 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Pon 0:13, 17 Paź 2022 Temat postu: Kwintesencja algebry Kubusia v.beta |
|
|
Kwintesencja algebry Kubusia
Podręcznik dla pań przedszkolanek
Link do "Kwintesencji algebry Kubusia" w pdf (2022-10-17):
[link widoczny dla zalogowanych]
*https://www.dropbox.com/s/xn71hj4e0vqp4og/Kwintesencja%20AK%20w%20pdf.pdf?dl=0
Link do pełnej wersji "Algebry Kubusia - matematyka języka potocznego":
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2022-09-01,21473.html#669585
*http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2022-09-01,21473.html#669585
Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu
Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele
Motto Rafała3006:
Napisać algebrę Kubusia w taki sposób, by ziemski matematyk był w stanie ją zrozumieć i zaakceptować, mimo iż na starcie nie zna ani jednej definicji obowiązującej w AK.
Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia (cytuję w kolejności zaistnienia):
Wuj Zbój, Miki (vel Lucek), Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors (vel Dagger), Słupek, Fiklit, Yorgin, Exodim, FlauFly, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski, MaluśnaOwieczka, Zefciu i inni.
Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006 - absolwent elektroniki na Politechnice Warszawskiej, Instytut Automatyki, rok 1980.
Pierwszy przyzwoity mikroprocesor i8080 to rok 1974.
Moja praca magisterska to zrobiony w praktyce i działający system dwuprocesorowy ze wspólną pamięcią i wspólnymi układami wejścia/wyjścia na mikroprocesorze i8080.
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
Rafał3006 to przybysz ze świata techniki gdzie implikacja nie ma prawa bytu, bowiem opisuje „wolną wolę” istot żywych.
Definicja „wolnej woli” istot żywych:
„Wolna wola” istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy (w tym przez matematykę).
3.
Fiklit - zdecydowanie najlepszy specjalista logiki matematycznej, który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań. Bez Fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć.
4.
Irbisol - znakomity tester algebry Kubusia od 15 lat, za wszelką cenę usiłujący ją obalić na każdym etapie jej rozszyfrowywania. Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera, lepszego partnera w dyskusji?
5.
MaluśnaOwieczka - końcowy uczestnik dyskusji o algebrze Kubusia w trakcie której uściślona została teoria zbiorów na poziomie fundamentalnym (prawo Owieczki).
6.
Zefciu - współautor pogromu zarówno starej algebry Boole'a, jak i Klasycznego Rachunku Zdań.
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1775.html#677021
Spis treści:
1.0 Kwintesencja algebry Kubusia
2.0 Implikacja prosta p|=>q
3.0 Implikacja odwrotna p|~>q
4.0 Definicje znaczków ## i ###
5.0 Nowa algebra Boole'a
Wstęp:
Algebra Kubusia to podłożenie matematyki pod język potoczny człowieka, czyli coś, o czym matematycy marzą od 2500 lat (od Sokratesa).
Algebra Kubusia to przede wszystkim matematyczna obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.
Celem podręcznika "Kwintesencja algebry Kubusia" jest przedstawienie najkrócej jak to tylko możliwe wszystkich definicji i praw algebry Kubusia dotyczących zdań warunkowych "Jeśli p to q".
Świadomie ograniczamy się wyłącznie do zdarzeń, bowiem teoria zdarzeń tu prezentowana jest zrozumiała dla każdego 5-cio latka.
Algebra Kubusia dla zbiorów jest analogiczna do teorii zdarzeń ale znacznie trudniejsza, bo matematyka operuje na zbiorach nieskończonych.
"Kwintesencja algebry Kubusia" nosi podtytuł "Podręcznik dla pań przedszkolanek" bowiem wszystkie przykłady tu prezentowane są doskonale rozumiane przez 5-cio latków.
Kapitalne znaczenie będzie miało wytłumaczenie maluchom o co chodzi w obietnicach (pkt.2.2) i groźbach (pkt. 3.2).
Matematyczna obsługa obietnic i gróźb to nowość w logice matematycznej, póki co nieznana ziemskim matematykom.
Kluczowe definicje i prawa algebry Kubusia to zaledwie 14 początkowych stron w "Kwintesencji algebry Kubusia" (punkt 1.0)
Pewne jest, że żaden matematyk nie poda kontrprzykładu z języka potocznego który by kwestionował definicje i prawa AK w tym punkcie zapisane.
14 stron z "Kwintesencji AK" to znacznie mniej niż 953 strony z pełnej wersji AK.
Dokładnie dlatego od tych 14 stron trzeba wystartować w dyskusji na temat AK z ziemskimi matematykami.
W punkcie 1.5.1 zawarto dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego na poziomie funkcji logicznych (prawo Grzechotnika).
Skorowidz znaczków używanych w "Kwintesencji algebry Kubusia":
Znaczki elementarne (5.0):
1 = prawda
0 = fałsz
(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne "lub"(+) i "i"(*) zgodne z językiem potocznym (5.4):
(+) - spójnik „lub” w języku potocznym (5.6.3)
(|+)- operator "lub" w języku potocznym (5.6.3)
(*) - spójnik „i” w języku potocznym (5.7.1)
(|*) - operator "i" w języku potocznym (5.7.1)
Spójniki zdań warunkowych "Jeśli p to q":
~~> - zdarzenie możliwe (1.1.1)
=> - warunek wystarczający (1.1.2)
~> - warunek konieczny (1.1.3)
Spójniki implikacyjne:
|=> - implikacja prosta (2.0)
||=> - operator implikacji prostej (2.1)
|~> - implikacja odwrotna (3.0)
||~> - operator implikacji odwrotnej (3.1)
Spójniki implikacyjne omówione w pełnej wersji algebry Kubusia:
<=> - równoważność
|<=> - operator równoważności
$ - spójnik "albo"
|$ - operator "albo"
|~~> - chaos
||~~> - operator chaosu
Pozostałe:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony (1.3.1)
## - różne na mocy definicji (1.3.1)
### - różne na mocy błędu podstawienia (4.0)
Uwaga:
To są wszystkie znaczki używane w algebrze Kubusia tzn. nie są potrzebne w AK jakiekolwiek inne znaczki.
W szczególności w algebrze Kubusia nie ma rachunku kwantyfikatorów i związanych z nim znaczków:
/\ - kwantyfikator duży
\/ - kwantyfikator mały
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 18:55, 23 Paź 2022, w całości zmieniany 26 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 0:14, 17 Paź 2022 Temat postu: |
|
|
Kwintesencja algebry Kubusia
1.0 Kwintesencja algebry Kubusia
Spis treści
1.0 Kwintesencja algebry Kubusia 1
1.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 2
1.1.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> 2
1.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach 2
1.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach 3
1.1.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 3
1.2 Rachunek zero-jedynkowego warunków wystarczających => i koniecznych ~> 3
1.3 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 7
1.3.1 Definicje znaczków # i ## 8
1.3.2 Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia 8
1.3.3 Prawa Sowy 9
1.3.4 Prawo Kłapouchego 9
1.4 Podstawowe spójniki implikacyjne 9
1.4.1 Definicja implikacji prostej p|=>q 10
1.4.2 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q 11
1.5 Wzajemne relacje implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q 11
1.5.1 Prawo Grzechotnika 13
1.6 Prawo Puchacza 14
1.0 Kwintesencja algebry Kubusia
Kwintesencja algebry Kubusia to implikacja prosta p|=>q i implikacja odwrotna p|~>q.
Dlaczego?
Równoważność p<=>q, to kropla w morzu implikacji, natomiast zdanie zawsze prawdziwe to śmieć którego nikt w praktyce nie używa.
"Jutro będzie padało lub nie będzie padało" - zdanie zawsze prawdziwe
Poza tym w kwintesencji ograniczymy się wyłącznie do zdarzań otrzymując logikę matematyczną którą doskonale rozumie każdy 5-cio latek.
Dla zrozumienia teorii zdań warunkowych "Jeśli p to q" wyrażonej warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~> nie jest potrzebna znajomość algebry Boole'a, mówiąca wyłącznie o spójnikach "i"(*) i "lub"(+) z języka potocznego.
Dlaczego?
Przy pomocy algebry Boole'a nie da się matematycznie opisać ani warunku wystarczającego =>, ani też koniecznego ~>, to matematycznie i fizycznie niemożliwe. Z tego powodu algebrę Boole'a prezentuję na końcu podręcznika w punkcie 5.0 jako wisienkę na torcie, oczywiście również na przykładach doskonale rozumianych przez 5-cio latków.
1.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń/zbiorów p i q
Kwintesencja algebry Kubusia dotycząca zdań warunkowych "Jeśli p to q" zakłada minimalną znajomość algebry Boole'a (pkt. 5.0) tylko w tych miejscach, gdzie odnosi się do spójników "i"(*) i "lub"(+). Nie ma to istotnego znaczenia dla zrozumienia teorii zdań warunkowych "Jeśli p to q" definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>,
1.1.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
1.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
1.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki.
1.1.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
Z prawdziwości warunku wystarczającego A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH=0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Na mocy definicji kontrprzykładu tego faktu nie musimy udowadniać, ale możemy, co wyżej uczyniliśmy.
Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’
1.2 Rachunek zero-jedynkowego warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.
Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa
Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna p wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Inaczej mamy do czynienia ze standardem ujemnym lub mieszanym.
Logiką matematycznie zgodną z językiem potocznym człowieka jest tylko i wyłącznie standard dodatni.
Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy
Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.
| Kod: |
T1
Definicja warunku wystarczającego =>
Y=
p q p=>q=~p+q
A: 1=>1 1
B: 1=>0 0
C: 0=>0 1
D: 0=>1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
##
| Kod: |
T2
Definicja warunku koniecznego ~>
Y=
p q p~>q=p+~q
A: 1~>1 1
B: 1~>0 1
C: 0~>0 1
D: 0~>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q
|
##
| Kod: |
T3
Definicja spójnika “lub”(+):
Y=
p q p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 0 0
D: 0+ 1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
;
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
Szybsza jest tu logika zer
|
##
| Kod: |
T4
Definicja spójnika “i”(*)
Y=
p q p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 0 0
D: 0* 1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q=0
;
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
Szybsza jest tu logika jedynek
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
Wyprowadźmy w rachunku zero-jedynkowym matematyczne związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
| Kod: |
Ax:
Warunek wystarczający =>:
p=>q = ~p+q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q # ~(p=>q)=p*~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0 # =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
1 2 3 4 5 6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
##
| Kod: |
Bx:
Warunek konieczny ~>:
p~>q = p+~q
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q # ~(p~>q)=~p*q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0 # =1
1 2 3 4 5 6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony |
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
1.3 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Na mocy rachunku zero-jedynkowego w poprzednim punkcie mamy matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w zapisie skróconym:
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> bez zamiany p i q
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
2.
Prawa Tygryska:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z zamianą p i q
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
3.
Prawa kontrapozycji:
Matematyczne związki w obrębie warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
1.3.1 Definicje znaczków # i ##
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
|
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Zapiszmy powyższe definicje wyrażone funkcjami logicznymi Y i ~Y
| Kod: |
T0"
Funkcja logiczna Y warunku wystarczającego =>:
A5: Y=(p=>q)=~p+q # A5": ~Y=~(p=>q)=p*~q
## ##
Funkcja logiczna Y warunku koniecznego ~>:
B5: Y=(p~>q)=p+~q # B5": ~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Doskonale widać, że w tabeli T0" obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione
1.3.2 Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
1.3.3 Prawa Sowy
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Sowy to:
Ogólna definicja tożsamości logicznej „=” dla wielu zdań:
Prawdziwość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Fałszywość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych zdań
Tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
1.3.4 Prawo Kłapouchego
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
1.4 Podstawowe spójniki implikacyjne
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja podstawowego spójnika implikacyjnego:
Podstawowy spójnik implikacyjny to spójnik definiowany kolumną A1B1 w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
1.4.1 Definicja implikacji prostej p|=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Podstawmy definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
| Kod: |
IP:
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
## ## ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Jak widzimy implikacja prosta p|=>q zakodowana jest wyłącznie w kolumnie A1B1.
Prawo Sowy determinuje tu prawdziwość wszystkich zdań serii Ax oraz fałszywość wszystkich zdań serii Bx.
1.4.2 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Podstawmy definicję implikacji odwrotnej p|~>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
| Kod: |
IO:
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
II Prawo Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
##
I Prawo Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Jak widzimy implikacja odwrotna p|~>q zakodowana jest wyłącznie w kolumnie A1B1.
Prawo Sowy determinuje tu prawdziwość wszystkich zdań serii Bx oraz fałszywość wszystkich zdań serii Ax.
1.5 Wzajemne relacje implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q
Definicja warunku wystarczającego w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y = (p=>q) = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y = (p~>q) = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Korzystając z definicji znaczków => i ~> mamy:
Y = (p|=>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) =~p*~p*q+q*~p*q = ~p*q+~p*q=~p*q
Kolejność wykonywania działań w algebrze Kubusia:
Negacja (~), nawiasy, "i"(*), "lub"(+)
Wykorzystane prawa algebry Kubusia:
- ~(p+~q) = ~p*q - prawo De Morgana
- mnożenie wielomianu
- p*p=p - prawo algebry Boole'a
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y = (p|=>q) = ~p*q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Korzystając z definicji znaczków => i ~> mamy:
Y = (p|~>q)=~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y = (p|~>q)=p*~q
Sprawdźmy czy wyprowadzone wyżej funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ##
| Kod: |
TR
Warunek wystarczający p=>q:
A1: Y=(p=>q) =~p+ q # A2: ~Y=~(p=>q)= p*~q
## ##
Warunek konieczny p~>q:
B1: Y=(p~>q) = p+~q # B2: ~Y=~(p~>q)=~p* q
## ##
Implikacja prosta p|=>q:
C1: Y=(p|=>q)=~p* q # C2: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
## ##
Implikacja odwrotna p|~>q:
D1: Y=(p|~>q)= p*~q # D2: ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TR obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione
Dowód iż tabela TR spełnia definicję znaczka różne na mocy definicji ##
| Kod: |
TR
Rozpatrujemy wszystkie kluczowe przypadki:
A1: Y=(p=>q) =~p+ q ## D2: ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
B1: Y=(p~>q) = p+~q ## C2: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
C1: Y=(p|=>q)=~p* q ## B2: ~Y=~(p~>q) =~p* q
D1: Y=(p|~>q)= p*~q ## A2: ~Y=~(p=>q) = p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać, że w tabeli TR definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest perfekcyjnie spełniona
1.5.1 Prawo Grzechotnika
Największą tragedią ziemskiej logiki matematycznej jest fakt, że w bramkach logicznych po stronie wejścia cyfrowego widzi ona zmienne binarne w logice dodatniej (bo p) i ujemnej (bo ~p), ale nie widzi dokładnie tego samego po stronie wyjścia cyfrowego Y, tu obowiązuje bezwzględny zakaz widzenia wyjścia Y w logice ujemnej (bo ~Y).
Odpowiednikiem tego faktu w matematyce klasycznej byłoby widzenie w układzie Kartezjańskim na osi X zmiennych dodatnich (x) i zmiennych ujemnych (~x) z zakazem widzenia dokładnie tego samego na osi Y, gdzie dozwolone byłoby widzenie jedynie zmiennych dodatnich (y).
Czy ktokolwiek wyobraża sobie współczesną matematykę z takim upośledzonym układem Kartezjańskim?
Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.
Prawo Grzechotnika:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
Dowód prawa Grzechotnika:
Zapiszmy tabelę prawdy TR z poprzedniego punktu z pominięciem funkcji logicznych Y i ~Y bo tych ziemski rachunek zero-jedynkowy nie widzi.
| Kod: |
TR"
Warunek wystarczający p=>q:
A1: ~p+ q # A2: p*~q
## ##
Warunek konieczny p~>q:
B1: p+~q # B2: ~p* q
## ##
Implikacja prosta p|=>q:
C1: ~p* q # C2: p+~q
## ##
Implikacja odwrotna p|~>q:
D1: p*~q # D2: ~p+ q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Doskonale widać, że w tabeli TR" najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą poniższe tożsamości.
| Kod: |
A1: ~p+ q = D2: ~p+ q
B1: p+~q = C2: p+~q
C1: ~p* q = B2: ~p* q
D1: p*~q = A2: p*~q
cnd
|
1.6 Prawo Puchacza
Prawo Puchacza:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego i tylko jednego operatora implikacyjnego.
W "Kwintesencji algebry Kubusia" mamy tylko dwa spójniki implikacyjne, implikację prostą p|=>q i odwrotną p|~>q
Dowód prawa Puchacza będzie polegał na założeniu, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q i pokazaniu, że dla tego założenia spójnik implikacji odwrotnej p|~>q jest fałszem i odwrotnie.
I.
Założenie p|=>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Badamy prawdziwość/fałszywość implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(1)*0=0*0=0 – ok
cnd
II.
Założenie p|~>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Badamy prawdziwość/fałszywość implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=0*~(1)=0*0=0 – ok
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 10:22, 23 Paź 2022, w całości zmieniany 21 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 0:15, 17 Paź 2022 Temat postu: |
|
|
Kwintesencja algebry Kubusia
2.0 Implikacja prosta p|=>q
Spis treści
2.0 Implikacja prosta p|=>q 1
2.1 Definicja operatora implikacji prostej p||=>q 3
2.1.2 Przykład operatora implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach 4
2.2 Definicja obietnicy E=>K 8
2.2.1 Operator implikacji prostej E||=>K 9
2.2.2 Prawo transformacji w obietnicy 12
2.0 Implikacja prosta p|=>q
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Podstawmy definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
| Kod: |
IP:
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Uwagi:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Ax wymuszają fałszywe kontrprzykłady Ax'
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywe warunki wystarczające => w linii Bx wymuszają prawdziwe kontrprzykłady Bx'.
Zauważmy że:
1.
Definicję implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) mamy w kolumnie A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Wniosek:
Implikacja prosta A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) daje odpowiedź na pytanie o p.
2.
Definicję implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) mamy w kolumnie A2B2:
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q):
Implikacja odwrotna ~p|~>~q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A2: ~p~>~q =1
B2: ~p=>~q =0
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0)=1*1=1
Wniosek:
Implikacja odwrotna A2B2: ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) daje odpowiedź na pytanie o ~p.
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q = ~p+q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd
2.1 Definicja operatora implikacji prostej p||=>q
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~q
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Odpowiedź w zdaniach warunkowych odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Innymi słowy:
Zawsze gdy zajdzie p, zajdzie q
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> p i ~q
… a jeśli zajdzie ~p?
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1
B2: ~p=>~q =0
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0)=1*1=1
Odpowiedź w zdaniach warunkowych odczytujemy z kolumny A2B2:
A2
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q
Innymi słowy:
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
lub
B2':
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =~p*q =1
Możliwe jest (=1) jednoczesne ~~> zajście zdarzeń ~p i q
Innymi słowy:
Fałszywość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q =0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2' (i odwrotnie), To jest dowód "nie wprost" prawdziwości zdania B2'
2.1.2 Przykład operatora implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Zadanie w I klasie LO:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
P=>CH=?
Rozwiązanie:
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich punkt odniesienia to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1.
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Innymi słowy:
Jeśli jutro będzie padało to mamy gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Innymi słowy:
Jeśli jutro będzie padało to mamy pewność absolutną => istnienia chmur
Zachodzi tożsamość pojęć:
na 100% => = gwarancja matematyczna => = pewność absolutna =>
Dowód:
Padanie (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno (CH), bo zawsze gdy pada, są chmury.
Zachodzi tożsamość pojęć:
Na 100% => = Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => = pewność absolutna =>
Pozostało nam wybrać dowolne zdanie z linii Bx i udowodnić jego prawdziwość/fałszywość.
Wybieramy twierdzenie odwrotne B3: q=>p bo warunek wystarczający => bez przeczeń zawsze dowodzi się najprościej.
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na pewno => będzie padało (P)
CH=>P =0
To samo w zapisie formalnym:
q=>p =0
Chmury (CH) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P) bo nie zawsze gdy jest pochmurno, pada
Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Nasz przykład:
B3: CH=>P = B1: P~>CH
Zauważmy, że udowadniając fałszywość warunku wystarczającego B3: CH=>P=0 udowodniliśmy dowodem "nie wprost" fałszywość warunku koniecznego B1: P~>CH=0
Wypowiedzmy zdanie B1 kodowane warunkiem koniecznym ~>:
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH=0
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo zabieram stan "pada" a chmury i tak mogą istnieć.
Jak widzimy, dowód fałszywości warunku koniecznego ~> B1 jest dużo trudniejszy niż dowód fałszywości zdania B3.
Poza tym wyskoczyło nam tu prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym (definicja warunku wystarczającego =>):
p=>q = ~p+q
##
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH=0
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
bo:
p=>q =~p+q ## p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Różność matematyczną zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
W tym momencie mamy kompletną tabelę implikacji prostej IP dla zdania A1.
| Kod: |
IP.
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*(0)=1*1=1
Implikacja prosta P|=>CH w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: P=>CH=1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH=1 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q =0 [=] 4:~q~~>p =0
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=P, q=CH
A: 1: P=>CH =1 = 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P =1 = 4:~CH=>~P=1
A': 1: P~~>~CH=0 [=] 4:~CH~~>P=0
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=P, q=CH
B: 1: P~>CH =0 = 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=>P =0 = 4:~CH~>~P=0
B': 2:~P~~>CH=1 [=] 3: CH~~>~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~q
Nasz przykład:
Operator implikacji prostej P||=>CH to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o padanie (P) i nie padanie (~P)
1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)?
A1: P=>CH=1
B1: P~>CH =0
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0)=1*1=1
Odpowiedź w zdaniach warunkowych odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Prawdziwy warunek wystarczający A1: P=>CH=1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=1) zdarzenie ~~>:
pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Innymi słowy:
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy warunek wystarczający A1: P=>CH=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1'. To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania A1'.
Dowód 'wprost" mamy wyżej.
… a jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2
2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
A2: ~P~>~CH =1
B2: ~P=>~CH =0
A2B2: ~P|~>~CH = (A2:~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH) = 1*~(0)=1*1=1
Odpowiedź w zdaniach warunkowych odczytujemy z kolumny A2B2:
A2
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH =1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno (~CH) bo jak pada (P) to na 100% => jest pochmurno (CH)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
lub
B2'.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>:
nie pada (~P) i jest pochmurno (CH)
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość warunku wystarczającego B2: ~P=>~CH=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2' (i odwrotnie)
To jest dowód "nie wprost" prawdziwości zdania B2'. Dowód wprost mamy wyżej.
2.2 Definicja obietnicy E=>K
Najbardziej spektakularnym zastosowaniem definicji operatora implikacji prostej p||=>q w świecie żywym jest definicja obietnicy.
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.
Przykład:
A1.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
Dostanie komputera to nagroda, zatem warunek wystarczający A1: E=>K z definicji jest częścią implikacji prostej E|=>K. W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.
Definicja podstawowa implikacji prostej E|=>K:
A1: E=>K =1
Zdanie egzaminu (E=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla otrzymania komputera (K=1)
B1: E~>K =0
Zdanie egzaminu (E=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla dostania komputera (K=1)
Stąd:
A1B1: E|=>K = (A1: E=>K)*~(B1: E~>K) =1*~(0)=1*1=1
Podstawmy nasz przykład do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
IP.
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {E,K}
A1:
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=E (egzamin)
q=K (komputer)
A1: E=>K=1 - zdanie egzaminu jest wystarczające => dla dostania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest (=0) konieczne dla dostania komputera
A1B1: E|=>K = (A1: E=>K)*~(E~>K)=1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p=1
A': 1: p~~>~q =0 [=] 4:~q~~>p=0
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=E, q=K
A: 1: E=>K =1 = 2:~E~>~K=1 [=] 3: K~>E =1 = 4:~K=>~E=1
A': 1: E~~>~K=0 [=] 4:~K~~>E=0
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=E, q=K
B: 1: E~>K =0 = 2:~E=>~K=0 [=] 3: K=>E =0 = 4:~K~>~E =0
B': 2:~E~~>K=1 [=] 3: K~~>~E=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
2.2.1 Operator implikacji prostej E||=>K
Operator implikacji prostej E||=>K w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedzi na pytania o E i ~E:
A1B1: E|=>K =(A1: K=>K)* ~(B1: E~>K) - co się stanie jeśli zdam egzamin (E=1)?
A2B2: ~E|~>~K =(A2:~E~>~K)*~(B2:~E=>~K) - co się stanie jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)?
A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zdam egzamin (E=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: E=>K =1 - zdanie egzaminu (E=1) jest (=1) wystarczające => dla dostania komputera (K=1)
B1: E~>K =0 - zdanie egzaminu (E=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla dostania komputera (K=1)
A1B1: E|=>K =(A1: E=>K)* ~(B1: E~>K) - co się stanie jeśli zdam egzamin (E=1)?
Stąd:
Jeśli zdam egzamin (E=1) to mam gwarancję matematyczną => iż dostanę komputer (K=1) - mówi o tym zdanie A1
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera z powodu zdanego egzaminu.
Zdanie egzaminu daje nam gwarancje matematyczną => dostania komputera z powodu zdanego egzaminu
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>.
Znaczek warunku wystarczającego => nie wyklucza dostania komputera z dowolnego innego powodu. Dostanie komputera z innego powodu będzie miało zero wspólnego z obietnicą A1: E=>K, nie będzie dotyczyć tej konkretnej obietnicy A1: E=>K.
Matematycznie:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => = pewność 100% => etc
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to możesz ~~> nie dostać komputera (~K=1)
E~~>~K = E*~K=0
to samo w zapisach formalnych:
p~~>~q = p*~q =0
Nie może się zdarzyć (=0), że zdam egzamin (E=1) i nie dostanę komputera (~K=1).
W świecie martwym (i w matematyce) kontrprzykład A1’ jest twardym fałszem którego świat martwy nie jest w stanie złamać.
W świecie żywym, mającym „wolną wolę” ojciec może kłamać do woli, czyli syn może zdać egzamin a ojciec z premedytacją może nie dać mu komputera. W tym przypadku ojciec jest kłamcą o czym wszyscy wiedzą od 5-cio latka poczynając. Tylko tyle i aż tyle rozstrzyga w obietnicy matematyka ścisła, algebra Kubusia.
… a jeśli jutro nie zdam egzaminu (~E=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2
A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~E~>~K =1 - nie zdanie egzaminu jest (=1) warunkiem koniecznym ~> nie dostania komputera
B2: ~E=>~K =0 - nie zdanie egzaminu nie jest (=0) warunkiem wystarczającym =>
dla nie dostania komputera
A2B2: ~E|~>~K =(A2:~E~>~K)*~(B2:~E=>~K) - co się stanie jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)?
Stąd:
Jeśli nie zdam egzaminu (~E=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to na 100% ~> nie dostaniesz komputera (~K=1)
~E~>~K =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>~q =1
Nie zdanie egzaminu (~E=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie dostania komputera (~K=1) bo jak zdam egzamin (E=1) to na 100% => dostanę komputer (K=1)
A2: ~E~>~K = A1: E=>K
Zauważmy, że zdanie A2 ojciec może wypowiedzieć w dowolnie ostry sposób, jednak na mocy definicji obietnicy A1: E=>K będącej częścią implikacji prostej E|=>K zdanie A2 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością wręczenia komputera mimo że syn nie zdał egzaminu, o czym mówi zdanie B2’.
LUB
Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie):
B2’.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to możesz ~~> dostać komputer (K=1)
~E~~>K = ~E*K =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Może się zdarzyć (=1), że nie zdam egzaminu (~E=1) i dostanę komputer (K=1)
Zdanie B2’ to piękny akt miłości w stosunku do zdania A1, czyli prawo do wręczenia nagrody (tu komputera) mimo że syn nie spełnił warunku nagrody (tu nie zdał egzaminu)
Zdanie B2’ to także piękny „akt łaski” w stosunku do groźby A2, czyli prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy.
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej E||=>K jest gwarancja matematyczna => po stronie E (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~E (zdania A2 i B2’) .
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~E||~>~K to układ równań logicznych:
A2B2:~E|~>~K=(A2:~E~>~K)*~(B2:~E=>~K) - co się stanie jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)
A1B1: E|=>K=(A1: E=>K)*~(B1: E~>K) - co się stanie jeśli zdam egzamin (E=1)
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~E||~>~K w logice ujemnej (bo ~K) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej E||=>K w logice dodatniej (bo K) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Komentarz do zdania A2:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to na 100% ~> nie dostaniesz komputera (~K=1)
A2: ~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu (~E=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie dostana komputera (~K=1)
Zdanie tożsame:
A21.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to możesz ~> nie dostać komputera (~K=1)
A21: ~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu (~E=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie dostana komputera (~K=1)
Zauważmy, że zdanie A2 jest ewidentną groźbą, zaś wszelkie groźby na mocy definicji musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością darowania kary opisanym prawdziwym kontrprzykładem B2’.
Dlaczego zachodzi tożsamość zdań?
A2: ~E~>~K = A21: ~E~>~K?
Wynika to z definicji obietnicy zgodnie z którą zdanie A2=A21 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z prawem do aktu miłości względem zdania A1 wyrażonym prawdziwym kontrprzykładem B2’, niezależnie od tego w jak ostrej formie groźba A2=A21 będzie wyrażona.
Zauważmy, że w groźbie nadawca ma prawo do blefowania, czyli może wypowiedzieć groźbę w dowolnie ostry sposób. Z faktu iż nadawca w chwili wypowiadania groźby nie zamierza jej wykonać (blef - o czym odbiorca nie wie) nie wynika iż finalnie nadawca nie może zmienić zdania i zapowiedzianą groźbę wykonać.
2.2.2 Prawo transformacji w obietnicy
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.
Weźmy tabelę prawdy naszej obietnicy:
A1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera
| Kod: |
IP.
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {E,K}
A1:
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=E (egzamin)
q=K (komputer)
A1: E=>K=1 - zdanie egzaminu jest wystarczające => dla dostania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest (=0) konieczne dla dostania komputera
A1B1: E|=>K = (A1: E=>K)*~(E~>K)=1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p=1
A': 1: p~~>~q =0 [=] 4:~q~~>p=0
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=E, q=K
A: 1: E=>K =1 = 2:~E~>~K=1 [=] 3: K~>E =1 = 4:~K=>~E=1
A': 1: E~~>~K=0 [=] 4:~K~~>E=0
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=E, q=K
B: 1: E~>K =0 = 2:~E=>~K=0 [=] 3: K=>E =0 = 4:~K~>~E =0
B': 2:~E~~>K=1 [=] 3: K~~>~E=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wypowiedzmy zdanie A4 z powyższej tabeli prawdy:
A4.
Jeśli nie dostaniesz komputera (~K) to na 100% => nie zdasz egzaminu (~E)
~K=>~E=1
To samo w zapisie formalnym:
A4: ~q=>~p=1
Zauważmy, że mamy tu kwadraturę koła:
Matematycznie zdanie A4 zmusza ojca do dania komputera przed egzaminem, bo jak tego nie zrobi to syn na 100% => nie zda egzaminu.
Jak z tego wybrnąć?
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.
Prawo transformacji:
W obietnicach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.
Zauważmy, że o obietnicach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego.
Definicja świata żywego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej.
Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).
Na mocy prawa transformacji zdanie A4 w czasie przeszłym przyjmuje postać.
A4.
Jeśli nie dostałeś komputera (~K=1) to na 100% => nie zdałeś egzaminu (~E=1)
~K=>~E =1
Ojciec miał prawo nie kupić komputera jeśli syn nie zdał egzaminu i z tego prawa tu skorzystał.
Zauważmy, że jeśli syn zdał egzamin to na 100% => dostał komputer.
Inny kuriozalny przykład potwierdzający poprawność prawa transformacji w logice matematycznej.
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to otworzę parasol (OP)
P=>OP =1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => bym otworzył parasol (OP), to jest moja obietnica.
Prawo Kontrapozycji:
A1: P=>OP = A4: ~OP=>~P
A4.
Jeśli jutro nie otworzę parasola (~OP=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~OP=>~P =1
Brak otwarcia parasola (~OP) w dniu jutrzejszym, daje nam gwarancję matematyczną => braku padania (~P)
Klęskę logiki matematycznej, czyli gwałt na prawie kontrapozycji każdy widzi.
Prawo Transformacji jest jedynym ratunkiem dla logiki matematycznej.
Zdanie A4 w czasie przeszłym brzmi bowiem.
A4.
Jeśli wczoraj nie otworzyłem parasola (~OP=1) to na 100% => nie padało (~P=1)
~OP=>~P =1
W ten banalny sposób logika matematyczna została uratowana, nie ma już nonsensu.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 10:23, 23 Paź 2022, w całości zmieniany 6 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 0:17, 17 Paź 2022 Temat postu: |
|
|
Kwintesencja algebry Kubusia
3.0 Implikacja odwrotna p|~>q
Spis treści
3.0 Implikacja odwrotna p|~>q 1
3.1 Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q 3
3.1.2 Przykład operatora implikacji odwrotnej CH||=>P w zdarzeniach 4
3.2 Definicja groźby B~>L 7
3.2.1 Operator implikacji odwrotnej B||~>L 9
3.3.3 Prawo transformacji w groźbie 12
3.0 Implikacja odwrotna p|~>q
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Podstawmy definicję implikacji odwrotnej p|~>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
| Kod: |
IO:
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q=1 [=] 4:~q~~>p =1
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
II Prawo Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
##
I Prawo Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Uwagi:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Bx wymuszają fałszywe kontrprzykłady Bx'
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywe warunki wystarczające => w linii Ax wymuszają prawdziwe kontrprzykłady Ax'.
Zauważmy że:
1.
Definicję implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q) mamy w kolumnie A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0
N1: p~>q =1
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Wniosek:
Implikacja odwrotna A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) daje odpowiedź na pytanie o p.
2.
Definicję implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) mamy w kolumnie A2B2:
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q):
Implikacja prosta ~p|=>~q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A2: ~p~>~q =0
B2: ~p=>~q =1
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1*1=1
Wniosek:
Implikacja prosta A2B2: ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) daje odpowiedź na pytanie o ~p.
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q = ~p+q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd
3.1 Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~q
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Odpowiedź w zdaniach warunkowych odczytujemy z kolumny A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść zajdzie q
p~>q =1
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
Innymi słowy:
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
lub
A1'
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> p i ~q
Innymi słowy:
Fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q =0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1' (i odwrotnie), To jest dowód "nie wprost" prawdziwości zdania A1'
.. a jeśli zajdzie ~p?
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =0
B2: ~p=>~q =1
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1*1=1
Odpowiedź w zdaniach warunkowych odczytujemy z kolumny A2B2:
B2
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Innymi słowy:
Zawsze gdy zajdzie ~p, zajdzie ~q
Prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2' (i odwrotnie)
B2'
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>:
zajdzie ~p i zajdzie q
3.1.2 Przykład operatora implikacji odwrotnej CH||=>P w zdarzeniach
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Zadanie w I klasie LO:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P =?
Rozwiązanie:
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich punkt odniesienia to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1.
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Chmury (CH) są warunkiem koniecznym ~> do tego aby padało (P), bo padać może wyłącznie z chmury
Innymi słowy:
Chmury (CH) są warunkiem koniecznym ~> do tego aby padało (P), bo jak nie ma chmur (~CH) to na 100% => nie pada (~P)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
Pozostało nam wybrać dowolne zdanie z linii Ax i udowodnić jego prawdziwość/fałszywość.
Wybieramy zdanie A1: p=>q bo warunek wystarczający => bez przeczeń zawsze dowodzi się najprościej.
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
CH=>P =0
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =0
Chmury (CH) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P), bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
cnd
W tym momencie mamy kompletną tabelę implikacji odwrotnej IO dla zdania B1.
| Kod: |
IO.
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Implikacja odwrotna CH|~>P w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: CH=>P=0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania
B1: CH~>P=1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania
Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q =1 [=] 4:~q~~>p =1
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=CH, q=P
A: 1: CH=>P =0 = 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~>CH =0 = 4:~P=>~CH=0
A': 1: CH~~>~P=1 [=] 4:~P~~>CH=1
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p =0
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=CH, q=P
B: 1: CH~>P =1 = 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=>CH =1 = 4:~P~>~CH=1
B': 2:~CH~~>P=0 [=] 3: P~~>~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~q
Nasz przykład:
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o chmury (CH) i brak chmur (~CH(
1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH)?
A1: CH=>P =0
B1: CH~>P =1
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1=1
Odpowiedź w zdaniach warunkowych odczytujemy z kolumny A1B1:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Chmury (CH) są warunkiem koniecznym ~> do tego aby padało (P), bo padać może wyłącznie z chmury
Innymi słowy:
Chmury (CH) są warunkiem koniecznym ~> do tego aby padało (P), bo jak nie ma chmur (~CH) to na 100% => nie pada (~P)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
lub
A1'
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P = CH*~P =1
To samo w zapisach formalnych:
p~~>~q=p*~q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>:
jest pochmurno (CH) i nie pada (~P)
Innymi słowy:
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywy warunek wystarczający A1: CH=>P=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1'. To jest dowód "nie wprost" prawdziwości zdania A1'.
Dowód "wprost" mamy wyżej.
… a jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2.
2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH)?
A2: ~CH~>~P =0
B2: ~CH=>~P =1
A2B2: ~CH|=>~P = ~(A2:~CH~>~P)*(B2: ~CH=>~P) = ~(0)*1=1*1=1
Odpowiedź w zdaniach warunkowych odczytujemy z kolumny A2B2:
B2
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padało (~P)
~CH=>~P =1
To samo w zapisach formalnych:
~p=>~q =1
Brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => do tego, by nie padało (~P) bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2' (i odwrotnie)
B2'
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to może ~~> padać (P)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>:
nie ma chmur (~CH) i pada (p)
Innymi słowy:
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy warunek wystarczający B2: ~CH=>~P=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2'. To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania B2''.
Dowód "wprost" mamy wyżej.
3.2 Definicja groźby B~>L
Najbardziej spektakularnym zastosowaniem definicji operatora implikacji odwrotnej p||~>q w świecie żywym jest definicja groźby.
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q.
Przykład:
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
Dostanie lania to kara, zatem zdanie B1 z definicji jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L.
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej B|~>L:
A1: B=>L =0 - brudne spodnie (B=1) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla dostania lania (L=1)
B1: B~>L =1 - brudne spodnie (B=1) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1)
Stąd:
A1B1: B|~>L = ~(A1: B=>L)*(B1: B~>L) = ~(0)*1 =1*1=1
Podstawmy nasz przykład do tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {B,L}
B1:
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=B (brudne spodnie)
q=L (lanie)
A1: B=>L=0 - brudne spodnie nie są (=0) wystarczające => dla dostania lania
B1: B~>L=1 - brudne spodnie są (=1) konieczne ~> dla dostania lania
A1B1: B|~>L =~(A1: B=>L)*(B1: B~>L)=~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
Zapis aktualny (nasz przykład):
p=B, q=L
A: 1: B=>L =0 = 2:~B~>~L=0 [=] 3: L~>B =0 = 4:~L=>~B =0
A’: 1: B~~>~L=1 = [=] = 4:~L~~>B =1
## ## | ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Zapis aktualny (nasz przykład):
p=B, q=L
B: 1: B~>L =1 = 2:~B=>~L=1 [=] 3: L=>B =1 = 4:~L~>~B =1
B’: = 2:~B~~>L=0 [=] 3: L~~>~B=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
3.2.1 Operator implikacji odwrotnej B||~>L
Operator implikacji odwrotnej B||~>L w logice dodatniej (bo L) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o brudne spodnie (B=1) i czyste spodnie (~B=1):
A1B1: B|~>L =~(A1: B=>L)* (B1: B~>L) - co się stanie jeśli przyjdę w brudnych spodniach (B=1)?
A2B2: ~B|=>~L =~(A2:~B~>~L)*(B2:~B=>~L) - co się stanie jeśli przyjdę w czystych spodniach (~B=1)
A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli przyjdę w brudnych spodniach (B=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: B=>L =0 - brudne spodnie (B=1) nie są (=0) wystarczające => dla dostania lania (L=1)
B1: B~>L =1 - brudne spodnie są (=1) konieczne ~> dla dostania lania (L=1)
A1B1: B|~>L =~(A1: B=>L)* (B1: B~>L)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli przyjdę w brudnych spodniach (B=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to dostaniesz lanie (L=1)
B~>L =1
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Co w logice jedynek oznacza:
(B=1)~>(L=1) =1
Czytamy:
B=1 - prawdą jest (=1) że mam brudne spodnie (B)
L=1 - prawdą jest (=1) dostaję lanie (L)
Przyjście w brudnych spodniach (B=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1) bo jak przyjdę w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostanę lania (~L=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
To samo w zapisie aktualnym:
B1: B~>L = B2: ~B=>~L
Komentarz:
Zdania tożsame do B1 to:
B11.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to na 100% ~> dostaniesz lanie (L=1)
B~>L =1
Przyjście w brudnych spodniach (B=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1)
B12.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to możesz ~> dostać lanie (L=1)
B~>L =1
Przyjście w brudnych spodniach (B=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1)
Uwaga:
Na mocy definicji groźby zdanie B1 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością darowania kary na mocy prawdziwego kontrprzykładu A1’. Ostrość wypowiedzianej groźby nie ma tu znaczenia, czyli zachodzi tożsamość matematyczna zdań:
B1 = B11 = B12
W groźbach nadawca z reguły nie wypowiada spójnika „może ~>” osłabiającego groźbę (B12) bowiem marzeniem nadawcy jest, by odbiorca nie spełnił warunku groźby, zatem im ostrzej wypowiedziana groźba, tym teoretycznie lepiej.
Zauważmy, że algebra Kubusia pozwala nadawcy na blefowanie tzn. nadawca może wypowiedzieć groźbę w dowolnie ostrej formie (np. B11) nie mając zamiaru wykonać kary w niej zawartej.
Z faktu, że nadawca w chwili wypowiadania groźby blefuje (o czym odbiorca nie wie) nie wynika iż finalnie zawartej w groźbie kary nie może wykonać.
Innymi słowy:
Finalnie nadawca może wykonać karę w groźbie która w chwili wypowiedzenia groźby była jego blefem.
LUB
Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie):
A1’.
Jeśli przyjdziesz w brudnych spodniach (B=1) to możesz ~~> nie dostać lania (~L=1)
B~~>~L = B*~L =1
Na mocy definicji groźby możliwe jest (=1) zdarzenie:
przyjdę w brudnych spodniach (B=1) i nie dostanę lania (~L=1)
Zdanie A1’ to powszechny w świecie żywym (nie tylko u człowieka) akt łaski, czyli możliwość darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy, mimo że odbiorca spełnił warunek kary.
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)
… a jeśli nie ubrudzę spodni (~B=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2
A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli przyjdę w czystych spodniach (~B=1)?
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Czyste spodnie = nie brudne spodnie (~B=1)
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~B~>~L =0 - czyste spodnie (~B=1) nie są (=0) konieczne ~> dla nie dostania lania (~L=1)
B2: ~B=>~L =1 - czyste spodnie (~B=1) są (=1) wystarczające => dla nie dostania lania (~L=1)
A2B2: ~B|=>~L =~(A2:~B~>~L)*(B2:~B=>~L)=~(0*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli przyjdę w czystych spodniach (~B=1) to mam gwarancję matematyczną => iż nie dostanę lania (~L=1) z powodu że przyszedłem w czystych spodniach (~B=1). Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L=1)
~B=>~L =1
to samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Przyjście w czystych spodniach (~B=1) daje mi gwarancję matematyczną => iż nie dostanę lania (~L=1) z powodu że przyszedłem w czystych spodniach (~B=1). Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>. Lanie z innego powodu jest oczywiście możliwe, ale takie lanie będzie miało zerowy związek z wypowiedzianą groźbą B1.
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie):
B2’.
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to możesz ~~> dostać lanie (L=1)
~B~~>L = ~B*L =0
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Nie może się zdarzyć (=0), że przyjdę w czystych spodniach (~B=1) i dostanę lanie (L=1) … z powodu czystych spodni (~B=1). Tylko tyle i aż tyle gwarantuje definicja groźby.
Zauważmy, że gwarancja B2: ~B=>~L braku lania w groźbie B1 jest niesłychanie silna.
Aby ją złamać ojciec musi powiedzieć słowo w słowo:
Synku, przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1) dostajesz lanie (L=1) bo przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1) (z powodu czystych spodni (~B=1)).
W tym momencie mama synka dzwoni po pogotowie - ojciec zwariował i należy go umieścić w szpitalu psychiatrycznym.
Zauważmy, że ojciec-sadysta, jeśli musi walić bez trudu znajdzie sobie pretekst do walenia bez powoływania się na czyste spodnie.
Ojciec-sadysta może powiedzieć tak:
Synku, przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1), dostajesz lanie (L=1) bo masz brudne buty (BB=1).
… i sadysta już może walić, bez narażania się na umieszczenie w szpitalu psychiatrycznym.
Zauważmy że:
W świecie martwym (i matematyce) zdanie B2’ to twarda prawda której świat martwy nie jest w stanie złamać.
Przykład:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
To co nie jest możliwe w świecie martwym jest możliwe w świecie żywym, mającym „wolną wolę” co udowodniliśmy wyżej.
Definicja „wolnej woli” w świecie żywym:
Wolna wola to możliwość gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).
Na mocy definicji pojęcie „wolnej woli” dotyczy wyłącznie świata żywego.
Definicja świata żywego:
W zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy do czynienia ze światem żywym wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość/fałszywość poprzednika p lub następnika q zależy od „wolnej woli” istoty żywej.
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej B||~>L jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie brudnych spodni (B=1) (zdania B1 i A1’) , oraz gwarancja matematyczna => po stronie czystych spodni (~B=1) (zdanie B2).
Zauważmy że:
a)
Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator implikacji prostej ~B||=>~L w logice ujemnej (bo ~L) to układ równań logicznych:
A2B2: ~B|=>~L =~(A2:~B~>~L)*(B2:~B=>~L) - co się stanie jeśli przyjdę w czystych spodniach (~B=1)?
A1B1: B|~>L =~(A1: B=>L)* (B1: B~>L) - co się stanie jeśli przyjdę w brudnych spodniach (B=1)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~B||=>~L w logice ujemnej (bo ~L) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej B||~>L w logice dodatniej (bo L) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
3.3.3 Prawo transformacji w groźbie
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.
Weźmy tabelę prawdy naszej groźby:
B1.
Jeśli jutro ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L=1
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym ~> dostania lania
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {B,L}
B1:
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=B (brudne spodnie)
q=L (lanie)
A1: B=>L=0 - brudne spodnie nie są (=0) wystarczające => dla dostania lania
B1: B~>L=1 - brudne spodnie są (=1) konieczne ~> dla dostania lania
A1B1: B|~>L =~(A1: B=>L)*(B1: B~>L)=~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
Zapis aktualny (nasz przykład):
p=B, q=L
A: 1: B=>L =0 = 2:~B~>~L=0 [=] 3: L~>B =0 = 4:~L=>~B =0
A’: 1: B~~>~L=1 = [=] = 4:~L~~>B =1
## ## | ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Zapis aktualny (nasz przykład):
p=B, q=L
B: 1: B~>L =1 = 2:~B=>~L=1 [=] 3: L=>B =1 = 4:~L~>~B =1
B’: = 2:~B~~>L=0 [=] 3: L~~>~B=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo transformacji:
W groźbach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.
Zauważmy, że o groźbach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego.
Definicja świata żywego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej.
Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).
Zobaczmy jak działa prawo transformacji na przykładzie.
Przykład:
B1.
Jeśli jutro ubrudzisz spodnie (B) to dostaniesz lanie (L)
B~>L =1
Następnik q jest tu ewidentną groźbą, zatem zdanie A1 musimy kodować zgodnie z definicją groźby warunkiem konicznym ~> wchodzącym w skład implikacji odwrotnej B|~>L, bez względu na ostrość wypowiedzenia groźby B1.
Gwarancja matematyczna => w groźbie wynika z prawa Kubusia:
B1: B~>L = B2: ~B=>~L
stąd mamy:
B2.
Jeśli jutro przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L=1)
~B=>~L =1
Przyjście w czystych spodniach (~B=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie dostania lania (~L=1) … z powodu przyjścia w czystych spodniach (~B=1)
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>.
Lanie z dowolnego innego powodu jest możliwe, ale nie będzie ono dotyczyło wypowiedzianej groźby B1.
Zauważmy, że zdanie B2 spełnia klasyczną definicję obietnicy, bowiem w następniku jest mowa o „nie dostaniu lania” które dla dziecka jest nagrodą.
Matematycznie zachodzą tożsamości:
Kara to brak nagrody
K=~N
Nagroda to brak kary
N=~K
Zastosujmy do zdania B2 prawo kontrapozycji:
B2: ~B=>~L = B4: L=>B
Zdanie B4 w czasie przyszłym czytamy:
B4.
Jeśli jutro dostaniesz lanie (L=1) to na 100% => przyjdziesz w brudnych spodniach (B=1)
L=>B =1
Zauważmy, że w czasie przyszłym zdanie B4 traci sens bowiem mówi ono że jeśli dzieciak dostanie lanie (przyczyna) to na 100% => ubrudzi spodnie (skutek) … czyli na złość mamie ugryzę się w język.
Poza tym zdanie B4 nie spełnia definicji obietnicy którą kodujemy warunkiem wystarczającym => bowiem następnik brzmi tu:
B - przyjdę w brudnych spodniach
Brudne spodnie nie są dla dziecka ani karą, ani też nagrodą, to tylko stwierdzenie stopnia zabrudzenia jego spodni.
Zdanie B4 nabierze sensu jeśli wypowiemy je w czasie przeszłym.
Załóżmy, że jest pojutrze i nie wiemy nic w temacie obietnicy B2 która dotyczyła dnia wczorajszego.
Na mocy prawa transformacji zdanie B4 opisuje przeszłość:
B4.
Jeśli wczoraj dostałeś lanie (L=1) to na 100% => ubrudziłeś spodnie (B=1)
L=>B =1
Z faktu, iż dziecko dostało lanie (L=1) wnioskujemy na 100% => iż ubrudziło spodnie (B=1)
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa transformacji wszystko pięknie gra i buczy.
Abstrakcyjnie możemy się przenieść do przyszłości mówiąc tak:
B4.
Jeśli jutro dostaniesz lanie (L=1) to będzie to oznaczało, że wcześniej ubrudziłeś spodnie (B=1)
L=>B =1
Z definicji wszelkie groźby zapisane są w czasie przyszłym z czego wynika, że na mocy prawa transformacji z tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q możemy usunąć kolumny A3B3 i A4B4 dotyczące czasu przeszłego skupiając się na kolumnach A1B1 i A2B2 opisujących przyszłość.
| Kod: |
IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q w obsłudze groźby p~>q.
Matematyczna obsługa groźby p~>q w czasie przyszłym
po usunięciu kolumn A2B3 i A4B4 opisujących groźby w czasie przeszłym
Kolumna A1B1 to formalny punkt odniesienia {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0
A’: 1: p~~>~q=1 =
## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1
B’: = 2:~p~~>q=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 10:24, 23 Paź 2022, w całości zmieniany 7 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 7:16, 17 Paź 2022 Temat postu: |
|
|
Kwintesencja algebry Kubusia
4.0 Definicje znaczków ## i ###
Spis treści
4.0 Definicje znaczków ## i ### 1
4.1 Definicja znaczka różne na mocy definicji ## 5
4.2 Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ### 6
4.3 Prawo Kłapouchego = Kot Schrödingera 9
4.0 Definicje znaczków ## i ###
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Rozważmy znane nam przykłady:
IP.
Implikacja prosta (nasz przykład z punktu 2.1.2):
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmujemy punkt odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =1
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo zabieram stan "pada" a chmury mogą istnieć.
Stąd mamy spełnioną definicję implikacji prostej P|=>CH:
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
Stąd:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1
##
IO.
Implikacja odwrotna (nasz przykład z punktu 3.1.2):
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P) bo padać może wyłącznie z chmury
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
CH=>P =0
Chmury (CH) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P) , o nie zawsze gdy są chmury, pada
Stąd mamy spełnioną definicję implikacji odwrotnej CH|~>P:
A1: CH=>P =0 - chmury (CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania (P)
B1: CH~>P =1 - chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P)
Stąd:
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zapiszmy wyprowadzone w punktach 2.1.2 i 3.1.2 tabele prawdy implikacji prostej P|=>CH i odwrotnej CH|~>P jedna pod drugą.
| Kod: |
IP.
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*(0)=1*1=1
Implikacja prosta P|=>CH w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: P=>CH=1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH=1 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q =0 [=] 4:~q~~>p =0
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=P, q=CH
A: 1: P=>CH =1 = 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P =1 = 4:~CH=>~P=1
A': 1: P~~>~CH=0 [=] 4:~CH~~>P=0
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=P, q=CH
B: 1: P~>CH =0 = 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=>P =0 = 4:~CH~>~P=0
B': 2:~P~~>CH=1 [=] 3: CH~~>~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
##
###
| Kod: |
IO.
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Implikacja odwrotna CH|~>P w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: CH=>P=0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania
B1: CH~>P=1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania
Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q =1 [=] 4:~q~~>p =1
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=CH, q=P
A: 1: CH=>P =0 = 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~>CH =0 = 4:~P=>~CH=0
A': 1: CH~~>~P=1 [=] 4:~P~~>CH=1
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p =0
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=CH, q=P
B: 1: CH~>P =1 = 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=>CH =1 = 4:~P~>~CH=1
B': 2:~CH~~>P=0 [=] 3: P~~>~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q, zarówno w implikacji prostej p|=>q jak i w implikacji odwrotnej p|~>q
## - różne na mocy definicji – dla zapisu formalnego (ogólnego)
### - różne na mocy błędu podstawienia – dla zapisu aktualnego (przykładu)
Wyprowadzenie definicji znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
W tabeli implikacji prostej IP mamy punkt odniesienia:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Definicja formalna implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q
Definicja implikacji prostej P|=>CH w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=~P*CH
###
Natomiast w tabeli implikacji odwrotnej IO mamy punkt odniesienia:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
Definicja formalna implikacji odwrotnej p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p*~q
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=CH*~P
Stąd mamy tu znaczek:
### - różne na mocy błędu podstawienia
cnd
Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy ich zapis formalny (teoria ogólna) jest różny na mocy definicji ## natomiast w zapisie aktualnym skolerowanym z zapisem formalnym zachodzi tożsamość logiczna.
Zauważmy, że w zapisach formalnych bezdyskusyjnie zachodzi:
IP – implikacja prosta:
p|=>q = ~p*q – zapis formalny
##
IO – implikacja odwrotna:
p|~>q = p*~q – zapis formalny
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd
To samo w zapisach formalnych powiązanych z zapisem aktualnym (nasz przykład).
IP – implikacja prosta:
p|=>q = ~p*q – zapis formalny
Punkt odniesienia:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
P|=>CH = ~P*CH – skolerowany z zapisem formalnym, zapis aktualny (nasz przykład)
##
###
IO – implikacja odwrotna:
p|~>q = p*~q – zapis formalny
Punkt odniesienia:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
CH|~>P = CH*~P – skolerowany z zapisem formalnym, zapis aktualny (nasz przykład)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji dla zapisu formalnego
### - różne na mocy błędu podstawienia dla zapisu aktualnego
cnd
Zauważmy, że operując wyłącznie na zapisach aktualnych (nasz przykład) definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ### jest niewidoczna.
Dowód:
IP: P|=>CH = ~P*CH [=] IO: CH|~>P = CH*~P
W tym przypadku zachodzi tożsamość logiczna [=] bowiem iloczyn logiczny jest przemienny
Zrozumienie podanych wyżej definicji znaczków ## i ### jest w praktyce wystarczające.
W dalszej części zajmiemy się szczegółami.
4.1 Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Relacja między definicją formalną (ogólną) implikacji prostej p|=>q a definicją formalną implikacji odwrotnej odwrotną p|~>q to relacja różne na mocy definicji ##
Dowód:
| Kod: |
IPIO:
Relacja między implikacją prostą p|=>q a odwrotną p|~>q
w zapisach formalnych
Tabela IP:
Implikacja prosta p|=>q w zapisach formalnych:
A1B1: Y=(p|=>q)=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q
Warunek wystarczający =>:
Y=(p=>q) =~p+ q # ~Y=~(p=>q) = p*~q
## ##
Implikacja prosta p|=>q:
Y=(p|=>q)=~p* q # ~Y=~(p|=>q)= p+~q
## ##
---------------------------------------------------
Tabela IO:
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisach formalnych:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p*~q
Warunek konieczny ~>:
Y=(p~>q) = p+~q # ~Y=~(p~>q) =~p* q
## ##
Implikacja odwrotna p|~>q:
Y=(p|~>q)= p*~q # ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli IPIO definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
cnd
4.2 Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
Wprowadźmy do zapisanej wyżej tabeli relacji implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q (IPIO) odpowiednie zapisy aktualne P|=>CH i CH|~>P
| Kod: |
IPIO:
Formalna relacja między implikacją prostą p|=>q a odwrotną p|~>q
Aktualna relacja między implikacją prostą P|=>CH a odwrotną CH|~>P
Tabela IP:
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym:
A1: A1B1: Y=(p|=>q)=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~p*q
Punkt odniesienia:
A2: p=P (pada)
A3: q=CH (chmury)
Implikacja prosta P|=>CH w zapisie aktualnym:
A4: A1B1: Y=(P|=>CH)=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=~P*CH
;
Warunek wystarczający => w zapisie formalnym:
A5: Y=(p=>q) =~p+ q # ~Y=~(p=>q) = p*~q
Warunek wystarczający => w zapisie aktualnym:
A6: Y=(P=>CH) =~P+ CH # ~Y=~(P=>CH) = P*~CH
## ##
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym:
A7: Y=(p|=>q) =~p* q # ~Y=~(p|=>q) = p+~q
Implikacja prosta P|=>CH w zapisie aktualnym:
A8: Y=(P|=>CH)=~P* CH # ~Y=~(P|=>CH)= P+~CH
## ##
----------------------------------------------------------
### ###
----------------------------------------------------------
Tabela IO:
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym:
B1: A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p*~q
Punkt odniesienia:
B2: p=CH (chmury)
B3: q=P (pada)
Implikacja odwrotna CH|~>P w zapisie aktualnym:
B4: A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=CH*~P
;
Warunek konieczny ~> w zapisie formalnym:
B5: Y=(p~>q) = p+ ~q # ~Y=~(p~>q) =~p* q
Warunek konieczny w zapisie aktualnym:
B6: Y=(CH~>P) = CH+~P # ~Y=~(CH~>P) =~CH*P
## ##
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym:
B7: Y=(p|~>q) = p* ~q # ~Y=~(p|~>q) =~p+ q
Implikacja odwrotna CH|~>P w zapisie aktualnym:
B8: Y=(CH|~>P)= CH*~P # ~Y=~(CH|~>P)=~CH+P
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji (dla zapisu formalnego)
### - różne na mocy błędu podstawienia (dla zapisu aktualnego)
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji w zapisie formalnym (ogólnym):
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli IPIO w zapisach formalnych {Y, p, q} definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
cnd
ALE!
Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy ich zapis formalny jest różny na mocy definicji ## natomiast w zapisie aktualnym skolerowanym z zapisem formalnym zachodzi tożsamość logiczna.
Zobaczmy to w tabeli IPIO.
| Kod: |
IPIO:
Znaczek różne na mocy definicji ##
vs
Znaczek różne na mocy błędu podstawienia ###
Zapisy formalne i aktualne:
IP IO
Implikacja prosta p|=>q ## Implikacja odwrotna p|~>q
A1: Y=(p|=>q) =~p*q ## B1: Y=(p|~>q)= p*~q
Punkt odniesienia: ### Punkt odniesienia:
p=P (pada) ### p=CH (chmury)
q=CH (chmury) ### q=P (pada)
A4: Y=(P|=>CH)=~P*CH ### B4: Y=(CH|~>P) = CH*~P
;
Zapis formalny i aktualny:
A5: Y=(p=>q) =~p+ q ## B5: Y=(p~>q) = p+ ~q
A6: Y=(P=>CH) =~P+ CH ### B6: Y=(CH~>P) = CH+~P
;
Zapis formalny i aktualny:
A7: Y=(p|=>q) =~p* q ## B7: Y=(p|~>q) = p* ~q
A8: Y=(P|=>CH)=~P* CH ### B8: Y=(CH|~>P)= CH*~P
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
### - różne na mocy błędu podstawienia
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Uwaga:
Zarówno iloczyn logiczny p*q jak i suma logiczna p+q są przemienne z czego
wynika, że po usunięciu linii ze znakiem różne na mocy definicji ## w liniach separowanych znakiem ### możemy zapisać tożsamość logiczną [=].
|
W powyższej tabeli doskonale widać znaczenia znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###.
Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy ich zapis formalny (teoria ogólna) jest różny na mocy definicji ## natomiast w zapisie aktualnym skolerowanym z zapisem formalnym zachodzi tożsamość logiczna.
Zobaczmy to w szczegółach:
| Kod: |
Zapis formalny:
A5: Y=(p=>q) =~p+ q ## B5: Y=(p~>q) = p+ ~q
Zapis aktualny:
A6: Y=(P=>CH) =~P+ CH ### B6: Y=(CH~>P) = CH+~P
Gdzie:
W zapisie formalnym mamy znaczek różne na mocy definicji ##
W zapisie aktualnym ### w oderwaniu od zapisu formalnego
mamy tożsamość logiczną [=] bo suma logiczna jest przemienna
|
4.3 Prawo Kłapouchego = Kot Schrödingera
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)= ~p*q
A1B1: p|=>q=~p*q
Punkt odniesienia:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Stąd mamy:
A1: P=>CH=1 - padanie (P) jest wystarczające => dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH=0 - padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)= ~P*CH
Definicja w spójnikach “i”(*) i „lub”(+):
A1B1: P|=>CH=~P*CH
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q=1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p=1 [=] 5:~p+ q =1
1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q=0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p=0 [=] 5: p+~q =0
1: P~> CH=0 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=> P=0 4:~CH~>~P=0 [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
## - różne na mocy definicji dla zapisu formalnego
### - różne na mocy błędu podstawienia dla zapisu aktualnego (przykład)
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)= p*~q
A1B1: p|~>q=p*~q
Punkt odniesienia:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
A1: CH=>P=0 - chmury (CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania (P)
B1: CH~>P=1 - chmury (CH) są (=1) konieczne dla padania (P)
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)= CH*~P
Definicja w spójnikach “i”(*) i „lub”(+):
A1B1: CH|~>P=CH*~P
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q=0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p=0 [=] 5:~p+ q =0
1: CH=> P=0 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~> CH=0 4:~P=>~CH=0 [=] 5:~CH+ P=0
## ## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q=1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p=1 [=] 5: p+~q =1
1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji dla zapisu formalnego
### - różne na mocy błędu podstawienia dla zapisu aktualnego (przykład)
Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy ich zapis formalny (teoria ogólna) jest różny na mocy definicji ## natomiast w zapisie aktualnym skolerowanym z zapisem formalnym zachodzi tożsamość logiczna [=]
| Kod: |
Podsumowanie:
IP - implikacja prosta p|=>q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)= ~p*q
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)= ~P*CH
##
###
IO - implikacja odwrotna p|~>q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)= p*~q
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)= CH*~P
Gdzie:
## - różne na mocy definicji dla zapisu formalnego {p, q, Y}
### - różne na mocy błędu podstawienia dla zapisu aktualnego (P, CH, Y}
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zauważmy, że jeśli zignorujemy zapis formalny to musimy zapisać tożsamość logiczną:
| Kod: |
IP - implikacja prosta P|=>CH:
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)= ~P*CH
[=]
IO - implikacja odwrotna CH|~>P
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)= CH*~P
Zachodzi tożsamość logiczna [=] bo iloczyn logiczny jest przemienny
cnd
|
Podsumowanie:
Jeśli w implikacji prostej p|=>q i implikacji odwrotnej p|~>q pominiemy zapisy formalne to seria zdań prawdziwych Ax z implikacji prostej p|=>q i seria zdań prawdziwych Bx z implikacji odwrotnej p|~>q będzie identyczna i o żadnym błędzie podstawienia ### mowy być wówczas nie może.
Dowód:
| Kod: |
Jeśli pominiemy zapisy formalne to tabela zdań prawdziwych w implikacji prostej IP: P|=>CH i odwrotnej IO: CH~>P wygląda jak niżej:
IP
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: P=> CH=1 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~> P=1 4:~CH=>~P=1 [=] 5:~P+ CH=1
[=]
IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
B: 1: CH~> P=1 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=> CH=1 4:~P~>~CH=1 [=] 5: CH+~P=1
Gdzie:
[=] - bez zapisu formalnego zachodzi tożsamość zdań serii Ax i Bx
|
Bez zapisów formalnych tożsamość zdań serii Ax i Bx jest oczywista, bo zdania możemy dowolnie przestawiać.
Wyobraźmy sobie, że mamy pudełko z czterema zdaniami prawdziwymi:
| Kod: |
Matematyczny raj 5-cio latka:
1: P=>CH=1 [=] 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P=1 [=] 4:~CH=>~P=1
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
|
Definicja ogólna tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów
Tożsame znaczki tożsamości logicznej które możemy stosować zamiennie w zależności od potrzeb:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
Dlaczego to jest matematyczny raj 5-cio latka?
Oczywistym jest, że 5-cio latek nie zna teorii algebry Kubusia którą tu poznajemy, jednak doskonale posługuje się w praktyce wszystkimi prawami logiki matematycznej rodem z algebry Kubusia.
Prawa logiki matematycznej w raju zna w praktyce każdy 5-cio latek.
Dowód:
Prawo Kubusia:
1: P=>CH = 2:~P~>~CH
[=]
Prawo Tygryska:
1: P=>CH = 3: CH~>P
[=]
Prawo Kubusia:
3: CH~>P = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
1: P=>CH = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
3: CH~>P = 2: ~P~>~CH
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej [=].
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
Zarówno treść zdań w raju 5-cio latka, jak i wszystkie prawa logiki matematycznej są doskonale znane każdemu 5-cio latkowi.
Aby to udowodnić udajmy się do przedszkola
Pani:
3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
3: CH~>P =1
Jasiu, czy chmury są konieczne ~> by padało?
Jaś (lat 5):
Tak, bo padać może wyłącznie z chmurki
Pani:
Jasiu, a jeśli jutro nie będzie pochmurno to może padać czy może nie padać?
Jaś:
Prawo Kubusia:
3: CH~>P = 4:~CH=>~P
Jaś:
4:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padać (~P)
4: ~CH=>~P =1
Pani:
Czy brak chmur (~CH) daje nam gwarancję => nie padania (~P)?
Jaś:
Tak, bo zawsze gdy nie ma chmur, to nie pada
Pani:
Prawo kontrapozycji:
4: ~CH=>~P = 1: P=>CH
Pani:
Jasiu, jeśli jutro będzie padało to może być pochmurno lub może nie być pochmurno?
Jaś:
1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100%=> będzie pochmurno (CH)
1: P=>CH =1
Pani:
Jasiu czy padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH)
Jaś:
Tak, bo zawsze gdy pada, są chmury
Pani:
Jasiu, a jeśli jutro nie będzie padało?
Jaś:
Prawo Kubusia:
1: P=>CH = 2: ~P~>~CH
2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
2: ~P~>~CH =1
Pani:
Czy brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH)?
Jaś:
Tak, brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH) bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
2: ~P~>~CH = 1: P=>CH
Jak widzimy w ostatnim zdaniu prawo Kubusia samo Jasiowi wyskoczyło, mimo że nie jest tego świadom.
Podsumowując:
Wszyscy ludzie, od 5-cio latka poczynając na ziemskim matematyku kończąc podlegają pod algebrę Kubusia nie mając żadnych szans by się od niej uwolnić, tylko póki co, o tym nie wiedzą.
Zapiszmy jeszcze raz matematyczny raj 5-cio latka:
| Kod: |
Matematyczny raj 5-cio latka:
1: P=>CH=1 [=] 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P=1 [=] 4:~CH=>~P=1
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
|
Rozważmy warunek wystarczający P=>CH:
X.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
Zauważmy, że ten sam warunek wystarczający X: P=>CH może należeć do implikacji prostej p|=>q albo do różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej p|~>q
Dowód:
IP
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)= ~p*q
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Przykład:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = ~P*CH
A1: P=>CH
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q
##
IO
Implikacja odwrotna p|~>q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*~q
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Przykład:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)= CH*~P
Dla B1 skorzystajmy z prawa Tygryska:
B1: CH~>P = B3: P=>CH
B1: p~>q = B3: q=>p
Prawo Tygryska jest dowodem że warunek wystarczający X: P=>CH występuje również w implikacji odwrotnej p|~>q
Gdzie:
## - znaczek różne na mocy definicji obowiązujący dla zapisu formalnego {p, q, Y}
Takie niuanse 5-cio latka zupełnie nie interesują, nie są mu do niczego potrzebne i w niczym nie ograniczają jego biegłego posługiwania się prawami logiki matematycznej.
Inaczej jest z matematykiem, znającym teorię algebry Kubusia którą tu omawiamy.
Matematyka nie może być niejednoznaczna tzn. matematyk A mówi że warunek wystarczający X: P=>CH należy do implikacji prostej A1B1: p|=>q (ma rację), zaś matematyk B twierdzi, że ten sam warunek wystarczający X: P=>CH należy do różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q (też ma rację bo prawo Tygryska)
Jednoznaczność matematyki dla wszystkich matematyków uzyskamy w banalny sposób wprowadzając do logiki matematycznej prawo Kłapouchego.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Wniosek:
Prawo Kłapouchego wymusza na wszystkich matematykach identyczny punkt odniesienia i poprzez analogię jest tożsame z otwarciem drzwiczek do pudełka z kotem Schrödingera.
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Prawo Kłapouchego = otwarcie drzwiczek do pudełka z kotem Schrödingera.
Innymi słowy:
X.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
Przed zastosowaniem prawa Kłapouchego jeśli spytamy dowolnego matematyka czy powyższe zdanie 1 wchodzi w skład implikacji prostej IP:
IP: A1B1: P|=>CH, (A1: P=>CH)
to samo w zapisie formalnym:
IP: A1B1: p|=>q, (A1: p=>q)
;
czy też w skład różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej IO:
IO: A1B1: CH|~>P, (B3: P=>CH)
to samo w zapisie formalnym:
IO: A1B1: p|~>q, (B3: q=>p)
;
matematyk ów musi odpowiedzieć:
NIE WIEM!
.. dopóki nie zastosuje prawa Kłapouchego.
Uwaga:
Nie wolno nam twierdzić, że zdanie X: P=>CH może kiedykolwiek należeć (stan drzwiczek jest tu nieistotny) równocześnie do implikacji prostej IP: p|=>q, (A1: p=>q = A1: P=>CH) i różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej IO: p|~>q, (B3: q=>p = B3: P=>CH), bo to jest fizycznie niemożliwe, czego dowodem jest prawo Puchacza (pkt. 1.5)
Analogicznie w stosunku do pudełka z kotem Schrödingera nie wolno nam twierdzić, że dopóki nie otworzymy drzwiczek to kot jest jednocześnie żywy i martwy – to jest matematyczny fałsz, co udowadnia przykład z logiki matematycznej wyżej opisany.
[link widoczny dla zalogowanych]
| Kot Schrödingera napisał: |
Jeden z najsłynniejszych eksperymentów świata. Prawie każdy coś słyszał o „Kocie Schrödingera”, ale już nie każdy pojął, o co w tym wszystkim chodziło. Co ma kot do fizyki? Czemu go zabili, a może go jednak nie zabili?
„Koci” eksperyment został opisany w 1935 roku przez znakomitego austriackiego fizyka Erwina Schrödingera. Specjalnie piszemy, że eksperyment został opisany a nie przeprowadzony, ponieważ był to eksperyment myślowy. Oznacza to, że żaden kot w jego trakcie nie ucierpiał.
Eksperyment ten jest próbą wyjaśnienia zasad mechaniki kwantowej na przykładzie obiektów w skali makro. Opisane w nim zjawisko nazwane jest superpozycją. Polega to na tym, że obiekt przyjmuje wszystkie możliwe stany w tym samym momencie. W eksperymencie Schrödingera w tym samym momencie kot jest żywy i martwy. Ale uwaga – sytuacja ta ma miejsce w pod warunkiem, że pudełko jest zamknięte i nie widzimy, co się dzieje z kotem w środku. Dopiero w momencie obserwacji obiektu (w tym przypadku kota) przyjmuję on tylko jeden z możliwych stanów. Po otwarciu pudełka zastaniemy kota martwego lub żywego. Następuję załamanie funkcji falowej. |
[link widoczny dla zalogowanych]
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 10:25, 23 Paź 2022, w całości zmieniany 4 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Czw 8:14, 20 Paź 2022 Temat postu: |
|
|
Kwintesencja algebry Kubusia
5.0 Nowa algebra Boole'a
Spis treści
5.0 Nowa algebra Boole’a 1
5.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a: 5
5.2 Prawa Prosiaczka 5
5.2.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki 6
5.2 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym 7
5.3 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego 7
5.3.1 Zadanko Kubusia dla funkcji jednoargumentowych 7
5.3.2 Prawo Grzechotnika 9
5.4 Aksjomatyka algebry Boole’a 10
5.5 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków 15
5.6 Operator Y|=p+q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 19
5.6.1 Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych 20
5.6.2 Diagram operatora „lub”(|+) w zdarzeniach 20
5.6.3 Przykład operatora Y|=K+T w zdarzeniach 21
5.7 Operator Y|=p*q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 24
5.7.1 Przykład operatora Y|=K*T w zdarzeniach 25
5.8 Równoważność K<=>T w świecie żywym 27
5.8.1 Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej 30
5.8.2 Kolejność wykonywania działań w algebrze Kubusia 30
5.0 Nowa algebra Boole’a
Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego, zatem tylko z tego punktu widzenia będziemy patrzeć na algebrę Boole’a.
Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
3.
Ziemski rachunek zero-jedynkowy (fundament logiki matematycznej) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych Y i ~Y algebry Boole’a, co udowodnimy za chwilkę już na poziomie operatorów logicznych jednoargumentowych.
Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) – negacja
Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)
Przykłady:
Y=p+~p=1 – zdanie zawsze prawdziwe
Y=p*~p=0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna
To samo w logice 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 – zdanie zawsze prawdziwe
Jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.
Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa
W logice matematycznej wszelkie właściwości zmiennych binarnych zapisujemy w tabelach prawdy.
Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.
Przykład:
| Kod: |
Definicja negacji:
p # ~p
A: 1 # 0
B: 0 # 1
1 2
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
|
Definicja znaczka w logice matematycznej:
Znaczek w logice matematycznej to symbol zdefiniowany odpowiednią tabelą zero-jedynkową
Znaczek różne # definiuje definicja negacji.
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
p#~p
Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna p wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)
Zauważmy, że w definicji negacji symbole p i ~p są zmiennymi binarnymi.
Dowód:
W osi czasu (kolumna A1B1) może zajść przypadek, że zmienna binarna p przyjmie wartość logiczną 1 (A1) albo wartość logiczną 0 (B1).
W osi czasu (kolumna B2A2) może zajść przypadek, że zmienna binarna ~p przyjmie wartość logiczną 1 (B2) albo wartość logiczną 0 (A2)
cnd
W technice cyfrowej znaczek różne # o definicji jak wyżej jest odpowiednikiem dwustronnego negatora "o".
| Kod: |
Definicja znaczka # w bramkach logicznych
-----
p --x---------| ~ |o-x--> ~p
| ----- |
| |
| p=~(~p) ----- |
-<-------o| ~ |--x--- ~p
-----
Gdzie:
o - symbol negacji (wyjście bramki negatora)
W świecie rzeczywistym musi tu być negator z otwartym kolektorem (OC)
na przykład typu SN74LS06
|
Matematyczne związki między p i ~p:
I.
p#~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
II.
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)
Dowód w rachunku zero-jedynkowym:
| Kod: |
Matematyczne związki w definicji negacji:
p ~p ~(~p) ~(p)
A: 1 0 1 0
B: 0 1 0 1
1 2 3 4
|
Tożsamość kolumn 1=3 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p=~(~p)
Tożsamość kolumn 2=4 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
~p=~(p)
| Kod: |
Definicja dwuargumentowego spójnika „i”(*):
p* q Y=p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 1 0
D: 0* 0 0
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0 |
| Kod: |
Definicja dwuargumentowego spójnika „lub”(+):
p+ q Y=p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 1 1
D: 0+ 0 0
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
|
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
Przykład:
f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
p*q+~p*~q = (p*q)+(~p*~q)
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
W najprostszym przypadku wyrażeniem algebry Boole’a może być pojedyńcza zmienna binarna p
f(x) =p
Uwaga na notację:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
f(p,q)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a (przykład)
5.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna Y algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a w osi czasu.
W technice funkcja algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y
Definicja bramki logicznej:
Bramka logiczna to układ cyfrowy o n wejściach binarnych {p,q,r,s..} i tylko jednym wyjściu binarnym Y
Najpopularniejszym standardem w technice są bramki typu TTL (logika dodatnia):
0 - logiczne zero to napięcie z przedziału 0,0-0,4V
1 - logiczna jedynka to napięcie z przedziału 2,4 do 5,0V
Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y
Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramek logicznych
Y - wyjście bramki logicznej
Przykład:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q
W najprostszym przypadku mamy do czynienia z funkcją logiczną jednej zmiennej binarnej x
Y = f(x) =x
Zapis tożsamy:
Y=x
5.2 Prawa Prosiaczka
Prawa Prosiaczka to jedne z najważniejszych praw logiki matematycznej.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo Y) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~Y). Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
5.2.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki
Rozważmy sterowanie żarówką jednym przyciskiem A
| Kod: |
Schemat 1
Przykład ilustracji praw Prosiaczka w fizyce:
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z językiem potocznym człowieka gdzie wszelkie przeczenia w kodowaniu matematycznym muszą być zapisane jawnie.
Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
S - żarówka świeci
Co w logice jedynek oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)
Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
~S - żarówka nie świeci
Co w logice jedynek oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)
Zauważmy, że prawa Prosiaczka wiążą ze sobą pojęcia prawdy i fałszu w języku potocznym.
5.2 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Inaczej mamy do czynienia ze standardem ujemnym lub mieszanym.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
Logiką matematycznie zgodną z językiem potocznym człowieka jest tylko i wyłącznie standard dodatni.
Podstawa matematyczna dla powyższej definicji to prawa Prosiaczka.
Przykład konsekwentnego stosowania standardu dodatniego w języku potocznym mamy w następnym punkcie.
5.3 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego
Definicja operatora logicznego jednoargumentowego:
Operator logiczny jednoargumentowy Y|=f(x) to układ równań logicznych Y=f(x) i ~Y=~f(x) dający odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie Y, a kiedy zajdzie ~Y
Definicja ogólna operatora jednoargumentowego Y|=f(x):
A1.
Y=f(x)
.. a kiedy zajdzie ~Y
Negujemy dwustronnie jednoargumentową funkcję logiczną A1.
A2.
~Y = ~f(x)
Sens tego operatora zaprezentujemy na przykładzie zadanka Kubusia niżej.
5.3.1 Zadanko Kubusia dla funkcji jednoargumentowych
Dowód wewnętrznej sprzeczności logiki matematycznej ziemian na gruncie operatora jednoargumentowego poznamy na przykładzie zadanka Kubusia, który pojawił się na moim biurku w dyskusji z Zefciem i je zapisał.
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-1775.html#677021
Zadanko Kubusia:
Dane są dwa zdania pań przedszkolanek z dwóch różnych przedszkoli A i B.
Pani w przedszkolu A:
A1.
Jutro pójdziemy do kina
Pani w przedszkolu B:
B1.
Jutro nie pójdziemy do kina
Treść polecenia:
Zapisz w funkcjach logicznych kiedy panie dotrzymają słowa a kiedy skłamią?
Rozwiązanie Jasia, ucznia I klasy LO w 100-milowym lesie.
Pani w przedszkolu A:
A1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
#
.. a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy równanie A1 stronami:
A2.
~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Znaczenie zmiennej Y w standardzie dodatnim:
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)
Pani w przedszkolu B:
B1.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
#
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy równanie A1 dwustronnie.
~Y=~(~K)
~Y=K - na mocy prawa podwójnego przeczenie
Stąd mamy:
B2.
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Znaczenie zmiennej Y w standardzie dodatnim:
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)
5.3.2 Prawo Grzechotnika
Zapiszmy dialogi pań z przedszkola A i B w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Pani w przedszkolu A:
A1: Y= K # A2: ~Y=~K
## ##
Pani w przedszkolu B:
B1: Y=~K # B2: ~Y= K
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznej
|
Definicja znaczka #:
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
W tabeli T1 doskonale widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Największą tragedią ziemskiej logiki matematycznej jest fakt, że w bramkach logicznych po stronie wejścia cyfrowego widzi ona zmienne binarne w logice dodatniej (bo p) i ujemnej (bo ~p), ale nie widzi dokładnie tego samego po stronie wyjścia cyfrowego Y, tu obowiązuje bezwzględny zakaz widzenia wyjścia Y w logice ujemnej (bo ~Y).
Odpowiednikiem tego faktu w matematyce klasycznej byłoby widzenie w układzie Kartezjańskim na osi X zmiennych dodatnich (x) i zmiennych ujemnych (~x) z zakazem widzenia dokładnie tego samego na osi Y, gdzie dozwolone byłoby widzenie jedynie zmiennych dodatnich (y).
Czy ktokolwiek wyobraża sobie współczesną matematykę z takim upośledzonym układem Kartezjańskim?
Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.
Prawo Grzechotnika:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach powyższych funkcji logicznych.
Dowód:
W całym Internecie (plus podręczniki matematyki) nie znajdziemy ani jednej kolumny wynikowej w rachunku zero-jedynkowym opisanej funkcją logiczną Y w logice ujemnej (bo ~Y).
Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli T1.
| Kod: |
T1"
Pani w przedszkolu A:
A1: K # A2: ~K
## ##
Pani w przedszkolu B:
B1: ~K # B2: K
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznej
|
Doskonale widać, że w tabeli T1" najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą poniższe tożsamości.
| Kod: |
A1: K = B2: K
B1: ~K = A2: ~K
cnd
|
Stąd mamy:
Prawo Grzechotnika:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
cnd
5.4 Aksjomatyka algebry Boole’a
Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy
Definicja minimalnej aksjomatyki algebry Boole’a:
Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a to minimalny zestaw praw algebry Boole’a koniecznych i wystarczających do poruszania się po równaniach algebry Boole’a.
Chodzi tu głównie o minimalizację równań algebry Boole’a, której w języku potocznym praktycznie nie ma bo nasz mózg to naturalny ekspert algebry Kubusia tzn. z reguły operuje na funkcjach minimalnych które nie wymagają zewnętrznej minimalizacji.
Wynika z tego, że tabele zero-jedynkowe w takiej aksjomatyce nas nie interesują.
Jak zobaczymy za chwilę, minimalna aksjomatyka algebry Boole’a to zaledwie osiem punktów które trzeba znać na pamięć.
Definicja znaczka w logice matematycznej:
Znaczek w logice matematycznej to symbol zdefiniowany odpowiednią tabelą zero-jedynkową
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+):
I.
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka
Znaczek tożsamy w matematyce:
(*) - znaczek koniunkcji
Znaczek tożsamy w technice:
(*) - bramka logiczna AND
Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
| Kod: |
p* q Y=p*q
A: 1* 1 =1
B: 1* 0 =0
C: 0* 1 =0
D: 0* 0 =0
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
Y=1
|
Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia którą logiką będziemy się posługiwać. W przypadku spójnika „i”(*) użycie logiki jedynek jest najszybszym sposobem wypełnienia wynikowej kolumny zero-jedynkowej.
II.
(+) - spójnik „lub”(+) z języka potocznego człowieka
Znaczek tożsamy w matematyce:
(+) - znaczek alternatywy
Znaczek tożsamy w technice:
(+) - bramka logiczna OR
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
| Kod: |
p+ q Y=p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
Y=1
|
Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia którą logiką będziemy się posługiwać. W przypadku spójnika „lub”(+) użycie logiki zer jest najszybszym sposobem wypełnienia wynikowej kolumny zero-jedynkowej.
Najważniejsze prawa algebry Boole’a (aksjomatyka minimalna) to:
1.
1=prawda
0=fałsz
1=~(0)=~0 - prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu
0=~(1)=~1 - fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy
2.
Elementem neutralnym w spójniku „i”(*) jest jedynka
p*1=p - łatwe do zapamiętania przez analogię do zwykłego mnożenia: x*1=x
p+1=1 - to jedyny wyjątek nie mający odpowiednika w zwykłym dodawaniu
3.
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest zero
p+0=p - łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego dodawania: x+0=x
p*0=0 - łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego mnożenia: x*0=0
4.
Definicja dziedziny D w zbiorach:
A: p+~p=D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny (D) dla zbioru p
B: p*~p=[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne (p*~p=[]=0), stąd ich iloczyn logiczny to 0
Definicja dziedziny D w zdarzeniach:
C: p+~p=D =1 - zdarzenie ~p jest uzupełnieniem do dziedziny (D) dla zdarzenia p
D: p*~p=[] =0 - zdarzenia p i ~p są rozłączne, stąd ich iloczyn logiczny to zbiór pusty []=0
Przykłady:
4A
Zdanie zawsze prawdziwe w zbiorach:
Dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 2 lub nie jest podzielna przez 2
D=LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] – zbiór liczb naturalnych, wspólna dziedzina dla P2 i ~P2
P2+~P2=D =1 - zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest uzupełnieniem do dziedziny D dla P2=[2,4,6,8..]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb naturalnych LN pomniejszony o zbiór liczb parzystych P2
4B.
Zdanie zawsze fałszywe w zbiorach:
Dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 2 i nie jest podzielna przez 2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2=[2,4,6,8..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
4C.
Zdanie zawsze prawdziwe w zdarzeniach:
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
Y = K+~K =D =1 - zdarzenie ~K jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla zdarzenia K
D=[K,~K] – zbiór wszystkich możliwych zdarzeń w dniu jutrzejszym, dziedzina
Chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień
4D.
Zdanie zawsze fałszywe w zdarzeniach:
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y = K*~K =[] =0 - zdarzenie ~K jest rozłączne ze zdarzeniem K
Chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień
5.
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) są przemienne
p*q=q*p
p+q=q+p
6.
Prawo redukcji/powielania zmiennych binarnych:
p*p=p
p+p=p
7.
Prawa De Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
p*q = ~(~p+~q)
8.
Obsługa wielomianów logicznych jest identyczna jak wielomianów klasycznych pod warunkiem przyjęcia analogii:
Spójnik „lub”(+) to odpowiednik sumy algebraicznej (+) np. x+y
Spójnik „i”(*) to odpowiednik iloczynu algebraicznego (*) np. x*y
Stąd mamy:
Kolejność wykonywania działań w wielomianach logicznych:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
bo robimy analogię do wielomianów klasycznych.
Przykład mnożenia wielomianów logicznych:
Niech będzie dana funkcja logiczna Y:
Y = (p+~q)*(~p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Minimalizujemy:
Y = (p+~q)*(~p+q) = p*~p + p*q +~q*~p + ~q*q = 0 + p*q + ~q*~p + 0 = p*q + ~p*~q
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p*~p=0
p+0 =p
Przemienność:
~q*~p = ~p*~q
Stąd:
Nasza funkcja logiczna Y po minimalizacji przybiera postać:
Y = (p+~q)*(~p+q) = p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Inny przykład wykorzystania praw algebry Boole’a.
Udowodnij prawo algebry Boole’a:
p + p*q =p
Dowód:
p + p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p=p*1
Wyciągnięcie zmiennej p przed nawias identyczne jak w wielomianach klasycznych
1+q=1
p*1=p
cnd
Każde z praw logiki matematycznej można udowodnić w rachunku zero-jedynkowym.
Przykład 1.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo rachunku zero-jedynkowego:
p+1 =1
Mamy tu:
p - zmienna algebry Boole’a mogąca przyjmować dowolne wartości logiczne 0 albo 1.
q=1 - wartość logiczna stała, niezmienna (twarda jedynka niezależna od czasu)
Korzystamy z definicji spójnika „lub”(+).
| Kod: |
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
p+ q Y=p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
|
Stąd mamy:
| Kod: |
Dla p i q=1 mamy:
p+ q=1 Y=p+1
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 1 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 1 =1
|
Stąd mamy dowód prawdziwości prawa rachunku zero-jedynkowego:
p+1 =1
cnd
Przykład 2.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo algebry Boole’a:
p+~p =1
| Kod: |
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
p+ q Y=p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
|
Stąd mamy:
| Kod: |
Dla p i q=~p mamy:
p+~p Y=p+~p
A: 1+ 0 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 1 =1
|
Stąd mamy dowód prawdziwości prawa rachunku zero-jedynkowego:
p+~p =1
cnd
Przykład 3.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo De Morgana dla sumy logicznej „lub”(+):
p+q = ~(~p*~q)
Zaczynamy od definicji spójnika „lub”(+)
| Kod: |
p+ q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q Y=~(~Y)=~(~p*~q)
A: 1+ 1 =1 =0 0* 0 =0 =1
B: 1+ 0 =1 =0 0* 1 =0 =1
C: 0+ 1 =1 =0 1* 0 =0 =1
D: 0+ 0 =0 =1 1* 1 =1 =0
1 2 3 4 5 6 7 8
Gdzie:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
|
Tożsamość kolumn wynikowych 3=8 (Y=Y) jest dowodem poprawności prawa De Morgana:
Y = 3: p+q = 8: ~(~p*~q)
#
Tożsamość kolumn wynikowych 4=7 (~Y=~Y) jest dowodem poprawności prawa De Morgana:
~Y = 4: ~(p+q) = 7:~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
cnd
Zadanie dla czytelnika:
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo De Morgana dla iloczynu logicznego „i”(*):
p*q = ~(~p+~q)
5.5 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków
Rozważmy projektowanie sterowania windą.
Przyjmijmy wejście układu windy:
Na poziomie 5-cio latka zakładamy że winda ma dwa przyciski wejściowe układu (zmienne binarne):
Opis przycisku D=[drzwi]:
D=1 - drzwi zamknięte (D)
~D=1 - drzwi nie zamknięte (~D)
Opis przycisku P=[piętro]:
P=1 - przycisk piętro wciśnięty (P)
~P=1 - przycisk piętro nie wciśnięty (~P)
Przyjmijmy wyjście układu windy:
Wyjście układu opisane jest przez zmienną binarną J=[jedzie]:
J=1 - winda jedzie (J).
~J=1 - winda nie jedzie (~J)
I.
Pani przedszkolanka do Jasia (lat 5):
Powiedz nam Jasiu kiedy winda jedzie (J=1)?
Jaś:
A1.
Winda jedzie (J=1) wtedy i tylko wtedy gdy drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
A1: J=D*P
co w logice jedynek oznacza:
J=1 <=> D=1 i P=1
Wniosek:
Jaś zaprojektował sterownie windą w logice dodatniej (bo J)
II.
Pani przedszkolanka do Zuzi (lat 5):
Powiedz nam Zuziu kiedy winda nie jedzie (~J=1)?
Zuzia:
A2.
Winda nie jedzie (~J=1) wtedy i tylko wtedy gdy drzwi nie są zamknięte (~D=1) "lub"(+) nie jest wciśnięty przycisk piętro (~P=1)
A2: ~J = ~D + ~P
co w logice jedynek oznacza:
~J=1 = ~D=1 lub ~P=1
Wniosek:
Zuzia zaprojektowała sterowanie windą w logice ujemnej (bo ~J)
Wnioski końcowe:
Rozwiązanie Jasia i Zuzi są matematycznie tożsame bo oczywisty związek logiki dodatniej (bo J) i ujemnej (bo ~J) jest następujący:
Jaś:
Moja logika dodatnia (bo J) to zanegowana logika ujemna (bo ~J), stąd mamy:
J = ~(~J)
Po podstawieniu:
A2: ~J = ~D + ~P
Mamy:
J = ~(~D+~P)
czyli:
J = ~(~D+~P) = D*P - prawo De Morgana
cnd
Zuzia:
Moja logika ujemna (bo ~J) to zanegowana logika dodatnia (bo J), stąd mamy:
~J = ~(J)
Po podstawieniu:
A1: J=D*P
Mamy:
~J = ~(D*P)
czyli:
~J = ~(D*P) = ~D+~P - prawo De Morgana
cnd
Doskonale tu widać, zarówno Jaś jak i Zuzia (oboje po 5 wiosenek) perfekcyjnie znają algebrę Kubusia bo po prostu pod nią podlegają.
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = znana inżynierom bramka AND
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = znana inżynierom bramka OR
Znaczek przeczenia (~) też ma swój odpowiednik w bramkach logicznych w postaci układu negatora:
„o”(~) - bramka negatora „o”(~)
Bramka negatora "o" w każdej chwili czasowej zamienia cyfrowy sygnał wejściowy (p) na jego negację na wyjściu negatora (~p).
Stąd:
Przełożenie powyższych zdań na bramki logiczne jest trywialne:
Wszędzie, gdzie wymawiamy spójnik „i”(*) walimy bramę AND.
Wszędzie, gdzie wymawiamy spójnik „lub”(+) walimy bramkę OR
Stąd:
Zdania Jasia i Zuzi w przełożeniu na teorię bramek logicznych wyglądają następująco:
| Kod: |
T1
Zdania Jasia i Zuzi przełożone na język bramek logicznych „i”(*) i „lub”(+)
-------------
D------x-------->| |
| | „i”(*) |---x-----x----> A1: J=D*P (Jaś)
P--x------------>| | | |
| | ------------- \/ |
| | o o # (negator w obu kierunkach)
| | ~D ------------- | /\
| |--o----->| | | |
| ~P | „lub”(+) |---x-----x----> A2: ~J=~D+~P (Zuzia)
|------o----->| |
-------------
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
„o”(~) - bramka negatora „o”(~)
Negator w każdej chwili czasowej zamienia cyfrowy sygnał wejściowy
na jego negację na wyjściu negatora.
W świecie rzeczywistym musi tu być negator z otwartym kolektorem (OC)
na przykład SN74LS06
|
Opis działania układu:
Jaś:
A1:
Winda jedzie (J) gdy drzwi są zamknięte (D) i wciśnięty przycisk piętro (P)
J=D*P
… a kiedy winda nie jedzie (~J)?
#
Dowolną funkcję logiczną (np. J=D*P) mamy prawo dwustronnie zanegować (#)
Negujemy funkcję logiczną A1 dwustronnie:
A2:
~J=~(D*P)=~D+~P - prawo De Morgana
Stąd:
A2.
Zuzia:
Winda nie jedzie (~J) gdy drzwi nie są zamknięte (~D)
lub nie jest wciśnięty przycisk piętro (~P)
~J=~D+~P
To jest cała filozofia przełożenia logiki matematycznej Jasia i Zuzi na teorię bramek logicznych.
Uwaga:
W użytecznym sterowaniu trzeba wprowadzić dodatkową zmienną binarną sygnalizującą dojechanie windy na żądane piętro, gdzie winda automatycznie staje i przycisk P (piętro) wyskakuje. Przy zamkniętych drzwiach warunkiem koniecznym i wystarczającym kolejnej jazdy jest wciśnięcie piętra różnego od tego, na którym winda aktualnie stoi. Takie sterownie to temat na ćwiczenie laboratoryjne na I roku studiów elektronicznych.
Podsumowanie:
Matematyczna trudność projektowania złożonych sterowań w laboratorium bramek logicznych na I roku elektroniki Politechniki Warszawskiej absolutnie nie wykracza poza opisany wyżej poziom matematyczny 5-cio letnich, genialnych inżynierów Jasia i Zuzi. Oczywiście w trudniejszych problemach zmiennych binarnych jest więcej, ale układ sterowania projektuje się identycznie jak to zrobili Jaś i Zuzia, czyli mając w głębokim poważaniu jakiekolwiek tabele zero-jedynkowe.
Weźmy jeszcze raz naszego Jasia:
A1.
Jeśli winda jedzie (J=1) to na 100% => drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
A1: J=> D*P
Jazda windą jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania, że drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
W drugą stronę warunek wystarczający => też jest prawdziwy:
B3.
Jeśli drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1) to na 100% => winda jedzie (J=1)
B3: D*P=>J =1
Zamknięte drzwi (D=1) i wciśnięty przycisk piętro (P=1) jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania, że winda jedzie.
Uwaga:
Zakładamy tu, że wciskamy przycisk piętro (P) różny od piętra na którym aktualnie winda stoi.
Stąd mamy dowód iż zachodzi równoważność o definicji:
Równoważność p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Nasz przykład:
RA1B3:
Winda jedzie (J=1) wtedy i tylko wtedy gdy drzwi są zamknięte (D=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
RA1B3: J<=>D*P = (A1: J=>D*P)*(B3: D*P=>J) =1*1 =1
cnd
Prawo Irbisa (poznamy niebawem):
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/pojęć p=q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Dla naszego przykładu możemy zapisać:
Zdarzenie „winda jedzie” (J) jest tożsame „=” ze zdarzeniem „zamknięte drzwi i wciśnięty przycisk piętro” (D*P=1)
(J=D*P) <=> (A1: J=>D*P)*(B3: D*P=>J) = J<=>D*P
5.6 Operator Y|=p+q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo duża
Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami "i"(*) I "lub"(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Przykład A1:
Definicja operatora Y|=p+q to układ równań logicznych 1 i 2 dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Potoczna definicja spójnika "lub"(+):
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Innymi słowy:
Wystarczy że zajdzie którekolwiek ze zdarzeń p albo q i już funkcja logiczna Y przyjmuje wartość logiczną 1
Stąd mamy:
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach/zbiorach niepustych i rozłącznych:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód:
Minimalizujemy prawą stronę:
Y = A: p*q+ B: p*~q + C: ~p*q
Dowód:
Minimalizujemy funkcję 1’:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q)+~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p+~p*~q
~Y=~p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
cnd
Stąd mamy:
1: Y=p+q [=] 1’: Y = A: p*q+ B: p*~q + C: ~p*q
5.6.1 Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych
Wyprowadziliśmy wyżej tożsamość logiczną:
1: Y=p+q [=] 1’: Y = A: p*q+ B: p*~q + C: ~p*q
Stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych ABC którą obowiązkowo trzeba zapamiętać
Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q +~p*q
5.6.2 Diagram operatora „lub”(|+) w zdarzeniach
Diagram w zdarzeniach opisujący ten przypadek jest następujący:
| Kod: |
D1
Definicja operatora A1: Y|=p+q w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q | A: Ya=p*q | C: Yc=~p*q | D:~Yd=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zdarzenia ABCD to zdarzenia niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D
Dowód wzajemnej rozłączności zdarzeń ABCD:
A: p*q
B: p*~q
C: ~p*q
D: ~p*~q
Mnożymy logicznie każde zdarzenie z każdym:
A*B=(p*q)*(p*~q)=[] =0 - bo q*~q=0
A*C=(p*q)*(~p*q)=[] =0 - bo p*~p=0
A*D=(p*q)*(~p*~q)=[]=0 - bo p*~p=0
B*C=(p*~q)*(~p*q)=[]=0 - bo p*~p=0
B*D=(p*~q)*(~p*~q)=[]=0 - bo p*~p=0
C*D=(~p*q)*(~p*~q)=[]=0 - bo q*~q=[]=0
cnd
Dowód iż zdarzenia ABCD uzupełniają się wzajemnie do dziedziny D:
D = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
D=p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q
D=p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
D=p+~p =1
cnd
5.6.3 Przykład operatora Y|=K+T w zdarzeniach
Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo duża
Rozważmy zdanie na poziomie 5-cio letniego dziecka.
Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami "lub"(+) i "i"(*):
Operator logiczny wyrażony spójnikami "lub"(+) i "i"(*) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Pani przedszkolanka:
1.
ABC:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Matematycznie oznacza to, że jutro pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa, czyli:
ABC:
Y=A: K*T + B: K*~T + C:~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych jedynki są domyślne
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
B: Yb=K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: Yc=~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Matematycznie zachodzi:
Y = Ya+Yb+Yc
Gdzie:
Ya, Yb, Yc - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji Y
Przejdźmy na zapisy formalne podstawiając:
K=p
T=q
Dowód iż tak jest w istocie w zapisach formalnych.
stąd:
Y = Ya+Yb+Yc = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
minimalizujemy funkcję logiczną Y:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p+~q
~Y = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
cnd
Matematycznie zachodzi:
Y=Y
stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych ABC którą obowiązkowo trzeba zapamiętać
Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q +~p*q
… a kiedy pani skłamie = nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
2.
Negujemy równanie 1 (ABC) dwustronnie:
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
D.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
| Kod: |
D1
Definicja operatora A1: Y|=K+T w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=K*T+K*~T+~K*T+~K*~T=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń możliwych |
--------------------------------------------------------------------------
| p=[K] |
------------------------------------------------------
| q=[T] |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q= K*~T| A: Ya=p*q=K*T | C: Yc=~p*q=~K*T | D:~Yd=~p*~q=~K*~T |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zauważmy, że wszystkie możliwe zdarzenia ABCD są rozłączne i niepuste oraz uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dziedziną dla naszego przykładu jest zbiór wszystkich możliwych zdarzań które jutro mogą wystąpić:
D = |Ya|+|Yb|+|Yc|+|Yd|
Gdzie:
|Yx| - funkcja logiczna Yx z pominięciem przeczenia (wartość bezwzględna)
Stąd mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
Y = p+~p =1
Dziedzina jest poprawna.
cnd
W dniu jutrzejszym ma szansę wystąpić wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń.
Dla naszego przykładu w zapisach ogólnych mamy:
p=K
q=T
Stąd w zapisach aktualnych (z przykładu) mamy:
1.
Kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y=1)?
Y=Ya+Yb+Yc
A:
Ya=K~~>T=K*T =1*1=1
Możliwe ~~> jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Ya=1
lub
B:
Yb=K~~>~q=K*~T=1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Yb=1
lub
C:
Yc=~K~~>~T=~K*T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Yc=1
2.
Kiedy jutro pani skłamie (~Y=1)?
D:
~Yd=~K~~>~T=~K*~T =1*1=1
Pani skłamie:
~Yd=1
Czytamy:
P1: Prawdą jest (=1), że jutro pani nie dotrzyma słowa (~Yd), jeśli nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
P1: (~Yd=1) = P2: (Yd=0)
Prawą stronę czytamy:
P2: Fałszem jest (=0), że jutro pani dotrzyma słowa (Yd), jeśli nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Tożsamość zdań P1=P2 jest oczywista, co jest potwierdzeniem prawa Prosiaczka.
5.7 Operator Y|=p*q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo duża
Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami "i"(*) I "lub"(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Przykład:
Definicja operatora Y|=p*q to układ równań logicznych 1 i 2 dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Innymi słowy:
Pozostałe przypadki niepuste i rozłączne, poza funkcją logiczną Y=p*q muszą być zapisane w logice ujemnej (bo ~Y).
Diagram w zdarzeniach opisujący ten przypadek jest następujący:
| Kod: |
D0
Definicja operatora A1: Y|=p*q w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B:~Yb=p*~q | A: Ya=p*q | C:~Yc=~p*q | D:~Yd=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
|
Nasz przykład:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
1.
Y = p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych jedynki są domyślne.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1.
~Y = ~(p*q) = ~p+~q - prawo De Morgana
~Y=~p+~q
Innymi słowy:
Wystarczy że zajdzie cokolwiek (~p=1) lub (~q=1) i już funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość logiczną (~Y=1).
Z diagramu odczytujemy:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
Po rozwinięciu mamy:
~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
~Y = ~p+~q [=] ~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Doskonale to widać z diagramu D0.
Można to też udowodnić w sposób czysto matematyczny:
~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy prawą stronę:
~Y = p*~q + ~p*(q+~q)
~Y = ~p+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negacją zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q
Y = p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p+~q
stąd mamy:
~Y = ~p+~q [=] ~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
cnd
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
5.7.1 Przykład operatora Y|=K*T w zdarzeniach
Częstotliwość użycia w języku potocznym: bardzo duża
Rozważmy zdanie na poziomie 5-cio letniego dziecka.
Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami "lub"(+) i "i"(*):
Operator logiczny wyrażony spójnikami "lub"(+) i "i"(*) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Pani przedszkolanka:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 dwustronnie:
BCD:
~Y=~(K*T) = ~K+~T - prawo De Morgana
Stąd mamy:
2.
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
BCD:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Matematycznie oznacza to, że jutro nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y=1), czyli:
~Y=B: K*~T + C: ~K*T + D:~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
bo w równaniu alternatywno-koniunkcyjnym wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~Yb = K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: ~Yc = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
LUB
D: ~Yd = ~K*~T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Matematycznie musi zachodzić tożsamość funkcji logicznych:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
Gdzie:
~Yb, ~Yc, ~Yd - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji ~Y
| Kod: |
D1
Definicja operatora A1: Y|=K+T w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=K*T+K*~T+~K*T+~K*~T=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń możliwych |
--------------------------------------------------------------------------
| p=[K] |
------------------------------------------------------
| q=[T] |
--------------------------------------------------------------------------
| B:~Yb=p*~q= K*~T| A: Ya=p*q=K*T | C:~Yc=~p*q=~K*T | D:~Yd=~p*~q=~K*~T |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zauważmy, że wszystkie możliwe zdarzenia ABCD są rozłączne i niepuste oraz uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dziedziną dla naszego przykładu jest zbiór wszystkich możliwych zdarzań niepustych i rozłącznych które jutro mogą wystąpić:
D = |Ya|+|Yb|+|Yc|+|Yd|
Gdzie:
|Yx| - funkcja logiczna Yx z pominięciem przeczenia
Stąd mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
Y = p+~p =1
Dziedzina jest poprawna.
cnd
W dniu jutrzejszym ma szansę wystąpić wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń niepustych i rozłącznych.
Dla naszego przykładu w zapisach ogólnych mamy:
p=K
q=T
Stąd w zapisach aktualnych (z przykładu) mamy:
1.
Kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y=1)?
A:
Ya=K~~>T=K*T =1*1=1
Możliwe ~~> jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Pani dotrzyma słowa:
Ya=1
2.
Kiedy jutro pani skłamie (~Y=1)?
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
B:
~Yb=K~~>~q=K*~T=1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani skłamie (= nie dotrzyma słowa ~Yb):
~Yb=1
lub
C:
~Yc=~K~~>~T=~K*T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Pani skłamie:
~Yc=1
lub
D:
~Yd=~K~~>~T=~K*~T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani skłamie (~Yd=1)
5.8 Równoważność K<=>T w świecie żywym
Definicja równoważności p<=>q w świecie żywym:
Z równoważnością w świecie żywym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy każde z czterech możliwych zdarzeń {A: p*q, B: p*~q, C: ~p*~q, D: ~p*q} ma szansę przyjąć wartość logiczną jeden
Definicja spójnika „<=> - wtedy i tylko wtedy” wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Przykład:
Pani w przedszkolu wypowiada obietnicę bezwarunkową:
1.
Jutro pójdziemy do kina tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Innymi słowy:
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
K<=>T = A: K*T + C: ~K*~T
Podstawmy celem skrócenia zapisów:
Y = K<=>T
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1: Y = A: K*T + C: ~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
co w logice jedynek oznacza:
1: Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Uwaga:
Wyłącznie funkcje alternatywno-koniunkcyjne są zrozumiałe dla człowieka, od 5-cio latka poczynając.
Funkcji koniunkcyjno-alternatywnych żaden człowiek nie rozumie tzn. nie mają one przełożenia 1:1 na język potoczny.
Wyłącznie w funkcji alternatywno-koniunkcyjnej jedynki są domyślne, czyli możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Przyjmijmy następujące znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y), czyli pani skłamie (S=~Y)
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1: Y = A: K*T + C: ~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
co w logice jedynek oznacza:
1: Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
Yc = ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Gdzie:
Y = Ya+Yc - funkcja logiczna Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych Ya+Yc
Jak widzimy, odpowiedź kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) jest intuicyjnie zrozumiała.
Matematycznie kluczowa jest tu odpowiedź na pytanie:
Kiedy pani skłamie (~Y)?
Aby odpowiedzieć na to pytanie musimy dwustronnie zanegować funkcję logiczną 1.
2: ~Y = ~(K*T+~K*~T)
Prawą stronę minimalizujemy prawami De Morgana:
Krok 1
2: ~Y = ~(K*T)*~(~K*~T) - prawo De Morgana: ~(p+q) = ~p*~q
Krok 2
2: ~Y = (~K+~T)*(K+T) - prawo De Morgana: ~(p*q) = ~p+~q
Stąd mamy.
Kolejność wykonywania działań w algebrze Boole’a:
Przeczenie (~), nawiasy, spójnik „i”(*), spójnik „lub”(+)
Przetłumaczmy opisaną wyżej postać koniunkcyjno-alternatywną na język potoczny:
2: ~Y = (~K+~T)*(K+T)
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
(~K+~T) - jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
„i”(*)
(K+T) - jutro pójdziemy do kina (K) lub pójdziemy do teatru (T)
Doskonale widać, że otrzymaliśmy masakrę, czyli odpowiedź na pytanie kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y), której w języku potocznym żaden człowiek nie rozumie (z matematykiem włącznie).
Co zatem mamy robić?
Po pierwsze bez paniki wymnażamy wielomian 2 (dla wygody przechodzimy na zapis ogólny):
2: ~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
3: ~Y = p*~q + ~p*q - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Nasz przykład:
3.
~Y = K*~T + ~K*T - postać alternatywno-koniunkcyjna
co w logice jedynek obowiązującej wyłącznie w postaci alternatywno-koniunkcyjnej oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub D: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Yb = K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
„lub”(+)
~Yd = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Gdzie:
~Y = ~Yb+~Yc - funkcja logiczna ~Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych ~Yb+~Yd
Doskonale widać, że tą odpowiedź na pytanie kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) rozumie każdy człowiek, od 5-cio latka poczynając.
Wniosek z naszego przykładu to prawo Pandy.
Prawo Pandy:
Jedyną funkcją logiczną zrozumiałą dla każdego człowieka jest funkcja alternatywno-koniunkcyjna
Z prawa Pandy wynika, że jeśli z jakiegokolwiek przekształcenia funkcji logicznej algebry Boole’a wyskoczy mam choćby fragment postaci koniunkcyjno-alternatywnej, to taki fragment musimy sprowadzić do postaci alternatywno-koniunkcyjnej wymnażając wielomian, jak to zrobiliśmy wyżej.
Podsumowanie:
Jak widzimy korzystając dwukrotnie z praw De Morgana przeszliśmy od funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y):
1: Y = K*T +~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Do funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y):
2: ~Y = K*~T + ~K*T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Akurat w tym przypadku to przejście było proste, bo na wejściu mieliśmy do czynienia z prostą funkcją logiczną Y:
1: Y = K*T +~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
W ogólnym przypadku funkcja alternatywno-koniunkcyjna może być dowolnie skomplikowana i wtedy korzystanie z praw De Morgana, choć matematycznie poprawne, będzie skomplikowanym masochizmem.
Na szczęście istnieje skrócony algorytm przejścia z logiki dodatniej (bo Y) do ujemnej (bo ~Y) i odwrotnie, po raz pierwszy zapisany przez Wuja Zbója.
5.8.1 Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej
Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
1.
Y = pq+~p~q - zapis dopuszczalny w technice z pominięciem spójnika „i”(*)
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
1.: Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2: ~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója
5.8.2 Kolejność wykonywania działań w algebrze Kubusia
Kolejność wykonywania działań w algebrze Kubusia:
przeczenie (~), nawiasy, spójnik „i”(*), spójnik „lub”(+), ~~>, =>, ~>, <=>
Gdzie:
Znaczki z algebry Boole’a to:
przeczenie(~), nawiasy, spójnik „i”(*), spójnik „lub”(+)
Znaczki spoza algebry Boole’a (tzn. z algebry Kubusia) to:
~~> - zdarzenie możliwe lub element wspólny zbiorów
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
<=> - równoważność
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 10:26, 23 Paź 2022, w całości zmieniany 3 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
