 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Pon 7:38, 13 Sie 2018 Temat postu: Algebra Kubusia w definicjach |
|
|
Algebra Kubusia w definicjach
Spis treści
1.0 Algebra Kubusia w definicjach 2
1.1 Definicja algebry Boole’a 2
1.1.1 Definicja funkcji logicznej 2
1.1.2 Prawa Prosiaczka 3
1.2 Prawa rachunku zero-jedynkowego do minimalizacji funkcji logicznych 4
1.3 Matematyczne związki spójników „i”(*) i „lub”(+) w rachunku zero-jedynkowym 5
1.3.1 Prawo rozpoznawalności pojęcia p 5
1.3.2 Matematyczne związki spójnika „i”(*) ze spójnikiem „lub”(+) 6
1.3.3 Matematyczne związki spójnika „lub”(+) ze spójnikiem „i”(*) 7
1.3.4 Definicje znaczków ## i # 7
1.3.5 Definicja dziedziny równania algebry Boole’a 8
1.3.6 Prawa Kłapouchego 8
1.4 Logika zdań warunkowych 9
1.4.1 Definicja warunku wystarczającego => 9
1.4.2 Definicja warunku koniecznego ~> 10
1.4.3 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> lub zdarzenia możliwego ~~> 10
1.4.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach lub w zdarzeniach możliwych 11
1.4.5 Prawo Kobry 11
1.4.6 Aksjomatyka zdań warunkowych „Jeśli p to q” 11
1.5 Definicje operatorów logicznych w algebrze Kubusia 12
1.5.1 Definicja implikacji prostej p|=>q 12
1.5.2 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q 12
1.5.3 Definicja równoważności p<=>q 12
1.5.4 Definicja operatora chaosu p|~~>q 12
1.6 Prawa rachunku zero-jedynkowego dla zdań warunkowych 13
1.6.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 13
1.6.2 Prawa Kubusia 14
1.6.3 Prawa Tygryska 14
1.6.4 Prawo Kangura: 14
1.8 Pozostałe prawa algebry Kubusia 15
1.8.1 Prawo Pytona 15
1.8.2 Prawa Papugi 15
1.9 Obietnice i groźby 16
1.0 Algebra Kubusia w definicjach
Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia to badanie nieznanego, nieznanej przyszłości albo nieznanej przeszłości.
Przeszłość wbrew pozorom nie musi być znana np. poszukiwanie mordercy.
Jeśli znamy przeszłość to logika matematyczna jest zbędna, bo nie dowiemy się niczego więcej, ponad to, co wiemy.
Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to badanie relacji między dowolnymi pojęciami z obszaru Uniwersum człowieka.
Uniwersum człowieka to wszelkie pojęcia dla niego zrozumiałe.
1.1 Definicja algebry Boole’a
Definicja algebry Boole’a:
Algebra Boole’a opisuje wzajemne relacje dwóch zbiorów p i q we wszelkich możliwych, wzajemnych położeniach.
Algebra Boole’a jest podzbiorem podstawowej teorii zbiorów w zakresie znaczków:
p*q - iloczyn logiczny (*) zbiorów (zdarzenie możliwe)
p+q - suma logiczna (+) zbiorów (zdarzeń)
Definicja algebry Boole’a od strony rachunku zero-jedynkowego:
Algebra Boole’a to tylko i wyłącznie 5 znaczków plus rachunek zero-jedynkowy z którego wynikają wszelkie prawa logiki matematycznej.
Znaczki rozpoznawalne w algebrze Boole’a to:
{0,1} - dwa wyróżnione elementy (w logice matematycznej cyfry 0 i 1)
(~) - negacja, słówko NIE (przeczenie)
„i”(*) - spójnik „i” z języka potocznego człowieka
„lub”(+) - spójnik „lub” z języka potocznego człowieka
1.1.1 Definicja funkcji logicznej
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.
Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol którego wartość logiczna w osi czasu jest niezmienna i wynosi 1 albo 0
Definicja funkcji logicznej:
Funkcja logiczna to wyróżniony symbol Y definiujący równanie algebry Boole’a n-zmiennych binarnych
Przykład funkcji logicznej:
Y = p*q + ~p*~q
Zapiszmy jednoargumentowe funkcje logiczne: Y, Z i ~Z
| Kod: |
T1
p ~p Y=p ~Y=~p Z=p+~p=1 ~Z=~(p+~p)=~(1)=0
A: 1 0 1 0 1 0
B: 0 1 0 1 1 0
1 2 3 4 5 6
|
Doskonale widać że symbole p, ~p, Y, ~Y to zmienne binarne, bowiem w kolumnach opisujących te symbole występują miękkie jedynki i miękkie zera.
Definicja miękkiej jedynki:
Definicja miękkiej jedynki związana jest z definicją zmiennej binarnej.
Zmienna p może przyjąć w osi czasu wartość logiczną jeden, ale nie musi
Definicja miękkiego zera:
Definicja miękkiego zera związana jest z definicją zmiennej binarnej.
Zmienna p może przyjąć w osi czasu wartość logiczną zero, ale nie musi
Doskonale widać, że symbole Z i ~Z to stałe binarne bowiem w kolumnach opisujących te symbole występują wyłącznie jedynki (kolumna 5) albo wyłącznie zera (kolumna 6)
Definicje twardej jedynki i twardego zera:
Definicje twardej jedynki i twardego zera związana jest z definicją stałej binarnej.
Stała binarna to symbol który w osi czasu ma niezmienną wartość logiczną:
Z=1 - kolumna 5 (twarda jedynka)
albo
~Z=0 - kolumna 6 (twarde zero)
Oczywistym jest, że z twardej jedynki (Z=1) wynika twarde zero (~Z=0) i odwrotnie.
Podsumowując:
Algebra Boole’a jest de facto logiką czterowartościową bo istnieją tu cztery definicje:
- miękka jedynka
- miękkie zero
- twarda jedynka
- twarde zero
1.1.2 Prawa Prosiaczka
Prawa Prosiaczka zachodzą w tabeli T1 w poziomie miedzy dowolną zmienną niezanegowaną (bo p) i zanegowaną (bo ~p). Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej, jak również do dowolnej stałej binarnej.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1)=(~p=0)
Tabela T1:
A1: (p=1) = A2: (~p=0)
Przykład:
(K=1)=(~K=0)
Prawdą jest (=1) że byłem w kinie (K) = Fałszem jest (=0) że nie byłem w kinie (~K)
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z prawdą (=1) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1)=(p=0)
Tabela T1:
B2: (~p=1) = B1: (p=0)
Przykład:
(~K=1)=(K=0)
Prawdą jest (=1) że nie byłem w kinie (~K) = Fałszem jest (=0) że byłem w kinie (K)
1.2 Prawa rachunku zero-jedynkowego do minimalizacji funkcji logicznych
1.
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*):
p q Y=p*q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 1 0
D: 0 0 0
Y=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
Y=0
|
2.
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+):
p q Y=p+q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 1 1
D: 0 0 0
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
Y=0
|
3.
Kolejność wykonywania działań w algebrze Boole’a:
Nawiasy, Iloczyn logiczny zbiorów (*), suma logiczna zbiorów (+)
4.
Przemienność argumentów:
p*q=q*p
p+q=q+p
5.
Element neutralny w iloczynie logicznym to 1 (dziedzina):
p*1=p
p*0=0
6.
Element neutralny w sumie logicznej to 0 (zbiór pusty):
p+0=p
p+1=1
7.
Prawa dziedziny (D=1):
p+~p=1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p*~p=0 - zbiory p i ~p są rozłączne
8.
Prawa De Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
p*q = ~(~p+~q)
9.
Prawo Wilka:
Dowolną funkcję logiczną można dwustronnie zanegować
Y=f(x)
~Y=~f(x)
Przykład:
Y=p+q
~Y=~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana
10.
Skrócone przejście do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
1: Y=(p*q)+(~p*~q)
2: ~Y=(~p+~q)*(p+q)
Uzupełnienie brakujących nawiasów w 1 jest kluczowe.
11.
Mnożenie wielomianów logicznych jak w matematyce klasycznej
~Y=(~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q+~p*q
1.3 Matematyczne związki spójników „i”(*) i „lub”(+) w rachunku zero-jedynkowym
Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*):
p q Y=p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 1 0
D: 0* 0 0
Y=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
Y=0
|
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+):
p q Y=p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 1 1
D: 0+ 0 0
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
Y=0
|
1.3.1 Prawo rozpoznawalności pojęcia p
Prawo rozpoznawalności dowolnego pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie ~p
p<=>~p= A: (p=>~p)* C: (~p=>p) =1*1 =1
Warunki wystarczające => A i C to:
A.
Jeśli wiem co znaczy pojęcie p to na 100% => wiem co znaczy pojęcie ~p
p=>~p=1
C.
Jeśli wiem co znaczy pojęcie ~p to na 100% => wiem co znaczy pojęcie p
~p=>p =1
Oczywiście nie ma tu mowy, aby zachodziła tożsamość pojęć (zbiorów):
p=~p =0 - to jest fałsz
Dowód abstrakcyjny:
Wyobraźmy sobie że żyjemy we Wszechświecie o idealnej temperaturze
t=constans
W takim Wszechświecie pojęcia ciepło (C=1) i nie ciepło (~C=1) nie istnieją, bo nie możemy zmierzyć choćby najmniejszej różnicy temperatur.
1.3.2 Matematyczne związki spójnika „i”(*) ze spójnikiem „lub”(+)
Na mocy prawa rozpoznawalności pojęcia p w dowolnej tabeli zero-jedynkowej musimy uwidocznić wszystkie sygnały w postaci niezanegowanej (p,q,Y) oraz zanegowanej *~p<~q,~Y)
| Kod: |
T1
p q ~p ~q Y=p*q ~Y=~(p*q) ~Y=~p+~q Y=~(~Y)=~(~p+~q)
A: 1 1 0 0 1 0 0 1
B: 1 0 0 1 0 1 1 0
C: 0 1 1 0 0 1 1 0
D: 0 0 1 1 0 1 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8
|
Tożsamość kolumn 5=8 jest dowodem prawa De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
1: Y = p*q = ~(~p+~q)
Tożsamość kolumn 6=7 jest dowodem prawa De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
2: ~Y=~(p*q) = ~p+~q - prawo De Morgana
Definicja operatora AND(|*):
Operator AND(|*) to złożenie funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
1.
Y=p*q
co w logice miękkich jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD125
2.
~Y=~p+~q
co w logice miękkich jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD347.
Z powyższego wynika że budowa operatora AND(|*) jest następująca:
Na wejściu operatora AND(|*) mamy dostępne wszystkie sygnały wejściowe w postaci niezanegowanej i zanegowanej
p, q, ~p, ~q
Na wyjściu operatora AND(|*) mamy dostępne sygnały:
Y, ~Y
Tylko i wyłącznie pod tym warunkiem możemy sprawdzić w laboratorium techniki cyfrowej fenomenalną zgodność tabeli zero-jedynkowej T1 z teorią bramek logicznych.
1.3.3 Matematyczne związki spójnika „lub”(+) ze spójnikiem „i”(*)
| Kod: |
T2
p q ~p ~q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~Y=~p*~q Y=~(~Y)=~(~p*~q)
A: 1 1 0 0 1 0 0 1
B: 1 0 0 1 1 0 0 1
C: 0 1 1 0 1 0 0 1
D: 0 0 1 1 0 1 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8
|
Tożsamość kolumn 5=8 jest dowodem prawa De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
1: Y = p+q = ~(~p*~q)
Tożsamość kolumn 6=7 jest dowodem prawa De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
2: ~Y=~(p+q) = ~p*~q - prawo De Morgana
Definicja operatora OR(|+):
Operator OR to złożenie funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
1.
Y=p+q
co w logice miękkich jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD125
2.
~Y=~p*~q
co w logice miękkich jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD347.
Z powyższego wynika że budowa operatora OR(|+) jest następująca:
Na wejściu operatora OR(|+) mamy dostępne wszystkie sygnały wejściowe w postaci niezanegowanej i zanegowanej
p, q, ~p, ~q
Na wyjściu operatora OR(|+) mamy dostępne sygnały:
Y, ~Y
Tylko i wyłącznie pod tym warunkiem możemy sprawdzić w laboratorium techniki cyfrowej fenomenalną zgodność tabeli zero-jedynkowej T2 z teorią bramek logicznych.
Algebra Kubusia jest więc w 100% weryfikowalna w przeciwieństwie do np. Teorii Strun która z definicji jest nieweryfikowalna.
1.3.4 Definicje znaczków ## i #
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## jeśli nie istnieją przekształcenia czysto matematyczne oparte o prawa rachunku zero-jedynkowego przekształcające jedną funkcję logiczną w drugą.
Przykład:
Y=p*q ## Y=p+q
Definicja znaczka #:
Funkcje logiczne są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Przykład:
Y=p+q # ~Y=~p*~q
1.3.5 Definicja dziedziny równania algebry Boole’a
Definicja dziedziny równania algebry Boole’a:
Dziedziną równania algebry Boole’a o n zmiennych binarnych jest suma logiczna funkcji w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Y+~Y=D =1 - zbiór (funkcja) ~Y jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru (funkcji) Y
Y*~Y=[] =0 - zbiory (funkcje) Y i ~Y są rozłączne
Przykład:
Y=p+q # ~Y=~p*~q
Y+~Y = p+q + ~p*~q = (p+q) + ~(p+q) =D =1
Y*~Y = (p+q)*(~p*~q) = (p+q)*~(p+q) =[] =0
Wniosek:
W redukcji dowolnego równania logicznego zamiast 1 można wstawić dziedzinę D, zaś zamiast 0 można wstawić zbiór pusty [].
Prawa algebry Boole’a dla zbiorów:
f(x)*D = f(x) - iloczyn logiczny dowolnej funkcji f(x) i dziedziny D jest funkcją f(x)
f(x)+D = D - suma logiczna dowolnej funkcji f(x) z dziedziną D, jest dziedziną D
f(x)*[] =[] - iloczyn logiczny funkcji logicznej f(x) ze zbiorem pustym [] jest zbiorem pustym [].
f(x)+[] =f(x) - suma logiczna dowolnej funkcji f(x) ze zbiorem pustym jest funkcją logiczną f(x)
Przykład:
Y = p+p*q = p*1+p*q = p*(1+p) = p*1 =p - klasyka
Y = p+p*q = p*D+p*q = p*(D+q) = p*D =p - to samo w zbiorach
1.3.6 Prawa Kłapouchego
I Prawo Kłapouchego:
Dowolną tabelę zero-jedynkową wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+), w tym operatory logiczne, definiuje układ równań logicznych Y i ~Y:
1: Y=f(p,q) - logika dodatnia (bo Y)
2: ~Y=~f(p,q) - logika ujemna (bo ~Y)
Kolejność wykonywania działań w algebrze Boole’a:
Nawiasy, Iloczyn logiczny zbiorów (*), suma logiczna zbiorów (+)
II Prawo Kłapouchego:
Dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej (w tym operatorów logicznych) w celu wyznaczenia układu równań Y i ~Y opisujących tą tabelę możemy zastosować logikę miękkich jedynek (mogą zajść ale nie muszą) lub logikę miękkich zer (mogą zajść ale nie muszą)
Logika miękkich jedynek prowadzi do układu równań alternatywno-koniunkcyjnych (Y, ~Y) doskonale rozumianych przez człowieka.
Logika miękkich zer prowadzi do układu równań koniunkcyjno-alternatywnych (Y, ~Y) których żaden człowiek nie rozumie.
Przykład:
1: Y = (p*q)+(~p*~q) - równanie alternatywno-koniunkcyjne (alternatywa koniunkcji)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2: ~Y = (~p+~q)*(p+q) - równanie koniunkcyjno-alternatywne (koniunkcja alternatyw)
Doskonale widać, że uzupełnienie brakujących nawiasów w 1 jest kluczowe.
Przejście z 2 do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej poprzez wymnożenie wielomianu:
3: ~Y = (p*~q) + (~p*q) - równanie alternatywno-koniunkcyjne
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
4: Y = (~p+q)*(p+~q) - równanie koniunkcyjno-alternatywne
Logiczne tożsamości to:
1: Y = 4: Y
Y = p*q+~p*~q = (~p+q)*(p+~q)
oraz:
3: ~Y = 2: ~Y
~Y = p*~q+~p*q = (p+q)*(~p+~q)
Z powyższych tożsamości logicznych wynika, że do obsługi logiki matematycznej w zakresie spójników „i”(*) i „lub”(+) wystarczą doskonale rozumiane przez każdego 5-cio latka równania alternatywno-koniunkcyjne. W języku potocznym żaden człowiek nie rozumie równań koniunkcyjno-alternatywnych.
1.4 Logika zdań warunkowych
Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik (fragment zdania po „Jeśli ..”)
q - następnik (fragment zdania po „to ..”)
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>
Elementarne definicje w algebrze Kubusia to:
p=>q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q - definicja warunku koniecznego ~>
p~~>q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> (w zdarzeniach: sytuacja możliwa)
p~~>~q=p*~q - definicja kontrprzykładu
1.4.1 Definicja warunku wystarczającego =>
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej: p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p wymusza => zajście zdarzenia q
Inaczej: p=>q =0
1.4.2 Definicja warunku koniecznego ~>
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej: p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej: p~>q =0
1.4.3 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> lub zdarzenia możliwego ~~>
Definicja spójnika „i”(*) w logice matematycznej:
Definicja spójnika „i”(*) w logice matematycznej jest tożsama z definicją elementu wspólnego zbiorów ~~> (zdarzenia możliwego ~~>)
Wniosek:
Z definicji spójnika „i”(*) wynika, że w zdaniu zawierającym dowolne spójniki logiczne dziedzina musi być wspólna dla użytych w zdaniu argumentów.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1*1 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny zbiorów p i q nie jest zbiorem pustym
Czytamy:
Oba zbiory istnieją p=1 i q=1 i mają element wspólny, stąd zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> jest prawdziwe (=1)
Inaczej:
p~~>q = p*q =1*1 =0 - zbiory p i q są rozłączne
Czytamy:
Oba zbiory istnieją p=1 i q=1 ale są rozłączne, stąd zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> jest fałszywe (=0)
Definicja zdarzenia możliwego ~~>
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1*1 =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Czytamy:
Oba zdarzenia są możliwe p=1 i q=1 i możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q, stąd zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> jest prawdziwe (=1)
Inaczej:
p~~>q = p*q =1*1 =0 - gdy nie jest możliwe równoczesne zajście zdarzeń p i q
Czytamy:
Oba zdarzenia są możliwe p=1 i q=1, ale niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i q, stąd zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> jest fałszywe (=0).
1.4.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach lub w zdarzeniach możliwych
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane definicją elementu wspólnego zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane definicją zdarzenia możliwego p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
1.4.5 Prawo Kobry
Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q" przy argumentach w tej samej fazie (oba niezanegowane lub oba zanegowane) jest istnienie wspólnego elementu zbiorów ~~> (zdarzenia możliwego ~~>)
Uwaga:
Argumenty musza być w tej samej fazie bo:
Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenia (~p):
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)
Tu prawo Kobry jest fałszywe bo pojęcia (zbiory) p i ~p są rozłączne:
p~~>~p = p*~q = [] =0
1.4.6 Aksjomatyka zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Niniejsze 5 punktów można uznać za aksjomatykę zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia.
Rozważmy twierdzenie matematyczne:
A.
Jeśli dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 8 to na 100% => ta sama liczba jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Na czym polega dowód tego twierdzenia?
Po pierwsze:
Na zrozumieniu iż w poprzedniku mamy precyzyjnie zdefiniowaną dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9 ..] - zbiór liczb naturalnych
Po drugie:
Na zrozumieniu iż w poprzedniku mamy iloczyn logiczny zbiorów:
LN*P8 =P8=[8,16,24..]
Iloczyn logiczny zbiorów LN*P8 wycina nam z dziedziny LN zbiór P8 i wyłącznie z takim zbiorem mamy do czynienia w poprzedniku.
Po trzecie:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” dziedzina dla p i q musi być wspólna, jednorodna i różna od Uniwersum
Definicja Uniwersum:
Uniwersum - wszelkie pojęcia zrozumiałe dla człowieka
Definicja dziedziny jednorodnej:
Dziedzina jest dziedziną jednorodną wtedy i tylko wtedy gdy definiuje ją jedno pojęcie zrozumiałe przez człowieka.
Przykłady dziedzin jednorodnych:
D = LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9 ..] - zbiór wszystkich liczb naturalnych
D = ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Przykładowa dziedzina niejednorodna to:
D = LN+ZWT - zbiór liczb naturalnych plus zbiór wszystkich trójkątów
W całym obszarze zdań warunkowych „Jeśli p to q” ( w tym w twierdzeniach matematycznych) nikt nigdy, nie przyjął choćby jednej dziedziny niejednorodnej jak wyżej, czy też za dziedzinę uznałby Uniwersum.
Po czwarte:
Na mocy powyższego (wspólna dziedzina jednorodna) w następniku mamy zbiór:
LN*P2 = P2=[2,4,6,8..]
Po piąte:
Użyty w kodowaniu tego zdania znaczek warunku wystarczającego => wymaga od dowodzącego by udowodnił iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
1.5 Definicje operatorów logicznych w algebrze Kubusia
1.5.1 Definicja implikacji prostej p|=>q
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p=>q =1 - zachodzi (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
1.5.2 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p~>q =1 - zachodzi (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
1.5.3 Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p=>q =1 - zachodzi (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - zachodzi (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
1.5.4 Definicja operatora chaosu p|~~>q
Operator chaosu p|~~>q to pokazanie jednego elementu wspólnego zbiorów p i q oraz nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami
p~~>q =1 - istnieje (=1) element wspólny
p=>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek konieczny ~>
Definicja operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1
1.6 Prawa rachunku zero-jedynkowego dla zdań warunkowych
| Kod: |
T1
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>:
p q p=>q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 1 1
D: 0 0 1
Definicja w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p+q
co w logice miękkich jedynek oznacza:
p=>q=1 <=> ~p=1 lub q=1
Znaczek wtedy i tylko <=> wtedy wymusza zdanie niżej:
Inaczej:
p=>q=0
Definicja tożsama - łatwiejsza do zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Znaczek wtedy i tylko wtedy <=> wymusza zdanie niżej:
Inaczej:
p=>q =1
|
| Kod: |
T2
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>:
p q p~>q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 1 0
D: 0 0 1
Definicja w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = p+~q
co w logice miękkich jedynek oznacza:
p~>q=1 <=> p=1 lub ~q=1
Znaczek wtedy i tylko wtedy <=> wymusza zdanie niżej:
Inaczej:
p~>q=0
Definicja tożsama - łatwiejsza do zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Znaczek wtedy i tylko wtedy <=> wymusza zdanie niżej:
Inaczej:
p~>q =1
|
1.6.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w rachunku zero-jedynkowym są następujące.
| Kod: |
Tabela 1
Matematyczne związki definicji warunku wystarczającego =>
z warunkiem koniecznym ~> oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q q~>p ~q=>~p p=>q=~p+q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1
1 2 3 4 5
|
Tożsamość kolumn wynikowych 1=2=3=4=5 jest dowodem formalnym tożsamości matematycznej:
T1: 1: p=>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: p=>q=~p+q
| Kod: |
Tabela 2
Matematyczne związki definicji warunku koniecznego ~>
z warunkiem wystarczającym => oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q q=>p ~q~>~p p~>q=p+~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0
1 2 3 4 5
|
Tożsamość kolumn wynikowych 1=2=3=4=5 jest dowodem formalnym tożsamości matematycznej:
T2: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p~>q=p+~q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
T1: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: p=>q=~p+q
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
T2: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p~>q=p+~q
Matematycznie zachodzi:
T1: p=>q = ~p+q ## T2: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Dowód dla naszego przykładu:
| Kod: |
p q p=>q p~>q ~(p=>q) ~(p~>q)
A: 1 1 1 1 0 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 0 0 1 1 0 0
D: 0 1 1 0 0 1
Stąd mamy:
T1: p=>q ## T2: p~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
1.6.2 Prawa Kubusia
Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
I Prawo Kubusia
p=>q = ~p~>~q
II Prawo Kubusia
p~>q = ~p=>~q
Interpretacja dowolnego prawa logicznego
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
1.6.3 Prawa Tygryska
Prawa Tygryska:
Prawa Tygryska wiążą warunek wystarczający => i konieczny ~> z zamianą p i q
I Prawo Tygryska
p=>q = q~>p
II Prawo Tygryska:
p~>q = q=>p
1.6.4 Prawo Kangura:
Każde pojęcie (zbiór) jest tożsame z samym sobą
Dowód prawa Kangura:
Każde pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
Każde pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd:
p=p = p<=>p = (p=>p)*(p~>p) =1*1 =1
cnd
1.8 Pozostałe prawa algebry Kubusia
1.8.1 Prawo Pytona
Prawo Pytona:
Zdanie twierdzące prawdziwe to skrócona forma zapisu warunku wystarczającego => prawdziwego zachodzącego w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q”.
1.8.2 Prawa Papugi
I Prawo Papugi
Jedyną funkcją logiczną wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+) rozumianą w języku potocznym człowieka jest funkcja alternatywno-koniunkcyjna.
Funkcja koniunkcyjno-alternatywna jest niezrozumiała dla każdego człowieka, zatem jest sprzeczna z jego naturalną logiką matematyczną.
Na mocy powyższego wszelkie równania koniunkcyjno-alternatywne sprowadzamy to tożsamych równań alternatywno-koniunkcyjnych poprzez wymnożenie wielomianu.
Przykład:
Y = p<=>q = p*q+~p*~q
1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy:
Y=(p*q)+(~p*~q) - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = (~p+~q)*(p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywa (koniunkcja alternatyw)
3.
Na mocy I prawa Papugi musimy wymnożyć powyższy wielomian:
~Y=~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q
~Y = p*~q + ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna zrozumiała dla człowieka
II prawo Papugi
Do obsługi języka potocznego pasują prawa:
Prawo iloczynu logicznego warunków wystarczających =>:
(p=>r)*(p=>r) = (p+q)=>r
Prawo iloczynu logicznego warunków koniecznych ~>:
(r~>p)*(r~>q) = r~>(p+q)
Do obsługi języka potocznego nie pasują prawa (wykopujemy w kosmos):
Prawo sumy logicznej warunków wystarczających =>:
(p=>r) + (q=>r) = (p*q)=>r
Prawo sumy logicznej warunków koniecznych ~>:
(r~>p)+(r~>q) = r~>(p*q)
Na mocy II prawa Papugi wywalamy w kosmos prawo sumy warunków wystarczających => i prawo sumy warunków koniecznych ~>.
III prawo Papugi
Do obsługi języka potocznego idealnie pasują prawa przechodniości warunków wystarczających => i koniecznych ~> o definicji z algebry Kubusia.
Prawo przechodniości warunków wystarczających =>:
(p=>q)*(q=>r) => (p=>r)
Prawo przechodniości warunków koniecznych ~>:
(r~>q)*(q~>p) => (r~>p)
1.9 Obietnice i groźby
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona na mocy definicji, tu nic nie musimy udowadniać.
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym => do otrzymania nagrody z powodu że spełniony został ten konkretny warunek otrzymania nagrody (W).
Prawo Kubusia:
W=>N = ~W~>~N
Brak spełnienia warunku nagrody ~W jest warunkiem koniecznym ~> dla nie otrzymania nagrody ~N.
Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody ~W to nadawca może ~> nie dać nagrody ~N, lub może ~~> dać nagrodę N (akt miłości) i nie ma szans na zostanie matematycznym kłamcą
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona na mocy definicji, tu nic nie musimy udowadniać.
Spełnienie warunku kary (W) jest warunkiem koniecznym ~> wykonania kary (K), ale nie wystarczającym, bowiem nadawca może darować dowolną karę zależną od niego (akt łaski)
Gwarancja matematyczna => w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W=>~K
Brak spełnienia warunku kary (~W) jest warunkiem wystarczającym => do nie karania (~K) z powodu że odbiorca nie spełnił tego, konkretnego warunku kary. Z innych powodów można karać.
Prawa Tygryska:
Prawa tygryska wiążą warunek wystarczający => i konieczny ~> z zamianą p i q
I Prawo Tygryska
p=>q = q~>p
II Prawo Tygryska:
p~>q = q=>p
Uwaga:
W prawie Tygryska, wyłącznie w obietnicach (warunek wystarczający =>) i groźbach (warunek konieczny ~>) czas przyszły transformuje się do czasu przeszłego
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 18:11, 06 Wrz 2019, w całości zmieniany 50 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
