rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35367
Przeczytał: 20 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Pon 9:36, 28 Mar 2016 Temat postu: Dodatek A - Dowód wewnętrznej sprzeczności logiki ziemian |
|
|
Algebra Kubusia
Nowa Teoria Zbiorów
Dodatek A
Dowód wewnętrznej sprzeczności logiki matematycznej ziemian!
Stosunki zakresowe w logice matematycznej ziemian są niewystarczająco omówione!
Spis treści
1.0 Dekalog Nowej Teorii Zbiorów 1
1.1 Dowód wewnętrznej sprzeczności logiki matematycznej ziemian 7
1.2 Stosunki zakresowe w logice ziemian są niewystarczająco omówione 13
1.0 Dekalog Nowej Teorii Zbiorów
1.
Symbole
„~” - symbol negacji (przeczenia), słówko „NIE” z naturalnego języka mówionego człowieka
„i”(*) - symbol iloczynu logicznego zbiorów p*q, spójnik „i”(*) w naturalnej logice człowieka
Y=p*q - wspólna część zbiorów p*q
„lub”(+) - symbol sumy logicznej zbiorów p+q, spójnik „lub”(+) w naturalnej logice człowieka
Y=p+q - wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
„-„ - różnica zbiorów p-q
Y=p-q - wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Wartości logiczne:
1 = prawda
0 = fałsz
Definicja zbioru niepustego i pustego:
Zbiór jest niepusty gdy zawiera co najmniej jeden element
Zbiór jest pusty gdy nie zawiera żadnych elementów
Zbiory mają wartości logiczne:
p =[x] =1 - zbiór niepusty
p =[] =0 - zbiór pusty
Gdzie:
p - nazwa zbioru
[pies, kot …] - zawartość zbioru, wypisujemy elementy zbioru
p =[x] =1
Pierwsza tożsamość (=[x]) definiuje zbiór, (tożsamość definiująca) natomiast druga (=1) przypisuje temu zbiorowi wartość logiczną (tożsamość wartościująca).
2.
Podstawowe definicje i działania na zbiorach
Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór na którym operujemy, nic spoza dziedziny nas nie interesuje
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6] =1 - zbiór pełny
Definicja zaprzeczenia zbioru:
Zaprzeczenie zbioru to różnica dziedziny D i dowolnego zbioru x wewnątrz dziedziny (w tym D)
Oznaczmy:
D - dziedzina
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty []:
~D=[D-D] =[] =0 - zbiór pusty
Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~[] = D =1 - zbiór pełny (dziedzina)
Różnica zbiorów p-q:
Różnica zbiorów p-q to wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Zdefiniujmy zbiory p i q:
p=[1,2,3,4] =1 - zbiór wejściowy niepusty
q=[3,4,5,6]
~p =[D-p] =[1,2,3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6] =1 - zbiór wynikowy niepusty
~q =[D-q] =[1,2,3,4,5,6]-[3,4,5,6] =[1,2]
Iloczyn logiczny zbiorów:
Iloczyn logiczny zbiorów p*q to wspólna część tych zbiorów
Y = p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] = [3,4] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Suma logiczna zbiorów:
Suma logiczna zbiorów p+q to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q = [1,2,3,4]+[3,4,5,6] = [1,2,3,4,5,6] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
3.
Podzbiór => i Nadzbiór ~>
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q
p=>q - zbiór p jest podzbiorem => q
p=>q =1 - prawda (=1), gdy rzeczywiście p jest podzbiorem q (inaczej: fałsz =0)
Konsekwencje w zbiorach:
p=>q = [p*q =p]
Definicja nadzbioru ~>
Zbiór p jest nadzbiorem zbioru q gdy zawiera w sobie wszystkie elementy zbioru q
p~>q - zbiór p jest nadzbiorem ~> q
p~>q =1 - prawda (=1), gdy rzeczywiście p jest nadzbiorem ~> q (Inaczej: fałsz =0)
Konsekwencje w zbiorach:
p~>q = [p*q=q]
Przykład:
D=[1,2,3,4,5,6] - dziedzina
p=[1,2] - zbiór p
q=[1,2,3,4] - zbiór q
Podzbiór => vs nadzbiór ~>:
p=>q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
p~>q =0 - bo zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
Nadzbiór ~> vs podzbiór =>:
q~>p =1 - bo zbiór q jest nadzbiorem ~> zbioru p
q=>p =0 - bo zbiór q nie jest podzbiorem => zbioru p
4.
Zbiory tożsame
p=q
Zbiory p i q nazywamy tożsamymi wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru p należy => do zbioru q i każdy element zbioru q należy => do zbioru p
Innymi słowy:
Zbiory p i q nazywamy tożsamymi wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru p jest podzbiorem => zbioru q i każdy element zbioru q jest podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)
Matematycznie zachodzi tożsamość:
należy => do zbioru p = jest podzbiorem => zbioru p
5.
Kwantyfikator mały p~~>q
Definicja kwantyfikatora małego w zbiorach:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x)
Istnieje takie x, które należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)
Kwantyfikator mały ~~> jest tożsamy z iloczynem logicznym zbiorów p*q
p~~>q = p*q =1 - prawda (=1), gdy zbiór p ma wspólny element ze zbiorem q (Inaczej: Fałsz =0)
Definicja kwantyfikatora małego ~~> w zdarzeniach:
Możliwe jest ~~> (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q (inaczej =0)
Przykład:
P~~>CH =P*CH =1 - „Pada” i „są chmury” zdarzenie możliwe (=1)
P~~>~CH =P*~CH =0 - „Pada” i „nie ma chmur” - zdarzenie niemożliwe (=0)
6.
Warunek wystarczający =>
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
p=>q - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
p=[1,2]
q=[1,2,3,4]
Mówimy że p jest wystarczające => dla q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q.
Wylosowanie dowolnej liczby ze zbioru p jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ta liczba należała do zbioru q
Wylosowanie dowolnej liczby ze zbioru p daje nam gwarancję matematyczną => przynależności tej liczby do zbioru q
Wymuszam dowolne p i musi => pojawić się q.
Warunek wystarczający => dotyczy zarówno dowolnych elementów zbiorów p i q jak i kompletnych zbiorów.
Wymuszam kompletny zbiór p i mam gwarancję matematyczną, że ten zbiór jest podzbiorem => zbioru q
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = podzbiór => p w obrębie zbioru q
Definicja kwantyfikatora dużego w zbiorach:
/\x p(x) => q(x)
Dla każdego elementu x, jeśli element x należy do zbiory p(x) to mamy gwarancję matematyczną => iż element x należy do zbioru q(x)
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
p=>q - zajście zdarzenia p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia q
Przykład:
P=>CH - zdarzenie „pada” jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia „chmur”
7.
Warunek konieczny ~>
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
p~>q - zbiór p jest nadzbiorem ~> dla zbioru q
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]
Mówimy że p jest konieczne ~> dla q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera w sobie wszystkie elementy zbioru q
Zabieram wszystkie elementy zbioru p i znika mi zbiór q
Zabieram kompletny zbiór p i znika mi zbiór q
Zauważmy, że warunek konieczny ~> to fundamentalnie co innego niż warunek wystarczający =>.
Dowód:
Jeśli wylosuję dowolny element zbioru p to nie mam żadnej gwarancji matematycznej => iż ten element będzie należał do zbioru q
Przykład: liczba 3 należy do zbioru p i nie należy do zbioru q.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
p~>q - zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zaistnienia zdarzenia q
Przykład:
CH~>P - istnienie „chmur” jest konieczne ~> do tego, by „padało”
Zabieram chmury wykluczając możliwość padania.
8.
Zdanie warunkowe „Jeśli p to q”
Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik
Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w zbiorach opisuje wzajemną relację zbiorów p i q
Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w zdarzeniach opisuje wzajemną relację zdarzeń p i q
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Warunek wystarczający p=>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (Inaczej: p=>q =0)
Warunek wystarczający można zapisać w sposób tożsamy przy pomocy kwantyfikatora dużego:
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego elementu x, jeśli element x należy do zbioru p(x) to mamy gwarancję matematyczną => iż ten sam element należy do zbioru q(x)
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Warunek wystarczający => jest spełniony wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p wymusza zajście zdarzenia q.
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Warunek konieczny p~>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (Inaczej: p~>q =0)
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zabieram chmury wykluczając padanie.
Definicja kwantyfikatora małego ~~>
A.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Kwantyfikator mały p~~>q =1 jest spełniony (=1) gdy istnieje wspólny element zbiorów p*q (Inaczej: p~~>q =0)
Zapis tożsamy:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x)
Istnieje takie x, które należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)
Przykład:
Zbiory:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2 =P8*P2 =1 bo 8 - istnieje wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8 ..]
Zdarzenia:
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
P~~>CH = P*CH =1 - możliwa jest (=1) sytuacja „pada” i „są chmury”
9.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Warunek wystarczający p=>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (Inaczej: p=>q =0)
Prawdziwość warunku wystarczającego A gwarantuje fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie)
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q
Kwantyfikator mały p~~>~q =1 jest spełniony (=1) gdy istnieje wspólny element zbiorów p*~q (Inaczej: p~~>~q =0)
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q =p*~q
Rozstrzygnięcia:
9-1.
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q =p*~q =1 daje nam gwarancję matematyczną fałszywości zdania kodowanego warunkiem wystarczającym p=>q =0 (i odwrotnie)
9-2.
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q =p*~q =0 daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości warunku wystarczającego p=>q=1 (i odwrotnie)
10.
Podstawowe prawa logiczne
10-1
Prawa Prosiaczka:
Prawa Prosiaczka to jedne z najważniejszy praw logicznych, bez nich komputery nigdy by nie zaistniały. Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z logiki zero-jedynkowej (rachunku zero-jedynkowego) to logiki równań algebry Boole’a i odwrotnie.
I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~q)
(p=1) = (~p=0)
II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.
Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO
Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)
Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0
Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)
Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń
Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)
1.1 Dowód wewnętrznej sprzeczności logiki matematycznej ziemian
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/elementarz-algebry-boole-a-irbisol-macjan-str-10,2605-240.html#55877
| macjan napisał: | | Zrozum - treść zdania, czyli to, o czym ono mówi, nie może w żaden sposób wpływać na jego zapis symboliczny. Zdanie "... i ..." jest koniunkcją niezależnie od tego, co wstawimy w wykropkowane miejsca. Tak samo zdanie "jeśli ... to ..." jest implikacją. |
Wniosek z powyższej definicji:
Logika ziemian dla określenia prawdziwości/fałszywości dowolnych zdań połączonych dowolnym spójnikiem logicznym wymaga znajomości z góry wartości logicznej wszystkich zdań składowych połączonych tym spójnikiem.
Ziemska definicja implikacji "Jeśli p to q":
Implikacja "Jeśli p to q" jest fałszywa wtedy i tylko wtedy gdy poprzednik jest prawdziwy (p=1) i następnik fałszywy (q=0).
Inaczej implikacja "Jeśli p to q" jest prawdziwa.
Przykład działania logiki matematycznej ziemian:
A.
Jeśli Napoleon był kobietą to Idiota jest jego ciotką
p=0
q=0
Na mocy definicji implikacji prostej w logice ziemian ta implikacja jest prawdziwa.
Poproszę Idiotę (naszego Idiotę) o dowód prawdziwości tego zdania.
Jeśli nie wiesz jak się do tego zabrać Idioto, to skorzystaj z algorytmu dowodzenia tego typu zdań przedstawionego przez jednego z najwybitniejszych ziemskich logików Bertrandta Russella:
[link widoczny dla zalogowanych]
Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.
Kiedy Bertrand Russell wypowiedział ten warunek na jednym z publicznych wykładów jakiś sceptyczny złośliwiec poprosił go, by udowodnił, że jeśli 2 razy 2 jest 5, to osoba pytająca jest Papieżem. Russell odparł: "Jeśli 2 razy 2 jest 5, to 4 jest 5; odejmujemy stronami 3 i wówczas 1=2. A że pan i Papież to 2, więc pan i Papież jesteście jednym."!
Czy zauważyłeś już jakieś niepokojące cechy w swoim wyglądzie, Idioto?
Może powiększyły ci się piersi lub to i owo zanikło?
Ziemska definicja spójnika „lub”(+):
Zdanie ze spójnikiem „lub”(+) jest prawdziwe gdy prawdziwe jest co najmniej jedno ze zdań składowych połączonych tym spójnikiem.
A.
Pies ma cztery łapy lub koza ma dwie łapy
Y=P+K = 1+0 =1
… ale!
B.
Jutro pójdę do kina lub jutro pójdę do teatru
Y=K+T
Jaką wartość logiczną ma tu K a jaką T?
Bez tej wiedzy logika ziemian nie potrafi powiedzieć nic na temat prawdziwości/fałszywości zdania B.
… i tu jest ta oczywista, pięta Achillesowa tej logiki.
Zacznijmy od problemu prof. Newelskiego (Uwaga 2.7):
[link widoczny dla zalogowanych]
| Kod: |
p q r Y=?
A: 0 0 0 =0
B: 0 0 1 =1
C: 0 1 0 =1
D: 0 1 1 =0
E: 1 0 0 =0
F: 1 0 1 =1
G: 1 1 0 =0
H: 1 1 1 =0
|
prof. Newelski zapisuje poprawnie spis z natury (piszę co widzę) dla powyższej tabeli w postaci równania algebry Boole’a niżej:
A: Y=1 <=> A1: (p=0)*(q=0)*(r=1)+ A2: (p=0)*(q=1)*(r=0)+A3: (p=1)*(q=0)*(r=1)
Korzystamy z prawa Prosiaczka by wymusić wszędzie wynikowe jedynki.
Prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
Stąd równanie tożsame do A brzmi:
B: Y=1 <=> B1: (~p=1)*(~q=1)*(r=1)+ B2: (~p=1)*(q=1)*(~r=1)+ B3: (p=1)*(~q=1)*(r=1)
Jedynki (prawda) są w logice matematycznej domyślne, możemy je opuścić nic nie tracąc na jednoznaczności. Otrzymujemy w ten sposób równie algebry Boole’a opisujące tabelę zero-jedynkową o której prof. Newelski odpowiada w swoim przykładzie.
C: Y=1 <=> ~p*~q*r + ~p*q*~r + p*~q*r
co matematycznie oznacza:
C: Y=1 <=> (~p=1)*(~q=1)*(r=1)+ (~p=1)*(q=1)*(~r=1) + (p=1)*(~q=1)*(r=1)
Zauważmy, że prof. Newelski zapisał równanie A, po czym od razu wygenerował poprawne równanie algebry Boole’a C nie informując studentów na jakiej podstawie matematycznej dokonał przejścia z równania A do równania C. Matematyczne przejście z A do C jest możliwe tylko i wyłącznie dzięki prawom Prosiaczka, których prof. Newelski nie zna, taka jest smutna prawda.
Uwaga!
Logika „matematyczna” ziemian z definicji wymaga znajomości wartości logicznych wszystkich zmiennych binarnych z góry. Sęk w tym że przy takiej definicji logika matematyczna ziemian jest wewnętrznie sprzeczna!
Dowód:
prof. Newelski zapisał:
A: Y=1 <=> A1: (p=0)*(q=0)*(r=1)+ A2: (p=0)*(q=1)*(r=0)+A3: (p=1)*(q=0)*(r=1)
Czym są 0 i 1 w tym równaniu?
To oczywiste wartości logiczne zmiennych p, q i r odczytane z tabeli zero-jedynkowej, żadna inna interpretacja nie wchodzi tu w grę. Przy znajomości wartości logicznych zmiennych binarnych z góry, jak tego wymaga logika „matematyczna” ziemian, to równanie jest wewnętrznie sprzeczne.
Zauważmy bowiem że mamy:
A1: (p=0)
a za chwilę:
A3: (p=1)
p=p
stąd:
0=1
Jest oczywistym, że dowolna zmienna binarna jeśli jej wartość logiczna jest znana, nie może być jednocześnie zerem A1: (p=0) i jedynką A3: (p=1) w tym samym równaniu logicznym.
Zauważmy, że ta czysto matematyczna sprzeczność przenosi się do równania B:
B: Y=1 <=> B1: (~p=1)*(~q=1)*(r=1)+ B2: (~p=1)*(q=1)*(~r=1)+ B3: (p=1)*(~q=1)*(r=1)
Tu mamy dokładnie to samo, tyle że sprzeczność występuje tu na poziomie zmiennych, a nie na poziomie zer i jedynek.
Odczytujemy:
B1: ~p=1
za chwilę:
B3: p=1
1=1
stąd:
B1: ~p = B3: p
Sprzeczność czysto matematyczna logiki ziemian jest tu oczywista.
cnd
Rozwiązanie problemu prof. Newelskiego:
Rozwiązanie problemu prof. Newelskiego poznamy na prostszym przykładzie z dwoma zmiennymi, matematycznie to bez znaczenia.
Rozważmy tabelę zero-jedynkową:
| Kod: |
Tabela 1
p q Y=?
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 1 =1
D: 0 0 =0
|
Zapisujemy równanie prof. Newelskiego (spis z natury):
A: Y=1 <=> A1: (p=1)*(q=1) + A2: (p=1)*(q=0) + A3: (p=0)*(q=1)
Logika Ziemian na mocy definicji wymaga znajomości wszystkich zmiennych binarnych z góry.
Przy tej definicji równanie A jest wewnętrznie sprzeczne bowiem mamy:
A1: p=1
a za chwilę w tym samym równaniu:
A3: p=0
p=p
stąd:
1=0
Matematycznie niemożliwe jest aby w tym samym równaniu logicznym wartość logiczna tej samej zmiennej była jednocześnie p=1 i p=0
Wniosek:
Definicja logiki matematycznej ziemian jest wewnętrznie sprzeczna.
cnd
W algebrze Kubusia nie ma tu sprzeczności czysto matematycznej.
Dlaczego nie ma?
Definicja logiki matematycznej w algebrze Kubusia:
Logika matematyczna to matematyczny opis nieznanego, czyli nieznanej przyszłości lub nieznanej przeszłości.
W algebrze Kubusia równanie A to matematyczny opis przyszłości której nie znamy.
A: Y=1 <=> A1: (p=1)*(q=1) + A2: (p=1)*(q=0) + A3: (p=0)*(q=1)
Zapiszmy przykład pasujący do tego równania:
A: Y=1 <=> A1: (K=1)*(T=1) + A2: (K=1)*(T=0) + A3: (K=0)*(T=1)
Tata Jasia (lat 5):
Jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1) lub pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (T=0) lub nie pójdziemy do kina (K=0) i pójdziemy do teatru (T=1)
co matematycznie oznacza:
Prawdą (=1) jest że dotrzymam słowa Y wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
A1: (K=1)*(T=1) - pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
A2: (K=1)*(T=0) - pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (T=0)
lub
A3: (K=0)*(T=1) - nie pójdziemy do kina (K=0) i pójdziemy do teatru (T=1)
Zauważmy, że zdarzenia A1, A2 i A3 są rozłączne tzn. że jutro może zajść wyłącznie jedno z tych zdarzeń. Jeśli zajdzie zdarzenie A1, A2 lub A3 to ojciec dotrzyma słowa (Y=1).
Zauważmy, że w czasie przyszłym, zmienne K i T mogą przyjąć dowolne wartości binarne (0 albo 1), w chwili wypowiadania zdania nie wiemy jakie to będą wartości.
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienne binarna to symbol którego wartości logicznej nie znamy
Przenieśmy się dwa dni do przodu, lokując się w czasie gdy znamy rozstrzygnięcie.
Załóżmy że wczoraj nie byliśmy w kinie (K=0) i byliśmy w teatrze (T=1):
(K=0)*(T=1) =1 - to zdarzenie miało miejsce wczoraj
Zadajmy sobie trzy podstawowe pytania:
A1.
Czy wczoraj byliśmy w kinie (K=1) i byliśmy w teatrze (T=1)?
(K=1)*(T=1) =0
NIE (=0), takie zdarzenie nie miało miejsca
A2.
Czy wczoraj byliśmy w kinie (K=1) i nie byliśmy w teatrze (T=0)?
(K=1)*(T=0) =0
NIE (=0), takie zdarzenie nie miało miejsca
A3.
Czy wczoraj nie byliśmy w kinie (K=0) i byliśmy w teatrze (T=1)?
(K=0)*(T=1) =1
TAK (=1), to zdarzenie miało miejsce
Zauważmy, że w czasie przeszłym (przy znajomości faktów) nasze zdanie A redukuje się do zdania:
B.
Wczoraj nie byliśmy w kinie (K=0) i byliśmy w teatrze (T=1)
Y=1 <=> (K=0)*(T=1)
Dopiero w tym przypadku, wobec znajomości faktów, zmienne K i T przyjmują konkretne wartości logiczne w sensie bezwzględnym.
Jeśli wczoraj zaszły zdarzenia:
K=0 - nie byliśmy w kinie
T=1 - byliśmy w teatrze
To czasu nie da się cofnąć, jest fizycznie niemożliwe aby symbole K i T przyjęły inne wartości logiczne.
W czasie przeszłym, gdy znamy fakty, nasze zmienne binarne K i T sprzed wczoraj, przeszły w stałe symboliczne o znanej wartości logicznej w sensie bezwzględnym (K=0 i T=1).
Definicja stałej symbolicznej:
Stała symboliczna to symbol którego wartość logiczną znamy i której to wartości nie jesteśmy w stanie zmienić.
Przypatrzmy się naszemu rozwiązaniu:
1.
B1: (K=0)*(T=1) - wczoraj nie byliśmy w kinie (K=0) i byliśmy w teatrze (T=1)
Zdanie tożsame:
B1: (K=0)*(T=1) - fałszem jest (=0) że wczoraj byliśmy w kinie (K) i prawdą jest (=1) że byliśmy w teatrze (T=1)
Prawa Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
(~p=1) = (p=0)
Na mocy praw Prosiaczka nasze rozwiązanie B1 możemy zapisać na cztery możliwe sposoby tożsame:
[(K=0)=(~K=1)]*[(T=1)=(~T=0)]
Oczywiście nie ma znaczenia który ze składników tożsamości weźmiemy:
Rozpatrzmy wszystkie możliwe przypadki.
2.
B2: (~K=1)*(T=1) - wczoraj nie byliśmy w kinie (~K=1) i byliśmy w teatrze (T=1)
Zdanie B2 to piękna, naturalna logika matematyczna 5-cio latka, gdzie wszystkie stałe symboliczne sprowadzone są do jedynek na mocy praw Prosiaczka.
Zdanie tożsame:
B2: (~K=1)*(T=1) - prawdą jest (=1) wczoraj nie byliśmy w kinie (~K) i prawdą jest (=1) że byliśmy w teatrze (T)
3.
B3: (~K=1)*(~T=0) - prawdą jest (=1) że wczoraj nie byliśmy w kinie (~K) i fałszem jest (=0) że nie byliśmy w teatrze (~T)
4.
B4: (K=0)*(~T=0) - fałszem jest (=0) że wczoraj byliśmy w kinie (K) i fałszem jest (=0) że wczoraj nie byliśmy w teatrze (~T)
Doskonale widać tożsamość zdań:
B1=B2=B3=B4
Wniosek:
Prawa Prosiaczka działają doskonale zarówno w świecie niezdeterminowanym, gdzie nie znamy bezwzględnych wartościowań zmiennych binarnych, jak i w świecie zdeterminowanym, gdzie znamy wartościowania bezwzględne wszystkich stałych symbolicznych.
Podsumowując.
Algebra Kubusia:
Algebra Kubusia opisuje nieznaną przyszłość.
Wartości logiczne zmiennych K i T w równaniu:
A: Y=1 <=> A1: (K=1)*(T=1) + A2: (K=1)*(T=0) + A3: (K=0)*(T=1)
określają nam wszystkie możliwe zdarzenia w przyszłości w których ojciec dotrzyma słowa (Y=1).
Logika Ziemian
Logika ziemian na mocy definicji wymaga znajomości wartości logicznych wszystkich zmiennych binarnych z góry, czyli operuje na stałych symbolicznych a nie na zmiennych binarnych.
Oczywistym jest, że jeśli znamy z góry wartość logiczną choćby jednej zmiennej binarnej to jesteśmy bogiem, znającym przyszłość, determinujemy tą przyszłość!
W tym przypadku ojciec wypowiadając zdanie A nie ma wolnej woli, bowiem bóg (ziemski matematyk) zna z góry, na mocy definicji swojej logiki, wartości logiczne zmiennych K i T determinując te zmienne do stałych symbolicznych których biedny ojciec nie jest w stanie zmienić, mimo że mówi o przyszłości.
Tylko czy aby na pewno zachodzi tożsamość:
bóg = ziemski matematyk?
Definicja determinizmu w naszym Wszechświecie:
Jeśli ktokolwiek (np. Bóg) zna moje myśli z wyprzedzeniem to nasz Wszechświat jest zdeterminowany, a wolna wola picem.
1.2 Stosunki zakresowe w logice ziemian są niewystarczająco omówione
W logice ziemian funkcjonuje pojęcie „stosunki zakresowe”, będące niczym innym jak opisem słownym (niestety niepełnym) odpowiednich operatorów logicznych.
Przystępne wykłady ze stosunków zakresowych:
https://www.youtube.com/watch?v=ZpdNBGwPu64
https://www.youtube.com/watch?v=J81AbpAx7YY
https://www.youtube.com/watch?v=IMPN9NpaYFw
https://www.youtube.com/watch?v=9TAUC2FlxBY
W niniejszym rozdziale często będziemy się powoływać na przykazanie 9-2 z Nowej Teorii Zbiorów.
Przypomnijmy je sobie.
9.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Warunek wystarczający p=>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (Inaczej: p=>q =0)
Prawdziwość warunku wystarczającego A gwarantuje fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie)
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q
Kwantyfikator mały p~~>~q =1 jest spełniony (=1) gdy istnieje wspólny element zbiorów p*~q (Inaczej: p~~>~q =0)
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q =p*~q
Rozstrzygnięcia:
9-1.
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q =p*~q =1 daje nam gwarancję matematyczną fałszywości zdania kodowanego warunkiem wystarczającym p=>q =0 (i odwrotnie)
9-2.
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q =p*~q =0 daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości warunku wystarczającego p=>q=1 (i odwrotnie)
Podstawiam klasykę:
p=S
q=P
… by być w zgodzie z ogólnie przyjętymi symbolami w zapisach formalnych (ogólnych).
Powyższe diagramy są w 100-milowym lesie znane od zawsze, zatem to żadna nowość.
Zauważmy, że diagramy ziemian są niechlujnie narysowane bo wszystkich możliwych iloczynów logicznych dla dwóch zbiorów S i P jest:
od dwóch w równoważności do czterech w operatorze chaosu (ziemska niezależność)
… tymczasem np. w „niezależności” ziemian mamy pięć niezależnych iloczynów logicznych.
Oto one:
| Kod: |
Niezależność - iloczyny logiczne zbiorów od strony lewej do prawej
A: ~S*~P =1
B: S*~P =1
C: S* P =1
D: ~S* P =1
E: ~S*~P =1
|
Linie A i E są matematycznie tożsame, zatem jedną z nich możemy posłać w kosmos.
Formalnie „niezależność” Ziemian jest dobrze przedstawiona na diagramie, co nie zmienia faktu iż jest to najzwyklejsze niechlujstwo. Analogią może tu być tabliczka mnożenia do 100 zawierająca wszystkie możliwe mnożenia plus dowolną ilość powtórzeń (formalnie to jest dozwolone) - tego typu matematyczny bałagan dobry nauczyciel matematyki powinien tępić.
Dokładnie to samo co wyżej w algebrze Kubusia!
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Warunek wystarczający p=>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (Inaczej: p=>q =0)
Prawdziwość warunku wystarczającego A gwarantuje fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie)
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q
Kwantyfikator mały p~~>~q =1 jest spełniony (=1) gdy istnieje wspólny element zbiorów p*~q (Inaczej: p~~>~q =0)
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q =p*~q
Rozstrzygnięcia:
1.
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q =p*~q =1 daje nam gwarancję matematyczną fałszywości zdania kodowanego warunkiem wystarczającym p=>q =0 (i odwrotnie)
2.
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q =p*~q =0 daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości warunku wystarczającego p=>q=1 (i odwrotnie)
Poprawne diagramy wszystkich możliwych wzajemnych położeń zbiorów p i q
1.
Implikacji prosta p|=>q (ziemska „podrzędność”)
Dowód:
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Doskonale to widać w diagramie wyżej.
Tożsama definicja powyższego diagramu jest następująca.
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q i nie jest tożsamy ze zbiorem ~q
~p|~>~q = (~p~>~q)*~[~p=~q]
Matematycznie, na mocy powyższego diagramu zachodzi:
p|=>q = ~p|~>~q
Dowód:
Lewa strona tożsamości logicznej wymusza prawą stronę i odwrotnie, co doskonale widać na diagramie.
Wyprowadzenie symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q.
Zapiszmy wszystkie możliwe iloczyny logiczne występujących tu zbiorów:
| Kod: |
A: p* q =1
B: p*~q =0
C: ~p*~q =1
D: ~p* q =1 |
Oczywistym jest, że kolejność zapisanych linii jest bez znaczenia.
Definicja implikacji w zbiorach:
Implikacja to trzy i tylko trzy zbiory niepuste i rozłączne w obrębie dziedziny (A,C i D)
p|=>q = A: p*q + C:~p*~q + D: ~p*q
Dla naszych zbiorów A i B korzystamy z definicji kontrprzykładu otrzymując:
| Kod: |
A: p=> q =1
B: p~~>~q= p*~q =0
|
Z założenia (diagram podrzędności) zbiór p musi być podzbiorem zbioru q oraz zbiory p i q nie są tożsame (również z założenia podrzędności).
Wynika z tego ze zbiór ~p musi być nadzbiorem ~> zbioru ~q.
Stąd mamy pełną, symboliczną tabelę prawdy dla implikacji prostej p|=>q (zwanej u ziemian podrzędnością).
| Kod: |
Symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach
p|=>q
A: p=> q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B: p~~>~q=0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne
C:~p~>~q =1 - bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
lub
D:~p~~>q =1 - bo istnieje część wspólna zbiorów ~p i q
|
Zauważmy, że:
Jeśli zajdzie p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (bo linia B jest fałszem).
Linie A i B realizują 100% pewność matematyczną, nieodzowny element każdej implikacji.
Jeśli natomiast zajdzie ~p to może ~> się zdarzyć że zajdzie ~q (linia C) lub może ~~> się zdarzyć że zajdzie q (linia D).
Linie C i D to najzwyklejsze „rzucanie monetą” drugi fundament każdej implikacji rzeczywistej!
Zauważmy, że definicja implikacji prostej p|=>q wymusza nam matematyczny związek między warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~>.
Prawo Kubusia:
Jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q to mamy gwarancję matematyczną iż zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q (i odwrotnie)
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia to tożsamość „=” logiczna będąca de facto równoważnością.
Tożsamość logiczna ma wszystkie cechy klasycznej tożsamości.
Zauważmy, że w prawie Kubusia nie ma znaczenia czy zbiory p i q nie są tożsame (~[p=q] - implikacja), czy też są tożsame ([p=q] - równoważność)
Zdanie A to wyłącznie warunek wystarczający p=>q wchodzący w skład definicji implikacji prostej p|=>q.
Implikacja prosta p|=>q to seria czterech zdań A,B,C i D a nie jedno zdanie.
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8 ..]
Dodatkowo zbiory P8 i P2 nie są tożsame co wymusza definicję implikacji prostej P8|=>P2:
P8|=>P2 = (P8=>P2)*~[P8=P2]
Dalszą analizę matematyczną wykona najgłupszy komputer.
Tabela prawdy dla naszego zadnia A jest następująca:
| Kod: |
P8|=>P2
A: P8=> P2 =1 - bo P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,,4,6,8..]
B: P8~~>~P2=0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7..] są rozłączne
C:~P8~>~P2 =1 - bo ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9.] jest nadzbiorem ~> ~P2=[1,3,5..]
D:~P8~~>P2 =1 - bo ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9.] ma część wspólną ~~> z P2=[2,4.]
|
Zdanie A nie jest implikacją prostą P8=>P2, jak to błędnie sądzą ziemianie.
Zdanie A to wyłącznie warunek wystarczający P8=>P2 wchodzący w skład definicji implikacji prostej P8|=>P2.
Implikacja prosta P8|=>P2 to seria czterech zdań A,B,C i D a nie jedno zdanie.
2.
Implikacji odwrotna p|~>q (ziemska „nadrzędność”)
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
Doskonale to widać na diagramie wyżej.
Tożsama definicja powyższego diagramu jest następująca.
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Zbiór ~p jest podzbiorem zbioru ~q i nie jest tożsamy ze zbiorem ~q
~p|=>~q = (~p=>~q)*~[~p=~q]
Matematycznie, na mocy powyższego diagramu zachodzi:
p|~>q = ~p|=>~q
Dowód:
Lewa strona tożsamości logicznej wymusza prawą stronę i odwrotnie, co doskonale widać na diagramie.
Wyprowadzenie symbolicznej definicji implikacji odwrotnej:
Na początek zapisujemy wszystkie możliwe iloczyny logiczne zbiorów tu występujących.
| Kod: |
Symboliczne definicja implikacji odwrotnej w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
A: p* q =1
B: p*~q =1
C:~p*~q =1 | ~p=>~q =1 - na mocy 10-2 przykazania NTZ
D:~p* q =0 | ~p~~>q =0
|
Definicja implikacji w zbiorach:
Implikacja to trzy i tylko trzy zbiory niepuste i rozłączne w obrębie dziedziny (A, B i C)
Nasz przykład:
D = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
Korzystając z przykazania 9-2 NTZ lokalizujemy występujący tu warunek wystarczający w linii C, jak to pokazano wyżej.
Na mocy prawa Kubusia warunek wystarczający => w linii C wymusza warunek konieczny ~> w linii A, niezależnie od tego czy zbiory p i q nie są tożsame (~[p=q] - implikacja), czy też są tożsame ([p=q] - równoważność).
Prawo Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Stąd mamy końcową tabelę symboliczną implikacji odwrotnej p|~>q.
| Kod: |
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach =>,~>,~~>
A: p~> q =1 - bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
lub
B: p~~>~q=1 - bo istnieje wspólny element zbiorów p i ~q
C:~p=>~q =1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
D:~p~~>q =0 - bo zbiory ~p i q mają część wspólną
|
Zauważmy, że w implikacji odwrotnej p|~>q po stronie p mamy „rzucanie monetą” natomiast gwarancję matematyczną => mamy po stronie ~p.
Rzucanie monetą:
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q (zdanie A) lub jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q (zdanie B).
Czyli:
Jeśli zajdzie p to wszystko może się zdarzyć, może ~> zajść q lub może zajść ~q - mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”
Gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej p|~>q:
Jeśli zajdzie ~p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q (bo linia D jest fałszem).
Linie C i D realizują 100% pewność matematyczną, nieodzowny element każdej implikacji.
Zdanie A to warunek konieczny p~>q wchodzący w skład definicji implikacji odwrotnej p|~>q.
Implikacja odwrotna p|~>q to seria czterech zdań A,B,C i D a nie jedno zdanie.
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Dodatkowo zbiory P2 i P8 nie są tożsame co wymusza definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8:
P2|~>P8 = (P2~>P8)*~[P2=P8]
Dalszą analizę potrafi wykonać najgłupszy komputer.
| Kod: |
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach =>, ~> i ~~>
P2|~>P8
A: P2~> P8 =1 -bo P2=[2,4,6,8.] jest nadzbiorem ~> P8=[8,16,24..]
B: P2~~>~P8=1 -bo istnieje wspólny element zbiorów P2=[2,4,6.] i ~P8=[1,2.]
C:~P2=>~P8 =1 -bo ~P2=[1,3,5.] jest podzbiorem => ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9.]
D:~P2=> P8 =0 -bo zbiory ~P2=[1,3,5..] i P8=8,16,24..] są rozłączne
|
Zdanie A to warunek konieczny P2~>P8 wchodzący w skład definicji implikacji odwrotnej P2|~>P8.
Implikacja odwrotna P2|~>P8 to seria czterech zdań A,B,C i D a nie jedno zdanie.
3.
Równoważność = diagram równoważności p<=>q
Definicja równoważności p<=>q opisująca zbiory tożsame p=q:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
p<=>q = (p=>q)*[p=q]
Doskonale to widać na diagramie.
Definicja równoważności ~p<=>~q opisująca zbiory tożsame ~p=~q:
Zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q i jest tożsamy ze zbiorem ~q
~p<=>~q = (~p=>~q)*[~p=~q]
Doskonale to widać na diagramie.
Matematycznie zachodzi:
p<=>q = ~p<=>~q
Dowód:
Lewa strona powyższej tożsamości logicznej wymusza prawą stronę i odwrotnie, doskonale to widać na diagramie.
Wyprowadzenie symbolicznej definicji równoważności <=>.
Wszystkie możliwe iloczyny logiczne zbiorów odczytane z diagramu:
| Kod: |
A: p* q =1
B: p*~q =0
C: ~p*~q =1
D: ~p* q =0 |
Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne w obrębie dziedziny (A i C):
p<=>q = A: p*q + C: ~p*~q
Korzystamy z przykazania 9-2 Nowej Teorii Zbiorów, otrzymując banalną definicję symboliczną równoważności p<=>q
| Kod: |
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach =>, ~> i ~~>
p<=>q
A: p=> q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => q
B: p~~>~q=0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne
C:~p=>~q =1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => ~q
D:~p~~>q =0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne
|
Porównajmy diagram równoważności p<=>q z diagramami implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Klasyczna równoważność to tożsamość zbiorów [p=q] wymuszająca tożsamość zbiorów [~p=~q]
Prawo Morsa:
Dowolna tożsamość (także z matematyki klasycznej) to automatycznie równoważność
Przykład:
pies=pies
pies<=>pies = (pies=>pies)*(~pies=>~pies)
2=2
2<=>2 = (2=>2)*(~2=>~2)
itd
R1.
Definicja tożsamości zbiorów p i q (uwielbiana przez matematyków):
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q i odwrotnie
R1: p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
R2.
Tożsama definicja tożsamości zbiorów p i q:
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q i każdy element zbioru ~p należy do zbioru ~q
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R3.
Kolejna tożsama definicja tożsamości zbiorów p i q:
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q wtedy i tylko wtedy gdy zachodzą jednocześnie warunek wystarczający p=>q i konieczny p~>q między tymi samymi punktami:
R3: p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
Doskonale widać, że wyłącznie w przypadku tożsamości zbiorów spełniony jest jednocześnie warunek wystarczający p=>q i konieczny p~>q między tymi samymi punktami.
To są trzy najważniejsze definicje równoważności (tożsamości zbiorów), spotykane w praktyce.
Zapiszmy aktualnie wyprowadzone definicje tożsamości zbiorów p=q jedne pod drugą:
R1: p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R3: p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
Kolejne, trywialne definicje tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q wynikłe z teorii zbiorów to:
R4: p<=>q = (q=>p)*(~q=>~p) - definicja symetryczna do R2
etc
Dalsze definicje możemy tworzyć korzystając z naturalnej logiki matematycznej każdego człowieka jak to uczyniliśmy w definicjach R1,R2,R3 i R4.
Możemy też korzystać do woli z praw Kubusia które obowiązują zarówno w równoważności, jak i w implikacji.
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Zabawę w dalsze generowanie tożsamych definicji równoważności pozostawiam czytelnikowi.
Z R1 i R4 mamy prawo kontrapozycji poprawne w równoważności (i tylko tu!):
p=>q = ~q=>~p
W twierdzeniach matematycznych będących z definicji warunkiem wystarczającym p=>q po udowodnieniu prawdziwości tego warunku p=>q=1, matematycznie możemy założyć cokolwiek np. że nasz udowodniony warunek wystarczający p=>q wchodzi w skład definicji równoważności.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
Dopiero po udowodnieniu twierdzenia odwrotnego q=>p =1 mamy pewność, że nasze twierdzenie proste p=>q wchodzi w skład definicji równoważności, inaczej nasze twierdzenie proste p=>q to tylko warunek wystarczający p=>q wchodzący w skład definicji implikacji prostej p|=>q.
Definicja implikacji prostej |=>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bowiem zbiór TP jest podzbiorem zbioru SK
Dodatkowo zbiory TP i SK są tożsame, co wymusza definicję równoważności TP<=>SK.
Dalszą analizę przez wszystkie możliwe przeczenia TP i SK potrafi zrobić byle komputer.
| Kod: |
TP<=>SK
A: TP=> SK =1 - bo zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
B: TP~~>~SK=0 - bo zbiory TP i ~SK są rozłączne
C:~TP=>~SK =1 - bo zbiór ~TP jest podzbiorem => zbioru ~SK
D:~TP~~>SK =0 - bo zbiory ~TP i SK są rozłączne
|
Definicja równoważności <=>:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego TP=>SK w logice dodatniej (bo SK) i warunku wystarczającego ~TP=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK).
RA.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Równoważność mówi nie tylko o tym co się dzieje po stronie zbioru TP=SK (RA) ale również odpowiada na pytanie co się dzieje w fundamentalnie innym zbiorze, w zbiorze trójkątów nieprostokątnych ~TP=~SK (RC).
RC.
Trójkąt jest nieprostokątny wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi suma kwadratów
~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
4.
Operator chaosu = ziemska niezależność
Definicja operatora chaosu w zbiorach:
Zapiszmy iloczyny logiczne wszystkich możliwych zbiorów:
| Kod: |
A: p* q =1 - zbiory p i q mają część wspólną
B: p*~q =1 - zbiory p i ~q mają część wspólną
C:~p*~q =1 - zbiory ~p i ~q mają część wspólną
D:~p* q =1 - zbiory ~p i q mają część wspólną
|
Definicja operatora chaosu w zbiorach:
Operator chaosu to cztery i tylko cztery zbiory niepuste i rozłączne w obrębie dziedziny (A,B,C i D):
p|~~>q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Zauważmy, że w kolumnie wynikowej mamy same jedynki, zatem nie występuje tu ani warunek wystarczający =>, ani konieczny ~>.
Mamy tu do czynienia z totalną przypadkowością (z rzucaniem monetą), czyli z chaosem.
Operator chaosu w spójnikach implikacyjnych: =>, ~> i ~~>
| Kod: |
p|~~>q
A: p~~> q =1
B: p~~>~q =1
C:~p~~>~q =1
D:~p~~>q =1
|
Operator chaosu to wszystkie cztery linie A, B, C i D a nie którakolwiek jedna.
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
| Kod: |
P8|~~>P3
A: P8~~> P3 = P8* P3 =1 bo 24
B: P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
C:~P8~~>~P3 =~P8*~P3 =1 bo 2
D:~P8~~> P3 =~P8* P3 =1 bo 3
|
5.
Nietypowa implikacja prosta ~p|=>q w logice dodatniej (bo q) = ziemskie podprzeciwieństwo
Definicja implikacji nietypowej:
Implikacja jest nietypowa jeśli poprzednik i następnik nie są w tej samej polaryzacji, czyli nie mają identycznych zaprzeczeń lub braku zaprzeczeń.
Tożsama definicja powyższego diagramu jest następująca:
Nietypowa implikacja odwrotna p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Zbiory:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q i nie jest tożsamy ze zbiorem ~q
p|~>~q = (p~>~ q)*~[p=~q]
Doskonale to widać na powyższym diagramie.
W praktyce implikacje nietypowe są rzadziej spotykane od implikacji typowych, gdzie mamy tą samą polaryzację poprzednika i następnika.
Matematycznie, na mocy powyższego diagramu zachodzi:
~p|=>q = p|~>~q
Dowód:
Lewa strona tożsamości logicznej wymusza prawą stronę i odwrotnie, co doskonale widać na diagramie.
Zapiszmy wszystkie możliwe iloczyny logiczne zbiorów tu występujące:
| Kod: |
A: ~p* q =1
B: ~p*~q =0
C: p*~q =1
D: p* q =1
|
Korzystając z przykazania 10-2 Nowej Teorii Zbiorów lokalizujemy warunek wystarczający => i konieczny ~> tu występujący.
| Kod: |
A: ~p=> q =1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => q
B: ~p~~>~q=0 - bo zbiory ~p i ~q są rozłączne
C: p~>~q =1 - bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
D: p~~>q =1 - bo zbiory p i q mają część wspólną
|
Zauważmy, że:
Jeśli zajdzie ~p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (bo linia B jest fałszem).
Linie A i B realizują 100% pewność matematyczną, nieodzowny element każdej implikacji.
Jeśli natomiast zajdzie p to może ~> się zdarzyć że zajdzie ~q (linia C) lub może ~~> się zdarzyć że zajdzie q (linia D).
Linie C i D to najzwyklejsze „rzucanie monetą” drugi fundament każdej implikacji rzeczywistej!
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Spełnienie warunku W jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania nagrody N
Obietnica to implikacja prosta W|=>N na mocy definicji, w tym przypadku nic nie musimy udowadniać.
Przykład:
A.
Jeśli nie ubrudzisz spodni to dostaniesz czekoladę
~B=> C =1
Czyste spodnie (~B=1) dają nam gwarancję matematyczną => otrzymania czekolady
Zdanie A to na mocy definicji implikacja prosta ~B|=>C:
Zajście zdarzenia ~B=1 jest wystarczające => dla zajścia C=1 i nie jest tożsame z C
~B|=>C = (~B=>C)*~[~B=C]
W tym momencie tabelę prawdy dla zdania A potrafi zapisać byle komputer.
| Kod: |
~B|=>C
A: ~B=> C =1 -czyste spodnie (~B=1) gwarantują => czekoladę (C=1)
B: ~B~~>~C=~B*~C=0 -zakaz złamania obietnicy A (~B*~C=0)
C: B~>~C =1 -Jeśli brudne spodnie (B=1) to możesz nie dostać czekolady (~C=1)
lub
D: B~~>C =~B* C=1 -Jeśli brudne spodnie (B=1) to możesz ~~> dostać czekoladę (C=1)
|
W świecie żywym (nie tylko u człowieka!) zdanie D to matematyczne prawo nadawcy do wręczenia nagrody mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody.
6.
Nietypowa implikacja prosta p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) = ziemskie przeciwieństwo
Definicja implikacji nietypowej:
Implikacja jest nietypowa jeśli poprzednik i następnik nie są w tej samej polaryzacji, czyli nie mają identycznych zaprzeczeń lub braku zaprzeczeń.
Tożsama definicja powyższego diagramu jest następująca:
Nietypowa implikacja odwrotna ~p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Zbiory:
Zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
~p|~>q = (~p~>q)*~[~p=q]
Doskonale to widać na powyższym diagramie.
W praktyce implikacje nietypowe są rzadziej spotykane od implikacji typowych, gdzie mamy tą samą polaryzację poprzednika i następnika.
Matematycznie, na mocy powyższego diagramu zachodzi:
p|=>~q = ~p|~>q
Dowód:
Lewa strona tożsamości logicznej wymusza prawą stronę i odwrotnie, co doskonale widać na diagramie.
Zapiszmy wszystkie możliwe iloczyny logiczne zbiorów tu występujące:
| Kod: |
A: p*~q =1
B: p* q =0
C: ~p* q =1
D: ~p*~q =1
|
Korzystając z przykazania 10-2 Nowej Teorii Zbiorów lokalizujemy warunek wystarczający => i konieczny ~> tu występujący.
| Kod: |
A: p=>~q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => ~q
B: p~~>q =0 - bo zbiory p i q są rozłączne
C: ~p~> q =1 - bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru q
lub
D: ~p~~>~q=1 - bo zbiory ~p i ~q mają część wspólną
|
Zauważmy, że:
Jeśli zajdzie p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q (bo linia B jest fałszem).
Linie A i B realizują 100% pewność matematyczną, nieodzowny element każdej implikacji.
Jeśli natomiast zajdzie ~p to może ~> się zdarzyć że zajdzie q (linia C) lub może ~~> się zdarzyć że zajdzie ~q (linia D).
Linie C i D to najzwyklejsze „rzucanie monetą” drugi fundament każdej implikacji rzeczywistej!
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest kotem
P=>~K =1
Dziedzina:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
P=[pies]
K=[kot]
~K=[ZWZ-Kot] = [koń, kura, mrówka ..] - dowolne zwierzę z wykluczeniem kota
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P=[pies] jest podzbiorem zbioru ~K=[ZWZ-Kot]
Dodatkowo zbiór P=[pies] nie jest tożsamy ze zbiorem ~K=[ZWZ-Kot] co wymusza definicję implikacji prostej P|=>~K:
P|=>~K = (P=>~K)*~[P=~K]
Dalszą analizę przez wszystkie możliwe przeczenia P i ~K potrafi wykonać każdy przyzwoity komputer.
| Kod: |
A: P=> ~K =1 - bo zbiór „pies” jest podzbiorem => zbioru ~K=[ZWZ-Kot]
B: P~~>K = P*K =0 - bo zbiory „pies” i „kot” są rozłączne
C:~P~> K =1 - bo zbiór ~P=[ZWZ-Pies] jest nadzbiorem ~> K=[Kot]
lub
D:~P~~>~K=~P*~K=1 - bo zbiory ~P=[ZWZ-pies] i ~K=[ZWZ-Kot] mają część wspólną np. Kura
|
Zauważmy, że jeśli wylosujemy psa to w linii A mamy gwarancję matematyczną => iż na pewno nie będzie to kot.
Jeśli wylosujemy „nie psa” to w liniach C i D mamy najzwyklejsze rzucanie monetą, to może ~> być kot (zdanie C) lub nie kot (zdanie D).
7.
Prawo rozpoznawalności pojęcia p (prawo tożsamości wiedzy) = ziemska „sprzeczność”
Na mocy definicji:
Dwa zbiory niepuste p i ~p i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny oznaczają iż mamy do czynienia z równoważnością.
p+~p =1 (dziedzina)
p*~p =0
Analiza szczegółowa prawa tożsamości wiedzy (prawa rozpoznawalności pojęcia p):
A.
Jeśli wiem co to jest p to na pewno => wiem co to jest ~p
p=>~p =1
Znajomość pojęcia p jest warunkiem wystarczającym => dla znajomości pojęcia ~p
B.
Jeśli wiem co to jest p to mogę ~~> nie wiedzieć co to jest p
p~~>~p =0 - nie ma takiej możliwości
C.
Jeśli wiem co to jest ~p to na pewno => wiem co to jest p
~p=>p =1
Znajomość pojęcia ~p jest warunkiem wystarczającym => dla znajomości pojęcia p
D.
Jeśli wiem co to jest ~p to mogę ~~> nie wiedzieć co to jest ~p
~p~~>~p =0 - nie ma takiej możliwości
Stąd mamy tabelę prawdy dla prawa rozpoznawalności pojęcia, tabelę równoważności:
| Kod: |
p<=>~p=(p=>~p)*(~p=>p)
A: p=>~p =1
B: p~~>p =0
C:~p=> p =1
D:~p~~>~p=0
|
Przykład 1
A.
Jeśli wiem co to jest „kolor biały” to na pewno wiem co to jest „kolor nie biały”
B=>~B =1
Dziedzina:
ZWK - zbiór wszystkich możliwych kolorów
Wiedza iż coś jest w kolorze białym jest warunkiem wystarczającym => na to by wiedzieć co to jest kolor „nie biały”
Gdzie:
„nie biały” - dowolny inny kolor niż biały
~B=[ZWK-biały] = [czarny, czerwony, zielony …] - zbiór wszystkich kolorów z wykluczeniem białego
Oczywistym jest że warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => dla rozpoznawalności koloru „biały” jest istnienie co najmniej jednego koloru „nie białego”
Stąd na mocy definicji równoważności mamy:
Kolor „nie biały” jest rozpoznawalny wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalny jest kolor „biały”
~B<=>B = (~B~>B)*(~B=>B)
Przykład 2
A.
Jeśli znam dowolną funkcję logiczną Y to na pewno => znam funkcję ~Y
Y=>~Y =1
Znajomość funkcji Y jest warunkiem wystarczającym => dla znajomości funkcji ~Y
B.
Jeśli znam dowolną funkcję logiczną ~Y to na pewno => znam funkcję Y
~Y=>Y =1
Znajomość funkcji logicznej ~Y jest warunkiem wystarczającym => dla znajomości funkcji Y
Stąd mamy prawo rozpoznawalności funkcji logicznej Y:
Funkcja logiczna Y jest rozpoznawalna wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalna jest funkcja logiczna ~Y
Y<=>~Y=(Y=>~Y)*(~Y=>Y) =1*1 =1
Przykład 3
Załóżmy że znamy funkcję logiczną:
Y=p+q - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
~Y=~p*~q - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)
Oczywistym jest że jeśli nie znamy funkcji logicznej Y:
Y=?
to automatycznie nie znamy funkcji logicznej ~Y
~Y=~(?)
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 10:30, 28 Mar 2016, w całości zmieniany 4 razy
|
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
