ŚFiNiA

[rafal3006]

Bohaterski zefciu z forum wiara.pl walczy z naszym problemem.
Ja nie rozumiem jak można mieć tak popieprzoną matematykę by walczyć z banałem matematycznym oczywistym dla każdego 5-cio latka i humanisty.

[link widoczny dla zalogowanych]

[rafal3006]

... ciąg dalszy zmagań Zefcia.
[link widoczny dla zalogowanych]

[mar3x]

[rafal3006]

mar3x - oczywiście nic nie stoi na przeszkodzie.

Ciąg dalszy zmagań Zefcia z logiką klasyczną.

[link widoczny dla zalogowanych]

[mar3x]

Próbuję zrozumieć te wszystkie zapisy. p*q jak sam przyznałeś nie jest samo miarą warunku wystarczającego np. dla Y = 4L=>P = 4L*P = P =0

Wg tego co głosisz do zajścia implikacji wystarczą takie obliczenia: p=>q = p*q = p = ...

Możesz wytłumaczyć ten zapis? Skąd on się wziął? Dlaczego tak a nie inaczej?

1. Dlaczego akurat p*q
2. Dlaczego potem =
3. Dlaczego potem p

Podobnie z warunkiem koniecznym: p~>q = p*q = q = ...

1. Dlaczego akurat p*q
2. Dlaczego potem =
3. Dlaczego potem q

Skąd to wszystko się wzięło, że się tego tak kurczowo trzymasz?

[fiklit]

No właśnie, dlaczego tak a nie inaczej?
To kolejny argument za tym, że AK nie jest żadną algebrą.
W algebrze mam pewne wartości i działania, i mogę sobie wszystko stosować jak chcę. Mogę wykonać każde przekszatałcenie byleby zgodnie z definicjami działań. AK to bardziej zestaw schematów rozwiązania trywialnych problemów, okraszony poprzekręcaną i nielogiczną terminologią. (równanie, które jest jakimś przypisaniem; zmienne binarne wielowartościowe; algebra która nie jest algebrą; warunek, który jest zestawieniem warunku i zdarzenia warunkowanego).

Nie rozumiem jednego. Mając p=>q = p*q = 1*1 nie mogę tego 1*1 wymnożyć jako wartości logicznych, to dlaczego w krytyce mojej notacji napisałeś
że jakaś definicje czegoś tam jest taka:
v(p)*v(q)
co prowadzi do absurdu
v(p)*v(q)=1*1...

powinieneś był tę definicję ująć jako v(p*q) i wszystko byłoby jasne.

[mar3x]

p musi być warunkiem wystarczającym dla q w implikacji, ale p to nie warunek wystarczający implikacji samej w sobie.
q musi być warunkiem koniecznym dla p w implikacji, ale q to nie warunek konieczny implikacji samej w sobie.

Problem polega też na tym, że gdyby AK w takim kształcie jak teraz zgodnie z założeniem rzeczywiście trafiła do 5-latków i została przez nich zrozumiana, to te dzieci od najmłodszych lat miały styczność z zapisami, w których znak równości znaczy tyle co nic, jest tylko pierwszym lepszym separatorem i przyniosłoby to im więcej szkód niż pożytku w późniejszych latach, kiedy będą miały styczność z matematyką. Dlatego ostatecznie tak to wyglądać nie może.

[rafal3006]

Postanowiłem uporządkować dyskusję i napisać wszystko co najważniejsze w trzech krótkich odsłonach:
I. Nowa teoria zbiorów
II. Operatory OR i AND w zbiorach
III. Operatory implikacji i równoważności w zbiorach

Myślę, że kompletna algebra Kubusia zajmie jakieś 30 stron.

Fiklicie, mar3x i Zefciu (z wiara.pl) liczę na waszą pomoc.
Czepiajcie się wszystkiego co wam się nie podoba, sygnalizujcie czego nie rozumiecie.

Algebra Kubusia
Część I
Nowa teoria zbiorów

1.0 Notacja

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia:
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka


2.0 Nowa teoria zbiorów

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów:

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>


2.1 Podstawowe definicje nowej teorii zbiorów

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe przez człowieka

Oczywiście Uniwersum jest dynamiczne ale to bez znaczenia na mocy definicji.

Definicja dziedziny:
Dziedzina to Uniwersum lub dowolny podzbiór Uniwersum.

Uniwersum to najszersza możliwa dziedzina, to zbiór wszystkich zbiorów.
Dziedzinę człowiek może sobie ustalać absolutnie dowolnie, natomiast z Uniwersum nic nie może zrobić, czyli Uniwersum nie można ani poszerzyć, ani też zmniejszyć, na mocy definicji Uniwersum.

Człowiek może tworzyć dowolne dziedziny w obszarze Uniwersum np. zbiór zwierząt, zbiór gwiazd, zbiór spójników logicznych, zbiór polityków, zbiór czworokątów, zbiór pojęć abstrakcyjnych … itp.

Definicja podzbioru:
Wszelkie zbiory tworzone w wybranej dziedzinie są podzbiorami w obrębie tej dziedziny

Definicja zbioru niepustego:
Zbiór niepusty to zbiór zawierający co najmniej jeden element

W logice zbiór niepusty utożsamiany jest z logiczną jedynką

Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty to zbiór który nie zawiera żadnych elementów

W logice zbiór pusty jest utożsamiany jest z logicznym zerem

W nowej teorii zbiorów (NTZ) zbiory mają wartość logiczną.

Zera i jedynki w NTZ oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje)
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje)

Na mocy definicji możliwe są wyłącznie dwie wartości logiczne zbiorów 0 i 1.

Elementy zbioru wypisujemy w nawiasach kwadratowych:
p=[1,2,3,4]
Wartość logiczną zbioru zapisujemy bez nawiasów:
p=[1,2,3,4]=1

Zbiór pusty nie zawiera żadnych elementów:
p=[] =0 - zbiór pusty

Tożsamość zbiorów:
Zbiory tożsame to zbiory identyczne

Definicja zdania złożonego warunkowego:
Jeśli p to q
p - poprzednik (założenie)
q - następnik (teza)

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
Poprzednik precyzyjnie wyznacza tu dziedzinę:
D = zbiór wszystkich zwierząt (ZWZ)

… a interesujące nas podzbiory to:
Poprzednik:
P = [P] =1 - zbiór jednoelementowy pies [P] =1
~P = [ZWZ-P] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa [ZWZ-P] =1
Następnik:
4L = [4L] =1 - zbiór zwierząt z czterema łapami [4L]=1
~4L = [ZWZ-4L] =1 - zbiór zwierząt nie mających czterech łap [ZWZ-4L]=1

Zauważmy:
4L = [4L] =1
4L - nazwa zbioru definiowanego z prawej strony, tu „zbiór zwierząt z czterema łapami”.
[4L] - wypisanie w nawiasie kwadratowym wszystkich elementów zbioru 4L

~4L = [ZWZ-4L] =1
~4L - nazwa zbioru definiowanego z prawej strony, tu „zbiór zwierząt nie mających czterech łap”
[ZWZ-4L] - wypisanie wszystkich zwierząt należących do zbioru ~4L

Nie ma tu potrzeby wypisywania szczegółowego typu:
[4L] = [pies, słoń, kot …]
bo to jest oczywistość dla każdego 5-cio latka.

W obrębie zwierząt z czterema łapami można tworzyć kolejne podzbiory np.
- zwierzęta dzikie
- zwierzęta domowe
… albo zwierzęta szczekające, miauczące, beczące itp.


2.2 Podstawowe operacje na zbiorach

Do obsługi całej algebry Kubusia w zbiorach wystarczą nam trzy podstawowe operacje na zbiorach plus pojęcie uzupełnienia zbioru do wybranej dziedziny.

1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q= [1,2,3,4]*[3,4,5,6] =[3,4]

2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4]+[3,4,5,6] =[1,2,3,4,5,6]

3.
Różnica zbiorów p-q to wszystkie elementy zbioru p z wykluczeniem elementów zbioru q
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
p-q = [1,2,3,4]-[3,4,5,6] =[1,2]
q-p = [3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6]

4.
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny

W nowej teorii zbiorów zachodzi tożsamość:
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny = negacja zbioru = zaprzeczenie zbioru

„~” - symbol przeczenia, w naturalnej logice człowieka przedrostek „NIE”

Przykład:
Dany jest zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd:
~p=~[1,2] =[3,4]
ewentualnie:
~p = D-p = [1,2,3,4]-[1,2] = [3,4]
Gdzie:
~ - symbol przeczenia

Komentarz słowny w naturalnej logice człowieka:
Jeśli przyjmiemy zbiór p=[1,2] oraz wybierzemy dziedzinę D=[1,2,3,4] to zaprzeczeniem zbioru p jest zbiór ~p=[3,4]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2]+[3,4]=[1,2,3,4]=1 =D
p*~p=[1,2]*[3,4]=[] =0

Na mocy definicji zachodzi:
[] =0 - dowolny zbiór pusty ma wartość logiczną 0
D =1 - dowolny zbiór niepusty ma wartość logiczną równą 1 (w szczególności Dziedzina)

Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~[] = D
~0=1
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty:
~D = []
~1=0
Stąd mamy fundament dwuelementowej algebry Kubusia:
I.
~[] =D
~0=1
II.
~D =0
~1=0

W skrajnym przypadku dziedziną może być Uniwersum

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Podsumowanie:
Zauważmy, że jeśli za dziedzinę przyjmiemy Uniwersum to mamy ograniczenie fizyczne, na mocy definicji nie możemy wyjść poza Uniwersum. Jeśli za dziedzinę przyjmiemy dowolny inny zbiór to mamy ograniczenie dobrowolne, nie chcemy rozpatrywać przypadków spoza tej dziedziny, co nie oznacza że nie jesteśmy w stanie.

Dowolne pojęcie dobrze zdefiniowane musi mieć swoją unikalną nazwę zarówno w obrębie wybranej dziedziny jak i w obrębie Uniwersum.

Przykład:
Pies - to pojęcie jest jednoznaczne i rozpoznawalne zarówno w zbiorze wszystkich zwierząt, jak i w obrębie całego Uniwersum.

W wielu przypadkach pojęcie X jest rozpoznawalne w kontekście np. „może” i „morze”. Tego typu pojęcia użyte w kontekście są jednoznaczne, dla logiki to wystarczy, bo nikt nie sypie pojęciami bez kontekstu czyli bez użycia ich w zdaniu (w dialogu).


2.3 Prawa Prosiaczka

Scenka A:
A1.
Jaś pokazuje psa:
Prawdą jest (=1) że to jest pies (P)
P=1
A2.
Fałszem jest (=0) że to nie jest pies (P)
~P=0
Doskonale widać tożsamość zdań:
A1=A2
(P=1) = (~P=0)

Scenka B.
B1.
Jaś pokazuje kozę:
Prawdą jest (=1) że to nie jest pies (P)
~P=1
B2.
Fałszem jest (=0) że to jest pies (P)
P=0
Doskonale widać tożsamość zdań:
B1=B2
(~P=1) = (P=0)

Stąd mamy tożsamości Prosiaczka obowiązujące w całej logice matematycznej bez wyjątków:
I. (P=1) = (~P=0)
II. (~P=1) = (P=0)


2.4 Fundamentalne prawo logiki

Fundamentalne twierdzenie logiki:
W dowolnym równaniu algebry Boole'a mamy do czynienia ze zmiennymi sprowadzonymi do jedynek

Ziemanie doskonale wiedzą, choć nie są tego świadomi, że w dowolnym równaniu logicznym wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.

Dowód:
Uwaga 2.7 z "Wstępu do matematyki" prof. Newelskiego z UWr
[link widoczny dla zalogowanych]

Prof. Newelski napisał:
1.
Y=1 <=> (p=0 i q=0 i r=1) lub (p=0 i q=1 i r=0) lub (p=1 i q=0 i r=1)

Po czym od razu zapisał końcowe równanie algebry Boole’a opisujące analizowaną przez niego tabelę zero-jedynkową:
2.
Y = ~p*~q*r + ~p*q*~r + p*~q*r
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (~p=1 i ~q=1 i r=1) lub (~p=1 i q=1 i ~r=1) lub (p=1 i ~q=1 i r=1)

Doskonale widać, że w równaniu 2 sprowadzone są do jedynek na mocy praw Prosiaczka.
Prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(p=1) = (~p=0)
cnd

Uprośćmy tabelę zero-jedynkową prof. Newelskiego do absolutnego banału.

[mar3x]

[rafal3006]

W logice nie ma czegoś takiego jak uniwersalizm, czyli że jakakolwiek logika formalna będzie w stanie obsłużyć wszystkie możliwe przypadki w oderwaniu od teorii zbiorów.
To fizycznie niemożliwe bo:
I.
Zbiór p może mieć część wspólną z q i nie być z nim tożsamym
Operatory: OR, AND, ~~>
II.
Zbiór p może zawierać się w zbiorze q i nie być tożsamy ze zbiorem q
Operatory implikacji
III.
Zbiór p może być tożsamy ze zbiorem q
lub
Zbiór p może być rozłączny ze zbiorem q
Operator równoważności

[rafal3006]

[rafal3006]

[mar3x]

[rafal3006]

[mar3x]

[rafal3006]

dzięki mar3x, poprawiłem parę drobiazgów, w szczególności to:

4.
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny

W nowej teorii zbiorów zachodzi tożsamość:
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny = negacja zbioru = zaprzeczenie zbioru

„~” - symbol przeczenia, w naturalnej logice człowieka przedrostek „NIE”

Przykład:
Dany jest zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd:
~p=~[1,2] =[3,4]
ewentualnie:
~p = D-p = [1,2,3,4]-[1,2] = [3,4]
Gdzie:
~ - symbol przeczenia

Komentarz słowny w naturalnej logice człowieka:
Jeśli przyjmiemy zbiór p=[1,2] oraz wybierzemy dziedzinę D=[1,2,3,4] to zaprzeczeniem zbioru p jest zbiór ~p=[3,4]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2]+[3,4]=[1,2,3,4]=1 =D
p*~p=[1,2]*[3,4]=[] =0

Na mocy definicji zachodzi:
[] =0 - dowolny zbiór pusty ma wartość logiczną 0
D =1 - dowolny zbiór niepusty ma wartość logiczną równą 1 (w szczególności Dziedzina)

Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~[] = D
~0=1
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty:
~D = []
~1=0
Stąd mamy fundament dwuelementowej algebry Kubusia:
I.
~[] =D
~0=1
II.
~D =[]
~1=0

W skrajnym przypadku dziedziną może być Uniwersum

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

[mar3x]

[mar3x]

...

[rafal3006]

[mar3x]

[rafal3006]

[mar3x]

[mar3x]

...

[rafal3006]

Algebra Kubusia
Część II
Operatory OR i AND w zbiorach

Część I
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-pisana-na-zywo-dyskusja-z-fiklitem-c-iii,6929-450.html#207909

1.0 Notacja

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia:
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka


3.0 Operatory OR i AND w zbiorach

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja operatora AND:

[rafal3006]