 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35367
Przeczytał: 21 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Wto 6:13, 12 Wrz 2017 Temat postu: Algebra Kubusia - operatory implikacyjne '2018 |
|
|
Algebra Kubusia - operatory implikacyjne!
Spis treści
1.0 Operatory implikacyjne 1
1.1 Definicje spójników implikacyjnych =>, ~> i ~~> 3
2.0 Operatory implikacyjne w zbiorach 5
2.1 Operator implikacji prostej |=> w zbiorach 5
2.2 Operator implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach 7
2.3 Operator chaosu |~~> w zbiorach 9
2.4 Operator równoważności p<=>q w zbiorach 11
3.0 Spójniki implikacyjne w rachunku zero-jedynkowym 13
3.1 Operatory logiczne w rachunku zero-jedynkowym 16
3.2 Wyprowadzenie symbolicznych definicji operatorów implikacyjnych 18
1.0 Operatory implikacyjne
Najważniejsze prawa logiki matematycznej dotyczą operatorów implikacyjnych zapewniających matematyczną obsługę wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q”. Zdania warunkowe „Jeśli p to q” to fundament logiki matematycznej.
Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik (fragment zdania po „Jeśli ..”)
q - następnik (fragment zdania po „to ..”)
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>
1.
Warunek wystarczający =>:
Jeśli p to q
p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q (inaczej p=>q=0)
2.
Warunek konieczny ~>:
Jeśli p to q
p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q (inaczej p~>q=0)
3.
Kwantyfikator mały ~~>:
Jeśli p to może ~~> q
p~~>q = p*~q =1 - definicja kwantyfikatora małego spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem q (inaczej p~~>q=0)
Uwaga!
Żadne inne znaczki w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” nie są używane.
Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
Prawo Kobry wynika bezpośrednio z definicji znaczków =>, ~> i ~~> podanych wyżej.
Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
Prawa Kubusia, wiążące warunek wystarczający => i konieczny ~>:
p=>q =~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Interpretacja dowolnego prawa matematycznego (logicznego):
Prawdziwość dowolnej strony wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony wymusza fałszywość drugiej strony
Przykład:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - przyjmijmy dziedzinę, zbiór liczb naturalnych
stąd:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2
Prawa Kubusia:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 =1 - prawdziwość dowolnej strony wymusza prawdziwość drugiej strony
P2=>P8 = ~P2~>~P8 =0 - fałszywość dowolnej strony wymusza fałszywość drugiej strony
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego z czterech operatorów implikacyjnych:
I.
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego =>między tymi samymi punktami
p=>q =1
p~>q =0
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
Na mocy definicji zachodzi:
p|=>q ## p=>q
## - różne na mocy definicji
II.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami
p~>q =1
p=>q =0
Stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach koniecznym ~> i wystarczającym =>:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
Na mocy definicji zachodzi:
p|~>q ## p~>q
## - różne na mocy definicji
III.
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami
p=>q =1
p~>q =1
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
Na mocy definicji zachodzi:
p<=>q ## p=>q ## p~>q
## - różne na mocy definicji
IV.
Definicja operatora chaosu p|~~>q:
Operator chaosu p|~~>q to co najmniej jeden punkt wspólny zbiorów p i q oraz brak zachodzenia zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
p~~>q =1
p=>q =0
p~>q =0
Stąd mamy:
Definicja operatora chaosu p|~~>q w warunku wystarczającym => i koniecznym ~>
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1
Na mocy definicji zachodzi:
p|~~>q ## p~~>q
## - różne na mocy definicji
1.1 Definicje spójników implikacyjnych =>, ~> i ~~>
Wszystkie możliwe relacje dwóch zbiorów p i q to znaczki =>, ~>, „=” i ~~>:
Definicja podzbioru:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy => do zbioru q
p=>q
=> - znaczek podzbioru
Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q
Matematycznie:
Warunek wystarczający => jest tożsamy z definicją podzbioru =>
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Innymi słowy:
Jeśli wylosuję dowolny element ze zbioru p to ten element na 100% będzie w zbiorze q
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń, koń ..]
Wymuszam dowolnego psa ze zbioru wszystkich psów i ten pies na 100% jest w zbiorze 4L.
Definicja nadzbioru:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q
~> - znaczek nadzbioru
Definicja warunku koniecznego ~>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q
Matematycznie:
Warunek konieczny ~> jest tożsamy z definicją nadzbioru ~>
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń, koń ..] jest nadzbiorem zbioru P=[pies]
Definicja kwantyfikatora małego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Definicja kwantyfikatora małego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny.
Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P = 4L*~P=1 bo słoń
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo zbiór 4L=[pies, słoń, koń ..] ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem ~P=[słoń, koń, kura, wąż ..]
Tożsamość zbiorów:
Zbiory p i q nazywamy tożsamymi wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru p jest elementem zbioru q i na odwrót
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)
Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
Prawo Kobry wynika bezpośrednio z definicji znaczków =>, ~> i ~~> podanych wyżej.
Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń, koń ..]
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie)
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L = P*~4L = [] =0
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura, wąż ..] są rozłączne.
2.0 Operatory implikacyjne w zbiorach
Dla zrozumienia istoty budowy i działania operatorów implikacyjnych kluczowym jest zrozumienie ich budowy w zbiorach.
2.1 Operator implikacji prostej |=> w zbiorach
Warunek wystarczający =>:
Jeśli p to q
p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q (inaczej p=>q=0)
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
| Kod: |
T1: Tabela 1
Definicja symboliczna implikacji prostej p|=>q
A: p=> q =[ p* q= p]=1 - bo zbiór p jest podzbiorem => q
B: p~~>~q=[ p*~q ]=0 - bo zbiór p jest rozłączny ze zbiorem ~q
C:~p~>~q =[~p*~q=~q]=1 - bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
D:~p~~>q =[~p* q ]=1 - bo zbiór ~p ma część wspólną ze zbiorem q
|
| Kod: |
T2: Tabela 2
Definicja |co matematycznie |Prawa Prosiaczka |Definicja warunku
symboliczna |oznacza |(~p=1)=(p=0) |wystarczającego p=>q
operatora | |(~q=1)=(q=0) |dla potrzeb rachunku
implikacji | | |zero-jedynkowego
prostej | | |Zapis tożsamy
p|=>q | | | p q p=>q
A: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1) =1 |( p=1)=> ( q=1) =1 | 1=> 1 =1
B: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1) =0 |( p=1)~~>( q=0) =0 | 1~~>0 =0
C:~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1) =1 |( p=0)~> ( q=0) =1 | 0~> 0 =1
D:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1) =1 |( p=0)~~>( q=1) =1 | 0~~>1 =1
1 2 3 a b c d e f 4 5 6
|
Wszystkie zbiory wejściowe na których operujemy są niepuste, dlatego mają wartość logiczną JEDEN:
(p=1), (~p=1), (q=1), (~q=1)
W kodowaniu zero-jedynkowym, korzystając z prawa Prosiaczka, przechodzimy z tabeli ABCDabc do tabeli ABCDdef sprowadzając wszystkie zmienne do logiki dodatniej (brak przeczenia p i q)
W definicji symbolicznej operatora implikacji prostej p|=>q (obszar ABCD123) doskonale widać, że warunek wystarczający => to tylko i wyłącznie pierwsza linia A123.
A123: p=>q =1
Natomiast operator implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) to wszystkie cztery linie ABCD123.
Matematycznie zachodzi więc:
A123: p=>q ## ABCD123: p|=>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego to tabela ABCD456.
Nagłówek w kolumnie wynikowej tej tabeli pokazuje linię w tabeli symbolicznej ABCD123 względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego na mocy praw Prosiaczka.
W naszym przypadku punktem odniesienia jest linia:
A123: p=>q
Stąd mamy:
| Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q p=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1
|
Zakodujmy na koniec definicję implikacji prostej p|=>q względem linii:
C123: ~p~>~q
by lepiej zrozumieć technikę przechodzenia od definicji symbolicznej do definicji zero-jedynkowej
| Kod: |
T2’: Tabela 2’
Definicja |co matematycznie |Prawa Prosiaczka |Definicja warunku
symboliczna |oznacza |(p=1)=(~p=0) |koniecznego ~p~>~q
operatora | |(q=1)=(~q=0) |dla potrzeb rachunku
implikacji | | |zero-jedynkowego
prostej | | |
p|=>q | | |~p ~q ~p~>~q
A: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1) =1 |(~p=0)=> (~q=0) =1 | 0=> 0 =1
B: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1) =0 |(~p=0)~~>(~q=1) =0 | 0~~>1 =0
C:~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1) =1 |(~p=1)~> (~q=1) =1 | 1~> 1 =1
D:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1) =1 |(~p=1~~> (~q=0) =1 | 1~~>0 =1
1 2 3 a b c d e f 4 5 6
|
Wszystkie zbiory wejściowe na których operujemy są niepuste, dlatego mają wartość logiczną JEDEN:
(p=1), (~p=1), (q=1), (~q=1)
W kodowaniu zero-jedynkowym, korzystając z prawa Prosiaczka, przechodzimy z tabeli ABCDabc do tabeli ABCDdef sprowadzając wszystkie zmienne do logiki ujemnej (bo ~p i ~q)
Nagłówek w kolumnie 6 to tym razem tylko i wyłącznie linia C123: ~p~>~q względem której dokonaliśmy kodowania zero-jedynkowego.
Kolumny 6 w tabelach T2 i T2’ są identyczne co jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
2.2 Operator implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
Warunek konieczny ~>:
Jeśli p to q
p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q (inaczej p~>q=0)
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
| Kod: |
T3: Tabela 3
Definicja symboliczna implikacji odwrotnej p|~>q
A: p~> q =[ p* q= q]=1 - bo zbiór p jest nadzbiorem ~> q
B: p~~>~q=[ p*~q ]=1 - bo zbiór p ma część wspólną ze zbiorem ~q
C:~p=>~q =[~p*~q=~q]=1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
D:~p~~>q =[~p* q ]=0 - bo zbiór ~p jest rozłączny ze zbiorem q
|
| Kod: |
T4: Tabela 4
Definicja |co matematycznie |Prawa Prosiaczka |Definicja warunku
symboliczna |oznacza |(~p=1)=(p=0) |koniecznego ~>
operatora | |(~q=1)=(q=0) |dla potrzeb rachunku
implikacji | | |zero-jedynkowego
odwrotnej | | |Zapis tożsamy
p|~>q | | | p q p~>q
A: p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1) =1 |( p=1)~> ( q=1) =1 | 1~> 1 =1
B: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1) =1 |( p=1)~~>( q=0) =1 | 1~~>0 =1
C:~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1) =1 |( p=0)=> ( q=0) =1 | 0=> 0 =1
D:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1) =0 |( p=0)~~>( q=1) =0 | 0~~>1 =0
1 2 3 a b c d e f 4 5 6
|
Wszystkie zbiory wejściowe na których operujemy są niepuste, dlatego mają wartość logiczną JEDEN:
(p=1), (~p=1), (q=1), (~q=1)
W kodowaniu zero-jedynkowym, korzystając z prawa Prosiaczka, przechodzimy z tabeli ABCDabc do tabeli ABCDdef sprowadzając wszystkie zmienne do logiki dodatniej (brak przeczenia p i q)
W definicji symbolicznej operatora implikacji odwrotnej p|~>q (obszar ABCD123) doskonale widać, że warunek konieczny ~> to tylko i wyłącznie pierwsza linia A123.
A123: p~>q =1
Natomiast operator implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q) to wszystkie cztery linie ABCD123.
Matematycznie zachodzi więc:
A123: p~>q ## ABCD123: p|~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego to tabela ABCD456.
Nagłówek w kolumnie wynikowej tej tabeli pokazuje linię w tabeli symbolicznej ABCD123 względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego na mocy praw Prosiaczka.
W naszym przypadku punktem odniesienia jest linia:
A123: p~>q
Stąd mamy:
| Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q p~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0
|
Zakodujmy na koniec definicję implikacji odwrotnej p|~>q względem linii:
C123: ~p=>~q
by lepiej zrozumieć technikę przechodzenia od definicji symbolicznej do definicji zero-jedynkowej
| Kod: |
T4’: Tabela 4’
Definicja |co matematycznie |Prawa Prosiaczka |Definicja warunku
symboliczna |oznacza |(p=1)=(~p=0) |wystarczającego ~p=>~q
operatora | |(q=1)=(~q=0) |dla potrzeb rachunku
implikacji | | |zero-jedynkowego
odwrotnej | | |Zapis tożsamy
p|~>q | | |~p ~q ~p=>~q
A: p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1) =1 |(~p=0)~> (~q=0) =1 | 0~> 0 =1
B: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1) =1 |(~p=0)~~>(~q=1) =1 | 0~~>1 =1
C:~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1) =1 |(~p=1)=> (~q=1) =1 | 1=> 1 =1
D:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1) =0 |(~p=1)~~>(~q=0) =0 | 1~~>0 =0
1 2 3 a b c d e f 4 5 6
|
Wszystkie zbiory wejściowe na których operujemy są niepuste, dlatego mają wartość logiczną JEDEN:
(p=1), (~p=1), (q=1), (~q=1)
W kodowaniu zero-jedynkowym, korzystając z prawa Prosiaczka, przechodzimy z tabeli ABCDabc do tabeli ABCDdef sprowadzając wszystkie zmienne do logiki ujemnej (bo ~p i ~q)
Nagłówek w kolumnie 6 to tym razem tylko i wyłącznie linia C123: ~p=>~q względem której dokonaliśmy kodowania zero-jedynkowego.
Kolumny 6 w tabelach T2 i T2’ są identyczne co jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
2.3 Operator chaosu |~~> w zbiorach
Kwantyfikator mały ~~>:
Jeśli p to może ~~> q
p~~>q = p*~q =1 - definicja kwantyfikatora małego spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem q (inaczej p~~>q=0)
Definicja operatora chaosu |~~> w zbiorach:
Zbiory p i q mają część wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(q=>p) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1
Gdzie:
p~~>q = p*q =1 - istnieje część wspólna zbiorów p i q
p=>q =0 - zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q
q=>p =0 - zbiór q nie jest podzbiorem => zbioru p
| Kod: |
T5: Tabela 5
Definicja symboliczna operatora chaosu p|~~>q
A: p~~>q = p* q =1 - bo zbiór p ma część wspólną ~~> ze zbiorem q
B: p~~>~q= p*~q =1 - bo zbiór p ma część wspólną ~~> ze zbiorem ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 - bo zbiór ~p ma część wspólną ~~> ze zbiorem ~q
D:~p~~>q =~p* q =1 - bo zbiór ~p ma część wspólną ~~> ze zbiorem q
|
| Kod: |
T6: Tabela 6
Definicja |co matematycznie |Prawa Prosiaczka |Definicja warunku
symboliczna |oznacza |(~p=1)=(p=0) |wystarczającego p=>q
operatora | |(~q=1)=(q=0) |dla potrzeb rachunku
chaosu | | |zero-jedynkowego
p|~~>q | | |Zapis tożsamy
| | | p q p~~>q
A: p~~>q =1 |( p=1)~~>( q=1) =1 |( p=1)~~>( q=1) =1 | 1~~>1 =1
B: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1) =1 |( p=1)~~>( q=0) =1 | 1~~>0 =1
C:~p~~>~q=1 |(~p=1)~~>(~q=1) =1 |( p=0)~~>( q=0) =1 | 0~~>0 =1
D:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1) =1 |( p=0)~~>( q=1) =1 | 0~~>1 =1
1 2 3 a b c d e f 4 5 6
|
Wszystkie zbiory wejściowe na których operujemy są niepuste, dlatego mają wartość logiczną JEDEN:
(p=1), (~p=1), (q=1), (~q=1)
W kodowaniu zero-jedynkowym, korzystając z prawa Prosiaczka, przechodzimy z tabeli ABCDabc do tabeli ABCDdef sprowadzając wszystkie zmienne do logiki dodatniej (brak przeczenia p i q)
W definicji symbolicznej operatora chaosu p|~~>q (obszar ABCD123) doskonale widać, że nagłówek kolumny 6 (p~~>q) to tylko i wyłącznie pierwsza linia A123.
A123: p~~>q =1
Natomiast operator chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to wszystkie cztery linie ABCD123.
Matematycznie zachodzi więc:
A123: p~~>q ## ABCD123: p|~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja kwantyfikatora małego ~~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego to tabela ABCD456.
Nagłówek w kolumnie wynikowej tej tabeli pokazuje linię w tabeli symbolicznej ABCD123 względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego na mocy praw Prosiaczka.
W naszym przypadku punktem odniesienia jest linia:
A123: p~~>q
Stąd mamy:
| Kod: |
Definicja kwantyfikatora małego ~~>
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q p~~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1
|
2.4 Operator równoważności p<=>q w zbiorach
Definicja operatora równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*[p=q]
| Kod: |
T7: Tabela 7
Definicja symboliczna równoważności p<=>q
A: p=> q =[ p* q= p]=1 - bo zbiór p jest podzbiorem => q
B: p~~>~q=[ p*~q ]=0 - bo zbiór p jest rozłączny ze zbiorem ~q
C:~p=>~q =[~p*~q=~p]=1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
D:~p~~>q =[~p* q ]=0 - bo zbiór ~p jest rozłączny ze zbiorem q
|
| Kod: |
T8: Tabela 8
Definicja |co matematycznie |Prawa Prosiaczka |Definicja
symboliczna |oznacza |(~p=1)=(p=0) |zero-jedynkowa
operatora | |(~q=1)=(q=0) |operatora
równoważności| | |równoważności
p<=>q | | |Zapis tożsamy
p<=>q| | | p q p<=>q
A: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1) =1 |( p=1)=> ( q=1) =1 | 1=> 1 =1
B: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1) =0 |( p=1)~~>( q=0) =0 | 1~~>0 =0
C:~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1) =1 |( p=0)=> ( q=0) =1 | 0=> 0 =1
D:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1) =0 |( p=0)~~>( q=1) =0 | 0~~>1 =0
1 2 3 a b c d e f 4 5 6
|
Wszystkie zbiory wejściowe na których operujemy są niepuste, dlatego mają wartość logiczną JEDEN:
(p=1), (~p=1), (q=1), (~q=1)
W kodowaniu zero-jedynkowym, korzystając z prawa Prosiaczka, przechodzimy z tabeli ABCDabc do tabeli ABCDdef sprowadzając wszystkie zmienne do logiki dodatniej (brak przeczenia p i q)
Równoważność p<=>q to wszystkie cztery linie tabeli symbolicznej ABCD123.
Definicję równoważności w warunkach wystarczających odczytujemy z definicji symbolicznej ABCD123.
Aksjomatyczna definicja równoważności z której wynika tabela zero-jedynkowa ABCD456:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego A: p=>q w logice dodatniej (bo q) i w logice ujemnej C: ~p=>~q (bo ~q)
p<=>q = (A: p=>q)*(C: ~p=>~q) = 1*1 =1
Zakodujmy definicję równoważności p|=>q względem linii:
C123: ~p=>~q
by lepiej zrozumieć technikę przechodzenia od definicji symbolicznej do definicji zero-jedynkowej
| Kod: |
T8’: Tabela 8’
Definicja |co matematycznie |Prawa Prosiaczka |Definicja
symboliczna |oznacza |(p=1)=(~p=0) |równoważności dla
operatora | |(q=1)=(~q=0) |punktu odniesienia
równoważności| | |C: ~p=>~q
p<=>q | | |
p<=>q| | |~p ~q ~p<=>~q
A: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1) =1 |(~p=0)=> (~q=0) =1 | 0=> 0 =1
B: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1) =0 |(~p=0)~~>(~q=1) =0 | 0~~>1 =0
C:~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1) =1 |(~p=1)=> (~q=1) =1 | 1=> 1 =1
D:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1) =0 |(~p=1~~> (~q=0) =0 | 1~~>0 =0
1 2 3 a b c d e f 4 5 6
|
Wszystkie zbiory wejściowe na których operujemy są niepuste, dlatego mają wartość logiczną JEDEN:
(p=1), (~p=1), (q=1), (~q=1)
W kodowaniu zero-jedynkowym, korzystając z prawa Prosiaczka, przechodzimy z tabeli ABCDabc do tabeli ABCDdef sprowadzając wszystkie zmienne do logiki ujemnej (bo ~p i ~q)
Nagłówek w kolumnie 6 to kodowanie zero-jedynkowe definicji symbolicznej ABCD123 względem linii C123: ~p=>~q.
Kolumny 6 w tabelach T8 i T8’ są identyczne co jest dowodem formalnym poprawności prawa algebry Boole’a:
p<=>q = ~p<=>~q
3.0 Spójniki implikacyjne w rachunku zero-jedynkowym
1.
Warunek wystarczający =>:
Jeśli p to q
p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q (inaczej p=>q=0)
| Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p q p=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1
1 2 3
|
2.
Warunek konieczny ~>:
Jeśli p to q
p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q (inaczej p~>q=0)
| Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p q p~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0
1 2 3
|
3.
Kwantyfikator mały ~~>:
Jeśli p to może ~~> q
p~~>q = p*~q =1 - definicja kwantyfikatora małego spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem q (inaczej p~~>q=0)
| Kod: |
Definicja kwantyfikatora małego ~~>
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q p~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1
|
4.
Spójnik „i”(*)
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej Y=0
| Kod: |
Definicja spójnika „i”(*)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p q Y=p*q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =0
D: 0 1 =0
1 2 3
|
5.
Spójnik „lub”(+)
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej Y=0
| Kod: |
Definicja spójnika „lub”(+)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p q Y=p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =0
D: 0 1 =1
1 2 3
|
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w rachunku zero-jedynkowym są następujące:
| Kod: |
T1: Tabela 1
Matematyczne związki definicji warunku wystarczającego =>
z warunkiem koniecznym ~> oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q q~>p ~q=>~p p=>q=~p+q q~>p=q+~p
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0 =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1 =1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
|
Tożsamość kolumn wynikowych 5=6=7=8=9=0 jest dowodem formalnym tożsamości matematycznej:
p=>q = ~p=>~q [=] q~>p = ~q=>~p [=] ~p+q
| Kod: |
T2: Tabela 2
Matematyczne związki definicji warunku koniecznego ~>
z warunkiem wystarczającym => oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q q=>p ~q~>~p p~>q=p+~q q=>p=~q+p
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1 =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0 =0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
|
Tożsamość kolumn wynikowych 5=6=7=8=9=0 jest dowodem formalnym tożsamości matematycznej:
p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p [=] p+~q
Matematycznie mamy:
TABELA 1 ## TABELA 2
T1: p=>q = ~p~>~q [=] q~>p = ~q=>~p ## T2: p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja znaczka ## różne na mocy definicji:
Dwie kolumny wynikowe X i Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame ((X=Y)=0) oraz żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej ((X=~Y)=0)
X ## Y = ~(X=Y)*~(X=~Y) = ~(0)*~(0) = 1*1 =1
Zauważmy że tabela 1 i tabela 2 spełnia definicję znaczka ## różne na mocy definicji.
Z tabel T1 i T2 odczytujemy:
Definicje spójników implikacyjnych => i ~> w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
I prawo Kubusia
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) jest tożsamy z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q
Dowód:
~p~>~q = (~p)+~(~q) = ~p+q = p=>q
cnd
II Prawo Kubusia
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = ~p=>~q
Dowód:
~p=>~q = ~(~p)+(~q) = p+~q = p~>q
cnd
Interpretacja praw Kubusia:
Prawdziwość dowolnej strony prawa Kubusia wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony prawa Kubusia wymusza fałszywość drugiej strony
Interpretacja praw Kubusia to tożsamość logiczna, mająca wszelkie cechy tożsamości klasycznej.
Prawa Kubusia to zdecydowanie najważniejsze prawa logiki matematycznej.
3.1 Operatory logiczne w rachunku zero-jedynkowym
| Kod: |
T1: Tabela 1
Matematyczne związki definicji warunku wystarczającego =>
z warunkiem koniecznym ~> oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q q~>p ~q=>~p p=>q=~p+q q~>p=q+~p
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0 =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1 =1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
|
Tożsamość kolumn wynikowych 5=6=7=8=9=0 jest dowodem formalnym tożsamości matematycznej:
p=>q = ~p=>~q [=] q~>p = ~q=>~p [=] ~p+q
| Kod: |
T2: Tabela 2
Matematyczne związki definicji warunku koniecznego ~>
z warunkiem wystarczającym => oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q q=>p ~q~>~p p~>q=p+~q q=>p=~q+p
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1 =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0 =0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
|
Tożsamość kolumn wynikowych 5=6=7=8=9=0 jest dowodem formalnym tożsamości matematycznej:
p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p [=] p+~q
Matematycznie mamy:
TABELA 1 ## TABELA 2
T1: p=>q = ~p~>~q [=] q~>p = ~q=>~p ## T2: p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji
I.
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego =>między tymi samymi punktami
T1: p=>q =1
T2: p~>q =0
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
T1: p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
W tym przypadku prawdziwe są wyłącznie funkcje logiczne widoczne w tabeli T1:
T1: p=>q = ~p=>~q [=] q~>p = ~q=>~p [=] ~p+q =1
Wszelkie funkcje logiczne widoczne w tabeli T2 są fałszem:
T2: p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p [=] p+~q =0
II.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami
T2: p~>q =1
T1: p=>q =0
Stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach koniecznym ~> i wystarczającym =>:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
W tym przypadku prawdziwe są wyłącznie funkcje logiczne widoczne w tabeli T2:
T2: p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p [=] p+~q =1
Wszelkie funkcje logiczne widoczne w tabeli T1 są fałszem:
T1: p=>q = ~p=>~q [=] q~>p = ~q=>~p [=] ~p+q =0
Matematycznie zachodzi:
TABELA 1 ## TABELA 2
T1: p=>q = ~p~>~q [=] q~>p = ~q=>~p ## T2: p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji
III.
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami
T1: p=>q =1
T2: p~>q =1
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
p<=>q = (T1: p=>q)*(T2: p~>q) = 1*1 =1
Podstawiając zachodzące tożsamości w T1 i T2 mamy ogólną definicję operatora równoważności w warunkach wystarczających i koniecznych ~>:
p<=>q = (T1: p=>q = ~p~>~q = q~>p = ~q=>~p)*(T2: p~>q = ~p=>~q = q=>p = ~q~>~p)
Stąd mamy 16 tożsamych definicji równoważności w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> z których najpopularniejsze to:
1.
Jedynie słuszna definicja ziemskich matematyków:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony między tymi samymi punktami
p<=>q = (T1: p=>q)*(T2: q=>p) = 1*1 =1
Matematycznie zachodzi:
T1: p=>q ## T2: q=>p
## - różne na mocy definicji, bo kolumny wynikowe w tabelach T1 i T2 są różne
2.
Popularna definicja równoważności (głównie wśród prawników):
Równoważność to jednocześnie zachodzący warunek wystarczający => i konieczny ~> zachodzący między tymi samymi punktami
p<=>q = (T1: p=>q)*(T2: p~>q) =1*1=1
Do tego aby zaszło q potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło p
Twierdzenie Pitagorasa w formie równoważności:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(TP~>SK)
Czytamy:
Do tego aby w trójkącie zachodziła suma kwadratów SK potrzeba ~> i wystarcza => aby ten trójkąt był prostokątny TP
3.
Aksjomatyczna definicja równoważności wynikająca bezpośrednio z definicji zero-jedynkowej:
Równoważność to jednocześnie zachodzący warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) i w logice ujemnej (bo ~q)
p<=>q = (T1: p=>q)*(T2: ~p=>~q) =1*1=1
IV.
Definicja operatora chaosu p|~~>q:
Operator chaosu p|~~>q to co najmniej jeden punkt wspólny zbiorów p i q oraz brak zachodzenia zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
p~~>q =1
p=>q =0
p~>q =0
Stąd mamy:
Definicja operatora chaosu p|~~>q w warunku wystarczającym => i koniecznym ~>
p|~~>q = ~(p=>q)*~(p~>q) = ~(0)*~(0) = 1*1 =1
3.2 Wyprowadzenie symbolicznych definicji operatorów implikacyjnych
W tym punkcie zajmiemy się wyprowadzeniem definicji symbolicznych operatorów logicznych bezpośrednio z odpowiednich definicji zero-jedynkowych
Prawo Jastrzębia:
Definicje w zbiorach znaczków =>, ~>, ~~>, definicja kontrprzykładu oraz prawa Kubusia są wystarczające do obsługi totalnie całej logiki matematycznej.
Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik (fragment zdania po „Jeśli ..”)
q - następnik (fragment zdania po „to ..”)
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>
1.
Warunek wystarczający =>:
Jeśli p to q
p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony gdy zbiór p jest podzbiorem => q (inaczej p=>q=0)
2.
Warunek konieczny ~>:
Jeśli p to q
p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q (inaczej p~>q=0)
3.
Kwantyfikator mały ~~>:
Jeśli p to może ~~> q
p~~>q = p*~q =1 - definicja kwantyfikatora małego spełniona gdy zbiór p ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem q (inaczej p~~>q=0)
Uwaga!
Żadne inne znaczki w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” nie są używane.
Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
Prawa Kubusia:
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
KONIEC!
Nie a nic nie jest w logice matematycznej więcej potrzebne!
I.
Wyprowadzenie definicji implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczających i koniecznych
Definicja implikacji prostej p|=>q znana każdemu matematykowi
| Kod: |
Definicja |Mintermy znane
zero-jedynkowa |każdemu matematykowi
p q ~p ~q p=>q |
A: 1 1 0 0 =1 | p~~> q = p* q =1
B: 1 0 0 1 =0 | p~~>~q = p*~q =0
C: 0 0 1 1 =1 |~p~~>~q =~p*~q =1
D: 0 1 1 0 =1 |~p~~> q =~p* q =1
a b c d e 1 2 3
|
Uwaga:
Zapis w mintermach:
p~~>q =p*q
Oznacza tylko tyle (i aż tyle) że nie interesuje nas wyznaczanie kompletnego iloczynu logicznego zbiorów p*q a jedynie dowolny element wspólny zbiorów p i q
Taki element może istnieć:
p~~>q =1
albo może nie istnieć
p~~>q =0
Oczywiście, jak ktoś jest masochistą to może sobie wyznaczać kompletny iloczyn logiczny - to niczemu nie przeszkadza.
| Kod: |
Symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q
Definicja |Mintermy
zero-jedynkowa |
p q ~p ~q p=>q |
A: 1 1 0 0 =1 | p~~> q = p* q =1 | p=> q =1 | p~> q =0
B: 1 0 0 1 =0 | p~~>~q = p*~q =0 | p~~>~q=0 | p~~>~q=0
C: 0 0 1 1 =1 |~p~~>~q =~p*~q =1 |~p~>~q =1 |~p=>~q =0
D: 0 1 1 0 =1 |~p~~> q =~p* q =1 |~p~~>q =1 |~p~~>q =1
a b c d e 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Analiza tabeli ABCD456 w mintermach:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B456:
B456: p~~>~q =0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego:
A456: p=>q =1
2.
Prawdziwość warunku wystarczającego => A456 wymusza prawdziwość warunki koniecznego ~> C456:
Prawo Kubusia:
A456: p=>q = C456: ~p~>~q =1
Analiza tabeli ABCD789 w mintermach:
3.
Prawdziwość kontrprzykładu D789:
D789: ~p~~>q =1
Wymusza fałszywość warunku wystarczającego => C789:
C789: ~p=>~q=0
4.
Fałszywość warunku wystarczającego C789 wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> A789:
Prawo Kubusia:
C789: ~p=>~q = A789: p~>q =0
Stąd mamy symboliczną definicję implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczających i koniecznych.
A: p=>q =1
A: p~>q =0
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Doskonale widać, że nagłówek w kolumnie „e”:
Ae: p=>q
Jest tożsamy wyłącznie z linią:
A456: p=>q =1
Stąd mamy definicję warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
| Kod: |
p q p=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1
|
II.
Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach wystarczających i koniecznych
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q znana każdemu matematykowi
| Kod: |
Definicja |Mintermy znane
zero-jedynkowa p~>q |każdemu matematykowi
p q ~p ~q |
A: 1 1 0 0 =1 | p~~> q = p* q =1
B: 1 0 0 1 =1 | p~~>~q = p*~q =1
C: 0 0 1 1 =1 |~p~~>~q =~p*~q =1
D: 0 1 1 0 =0 |~p~~> q =~p* q =0
a b c d e 1 2 3
|
| Kod: |
Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja |Mintermy
zero-jedynkowa |
p q ~p ~q p~>q |
A: 1 1 0 0 =1 | p~~> q = p* q =1 | p~> q =1 | p=> q =0
B: 1 0 0 1 =1 | p~~>~q = p*~q =1 | p~~>~q=1 | p~~>~q=1
C: 0 0 1 1 =1 |~p~~>~q =~p*~q =1 |~p=>~q =1 |~p~>~q =0
D: 0 1 1 0 =0 |~p~~> q =~p* q =0 |~p~~>q =0 |~p~~>q =0
a b c d e 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Analiza tabeli ABCD456 w mintermach:
1.
Fałszywość kontrprzykładu D456:
D456: ~p~~>q =0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego C456:
C456: ~p=>~q =1
2.
Prawdziwość warunku wystarczającego => C456 wymusza prawdziwość warunki koniecznego ~> A456:
Prawo Kubusia:
C456: ~p=>~q = A456: p~>q =1
Analiza tabeli ABCD789 w mintermach:
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B456:
B456: p~~>~q =1
Wymusza fałszywość warunku wystarczającego => A789:
A789: p=>q=0
4.
Fałszywość warunku wystarczającego A789 wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> C789:
Prawo Kubusia:
A789: p=>q = C789: ~p~>~q =0
Stąd mamy symboliczną definicję implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach wystarczających i koniecznych.
A: p~>q =1
A: p=>q =0
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Doskonale widać że nagłówek w kolumnie „e”:
Ae: p~>q
Jest tożsamy wyłącznie z linią:
A456: p~>q =1
Stąd mamy definicję warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
| Kod: |
p q p~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0
|
III.
Wyprowadzenie definicji równoważności w warunkach wystarczających i koniecznych
Definicja równoważności p<=>q znana każdemu matematykowi
| Kod: |
Definicja |Mintermy znane
zero-jedynkowa p<=>q |każdemu matematykowi
p q ~p ~q |
A: 1 1 0 0 =1 | p~~> q = p* q =1
B: 1 0 0 1 =0 | p~~>~q = p*~q =0
C: 0 0 1 1 =1 |~p~~>~q =~p*~q =1
D: 0 1 1 0 =0 |~p~~> q =~p* q =0
a b c d e 1 2 3
|
| Kod: |
Symboliczna definicja równoważności p<=>q
Definicja |Mintermy
zero-jedynkowa |
p q ~p ~q p<=>q |
A: 1 1 0 0 =1 | p~~> q = p* q =1 | p=> q =1 | p~> q =1
B: 1 0 0 1 =0 | p~~>~q = p*~q =0 | p~~>~q=0 | p~~>~q=0
C: 0 0 1 1 =1 |~p~~>~q =~p*~q =1 |~p~>~q =1 |~p=>~q =1
D: 0 1 1 0 =0 |~p~~> q =~p* q =0 |~p~~>q =0 |~p~~>q =0
a b c d e 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Analiza tabeli ABCD456 w mintermach:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B456:
B456: p~~>~q =0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A456:
A456: p=>q =1
2.
Prawdziwość warunku wystarczającego => A456 wymusza prawdziwość warunki koniecznego ~> C456:
Prawo Kubusia:
A456: p=>q = C456: ~p~>~q =1
Analiza tabeli ABCD789 w mintermach:
3.
Fałszywość kontrprzykładu D789:
D789: ~p~~>q =0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C789:
C789: ~p=>~q=1
4.
Prawdziwość warunku wystarczającego C789 wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A789:
Prawo Kubusia:
C789: ~p=>~q = A789: p~>q =1
Stąd mamy symboliczną definicję równoważności p<=>q w warunkach wystarczających i koniecznych:
A456: p=>q =1
A789: p~>q =1
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami:
p|=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1
Doskonale widać że nagłówek w kolumnie „e”:
Ae: p<=>q
Definiowany jest następująco:
Ae: p<=>q = (A456: p=>q)*(A789: p~>q)
co matematycznie oznacza:
p<=>q =1 <=> p=>q =1 i p~>q=1
Stąd mamy zero-jedynkową definicję równoważności p<=>q w warunkach wystarczających i koniecznych.
| Kod: |
p q p<=>q=(p=>q)*(p~>q)
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0
|
IV.
Wyprowadzenie definicji operatora chaosu p|~~>q w warunkach wystarczających i koniecznych
Definicja operatora chaosu znana każdemu matematykowi
| Kod: |
Definicja |Mintermy znane
zero-jedynkowa |każdemu matematykowi
p q ~p ~q p~~>q |
A: 1 1 0 0 =1 | p~~> q = p* q =1
B: 1 0 0 1 =1 | p~~>~q = p*~q =1
C: 0 0 1 1 =1 |~p~~>~q =~p*~q =1
D: 0 1 1 0 =1 |~p~~> q =~p* q =1
a b c d e 1 2 3
|
| Kod: |
Symboliczna definicja operatora chaosu p|~~>q
Definicja |Mintermy
zero-jedynkowa |
p q ~p ~q p~~>q |
A: 1 1 0 0 =1 | p~~> q = p* q =1 | p=> q =0 | p~> q =0
B: 1 0 0 1 =1 | p~~>~q = p*~q =1 | p~~>~q=1 | p~~>~q=1
C: 0 0 1 1 =1 |~p~~>~q =~p*~q =1 |~p~>~q =0 |~p=>~q =0
D: 0 1 1 0 =1 |~p~~> q =~p* q =1 |~p~~>q =1 |~p~~>q =1
a b c d e 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Analiza tabeli ABCD456 w mintermach:
1.
Prawdziwość kontrprzykładu B456:
B456: p~~>~q =1
Wymusza fałszywość warunku wystarczającego => A456:
A456: p=>q =0
2.
Fałszywość warunku wystarczającego => A456 wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> C456:
Prawo Kubusia:
A456: p=>q = C456: ~p~>~q =0
Analiza tabeli ABCD789 w mintermach:
3.
Prawdziwość kontrprzykładu D789:
D789: ~p~~>q =1
Wymusza fałszywość warunku wystarczającego => C789:
C789: ~p=>~q=0
4.
Fałszywość warunku wystarczającego C789 wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> A789:
Prawo Kubusia:
C789: ~p=>~q = A789: p~>q =0
Stąd mamy definicję operatora chaosu p|~~>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
A456: p=>q =0
A789: p~>q =0
Operator chaosu p|~~>q to brak zachodzenia zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami:
p|~~>q = ~(p=>q)*~(p~>q) = ~(0)*~(0) = 1*1 =1
Doskonale widać, że nagłówek w kolumnie „e”:
Ae: p~~>q
Jest tożsamy wyłącznie z linią:
A123: p~~>q =1
Gdyby nagłówek kolumny „e” był taki:
Ae: p~~>~q
To byłby tożsamy z linią:
B123: p~~>~q =1
itd.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 14:41, 08 Paź 2017, w całości zmieniany 3 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
