.2 Równoważność p<=>q jako tożsamość zbiorów/pojęć 7
6.2.1 Diagram równoważności w zbiorach 10
6.3 Definicja równoważności p<=>q 12
6.3.1 Definicja operatora równoważności p|<=>q 13
6.3.2 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q 16



6.0 Operatory implikacyjne - równoważność p|<=>q

Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej znanej ziemianom, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.

1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0

2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0

3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0

Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (ziemskie twierdzenia matematyczne) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.

6.1 Równoważność p<=>q

TR
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q)to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Wyprowadzenie definicji równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q)= ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q

Definicja równoważności p<=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: Y = p<=>q = p*q+~p*~q

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna kolumn:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q = A3B3: q<=>p = A4B4: ~q<=>~p = p*q+~p*~q
Gdzie:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = p*q + ~p*~q
A3B3: q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p) = p*q + ~p*~q
A4B4: ~q<=>~p=(A4: ~q=>~p)*(B4:~q~>~p) = p*q + ~p*~q
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.

Najprostszy dowód tożsamości powyższych kolumn wynika z praw logiki matematycznej zapisanych w tabeli T0: prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego => i prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>.

Prawo Sowy:
Prawdziwość równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli TR

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli TR

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład równoważności p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji równoważności p<=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Definicja równoważności p<=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Definicja równoważności ~p<=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli TR

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli TR

TR:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Innymi słowy:
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Definicja równoważności:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
jest w praktyce doskonale znana każdemu człowiekowi.

Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 14 500
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 12 500
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 127 000
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
konieczne ~> = potrzebne ~>

TR
Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest (=1) konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1

Innymi słowy:
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1

Dla A2B2 korzystamy z praw Kubusia:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
stąd mamy:
A2B2: ~p|<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
stąd mamy tożsamość logiczną:
A2B2: ~p<=>~q = A1B1: p<=>q
cnd

Ćwiczenie dla czytelnika:
Udowodnij tożsamość:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
korzystając z definicji:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>

Podaję rozwiązanie:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q)= ~p*p+~p*~q +q*p + q*~q = p*q+~p*~q
A1B1: p<=>q = p*q + ~p*~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = (~p+q)*(p+~q)= ~p*p+~p*~q +q*p + q*~q = p*q+~p*~q
A2B2: ~p<=>~q = p*q+~p*~q
Stąd mamy tożsamość logiczną:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q = p*q + ~p*~q
cnd
Kto nie wierzy, niech sobie sprawdzi w tabelach zero-jedynkowych.

Definicje podstawowe:

TR
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Równoważność dla p
Równoważność p<=>q to odpowiedź na pytanie:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

TR
Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Równoważność dla ~p
Równoważność ~p<=>~q to odpowiedź na pytanie:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

OTR:
Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań jest przemienny stąd mamy tożsamy układ równań:
OTR:
Operator równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q = A1B1|A2B2: p|<=>q = A2B2|A1B1:~p|<=>~q

Tożsamość logiczną pierwszych dwóch członów udowodniliśmy wyżej:
A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Udowodnienie prawdziwości dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Udowodnienie fałszywości dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Podkreślmy:
Jeśli udowodnimy prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej to tym samym udowodnimy prawdziwość drugiej strony.

Co oznacza pełna tożsamość logiczna?
A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q = A1B1|A2B2: p|<=>q = A2B2|A1B1:~p|<=>~q

Dokładnie to:
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu poniższej tożsamości logicznej:
A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q
jest potrzebne ~> i wystarczające => dla dowodu prawdziwości obu operatorów implikacyjnych (= obu układów równań logicznych):
A1B1|A2B2: p|<=>q = A2B2|A1B1:~p|<=>~q

6.2 Równoważność p<=>q jako tożsamość zbiorów/pojęć

TR
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) =1*1 =1

Podstawmy to do tabeli prawdy równoważności p<=>q.
Kod:

TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Definicja równoważności p<=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Definicja równoważności ~p<=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli TR

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli TR

Definicja dowolnego ziemskiego twierdzenia matematycznego TM:
Dowolne ziemskie twierdzenie matematyczne TM jest tożsame z warunkiem wystarczającym p=>q w algebrze Kubusia.

TM: Zbiory:
p=>q =1 - twierdzenie matematyczne prawdziwe (=1)
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - twierdzenie fałszywe (=0)

TM: Zdarzenia:
p=>q =1 - twierdzenie matematyczne prawdziwe (=1)
Zajście zdarzenia p jest (=1) wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0 - twierdzenie fałszywe (=0)

Z tabeli TR odczytujemy matematyczną definicję równoważności p<=>q rozumianą jako warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony:
A1: p=>q =1 - twierdzenie proste
B3: q=>p =1 - twierdzenie odwrotne

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
A1B3:
Matematyczna definicja równoważności to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q, czyli zbiór p jest podzbiorem => q
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p, czyli zbiór q jest podzbiorem => p
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1

Stąd mamy wyprowadzoną definicję tożsamości zbiorów p=q znaną każdemu ziemskiemu matematykowi.

A1B3:
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q

Dla B3 skorzystajmy z prawa Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q

Stąd mamy tożsamą definicję tożsamości zbiorów p=q zdefiniowaną kolumną A1B1.

A1B1: Zbiory
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q

A1B1: Zdarzenia
Definicja tożsamości zdarzeń p=q:
Dwa zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q

Prawo rachunku zero-jedynkowego:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności A2B2:~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Stąd dla kolumny A2B2 mamy.
A2B2: Zbiory
Definicja tożsamości zbiorów ~p=~q:
Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q (B2) i jednocześnie zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q (A2)
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q

Analogicznie mamy:

A2B2: Zdarzenia
Definicja tożsamości zdarzeń ~p=~q:
Dwa zdarzenia ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności ~p<=>~q
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q

6.2.1 Diagram równoważności w zbiorach

Prawo rachunku zero-jedynkowego:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q

Znaczenie powyższej tożsamości logicznej w przełożeniu na zbiory.

Tożsamość zbiorów p=q definiowana przez:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q definiowaną przez:
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q
(i odwrotnie)

Na tej podstawie łatwo rysujemy diagram równoważności p<=>q w zbiorach:
Kod:

DR
Diagram operatora równoważności p<=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
|     p=q - zbiory tożsame      #   ~p=~q - zbiory tożsame           |
|-------------------------------|------------------------------------|
| p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)  [=] ~p<=>~q=(B1:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)   |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q  (suma logiczna zbiorów niepustych)        |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty                                |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=[]=0 - zbiór pusty                                |
|--------------------------------------------------------------------|
| Gdzie:                                                             |
| # - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony  |
| [=] - tożsamość logiczna                                           |
| Dziedzina D dla p i ~p:                                            |
| p+~p =D  =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny D dla p     |
| p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne                           |
| Identyczna dziedzina D musi obowiązywać dla q i ~q:                |
| q+~q =D  =1 - zbiór ~q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla q     |
| q*~q =[] =0 - zbiory q i ~q są rozłączne                           |
|--------------------------------------------------------------------|
| Właściwości równoważności:                                         |
| Z diagramu widzimy że:                                             |
| ~p=~(p) - zbiór ~p jest zaprzeczeniem # zbioru p w dziedzinie D    |
| ~q=~(q) - zbiór ~q jest zaprzeczeniem # zbioru q w dziedzinie D    |
| Prawa podwójnego przeczenia:                                       |
| p = ~(~p) - p jest zaprzeczeniem # ~p (prawo podwójnego przeczenia)|
| q = ~(~q) - q jest zaprzeczeniem # ~q (prawo podwójnego przeczenia)|
----------------------------------------------------------------------

Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Z diagramu DR odczytujemy:
p, q - zbiory niepuste
~p, ~q - zbiory niepuste

Wniosek:
Dziedzina D w układzie równoważności zdefiniowana jest poprawnie bowiem zbiory p i q oraz ich przeczenia w dziedzinie D {p, q, ~p, ~q} są niepuste.

Z diagramu DR widzimy że:

A1B1: Zbiory
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q

Sprawdzenie poprawności definicji tożsamości zbiorów p=q:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
dla q=p mamy:
p=p <=> (A1: p=>p)*(B1: p~>p) = 1*1 =1
Dowód właściwy:
p=>p =1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
p~>p =1 - każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd

Z diagramu DR widzimy, że równoważność p<=>q dla q=~p musi być fałszem.
Sprawdzenie:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
dla q=~p mamy:
p=~p <=> (A1: p=>~p)*(B1: p~>~p) = ~p*p =0
bo:
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q=~p+q
stąd mamy:
A1: p=>~p = ~p+~p = ~p+~p = ~p
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
stąd mamy:
B1: p~>(~p) = p+~(~p) = p+p = p
stąd:
p=~p <=> (A1: p=>~p)*(B1: p~>~p) = ~p*p =0
cnd

Podsumowując:
Jak widzimy matematyka działa doskonale bowiem poprawnie obliczyliśmy iż zachodzi (=1) tożsamość zbiorów p=q i nie zachodzi (=0) tożsamość zbiorów p=~p:
[p=p] =1 - bo zbiory p i p są tożsame
[p=~p] =0 - bo zbiory p i ~p są rozłączne

Ćwiczenie dla czytelnika.

A2B2: Zbiory
Definicja tożsamości zbiorów ~p=~q:
Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q (B2) i jednocześnie zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q (A2)
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = A1B1: ~p<=>~q
Korzystając z szablonu wyżej udowodnij że zachodzi (=1) tożsamość zbiorów ~p=~q oraz nie zachodzi (=0) tożsamość zbiorów ~p=q

6.3 Definicja równoważności p<=>q

TR
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q

Kod:

TR:
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli TR

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli TR

6.3.1 Definicja operatora równoważności p|<=>q

Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

[b]Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Stąd:
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p (p=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q (q=1)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć:
Zbiory:
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Zdarzenia:
Zdarzenie p jest tożsame ze zdarzeniem q p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Tożsamość zbiorów/pojęć p=q wymusza tożsamość zbiorów/pojęć ~p=~q (albo odwrotnie)

Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie p w rozpisce na warunek wystarczający =>.

Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ i odwrotnie:
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q
Wynika to z tożsamości zbiorów/pojęć p=q która wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
p=q # ~p=~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
stąd:
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć:
Zbiory:
Zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
~p=~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Zdarzenia:
Zdarzenie ~p jest tożsame ze zdarzeniem ~q ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
~p=~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Tożsamość zbiorów/pojęć ~p=~q wymusza tożsamość zbiorów/pojęć p=q (albo odwrotnie)

Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie ~p w rozpisce na warunek wystarczający =>.

Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q
Wynika to z tożsamości zbiorów/pojęć ~p=~q która wymusza tożsamość zbiorów p=q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
~p=~q # p=q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności p|<=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p|<=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

6.3.2 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q

Zapiszmy powyższą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

T1
Definicja symboliczna                |Co w logice jedynek
                                     |oznacza
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)    |
A1:  p=> q =1                        |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0                        |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) |
B2: ~p=>~q =1                        |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =0                        |(~p=1)~~>( q=1)=0


Zauważmy, że zero-jedynkowo tabelę T1 możemy kodować wyłącznie w odniesieniu do równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) albo w odniesieniu do równoważności A2B2:~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q)

Dlaczego tabeli T1 nie możemy kodować z punktem odniesienia ustawionym na warunku wystarczającym A1: p=>q?
Odpowiedź:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Warunek wystarczający A1: p=>q nie jest jedynym członem prawdziwym w równoważności p<=>q.

Zakodujmy powyższą analizę zero-jedynkowo z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
A1B1: p<=>q

Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(~p=1)=(p=0)

Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych binarnych.
Dla wygenerowania zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q jest potrzebne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka pozwalające na eliminację przeczeń w zapisach symbolicznych, bowiem w punkcie odniesienie A1B1: p<=>q mamy sygnały p i q bez przeczeń.

Potrzebne nam prawo Prosiaczka to:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)

Zakodujmy nasza tabelę T1 zero-jedynkowo:
Kod:

T2.
Definicja      |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna    |Jedynek oznacza   |A1B1: p<=>q       |
A1B1: p<=>q    |                  |                  | p   q  p<=>q
A1:  p=> q =1  |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1<=>1   =1
A1’: p~~>~q=0  |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1<=>0   =0
A2B2:~p<=>~q   |                  |                  |
B2: ~p=>~q =1  |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0<=>0   =1
B2’:~p~~>q =0  |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0<=>1   =0
     a   b  c     d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                  | Prawa Prosiaczka |
                                  | (~p=1)=(p=0)     |
                                  | (~q=1)=(q=0)     |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q), zwanego krótko równoważnością p<=>q

Zakodujmy zero-jedynkowo tabelę T1 z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
A2B2: ~p<=>~q
Prawo Kubusia z którego tu należy skorzystać to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Uzasadnienie:
Wszystkie zmienne musimy sprowadzić do postaci zanegowanej ~p i ~q bowiem w punkcie odniesienia:
A2B2: ~p<=>~q
obie zmienne mamy zanegowane.
Kod:

T3.
Definicja     |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna   |Jedynek oznacza   |A2B2: ~p<=>~q     |
A1B1: p<=>q   |                  |                  |~p  ~q ~p<=>~q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0<=>0   =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0<=>1   =0
A2B2:~p<=>~q  |                  |                  |
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1<=>1   =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1<=>0   =0
    a    b  c    d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                 | Prawa Prosiaczka |
                                 | (p=1)=(~p=0)     |
                                 | (q=1)=(~q=0)     |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), zwanego krótko równoważnością ~p<=>~q

Zauważmy, że w tabelach T2 i T3 wejściowa definicja symboliczna równoważności abc jest identyczna, stąd tożsamość kolumn wynikowych 3 w tabelach zero-jedynkowych 123 jest dowodem formalnym poprawności prawa rachunku zero-jedynkowego:
T2: p<=>q = T3: ~p<=>~q

Dowód powyższego prawa bezpośrednio w rachunku zero-jedynkowym jest następujący:
Kod:

Definicja równoważności p<=>q
     p   q p<=>q
A1:  1<=>1  =1
A1’: 1<=>0  =0
B2:  0<=>0  =1
B2’: 0<=>1  =0

Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
Dowód:
Kod:

Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p<=>q = ~p<=>~q
     p   q p<=>q  ~p  ~q ~p<=>~q
A1:  1<=>1  =1     0<=>0   =1
A1’: 1<=>0  =0     0<=>1   =0
B2:  0<=>0  =1     1<=>1   =1
B2’: 0<=>1  =0     1<=>0   =0
     1   2   3     4   5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q

Definicja tożsamości logicznej [=]:
p<=>q [=] ~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej [=] jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
Kod:

Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p<=>q = ~p<=>~q
     p   q p<=>q  ~p  ~q ~p<=>~q  p<=>q <=> ~p<=>~q
A1:  1<=>1  =1     0<=>0   =1            1
A1’: 1<=>0  =0     0<=>1   =0            1
B2:  0<=>0  =1     1<=>1   =1            1
B2’: 0<=>1  =0     1<=>0   =0            1
     1   2   3     4   5    6            7

Same jedynki w kolumnie wynikowej 7 również są dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Idź do strony 1, 2, 3  Następny
Strona 1 z 3

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin
Na skróty:BiuroKomentarze do artykułówŚwiatopoglądNaukaSztukaTowarzystwoStopkaFilozofiaWięzienieKretowiskoKawiarniaApologia kontra krytyka teizmuMetodologiaForum KubusiaRozbieranie irracjonalizmuBlog: hushekKatolicyzmGwiezdne WojnyNauki społeczneBlog: Michał DyszyńskiReligie i wyznaniaŚwięte KsięgiBlog: IroBKosmosGenesisBlog: MMMPowitaniaNauka a światopoglądŚmietnikRegulamin