 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35365
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Wto 18:17, 14 Kwi 2020 Temat postu: Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego Beta 2.0 |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2020-04-14
Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu
Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele
Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel i inni.
Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuje w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?
Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2020
Wstęp
Najtrudniejsze są początki, czyli najtrudniejsza do zrozumienia jest zero-jedynkowa algebra Boole’a. Chodzi tu przed wszystkim o minimalizację złożonych funkcji logicznych, gdzie włącznie mnożenie wielomianów i przemienność argumentów w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) są identyczne jak matematyce klasycznej. Jednak wymnożyć wielomian logiczny to jedno, a zminimalizować go to drugie.
Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a, ale chodzi w niej przede wszystkim o spójniki „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego. W języku potocznym człowiek w naturalny sposób minimalizuje wszelkie funkcje logiczne do postaci minimalnych, zatem w obsłudze języka potocznego minimalizacja funkcji logicznych nie będzie nam potrzebna.
Dokładnie z tego powodu można pominąć algebrę Boole’a (punkt 1.0) nie tracąc zdolności zrozumienia najważniejszej, pozostałej części podręcznika.
W algebrze Kubusia wszelkie zdania którym da się przypisać wartość logiczną 1 (prawda) albo 0 (fałsz) przekładalne są na symboliczną logikę matematyczną (algebrę Kubusia) w przełożeniu 1:1, czyli jak mówimy tak matematycznie zapisujemy.
Co zmieni algebra Kubusia w myśleniu człowieka?
Nic nie zmieni, bo to jest tylko matematyczny opis języka potocznego człowieka - tylko tyle i aż tyle.
Logika matematyczna to przede wszystkim matematyczna obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q”, zdecydowanie ciekawsza i łatwiejsza niż klasyczna algebra Boole’a.
2.0 Kubusiowa teoria zbiorów
3.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
4.0 Teoria implikacyjnych operatorów logicznych
Spis treści
1.0 Algebra Boole’a 3
1.1 Zmienna binarna i stała binarna 3
1.2 Fundamenty algebry Boole’a 5
1.2.1 Wyrażenie logiczne i funkcja logiczna 6
1.2.2 Rodzaje funkcji logicznych 7
1.3 Prawa Prosiaczka 7
1.3.1 Dowody praw Prosiaczka w przykładach 7
1.4 Minimalna aksjomatyka algebry Boole’a 9
1.5 Algorytm Wuja Zbója 11
1.5.1 Alternatywne przejście do logiki przeciwnej 13
1.6 Definicja operatora OR(|+) 14
1.7 Definicja operatora AND(|*) 16
1.8 Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+) 18
1.8.1 Właściwości operatora OR(|+) 22
1.9 Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*) 23
1.9.1 Właściwości operatora AND(|*) 26
1.0 Algebra Boole’a
Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego, zatem tylko z tego punktu widzenia będziemy patrzeć na algebrę Boole’a.
Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
Definicja algebry Boole’a:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Algebra Boole’a to dwa wyróżnione elementy (zwykle [1,0]) o znaczeniu:
1 = prawda
0 = fałsz
oraz trzy spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
1.1 Zmienna binarna i stała binarna
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.
W programach komputerowych są to wszystkie zmienne jednobitowe na przykład wskaźnik przeniesienia CY.
Zdefiniujmy następującą operację dodawania dwóch liczb binarnych 8-bitowych:
A:=A+B - do liczby A dodaj liczbę B i zapisz wynik w A
Wskaźnik przeniesienia CY oznacza tu co następuje:
CY=1 - wystąpiło przepełnienie 8-bitowego rejestru A
CY=0 - przepełnienie nie wystąpiło
Zapiszmy sensowny program z wykorzystaniem zmiennej binarnej CY.
Program dodawania:
1: A:=A+B - wykonaj operację dodawania.
2: JP C,ET2 - jeśli CY=1 skocz do ET2, inaczej wykonaj rozkazy niżej
---------------
Co oznacz rozkaz 2?
Jeśli CY=1 (przepełnienie wystąpiło) to skocz do procedury ET2 obsługującej przepełnienie
Inaczej wykonaj ciąg instrukcji umieszczonych bezpośrednio pod rozkazem 2
Koniec najprostszego, sensownego programu.
Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną 1 albo 0.
Przykład:
Zdefiniujmy na początku programy symbol CY jako stałą binarną przypisując mu wartość logiczną 1.
CY=1
Stała binarna CY nie może być w żaden sposób zmieniona przez program, bo to jest z definicji stała binarna której program nie jest w stanie zmienić.
Oczywistym jest. że w tym momencie nasz „program dodawania” przestaje działać poprawnie bowiem przy absolutnie każdym wykonaniu rozkazu 2 wykonany zostanie skok do etykiety E2.
Wniosek 1.
Sensowny program komputerowy można napisać tylko i wyłącznie z użyciem zmiennych binarnych
Wniosek 2.
Żadna logia, w tym logika matematyczna, nie ma prawa działać na stałych binarnych, bo po prostu wtedy nie ma żadnej logiki matematycznej.
Przykład:
Pani w I klasie SP mówi:
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
Dopóki nie minie cały jutrzejszy dzień zmienne binarna Y może przyjąć dwie wartości logiczne:
Y=1 - gdy pani dotrzyma jutro słowa
Y=0 - gdy pani nie dotrzyma słowa (=skłamie)
Załóżmy teraz, że jest pojutrze i dzieci nie były wczoraj w kinie (nieistotne z jakiego powodu - kwestię zwolnienia z danej obietnicy pomijamy).
Pojutrze przychodzi do klasy Jaś który wczoraj nie był w szkole bo był z mamą na badaniach lekarskich i pyta Zuzię:
Jaś:
Czy byliście wczoraj w kinie?
Zuzia:
Nie byliśmy.
Jaś:
To znaczy że nasza pani jest kłamczucha
Zuzia:
Tak
Doskonale tu widać, że logika matematyczna działa także w stosunku do zdeterminowanej przeszłości, ale wtedy i tylko wtedy, gdy tej przeszłości nie znamy.
Pani oczywiście nie ma najmniejszych szans by cofnąć czas i spowodować by jednak dzieci były wczoraj w kinie, co nie zmienia faktu, że logika matematyczna wśród osób które tego nie wiedzą dalej działa, czyli sensowne jest pytanie:
Czy dzieci wczoraj były w kinie?
Z chwilą gdy Jaś poznał prawdę jego ponowne pytanie:
Czy byliście wczoraj w kinie?
ma identyczny sens jak stwierdzenie:
Kopernik była kobietą.
Stąd mamy wyprowadzoną definicję logiki matematycznej.
Definicja logiki matematycznej w AK:
Logika matematyczna to przewidywanie przyszłości na podstawie znanych faktów.
Logika matematyczna to również dochodzenie do prawdy w nieznanej przeszłości np. poszukiwanie mordercy.
1.
Opis nieznanej przyszłości:
Znany fakt: obietnica Pani w temacie pójścia do kina
Przewidywanie nieznanego: wiemy kiedy jutro pani dotrzyma słowa a kiedy skłamie
2.
Opis nieznanej przeszłości:
Znany fakt: obietnica Pani w temacie pójścia do kina
Opis nieznanego: Jaś nie wie czy dzieci były wczoraj w kinie, dlatego wszczyna prywatne śledztwo by ustalić zaistniały fakt.
Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Dowolny symbol binarny zapisany jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowany (bo p) inaczej jest symbolem binarnym w logice ujemnej (bo ~p)
W logice dodatniej i ujemnej mogą być zapisane zarówno zmienne binarne jak i stałe binarne.
Przykład:
Stała binarna „pies” zapisana jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona.
p = pies
Stała binarna „pies” zapisana jest w logice ujemnej (bo ~p) wtedy i tylko wtedy gdy jest zaprzeczona.
~p=nie pies
1.2 Fundamenty algebry Boole’a
Definicja przeczenia NIE (~) dla zer i jedynek
1=~0
0=~1
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Gdzie:
p - zmienna binarna mogąca przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne [0,1]
Przykład:
Jestem uczciwy = nie jestem nie uczciwy
U = ~(~U)
Prawo podwójnego przeczenia dla zer i jedynek:
~(~1) =~(0) =1
~(~0)=~(1) =0
Definicja spójnika „i”(*) dla zer i jedynek:
p*q =1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q =0
Tabela zero-jedynkowa z tej definicji wynikająca jest następująca:
| Kod: |
Definicja spójnika „i”(*) dla zer i jedynek:
p*q =1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q =0
Tabela zero-jedynkowa z tej definicji wynikająca jest następująca:
p q p*q
A: 1* 1 =1
B: 1* 0 =0
C: 0* 1 =0
D: 0* 0 =0
|
Definicja spójnika „lub”(+) dla zer i jedynek:
p+q =1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p+q =0
Tabela zero-jedynkowa z tej definicji wynikająca jest następująca:
| Kod: |
Definicja spójnika „i”(*) dla zer i jedynek:
p+q =1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p+q =0
Tabela zero-jedynkowa z tej definicji wynikająca jest następująca:
p q p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
|
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, ~, „i”(*), „lub”(+)
1.2.1 Wyrażenie logiczne i funkcja logiczna
Definicja wyrażenia logicznego w algebrze Boole’a:
Wyrażenie logiczne to dowolna ilość zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Przykład:
p+q*(r+s)
Kolejność wykonywania działań w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
Pojęcia podstawowe:
Alternatywa = suma logiczna zmiennych binarnych
Koniunkcja = iloczyn logiczny zmiennych binarnych
Przykład:
p+q+r - alternatywa (suma logiczna)
p*q*s - koniunkcja (iloczyn logiczny)
Definicja funkcji logicznej w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to funkcja logiczna zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Przykład:
Y = p*q+~p*~q - funkcja logiczna dwóch zmiennych binarnych [p,q]
Zwyczajowo dla funkcji logicznej zarezerwowana jest w logice matematycznej duża litera Y.
Zwyczajowo w logice matematycznej zmienne binarne mają nazwy p, q, r
Powyższy standard obowiązuje w teorii logiki matematycznej, w praktyce zarówno funkcja logiczna jak i zmienne binarne mogą mieć dowolnie długie nazwy.
1.2.2 Rodzaje funkcji logicznych
Rozróżniamy cztery rodzaje funkcji logicznych:
1.
Y = p*q*s - to jest koniunkcja wielu zmiennych binarnych
2.
Y= p+q+s - to jest alternatywa wielu zmiennych binarnych
3.
Y = (p+q)*(r+s) - to jest funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
4.
Y = p*q+r*s - to jest funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
1.3 Prawa Prosiaczka
Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo p) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p).
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
1.3.1 Dowody praw Prosiaczka w przykładach
Dowód 1
Rozważmy sterowanie żarówką jednym przyciskiem A
| Kod: |
Schemat 1
Przykład ilustracji praw Prosiaczka w fizyce:
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z naturalną logiką człowieka, gdzie symbol przeczenia (~) oznacza w języku potocznym słówko „NIE”.
Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
S - żarówka świeci
Co matematycznie oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)
Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
~S - żarówka nie świeci
Co matematycznie oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)
Zauważmy, że prawa Prosiaczka wiążą ze sobą pojęcia prawdy i fałszu w języku potocznym.
Dowód 2
Dla zrozumienie praw Prosiaczka nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.
Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO
Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)
Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0
Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)
Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń
Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)
1.4 Minimalna aksjomatyka algebry Boole’a
Definicja minimalnej aksjomatyki algebry Boole’a:
Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a to minimalny zestaw praw algebry Boole’a koniecznych i wystarczających do poruszania się po równaniach algebry Boole’a.
Chodzi tu głównie o minimalizację równań algebry Boole’a, której w języku potocznym prawie nie ma bo nasz mózg to naturalny ekspert algebry Kubusia tzn. z reguły operuje na funkcjach minimalnych które nie wymagają zewnętrznej minimalizacji.
Wynika z tego, że tabele zero-jedynkowe w takiej aksjomatyce nas kompletnie nie interesują.
Jak zobaczymy za chwilę, minimalna aksjomatyka algebry Boole’a to zaledwie osiem punktów które trzeba znać na pamięć.
Znaczenie 1 i 0 w algebrze Boole’a:
1 = prawda
0 = fałsz
Znaczenie spójników „i”(*) i „lub”(+):
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka
(+) - spójnik „lub”(+) z języka potocznego człowieka
Najważniejsze prawa algebry Boole’a (aksjomatyka minimalna) to:
1.
1=~(0)=~0 - prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu
0=~(1)=~1 - fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy
2.
Elementem neutralnym w spójniku „i”(*) jest jedynka
p*1=p (łatwe do zapamiętania przez analogię do zwykłego mnożenia: x*1=x)
p+1=1 (to jedyny wyjątek nie mający odpowiednika w zwykłym dodawaniu)
3.
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest zero
p*0=0 (łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego mnożenia: x*0=0)
p+0=p (łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego dodawania: x+0=0)
4.
Definicja dziedziny w zdarzeniach:
p+~p=1 - zdarzenie ~p jest uzupełnieniem do dziedziny (D=1) dla zdarzenia p
p*~p=0 - zdarzenia p i ~p są rozłączne (p*~p=[]=0), stąd ich iloczyn logiczny to 0
5.
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) są przemienne
p*q=q*p
p+q=q+p
6.
Prawo redukcji/powielania zmiennych:
p*p=p
p+p=p
7.
Prawa De Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
p*q = ~(~p+~q)
8.
Obsługa wielomianów logicznych jest identyczna jak wielomianów klasycznych pod warunkiem przyjęcia analogii:
Spójnik „lub”(+) to odpowiednik sumy klasycznej (+) np. x+y
Spójnik „i”(*) to odpowiednik iloczynu klasycznego (*) np. x*y
Stąd mamy kolejność wykonywania działań w wielomianach logicznych:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
bo robimy analogię do wielomianów klasycznych.
Przykład mnożenia wielomianów logicznych:
Dane jest wyrażenie logiczne:
(p+~q)*(~p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Minimalizujemy:
(p+~q)*(~p+q) = p*~p + p*q +~q*~p + ~q*q = 0 + p*q + ~q*~p + 0 = p*q + ~p*~q
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p*~p=0
p+0 =p
Przemienność:
~q*~p = ~p*~q
Stąd:
Nasze wyrażenie po minimalizacji przybiera postać:
(p+~q)*(~p+q) = p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Inny przykład wykorzystania praw algebry Boole’a.
Udowodnij prawo algebry Boole’a:
p + p*q =p
Dowód:
p + p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p=p*1
Wyciągnięcie zmiennej p przed nawias identyczne jak w wielomianach klasycznych
1+q=1
p*1=p
cnd
1.5 Algorytm Wuja Zbója
Algorytm Wuja Zbója poznamy na przykładzie z życia wziętym, korzystając z definicji równoważności „wtedy i tylko wtedy” p<=>q wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) opisanej równaniem algebry Boole’a:
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
Co w logice matematycznej oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Przykład:
Pani w przedszkolu wypowiada obietnicę bezwarunkową:
1.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
K<=>T
Podstawmy celem skrócenia zapisów:
Y = K<=>T
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = K*T +~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
co w logice matematycznej oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1 lub ~K=1 i ~T=1
Przyjmijmy następujące znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y), czyli pani skłamie
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
W każdym innym przypadku, pani skłamie:
(~Y=1)=(Y=0) - prawo Prosiaczka
Dla każdego człowieka odpowiedź kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) jest intuicyjnie zrozumiała.
Prawo algebry Boole’a:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej
Dowód tego prawa na naszym przykładzie jest trywialny o ile skorzystamy z algorytmu przejścia do logiki przeciwnej autorstwa Wuja Zbója.
Przejdźmy z naszym przykładem na postać ogólną podstawiając:
K=p
T=q
Stąd mamy:
1.
Y = p*q + ~p*~q
W technicznej algebrze Boole’a często pomija się spójnik „i”(*) traktując go jako spójnik domyślny.
Stąd mamy funkcję matematycznie tożsamą:
1.
Y = pq+~p~q
Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója
Zauważmy że:
Jeśli wymnożymy wielomian 2 to otrzymamy tożsamą do niego postać alternatywno-koniunkcyjną.
Zróbmy to:
~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
3.
~Y = p*~q + ~p*q - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Dla funkcji logicznej 3 ponownie korzystamy z algorytmu Wuja przechodząc do logiki dodatniej:
Mamy:
3.
~Y = (p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4.
Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Oczywistym jest, że zachodzą matematyczne tożsamości:
Y - pani dotrzyma słowa:
1: Y = p*q + ~p*~q [=] 4: Y=(p+~q)*(~p+q)
oraz:
~Y - pani skłamie
3: ~Y = p*~q + ~p*q [=] 2: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
W tak bajecznie prosty sposób udowodniliśmy nasze twierdzenie logiki matematycznej.
Zauważmy, że odpowiedź kiedy pani skłamie (~Y) zapisana w formie funkcji alternatywno-koniunkcyjnej również jest intuicyjnie zrozumiała dla każdego ucznia I klasy LO.
Nasz przykład:
3.
~Y=K*~T + ~K*T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1 lub ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Zauważmy że, żadna z funkcji koniunkcyjno-alternatywnych nie jest zrozumiała dla człowieka.
Weźmy przykładowo odpowiedź na pytanie „kiedy pani dotrzyma słowa” (Y=1) opisaną równaniem koniunkcyjno-alternatywnym 4.
Nasz przykład:
4.
Y = (K+~T)*(~K+T) - postać koniunkcyjno-alternatywna
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
(K+~T) - jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
„i”(*)
(~K+T) - jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub pójdziemy do teatru (T)
Jak widzimy stało się coś strasznego!
Powyższe zdanie to twardy dowód iż w języku potocznym postaci koniunkcyjno-alternatywnej żaden człowiek nie rozumie.
1.5.1 Alternatywne przejście do logiki przeciwnej
Mamy naszą funkcję logiczną w postaci alternatywno-koniunkcyjnej:
1.
Y = (p*q) + (~p*~q)
W logice matematycznej dowolną funkcję logiczną możemy dwustronnie zanegować:
~Y = ~((p*q)+(~p*~q))
Korzystamy z prawa De Morgana dla nawiasu zewnętrznego otrzymując:
~Y = ~(p*q) * ~(~p*~q)
Ponownie korzystamy z prawa De Morgana dla pozostałych nawiasów:
~Y = (~p+~q)*(p+q)
To co wyżej to przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) „na piechotę” z wykorzystaniem praw De Morgana.
To „na piechotę” przy długich funkcjach logicznych będzie koszmarem trudnym do ogarnięcia.
Natomiast algorytm przejścia do logiki przeciwnej Wuja Zbója jest trywialny dla dowolnie długiej funkcji logicznej Y
Doskonale widać, że algorytm Wuja Zbója jest odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia znanych z wielomianów klasycznych.
Trudne (tzn. do pominięcia w czytaniu):
Zminimalizujmy teraz funkcję logiczną podaną w zadaniu na matematyce.pl
[link widoczny dla zalogowanych]
Zadanie:
Zminimalizuj poniższe wyrażenie logiczne:
(q=>r*p)+~r
W poniższej minimalizacji korzystamy z definicji znaczka =>:
p=>q = ~p+q
Rozwiązanie:
Zapiszmy nasze wyrażenie w postaci funkcji logicznej Y:
Y = (q=>r*p) + ~r = ~q+r*p + ~r
Uzupełniamy brakujące nawiasy bo kolejność wykonywania działań w logice to:
nawiasy, “i”(*), “lub”(+)
stąd mamy:
Y = ~q+(r*p)+~r
Zdefiniujmy funkcję cząstkową Y1:
Y1=(r*p)+~r
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y1 = (~r+~p)*r
Po wymnożeniu wielomianu logicznego mamy:
~Y1 = ~r*r + ~p*r = ~p*r
~Y1=r*~p
Powrót do logiki dodatniej (bo Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
Y1=~r+p
Odtwarzając podstawienie mamy:
Y = ~q+~r+p
Stąd w zapisie p=>q mamy:
Y = q=>(~r+p)
Stąd mamy tożsamość matematyczną:
Y = (q=>r*p)+~r = q=>(~r+p)
cnd
1.6 Definicja operatora OR(|+)
Operator OR(|+) odpowiada na pytania:
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie Y?
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~Y?
Przejście z 1 do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Zauważmy że matematycznie zachodzi:
Operator OR(|+) ## Y=p+q # ~Y=~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji (stąd do logiki matematycznej musimy wprowadzić znaczek „|+”)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
Spójnik „i”(*) zawsze opisuje jedno, jedyne zdarzenie które może zajść:
~Y=~p*~q
Natomiast w spójniku „lub”(+):
1: Y=p+q
wszystkie możliwe rozłączne zdarzenia cząstkowe jakie mogą zajść to (wszystkie z wyjątkiem ~p*~q):
1’: Y = A: p*q+ B: p*~q+ C: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
Stąd mamy serię zdarzeń cząstkowych Yx wchodzących w skład spójnika „lub”(+):
Ya=p*q
lub
Yb=p*~q
lub
Yc=~p*q
Pozostaje nam udowodnić czy zachodzi tożsamość funkcji logicznych 1=1’:
1’
Y=p*q+p*~q+~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y=p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*(p+~q)
~Y=~p*p+~p*~q
~Y=~p*~q
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
cnd
Stąd mamy rozszerzoną definicję spójnika „lub”(+) definiującą trzy zdarzenia rozłączne A,B,C:
p+q = A: p*q+ B: p*~q+ C: ~p*q
Dowód iż zdarzenia A, B i C są rozłączne:
Iloczyn logiczny każdego zdarzenia z każdym jest równy 0.
A*B = (p*q)*(p*~q) =0
A*C= (p*q)*(~p*q) =0
B*C = (p*~q)*(~p*q) =0
cnd
Uwaga:
Warto zapamiętać rozszerzoną definicję spójnika „lub”(+) bowiem w praktyce jest ona często wykorzystywana:
p+q = A: p*q+ B: p*~q+ C: ~p*q
Przykład z przedszkola.
Pani:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Przyjmujemy standard zgodny z językiem potocznym człowieka:
Y=1 - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - pani NIE(~) dotrzyma słowa (=pani skłamie)
Operator OR(|+) odpowiada na dwa pytania:
1.
Kiedy pani dotrzyma słowa?
1.
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina lub pójdziemy do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Uwaga:
Jeśli chcemy znać szczegółowo trzy zdarzenia rozłączne jakie jutro mogą wystąpić to korzystamy z rozszerzonej definicji spójnika „lub”(+)
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Nasz przykład:
Y= A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Stąd mamy rozszerzoną odpowiedź kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y=1):
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
Yb=K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
Yc=~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
2.
Kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Przejście z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Y=~K*~T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
1.7 Definicja operatora AND(|*)
Operator AND(|*) odpowiada na pytania:
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie Y?
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~Y?
Przejście z 1 do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Zauważmy że matematycznie zachodzi:
Operator AND(|*) ## Y=p*q # ~Y=~p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji (stąd do logiki matematycznej musimy wprowadzić znaczek „|*”)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
Spójnik „i”(*) zawsze opisuje jedno, jedyne zdarzenie które może zajść:
Y=p*q
Natomiast w spójniku „lub”(+) w swojej rozszerzonej wersji opisuje trzy rozłączne zdarzenia:
p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Obliczenie zdarzeń rozłącznych dla ~p i ~q polega na negacji wszystkich zmiennych w definicji wyżej:
~p+~q = A: ~p*~q + B: ~p*q + C: p*~q
cnd
Stąd mamy serię zdarzeń cząstkowych ~Yx wchodzących w skład spójnika „lub”(+):
~Ya=~p*~q
lub
~Yb=~p*q
lub
~Yc=p*~q
Przykład z przedszkola.
Pani:
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Przyjmujemy standard zgodny z językiem potocznym człowieka:
Y=1 - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - pani NIE(~) dotrzyma słowa (=pani skłamie)
Operator AND(|*) odpowiada na dwa pytania:
1.
Kiedy pani dotrzyma słowa?
1.
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina i pójdziemy do teatru
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
2.
Kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Przejście z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Uwaga:
Jeśli chcemy znać szczegółowo trzy zdarzenia rozłączne jakie jutro mogą wystąpić to korzystamy z rozszerzonej definicji spójnika „lub”(+)
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Nasz przykład dla ~K i ~T (w powyższej definicji negujemy wszędzie zmienne p i q):
Y= A: ~K*~T + B: ~K*T + C: K*~T
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> A: ~K=1 i ~T=1 lub B: ~K=1 i T=1 lub C: K=1 i ~T=1
Stąd mamy rozszerzoną odpowiedź kiedy jutro pani NIE dotrzyma słowa (~Y=1) (skłamie):
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Ya = ~K*~T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
~Yb=~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
~Yc=K*~T =1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
1.8 Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+)
Rozdziały 1.8 i 1.9 dotyczące zero-jedynkowych definicji spójników „lub”(+) i „i”(*) można pominąć, bowiem matematyka języka potocznego człowieka operuje na równaniach logicznych totalnie izolowanych od jakichkolwiek tabel zero-jedynkowych.
Rozdziały 1.8 i 1.9 przeznaczone są dla matematyków, których interesuje skąd wzięły się i co znaczą zero-jedynkowe definicje spójników „lub”(+) i „i”(*)
Fizyczna realizacja operatora OR(|+) w świecie fizyki to żarówka sterowana dwoma przyciskami p i q połączonymi równolegle.
| Kod: |
Schemat 2
Fizyczna realizacja spójnika „lub”(+):
q
______
-----o o-----
Y | p |
------------- | ______ |
-----| dioda LED |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Znaczenie symboli:
Y=1 - żarówka świeci
~Y=1 - żarówka nie świeci
p=1 - przycisk p wciśnięty
~p=1 - przycisk p nie wciśnięty
q=1 - przycisk q wciśnięty
~q=1 - przycisk q nie wciśnięty
Prawo Prosiaczka:
(~q=1)=(q=0) - przycisk q nie wciśnięty
Ze schematu ideowego łatwo odczytujemy kiedy żarówka będzie się świecić (Y=1):
1.
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk p będzie wciśnięty (p=1) lub przycisk q będzie wciśnięty (q=1)
Y<=>p+q
<=> - symbol równoważności
Powyższa równoważność definiuje tożsamość pojęć:
Y = p+q
Co oznacza:
Pojęcie „żarówka świeci” (Y=1) jest tożsame „=” z pojęciem „wciśnięty przycisk p (p=1) lub wciśnięty przycisk q (q=1)
Innymi słowy:
Z faktu świecenia się żarówki (Y=1) wnioskujemy iż wciśnięty jest przycisk p (p=1) lub wciśnięty jest przycisk q (q=1) i odwrotnie.
Stąd mamy tożsamość:
Y = p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Zdanie matematycznie tożsame do 1 to szczegółowy opis wszystkich możliwych przypadków w których żarówka świeci się (Y=1):
Innymi słowy:
1a.
Żarówka świeci (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya = p*q=1*1=1 - jest wciśnięty p (p=1) i jest wciśnięty q (q=1)
LUB
B: Yb = p*~q =1*1 =1 - jest wciśnięty p (p=1) i nie jest wciśnięty q (~q=1)
LUB
C: Yc = ~p*q=1*1 =1 - nie jest wciśnięty p (~p=1) i jest wciśnięty q (q=1)
Funkcje Ya, Yb, i Yc nazywamy funkcjami cząstkowymi opisującymi stan świecenia się żarówki opisany równaniem algebry Boole’a:
Y = Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy:
1a.
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
Pozostaje nam udowodnić tożsamość funkcji logicznych 1 i 1a.
Minimalizujemy funkcję logiczną 1a:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*(p+~q)
~Y=~p*p + ~p*~q
~Y=~p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y=p+q
cnd
stąd mamy matematyczną tożsamość:
Y = ABC: p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Stąd mamy szczegółową definicję spójnika „lub”(+) w postaci sumy logicznej trzech rozłącznych zdarzeń:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Powyższą definicję warto zapamiętać, bowiem w logice matematycznej dość często się przydaje przy rozpisce co może się wydarzyć w obszarze dwóch zmiennych p i q połączonych spójnikiem „lub”(+)
… a kiedy żarówka nie będzie się świecić (~Y=1)?
Odczytujemy ze schematu ideowego:
2.
Żarówka nie będzie się świecić (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie będzie wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie będzie wciśnięty przycisk q (~q=1)
~Y<=>~p*~q
<=> - symbol równoważności
Tu mamy identycznie:
Powyższa równoważność definiuje tożsamość pojęć:
~Y = ~p*~q
Co oznacza:
Pojęcie „żarówka nie świeci” (~Y=1) jest tożsame „=” z pojęciem „nie wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie wciśnięty przycisk q (~q=1)”
Innymi słowy:
Z faktu nie świecenia się żarówki (~Y=1) wnioskujemy iż nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1) i odwrotnie.
Stąd mamy tożsamość:
D: ~Yd = ~p* ~q
co matematycznie oznacza:
D: ~Yd=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Zapiszmy serię zdań ABCD w symbolicznej tabeli prawdy:
| Kod: |
Tabela 1
Tabela |Co matematycznie |Dla punktu |Tabela
symboliczna |oznacza |odniesienia |matematycznie
| |ABC: Y=p+q mamy |tożsama
| | | p q Y=p+q
A: p* q= Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)|( p=1)*( q=1)=( Ya=1)| 1+ 1 1
B: p*~q= Yb |( p=1)*(~q=1)=( Yb=1)|( p=1)*( q=0)=( Yb=1)| 1+ 0 1
C:~p* q= Yc |(~p=1)*( q=1)=( Yc=1)|( p=0)*( q=1)=( Yc=1)| 0+ 1 1
D:~p*~q=~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)|( p=0)*( q=0)=( Yd=0)| 0+ 0 0
a b c d e f g h I 1 2 3
| Prawa Prosiaczka |
| (~p =1)=( p =0) |
| (~q =1)=( q =0) |
| (~Yx=1)=( Yx=0) |
|
Zauważmy, że tabela zero-jedynkowa ABCD123 zakodowana jest dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu zdefiniowanym obszarem ABCabc w tabeli symbolicznej.
ABC: Y=p+q
co matematycznie oznacza:
ABC: Y=1 <=> p=1 lub q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.
Nagłówek w kolumnie wynikowej 3 (Y) pokazuje obszar ABCabc tabeli symbolicznej względem którego kodowana jest tabela zero-jedynkowa.
Zero-jedynkową definicją spójnika „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest kompletna tabela zero-jedynkowa ABCD123.
Jednak nagłówek w kolumnie 3 dotyczy de facto wyłącznie obszaru ABC123, co doskonale widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.
Tabela symboliczna ABCDdef zakodowana jest w logice jedynek zgodnie z naturalną logiką matematyczną człowieka, gdzie wszystkie zmienne mają wartość logiczną 1.
Logika jedynek zawsze prowadzi do równania alternatywno-koniunkcyjnego:
Y = ABC: p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Możliwe jest zakodowanie tabeli symbolicznej ABCDdef w logice zer (trzeba totalnie wszystko zanegować i wymienić spójniki na przeciwne), ale takie kodowanie prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych, kompletnie niezrozumiałych dla człowieka, zatem nie będziemy się tym zajmować.
Zakodujmy teraz naszą tabelę symboliczną ABCDabc względem funkcji logicznej:
D: ~Y=~p*~q
która opisuje linię D w tabeli symbolicznej.
| Kod: |
Tabela 2
Tabela |Co matematycznie |Dla punktu |Tabela
symboliczna |oznacza |odniesienia |matematycznie
| |D:~Y=~p*~q mamy |tożsama
| | |~p ~q ~Y=~p*~q
A: p* q= Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)|(~p=0)*(~q=0)=(~Ya=0)| 0* 0 0
B: p*~q= Yb |( p=1)*(~q=1)=( Yb=1)|(~p=0)*(~q=1)=(~Yb=0)| 0* 1 0
C:~p* q= Yc |(~p=1)*( q=1)=( Yc=1)|(~p=1)*(~q=0)=(~Yc=0)| 1* 0 0
D:~p*~q=~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)|(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)| 1* 1 1
a b c d e f g h I 1 2 3
| Prawa Prosiaczka |
| ( p =1)=(~p =0) |
| ( q =1)=(~q =0) |
| ( Yx=1)=(~Yx=0) |
|
Zauważmy, że tabela zero-jedynkowa ABCD123 zakodowana jest z punktem odniesienia ustawionym na linii Dabc.
~Y=~Yd - bo jest tylko jedna linia ~Yd w tabeli ABCDabc
Stąd:
D: ~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Sens ostatniego zapisu doskonale widać w tabeli zero-jedynkowej BCD123.
Nagłówek kolumny wynikowej 3 (~Y) odnosi się do linii D w tabeli symbolicznej ABCDabc względem którego kodowana jest tabela zero-jedynkowa:
D: ~Y=~p*~q
Zero-jedynkową definicją spójnika „i”(*) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest kompletna tabela zero-jedynkowa ABCD123.
Jednak nagłówek w kolumnie 3 dotyczy de facto wyłącznie linii D123 - widać to doskonale w samej tabeli ABCD123.
Definicja operatora OR(|+):
Operator OR(|+) musi opisywać wszystkie linie tabeli symbolicznej ABCDabc, czyli również wszystkie linie tabeli zero-jedynkowej ABCD123.
Stąd:
Definicja operatora OR(|+) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y) oraz o funkcję logiczną w logice ujemnej (bo ~Y):
1.
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
2.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
1.8.1 Właściwości operatora OR(|+)
Podsumujmy nasze rozważania w niniejszym rozdziale:
I.
Definicja spójnika „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest następująca:
| Kod: |
Zero jedynkowa definicja spójnika „lub”(+):
p q p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 1 1
D: 0+ 0 0
Definicja do zapamiętania:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p+q=0
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
Doskonale to widać w tabeli wyżej
|
II.
Operator OR(|+) tu układ równań logicznych opisujący funkcję w logice dodatniej (bo Y) oraz ujemnej (bo ~Y):
1.
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
2.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
III.
Pełna definicja spójnika „lub”(+) opisująca szczegółowo wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne które mogą wystąpić to:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
1.9 Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*)
Fizyczna realizacja operatora AND(|*) w świecie fizyki to żarówka sterowana dwoma przyciskami p i q połączonymi szeregowo.
| Kod: |
Schemat 1
Fizyczna realizacja spójnika “i”(*)
Y p q
------------- ______ ______
-----| dioda LED |-------o o-----o o----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
----------------------------------------------
|
Znaczenie symboli:
Y=1 - żarówka świeci
~Y=1 - żarówka nie świeci
p=1 - przycisk p wciśnięty
~p=1 - przycisk p nie wciśnięty
q=1 - przycisk q wciśnięty
~q=1 - przycisk q nie wciśnięty
Doskonale widać że:
1.
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk p będzie wciśnięty (p=1) i przycisk q będzie wciśnięty (q=1)
Y<=>p*q
<=> - symbol równoważności
Powyższa równoważność definiuje tożsamość pojęć:
Y = p*q
Co oznacza:
Pojęcie „żarówka świeci” (Y=1) jest tożsame „=” z pojęciem „wciśnięty przycisk p (p=1) i wciśnięty przyciska q (q=1)
Innymi słowy:
Z faktu świecenia się żarówki (Y=1) wnioskujemy iż wciśnięty jest przycisk p (p=1) i wciśnięty jest przycisk q (q=1) i odwrotnie.
Stąd mamy tożsamość:
A: Ya = p*q
co matematycznie oznacza:
A: Ya=1 <=> p=1 i q=1
… a kiedy żarówka nie będzie się świecić (~Y=1)?
2.
Żarówka nie będzie się świecić (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie będzie wciśnięty przycisk p (~p=1) lub nie będzie wciśnięty przycisk q (~q=1)
~Y<=>(~p+~q)
<=> - symbol równoważności
Tu mamy identycznie:
Powyższa równoważność definiuje tożsamość pojęć:
~Y = ~p+~q
Co oznacza:
Pojęcie „żarówka nie świeci” (~Y=1) jest tożsame „=” z pojęciem „nie wciśnięty przycisk p (~p=1) lub nie wciśnięty przycisk q (~q=1)”
Innymi słowy:
Z faktu nie świecenia się żarówki (~Y=1) wnioskujemy iż nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) lub nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1) i odwrotnie.
Stąd mamy tożsamość:
~Y = ~p + ~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Zdanie matematycznie tożsame do 2 to szczegółowy opis wszystkich możliwych przypadków w których żarówka nie świeci się (~Y=1):
Innymi słowy:
Żarówka nie świeci (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~Yb = ~p*~q=1*1=1 - nie jest wciśnięty p (~p=1) i nie jest wciśnięty q (~q=1)
LUB
C: ~Yc = ~p* q =1*1 =1 - nie jest wciśnięty p (~p=1) i jest wciśnięty q (q=1)
LUB
D: ~Yd = p*~q=1*1 =1 - jest wciśnięty p (p=1) i nie jest wciśnięty q (~q=1)
Funkcje ~Yb, ~Yc i ~Yd nazywamy funkcjami cząstkowymi opisującymi stan nie świecenia się żarówki opisany równaniem algebry Boole’a:
~Y = ~Yb + ~Yc + ~Yd
Po rozwinięciu mamy:
2a.
~Y = B: ~p*~q + C: ~p*q + D: p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> B: ~p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1 lub D: p=1 i ~q=1
Pozostaje nam udowodnić tożsamość funkcji logicznych 2 i 2a.
Minimalizujemy funkcje 2a:
~Y = ~p*~q + ~p*q + p*~q
~Y = ~p*(~q+q)+p*~q
~Y = ~p+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q
Y=p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p+~q
cnd
stąd mamy matematyczną tożsamość:
~Y = BCD: ~p+~q = B: ~p*~q + C: ~p*q + D: p*~q
Zapiszmy serię zdań ABCD w symbolicznej tabeli prawdy:
| Kod: |
Tabela 1
Tabela |Co matematycznie |Dla punktu |Tabela
symboliczna |oznacza |odniesienia |matematycznie
| |A: Y=p*q mamy |tożsama
| | | p q Y=p*q
A: p* q= Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)|( p=1)*( q=1)=( Ya=1)| 1* 1 1
B:~p*~q=~Yb |(~p=1)*(~q=1)=(~Yb=1)|( p=0)*( q=0)=( Yb=0)| 0* 0 0
C:~p* q=~Yc |(~p=1)*( q=1)=(~Yc=1)|( p=0)*( q=1)=( Yc=0)| 0* 1 0
D: p*~q=~Yd |( p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)|( p=1)*( q=0)=( Yd=0)| 1* 0 0
a b c d e f | g h I | 1 2 3
| Prawa Prosiaczka |
| (~p =1)=( p =0) |
| (~q =1)=( q =0) |
| (~Yx=1)=( Yx=0) |
|
Zauważmy, że tabela zero-jedynkowa ABCD123 zakodowana jest dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu A:
A: Y=p*q
co matematycznie oznacza:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
Nagłówek w kolumnie wynikowej 3 (Y) pokazuje linię w tabeli symbolicznej ABCDabc względem której kodowana jest tabela zero-jedynkowa, czyli tu wskazuje wyłącznie linię A.
Zero-jedynkową definicją spójnika „i”(*) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest kompletna tabela zero-jedynkowa ABCD123.
Jednak nagłówek w kolumnie 3 dotyczy de facto wyłącznie linii A.
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123:
Y=1<=>p=1 i q=1
Tabela symboliczna ABCDdef zakodowana jest w logice jedynek zgodnie z naturalną logiką matematyczną człowieka, gdzie wszystkie zmienne mają wartość logiczną 1.
Logika jedynek zawsze prowadzi do równania alternatywno-koniunkcyjnego:
~Y = BCD: ~p+~q = B: ~p*~q + C: ~p*q + D: p*~q
Możliwe jest zakodowanie tabeli symbolicznej ABCDdef w logice zer (trzeba totalnie wszystko zanegować i wymienić spójniki na przeciwne), ale takie kodowanie prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych, kompletnie niezrozumiałych dla człowieka, zatem nie będziemy się tym zajmować.
Zakodujmy teraz naszą tabelę symboliczną ABCDabc względem funkcji logicznej:
BCD: ~Y=~p+~q
która opisuje obszar BCDabc tabeli symbolicznej.
| Kod: |
Tabela 2
Tabela |Co matematycznie |Dla punktu |Tabela
symboliczna |oznacza |odniesienia |matematycznie
| |BCD:~Y=~p+~q mamy |tożsama
| | |~p ~q ~Y=~p+~q
A: p* q= Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)|(~p=0)*(~q=0)=(~Ya=0)| 0+ 0 0
B:~p*~q=~Yb |(~p=1)*(~q=1)=(~Yb=1)|(~p=1)*(~q=1)=(~Yb=1)| 1+ 1 1
C:~p* q=~Yc |(~p=1)*( q=1)=(~Yc=1)|(~p=1)*(~q=0)=(~Yc=1)| 1+ 0 1
D: p*~q=~Yd |( p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)|(~p=0)*(~q=1)=(~Yd=1)| 0+ 1 1
a b c d e f | g h I | 1 2 3
| Prawa Prosiaczka |
| ( p =1)=(~p =0) |
| ( q =1)=(~q =0) |
| ( Ya=1)=(~Ya=0) |
|
Zauważmy, że tabela zero-jedynkowa ABCD123 zakodowana jest z punktem odniesienia ustawionym na obszarze BCDabc tabeli symbolicznej definiującej spójnik „lub”(+)
BCD: ~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
BCD: ~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Sens ostatniego zapisu doskonale widać w tabeli zero-jedynkowej BCD123.
Nagłówek kolumny wynikowej 3 (~Y) odnosi się do obszaru BCDabc w tabeli symbolicznej ABCDabc względem którego kodowana jest tabela zero-jedynkowa:
BCD: ~Y=~p+~q
Zero-jedynkową definicją spójnika „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest kompletna tabela zero-jedynkowa ABCD123.
Jednak nagłówek w kolumnie 3 dotyczy de facto wyłącznie obszaru BCD123.
Widać to doskonale w samej tabeli ABCD123:
~Y=1<=>~p=1 lub ~q=1
Z tabeli symbolicznej ABCDabcd odczytujemy:
BCDabc: ~Y=~Ya+~Yb+~Yc
Po rozwinięciu mamy:
BCDabc: ~Y=~p+~q = B: ~p*~q+ C: ~p*q+ D: p*~q
Definicja operatora AND(|*):
Operator AND(|*) musi opisywać wszystkie linie tabeli symbolicznej ABCDabc, czyli również wszystkie linie tabeli zero-jedynkowej ABCD123.
Stąd:
Definicja operatora AND(|*) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y) oraz o funkcję logiczną w logice ujemnej (bo ~Y):
1.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
1.9.1 Właściwości operatora AND(|*)
Podsumujmy nasze rozważania w niniejszym rozdziale:
I.
Definicja spójnika „i”(*) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest następująca:
| Kod: |
Zero jedynkowa definicja spójnika „i”(*):
p q p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 1 0
D: 0* 0 0
Definicja do zapamiętania:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q=0
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
Doskonale to widać w tabeli wyżej
|
II.
Operator AND(|*) tu układ równań logicznych opisujący funkcję w logice dodatniej (bo Y) oraz ujemnej (bo ~Y):
1.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
III.
Pełna definicja spójnika „lub”(+) opisująca szczegółowo wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne które mogą wystąpić to:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dla ~p i ~q negujemy wszystkie zmienne w definicji wyżej:
~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 8:23, 15 Kwi 2020, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35365
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 18:18, 14 Kwi 2020 Temat postu: |
|
|
Spis treści
2.0 Kubusiowa teoria zbiorów 1
2.1 Podstawowe operacje na zbiorach 2
2.2 Znaczenie przecinka w teorii zbiorów 3
2.3 Dziedzina i zaprzeczenie zbioru 3
2.3.1 Definicja znaczka # 5
2.4 Zbiór wszystkich zbiorów 5
2.5 Zbiory właściwe i niewłaściwe 6
2.6 Relacje między zbiorami 6
2.6.1 Właściwości podzbioru => i nadzbioru ~> dla zbiorów tożsamych 7
2.7 Definicja tożsamości matematycznej 7
2.7.1 Rodzaje tożsamości matematycznych 8
2.7.2 Definicja poprawności matematycznej definicji 9
2.8 Matematyczne związki podzbioru => i nadzbioru ~> 10
2.9 Elementarz operatorów logicznych w zbiorach 11
2.9.1 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach 11
2.9.2 Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach 12
2.9.3 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach 14
2.9.4 Definicja operatora chaosu p|~~>q w zbiorach 15
2.0 Kubusiowa teoria zbiorów
Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Przykłady pojęć zrozumiałych:
Pies, miłość, krasnoludek, zbiór liczb naturalnych, zbiór wszystkich zwierząt ...
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
agstd, sdked, skdjatxz …
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum.
Zauważmy, że zaledwie 50 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane dosłownie każdemu człowiekowi na ziemi.
Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze
Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć należących do Uniwersum
Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być zbiór.
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
W definicji zboru pustego wyraźnie chodzi o zawartość worka z napisem „zbiór pusty”, a nie o sam worek.
Zbiory mają wartość logiczną:
1 = prawda
0 = fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty (=1), zawierający przynajmniej jedno pojęcie zrozumiałe dla człowieka
[] =0 - zbiór pusty (=0), zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.
2.1 Podstawowe operacje na zbiorach
I.
Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Przykład:
p=[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
q=[2,3] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[1,2]+[2,3]=[1,2,3] =1 - bo zbiór niepusty
II.
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Zbiór wynikowy pusty oznacza rozłączność zbiorów p i q
Y =p*q=[] =0 - w przypadku zbiorów rozłącznych p i q
Przykład:
p=[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
q=[2,3] =1 - bo zbiór niepusty
r=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2]*[2,3]=[2] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=p*r=[1,2]*[3,4] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty
III.
Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p=[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
q=[2] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p-q = [1,2]-[2] =[1] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=q-p =[2]-[1,2]=[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty
2.2 Znaczenie przecinka w teorii zbiorów
Definicja:
Przecinek rozdzielający elementy w dowolnym zbiorze to spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka, będący matematycznie sumą logiczną zbiorów (+).
Matematycznie zachodzi tożsamość:
„przecinek”(,) = „lub”(+)
Zobaczmy to na podstawowych operacjach na zbiorach:
I.
Suma logiczna
[1+2]+[1+3] = [1+2+1+3] = [1+2+3] - to jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Prawo powielania/redukcji elementów w zbiorze
p=p+p
stąd:
1+1=1
II.
Iloczyn logiczny
[1+2]*[1+3] = 1*1 + 1*3 + 2*1 + 2*3 = 1+[]+[]+[] =1 - to też jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Identycznie jak w matematyce klasycznej mnożymy każdy element z każdym po czym korzystamy w praw rachunku zbiorów (rachunku zero-jedynkowego):
p=p*p
stąd:
1*1=1
Przykładowe pojęcia (zbiory jednoelementowe) 1 i 3 są rozłączne, stąd:
1*3=[]
III.
Różnica logiczna
[1+2+3]-[2+3] = 1+2+3-2-3 =1+[2-2]+[3-3] = 1+[]+[] = 1
[2+3]-[1+2+3] = 2+3-1-2-3 = []+2+3-1-2-3 = ([]-1) +[2-2]+[3-3] = []+[]+[] =[]
W różnicy logicznej jeśli przed nawiasem jest znak minus (-) to zapisujemy ten znak przed każdym elementem zbioru widniejącym w nawiasie.
W ostatnim równaniu skorzystaliśmy z neutralności zbioru pustego [] w sumie logicznej dokładając zbiór pusty [].
Wyjaśnienie:
[]-1 =[] - jeśli ze zbioru pustego usuniemy nieistniejący element to zbiór pusty dalej pozostanie pusty.
Alternatywa:
Wszelkie elementy ze znakiem minus które pozostaną po wykonaniu operacji odejmowania z definicji zamieniamy na zbiór posty [].
[2+3]-[1+2+3] = 2+3 -1-2-3 = 2+3-1-2-3 = -1 +[2-2]+[3-3] = -1+[]+[] =[]+[]+[] =[]
2.3 Dziedzina i zaprzeczenie zbioru
Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy
Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.
Oznacza to, że wszelkie pojęcia poza przyjętą dziedziną są dla nas nierozpoznawalne, czyli nie znamy definicji tych pojęć z założenia. Ograniczeniem dolnym w definiowaniu dziedziny jest zbiór pusty [], natomiast ograniczeniem górnym jest Uniwersum.
Definicja zaprzeczenia (~) zbioru:
Zaprzeczeniem (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Zaprzeczenie zbioru (~) = Negacja zbioru (~)
Uwaga:
Aby zapisać zbiór ~p będący negacją zbioru p musimy określić wspólną dziedzinę dla zbiorów p i ~p
Definicja dziedziny:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, iloczyn logiczny zbiorów jest zbiorem pustym []
Przykład 1
p=[1] - definiujemy zbiór p
D=[1,2] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[2]
Przykład 2.
Weźmy zbiór jednoelementowy:
P=[pies]
A.
Dla dziedziny:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt minus jeden element P=[pies]
B.
Dla dziedziny:
ZWS - zbiór wszystkich ssaków:
otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWS-P] - zbiór wszystkich ssaków minus jeden element P=[pies]
C.
Dla dziedziny Uniwersum (zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka) otrzymamy ~P:
~P=[U-P] - zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka minus jeden element P=[pies]
Wniosek:
Nie ma sensu mówienie o zaprzeczeniu zbioru ~p dopóki nie wybierzemy dziedziny w której ten zbiór zaprzeczamy.
Przykład 3
C=[M, K]
C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina (= zbiór wszystkich ludzi)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
Dziedzina:
C = człowiek
Obliczenia przeczeń pojęć M i K tzn. ich uzupełnień do dziedziny D:
1.
~M=[C-M]=[M+K-M]=[K]=K
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~M=K
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie mężczyznę (~M=1) to na 100% => będzie to kobieta (K=1)
~M=>K =1
2.
~K=[C-K]=[M+K-K]=[M]=M
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~K=M
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% => będzie to mężczyzna (M=1)
~K=>M =1
Kluczowy wniosek:
Jeśli mamy zbiór mężczyzn M to minimalną dziedziną jaką możemy tu przyjąć jest zbiór:
C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina (= zbiór wszystkich ludzi)
Zauważmy, że gdybyśmy dziedzinę zawęzili do zbioru M to pojęcie mężczyzna byłoby dla nas nierozpoznawalne.
Dowód:
M - mężczyzna
D=M - przyjęta dziedzina
~M=[D-M]=[M-M]=[]
cnd
2.3.1 Definicja znaczka #
Nawiązując do przykładu wyżej matematycznie zachodzi też:
M=~K # K=~M
Definicja znaczka różne #:
Dwa pojęcia (zbiory) są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony.
Sprawdzamy”
M =~(K) = ~(~M) =M
cnd
2.4 Zbiór wszystkich zbiorów
Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z Uniwersum na mocy definicji Uniwersum.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Wszystkie pojęcia poza (~) Uniwersum są zbiorem pustym.
~U= [] =0
Dowód:
Przyjmijmy dziedzinę:
D = U
Na mocy definicji:
Zaprzeczenie zbioru (~) to jego uzupełnienie do dziedziny
Stąd:
~U=[D-U]=[U-U]=[] =0
Wynika z tego, że zbiór Uniwersum i zbiór pusty to zbiory rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny U
U+~U = U+[] =U =1 - zbiór ~U=[] jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru U
U*~U = U*[] =[] =0 - zbiory U i ~U=[] są rozłączne
2.5 Zbiory właściwe i niewłaściwe
Definicja zbioru właściwego:
Zbiór właściwy to zbiór mający nazwę własną należącą do Uniwersum, zrozumiałą dla człowieka.
Przykład:
C = [M, K] - zbiór C jest zbiorem 2-elementowym
C - zbiór człowiek (zbiór wszystkich ludzi)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
[x] - zawartość zbioru, elementy zbioru rozdzielamy przecinkami
C=M+K
Nazwa zbioru „człowiek” jest zrozumiała przez każdego człowieka, dlatego ten zbiór spełnia definicję zbioru właściwego
Definicja zbioru niewłaściwego:
Zbiór niewłaściwy to zbiór którego nazwa własna nie należy do Uniwersum.
Przykłady zbiorów niewłaściwych p i q (typu mydło i powidło):
p=[pies, samochód] - zbiór 2-elemetowy
q = [pies, samochód, miłość] - zbiór 3-elementowy
Matematycznie zbiór p jest podzbiorem => zbioru q jednak oba te zbiory nie mają nazw własnych zrozumiałych dla człowieka, zatem oba te zbiory to zbiory niewłaściwe.
Żadne rozumowanie człowieka nie opiera się na zbiorach niewłaściwych (typu mydło i powidło).
2.6 Relacje między zbiorami
1.
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>
Zbiór p ma element wspólny ~~> ze zbiorem q wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny tych zbiorów nie jest zbiorem pustym
p~~>q = p*q =1 - gdy relacja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - gdy relacja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona
W iloczynie logicznym zbiorów p*q nie chodzi tu o wyznaczenie pełnego zbioru wynikowego, lecz tylko i wyłącznie o znalezienie jednego elementu wspólnego.
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> = spełniona relacja elementu wspólnego ~~> zbiorów.
2.
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - gdy relacja podzbioru => jest spełniona
inaczej:
p=>q =0 - gdy relacja podzbioru => nie jest spełniona (zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q)
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
Definicja podzbioru => = spełniona relacja podzbioru =>
Definicja podzbioru => w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p+q
3.
Definicja nadzbioru ~>
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - gdy relacja nadzbioru jest spełniona (=1)
Zajście p jest konieczne ~> do tego aby zaszło q
Zabieram zbiór p i znika mi zbiór q
Inaczej:
p~>q =0 - gdy relacja nadzbioru ~> nie jest spełniona (zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q)
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
Definicja nadzbioru ~> = spełniona relacja nadzbioru ~>
Definicja nadzbioru ~> w rachunku zero-jedynkowym:
p~>q = p+~q
2.6.1 Właściwości podzbioru => i nadzbioru ~> dla zbiorów tożsamych
Właściwości podzbioru => i nadzbioru ~> dla zbiorów tożsamych
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Wynika to bezpośrednio z definicji podzbioru => i nadzbioru ~>
2.7 Definicja tożsamości matematycznej
Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q =0 - pojęcia p i q są różne na mocy definicji ##
Gdzie:
A1: p=>q =1 - gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
inaczej:
p=>q =0
B1: p~>q =1 - gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
inaczej:
p~>q =0
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
2.7.1 Rodzaje tożsamości matematycznych
Rozróżniamy dwa rodzaje tożsamości matematycznych:
1.
Tożsamość absolutna
Tożsamość absolutna obowiązująca w naszym Wszechświecie od minus nieskończoności do plus nieskończoności
Przykład 1
2+2=4
Przykład 2.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)
Twierdzenie proste Pitagorasa TP=>SK i odwrotne SK=>TP udowodniono wieki temu, zatem ta równoważność jest prawdziwa
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów w sensie absolutnym:
Zbiór trójkątów prostokątnych TP jest tożsamy ze zbiorem trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów
TP=SK
2.
Tożsamość lokalna
W świecie rzeczywistym może zachodzić tożsamość lokalna, związana z konkretnym obiektem, nie będąca tożsamością w sensie absolutnym.
Przykład:
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
S<=>A=(A1: S=>A)*(B3: A=>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Zauważmy że prawdziwa jest tu równoważność:
Żarówka świeci się wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty
S<=>A
Każda równoważność definiuje tożsamość pojęć (zbiorów).
W tym przypadku mamy tożsamość lokalną związana z działaniem tego konkretnego obiektu
S=A
Pojęcie żarówka świeci się jest tożsame z pojęciem przycisk A jest wciśnięty
2.7.2 Definicja poprawności matematycznej definicji
Definicja poprawności matematycznej definicji:
Definicja jest matematycznie poprawna wtedy i tylko wtedy gdy opisuje ją relacja równoważności
Definicja równoważności <=>:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
„i”(*) - spójnik „i” z języka potocznego
Definicja 100% => pewności matematycznej:
p=>q =1 - gdy z p wynika 100% => pewność q
Inaczej:
p=>q =0
Przykład:
Pies to na 100% => zwierzę domowe
P=>D =1 - pies na 100% => jest zwierzęciem domowym
Jednak w drugą stronę z faktu, że jakieś zwierzę jest zwierzęciem domowym nie wynika => iż to musi być pies
D=>P =0
Stąd równoważność jest tu fałszywa:
P<=>D = (P=>D)*(D=>P) =1*0 =0
Poprawna definicja minimalna psa jest na przykład taka:
Pies to na 100% => zwierzę domowe, szczekające
P=>D*S =1
Relacja pewności matematycznej => w drugą stronę też tu zachodzi.
Zwierzę domowe, szczekające to na 100% => pies
D*S => P =1
Stąd mamy spełnioną relację równoważności:
Zwierzę jest psem wtedy i tylko wtedy gdy jest zwierzęciem domowym i szczeka
P<=>D*S = (P=>D*S)*(D*S=>P) =1*1 =1
Ponieważ każda równoważność to z definicji tożsamość matematyczna możemy zapisać:
P=D*S
2.8 Matematyczne związki podzbioru => i nadzbioru ~>
Definicja podzbioru => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja nadzbioru ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
Matematyczne związki relacji podzbioru => i nadzbioru ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
| Kod: |
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A12: p=>q = ~p~>q
##
B12: p~>q = ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
2.
Prawa Tygryska:
A13: p=>q = q~>p
##
B13: p~>q = q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
3.
Prawa kontrapozycji:
A14: p=>q = ~q=>~p
##
B14: p~>q = ~q~>~p
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
2.9 Elementarz operatorów logicznych w zbiorach
W tym rozdziale zajmiemy się badaniem poprawności Kubusiowej teorii zbiorów na gruncie praw logiki matematycznej wynikających z rachunku zero-jedynkowego.
W elementarzu posługiwać się będziemy zbiorami minimalnymi gdzie wszelkie relacje między badanymi zbiorami widać doskonale i nic nie musimy udowadniać matematycznie. W logice matematycznej będzie to odpowiednik liczenia na paluszkach do 10 znanego z I klasy szkoły podstawowej.
2.9.1 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> zbioru q, co oznacza, że zbiory p i q są ze sobą w relacji tożsamości matematycznej.
Zastrzeżenie:
Dziedzina musi tu być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
To zastrzeżenie jest konieczne dla istnienia zbiorów niepustych ~p i ~q.
W algebrze Kubusia wszelkie argumenty muszą być zbiorami (pojęciami) niepustymi, musimy po prostu rozumieć co mówimy.
Innymi słowy:
By rozumieć co znaczy pojęcie „pies” musimy rozumieć pojęcie „nie pies”
Definicja podstawowa równoważności p<=>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno relacji podzbioru => jak i nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - relacja podzbioru => spełniona (=1)
B1: p~>q =1 - relacja nadzbioru ~> spełniona (=1)
Spełniona definicja równoważności oznacza, że zbiory p i q są ze sobą w relacji tożsamości matematycznej.
Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##
Stąd mamy definicję równoważności w równaniu logicznym:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1
Definicja podzbioru => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja nadzbioru ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
stąd:
Definicja równoważności p<=>q zdefiniowana wszystkimi możliwymi relacjami podzbiorów => i nadzbiorów ~> wynikającymi z rachunku zero-jedynkowego:
| Kod: |
Równoważność p<=>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Sprawdźmy poznana wyżej teorię podzbioru => i nadzbioru ~> na zbiorach minimalnych.
Przykład:
Zdefiniujmy zbiory minimalne spełniające relację równoważności p<=>q:
p=[1]
q=[1]
Dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów:
p+q = [1]+[1] =[1]
Przyjmujemy dziedzinę:
D=[1,2]
Obliczamy przeczenia zbiorów p i q rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny D
~p=[D-p] = [1,2]-[1] =[2]
~q=[D-p]=[1,2]-[1] =[2]
Podstawmy obliczone zbiory do związków podzbioru => i nadzbioru ~> dla równoważności <=>:
| Kod: |
Równoważność p<=>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
A: 1: [1]=>[1] = 2:[2]~>[2] [=] 3: [1]~>[1] = 4:[2]=>[2] =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
B: 1: [1]~>[1] = 2:[2]=>[2] [=] 3: [1]=>[1] = 4:[2]~>[2] =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać, że wszystkie relacje zachodzą bo:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Wynika to bezpośrednio z definicji podzbioru => i nadzbioru ~>
2.9.2 Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest jednocześnie podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Zastrzeżenie:
Dziedzina musi tu być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
To zastrzeżenie jest konieczne dla istnienia zbiorów niepustych ~p i ~q.
W algebrze Kubusia wszelkie argumenty muszą być zbiorami (pojęciami) niepustymi, musimy po prostu rozumieć co mówimy.
Innymi słowy:
By rozumieć co znaczy pojęcie „pies” musimy rozumieć pojęcie „nie pies”
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie relacji podzbioru => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - relacja podzbioru => spełniona (=1)
B1: p~>q =0 - relacja nadzbioru ~> nie jest spełniona (=0)
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1
Definicja podzbioru => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja nadzbioru ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
stąd:
Definicja implikacji prostej p|=>q zdefiniowana wszystkimi możliwymi relacjami podzbiorów => i nadzbiorów ~> wynikającymi z rachunku zero-jedynkowego:
| Kod: |
Implikacja prosta p|=>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Sprawdźmy poznaną wyżej teorię podzbioru => i nadzbioru ~> na zbiorach minimalnych.
Przykład:
Zdefiniujmy zbiory minimalne spełniające definicję implikacji prostej p|=>q:
p=[1]
q=[1,2]
Dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów:
p+q = [1]+[1,2] =[1,2]
Przyjmujemy dziedzinę:
D=[1,2,3]
Obliczamy przeczenia zbiorów p i q rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny D
~p=[D-p] = [1,2,3]-[1] =[2,3]
~q=[D-p]=[1,2,3]-[1,2] =[3]
Podstawmy obliczone zbiory do związków podzbioru => i nadzbioru ~> dla implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
Implikacja prosta p|=>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
A: 1: [1]=>[2,3] = 2:[2,3]~>[3] [=] 3: [2,3]~>[1] = 4:[3]=>[2,3] =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
B: 1: [1]~>[2,3] = 2:[2,3]=>[3] [=] 3: [2,3]=>[1] = 4:[3]~>[2,3] =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać spełnienie wszystkich relacji w linii Ax.
W linii Bx wszystkie cztery relacje są fałszem.
Wniosek:
W naszym świecie rzeczywistym Kubusiowa teoria zbiorów działa doskonale.
2.9.3 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Zastrzeżenie:
Dziedzina musi tu być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
To zastrzeżenie jest konieczne dla istnienia zbiorów niepustych ~p i ~q.
W algebrze Kubusia wszelkie argumenty muszą być zbiorami (pojęciami) niepustymi, musimy po prostu rozumieć co mówimy.
Innymi słowy:
By rozumieć co znaczy pojęcie „pies” musimy rozumieć pojęcie „nie pies”
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie relacji nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - relacja podzbioru => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =1 - relacja nadzbioru ~> spełniona (=1)
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Definicja podzbioru => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja nadzbioru ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
stąd:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q zdefiniowana wszystkimi możliwymi relacjami podzbiorów => i nadzbiorów ~> wynikającymi z rachunku zero-jedynkowego:
| Kod: |
Implikacja odwrotna p|~>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Sprawdźmy poznaną wyżej teorię podzbioru => i nadzbioru ~> na zbiorach minimalnych.
Przykład:
Zdefiniujmy zbiory minimalne spełniające definicję implikacji odwrotnej p|~>q:
p=[1,2]
q=[1]
Dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów:
p+q = [1,2]+[1] =[1,2]
Przyjmujemy dziedzinę:
D=[1,2,3]
Obliczamy przeczenia zbiorów p i q rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny D
~p=[D-p] = [1,2,3]-[1,2] =[3]
~q=[D-p]=[1,2,3]-[1] =[2,3]
Podstawmy obliczone zbiory do związków podzbioru => i nadzbioru ~> dla implikacji odwrotnej p|~>q:
| Kod: |
Implikacja odwrotna p|~>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
A: 1: [1,2]=>[1] = 2:[3]~>[2,3] [=] 3: [1]~>[1,2] = 4:[2,3]=>[3] =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
B: 1: [1,2]~>[1] = 2:[3]=>[2,3] [=] 3: [1]=>[1,2] = 4:[2,3]~>[3] =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać spełnienie wszystkich relacji w linii Bx.
W linii Ax wszystkie cztery relacje są fałszem.
Wniosek:
W naszym świecie rzeczywistym Kubusiowa teoria zbiorów działa doskonale.
2.9.4 Definicja operatora chaosu p|~~>q w zbiorach
Definicja operatora chaosu p|~~>q w zbiorach:
Zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q, jak również nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zastrzeżenie:
Dziedzina musi tu być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
To zastrzeżenie jest konieczne dla istnienia zbiorów niepustych ~p i ~q.
W algebrze Kubusia wszelkie argumenty muszą być zbiorami (pojęciami) niepustymi, musimy po prostu rozumieć co mówimy.
Innymi słowy:
By rozumieć co znaczy pojęcie „pies” musimy rozumieć pojęcie „nie pies”
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>:
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzenie ani relacji podzbioru =>, ani też relacji nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - relacja podzbioru => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =0 - relacja nadzbioru ~> nie jest spełniona (=0)
Stąd mamy definicję operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1
Definicja podzbioru => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja nadzbioru ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
stąd:
Definicja operatora chaosu p|~>q zdefiniowana wszystkimi możliwymi relacjami podzbiorów => i nadzbiorów ~> wynikającymi z rachunku zero-jedynkowego:
| Kod: |
Operator chaosu p|~>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
p|~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0) =1*1 =1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Sprawdźmy poznaną wyżej teorię podzbioru => i nadzbioru ~> na zbiorach minimalnych.
Przykład:
Zdefiniujmy zbiory minimalne spełniające definicję operatora chaosu:
p=[1,2]
q=[1,3]
Sprawdźmy czy powyższe zbiory spełniają definicję operatora chaosu p|~~>q:
A1: p=>q = [1,2]=>[1,3] =0 - zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q = [1,2]~>[1,3] =0 - zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
Wniosek:
Zbiory p i q spełniają definicję operatora chaosu p|~~>q
Dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów:
p+q = [1,2]+[1,3] =[1,2,3]
Przyjmujemy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
Obliczamy przeczenia zbiorów p i q rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny D
~p=[D-p] = [1,2,3,4]-[1,2] =[3,4]
~q=[D-p]=[1,2,3,4]-[1,3] =[2,4]
Podstawmy obliczone zbiory do związków podzbioru => i nadzbioru ~> dla operatora chaosu p|~~>q:
| Kod: |
Operator chaosu p|~>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
p|~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0) =1*1 =1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
A: 1: [1,2]=>[1,3] = 2:[3,4]~>[2,4] [=] 3: [1,3]~>[1,2] = 4:[2,4]=>[3,4] =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
B: 1: [1,2]~>[1,3] = 2:[3,4]=>[2,4] [=] 3: [1,3]=>[1,2] = 4:[2,4]~>[3,4] =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać, że wszystkie cztery relacje Ax są fałszem
W linii Bx również wszystkie cztery relacje są fałszem.
Wniosek:
W naszym świecie rzeczywistym Kubusiowa teoria zbiorów działa doskonale.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35365
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 18:19, 14 Kwi 2020 Temat postu: |
|
|
Spis treści
3.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 1
3.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 1
3.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 3
3.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów 3
3.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 3
3.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 4
3.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 4
3.3 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 4
3.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć należących do Uniwersum
Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być zbiór.
Przykład:
P = [pies] - jednoelementowy zbiór wszystkich zwierząt będących psami
4L=[pies, słoń ..] - zbiór wszystkich zwierząt mających cztery łapy
Jeśli zwierzę jest psem to na 100% => ma cztery łapy
P=>4L =1 - prawda (w logice psy kalekie pomijamy)
Definicja zdarzenia:
Zdarzenie to zmienna binarna.
Warunkiem koniecznym i wystarczającym działania logiki matematycznej w zdarzeniach jest wzajemny związek zdarzeń.
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1 - prawda
Zauważmy że:
Jutro może padać lub nie padać - zmienna binarna
Juto może być pochmurno lub nie być pochmurno - zmienna binarna
Uwaga:
Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego, które za chwilę poznamy.
W teorii rachunku zbiorów i zdarzeń będziemy operowali pojęciami warunek wystarczający => i warunek konieczny ~> które są wspólne w rachunku zbiorów i rachunku zdarzeń.
3.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Uwaga:
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy tu kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory nieskończone są rozłączne to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.
Podsumowując:
Definicję elementu wspólnego zbiorów ~~> w formie skróconej możemy zapisać korzystając wyłącznie ze znaczka ~~>:
p~~>q =1
.. ale nie powinniśmy zapisywać tak:
p*q =1
Dlaczego nie powinniśmy?
Zauważmy, że sam zapis p*q wobec braku znaczka ~~> teoretycznie zmusza nas do wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q. Oczywiście jak ktoś jest masochistą to może wyznaczyć kompletny zbiór wynikowy p*q co będzie tożsamym rozstrzygnięciem, czy zbiory mają element wspólny ~~> p*q=[x], czy też nie mają p*q=[].
Dlaczego zapis p*q tylko teoretycznie zmusza nas do wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q?
Bo jeśli wiemy, że poszukujemy elementu wspólnego zbiorów p*q to po znalezieniu jednego elementu wspólnego ~~> przerywamy dalsze wyznaczanie iloczynu logicznego zbiorów, bowiem znaleźliśmy to czego szukaliśmy - mamy wspólny element ~~>.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
3.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
3.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
3.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
3.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
3.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane darzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
3.3 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
Matematycznie zachodzi:
A1: ~p+q <=>B1: p+~q =0 - równoważność fałszywa
Dlatego mamy tu znaczek różne na mocy definicji ##:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
| Kod: |
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A12: p=>q = ~p~>q
##
B12: p~>q = ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
2.
Prawa Tygryska:
A13: p=>q = q~>p
##
B13: p~>q = q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
3.
Prawa kontrapozycji:
A14: p=>q = ~q=>~p
##
B14: p~>q = ~q~>~p
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35365
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 18:20, 14 Kwi 2020 Temat postu: |
|
|
Spis treści
4.0 Teoria implikacyjnych operatorów logicznych 1
4.0.1 Zasady tworzenia definicji symbolicznej 2
4.1 Operator równoważności p|<=>q 2
4.1.1 Operator równoważności p|<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 5
4.1.2 Alternatywna symboliczna definicja równoważności p|<=>q 6
4.1.3 Definicja symboliczna równoważności p<=>q do codziennego stosowania 8
4.2 Operator implikacji prostej p|=>q 9
4.2.1 Operator implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 12
4.2.2 Alternatywna symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q 12
4.2.3 Definicja symboliczna implikacji prostej p|=>q do codziennego stosowania 14
4.3 Operator implikacji odwrotnej p|~>q 15
4.3.1 Operator implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 18
4.3.2 Alternatywna symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q 18
4.3.3 Definicja symboliczna implikacji odwrotnej p|~>q do codziennego stosowania 20
4.4 Definicja operatora chaosu p|~~>q w zbiorach 21
4.4.1 Operator chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 22
4.5 Wzajemne relacje między operatorami implikacyjnymi 23
4.0 Teoria implikacyjnych operatorów logicznych
Definicja implikacyjnego operatora logicznego
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
| Kod: |
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja implikacyjnego operatora logicznego:
Implikacyjny operator logiczny to seria czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, dająca odpowiedź na następujący zestaw pytań:
Dla zdania „Jeśli p to q” zadajemy dwa pytania na które logika matematyczna musi dać odpowiedź:
Tabela AB12:
1. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
2. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
W zdaniu „Jeśli p to q” zamieniamy p i q.
Dla zdania „Jeśli q to p” zadajemy kolejne dwa pytania na które logika matematyczna musi dać odpowiedź:
Tabela AB34:
3. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie q?
4. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~q?
4.0.1 Zasady tworzenia definicji symbolicznej
Zasady tworzenia definicji symbolicznej:
1.
Zdanie warunkowe fałszywe zapisujemy wtedy i tylko wtedy gdy nie da się danego miejsca uzupełnić zdaniem prawdziwym.
2.
Jeśli na danej pozycji mamy do wyboru jednocześnie spełniony warunek wystarczający => i konieczny ~> co może się zdarzyć wyłącznie w równoważności definiującej tożsamość zbiorów p=q, to zawsze wybieramy warunek wystarczający =>.
Uzasadnienie:
Warunek wystarczający => daje nam gwarancję matematyczną =>, iż jeśli zajdzie p to na 100% zajdzie q w całym obszarze logiki matematycznej, natomiast warunek konieczny ~> daje identyczną gwarancję wyłącznie dla zbiorów tożsamych p=q.
Dokładnie z tego powodu spójnik warunku wystarczającego => jest w logice matematycznej spójnikiem domyślnym.
4.1 Operator równoważności p|<=>q
Przypomnijmy definicje podstawowe z Kubusiowej teorii zbiorów:
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie jego elementy wchodzą w skład zbioru q
p=>q =1 - gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
inaczej:
p=>q =0
Definicja nadzbioru ~>:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - gdy p jest nadzbiorem ~> zbioru q
inaczej:
p~>q =0
Dla zbiorów tożsamych p=q zachodzi:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Wynika to bezpośrednio z definicji podzbioru => i nadzbioru ~>
Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q =0 - pojęcia p i q są różne na mocy definicji ##
Gdzie:
A1: p=>q =1 - gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
inaczej:
p=>q =0
B1: p~>q =1 - gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
inaczej:
p~>q =0
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> zbioru q, co oznacza, że zbiory p i q są ze sobą w relacji tożsamości matematycznej.
Zastrzeżenie:
Dziedzina musi tu być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
To zastrzeżenie jest konieczne dla istnienia zbiorów niepustych ~p i ~q.
W algebrze Kubusia wszelkie argumenty muszą być zbiorami (pojęciami) niepustymi, musimy po prostu rozumieć co mówimy.
Innymi słowy:
By rozumieć co znaczy pojęcie „pies” musimy rozumieć pojęcie „nie pies”
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q
| Kod: |
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wnioski:
1.
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
2.
W logice matematycznej mamy do dyspozycji 16 tożsamych definicji równoważności p<=>q
I.
Definicja równoważności p<=>q to tabela AB12
| Kod: |
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator równoważności p|<=>q odpowiada na dwa pytania:
1.
Kiedy zajdzie p?
p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q)
Definiuje: p=q - tożsamość zbiorów (zdarzeń)
A1.
Jeśli zajdzie p to na100% => zajdzie q
p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q=0 - zdarzenie niemożliwe, kontrprzykład A1’ dla A1 musi być fałszem
2.
Kiedy zajdzie ~p?
~p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
~p<=>~q = (B2: ~p=>~q)*(A1: p=>q)
Definiuje: ~p=~q - tożsamość zbiorów (zdarzeń)
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystraczające => dla zajścia ~q
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =~p*q=0 - zdarzenie niemożliwe, kontrprzykład B2’ dla B2 musi być fałszem
II.
Definicja operatora równoważności q|<=>p to tabela AB34
| Kod: |
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator równoważności q|<=>p odpowiada na dwa pytania:
1.
Kiedy zajdzie q?
q zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p
q<=>p = (B3: q=>p)*(A4: ~q=>~p)
Definiuje: q=p - tożsamość zbiorów (zdarzeń)
B3.
Jeśli zajdzie q to na100% => zajdzie p
q=>p =1 - zajście q jest wystarczające => dla zajścia p
Prawdziwy warunek wystarczający B3 wymusza fałszywość kontrprzykładu B3’ (i odwrotnie)
B3’
Jeśli zajdzie q to może ~~> zajść ~p
q~~>~p =q*~p =0 - zdarzenie niemożliwe, kontrprzykład B3’ dla B3 musi być fałszem
2.
Kiedy zajdzie ~q?
~q zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p
~q<=>~p = (A4: ~q=>~p)*(B3: q=>p)
Definiuje: ~q=~p - tożsamość zbiorów (zdarzeń)
A4.
Jeśli zajdzie ~q to na 100% => zajdzie ~p
~q=>~p =1 - zajście ~q jest wystraczające => dla zajścia ~p
Prawdziwy warunek wystarczający A4 wymusza fałszywość kontrprzykładu A4’ (i odwrotnie)
A4’.
Jeśli zajdzie ~q to może ~~> zajść p
~q~~>p=~q*p =0 - zdarzenie niemożliwe, kontrprzykład A4’ dla A4 musi być fałszem
4.1.1 Operator równoważności p|<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Operator równoważności p|<=>q dotyczący p to układ równań logicznych:
1.
Kiedy zajdzie p?
Równoważności w logice dodatniej (bo q) wyrażona spójniami „i”(*) i „lub”(*):
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = p*~p+~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*q+~p*~q
Definiuje tożsamość: p=q
2.
Kiedy zajdzie ~p?
Równoważność w logice ujemnej (bo ~q) wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=p*q+~p*~q
Definiuje tożsamość: ~p=~q
Operator równoważności q|<=>p dotyczący q to układ równań logicznych:
1.
Kiedy zajdzie q?
Równoważności w logice dodatniej (bo p) wyrażona spójniami „i”(*) i „lub”(*):
q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p) =p*q+~p*~q
Definiuje tożsamość: q=p
2.
Kiedy zajdzie ~q?
Równoważność w logice ujemnej (bo ~p) wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
~q<=>~p =(A4: ~q=>~p)*(B4:~q~>~p) =p*q+~p*~q
Definiuje tożsamość: ~q=~p
Matematyczne relacje zachodzące w równoważności p<=>q są następujące:
Operator równoważności p|<=>q ## p=>q=~p+q ## p~>q=p+~q ## p<=>q = ~p<=>~q =p*q+~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Co definiuje równoważność p<=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+)?
Y = p<=>q = p*q +~p*~q
Równoważność wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+) definiuje możliwe elementy wspólne ~~> zbiorów p i q oraz ~p i ~q.
p~~>q =p*q=1 - bo zbiory p i q mają element wspólny ~~>
~p~~>~q = ~p*~q =1 - bo zbiory ~p i ~q mają element wspólny ~~>
Weźmy równoważność Pitagorasa:
TP<=>SK = TP*SK + ~TP*~SK
TP~~>SK = TP*SK =1 - bo zbiór TP ma co najmniej jeden element wspólny ~~> ze zbiorem SK (zachodzi tożsamość zbiorów TP=SK)
~TP~~>~SK = ~TP*~SK =1 - bo zbiór ~TP ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem ~SK (zachodzi tożsamość zbiorów ~TP=~SK)
4.1.2 Alternatywna symboliczna definicja równoważności p|<=>q
Alternatywne wyprowadzenie symbolicznej definicji równoważności wykonamy na bazie teorii zbiorów, będzie łatwiej zrozumieć.
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy definicję równoważności w równaniu logicznym:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1
Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla równoważności p<=>q:
| Kod: |
T1.
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##
Doskonale widać, że relacja równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Wmusza tożsamość zbiorów:
p=q
zaś relacja równoważności:
~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =1*1 =1
wmusza tożsamość zbiorów:
~p=~q
W poniższej tabeli wartościowanie relacji podzbioru => i nadzbioru ~>, jak również relacji elementu wspólnego zbiorów ~~> (same 0) zapisano tylko i włącznie na podstawie diagramów zbiorów p=q i ~p=~q widniejących w nagłówku tabeli.
| Kod: |
T1
---------- --------- --------- --------
| p=q | # |~p=~q | [=] | q=p | # |~q=~p |
---------- --------- --------- --------
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~ q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =0
##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu że jedna strona jest negacją drugiej
p=>q=1 - gdy p jest podzbiorem => q
p~>q=1 - gdy p jest nadzbiorem ~> q
p~~>~q=0 - gdy zbiory p i ~q są rozłączne
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Podstawa matematyczna wypełniania linii podzbiorów => i nadzbiorów ~> (Ax i Bx):
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Wynika to bezpośrednio z definicji podzbioru => i nadzbioru ~>
Przypomnijmy:
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie jego elementy wchodzą w skład zbioru q
p=>q =1 - gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
inaczej:
p=>q =0
Definicja nadzbioru ~>:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - gdy p jest nadzbiorem ~> zbioru q
inaczej:
p~>q =0
Podstawa matematyczna wartościowania elementu wspólnego zbiorów ~~> (Ax’ i Bx’).
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
p~~>q =p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbioru p i q mają element wspólny (nie są rozłączne)
inaczej:
p~~>q =p*q =0 - zbiory p i q są rozłączne
Definicje symboliczne równoważności dla powyższej tabeli są następujące:
| Kod: |
T1
Czas przyszły [=] Czas przeszły
---------- --------- --------- --------
| p=q | # |~p=~q | [=] | q=p | # |~q=~p |
---------- --------- --------- --------
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~ q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =0
## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu że jedna strona jest negacją drugiej
p=>q=1 - gdy p jest podzbiorem => q
p~>q=1 - gdy p jest nadzbiorem ~> q
p~~>~q=0 - gdy zbiory p i ~q są rozłączne
-------------------------------------------------------------
Definicja p|<=>q dla p i ~p [=] Definicja q|<=>p dla q i ~q
1. [=] 1.
Kiedy zajdzie p? [=] Kiedy zajdzie q?
p<=>q=(A1: p=>q)*(B2:~p=>~q) [=] q<=>p=(B3: q=>p)*(A4:~q=>~p)
Definiuje: p=q [=] Definiuje q=p
A1: p=>q =1 [=] B3: q=>p =1
A1’: p~~>~q=0 [=] B3’: q~~>~p=0
2. [=] 2.
Kiedy zajdzie ~p? [=] Kiedy zajdzie ~q?
~p<=>~q=(B2:~p=>~q)*(A1: p=>q) [=]~q<=>~p=(A4:~q=>~p)*(B3: q=>p)
Definiuje: ~p=~q [=] Definiuje: ~q=~p
B2: ~p=>~q =1 [=] A4: ~q=>~p =1
B2’ ~p~~>q =0 [=] A4’:~q~~>P =0
Gdzie:
p=>q=1 - gdy p jest podzbiorem => q
p~~>~q=0 - gdy zbiory p i ~q są rozłączne
|
4.1.3 Definicja symboliczna równoważności p<=>q do codziennego stosowania
W codziennym stosowaniu istotna jest zawartość symbolicznych definicji równoważności a nie trudne do zapamiętania indeksy przy poszczególnych zdaniach.
Co więcej, kolejność wypowiadanych zdań wchodzących w skład operatora równoważności p|<=>q nie ma żadnego znaczenia, bowiem każdemu z tych zdań da się przypisać indywidualną wartość logiczną prawda/fałsz niezależną od jakichkolwiek innych zdań.
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q
| Kod: |
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wnioski:
1.
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
2.
W logice matematycznej mamy do dyspozycji 16 tożsamych definicji równoważności p<=>q
| Kod: |
Symboliczne definicje równoważności |<=> do codziennego stosowania
Definicja p|<=>q dla p i ~p [=] Definicja q|<=>p dla q i ~q
1. [=] 1.
Kiedy zajdzie p? [=] Kiedy zajdzie q?
p<=>q=(A: p=>q)*(C:~p=>~q) [=] q<=>p=(A: q=>p)*(C:~q=>~p)
Definiuje: p=q [=] Definiuje q=p
A: p=>q =1 [=] A: q=>p =1
B: p~~>~q=0 [=] B: q~~>~p=0
2. [=] 2.
Kiedy zajdzie ~p? [=] Kiedy zajdzie ~q?
~p<=>~q=(C:~p=>~q)*(A: p=>q) [=] ~q<=>~p=(C:~q=>~p)*(A: q=>p)
Definiuje: ~p=~q [=] Definiuje: ~q=~p
C: ~p=>~q =1 [=] C: ~q=>~p =1
D: ~p~~>q =0 [=] D: ~q~~>p =0
Gdzie:
p=>q=1 - gdy p jest podzbiorem => q
p~~>~q=0 - gdy zbiory p i ~q są rozłączne
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
4.2 Operator implikacji prostej p|=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q.
Zastrzeżenie:
Dziedzina musi tu być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
To zastrzeżenie jest konieczne dla istnienia zbiorów niepustych ~p i ~q.
W algebrze Kubusia wszelkie argumenty muszą być zbiorami (pojęciami) niepustymi, musimy po prostu rozumieć co mówimy.
Innymi słowy:
By rozumieć co znaczy pojęcie „pies” musimy rozumieć pojęcie „nie pies”
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wnioski:
1.
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx
2.
W logice matematycznej mamy do dyspozycji 16 tożsamych definicji implikacji prostej p|=>q
I.
Definicja operatora implikacji prostej p|=>q to tabela AB12
| Kod: |
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator implikacji prostej p|=>q odpowiada na dwa pytania:
1.
Kiedy zajdzie p?
A1.
Jeśli zajdzie p to na100% => zajdzie q
p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q =p*~q =0 - zdarzenie niemożliwe, kontrprzykład A1’ dla A1 musi być fałszem
2.
Kiedy zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
A2.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
LUB
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =~p*q =1 - możliwe ~~> jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Fałszywy warunek wystarczający B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
Dowód:
B2: ~p=>~q =0
Na mocy definicji kontrprzykładu z fałszywości warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=0 wynika prawdziwość kontrprzykładu B2’: ~p~~>q =~p*q =1 (i odwrotnie)
II.
Definicja operatora implikacji odwrotnej q|~>p to tabela AB34
| Kod: |
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator implikacji odwrotnej q|~>p odpowiada na dwa pytania:
1.
Kiedy zajdzie q?
A3.
Jeśli zajdzie q to może ~> zajść q
q~>p =1 - zajście q jest konieczne ~> dla zajścia p
LUB
B3’.
Jeśli zajdzie q to może ~~> zajść ~p
q~~>~p= q*~p =1 - możliwe ~~> jest jednoczesne zajście zdarzeń q i ~p
Fałszywy warunek wystarczający B3 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B3’ (i odwrotnie)
Dowód:
B3: q=>p =0
Na mocy definicji kontrprzykładu z fałszywości warunku wystarczającego B3: q=>p=0 wynika prawdziwość kontrprzykładu B3’: q~>~p=q*~p =1 (i odwrotnie)
2.
Kiedy zajdzie ~q?
Prawo Kubusia:
A3: q~>p = A4: ~q=>~p
A4.
Jeśli zajdzie ~q to na 100% => zajdzie ~p
~q=>~p =1 - zajście ~q jest wystarczające => dla zajścia ~p
Spełniony warunek wystarczający A4 wymusza fałszywość kontrprzykładu A4’ (i odwrotnie)
A4’
Jeśli zajdzie ~q to może ~~> zajść p
~q~~>p =~q*p =0 - zdarzenie niemożliwe, kontrprzykład dla A4 musi być fałszem
4.2.1 Operator implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicja implikacji prostej p|=>q wyrażona spójnikami „i’(*) i „lub”(+)
p|=>q = ~p*q
Definicja implikacji odwrotnej q|~>p wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
q|~>p = q*~p
Dowód:
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q wyrażoną spójniami „i”(*) i „lub”(*):
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
Definicja implikacji odwrotnej q|~>p wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) = (q+~p)*~(~q+p) =(q+~p)*(q*~p) = q*~p
Stąd mamy tożsamość:
p|=>q = q|~>p = ~p*q
Matematyczne relacje zachodzące w implikacji prostej p|=>q są następujące:
Operator implikacji prostej p|=>q ## p=>q=~p+q ## p~>q=p+~q ## p|=>q = q|~>p =~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Co definiuje implikacja prosta p|=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+)?
Fragment z analizy implikacji prostej p|=>q:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =~p*q =1 - możliwe ~~> jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Fałszywy warunek wystarczający B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
Dowód:
B2: ~p=>~q =0
Na mocy definicji kontrprzykładu z fałszywości warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=0 wynika prawdziwość kontrprzykładu B2’: ~p~~>q =~p*q =1 (i odwrotnie)
Wniosek:
Implikacja prosta p|=>q:
p|=>q = ~p*q
wskazuje jeden, jedyny kontrprzykład prawdziwy B2’ w niej występujący
4.2.2 Alternatywna symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q
Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q będzie definicja kontrprzykładu w zbiorach rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w relacjach podzbioru =>.
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
T1.
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Na początek uzupełnijmy naszą tabelę o relację elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q wnikającą z definicji kontrprzykładu.
| Kod: |
T2
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1 = 4:~q~~>p =0
##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1 = 4:~q~~>p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p=>q=1 - gdy p jest podzbiorem => q
p~>q=1 - gdy p jest nadzbiorem ~> q
p~~>~q=0 - gdy zbiory p i ~q są rozłączne
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Algorytm wypełniania tabeli:
1.
Dla spełnionych warunków wystarczających p=>q=1 zapisujemy fałszywe kontrprzykłady p~~>~q=0:
| Kod: |
A1: p=>q =1
A1’: p~~>~q=0 ulega skopiowaniu do B1’: p~~>~q=0 (bo p i q są identyczne)
A4: ~q=>~p=1
A4’: ~q~~>p=0 ulega skopiowaniu do B4’:~q~~>p =0 (bo p i q są identyczne)
|
2.
Dla nie spełnionych warunków wystarczających p=>q=0 zapisujemy prawdziwe kontrprzykłady p~~>~q=1
| Kod: |
B2: ~p=>~q =0
B2’:~p~~>q =1 ulega skopiowaniu do A2’:~p~~>q =1 (bo p i q są identyczne)
B3: q=>p =0
B3’: q~~>~p=1 ulega skopiowaniu do A3’: q~~>~q=1 (bo p i q są identyczne)
|
Z ostatniej tabeli otrzymujemy symboliczną definicję implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1 = 4:~q~~>p =0
##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1 = 4:~q~~>p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p=>q=1 - gdy p jest podzbiorem => q
p~>q=1 - gdy p jest nadzbiorem ~> q
p~~>~q=0 - gdy zbiory p i ~q są rozłączne
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
----------------------------------------------------------
Implikacja p|=>q dla p i ~p [=] Implikacja q|~>p dla q i ~q
p|=>q =(A1: p=>q )*~(B1:p~>q) [=] q|~>p =(A3: q~>p )*~(B3: q=>p)
~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) [=]~q|=>~p=(A4:~q=>~p)*~(B4:~q~>~p)
1. [=] 1.
Co będzie jeśli zajdzie p? [=] Co będzie jeśli zajdzie q?
A1: p=>q =1 [=] A3: q~>p =1
A1’: p~~>~q=0 [=] B3’: q~~>~p=1
2. [=] 2.
.. a jeśli zajdzie ~p [=] .. a jeśli zajdzie ~q
Prawo Kubusia: [=] Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q [=] A3: q~>p = A4:~q=>~p
A2: ~p~>~q =1 [=] A4: ~q=>~p =1
B2’:~p~~>q =1 [=] A4’:~q~~>p =0
|
4.2.3 Definicja symboliczna implikacji prostej p|=>q do codziennego stosowania
W codziennym stosowaniu istotna jest zawartość symbolicznych definicji implikacji prostej p|=>q a nie trudne do zapamiętania indeksy przy poszczególnych zdaniach.
Co więcej, kolejność wypowiadanych zdań wchodzących w skład implikacji prostej p|=>q nie ma żadnego znaczenia, bowiem każdemu z tych zdań da się przypisać indywidualną wartość logiczną prawda/fałsz niezależną od jakichkolwiek innych zdań.
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wnioski:
1.
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx
2.
W logice matematycznej mamy do dyspozycji 16 tożsamych definicji implikacji prostej p|=>q
| Kod: |
Definicja implikacji prostej p|=>q do codziennego stosowania
Implikacja p|=>q dla p i ~p [=] Implikacja q|~>p dla q i ~q
1. [=] 1.
Co będzie jeśli zajdzie p? [=] Co będzie jeśli zajdzie q?
A: p=>q =1 [=] A: q~>p =1
B: p~~>~q=0 [=] B: q~~>~p=1
2. [=] 2.
.. a jeśli zajdzie ~p [=] .. a jeśli zajdzie ~q
Prawo Kubusia: [=] Prawo Kubusia:
A: p=>q = C:~p~>~q [=] A: q~>p = B:~q=>~p
C:~p~>~q =1 [=] C:~q=>~p =1
D:~p~~>q =1 [=] D:~q~~>p =0
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
4.3 Operator implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q.
Zastrzeżenie:
Dziedzina musi tu być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
To zastrzeżenie jest konieczne dla istnienia zbiorów niepustych ~p i ~q.
W algebrze Kubusia wszelkie argumenty muszą być zbiorami (pojęciami) niepustymi, musimy po prostu rozumieć co mówimy.
Innymi słowy:
By rozumieć co znaczy pojęcie „pies” musimy rozumieć pojęcie „nie pies”
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej p|~>q:
| Kod: |
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wnioski:
1.
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax
2.
W logice matematycznej mamy do dyspozycji 16 tożsamych definicji implikacji odwrotnej p|~>q
I.
Definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q to tabela AB12
| Kod: |
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator implikacji odwrotnej p|~> odpowiada na dwa pytania:
1.
Kiedy zajdzie p?
B1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
LUB
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q =p*~q =1 - możliwe ~~> jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
Dowód:
A1: p=> q =0
Na mocy definicji kontrprzykładu z fałszywości warunku wystarczającego A1: p=>q=0 wynika prawdziwość kontrprzykładu A1’: p~~>~q =p*~q =1 (i odwrotnie)
2.
Kiedy zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q ~p*q =0 - zdarzenie niemożliwe, kontrprzykład B2’ dla B2 musi być fałszem
II.
Definicja operatora implikacji prostej q|=>p to tabela AB34
| Kod: |
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator implikacji prostej q|=>p odpowiada na dwa pytania:
1.
Kiedy zajdzie q?
B3.
Jeśli zajdzie q to na 100% => zajdzie p
q=>p =1 - zajście q jest wystarczające => dla zajścia p
Prawdziwy warunek wystarczający B3 wymusza fałszywość kontrprzykładu B3’ (i odwrotnie)
B3’
Jeśli zajdzie q to może ~~> zajść ~p
q~~>~p =q*~p =0 - zdarzenie niemożliwe, kontrprzykład B3’ dla B3 musi być fałszem
2.
Kiedy zajdzie ~q?
Prawo Kubusia:
B3: q=>p = B4: ~q~>~p
B4.
Jeśli zajdzie ~q to może ~> zajść ~p
~q~>~p =1 - zajście ~q jest konieczne ~> dla zajścia ~p
LUB
B4’.
Jeśli zajdzie ~q to może ~~> zajść p
~q~~>p=~q*p =1 - możliwe ~~> jest jednoczesne zajście zdarzeń ~q i p
Fałszywy warunek wystarczający B4 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B4’ (i odwrotnie)
Dowód:
B4: ~q=>~p =0
Na mocy definicji kontrprzykładu z fałszywości warunku wystarczającego B4: ~q=>~p=0 wynika prawdziwość kontrprzykładu B4’: ~q~>p=~q*p =1 (i odwrotnie)
4.3.1 Operator implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicja implikacji prostej p|=>q wyrażona spójnikami „i’(*) i „lub”(+)
p|~>q = p*~q
Definicja implikacji odwrotnej q|~>p wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
q|=>p = ~q*p
Dowód:
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q wyrażoną spójniami „i”(*) i „lub”(*):
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
Definicja implikacji prostej q|=>p wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
q|=>p = ~(A3: q~>p)*(B3: q=>p) = ~(q+~p)*(~q+p) =(~q*p)*(~q+p) = ~q*p
Stąd mamy tożsamość:
p|~>q = q|=>p = p*~q
Matematyczne relacje zachodzące w implikacji odwrotnej p|~>q są następujące:
Operator implikacji odwrotnej p|~>q ## p=>q=~p+q ## p~>q=p+~q ## p|~>q = q|=>p =~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Co definiuje implikacja odwrotne p|~>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+)?
Fragment z analizy implikacji odwrotnej p|~>q:
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q =p*~q =1 - możliwe ~~> jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
Dowód:
A1: p=> q =0
Na mocy definicji kontrprzykładu z fałszywości warunku wystarczającego A1: p=>q=0 wynika prawdziwość kontrprzykładu A1’: p~~>~q =p*~q =1 (i odwrotnie)
Wniosek:
Implikacja odwrotna p|~>q:
p|~>q = p*~q
wskazuje jeden, jedyny kontrprzykład prawdziwy A1’ w niej występujący
4.3.2 Alternatywna symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q będzie definicja kontrprzykładu w zbiorach rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w relacjach podzbioru =>.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej p|~>q:
| Kod: |
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Na początek uzupełnijmy naszą tabelę o relację elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q wnikającą z definicji kontrprzykładu.
| Kod: |
T2
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =1
##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: 1: p~~>~q=1 = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p=>q=1 - gdy p jest podzbiorem => q
p~>q=1 - gdy p jest nadzbiorem ~> q
p~~>~q=0 - gdy zbiory p i ~q są rozłączne
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Algorytm wypełniania tabeli:
1.
Dla spełnionych warunków wystarczających p=>q=1 zapisujemy fałszywe kontrprzykłady p~~>~q=0:
| Kod: |
B2: ~p=>~q =1
B2’:~p~~>q =0 ulega skopiowaniu do A2’:~p~~>q =0 (bo p i q są identyczne)
B3: q=>p =1
B3’: q~~>~p=0 ulega skopiowaniu do A3’: q~~>~q=0 (bo p i q są identyczne)
|
2.
Dla nie spełnionych warunków wystarczających p=>q=0 zapisujemy prawdziwe kontrprzykłady p~~>~q=1
| Kod: |
A1: p=>q =0
A1’: p~~>~q=1 ulega skopiowaniu do B1’: p~~>~q=1 (bo p i q są identyczne)
A4: ~q=>~p=0
A4’: ~q~~>p=1 ulega skopiowaniu do B4’:~q~~>p =1 (bo p i q są identyczne)
|
Z ostatniej tabeli otrzymujemy symboliczną definicję implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
T2
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =1
##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: 1: p~~>~q=1 = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p=>q=1 - gdy p jest podzbiorem => q
p~>q=1 - gdy p jest nadzbiorem ~> q
p~~>~q=0 - gdy zbiory p i ~q są rozłączne
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
----------------------------------------------------------
Implikacja p|~>q dla p i ~p [=] Implikacja q|=>p dla q i ~q
p|~>q =~(A1: p=>q )*(B1:p~>q) [=] q|=>p =~(A3: q~>p )*(B3: q=>p)
~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) [=]~q|~>~p=~(A4:~q=>~p)*(B4:~q~>~p)
1. [=] 1.
Co będzie jeśli zajdzie p? [=] Co będzie jeśli zajdzie q?
B1: p~>q =1 [=] B3: q=>p =1
A1’: p~~>~q=1 [=] A3’: q~~>~p=0
2. [=] 2.
.. a jeśli zajdzie ~p [=] .. a jeśli zajdzie ~q
Prawo Kubusia: [=] Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q [=] B3: q=>p = B4:~q~>~p
B2: ~p=>~q =1 [=] B4: ~q~>~p =1
B2’:~p~~>q =0 [=] A4’:~q~~>p =1
|
4.3.3 Definicja symboliczna implikacji odwrotnej p|~>q do codziennego stosowania
W codziennym stosowaniu istotna jest zawartość symbolicznych definicji implikacji odwrotnej p|~>q a nie trudne do zapamiętania indeksy przy poszczególnych zdaniach.
Co więcej, kolejność wypowiadanych zdań wchodzących w skład implikacji odwrotnej p|~>q nie ma żadnego znaczenia, bowiem każdemu z tych zdań da się przypisać indywidualną wartość logiczną prawda/fałsz niezależną od jakichkolwiek innych zdań.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej p|~>q:
| Kod: |
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wnioski:
1.
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax
2.
W logice matematycznej mamy do dyspozycji 16 tożsamych definicji implikacji odwrotnej p|~>q
| Kod: |
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q do codziennego stosowania
Implikacja p|~>q dla p i ~p [=] Implikacja q|~>p dla q i ~q
1. [=] 1.
Co będzie jeśli zajdzie p? [=] Co będzie jeśli zajdzie q?
A: p~>q =1 [=] A: q=>p =1
B: p~~>~q=1 [=] B: q~~>~p=0
2. [=] 2.
.. a jeśli zajdzie ~p [=] .. a jeśli zajdzie ~q
Prawo Kubusia: [=] Prawo Kubusia:
A: p~>q = C:~p=>~q [=] A: q=>p = C:~q~>~p
C:~p=>~q =1 [=] C:~q~>~p =1
D:~p~~>q =0 [=] D:~q~~>p =1
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
4.4 Definicja operatora chaosu p|~~>q w zbiorach
Definicja operatora chaosu p|~~>q w zbiorach:
Zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q, jak również nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zastrzeżenie:
Dziedzina musi tu być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
To zastrzeżenie jest konieczne dla istnienia zbiorów niepustych ~p i ~q.
W algebrze Kubusia wszelkie argumenty muszą być zbiorami (pojęciami) niepustymi, musimy po prostu rozumieć co mówimy.
Innymi słowy:
By rozumieć co znaczy pojęcie „pies” musimy rozumieć pojęcie „nie pies”
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>:
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzenie ani relacji podzbioru =>, ani też relacji nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - relacja podzbioru => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =0 - relacja nadzbioru ~> nie jest spełniona (=0)
Stąd mamy definicję operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1
Definicja podzbioru => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja nadzbioru ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
stąd:
Definicja operatora chaosu p|~>q zdefiniowana wszystkimi możliwymi relacjami podzbiorów => i nadzbiorów ~> wynikającymi z rachunku zero-jedynkowego:
| Kod: |
Operator chaosu p|~>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
p|~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0) =1*1 =1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
4.4.1 Operator chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicja operatora chaosu p|~~>q wyrażona spójnikami „i’(*) i „lub”(+)
p|~~>q =0
Dowód:
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Stąd mamy definicję operatora chaosu p|~~>q wyrażoną spójniami „i”(*) i „lub”(*):
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(~p*q) =0
Matematyczne relacje zachodzące w implikacji odwrotnej p|~>q są następujące:
Operator chaosu p|~~>q=0 ## p=>q=~p+q ## p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Co definiuje operator chaosu p|~~>q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)?
p|~~>q =0
Operator chaosu p|~~>q wskazuje na zero kontrprzykładów prawdziwych w nim występujących.
Brak choćby jednego kontrprzykładu jest tożsamy z brakiem choćby jednego warunku wystarczającego => co na mocy prawa Kubusia jest tożsame z brakiem choćby jednego warunku koniecznego.
Prawa Kubusia dla operatora chaosu p|~~>q:
p=>q = ~p~>~q =0 - bo nie ma warunku wystarczającego =>
p~>q = ~p=>~q =0 - bo nie ma warunku wystarczającego =>
4.5 Wzajemne relacje między operatorami implikacyjnymi
Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q =0 - pojęcia p i q są różne na mocy definicji ##
Gdzie:
A1: p=>q =1 - gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
inaczej:
p=>q =0
B1: p~>q =1 - gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
inaczej:
p~>q =0
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
Wzajemne relacja między spójnikami między spójnikami i operatorami implikacyjnymi to relacja różne na mocy definicji ##:
I.
Definicja warunku wystarczającego => w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p+q
##
II.
Definicja warunku koniecznego ~> w rachunku zero-jedynkowym:
p~>q = ~p+q
##
III.
Operator równoważności p|<=>q to złożenie spójnika równoważności w logice dodatniej p<=>q (bo q) i ujemnej ~p<=>~q (bo ~q):
1.
Kiedy zajdzie p?
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*q + ~p*~q
2.
Kiedy zajdzie ~p?
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = p*q+~p*~q
p<=>q = ~p<=>~q = p*q+~p*~q
##
IV.
Operator implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~p*q
##
V.
Operator implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*~q
##
VI.
Operator chaosu p|~~>q:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
