 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37013
Przeczytał: 21 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Sob 15:20, 01 Mar 2025 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-10900.html#834305
Na czym polega fundamentalny błąd wszystkich ziemskich matematyków?
Patrz koniec postu.
| Irbisol napisał: | Nie są tożsame, schizofreniku. Znaki A/a pojawiają się również, gdy np. wczytasz stronę. Pojawiają się, mimo że na klawiaturze nic nie naciskałeś.
Zresztą - nawet zakładając, że literki A/a pojawiają się TYLKO w wyniku naciskania klawiszy na klawiaturze (bo zawężamy scenariusz do pisania w polu edycyjnym) - są to zdarzenia zachodzące w różnym czasie, gdzie pojawienie się literek jest poprzedzone szeregiem zdarzeń pośrednich następujących po naciśnięciu klawisza. Zatem to NIE SĄ TOŻSAME wydarzenia. Tożsame byłyby wtedy, gdyby były tym samym wydarzeniem.
Jeszcze dodam, że jedno z nich wynika z drugiego - ale nigdy na odwrót. Można wnioskować, że pojawienie się A/a wynikło z naciśnięcia klawisza, ale to naciśnięcie nie jest wynikiem pojawienia się literki. Więc mamy kolejną asymetryczność twojej urojonej "tożsamości". |
Amnezja Irbisola, który w dniu dzisiejszym zapomniał o co chodzi w definicji równoważności p<=>q, którą to równoważność na przykładzie sterowania lampką nocną demonstrowała mu ekspertka algebry Kubusia, jego mama, w wieku 2 latek
Biedny Irbisolu, czy pamiętasz jak miałeś 2 latka i twoja mama pokazywała ci pstryczek elektryczek sterujący lampką nocną?
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Mama do małego Irbisolka:
A1.
Poparz synku, zawsze jak przycisk A jest wciśnięty to lampka S świeci się
A=>S =1
Wciśnięcie A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
B2.
Popatrz synku, zawsze jak przycisk A nie jest wciśnięty (~A) to lampka nie świeci się (~S)
~A=>~S =1
Nie wciśnięty przycisk A (~A) jest warunkiem wystarczającym => do tego, by lampka nie świeciła się (~S)
Stąd wniosek, iż mamy tu do czynienia z równoważnością p<=>q.
Dowód:
Definicja ogólna równoważności p<=>q:
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q) =1*1=1
Stąd w naszym przykładzie mamy tu do czynienia z równoważnością A<=>S:
A1B2: A<=>S = (A1: A=>S)*(B2:~A=>~S) =1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Przyciska A jest wciśnięty wtedy i tylko wtedy gdy lampka S świeci sią
A1B2: A<=>S = (A1: A=>S)*(B2:~A=>~S) =1*1 =1
Ogólne prawo Irbisa:
Każda równoważność p<=>q prawdziwa definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q) <=> p=q
Nasz przykład:
Nasza równoważność prawdziwa A<=>S definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów A=S (i odwrotnie)
A1B2: A<=>S = (A1: A=>S)*(B2: ~A=>~S) <=> A=S
Co oznacza tożsamość zdarzeń A=S?
A=S
Zdarzenie: „przycisk A jest wciśnięty” jest tożsame ze zdarzeniem: „żarówka S świeci się”
Oczywistym jest, że tożsamość jest przemienna, stąd mamy:
S=A
Zdarzenie: „żarówka S świeci się” jest tożsame ze zdarzeniem: „przyciska A jest wciśnięty”
… i co matematyczny schizofreniku Irbisolu?
Zatkało kakao?
P.S.
Na czym polega fundamentalny błąd wszystkich ziemskich matematyków?
Mama do małego Irbisolka:
A1.
Poparz synku, zawsze jak przycisk A jest wciśnięty to lampka S świeci się
A=>S =1
Wciśnięcie A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Ziemscy matematycy dla potwierdzenia warunku wystarczającego => A1 wymagają nieskończonej ilości prób włącz/wyłącz by stwierdzić iż rzeczywiście zachodzi tu relacja warunku wystarczającego => jak wyżej.
Problem w tym, że żarówka na 100% po n próbach się przepali.
Wtedy twardogłowy dupek, fanatyk KRZ, dojdzie do wniosku iż obalił algebrę Kubusia, której ekspertką jest mama Irbisola.
Pokazuję i objaśniam o co w istocie tu chodzi:
1.
Dla udowodnienia iż sterowanie lampką nocną przyciskiem A to układ równoważności A<=>S potrzeba i wystarcza ZERO prób rzeczywistego sterowania!
2.
Dla udowodnienia iż sterowanie lampką nocną przyciskiem A to układ równoważności A<=>S jest potrzebna i wystarczająca znajomość praw fizyki na poziomie ucznia 8 klasy Szkoły podstawowej (szeregowy układ sterowania żarówką przyciskiem A plus prawo Ohma)
KONIEC!
Dziękuję, pozamiatane.
Gówno zwane KRZ leży w gruzach.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 15:46, 01 Mar 2025, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37013
Przeczytał: 21 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 15:47, 01 Mar 2025 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-10900.html#834311
| Irbisol napisał: | Ucieczka #5.
Mowa była o tożsamości zdarzeń, a nie o równoważności.
Nie wiem, po co znowu coś mi tłumaczysz bez sensu.
Tylko wczoraj 2 razy wskazałem ci błędy, po wskazaniu których obiecałeś wykasować AK. |
Dokładnie o tożsamości zdarzeń A=S jest w moim poście wyżej!
Płaskoziemco, dopóki nie udowodnisz błędu czysto matematycznego dokładnie w moim poście wyżej zawieszam dyskusję ... do czasu, aż słup zrozumie iż jest słupem.
Cytuję mój post wyżej:
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-10900.html#834305
| rafal3006 napisał: | Na czym polega fundamentalny błąd wszystkich ziemskich matematyków?
Patrz koniec postu.
| Irbisol napisał: | Nie są tożsame, schizofreniku. Znaki A/a pojawiają się również, gdy np. wczytasz stronę. Pojawiają się, mimo że na klawiaturze nic nie naciskałeś.
Zresztą - nawet zakładając, że literki A/a pojawiają się TYLKO w wyniku naciskania klawiszy na klawiaturze (bo zawężamy scenariusz do pisania w polu edycyjnym) - są to zdarzenia zachodzące w różnym czasie, gdzie pojawienie się literek jest poprzedzone szeregiem zdarzeń pośrednich następujących po naciśnięciu klawisza. Zatem to NIE SĄ TOŻSAME wydarzenia. Tożsame byłyby wtedy, gdyby były tym samym wydarzeniem.
Jeszcze dodam, że jedno z nich wynika z drugiego - ale nigdy na odwrót. Można wnioskować, że pojawienie się A/a wynikło z naciśnięcia klawisza, ale to naciśnięcie nie jest wynikiem pojawienia się literki. Więc mamy kolejną asymetryczność twojej urojonej "tożsamości". |
Amnezja Irbisola, który w dniu dzisiejszym zapomniał o co chodzi w definicji równoważności p<=>q, którą to równoważność na przykładzie sterowania lampką nocną demonstrowała mu ekspertka algebry Kubusia, jego mama, w wieku 2 latek
Biedny Irbisolu, czy pamiętasz jak miałeś 2 latka i twoja mama pokazywała ci pstryczek elektryczek sterujący lampką nocną?
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Mama do małego Irbisolka:
A1.
Poparz synku, zawsze jak przycisk A jest wciśnięty to lampka S świeci się
A=>S =1
Wciśnięcie A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
B2.
Popatrz synku, zawsze jak przycisk A nie jest wciśnięty (~A) to lampka nie świeci się (~S)
~A=>~S =1
Nie wciśnięty przycisk A (~A) jest warunkiem wystarczającym => do tego, by lampka nie świeciła się (~S)
Stąd wniosek, iż mamy tu do czynienia z równoważnością p<=>q.
Dowód:
Definicja ogólna równoważności p<=>q:
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q) =1*1=1
Stąd w naszym przykładzie mamy tu do czynienia z równoważnością A<=>S:
A1B2: A<=>S = (A1: A=>S)*(B2:~A=>~S) =1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Przyciska A jest wciśnięty wtedy i tylko wtedy gdy lampka S świeci sią
A1B2: A<=>S = (A1: A=>S)*(B2:~A=>~S) =1*1 =1
Ogólne prawo Irbisa:
Każda równoważność p<=>q prawdziwa definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q) <=> p=q
Nasz przykład:
Nasza równoważność prawdziwa A<=>S definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów A=S (i odwrotnie)
A1B2: A<=>S = (A1: A=>S)*(B2: ~A=>~S) <=> A=S
Co oznacza tożsamość zdarzeń A=S?
A=S
Zdarzenie: „przycisk A jest wciśnięty” jest tożsame ze zdarzeniem: „żarówka S świeci się”
Oczywistym jest, że tożsamość jest przemienna, stąd mamy:
S=A
Zdarzenie: „żarówka S świeci się” jest tożsame ze zdarzeniem: „przyciska A jest wciśnięty”
… i co matematyczny schizofreniku Irbisolu?
Zatkało kakao?
P.S.
Na czym polega fundamentalny błąd wszystkich ziemskich matematyków?
Mama do małego Irbisolka:
A1.
Poparz synku, zawsze jak przycisk A jest wciśnięty to lampka S świeci się
A=>S =1
Wciśnięcie A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Ziemscy matematycy dla potwierdzenia warunku wystarczającego => A1 wymagają nieskończonej ilości prób włącz/wyłącz by stwierdzić iż rzeczywiście zachodzi tu relacja warunku wystarczającego => jak wyżej.
Problem w tym, że żarówka na 100% po n próbach się przepali.
Wtedy twardogłowy dupek, fanatyk KRZ, dojdzie do wniosku iż obalił algebrę Kubusia, której ekspertką jest mama Irbisola.
Pokazuję i objaśniam o co w istocie tu chodzi:
1.
Dla udowodnienia iż sterowanie lampką nocną przyciskiem A to układ równoważności A<=>S potrzeba i wystarcza ZERO prób rzeczywistego sterowania!
2.
Dla udowodnienia iż sterowanie lampką nocną przyciskiem A to układ równoważności A<=>S jest potrzebna i wystarczająca znajomość praw fizyki na poziomie ucznia 8 klasy Szkoły podstawowej (szeregowy układ sterowania żarówką przyciskiem A plus prawo Ohma)
KONIEC!
Dziękuję, pozamiatane.
Gówno zwane KRZ leży w gruzach. |
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37013
Przeczytał: 21 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 15:49, 01 Mar 2025 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-10900.html#834315
| Irbisol napisał: | | Już ci wyjaśniałem ten błąd wyżej na przykładzie klawiatury i monitora. |
Nie interesuje mnie twoja klawiatura i monitor.
Problem tożsamości zdarzeń wyjaśniam na przykładzie w 100% analogicznym, przykładzie, który demonstrowała ci twoja mama, ekspertka algebry Kubusia, gdy miałeś 2 latka
Dokładnie do cytatu niżej masz się odnieść - obalisz cokolwiek, kasuję calusieńką algebrę Kubusia.
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-10900.html#834305
| rafal3006 napisał: | Na czym polega fundamentalny błąd wszystkich ziemskich matematyków?
Patrz koniec postu.
| Irbisol napisał: | Nie są tożsame, schizofreniku. Znaki A/a pojawiają się również, gdy np. wczytasz stronę. Pojawiają się, mimo że na klawiaturze nic nie naciskałeś.
Zresztą - nawet zakładając, że literki A/a pojawiają się TYLKO w wyniku naciskania klawiszy na klawiaturze (bo zawężamy scenariusz do pisania w polu edycyjnym) - są to zdarzenia zachodzące w różnym czasie, gdzie pojawienie się literek jest poprzedzone szeregiem zdarzeń pośrednich następujących po naciśnięciu klawisza. Zatem to NIE SĄ TOŻSAME wydarzenia. Tożsame byłyby wtedy, gdyby były tym samym wydarzeniem.
Jeszcze dodam, że jedno z nich wynika z drugiego - ale nigdy na odwrót. Można wnioskować, że pojawienie się A/a wynikło z naciśnięcia klawisza, ale to naciśnięcie nie jest wynikiem pojawienia się literki. Więc mamy kolejną asymetryczność twojej urojonej "tożsamości". |
Amnezja Irbisola, który w dniu dzisiejszym zapomniał o co chodzi w definicji równoważności p<=>q, którą to równoważność na przykładzie sterowania lampką nocną demonstrowała mu ekspertka algebry Kubusia, jego mama, w wieku 2 latek
Biedny Irbisolu, czy pamiętasz jak miałeś 2 latka i twoja mama pokazywała ci pstryczek elektryczek sterujący lampką nocną?
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Mama do małego Irbisolka:
A1.
Poparz synku, zawsze jak przycisk A jest wciśnięty to lampka S świeci się
A=>S =1
Wciśnięcie A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
B2.
Popatrz synku, zawsze jak przycisk A nie jest wciśnięty (~A) to lampka nie świeci się (~S)
~A=>~S =1
Nie wciśnięty przycisk A (~A) jest warunkiem wystarczającym => do tego, by lampka nie świeciła się (~S)
Stąd wniosek, iż mamy tu do czynienia z równoważnością p<=>q.
Dowód:
Definicja ogólna równoważności p<=>q:
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q) =1*1=1
Stąd w naszym przykładzie mamy tu do czynienia z równoważnością A<=>S:
A1B2: A<=>S = (A1: A=>S)*(B2:~A=>~S) =1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Przyciska A jest wciśnięty wtedy i tylko wtedy gdy lampka S świeci sią
A1B2: A<=>S = (A1: A=>S)*(B2:~A=>~S) =1*1 =1
Ogólne prawo Irbisa:
Każda równoważność p<=>q prawdziwa definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q) <=> p=q
Nasz przykład:
Nasza równoważność prawdziwa A<=>S definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów A=S (i odwrotnie)
A1B2: A<=>S = (A1: A=>S)*(B2: ~A=>~S) <=> A=S
Co oznacza tożsamość zdarzeń A=S?
A=S
Zdarzenie: „przycisk A jest wciśnięty” jest tożsame ze zdarzeniem: „żarówka S świeci się”
Oczywistym jest, że tożsamość jest przemienna, stąd mamy:
S=A
Zdarzenie: „żarówka S świeci się” jest tożsame ze zdarzeniem: „przyciska A jest wciśnięty”
… i co matematyczny schizofreniku Irbisolu?
Zatkało kakao?
P.S.
Na czym polega fundamentalny błąd wszystkich ziemskich matematyków?
Mama do małego Irbisolka:
A1.
Poparz synku, zawsze jak przycisk A jest wciśnięty to lampka S świeci się
A=>S =1
Wciśnięcie A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Ziemscy matematycy dla potwierdzenia warunku wystarczającego => A1 wymagają nieskończonej ilości prób włącz/wyłącz by stwierdzić iż rzeczywiście zachodzi tu relacja warunku wystarczającego => jak wyżej.
Problem w tym, że żarówka na 100% po n próbach się przepali.
Wtedy twardogłowy dupek, fanatyk KRZ, dojdzie do wniosku iż obalił algebrę Kubusia, której ekspertką jest mama Irbisola.
Pokazuję i objaśniam o co w istocie tu chodzi:
1.
Dla udowodnienia iż sterowanie lampką nocną przyciskiem A to układ równoważności A<=>S potrzeba i wystarcza ZERO prób rzeczywistego sterowania!
2.
Dla udowodnienia iż sterowanie lampką nocną przyciskiem A to układ równoważności A<=>S jest potrzebna i wystarczająca znajomość praw fizyki na poziomie ucznia 8 klasy Szkoły podstawowej (szeregowy układ sterowania żarówką przyciskiem A plus prawo Ohma)
KONIEC!
Dziękuję, pozamiatane.
Gówno zwane KRZ leży w gruzach. |
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 15:51, 01 Mar 2025, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37013
Przeczytał: 21 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 18:47, 01 Mar 2025 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-10900.html#834327
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
6.5 Algorytm Puchacza w rozwiązywaniu przykładów równoważności p<=>q
Spis treści
6.5 Rozwiązywanie równoważności p<=>q algorytmem Puchacza 1
6.5.1 Algorytm Puchacza 2
6.6 Sztandarowy przykład równoważności A<=>S 3
6.6.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach 9
6.6.2 Diagram równoważności A<=>S w zapisie formalnym i aktualnym 12
6.6.3 Równoważność jednokierunkowa A<=>S w zdarzeniach 13
6.7 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza 15
6.7.1 Zdanie W1: A~~>S 16
6.7.2 Zadania W2: A=>S 17
6.7.3 Zdanie W3: A~~>~S 17
6.7.4 Zdanie W4: ~A~~>~S 18
6.7.5 Zdanie W5: ~A=>~S 19
6.7.6 Zdanie W6: ~A~~>S 19
6.8 Rozwiązanie równoważności A<=>S metodą zdjęciową 20
6.9 Zadnie typu "zbuduj układ minimalny równoważności p<=>q" 22
6.10 Równoważność w języku potocznym 5-cio latka 24
6.5 Rozwiązywanie równoważności p<=>q algorytmem Puchacza
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"
Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>
| Kod: |
T0R
Rozszerzona tabela matematycznych związków warunków wystarczających =>
i koniecznych ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =? = 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =? = 4:~q=>~p=?
A': 1: p~~>~q=? 4:~q~~>p=?
## ## ## ##
B: 1: p~> q =? = 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =? = 4:~q~>~p=?
B': 2:~p~~>q=? 3: q~~>~p=?
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego.
6.5.1 Algorytm Puchacza
Algorytm Puchacza (pkt. 2.11):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.
5.
Prawo Puchacza (pkt. 2.10.1):
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza.
Rozłączne operatory implikacyjne to:
a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1)
b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1)
d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1)
e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1)
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
7.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia
Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie.
6.6 Sztandarowy przykład równoważności A<=>S
Niech będzie dany schemat elektryczny:
| Kod: |
S1 Schemat 1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Zadanie W1
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to może się świecić żarówka S
Sprawdzamy warunek konieczny stosowalności algorytmu Puchacza:
1.
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S ( żarówka S)
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Istnieje związek między wciśnięciem przycisku A a świeceniem żarówki S, zatem wspólna dziedzina dla p i q jest spełniona..
Dziedzina matematyczna Dm to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń rozłącznych bez analizy prawdziwości/fałszywości tych zdarzeń.
Dm=A*S + A*~S + ~A*~S + ~A*S
Dziedzina fizyczna D to zbiór zdarzeń fizycznie możliwych, jakie mogą zajść.
Dziedzina fizyczna D wyskoczy nam w czasie analizy matematycznej zdania wypowiedzianego W
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych.
p=A =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: wciśnięty przycisk A (A=1)
q=S =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: żarówka S świeci się (S=1)
;
~p=~A =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
Zapis tożsamy:
Prawo Prosiaczka: (~A=1)=(A=0) - możliwe jest ~~> (=1) zdarzenie: klawisz A nie jest wciśnięty (A=0)
;
~q=~S =1 - możliwe jest zdarzenie: żarówka nie świeci się (~S=1)
Zapis tożsamy:
Prawo Prosiaczka: (~S=1)=(S-0) - możliwe jest ~~> (=1) zdarzenie: żarówka nie świeci się (S=0)
4.
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza
Analiza podstawowa (punkty 6 i 7 w algorytmie Puchacza):
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
| Kod: |
S1 Schemat 1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to na 100% => świeci się żarówka S
A=>S =1
Na mocy prawa Kłapouchego zdanie A1 przyjmujemy za punkt odniesienia:
p= A (klawisz A)
q= S (żarówka S
Stąd to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S bo w układzie nie ma przycisku C (zmienna wolna) połączonego szeregowo z A który by gwałcił warunek wystarczający =>.
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Oczywistość na mocy schematu S1
Zachodzi tożsamość pojęć:
Na 100% => = warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => …
etc
Pozostało nam wybrać dowolne zdanie z linii Bx i udowodnić jego prawdziwość/fałszywość.
Tu jest obojętne które zdanie z linii Bx wybierzemy, bo wszystkie dowody wprost są trywialne.
Wybierzmy zdanie B1
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to na 100% ~> świeci się żarówka S
A~>S =1
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia się żarówki S, bo nie ma tu zmiennej wolnej, czyli przycisku B połączonego równolegle z A który by zaświecił żarówkę S, niezależnie od stanu przycisku A.
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> świecenia się żarówki S (S=1), bo jak przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Stąd mamy:
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Doskonale widać, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to są zdania różne na mocy definicji ## warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
A1: p=>q=~p+q ## B1: p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wplecionych w treść zdań.
Stąd mamy dowód iż układ S1 spełnia definicję równoważności.
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=A (przycisk)
q=S ( żarówka)
Stąd mamy:
Definicja równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S w logice dodatniej (bo S) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia żarówki S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia żarówki S
Stąd mamy definicję równoważności A<=>S w równaniu logicznym:
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Nanieśmy tą definicję na schemat S1.
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak, nie ma żadnych innych przycisków z wyjątkiem A
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
W układzie S1 nie ma zmiennej wolnej.
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna związana A będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(x) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(x) =1
oraz
f(x)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(x) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(x) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty
Nanieśmy naszą równoważność A<=>S do tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu i prawa Irbisa.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Przyjęty na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym {A, S}:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
Zapis aktualny:
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S =1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
A': 1: A~~>~S=0 [=] 4:~S~~>A =0
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Zapis aktualny:
B: 1: A~>S =1 = 2:~A=>~S =1 [=] 3: S=>A =1 = 4:~S~>~A =1
B': 2:~A~~>S =0 [=] 3: S~~>~A=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważności <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1
definiuje tożsamość zdarzeń: | definiuje tożsamość zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawo Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii A
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii B
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli równoważności TR
Definicję równoważności A<=>S mamy w kolumnie A1B1:
Równoważność A<=>S w logice dodatniej (bo S) to zachodzący zarówno warunek konieczny ~> (B1) jak i wystarczający => (A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
6.6.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach
Definicja operatora równoważności p|<=>q w zapisie formalnym:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia:
p=A (przycisk A)
q=S ) żarówka S)
Stąd mamy:
Definicja operatora równoważności A|<=>S w zapisie aktualnym:
Operator równoważności A|<=>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o wciśnięty przycisk A (A) oraz o nie wciśnięty przycisk A (~A)
Kolumna A1B1:
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) - co może się wydarzyć jeśli A jest wciśnięty (A=1)?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~A<=>~S = (A2:~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) - co może się wydarzyć jeśli A nie jest wciśnięty (~A=1)?
A1B1:
Kiedy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
Kolumna A1B1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w logice dodatniej (bo S) w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
Całość czytamy:
Równoważność A<=>S jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięcie przycisku A (A=1) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego, by żarówka świeciła się (S=1)
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Na mocy prawa Irbisa równoważność A1B1: A<=>S definiuje tożsamość pojęć A1B1: A=S:
A1B1: A=S <=> (A1: A=>S)*(B1: A~>S) = A1B1: A<=>S
Czytamy:
Pojęcie "przycisk A wciśnięty" (A=1) jest tożsame "=" z pojęciem "żarówka S świeci" (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięcie przycisku A (A=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla świecenia się żarówki S (S=1)
Powyższe zdanie to dowód poprawności prawa Irbisa, bowiem na mocy schematu S1 to fizyczna oczywistość.
Matematycznie zachodzi tu relacja:
A=S # ~A=~S
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Tożsamość pojęć A=S wymusza tożsamość pojęć ~A=~S (i odwrotnie)
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” jest następująca:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zawsze gdy wciśniemy przycisk A zaświeci się żarówka S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Dowód "nie wprost" fałszywości zdania A1'.
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Dla schematu S1 to fizyczna oczywistość
A2B2:
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
Kolumna A2B2
Fizyczna realizacja równoważności ~A<=>~S w logice ujemnej (bo ~S) w zdarzeniach:
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) konieczne ~> dla nie świecenia żarówki S (~S=1)
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia żarówki S (~S=1)
A2B2: ~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Klawisz A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
Całość czytamy:
Równoważność ~A<=>~S jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla braku świecenia się żarówki S (~S=1)
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Na mocy prawa Irbisa równoważność A2B2: ~A<=>~S definiuje tożsamość pojęć A2B2: ~A=~S:
A2B2: ~A=~S <=> (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) = A2B2: ~A<=>~S
Czytamy:
Pojęcie "przycisk A nie jest wciśnięty" (~A=1) jest tożsame "=" z pojęciem "żarówka S nie świeci się" (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla nie świecenia się żarówki S (~S=1)
Powyższe zdanie to dowód poprawności prawa Irbisa, bowiem na mocy schematu S1 to fizyczna oczywistość.
Matematycznie zachodzi tu relacja:
A2B2: ~A=~S # A1B1: A=S
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Tożsamość pojęć ~A=~S wymusza tożsamość pojęć A=S (i odwrotnie)
A2B2:
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla braku świecenia żarówki S (~S=1)
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => braku świecenia się żarówki S (~S=1)
Zawsze, gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1), żarówka nie świeci się (~S=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% => etc
Dowód "nie wprost" fałszywości zdania B2'.
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka S świeci się (S=1)
Dla schematu S1 to fizyczna oczywistość
Zauważmy że:
Prawdziwości/fałszywości powyższych zdań dowodzimy na gruncie fizyki teoretycznej.
Jakiekolwiek iterowanie nie ma tu sensu, bowiem wcześniej czy później żarówka spali się i nie będziemy mieli fizycznego potwierdzenia prawdziwości/fałszywości powyższych zdań.
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności A|<=>S jest gwarancja matematyczna => po stronie wciśniętego przycisku A (A=1) - zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A=1) - zdanie B2.
W przeciwieństwie do operatora implikacji zarówno prostej p||=>q jak i odwrotnej p||~>q nie ma tu miejsca na jakiekolwiek „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~A|<=>~S to układ równań logicznych:
A2B2:~A<=>~S=(A2:~A~>~S)*(B2:~A=>~S) - co się stanie gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
A1B1: A<=>S =(A1: A=>S)* (B1: A~>S) - co się stanie gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności A2B2: ~A|<=>~S w logice ujemnej (bo ~S) będzie identyczna jak operatora równoważności A1B1: A|<=>S w logice dodatniej (bo S) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
6.6.2 Diagram równoważności A<=>S w zapisie formalnym i aktualnym
Na mocy powyższego zapisujemy diagram równoważności A<=>S w zapisie formalnym i aktualnym (przykład):
| Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q wspólny dla teorii zdarzeń i teorii zbiorów
--------------------------------------------------------------------------
| p=A | ~p=~A |
|----------------------------------|--------------------------------------|
| q=S | ~q=~S |
|----------------------------------|--------------------------------------|
|Zapis formalny: [=] Zapis formalny: |
|Równoważność A1B1: [=] Równoważność A2B2: |
|A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)[=] A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) | A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
|Definiuje tożsamość zdarzeń: | Definiuje tożsamość zdarzeń: |
| p=q # ~p=~q |
|-------------------------------------------------------------------------|
|Zapis aktualny [=] Zapis aktualny: |
|Punkt odniesienia: p=A, q=S [=] Punkt odniesienia: p=A. q=S |
|Równoważność A1B1: [=] Równoważność A2B2: |
|A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)[=] A2B2:~A<=>~S=(A2:~A~>~S)*(B2:~A=>~S)|
| A1: A=>S=1 (A*S=1) | A2:~A~>~S=1 (~A*~S=1) |
| B1: A~>S=1 (A*S=1) | B2:~A=>~S=1 (~A*~S=1) |
|Definiuje tożsamość zdarzeń: | Definiuje tożsamość zdarzeń: |
| A=S # ~A=~S |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Zapisy formalne: |
| Dziedzina D - suma logiczna zbiorów/zdarzeń możliwych A1, B2 |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty/zdarzenie niemożliwe |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty/zdarzenie niemożliwe |
| Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach definiujący |
| tożsamości zbiorów/zdarzeń p=q i ~p=~q |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Zapisy aktualne: |
| Dziedzina D - suma logiczna zdarzeń możliwych A1, B2 |
| D=A1: A*S+ B2:~A*~S |
| A1’: A~~>~S=A*~S=[]=0 - zdarzenie niemożliwe |
| B2’: ~A~~>S =~A*S=[]=0 - zdarzenie niemożliwe |
| Diagram równoważności A<=>S w zdarzeniach definiujący |
| tożsamości zdarzeń A=S i ~A=~S |
---------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
6.6.3 Równoważność jednokierunkowa A<=>S w zdarzeniach
Zauważmy, że omawiana równoważność A<=>S jest równoważnością jednokierunkową.
Dowód:
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest konieczne ~> dla świecenia S
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak, nie ma żadnych innych przycisków z wyjątkiem A
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Definicja równoważności p<=>q jednokierunkowej:
Równoważność p<=>q jest jednokierunkowa wtedy i tylko wtedy gdy zamiana przyczyny p ze skutkiem q jest fizycznie niemożliwa.
Co to oznacza?
Na schemacie S1 przyczyną jest przycisk A co oznacza, że możemy włączać/wyłączać przycisk A obserwując skutek - żarówka jest zaświecona albo zgaszona w zależności od stanu przycisku A.
Odwrotnie nie zachodzi:
Żarówka S nie jest tu przyczyną ustawienia przycisku A na określoną pozycję, tzn. możemy wykręcać i wkręcać żarówkę S powodując jej zaświecenie albo wygaszenie co nie ma żadnego wpływu na aktualny stan przycisku A.
Nasz przykład:
Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia S
Stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Przyjęty na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym {A, S}:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
Zapis aktualny:
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S =1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
A': 1: A~~>~S=0 [=] 4:~S~~>A =0
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Zapis aktualny:
B: 1: A~>S =1 = 2:~A=>~S =1 [=] 3: S=>A =1 = 4:~S~>~A =1
B': 2:~A~~>S =0 [=] 3: S~~>~A=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważności <=>:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1
definiuje tożsamość zdarzeń: | definiuje tożsamość zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
W tabeli prawdy TR równoważności A<=>S sytuacja po zamianie przyczyny A i ze skutkiem S opisana jest kolumnami A3B3 i A4B4.
A3B3
Weźmy równoważność S<=>A opisaną kolumną A3B3:
A3: S~>A=1 - świecenie się żarówki S jest warunkiem koniecznym ~>
dla wnioskowania, iż przycisk A jest wciśnięty
B3: S=>A=1 - świecenie się żarówki S jest warunkiem wystarczającym =>
dla wnioskowania, iż przycisk A jest wciśnięty
Stąd:
A3B3: S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Żarówka S świeci się wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty
Prawą stronę czytamy:
Świecenie się żarówki S jest warunkiem koniecznym ~> (A3) i wystarczającym => (B3) dla wnioskowania, iż przycisk A jest wciśnięty
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Nasz przykład:
Równoważność prawdziwa A3B3: S<=>A definiuje tożsamość zdarzeń S=A
czyli:
S=A
Zdarzenie "żarówka S świeci się" (S=1) jest tożsame ze zdarzeniem "przycisk A jest wciśnięty" (A=1)
Innymi słowy:
Z faktu że żarówka S świeci się (S=1) wnioskujemy, iż przycisk A jest wciśnięty (A=1) co wynika z teorii fizycznej - nie możemy tego faktu sprawdzać doświadczalnie
A4B4:
Weźmy równoważność ~S<=>~A opisaną kolumną A4B4:
A4: ~S=>~A=1 - brak świecenia żarówki S (~S=1) jest warunkiem wystarczającym =>
dla wnioskowania, iż przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
B4: ~S~>~A=1 - brak świecenia żarówki S (~S=1) jest warunkiem koniecznym ~>
dla wnioskowania, iż przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
Stąd:
A4B4: ~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Żarówka S nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
Prawą stronę czytamy:
Brak świecenia żarówki S (~S=1) jest warunkiem koniecznym ~> (B4) i wystarczającym => (A4) dla wnioskowania, iż przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów p=q (i odwrotnie)
Nasz przykład:
Równoważność prawdziwa A4B4: ~S<=>~A definiuje tożsamość zdarzeń A4B4: ~S=~A
czyli:
~S=~A
Zdarzenie "żarówka S nie świeci się" (~S=1) jest tożsame ze zdarzeniem "przyciska A nie jest wciśnięty" (~A=1)
Innymi słowy:
Z faktu że żarówka S nie świeci się (~S=1) wnioskujemy, iż przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) co wynika z teorii fizycznej - nie możemy tego faktu sprawdzać doświadczalnie
6.7 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza
Niech będzie dany schemat elektryczny:
| Kod: |
S1 Schemat 1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Przykładowe zadania w których koniec końców wylądujemy w operatorze równoważności A|<=>S mogą być następujące.
6.7.1 Zdanie W1: A~~>S
Zadanie W1
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to może się świecić żarówka S
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 6.6 i 6.6.1.
W punkcie 6.6.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W1.
Jak widzimy, nie ma dokładnego odpowiednika zdania W1, ale jest zdanie podobne A1 ze spełnionym warunkiem wystarczającym =>.
Nasze zdanie W1 brzmi:
W1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to może się ~~> świecić żarówka S (S=1)
A~~>S = A*S =1
To samo w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Dla udowodnienia prawdziwości zdarzenia kodowanego zdarzeniem możliwym ~~> wystarczy pokazać jeden taki przypadek. Nie analizujemy tu, czy wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => czy też koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S
W punkcie 6.6.1 widzimy, że zachodzi warunek wystarczający A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
cnd
Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W1: A~~>S jest częścią warunku wystarczającego => A1: A=>S, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
| Kod: |
Pojedyńcze zdarzenie ~~> W1: ## Warunek wystarczający => A1:
W1: A~~>S=A*S =1 ## A1: A=>S =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W1: A~~>S jest pojedynczym iterowaniem dla warunku wystarczającego A1: A=>S.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie A1: A=>S wchodzi w skład operatora równoważności A|<=>S co udowodniono w punkcie 6.6.1 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
6.7.2 Zadania W2: A=>S
Zadanie W2
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W2.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka świeci się (S=1)
Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame
W2.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 6.6 i 6.6.1.
W punkcie 6.6.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W2.
Z analizy matematycznej w punkcie 6.6.1 widzimy że zachodzi tożsamość zdań W2=A1:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Rozwiązanie:
Zdanie wypowiedziane W2=A1 jest częścią operatora równoważności A|<=>S (zdanie A1) i na mocy prawa Puchacza nie może być częścią jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
6.7.3 Zdanie W3: A~~>~S
Zadanie W3
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W3.
Jeśli przyciska A jest wciśnięty (A) to żarówka S może się nie świecić (~S)
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 6.6 i 6.6.1.
W punkcie 6.6.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W3.
W punkcie 6.6.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W2=A1'
A1’.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Podsumowanie:
Fałszywe zdanie wypowiedziane A1': A~~>~S=0 to kontrprzykład A1' dla prawdziwego warunku wystarczającego A1: A=>S =1.
Na mocy prawa Puchacza zdanie W3=A1' wchodzi w skład operatora równoważności A|<=>S i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
6.7.4 Zdanie W4: ~A~~>~S
Zadanie W4
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W4.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A) to żarówka może się nie świecić (~S)
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 6.6 i 6.6.1.
W punkcie 6.6.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W4.
Jak widzimy, nie ma dokładnego odpowiednika zdania W4, ale jest zdanie podobne B2 ze spełnionym warunkiem wystarczającym =>.
Nasze zdanie W4 brzmi:
W4.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A) to żarówka może się ~~> nie świecić (~S)
~A~~>~S=~A*~S =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>~q = ~p*~q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A) i żarówka S nie świeci się (~S)
cnd
Dla udowodnienie prawdziwości zdania W4 kodowanego zdarzeniem możliwym ~~> wystarczy zaobserwować jeden taki przypadek, nie wnikamy tu czy brak wciśnięcia przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> czy też wystarczającym => dla braku świecenia się żarówki S.
W punkcie 6.6.1 widzimy, że prawdziwe jest tu zdanie ze spełnionym warunkiem wystarczającym B2.
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla braku świecenia żarówki S (~S=1)
Oczywistym jest, że zdanie wypowiedziane W4: ~A~~>~S kodowane zdarzeniem możliwym ~~> jest częścią warunku wystarczającego B2: ~A=>~S, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
| Kod: |
Pojedyńcze zdarzenie ~~> W4: ## Warunek wystarczający => B2:
W4:~A~~>~S=~A*~S =1 ## B2:~A=>~S =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W4: ~A~~>~S jest pojedynczym iterowaniem dla warunku wystarczającego B2: ~A=>~S
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie B2: ~A=>~S wchodzi w skład operatora równoważności A|<=>S i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
6.7.5 Zdanie W5: ~A=>~S
Zadanie W5
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane W5.
W5.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A) to żarówka nie świeci się (~S)
Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame:
W5.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S)
W punkcie 6.6.1 widzimy tożsamość zdań W5=B2
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla braku świecenia żarówki S (~S=1)
Podsumowanie:
Na mocy prawa Puchacza warunek wystarczający A2:~A=>~S wchodzi w skład operatora równoważności A|<=>S i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
6.7.6 Zdanie W6: ~A~~>S
Zadanie W6
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W6.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A) to żarówka S może się świecić (S)
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 6.6 i 6.6.1.
W punkcie 6.6.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W6=B2'
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka S świeci się (S=1)
Zdanie wypowiedziane W6=B2' jest fałszywym kontrprzykładem B2' dla prawdziwego warunku wystarczającego B2: ~A=>~S=1
Podsumowanie:
Na mocy prawa Puchacza fałszywe zdanie W6=B2': ~A~~>S=0 wchodzi w skład operatora równoważności A|<=>S i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
6.8 Rozwiązanie równoważności A<=>S metodą zdjęciową
Niech będzie dany schemat elektryczny:
| Kod: |
S1 Schemat 1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Zadanie W1
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to może się świecić żarówka S
Polecenie:
Rozwiąż zadanie W1 metodą zdjęciową.
1.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
Robimy zdjęcie układu (pkt. 6.3.1)
| Kod: |
A: A~~> S=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: wciśnięty A (A) i świeci S (S)
B: A~~>~S=0 - niemożliwe jest (=0): wciśnięty A (A) i nie świeci S (~S)
C:~A~~>~S=1 - możliwe jest (=1): nie wciśnięty A (~A) i nie świeci S (~S)
D:~A~~> S=0 - niemożliwe jest (=0): nie wciśnięty A (~A) i świeci S (S)
|
Jak widzimy zrobienie zdjęcia układu S1 w zdarzeniach jest trywialne.
Prawo Orła:
Jeśli dla zdania warunkowego "Jeśli p to q" znane jest zdjęcie układu w zapisie aktualnym (przykład) to wszelkie relacje między p i q określa wzór:
p*(q+~q) dzn (~)q*(p+~p)
Gdzie:
Punkt odniesienia:
Poprzednik p ze zdjęcia układu musi być niezanegowany co lokuje nas w kolumnie A1B1
(~) - w zapisie aktualnym przeczenie (~) przy q może wystąpić wyłącznie w spójniku "albo"($)
dzn - dowolny ze znaczków:
~~> - zdarzenie możliwe lub element wspólny zbiorów
=> - warunek wystarczający [=] relacja podzbioru =>
~> - warunek konieczny [=] relacja nadzbioru ~>
<=> - równoważność
$ - spójnik "albo"($)
;
[=] - tożsamość logiczna
Uwaga:
W prawie Orła za punkt odniesienia przyjmujemy zdanie warunkowe "Jeśli p to q" z niezaprzeczonym poprzednikiem p.
W naszym przypadku jest to zdanie z linii A.
2.
Na mocy prawa Orła zapisujemy:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
A*(S+~S) dzn S*(A+~A)
Minimalizujemy zapis:
A*S + A*~S dzn A*S + ~A*S
Ze zdjęcia układu odczytujemy:
A*~S =0
~A*S =0
Stąd mamy:
A*S + 0 <=> A*S + 0
Prawo algebry Boole'a:
x+0=x
stąd mamy po minimalizacji:
A*S <=> A*S
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q wymusza tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q
Nasz przykład:
A*S = A*S
Powyższy zapis oznacza tożsamość zdarzeń:
Zdarzenie "wciśnięcie przycisku A" jest tożsame ze zdarzeniem "żarówka S świeci się"
A=S
Definicja równoważności A<=>S:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest wystarczające => dla świecenia się żarówki S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S
Stąd:
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Nic więcej nie musimy udowadniać.
Na mocy definicji zdjęcia układu plus prawo Orła mamy tu do czynienia z równoważnością A<=>S omówioną szczegółowo w punktach 6.6 i 6.6.1
6.9 Zadnie typu "zbuduj układ minimalny równoważności p<=>q"
Zadanie:
Mamy do dyspozycji: źródło zasilania, żarówkę i trzy przyciski A, B i C
Polecenie:
Zbuduj minimalny układ elektryczny realizujący równoważność p<=>q
Rozwiązanie:
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Dla B1 korzystamy z prawa Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
stąd mamy:
Operatorowa definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to spełniony warunek wystarczający => zarówno po stronie p, jak i po stronie ~p
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B2: ~p=>~q=1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Na mocy operatorowej definicji równoważności p<=>q łatwo rysujemy układ minimalny spełniający tą definicję.
| Kod: |
S1 Schemat 1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Rozumowanie które doprowadziło nas do narysowania schematu S1 jest następujące.
Na mocy operatorowej definicji równoważności A<=>S mamy:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) wystarczające => dla świecenia żarówki S
Z powyższego wynika że przycisk A musi być połączony szeregowo z układem zasilania i żarówką przyciskiem A, czyli nie może tu być jakiegokolwiek przycisku C (zmienna wolna) połączonego szeregowo z A.
##
B2: ~A=>~S=1 - nie wciśnięcie przycisku A jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia żarówki S
Warunek B2 oznacza, że w obwodzie nie może istnieć przycisk B (zmienna wolna) połączony równolegle do A.
Stąd mamy definicję minimalną równoważności A<=>S:
A<=>S = (A1: A=>S)*~(B2: ~A=>~S) =1*1=1
Gdzie:
A, S - zmienne binarne związane równaniem równoważności A<=>S
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Przyjmijmy punkt odniesienia zgodny z prawem Kłapouchego:
p=A (przycisk A) - przyczyna
q=S (żarówka S) - skutek
Stąd mamy potoczną definicję równoważności dla naszego układu.
Operatorowa definicja równoważności A<=>S:
Równoważność to spełniony warunek wystarczający => zarówno po stronie A, jak i po stronie ~A
A1: A=>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) wystarczające => dla świecenia żarówki S
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie przycisku A jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia żarówki S
A1B2: A<=>S = (A1: A=>S)*(B2:~A=>~S)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Zauważmy, że fakty A1 i B2 możemy sprawdzić doświadczalnie:
Każde wciśnięcie przycisku A (przyczyna) spowoduje zaświecenie żarówki S (skutek)
Każde nie wciśnięcie przycisku A (przyczyna) spowoduje brak świecenia żarówki S (skutek)
Dla B2 możemy skorzystać z prawa Prosiaczka:
B2: ~A=>~S = B1: A~>S
Stąd wracamy do podstawowej definicji równoważności definiowanej kolumną A1B1.
Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia S
Stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
6.10 Równoważność w języku potocznym 5-cio latka
Udajmy się do przedszkola A.
Pani w przedszkolu A mówi:
A.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K)
#
.. a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Negujemy dwustronnie zdanie A
B.
~Y=K
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Znaczenie zmiennej binarnej Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y - pani nie (~) dotrzyma słowa (Y)
~Y = ~(Y)
Znaczenie zmiennej binarnej K:
K - jutro pójdziemy do kina (K)
~K - jutro nie (~) pójdziemy do kina (K)
~K = ~(K)
Matematyczne omówienie przykładu z przedszkola A
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q =1 definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów p=q i odwrotnie
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] p=q
Gdzie:
=, [=], <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Nasz przykład
A:
A1B1: Y<=>~K = (A1: Y=>~K)*(B1: Y~>~K) [=] Y=~K
Czytamy:
Dotrzymanie przez panią słowa (Y) jest warunkiem wystarczającym => (A1) i koniecznym ~> (B1) do tego, byśmy nie poszli do kina (~K)
Zachodzi tożsamość pojęć:
(Y=~K) =1 (prawda)
Czytamy:
Zdarzenie „pani dotrzyma słowa” (Y) jest tożsame ze zdarzeniem „nie pójdziemy do kina” (~K)
Prawo algebry Kubusia:
Każdą równoważność p<=>q mamy prawo dwustronnie zanegować
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q
Dowód:
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Rozwijamy prawą stronę A2B2 powyższą definicją równoważności:
A2B2: ~p<=>~q = (~p)*(~q) + ~(~p)*~(~q) = ~p*~q + p*q = p*q+~p*~q = A1B1: p<=>q
cnd
Na mocy prawa do dwustronnej negacji równoważności negujemy zdanie A.
B.
A2B2: ~Y<=>K = (A2: ~Y~>K)*(B2: ~Y=>K) [=] ~Y=K
Czytamy:
Nie dotrzymanie przez panią słowa (~Y) jest warunkiem koniecznym ~> (A2) i wystarczającym => (B2) do tego, byśmy poszli do kina (K)
Zachodzi tożsamość pojęć:
(~Y=K) =1 (prawda)
Czytamy:
Zdarzenie „pani nie dotrzyma słowa” (~Y) jest tożsame ze zdarzeniem „pójdziemy do kina” (K)
Między zdarzeniami A: Y i B: ~Y zachodzi relacja spójnika „albo”($).
Dowód:
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
Stąd mamy:
Y$~Y = (Y)*~(~Y) + ~(Y)*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y = Y+~Y =1
cnd
Oczywistym jest, że miedzy zdarzeniami A: Y i B: ~Y nie zachodzi (=0) relacja równoważności:
Y<=>~Y =0
Dowód:
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd mamy:
Y<=>~Y = (Y)*(~Y) + ~(Y)*~(~Y) = Y*~Y + ~Y*Y = Y*~Y =0
cnd
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37013
Przeczytał: 21 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 18:49, 01 Mar 2025 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-10900.html#834329
Prezent od Kubusia, z dedykacją dla biednego, matematycznego schizofrenika, Irbisola.
Ma kto nadzieję, że Irbisol to doceni? 
| Irbisol napisał: | Poza tym przyciśnięcie przycisku skutkuje zaświeceniem się żarówki - a nie na odwrót.
Więc to nie są zdarzenia tożsame. |
Głupiś jak but z lewej nogi 
Akurat temat świecenia/braku świecenia żarówki jest doskonale opisany w algebrze Kubusia.
Cytuję wyżej ten fragment bez nadziei, że matematyczny schizofrenik zwany Irbisolem kiedykolwiek przeczyta cokolwiek z algebry Kubusia.
Nie dla psa kiełbasa, schizofreniku.
Prezent od Kubusia, z dedykacją dla biednego, matematycznego schizofrenika, Irbisola.
Niżej masz dokładnie to samo co wyżej w zapisach formalnych (ogólnych) bez związku z jakimkolwiek przykładem z otaczającego nas świata.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,21937.html#695271
| Algebra Kubusia napisał: | Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
6.0 Równoważność p<=>q
Spis treści
6.4 Definicja równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa 1
6.4.1 Operator równoważności p|<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa 3
6.4 Definicja równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Innymi słowy:
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory/zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór/zdarzenie p jest (=1) jednocześnie nadzbiorem ~> (B1) i podzbiorem => (A1) zbioru/zdarzenia q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzący zarówno warunek konieczny ~> (B1) jak i wystarczający => (A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu oraz prawa Irbisa.
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważności <=>:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1
definiuje tożsamość zdarzeń: | definiuje tożsamość zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii A
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii B
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli TR
Matematycznie zachodzą tożsamości logiczne [=]:
A1B1: p=q [=] A3B3: q=p
##
A2B2: ~p=~q [=] A4B4: ~q=~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
bo zbiory są przemienne, czyli wszystko jedno z której strony znaku tożsamości logicznej "=" zapiszemy zbiór p, czy też ~p
| Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q wspólny dla teorii zdarzeń i teorii zbiorów
--------------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|----------------------------------|--------------------------------------|
| q | ~q |
|----------------------------------|--------------------------------------|
|Równoważność A1B1: [=] Równoważność A2B2: |
|A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)[=] A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
|-------------------------------------------------------------------------|
|Definiuje: | Definiuje: |
|tożsamość zbiorów/zdarzeń: | tożsamość zbiorów/zdarzeń: |
| p=q # ~p=~q |
--------------------------------------------------------------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) | A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina D - suma logiczna zbiorów/zdarzeń możliwych A1, B2 |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty/zdarzenie niemożliwe |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty/zdarzenie niemożliwe |
|------------------------------------------------------------------=------|
| Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach definiujący |
| tożsamości zbiorów/zdarzeń p=q i ~p=~q |
---------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
[=], "=", <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony w dziedzinie D
|
6.4.1 Operator równoważności p|<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Definicja operatora równoważności p|<=>q w zapisie formalnym:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1.
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Całość czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p (p=1) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego, by zaszło q (q=1)
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Dowód:
Diagram DR wyżej
Na mocy prawa Irbisa równoważność p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) <=> p=q
Kolumna A1B1:
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” jest następująca:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór/zdarzenie p jest podzbiorem => zbioru/zdarzenia q
Innymi słowy:
Zajście p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia q
Innymi słowy:
Zawsze gdy zajdzie p zajdzie q ( i odwrotnie)
Warunek wystarczający => = Relacja podzbioru => = Gwarancja matematyczna => = na 100% =>
Dowód wprost wynika tu z diagramu DR
Dowód tożsamy:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p=>q = ~p+q
dla p=q (prawo Irbisa) mamy:
p=>p = ~p+p =1
cnd
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q=0
Dowód wprost wynika tu z diagramu DR
Dowód tożsamy:
A1': p~~>~q = p*~q =0
Dla p=q (prawo Irbisa) mamy:
A1': p~~>~p = p*~p=0 - prawo algebry Boole'a
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2.
Definicja równoważności ~p<=>~q w logice dodatniej (bo ~q):
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
Całość czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p (~p=1) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego, by zaszło ~q (~q=1)
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Na mocy prawa Irbisa równoważność A2B2: ~p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=~q:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) <=> ~p=~q
Matematycznie zachodzi tu relacja:
A1B1: p=q # A2B2: ~p=~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Tożsamość zbiorów/zdarzeń A1B1: p=q wymusza tożsamość zbiorów/zdarzeń A2B2: ~p=~q (i odwrotnie)
Kolumna A2B2:
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Dowód wprost wynika z diagramu DR:
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~q
Innymi słowy:
Zajście ~p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~q
Innymi słowy:
Zawsze gdy zajdzie ~p zajdzie ~q (i odwrotnie)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% => etc
Dowód tożsamy nie wprost:
Prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Dla p=q mamy:
p~>p = p+~p=1 - prawo algebry Boole'a
Stąd na mocy prawa Kubusia mamy:
B2: ~p=>~q =1
cnd
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Teoria zdarzeń:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Teoria zbiorów:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~p i q
Dowód wprost wynika z diagramu DR.
Dowód tożsamy:
Na mocy prawa Irbisa mamy:
p=q
Stąd dla p=q mamy:
~p~~>p = ~p*p =0 - prawo algebry Boole'a
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności p|<=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p - zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p - zdanie B2.
W przeciwieństwie do operatora implikacji zarówno prostej p||=>q jak i odwrotnej p||~>q nie ma tu miejsca na jakiekolwiek „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p (p=1)
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności A2B2: ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora równoważności A1B1: p|<=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
|
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 19:08, 01 Mar 2025, w całości zmieniany 3 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37013
Przeczytał: 21 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 19:21, 01 Mar 2025 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-10900.html#834339
| Irbisol napisał: | | Ty jeszcze się łudzisz, że będę w tym wysrywie szukał odpowiedzi w temacie? |
Nie mam złudzeń, przecież napisałem ci:
"Nie dla psa kiełbasa"
Wikipedia:
[link widoczny dla zalogowanych]
„Nie dla psa kiełbasa” to popularne przysłowie używane wtedy, gdy chcemy uświadomić komuś, że coś jest dla niego nieosiągalne i nie może tego dostać. W skrócie: „nie wszystko jest dla wszystkich”.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37013
Przeczytał: 21 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 20:33, 01 Mar 2025 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-10900.html#834349
Równoważność jednokierunkowa (pkt 6.6.3) vs Równoważność dwukierunkowa (pkt. 16.13.2)!
| Irbisol napisał: | Standardowo używasz zwrotów, których nie rozumiesz.
Osiągalne przeczytanie tego wysrywu dla mnie jest. |
Gówno tam prawda.
Ty masz wyraźny rozkaz od Szatana, twórcy wszelkiego gówna w ziemskiej logice matematycznej.
Szatan do Irbisola:
Irbisolu, za wszelką cena masz bronić wszelkiego aktualnego gówna w logice matematycznej którym zasrałem mózgi ziemskich fanatyków KRZ (twoim również), czyli przede wszystkim masz obalić algebrę Kubusia – tylko nie próbuj jej czytać, bo jak zaczniesz czytać to zrozumiesz AK i wbijesz mi osikowy kołek prosto w moje serce.
Irbisolu, poznaj moje dobre serduszko:
Nagłówek niniejszego postu to kolejna moja próba wyprowadzenia cię z ciężkiej schizofrenii matematycznej!
Komentarz:
Każdy psychiatra wie, że uświadomienie choremu iż żyje w schizofrenicznych rojeniach to piekielnie ciężka sprawa, bo dla chorego jego schizofreniczne rojenia są 100% rzeczywistością w której żyje.
Definicja matematycznego schizofrenika:
Matematyczny schizofrenik to człowiek opisujący otaczającą nas matematyczną rzeczywistość w sposób totalnie niezgodny ze stanem faktycznym
Na chwilę obecną do matematycznych schizofreników zaliczamy: fanatyków KRZ, fanatyków teorii mnogości, logik modalnych, logik relewantnych, logik intuicjonistycznych etc
Cechą charakterystyczną schizofrenii jest fakt, że dla chorego jego schizofreniczne rojenia są 100% rzeczywistością, o czym każdy psychiatra wie.
Doskonale to widać w filmie „Piękny umysł”, pokazującym na żywo urojony świat schizofrenika niedostępny dla ludzi zdrowych (urojone biuro szyfrów, postaci które widzi wyłącznie chory z którymi obcuje i rozmawia na żywo …)
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-10900.html#834321
| Irbisol napisał: | Pomiędzy wciśnięciem przycisku i zaświeceniem się żarówki zachodzą procesy pośrednie.
Poza tym przyciśnięcie przycisku skutkuje zaświeceniem się żarówki - a nie na odwrót.
Więc to nie są zdarzenia tożsame.
|
Co do wytłuszczonego:
Ani Mru-Mru:
https://www.youtube.com/watch?v=R3TyE97ThJk
Błądzisz synu, błądzisz…
| Algebra Kubusia napisał: |
Spis treści
6.6.3 Równoważność jednokierunkowa A<=>S w zdarzeniach 1
16.13 Relacje zbiorów w definicji równoważności TP<=>SK 4
16.13.1 Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach 7
16.13.2 Równoważność dwukierunkowa TP<=>SK w zbiorach 9
6.6.3 Równoważność jednokierunkowa A<=>S w zdarzeniach
Zauważmy, że omawiana równoważność A<=>S jest równoważnością jednokierunkową.
Dowód:
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest konieczne ~> dla świecenia S
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak, nie ma żadnych innych przycisków z wyjątkiem A
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Definicja równoważności p<=>q jednokierunkowej:
Równoważność p<=>q jest jednokierunkowa wtedy i tylko wtedy gdy zamiana przyczyny p ze skutkiem q jest fizycznie niemożliwa.
Co to oznacza?
Na schemacie S1 przyczyną jest przycisk A co oznacza, że możemy włączać/wyłączać przycisk A obserwując skutek - żarówka jest zaświecona albo zgaszona w zależności od stanu przycisku A.
Odwrotnie nie zachodzi:
Żarówka S nie jest tu przyczyną ustawienia przycisku A na określoną pozycję, tzn. możemy wykręcać i wkręcać żarówkę S powodując jej zaświecenie albo wygaszenie co nie ma żadnego wpływu na aktualny stan przycisku A.
Nasz przykład:
Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia S
Stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Przyjęty na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym {A, S}:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
Zapis aktualny:
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S =1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
A': 1: A~~>~S=0 [=] 4:~S~~>A =0
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Zapis aktualny:
B: 1: A~>S =1 = 2:~A=>~S =1 [=] 3: S=>A =1 = 4:~S~>~A =1
B': 2:~A~~>S =0 [=] 3: S~~>~A=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważności <=>:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1
definiuje tożsamość zdarzeń: | definiuje tożsamość zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
W tabeli prawdy TR równoważności A<=>S sytuacja po zamianie przyczyny A i ze skutkiem S opisana jest kolumnami A3B3 i A4B4.
A3B3
Weźmy równoważność S<=>A opisaną kolumną A3B3:
A3: S~>A=1 - świecenie się żarówki S jest warunkiem koniecznym ~>
dla wnioskowania, iż przycisk A jest wciśnięty
B3: S=>A=1 - świecenie się żarówki S jest warunkiem wystarczającym =>
dla wnioskowania, iż przycisk A jest wciśnięty
Stąd:
A3B3: S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Żarówka S świeci się wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty
Prawą stronę czytamy:
Świecenie się żarówki S jest warunkiem koniecznym ~> (A3) i wystarczającym => (B3) dla wnioskowania, iż przycisk A jest wciśnięty
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Nasz przykład:
Równoważność prawdziwa A3B3: S<=>A definiuje tożsamość zdarzeń S=A
czyli:
S=A
Zdarzenie "żarówka S świeci się" (S=1) jest tożsame ze zdarzeniem "przycisk A jest wciśnięty" (A=1)
Innymi słowy:
Z faktu że żarówka S świeci się (S=1) wnioskujemy, iż przycisk A jest wciśnięty (A=1) co wynika z teorii fizycznej - nie możemy tego faktu sprawdzać doświadczalnie
A4B4:
Weźmy równoważność ~S<=>~A opisaną kolumną A4B4:
A4: ~S=>~A=1 - brak świecenia żarówki S (~S=1) jest warunkiem wystarczającym =>
dla wnioskowania, iż przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
B4: ~S~>~A=1 - brak świecenia żarówki S (~S=1) jest warunkiem koniecznym ~>
dla wnioskowania, iż przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
Stąd:
A4B4: ~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Żarówka S nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
Prawą stronę czytamy:
Brak świecenia żarówki S (~S=1) jest warunkiem koniecznym ~> (B4) i wystarczającym => (A4) dla wnioskowania, iż przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów p=q (i odwrotnie)
Nasz przykład:
Równoważność prawdziwa A4B4: ~S<=>~A definiuje tożsamość zdarzeń A4B4: ~S=~A
czyli:
~S=~A
Zdarzenie "żarówka S nie świeci się" (~S=1) jest tożsame ze zdarzeniem "przyciska A nie jest wciśnięty" (~A=1)
Innymi słowy:
Z faktu że żarówka S nie świeci się (~S=1) wnioskujemy, iż przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) co wynika z teorii fizycznej - nie możemy tego faktu sprawdzać doświadczalnie
16.13 Relacje zbiorów w definicji równoważności TP<=>SK
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Weźmy matematyczną definicję równoważności doskonale znaną wszystkim matematykom.
Matematyczna definicja równoważności TP<=>SK:
Równoważność TP<=>SK to jednoczesna prawdziwość twierdzenia prostego (A1: TP=>SK=1) i twierdzenia odwrotnego (B3: SK=>TP=1)
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Innymi słowy na mocy prawa Słonia mamy:
Matematyczna definicja równoważności TP<=>SK
Równoważność TP<=>SK to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest wystarczające => dla zajście SK (twierdzenie proste Pitagorasa)
B3: SK=>TP=1 - zajście SK jest wystarczające => dla zajścia TP (twierdzenie odwrotne Pitagorasa)
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Równoważność w zbiorach TP<=>SK jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście TP jest wystarczające => dla zajścia SK (A1) i jednocześnie zajście SK jest wystarczające => dla zajścia TP (B3)
Innymi słowy na mocy prawa Słonia mamy:
Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność w zbiorach TP<=>SK jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1: TP=>SK=1) i jednocześnie zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (B3: SK=>TP=1)
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Zauważmy że prawa strona to znana każdemu matematykowi definicja tożsamości zbiorów TP=SK
Stąd mamy:
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
p=q <=> A1B3: p<=>q = (A1:p=>q)*(B3: q=>p)
Nasz przykład:
TP=SK <=> A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)
Dla B3 zastosujmy prawo Tygryska:
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK
Stąd mamy kolejną, tożsamą definicję tożsamości zbiorów TP=SK.
Tożsama definicja tożsamości zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1: TP=>SK=1) i jednocześnie zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK (B1: TP~>SK=1)
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = A1B1: TP<=>SK
Dowód bezpośredni wynikający z definicji podzbioru => i nadzbioru ~> to:
Każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) siebie samego
cnd
| Kod: |
TR
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności TP<=>SK z uwzględnieniem prawa Irbisa
Gdzie w zbiorach zachodzą tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
A1: TP=>SK=1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK
B1: TP~>SK=1 - zbiór TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru SK
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 = 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 = 4:~q=> ~p =1
A: 1: TP=>SK=1 = 2:~TP~>~SK=1 [=] 3: SK~>TP=1 = 4:~SK=>~TP=1
## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2:~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 = 4:~q~> ~p =1
B: 1: TP~>SK=1 = 2:~TP=>~SK=1 [=] 3: SK=>TP=1 = 4:~SK~>~TP=1
----------------------------------------------------------------
Spójnik równoważności <=>: | Spójnik równoważności <=>:
AB: 1: TP<=>SK = 2:~TP<=>~SK [=] 3: SK<=>TP = 4:~SK<=>~TP
Definiuje tożsamość zbiorów: | Definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: TP=SK # 2:~TP=~SK | 3: SK=TP # 4:~SK=~TP
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać że:
1.
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1: TP=>SK=1) i jednocześnie zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK (B1: TP~>SK=1)
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = A1B1: TP<=>SK
2.
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów ~TP=~SK:
Dwa zbiory ~TP i ~SK są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~TP jest nadzbiorem ~> zbioru ~SK (A2: ~TP~>~SK=1) i jednocześnie zbiór ~TP jest podzbiorem => zbioru ~SK (B2: ~TP=>~SK=1)
~TP=~SK <=> (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK)= A2B2: ~TP<=>~SK
3.
Kolumna A3B3 definiuje tożsamość zbiorów SK=TP:
Dwa zbiory SK i TP są tożsame SK=TP wtedy i tylko wtedy gdy zbiór SK jest nadzbiorem ~> zbioru TP (A3: SK~>TP=1) i jednocześnie zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (B3: SK=>TP=1)
SK=TP <=> (A3: SK~>TP)*(B3: SK=>TP) = A3B3: SK<=>TP
4.
Kolumna A4B4 definiuje tożsamość zbiorów ~SK=~TP:
Dwa zbiory ~SK i ~TP są tożsame ~SK=>~TP wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~SK jest podzbiorem => zbioru ~TP (A4: ~SK=>~TP=1) i jednocześnie zbiór ~SK jest nadzbiorem ~> zbioru ~TP (B4: ~SK~>~TP=1)
~SK=~TP <=> (A4: ~SK=>~TP)*(B4: ~SK~>~TP) = A4B4: ~SK<=>~TP
Przemienność tożsamości zbiorów jest oczywista:
A1B1: TP=SK [=] A3B3: SK=TP
A2B2: ~TP=~SK [=] A4B4: ~SK=~TP
Stąd w dalszych rozważaniach wystarczy skupić się na zbiorach A1B1: TP=SK oraz A2B2: ~TP=~SK.
16.13.1 Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach
Definicja równoważności TP<=>SK w zbiorach:
Zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK i jest tożsamy ze zbiorem SK
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów TP+SK bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia TP, ~TP, SK i ~SK będą rozpoznawalne, co doskonale widać na diagramie DR
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK (z definicji)
B1: TP~>SK =1 - zbiór TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru SK (z definicji)
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = 1*1 =1
Na mocy prawa Kłapouchego mamy punkt odniesienia:
p= TP (zbiór trójkątów prostokątnych)
q= SK (zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów)
Czytamy:
Równoważność TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) dla zbioru SK
Stąd mamy:
| Kod: |
DR
Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach
--------------------------------------------------------------------------
| p=TP | ~p=~TP |
|---------------------------------|--------------------------------------|
| q=SK | ~q=~SK |
|---------------------------------|--------------------------------------|
|Równoważność A1B1: | Równoważność A2B2: |
|A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)| A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) |
|------------------------------------------------------------------------|
|definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów: |
| p=q (TP=SK) | ~p=~q (~TP=~SK) |
-------------------------------------------------------------------------|
| A1: TP=>SK=1 (TP*SK=1) | B2:~TP=>~SK=1 (~TP*~SK=1) |
|------------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina: |
| D=A1: TP*SK+ B2:~TP*~SK - suma logiczna zbiorów niepustych A1 i B2 |
| A1’: TP~~>~SK=TP*~SK=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~TP~~>SK =~TP*SK=[]=0 - zbiór pusty |
|------------------------------------------------------------------------|
| Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach definiujący |
| tożsamości zbiorów TP=SK i ~TP=~SK |
--------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (i odwrotnie)
2.
Równoważność TP<=>SK to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
TP=SK i ~TP=~SK uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
3.
W definicji równoważności TP<=>SK nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
Komentarz:
Kolumna A1B1:
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK
B1: TP~>SK =1 - zbiór TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Wnioski:
Równoważność TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Kontrprzykład dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem:
A1’: TP~~>~SK=TP*~SK =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów TP i ~SK (zbiory rozłączne)
Dowód: Diagram DR
Kolumna A2B2:
A2:~TP~>~SK=1 - zbiór ~TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~SK
B2:~TP=>~SK=1 - zbiór ~TP jest (=1) podzbiorem => zbioru ~SK
Stąd:
A2B2: ~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)=1*1=1
Wnioski:
Równoważność ~TP<=>~SK definiuje tożsamość zbiorów ~TP=~SK
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Kontrprzykład dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem:
B2’:~TP~~>SK=~TP*SK=[]=0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~TP i SK (zbiory rozłączne)
Dowód: diagram DR
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] A2B2: ~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: TP=>SK = A2: ~TP~>~SK
B1: TP~>SK = B2: ~TP=>~SK
Plus definicja równoważności A2B2.
cnd
Stąd dla diagramu DR możemy zapisać:
| Kod: |
DMZR
Diagram matematycznych związków w równoważności dla zbiorów:
Równoważność TP<=>SK: [=] Równoważność ~TP<=>~SK
A1B1: | A2B2:
TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] ~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)
Definiująca tożsamość zbiorów | Definiująca tożsamość zbiorów:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
Dziedzina D=ZWT (zbiór wszystkich trójkątów)
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
w obrębie tej samej dziedziny ZWT
|
Komentarz:
Dziedzina ZWT w równoważności to dwa zbiory niepuste i rozłączne:
TP=SK i ~TP=~SK uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D=ZWT (patrz diagram DR).
Stąd:
ZWT=TP+~TP =1
Zapis tożsamy:
ZWT=SK+~SK=1
bo zachodzi tożsamość zbiorów TP=SK wymuszająca tożsamość zbiorów ~TP=~SK
Na mocy powyższego zapisujemy:
~TP=[ZWT-TP]=[TP+~TP-TP]=~TP
~SK=[ZWT-SK]=[SK+~SK-SK]=~SK
Jak widzimy, od strony czysto matematycznej jest tu wszystko w porządku.
Zachodzi oczywiście prawo podwójnego przeczenia:
TP = ~(~TP) - zbiór TP to zaprzeczenie zbioru ~TP w obrębie dziedziny D
SK = ~(~SK) - zbiór SK to zaprzeczenie zbioru ~SK w obrębie dziedziny D
oraz:
~TP=~(TP) - zbiór ~TP to zaprzeczenie zbioru TP w obrębie dziedziny D
~SK=~(SK) - zbiór ~SK to zaprzeczenie zbioru SK w obrębie dziedziny D
Oczywistym jest, że z powodu tożsamości zbiorów TP=SK wymuszającej tożsamość zbiorów ~TP=~SK w powyższych zapisach można sobie „rzucać monetą”, czyli dowolnie zamieniać TP z SK albo ~TP z ~SK.
16.13.2 Równoważność dwukierunkowa TP<=>SK w zbiorach
Definicja równoważności p<=>q dwukierunkowej:
Równoważność p<=>q jest dwukierunkowa wtedy i tylko wtedy gdy możliwa jest fizyczna zamiana przyczyny p ze skutkiem q.
Uwaga:
W logice matematycznej możliwa jest też równoważność jednokierunkowa o czym było w punkcie 6.6.3.
Przykładem równoważności dwukierunkowej jest równoważność Pitagorasa, gdzie prawdziwe fizycznie jest zarówno twierdzenie proste Pitagorasa (A1: TP=>SK) jak i twierdzenie odwrotne Pitagorasa (B3: SK=>TP)
A1:
Twierdzenie proste Pitagorasa:
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Dowód ten oznacza że:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
Innymi słowy:
Mając do dyspozycji dwa pudełka p i q:
p - pudełko z trójkątami prostokątnymi (TP)
q - pudełko z trójkątami ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
możemy losować kolejne trójkąty z pudełka p sprawdzając czy dokładnie ten sam trójkąt jest w pudełku q.
Prawdziwość twierdzenia prostego Pitagorasa daje nam gwarancję matematyczną => iż każdy trójkąt z pudełka p będzie miał swój 100% odpowiednik w pudełku q.
Oczywiście po zamianie p i q mamy twierdzenie odwrotne Pitagorasa.
B3:
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
Jeśli w trójkącie spełniona jest suma kwadratów (SK) to na 100% => ten trójkąt jest prostokątny (TP)
B3: SK=>TP =1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Dowód ten oznacza że:
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten trójkąt był prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP)
Innymi słowy:
Mając do dyspozycji dwa pudełka p i q:
p - pudełko z trójkątami prostokątnymi (TP)
q - pudełko z trójkątami ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
możemy losować kolejne trójkąty z pudełka q sprawdzając czy dokładnie ten sam trójkąt jest w pudełku p.
Prawdziwość twierdzenia odwrotnego Pitagorasa daje nam gwarancję matematyczną => iż każdy trójkąt z pudełka q będzie miał swój 100% odpowiednik w pudełku p.
Stąd mamy klasyczną definicję równoważności Pitagorasa:
Równoważność Pitagorasa TP<=>SK to spełnienie relacji podzbioru => w dwie strony:
A1: TP=>SK =1 - prawdziwe jest twierdzenie proste Pitagorasa, zachodzi relacja podzbioru TP=>SK
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
##
B3: SK=>TP =1 - prawdziwe jest twierdzenie odwrotne Pitagorasa, zachodzi relacja podzbioru SK=>TP
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy prawdziwą równoważność Pitagorasa:
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Na mocy prawa Irbisa równoważność Pitagorasa TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK.
|
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37013
Przeczytał: 21 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 20:49, 01 Mar 2025 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-10900.html#834355
| Irbisol napisał: | Wg ciebie zaświecenie się żarówki jest przyczyną wciśnięcia przycisku  |
Każdy widzi, że nie cztytasz co do ciebie piszę, bo Szatan, twórca gówna zwanego KRZ przyłożył ci pistolet do głowy grożąc, że jeśli zaczczniesz czytać ze zrozumieniem to cię zastrzeli.
Otrząśnij się Irbisolu, zrozum że ten Szatan w naszej rzeczywistości nie istnieje - to tylko twoje chorobowe majaczenie, co każdy 5-cio latek i humanista ci wytłumaczy ... o ile zechcesz słuchać co do ciebie mówią.
Początek cytatu w moim poście wyżej:
| Algebra Kubusia napisał: |
6.6.3 Równoważność jednokierunkowa A<=>S w zdarzeniach
Zauważmy, że omawiana równoważność A<=>S jest równoważnością jednokierunkową.
Dowód:
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest konieczne ~> dla świecenia S
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak, nie ma żadnych innych przycisków z wyjątkiem A
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Definicja równoważności p<=>q jednokierunkowej:
Równoważność p<=>q jest jednokierunkowa wtedy i tylko wtedy gdy zamiana przyczyny p ze skutkiem q jest fizycznie niemożliwa.
Co to oznacza?
Na schemacie S1 przyczyną jest przycisk A co oznacza, że możemy włączać/wyłączać przycisk A obserwując skutek - żarówka jest zaświecona albo zgaszona w zależności od stanu przycisku A.
Odwrotnie nie zachodzi:
Żarówka S nie jest tu przyczyną ustawienia przycisku A na określoną pozycję, tzn. możemy wykręcać i wkręcać żarówkę S powodując jej zaświecenie albo wygaszenie co nie ma żadnego wpływu na aktualny stan przycisku A.
Nasz przykład:
Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia S
Stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Przyjęty na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym {A, S}:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
Zapis aktualny:
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S =1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
A': 1: A~~>~S=0 [=] 4:~S~~>A =0
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Zapis aktualny:
B: 1: A~>S =1 = 2:~A=>~S =1 [=] 3: S=>A =1 = 4:~S~>~A =1
B': 2:~A~~>S =0 [=] 3: S~~>~A=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważności <=>:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1
definiuje tożsamość zdarzeń: | definiuje tożsamość zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
W tabeli prawdy TR równoważności A<=>S sytuacja po zamianie przyczyny A i ze skutkiem S opisana jest kolumnami A3B3 i A4B4.
A3B3
Weźmy równoważność S<=>A opisaną kolumną A3B3:
A3: S~>A=1 - świecenie się żarówki S jest warunkiem koniecznym ~>
dla wnioskowania, iż przycisk A jest wciśnięty
B3: S=>A=1 - świecenie się żarówki S jest warunkiem wystarczającym =>
dla wnioskowania, iż przycisk A jest wciśnięty
Stąd:
A3B3: S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Żarówka S świeci się wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty
Prawą stronę czytamy:
Świecenie się żarówki S jest warunkiem koniecznym ~> (A3) i wystarczającym => (B3) dla wnioskowania, iż przycisk A jest wciśnięty
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Nasz przykład:
Równoważność prawdziwa A3B3: S<=>A definiuje tożsamość zdarzeń S=A
czyli:
S=A
Zdarzenie "żarówka S świeci się" (S=1) jest tożsame ze zdarzeniem "przycisk A jest wciśnięty" (A=1)
Innymi słowy:
Z faktu że żarówka S świeci się (S=1) wnioskujemy, iż przycisk A jest wciśnięty (A=1) co wynika z teorii fizycznej - nie możemy tego faktu sprawdzać doświadczalnie
A4B4:
Weźmy równoważność ~S<=>~A opisaną kolumną A4B4:
A4: ~S=>~A=1 - brak świecenia żarówki S (~S=1) jest warunkiem wystarczającym =>
dla wnioskowania, iż przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
B4: ~S~>~A=1 - brak świecenia żarówki S (~S=1) jest warunkiem koniecznym ~>
dla wnioskowania, iż przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
Stąd:
A4B4: ~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Żarówka S nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
Prawą stronę czytamy:
Brak świecenia żarówki S (~S=1) jest warunkiem koniecznym ~> (B4) i wystarczającym => (A4) dla wnioskowania, iż przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów p=q (i odwrotnie)
Nasz przykład:
Równoważność prawdziwa A4B4: ~S<=>~A definiuje tożsamość zdarzeń A4B4: ~S=~A
czyli:
~S=~A
Zdarzenie "żarówka S nie świeci się" (~S=1) jest tożsame ze zdarzeniem "przyciska A nie jest wciśnięty" (~A=1)
Innymi słowy:
Z faktu że żarówka S nie świeci się (~S=1) wnioskujemy, iż przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) co wynika z teorii fizycznej - nie możemy tego faktu sprawdzać doświadczalnie |
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
