ŚFiNiA

[rafal3006]

Algebra Kubusia
Logika matematyczna człowieka

Temat:
Klasyczny rachunek zero-jedynkowy to algebra spójników logicznych z naturalnej logiki matematycznej człowieka

Spis treści
1.0 Teoria spójników implikacyjnych =>, ~> i ~~> 1
2.0 Operatory logiczne dwuargumentowe 2
2.1 Definicje spójników logicznych w algebrze Boole’a 2
2.3 Równoważność p<=>q 3

1.0 Teoria spójników implikacyjnych =>, ~> i ~~>

Spójniki implikacyjne występują wyłącznie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”.

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q” wszystkich ludzi jest niesłychanie trywialna:
A.
Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q

W logice matematycznej między p i q mogą być tylko i wyłącznie trzy spójniki implikacyjne.

I
p=>q - warunek wystarczający =>, wymuszam dowolne p i pojawia się q
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo wymuszam padanie i pojawiają się chmury

II
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zabieram chmury, wykluczając padanie
Chmury są warunkiem koniecznym ~> aby padało, bo jak nie ma chmur to na pewno => nie pada
W ten sposób odkryliśmy prawo Kubusia w naturalnej logice 5-cio latka:
CH~>P = ~CH=>~P
Prawo Kubusia w zapisie matematycznym:
p=>q = ~p~>~q

III
p~~>q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwa jest ~~> sytuacja „są chmury” i „nie pada”.
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest tu spełniona bo zabieram chmury, nie wykluczając sytuacji „nie pada”


2.0 Operatory logiczne dwuargumentowe

Operator logiczny dwuargumentowy to bramka logiczna o dwóch wejściach p i q i tylko jednym wyjściu Y.

Zero-jedynkowa definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia zero-jedynkowe na wejściu układu.

Klasyczny rachunek zero-jedynkowy, w przeciwieństwie do algebry Kubusia, nie wnika w wewnętrzną budowę dowolnego operatora logicznego.

Z punktu odniesienia klasycznego rachunku zero-jedynkowego kompletny operator logiczny jest utożsamiany ze spójnikiem logicznym występującym w naturalnym języku mówionym człowieka.

Matematycznie to jest jak najbardziej poprawne podejście, z tego punktu odniesienia poprawne jest równanie:
Operator logiczny = spójnik logiczny używany przez każdego 5-cio latka


2.1 Definicje spójników logicznych w algebrze Boole’a