 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35526
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Pią 0:29, 14 Lut 2020 Temat postu: Algebra Kubusia - teoria zdarzeń (Beta 2.0) |
|
|
Algebra Kubusia - teoria zdarzeń
2020-02-14
Część II
Teoria zdarzeń
Autor: Kubuś ze 100-milowego lasu
Spis treści
1.0 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 1
1.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 2
1.2 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 2
1.3 Test sprawdzający rozumienie teorii zdarzeń 3
1.3.1 Operator równoważności A<=>S 4
1.3.2 Operator implikacji prostej A|=>S 6
1.3.3 Operator implikacji odwrotnej A|~>S 9
1.3.4 Operator chaosu A|~~>S 12
1.4 Teoria zdarzeń vs teoria zbiorów 14
1.4.1 Teoria zdarzeń 14
1.4.2 Definicja operatora logicznego vs definicja obiektu fizycznego 16
1.4.3 Teoria zbiorów 19
1.0 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
1.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
1.2 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne A1 i B1 są różne na mocy definicji gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A12: p=>q = ~p~>q
##
B12: p~>q = ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
2.
Prawa Tygryska:
A13: p=>q = q~>p
##
B13: p~>q = q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
3.
Prawa kontrapozycji:
A14: p=>q = ~q=>~p
##
B14: p~>q = ~q~>~p
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
1.3 Test sprawdzający rozumienie teorii zdarzeń
Twierdzenie Słonia:
Dla zrozumienia kompletnej logiki matematycznej potrzeba i wystarcza opanowanie teorii zdarzeń
Twierdzenie Krowy:
Dla zrozumienia kompletnej teorii zbiorów są potrzebne i wystarczające cztery elementy
Udowodnienie twierdzenia Krowy zostawiam oczywiście na sam koniec opowieści o algebrze Kubusia.
Dlaczego?
Bo choć wykłady są tu prościutkie, to nie mają bezpośredniego przełożenia na język potoczny człowieka, bowiem żaden człowiek nie operuje zbiorami sztucznymi, ograniczonymi do czterech elementów.
Teoria zdarzeń ma natomiast 100% przełożenie na język potoczny człowieka, dlatego jest doskonale rozumiana przez wszystkich, od 5-cio latka poczynając.
Dowód twierdzenia Konia podamy na przykładzie zadania z logiki matematycznej w I klasie LO w 100-milowym lesie.
Test sprawdzający rozumienie teorii zdarzeń:
Dane są cztery elementy, żarówka i trzy przyciski A, B, C sterujące tą żarówką które można połączyć w dowolnych konfiguracjach. Nie wszystkie przyciski muszą być używane.
W świecie rzeczywistym człowieka dostępny jest wyłącznie przycisk A i żarówka S. Pozostałe przyciski B i C mogą być dołączane do przycisku A na wszelkie możliwe sposoby.
Polecenie:
Narysuj schematy elektryczne realizujące definicje operatorów logicznych:
1.
Operator równoważności A<=>S:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
2.
Operator implikacji prostej A|=>S:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = 1*~(0) =1*1=1
3.
Operator implikacji odwrotnej A|~>S:
A|~>S = (B1: A~>S)*~(A1: A=>S) = 1*~(0) =1*1 =1
4.
Operator chaosu A|~~>S:
A|~~>S = ~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Teoria niezbędna dla rozwiązania testu, podana jest w punktach 1.0 do 1.2.
Przypomnijmy najważniejsze:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego powiązane ze przyciskiem A i żarówką S.
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: s~>A = 4: ~S=>~A
##
B: 1: A~>S = 2: ~A=>~S [=] 3: S=>A = 4: ~S~>~A
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne A i S muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
Rozwiązanie Jasia (lat 15):
Najłatwiejszy sposób rozwiązania powyższych zadań to sprowadzenie wszystkich spójników do warunku wystarczającego => zachodzącego w tą samą stronę, bowiem definicja kontrprzykładu działa tylko i wyłącznie w powiązaniu z warunkiem wystarczającym =>
1.3.1 Operator równoważności A<=>S
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1
Rozważmy przykład z żarówką sterowaną przyciskami A, B i C dowolnie połączonymi:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Dla B1 korzystamy z prawa Kubusia:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
Stad definicja tożsama równoważności:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Wniosek bezpośredni:
A1: A=>S =1
B2: ~A=>~S =1
Analizujemy zdanie A1:
A1: A=>S =1
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A) to na 100% => żarówka świeci się (S)
A=>S =1
Wniosek:
Żarówka musi być w obwodzie zamkniętym z przyciskiem A
Stąd mamy schemat początkowy:
| Kod: |
Schemat 1A
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Analizujemy zdanie B2.
B2: ~A=>~S=1
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S)
~A=>~S =1
Wniosek:
W układzie nie ma zmiennej wolnej (przycisk B) połączonej równolegle z przyciskiem A która by zaświeciła żarówkę niezależnie od przycisku A
Stąd mamy schemat końcowy operatora równoważności A<=>S:
| Kod: |
Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Cechy charakterystyczne równoważności:
W równoważności, zarówno po stronie przycisku wciśniętego (A=1) jak i nie wciśniętego (A=0) mamy 100% pewność matematyczną (warunek wystarczający =>, nie ma tu miejsca na „rzucanie monetą”
Znaczenie operatora równoważności A<=>S w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja warunku wystarczającego =>:
A=>S = ~A+S
Definicja warunku koniecznego ~>:
A~>S = A+~S
Stąd:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B2: ~A=>~S) = (~A+S)*(A+~S) = ~A*A + ~A*~S + S*A + S*~S = A*S + ~A*~S
Wniosek:
Operator równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) wskazuje warunki wystarczające => prawdziwe:
A1: A=>S =1
B2: ~A=>~S =1
1.3.2 Operator implikacji prostej A|=>S
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Rozważmy przykład z żarówką sterowaną przyciskami A, B i C dowolnie połączonymi:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =1*~(0) =1*1 =1
Dla B1 korzystamy z prawa Kubusia by przejść do warunku wystarczającego => w tą samą stronę
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
Stąd mamy tożsamą definicję implikacji prostej A|=>S:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B2: ~A=>~S) = 1*~(0) =1*1 =1
Wniosek bezpośredni:
A1: A=>S =1
B2: ~A=>~S =0
Analizujemy zdanie A1:
A1: A=>S =1
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A) to na 100% => żarówka świeci się (S)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Wniosek:
Żarówka musi być w obwodzie zamkniętym z przyciskiem A
Dla zdania A1 stosujemy prawo Kubusia:
A1: A=>S = A2: ~A~>~S
stąd:
A2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty to żarówka może ~> nie świecić się
~A~>~S =1
Warunek konieczny ~> jest tu spełniony na mocy prawa Kubusia.
Stąd mamy schemat początkowy:
| Kod: |
Schemat 2A
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Analizujemy zdanie B2.
B2: ~A=>~S =0
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S)
~A=>~S =0
Fałszywy warunek wystarczający B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A) to żarówka może ~~> się świecić (S)
~A~~>S = ~A*S =1 - sytuacja możliwa (=1)
Wniosek:
Musi istnieć zmienna wolna (przycisk B) podłączona równolegle do przycisku A.
Zauważmy, że przycisków połączonych równolegle z A może tu być dowolnie dużo np. 1000, ale wystarczy jeden przycisk B i już kontrprzykład B2’ jest prawdziwy, co wymusza fałszywość warunku wystarczającego => B2:
B2: ~A=>~S =0
Kto wciska przycisk B?
Przycisk B jest zmienną wolną, której równanie logiczne opisujące układ nie widzi:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B2: ~A=>~S) = 1*~(0) =1*1 =1
Zmienna wolna z definicji może przyjmować losowo wartości logiczne 0 albo 1 poza świadomością człowieka, bo nie występuje w równaniu opisującym układ.
Wynika z tego że:
Sterowaniem wciskania przycisku B może zająć się generator liczb binarnych w następujący sposób:
x=1 - przycisk B wciśnięty (B=1)
x=0 - przycisk B nie wciśnięty (~B=1)=(B=0) - prawo Prosiaczka.
Gdzie:
x=[0,1] - zmienna binarna x której wartość logiczna jest losowana przez generator liczb losowych.
Podsumowując:
Wciskaniem przycisku B może sterować generator liczb losowych, istotne jest aby to było do zauważenia w czasie skończonym.
W laboratorium do celów ćwiczebnych można zrealizować wciskanie przycisku B w interwałach kilkusekundowych po to, by ćwiczenie miało sens tzn. by dało się zauważyć zarówno B=1 (S=1) jak i B=0 (S=0) przy wyłączonym przycisku A (A=0)
Stąd mamy schemat końcowy operatora implikacji prostej A|=>S:
| Kod: |
Schemat 2
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
B
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej B
podłączonej równolegle do przycisku A
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Cechy charakterystyczne implikacji prostej A|=>S:
1.
Po stronie wciśniętego przycisku A mamy 100% pewność (warunek wystarczający =>), że żarówka świeci się
2.
Po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A) mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”:
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A) to żarówka może ~> się nie świecić (zdanie A2) albo może ~~> się świecić (zdanie B2’)
Znaczenie operatora implikacji prostej A|=>S w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja warunku wystarczającego =>:
A=>S = ~A+S
Definicja warunku koniecznego ~>:
A~>S = A+~S
Stąd:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = (~A+S)*~(A+~S) = (~A+S)*(~A*S) = ~A*S
Wniosek:
Operator implikacji prostej A|=>S wskazuje prawdziwy kontrprzykład B2’:
B2’: ~A~~>S = ~A*S =1 - sytuacja możliwa (=1)
1.3.3 Operator implikacji odwrotnej A|~>S
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:[/b]
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
##
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = (B1: p~>q)*~(A1: p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Rozważmy przykład z żarówką sterowaną przyciskami A, B i C dowolnie połączonymi:
A|~>S = (B1: A~>S)*~(A1: A=>S) = 1*~(0) =1*1 =1
Dla B1 korzystamy z prawa Kubusia:
B1: A~>S = B2:~A=>~S
Stąd mamy definicję tożsamą implikacji odwrotnej A|~>S:
A|~>S = (B2: ~A=>~S)*~(A1: A=>S)=1*~(0) =1*1 =1
Wniosek bezpośredni:
B2; ~A=>~S =1
A1: A=>S =0
Analizujemy zdanie A1.
A1: A=>S =0
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A) to na 100% => żarówka świeci się (S)
A=>S =0
Fałszywość warunku wystarczającego => A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’
A1’
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S)
A~~>~S = A*~S =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Wniosek:
Musi istnieć zmienna wolna B połączona szeregowo z przyciskiem A
Zauważmy, że przycisków B połączonych szeregowo z A może tu być dowolnie dużo Bx, ważne jest by był możliwe stany Bx=1 i Bx=0 zauważalne w czasie skończonym. Oczywiście wystarczy jeden przycisk B i już kontrprzykład A1’ jest prawdziwy, co wymusza fałszywość warunku wystarczającego => A1:
A1: A=>S =0
Stąd mamy schemat początkowy:
| Kod: |
Schemat 3A
S B A
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-----o o----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
----------------------------------------------
|
Kto wciska przycisk B?
Przycisk B jest zmienną wolną, której równanie logiczne opisujące układ nie widzi:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B2: ~A=>~S) = 1*~(0) =1*1 =1
Zmienna wolna z definicji może przyjmować losowo wartości logiczne 0 albo 1 poza świadomością człowieka, bo nie występuje w równaniu opisującym układ.
Wynika z tego że:
Sterować wciskaniem przycisku B może zająć się generator liczb binarnych w następujący sposób:
x=1 - przycisk B wciśnięty (B=1)
x=0 - przycisk B nie wciśnięty (~B=1)=(B=0) - prawo Prosiaczka.
Gdzie:
x=[0,1] - zmienna binarna x której wartość logiczna jest losowana przez generator liczb losowych.
Podsumowując:
Wciskaniem przycisku B może sterować generator liczb losowych, istotne jest, aby to było do zauważenia w czasie skończonym.
W laboratorium do celów ćwiczebnych można zrealizować wciskanie przycisku B w interwałach kilkusekundowych po to, by ćwiczenie miało sens tzn. by dało się zauważyć zarówno B=1 (S=1) jak i B=0 (S=0) przy włączonym przycisku A (A=1)
Analizujemy zdanie B2:
B2: ~A=>~S =1
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby żarówka nie świeciła się (~S)
Wniosek:
Nie może istnieć zmienna wolna C połączona równolegle z przyciskiem A
Dla zdania B2 stosujemy prawo Kubusia:
B2: ~A=>~S = B1: A~>S
stąd:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to żarówka może ~> się świecić
A~>S =1
Warunek konieczny ~> jest tu spełniony na mocy prawa Kubusia.
Stąd mamy schemat końcowy implikacji odwrotnej A|~>S:
| Kod: |
Schemat 3
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=(B1: A~>S)*~(A1: A=>S)=1*~(0)=1*1=1
S B A
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-----o o----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest zmienna wolna B
połączona szeregowo z przyciskiem A.
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Cechy charakterystyczne implikacji odwrotnej A|~>S:
1.
Po stronie wciśniętego przycisku A (A) mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A) to żarówka może ~> się świecić (zdanie B1) albo może ~~> się nie świecić (zdanie A1’)
2.
Po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A) mamy 100% pewność (warunek wystarczający =>), że żarówka nie świeci się (zdanie B2).
Znaczenie operatora implikacji odwrotnej A|~>S w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja warunku wystarczającego =>:
A=>S = ~A+S
Definicja warunku koniecznego ~>:
A~>S = A+~S
Stąd:
A|~>S = (B1: A~>S)*~(A1: A=>S) = (A+~S)*~(~A+S) = (A+~S)*(A*~S) = A*~S
Wniosek:
Definicja operatora chaosu wskazuje prawdziwy kontrprzykład A1’:
A1’: A~~>~S = A*~S =1 - zdarzenie możliwe (=1)
1.3.4 Operator chaosu A|~~>S
Definicja operatora chaosu p|~~>q:[/b]
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
##
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Rozważmy przykład z żarówką sterowaną przyciskami A, B i C dowolnie połączonymi:
A|~~>S = ~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Dla zdania B1 stosujemy prawo Kubusia:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
Stąd mamy tożsamą definicje operatora chaosu A|~~>S:
A|~~>S = ~(A1: A=>S)*~(B2: ~A=>~S) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Wniosek bezpośredni:
A1: A=>S =0
B2: ~A=>~S =0
Analizujemy zdanie A1:
A1: A=>S =0
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A) to na 100% => żarówka świeci się (S)
A=>S =0
Fałszywy warunek wystarczający => A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’
A1’
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S)
A~~>~S = A*~S =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Wniosek:
Musi istnieć zmienna wolna B połączona szeregowo z przyciskiem A. która będzie w stanie zgasić żarówkę (S=0) gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)
Stąd mamy schemat początkowy:
| Kod: |
Schemat 4A
S B A
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-----o o----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
----------------------------------------------
|
Analizujemy zdanie B2:
B2: ~A=>~S =0
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S)
~A=>~S =0
Fałszywy warunek wystarczający B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’
B2’
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A) to żarówka może ~~> się świecić (S)
~A~~>S = ~A*S =1
Wniosek:
Równolegle z przyciskiem A musi być połączona zmienna wolna C która będzie w stanie zaświecić żarówkę S gdy przycisk A nie jest wciśnięty (A=0)
Stąd mamy schemat końcowy operatora chaosu A|~~>S:
| Kod: |
Schemat 4
Fizyczna realizacja operatora chaosu A|~~>S w zdarzeniach:
A|~~>S=~(A1: A=>S)*~(B1:A~>S)=~(0)*~(0)=1*1=1
C
______
---o o----
| |
S B | A |
------------- ______ | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----o o----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienne wolna: B, C
Istotą operatora chaosu A|~~>S są dwie zmienne wolne B i C.
Zmienna wolna B jest połączona szeregowo z przyciskiem A
Zmienna wolna C jest połączona równolegle z przyciskiem B
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Cechy charakterystyczne operatora chaosu A|~~>S:
Tabela prawdy operatora chaosu A|~~>S to same wynikowe jedynki w analizie zdarzeniami możliwymi ~~>
| Kod: |
A1: A~~> S= A* S=1 - możliwe jest zdarzenie: wciśnięty A i świeci (S)
A1’: A~~>~S= A*~S=1 - możliwe jest zdarzenie: wciśnięty A I nie świeci (~S)
B1: ~A~~>~S=~A*~S=1 - możliwe jest: nie wciśnięty A (~A) i nie świeci (~S)
B1’:~A~~> S=~A* S=1 - możliwe jest: nie wciśnięty A (~A) i świeci (S)
|
Znaczenie operatora chaosu A|~~>S w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja warunku wystarczającego =>:
A=>S = ~A+S
Definicja warunku koniecznego ~>:
A~>S = A+~S
Definicja operatora chaosu A|~~>S:
A|~~>S = ~(A=>S)*~(A~>S) = ~(~A+S)*~(A+~S) = (A*~S)*(~A*S) =0
Wynikowe zero informuje nas, iż w operatorze chaosu A|~~>S nie ma ani jednego kontrprzykładu, zatem nie ma ani jednego warunku wystarczającego =>.
Fałszywe warunki wystarczające, na mocy prawa Kubusia wymuszają fałszywe warunki konieczne ~>.
Dowód:
A1: A=>S =0
Prawo Kubusia:
A1: A=>S = A2: ~A~>~S =0
Podobnie:
B2: ~A=>~S =0
Prawo Kubusia:
B2: ~A=>~S = B1: A~>S =0
1.4 Teoria zdarzeń vs teoria zbiorów
Twierdzenie Słonia:
Dla zrozumienia kompletnej logiki matematycznej potrzeba i wystarcza opanowanie teorii zdarzeń
Twierdzenie Konia:
Dla zrozumienie kompletnej teorii zdarzeń są potrzebne i wystarczające cztery elementy
Twierdzenie Krowy:
Dla zrozumienia kompletnej teorii zbiorów są potrzebne i wystarczające cztery elementy
W niniejszym rozdziale udowodnimy na przykładzie twierdzenie Słonia.
1.4.1 Teoria zdarzeń
Zacznijmy od naszej żarówki sterowanej dwoma przyciskami połączonymi równolegle.
| Kod: |
Schemat 2
Fizyczna realizacja implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
B
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
|
Definicja implikacji prostej A|=>S:
Implikacja prosta A|=>S to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: A=>S =1
B1: A~>S =0
Stąd:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy prawą stronę:
A1.
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia się żarówki
B1.
Wciśnięcie przycisku A nie jest konieczne ~> dla świecenia się żarówki
A~>S =0
Prawo Prosiaczka:
[(A~>S)=0] = [~(A~>S)=1]
Stąd mamy definicję implikacji prostej A|=>S:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
W definicji implikacji prostej A|=>S chodzi dokładnie o to by udowodnić iż w A1 mamy 100% pewność absolutną, natomiast w B1 mamy „rzucanie monetą”
Zastosujmy do B1 prawo Kubusia:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
Stad mamy tożsamą definicję implikacji prostej A|=>S:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B2: ~A=>~S)=1*~(0)=1*1=1
Warunek wystarczający => B2 jest tu fałszem:
B2.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk A to na 100% => żarówka nie świeci się
~A=>~S =0
Kontrprzykład B2’ musi być zatem prawdą:
B2’
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk A to żarówka może ~~> się świecić
~A~~>S = ~A*S =1
Przypadek możliwy wywnioskowany z zapisu matematycznego - nie musimy widzieć schematu 1!
Dla A1 obowiązuje prawo Kubusia:
A1: A=>S = A2: ~A~>~S
Wypowiedzmy zdanie A2.
A2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty to żarówka może ~> nie świecić
~A~>~S =1
Nie wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia żarówki S
Przypadek możliwy wywnioskowany z zapisu matematycznego - nie musimy widzieć schematu 1!
Podsumowując:
Po stronie nie wciśniętego przycisku A (A=0) mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” czego logika ziemian nie widzi!
Dowód:
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk A (A=0) to żarówka może ~> się nie świecić (zdanie A2) lub żarówka może ~~> się świecić (zdanie B2’)
Powyższy wniosek wyprowadziliśmy wyłącznie z zapisu definicji implikacji prostej A|=>S:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
Oczywistym jest, że powyższa definicja nie jest definicją obiektu fizycznego ze schematu 1, bowiem definicja implikacji prostej A|=>S jest spełniona bez względu na ilość przycisków podłączonych równolegle do przycisku A - wystarczy jeden przycisk B, ale równie dobrze może być ich 1000 i definicja implikacji prostej A|=>S dalej jest spełniona!
Zauważmy że:
Definicja implikacji prostej A|=>S jest super precyzyjna i w 100% jednoznaczna - to jest definicja Implikacji prostej A|=>S której fundamentem jest pewność absolutna po stronie włączonego przycisku (A=1) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” po stronie nie wciśniętego przycisku A (A=0) co udowodniono w analizie wyżej.
Brak jednego z dwóch składników implikacji prostej A|=>S tzn. 100% pewności po stronie A=1 albo „rzucania monetą” po stronie nie wciśniętego A (A=0) wyklucza implikację prostą A|=>S, czyli wtedy mamy:
A|=>S =0 - definicja implikacji prostej nie jest (=0) spełniona
Wniosek:
Implikacja prosta A|=>S z definicji nie definiuje jednoznacznie obiektu fizycznego, co nie oznacza że nie jest PERFEKCYJNIE precyzyjna!
Oczywiście jest, ale definiuje implikacje prostą A|=>S a nie nasz obiekt fizyczny żarówki sterowanej dwoma przyciskami sterowanymi równolegle.
1.4.2 Definicja operatora logicznego vs definicja obiektu fizycznego
Prawo Sowy:
Jedynym operatorem logicznym definiującym dowolny obiekt fizyczny (dowolny: krowę, miłość, schemat elektryczny) jest operator równoważności.
Udowodnimy to na naszym przykładzie żarówki sterowanej dwoma przyciskami połączonymi równolegle.
Podstawowa definicja równoważności p<=>q:
Definicja równoważności to spełniony zarówno warunek wystarczający =>, jak i konieczny ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - definicja warunku wystarczającego => spełniona (=1)
B1: p~>q =1 - definicja warunku koniecznego ~> spełniona (=1)
Stąd mamy:
p<=>q = (A1; p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Fizyczna realizacje równoważności:
| Kod: |
Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Weźmy mutację podstawowej definicji równoważności związaną z naszym przykładem żarówki sterowanej dwoma przyciskami połączonymi równolegle.
| Kod: |
Schemat 1A
Mutacja definicji równoważności
Fizyczna realizacja operatora równoważności (A+B)<=>S w zdarzeniach:
(A+B)<=>S = (A1: (A+B)=>S)*(B1: (A+B)~>S) =1*1 =1
B
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| dioda LED |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, B, S
Zmienna wolna: brak
|
Jak widzimy, to opis matematyczny schematu 1A decyduje o tym, że spełniona jest tu podstawowa definicja równoważności.
Dowód:
Schemat 1A opisany jest równaniem:
(A+B)<=>S = (A1: (A+B)=>S)*(B1: (A+B)~>S) =1*1 =1
Sprawdzamy prawdziwość warunku wystarczającego (A+B)=>S:
A1.
Jeśli wciśnięty jest przyciska A lub B to na 100% żarówka świeci się S
(A+B)=>S =1
Wciśnięcie przycisku A lub B jest warunkiem wystarczającym => aby żarówka świeciła się.
##
Sprawdzamy prawdziwość warunku koniecznego (A+B)~>S:
B1.
Jeśli wciśnięty jest przycisk A lub B to na 100% żarówka świeci się S
(A+B)~>S =1
Wciśnięcie przycisku A lub B jest warunkiem koniecznym ~> dla zaświecenia się żarówki S bo nie ma tu zmiennej wolnej C podłączonej do kaskady A+B, która by mogła zaświecić żarówkę przy: A=0 i B=0.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Przy okazji mamy tu szach-mat dla KRZ!
Twierdzenie rodem z KRZ:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka są matematycznie tożsame.
Nasze zdania A1 i B1 są kontrprzykładem dla powyższego twierdzenia rodem z KRZ bowiem słownie zdania A1 i B1 brzmią identycznie, ale matematycznie zachodzi tu:
A1: (A+B)=>S ## B1: (A+B)~>S
gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd
Wniosek:
Nasz schemat 1A spełnia definicję równoważności:
Przycisk A lub B jest wciśnięty wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się S
(A+B)<=>S = (A1: (A+B)=>S)*(B1: (A+B)~>S) =1*1 =1
Odczyt matematycznie tożsamy z którego lepiej widać znaczenie prawej strony:
Wciśnięcie przycisku A lub B jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego aby żarówka świeciła się
(A+B)<=>S = (A1: (A+B)=>S)*(B1: (A+B)~>S) =1*1 =1
Powyższe, to potoczna definicja równoważności, znana wszystkim ludziom na ziemi.
Dowód:
Klikamy na googlach: „koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 7330
cnd
Inne mutacje schematu 1A opisane precyzyjnie operatorem równoważności definiującym zastany układ fizyczny.
Precyzyjny opis definiujący obiekt fizyczny ze schematu 1A gdzie do A podłączono n przycisków będzie taki:
(A1+A2+..An)<=>S = (A1: (A1+A2=…An)=>S)*(B1: (A1+A2+..An)~>S) =1*1 =1
A1.
Wystarczy, że którykolwiek z przycisków A1 do An jest wciśnięty i już żarówka świeci sią
(A1+A2+…An)=>S =1
B1.
Wciśnięcie któregokolwiek przycisku A1 do An jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenie się żarówki bo nie ma tu zmiennej wolnej An+1 która by zaświeciła żarówkę
(A1+A2+..An)~>S =1
cnd
1.4.3 Teoria zbiorów
Twierdzenie Słonia:
Dla zrozumienia kompletnej logiki matematycznej potrzeba i wystarcza opanowanie teorii zdarzeń
Kluczową w logice matematycznej obok teorii zdarzeń jest teoria zbiorów nieskończonych na których operuje matematyka klasyczna.
W niniejszym rozdziale udowodnimy na przykładzie, że wystarczy poznać teorię zdarzeń, aby poznać teorię zbiorów nieskończonych.
W tym celu robimy „kopiuj-wklej” przykładu z teorii zdarzeń zaprezentowanej w punkcie 1.4.1 podmieniając przykład na taki.
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% jest podzielna przez 2
P8=>P2 =?
W teorii zbiorów na samym początku należy wyznaczyć wszystkie zbiory związane z warunkiem wystarczającym A1.
Mamy:
P8=[8,16,24..]
P2=[2,4,6,8..]
Przyjmujemy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Obliczamy przeczenia zbiorów, czyli ich uzupełnienie do dziedziny LN.
~P8=[LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2=[LN-P2] = [1,3,5,7,9..]
Zaczynamy dowód 100% przełożenia teorii zdarzeń na teorie zbiorów nieskończonych:
Definicja implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: P8=>P2 =1
B1: P8~>P2 =0
Stąd:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
Dowodzimy prawdziwości A1 i B1:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8…]
Prawo Prosiaczka:
[(P8~>P2)=0] = [~(P8~>P8)=1]
Stąd mamy spełnioną definicję implikacji prostej P8|=>P2:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
cnd
W definicji implikacji prostej P8|=>P2 chodzi dokładnie o to by udowodnić iż w A1 mamy 100% pewność absolutną, natomiast w B1 mamy „rzucanie monetą”
Zastosujmy do B1 prawo Kubusia:
B1: P8~>P2 = B2: ~P8=>~P2 =0
Stad mamy tożsamą definicję implikacji prostej A|=>S:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B2: ~P8=>~P2)=1*~(0)=1*1=1
Warunek wystarczający => B2 jest tu fałszem, co wynika z prawa Kubusia:
B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to na 100% => nie jest podzielna przez 2
~P8=>~P2 =0
Kontrprzykład B2’ musi być zatem prawdą:
B2’
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] mają co najmniej jeden element wspólny.
Dla udowodnienia prawdziwość B2’ wystarczy pokazać jeden wspólny element, ale równie dobrze można pokazać dowolny wspólny podzbiór ~P8 i P2 - to jest bez znaczenia.
Uwaga:
W praktyce prawdziwości B2’ nie musimy udowadniać o ile udowodniliśmy iż mamy do czynienia z implikacją prostą P8|=>P2 (zrobiliśmy to na początku)
Dla A1 obowiązuje prawo Kubusia:
A1: P8=>P2 = A2: ~P8~>~P2
Wypowiedzmy zdanie A2.
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2 =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Uwaga:
W praktyce prawdziwości A2 nie musimy udowadniać bowiem ta prawdziwość wynika z prawa Kubusia.
Podsumowując:
Po stronie zbioru liczb niepodzielnych przez 8 (~P8=[8,16,24..]) mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” czego logika ziemian nie widzi!
Dowód:
Jeśli ze zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] wylosujemy dowolną liczbę to liczba ta może ~> nie być podzielna przez 2 (zdanie A2) lub może ~~> być podzielna przez 2 (zdanie B2’)
Powyższy wniosek wyprowadziliśmy wyłącznie z zapisu definicji implikacji prostej P8|=>P2:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
Jak wypowiedzieć słownie definicję implikacji prostej P8|=>P2?
Wzorcowo:
Definicja implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: P8=>P2 =1
B1: P8~>P2 =0
Stąd:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
Można też podać istotę definicji implikacji prostej w języku potocznym:
Implikacja prosta P8|=>P2 to spełniony warunek wystarczający => po stronie zbioru P8=[8,16,24..] (P8=>P2=1) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” po stronie zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Dowód:
Jeśli ze zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] wylosujemy dowolną liczbą to liczba ta może ~> nie być podzielna przez 2 (zdanie A2) lub może ~~> być podzielna przez 2 (zdanie B2’)
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 17:39, 28 Mar 2020, w całości zmieniany 7 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35526
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 0:27, 24 Lut 2020 Temat postu: |
|
|
Spis treści
2.0 Operatory implikacyjne 1
2.1 Definicja równoważności p<=>q w zdarzeniach 1
2.1.1 Fizyczna realizacja operatora równoważności p<=>q 2
2.1.2 Analiza aksjomatycznej definicji równoważności p<=>q 4
2.1.3 Generowanie tabeli zero-jedynkowej równoważności p<=>q 6
2.1.4 Analiza równoważności w języku potocznym 7
2.1.5 Analiza równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 11
2.0 Operatory implikacyjne
Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to operatory zbudowany ze zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
Fundamentem na którym zbudowane są definicje operatorów implikacyjnych są:
1.
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
2.
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
Do operatorów implikacyjnych zaliczamy:
- operator równoważności p<=>q
- operator implikacji prostej p|=>q
- operator implikacji odwrotnej p|~>q
- operator chaosu p|~~>q
2.1 Definicja równoważności p<=>q w zdarzeniach
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego definiujące równoważność p<=>q to:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
Doskonale widać, że aby udowodnić iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1
Stąd mamy 16 możliwych, tożsamych definicji równoważności bowiem pod A1 możemy podstawić dowolne zdanie serii Ax, zaś pod B1 możemy podstawić dowolne zdanie serii Bx
2.1.1 Fizyczna realizacja operatora równoważności p<=>q
| Kod: |
Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą operatora równoważności A<=>S jest brak zmiennych wolnych
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
A<=>S = (A1: A=>S)* (B1: A~>S) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego definiujące równoważność A<=>S powiązane z przykładem to:
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4: ~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2: ~A=>~S [=] 3: S=>A = 4: ~S~>~A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne A i S muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
Doskonale widać, że aby udowodnić iż mamy do czynienia z równoważnością A<=>S potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Dowód iż nasz układ jest fizyczną realizacją równoważności:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A) to na 100% żarówka świeci się (S)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla zaświecenia się żarówki S
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => zaświecenie się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A) to na 100% żarówka świeci się (S)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla zaświecenia się żarówki S , bowiem w układzie nie ma przycisku B który mógłby zaświecić żarówkę niezależnie od A.
Fundament logiki matematycznej ziemian:
Dwa zdania identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka są matematycznie tożsame
Tymczasem z naszego przykładu widać (kontrprzykład), iż nie zawsze tak musi być.
W opisie naszego układu zdania A1 i B1 są identyczne, ale nie są to zdania tożsame, bowiem matematycznie zachodzi tu
A1: A=>S =1 ## B1: A~>S =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
To jest kontrprzykład dla fundamentu logiki matematycznej ziemian.
Wniosek:
Fundament logiki ziemian jest fałszem.
Mamy tu dowód iż nasz układ ze schematu 1 jest fizyczną realizacją równoważności:
Przycisk A jest wciśnięty wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) = 1*1 =1
2.1.2 Analiza aksjomatycznej definicji równoważności p<=>q
Naturalną logiką matematyczną człowieka jest logika jedynek gdzie na mocy praw Prosiaczka wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Prawo Prosiaczka (obowiązujące dla dowolnej zmiennej binarnej):
I. (p=0) = (~p=1)
Interpretacja:
Fałszem jest (=1) że zajdzie p = prawdą jest (=1) że zajdzie ~p
W spójnikach „i”(*) i „lub”(+) sprowadzenie zmiennych do jedynek generuje nam równania alternatywno-koniunkcyjne, doskonale rozumiane przez każdego 5-cio latka.
Matematycznie możliwe jest też myślenie w tożsamej logice zer, gdzie wszystkie zmienne sprowadzone są do zera. Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych których żaden człowiek nie rozumie, czyli nie jest to język potoczny człowieka którego opis matematyczny nas interesuje.
Posłużymy sią naszym przykładem:
| Kod: |
Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą operatora równoważności A<=>S jest brak zmiennych wolnych
|
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego definiujące równoważność A<=>S powiązane z przykładem to:
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4: ~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2: ~A=>~S [=] 3: S=>A = 4: ~S~>~A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
A<=>S = (A1: A=>S)* (B1: A~>S) =1*1 =1
Skorzystajmy dla B1 z prawa Kubusia:
B1: A~>S = B2: ~A=>~B
Stąd mamy aksjomatyczną definicję równoważności A<=>S
RA1B2:
Przycisk A jest wciśnięty (A) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S)
A<=>S = (A1: A=>S)* (B2:~A=>~S) =1*1 =1
co w logice jedynek oznacza:
(A=1)<=>(S=1) = (A1: (A=1)=>(S=1))*(B2: (~A=1)=>(~S=1))
Do analizy potrzebna nam będzie definicja kontrprzykładu, przypomnijmy.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
Analiza aksjomatycznej definicji równoważności:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% żarówka świeci się (S=1)
A=>S =1
Co w logice jedynek oznacza:
(A=1)=>(S=1)
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla zaświecenia się żarówki S
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (albo odwrotnie), stąd:
A1’
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może się ~~> nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0
co w logice jedynek oznacza:
(A=1)~~>(~S=1) =0
Niemożliwe jest (=0) aby przy wciśniętym przycisku A żarówka nie świeciła się (~S)
… a jeśli przycisk A nie jest wciśnięty?
Udowodniliśmy, że nasz schemat jest fizyczną realizacją równoważności:
RA1B2:
Przycisk A jest wciśnięty (A) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S)
A<=>S = (A1: A=>S)* (B2:~A=>~S) =1*1 =1
Stąd mamy:
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
co w logice jedynek oznacza:
(~A=1)=>~S=1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się (~S)
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (albo odwrotnie), stąd.
B2’
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może się ~~> świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Nie jest możliwe (=0), aby przycisk A nie był wciśnięty (~A) i żarówka świeciła się (S)
2.1.3 Generowanie tabeli zero-jedynkowej równoważności p<=>q
| Kod: |
Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą operatora równoważności A<=>S jest brak zmiennych wolnych
|
Tabela zero-jedynkowa równoważności wynika z analizy aksjomatycznej definicji równoważności którą przeprowadziliśmy wyżej.
Zapiszmy naszą analizę w postaci symbolicznej tabeli prawdy:
| Kod: |
A1: A=> S =1 - wciśnięty A (A) to na 100% => żarówka świeci się (S)
A1’: A~~>~S=0 - zdarzenie niemożliwe (=0)
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięty A (~A) to na 100% => żarówka nie świeci (~S)
B2’:~A~~>S =0 - zdarzenie niemożliwe (=0)
|
Przejdźmy na zapis ogólny podstawiając:
p=A
q=S
Stąd mamy definicję aksjomatyczną równoważności w postaci ogólnej wraz z kodowaniem zero-jedynkowym.
Aksjomatyczna definicja równoważności:
RA1B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Zakodujmy naszą definicję dla punktu odniesienia:
RA1B2:
p<=>q
co w logice jedynek oznacza:
(p=1)<=>(q=1)
Przyjęcie punktu odniesienia p<=>q wymusza sprowadzenie zmiennej p do logiki dodatniej (bo p) oraz zmiennej q do logiki dodatniej (bo q)
Jest to możliwe dzięki prawu Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Stąd generujemy tabelę zero-jedynkową równoważności w postaci ogólnej:
| Kod: |
Tabela symboliczna spójnika „wtedy i tylko wtedy” <=>
wraz z jej kodowaniem zero-jedynkowym dla RA1B2: p<=>q
|Co w logice |Dla punktu |Tabela tożsama
|jedynek oznacza |RA1B2: p<=>q mamy |
p<=>q | | | p q p<=>q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=> 1 =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1~~>0 =0
## | | |
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0=> 0 =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~~>1 =0
a b c d e f g h i 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|(~p=1)=( p=0) |
|(~q=1)=( q=0) |
|
Tabela zero-jedynkowa 123 to zero-jedynkowa definicja równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) = 1*1 =1
2.1.4 Analiza równoważności w języku potocznym
Posłużymy się tu naszym przykładem.
| Kod: |
Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą operatora równoważności A<=>S jest brak zmiennych wolnych
|
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego definiujące równoważność A<=>S powiązane z przykładem to:
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4: ~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2: ~A=>~S [=] 3: S=>A = 4: ~S~>~A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne A i S muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
Doskonale widać, że aby udowodnić iż mamy do czynienia z równoważnością A<=>S potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
A<=>S = (A1: A=>S)* (B1: A~>S) =1*1 =1
Nauczyciel fizyki do Jasia, ucznia I klasy LO:
Jasiu opisz działanie poniższego układu:
| Kod: |
Schemat 2
B
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Jaś:
A1_1:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to żarówka na 100% => świeci się S
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => aby żarówka świeciła się
Nauczyciel fizyki:
… a jeśli przycisk A nie jest wciśnięty?
Jaś:
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty to żarówka może ~> się nie świecić (~S) lub może~~> się świecić (S)
Nauczyciel fizyki:
Czy to jest precyzyjny opis naszego układu?
Jaś:
Nie bo po stronie nie wciśniętego przycisku A mamy „rzucanie monetą”.
Nauczyciel fizyki:
Więc?
Jaś:
Więc może tak spróbuję:
A1_2.
Jeśli przycisk B jest wciśnięty to żarówka na 100% => świeci się S
B=>S =1
Wciśnięcie przycisku B jest (=1) warunkiem wystarczającym => aby żarówka świeciła się
Nauczyciel fizyki:
… a jeśli przycisk B nie jest wciśnięty?
Jaś:
Jeśli przycisk B nie jest wciśnięty to żarówka może ~> się nie świecić (~S) lub może~~> się świecić (S)
Nauczyciel fizyki:
Czy to jest precyzyjny opis naszego układu?
Jaś:
Kurczę pieczone, znowu NIE!
Tym razem po stronie nie wciśniętego B mamy „rzucanie monetą”
Nauczyciel fizyki:
Spróbuj użyć tu algebry Kubusia, znasz ja przecież z lekcji matematyki.
Jaś:
Huurrra!
Wiem jak to rozwiązać:
Definicja warunku wystarczającego => w algebrze Kubusia:
p=>q = ~p+q
Mamy prawdziwy warunek wystarczający => A1_1:
A1_1: A=>S = ~A+S
„i”(*)
Mamy prawdziwy warunek wystarczający => A1_2:
A1_2: B=>S = ~B+S
Więcej przycisków w naszym układzie nie ma!
Zapiszmy to co wyżej matematycznie w przełożeniu 1/1:
Y = (A=>S)*(B=>S) = (~A+S)*(~B+S) = ~A*~B + ~A*S + S*~B + S*S = ~A*~B + ~A*S + ~B*S + S*1
Y = ~A*~B + S*(~A+~B+1) = ~A*~B + S
Y = ~(A+B)+S = (A+B)=>S
Stąd mamy super precyzyjny, matematyczny opis naszego układu:
A1.
Jeśli wciśnięte są przyciski A lub B to żarówka na 100% => świeci się S
(A+B)=>S =1
Wciśnięcie przycisku A lub B jest warunkiem wystarczającym => do tego by żarówka świeciła się
Nauczyciel fizyki:
Dlaczego twierdzisz, że tym razem opis naszego układu jest superprecyzyjny?
Jaś:
Bo w opisie A1 uwzględniliśmy wszystkie zmienne widniejące na schemacie.
Dla opisu A1 nie ma zmiennych wolnych (nie uwzględnionych w równaniu), a brak zmiennych wolnych jest warunkiem koniecznym i wystarczającym byśmy mieli do czynienie z równoważnością.
Dowód:
Definicja równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q)
Obliczamy ~p do zdania B2:
~(A+B) = ~A*~B
Stąd mamy warunek wystarczający => B2:
B2.
Jeśli nie jest wciśnięty ani przyciska A, ani też przycisk B to żarówka na 100% => nie świeci się
~A*~B=>~S =1
Nie wciśnięcie przycisku A (~A) i nie wciśnięcie przycisku B (~B) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się (~S)
Stąd mamy prawdziwą równoważność:
RA1B2:
Przycisk A lub B jest wciśnięty (A+B) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S)
(A+B)<=>S = (A1: (A+B)=>S)*(B2: ~(A+B)=>~S) =1*1 =1
Innymi słowy:
Czytamy w języku potocznym znanym absolutnie wszystkim ludziom na ziemi, także dobrym matematykom:
Wciśnięcie przycisku A lub B (A+B) jest warunkiem koniecznym i wystarczającym <=> do tego, aby żarówka świeciła się
(A+B)<=>S = (A1: (A+B)=>S)*(B2: ~(A+B)=>~S) =1*1 =1
Dowód iż to jest potoczna i poprawna matematycznie definicja równoważności mamy w Wikipedii.
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 11800
Klikamy na googlach synonimem:
„potrzeba i wystarczy”
Wyników: 2790
Nauczyciel fizyki:
… a co Jasiu powiesz o sytuacji gdy nie jest wciśnięty przycisk A (~A) i nie jest wciśnięty przycisk B (~B)?
Jaś:
Prawo algebry Kubusia dla równoważności RA1B2:
RA1B2:
(A+B)<=>S = ~(A+B)<=>~S = (B2: ~(A+B)=>~S)*(A1: (A+B)=>S) =1*1 =1
Stąd mamy:
RB2A1:
Nie jest wciśnięty przycisk A (~A) i nie jest wciśnięty przycisk B (~B) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S)
~(A+B)<=>~S = (B2: ~(A+B)=>~S)*(A1: (A+B)=>S) =1*1 =1
Równoważność jest przemienna, stąd mamy zdanie tożsame:
RB2A1:
Żarówka nie świeci się (~S) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk A (~A) i nie jest wciśnięty przycisk B (~B)
~S<=>(~A*~S) = (B2: ~S=>(~A*~B))*(A1: S=>(A+B)) =1*1 =1
Innymi słowy w języku potocznym znanym wszystkim ludziom:
Do tego aby żarówka nie świeciła się potrzeba i wystarcza” <=> aby nie był wciśnięty ani przycisk A (~A), ani też przycisk B (~B)
~S<=>(~A*~S) = (B2: ~S=>(~A*~B))*(A1: S=>(A+B)) =1*1 =1
Podsumowanie:
Precyzyjny opis matematyczny naszego układu jest tylko i wyłącznie taki:
| Kod: |
Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora równoważności (A+B)<=>S w zdarzeniach:
(A+B)<=>S = (A1: (A+B)=>S)*(B2: ~(A+B)=>~S) =1*1 =1
B
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, B, S
Zmienna wolna: brak
Istotą operatora równoważności A<=>S jest brak zmiennych wolnych
|
Wniosek z niniejszego postu:
Jedyną, precyzyjną i poprawną definicją czegokolwiek jest równoważność, czyli wszystkie zmienne występujące w układzie muszą być uwzględnione w opisie matematycznym (brak zmiennych wolnych)
Nauczyciel fizyki:
Brawo Jasiu, nie mogę ci postawić innej oceny niż celująca, bowiem przy okazji fizyki zrobiłeś nam piękny wykład algebry Kubusia, matematyki ścisłej, którą doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie od 5-cio latka po prof. matematyki.
2.1.5 Analiza równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Rozważmy nasz przykład:
| Kod: |
Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą operatora równoważności A<=>S jest brak zmiennych wolnych
|
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego definiujące równoważność A<=>S powiązane z przykładem to:
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4: ~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2: ~A=>~S [=] 3: S=>A = 4: ~S~>~A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne A i S muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
Doskonale widać, że aby udowodnić iż mamy do czynienia z równoważnością A<=>S potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
A<=>S = (A1: A=>S)* (B1: A~>S) =1*1 =1
Rozważania w zapisach ogólnych:
Definicja warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = p+~q
Definicja warunku koniecznego ~>:
B1: p~>q = p+~q
Stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
p<=>q = p*q + ~p*~q
Definicja podstawowa równoważności dla naszego przykładu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) = A*S + ~A*~S
Znacznie równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(*):
W algebrze Kubusia w teorii spójników „i”(*) i „lub”(+) mamy do czynienia z funkcjami logicznymi w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y).
Definicja operatora logicznego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to złożenie funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Jeśli mamy udowodnione iż rzeczywiście układ ze schematu 1 jest fizyczną realizacją równoważności (tu mamy), to funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y) definiuje nam zdarzenia możliwe (Y) natomiast funkcja logiczna ~Y definiuje nam zdarzenia niemożliwa (~Y)
Zdarzenia możliwe (Y) to:
1.
Y = (p*q)+(~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) metodą Wuja Zbója:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne:
~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p +~p*q + ~q*p + ~q*q
~Y = p*~q + ~p*q
Stąd:
Zdarzenia niemożliwe (~Y) to:
2.
~Y=p*~q + ~p*q
Dla naszego przykładu mamy:
Zdarzenia możliwe (Y) to:
1.
Y = A*S + ~A*~S
Czytamy:
Możliwe są (Y=1) zdarzenia:
A*S=1*1=1 - przycisk wciśnięty (A) i żarówka świeci (S)
„lub”(+)
~A*~S =1*1 =1 - przycisk nie wciśnięty (~A) i żarówka nie świeci (~S)
Zdarzenia niemożliwe (~Y=1) to:
2.
~Y=A*~S+~A*S
Czytamy:
Niemożliwe są (~Y=1) zdarzenia:
A*~S =1*1=1 - przycisk wciśnięty (A) i żarówka świeci (S)
„lub”(+)
~A*S =1*1 =1 - przycisk nie wciśnięty (~A) i żarówka świeci (S)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0) - niemożliwe są zdarzenia
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że nie są możliwe zdarzenia (~Y)
(~Y=1)
Zdanie tożsame to:
Fałszem jest (=0) że są możliwe zdarzenia (Y)
(Y=0)
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
