|
ŚFiNiA ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 12:28, 23 Paź 2022 Temat postu: Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego |
|
|
Algebra Kubusia
Matematyka języka potocznego
Matematyczna wojna wszech czasów:
Algebra Kubusia vs Klasyczny Rachunek Zdań
2024-05-30 Premiera wersji końcowej
Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu
Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele
[link widoczny dla zalogowanych](Biblia)
Ziemia Obiecana - biblijne miejsce, do którego Mojżesz prowadził Izraelitów po wyprowadzeniu ich z Egiptu i przeprowadzeniu przez Morze Czerwone
Za x lat w Wikipedii znajdziemy taki wpis:
Algebra Kubusia – miejsce, do którego Kubuś ze 100-milowego lasu prowadził ziemskich matematyków po wyprowadzeniu ich z Klasycznego Rachunku Zdań
I.
Link do „Kwintesencji algebry Kubusia” w pdf (Stron 79)
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod: | https://www.dropbox.com/scl/fi/avsk83obrx9t6vnfgnwkw/Algebra-Kubusia-Kwintesencja.pdf?rlkey=b24eegq1inibu9gs754ig5rcc&dl=0 |
II.
Link do „Kompendium algebry Kubusia” w pdf (Stron: 233)
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod: | https://www.dropbox.com/scl/fi/uivxh4c74kaaiabg3e5ui/Algebra-Kubusia-Kwintesencja.pdf?rlkey=2hj7bsiq1e4ubn53rqabdwc9j&dl=0 |
Link do „Kompendium algebry Kubusia” na forum śfinia:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kwintesencja-algebry-kubusia,26413.html#812849
III.
Pełna wersja "Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego" (Stron: 1376):
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod: | https://www.dropbox.com/s/hy14p42kup25c32/Kompendium%20algebry%20Kubusia.pdf?dl=0 |
Link do pełnej wersji algebry Kubusia na forum śfinia:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,21937.html#680041
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum – bez cenzury.
Link do forum filozoficznego sfinia z jego niezwykłym regulaminem pozwalającym głosić dowolne herezje bez obawy o bana - tylko i wyłącznie dzięki temu algebra Kubusia została rozszyfrowana.
Na forum śfinia mamy dostęp do pełnej, 19 letniej historii rozszyfrowywania algebry Kubusia.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,60/
Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki (vel Lucek), Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors (vel Dagger), Słupek, Fiklit, Yorgin, Exodim, FlauFly, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski, MaluśnaOwieczka, Zefciu i inni.
Kluczowi przyjaciele Kubusia, którzy wnieśli największy wkład w rozszyfrowanie algebry Kubusia to: Rafal3006, Wuj Zbój, Volrath, Macjan, Irbisol, Fiklit (kolejność chronologiczna).
Spis treści:
1.0 Nowa algebra Boole'a
1.18 Funkcje logiczne dwuargumentowe
2.0 Kwintesencja algebry Kubusia
2.10 Podstawowe spójniki implikacyjne
3.0 Implikacja prosta p|=>q
3.6 Definicja obietnicy
4.0 Implikacja odwrotna p|~>q
4.6 Definicja groźby B~>L
5.0 Definicje znaczków ## i ###
6.0 Równoważność p<=>q
6.5 Algorytm Puchacza w rozwiązywaniu przykładów równowazności p<=>q
7.0 Spójnik "albo"($) w języku potocznym
8.0 Chaos p|~~>q
9.0 Alternatywne rozwiązywanie zadań prawem Orła
9.9 Alternatywne rozwiązywanie zadań algorytmem zdjęciowym
10.0 Algebra Kubusia w tabelach zero-jedynkowych
10.3 Symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q
10.5 Symboliczna definicja równoważności p<=>q
10.7 Symboliczna definicja spójnika "albo"($)
10.10 Symboliczna definicja chaosu p|~~>q
10.11 Geneza tabel zero-jedynkowych spójników "lub"(+) i "i"(*)
11.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych
12.0 Kubusiowa teoria zbiorów
13.0 Algebra Kubusia w zbiorach
14.0 Implikacja prosta p|=>q w zbiorach
15.0 Implikacja odwrotna p|~>q w zbiorach
16.0 Równoważność p<=>q w zbiorach
16.7 Rozwiązywanie równoważności p<=>q algorytmem Puchacza
17.0 Spójnik "albo"($) jako szczególny przypadek równoważności <=>
17.4 Algorytm Puchacza w spójniku "albo"($) M$K
18.0 Przykład chaosu P8|~~>P3 w zbiorach
19.0 Rozwiązanie zadań metodą zdjęciową w teorii zbiorów
20.0 Tajemnice operatorów jednoargumentowych
21.0 Rachunek zero-jedynkowy w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q"
22.0 Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ w obsłudze zdań "Jeśli p to q"
23.0 Geneza twardych i miękkich zer i jedynek w algebrze Boole’a
24.0 Ćwiczenia z prawa Grzechotnika
25.0 Algorytm Małpki – wielkie wydarzenie w historii logiki matematycznej
26.0 Obietnice i groźby złożone
27.0 Najciekawsze fragmenty dyskusji z Irbisolem
28.0 Klasyczny Rachunek Zdań vs Algebra Kubusia
29.0 Dowód wewnętrznej sprzeczności w KRZ na poziomie 5-cio latka
30.0 Dowód wewnętrznej sprzeczności w KRZ na poziomie szkoły podstawowej
31.0 Armagedon ziemskich logik matematycznych
32.0 Błąd fatalny w podręczniku akademickim matematyki
33.0 Problem milenijny, Królestwo obłąkańców
Punkty 34.0 do 36.0 to dowód schizofrenii we wszelkich ziemskich logikach:
34.0 Prawo matematycznego głąba i jełopa w operatorze implikacji prostej p||=>q
35.0 Prawo matematycznego głąba i jełopa w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q
36.0 Prawo matematycznego głąba i jełopa w operatorze równoważności p|<=>q
37.0 Krótka historia rozszyfrowywania algebry Kubusia
Co zawiera "Algebra Kubusia"?
1.0 Nowa algebra Boole'a będąca podzbiorem algebry Kubusia.
2.0 Kompendium algebry Kubusia dla teorii zdarzeń i teorii zbiorów zawierające wszystkie definicje
i prawa logiki matematycznej obowiązujące w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
3.0 do 9.0 Podstawowa teoria zdarzeń w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q",
czyli logika matematyczna którą w praktyce rozumie każdy 5-cio latek.
10.0 Odpowiedź na pytanie: Skąd biorą się tabele zero-jedynkowe spójników logicznych?
11.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych - twardy dowód jej poprawności matematycznej.
12.0 Kubusiowa teoria zbiorów
13.0 Kompendium algebry Kubusia dla teorii zbiorów
14.0 do 19.0 Podstawowa teoria zbiorów analogiczna do teorii zdarzeń, poziom I klasy LO.
20.0 Teoria jednoargumentowych spójników logicznych na poziomie tabel zero-jedynkowych
21.0 Rachunek zero-jedynkowy w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".
22.0 Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q"
23.0 Geneza twardych i miękkich zer i jedynek w algebrze Boole’a
24.0 Ćwiczenia z prawa Grzechotnika
25.0 Algorytm Małpki – wielkie wydarzenie w historii logiki matematycznej
26.0 Obietnice i groźby złożone
27.0 Najciekawsze fragmenty dyskusji z Irbisolem
28.0 Klasyczny Rachunek Zdań vs Algebra Kubusia (polecam matematykom)
29.0 Dowód wewnętrznej sprzeczności w KRZ na poziomie 5-cio latka
30.0 Dowód wewnętrznej sprzeczności w KRZ na poziomie szkoły podstawowej
31.0 Armagedon ziemskich logik matematycznych
32.0 Błąd fatalny w podręczniku akademickim matematyki
33.0 Problem milenijny
Punkty 34.0 do 36.0 to dowód schizofrenii we wszelkich ziemskich logikach:
34.0 Prawo matematycznego głąba i jełopa w operatorze implikacji prostej p||=>q
35.0 Prawo matematycznego głąba i jełopa w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q
36.0 Prawo matematycznego głąba i jełopa w operatorze równoważności p|<=>q
37.0 Krótka historia rozszyfrowania algebry Kubusia
Weryfikowalność algebry Kubusia
Twardy dowód poprawności czysto matematycznej algebry Kubusia:
Algebra Kubusia ma 100% potwierdzenie w teorii bramek logicznych w przełożeniu 1:1 tzn. pod każde zdanie prawdziwe na gruncie AK możemy podłożyć teorię bramek logicznych.
Wniosek:
Algebra Kubusia jest weryfikowalna w laboratorium układów cyfrowych (pkt. 11.0)
Z racji wykształcenia (elektronika na Politechnice Warszawskiej) jestem ekspertem bramek logicznych od zawsze, mając pewność absolutną, że algebra Kubusia jest w 100% zgodna z teorią bramek logicznych - gdybym tej pewności nie miał, to o żadnej logice bym nie dyskutował.
Do szczegółów o co chodzi w algebrze Kubusia dojdziemy powoli i systematycznie startując z algebrą Kubusia od zera, czyli od dowodu prawdziwości prawa Grzechotnika udowodnionego na samym początku algebry Kubusia (pkt. 1.8.4 i 1.9.1 - poziom 5-cio latka).
Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
Wstęp
Motto Rafała3006:
Napisać algebrę Kubusia w taki sposób, by ziemski matematyk był w stanie ją zrozumieć i zaakceptować, mimo iż na starcie nie zna ani jednej definicji obowiązującej w AK.
Algebra Kubusia to jedyna poprawna logika matematyczna pod którą podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy.
Kluczowe elementy algebry Kubusia w świecie żywym to matematyczna obsługa wszelkich obietnic i gróźb będąca fundamentem działania wszelkich istot żywych (nie tylko człowieka).
Naturalnymi ekspertami algebry Kubusia są 5-cio latki i humaniści.
Algebra Kubusia to podłożenie matematyki pod język potoczny człowieka, czyli coś, o czym matematycy marzą od 2500 lat (od Sokratesa).
Rozszyfrowanie algebry Kubusia to 19 lat dyskusji na forum filozoficznym w Polsce, to około 37 000 postów napisanych przez Rafała3006 wyłącznie w temacie "Logika matematyczna"
Pełna historia rozszyfrowywania algebry Kubusia dostępna jest na forum śfinia:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,60/
Matematycznego potwora którego nie sposób zrozumieć, zwanego dla niepoznaki Klasycznym Rachunkiem Zdań znajdziemy w każdym podręczniku matematyki do I klasy LO
Dowód iż KRZ to gwałt na rozumku każdego 5-cio latka to przykładowe zdania tu prawdziwe:
1: Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
2: Jeśli pies ma 8 łap to Księżyc krąży wokół Ziemi
3: Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.
Dowód na serio prawdziwości zdania 1 znajdziemy tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Dowód na serio prawdziwości zdania 2 znajdziemy w podręczniku matematyki do I klasy LO:
[link widoczny dla zalogowanych]
Komentarz do zdania 3 znajdziemy w Delcie'2013:
[link widoczny dla zalogowanych]
Algebrę Kubusia wyssaliśmy z mlekiem matki i nie musimy się jej uczyć - wszyscy jesteśmy jej ekspertami w praktyce bo po prostu pod nią podlegamy nie mając żadnych szans, by się od niej uwolnić. Aktualnie żaden ziemski matematyk nie wie, iż w komunikacji z 5-cio latkami i humanistami używa tylko i wyłącznie algebry Kubusia.
Mam nadzieję, że to się wkrótce zmieni, bowiem nie jest możliwe by matematycy na poziomie rozumiejący teorię bramek logicznych (są tacy) nie załapali algebry Kubusia mającej 100% pokrycie w bramkach logicznych w przełożeniu 1:1, czego dowód znajdziemy w punkcie 11.0.
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Algebra Kubusia = Biblia, napisana językiem zrozumiałym dla prostego człowieka.
Oznacza to, że 100% zdań w Biblii dotyczących obietnic i gróźb Chrystusa jest zgodnych z algebrą Kubusia tzn. żadne zdanie w Biblii w tym zakresie nie jest sprzeczne z AK.
Dowód tego faktu znajdziemy w punktach 3.6 i 4.6.
Podsumowując:
Matematyczna wersja algebry Kubusia jest tak samo potrzebna do szczęścia 5-cio latkowi i humaniście jak gramatyka języka polskiego, której nigdy nie znałem i nie znam, a mimo to po polsku piszę. Pewne elementy algebry Kubusia można nauczać już w przedszkolu w formie zabawy, bowiem 5-cio latki doskonale ją znają nie wiedząc, że to jest matematyka ścisła opisująca otaczającą nas rzeczywistość.
Kim jest Rafał3006?
Jestem absolwentem Technikum Energetycznego w Ostrowcu Świętokrzyskim oraz elektroniki na Politechnice Warszawskiej, Instytut Automatyki, rok 1980.
Po skończeniu studiów zdałem sobie sprawę, iż w praktyce sterowań w technice mikroprocesorowej (moja specjalizacja) wykorzystuję niewielką ilość wiedzy którą wpajano mi na studiach.
Wpadłem wówczas na pomysł napisania serii podręczników do nauki elektroniki dla hobbystów przy założeniu, że odbiorca nie zna prawa Ohma, czyli z założenia były to podręczniki dla I klasy LO, gdzie po łagodnej równi pochyłej czytelnik był prowadzony od takich pojęć jak napięcie, prąd, prawo Ohma … poprzez elektronikę klasyczną, bramki logiczne, układy scalone średniej skali integracji, układy mikroprocesorowe, do praktycznego programowania różnych sterowań w języku asemblera mikroprocesora Z80 przy pomocy opracowanego przeze mnie sterownika o nazwie CA80.
CA80 jest dziś legendą wśród starszej daty elektroników, doczekał się nawet debiutu w Krzemowej Dolinie.
Prezentacja komputerka CA80 w Computer History Museum, Mountain View, 6-7 Sierpień 2022
https://youtu.be/RKOvcejgb_0
https://www.youtube.com/watch?v=zh_pjpe64sw
Czym był CA80 dla wielu młodych ludzi w latach 80-tych najlepiej pokazuje 117 autentycznych recenzji z tamtego okresu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Oryginały napisanych przeze mnie prawie 40 lat temu podręczników MIK01-MIK11 do nauki elektroniki i mikroelektroniki dostępne są w wersji pdf na forum elektroda.pl dzięki Andrzejowi Liskowi który je zeskanował (trzeba się zarejestrować by mieć do nich dostęp):
[link widoczny dla zalogowanych]
Uważam, że podręczniki te nadal są aktualne i ciekawe dla uczniów techników o specjalności elektrycznej i elektronicznej. Szczególnie polecam MIK01 i MIK02 zawierające wiedzę podstawową, która nigdy się nie zestarzeje np. napięcie, prąd, prawo Ohma (MIK01), zrozumienie fundamentów działania wszelkich mikroprocesorów na poziomie sprzętowym (MIK02).
Ciekawostką jest fakt, że mikroprocesor Z80 opisywany w MIK02 wywodzi się z linii mikroprocesorów Intela i8080 której zwieńczeniem był 16 bitowy mikroprocesor i8086 zastosowany w pierwszym poważnym komputerze osobistym IBM PC (rok 1981) będącym protoplastą wszelkich obecnych komputerów tzn. program napisany w języku asemblera na staruszka i8086 będzie działał poprawnie w dzisiejszych komputerach zbudowanych na najnowszych procesorach firmy Intel np. i5-1235u
Z perspektywy czasu myślę, że mój CA80 był wstępem koniecznym dla rozszyfrowania algebry Kubusia, logiki matematycznej pod którą podlega cały nasz Wszechświat żywy i martwy.
Myślę, że o CA80 z czasem ludzie zapomną, bo to były początki techniki mikroprocesorowej, natomiast „Algebra Kubusia” jeśli ziemscy matematycy ją zaakceptują (to tylko kwestia czasu), będzie żyła „wiecznie”.
Dla kogo algebra Kubusia?
Algebrę Kubusia dedykuję wszystkim matematykom, podobnym do Marka Kordosa, którzy potrafią spojrzeć krytycznie na fundament wszelkich ziemskich logik matematycznych zwany Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Kim jest Marek Kordos?
[link widoczny dla zalogowanych]
Marek Tomasz Kordos (ur. 7 marca 1940) – polski matematyk, doktor habilitowany, geometra i historyk matematyki oraz jej popularyzator.
Życiorys
Założyciel i wieloletni redaktor naczelny miesięcznika Delta, autor wielu książek, współzałożyciel Ośrodka Kultury Matematycznej oraz Stowarzyszenia na rzecz Edukacji Matematycznej. Zatrudniony na stanowisku profesora nadzwyczajnego aż do emerytury pracował jako wykładowca akademicki na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego. Specjalizuje się w geometrii i historii matematyki. Doktorat i habilitację uzyskał za prace z geometrii rzutowo-metrycznych.
[link widoczny dla zalogowanych]
Logika, sens i wątpliwości
Marek Kordos
Delta, marzec 2013
Już przed laty, gdy brałem udział w tworzeniu jednej z kolejnych reform nauczania matematyki, miałem poważne wątpliwości, czy umieszczanie w programach nauczania matematyki (podstawach programowych, wykazach efektów nauczania, podręcznikach itp.) działu logika jest zgodne ze zdrowym rozsądkiem.
Oczywiście, wiem, że wielu głosi, iż nauczanie matematyki (jak niegdyś łaciny, której się zresztą uczyłem) to nauka logicznego myślenia. Ale, gdy czytałem otwierające wówczas podręczniki do liceum rozdziały poświęcone logice, trudno mi było powstrzymać się od wrażenia, że nie ma w nich żadnego sensu. Nie wymienię, rzecz jasna, żadnego konkretnego podręcznika (po co mi rozprawy sądowe – przecież podręcznik to wielkie pieniądze), ale wrażenie przy lekturze każdego z nich było podobne.
Od razu chciałbym powiedzieć, że nie chodzi o opinię, iż logika nigdy matematyce nie pomogła, bo unikanie błędów nie jest aktem twórczym (patrz Nicolas Bourbaki, Elementy historii matematyki). Chodzi o coś więcej. Ale nie śmiałem nalegać na usunięcie tego działu ze szkolnego nauczania, bo jeśli wszyscy widzą w nim sens, to może on tam – wbrew pozorom – istnieje.
Dopiero na sympozjum z okazji dziewięćdziesięciolecia Profesora Andrzeja Grzegorczyka dowiedziałem się, że moje wątpliwości nie są odosobnione i nawet w Instytucie Filozofii i Socjologii PAN prowadzone są prace nad taką modyfikacją logiki, by jej wady usunąć.
Co to za wady? Proszę spojrzeć na zdanie:
Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.
Oczywiście, zdanie to jest prawdziwe, ale czy ma sens? Przecież między pewnym faktem arytmetycznym a innym faktem geograficznym żadnego związku nie ma. Dlaczego więc chcemy twierdzić (ba, uczyć tego), że te dwa zdania są równoważne?
Albo zdanie:
Jeśli dwa plus dwa jest równe pięć, to zachodzi twierdzenie Pitagorasa.
Z punktu widzenia logiki to zdanie jest prawdziwe. Tu już po obu stronach implikacji są zdania dotyczące faktów matematycznych. Dlaczego jednak chcemy zmusić młodego człowieka, by widział w tym sens?
Wyjaśnienie jest proste: w pierwszym przypadku chodzi o to, że równoważność zdań ma miejsce, gdy wartość logiczna obu zdań jest taka sama; w drugim – o to, że implikacja jest poprawna, gdy ma fałszywy poprzednik.
A więc logika sprowadza nasz świat do zbioru dwuelementowego, nic przeto dziwnego, że rzeczy absolutnie niepołączone żadnym znaczeniowym (semantycznym) związkiem muszą się znajdować w przynajmniej jednej z dwóch komórek, do jakiejś muszą trafić.
Powstają dwa pytania. Po pierwsze, czemu logika została tak skonstruowana, że – abstrahując od sensu – okalecza pojęciowy świat? Po drugie, czy faktycznie należy trzymać ją jak najdalej od młodzieży, bo tylko ją demoralizuje, każąc za wiedzę uważać takie androny, jak przytoczone powyżej?
Odpowiedź na pierwsze pytanie jest dość prosta. Nowoczesna logika formalna została stworzona (jak wielu uważa) przez Gottloba Fregego (1848-1925) tak, by obsługiwała matematykę, a tę rozumiano wówczas jako badanie prawdziwości zdań języków formalnych.
Odpowiedzi na drugie pytanie de facto nie ma. Tłumaczymy się z używania takich abstrahujących od znaczeń spójników logicznych tym, że alternatywa, koniunkcja i negacja są sensowne; że chcemy, aby młody człowiek wiedział, że zaprzeczeniem zdania, iż istnieje coś mające własność A, jest to, że wszystkie cosie własności A nie mają; że implikacja ze zdania prawdziwego daje jednak tylko zdania prawdziwe itd., itp.
Ale naprawdę chodzi o to, że – jak z małżeństwem i demokracją – lepszej propozycji dotąd nie wynaleziono. A szkoda.
Komentarz Rafała3006:
Ostatnie zdanie jest już nieaktualne bo:
Algebra Kubusia, logika matematyczna pod którą podlega cały nasz Wszechświat martwy i żywy (w tym język potoczny człowieka) została rozszyfrowana.
Jakie jest znaczenie algebry Kubusia dla ludzkości?
Teoretycznie żadne, bo wszyscy podlegamy pod algebrę Kubusia będąc jej ekspertami w praktyce, nie mając żadnych szans by się od niej uwolnić.
Logika matematyczna to poziom 5-cio letniego dziecka, eksperta algebry Kubusia.
Praktyczne znaczenie algebry Kubusia jest niebotyczne przede wszystkim w obszarze filozofii, ale nie tylko - skończy się pranie mózgów na studiach np. pedagogicznych gdzie dla przeciętnego studenta logika matematyczna jest potworem, niezrozumiałym i strasznym.
Dowód:
Czym jest współczesna logika matematyczna dla przeciętnego studenta celnie ujął dr hab. Krzysztof A. Wieczorek we wstępie do swojej książki „Logika dla opornych”:
[link widoczny dla zalogowanych]
Krzysztof A. Wieczorek
Logika dla opornych
Wszystko co powinniście wiedzieć o logice, ale nie uważaliście na zajęciach
WSTĘP
Celem tego podręcznika nie jest systematyczny wykład logiki. Książek takich jest już wystarczająco dużo, więc osoba głębiej zainteresowana tym przedmiotem na pewno nie będzie miała kłopotu ze znalezieniem czegoś odpowiedniego dla siebie. Niniejsza pozycja przeznaczona jest przede wszystkim dla tych, którzy pobieżnie zetknąwszy się z logiką, na przykład jako z przedmiotem wykładanym podczas krótkiego kursu na wyższej uczelni, z przerażeniem stwierdzili, że nic z tego nie rozumieją. Przyświeca mi cel pokazania takim osobom, że wbrew pozorom logika wcale nie jest taka trudna, jak by się to mogło początkowo wydawać, a jej nauka nie musi przypominać drogi przez mękę.
Większość tradycyjnych podręczników logiki najeżona jest technicznymi terminami, sucho brzmiącymi definicjami i twierdzeniami oraz skomplikowanymi wzorami. Brakuje im natomiast przykładów ilustrujących zawarty materiał teoretyczny i wyjaśniających bardziej złożone zagadnienia w sposób zrozumiały dla osób uważających się za „humanistów”, a nie „ścisłowców”. Sytuacja ta sprawia, że po zapoznaniu się z treścią takiego podręcznika lub po wysłuchaniu wykładu opracowanego na jego podstawie, adept logiki ma trudności z rozwiązaniem nawet bardzo prostych zdań umieszczanych na końcach rozdziałów lub w specjalnych zbiorach ćwiczeń z logiki. Taki stan rzeczy przyprawia o mdłości i ból głowy zarówno wielu wykładowców logiki zrozpaczonych rzekomą całkowitą niezdolnością do poprawnego myślenia okazywaną przez ich studentów, jak i tych ostatnich, zmuszonych do zaliczenia przedmiotu, z którego niemal nic nie rozumieją.
Doświadczenie zdobyte przeze mnie podczas lat nauczania logiki na różnych kierunkach uniwersyteckich wskazuje jednakże, iż najczęściej nieumiejętność rozwiązywania zadań z logiki nie jest wynikiem jakichkolwiek braków umysłowych studentów ani nawet ich lenistwa, ale po prostu przerażenia wywoływanego przez gąszcz niezrozumiałych dla nich wzorów, twierdzeń i definicji. Panika ta widoczna jest szczególnie u osób obdarzonych bardziej humanistycznym typem umysłowości, alergicznie reagujących na wszystko, co kojarzy im się z matematyką.
Można oczywiście ubolewać nad tym, że tak wielu młodych ludzi nie chce pokonać w sobie uprzedzeń do logiki i zmuszać ich „dla ich dobra” do przyswajania tej wiedzy w tradycyjnej formie. Czy ma to jednak większy sens? Da się oczywiście sprawić, że uczeń poświęci tydzień czasu przed egzaminem (często wspomagając się przy tym różnego rodzaju chemicznymi „środkami dopingującymi”) na pamięciowe wykucie kilkudziesięciu twierdzeń i 7 praw, a następnie nauczy się ich mechanicznego stosowania. Nie zmieni to jednak faktu, iż student taki w dalszym ciągu nie będzie rozumiał istoty tego, co robi, ani jaki jest właściwie cel wykonywanych przez niego operacji.
Algebra Kubusia: Czy podbije serca matematyków?
W ciągu 19 lat dyskusji w temacie logiki matematycznej dyskutowałem z wieloma matematykami z najwyższej półki (Volrath, Macjan, Fiklit)
Na szczególną uwagę zasługuje tu Fiklit, prawdopodobnie wykładowca logiki matematycznej który poświęcił 7 lat życia na dyskusję ze mną w temacie logiki matematycznej.
Kluczowi przyjaciele algebry Kubusia:
Kluczowi przyjaciele algebry Kubusia bez których ta nowatorska teoria matematyczna nie mogłaby zaistnieć to:
1.
Irbisol, fanatyk KRZ, odwieczny wróg Nr. 1 algebry Kubusia od 15 lat usiłujący ją obalić.
Dzięki Irbisolu – bez ciebie algebra Kubusia nie mogłaby zaistnieć.
2.
Fiklit, prawdopodobnie wykładowca ziemskiej logiki matematycznej, dzięki któremu w ciągu 7-letniej dyskusji poznałem tok myślenia w temacie „Logika matematyczna” współczesnych, ziemskich matematyków.
Dzięki Fiklicie – bez ciebie algebra Kubusia nie mogłaby zaistnieć
Historia dyskusji z Fiklitem:
Tu jest post wejściowy Fiklita na forum Yrizona, będący dowodem jego profesjonalizmu w temacie ziemskiej logiki matematycznej:
Wysłany: Śro 17:37, 12 Wrz 2012
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/finalowa-dyskusja-wszech-czasow-z-fiklitem-na-yrizonie-c-i,6149-175.html#181230
W kolejnym swoim poście Fiklit napisał:
Wysłany: Pią 0:23, 14 Wrz 2012
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/finalowa-dyskusja-wszech-czasow-z-fiklitem-na-yrizonie-c-i,6149-200.html#181262
@Fiklit
Dag, dzięki, ale na razie nie będę czytał wcześniejszych prac, bo zauważyłem, że jest ich kilka wersji i już na wstępie nie wszystko dokładnie rozumiem. Dlatego wolę jak mi Kubuś robi indywidualny wykład, bo mam możliwość na bieżąco wyjaśniać pojawiające się wątpliwości.
W tym wytłuszczonym widać, że Fiklit już w drugim swoim poście na Yrizonie zadeklarował chęć bliższego poznania algebry Kubusia - nasza dyskusja trwała 7 lat.
Ile postów napisał Fiklit na forum śfinia w dyskusji ze mną na temat logiki matematycznej?
Fiklit: Dołączył: 24 Wrz 2012, Posty: 4197
Początek dyskusji z Fiklitem to forum Yrizona o czym jest wyżej.
Do fanatyków KRZ: Wystarczy?
Podsumowując:
Czy gdyby algebra Kubusia była bez sensu, jak twierdzą fanatycy KRZ, to czy Fiklit dyskutowałby ze mną 7 lat pisząc 4197 postów w temacie logiki matematycznej?
Ostatni post Fiklita:
Wysłany: Pon 10:37, 25 Mar 2019
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/gowno-logika-ziemian-zwana-klasycznym-rachunkiem-zdan,11921-1175.html#441721
@Fiklit
Czy mamy szanse to nie wiem, ale biorąc pod uwagę postępy AK w podboju świata, to można pokusić się o nieśmiałe stwierdzenie, że trzymamy się całkiem dobrze.
Rafał, ty nie potrafisz tłumaczyć. Do tego potrzeba choć trochę umiejętności zrozumienia czego druga osoba nie rozumie. Ty nawet nie rozumiesz na czym polega problem ze zrozumieniem "rzucania monetą" i nie jesteś w stanie znaleźć rozwiązania.
Dowód iż w logice matematycznej mamy „rzucanie monetą” na poziomie matematyki ogólnej (bez żadnych przykładów) jest trywialny i jest on dostępny w aktualnej wersji algebry Kubusia:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,21937.html#680051
2.12.1 Operator implikacji prostej p||=>q
2.13.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q
Przykro mi Fiklicie, że nie zdołałem ci wytłumaczyć algebry Kubusia w sposób zrozumiały.
Powodem tego jest fakt, że 100% definicji w obszarze logiki matematycznej mamy innych, chodzi tu przede wszystkim o biegłą znajomość teorii bramek logicznych (tu jestem ekspertem) gdzie brak w logice matematycznej ziemskich matematyków pojęcia funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest powodem jej wewnętrznej sprzeczności.
Patrz prawo Grzechotnika (1.8.4, 1.8.6, 1.9.1, 1.18.3, 11.8.1)
Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
Wniosek: Miejsce aktualnej algebry Boole’a jest w koszu na śmieci.
Co dalej z algebrą Kubusia?
Czy ma szansę zaistnieć w ziemskiej matematyce?
Mam nadzieję że tak, choć nie wykluczam, że umrze razem ze mną.
Jakie są perspektywy propagowania algebry Kubusia wśród matematyków?
Nie wiem.
Wiem tylko, że fanatycy KRZ nigdy nie zaakceptują algebry Kubusia.
Moim zdaniem należy pozwolić im umrzeć w spokoju bo nic ich do algebry Kubusia nie przekona.
1.
Twierdzenia matematyczne uważane są za prawdziwe, ponieważ w niczyim interesie nie leży, by uważać je za fałszywe.
Monteskiusz.
2.
Klasyczny Rachunek Zdań uważany jest za prawdziwy, ponieważ w niczyim interesie nie leży, by uważać go za fałszywy
Rafał3006
Algebra Kubusia to logika matematyczna przyszłych pokoleń matematyków.
Liczę na matematyków znających biegle teorię bramek logicznych, są tacy np. Volrath (pkt. 22.0)
0.0 Skorowidz znaczków używanych w algebrze Kubusia
Definicje znaczków używanych w algebrze Kubusia poparto prostymi przykładami, zrozumiałymi dla każdego 5-cio latka.
I.
Nowa algebry Boole'a związana wyłącznie za spójnikami "lub"(+) i "i"(*)
1.
Znaczki elementarne (1.1):
1 = prawda
0 = fałsz
(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Definicja logiki dodatniej (bo p) i logiki ujemnej (bo ~p) (1.1.1)
2.
Spójniki podstawowe "lub"(+) i "i"(*) zgodne z językiem potocznym:
(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym (1.14)
(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym (1.15)
3.
Operatory logiczne "lub"(|+) i "i'(|*) definiowane spójnikami podstawowymi "lub"(+) i "i"(*):
(|+) - operator "lub"(|+) w języku potocznym (1.14.1)
(|*) - operator "i"(|*) w języku potocznym (1.15.1)
II.
Algebra Kubusia obsługująca zdania warunkowe "Jeśli p to q"
Definicja spójnika implikacyjnego:
Spójnik implikacyjny to spójnik związany w obsługą zdań warunkowych "Jeśli p to q" definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>
Definicje spójników implikacyjnych w algebrze Kubusia mają układ trzypoziomowy {1=>2=>3}:
1.
Elementarne spójniki implikacyjne: =>, ~>, ~~>
2.
Podstawowe spójniki implikacyjne: |=>, |~>, <=>, |~~> definiowane spójnikami elementarnymi
3.
Operatory implikacyjne: ||=>, ||~>, |<=>, ||~~> definiowane podstawowymi spójnikami implikacyjnymi.
1.
Spójniki elementarne zdań warunkowych "Jeśli p to q":
Zdarzenia:
~~> - zdarzenie możliwe w teorii zdarzeń (2.2.1)
=> - warunek wystarczający (2.2.2)
~> - warunek konieczny (2.2.3)
Zbiory:
~~> - element wspólny zbiorów w teorii zbiorów (2.3.1)
=> - warunek wystarczający (2.3.2)
~> - warunek konieczny (2.3.3)
2.
Podstawowe spójniki implikacyjne definiowane spójnikami elementarnymi:
|=> - implikacja prosta (2.12, 3.1)
|~> - implikacja odwrotna (2.13, 4.1)
<=> - równoważność (2.14, 6.1)
|~~> - chaos (2.15, 8.1)
$ - spójnik "albo" dostępny w rozszerzonej algebrze Kubusia (7.2)
3.
Operatory implikacyjne definiowane podstawowymi spójnikami implikacyjnymi:
||=> - operator implikacji prostej (2.12.1, 3.1.1)
||~> - operator implikacji odwrotnej (2.13.1, 4.1.1)
|<=> - operator równoważności (2.14.1, 6.1.1)
||~~> - operator chaosu (2.15.1, 8.1.1)
|$ - operator "albo" dostępny w rozszerzonej algebrze Kubusia (7.2.1)
III.
Pozostałe znaczki algebry Kubusia:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony (2.5.1)
## - różne na mocy definicji (2.5.1)
### - różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia (2.7.4)
Uwaga:
To są wszystkie znaczki używane w algebrze Kubusia tzn. nie są potrzebne w AK jakiekolwiek inne znaczki.
W szczególności nie ma w algebrze Kubusia rachunku kwantyfikatorów i związanych z nim znaczków: kwantyfikator mały (istnieje) \/ i kwantyfikator duży (dla każdego) /\
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 12:03, 13 Paź 2024, w całości zmieniany 522 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 12:29, 23 Paź 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
1.0 Nowa algebra Boole'a
Spis treści
1.0 Nowa algebra Boole’a 2
1.1 Definicje elementarne algebry Boole'a 3
1.1.1 Definicja negacji 3
1.1.2 Negator dwukierunkowy w bramkach logicznych 4
1.2 Fundamenty algebry Boole'a 5
1.2.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a 6
1.2.2 Prawo negacji funkcji logicznej Y 7
1.2.3 Ogólna definicja logiki matematycznej 7
1.3 Definicja funkcji logicznej jednoargumentowej Y=x 8
1.3.1 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=x 8
1.3.2 Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych 9
1.4 Prawa Prosiaczka 9
1.4.1 Wyprowadzenie I prawa Prosiaczka 10
1.4.2 Wyprowadzenie II prawa Prosiaczka 12
1.4.3 Prawa Prosiaczka w bramkach logicznych 13
1.4.4 Przykład działania praw Prosiaczka na gruncie fizyki 14
1.4.5 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka 14
1.5 logika matematyczna stałych binarnych 15
1.5.1 Stałe binarne w wieku niemowlęcym 16
1.5.2 Stałe binarne w wieku 9 miesięcy 16
1.5.3 Stałe binarne w pierwszej klasie LO na lekcji logiki matematycznej 17
1.5.4 Pułapki w operatorach jednoargumentowych 20
1.6 Zasady kodowania zdań w operatorach jednoargumentowych 20
1.6.1 Zasady kodowania zdań twierdzących w świecie żywym 21
1.6.2 Funkcja logiczna Y zmiennej binarnej p 22
1.6.3 Funkcja logiczna Y stałej binarnej p 23
1.7 Prawo Puchacza dla zdań twierdzących jednoargumentowych 23
1.7.1 Jak działa prawo Puchacza? 23
1.7.2 Miękkie jedynki i miękkie zera w logice matematycznej 24
1.8 Funkcje Y=x i operatory Y|=x jednoargumentowe 25
1.8.1 Definicja funkcji transmisji Y=p i operatora transmisji Y|=p 25
1.8.2 Definicja funkcji negacji Y=~p i operatora negacji Y|=~p 26
1.8.3 Relacja matematyczna między operatorami Y|=p a Y|=~p 27
1.8.4 Prawo Grzechotnika dla funkcji jednoargumentowych 28
1.8.5 Prawo Sokoła 29
1.8.6 Prawo Grzechotnika dla stałych binarnych 29
1.8.7 Prawo Sokoła dla stałych binarnych 30
1.9 Prawo Grzechotnika na przykładzie zrozumiałym dla 5-cio latka 31
1.9.1 Dowód prawa Grzechotnika na poziomie przedszkola 34
Wstęp.
Operatory jednoargumentowe to kwintesencja działania operatorów logicznych definiowanych spójnikami „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego 5-cio latka.
Zrozumienie istoty działania operatorów jednoargumentowych jest warunkiem koniecznym dla zrozumienia istoty działania operatorów logicznych n-argumentowych definiowanych spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Operatory jednoargumentowy to zaledwie cztery operatory różne na mocy definicji ## (pkt.1.3.2)
Przy dwóch argumentach mamy już 16 różnych na mocy definicji ## operatorów (pkt. 1.18)
1.0 Nowa algebra Boole’a
Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego (w tym matematyki i fizyki).
Algebra Kubusia zawiera w sobie nową algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Aktualna algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.
Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
Dowód tego faktu na poziomie 5-cio latka znajdziemy w punkcie 1.11 (sterowanie windą).
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo p) i logika ujemna (bo ~p). Definicję znajdziemy w pkt. 1.1.1
3.
Stara algebra Boole'a jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y), co udowodnimy za chwilkę (pkt. 1.8.4, 1.8.6, 1.9.1)
1.1 Definicje elementarne algebry Boole'a
1 = prawda
0 = fałsz
Gdzie:
1##0
Prawda (1) jest różna na mocy definicji ## od fałszu (0)
Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja
Innymi słowy:
Prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu (0)
Fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy (1)
Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)
Pani w przedszkolu:
Pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 - zdanie zawsze prawdziwe
Pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 - zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y - stała binarna
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.
Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa
1.1.1 Definicja negacji
Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.
W szczególnym przypadku symbol w nagłówku kolumny może być stałą binarną gdy w kolumnie są same jedynki albo same zera.
Kod: |
DN
Definicja negacji:
p # ~p
A: 1 # 0
B: 0 # 1
1 2
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
|
Definicja znaczka w logice matematycznej:
Znaczek w logice matematycznej to symbol zdefiniowany odpowiednią tabelą zero-jedynkową
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
p#~p
Dowodem jest tu definicja negacji DN.
Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna p wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)
Zauważmy, że w definicji negacji DN symbole p i ~p są zmiennymi binarnymi.
Dowód:
W osi czasu (kolumna A1B1) może zajść przypadek, że zmienna binarna p przyjmie wartość logiczną 1 (A1) albo wartość logiczną 0 (B1).
W osi czasu (kolumna B2A2) może zajść przypadek, że zmienna binarna ~p przyjmie wartość logiczną 1 (B2) albo wartość logiczną 0 (A2)
Stąd mamy:
Definicja osi czasu w logice matematycznej
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej oś czasu to zero-jedynkowa zawartość kolumny opisanej symbolem nad tą kolumną.
W logice matematycznej odpowiednikiem układu Kartezjańskiego są wykresy czasowe.
Dowód na przykładzie (strona 5):
[link widoczny dla zalogowanych]
1.1.2 Negator dwukierunkowy w bramkach logicznych
W technice cyfrowej znaczek różne # o definicji jak wyżej jest odpowiednikiem dwukierunkowego negatora „O”.
Zachodzi tożsamość znaczków: # = O
Kod: |
Realizacja dwukierunkowego negatora „O” w bramkach logicznych
----- ~p=~(p)
p --x-------->| ~ |o-x------> ~p
| ----- |
| |
| p=~(~p) ----- |
-<-------o| ~ |<-x------- ~p
-----
Gdzie:
„O” - symbol dwukierunkowego negatora o budowie jak wyżej
"o"(~) - symbole negacji w technice „o” i w języku potocznym „~”
--->| - wejście bramki logicznej negatora (~)
|o--> - wyjście bramki logicznej negatora (~)
W świecie rzeczywistym musi tu być negator z otwartym kolektorem (OC)
na przykład typu SN7406. Wyjście OC musi być podparte rezystorem do Vcc.
|
W świecie rzeczywistym podajemy sygnały cyfrowe {0,1} na wejściu negatora p albo ~p obserwując co jest na jego wyjściu. Wszystko musi być zgodne z definicją DN.
Matematyczne związki między p i ~p:
a)
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
p#~p
b)
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
c)
Prawo zaprzeczenia logiki dodatniej (bo p):
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)
Dowód w rachunku zero-jedynkowym:
Kod: |
Matematyczne związki w definicji negacji:
p ~p ~(~p) ~(p)
A: 1 0 1 0
B: 0 1 0 1
1 2 3 4
|
Tożsamość kolumn 1=3 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Tożsamość kolumn 2=4 jest dowodem formalnym prawa negacji logiki dodatniej (bo p):
~p=~(p)
Uwaga:
Budowa dwukierunkowego transmitera w bramkach logicznych będzie identyczna jak wyżej lecz z układem SN7407 w miejsce układu SN7406.
1.2 Fundamenty algebry Boole'a
Kluczowe znaczki algebry Boole’a to definicje spójników „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Kod: |
Definicja dwuargumentowego spójnika „i”(*):
p* q Y=p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 1 0
D: 0* 0 0
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0 |
Kod: |
Definicja dwuargumentowego spójnika „lub”(+):
p+ q Y=p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 1 1
D: 0+ 0 0
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
|
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
1.2.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a
Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna Y algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a f(x) w osi czasu.
W technice funkcja algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y.
Przykład:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
f(x)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a
Stąd na mocy definicji funkcji logicznej mamy:
Y = f(x) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q
W szczególnym przypadku funkcja logiczna Y może być stałą binarną, gdy w kolumnie opisującej symbol Y są same jedynki albo same zera.
Ogólna definicja dziedziny D:
Pojęcie ~x jest uzupełnieniem dla pojęcia x do wspólnej dziedziny D oraz pojęcia x i ~x są rozłączne
x+~x =D =1 - zdanie zawsze prawdziwe (stała binarna)
x*~x =[] =0 - zdanie zawsze fałszywe (stała binarna)
Definicja dziedziny w zbiorach:
Zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D oraz zbiory p i ~p są rozłączne.
Czyli:
Y = p+~p =D =1 - zdanie zawsze prawdziwe (stała binarna)
Y = p*~p =[] =0 - zdanie zawsze fałszywe (stała binarna)
W algebrze Kubusia zdanie zawsze prawdziwe (Y=1) oraz zdanie zawsze fałszywe (Y=0) to bezużyteczne śmieci zarówno w matematyce, jak i w języku potocznym
Dowód na przykładzie.
Rozważmy dwa zbiory:
TP - zbiór trójkątów prostokątnych (TP)
~TP - zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP)
Wspólna dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Definicja dziedziny w zbiorach:
Zbiór ~TP jest uzupełnieniem zbioru TP do wspólnej dziedziny ZWT oraz zbiory TP i ~TP są rozłączne w dziedzinie ZWT.
Czyli:
Twierdzenie T1:
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) lub nie jest prostokątny (~TP)
Y = TP+~TP = ZWT =1 - zdanie zawsze prawdziwe (stała binarna)
Twierdzenie T2:
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) i nie jest prostokątny (~TP)
Y = TP*~TP =[] =0 - zdanie zawsze fałszywe (stała binarna)
Wartość matematyczna twierdzeń T1 i T2 jest zerowa (śmieci).
Analogia do programowania:
Nie da się napisać najprostszego nawet programu dysponując wyłącznie stałymi binarnymi, o z góry wiadomej wartości logicznej.
Definicja bramki logicznej:
Bramka logiczna to układ cyfrowy o n wejściach binarnych {p,q,r..} i tylko jednym wyjściu binarnym Y
Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y
Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r … - wejścia bramki logicznej
Y - wyjście bramki logicznej
Przykład:
Y = p*q+~p*~q
1.2.2 Prawo negacji funkcji logicznej Y
Definicja funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y):
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej (bo Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
W przeciwnym przypadku mamy do czynienia z funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y)
Prawo negacji funkcji logicznej Y:
Dowolną funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y) wolno nam dwustronnie zanegować przechodząc do funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) i odwrotnie.
1.2.3 Ogólna definicja logiki matematycznej
Ogólna definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to matematyczny opis nieznanego tzn. nieznanej przyszłości albo nieznanej przeszłości.
Nie wszystko w czasie przeszłym jest nam wiadome - logika matematyczna służy tu do ustalenia co się w przeszłości zdarzyło
Przykład: Poszukiwanie mordercy
Po długich poszukiwaniach mordercy, Kowalskiemu udowodniono zabójstwo x-a, i się do tego przyznał.
Po co komu potrzebna jest tu dalsza logika matematyczna prowadząca do wykrycia znanego już wszystkim zabójcy x-a?
Stąd mamy:
Prawo Nietoperza:
Jeśli znamy zaistniałe w przeszłości fakty to żadna logika matematyczna ich nie zmieni, jest psu na budę potrzebna.
Przykład:
Hitler - wiemy kim był i co zrobił, to jest fakt, którego żadna logika matematyczna nie zmieni
Nie możemy cofnąć czasu i spowodować by Hitler zginął w zamachu na jego życie przed wybuchem II Wojny Światowej.
1.3 Definicja funkcji logicznej jednoargumentowej Y=x
Prawo Lwa:
Warunkiem koniecznym zrozumienia logiki matematycznej jest jej znajomość na poziomie funkcji logicznych jednoargumentowych.
W najprostszym przypadku mamy do czynienia z funkcją logiczną jednej zmiennej binarnej x
Y=x
Gdzie:
x = {p, ~p, 1, 0}
Definicja funkcji logicznej jednoargumentowej Y=x
Funkcja logiczna jednoargumentowa Y=x to odpowiedź na pytanie o Y.
Kiedy zajdzie Y?
A1.
Y=x
Zajdzie Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie x
Gdzie:
x = {p, ~p, 1, 0}
Wszystkie możliwe funkcje jednoargumentowe to:
Y=p - transmisja, na wyjściu Y mamy zawsze niezanegowany sygnał p
Y=~p - negacja, na wyjściu Y mamy zawsze zanegowany sygnał p (~p)
Y=1 - stała binarna, na wyjściu Y mamy zawsze 1
Y=0 - stała binarna, na wyjściu Y mamy zawsze 0
1.3.1 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=x
Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=x:
Operator logiczny jednoargumentowy Y|=x to układ równań logicznych Y=x i ~Y=~x dający odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie Y, a kiedy zajdzie ~Y
Kiedy zajdzie Y?
A1.
Y=x
Zajdzie Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie x
#
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie jednoargumentową funkcję logiczną A1.
B1.
~Y = ~x
Zajdzie ~Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~x
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
1.3.2 Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych
Zapiszmy wszystkie możliwe operatory jednoargumentowe w tabeli prawdy
Kod: |
TJ
Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych
Operator transmisji Y|=p
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
## ##
Operator negacji Y=|~p
A2: Y=~p # B2: ~Y= p
## ##
Zdanie zawsze prawdziwe Y|=1 (stała binarna)
A3: Y=1 # B3: ~Y=0
## ##
Zdanie zawsze fałszywe Y|=0 (stała binarna)
A4: Y=0 # B4: ~Y=1
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
Stąd mamy:
p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne (Y,~Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Doskonale widać, że w tabeli TJ definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Linie A3B3 i A4B4 to bezcenne zero-jedynkowe definicje praw Prosiaczka.
Znaczenie alternatywne:
Linie A3B3 i A4B4 to stałe binarne, w logice matematycznej totalnie bezużyteczne czego dowód mieliśmy w punkcie 1.2.1
1.4 Prawa Prosiaczka
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo Y) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~Y). Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej, jak również w stosunku do dowolnej stałej binarnej.
Zapiszmy funkcje logiczne A3 i A4 bo tylko one w prawach Prosiaczka nas interesują
Kod: |
TJ34
A3: Y=1 # B3: ~Y=0
## ##
A4: Y=0 # B4: ~Y=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negację drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że tabela TJ34 perfekcyjnie spełnia zarówno definicję znaczka różne # jak i definicję znaczka różne na mocy definicji ##
W wierszach A2 i A3 doskonale widać prawa Prosiaczka.
1.4.1 Wyprowadzenie I prawa Prosiaczka
W tym momencie musimy trochę wyprzedzić czas i skorzystać z definicji równoważności p<=>q oraz z prawa Irbisa które poznamy niebawem.
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesna prawdziwość twierdzenia prostego p=>q i twierdzenia odwrotnego q=>p
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
Definicję równoważności p<=>q zna każdy uczeń 7 klasy Szkoły Podstawowej.
Dowód:
Równoważność Pitagorasa:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy <=> gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: SK=>TP)=1*1=1
A1.
Twierdzenie proste Pitagorasa:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1 - udowodnione wieki temu
B1.
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów to ten trójkąt jest prostokątny
SK=>TP =1 - udowodnione wieki temu
Zapiszmy funkcje logiczne A3 i A4 w tabeli prawdy
Kod: |
TJ34
A3: Y=1 # B3: ~Y=0
## ##
A4: Y=0 # B4: ~Y=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negację drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
I prawo Prosiaczka widać w linii A3B3:
I Prawo Prosiaczka:
A3: (Y=1) # B3: (~Y=0)
Zmienna binarna w logice dodatniej (bo Y) ma wartość logiczną 1 wtedy i tylko wtedy gdy zmienna binarna w logice ujemnej (bo ~Y) ma wartość logiczną 0 (i odwrotnie)
Stąd mamy zapis tożsamy I prawa Prosiaczka:
A3: (Y=1) <=> B3: (~Y=0)
Stąd:
I Prawo Prosiaczka:
A3: (Y=1) <=> B3: (~Y=0) = (A3: (Y=1)=>B3: (~Y=0))*(B3: (~Y=0)=>A3: (Y=1)) =1*1 =1
Twierdzenie proste A3: p=>q brzmi:
A3.
Jeśli A3: (Y=1) to na 100% => B3: (~Y=0)
cnd
Twierdzenie odwrotne B3: q=>p brzmi:
B3.
Jeśli B3: (~Y=0) to na 100% => A3: (Y=1)
cnd
Prawo Irbisa:
Każda równoważność pojęć p<=>q definiuje tożsamość pojęć p=q i odwrotnie
p<=>q [=] p=q
Na mocy prawa Irbisa mamy:
A3: (Y=1) <=> B3: (~Y=0) [=] A3: (Y=1) = B3: (~Y=0)
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Tożsame znaczki tożsamości logicznej które możemy używać zamiennie celem precyzyjnego zapisu prawa logicznego np. prawa Irbisa
<=>, „=”, [=]
<=> - wtedy i tylko wtedy
Stąd końcowa postać I prawa Prosiaczka przyjmuje brzmienie.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
1.4.2 Wyprowadzenie II prawa Prosiaczka
Zapiszmy funkcje logiczne A3 i A4 w tabeli prawdy bo w prawach Prosiaczka tylko one nas interesują
Kod: |
TJ34
A3: Y=1 # B3: ~Y=0
## ##
A4: Y=0 # B4: ~Y=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negację drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
II prawo Prosiaczka widać w linii A4B4:
II Prawo Prosiaczka:
A4 (Y=0) # B4: (~Y=1)
Zmienna binarna w logice dodatniej (bo Y) ma wartość logiczną 0 wtedy i tylko wtedy gdy zmienna binarna w logice ujemnej (bo ~Y) ma wartość logiczną 1 (i odwrotnie)
Stąd mamy zapis tożsamy II prawa Prosiaczka:
A4: (Y=0) <=> B4: (~Y=1)
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie twierdzenia prostego p=>q i twierdzenia odwrotnego q=>p
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
Stąd:
II Prawo Prosiaczka:
A4: (Y=0) <=> B4: (~Y=1) = (A4: (Y=0)=>B4: (~Y=1))*(B4: (~Y=1)=>A4: (Y=0)) =1*1 =1
Twierdzenie proste A4: p=>q brzmi:
A4.
Jeśli A4: (Y=0) to na 100% => B4: (~Y=1)
cnd
Twierdzenie odwrotne B4: q=>p brzmi:
B4.
Jeśli B4: (~Y=1) to na 100% => A4: (Y=0)
cnd
Prawo Irbisa:
Każda równoważność pojęć p<=>q definiuje tożsamość pojęć p=q i odwrotnie
p<=>q [=] p=q
Na mocy prawa Irbisa mamy:
A4: (Y=0) <=> B4: (~Y=1) [=] A4: (Y=0) = B4: (~Y=1)
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Tożsame znaczki tożsamości logicznej które możemy używać zamiennie celem precyzyjnego zapisu prawa logicznego np. prawa Irbisa
<=>, „=”, [=]
<=> - wtedy i tylko wtedy
Stąd końcowa postać II prawa Prosiaczka przyjmuje brzmienie.
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
1.4.3 Prawa Prosiaczka w bramkach logicznych
Realizacja praw Prosiaczka w bramkach logicznych:
Kod: |
I prawo Prosiaczka:
(Y=1)<=>(~Y=0)
Y=1 ------ <=> ~Y=0
------------->| # |o----------------->
------
Po minięciu negatora # funkcję Y=1 musimy negować dwustronnie ~Y=0
## ##
II Prawo Prosiaczka:
(Y=0)<=>(~Y=1)
Y=0 ------ <=> ~Y=1
------------->| # |o----------------->
------
Po minięciu negatora # funkcję Y=0 musimy negować dwustronnie ~Y=1
Gdzie:
„o” - symbol negatora (#)
## - różne na mocy definicji
|
Stąd mamy:
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej lub stałej binarnej.
1.4.4 Przykład działania praw Prosiaczka na gruncie fizyki
Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
Linia A3B3 w tabeli TJ34:
S - żarówka świeci
Co w logice jedynek oznacza:
A3: S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
B3: ~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)
##
Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
Linia A4B4 w tabeli TJ34:
~S - żarówka nie świeci
Co w logice jedynek oznacza:
B4: ~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
A4: S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Innymi słowy:
Pojęcie "żarówka świeci" (S=1) jest różne na mocy definicji ## od pojęcia "żarówka nie świeci" (~S=1)
1.4.5 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka
Dla zrozumienia praw Prosiaczka nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając.
Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO
Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)
Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0
Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)
Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń
Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)
1.5 logika matematyczna stałych binarnych
Logikę matematyczną stałych binarnych opisują linie A3B3 i A4B4 z pełnej tabeli operatorów jednoargumentowych
Kod: |
TJ34 Logika matematyczna stałych binarnych
Zdanie zawsze prawdziwe Y|=1 (stała binarna)
A3: Y=1 # B3: ~Y=0
## ##
Zdanie zawsze fałszywe Y|=0 (stała binarna)
A4: Y=0 # B4: ~Y=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
1.5.1 Stałe binarne w wieku niemowlęcym
Logika matematyczna niemowlaków 0-2 lat to definiowanie stałych binarnych, które to definicje będą im niezbędne by w wieku 5 lat opanować biegle algebrę Kubusia.
Mama pokazuje 6-miesięcznemu synkowi na obrazku kurę i mówi:
A3.
To jest kura
K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że to jest kura (K)
Prawo Prosiaczka:
A3: (K=1) = B3: (~K=0)
B3:
~K=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że to nie jest kura (~K)
Tożsamość zdań:
A3: (K=1) = B3: (~K=0)
rozumie każdy 5-cio latek
Wniosek:
Prawo Prosiaczka działa fenomenalnie
„To jest kura” z filmu CK Dezerterzy:
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod: | https://www.dailymotion.com/video/x14lk01 |
Czy mama może pokazywać niemowlakowi na obrazku kurę, twierdząc że to jest osioł?
Może, ale wyląduje w szpitalu psychiatrycznym co przydarzyło się von Nogayowi w filmie CK Dezerterzy.
1.5.2 Stałe binarne w wieku 9 miesięcy
Przysłowiowy Jaś zapewne pamięta, jak w wieku 9 miesięcy mama trzymając go na rączkach i pstrykając pstryczkiem elektryczkiem na ścianie pierwszy raz tłumaczyła mu co znaczą pojęcia:
„Żarówka świeci” vs „Żarówka nie świeci”?
Kod: |
TJ34
A3.
Żarówka świeci
A3: Y=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że żarówka świeci (Y)
##
oraz
B4.
Żarówka nie świeci
B4: ~Y=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że żarówka nie świeci (~Y)
Gdzie:
## - pojęcia różne na mocy definicji
|
Znaczenie stałej binarnej Y:
Y – żarówka świeci (Y=1)
~Y – żarówka nie świeci (~Y=1)
Jasiowi bardzo się to podobało, bo z zapałem dorwał się do pstryczka elektryczka powtarzając wiele razy:
O, żarówka świeci
A3: Y=1
##
Klikając pstryczkiem kolejny raz mówi:
O, żarówka nie świeci
B4:~Y=1
Gdzie:
## - pojęcia różne na mocy definicji
… i tak w koło Macieju Jaś utrwalił sobie w swoim małym móżdżku dwa, różne na mocy definicji pojęcia ## (stałe binarne):
A3: Y=1 (żarówka świeci Y) ## B4: ~Y=1 (żarówka nie świeci ~Y)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
1.5.3 Stałe binarne w pierwszej klasie LO na lekcji logiki matematycznej
Logikę matematyczną stałych binarnych opisują linie A3B3 i A4B4 z pełnej tabeli operatorów jednoargumentowych
Kod: |
TJ34
Zdanie zawsze prawdziwe Y|=1 (stała binarna)
A3: Y=1 # B3: ~Y=0
## ##
Zdanie zawsze fałszywe Y|=0 (stała binarna)
A4: Y=0 # B4: ~Y=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwa pojęcia są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadne z nich nie jest negacją drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TJ34 znaczek różne na mocy definicji ## jest perfekcyjnie spełniony
Dowód:
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną A3: Y=1 lądując w punkcie B3: ~Y=0
Do funkcji logicznej B4: ~Y=1 o znanej zwartości logicznej (stała binarna) matematycznie nie mamy dojścia.
Oczywiście matematycznie zachodzi:
B3: ~Y=0 ## B4: ~Y=1
## - różne na mocy definicji
Uproszczona definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne w tej samej logice (tu ujemnej bo ~Y) są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy prawe strony tych funkcji nie są tożsame.
Wniosek:
Funkcje logiczne B3 i B4 są różne na mocy definicji ##
cnd
Wykład Prosiaczka, wysłannika 100-milowego lasu w I klasie ziemskiego LO.
Prosiaczek:
Na dzisiejszej lekcji zajmiemy się pojęciem stała binarna definiowanym w tabeli TJ34 wierszami A3B3 oraz A4B4 na przykładzie żarówki, która może świecić (A3: Y=1), albo nie świecić (B4: ~Y=1) - trzeciej możliwości brak.
Definicja stałej binarnej.
Stała binarna to funkcja logiczna {Y,~Y} której wartość logiczna jest nam znana.
Innymi słowy:
Stała binarna to pojęcie {Y,~Y} którego wartość logiczna jest nam znana.
Znaczenie stałej binarnej {Y, ~Y}:
Y – żarówka świeci się (Y=1)
##
~Y – żarówka nie świeci się (~Y=1)
Gdzie:
## - pojęcia różne na mocy definicji
Logika dodatnia w algebrze Kubusia:
Z logiką dodatnią w algebrze Kubusia mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy funkcja logiczna Y nie jest zanegowana (Y)
Inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną (bo ~Y)
Uwaga:
Wszelkie przeczenia w zdaniach muszą być uwzględnione są w kodowaniu matematycznym zdań.
Przykłady:
A3.
Żarówka świeci się
A3: Y=1 - logika dodatnia (bo Y)
##
B4.
Żarówka nie świeci się
B4: ~Y=1 - logika ujemna (bo ~Y)
Gdzie:
## - pojęcia różne na mocy definicji
Znaczenie zmiennej Y:
Y - żarówka świeci się (Y=1)
~Y - żarówka nie świeci się (~Y=1)
Uwaga:
Jedynki w kodowaniu zdań są domyślne i można je pominąć, co widać wyżej.
Linia A3B3 – stała binarna w logice dodatniej (bo Y):
Prosiaczek pstrykając pstryczkiem elektryczkiem zaświecił żarówkę i mówi:
Jak wszyscy widzą, żarówka świeci się (Y=1)
Zauważmy, że pojęcie „żarówka świeci się” (Y=1) w tabeli TJ34 możemy ulokować wyłącznie w punkcie A3.
A3.
Żarówka świeci się
A3: Y=1 - logika dodatnia (bo Y)
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że żarówka świeci się (Y)
Prawo Prosiaczka:
(A3: Y=1) = (B3: ~Y=0)
Stąd na mocy prawa Prosiaczka mamy zdanie tożsame do A3:
B3: ~Y=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że żarówka nie świeci się (~Y)
Jak widzimy, prawo Prosiaczka działa tu doskonale, zdania A3 i B3 są tożsame:
(A3: Y=1) = (B3: ~Y=0)
##
Linia A4B4 – stała binarna w logice ujemnej (bo ~Y):
Prosiaczek pstrykając pstryczkiem elektryczkiem zgasił żarówkę i mówi:
Jak wszyscy widzą, żarówka nie świeci się (~Y=1)
Zauważmy, że pojęcie „żarówka nie świeci się” (~Y=1) w tabeli TJ34 możemy ulokować wyłącznie w punkcie B4.
B4.
Żarówka nie świeci się
B4: ~Y=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci się (~Y)
Prawo Prosiaczka:
(B4: ~Y=1) = (A4: Y=0)
Stąd na mocy prawa Prosiaczka mamy zdanie tożsame do B4:
A4: Y=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że żarówka świeci się (Y)
Jak widzimy, prawo Prosiaczka działa tu doskonale, zdania B4 i A4 są tożsame:
(B4: ~Y=1) = (A4: Y=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
1.5.4 Pułapki w operatorach jednoargumentowych
Zadanie:
Dane są trzy zdania „żarówka świeci”:
1.
Żarówka świeci
2.
Jaś wypowiada zdanie „żarówka świeci” gdzie my widzimy żarówkę o której mówi Jaś
3.
Jaś wypowiada zdanie „żarówka świeci” gdzie my nie widzimy żarówki o której mówi Jaś
Rozwiązanie:
W punktach 1 i 2 nie ma mowy by świat martwy (1) albo świat żywy (2) nas okłamał.
Stąd zdanie „żarówka świeci” przyporządkowujemy do punktu A3.
A3: Y=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że żarówka świeci (Y)
Prawo Prosiaczka:
A3: (Y=1) = B3: (~Y=0)
Stąd zdanie tożsame do A3:
B3: (~Y=0)
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że żarówka nie świeci (~S)
Genialność praw Prosiaczka każdy widzi.
W punkcie 3 Jaś ma wolną wolę i może nas okłamywać, zatem zdanie „żarówka świeci” musimy przypisać do punktu A1.
A1.
Jaś mówi „żarówka świeci” (gdzie nie widzimy żarówki o której mówi Jaś)
Y=S
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> S=1
Czytamy:
Jaś mówi prawdę (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
… a kiedy Jaś nie mówi prawdy (~Y=1)
Negujemy funkcję A1 stronami:
B1.
~Y=~S
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~S=1
Czytamy:
Jaś nie mówi prawdy (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
1.6 Zasady kodowania zdań w operatorach jednoargumentowych
Kod: |
TJ
Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych
Operator transmisji Y|=p
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
## ##
Operator negacji Y=|~p
A2: Y=~p # B2: ~Y= p
## ##
Zdanie zawsze prawdziwe Y|=1 (stała binarna)
A3: Y=1 # B3: ~Y=0
## ##
Zdanie zawsze fałszywe Y|=0 (stała binarna)
A4: Y=0 # B4: ~Y=1
Gdzie:
p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Uwaga:
Linie A1B1 i A2B2 dotyczą świata żywego w którym kłamstwo (~Y) jest możliwe, zatem tu nie znamy z góry wartości logicznej zdań.
Linie A3B3 i A4B4 dotyczą świata martwego, który z definicji nie może kłamać, zatem tu znamy z góry wartość logiczną zdań 1 albo 0.
1.6.1 Zasady kodowania zdań twierdzących w świecie żywym
Wyłącznie świat żywy ma „wolną wolę” i może kłamać do woli.
Dotyczy wyłącznie linii A1B1 i A2B2 w tabeli TJ
Definicja funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y):
Funkcja logiczna zapisana jest w logice dodatniej (bo Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej zapisana jest w logice ujemnej (bo ~Y)
Przykłady: tabela TJ
Definicja logiki jedynek w języku potocznym:
Z logiką jedynek w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie zmienne występujące w zdaniu sprowadzone są do wartości logicznej 1.
Jedynki są w logice matematycznej domyślne i możemy je pominąć.
Innymi słowy:
Wszelkie przeczenia w kodowaniu matematycznym muszą być zapisane jawnie
Sprowadzenie wszystkich zmiennych do wartości logicznej 1 umożliwiają prawa Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej lub stałej binarnej.
(p=1)=(~p=0)
(p=0) = (~p=1)
Przykład:
1.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 - to jest logika jedynek bo ~K=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Prawo Prosiaczka:
(~K=1) = (K=0)
Stąd zapis tożsamy:
Y=1 <=> K=0 - to nie jest logika jedynek bo K=0
Prawo Żyrafy:
Kodowanie zdań twierdzących:
Wszelkie zdania twierdzące dotyczące świata żywego mającego „wolną wolę” kodujemy matematycznie wyłącznie w postaci funkcji logicznych
Y=f(x)
Gdzie:
Y - istota żywa dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - istota żywa nie dotrzyma słowa (~Y=1)
Niedozwolone jest kodowanie zdań twierdzących w postaci samego wyrażenia f(x) bowiem prowadzi to do wewnętrznej sprzeczności logiki matematycznej w postaci prawa Grzechotnika (pkt. 1.9.1)
1.6.2 Funkcja logiczna Y zmiennej binarnej p
Definicja funkcji logicznej Y zmiennej binarnej p:
Funkcja logiczna Y zmiennej binarnej p jest poprawnie zbudowana wtedy i tylko wtedy gdy nie zawiera choćby jednego wartościowania w swoim zapisie.
To jest poprawnie zbudowana funkcja logiczna Y:
A1: Y=p
Co w logice jedynek oznacza:
A1’: Y=1 <=> p=1
.. a kiedy zajdzie ~Y?
#
Negujemy funkcję A1 dwustronnie:
B1: ~Y=~p
Co w logice jedynek oznacza:
B1’: ~Y=1 <=> ~p=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Zauważmy, że znaczek # dotyczy wyłącznie funkcji logicznych A1 i B1 oraz nie dotyczy wartościowań A1’ i B1’
Dowód przez podanie kontrprzykładu.
W miejsce zmiennej binarnej A1: Y nie wolno nam wstawić jej wartościowania A1’: Y=1 bo dostaniemy sprzeczność czysto matematyczną.
To jest fałszywa funkcja logiczna Y:
A1”: Y=1 <=> p
… a kiedy zajdzie ~Y?
#
Negujemy A1” dwustronnie:
B1”: ~Y=0 <=> ~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Dowód sprzeczności czysto matematycznej:
Powinno być: B1’: ~Y=1 ## Jest: B1”: ~Y=0 (sprzeczność)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
1.6.3 Funkcja logiczna Y stałej binarnej p
Funkcja logiczna Y stałej binarnej p to po prostu prawa Prosiaczka omówione w punkcie 1.4
1.7 Prawo Puchacza dla zdań twierdzących jednoargumentowych
Kod: |
TJ
Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych
Operator transmisji Y|=p
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
## ##
Operator negacji Y=|~p
A2: Y=~p # B2: ~Y= p
## ##
Zdanie zawsze prawdziwe Y|=1 (stała binarna)
A3: Y=1 # B3: ~Y=0
## ##
Zdanie zawsze fałszywe Y|=0 (stała binarna)
A4: Y=0 # B4: ~Y=1
Gdzie:
p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Prawo Puchacza dla zdań twierdzących jednoargumentowych w języku potocznym:
Funkcje logiczne Y i ~Y opisujące linię x w tabeli TJ dostępne są tylko i wyłącznie w linii x.
Żadna z tych funkcji nie jest dostępna w jakiejkolwiek linii poza linią x
Dowód formalny:
Wybieramy przykładową funkcję logiczną z linii A2B2:
B2: ~Y=p
Sprawdzamy iż funkcji tej nie ma w żadnej innej linii poza linią A2B2.
itd
1.7.1 Jak działa prawo Puchacza?
Poszczególne zdania związane z tabelą TJ możemy wypowiadać losowo, a kodowanie matematyczne wskaże nam miejsce tego zdania w tabeli TJ.
Wypowiedzmy uporządkowane zdania z tabeli TJ mając świadomość że możemy je losowo przestawiać:
Punkt: A1
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K)
Y = K
Punkt: B1
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K)
~Y = ~K
Punkt: A2
Pani dotrzyma słowa wtedy (Y) i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K)
Y = ~K
Punkt: B2
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K)
~Y = K
Punkt: A3
Żarówka świeci
S=1
Prawdą jest (=1), że żarówka świeci (S)
Punkt: B3
Prawo Prosiaczka:
(A3: S=1) = (B3: ~S=0)
Stąd zdanie tożsame do A3.
Punkt: B3
B3: ~S=0
Fałszem jest (=0), że żarówka nie świeci (~S)
Jak widzimy, prawo Prosiaczka działa doskonale
Punkt: A4
Fałszem jest (=0), że żarówka świeci (S)
S=0
Prawo Prosiaczka:
(A4: S=0)=(B4: ~S=1)
Stąd zdanie tożsame do A4
Punkt: B4
B4: ~S=1
Prawdą jest (=1), że żarówka nie świeci (~S)
Jak widzimy, prawo Prosiaczka działa doskonale
1.7.2 Miękkie jedynki i miękkie zera w logice matematycznej
Definicja miękkiej jedynki w logice matematycznej:
W logice matematycznej jedynka jest miękką jedynką, wtedy i tylko wtedy gdy istnieje iterowanie (losowanie) ustawiające na iterowanej pozycji miękkie zero
Definicja miękkiego zera w logice matematycznej:
W logice matematycznej zero jest miękkim zerem, wtedy i tylko wtedy gdy istnieje iterowanie (losowanie) ustawiające na iterowanej pozycji miękką jedynkę
Weźmy przykładowe zdania z linii A1B1.
Pani w przedszkolu wypowiada obietnicę bezwarunkową:
A1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
#
Negujemy funkcję logiczną A1 stronami.
B1.
~Y=~K
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Gdzie:
# - funkcje różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Wnioski:
1.
Zauważmy, że w linii A1B1 mamy matematyczny związek między zdaniami A1 i B1 w postaci znaczka #
2.
Na mocy prawa Puchacza po wylosowaniu z otaczającego nas świata zdania A1 albo B1 w linii A1B1 będziemy mieli miękkie jedynki, zaś wszelkie inne zdania poza zdaniami z linii A1B1 przyjmą wartość logiczną miękkiego zera (=0), co oznacza, że nie ma żadnych związków matematycznych między linią A1B1 a jakąkolwiek inną linią w tabeli TJ
3.
Definicja miękkiego zera:
Miękkie zero oznacza, że istnieje iterowania (losowanie) dla którego na pozycji miękkiego zera może pojawić się miękka jedynka.
Przykładowo, jeśli wylosujemy zdanie z linii A2B2 to w tej linii będziemy mieli miękkie jedynki, zaś w linii A1B1 będą miękkie zera.
1.8 Funkcje Y=x i operatory Y|=x jednoargumentowe
Z tabeli wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych zajmiemy się wyłącznie liniami A1B1 i A2B2 opisującymi świat żywy mający „wolną wolę”.
1.8.1 Definicja funkcji transmisji Y=p i operatora transmisji Y|=p
Definicja transmitera:
Transmiter to bramka logiczna jednowejściowa gdzie na wyjście Y transmitowany jest zawsze niezanegowany sygnał wejściowy p (Y=p)
Realizacja rzeczywista:
SN7407 (Strona 1: Y=p)
Kod: | https://www.ti.com/lit/ds/symlink/sn7407.pdf |
Definicja matematyczna:
Funkcja logiczna transmitera Y=p w logice dodatniej (bo Y) to funkcja definiowana tabelą prawdy:
Kod: |
FT
Funkcja transmisji Y=p
Wejście |Wyjście
| A1:
p # ~p | Y=p
1 # 0 | 1
0 # 1 | 0
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Na wyjściu Y mamy tu zawsze niezanegowany sygnał p (Y=p)
Definicja operatora transmisji Y|=p:
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych A1: Y=p i B1: ~Y=~p dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej:
Kod: |
OT
Definicja operatora transmisji: Y|=p
Wejście |Wyjście
| A1: B1:
p # ~p | Y=p # ~Y=~p
A: 1 # 0 | 1 # 0
B: 0 # 1 | 0 # 1
1 2 3 4
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Doskonale tu widać że:
A1:
Y=p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1
#
… kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie A1.
B1:
~Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1
1.8.2 Definicja funkcji negacji Y=~p i operatora negacji Y|=~p
Definicja negatora:
Negator to bramka logiczna jednowejściowa gdzie na wyjście Y transmitowany jest zawsze zanegowany sygnał wejściowy p (Y=~p)
Realizacja rzeczywista:
SN7406 (strona 2: Y=~p)
[link widoczny dla zalogowanych]
Definicja matematyczna:
Funkcja logiczna negatora Y=~p to funkcja definiowana tabelą prawdy:
Kod: |
FN
Funkcja negatora Y=~p
Wejście |Wyjście
| A2:
p # ~p | Y=~p
1 # 0 | 0
0 # 1 | 1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Na wyjściu Y mamy tu zawsze zanegowany sygnał p (Y=~p)
Definicja operatora negacji Y|=~p:
Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych A2: Y=~p i B2: ~Y=p dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej:
Kod: |
ON
Definicja operatora negacji: Y|=~p
Wejście |Wyjście
| A2: B2:
p # ~p | Y=~p # ~Y=p
A: 1 # 0 | 0 # 1
B: 0 # 1 | 1 # 0
1 2 3 4
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Doskonale tu widać że:
A2:
Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
#
… kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie A2.
B2:
~Y=p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1
1.8.3 Relacja matematyczna między operatorami Y|=p a Y|=~p
Kod: |
OT
Definicja operatora transmisji: Y|=p
Wejście |Wyjście
| A1: B1:
p # ~p | Y=p # ~Y=~p
1 # 0 | 1 # 0
0 # 1 | 0 # 1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
##
Kod: |
ON
Definicja operatora negacji: Y|=~p
Wejście |Wyjście
| A2: B2:
p # ~p | Y=~p # ~Y=p
1 # 0 | 0 # 1
0 # 1 | 1 # 0
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zapiszmy tabele OT i ON w symbolicznej tabeli prawdy:
Kod: |
OTON:
Operator transmisji Y|=p
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
## ##
Operator negacji Y|=~p
A2: Y=~p # B2: ~Y= p
|
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
Stąd mamy:
Zmienne p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne (Y,~Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
W tabeli OTON widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Doskonale też widać, że wprowadzenie do logiki matematycznej funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) wymusza wprowadzenie do logiki matematycznej znaczków # i ##
1.8.4 Prawo Grzechotnika dla funkcji jednoargumentowych
Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.
Kod: |
OTON:
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
## ##
A2: Y=~p # B2: ~Y= p
|
Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
Dowód:
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Innymi słowy:
Ziemscy matematycy operując w rachunku zero-jedynkowym wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) z definicji usuwają zewsząd wszelkie funkcje Y i ~Y.
Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli OTON
Kod: |
OTON”:
A1: p # B1: ~p
## ##
A2:~p # B2: p
|
Doskonale widać, że w tabeli OTON" najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą tożsamości po przekątnych.
W tabeli OTON” zgubiona została kluczowa informacja o tym kiedy zajdzie Y, a kiedy zajdzie ~Y.
To jest dowód wewnętrznej sprzeczności wszelkich ziemskich logik matematycznych.
1.8.5 Prawo Sokoła
Z chwilą zaakceptowania przez ziemskich matematyków algebry Kubusia która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) prawo Grzechotnika zostanie zastąpione prawem Sokoła.
Prawo Sokoła:
Algebra Kubusia, która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie niesprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
1.8.6 Prawo Grzechotnika dla stałych binarnych
Rozważmy przykład:
A3: Y=1 - prawdą jest (=1), że żarówka świeci się (Y)
##
B4: ~Y=1 - prawdą jest (=1), że żarówka nie świeci się (~Y)
Gdzie:
## - pojęcia różne na mocy definicji ##
Zapiszmy wszystkie możliwe operatory jednoargumentowe dotyczące stałych binarnych
Kod: |
TJ34
Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych
Dotycząca stałych binarnych
Zdanie zawsze prawdziwe Y|=1 (stała binarna)
A3: Y=1 # B3: ~Y=0
## ##
Zdanie zawsze fałszywe Y|=0 (stała binarna)
A4: Y=0 # B4: ~Y=1
p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne (Y,~Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
W tabeli TJ34 widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Doskonale też widać, że wprowadzenie do logiki matematycznej funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) wymusza wprowadzenie do logiki matematycznej znaczków # i ##
Definicja stałej binarnej.
Stała binarna to funkcja logiczna {Y,~Y} której wartość logiczna jest nam znana.
Innymi słowy:
Stała binarna to pojęcie {Y,~Y} którego wartość logiczna jest nam znana.
Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
Dowód:
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli T2.
Kod: |
TJ34”.
A3: 1 # B3: 0
## ##
A4: 0 # B4: 1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Doskonale widać, że w tabeli TJ34" najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą tożsamości po przekątnych.
W tabeli TJ34” zgubiona została kluczowa informacja o tym kiedy zajdzie Y (żarówka świeci), a kiedy zajdzie ~Y (żarówka nie świeci)
To jest dowód wewnętrznej sprzeczności wszelkich ziemskich logik matematycznych na poziomie funkcji logicznych o znanej wartości logicznej (stałych binarnych)
1.8.7 Prawo Sokoła dla stałych binarnych
Z chwilą zaakceptowania przez ziemskich matematyków algebry Kubusia która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) prawo Grzechotnika zostanie zastąpione prawem Sokoła.
Prawo Sokoła:
Algebra Kubusia, która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie niesprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
1.9 Prawo Grzechotnika na przykładzie zrozumiałym dla 5-cio latka
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
Przykład konsekwentnego stosowania standardu dodatniego w języku potocznym mamy niżej
Kod: |
OT
Definicja operatora transmisji: Y|=p
Wejście |Wyjście
| A1: B1:
p # ~p | Y=p # ~Y=~p
1 # 0 | 1 # 0
0 # 1 | 0 # 1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
##
Kod: |
ON
Definicja operatora negacji: Y|=~p
Wejście |Wyjście
| A2: B2:
p # ~p | Y=~p # ~Y=p
1 # 0 | 0 # 1
0 # 1 | 1 # 0
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
Stąd mamy:
Zmienne p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
W niniejszym punkcie zajmiemy się dowodem prawa Grzechotnika dla funkcji jednoargumentowych A1: Y=p i A2: Y=~p na konkretnym przykładzie, doskonale rozumianym przez każdego 5-cio latka.
Zadanko Kubusia:
Dane są dwa zdania pań przedszkolanek z dwóch różnych przedszkoli A1 i A2.
Pani w przedszkolu A1:
A1.
Jutro pójdziemy do kina
Pani w przedszkolu A2:
A2.
Jutro nie pójdziemy do kina
Treść polecenia:
Zapisz w funkcjach logicznych kiedy panie dotrzymają słowa a kiedy skłamią?
Rozwiązanie Jasia, ucznia I klasy LO w 100-milowym lesie.
Przedszkole A1:
Kod: |
OT
Definicja operatora transmisji: Y|=p
Wejście |Wyjście
| A1: B1:
p # ~p | Y=p # ~Y=~p
Przykład który za chwilkę zrobimy p=K:
K # ~K | Y=K # ~Y=~K
1 # 0 | 1 # 0
0 # 1 | 0 # 1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Pani w przedszkolu A1:
A1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 - doskonale to widać w tabeli OT
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
#
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy równanie A1 stronami:
B1.
~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 - doskonale to widać w tabeli OT
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
##
Przedszkole A2:
Kod: |
ON
Definicja operatora negacji: Y|=~p
Wejście |Wyjście
| A2: B2:
p # ~p | Y=~p # ~Y=p
Przykład który za chwilkę zrobimy p=K:
K # ~K | Y=~K # ~Y=K
1 # 0 | 0 # 1
0 # 1 | 1 # 0
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Pani w przedszkolu A2:
A2.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 - doskonale to widać w tabeli ON
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
#
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy równanie A2 dwustronnie.
~Y=K
Stąd mamy:
B2.
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K)
~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 - doskonale to widać w tabeli ON
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Gdzie:
Zmienne Y i K muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi, inaczej błąd podstawienia
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
Znaczenie zmiennych Y i K w logice dodatniej (bo p) i ujemnej (bo ~p):
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)
K - jutro pójdziemy do kina (K=1)
~K - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Definicja dziedziny D dla zdarzeń:
Dziedzina D dla zdarzeń to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń jakie mogą wystąpić
K+~K =D =1 - zdanie zawsze prawdziwe (stała binarna)
K*~K =[] =0 - zdanie zawsze fałszywe (stała binarna)
Zauważmy, że pojęcia K (kino) i ~K (nie kino) nie są zdaniami.
Zdaniami są dopiero funkcje logiczne Y=x
[/code]
Zapiszmy dialogi pań z przedszkola A1 i A2 w tabeli prawdy:
Kod: |
T1
Pani w przedszkolu A1:
A1: Y= K # B1: ~Y=~K
## ##
Pani w przedszkolu A2:
A2: Y=~K # B2: ~Y= K
|
Definicja znaczka #:
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne (Y,~Y) są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
W tabeli T1 doskonale widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Jak widzimy wyżej, wprowadzenie do logiki matematycznej funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) wymusza wprowadzenie do logiki matematycznej znaczków # i ##
1.9.1 Dowód prawa Grzechotnika na poziomie przedszkola
Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
Dowód:
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Doskonale widać, że jeśli z tabeli T1 usuniemy wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y zostawiając wyłącznie wyrażenia algebry Boole’a widniejące z prawej strony, to najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## zostanie zgwałcony bo zachodzić będą tożsamości po przekątnych:
A1: K = B2: K
A2: ~K = B1: ~K
To jest dowód wewnętrznej sprzeczności wszelkich ziemskich logik matematycznych.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 12:51, 12 Paź 2024, w całości zmieniany 172 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 12:31, 23 Paź 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
1.18 Funkcje logiczne dwuargumentowe
Spis treści
1.10 Aksjomatyka algebry Boole’a 2
1.10.1 Aksjomatyka minimalna algebry Boole'a 3
1.11 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków 6
1.12 Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej 8
1.12.1 Prawo Małpki 9
1.13 Równoważność K<=>T w świecie żywym 10
1.14 Definicja spójnika „lub”(+) 11
1.14.1 Definicja operatora „lub”(+) 12
1.14.2 Diagram operatora „lub"(|+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych 12
1.14.3 Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych 13
1.14.4 Przykład operatora „lub"(|+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych 14
1.15 Definicja spójnika „i”(*) 16
1.15.1 Definicja operatora „i”(|*) 16
1.15.2 Diagram operatora „i”(|*) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych 17
1.15.3 Przykład operatora „i”(|*) w zdarzeniach 18
1.16 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a 19
1.16.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 20
1.16.2 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer 22
1.17 Związek opisu tabel zero-jedynkowych w logice jedynek i w logice zer 23
1.17.1 Prawo Małpki 23
1.17.2 Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej 25
1.17.3 Tworzenie tabeli zero-jedynkowej dla funkcji logicznej Y 25
1.18 Funkcje logiczne dwuargumentowe 25
1.18.1 Tabela wszystkich możliwych funkcji dwuargumentowych 27
1.18.2 Tabela wszystkich możliwych operatorów dwuargumentowych 28
1.18.3 Prawo Grzechotnika 30
1.19 Definicja spójników zupełnych w języku potocznym 30
1.19.1 Prawo Puchacza dla spójników zupełnych w języku potocznym 30
1.19.2 Startowa funkcja logiczna 31
1.10 Aksjomatyka algebry Boole’a
Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Definicja znaczka w logice matematycznej:
Znaczek w logice matematycznej to symbol zdefiniowany odpowiednią tabelą zero-jedynkową
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
Dowód w pkt. 1.11
Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+):
I.
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka
Znaczek tożsamy w matematyce:
(*) - znaczek koniunkcji
Znaczek tożsamy w technice:
(*) - bramka logiczna AND
Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
Kod: |
p* q Y=p*q
A: 1* 1 =1
B: 1* 0 =0
C: 0* 1 =0
D: 0* 0 =0
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
Y=1
|
II.
(+) - spójnik „lub”(+) z języka potocznego człowieka
Znaczek tożsamy w matematyce:
(+) - znaczek alternatywy
Znaczek tożsamy w technice:
(+) - bramka logiczna OR
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod: |
p+ q Y=p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
Y=1
|
Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia którą logiką będziemy się posługiwać. W przypadku spójnika „lub”(+) użycie logiki zer jest najszybszym sposobem wypełnienia wynikowej kolumny zero-jedynkowej.
1.10.1 Aksjomatyka minimalna algebry Boole'a
Definicja minimalnej aksjomatyki algebry Boole’a:
Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a to minimalny zestaw definicji i praw algebry Boole’a koniecznych i wystarczających do minimalizacji równań algebry Boole’a.
1.
1=prawda
0=fałsz
Matematyczne związki:
1=~(0)=~0 - prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu (0)
0=~(1)=~1 - fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy (1)
2.
Prawo podwójnego przeczenia:
p =~(~p) - logika dodatnia (bo p) jest tożsama z zanegowaną (~) logiką ujemną (bo ~p)
Prawo zaprzeczenia logiki dodatniej (bo p):
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) jest tożsama z zanegowaną (~) logiką dodatnią (bo p)
3.
Elementem neutralnym w spójniku „i”(*) jest jedynka
p*1=p - łatwe do zapamiętania przez analogię do zwykłego mnożenia: x*1=x
p+1=1 - to jedyny wyjątek nie mający odpowiednika w zwykłym dodawaniu
4.
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest zero
p+0=p - łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego dodawania: x+0=x
p*0=0 - łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego mnożenia: x*0=0
5.
Definicja dziedziny D w zbiorach:
A: p+~p=D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny (D)
B: p*~p=[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, stąd ich iloczyn logiczny to zbiór pusty []=0
Definicja dziedziny D w zdarzeniach:
C: p+~p=D =1 - zdarzenie ~p jest uzupełnieniem zdarzenia p do wspólnej dziedziny (D)
D: p*~p=[] =0 - zdarzenia p i ~p są rozłączne, stąd ich iloczyn logiczny to zbiór pusty []=0
Przykłady:
5A
Zdanie zawsze prawdziwe w zbiorach:
Dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 2 lub nie jest podzielna przez 2
D=LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych, wspólna dziedzina dla P2 i ~P2
P2+~P2=LN =1 - zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest uzupełnieniem zbioru P2=[2,4,6,8..] do dziedziny LN
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb naturalnych LN pomniejszony o zbiór liczb parzystych P2
5B.
Zdanie zawsze fałszywe w zbiorach:
Dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 2 i nie jest podzielna przez 2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2=[2,4,6,8..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne, stąd ich iloczyn logiczny to 0
Uwaga:
W matematyce zdanie zawsze prawdziwe (5A) i zdanie zawsze fałszywe (5B) to bezużyteczne śmieci.
5C.
Zdanie zawsze prawdziwe w zdarzeniach:
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
Y = K+~K =D =1 - zdarzenie ~K jest uzupełnieniem zdarzenia K do wspólnej dziedziny D
D={K,~K} - zbiór wszystkich możliwych zdarzeń w dniu jutrzejszym, wspólna dziedzina D
Chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień.
5D.
Zdanie zawsze fałszywe w zdarzeniach:
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y = K*~K =[] =0 - zdarzenie ~K jest rozłączne ze zdarzeniem K
Chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień
6.
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) są przemienne
p*q=q*p
p+q=q+p
7.
Prawo redukcji/powielania zmiennych binarnych:
p*p=p
p+p=p
8.
Prawa De Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
p*q = ~(~p+~q)
9.
Obsługa wielomianów logicznych jest identyczna jak wielomianów klasycznych pod warunkiem przyjęcia analogii:
Spójnik „lub”(+) to odpowiednik sumy algebraicznej (+) np. x+y
Spójnik „i”(*) to odpowiednik iloczynu algebraicznego (*) np. x*y
Stąd mamy:
Kolejność wykonywania działań w wielomianach logicznych:
przeczenie (~), nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
bo robimy analogię do wielomianów klasycznych.
Przykład mnożenia wielomianów logicznych:
Niech będzie dana funkcja logiczna Y:
Y = (p+~q)*(~p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Minimalizujemy:
Y = (p+~q)*(~p+q)
Y = p*~p + p*q +~q*~p + ~q*q - mnożenie logiczne każdego z każdym (jak w matematyce klasycznej)
Y = 0 + p*q + ~q*~p + 0 - prawo algebry Boole'a: x*~x=0
Y = p*q + ~q*~p - prawo algebry Boole'a: x+0=x
Y = p*q + ~p*~q - przemienność x*y=y*x
Stąd:
Nasza funkcja logiczna Y po minimalizacji przybiera postać:
Y = (p+~q)*(~p+q) = p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Inny przykład wykorzystania praw algebry Boole’a.
Udowodnij prawo algebry Boole’a:
p + p*q =p
Dowód:
p + p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p=p*1
Wyciągnięcie zmiennej p przed nawias identyczne jak w wielomianach klasycznych
p*(1+q)
1+q =1
p*1=p
cnd
Każde z praw logiki matematycznej można udowodnić w rachunku zero-jedynkowym.
Kod: |
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
p+ q Y=p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
|
Przykład 1.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo rachunku zero-jedynkowego:
p+1 =1
Mamy tu:
p - zmienna binarna, mogąca przyjmować w osi czasu wartości logiczne 1 albo 0.
q=1 - stała binarna, twarda jedynka niezależna od czasu.
Korzystamy z definicji spójnika „lub”(+):
Kod: |
Dla p i q=1 mamy:
p+ q=1 Y=p+1
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 1 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 1 =1
|
Stąd mamy dowód prawdziwości prawa rachunku zero-jedynkowego:
p+1 =1
cnd
Przykład 2.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo algebry Boole’a:
p+~p =1
Korzystamy z definicji spójnika „lub”(+):
Kod: |
Dla p i q=~p mamy:
p+~p Y=p+~p
A: 1+ 0 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 1 =1
|
Stąd mamy dowód prawdziwości prawa rachunku zero-jedynkowego:
p+~p =1
cnd
Przykład 3.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo De Morgana dla sumy logicznej „lub”(+):
p+q = ~(~p*~q)
Zaczynamy od definicji spójnika „lub”(+)
Kod: |
p+ q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q Y=~(~Y)=~(~p*~q)
A: 1+ 1 =1 =0 0* 0 =0 =1
B: 1+ 0 =1 =0 0* 1 =0 =1
C: 0+ 1 =1 =0 1* 0 =0 =1
D: 0+ 0 =0 =1 1* 1 =1 =0
1 2 3 4 5 6 7 8
Gdzie:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
|
Tożsamość kolumn wynikowych 3=8 (Y=Y) jest dowodem poprawności prawa De Morgana:
Y = 3: p+q = 8: ~(~p*~q)
#
Tożsamość kolumn wynikowych 4=7 (~Y=~Y) jest dowodem poprawności prawa De Morgana:
~Y = 4: ~(p+q) = 7:~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
cnd
1.11 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków
Rozważmy projektowanie sterowania windą.
Przyjmijmy wejście układu windy:
Na poziomie 5-cio latka zakładamy że winda ma dwa przyciski wejściowe układu (zmienne binarne):
Opis przycisku D=drzwi:
Z=1 - drzwi zamknięte (Z)
~Z=1 - drzwi nie zamknięte (~Z)
Opis przycisku P=piętro:
P=1 - przycisk piętro wciśnięty (P)
~P=1 - przycisk piętro nie wciśnięty (~P)
Przyjmijmy wyjście układu windy:
Wyjście układu opisane jest przez zmienną binarną J=jedzie:
J=1 - winda jedzie (J).
~J=1 - winda nie jedzie (~J)
I.
Pani przedszkolanka do Jasia (lat 5):
Powiedz nam Jasiu kiedy winda jedzie (J=1)?
Jaś:
A1.
Winda jedzie (J=1) wtedy i tylko wtedy gdy drzwi są zamknięte (Z=1) i wciśnięty jest przycisk piętro (P=1)
A1: J=Z*P
co w logice jedynek oznacza:
J=1 <=> Z=1 i P=1
Wniosek:
Jaś zaprojektował sterownie windą w logice dodatniej (bo J)
II.
Pani przedszkolanka do Zuzi (lat 5):
Powiedz nam Zuziu kiedy winda nie jedzie (~J=1)?
Zuzia:
B1.
Winda nie jedzie (~J=1) wtedy i tylko wtedy gdy drzwi nie są zamknięte (~Z=1) "lub"(+) nie jest wciśnięty przycisk piętro (~P=1)
B1: ~J = ~Z + ~P
co w logice jedynek oznacza:
~J=1 = ~Z=1 lub ~P=1
Wniosek:
Zuzia zaprojektowała sterowanie windą w logice ujemnej (bo ~J)
Wnioski końcowe:
Rozwiązania Jasia i Zuzi są matematycznie równoważne bo oczywisty związek logiki dodatniej (bo J) i ujemnej (bo ~J) jest następujący:
Jaś:
A1: J=Z*P
Moja logika dodatnia (bo J) to zanegowana logika ujemna (bo ~J), stąd mamy:
J = ~(~J)
Po podstawieniu:
B1: ~J = ~Z + ~P
Mamy:
J = ~(~Z+~P)
czyli:
A1: J = ~(~Z+~P) = Z*P - prawo De Morgana
cnd
Zuzia:
B1: ~J=~Z+~P
Moja logika ujemna (bo ~J) to zanegowana logika dodatnia (bo J), stąd mamy:
~J = ~(J)
Po podstawieniu:
A1: J=Z*P
Mamy:
~J = ~(Z*P)
czyli:
B1: ~J = ~(Z*P) = ~Z+~P - prawo De Morgana
cnd
Doskonale tu widać, że zarówno Jaś jak i Zuzia (oboje po 5 wiosenek) perfekcyjnie znają algebrę Kubusia bo po prostu pod nią podlegają.
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = znana inżynierom bramka AND
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = znana inżynierom bramka OR
Przełożenie powyższych zdań na bramki logiczne jest trywialne:
Wszędzie, gdzie wymawiamy spójnik „i”(*) wstawiamy bramę AND.
Wszędzie, gdzie wymawiamy spójnik „lub”(+) wstawiamy bramkę OR
Kod: |
T1
Zdania Jasia i Zuzi przełożone na język bramek logicznych „i”(*) i „lub”(+)
-------------
Z------x-------->| |
| | „i”(*) |---x---> A1: J=Z*P (Jaś)
P--x------------>| | |
| | ------------- |
| | O = # (negator dwukierunkowy)
| | ~Z ------------- |
| |--O----->| | |
| ~P | „lub”(+) |---x---> A2: ~J=~Z+~P (Zuzia)
|------O----->| |
-------------
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
O - negator dwukierunkowy (pkt. 1.1.2)
Zachodzi tożsamość znaczków:
# = O
|
To jest cała filozofia przełożenia logiki matematycznej Jasia i Zuzi na teorię bramek logicznych.
Uwaga:
W użytecznym sterowaniu trzeba wprowadzić dodatkową zmienną binarną sygnalizującą dojechanie windy na żądane piętro, gdzie winda automatycznie staje i przycisk P (piętro) wyskakuje. Przy zamkniętych drzwiach warunkiem koniecznym kolejnej jazdy jest wciśnięcie piętra różnego od tego, na którym winda aktualnie stoi.
1.12 Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej
Algorytm Wuja Zbója to uproszczony sposób przejścia z logiki dodatniej (bo Y) do logiki ujemnej (bo ~Y) i z powrotem.
Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
1.
Y = pq+~p~q - zapis dopuszczalny w technice z pominięciem spójnika „i”(*)
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
1: Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2: ~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója
Kolejność wykonywania działań w algebrze Kubusia:
przeczenie (~), nawiasy, spójnik „i”(*), spójnik „lub”(+)
1.12.1 Prawo Małpki
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
Dowód na przykładzie:
Definicja równoważności Y=p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1: Y = (p<=>q) = p*q + ~p*~q
Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
a)
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
1: Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
b)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2: ~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója
Zauważmy że:
Jeśli wymnożymy wielomian 2 to otrzymamy tożsamą do niego postać alternatywno-koniunkcyjną.
Zróbmy to:
~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
3: ~Y = (p*~q) + (~p*q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Dla funkcji logicznej 3 ponownie korzystamy z algorytmu Wuja:
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4: Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Stąd mamy:
Kod: |
Prawo Małpki:
1: Y = p* q + ~p*~q <=> 4: Y = (~p+ q)*(p+~q) – logika dodatnia (bo Y)
# #
3: ~Y = p*~q + ~p* q <=> 2: ~Y = (~p+~q)*(p+ q) – logika ujemna (bo ~Y)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negację drugiej
p, q, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, q, Y inaczej błąd podstawienia
|
Otrzymane funkcje logiczne Y i ~Y nie są tożsame, czyli:
(Y=~Y) =0
ale związane ze sobą spójnikiem "albo"($)
Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p$q = p*~q + ~p*q - poznamy niebawem
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
Y$~Y = (Y)*~(~Y) + ~(Y)*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y = Y+~Y=1
Przykład:
Dowolny człowiek mówi prawdę (P) albo nie mówi prawdy (~P)
P$~P =1
Trzeciej możliwości brak
1.13 Równoważność K<=>T w świecie żywym
Definicja równoważności p<=>q w świecie żywym:
Z równoważnością w świecie żywym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy każde z czterech możliwych zdarzeń {A: p*q, B: p*~q, C: ~p*~q, D: ~p*q} ma szansę przyjąć wartość logiczną jeden
Definicja spójnika „<=> - wtedy i tylko wtedy” wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
W poprzednim punkcie wyprowadziliśmy wszystkie możliwe funkcje alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne związane z równoważnością p<=>q (prawo Małpki).
Podstawmy do tabeli prawdy dla prawa Małpki konkretny przykład.
Przykład:
Pani w przedszkolu wypowiada obietnicę bezwarunkową:
1.
Jutro pójdziemy do kina tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Innymi słowy:
Jutro pójdziemy do kina (K) wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru (T)
K<=>T = A: K*T + C: ~K*~T
Podstawmy celem skrócenia zapisów:
Y = K<=>T
Przyjmijmy następujące znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y), czyli pani skłamie (S=~Y)
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1: Y = A: K*T + C: ~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Co w logice jedynek obowiązującej wyłącznie w postaci alternatywno-koniunkcyjnej oznacza:
1: Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
Yc = ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Gdzie:
Y = Ya+Yc - funkcja logiczna Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych Ya+Yc
Jak widzimy, odpowiedź kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) jest intuicyjnie zrozumiała.
Podstawmy nasz przykład do pierwszej linii w prawie Małpki (pkt. 1.12.1)
Kod: |
Prawo Małpki:
1: Y = p* q + ~p*~q <=> 4: Y = (~p+ q)*(p+~q) – logika dodatnia (bo Y)
Dla p=K (kino) i q=T (teatr) mamy:
1: Y = K* T + ~K*~T <=> 4: Y = (~K+ T)*(K+~T) – logika dodatnia (bo Y)
Gdzie:
p, q, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, q, Y inaczej błąd podstawienia
|
W punkcie 4 mamy alternatywną odpowiedź na pytanie kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1)?
Zapiszmy tą odpowiedź:
Y=(~K+T)*(K+~T)
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
Jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub pójdziemy do teatru (T)
(~K+T)
„i”(*)
Jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
(K+~T)
Doskonale widać, że otrzymaliśmy masakrę, czyli odpowiedź na pytanie kiedy pani dotrzyma słowa (Y), której w języku potocznym żaden człowiek nie rozumie (z matematykiem włącznie).
Wniosek z naszego przykładu to prawo Pandy.
Prawo Pandy:
Jedyną funkcją logiczną zrozumiałą dla każdego człowieka jest funkcja alternatywno-koniunkcyjna
Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
Funkcja logiczna Y jest w postaci alternatywno-koniunkcyjnej wtedy i tylko wtedy gdy nie zawiera ani jednego członu w postaci koniunkcyjno-alternatywnej.
Inaczej funkcja Y jest w postaci koniunkcyjno-alternatywnej lub mieszanej.
Wniosek:
Wszelkie człony koniunkcyjno-alternatywne w funkcji logicznej Y musimy logicznie wymnożyć przechodząc do postaci alternatywno-koniunkcyjnej, bo tylko taka postać jest zrozumiała dla człowieka.
1.14 Definicja spójnika „lub”(+)
Definicja spójnika „lub”(+):
Definicja spójnika „lub"(+) to odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie Y?
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
1.14.1 Definicja operatora „lub”(+)
Definicja operatora „lub"(|+):
Operator „lub”(|+) to złożenie funkcji logicznej
1: Y=p+q - w logice dodatniej (bo Y)
oraz funkcji logicznej
2: ~Y=~p*~q - w logice ujemnej (bo ~Y)
dające odpowiedź na pytania o Y i ~Y
Kiedy zajdzie Y?
1.
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Innymi słowy:
Wystarczy, że zajdzie którekolwiek zdarzenie p lub q i już funkcja logiczna Y przybierze wartość logiczną 1, czyli:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
#
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2: ~Y=~(p+q)=~p*~q - prawo De Morgana
Stąd mamy:
2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
1.14.2 Diagram operatora „lub"(|+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych
Kod: |
DL
Diagram operatora „lub"(|+) A1: Y|=p+q w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q | A: Ya=p*q | C: Yc=~p*q | D:~Yd=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
|
Kiedy zajdzie Y?
1.
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Innymi słowy:
Wystarczy że zajdzie cokolwiek (p=1) lub (q=1) i już funkcja logiczna Y przyjmie wartość logiczną (Y=1).
Z diagramu odczytujemy:
Y=Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy:
1": Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
1. Y = p+q [=] 1”: Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Doskonale to widać z diagramu DL.
Można to też udowodnić w sposób czysto matematyczny:
1. Y = p+q [=] 1”: Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Minimalizujemy prawą stronę:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Prawa algebry Boole’a:
q+~q=1
p*1=p
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negacją zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p*~q
Prawa algebry Boole’a:
wymnożenie wielomianu logicznego
~p*p=0
0+x=x
~Y=~p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
1: Y=p+q
stąd mamy:
1. Y = p+q [=] 1”: Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
cnd
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1.
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - prawo De Morgana
Stąd mamy:
2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
1.14.3 Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych
Do zapamiętania:
Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych (patrz wyżej):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
1.14.4 Przykład operatora „lub"(|+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych
Definicja operatora „lub”(|+):
Operator „lub”(|+) to złożenie funkcji logicznej
1: Y=p+q - w logice dodatniej (bo Y)
oraz funkcji logicznej
2: ~Y=~p*~q - w logice ujemnej (bo ~Y)
dające odpowiedź na pytania o Y i ~Y
Pani przedszkolanka:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Innymi słowy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Podstawiając nasze zdanie 1 mamy:
p=K (kino)
q=T (teatr)
1”: Y = K+T + A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
1”: Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya = K*T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
B: Yb = K*~T =1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: Yc = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Stąd mamy:
Y = Yb+Yc+Yd – funkcja logiczna Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych Ya, Yb, Yc
#
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) = pani skłamie (S=~Y)?
Negujemy równanie 1 dwustronnie:
2: ~Y=~(K+T) = ~K*~T - prawo De Morgana
Stąd mamy:
2.
~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Innymi słowy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Kod: |
DL
Diagram operatora "lub"(|+) A1: Y|=K+T w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=K*T+K*~T+~K*T+~K*~T=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń możliwych |
--------------------------------------------------------------------------
| p=[K] |
------------------------------------------------------
| q=[T] |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q= K*~T| A: Ya=p*q=K*T | C: Yc=~p*q=~K*T | D:~Yd=~p*~q=~K*~T |
--------------------------------------------------------------------------
|
Zauważmy, że wszystkie możliwe zdarzenia ABCD są rozłączne i niepuste oraz uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dziedziną dla naszego przykładu jest zbiór wszystkich możliwych zdarzań niepustych i rozłącznych które jutro mogą wystąpić:
D = |Ya|+|Yb|+|Yc|+|Yd|
Gdzie:
|Yx| - funkcja logiczna Yx z pominięciem przeczenia
Stąd mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
Y = p+~p =1
Dziedzina jest poprawna.
cnd
W dniu jutrzejszym ma szansę wystąpić wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń niepustych i rozłącznych.
Dla naszego przykładu mamy:
1.
Kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y) = pani nie skłamie (Y=~S)?
Y=Ya+Yb+Yc
Zdarzenia cząstkowe to:
Ya = K*T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Pani dotrzyma słowa (Ya=1)
lub
B:
Yb = K*~T=1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani dotrzyma słowa (Yb=1)
lub
C:
Yc = ~K*T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Pani dotrzyma słowa (Yc=1)
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
2.
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) tylko w jednym przypadku:
D:
~Yd = ~K*~T =1*1=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Pani nie dotrzyma słowa (~Yd=1)
Doskonale widać, że zdarzenia A, B, C i D są niepuste i rozłączne tzn. żadne z tych zdarzeń nie może zajść jednocześnie z innym zdarzeniem.
1.15 Definicja spójnika „i”(*)
Definicja spójnika „i”(*):
Definicja spójnika „i”(*) to odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie Y?
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
1.15.1 Definicja operatora „i”(|*)
Definicja operatora „i”(|*):
Operator „i”(|*) to złożenie funkcji logicznej
1: Y=p*q w logice dodatniej (bo Y)
oraz funkcji logicznej 2: ~Y=~p+~q w logice ujemnej (bo ~Y)
dające odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Kiedy zajdzie Y?
1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
#
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2: ~Y=~(p*q)=~p+~q - prawo De Morgana
Stąd mamy:
2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Innymi słowy:
Pozostałe przypadki niepuste i rozłączne, poza funkcją logiczną Y=p*q muszą być zapisane w logice ujemnej (bo ~Y).
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
1.15.2 Diagram operatora „i”(|*) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych
Stąd mamy:
Kod: |
DI
Diagram operatora „i”(|*) A1: Y|=p*q w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B:~Yb=p*~q | A: Ya=p*q | C:~Yc=~p*q | D:~Yd=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
|
Kiedy zajdzie Y?
1.
Y = p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych jedynki są domyślne.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1.
~Y = ~(p*q) = ~p+~q - prawo De Morgana
Stąd mamy:
2.
~Y=~p+~q
Innymi słowy:
Wystarczy że zajdzie cokolwiek (~p=1) lub (~q=1) i już funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość logiczną (~Y=1).
Z diagramu DI odczytujemy:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
Po rozwinięciu mamy:
2": ~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
2: ~Y = ~p+~q [=] 2": ~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Doskonale to widać z diagramu DI.
Można to też udowodnić w sposób czysto matematyczny:
2": ~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy prawą stronę:
~Y = p*~q + ~p*(q+~q)
~Y = ~p+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negacją zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q
Y = p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2: ~Y = ~p+~q
stąd mamy:
2: ~Y = ~p+~q [=] 2": ~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
cnd
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
1.15.3 Przykład operatora „i”(|*) w zdarzeniach
Definicja operatora „i”(|*):
Operator „i”(|*) to złożenie funkcji logicznej
1: Y=p*q w logice dodatniej (bo Y)
oraz funkcji logicznej
2: ~Y=~p+~q w logice ujemnej (bo ~Y)
dające odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Pani przedszkolanka:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Innymi słowy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
#
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) = pani skłamie (S=~Y)?
Negujemy równanie 1 dwustronnie:
BCD:
2: ~Y=~(K*T) = ~K+~T - prawo De Morgana
Stąd mamy:
2.
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
BCD:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Innymi słowy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Matematycznie oznacza to, że jutro nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani nie dotrzyma słowa (~Y=1), czyli:
~Y=B: K*~T + C: ~K*T + D:~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
bo w równaniu alternatywno-koniunkcyjnym wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~Yb = K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: ~Yc = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
D: ~Yd = ~K*~T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Kod: |
D1
Diagram operatora „i”(|*) A1: Y|=K*T w zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D=K*T+K*~T+~K*T+~K*~T=1 - dziedzina, suma logiczna zdarzeń możliwych |
--------------------------------------------------------------------------
| p=[K] |
------------------------------------------------------
| q=[T] |
--------------------------------------------------------------------------
| B:~Yb=p*~q= K*~T| A: Ya=p*q=K*T | C:~Yc=~p*q=~K*T | D:~Yd=~p*~q=~K*~T |
--------------------------------------------------------------------------
|
1.16 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a
Algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków: {0, 1, „nie”(~), „i”(*), „lub”(+)}
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Logiką matematyczną zrozumiałą dla każdego człowieka (od 5-cio latka poczynając) są wyłącznie równania alternatywno-koniunkcyjne w których wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek na mocy prawa Prosiaczka.
Weźmy zero-jedynkową definicję równoważności p<=>q:
Kod: |
T1
Y=
p q p<=>q
A: 1<=>1 =1
B: 1<=>0 =0
C: 0<=>0 =1
D: 0<=>1 =0
|
Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa układu logicznego (bramka logiczna) to zero-jedynkowy zapis wszystkich sygnałów wejściowych w postaci niezanegowanej (p, q, r..) i zanegowanej (~p, ~q, ~r..) oraz zapis wyjścia Y również w postaci niezanegowanej (Y) i zanegowanej (~Y).
Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Tworzymy pełną definicję tabeli zero-jedynkowej, czyli:
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2.
SD - standard dodatni języka potocznego = logika jedynek
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
3.
SU - standard ujemny (niezrozumiały dla człowieka) = logika zer
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu zawsze wymnażamy wielomian koniunkcyjno-alternatywny przechodząc do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej.
1.16.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek
Dla wyjaśnienia zagadnienia posłużymy się zero-jedynkową tabelą równoważności p<=>q:
Kod: |
T1
Y=
p q p<=>q
A: 1<=>1 =1
B: 1<=>0 =0
C: 0<=>0 =1
D: 0<=>1 =0
|
SD - standard dodatni języka potocznego = logika jedynek:
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
Zastosujmy logikę jedynek do tabeli zero-jedynkowej równoważności Y = p<=>q:
Kod: |
T2
Pełna definicja |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y |oznacza |cząstkowe
| |
p q ~p ~q Y ~Y | |
A: 1 1 0 0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i q=1 | Ya= p* q
B: 1 0 0 1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q
C: 0 0 1 1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q
D: 0 1 1 0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i q=1 |~Yd=~p* q
1 2 3 4 5 6 a b c d e f
|
Kiedy zajdzie Y?
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
1: Y = Ya+Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1: Y = A: p*q + C: ~p*~q
T2_1:
Y= p*q + ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych def otrzymujemy:
2: ~Y=~Yb+~Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
2: ~Y = B: p*~q + D: ~p*q
T2_2:
~Y = p*~q + ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Zauważmy, że możliwe jest szybsze wygenerowania równań algebry Boole’a w logice jedynek z pominięciem bloku abc.
Kod: |
T2
Pełna definicja |Równania cząstkowe
zero-jedynkowa Y |w logice jedynek
|
p q ~p ~q Y ~Y |
A: 1 1 0 0 =1 =0 | Ya= p* q
B: 1 0 0 1 =0 =1 |~Yb= p*~q
C: 0 0 1 1 =1 =0 | Yc=~p*~q
D: 0 1 1 0 =0 =1 |~Yd=~p* q
1 2 3 4 5 6 d e f
|
Definicja logiki 5-cio latka:
Logika 5-cio latka w definicji operatora logicznego Y|=f(x) wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to logika jedynek gdzie finalnie otrzymujemy odpowiedzi na pytania o Y i ~Y w funkcjach alternatywno-koniunkcyjnych, doskonale rozumianych przez każdego 5-cio latka (pkt. 1.11)
1.16.2 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer
Dla wyjaśnienia zagadnienia posłużymy się zero-jedynkową tabelą równoważności p<=>q:
Kod: |
T1
Y=
p q p<=>q
A: 1<=>1 =1
B: 1<=>0 =0
C: 0<=>0 =1
D: 0<=>1 =0
|
SU - standard ujemny (niezrozumiały dla człowieka) = logika zer.
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym.
Zastosujmy logikę zer do tej samej tabeli zero-jedynkowej równoważności Y = p<=>q:
Kod: |
T3
Pełna definicja |Co w logice zer |Równania
zero-jedynkowa Y |oznacza |cząstkowe
| |
p q ~p ~q Y ~Y | |
A: 1 1 0 0 =1 =0 |~Ya=0<=>~p=0 lub ~q=0 |~Ya=~p+~q
B: 1 0 0 1 =0 =1 | Yb=0<=>~p=0 lub q=0 | Yb=~p+ q
C: 0 0 1 1 =1 =0 |~Yc=0<=> p=0 lub q=0 |~Yc= p+ q
D: 0 1 1 0 =0 =1 | Yd=0<=> p=0 lub ~q=0 | Yd= p+~q
1 2 3 4 5 6 a b c d e f
|
Kiedy zajdzie Y?
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
3: Y = Yb*Yd - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice ujemnej
Po rozwinięciu mamy:
3. Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q)
T3_3:
Y = (~p+q)*(p+~q)
co w logice zer oznacza:
Y=0 <=> (B: ~p=0 lub q=0)*(D: p=0 lub ~q=0)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
4: ~Y = ~Ya*~Yc - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice ujemnej
Po rozwinięciu mamy:
4: ~Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q)
T3_4:
~Y = (~p+~q)*(p+q)
co w logice zer oznacza:
~Y=0 <=> (A: ~p=0 lub ~q=0)*(C: p=0 lub q=0)
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Zauważmy, że możliwe jest szybsze wygenerowania równań algebry Boole’a w logice zer z pominięciem bloku abc.
Kod: |
T3
Pełna definicja |Równania cząstkowe
zero-jedynkowa Y |w logice zer
|
p q ~p ~q Y ~Y |
A: 1 1 0 0 =1 =0 |~Ya=~p+~q
B: 1 0 0 1 =0 =1 | Yb=~p+ q
C: 0 0 1 1 =1 =0 |~Yc= p+ q
D: 0 1 1 0 =0 =1 | Yd= p+~q
1 2 3 4 5 6 d e f
|
Definicja logiki diabła:
Logika diabła w definicji operatora logicznego Y|=f(x) wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to logika zer gdzie finalnie otrzymujemy odpowiedzi na pytania o Y i ~Y w funkcjach koniunkcyjno-alternatywnych, totalnie niezrozumiałych przez człowieka (pkt. 1.13)
Z tego względu w języku potocznym zawsze wymnażamy wielomian koniunkcyjno-alternatywny przechodząc do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej.
1.17 Związek opisu tabel zero-jedynkowych w logice jedynek i w logice zer
Zapiszmy symbolicznie tabelę T2 i T3 jedna pod drugą:
Tabela T2
Logika jedynek = logika 5-cio latka:
T2_1: Y= p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
#
T2_2: ~Y = p*~q + ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Tabela T3
Logika zer = logika Diabła:
T3_3: Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
#
T3_4: ~Y = (~p+~q)*(p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Uzasadnienie nazwy „logika 5-cio latka” i „logika Diabła” znajdziemy w punkcie 1.13 gdzie mamy dowód na przykładzie iż w języku potocznym:
1.
Funkcje alternatywno-koniunkcyjne są doskonale rozumiane przez każdego człowieka od 5-cio latka poczynając
2.
Funkcji koniunkcyjno-alternatywnych żaden człowiek nie rozumie od 5-cio latka poczynając na matematyku kończąc.
1.17.1 Prawo Małpki
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
Dowód:
Funkcje Y i ~Y w tabelach T2 i T3 dotyczą tej samej tabeli zero-jedynkowej, stąd zachodzą tożsamości logiczne:
Kod: |
T2_1: Y= p* q+ ~p*~q = T3_3: Y=(~p+ q)*( p+~q)
# #
T2_2:~Y= p*~q+ ~p* q = T3_4:~Y=(~p+~q)*( p+ q)
|
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Otrzymane funkcje logiczne Y i ~Y nie są tożsame:
(Y=~Y) =0
ale związane ze sobą spójnikiem "albo"($)
Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p$q = p*~q + ~p*q – poznamy niebawem (pkt. 7.0)
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
Y$~Y = (Y)*~(~Y) + ~(Y)*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y = Y+~Y=1
Przykład:
Dowolny człowiek mówi prawdę (P) albo nie mówi prawdy (~P)
P$~P =1
Trzeciej możliwości brak
Definicja tożsamości logicznej <=>:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej <=> wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej <=> wymusza fałszywość drugiej strony
W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości znaczków:
<=>, „=”, [=] - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Wisienka na torcie:
Dowód braku tożsamości:
(Y=~Y) =0
Prawo Irbisa dla zbiorów/zdarzeń (pkt. 2.9):
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q i odwrotnie.
Stąd mamy:
p=q <=> A1B3: (p<=>q) = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1=1
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=Y, q=~Y
stąd mamy:
Y = (Y<=>~Y) = (Y)*(~Y) + ~(Y)* ~(~Y) = Y*~Y + ~Y*Y = 0+0 =0
Stąd:
Na mocy prawa Irbisa nie zachodzi (=0) tożsamość:
(Y=~Y) =0
1.17.2 Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej
Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
Funkcja logiczna Y ma postać alternatywno-koniunkcyjną wtedy i tylko wtedy gdy nie zawiera ani jednego członu w postaci koniunkcyjno-alternatywnej.
Inaczej funkcja Y ma postać koniunkcyjno-alternatywną lub mieszaną
Logiką zrozumiałą dla człowieka jest wyłącznie postać alternatywno-koniunkcyjna (dowód w pkt. 1.13) gdzie wszystkie zmienne na mocy prawa Prosiaczka sprowadzone są do logicznych jedynek.
Prawo Małpiątka:
Jeśli w dowolnym równaniu algebry Boole'a napotkamy fragment koniunkcyjno-alternatywny to ten fragment wymnażamy logicznie przechodząc do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej
1.17.3 Tworzenie tabeli zero-jedynkowej dla funkcji logicznej Y
Zadanie:
Utwórz tabelę zero-jedynkową dla poniższej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
Y = (p<=>q) = p*q +~p*~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Stąd w punktach A5 i C5 w pełnej tabeli zero-jedynkowej stawiamy jedynki
Kod: |
Pełna tabela zero-jedynkowa
p q ~p ~q Y ~Y
A: 1 1 0 0 1
B: 1 0 0 1
C: 0 0 1 1 1
D: 0 1 1 0
1 2 3 4 5 6
|
Mamy wszystko, dalsze wypełnianie pełnej tabeli zero-jedynkowej to komputerowy automat na mocy definicji negacji, nic a nic nie trzeba myśleć.
Kod: |
T1
p q ~p ~q Y ~Y
A: 1 1 0 0 1 0
B: 1 0 0 1 0 1
C: 0 0 1 1 1 0
D: 0 1 1 0 0 1
1 2 3 4 5 6
|
1.18 Funkcje logiczne dwuargumentowe
Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y=f(p,q) w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Definicja operatora logicznego dwuargumentowego Y|=f(p,q) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny dwuargumentowy Y|=f(p,q) wyrażony spójnikami "i”(*) i "lub"(+) to układ równań logicznych 1 i 2 dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
1.
Y=f(p,q)
.. a kiedy zajdzie ~Y?
#
Negujemy funkcję logiczną 1 dwustronnie:
2.
~Y=~f(p,q)
Przykład:
1.
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych jedynki są domyślne.
#
2.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana.
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) to:
Kod: |
T1
Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
p q Y=f(p,q)
A: 1 1 x
B: 1 0 x
C: 0 1 x
D: 0 0 x
Gdzie:
x={0,1}
Y - funkcja logiczna
f(p,q) - wyrażenie algebry Boole’a
|
Z definicji funkcji logicznej Y wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y).
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wspólne wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
Każda ze zmiennych binarnych {p, q, Y} może występować w logice dodatniej (bo x) albo w logice ujemnej (bo ~x). Oczywistym jest, że zmienna binarna w logice dodatniej (bo x) wymusza zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~x), albo odwrotnie.
Na dowolny układ cyfrowy można zatem spojrzeć w logice dodatniej (bo Y) albo w logice ujemnej (bo ~Y).
Kod: |
T2
Wymuszenia binarne w logice dodatniej {p, q, Y}
wymuszają logikę ujemną {~p, ~q, ~Y) i odwrotnie.
p q Y=f(p,q) # ~p ~q ~Y=~f(p,q)
A: 1 1 x # 0 0 ~(x)
B: 1 0 x # 0 1 ~(x)
C: 0 1 x # 1 0 ~(x)
D: 0 0 x # 1 1 ~(x)
Gdzie:
x={0,1}
f(p,q) - wyrażenie algebry Boole’a
Y=f(p,q) # ~Y=~f(p,q)
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
~q=~(q)
Stąd mamy:
p, q, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, q, Y inaczej błąd podstawienia
|
1.18.1 Tabela wszystkich możliwych funkcji dwuargumentowych
W tabeli wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych TF2 (niżej) po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.
Kod: |
TF2
Tabela prawdy wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych Y
w logice dodatniej (bo Y)
|Grupa I |Grupa II |Grupa III | Grupa IV
|Spójniki „i”(*)|Spójniki =>, ~>|Spójniki <=>, $ | Wejścia
|oraz „lub”(+) ||=>, |~> ||~~>, |~~~> | p i q
| Y Y | Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y
p q | * + | ~* ~+ | => ~> |=> |~> | <=> $ |~~> |~~~>| p q ~p ~q
A: 1 1 | 1 1 | 0 0 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 1 1 0 0
B: 1 0 | 0 1 | 1 0 | 0 1 0 1 | 0 1 1 0 | 1 0 0 1
C: 0 1 | 0 1 | 1 0 | 1 0 1 0 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0
D: 0 0 | 0 0 | 1 1 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 0 0 1 1
A A A A A A A A A A A A A A A A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y):
Dwie funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach p i q:
p - w logice dodatniej (bo p)
oraz
q - w logice dodatniej (bo q)
mają różne kolumny wynikowe Y w logice dodatniej (bo Y).
Doskonale widać, że wszystkie funkcje Y w tabeli TF2 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y)
Poprawność powyższej definicji łatwo sprawdzić w laboratorium bramek logicznych:
1.
Budujemy 16 różnych na mocy definicji ## bramek logicznych definiowanych tabelą TF0-15
2.
Wybieramy dowolne dwie różne bramki łącząc galwanicznie ich wyjścia Y.
Na wspólnych wejściach p i q wybranych bramek wymuszamy wszystkie możliwe kombinacje zero-jedynkowe ABCDpq.
3.
Pewne jest, że w laboratorium zobaczymy kupę dymu i smrodu co jest dowodem różności na mocy definicji ## wybranych bramek.
Prawo negacji funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną mamy prawo dwustronnie zanegować przechodząc do logiki przeciwnej.
1.18.2 Tabela wszystkich możliwych operatorów dwuargumentowych
Definicja operatora logicznego Y|=f(x) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny Y|=f(x) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.
Zastosujmy prawo negacji funkcji logicznej do tabeli TF2
Kod: |
TF0-15
-------------------------------------------------------------------
TF0-3
Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: Y=p*q "i"(*) w j. potocznym # B0: ~Y=~( p* q) =~p+~q
## ##
A1: Y=p+q "lub"(+) w j. potocznym # B1: ~Y=~( p+ q) =~p*~q
## ##
A2: Y=~(p*q)=~p+~q NAND w technice # B2: ~Y=~(~p+~q) = p* q
## ##
A3: Y=~(p+q)=~p*~q NOR w technice # B3: ~Y=~(~p*~q) = p+ q
##
--------------------------------------------------------------------
TF4-5
Grupa warunków wystarczających p=>q i koniecznych p~>q:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A4: Y = (p=>q) = ~p+q # B4: ~Y=~(p=>q) = p*~q
## ##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
A5: Y = (p~>q) = p+~q # B5: ~Y=~(p~>q) =~p* q
## ##
--------------------------------------------------------------------
TF6-7
Grupa spójników implikacyjnych p|=>q i p|~>q:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A6: Y = p|=>q =~p* q # B6: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
## ##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A7: Y = p|~>q = p*~q # B7: ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
## ##
--------------------------------------------------------------------
TF8-9
Grupa spójników równoważnościowych p<=>q i p$q
Definicja równoważności p<=>q:
A8: Y = p<=>q = ~(p$q) =p*q+~p*~q # B8: ~Y=~(p<=>q)=(p$q)=p*~q+~p*q
## ##
Definicja spójnika „albo”($):
A9: Y = p$q = ~(p<=>q)=p*~q+~p*q # B9: ~Y=~(p$q) =(p<=>q)=p*q+~p*~q
## ##
--------------------------------------------------------------------
TF10-11
Grupa spójników chaosu p|~~>q:
Definicja chaosu (zdanie zawsze prawdziwe): Y=p|~~>q=1:
A10: Y=p|~~>q=(p+q+~p*~q)=1 # B10: ~Y=~(p|~~>q)=(p+q)*~(p+q)=0
## ##
Definicja śmierci (zdanie zawsze fałszywe): Y=p|~~~>q=0:
A11: Y =p|~~~>q = (p+q)*~(p+q)=0 # B11: ~Y=~(p|~~~>q)=(p+q+~p*~q)=1
##
--------------------------------------------------------------------
TF12-15
Grupa spójników jednoargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
## ##
A12: Y = p # B12:~Y=~p
## ##
A13: Y = q # B13:~Y=~q
## ##
A14: Y =~p # B14:~Y= p
## ##
A15: Y =~q # B15:~Y= q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
~q=~(q)
Stąd mamy:
p, q, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, q, Y inaczej błąd podstawienia |
Funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) w ilości 16 sztuk (A0-A15) to funkcje różne na mocy definicji ##.
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne (Y,~Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF0-15 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
1.18.3 Prawo Grzechotnika
Prawo Grzechotnika:
Ziemska algebra Boole’a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
Dowód tego faktu dla tabeli TF0-15 znajdziemy w punkcie 24.7
1.19 Definicja spójników zupełnych w języku potocznym
Definicja spójników zupełnych w języku potocznym:
Spójniki zupełne w języku potocznym (w tym w matematyce i fizyce) to spójniki "i"(*) i "lub"(+) przy pomocy których można zdefiniować każdą z 16 możliwych funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) oraz w logice ujemnej (bo ~Y) widocznych w tabeli TF0-15.
Jedynymi spójnikami zupełnymi w logice matematycznej zgodnymi z językiem potocznym 5-cio latków są spójniki z algebry Boole'a:
(+) - spójnik "lub"(+) zgodny z językiem potocznym
(*) - spójnik "i"(*) zgodny z językiem potocznym
1.19.1 Prawo Puchacza dla spójników zupełnych w języku potocznym
Prawo Puchacza dla spójników zupełnych w języku potocznym:
Funkcje logiczne Y i ~Y opisujące linię x w tabeli TF0-15 dostępne są tylko i wyłącznie w linii x.
Żadna z tych funkcji nie jest dostępna w jakiejkolwiek linii poza linią x
W tabeli TF0-15 widać, że dowolna linia tej tabeli jest różna na mocy definicji ## od jakiejkolwiek innej linii w tej tabeli.
Definicja operatora logicznego Y|=f(x)w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny Y|=f(x) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.
Rozważmy sztandarowy przykład:
I.
Definicja operatora "lub"(|+) A1B1:
Patrz tabela TF0-15:
A1
Definicja spójnika "lub"(+):
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
#
… a kiedy zajdzie ~Y
Negujemy dwustronnie 1:
B1.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Łatwo sprawdzić w tabeli TF0-15, iż przykładowa funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y):
A1.
Definicja spójnika "lub"(+):
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
należy tylko i wyłącznie do operatora "lub"(|+) (A1B1) nie należąc do jakiegokolwiek innego operatora zdefiniowanego w tabeli TF0-15.
Łatwo też sprawdzić w tabeli TF0-15, iż przykładowa funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y):
B1.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
należy tylko i wyłącznie do operatora "lub"(|+) (A1B1) nie należąc do jakiegokolwiek innego operatora zdefiniowanego w tabeli TF0-15.
1.19.2 Startowa funkcja logiczna
Definicja startowej funkcji logicznej:
Startowa funkcja logiczna to funkcja opisująca zdanie startowe wypowiedziane przez człowieka, od którego zaczynamy analizę.
Przykład:
Pani przedszkolanka:
1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
#
.. a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy funkcję startową 1 dwustronnie.
~Y=~(K+T) = ~K*~T - prawo De Morgana
stąd mamy:
2.
~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Znaczenie zmiennej Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Doskonale widać, że funkcją startową jest tu funkcja:
1: Y=K+T
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 22:35, 18 Paź 2024, w całości zmieniany 107 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 12:32, 23 Paź 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2.0 Kwintesencja algebry Kubusia
Spis treści
2.0 Kwintesencja algebry Kubusia 2
2.1 Skorowidz definicji implikacyjnych algebry Kubusia 2
2.2 Elementarne spójniki implikacyjne w zdarzeniach 2
2.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> 2
2.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach 3
2.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach 4
2.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 6
2.3 Elementarne spójniki implikacyjne w zbiorach 6
2.3.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 7
2.3.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 7
2.3.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 8
2.3.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 9
2.4 Rachunek zero-jedynkowy warunków wystarczających => i koniecznych ~> 10
2.5 Prawa algebry Kubusia wynikłe z rachunku zero-jedynkowego 13
2.5.1 Definicje znaczków # i ## 15
2.6 Fundamentalne definicje i prawa algebry Kubusia 16
2.6.1 Prawa Sowy 16
2.6.2 Definicja tożsamości logicznej 16
2.6.3 Definicja dowodu "nie wprost" w algebrze Kubusia 17
2.6.4 Prawa Prosiaczka 17
2.7 Prawo Kłapouchego - kluczowe prawo logiki matematycznej 17
2.7.1 Definicja podstawowego spójnika implikacyjnego 17
2.7.2 Prawo Kłapouchego i prawo Kameleona w implikacji prostej p|=>q 18
2.7.3 Prawo Kłapouchego w implikacji odwrotnej p|~>q 20
2.7.4 Nietrywialny błąd podstawienia ### 21
2.8 Prawa Słonia 22
2.8.1 Prawo Słonia dla zbiorów 23
2.8.2 Prawo Słonia dla zdarzeń 25
2.9 Prawo Irbisa 26
2.9.1 Prawo Irbisa dla zbiorów 26
2.9.2 Prawo Irbisa dla zdarzeń 28
2.0 Kwintesencja algebry Kubusia
Niniejszy punkt to kwintesencja algebry Kubusia zawierająca wszystkie potrzebne definicje i prawa algebry Kubusia konieczne i wystarczające do zrozumienia matematycznej obsługi zdań warunkowych "Jeśli p to q" zarówno na gruncie teorii zdarzeń, jak i na gruncie teorii zbiorów.
2.1 Skorowidz definicji implikacyjnych algebry Kubusia
Definicja spójnika implikacyjnego:
Spójnik implikacyjny to spójnik związany w obsługą zdań warunkowych "Jeśli p to q" definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>
Definicje spójników implikacyjnych w algebrze Kubusia mają układ trzypoziomowy {1=>2=>3}:
1.
Elementarne spójniki logiczne w zdarzeniach:
~~> - spójnik zdarzenia możliwego (2.2.1)
=> - warunek wystarczający (2.2.2)
~> - warunek konieczny (2.2.3)
Elementarne spójniki logiczne w zbiorach:
~~> - element wspólny zbiorów (2.3.1)
=> - warunek wystarczający tożsamy z relacją podzbioru =>(2.3.2)
~> - warunek konieczny tożsamy z relacją nadzbioru ~>(2.3.3)
2.
Podstawowe spójniki implikacyjne definiowane spójnikami elementarnymi:
|=> - implikacja prosta (2.12)
|~> - implikacja odwrotna (2.13)
<=> - równoważność (2.14)
|~~> - chaos (2.15)
3.
Operatory implikacyjne definiowane podstawowymi spójnikami implikacyjnymi
||=> - operator implikacji prostej (2.12.1)
||~> - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
|<=> - operator równoważności (2.14.1)
||~~> - operator chaosu (2.15.1)
2.2 Elementarne spójniki implikacyjne w zdarzeniach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech elementarnych znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń/zbiorów p i q
2.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p q p~~>q = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1
Interpretacja:
p~~>q=p*q=1 - wtedy i tylko wtedy
gdy możliwe jest jednoczesne ~~> zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q=0
|
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
2.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
W zapisie formalnym mamy tu:
p=P (pada)
q=CH (chmurka)
Gdzie:
p - przyczyna (część zdania po "Jeśli …")
q - skutek (część zdania po "to…")
Podsumowując:
Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>:
Zapis formalny:
A1: p=>q =~p+q
Zapis aktualny (przykład):
A1: p=P
A1: q=CH
A1: P=>CH=~P+CH
|
Można łatwo udowodnić, iż zdarzenie P (pada) jest podzbiorem => zdarzenia CH (chmury).
Dowód:
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
p=>q
1.
Prawo algebry Boole'a:
p=p*1
q=q*1
Stąd mamy:
p*1=>q*1
2.
Korzystamy z definicji wspólnej dziedziny dla p i q:
p+~p=D =1
q+~q=D =1
Stąd mamy wyprowadzone.
Prawo Orła:
p*(q+~q) => q*(p+~p)
3.
Wymnażamy wielomiany logiczne:
p*q + p*~q => p*q + ~p*q
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Nasz przykład:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Podstawiając do 3 mamy:
4.
P*CH + P*~CH => P*CH + ~P*CH
Badamy możliwość ~~> wystąpienia wszystkich zdarzeń:
P*CH=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: P(pada) i są CH(chmury)
P*~CH=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: P(pada) i nie ma chmur (~CH)
~P*CH=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P) i są chmury (CH)
Stąd:
P*CH => P*CH + ~P*CH
bo x+0=x - prawo algebry Boole'a
Doskonale tu widać, że zdarzenie P*CH jest podzbiorem => zdarzenia (P*CH + ~P*CH)
2.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki.
W zapisie formalnym mamy tu:
p=CH (chmurka)
q=P (pada)
Gdzie:
p - przyczyna (część zdania po "Jeśli …")
q - skutek (część zdania po "to…")
Podsumowując:
Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>:
Zapis formalny:
B1: p~>q = p+~q
Zapis aktualny (przykład):
B1: p=CH
B1: q=P
B1: CH~>P=CH+~P
|
Można łatwo udowodnić, iż zdarzenie CH (chmury) jest nadzbiorem ~> zdarzenia P (pada)
Dowód:
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
p~>q
1.
Prawo algebry Boole'a:
p=p*1
q=q*1
Stąd mamy:
p*1~>q*1
2.
Korzystamy z definicji wspólnej dziedziny dla p i q:
p+~p=D =1
q+~q=D =1
stąd mamy wyprowadzone.
Prawo Orła:
p*(q+~q) ~> q*(p+~p)
3.
Wymnażamy wielomiany logiczne:
p*q + p*~q ~> p*q + ~p*q
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Nasz przykład:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
Podstawiając do 3 mamy:
4.
CH*P + CH*~P ~> CH*P + ~CH*P
Badamy możliwość ~~> wystąpienia wszystkich zdarzeń:
CH*P=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i pada (P)
CH*~P=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
~CH*P=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH) i pada (P)
Stąd mamy:
5.
CH*P + CH*~P ~> CH*P
bo x+0=x
Doskonale tu widać, że zdarzenie (CH*P + CH*~P) jest nadzbiorem ~> zdarzenia CH*P
2.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy warunek wystarczający A1: P=>CH=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1' (i odwrotnie)
A1'
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH=0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu tego faktu nie musimy udowadniać, ale możemy, co wyżej uczyniliśmy.
Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’
2.3 Elementarne spójniki implikacyjne w zbiorach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów/zdarzeń p i q.
2.3.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu co kończy dowód.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p q p~~>q = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1
Interpretacja:
p~~>q=p*q=1 - wtedy i tylko wtedy
gdy istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q=0
|
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] np. 24
2.3.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić relację podzbioru P8=>P2 potrafi każdy matematyk.
W zapisie formalnym mamy tu:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Gdzie:
p - przyczyna (część zdania po "Jeśli …")
q - skutek (część zdania po "to…")
Podsumowując:
Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>:
Zapis formalny:
A1: p=>q = ~p+q
Zapis aktualny (przykład):
A1: p=P8
A1: q=P2
A1: P8=>P2=~P8+P2
|
2.3.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach
Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
W zapisie formalnym mamy tu:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Gdzie:
p - przyczyna (część zdania po "Jeśli …")
q - skutek (część zdania po "to…")
Podsumowując:
Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>:
Zapis formalny:
B1: p~>q = p+~q
Zapis aktualny (przykład):
B1: p=P2
B1: q=P8
B1: P2~>P8=P2+~P8
|
2.3.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2, bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8…], co każdy matematyk udowodni.
Na mocy definicji kontrprzykładu, z prawdziwości warunku wystarczającego A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Dowód wprost:
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9…] bo dowolny zbiór liczb parzystych jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych.
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywości zdania A1' nie musimy udowadniać, ale możemy, co zrobiono wyżej.
Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’
2.4 Rachunek zero-jedynkowy warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Rachunek zero-jedynkowy dla teorii zdarzeń i teorii zbiorów jest wspólny.
Definicja stałej binarnej
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną 0 albo 1.
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, przyjmujący w osi czasu wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.
Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa
Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna p wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)
Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny (bramka logiczna) dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.
W poniższych tabelach T1 do T4 w kolumnach opisujących symbole {p, q Y} nie mamy stałych wartości 1 albo 0 co oznacza, że symbole te są zmiennymi binarnymi.
Kod: |
T1
Definicja warunku wystarczającego =>
Y=
p q p=>q=~p+q
A: 1=>1 1
B: 1=>0 0
C: 0=>0 1
D: 0=>1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Gdzie:
Podstawa wektora => zawsze wskazuje poprzednik, część zdania po "Jeśli.."
Strzałka wektora => zawsze wskazuje następnik, część zdania po "to.."
;
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
##
Kod: |
T2
Definicja warunku koniecznego ~>
Y=
p q p~>q=p+~q
A: 1~>1 1
B: 1~>0 1
C: 0~>0 1
D: 0~>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Gdzie:
Podstawa wektora ~> zawsze wskazuje poprzednik, część zdania po "Jeśli.."
Strzałka wektora ~> zawsze wskazuje następnik, część zdania po "to.."
;
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q
|
##
Kod: |
T3
Definicja spójnika “lub”(+):
Y=
p q p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 0 0
D: 0+ 1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
;
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych szybsza jest logika zer.
|
##
Kod: |
T4
Definicja spójnika “i”(*)
Y=
p q p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 0 0
D: 0* 1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q=0
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y):
Funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach p i q:
p - w logice dodatniej (bo p)
oraz
q - w logice dodatniej (bo q)
mają różne kolumny wynikowe Y ( w logice dodatniej bo Y)
Wniosek:
Funkcje logiczne definiowane tabelami T1 do T4 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##
Wyprowadźmy w rachunku zero-jedynkowym matematyczne związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod: |
Ax:
Warunek wystarczający =>:
p=>q = ~p+q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q # ~(p=>q)=p*~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0 # =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
1 2 3 4 5 6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
##
Kod: |
Bx:
Warunek konieczny ~>:
p~>q = p+~q
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q # ~(p~>q)=~p*q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0 # =1
1 2 3 4 5 6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
"=", [=], <=> (wtedy i tylko wtedy) - tożsame znaczki tożsamości logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej "=" wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej "=" wymusza fałszywość drugiej strony
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Doskonale widać, że w tabelach Ax i Bx definicja znaczka # jest spełniona
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Funkcje logiczne Ax i Bx są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach {p, q} mają różne kolumny wynikowe i żadna z tych funkcji nie jest negacją drugiej.
Jak widzimy, między tabelami Ax i Bx obowiązuje znaczek różne na mocy definicji ##
2.5 Prawa algebry Kubusia wynikłe z rachunku zero-jedynkowego
Na mocy rachunku zero-jedynkowego wyżej mamy matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w zapisie skróconym.
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> bez zamiany p i q
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
2.
Prawa Tygryska:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z zamianą p i q
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
3.
Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B3: q=>p = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
4.
Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
B1: p~>q = B4: ~q~>~p
##
A3: q~>p = A2: ~p~>~q
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
2.5.1 Definicje znaczków # i ##
Zapiszmy matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
z uwzględnieniem kolumny 6.
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4: A5B5: A6B6:
Y= Y= Y= Y= Y=(p=>q)= # ~Y=~(p=>q)=
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5:~p+ q # 6: p* ~q
## ## ## ## ## ##
Y= Y= Y= Y= Y=(p~>q)= # ~Y=~(p~>q)=
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q # 6: ~p* q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Zapiszmy powyższe definicje wyrażone funkcjami logicznymi Y i ~Y
Kod: |
T0"
Funkcja logiczna Y warunku wystarczającego =>:
A5: Y=(p=>q)=~p+ q # A6: ~Y=~(p=>q)= p*~q
## ##
Funkcja logiczna Y warunku koniecznego ~>:
B5: Y=(p~>q)= p+~q # B6: ~Y=~(p~>q)=~p* q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Doskonale widać, że w tabeli T0" obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione
2.6 Fundamentalne definicje i prawa algebry Kubusia
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
2.6.1 Prawa Sowy
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
2.6.2 Definicja tożsamości logicznej
Prawa Sowy to:
Ogólna definicja tożsamości logicznej „=” dla wielu zdań:
Prawdziwość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Fałszywość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych zdań
Tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
2.6.3 Definicja dowodu "nie wprost" w algebrze Kubusia
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.
2.6.4 Prawa Prosiaczka
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo Y) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~Y).
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Dowód praw Prosiaczka znajdziemy w punkcie 1.4
2.7 Prawo Kłapouchego - kluczowe prawo logiki matematycznej
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Prawo Kłapouchego jest tożsame z otwarciem drzwiczek pudełka z kotem Schrödingera (pkt.5.4.1)
Prawo Kłapouchego obowiązuje dla standardu dodatniego w języku potocznym człowieka.
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka.
Logiką matematycznie zgodną z językiem potocznym człowieka jest tylko i wyłącznie standard dodatni.
2.7.1 Definicja podstawowego spójnika implikacyjnego
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja podstawowego spójnika implikacyjnego
Podstawowy spójnik implikacyjny to badanie prawdziwości/fałszywości zdań w kolumnie A1B1 dającej odpowiedź na pytanie:
A1B1: Kiedy zajdzie p?
Podstawowe, przykładowe spójniki implikacyjne to implikacja prosta p|=>q i implikacja odwrotna p|~>q
Definicja implikacji prostej p|=>q
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q
2.7.2 Prawo Kłapouchego i prawo Kameleona w implikacji prostej p|=>q
Dane jest zdanie:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego podstawowego spójnika implikacyjnego wchodzi to zdanie
Rozwiązanie:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
A1: P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Aby rozstrzygnąć w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi badane zdanie musimy zbadać prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
##
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód:
Zdania A1 i B1 wyżej.
Różność matematyczną zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => (A1) i koniecznego ~> (B1) wbudowanych w treść zdań
W zapisach formalnych (ogólnych) zachodzi:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Nasza tabela prawdy z uwzględnieniem prawa Kłapouchego wygląda tak:
Kod: |
T1
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
To samo w zapisie aktualnym (nasz przykład):
p=P (pada)
q=CH (chmury)
A1: P=>CH=1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH=0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
Matematyczne relacje między warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~>
dla spełnionego warunku wystarczającego P=>CH=1
Warunek wystarczający p=>q | Warunek konieczny p~>q
Zapis formalny: | Zapis formalny:
1: Y = A1: p=>q =~p+q ## Y = B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Zapis aktualny (przykład): | Zapis aktualny (przykład)
2: p=P (pada) [=] p=P (pada)
3: q=CH (chmury) [=] q=CH (chmury)
4: A1: P=>CH=1 ## B1: P~>CH=0
P jest wystarczające => dla CH ## P nie jest (=0) konieczne ~> dla CH
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
2.7.3 Prawo Kłapouchego w implikacji odwrotnej p|~>q
Dane jest zdanie:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego podstawowego spójnika implikacyjnego wchodzi powyższe zdanie
Rozwiązanie:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
B1: CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki (CH)
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Aby rozstrzygnąć w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi zdanie B1 musimy zbadać prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
##
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
CH=>P =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
Gdzie:
## - zdania B1 i A1 to zdania różne na mocy definicji warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
Dowód w zapisach formalnych:
B1: p~>q=p+~q ## A1: p=>q=~p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
Nasza tabela prawdy z uwzględnieniem prawa Kłapouchego wygląda tak:
Kod: |
T2
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
To samo w zapisie aktualnym (nasz przykład):
p=CH (chmury)
q=P (pada)
A1: CH=>P=0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania
B1: CH~>P=1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1
Matematyczne relacje między warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~>
dla spełnionego warunku koniecznego CH~>P=1
Warunek wystarczający p=>q | Warunek konieczny p~>q
Zapis formalny: | Zapis formalny:
1: Y = A1: p=>q =~p+q ## Y = B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Zapis aktualny (przykład): | Zapis aktualny (przykład)
2: p=CH (chmury) [=] p=CH (chmury)
3: q=P (pada) [=] q=P (pada)
4: CH=>P=0 ## CH~>P=1
CH nie są wystarczające => dla P ## CH są (=1) konieczne ~> dla P
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
2.7.4 Nietrywialny błąd podstawienia ###
Zapiszmy przykłady warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w zdarzeniach
A1.
Przykład spełnionego warunku wystarczającego =>:
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
A1: P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
B1.
Przykład spełnionego warunku koniecznego ~>:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
B1: CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki.
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Umieśćmy nasze przykłady A1 i B1 w tabeli prawdy:
Kod: |
Nietrywialny błąd podstawienia ###:
Definicja warunku wystarczającego =>: | Definicja warunku koniecznego ~>:
Zapis formalny: | Zapis formalny:
1. Y = A1: p=>q =~p+q ## Y = B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Zapis aktualny (przykład): | Zapis aktualny (przykład)
2. A1: p=P (pada) ### B1: p=CH (chmury)
3. A1: q=CH (chmury) ### B1: q=P (pada)
4. A1: Y= A1: P=>CH =~P+CH ### B1: Y= B1: CH~>P = B3: P=>CH =CH+~P
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
### - różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zauważmy że:
1.
Suma logiczna (+) jest przemienna stąd w linii 4 zachodzi pozorna tożsamość logiczna [=].
2.
W rzeczywistości pozorna tożsamość [=] w linii 4 nie zachodzi, bowiem mamy tu do czynienia z nietrywialnym błędem podstawienia ###
3.
W liniach 2 i 3 doskonale widać na czym ten nietrywialny błąd podstawienia ### polega:
Warunek wystarczający A1: p=>q jest tu obserwowany z punktu odniesienia p=P i q=CH
Natomiast:
Warunek konieczny B1: p~>q jest tu obserwowany z innego punktu odniesienia p=CH i q=P
Prawo Wielbłąda:
Otaczająca nas rzeczywistość wygląda różnie z różnych punktów odniesienia.
Innymi słowy:
Otaczającą nas rzeczywistość opiszemy matematycznie poprawnie wtedy i tylko wtedy gdy będziemy na nią patrzeć z tego samego punktu odniesienia.
Poprawny opis rzeczywistości w naszym przykładzie to punkty 2.7.2 i 2.7.3
Stąd mamy:
Definicja nietrywialnego błędu podstawienia ###:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach formalnych (ogólnych) są różne na mocy definicji ## (linia 1), zaś w zapisach aktualnych (przykład) skolerowanych z zapisem formalnym funkcje te są tożsame (linia 4)
Wniosek:
Prawo Kłapouchego broni nas przed niejednoznacznością logiki matematycznej, bowiem tylko i wyłącznie dzięki niemu zauważymy nietrywialny błąd podstawienia ###
Prawo Kłapouchego jest tożsame z otwarciem drzwiczek pudełka z kotem Schrödingera (pkt. 5.4.1)
2.8 Prawa Słonia
Prawa Słonia dla zdarzeń i zbiorów to najważniejsze prawa w logice matematycznej.
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
2.8.1 Prawo Słonia dla zbiorów
Prawo Słonia dla zbiorów (pkt 2.3):
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwości/fałszywości dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą ”nie wprost"
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie jego elementy należą do zbioru q
Definicja nadzbioru ~>
Zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
W logice matematycznej zachodzi tożsamość pojęć:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór ~> = relacja nadzbioru ~>
W logice matematycznej rozstrzygamy o zachodzącej lub nie zachodzącej relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~>.
Rozstrzygnięcia logiki matematycznej w relacji podzbioru =>:
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
A1: p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
##
Rozstrzygnięcia logiki matematycznej w relacji nadzbioru ~>:
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
B1: p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~>
Przykład:
Zbadaj czy zachodzi warunek wystarczający => w poniższym zdaniu:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
A1: P8=>P2=?
Rozwiązanie:
Na mocy prawa Kłapouchego zapis formalny (ogólny) zdania A1 to:
A1: p=>q =1
Gdzie:
p=P8
q=P2
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q matematyczne twierdzenie proste =>
W metodzie "nie wprost" na mocy prawa Słonia dowodzimy prawdziwości relacji podzbioru =>.
Innymi słowy badamy:
Czy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]?
Oczywiście relacja podzbioru => jest (=1) tu spełniona:
P8=>P2=1
co każdy matematyk bez trudu udowodni.
W tym momencie na mocy prawa Słonia mamy udowodnione metodą "nie wprost" dwa fakty czysto matematyczne:
1.
Twierdzenie proste A1 jest prawdziwe
A1: P8=>P2 =1
2.
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2
A1: P8=>P2 =1
Podsumowując:
Z gołych definicji podzbioru => i warunku wystarczającego => nic w matematyce nie wynika, dopóki nie poznamy prawa Słonia.
Dopiero prawo Słonia w dowodzeniu prawdziwości warunku wystarczającego =>, czy też prawdziwości samego zdania warunkowego „Jeśli p to q" ma fundamentalne znaczenie, co udowodniono ciut wyżej.
2.8.2 Prawo Słonia dla zdarzeń
Prawo Słonia dla zdarzeń (pkt 2.2):
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Relacja podzbioru => i nadzbioru ~> w zdarzeniach nie jest intuicyjna, ale można ją łatwo udowodnić co zostało pokazane w punktach 2.2.2 i 2.2.3.
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwości/fałszywości
dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą ”nie wprost"
W zdarzeniach dowodzimy:
1.
Warunku wystarczającego p=>q co na mocy prawa Słonia jest tożsame z udowodnieniem, iż zdarzenie p jest podzbiorem => zdarzenia q
albo
2.
Warunku koniecznego p~>q co na mocy prawa Słonia jest tożsame z udowodnieniem, iż zdarzenie p jest nadzbiorem ~> zdarzenia q
2.9 Prawo Irbisa
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
2.9.1 Prawo Irbisa dla zbiorów
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Do tego by zaszło q potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by zaszło p
Ta wersja równoważności jest powszechnie znana.
I Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
Y = A1: p=>q = ~p+q
##
II Prawo Słonia dla zbiorów:
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
Prawo Tygryska:
Y = B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Na mocy prawa Słonia oraz tabeli T0 możemy wygenerować dużą ilość tożsamych definicji równoważności p<=>q.
Przykładowe, najbardziej użyteczne definicje to:
1.
Matematyczna definicja równoważności p<=>q (znana każdemu matematykowi):
Równoważność p<=>q to jednoczesna prawdziwość matematycznego twierdzenia prostego A1: p=>q i matematycznego twierdzenia odwrotnego B3: q=>p
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q, twierdzenie proste A1.
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p, twierdzenie odwrotne (względem A1)
Stąd mamy:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
2.
Definicja równoważności wyrażona relacjami podzbioru =>
Równoważność p<=>q to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B3: q=>p =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
Stąd mamy:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Stąd mamy:
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p)= A1B3: p<=>q
Prawo Irbisa znane jest każdemu matematykowi.
Innymi słowy:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) <=> A1B3: p=q
Prawo Irbisa w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>.
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Dowód:
Oczywistość, bo na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> siebie samego.
Korzystając z prawa Słonia prawo Irbisa możemy też zapisać w warunkach koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1).
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa.
Kod: |
TR
Definicja równoważności:
Równoważność to jednocześnie zachodzący warunek wystarczający => i konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Dla kolumny A1B1 mamy:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q=1
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważność <=>:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1 [=] 5: p*q+~p*~q
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - znaczki tożsamości logicznej
|
2.9.2 Prawo Irbisa dla zdarzeń
Prawo Irbisa dla zdarzeń:
Dwa zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia zdarzenia q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Przykład:
Pani w przedszkolu:
A1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Na mocy prawa Irbisa zachodzi tożsamość pojęć:
Y=K <=> (A1: Y=>K)*(B1: Y~>K) = Y<=>K
Lewą stronę czytamy:
Pojęcie „pani dotrzyma słowa” (Y) jest tożsame „=” z pojęciem „pójdziemy do kina” (K)
Środek czytamy:
Do tego by dzieci poszły do kina (K) potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by pani dotrzymała słowa (Y)
Prawą stronę czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K)
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 17:09, 12 Paź 2024, w całości zmieniany 79 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 12:34, 23 Paź 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2.10 Podstawowe spójniki implikacyjne
Spis treści
2.10 Podstawowe spójniki implikacyjne 1
2.10.1 Prawo Puchacza 4
2.11 Algorytm Puchacza 6
2.11.1 Przykłady zdań niespełniających algorytmu Puchacza 7
2.11.2 Zdanie warunkowe typu „Jeśli p to p” 8
2.11.3 Zdanie warunkowe typu „Jeśli [] to []” 9
2.12 Implikacja prosta p|=>q 10
2.12.1 Operator implikacji prostej p||=>q 11
2.13 Implikacja odwrotna p|~>q 13
2.13.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 14
2.14 Równoważność p<=>q 16
2.14.1 Operator równoważności p|<=>q 17
2.15 Chaos p|~~>q 19
2.15.1 Operator chaosu p||~~>q 20
2.16 Sztandarowy przykład implikacji prostej P|=>CH 22
2.16.1 Prawo Kameleona 23
2.16.2 Operator implikacji prostej P||=>CH 23
2.16.3 Twarde i miękkie zera i jedynki 26
2.17 Tabela prawdy operatora implikacji prostej p||=>q 27
2.17.1 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q 27
2.10 Podstawowe spójniki implikacyjne
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja podstawowego spójnika implikacyjnego:
Podstawowy spójnik implikacyjny to spójnik definiowany kolumną A1B1 w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dający odpowiedź na pytanie o p:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =? - czy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q? TAK=1/NIE=0
B1: p~>q =? - czy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q? TAK=1/NIE=0
A1B1: p?q = (~)(A1: p=>q)*(~)(B1: p~>q)
Gdzie:
? - symbol spójnika implikacyjnego
(~) - symbol negacji który może wystąpić, ale nie musi, w zależności od wartości logicznej A1 i B1
Z definicji spójnika implikacyjnego wynika, że możliwe są cztery podstawowe spójniki implikacyjne:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
;
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Korzystając z definicji znaczków => i ~> mamy:
Y = (p|=>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) =~p*~p*q+q*~p*q = ~p*q+~p*q=~p*q
Kolejność wykonywania działań w algebrze Kubusia:
Negacja (~), nawiasy, "i"(*), "lub"(+)
Do zapamiętania:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y = (p|=>q) = ~p*q
##
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
;
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Korzystając z definicji znaczków => i ~> mamy:
Y = (p|~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) =(p*~q)*p + (p*~q)*~q = p*~q+p*~q = p*~q
Do zapamiętania:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y = (p|~>q) = p*~q
##
3.
Równoważność p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
;
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Stąd mamy:
Y = p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
Do zapamiętania:
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
##
4.
Chaos p|~~>q:
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego =>, ani też koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
;
Definicja chaosu w spójnikach "lub"(+) i "i"(*):
Chaos p|~~>q to zdanie zawsze prawdziwe przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Y = p*q+~p*q + p*~q + ~p*~q = q*(p+~p)+~q*(p+~p) = q+~q =1
Do zapamiętania:
Definicja chaosu p|~~>q w spójnikach "lub"(+) i "i"(*):
Y = p*q+~p*q + p*~q + ~p*~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
2.10.1 Prawo Puchacza
Prawo Puchacza:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego i tylko jednego spójnika implikacyjnego.
Dowód prawa Puchacza będzie polegał na założeniu, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią spójnika implikacyjnego x i pokazaniu iż pozostałe spójniki będą dla tego przypadku fałszem.
Dowód prawa Puchacza:
I.
Założenie p|=>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(1)*0=0*0=0
3.
Równoważność p<=>q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*0=0
4.
Chaos p|~~>q:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(1)*~(0)=0*1=0
c.n.d.
II.
Założenie p|~>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=0*~(1)=0*0=0
3.
Równoważność p<=>q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 0*1=0
4.
Chaos p|~~>q:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(1)=1*0=0
c.n.d.
III.
Założenie p<=>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(1)=1*0=0
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(1)*1=0*1=0
4.
Chaos p|~~>q:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(1)*~(1)=0*0=0
c.n.d.
IV
Założenie p|~~>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią chaosu p|~~>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=0*~(0)=0*1=0
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*0=1*0=0
3.
Równoważność p<=>q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 0*0=0
ok
c.n.d.
Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki I, II, III i IV pozytywnie, co kończy dowód prawa Puchacza.
2.11 Algorytm Puchacza
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p
## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Uwaga:
Na mocy praw Sowy prawdziwość podstawowego spójnika implikacyjnego p?q definiowanego kolumną A1B1 (pytanie o p) wymusza prawdziwość odpowiedniego operatora implikacyjnego p|?q definiowanego dwoma kolumnami A1B1 (pytanie o p) i A2B2 (pytanie o ~p).
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego.
Algorytm Puchacza:
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
Prawo Kłapouchego jest tożsame z otwarciem drzwiczek pudełka z kotem Schrödingera (pkt. 5.4.1)
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.8)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.
5.
Prawo Puchacza:
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza.
Rozłączne operatory implikacyjne to:
a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1)
b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1)
d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1)
e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1)
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
7.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia
Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie.
2.11.1 Przykłady zdań niespełniających algorytmu Puchacza
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 algorytmu Puchacza są matematycznie fałszywe.
Ad. 1
W punkcie 1 chodzi o to, że jeśli przystępujemy do analizy matematycznej zdania "Jeśli p to q" to musimy zastosować prawo Kłapouchego, inaczej dostaniemy nietrywialny błąd podstawienia ### (pkt. 2.7.4)
Ad. 2
A1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to trójkąt może być prostokątny
P2~~>TP =0
Brak wspólnej dziedziny.
Stąd mamy:
Zdanie A1 jest fałszywe na mocy punktu 2 algorytmu Puchacza.
Ad. 3
Prawo Michała:
Warunkiem koniecznym ~> prawdziwości dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" jest brak znajomości z góry wartości logicznej zarówno poprzednika p jak i następnika q przy spełnionym warunku p##q
Gdzie:
p##q
## - różne na mocy definicji
Dowód:
Jeśli prawo Michała jest spełnione to na 100% nie jest spełniony punkt 3 algorytmu Puchacza, czyli jedno z wymaganych przeczeń p i q {p, q, ~p, ~q} będzie zdarzeniem/zbiorem pustym
Przykłady zdań podpadających pod prawo Michała:
1.
Jeśli 2+2=5, to kot ma 4 łapki
p##q - p jest różne na mocy definicji od q
p=[] =0
q=1
Prawo Michała jest spełnione, zdanie 1 jest fałszem
2.
Jeśli słoń jest ssakiem, to kot ma 4 łapki
p##q - p jest różne na mocy definicji ## od q
p=1
q=1
Słoń nie jest ssakiem
~p=~S = [] =0
Prawo Michała jest spełnione, zdanie 2 jest fałszem.
2.11.2 Zdanie warunkowe typu „Jeśli p to p”
Rozważmy zdanie warunkowe:
A1.
Jeśli p to p
1.
Dowód ogólny prawdziwości zdania A1:
A1.
Jeśli p to q
Gdzie:
p=q
Prawo Irbisa:
Dwa pojęcia/zdarzenia/zbiory są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q (albo odwrotnie)
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Stąd dla zdania “Jeśli p to q” przy założeniu że zachodzi p=q mamy:
A1: p=>q = A1: p=>p = A1: ~p+p =1
B1: p~>q = B1: p~>p = B1: p+~p =1
cnd
2.
Ogólny dowód alternatywny prawdziwości zdania A1:
Rozważmy zdanie warunkowe:
A1.
Jeśli p to q
Gdzie:
p=q
Takie zdanie jest prawdziwe dla dowolnej wspólnej dziedziny dla p i q
W szczególności wspólną dziedziną może tu być nawet Uniwersum
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka
Wyznaczenie p i ~p dla poprzednika p:
p=p
~p=[U-p] – zbiór wszystkie pojęć zrozumiałych dla człowiek minus jedno pojęcie p
Wyznaczenie q i ~q dla następnika q:
q=p (z założenia)
~q=~p = [U-p] - zbiór wszystkie pojęć zrozumiałych dla człowiek minus jedno pojęcie p
Definicja równoważności p<=>q w relacjach podzbioru =>:
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Dla naszego przykładu p=q mamy:
A1B2: p<=>p = (A1: p=>p)*(B2: [U-p] => [U-p] =1*1=1
Dowód prawdziwości zdań składowych A1 i B2:
A1: p=>q =1 – bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B2: [U-p] => [U-p] =1 – bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
cnd
Przykład:
Jeśli dowolne zwierzę jest psem to na 100% jest psem
P=>P =1
Przyjmijmy dziedzinę:
ZWZ – zbiór wszystkich zwierząt
Powyższe zdanie to „masło maślne” z zerową użytecznością w języku potocznym.
Obliczmy przeczenia zbiorów które muszą być niepuste
p=[Pies]
q=[Pies]
~p=[ZWZ-p] – zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem jednego zwierzątka [Pies]
~q=[ZWZ-q] – zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem jednego zwierzątka [Pies]
Definicja równoważności w relacjach podzbioru =>:
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Dla naszego przykładu mamy:
A1B2: P<=>P = (A1: P=>P)*(B2: [ZWZ-P] => [ZWZ-P] =1*1=1
Dowód prawdziwości zdań składowych A1 i B2:
A1: P=>P =1 – bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B2: [ZWZ-P] => [ZWZ-P] =1 – bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
cnd
2.11.3 Zdanie warunkowe typu „Jeśli [] to []”
Rozważmy zdanie ogólne:
A1.
Jeśli zbiór pusty [] to zbiór pusty []
[]=>[] =1
Bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty []
Wyjaśnienie w punkcie 12.8 w części głównej algebry Kubusia.
Rozważmy zdanie:
A2.
Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
p=[2+2=5] =[] =0 - twarde zero
q=[jestem papieżem] =[] =0 - twarde zero
Stąd zapis formalny:
p=>q = []=>[] =0
Z punktu widzenia algorytmu Puchacza zdanie A2 jest fałszem bo nie jesteśmy w stanie operować na zbiorze pustym [], czyli jest tu spełniony punkt 3 algorytmu Puchacza.
Z innego punktu odniesienia, z punktu odniesienia zbioru pustego [] w sensie absolutnym (pkt. 12.8.1) zdanie A2 będzie prawdziwe. (prawo Owieczki pkt. 12.9.3)
W matematyce nie ma w tym nic dziwnego - patrz prawo Kameleona (pkt. 2.16.1)
2.12 Implikacja prosta p|=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1), ale nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
Podstawmy definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Kod: |
IP:
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość pozostałych zdań
2.12.1 Operator implikacji prostej p||=>q
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)
Dowód na mocy praw Sowy jest oczywisty.
Dowód alternatywny:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A1B1: p|=>q = ~p*q (pkt. 2.10)
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A2B2: p|~>q = p*~q (pkt. 2.10)
Mamy do udowodnienia tożsamość logiczną [=]:
A1B1: p|=>q [=] A2B2: ~p|~>~q
Rozwijamy prawą stronę definicją |~>:
A2B2: ~p|~>~q = (~p)*~(~q) = ~p*q = A1B1: p|=>q
cnd
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q (A1), ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q (B1)
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Innymi słowy:
Zawsze gdy zajdzie p, zajdzie q
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~~>: p i ~q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania A1' na mocy definicji kontrprzykładu.
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Idziemy do kolumny A2B2.
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q (A2), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q (B2).
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q
Innymi słowy:
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
lub
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~p=>~q=0 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2' (i odwrotnie)
B2'.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~~>: ~p i q
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q =0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2': ~p~~>q=1 (i odwrotnie).
To jest dowód "nie wprost" prawdziwości zdania B2'
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej A2B2: ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej A1B1: p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Uwaga:
Przykład implikacji prostej P|=>CH i operatora implikacji prostej P||=>CH znajdziemy w punkcie 3.4 i 3.4.1.
2.13 Implikacja odwrotna p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1), ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1).
Podstawmy definicję implikacji odwrotnej p|~>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Kod: |
IO:
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q=1 [=] 4:~q~~>p =1
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość pozostałych zdań
2.13.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2)
Kolumna A1B1:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Dowód na mocy praw Sowy jest oczywisty.
Dowód alternatywny:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A1B1: p|~>q = p*~q (pkt. 2.10)
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A2B2: p|=>q = ~p*q (pkt. 2.10)
Mamy do udowodnienia tożsamość logiczną [=]:
A1B1: p|~>q [=] A2B2: ~p|=>~q
Rozwijamy prawą stronę definicją |=>:
A2B2: ~p|=>~q = ~(~p)*(~q) = p*~q = A1B1: p|~>q
cnd
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q (B1), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q (A1)
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść zajdzie q
p~>q =1
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
Innymi słowy:
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
lub
Fałszywy warunek wystarczający A1: p=>q=0 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~~>: p i ~q
Innymi słowy:
Fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q =0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1' (i odwrotnie). To jest dowód "nie wprost" prawdziwości zdania A1'
.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Idziemy do kolumny A2B2.
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q (B2), ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q (A2).
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
B2
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Innymi słowy:
Zawsze gdy zajdzie ~p, zajdzie ~q
Prawdziwy warunek wystarczający B2:~p=>~q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład B2' (i odwrotnie)
B2'
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~~>: ~p i q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania B2' na mocy definicji kontrprzykładu.
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie p (zdania B1 i A1’), oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2)
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej A2B2: ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej A1B1: p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Uwaga:
Przykład implikacji odwrotnej CH|~>P i operatora implikacji odwrotnej CH||~>P znajdziemy w punkcie 4.4 i 4.4.1
2.14 Równoważność p<=>q
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Do tego aby zaszło q potrzeba ~> (B1) i wystarcza => aby zaszło p
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów p=q (i odwrotnie)
Dowód (pkt. 2.9)
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa oraz definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=> definiuje: | Równoważność <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1
tożsamość zdarzeń/zbiorów: | tożsamość zdarzeń/zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość pozostałych zdań
2.14.1 Operator równoważności p|<=>q
Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Dowód na mocy praw Sowy jest oczywisty
Dowód alternatywny:
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A1B1: p<=>q = p*q+~p*~q (pkt. 2.10)
Mamy do udowodnienia tożsamość logiczną [=]:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
Rozwijamy prawą stronę definicją <=>:
A2B2: ~p<=>~q = (~p)*(~q) + ~(~p)*~(~q)= ~p*~q + p*q = p*q+~p*~q = A1B1: p<=>q
cnd
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => = na 100% => etc
Innymi słowy:
Zawsze gdy zajdzie p, zajdzie q
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~~>: p i ~q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania A1' na mocy definicji kontrprzykładu.
… a jeśli zajdzie ~p?
Idziemy do kolumny A2B2.
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście ~p jest (=1) konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Prawdziwy warunek wystarczający B2: ~p=>~q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład B2' (i odwrotnie)
B2'.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=~p*q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~~>: ~p i q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania B2' na mocy definicji kontrprzykładu.
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności p|<=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna po stronie ~p (zdanie B2)
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co się stanie jak zajdzie ~p?
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jak zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności A2B2: ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora równoważności A1B1: p|<=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Uwaga:
Przykład równoważności A<=>S i operatora równoważności A|<=>S znajdziemy w punkcie 6.6 i 6.6.1
2.15 Chaos p|~~>q
Definicja chaosu p|~~>q:
Chaos p|~~>q to brak spełnienia zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samym punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1), jak również nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1).
Podstawiając do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> mamy:
Kod: |
CH
Tabela prawdy chaosu p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1 [=] 4:~q~~>~p=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
B”: 2:~p~~>~q=1 [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Komentarz:
Kolumna A1B1:
Fałszywy warunek wystarczający:
A1: p=>q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
A1’: p~~>~q=1
Dodatkowo musi być:
A1’’: p~~>q =p*q =1
Dowód „nie wprost”.
Załóżmy, że zachodzi:
A1’’: p~~>q=p*q=0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Wtedy, na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy jest warunek wystarczający =>:
A1’’’: p=>~q=1
co jest sprzeczne z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identycznie mamy w kolumnie A2B2:
Fałszywy warunek wystarczający:
B2: ~p=>~q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Dodatkowo musi być:
B2’’: ~p~~>~q =~p*~q=1
Dowód „nie wprost”
Załóżmy, że zachodzi:
B2’’: ~p~~>~q=~p*~q=0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
Wtedy, na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy jest warunek wystarczający =>:
B2’’’: ~p=>q=1
co jest sprzeczne z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
2.15.1 Operator chaosu p||~~>q
Definicja operatora chaosu p||~~>q
Operator chaosu p||~~>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1”: p~~>q = p*q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
A1’: p~~>~q = p*~q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A1” i A1’
Kolumna A1B1:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla spełnionego p (p=1):
A1’’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i q
LUB
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
B2”: ~p~~>~q = ~p*~q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B2” i B2’
Kolumna A2B2:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla niespełnionego p (~p=1):
B2’’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> ~p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i ~q
LUB
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
Podsumowanie:
Doskonale widać, że zarówno po stronie p jak i po stronie ~p mamy tu najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Po stronie p mamy:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q (zdanie A1”) lub może ~~> zajść ~q (zdanie A1’)
Po stronie ~p mamy:
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q (zdanie B2”) lub może ~~> zajść q (zdanie B2’)
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań A1", A1', B2", B2' jest bez znaczenia, wszystkie muszą być prawdziwe.
Uwaga:
Przykład chaosu A|~~>S i operatora chaosu A||~~>S znajdziemy w punkcie 8.2 i 8.2.1
2.16 Sztandarowy przykład implikacji prostej P|=>CH
Kod: |
T0
A1B1: A2B2:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q
## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Typowe zadanie w algebrze Kubusia brzmi:
Zadanie 1
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W.
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Rozwiązanie:
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => A1.
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH), bo zawsze gdy pada, są chmury
Innymi słowy:
Jeśli jutro będzie padało to mamy gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Zachodzi tożsamość pojęć:
Na 100% => = warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => …
etc
Pozostało nam wybrać dowolne zdanie z linii Bx i udowodnić jego prawdziwość/fałszywość.
Wybieramy zdanie B1 kodowane warunkiem koniecznym ~>.
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH=0
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Dowód wprost:
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
2.16.1 Prawo Kameleona
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Przykład to zdania A1 i B1 z poprzedniego punktu.
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
##
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Dowód iż to są zdania różne na mocy definicji:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q =p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Różność matematyczną ## zdań A1 i B1 rozpoznajmy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
2.16.2 Operator implikacji prostej P||=>CH
Zdania A1 i B1 są dowodem, iż mamy tu do czynienia z implikacją prostą A1B1: P|=>CH:
Definicja implikacji prostej P|=>CH
Implikacja prosta A1B1: P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH =1 - padanie (P) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH =0 - padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (CH)
Stąd mamy:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0)=1*1=1
W tym momencie mamy kompletną tabelę implikacji prostej A1B1: P|=>CH.
Kod: |
IP.
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*(0)=1*1=1
Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Implikacja prosta P|=>CH w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: P=>CH=1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH=0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: (P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q =0 [=] 4:~q~~>p =0
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=P, q=CH
A: 1: P=>CH =1 = 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P =1 = 4:~CH=>~P=1
A': 1: P~~>~CH=0 [=] 4:~CH~~>P=0
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=P, q=CH
B: 1: P~>CH =0 = 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=>P =0 = 4:~CH~>~P=0
B': 2:~P~~>CH=1 [=] 3: CH~~>~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii A
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań w linii B
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem na mocy praw Sowy mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP
Definicja operatora implikacji prostej P||=>CH:
Operator implikacji prostej P||=>CH to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o padanie (P) i nie padanie (~P)
Kolumna A1B1:
A1B1: P|=>CH = (A1: (P=>CH)*~(B1: P~>CH) - co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)?
Kolumna A2B2
A2B2: ~P|~>~CH = (A2: ~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH) - co może być jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: P=>CH=1 - padanie (P) jest (=1) wystarczające > dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH =0 - padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (CH)
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (A1: P=>CH=1) , ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (B1: P~>CH=0)
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Prawdziwy warunek wystarczający A1: P=>CH=1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy warunek wystarczający A1: P=>CH=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1': P~~>~CH=0 ( i odwrotnie).
… a jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
Idziemy do kolumny A2B2.
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~P~>~CH =1 - brak opadów (~P) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla braku chmur (~CH)
B2: ~P=>~CH =0 - brak opadów (~P) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => braku chmur (~CH)
A2B2: ~P|~>~CH = (A2:~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Brak opadów jest (=1) warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (A1: ~P~>~CH=1), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => by nie było pochmurno (B2: ~P=>~CH)=0)
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
A2
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno (~CH) bo jak pada (P) to na 100% => jest pochmurno (CH)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
lub
B2'.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH =~P*CH=1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Dowód wprost:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P) i jest pochmurno (CH)
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość warunku wystarczającego B2: ~P=>~CH=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2': ~P~~>CH=1 (i odwrotnie)
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej P||=>CH jest gwarancja matematyczna => po stronie padania P (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie braku padania ~P (zdania A2 i B2’) .
2.16.3 Twarde i miękkie zera i jedynki
Definicja twardej jedynki:
Twarda jedynka w logice matematycznej to po prostu warunek wystarczający =>.
Nasz przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury.
Na mocy definicji kontrprzykładu twarda jedynka w zdaniu A1 wymusza twarde zero w zdaniu A1' (i odwrotnie).
A1'
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Definicja miękkiej jedynki:
Miękka jedynka to zdarzenie które może zajść, ale nie musi.
Nasz przykład:
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno (zdanie A2), lub może ~~> być pochmurno (zdanie B2'.
Miękka jedynka wymusza miękkie zero i odwrotnie w zależności od tego które zdarzenie zajdzie.
Przykładowo:
Jeśli jutro nie będzie padało to może być prawdziwe zdanie A2 (miękka jedynka) i fałszywe zdanie B2' (miękkie zero)
albo
Jeśli jutro nie będzie padało to może być prawdziwe zdanie B2' (miękka jedynka) i fałszywe zdanie A2 (miękkie zero)
2.17 Tabela prawdy operatora implikacji prostej p||=>q
Zapiszmy w tabeli prawdy powyższą analizę operatora implikacji prostej P||=>CH przechodząc na zapisy formalne (ogólne) poprzez podstawienie.
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Tabela prawdy operatora implikacji prostej p||=>q.
Kod: |
T1
Tabela prawdy operatora implikacji prostej p||=>q
A1: p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Twarda jedynka w A1 wymusza twarde zero w A1' (i odwrotnie)
A1': p~~>~q=0 - prawdziwość A1: p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu A1'
Twarde zero w A1' wymusza twardą jedynkę w A1 (i odwrotnie)
A2: ~p~>~q =1 - bo prawo Kubusia: A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Miękka jedynka w A2 na mocy definicji p||=>q
LUB
B2':~p~~>q =1 - fałszywy B2:~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2'
Miękka jedynka w B2' na mocy definicji p||=>q
|
Prawo Krokodyla (pkt. 21.2):
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.
Jak widzimy, w operatorze implikacji prostej p||=>q mamy jedną twardą jedynkę (A1), jedno twarde zero (A1') oraz dwie miękkie jedynki (A2 i B2') wymuszone definicją tego operatora, co oznacza spełnienie prawa Krokodyla i brak wewnętrznej sprzeczności algebry Kubusia.
2.17.1 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q
Zapiszmy tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q w wersji skróconej:
Kod: |
T2
Definicja |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
p||=>q |
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1
A1': p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1
B2':~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1
a b c 1 2 3
|
Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego p=>q w logice dodatniej (bo q) otrzymamy kodując tabelę T2 z punktem odniesienia ustawionym na warunku wystarczającym =>:
A1: p=>q
W warunku wystarczającym A1: p=>q zmienne p i q są w postaci niezanegowanej.
Tabelę zero-jedynkową warunku wystarczającego A1: p=>q w logice dodatniej (bo q) otrzymamy wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne w tabeli T2_12 sprowadzimy do postaci niezanegowanej.
Umożliwia to II prawo Prosiaczka (pkt. 1.4):
(~p=1)=(p=0)
które możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Zróbmy to:
Kod: |
T3
Definicja |Co w logice |Na mocy II |Zapis tożsamy
symboliczna |jedynek oznacza |prawa Prosiaczka |tabeli 456
p||=>q | | | p q p=> q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=>1 =1
A1': p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1=>0 =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0=>0 =1
B2':~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0=>1 =1
a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Definicja:
Tabelę T3_789 nazywamy definicją warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) dla potrzeb rachunku zerojedynkowego.
Interpretacja warunku wystarczającego =>:
T3_789: p=>q - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Do zapamiętania:
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q Y=(p=>q)=~p+q
A: 1=>1 1
B: 1=>0 0
C: 0=>0 1
D: 0=>1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 13:21, 14 Paź 2024, w całości zmieniany 53 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 12:36, 23 Paź 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
3.0 Implikacja prosta p|=>q w zdarzeniach
Spis treści
3.0 Implikacja prosta p|=>q w zdarzeniach 1
3.1 Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q dla zbiorów/zdarzeń 3
3.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q 4
3.2 Diagram implikacji prostej p|=>q 6
3.2.1 Zdjęcie układu 8
3.2.2 Prawo Orła 9
3.2.3 Prawo Słonia dla zdarzeń i zbiorów z uwzględnieniem prawa Orła 10
3.2.4 Prawo Orła w zdarzeniach w praktyce 11
3.2.5 Prawo Orła w zbiorach w praktyce 13
3.3 Algorytm Puchacza 15
3.4 Sztandarowy przykład implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach 17
3.4.1 Operator implikacji prostej P||=>CH 21
3.5 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza 24
3.5.1 Zdanie W1: P~~>CH 24
3.5.2 Zdanie W2: P=>CH 25
3.5.3 Zdanie W3: P~~>~CH 25
3.5.4 Zdanie W4: ~P~~>~CH 26
3.5.5 Zdanie W5: ~P~>~CH 27
3.5.6 Zdanie W6: ~P~~>CH 27
3.5.7 Zdanie W7: ~P=>~CH 28
3.0 Implikacja prosta p|=>q w zdarzeniach
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=1), ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=0)
Podstawmy definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Kod: |
IP:
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
## ## ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zauważmy że:
1.
Definicję implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) mamy w kolumnie A1B1.
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Wniosek:
Implikacja prosta A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) daje odpowiedź na pytanie o p.
2.
Definicję implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) mamy w kolumnie A2B2.
A2B2:
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q):
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0)=1*1=1
Wniosek:
Implikacja odwrotna A2B2: ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) daje odpowiedź na pytanie o ~p.
Z prawa Sowy wynika, że implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) wymusza implikację odwrotną ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) i odwrotnie.
Matematycznie zachodzi więc tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
[=], "=", <=> (wtedy i tylko wtedy) - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
3.1 Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q dla zbiorów/zdarzeń
Definicja kontrprzykładu w zbiorach/zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym ~~> zbiorów lub zdarzeniem możliwym ~~>:
p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Uwagi:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Ax wymuszają fałszywe kontrprzykłady Ax'
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywe warunki wystarczające => w linii Bx wymuszają prawdziwe kontrprzykłady Bx'.
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Podstawmy definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Kod: |
IP:
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość pozostałych zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość pozostałych zdań serii Bx
3.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q (A1: p=>q=1), ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q (B1: p~>q=0)
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Innymi słowy:
Zawsze gdy zajdzie p, zajdzie q
A1'.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> p i ~q
Dowód „nie wprost”:
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Idziemy do kolumny A2B2.
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q (A2: ~p~>~q=1), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q (B2: ~p=>~q=0).
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q
Innymi słowy:
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
lub
Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie):
B2'.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =~p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne ~~> zajście zdarzeń ~p i q
Dowód „nie wprost”:
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q =0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2': ~p~~>q=1 (i odwrotnie).
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej A2B2: ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej A1B1: p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
3.2 Diagram implikacji prostej p|=>q
Diagram implikacji prostej p|=>q jest identyczny dla zdarzeń i zbiorów, a wynika on z jedynego fałszywego tu zdania kodowanego znaczkiem ~~>:
A1': p~~>~q=p*~q =0
Gdzie:
~~> - zdarzenie możliwe w teorii zdarzeń
albo:
~~> - element wspólny zbiorów w teorii zbiorów
Dla potrzeb rysowania diagramu przydatna jest poniższa definicja.
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q, bowiem wtedy i tylko wtedy pojęcia {p, q, ~p, ~q} będą rozpoznawalne (będą niepuste).
Z definicji nie możemy operować na zbiorach pustych (pkt. 12.2)
Łatwo udowodnić, że dla zbudowania implikacji prostej p|=>q potrzebne są minimum 3 elementy.
Przykład minimalny:
K=Kubuś
P=Prosiaczek
T=Tygrysek
p=[K]
q=[K,P]
D=[K,P,T] - dziedzina
~p=[D-p]=[P,T] - zbiór niepusty
~q=[D-q]=[T] - zbiór niepusty
Analizę operatora implikacji prostej p||=>q na parametrach ogólnych p i q mamy w punkcie 3.1.1
Łatwo sprawdzić, że nasz przykład minimalny pasuje tam doskonale.
Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach/zdarzeniach
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina D - suma logiczna zbiorów/zdarzeń możliwych A1, B2', A2 |
| D=A1: p*q + A2:~p*~q + B2’:~p*q |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty/zdarzenie niemożliwe |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach/zdarzeniach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Definicja dziedziny:
Dziedzina to suma logiczna zbiorów/zdarzeń niepustych i rozłącznych uzupełniających się wzajemnie do dziedziny D
D = A1: p*q + B2': ~p*q + A2: ~p*~q
Z diagramu DIP łatwo wyprowadzić prawo Orła identyczne dla zbiorów i zdarzeń.
Z diagramu DIP odczytujemy:
p+~p=D=1 - wspólna dziedzina D dla p i q
q+~q=D=1 - wspólna dziedzina D dla p i q
Prawo algebry Boole'a:
p=p*1
q=q*1
Korzystając z definicji wspólnej dziedziny D mamy:
p=p*(q+~q)
q=q*(p+~p)
Powyższe tożsamości są doskonale widoczne bezpośrednio na diagramie DIP.
Stąd mamy:
Prawo Orła dla implikacji prostej p|=>q:
p*(q+~q) => q*(p+~p)
Redukcja prawa Orła:
Po wymnożeniu wielomianów mamy:
p*q + p*~q => p*q + ~p*q - bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny
Z diagramu odczytujemy:
p*~q=0
Prawo algebry Boole'a:
x+0=x
Stąd po redukcji poprzednika mamy:
Prawo Orła dla implikacji prostej p|=>q
p*q => p*q + ~p*q =1
Stąd mamy:
A1.
Z ostatniego zapisu oraz diagramu DIP widzimy, że zbiór/zdarzenie (p*q) jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia (p*q+~p*q).
##
B1.
Z ostatniego zapisu oraz diagramu DIP doskonale też widać że:
p*q ~> p*q + ~p*q =0
Zbiór/zdarzenie (p*q) nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia (p*q+~p*q)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~>
3.2.1 Zdjęcie układu
Zauważmy, że powyższe prawo Orła dla implikacji prostej p|=>q można łatwo uogólnić na dowolną relację zbiorów/zdarzeń zachodzącą między p i q.
Definicja zdjęcia układu:
Zdjęcie układu to analiza zdania wypowiedzianego "Jeśli p to q" w kierunku od p do q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q przy pomocy definicji zdarzenia możliwego ~~> (teoria zdarzeń) albo definicji elementu wspólnego zbiorów ~~> (teoria zbiorów) z rozstrzygnięciem o prawdziwości/fałszywości wszystkich zdań składowych.
Stąd mamy:
Definicja zdjęcia układu w teorii zdarzeń:
Zdjęcie układu to seria czterech zdań warunkowych "Jeśli p to q" kodowanych zdarzeniem możliwym ~~> w kierunku od p do q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q z rozstrzygnięciem o prawdziwości/fałszywości wszystkich zdań składowych.
Definicja zdarzenia możliwego ~~> (pkt. 2.2.1):
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
Kod: |
T1
Tabela prawdy zdjęcia układu w zapisie formalnym
to odpowiedź TAK=1/NIE=0 na cztery pytania {A,B,C,D}
Kolumna A1B1:
A: p~~> q = p* q=? - Czy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q?
B: p~~>~q = p*~q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q?
Kolumna A2B2:
C:~p~~>~q =~p*~q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q?
C:~p~~> q =~p* q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q?
|
3.2.2 Prawo Orła
Prawo Orła:
Jeśli dla zdania warunkowego "Jeśli p to q" znane jest zdjęcie układu w zapisie aktualnym (przykład) to wszelkie relacje między p i q określa wzór:
p*(q+~q) dzn (~)q*(p+~p)
Gdzie:
Punkt odniesienia:
Poprzednik p ze zdjęcia układu musi być niezanegowany co lokuje nas w kolumnie A1B1
(~) - w zapisie aktualnym przeczenie (~) przy q może wystąpić wyłącznie w spójniku "albo"($)
dzn - dowolny ze znaczków:
~~> - zdarzenie możliwe lub element wspólny zbiorów
=> - warunek wystarczający [=] relacja podzbioru =>
~> - warunek konieczny [=] relacja nadzbioru ~>
<=> - równoważność
$ - spójnik "albo"($)
;
[=] - tożsamość logiczna
Dowód prawa Orła:
1.
p dzn (~)q
2.
Prawo algebry Boole'a:
x=x*1
stąd:
p*1 dzn (~)q*1
3.
1=D - wspólna dziedzina dla p i q
Stąd mamy:
p+~p=D=1
q+~q=D=1
Podstawiając do 2 mamy nasze prawo Orła.
4.
Prawo Orła:
p*(q+~q) dzn (~)q*(p+~p)
cnd
3.2.3 Prawo Słonia dla zdarzeń i zbiorów z uwzględnieniem prawa Orła
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Po uwzględnieniu prawa Orła mamy identyczne prawo Słonia dla zbiorów i zdarzeń.
Prawo Słonia dla zbiorów/zdarzeń (pkt 2.8.1 i 2.8.2):
W algebrze Kubusia w zbiorach/zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Zauważmy, że w przypadku zdarzeń pojęcia podzbioru => i nadzbioru ~> nie są intuicyjne, trzeba je matematycznie wyprowadzić korzystając z prawa Orła które wymaga znajomości algebry Boole'a na poziomie elementarnym.
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów
Z definicji tożsamości logicznej wynika, że:
Dla dowodu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>q potrzeba i wystarcza udowodnić zachodzącą tu relację podzbioru => A1: p=>q
Innymi słowy:
A1: p=>q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) podzbiorem => q
Inaczej:
A1: p=>q =0
##
Podobnie:
Dla dowodu prawdziwości warunku koniecznego B1: p~>q potrzeba i wystarcza udowodnić zachodzącą tu relację nadzbioru ~> B1: p~>q
Innymi słowy:
B1: p~>q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) nadzbiorem ~> q
Inaczej:
B1: p~>q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia.
3.2.4 Prawo Orła w zdarzeniach w praktyce
Rozważmy przykład spełnionego warunku wystarczającego A1 z tabeli T0.
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Dowód wprost:
Padanie (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH) bo zawsze gdy pada, są chmury.
To jest dowód zachodzącego tu warunku wystarczającego => na poziomie 5-cio latka
Na mocy prawa Kłapouchego mamy wspólny dla wszystkich punkt odniesienia:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Dowód alternatywny "nie wprost" na poziomie ucznia I klasy LO to wykorzystanie definicji zdjęcia układu dla zdania A1 plus prawo Orła.
Kod: |
T1
Zdjęcie układu dla zdania A1 w zapisie aktualnym (przykład)
A: P~~> CH=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie: pada(P) i są chmury(CH)
B: P~~>~CH=0 -niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada(P) i nie ma chmur(~CH)
C:~P~~>~CH=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada(~P) i nie ma chmur(~CH)
D:~P~~> CH=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada(~P) i są chmury(CH)
|
Doskonale widać, że rozstrzygnięcie o prawdziwości/fałszywości zdań ABCD to matematyczny poziom 5-cio latka.
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
to samo w zapisie formalnym na mocy prawa Kłapouchego:
p=>q =1
Gdzie:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Dowód wprost:
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Na mocy prawa Słonia zdarzenie P (pada) musi być podzbiorem => zdarzenia CH (chmury)
Sprawdzenie:
1.
Prawo Orła dla A1:
p*(q+~q) => q*(p+~p)
p=P (pada)
q=CH (chmury)
W przełożeniu na zapis aktualny mamy:
P*(CH+~CH) => CH*(P+~P)
2.
Stąd po wymnożeniu wielomianów mamy:
P*CH + P*~CH => P*CH + ~P*CH - bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny
Z tabeli zdjęcia układu T1 odczytujemy:
B: P~~>~CH = P*~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Prawo algebry Boole'a:
x+0=x
Stąd mamy:
3.
A: P*CH => A: P*CH + D: ~P*CH
Gdzie:
Zdarzenie A i D są niepuste i rozłączne
Doskonale widać, że zdarzenie P*CH jest podzbiorem => zdarzenia (P*CH + ~P*CH)
cnd
Uwaga:
Zauważmy, że równanie 3 jest tożsame z warunkiem wystarczającym:
WW: P=>CH =1
Dowód:
Lewa strona równania 3:
L: P*CH = P*CH + P*~CH = P*(CH+~CH) = P*1 =P
Komentarz:
P*~CH=0 - wolno nam wstawić 0 do sumy logicznej (+)
wyciągnięcie zmiennej P przed nawias
CH+~CH=1 - prawo algebry Boole'a
P*1=P - prawo algebry Boole'a
Prawa strona równania 3:
P: P*CH + D: ~P*CH = CH*(P+~P) = CH*1 =CH
Komentarz:
wyciągnięcie zmiennej CH przed nawias
P+~P=1 - prawo algebry Boole'a
CH*1=CH - prawo algebry Boole'a
Stąd mamy:
3: A: P*CH => A: P*CH + D: ~P*CH [=] WW: P=>CH
cnd
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Podsumowując:
1.
Zbudowanie zdjęcia układu w zdarzeniach to poziom 5-cio latka, co udowodniono wyżej
2.
Jeśli mamy zdjęcie układu to na mocy prawa Orła wiemy wszystko o wzajemnych relacjach wszelkich zbiorów/zdarzeń w tym układzie, co pokażemy w punkcie 9.0
Rozstrzygnięcie w zdarzeniach o prawdziwości/fałszywości wszystkich zdań ze zdjęcia układu to matematyczny poziom 5-cio latka.
3.
W zbiorach nieskończonych już tak różowo nie jest, czyli udowodnienie iż dwa zbiory nieskończone są rozłączne to nie jest poziom 5-cio latka.
Dowód niżej.
3.2.5 Prawo Orła w zbiorach w praktyce
Rozważmy przykład spełnionego warunku wystarczającego => A1 z tabeli T0.
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
to samo w zapisie formalnym na mocy prawa Kłapouchego:
p=>q =1
Gdzie:
p=P8
q=P2
Dowód wprost:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8 jest (=1) podzbiorem => zbioru P2 potrafi każdy matematyk
Przyjmijmy wspólną dziedzinę dla p i q:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Obliczamy przeczenia zbiorów P8 i P2 we wspólnej dziedzinie LN:
~p=~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~q=~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
Dowód alternatywny prawdziwości warunku wystarczającego => A1 na poziomie ucznia I klasy LO to wykorzystanie definicji zdjęcia układu plus prawa Orła.
Kod: |
T1
Zdjęcie układu dla zdania A1 w zapisie aktualnym (przykład)
A: P8~~> P2=1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów P8 i P2 np. 8
B: P8~~>~P2=0 - nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów P8 i ~P2
C:~P8~~>~P2=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~P8 i ~P2 np. 1
D:~P8~~> P2=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~P8 i P2 np. 2
|
Kluczowy jest dowód rozłączności zbiorów nieskończonych P8 i ~P2:
Dowolny zbiór liczb parzystych P8=8,16,24..] jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych ~P2=[1,3,5,7,9..]
Akurat w tym przypadku to jest poziom I klasy LO, ale na pewno nie 5-cio latka.
Korzystając z prawa Orła możemy łatwo dowieść iż zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2
1.
Prawo Orła dla A1:
p*(q+~q) => q*(p+~p)
p=P8
q=P2
W przełożeniu na zapis aktualny mamy:
P8*(P2+~P2) => P2*(P8+~P8)
2.
Stąd po wymnożeniu wielomianów mamy:
P8*P2 + P8*~P2 => P8*P2 + ~P8*P2 - bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny
Z tabeli zdjęcia układu T1 odczytujemy:
B: P8~~>~P2=P8*~P2=0 - nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów P8 i ~P2
Prawo algebry Boole'a:
x+0=x
Stąd mamy:
3.
A: P8*P2 => A: P8*P2 + D: ~P8*P2
Gdzie:
Zbiory A i D są niepuste i rozłączne
Doskonale widać, że zbiór P8*P2 jest (=1) podzbiorem => zbioru (P8*P2 + ~P8*P2)
cnd
Uwaga:
Zauważmy, że równanie 3 jest tożsame z warunkiem wystarczającym =>:
WW: P8=>P2
Dowód:
Lewa strona 3:
L: P8*P2 =P8*P2 + P8*~P2 = P8*(P2+~P2)=P8*1 =P8
Bo:
p+0 =p - prawo algebry Boole’a
P8*~P2=0 - patrz zdjęcie T1
Wyciągnięcie P8 przed nawias
p+~p=1
p*1=p
Prawa strona 3:
P: P8*P2 + D: ~P8*P2 = P2*(P8+~P8) = P2*1 = P2
Komentarz:
wyciągnięcie P2 przed nawias
prawa algebry Boole'a: p+~p=1, p*1=p
Stąd mamy:
A: P8*P2 => A: P8*P2 + D: ~P8*P2 [=] WW: P8=>P2
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
3.3 Algorytm Puchacza
Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"
Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach/zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q dla zdarzeń, albo elementem wspólnym p~~>~q=p*~q dla zbiorów
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>
Kod: |
T0R
Rozszerzona tabela matematycznych związków warunków wystarczających =>
i koniecznych ~> dla potrzeb przykładów:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =? = 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =? = 4:~q=>~p=?
A': 1: p~~>~q=? 4:~q~~>p=?
## ## ## ##
B: 1: p~> q =? = 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =? = 4:~q~>~p=?
B': 2:~p~~>q=? 3: q~~>~p=?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawo Kłapouchego (pkt. 2.7):
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego.
Algorytm Puchacza (pkt. 2.11):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.
5.
Prawo Puchacza (pkt. 2.10.1):
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza.
Rozłączne operatory implikacyjne to:
a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1)
b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1)
d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1)
e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1)
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
7.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia
Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie.
3.4 Sztandarowy przykład implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach
Typowe zadania z logiki matematycznej rozwiązujemy korzystając z algorytmu Puchacza.
Typowe zadanie w algebrze Kubusia brzmi.
Zadanie W1:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli jutro będzie padało to może być pochmurno
Rozwiązanie:
Sprawdzamy warunek konieczny stosowalności algorytmu Puchacza, czyli spełnienie punktu 4 w algorytmie Puchacza.
1.
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Istnieje związek między padaniem a chmurami, zatem wspólna dziedzina dla p i q jest spełniona.
Dziedzina matematyczna Dm to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń rozłącznych bez analizy prawdziwości/fałszywości tych zdarzeń.
Dm=P*CH + P*~CH + ~P*~CH + ~P*CH
Dziedzina fizyczna D to zbiór zdarzeń fizycznie możliwych, jakie jutro mogą zajść.
Dziedzina fizyczna D wyskoczy nam w czasie analizy matematycznej zdania wypowiedzianego W1
3.
Zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt. 12.2)
p= P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "pada" (P)
q= CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "są chmury" (CH)
~p= ~P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "nie pada" (~P)
~q= ~CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "nie ma chmur" (~CH)
4.
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza
Analiza podstawowa (punkty 6 i 7 w algorytmie Puchacza):
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów/zdarzeń (pkt 2.8.1 i 2.8.2):
W algebrze Kubusia w zbiorach/zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów
Nasze zdanie:
W1.
Jeśli jutro będzie padało to może być pochmurno
6.
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => A1.
A1.
Twierdzenie proste:
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
A1: P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH), bo zawsze gdy pada, są chmury
To jest dowód na poziomie 5-cio latka.
Na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => [=] relacja podzbioru =>
Dowód alternatywny na poziomie ucznia I klasy LO to wykazanie iż zdarzenia P(pada) jest podzbiorem => zdarzenia CH(chmury)
Dowód taki mamy w punkcie 3.2.4.
7.
Dla rozstrzygnięcia w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie W1 musimy zbadać prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Wybieramy zdanie B1 kodowane warunkiem koniecznym ~>:
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH=0
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Dowód wprost:
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
cnd
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód to zdania A1 i B1 wyżej.
Różność matematyczną zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wplecionych w treść zdań.
A1: p=>q=~p+q ## B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Na mocy prawa Słonia mamy:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Dowód alternatywny fałszywości zdania B1: P~>CH to wykazanie, iż zdarzenie P(pada) nie jest (=0) nadzbiorem ~> zdarzenia CH(chmury):
Kod: |
T1
Zdjęcie układu dla zdania B1 w zapisie aktualnym (przykład)
A: P~~> CH=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie: pada(P) i są chmury(CH)
B: P~~>~CH=0 -niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada(P) i nie ma chmur(~CH)
C:~P~~>~CH=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada(~P) i nie ma chmur(~CH)
D:~P~~> CH=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada(~P) i są chmury(CH)
|
Doskonale widać, że zrobienie poprawnego zdjęcia układu dla zdania B1 to matematyczny poziom 5-cio latka.
Dowód:
1.
Prawo Orła dla B1:
p*(q+~q) ~> q*(p+~p)
p=P (pada)
q=CH (chmury)
W przełożeniu na zapis aktualny mamy:
P*(CH+~CH) ~> CH*(P+~P)
2.
Stąd po wymnożeniu wielomianów mamy:
P*CH + P*~CH ~> P*CH + ~P*CH - bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny
Ze zdjęcia T1 układu odczytujemy:
B: P~~>~CH = P*~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Prawo algebry Boole'a:
x+0=x
Stąd mamy:
3.
P*CH ~> P*CH + ~P*CH =0
Doskonale widać, że zdarzenie P*CH nie jest (=0) nadzbiorem ~> zdarzenia (P*CH + ~P*CH)
cnd
Podsumowanie:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1: P=>CH=1 i fałszywość warunku koniecznego B1: P~>CH=0 wymusza definicję implikacji prostej A1B1: P|=>CH.
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1
Nasz przykład:
A1B1:
Definicja implikacji prostej P|=>CH w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Implikacja prosta P|=>CH w logice dodatniej (bo CH) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH =1 - padanie (P) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH =0 - padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (CH)
Stąd mamy:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1=1
Gdzie:
p = P(pada)
q = CH(chmury)
W tym momencie mamy kompletną tabelę implikacji prostej A1B1: P|=>CH uzupełnioną definicją kontrprzykładu ~~> działającą wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Kod: |
IP.
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*(0)=1*1=1
Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Implikacja prosta P|=>CH w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: P=>CH=1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH=0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: (P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q =0 [=] 4:~q~~>p =0
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=P, q=CH
A: 1: P=>CH =1 = 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P =1 = 4:~CH=>~P=1
A': 1: P~~>~CH=0 [=] 4:~CH~~>P=0
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=P, q=CH
B: 1: P~>CH =0 = 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=>P =0 = 4:~CH~>~P=0
B': 2:~P~~>CH=1 [=] 3: CH~~>~P=1
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii A
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań w linii B
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem na mocy praw Sowy mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.
3.4.1 Operator implikacji prostej P||=>CH
Operator implikacji prostej P||=>CH w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Operator implikacji prostej P||=>CH to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o padanie (P) i nie padanie (~P)
Kolumna A1B1:
A1B1: P|=>CH = (A1: (P=>CH)*~(B1: P~>CH) - co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)?
Kolumna A2B2
A2B2: ~P|~>~CH = (A2: ~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH) - co może być jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: P=>CH=1 - padanie (P) jest (=1) wystarczające > dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH =0 - padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (CH)
Stąd:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (A1: P=>CH=1) , ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (B1: P~>CH=0)
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
A1'
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy warunek wystarczający A1: P=>CH=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1': P~~>~CH=0 ( i odwrotnie).
… a jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Idziemy do kolumny A2B2.
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~P~>~CH =1 - brak opadów (~P) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla braku chmur (~CH)
B2: ~P=>~CH =0 - brak opadów (~P) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => braku chmur (~CH)
A2B2: ~P|~>~CH = (A2:~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH) = 1*~(0)=1*1=1
Całość czytamy:
Implikacja odwrotna ~P|~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy brak opadów jest (=1) warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (A1: ~P~>~CH=1), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => by nie było pochmurno (B2: ~P=>~CH)=0)
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
A2
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno (~CH) bo jak pada (P) to na 100% => jest pochmurno (CH)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
lub
B2'.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH =~P*CH=1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Dowód wprost:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P) i jest pochmurno (CH)
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość warunku wystarczającego B2: ~P=>~CH=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2': ~P~~>CH=1 (i odwrotnie)
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej P||=>CH jest gwarancja matematyczna => po stronie P (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P (zdania A2 i B2’) .
Innymi słowy:
1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno (CH) - mówi o tym zdanie A1
2.
Natomiast:
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania A2 i B2’
Czyli:
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH) o czym mówi zdanie A2 albo może ~~> być pochmurno (CH) na mocy zdania B2'
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~P||~>~CH to układ równań logicznych:
A2B2: ~P|~>~CH = (A2:~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH) - co może się wydarzyć jeśli nie będzie padało?
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) - co może się wydarzyć jeśli będzie padało
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~P||~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej P||=>CH w logice dodatniej (bo CH) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
3.5 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza
Przykładowe zadania w których koniec końców wylądujemy w operatorze implikacji prostej P||=>CH mogą być następujące.
3.5.1 Zdanie W1: P~~>CH
Zadanie W1
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W1.
Jeśli jutro będzie padało to może być pochmurno
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 3.4 i 3.4.1.
W punkcie 3.4.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W1.
Dokładnego odpowiednika nie ma ale ..
Rozwiązanie zadania W1:
W1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> być pochmurno (CH)
P~~>CH = P*CH =1
To samo w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: pada (P) i jest pochmurno (CH)
Dla udowodnienia prawdziwości zdarzenia kodowanego zdarzeniem możliwym ~~> wystarczy pokazać jeden taki przypadek. Nie analizujemy tu, czy padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => czy też koniecznym ~> dla istnienia chmur (CH)
W punkcie 3.4.1 widzimy, że zachodzi warunek wystarczający A1.
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W1: P~~>CH jest częścią warunku wystarczającego => A1: P=>CH, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
Kod: |
Pojedyńcze zdarzenie ~~> W1: ## Warunek wystarczający => A1:
W1: P~~>CH=P*CH =1 ## A1: P=>CH =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W1: P~~>CH jest pojedynczym iterowaniem dla warunku wystarczającego A1: P=>CH.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie A1: P=>CH wchodzi w skład operatora implikacji prostej P||=>CH i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
3.5.2 Zdanie W2: P=>CH
Zadanie W2
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W2.
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Z analizy matematycznej w punkcie 3.4.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W2=A1:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Padanie (P) jest wystarczające => dla istnienia chmur (CH) bo zawsze gdy pada, są chmury.
cnd
Uwaga:
W logice matematycznej warunek wystarczający => jest domyślny.
Stąd zachodzi tożsamość zdań W2=A1.
Rozwiązanie:
Warunek wystarczający W2=A1: P=>CH jest częścią operatora implikacji prostej P||=>CH i na mocy prawa Puchacza nie może być częścią jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p||?q.
3.5.3 Zdanie W3: P~~>~CH
Zadanie W3
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W3.
Jeśli jutro będzie padało to może nie być pochmurno
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 3.4 i 3.4.1.
W punkcie 3.4.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W3=A1'
A1'
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Podsumowanie:
1.
Fałszywe zdanie wypowiedziane A1': P~~>~CH=0 to kontrprzykład A1' dla prawdziwego warunku wystarczającego A1: P=>CH=1.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie W3=A1' wchodzi w skład operatora implikacji prostej P||=>CH i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
3.5.4 Zdanie W4: ~P~~>~CH
Zadanie W4
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W4.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 3.4 i 3.4.1.
W punkcie 3.4.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W4.
Jak widzimy, nie ma 100% odpowiednika zdania W4, ale …
Analiza W4:
W4.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
~P~~>~CH = ~P*~CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P) i nie jest pochmurno (~CH)
cnd
Dla udowodnienie prawdziwości zdania W4 kodowanego zdarzeniem możliwym ~~> wystarczy zaobserwować jeden taki przypadek co kończy dowód prawdziwości zdania W4. Nie wnikamy tu czy brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> czy też wystarczającym => dla braku chmur.
W punkcie 3.4.1 widzimy, że prawdziwe jest tu zdanie A2 ze spełnionym warunkiem koniecznym.
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno (~CH) bo jak pada (P) to na 100% => jest pochmurno (CH)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W4: ~P~~>~CH kodowane zdarzeniem możliwym ~~> jest częścią warunku koniecznego A2: ~P~>~CH, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
Kod: |
Pojedyńcze zdarzenie ~~> W4: ## Warunek konieczny ~> A2:
W4:~P~~>~CH=~P*~CH =1 ## A2:~P~>~CH =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W4: ~P~~>~CH jest pojedynczym iterowaniem dla warunku koniecznego A2: ~P~>~CH
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie A2: ~P~>~CH ze spełnionym warunkiem koniecznym ~> wchodzi w skład operatora implikacji prostej P||=>CH i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
3.5.5 Zdanie W5: ~P~>~CH
Zadanie W5
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane W5.
W5.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
Powyższe zdanie można zakodować zdarzeniem możliwym ~~> co zrobiliśmy wyżej:
~P~~>~CH = ~P*~CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P) i nie jest pochmurno (~CH)
Równie dobrze zdanie W5 możemy zakodować warunkiem koniecznym ~>, czym zajmiemy się teraz.
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 3.4 i 3.4.1.
W punkcie 3.4.1 widzimy, że prawdziwe jest tu zdanie W5=A2 ze spełnionym warunkiem koniecznym.
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno (~CH) bo jak pada (P) to na 100% => jest pochmurno (CH)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
Podsumowanie:
Na mocy prawa Puchacza warunek konieczny A2:~P~>~CH wchodzi w skład operatora implikacji prostej P||=>CH i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
3.5.6 Zdanie W6: ~P~~>CH
Zadanie W6
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W6.
Jeśli jutro nie będzie padało to może być pochmurno
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 3.4 i 3.4.1.
W punkcie 3.4.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W6=B2'
B2'.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH =~P*CH=1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Dowód wprost:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P) i jest pochmurno (CH)
Dowód "nie wprost":
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P=>~CH=0 na mocy definicji kontrprzykładu daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości kontrprzykładu B2’
Podsumowanie:
1.
Zdanie wypowiedziane W6=B2': ~P~~>CH=1 jest prawdziwym kontrprzykładem B2' dla fałszywego warunku wystarczającego B2: ~P=>~CH=0
2.
Na mocy prawa Puchacza prawdziwe zdanie W6=B2': ~P~~>CH wchodzi w skład operatora implikacji prostej P||=>CH i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
3.5.7 Zdanie W7: ~P=>~CH
Zauważmy, że algorytm Puchacza umożliwia korektę niektórych zdań fałszywych tzn. mówi nam jak powinno być wypowiedziane zdanie fałszywe, by stało się zdaniem prawdziwym.
Zadanie W7
W7.
Jeśli jutro nie będzie padało to na 100% => nie będzie pochmurno
~P=>~CH =0
Brak opadów (~P) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla braku chmur (~CH), bo nie zawsze gdy nie pada, nie ma chmur.
cnd
W punkcie 3.4.1 widzimy, że istnieje prawdziwe zdanie A2 analogiczne do zdania W7
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno (~CH) bo jak pada (P) to na 100% => jest pochmurno (CH)
Korekta została znaleziona.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 20:56, 24 Gru 2023, w całości zmieniany 57 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Sob 21:43, 24 Gru 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
3.6 Definicja obietnicy
Spis treści
3.6 Definicja obietnicy E=>K 1
3.6.1 Operator implikacji prostej E||=>K 4
3.6.2 Prawo transformacji w obietnicy 7
3.6.3 Prawo Kłapouchego w obietnicy 12
3.7 Wyjaśnienie definicji "wolnej woli" istot żywych 13
3.8 Obietnica w równaniach logicznych 14
3.9 Rodzaje obietnic 16
3.10 Obietnica W=>Z 17
3.10.1 Operator implikacji prostej W||=>Z 19
3.10.2 Kluczowe dialogi Chrystusa z człowiekiem 22
3.10.3 Algebra Kubusia = Biblia 23
3.11 Interpretacja obietnicy wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 24
3.6 Definicja obietnicy E=>K
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I.
Najbardziej spektakularnym zastosowaniem definicji implikacji prostej p|=>q w świecie żywym jest definicja obietnicy.
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę N.
W poprzedniku musi być jasno sprecyzowany warunek otrzymania nagrody N.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=1), ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=0)
##
II.
Najbardziej spektakularnym zastosowaniem definicji implikacji odwrotnej p|~>q w świecie żywym jest definicja groźby.
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę. Oczywiście, w poprzedniku musimy mieć jasno sprecyzowany warunek wykonania kary.
Matematyczną obsługą groźby zajmiemy się za chwilkę w pkt. 4.6
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=1), ale nie jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dowód:
Definicja implikacji prostej Y=(p|=>q) = ~p*q ## Definicja implikacji odwrotnej Y=(p|~>q) = p*~q
cnd
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y w tej samej logice (tu dodatniej bo Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy prawe strony tych funkcji nie są tożsame
Wyprowadzenie definicji implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) znajdziemy w punkcie 2.10
Sztandarowy przykład obietnicy:
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E) to dostaniesz komputer (K)
E=>K =1
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p=E(egzamin)
q=K(komputer)
Stąd w zapisach formalnych mamy:
p=>q =1
Dostanie komputera to nagroda, zatem warunek wystarczający A1: E=>K z definicji jest częścią implikacji prostej E|=>K. Warunek otrzymania nagrody precyzuje poprzednik p=E (zdasz egzamin)
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.
Definicja podstawowa implikacji prostej E|=>K:
Implikacja prosta E|=>K to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1.
Zdanie egzaminu (E=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla otrzymania komputera (K=1)
A1: E=>K =1
To samo w zapisach formalnych:
A1: p=>q =~p+q =1
##
Zdeterminowany definicją obietnicy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami jest fałszem:
B1.
Zdanie egzaminu (E=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla dostania komputera (K=1)
B1: E~>K =0
to samo w zapisach formalnych:
B1: p~>q =p+~q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Stąd definicja implikacji prostej E|=>K w równaniu logicznym:
A1B1: E|=>K = (A1: E=>K)*~(B1: E~>K) =1*~(0)=1*1=1
To samo w zapisach formalnych:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Podstawmy nasz przykład do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Kod: |
IP.
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym {p, q}:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*(0)=1*1=1
Nasz przykład:
A1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=E (egzamin)
q=K (komputer)
A1: E=>K=1 - zdanie egzaminu jest wystarczające => dla dostania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest (=0) konieczne dla dostania komputera
A1B1: E|=>K = (A1: E=>K)*~(E~>K)=1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p=1
A': 1: p~~>~q =0 [=] 4:~q~~>p=0
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=E, q=K
A: 1: E=>K =1 = 2:~E~>~K=1 [=] 3: K~>E =1 = 4:~K=>~E=1
A': 1: E~~>~K=0 [=] 4:~K~~>E=0
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=E, q=K
B: 1: E~>K =0 = 2:~E=>~K=0 [=] 3: K=>E =0 = 4:~K~>~E =0
B': 2:~E~~>K=1 [=] 3: K~~>~E=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
3.6.1 Operator implikacji prostej E||=>K
Operator implikacji prostej E||=>K w logice dodatniej (bo K) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedzi na pytania o zdany egzamin E (A1B1) i nie zdany egzamin ~E (A2B2)
Kolumna A1B1:
A1B1: E|=>K =(A1: K=>K)* ~(B1: E~>K) - co się stanie jeśli zdam egzamin (E=1)?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~E|~>~K =(A2:~E~>~K)*~(B2:~E=>~K) - co się stanie jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)?
A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zdam egzamin (E=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: E=>K =1 - zdanie egzaminu (E=1) jest (=1) wystarczające => dla dostania komputera (K=1)
B1: E~>K =0 - zdanie egzaminu (E=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla dostania komputera (K=1)
A1B1: E|=>K =(A1: E=>K)* ~(B1: E~>K) - co się stanie jeśli zdam egzamin (E=1)?
Prawą stronę czytamy:
Zdanie egzaminu jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera (A1: E=>K=1), ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla dostania komputera (B1: E~>K=0)
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera z powodu zdanego egzaminu.
Zdanie egzaminu daje nam gwarancje matematyczną => dostania komputera z powodu zdanego egzaminu
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>.
Znaczek warunku wystarczającego => nie wyklucza dostania komputera z dowolnego innego powodu. Dostanie komputera z innego powodu będzie miało zero wspólnego z obietnicą A1: E=>K, tzn. nie będzie dotyczyć tej konkretnej obietnicy A1: E=>K.
Matematycznie:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => = pewność 100% => etc
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to możesz ~~> nie dostać komputera (~K=1)
E~~>~K = E*~K=0
to samo w zapisach formalnych:
p~~>~q = p*~q =0
Nie może się zdarzyć (=0), że zdam egzamin (E=1) i nie dostanę komputera (~K=1).
W świecie martwym (i w matematyce) kontrprzykład A1’ jest twardym fałszem którego świat martwy nie jest w stanie złamać.
W świecie żywym, mającym „wolną wolę”, ojciec może kłamać do woli, czyli syn może zdać egzamin a ojciec z premedytacją może nie dać mu komputera. W tym przypadku ojciec jest kłamcą o czym wszyscy wiedzą, od 5-cio latka poczynając.
Tylko tyle i aż tyle rozstrzyga w obietnicy matematyka ścisła, algebra Kubusia.
… a jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)?
Prawo Kubusia:
A1: E=>K = A2: ~E~>~K
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2
A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~E~>~K =1 - nie zdanie egzaminu jest (=1) warunkiem koniecznym ~> nie dostania komputera
B2: ~E=>~K =0 - nie zdanie egzaminu nie jest (=0) warunkiem wystarczającym =>
dla nie dostania komputera
A2B2: ~E|~>~K =(A2:~E~>~K)*~(B2:~E=>~K) - co się stanie jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)?
Prawą stronę czytamy:
Nie zdanie egzaminu jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie dostania komputera (A2: ~E~>~K=1), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla nie dostania komputera (B2: ~E=>~K=0)
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to na 100% ~> nie dostaniesz komputera (~K=1)
~E~>~K =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Nie zdanie egzaminu (~E=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie dostania komputera (~K=1) bo jak zdam egzamin (E=1) to na 100% => dostanę komputer (K=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~E~>~K = A1: E=>K
Zauważmy, że zdanie A2 ojciec może wypowiedzieć w dowolnie ostry sposób, jednak na mocy definicji obietnicy A1: E=>K będącej częścią implikacji prostej E|=>K zdanie A2 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością wręczenia komputera nawet gdy syn nie zda egzaminu , o czym mówi zdanie B2’.
LUB
Fałszywy warunek wystarczający => B2: ~E=>~K=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie):
B2’.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to możesz ~~> dostać komputer (K=1)
~E~~>K = ~E*K =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Może się zdarzyć (=1), że nie zdam egzaminu (~E=1) i dostanę komputer (K=1)
Zdanie B2’ to piękny "akt miłości" w stosunku do obietnicy A1, czyli prawo do wręczenia nagrody (tu komputera) mimo że syn nie spełnił warunku nagrody (tu nie zdał egzaminu)
Zdanie B2’ to także piękny „akt łaski” w stosunku do groźby A2: ~E~>~K=1, czyli prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy.
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej E||=>K jest gwarancja matematyczna => po stronie E (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~E (zdania A2 i B2’) .
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~E||~>~K to układ równań logicznych:
A2B2:~E|~>~K=(A2:~E~>~K)*~(B2:~E=>~K) - co się stanie jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)
A1B1: E|=>K=(A1: E=>K)*~(B1: E~>K) - co się stanie jeśli zdam egzamin (E=1)
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~E||~>~K w logice ujemnej (bo ~K) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej E||=>K w logice dodatniej (bo K) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Komentarz do zdania A2:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to na 100% ~> nie dostaniesz komputera (~K=1)
A2: ~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu (~E=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie dostana komputera (~K=1)
Zdanie tożsame:
A21.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to możesz ~> nie dostać komputera (~K=1)
A21: ~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu (~E=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie dostana komputera (~K=1)
Zauważmy, że zdanie A2 jest ewidentną groźbą, zaś wszelkie groźby na mocy definicji musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością darowania kary opisanym prawdziwym kontrprzykładem B2’.
Dlaczego zachodzi tożsamość zdań?
A2: ~E~>~K = A21: ~E~>~K?
Wynika to z definicji obietnicy A1: E=>K zgodnie z którą zdanie A2=A21 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z prawem do "aktu miłości" względem obietnicy A1 wyrażonym prawdziwym kontrprzykładem B2’, niezależnie od tego w jak ostrej formie groźba A2=A21 będzie wyrażona.
Zauważmy, że w groźbie nadawca ma prawo do blefowania, czyli może wypowiedzieć groźbę w dowolnie ostry sposób. Z faktu iż nadawca w chwili wypowiadania groźby nie zamierza jej wykonać (blef - o czym odbiorca nie wie) nie wynika iż finalnie nadawca nie może zmienić zdania i zapowiedzianą groźbę wykonać.
3.6.2 Prawo transformacji w obietnicy
Prawo transformacji w obietnicy:
W obietnicach „Jeśli p to q” z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie warunkowe „Jeśli q to p” ulega transformacji do czasu przeszłego.
Wyprowadzenie prawa transformacji w obietnicy
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Spełnienie warunku otrzymania nagrody W jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania tej nagrody N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.
W poprzedniku musimy mieć warunek otrzymania nagrody.
Definicja obietnicy w zapisach formalnych:
Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q
p=>q =1
Spełnienie przyczyny p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia skutku q
Dowolna obietnica to warunek wystarczający p=>q wchodzący w skład implikacji prostej p|=>q.
Weźmy tabelę prawdy naszej obietnicy:
A1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
Zdanie egzaminu (E) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera (K)
Kod: |
IP - diagram obietnicy p=>q
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym {p, q}:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*(0)=1*1=1
Nasz przykład:
A1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=E (egzamin)
q=K (komputer)
A1: E=>K=1 - zdanie egzaminu jest wystarczające => dla dostania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest (=0) konieczne dla dostania komputera
A1B1: E|=>K = (A1: E=>K)*~(E~>K)=1*~(0)=1*1=1
Prawo transformacji w obietnicy:
Po zamianie przyczyny p i skutku q
przyszłość A1: p=>q transformuje się do przeszłości A3”: q~>p
A1: p=>q =1 - przyszłość | A3”: q~>p =1 - przeszłość
A1”: p=>q =1 - przeszłość |
Nasz przykład:
A1: E=>K =1 - przyszłość | A3”: K~>E =1 - przeszłość
A1”: E=>K =1 - przeszłość
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p=1
A': 1: p~~>~q =0 [=] 4:~q~~>p=0
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=E, q=K
A: 1: E=>K =1 = 2:~E~>~K=1 [=] 3: K~>E =1 = 4:~K=>~E=1
A': 1: E~~>~K=0 [=] 4:~K~~>E=0
## ## ## ##
B3””: q=>p =0 - zakaz zamiany przyczyny p ze skutkiem q w czasie przyszłym
Nasz przykład:
B3””: K=>E =0 - zakaz zamiany przyczyny p ze skutkiem q w czasie przyszłym
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=E, q=K
B: 1: E~>K =0 = 2:~E=>~K=0 [=] 3: K=>E =0 = 4:~K~>~E =0
B': 2:~E~~>K=1 [=] 3: K~~>~E=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo transformacji w obietnicy:
W obietnicach „Jeśli p to q” z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie warunkowe „Jeśli q to p” ulega transformacji do czasu przeszłego.
Zauważmy, że o obietnicach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego.
Definicja świata żywego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej.
Definicja „wolnej woli” istot żywych:
„Wolna wola” istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).
Definicja obietnicy w zapisach formalnych:
Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q
p=>q =1
Spełnienie przyczyny p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia skutku q
Dowolna obietnica to warunek wystarczający p=>q wchodzący w skład implikacji prostej p|=>q.
Dowolna obietnica to matematyczny opis przyszłości:
A1.
Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Czas nie może biec wstecz z czego wynika, że niedozwolona jest tu zamiana przyczyny p ze skutkiem q w czasie przyszłym.
B3””.
Jeśli zajdzie skutek q to zajdzie przyczyna p
q=>p =0
Zajście skutku q nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia przyczyny p
Zauważmy, że dozwolona jest zamiana przyczyny p ze skutkiem q w czasie przeszłym, gdzie wszystko jest zdeterminowane:
A3”.
Jeśli zaszedł skutek q to mogła ~> zajść przyczyna p
q~>p =1
Zajście skutku q było warunkiem koniecznym ~> dla zajścia przyczyny p
To jest najprostsze uzasadnienie formalne (ogólne) prawa transformacji w obietnicy.
Uwaga na standard w algebrze Kubusia w obietnicach i groźbach:
Znaczek (””) oznacza zabronioną zamianę przyczyny p ze skutkiem q w czasie przyszłym
Znaczek (”) oznacza dozwoloną zamianę przyczyny p ze skutkiem q w czasie przeszłym
Nasz przykład:
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy A1: E=>K musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę, q=(komputer)
W poprzedniku p musi być warunek otrzymania tej nagrody, p=E(egzamin)
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej E|=>K.
Zobaczmy jak działa prawo transformacji w obietnicy na przykładzie.
Nasz przykład:
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E) to dostaniesz komputer (K)
E=>K =1
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=E (egzamin)
q=K (komputer)
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Zdanie egzaminu (E) jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera (K)
Następnik q jest tu ewidentną nagrodą, zatem zdanie A1 musimy kodować zgodnie z definicją obietnicy warunkiem wystarczającym A1: E=>K wchodzącym w skład implikacji prostej A1B1: E|=>K.
Spełniony warunek wystarczający => A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’
A1’.
Jeśli zdasz egzamin (E) to możesz ~~> nie dostać komputera (~K)
E~~>~K = E*~K =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q=p*~q =0
Nie może się zdarzyć (=0), że zdam egzamin (E) i nie dostanę komputera (~K)
Uwaga:
W świecie żywym mającym „wolną wolę” może się zdarzyć że zdam egzamin (E=1) a ojciec z premedytacją nie da mi komputera (~K=1). W tym przypadku ojciec będzie kłamcą o czym wie każdy 5-cio latek.
Prawo transformacji w obietnicy:
W obietnicach „Jeśli p to q” z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie warunkowe „Jeśli q to p” ulega transformacji do czasu przeszłego.
Na mocy prawa transformacji zdanie A4” w czasie przeszłym przyjmuje postać.
A4”.
Jeśli nie dostałeś komputera (~K=1) to na 100% => nie zdałeś egzaminu (~E=1)
~K=>~E =1
To samo w zapisach formalnych:
~q=>~p =1
Ojciec miał prawo nie kupić komputera jeśli syn nie zdał egzaminu i z tego prawa tu skorzystał.
Zauważmy, że jeśli syn zdał egzamin to na 100% => dostał komputer.
Możemy też powiedzieć tak:
A4"
Jeśli nie dostałeś komputera, to z tego faktu wnioskuję, iż na 100% => nie zdałeś egzaminu, bo gdybyś zdał egzamin to na 100% => miałbyś komputer.
Prawo kontrapozycji w czasie przeszłym samo nam tu wyskoczyło:
A4”: ~K=>~E = A1”: E=>K
Zdanie A1” w czasie przeszłym przyjmuje brzmienie:
A1”.
Jeśli zdałeś egzamin (E=1) to na 100% => dostałeś komputer (K=1)
E=>K =1
Komentarz:
1.
Wypowiedzmy zdanie A4 z powyższej tabeli prawdy w czasie przyszłym:
A4.
Jeśli nie dostaniesz komputera (~K) to na 100% => nie zdasz egzaminu (~E)
~K=>~E=1
To samo w zapisie formalnym:
A4: ~q=>~p=1
Zauważmy, że mamy tu kwadraturę koła:
Matematycznie zdanie A4 zmusza ojca do dania komputera przed egzaminem, bo jak tego nie zrobi to syn na 100% => nie zda egzaminu, czyli mamy bzdurę.
Opisane wyżej prawo transformacji w obietnicy ratuje nam logikę matematyczną, czyniąc ją sensowną.
2.
Dosadny przykład konieczności stosowania prawa transformacji we wszelkich obietnicach:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to otworzę parasol
P=>OP =1
To samo w zapisach formalnych:
p=>q =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla otwarcia parasola
Prawo kontrapozycji:
A1: P=>OP = A4: ~OP=>~P
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
stąd w czasie przyszłym mamy "logikę" z której śmiać się będzie każdy 5-cio latek.
A4.
Jeśli jutro nie otworzę parasola to na 100% => nie będzie padało
~OP=>~P =1
To samo w zapisach formalnych:
A4: ~q=>~p =1
Brak otwarcia parasola w dniu jutrzejszym daje nam gwarancję matematyczną => braku deszczu.
Jak widzimy logika matematyczna bez prawa transformacji w obietnicy "leży i kwiczy", czyli ma zerowy związek z rzeczywistością.
Zauważmy, że po zastosowaniu prawa transformacji zdanie A4” w czasie przeszłym brzmi:
A4”.
Jeśli wczoraj nie otworzyłem parasola to na 100% => nie padało
~OP=>~P =1
To samo w zapisach formalnych:
A4”: ~q=>~p =1
Brak otwarcia parasola (~OP) w dniu wczorajszym => jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania iż wczoraj nie padało (~P), bo jeśli padało (P) to na 100% => otworzyłem parasol (OP)
Prawo Kubusia w czasie przeszłym samo nam tu wyskoczyło:
A4”: ~OP=>~P [=] A1”: P=>OP
To samo w zapisach formalnych:
A4”: ~q=>~p [=] A1”: p=>q
Zdanie A1” w czasie przeszłym brzmi:
A1”.
Jeśli wczoraj padało to na 100% => otworzyłem parasol
P=>OP =1
Padanie było (=1) warunkiem wystarczającym => dla otwarcia parasola
Podsumowując:
Tylko i wyłącznie dzięki prawu transformacji w obietnicy w logice matematycznej nie dochodzi do paradoksów wyżej opisanych
3.6.3 Prawo Kłapouchego w obietnicy
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Dowolna obietnica to z definicji czas przyszły.
A1.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
W zapisie formalnym na mocy prawa Kłapouchego:
p=>q
Zdanie egzaminu (p=przyczyna) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla dostanie komputera (q=skutek)
Prawo Kłapouchego zabrania nam zamiany przyczyny ze skutkiem w czasie przyszłym.
Nie możemy powiedzieć:
B3"”.
Jeśli dostaniesz komputer to zdasz egzamin
K=>E=0
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=K (komputer) - przyczyna
q=E (egzamin) - skutek
Na mocy prawa Kłapouchego to zdanie w czasie przyszłym jest fałszem bo dostanie komputera nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zdania egzaminu
Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
W obietnicach i groźbach znaczek (””) oznacza zabronienie zamiany przyczyny ze skutkiem w czasie przyszłym.
Nasz przykład:
W obietnicy A1 poprawny jest tylko i wyłącznie jeden punkt odniesienia:
p=E(egzamin) - przyczyna
q=K(komputer) - skutek
3.7 Wyjaśnienie definicji "wolnej woli" istot żywych
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Porównanie operatora implikacji prostej P||=>CH ze świata martwego (punkt 3.3.1) i operatora implikacji prostej E||=>K ze świata żywego (punkt 3.6.1) w kwestii możliwości ustawienia jedynki w kluczowym w obu przypadkach zdaniu A1'.
I.
Świat martwy:
Jedynym zdaniem fałszywym w całej analizie operatora implikacji prostej P||=>CH (punkt 3.3.1) w świecie martwym jest zdanie A1'
A1'
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Innymi słowy:
Fałszem jest (=0), że możliwe jest zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Zauważmy, że świat martwy nie jest w stanie zgwałcić logiki matematycznej pod którą sam podlega i ustawić w zdaniu A1' jedynki
Natomiast świat żywy bez problemu w zdaniu A1' ustawi jedynkę.
II.
Świat żywy:
Jedynym zdaniem fałszywym w całej analizie operatora implikacji prostej E||=>K (punkt 3.6.1) w świecie żywym jest zdanie A1'
A1’.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to możesz ~~> nie dostać komputera (~K=1)
E~~>~K = E*~K=0
Czytamy:
Nie może się zdarzyć (=0), że zdam egzamin (E=1) i nie dostanę komputera (~K=1).
Innymi słowy:
Fałszem jest (=0), że możliwe jest zdarzenie: zdam egzamin (E=1) i nie dostanę komputera (~K=1)
W świecie martwym (i w matematyce) kontrprzykład A1’ jest twardym fałszem którego świat martwy nie jest w stanie złamać.
W świecie żywym, mającym „wolną wolę”, ojciec może kłamać do woli ustawiając jedynkę w zdaniu A1', czyli syn może zdać egzamin a ojciec z premedytacją może nie dać mu komputera.
W tym przypadku ojciec jest kłamcą o czym wszyscy wiedzą od 5-cio latka poczynając.
Tylko tyle i aż tyle rozstrzyga w obietnicy matematyka ścisła, algebra Kubusia.
Dowód iż w zdaniu A1' wyłącznie świat żywy może ustawić logiczną jedynkę:
A1’.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to możesz ~~> nie dostać komputera (~K=1)
E~~>~K = E*~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że możliwe jest zdarzenie: zdam egzamin (E=1) i nie dostanę komputera (~K=1).
Mam nadzieję, że w tym momencie wszyscy rozumiemy poniższą definicję "wolnej woli" dotyczącą wyłącznie świata żywego (w tym człowieka)
Definicja świata żywego:
W zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy do czynienia ze światem żywym wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość/fałszywość poprzednika p lub następnika q zależy od „wolnej woli” istoty żywej.
Stąd mamy:
Definicja "wolnej woli" istot żywych:
"Wolna wola" to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy (w tym przez matematykę)
Oczywiście definicja „wolnej woli” dotyczy wyłącznie istot żywych.
Świat martwy (w tym matematyka) nie jest w stanie zgwałcić logiki matematycznej (algebry Kubusia) którą sam wyznacza i pod którą sam podlega.
3.8 Obietnica w równaniach logicznych
Poniższy dowód zaprezentowałem w początkach rozszyfrowywania algebry Kubusia, gdzie znałem już poprawne definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> oraz prawa Kubusia, ale jeszcze nie znałem kluczowej definicji kontrprzykładu (z AK) i zdarzenia możliwego ~~>. Od tego momentu nie miałem wyjścia, musiałem rozszyfrować algebrę Kubusia.
Zastosujmy świętą zasadę algebry Boole’a „Jak się mówi tak się pisze” doskonale znaną wszystkim inżynierom elektronikom, ci od cyfrowych układów logicznych.
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym => dostania nagrody
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N
Na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku mamy nagrodę.
W poprzedniku musimy mieć warunek otrzymania nagrody.
Na mocy definicji obietnicy jej obsługa jest zdeterminowana implikacją prostą W|=>N, tu nic a nic nie musimy udowadniać.
Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Dostanę nagrodę (N) gdy spełnię warunek nagrody (zdanie A1) lub gdy nadawca zdecyduje o daniu nagrody (zdanie B2’)
Wprowadźmy zmienną uznaniową nadawcy U, którą może ustawić na dowolną wartość:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody
Matematyczne równanie obietnicy:
N=W+U
Gdzie:
N=1 - mam nagrodę
N=0 - nie mam nagrody
W=1 - warunek nagrody spełniony
W=0 - warunek nagrody nie spełniony
Zmienna uznaniowa nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody
Analiza równania obietnicy:
N=W+U
Przypadek A.
W=1 - odbiorca spełnił warunek nagrody.
Równanie obietnicy przybierze wówczas postać:
N = 1+U = 1 - muszę dostać nagrodę.
Prawo algebry Boole'a:
1+x =1
W przypadku gdy odbiorca spełni warunek nagrody (W=1) nadawca nie ma wyjścia i musi dać nagrodę, inaczej jest kłamcą. Zauważmy, że nikt nie zmuszał nadawcy do obiecania czegokolwiek, że nadawca dobrowolnie obiecał nagrodę. Nie ma tu zatem mowy o jakimkolwiek ograniczeniu wolnej woli nadawcy.
Przypadek B.
W=0 - warunek nagrody nie spełniony
Równanie obietnicy przybiera postać:
N=W+U=0+U=U
Wszystko w rękach nadawcy który podejmuje decyzję o daniu nagrody zgodnie ze swoją wolną wolą, niczym nie ograniczoną.
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody
Przy niespełnionym warunku nagrody (W=0) nadawca może zrobić co mu się podoba i nie zostaje kłamcą. Większość nadawców tak czy siak da nagrodę pod byle pretekstem niezależnym (U=1 - akt miłości), ale nie musi tego robić.
Nasz przykład:
A.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Równanie obietnicy:
K = E+U
Przypadek A - egzamin zdany (E=1)
Jeśli egzamin zdany (E=1) to:
K=1+U =1 - gwarancja otrzymania komputera.
Zmienna uznaniowa nadawcy U jest tu bez znaczenia.
Przypadek B - egzamin nie zdany (E=0)
Jeśli egzamin nie zdany (E=0) to:
K=E+U = 0+U =U
Wszystko w rękach nadawcy:
U=1 - dam komputer
U=0 - nie dam komputera
1.
Akt miłości nie zaszedł:
U=0
Ojciec do synka:
Nie zdałeś egzaminu (E=0), nie dostajesz komputera (K=0) ... bo kompletnie się nie uczyłeś (U=0)
Równanie obietnicy:
K=E+U = 0+0 =0 - nie mam komputera (K=0)
2.
Akt miłości zaszedł:
U=1
Ojciec do synka:
Nie zdałeś egzaminu (E=0), dostajesz komputer (K=1) ... bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha, bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem dać ci komputer itp.
Gdzie:
U=1 - dowolne uzasadnienie niezależne.
Równanie obietnicy:
K=E+U=0+1=1 - mam komputer dzięki dobremu sercu nadawcy (akt miłości)
Podsumowując:
Nadawca może wręczyć nagrodę pod byle pretekstem, ale nie może wręczyć nagrody z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek nagrody.
Nie zdałeś egzaminu (E=0), dostajesz komputer (K=1) ... bo nie zdałeś egzaminu (U=E=0).
Równanie obietnicy:
K=E+U=0+0=0 - zakaz wręczania komputera z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu „nie zdania egzaminu” (W=U=0)
Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.
3.9 Rodzaje obietnic
1.
Obietnica z natychmiastową wykonalnością:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
… a jak nie zdam egzaminu.
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli jeśli syn nie zda egzaminu to mogę mu tego komputera nie kupić lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.
2.
Obietnica z odroczoną wykonalnością:
Kto przyjdzie jutro dostanie gotowca
J=>G
… a jak przyjdę pojutrze ?
J=>G = ~J~>~G
Oczywiście jak ktoś przyjdzie później, byle przed egzaminem to też może dostać gotowca ale nie musi. Po egzaminie ta obietnica traci sens.
3.
Obietnica w której spełnienie warunku obietnicy jest bardzo mało prawdopodobne:
Jeśli wygram milion w TOTKA to kupię ci samochód
W=>S
… a jak nie wygram w TOTKA?
Prawo Kubusia:
W=>S = ~W~>~S
Jeśli nie wygram w TOTKA to mogę ci nie kupić samochodu lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.
3.10 Obietnica W=>Z
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
W poprzedniku musi być jasno sprecyzowany warunek otrzymania nagrody.
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.
Zajmijmy się teraz kluczową obietnicą Chrystusa dzięki której już 18 lat temu zrozumiałem algebrę Kubusia. Oczywiście droga do poprawnego rozszyfrowania kompletnej algebry Kubusia była jeszcze bardzo daleka, wymagała 18 lat zaciętych dyskusji na różnych forach.
Chrystus:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z=1
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Wiara w Chrystusa daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zdanie A1 to ewidentna obietnica, bowiem w następniku mamy tu nagrodę, musimy ją zatem kodować warunkiem wystarczającym A1: W=>Z wchodzącym w skład implikacji prostej W|=>Z.
Dlaczego ta obietnica była dla mnie kluczowa w początkach rozszyfrowywania algebry Kubusia?
Odpowiedź jest prosta:
W naszym Wszechświecie Chrystus, w przeciwieństwie do człowieka, nie ma prawa do kłamstwa, czyli nie może wierzącego w niego człowieka posłać do piekła.
Natomiast człowiek w obietnicy może kłamać do woli, to woda na młyn wszelkiej maści oszustów np. wyłudzanie pieniędzy od emerytów metodą na wnuczka.
Przykład super oszusta doskonale znającego algebrę Kubusia, potrafiącego tak kłamać, by oszukać najbogatszych na 35mld USA, mamy w tym linku:
[link widoczny dla zalogowanych]
Definicja podstawowa implikacji prostej W|=>Z:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie => zbawiony
A1: W=>Z=1 - wiara w Boga jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
To samo w zapisach formalnych:
A1: p=>q = ~p+q =1
##
B1.
Kto wierzy we mnie będzie ~> zbawiony
B1: W~>Z=0 - wiara w Boga nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zbawienia
To samo w zapisach formalnych:
B1: p~>q = p+~q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego p=>q i koniecznego p~>q
Stąd:
A1B1: W|=>Z = (A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z) = 1*~(0) =1*1 =1
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Dowolna obietnica to z definicji czas przyszły, stąd w zapisie formalnym {p, q} mamy:
p=W(wierzy)
q=Z(zbawiony)
Podstawmy obietnicę Chrystusa do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q
Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {W,Z}:
A1: Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p=W (wierzy)
q=Z (zbawiony)
A1: W=>Z=1 - wiara w Boga jest (=1) warunkiem wystarczającym =>
dla zbawienia
B1: W~>Z=0 - wiara w Boga nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~>
dla zbawienia
Stąd:
A1B1: W|=>Z = (A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z) = 1*~(0) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 4:~q~~>p =0
Obietnica Chrystusa:
A: 1: W=>Z =1 = 2:~W~>~Z=1 [=] 3: Z~>W =1 = 4:~Z=>~W =1
A’: 1: W~~>~Z=0 4:~Z~~>W =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: 2:~p~~>q=1 3: q~~>~p=1
Obietnica Chrystusa:
B: 1: W~>Z =0 = 2:~W=>~Z=0 [=] 3: Z=>W =0 = 4:~Z~>~W =0
B’: 2:~W~~>Z=1 3: Z~~>~W=1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
|
3.10.1 Operator implikacji prostej W||=>Z
Definicja operatora implikacji prostej W||=>Z:
Operator implikacji prostej W||=>Z w logice dodatniej (bo Z) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedzi na pytania o wierzących (W) i niewierzących (~W):
A1B1: W|=>Z = (A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z) - co się stanie z wierzącym (W=1)?
A2B2: ~W|~>~Z =(A2:~W~>~Z)*~(B2:~W=>~Z) - co się stanie z niewierzącym (~W=1)?
A1B1.
Co może spotkać człowieka wierzącego (W=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: W=>Z=1 - wiara w Boga jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
B1: W~>Z=0 - wiara w Boga nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zbawienia
Stąd:
A1B1: W|=>Z = (A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z) = 1*~(0) =1*1 =1 - co się stanie z wierzącym (W)?
Stąd:
Jeśli wierzę w Boga (W=1) to mam gwarancję matematyczną => zbawienia (Z) - mówi o tym zdanie A1
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Kto wierzy (W) we mnie będzie zbawiony (Z)
W=>Z=1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Wiara w Chrystusa daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>.
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Kto wierzy we mnie (W) ten może ~~> nie zostać zbawiony (~Z)
W~~>~Z = W*~Z=0
to samo w zapisach formalnych:
p~~>~q = p*~q =0
Nie może się zdarzyć (=0), że wierzę w Chrystusa i nie zostanę zbawiony.
To jedyne miejsce w całej analizie obietnicy A1 gdzie Chrystus mógłby skłamać, czyli posłać wierzącego w niego człowieka do piekła.
Oczywistym jest, że w naszym Wszechświecie Chrystus z definicji nie ma prawa do kłamstwa, bo wtedy wiara w niego nie miałaby sensu.
A2B2.
Co może spotkać człowieka niewierzącego (~W=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~W~>~Z =1 - brak wiary w Boga (~W) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z)
B2: ~W=>~Z =0 - brak wiary w Boga nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla nie zbawienia
A2B2: ~W|~>~Z =(A2:~W~>~Z)*~(B2:~W=>~Z) - co się stanie z niewierzącym (~W=1)?
Stąd:
W przypadku niewierzących (~W=1) mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W) nie zostanie zbawiony (~Z)
~W~>~Z =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Brak wiary w Chrystusa (~W=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z=1) bo jak kto wierzy (W=1) to na 100% => zostanie zbawiony (Z=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~W~>~Z = A1: W=>Z
Zauważmy, ze Chrystus, podobnie jak człowiek może groźbę A2 wypowiedzieć w dowolnie ostrej formie, jednak na mocy definicji obietnicy A1: W=>Z będącej częścią implikacji prostej W|=>Z zdanie A2 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością zbawienia, o czym mówi zdanie B2’
LUB
Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie:
B2’.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten może ~~> zostać zbawiony (~Z)
~W~~>Z = ~W*Z =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Może się zdarzyć (=1), że nie wierzę w Chrystusa (~W) i zostanę zbawiony (Z)
Zdanie B2’ to piękny akt miłości w stosunku do zdania A1, czyli prawo do wręczenia nagrody (tu zbawienie) mimo że człowiek nie spełnił warunku nagrody (tu nie wierzył)
Zdanie B2’ to także piękny „akt łaski” w stosunku do groźby A2, czyli prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy.
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)
Zauważmy, że na mocy zdań A2 i B2’ Chrystus może umieścić w niebie wszystkich ludzi (z Hitlerem na czele) i nie zostanie kłamcą.
Oczywiście „może" nie oznacza „musi”.
Wynika z tego, że zanana filozofom idea powszechnego zbawienia, zwana także ideą pustego piekła (Apokatastaza) matematycznie jest możliwa.
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej W||=>Z jest gwarancja matematyczna => po stronie W (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~W (zdania A2 i B2’) .
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~W||~>~Z w logice ujemnej (bo ~Z) to układ równań logicznych:
A2B2: ~W|~>~Z =(A2:~W~>~Z)*~(B2:~W=>~Z) - co się stanie z niewierzącym (~W=1)?
A1B1: W|=>Z = (A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z) - co się stanie z wierzącym (W)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~W||~>~Z w logice ujemnej (bo ~Z) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej W||=>Z w logice dodatniej (bo Z) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Komentarz do zdania A2:
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten na 100% ~> nie zostanie zbawiony (~Z=1)
A2: ~W~>~Z =1
Brak wiary w Chrystusa (~W=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z=1)
Zdanie tożsame:
A21.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten może ~> nie zostać zbawiony (~Z=1)
A21: ~W~>~Z =1
Brak wiary w Chrystusa (~W=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z=1)
Zauważmy, że zdanie A2 jest ewidentną groźbą, zaś wszelkie groźby na mocy definicji musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością darowania kary opisanym prawdziwym kontrprzykładem B2’.
Dlaczego zachodzi matematyczna tożsamość zdań?
A2: ~W~>~Z = A21: ~W~>~Z
Wynika to z definicji obietnicy zgodnie z którą zdanie A2=A21 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z prawem do aktu miłości względem zdania A1: W=>Z=1 wyrażonym prawdziwym kontrprzykładem B2’, niezależnie od tego w jak ostrej formie groźba A2=A21 będzie wyrażona.
Zauważmy, że w groźbie nadawca ma prawo do blefowania, czyli może wypowiedzieć groźbę w dowolnie ostry sposób. Z faktu iż nadawca w chwili wypowiadania groźby nie zamierza jej wykonać (blef - o czym odbiorca nie wie) nie wynika, iż finalnie nadawca nie może zmienić zdania i zapowiedzianą karę wykonać.
Wniosek:
Z punktu widzenia logiki matematycznej, najostrzejszą groźbę Chrystusa, grzech przeciwko Duchowi Św. musimy uznać za blef Chrystusa.
Ewangelia Mateusza: Dlatego powiadam wam: Każdy grzech i bluźnierstwo będą odpuszczone ludziom, ale bluźnierstwo przeciwko Duchowi nie będzie odpuszczone. (Mt 12,31)
Zauważmy, że gdyby Chrystus nie miał prawa do darowania dowolnego grzechu, w tym grzechu przeciwko Duchowi Św. to jego wolna wola, prawo do darowania dowolnej kary zależnej od niego, ległaby w gruzach.
Dowodów, iż Chrystus ma prawo darować dowolny grzech jest w Biblii mnóstwo np.
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)
3.10.2 Kluczowe dialogi Chrystusa z człowiekiem
Chrystus:
A1.
Kto wierzy we mnie (W), będzie zbawiony (Z)
A1: W=>Z =1
Wiara w Chrystusa (W) jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia (Z)
Człowiek:
… a jeśli kto nie wierzy, Panie?
Chrystus:
Prawo Kubusia:
A1: E=>K = A2: ~E~>~K
stąd:
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W), nie będzie zbawiony (~Z)
~W~>~Z =1
Brak wiary w Chrystusa (~W) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z)
Człowiek:
Panie, czy możesz powtórzyć co się stanie z wierzącymi (W), oraz co się stanie z niewierzącymi (~W)?
Chrystus:
Bardzo proszę:
A1A2:
Kto wierzy we mnie (W) zostanie zbawiony (Z) (zdanie A1) a kto nie wierzy we mnie (~W) nie zostanie zbawiony (~Z) (zdanie A2)
A1A2: (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z)=1*1=1
Jak widzimy, Chrystus ma prawo wypowiedzieć zdania A1 i A2 w jednym zdaniu, gdyby nie mógł tego zrobić to logika matematyczna, algebra Kubusia, której sam jest autorem, ległaby w gruzach.
Zdanie A1A2 znajdziemy w Biblii:
A1A2:
Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony, a kto nie uwierzy, będzie potępiony
Św. Marek, Mk 16
Wiara w Chrystusa zawiera w sobie obowiązek Chrztu, zatem poprzednik możemy zredukować do słowa „uwierzy”.
Zachodzi także tożsamość matematyczna pojęć:
potępiony = nie zbawiony
Stąd zdanie tożsame Chrystusa przyjmuje postać:
A1A2:
Kto uwierzy, będzie zbawiony, a kto nie uwierzy, nie będzie zbawiony
A1A2: (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z)=1*1=1
cnd
Prawo Kubusia:
A2: ~W~>~Z = A1: W=>Z
Podstawiając do A1A2 mamy:
A1A2: (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z)=(A1: W=>Z)*(A1: W=>Z) = A1: W=>Z
bo prawo algebry Boole'a:
a*a=a
Gdzie:
a=(A1: W=>Z)
Stąd zdanie tożsame Chrystusa do A1A2 w wersji minimalnej przybierze postać:
A1.
Kto uwierzy, będzie zbawiony
W=>Z =1
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Wiara w Chrystusa daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia
3.10.3 Algebra Kubusia = Biblia
Kluczowymi pojęciami w Biblii są obietnice i groźby wypowiadane przez Chrystusa.
Algebra Kubusia udziela nam odpowiedzi na pytanie kiedy Chrystus będzie tu kłamcą, a kiedy nie będzie.
Obietnica:
Chrystus będzie kłamcą jeśli wierzącego w niego człowieka pośle do piekła.
W każdym innym przypadku na mocy definicji implikacji prostej W|=>Z Chrystus nie będzie kłamcą.
Innymi słowy:
1.
Chrystus nie będzie kłamcą gdy absolutnie wszystkich w niego niewierzących pośle do piekła - piekło będzie tu maksymalnie pełne
2.
Chrystus nie będzie kłamcą gdy zbawi absolutnie wszystkich ludzi z Hitlerem włącznie - idea pustego piekła (Apokatastaza)
3.
Między skrajnościami 1 i 2 może być nieskończenie wiele stanów pośrednich - tu również Chrystus nie będzie kłamcą
To wszystko co w temacie obietnic i gróźb ma do powiedzenia matematyka ścisła, algebra Kubusia
Kod: | https://pl.wikipedia.org/wiki/Apokatastaza |
Apokatastaza (od gr. apokatastasis czyli „ponowne włączenie, odnowienie” z Dz 3, 21) – końcowa i ostateczna odnowa całego stworzenia poprzez przywrócenie mu pierwotnej doskonałości i bezgrzeszności lub nawet przewyższenie tego pierwotnego stanu. Potocznie apokatastaza nazywana jest ideą pustego piekła
Pojęcie „wiary w Chrystusa” oznacza tu przejście przez życie w zgodzie a 10 przykazaniami.
Chrystus doskonale wie, że to fizycznie niemożliwe, czego dowód znajdujemy w mnóstwie miejsc w Biblii.
Chrystus i cudzołożnica:
Kto z was jest bez grzechu, niech pierwszy rzuci w nią kamieniem. (J 8,8-11)
Zauważmy że:
Gdyby Chrystus był katem i za najmniejszy grzech karałby piekłem, to wtedy niebo byłoby puste, bo nawet najwięksi święci w czasie swego żywota, jakiś tam grzech popełnili.
Chrystus do apostoła Piotra:
Zaprawdę, zaprawdę powiadam ci, za- nim kur zapieje, trzykroć się mnie zaprzesz (J 13, 38)
3.11 Interpretacja obietnicy wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Definicja obietnicy (pkt 3.6):
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę N.
W poprzedniku musi być jasno sprecyzowany warunek otrzymania nagrody N.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.
Możliwych, różnych na mocy definicji ## obietnic jest nieskończenie wiele, o czym każdy 5-cio latek wie, ale wszystkie mają identyczne znaczenie funkcji logicznej Y
Znaczenie funkcji Y w obietnicy jest następujące:
Y=1 - prawdą jest (=1), że nadawca obietnicy dotrzyma słowa (Y)
Innymi słowy w logice symboli bez użycia jedynek:
Y - nadawca obietnicy dotrzyma słowa Y
Przykład:
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E) dostaniesz komputer (K)
E=>K =1
Dostanie komputera to nagroda, zatem warunek wystarczający A1: E=>K z definicji jest częścią implikacji prostej E|=>K. Warunek otrzymania nagrody precyzuje poprzednik p=E (zdasz egzamin)
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.
Interpretacja:
Zdanie egzaminu (E) daje nam gwarancję matematyczną => dostania komputera (K)
Równanie logiczne obietnicy wyrażone spójnikami "i"(*) i "lub"(+) jest następujące:
Y = (E=>K) = ~E+K
Czyli:
O1.
Y = ~E+K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~E=1 lub K=1
Czytamy:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdam egzaminu (~E=1) lub dostanę komputer (K=1)
Zauważmy, że obietnica A1 jest zrozumiała dla 5-cio latka, zaś pseudo-obietnicy O1 żaden normalny człowiek nie zrozumie, bo zabita została tu istota obietnicy, gwarancja matematyczna =>
Zdanie O1 będzie zrozumiałe dla 5-cio latka po jego rozpisce w zdarzeniach rozłącznych.
Dowód:
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dla:
p=~E i q=K
mamy:
O1”.
Y = ~E*K + ~E*~K + E*K
Suma logiczna jest przemienna stąd:
Y = A: E*K + B: ~E*~K + C: ~E*K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: E=1 i K=1 lub B: ~E=1 i ~K=1 lub C: ~E=1 i K=1
Czytamy:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = E*K =1*1=1 - zdam egzamin (E=1) i dostanę komputer (K=1)
lub
Yb = ~E*~K=1*1=1 - nie zdam egzaminu (~E=1) i nie dostanę komputera (~K=1)
lub
Yc = ~E*K =1*1=1 - nie zdam egzaminu (~E=1) i dostanę komputer (K=1)
Ostatnie zdanie to powszechnie znany w świecie żywym (dotyczy także zwierząt) akt miłości, czyli wręczenie nagrody (tu komputera) mimo że odbiorca nie spełnił warunku otrzymania nagrody (tu nie zdał egzaminu)
.. a kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy dwustronnie równanie O1:
O2.
~Y=E*~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> E=1 i ~K=1
Czytamy:
Ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zdam egzamin (E=1) i nie dostanę komputera (~K=1)
Bezdyskusyjna oczywistość dla każdego 5-cio latka
Znaczenie funkcji Y jest następujące:
Y=1 - prawdą jest (=1), że ojciec dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1), że ojciec nie dotrzyma słowa (~Y)
Innymi słowy w logice symboli bez użycia jedynek:
Y - ojciec dotrzyma słowa Y
~Y - ojciec nie dotrzyma słowa ~Y
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Lewą stronę czytamy:
Prawdą jest (=1), że ojciec nie dotrzyma słowa (~Y)
Prawą stronę czytamy:
Fałszem jest (=0) że ojciec dotrzyma słowa (Y)
Jak widzimy, prawo Prosiaczka rozumie każdy 5-cio latek
Zauważmy, że zdarzenia Y=~E+K i ~Y=E*~K są różne w znaczeniu znaczka #.
Zdarzenie:
"ojciec dotrzyma słowa" (Y)
jest różne # od zdarzenia:
"ojciec nie dotrzyma słowa" (~Y)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Trzeciej możliwości brak zatem pojęcia Y i ~Y spełniają definicję spójnika "albo"($).
Sprawdzenie:
Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) - poznamy niebawem:
p$q = p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd mamy:
Y$~Y = Y*~(~Y) + ~(Y)*~Y = Y*Y + ~Y*~Y = Y+~Y=1
cnd
Równie łatwo udowodnić iż pojęcia Y i ~Y nie są tożsame.
Dowód:
Prawo Irbisa (poznamy w niedalekiej przyszłości):
Dwa zdarzenia/pojęcia p i q są matematycznie tożsame "=" wtedy i tylko wtedy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Stąd mamy:
p<=>q = (~p+q)*(~q+p) = ~p*~q + ~p*p + q*~q + q*p
Prawa algebry Boole'a:
x*~x=0
x+0=x
Po minimalizacji mamy:
p<=>q = p*q+~p*~q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd mamy:
Y<=>~Y = Y*~Y + ~(Y)*~(~Y) = Y*~Y + ~Y*Y = 0+0 =0
Oznacza to, że wykluczona jest tożsamość matematyczna pojęć "ojciec dotrzyma słowa" (Y) i "ojciec nie dotrzyma słowa" (~Y)
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 17:49, 09 Maj 2024, w całości zmieniany 23 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Sob 21:45, 24 Gru 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
4.0 Implikacja odwrotna p|~>q
Spis treści
4.0 Implikacja odwrotna p|~>q 1
4.1 Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q dla zbiorów/zdarzeń 3
4.1.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 4
4.2 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q 6
4.2.1 Zdjęcie układu 8
4.2.2 Prawo Orła 9
4.2.3 Prawo Słonia dla zdarzeń i zbiorów z uwzględnieniem prawa Orła 10
4.2.4 Prawo Orła w zdarzeniach w praktyce 11
4.2.5 Prawo Orła w zbiorach w praktyce 13
4.3 Algorytm Puchacza 15
4.4 Sztandarowy przykład implikacji odwrotnej CH|~>P 17
4.4.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P 21
4.5 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza 24
4.5.1 Zdanie W1: CH~~>P 24
4.5.2 Zadanie W2: CH~>P 25
4.5.3 Zdanie W3: CH~~>~P 25
4.5.4 Zdanie W4: ~CH~~>~P 26
4.5.5 Zdanie W5: ~CH=>~P 27
4.5.6 Zdanie W6: ~CH~~>P 27
4.5.7 Zdanie W7: CH=>P 28
4.0 Implikacja odwrotna p|~>q
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=1), ale nie jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=0)
Podstawmy definicję implikacji odwrotnej p|~>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Kod: |
IO:
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
II Prawo Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
##
I Prawo Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zauważmy że:
1.
Definicję implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q) mamy w kolumnie A1B1:
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Wniosek:
Implikacja odwrotna A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) daje odpowiedź na pytanie o p.
2.
Definicję implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) mamy w kolumnie A2B2:
A2B2:
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q):
Implikacja prosta ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1*1=1
Wniosek:
Implikacja prosta A2B2: ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) daje odpowiedź na pytanie o ~p.
Z prawa Sowy wynika, że implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) wymusza implikację prostą ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) i odwrotnie.
Matematycznie zachodzi więc tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
[=], "=", <=> (wtedy i tylko wtedy) - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
4.1 Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q dla zbiorów/zdarzeń
Definicja kontrprzykładu w zbiorach/zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym ~~> zbiorów lub zdarzeniem możliwym ~~>:
p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Uwagi:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Bx wymuszają fałszywe kontrprzykłady Bx'
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywe warunki wystarczające => w linii Ax wymuszają prawdziwe kontrprzykłady Ax'.
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Podstawmy definicję implikacji odwrotnej p|~>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Kod: |
IO:
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q=1 [=] 4:~q~~>p =1
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość pozostałych zdań
4.1.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2)
Kolumna A1B1:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q (B1: p~>q=1), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q (A1: p=>q=0)
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych odczytujemy z kolumny A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść zajdzie q
p~>q =1
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
Innymi słowy:
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
lub
A1'.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> p i ~q
Dowód „nie wprost”:
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q =0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1' (i odwrotnie)
.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Idziemy do kolumny A2B2.
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q (B2: ~p=>~q=1), ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q (A2: ~p~>~q=0).
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych odczytujemy z kolumny A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Innymi słowy:
Zawsze gdy zajdzie ~p, zajdzie ~q
B2'
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> ~p i q
Dowód „nie wprost”:
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego => B2: ~p=>~q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2': ~p~~>q=0 (i odwrotnie)
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie p (zdania B1 i A1’), oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2)
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej A2B2: ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej A1B1: p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
4.2 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q jest identyczny dla zdarzeń i zbiorów, a wynika on z jedynego fałszywego tu zdania kodowanego znaczkiem ~~>:
B2': ~p~~>q=~p*q =0
Gdzie:
~~> - zdarzenie możliwe w teorii zdarzeń
albo:
~~> - element wspólny zbiorów w teorii zbiorów
Dla potrzeb rysowania diagramu przydatna jest poniższa definicja.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q, bowiem wtedy i tylko wtedy pojęcia {p, q, ~p, ~q} będą rozpoznawalne (będą niepuste).
Z definicji nie możemy operować na zbiorach pustych (pkt. 12.2)
Łatwo udowodnić, że dla zbudowania implikacji odwrotnej p|~>q potrzebne są minimum 3 elementy.
Przykład minimalny:
K=Kubuś
P=Prosiaczek
T=Tygrysek
p=[K,P]
q=[K]
D=[K,P,T] - dziedzina
~p=[D-p]=[T] - zbiór niepusty
~q=[D-q]=[P,T] - zbiór niepusty
Analizę operatora implikacji odwrotnej p||~>q na parametrach ogólnych p i q mamy w punkcie 4.1.1
Łatwo sprawdzić, że nasz przykład minimalny pasuje tam doskonale.
Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach/zdarzeniach
----------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|---------------------|----------------------------------------------|
| p | ~p |
|-------------------------------------------|------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q=p*~q=1 | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina D - suma logiczna zbiorów/zdarzeń możliwych B1, A1’, B2 |
| D =B1: p*q + A1’: p*~q + B2:~p*~q |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty/zdarzenie niemożliwe |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Definicja dziedziny:
Dziedzina to suma logiczna zbiorów/zdarzeń niepustych i rozłącznych uzupełniających się wzajemnie do dziedziny
D = B1: p*q + A1': p*~q + B2: ~p*~q
Z diagramu DIO łatwo wyprowadzić prawo Orła identyczne dla zbiorów i zdarzeń.
Z diagramu DIO odczytujemy:
p+~p=D=1 - wspólna dziedzina D dla p i q
q+~q=D=1 - wspólna dziedzina D dla p i q
Prawo algebry Boole'a:
p=p*1
q=q*1
Korzystające z definicji wspólnej dziedziny D mamy:
p=p*(q+~q)
q=q*(p+~p)
Powyższe tożsamości są doskonale widoczne bezpośrednio na diagramie DIO.
Stąd mamy:
Prawo Orła dla implikacji odwrotnej p|~>q:
p*(q+~q) ~> q*(p+~p)
Redukcja prawa Orła:
Po wymnożeniu wielomianów mamy:
p*q + p*~q ~> p*q + ~p*q - bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny
Z diagramu odczytujemy:
~p*q=0
Prawo algebry Boole'a:
x+0=x
Stąd po redukcji następnika mamy:
Prawo Orła dla implikacji odwrotnej p|~>q:
p*q + p*~q ~> p*q =1
Stąd mamy:
B1.
Z ostatniego zapisu oraz diagramu DIO widzimy, że zbiór/zdarzenie (p*q + p*~q) jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia p*q.
p*q + p*~q ~> p*q =1
##
A1.
Z ostatniego zapisu oraz diagramu DIO doskonale też widać że:
p*q + p*~q => p*q =0
Zbiór/zdarzenie (p*q+p*~q) nie jest (=0) podzbiorem => zbioru/zdarzenia p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji nadzbioru ~> i podzbioru =>
4.2.1 Zdjęcie układu
Zauważmy, że powyższe prawo Orła dla implikacji odwrotnej p|~>q można łatwo uogólnić na dowolną relację zbiorów/zdarzeń zachodzącą między p i q.
Definicja zdjęcia układu:
Zdjęcie układu to analiza zdania wypowiedzianego "Jeśli p to q" w kierunku od p do q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q przy pomocy definicji zdarzenia możliwego ~~> (teoria zdarzeń) albo definicji elementu wspólnego zbiorów ~~> (teoria zbiorów) z rozstrzygnięciem o prawdziwości/fałszywości wszystkich zdań składowych.
Stąd mamy:
Definicja zdjęcia układu w teorii zdarzeń:
Zdjęcie układu to seria czterech zdań warunkowych "Jeśli p to q" kodowanych zdarzeniem możliwym ~~> w kierunku od p do q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q z rozstrzygnięciem o prawdziwości/fałszywości wszystkich zdań składowych.
Definicja zdarzenia możliwego ~~> (pkt. 2.2.1):
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
Kod: |
T1
Tabela prawdy zdjęcia układu w zapisie formalnym
to odpowiedź TAK=1/NIE=0 cztery pytania {A,B,C,D}
Kolumna A1B1:
A: p~~> q = p* q=? - Czy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q?
B: p~~>~q = p*~q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q?
Kolumna A2B2:
C:~p~~>~q =~p*~q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q?
C:~p~~> q =~p* q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q?
|
4.2.2 Prawo Orła
Prawo Orła:
Jeśli dla zdania warunkowego "Jeśli p to q" znane jest zdjęcie układu w zapisie aktualnym (przykład) to wszelkie relacje między p i q określa wzór:
p*(q+~q) dzn (~)q*(p+~p)
Gdzie:
Punkt odniesienia:
Poprzednik p ze zdjęcia układu musi być niezanegowany co lokuje nas w kolumnie A1B1
(~) - w zapisie aktualnym przeczenie (~) przy q może wystąpić wyłącznie w spójniku "albo"($)
dzn - dowolny ze znaczków:
~~> - zdarzenie możliwe lub element wspólny zbiorów
=> - warunek wystarczający [=] relacja podzbioru =>
~> - warunek konieczny [=] relacja nadzbioru ~>
<=> - równoważność
$ - spójnik "albo"($)
;
[=] - znaczek tożsamości logicznej.
Dowód prawa Orła:
1.
p dzn (~)q
2.
Prawo algebry Boole'a:
x=x*1
stąd:
p*1 dzn (~)q*1
3.
1=D - wspólna dziedzina dla p i q
Stąd mamy:
p+~p=D=1
q+~q=D=1
Podstawiając do 2 mamy nasze prawo Orła.
4.
Prawo Orła:
p*(q+~q) dzn (~)q*(p+~p)
cnd
4.2.3 Prawo Słonia dla zdarzeń i zbiorów z uwzględnieniem prawa Orła
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Po uwzględnieniu prawa Orła mamy identyczne prawo Słonia dla zbiorów i zdarzeń.
Prawo Słonia dla zbiorów/zdarzeń (pkt 2.8.1 i 2.8.2):
W algebrze Kubusia w zbiorach/zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Zauważmy, że w przypadku zdarzeń pojęcia podzbioru => i nadzbioru ~> nie są intuicyjne, trzeba je matematycznie wyprowadzić korzystając z prawa Orła które wymaga znajomości algebry Boole'a na poziomie elementarnym.
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów
Z definicji tożsamości logicznej wynika, że:
Dla dowodu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>q potrzeba i wystarcza udowodnić zachodzącą tu relację podzbioru => A1: p=>q
Innymi słowy:
A1: p=>q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) podzbiorem => q
Inaczej:
A1: p=>q =0
##
Podobnie:
Dla dowodu prawdziwości warunku koniecznego B1: p~>q potrzeba i wystarcza udowodnić zachodzącą tu relację nadzbioru ~> B1: p~>q
Innymi słowy:
B1: p~>q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) nadzbiorem ~> q
Inaczej:
B1: p~>q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia.
4.2.4 Prawo Orła w zdarzeniach w praktyce
Rozważmy przykład spełnionego warunku koniecznego B1 z tabeli T0.
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może padać (P)
CH~>P =1
Dowód wprost:
Chmury (CH) są warunkiem koniecznym ~> dla padania (P) bo padać może wyłącznie z chmury (CH).
To jest dowód zachodzącego tu warunku koniecznego ~> na poziomie 5-cio latka
Na mocy prawa Kłapouchego mamy wspólny dla wszystkich punkt odniesienia:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
Dowód alternatywny na poziomie ucznia I klasy LO to wykorzystanie definicji zdjęcia układu dla zdania B1 plus prawo Orła.
Kod: |
T1
Zdjęcie układu dla zdania B1 w zapisie aktualnym (przykład)
A: CH~~> P=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury(CH) i pada (P)
B: CH~~>~P=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury(CH) i nie pada (~P)
C:~CH~~>~P=1 -możliwe jest zdarzenie: nie ma chmur(~CH) i nie pada (~P)
D:~CH~~> P=0 -niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur(~CH) i pada (P)
|
Doskonale widać, że rozstrzygnięcie o prawdziwości/fałszywości zdań ABCD to matematyczny poziom 5-cio latka.
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może padać (P)
CH~>P =1
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Gdzie:
q=P (pada)
p=CH (chmury)
Dowód wprost:
Chmury (CH) są warunkiem koniecznym ~> dla padania (P) bo padać może wyłącznie z chmury (CH).
Na mocy prawa Słonia zdarzenie CH(chmury) musi być nadzbiorem ~> zdarzenia P(pada)
Sprawdzenie:
1.
Prawo Orła dla B1:
p*(q+~q) ~> q*(p+~p)
p=CH (chmury)
q=P (pada)
W przełożeniu na zapis aktualny mamy:
CH*(P+~P) ~> P*(CH+~CH)
2.
Stąd po wymnożeniu wielomianów mamy:
CH*P + CH*~P ~> CH*P + ~CH*P - bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny
Z tabeli zdjęcia układu T1 odczytujemy:
D:~CH~~> P=~CH*P=0 -niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur(~CH) i pada (P)
Prawo algebry Boole'a:
x+0=x
Stąd mamy:
3.
A: CH*P + B: CH*~P ~> A: CH*P
Gdzie:
Zdarzenie A i B są niepuste i rozłączne
Doskonale widać, że zdarzenie (A: CH*P + B: CH*~P) jest nadzbiorem ~> zdarzenia A: CH*P
cnd
Uwaga:
Zauważmy, że równanie 3 jest tożsame z warunkiem koniecznym:
WK: CH~>P =1
Dowód:
Lewa strona równania 3:
A: CH*P + B: CH*~P = CH*(P+~P) = CH*1 = CH
Komentarz:
- wyciągnięcie zmiennej CH przed nawias
- P+~P=1 - prawo algebry Boole'a
- CH*1 = CH - prawo algebry Boole'a
Prawa strona równania 3:
A: CH*P = CH*P + ~CH*P = P*(CH+~CH) = P*1 = P
Komentarz:
- ~CH*P=0 - wolno nam wstawić do sumy logicznej (+)
- wyciągnięcie P przed nawias
- CH+~CH=1 - prawo algebry Boole'a
- P*1=P - prawo algebry Boole'a
Stąd mamy:
A: CH*P + B: CH*~P ~> A: CH*P [=] WK: CH~>P
cnd
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Podsumowując:
1.
Zbudowanie zdjęcia układu w zdarzeniach to I klasy LO, co udowodniono wyżej
2.
Jeśli mamy zdjęcie układu to na mocy prawa Orła wiemy wszystko o wzajemnych relacjach wszelkich zbiorów/zdarzeń w tym układzie, co pokażemy w punkcie 9.0
Rozstrzygnięcie w zdarzeniach o prawdziwości/fałszywości wszystkich zdań ze zdjęcia układu to matematyczny poziom 5-cio latka.
3.
W zbiorach nieskończonych już tak różowo nie jest, czyli udowodnienie iż dwa zbiory nieskończone są rozłączne to nie jest poziom 5-cio latka.
Dowód niżej.
4.2.5 Prawo Orła w zbiorach w praktyce
Rozważmy przykład spełnionego warunku koniecznego ~> B1 z tabeli T0.
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8 =?
to samo w zapisie formalnym na mocy prawa Kłapouchego:
p~>q =1
Gdzie:
p=P2
q=P8
Dowód wprost:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Każdy matematyk korzysta tu z prawa Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2
Udowodnić, że zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..] potrafi już każdy matematyk, co jest dowodem "nie wprost" prawdziwości warunku koniecznego B1: P2~>P8=1
Przyjmijmy wspólną dziedzinę dla p i q:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Obliczamy przeczenia zbiorów P2 i P8 we wspólnej dziedzinie LN:
~p=~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
~q=~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Dowód alternatywny prawdziwości warunku koniecznego ~> B1 na poziomie ucznia I klasy LO to wykorzystanie definicji zdjęcia układu plus prawa Orła.
Kod: |
T1
Zdjęcie układu dla zdania B1 w zapisie aktualnym (przykład)
A: P2~~> P8=1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów P2 i P8 np. 8
B: P2~~>~P8=1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów P2 i ~P8 np. 2
C:~P2~~>~P8=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~P2 i ~P8 np. 1
D:~P2~~> P8=0 - nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~P2 i P8
|
Kluczowy jest dowód rozłączności zbiorów nieskończonych ~P2 i P8:
Dowolny zbiór liczb nieparzystych ~P2=[1,3,5,7,9..] jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb parzystych P8=8,16,24..]
Akurat w tym przypadku to jest poziom I klasy LO, ale na pewno nie 5-cio latka.
Korzystając z prawa Orła możemy łatwo dowieść iż zbiór P2 jest nadzbiorem ~> zbioru P8
1.
Prawo Orła dla B1:
p*(q+~q) ~> q*(p+~p)
p=P2
q=P8
W przełożeniu na zapis aktualny mamy:
P2*(P8+~P8) ~> P8*(P2+~P2)
2.
Stąd po wymnożeniu wielomianów mamy:
P2*P8 + P2*~P8 ~> P2*P8 + ~P2*P8 - bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny
Z tabeli zdjęcia układu T1 odczytujemy:
D:~P2~~> P8=~P2*P8=0 - nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~P2 i P8
Prawo algebry Boole'a:
x+0=x
Stąd mamy:
3.
A: P2*P8 + B: P2*~P8 ~> A: P2*P8
Gdzie:
Zbiory A i B są niepuste i rozłączne
Doskonale widać, że zbiór (A: P2*P8 + B: P2*~P8) jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru A: P2*P8
cnd
Uwaga:
Zauważmy, że równanie 3 jest tożsame z warunkiem koniecznym ~>:
WK: P2~>P8
Dowód:
Lewa strona 3:
A: P2*P8 + B: P2*~P8 = P2*(P8+~P8) = P2*1 =P2
Komentarz:
- wyciągnięcie P2 przed nawias
- prawa algebry Boole'a: p+~p=1, p*1=p
Prawa strona 3:
A: P2*P8 = A: P2*P8 + D: ~P2*P8 = P8*(P2+~P2)=P8*1=P8
Bo:
p+0 =p - prawo algebry Boole’a
D: ~P2*P8=[]=0 - patrz zdjęcie T1
wyciągnięcie P8 przed nawias
p+~p=1
p*1=p
Stąd mamy:
A: P2*P8 + B: P2*~P8 ~> A: P2*P8 [=] WK: P2~>P8
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
4.3 Algorytm Puchacza
Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"
Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach/zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q dla zdarzeń, albo elementem wspólnym p~~>~q=p*~q dla zbiorów
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>
Kod: |
T0R
Rozszerzona tabela matematycznych związków warunków wystarczających =>
i koniecznych ~> dla potrzeb przykładów:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =? = 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =? = 4:~q=>~p=?
A': 1: p~~>~q=? 4:~q~~>p=?
## ## ## ##
B: 1: p~> q =? = 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =? = 4:~q~>~p=?
B': 2:~p~~>q=? 3: q~~>~p=?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawo Kłapouchego (pkt 2.7):
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego.
Algorytm Puchacza (pkt. 2.11):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.
5.
Prawo Puchacza (pkt. 2.10.1):
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza.
Rozłączne operatory implikacyjne to:
a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1)
b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1)
d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1)
e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1)
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
7.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia
Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie.
4.4 Sztandarowy przykład implikacji odwrotnej CH|~>P
Typowe zadania z logiki matematycznej rozwiązujemy korzystając z algorytmu Puchacza.
Typowe zadanie w algebrze Kubusia brzmi.
Zadanie W1:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
Rozwiązanie:
Sprawdzamy warunek konieczny stosowalności algorytmu Puchacza, czyli spełnienie punktu 4 w algorytmie Puchacza.
1.
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Istnieje związek między chmurami a padaniem, zatem wspólna dziedzina dla p i q jest spełniona.
Dziedzina matematyczna Dm to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń rozłącznych bez analizy prawdziwości/fałszywości tych zdarzeń.
Dm=CH*P + CH*~P + ~CH*~P + ~CH*P
Dziedzina fizyczna D to zbiór zdarzeń fizycznie możliwych, jakie jutro mogą zajść.
Dziedzina fizyczna D wyskoczy nam w czasie analizy matematycznej zdania wypowiedzianego W1
3.
Zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zdarzeniach pustych.
p= CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "są chmury" (CH)
q= P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "pada" (P)
~p= ~CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "nie ma chmur" (~CH)
~q= ~P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "nie pada" (~P)
4.
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza
Analiza podstawowa (punkty 6 i 7 w algorytmie Puchacza):
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów/zdarzeń (pkt 2.8.1 i 2.8.2):
W algebrze Kubusia w zbiorach/zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów
Nasze zdanie:
W1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
7.
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> B1.
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
B1: CH~>P =1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Dowód wprost:
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla padania bo padać może wyłącznie z chmury.
To jest dowód na poziomie 5-cio latka.
Na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość pojęć:
warunek konieczny ~> [=] relacja nadzbioru ~>
Dowód alternatywny na poziomie ucznia I klasy LO to wykazanie, iż zdarzenie CH(chmury) jest nadzbiorem ~> zdarzenia P(pada)
Dowód taki mamy w punkcie 4.2.4.
6.
Dla rozstrzygnięcia w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie W1 musimy zbadać prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Wybieramy zdanie A1 bo warunek wystarczający => bez przeczeń zawsze dowodzi się najprościej.
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
A1: CH=>P =0
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0
Chmury (CH) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P) bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
Dowód alternatywny fałszywości zdania A1 to wykazanie, iż zdarzenie CH(chmury) nie jest (=0) podzbiorem => zdarzenia P(pada).
Kod: |
T1
Zdjęcie układu dla zdania A1 w zapisie aktualnym (przykład)
A: CH~~> P=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury(CH) i pada (P)
B: CH~~>~P=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury(CH) i nie pada (~P)
C:~CH~~>~P=1 -możliwe jest zdarzenie: nie ma chmur(~CH) i nie pada (~P)
D:~CH~~> P=0 -niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur(~CH) i pada (P)
|
Doskonale widać, że zrobienie poprawnego zdjęcia układu dla zdania A1 to matematyczny poziom 5-cio latka.
Dowód:
1.
Prawo Orła dla A1:
p*(q+~q) => q*(p+~p)
p=CH (chmury)
q=P (pada)
W przełożeniu na zapis aktualny mamy:
CH*(P+~P) => P*(CH+~CH)
2.
Stąd po wymnożeniu wielomianów mamy:
CH*P + CH*~P => CH*P + ~CH*P - bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny
Z tabeli T1 zdjęcia układu (pkt. 4.2.4) odczytujemy:
D: ~CH~~>P = ~CH*P=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie jest pochmurno (~CH) i pada (P)
Prawo algebry Boole'a:
x+0=x
Stąd mamy:
3.
CH*P + CH*~P => CH*P =0
Doskonale widać, że zdarzenie (CH*P + CH*~P) nie jest (=0) podzbiorem => zdarzenia CH*P
cnd
Podsumowanie:
Prawdziwość warunku koniecznego B1: CH~>P=1 i fałszywość warunku wystarczającego A1: CH=>P=0 lokalizuje nas w implikacji odwrotnej A1B1: CH|~>P
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
Nasz przykład:
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P:
Implikacja odwrotna CH|~>P w logice dodatniej (bo P) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania, bo nie zawsze gdy pada, są chmury
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo pada wyłącznie z chmury
Stąd mamy:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
W tym momencie mamy kompletną tabelę implikacji odwrotnej A1B1: CH|~>P uzupełnioną definicją kontrprzykładu ~~> działającą wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Kod: |
IO.
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Implikacja odwrotna CH|~>P w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: CH=>P=0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania
B1: CH~>P=1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q =1 [=] 4:~q~~>p =1
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=CH, q=P
A: 1: CH=>P =0 = 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~>CH =0 = 4:~P=>~CH=0
A': 1: CH~~>~P=1 [=] 4:~P~~>CH=1
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p =0
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=CH, q=P
B: 1: CH~>P =1 = 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=>CH =1 = 4:~P~>~CH=1
B': 2:~CH~~>P=0 [=] 3: P~~>~CH=0
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii B
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań w linii A
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO.
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.
4.4.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P
Definicja operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o chmury (CH) i brak chmur (~CH)
Kolumna A1B1:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) - co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH)?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~CH=>~P = ~(A2: ~CH~>~P)*(B2: ~CH=>~P) - co może być jeśli nie będzie pochmurno (~CH)?
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: CH=>P =0 - chmury (CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania (P)
B1: CH~>P =1 - chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P)
Stąd:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Chmury są (=1) konieczne ~> dla padania (B1: CH~>P=1), ale nie są (=0) wystarczające => dla padania (A1: CH=>P=0)
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Dowód wprost:
Chmury (CH) są warunkiem koniecznym ~> do tego aby padało (P), bo padać może wyłącznie z chmury
Dowód "nie wprost":
Chmury (CH) są warunkiem koniecznym ~> do tego aby padało (P), bo jak nie ma chmur (~CH) to na 100% => nie pada (~P)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
to samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
lub
A1'
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P = CH*~P =1
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q=p*~q =1
Dowód wprost:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: jest pochmurno (CH) i nie pada (~P)
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywy warunek wystarczający A1: CH=>P=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1': CH~~>~P=1.
… a jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH)?
Prawo Kubusia:
B1: CH~>P =B2:~CH=>~P
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
Idziemy do kolumny A2B2.
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~CH~>~P =0 - brak chmur (~CH) nie jest (=0) konieczny ~> dla nie padania (~P)
B2: ~CH=>~P =1 - brak chmur (~CH) jest (=1) wystarczający => dla nie padania (~P)
A2B2: ~CH|=>~P = ~(A2:~CH~>~P)*(B2: ~CH=>~P) = ~(0)*1=1*1=1
Całość czytamy::
Implikacja prosta ~CH|=>~P w logice ujemnej (bo ~P) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy brak chmur ~CH jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie padania ~P (zdanie B2), ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla nie padania ~P (zdanie A2)
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padało (~P)
~CH=>~P =1
to samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Dowód wprost:
Brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => do tego, by nie padało (~P) bo zawsze gdy nie ma chmur, to nie pada
Brak chmur (~CH) daje nam gwarancję matematyczną => braku opadów (~P)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% =>
Dowód "nie wprost" to skorzystanie z prawa kontrapozycji:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B2: ~CH=>~P = B3: P=>CH
Stąd:
B3.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
q=>p =1
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Na mocy prawa kontrapozycji prawdziwość B3 wymusza prawdziwość B2 (i odwrotnie).
B2'
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to może ~~> padać (P)
~CH~~>P = ~CH*P =0
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie ma chmur (~CH) i pada (P)
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy warunek wystarczający B2: ~CH=>~P=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2': ~CH~~>P=0
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej CH||~>P jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie CH (zdania B1 i A1’), oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~CH (zdanie B2)
Innymi słowy:
1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to mamy najzwyklejsze "rzucanie monetą" w sensie "na dwoje babka wróżyła".
Czyli:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P) o czym mówi zdanie B1, albo może ~~> nie padać (~P) o czym mówi zdanie A1'
2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padać (~P) - mówi o tym zdanie B2.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~CH||=>~P to układ równań logicznych:
A2B2: ~CH|=>~P = ~(A2:~CH~>~P)*(B2: ~CH=>~P) - co może się zdarzyć jeśli nie będzie pochmurno?
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) - co może się zdarzyć jeśli będzie pochmurno?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej A2B2: ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej A1B1: p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
4.5 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza
Przykładowe zadania w których koniec końców wylądujemy w operatorze implikacji odwrotnej CH||~>P mogą być następujące.
4.5.1 Zdanie W1: CH~~>P
Zadanie W1
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
Rozwiązanie zadania W1 z punktu widzenia zdarzenia możliwego ~~>:
W1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> padać (P)
CH~~>P = CH*P=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: jest pochmurno (CH) i pada (P)
Dla udowodnienia prawdziwości zdarzenia kodowanego zdarzeniem możliwym ~~> wystarczy pokazać jeden taki przypadek co kończy dowód prawdziwości zdania W1. Nie analizujemy tu, czy chmury (CH) są warunkiem koniecznym ~>, czy też wystarczającym => dla padania (P)
W punkcie 4.4.1 widzimy, że zachodzi warunek konieczny B1.
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Dowód wprost:
Chmury (CH) są warunkiem koniecznym ~> do tego aby padało (P), bo padać może wyłącznie z chmury
cnd
Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W1: CH~~>P jest częścią warunku koniecznego B1: CH~>P, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
Kod: |
Pojedyńcze zdarzenie ~~> W1: ## Warunek konieczny ~> B1:
W1: CH~~>P=CH*P =1 ## B1: CH~>P =1
To samo w zapisie formalnym:
W1: Y = (W1: p~~>q) = p*q ## Y = (B1: p~>q) = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W1: CH~~>P jest pojedynczym iterowaniem dla warunku koniecznego B1: CH~>P.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie B1: CH~>P wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
4.5.2 Zadanie W2: CH~>P
Zadanie W2
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W2.
Jeśli jutro będzie pochmuro to może padać
Zanie to widziane z punktu odniesienia zdarzenia możliwego ~~> przeanalizowaliśmy wyżej.
Z analizy matematycznej w punkcie 4.4.1 widzimy że zachodzi tożsamość zdań W2=B1:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Dowód wprost:
Chmury (CH) są warunkiem koniecznym ~> do tego aby padało (P), bo padać może wyłącznie z chmury
Rozwiązanie:
Zdanie wypowiedziane W2 jest częścią operatora implikacji odwrotnej CH||~>P (zdanie B1) i na mocy prawa Puchacza nie może być częścią jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
4.5.3 Zdanie W3: CH~~>~P
Zadanie W3
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W3.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 4.4 i 4.4.1.
W punkcie 4.4.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W3.
W punkcie 4.4.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W3=A1'
A1'
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P = CH*~P =1
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q=p*~q =1
Dowód wprost:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: jest pochmurno (CH) i nie pada (~P)
Dowód "nie wprost":
Formalnie tego faktu nie musimy dowodzić bowiem prawdziwość kontrprzykładu A1’ wynika z fałszywości warunku wystarczającego A1: CH=>P=0 (i odwrotnie)
Podsumowanie:
1.
Prawdziwe zdanie wypowiedziane A1': CH~~>~P=1 to prawdziwy kontrprzykład A1' dla fałszywego warunku wystarczającego A1: CH=>P=0
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie W3=A1' wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
4.5.4 Zdanie W4: ~CH~~>~P
Zadanie W4
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W4.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może nie padać
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 4.4 i 4.4.1.
W punkcie 4.4.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W4.
Jak widzimy, nie ma 100% odpowiednika zdania W4, ale …
W4.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to może ~~> nie padać (~P)
~CH~~>~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie ma chmur (~CH) i nie pada (~P)
cnd
Dla udowodnienie prawdziwości zdania W4 kodowanego zdarzeniem możliwym ~~> wystarczy zaobserwować jeden taki przypadek. Nie wnikamy tu czy brak chmur jest warunkiem wystarczającym =>, czy też koniecznym ~> dla braku padania.
W punkcie 4.4.1 widzimy, że prawdziwe jest tu zdanie ze spełnionym warunkiem wystarczającym B2.
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padało (~P)
~CH=>~P =1
to samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Dowód wprost:
Brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => dla braku opadów (~P), bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.
cnd
Oczywistym jest, że zdanie wypowiedziane W4: ~CH~~>~P kodowane zdarzeniem możliwym ~~> jest częścią warunku wystarczającego B2: ~CH=>~P, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
Kod: |
Pojedyńcze zdarzenie ~~> W4: ## Warunek wystarczający => B2:
W3:~CH~~>~P=~CH*~P =1 ## B2:~CH=>~P =1
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W4: ~CH~~>~P jest pojedynczym iterowaniem dla warunku wystarczającego B2: ~CH=>~P.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie B2: ~CH=>~P ze spełnionym warunkiem wystarczającym => wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
4.5.5 Zdanie W5: ~CH=>~P
Zadanie W5
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W5.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to nie będzie padało
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 4.4 i 4.4.1.
W punkcie 4.4.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W5.
Łatwo znajdujemy:
W5=B2 - bo warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny.
B2
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padało (~P)
~CH=>~P =1
to samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Dowód wprost:
Brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => dla braku opadów (~P), bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.
cnd
Podsumowanie:
Na mocy prawa Puchacza zdanie W5=B2: ~CH=>~P ze spełnionym warunkiem wystarczającym => wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
4.5.6 Zdanie W6: ~CH~~>P
Zadanie W6
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W6.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może padać
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 4.4 i 4.4.1.
W punkcie 4.4.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W4.
W punkcie 4.4.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W4=B2'
B2'
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to może ~~> padać (P)
~CH~~>P = ~CH*P =0
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie ma chmur (~CH) i pada (P)
Dowód "nie wprost":
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~CH=>~P=1 determinuje fałszywość kontrprzykładu B2’: ~CH~~>P=0 (i odwrotnie)
Podsumowanie:
1.
Zdanie wypowiedziane W6=B2' jest fałszywym kontrprzykładem B2': ~CH~~>P=0 dla prawdziwego warunku wystarczającego B2: ~CH=>~P=1 (i odwrotnie)
2.
Na mocy prawa Puchacza fałszywe zdanie W6=B2' wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
4.5.7 Zdanie W7: CH=>P
Zauważmy, że algorytm Puchacza umożliwia korektę niektórych zdań fałszywych tzn. mówi nam jak powinno być wypowiedziane zdanie fałszywe, by stało się zdaniem prawdziwym.
Zadanie W7
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W7.
Jeśli jutro będzie pochmurno to będzie padać
Zdanie tożsame bo warunek wystarczający => jest domyślny:
W7.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padać (P)
CH=>P =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 4.4 i 4.4.1.
Z analizy w punkcie 4.4.1 widzimy, że prawdziwe jest zdanie podobne zakodowane warunkiem koniecznym ~>:
B1.
Jeśli juro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury (CH) są konieczne ~> dla padania (P) bo padać może wyłącznie z chmury.
Korekta została znaleziona.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 21:01, 24 Gru 2023, w całości zmieniany 21 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Pon 23:40, 26 Gru 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
4.6 Definicja groźby B~>L
Spis treści
4.6 Definicja groźby B~>L 1
4.6.1 Operator implikacji odwrotnej B||~>L 4
4.6.2 Prawo transformacji w groźbie 8
4.7 Wyjaśnienie definicji "wolnej woli" istot żywych 12
4.8 Groźba w równaniach logicznych 13
4.9 Interpretacja groźby wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 15
4.6 Definicja groźby B~>L
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I.
Najbardziej spektakularnym zastosowaniem definicji implikacji prostej p|=>q w świecie żywym jest definicja obietnicy.
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający => wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Z matematyczną obsługą obietnicy zapoznaliśmy się w pkt. 3.6
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=1), ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=0)
II.
Najbardziej spektakularnym zastosowaniem definicji implikacji odwrotnej p|~>q w świecie żywym jest definicja groźby.
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.
W poprzedniku musi być warunek wykonania kary.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=1), ale nie jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=0)
Przykład:
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B) to dostaniesz lanie (L)
B~>L =1
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p=B(brudne spodnie)
q=L(lanie)
Stąd w zapisach formalnych mamy:
p~>q =1
Dostanie lania to kara, zatem zdanie B1 z definicji jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L.
W poprzedniku mamy warunek wykonania kary "jeśli ubrudzisz spodnie"
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej B|~>L:
Implikacja odwrotna B|~>L to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: B=>L =0 - brudne spodnie (B=1) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla dostania lania (L=1)
To samo w zapisach formalnych:
A1: p=>q =~p+q =0
##
B1: B~>L =1 - brudne spodnie (B=1) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1)
To samo w zapisach formalnych:
B1: p~>q = p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Stąd definicja implikacji odwrotnej B|~>q w równaniu logicznym:
A1B1: B|~>L = ~(A1: B=>L)*(B1: B~>L) = ~(0)*1 =1*1=1
To samo w zapisach formalnych:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 =1*1 =1
Podstawmy nasz przykład do tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym {p, q}:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Nasz przykład:
B1:
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=B (brudne spodnie)
q=L (lanie)
A1: B=>L=0 - brudne spodnie nie są (=0) wystarczające => dla dostania lania
B1: B~>L=1 - brudne spodnie są (=1) konieczne ~> dla dostania lania
A1B1: B|~>L =~(A1: B=>L)*(B1: B~>L)=~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
Zapis aktualny (nasz przykład):
p=B, q=L
A: 1: B=>L =0 = 2:~B~>~L=0 [=] 3: L~>B =0 = 4:~L=>~B =0
A’: 1: B~~>~L=1 = [=] = 4:~L~~>B =1
## ## | ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Zapis aktualny (nasz przykład):
p=B, q=L
B: 1: B~>L =1 = 2:~B=>~L=1 [=] 3: L=>B =1 = 4:~L~>~B =1
B’: = 2:~B~~>L=0 [=] 3: L~~>~B=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
4.6.1 Operator implikacji odwrotnej B||~>L
Operator implikacji odwrotnej B||~>L w logice dodatniej (bo L) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o brudne spodnie B (A1B1) i czyste spodnie ~B (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: B|~>L =~(A1: B=>L)* (B1: B~>L) - co się stanie jeśli przyjdę w brudnych spodniach (B=1)?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~B|=>~L =~(A2:~B~>~L)*(B2:~B=>~L) - co się stanie jeśli przyjdę w czystych spodniach (~B=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Czyste (C) = nie brudne (~B)
A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli przyjdę w brudnych spodniach (B=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: B=>L =0 - brudne spodnie (B=1) nie są (=0) wystarczające => dla dostania lania (L=1)
B1: B~>L =1 - brudne spodnie są (=1) konieczne ~> dla dostania lania (L=1)
A1B1: B|~>L =~(A1: B=>L)* (B1: B~>L)=~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Przyjście w brudnych spodniach jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (B1: B~>L=1), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla dostania lania (A1: B=>L=0)
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to dostaniesz lanie (L=1)
B~>L =1
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Czytamy:
Przyjście w brudnych spodniach (B=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1) bo jak przyjdę w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostanę lania (~L=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: B~>L = B2: ~B=>~L
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
C (czyste spodnie) = ~B (nie brudne spodnie)
Komentarz:
Zdania tożsame do B1 to:
B11.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to na 100% ~> dostaniesz lanie (L=1)
B~>L =1
Przyjście w brudnych spodniach (B=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1)
B12.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to możesz ~> dostać lanie (L=1)
B~>L =1
Przyjście w brudnych spodniach (B=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1)
Uwaga:
Na mocy definicji groźby zdanie B1 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością darowania kary na mocy prawdziwego kontrprzykładu A1’. Ostrość wypowiedzianej groźby nie ma tu znaczenia, czyli zachodzi tożsamość matematyczna zdań:
B1 = B11 = B12
W groźbach nadawca z reguły nie wypowiada spójnika „może ~>” osłabiającego groźbę (B12) bowiem marzeniem nadawcy jest, by odbiorca nie spełnił warunku groźby, zatem im ostrzej wypowiedziana groźba, tym teoretycznie lepiej.
Zauważmy, że algebra Kubusia pozwala nadawcy na blefowanie tzn. nadawca może wypowiedzieć groźbę w dowolnie ostrej formie (np. B11) nie mając zamiaru wykonać kary w niej zawartej.
Z faktu, że nadawca w chwili wypowiadania groźby blefuje (o czym odbiorca nie wie) nie wynika iż finalnie zawartej w groźbie kary nie może wykonać.
Innymi słowy:
Finalnie nadawca może wykonać karę w groźbie która w chwili wypowiedzenia groźby była jego blefem.
LUB
Fałszywy warunek wystarczający A1: B=>L=0 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’: B~~>~L=1 (i odwrotnie):
A1’.
Jeśli przyjdziesz w brudnych spodniach (B=1) to możesz ~~> nie dostać lania (~L=1)
B~~>~L = B*~L =1
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Na mocy definicji groźby możliwe jest (=1) zdarzenie:
Przyjdę w brudnych spodniach (B=1) i nie dostanę lania (~L=1)
Zdanie A1’ to powszechny w świecie żywym (nie tylko u człowieka) akt łaski, czyli możliwość darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy, mimo że odbiorca spełnił warunek kary.
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)
… a jeśli nie ubrudzę spodni (~B=1)?
Prawo Kubusia:
B1: B~>L = B2:~B=>~L
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2
A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli przyjdę w czystych spodniach (~B=1)?
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Czyste spodnie (C=1) = nie brudne spodnie (~B=1)
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~B~>~L =0 - czyste spodnie (~B=1) nie są (=0) konieczne ~> dla nie dostania lania (~L=1)
B2: ~B=>~L =1 - czyste spodnie (~B=1) są (=1) wystarczające => dla nie dostania lania (~L=1)
A2B2: ~B|=>~L =~(A2:~B~>~L)*(B2:~B=>~L)=~(0*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli przyjdę w czystych spodniach (~B=1) to mam gwarancję matematyczną => iż nie dostanę lania (~L=1) z powodu że przyszedłem w czystych spodniach (~B=1).
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L=1)
~B=>~L =1
to samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Przyjście w czystych spodniach (~B=1) daje mi gwarancję matematyczną => iż nie dostanę lania (~L=1) z powodu że przyszedłem w czystych spodniach (~B=1).
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>.
Lanie z innego powodu jest oczywiście możliwe, ale takie lanie będzie miało zerowy związek z wypowiedzianą groźbą B1.
Zauważmy, że zdanie B2 jest ewidentną obietnicą bo w następniku mamy nagrodę „brak lania” zaś w poprzedniku warunek otrzymania tej nagrody. Wszelkie obietnice na mocy definicji musimy kodować warunkiem wystarczającym =>.
Matematycznie zachodzą tożsamości:
Nagroda (N) = brak kary (~K)
N=~K
Kara (K) = brak nagrody (~N)
K=~N
Prawdziwy warunek wystarczający B2: ~B=>~L=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’: ~B~~>L=0 (i odwrotnie):
B2’.
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to możesz ~~> dostać lanie (L=1)
~B~~>L = ~B*L =0
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Nie może się zdarzyć (=0), że przyjdę w czystych spodniach (~B=1) i dostanę lanie (L=1) … z powodu czystych spodni (~B=1). Tylko tyle i aż tyle gwarantuje definicja groźby B1.
Zauważmy, że gwarancja B2: ~B=>~L=1 braku lania w groźbie B1 jest niesłychanie silna.
Aby ją złamać ojciec musi powiedzieć słowo w słowo:
Synku, przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1) dostajesz lanie (L=1) bo przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1) = z powodu czystych spodni (~B=1).
~B~~>L = ~B*L =1
W tym momencie mama synka dzwoni po pogotowie - ojciec zwariował i należy go umieścić w szpitalu psychiatrycznym.
Zauważmy, że ojciec-sadysta, jeśli musi walić bez trudu znajdzie sobie pretekst do walenia bez powoływania się na czyste spodnie.
Ojciec-sadysta może powiedzieć tak:
Synku, przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1), dostajesz lanie (L=1) bo masz brudne buty (BB=1).
… i sadysta już może walić, bez narażania się na umieszczenie w szpitalu psychiatrycznym.
Zauważmy że:
W świecie martwym (i matematyce) zdanie B2’ to twardy fałsz (=0) którego świat martwy nie jest w stanie zamienić na jedynkę (=1)
Przykład:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
To co nie jest możliwe w świecie martwym jest możliwe w świecie żywym, mającym „wolną wolę” co widzimy wyżej w groźbie w zdaniu B2'.
B2’.
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to możesz ~~> dostać lanie (L=1)
~B~~>L = ~B*L =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przyjdę w czystych spodniach (~B=1) i dostanę lanie (L=1) z powodu czystych spodni (~B=1)
Definicja „wolnej woli” w świecie żywym:
Wolna wola to możliwość gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).
Na mocy definicji pojęcie „wolnej woli” dotyczy wyłącznie świata żywego.
Definicja świata żywego:
W zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy do czynienia ze światem żywym wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość/fałszywość poprzednika p lub następnika q zależy od „wolnej woli” istoty żywej.
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej B||~>L jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie brudnych spodni (B=1) (zdania B1 i A1’) , oraz gwarancja matematyczna => po stronie czystych spodni (~B=1) (zdanie B2).
Zauważmy że:
a)
Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator implikacji prostej ~B||=>~L w logice ujemnej (bo ~L) to układ równań logicznych:
A2B2: ~B|=>~L =~(A2:~B~>~L)*(B2:~B=>~L) - co się stanie jeśli przyjdę w czystych spodniach (~B=1)?
A1B1: B|~>L =~(A1: B=>L)* (B1: B~>L) - co się stanie jeśli przyjdę w brudnych spodniach (B=1)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~B||=>~L w logice ujemnej (bo ~L) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej B||~>L w logice dodatniej (bo L) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
4.6.2 Prawo transformacji w groźbie
Prawo transformacji w groźbie:
W groźbach „Jeśli p to q” z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie warunkowe „Jeśli q to p” ulega transformacji do czasu przeszłego.
Wyprowadzenie prawa transformacji w groźbie.
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.
W poprzedniku musimy mieć warunek wykonania kary.
Definicja groźby w zapisach formalnych:
Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q
p~>q =1
Spełnienie przyczyny p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia skutku q
Dowolna groźba to warunek konieczny p~>q wchodzący w skład implikacji odwrotnej p|~>q.
Weźmy tabelę prawdy naszej groźby:
B1.
Jeśli jutro ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L=1
Brudne spodnie (B) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dostania lania (L)
Kod: |
IO - diagram groźby p~>q
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym {p, q}:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Nasz przykład:
B1:
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=B (brudne spodnie)
q=L (lanie)
A1: B=>L=0 - brudne spodnie nie są (=0) wystarczające => dla dostania lania
B1: B~>L=1 - brudne spodnie są (=1) konieczne ~> dla dostania lania
A1B1: B|~>L =~(A1: B=>L)*(B1: B~>L)=~(0)*1=1*1=1
A3””: q~>p =0 - zakaz zamiany przyczyny p ze skutkiem q w czasie przyszłym
Nasz przykład:
A3””: L~>B =0 - zakaz zamiany przyczyny p ze skutkiem q w czasie przyszłym
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
Zapis aktualny (nasz przykład):
p=B, q=L
A: 1: B=>L =0 = 2:~B~>~L=0 [=] 3: L~>B =0 = 4:~L=>~B =0
A’: 1: B~~>~L=1 = [=] = 4:~L~~>B =1
## ## | ## ##
Prawo transformacji w groźbie:
Po zamianie przyczyny p i skutku q
przyszłość B1: p~>q transformuje się do przeszłości B3”: q=>p
B1: p~>q =1 - przyszłość | B3”: q=>p =1 - przeszłość
B1”: p~>q =1 - przeszłość |
Nasz przykład:
B1: B~>L =1 - przyszłość | B3”: L=>B =1 - przeszłość
B1”: B~>L =1 - przeszłość
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Zapis aktualny (nasz przykład):
p=B, q=L
B: 1: B~>L =1 = 2:~B=>~L=1 [=] 3: L=>B =1 = 4:~L~>~B =1
B’: = 2:~B~~>L=0 [=] 3: L~~>~B=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo transformacji w groźbie:
W groźbach „Jeśli p to q” z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie warunkowe „Jeśli q to p” ulega transformacji do czasu przeszłego.
Zauważmy, że o groźbach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego.
Definicja świata żywego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej.
Definicja „wolnej woli” istot żywych:
„Wolna wola” istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).
Definicja groźby w zapisach formalnych:
Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q
p~>q =1
Spełnienie przyczyny p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia skutku q
Dowolna groźba to warunek konieczny p~>q wchodzący w skład implikacji odwrotnej p|~>q.
Dowolna groźba to matematyczny opis przyszłości:
B1.
Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
Czas nie może biec wstecz z czego wynika, że niedozwolona jest tu zamiana przyczyny p ze skutkiem q w czasie przyszłym.
A3””.
Jeśli zajdzie skutek q to zajdzie przyczyna p
q~>p =0
Zajście skutku q nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia przyczyny p
Zauważmy, że dozwolona jest zamiana przyczyny p ze skutkiem q w czasie przeszłym, gdzie wszystko jest zdeterminowane:
B3”.
Jeśli zaszedł skutek q to na 100% => zaszła przyczyna p
q=>p =1
Zajście skutku q było warunkiem wystarczającym => dla zajścia przyczyny p
To jest najprostsze uzasadnienie formalne (ogólne) prawa transformacji w groźbie.
Uwaga na standard w algebrze Kubusia w groźbach i obietnicach:
Znaczek (””) oznacza zabronioną zamianę przyczyny p ze skutkiem q w czasie przyszłym
Znaczek (”) oznacza dozwoloną zamianę przyczyny p ze skutkiem q w czasie przeszłym
Nasz przykład:
Zauważmy, że na mocy definicji groźby B1: B~>L musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę, q=L(lanie)
W poprzedniku p musi być warunek wykonania kary, p=B(brudne spodnie).
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji odwrotnej B|~>L.
Zobaczmy jak działa prawo transformacji w groźbie na przykładzie.
Nasz przykład:
B1.
Jeśli jutro ubrudzisz spodnie (B) to dostaniesz lanie (L)
B~>L =1
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=B (brudne spodnie)
q=L (lanie)
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Brudne spodnie (B=1) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1)
Następnik q jest tu ewidentną groźbą, zatem zdanie B1 musimy kodować zgodnie z definicją groźby warunkiem konicznym ~> wchodzącym w skład implikacji odwrotnej B|~>L, bez względu na ostrość wypowiedzenia groźby B1.
Fałszywy warunek wystarczający A1: B=>L=0 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’:
A1’
Jeśli jutro ubrudzisz spodnie (B) to możesz ~~> nie dostać lania (~L)
B~~>~L = B*~L=1
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Może się zdarzyć (=1), że przyjdę w brudnych spodniach (B) i nie dostanę lania (~L).
W tym przypadku ojciec zastosuje znany powszechnie w świecie żywym akt łaski, czyli prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy.
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)
Gwarancja matematyczna => w groźbie wynika z prawa Kubusia:
B1: B~>L = B2: ~B=>~L
stąd mamy:
B2.
Jeśli jutro przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L=1)
~B=>~L =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Przyjście w czystych spodniach (~B=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie dostania lania (~L=1) … z powodu przyjścia w czystych spodniach (~B=1)
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>.
Lanie z dowolnego innego powodu jest możliwe, ale nie będzie ono dotyczyło wypowiedzianej groźby B1.
Zauważmy, że zdanie B2 spełnia klasyczną definicję obietnicy, bowiem w następniku jest mowa o „nie dostaniu lania” które dla dziecka jest nagrodą.
Matematycznie zachodzą tożsamości:
Kara to brak nagrody
K=~N
Nagroda to brak kary
N=~K
Prawo transformacji w groźbie:
W groźbach „Jeśli p to q” z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie warunkowe „Jeśli q to p” ulega transformacji do czasu przeszłego.
Na mocy prawa transformacji zdanie B3” opisuje przeszłość:
B3”.
Jeśli wczoraj dostałeś lanie (L=1) to na 100% => ubrudziłeś spodnie (B=1)
L=>B =1
to samo w zapisie formalnym:
q=>p =1
Z faktu, iż dziecko dostało lanie (L=1) wnioskujemy, iż na 100% => ubrudziło spodnie (B=1)
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa transformacji wszystko pięknie gra i buczy.
Abstrakcyjnie możemy się przenieść do przyszłości mówiąc tak:
B3”.
Jeśli jutro dostaniesz lanie (L=1) to będzie to oznaczało, że wcześniej ubrudziłeś spodnie (B=1)
L=>B =1
to samo w zapisie formalnym:
q=>p =1
Komentarz:
Odczytajmy zdanie A3”” z powyższej tabeli prawdy w czasie przyszłym
A3””.
Jeśli jutro dostaniesz lanie (L=1) to na 100% => przyjdziesz w brudnych spodniach (B=1)
L=>B =0
To samo w zapisie formalnym:
q=>L=0
Zauważmy, że w czasie przyszłym zdanie A3”” traci sens bowiem mówi ono że jeśli dzieciak dostanie lanie (przyczyna) to na 100% => ubrudzi spodnie (skutek) … czyli na złość mamie ugryzę się w język.
Poza tym zdanie A3”” nie spełnia definicji obietnicy którą kodujemy warunkiem wystarczającym => bowiem następnik brzmi tu:
(B=1) - przyjdę w brudnych spodniach
Brudne spodnie nie są dla dziecka ani karą, ani też nagrodą, to tylko stwierdzenie stopnia zabrudzenia jego spodni.
Zdanie A3”” nabierze sensu jeśli wypowiemy je w czasie przeszłym.
B3”.
Jeśli wczoraj dostałeś lanie (L=1) to na 100% => ubrudziłeś spodnie (B=1)
L=>B =1
to samo w zapisie formalnym:
q=>p =1
Z faktu, iż dziecko dostało lanie (L=1) wnioskujemy, iż na 100% => ubrudziło spodnie (B=1)
Podsumowując:
Tylko i wyłącznie dzięki prawu transformacji w groźbie w logice matematycznej nie dochodzi do paradoksu opisanego w zdaniu A3””
4.7 Wyjaśnienie definicji "wolnej woli" istot żywych
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny ~> wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Porównanie operatora implikacji odwrotnej CH||~>P świata martwego (punkt 4.3.1) i operatora implikacji odwrotnej B||~>L ze świata żywego (punkt 4.6.1) w kwestii możliwości ustawienia jedynki w kluczowym w obu przypadkach zdaniu B2'.
I.
Świat martwy:
Jedynym zdaniem fałszywym w całej analizie operatora implikacji odwrotnej CH||~>P (punkt 4.3.1) w świecie martwym jest zdanie B2'
B2'
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to może ~~> padać (P)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie ma chmur (~CH) i pada (P)
Doskonale widać, że świat martwy nie jest w stanie zgwałcić logiki matematycznej pod którą sam podlega i ustawić w zdaniu B2' jedynki
Natomiast świat żywy bez problemu w zdaniu B2' ustawi jedynkę.
II.
Świat żywy:
Jedynym zdaniem fałszywym w całej analizie operatora implikacji odwrotnej B||~>L (punkt 4.6.1) w świecie żywym jest zdanie B2'
B2’.
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to możesz ~~> dostać lanie (L=1)
~B~~>L = ~B*L =0
Nie może się zdarzyć (=0), że przyjdę w czystych spodniach (~B=1) i dostanę lanie (L=1) … z powodu czystych spodni (~B=1). Tylko tyle i aż tyle gwarantuje definicja groźby B1.
W świecie martwym (i w matematyce) kontrprzykład B2’ jest twardym fałszem którego świat martwy nie jest w stanie złamać.
W świecie żywym, mającym „wolną wolę”, ojciec może kłamać do woli ustawiając jedynkę w zdaniu B2', czyli syn może przyjść w czystych spodniach (~B=1) a ojciec z premedytacją może skłamać mówiąc.
B2’.
Synku, przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1), dostajesz lanie (L=1) dlatego, że przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1)
~B~~>L = ~B*L =1
Dokładnie tak wypowiedziane zdanie, z uzasadnieniem zależnym identycznym jak poprzednik, będzie dowodem kłamstwa ojca. Lanie z innego powodu niż czyste spodnie (~B=1) jest oczywiście możliwe, ale takie lanie będzie miało zero wspólnego z oryginalną groźbą B1: B~>L ojca.
Oczywiście wszyscy zdrowi na umyśle słysząc zdanie B2’ zaczną podejrzewać, że ojciec zwariował, niemniej jednak ojciec może to zdanie wypowiedzieć.
Definicja świata żywego:
W zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy do czynienia ze światem żywym wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość/fałszywość poprzednika p lub następnika q zależy od „wolnej woli” istoty żywej.
Stąd mamy:
Definicja "wolnej woli" istot żywych:
"Wolna wola" to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy (w tym przez matematykę)
Oczywiście definicja "wolnej woli" dotyczy wyłącznie istot żywych.
Świat martwy (w tym matematyka) nie jest w stanie zgwałcić logiki matematycznej (algebry Kubusia) którą sam wyznacza i pod którą sam podlega.
4.8 Groźba w równaniach logicznych
Poniższy dowód zaprezentowałem w początkach rozszyfrowywania algebry Kubusia, gdzie znałem już poprawne definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> oraz prawa Kubusia, ale jeszcze nie znałem kluczowej definicji kontrprzykładu (z AK) i zdarzenia możliwego ~~>. Od tego momentu nie miałem wyjścia, musiałem rozszyfrować algebrę Kubusia.
Zastosujmy świętą zasadę algebry Boole’a „Jak się mówi tak się pisze” doskonale znaną wszystkim inżynierom elektronikom, ci od cyfrowych układów logicznych.
Definicja groźby:
B1.
Jeśli spełnisz dowolny warunek (W=1) to zostaniesz ukarany (K=1)
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku mamy karę.
W poprzedniku musimy mieć warunek wykonania kary.
Na mocy definicji groźby jej obsługa jest zdeterminowana implikacją odwrotną W|~>K, tu nic a nic nie musimy udowadniać.
Opiszmy groźbę w naturalnej logice matematycznej człowieka.
Obowiązuje tu zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Zostanę ukarany (K=1) gdy spełnię warunek kary (W=1) i nadawca zdecyduje o ukaraniu (U=1).
W groźbie nadawca może skorzystać z aktu łaski ale nie musi tego robić.
Wprowadźmy zmienną uznaniową U, którą nadawca może ustawić na dowolną wartość:
U=1 - karać
U=0 - nie karać (akt łaski)
Matematyczne równanie groźby:
K=W*U
Gdzie:
K=1 - zostanę ukarany
K=0 - nie zostanę ukarany
W=1 - warunek kary spełniony
W=0 - warunek kary nie spełniony
Zmienna uznaniowa nadawcy:
U=1 - karać
U=0 - nie karać (akt łaski)
Akt łaski w groźbie zajdzie wtedy, gdy odbiorca spełni warunek kary (W=1) zaś nadawca odstąpi od wykonania kary ustawiając swoją zmienną wolną U na wartość:
U=0 - akt łaski (nie karać)
Analiza równania groźby:
K=W*U
Przypadek A.
W=0 - warunek kary nie jest spełniony
Równanie groźby przybierze wówczas postać:
K=W*U=0*U=0 - zakaz karania jeśli warunek kary nie zostanie spełniony.
Prawo algebry Boole'a:
0*x=0
Zauważmy, że nadawca nie ma tu nic do gadania. Może sobie ustawiać swoją zmienną wolną U długo i namiętnie na U=1 (karać) ... a i tak ma zakaz karania z powodu nie spełnienia warunku kary.
Przypadek B.
W=1 - warunek kary spełniony
Równanie groźby przybiera postać:
K=W*U=1*U=U
Prawo algebry Boole'a:
1*x=x
Wszystko w rękach nadawcy który może zrobić co mu się podoba wedle wolnej woli:
U=1 - karać
U=0 - nie karać
Nasz przykład:
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Równanie groźby:
L = B*U
Przypadek A - synek ubrudził spodnie (B=1):
Ubrudziłeś spodnie (B=1), nie dostaniesz lania (L=0) ... bo samochód cię ochlapał, bo dziś mam dobry humor, bo cię kocham itp.
Gdzie:
U=0 (nie karać) - dowolne uzasadnienie niezależne jak wyżej.
L=B*U=1*0=0 - nie zostałem ukarany (L=0), bo nadawca zastosował akt łaski (U=0)
Uzasadnienie zależne:
Zauważmy, że nadawca może tu robić co mu się podoba z małym wyjątkiem, nie może darować kary z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek kary.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Ubrudziłeś spodnie (B=1), nie dostajesz lania (L=0), bo ubrudziłeś spodnie (U=B=1).
Gdzie:
B=1 - warunek kary spełniony
U=B=1 - uzasadnienie darowania kary identyczne jak poprzednik
Równanie groźby:
L=B*U=1*1=1 - kara musi być wykonana (L=1), zakaz darowania kary z uzasadnieniem zależnym
Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.
Przypadek B - synek nie ubrudził spodni (~B=1):
Prawo Prosiaczka:
(~B=1) = (B=0)
Stąd równanie groźby przybiera postać:
L=B*U = 0*U =0 - zakaz lania w przypadku przyjścia w czystych spodniach (~B=1)=(B=0)
Zmienna uznaniowa nadawcy U jest tu bez znaczenia bo prawo algebry Boole’a:
0*x =0
4.9 Interpretacja groźby wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.
W poprzedniku musi być warunek wykonania kary.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q.
Możliwych, różnych na mocy definicji ## gróźb jest nieskończenie wiele, o czym każdy 5-cio latek wie, ale wszystkie mają identyczne znaczenie funkcji logicznej Y
Znaczenie funkcji Y w groźbie jest następujące:
Y=1 - prawdą jest (=1), że nadawca groźby dotrzyma słowa (Y)
Innymi słowy w logice symboli bez użycia jedynek:
Y - nadawca groźby dotrzyma słowa Y
Przykład:
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B) dostaniesz lanie (L)
B~>L =1
Lanie jest tu ewidentną karą, jasno jest sprecyzowany warunek wykonania kary (brudne spodnie) zatem zdanie B1 podlega pod definicję groźby.
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym ~> dostania lania, ale na mocy definicji implikacji odwrotnej B|~>L nie jest to warunek wystarczający =>.
Definicja warunku koniecznego ~> wchodzącego w skład implikacji odwrotnej p|~>q:
p~>q = p+~q
Nasz przykład:
B~>L = B+~L
Czyli:
G1.
Przyjdziesz w brudnych (B=1) spodniach lub nie dostaniesz lania (~L=1)
Y = B+~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 >=> B=1 lub ~L=1
Czytamy:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy przyjdę w brudnych spodniach (B=1) lub nie dostanę lania (~L=1)
Zauważmy, że groźba B1 jest zrozumiała dla każdego 5-cio latka, zaś pseudo-groźby G1 żaden normalny człowiek nie zrozumie, bo zabity został warunek konieczny ~>.
Zdanie G1 będzie zrozumiałe dla 5-cio latka po jego rozpisce w zdarzeniach rozłącznych.
Dowód:
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dla:
p=B i q=~L
mamy:
G1”.
Y = B*~L + B*L + ~B*~L
Suma logiczna jest przemienna stąd:
Y = A: B*L + B: B*~L + C: ~B*~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: B=1 i L=1 + B: B=1 i ~L=1 + C: ~B=1 i ~L=1
Czytamy:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=B*L =1*1=1 – przyjdę w brudnych spodniach (B=1) i dostanę lanie (L=1)
lub
B: Yb=B*~L=1*1=1 – przyjdę w brudnych spodniach (B=1) i nie dostanę lania (~L=1)
lub
C: Yc=~B*~L=1*1=1 – przyjdę w czystych spodniach (~B=1) i nie dostanę lania (~L=1)
Zdanie B to powszechnie znany w świecie żywym (dotyczy także zwierząt) akt łaski, czyli możliwość darowania kary (~L=1), mimo że odbiorca spełnił warunek wykonania kary (B=1 – przyszedł w brudnych spodniach).
… a kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy dwustronnie równanie G1:
G2.
~Y = ~B*L
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~B=1 i L=1
Czytamy:
Ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy przyjdę w czystych spodniach (~B=1) i dostanę lanie (L=1) … oczywiście z powodu, że przyszedłem w czystych spodniach (~B=1).
Lanie z dowolnego innego powodu jest możliwe, ale nie dotyczy naszej groźby B1: B~>L.
Znaczenie funkcji Y jest następujące:
Y=1 - prawdą jest (=1), że ojciec dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1), że ojciec nie dotrzyma słowa (~Y)
Innymi słowy w logice symboli bez użycia jedynek:
Y - ojciec dotrzyma słowa Y
~Y - ojciec nie dotrzyma słowa ~Y
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Lewą stronę czytamy:
Prawdą jest (=1), że ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1)
Prawą stronę czytamy:
Fałszem jest (=0) że ojciec dotrzyma słowa (Y=1)
Jak widzimy, prawo Prosiaczka rozumie każdy 5-cio latek
Zauważmy, że zdarzenia Y=B+~L+K i ~Y=~B*L są różne w znaczeniu znaczka #.
Zdarzenie:
"ojciec dotrzyma słowa" (Y)
jest różne # od zdarzenia:
"ojciec nie dotrzyma słowa" (~Y)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Trzeciej możliwości brak zatem pojęcia Y i ~Y spełniają definicję spójnika "albo"($).
Sprawdzenie:
Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) - poznamy niebawem:
p$q = p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd mamy:
Y$~Y = Y*~(~Y) + ~(Y)*~Y = Y*Y + ~Y*~Y = Y+~Y=1
cnd
Równie łatwo udowodnić iż pojęcia Y i ~Y nie są tożsame.
Dowód:
Prawo Irbisa (poznamy w niedalekiej przyszłości):
Dwa zdarzenia/pojęcia p i q są matematycznie tożsame "=" wtedy i tylko wtedy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Stąd mamy:
p<=>q = (~p+q)*(~q+p) = ~p*~q + ~p*p + q*~q + q*p
Prawa algebry Boole'a:
x*~x=0
x+0=x
Po minimalizacji mamy:
p<=>q = p*q+~p*~q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd mamy:
Y<=>~Y = Y*~Y + ~(Y)*~(~Y) = Y*~Y + ~Y*Y = 0+0 =0
Oznacza to, że wykluczona jest tożsamość matematyczna pojęć "ojciec dotrzyma słowa" (Y) i "ojciec nie dotrzyma słowa" (~Y)
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 19:27, 05 Lut 2024, w całości zmieniany 21 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Sob 22:48, 07 Sty 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
5.0 Definicje znaczków ## i ###
Spis treści
5.0 Definicje znaczków ## i ### 1
5.1 Przykład implikacji prostej P|=>CH 2
5.2 Przykład implikacji odwrotnej CH|~>P 3
5.3 Nietrywialny błąd podstawienia ### 5
5.4 Matematyczny raj 5-cio latka 9
5.4.1 Istota pudełka z kotem Schrödingera 12
5.4.2 Kot Schrödingera w logice matematycznej 16
5.5 Implikacja prosta A|=>S na gruncie fizyki teoretycznej 16
5.5.1 Zmienne związane i zmienne wolne w implikacji prostej A|=>S 17
5.5.2 Wyprowadzenie definicji implikacji prostej A|=>S 18
5.5.3 Operator implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach 20
5.6 Implikacja odwrotna A|~>S na gruncie fizyki teoretycznej 22
5.6.1 Zmienne związane i zmienne wolne w implikacji odwrotnej A|~>S 22
5.6.2 Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej A|~>S 23
5.6.3 Operator implikacji odwrotnej A||~>S w zdarzeniach 24
5.0 Definicje znaczków ## i ###
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
5.1 Przykład implikacji prostej P|=>CH
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A1B1: p|=>q = ~p*q (pkt. 2.10)
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Wypowiedzmy przykładowe zdanie A1 ze spełnionym warunkiem wystarczającym =>:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
p=>q =1
Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p = P (pada)
q = CH (chmury)
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
Zdanie A1 jest częścią implikacji prostej P|=>CH bo warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami jest fałszem.
Dowód:
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Przykład to zdania A1 i B1 wyżej:
Warunek wystarczający A1: p=>q = ~p+q ## Warunek konieczny B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Różność matematyczną ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => (A1) i koniecznego ~> (B1) wbudowanych w treść zdań.
Stąd w zapisie aktualnym mamy:
Definicja implikacji prostej P|=>CH:
Punkt odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur
Stąd:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Definicja implikacji prostej P|=>CH w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A1B1: P|=>CH = ~P*CH (pkt. 2.10)
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p|=>q = ~p*q (pkt. 2.10)
Podstawmy parametry formalne {p, q} i aktualne {P, CH} do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla implikacji prostej P|=>CH
Kod: |
IP:
Implikacja prosta p|=>q:
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1)
ale nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Nasz przykład:
A1: Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
A1: P=>CH=1 -padanie(P) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur(CH)
B1: P~>CH=0 - padanie(P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur(CH)
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
Nasz przykład:
A: 1: P=>CH=1 = 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P=1 = 4:~CH=>~P=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
Nasz przykład:
B: 1: P~>CH=0 = 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=>P=0 = 4:~CH~>~P=0
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
5.2 Przykład implikacji odwrotnej CH|~>P
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A1B1: p|~>q = p*~q (pkt. 2.6.2)
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Wypowiedzmy zdanie B1 ze spełnionym warunkiem koniecznym ~>:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p = CH (chmury)
q = P (pada)
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki.
Innymi słowy:
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo zabieram stan "chmury" i znika im możliwość "padania"
Zdanie B1 jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q bo warunek wystarczający => między tymi samymi punktami jest fałszem.
Dowód:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padać (P)
CH=>P =0
Chmury (CH) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P) bo nie zawsze gdy są chmury, pada
Stąd w zapisie aktualnym mamy:
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P:
Punkt odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
A1: CH=>P=0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania
W równaniu logicznym:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A1B1: CH|~>P = CH*~P
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p|~>q = p*~q (pkt. 2.10)
Podstawmy parametry formalne {p, q} i aktualne {CH, P} do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji odwrotnej CH|~>P
Kod: |
IO:
Implikacja odwrotna p|~>q:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Nasz przykład.
B1: Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
A1: CH=>P=0 -chmury(CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania(P)
B1: CH~>P=1 -chmury(CH) są (=1) konieczne ~> dla padania(P)
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
Nasz przykład:
A: 1: CH=>P=0 = 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~>CH=0 = 4:~P=>~CH=0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
Nasz przykład:
B: 1: CH~>P=1 = 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=>CH=1 = 4:~P~>~CH=1
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
5.3 Nietrywialny błąd podstawienia ###
Porównajmy wyprowadzoną w punkcie 5.1 implikację prostą P|=>CH z wyprowadzoną w punkcie 5.2 implikacją odwrotną CH|~>P
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A1B1: p|=>q = ~p*q (pkt. 2.10)
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
A1: p=>q = ~p+q
Nasz przykład:
Definicja implikacji prostej P|=>CH:
A1: Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
Punkt odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur
Stąd:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Definicja implikacji prostej P|=>CH w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A1B1: P|=>CH = ~P*CH
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p|=>q = ~p*q (pkt. 2.10)
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
A1B1: P=>CH = ~P+CH
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p=>q = ~p+q
##
###
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A1B1: p|~>q = p*~q (pkt. 2.6.2)
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
B1: p~>q = p+~q
Nasz przykład:
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P:
B1: Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
Punkt odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
A1: CH=>P=0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania
W równaniu logicznym:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A1B1: CH|~>P = CH*~P (pkt. 2.10)
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p|~>q = p*~q (pkt. 2.10)
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
B1: CH~>P = CH+~P
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji w zapisach formalnych {p, q}
### - różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia w zapisach aktualnych {P, CH}
Porównanie implikacji prostej A1B1: p|=>q i odwrotnej A1B1: p|~>q w zapisach formalnych (ogólnych) i aktualnych (przykład):
Kod: |
T1
Zapis formalny: | Zapis formalny:
0: Implikacja prosta A1B1: p|=>q ## Implikacja odwrotna A1B1: p|~>q
1: A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)## A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
2: A1B1: p|=>q = ~p*q ## A1B1: p|~>q =p*~q
3: A1: p=>q=~p+q ## B1: p~>q=p+~q
Zapisy aktualny (przykład): | Zapis aktualny (przykład):
Punkt odniesienia: | Punkt odniesienia:
4: p = P(pada) ### p = CH (chmury)
5: q = CH (chmury) ### q = P (pada)
A1B1: | A1B1:
6: Implikacja prosta P|=>CH ### Implikacja odwrotna CH|~>P
7: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) ### CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)
8: A1B1: P|=>CH = ~P*CH ### A1B1: CH|~>P = CH*~P
9: A1: P=>CH = ~P+CH ### B1: CH~>P = CH+~P
Gdzie:
## - różne na mocy definicji dla zapisu formalnego (ogólnego)
### - różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia dla zapisu aktualnego
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Jak widzimy, w zapisach formalnych {p, q} mamy do czynienia ze znaczkiem różne na mocy definicji ## który obowiązuje zawsze i wszędzie.
Zauważmy, że jeśli wykasujemy wszystkie linie ze znaczkiem różne na mocy definicji ##, czyli wszystkie w których występują zmienne formalne {p, q} to:
a) W linii 8 dostaniemy tożsamość logiczną [=] bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny.
b) W linii 9 również dostaniemy tożsamość logiczną [=] bo suma logiczna (+) jest przemienna
Stąd mamy:
Definicja znaczka różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia ###
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy ich zapis formalny (teoria ogólna) jest różny na mocy definicji ## natomiast w zapisie aktualnym skolerowanym z zapisem formalnym zachodzi tożsamość logiczna [=]
Z tabeli T1 usuńmy wszelkie linie w których występuje jakikolwiek parametr formalny {p, q}
Kod: |
T1"
Zapisy aktualny (przykład): | Zapis aktualny (przykład):
A1B1: | A1B1:
6: Implikacja prosta P|=>CH [=] Implikacja odwrotna CH|~>P
7: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) [=] CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)
8: A1B1: P|=>CH = ~P*CH [=] A1B1: CH|~>P = CH*~P
9: A1: P=>CH = ~P+CH [=] B1: CH~>P = CH+~P
|
Jak widzimy, w linii 8 zachodzi tożsamość logiczna [=] bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny.
W linii 9 również zachodzi tożsamość logiczna [=] bo suma logiczna (+) jest przemienna.
Pociąga to za sobą tożsamość logiczną [=] w liniach 6 i 7.
Pozostaje nam wyjaśnić o co chodzi z tą tożsamością w linii 7?
Przepiszmy w tym celu tabele prawdy implikacji prostej p|=>q (pkt. 5.1) i odwrotnej p|~>q (pkt. 5.2) wycinając wszelkie odnośniki do parametrów formalnych.
Kod: |
IP (punkt 5.1):
Implikacja prosta P|=>CH
A1: P=>CH=1 -padanie(P) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur(CH)
B1: P~>CH=0 - padanie(P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur(CH)
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej P|=>CH
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Nasz przykład:
A: 1: P=>CH=1 = 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P=1 = 4:~CH=>~P=1
## ## ## ##
Nasz przykład:
B: 1: P~>CH=0 = 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=>P=0 = 4:~CH~>~P=0
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
[=]
Kod: |
IO (punkt 5.2):
Implikacja odwrotna CH|~>P:
A1: CH=>P=0 -chmury(CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania(P)
B1: CH~>P=1 -chmury(CH) są (=1) konieczne ~> dla padania(P)
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej CH|~>P
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Nasz przykład:
A: 1: CH=>P=0 = 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~>CH=0 = 4:~P=>~CH=0
## ## ## ##
Nasz przykład:
B: 1: CH~>P=1 = 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=>CH=1 = 4:~P~>~CH=1
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
Doskonale widać, że seria zdań prawdziwych Ax w implikacji prostej P|=>CH (pkt.5.1) jest identyczna jak seria zdań prawdziwych Bx w implikacji odwrotnej CH|~>P (pkt.5.2), bo kolejność wypowiadania zdań jest bez znaczenia.
Stąd w zapisach aktualnych (nasz przykład) mamy:
IP Implikacja prosta P|=>CH [=] IO Implikacja odwrotna CH|~>P
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
Zauważmy, że logika matematyczna operująca wyłącznie za zapisach aktualnych (przykłady) ulega spłaszczeniu, czyli mamy do dyspozycji wyłącznie serię tożsamych zdań prawdziwych Ax albo Bx
Cytat: |
Matematyczny raj 5-cio latka
Seria zdań prawdziwych w implikacji prostej P||=>CH (pkt.5.1)
tożsama z serią zdań prawdziwych w implikacji odwrotnej CH|~>P (pkt.5.2)
A: 1: P=>CH=1 = 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P=1 = 4:~CH=>~P=1
|
O co chodzi z tym rajem 5-cio latka?
5.4 Matematyczny raj 5-cio latka
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wyobraźmy sobie, że mamy pudełko z czterema zdaniami prawdziwymi:
Kod: |
Matematyczny raj 5-cio latka:
A: 1: P=>CH=1 [=] 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P=1 [=] 4:~CH=>~P=1
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
|
Definicja ogólna tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów
Tożsame znaczki tożsamości logicznej które możemy stosować zamiennie w zależności od potrzeb:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
Dlaczego to jest matematyczny raj 5-cio latka?
Oczywistym jest, że 5-cio latek nie zna teorii algebry Kubusia którą tu poznajemy, jednak doskonale posługuje się w praktyce wszystkimi prawami logiki matematycznej rodem z algebry Kubusia.
Prawo Maleństwa:
Prawa logiki matematycznej w raju 5-cio latka zna w praktyce każdy przedszkolak
I.
Prawo Kubusia dla A1:
A1: P=>CH = A2:~P~>~CH
[=]
II.
Prawo Kubusia dla A3:
A3: CH~>P = A4: ~CH=>~P
[=]
III.
Prawo Tygryska dla A1:
A1: P=>CH = A3: CH~>P
[=]
IV.
Prawo Tygryska dla A2:
A2: ~P~>~CH = A4: ~CH=>~P
[=]
V.
Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego => (A1):
A1: P=>CH = A4: ~CH=>~P
[=]
VI.
Prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~> (A3):
A3: CH~>P = A2: ~P~>~CH
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej [=].
Zarówno treść zdań w raju 5-cio latka, jak i wszystkie prawa logiki matematycznej są doskonale znane każdemu 5-cio latkowi.
Aby to udowodnić udajmy się do przedszkola
Ad I.
Prawo Kubusia dla A1:
A1: P=>CH = A2:~P~>~CH
Pani:
Jasiu, jeśli jutro będzie padało to może być pochmurno?
Jaś:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100%=> będzie pochmurno (CH)
A1: P=>CH =1
Pani:
Jasiu czy padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH)
Jaś:
Tak, bo zawsze gdy pada, są chmury
Pani:
Jasiu, a jeśli jutro nie będzie padało?
Jaś:
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
A2: ~P~>~CH =1
Pani:
Czy brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH)?
Jaś:
Tak, brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH) bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
Jak widzimy w ostatnim zdaniu prawo Kubusia samo Jasiowi wyskoczyło, mimo że jako 5-cio latek nie jest tego świadom.
Ad II.
Prawo Kubusia dla A3:
A3: CH~>P = A4: ~CH=>~P
Pani:
A3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
A3: CH~>P =1
Jasiu, czy chmury są konieczne ~> by padało?
Jaś (lat 5):
Tak, bo padać może wyłącznie z chmurki
Innymi słowy:
Zabieram chmurki i znika mi możliwość padania
O, mam jeszcze jedną odpowiedź:
Chmury (CH) są konieczne ~> dla padania (P), bo jak nie ma chmur (~CH) to na 100% => nie pada (~P).
A3: CH~>P = A4: ~CH=>~P
Jak widzimy w ostatnim zdaniu prawo Kubusia samo Jasiowi wyskoczyło, mimo że jako 5-cio latek nie jest tego świadom.
Pani:
Jasiu, a jeśli jutro nie będzie pochmurno to może nie padać?
Jaś:
Prawo Kubusia:
A3: CH~>P = A4:~CH=>~P
Jaś:
A4:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padać (~P)
A4: ~CH=>~P =1
Pani:
Czy brak chmur (~CH) daje nam gwarancję => nie padania (~P)?
Jaś:
Tak, bo zawsze gdy nie ma chmur, to nie pada
etc
5.4.1 Istota pudełka z kotem Schrödingera
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zauważmy, że w matematycznym raju 5-cio latka logika matematyczna widzi wyłącznie serię zdań Ax ignorując serię zdań Bx, czyli fałszywie opisuje otaczający nas świat rzeczywisty.
Zapiszmy jeszcze raz matematyczny raj 5-cio latka:
Kod: |
Matematyczny raj 5-cio latka:
A: 1: P=>CH=1 [=] 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P=1 [=] 4:~CH=>~P=1
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
|
Rozważmy warunek wystarczający X: P=>CH:
X.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
Zauważmy, że ten sam warunek wystarczający X: P=>CH może należeć do implikacji prostej:
p|=>q =~p*q (pkt.2.10)
albo do różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej:
p|~>q = p*~q (pkt.2.10)
Dowód:
IP
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)= ~p*q
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Przykład:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = ~P*CH
A1: P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
##
IO
Implikacja odwrotna p|~>q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*~q
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Przykład:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)= CH*~P
Dla B1 skorzystajmy z prawa Tygryska:
B1: CH~>P = B3: P=>CH =1
B1: p~>q = B3: q=>p =1
Prawo Tygryska jest dowodem że warunek wystarczający X: P=>CH występuje również w implikacji odwrotnej p|~>q
Gdzie:
## - znaczek różne na mocy definicji obowiązujący dla zapisu formalnego {p, q, Y}
Takie niuanse 5-cio latka zupełnie nie interesują, nie są mu do niczego potrzebne i w niczym nie ograniczają jego biegłego posługiwania się prawami logiki matematycznej.
Inaczej jest z matematykiem, znającym teorię algebry Kubusia którą tu omawiamy.
Matematyka nie może być niejednoznaczna tzn.
Matematyk A mówi że warunek wystarczający X: P=>CH należy do implikacji prostej:
A1B1: p|=>q
Ma rację bo:
IP: Implikacja prosta
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienie chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
A1: p=>q =1 - zapis formalny
A1: P=>CH =1 - zapis aktualny
ZAŚ
## - różne na mocy definicji
Matematyk B twierdzi, że ten sam warunek wystarczający X: P=>CH należy do różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej:
A1B1: p|~>q
Też ma rację bo prawo Tygryska.
IO Implikacja odwrotna
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
Dla B1 stosujemy prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład z IO:
B1: CH~>P = B3: P=>CH =1
B3: q=>p =1 - zapis formalny
B3: P=>CH =1 - zapis aktualny
Jednoznaczność matematyki dla wszystkich ludzi uzyskamy wprowadzając do logiki matematycznej prawo Kłapouchego.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Wniosek:
Prawo Kłapouchego wymusza na wszystkich ludziach identyczny punkt odniesienia i poprzez analogię jest tożsame z otwarciem drzwiczek do pudełka z kotem Schrödingera.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Prawo Kłapouchego obowiązuje dla standardu dodatniego w języku potocznym człowieka.
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka.
Innymi słowy:
Logiką matematycznie zgodną z językiem potocznym człowieka jest tylko i wyłącznie standard dodatni.
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Prawo Kłapouchego = otwarcie drzwiczek do pudełka z kotem Schrödingera.
Prawo Kłapouchego jest tożsame z otwarciem drzwiczek do pudełka z kotem Schrödingera
Innymi słowy:
X.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
X: P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
Istota pudełka z kotem Schrödingera:
Przed zastosowaniem prawa Kłapouchego jeśli spytamy dowolnego matematyka czy zdanie X: P=>CH wchodzi w skład implikacji prostej IP:
IP: A1B1: P|=>CH, (A1: P=>CH)
to samo w zapisie formalnym:
IP: A1B1: p|=>q, (A1: p=>q)
Gdzie:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
;
czy też w skład różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej IO:
;
IO: A1B1: CH|~>P, (B3: P=>CH)
to samo w zapisie formalnym:
IO: A1B1: p|~>q, (B3: q=>p)
Gdzie:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
;
matematyk ów musi odpowiedzieć:
NIE WIEM!
.. dopóki nie zastosuje prawa Kłapouchego.
Uwaga:
Nie wolno nam twierdzić, że zdanie X: P=>CH może kiedykolwiek należeć (stan drzwiczek jest tu nieistotny) równocześnie do implikacji prostej:
IP: A1B1: P|=>CH, (A1: P=>CH)
to samo w zapisie formalnym:
IP: A1B1: p|=>q, (A1: p=>q)
Gdzie:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
i różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej:
IO: A1B1: CH|~>P, (B3: P=>CH)
to samo w zapisie formalnym:
IO: A1B1: p|~>q, (B3: q=>p)
Gdzie:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
bo to jest matematycznie i fizycznie niemożliwe, czego dowodem jest prawo Puchacza (pkt. 2.10.1)
Analogicznie w stosunku do pudełka z kotem Schrödingera nie wolno nam twierdzić, że dopóki nie otworzymy drzwiczek to kot jest jednocześnie żywy i martwy - to jest matematyczny i fizyczny fałsz, co udowadnia przykład z logiki matematycznej wyżej opisany.
[link widoczny dla zalogowanych]
Kot Schrödingera napisał: |
Jeden z najsłynniejszych eksperymentów świata. Prawie każdy coś słyszał o „Kocie Schrödingera”, ale już nie każdy pojął, o co w tym wszystkim chodziło. Co ma kot do fizyki? Czemu go zabili, a może go jednak nie zabili?
„Koci” eksperyment został opisany w 1935 roku przez znakomitego austriackiego fizyka Erwina Schrödingera. Specjalnie piszemy, że eksperyment został opisany a nie przeprowadzony, ponieważ był to eksperyment myślowy. Oznacza to, że żaden kot w jego trakcie nie ucierpiał.
Eksperyment ten jest próbą wyjaśnienia zasad mechaniki kwantowej na przykładzie obiektów w skali makro. Opisane w nim zjawisko nazwane jest superpozycją. Polega to na tym, że obiekt przyjmuje wszystkie możliwe stany w tym samym momencie. W eksperymencie Schrödingera w tym samym momencie kot jest żywy i martwy. Ale uwaga – sytuacja ta ma miejsce w pod warunkiem, że pudełko jest zamknięte i nie widzimy, co się dzieje z kotem w środku. Dopiero w momencie obserwacji obiektu (w tym przypadku kota) przyjmuję on tylko jeden z możliwych stanów. Po otwarciu pudełka zastaniemy kota martwego lub żywego. Następuję załamanie funkcji falowej.
|
[link widoczny dla zalogowanych]
5.4.2 Kot Schrödingera w logice matematycznej
Zauważmy, że w logice matematycznej kot Schrödingera pojawia się w wielu miejscach.
Inne przypadki kota Schrödingera to prawo Kameleona (pkt. 2.16.1), czy też prawo Kłapouchego (pkt. 2.7)
5.5 Implikacja prosta A|=>S na gruncie fizyki teoretycznej
Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.
5.5.1 Zmienne związane i zmienne wolne w implikacji prostej A|=>S
Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1 - zapis aktualny
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 - zapis formalny
Punkt odniesienia:
p=A - przycisk A (wejście)
q=S - żarówka S (wyjście)
W
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Punkt odniesienia: A1B1: p|=>q = A|=>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej W:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje A i B.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W. Oboje widzą dokładnie tą samą żarówkę S. Jaś nie widzi Zuzi, ani Zuzia nie widzi Jasia, ale oboje wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S1, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S1, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna). Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.
Punktem odniesienia na schemacie S1 jest Jaś siedzący w pokoju A, bowiem w równaniu opisującym układ występuje wyłącznie przycisk A - Jaś nie ma dostępu do przycisku W.
Zauważmy, że zmienna związana A (także zmienna wolna W) nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte
Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S1 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S.
5.5.2 Wyprowadzenie definicji implikacji prostej A|=>S
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Dla naszego schematu S1 zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Tak, stan przycisku W jest tu nieistotny, może być W=x gdzie x=[1,0]
Zauważmy, że pytanie A1 nie dotyczy przycisku W.
Przycisk W tu jest zmienną wolną którą możemy zastać w dowolnej pozycji W=x gdzie x={1,0}
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A1: A=>S =1
Przyjmijmy zdanie A1 za punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - na mocy prawa Kłapouchego
Nasz punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że stan przycisku W jest bez znaczenia W=x gdzie x={0,1}
B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Nie.
Przycisk A może nie być wciśnięty (A=0), a mimo to żarówka może się świecić, gdy zmienna wolna W będzie ustawiona na W=1.
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
B1: A~>S =0
Wciśnięcie przycisku A (A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1), bowiem może być sytuacja A=0 i W=1 i żarówka będzie się świecić
cnd
Jak widzimy na dzień dobry wyskoczyło nam prawo Kameleona.
Prawa Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Różność ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdania A1 i B1 tworzą definicję implikacji prostej A|=>S.
IP
Definicja implikacji prostej A|=>S w logice dodatniej (bo S):
Implikacja prosta A|=>S to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie klawisza A jest wystarczające => dla świecenia się żarówki S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie klawisza A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S
bo żarówkę S może zaświecić zmienna wolna W (W=1)
Stąd mamy:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta A|=>S jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia żarówki S (A1) i nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia żarówki S (B1)
Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q
Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym {A,S}:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S =1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: A~>S =0 = 2:~A=>~S =0 [=] 3: S=>A =0 = 4:~S~>~A =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP.
Z prawa Sowy wynika, że wystarczy udowodnić zachodzącą implikację prostą A|=>S co wyżej zrobiliśmy, aby mieć gwarancję matematyczną prawdziwości operatora implikacji prostej A||=>S (i odwrotnie)
5.5.3 Operator implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach
Kod: |
S1 Schemat 1
W
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Operator implikacji prostej A||=>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 odpowiadający na pytania o A i ~A:
A1B1: A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) - co się stanie jeśli zajdzie A
A2B2:~A|~>~S=(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli zajdzie ~A
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka będzie się świecić (S=1) - mówi o tym zdanie A1
Kolumna A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że stan przycisku W jest bez znaczenia W=x gdzie x={0,1}
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S=A*~S=0
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1).
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Nasz przykład:
A1: A=>S = A2: ~A~>~S =1
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) konieczne ~> dla nie świecenia się S (~S=1)
B2: ~A=>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) wystarczające => dla nie świecenia się S (~S=1)
A2B2:~A|~>~S=(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) =`*~(0)=1*1=1
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
Kolumna A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
~A~>~S =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia się żarówki S (~S=1) bo jak przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2:~A~>~S = A1: A=>S
LUB
Z fałszywości warunku wystarczającego B2: ~A=>~S=0 wynika prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Gdy zmienna wolna W ustawiona jest na W=1.
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej A||=>S jest gwarancja matematyczna => po stronie A (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~A (zdania A2 i B2’) .
5.6 Implikacja odwrotna A|~>S na gruncie fizyki teoretycznej
Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.
5.6.1 Zmienne związane i zmienne wolne w implikacji odwrotnej A|~>S
Kod: |
S2 Schemat 2
Fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1=1 - zapis aktualny
S A W
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-------o o------
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
--------------------------------------------------
Punkt odniesienia: A1B1: A|~>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej szeregowo z przyciskiem A
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej W:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje A i B.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W. Oboje widzą dokładnie tą samą żarówkę S. Jaś nie widzi Zuzi, ani Zuzia nie widzi Jasia, ale oboje wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S2, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S2, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna). Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.
Punktem odniesienia na schemacie S2 jest Jaś siedzący w pokoju A, bowiem w równaniu opisującym układ występuje wyłącznie przycisk A - Jaś nie widzi przycisku W.
5.6.2 Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej A|~>S
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Dla naszego schematu S2 zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Nie, bo nie zawsze gdy wciśniemy przycisk A żarówka zaświeci się.
Żarówka zaświeci się wtedy i tylko wtedy gdy dodatkowo przycisk W będzie wciśnięty.
Zauważmy, że pytanie A1 nie dotyczy przycisku W.
Przycisk W jest tu zmienną wolną którą możemy zastać w dowolnej pozycji W=x gdzie x={0,1}
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A nie daje nam (=0) gwarancji matematycznej => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Tak
Konieczne dlatego, że dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiona na W=1 (przycisk wciśnięty).
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Przyjmijmy zdanie B1 za punkt odniesienia:
p~>q =1 - na mocy prawa Kłapouchego
Nasz punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka)
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1).
Konieczne dlatego, że dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiona na W=1
cnd
Zauważmy, że zdania A1 i B1 lokalizują nam implikację odwrotną A|~>S.
IO.
Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w logice dodatniej (bo S):
Implikacja odwrotna A|~>S to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =0 - wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia się żarówki S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia żarówki S
bo dodatkowo musi być wciśnięty przycisk W (W=1)
stąd mamy:
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna A|~>S jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia żarówki S (B1) i nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla świecenia żarówki S (A1)
Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kod: |
IO:
Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w zapisie aktualnym:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|~>S= ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: A=>S =0 = 2:~A~>~S =0 [=] 3: S~>A =0 = 4:~S=>~A =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: A~>S =1 = 2:~A=>~S =1 [=] 3: S=>A =1 = 4:~S~>~A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO.
5.6.3 Operator implikacji odwrotnej A||~>S w zdarzeniach
Kod: |
S2 Schemat 2
S W A
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-------o o------
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
--------------------------------------------------
|
Operator implikacji odwrotnej A||~>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 odpowiadający na pytania o A i ~A:
A1B1: A|~>S =~(A1: A=> S)* (B1: A~>S) - co się stanie jeśli wciśniemy A (A=1)?
A2B2:~A|=>~S =~(A2:~A~>~S)* (B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli nie wciśniemy A (~A=1)?
Z prawa Sowy wynika, że wystarczy udowodnić zachodzącą implikację odwrotną A|~>S aby mieć gwarancję matematyczną prawdziwości operatora implikacji odwrotnej A||~>S (i odwrotnie)
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia S
A1B1: A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) = ~(0)*1=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’
Kolumna A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B1.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S (S=1), koniecznym dlatego, że dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiony na W=1.
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S (S=1) bo jak przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego A1: A=>S=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Gdy zmienna wolna W ustawiona jest na W=0.
A2B2
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~A~>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla nie świecenia S (~S=1)
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia S (~S=1)
A2B2: ~A|=>~S = ~(A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =~(0)*1=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka nie będzie się świecić (~S=1) - mówi o tym zdanie B2.
Kolumna A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie będzie się świecić (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcia A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia S (~S=1), bo zawsze gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1), żarówka nie świeci się (~S=1)
Zauważmy, że prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wynika z praw fizyczno-matematycznych i nie ma tu potrzeby, wykonywać nieskończonej ilości wciśnięć przycisku A sprawdzając czy za każdym wciśnięciem, żarówka świeci się.
Brak wciśnięcie przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż żarówka nie będzie się świecić (~S=1), bo przyciski A i W połączone są szeregowo.
Stan przycisku W jest tu bez znaczenia W=x gdzie: x={0,1}
Zachodzi tożsamość pojęć:
Gwarancja matematyczna => = Warunek wystarczający =>
Prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie).
B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Zauważmy, że przyciski A i W połączone są szeregowo, z czego wynika że:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Stan zmiennej wolnej W jest tu bez znaczenia: W=x gdzie: x={0,1}
Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji odwrotnej A||~>S jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie wciśniętego przycisku A (A=1 - zdania B1 i A1’), oraz gwarancja matematyczna => po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A=1 - zdanie B2).
Doskonale to widać w powyższej analizie.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 9:23, 07 Cze 2024, w całości zmieniany 55 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Śro 8:26, 11 Sty 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
6.0 Równoważność p<=>q
Spis treści
6.0 Równoważność p<=>q w zdarzeniach 1
6.1 Tabela prawdy równoważności p<=>q 4
6.1.1 Operator równoważności p|<=>q 5
6.2 Diagram równoważności p<=>q 7
6.2.1 Prawo Irbisa 9
6.2.2 Prawo Orła dla równoważności p<=>q 10
6.3 Analiza układu metodą zdjęciową 11
6.3.1 Zdjęcie układu 11
6.3.2 Prawo Orła 12
6.3.3 Prawo Słonia dla zbiorów/zdarzeń z uwzględnieniem prawa Orła 13
6.4 Definicja równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa 14
6.4.1 Operator równoważności p|<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa 16
6.0 Równoważność p<=>q w zdarzeniach
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Całość czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego, by zaszło q
Innymi słowy:
Zajęcie p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, by zaszło q
Innymi słowy:
Do tego by zaszło q potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by zaszło p
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 12 300
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: 11 100
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 3 250
Podstawmy definicję równoważności p<=>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Kod: |
TR:
Tabela prawdy równoważności:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
##
II Prawo Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zauważmy że:
1.
Definicję równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) mamy w kolumnie A1B1.
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Wniosek:
Równoważność A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) daje odpowiedź na pytanie o p.
2.
Definicję równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) mamy w kolumnie A2B2.
A2B2:
Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Wniosek:
Równoważność A2B2: ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) daje odpowiedź na pytanie o ~p.
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Dowód wynika tu bezpośrednio z prawa Sowy oraz z definicji równoważności p<=>q.
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
[=], "=", <=> (wtedy i tylko wtedy) - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q = ~p+q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q = p+~q
plus definicja równoważności A2B2: ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) podana wyżej.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd
Dowód tożsamy w spójnikach "i"(*) i "lub"(+).
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) (pkt. 2.10):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Mamy do udowodnienia tożsamość logiczną:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
Rozwijamy prawą stronę definicją równoważności p<=>q:
A2B2: ~p<=>~q = (~p)*(~q) + ~(~p)*~(~q) = ~p*~q + p*q = p*q+~p*~q = A1B1: p<=>q
stąd mamy:
p<=>q = ~p<=>~q
cnd
6.1 Tabela prawdy równoważności p<=>q
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Uwagi:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Ax wymuszają fałszywe kontrprzykłady Ax'
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Bx wymuszają fałszywe kontrprzykłady Bx'
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Podstawmy definicję równoważności p<=>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Kod: |
TR:
Tabela prawdy równoważności p<=>q:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość pozostałych zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość pozostałych zdań serii Bx
6.1.1 Operator równoważności p|<=>q
Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => = na 100% => etc
Innymi słowy:
Zawsze gdy zajdzie p, zajdzie q
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania A1' na mocy definicji kontrprzykładu.
… a jeśli zajdzie ~p?
Idziemy do kolumny A2B2.
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście ~p jest (=1) konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => = na 100% => etc
Innymi słowy:
Zawsze gdy zajdzie ~p, zajdzie ~q
Prawdziwy warunek wystarczający B2: ~p=>~q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład B2' (i odwrotnie)
B2'.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=~p*q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania B2' na mocy definicji kontrprzykładu.
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności p|<=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna po stronie ~p (zdanie B2)
W operatorze równoważności p|<=>q nie ma miejsca na jakiekolwiek "rzucanie monetą" w sensie "na dwoje babka wróżyła", jak to miało miejsce w operatorze implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co się stanie jak zajdzie ~p?
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jak zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności A2B2: ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora równoważności A1B1: p|<=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
6.2 Diagram równoważności p<=>q
Diagram równoważności p<=>q jest identyczny dla zdarzeń i zbiorów, a wynika on z fałszywości dwóch zdań A1' i B2' kodowanych znaczkiem ~~> w analizie ogólnej wyżej.
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~~>: p i ~q
oraz
Prawdziwy warunek wystarczający B2: ~p=>~q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład B2' (i odwrotnie)
B2'.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=~p*q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~~>: p i ~q
Gdzie:
~~> - zdarzenie możliwe w teorii zdarzeń
albo:
~~> - element wspólny zbiorów w teorii zbiorów
Prawo Kłapouchego (pkt. 2.7):
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Na mocy analizy formalnej równoważności w punkcie 6.1.1, przy uwzględnieniu prawa Kłapouchego, mamy wymuszony wspólny dla teorii zdarzeń i teorii zbiorów diagram równoważności p<=>q.
Innymi słowy:
Nie da się narysować konkurencyjnego do poniższego diagramu równoważności p<=>q.
Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q wspólny dla teorii zdarzeń i teorii zbiorów
--------------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|----------------------------------|--------------------------------------|
| q | ~q |
|----------------------------------|--------------------------------------|
|Równoważność A1B1: [=] Równoważność A2B2: |
|A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)[=] A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
|-------------------------------------------------------------------------|
|Definiuje: | Definiuje: |
|tożsamość zbiorów/zdarzeń: | tożsamość zbiorów/zdarzeń: |
| p=q # ~p=~q |
--------------------------------------------------------------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) | A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina D - suma logiczna zbiorów/zdarzeń możliwych A1, B2 |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty/zdarzenie niemożliwe |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty/zdarzenie niemożliwe |
|------------------------------------------------------------------=------|
| Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach definiujący |
| tożsamości zbiorów/zdarzeń p=q i ~p=~q |
---------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
[=], "=", <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony w dziedzinie D
|
Definicja dziedziny:
Dziedzina to suma logiczna zbiorów/zdarzeń niepustych i rozłącznych uzupełniających się wzajemnie do dziedziny D
D = A1: p*q + B2: ~p*~q
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
[=], "=", <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Dowód:
Część I
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q)= ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
Stąd:
Do zapamiętania:
Definicja równoważności w spójnikach "i"(* ) i "lub"(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Część II
Mamy do udowodnienia tożsamość logiczną:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
Rozwijamy prawą stronę definicją równoważności p<=>q:
A2B2: ~p<=>~q = (~p)*(~q) + ~(~p)*~(~q) = ~p*~q + p*q = p*q+~p*~q = A1B1: p<=>q
cnd
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
W diagramie DR widzimy, że chodzi tu o wzajemne przeczenie zbiorów/zdarzeń we wspólnej dziedzinie D.
Zbiór/zdarzenie p jest zaprzeczeniem zbioru/zdarzenia ~p
p = ~(~p) - prawo podwójnego przeczenia dla p
Definicja przeczenia dla p:
~p=[D-p]
D=p+~p
stąd:
~p=[p+~p-p]=~p
cnd
Identycznie mamy dla q
Z diagramu DR oraz analizy równoważności p<=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> (pkt. 6.1.1) widzimy zachodzącą tu tożsamość logiczną
Warunek wystarczający => = Relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = Relacja nadzbioru ~>
6.2.1 Prawo Irbisa
Z diagramu DR odczytujemy.
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Z diagramu DR odczytujemy:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Stąd mamy kolejne wersje prawa Irbisa.
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory/zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór/zdarzenie p jest (=1) jednocześnie nadzbiorem ~> (B1) i podzbiorem => (A1) zbioru/zdarzenia q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Stąd mamy tożsame prawo Irbisa:
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory/zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Z diagramu DR odczytujemy również:
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q
Z diagramu DR widzimy, ze prawo Irbisa obwiązuje również dla równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q)
6.2.2 Prawo Orła dla równoważności p<=>q
Z diagramu DR łatwo wyprowadzić prawo Orła identyczne dla zbiorów i zdarzeń.
Z diagramu DR odczytujemy:
p+~p=D=1 - wspólna dziedzina D dla p i q
q+~q=D=1 - wspólna dziedzina D dla p i q
Prawo algebry Boole'a:
p=p*1
q=q*1
Korzystające z definicji wspólnej dziedziny D mamy:
p=p*(q+~q)
q=q*(p+~p)
Powyższe tożsamości są doskonale widoczne bezpośrednio na diagramie DR.
Stąd mamy:
Prawo Orła dla równoważności p<=>q:
p*(q+~q) <=> q*(p+~p)
Redukcja prawa Orła:
Po wymnożeniu wielomianów mamy:
p*q + p*~q => p*q + ~p*q - bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny
Z diagramu DR odczytujemy:
p*~q=0
~p*q=0
Stąd:
p*q + 0 => p*q + 0
Prawo algebry Boole'a:
x+0=x
Stąd:
Prawo Orła dla równoważności p<=>q po redukcji:
p*q <=> p*q
Ostatnie tożsamość logiczna <=> oznacza, że mamy tu do czynienie z tożsamością zbiorów p=q, wymuszającą tożsamość zbiorów ~p=~q.
Uzasadnienie:
Zbiór ~p=~q nie może być zbiorem pustym, gdyż w analizie równoważności p<=>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q musimy mieć zbiory niepuste {p, q, ~p, ~q} inaczej nie będziemy w stanie przeanalizować układu przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Dowód:
Definicja zbioru pustego [] (pkt. 12.2):
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Doskonale widać, że nie jesteśmy w stanie operować na zbiorze pustym [].
Na mocy powyższego łatwo generujemy diagram równoważności DR jak wyżej.
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = Relacja nadzbioru ~>
Z diagramu DR odczytujemy definicję równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach:
A1.
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia zdarzenia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór/zdarzenie p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia q.
A1: p=>q =1
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów p=q.
Każdy zbiór/zdarzenie p jest podzbiorem => siebie samego
Dowód:
Definicja znaczka =>:
p=>q =~p+q=1
Dla p=q mamy:
p=>p = ~p+p =1 - prawo algebry Boole'a
cnd
##
B1.
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór/zdarzenie p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia q.
B1: p~>q =1
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów p=q.
Każdy zbiór/zdarzenie p jest nadzbiorem ~> siebie samego
Dowód:
Definicja znaczka ~>:
p~>q =p+~q=1
Dla p=q mamy:
p~>p = p+~p =1 - prawo algebry Boole'a
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~>
6.3 Analiza układu metodą zdjęciową
Dowolny układ fizyczny można przeanalizować metodą zdjęciową, gdzie na mocy prawa Orła dostaniemy dowód, iż teorię zdarzeń można łatwo sprowadzić do teorii zbiorów.
6.3.1 Zdjęcie układu
Definicja zdjęcia układu:
Zdjęcie układu to analiza zdania wypowiedzianego "Jeśli p to q" w kierunku od p do q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q przy pomocy definicji zdarzenia możliwego ~~> (teoria zdarzeń) albo definicji elementu wspólnego zbiorów ~~> (teoria zbiorów) z rozstrzygnięciem o prawdziwości/fałszywości wszystkich zdań składowych.
Stąd mamy:
Definicja zdjęcia układu w teorii zdarzeń:
Zdjęcie układu to seria czterech zdań warunkowych "Jeśli p to q" kodowanych zdarzeniem możliwym ~~> w kierunku od p do q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q z rozstrzygnięciem o prawdziwości/fałszywości wszystkich zdań składowych.
Definicja zdarzenia możliwego ~~> (pkt. 2.2.1):
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
Kod: |
T1
Tabela prawdy zdjęcia układu w zapisie formalnym
to odpowiedź TAK=1/NIE=0 cztery pytania {A,B,C,D}
Kolumna A1B1:
A: p~~> q = p* q=? - Czy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q?
B: p~~>~q = p*~q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q?
Kolumna A2B2:
C:~p~~>~q =~p*~q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q?
C:~p~~> q =~p* q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q?
|
6.3.2 Prawo Orła
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Orła:
Jeśli dla zdania warunkowego "Jeśli p to q" znane jest zdjęcie układu w zapisie aktualnym (przykład) to wszelkie relacje między p i q określa wzór:
p*(q+~q) dzn (~)q*(p+~p)
Gdzie:
Punkt odniesienia:
Poprzednik p ze zdjęcia układu musi być niezanegowany co lokuje nas w kolumnie A1B1
(~) - w zapisie aktualnym przeczenie (~) przy q może wystąpić wyłącznie w spójniku "albo"($)
dzn - dowolny ze znaczków:
~~> - zdarzenie możliwe lub element wspólny zbiorów
=> - warunek wystarczający [=] relacja podzbioru =>
~> - warunek konieczny [=] relacja nadzbioru ~>
<=> - równoważność
$ - spójnik "albo"($)
;
[=] - tożsamość logiczna
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Dowód prawa Orła:
1.
p dzn (~)q
2.
Prawo algebry Boole'a:
x=x*1
stąd:
p*1 dzn (~)q*1
3.
1=D - wspólna dziedzina dla p i q
Stąd mamy:
p+~p=D=1
q+~q=D=1
Podstawiając do 2 mamy nasze prawo Orła:
4.
Prawo Orła:
p*(q+~q) dzn (~)q*(p+~p)
cnd
6.3.3 Prawo Słonia dla zbiorów/zdarzeń z uwzględnieniem prawa Orła
Po uwzględnieniu prawa Orła mamy identyczne prawo Słonia dla zbiorów i zdarzeń.
Prawo Słonia dla zbiorów/zdarzeń (pkt 2.8.1 i 2.8.2):
W algebrze Kubusia w zbiorach/zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Zauważmy, że w przypadku zdarzeń pojęcia podzbioru => i nadzbioru ~> nie są intuicyjne, trzeba je matematycznie wyprowadzić korzystając z prawa Orła które wymaga znajomości algebry Boole'a na poziomie elementarnym.
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów
Z definicji tożsamości logicznej wynika, że:
Dla dowodu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>q potrzeba i wystarcza udowodnić zachodzącą tu relację podzbioru => A1: p=>q
Innymi słowy:
A1: p=>q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) podzbiorem => q
Inaczej:
A1: p=>q =0
##
Podobnie:
Dla dowodu prawdziwości warunku koniecznego B1: p~>q potrzeba i wystarcza udowodnić zachodzącą tu relację nadzbioru ~> B1: p~>q
Innymi słowy:
B1: p~>q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) nadzbiorem ~> q
Inaczej:
B1: p~>q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
6.4 Definicja równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzący zarówno warunek konieczny ~> (B1) jak i wystarczający => (A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu oraz prawa Irbisa.
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważności <=>:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1
definiuje tożsamość zdarzeń: | definiuje tożsamość zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii A
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii B
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli TR
Matematycznie zachodzą tożsamości logiczne [=]:
A1B1: p=q [=] A3B3: q=p
A2B2: ~p=~q [=] A4B4: ~q=~p
bo zbiory są przemienne, czyli wszystko jedno z której strony znaku tożsamości logicznej "=" zapiszemy zbiór p, czy też ~p
Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q wspólny dla teorii zdarzeń i teorii zbiorów
--------------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|----------------------------------|--------------------------------------|
| q | ~q |
|----------------------------------|--------------------------------------|
|Równoważność A1B1: [=] Równoważność A2B2: |
|A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)[=] A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
|-------------------------------------------------------------------------|
|Definiuje: | Definiuje: |
|tożsamość zbiorów/zdarzeń: | tożsamość zbiorów/zdarzeń: |
| p=q # ~p=~q |
--------------------------------------------------------------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) | A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina D - suma logiczna zbiorów/zdarzeń możliwych A1, B2 |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty/zdarzenie niemożliwe |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty/zdarzenie niemożliwe |
|------------------------------------------------------------------=------|
| Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach definiujący |
| tożsamości zbiorów/zdarzeń p=q i ~p=~q |
---------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
[=], "=", <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony w dziedzinie D
|
6.4.1 Operator równoważności p|<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Definicja operatora równoważności p|<=>q w zapisie formalnym:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1.
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Całość czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p (p=1) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego, by zaszło q (q=1)
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Dowód:
Diagram DR wyżej
Na mocy prawa Irbisa równoważność p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) <=> p=q
Kolumna A1B1:
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” jest następująca:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór/zdarzenie p jest podzbiorem => zbioru/zdarzenia q
Innymi słowy:
Zajście p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia q
Innymi słowy:
Zawsze gdy zajdzie p zajdzie q ( i odwrotnie)
Warunek wystarczający => = Relacja podzbioru => = Gwarancja matematyczna => = na 100% =>
Dowód wprost wynika tu z diagramu DR
Dowód tożsamy:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p=>q = ~p+q
dla p=q (prawo Irbisa) mamy:
p=>p = ~p+p =1
cnd
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q=0
Dowód wprost wynika tu z diagramu DR
Dowód tożsamy:
A1': p~~>~q = p*~q =0
Dla p=q (prawo Irbisa) mamy:
A1': p~~>~p = p*~p=0 - prawo algebry Boole'a
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2.
Definicja równoważności ~p<=>~q w logice dodatniej (bo ~q):
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
Całość czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p (~p=1) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego, by zaszło ~q (~q=1)
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Na mocy prawa Irbisa równoważność A2B2: ~p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=~q:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) <=> ~p=~q
Matematycznie zachodzi tu relacja:
A1B1: p=q # A2B2: ~p=~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Tożsamość zbiorów/zdarzeń A1B1: p=q wymusza tożsamość zbiorów/zdarzeń A2B2: ~p=~q (i odwrotnie)
Kolumna A2B2:
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Dowód wprost wynika z diagramu DR:
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~q
Innymi słowy:
Zajście ~p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~q
Innymi słowy:
Zawsze gdy zajdzie ~p zajdzie ~q (i odwrotnie)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% => etc
Dowód tożsamy nie wprost:
Prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Dla p=q mamy:
p~>p = p+~p=1 - prawo algebry Boole'a
Stąd na mocy prawa Kubusia mamy:
B2: ~p=>~q =1
cnd
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Teoria zdarzeń:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Teoria zbiorów:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~p i q
Dowód wprost wynika z diagramu DR.
Dowód tożsamy:
Na mocy prawa Irbisa mamy:
p=q
Stąd dla p=q mamy:
~p~~>p = ~p*p =0 - prawo algebry Boole'a
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności p|<=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p - zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p - zdanie B2.
W przeciwieństwie do operatora implikacji zarówno prostej p||=>q jak i odwrotnej p||~>q nie ma tu miejsca na jakiekolwiek „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p (p=1)
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności A2B2: ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora równoważności A1B1: p|<=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 9:44, 27 Sie 2023, w całości zmieniany 26 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Śro 8:28, 11 Sty 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
6.5 Algorytm Puchacza w rozwiązywaniu przykładów równoważności p<=>q
Spis treści
6.5 Rozwiązywanie równoważności p<=>q algorytmem Puchacza 1
6.5.1 Algorytm Puchacza 2
6.6 Sztandarowy przykład równoważności A<=>S 3
6.6.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach 9
6.6.2 Diagram równoważności A<=>S w zapisie formalnym i aktualnym 12
6.6.3 Równoważność jednokierunkowa A<=>S w zdarzeniach 13
6.7 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza 15
6.7.1 Zdanie W1: A~~>S 16
6.7.2 Zadania W2: A=>S 17
6.7.3 Zdanie W3: A~~>~S 17
6.7.4 Zdanie W4: ~A~~>~S 18
6.7.5 Zdanie W5: ~A=>~S 19
6.7.6 Zdanie W6: ~A~~>S 19
6.8 Rozwiązanie równoważności A<=>S metodą zdjęciową 20
6.9 Zadnie typu "zbuduj układ minimalny równoważności p<=>q" 22
6.10 Równoważność w języku potocznym 5-cio latka 24
6.5 Rozwiązywanie równoważności p<=>q algorytmem Puchacza
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"
Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>
Kod: |
T0R
Rozszerzona tabela matematycznych związków warunków wystarczających =>
i koniecznych ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =? = 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =? = 4:~q=>~p=?
A': 1: p~~>~q=? 4:~q~~>p=?
## ## ## ##
B: 1: p~> q =? = 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =? = 4:~q~>~p=?
B': 2:~p~~>q=? 3: q~~>~p=?
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego.
6.5.1 Algorytm Puchacza
Algorytm Puchacza (pkt. 2.11):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.
5.
Prawo Puchacza (pkt. 2.10.1):
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza.
Rozłączne operatory implikacyjne to:
a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1)
b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1)
d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1)
e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1)
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
7.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia
Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie.
6.6 Sztandarowy przykład równoważności A<=>S
Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod: |
S1 Schemat 1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Zadanie W1
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to może się świecić żarówka S
Sprawdzamy warunek konieczny stosowalności algorytmu Puchacza:
1.
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S ( żarówka S)
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Istnieje związek między wciśnięciem przycisku A a świeceniem żarówki S, zatem wspólna dziedzina dla p i q jest spełniona..
Dziedzina matematyczna Dm to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń rozłącznych bez analizy prawdziwości/fałszywości tych zdarzeń.
Dm=A*S + A*~S + ~A*~S + ~A*S
Dziedzina fizyczna D to zbiór zdarzeń fizycznie możliwych, jakie mogą zajść.
Dziedzina fizyczna D wyskoczy nam w czasie analizy matematycznej zdania wypowiedzianego W
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych.
p=A =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: wciśnięty przycisk A (A=1)
q=S =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: żarówka S świeci się (S=1)
;
~p=~A =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
Zapis tożsamy:
Prawo Prosiaczka: (~A=1)=(A=0) - możliwe jest ~~> (=1) zdarzenie: klawisz A nie jest wciśnięty (A=0)
;
~q=~S =1 - możliwe jest zdarzenie: żarówka nie świeci się (~S=1)
Zapis tożsamy:
Prawo Prosiaczka: (~S=1)=(S-0) - możliwe jest ~~> (=1) zdarzenie: żarówka nie świeci się (S=0)
4.
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza
Analiza podstawowa (punkty 6 i 7 w algorytmie Puchacza):
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Kod: |
S1 Schemat 1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to na 100% => świeci się żarówka S
A=>S =1
Na mocy prawa Kłapouchego zdanie A1 przyjmujemy za punkt odniesienia:
p= A (klawisz A)
q= S (żarówka S
Stąd to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S bo w układzie nie ma przycisku C (zmienna wolna) połączonego szeregowo z A który by gwałcił warunek wystarczający =>.
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Oczywistość na mocy schematu S1
Zachodzi tożsamość pojęć:
Na 100% => = warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => …
etc
Pozostało nam wybrać dowolne zdanie z linii Bx i udowodnić jego prawdziwość/fałszywość.
Tu jest obojętne które zdanie z linii Bx wybierzemy, bo wszystkie dowody wprost są trywialne.
Wybierzmy zdanie B1
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to na 100% ~> świeci się żarówka S
A~>S =1
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia się żarówki S, bo nie ma tu zmiennej wolnej, czyli przycisku B połączonego równolegle z A który by zaświecił żarówkę S, niezależnie od stanu przycisku A.
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> świecenia się żarówki S (S=1), bo jak przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Stąd mamy:
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Doskonale widać, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to są zdania różne na mocy definicji ## warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
A1: p=>q=~p+q ## B1: p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wplecionych w treść zdań.
Stąd mamy dowód iż układ S1 spełnia definicję równoważności.
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=A (przycisk)
q=S ( żarówka)
Stąd mamy:
Definicja równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S w logice dodatniej (bo S) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia żarówki S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia żarówki S
Stąd mamy definicję równoważności A<=>S w równaniu logicznym:
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Nanieśmy tą definicję na schemat S1.
Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak, nie ma żadnych innych przycisków z wyjątkiem A
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
W układzie S1 nie ma zmiennej wolnej.
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna związana A będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(x) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(x) =1
oraz
f(x)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(x) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(x) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty
Nanieśmy naszą równoważność A<=>S do tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu i prawa Irbisa.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Przyjęty na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym {A, S}:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
Zapis aktualny:
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S =1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
A': 1: A~~>~S=0 [=] 4:~S~~>A =0
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Zapis aktualny:
B: 1: A~>S =1 = 2:~A=>~S =1 [=] 3: S=>A =1 = 4:~S~>~A =1
B': 2:~A~~>S =0 [=] 3: S~~>~A=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważności <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1
definiuje tożsamość zdarzeń: | definiuje tożsamość zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawo Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii A
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii B
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli równoważności TR
Definicję równoważności A<=>S mamy w kolumnie A1B1:
Równoważność A<=>S w logice dodatniej (bo S) to zachodzący zarówno warunek konieczny ~> (B1) jak i wystarczający => (A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
6.6.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach
Definicja operatora równoważności p|<=>q w zapisie formalnym:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia:
p=A (przycisk A)
q=S ) żarówka S)
Stąd mamy:
Definicja operatora równoważności A|<=>S w zapisie aktualnym:
Operator równoważności A|<=>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o wciśnięty przycisk A (A) oraz o nie wciśnięty przycisk A (~A)
Kolumna A1B1:
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) - co może się wydarzyć jeśli A jest wciśnięty (A=1)?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~A<=>~S = (A2:~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) - co może się wydarzyć jeśli A nie jest wciśnięty (~A=1)?
A1B1:
Kiedy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
Kolumna A1B1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w logice dodatniej (bo S) w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
Całość czytamy:
Równoważność A<=>S jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięcie przycisku A (A=1) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego, by żarówka świeciła się (S=1)
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Na mocy prawa Irbisa równoważność A1B1: A<=>S definiuje tożsamość pojęć A1B1: A=S:
A1B1: A=S <=> (A1: A=>S)*(B1: A~>S) = A1B1: A<=>S
Czytamy:
Pojęcie "przycisk A wciśnięty" (A=1) jest tożsame "=" z pojęciem "żarówka S świeci" (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięcie przycisku A (A=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla świecenia się żarówki S (S=1)
Powyższe zdanie to dowód poprawności prawa Irbisa, bowiem na mocy schematu S1 to fizyczna oczywistość.
Matematycznie zachodzi tu relacja:
A=S # ~A=~S
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Tożsamość pojęć A=S wymusza tożsamość pojęć ~A=~S (i odwrotnie)
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” jest następująca:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zawsze gdy wciśniemy przycisk A zaświeci się żarówka S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Dowód "nie wprost" fałszywości zdania A1'.
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Dla schematu S1 to fizyczna oczywistość
A2B2:
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
Kolumna A2B2
Fizyczna realizacja równoważności ~A<=>~S w logice ujemnej (bo ~S) w zdarzeniach:
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) konieczne ~> dla nie świecenia żarówki S (~S=1)
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia żarówki S (~S=1)
A2B2: ~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Klawisz A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
Całość czytamy:
Równoważność ~A<=>~S jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla braku świecenia się żarówki S (~S=1)
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Na mocy prawa Irbisa równoważność A2B2: ~A<=>~S definiuje tożsamość pojęć A2B2: ~A=~S:
A2B2: ~A=~S <=> (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) = A2B2: ~A<=>~S
Czytamy:
Pojęcie "przycisk A nie jest wciśnięty" (~A=1) jest tożsame "=" z pojęciem "żarówka S nie świeci się" (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla nie świecenia się żarówki S (~S=1)
Powyższe zdanie to dowód poprawności prawa Irbisa, bowiem na mocy schematu S1 to fizyczna oczywistość.
Matematycznie zachodzi tu relacja:
A2B2: ~A=~S # A1B1: A=S
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Tożsamość pojęć ~A=~S wymusza tożsamość pojęć A=S (i odwrotnie)
A2B2:
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla braku świecenia żarówki S (~S=1)
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => braku świecenia się żarówki S (~S=1)
Zawsze, gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1), żarówka nie świeci się (~S=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% => etc
Dowód "nie wprost" fałszywości zdania B2'.
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka S świeci się (S=1)
Dla schematu S1 to fizyczna oczywistość
Zauważmy że:
Prawdziwości/fałszywości powyższych zdań dowodzimy na gruncie fizyki teoretycznej.
Jakiekolwiek iterowanie nie ma tu sensu, bowiem wcześniej czy później żarówka spali się i nie będziemy mieli fizycznego potwierdzenia prawdziwości/fałszywości powyższych zdań.
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności A|<=>S jest gwarancja matematyczna => po stronie wciśniętego przycisku A (A=1) - zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A=1) - zdanie B2.
W przeciwieństwie do operatora implikacji zarówno prostej p||=>q jak i odwrotnej p||~>q nie ma tu miejsca na jakiekolwiek „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~A|<=>~S to układ równań logicznych:
A2B2:~A<=>~S=(A2:~A~>~S)*(B2:~A=>~S) - co się stanie gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
A1B1: A<=>S =(A1: A=>S)* (B1: A~>S) - co się stanie gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności A2B2: ~A|<=>~S w logice ujemnej (bo ~S) będzie identyczna jak operatora równoważności A1B1: A|<=>S w logice dodatniej (bo S) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
6.6.2 Diagram równoważności A<=>S w zapisie formalnym i aktualnym
Na mocy powyższego zapisujemy diagram równoważności A<=>S w zapisie formalnym i aktualnym (przykład):
Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q wspólny dla teorii zdarzeń i teorii zbiorów
--------------------------------------------------------------------------
| p=A | ~p=~A |
|----------------------------------|--------------------------------------|
| q=S | ~q=~S |
|----------------------------------|--------------------------------------|
|Zapis formalny: [=] Zapis formalny: |
|Równoważność A1B1: [=] Równoważność A2B2: |
|A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)[=] A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) | A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
|Definiuje tożsamość zdarzeń: | Definiuje tożsamość zdarzeń: |
| p=q # ~p=~q |
|-------------------------------------------------------------------------|
|Zapis aktualny [=] Zapis aktualny: |
|Punkt odniesienia: p=A, q=S [=] Punkt odniesienia: p=A. q=S |
|Równoważność A1B1: [=] Równoważność A2B2: |
|A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)[=] A2B2:~A<=>~S=(A2:~A~>~S)*(B2:~A=>~S)|
| A1: A=>S=1 (A*S=1) | A2:~A~>~S=1 (~A*~S=1) |
| B1: A~>S=1 (A*S=1) | B2:~A=>~S=1 (~A*~S=1) |
|Definiuje tożsamość zdarzeń: | Definiuje tożsamość zdarzeń: |
| A=S # ~A=~S |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Zapisy formalne: |
| Dziedzina D - suma logiczna zbiorów/zdarzeń możliwych A1, B2 |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty/zdarzenie niemożliwe |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty/zdarzenie niemożliwe |
| Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach definiujący |
| tożsamości zbiorów/zdarzeń p=q i ~p=~q |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Zapisy aktualne: |
| Dziedzina D - suma logiczna zdarzeń możliwych A1, B2 |
| D=A1: A*S+ B2:~A*~S |
| A1’: A~~>~S=A*~S=[]=0 - zdarzenie niemożliwe |
| B2’: ~A~~>S =~A*S=[]=0 - zdarzenie niemożliwe |
| Diagram równoważności A<=>S w zdarzeniach definiujący |
| tożsamości zdarzeń A=S i ~A=~S |
---------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
6.6.3 Równoważność jednokierunkowa A<=>S w zdarzeniach
Zauważmy, że omawiana równoważność A<=>S jest równoważnością jednokierunkową.
Dowód:
Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest konieczne ~> dla świecenia S
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak, nie ma żadnych innych przycisków z wyjątkiem A
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Definicja równoważności p<=>q jednokierunkowej:
Równoważność p<=>q jest jednokierunkowa wtedy i tylko wtedy gdy zamiana przyczyny p ze skutkiem q jest fizycznie niemożliwa.
Co to oznacza?
Na schemacie S1 przyczyną jest przycisk A co oznacza, że możemy włączać/wyłączać przycisk A obserwując skutek - żarówka jest zaświecona albo zgaszona w zależności od stanu przycisku A.
Odwrotnie nie zachodzi:
Żarówka S nie jest tu przyczyną ustawienia przycisku A na określoną pozycję, tzn. możemy wykręcać i wkręcać żarówkę S powodując jej zaświecenie albo wygaszenie co nie ma żadnego wpływu na aktualny stan przycisku A.
Nasz przykład:
Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia S
Stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Przyjęty na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym {A, S}:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
Zapis aktualny:
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S =1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
A': 1: A~~>~S=0 [=] 4:~S~~>A =0
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Zapis aktualny:
B: 1: A~>S =1 = 2:~A=>~S =1 [=] 3: S=>A =1 = 4:~S~>~A =1
B': 2:~A~~>S =0 [=] 3: S~~>~A=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważności <=>:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1
definiuje tożsamość zdarzeń: | definiuje tożsamość zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
W tabeli prawdy TR równoważności A<=>S sytuacja po zamianie przyczyny A i ze skutkiem S opisana jest kolumnami A3B3 i A4B4.
A3B3
Weźmy równoważność S<=>A opisaną kolumną A3B3:
A3: S~>A=1 - świecenie się żarówki S jest warunkiem koniecznym ~>
dla wnioskowania, iż przycisk A jest wciśnięty
B3: S=>A=1 - świecenie się żarówki S jest warunkiem wystarczającym =>
dla wnioskowania, iż przycisk A jest wciśnięty
Stąd:
A3B3: S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Żarówka S świeci się wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty
Prawą stronę czytamy:
Świecenie się żarówki S jest warunkiem koniecznym ~> (A3) i wystarczającym => (B3) dla wnioskowania, iż przycisk A jest wciśnięty
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Nasz przykład:
Równoważność prawdziwa A3B3: S<=>A definiuje tożsamość zdarzeń S=A
czyli:
S=A
Zdarzenie "żarówka S świeci się" (S=1) jest tożsame ze zdarzeniem "przycisk A jest wciśnięty" (A=1)
Innymi słowy:
Z faktu że żarówka S świeci się (S=1) wnioskujemy, iż przycisk A jest wciśnięty (A=1) co wynika z teorii fizycznej - nie możemy tego faktu sprawdzać doświadczalnie
A4B4:
Weźmy równoważność ~S<=>~A opisaną kolumną A4B4:
A4: ~S=>~A=1 - brak świecenia żarówki S (~S=1) jest warunkiem wystarczającym =>
dla wnioskowania, iż przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
B4: ~S~>~A=1 - brak świecenia żarówki S (~S=1) jest warunkiem koniecznym ~>
dla wnioskowania, iż przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
Stąd:
A4B4: ~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Żarówka S nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
Prawą stronę czytamy:
Brak świecenia żarówki S (~S=1) jest warunkiem koniecznym ~> (B4) i wystarczającym => (A4) dla wnioskowania, iż przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów p=q (i odwrotnie)
Nasz przykład:
Równoważność prawdziwa A4B4: ~S<=>~A definiuje tożsamość zdarzeń A4B4: ~S=~A
czyli:
~S=~A
Zdarzenie "żarówka S nie świeci się" (~S=1) jest tożsame ze zdarzeniem "przyciska A nie jest wciśnięty" (~A=1)
Innymi słowy:
Z faktu że żarówka S nie świeci się (~S=1) wnioskujemy, iż przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) co wynika z teorii fizycznej - nie możemy tego faktu sprawdzać doświadczalnie
6.7 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza
Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod: |
S1 Schemat 1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Przykładowe zadania w których koniec końców wylądujemy w operatorze równoważności A|<=>S mogą być następujące.
6.7.1 Zdanie W1: A~~>S
Zadanie W1
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to może się świecić żarówka S
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 6.6 i 6.6.1.
W punkcie 6.6.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W1.
Jak widzimy, nie ma dokładnego odpowiednika zdania W1, ale jest zdanie podobne A1 ze spełnionym warunkiem wystarczającym =>.
Nasze zdanie W1 brzmi:
W1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to może się ~~> świecić żarówka S (S=1)
A~~>S = A*S =1
To samo w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Dla udowodnienia prawdziwości zdarzenia kodowanego zdarzeniem możliwym ~~> wystarczy pokazać jeden taki przypadek. Nie analizujemy tu, czy wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => czy też koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S
W punkcie 6.6.1 widzimy, że zachodzi warunek wystarczający A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
cnd
Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W1: A~~>S jest częścią warunku wystarczającego => A1: A=>S, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
Kod: |
Pojedyńcze zdarzenie ~~> W1: ## Warunek wystarczający => A1:
W1: A~~>S=A*S =1 ## A1: A=>S =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W1: A~~>S jest pojedynczym iterowaniem dla warunku wystarczającego A1: A=>S.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie A1: A=>S wchodzi w skład operatora równoważności A|<=>S co udowodniono w punkcie 6.6.1 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
6.7.2 Zadania W2: A=>S
Zadanie W2
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W2.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka świeci się (S=1)
Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame
W2.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 6.6 i 6.6.1.
W punkcie 6.6.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W2.
Z analizy matematycznej w punkcie 6.6.1 widzimy że zachodzi tożsamość zdań W2=A1:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Rozwiązanie:
Zdanie wypowiedziane W2=A1 jest częścią operatora równoważności A|<=>S (zdanie A1) i na mocy prawa Puchacza nie może być częścią jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
6.7.3 Zdanie W3: A~~>~S
Zadanie W3
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W3.
Jeśli przyciska A jest wciśnięty (A) to żarówka S może się nie świecić (~S)
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 6.6 i 6.6.1.
W punkcie 6.6.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W3.
W punkcie 6.6.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W2=A1'
A1’.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Podsumowanie:
Fałszywe zdanie wypowiedziane A1': A~~>~S=0 to kontrprzykład A1' dla prawdziwego warunku wystarczającego A1: A=>S =1.
Na mocy prawa Puchacza zdanie W3=A1' wchodzi w skład operatora równoważności A|<=>S i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
6.7.4 Zdanie W4: ~A~~>~S
Zadanie W4
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W4.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A) to żarówka może się nie świecić (~S)
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 6.6 i 6.6.1.
W punkcie 6.6.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W4.
Jak widzimy, nie ma dokładnego odpowiednika zdania W4, ale jest zdanie podobne B2 ze spełnionym warunkiem wystarczającym =>.
Nasze zdanie W4 brzmi:
W4.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A) to żarówka może się ~~> nie świecić (~S)
~A~~>~S=~A*~S =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>~q = ~p*~q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A) i żarówka S nie świeci się (~S)
cnd
Dla udowodnienie prawdziwości zdania W4 kodowanego zdarzeniem możliwym ~~> wystarczy zaobserwować jeden taki przypadek, nie wnikamy tu czy brak wciśnięcia przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> czy też wystarczającym => dla braku świecenia się żarówki S.
W punkcie 6.6.1 widzimy, że prawdziwe jest tu zdanie ze spełnionym warunkiem wystarczającym B2.
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla braku świecenia żarówki S (~S=1)
Oczywistym jest, że zdanie wypowiedziane W4: ~A~~>~S kodowane zdarzeniem możliwym ~~> jest częścią warunku wystarczającego B2: ~A=>~S, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
Kod: |
Pojedyńcze zdarzenie ~~> W4: ## Warunek wystarczający => B2:
W4:~A~~>~S=~A*~S =1 ## B2:~A=>~S =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W4: ~A~~>~S jest pojedynczym iterowaniem dla warunku wystarczającego B2: ~A=>~S
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie B2: ~A=>~S wchodzi w skład operatora równoważności A|<=>S i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
6.7.5 Zdanie W5: ~A=>~S
Zadanie W5
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane W5.
W5.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A) to żarówka nie świeci się (~S)
Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame:
W5.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S)
W punkcie 6.6.1 widzimy tożsamość zdań W5=B2
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla braku świecenia żarówki S (~S=1)
Podsumowanie:
Na mocy prawa Puchacza warunek wystarczający A2:~A=>~S wchodzi w skład operatora równoważności A|<=>S i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
6.7.6 Zdanie W6: ~A~~>S
Zadanie W6
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W6.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A) to żarówka S może się świecić (S)
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 6.6 i 6.6.1.
W punkcie 6.6.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W6=B2'
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka S świeci się (S=1)
Zdanie wypowiedziane W6=B2' jest fałszywym kontrprzykładem B2' dla prawdziwego warunku wystarczającego B2: ~A=>~S=1
Podsumowanie:
Na mocy prawa Puchacza fałszywe zdanie W6=B2': ~A~~>S=0 wchodzi w skład operatora równoważności A|<=>S i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
6.8 Rozwiązanie równoważności A<=>S metodą zdjęciową
Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod: |
S1 Schemat 1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Zadanie W1
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to może się świecić żarówka S
Polecenie:
Rozwiąż zadanie W1 metodą zdjęciową.
1.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
Robimy zdjęcie układu (pkt. 6.3.1)
Kod: |
A: A~~> S=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: wciśnięty A (A) i świeci S (S)
B: A~~>~S=0 - niemożliwe jest (=0): wciśnięty A (A) i nie świeci S (~S)
C:~A~~>~S=1 - możliwe jest (=1): nie wciśnięty A (~A) i nie świeci S (~S)
D:~A~~> S=0 - niemożliwe jest (=0): nie wciśnięty A (~A) i świeci S (S)
|
Jak widzimy zrobienie zdjęcia układu S1 w zdarzeniach jest trywialne.
Prawo Orła:
Jeśli dla zdania warunkowego "Jeśli p to q" znane jest zdjęcie układu w zapisie aktualnym (przykład) to wszelkie relacje między p i q określa wzór:
p*(q+~q) dzn (~)q*(p+~p)
Gdzie:
Punkt odniesienia:
Poprzednik p ze zdjęcia układu musi być niezanegowany co lokuje nas w kolumnie A1B1
(~) - w zapisie aktualnym przeczenie (~) przy q może wystąpić wyłącznie w spójniku "albo"($)
dzn - dowolny ze znaczków:
~~> - zdarzenie możliwe lub element wspólny zbiorów
=> - warunek wystarczający [=] relacja podzbioru =>
~> - warunek konieczny [=] relacja nadzbioru ~>
<=> - równoważność
$ - spójnik "albo"($)
;
[=] - tożsamość logiczna
Uwaga:
W prawie Orła za punkt odniesienia przyjmujemy zdanie warunkowe "Jeśli p to q" z niezaprzeczonym poprzednikiem p.
W naszym przypadku jest to zdanie z linii A.
2.
Na mocy prawa Orła zapisujemy:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
A*(S+~S) dzn S*(A+~A)
Minimalizujemy zapis:
A*S + A*~S dzn A*S + ~A*S
Ze zdjęcia układu odczytujemy:
A*~S =0
~A*S =0
Stąd mamy:
A*S + 0 <=> A*S + 0
Prawo algebry Boole'a:
x+0=x
stąd mamy po minimalizacji:
A*S <=> A*S
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q wymusza tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q
Nasz przykład:
A*S = A*S
Powyższy zapis oznacza tożsamość zdarzeń:
Zdarzenie "wciśnięcie przycisku A" jest tożsame ze zdarzeniem "żarówka S świeci się"
A=S
Definicja równoważności A<=>S:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest wystarczające => dla świecenia się żarówki S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S
Stąd:
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Nic więcej nie musimy udowadniać.
Na mocy definicji zdjęcia układu plus prawo Orła mamy tu do czynienia z równoważnością A<=>S omówioną szczegółowo w punktach 6.6 i 6.6.1
6.9 Zadnie typu "zbuduj układ minimalny równoważności p<=>q"
Zadanie:
Mamy do dyspozycji: źródło zasilania, żarówkę i trzy przyciski A, B i C
Polecenie:
Zbuduj minimalny układ elektryczny realizujący równoważność p<=>q
Rozwiązanie:
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Dla B1 korzystamy z prawa Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
stąd mamy:
Operatorowa definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to spełniony warunek wystarczający => zarówno po stronie p, jak i po stronie ~p
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B2: ~p=>~q=1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Na mocy operatorowej definicji równoważności p<=>q łatwo rysujemy układ minimalny spełniający tą definicję.
Kod: |
S1 Schemat 1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Rozumowanie które doprowadziło nas do narysowania schematu S1 jest następujące.
Na mocy operatorowej definicji równoważności A<=>S mamy:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) wystarczające => dla świecenia żarówki S
Z powyższego wynika że przycisk A musi być połączony szeregowo z układem zasilania i żarówką przyciskiem A, czyli nie może tu być jakiegokolwiek przycisku C (zmienna wolna) połączonego szeregowo z A.
##
B2: ~A=>~S=1 - nie wciśnięcie przycisku A jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia żarówki S
Warunek B2 oznacza, że w obwodzie nie może istnieć przycisk B (zmienna wolna) połączony równolegle do A.
Stąd mamy definicję minimalną równoważności A<=>S:
A<=>S = (A1: A=>S)*~(B2: ~A=>~S) =1*1=1
Gdzie:
A, S - zmienne binarne związane równaniem równoważności A<=>S
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Przyjmijmy punkt odniesienia zgodny z prawem Kłapouchego:
p=A (przycisk A) - przyczyna
q=S (żarówka S) - skutek
Stąd mamy potoczną definicję równoważności dla naszego układu.
Operatorowa definicja równoważności A<=>S:
Równoważność to spełniony warunek wystarczający => zarówno po stronie A, jak i po stronie ~A
A1: A=>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) wystarczające => dla świecenia żarówki S
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie przycisku A jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia żarówki S
A1B2: A<=>S = (A1: A=>S)*(B2:~A=>~S)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Zauważmy, że fakty A1 i B2 możemy sprawdzić doświadczalnie:
Każde wciśnięcie przycisku A (przyczyna) spowoduje zaświecenie żarówki S (skutek)
Każde nie wciśnięcie przycisku A (przyczyna) spowoduje brak świecenia żarówki S (skutek)
Dla B2 możemy skorzystać z prawa Prosiaczka:
B2: ~A=>~S = B1: A~>S
Stąd wracamy do podstawowej definicji równoważności definiowanej kolumną A1B1.
Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia S
Stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
6.10 Równoważność w języku potocznym 5-cio latka
Udajmy się do przedszkola A.
Pani w przedszkolu A mówi:
A.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K)
#
.. a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Negujemy dwustronnie zdanie A
B.
~Y=K
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Znaczenie zmiennej binarnej Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y - pani nie (~) dotrzyma słowa (Y)
~Y = ~(Y)
Znaczenie zmiennej binarnej K:
K - jutro pójdziemy do kina (K)
~K - jutro nie (~) pójdziemy do kina (K)
~K = ~(K)
Matematyczne omówienie przykładu z przedszkola A
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q =1 definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów p=q i odwrotnie
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] p=q
Gdzie:
=, [=], <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Nasz przykład
A:
A1B1: Y<=>~K = (A1: Y=>~K)*(B1: Y~>~K) [=] Y=~K
Czytamy:
Dotrzymanie przez panią słowa (Y) jest warunkiem wystarczającym => (A1) i koniecznym ~> (B1) do tego, byśmy nie poszli do kina (~K)
Zachodzi tożsamość pojęć:
(Y=~K) =1 (prawda)
Czytamy:
Zdarzenie „pani dotrzyma słowa” (Y) jest tożsame ze zdarzeniem „nie pójdziemy do kina” (~K)
Prawo algebry Kubusia:
Każdą równoważność p<=>q mamy prawo dwustronnie zanegować
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q
Dowód:
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Rozwijamy prawą stronę A2B2 powyższą definicją równoważności:
A2B2: ~p<=>~q = (~p)*(~q) + ~(~p)*~(~q) = ~p*~q + p*q = p*q+~p*~q = A1B1: p<=>q
cnd
Na mocy prawa do dwustronnej negacji równoważności negujemy zdanie A.
B.
A2B2: ~Y<=>K = (A2: ~Y~>K)*(B2: ~Y=>K) [=] ~Y=K
Czytamy:
Nie dotrzymanie przez panią słowa (~Y) jest warunkiem koniecznym ~> (A2) i wystarczającym => (B2) do tego, byśmy poszli do kina (K)
Zachodzi tożsamość pojęć:
(~Y=K) =1 (prawda)
Czytamy:
Zdarzenie „pani nie dotrzyma słowa” (~Y) jest tożsame ze zdarzeniem „pójdziemy do kina” (K)
Między zdarzeniami A: Y i B: ~Y zachodzi relacja spójnika „albo”($).
Dowód:
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
Stąd mamy:
Y$~Y = (Y)*~(~Y) + ~(Y)*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y = Y+~Y =1
cnd
Oczywistym jest, że miedzy zdarzeniami A: Y i B: ~Y nie zachodzi (=0) relacja równoważności:
Y<=>~Y =0
Dowód:
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd mamy:
Y<=>~Y = (Y)*(~Y) + ~(Y)*~(~Y) = Y*~Y + ~Y*Y = Y*~Y =0
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 23:27, 03 Mar 2024, w całości zmieniany 20 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Śro 8:30, 11 Sty 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
7.0 Spójnik "albo"($) w języku potocznym
Spis treści
7.0 Spójnik "albo"($) w języku potocznym 1
7.1 Diagram spójnika "albo"($) 4
7.1.1 Równanie spójnika "albo"($) 5
7.2 Definicja spójnika „albo”($) p$q zilustrowana przykładem S$Z 8
7.2.1 Operator "albo"($) p|$q w logice dodatniej (bo q) 11
7.2.2 Operator „albo”($) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) 15
7.3 Rozwiązywanie zadań dotyczących operatora "albo"(|$) 16
7.4 Spójnik "lub"(+) vs spójnik "albo"($) 16
7.4.1 Prawo Bobra w świecie martwym 17
7.4.2 Odwrotne prawo Bobra w świecie martwym 19
7.4.3 Dowód fałszywości prawa Bobra w świecie żywym 20
7.5 O wyższości spójnika "lub"(+) nad spójnikiem "albo"($) w świecie żywym 21
7.6 Analiza układu metodą zdjęciową 22
7.6.1 Zdjęcie układu 23
7.6.2 Prawo Orła 23
7.7 Zadanie S$Z 24
7.8 Wnioskowania w różnych punktach odniesienia 27
7.0 Spójnik "albo"($) w języku potocznym
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Rozważmy żarówkę zainstalowaną w naszym pokoju:
Kod: |
---------------
------------------| żarówka|---------------------
---------------
|
W języku potocznym możemy powiedzieć:
A1B1.
Żarówka świeci się (S) albo ($) nie świeci się (~S)
S$~S
trzeciej możliwości brak.
Gdzie:
"$" - znaczek spójnika "albo" w algebrze Kubusia
Dziedzina dla zdania A1B1 to wszystkie możliwe stany żarówki:
D = [żarówka świeci, żarówka nie świeci]
D=[S, ~S]
Trzeciej możliwości brak
Prawo podwójnego przeczenia:
S = ~(~S)
Czytamy:
Pojęcie żarówka świeci się (S) jest tożsame „=” z pojęciem nie jest prawdą (~), że żarówka nie świeci się (~S)
Prawo Irbisa:
Dwa pojęcia p i q są tożsame „=” wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności <=>:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Na mocy prawa Irbisa mamy tu do czynienia z następującą równoważnością:
A1B1:
Żarówka świeci się (S) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest prawdą (~), że żarówka nie świeci (~S)
A1B1: S <=> ~(~S)
Trzeciej możliwości brak.
Stąd mamy tożsamość zdań:
A1B1: S$~S = A1B1: S<=>~(~S)
Komentarz:
Spójnik "albo"($) A1B1: S$~S jest tożsamy z równoważnością A1B1: S<=>~(~S) i nie ma nic wspólnego ze spójnikiem "lub"(+) jak wielu, nawet matematyków uważa.
A1B1: S$~S = A1B1: S<=>~(~S)
Rozpiszmy naszą równoważność A1B1 definicją równoważności.
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Całość czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Nasz przykład:
A1B1: S<=>~(~S) = (A1: S=>~(~S))*(B1: S~>~(~S)) =1*1=1
Lewą stronę tożsamości logicznej „=” czytamy:
A1B1:
Żarówka świeci się (S) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest prawdą (~), że żarówka nie świeci (~S)
A1B1: S <=> ~(~S)
Trzeciej możliwości brak.
Zdania składowe równoważności <=> czytamy:
A1.
Jeśli żarówka świeci się (S) to na 100% => nie jest prawdą (~), że żarówka nie sieci się (~S)
S=>~(~S) =1
Świecenie się żarówki (S) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla stwierdzenia iż nie jest prawdą (~), że żarówka nie świeci się (~S)
Oczywistość dla każdego ucznia I klasy LO
##
B1.
Jeśli żarówka świeci się (S) to na 100% ~> nie jest prawdą (~), że żarówka nie sieci się (~S)
S~>~(~S) =1
Świecenie się żarówki (S) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla stwierdzenia iż nie jest prawdą (~), że żarówka nie świeci się (~S)
Oczywistość dla każdego ucznia I klasy LO
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy po raz n-ty prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdanie brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowodem są tu nasze zdania A1 i B1.
Różność matematyczną zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Definicje znaczków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy pełne równanie spójnika „albo”($) dla naszego przykładu z uwzględnieniem prawa Irbisa:
RA:
A1B1: S$~S <=> (A1: S=>~(~S))*(B1: S~>~(~S)) = A1B1: S<=>~(~S) = A1B1: S=~(~S)
Brzytwa Ockhama - zasada, zgodnie z którą w wyjaśnianiu zjawisk należy dążyć do prostoty, wybierając takie wyjaśnienia, które opierają się na jak najmniejszej liczbie pojęć i założeń.
W języku potocznym czasami zdarza się (rzadko), że człowiek wbrew brzytwie Ockhama, nadaje zaprzeczonemu pojęciu nazwę specjalną bez przeczenia.
W naszym przykładzie nazwa specjalna znana każdemu 5-cio latkowi to:
NSA:
Żarówka zgaszona (Z) = żarówka nie świeci (~S)
Z = ~S
Zachodzi też oczywista tożsamość pojęć:
Żarówka świeci się (S) = żarówka nie jest zgaszona (~Z)
S = ~Z
Gdzie:
S ## Z
Pojęcie żarówka świeci się (S) jest różne na mocy definicji ## od pojęcia żarówka zgaszona (Z)
Podstawiając nazwę specjalną NSA do równania ogólnego spójnika „albo”($) otrzymujemy równanie spójnika „albo”($) dla naszego przykładu:
RA:
A1B1: S$Z <=> (A1: S=>~(Z))*(B1: S~>~(Z)) = A1B1: S<=>~(Z) = A1B1: S=~(Z)
Stąd po usunięciu nawiasów wewnętrznych mamy:
RA:
A1B1: S$Z <=> (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z) = A1B1: S<=>~Z = A1B1: S=~Z
Algebra Kubusia ma swoje przełożenie na teorię bramek logicznych w przełożeniu 1:1, co jest twardym dowodem jej poprawności czysto matematycznej, co udowodnimy w punkcie 11.0.
Oznacza to, że z równaniem RA łatwo przejdziemy na zapis formalny (ogólny) poprzez proste podstawienie:
p=S(żarówka świeci się)
q=Z(żarówka zgaszona)
Stąd równanie RA w zapisie formalnym (ogólnym) przyjmuje postać:
RA:
A1B1: p$q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q = A1B1: p=~q (na mocy prawa Irbisa)
Z ostatniego członu doskonale widać, że diagram spójnika „albo”($) w zdarzeniach/zbiorach będzie analogiczny jak diagram równoważności (pkt. 6.2) z tym, że należy w nim uwzględnić tożsamość zdarzeń/zbiorów A1B1: p=~q wymuszającą tożsamość zdarzeń/zbiorów A2B2: ~p=q
7.1 Diagram spójnika "albo"($)
Kod: |
DA
Diagram spójnika "albo"($) wspólny dla teorii zdarzeń i teorii zbiorów
--------------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|----------------------------------|--------------------------------------|
| ~q | q |
|----------------------------------|--------------------------------------|
|Spójnik "albo"($): [=] Spójnik "albo"($): |
|A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)[=] A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) |
| = p<=>~q [=] = ~p<=>q |
|-------------------------------------------------------------------------|
|Równoważność p<=>~q definiuje | Równoważność ~p<=>q definiuje |
|tożsamość zbiorów/zdarzeń: | tożsamość zbiorów/zdarzeń: |
| p=~q # ~p=q |
--------------------------------------------------------------------------|
| A1: p=>~q=1 (p*~q=1) | A2:~p~>q=1 (~p*q=1) |
| B1: p~>~q=1 (p*~q=1) | B2:~p=>q=1 (~p*q=1) |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina D - suma logiczna zbiorów/zdarzeń możliwych A1, B2 |
| D=A1: p*~q+ B2:~p*q |
| A1’: p~~>q=p*q=[]=0 - zbiór pusty/zdarzenie niemożliwe |
| B2’: ~p~~>~q =~p*~q=[]=0 - zbiór pusty/zdarzenie niemożliwe |
|------------------------------------------------------------------=------|
| Diagram spójnika "albo"($) p$q w zbiorach/zdarzeniach definiujący |
| tożsamości zbiorów/zdarzeń p=~q i ~p=q |
---------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
[=], "=", <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony w dziedzinie D
|
Definicja dziedziny:
Dziedzina to suma logiczna zbiorów/zdarzeń niepustych i rozłącznych uzupełniających się wzajemnie do dziedziny D
D = A1: p*~q + B2: ~p*q
bo:
A1:
p=>~q = p*~q - bo zbiór/zdarzenie p jest podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~q
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów/zdarzeń p=~q
B2:
~p=>q = ~p*q - bo zbiór/zdarzenie ~p jest podzbiorem => zbioru/zdarzenia q
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów/zdarzeń ~p=q
7.1.1 Równanie spójnika "albo"($)
Spójnik "albo"($) wielu ludziom sprawia kłopoty, wielu utożsamia go spójnikiem "lub"(+) co jest błędem czysto matematycznym.
Tymczasem spójnik "albo"($) to trywialny, szczególny przypadek równoważności <=> opisany poniższym równaniem.
Równanie spójnika "albo"($) w zapisie formalnym (diagram DA):
Kod: |
A1B1: [=] A2B2:
p$q= p<=>~q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) [=] ~p$~q= ~p<=>q=(A2:~p=>q)*(B2:~p~>q)
Równoważność A1B1: p<=>~q | Równoważność A2B2:~p<=>q
definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń: | definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń
A1B1: p=~q # A2B2: ~p=q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów (i odwrotnie)
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów (i odwrotnie)
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Przykład:
Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod: |
S3 Schemat 3
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Doskonale widać że:
Żarówka może się świecić (S=1) „albo”($) być zgaszona (Z=1)
S$Z =1
Trzeciej możliwości brak.
Zauważmy, że spójnik "albo"($) nie opisuje przycisku A który oczywiście musi istnieć, by żarówka mogła się świecić albo nie świecić.
Wniosek:
Przycisk A jest na schemacie S3 zmienną wolną ustawianą na A=1 (świeci) albo A=0 (zgaszona) poza kontrolą człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna istniejąca w układzie, ale nie występująca w opisie matematycznym tego układu.
Na poziomie abstrakcyjnym losowym przyciskaniem przycisku A zajmuje się niewidoczny dla człowieka krasnoludek. Na poziomie rzeczywistym losowym wciskaniem przycisku A zajmuje się 3-letni Jaś.
Stąd mamy potoczną definicję spójnika "albo"($).
Potoczna definicja spójnika "albo"($):
Spójnik "albo" to wybór jednej z dwóch dostępnych możliwości.
Trzeciej możliwości brak.
p$q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy do wyboru są wyłącznie dwie możliwości p albo q
inaczej:
p$q=0
Podstawmy nasz przykład do równania spójnika "albo"($) w zapisie formalnym.
Przyjmijmy:
p=S (świeci)
q=Z (zgaszona)
Równanie spójnika "albo"($) w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Kod: |
A1B1: [=] A2B2:
S$Z= S<=>~Z=(A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z) [=] ~S$~Z= ~S<=>Z=(A2:~S=>Z)*(B2:~S~>Z)
Równoważność A1B1: S<=>~Z | Równoważność A2B2:~S<=>Z
definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń: | definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń
= A1B1: S=~Z # = A2B2: ~S=Z
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Czytamy:
Kolumna A1B1:
A1B1: S$Z= A1B1: S<=>~Z=(A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z) = A1B1: S=~Z
Lewą stronę czytamy:
Żarówka świeci się (S=1) "albo"($) jest zgaszona (Z=1)
A1B1: S$Z =1 - trzeciej możliwości brak
[=]
A1B1.
Kolejny człon czytamy:
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zgaszona (~Z=1)
S<=>~Z = (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z) =1
Dowód:
Zachodzi tożsamość zbiorów/zdarzeń:
A1B1: S=~Z
Zdarzenie żarówka świeci się (S=1) jest tożsame "=" ze zdarzeniem żarówka nie jest zgaszona (~Z=1)
Stąd mamy:
S<=>~Z = (A1: S=>S)*(B1: S~>S) =1
Każdy zbiór/zdarzenie (S) jest (=1) zarówno podzbiorem => (A1) jak i nadzbiorem ~> (B1) siebie samego (S)
cnd
[=]
Kolumna A2B2:
A2B2:~S$~Z= A2B2:~S<=>Z=(A2:~S=>Z)*(B2:~S~>Z) = A2B2: ~S=Z
Lewą stronę czytamy:
Żarówka nie świeci się (~S=1) albo($) nie jest zgaszona (~Z=1)
A2B2: ~S$~Z=1 - trzeciej możliwości brak
Dowód:
Zachodzi tożsamość zbiorów/zdarzeń:
A2B2: ~S=Z
Zdarzenie żarówka nie świeci się (~S=1) jest tożsame "=" ze zdarzeniem żarówka jest zgaszona (Z=1)
Stąd mamy zdanie tożsame:
A2B2:
Żarówka jest zgaszona (Z) albo($) nie jest zgaszona (~Z)
Z$~Z =1 - trzeciej możliwości brak
cnd
[=]
Kolejny człon czytamy:
A2B2:
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy jest zgaszona (Z=1)
~S<=>Z = (A2: ~S=>Z)*(B2: ~S~>Z) =1
Dowód:
Zachodzi tożsamość zbiorów/zdarzeń:
A2B2: ~S=Z
Stąd mamy:
~S<=>Z = (A2: Z=>Z)*(B2: Z~>Z) =1
Prawa strona tożsamości logicznej "=":
Każdy zbiór/zdarzenie (Z) jest (=1) zarówno podzbiorem => (A2) jak i nadzbiorem ~> (B2) siebie samego (Z)
cnd
7.2 Definicja spójnika „albo”($) p$q zilustrowana przykładem S$Z
Przykład:
Kod: |
S3 Schemat 3
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p (p) do zanegowanego q (~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q = A1B1: p=~q
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia ~q
Powyższa definicja równoważności p<=>~q znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 5 060
"konieczne i wystarczające"
Wyników: 11 000
Wydzielmy z powyższego równania definicję równoważności p<=>~q:
A1B1: p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Nasz przykład:
p=S (świeci)
q=Z (zgaszona)
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) S$Z w logice dodatniej (bo Z):
Spójnik „albo” S$Z w logice dodatniej (bo Z) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od S (S) do zanegowanego Z (~Z)
A1: S=>~Z =1 - świecenie (S=1) jest (=1) wystarczające => dla stwierdzenia nie zgaszenia (~Z=1)
B1: S~>~Z =1 - świecenie (S=1) jest (=1) konieczne ~> dla stwierdzenia nie zgaszenia (~Z=1)
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: S$Z = (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z) = A1B1: S<=>~Z = A1B1: S=~Z
Stąd mamy tabelę prawdy spójnika "albo"($) z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu ~~> i prawa Irbisa.
Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) p$q uwzględniająca prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q=1 [=] 3:~q~>p=1 = 4: q=>~p=1 [=] 5: ~p+~q =1
A': 1: p~~>q=0 4: q~~>p=0
Nasz przykład:
A: 1: S=>~Z=1 = 2:~S~>Z=1 [=] 3:~Z~>S=1 = 4: Z=>~S=1 [=] 5: ~S+~Z =1
A': 1: S~~>Z=0 4: Z~~>S=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q=1 [=] 3:~q=>p=1 = 4: q~>~p=1 [=] 5: p+ q =1
B': 2:~p~~>~q=0 3:~q~~>~p=0
Nasz przykład:
B: 1: S~>~Z=1 = 2:~S=>Z=1 [=] 3:~Z=>S=1 = 4: Z~>~S=1 [=] 5: S+ Z =1
B': 2:~S~~>~Z=0 3:~Z~~>~S=0
--------------------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3:~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń (prawo Irbisa):
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q [=] 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Nasz przykład:
Spójnik „albo”($):
AB: 1: S$Z = 2:~S$~Z [=] 3:~Z$~S = 4: Z$S [=] 5: S*~Z+~S*Z
Definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń (prawo Irbisa):
AB: 1: S<=>~Z = 2:~S<=>Z [=] 3:~Z<=>S = 4: Z<=>~S
1: S=~Z # 2:~S=Z | 3:~Z=S # 4: Z=~S
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($):
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax (ABx) wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax (ABx)
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx (ABx) wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx (ABx)
Wyjaśnienia dla tabeli prawdy TA:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p=>q =~p+q
Stąd:
W spójniku "albo"($) mamy:
A1: p=>~q = ~p+(~q)=~p+~q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniach "i"(*) i "lub"(+):
p~>q = p+~q
Stąd:
W spójniku "albo"($) mamy:
B1: p~>~q = p+~(~q) = p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Stąd mamy:
Definicja spójnika "albo"($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p$q = p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =(~p+~q)*(p+q)= ~p*p+ ~p*q+ ~q*~p+ ~q*q = p*~q + ~p*q
Do zapamiętania:
Definicja spójnika "albo"($) wyrażona spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
p$q = p*~q+~p*q
W tabeli TA na mocy kolumny A2B2 odczytujemy tożsamą logicznie definicję spójnika "albo"($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q).
A2B2.
Definicja spójnika "albo"($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q):
Spójnik "albo"($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~>, jak i wystarczającego => w kierunku od ~p do q
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
stąd:
A2B2: ~p$~q = ~p<=>q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1=1
Czytamy:
Spójnik "albo"($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniony wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
[=]
A2B2: ~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p<=>q
Powyższa tożsamość wynika bezpośrednio z praw Sowy.
Dowód tożsamy to skorzystanie z definicji spójnika "albo"($) p$q w spójniach "i"(*) i "lub"(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Mamy do udowodnienia tożsamość logiczną:
A1B1: p$q [=] A2B2: ~p$~q
Definicja spójnika "albo" p$q:
p$q = p*~q + ~p*q
Rozwijamy prawą stronę (A2B2) tożsamości logicznej [=] powyższą definicją:
A2B2: ~p$~q = (~p*)~(~q) + ~(~p)*(~q) = ~p*q + p*~q = p*~q + ~p*q = A1B1: p$q
cnd
7.2.1 Operator "albo"($) p|$q w logice dodatniej (bo q)
Zapiszmy wyprowadzoną wyżej tabelę prawdy spójnika "albo"($) p$q z uwzględnieniem prawa Irbisa.
Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) p$q uwzględniająca prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q=1 [=] 3:~q~>p=1 = 4: q=>~p=1
A': 1: p~~>q=0 4: q~~>p=0
Nasz przykład:
A: 1: S=>~Z=1 = 2:~S~>Z=1 [=] 3:~Z~>S=1 = 4: Z=>~S=1
A': 1: S~~>Z=0 4: Z~~>S=1
## ## ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q=1 [=] 3:~q=>p=1 = 4: q~>~p=1
B': 2:~p~~>~q=0 3:~q~~>~p=0
Nasz przykład:
B: 1: S~>~Z=1 = 2:~S=>Z=1 [=] 3:~Z=>S=1 = 4: Z~>~S=1
B': 2:~S~~>~Z=0 3:~Z~~>~S=0
----------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3:~q$~p = 4: q$p
Definiuje tożsamość zdarzeń (prawo Irbisa):
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q [=] 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Nasz przykład:
Spójnik „albo”($):
AB: 1: S$Z = 2:~S$~Z [=] 3: ~Z$~S = 4: Z$S
Definiuje tożsamość zdarzeń (prawo Irbisa):
AB: 1: S<=>~Z = 2:~S<=>Z [=] 3:~Z<=>S = 4: Z<=>~S
1: S=~Z # 2:~S=Z | 3:~Z=S # 4: Z=~S
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($):
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax (ABx) wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax (ABx)
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx (ABx) wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx (ABx)
Kolumna A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
Z prawa Sowy wynika, iż udowodnienie prawdziwości spójnika „albo”($) p$q jest tożsame z udowodnieniem prawdziwości operatora „albo”(|$) p|$q.
Definicja operatora „albo”(|$) p|$q w logice dodatniej (bo q):
Operator „albo”(|$) p|$q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Prawa strona A1B1 to definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1 =1
Stąd mamy:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
Nasz przykład:
A1B1: S$Z = (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z) = A1B1: S<=>~Z
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zdarzeń p=~q:
Dwa zdarzenia p i ~q są tożsame p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q.
A1B1: p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
Nasz przykład:
A1B1: S=~Z <=> (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z) = A1B1: S<=>~Z
Tożsamość A1B1 czytamy:
Zdarzenie żarówka świeci się (S) jest tożsame "=" ze zdarzeniem żarówka nie jest zgaszona (~Z)
Innymi słowy:
Świecenie (S) to brak zgaszenia (~Z), i odwrotnie
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie ~q
p=>~q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zajście zdarzenia p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia ~q
Nasz przykład:
A1.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to na 100% => nie jest zgaszona (~Z=1)
S=>~Z=1
Świecenie żarówki S (S=1) jest wystarczające => dla stwierdzenia iż nie jest zgaszona (~Z=1)
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: p i q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>~q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
Nasz przykład:
A1'.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to może ~~> być zgaszona (Z=1)
S~~>Z = S*Z =0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: świeci (S) i zgaszona (Z)
Dowód "nie wprost" na mocy definicji kontrprzykładu wynika z prawdziwości warunku wystarczającego A1.
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Stąd:
A2B2: ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
Prawa strona A2B2 to definicja równoważności ~p<=>q:
Równoważność ~p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
Stąd mamy:
A2B2: ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p<=>q
Nasz przykład:
A2B2: ~S$~Z = (A2:~S~>Z)*(B2:~S=>Z) = ~S<=>Z
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zdarzeń ~p=q:
Dwa zdarzenia ~p i q są tożsame ~p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q.
A2B2: ~p=q <=> (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)= A2B2: ~p<=>q
Nasz przykład:
A2B2: ~S=Z <=> (A2: ~S~>Z)*(B2: ~S=>Z)= A2B2: ~S<=>Z
Tożsamość A2B2 czytamy:
Zdarzenie żarówka nie świeci (~S) jest tożsame "=" ze zdarzeniem żarówka jest zgaszona (Z)
Innymi słowy:
Brak świecenia (~S) to zgaszenie (Z), i odwrotnie
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie q
~p=>q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zajście zdarzenia ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia q
Nasz przykład:
B2.
Jeśli żarówka nie świeci się (~S=1) to na 100% => jest zgaszona (Z=1)
~S=>Z =1
Brak świecenia żarówki (~S=1) jest warunkiem wystarczającym => dla stwierdzenia faktu, iż jest zgaszona (Z=1)
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: ~p i ~q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
Nasz przykład:
B2'.
Jeśli żarówka nie świeci się (~S=1) to może ~~> nie być zgaszona (~Z=1)
~S~~>~Z = ~S*~Z =0
Dowód wprost:
Nie może się zdarzyć (=0), że żarówka nie świeci się (~S=1) i równocześnie nie jest zgaszona (~Z=1)
Dowód:
Zachodzi tożsamość pojęć:
Nie zgaszona (~Z)= świeci (S)
~Z=S
Stąd mamy:
B2’: ~S~~>~Z = ~S~~>S = ~S*S =0
Czytamy:
Nie może się zdarzyć (=0), że żarówka nie świeci się (~S=1) i równocześnie świeci się (S=1)
cnd
Podsumowując:
Operator „albo”(|$) p|$q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań tworzących operator „albo”(|$) p|$q (A1’, A1’, B2, B2’) jest bez znaczenia co oznacza, iż zdania w powyższej analizie możemy dowolnie przestawiać
7.2.2 Operator „albo”($) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q)
Zacznijmy od:
Definicja operatora „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo q):
Operator „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy definicję operatora "albo"(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q)
Definicja operatora „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q):
Operator „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na dwa pytania o ~p i p:
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
Wniosek:
Analiza operatora „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora „albo”(|$) p|$q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 (kiedy zajdzie ~p?) kończąc na kolumnie A1B1 (kiedy zajdzie p?)
7.3 Rozwiązywanie zadań dotyczących operatora "albo"(|$)
Zdania wchodzące w skład operatora "albo"(|$|) są trywialne, rozumiane przez wszystkich, od 5-cio latka poczynając.
Zdania na poziomie 5-cio latka:
Żarówka może się świecić (S) "albo"($) być zgaszona (Z) - nasz przykład.
S$Z=1
Dowolny człowiek mówi prawdę (P) "albo"($) kłamie (K)
P$K =1
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) "albo"($) kobietą (K)
M$K =1
Zadania na poziomie ucznia I klasy LO (operacje na zbiorach nieskończonych):
Dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) "albo"($) nie jest podzielna przez 2 (~P2)
P2$~P2=1
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) "albo"($) nie jest prostokątny (~TP)
TP$~TP=1
Najbardziej pewne prognozy to są te stawiane przez najstarszych górali:
„będzie deszcz (D), albo ($) nie będzie deszczu (~D)”
D$~D=1
7.4 Spójnik "lub"(+) vs spójnik "albo"($)
Weźmy nasz koronny przykład spójnika "albo"($):
Przykład:
Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod: |
S3 Schemat 3
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Doskonale widać że:
1.
Żarówka może się świecić (S=1) „albo”($) być zgaszona (Z=1)
S$Z =1
Trzeciej możliwości brak.
Potoczna definicja spójnika "albo"($):
Spójnik "albo" to wybór jednej z dwóch dostępnych możliwości.
Trzeciej możliwości brak.
p$q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy do wyboru są wyłącznie dwie możliwości p albo q
inaczej:
p$q=0
Równanie spójnika "albo"($) w zapisie formalnym (diagram DA pkt. 7.1.1):
Kod: |
A1B1: [=] A2B2:
p$q= p<=>~q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) [=] ~p$~q= ~p<=>q=(A2:~p=>q)*(B2:~p~>q)
Równoważność A1B1: p<=>~q | Równoważność A2B2:~p<=>q
definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń: | definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń
A1B1: p=~q # A2B2: ~p=q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
7.4.1 Prawo Bobra w świecie martwym
Prawo Bobra:
W świecie martwym (w tym w matematyce i fizyce) zawsze w miejsce spójnika "albo"($) możemy użyć spójnika "lub"(+).
Odwrotnie nie zachodzi.
Uzasadnienie:
Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych (pkt. 1.12.4):
p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Zauważmy że:
W spełnionym spójniku "albo"($) zdarzenia p i q są z definicji rozłączne, stąd:
A: p*q =0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Stąd dla spójnika "albo"($) mamy:
p+q = A: p*q=0 + B: p*~q + C: ~p*q := B: p*~q + C: ~p*q = p$q
gdzie:
:= - redukcja spójnika "lub"(+) z powodu rozłączności zdarzeń p i q (A: p*q=0).
Podstawa matematyczna:
Prawo algebry Boole'a:
0+x =x
Gdzie:
x - dowolna funkcja logiczna
Podsumowanie:
Prawo Bobra jest poprawne dzięki temu, że nasz mózg to nie komputer i na mocy konkretnego przykładu jeśli zdarzenia p i q będą rozłączne, co każdy 5-cio latek łatwo stwierdzi, jest mu wszystko jedno czy nadawca użyje w tym przypadku wzorcowego spójnika "albo"(+), czy też mniej precyzyjnego spójnika "lub"(+). Mózg człowieka dokona korekty do spójnika "albo"($) automatycznie na wyższym poziomie obsługi logiki matematycznej.
Za użyciem w świecie martwym spójnika "lub"(+) w miejsce spójnika "albo"($) przemawia wiele racjonalnych argumentów.
Najważniejszy argument to:
Wyłącznie spójnik "lub"(+) podlega pod algebrę Boole'a która z definicji nie widzi spójnika "albo"($), będącego w istocie szczególnym przypadkiem równoważności:
A1B1: p$q = A1B1: p<=>~q [=] A2B2: ~p$~q = A2B2: ~p<=>q
Przykładem z dziedziny fizyki, gdzie mamy prawo w miejsce spójnika "albo"($) użyć spójnika "lub"(+) jest nasz koronny przykład spójnika "albo"($).
Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod: |
S3 Schemat 3
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Doskonale widać że:
1.
Żarówka może się świecić (S=1) „albo”($) być zgaszona (Z=1)
A1B1: S$Z =1
Trzeciej możliwości brak.
Zastąpmy w powyższym zdaniu matematycznie poprawny tu spójnik "albo"($) spójnikiem "lub"(+)
1".
Żarówka może się świecić (S=1) "lub"(+) być zgaszona (Z=1)
S+Z =?
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych (pkt. 1.11):
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Skorzystajmy z tej definicji dla zdania 1":
Y = (S+Z) = A: S*Z + B: S*~Z + C: ~S*Z
Zauważmy, że zdarzenie A jest twardym fałszem:
A: S*Z =0 - nie może się zdarzyć (=0), że żarówka jednocześnie świeci się (S) i jest zgaszona (Z)
Stąd mamy:
Y = (S+Z) = A: S*Z=0 + B: S*~Z + C: ~S*Z := B: S*~Z + C: ~S*Z = S$Z
Gdzie:
:= - redukcja spójnika "lub"(+) do spójnika "albo"($) na mocy rozłączności zdarzeń S (świeci) i Z (zgaszona), bo prawo algebry Boole'a (0+x=x)
Zauważmy, że każdy 5-cio latek wie, że żarówka nie może się (=0) jednocześnie świecić (S=1) i być zgaszona (Z=1)
A: S*Z =0
Dowód:
Zachodzi tożsamość pojęć:
Z=~S
Stąd mamy:
A: S*~S=0 - na mocy prawa algebry Boole'a (p*~p=0)
cnd
Dokładnie z tego powodu zdecydowana większość ludzi użyje w tym przypadku spójnika "lub"(+) w miejsce spójnika "albo"($).
Humaniści doskonale wiedzą, iż w świecie martwym użycie spójnika "lub"(+) w miejsce spójnika "albo"($) nigdy nie będzie błędem.
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
Użycie spójnika lub w zdaniach takich, jak „Przeżyję lub umrę”, nie jest błędem. Można się jedynie spierać o to, czy nie trafniej, dobitniej, wyraziściej itd. byłoby użyć w nim synonimicznego albo.
Mirosław Bańko
W wyróżnionym zdaniu użycie spójnika "lub"(+) jest poprawne bo wszyscy wiemy, że nie można być jednocześnie żywym i martwym.
cnd
7.4.2 Odwrotne prawo Bobra w świecie martwym
Prawo Bobra:
W świecie martwym (w tym w matematyce i fizyce) zawsze w miejsce spójnika "albo"($) możemy użyć spójnika "lub"(+).
Odwrotnie nie zachodzi, czyli istnieją kontrprzykłady, gdzie nie wolno w miejsce spójnika "lub"(+) wstawić spójnik "albo"($)
Podamy teraz kontrprzykład, gdzie w świecie martwym (w tym w matematyce i fizyce) prawo Bobra w odwrotną stronę nie zachodzi (jest fałszywe).
Rozważmy schemat elektryczny.
Kod: |
S2 Schemat 2
q
______
----o 0-----
Y | p |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Znaczenie symboli:
Y = żarówka świeci (Y=1)
~Y = żarówka nie świeci (~Y=1)
p - przycisk p wciśnięty (p=1)
~p - przycisk p nie wciśnięty (~p=1)
q - przycisk q wciśnięty (q=1)
~q - przycisk q nie wciśnięty (~q=1)
|
Pan od fizyki w I klasie LO:
Jasiu, powiedz nam kiedy żarówka będzie się świecić?
Jaś:
Żarówka Y będzie się świecić wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przyciska p lub wciśnięty jest przycisk q
Y = p+q =1
Innymi słowy:
Wystarczy, że którykolwiek z przycisków będzie wciśnięty i już żarówka świeci się.
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Zauważmy, że w tym przypadku nie wolno nam w miejsce spójnika "lub"(+) użyć spójnika "albo"($), bo żarówka będzie się świecić także przy wciśniętych obu przyciskach p i q.
A: p*q =1 - żarówka świeci się
Stąd zabroniona jest jakakolwiek redukcja równania:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Podany kontrprzykład obala odwrotne prawo Bobra, jest fałszywe.
cnd
7.4.3 Dowód fałszywości prawa Bobra w świecie żywym
Prawo Bobra:
W świecie martwym (w tym w matematyce i fizyce) zawsze w miejsce spójnika "albo"($) możemy użyć spójnika "lub"(+).
Odwrotnie nie zachodzi.
Definicja świata żywego:
Świat żywy to świat, gdzie o prawdziwości/fałszywości zmiennej binarnej x decyduje "wolna wola" człowieka.
Pani w przedszkolu nr.1 wypowiada zdanie:
A1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y = K+T
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Nasz przykład:
Y = K+T = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya= K*T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
B: Yb= K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) inie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: Yc= ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Gdzie:
Ya, Yb, Yc - funkcje logiczne cząstkowe
Y = Ya+Yb+Yc
Pani w przedszkolu nr.2 wypowiada zdanie:
B1.
Jutro pójdziemy do kina "albo"($) do teatru
Y = K$T = B: K*~T + C: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: Yb= K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: Yc= ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Gdzie:
Yb, Yc - funkcje logiczne cząstkowe
Y = Yb+Yc
Podsumowując:
Zauważmy, że w świecie żywym pani w przedszkolanka z przedszkola nr.2 nie może w miejsce spójnika "albo"($) użyć spójnika "lub"(+) bo możliwe jest zdarzenie A, o czym każdy 5-cio latek wie.
A: Ya= K*T=1*1=1 - jutro możemy pójść do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Wniosek:
Prawo Bobra w świecie żywym jest w 100% fałszywe.
cnd
7.5 O wyższości spójnika "lub"(+) nad spójnikiem "albo"($) w świecie żywym
Pani w przedszkolu nr.1 wypowiada zdanie:
A1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y = K+T
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Nasz przykład:
Y = K+T = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Pani w przedszkolu nr.2 wypowiada zdanie:
B1.
Jutro pójdziemy do kina "albo"($) do teatru
Y = K$T = B: K*~T + C: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Podsumowanie:
Zauważmy, że pani przedszkolanka z przedszkola nr.1 złożyła obietnicę rozsądniejszą od pani przedszkolanki z przedszkola nr.2
Dlaczego?
Obietnica pani przedszkolanki z przedszkola nr.1 (A+B+C) zawiera w sobie obietnicę pani przedszkolanki z przedszkola nr.2 (B+C).
Innymi słowy:
Pani przedszkolanka z przedszkola nr.1 ma mniejsze szanse na zostanie w dniu jutrzejszym kłamczuchą, bo dodatkowo może iść z dziećmi do kina i do teatru, czego nie wolno pani z przedszkola nr.2 (bo będzie kłamczuchą).
Zauważmy, ze nawet gdy w chwili wypowiadania obietnicy pani przedszkolanka z przedszkola nr.1 wyklucza pójście w dniu jutrzejszym do kina i do teatru, to i tak korzystniej dla niej będzie użycie spójnika "lub"(+), bowiem mamy tu mniejsze prawdopodobieństwo kłamstwa w dniu jutrzejszym.
cnd
7.6 Analiza układu metodą zdjęciową
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dowolny układ fizyczny można przeanalizować metodą zdjęciową, gdzie na mocy prawa Orła dostaniemy dowód, iż teorię zdarzeń można łatwo sprowadzić do teorii zbiorów.
7.6.1 Zdjęcie układu
Definicja zdjęcia układu:
Zdjęcie układu to analiza zdania wypowiedzianego "Jeśli p to q" w kierunku od p do q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q przy pomocy definicji zdarzenia możliwego ~~> (teoria zdarzeń) albo definicji elementu wspólnego zbiorów ~~> (teoria zbiorów) z rozstrzygnięciem o prawdziwości/fałszywości wszystkich zdań składowych.
Stąd mamy:
Definicja zdjęcia układu w teorii zdarzeń:
Zdjęcie układu to seria czterech zdań warunkowych "Jeśli p to q" kodowanych zdarzeniem możliwym ~~> w kierunku od p do q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q z rozstrzygnięciem o prawdziwości/fałszywości wszystkich zdań składowych.
Definicja zdarzenia możliwego ~~> (pkt. 2.2.1):
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
Kod: |
T1
Tabela prawdy zdjęcia układu w zapisie formalnym
to odpowiedź TAK=1/NIE=0 cztery pytania {A,B,C,D}
Kolumna A1B1:
A: p~~> q = p* q=? - Czy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q?
B: p~~>~q = p*~q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q?
Kolumna A2B2:
C:~p~~>~q =~p*~q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q?
C:~p~~> q =~p* q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q?
|
7.6.2 Prawo Orła
Prawo Orła:
Jeśli dla zdania warunkowego "Jeśli p to q" znane jest zdjęcie układu w zapisie aktualnym (przykład) to wszelkie relacje między p i q określa wzór:
p*(q+~q) dzn (~)q*(p+~p)
Gdzie:
Punkt odniesienia:
Poprzednik p ze zdjęcia układu musi być niezanegowany co lokuje nas w kolumnie A1B1
(~) - w zapisie aktualnym przeczenie (~) przy q może wystąpić wyłącznie w spójniku "albo"($)
dzn - dowolny ze znaczków:
~~> - zdarzenie możliwe lub element wspólny zbiorów
=> - warunek wystarczający [=] relacja podzbioru =>
~> - warunek konieczny [=] relacja nadzbioru ~>
<=> - równoważność
$ - spójnik "albo"($)
Tożsame znaczki tożsamości logicznej:
„=”, [=], <=>
Wyprowadzenie prawa Orła:
1.
p dzn (~)q
2.
Prawo algebry Boole'a:
x=x*1
stąd:
p*1 dzn (~)q*1
3.
1=D - wspólna dziedzina dla p i q
Stąd mamy:
p+~p=D=1
q+~q=D=1
Podstawiając do 2 mamy nasze prawo Orła:
4.
Prawo Orła:
p*(q+~q) dzn (~)q*(p+~p)
cnd
7.7 Zadanie S$Z
Rozważmy żarówkę zainstalowaną w naszym pokoju:
Kod: |
---------------
------------------| żarówka|---------------------
---------------
|
Polecenie:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego (|?) wchodzi zdanie wypowiedziane:
W1
Żarówka może się świecić (S) lub być zgaszona (Z)
Y=S+Z
Podamy tu dwa tożsame rozwiązania:
Klasyczne - rozwiązanie wprost
Z wykorzystaniem zdjęcia układu i prawa Orła - "rozwiązanie nie wprost"
I.
Rozwiązanie klasyczne:
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Nasz przykład:
1.
Y = S+Z = A: S*Z + B: S*~Z + C: ~S*Z
Żarówka nie może się jednocześnie świecić (S) i być zgaszona (Z)
A: S*Z =0
Y = S+Z := 0 + B: S*~Z + C: ~S*Z
Prawo algebry Boole'a:
0+x=x
Stąd mamy końcową minimalizację równania 1:
Y = S+Z := B: S*~Z + C: ~S*Z
Gdzie:
:= - minimalizacja funkcji logicznej Y
Stąd mamy:
Y = B: S*~Z + C: ~S*Z
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> B: S=1 i ~Z=1 lub C: ~S=1 i Z=1
Całość czytamy:
Prawda jest (Y=1) że w układzie S1 mogą wystąpić tylko i wyłącznie dwa zdarzenia rozłączne B i C:
B: S*~Z=1*1=1 - żarówka świeci się (S=1) i nie jest zgaszona (~Z)
"albo"($)
C: ~S*Z =1*1=1 - żarówka nie świeci się (~S) i jest zgaszona (Z)
Trzeciej możliwości brak.
Stąd mamy najprostszą odpowiedź
Zdanie wypowiedziane W1 wchodzi w skład operatora "albo"(|$)
Uzasadnienie rozszerzone to prawo Bobra (pkt. 7.4.1)
II.
Rozwiązanie z wykorzystaniem zdjęcia układu i prawa Orła
Robimy zdjęcie układu dla schematu S1
Kod: |
A: S~~> Z=0 - niemożliwe jest (=0): żarówka świeci(S) i jest zgaszona(Z)
B: S~~>~Z=1 - możliwe jest (=1): żarówka świeci(S) i nie jest zgaszona(~Z)
C:~S~~>~Z=0 - niemożliwe jest (=0): nie świeci(~S) i nie jest zgaszona (~Z)
D:~S~~>Z =1 - możliwe jest (=1): żarówka nie świeci(~S) i jest zgaszona (Z)
|
Jedynym problemem dla ucznia I klasy LO może być wątpliwość fałszu (=0) w linii C.
Jak to uprościć?
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Na mocy definicji kontrprzykładu definiujemy fałsz (=0) w linii C jako skutek prawdziwości warunku wystarczającego => w linii D.
D.
Jeśli żarówka nie świeci się (~S) to na 100% => jest zgaszona (Z)
~S=>Z =1
Oczywistość dla każdego 5-cio latka.
Prawdziwość warunku wystarczającego => w linii D, na mocy definicji kontrprzykładu wymusza fałsz w linii C (i odwrotnie)
C.
Jeśli żarówka nie świeci się (~S) to może ~~> nie być zgaszona (~Z)
~S~~>~Z = ~S*~Z=0
Dowód wprost:
Nie może się zdarzyć (=0), że żarówka nie świeci się (~S) i jednocześnie nie jest zgaszona (~Z)
Dowód "nie wprost" gdy mamy kłopoty ze zrozumieniem dowodu wprost, to skorzystanie z definicji kontrprzykładu, co wyżej uczyniono.
Prawo Orła:
Jeśli dla zdania warunkowego "Jeśli p to q" znane jest zdjęcie układu w zapisie aktualnym (przykład) to wszelkie relacje między p i q określa wzór:
p*(q+~q) dzn (~)q*(p+~p)
Gdzie:
Punkt odniesienia:
Poprzednik p ze zdjęcia układu musi być niezanegowany co lokuje nas w kolumnie A1B1
(~) - w zapisie aktualnym przeczenie (~) przy q może wystąpić wyłącznie w spójniku "albo"($)
dzn - dowolny ze znaczków:
~~> - zdarzenie możliwe lub element wspólny zbiorów
=> - warunek wystarczający [=] relacja podzbioru =>
~> - warunek konieczny [=] relacja nadzbioru ~>
<=> - równoważność
$ - spójnik "albo"($)
Tożsame znaczki tożsamości logicznej:
„=”, [=], <=>
Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony
Prawo Orła dla naszego przykładu S1 po podstawieniu:
p=S (świeci)
q=Z (zgaszona)
przyjmuje postać:
S*(Z+~Z) dzn ~Z*(S+~S)
Minimalizujemy poprzez wymnożenie logiczne wielomianów:
S*Z + S*~Z dzn S*~Z + ~S*~Z - bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny
2.
Ze zdjęcia dla układu S1 odczytujemy:
S*Z =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: świeci (S) i jest zgaszona (Z)
~S*~Z=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie świeci (~S) i nie jest zgaszona (~Z)
Stąd mamy:
0 + S*~Z dzn S*~Z + 0
3.
Prawo algebry Boole'a:
0+x=x
Stąd po totalnej minimalizacji mamy:
S*~Z dzn S*~Z
Powyższy zapis oznacza, że mamy tu do czynienia z tożsamością zdarzeń:
Zdarzenie "żarówka świeci" (S) jest tożsame "=" ze zdarzeniem "żarówka nie jest zgaszona" (~Z)
Oczywistość dla każdego 5-cio latka.
Stąd w miejsce symbolu dzn musimy tu wpisać znak tożsamości logicznej:
S*~Z = S*~Z
7.8 Wnioskowania w różnych punktach odniesienia
Wnioskowania w różnych punktach odniesienia:
Wnioskowaniami w różnych punktach odniesienia nazywamy wnioskowania prawdziwe w dwóch punktach odniesienia matematycznie związanych ze sobą spójnikiem "albo"($).
Przykład na poziomie ucznia I klasy LO.
Nazista:
Żyd to mój wróg
Powyższe wnioskowanie jest prawdziwe w punkcie odniesienia Nazisty
####
Żyd:
Nazista to mój wróg
Powyższe wnioskowanie jest prawdziwe w punkcie odniesienia Żyda
Gdzie:
#### - wnioskowania prawdziwe w różnych punktach odniesienia.
Oczywistym jest, że jak ktoś należy do obozu Nazistów to na 100% nie należy do obozu Żydów (i odwrotnie)
Innymi słowy:
Można być Żydem albo($) Nazistą - niemożliwe jest jednoczesne bycie Żydem i Nazistą.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 9:02, 08 Lis 2024, w całości zmieniany 26 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Pon 21:13, 23 Sty 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
8.0 Chaos p|~~>q
Spis treści
8.0 Chaos p|~~>q 1
8.1 Symboliczna definicja chaosu p|~~>q 3
8.1.1 Operator chaosu p||~~>q 5
8.2 Sztandarowy przykład chaosu A|~~>S w zdarzeniach 6
8.2.1 Operator chaosu A||~~>S w zdarzeniach 10
8.3 Algorytm Puchacza w rozwiązywaniu przykładów chaosu p|~~>q 12
8.4 Sztandarowy przykład chaosu A|~~>S 15
8.5 Rozszyfrowywanie algebry Kubusia - ostatni akord 19
8.5.1 Znaczenie operatora chaosu p||~~>q 19
8.5.2 Znaczenie operatora śmierci p||~~~>q 23
8.0 Chaos p|~~>q
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"
Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>
Kod: |
T0R
Rozszerzona tabela matematycznych związków warunków wystarczających =>
i koniecznych ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =? = 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =? = 4:~q=>~p=?
A': 1: p~~>~q=? 4:~q~~>p=?
## ## ## ##
B: 1: p~> q =? = 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =? = 4:~q~>~p=?
B': 2:~p~~>q=? 3: q~~>~p=?
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Prawo Kłapouchego obowiązuje dla standardu dodatniego w języku potocznym człowieka.
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
Innymi słowy:
Logiką matematycznie zgodną z językiem potocznym człowieka jest tylko i wyłącznie standard dodatni.
Prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
Przykład:
A.
Jutro nie pójdziemy do kina
K=0 - fałszem jest (=0) że jutro pójdziemy do kina (K)
Prawo Prosiaczka:
(K=0)=(~K=1)
Stąd zdanie tożsame:
A"
Jutro nie pójdziemy do kina
~K=1 - prawdą jest (=1) że jutro nie pójdziemy do kina (~K)
Uwaga:
Logika matematyczna zajmuje się wyłącznie zdaniami, którym daje się przypisać prawdę albo fałsz.
Przykładowo, odpadają tu zdania czysto abstrakcyjne, przenośnie itp.
Gdybym miał skrzydła to bym latał
Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego.
8.1 Symboliczna definicja chaosu p|~~>q
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajęcie p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
Podstawiając do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uzupełnionych o definicję kontrprzykładu ~~> Ax' i Bx' mamy:
Kod: |
CH
Tabela prawdy chaosu p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A": 1: p~~>q =1 [=] 4:~q~~>~p=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
B": 2:~p~~>~q=1 [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Komentarz:
Kolumna A1B1:
Fałszywy warunek wystarczający:
A1: p=>q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
A1': p~~>~q=1
Dodatkowo musi być:
A1": p~~>q =p*q =1
Dowód „nie wprost”.
Załóżmy, że zachodzi:
A1": p~~>q=p*q=0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Wtedy, na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy jest warunek wystarczający =>:
A1": p=>~q=1
co to sprzeczne z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identycznie mamy w kolumnie A2B2:
Fałszywy warunek wystarczający:
B2: ~p=>~q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
B2': ~p~~>q = ~p*q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Dodatkowo musi być:
B2": ~p~~>~q =~p*~q=1
Dowód „nie wprost”
Załóżmy, że zachodzi:
B2": ~p~~>~q=~p*~q=0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
Wtedy, na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy jest warunek wystarczający =>:
B2": ~p=>q=1
co to sprzeczne z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
8.1.1 Operator chaosu p||~~>q
Operator chaosu p||~~>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1": p~~>q = p*q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
A1': p~~>~q = p*~q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A1" i A1'
Kolumna A1B1:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla spełnionego p (p=1):
A1".
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
LUB
A1'.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
B2": ~p~~>~q = ~p*~q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
B2': ~p~~>q = ~p*q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B2" i B2'
Kolumna A2B2:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla niespełnionego p (~p=1):
B2".
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
LUB
B2'.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Podsumowanie:
Doskonale widać, że zarówno po stronie p jak i po stronie ~p mamy tu najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Po stronie p mamy:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q (zdanie A1") lub może ~~> zajść ~q (zdanie A1')
Po stronie ~p mamy:
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q (zdanie B2') lub może ~~> zajść q (zdanie B2')
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań A1", A1', B2", B2' jest bez znaczenia, wszystkie muszą być prawdziwe.
8.2 Sztandarowy przykład chaosu A|~~>S w zdarzeniach
Rozważmy następujący schemat elektryczny:
Kod: |
S2 Schemat 2
Fizyczna realizacja chaosu A|~~>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A|~~>S=~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=~(0)*~(0)=1*1=1
B: Małgosia
B
______
---o o------
C: Zuzia | A: Jaś |
S C | A |
------------- ______ | ______ |
-----| Żarówka |-------o o--------o o-----|
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
---------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienne wolne: B, C
Istotą chaosu A|~~>S są zmienne wolne B i C.
Nie ma zmiennych wolnych, nie ma chaosu, jest równoważność.
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Na schemacie S2 zmienne wolne, nie opisane matematycznie to przyciski B i C.
Z doświadczenia wiem, jak ciężko jest matematykom odpowiedzieć na dwa proste pytania definiujące spójnik chaosu A|~~>S:
1.
Co może się wydarzyć, gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
2.
Co może się wydarzyć, gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
Zauważmy, że w obu pytaniach nie ma nic o zmiennych wolnych B i C widniejących na schemacie S2.
Dla przeciętnego ziemskiego matematyka (wiem to z dyskusji) nie do wyobrażenia jest, że widząc schemat S2 można nie wiedzieć w jakim stanie są przyciski B i C.
Pokazuję i objaśniam:
Na poziomie abstrakcyjnym interpretacja zmiennych wolnych B i C jest następująca.
Interpretacja zmiennych wolnych B i C na poziome abstrakcyjnym:
Przyciskami B i C sterują dwie smerfetki o imionach B: Małgosia i C: Zuzia. Obie z zaciekawieniem wciskają swoje przyciski w sposób losowy ciesząc się za każdym razem gdy żarówka S zaświeci się na skutek wciśnięcia przycisku - oczywiście nie zawsze się to zdarzy, co wynika ze schematu S2
Na poziomie rzeczywistym interpretacja zmiennych wolnych B i C może być następująca.
Fizyczna interpretacja zmiennych wolnych B i C:
Przy przycisku A siedzi Jaś, uczeń I klasy LO mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A widzący żarówkę S oraz rozumiejący schemat ideowy S2.
Przy przyciskach B i C siedzą dwie 3-latki Małgosia i Zuzia, których schemat S2 zupełnie nie interesuje, natomiast bardzo są zaciekawione faktem, że czasami wciskając swój przycisk powodują zaświecenie żarówki, a czasami żarówka nie reaguje na wciśnięcie przycisku, a innym razem sama świeci się i gaśnie.
Zauważmy że:
Wyłącznie Jaś, uczeń I klasy LO widzący i rozumiejący schemat połączeń pokazany na schemacie S2 może odpowiedzieć na dwa trywialne pytania.
Dwa trywialne pytania definiujące operator chaosu A||~~>S to:
A1B1:
Co może się wydarzyć, gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
A2B2:
Co może się wydarzyć, gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
Przyjmijmy za punkt odniesienia Jasia i przycisk A.
Z punktu odniesienia Jasia mamy dwie zmienne wolne B i C do których Jaś nie ma dostępu, są poza jego kontrolą.
Fizyczna realizacja zmiennej wolnej B:
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna B będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(b) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(b) =1
oraz
f(b)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(b) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku B, gdzie daje się ustawić zarówno B=1 jak i B=0.
Przykład:
f(b) = D*(~E+F)
Gdzie:
D, F - przyciski normalnie rozwarte
~E - przycisk normalnie zwarty
Fizyczna realizacja zmiennej wolnej C:
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna C będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(c) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(c) =1
oraz
f(c)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(c) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku C, gdzie daje się ustawić zarówno C=1 jak i C=0.
Przykład:
f(c) = G+H*(I+~J)
Gdzie:
G, H, I - przyciski normalnie rozwarte
~J - przycisk normalnie zwarty
Fizyczna realizacja zmiennej związanej A:
Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K*(L+M)
Gdzie:
K, L, M - przyciski normalnie rozwarte
Na początek musimy udowodnić, iż rzeczywiście układ S2 w powyższej interpretacji jest fizyczną realizacją chaosu A|~~>S.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S bo zmienna wolna C może być ustawiona na C=0 - wtedy żarówka nie będzie się świecić (~S=1).
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmijmy zdanie A1 za punkt odniesienia:
p = A (przycisk A), przyczyna
q = S (żarówka S), skutek
Stąd mamy zapis zdania A1 w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0
Dla rozstrzygnięcie z jakim spójnikiem implikacyjnym mamy do czynienia musimy zbadać prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> B1 między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =?
To samo w zapisie formalnym:
p~>q=?
W takim przypadku zawsze najprościej jest skorzystać z prawa Tygryska prowadzącego do najprostszego warunku wystarczającego =>.
Prawo Tygryska:
B1: A~>S = B3: S=>A
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q = B3: q=>p
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => B3.
B3.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to na 100% => przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S=>A =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo żarówka S może się świecić (S=1) gdy C=1 i B=1 zaś przycisk A wcale nie musi być wciśnięty.
Stąd, na mocy prawa Tygryska warunek konieczny ~> B1 jest fałszem:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =0 - wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S.
Dowód wprost:
Żarówka będzie się świecić dla zmiennych wolnych C=1 i B=1, wtedy stan przycisku A jest bez znaczenia.
Wniosek:
Schemat S2 jest fizyczną realizacją chaosu A|~~>S
8.2.1 Operator chaosu A||~~>S w zdarzeniach
Kod: |
S2 Schemat 2
Fizyczna realizacja chaosu A|~~>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A|~~>S=~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=~(0)*~(0)=1*1=1
B: Małgosia
B
______
---o o------
C: Zuzia | A: Jaś |
S C | A |
------------- ______ | ______ |
-----| Żarówka |-------o o--------o o-----|
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
---------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienne wolne: B, C
Istotą operatora chaosu A||~~>S są zmienne wolne B i C.
Nie ma zmiennych wolnych, nie ma chaosu, jest równoważność.
|
Dowód iż schemat S2 jest fizyczną realizacją operatora chaosu przedstawiliśmy wyżej.
Dopiero w tym momencie możemy skorzystać z szablonu chaosu p|~~>q wyrażonego warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>
Kod: |
CH
Kolumna A1B1: Punkt odniesienia w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Aktualny punkt odniesienia:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Kolumna A1B1: Punkt odniesienia w zapisie aktualnym:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|~~>S = ~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =~(0)*~(0) =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Chaos A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) w zapisie formalnym
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1 [=] 4:~q~~>~p=1
Chaos A1B1: A|~~>S = ~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) w zapisie aktualnym
A: 1: A=>S =0 = 2:~A~>~S =0 [=] 3: S~>A =0 = 4:~S=>~A =0
A’: 1: A~~>~S=1 = [=] = 4:~S~~>A =1
A”: 1: A~~>S =1 [=] 4:~S~~>~A=1
## ## | ## ##
Chaos A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) w zapisie formalnym
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
B”: 2:~p~~>~q=1 [=] 3: q~~>p =1
Chaos A1B1: A|~~>S = ~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) w zapisie aktualnym
B: 1: A~>S =0 = 2:~A=>~S =0 [=] 3: S=>A =0 = 4:~S~>~A =0
B’: = 2:~A~~>S =1 [=] 3: S~~>~A=1
B”: 2:~A~~>~S=1 [=] 3: S~~>A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
„=”, [=] - tożsame znaczki tożsamości logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W tabeli prawdy chaosu (CH) widzimy, że fałszywe są wszystkie warunki wystarczające => i konieczne ~>, ale analiza spójnika chaosu p|~~>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w zdarzeniach możliwych ~~> to seria czterech zdań prawdziwych.
Wniosek:
Najprostszy sposób udowodnienia iż mamy do czynienia z chaosem p|~~>q to udowodnienie iż cztery zdania kodowane zdarzeniem możliwym ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q są prawdziwe.
Definicja operatora chaosu A||~~>S:
Operator chaosu A||~~>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o A i ~A:
Kolumna A1B1:
A1B1: A|~~>S =~(A1: A=> S)*~(B1: A~>S) - co się stanie jeśli A jest wciśnięty (A=1)?
Kolumna A2B2:
A2B2:~A|~~>~S =~(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli A nie jest wciśnięty (~A=1)?
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
Kolumna A1B1:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A||~~>S = ~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =~(0)*~(0) =1*1=1
Z kolumny A1B1 odczytujemy:
A1".
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
A~~>S = A*S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1) gdy dodatkowo zmienna wolna C będzie ustawiona na C=1
LUB
A1'.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> nie świecić się (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Gdy zmienna wolna C ustawiona jest na C=0
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
Kolumna A2B2:
A2: ~A~>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla nie świecenia S (~S=1)
B2: ~A=>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) wystarczające => nie dla świecenia S (~S=1)
~A|~~>~S = ~(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Z kolumny A2B2 odczytujemy:
B2".
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> nie świecić się (~S=1)
~A~~>~S = ~A*~S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Gdy zmienna wolna B ustawiona jest na B=0, albo zmienna wolna C będzie ustawiona na C=0.
LUB
B2'.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> świecić się (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Gdy zmienna wolna B ustawiona jest na B=1 i zmienna wolna C ustawiona jest na C=1
Podsumowanie:
Operator chaosu A||~~>S to „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” zarówno po stronie wciśniętego klawisza A (A=1 - zdania A1" i A1'), jak i po stronie nie wciśniętego klawisza A (~A=1 - zdania B2" i B2')
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~A||~~>~S w logice ujemnej (bo ~S) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~A i A:
A2B2: ~A|~~>~S =~(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli A nie jest wciśnięty (~A=1)?
A1B1: A|~~>S =~(A1: A=> S)*~(B1: A~>S) - co się stanie jeśli A jest wciśnięty (A=1)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora chaosu ~A||~~>~S w logice ujemnej (bo ~S) będzie identyczna jak operatora chaosu A||~~>S w logice dodatniej (bo S) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1", A1', B2", B2' możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
8.3 Algorytm Puchacza w rozwiązywaniu przykładów chaosu p|~~>q
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"
Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>
Kod: |
T0R
Rozszerzona tabela matematycznych związków warunków wystarczających =>
i koniecznych ~> dla potrzeb przykładów:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =? = 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =? = 4:~q=>~p=?
A': 1: p~~>~q=? 4:~q~~>p=?
## ## ## ##
B: 1: p~> q =? = 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =? = 4:~q~>~p=?
B': 2:~p~~>q=? 3: q~~>~p=?
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Prawo Kłapouchego obowiązuje dla standardu dodatniego w języku potocznym człowieka.
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
Innymi słowy:
Logiką matematycznie zgodną z językiem potocznym człowieka jest tylko i wyłącznie standard dodatni.
Prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
Przykład:
A.
Jutro nie pójdziemy do kina
K=0 - fałszem jest (=0) że jutro pójdziemy do kina (K)
Prawo Prosiaczka:
(K=0)=(~K=1)
Stąd zdanie tożsame:
A"
Jutro nie pójdziemy do kina
~K=1 - prawdą jest (=1) że jutro nie pójdziemy do kina (~K)
Uwaga:
Logika matematyczna zajmuje się wyłącznie zdaniami, którym daje się przypisać prawdę/fałsz.
Przykładowo, odpadają tu zdania czysto abstrakcyjne, przenośnie itp.
Gdybym miał skrzydła to bym latał
Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego.
Algorytm Puchacza (pkt. 2.11):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.
5.
Prawo Puchacza (pkt. 2.10.1):
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza.
Rozłączne operatory implikacyjne to:
a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1)
b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1)
d) p|~~>q - operator chaosu (2.15.1)
e) p|$q - operator "albo"(|$) (8.2.1)
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
7.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia
Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie.
8.4 Sztandarowy przykład chaosu A|~~>S
Typowe zadanie w algebrze Kubusia brzmi:
Dany jest schemat elektryczny
Kod: |
S2 Schemat 2
B: Małgosia
B
______
---o o------
C: Zuzia | A: Jaś |
S C | A |
------------- ______ | ______ |
-----| Żarówka |-------o o--------o o-----|
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
---------------------------------------------------
Zmienne związane: A, S
Zmienne wolne: B, C
|
Polecenie:
Zbadaj jaki operator implikacyjny realizuje schemat S2
Sprawdzamy warunek konieczny stosowalności algorytmu Puchacza:
Algorytm Puchacza:
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.
Rozwiązanie algorytmem Puchacza:
1.
Formułujemy pierwsze zdanie z niezaprzeczonymi argumentami {A, S} kodowanymi zdarzeniem możliwym ~~>
W.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to może się ~~> świecić żarówka S
A~~>S = A*S =1
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p= A (przycisk A)
q= S (żarówka S)
To samo w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =1
2.
Istnieje związek między wciskaniem klawisza A a świeceniem żarówki S, zatem wspólna dziedzina dla p i q jest spełniona.
Dziedzina matematyczna Dm to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń rozłącznych bez analizy prawdziwości/fałszywości tych zdarzeń.
Dm= A*S + A*~S + ~A*~S + ~A*S
Dziedzina fizyczna D to zbiór zdarzeń fizycznie możliwych, jakie mogą zajść.
Dziedzina fizyczna D wyskoczy nam w czasie analizy matematycznej zdania wypowiedzianego W
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych.
p= A=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty
q= S=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: żarówka S świeci się
~p= ~A=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty
~q= ~S=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: żarówka S nie świeci się
4.
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza
Analiza podstawowa:
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Badamy czy w naszym zdaniu W spełniony jest warunek wystarczający => A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to na 100% => żarówka S świeci się
A=>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S bo na schemacie S2 istnieje szeregowo połączona zmienna wolna C.
Dla C=0 żarówka nie będzie się świecić bez względu na stan zmiennej związanej A.
cnd
Aby rozstrzygnąć w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi badane zdanie W musimy rozstrzygnąć o prawdziwości/fałszywości warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku (zdanie B1).
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to może się ~> świecić żarówka S
A~>S=0
Wciśnięcie przycisku A nie jest konieczne dla świecenia się żarówki S bo istnieje zmienna wolna B połączona równolegle z przyciskiem A, oraz zmienna wolna C połączona szeregowo z przyciskiem A.
Dla B=1 i C=1 żarówka S będzie się świecić bez względu na stan zmiennej związanej A
cnd
Podsumowanie:
Fałszywość warunku wystarczającego A1B1: A=>S=0 i fałszywość warunku koniecznego A1B1: A~>S=0 lokalizuje nas w chaosie A1B1: A|~~>S.
CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajęcie p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
Nasz przykład:
Kod: |
S2 Schemat 2
Fizyczna realizacja chaosu A|~~>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A|~~>S=~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=~(0)*~(0)=1*1=1
B: Małgosia
B
______
---o o------
C: Zuzia | A: Jaś |
S C | A |
------------- ______ | ______ |
-----| Żarówka |-------o o--------o o-----|
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
---------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienne wolne: B, C
Istotą operatora chaosu A||~~>S są zmienne wolne B i C.
Nie ma zmiennych wolnych, nie ma chaosu, jest równoważność.
|
CH
Definicja chaosu A|~~>S w logice dodatniej (bo S):
Chaos A|~~>S w logice dodatniej (bo S) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
stąd:
A1B1:
A|~~>S = ~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja chaosu A|~~>S w logice dodatniej (bo S) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S (B1) i jednocześnie wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S (A1)
Szczegółową analizę operatora chaosu A||~~>S znajdziemy w punkcie 8.2.1
Wniosek:
Najprostszy sposób udowodnienia iż mamy do czynienia z chaosem p|~~>q to udowodnienie iż cztery zdania kodowane zdarzeniem możliwym ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q są prawdziwe.
8.5 Rozszyfrowywanie algebry Kubusia - ostatni akord
Ostatnim akordem rozszyfrowywania algebry Kubusia było zrozumienie chaosu p|~~>q=1 (zdanie zawsze prawdziwe) i śmierci p|~~~>q=0 (zdanie zawsze fałszywe) na gruncie operatorów jednoargumentowych.
Przeniesienia tego rozwiązania na obszar operatorów dwuargumentowych było już łatwe.
Kod: |
--------------------------------------------------------------------
TF10-11
Grupa spójników chaosu p|~~>q:
Definicja chaosu (zdanie zawsze prawdziwe): Y=p|~~>q=1:
A10: Y=p|~~>q=(p+q)+~(p+q)=1 # B10: ~Y=~(p|~~>q)=(p+q)*~(p+q)=0
## ##
Definicja śmierci (zdanie zawsze fałszywe): Y=p|~~~>q=0:
A11: Y =p|~~~>q = (p+q)*~(p+q)=0 # B11: ~Y=~(p|~~~>q)=(p+q+~p*~q)=1
##
--------------------------------------------------------------------
|
8.5.1 Znaczenie operatora chaosu p||~~>q
Kod: |
--------------------------------------------------------------------
TF10-11
Grupa spójników chaosu p|~~>q:
Definicja chaosu (zdanie zawsze prawdziwe): Y=p|~~>q=1:
A10: Y=p|~~>q=(p+q)+~(p+q)=1 # B10: ~Y=~(p|~~>q)=(p+q)*~(p+q)=0
--------------------------------------------------------------------
|
Definicja operatora chaosu w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Operator chaosu Y = p||~~>q układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
1.
Y=p|~~>q = (p+q)+~(p+q) =1 - zdanie zawsze prawdziwe (twarda jedynka)
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
a+~a=1
Gdzie:
a=(p+q)
Prawo De Morgana:
~(p+q) = ~p*~q
stąd mamy zapis tożsamy:
1"
Y=p|~~>q = (p+q)+~p*~q =1 - zdanie zawsze prawdziwe (twarda jedynka)
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) metodą skróconą poprzez negację zmiennych w równaniu 1
2.
~Y=~(p|~~>q)=~(p+q)*(p+q)=0 - zdanie zawsze fałszywe (twarde zero)
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
~a*a =0
Gdzie:
a=(p+q)
Definicja zdania zawsze prawdziwego:
A10.
Y = (p|~~>q) = (p+q)+~p*~q =1
Dla członu (p+q) skorzystajmy z definicji spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Stąd mamy zdanie tożsame A11=A10:
A11.
Y = (p|~~>q) = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1 lub D: ~p=1 i ~q=1
Minimalizujemy:
Y = p*q + p*~q + ~p*q +~p*~q
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q) - wyciągnięcie zmiennej przed nawias
Y = p+~p=1 - prawo algebry Boole'a
cnd
Przykład:
A10.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru lub nie pójdziemy ani do kina i ani do teatru
Y = (K+T) + ~K*~T =1
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> (K+T)=1 lub (~K*~T)=1
Bez znajomości algebry Boole'a ciężko jest tu zrozumieć iż zdanie A10 jest zdaniem zawsze prawdziwym (twarda jedynka).
Pytanie retoryczne:
Która pani przedszkolanka zna zaawansowaną algebrę Boole'a, że o 5-cio latkach nie wspomnę?
Wyprowadzone wyżej zdanie tożsame A11=A10 jest już zrozumiałe dla każdego 5-cio latka.
Dowód:
Pani w przedszkolu wypowiada zdanie przypuszczające:
A11.
Możliwe, że jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Oczywistym jest, że pani nie ma szans na zostanie kłamczuchą, cokolwiek jutro nie zrobi w temacie {kino, teatr}
Zatem zdanie A11 kodujemy:
Y = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T + D: ~K*~T
co w logice jedynek (bo postać alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 lub T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=K*T=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: Yb=K*~T=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: Yc=~K*T=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
D: Yd=~K*~T=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Kompletna odpowiedź na pytanie kiedy pani jutro dotrzyma słowa (Y=1) to suma logiczna funkcji cząstkowych Yx w logice dodatniej (bo Yx):
Y = Ya+Yb+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy:
Y = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T + D: ~K*~T
co w logice jedynek (bo postać alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 lub T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
Jak widzimy, cokolwiek pani jutro nie zrobi to nie ma szans na zostanie kłamczuchą.
Oczywistym jest, że wypowiadając zdanie A11 pani daje maluchom nadzieję na pójście do kina lub do teatru - dalej wszystko może się zdarzyć np. na skutek nalegań 5-cio latków pani powie.
A.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1<=>K=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
W każdym innym przypadku pani zostanie kłamczuchą
Przypomnijmy, iż aktualnie dyskutujemy o operatorze chaosu p||~~>q którym jest układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Kod: |
--------------------------------------------------------------------
TF10-11
Grupa spójników chaosu p|~~>q:
Definicja chaosu (zdanie zawsze prawdziwe): Y=p|~~>q=1:
A10: Y=p|~~>q=(p+q+~p*~q)=1 # B10: ~Y=~(p|~~>q)=(p+q)*~(p+q)=0
--------------------------------------------------------------------
|
Mamy zdanie wypowiedziane A10.
A10.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru lub nie pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru
Y = (K+T) + (~K*~T) =1
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> (K+T)=1 lub (~K*~T)=1
… a kiedy pani skłamie?
Negujemy zdanie A10 stronami metodą skróconą poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
B10.
~Y = (~K*~T)*(K+T) =0
Prawo De Morgana:
(~K*~T) = ~(K+T)
Stąd mamy:
~Y = ~(K+T)*(K+T) =0
Zapis tożsamy w algebrze Kubusia:
~Y=0 <=> ~(K+T)*(K+T)=0
Lewą stronę czytamy:
B10.
Fałszem jest (=0) że jutro pani nie dotrzyma słowa (~Y)
B10: ~Y=0
Prawo Prosiaczka:
B10: (~Y=0) = B11: (Y=1)
Stąd zdanie tożsame B10=B11:
B11.
Prawdą jest (=1) że pani jutro dotrzyma słowa (Y)
Y=1
Innymi słowy:
Cokolwiek pani jutro nie zrobi to dotrzyma słowa (Y=1)
Znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa
W praktyce języka potocznego zdania B10 i B11 są doskonale rozumiane przez każdego 5-cio latka
Zapiszmy jeszcze raz równanie B10:
B10: ~Y=0 <=> B10P: (~K*~T)*(K+T)=0
Zdanie z prawej strony to wyrażenie algebry Boole'a B10P, które daje się wypowiedzieć w sposób względnie zrozumiały:
B10P.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru oraz nie pójdziemy ani do kina ani do teatru
B10P: (K+T)*(~K*~T) =0
Znając zaawansowaną algebrę Boole'a zrozumiemy iż zdanie B10P jest zdaniem zawsze fałszywym (twarde zero)
Zauważmy, że bez znajomości zaawansowanej algebry Boole'a pani przedszkolanka nie zrozumie faktu, iż zdanie B10P jest twardym fałszem (twarde zero).
Pytania retoryczne:
Która pani przedszkolanka zna zaawansowaną algebrę Boole'a, że o 5-cio latkach nie wspomnę?
Nawet jak pani przedszkolanka pozna zaawansowaną algebrę Boole'a (na studiach), to czy wolno jej mówić językiem którego żaden 5-cio latek nie rozumie?
Podsumowując:
Żaden człowiek nie wypowiada zdań dla niego niezrozumiałych
Zauważmy że w przypadku operatora chaosu p||~~>q nie ma potrzeby odpowiadania na pytanie o treść zdania fałszywego B10P bo:
Pani przedszkolanka wypowiada zdanie zawsze prawdziwe (przypuszczające) w postaci:
A11.
Możliwe, że jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Oczywistym jest, że pani nie ma szans na zostanie kłamczuchą, cokolwiek jutro nie zrobi w temacie {kino, teatr}
Analizę matematyczną tego zdania mamy wyżej.
Stąd mamy.
Prawo Kaczki
W poprawnej logice matematycznej (algebra Kubusia) z twardej prawdy (zdanie A10=A11) wynika twardy fałsz (zdanie B10=B10P).
Innymi słowy:
Ze zdania zawsze prawdziwego Y=p|~~>q=1 (twarda jedynka) wynika zdanie zawsze fałszywe ~Y=~(p|~~>q)=0 (twarde zero)
Dowód na przykładzie wyżej.
Ciekawostka matematyczna:
Wyprowadzenie operatora chaosu p||~~>q, czyli odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie Y a kiedy ~Y metodą na piechotę z elementarnej definicji chaosu p|~~>q.
1.
Spójnik chaosu p|~~>q opisuje równanie algebry Boole'a:
Y = (p|~~>q) = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q =1
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Dowód iż zachodzi tu: Y=1 (twarda jedynka)
Y = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p+~p =1
cnd
Zapiszmy naszą funkcję logiczną Y uzupełniając brakujące nawiasy:
1"
Y = (p*q) + (p*~q) + (~p*q) + (~p*~q) =1
Zamieniliśmy dwa ostatnie człony co jest bez znaczenia, bo alternatywa jest przemienna.
.. kiedy zajdzie ~Y?
Przejście z równaniem 1" do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2.
~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)*(p+q) =0 - funkcja koniunkcyjno-alternatywna.
Otrzymaliśmy funkcję koniunkcyjno-alternatywną totalnie niezrozumiałą dla człowieka (dowód w pkt. 1.9), zatem nie analizujemy tej funkcji w języku potocznym.
Sprawdźmy tylko czy rzeczywiście funkcja logiczna ~Y ma wartość logiczną twardego zera.
~Y= (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)*(p+q)
Wymnożenie logiczne wielomianu ~Y:
~Y1 = (~p+~q)*(~p+q) = ~p*~p + ~p*q + ~p*~q + ~q*q =(~p + ~p*q + ~p*~q)
~Y2 = (p+~q)*(p+q) = p*p+p*q+ p*~q+~q*q = (p + p*q + p*~q)
~Y = ~Y1*~Y2 = (~p + ~p*q + ~p*~q)* (p + p*q + p*~q)
~Y = (~p*p + ~p*p*q + ~p*p*~q) + (~p*q*p + ~p*q*p*q + ~p*q*p*~q)+
+(~p*~q*p + ~p*~q*p*q+~p*~q*p*~q) = (0+0+0)*(0+0+0)*(0+0+0)=0*0*0=0
cnd
8.5.2 Znaczenie operatora śmierci p||~~~>q
Kod: |
--------------------------------------------------------------------
TF10-11
Grupa spójników chaosu p|~~>q:
Definicja śmierci (zdanie zawsze fałszywe): Y=p|~~~>q=0:
A11: Y =p|~~~>q = (p+q)*~(p+q)=0 # B11: ~Y=~(p|~~~>q)=(p+q+~p*~q)=1
--------------------------------------------------------------------
|
Znając teorię zdania zawsze prawdziwego omówioną w poprzednim punkcie, mamy z górki.
Teoria spójnika śmierci A11: p|~~~>q=0 jest następująca.
Dane jest zdanie zawsze fałszywe (twarde zero):
A11: Y = (p|~~>q) = (p+q)*~(p+q)=0
Zapis tożsamy w algebrze Kubusia:
Y=0 <=> (p+q)*~(p+q) =0 - twarde zero bo prawo algebry Boole'a: a+~a=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że zajdzie Y bez względu na to jakie twarde zero ustawimy z prawej strony znaku "wtedy i tylko wtedy" <=> - może to być dowolne wyrażenie algebry Boole'a będące twardym fałszem.
Ciekawe jest wyjaśnienie o co tu chodzi na gruncie teorii zbiorów.
Prawo Owieczki (punkt 12.2)
Prawo Owieczki:
Prawdziwe jest zdanie ziemskich matematyków iż „ze zbioru pustego [] wynika wszystko” wtedy i tylko wtedy gdy definicje zbioru pustego [] i Uniwersum U będą zgodne z definicjami obowiązującymi w algebrze Kubusia.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 16:14, 27 Sie 2023, w całości zmieniany 18 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Pon 21:16, 23 Sty 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.0 Alternatywne rozwiązywanie zadań prawem Orła
Spis treści
9.0 Alternatywne rozwiązywanie zadań prawem Orła 1
9.1 Kluczowe prawa Logiki matematycznej 2
9.1.1 Definicje podzbioru => i nadzbioru ~> 2
9.1.2 Prawo Słonia 3
9.2 Algorytm Puchacza 4
9.2.1 Definicja zdjęcia układu 5
9.2.2 Prawo Orła 6
9.3 Prawo Orła w Implikacji prostej P|=>CH 7
9.3.1 Operator implikacji prostej P||=>CH 13
9.4 Algorytm Orła w implikacji odwrotnej CH|~>P 13
9.4.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P 19
9.5 Nietrywialny błąd podstawienia ### między P|=>CH a CH|~>P 20
9.6 Prawo Orła w równoważności A<=>S 21
9.7 Prawo Orła w spójniku "albo"($) S$Z 25
9.8 Prawo Orła w chaosie P8|~~>P3 25
9.0 Alternatywne rozwiązywanie zadań prawem Orła
W niniejszym rozdziale udowodnimy, iż teorię zdarzeń w trywialny sposób można przekształcić do teorii zbiorów przy wykorzystaniu prawa Orła.
Klasyczny dowód prawdziwości warunku wystarczającego => w zdarzeniach jest następujący:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno, bo zawsze gdy pada, jest pochmurno ... o czym każdy 5-cio latek wie.
Zdanie A1 można w trywialny sposób przekształcić do teorii zbiorów.
Dowód:
Po stronie poprzednika w zdaniu A1 mamy jedno zdarzenie pada i są chmury (P*CH), bo zdarzenie pada i nie ma chmur (P*~CH) jest fałszem
Po stronie następnika w zdaniu A1 mamy dwa zdarzenia: są chmury i pada (CH*P) lub są chmury i nie pada (CH*~P)
Stąd mamy:
A1: P*CH=> CH*P + CH*~P
Korzystając z przemienności iloczynu logicznego (*) w następniku mamy:
A1: P*CH=> P*CH + ~P*CH
Doskonale widać, że zdarzenie (P*CH) jest podzbiorem => zdarzenia (P*CH+~P*CH)
cnd
9.1 Kluczowe prawa Logiki matematycznej
Kluczowe prawa logiki matematycznej to definicje podzbioru => i nadzbioru ~> oraz prawo Słonia
9.1.1 Definicje podzbioru => i nadzbioru ~>
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W logice matematycznej rozstrzygamy o zachodzącej lub nie zachodzącej relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~> w zbiorach/zdarzeniach.
9.1.2 Prawo Słonia
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów/zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zbiorach/zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwości/fałszywości dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach/zdarzeniach metodą ”nie wprost"
9.2 Algorytm Puchacza
Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Kłapouchego (pkt. 2.7):
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego.
Algorytm Puchacza (pkt. 2.11):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.
5.
Prawo Puchacza (pkt. 2.10.1):
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza.
Rozłączne operatory implikacyjne to:
a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1)
b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1)
d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1)
e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1)
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
7.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia
Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie.
9.2.1 Definicja zdjęcia układu
Definicja zdjęcia układu:
Zdjęcie układu to analiza zdania wypowiedzianego "Jeśli p to q" w kierunku od p do q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q przy pomocy definicji zdarzenia możliwego ~~> (teoria zdarzeń) albo definicji elementu wspólnego zbiorów ~~> (teoria zbiorów) z rozstrzygnięciem o prawdziwości/fałszywości wszystkich zdań składowych.
Stąd mamy:
Definicja zdjęcia układu w teorii zdarzeń:
Zdjęcie układu to seria czterech zdań warunkowych "Jeśli p to q" kodowanych zdarzeniem możliwym ~~> w kierunku od p do q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q z rozstrzygnięciem o prawdziwości/fałszywości wszystkich zdań składowych.
Definicja zdarzenia możliwego ~~> (pkt. 2.2.1):
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
Kod: |
T1
Tabela prawdy zdjęcia układu w zapisie formalnym
to odpowiedź TAK=1/NIE=0 cztery pytania {A,B,C,D}
Kolumna A1B1:
A: p~~> q = p* q=? - Czy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q?
B: p~~>~q = p*~q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q?
Kolumna A2B2:
C:~p~~>~q =~p*~q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q?
C:~p~~> q =~p* q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q?
|
W języku potocznym w zdarzeniach, wygenerowanie poprawnego zdjęcia układu to problem na poziomie 5-cio latka, co za chwilkę zobaczymy
9.2.2 Prawo Orła
Prawo Orła:
Jeśli dla zdania warunkowego "Jeśli p to q" znane jest zdjęcie układu w zapisie aktualnym (przykład) to wszelkie relacje między p i q określa wzór:
p*(q+~q) dzn (~)q*(p+~p)
Gdzie:
Punkt odniesienia:
Poprzednik p ze zdjęcia układu musi być niezanegowany co lokuje nas w kolumnie A1B1
(~) - w zapisie aktualnym przeczenie (~) przy q może wystąpić wyłącznie w spójniku "albo"($)
dzn - dowolny ze znaczków:
~~> - zdarzenie możliwe lub element wspólny zbiorów
=> - warunek wystarczający [=] relacja podzbioru =>
~> - warunek konieczny [=] relacja nadzbioru ~>
<=> - równoważność
$ - spójnik "albo"($)
;
[=] - tożsamość logiczna
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Dowód prawa Orła:
1.
p dzn (~)q
2.
Prawo algebry Boole'a:
x=x*1
stąd:
p*1 dzn (~)q*1
3.
1=D - wspólna dziedzina dla p i q
Stąd mamy:
p+~p=D=1
q+~q=D=1
Podstawiając do 2 mamy nasze prawo Orła:
4.
Prawo Orła:
p*(q+~q) dzn (~)q*(p+~p)
cnd
9.3 Prawo Orła w Implikacji prostej P|=>CH
Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi.
W1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH=P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi to zdanie.
Rozwiązanie algorytmem Puchacza:
1.
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Istnieje związek między padaniem a chmurami, zatem wspólna dziedzina dla p i q jest spełniona.
Dziedzina matematyczna Dm to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń rozłącznych bez analizy prawdziwości/fałszywości tych zdarzeń.
Dm=P*CH + P*~CH + ~P*~CH + ~P*CH
Dziedzina fizyczna D to zbiór zdarzeń fizycznie możliwych, jakie jutro mogą zajść.
Dziedzina fizyczna D wyskoczy nam w czasie analizy matematycznej zdania wypowiedzianego W
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych.
p= P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "pada" (P)
q= CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "są chmury" (CH)
~p= ~P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "nie pada" (~P)
~q= ~CH =1 - możliwe jest zdarzenie "nie ma chmur" (~CH)
4.
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne 1,2,3 stosowalności algorytmu zdjęciowego
6.
Dla ustalonych na mocy prawa Kłapouchego p i q budujemy zdjęcie układu w postaci serii czterech zdań kodowanych zdarzeniem możliwym ~~> w kierunku od p do q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q rozstrzygając o prawdziwości/fałszywości wszystkich zdań składowych.
Nasz przykład:
W1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH=P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Kod: |
T1
Zdjęcie układu w zapisie aktualnym (przykład)
A: P~~> CH=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie: pada(P) i są chmury(CH)
B: P~~>~CH=0 -niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada(P) i nie ma chmur(~CH)
C:~P~~>~CH=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada(~P) i nie ma chmur(~CH)
D:~P~~> CH=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada(~P) i są chmury(CH)
|
Doskonale widać, że zrobienie poprawnego zdjęcia układu dla zdania W1 to matematyczny poziom 5-cio latka.
Prawo Orła:
Jeśli dla zdania warunkowego "Jeśli p to q" znane jest zdjęcie układu w zapisie aktualnym (przykład) to wszelkie relacje między p i q określa wzór:
p*(q+~q) dzn (~)q*(p+~p)
Gdzie:
Punkt odniesienia:
Poprzednik p ze zdjęcia układu musi być niezanegowany co lokuje nas w kolumnie A1B1
(~) - w zapisie aktualnym przeczenie (~) przy q może wystąpić wyłącznie w spójniku "albo"($)
dzn - dowolny ze znaczków:
~~> - zdarzenie możliwe lub element wspólny zbiorów
=> - warunek wystarczający [=] relacja podzbioru =>
~> - warunek konieczny [=] relacja nadzbioru ~>
<=> - równoważność
$ - spójnik "albo"($)
Prawo Irbisa:
Dwa pojęcie p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Stąd mamy
Tożsame znaczki tożsamości logicznej „=” na mocy prawa Irbisa
„=”, [=], <=>
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zastosujmy prawo Orła dla naszego zdjęcia układu T1 w zapisie aktualnym:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Stąd mamy prawo Orła w zapisie aktualnym:
P*(CH+~CH) dzn CH*(P+~P)
Minimalizujemy:
1.
Wymnożenie wielomianów logicznych:
P*CH + P*~CH dzn P*CH + ~P*CH - bo iloczyn logiczny jest przemienny
2.
Ze zdjęcia układu odczytujemy:
B: P~~>~CH=P*~CH=0 -niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada(P) i nie ma chmur(~CH)
Stąd mamy:
P*CH + 0 dzn P*CH + ~P*CH
3.
Prawo algebry Boole'a:
x+0=x
Stąd mamy:
A1.
P*CH => P*CH + ~P*CH =1
To samo w zapisie formalnym:
p*q => p*q + ~p*q =1
Rozwiązanie:
Doskonale widać, że zdarzenie (P*CH) jest (=1) podzbiorem => zdarzenia (P*CH + ~P*CH)
cnd
Aby rozstrzygnąć w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi badane zdanie W1 potrzeba i wystarcza rozstrzygnąć o prawdziwości/fałszywości relacji nadzbioru (zdanie B1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
B1.
P*CH ~> P*CH + ~P*CH =0
To samo w zapisie formalnym:
p*q ~> p*q + ~p*q =0
Rozwiązanie:
Doskonale widać, że zdarzenie (P*CH) nie jest (=0) nadzbiorem ~> zdarzenia (P*CH + ~P*CH)
cnd
Stąd mamy dowód iż spełniona jest tu definicja implikacji prostej p|=>q.
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie relacji podzbioru => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P*CH =>P*CH + ~P*CH=1 - poprzednik p jest (=1) podzbiorem => następnika q
B1: P*CH ~>P*CH + ~P*CH=0 - poprzednik p nie jest (=0) nadzbiorem ~> następnika q
Minimalizujemy równanie A1:
A1: P*CH =>P*CH + ~P*CH=1
Krok 1
Do lewej strony wolno nam dopisać twarde 0 bo prawo algebry Boole'a: x+0=x
B: P~~>~CH=P*~CH=0 -niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada(P) i nie ma chmur(~CH)
Stąd mamy:
A1: P*CH + P*~CH =>P*CH + ~P*CH=1
Krok 2
Wyciągamy wspólne zmienne przed nawias:
A1: P*(CH+~CH) => CH*(P+~P) =1
A1: (P*1) => (CH*1) =1 - bo prawo algebry Boole'a x+~x=1
A1: P=>CH =1 - bo prawo algebry Boole'a x*1=x
Minimalizujemy równanie B1:
B1: P*CH ~>P*CH + ~P*CH=0
Krok 1
Do lewej strony wolno nam dopisać twarde 0 bo prawo algebry Boole'a: x+0=x
B: P~~>~CH=P*~CH=0 -niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada(P) i nie ma chmur(~CH)
Stąd mamy:
B1: P*CH + P*~CH ~>P*CH + ~P*CH=0
Krok 2
Wyciągamy wspólne zmienne przed nawias:
B1: P*(CH+~CH) ~> CH*(P+~P) =0
B1: (P*1) ~> (CH*1) =0 - bo prawo algebry Boole'a x+~x=1
B1: P~>CH =0 - bo prawo algebry Boole'a x*1=x
Stąd po minimalizacji mamy końcowe rozwiązanie, iż nasze zdanie wypowiedziane W1 wchodzi w skład implikacji prostej P|=>CH
A1B1:
Definicja implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to spełniona wyłącznie relacja podzbioru => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH =1 - zdarzenie P(pada) jest (=1) podzbiorem => zdarzenia CH(chmury)
B1: P~>CH =0 - zdarzenie P(pada) nie jest (=0) nadzbiorem ~> zdarzenia CH(chmury)
Stąd mamy równanie implikacji prostej P|=>CH:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1=1
Innymi słowy:
Zdarzenie P(pada) jest podzbiorem => zdarzenia CH(chmury) i zdarzenia te nie są tożsame.
Dowód:
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory/zdarzenia są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q ( i odwrotne)
p=q <=> p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Nasz przykład:
P<=>CH = (A1: P=>CH)*(B1: P~>CH) =1*0=0
Wniosek:
Nie zachodzi tożsamość zdarzeń P(pada) i CH(chmury)
P=CH <=> P<=>CH=0
cnd
Stąd łatwo rysujemy diagram implikacji prostej P|=>CH (pkt. 3.2):
Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach/zdarzeniach
----------------------------------------------------------------------
| p=P(pada) | ~p=~P(nie pada) |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q=CH(chmury) | ~q=~CH(chmury) |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina D - suma logiczna zbiorów/zdarzeń możliwych A1, B2', A2 |
| D=A1: p*q + A2:~p*~q + B2’:~p*q |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty/zdarzenie niemożliwe |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach/zdarzeniach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Prawo Słonia dla zbiorów/zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zbiorach/zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Na mocy prawa Słonia mamy wersję implikacji prostej P|=>CH zrozumiałą w języku potocznym.
A1B1:
Definicja implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to spełniona wyłącznie relacja podzbioru => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH =1 - padanie(P) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur(CH)
bo zawsze gdy pada, są chmury
B1: P~>CH =0 - padanie(P) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienie chmur(CH)
bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
Stąd mamy równanie implikacji prostej P|=>CH:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
A1B1:
Definicja formalna implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1
W tym momencie mamy kompletną tabelę implikacji prostej A1B1: P|=>CH uzupełnioną definicją kontrprzykładu ~~> działającą wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Kod: |
IP.
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*(0)=1*1=1
Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Implikacja prosta P|=>CH w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: P=>CH=1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH=0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: (P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q =0 [=] 4:~q~~>p =0
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=P, q=CH
A: 1: P=>CH =1 = 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P =1 = 4:~CH=>~P=1
A': 1: P~~>~CH=0 [=] 4:~CH~~>P=0
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=P, q=CH
B: 1: P~>CH =0 = 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=>P =0 = 4:~CH~>~P=0
B': 2:~P~~>CH=1 [=] 3: CH~~>~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii A
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań w linii B
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem na mocy praw Sowy mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP
9.3.1 Operator implikacji prostej P||=>CH
Operator implikacji prostej p||=>q w zapisie formalnym:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji prostej P||=>CH w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Operator implikacji prostej P||=>CH to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o padanie (P) i nie padanie (~P)
Kolumna A1B1:
A1B1: P|=>CH = (A1: (P=>CH)*~(B1: P~>CH) - co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)?
Kolumna A2B2
A2B2: ~P|~>~CH = (A2: ~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH) - co może być jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
Szczegółową analizę operatora implikacji prostej P||=>CH znajdziemy w punkcie 3.4.1.
W analizie tej łatwo znajdujemy zdanie fałszywe W1=A1' wchodzące w skład operatora implikacji prostej P|=>CH
A1'
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
9.4 Algorytm Orła w implikacji odwrotnej CH|~>P
Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi.
W1.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH) i pada (P)
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi to zdanie.
Rozwiązanie algorytmem Puchacza:
1.
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Istnieje związek między chmurami a padaniem, zatem wspólna dziedzina dla p i q jest spełniona.
Dziedzina matematyczna Dm to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń rozłącznych bez analizy prawdziwości/fałszywości tych zdarzeń.
Dm=CH*P + CH*~P + ~CH*~P + ~CH*P
Dziedzina fizyczna D to zbiór zdarzeń fizycznie możliwych, jakie jutro mogą zajść.
Dziedzina fizyczna D wyskoczy nam w czasie analizy matematycznej zdania wypowiedzianego W
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych.
p=CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "są chmury" (CH)
q=P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "pada" (P)
~p=~CH =1 - możliwe jest zdarzenie "nie ma chmur" (~CH)
~q=~P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "nie pada" (~P)
4.
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne 1,2,3 stosowalności algorytmu zdjęciowego
6.
Dla ustalonych na mocy prawa Kłapouchego p i q budujemy zdjęcie układu w postaci serii czterech zdań kodowanych zdarzeniem możliwym ~~> w kierunku od p do q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q rozstrzygając o prawdziwości/fałszywości wszystkich zdań składowych.
Nasz przykład:
W1.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH) i pada (P)
Kod: |
T1
Zdjęcie układu w zapisie aktualnym (przykład)
A: CH~~> P=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury(CH) i pada (P)
B: CH~~>~P=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury(CH) i nie pada (~P)
C:~CH~~>~P=1 -możliwe jest zdarzenie: nie ma chmur (~CH) i nie pada (~P)
D:~CH~~> P=0 -niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur(~CH) i pada (P)
|
Doskonale widać, że zrobienie poprawnego zdjęcia układu dla zdania W1 to matematyczny poziom 5-cio latka.
Prawo Orła:
Jeśli dla zdania warunkowego "Jeśli p to q" znane jest zdjęcie układu w zapisie aktualnym (przykład) to wszelkie relacje między p i q określa wzór:
p*(q+~q) dzn (~)q*(p+~p)
Gdzie:
Punkt odniesienia:
Poprzednik p ze zdjęcia układu musi być niezanegowany co lokuje nas w kolumnie A1B1
(~) - w zapisie aktualnym przeczenie (~) przy q może wystąpić wyłącznie w spójniku "albo"($)
dzn - dowolny ze znaczków:
~~> - zdarzenie możliwe lub element wspólny zbiorów
=> - warunek wystarczający [=] relacja podzbioru =>
~> - warunek konieczny [=] relacja nadzbioru ~>
<=> - równoważność
$ - spójnik "albo"($)
Tożsame znaczki tożsamości logicznej na mocy prawa Irbisa:
<=>, „=”, [=]
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zastosujmy prawo Orła dla naszego zdjęcia układu T1 w zapisie aktualnym:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
Stąd mamy prawo Orła w zapisie aktualnym:
CH*(P+~P) dzn P*(CH+~CH)
Minimalizujemy:
1.
Wymnożenie wielomianów logicznych:
CH*P + CH*~P dzn P*CH + P*~CH
CH*P + CH*~P dzn CH*P + ~CH*P - bo iloczyn logiczny jest przemienny
2.
Ze zdjęcia układu odczytujemy:
D:~CH~~> P=~CH*P=0 -niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur(~CH) i pada (P)
Stąd mamy:
CH*P + CH*~P dzn CH*P + 0
3.
Prawo algebry Boole'a:
x+0=x
Stąd mamy:
B1.
CH*P + CH*~P ~> CH*P =1
To samo w zapisie formalnym:
p*q +p*~q ~> p*q =1
Rozwiązanie:
Doskonale widać, że zdarzenie (CH*P + CH*~P) jest (=1) nadzbiorem ~> zdarzenia (P*CH)
cnd
Aby rozstrzygnąć w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi badane zdanie W1 potrzeba i wystarcza rozstrzygnąć o prawdziwości/fałszywości relacji podzbioru (zdanie A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1.
CH*P + CH*~P => CH*P =0
To samo w zapisie formalnym:
p*q +p*~q => p*q =0
Rozwiązanie:
Doskonale widać, że zdarzenie (CH*P + CH*~P) nie jest (=1) podzbiorem => zdarzenia (P*CH)
cnd
Stąd mamy dowód iż spełniona jest tu definicja implikacji odwrotnej p|~>q.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie relacji nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH*P + CH*~P => CH*P =0 - poprzednik p nie jest (=0) podzbiorem => następnika q
B1: CH*P + CH*~P ~> CH*P =1 - poprzednik p jest (=1) nadzbiorem ~> następnika q
Minimalizujemy równanie A1:
Krok 1
A1: CH*P + CH*~P => CH*P =0
Do prawej strony wolno nam dodać twarde 0 bo prawo algebry Boole'a: x+0=x
D: ~CH*P =0 -niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH) i pada (P)
Stąd mamy:
A1: CH*P + CH*~P => CH*P + ~CH*P =0
Krok 2
Wyciągamy wspólne zmienne przed nawias:
A1: CH*(P+~P) => P*(CH+~CH) =0
A1: (CH*1) => (P*1) =0 - bo prawo algebry Boole'a x+~x=1
A1: CH=>P =0 - bo prawo algebry Boole'a x*1=x
Minimalizujemy równanie B1:
B1: CH*P + CH*~P ~> CH*P =1
Krok 1
Do prawej strony wolno nam dodać twarde 0 bo prawo algebry Boole'a: x+0=x
D: ~CH*P =0 -niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH) i pada (P)
Stąd mamy:
B1: CH*P + CH*~P ~> CH*P + ~CH*P =1
Krok 2
Wyciągamy wspólne zmienne przed nawias:
A1: CH*(P+~P) ~> P*(CH+~CH) =1
A1: (CH*1) ~> (P*1) =1 - bo prawo algebry Boole'a x+~x=1
A1: CH~>P =1 - bo prawo algebry Boole'a x*1=x
Stąd po minimalizacji mamy końcowe rozwiązanie, iż nasze zdanie wypowiedziane W1 wchodzi w skład implikacji odwrotnej CH|~>P
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P:
Implikacja odwrotna CH|~>P to spełniona wyłącznie relacja nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH=>P =0 - zdarzenie CH(chmury) nie jest (=0) podzbiorem => zdarzenia P(pada). Dowód wyżej.
B1: CH~>P =1 - zdarzenie CH(chmury) jest (=1) nadzbiorem ~> zdarzenia P(pada). Dowód wyżej.
Stąd mamy równanie implikacji odwrotnej CH|~>P:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1 =1*1=1
Innymi słowy:
Zdarzenie CH(chmury) jest nadzbiorem ~> zdarzenia P(pada) i zdarzenia te nie są tożsame.
Dowód:
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory/zdarzenia są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q ( i odwrotne)
p=q <=> p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Nasz przykład:
CH<=>P = (A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =0*1=0
Wniosek:
Nie zachodzi tożsamość zdarzeń P(pada) i CH(chmury)
P=CH <=> P<=>CH=0
cnd
Stąd łatwo rysujemy diagram implikacji odwrotnej (pkt. 4.2):
Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| q=P(pada) | ~q=~P(nie pada) |
|---------------------|----------------------------------------------|
| p=CH(chmury) | ~p=~CH(nie chmury) |
|-------------------------------------------|------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q=p*~q=1 | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D =B1: p*q + A1’: p*~q + B2:~p*~q |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty / zdarzenie niemożliwe |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Prawo Słonia dla zbiorów/zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zbiorach/zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Na mocy prawa Słonia mamy wersję implikacji odwrotnej CH|~>P zrozumiałą w języku potocznym.
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P:
Implikacja odwrotna CH|~>P to spełniona wyłącznie relacja nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH=>P =0 - chmury(CH) nie są warunkiem wystarczającym => dla padania (P)
bo nie zawsze gdy są chmury, pada
B1: CH~>P =1 - chmury(CH) są warunkiem koniecznym ~> dla padania (P)
bo padać może wyłącznie z chmury
Stąd mamy równanie implikacji odwrotnej CH|~>P:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1 =1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
A1B1:
Definicja formalna implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
W tym momencie mamy kompletną tabelę implikacji odwrotnej A1B1: CH|~>P uzupełnioną definicją kontrprzykładu ~~> działającą wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Kod: |
IO.
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Implikacja odwrotna CH|~>P w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: CH=>P=0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania
B1: CH~>P=1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q =1 [=] 4:~q~~>p =1
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=CH, q=P
A: 1: CH=>P =0 = 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~>CH =0 = 4:~P=>~CH=0
A': 1: CH~~>~P=1 [=] 4:~P~~>CH=1
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p =0
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=CH, q=P
B: 1: CH~>P =1 = 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=>CH =1 = 4:~P~>~CH=1
B': 2:~CH~~>P=0 [=] 3: P~~>~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii B
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań w linii A
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO.
9.4.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P
Definicja operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o chmury (CH) i brak chmur (~CH)
Kolumna A1B1:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) - co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH)?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~CH=>~P = ~(A2: ~CH~>~P)*(B2: ~CH=>~P) - co może być jeśli nie będzie pochmurno (~CH)?
Szczegółową analizę operatora implikacji odwrotnej CH||~>P znajdziemy w punkcie 4.4.1
W analizie tej łatwo znajdujemy zdanie fałszywe W1=B2' wchodzące w skład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P
B2'
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to może ~~> padać (P)
~CH~~>P = ~CH*P =0
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie ma chmur (~CH) i pada (P)
9.5 Nietrywialny błąd podstawienia ### między P|=>CH a CH|~>P
Relacja między implikacją prostą P|=>CH i implikacją odwrotną CH|~>P to relacja różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia ###.
O co tu chodzi?
Zapiszmy nasze przykłady implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q w tabeli prawdy:
Kod: |
T1
W zapisie formalnym mamy: ## W zapisie formalnym mamy:
Implikacja prosta Y=(p|=>q)=~p*q ## Implikacja odwrotna Y=(p|~>q)=p*~q
Nasz przykład: ### Nasz przykład:
Punkt odniesienia: ### Punkt odniesienia:
p=P (pada) ### p=CH (chmury)
q=CH (chmury) ### q=P (pada)
Implikacja prosta Y=(P|=>CH)=~P*CH ### Implikacja odwrotna Y=(CH|~>P)=CH*~P
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
### - różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia
Doskonale widać, że na funkcje logiczne P|=>CH i CH|~>P
patrzymy z różnych punktów odniesienia
co generuje nietrywialny błąd podstawienia ###.
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje w logice dodatniej (bo Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame.
Doskonale widać, że w zapisach formalnych (p i q) funkcje logiczne implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q perfekcyjnie spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##
Y = (p|=>q)=~p*q ## Y = (p|~>q)=p*~q
Można to łatwo można udowodnić w laboratorium techniki cyfrowej.
ALE!
Jeśli w tabeli T1 zostawimy wyłącznie ostatnią linię likwidując wszelkie odniesienia do zapisów formalnych p i q, to w linii tej musimy zapisać znak tożsamości logicznej [=].
Dowód:
Kod: |
T1"
Implikacja prosta Y=(P|=>CH)=~P*CH [=] Implikacja odwrotna Y=(CH|~>P)=CH*~P
Gdzie:
Zachodzi tożsamość logiczna [=] bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny
|
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
[=], "=", <=> (wtedy i tylko wtedy) - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Stąd mamy wyprowadzoną definicję znaczka różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia ###.
Definicja znaczka różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia ###
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy ich zapis formalny (teoria ogólna) jest różny na mocy definicji ## natomiast w zapisie aktualnym skolerowanym z zapisem formalnym zachodzi tożsamość logiczna [=]
Szczegóły dokładnie na naszym przykładzie znajdziemy w punkcie 5.3.
Podsumowując:
Brak w logice matematycznej ziemskich matematyków definicji znaczków:
## - różne na mocy definicji
oraz
### - różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia
dyskwalifikuje logikę matematyczną ziemian w której na mocy tabeli T1" implikacja odwrotna CH|~>P jest w logice matematycznej zbędna.
Przed popełnieniem nietrywialnego błędu podstawienia ### broni nas prawo Kłapouchego (pkt. 2.7).
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Prawo Kłapouchego jest tożsame z otwarciem drzwiczek pudełka z kotem Schrödingera (pkt.5.4.1)
9.6 Prawo Orła w równoważności A<=>S
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod: |
S1 Schemat 1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Polecenia:
1.
Zrób zdjęcie układu w kierunku od p=A (przycisk A) do q=S (żarówka S)
2.
Rozstrzygnij z pomocą prawa Orła z jakim operatorem implikacyjnym mamy tu do czynienia.
3.
Przeanalizuj tabelę prawdy uzyskanego operatora prawem Orła
Zdjęcie układu S1 zrobi każdy uczeń I klasy LO.
Oczywiście żadnych doświadczeń tu nie wykonujemy, korzystamy z elementarnych praw fizyki.
Kod: |
T1
Zdjęcie układu S1
A: A~~> S=1 - możliwe jest (=1): wciśnięty (A) i żarówka świeci (S)
B: A~~>~S=0 - niemożliwe jest (=0): wciśnięty (A) i żarówka nie świeci (~S)
C:~A~~>~S=1 - możliwe jest (=1): nie wciśnięty (~A) i nie świeci (~S)
D:~A~~> S=0 - niemożliwe jest (=0): nie wciśnięty (~A) i żarówka świeci (S)
|
Prawo Orła:
Jeśli dla zdania warunkowego "Jeśli p to q" znane jest zdjęcie układu w zapisie aktualnym (przykład) to wszelkie relacje między p i q określa wzór:
p*(q+~q) dzn (~)q*(p+~p)
Gdzie:
Punkt odniesienia:
Poprzednik p ze zdjęcia układu musi być niezanegowany co lokuje nas w kolumnie A1B1
(~) - w zapisie aktualnym przeczenie (~) przy q może wystąpić wyłącznie w spójniku "albo"($)
dzn - dowolny ze znaczków:
~~> - zdarzenie możliwe lub element wspólny zbiorów
=> - warunek wystarczający [=] relacja podzbioru =>
~> - warunek konieczny [=] relacja nadzbioru ~>
<=> - równoważność
$ - spójnik "albo"($)
Tożsame znaczki tożsamości logicznej „=” na mocy prawa Irbisa:
„=”, [=], <=>
1.
Prawo Orła dla naszego przykładu S1 po podstawieniu:
p=A (przycisk)
q=S (żarówka)
przyjmuje postać:
A*(S+~S) dzn S*(A+~A)
Minimalizujemy poprzez wymnożenie logiczne wielomianów:
A*S + A*~S dzn A*S + ~A*S - bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny
2.
Ze zdjęcia dla układu S1 odczytujemy:
B: A~~>~S=A*~S=0 - niemożliwe jest (=0): wciśnięty (A) i żarówka nie świeci (~S)
D:~A~~> S=~A*S=0 - niemożliwe jest (=0): nie wciśnięty (~A) i żarówka świeci (S)
Stąd mamy:
A*S + 0 dzn A*S +0
3.
Prawo algebry Bole'a: x+0=x
Stąd po totalnej minimalizacji mamy:
A*S dzn A*S
Powyższy zapis oznacza, że mamy tu do czynienia z tożsamością zdarzeń:
Zdarzenie "przycisk A jest wciśnięty" (A) jest tożsame "=" ze zdarzeniem "żarówka świeci się" (S)
Stąd w miejsce symbolu dzn musimy tu wpisać znak tożsamości logicznej:
A*S = A*S
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Działania odwrotne:
4.
Stąd mamy zapis tożsamy:
A*S <=> A*S
Na mocy prawa algebry Boole'a do każdej strony możemy to dodać logiczne zero, na przykład takie:
A*S + A*~S <=> A*S + ~A*S - patrz punkt 2
5.
Po wyciągnięciu wspólnej zmiennej przed nawias mamy:
A*(S+~S) <=> S*(A+~A)
6.
Prawo algebry Boole'a:
p+~p=1
stąd mamy:
A*1 <=> S*1
7.
Prawo algebry Boole'a:
x*1=x
Stąd nasze równanie końcowe po minimalizacji przyjmuje postać:
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Jak widzimy wylądowaliśmy w równaniu równoważności A<=>S.
To samo w zapisie formalnym:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Wniosek
Układ S1 spełnia definicję równoważności A1B1: A<=>S.
Na mocy prawa Irbisa zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: A<=>S [=] A1B1: A=S
Każde pojęcie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego.
Stąd mamy:
A1: A=>S =1
B1: A~>S =1
Stąd mamy diagram równoważności w zapisach formalnych {p, q} i aktualnych {A, S}:
Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q wspólny dla teorii zdarzeń i teorii zbiorów
--------------------------------------------------------------------------
| p=A | ~p=~A |
|----------------------------------|--------------------------------------|
| q=S | ~q=~S |
|----------------------------------|--------------------------------------|
|Zapis formalny: [=] Zapis formalny: |
|Równoważność A1B1: [=] Równoważność A2B2: |
|A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)[=] A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) | A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
|Definiuje tożsamość zdarzeń: | Definiuje tożsamość zdarzeń: |
| p=q # ~p=~q |
|-------------------------------------------------------------------------|
|Zapis aktualny [=] Zapis aktualny: |
|Punkt odniesienia: p=A, q=S [=] Punkt odniesienia: p=A. q=S |
|Równoważność A1B1: [=] Równoważność A2B2: |
|A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)[=] A2B2:~A<=>~S=(A2:~A~>~S)*(B2:~A=>~S)|
| A1: A=>S=1 (A*S=1) | A2:~A~>~S=1 (~A*~S=1) |
| B1: A~>S=1 (A*S=1) | B2:~A=>~S=1 (~A*~S=1) |
|Definiuje tożsamość zdarzeń: | Definiuje tożsamość zdarzeń: |
| A=S # ~A=~S |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Zapisy formalne: |
| Dziedzina D - suma logiczna zbiorów/zdarzeń możliwych A1, B2 |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty/zdarzenie niemożliwe |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty/zdarzenie niemożliwe |
| Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach definiujący |
| tożsamości zbiorów/zdarzeń p=q i ~p=~q |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Zapisy aktualne: |
| Dziedzina D - suma logiczna zdarzeń możliwych A1, B2 |
| D=A1: A*S+ B2:~A*~S |
| A1’: A~~>~S=A*~S=[]=0 - zdarzenie niemożliwe |
| B2’: ~A~~>S =~A*S=[]=0 - zdarzenie niemożliwe |
| Diagram równoważności A<=>S w zdarzeniach definiujący |
| tożsamości zdarzeń A=S i ~A=~S |
---------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Tabelę prawdy równoważności A<=>S znajdziemy w punkcie 6.6
Szczegółową analizę operatora równoważności A|<=>S znajdziemy w punkcje 6.6.1.
9.7 Prawo Orła w spójniku "albo"($) S$Z
Działanie prawa Orła w spójniku "albo"($) S$Z omówiono w punkcie 7.7
9.8 Prawo Orła w chaosie P8|~~>P3
Działanie prawa Orła w chaosie omówimy na przykładzie chaosu w zbiorach P8|~~>P3.
Całość będzie na poziomie I klasy LO, mimo operowania na zbiorach nieskończonych.
Rozważmy zdanie wypowiedziane:
W.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p=P8
q=P3
Zdanie W definiuje zbiory:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P3=[3,6,9,12..24.. ..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Istnieje wspólny element ~~> zbiorów P8 i P3.
Przyjmijmy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów rozumianych jako uzupełnienie do wspólnej dziedziny LN.
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
~P3=[LN-P3]=[1,2..4,5..7,8..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 3
Robimy zdjęcie układu:
Kod: |
A: P8~~> P3=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów P8 i P3 np. 24
B: P8~~>~P3=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów P8 i ~P3 np. 8
C:~P8~~>~P3=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~P8 i ~P3 np. 2
D:~P8~~> P3=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~P8 i P3 np. 3
|
Prawo Orła:
Jeśli dla zdania warunkowego "Jeśli p to q" znane jest zdjęcie układu w zapisie aktualnym (przykład) to wszelkie relacje między p i q określa wzór:
p*(q+~q) dzn (~)q*(p+~p)
Gdzie:
Punkt odniesienia:
Poprzednik p ze zdjęcia układu musi być niezanegowany co lokuje nas w kolumnie A1B1
(~) - w zapisie aktualnym przeczenie (~) przy q może wystąpić wyłącznie w spójniku "albo"($)
dzn - dowolny ze znaczków:
~~> - zdarzenie możliwe lub element wspólny zbiorów
=> - warunek wystarczający [=] relacja podzbioru =>
~> - warunek konieczny [=] relacja nadzbioru ~>
<=> - równoważność
$ - spójnik "albo"($)
Tożsame znaczki tożsamości logicznej:
„=”, [=], <=>
Prawo Orła dla naszego przykładu:
P8*(P3+~P3) dzn P3*(P8+~P8)
Po wymnożeniu wielomianów mamy:
P8*P3 + P8*~P3 ~~> P8*P3 + ~P8*P3
Na mocy zdjęcia układu wykluczona jest tu jakakolwiek minimalizacja równań po obu stronach elementu wspólnego zbiorów ~~>
Czyli:
Nie da się powyższego równania zminimalizować ani do relacji podzbioru =>, ani też do relacji nadzbioru ~>.
Wniosek:
Zdanie W wchodzi w skład operatora chaosu P8||~~>P3 którego szczegółową analizę znajdziemy w punkcie 18.1.1
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 10:07, 04 Sty 2024, w całości zmieniany 20 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Pon 21:18, 23 Sty 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.9 Alternatywne rozwiązywanie zadań algorytmem zdjęciowym
Spis treści
9.9 Alternatywne rozwiązywanie zadań algorytmem zdjęciowym 1
9.9.1 Najważniejsze definicje i prawa algebry Kubusia 1
9.10 Zdjęcie układu 3
9.11 Algorytm zdjęciowy 3
9.11.1 Przykłady zdań niespełniających algorytmu zdjęciowego 5
9.12 Algorytm zdjęciowy w implikacji prostej P|=>CH 6
9.12.1 Rozwiązanie zadania W: P=>CH 10
9.13 Algorytm zdjęciowy w implikacji odwrotnej CH|~>P 11
9.13.1 Rozwiązanie zadania W: CH~>P 14
9.14 Algorytm zdjęciowy w równoważności A<=>S 15
9.14.1 Rozwiązanie zadania W: A=>S 19
9.9 Alternatywne rozwiązywanie zadań algorytmem zdjęciowym
Alternatywne oznacza tu inne niż przy pomocy prawa Orła, opisane wyżej
Typowe zadanie z logiki matematycznej w algebrze Kubusia brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego p|?q wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"
Zanim weźmiemy się za rozwiązywanie tego typu zadań algorytmem zdjęciowym przypomnijmy sobie kluczowe definicje i prawa algebry Kubusia
9.9.1 Najważniejsze definicje i prawa algebry Kubusia
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Prawo Kłapouchego obowiązuje dla standardu dodatniego w języku potocznym człowieka.
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
Innymi słowy:
Logiką matematycznie zgodną z językiem potocznym człowieka jest tylko i wyłącznie standard dodatni.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
9.10 Zdjęcie układu
Definicja zdjęcia układu:
Zdjęcie układu to analiza zdania wypowiedzianego "Jeśli p to q" w kierunku od p do q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q przy pomocy definicji zdarzenia możliwego ~~> z rozstrzygnięciem o prawdziwości/fałszywości wszystkich zdań składowych.
Innymi słowy:
Zdjęcie układu to seria czterech zdań warunkowych "Jeśli p to q" kodowanych zdarzeniem możliwym ~~> w kierunku od p do q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q z rozstrzygnięciem o prawdziwości/fałszywości wszystkich zdań składowych.
Definicja zdarzenia możliwego ~~> (pkt. 2.2.1):
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
Kod: |
Tabela prawdy zdjęcia układu to odpowiedź TAK=1/NIE=0 pytania {A,B,C,D}
Kolumna A1B1:
A: p~~> q = p* q=? - Czy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q?
B: p~~>~q = p*~q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q?
Kolumna A2B2:
C:~p~~>~q =~p*~q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q?
D:~p~~> q =~p* q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q?
|
W języku potocznym, w teorii zdarzeń, praktycznie zawsze dowody prawdziwości/fałszywości zdań ze zdjęcia układu są trywialne a to wystarczy, aby błyskawicznie rozstrzygnąć w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane, co zobaczymy na przykładach.
9.11 Algorytm zdjęciowy
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Algorytm zdjęciowy
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
Prawo Kłapouchego jest tożsame z otwarciem drzwiczek pudełka z kotem Schrödingera (pkt. 5.4.1)
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.
5.
Prawo Puchacza (pkt. 2.10.1):
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu zdjęciowego.
Rozłączne operatory implikacyjne to:
a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1)
b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1)
d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1)
e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1)
6.
Dla ustalonych na mocy prawa Kłapouchego p i q budujemy zdjęcie układu w postaci serii czterech zdań kodowanych zdarzeniem możliwym ~~> w kierunku od p do q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q rozstrzygając o prawdziwości/fałszywości wszystkich zdań składowych.
Kod: |
Tabela prawdy zdjęcia układu to odpowiedź TAK=1/NIE=0 na pytania {A,B,C,D}
Kolumna A1B1:
A: p~~> q = p* q=? - Czy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q?
B: p~~>~q = p*~q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q?
Kolumna A2B2:
C:~p~~>~q =~p*~q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q?
D:~p~~> q =~p* q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q?
|
7.
Korzystając z definicji kontrprzykładu i praw Kubusia rozstrzygamy o prawdziwości podstawowego spójnika implikacyjnego p?q (kolumna A1B1 gdzie mamy p bez negacji) co na mocy prawa Puchacza i praw Sowy jest konieczne i wystarczające do przyporządkowania badanego zdania "Jeśli p to q" do jednego z pięciu rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q
Innymi słowy:
Rozstrzygnięcie z jakim operatorem implikacyjnym mamy do czynienia sprowadza się do dwóch kluczowych rozstrzygnięć dotyczących kolumny A1B1:
A1: p=>q =? - czy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q?
B1: p~>q =? - czy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q?
Podsumowując:
Prezentowany wyżej algorytm "Algorytm zdjęciowy" jest podobny do algorytmu Puchacza (pkt. 2.11) - różnica jest tylko i wyłącznie w punktach 6 i 7.
9.11.1 Przykłady zdań niespełniających algorytmu zdjęciowego
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 algorytmu Puchacza są matematycznie fałszywe.
Ad. 1
W punkcie 1 chodzi o to, że jeśli przystępujemy do analizy matematycznej zdania "Jeśli p to q" to musimy zastosować prawo Kłapouchego, inaczej dostaniemy nietrywialny błąd podstawienia ### (pkt. 2.7.3)
Ad. 2
A1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to trójkąt może być prostokątny
P2~~>TP =0
Brak wspólnej dziedziny.
Stąd mamy:
Zdanie A1 jest fałszywe na mocy punktu 2 algorytmu Puchacza.
Ad. 3
Definicja zbioru pustego [] (pkt.12.2):
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.
B1
Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
Zdanie tożsame (wyjaśnienie w pkt.12.2.1):
B1
Jeśli zbiór pusty [] to liczba 4
[]~~>[4] = []*[4] =[] =0 - twardy fałsz, bo zbiór pusty [] i jednoelementowy zbiór [4] są rozłączne
Stąd mamy:
Zdanie B1 jest fałszywe na mocy punktu 3 algorytmu Puchacza.
Wyjątek:
C1.
Jeśli zbiór pusty [] to zbiór pusty []
[]=>[] =1
Bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty []
Wyjaśnienie w punkcie 12.2.1
9.12 Algorytm zdjęciowy w implikacji prostej P|=>CH
Zadanie W
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane
W
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Sprawdzamy warunek konieczny stosowalności algorytmu zdjęciowego (punkty 1, 2 i 3):
1.
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Istnieje związek między padaniem a chmurami, zatem wspólna dziedzina dla p i q jest spełniona.
Dziedzina matematyczna Dm to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń rozłącznych bez analizy prawdziwości/fałszywości tych zdarzeń.
Dm=P*CH + P*~CH + ~P*~CH + ~P*CH
Dziedzina fizyczna D to zbiór zdarzeń fizycznie możliwych, jakie jutro mogą zajść.
Dziedzina fizyczna D wyskoczy nam w czasie analizy matematycznej zdania wypowiedzianego W
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych.
p= P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "pada" (P)
q= CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "są chmury" (CH)
~p= ~P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "nie pada" (~P)
~q= ~CH =1 - możliwe jest zdarzenie "nie ma chmur" (~CH)
4.
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne 1,2,3 stosowalności algorytmu zdjęciowego
6.
Dla ustalonych na mocy prawa Kłapouchego p i q budujemy zdjęcie układu w postaci serii czterech zdań kodowanych zdarzeniem możliwym ~~> w kierunku od p do q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q rozstrzygając o prawdziwości/fałszywości wszystkich zdań składowych.
Nasz przykład:
Kod: |
T1 Zdjęcie układu w zapisie aktualnym (przykład)
A: P~~> CH=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie: pada(P) i są chmury(CH)
B: P~~>~CH=0 -niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada(P) i nie ma chmur(~CH)
C:~P~~>~CH=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada(~P) i nie ma chmur(~CH)
D:~P~~> CH=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada(~P) i są chmury(CH)
|
Jak widzimy, w przypadku zdarzeń zrobienie poprawnego zdjęcia układu to poziom 5-cio latka.
7.
Korzystając z definicji kontrprzykładu i praw Kubusia rozstrzygamy o prawdziwości podstawowego spójnika implikacyjnego p?q (kolumna A1B1 gdzie mamy p bez negacji) co na mocy prawa Puchacza i praw Sowy jest konieczne i wystarczające do przyporządkowania badanego zdania "Jeśli p to q" do jednego z pięciu rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q
Innymi słowy:
Rozstrzygnięcie z jakim operatorem implikacyjnym mamy do czynienia sprowadza się do dwóch kluczowych rozstrzygnięć dotyczących kolumny A1B1:
A1: p=>q =? - czy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q?
B1: p~>q =? - czy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q?
Minimalny algorytm analizy matematycznej:
Dla rozstrzygnięcia w skład jakiego operatora implikacyjnego p||?q wchodzi badane zdanie W szukamy spełnionych lub niespełnionych relacji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między niezanegowanym poprzednikiem p i niezanegowanym następnikiem q:
A1: p=>q =?
B1: p~>q =?
gdzie:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Analiza mająca na celu lokalizację operatora implikacyjnego w skład którego wchodzi zdanie W:
1.
Badamy twarde zero w linii B, bo to na 100% jest fałszywy kontrprzykład:
B.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno
B: P~~>~CH=0
To samo w zapisie aktualnym:
B: p~~>~q =0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
A: P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
A: p=>q =1
Dowód "nie wprost":
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
Dowód "wprost":
Padanie P jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmury CH, bo zawsze gdy pada jest chmura
cnd
2.
Na mocy prawa Kubusia:
A1: p=>q = B1: ~p~>~q
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
A: P=>CH = C: ~P~>~CH =1
Dla potrzeb ostatecznego rozstrzygnięcia w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane W pozostał nam dowód prawdziwości/fałszywości warunku koniecznego ~> (AK) w kierunku od P (pada) do CH (chmury):
AK: P~>CH=?
To samo w zapisie formanym:
AK: p~>q =?
Kontynuujemy działania w tym kierunku.
3.
Z prawdziwości kontrprzykładu ~~> D wynika fałszywość warunku wystarczającego => C.
D.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> być pochmurno (CH)
D: ~P~~>CH=1
To samo w zapisie formalnym:
D: ~p~~>q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P) i jest pochmurno (CH)
cnd
4.
Z prawdziwości kontrprzykładu ~~> D wynika fałszywość warunku wystarczającego => C.
C.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to na 100% => nie będzie pochmurno (~CH)
C: ~P=>~CH =0
To samo w zapisie formalnym:
C: ~p=>~q =0
Dowód "nie wprost":
Prawdziwość kontrprzykładu D wymusza fałszywość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie):
Dowód "wprost":
Brak opadów (~P) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla braku chmur (~CH) bo nie zawsze gdy nie pada, nie ma chmur.
cnd
5.
Na mocy prawa Kubusia:
C: ~p=>~q = AK: p~>q =0
mamy:
Fałszywość warunku wystarczającego => C wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> AK:
C: ~P=>~CH = AK: P~>CH =0
Stąd mamy:
6.
AK.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
AK: P~>CH =0
To samo w zapisie formalnym:
AK: p~>q =0
Dowód "nie wprost" fałszywości warunku koniecznego ~> AK gwarantuje nam prawo Kubusia.
Dowód wprost fałszywości zdania AK:
Padanie (P) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (CH), bo może nie padać (~P), a chmury (CH) mogą istnieć
cnd
W tym momencie mamy dokładnie to, czego szukamy:
Dla niezanegowanego poprzednika p mamy rozstrzygnięcie w temacie prawdziwości/fałszywości warunku wystarczającego => i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
AK: P~>CH=0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
Zapiszmy nasze rozstrzygnięcia w tabeli prawdy:
Kod: |
T2
A: P=> CH=1 -padanie(P) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
AK: P~> CH=0 -padanie(P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
;Interesujące nas rozstrzygnięcie mamy w A i AK - jesteśmy w kolumnie A1B1
;Poniższe rozstrzygnięcia nie są już istotne, mimo że poprawne
B: P~~>~CH=0 -niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada(P) i nie ma chmur(~CH)
C: ~P~> ~CH=1 -brak opadów jest (=1) konieczny ~> dla nie istnienia chmur
D: ~P~~> CH=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P) i są chmury (CH)
|
W liniach A i AK mamy rozstrzygnięcie, iż mamy tu do czynienia z implikacją prostą P|=>CH.
Nasz przykład:
Definicja implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH=1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
B1: P~>CH=0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur, nie musi padać, by były chmury
Stąd mamy:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0)*1=1*1=1
W tym momencie mamy kompletną tabelę implikacji prostej A1B1: P|=>CH uzupełnioną definicją kontrprzykładu ~~> działającą wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Kod: |
IP.
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*(0)=1*1=1
Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Implikacja prosta P|=>CH w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: P=>CH=1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH=0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: (P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q =0 [=] 4:~q~~>p =0
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=P, q=CH
A: 1: P=>CH =1 = 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P =1 = 4:~CH=>~P=1
A': 1: P~~>~CH=0 [=] 4:~CH~~>P=0
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=P, q=CH
B: 1: P~>CH =0 = 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=>P =0 = 4:~CH~>~P=0
B': 2:~P~~>CH=1 [=] 3: CH~~>~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Szczegółową analizę operatora implikacji prostej P||=>CH znajdziemy w punkcie 3.3.1
9.12.1 Rozwiązanie zadania W: P=>CH
Weźmy nasze zdanie wypowiedziane W które wyżej przeanalizowaliśmy.
W.
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Z analizy matematycznej w punkcie 3.4.1 widzimy że zachodzi tożsamość zdań W=A1:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Padanie (P) jest wystarczające => dla istnienie chmur (CH) bo zawsze gdy pada, są chmury.
Uwaga:
W logice matematycznej warunek wystarczający => jest domyślny.
Stąd zachodzi tożsamość zdań W=A1.
Rozwiązanie:
Zdanie wypowiedziane W jest częścią operatora implikacji prostej P||=>CH (zdanie A1) i na mocy prawa Puchacza nie może być częścią jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
Analizę różnych zdań należących do operatora implikacji prostej P||=>CH znajdziemy w punkcie 3.5
9.13 Algorytm zdjęciowy w implikacji odwrotnej CH|~>P
Zadanie W
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane
W
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
Sprawdzamy warunek konieczny stosowalności algorytmu zdjęciowego (pkt. 1,2,3):
1.
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Istnieje związek między chmurami a padaniem, zatem wspólna dziedzina dla p i q jest spełniona.
Dziedzina matematyczna Dm to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń rozłącznych bez analizy prawdziwości/fałszywości tych zdarzeń.
Dm=CH*P + CH*~P + ~CH*~P + ~CH*P
Dziedzina fizyczna D to zbiór zdarzeń fizycznie możliwych, jakie jutro mogą zajść.
Dziedzina fizyczna D wyskoczy nam w czasie analizy matematycznej zdania wypowiedzianego W
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych.
p= CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "są chmury" (CH)
q= P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "pada" (P)
~p= ~CH =1 - możliwe jest zdarzenie "nie ma chmur" (~CH)
~q= ~P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "nie pada" (~P)
4.
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne 1,2,3 stosowalności algorytmu zdjęciowego
6.
Dla ustalonych na mocy prawa Kłapouchego p i q budujemy zdjęcie układu w postaci serii czterech zdań kodowanych zdarzeniem możliwym ~~> w kierunku od p do q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q rozstrzygając o prawdziwości/fałszywości wszystkich zdań składowych.
Nasz przykład:
Kod: |
T1
Zdjęcie układu w zapisie aktualnym (przykład)
A: CH~~> P=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i pada (P)
B: CH~~>~P=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
C:~CH~~>~P=1 - możliwe jest zdarzenie: nie ma chmur (~CH) i nie pada (~P)
D:~CH~~> P=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur(~CH) i pada(P)
|
7.
Korzystając z definicji kontrprzykładu i praw Kubusia rozstrzygamy o prawdziwości podstawowego spójnika implikacyjnego p?q (kolumna A1B1 gdzie mamy p bez negacji) co na mocy prawa Puchacza i praw Sowy jest konieczne i wystarczające do przyporządkowania badanego zdania "Jeśli p to q" do jednego z pięciu rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q
Innymi słowy:
Rozstrzygnięcie z jakim operatorem implikacyjnym mamy do czynienia sprowadza się do dwóch kluczowych rozstrzygnięć dotyczących kolumny A1B1:
A1: p=>q =? - czy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q?
B1: p~>q =? - czy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q?
Nasz przykład:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Analiza mająca na celu lokalizację operatora implikacyjnego w skład którego wchodzi zdanie W:
1.
Zaczynamy od fałszywego zdania D:
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~>padać
~CH~~>P= ~CH*P =0
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q =~p*q =0
Nie może się zdarzyć (=0): że nie ma chmur (~CH) i pada (P)
2.
Fałszywość kontrprzykładu ~~> D wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padać
~CH=>~P=1
(i odwrotnie)
Dowód "nie wprost" wynika z definicji kontrprzykładu
Dowód wprost:
Brak chmur (~CH) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla braku opadów (~P) bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada
3.
Na mocy prawa Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Prawdziwość warunku wystarczającego => C wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A:
C: ~CH=>~P = A: CH~>P =1
4.
Stąd mamy szukany pierwszy ważny dla nas element analizy, czyli prawdziwość warunku koniecznego ~> dla niezanegowanego p=CH(chmury):
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Dowód "nie wprost":
Prawdziwość warunku koniecznego A wynika tu z prawa Kubusia
Dowód wprost:
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P) bo padać może wyłącznie z chmury
5.
Dla potrzeb ostatecznego rozstrzygnięcia w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane W pozostał nam dowód prawdziwości/fałszywości warunku wystarczającego => (AW) w kierunku od CH (chmury) do P (pada)
AW: CH=>P =?
6.
AW.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
CH=>P=0
Chmury (CH) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P) bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd
W tym momencie mamy dokładnie to, czego szukamy:
Dla niezanegowanego poprzednika p=CH(chmury) mamy rozstrzygnięcie w temacie prawdziwości/fałszywości warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
AW: CH=>P=0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada
A: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
Zapiszmy nasze rozstrzygnięcia w tabeli prawdy:
Kod: |
T1
Zdjęcie układu w zapisie aktualnym (przykład)
A: CH~> P=1 - chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P)
AW: CH=> P=0 - chmury (CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania (P)
;Interesujące nas rozstrzygnięcie mamy w A i AW - jesteśmy w kolumnie A1B1
;Poniższe rozstrzygnięcia nie są już istotne, mimo że poprawne
B: CH~~>~P=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
C:~CH=> ~P=1 - brak chmur (~CH) jest wystarczający => dla nie padania (~P)
D:~CH~~> P=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur(~CH) i pada(P)
|
W liniach A i AW mamy rozstrzygnięcie, iż mamy tu do czynienia z implikacją odwrotną CH|~>P.
Nasz przykład:
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P:
Implikacja odwrotna CH|~>P w logice dodatniej (bo P) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania, bo nie zawsze gdy pada, są chmury
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo pada wyłącznie z chmury
Stąd mamy:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1=1
W tym momencie mamy kompletną tabelę implikacji odwrotnej A1B1: CH|~>P uzupełnioną definicją kontrprzykładu ~~> działającą wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Kod: |
IO.
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Implikacja odwrotna CH|~>P w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: CH=>P=0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania
B1: CH~>P=1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q =1 [=] 4:~q~~>p =1
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=CH, q=P
A: 1: CH=>P =0 = 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~>CH =0 = 4:~P=>~CH=0
A': 1: CH~~>~P=1 [=] 4:~P~~>CH=1
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p =0
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=CH, q=P
B: 1: CH~>P =1 = 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=>CH =1 = 4:~P~>~CH=1
B': 2:~CH~~>P=0 [=] 3: P~~>~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Szczegółową analizę operatora implikacji odwrotnej CH|~>P znajdziemy w punkcie 4.3.1
9.13.1 Rozwiązanie zadania W: CH~>P
Weźmy nasz zdanie wypowiedziane W które wyżej przeanalizowaliśmy.
W.
Jeśli jutro będzie pochmuro to może padać
Z analizy matematycznej w punkcie 4.4.1 widzimy że zachodzi tożsamość zdań W=B1:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Dowód wprost:
Chmury (CH) są warunkiem koniecznym ~> do tego aby padało (P), bo padać może wyłącznie z chmury
Rozwiązanie:
Zdanie wypowiedziane W jest częścią operatora implikacji odwrotnej CH||~>P (zdanie B1) i na mocy prawa Puchacza nie może być częścią jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
Analizę różnych zdań należących do operatora implikacji odwrotnej CH||~>P znajdziemy w punkcie 4.5
9.14 Algorytm zdjęciowy w równoważności A<=>S
W analizie zdań z obszaru operatora równoważności p|<=>q posłużymy się znanym nam przykładem z punktu 6.6.
Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod: |
S3 Schemat 3
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Zadanie W
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane
W.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to świeci się żarówka S
Sprawdzamy warunek konieczny stosowalności algorytmu zdjęciowego:
Algorytm zdjęciowy:
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.
W.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to świeci się żarówka S
Rozwiązanie algorytmem zdjęciowym:
1.
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Istnieje związek między wciskaniem przycisku A a żarówką S, zatem wspólna dziedzina dla p i q jest spełniona.
Dziedzina matematyczna Dm to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń rozłącznych bez analizy prawdziwości/fałszywości tych zdarzeń.
Dm=A*S + A*~S + ~A*~S + ~A*S
Dziedzina fizyczna D to zbiór zdarzeń fizycznie możliwych, jakie mogą zajść.
Dziedzina fizyczna D wyskoczy nam w czasie analizy matematycznej zdania wypowiedzianego W
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych.
p= A =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1)
q= S =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: żarówka S świeci się (S=1)
~p= ~A =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
~q= ~S =1 - możliwe jest zdarzenie: żarówka S nie świeci się (~S=1)
4.
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne 1,2,3 stosowalności algorytmu zdjęciowego
6.
Dla ustalonych na mocy prawa Kłapouchego p i q budujemy zdjęcie układu w postaci serii czterech zdań kodowanych zdarzeniem możliwym ~~> w kierunku od p do q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q rozstrzygając o prawdziwości/fałszywości wszystkich zdań składowych.
Kod: |
Tabela prawdy zdjęcia układu to odpowiedź TAK=1/NIE=0 pytania {A,B,C,D}
Kolumna A1B1:
A: p~~> q = p* q=? - Czy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q?
B: p~~>~q = p*~q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q?
Kolumna A2B2:
C:~p~~>~q =~p*~q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q?
C:~p~~> q =~p* q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q?
|
Nasz przykład:
Kod: |
T1 Zdjęcie układu w zapisie aktualnym (nasz przykład)
A: A~~> S=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: wciśnięty A i żarówka świeci S
B: A~~>~S=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: wciśnięty A i nie świeci ~S
C:~A~~>~S=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie wciśnięty ~A i nie świeci ~S
D:~A~~> S=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie wciśnięty ~A i świeci S
|
7.
Korzystając z definicji kontrprzykładu i praw Kubusia rozstrzygamy o prawdziwości podstawowego spójnika implikacyjnego p?q (kolumna A1B1 gdzie mamy p bez negacji) co na mocy prawa Puchacza i praw Sowy jest konieczne i wystarczające do przyporządkowania badanego zdania "Jeśli p to q" do jednego z pięciu rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q
Innymi słowy:
Rozstrzygnięcie z jakim operatorem implikacyjnym mamy do czynienia sprowadza się do dwóch kluczowych rozstrzygnięć dotyczących kolumny A1B1:
A1: p=>q =? - czy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q?
B1: p~>q =? - czy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q?
Nasz przykład:
p=A (klawisz)
q=S (żarówka)
Minimalny algorytm analizy matematycznej:
Dla rozstrzygnięcia w skład jakiego operatora implikacyjnego p||?q wchodzi badane zdanie W szukamy spełnionych lub niespełnionych relacji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między niezanegowanym poprzednikiem p i niezanegowanym następnikiem q:
A1: p=>q =?
B1: p~>q =?
gdzie:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Analiza mająca na celu lokalizację operatora implikacyjnego w skład którego wchodzi zdanie W:
1.
Fałszywość kontrprzykładu ~~> B:
B: A~~>~S=0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A:
A: A=>S =1
(i odwrotnie)
Potrzebny nam warunek wystarczający => dla nie zanegowanego poprzednika A (kolumna A1B1) już mamy.
Musimy zbadać prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
AK: A~>S =?
Kontynuujemy działania w tym kierunku.
2.
Z fałszywości kontrprzykładu ~~> D:
D: ~A~~>S=1
Wynika prawdziwość warunku wystarczającego => C:
C: ~A=>~S =1
3.
Na mocy prawa Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
Prawdziwość warunku wystarczającego => C wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> AK:
C: ~A=>~S = AK: A~>S =1
Czyli mamy dokładnie to, czego szukamy:
Dla niezanegowanego poprzednika p mam rozstrzygnięcie w temacie prawdziwości/fałszywości warunku wystarczającego => i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia się żarówki S
AK: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S
Zapiszmy nasze rozstrzygnięcia w tabeli prawdy:
Kod: |
T2
A: A=> S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
AK: A~> S =1 - ciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
;Interesujące nas rozstrzygnięcie mamy w A i AK - jesteśmy w kolumnie A1B1
;Poniższe rozstrzygnięcia nie są już istotne, mimo że poprawne
B: A~~>~S=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: wciśnięty A i nie świeci ~S
C: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie ~A jest wystarczające => dla nie świecenia ~S
D: ~A~~> S=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie wciśnięty ~A i świeci S
|
W liniach A i AK mamy rozstrzygnięcie iż mamy tu do czynienia z równoważnością A<=>S.
Definicja równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S to zachodzenie zarówno wyłącznie warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia się żarówki S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S
Stąd mamy:
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1=1
Nanieśmy naszą równoważność A<=>S do tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> w równoważności z uwzględnieniem prawa Irbisa.
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Przyjęty na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym {A, S}:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
Zapis aktualny:
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S =1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
A': 1: A~~>~S=0 [=] 4:~S~~>A =0
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Zapis aktualny:
B: 1: A~>S =1 = 2:~A=>~S =1 [=] 3: S=>A =1 = 4:~S~>~A =1
B': 2:~A~~>S =0 [=] 3: S~~>~A=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=> definiuje: | Równoważności <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1 [=]
tożsamość zdarzeń: | tożsamość zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Szczegółowa analiza operatora równoważności A|<=>S dostępna jest w punkcie 6.6.1
9.14.1 Rozwiązanie zadania W: A=>S
Weźmy nasz zdanie wypowiedziane W które wyżej przeanalizowaliśmy.
W.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to świeci się żarówka S
Z analizy matematycznej w punkcie 6.6.1 widzimy że zachodzi tożsamość zdań W=A1:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zawsze gdy wciśniemy przycisk A zaświeci się żarówka S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Uwaga:
W logice matematycznej warunek wystarczający => jest domyślny.
Stąd zachodzi tożsamość zdań W=A1.
Rozwiązanie:
Zdanie wypowiedziane W jest częścią operatora równoważności A|<=>S (zdanie A1) i na mocy prawa Puchacza nie może być częścią jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
Analizę różnych zdań należących do operatora implikacji prostej P||=>CH znajdziemy w punkcie 6.7
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 8:33, 08 Sty 2024, w całości zmieniany 25 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Wto 13:13, 24 Sty 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
10.0 Algebra Kubusia w tabelach zero-jedynkowych
Spis treści
10.0 Algebra Kubusia w tabelach zero-jedynkowych 1
10.1 Symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q 2
10.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q 4
10.1.2 Tabela prawdy operatora implikacji prostej p||=>q 6
10.1.3 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego => 7
10.1.4 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~p~>~q 8
10.1.5 Prawo porównywania w rachunku zero-jedynkowym 9
10.2 Odtworzenie p||=>q z tabeli zero-jedynkowej warunku wystarczającego => 9
10.2.1 Odtworzenia operatora implikacyjnego p|?q z funkcji logicznej Y=~p+q 13
10.0 Algebra Kubusia w tabelach zero-jedynkowych
Nie ma na świecie 5-cio latka, który nosi w kieszeniach tabele zero-jedynkowe spójników logicznych i wyciąga je, by cokolwiek powiedzieć w języku potocznym, którego jest naturalnym ekspertem.
W "Kompendium algebry Kubusia" planowałem nie pisać skąd biorą się tabele zero-jedynkowe spójników logicznych bo po co tym, czego w praktyce języka potocznego absolutnie nikt nie używa zawracać głowę uczniowi I klasy LO - to jemu dedykowane jest kompendium.
Zmieniłem zdanie po wpływem dyskusji z Irbisolem - to jest ważne dla matematyków którzy od zer i jedynek w tabelach zero-jedynkowych spójników logicznych nie są w stanie się uwolnić.
Dowód tego stanu rzeczy mamy choćby w tym wykładzie dla uczniów I klasy LO:
https://www.youtube.com/watch?v=69mxNcONL-4
Skąd biorą się tabele zero-jedynkowe dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego?
Pytanie analogiczne to:
Co było pierwsze, jajko czy kura?
Możliwe są tu dwie odpowiedzi:
1.
Tabele zero-jedynkowe dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego stworzył Kubuś, po czym na mocy praw logiki matematycznej wynikłych z tego rachunku stworzył nasz Wszechświat, podlegający pod wyprowadzone prawa logiki matematycznej.
2.
Tabele zero-jedynkowe dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego wynikają z matematycznego opisu otaczającego nas świata martwego (w tym matematyki i fizyki).
Świat żywy jest tu bezużyteczny ze względu na wolną wolę istot żywych.
Definicja "wolnej woli" istot żywych:
"Wolna wola" istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wynikłych z opisu świata martwego (w tym z matematyki i fizyki)
Szczegóły w tym zakresie poznaliśmy w punktach 3.6 i 4.6.
Zauważmy że:
Do rozumowania Kubusia na mocy punktu 1 z definicji nie mamy dostępu, zatem niemożliwe jest pełne rozszyfrowanie logiki matematycznej od tej strony co ludzkość próbuje robić od 2500 lat (od Sokratesa).
Algebra Kubusia rozszyfrowana została w 100% tylko i wyłącznie dlatego, że po pierwsze z wykształcenia jestem ekspertem bramek logicznych w teorii i praktyce, a po drugie i najważniejsze starałem się opisać logikę matematyczną którą posługują się 5-cio latki przy pomocy bramek logicznych, co mi się udało.
W pełnej algebrze Kubusia jest kluczowy rozdział "Algebra Kubusia w bramkach logicznych" i dokładnie ten rozdział jest twardym dowodem poprawności matematycznej algebry Kubusia.
Na szczęście w świecie martwym (w tym w matematyce i fizyce) mamy bezproblemowy dostęp do działania praw logiki matematycznej stworzonej przez Kubusia … i to na poziomie 5-cio taka, co pokazaliśmy w punktach 3.0 i 4.0 przy pomocy przykładów o chmurce i deszczu.
10.1 Symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=1), ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=0)
Podstawmy definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Kod: |
IP.
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Uwagi:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Ax wymuszają fałszywe kontrprzykłady Ax'
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywe warunki wystarczające => w linii Bx wymuszają prawdziwe kontrprzykłady Bx'.
Zauważmy że:
1.
Definicję implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) mamy w kolumnie A1B1.
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Wniosek:
Implikacja prosta A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) daje odpowiedź na pytanie o p.
2.
Definicję implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) mamy w kolumnie A2B2.
A2B2:
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q):
Implikacja odwrotna ~p|~>~q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0)=1*1=1
Wniosek:
Implikacja odwrotna A2B2: ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) daje odpowiedź na pytanie o ~p.
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
[=], "=", <=> (wtedy i tylko wtedy) - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Dowodem są tu prawa Sowy.
10.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q (A1: p=>q=1), ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q (B1: p~>q=0)
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Innymi słowy:
Zawsze gdy zajdzie p, zajdzie q
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> p i ~q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania A1' na mocy definicji kontrprzykładu.
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Idziemy do kolumny A2B2.
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q (A2: ~p~>~q=1), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q (B2: ~p=>~q=0).
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q
Innymi słowy:
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
lub
B2'.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =~p*q =1
Możliwe jest (=1) jednoczesne ~~> zajście zdarzeń ~p i q
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2': ~p~~>q=1 (i odwrotnie).
To jest dowód "nie wprost" prawdziwości zdania B2' na mocy definicji kontrprzykładu.
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej A2B2: ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej A1B1: p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
10.1.2 Tabela prawdy operatora implikacji prostej p||=>q
Prawo Krokodyla (pkt. 21.2):
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.
Definicja twardej jedynki:
W zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" twarda jedynka to spełniony warunek wystarczający => w analizie matematycznej zdania "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, przy pomocy znaczków =>, ~> i ~~>.
A1: p=>q =1 - twarda jedynka
Definicja twardego zera:
W zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" na mocy definicji kontrprzykładu spełniony warunek wystarczający A1: p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu w linii A1' (i odwrotnie)
A1': p~~>~q=p*~q =0 - twarde zero
Notacja w algebrze Kubusia:
Przez A1' oznaczamy kontrprzykład dla warunku wystarczającego A1
Definicja tabeli prawdy operatora implikacji prostej p||=>q:
Tabela prawdy operatora implikacji prostej p||=>q to analiza tego operatora w warunkach wystarczających =>, warunkach koniecznych ~> i zdarzeniach możliwych ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w kierunku od p do q
Tabela prawdy operatora implikacji prostej p||=>q.
Kod: |
T1
Tabela prawdy operatora implikacji prostej p||=>q
A1: p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Twarda jedynka w A1 wymusza twarde zero w A1' (i odwrotnie)
A1': p~~>~q=0 - prawdziwość A1: p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu A1'
Twarde zero w A1' wymusza twardą jedynkę w A1 (i odwrotnie)
A2: ~p~>~q =1 - bo prawo Kubusia: A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Miękka jedynka w A2 na mocy definicji p||=>q
LUB
B2':~p~~>q =1 - fałszywy B2:~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2'
Miękka jedynka w B2' na mocy definicji p||=>q
|
Prawo Krokodyla (pkt. 21.2):
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.
Jak widzimy, w operatorze implikacji prostej p||=>q mamy jedną twardą jedynkę (A1), jedno twarde zero (A1') oraz dwie miękkie jedynki (A2 i B2') wymuszone definicją tego operatora, co oznacza spełnienie prawa Krokodyla i brak wewnętrznej sprzeczności algebry Kubusia.
10.1.3 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
Zapiszmy tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q w wersji skróconej:
Kod: |
T2
Definicja |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
p||=>q |
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1
A1': p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1
B2':~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1
a b c 1 2 3
|
Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego p=>q w logice dodatniej (bo q) otrzymamy kodując tabelę T2 z punktem odniesienia ustawionym na warunku wystarczającym =>:
A1: p=>q
W warunku wystarczającym A1: p=>q zmienne p i q są w postaci niezanegowanej.
Tabelę zero-jedynkową warunku wystarczającego A1: p=>q w logice dodatniej (bo q) otrzymamy wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne w tabeli T2_12 sprowadzimy do postaci niezanegowanej.
Umożliwia to II prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
które możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Zróbmy to:
Kod: |
T3
Definicja |Co w logice |Na mocy II |Zapis tożsamy
symboliczna |jedynek oznacza |prawa Prosiaczka |tabeli 456
p||=>q | | | p q p=> q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=>1 =1
A1': p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1=>0 =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0=>0 =1
B2':~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0=>1 =1
a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Definicja:
Tabelę T3_789 nazywamy definicją warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) dla potrzeb rachunku zerojedynkowego.
Interpretacja warunku wystarczającego =>:
T3_789: p=>q - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Do zapamiętania:
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q Y=(p=>q)=~p+q
A: 1=>1 1
B: 1=>0 0
C: 0=>0 1
D: 0=>1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
10.1.4 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~p~>~q
Zapiszmy tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q w wersji skróconej:
Kod: |
T2
Definicja |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
p||=>q |
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1
A1': p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1
B2':~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1
a b c 1 2 3
|
Zero-jedynkową definicje warunku koniecznego ~p~>~q w logice ujemnej (bo ~q) otrzymamy kodując tabelę T2 z punktem odniesienia ustawionym na warunku koniecznym ~>:
A2: ~p~>~q
W warunku koniecznym A2: ~p~>~q zmienne p i q są w postaci zanegowanej.
Tabelę zero-jedynkową warunku koniecznego ~> A2: ~p~>~q w logice ujemnej (bo ~q) otrzymamy wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne w tabeli T2_12 sprowadzimy do postaci zanegowanej.
Umożliwia to I prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
które możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Zróbmy to:
Kod: |
T4
Definicja |Co w logice |Na mocy I |Zapis tożsamy
symboliczna |jedynek oznacza |prawa Prosiaczka |tabeli 456
p||=>q | | | ~p ~q ~p~>~q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0~>0 =1
A1': p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~>1 =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 | 1~>1 =1
B2':~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |(~p=1)~~>(~q=0)=1 | 1~>0 =1
a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Definicja:
Tabelę T4_789 nazywamy zero-jedynkową definicją warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q):
Interpretacja:
T4_789: ~p~>~q - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
10.1.5 Prawo porównywania w rachunku zero-jedynkowym
Prawo porównywania w rachunku zero-jedynkowym:
W rachunku zero-jedynkowym zachodząca tożsamość kolumn wynikowych jest dowodem zachodzenia prawa logiki matematycznej wtedy i tylko wtedy na wejściu mamy identyczną matrycę zmiennych wejściowych p i q "ab" oraz identyczną kolumnę wynikową "c"
Zauważmy że:
W tabelach T3 i T4 wejściowa definicja operatora implikacji prostej p||=>q jest identyczna
Stąd:
Tożsamość kolumny wynikowej 9 w tabelach T3 i T4 jest dowodem zero-jedynkowym doskonale nam znanego prawa Kubusia.
Prawo Kubusia
T3_789: p=>q [=] T4_789: ~p~>~q
cnd
10.2 Odtworzenie p||=>q z tabeli zero-jedynkowej warunku wystarczającego =>
Algorytm odwrotny, czyli odtworzenie operatora implikacji prostej p||=>q z zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => jest następujący.
Niech będzie dana tabela zero-jedynkowa warunku wystarczającego =>:
Kod: |
TW
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
p q Y=(p=>q)
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1
1 2 3
|
Jak wygenerować z tej tabeli operator implikacji prostej p||=>q?
Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa dla dowolnej funkcji logicznej Y to tabela zawierająca wszystkie sygnały zanegowane i niezanegowane zarówno po stronie wejścia układu {p, q, r..} jak i po stronie jego wyjścia Y.
Krok 1
Budujemy pełną tabelę zero-jedynkową dla tabeli warunku wystarczającego => po czym opisujemy wyłącznie wynikowe jedynki stosując w poziomie spójnik "i'(*) zaś w pionie spójnik "lub"(+).
Powyższy algorytm prowadzi do wygenerowania równań alternatywno-koniunkcyjnych Y i ~Y zrozumiałych dla każdego 5-cio latka.
Kod: |
T1.
Tabela zero-jedynkowa warunku wystarczającego => w "lub"(+) i "i"(*)
|Opis jedynek |Opis jedynek |Tabela w zdarzeniach
|dla Y=(p=>q) |dla ~Y=~(p=>q) |możliwych ~~> dla Y
p q ~p ~q | Y ~Y | | | Y=(p=>q)
A: 1 1 0 0 | 1 0 | Ya= p* q | | p~~> q= p* q =1
B: 1 0 0 1 | 0 1 | |~Yb= p*~q | p~~>~q= p*~q =0
C: 0 0 1 1 | 1 0 | Yc=~p*~q | |~p~~>~q=~p*~q =1
D: 0 1 1 0 | 1 0 | Yd=~p* q | |~p~~> q=~p* q =1
a b c d e f g h i j k l 1 2 3 4 5
|
W tabeli ABCD12345 w punkcie B5 skorzystano z prawa Prosiaczka:
(~Yb=1) = (Yb=0)
które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej.
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) to odpowiedź na pytania o Y i ~Y
1.
Kiedy zajdzie Y?
Odczytujemy z tabeli ABDCghi:
Y=Ya+Yc+Yd = A: p*q + C: ~p*~q +D: ~p*q
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
2.
Kiedy zajdzie ~Y?
Odczytujemy z tabeli ABCDjkl:
~Y=~Yb=p*~q - bo jest tylko jeden sygnał w logice ujemnej (bo ~Y)
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0)
Stąd zapis tożsamy:
Y=0 <=> p=1 i ~q=1
Tabela konieczna i wystarczająca dla odtworzenia operatora implikacji prostej p||=>q w warunkach wystarczających =>, koniecznych ~> i zdarzeniach możliwych ~~> to tabela ABCD12345.
Tabela ABCD12345 to tabela wszystkich zdarzeń możliwych (Yx=1) i niemożliwych (Yx=0) jakie mogą zajść na mocy definicji warunku wystarczającego p=>q. Jak widzimy, wyłącznie zdarzenie B nie jest możliwe (=0), pozostałe zdarzenia ACD są możliwe (=1)
Trochę teorii:
Dla otworzenia symbolicznej definicji operatora implikacji prostej p||=>q z zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego p=>q są potrzebne i wystarczające:
- definicja kontrprzykładu
- prawa Kubusia
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Krok 2
Zapisujemy tabelę wszystkich zdarzeń możliwych i niemożliwych jakie mogą zajść w zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego p=>q
Kod: |
T2.
Y=(p=>q)
A: p~~> q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q =0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
|
Krok 3
Na mocy definicji kontrprzykładu z fałszywości zdarzenia możliwego ~~> B:
B: p~~>~q=0
Wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Krok 4
Na mocy prawa Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q =1
z prawdziwości warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =1
wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
Krok 5
Na mocy definicji kontrprzykładu z prawdziwości zdarzenia możliwego ~~> D:
D: ~p~~>q =1
wynika fałszywość warunku wystarczającego => C" (i odwrotnie):
C": ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Krok 6
Na mocy prawa Kubusia:
C”: ~p=>~q = A”: p~>q =0
z fałszywości warunku wystarczającego C”
C": ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
wynika fałszywość warunku koniecznego A”:
A”: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Zapiszmy to co zrobiliśmy w tabeli prawdy:
Kod: |
T3
Y=(p=>q)
A: p=> q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
A”: p~> q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Kluczowe rozstrzygnięcia mamy w liniach A i A” wyżej:
B: p~~>~q=0 - fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość A: p=>q=1
C: ~p~>~q =1 - bo prawo Kubusia: A: p=>q = C: ~p~>~q
C":~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
D: ~p~~>q =1 - prawdziwy D":~p~~>q=1 wymusza prawdziwość C”:~p=>~q=0
|
Spójniki implikacyjne (tu p|=>q) rozpoznajemy po warunkach wystarczającym p=>q i koniecznym p~>q z niezanegowanym p - kolumna A1B1.
Potrzebne nam rozstrzygnięcia mamy w liniach A i A”:
Stąd mamy odtworzoną definicję implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Kod: |
A =A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
A”=B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
|
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1
Podstawmy wyprowadzoną definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> (pkt. 10.1)
Kod: |
IP:
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Uwagi:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Ax wymuszają fałszywe kontrprzykłady Ax'
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywe warunki wystarczające => w linii Bx wymuszają prawdziwe kontrprzykłady Bx'.
Ciąg dalszy dochodzenia do symbolicznej definicji operatora implikacji prostej p||=>q wraz z rozpisaniem znaczenia tego operatora znajdziemy w punkcie 10.1.1
10.2.1 Odtworzenia operatora implikacyjnego p|?q z funkcji logicznej Y=~p+q
Typowe zadanko z logiki matematycznej może brzmieć.
Zadanie 10.2.1
Dana jest funkcja logiczna:
Y = q+~p
Polecenie:
Odtwórz operator implikacyjny p|?q definiowany przez tą funkcję.
Łyk teorii koniecznej dla zrozumienia dalszej części wykładu:
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej (pkt. 1.14.2):
Funkcja logiczna Y ma postać alternatywno-koniunkcyjną wtedy i tylko wtedy gdy nie zawiera ani jednego członu w postaci koniunkcyjno-alternatywnej.
Inaczej funkcja Y ma postać koniunkcyjno-alternatywną lub mieszaną
Logiką zrozumiałą dla człowieka jest wyłącznie postać alternatywno-koniunkcyjna (dowód w pkt. 1.10) gdzie wszystkie zmienne na mocy prawa Prosiaczka sprowadzone są do logicznych jedynek.
Wniosek:
Jeśli w dowolnym równaniu algebry Boole'a napotkamy fragment koniunkcyjno-alternatywny to ten fragment wymnażamy logicznie przechodząc do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej.
Krok 1
Na mocy prawa Kłapouchego porządkujemy funkcję logiczną Y w taki sposób by zawsze z lewej strony mieć poprzednik p
Stąd mamy:
1.
Y = ~p+q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy funkcję logiczną 1 stronami:
2.
~Y=p*~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Uwaga:
W pozostałych przypadkach cząstkowych i rozłącznych będziemy mieć do czynienia z funkcją logiczną Y w logice dodatniej (bo Y).
Stąd te pozostałe przypadki łatwo rozpisać:
Y = p*q + ~p*~q + ~p*q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Stąd mamy zdjęcie rozpatrywanego układu:
Kod: |
T1.
Y=(p=>q)=~p+q
A: p~~> q = p* q =1
B: p~~>~q = p*~q =0
C:~p~~>~q =~p*~q =1
D:~p~~> q =~p* q =1
|
Stąd w zdarzeniach możliwych mamy.
Krok 2
Tworzymy symboliczną definicję warunku wystarczającego p=>q rozpisaną na zdarzenia możliwe (Y=1) i niemożliwe (Y=0)
Kod: |
T2.
Y=(p=>q)=~p+q
A: p~~> q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q =0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
|
Dalsze kroki 3, 4, 5, 6 będą identyczne jak w punkcie 10.2
Rozwiązanie alternatywne:
Rozwiązanie alternatywne to utworzenie tabeli zero-jedynkowej dla warunku wystarczającego (p=>q):
Y=(p=>q)=~p+q
Po czym wystartowanie od początku punktu 10.2
Zadanie:
Utwórz tabelę zero-jedynkową dla poniższej funkcji logicznej:
1.
Y = (p=>q) = ~p+q
Rozwiązanie:
Tworzymy pełną tabelę zero-jedynkową dla zmiennych wejściowych {p, q, ~p, ~q} z uwzględnieniem funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Kod: |
T1
p q ~p ~q Y ~Y
A: 1 1 0 0 x x
B: 1 0 0 1 x x
C: 0 0 1 1 x x
D: 0 1 1 0 x x
1 2 3 4 5 6
|
Najprostszy sposób to wygenerowania funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) poprzez negację stronami funkcji logicznej 1
2.
~Y=~(p=>q)=p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Na mocy powyższego w na pozycji B6 stawiamy jedynkę uzupełniając kolumnę 6 zerami na pozostałych pozycjach.
Kod: |
T2
p q ~p ~q Y ~Y
A: 1 1 0 0 x 0
B: 1 0 0 1 x 1
C: 0 0 1 1 x 0
D: 0 1 1 0 x 0
1 2 3 4 5 6
|
Kolumna Y to zaprzeczenie kolumny ~Y stąd łatwo generujemy kompletną tabelę zero-jedynkową w postaci T3.
Kod: |
T3
p q ~p ~q Y ~Y
A: 1 1 0 0 1 0
B: 1 0 0 1 0 1
C: 0 0 1 1 1 0
D: 0 1 1 0 1 0
1 2 3 4 5 6
|
Stąd odczytujemy zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego =>
Kod: |
TW
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
p q Y=(p=>q)=~p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1
1 2 3
|
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 21:46, 10 Sty 2024, w całości zmieniany 27 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Śro 21:26, 15 Lut 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
10.3 Symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Spis treści
10.3 Symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q 1
10.3.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 3
10.3.2 Tabela prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q 5
10.3.3 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> 6
10.3.4 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego ~p=>~q 7
10.3.5 Prawo porównywania w rachunku zero-jedynkowym 8
10.4 Odtworzenie p||~>q z tabeli zero-jedynkowej warunku koniecznego ~> 8
10.4.1 Otworzenie operatora implikacyjnego p|?q z funkcji logicznej Y=p+~q 12
10.3 Symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=1), ale nie jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=0)
Podstawmy definicję implikacji odwrotnej p|~>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Kod: |
IO:
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q=1 [=] 4:~q~~>p =1
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
II Prawo Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
##
I Prawo Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Uwagi:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Bx wymuszają fałszywe kontrprzykłady Bx'
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywe warunki wystarczające => w linii Ax wymuszają prawdziwe kontrprzykłady Ax'.
Zauważmy że:
1.
Definicję implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q) mamy w kolumnie A1B1:
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Wniosek:
Implikacja odwrotna A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) daje odpowiedź na pytanie o p.
2.
Definicję implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) mamy w kolumnie A2B2:
A2B2:
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q):
Implikacja prosta ~p|=>~q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1*1=1
Wniosek:
Implikacja prosta A2B2: ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) daje odpowiedź na pytanie o ~p.
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
[=], "=", <=> (wtedy i tylko wtedy) - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Dowodem są tu prawa Sowy.
10.3.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2)
Kolumna A1B1:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q (B1: p~>q=1), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q (A1: p=>q=0)
Odpowiedź w zdaniach warunkowych odczytujemy z kolumny A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść zajdzie q
p~>q =1
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
Innymi słowy:
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
lub
A1'
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Innymi słowy:
Fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q =0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1' (i odwrotnie), To jest dowód "nie wprost" prawdziwości zdania A1'
.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Idziemy do kolumny A2B2.
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q (B2: ~p=>~q=1), ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q (A2: ~p~>~q=0).
Odpowiedź w zdaniach warunkowych odczytujemy z kolumny A2B2:
B2
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Innymi słowy:
Zawsze gdy zajdzie ~p, zajdzie ~q
Prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2' (i odwrotnie)
B2'
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> ~p i q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania B2' na mocy definicji kontrprzykładu.
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie p (zdania B1 i A1’), oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2)
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej A2B2: ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej A1B1: p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
10.3.2 Tabela prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q
Prawo Krokodyla (pkt. 21.2):
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.
Definicja twardej jedynki:
W zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" twarda jedynka to spełniony warunek wystarczający => w analizie matematycznej zdania "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, przy pomocy znaczków =>, ~> i ~~>.
A1: p=>q =1 - twarda jedynka
Definicja twardego zera:
W zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" na mocy definicji kontrprzykładu spełniony warunek wystarczający A1: p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu w linii A1' (i odwrotnie)
A1': p~~>~q=p*~q =0 - twarde zero
Notacja w algebrze Kubusia:
Przez A1' oznaczamy kontrprzykład dla warunku wystarczającego A1
Definicja tabeli prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Tabela prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q to analiza tego operatora w warunkach wystarczających =>, warunkach koniecznych ~> i zdarzeniach możliwych ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w kierunku od p do q
Tabela prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q.
Kod: |
T1
Tabela prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q.
B1: p~> q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Miękka jedynka w B1 na mocy definicji p||~>q
LUB
A1': p~~>~q=1 - fałszywy A1: p=>q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1'
Miękka jedynka w A1' na mocy definicji p||~>q
B2: ~p=>~q =1 - bo prawo Kubusia B1: p~>q = B2: ~p~>~q
Twarda jedynka w B2 wymusza twarde zero w B2' (i odwrotnie)
B2':~p~~>q =0 - prawdziwość B2:~p=>~q wymusza fałszywość kontrprzykładu B2'
Twarde zero w B2' wymusza twardą jedynkę w B2 (i odwrotnie)
|
Prawo Krokodyla(pkt. 21.2):
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.
Jak widzimy, w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q mamy jedną twardą jedynkę (B2), jedno twarde zero (B2') oraz dwie miękkie jedynki (B1 i A1') wymuszone definicją tego operatora, co oznacza spełnienie prawa Krokodyla i brak wewnętrznej sprzeczności algebry Kubusia.
10.3.3 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
Zapiszmy tabelę prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q w wersji skróconej:
Kod: |
T2
Definicja |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
p||~>q |
B1: p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1
A1': p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1
A2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2':~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0
a b c 1 2 3
|
Zero-jedynkową definicje warunku koniecznego p~>q w logice dodatniej (bo q) otrzymamy kodując tabelę T2 z punktem odniesienia ustawionym na warunku koniecznym ~>:
B1: p~>q
W warunku koniecznym ~> B1 zmienne p i q są w postaci niezanegowanej.
Tabelę zero-jedynkową warunku koniecznego B1: p~>q w logice dodatniej (bo q) otrzymamy wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne w tabeli T2_12 sprowadzimy do postaci niezanegowanej.
Umożliwia to II prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
które możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Zróbmy to:
Kod: |
T3
Definicja |Co w logice |Na mocy II |Zapis tożsamy
symboliczna |jedynek oznacza |prawa Prosiaczka |tabeli 456
p||~>q | | | p q p~> q
B1: p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |( p=1)~> ( q=1)=1 | 1~>1 =1
A1': p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~>0 =1
A2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0~>0 =1
B2':~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~>1 =0
a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Definicja:
Tabelę T3_789 nazywamy zero-jedynkową definicją warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Interpretacja warunku koniecznego ~>:
T3_789: p~>q - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
Do zapamiętania:
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q Y=(p~>q)=p+~q
A: 1~>1 1
B: 1~>0 1
C: 0~>0 1
D: 0~>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q =p+~q
|
10.3.4 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego ~p=>~q
Zapiszmy tabelę prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q w wersji skróconej:
Kod: |
T2
Definicja |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
p||~>q |
B1: p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1
A1': p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1
A2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2':~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0
a b c 1 2 3
|
Zero-jedynkową definicje warunku wystarczającego ~p=>~q w logice ujemnej (bo ~q) otrzymamy kodując tabelę T2 z punktem odniesienia ustawionym na warunku wystarczającym =>:
A2: ~p=>~q
W warunku wystarczającym A2 zmienne p i q są w postaci zanegowanej.
Tabelę zero-jedynkową warunku wystarczającego A2: ~p=>~q w logice ujemnej (bo ~q) otrzymamy wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne w tabeli T2_12 sprowadzimy do postaci zanegowanej.
Umożliwia to I prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
które możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Zróbmy to:
Kod: |
T4
Definicja |Co w logice |Na mocy I |Zapis tożsamy
symboliczna |jedynek oznacza |prawa Prosiaczka |tabeli 456
p||~>q | | | ~p ~q ~p=>~q
B1: p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |(~p=0)~> (~q=0)=1 | 0=>0 =1
A1': p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |(~p=0)~~>(~q=1)=1 | 0=>1 =1
A2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1=>1 =1
B2':~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1=>0 =0
a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Definicja:
Tabelę T4_789 nazywamy zero-jedynkową definicją warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
Interpretacja:
T4_789: ~p=>~q - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
10.3.5 Prawo porównywania w rachunku zero-jedynkowym
Prawo porównywania w rachunku zero-jedynkowym:
W rachunku zero-jedynkowym zachodząca tożsamość kolumn wynikowych jest dowodem zachodzenia prawa logiki matematycznej wtedy i tylko wtedy na wejściu mamy identyczną matrycę zmiennych wejściowych p i q "ab" oraz identyczną kolumnę wynikową "c"
Zauważmy że:
W tabelach T3 i T4 wejściowa definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest identyczna
Stąd:
Tożsamość kolumny wynikowej 9 w tabelach T3 i T4 jest dowodem zero-jedynkowym doskonale nam znanego prawa Kubusia.
Prawo Kubusia
T3_789: p~>q [=] T5_789: ~p=>~q
cnd
10.4 Odtworzenie p||~>q z tabeli zero-jedynkowej warunku koniecznego ~>
Algorytm odwrotny, czyli odtworzenie operatora implikacji odwrotnej p||~>q z zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> jest następujący.
Niech będzie dana tabela zero-jedynkowa warunku koniecznego ~>:
Kod: |
TK
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
p q Y=(p~>q)
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0
1 2 3
|
Jak wygenerować z tej tabeli operator implikacji odwrotnej p||~>q?
Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa dla dowolnej funkcji logicznej Y to tabela zawierająca wszystkie sygnały zanegowane i niezanegowane zarówno po stronie wejścia układu {p, q, r..} jak i po stronie jego wyjścia Y.
Krok 1
Budujemy pełną tabelę zero-jedynkową dla tabeli warunku koniecznego ~> po czym opisujemy wyłącznie wynikowe jedynki stosując w poziomie spójnik "i'(*) zaś w pionie spójnik "lub"(+).
Powyższy algorytm prowadzi do wygenerowania równań alternatywno-koniunkcyjnych Y i ~Y zrozumiałych dla każdego 5-cio latka.
Kod: |
T1.
Tabela zero-jedynkowa warunku koniecznego ~> w "lub"(+) i "i"(*)
|Opis jedynek |Opis jedynek |Tabela w zdarzeniach
|dla Y=(p~>q) |dla ~Y=~(p~>q) |możliwych ~~> dla Y
p q ~p ~q | Y ~Y | | | Y=(p~>q)
A: 1 1 0 0 | 1 0 | Ya= p* q | | p~~> q= p* q =1
B: 1 0 0 1 | 1 0 | Yb= p*~q | | p~~>~q= p*~q =1
C: 0 0 1 1 | 1 0 | Yc=~p*~q | |~p~~>~q=~p*~q =1
D: 0 1 1 0 | 0 1 | |~Yd=~p* q |~p~~> q=~p* q =0
a b c d e f g h i j k l 1 2 3 4 5
|
W tabeli ABCD12345 w punkcie D5 skorzystano z prawa Prosiaczka:
(~Yd=1) = (Yd=0)
które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej.
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) to odpowiedź na pytania o Y i ~Y
1.
Kiedy zajdzie Y?
Odczytujemy z tabeli ABDCghi:
Y=Ya+Yb+Yc = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
2.
Kiedy zajdzie ~Y?
Odczytujemy z tabeli ABCDjkl:
~Y=~Yd=~p*q - bo jest tylko jeden sygnał w logice ujemnej (bo ~Y)
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i q=1
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0)
Stąd zapis tożsamy:
Y=0 <=> ~p=1 i q=1
Tabela konieczna i wystarczająca dla odtworzenia operatora implikacji odwrotnej p||~>q w warunkach wystarczających =>, koniecznych ~> i zdarzeniach możliwych ~~> to tabela ABCD12345.
Tabela ABCD12345 to tabela wszystkich zdarzeń możliwych (Yx=1) i niemożliwych (Yx=0) jakie mogą zajść na mocy definicji warunku koniecznego ~>. Jak widzimy, wyłącznie zdarzenie D nie jest możliwe (=0), pozostałe zdarzenia ACD są możliwe (=1)
Trochę teorii:
Dla otworzenie symbolicznej definicji operatora implikacji odwrotnej p||~>q z zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> są potrzebne i wystarczające:
- definicja kontrprzykładu
- prawa Kubusia
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Krok 2
Zapisujemy tabelę wszystkich zdarzeń możliwych i niemożliwych jakie mogą zajść w zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~>
Kod: |
T2.
Y=(p~>q)
A: p~~> q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
C:~p~~>~q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q =0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
|
Krok 3
Na mocy definicji kontrprzykładu z fałszywości zdarzenia możliwego ~~> D:
D: ~p~~>q=0
Wynika prawdziwość warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Krok 4
Na mocy prawa Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
z prawdziwości warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q =1
wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
Krok 5
Na mocy definicji kontrprzykładu z prawdziwości zdarzenia możliwego ~~> B:
B: p~~>~q =1
wynika fałszywość warunku wystarczającego => A" (i odwrotnie):
A": p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
Zapiszmy to co zrobiliśmy w tabeli prawdy:
Kod: |
T3.
Y=(p~>q)
A: p~> q =1 - bo prawo Kubusia: C:~p=>~q = A: p~>q
A": p=> q =0 - zajęcie p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
Kluczowe rozstrzygnięcia mamy w liniach A i A” wyżej.
B: p~~>~q=1 - prawdziwy kontrprzykład B wymusza fałszywość A”: p=>q=0
C: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
D: ~p~~> q=0 - fałszywość kontrprzykładu D wymusza prawdziwość C:~p=>~q=1
|
Spójniki implikacyjne (tu p|~>q) rozpoznajemy po warunkach wystarczającym p=>q i koniecznym p~>q z niezanegowanym p - kolumna A1B1.
Potrzebne nam rozstrzygnięcia mamy w liniach A i A”:
Stąd mamy odtworzoną definicję implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Kod: |
A"=A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
A =B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
|
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
Podstawmy wyprowadzoną definicję implikacji odwrotnej p|~>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> (pkt. 10.3)
Kod: |
IO:
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q=1 [=] 4:~q~~>p =1
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
II Prawo Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
##
I Prawo Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Uwagi:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Bx wymuszają fałszywe kontrprzykłady Bx'
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywe warunki wystarczające => w linii Ax wymuszają prawdziwe kontrprzykłady Ax'.
Ciąg dalszy dochodzenia do symbolicznej definicji operatora implikacji odwrotnej p||~>q wraz z rozpisaniem znaczenia tego operatora znajdziemy w punkcie 10.3.1
10.4.1 Otworzenie operatora implikacyjnego p|?q z funkcji logicznej Y=p+~q
Typowe zadanko z logiki matematycznej może brzmieć.
Zadanie 10.4.1
Dana jest funkcja logiczna:
Y = ~q+p
Polecenie:
Odtwórz operator implikacyjny p|?q definiowany przez tą funkcję.
Łyk teorii koniecznej dla zrozumienia dalszej części wykładu:
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej (pkt. 1.14.2):
Funkcja logiczna Y ma postać alternatywno-koniunkcyjną wtedy i tylko wtedy gdy nie zawiera ani jednego członu w postaci koniunkcyjno-alternatywnej.
Inaczej funkcja Y ma postać koniunkcyjno-alternatywną lub mieszaną
Logiką zrozumiałą dla człowieka jest wyłącznie postać alternatywno-koniunkcyjna (dowód w pkt. 1.10) gdzie wszystkie zmienne na mocy prawa Prosiaczka sprowadzone są do logicznych jedynek.
Wniosek:
Jeśli w dowolnym równaniu algebry Boole'a napotkamy fragment koniunkcyjno-alternatywny to ten fragment wymnażamy logicznie przechodząc do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej.
Krok 1
Na mocy prawa Kłapouchego porządkujemy funkcję logiczną Y w taki sposób by zawsze z lewej strony mieć poprzednik p
Stąd mamy:
1.
Y = p+~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy funkcję logiczną 1 stronami:
2.
~Y=~p*q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i q=1
Uwaga:
W pozostałych przypadkach cząstkowych i rozłącznych będziemy mieć do czynienia z funkcją logiczną Y w logice dodatniej (bo Y).
Stąd te pozostałe przypadki łatwo rozpisać:
Y = p*q + p*~q + ~p*~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Stąd mamy zdjęcie rozpatrywanego układu:
Kod: |
T1.
Y=(p~>q)=p+~q
A: p~~> q = p* q =1
B: p~~>~q = p*~q =1
C:~p~~>~q =~p*~q =1
D:~p~~> q =~p* q =0
|
Stąd w zdarzeniach możliwych mamy.
Krok 2
Tworzymy symboliczną definicję warunku koniecznego p~>q rozpisaną na zdarzenia możliwe (Y=1) i niemożliwe (Y=0)
Kod: |
T2.
Y=(p~>q)
A: p~~> q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q =0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
|
Dalsze kroki 3, 4, 5 będą identyczne jak w punkcie 10.4
Rozwiązanie alternatywne:
Rozwiązanie alternatywne to utworzenie tabeli zero-jedynkowej dla warunku koniecznego (p~>q):
Y=(p~>q)=p+~q
Po czym wystartowanie od początku punktu 10.4
Zadanie:
Utwórz tabelę zero-jedynkową dla poniższej funkcji logicznej:
1.
Y = (p~>q) = p+~q
Rozwiązanie:
Tworzymy pełną tabelę zero-jedynkową dla zmiennych wejściowych {p, q, ~p, ~q} z uwzględnieniem funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Kod: |
T1
p q ~p ~q Y ~Y
A: 1 1 0 0 x x
B: 1 0 0 1 x x
C: 0 0 1 1 x x
D: 0 1 1 0 x x
1 2 3 4 5 6
|
Najprostszy sposób to wygenerowania funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) poprzez negację stronami funkcji logicznej 1
2.
~Y=~(p~>q)=~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i q=1
Na mocy powyższego w na pozycji D6 stawiamy jedynkę uzupełniając kolumnę 6 zerami na pozostałych pozycjach.
Kod: |
T2
p q ~p ~q Y ~Y
A: 1 1 0 0 x 0
B: 1 0 0 1 x 0
C: 0 0 1 1 x 0
D: 0 1 1 0 x 1
1 2 3 4 5 6
|
Kolumna Y to zaprzeczenie kolumny ~Y stąd łatwo generujemy kompletną tabelę zero-jedynkową w postaci T3.
Kod: |
T3
p q ~p ~q Y ~Y
A: 1 1 0 0 1 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 0 0 1 1 1 0
D: 0 1 1 0 0 1
1 2 3 4 5 6
|
Stąd odczytujemy zero-jedynkową definicję warunku koniecznego ~>
Kod: |
TK
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
p q Y=(p~>q)=p+~q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0
1 2 3
|
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 21:47, 10 Sty 2024, w całości zmieniany 18 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Śro 21:29, 15 Lut 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
10.5 Symboliczna definicja równoważności p<=>q
Spis treści
10.5 Symboliczna definicja równoważność p<=>q 1
10.5.1 Operator równoważności p|<=>q 3
10.5.2 Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q 5
10.5.3 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q 6
10.5.4 Zero-jedynkowa definicja równoważności ~p<=>~q 8
10.5.5 Prawo porównywania w rachunku zero-jedynkowym 9
10.6 Odtworzenie p|<=>q z tabeli zero-jedynkowej równoważności <=> 9
10.6.1 Odtworzenia operatora p|?q z funkcji logicznej Y=p*q+~p*~q 12
10.5 Symboliczna definicja równoważność p<=>q
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Dowód (pkt. 6.2.2)
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa oraz definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>
Kod: |
TR
Równoważność p<=>q:
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=> definiuje: | Równoważności <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1
tożsamość zdarzeń: | tożsamość zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
I Prawo Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
##
II Prawo Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Uwagi:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Ax wymuszają fałszywe kontrprzykłady Ax'
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Bx wymuszają fałszywe kontrprzykłady Bx'
Zauważmy że:
1.
Definicję równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) mamy w kolumnie A1B1.
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Wniosek:
Równoważność A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) daje odpowiedź na pytanie o p.
2.
Definicję równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) mamy w kolumnie A2B2.
A2B2:
Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Wniosek:
Równoważność A2B2: ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) daje odpowiedź na pytanie o ~p.
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
[=], "=", <=> (wtedy i tylko wtedy) - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Dowodem są tu prawa Sowy.
A1: p=>q = A2: ~p~>~q = ~p+q
10.5.1 Operator równoważności p|<=>q
Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => = na 100% => etc
Innymi słowy:
Zawsze gdy zajdzie p, zajdzie q
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> p i ~q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania A1' na mocy definicji kontrprzykładu.
… a jeśli zajdzie ~p?
Idziemy do kolumny A2B2.
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście ~p jest (=1) konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => = na 100% => etc
Innymi słowy:
Zawsze gdy zajdzie ~p, zajdzie ~q
Prawdziwy warunek wystarczający B2: ~p=>~q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład B2' (i odwrotnie)
B2'.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=~p*q =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania B2' na mocy definicji kontrprzykładu.
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności p|<=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna po stronie ~p (zdanie B2)
W operatorze równoważności p|<=>q nie ma miejsca na jakiekolwiek "rzucanie monetą" w sensie "na dwoje babka wróżyła", jak to miało miejsce w operatorze implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co się stanie jak zajdzie ~p?
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jak zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności A2B2: ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora równoważności A1B1: p|<=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
10.5.2 Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q
Prawo Krokodyla (pkt. 21.2):
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.
Definicja twardej jedynki:
W zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" twarda jedynka to spełniony warunek wystarczający => w analizie matematycznej zdania "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, przy pomocy znaczków =>, ~> i ~~>.
A1: p=>q =1 - twarda jedynka
Definicja twardego zera:
W zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" na mocy definicji kontrprzykładu spełniony warunek wystarczający A1: p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu w linii A1' (i odwrotnie)
A1': p~~>~q=p*~q =0 - twarde zero
Notacja w algebrze Kubusia:
Przez A1' oznaczamy kontrprzykład dla warunku wystarczającego A1
Definicja tabeli prawdy operatora równoważności p|<=>q:
Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q to analiza tego operatora w warunkach wystarczających =>, warunkach koniecznych ~> i zdarzeniach możliwych ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w kierunku od p do q
Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q na mocy analizy w poprzednim punkcie:
Kod: |
T1
Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1: p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Twarda jedynka w A1 wymusza twarde zero w A1' (i odwrotnie)
A1': p~~>~q=0 - prawdziwość A1: p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu A1'
Twarde zero w A1' wymusza twardą jedynkę w A1 (i odwrotnie)
A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Twarda jedynka w B2 wymusza twarde zero w B2' (i odwrotnie)
B2':~p~~>q =0 - prawdziwość B2:~p=>~q wymusza fałszywość kontrprzykładu B2'
Twarde zero w B2' wymusza twardą jedynkę w B2 (i odwrotnie)
|
Prawo Krokodyla (pkt.21.2):
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.
Jak widzimy, w operatorze równoważności p|<=>q mamy dwie twarde jedynki (A1 i B2) oraz dwa twarde zera (A1', B2'), co oznacza spełnienie prawa Krokodyla i brak wewnętrznej sprzeczności algebry Kubusia.
10.5.3 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q
Zapiszmy tabelę prawdy operatora równoważności p|<=>q w wersji skróconej:
Kod: |
T2
Definicja |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
p|<=>q |
A1B1:
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1
A1': p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2B2:
~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2':~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0
a b c 1 2 3
|
Zero-jedynkową definicję równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) otrzymamy kodując tabelę T2 z punktem odniesienia ustawionym na równoważności p<=>q:
A1B1: p<=>q
W równoważności A1B1: p<=>q zmienne p i q są w postaci niezanegowanej.
Tabelę zero-jedynkową równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) otrzymamy wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne w tabeli T2_12 sprowadzimy do postaci niezanegowanej.
Umożliwia to II prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
które możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Zróbmy to:
Kod: |
T3
Definicja |Co w logice |Na mocy II |Zapis tożsamy
symboliczna |jedynek oznacza |prawa Prosiaczka |tabeli 456
p|<=>q | | |
A1B1: | |
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) | | p q p<=> q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1<=>1 =1
A1': p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1<=>0 =0
A2B2: |
~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) |
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0<=>0 =1
B2':~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0<=>1 =0
a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Definicja:
Tabelę T3_789 nazywamy zero-jedynkową definicją równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) dla potrzeb rachunku zerojedynkowego.
Interpretacja równoważności p<=>q:
T3_789: p<=>q - zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Do zapamiętania:
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q
A: 1<=>1 1
B: 1<=>0 0
C: 0<=>0 1
D: 0<=>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p<=>q=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: p=0 i q=0
Inaczej:
p<=>q=0
|
Wyprowadzenie tabeli zero-jedynkowej równoważności z jej definicji w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).
Definicja równoważności w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y=(p<=>q) = A: p*q + C:~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=(p<=>q)=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
I Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Stąd mamy definicję zero-jedynkową równoważności p<=>q:
p<=>q=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: p=0 i q=0
Inaczej:
p<=>q=0
10.5.4 Zero-jedynkowa definicja równoważności ~p<=>~q
Zapiszmy tabelę prawdy operatora równoważności p|<=>q w wersji skróconej:
Kod: |
T2
Definicja |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
p|<=>q |
A1B1:
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1
A1': p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2B2:
~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2':~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0
a b c 1 2 3
|
Zero-jedynkową definicję równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) otrzymamy kodując tabelę T2 z punktem odniesienia ustawionym na równoważności A2B2:
A2B2: ~p<=>~q
W równoważności A2B2 zmienne p i q są w postaci zanegowanej.
Tabelę zero-jedynkową równoważności A2B2: ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) otrzymamy wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne w tabeli T2_12 sprowadzimy do postaci zanegowanej.
Umożliwia to I prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
które możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Zróbmy to:
Kod: |
T4
Definicja |Co w logice |Na mocy I |Zapis tożsamy
symboliczna |jedynek oznacza |prawa Prosiaczka |tabeli 456
p|<=>q | | |
A1B1: | |
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) | | ~p ~q ~p<=>~q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0<=>0 =1
A1': p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0<=>1 =0
A2B2: |
~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) |
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1<=>1 =1
B2':~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1<=>0 =0
a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Definicja:
Tabelę T4_789 nazywamy zero-jedynkową definicją równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Interpretacja:
T4_789: ~p<=>~q - zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
10.5.5 Prawo porównywania w rachunku zero-jedynkowym
Prawo porównywania w rachunku zero-jedynkowym:
W rachunku zero-jedynkowym zachodząca tożsamość kolumn wynikowych jest dowodem zachodzenia prawa logiki matematycznej wtedy i tylko wtedy na wejściu mamy identyczną matrycę zmiennych wejściowych p i q "ab" oraz identyczną kolumnę wynikową "c"
Zauważmy że:
W tabelach T3 i T4 wejściowa definicja operatora równoważności p|<=>q jest identyczna
Stąd:
Tożsamość kolumny wynikowej 9 w tabelach T3 i T4 jest dowodem zero-jedynkowym prawa rachunku zero-jedynkowego
Prawo rachunku zero-jedynkowego
T3_789: p<=>q [=] T4_789: ~p<=>~q
cnd
10.6 Odtworzenie p|<=>q z tabeli zero-jedynkowej równoważności <=>
Algorytm odwrotny, czyli odtworzenie operatora równoważności p|<=>q z zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q jest następujący.
Niech będzie dana tabela zero-jedynkowa równoważności <=>
Kod: |
TR
Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q
p q Y=(p<=>q)
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 0 1
D: 0 1 0
1 2 3
|
Jak wygenerować z tej tabeli operator równoważności p|<=>q?
Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa dla dowolnej funkcji logicznej Y to tabela zawierająca wszystkie sygnały zanegowane i niezanegowane zarówno po stronie wejścia układu {p, q, r..} jak i po stronie jego wyjścia Y.
Krok 1
Budujemy pełną tabelę zero-jedynkową dla tabeli warunku wystarczającego => po czym opisujemy wyłącznie wynikowe jedynki stosując w poziomie spójnik "i'(*) zaś w pionie spójnik "lub"(+).
Powyższy algorytm prowadzi do wygenerowania równań alternatywno-koniunkcyjnych Y i ~Y zrozumiałych dla każdego 5-cio latka.
Kod: |
T1.
Tabela zero-jedynkowa równoważności p<=>q w "lub"(+) i "i"(*)
|Opis jedynek |Opis jedynek |Tabela w zdarzeniach
|dla Y=(p<=>q) |dla ~Y=~(p<=>q)|możliwych ~~> dla Y
p q ~p ~q | Y ~Y | | | Y=(p<=>q)
A: 1 1 0 0 | 1 0 | Ya= p* q | | p~~> q= p* q =1
B: 1 0 0 1 | 0 1 | |~Yb= p*~q | p~~>~q= p*~q =0
C: 0 0 1 1 | 1 0 | Yc=~p*~q | |~p~~>~q=~p*~q =1
D: 0 1 1 0 | 0 1 | |~Yd=~p* q |~p~~> q=~p* q =0
a b c d e f g h i j k l 1 2 3 4 5
|
W tabeli ABCD12345 skorzystano z prawa Prosiaczka:
(~Yb=1) = (Yb=0)
oraz
(~Yd=1) = (Yd=0)
które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej.
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) to odpowiedź na pytania o Y i ~Y
1.
Kiedy zajdzie Y?
Odczytujemy z tabeli ABDCghi:
Y=Ya+Yc = A: p*q+ C: ~p*~q
2.
Kiedy zajdzie ~Y?
Odczytujemy z tabeli ABCDjkl:
~Y=~Yb+~Yd = B: p*~q + D: ~p*q
Tabela konieczna i wystarczająca dla odtworzenia operatora równoważności p|<=>q w warunkach wystarczających =>, koniecznych ~> i zdarzeniach możliwych ~~> to tabela ABCD12345.
Tabela ABCD12345 to tabela wszystkich zdarzeń możliwych (Yx=1) i niemożliwych (Yx=0) jakie mogą zajść na mocy definicji równoważności p<=>q. Jak widzimy, możliwe są (=1) zdarzenia A i C oraz niemożliwe są (=0) zdarzenia B i D.
Trochę teorii:
Dla otworzenia symbolicznej definicji operatora równoważności p|<=>q z zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q są potrzebne i wystarczające:
- definicja kontrprzykładu
- prawa Kubusia
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Krok 2
Zapisujemy tabelę wszystkich zdarzeń możliwych (Y=1) i niemożliwych (Y=0) jakie mogą zajść w zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q
Kod: |
T2.
Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q
A: p~~> q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q =0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q =0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
|
Krok 3
Na mocy definicji kontrprzykładu z fałszywości zdarzenia możliwego ~~> B:
B: p~~>~q=0
Wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Krok 4
Na mocy definicji kontrprzykładu z fałszywości zdarzenia możliwego ~~> D:
D: ~p~~>q =0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie):
C: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Krok 5
Na mocy prawa Kubusia:
C: ~p=>~q = A”: p~>q =1
z prawdziwości warunku wystarczającego C:
C: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
wynika prawdziwość warunku koniecznego A”:
A”: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Zapiszmy to co zrobiliśmy w tabeli prawdy:
Kod: |
T3
A: p=> q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
A”: p~> q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Kluczowe rozstrzygnięcia mamy w liniach A i A” wyżej:
B: p~~>~q=0 - prawdziwość A: p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu B
C: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
D: ~p~~>q =0 - prawdziwość C:~p=>~q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu D
|
Spójniki implikacyjne (tu p<=>q) rozpoznajemy po warunkach wystarczającym p=>q i koniecznym p~>q z niezanegowanym p - kolumna A1B1.
Potrzebne nam rozstrzygnięcia mamy w liniach A i A”:
Stąd mamy odtworzoną definicję równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Kod: |
A =A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
A"=B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
|
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Podstawmy wyprowadzoną definicję równoważności p<=>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> (pkt. 10.5)
Kod: |
TR
Równoważność p<=>q:
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=> definiuje: | Równoważności <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1
tożsamość zdarzeń: | tożsamość zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
I Prawo Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
##
II Prawo Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Uwagi:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Ax wymuszają fałszywe kontrprzykłady Ax'
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Bx wymuszają fałszywe kontrprzykłady Bx'
Ciąg dalszy dochodzenia do symbolicznej definicji operatora równoważności p|<=>q wraz z rozpisaniem znaczenia tego operatora znajdziemy w punkcie 10.5.1
10.6.1 Odtworzenia operatora p|?q z funkcji logicznej Y=p*q+~p*~q
Typowe zadanko z logiki matematycznej może brzmieć.
Zadanie 10.6.1
Dana jest funkcja logiczna:
Y = ~q*~p + q*p
Polecenie:
Odtwórz operator implikacyjny p|?q definiowany przez tą funkcję.
Łyk teorii koniecznej dla zrozumienia dalszej części wykładu:
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej (pkt. 1.14.2):
Funkcja logiczna Y ma postać alternatywno-koniunkcyjną wtedy i tylko wtedy gdy nie zawiera ani jednego członu w postaci koniunkcyjno-alternatywnej.
Inaczej funkcja Y ma postać koniunkcyjno-alternatywną lub mieszaną
Logiką zrozumiałą dla człowieka jest wyłącznie postać alternatywno-koniunkcyjna (dowód w pkt. 1.10) gdzie wszystkie zmienne na mocy prawa Prosiaczka sprowadzone są do logicznych jedynek.
Wniosek:
Jeśli w dowolnym równaniu algebry Boole'a napotkamy fragment koniunkcyjno-alternatywny to ten fragment wymnażamy logicznie przechodząc do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej.
Krok 1
Na mocy prawa Kłapouchego porządkujemy funkcję logiczną Y w taki sposób by zawsze z lewej strony mieć poprzednik p
Stąd mamy:
1.
Y = p*q + ~p*~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Kiedy zajdzie ~Y?
Mamy:
Y = p*q + ~p*~q
Uzupełnienie brakujących nawiasów:
Y = (p*q) + (~p*~q)
Przechodzimy z funkcją logiczną (Y) do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
~Y=(~p+~q)*(p+q)
Otrzymana funkcja koniunkcyjno-alternatywna jest niezrozumiała w języku potocznym.
W języku potocznym zrozumiała dla każdego 5-cio latka jest wyłącznie funkcja alternatywno-koniunkcyjna, stąd musimy wymnożyć logicznie wielomian po prawej stronie.
~Y=(~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
~Y=p*~q + ~p*q
bo:
p*~p =0 - prawo algebry Boole’a
x+0 =x - prawo algebry Boole’a
Stąd mamy:
2.
Kiedy zajdzie ~Y?
~Y=p*~q + ~p*q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) mamy:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0)
Stąd mamy zapis tożsamy:
Y=0 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Stąd mamy zdjęcie rozpatrywanego układu:
Kod: |
T1.
Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q
A: p~~> q = p* q =1
B: p~~>~q = p*~q =0
C:~p~~>~q =~p*~q =1
D:~p~~> q =~p* q =0
|
Stąd w zdarzeniach możliwych mamy.
Krok 2
Tworzymy symboliczną definicję równoważności p<=>q rozpisaną na zdarzenia możliwe (Y=1) i niemożliwe (Y=0)
Kod: |
T2.
Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q
A: p~~> q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q =0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q =0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
|
Dalsze kroki 3, 4, 5 będą identyczne jak w punkcie 10.6
Rozwiązanie alternatywne:
Rozwiązanie alternatywne to utworzenie tabeli zero-jedynkowej (pkt. 1.14.3) dla funkcji logicznej równoważności p<=>q definiowanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+).
Y=(p<=>q)=p*q + ~p*~q
Po czym wystartowanie od początku punktu 10.6
Polecenie:
Utwórz tabelę zero-jedynkową dla poniższej funkcji logicznej:
Y = (p<=>q) = p*q +~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Rozwiązanie:
Tworzymy pełną tabelę zero-jedynkową dla zmiennych wejściowych {p, q, ~p, ~q} po czym zakładając że interesuje nas funkcja alternatywno-koniunkcyjna uzupełniamy kolumnę Y jedynkami.
Kod: |
T1
p q ~p ~q Y
A: 1 1 0 0 1
B: 1 0 0 1
C: 0 0 1 1 1
D: 0 1 1 0
1 2 3 4 5
|
Komentarz.
Mamy nasze równanie:
Y = (p=>q)=p*q + ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Na mocy powyższego w na pozycji A5 stawiamy 1, zaś na pozycji C5 również stawiamy 1.
Mamy wszystko, dalsze wypełnianie tabeli zero-jedynkowej to komputerowy automat, nic a nic nie trzeba myśleć.
Kod: |
T2
p q ~p ~q Y ~Y
A: 1 1 0 0 1 0
B: 1 0 0 1 0 1
C: 0 0 1 1 1 0
D: 0 1 1 0 0 1
1 2 3 4 5 6
|
Stąd odczytujemy zero-jedynkową definicję równoważności <=>
Kod: |
TR
Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
p q Y=(p<=>q)=p*q + ~p*~q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0
1 2 3
|
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 21:48, 10 Sty 2024, w całości zmieniany 16 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Śro 21:31, 15 Lut 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
10.7 Symboliczna definicja spójnika "albo"($)
Spis treści
10.7 Symboliczna definicja spójnia "albo"($) 1
10.7.1 Równanie spójnika "albo"($) 1
10.8 Definicja spójnika "albo"($) zilustrowana przykładem P$K 3
10.8.1 Operator "albo"($) p|$q w logice dodatniej (bo q) 6
10.8.2 Tabela prawdy operatora "albo" p|$q 10
10.8.3 Zero-jedynkowa definicja spójnika "albo"($) 11
10.8.4 Zero-jedynkowa definicja spójnika "albo" ~p$~q 12
10.8.5 Prawo porównywania w rachunku zero-jedynkowym 13
10.9 Odtworzenie p|$q z tabeli zero-jedynkowej "albo"($) 13
10.9.1 Odtworzenia operatora p|?q z funkcji logicznej Y=p*~q+~p*q 17
10.7 Symboliczna definicja spójnia "albo"($)
"$" - znaczek spójnika "albo" w algebrze Kubusia
Spójnik "albo"($) p$q to szczególny przypadek równoważności p<=>~q a nie szczególny przypadek spójnika "lub"(+) jak wielu, nawet matematyków uważa.
Dowód w niniejszym punkcie.
Spójnik "albo"($) to najtrudniejszy do zrozumienia spójnik implikacyjny, dlatego w niniejszym rozdziale prezentuję pełną jego definicję na przykładzie ze świata żywego.
Przykład ze świata martwego (fizyki) mam w punkcie 8.0
Brzytwa Ockhama - zasada, zgodnie z którą w wyjaśnianiu zjawisk należy dążyć do prostoty, wybierając takie wyjaśnienia, które opierają się na jak najmniejszej liczbie pojęć i założeń.
W języku potocznym czasami zdarza się (rzadko), że człowiek wbrew brzytwie Ockhama, nadaje zaprzeczonemu pojęciu nazwę specjalną bez przeczenia.
10.7.1 Równanie spójnika "albo"($)
Spójnik "albo"($) wielu ludziom sprawia kłopoty, wielu utożsamia go spójnikiem "lub"(+) co jest błędem czysto matematycznym.
Tymczasem spójnik "albo"($) to trywialny, szczególny przypadek równoważności <=> opisany poniższym równaniem.
Równanie spójnika "albo"($):
Kod: |
A: 1: p$q [=] 2: p<=>~q [=] 3: ~p<=>q ## 4: p<=>q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
## - różne na mocy definicji
|
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów (i odwrotnie)
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów (i odwrotnie)
Potoczna definicja spójnika "albo"($):
Spójnik "albo" to wybór jednej z dwóch dostępnych możliwości.
Trzeciej możliwości brak.
p$q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy do wyboru są wyłącznie dwie możliwości p albo q
inaczej:
p$q=0
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość pojęć p=q
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa:
Kod: |
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa
A: 1: p$q=1 [=] 2: p<=>~q=1 [=] 3: ~p<=>q=1 ## 4: p<=>q=0
Na mocy prawa Irbisa zachodzi tożsamość pojęć w równoważności 2 i 3:
B: 2: (p=~q)=1 # 3: (~p=q)=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Przykład:
Dowolny człowiek może mówić prawdę "albo"($) kłamać (trzeciej możliwości brak)
innymi słowy:
Człowiek mówi prawdę "albo"($) kłamie
Y = P$K
Gdzie:
$ - symbol spójnika "albo"
D (dziedzina) - zbiór zdań w których można zarzucić człowiekowi kłamstwo
D = P+K - zbiór wszystkich zdarzeń możliwych {prawda, kłamstwo}
Podstawmy nasz przykład do równania spójnika "albo"($).
Przyjmijmy:
p=P (prawda)
q=K (kłamstwo)
Kod: |
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa
A: 1: P$K=1 [=] 2: P<=>~K=1 [=] 3: ~P<=>K=1 ## 4: P<=>K=0
Na mocy prawa Irbisa zachodzi tożsamość pojęć w równoważności 2 i 3:
B: 2: (P=~K)=1 # 3: (~P=K)=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Czytamy:
A1.
Człowiek mówi prawdę (P=1) "albo"($) kłamie (K=1)
P$K =1
[=]
A2.
Człowiek mówi prawdę (P=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie kłamie (~K=1)
P<=>~K =1
[=]
A3.
Człowiek nie mówi prawdy (~P=1) wtedy i tylko wtedy gdy kłamie (K=1)
~P<=>K =1
##
A4.
Człowiek mówi prawdę (P=1) wtedy i tylko wtedy gdy kłamie (K=1)
P<=>K =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: mówi prawdę (P=1) i kłamie (K=1)
Na mocy prawa Irbisa zachodzi tu brak (=0) tożsamości pojęć P(prawda) i K (kłamstwo):
(P=K) =0 (fałsz)
Środek (A2 i A3) czytamy:
A2.
Pojęcie "prawda" (P=1) jest (=1) tożsame "=" z pojęciem "nie kłamstwo" (~K=1)
(P=~K) =1
#
A3.
Pojęcie "nie prawda" (P=1) jest (=1) tożsame z pojęciem "kłamstwo" (K=1)
(~P=K) =1
A2 vs A3:
Matematycznie zachodzi:
(P=~K) # (~P=K)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
10.8 Definicja spójnika "albo"($) zilustrowana przykładem P$K
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p (p) do zanegowanego q (~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Powyższa definicja równoważności p<=>~q znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= A1B1: p<=>~q
Środek czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Nasz przykład:
p=P (prawda)
q=K (kłamstwo)
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) P$K w logice dodatniej (bo K):
Spójnik „albo” P$K w logice dodatniej (bo K) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od P (P) do zanegowanego K (~K)
A1: P=>~K =1 - prawda (P=1) jest (=1) wystarczająca => dla stwierdzenia braku kłamstwa (~K=1)
B1: P~>~K =1 - prawda (P=1) jest (=1) konieczna ~> dla stwierdzenia braku kłamstwa (~K=1)
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: P$K = (A1: P=>~K)*(B1: P~>~K) =1*1 =1
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy tabelę prawdy spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa.
Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) p$q uwzględniająca prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q=1 [=] 3: ~q~>p=1 = 4: q=>~p=1 [=] 5: ~p+~q =1
Nasz przykład:
A: 1: P=>~K=1 = 2:~P~>K=1 [=] 3: ~K~>P=1 = 4: K=>~P=1 [=] 5: ~P+~K =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q=1 [=] 3: ~q=>p=1 = 4: q~>~p=1 [=] 5: p+ q =1
Nasz przykład:
B: 1: P~>~K=1 = 2:~P=>K=1 [=] 3: ~K=>P=1 = 4: K~>~P=1 [=] 5: P+ K =1
-----------------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3: ~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Nasz przykład:
AB: 1: P$K = 2:~P$~K [=] 3: ~K$~P = 4: K$P [=] 5: P*~K+~P*K
Definiuje tożsamość zdarzeń (prawo Irbisa):
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Nasz przykład:
AB: 1: P<=>~K = 2:~P<=>K | 3:~K<=>P = 4: K<=>~P
1: P=~K # 2:~P=K | 3:~K=P # 4: K=~P
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($):
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax (ABx) wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax (ABx)
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx (ABx) wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx (ABx)
Wyjaśnienia dla tabeli prawdy TA:
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach dla spójnika "albo"($):
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>~q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>q=p*q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>~q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>q=p*q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>~q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>q=p*q=1
(i odwrotnie)
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p=>q =~p+q
Stąd:
W spójniku "albo"($) mamy:
A1: p=>~q = ~p+~q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniach "i"(*) i "lub"(+):
p~>q = p+~q
Stąd:
W spójniku "albo"($) mamy:
B1: p~>~q = p+~(~q) = p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($) p$q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
10.8.1 Operator "albo"($) p|$q w logice dodatniej (bo q)
Zapiszmy wyprowadzoną wyżej tabelę prawdy spójnika "albo"($) p$q z uwzględnieniem prawa Irbisa.
Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) p$q uwzględniająca prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q=1 [=] 3: ~q~>p=1 = 4: q=>~p=1 [=] 5: ~p+~q =1
Nasz przykład:
A: 1: P=>~K=1 = 2:~P~>K=1 [=] 3: ~K~>P=1 = 4: K=>~P=1 [=] 5: ~P+~K =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q=1 [=] 3: ~q=>p=1 = 4: q~>~p=1 [=] 5: p+ q =1
Nasz przykład:
B: 1: P~>~K=1 = 2:~P=>K=1 [=] 3: ~K=>P=1 = 4: K~>~P=1 [=] 5: P+ K =1
-----------------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3: ~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Nasz przykład:
AB: 1: P$K = 2:~P$~K [=] 3: ~K$~P = 4: K$P [=] 5: P*~K+~P*K
Definiuje tożsamość zdarzeń (prawo Irbisa):
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Nasz przykład:
AB: 1: P<=>~K = 2:~P<=>K | 3:~K<=>P = 4: K<=>~P
1: P=~K # 2:~P=K | 3:~K=P # 4: K=~P
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($):
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax (ABx) wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax (ABx)
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx (ABx) wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx (ABx)
Definicja spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo” p$q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
Z prawa Sowy wynika, iż udowodnienie prawdziwości spójnika „albo” p$q jest tożsame z udowodnieniem prawdziwości operatora „albo” p|$q.
Definicja operatora „albo” p|$q w logice dodatniej (bo p):
Operator „albo” p|$q w logice dodatniej (bo p) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Prawa strona A1B1 to definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1 =1
Stąd mamy:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
Nasz przykład:
A1B1: P$K = (A1: P=>~K)*(B1: P~>~K) = A1B1: P<=>~K
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zdarzeń p=~q:
Dwa zdarzenia p i ~q są tożsame p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q.
A1B1: p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
Nasz przykład:
A1B1: P=~K <=> (A1: P=>~K)*(B1: P~>~K) = A1B1: P<=>~K
Tożsamość A1B1 czytamy:
P=~K
prawda (P) = nie kłamstwo (~K)
Innymi słowy:
Prawda (P) to brak kłamstwa (K), i odwrotnie
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie ~q
p=>~q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zajście zdarzenia p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia ~q
Nasz przykład:
A1.
Jeśli człowiek mówi prawdę (P=1) to na 100% => nie kłamie (~K=1)
P=>~K=1
Powiedzenie prawdy (P=1) jest wystarczające => dla stwierdzenia iż człowiek nie kłamie (~K=1)
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: p i q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>~q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
Nasz przykład:
A1'.
Jeśli człowiek mówi prawdę (P=1) to może ~~> kłamać (K=1)
P~~>K = P*K =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: mówi prawdę (P) i kłamie (K)
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Stąd:
A2B2: ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
Prawa strona A2B2 to definicja równoważności ~p<=>q:
Równoważność ~p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
Stąd mamy:
A2B2: ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p<=>q
Nasz przykład:
A2B2: ~P$~K = (A2:~P~>K)*(B2:~P=>K) = ~P<=>K
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zdarzeń ~p=q:
Dwa zdarzenia ~p i q są tożsame ~p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajęcie ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q.
A2B2: ~p=q <=> (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)= A2B2: ~p<=>q
Nasz przykład:
A2B2: ~P=K <=> (A2: ~P~>K)*(B2: ~P=>K)= A2B2: ~P<=>K
Tożsamość A2B2 czytamy:
~P=K
nie prawda (~P) = kłamstwo (K)
Innymi słowy:
Brak prawdy (~P) to kłamstwo (K), i odwrotnie
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie q
~p=>q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zajście zdarzenia ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia q
Nasz przykład:
B2.
Jeśli człowiek nie mówi prawdy (~P=1) to na 100% => kłamie (K=1)
~P=>K =1
Brak prawdy (~P=1) jest warunkiem wystarczającym => dla stwierdzenia kłamstwa (K=1)
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: ~p i ~q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
Nasz przykład:
B2'.
Jeśli człowiek nie mówi prawdy (~P=1) to może ~~> nie kłamać (~K=1)
~P~~>~K = ~P*~K =0
Nie może się zdarzyć (=0), że człowiek nie mówi prawdy (~P) i jednocześnie nie kłamie (~K)
Dowód:
Zachodzi tożsamość pojęć:
nie prawda (~P) = Kłamstwo (K)
~K=P
Stąd mamy:
~P~~>P = ~P*P =0
Czytamy:
Nie może się zdarzyć (=0), że człowiek nie mówi prawdy (~P) i jednocześnie mówi prawdę (P)
cnd
Podsumowując:
Spójnik „albo”($) p$q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań tworzących operator „albo” p|$q (A1, A1’, B2, B2’) jest bez znaczenia co oznacza, iż zdania w powyższej analizie możemy dowolnie przestawiać
10.8.2 Tabela prawdy operatora "albo" p|$q
Prawo Krokodyla (pkt. 21.2):
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.
Definicja twardej jedynki:
W zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" twarda jedynka to spełniony warunek wystarczający => w analizie matematycznej zdania "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, przy pomocy znaczków =>, ~> i ~~>.
A1: p=>q =1 - twarda jedynka
Definicja twardego zera:
W zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" na mocy definicji kontrprzykładu spełniony warunek wystarczający A1: p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu w linii A1' (i odwrotnie)
A1': p~~>~q=p*~q =0 - twarde zero
Notacja w algebrze Kubusia:
Przez A1' oznaczamy kontrprzykład dla warunku wystarczającego A1
Definicja tabeli prawdy operatora "albo" p|$q:
Tabela prawdy operatora "albo" p|$q to analiza tego operatora w warunkach wystarczających =>, warunkach koniecznych ~> i zdarzeniach możliwych ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w kierunku od p do q
Tabela prawdy operatora "albo" p|$q na mocy analizy w poprzednim punkcie:
Kod: |
T1
Tabela prawdy operatora "albo" p|$q
A1B1:
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Twarda jedynka w A1 wymusza twarde zero w A1' (i odwrotnie)
A1': p~~>q =0 - prawdziwość A1: p=>~q wymusza fałszywość kontrprzykładu A1'
Twarde zero w A1' wymusza twardą jedynkę w A1 (i odwrotnie)
A2B2:
~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)
B2: ~p=> q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia q
Twarda jedynka w B2 wymusza twarde zero w B2' (i odwrotnie)
B2':~p~~>~q=0 - prawdziwość B2:~p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu B2'
Twarde zero w B2' wymusza twardą jedynkę w B2 (i odwrotnie)
|
Prawo Krokodyla (pkt. 21.2):
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.
Jak widzimy, w operatorze "albo" p|$q mamy dwie twarde jedynki (A1 i B2) oraz dwa twarde zera (A1', B2'), co oznacza spełnienie prawa Krokodyla i brak wewnętrznej sprzeczności algebry Kubusia.
10.8.3 Zero-jedynkowa definicja spójnika "albo"($)
Zapiszmy tabelę prawdy operatora "albo" p|$q w wersji skróconej:
Kod: |
T2
Definicja |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
p|$q |
A1B1:
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)
A1: p=>~q =1 |( p=1)=> (~q=1)=1
A1': p~~>q =0 |( p=1)~~>( q=1)=0
A2B2:
~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)
B2: ~p=> q =1 |(~p=1)=> ( q=1)=1
B2':~p~~>~q=0 |(~p=1)~~>(~q=1)=0
a b c 1 2 3
|
Zero-jedynkową definicję spójnika "albo" p$q w logice dodatniej (bo q) otrzymamy kodując tabelę T2 z punktem odniesienia ustawionym na spójniku "albo":
A1B1: p$q
W spójniku "albo"($) A1B1: p$q zmienne p i q są w postaci niezanegowanej.
Tabelę zero-jedynkową spójnika "albo"($) A1B1: p$q w logice dodatniej (bo q) otrzymamy wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne w tabeli T2_12 sprowadzimy do postaci niezanegowanej.
Umożliwia to II prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
które możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Zróbmy to:
Kod: |
T3
Definicja |Co w logice |Na mocy II |Zapis tożsamy
symboliczna |jedynek oznacza |prawa Prosiaczka |tabeli 456
p$q | | |
A1B1: | |
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) | | p q p$ q
A1: p=>~q =1 |( p=1)=> (~q=1)=1 |( p=1)=> ( q=0)=1 | 1 $ 0 =1
A1': p~~>q =0 |( p=1)~~>( q=1)=0 |( p=1)~~>( q=1)=0 | 1 $ 1 =0
A2B2: |
~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) |
B2: ~p=> q =1 |(~p=1)=> ( q=1)=1 |( p=0)=> ( q=1)=1 | 0 $ 1 =1
B2':~p~~>~q=0 |(~p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=0)~~>( q=0)=0 | 0 $ 0 =0
a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Definicja:
Tabelę T3_789 nazywamy zero-jedynkową definicją spójnika "albo" p$q w logice dodatniej (bo q) dla potrzeb rachunku zerojedynkowego.
Interpretacja spójnika "albo" p$q:
T3_789: p$q - zajdzie p "albo"($) zajdzie q
Trzeciej możliwości brak
Do zapamiętania:
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja spójnika "albo" p$q
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q Y=(p$q)=p*~q+~p*q
A: 1 $ 0 1
B: 1 $ 1 0
C: 0 $ 1 1
D: 0 $ 0 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p$q=1 <=> A: p=1 i q=0 lub C: p=0 i q=1
Inaczej:
p$q=0
|
Wyprowadzenie tabeli zero-jedynkowej spójnika „albo”($) z jej definicji w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).
Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y=(p$q) =A: p*~q + C: ~p*q
Co w logice jedynek oznacza:
Y=(p$q)=1 <=> A: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
I Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Stąd mamy definicję zero-jedynkową spójnika „albo”($):
p$q=1 <=> A: p=1 i q=0 lub C: p=0 i q=1
Inaczej:
p$q=0
10.8.4 Zero-jedynkowa definicja spójnika "albo" ~p$~q
Zapiszmy tabelę prawdy operatora „albo”($) w wersji skróconej:
Kod: |
T2
Definicja |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
p|$q |
A1B1:
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)
A1: p=>~q =1 |( p=1)=> (~q=1)=1
A1': p~~>q =0 |( p=1)~~>( q=1)=0
A2B2:
~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)
B2: ~p=> q =1 |(~p=1)=> ( q=1)=1
B2':~p~~>~q=0 |(~p=1)~~>(~q=1)=0
a b c 1 2 3
|
Zero-jedynkową definicję spójnika "albo" ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) otrzymamy kodując tabelę T2 z punktem odniesienia ustawionym na A2B2:
A2B2: ~p$~q
W spójniku "albo" A2B2 zmienne p i q są w postaci zanegowanej.
Tabelę zero-jedynkową spójnika "albo" A2B2: ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) otrzymamy wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne w tabeli T2_12 sprowadzimy do postaci zanegowanej.
Umożliwia to I prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
które możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Zróbmy to:
Kod: |
T4
Definicja |Co w logice |Na mocy I |Zapis tożsamy
symboliczna |jedynek oznacza |prawa Prosiaczka |tabeli 456
p$q | | |
A1B1: | |
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) | | ~p ~q ~p$~q
A1: p=>~q =1 |( p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=1)=1 | 0 $ 1 =1
A1': p~~>q =0 |( p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=0)=0 | 0 $ 0 =0
A2B2: |
~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) |
B2: ~p=> q =1 |(~p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=0)=1 | 1 $ 0 =1
B2':~p~~>~q=0 |(~p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=1)=0 | 1 $ 1 =0
a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Definicja:
Tabelę T4_789 nazywamy zero-jedynkową definicją spójnika "albo" ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q):
Interpretacja:
T4_789: ~p$~q - zajdzie ~p "albo"($) zajdzie ~q
Trzeciej możliwości brak
10.8.5 Prawo porównywania w rachunku zero-jedynkowym
Prawo porównywania w rachunku zero-jedynkowym:
W rachunku zero-jedynkowym zachodząca tożsamość kolumn wynikowych jest dowodem zachodzenia prawa logiki matematycznej wtedy i tylko wtedy na wejściu mamy identyczną matrycę zmiennych wejściowych p i q "ab" oraz identyczną kolumnę wynikową "c"
Zauważmy że:
W tabelach T3 i T4 wejściowa definicja operatora "albo" p|$q jest identyczna
Stąd:
Tożsamość kolumny wynikowej 9 w tabelach T3 i T4 jest dowodem zero-jedynkowym prawa rachunku zero-jedynkowego
Prawo rachunku zero-jedynkowego
T3_789: p$q [=] T4_789: ~p$~q
cnd
10.9 Odtworzenie p|$q z tabeli zero-jedynkowej "albo"($)
Algorytm odwrotny, czyli odtworzenie operatora "albo" p|$q z zero-jedynkowej definicji spójnika "albo"($) jest następujący.
Niech będzie dana tabela zero-jedynkowa spójnika "albo"($)
Kod: |
TA
Zero-jedynkowa definicja spójnika "albo" p$q
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q Y=(p$q)
A: 1 0 1
B: 1 1 0
C: 0 1 1
D: 0 0 0
1 2 3
|
Jak wygenerować z tej tabeli operator "albo" p|$q?
Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa dla dowolnej funkcji logicznej Y to tabela zawierająca wszystkie sygnały zanegowane i niezanegowane zarówno po stronie wejścia układu {p, q, r..} jak i po stronie jego wyjścia Y.
Krok 1
Budujemy pełną tabelę zero-jedynkową dla zero-jedynkowej definicji spójnika "albo" p$q po czym opisujemy wyłącznie wynikowe jedynki stosując w poziomie spójnik "i'(*) zaś w pionie spójnik "lub"(+).
Powyższy algorytm prowadzi do wygenerowania równań alternatywno-koniunkcyjnych Y i ~Y zrozumiałych dla każdego 5-cio latka.
Kod: |
T1.
Tabela zero-jedynkowa spójnika "albo" p$q p w "lub"(+) i "i"(*)
|Opis jedynek |Opis jedynek |Tabela w zdarzeniach
|dla Y=(p$q) |dla ~Y=~(p$q) |możliwych ~~> dla Y
p q ~p ~q | Y ~Y | | | Y=(p$q)
A: 1 0 0 1 | 1 0 | Ya= p*~q | | p~~>~q= p*~q =1
B: 1 1 0 0 | 0 1 | |~Yb= p* q | p~~> q= p* q =0
C: 0 1 1 0 | 1 0 | Yc=~p* q | |~p~~> q=~p* q =1
D: 0 0 1 1 | 0 1 | |~Yd=~p*~q |~p~~>~q=~p*~q =0
a b c d e f g h i j k l 1 2 3 4 5
|
W tabeli ABCD12345 skorzystano z prawa Prosiaczka:
(~Yb=1) = (Yb=0)
oraz
(~Yd=1) = (Yd=0)
które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej.
Definicja spójnika "albo" p$q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) to odpowiedź na pytania o Y i ~Y
1.
Kiedy zajdzie Y?
Odczytujemy z tabeli ABDCghi:
Y=Ya+Yc = A: p*~q + C: ~p*q
2.
Kiedy zajdzie ~Y?
Odczytujemy z tabeli ABCDjkl:
~Y=~Yb+~Yd = B: p*q + D: ~p*~q
Tabela konieczna i wystarczająca dla odtworzenia operatora "albo" p|$q w warunkach wystarczających =>, koniecznych ~> i zdarzeniach możliwych ~~> to tabela ABCD12345.
Tabela ABCD12345 to tabela wszystkich zdarzeń możliwych (Yx=1) i niemożliwych (Yx=0) jakie mogą zajść na mocy definicji spójnika "albo" p$q. Jak widzimy, możliwe są (=1) zdarzenia A i C oraz niemożliwe są (=0) zdarzenia B i D.
Trochę teorii:
Dla otworzenie symbolicznej definicji operatora "albo" p|$q z zero-jedynkowej definicji spójnika "albo" p$q są potrzebne i wystarczające:
- definicja kontrprzykładu
- prawa Kubusia
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Krok 2
Zapisujemy tabelę wszystkich zdarzeń możliwych (Y=1) i niemożliwych (Y=0) jakie mogą zajść w zero-jedynkowej definicji spójnika "albo"($)
Kod: |
T2.
Y=(p$q)=p*~q+~p*q
A: p~~>~q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
B: p~~> q =0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
C:~p~~> q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
D:~p~~>~q =0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
|
Krok 3
Na mocy definicji kontrprzykładu z fałszywości zdarzenia możliwego ~~> B:
B: p~~>q=0
Wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Krok 4
Na mocy definicji kontrprzykładu z fałszywości zdarzenia możliwego ~~> D:
D: ~p~~>~q =0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie):
C: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Krok 5
Na mocy prawa Kubusia:
C: ~p=>q = A”: p~>~q =1
z prawdziwości warunku wystarczającego C:
C: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
wynika prawdziwość warunku koniecznego A”:
A”: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Zapiszmy to co zrobiliśmy w tabeli prawdy:
Kod: |
T3
A: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A”: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Kluczowe rozstrzygnięcia mamy w liniach A i A” wyżej:
B: p~~>q =0 - prawdziwość A: p=>~q wymusza fałszywość kontrprzykładu B
C: ~p=> q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
D: ~p~~>~q=0 - prawdziwość C:~p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu D
|
Spójniki implikacyjne (tu p$q) rozpoznajemy po warunkach wystarczającym p=>~q i koniecznym p~>~q z niezanegowanym p - kolumna A1B1.
Potrzebne nam rozstrzygnięcia mamy w liniach A i A”:
Stąd mamy odtworzoną definicję spójnika "albo" p$q (kolumna A1B1) w logice dodatniej (bo q):
Spójnik "albo" p$q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w kierunku od p do ~q
Kod: |
A =A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A"=B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
|
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
Czytamy:
Spójnik "albo" p$q w logice dodatniej (bo q) jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Spójnik "albo"($) to najtrudniejszy w teorii ze spójników implikacyjnych dlatego wskazane jest tu poparcie teorii konkretnym przykładem z języka potocznego spełniającym definicję tego spójnika.
W poniższej tabeli prawdy TA podstawiono:
p=P (prawda)
q=K (kłamstwo)
Stąd mamy tabelę prawdy spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa.
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość pojęć p=q (i odwrotnie)
Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) p$q uwzględniająca prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q=1 [=] 3: ~q~>p=1 = 4: q=>~p=1 [=] 5: ~p+~q =1
Nasz przykład:
A: 1: P=>~K=1 = 2:~P~>K=1 [=] 3: ~K~>P=1 = 4: K=>~P=1 [=] 5: ~P+~K =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q=1 [=] 3: ~q=>p=1 = 4: q~>~p=1 [=] 5: p+ q =1
Nasz przykład:
B: 1: P~>~K=1 = 2:~P=>K=1 [=] 3: ~K=>P=1 = 4: K~>~P=1 [=] 5: P+ K =1
-----------------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3: ~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Nasz przykład:
AB: 1: P$K = 2:~P$~K [=] 3: ~K$~P = 4: K$P [=] 5: P*~K+~P*K
Definiuje tożsamość zdarzeń (prawo Irbisa):
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Nasz przykład:
AB: 1: P<=>~K = 2:~P<=>K | 3:~K<=>P = 4: K<=>~P
1: P=~K # 2:~P=K | 3:~K=P # 4: K=~P
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($):
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax (ABx) wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax (ABx)
##
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx (ABx) wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx (ABx)
Gdzie:
## - różna na mocy definicji
Uwagi:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Ax wymuszają fałszywe kontrprzykłady Ax'
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Bx wymuszają fałszywe kontrprzykłady Bx'
Ciąg dalszy dochodzenia do symbolicznej definicji operatora "albo" p|$q wraz z rozpisaniem znaczenia tego operatora znajdziemy w punkcie 10.8.1
10.9.1 Odtworzenia operatora p|?q z funkcji logicznej Y=p*~q+~p*q
Typowe zadanko z logiki matematycznej może brzmieć.
Zadanie 10.9.1
Dana jest funkcja logiczna:
Y = q*~p + ~q*p
Polecenie:
Odtwórz operator implikacyjny p|?q definiowany przez tą funkcję.
Łyk teorii koniecznej dla zrozumienia dalszej części wykładu:
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej (pkt. 1.14.2):
Funkcja logiczna Y ma postać alternatywno-koniunkcyjną wtedy i tylko wtedy gdy nie zawiera ani jednego członu w postaci koniunkcyjno-alternatywnej.
Inaczej funkcja Y ma postać koniunkcyjno-alternatywną lub mieszaną
Logiką zrozumiałą dla człowieka jest wyłącznie postać alternatywno-koniunkcyjna (dowód w pkt. 1.10) gdzie wszystkie zmienne na mocy prawa Prosiaczka sprowadzone są do logicznych jedynek.
Wniosek:
Jeśli w dowolnym równaniu algebry Boole'a napotkamy fragment koniunkcyjno-alternatywny to ten fragment wymnażamy logicznie przechodząc do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej.
Krok 1
Na mocy prawa Kłapouchego porządkujemy funkcję logiczną Y w taki sposób by zawsze z lewej strony mieć poprzednik p
Stąd mamy:
1.
Y = p*~q + ~p*q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Kiedy zajdzie ~Y?
Mamy:
Y = p*~q + ~p*q
Uzupełnienie brakujących nawiasów:
Y = (p*~q) + (~p*q)
Przechodzimy z funkcją logiczną (Y) do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
~Y=(~p+q)*(p+~q)
Otrzymana funkcja koniunkcyjno-alternatywna jest niezrozumiała w języku potocznym.
W języku potocznym zrozumiała dla każdego 5-cio latka jest wyłącznie funkcja alternatywno-koniunkcyjna, stąd musimy wymnożyć logicznie wielomian po prawej stronie.
~Y=(~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q + ~p*~q
~Y=p*q + ~p*~q
bo:
p*~p =0 - prawo algebry Boole’a
x+0 =x - prawo algebry Boole’a
Stąd mamy:
2.
Kiedy zajdzie ~Y?
~Y=p*q + ~p*~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) mamy:
~Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0)
Stąd mamy zapis tożsamy:
Y=0 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Stąd mamy zdjęcie rozpatrywanego układu:
Kod: |
T1.
Y=(p$q)=p*~q+~p*q
A: p~~> q = p* q =0
B: p~~>~q = p*~q =1
C:~p~~>~q =~p*~q =0
D:~p~~> q =~p* q =1
|
Stąd w zdarzeniach możliwych mamy.
Krok 2
Tworzymy symboliczną definicję „albo”($) rozpisaną na zdarzenia możliwe (Y=1) i niemożliwe (Y=0)
Kod: |
T2.
Y=(p$q)=p*~q+~p*q
A: p~~>~q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
B: p~~> q =0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
C:~p~~> q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
D:~p~~>~q =0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
|
Dalsze kroki 3, 4, 5 będą identyczne jak w punkcie 10.9
Rozwiązanie alternatywne:
Rozwiązanie alternatywne to utworzenie tabeli zero-jedynkowej (pkt. 1.14.3) dla funkcji logicznej spójnika „albo”($) definiowanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+).
Y=(p$q)=p*~q + ~p*q
Po czym wystartowanie od początku punktu 10.9
Polecenie:
Utwórz tabelę zero-jedynkową dla poniższej funkcji logicznej:
Y = (p$q) = p*~q +~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Rozwiązanie:
Tworzymy pełną tabelę zero-jedynkową dla zmiennych wejściowych {p, q, ~p, ~q} po czym zakładając że interesuje nas funkcja alternatywno-koniunkcyjna uzupełniamy kolumnę Y jedynkami.
Kod: |
T1
p q ~p ~q Y
A: 1 1 0 0
B: 1 0 0 1 1
C: 0 0 1 1
D: 0 1 1 0 1
1 2 3 4 5
|
Komentarz.
Mamy nasze równanie:
Y = (p$q) = p*~q +~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Na mocy powyższego w na pozycji B5 stawiamy 1, zaś na pozycji D5 również stawiamy 1.
Mamy wszystko, dalsze wypełnianie tabeli zero-jedynkowej to komputerowy automat, nic a nic nie trzeba myśleć.
Kod: |
T2
p q ~p ~q Y ~Y
A: 1 1 0 0 0 1
B: 1 0 0 1 1 0
C: 0 0 1 1 0 1
D: 0 1 1 0 1 0
1 2 3 4 5 6
|
Stąd odczytujemy zero-jedynkową definicję spójnika „albo”($)
Kod: |
TA
Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($)
p q Y=(p$q)=p*~q + ~p*q
A: 1 1 =0
B: 1 0 =1
C: 0 0 =0
D: 0 1 =1
1 2 3
|
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 21:49, 10 Sty 2024, w całości zmieniany 15 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Śro 21:33, 15 Lut 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
10.10 Symboliczna definicja chaosu p|~~>q
Spis treści
10.10 Symboliczna definicja chaosu p|~~>q 1
10.10.1 Operator chaosu p||~~>q 3
10.10.2 Tabela prawdy operatora chaosu p||~~>q 4
10.10.3 Zero-jedynkowa definicja zdarzenia możliwego ~~> 4
10.10.4 Odtworzenie operatora chaosu p||~~>q ze zdarzenia możliwego p~~>q 6
10.10 Symboliczna definicja chaosu p|~~>q
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajęcie p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
Podstawiając do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> mamy:
Kod: |
CH
Tabela prawdy chaosu p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1 [=] 4:~q~~>~p=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
B”: 2:~p~~>~q=1 [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Komentarz:
Kolumna A1B1:
Fałszywy warunek wystarczający:
A1: p=>q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
A1’: p~~>~q=1
Dodatkowo musi być:
A1’’: p~~>q =p*q =1
Dowód „nie wprost”.
Załóżmy, że zachodzi:
A1’’: p~~>q=p*q=0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Wtedy, na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy jest warunek wystarczający =>:
A1’’’: p=>~q=1
co to sprzeczne z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identycznie mamy w kolumnie A2B2:
Fałszywy warunek wystarczający:
B2: ~p=>~q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Dodatkowo musi być:
B2’’: ~p~~>~q =~p*~q=1
Dowód „nie wprost”
Załóżmy, że zachodzi:
B2’’: ~p~~>~q=~p*~q=0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
Wtedy, na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy jest warunek wystarczający =>:
B2’’’: ~p=>q=1
co to sprzeczne z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
10.10.1 Operator chaosu p||~~>q
Operator chaosu p||~~>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1”: p~~>q = p*q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
A1’: p~~>~q = p*~q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A1” i A1’
Kolumna A1B1:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla spełnionego p (p=1):
A1’’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
LUB
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
B2”: ~p~~>~q = ~p*~q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B2” i B2’
Kolumna A2B2:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla niespełnionego p (~p=1):
B2’’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
LUB
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Podsumowanie:
Doskonale widać, że zarówno po stronie p jak i po stronie ~p mamy tu najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Po stronie p mamy:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q (zdanie A1”) lub może ~~> zajść ~q (zdanie A1’)
Po stronie ~p mamy:
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q (zdanie B2”) lub może ~~> zajść q (zdanie B2’)
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań A1", A1', B2", B2' jest bez znaczenia, wszystkie muszą być prawdziwe.
10.10.2 Tabela prawdy operatora chaosu p||~~>q
Definicja tabeli prawdy operatora chaosu p||~~>q:
Tabela prawdy operatora chaosu p||~~>q to analiza tego operatora w warunkach wystarczających =>, warunkach koniecznych ~> i zdarzeniach możliwych ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w kierunku od p do q
Zauważmy, że w operatorze chaosu p||~~>q z definicji nie ma żadnego warunku wystarczającego ~> co wymusza brak warunku koniecznego ~>.
Stąd w tabeli operatora chaosu p||~~>q w analizie tego operatora przez wszystkie możliwe przeczenia p i q muszą być wszędzie wynikowe jedynki.
Zapiszmy tabele prawdy operatora chaosu p||~~>q wyprowadzoną w poprzednim punkcie dla ułatwienia upraszczając indeksowanie, co jest bez znaczenia
Kod: |
T2
Tabela prawdy operatora chaosu p||~~>q
A: p~~> q= p* q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q= p*~q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
|
10.10.3 Zero-jedynkowa definicja zdarzenia możliwego ~~>
Zapiszmy tabelę prawdy operatora chaosu p||~~>q w wersji skróconej dla ułatwienia upraszczając indeksowanie:
Kod: |
T2
Definicja |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
p||~~>q |
A: p~~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1
B: p~~>~q =1 |( p=1)~~>(~q=1)=1
C:~p~~>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1
D:~p~~> q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1
a b c 1 2 3
|
Zero-jedynkową definicję zdarzenia możliwego p~~>q w otrzymamy kodując tabelę T2 z punktem odniesienia ustawionym na linii A:
A: p~~>q
W zdarzeniu możliwym A zmienne p i q są w postaci niezanegowanej.
Tabelę zero-jedynkową zdarzenia możliwego A: p~~>q otrzymamy wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne w tabeli T2_12 sprowadzimy do postaci niezanegowanej.
Umożliwia to II prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
które możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Zróbmy to:
Kod: |
T3
Definicja |Co w logice |Na mocy II |Zapis tożsamy
symboliczna |jedynek oznacza |prawa Prosiaczka |tabeli 456
p||~~>q | | | p q p~~>q
A: p~~> q=1 |( p=1)~~>( q=1)=1 |( p=1)~~>( q=1)=1 | 1~~>1 =1
B: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~~>0 =1
C:~p~~>~q=1 |(~p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=0)~~>( q=0)=1 | 0~~>0 =1
D:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0~~>1 =1
a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Definicja:
Tabelę T3_789 nazywamy zero-jedynkową definicją zdarzenia możliwego ~~>.
Interpretacja zdarzenia możliwego ~~>:
T3_789: p~~>q=p*q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Do zapamiętania:
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja zdarzenia możliwego ~~>
p q Y=(p~~>q)
A: 1~~>1 1
B: 1~~>0 1
C: 0~~>0 1
D: 0~~>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Same jedynki w wyniku
|
Zauważmy że w tabeli T3abc symbolicznej definicji operatora chaosu p||~~>q w każdej linii mamy identyczny symbol zdarzenia możliwego ~~> i same jedynki w wyniku.
Wniosek:
Punkt odniesienia względem którego kodujemy tabelę T3abc jest nieistotny, bo zawsze otrzymamy tabelę zero-jedynkową zdarzenia możliwego ~~>
Zobaczmy to, wybierając za punkt odniesienia linię:
B: p~~>~q
Tabelę zero-jedynkową zdarzenia możliwego B: p~~>~q otrzymamy sprowadzając w tabeli T3_456 poprzednik p do postaci niezanegowanej korzystając z II prawa Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
zaś następnik q do postaci zanegowanej korzystając z I prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Zróbmy to:
Kod: |
T3
Definicja |Co w logice |Na mocy I i II |Zapis tożsamy
symboliczna |jedynek oznacza |prawa Prosiaczka |tabeli 456
p||~~>q | | | p ~q p~~>~q
A: p~~> q=1 |( p=1)~~>( q=1)=1 |( p=1)~~>(~q=0)=1 | 1~~>0 =1
B: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 | 1~~>1 =1
C:~p~~>~q=1 |(~p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=0)~~>(~q=1)=1 | 0~~>1 =1
D:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>(~q=0)=1 | 0~~>0 =1
a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
cnd
10.10.4 Odtworzenie operatora chaosu p||~~>q ze zdarzenia możliwego p~~>q
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja zdarzenia możliwego ~~>
p q Y=(p~~>q)
A: 1~~>1 1
B: 1~~>0 1
C: 0~~>0 1
D: 0~~>1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Same jedynki w wyniku
|
Zauważmy, że odtworzenie z tabeli zero-jedynkowej zdarzenia możliwego ~~> operatora chaosu p||~~>q jest natychmiastowe i trywialne, bo wszędzie mamy jedynki w wyniku, czyli zero warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Stąd odtworzenie symbolicznej definicji operatora chaosu p||~~>q jest następujące:
Kod: |
T2
A: p~~> q=1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q=1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q=1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q=1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
|
Analizę symboliczną mamy w punkcie 10.10.1
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 21:49, 10 Sty 2024, w całości zmieniany 12 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Śro 21:35, 15 Lut 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
10.11 Geneza tabel zero-jedynkowych spójników "lub"(+) i "i"(*)
Spis treści
10.11 Geneza tabeli zero-jedynkowej spójnika "lub"(+) 1
10.11.1 Tabela zero-jedynkowa spójnika "lub"(+) w logice dodanej (bo Y) 5
10.11.2 Tabela zero-jedynkowa spójnika "i"(*) w logice ujemnej (bo ~Y) 7
10.11.3 Relacje między logiką dodatnią (bo Y) i ujemną (bo ~Y) 9
10.12 Geneza tabeli zero-jedynkowej spójnika "i"(*) 9
10.12.1 Tabela zero-jedynkowa spójnika "i"(*) w logice dodanej (bo Y) 12
10.12.2 Tabela zero-jedynkowa spójnika "i"(*) w logice ujemnej (bo ~Y) 14
10.12.3 Relacje między logiką dodatnią (bo Y) i ujemną (bo ~Y) 16
10.13 Prawo Puchacza 16
10.14 Zabawa rachunkiem zero-jedynkowym 18
10.14.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q 21
10.11 Geneza tabeli zero-jedynkowej spójnika "lub"(+)
W niniejszym rozdziale na przykładzie żarówki Y sterowanej przyciskami p i q połączonymi równolegle omówimy teorię spójnika "lub"(+)
Rozważmy sterowanie żarówką Y przy pomocy dwóch przycisków p i q
Kod: |
S1 Schemat 1
Geneza tabeli zero-jedynkowej spójnika "lub"(+) w logice dodatniej (bo Y)
p
______
---o o------
| |
Y | q |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |---------------------o o-----|
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
---------------------------------------------------
Zmienne związane definicją operatora "lub"(|+): Y, p, q
Definicja operatora "lub"(|+):
Operator "lub"(|+) to odpowiedź na dwa pytania:
1: Y=p+q - kiedy żarówka Y świeci się (Y=1)?
2:~Y=~p*~q - kiedy żarówka Y nie świeci się (~Y=1)?
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występująca w układzie, ustawiana przez człowieka.
Zmienne związane w układzie S1 to: Y, p, q
Definicja spójnika „lub”(+):
Spójnik "lub"(+) to odpowiedź na pytanie o Y:
1: Y=p+q - kiedy żarówka Y świeci się (Y=1)?
Definicja operatora „lub”(|+):
Operator "lub"(|+) to odpowiedź na dwa pytania o Y i ~Y:
1: Y=p+q - kiedy żarówka Y świeci się (Y=1)?
Przejście z logiki dodatniej (bo Y) do ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2: ~Y=~p*~q - kiedy żarówka Y nie świeci się (~Y=1)?
I.
Analiza pierwszej części operatora „lub”(|+) dająca odpowiedź na pytanie 1:
1.
Kiedy żarówka Y świeci się (Y=1)?
1: Y=p+q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
1: Y=1 <=> p=1 lub q=1
Czytamy:
Żarówka Y świeci się (Y=1) wtedy i tyko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk p (p=1) lub wciśnięty jest przycisk q (q=1)
Innymi słowy:
Żarówka Y świeci się (Y=1) wtedy i tyko wtedy gdy którykolwiek z przycisków jest wciśnięty.
Stąd mamy szczegółową odpowiedź na pytanie 1 w zdarzeniach rozłącznych zrozumiałych dla każdego ucznia I klasy LO:
1"
Żarówka Y świeci się (Y=1) wtedy i tyko wtedy gdy:
A: Ya=p*q=1*1=1 - wciśnięty jest przycisk p (p=1) i wciśnięty jest przycisk q (q=1)
lub
B: Yb=p*~q=1*1=1 - wciśnięty jest przycisk p (p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1)
lub
C: Yc=~p*q=1*1=1 - nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i wciśnięty jest przycisk q (q=1)
Wszystkie rozłączne przypadki w których żarówka świeci się to suma logiczna funkcji cząstkowych {Ya+Yb+Yc):
1" Y = Ya+Yb+Yc
po rozwinięciu mamy:
1" Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
1": Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
Łatwo udowodnić iż zachodzi tożsamość logiczna [=] funkcji 1 i 1":
1: Y=p+q [=] 1": Y=p*q + p*~q + ~p*q
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Tożsame znaczki tożsamości logicznej:
[=], "=", <=> (wtedy i tylko wtedy)
Kolejność wykonywania działań w algebrze Kubusia:
nawiasy, "i"(*), "lub"(+)
Dowód:
Minimalizujemy prawą stronę:
1": Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q - wyciągniecie zmiennej p przed nawias
Y = p+(~p*q) - uzupełnienie nawiasów
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p*~q - wymnożenie wielomianu
~Y = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
Stąd mamy dowód tożsamości logicznej [=]:
1: Y=p+q [=] 1": Y=p*q + p*~q + ~p*q
cnd
Do zapamiętania:
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
II.
Analiza drugiej części operatora „lub”(|+) dająca odpowiedź na pytanie 2:
2.
Kiedy żarówka Y nie świeci się (~Y=1)?
Przejście z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianą spójników:
2: ~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
2: ~Y = 1 <=> ~p=1 i ~q=1
Czytamy:
Żarówka Y nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1)
Zauważmy, że dla schematu S1 to jest jedyne zdarzenie w którym żarówka nie świeci, stąd możemy zapisać:
~Y = ~Yd
2: ~Yd = D: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
2: ~Yd=1 <=> D: ~p=1 i ~q=1
Zauważmy, że suma logiczna funkcji Y i ~Y definiuje dziedzinę, czyli wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne, które mogą wystąpić na schemacie S1.
Dowód:
D (dziedzina) = Y+~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
D = p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q
D = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
D = p+~p =1
cnd
Definicja operatora "lub"(|+):
Operator "lub"(|+) to odpowiedź na dwa pytania:
1: Y=p+q - kiedy żarówka Y świeci się (Y=1)?
2:~Y=~p*~q - kiedy żarówka Y nie świeci się (~Y=1)?
Zapiszmy wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne dla schematu S1 w tabeli prawdy:
Kod: |
T1.
Definicja operatora "lub"(|+):
ABC: Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
D: ~Y =~p*~q
Tabela | Co w logice
symboliczna: | jedynek oznacza:
A: Ya = p* q |( Ya=1)<=>( p=1)*( q=1)
B: Yb = p*~q |( Yb=1)<=>( p=1)*(~q=1)
C: Yc = ~p* q |( Yc=1)<=>(~p=1)*( q=1)
D:~Yd = ~p*~q |(~Yd=1)<=>(~p=1)*(~q=1)
a b c 1 2 3
|
Z tabeli T1 odczytujemy:
1
Definicja spójnika "lub"(+) w logice dodatniej (bo Y):
ABC: Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
ABC: Y=1 <=> p=1 lub q=1
2
Definicja spójnika "i"(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
D: ~Yd=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Yd=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Kluczowe prawa logiki matematycznej niezbędne do wyprowadzenia zero-jedynkowych definicji spójników "lub"(+) oraz "i"(*) to prawa Prosiaczka.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo Y) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~Y). Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
10.11.1 Tabela zero-jedynkowa spójnika "lub"(+) w logice dodanej (bo Y)
Kod: |
S1 Schemat 1
Geneza tabeli zero-jedynkowej spójnika "lub"(+) w logice dodatniej (bo Y)
p
______
---o o------
| |
Y | q |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |---------------------o o-----|
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
---------------------------------------------------
Definicja operatora "lub"(|+):
Operator "lub"(|+) to odpowiedź na dwa pytania:
1: Y=p+q - kiedy żarówka Y świeci się (Y=1)?
2:~Y=~p*~q - kiedy żarówka Y nie świeci się (~Y=1)?
|
Zapiszmy wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne dla schematu S1 w tabeli prawdy:
Kod: |
T1.
Definicja operatora "lub"(|+):
ABC: Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
D: ~Y =~p*~q
Tabela | Co w logice
symboliczna: | jedynek oznacza:
A: Ya = p* q |( Ya=1)<=>( p=1)*( q=1)
B: Yb = p*~q |( Yb=1)<=>( p=1)*(~q=1)
C: Yc = ~p* q |( Yc=1)<=>(~p=1)*( q=1)
D:~Yd = ~p*~q |(~Yd=1)<=>(~p=1)*(~q=1)
a b c 1 2 3
|
1
Definicja spójnika "lub"(+) w logice dodatniej (bo Y):
ABC: Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
ABC: Y=1 <=> p=1 lub q=1
W tym przypadku w tabeli prawdy T1 za punkt odniesienia musimy przyjąć funkcję logiczną:
ABC: Y=p+q
Zauważmy, że wszystkie zmienne w funkcji ABC {Y, p, q} występują w wersji niezaprzeczonej.
Wniosek:
Dla otrzymania zero-jedynkowej definicji spójnika "lub"(+) w logice dodatniej (bo Y) musimy wszystkie zmienne w tabeli T1_12 zapisać w postaci niezaprzeczonej.
Jest to możliwe tylko i wyłącznie na mocy II prawa Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
(~p=1)=(p=0)
Zróbmy to:
Kod: |
T2.
Definicja operatora "lub"(|+):
ABC: Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
D: ~Y =~p*~q
Tabela | Co w logice |Na mocy |Zapis tożsamy
symboliczna:| jedynek oznacza: |II prawa Prosiaczka |do ABCD456
| | p+ q Y= p+q
A: Ya= p* q|( Ya=1)<=>( p=1)*( q=1)|( Ya=1)<=>( p=1)*( q=1)| 1+ 1 =1
B: Yb= p*~q|( Yb=1)<=>( p=1)*(~q=1)|( Yb=1)<=>( p=1)*( q=0)| 1+ 0 =1
C: Yc= ~p* q|( Yc=1)<=>(~p=1)*( q=1)|( Yc=1)<=>( p=0)*( q=1)| 0+ 1 =1
D:~Yd= ~p*~q|(~Yd=1)<=>(~p=1)*(~q=1)|( Yd=0)<=>( p=0)*( q=0)| 0+ 0 =0
a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Jak widzimy, startując od symbolicznego opisu układy S1 łatwo wygenerowaliśmy zero-jedynkową definicję spójnika "lub"(+) w logice dodatniej (bo Y):
T2_ABCD789: Y=p+q
Zauważmy, że równie trywialne jest działanie odwrotne, czyli z tabeli zero-jedynkowej T2_ABCD789 spójnika "lub"(+) w logice dodatniej (bo Y) łatwo generujemy symboliczny opis schematu S1.
Podsumowując:
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja spójnika “lub”(+):
p q Y=p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 0 0
D: 0+ 1 1
7 8 9
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
;
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
Szybsza jest tu logika zer
|
Zero-jedynkowa definicja operatora "lub"(|+):
Definicja operatora "lub"(|+) to odpowiedź na dwa pytania:
ABC: Y=p+q - kiedy zajdzie Y (Y=1)?
D: ~Y=~p*~q - kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
Kod: |
Definicja operatora "lub"(|+):
ABC: Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
D: ~Y =~p*~q
p q Y=p+q # ~Y=~p*~q
A: 1+ 1 1 # 0
B: 1+ 0 1 # 0
C: 0+ 0 0 # 1
D: 0+ 1 1 # 0
7 8 9 10
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Definicja operatora "lub"(|+):
Operatora „lub”(|+) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
ABC: Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q - kiedy żarówka świeci się (Y=1)
D: ~Y=~p*~q - kiedy żarówka nie świeci się (~Y=1)
Zauważmy że:
Jeśli udowodnimy spełnienie definicji spójnika "lub"(+) w logice dodatniej (bo Y):
ABC: Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
to tym samym udowodnimy iż spójnik "lub"(+) w logice dodatniej (bo Y) jest częścią składową operatora "lub"(|+).
Zachodzi też odwrotnie:
Jeśli udowodnimy spełnienie spójnika "i"(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
D: ~Y=~p*~q
to tym samym udowodnimy, iż spójnik "i"(*) w logice ujemnej (bo ~Y) jest częścią składową operatora "lub"(|+)
10.11.2 Tabela zero-jedynkowa spójnika "i"(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
Kod: |
S1 Schemat 1
Geneza tabeli zero-jedynkowej spójnika "lub"(+) w logice dodatniej (bo Y)
p
______
---o o------
| |
Y | q |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |---------------------o o-----|
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
---------------------------------------------------
Definicja operatora "lub"(|+):
Operator "lub"(|+) to odpowiedź na dwa pytania:
1: Y=p+q - kiedy żarówka Y świeci się (Y=1)?
2:~Y=~p*~q - kiedy żarówka Y nie świeci się (~Y=1)?
|
Zapiszmy wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne dla schematu S1 w tabeli prawdy:
Kod: |
T1.
Definicja operatora "lub"(|+):
ABC: Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
D: ~Y=~p*~q
Tabela | Co w logice
symboliczna: | jedynek oznacza:
A: Ya = p* q |( Ya=1)<=>( p=1)*( q=1)
B: Yb = p*~q |( Yb=1)<=>( p=1)*(~q=1)
C: Yc = ~p* q |( Yc=1)<=>(~p=1)*( q=1)
D:~Yd = ~p*~q |(~Yd=1)<=>(~p=1)*(~q=1)
a b c 1 2 3
|
2
Definicja spójnika "i"(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
D: ~Yd=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Yd=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Jest tylko jedna funkcja cząstkowa w logice ujemnej (bo ~Y), stąd możemy zapisać:
D: ~Y=~p*~q
W tym przypadku w tabeli prawdy T1 za punkt odniesienia musimy przyjąć funkcję logiczną:
D: ~Y=~p*~q
Zauważmy, że wszystkie zmienne w funkcji D {~Y, ~p, ~q} występują w wersji zanegowanej.
Wniosek:
Dla otrzymania zero-jedynkowej definicji spójnika "i"(*) w logice ujemnej (bo ~Y) musimy wszystkie zmienne w tabeli T1 zapisać w postaci zanegowanej.
Jest to możliwe tylko i wyłącznie na mocy I prawa Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka
(p=1)=(~p=0)
Zróbmy to:
Kod: |
T3.
Definicja operatora "lub"(|+):
ABC: Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
D: ~Y=~p*~q
Tabela | Co w logice |Na mocy |Zapis tożsamy
symboliczna:| jedynek oznacza: |I prawa Prosiaczka |do ABCD456
| |~p*~q ~Y=~p*~q
A: Ya= p* q|( Ya=1)<=>( p=1)*( q=1)|(~Ya=0)<=>(~p=0)*(~q=0)| 0* 0 =0
B: Yb= p*~q|( Yb=1)<=>( p=1)*(~q=1)|(~Yb=0)<=>(~p=0)*(~q=1)| 0* 1 =0
C: Yc= ~p* q|( Yc=1)<=>(~p=1)*( q=1)|(~Yc=0)<=>(~p=1)*(~q=0)| 1* 0 =0
D:~Yd= ~p*~q|(~Yd=1)<=>(~p=1)*(~q=1)|(~Yd=1)<=>(~p=1)*(~q=1)| 1* 1 =1
a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Jak widzimy, startując od symbolicznego opisu układy S1 łatwo wygenerowaliśmy zero-jedynkową definicję spójnika "i"(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
T3_ABCD789: ~Y=~p*~q
Zauważmy, że równie trywialne jest działanie odwrotne, czyli z tabeli zero-jedynkowej T3_ABCD789 spójnika "i"(*) w logice ujemnej (bo ~Y) łatwo generujemy symboliczny opis schematu S1.
10.11.3 Relacje między logiką dodatnią (bo Y) i ujemną (bo ~Y)
Zauważmy, że między tabelami zero-jedynkowymi T2 i T3 zachodzi relacja znaczka #:
T2_ABCD789: Y=p+q # T3_ABCD789: ~Y=~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Na mocy powyższej relacji mamy:
1.
Y=~(~Y) - logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y)
Stąd mamy:
T2_ABCD789: Y=p+q = ~(~Y) = ~(~p*~q)
Y = p+q = ~(~p*~q) - prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y)
2.
~Y=~(Y) - logika ujemna (o ~Y) to zanegowana logika dodatnia (bo Y)
Stąd mamy:
T3_ABCD789: ~Y=~p*~q [=] ~(Y) = ~(p+q)
~Y = ~p*~q = ~(p+q) - prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y)
10.12 Geneza tabeli zero-jedynkowej spójnika "i"(*)
W niniejszym rozdziale na przykładzie żarówki Y sterowanej przyciskami p i q połączonymi szeregowo omówimy teorię spójnika "i"(*)
Rozważmy sterowanie żarówką Y przy pomocy dwóch przycisków p i q połączonych szeregowo.
Kod: |
S2 Schemat 2
Geneza tabeli zero-jedynkowej spójnika "i"(*) w logice dodatniej (bo Y)
Y p q
------------- ______ ______
-----| Żarówka |------o o---------o o------
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
---------------------------------------------------
Zmienne związane definicją operatora "i"(|*): Y, p, q
Definicja operatora "i"(|*):
Operator "i"(|*) to odpowiedź na dwa pytania:
1: Y=p*q - kiedy żarówka Y świeci się (Y=1)?
2:~Y=~p+~q - kiedy żarówka Y nie świeci się (~Y=1)?
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występująca w układzie, ustawiana przez człowieka.
Zmienne związane w układzie S2 to: Y, p, q
Definicja spójnika "i"(*):
Spójnik "i"(*) to odpowiedź na pytanie o Y:
1: Y=p*q - kiedy żarówka świeci się (Y=1)
Definicja operatora „i”(*):
Operator "i”(*) to odpowiedź na dwa pytania o Y i ~Y:
1: Y=p*q - kiedy żarówka Y świeci się (Y=1)?
Przejście z logiki dodatniej (bo Y) do ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2: ~Y=~p+~q - kiedy żarówka Y nie świeci się (~Y=1)?
I.
Analiza pierwszej części operatora „i”(|*) dająca odpowiedź na pytanie 1:
1.
Kiedy żarówka Y świeci się (Y=1)?
1: Y=p*q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
1: Y=1 <=> p=1 i q=1
Czytamy:
Żarówka Y świeci się (Y=1) wtedy i tyko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk p (p=1) i wciśnięty jest przycisk q (q=1)
Zauważmy, że jest tylko jeden przypadek w którym żarówka świeci się, jak wyżej.
Nazwijmy ten przypadek zdarzeniem A.
A: Ya=p*q
co w logice jedynek oznacza:
A: Ya=1 <=> p=1 i q=1
II.
Analiza drugiej części operatora „i”(|*) dająca odpowiedź na pytanie 2:
2.
Kiedy żarówka Y nie świeci się (~Y=1)?
Przejście z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianą spójników:
2: ~Y=~p+~q
co w logice jedynek (naturalna logika matematyczna człowieka) oznacza:
2: ~Y = 1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Czytamy:
Żarówka Y nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) lub nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1)
Innymi słowy:
Żarówka Y nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy którykolwiek z przycisków nie jest wciśnięty.
Stąd mamy szczegółową odpowiedź na pytanie 2 w zdarzeniach rozłącznych zrozumiałych dla każdego ucznia I klasy LO:
2"
Żarówka Y nie świeci się (~Y=1) wtedy i tyko wtedy gdy:
B: ~Yb= p*~q=1*1=1 - jest wciśnięty przycisk p (p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1)
lub
C: ~Yc=~p*q=1*1=1 - nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i jest wciśnięty przycisk q (q=1)
lub
D: ~Yd=~p*~q=1*1=1 - nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1)
Wszystkie rozłączne przypadki w których żarówka nie świeci się (~Y=1) to suma logiczna funkcji cząstkowych {~Yb, ~Yc, ~Yd):
2" ~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
po rozwinięciu mamy:
2" ~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
2": ~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1 lub D: ~p=1 i ~q=1
Łatwo udowodnić iż zachodzi tożsamość logiczna [=] funkcji 2 i 2":
2: ~Y=~p+~q [=] 2": ~Y= B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Tożsame znaczki tożsamości logicznej:
[=], "=", <=> (wtedy i tylko wtedy)
Kolejność wykonywania działań w algebrze Kubusia:
nawiasy, "i"(*), "lub"(+)
Dowód:
Minimalizujemy prawą stronę:
2": ~Y = p*~q + ~p*q + ~p*~q
~Y = p*~q + ~p*(q+~q) - wyciągnięcie zmiennej ~p przed nawias
~Y = ~p + (p*~q) - przemienność plus uzupełnienie nawiasów
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q - wymnożenie wielomianów
Y = p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y =~p+~q
Stąd mamy dowód tożsamości logicznej [=]:
2: ~Y=~p+~q [=] 2": ~Y= B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
cnd
Zauważmy, że suma logiczna funkcji Y i ~Y definiuje dziedzinę, czyli wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne, które mogą wystąpić na schemacie S2.
Dowód:
D (dziedzina) = Y+~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
D = p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q
D = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
D = p+~p =1
cnd
Definicja operatora "i"(|*):
Operator "i"(|*) to odpowiedź na dwa pytania o Y i ~Y:
A: Y=p*q - kiedy żarówka Y świeci się (Y=1)
BCD: ~Y=~p+~q = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q - kiedy żarówka Y nie świeci się (~Y=1)
Zapiszmy wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne dla schematu S2 w tabeli prawdy:
Kod: |
T4.
Definicja operatora "i"(|*):
A: Y=p*q
BCD:~Y=~p+~q = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Tabela | Co w logice
symboliczna: | jedynek oznacza:
A: Ya = p* q |( Ya=1)<=>( p=1)*( q=1)
B:~Yb = p*~q |(~Yb=1)<=>( p=1)*(~q=1)
C:~Yc = ~p* q |(~Yc=1)<=>(~p=1)*( q=1)
D:~Yd = ~p*~q |(~Yd=1)<=>(~p=1)*(~q=1)
a b c 1 2 3
|
Jest tylko jedna funkcja cząstkowa w logice dodatniej (bo Y), stąd możemy zapisać:
Ya =Y
Z tabeli T4 odczytujemy:
1
Definicja spójnika "i"(*) w logice dodatniej (bo Y):
A: Y = p*q
co w logice jedynek oznacza:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
2
Definicja spójnika "lub"(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
BCD: ~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
BCD: ~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Kluczowe prawa logiki matematycznej niezbędne do wyprowadzenia zero-jedynkowych definicji spójników "lub"(+) oraz "i"(*), to prawa Prosiaczka.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo Y) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~Y). Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
10.12.1 Tabela zero-jedynkowa spójnika "i"(*) w logice dodanej (bo Y)
Kod: |
S2 Schemat 2
Geneza tabeli zero-jedynkowej spójnika "i"(*) w logice dodatniej (bo Y)
Y p q
------------- ______ ______
-----| Żarówka |------o o---------o o------
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
---------------------------------------------------
Definicja operatora "i"(|*):
Operator "i"(|*) to odpowiedź na dwa pytania:
1: Y=p*q - kiedy żarówka Y świeci się (Y=1)?
2:~Y=~p+~q - kiedy żarówka Y nie świeci się (~Y=1)?
|
Zapiszmy wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne dla schematu S2 w tabeli prawdy:
Kod: |
T4.
Definicja operatora "i"(|*):
A: Y=p*q
BCD:~Y=~p+~q = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Tabela | Co w logice
symboliczna: | jedynek oznacza:
A: Ya = p* q |( Ya=1)<=>( p=1)*( q=1)
B:~Yb = p*~q |(~Yb=1)<=>( p=1)*(~q=1)
C:~Yc = ~p* q |(~Yc=1)<=>(~p=1)*( q=1)
D:~Yd = ~p*~q |(~Yd=1)<=>(~p=1)*(~q=1)
a b c 1 2 3
|
1
Definicja spójnika "i"(*) w logice dodatniej (bo Y):
A: Ya = p*q
co w logice jedynek oznacza:
A: Ya=1 <=> p=1 i q=1
Jest tylko jedno zdarzenie w logice dodatniej (bo Y), stąd zapis tożsamy:
A: Y = p*q
co w logice jedynek oznacza:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
W tym przypadku w tabeli prawdy T4 za punkt odniesienia musimy przyjąć funkcję logiczną:
A: Y=p*q
Zauważmy, że wszystkie zmienne w funkcji A {Y, p, q} występują w wersji niezanegowanej.
Wniosek:
Dla otrzymania zero-jedynkowej definicji spójnika "i"(*) w logice dodatniej (bo Y) musimy wszystkie zmienne w tabeli T4 zapisać w postaci niezanegowanej.
Jest to możliwe tylko i wyłącznie na mocy II prawa Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
(~p=1)=(p=0)
Zróbmy to:
Kod: |
T5.
Definicja operatora "i"(|*):
A: Y=p*q
BCD:~Y=~p+~q = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Tabela | Co w logice |Na mocy |Zapis tożsamy
symboliczna:| jedynek oznacza: |II prawa Prosiaczka |do ABCD456
| | p* q Y= p*q
A: Ya= p* q|( Ya=1)<=>( p=1)*( q=1)|( Ya=1)<=>( p=1)*( q=1)| 1* 1 =1
B:~Yb= p*~q|(~Yb=1)<=>( p=1)*(~q=1)|( Yb=0)<=>( p=1)*( q=0)| 1* 0 =0
C:~Yc= ~p* q|(~Yc=1)<=>(~p=1)*( q=1)|( Yc=0)<=>( p=0)*( q=1)| 0* 1 =0
D:~Yd= ~p*~q|(~Yd=1)<=>(~p=1)*(~q=1)|( Yd=0)<=>( p=0)*( q=0)| 0* 0 =0
a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Jak widzimy, startując od symbolicznego opisu układu S2 łatwo wygenerowaliśmy zero-jedynkową definicję spójnika "i"(*) w logice dodatniej (bo Y):
T5_ABCD789: Y=p*q
Zauważmy, że równie trywialne jest działanie odwrotne, czyli z tabeli zero-jedynkowej T5_ABCD789 łatwo generujemy symboliczny opis schematu S2.
Do zapamiętania:
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja spójnika “i”(*)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q Y=p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 0 0
D: 0* 1 0
7 8 9
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q=0
;
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
Szybsza jest tu logika jedynek
|
10.12.2 Tabela zero-jedynkowa spójnika "i"(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
Kod: |
S2 Schemat 2
Geneza tabeli zero-jedynkowej spójnika "i"(*) w logice dodatniej (bo Y)
Y p q
------------- ______ ______
-----| Żarówka |------o o---------o o------
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
---------------------------------------------------
Definicja operatora "i"(|*):
Operator "i"(|*) to odpowiedź na dwa pytania:
1: Y=p*q - kiedy żarówka Y świeci się (Y=1)?
2:~Y=~p+~q - kiedy żarówka Y nie świeci się (~Y=1)?
|
Zapiszmy wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne dla schematu S2 w tabeli prawdy:
Kod: |
T4.
Definicja operatora "i"(|*):
A: Y=p*q
BCD:~Y=~p+~q = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Tabela | Co w logice
symboliczna: | jedynek oznacza:
A: Ya = p* q |( Ya=1)<=>( p=1)*( q=1)
B:~Yb = p*~q |(~Yb=1)<=>( p=1)*(~q=1)
C:~Yc = ~p* q |(~Yc=1)<=>(~p=1)*( q=1)
D:~Yd = ~p*~q |(~Yd=1)<=>(~p=1)*(~q=1)
a b c 1 2 3
|
2
Definicja spójnika "lub"(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
BCD: ~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
BCD: ~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
W tym przypadku w tabeli prawdy T4 za punkt odniesienia musimy przyjąć funkcję logiczną:
BCD: ~Y=~p+~q
Zauważmy, że wszystkie zmienne w funkcji BCD {~Y, ~p, ~q} występują w wersji zanegowanej.
Wniosek:
Dla otrzymania zero-jedynkowej definicji spójnika "i"(*) w logice ujemnej (bo ~Y) musimy wszystkie zmienne w tabeli T1 zapisać w postaci zanegowanej.
Jest to możliwe tylko i wyłącznie na mocy I prawa Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka
(p=1)=(~p=0)
Zróbmy to:
Kod: |
T6.
Operator "i"(|*) to odpowiedź na dwa pytania o Y i ~Y:
A: Y=p*q
BCD:~Y=~p+~q = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Tabela | Co w logice |Na mocy |Zapis tożsamy
symboliczna:| jedynek oznacza: |I prawa Prosiaczka |do ABCD456
| |~p+~q ~Y=~p+~q
A: Ya= p* q|( Ya=1)<=>( p=1)*( q=1)|(~Ya=0)<=>(~p=0)*(~q=0)| 0+ 0 =0
B:~Yb= p*~q|(~Yb=1)<=>( p=1)*(~q=1)|(~Yb=1)<=>(~p=0)*(~q=1)| 0+ 1 =1
C:~Yc= ~p* q|(~Yc=1)<=>(~p=1)*( q=1)|(~Yc=1)<=>(~p=1)*(~q=0)| 1+ 0 =1
D:~Yd= ~p*~q|(~Yd=1)<=>(~p=1)*(~q=1)|(~Yd=1)<=>(~p=1)*(~q=1)| 1+ 1 =1
a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Jak widzimy, startując od symbolicznego opisu układy S2 łatwo wygenerowaliśmy zero-jedynkową definicję spójnika "lub"(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
T6_ABCD789: ~Y=~p+~q
Oczywiście jak się wie o co chodzi to równie trywialne jest działanie odwrotne, czyli z tabeli zero-jedynkowej T6_ABCD789 łatwo generujemy symboliczny opis schematu S2.
10.12.3 Relacje między logiką dodatnią (bo Y) i ujemną (bo ~Y)
Zauważmy, że między tabelami zero-jedynkowymi T5 i T6 zachodzi relacja znaczka #:
T5_ABCD789: Y=p*q # T6_ABCD789: ~Y=~p+~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Na mocy powyższej relacji mamy:
1.
Y=~(~Y) - logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y)
Stąd mamy:
T5_ABCD789: Y=p*q = ~(~Y) = ~(~p+~q)
Y = p*q = ~(~p+~q) - prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y)
2.
~Y=~(Y) - logika ujemna (o ~Y) to zanegowana logika dodatnia (bo Y)
Stąd mamy:
T6_ABCD789: ~Y=~p+~q [=] ~(Y) = ~(p*q)
~Y = ~p+~q = ~(p*q) - prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y)
10.13 Prawo Puchacza
Matematyczny związek między operatorami "lub"(|+) i "i"(|*) to związek różne na mocy definicji ##
Dowód:
Kod: |
T7
Definicja operatora “lub”(|+):
Operator “lub”(|+) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
A1: Y=p+q
Negujemy A1 dwustronnie:
A2: ~Y=~p*~q
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
A1: A2:
p q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q
A: 1 1 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 0 0 1 0
C: 0 1 1 0 1 0 0
D: 0 0 0 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7
Operator „lub”(|+) to układ równań logicznych
dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
Kiedy zajdzie Y?
A1.
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1 (patrz: ABCD123)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A1 dwustronnie:
A2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 (patrz: ABCD567)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
##
Kod: |
T8
Definicja operatora “i”(|*):
Operator “i”(|*) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
B1: Y=p*q
Negujemy dwustronnie:
B2: ~Y=~p+~q
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
p q Y=p*q ~Y=~(p*q) ~p ~q ~Y=~p+~q
A: 1 1 1 0 0 0 0
B: 1 0 0 1 0 1 1
C: 0 1 0 1 1 0 1
D: 0 0 0 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7
Operator „i”(|*) to układ równań logicznych
dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
Kiedy zajdzie Y?
B1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 (patrz: ABCD123)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie B1 dwustronnie:
B2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1 (patrz: ABCD567)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W tabelach T7 i T8 zmienne {p, q, Y} muszą być wszędzie tymi samymi {p, q, Y}, inaczej błąd podstawienia.
Podsumowanie:
Kod: |
T7.
Operator "lub"(|+) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
A1: Y=p+q # A2: ~Y=~p*~q
## ##
T8.
Operator "i"(|*) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
B1: Y=p*q # B2: ~Y=~p+~q
|
Doskonale widać, że wewnątrz tabel T7 i T8 spełniona jest definicja znaczka różne #.
Definicja znaczka różne #:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Natomiast między tabelami T7 i T8 obowiązuje znaczek różne na mocy definicji ##.
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna Y albo ~Y może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego dwuargumentowego
Dowód: patrz tabela T7 i T8
10.14 Zabawa rachunkiem zero-jedynkowym
W wykładzie wyżej wyprowadziliśmy zero-jedynkowe definicje spójników logicznych:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => (pkt. 10.1.3)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> (pkt. 10.3.3)
p<=>q=p*q+~p*~q - definicja równoważności <=> (pkt. 10.5.3)
p$q = p*~q+~p*q - definicja spójnika "albo"($) (pkt. 10.8.3)
p~~>q = p*q+p*~q+~p*~q+~p*q =1 - definicja zdarzenia możliwego ~~> (pkt. 10.10.3)
Y=p+q - definicja spójnika "lub"(+) (pkt. 10.11.1)
Y=p*q - definicja spójnika "i"(*) (pkt.10.12.1)
Zapiszmy tabele zero-jedynkowe wyprowadzonych spójników:
Punkt: 10.1.3
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
Y=
p q p=>q=~p+q
A: 1=>1 1
B: 1=>0 0
C: 0=>0 1
D: 0=>1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
##
Punkt 10.3.3
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
Y=
p q p~>q=p+~q
A: 1~>1 1
B: 1~>0 1
C: 0~>0 1
D: 0~>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q =p+~q
|
##
Punkt 10.5.3
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
Y=
p q p<=>q=p*q+~p*~q
A: 1<=>1 1
B: 1<=>0 0
C: 0<=>0 1
D: 0<=>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p<=>q=1 <=> p=1 i q=1 lub p=0 i q=0
Inaczej:
p<=>q=0
Definicja równoważności w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p<=>q =p*q+~p*~q
|
##
Punkt 10.8.3
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja spójnika "albo" p$q
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q Y=(p$q)=p*~q+~p*q
A: 1 $ 0 1
B: 1 $ 1 0
C: 0 $ 1 1
D: 0 $ 0 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p$q=1 <=> p=1 i q=0 lub p=0 i q=1
Inaczej:
p$q=0
Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p$q =p*~q+~p*q
|
##
Punkt 10.10.3
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja zdarzenia możliwego ~~>
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
Y=
p q p~~>q=p*q+p*~q+~p*~q+~p*q=1
A: 1~~>1 1
B: 1~~>0 1
C: 0~~>0 1
D: 0~~>1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~~>q=1 w całej tabeli zero-jedynkowej operatora chaosu p||~~>q
|
##
Punkt 10.11.1
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja spójnika “lub”(+):
Y=
p q p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 0 0
D: 0+ 1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
;
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
Szybsza jest tu logika zer
|
##
Punkt 10.12.1
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja spójnika “i”(*)
Y=
p q p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 0 0
D: 0* 1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q=0
;
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
Szybsza jest tu logika jedynek
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach p i q mają różne kolumny wynikowe Y
Doskonale widać, że w prezentowanych wyżej zero-jedynkowych definicjach spójników logicznych znaczek różne na mocy definicji ## jest perfekcyjnie spełniony.
10.14.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q
W niniejszym rozdziale zajmiemy się wyprowadzeniem zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q wyłącznie przy pomocy zero-jedynkowych definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Podstawowa definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Stąd w rachunku zero-jedynkowym mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
Kod: |
Y= Y= Y=p<=>q= Y= Y=p<=>q
p q ~p ~q p=>q p~>q (p=>q)*(p~>q) q=>p (p=>q)*(q=>p)
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =0 =1 =0 =1 =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =1 =0 =0 =0 =0
a b c d 1 2 3 4 5
|
Gdzie:
Matryca zero-jedynkowa sygnałów wejściowych p, q, ~p i ~q (abcd) dla kolumn 1 i 2 jest identyczna, ale kolumny wynikowe są różne, stąd mamy:
1: p=>q=~p+q (warunek wystarczający =>) ## 2: p~>q=p+~q (warunek konieczny ~>)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zauważmy że:
Kolumna 3 to podstawowa definicja równoważności jak wyżej.
Tożsamość kolumn 3=5 jest dowodem formalnym prawa algebry Boole'a:
Y = p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)
Stąd mamy:
Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
A1: p=>q - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B3: q=>p - zajście q jest wystarczające => dla zajścia p
Y = p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1
Matematyczna, bo tylko ona jest używana w matematyce w postaci:
A1: p=>q - twierdzenie proste
B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
Praca domowa:
Wyprowadź w rachunku zero-jedynkowym następujące definicje równoważności:
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p~>~q)
Podpowiedź: skorzystaj z szablonu wyżej
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 21:51, 10 Sty 2024, w całości zmieniany 13 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Śro 21:37, 15 Lut 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
11.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych
Spis treści
11.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych 1
11.1 Definicja negacji 2
11.1.1 Negator dwukierunkowy w bramkach logicznych 2
11.2 Operatory logiczne jednoargumentowe w bramkach logicznych 4
11.2.1 Realizacja zdania zawsze prawdziwego ZP w bramkach logicznych 5
11.2.2 Realizacja zdania zawsze fałszywego ZF w bramkach logicznych 5
11.3 Definicja funkcji transmisji Y=p i operatora transmisji Y|=p 5
11.3.1 Realizacja operatora transmisji Y|=p w bramkach logicznych 6
11.4 Definicja funkcji negacji Y=~p i operatora negacji Y|=~p 7
11.4.1 Realizacja operatora negacji Y|=~p w bramkach logicznych 8
11.5 Fizyczne realizacje spójników „i”(*) i „lub”(+) 9
11.5.1 Definicja operatora „i”(|*) w bramkach logicznych 10
11.5.2 Definicja operatora „lub”(|+) w bramkach logicznych 11
11.6 Spójniki związane z obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” 13
11.6.1 Definicja warunku wystarczającego => w bramkach logicznych 13
11.6.2 Definicja warunku koniecznego ~> w bramkach logicznych 14
11.7 Definicje spójników implikacyjnych p|?q w logice dodatniej (bo q) 14
11.7.1 Implikacja prosta p|=>q w bramkach logicznych 17
11.7.2 Implikacja odwrotna p|~>q w bramkach logicznych 18
11.7.3 Równoważność p<=>q w bramkach logicznych 19
11.7.4 Spójnik „albo”($) w bramkach logicznych 20
11.7.5 Definicja „chaosu” (|~~>) w bramkach logicznych 23
11.7.6 Zero-jedynkowa interpretacja znaczka różne na mocy definicji ## 25
11.8 Dowód poprawności algebry Kubusia w funkcjach logicznych 25
11.8.1 Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego 27
11.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych
W niniejszym rozdziale udowodnimy że 100% algebry Kubusia ma przełożenie na teorię bramek logicznych w przełożeniu 1:1 co oznacza, że algebra Kubusia jest weryfikowalna w laboratorium bramek logicznych.
Potrzebne w laboratorium układy scalone TTL to:
SN7406, SN74LS04, SN74LS08, SN74LS32
11.1 Definicja negacji
Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.
W szczególnym przypadku symbol w nagłówku kolumny może być stałą binarną gdy w kolumnie są same jedynki albo same zera.
Kod: |
DN
Definicja negacji:
p # ~p
A: 1 # 0
B: 0 # 1
1 2
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
|
Definicja znaczka w logice matematycznej:
Znaczek w logice matematycznej to symbol zdefiniowany odpowiednią tabelą zero-jedynkową
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
p#~p
Dowodem jest tu definicja negacji DN.
Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna p wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)
Zauważmy, że w definicji negacji DN symbole p i ~p są zmiennymi binarnymi.
Dowód:
W osi czasu (kolumna A1B1) może zajść przypadek, że zmienna binarna p przyjmie wartość logiczną 1 (A1) albo wartość logiczną 0 (B1).
W osi czasu (kolumna B2A2) może zajść przypadek, że zmienna binarna ~p przyjmie wartość logiczną 1 (B2) albo wartość logiczną 0 (A2)
Stąd mamy:
Definicja osi czasu w logice matematycznej
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej oś czasu to zero-jedynkowa zawartość kolumny opisanej symbolem nad tą kolumną.
W logice matematycznej odpowiednikiem układu Kartezjańskiego są wykresy czasowe.
Dowód na przykładzie (strona 5):
Kod: | https://www.ti.com/lit/ds/symlink/sn54ls193-sp.pdf |
11.1.1 Negator dwukierunkowy w bramkach logicznych
Kopia rozdziału 1.1.2
Kod: |
DN
Definicja negacji:
p # ~p
A: 1 # 0
B: 0 # 1
1 2
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
|
W technice cyfrowej znaczek różne # o definicji jak wyżej jest odpowiednikiem dwukierunkowego negatora „O”.
Zachodzi tożsamość znaczków: # = O
Kod: |
Realizacja dwukierunkowego negatora „O” w bramkach logicznych
-----
p --x-------->| ~ |o-x--> ~p
| ----- |
| |
| p=~(~p) ----- |
-<-------o| ~ |<-x--- ~p
-----
Gdzie:
„O” - symbol dwukierunkowego negatora o budowie jak wyżej
„o"(~) - symbole negacji w technice „o” i języku potocznym „~”
--->| - wejście bramki logicznej negatora (~)
|o--> - wyjście bramki logicznej negatora (~)
W świecie rzeczywistym musi tu być negator z otwartym kolektorem (OC)
na przykład typu SN7406. Wyjście OC musi być podparte rezystorem do Vcc.
|
W świecie rzeczywistym podajemy sygnały cyfrowe {0,1} na wejściu negatora p albo ~p obserwując co jest na jego wyjściu. Wszystko musi być zgodne z definicją DN.
Matematyczne związki między p i ~p:
a)
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
p#~p
b)
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
c)
Prawo zaprzeczenia logiki dodatniej (bo p):
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)
Dowód w rachunku zero-jedynkowym:
Kod: |
Matematyczne związki w definicji negacji:
p ~p ~(~p) ~(p)
A: 1 0 1 0
B: 0 1 0 1
1 2 3 4
|
Tożsamość kolumn 1=3 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Tożsamość kolumn 2=4 jest dowodem formalnym prawa negacji logiki dodatniej (bo p):
~p=~(p)
Uwaga:
Budowa dwukierunkowego transmitera w bramkach logicznych będzie identyczna jak wyżej lecz z układem SN7407 w miejsce układu SN7406.
Ćwiczenie w laboratorium:
1.
Na wejściu p wymuszamy sygnały z kolumny AB1 sprawdzając czy na wyjściu ~p mamy odpowiednie sygnały z kolumny AB2
2.
Na wejściu ~p wymuszamy sygnały z kolumny AB2 sprawdzając czy na wyjściu p mamy odpowiednie sygnały z kolumny AB1
11.2 Operatory logiczne jednoargumentowe w bramkach logicznych
Wyprowadzenie i tabelę wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych znajdziemy w punkcie 1.3
Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych (1.3.2)
Kod: |
TJ
Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych
Operator transmisji Y|=p
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
## ##
Operator negacji Y=|~p
A2: Y=~p # B2: ~Y= p
## ##
Zdanie zawsze prawdziwe Y|=1 (stała binarna)
A3: Y=1 # B3: ~Y=0
## ##
Zdanie zawsze fałszywe Y|=0 (stała binarna)
A4: Y=0 # B4: ~Y=1
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
Stąd mamy:
p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Doskonale widać, że w tabeli TJ definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Linie A3B3 i A4B4 to bezcenne zero-jedynkowe definicje prawa Prosiaczka, czego dowód znajdziemy w punkcie 1.4.
Znaczenie alternatywne:
Linie A3B3 i A4B4 to stałe binarne, wykorzystywane w definiowaniu nowych pojęć (pkt. 1.5)
11.2.1 Realizacja zdania zawsze prawdziwego ZP w bramkach logicznych
Kod: |
Linia A3B3:
Realizacja zdania zawsze prawdziwego ZP w bramkach logicznych
ZP
----------
f(x) -->| 1-->|-------> A3: Y=1
----------
|
Zdanie na wejściu f(x) musi być twardą jedynką Y=1 tzn. bez możliwości ustawienia Y=0.
Przykład:
f(x)=p+~p=1
Pani w przedszkolu:
A3.
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
Y=K+~K =1
Cokolwiek pani jutro nie zrobi to dotrzyma słowa (Y=1), nie ma tu możliwości ustawienia (Y=0)
Wniosek:
Linia A3B3 jest w praktyce komunikacyjnej człowieka z człowiekiem bezwartościowa.
11.2.2 Realizacja zdania zawsze fałszywego ZF w bramkach logicznych
Kod: |
Linia A4B4:
Realizacja zdania zawsze fałszywego ZF w bramkach logicznych
ZF
----------
f(x) -->| 0-->|-------> A4: Y=0
----------
|
Zdanie na wejściu f(x) musi być twardym zerem Y=0 tzn. bez możliwości ustawienia Y=1.
Przykład:
f(x)=p*~p=0
Pani w przedszkolu:
A4.
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y=K*~K =0
W tym przypadku pani zostaje kłamcą (Y=0) z chwilą wypowiedzenia zdania A4
Cokolwiek pani jutro nie zrobi to nie ma szans na dotrzymanie słowa (Y=1).
Wniosek:
Linia A4B4 jest w praktyce komunikacyjnej człowieka z człowiekiem bezwartościowa.
11.3 Definicja funkcji transmisji Y=p i operatora transmisji Y|=p
Definicja transmitera:
Transmiter to bramka logiczna jednowejściowa gdzie na wyjście Y transmitowany jest zawsze niezanegowany sygnał wejściowy p (Y=p)
Realizacja rzeczywista:
SN7407 (Strona 1: Y=p)
Kod: | https://www.ti.com/lit/ds/symlink/sn7407.pdf |
Definicja matematyczna:
Funkcja logiczna transmitera Y=p w logice dodatniej (bo Y) to funkcja definiowana tabelą prawdy:
Kod: |
FT
Funkcja transmisji Y=p
Wejście |Wyjście
| A1:
p # ~p | Y=p
1 # 0 | 1
0 # 1 | 0
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Na wyjściu Y mamy tu zawsze niezanegowany sygnał p (Y=p)
Definicja operatora transmisji Y|=p:
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych Y=p i ~Y=~p dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej:
Kod: |
OT
Definicja operatora transmisji: Y|=p
Wejście |Wyjście
| A1: B1:
p # ~p | Y=p # ~Y=~p
A: 1 # 0 | 1 # 0
B: 0 # 1 | 0 # 1
1 2 3 4
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Doskonale tu widać że:
A1:
Y=p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 (patrz tabela OT)
#
… kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie A1.
B1:
~Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 (patrz tabela OT)
11.3.1 Realizacja operatora transmisji Y|=p w bramkach logicznych
Kod: |
OT
Definicja operatora transmisji: Y|=p
Wejście |Wyjście
| A1: B1:
p # ~p | Y=p # ~Y=~p
A: 1 # 0 | 1 # 0
B: 0 # 1 | 0 # 1
1 2 3 4
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
W technice cyfrowej produkowane są wyłącznie bramki logiczne z wejściem w logice dodatniej (bo p) oraz wyjściem w logice dodatniej (bo Y).
Kluczowa jest tu dostępna dowolna ilość negatorów dwukierunkowych „O” o fizycznej realizacji opisanej w punkcie 11.1
Kod: |
OT
Operator transmisji Y|=p w bramkach logicznych
Wejście | Wyjście
-------
p ---x------>| T |---x---> A1: Y=p
| ------- |
| O = # (negator dwukierunkowy)
| ~p ------- |
x--O--->| T |---x---> B1: ~Y=~p
-------
Gdzie:
T - bramka transmisji, sygnał z wejścia transmitowany jest na wyjście
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
„O” - negator dwukierunkowy (pkt. 11.1.1)
|
Jak to działa?
1.
Funkcja transmisji A1: Y=p w logice dodatniej (bo Y) realizowana jest tabelą zero-jedynkową AB13.
Na wejściu p podajemy 1 sprawdzając czy na wyjściu A1: Y=p również mamy 1
Na wejściu p podajemy 0 sprawdzając czy na wyjściu A1: Y=p również mamy 0
2.
Funkcja transmisji B1: ~Y=~p w logice ujemnej (bo ~Y) realizowana jest tabelą zero-jedynkową AB24.
Na wejściu ~p podajemy 0 sprawdzając czy na wyjściu B1: ~Y=~p również mamy 0
Na wejściu ~p podajemy 1 sprawdzając czy na wyjściu B1: ~Y=~p również mamy 1
11.4 Definicja funkcji negacji Y=~p i operatora negacji Y|=~p
Definicja negatora:
Negator to bramka logiczna jednowejściowa gdzie na wyjście Y transmitowany jest zawsze zanegowany sygnał wejściowy p (Y=~p)
Realizacja rzeczywista:
SN7406 (strona 2: Y=~p)
Kod: | https://www.ti.com/lit/ds/symlink/sn7406.pdf |
Definicja matematyczna:
Funkcja logiczna negatora Y=~p to funkcja definiowana tabelą prawdy:
Kod: |
FN
Funkcja negatora Y=~p
Wejście |Wyjście
| A2:
p # ~p | Y=~p
1 # 0 | 0
0 # 1 | 1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Na wyjściu Y mamy tu zawsze zanegowany sygnał p (Y=~p)
Definicja operatora negacji Y|=~p:
Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych Y=~p i ~Y=p dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej:
Kod: |
ON
Definicja operatora negacji: Y|=~p
Wejście |Wyjście
| A2: B2:
p # ~p | Y=~p # ~Y=p
A: 1 # 0 | 0 # 1
B: 0 # 1 | 1 # 0
1 2 3 4
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Doskonale tu widać że:
A2:
Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 (patrz tabela ON)
#
… kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie A2.
B2:
~Y=p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 (patrz tabela ON)
11.4.1 Realizacja operatora negacji Y|=~p w bramkach logicznych
Kod: |
ON
Definicja operatora negacji: Y|=~p
Wejście |Wyjście
| A2: B2:
p # ~p | Y=~p # ~Y=p
A: 1 # 0 | 0 # 1
B: 0 # 1 | 1 # 0
1 2 3 4
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
W technice cyfrowej produkowane są wyłącznie bramki logiczne z wejściem w logice dodatniej (bo p) oraz wyjściem w logice dodatniej (bo Y).
Kluczowa jest tu dostępna dowolna ilość negatorów dwukierunkowych „O” o fizycznej realizacji opisanej w punkcie 11.1.1
Kod: |
ON
Operator negacji Y|=~p w bramkach logicznych
Wejście | Wyjście
~p -------
p ---x--O--->| T |---x---> A2: Y=~p
| ------- |
| O = # (negator dwukierunkowy)
| ------- |
x------>| T |---x---> B2: ~Y=p
-------
Gdzie:
T - bramka transmisji, sygnał z wejścia transmitowany jest na wyjście
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
O - negator dwukierunkowy (pkt. 11.1.1)
|
Jak to działa?
1.
Funkcja negacji A2: Y=~p w logice dodatniej (bo Y) realizowana jest tabelą zero-jedynkową AB13.
Na wejściu p podajemy 1 sprawdzając czy na wyjściu A2: Y=~p mamy 0
Na wejściu p podajemy 0 sprawdzając czy na wyjściu A2: Y=~p mamy 1
2.
Funkcja negacji B2: ~Y=p w logice ujemnej (bo ~Y) realizowana jest tabelą zero-jedynkową AB24.
Na wejściu ~p podajemy 0 sprawdzając czy na wyjściu B2: ~Y=p mamy 1
Na wejściu ~p podajemy 1 sprawdzając czy na wyjściu B2: ~Y=p mamy 0
11.5 Fizyczne realizacje spójników „i”(*) i „lub”(+)
Fizyczna realizacja spójnika (bramki) „i”(*):
Realizacja fizyczna (SN7408):
[link widoczny dla zalogowanych]
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Bramka AND (technika) = bramka „i”(*) = spójnik „i”(*) z języka potocznego
Kod: |
Fizyczna realizacja:
------------
p ------| “i”(*) |
| |----------> Y=p*q
q ------| SN7408 |
------------
Definicja bramki “i”(*):
Y=p*q
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
p q Y=p*q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 1 =0
D: 0 0 =0
Y=1<=>p=1 i q=1
inaczej:
Y=0
|
Fizyczna realizacja spójnika (bramki) „lub”(+):
Realizacja fizyczna (SN7432):
[link widoczny dla zalogowanych]
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Bramka OR (technika) = bramka „lub”(*) = spójnik „lub”(+) z języka potocznego
Kod: |
Fizyczna realizacja:
------------
p ------| “lub”(+) |
| |----------> Y=p+q
q ------| SN7432 |
------------
Definicja bramki “lub”(+):
Y=p+q
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
p q Y=p+q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 1 1
D: 0 0 0
Y=1<=>p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
|
11.5.1 Definicja operatora „i”(|*) w bramkach logicznych
Definicję operatora „i”(|*) wraz z fizyczną realizacją tego operatora znają w praktyce wszystkie 5-cio latki, czego dowód znajdziemy w punkcie:
1.11 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków
Niżej mamy zero-jedynkową definicję operatora „i”(|*) oraz kopię schematu sterowania windą (pkt. 1.11) w zapisach formalnych (ogólnych)
Definicja operatora „i”(|*):
Operator „i”(|*) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1: Y=p*q
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie:
2: ~Y=~p+~q
Albo odwrotnie, czyli znając ~Y łatwo wyznaczymy Y
Kod: |
T1
Zero-jedynkowa definicja operatora „i”(|*)
p q A1: Y=p*q ~Y=~(p*q) ~p ~q B1:~Y=~p+~q
A: 1 1 1 0 0 0 0
B: 1 0 0 1 0 1 1
C: 0 1 0 1 1 0 1
D: 0 0 0 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7
Operator „i”(|*) to układ równań logicznych
dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
A1.
Kiedy zajdzie Y:
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 (patrz: ABCD123)
#
B1.
Kiedy zajdzie ~Y:
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1 (patrz: ABCD567)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
|
Realizacja fizyczna operatora „i”(|*) jest następująca:
Kod: |
T1
Definicja operatora „i”(|*) w bramkach logicznych „i”(*) i „lub”(+)
-------------
p------x-------->| |
| | „i”(*) |---x---> A1: Y=p*q
q--x------------>| | |
| | ------------- |
| | O = # (negator dwukierunkowy)
| | ~p ------------- |
| |--O----->| | |
| ~q | „lub”(+) |---x---> B1: ~Y=~p+~q
|------O----->| |
-------------
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
O - negator dwukierunkowy (pkt. 11.1.1)
Zachodzi tożsamość znaczków:
# = O
|
Ćwiczenie w laboratorium:
1.
Na wejściach p i q wymuszamy zero-jedynkową matrycę ABCD12 dla której sprawdzamy odpowiedzi na wyjściu A1: Y=p*q które muszą być zgodne z kolumną 3.
2.
Na wejściach ~p i ~q wymuszamy zero-jedynkową matrycę ABCD56 dla której sprawdzamy odpowiedzi na wyjściu B1: ~Y=~p+~q które muszą być zgodne z kolumną 7.
Koniec ćwiczenia.
11.5.2 Definicja operatora „lub”(|+) w bramkach logicznych
Definicja operatora “lub”(|+):
Operator “lub”(|+) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1: Y=p+q
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie:
2: ~Y=~p*~q
Albo odwrotnie, czyli znając ~Y łatwo wyznaczymy Y
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
Kod: |
T2
Zero-jedynkowa definicja operatora „lub”(|+)
p q A2: Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q B2:~Y=~p*~q
A: 1 1 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 0 0 1 0
C: 0 1 1 0 1 0 0
D: 0 0 0 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7
Operator „lub”(|+) to układ równań logicznych
dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
A2.
Kiedy zajdzie Y:
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1 (patrz: ABCD123)
#
B2.
Kiedy zajdzie ~Y:
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 (patrz: ABCD567)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
|
Realizacja fizyczna operatora „lub”(|+) jest następująca:
Kod: |
T2
Definicja operatora „lub”(|+) w bramkach logicznych „lub”(+) i „i”(*)
-------------
p------x-------->| |
| | „lub”(+) |---x---> A2: Y=p+q
q--x------------>| | |
| | ------------- |
| | O = # (negator dwukierunkowy)
| | ~p ------------- |
| |--O----->| | |
| ~q | „i”(*) |---x---> B2: ~Y=~p*~q
|------O----->| |
-------------
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
O - negator dwukierunkowy (pkt. 11.1.1)
Zachodzi tożsamość znaczków:
# = O
|
Ćwiczenie w laboratorium:
1.
Na wejściach p i q wymuszamy zero-jedynkową matrycę ABCD12 dla której sprawdzamy odpowiedzi na wyjściu A2: Y=p+q które muszą być zgodne z kolumną 3.
2.
Na wejściach ~p i ~q wymuszamy zero-jedynkową matrycę ABCD56 dla której sprawdzamy odpowiedzi na wyjściu B2: ~Y=~p*~q które muszą być zgodne z kolumną 7.
11.6 Spójniki związane z obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Algebra Boole’a rozpoznaje wyłącznie spójniki „i”(*) i „lub”(+), tak więc z definicji nie zajmuje się obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.
Nie oznacza to jednak, że przy pomocy bramek „i”(*) i „lub”(+) nie da się zbudować definicji zarówno warunku wystarczającego =>, jak i warunku koniecznego ~> co w tym rozdziale udowodnimy.
11.6.1 Definicja warunku wystarczającego => w bramkach logicznych
Definicja warunku wystarczającego => w bramkach logicznych:
Bramka warunku wystarczającego => nie jest produkowana bo to jest banalna bramka „lub”(+) z zanegowanym wejściem p:
p=>q = ~p+q
Realizacja fizyczna:
Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q=~p+q
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
p q p=>q=~p+q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 1 1
D: 0 0 1
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
inaczej:
p=>q=1
Fizyczna realizacja:
------------
p ------|o => |
| „lub”(+) |----------> Y=(p=>q)=~p+q
q ------| |
------------
Gdzie:
o - symbol negatora (~)
Symbol negatora wstawiony jest do środka bramki „lub”(+)
gdyż jest integralną częścią definicji warunku wystarczającego =>.
W rzeczywistości bramka warunku wystarczającego => nie jest produkowana
i musimy użyć zewnętrznego negatora w linii p przyjmując, że jest w środku
Fizyczna realizacja warunku wystarczającego =>
przy pomocy bramki „lub”(+) oraz negatora (~):
Definicja => | Fizyczna realizacja w bramkach logicznych
p q p=>q | ~p p=>q=~p+q
A: 1 1 1 | 0 1
B: 1 0 0 | 0 0
C: 0 1 1 | 1 1
D: 0 0 1 | 1 1
1 2 3 4 5
|
11.6.2 Definicja warunku koniecznego ~> w bramkach logicznych
Definicja warunku koniecznego ~> w bramkach logicznych:
Bramka warunku koniecznego ~> nie jest produkowana bo to jest banalna bramka „lub”(+) z zanegowanym wejściem q:
p~>q = p+~q
Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>:
p q p~>q=p+~q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 1 0
D: 0 0 1
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
inaczej:
p~>q=1
Fizyczna realizacja:
------------
p ------| ~> |
| „lub”(+) |----------> Y=(p~>q)=p+~q
q ------|o |
------------
Gdzie:
o - symbol negatora (~)
Symbol negatora wstawiony jest do środka bramki „lub”(+)
gdyż jest integralną częścią definicji warunku koniecznego ~>.
W rzeczywistości bramka warunku koniecznego ~> nie jest produkowana
i musimy użyć zewnętrznego negatora w linii q przyjmując, że jest w środku
Fizyczna realizacja warunku koniecznego ~>
zrealizowana przy pomocy bramki „lub”(+) oraz negatora (~):
Definicja ~> |Fizyczna realizacja w bramkach logicznych
p q p~>q | ~q p~>q=p+~q
A: 1 1 1 | 0 1
B: 1 0 1 | 1 1
C: 0 1 0 | 0 0
D: 0 0 1 | 1 1
1 2 3 4 5
|
11.7 Definicje spójników implikacyjnych p|?q w logice dodatniej (bo q)
Przypomnijmy sobie definicje elementarne algebry Kubusia dotyczące zdań warunkowych „Jeśli p to q”
1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0
Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Definicja spójnika implikacyjnego p|?q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik implikacyjny p|?q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 w tabeli matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dająca odpowiedź na pytanie o p
W logice matematycznej rozróżniamy pięć podstawowych spójników implikacyjnych dających odpowiedź na pytanie o p.
1.
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1 zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
A1B1: Y=p|=>q=~p*q
##
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q =0 zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 =1*1 =1
A1B1: Y=p|~>q=p*~q
##
3.
Równoważność p<=>q:
A1: p=>q =1 zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: Y=p<=>q=p*q+~p*~q
##
4.
Spójnik „albo”($) p$q:
A1: p=>~q =1 zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
A1B1: Y=p$q=p*~q+~p*q
##
5.
Chaos p|~~>q:
A1: p=>q =0 zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
A1B1: Y=1
Gdzie:
## - bramki logiczne różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach p i q mają różne kolumny wynikowe Y
Doskonale widać, że funkcje logiczne 1-5 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##
11.7.1 Implikacja prosta p|=>q w bramkach logicznych
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) i nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego w spójniach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd:
Implikacja prosta p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =(~p+q)*~(p+~q)= (~p+q)*(~p*q)=~p*~p*q+q*~p*q=~p*q
Do zapamiętania:
p|=>q = ~p*q
Realizacja implikacji prostej p|=>q w bramkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod: |
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1 =1
Fizyczna realizacja implikacji prostej p|=>q w bramkach logicznych:
------------ -----------
p ------|o => | Y=(p=>q)=~p+q | |
| |-------------------| | Y=
q ------| | | Bramka: | p|=>q=(p=>q)*~(p~>q)
------------ | „i”(*) |------------------------>
------------ | | p|=>q=(~p+q)*(~p*q)=~p*q
p ------| ~> | Y=(p~>q)=p+~q ~Y | |
| |---------------o---| |
q ------|o | | |
------------ -----------
Gdzie:
o - symbol negatora (~)
Fizyczna realizacja implikacji prostej p|=>q w bramkach logicznych:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym:
Definicje => i ~> | Dowód zero-jedynkowy
p q p=>q | p~>q | ~(p~>q) (p|=>q)=(p=>q)*~(p~>q) | ~p p|=>q=~p*q
A: 1 1 1 | 1 | 0 0 | 0 0
B: 1 0 0 | 1 | 0 0 | 0 0
C: 0 1 1 | 0 | 1 1 | 1 1
D: 0 0 1 | 1 | 0 0 | 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8
Doskonale widać zachodzącą tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
6: p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) [=] 8: p|=>q =~p*q
cnd
|
11.7.2 Implikacja odwrotna p|~>q w bramkach logicznych
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego w spójniach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd:
Implikacja odwrotne p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(~p+q)*(p+~q)=(p*~q)*(p+~q)=p*~q*p+p*~q*~q=p*~q
Do zapamiętania:
p|~>q = p*~q
Realizacja implikacji odwrotnej p|~>q w bramkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod: |
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1
Fizyczna realizacja implikacji odwrotnej p|~>q w bramkach logicznych:
------------ -----------
p ------|o => | Y=(p=>q)=~p+q ~Y | |
| |---------------o---| | Y=
q ------| | | Bramka: | p|~>q=~(p=>q)*(p~>q)
------------ | „i”(*) |---------------------->
------------ | | p|~>q=(p*~q)*(p+~q)=p*~q
p ------| ~> | Y=(p~>q)=p+~q | |
| |-------------------| |
q ------|o | | |
------------ -----------
Gdzie:
o - symbol negatora (~)
Fizyczna realizacja implikacji odwrotnej p|~>q w bramkach logicznych:
p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym:
Definicje => i ~> | Dowód zero-jedynkowy
p q p=>q | p~>q | ~(p=>q) (p|~>q)=~(p=>q)*(p~>q) | ~q p|~>q=p*~q
A: 1 1 1 | 1 | 0 0 | 0 0
B: 1 0 0 | 1 | 1 1 | 1 1
C: 0 1 1 | 0 | 0 0 | 0 0
D: 0 0 1 | 1 | 0 0 | 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8
Doskonale widać zachodzącą tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
6: p|~>q =~(p=>q)*(p~>q) [=] 8: p|~>q =p*~q
cnd
|
11.7.3 Równoważność p<=>q w bramkach logicznych
3.
Równoważność p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Gdzie:
<=> - spójnik „wtedy i tylko wtedy” z języka potocznego
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Do tego by zaszło q jest (=1) potrzebne ~> (B1) i wystarczające => (A1) by zaszło p
Prawo Irbisa (mówiące o tożsamości pojęć/zbiorów):
Dwa pojęcia/zbiory są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego w spójniach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd:
Równoważność p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=(~p+q)*(p+~q)=~p*p+~p* ~q+q* p+q*~q =p*q+~p*~q
Do zapamiętania:
p<=>q = p*q+~p*~q
Realizacja równoważności p<=>q w bramkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod: |
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1
Fizyczna realizacja równoważności p<=>q w bramkach logicznych:
------------ -----------
p ------|o => | Y=(p=>q)=~p+q | |
| |-------------------| | Y=
q ------| | | Bramka: | p<=>q=(p=>q)*(p~>q)
------------ | „i”(*) |---------------------->
------------ | | p<=>q=(~p+q)*(p+~q)
p ------| ~> | Y=(p~>q)=p+~q | | p<=>q=p*q+~p*~q
| |-------------------| |
q ------|o | | |
------------ -----------
Gdzie:
o - symbol negatora (~)
Fizyczna realizacja równoważności p<=>q w bramkach logicznych:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym:
Definicje => i ~> | Dowód zero-jedynkowy
p q p=>q | p~>q | p<=>q=(p=>q)*(p~>q) ~p ~q p*q ~p*~q p<=>q=p*q+~p*~q
A: 1 1 1 | 1 | 1 0 0 1 0 1
B: 1 0 0 | 1 | 0 0 1 0 0 0
C: 0 1 1 | 0 | 0 1 0 0 0 0
D: 0 0 1 | 1 | 1 1 1 0 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Doskonale widać zachodzącą tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
5: p<=>q = (p=>q)*(p~>q) [=] 10: p<=>q = p*q+~p*~q
cnd
|
11.7.4 Spójnik „albo”($) w bramkach logicznych
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
A1B1:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak i wystarczającego => w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
A1B1: p<=>~q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p$q
Gdzie:
<=> - spójnik „wtedy i tylko wtedy” z języka potocznego
Prawo Irbisa (mówiące o tożsamości pojęć/zbiorów):
Dwa pojęcia/zbiory są tożsame p=~q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>~q
p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q = p$q
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego w spójniach „i”(*) i „lub”:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd:
Definicja spójnika „albo”($) p$q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=(~p+~q)*(p+q)=~p*p+~p*q+~q*p+~q*q= p*~q+~p*q
Do zapamiętania:
p$q = p*~q+~p*q
Zapiszmy jeszcze raz definicję spójnika „albo”($) p$q wyrażoną warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Przykład:
Bycie mężczyzną (M) jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) aby nie być kobietą (~K)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1=1
Ostatni zapis to znana nam (patrz wyżej) definicja równoważności p<=>~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Ostatni człon czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p$q
Nasz przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
A1B1: M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M$K
Dowód prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
M=>~K =1
Bycie mężczyzną jest (=1) wystarczające => do tego, by nie być kobietą (~K)
Oczywistość dla każdego 5-cio latka
Dowód prawdziwości warunku koniecznego ~> B1:
B1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% ~> nie jest kobietą (~K)
M~>~K =1
Bycie mężczyzną jest (=1) konieczne ~> do tego, by nie być kobietą (~K)
Oczywistość dla każdego 5-cio latka
Zauważmy, że wyskoczyło nam tu prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Dowód to zdania A1 i B1:
A1: M=>~K =1 ## B1: M~>~K =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Najprostszy dowód „nie wprost” tego faktu:
Zauważmy, że jeśli zapiszemy tu tożsamość logiczną [=]:
A1: M=>~K =1 [=] B1: M~>~K =1
To definicja równoważności A1B1: M<=>~K legnie w gruzach
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Tożsame znaczki tożsamości logicznej:
[=], "=", <=> (wtedy i tylko wtedy)
Dowód wprost:
Warunek wystarczający A1: p=>q = ~p+q ## Warunek konieczny B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja bramki „albo”($):
Y= p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Realizacja fizyczna (SN7486):
[link widoczny dla zalogowanych]
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Bramka XOR = bramka „albo”($) = spójnik „albo”($) z języka potocznego
Realizacja spójnika „albo”($) w bramkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod: |
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= p<=>~q
Fizyczna spójnika „albo”($) p$q w bramkach logicznych:
------------ -------------
p ------|o => | Y=(p=>~q)=~p+~q | |
~q | |-------------------| |
q --o---| | | Bramka: | p$q=(p=>~q)*(p~>~q)
------------ | „i”(*) |---------------------->
------------ | | p$q=(p=>~q)*(p~>~q)
p ------| ~> | Y=(p~>~q)=p+q | | p$q=p*~q+~p*q
~q | |-------------------| |
q --o---|o | | |
------------ -------------
Gdzie:
o - symbol negatora (~)
Fizyczna realizacja spójnika „albo”($) w bramkach logicznych:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym:
Definicje => i ~> | Dowód zero-jedynkowy
| A: B:
p q p=>q p~>q | ~p ~q p=>~q p~>~q p$q=A*B p*~q ~p*q p$q=p*~q+~p*q
A: 1 1 1 1 | 0 0 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 0 1 | 0 1 1 1 1 1 0 1
C: 0 1 1 0 | 1 0 1 1 1 0 1 1
D: 0 0 1 1 | 1 1 1 0 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Doskonale widać zachodzącą tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
9: p$q = (p=>~q)*(p~>~q) [=] 12: p$q = p*~q+~p*q
cnd
|
Związek między spójnikiem „albo”($) i spójnikiem równoważności p<=>q to relacja różne na mocy definicji ##
Dowód:
Definicja bramki „albo”($):
Y= p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q = p*~q+~p*q
##
Definicja równoważności p<=>q:
Y= (p<=>q) = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*q+~p*~q
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
## - funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## bo prawe strony tych funkcji nie są tożsame
11.7.5 Definicja „chaosu” (|~~>) w bramkach logicznych
5
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q i jednocześnie zajęcie p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
Z teorii chaosu (punkt 8.1) wiemy, że kodowania elementem wspólnym zbiorów ~~> w zbiorach, lub zdarzeniem możliwym ~~> w zdarzeniach przez wszystkie możliwe przeczenia p i q muszą dać wszędzie wynikowe jedynki, inaczej gwałcimy definicję kontrprzykładu.
Stąd mamy:
Y = p|~~>q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q= p*(q+~q)+~p*(q+~q)=p+~p=1
Innymi słowy:
W tabeli prawdy spójnika chaosu p|~~>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q nie ma żadnego warunku wystarczającego =>, co pociąga za sobą brak warunku koniecznego ~>
Fizyczna realizacja chaosu p|~~>q w bramkach „i”(*) i „lub”(+) będzie zatem następująca:
Kod: |
Fizyczna realizacja chaosu p|~~>q w bramkach logicznych:
---------- ------------
p ------| Bramka | p*q | Bramka |
| „i”(*) |--------| „lub”(+) |
q ------| A | | | ------------
---------- | | p | Bramka |
---------- | A+B |------| „lub”(+) |
p ------| Bramka | p*~q | | | |
~q | „i”(*) |--------| | | |
q -o----| B | | | | |
---------- ------------ | | Y= p|~~>q=p+~p=1
| A+B+C+D |------------------>
~p ---------- ------------ | |
p -o----| Bramka | ~p*q | Bramka | | |
| „i”(*) |--------| „lub”(+) | | |
q ------| C | | | ~p | |
---------- | C+D |------| |
~p ---------- | | | |
p -o----| Bramka |~p*~q | | ------------
~q | „i”(*) |--------| |
q -o----| D | | |
---------- ------------
Gdzie:
o - symbol negatora (~)
Dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym.
Definicje „*” oraz „+” | Dowód zero-jedynkowy dla chaosu p|~~>q:
p q ~p ~q p*q p+q | p*q p*~q ~p*q ~p*~q p*q+p*~q ~p*q+~p*~q p|~~>q
A: 1 1 0 0 1 1 | 1 1 0 0 1 0 1
B: 1 0 0 1 0 1 | 0 1 0 0 1 0 1
C: 0 1 1 0 0 1 | 0 0 1 0 0 1 1
D: 0 0 1 1 0 0 | 0 0 0 1 0 1 1
1 2 3 4 5 6 | a b c d e f g
Doskonale widać same jedynki w kolumnie wynikowej p|~~>q, czyli:
Y = p|~~>q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q= p*(q+~q)+~p*(q+~q)=p+~p=1
cnd
|
11.7.6 Zero-jedynkowa interpretacja znaczka różne na mocy definicji ##
Rozważmy omówione wyżej definicje znaczków =>, ~>, |=>, |~>, <=> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = p=>q = ~p+q
##
2.
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = p~>q = p+~q
##
3.
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = p|=>q = ~p*q
##
4.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = p|~>q = p*~q
##
5.
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach p i q mają różne kolumny wynikowe Y
Kod: |
T1
Dowód poprawności znaczka ## w rachunku zero-jedynkowym
1: Y= p=>q 2: Y= p~>q 3: Y= p|=>q 4: Y= p|~>q 5: Y= p<=>q
p q ~p ~q =~p+ q = p+~q =~p* q = p*~q =p*q+~p*~q
A: 1 1 0 0 1 1 0 0 1
B: 1 0 0 1 0 1 0 1 0
C: 0 0 1 1 1 1 0 0 1
D: 0 1 1 0 1 0 1 0 0
|
W tabeli T1 doskonale widać perfekcyjnie spełnioną definicje znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych Y (1 do 5) w logice dodatniej (bo Y)
cnd
11.8 Dowód poprawności algebry Kubusia w funkcjach logicznych
Zapiszmy utworzone wyżej schematy ideowe spójników logicznych w bramkach logicznych w postaci uproszczonej z uwzględnienie funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Kod: |
TA
1. --------------
p –-| Spójnik |
| „i”(*) |--------------------------o----------------------------->
q –-| SN7408 | 1A: Y=p*q # 1B: ~Y=~p+~q
--------------
##
2. --------------
p –-| Spójnik |
| „lub”(+) |--------------------------o----------------------------->
q –-| SN7432 | 2A: Y= p+q # 2B: ~Y=~p*~q
--------------
##
3. ----------------
p –-|Warunek |
|wystarczający |------------------------o----------------------------->
q –-| Y=(p=>q) |3A: Y=(p=>q)=~p+q # 3B: ~Y=~(p=>q)= p*~q
----------------
##
4. --------------
p –-|Warunek |
|konieczny |--------------------------o----------------------------->
q –-| Y=(p~>q) | 4A: Y=(p~>q)= p+~q # 4B: ~Y=~(p~>q)=~p* q
--------------
##
5. --------------
p –-|Implikacja | Y=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) # ~Y=~((A1: p=>q)*~(B1: p~>q))
|prosta |--------------------------o----------------------------->
q –-| Y=(p|=>q) | 5A: Y=(p|=>q)=~p* q # 5B: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
--------------
##
6. --------------
p –-|Implikacja | Y=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) # ~Y=~(~(A1: p=>q)*(B1: p~>q))
|odwrotna |--------------------------o----------------------------->
q –-| Y=(p|~>q) | 6A: Y=(p|~>q)= p*~q # 6B: ~Y=~(p|~>q)= ~p+q
--------------
##
7. --------------
p –-|Równoważność| Y=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) # ~Y=~((A1: p=>q)*(B1: p~>q))
|Y=(p<=>q) |--------------------------o----------------------------->
q –-| | 7A: Y=(p<=>q)= p*q+~p*~q # 7B: ~Y=~(p<=>q)= p*~q+~p*q
--------------
##
8. --------------
p –-| Spójnik | Y=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)# ~Y=~((A1: p=>~q)*(B1: p~>~q))
| „albo”($) |--------------------------o----------------------------->
q –-| Y=(p$q) | 8A: Y=(p$q)= p*~q+~p*q # 8B: ~Y=~(p$q)= p*q+~p*~q
--------------
##
9. --------------
p –-| Spójnik | Y=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)# ~Y=~(~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q))
| chaosu |--------------------------o----------------------------->
q –-| Y=(p|~~>q) | 9A: Y=(p|~~>q)=1 # 9B: ~Y=~(p|~~>q)=0
--------------
Gdzie:
o – symbol negatora (~), tożsamy ze znaczkiem #
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji bramek logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne {Y, ~Y} są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Zapiszmy powyższe definicje w bramkach logicznych w tabeli prawdy:
Kod: |
Tabela TA
1A: Y=p*q # 1B: ~Y=~p+~q
##
2A: Y= p+q # 2B: ~Y=~p*~q
##
3A: Y=(p=>q)=~p+q # 3B: ~Y=~(p=>q)= p*~q
##
4A: Y=(p~>q)= p+~q # 4B: ~Y=~(p~>q)=~p* q
##
5A: Y=(p|=>q)=~p* q # 5B: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
##
6A: Y=(p|~>q)= p*~q # 6B: ~Y=~(p|~>q)= ~p+q
##
7A: Y=(p<=>q)= p*q+~p*~q # 7B: ~Y=~(p<=>q)= p*~q+~p*q
##
8A: Y=(p$q)= p*~q+~p*q # 8B: ~Y=~(p$q)= p*q+~p*~q
##
9A: Y=(p|~~>q)=1 # 9B: ~Y=~(p|~~>q)=0
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Doskonale widać, że w tabeli TA definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
11.8.1 Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego
Funkcje logiczne w tabeli TA wolno nam dowolnie przestawiać.
Poprzestawiajmy je tak, by wyrażenia z prawej strony funkcji logicznych Y i ~Y były tożsame
Kod: |
TB
3A: Y=(p=>q) =~p+ q ## 6B: ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
4A: Y=(p~>q) = p+~q ## 5B: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
5A: Y=(p|=>q)=~p* q ## 4B: ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
6A: Y=(p|~>q)= p*~q ## 3B: ~Y=~(p=>q) = p*~q
7A: Y=(p<=>q)= p* q+~p*~q ## 8B: ~Y=~(p$q) = p* q+~p*~q
8A: Y=(p$q) = p*~q+~p* q ## 7B: ~Y=~(p<=>q)= p*~q+~p* q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
|
Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.
Największą tragedią ziemskiej logiki matematycznej jest fakt, że w bramkach logicznych po stronie wejścia cyfrowego widzi ona zmienne binarne w logice dodatniej (bo p) i ujemnej (bo ~p), ale nie widzi dokładnie tego samego po stronie wyjścia cyfrowego Y, tu obowiązuje bezwzględny zakaz widzenia wyjścia Y w logice ujemnej (bo ~Y).
Dowód:
W całym Internecie (plus podręczniki matematyki) nie znajdziemy ani jednej kolumny wynikowej w rachunku zero-jedynkowym opisanej funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y).
Odpowiednikiem tego faktu w matematyce klasycznej byłoby widzenie w układzie Kartezjańskim na osi X zmiennych dodatnich (x) i zmiennych ujemnych (~x) z zakazem widzenia dokładnie tego samego na osi Y, gdzie dozwolone byłoby widzenie jedynie zmiennych dodatnich (y).
Czy ktokolwiek wyobraża sobie współczesną matematykę z takim upośledzonym układem Kartezjańskim?
Prawo Grzechotnika:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli TB.
Kod: |
TB"
3A: ~p+ q [=] 6B: ~p+ q
4A: p+~q [=] 5B: p+~q
5A: ~p* q [=] 4B: ~p+ q
6A: p*~q [=] 3B: p*~q
7A: p* q+~p*~q [=] 8B: p* q+~p*~q
8A: p*~q+~p* q [=] 7B: p*~q+~p* q
Gdzie:
p i q muszą być tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać że po usunięciu z tabeli TB funkcji logicznych Y i ~Y zgwałcony został najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ##, bowiem w tabeli TB" we wszystkich liniach musimy postawić znak tożsamości logicznej [=]
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Tożsame znaczki tożsamości logicznej:
[=], "=", <=> (wtedy i tylko wtedy)
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 8:38, 13 Paź 2024, w całości zmieniany 41 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Czw 23:36, 23 Lut 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
12.0 Kubusiowa teoria zbiorów
Spis treści
12.0 Kubusiowa teoria zbiorów 2
12.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach 3
12.1.1 Suma logiczna zbiorów 3
12.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów 4
12.1.3 Różnica (-) zbiorów 4
12.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów 5
12.2.1 Definicja pojęcia 5
12.2.2 Definicja elementu zbioru 5
12.2.3 Definicja zbioru 5
12.2.4 Definicja Uniwersum U 5
12.2.5 Definicja zbioru pustego [] w sensie absolutnym 6
12.3 Dziedzina 6
12.3.1 Zaprzeczenie zbioru 6
12.3.2 Nazwa własna zbioru 7
12.3.3 Dziedzina użyteczna w języku potocznym 7
12.4 Definicja definicji 9
12.4.1 Dowód iż każdy 5-cio latek zna definicję Uniwersum 10
12.5 Warunek konieczny prawdziwości zdania warunkowego "Jeśli p to q" 11
12.5.1 Zdanie "Jeśli p to q" ze spełnioną definicją wspólnej dziedziny 11
12.6 Zdania "Jeśli p to q" z niespełnioną definicją wspólnej dziedziny dla p i q 12
12.6.1 Zdanie "Jeśli p to q" z niespełnioną definicją wspólnej dziedziny dla p i q 12
12.6.2 Zdania "Jeśli p to q" gdzie p lub q jest zbiorem/zdarzeniem pustym 13
12.7 Zaprzeczenie zdania w algebrze Kubusia 14
12.7.1 Definicje kontrprzykładu w zdarzeniach i zbiorach 14
12.7.2 Przykłady zaprzeczeń zdań w algebrze Kubusia 16
12.8 Definicje zbioru pustego 18
12.8.1 Definicja zbioru pustego [] w sensie absolutnym 19
12.8.2 Definicja zbioru pustego [] względem wybranej dziedziny 19
12.8.3 Definicja zbioru pustego [] będącego twardym fałszem 19
12.9 Uniwersum vs zbiór pusty [] w sensie absolutnym 21
12.9.1 Definicja dziedziny absolutnej DA 21
12.9.2 Definicja zbioru wszystkich zbiorów 22
12.9.3 Prawo Owieczki 22
12.10 Jak wynalazłem niebieską diodę i zmieniłem świat 23
12.10.1 Geneza wszelkich okryć w naszym Wszechświecie 26
12.0 Kubusiowa teoria zbiorów
Punkty 1.0 do 11.0 dotyczą teorii zdarzeń, czyli logiki matematycznej którą w praktyce rozumie każdy 5-cio latek na przykładach stosownych do jego wieku np. o chmurce i deszczu.
Teoria zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej opisana w punktach 12.0 do 18.0 jest analogiczna do teorii zdarzeń.
Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, koło, miłość, krasnoludek, zbór wszystkich zwierząt ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]
Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies)
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)
Prawa Prosiaczka
Prawa Prosiaczka omówiono szczegółowo w punkcie 1.4
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Przykład 1.
(p=1) = (~p=0)
1.
[pies]=1 - prawdą jest (=1) iż wiem co znaczy pojęcie pies
Prawo Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
Nasz przykład:
(pies=1) = (~pies=0) - na mocy prawa Prosiaczka
stąd zdanie tożsame do 1:
~pies=0 - fałszem jest (=0), że nie wiem (~) co znaczy pojęcie [pies]
Przykład 2.
(~p=1) = (p=0)
2.
agstd=0 - fałszem jest (=0) iż wiem co znaczy pojęcie „agstd”
Prawo Prosiaczka:
(agstd=0) = (~agstd=1)
stąd zdanie tożsame do 2:
~agstd=1 - prawdą jest (=1), że nie wiem (~) co znaczy pojęcie agstd
Prawo Rekina:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie
Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze
Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka
Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.
Zbiory, podobnie jak pojęcia, mają wartości logiczne:
[x]=1 - zbiór niepusty, zawierający pojęcia zrozumiałe dla człowieka
[] =0 - zbiór pusty, zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
12.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach
Elementarne działania na zbiorach to:
(+) - suma logiczna zbiorów
(*) - iloczyn logiczny zbiorów
(-) - różnica logiczna zbiorów
12.1.1 Suma logiczna zbiorów
Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
Zdefiniujmy dwa zbiory p i q:
p=[K, T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T, P] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[K,T]+[T,P]=[K,T,T,P] = [K+T+T+P] = [K+T+P] = [K,T,P] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Bo prawo Algebry Boole’a:
p+p =p
Uwaga:
Przecinek przy wyliczaniu elementów zbioru jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) z algebry Boole’a co pokazano i udowodniono wyżej.
12.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny (zbiór wynikowy jest niepusty)
Y = p*q =0 - gdy zbiory p i q nie mają (=0) elementu wspólnego (są rozłączne)
Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
S - Słoń
Zdefiniujmy zbiory p, q, r:
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T,P] =1 - bo zbiór niepusty
r=[P,S] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[K,T]*[T,P]=[T] =1 - zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny
Y=p*r=[K,T]*[P,S] =[] =0 - zbiory p i r nie mają (=0) elementu wspólnego
Identyczne wyniki można uzyskać poprzez wymnażanie logiczne zbiorów.
Przykład:
p*q = [K+T]*[T+P] = K*T + K*P + T*T + T*P =[] + [] + T + [] = T
bo:
K*T+ K*P + T*P =[]+[]+[] =0+0+0 =0 - iloczyn logiczny „*” zbiorów (pojęć) rozłącznych jest zbiorem pustym []
T*T =T
bo prawo algebry Boole’a:
p*p =p
Jak widzimy, przy wyliczaniu elementów zbioru przecinek jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) rodem z algebry Boole’a.
12.1.3 Różnica (-) zbiorów
Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Oznaczmy:
K - Kubuś
T - Tygrysek
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T] =1 - bo zbiór niepusty
Stąd:
Y=p-q = [K,T]-[T] =[K+T-T] =[K] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=q-p =[K]-[K,T]=[K-(K+T)]=[K-K-T]= [] + [-T] =[-T] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty
Prawo odejmowania zbiorów:
Jeśli w operacji odejmowania zbiorów wynikowy zbiór jest z minusem {-} to taki zbiór zamieniamy na zbiór pusty [].
12.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów
Przypomnijmy znane już definicje podstawowe.
12.2.1 Definicja pojęcia
Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, miłość, krasnoludek, ZWZ, LN ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]
Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies)
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)
Prawo Rekina:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie
12.2.2 Definicja elementu zbioru
Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze
12.2.3 Definicja zbioru
Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka
Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.
Zbiory, podobnie jak pojęcia, mają wartości logiczne:
[x]=1 - zbiór niepusty, zawierający pojęcia zrozumiałe dla człowieka
[] =0 - zbiór pusty, zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
12.2.4 Definicja Uniwersum U
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)
Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum.
Zauważmy, że zaledwie 40 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na Ziemi.
Uniwersum lokalne:
Uniwersum lokalne to zbiór pojęć związanych z konkretną gałęzią wiedzy np. medycznej, elektronicznej etc. gdzie znane każdemu człowiekowi niektóre słówka znaczą co innego.
Przykład:
Bramka w teorii bramek logicznych to co innego niż bramka na boisku piłkarskim
W rzadkich przypadkach w dowolnym języku mogą występować dwa słowa identyczne, ale znaczące co innego.
Przykład:
W języku polskim morze i może
Tu różnice są rozpoznawalne albo w pisowni (jak wyżej) albo w kontekście użycia tego słówka:
Może pojedziemy nad morze?
Z reguły dla najpopularniejszych słówek mamy sporo synonimów, co w logice jest bez znaczenia.
Podsumowując:
Przedstawiona wyżej definicja Uniwersum jest pojęciem rzeczywistym łatwym do zrozumienia przez każdego ucznia I klasy LO.
12.2.5 Definicja zbioru pustego [] w sensie absolutnym
Definicja zbioru pustego [] w sensie absolutnym:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)
Zauważmy, że zbiór pusty [] będzie tu podzbiorem => siebie samego (wyjaśnienie w pkt. 12.9):
[]=>[] =1
0=>0 =1
12.3 Dziedzina
Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy
Ograniczeniem górnym w definiowaniu dziedziny jest Uniwersum (zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka)
Zbiór pusty [] to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka, zatem na tym zbiorze nie możemy operować.
Wniosek:
Z definicji nie możemy przyjąć zbioru pustego za dziedzinę.
12.3.1 Zaprzeczenie zbioru
Definicja zaprzeczenia (~) zbioru:
Zaprzeczeniem (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D
~p=[D-p]
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Zaprzeczenie zbioru (~) = Negacja zbioru (~)
Uwaga:
Aby zapisać zbiór ~p będący negacją zbioru p musimy określić wspólną dziedzinę dla zbiorów p i ~p
Definicja dziedziny:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, iloczyn logiczny zbiorów jest zbiorem pustym []
Przykłady:
1.
Przykład na poziomie 5-cio latka:
K = Kubuś
T = Tygrysek
p=[K] - definiujemy zbiór p
D=[K,T] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] = [(K+T)-K]=[T]
2.
Przykład na poziomie ucznia I klasy LO:
K - zbiór wszystkich kobiet
M - zbiór wszystkich mężczyzn
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi (wspólna dziedzina dla M i K)
C=M+K - zbiór człowiek to suma logiczna zbiorów M i K
Stąd:
~M=[C-M]=[M+K-M]=K
~K=[C-K]=[M+K-K]=M
Stąd:
K=~M - zbiór kobiet (K) to zanegowany zbiór mężczyzn (~M) w dziedzinie C (człowiek)
M=~K - zbiór mężczyzn (M) to zanegowany zbiór kobiet (~K) w dziedzinie C (człowiek)
12.3.2 Nazwa własna zbioru
Rozróżniamy dwa rodzaje zbiorów ze względu na nazwę:
- zbiory mające nazwę własną
- zbiory nie mające nazwy własnej
Definicja nazwy własnej zbioru:
Nazwa własna zbioru to nazwa jednoznacznie opisująca dany zbiór w sposób zrozumiały dla wszystkich ludzi
Przykład zbioru mającego nazwę własną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Przykład zbioru nie mającego nazwy własnej:
p = [ZWZ, miłość, samolot]
W języku potocznym z oczywistych względów użyteczne są wyłącznie dziedziny mające nazwy własne, zrozumiałe dla wszystkich, gdzie nie trzeba wypisywać wszystkich pojęć zawartych w dziedzinie.
12.3.3 Dziedzina użyteczna w języku potocznym
Definicja dziedziny użytecznej w języku potocznym:
Dziedzina użyteczna w języku potocznym do dowolny zbiór na którym operujemy mający nazwę własną nie będący Uniwersum.
Uniwersum - zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
W języku potocznym nikt nie używa pojęcia Uniwersum w przeciwieństwie do np. zbioru wszystkich zwierząt.
Rozważmy poniższe dziedziny [ZWZ, ZWS] mające nazwy własne:
Weźmy zbiór jednoelementowy:
P=[pies] - zbiór P zawiera tylko jeden element [pies].
Uwaga:
Nie jest tu istotne że różnych psów jest bardzo dużo bo:
pies Jasia = pies Zuzi = po prostu [pies]
[pies]+[pies] = [pies] - prawo algebry Boole’a (p+p=p)
Pojęcia [pies] są tożsame, nieistotne jest, że jeden pies jest kundelkiem a drugi jamnikiem, że jeden należy do Jasia a drugi do Zuzi.
[pies]*[pies] = [pies] - prawo algebry Boole’a (p*p=p)
ZWZ.
Dla zbioru P=[pies] przyjmijmy dziedzinę:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy zbiór ~P:
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt minus jeden element P=[pies]
ZWS.
Dla zbioru P=[pies] przyjmijmy dziedzinę:
ZWS - zbiór wszystkich ssaków
Stąd mamy zbiór ~P:
~P=[ZWS-P] - zbiór wszystkich ssaków minus jeden element P=[pies]
Wnioski:
Przyjęte dziedziny ZWZ i ZWS mają poprawne nazwy własne należące do Uniwersum, które nie są tożsame z Uniwersum, zatem te dziedziny są poprawne matematycznie i są to dziedziny użyteczne.
a)
Dziedzina ZWZ wskazuje nam, że interesuje nas wyłącznie zbiór wszystkich zwierząt, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWZ są dla nas puste z definicji.
b)
Dziedzina ZWS mówi nam że operujemy na zbiorze wszystkich ssaków, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWS są dla nas puste z definicji.
Przykład:
Twierdzenie proste Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK =1
W twierdzeniu Pitagorasa dziedziną użyteczną i minimalną jest:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Dziedzina ZWT wskazuje nam, że interesują nas wyłącznie trójkąty, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWT są dla nas puste z definicji
Nikt nie będzie brał do ręki koła i sprawdzał czy zachodzi w nim suma kwadratów.
12.4 Definicja definicji
Definicja definicji:
W świecie człowieka (bo tylko on świadomie definiuje) definicja dowolnego pojęcia jest matematycznie poprawna wtedy i tylko wtedy jest jednoznaczna w Uniwersum człowieka.
Innymi słowy:
Definicja dowolnego pojęcia jest matematycznie poprawna wtedy i tylko wtedy gdy jest jedyna w całym obszarze Uniwersum.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)
Przykład poprawnej definicji:
Pies to zwierzę domowe, szczekające.
P = ZD*S=1*1=1
To jest minimalna, jednoznaczna definicja psa rozumiana przez każdego 5-cio latka.
Oznacza to że pojęcia P oraz ZD*S są matematycznie tożsame P=ZD*S, czyli są w relacji równoważności P<=>ZD*S w całym obszarze Uniwersum
Przykład błędnej definicji z filmu „Rejs”:
[link widoczny dla zalogowanych]
Zwierzę domowe, hodowlane, występujące nad Wisłą - podać jego odgłos
Inny przykład:
Prawo Irbisa:
Dwa pojęcia/zbiory/zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q (i odwrotnie)
p=q <=> A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Stąd mamy:
Tożsame prawo Irbisa:
Dwa pojęcia/zbiory/zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q (i odwrotnie)
p=q <=> A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Podstawmy:
p=K (krasnoludek)
q=K (krasnoludek)
Przyjmijmy dziedzinę:
D=U (Uniwersum)
Obliczmy przeczenia p i q rozumiane jako uzupełnienia p i q do wspólnej dziedziny (u nas Uniwersum).
~p = ~K = [U-K] -zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka minus jedno pojęcie "krasnoludek"
~q = ~K = [U-K] -zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka minus jedno pojęcie "krasnoludek"
Definicja równoważności A1B2 generująca tabelę zero-jedynkową równoważności:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B2: ~p=>~q=1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd;
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Podstawmy nasz przykład:
A1B2: K<=>K = (A1: K=>K)*(B2: [U-K]=>[U-K]) =?
A1: K=>K =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B2: [U-K]=>[U-K] =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
stąd mamy:
A1B2: K<=>K = (A1: K=>K)*(B2: [U-K]=>[U-K]) =1*1=1
cnd
12.4.1 Dowód iż każdy 5-cio latek zna definicję Uniwersum
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Dowód iż każdy 5-cio latek zna w praktyce definicję Uniwersum, niezależnie od swego języka ojczystego jest banalny.
Udajmy się do przedszkola.
Scenka 1.
Pani przedszkolanka wydaje polecenie:
Drogie dzieci narysujcie człowieka.
Pamięć człowieka (w tym pamięć 5-cio latków) jest pamięcią fotograficzną, czyli nasz mózg przywołuje w tym przypadku jakąś panią albo jakiegoś pana i na tej podstawie dzieci wykonują rysunek.
Tu każdy 5-co latek podświadomie rozstrzyga, że człowiekiem nie może być cokolwiek innego w całym obszarze Uniwersum, bo inaczej nie mógłby jednoznacznie rozstrzygnąć co ma narysować.
C =[C] (człowiek) - ten obiekt 5-cio latek rysuje
Zaprzeczenie pojęcia człowiek w obszarze U Uniwersum to:
~C = [U-C]=[zwierzę, krasnoludek, koło ..] - Uniwersum U z wykluczeniem pojęcia C (człowiek)
Matematycznie musi zachodzić:
C+~C =U
C*~C =[]
Inaczej 5-cio latek nie będzie wiedział co ma narysować
cnd
Scenka 2.
Pani przedszkolanka wydaje kolejne polecenie:
Drogie dzieci narysujcie swoją mamę
Pamięć człowieka (w tym pamięć 5-cio latków) jest pamięcią fotograficzną, czyli mózg 5-cio latka przywołuje w tym przypadku swoją mamę i na tej podstawie wykonuje rysunek.
Tu przykładowy Jaś (lat 5) podświadomie rozstrzyga, że mamę ma tylko i wyłącznie jedną i ją rysuje.
Zauważmy, że mama Jasia jest jedyną w całym obszarze Uniwersum, bo inaczej Jaś nie mógłby jednoznacznie narysować swojej mamy.
MJ =[MJ] - mama Jasia, tą mamę Jaś rysuje
Zaprzeczenie pojęcia mama Jasia w obszarze U Uniwersum to:
~MJ = [U-MJ] =[mama Zuzi, tata Jasia, zwierzę, krasnoludek, koło …] - Uniwersum U z wykluczeniem pojęcia mama Jasia MJ.
Matematycznie musi zachodzić:
MJ+~MJ =U
MJ*~MJ =[]
Inaczej 5-cio latek nie będzie wiedział co ma narysować
cnd
12.5 Warunek konieczny prawdziwości zdania warunkowego "Jeśli p to q"
Definicja wspólnej dziedziny w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q":
Wspólna dziedzina D w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" musi zawierać wszystkie elementy zbioru p i wszystkie elementy zbioru q.
Inaczej zdanie "Jeśli p to q" jest fałszywe.
Stąd mamy:
1.
Definicja dziedziny D po stronie p:
p+~p = D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla zbioru p
p*~p=[]=0 - zbiory p i ~p są rozłączne
Stąd mamy:
~p=[D-p] - zbiór ~p jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla zbioru p
2.
Definicja dokładnie tej samej dziedziny D po stronie q:
q+~q = D =1 - zbiór ~q jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla zbioru q
q*~q=[]=0 - zbiory q i ~q są rozłączne
Stąd mamy:
~q=[D-q] - zbiór ~q jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla zbioru q
Warunek konieczny prawdziwości zdania warunkowego "Jeśli p to q"
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" jest wspólna dziedzina D dla p i q
Nie jest to warunek konieczny i wystarczający bo kontrprzykład:
A1'.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Wspólna dziedzina dla p i q to:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
Po stronie poprzednika p mamy tu:
p=LN=P8+~P8 =1 - LN to suma logiczna zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Po stronie następnika q mamy tu identyczną dziedzinę:
q=LN=P2+~P2 =1 - LN to suma logiczna zbiorów P2=[2,4,6,8..] i ~P2=[1,3,5,7,9..]
Wniosek:
Definicja wspólnej dziedziny dla p i q jest spełniona, ale zdanie A1’ jest fałszem, bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7..] są rozłączne.
12.5.1 Zdanie "Jeśli p to q" ze spełnioną definicją wspólnej dziedziny
Definicja wspólnej dziedziny w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q":
Wspólna dziedzina D w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" musi zawierać wszystkie elementy zbioru p i wszystkie elementy zbioru q.
Inaczej zdanie "Jeśli p to q" jest fałszywe.
Przykład zdania warunkowego "Jeśli p to q" mającego wspólną dziedzinę dla p i q:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => ta sama liczba jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 (P8) jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 (P2) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8 jest podzbiorem => P2 potrafi każdy matematyk
cnd
Po stronie poprzednika p mamy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] – zbiór liczb naturalnych
LN=P8+~P8 =1 – zbiór ~P8 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P8
P8*~P8=[]=0 – zbiory P8 i ~P8 są rozłączne
Po stronie następnika q mamy dokładnie ta samą dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] – zbiór liczb naturalnych
LN=P2+~P2 =1 – zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P2
P2*~P2=[]=0 - zbiory P2 i ~P2 są rozłączne
Wniosek:
Wspólna dziedzina minimalna LN dla p i q w zdaniu A1 jest spełniona.
12.6 Zdania "Jeśli p to q" z niespełnioną definicją wspólnej dziedziny dla p i q
Warunek konieczny prawdziwości zdania warunkowego "Jeśli p to q"
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" jest wspólna dziedzina D dla p i q
Wniosek:
Zdania warunkowe Jeśli p to q” które nie spełniają warunku koniecznego prawdziwości zdania warunkowego „Jeśli p to q” są fałszywe
W dalszej części podamy przykłady takich zdań.
12.6.1 Zdanie "Jeśli p to q" z niespełnioną definicją wspólnej dziedziny dla p i q
Definicja wspólnej dziedziny w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q":
Wspólna dziedzina D w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" musi zawierać wszystkie elementy zbioru p i wszystkie elementy zbioru q.
Inaczej zdanie "Jeśli p to q" jest fałszywe.
Przykład zdania warunkowego "Jeśli p to q" z niespełnioną definicją wspólnej dziedziny dla p i q:
A1.
Jeśli dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 8 (P8) to zachodzi twierdzenie Pitagorasa (TP)
P8=>TP =0
Powyższe zdanie warunkowe jest fałszywe bo nie jest tu spełniona definicja wspólnej dziedziny dla p i q w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q”.
Dowód:
1.
W obrębie poprzednika p mamy dziedzinę LN:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] – zbiór liczb naturalnych
LN=P8+~P8 =1
Zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest (=1) uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru P8=[8,16,24..]
stąd mamy:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
Matematycznie zachodzi:
P8*~P8=[]=0 – zbiory P8 i ~P8 są rozłączne
2.
W obrębie następnika q mamy dziedzinę:
ZWT – zbiór wszystkich trójkątów
ZWT=TP+~TP =1
Zbiór trójkątów nieprostokątnych ~TP jest uzupełnieniem do dziedziny ZWT dla zbioru trójkątów prostokątnych TP
Stąd mamy:
~TP=[ZWT-TP]
Matematycznie zachodzi:
TP*~TP=[] =0 – zbiory TP i ~TP są rozłączne
Wnioski:
1.
Dziedziny LN i ZWT są rozłączne:
LN~~>ZWT = LN*ZWT =[] =0
Oznacza to, że nie istnieje choćby jeden element zbioru LN który by należał do zbioru ZWT (i odwrotnie)
2.
Zdanie A1 jest fałszywe, bo nie jest spełniona definicja wspólnej dziedziny dla p i q.
cnd
12.6.2 Zdania "Jeśli p to q" gdzie p lub q jest zbiorem/zdarzeniem pustym
Zdania "Jeśli p to q" gdzie p lub q jest zbiorem/zdarzeniem pustym w języku potocznym nie są używane, bowiem nie możemy operować na zbiorze pustym [], z definicji zawierającym pojęcia niezrozumiałe dla człowieka.
Przykład 1
A1
Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
Uwagi:
Logika matematyczna nie zajmuje się działaniami arytmetycznymi bo nie są to zdarzenia zero-jedynkowe, podlegające pod logikę matematyczną.
Logika matematyczna zajmuje się tylko i wyłącznie:
- rozpoznawalnością pojęć
- relacjami zero-jedynkowymi między pojęciami
Stąd zdanie A1 zapisujemy:
A1
Jeśli zbiór pusty [] to liczba 4
Gdzie:
[] - zbiór pusty lub zdarzenie niemożliwe
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.
W poprzedniku p zdania A1 mamy tu zbiór pusty [] zawierający wszelkie pojęcia możliwe do zdefiniowania w naszym Wszechświecie, ale jeszcze niezdefiniowane, natomiast w następniku mamy liczbę 4, pojęcie już zdefiniowane w naszym Wszechświecie.
Oczywistym jest, że iloczyn logiczny poprzednika p=[] z następnikiem q=[4] będzie tu zbiorem pustym [], bo zbiory p=[] i q=[4] są zbiorami rozłącznymi.
Stąd nasze zdanie A1 jest twardym fałszem:
A1
Jeśli zbiór pusty [] to liczba 4
[]~~>[4] = []*[4] =[] =0 - twardy fałsz, bo zbiór pusty [] i jednoelementowy zbiór [4] są rozłączne
Przykład 2
B1.
Jeśli 2+2=4 to 2+2=5
Mamy tu sytuację identyczną jak w przykładzie 1, zatem wnioskowanie będzie tu identyczne
Innymi słowy:
Zdanie B1 możemy zapisać w postaci:
B1.
Jeśli liczba 4 to zbiór pusty []
[4]~~>[] = [4]*[] = [] =0 - twardy fałsz, bo jednoelementowy zbiór [4] i zbiór pusty [] są rozłączne
Wyjątkową sytuacją jest przypadek gdy w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" mamy zbiory puste (zdarzenia niemożliwe), zarówno w poprzedniku p jak i w następniku q
Przykład 3
C1.
Jeśli 2+2=5 to pójdę piechotą na Księżyc
W tym przypadku w poprzedniku p mamy zbiór pusty [], zaś w następniku q zdarzenie niemożliwe [].
Stąd zdanie tożsame do C1 możemy zapisać jako.
C1.
Jeśli zbiór pusty [] to zdarzenie niemożliwe []
[]=>[] =1
Przynależność dowolnego pojęcia do zbioru pustego [] jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby to pojęcie należało do zbioru pustego []
Innymi słowy:
Każdy zbiór jest (=1) podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty []
Szczegółowy dowód tego faktu wraz ze szczegółowym wyjaśnieniem o co tu chodzi mamy w punkcie 12.9.3 (prawo Owieczki)
12.7 Zaprzeczenie zdania w algebrze Kubusia
Zaprzeczenie zdanie w algebrze Kubusia wynika z definicji kontrprzykładu
12.7.1 Definicje kontrprzykładu w zdarzeniach i zbiorach
1.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy warunek wystarczający A1: P=>CH=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1' (i odwrotnie)
A1'
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH=0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu tego faktu nie musimy udowadniać, ale możemy, co wyżej uczyniliśmy.
Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’
2.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2=1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2, bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8…], co każdy matematyk udowodni.
Na mocy definicji kontrprzykładu, z prawdziwości warunku wystarczającego A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Dowód wprost:
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9…] bo dowolny zbiór liczb parzystych jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych.
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywości zdania A1' nie musimy udowadniać, ale możemy, co zrobiono wyżej.
Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’
12.7.2 Przykłady zaprzeczeń zdań w algebrze Kubusia
Definicja zaprzeczenia zdania w algebrze Kubusia:
Zaprzeczeniem zdania w algebrze Kubusia jest fałszywy kontrprzykład obowiązujący w zdaniach warunkowych i twierdzących
Na mocy definicji kontrprzykład jest nierozerwalnie związany ze zdaniem warunkowym „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym =>
Prawo Mrówki:
Dowolne zdanie twierdzące prawdziwe to spełniony warunek wystarczający =>
Przykłady:
1.
Pies ma cztery łapy
P=>4L =1
2.
Ziemia krąży dookoła słońca
Z=>DS =1
3.
Trójkąt o bokach [3,4,5] jest prostokątny
T345=>TP =1
4.
Kopernik był mężczyzną
K=>M =1
5.
Kubuś Puchatek jest misiem
KP=>M =1
Przykład 1
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P) to ma cztery łapy (4L)
P=>4L =1
Bycie psem (P) jest warunkiem wystarczającym => by mieć cztery lapy (4L) bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń, koń ..]
Innymi słowy:
Bycie psem jest (=1) warunkiem wystarczającym => by mieć cztery łapy bo każdy pies ma cztery łapy
Kontrprzykład dla A1 brzmi:
A1’.
Jeśli zwierzę jest psem (P) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L)
P~~>~4L = P*~4L =0
Nie może się zdarzyć (=0) że zwierzę jest psem (P) i nie ma czterech łap (~4L)
Wynikowe zero jest tu twardym zerem tzn. jest fizycznie niemożliwe ustawienie tu jedynki, bo psów z innymi łapami niż cztery, po prostu nie ma
Zdane twierdzące wynikłe ze zdania A1 to:
A1”
Pies ma cztery łapy
P=>4L =1
Zauważmy, że matematyczne kodowanie zdania A1” jest identyczne jak zdania A1.
Stąd zaprzeczenie zdania A1” to:
1: ~A1”
Nie może się zdarzyć (=0), że zwierzę jest psem (P) i nie ma czterech łap (~4L)
P~~>~4L = P*~4L =0
Zaprzeczenie zdania A1” można wypowiedzieć tak:
2: ~A1”
Pies nie ma czterech łap
P~~>~4L = P*~4L =0
Matematycznie zachodzi tożsamość zdań:
1: ~A1” = 2: ~A1”
Przykład 2
Ziemia krąży dookoła Słońca
Zdanie tożsame:
A2
Ziemia na 100% => krąży dookoła Słońca
kodowanie matematyczne:
Z=>DS =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Gdzie:
p=Z (Ziemia)
q=DS (dookoła Słońca)
Czytamy:
Bycie Ziemią (Z) jest (=1) warunkiem wystarczającym => by krążyła ona dookoła Słońca (DS)
Kontrprzykład dla A2 to:
A2’
Ziemia (Z) może ~~> nie krążyć dookoła Słońca (~DS.)
Z~~>~DS =Z*~DS =0
Nie może się zdarzyć ~~> (=0), że Ziemia nie krąży dookoła Słońca
Zaprzeczenia zdania A2 można wypowiedzieć tak:
Ziemia nie krąży dookoła Słońca
Z~~>~DS =Z*~DS =0
Fałszem jest (=0), że Ziemia krąży dookoła Słońca
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
p=>q=1
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Relacja podzbioru
Dowód czysto matematyczny, iż poprzednik p=Z jest podzbiorem następnika q=DS
Przyjmijmy dziedzinę:
ZWP - Zbiór wszystkich planet krążących dookoła naszego Słońca
ZWP=[Ziemia, Mars, Wenus..]
Oczywistym jest, że wszystkie te planety krążą dookoła naszego Słońca
Prawo Orła:
Rozstrzygające o relacji warunek wystarczający => albo warunek konieczny ~> między p i q zarówno w zdarzeniach, jak i w zbiorach:
p*(q+~q) (=>, ~>) q*(p+~p)
Wyprowadzenie prawa Orła:
W AK poprzednik p i następnik q muszą należeć do wspólnej dziedziny D, czyli:
p+~p = D =1
q+~q = D =1
p (=>, ~>) q
Prawo algebry Boole’a:
p*1 (=>, ~>) q*1
Stąd mamy wyprowadzone prawo Orła:
p*(q+~q) (=>, ~>) q*(p+~p)
cnd
Nasz przykład:
Prawo Orła:
Rozstrzygające o relacji między p i q zarówno w zdarzeniach, jak i w zbiorach:
p*(q+~q) => q*(p+~p)
p=Z
q=DS
Obliczamy ~Z:
~Z=[ZWP-Z]=[Mars, Wenus..] - wszystkie planety z wykluczeniem Ziemi
Stąd mamy:
Z*(DS+~DS) => DS*(Z+~Z)
Z*DS + Z*~DS => Z*DS + ~Z*DS
Z*~DS=0 - fałszem jest (=0), że Ziemia nie krąży dookoła Słońca
Stąd mamy:
Z*DS => Z*DS + ~Z*DS - relacja podzbioru => jest spełniona!
Doskonale widać, że relacja podzbioru => w zdarzeniach jest tu spełniona:
Z => DS =1
cnd
12.8 Definicje zbioru pustego
W logice matematycznej rozróżniamy trzy rodzaje zbioru pustego [].
12.8.1 Definicja zbioru pustego [] w sensie absolutnym
Definicja zbioru pustego [] w sensie absolutnym:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)
Zauważmy, że zbiór pusty [] będzie tu podzbiorem => siebie samego (wyjaśnienie w pkt. 12.9):
[]=>[] =1
0=>0 =1
12.8.2 Definicja zbioru pustego [] względem wybranej dziedziny
Definicja zbioru pustego [] względem wybranej dziedziny:
Zbiór pusty [] to wszelkie pojęcia poza wybraną dziedziną
Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy
Przykład:
Twierdzenie proste Pitagorasa:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu
Oczywista dziedzina na której operuje twierdzenie Pitagorasa to:
ZWT – zbiór wszystkich trójkątów
Zbiorem [] pustym będą tu wszelkie pojęcia z Uniwersum pomniejszone o zbiór wszystkich trójkątów
[] = [U-ZWT]
Przykładowe pojęcia puste [] ze względu na zbiór wszystkich trójkątów (ZWT) to:
[] = [kwadrat, koło, kula, pies, miłość, krasnoludek …]
Zauważmy, że zbiór pusty [] będzie tu podzbiorem => siebie samego:
[]=>[] =1
0=>0 =1
12.8.3 Definicja zbioru pustego [] będącego twardym fałszem
Definicja zbioru pustego [] będącego twardym fałszem:
Zbiór pusty [] to wszelkie twarde fałsze (=0) w otaczającym nas świecie.
Definicja twardego fałszu (=0):
Twardy fałsz (=0) to pojęcie które w dowolnym iterowaniu (losowaniu) nie ma prawa stać się prawdą (=1)
W logice matematycznej istnieją twarde jedynki i twarde zera jak również miękkie jedynki i miękkie zera. O co tu chodzi mamy wytłumaczone na przykładzie w punkcie 2.16.3 oraz 2.17.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach (pkt. 2.3.4):
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Przykłady twardej prawdy i twardego fałszu:
1.
Pies na cztery lapy
P=>4L =1 – twarda prawda (=1)
Bycie psem jest (=1) wystarczające => by mieć cztery łapy wtedy i tylko wtedy
gdy zbiór P=[pies] jest (=1) podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
2.
Kontrprzykład dla 1 to:
Nie istnieje (=0) zwierzę będące psem i nie mające czterech łap
P~~>~4L=P*~4L=[] =0 – twardy fałsz (=0)
Zbiór P=[pies] i zbiór zwierząt bez czterech łap ~4L=[kura ..] to zbiory rozłączne (=[] =0)
3.
2+2=4 – twarda prawda (=1)
Prawdziwe jest (=1) działania 2+2=4
4.
2+2=5 =[] =0 – twardy fałsz
Fałszywe jest (=0) działanie 2+2=5
etc
Zauważmy, że twarde fałsze należą do Uniwersum bo potrafimy udowodnić iż są to twarde fałsze.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Wszelkie pojęcia w Uniwersum wiąże ze sobą spójnik „lub”(+).
Stąd mamy:
U = [pies ma cztery łapy (=1) + pies nie ma czterech łap (=0) + miłość (=1) + krasnoludek (=1) ...]
- wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)
Zauważmy, że jeśli ze zbioru U (Uniwersum) usuniemy twarde fałsze (=0) to nic nie stracimy na jednoznaczności U (Uniwersum) bowiem wszelkie twarde fałsze (=0) wynikają z twardych prawd (=1) na mocy definicji kontrprzykładu.
Zajdzie więc tożsamość zbioru U (Uniwersum) z twardymi fałszami:
U = [pies ma cztery łapy (=1) + pies nie ma czterech łap (=0) + miłość (=1) + krasnoludek (=1) ...]
oraz zbioru U (Uniwersum) pomniejszonego o wszelkie twarde fałsze:
U = [pies ma cztery łapy (=1) + miłość (=1) + krasnoludek (=1) ...]
To samo w zapisie ogólnym możemy zapisać jako:
U-[] =U-0 = U
Czytamy:
Z dowolnego zbioru (w tym z Uniwersum) możemy usunąć twarde fałsze i zbiór nie zmieni się na mocy definicji spójnika „lub”(+).
Komentarz:
W logice matematycznej za psa przyjmujemy wzorzec psa, czyli psa zdrowego z czterema łapami.
Oczywiście wiemy, że pies kaleki z trzema łapami to też pies, ale tego przypadku nie wolno nam podpinać pod logikę matematyczną, bo będziemy mieli chaos, czyli brak warunku wystarczającego =>.
Dowód:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P) to na 100% => ma cztery łapy (4L)
A1: P=>4L =0
Przyjmijmy za dziedzinę psa z czterema łapami plus psa kalekiego (z trzema łapami)
Wtedy mamy:
Warunek wystarczający A1: P=>4L nie jest (=0) spełniony, bo istnieje pies z trzema łapami
Podsumowując:
Nie wolno obalać logiki matematycznej przysłowiowym „psem z trzema łapami”
12.9 Uniwersum vs zbiór pusty [] w sensie absolutnym
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek, pies ma cztery łapy ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)
Definicja zbioru pustego [] w sensie absolutnym:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)
Z definicji wiadomo, że wyłącznie człowiek (mimo że podobno pochodzi od małpy) jest zdolny do odkrywania i świadomego definiowania dowolnych pojęć związanych z otaczającym go światem.
Przed pojawieniem się pierwszego człowieka na ziemi mieliśmy zatem do czynienia ze zbiorem pustym [].
Aktualna wiedza o otaczającym nas Wszechświecie to wiedza dostępna wyłącznie człowiekowi z wykluczeniem wszelkich zwierząt.
Matematycznie zachodzi:
Człowiek ## Dowolne zwierzę
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy wyprowadzoną definicje zbioru pustego [] w sensie absolutnym, czyli przed pojawieniem się pierwszego człowieka na Ziemi (zaledwie 200tys lat temu)
Definicja zbioru pustego [] w sensie absolutnym:
Zbiór pusty [] w sensie absolutnym to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)
12.9.1 Definicja dziedziny absolutnej DA
Idąc dalej tropem zbioru pustego [] w sensie absolutnym łatwo zdefiniować nowatorskie pojęcie zwane dziedziną absolutną DA.
Definicja dziedziny absolutnej DA:
Dziedzina absolutna DA to zbiór wszelkich pojęć możliwych do zdefiniowania w naszym Wszechświecie.
Zauważmy, że największy współczesny wynalazek ludzkości, Internet, mógł zaistnieć tylko i wyłącznie dlatego, że na naszej Ziemi były ku temu warunki niezależne od człowieka, które istniały „od zawsze”.
Nie wiadomo jakimi jeszcze wynalazkami w przyszłości ludzkość zostanie zaskoczona, pewne jest, że zostanie zaskoczona wynalazkami tylko i wyłącznie możliwymi do zaistnienia w naszym Wszechświecie.
Ludzkość w tym zakresie nieustannie marzy, próbując zrealizować swoje marzenia.
Wiele z tych marzeń jest wątpliwej jakości.
Przykłady:
Faraonowie w grobowcach gromadzili niebotyczne skarby marząc o życiu w zaświatach gdzie będą ich potrzebować.
Średniowieczni alchemicy marzyli o zrobieniu złota z piasku bo to żółte i to żółte
etc
Przykłady zrealizowanych marzeń ludzkości o których największym ziemskim, średniowiecznym filozofom się nie śniło to:
- radio i telewizja
- prom kosmiczny
- Internet
etc
Jak widzimy, na bazie powyższych rozważań pojęcie dziedziny absolutnej DA jest pojęciem rzeczywistym, dziejącym się na naszych oczach, tu i teraz.
W żadnym przypadku pojęcie dziedziny absolutnej DA nie jest pojęciem abstrakcyjnym.
12.9.2 Definicja zbioru wszystkich zbiorów
Jak udowodniliśmy wyżej, kluczowe pojęcia Kubusiowej Teorii Zbiorów:
- Uniwersum (U)
- Zbiór pusty ([]) w sensie absolutnym
- Dziedzina absolutna (DA)
To pojęcia rzeczywiste, weryfikowalne w naszym Wszechświecie.
Stąd mamy łatwo wyprowadzoną definicję zbioru wszystkich zbiorów.
Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z dziedziną absolutną DA.
12.9.3 Prawo Owieczki
Definicja Uniwersum:
Uniwersum U to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Definicja zbioru pustego [] w sensie absolutnym:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Zbiór pusty zawiera nieskończenie wiele pojęć niezrozumiałych dla człowieka, jeszcze niezdefiniowanych. Definiować elementy w naszym Wszechświecie może wyłącznie człowiek, świat martwy sam sobie nic nie definiuje.
Przed pojawieniem się człowieka na ziemi zawartość zbioru pustego była taka:
[] - wszystkie elementy naszego Wszechświata w sensie absolutnym, nie ma jeszcze człowieka który by cokolwiek definiował.
W dniu dzisiejszym sytuacja jest inna, taka:
Kod: |
T1
Algebra Kubusia:
-----------------------------------------------------------------
| Uniwersum U | Zbiór pusty [] |
| Pojęcia przez człowieka już | Pojęcia jeszcze przez człowieka |
| zdefiniowane | niezdefiniowane |
| Zrozumiałe dla człowieka | Niezrozumiałe dla człowieka |
| U=~[] | []=~U |
-----------------------------------------------------------------
| DA - dziedzina absolutna |
-----------------------------------------------------------------
|
Na mocy powyższego zachodzi:
U = ~[] - zbiór Uniwersum U to zaprzeczenie zbioru pustego [] w dziedzinie absolutnej DA
[] = ~U - zbiór pusty [] to zaprzeczenie Uniwersum U w dziedzinie absolutnej DA
Na mocy definicji dziedziny absolutnej DA mamy:
1: U+~U = U+[] =U =1
2: U*~U = U*[] =[] =0
Komentarz:
1.
Do zbioru Uniwersum (pojęcia zrozumiałe dla człowieka) możemy dodać elementy ze zbioru ~U (pojęcia niezrozumiałe dla człowieka np. kgstl), ale na mocy definicji Uniwersum wszelkie takie elementy musimy natychmiast usunąć, inaczej gwałcimy definicję Uniwersum.
2.
U*~U=[] =0
Iloczyn logiczny elementów ze zbioru U (pojęcia zrozumiałe dla człowieka) i ~U (pojęcia niezrozumiałe dla człowieka) jest zbiorem pustym tzn. nie ma ani jednego elementu wspólnego w zbiorach U i ~U=[].
Prawo Owieczki:
Prawdziwe jest zdanie ziemskich matematyków iż „ze zbioru pustego [] wynika wszystko” wtedy i tylko wtedy gdy definicje zbioru pustego [] i Uniwersum U będą zgodne z definicjami obowiązującymi w algebrze Kubusia.
12.10 Jak wynalazłem niebieską diodę i zmieniłem świat
Doskonałą ilustracją do definicji podstawowych będzie historia wynalezienia niebieskiej diody LED.
Diodę świecącą LED wynaleziono w 1962r (Nick Holonyak Jr.). Pierwsza dioda LED, przypominająca nam tę współczesną, to żółta dioda wynaleziona w 1972 r., dająca znacznie mocniejsze światło.
Dioda niebieska jest kluczowa dla sygnału RGB (kolorowa TV), więc największe laboratoria świata wszystkie swoje siły skierowały na opracowanie tej diody. Przez około 20 lat wszystko dreptało w miejscu, czyli zero efektów mimo zaangażowania ogromnych sił i środków.
I nagle, w 1993 roku zabłysnął nikomu nieznany Japończyk Shuji Nakamura któremu udało się znaleźć doskonałą, niebiską diodę LED w grupie pierwiastków gdzie nikt się tego nie spodziewał i nie szukał.
Najważniejszym pokłosiem odkrycia Shuji Nakamury jest fakt, że nagle, z dnia na dzień, jasność wszystkich podstawowych diod LED dla sygnału RGB (czerwona, zielona, niebieska) skoczyła 1000-krotnie. Dokładnie dlatego na dzień dzisiejszy żarówki LED praktycznie wyeliminowały tradycyjne żarówki i świetlówki z naszego świata. Żarówka LED jest dwadzieścia razy oszczędniejsza w zużyciu energii i pracuje 50tys godzin a nie jak zwykła żarówka 1000 godzin.
To jest bardzo dobra ilustracja poprawności definicji zbioru pustego podanej wyżej.
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Zbiór pusty zawiera nieskończenie wiele pojęć niezrozumiałych dla człowieka, jeszcze niezdefiniowanych. Definiować elementy w naszym Wszechświecie może wyłącznie człowiek, świat martwy sam sobie nic nie definiuje.
Prawo Owieczki:
Prawdziwe jest zdanie ziemskich matematyków iż „ze zbioru pustego [] wynika wszystko” wtedy i tylko wtedy gdy definicje zbioru pustego [] i Uniwersum U będą zgodne z definicjami obowiązującymi w algebrze Kubusia.
Gazeta Wyborcza: 24.05.2017
Jak wynalazłem niebieską diodę i zmieniłem świat
[link widoczny dla zalogowanych]
Na naszych oczach dokonuje się rewolucja w oświetleniu. Tradycyjne żarówki i świetlówki są zastępowane przez półprzewodnikowe źródła światła, popularnie zwane LED-ami (ang. LED - light-emitting diode, czyli świecące diody). Jeden z twórców tego przełomu – japoński fizyk prof. Shuji Nakamura -– otrzymał właśnie doktorat honoris causa Uniwersytetu Warszawskiego. "Prometeusz wykradł ogień z Olimpu i przekazał go ludzkości. Nakamura dał nam nowe wydajne źródło światła" – mówił w laudacji prof. Roman Stępniewski.
Rozmowa z
Prof. Shuji Nakamurą,
noblistą z fizyki, profesorem inżynierii na Uniwersytecie Kalifornijskim w Santa Barbara
Piotr Cieśliński: Nobel pana zaskoczył?
– Od 1993 r., w którym wynalazłem niebieską diodę, japońskie media ustawiały się pod moim domem w dniu ogłaszania laureatów Nagrody Nobla. Dziennikarze musieli jednak uzbroić się w cierpliwość, bo Nobla dostałem dopiero 20 lat później. Ale nie byłem nim zdziwiony.
W 1993 r. był pan inżynierem w małej i nieznanej firmie Nichia.
– Pracowałem w osamotnieniu, nie współpracowałem z uczelniami i naukowcami, długo nie publikowałem, nie miałem nawet doktoratu. Dlatego z początku nikt nie wierzył, że zrobiliśmy niebieskie LED-y. Nichia musiała urządzić pokazy w Tokio i Osace i dopiero wtedy się rozniosło: "Wielkie nieba, udało im się!".
Skąd pomysł, aby stworzyć niebieską diodę?
– Gdy przyszedłem do Nichii, mój bezpośredni przełożony kazał mi opracować czerwone LED-y. Takie diody wynaleziono jeszcze w latach 50. i w tym czasie już od dawna były w sprzedaży. Zacząłem od przeczytania całej literatury naukowej na ten temat. Niemal każda praca kończyła się wzmianką, że rewolucją byłoby stworzenie niebieskich LED-ów. Można by wtedy zrobić kolorowe ekrany i wyświetlacze, a także białe półprzewodnikowe źródła światła, kilkadziesiąt razy bardziej energooszczędne niż tradycyjne żarówki.
Ale gdy sugerowałem, że może lepiej zająć się niebieskimi diodami, szef uznał, że zwariowałem lub jestem bezczelnym smarkaczem
Niesłychane – przychodzi z małego i słabego uniwersytetu i chce robić to, nad czym głowią się największe mózgi w laboratoriach największych światowych potentatów, takich jak Sony, Toshiba czy Philips, z wielokrotnie większym budżetem na badania. „Nakamura, postradałeś rozum!” – słyszałem.
Co było dalej?
– Tak jak chciał szef, opracowałem technologię wytwarzania czerwonych LED-ów, ale biznesowo to była klapa. Nichia nic na tym nie zarobiła. Nasze czerwone diody się nie sprzedawały. Nic dziwnego. Firma była znana z chemii, a nie z elektroniki. Trudno było wejść na rynek, który podzieliły między siebie wielkie i znane marki. Szef stwierdził, że zmarnowałem mnóstwo pieniędzy i w zasadzie nie jestem już potrzebny. Na szczęście sędziwy Nobuo Ogawa zgodził się, abym zajął się niebieskimi diodami.
Jak to?
– 80-letni właściciel firmy zawsze był w biurze i miał otwarte drzwi dla młodych pracowników. Byłem zdesperowany, poszedłem do niego i spytałem, czy mogę pracować nad niebieskimi LED-ami? Ku mojemu zdumieniu powiedział, że tak. Dał mi na to 5 mln dol.! A to sporo, jak na tak małą firmę.
Ale czemu zaufał młodemu inżynierowi bez doktoratu?
– Przed moim przyjściem dział badań i rozwoju Nichii nie stworzył żadnego nowego produktu, a ja opracowałem trzy w ledwie pięć lat. Co prawda nie przyniosły zysku, wręcz przeciwnie, ale Ogawa mnie cenił. Miałem 35 lat i nigdy nie byłem za granicą, więc idąc za ciosem, zapytałem go, czy sfinansuje mi także staż w USA.
I co odpowiedział?
– Że OK. Na Uniwersytecie Florydy przez rok uczyłem się techniki MOCVD osadzania cienkich warstw materiału, która mi była potrzebna do tworzenia niebieskich LED-ów. Świecące diody robi się jak kanapki, układając na sobie kolejne warstwy atomów, każdą odpowiednio doprawiając. Wróciłem do Nichii w 1989 r. i wziąłem się do roboty. Szczerze mówiąc, nie sądziłem, że się uda. Moim celem był doktorat.
Doktorat?
– Na Florydzie przekonałem się, że jeśli nie masz doktoratu, to będą cię traktowali jak technika i pomocnika, a nie uczonego. W Japonii do doktoratu trzeba opublikować pięć prac naukowych.
Za najlepszy materiał na niebieskie diody wszyscy uważali wtedy selenek cynku – więc ten półprzewodnik był już wszechstronnie przebadany, na jego temat ukazały się setki prac. Doszedłem do wniosku, że łatwiej opublikuję nowe wyniki na temat azotku galu (GaN).
Nikt na niego nie stawiał i mało kto się nim zajmował
Miał pan cholerne szczęście.
– W nauce szczęście to podstawa.
W ciągu ledwie trzech lat zbudował pan diodę z azotku galu, która zaświeciła na niebiesko.
– Nichia nie miała żadnego doświadczenia w technologiach LED i gdy wcześniej tworzyłem diody czerwone, wszystko musiałem zbudować od podstaw. Reaktory do wzrostu warstw były mojej własnoręcznej roboty. Stałem się ekspertem. A niebieskie diody w gruncie rzeczy robi się podobnie – tyle że z innego materiału i stosując podobną metodę kładzenia atomowych warstw, tj. technologię MOCVD.
Początkowo nic nie wychodziło, warstwy nie chciały rosnąć. Zacząłem więc modyfikować reaktor. Każdego ranka zaglądałem do środka, zmieniałem parametry, a wieczorem sprawdzałem efekt. I tak przez półtora roku. Aż zrobiłem modyfikację, która dawała genialne efekty. Co kilka miesięcy dokonywałem przełomu i biłem światowe rekordy. Ta technologia nazywa się teraz two-flow MOCVD.
To dzięki niej w 1993 r. stworzyłem niebieską diodę, a Nichia wciąż produkuje i sprzedaje najbardziej efektywne niebieskie diody na świecie.
12.10.1 Geneza wszelkich okryć w naszym Wszechświecie
Zauważmy, że jak mówi o tym Shuji Nakamura do odkrycia niebieskiej diody LED doszło przez przypadek, że w nauce szczęście to podstawa.
W sumie dopóki niebieskiej diody LED nie odkryto mieliśmy co czynienia z implikacją, czyli z sumą logiczną przesłanek naukowców które powinny doprowadzić do odkrycia niebieskiej diody LED, ale póki co, nie doprowadziły do tego odkrycia.
1.
Naukowcy całego świata mieli przesłanki prowadzące do odkrycia niebieskiej LED na bazie selenku cynku
SC1+SC2 … + SCn ~> niebieska dioda LED
Spełnienie przesłanek SC1+SC2+..+ SCn jest warunkiem koniecznym ~> dla odkrycia niebieskiej diody LED.
Dopóki niebieska dioda LED nie zaświeciła powyższe przesłanki były konieczne ~>, ale nie wystarczające => do odkrycia niebieskiej diody LED.
… no i stało się?
Z powyższego myślenia praktycznie wszystkich naukowców wyłamał się absolwent małego Uniwersytetu Japońskiego pragnący zrobić doktorat, czyli napisać coś w oparciu o fundamentalnie inne przesłanki.
2.
Shuji Nakamura zaczął szukać niebieskiej diody LED tam gdzie nikt się nie spodziewał, na bazie azotku galu
AG1+AG2+… AGn-1 ~> niebieska dioda LED
Spełnienie przesłanek AG1+AG2+… AGn-1 jest warunkiem koniecznym ~> dla odkrycia niebieskiej diody LED
Kluczową sprawą jest tu odkrycie ostatniej przesłanki AGn prowadzącej do odkrycia niebeskiej diody LED
AG1+AG2 .. +AGn-1 + AGn <=> NLED (niebieska dioda LED)
Zauważmy, że dopiero po sukcesie Shuji Nakamury, czyli gdy niebieska dioda LED stała się faktem, możemy w jego przypadku postawić znak równoważności <=> co oznacza, że osiągnięto zamierzony cel:
AG1-AGn <=> NLED
Suma logiczna przesłanek AG1-AGn jest konieczna ~> (B1) i wystarczająca=> (A1) do odkrycia niebieskiej diody LED.
Jest to zgodne z formalną definicją równoważności p<=>q znaną każdemu człowiekowi (nie tylko matematykom).
Dowód:
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Podstawowa definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne spełnienie warunku koniecznego ~> (B1) i wystarczającego => (A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, by zaszło q
Innymi słowy:
Do tego aby zaszło q potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by zaszło p
Dowód iż tą wersję równoważności znają wszyscy (nie tylko matematycy).
Klikamy na googlach:
"konieczne i wystarczające"
Wyników: 11 700
Klikamy na googlach:
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: 12 500
Klikamy na googlach:
"potrzeba i wystarcza"
Wyników: 3 110
cnd
Nasz przykład:
p=AG1-AGn (suma logiczna przesłanek AG1 do AGn konieczna ~> i wystarczająca => do odkrycia NLED
q=NLED (jest niebieska dioda LED)
Stąd mamy:
A1: AG1-AGn => NLED - przesłanki AG1-AGn są wystarczające => dla odkrycia niebieskiej LED (NLED)
B1: AG1-AGn ~> NLED - przesłanki AG1-AGn są konieczne ~> dla odkrycia niebieskiej LED (NLED)
stąd mamy:
A1B1: AG1-AGn <=> NLED = (A1: AG1-AGn => NLED)*(B1: AG1-AGn ~> NLED) =1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Suma logiczna przesłanek AG1-AGn jest konieczna ~> (B1) i wystarczająca=> (A1) do odkrycia niebieskiej diody LED (NLED)
Innymi słowy:
Przesłanki AG1-AGn są warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do odkrycia niebieskiej diody LED (NLED)
Innymi słowy:
Do odkrycia niebieskiej diody LED (NLED) są potrzebne ~> (B1) i wystarczające => (A1) przesłanki AG1-AGn
Podsumowując:
1.
Naukowcy zawsze wyznaczają sobie cel okrycia, tu odkrycie niebieskiej diody LED po czym wszelkimi możliwymi sposobami dążą do tego odkrycia - tu akurat osiągnięto sukces przez przypadek co opisuje artykuł w poprzednim punkcie.
2.
Podobny cel gdzie zanotowano sukces to odkrycie technologii tworzenia sztucznych diamentów.
3.
Przykład negatywny to średniowieczni alchemicy poszukujący technologii zrobienia złota z piasku - bo i to żółte, i to żółte.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 11:21, 13 Paź 2024, w całości zmieniany 61 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 19:28, 26 Lut 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
13.0 Algebra Kubusia w zbiorach
Spis treści
13.0 Algebra Kubusia w zbiorach 2
13.1 Elementarne spójniki implikacyjne w zbiorach 2
13.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 2
13.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 3
13.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 4
13.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 5
13.1.5 Nietrywialny błąd podstawienia ### 5
13.2 Rachunek zero-jedynkowy warunków wystarczających => i koniecznych ~> 7
13.3 Prawa algebry Kubusia wynikłe z rachunku zero-jedynkowego 11
13.3.1 Definicje znaczków # i ## 12
13.4 Fundamentalne definicje i prawa algebry Kubusia 13
13.4.1 Prawa Sowy 13
13.4.2 Definicja tożsamości logicznej 14
13.4.3 Definicja dowodu "nie wprost" w algebrze Kubusia 14
13.4.4 Prawa Prosiaczka 14
13.4.5 Prawo Kłapouchego - kluczowe prawo logiki matematycznej 14
13.4.6 Prawo Słonia dla zbiorów 15
13.4.7 Prawo Irbisa dla zbiorów 15
13.4.8 Definicja spójnika implikacyjnego p?q 15
13.4.9 Definicja operatora implikacyjnego p|?q 16
13.5 Podstawowe spójniki implikacyjne 16
13.5.1 Prawo Puchacza 18
13.5.2 Dowód prawa Puchacza 19
13.5.3 Alternatywny dowód prawa Puchacza 20
13.6 Algorytm Puchacza 21
13.6.1 Przykłady zdań niespełniających algorytmu Puchacza 22
13.7 Zdjęcie układu 23
13.7.1 Definicja zdjęcia układu w teorii zdarzeń 23
13.7.2 Definicja zdjęcia układu w teorii zbiorów 24
13.8 Prawo Orła 24
13.8.1 Przykład wykorzystania prawa Orła 25
13.8.2 Algorytm ogólny dowodzenia twardych zer w zdjęciu układu 29
13.0 Algebra Kubusia w zbiorach
Niniejszy punkt to kompendium algebry Kubusia zawierające wszystkie potrzebne definicje i prawa algebry Kubusia konieczne i wystarczające do zrozumienia matematycznej obsługi zdań warunkowych "Jeśli p to q" na gruncie teorii zbiorów.
Definicja podstawowego spójnika implikacyjnego:
Podstawowy spójnik implikacyjny to spójnik związany w obsługą zdań warunkowych "Jeśli p to q" definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>
Definicje spójników implikacyjnych w algebrze Kubusia mają układ trzypoziomowy {1=>2=>3}:
1.
Elementarne spójniki logiczne w zdarzeniach:
~~> - spójnik zdarzenia możliwego (2.2.1)
=> - warunek wystarczający (2.2.2)
~> - warunek konieczny (2.2.3)
Elementarne spójniki logiczne w zbiorach:
~~> - element wspólny zbiorów (2.3.1)
=> - warunek wystarczający tożsamy z relacją podzbioru =>(2.3.2)
~> - warunek konieczny tożsamy z relacją nadzbioru ~>(2.3.3)
2.
Podstawowe spójniki implikacyjne definiowane spójnikami elementarnymi:
|=> - implikacja prosta (2.12)
|~> - implikacja odwrotna (2.13)
<=> - równoważność (2.14)
|~~> - chaos (2.15)
3.
Operatory implikacyjne definiowane podstawowymi spójnikami implikacyjnymi
||=> - operator implikacji prostej (2.12.1)
||~~> - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
|<=> - operator równoważności (2.14.1)
||~~> - operator chaosu (2.15.1)
13.1 Elementarne spójniki implikacyjne w zbiorach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów/zdarzeń p i q.
13.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu co kończy dowód, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] np. 24
13.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić relację podzbioru P8=>P2 potrafi każdy matematyk.
W zapisie formalnym mamy tu:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Gdzie:
p - przyczyna (część zdania po "Jeśli …")
q - skutek (część zdania po "to…")
Podsumowując:
Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>:
Zapis formalny:
A1: p=>q = ~p+q
Zapis aktualny (przykład):
A1: p=P8
A1: q=P2
A1: P8=>P2=~P8+P2
|
13.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach
Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
W zapisie formalnym mamy tu:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Gdzie:
p - przyczyna (część zdania po "Jeśli …")
q - skutek (część zdania po "to…")
Podsumowując:
Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>:
Zapis formalny:
B1: p~>q = p+~q
Zapis aktualny (przykład):
B1: p=P2
B1: q=P8
B1: P2~>P8=P2+~P8
|
13.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2=1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2, bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8…], co każdy matematyk udowodni.
Na mocy definicji kontrprzykładu, z prawdziwości warunku wystarczającego A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Dowód wprost:
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9…] bo dowolny zbiór liczb parzystych jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych.
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywości zdania A1' nie musimy udowadniać, ale możemy, co zrobiono wyżej.
Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’
13.1.5 Nietrywialny błąd podstawienia ###
Piętą Achillesową logiki matematycznej ziemian jest nieodróżnianie w rachunku zero-jedynkowym definicji warunku wystarczającego p=>q od definicji warunku koniecznego p~>q.
Fatalny sutek powyższego, to brak zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego p~>q w logice matematycznej ziemian.
Geneza tego błędu jest następująca:
I.
Weźmy przykład ilustrujący warunek wystarczający p=>q w logice matematycznej:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić relację podzbioru P8=>P2 potrafi każdy matematyk.
Podsumowując:
Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>:
Zapis formalny:
A1: p=>q = ~p+q
Zapis aktualny (przykład - punkt odniesienia):
A1: p=P8
A1: q=P2
A1: P8=>P2=~P8+P2
|
###
I.
Weźmy przykład ilustrujący warunek konieczny p~>q w logice matematycznej:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Podsumowując:
Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>:
Zapis formalny:
B1: p~>q = p+~q
Zapis aktualny (przykład - punkt odniesienia):
B1: p=P2
B1: q=P8
B1: P2~>P8=P2+~P8
|
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej popełniamy nietrywialny błąd podstawienia ###
Zapiszmy powyższe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w tabeli prawdy.
Dowód:
Kod: |
Nietrywialny błąd podstawienia ###:
Definicja warunku wystarczającego =>: | Definicja warunku koniecznego ~>:
Zapis formalny: | Zapis formalny:
1. A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
------------------------------------------------------------------------
Zapis aktualny (punkt odniesienia): | Zapis aktualny (punkt odniesienia)
2. A1: p=P8 ### B1: p=P2
3. A1: q=P2 ### B1: q=P8
4. A1: P8=>P2=~P8+P2 ### B1: P2~>P8=P2+~P8
## - różne na mocy definicji
### - nietrywialny błąd podstawienia
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zauważmy że:
1.
Suma logiczna (+) jest przemienna stąd w linii 4 zachodzi pozorna tożsamość logiczna [=].
2.
W rzeczywistości pozorna tożsamość [=] w linii 4 nie zachodzi, bowiem mamy tu do czynienia z nietrywialnym błędem podstawienia ###
3.
W liniach 2 i 3 doskonale widać na czym ten nietrywialny błąd podstawienia ### polega:
Warunek wystarczający A1: p=>q jest tu obserwowany z punktu odniesienia p=P8 i q=P2
Natomiast:
Warunek konieczny B1: p~>q jest tu obserwowany z innego punktu odniesienia p=P2 i q=P8
Prawo punktu odniesienia:
Porównywanie czegokolwiek z czymkolwiek jest matematycznie poprawne wtedy i tylko wtedy gdy patrzymy na problem z tego samego punktu odniesienia.
Stąd mamy:
Definicja nietrywialnego błędu podstawienia ###:
Nietrywialny błąd podstawienia ### występuje wtedy i tylko wtedy gdy w zapisie formalnym mamy do czynienia ze znaczkiem różne na mocy definicji ##, zaś w zapisie aktualnym skolerowanym z zapisem formalnym zachodzi tożsamość logiczna [=].
Nietrywialny błąd podstawienia ### wymusza wprowadzenie do logiki matematycznej prawa Kłapouchego, zapobiegającego niejednoznaczności logiki matematycznej, o czym będzie za chwilkę.
13.2 Rachunek zero-jedynkowy warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Rachunek zero-jedynkowy dla teorii zdarzeń i teorii zbiorów jest wspólny.
Definicja stałej binarnej
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną 0 albo 1.
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, przyjmujący w osi czasu wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.
Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa
Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna p wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)
Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny (bramka logiczna) dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.
W poniższych tabelach T1 do T4 w kolumnach opisujących symbole {p, q Y} nie mamy stałych wartości 1 albo 0 co oznacza, że symbole te są zmiennymi binarnymi.
Kod: |
T1
Definicja warunku wystarczającego =>
Y=
p q p=>q=~p+q
A: 1=>1 1
B: 1=>0 0
C: 0=>0 1
D: 0=>1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Gdzie:
Podstawa wektora => zawsze wskazuje poprzednik, część zdania po "Jeśli.."
Strzałka wektora => zawsze wskazuje następnik, część zdania po "to.."
Nazwy symboliczne poprzednika i następnika nie mają tu znaczenia.
;
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
##
Kod: |
T2
Definicja warunku koniecznego ~>
Y=
p q p~>q=p+~q
A: 1~>1 1
B: 1~>0 1
C: 0~>0 1
D: 0~>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Gdzie:
Podstawa wektora ~> zawsze wskazuje poprzednik, część zdania po "Jeśli.."
Strzałka wektora ~> zawsze wskazuje następnik, część zdania po "to.."
Nazwy symboliczne poprzednika i następnika nie mają tu znaczenia.
;
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q
|
##
Kod: |
T3
Definicja spójnika “lub”(+):
Y=
p q p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 0 0
D: 0+ 1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
;
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych szybsza jest logika zer.
|
##
Kod: |
T4
Definicja spójnika “i”(*)
Y=
p q p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 0 0
D: 0* 1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q=0
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y):
Funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach p i q:
p - w logice dodatniej (bo p)
oraz
q - w logice dodatniej (bo q)
mają różne kolumny wynikowe Y ( w logice dodatniej bo Y)
Wniosek:
Funkcje logiczne definiowane tabelami T1 do T4 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##
Wyprowadźmy w rachunku zero-jedynkowym matematyczne związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod: |
Ax:
Warunek wystarczający =>:
p=>q = ~p+q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q # ~(p=>q)=p*~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0 # =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
1 2 3 4 5 6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
##
Kod: |
Bx:
Warunek konieczny ~>:
p~>q = p+~q
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q # ~(p~>q)=~p*q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0 # =1
1 2 3 4 5 6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
"=", [=], <=> (wtedy i tylko wtedy) - tożsame znaczki tożsamości logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej "=" wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej "=" wymusza fałszywość drugiej strony
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Doskonale widać, że w tabelach Ax i Bx definicja znaczka # jest spełniona
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach {p, q} mają różne kolumny wynikowe i żadna z tych funkcji nie jest negacją drugiej.
Jak widzimy, między tabelami Ax i Bx obowiązuje znaczek różne na mocy definicji ##
13.3 Prawa algebry Kubusia wynikłe z rachunku zero-jedynkowego
Na mocy rachunku zero-jedynkowego wyżej mamy matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w zapisie skróconym.
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> bez zamiany p i q
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
2.
Prawa Tygryska:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z zamianą p i q
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
3.
Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B3: q=>p = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
4.
Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
B1: p~>q = B4: ~q~>~p
##
A3: q~>p = A2: ~p~>~q
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
13.3.1 Definicje znaczków # i ##
Zapiszmy matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
z uwzględnieniem kolumny 6.
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Y= Y= Y= Y= Y=(p=>q)= # ~Y=~(p=>q)=
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5:~p+ q # 6: p* ~q
## ## ## ## ## ##
Y= Y= Y= Y= Y=(p~>q)= # ~Y=~(p~>q)=
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q # 6: ~p* q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Zapiszmy powyższe definicje wyrażone funkcjami logicznymi Y i ~Y
Kod: |
T0"
Funkcja logiczna Y warunku wystarczającego =>:
A5: Y=(p=>q)=~p+ q # A6: ~Y=~(p=>q)= p*~q
## ##
Funkcja logiczna Y warunku koniecznego ~>:
B5: Y=(p~>q)= p+~q # B6: ~Y=~(p~>q)=~p* q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Doskonale widać, że w tabeli T0" obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione
13.4 Fundamentalne definicje i prawa algebry Kubusia
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
13.4.1 Prawa Sowy
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
13.4.2 Definicja tożsamości logicznej
Prawa Sowy to:
Ogólna definicja tożsamości logicznej „=” dla wielu zdań:
Prawdziwość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Fałszywość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych zdań
Tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
13.4.3 Definicja dowodu "nie wprost" w algebrze Kubusia
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.
13.4.4 Prawa Prosiaczka
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo Y) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~Y).
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki znajdziemy w punkcie 1.2.1
13.4.5 Prawo Kłapouchego - kluczowe prawo logiki matematycznej
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Uwaga:
Na mocy praw Sowy prawdziwość podstawowego spójnika implikacyjnego p?q definiowanego kolumną A1B1 (pytanie o p) wymusza prawdziwość odpowiedniego operatora implikacyjnego p|?q definiowanego dwoma kolumnami A1B1 (pytanie o p) i A2B2 (pytanie o ~p).
Prawo Kłapouchego obowiązuje dla standardu dodatniego w języku potocznym człowieka.
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka.
Innymi słowy:
Logiką matematycznie zgodną z językiem potocznym człowieka jest tylko i wyłącznie standard dodatni.
13.4.6 Prawo Słonia dla zbiorów
Prawo Słonia dla zbiorów (pkt 2.3):
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
13.4.7 Prawo Irbisa dla zbiorów
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Dowód:
Oczywistość, bo na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> siebie samego.
13.4.8 Definicja spójnika implikacyjnego p?q
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja spójnika implikacyjnego p?q:
Spójnik implikacyjny to dwa zdania warunkowe „Jeśli p to q” dające odpowiedź na pytanie o p
Jak widzimy w tabeli T0 spójnik ten definiowany jest kolumną A1B1
13.4.9 Definicja operatora implikacyjnego p|?q
Definicja operatora implikacyjnego p|?q
Operator implikacyjny p|?q to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz na pytanie o ~p (A2B2)
Jak widzimy operator implikacyjny p|?q definiowany jest dwoma kolumnami A1B1 (pytanie o p) i A2B2 (pytanie o ~p)
Na mocy praw Sowy udowodnienie prawdziwości spójnika implikacyjnego p?q wymusza prawdziwość operatora implikacyjnego p|?q
13.5 Podstawowe spójniki implikacyjne
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja podstawowego spójnika implikacyjnego:
Podstawowy spójnik implikacyjny to spójnik definiowany kolumną A1B1 w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dający odpowiedź na pytanie o p:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =? - czy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q? TAK=1/NIE=0
B1: p~>q =? - czy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q? TAK=1/NIE=0
A1B1: p?q = (~)(A1: p=>q)*(~)(B1: p~>q)
Gdzie:
? - symbol spójnika implikacyjnego
(~) - symbol negacji który może wystąpić, ale nie musi, w zależności od wartości logicznej A1 i B1
Z definicji spójnika implikacyjnego wynika, że możliwe są cztery podstawowe spójniki implikacyjne:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
;
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
p~>q = p+~q
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Korzystając z definicji znaczków => i ~> mamy:
Y = (p|=>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) =~p*~p*q+q*~p*q = ~p*q+~p*q=~p*q
Kolejność wykonywania działań w algebrze Kubusia:
Negacja (~), nawiasy, "i"(*), "lub"(+)
Wykorzystane prawa algebry Kubusia:
1. ~(p+~q) = ~p*q - prawo De Morgana
2. mnożenie wielomianu
3. x*x=x - prawo algebry Boole'a
Do zapamiętania:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y = (p|=>q) = ~p*q
##
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
;
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
p~>q = p+~q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Korzystając z definicji znaczków => i ~> mamy:
Y = (p|~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) =(p*~q)*p + (p*~q)*~q = p*~q+p*~q = p*~q
Do zapamiętania:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y = (p|~>q) = p*~q
##
3.
Równoważność p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
;
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
p~>q = p+~q
Stąd mamy:
Y = p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
Do zapamiętania:
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
##
4.
Chaos p|~~>q:
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego =>, ani też koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
;
Definicja chaosu w spójnikach "lub"(+) i "i"(*):
Chaos p|~~>q to zdanie zawsze prawdziwe przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Y = p*q+~p*q + p*~q + ~p*~q = q*(p+~p)+~q*(p+~p) = q+~q =1
Do zapamiętania:
Definicja chaosu p|~~>q w spójnikach "lub"(+) i "i"(*):
Y = p*q+~p*q + p*~q + ~p*~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
13.5.1 Prawo Puchacza
Prawo Puchacza:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego i tylko jednego spójnika implikacyjnego.
Innymi słowy:
Jeśli zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do spójnika implikacyjnego x to fałszem jest, że to samo zdanie należy do któregokolwiek spójnika implikacyjnego różnego od x
13.5.2 Dowód prawa Puchacza
Dowód prawa Puchacza będzie polegał na założeniu, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią spójnika implikacyjnego x i pokazaniu iż pozostałe spójniki będą dla tego przypadku fałszem.
Dowód prawa Puchacza:
I.
Założenie p|=>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(1)*0=0*0=0
3.
Równoważność p<=>q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*0=0
4.
Chaos p|~~>q:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(1)*~(0)=0*1=0
c.n.d.
II.
Założenie p|~>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=0*~(1)=0*0=0
3.
Równoważność p<=>q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 0*1=0
4.
Chaos p|~~>q:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(1)=1*0=0
c.n.d.
III.
Założenie p<=>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(1)=1*0=0
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(1)*1=0*1=0
4.
Chaos p|~~>q:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(1)*~(1)=0*0=0
c.n.d.
IV
Założenie p|~~>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią chaosu p|~~>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=0*~(0)=0*1=0
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*0=1*0=0
3.
Równoważność p<=>q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 0*0=0
ok
c.n.d.
Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki I, II, III i IV pozytywnie, co kończy dowód prawa Puchacza.
13.5.3 Alternatywny dowód prawa Puchacza
Alternatywny dowód prawa Puchacza to spójniki implikacyjne zdefiniowane spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
1.
Implikacja prosta p=>q:
Y = p|=>q = ~p*q
##
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
Y = p*~q
##
3.
Równoważność p<=>q:
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
4.
Chaos p|~~>q:
Y = p*q+~p*q + p*~q + ~p*~q =1
5.
Spójnik "albo"($):
Y = p$q = p*~q + ~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Łatwo sprawdzić w laboratorium bramek logicznych na I roku elektroniki Politechniki Warszawskiej (tu byłem), że połączenie dwóch wyjść Y rozdzielonych znakiem różne na mocy definicji ## spowoduje "kupę dymu i smrodu" co jest dowodem poprawności matematycznej tego znaczka.
13.6 Algorytm Puchacza
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Algorytm Puchacza to ogólny algorytm przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego spójnika implikacyjnego.
Algorytm Puchacza służy do rozwiązywania fundamentalnych zadań w logice matematycznej.
Zadanie fundamentalne:
Dane jest zdanie warunkowe "Jeśli p to q" z dowolnie zaprzeczonymi p i q
Polecenie:
Zbadaj do jakiego operatora implikacyjnego należy badane zdanie "Jeśli p to q"
Algorytm Puchacza (pkt. 2.11):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
Prawo Kłapouchego jest tożsame z otwarciem drzwiczek pudełka z kotem Schrödingera (pkt. 5.4.1)
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.
5.
Prawo Puchacza (pkt. 2.10.1):
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza.
Rozłączne operatory implikacyjne to:
a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1)
b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1)
d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1)
e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1)
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
7.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia
Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie.
13.6.1 Przykłady zdań niespełniających algorytmu Puchacza
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 algorytmu Puchacza są matematycznie fałszywe.
Ad. 1
W punkcie 1 chodzi o to, że jeśli przystępujemy do analizy matematycznej zdania "Jeśli p to q" to musimy zastosować prawo Kłapouchego, inaczej dostaniemy nietrywialny błąd podstawienia ### (pkt. 2.7.3, 13.1.5)
Ad. 2
A1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to trójkąt może być prostokątny
P2~~>TP =0
Brak wspólnej dziedziny.
Stąd mamy:
Zdanie A1 jest fałszywe na mocy punktu 2 algorytmu Puchacza.
Ad. 3
Definicja zbioru pustego [] (pkt.12.2):
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.
B1
Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
Zdanie tożsame (wyjaśnienie w pkt.12.2.1):
B1
Jeśli zbiór pusty [] to liczba 4
[]~~>[4] = []*[4] =[] =0 - twardy fałsz, bo zbiór pusty [] i jednoelementowy zbiór [4] są rozłączne
Stąd mamy:
Zdanie B1 jest fałszywe na mocy punktu 3 algorytmu Puchacza.
Wyjątek:
C1.
Jeśli zbiór pusty [] to zbiór pusty []
[]=>[] =1
Bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty []
Wyjaśnienie w punkcie 12.2.1
13.7 Zdjęcie układu
Zdjęcie układu plus prawo Orła (następny punkt) umożliwia alternatywne dowodzenie punktów 6 i 7 w algorytmie Puchacza.
Definicja zdjęcia układu:
Zdjęcie układu to analiza zdania wypowiedzianego "Jeśli p to q" w kierunku od p do q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q przy pomocy definicji zdarzenia możliwego ~~> (teoria zdarzeń) albo definicji elementu wspólnego zbiorów ~~> (teoria zbiorów) z rozstrzygnięciem o prawdziwości/fałszywości wszystkich zdań składowych.
13.7.1 Definicja zdjęcia układu w teorii zdarzeń
Definicja zdjęcia układu w teorii zdarzeń:
Zdjęcie układu to seria czterech zdań warunkowych "Jeśli p to q" kodowanych zdarzeniem możliwym ~~> w kierunku od p do q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q z rozstrzygnięciem o prawdziwości/fałszywości wszystkich zdań składowych.
Definicja zdarzenia możliwego ~~> (pkt. 2.2.1):
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
Kod: |
T1
Tabela prawdy zdjęcia układu w zapisie formalnym
to odpowiedź TAK=1/NIE=0 cztery pytania {A,B,C,D}
Kolumna A1B1:
A: p~~> q = p* q=? - Czy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q?
B: p~~>~q = p*~q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q?
Kolumna A2B2:
C:~p~~>~q =~p*~q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q?
C:~p~~> q =~p* q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q?
|
W języku potocznym w zdarzeniach, wygenerowanie poprawnego zdjęcia układu to problem na poziomie 5-cio latka, co za chwilkę zobaczymy
13.7.2 Definicja zdjęcia układu w teorii zbiorów
Definicja zdjęcia układu w teorii zbiorów:
Zdjęcie układu to seria czterech zdań warunkowych "Jeśli p to q" kodowanych elementem wspólnym ~~> zbiorów w kierunku od p do q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q z rozstrzygnięciem o prawdziwości/fałszywości wszystkich zdań składowych.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów (pkt. 2.3.1):
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji elementu wspólnego zbiorów ~~> poszukujemy jednego wspólnego elementu zbiorów p i q, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => (relacja podzbioru =>) czy też konieczny ~> (relacja nadzbioru ~>).
Kod: |
T1
Tabela prawdy zdjęcia układu w zapisie formalnym
to odpowiedź TAK=1/NIE=0 cztery pytania {A,B,C,D}
Kolumna A1B1:
A: p~~> q = p* q=? - Czy istnieje wspólny element zbiorów p i q?
B: p~~>~q = p*~q=? - Czy istnieje wspólny element zbiorów p i ~q?
Kolumna A2B2:
C:~p~~>~q =~p*~q=? - Czy istnieje wspólny element zbiorów ~p i ~q?
C:~p~~> q =~p* q=? - Czy istnieje wspólny element zbiorów ~p i q?
|
13.8 Prawo Orła
Prawo Orła:
Jeśli dla zdania warunkowego "Jeśli p to q" znane jest zdjęcie układu w zapisie aktualnym (przykład) to wszelkie relacje między p i q określa wzór:
p*(q+~q) dzn (~)q*(p+~p)
Gdzie:
Punkt odniesienia:
Poprzednik p ze zdjęcia układu musi być niezanegowany co lokuje nas w kolumnie A1B1
(~) - w zapisie aktualnym przeczenie (~) przy q może wystąpić wyłącznie w spójniku "albo"($)
dzn - dowolny ze znaczków:
~~> - zdarzenie możliwe lub element wspólny zbiorów
=> - warunek wystarczający [=] relacja podzbioru =>
~> - warunek konieczny [=] relacja nadzbioru ~>
<=> - równoważność
$ - spójnik "albo"($)
Wyprowadzenie prawa Orła:
1.
p dzn (~)q
2.
Prawo algebry Boole'a:
x=x*1
stąd:
p*1 dzn (~)q*1
3.
1=D - wspólna dziedzina dla p i q
Stąd mamy:
p+~p=D=1
q+~q=D=1
Podstawiając do 2 mamy nasze prawo Orła:
4.
Prawo Orła:
p*(q+~q) dzn (~)q*(p+~p)
cnd
13.8.1 Przykład wykorzystania prawa Orła
Typowe zadanko w algebrze Kubusia brzmi.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wywiedziane W przy pomocy prawa Orła
W.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
W algebrze Kubusia stosujemy tu algorytm Puchacza.
Algorytm Puchacza (pkt. 2.11):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
Nasz przykład:
W.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna 2
Ad 1.
Na mocy prawa Kłapouchego dla zdania W mamy punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Przyjmijmy wspólną dziedzinę dla p i q w postaci zbioru liczb naturalnych LN:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Obliczamy przeczenia p i q:
~p= ~P8 = [LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..8..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
~q= ~P2 = [LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (nieparzystych)
Ad 2.
Jak widzimy, spełniona jest tu definicja wspólnej dziedziny dla p i q:
p=P8
P8+~P8=LN =1
P8*~P8=[]=0
q=P2
P2+~P2=LN =1
P2*~P2=[]=0
Ad 3
Jak również wymóg by zbiory p, q, ~p i ~q były zbiorami niepustymi.
Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W podlega pod algorytm Puchacza.
Kluczowe rozstrzygnięcie którego szukamy to zbadanie prawdziwości/fałszywości zdań wchodzących w skład kolumny A1B1:
A1: p=>q =?
B1: p~>q =?
Rozwiązanie tego zadania metodą Orła wymaga zrobienia zdjęcia układu:
Kod: |
T1
Zdjęcie układu dla zdania W w zapisie aktualnym (przykład)
A: P8~~> P2=1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów P8 i P2 np. 8
B: P8~~>~P2=0 - nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów P8 i ~P2
C:~P8~~>~P2=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~P8 i ~P2 np. 1
D:~P8~~> P2=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~P8 i P2 np. 2
|
Kluczowy jest dowód rozłączności zbiorów nieskończonych P8 i ~P2:
Dowolny zbiór liczb parzystych P8=[8,16,24..] jest rozłączny (=0) z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych ~P2=[1,3,5,7,9..] - na mocy definicji liczby parzystej i nieparzystej.
Akurat w tym przypadku to jest poziom I klasy LO, ale na pewno nie 5-cio latka.
Zauważmy, że w teorii zdarzeń rozstrzygnięcie o fałszywości dowolnego zdania ze zdjęcia układu to poziom 5-cio latka, czego dowód mamy w punkcie 9.0.
Korzystając z prawa Orła możemy łatwo udowodnić, iż zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2
1.
Prawo Orła dla zdanie wypowiedzianego W:
p*(q+~q) => q*(p+~p)
p=P8
q=P2
W przełożeniu na zapis aktualny mamy:
P8*(P2+~P2) => P2*(P8+~P8)
2.
Stąd po wymnożeniu wielomianów mamy:
A: P8*P2 + B: P8*~P2 => A: P8*P2 + D: ~P8*P2 - bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny
Z tabeli zdjęcia układu T1 odczytujemy:
B: P8~~>~P2=P8*~P2=[]=0 - nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów P8 i ~P2
Prawo algebry Boole'a:
x+0=x
Z sumy logicznej zawsze możemy usunąć zbiór pusty B.
Stąd mamy:
3.
A: P8*P2 => A: P8*P2 + D: ~P8*P2
Doskonale widać, że zbiór P8*P2 jest (=1) podzbiorem => zbioru (P8*P2 + ~P8*P2)
cnd
Można łatwo udowodnić iż równanie 3 jest tożsame z warunkiem wystarczającym =>, czyli z relacją podzbioru =>:
P8=>P2 =1
Dowód:
3.
A: P8*P2 => A: P8*P2 + D: ~P8*P2
Do lewej strony wolno nam dodać zbiór pusty B:
B: P8~~>~P2=P8*~P2=0 - nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów P8 i ~P2
Stąd mamy:
A: P8*P2 + B: P8*~P2 => A: P8*P2 + D: ~P8*P2
P8*(P2+~P2) => P2*(P8+~P8) - wyciągnięcie zmiennych P8 i P2 przed nawias
P8*1 => P2*1 - prawo algebry Boole'a (p+~p=1)
P8 => P2 - prawo algebry Boole’a (p*1=p)
Stąd mamy tożsamość logiczną [=]:
A: P8*P2 => A: P8*P2 + D: ~P8*P2 [=] A1: P8=>P2 =1
cnd
Stąd mamy rozwiązanie pierwszej części naszego zadania:
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Dla rozwiązania zadania pozostaje nam udowodnić relację:
B1: P8~>P2 =?
4.
Prawo Orła dla B1:
p*(q+~q) ~> q*(p+~p)
p=P8
q=P2
W przełożeniu na zapis aktualny mamy:
P8*(P2+~P2) ~> P2*(P8+~P8)
5.
Stąd po wymnożeniu wielomianów mamy:
A: P8*P2 + B: P8*~P2 ~> A: P8*P2 + D: ~P8*P2 - bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny
Z tabeli zdjęcia układu T1 odczytujemy:
B: P8~~>~P2=P8*~P2=0 - nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów P8 i ~P2
Prawo algebry Boole'a:
x+0=x
Stąd mamy:
6.
A: P8*P2 ~> A: P8*P2 + D: ~P8*P2 =0
Doskonale widać, że zbiór P8*P2 nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru (P8*P2 + ~P8*P2)
Można łatwo udowodnić iż równanie 6 jest tożsame z warunkiem koniecznym ~>, czyli z relacją nadzbioru ~>:
P2~>P8 =0
Dowód:
6.
A: P8*P2 ~> A: P8*P2 + D: ~P8*P2 =0
Do lewej strony wolno nam dodać zbiór pusty B:
B: P8~~>~P2=P8*~P2=0 - nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów P8 i ~P2
Stąd mamy:
A: P8*P2 + B: P8*~P2 ~> A: P8*P2 + D: ~P8*P2
P8*(P2+~P2) ~> P2*(P8+~P8) - wyciągnięcie zmiennych P8 i P2 przed nawias
P8*1 ~> P2*1 - prawo algebry Boole'a (x+~x=1)
P8 ~> P2 - prawo algebry Boole’a (x*1=x)
Stąd mamy tożsamość logiczną [=]:
A: P8*P2 ~> A: P8*P2 + D: ~P8*P2 [=] P8~>P2 =0
Stąd mamy rozwiązanie drugiej części naszego zadania:
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy dowód, iż mamy tu do czynienia z implikacją prostą P8|=>P2
A1B1:
Definicja implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach:
Implikacja prosta P8|=>P2 to spełniona wyłącznie relacja podzbioru => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2=1 – zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2=0 – zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający P8=>P2=1 [=] Relacja podzbioru P8=>P2=1
Warunek konieczny P8~>P2=0 [=] Relacja nadzbioru P8~>P2 =0
Szczegółową analizę implikacji P8|=>P2 znajdziemy w punkcie 14.3
13.8.2 Algorytm ogólny dowodzenia twardych zer w zdjęciu układu
W ogólnym przypadku dowód rozłączności dwóch zbiorów nieskończonych np. P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] nie musi być tak trywialny jak w naszym przykładzie.
W ogólnym przypadku należy tu skorzystać z definicji kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach (pkt. 2.3.4):
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Nasz przykład:
Zakładamy, że zdanie B jest fałszywym kontrprzykładem dla zdania A, co wymusza prawdziwy warunek wystarczający => A
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2=1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2, bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8…], co każdy matematyk udowodni.
Na mocy definicji kontrprzykładu, z prawdziwości warunku wystarczającego A wynika fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie)
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Dowód wprost:
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9…] bo dowolny zbiór liczb parzystych jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych.
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywości zdania A1' nie musimy udowadniać, ale możemy, co zrobiono wyżej.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 7:44, 14 Kwi 2024, w całości zmieniany 28 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów Nie możesz odpowiadać w tematach Nie możesz zmieniać swoich postów Nie możesz usuwać swoich postów Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|