ŚFiNiA

rafal3006

Fragment z podpisu ...

3.7 Lekcja logiki w przedszkolu

Kubusiowe zagadki dla 5-letnich dzieci.

Zgadnijcie czy mówię prawdę czy kłamię.
A.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
Prawda czy kłamstwo ?
Dzieci: Prawda
B.
Jeśli zwierzę jest psem to nie ma czterech łap
Prawda czy kłamstwo ?
Dzieci: Kłamstwo
C.
Jakie to zwierzę, nie jest psem i nie ma czterech łap
Dzieci: Kura nie jest psem i nie ma czterech łap ! … i bocian … i stonoga …
D.
Jakie to zwierzę, nie jest psem i ma cztery łapy
Dzieci: Słoń nie jest psem i ma cztery łapy ! … i kot … i zając …

Powyższa lekcja logiki w przedszkolu to dowód, że 5-cio letnie dzieciaki doskonale posługują się w praktyce matematyką ścisłą, algebrą Boole’a. Odpowiednie równania matematyczne dopiszą jak trochę podrosną.

3.8 Największa tajemnica implikacji

W stumilowym lesie, w I klasie LO dla leśnych zwierzątek, wykładowca logiki Kubuś po zaledwie kilku wykładach zadał taki test.

Przeanalizować matematycznie zdania:
TEST 1
Jeśli zwierze jest psem to ma cztery łapy
TEST 2
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem

Proszę o zaznaczenie zdań prawdziwych i zdań fałszywych wraz z odpowiednimi wzorami matematycznymi

Rozwiązanie Kłapouchego.
Definicje:
Implikacja właściwa - implikacja spełniająca definicję implikacji prostej lub definicję implikacji odwrotnej

p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
p=>q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
Implikacja prosta jest właściwa jeśli p jest warunkiem wystarczającym dla q

p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
Implikacja odwrotna jest właściwa jeśli p jest warunkiem koniecznym dla q

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Zdanie analizowane:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Implikacja prosta właściwa bo bycie psem jest warunkiem wystarczającym, aby mieć 4 łapy

TEST 1 - rozwiązanie

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
p q p=>q
1 1 1
1 0 0

A.
p q p=>q
1 1 1
Jeśli zwierze jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
P=>4L = ~P + 4L = 1
Prawda, bo wszystkie psy mają cztery łapy
B.
1 0 0
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => nie ma czterech łap
P=>~4L = ~P + ~4L = 0
Fałsz, bo wszystkie psy mają cztery łapy

Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P ~> ~4L – prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

Odpowiedź na pytanie co może się zdarzyć gdy zwierzę nie jest psem otrzymujemy w równoważnej implikacji odwrotnej. Implikacja prosta i odwrotna to dwie różne definicje których nie wolno mieszać. Zdanie ~P ~> ~4L traktujemy zatem jako zupełnie nowe zdanie (1 1 1) analizowane przy pomocy implikacji odwrotnej.

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej.
p q p~>q
1 1 1
1 0 1

C.
p q p~>q
1 1 1
Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” ~> nie mieć czterech łap
~P ~> ~4L = ~P + 4L = 1
Prawda bo kura, wąż …
lub
D.
1 0 1
Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” ~> mieć cztery łapy
~P ~> 4L = ~P + ~4L = 1
Prawda bo słoń, zając …

Jak widać, w analizie wypowiedzianego zdania mamy w wyniku trzy jedynki i jedno zero czyli piękną implikację właściwą podlegającą pod implikację prostą.

TEST 2 - rozwiązanie

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Implikacja odwrotna właściwa bo cztery łapy są warunkiem koniecznym bycia psem

Analiza:

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej.
p q p~>q
1 1 1
1 0 1

A.
p q p~>q
1 1 1
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> być psem
4L~>P = 4L + ~P = 1
Prawda
lub
B.
1 0 1
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> nie być psem
4L ~> ~P = 4L + P = 1
Prawda bo słoń, zając …

Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L => ~P - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Prawo Kubusia daje odpowiedź, co będzie jeśli zwierzę nie ma czterech łap. Jak widać w tym przypadku mamy do czynienia z implikacją prostą, spójnik „musi” =>. Oczywiście implikację ~4L => ~P traktujemy jako zupełnie nowe zdanie (1 1 1) podlegające pod definicję implikacji prostej, bo nie wolno mieszać ze sobą implikacji odwrotnej i prostej.

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
p q p=>q
1 1 1
1 0 0

C.
p q p=>q
1 1 1
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” => nie jest psem
~4L => ~P = 4L + ~P = 1
Prawda bez żadnych wyjątków
D.
1 0 0
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” => jest psem
~4L => P = 4L + P = 0
Fałsz, bo każdy pies ma cztery łapy

To co wyżej to piękna matematyka ścisła, prosta do bólu i nie do obalenia.

3.9 Tajemnica zer i jedynek w implikacji prostej

Rozwiązując testy Kłapouchy zdradził ludziom największą tajemnicę implikacji. Kubusiowi pozostaje rozszyfrować tajemnicę zer i jedynek w definicjach implikacji prostej i odwrotnej.

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Definicja implikacji prostej w postaci symbolicznej.
p q p=>q
p q =1
p ~q =0
~p ~q =1
~p q =1

Oczywiście logika dodatnia:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Wstawiamy teraz do dwóch pierwszych linii symbol implikacji prostej =>, zaś do dwóch ostatnich symbol implikacji odwrotnej ~>.

Definicja implikacji prostej rozpisana na operatory logiczne:

p=>q =1
p=>~q =0
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q
~p ~> ~q =1
~p ~> q =1

To jest cała trywialna tajemnica zero-jedynkowej definicji implikacji prostej. Zauważmy, że jedynka w definicji zero-jedynkowej implikacji zakazuje przeczenia p lub q w zdaniu wypowiedzianym p=>q, zaś zero wymusza przeczenie. Jest to fundamentalnie różna interpretacja zer i jedynek niż w komunistycznej implikacji materialnej.

3.9.1 Algorytm analizy implikacji prostej

=> - operator implikacji prostej, spójnik „na pewno” (musi) między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Metoda Kłapouchego:

A.
1 1 =1
p=>q =1 - zdanie wypowiedziane (1 1 1), musi być prawdziwe z definicji
B.
1 0 =0
p=>~q =0 - po zanegowaniu q musimy otrzymać zdanie fałszywe

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację odwrotną

Implikacji prostej i odwrotnej nie wolno ze sobą mieszać, zatem traktujemy zdanie ~p ~> ~q jako nowo wypowiedziane przypisując mu wartość startową 1 1 1.

C.
1 1 =1
~p ~> ~q = 1 - zdanie wypowiedziane (1 1 1), musi być prawdziwe z definicji
lub
D.
1 0 =1
~p ~> q = 1 - po zanegowaniu q w implikacji odwrotnej musimy otrzymać zdanie prawdziwe

Jeśli w którymkolwiek punkcie A,B,C,D otrzymamy niezgodność z powyższym wzorem, to zdanie wypowiedziane nie jest implikacją prostą.

3.10 Tajemnica zer i jedynek w implikacji odwrotnej

Identycznie postępujemy z implikacją odwrotną.

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:
p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Definicja implikacji odwrotnej w postaci symbolicznej:

p q p~>q
p q =1
p ~q =1
~p ~q =1
~p q =0

Oczywiście logika dodatnia:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Do dwóch pierwszych linijek wstawiamy symbol implikacji odwrotnej ~>, zaś do dwóch ostatnich symbol implikacji prostej =>

Definicja implikacji odwrotnej rozpisana na operatory logiczne:

p~>q =1
p ~> ~q =1
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p=>~q =1
~p=>q =0

3.10.1 Algorytm analizy implikacji odwrotnej

~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „na pewno” (musi) między p i q

Metoda Kłapouchego:

A.
1 1 =1
p~>q =1 - zdanie wypowiedziane (1 1 1), musi być prawdziwe z definicji
lub
B.
1 0 =1
p~>~q =0 - po zanegowaniu q w implikacji odwrotnej także musimy otrzymać zdanie prawdziwe

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na równoważną implikację prostą

Implikacji odwrotnej i prostej nie wolno ze sobą mieszać. Traktujemy zatem zdanie ~p => ~q jako nowo wypowiedziane przypisując mu wartość startową 1 1 1.
C.
1 1 =1
~p => ~q = 1 - zdanie wypowiedziane (1 1 1), musi być prawdziwe z definicji
lub
D.
1 0 =0
~p => q = 0 - po zanegowaniu q w implikacji prostej musimy otrzymać zdanie fałszywe

Jeśli w którymkolwiek punkcie A,B,C,D otrzymamy niezgodność z powyższym wzorem, to zdanie wypowiedziane nie jest implikacją odwrotną.