ŚFiNiA

[rafal3006]

Lekcja 5

Równoważność czy implikacja

[rafal3006]

[volrath]

W implikacji nie jest obojętne czy napiszemy p => q czy q => p. Oba te zdania są różne, dlatego to jest implikacja, a nie równoważność.

Prawo kontrapozycji wystarczy jedno nie dlatego, że p => q równoważne q => p, ale dlatego, że wygląda tak samo dla dowolnych a i b wstawionych w a => b.

Wystarczy jedno prawo, ale "p => q <=> ~q => ~p" nie jest równoważne "q => p <=> ~p => ~q" dla zadanych zdań p i q.

To są dwa nierównoważne zastosowania jednego prawa do którego starczy jeden zapis.

[volrath]

Ja nie twierdzę, że implikacja odwrotna to to samo co prosta.

Twierdzę, że p=>q <=> ~q=>~p <=> q~>p <=> ~p~>~q <=> p NAND (p NAND q)

I że 4L ~> ~P jest fałszywe bo istnieją mrówki.

[rafal3006]

[rafal3006]

[volrath]

Analogia z programem jest dosyć udana. Ja bym powiedział, że mój program opisujący logikę dostał dane w złym formacie (formacie dla Twojego programu).

Z tego co rozumiem to tak samo rozumiemy implikację => i odwrotną implikację ~> tylko inaczej rozkładamy je na składowe. Przynajmniej jak chodzi o tabelkę, bo o innych "pozatabelkowych" różnicach napiszę dalej.

Ty rozkładasz na składowe:
P=>4L = 1 (pies)
P=>~4L = 0 (nieistnieje)
~P~>~4L =1 (mrówka)
~P~>4L =1 (słoń)

Ja rozkładam na składowe:
P AND 4L = 1 (pies)
P AND ~4L = 0 (nieistnieje)
~P AND ~4L =1 (mrówka)
~P AND 4L =1 (słoń)

I operatory w składowych ja traktuję dosłownie, iterując po obiektach i przypisując im P lub ~P i 4L lub ~4L, a następnie podstawiając. Jeśli nie znajdę obiektu dla którego implikacja jest fałszywa, to implikacja jest prawdziwa.

Ty zaś operatory w analizie częściowych traktujesz nieco inaczej - bierzesz tylko jedną gwarancję dla p=>q (prawdziwość = wystarczy wykazać, że dla wszystkich p i q) i jedną dla r~>s (prawdziwość = wystarczy wykazać, że dla jednego r i s).

W sumie wychodzi na to samo (lub prawie to samo).

Spróbujmy sprawdzić, czy są różnice.

[rafal3006]

Lekcja 6

Definicje spójnika „musi” => i „może”~> w algebrze Boole'a

Znaczenie spójników „musi” i „może” jest absolutnie naturalne, zgodne z logiką przedszkolaka.

Definicja implikacji prostej
p=>q = ~p+q
p=>q
Jeśli zajdzie p to "musi" => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q

Definicja spójnika „musi” =>:
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Zdanie jest prawdziwe jeśli dla każdego elementu spełniającego warunek p zajdzie warunek q
Zdanie jest fałszywe jeśli istnieje przynajmniej jeden element spełniający warunek p i nie spełniający warunku q

Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
P8 jest warunkiem wystarczającym dla P2
Jeśli zwierzę jest psem to ma skrzydła
P=>S =0
Pies spełnia warunek p i nie spełnia warunku q

W języku mówionym spójnik „na pewno” => jest domyślny i nie musi być wypowiadany.


Definicja implikacji odwrotnej
p~>q = p+ ~q
p~>q
Jeśli zajdzie p to "może" ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Definicja spójnika „może” ~>:
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
Zdanie jest prawdziwe jeśli istnieje przynajmniej jeden element spełniający warunek p i warunek q
Zdanie jest fałszywe gdy nie istnieje element spełniający warunek p i warunek q

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8 =1 bo 8
P2 jest warunkiem koniecznym dla P8
P8 jest warunkiem wystarczającym dla P2

Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 5
P3~>P5 =1 zdanie prawdziwe bo 15
P3 nie jest warunkiem koniecznym dla P5 bo 5
P5 nie jest warunkiem wystarczającym dla P3 bo 5
Z punktu widzenia implikacji zdanie bezwartościowe bo na pewno nie jest częścią żadnej implikacji

Jeśli zwierzę ma skrzydła to może być psem
S~>P =0
Nie istnieje element spełniający warunek p i warunek q
Nie istnieje pies ze skrzydłami.

Zauważmy fenomenalną analogię spójników „musi” do AND i „może” do OR.

AND
Iloczyn logiczny jest prawdziwy wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki iloczynu są równe 1, fałszywy gdy istnieje przynajmniej jeden element o wartości 0.

Definicja spójnika „musi” =>:
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Zdanie jest prawdziwe jeśli dla każdego elementu spełniającego warunek p zajdzie warunek q
Zdanie jest fałszywe jeśli istnieje przynajmniej jeden element spełniający warunek p i nie spełniający warunku q.

OR
Suma logiczna jest prawdziwa gdy istnieje przynajmniej jeden element prawdziwy, fałszywa gdy wszystkie składniki sumy maja wartość 0.

Definicja spójnika „może” ~>:
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
Zdanie jest prawdziwe jeśli istnieje przynajmniej jeden element spełniający warunek p i warunek q
Zdanie jest fałszywe gdy nie istnieje element spełniający warunek p i warunek q


Błędne użycie spójników „musi” i „może”

Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „może” być podzielna przez 2
P8~>P2 =1

Oczywiście zgodnie z definicja spójnika „może” zdanie jest prawdziwe, ale na pewno nie jest to implikacja odwrotna.

Mamy tu podobny przypadek jak z rozpoznawaniem równoważności i implikacji:
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,12/kubusiowa-szkola-logiki-na-zywo,3591-40.html#69437

Algorytm rozpoznawania równoważności i implikacji:
1.
Zdanie „Jeśli…to…” jest równoważnością wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi pewne wynikanie wzdłuż dowolnego boku kwadratu logicznego równoważności, inaczej zdanie może być implikacją prostą, implikacją odwrotną lub implikacją fałszywą czyli nie spełniającą definicji implikacji.
2.
Zdanie jest implikacją wtedy i tylko wtedy gdy po wykluczeniu równoważności stwierdzimy dowolny warunek wystarczający lub konieczny w kwadracie logicznym implikacji, inaczej zdanie nie jest ani implikacją, ani równoważnością.
3.
Dopiero po stwierdzeniu że zdanie jest implikacją możemy zapisać:
Implikacja prosta p=>q jest fałszywa wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p i nie zajdzie q.
Implikacja odwrotna p~>q jest fałszywa wtedy i tylko wtedy nie zajdzie p i zajdzie q

Jak widać, dzięki temu że w pierwszym kroku eliminujemy równoważność, w drugim mamy ułatwione zadanie bo wystarczy udowodnić dowolny warunek wystarczający, który dowodzi się dużo prościej niż warunek konieczny.

Analogicznie mamy w przypadku zdania:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „może” być podzielna przez 2
P8~>P2 =1
Błędnie użyty spójnik „może” korygujemy już w pierwszym kroku algorytmu niżej

Algorytm rozróżniania spójnika „musi” od spójnika „może”:

1.
Sprawdzamy czy zdanie jest prawdziwe dla spójnika „musi”. Jeśli jest to zlokalizowaliśmy implikację prostą. Oczywiście w tym przypadku trzeba wykluczyć równoważność zgodnie z algorytmem wyżej.
Zauważmy, że w spójniku „musi” mamy gwarantowaną implikację prostą o ile zdanie jest prawdziwe i nie jest równoważnością.

2.
Sprawdzamy zdanie dla spójnika „może”. Jeśli jest fałszywe to wyrzucamy go do kosza z napisem „śmieć”.
Jeśli zdanie ze spójnikiem „może” jest prawdziwe to mamy takie możliwości:

A.
Zdanie jest implikacją odwrotną. Tu musi zachodzić warunek konieczny w stronę p~>q lub wystarczający w stronę q=>p.
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8
W tym przypadku oba warunki są oczywistością, konieczny w stronę P2~>P8 i wystarczający w stronę P8=>P2.

B.
Zdanie nie jest implikacja odwrotną, ale jest częścią poprawnej implikacji odwrotnej.
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być niepodzielna przez 8
P2~>~P8 =1 bo 2
To zdanie jest cenne z punktu widzenia logiki, bo bez problemu pozwala odtworzyć wszystkie osiem zdań z dwóch układów implikacyjnych, czyli pozwala zlokalizować wszystkie cztery możliwe implikacje (dwie proste i dwie odwrotne) których jest częścią.

Algorytm lokalizacji implikacji odwrotnej jest tu banalny. Negujemy następnik i zdanie musi być piękną implikacja odwrotną.

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
P2 jest konieczna dla P8 zatem jest to piękna implikacja odwrotna.

Odtworzenie pozostałych zdań implikacyjnych to zadanie dla przedszkolaka, dosłownie !!!

C.
Zdanie jest prawdziwe ale nie jest ani implikacją odwrotną, ani też częścią implikacji odwrotnej czyli nie spełnia warunków A i B.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to jest podzielna przez 15
P3~>P15 =1 bo 15
Oczywiście tu ani P3 nie jest konieczne dla P15, ani też P15 nie jest wystarczające dla P3. Z punktu widzenia logiki zdanie bezwartościowe.

P.S.
Z punktu widzenia logiki zdanie fałszywe też może być cenne, bowiem może to być fragment jakiejś pięknej implikacji. To jest problem na poziomie przedszkolaka, bowiem aby to stwierdzić wystarczy zanegować następnik, musi być warunek wystarczający, inaczej to ewidentny śmieć.

Jeśli zwierzę jest psem to na pewno nie ma czterech łap
P=>~4L
Negujemy następnik i mamy:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym, aby mieć cztery łapy, zetem rozpatrywane zdanie fałszywe jest fragmentem pięknej implikacji prostej.

[rafal3006]

Powiem szczerze, próbowałem się wgryźć w to co napisałeś z zerowym efektem tzn. coś tam rozumiałem, ale żeby zapanować na całością trzeba być biegłym w dzisiejszej logice … a Kubuś nie widział na oczy żadnej książki do logiki.

[volrath]

O ile dobrze rozumiem analogię z zwierzakami, to żeby implikacja p=>q była prawdziwa, to musi:

1) Nie istnieć coś, dla czego zachodzi p i ~q
2) Istnieć coś, dla czego zachodzi p i q
3) Istnieć coś, dla czego zachodzi ~p i q
4) Istnieć coś, dla czego zachodzi ~p i ~q.

Czyli pudełka z 1 mają coś zawierać. A pudełka z 0 nic nie zawierać.
Tak?

Jeśli tak jest to wtedy zachodzi p=>q <=> ~q=>~p, ponieważ w ~q=>~p musi:

1) Nie istnieć coś, dla czego zachodzi ~q i p
2) Istnieć coś, dla czego zachodzi ~q i ~p
3) Istnieć coś, dla czego zachodzi q i ~p
3) Istnieć coś, dla czego zachodzi q i p

Zmienia się kolejność zdań, ale nie znaczenie.
W takiej dwuwartościowej logice nadal jest zachowana zasada kontrapozycji.

Po prostu z warunków:
- tam gdzie 0 to na pewno nie istnieje
- tam gdzie 1 to może nie istnieje, a może istnieje

Przechodzimy na warunki:
- tam gdzie 0 to na pewno nie istnieje
- tam gdzie 1 to istnieje

Wymuszając istnienie jakichś obiektów spełniających implikację (w każdej jej składowej) nadal pozostawiamy ją "bezkierunkową".

[rafal3006]

Lekcja 7

Implikacyjny algorytm człowieka.

W naturalnym języku mówionym po „Jeśli …” zawsze występuje poprzednik implikacji p zaś po „to…” zawsze mamy na następnik q niezależnie od tego czy jest to implikacja prosta, implikacja odwrotna czy też równoważność (częsta w matematyce).

Kwadrat logiczny to po prostu operatorowa definicja implikacji prostej p=>q z lewej strony, oraz operatorowa definicja implikacji odwrotnej p~>q z prawej strony. Prawe strony równań uzyskano korzystając z definicji implikacji prostej i odwrotnej.

p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej

[rafal3006]

[volrath]

[rafal3006]

[rafal3006]

Ten post rzeczywiście był niepotrzebny bo dublował post wyżej

[Budyy]

Czy ty się dobrze czujesz drogi rafale? Tyle tekstu, którego nikt nie czyta.

[rafal3006]

Czyżbyś nie zauważył że trwa fajna dyskusja o algebrze Boole'a ?

[rafal3006]

Lekcja 8

Autor: Kubuś, wirtualny Internetowy Miś

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Emde (sfinia), Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), Volrath (sfinia), WujZbój (sfinia)

Najważniejszy dowód w całej historii Kubusia na SFINII

Dowód fałszywości praw kontrapozycji w implikacji, prawa kontrapozycji są poprawne wyłącznie w równoważności.
Dowód jest nieprawdopodobnie prosty pod warunkiem, że znamy technikę bramek logicznych na poziomie minimalnym.

Kubuś jest pewien, że to koniec ery starej logiki.
W zakresie implikacji całą dzisiejszą logikę trzeba wywrócić do góry nogami, wtedy świat będzie normalny.
W zakresie równoważności czyli stosowania praw kontrapozycji w matematyce nic się nie zmieni, bo te prawa są poprawne w równoważności.
Implikacja i równoważność to dwa różne światy, nic nie może być równocześnie implikacją i równoważnością.

Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
<=> - symbol równoważności
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia

=> - operator implikacji prostej, w naturalnej logice człowieka spójnik "musi" między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnej logice człowieka spójnik "może" między p i q


Część I
Dowód

Implikacja odwrotna

Bramka logiczna implikacji odwrotnej:

[rafal3006]

Dzięki Volrath za najbardziej pasjonującą dyskusję na SFINII, zmusiłeś mój mózg do pracy na najwyższych obrotach, doszło do wielu przełomów, ostatni jest wyżej. Teraz muszę co najmniej dwa tygodnie odpocząć od implikacji.

Kubuś

[volrath]

Obecnie nie mam za bardzo czasu odpisywać, przepraszam. Może w weekend coś więcej napiszę. Na razie tylko to:

[volrath]

Dowód kontrapozycji w czterech prostych krokach:

A=>B <=> A+~B - definicja

1) Podstawiamy za A p, za B q:

p => q <=> p+~q

2) Podstawiamy za A ~q, za B ~p

~q => ~p <=> ~q+p

3) p+~q <=> ~q+p - bo OR jest przemienne A+B = B+A

4) Łączymy składniki:

(p=>q <=> p+~q <=> ~q+p <=> ~q=>~p) <=> (p=>q <=> ~q=>~p) bo równoważność jest przechodnia (czyli jeśli A <=> B i B <=> C to A <=> C).

[volrath]

W logice rozważa się także bardziej skomplikowane zdania niż p=>q, na przykład:

Z = ((p AND q) => (r AND s)) OR (~s=>~p)

A = (p AND q) => (r AND s)
B = (~s=>~p)
Z = A OR B

[macjan]

rafal3006:

[rafal3006]

[rafal3006]