ŚFiNiA

[rafal3006]

Ekspresowy wykład teorii implikacji

Wukowi dedykuję

1.0 Prawa Kubusia

Z operatorowych definicji implikacji prostej i odwrotnej wynika, że są one ze sobą wzajemnie związane żelaznym uściskiem. Nie ma definicji implikacji prostej bez operatora implikacji odwrotnej i odwrotnie, nie ma definicji implikacji odwrotnej bez operatora implikacji prostej.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” => między p i q

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p + ~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q

Prawa Kubusia są ścisłym odpowiednikiem praw de’Morgana w algebrze Boole’a. Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny.

Prawa Kubusia.
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” => między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q

Wniosek z praw Kubusia:
Jeśli dwie implikacje różnia się od siebie wyłacznie zanegowanymi p i q to muszą być kodowane przeciwnymi operatorami, inaczej algebra Boole'a leży w gruzach !

Gwałcenie praw Kubusia w implikacji jest odpowiednikiem gwałcenia praw de'Morgana w operatorach AND (*) i OR(+).

Prawa de'Morgana:
Y=A+B
Negujemy zmienne i wymieniamy operatory:
~Y=~A*~B
Oczywiście:
Y=~(~Y)
zatem:
A+B = ~(~A*~B) - prawo de'Morgana dla sumy logicznej
W identyczny sposób wyprowadzamy prawo de'Morgana dla iloczynu logicznego.
A*B = ~(~A+~B)

Złamanie prawa Kubusia w implikacji to złamanie prawa de'Morgana w taki sposób:
A+B = ~(~A+~B) - negujemy zmienne, ale nie zamieniamy operatora na przeciwny.

To jest oczywiste rozwalenie całej algebry Boole'a w zakresie AND i OR !

Analogicznie, pogwałcenie prawa prawa Kubusia w implikacji, będzie rozwaleniem algebry Boole'a w zakresie implikacji !
Prawa de'Morgana w operatorach AND(*) i OR(+) oraz prawa Kubusia w implikacji to dwa najważniejsze prawa w całej logice klasycznej !


1.1 Operatorowa definicja implikacji prostej

=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” => między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q

Operatorowa definicja implikacji prostej :
A: p=>q =1
B: p=>~q =0
p=>q = ~p ~> ~q - prawo Kubusia dla A
p=>~q = ~p ~>q - prawo Kubusia dla B
Stąd na podstawia prawa Kubusia:
C: ~p ~> ~q =1
LUB
D: ~p ~> q =1

Jeśli zwierze jest psem to ma cztery łapy
P=>4L - jeśli pies to „na pewno” => cztery łapy
Bezdyskusyjna implikacja prosta bo bycie psem jest warunkiem wystarczającym, by mieć cztery łapy

Analiza:
Implikację prostą w logice dodatniej bo q nie jest zanegowane.
Implikację obsługuje górna połówka definicji implikacji prostej.
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
P=>4L =1 twarda prawda !
Oczywiście:
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => nie ma czterech łap
P=>~4L = 0 twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy

Co będzie jeśli zwierzę nie jest psem ?
P=>4L = ~P~>~4L - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację odwrotną

~P~>~4L
Implikacja odwrotna wypowiedziana w logice ujemnej bo q jest zanegowane.
W logice ujemnej implikacja prosta przechodzi w implikację odwrotną, obsługiwaną przez dolną połówkę definicji implikacji prostej.

Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura
LUB
Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” ~> mieć cztery łapy
~P~> 4L = 1 bo słoń


1.2 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej

~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” => między p i q

A: p~>q =1
LUB
B: p~>~q =1
p~>q = ~p => ~q - prawo Kubusia dla A
p~>~q = ~p =>q - prawo Kubusia dla B
Stąd na podstawia prawa Kubusia:
C: ~p => ~q =1
D: ~p => q =0

Zajmijmy się implikacją odwrotną do analizowanej w poprzednim punkcie.

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> być psem
4L ~> P
Bezdyskusyjna implikacja odwrotna, bo cztery łapy są warunkiem koniecznym dla psa

Oczywiście matematycznie zachodzi:
P=>4L # 4L~>P - to dwa zupełnie różne zdania

Analiza:
Implikacja odwrotna w logice dodatniej bo q nie jest zanegowane.
Implikacja podlega pod górną połówkę definicji implikacji odwrotnej.

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> być psem
4L~>P = 1 bo pies
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> nie być psem
4L~> ~P =1 bo słoń

Co będzie jeśli zwierzę nie ma czterech łap ?
4L~>P = ~4L => ~P - prawo zamiany implikacji odwrotnej na równoważną implikację prostą.

~4L => ~P
Implikacja prosta wypowiedziana w logice ujemnej bo q jest zanegowane.
W logice ujemnej implikacja odwrotna przechodzi w implikację prostą, obsługiwaną przez dolną połówkę definicji implikacji odwrotnej.

Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” => nie jest psem
~4L => ~P =1 - twarda prawda
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” => jest psem
~4L => P =0 - twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy


1.3 Matematyczny algorytm poszukiwania wszelkich wynalazków

Aktualnie wiemy, że trwają intensywne prace nad znalezieniem szczepionki na AIDS. Biorą w tym udział największe laboratoria świata z tysiącami najwybitniejszych w tej dziedzinie naukowców wspartych praktycznie niegraniczonymi funduszami. Załóżmy, że wszyscy szukają szczepionki na bazie mutacji wirusów których może być nieskończenie wiele. Jak trafić na właściwą mutację ? … oto jest pytanie.

Szukanie szczepionki doskonale opisuje górna połówka definicji implikacji prostej. Dolna połówka tej definicji, będąca de facto implikacją odwrotną, w ogóle nie bierze w tym udziału !

Operatorowa definicja implikacji prostej :
A: p=>q =1
B: p=>~q =0
p=>q = ~p ~> ~q - prawo Kubusia dla A
p=>~q = ~p ~>q - prawo Kubusia dla B
Stąd na podstawia prawa Kubusia:
C: ~p ~> ~q =1
LUB
D: ~p ~> q =1

Górna połówka powyższej definicji w postaci zero-jedynkowej:

N: W S W=>S
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0

Wartość q jest oczywiście znana:
q = S - szczepionka na AIDS

Oznaczenia:
W = wirus
S = szczepionka
W=>S - jeśli właściwy wirus to szczepionka, SUKCES !

Algorytm szukania:
Biorę wirusa W(x) i intensywnie pracuję nad jego mutacją aby uzyskać szczepionkę. Oczywiście zakładam, że wybrany wirus doprowadzi mnie do sukcesu czyli:
W(x)=1 - założeni że uzyskam sukces, inne wirusy mnie na razie nie interesują

Załóżmy, że po 3 letnich poszukiwaniach osiągam sukces czyli:
W(x)=>S =1 - Jest szczepionka, zaszła linia A w implikacji
p q p=>q
1 1 =1

W praktyce nie ma tak różowo, aby za pierwszym razem trafić we właściwego wirusa. Z reguły pracuje się nad setkami potencjalnie dobrych wirusów, zanim znajdzie się właściwego. W tym przypadku prace na pewnym etapie będą porzucane czyli zajdzie linia B w implikacji prostej.

W(y)=>~S =0 - ten wirus jest fałszywy, nie doprowadził do sukcesu.

Zapamiętujemy to dzięki linii:
p q p=>q
1 0 =0

Oczywiście będzie istniała grupa wirusów którym nie dajemy żadnych szans na znalezienie szczepionki. Tym wirusom przypisujemy twardy fałsz i się nimi nie zajmujemy, chyba że wyczerpiemy kolejkę potencjalnie dobrych wirusów.

W(z) =0 - twardy fałsz na poziomie poprzednika implikacji, te wirusy nas nie interesują !

Koniec algorytmu szukania szczepionki na AIDS.

Wyobraźmy sobie teraz, że mamy rok 2033, szczepionki dalej nie ma. Na świecie zakażonych jest już 60% ludzkości, zbliża się apokalipsa. W tym momencie dosłownie cały potencjał naukowy ludzkości będzie pracował nad szczepionką, inaczej ludzkość zginie. Wszyscy zdają sobie z tego faktu sprawę.

Nagle w prasie wybucha sensacja. Nikomu nie znany początkujący naukowiec bez żadnych sukcesów, pracujący w maleńkim prowincjonalnym laboratorium znalazł lekarstwo na AIDS w oparciu o białko alfa. Szukał tam, gdzie inni z definicji to wykluczali i znalazł !

Czy to możliwe we współczesnym świecie ?

Oczywiście jest to możliwe, to się stało około 10 lat temu w dziedzinie elektroniki. Około 20 lat temu największe laboratoria świata pracowały niezwykle intensywnie nad znalezieniem niebieskiej diody świecącej LED, kluczowej dla uzyskania sygnału RGB umożliwiającej tworzenie wielkoekranowych „telewizorów” kolorowych np. 16*12 metrów, których teraz pełno jest na stadionach świata i nie tylko. Prace nad diodą trwały już 10 lat, posuwały się mizernie, wszyscy szukali niebieskiej diody w grupie pierwiastków X, coś tam ulepszano, ale w po dziesięciu latach poprawiono jasność diody z 1mcd (milicandeli) do 5mcd, żywotność dalej była niezadowalająca.

Nagle w prasie fachowej wybuchła sensacja. Nikomu nie znany, młody Japończyk Taka Mura, pracujący w maleńkim laboratorium nad najzwyklejszymi świetlówkami, zaczął szukać niebieskiej diody LED w grupie pierwiastków Y i znalazł diodę o fenomenalnej jasności i żywotności. Natychmiast został okrzyknięty Edisonem diod LED. Wystarczy porównać parametry. Przed Taka Murą jasność diody LED około 5 mcd, cena około 5 zł, po Taka Murze jasność obecnych diod około 50000mcd, aktualna cena około 50 gr czyli … cena spadła 10 razy, zaś jasność zwiększyła się 10000 razy i dalej rośnie !


1.4 Implikacja w praktyce

W poprzednim punkcie opisaliśmy algorytm szukania konkretnej szczepionki, jestem specjalistą od wirusów i inne lekarstwa na AIDS mnie nie interesują. Wtedy w odkryciu bierze udział wyłącznie górna połówka implikacji. Oczywiście mimo że jestem specjalistą od wirusów, nie wykluczam że inni naukowcy znajda lekarstwo na AIDS jakąś inną metodą lub mój kolega po fachu znajdzie je szybciej.

W ogólnym przypadku mamy taka implikację:

Jeśli znajdę szczepionkę na AIDS to ludzkość uratowana
S=>U =1 Twarda prawda, jeśli szczepionka to „na pewno” uratowana.
Jeśli znajdę szczepionkę na AIDS to ludzkość „na pewno” => nie uratowana
S=>~U = 0 - fałsz
Jeśli nie znajdę szczepionki na AIDS to ludzkość „może” ~> nie być uratowana
~S ~> ~U = 1 - ja nie znajdę, inni nie znajdą, epidemia sama się nie cofnie to apokalipsa, koniec człowieka
LUB
Jeśli nie znajdę szczepionki na AIDS to ludzkość „może” ~> być uratowana
~S~>U = 1 - ja nie znajdę, ale inni znajdą, epidemia sama się cofnie itp. ludzkość uratowana.

Zapyta Pan na pewno gdzie tu są zera i jedynki ?

Przepiszmy same równania:
S=>U =1
S=>~U = 0
~S ~> ~U = 1
~S~>U = 1

Opuszczamy operatory logiczne:
S U =1
S ~U =0
~S ~U =1
~S U =1

Przyjmijmy teraz logikę dodatnią:
S=1, ~S=0
U=1, ~U=0

Podstawmy to do powyższej tabeli:
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Ma Pan piękną matrycę implikacji, która od wieków ludzkość usiłuje zrozumieć … a to wszystko jest nieprawdopodobnie proste jak wyżej.

Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie rozumuję tak matematycznie zapisuję, żadnych wyjątków, wtedy jestem w pięknej algebrze Boole’a, nie mam szans na wypadnięcie do śmietnika.