|
ŚFiNiA ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 19:28, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.4 Przykład równoważności A<=>S w zdarzeniach
Spis treści
9.4 Przykład równoważności A<=>S w zdarzeniach 1
9.4.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach 4
9.4.2 Równoważności jednokierunkowa A<=>S w zdarzeniach 7
9.4 Przykład równoważności A<=>S w zdarzeniach
Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod: |
S1 Schemat 1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
A1: A=>S =1
Tak, bo zawsze gdy wciśniemy przycisk A żarówka zaświeci się.
Zauważmy, że gdyby szeregowo z przyciskiem A występował przycisk zmiennej wolnej W to odpowiedź na powyższe pytanie byłaby negatywna (=0).
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A1: A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka S świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam (=1) gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmujemy zdanie A1 za punkt odniesienia:
p=A - przycisk A
q=S - żarówka S
Stąd mamy zdanie A1 w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
B1: A~>S =1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Tak
Konieczne ~> dlatego, że nie ma przycisku zmiennej wolnej W podłączonego równolegle do przycisku A, który by zaświecił żarówkę niezależnie od stanu przycisku A.
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka S na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1).
cnd
Stąd mamy:
Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak, nie ma żadnych innych przycisków z wyjątkiem A
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna związana A będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(a) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty
Na początek musimy udowodnić, iż rzeczywiście układ S1 jest fizyczną realizacją równoważności A<=>S.
Jak udowodnić, iż schemat S1 to fizyczna realizacja równoważności?
Definicja równoważności klasycznej p<=>q w zdarzeniach:
Równoważność klasyczna A1B1: p<=>q to jednoczesna zajście warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Nasz przykład:
Definicja równoważności klasycznej A<=>S w zdarzeniach:
Równoważność klasyczna A1B1: A<=>S to jednoczesna zajście warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) wystarczające => dla świecenia żarówki S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia żarówki S
stąd:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Przycisk A jest wciśnięty wtedy i tylko wtedy gdy żarówka S świeci się
Prawą stronę czytamy:
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla świecenia się żarówki S
Ostatnie zdanie to powszechnie znana definicja równoważności.
Dowodzimy prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S bo w układzie nie ma przycisku W (zmienna wolna) połączonego szeregowo z A który by gwałcił warunek wystarczający =>.
cnd
Dowodzimy prawdziwości warunku koniecznego ~> B1:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S, bo w układzie S1 nie ma przycisku W (zmienna wolna) podłączonego równolegle do A który mógłby zaświecić żarówkę S niezależnie od stanu przycisku A.
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> świecenia się żarówki S (S=1), bo jak przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie będzie się świecić (~S=1)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
Stąd mamy spełnioną podstawową definicję równoważności.
Prawo Kameleona po raz n-ty:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Doskonale widać, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to zdania różne na mocy definicji ## warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
A1: p=>q=~p+q ## B1: p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wplecionych w treść zdań.
Innymi słowy:
Wszystko zależy tu od tego, którym znaczkiem (=> albo ~>) zakodujemy banalne zdanie prawdziwe opisujące układ S1:
S1:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% świeci się (S=1)
Zapis aktualny zdań A1 i B1:
A1: A=>S=~A+S =1 ## B1: A~>S = A+~S =1
Zapis formalny zdań A1 i B1:
A1: p=>q =~p+q =1 ## B1: p~>q = p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
9.4.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach
Nanieśmy nasz matematyczny dowód spełnionej definicji równoważności A<=>S do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q.
Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia S
Stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Przyjęty na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym {A, S}:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S=1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: A~>S =1 = 2:~A=>~S=1 [=] 3: S=>A =1 = 4:~S~>~A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Sowy dla równoważności:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii A
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii B
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli TR
Nasz przykład:
Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest konieczne ~> dla świecenia S
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak, nie ma żadnych innych przycisków z wyjątkiem A
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Operator równoważności A|<=>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o A i ~A:
A1B1: A<=>S =(A1: A=>S)* (B1: A~>S) - kiedy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
A2B2:~A<=>~S=(A2:~A~>~S)*(B2:~A=>~S) - kiedy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
A1B1:
Kiedy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
Kolumna A1B1
RA1B1:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
Całość czytamy:
Równoważność A<=>S jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięcie przycisku A (A=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, by żarówka świeciła się (S=1)
Równoważność A<=>S definiuje tożsamość pojęć A=S:
A=S <=> (A1: A=>S)*(B1: A~>S) = A<=>S
Tożsamość pojęć A=S wymusza tożsamość pojęć ~A=~S (i odwrotnie)
Matematycznie zachodzi tu relacja:
A=S # ~A=~S
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Odpowiedź na pytanie A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” jest następująca:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zawsze gdy wciśniemy przycisk A zaświeci się żarówka S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
A2B2:
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
Kolumna A2B2
RA2B2:
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Klawisz A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
Całość czytamy:
Równoważność ~A<=>~S jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla braku świecenia się żarówki S (~S=1)
Równoważność ~A<=>~S definiuje tożsamość pojęć ~A=~S:
~A=~S <=> (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) = ~A<=>~S
Tożsamość pojęć ~A=~S wymusza tożsamość pojęć A=S (i odwrotnie)
Matematycznie zachodzi tu relacja:
A=S # ~A=~S
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Odpowiedź na pytanie A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” jest następująca:
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla braku świecenia żarówki S (~S=1)
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => braku świecenia się żarówki S (~S=1)
Zawsze, gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1), żarówka nie świeci się (~S=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Niemożliwe jest zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka S świeci się (S=1)
Podsumowanie:
1.
Istotą operatora równoważności A|<=>S jest gwarancja matematyczna => zarówno po stronie wciśniętego przycisku A (A=1) - zdanie A1, jak i po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A=1) - zdanie B2.
2.
Prawdziwości/fałszywości powyższych zdań dowodzimy na gruncie fizyki teoretycznej.
Jakiekolwiek iterowanie nie ma tu sensu, bowiem wcześniej czy później żarówka spali się i nie będziemy mieli fizycznego potwierdzenia prawdziwości/fałszywości powyższych zdań.
9.4.2 Równoważności jednokierunkowa A<=>S w zdarzeniach
Zauważmy, że omawiana równoważność A<=>S jest równoważnością jednokierunkową.
Weźmy nasz przykład:
Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest konieczne ~> dla świecenia S
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak, nie ma żadnych innych przycisków z wyjątkiem A
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Definicja równoważności p<=>q jednokierunkowej:
Równoważność p<=>q jest jednokierunkowa wtedy i tylko wtedy gdy zamiana przyczyny p ze skutkiem q jest fizycznie niemożliwa.
Co to oznacza?
Na schemacie S1 przyczyną jest przycisk A co oznacza, że możemy włączać/wyłączać przycisk A obserwując skutek - żarówka jest zaświecona albo zgaszona w zależności od stanu przycisku A.
Odwrotnie nie zachodzi:
Żarówka S nie jest tu przyczyną ustawienia przycisku A na określoną pozycję, tzn. jeśli żarówka świeci się to możemy wykręcać i wkręcać żarówkę S powodując jej wygaszenie albo zaświecenie co nie ma żadnego wpływu na aktualny stan przycisku A.
Nasz przykład:
Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia S
Stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Przyjęty na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym {A, S}:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S=1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: A~>S =1 = 2:~A=>~S=1 [=] 3: S=>A =1 = 4:~S~>~A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W tabeli prawdy równoważności A<=>S sytuacja po zamianie przyczyny A i ze skutkiem S opisana jest kolumnami A3B3 i A4B4.
A3B3
Weźmy równoważność S<=>A opisaną kolumną A3B3:
A3: S~>A=1 - świecenie się żarówki S jest warunkiem koniecznym ~>
dla wnioskowania, iż przycisk A jest wciśnięty
B3: S=>A=1 - świecenie się żarówki S jest warunkiem wystarczającym =>
dla wnioskowania, iż przycisk A jest wciśnięty
Stąd:
A3B3: S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Żarówka S świeci się wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty
Prawą stronę czytamy:
Świecenie się żarówki S jest warunkiem koniecznym ~> (A3) i wystarczającym => (B3) dla wnioskowania, iż przycisk A jest wciśnięty
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Nasz przykład:
Równoważność prawdziwa A3B3: S<=>A definiuje tożsamość zdarzeń S=A
czyli:
S=A
Zdarzenie żarówka S świeci się (S=1) jest tożsame ze zdarzeniem przycisk A jest wciśnięty (A=1)
Innymi słowy:
Z faktu że żarówka S świeci się (S=1) wnioskujemy, iż przycisk A jest wciśnięty (A=1) co wynika z teorii fizycznej - nie musimy tego faktu sprawdzać doświadczalnie
A4B4:
Weźmy równoważność ~S<=>~A opisaną kolumną A4B4:
A4: ~S=>~A=1 - brak świecenia żarówki S (~S=1) jest warunkiem wystarczającym =>
dla wnioskowania, iż przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
B4: ~S~>~A=1 - brak świecenia żarówki S (~S=1) jest warunkiem koniecznym ~>
dla wnioskowania, iż przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
Stąd:
A4B4: ~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Żarówka S nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
Prawą stronę czytamy:
Brak świecenia żarówki S (~S=1) jest warunkiem koniecznym ~> (B4) i wystarczającym => (A4) dla wnioskowania, iż przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Nasz przykład:
Równoważność prawdziwa A4B4: ~S<=>~A definiuje tożsamość zdarzeń ~S=~A
czyli:
~S=~A
Zdarzenie żarówka S nie świeci się (~S=1) jest tożsame ze zdarzeniem przyciska A nie jest wciśnięty (~A=1)
Innymi słowy:
Z faktu że żarówka S nie świeci się (~S=1) wnioskujemy, iż przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) co wynika z teorii fizycznej - nie musimy tego faktu sprawdzać doświadczalnie
|
|
Powrót do góry |
|
|
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 19:31, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.5 Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q)
Spis treści
9.5 Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) 1
9.5.1 Operator "albo"($) p|$q w logice dodatniej (bo q) 7
9.5.2 Operator „albo”($) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) 9
9.6 Diagram spójnika „albo”($) w zbiorach 10
9.5 Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q)
Przypomnijmy sobie definicje podstawowe:
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej dla wielu członów (patrz prawo Słonia niżej)
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p (p) do zanegowanego q (~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Powyższa definicja równoważności p<=>~q znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= A1B1: p<=>~q
Środek czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q (i odwrotnie)
Stąd mamy tabelę prawdy spójnika "albo"($) p$q.
Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q = 2:~p~>q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p [=] 5: ~p+~q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q = 2:~p=>q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p [=] 5: p+ q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($) p$q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Stąd warunek wystarczający => dla spójnika „albo”($)
p=>~q=~p+~q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Stąd warunek konieczny ~> dla spójnika „albo”($)
p~>~q=p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (~p+~q)*(p+q)=~p*p+~p*q+~q*p+~q*q = p*~q+~p*q
Do zapamiętania:
p$q = p*~q+~p*q
W tabeli TA na mocy kolumny A2B2 odczytujemy tożsamą definicję spójnika „albo”($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q).
A2B2.
Definicja spójnika „albo”($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q):
Spójnik „albo”($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od ~p do q
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
stąd:
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=1*1=1
Czytamy:
Spójnik „albo”($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście ~p jest (=1) konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności p<=>~q:
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)= ~p<=>q
Środek czytamy:
Zajście ~p jest (=1) konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
Definicja równoważności p<=>~q znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q [=] A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q
Dowód:
Prawa Kubusia:
A1: p=>~q = A2: ~p~>q =1
B1: p~>~q = B2: ~p=>q =1
cnd
Innymi słowy:
Prawa Kubusia:
A1: p=>~q=1 <=> A2: ~p~>q =1
B1: p~>~q=1 <=> B2: ~p=>q =1
<=> - wtedy i tylko wtedy
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
„=”, [=], <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej.
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>~q determinuje tożsamość zbiorów/ zdarzeń p=~q ( i odwrotnie)
Stąd mamy tabelę prawdy spójnika "albo"($) p$q z uwzględnieniem prawa Irbisa:
Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) uwzględniająca prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q=1 [=] 3: ~q~>p=1 = 4: q=>~p=1 [=] 5: ~p+~q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q=1 [=] 3: ~q=>p=1 = 4: q~>~p=1 [=] 5: p+ q =1
-----------------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3: ~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń (prawo Irbisa):
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
AB: 1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Doskonale widać że:
1.
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q:
A1B1:
Dwa zbiory/zdarzenia p i ~q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q.
A1B1: p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q = A1B1: p$q
W "albo"($) p$q mamy tu odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
2.
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=q:
A2B2:
Dwa zbiory/zdarzenia ~p i q są tożsame ~p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajęcie ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q.
A2B2: ~p=q <=> (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)= A2B2: ~p<=>q = A2B2: ~p$~q
W "albo"($) ~p$~q mamy tu odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
3.
Kolumna A3B3 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~q=p:
A3B3.
Dwa zbiory/zdarzenia ~q i p są tożsame ~q=p wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~q jest konieczne ~> (A3) i wystarczające => (B3) dla zajścia p.
A3B3: ~q=p <=> (A3: ~q~>p)*(B3: ~q=>p) = A3B3: ~q<=>p = A3B3: ~q$~p
W "albo"($) ~q$~p mamy tu odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~q?
4.
Kolumna A4B4 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń q=~p:
A4B4:
Dwa zbiory/zdarzenia q i ~p są tożsame q=~p wtedy i tylko wtedy gdy zajście q jest konieczne ~> (B4) i wystarczające => A4) dla zajścia ~p
A4B4: q=~p <=> (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p) = A4B4: q<=>~p = A4B4: q$p
W "albo"($) q$p mamy tu odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie q?
Przemienność w tożsamości zbiorów/zdarzeń jest oczywista, stąd mamy tożsamości:
A1B1: p=~q [=] A3B3: ~q=p
#
A2B2: ~p=q [=] A4B4: q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony we wspólnej dziedzinie D
9.5.1 Operator "albo"($) p|$q w logice dodatniej (bo q)
Zapiszmy wyprowadzoną wyżej tabelę prawdy spójnika "albo"($) p$q z uwzględnieniem prawa Irbisa.
Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) uwzględniająca prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q=1 [=] 3: ~q~>p=1 = 4: q=>~p=1 [=] 5: ~p+~q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q=1 [=] 3: ~q=>p=1 = 4: q~>~p=1 [=] 5: p+ q =1
-----------------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3: ~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń (prawo Irbisa):
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
AB: 1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($):
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja spójnika „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
Z prawa Sowy wynika, iż udowodnienie prawdziwości spójnika „albo”($) p$q jest tożsame z udowodnieniem prawdziwości operatora „albo”(|$) p|$q i odwrotnie.
Definicja operatora „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo p):
Operator „albo”(|$) p|$q w logice dodatniej (bo p) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Prawa strona A1B1 to definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1 =1
Stąd mamy:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q:
Dwa zbiory/zdarzenia p i ~q są tożsame p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q.
A1B1: p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie ~q
p=>~q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zbiory:
Przynależność elementu do zbioru p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jego przynależności do zbioru ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru ~q
Zdarzenia:
Zajście zdarzenia p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia ~q
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: p i q
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: p i q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>~q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Stąd:
A2B2: ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
Prawa strona A2B2 to definicja równoważności ~p<=>q:
Równoważność ~p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
Stąd mamy:
A2B2: ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p<=>q
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=q:
Dwa zbiory/zdarzenia ~p i q są tożsame ~p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajęcie ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q.
A2B2: ~p=q <=> (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)= A2B2: ~p<=>q
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie q
~p=>q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zbiory:
Przynależność elementu do zbioru ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jego przynależności do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru q
Zdarzenia:
Zajście zdarzenia ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia q
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~p i ~q
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: ~p i ~q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
Podsumowując:
Spójnik „albo”($) p$q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań tworzących operator „albo”(|$) p|$q (A1’, A1’, B2, B2’) jest bez znaczenia co oznacza, iż zdania w powyższej analizie możemy dowolnie przestawiać
9.5.2 Operator „albo”($) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q)
Definicja operatora „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo p):
Operator „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo p) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy definicję operatora "albo"($) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q)
Definicja operatora „albo”($) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q):
Operator „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na dwa pytania o ~p i p:
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
Wniosek:
Analiza operatora „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora „albo”(|$) p|$q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 (kiedy zajdzie ~p?) kończąc na kolumnie A1B1 (kiedy zajdzie p?)
9.6 Diagram spójnika „albo”($) w zbiorach
Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) uwzględniająca prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q=1 [=] 3: ~q~>p=1 = 4: q=>~p=1 [=] 5: ~p+~q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q=1 [=] 3: ~q=>p=1 = 4: q~>~p=1 [=] 5: p+ q =1
-----------------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3: ~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń (prawo Irbisa):
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
AB: 1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Relacje zbiorów w tabeli prawdy TA są następujące:
A1B1: p=~q [=] A3B3: ~q=p - przemienność zbiorów tożsamych jest oczywistością
#
A2B2: ~p=q [=] A4B4: q=~p - przemienność zbiorów tożsamych jest oczywistością
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna zbiorów
Stąd mamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w zbiorach:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to dwa zbiory niepuste i rozłączne p i q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
Stąd mamy definicję dziedziny dla spójnika „albo”($)
D=p+q
Kod: |
DA
Diagram „albo”($) A1B1: p$q w zbiorach:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q = A1B1: p=~q
.. a jeśli zajdzie ~p?
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q) = A2B2:~p<=>q = A2B2:~p=q
Stąd mamy diagram spójnika "albo"($) p$q:
----------------------------------------------------------------------
| p | q |
|------------------------------|-------------------------------------|
| ~q | ~p |
|------------------------------|-------------------------------------|
| p=~q # ~p=q |
|--------------------------------------------------------------------|
| A1: p=>~q=1 (p*~q=1) | A2:~p~>q=1 (~p*q=1) |
| B1: p~>~q=1 (p*~q=1) | B2:~p=>q=1 (~p*q=1) |
| p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) [=] ~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) |
| Definiuje tożsamość zbiorów: | Definiuje tożsamość zbiorów: |
| A1B1: p=~q # A2B2: ~p=q |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina to suma logiczna zbiorów niepustych p*~q i ~p*q: |
| D= A1: p*~q+ B2:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>q = p* q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>~q=~p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Gdzie: |
| # - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony|
| [=] - tożsamość logiczna |
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>~q =1 -zbiór/zdarzenie p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~q
B1: p~>~q =1 -zbiór/zdarzenie p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia ~q
Stąd:
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Wnioski:
Równoważność p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
A2B2:
A2:~p~>q=1 -zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia q
B2:~p=>q=1 -zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia q
Stąd:
A2B2: ~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p<=>q
Wnioski:
Równoważność ~p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=q
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
II
Po zamianie p i q
A3B3:
A3: q~>~p =1 -zbiór/zdarzenie q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia ~p
B3: q=>~p =1 -zbiór/zdarzenie q jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~p
stąd:
A3B3: q$p=(A3: q~>~p)*(B3: q=>~p)= q<=>~p
Wnioski:
Równoważność q<=>~p definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń q=~p
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
A4B4:
A4:~q=>p=1 -zbiór/zdarzenie ~q jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia p
B4:~q~>p=1 -zbiór/zdarzenie ~q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia p
Stąd:
A4B4: ~q$~p=(A4:~q=>p)*(B4:~q~>p)= ~q<=>p
Wnioski:
Równoważność ~q<=>p definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~q=p
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja spójnika „albo”($) p$q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=q (i odwrotnie)
2.
Spójnik „albo”($) p$q to dwa i tylko dwa zbiory/zdarzenia niepuste i rozłączne p=~q oraz ~p=q uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny
3.
W definicji spójnika „albo”($) nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q [=] A2B2: ~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)=~p<=>q
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>~q = A2: ~p~>q
B1: p~>~q = B2: ~p=>q
cnd
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Lewa strona tożsamości logicznej [=] definiuje tożsamość zbiorów p=~q:
A1B1: p=~q <=> A1B1: (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q = A1B1: p$q
Dwa zbiory p i ~q są tożsame (p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru ~q (A1) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q (B1)
Prawa strona tożsamości logicznej [=] definiuje tożsamość zbiorów ~p=q:
A2B2: ~p=q <=> A2B2: (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)= A2B2:~p<=>q = A2B2:: ~p$~q
Dwa zbiory ~p i q są tożsame (~p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru q (B2) i jednocześnie zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru q (A2)
W algebrze Kubusia tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=>
Z faktu zachodzącej tożsamości logicznej [=]:
A1B1: (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q [=] A2B2: (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)=~p<=>q
wynika iż zbiory p=~q i ~p=q są rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny, do widać na diagramie DA.
Stąd dla diagramu DA możemy zapisać:
Kod: |
DMZDA
Diagram matematycznych związków w spójniku „albo”($) dla zbiorów:
Spójnik „albo”($) p$q [=] Spójnik „albo”($) ~p$~q
A1B1: [=] A2B2:
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q [=] ~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)=~p<=>q
Definiujący tożsamość zbiorów | Definiujący tożsamość zbiorów:
p=~q # ~p=q
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
w obrębie tej samej dziedziny D
Dziedzina D w „albo”($) to dwa zbiory niepuste i wzajemnie rozłączne
p=~q oraz ~p=q uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny D.
Stąd:
D=p+q = p+~p =1
Zapis tożsamy:
D=~p+~q = q+~q=1
bo zachodzi tożsamość zbiorów p=~q wymuszająca tożsamość zbiorów ~p=q
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
~p=[D-p]=[p+~p-p]=~p
~q=[D-q]=[q+~q-q]=~q
Zachodzi prawo podwójnego przeczenia:
Zbiór p w logice dodatniej (bo p) to negacja # zbioru ~p w logice ujemnej (bo ~p) w dziedzinie D
p=~(~p)
Zbiór q w logice dodatniej (bo q) to negacja # zbioru ~q w logice ujemnej (bo ~q) w dziedzinie D
q=~(~q)
Doskonale to widać na diagramie DA
Oczywiście zachodzi również:
Zbiór ~p w logice ujemnej (bo ~p) to negacja # zbioru p w logice dodatniej (bo p) w dziedzinie D
~p=~(p)
Zbiór ~q w logice ujemnej (bo ~q) to negacja # zbioru q w logice dodatniej (bo q) w dziedzinie D
~q=~(q)
Doskonale to widać na diagramie DA
Jak widzimy, od strony czysto matematycznej jest tu wszystko w porządku.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 8:15, 19 Lip 2022, w całości zmieniany 4 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 19:35, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.7 Przykłady spójnika „albo”($) w zbiorach i w zdarzeniach
Spis treści
9.7 Spójnik „albo”($) M$K w zbiorach 1
9.7.1 Operator „albo”($) M|$K w zbiorach w logice dodatniej (bo K) 4
9.7.2 Operator „albo”(|$) ~M|$~K w logice ujemnej (bo ~K) 6
9.7.3 Diagram spójnika „albo”($) M$K w zbiorach 7
9.8 Spójnik „albo”($) S$Z w zdarzeniach 9
9.8.1 Operator „albo”(|$) S|$Z w zdarzeniach w logice dodatniej (bo Z) 12
9.8.2 Operator „albo”(|$) ~S|$~Z w zdarzeniach w logice ujemnej (bo ~Z) 15
9.8.3 Diagram spójnika „albo”($) S$Z w zdarzeniach 15
9.9 Dwuargumentowy spójnik „lub”(+) vs dwuargumentowy spójnik „albo”($) 17
9.9.1 Prawo Jastrzębia 19
9.9.2 Przykład błędnego użycia spójnika „albo”($) 20
9.7 Spójnik „albo”($) M$K w zbiorach
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p (p) do zanegowanego q (~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= A1B1: p<=>~q
Środek czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Definicja równoważności p<=>~q znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Dla spójnika „albo”($) mamy:
Każda równoważność prawdziwa p<=>~q=1 definiuje tożsamość zbiorów p=~q (i odwrotnie)
A1B1: p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= A1B1: p<=>~q = A1B1: p$q
Rozważmy zdanie:
A1B1.
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) albo($) kobietą (K)
Zdanie tożsame:
Dowolny człowiek może być mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
(trzeciej możliwości brak)
A1B1: M$K= (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Czytamy:
Zdanie A1B1 ze spójnikiem „albo”($) M$K w logice dodatniej (bo K) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie mężczyzną (M) jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) aby nie być kobietą (~K)
Stąd mamy:
Potoczna definicja spójnika „albo”($):
Spójnik „albo”($) to wybór jednej z dwóch możliwości (trzeciej możliwości brak)
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmujemy w zapisach formalnych:
p = M - zbiór mężczyzn
q = K - zbiór kobiet
Oczywista dziedzina to:
C (człowiek) = M+K - zbiór wszystkich ludzi
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności M<=>~K:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)= A1B1: M<=>~K
Lewą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
(trzeciej możliwości brak)
A1B1: M$K =1
Prawą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
A1B1: M<=>~K =1
Środek czytamy:
Bycie mężczyzną (M) jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) by nie być kobietą (~K)
A1B1: M<=>~K) = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Definicja równoważności M<=>~K znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Dla warunku wystarczającego B1 zastosujmy prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Nasz przykład:
B1: M~>~K = B2: ~M=>K
Stąd mamy tożsamą definicję spójnika „albo”($):
A1B2: M$K = (A1: M=>~K)*(B2: ~M=>K)=1*1=1
Dowodzimy prawdziwości warunków wystarczających A1 i B2:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
M=>~K=1
Bycie mężczyzną (M) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie być kobieta (~K)
Bycie mężczyzną (M) daje nam (=1) gwarancję matematyczną => iż nie jesteśmy kobietą (K)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
cnd
B2.
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) to na 100% => jest kobietą (K)
~M=>K =1
Nie bycie mężczyzną (~M) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby być kobietą (K)
Nie bycie mężczyzną (~M) daje nam (=1) gwarancję matematyczną => iż jesteśmy kobietą (K)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
cnd
Innymi słowy:
Definicja spójnika „albo”($) jest tu spełniona albowiem zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem kobiet (K) zaś zbiory M i K uzupełniają się wzajemnie do wspólnej dziedziny C (człowiek)
Zapis matematyczny tego faktu to:
C (człowiek) = M+K
Podstawmy udowodnioną definicję spójnika „albo”($) M$K do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla spójnika „albo”($) z uwzględnieniem prawa Irbisa.
Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) dla przykładu M$K
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
To samo w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną M jest (=1) wystarczające =>
aby nie być kobietą (~K)
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną M jest (=1) konieczne ~>
aby nie być kobietą (~K)
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q = 2:~p~>q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p [=] 5: ~p+~q =1
A: 1: M=>~K = 2:~M~>K [=] 3: ~K~>M = 4: K=>~M [=] 5: ~M+~K =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q = 2:~p=>q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p [=] 5: p+ q =1
B: 1: M~>~K = 2:~M=>K [=] 3: ~K=>M = 4: K~>~M [=] 5: M+ K =1
-------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3:~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
AB: 1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
To samo w zapisie aktualnym (nasz przykład):
AB: 1: M$K = 2:~M$~K [=] 3:~K$~M = 4: K$M [=] 5: M*~K+~M*K
Definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: M<=>~K = 2:~M<=>K | 3:~K<=>M = 4: K<=>~M
AB: 1: M=~K # 2:~M=K | 3:~K=M # 4: K=~M
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($):
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
9.7.1 Operator „albo”($) M|$K w zbiorach w logice dodatniej (bo K)
Definicja operatora „albo”($) M|$K w logice dodatniej (bo K):
Operator „albo”($) M|$K w logice dodatniej (bo K) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o M i ~M:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)= M<=>~K - co się stanie jeśli wylosujemy mężczyznę (M)?
A2B2: ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) = ~M<=>K - co będzie jeśli wylosujemy nie mężczyznę (~M)?
A1B1:
Co się stanie jeśli ze zbioru (C) człowiek wylosujemy mężczyznę (M)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną M jest (=1) warunkiem wystarczającym => aby nie być kobietą (~K)
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną M jest (=1) warunkiem koniecznym ~> by nie być kobietą (~K)
Stąd:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)= A1B1: M<=>~K
Od lewej strony czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) M$K w logice dodatniej (bo K) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie mężczyzną (M) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) by nie być kobietą (~K)
Prawa strona A1B1 to definicja równoważności M<=>~K:
A1B1: M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)
Lewą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
M=>~K =1
Bycie mężczyzną (M) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie być kobietą (~K)
Bycie mężczyzną (M) daje nam (=1) gwarancję matematyczną => iż nie jest się kobietą (~K)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy że:
A1B1: M$K <=> (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K <=> M=~K
Spójnik „albo”($) M$K definiuje tożsamość zbiorów M=~K, zaś każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego.
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to może ~~> być kobietą (K)
M~~>K = M*K =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów M (mężczyzna) i K (kobieta) bo zbiory te są rozłączne.
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: M=>~K=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
A2B2:
Co się stanie jeśli ze zbioru C (człowiek) wylosujemy nie mężczyznę (~M)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~M~>K =1 - nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem koniecznym ~> by być kobietą (K)
B2: ~M=>K =1 - nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K)
Stąd:
A2B2: ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) = A2B2: ~M<=>K
Od lewej strony czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) ~M$~K w logice ujemnej (bo ~K) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie bycie mężczyzną (~M) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla bycia kobietą (K)
Prawa strona A2B2 to definicja równoważności ~M<=>K:
Równoważność ~M<=>K jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie bycie mężczyzną (~M) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla bycia kobietą
A2B2: ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) = A2B2: ~M<=>K
Prawą stronę czytamy również jako:
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K)
A2B2: ~M<=>K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K)
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) to na 100% => jest kobietą (K)
~M=>K =1
Nie bycie mężczyzną (~M) jest (=1) warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K)
Nie bycie mężczyzną (~M) daje nam (=1) gwarancję matematyczną => bycia kobietą (K)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy że:
A2B2: ~M$~K <=> (A2: ~M=>K)*(B2: ~M~>K) = ~M<=>K <=> ~M=K
Spójnik „albo”($) ~M$~K definiuje tożsamość zbiorów ~M=K, zaś każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego.
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~M=>K=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) to może ~~> nie być kobietą (~K)
~M~~>~K = ~M*~K =[] =0
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~M i ~K bo zbiory te są rozłączne.
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~M=>K=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
Podsumowując:
Spójnik „albo”($) M$K to gwarancja matematyczna => po stronie M, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~M o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań warunkowych A1, A1’, B2. B2’ wchodzących w skład operatora „albo”(|$) M|$K jest bez znaczenia, czyli linie w powyższej analizie możemy dowolnie przestawiać.
9.7.2 Operator „albo”(|$) ~M|$~K w logice ujemnej (bo ~K)
Definicja operatora „albo”(|$) M|$K w logice dodatniej (bo K):
Operator „albo”(|$) M|$K w logice dodatniej (bo K) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o M i ~M:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)= M<=>~K - co się stanie jeśli wylosujemy mężczyznę (M)?
A2B2: ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) = ~M<=>K - co będzie jeśli wylosujemy nie mężczyznę (~M)?
Układ równań logicznych jest przemienny.
Stąd mamy tożsamą definicję operatora „albo”(|$) ~M|$~K w logice ujemnej (bo ~K)
Definicja operatora „albo”(|$) ~M|$~K w logice ujemnej (bo ~K):
Operator „albo”(|$) ~M|$~K w logice ujemnej (bo ~K) to układ równań A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na dwa pytania o ~M i M:
A2B2: ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) = ~M<=>K - co będzie jeśli wylosujemy nie mężczyznę (~M)?
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)= M<=>~K - co się stanie jeśli wylosujemy mężczyznę (M)?
Kluczowy wniosek:
Analiza operatora „albo”(|$) ~M|$~K w logice ujemnej (bo ~K) będzie identyczna jak operatora „albo”(|$) M|$K w logice dodatniej (bo K) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 (kiedy zajdzie ~M?) kończąc na kolumnie A1B1 (kiedy zajdzie M?)
9.7.3 Diagram spójnika „albo”($) M$K w zbiorach
Rozważmy zdanie:
A1.
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
Zdanie tożsame:
Dowolny człowiek może być mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
(trzeciej możliwości brak)
M$K= (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Czytamy:
Zdanie A1 ze spójnikiem „albo”($) M$K w logice dodatniej (bo K) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie mężczyzną (M) jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) aby nie być kobietą (~K)
Stąd mamy:
Potoczna definicja spójnika „albo”($):
Spójnik „albo”($) to wybór jednej z dwóch możliwości (trzeciej możliwości brak)
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności M<=>~K:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)= A1B1: M<=>~K
Środek czytamy:
Bycie mężczyzną (M) jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) by nie być kobietą (~K)
Definicja równoważności M<=>~K znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom).
Definicja spójnika „albo”($) jest tu spełniona albowiem zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem kobiet (K) oraz zbiory M i K uzupełniają się wzajemnie do wspólnej dziedziny C (człowiek)
Zapis matematyczny tego faktu to:
C=M+K
Podstawmy udowodnioną definicję spójnika „albo”($) M$K do diagramu ogólnego spójnika „albo”($).
Kod: |
DA
Diagram „albo”($) M$K w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| p=M | q=K |
|------------------------|-------------------------------------------|
| ~q=~K | ~p=~M |
|------------------------|-------------------------------------------|
| A1: p=>~q=1 (p*~q=1) | B2:~p=>q=1 (~p*q=1) |
| A1: M=>~K=1 (M*~K=1) | B2:~M=>K=1 (~M*K=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina to suma logiczna zbiorów niepustych M*~K i ~M*K: |
| D=A1: p*~q+ B2:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| D=A1: M*~K+ B2:~M*K (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>q = p* q=[]=0 - zbiór pusty |
| A1’: M~~>K = M* K=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>~q=~p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~M~~>~K=~M*~K=[]=0 - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram spójnika „albo”($) M$K w zbiorach definiujący |
| tożsamości zbiorów M=~K i ~M=K |
----------------------------------------------------------------------
Komentarz dla kolumn A1B1 i A2B2
A1B1:
A1: p=>~q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
A1: M=>~K =1 - zbiór M jest (=1) podzbiorem => zbioru ~K
B1: p~>~q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B1: M~>~K =1 - zbiór M jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~K
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd:
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
A1B1: M$K=(A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M<=>~K
Wniosek:
Równoważność p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów p=~q
Równoważność M<=>~K definiuje tożsamość zbiorów M=~K
Innymi słowy:
A1 i B1 definiuje tu tożsamość zbiorów p=~q
A1 i B1 definiuje tu tożsamość zbiorów M=~K
A2B2:
A2:~p~>q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
A2:~M~>K=1 - zbiór ~M jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru K
B2:~p=>q=1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B2:~M=>K=1 - zbiór ~M jest (=1) podzbiorem => zbioru K
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd:
A2B2: ~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)= ~p<=>q
A2B2: ~M$~K=(A2:~M~>K)*(B2:~M=>K)= ~M<=>K
Wniosek:
Równoważność ~p<=>q definiuje tożsamość zbiorów ~p=q
Równoważność ~M<=>K definiuje tożsamość zbiorów ~M=K
Innymi słowy:
A2 i B2 definiuje tu tożsamość zbiorów ~p=q
A2 i B2 definiuje tu tożsamość zbiorów ~M=K
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
1.
Definicja spójnika „albo”($) p$q definiuje tożsamość zbiorów p=~q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=q (i odwrotnie)
2.
Spójnik „albo”($) p$q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p i q uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny
3.
W definicji spójnika „albo”($) nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
9.8 Spójnik „albo”($) S$Z w zdarzeniach
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p (p) do zanegowanego q (~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= A1B1: p<=>~q
Środek czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Definicja równoważności p<=>~q znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Dla spójnika „albo”($) mamy:
Każda równoważność prawdziwa p<=>~q=1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q (i odwrotnie)
Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod: |
S1 Schemat 1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Doskonale widać że:
Żarówka może się świecić (S=1) „albo”($) być zgaszona (Z=1)
Trzeciej możliwości brak co oznacza, że mamy tu do czynienia ze spójnikiem „albo”($).
Dowód tożsamy zachodzącej tu definicji spójnika „albo”($).
Rozważmy zdanie:
A1B1:
W dowolnej chwili czasowej żarówka może się świecić (S) „albo”($) być zgaszona (Z)
A1B1: S$Z = (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z)=1*1=1
Czytamy:
Zdanie A1B1 ze spójnikiem „albo”($) S$Z w logice dodatniej (bo Z) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy świecenie żarówki (S) jest potrzebne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla stwierdzenia iż żarówka nie jest zgaszona (~Z)
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmujemy w zapisach formalnych:
p = S - żarówka świeci się
q = Z - żarówka jest zgaszona
Oczywista dziedzina to:
ZWMSZ = S+Z - zbiór wszystkich możliwych stanów żarówki (ZWMSZ)
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności S<=>~Z:
A1B1: S$Z = (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z)= A1B1: S<=>~Z
Prawą stronę czytamy:
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zgaszona (~Z=1)
Środek czytamy:
Świecenie żarówki S (S=1) jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla stwierdzenia iż żarówka nie jest zgaszona (~Z=1).
Ta wersja równoważności S<=>~Z znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom)
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Dla B1 zastosujmy prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Nasz przykład:
B1: S~>~Z = B2: ~S=>Z
Stąd mamy tożsamą definicję spójnika „albo”($) S$Z w logice dodatniej (bo Z):
A1B2: S$Z = (A1: S=>~Z)*(B2: ~S=>Z)= A1B1: S<=>~Z
W tym momencie dowód prawdziwości warunków wystarczających A1 i B3 jest trywialny:
A1.
Jeśli żarówka świeci się (S) to na 100% => nie jest zgaszona (~Z)
S=>~Z =1
Świecenie się żarówki (S) jest (=1) wystarczające => dla stwierdzenia faktu, iż nie jest zgaszona (~Z)
Świecenie żarówki (S) daje nam (=1) gwarancję matematyczną => iż nie jest zgaszona (~Z)
Zachodzie tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
cnd
B2.
Jeśli żarówka nie świeci się (~S) to na 100% => jest zgaszona (Z)
~S=>Z =1
Brak świecenia żarówki (~S) jest warunkiem wystarczającym => dla stwierdzenia iż jest zgaszona (Z)
Brak świecenia żarówki (~S) daje nam (=1) gwarancję matematyczną => iż jest zgaszona (Z)
Zachodzie tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
cnd
Innymi słowy:
Definicja spójnika „albo”($) jest tu spełniona albowiem zdarzenie „żarówka świeci się” (S) jest rozłączne ze zdarzeniem „żarówka jest zgaszona” (Z) oraz zdarzenia S i Z uzupełniają się wzajemnie do zbioru wszystkich możliwych zdarzeń (ZWMZ) związanych ze świeceniem bądź nie świeceniem żarówki S.
Zapis matematyczny tego faktu to:
ZWMZ = S+Z
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Dla spójnika „albo”($) mamy:
Każda równoważność prawdziwa p<=>~q=1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q (i odwrotnie)
Na mocy prawa Irbisa, dla naszego przykładu zapisujemy matematyczną tożsamość zdarzeń S=~Z:
Zdarzenie „żarówka świeci” (S) jest tożsame ze darzeniem „żarówka nie jest zgaszona” (~Z) wtedy i tylko wtedy świecenie żarówki (S) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) aby nie była zgaszona (~Z)
S=~Z <=> A1B1: S$Z = (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z) [=] A1B1: S<=>~Z
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów
W algebrze Kubusia tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
[=], „=”, <=>
Podstawmy udowodnioną definicję spójnika „albo”($) S$Z do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla spójnika „albo”($) z uwzględnieniem prawa Irbisa.
Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) dla przykładu S$Z
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
To samo w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: S=>~Z =1 - świecenia żarówki S (S=1) jest (=1) wystarczające =>
dla stwierdzenia braku zgaszenia żarówki (~Z=1)
B1: S~>~Z =1 - świecenia żarówki S (S=1) jest (=1) konieczne ~>
dla stwierdzenia braku zgaszenia żarówki (~Z=1)
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: S$~Z = (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q = 2:~p~>q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p [=] 5: ~p+~q =1
A: 1: S=>~Z = 2:~S~>Z [=] 3: ~Z~>S = 4: Z=>~S [=] 5: ~S+~Z =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q = 2:~p=>q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p [=] 5: p+ q =1
B: 1: S~>~Z = 2:~S=>Z [=] 3: ~Z=>S = 4: Z~>~S [=] 5: S+ Z =1
-------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3:~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
AB: 1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
To samo w zapisie aktualnym (nasz przykład):
AB: 1: S$Z = 2:~S$~Z [=] 3:~Z$~S = 4: Z$S [=] 5: S*~Z+~S*Z
Definiuje tożsamość zdarzeń:
AB: 1: S<=>~Z = 2:~S<=>Z | 3:~Z<=>S = 4: Z<=>~S
AB: 1: S=~Z # 2:~S=Z | 3:~Z=S # 4: Z=~S
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($):
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
9.8.1 Operator „albo”(|$) S|$Z w zdarzeniach w logice dodatniej (bo Z)
Definicja operatora „albo”(|$) S|$Z w zdarzeniach w logice dodatniej (bo Z):
Operator „albo”($) S$Z w logice dodatniej (bo Z) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o S i ~S:
A1B1: S$Z = (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z)= S<=>~Z - kiedy żarówka świeci się (S)?
A2B2: ~S$~Z = (A2:~S~>Z)*(B2:~S=>Z) = ~S<=>Z - kiedy żarówka nie świeci się (~S)?
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli żarówka świeci się (S=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: S=>~Z=1 - świecenie (S=1) jest wystarczające => dla stwierdzenia braku zgaszenia (~Z=1)
B1: S~>~Z=1 - świecenie (S=1) jest konieczne ~> dla stwierdzenia braku zgaszenia (~Z=1)
Stąd:
A1B1: S$Z = (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z)= A1B1: S<=>~Z
Od lewej strony czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) S$Z w logice dodatniej (bo Z) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy świecenie żarówki S (S=1) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla stwierdzenia braku zgaszenia żarówki ~Z (~Z=1)
Prawa strona A1B1 to definicja równoważności S<=>~Z:
A1B1: S<=>~Z = (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z)
Lewą stronę czytamy:
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zagaszona (~Z=1)
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to na 100% => nie jest zgaszona (~Z=1)
S=>~Z =1
Świecąca się żarówka jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla stwierdzenia faktu iż nie jest zgaszona (~Z=1)
Świecąca się żarówka daje nam (=1) gwarancję matematyczną => iż nie jest zgaszona (~Z=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy że:
A1B1: S$Z <=> (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z) = A1B1: S<=>~Z <=> S=~Z
Spójnik „albo”($) S$Z definiuje tożsamość zdarzeń S=~Z, zaś każde zdarzenie jest zarówno podzbiorem => (A1) jak i nadzbiorem ~> (B1) siebie samego.
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa S<=>~Z=1 definiuje tożsamość zdarzeń S=~Z (i odwrotnie)
Oczywiście:
Każde zdarzenie jest zarówno podzbiorem => (A1) jak i nadzbiorem ~> (B1) samego siebie o czym mówi prawo Irbisa.
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to może być zgaszona (Z=1)
S~~>Z = S*Z =[] =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: żarówka świeci się (S=1) i jednocześnie jest zgaszona (Z=1)
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: S=>~Z=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli żarówka nie świeci się (~S=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~S~>Z=1 - brak świecenia żarówki (~S=1) jest konieczne ~> dla stwierdzenia iż jest zgaszona (Z=1)
B2: ~S=>Z=1 - brak świecenia żarówki (~S=1) wystarcza => dla stwierdzenia iż jest zgaszona (Z=1)
Stąd:
A2B2: ~S$~Z = (A2:~S~>Z)*(B2:~S=>Z) = A2B2: ~S<=>Z
Od lewej strony czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) ~S$~Z w logice ujemnej (bo ~Z) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy brak świecenia żarówki S (~S=1) jest konieczny ~> (A2) i wystarczający => (B2) dla stwierdzenia faktu iż żarówka jest zgaszona (Z=1)
Prawa strona A2B2 to definicja równoważności ~S<=>Z:
Równoważność ~S<=>Z jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy brak świecenia żarówki S (~S=1) jest konieczny ~> (A2) i wystarczający => (B2) dla stwierdzenia faktu iż żarówka jest zgaszona (Z=1)
A2B2: ~S$~Z = (A2:~S~>Z)*(B2:~S=>Z) = A2B2: ~S<=>Z
Prawą stronę czytamy również jako:
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy jest zgaszona (Z=1)
A2B2: ~S<=>Z = (A2:~S~>Z)*(B2:~S=>Z)
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli żarówka nie świeci się (~S=1) to na 100% => jest zgaszona (Z=1)
~S=>Z =1
Brak świecenia żarówki (~S=1) jest warunkiem wystarczającym => dla stwierdzenia faktu, iż jest zgaszona (Z=1)
Brak świecenia żarówki (~S=1) daje nam gwarancję matematyczną =>, iż żarówka jest zgaszona (Z=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy że:
A2B2: ~S$~Z <=> (A2: ~S=>Z)*(B2: ~S~>Z) = A2B2: ~S<=>Z <=> ~S=Z
Spójnik „albo”($) ~S$~Z w logice ujemnej (bo ~Z) definiuje tożsamość pojęć ~S=Z, zaś każde pojęcie jest zarówno podzbiorem => (A2) jak i nadzbiorem ~> (B2) siebie samego.
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa ~S<=>Z=1 definiuje tożsamość zdarzeń ~S=Z (i odwrotnie)
Oczywiście:
Każde zdarzenie jest zarówno podzbiorem => (A1) jak i nadzbiorem ~> (B1) samego siebie o czym mówi prawo Irbisa.
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~S=>Z=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli żarówka nie świeci się (~S=1) to może ~~> nie być zgaszona (~Z=1)
~S~~>~Z = ~S*~Z =[] =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: żarówka nie świeci się (~S=1) (jest zgaszona) i jednocześnie ta sama żarówka nie jest zgaszona (~Z=1) (świeci się).
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~S=>Z=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
Podsumowując:
Spójnik „albo”($) S$Z to gwarancja matematyczna => po stronie S, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~S o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań warunkowych A1, A1’, B2. B2’ wchodzących w skład operatora „albo”(|$) S$Z jest bez znaczenia, czyli linie w powyższej analizie możemy dowolnie przestawiać.
9.8.2 Operator „albo”(|$) ~S|$~Z w zdarzeniach w logice ujemnej (bo ~Z)
Definicja operatora „albo”(|$) S|$Z w zdarzeniach w logice dodatniej (bo Z):
Operator „albo”($) S|$Z w logice dodatniej (bo Z) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o S i ~S:
A1B1: S$Z = (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z)= S<=>~Z - kiedy żarówka świeci się (S)?
A2B2: ~S$~Z = (A2:~S~>Z)*(B2:~S=>Z) = ~S<=>Z - kiedy żarówka nie świeci się (~S)?
Układ równań logicznych jest przemienny.
Stąd mamy tożsamą definicję operatora „albo”(|$) ~S|$~Z w logice ujemnej (bo ~Z)
Definicja operatora „albo”(|$) ~S|$~Z w zdarzeniach w logice ujemnej (bo ~Z):
Operator „albo”(|$) ~S$~Z w logice ujemnej (bo ~Z) to układ równań A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na dwa pytania o ~S i S:
A2B2: ~S$~Z = (A2:~S~>Z)*(B2:~S=>Z) = ~S<=>Z - kiedy żarówka nie świeci się (~S)?
A1B1: S$Z = (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z)= S<=>~Z - kiedy żarówka świeci się (S)?
Kluczowy wniosek:
Analiza operatora „albo”(|$) ~S|$~Z w logice ujemnej (bo ~Z) będzie identyczna jak operatora „albo”(|$) S|$Z w logice dodatniej (bo Z) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 (kiedy zajdzie ~S?) kończąc na kolumnie A1B1 (kiedy zajdzie S?)
9.8.3 Diagram spójnika „albo”($) S$Z w zdarzeniach
Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod: |
S1 Schemat 1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Doskonale widać że:
Żarówka może się świecić (S=1) „albo”($) być zgaszona (Z=1)
Trzeciej możliwości brak co oznacza, że mamy tu do czynienia ze spójnikiem „albo”($).
Dowód tożsamy zachodzącej tu definicji spójnika „albo”($).
Rozważmy zdanie:
A1B1:
W dowolnej chwili czasowej żarówka może się świecić (S) „albo”($) być zgaszona (Z)
A1B1: S$Z = (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z)=1*1=1
Czytamy:
Zdanie A1 ze spójnikiem „albo”($) S$Z w logice dodatniej (bo Z) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy świecenie żarówki (S) jest potrzebne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla stwierdzenia iż żarówka nie jest zgaszona (~Z)
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności S<=>~Z:
A1B1: S$Z = (A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z)= A1B1: S<=>~Z
Prawą stronę czytamy:
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zgaszona (~Z=1)
Środek czytamy:
Świecenie żarówki S (S=1) jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla stwierdzenia iż żarówka nie jest zgaszona (~Z=1).
Powyższa wersja definicji równoważności S<=>~Z znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom)
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Definicja spójnika „albo”($) jest tu spełniona albowiem zdarzenie „żarówka świeci się” (S=1) jest rozłączne ze zdarzeniem „żarówka jest zgaszona” (Z=1) zaś zdarzenia S i Z uzupełniają się wzajemnie do zbioru wszystkich możliwych zdarzeń (ZWMZ) związanych ze świeceniem bądź nie świeceniem żarówki S.
Zapis matematyczny tego faktu to:
ZWMZ = S+Z
Podstawmy udowodnioną definicję spójnika „albo”($) S$Z do diagramu ogólnego spójnika „albo”($).
Kod: |
DA
Diagram „albo”($) S$Z w zdarzeniach
----------------------------------------------------------------------
| p=S | q=Z |
|------------------------|-------------------------------------------|
| ~q=~Z | ~p=~S |
|------------------------|-------------------------------------------|
| A1: p=>~q=1 (p*~q=1) | B2:~p=>q=1 (~p*q=1) |
| A1: S=>~Z=1 (S*~Z=1) | B2:~S=>Z=1 (~S*Z=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina to suma logiczna zbiorów niepustych S*~Z i ~S*Z: |
| D=A1: p*~q+ B2:~p*q (suma logiczna zdarzeń niepustych) |
| D=A1: S*~Z+ B2:~S*Z (suma logiczna zdarzeń niepustych) |
| A1’: p~~>q = p* q=[]=0 - zdarzenie niemożliwe |
| A1’: S~~>Z = S* Z=[]=0 - zdarzenie niemożliwe |
| B2’: ~p~~>~q=~p*~q=[]=0 - zdarzenie niemożliwe |
| B2’: ~S~~>~Z=~S*~Z=[]=0 - zdarzenie niemożliwe |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram spójnika „albo”($) S$Z w zdarzeniach definiujący |
| tożsamości zdarzeń S=~Z i ~S=Z |
----------------------------------------------------------------------
Komentarz dla kolumn A1B1 i A2B2
A1B1:
A1: p=>~q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A1: S=>~Z=1 - świecenie S jest (=1) wystarczające => dla nie zgaszenia (~Z)
B1: p~>~q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B1: S~>~Z=1 - świecenie S jest (=1) konieczne ~> dla nie zgaszenia (~Z)
Każde zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd:
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
A1B1: S$Z=(A1: S=>~Z)*(B1: S~>~Z) = S<=>~Z
Wniosek:
Równoważność p<=>~q definiuje tożsamość zdarzeń p=~q
Równoważność S<=>~Z definiuje tożsamość zdarzeń S=~Z
Innymi słowy:
A1 i B1 definiuje tu tożsamość zdarzeń p=~q
A1 i B1 definiuje tu tożsamość zdarzeń S=~Z
A2B2:
A2:~p~>q=1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A2:~S~>Z=1 - brak świecenia (~S) jest konieczny ~> dla zgaszenia (Z)
B2:~p=>q=1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B2:~S=>Z=1 - brak świecenia (~S) jest wystarczający => dla zgaszenia (Z)
Każde zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd:
A2B2: ~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)= ~p<=>q
A2B2: ~S$~Z=(A2:~S~>Z)*(B2:~S=>Z)= ~S<=>Z
Wniosek:
Równoważność ~p<=>q definiuje tożsamość zbiorów ~p=q
Równoważność ~S<=>Z definiuje tożsamość zbiorów ~S=Z
Innymi słowy:
A2 i B2 definiuje tu tożsamość zdarzeń ~p=q
A2 i B2 definiuje tu tożsamość zdarzeń ~S=Z
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja spójnika „albo”($) p$q definiuje tożsamość zdarzeń p=~q
która to tożsamość wymusza tożsamość zdarzeń ~p=q (i odwrotnie)
2.
Spójnik „albo”($) p$q to dwa i tylko dwa zdarzenia niepuste i rozłączne
p i q uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny
D=p+q
3.
W definicji spójnika „albo”($) nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
9.9 Dwuargumentowy spójnik „lub”(+) vs dwuargumentowy spójnik „albo”($)
Zajmijmy się na początek wzorcowym spójnikiem „lub”(+).
Przykład 1
Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod: |
S1
B
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Odpowiedź na pytanie kiedy żarówka świeci się zna każdy uczeń I klasy LO.
Pan od fizyki w LO Nr.1:
Jasiu powiedz nam kiedy żarówka świeci się
Jaś:
1:
Żarówka świeci się (S) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przyciska A lub przycisk B
S = A+B =1
Definicja spójnika „lub”(+) wyrażonego zdarzeniami niepustymi i rozłącznymi:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Nasz przykład:
S = A+B = A: A*B + B: A*~B + C: ~A*B
co w logice jedynek (naturalnej logice człowieka) oznacza:
S=1 <=> A: A=1 i B=1 lub B: A=1 i ~B=1 lub C: ~A*B
Czytamy:
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: A*B=1*1=1 – wciśnięty jest przyciska A (A=1) i wciśnięty jest przyciska B (B=1)
lub
B: A*~B=1*1=1 – wciśnięty jest przyciska A (A=1) i nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1)
lub
C: ~A*B=1*1=1 – nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) i jest wciśnięty przyciska B (B=1)
Doskonale widać, że wszystkie trzy zdarzenia ABC są niepuste i rozłączne z czego wynika, że spójnik „lub”(+) jest tu poprawnie użyty, czyli zdanie RA1B1 ma wartość logiczną 1.
Pan od fizyki:
Brawo Jasiu, czy potrafisz odpowiedzieć na pytanie kiedy żarówka nie świeci się uzasadniając to matematycznie?
Jaś:
Oczywiście że tak.
Mamy równanie logiczne opisujące wszystkie możliwe przypadki w których żarówka świeci się:
1:
Żarówka świeci się (S) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przyciska A lub przycisk B
S = A+B
Negujemy powyższe równanie dwustronnie:
~S = ~(A+B) = ~A*~B – na mocy prawa De Morgana
czyli:
D: ~S = ~A*~B
co w logice jedynek (naturalnej logice człowieka) oznacza:
D: ~S=1 <=> ~A=1 i ~B=1
Czytamy;
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: ~A*~B=1*1=1 – nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) i nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1)
Pan od fizyki:
Bardzo dobrze Jasiu, dostajesz ocenę: 6
9.9.1 Prawo Jastrzębia
Prawo Jastrzębia:
W języku potocznym w miejsce spójnika „albo”($) zawsze możemy użyć spójnika „lub”(+) i nie będzie to błąd czysto matematyczny.
Dowód:
Większość ludzi powie:
1.
Dowolny człowiek może być mężczyzną „lub”(+) kobietą
C=M+K
zamiast wzorcowego tu spójnika „albo”($).
Dlaczego forma ze spójnikiem „lub”(+) jest matematycznie poprawna?
Skorzystajmy z definicji spójnika „lub”(+) w zbiorach rozłącznych:
p+q = p*q+p*~q+~p*q
Nasz przykład:
C=M+K = A: M*K + B: M*~K + C: ~M*K
Zauważmy że:
A: M*K =0 – bo zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem kobiet (K)
… o czym każdy 5-cio latek wie.
stąd mamy:
C=M+K := 0 + B: M*~K + C: ~M*K = B: M*~K + C:~M*K = M$K
Gdzie:
:= - redukcja równania logicznego na mocy teorii zbiorów
Wniosek:
Poprawność prawa Jastrzębia widać tu jak na dłoni.
Prawo Jastrzębia obowiązuje także w n-argumentowym spójniku „albo”($) co udowodnimy za chwilę.
Oczywiście poprawna jest tu forma wzorcowa:
2.
Dowolny człowiek może być mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
C=M$K
Podobnie większość ludzi powie:
„kot może być żywy lub martwy”
zamiast wzorcowego tu:
„kot może być żywy albo martwy”
A algebrze Kubusia obie te formy są matematycznie poprawne, dowód na zbiorze C=M+K wyżej.
Wniosek z prawa Jastrzębia:
Spójnik „lub”(+) jest bezpieczniejszy w użyciu, dlatego większość ludzi praktycznie nigdy nie używa spójnika „albo”($).
Dlaczego „bezpieczniejszy”?
Przykład niżej.
9.9.2 Przykład błędnego użycia spójnika „albo”($)
Udajmy się do I klasy LO.
Przykład 2
Rozważmy ten sam schemat co wyżej z odpowiedzią błędną.
Kod: |
S1
B
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Odpowiedź na pytanie kiedy żarówka świeci się zna każdy uczeń I klasy LO … z wykluczeniem Gucia.
Pan od fizyki w LO Nr.2:
Guciu powiedz nam kiedy żarówka świeci się
Guciu:
$A1B1:
Żarówka świeci się (S) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przyciska A „albo”($) przycisk B
A$B =1
Definicja spójnika „albo”($) p$q dla dwóch argumentów:
S = p$q = B: p*~q + C: ~p*q
Potoczna definicja spójnika „albo”($) dla dwóch argumentów:
Spójnik „albo”($) to wybór dokładnie jednego z dwóch argumentów (trzeciej możliwości brak)
p$q = B: p*~q + C: ~p*q
Nasz przykład:
S = A$B = B: A*~B + C: ~A*B
co w logice jedynek (naturalnej logice człowieka) oznacza:
S=1 <=> B: A=1 i ~B=1 lub C: ~A=1 i B=1
Czytamy:
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: A*~B=1*1=1 – wciśnięty jest przyciska A (A=1) i nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1)
lub
C: ~A*B=1*1=1 – nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) i jest wciśnięty przyciska B (B=1)
Pan od fizyki:
Odpowiedz nam Guciu kiedy żarówka nie świeci się uzasadniając odpowiedź matematycznie.
Guciu:
Mamy definicję spójnika „albo”($) wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Y = p$q = (p*~q) + (~p*q)
Przechodzimy do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = (~p+q)*(p+~q) – funkcja koniunkcyjno-alternatywna
Funkcja koniunkcyjno-alternatywna jest niezrozumiała dla człowieka, musimy zatem wymnożyć wielomian logiczny przechodząc do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej.
~Y = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
stąd:
~Y = p*q+~p*~q
co w logice jedynek (naturalnej logice człowieka) oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Nasz przykład:
~S = A: A*B + D: ~A*~B
co w logice jedynek oznacza:
~S=1 <=> A: A=1 i B=1 lub D: ~A=1 i ~B=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: A*B=1*1 =1 – wciśnięty jest przycisk A (A=1) i wciśnięty jest przycisk B (B=1)
lub
D: ~A*~B=1*1=1 – nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) i nie jest wciśnięty przycisk B (~B=)
Pan od fizyki:
Guciu, przyjrzyj się temu co napisałeś.
Guciu:
~S<=> A: A*B + D: ~A*~B
co w logice jedynek oznacza:
~S=1 <=> A: A=1 i B=1 lub D: ~A=1 i ~B=1
W mordę Jeża, napisałem ze żarówka nie świeci (~S=1) się gdy:
A: A*B=1*1 =1 – wciśnięty jest przycisk A (A=1) i wciśnięty jest przycisk B (B=1)
co jest czysto matematycznym fałszem, bowiem powyższe zdanie jest sprzeczne z fizyczną rzeczywistością.
Wnioskuję z tego, że jedynym poprawnym spójnikiem dającym 100% poprawną odpowiedź na pytanie „Kiedy żarówka będzie się świecić?” jest spójnik „lub”(+).
Koryguję zatem moją odpowiedź:
1.
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk A (A=1) „lub”(+) przycisk B (B=1)
S = A+B
Wystarczy, że którykolwiek z przycisków A lub B jest wciśnięty i już żarówka świeci się, czyli wciśnięcie obu przycisków jednocześnie, co jest możliwe, również powoduje świecenie się żarówki.
2.
Kiedy żarówka nie świeci się (~S=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
~S = ~(A+B) = ~A*~B – na mocy prawa De Morgana
czyli:
D: ~S = ~A*~B
co w logice jedynek (naturalnej logice człowieka) oznacza:
D: ~S=1 <=> ~A=1 i ~B=1
Czytamy;
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: ~A*~B=1*1=1 – nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) i nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1)
Pan od fizyki:
Sam widzisz Guciu, że twoja pierwsza odpowiedź była błędem czysto matematycznym, dostajesz jednak 5 bo zrozumiałeś swój błąd udzielając poprawnej odpowiedzi, tej ze spójnikiem „lub”(+).
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 12:49, 12 Lip 2022, w całości zmieniany 3 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 19:38, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.10 Definicja n-argumentowego spójnika „albo”($)
Spis treści
9.10 Definicja n-argumentowego spójnika „albo”($) 1
9.10.1 Implikacja prosta w zbiorach (P+K+S)=>4L gdzie zachodzi (P+K+S):=(P$K$S) 2
9.10.2 Opis dowolnej tabeli zero-jedynkowej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 3
9.11 Implikacja prosta (P+K+S)|=>4L w warunkach wystarczających => i koniecznych~> 7
9.11.1 Operator implikacji prostej (P+K+S)||=>4L w zbiorach 10
9.12 Równoważność w zdarzeniach S<=>(A+B+C) gdzie zachodzi (A+B+C)##(A$B$C) 13
9.12.1 Opis dowolnej tabeli zero-jedynkowej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 15
9.13 Równoważność S<=>(A+B+C) w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> 18
9.13.1 Operator równoważności S|<=>(A+B+C) w zdarzeniach 21
9.10 Definicja n-argumentowego spójnika „albo”($)
Definicja n-argumentowego spójnika „albo”($):
Definicja n-argumentowego spójnika „albo”($) p$q...$n jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy w obrębie danej dziedziny D funkcja logiczna zbiorów/zdarzeń:
Y=p$q..$n
opisuje zbiory/zdarzenia niepuste i rozłączne gdzie iloczyn logiczny dowolnego zbioru/zdarzenia z innym zbiorem/zdarzeniem jest zbiorem pustym [].
Wtedy na mocy teorii zbiorów zachodzi tożsamość logiczna:
Y = p+q…+n := p$q..$n
Gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy teorii zbiorów/zdarzeń
Oznacza to, że przy spełnionej definicji n-argumentowego spójnika „albo”(+) możemy stosować wymiennie spójnik „albo”($) albo spójnik „lub”(+). Obie formy zapisu są matematycznie poprawne, choć bezpieczniejszy jest spójnik „lub”(+), dlatego ten spójnik jest (podświadomie) zdecydowanie częściej używany przez człowieka.
Potoczna definicja spójnika „albo”($) dla dwóch argumentów:
Spójnik „albo”($) to wybór jednej z dwóch możliwości (trzeciej możliwości brak)
Przykłady dla n=2 mamy w punktach 9.7 i 9.8.
Przykład z punktu 9.7:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M<=>~K
Tu praktycznie każdy człowiek użyje spójnika „lub”(+) zamiast spójnika „albo”($) i to nie jest błąd matematyczny - wolno mu, co wyjaśnimy za chwilkę.
Na mocy teorii zbiorów zachodzi tożsamość zdań:
Dowolny człowiek jest mężczyzną „lub”(+) kobietą := Dowolny człowiek jest mężczyzną „albo”($) kobietą
M+K := M$K
Gdzie:
:= - tożsamość matematyczna na mocy teorii zbiorów.
Uwaga:
Nie zawsze w miejsce spójnika „lub”(+) możemy użyć spójnik „albo”(+) co pokażemy w punkcie 9.12, dlatego spójnik „lub”(+) jest bezpieczniejszy.
9.10.1 Implikacja prosta w zbiorach (P+K+S)=>4L gdzie zachodzi (P+K+S):=(P$K$S)
Przykładowa 3-argumentowa funkcja logiczna spełniająca definicję spójnika „albo”($) (n=3) jest następująca
A1+:
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) lub kotem (K) lub słoniem (S) to na 100% => ma cztery łapy (4L)
P+K+S => 4L=1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Bycie psem (P) lub kotem (K) lub słoniem (S) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby mieć cztery łapy (4L)
Przyjmujemy naturalną, wspólną dziedzinę dla p i q:
ZWZ – zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=[pies, kot, słoń, tygrys, wąż ..]
Stąd w poprzedniku zdania A1+ mamy zbiór 3-elementowy spełniający definicję n-argumentowego spójnika „albo”($).
Dowód:
p = ZWZ*(P+K+S) = [P+K+S] – bo zbiór 3-elementowy bo [P+K+S] jest podzbiorem => ZWZ
W następniku zdania A1 mamy zbiór wszystkich zwierząt z czterema łapami bo:
q = ZWZ*4L = 4L =[pies, kot, słoń, tygrys ..] – bo zbiór 4L jest podzbiorem => ZWZ
Stąd dla udowodnienia prawdziwości warunku wystarczającego => w zdaniu A1+ badamy czy spełniona jest relacja podzbioru =>:
p=[P+K+S] => q=[P+K+S+T..]
Po rozpisce mamy:
p=[pies+kot+słoń] => q=[pies, kot, słoń, tygrys..] =1
Jak widzimy relacja podzbioru p=>q jest tu spełniona
cnd
Zauważmy, że w zbiorze trzyelementowym p=[P+K+S] zbiory jednoelementowe P(pies), K(kot) i S(słoń) są niepuste i rozłączne, zaś dowolny iloczyn logiczny tych trzech argumentów {P,K,T} jest zbiorem pustym [], bo żadne zwierzę nie może być jednocześnie np. P(psem) i K(kotem)
Stąd na mocy definicji n-elementowego spójnika „albo”($) zdanie tożsame do A1+ brzmi:
A1$:
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) „albo”($) kotem (K) „albo”($) słoniem (S) to na 100% => ma cztery łapy (4L)
P$K$S => 4L=1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Jak udowodnić na gruncie teorii zbiorów tożsamość zdań:
A1+: Y=P+K+S := A1$: Y=P$K$S
Gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy teorii zbiorów/zdarzeń
Dowód:
Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+):
Kod: |
T1
Y=
p q p+q
A: 1 + 1 =1
B: 1 + 0 =1
C: 0 + 1 =1
D: 0 + 0 =0
Spójnik „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y), obszar ABC:
Y=p+q=1 <=> p=1 lub q=1
Spójnik „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y), linia D:
Y=p+q=0 <=> p=0 i q=0
Prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
Stąd zapis tożsamy linii D:
~Y=~p*~q
Co w logice jedynak oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
|
Zapiszmy zdanie A1+ w tabeli prawdy 3-elementowego spójnika „lub”(+) przechodząc na zapisy formalne poprzez podstawienie:
p = P(pies)
q = K(kot)
r = S(słoń)
Zauważmy, że w tym momencie pojęcia formalne p, q i r są w poniższej tabeli prawdy niepuste i rozłączne oraz iloczyn logiczny dowolnej kombinacji p, q i r (np. p*q) jest zbiorem pustym [].
Kod: |
T2
p q r Y=p+q+r
A: 1 1 1 1
B: 1 1 0 1
C: 1 0 1 1
D: 1 0 0 1
E: 0 1 1 1
F: 0 1 0 1
G: 0 0 1 1
H: 0 0 0 0
|
9.10.2 Opis dowolnej tabeli zero-jedynkowej spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa układu logicznego (bramka logiczna) to zero-jedynkowy zapis wszystkich sygnałów wejściowych w postaci niezanegowanej (p, q, r..) i zanegowanej (~p, ~q, ~r..) oraz zapis wyjścia Y również w postaci niezanegowanej (Y) i zanegowanej (~Y).
Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Tworzymy pełną definicję tabeli zero-jedynkowej, czyli:
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2.
SD - standard dodatni języka potocznego = logika jedynek
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
3.
SU - standard ujemny (niezrozumiały dla człowieka) = logika zer
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu zawsze wymnażamy wielomian koniunkcyjno-alternatywny przechodząc do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej.
Zastosujmy logikę jedynek do tabeli T2 tworząc jej opis równaniem alternatywno-koniunkcyjnym.
Kod: |
T3
Pełna definicja |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y=p+q+r |oznacza |cząstkowe
Y= ~Y= | |
p q r ~p ~q ~r p+q+r ~p*~q*~r| |
A: 1 1 1 0 0 0 1 0 | Ya=1<=> p=1 i q=1 i r=1 | Ya= p* q* r
B: 1 1 0 0 0 1 1 0 | Yb=1<=> p=1 i q=1 i ~r=1 | Yb= p* q*~r
C: 1 0 1 0 1 0 1 0 | Yc=1<=> p=1 i ~q=1 i r=1 | Yc= p*~q* r
D: 1 0 0 0 1 1 1 0 | Yd=1<=> p=1 i ~q=1 i ~r=1 | Yd= p*~q*~r
E: 0 1 1 1 0 0 1 0 | Ye=1<=>~p=1 i q=1 i r=1 | Ye=~p* q* r
F: 0 1 0 1 0 1 1 0 | Yf=1<=>~p=1 i q=1 i ~r=1 | Yf=~p* q*~r
G: 0 0 1 1 1 0 1 0 | Yg=1<=>~p=1 i ~q=1 i r=1 | Yg=~p*~q* r
H: 0 0 0 1 1 1 0 1 |~Yh=1<=>~p=1 i ~q=1 i ~r=1 |~Yh=~p*~q*~r
1 2 3 4 5 6 7 8 a b c d e f g h
|
Operator „lub”(|+) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Kiedy zajdzie Y (Y=1)?
Y=p+q+r
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1 lub r=1
Doskonale to widać w tabeli prawdy ABCDEFGH1237.
2.
Kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(p+q+r) = ~p*~q*~r – prawo De Morgana
stąd mamy:
2.
~Y=~p*~q*~r
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 i ~r=1
Doskonale to widać w tabeli prawdy ABCDEFGH4568.
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy realizację funkcji logicznej:
1: Y=p+q+r
w zbiorach/zdarzeniach niepustych i rozłącznych
Dla naszego przykładu:
p=P(pies)
q=K(kot)
r=S(słoń)
Y=p+q+r = P(pies)+K(kot)+S(słoń)
na mocy teorii zbiorów mamy zdeterminowane następujące funkcje cząstkowe (znamy wartość logiczną tych funkcji) w obrębie wspólnej dziedziny:
ZWZ – zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=[pies, kot, słoń, tygrys, wąż ..]
Kod: |
T4
Y=
A: Ya= P* K* S=0 – bo zbiory jednoelementowe P(pies) i K(kot) są rozłączne
„lub”(+)
B: Yb= P* K*~S=0 - bo zbiory jednoelementowe P(pies) i K(kot) są rozłączne
„lub”(+)
C: Yc= P*~K* S=0 - bo zbiory jednoelementowe P(pies) i S(słoń) są rozłączne
„lub”(+)
D: Yd= P*~K*~S=1 – bo prawo teorii zbiorów: P*~K*~S=P(pies)
„lub”(+)
E: Ye=~P* K* S=0 - bo zbiory jednoelementowe K(kot) i S(słoń) są rozłączne
„lub”(+)
F: Yf=~P* K*~S=1 - bo prawo teorii zbiorów: ~P*K*~S=K(kot)
„lub”(+)
G: Yg=~P*~K* S=1 – bo prawo teorii zbiorów: ~P*~K*S=S(słoń)
Wspólna dziedzina:
ZWZ – zbiór wszystkich zwierząt
|
Zastosowane prawa teorii zbiorów:
D – wspólna dziedzina dla zbiorów/zdarzeń niepustych i rozłącznych p, q, r …
x – iloczyn logiczny dowolnej kombinacji zbiorów/zdarzeń niepustych i rozłącznych p, q, r ..
1.
p*q*x = []*x =0 – gdy argumenty p i q są niepuste i rozłączne, zaś ich iloczyn logiczny p*q=[]
2.
p*~q*~r .. =p – gdy w iloczynie logicznym wyłącznie jeden argument jest niezanegowany (tu p)
Dowody na przykładzie.
Dane są zbiory jednoelementowe:
P(pies)
K(kot)
S(słoń)
Dziedzina:
ZWZ – zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=[pies, kot, słoń, tygrys, wąż ..]
Obliczamy przeczenia kluczowych zbiorów definiowanych jako ich uzupełnienia do dziedziny ZWZ
~P=[ZWZ-P] = [kot, słoń, tygrys, wąż …] – zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa (~P)
~K=[ZWZ-K]=[pies, słoń, tygrys, wąż…] – zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem kota (~K)
~S=[ZWZ-S)=[pies, kot, tygrys, wąż …] – zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem słonia (~S)
;
~K*~S=[ZWZ-(K+S)]=[ZWZ*~K*~S]=[pies, tygrys, wąż ..] – ZWZ pomniejszony o kota i słonia (~K*~S)
Stąd mamy:
P*~K*~S = P(pies)
cnd
;
~P*~S=[ZWZ-(P+S)] = [ZWZ*~P*~S]=[kot, tygrys, wąż ..] – ZWZ pomniejszony o psa i słonia (~P*~S)
Stąd mamy:
~P*K*~S = K(kot)
cnd
;
~P*~K=[ZWZ-(P+K)} = [ZWZ*~P*~K] = [słoń, tygrys, waż..] – ZWZ pomniejszony o psa i kota (~P*~K)
Stąd mamy:
~P*~K*S = S(słoń)
cnd
Na mocy tabeli prawdy T4 uwzględniającej teorię zbiorów mamy:
3.
Y = P+K+S := Yd+Yf+Yg := P*~K*~S + ~P*K*~S + ~P*~K*S := P+K+S := P$K$S
Gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej Y=P+K+S na mocy teorii zbiorów.
Przypomnijmy nasze zdanie do analizy:
A1+:
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) lub kotem (K) lub słoniem (S) to na 100% => ma cztery łapy (4L)
P+K+S => 4L=1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Bycie psem (P) lub kotem (K) lub słoniem (S) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby mieć cztery łapy (4L)
Z równania 3 widzimy, że na mocy teorii zbiorów możemy tu używać wymiennie spójnika „lub”(+) albo spójnika „albo”($).
A1$:
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) „albo”($) kotem (K) „albo”($) słoniem (S) to na 100% => ma cztery łapy (4L)
P$K$S => 4L=1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Dlaczego praktycznie każdy człowiek użyje tu spójnika „lub”(+)?
Odpowiedź:
Spójnik „lub”(+) podlega pod algebrę Boole’a rozpoznającą zaledwie 5 znaczków {0, 1, (~), „i”(*), „lub”(+)} natomiast spójnik „albo”($) jest poza algebrą Boole’a.
Wyłącznie w algebrze Boole’a mamy trywialne przejście z logiki dodatniej (bo Y) do logiki ujemnej (bo ~Y).
Dowód:
Operator „lub”(|+) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Kiedy zajdzie Y (Y=1)?
Y=p+q+r
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1 lub r=1
Doskonale to widać w tabeli prawdy ABCDEFGH1237.
2.
Kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(p+q+r) = ~p*~q*~r – prawo De Morgana
stąd mamy:
2.
~Y=~p*~q*~r
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 i ~r=1
Doskonale to widać w tabeli prawdy ABCDEFGH4568.
Uwaga:
W zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” nie zawsze poprzednik p (albo następnik q) podlega pod n-elementową definicję spójnika „albo”($) jak w naszym przykładzie wyżej.
Z tego powodu bezpieczniej jest stosować spójnik „lub”(+) zamiast spójnika „albo”($) w każdym przypadku, co w praktyce prawie każdy człowiek robi.
Nic na tym nie tracimy, bo mózg każdego człowieka, od 5-cio latka poczynając, doskonale wie że nie istnieje zwierzę które by było jednocześnie psem i kotem tzn. redukcja spójnika „lub”(+) do spójnika „albo”($) wyżej opisana w tabeli T4 jest dla naszego mózgu bezproblemowa i naturalna.
Przykład gdzie nie możemy spójnika „lub”(+) zastąpić spójnikiem „albo”($) omówimy za chwilkę w punkcie 9.12.
9.11 Implikacja prosta (P+K+S)|=>4L w warunkach wystarczających => i koniecznych~>
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy i tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Zgodnie z uzasadnieniem wyżej w analizie zdania A1 stosować będziemy spójnik „lub”(+), zamiast spójnika „albo”($), tu również poprawnego.
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) lub kotem (K) lub słoniem (S) to na 100% => ma cztery łapy (4L)
P+K+S => 4L=1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
p=[P+K+S]
q=4L
Bycie psem (P) lub kotem (K) lub słoniem (S) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby mieć cztery łapy (4L)
Przyjmujemy naturalną, wspólną dziedzinę dla p i q:
ZWZ – zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=[pies, kot, słoń, tygrys, wąż ..]
Stąd w poprzedniku zdania A1 mamy zbiór 3-elementowy spełniający dodatkowo definicję n-argumentowego spójnika „albo”($), co udowodniliśmy wyżej.
P = ZWZ*(P+K+S) = [P+K+S] – bo zbiór 3-elementowy bo [P+K+S] jest podzbiorem => ZWZ
W następniku zdania A1 mamy zbiór wszystkich zwierząt z czterema łapami bo:
q = ZWZ*4L = 4L =[pies, kot, słoń, tygrys ..] – bo zbiór 4L jest podzbiorem => ZWZ
Stąd dla udowodnienia prawdziwości warunku wystarczającego => w zdaniu A1 badamy czy spełniona jest relacja podzbioru =>:
p=[P+K+S] => q=[pies, kot, słoń, tygrys..] =1
Jak widzimy relacja podzbioru p=>q jest tu spełniona
cnd
Dla rozstrzygnięcia z jakim operatorem logicznym mamy do czynienia musimy zbadać prawdziwość/fałszywość zdania A1 kodowanego warunkiem koniecznym ~>.
B1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) lub kotem (K) lub słoniem (S) to na 100% ~> ma cztery łapy (4L)
P+K+S ~> 4L=0
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Na mocy prawa Słonia mamy:
Bycie psem (P) lub kotem (K) lub słoniem (S) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> do tego aby mieć cztery łapy (4L) bo 3-elemenowy zbiór p=[P+K+S] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q=[P+K+S+T..]
cnd
Stąd mamy rozstrzygnięcie, iż mamy tu do czynienia z implikacją prostą p|=>q.
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q:
Kod: |
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+ q=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p=0 = 4:~q~>~p=0 [=] 5: p+~q=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
9.11.1 Operator implikacji prostej (P+K+S)||=>4L w zbiorach
Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 – zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 – zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 – co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 – zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 – zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1 – co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Nasze analizowane zdanie wchodzące w skład implikacji prostej p|=>q to:
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy psa (P), kota (K) lub słonia (S)
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1.
Rozpisujemy kolumnę A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Zapis formalny:
p=>q =1
To samo w zapisie aktualnym (nasze zdanie):
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) lub kotem (K) lub słoniem (S) to na 100% => ma cztery łapy (4L)
(P+K+S) => 4L=1
Na mocy prawa Słonia mamy:
Bycie psem (P) lub kotem (K) lub słoniem (S) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby mieć cztery łapy (4L) wtedy i tylko wtedy gdy 3-elementowy zbiór p=[pies+kot+słoń] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami q = 4L=[pies+kot+słoń+tygrys …].
Relacja podzbioru => jest tu spełniona, stąd wartość logiczna zdania A1 to 1.
Zdanie A1 wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q co rozstrzygnęliśmy wyżej.
Dla naszego przykładu mamy:
P(pies)
K(kot)
S(słoń)
p=[P+K+S] – zbiór 3-elementowy {pies, kot, słoń}
q=4L=[P+K+S+T+…] – zbiór zwierząt z czterema łapami, zbiór n elementowy {pies, kot, słoń, tygrys..]
Przyjmujemy dziedzinę:
ZWZ – zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=[pies, kot, słoń, tygrys, wąż ..]
Mamy:
A1: (P+K+S) => 4L
to samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q
Obliczenie ~p:
p=(P+K+S) – 3-elementowy zbiór {pies, kot, słoń}
Przejście do logiki ujemnej (bo ~p) poprzez dwustronną negację powyższego zapisu:
~p=~(P+K+S)=~P*~K*~S =[tygrys, wąż ..] – ZWZ z wykluczeniem psa (~P), kota (~K) i słonia (~S)
Alternatywnie obliczamy przeczenie p rozumiane jako uzupełnienie zbioru (P+K+S) do dziedziny ZWZ:
~P=[ZWZ-(P+K+S)] = [ZWZ*~P*~K*~S) = [~P*~K*~S] = [tygrys, wąż ..]
Obliczenie ~q:
q=4L=[pies, kot, słoń, tygrys ..] – zbiór zwierząt z czterema łapami
~q=~4L=[ZWZ-4L] = [wąż ..] – zbiór zwierząt nie mających czterech łap (~4L)
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’.
A1’.
Zapis formalny:
p~~>~q = p*~q = [] =0
To samo w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) lub kotem (K) lub słoniem (S) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L)
(P+K+S)~~>~4L = (P+K+S)*(~4L)=[] =0
Definicja elementu wspólnego ~~> nie jest (=0) spełniona, bo 3-elementowy zbiór p={P+K+S] jest rozłączny ze zbiorem zwierząt nie mających czterech łap ~q=~4L=[wąż…], stąd iloczyn logiczny tych zbiorów jest zbiorem pustym [] =0.
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy zwierzę nie będące ani psem (~P), ani kotem (~K), ani też słoniem (~S)?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2.
Rozpisujemy kolumnę A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A2.
Zapis formalny:
~p~>~q =1
To samo w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Jeśli dowolne zwierzę nie jest ani psem (~P), ani kotem (~K), ani też słoniem (~S) to może nie mieć czterech łap (~4L)
(~P*~K*~S)~>~4L =1
~p=~P*~K*~S = [ZWZ-(P+K+S)]= [ZWZ*~P*~K*~S]=[tygrys, wąż ..] – zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa (~P), kota (~K) i słonia (~S)
~4L=[ZWZ-4L]=[wąż ..] – zbiór wszystkich zwierząt nie mających 4 łap (~4L)
Na mocy prawa Słonia mamy:
Definicja warunku koniecznego ~> w zdaniu A2 jest spełniona (=1) bo zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa(~P), kota(~K i słonia(~S)
~p=[tygrys, wąż ..]
jest nadzbiorem ~> zbioru zwierząt nie mających 4 łap
~q=~4L=[wąż ..].
cnd
Zauważmy, że na mocy prawa Kubusia prawdziwości warunku koniecznego ~> w zdaniu A2 nie musieliśmy dowodzić, bo prawdziwość tą gwarantuje prawo Kubusia.
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Wykonaliśmy dowód bezpośredni by sprawdzić, iż wszystko jest w porządku.
Zauważmy teraz, że w kolumnie A2B2 mamy fałszywy warunek wystarczający B2.
Sprawdzenie:
B2.
Jeśli dowolne zwierzę nie jest ani psem (~P), ani kotem (~K), ani też słoniem (~S) to na 100% => nie ma czterech lap (4L)
~p=(~P*~K*~S) =>~q=~4L =0
~p=[tygrys, wąż ..] =>~q=[wąż..]
Na mocy prawa Słonia mamy:
Nie bycie psem (~P), nie bycie kotem (~K) i nie bycie słoniem (~S) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => aby nie mieć czterech łap (~4L) bo zbiór ~p=[tygrys, wąż ..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~4L=[wąż..]
LUB
Fałszywy warunek wystarczający B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’.
B2’
~p~~>q = ~p*q =[] =1
W przełożeniu na nasz przykład otrzymujemy zdanie.
B2’
Jeśli dowolne zwierzę nie jest ani psem (~P), ani kotem (~K), ani też słoniem (~S) to może ~~> mieć cztery lapy (4L)
(~P*~K*~S)~~>4L = (~P*~K*~S)*4L =1
~p=[ZWZ-(P+K+S] = [ZWZ*~P*~K*~S] = [~P*~K*~S] = [tygrys, wąż ..]
q = 4L=[pies, kot, słoń, tygrys..]
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~p=[tygrys, wąż ..] i q=[pies, kot, słoń, tygrys ..] jest spełniona bo [tygrys]
cnd
Zauważmy, ze prawdziwości zdania B2’ również nie musieliśmy dowodzić w sposób bezpośredni bo prawdziwość kontrprzykładu B2’ gwarantuje fałszywość warunku wystarczającego B2.
Zrobiliśmy to wyłącznie dla sprawdzenia teorii, w tym przypadku sprawdziliśmy działanie definicji kontrprzykładu.
Podsumowanie:
Jak widzimy, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa (P), kota (K) lub słonia (S) to mamy gwarancję matematyczną => iż te zwierzęta mają cztery łapy (4L) – mówi o tym warunek wystarczający A1.
Natomiast:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P), nie będące kotem (~K) i nie będące słoniem (~S) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie na dwoje babka wróżyła.
Takie zwierzę może ~> nie mieć czterech łap (~4L) o czym mówi zdanie A2, lub może ~~> mieć cztery łapy (4L) o czym mówi zdanie B2’.
9.12 Równoważność w zdarzeniach S<=>(A+B+C) gdzie zachodzi (A+B+C)##(A$B$C)
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja równoważności n-argumentowej w zdarzeniach.
Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności S<=>(A+B+C) w zdarzeniach:
S<=>(A+B+C)=(A1: S=>(A+B+C)*(B1: S~>(A+B+C)=1*1=1
C
______
-----o o-----
| B |
| ______ |
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, B, C, S
Zmienna wolna: brak, nie ma żadnych innych przycisków z wyjątkiem A, B i C
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Schemat S1 to fizyczna realizacja równoważności p<=>q:
Żarówka będzie się świecić (S) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty będzie przycisk A lub B lub C
A1B1: S<=>(A+B+C) = (A1: S=>(A+B+C))*(B1: S~>(A+B+C))
Pan od fizyki w I klasie LO:
Jacku, kiedy na schemacie S1 żarówka S będzie się świecić?
Jacek:
Żarówka będzie się świecić (S) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty będzie przycisk A „albo”($) B „albo”($) C
S<=>(A$B$C) = (A1: S=>(A$B$C))*(B1: S~>(A$B$C))
Pan od fizyki:
Nie jest to prawdą Jacku, dostajesz pałę.
Kto wytłumaczy Jackowi, że na schemacie S1 nie wolno łączyć przycisków A, B i C spójnikiem „albo”($).
Jaś:
Ja spróbuję.
Poprawny matematyczny opis schematu S1 jest tylko taki:
Żarówka będzie się świecić wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty będzie przycisk A „lub”(+) B „lub”(+) C
A1B1: S<=>(A+B+C) = (A1: S=>(A+B+C))*(B1: S~>(A+B+C))
to samo w zapisie formalnym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Gdzie:
p = S (żarówka świeci się)
q = (A+B+C)
Zapiszmy następnik q w postaci funkcji logicznej Y=(A+B+C) w tabeli prawdy 3-elementowego spójnika „lub”(+) przechodząc na zapisy formalne poprzez podstawienie:
p = A
q = B
r = C
Użyte tu zmienne formalne p, q, r mają zero wspólnego z wytłuszczonymi wyżej zmiennymi formalnymi p=S, q=(A+B+C)
Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+):
Kod: |
T1
Y=
p q p+q
A: 1 + 1 =1
B: 1 + 0 =1
C: 0 + 1 =1
D: 0 + 0 =0
Spójnik „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y), obszar ABC:
Y=p+q=1 <=> p=1 lub q=1
Spójnik „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y), linia D:
Y=p+q=0 <=> p=0 i q=0
Prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
Stąd zapis tożsamy linii D:
~Y=~p*~q
Co w logice jedynak oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
|
Tabela prawdy 3-argumentowego spójnika „lub”(+).
Kod: |
T2
p q r Y=p+q+r
A: 1 1 1 1
B: 1 1 0 1
C: 1 0 1 1
D: 1 0 0 1
E: 0 1 1 1
F: 0 1 0 1
G: 0 0 1 1
H: 0 0 0 0
|
9.12.1 Opis dowolnej tabeli zero-jedynkowej spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa układu logicznego (bramka logiczna) to zero-jedynkowy zapis wszystkich sygnałów wejściowych w postaci niezanegowanej (p, q, r..) i zanegowanej (~p, ~q, ~r..) oraz zapis wyjścia Y również w postaci niezanegowanej (Y) i zanegowanej (~Y).
Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Tworzymy pełną definicję tabeli zero-jedynkowej, czyli:
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2.
SD - standard dodatni języka potocznego = logika jedynek
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
3.
SU - standard ujemny (niezrozumiały dla człowieka) = logika zer
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu zawsze wymnażamy wielomian koniunkcyjno-alternatywny przechodząc do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej.
Zastosujmy logikę jedynek do tabeli T2 tworząc jej opis równaniem alternatywno-koniunkcyjnym.
Kod: |
T3
Pełna definicja |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y=p+q+r |oznacza |cząstkowe
Y= ~Y= | |
p q r ~p ~q ~r p+q+r ~p*~q*~r| |
A: 1 1 1 0 0 0 1 0 | Ya=1<=> p=1 i q=1 i r=1 | Ya= p* q* r
B: 1 1 0 0 0 1 1 0 | Yb=1<=> p=1 i q=1 i ~r=1 | Yb= p* q*~r
C: 1 0 1 0 1 0 1 0 | Yc=1<=> p=1 i ~q=1 i r=1 | Yc= p*~q* r
D: 1 0 0 0 1 1 1 0 | Yd=1<=> p=1 i ~q=1 i ~r=1 | Yd= p*~q*~r
E: 0 1 1 1 0 0 1 0 | Ye=1<=>~p=1 i q=1 i r=1 | Ye=~p* q* r
F: 0 1 0 1 0 1 1 0 | Yf=1<=>~p=1 i q=1 i ~r=1 | Yf=~p* q*~r
G: 0 0 1 1 1 0 1 0 | Yg=1<=>~p=1 i ~q=1 i r=1 | Yg=~p*~q* r
H: 0 0 0 1 1 1 0 1 |~Yh=1<=>~p=1 i ~q=1 i ~r=1 |~Yh=~p*~q*~r
1 2 3 4 5 6 7 8 a b c d e f g h
|
Operator „lub”(|+) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Kiedy zajdzie Y (Y=1)?
Y=p+q+r
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1 lub r=1
Doskonale to widać w tabeli prawdy ABCDEFGH1237.
2.
Kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(p+q+r) = ~p*~q*~r – prawo De Morgana
stąd mamy:
2.
~Y=~p*~q*~r
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 i ~r=1
Doskonale to widać w tabeli prawdy ABCDEFGH4568.
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy realizację funkcji logicznej:
1: Y=p+q+r
w zbiorach/zdarzeniach niepustych i rozłącznych
Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności S<=>(A+B+C) w zdarzeniach:
S<=>(A+B+C)=(A1: S=>(A+B+C)*(B1: S~>(A+B+C)=1*1=1
C
______
-----o o-----
| B |
| ______ |
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, B, C, S
Zmienna wolna: brak, nie ma żadnych innych przycisków z wyjątkiem A, B i C
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Dla naszego schematu S1 mamy:
p=A
q=B
r=C
Y=p+q+r = A+B+C
na mocy teorii zdarzeń rozłącznych mamy zdeterminowane następujące funkcje cząstkowe (znamy wartość logiczną tych funkcji) w obrębie wspólnej dziedziny:
ZWMZ – zbiór wszystkich możliwych zdarzeń rozłącznych
D = ZWMZ=p*q+p*~q + ~p*q + ~p*~q = p*(q+~q)+~p*(q+~q)=p+~p=1 – dziedzina jest poprawna
Kod: |
T5
Wszystkie zdarzenia opisane niżej są możliwe do zaistnienia, co jest dowodem braku spełnienia definicji spójnika „albo”($).
Oznacza to, że użycie tu spójnika „albo”($) zamiast spójnika „lub”(+)
jest błędem czysto matematycznym
Porównaj z tabelą T4 w punkcie 9.10.1 gdzie definicja spójnika „albo”($)
była spełniona
Y=
A: Ya= A* B* C=1 – wciśnięty A=1 i wciśnięty B=1 i wciśnięty C=1
„lub”(+)
B: Yb= A* B*~C=1 – wciśnięty A=1 i wciśnięty B=1 i nie wciśnięty ~C=1
„lub”(+)
C: Yc= A*~B* C=1 – wciśnięty A=1 i nie wciśnięty ~B=1 i wciśnięty C=1
„lub”(+)
D: Yd= A*~B*~C=1 – wciśnięty A=1 i nie wciśnięty ~B=1 i nie wciśnięty ~C=1
„lub”(+)
E: Ye=~A* B* C=1 – nie wciśnięty ~A=1 i wciśnięty B=1 i wciśnięty C=1
„lub”(+)
F: Yf=~A* B*~C=1 - nie wciśnięty ~A=1 i wciśnięty B=1 i nie wciśnięty ~C=1 „lub”(+)
G: Yg=~A*~B* C=1 – nie wciśnięty ~A=1 i nie wciśnięty ~B=1 i wciśnięty C=1
Wspólna dziedzina:
ZWZM – zbiór wszystkich zdarzeń możliwych
D=Ya+Yb+Yc+Yd+Ye+Yf+Yg+Yh=1
|
Doskonale widać, że zdarzenia ABCDEFG są niepuste i rozłączne co łatwo udowodnić tworząc iloczyny logiczne każdego zdarzenia z każdym np.
Ya*Yb = (A*B*C)*(A*B*~C)=[] =0 – bo C*~C=[] =0
cnd
ALE!
Definicja spójnika „albo”($) nie jest tu spełniona bowiem iloczyn logiczny dwóch dowolnych zdarzeń A,B,C nie jest zbiorem pustym.
Przykład:
A*B =1 – możliwe jest jednoczesne wciśnięcie przycisków A i B
Porównaj z tabelą T4 w punkcie 9.10.1 gdzie definicja spójnika „albo”($) była spełniona
Operator „lub”(|+) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Kiedy zajdzie Y (Y=1)?
Y=p+q+r
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1 lub r=1
Doskonale to widać w tabeli prawdy ABCDEFGH1237.
2.
Kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(p+q+r) = ~p*~q*~r – prawo De Morgana
stąd mamy:
2.
~Y=~p*~q*~r
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 i ~r=1
Doskonale to widać w tabeli prawdy ABCDEFGH4568.
9.13 Równoważność S<=>(A+B+C) w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Prawo Irbisa dla zdarzeń:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q=1 w zdarzeniach definiuje tożsamość zdarzeń p=q i odwrotnie
Wróćmy do naszego schematu:
Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności S<=>(A+B+C) w zdarzeniach:
S<=>(A+B+C)=(A1: S=>(A+B+C)*(B1: S~>(A+B+C)=1*1=1
C
______
-----o o-----
| B |
| ______ |
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, B, C, S
Zmienna wolna: brak, nie ma żadnych innych przycisków z wyjątkiem A, B i C
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Jak udowodnić, że mamy tu do czynienia z równoważnością S<=>(A+B+C)?
Odpowiedź:
Należy udowodnić prawdziwość zdań składowych równoważności A1 i B1.
Badamy warunek wystarczający A1: p=>q=?:
A1.
Jeśli żarówka świeci się (S) to na 100% => wciśnięty jest przycisk A lub B lub C (A+B+C)
S=>(A+B+C) =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
p=S(żarówka świeci się)
q=(A+B+C) – zespół przycisków A, B, C połączony równolegle
Świecenie się żarówki (S) jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania iż wciśnięty jest przycisk A lub B lub C, bo nie ma tu zmiennej wolnej W1 w postaci czwartego przycisku połączonego szeregowo z układem przycisków równoległych A,B i C.
cnd
Badamy warunek konieczny B1: p~>q=?:
B1.
Jeśli żarówka świeci się (S) to na 100% ~> wciśnięty jest przycisk A lub B lub C (A+B+C)
S~>(A+B+C) =1
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Świecenie się żarówki S jest warunkiem koniecznym ~> dla wnioskowania iż wciśnięty jest przycisk A lub B lub C, bo nie ma tu zmiennej wolnej W2 w postaci przycisku połączonego równolegle z zespołem przycisków równoległych (A+B+C)
cnd
Zauważmy, że na dzień dobry wyskoczyło nam tu prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Nasz schemat w zapisie formalnym:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
Nasz przykład:
A1: S=>(A+B+C)=~S+(A+B+C) ## B1: S~>(A+B+C) = S+~(A+B+C)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to nie są to zdania matematycznie tożsame.
Różność matematyczną zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
W tym momencie mamy pewność, iż układ S1 to fizyczna realizacja równoważności p<=>q:
Żarówka będzie się świecić (S) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty będzie przycisk A lub B lub C
A1B1: S<=>(A+B+C) = (A1: S=>(A+B+C))*(B1: S~>(A+B+C))
9.13.1 Operator równoważności S|<=>(A+B+C) w zdarzeniach
Nanieśmy nasz matematyczny dowód spełnionej definicji równoważności S<=>(A+B+C) do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q.
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q.
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Nasz przykład:
Żarówka będzie się świecić (S) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty będzie przycisk A lub B lub C
A1B1: S<=>(A+B+C) = (A1: S=>(A+B+C))*(B1: S~>(A+B+C))
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Gdzie:
p=S(żarówka świeci)
q=(A+B+C) – równanie przycisków A,B,C połączonych równolegle
Operator równoważności S|<=>(A+B+C) w logice dodatniej (bo (A+B+C)) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o S i ~S
A1: S=>(A+B+C)=1 – świecenie żarówki wystarcza => dla wnioskowania iż (A+B+C)=1
B1: S~>(A+B+C)=1 – świecenie żarówki jest konieczne ~> dla wnioskowania iż (A+B+C)=1
A1B1: S<=>(A+B+C) =(A1: S=>(A+B+C))* (B1: S~>(A+B+C)) - kiedy żarówka świeci się (S=1)?
… a kiedy żarówka nie świeci się?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2B2:~S<=>~(A+B+C)=(A2:~S~>~(A+B+C))*(B2:~S=>~(A+B+C) - kiedy żarówka nie świeci się (~S=1)?
Zapis tożsamy:
A2B2:~S<=>~A*~B*~C=(A2:~S~>(~A*~B*~C))*(B2:~S=>(~A*~B*~C)) - kiedy żarówka nie świeci się?
A1B1:
Kiedy żarówka świeci się?
Kolumna A1B1
A1B1:
Żarówka świeci się (S) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk A lub B lub C
A1B1: S<=>(A+B+C) =(A1: S=>(A+B+C))* (B1: S~>(A+B+C))=1*1=1
Całość czytamy:
Równoważność S<=>(A+B+C) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy świecenie żarówki S (S=1) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla wnioskowania iż którykolwiek z przycisków A,B lub C jest wciśnięty:
S=1 <=> A=1 lub B=1 lub C=1
Na mocy prawa Irbisa równoważność S<=>(A+B+C) definiuje tożsamość pojęć S=(A+B+C):
S=(A+B+C) <=> (A1: S=>(A+B+C))*(B1: S~>(A+B+C)) = S<=>(A+B+C)
Tożsamość pojęć S=(A+B+C) wymusza tożsamość pojęć ~S=~(A+B+C) (i odwrotnie)
Matematycznie zachodzi tu relacja:
S=(A+B+C) # ~S=~(A+B+C)
Zapis tożsamy:
S=(A+B+C) # ~S=(~A*~B*~C)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Odpowiedź na pytanie A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” jest następująca:
A1.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to na 100% => wciśnięty jest przycisk A lub B lub C (A+B+C=1)
S=>(A+B+C)=1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Świecenie się żarówki S jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowaniu o wciśnięciu któregokolwiek z przycisków (A+B+C)=1
Świecenie się żarówki S daje nam gwarancję matematyczną => iż na 100% wciśnięty jest którykolwiek z przycisków (A+B+C)=1
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=S
co w logice jedynek oznacza:
p=1 <=>S=1
;
q=(A+B+C)
Co w logice jedynek oznacza:
q=1 <=> A=1 lub B=1 lub C=1
Obliczenia przeczeń p i q:
~p=~S
co w logice jedynek oznacza:
~p=1 <=> ~S=1
;
~q=~(A+B+C)= ~A*~B*~C – prawo De Morgana
~q=~A*~B*~C
co w logice jedynek oznacza:
~q=1 <=> ~A=1 i ~B=1 i ~C=1
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to mogą nie być wciśnięte wszystkie 3 przyciski (~A*~B*~C)=1
S~~>(~A*~B*~C) = S*(~A*~B*~C) = [] =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: żarówka świeci się (S=1) i żaden z przycisków nie jest wciśnięty (~A*~B*~C)=1
A2B2:
Kiedy żarówka S nie świeci się (~S=1)?
Kolumna A2B2
RA2B2:
Żarówka S nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) i nie jest wciśnięty przyciska B (~B=1) i nie jest wciśnięty przycisk C (~C=1)
A2: ~S~>~(A+B+C) = (~A*~B*~C) – prawo De Morgana
A2: ~S~>(~A*~B*~C)=1 – brak świecenia (~S=1) jest (=1) konieczny ~> dla wnioskowania,
że żaden z przycisków nie jest wciśnięty (~A*~B*~C)=1
B2: ~S=>~(A+B+C) = (~A*~B*~C) – prawo De Morgana
B2: ~S=>(~A*~B*~C)=1 – brak świecenia (~S=1) jest (=1) wystarczający => dla wnioskowania,
że żaden z przycisków nie jest wciśnięty (~A*~B*~C)
Stąd:
A2B2:~S<=>~(A+B+C)=((A2:~S~>~(A+B+C))*((B2:~S=>~(A+B+C))=1*1=1
~(A+B+C) = (~A*~B*~C) – prawo De Morgana
Stąd zapis tożsamy:
A2B2:~S<=>(~A*~B*~C)=((A2:~S~>(~A*~B*~C))*((B2:~S=>(~A*~B*~C))=1*1=1
Całość czytamy:
Równoważność ~S<=>(~A*~B*~C) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy brak świecenie żarówki S (~S=1) jest warunkiem koniecznym ~> (A2) i wystarczającym => B2) to tego aby nie był wciśnięty przycisk A (~A=1) i nie był wciśnięty przycisk B (~B=1) i nie był wciśnięty przycisk C (~C=1)
Na mocy prawa Irbisa równoważność ~S<=>(~A*~B*~C) definiuje tożsamość pojęć ~S=(~A*~B*~C):
A2B2:~S=(~A*~B*~C)<=>(A2:~S~>(~A*~B*~C))*(B2:~S=>(~A*~B*~C) = A2B2: ~S<=>(~A*~B*~C)
Tożsamość pojęć ~S=(~A*~B*~C) wymusza tożsamość pojęć S=(A+B+C) (i odwrotnie)
Matematycznie zachodzi tu relacja #:
S=(A+B+C) # ~S=(~A*~B*~C) =~(A+B+C) – prawo De Morgana
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Odpowiedź na pytanie A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” jest następująca:
B2.
Jeśli żarówka nie świeci się (~S=1) to na 100% => nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) i nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1) i nie jest wciśnięty przycisk C (~C=1)
~S=>(~A*~B*~C) =1
Brak świecenia się żarówki S (~S=1) jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania, iż żaden z przycisków {A,B,C} nie jest wciśnięty (~A*~B*~C)=1
Brak świecenia się żarówki S (~S=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż żaden z przycisków {A,B,C} nie jest wciśnięty (~A*~B*~C)=1
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli żarówka nie świeci się (~S=1) to którykolwiek z przycisków może ~~> być wciśnięty (A+B+C)=1
~S~~>(A+B+C) = ~S*(A+B+C) =[] =0
Niemożliwy jest (=0) przypadek: żarówka nie świeci (~S=1) i którykolwiek z przycisków jest wciśnięty (A+B+C)=1
Podsumowanie:
1.
Istotą operatora równoważności S|<=>(A+B+C) jest gwarancja matematyczna => zarówno po stronie świecącej się żarówki (S=1) - zdanie A1, jak i po stronie nie świecącej się żarówki (~S=1) - zdanie B2.
2.
Prawdziwości/fałszywości powyższych zdań dowodzimy na gruncie fizyki teoretycznej.
Jakiekolwiek iterowanie (czyli machanie przyciskami A,B i C) nie ma tu sensu, bowiem wcześniej czy później żarówka spali się i nie będziemy mieli fizycznego potwierdzenia prawdziwości/fałszywości powyższych zdań.
3.
Zauważmy, że przyczyną świecenia/nie świecenia się żarówki jest „machanie” przyciskami A,B,C
Oznacza to że możemy zbudować układ S1 i „machając” przyciskami A,B,C sprawdzić poprawność teorii sterowania żarówki przez zespół przycisków równoległych:
Y=A+B+C
4.
Zauważmy że dla schematu S1 nie da się zamienić przyczyny (A+B+C) ze skutkiem (żarówką S)
Dowód:
Łatwo można zbudować układ S1 i przekonać się że możemy do prawda wykręcać/wkręcać żarówkę S powodując jest zgaszenie/zaświecenie, ale nie spowoduje to jakiejkolwiek zmiany stanu przycisków A+B+C
Dokładnie dlatego jeśli na wejściu mamy żarówkę S (jak w naszym przykładzie) to możemy mówić tylko i wyłącznie o wnioskowaniu w jakim stanie mogą być przyciski A+B+C.
Dokładnie dlatego to wnioskowanie jest w całym przykładzie pogrubione.
Oczywistym jest że wnioskujemy na bazie teorii czysto fizycznej sterowania żarówki zespołem przycisków równoległych A+B+C
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 15:13, 11 Lip 2022, w całości zmieniany 1 raz
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 19:41, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.14 Geneza tabel zero-jedynkowych równoważności <=> i „albo”($)
Spis treści
9.14 Geneza tabel zero-jedynkowych równoważności „<=>” i „albo”($) 1
9.15 Równoważność p<=>q 1
9.15.1 Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) 2
9.15.2 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q 4
9.15.3 Co oznacza definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)? 7
9.15.4 Odtworzenie operatora równoważności p|<=>q 8
9.16 Spójnik „albo”($) p$q 9
9.16.1 Operator „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo q) 11
9.16.2 Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($) p$q 13
9.16.3 Co oznacza definicja „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)? 16
9.16.4 Odtworzenie operatora „albo”($) p|$q 17
9.14 Geneza tabel zero-jedynkowych równoważności „<=>” i „albo”($)
W niniejszym rozdziale udowodnimy, iż zero-jedynkowe definicje warunku równoważności p<=>q i spójnika „albo”($) generuje język potoczny człowieka.
Znając ten fakt łatwo udowodnić twierdzenie odwrotne iż fundamentem języka potocznego są tabele zero-jedynkowe spójników logicznych.
Wychodzi z tego odwieczne pytanie, co było pierwsze „jajko, czy kura”?
Poprawna odpowiedź to „kura”, gdyż jajko nie potrafi myśleć, natomiast „kura” potrafi udowodnić, iż tabele zero-jedynkowe spójników logicznych generuje język potoczny „kury”, znaczy język potoczny człowieka, co niniejszym wykażemy.
9.15 Równoważność p<=>q
Przypomnijmy sobie definicję podstawową równoważności.
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q.
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
9.15.1 Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q)
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom.
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zbiory:
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zdarzenia:
Zajście zdarzenia p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia q
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: p i ~q
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: p i ~q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Czytamy:
Równoważność ~p<=>~q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom.
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zbiory:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Zdarzenia:
Zajście zdarzenia ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia ~q
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~p i q
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: ~p i q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
Podsumowując:
Równoważność p<=>q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
9.15.2 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q
Zapiszmy powyższą analizę w tabeli prawdy:
Kod: |
T1
Definicja symboliczna |Co w logice jedynek
|oznacza
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) |
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) |
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0
|
Zauważmy, że zero-jedynkowo tabelę T1 możemy kodować wyłącznie w odniesieniu do równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) albo w odniesieniu do równoważności A2B2:~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q)
Dlaczego tabeli T1 nie możemy kodować z punktem odniesienia ustawionym na warunku wystarczającym A1: p=>q?
Odpowiedź:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Warunek wystarczający A1: p=>q nie jest jedynym członem prawdziwym w równoważności p<=>q.
Zakodujmy powyższą analizę zero-jedynkowo z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
A1B1: p<=>q
Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(~p=1)=(p=0)
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych binarnych.
Dla wygenerowania zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q jest potrzebne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka pozwalające na eliminację przeczeń w zapisach symbolicznych, bowiem w punkcie odniesienie A1B1: p<=>q mamy sygnały p i q bez przeczeń.
Potrzebne nam prawo Prosiaczka to:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Zakodujmy nasza tabelę T1 zero-jedynkowo:
Kod: |
T2.
Definicja |Co w logice |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna |Jedynek oznacza |A1B1: p<=>q |
A1B1: p<=>q | | | p q p<=>q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1<=>1 =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1<=>0 =0
A2B2:~p<=>~q | | |
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0<=>0 =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0<=>1 =0
a b c d e f g h i 1 2 3
| Prawa Prosiaczka |
| (~p=1)=(p=0) |
| (~q=1)=(q=0) |
|
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q), zwanego krótko równoważnością p<=>q
Zakodujmy zero-jedynkowo tabelę T1 z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
A2B2: ~p<=>~q
Prawo Prosiaczka z którego tu należy skorzystać to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Uzasadnienie:
Wszystkie zmienne musimy sprowadzić do postaci zanegowanej ~p i ~q bowiem w punkcie odniesienia:
A2B2: ~p<=>~q
obie zmienne mamy zanegowane.
Kod: |
T3.
Definicja |Co w logice |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna |Jedynek oznacza |A2B2: ~p<=>~q |
A1B1: p<=>q | | |~p ~q ~p<=>~q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0<=>0 =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0<=>1 =0
A2B2:~p<=>~q | | |
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1<=>1 =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1<=>0 =0
a b c d e f g h i 1 2 3
| Prawa Prosiaczka |
| (p=1)=(~p=0) |
| (q=1)=(~q=0) |
|
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), zwanego krótko równoważnością ~p<=>~q
Zauważmy, że w tabelach T2 i T3 wejściowa definicja symboliczna równoważności abc jest identyczna, stąd tożsamość kolumn wynikowych 3 w tabelach zero-jedynkowych 123 jest dowodem formalnym poprawności prawa rachunku zero-jedynkowego:
T2: p<=>q = T3: ~p<=>~q
Dowód powyższego prawa bezpośrednio w rachunku zero-jedynkowym jest następujący:
Kod: |
Definicja równoważności p<=>q
p q p<=>q
A1: 1<=>1 =1
A1’: 1<=>0 =0
B2: 0<=>0 =1
B2’: 0<=>1 =0
|
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
Dowód:
Kod: |
Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p<=>q = ~p<=>~q
p q p<=>q ~p ~q ~p<=>~q
A1: 1<=>1 =1 0<=>0 =1
A1’: 1<=>0 =0 0<=>1 =0
B2: 0<=>0 =1 1<=>1 =1
B2’: 0<=>1 =0 1<=>0 =0
1 2 3 4 5 6
|
Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
Definicja tożsamości logicznej [=]:
p<=>q [=] ~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej [=] jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>
Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
p q p<=>q
A: 1<=>1 =1
B: 1<=>0 =0
C: 0<=>0 =1
D: 0<=>1 =0
|
Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
Kod: |
Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p<=>q = ~p<=>~q
p q p<=>q ~p ~q ~p<=>~q p<=>q <=> ~p<=>~q
A1: 1<=>1 =1 0<=>0 =1 1
A1’: 1<=>0 =0 0<=>1 =0 1
B2: 0<=>0 =1 1<=>1 =1 1
B2’: 0<=>1 =0 1<=>0 =0 1
1 2 3 4 5 6 7
|
Same jedynki w kolumnie wynikowej 7 również są dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
9.15.3 Co oznacza definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)?
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Stąd mamy:
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora równoważności p|<=>q przedstawioną wyżej:
Kod: |
T1.
Analiza symboliczna |Co w logice
operatora implikacji równoważności p|<=>q |jedynek oznacza
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =1
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1: p=> q =1 - zajście p wystarcza => dla q |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład dla A1 musi być 0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
Kolumna A2B2:
A2:~p~>~q =1
B2: ~p=>~q =0
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - ~p jest wystarczające => dla ~q |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład dla B2 musi być 0 |(~p=1)~~>( q=1)=0
a b c d e f
|
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =(~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q + ~p*~q
Do zapamiętania:
p<=>q = p*q + ~p*~q
Łatwo widzieć, iż definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = A1: p*q + B2: ~p*~q
wskazuje wszystkie możliwe zbiory mające element wspólny, bo nic innego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nie da się wskazać.
9.15.4 Odtworzenie operatora równoważności p|<=>q
Znajomość definicji równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) umożliwia łatwe odtworzenie operatora równoważności p|<=>q jak w tabeli T1.
Dowód:
Kod: |
p q Y=p*q+~p*~q
A1: 1 1 =1
A1’: 1 0 =0
B2: 0 0 =1
B2’: 0 1 =0
|
Prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
Korzystając z prawa Prosiaczka zapisujemy wejścia p i q postaci symbolicznej
Kod: |
|Co w logice |Jedynki są |Finalnie mamy
p q Y=p*q+~p*~q |jedynek oznacza |domyślne, stąd: |
A1: 1 1 =1 |( p=1)~~>( q=1)=1 | p~~>q =1 |A1: p=> q =1
A1’: 1 0 =0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 | p~~>~q=0 |A1’: p~~>~q=0
B2: 0 0 =1 |(~p=1)~~>(~q=1)=1 |~p~~>~q=1 |B2: ~p=>~q =1
B2’: 0 1 =0 |(~p=1)~~>( q=0)=0 |~p~~> q=0 |B2’:~p~~>q =0
1 2 3 a b c d e f 3 4 5
|
Doskonale widać, że w tabeli 345 mamy odtworzoną z definicji zero-jedynkowej 123 definicję operatora równoważności p|<=>q opisana tabelą T1.
cnd
W przekształceniu finalnym skorzystaliśmy z definicji kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
9.16 Spójnik „albo”($) p$q
Przypomnijmy sobie definicję podstawową spójnika „albo”($) p$q
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p (p) do zanegowanego q (~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= p<=>~q
Środek czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Definicja równoważności p<=>~q znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Dla spójnika „albo”($) mamy:
Każda równoważność prawdziwa p<=>~q=1 definiuje tożsamość zbiorów p=~q (i odwrotnie)
Nanieśmy definicję spójnika „albo”($) do tabeli prawdy z uwzględnieniem prawa Irbisa.
Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q = 2:~p~>q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p [=] 5: ~p+~q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q = 2:~p=>q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p [=] 5: p+ q =1
-------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3:~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
AB: 1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
9.16.1 Operator „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo q)
Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q = 2:~p~>q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p [=] 5: ~p+~q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q = 2:~p=>q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p [=] 5: p+ q =1
-------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3:~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
AB: 1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora „albo”($) p|$q:
Operator „albo”($) p$q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Prawa strona A1B1 to definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1 =1
Stąd mamy:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie ~q
p=>~q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zbiory:
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru ~q
Zdarzenia:
Zajście zdarzenia p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia ~q
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: p i q
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: p i q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>~q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Stąd:
A2B2: ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
Prawa strona A3B2 to definicja równoważności ~p<=>q:
Równoważność ~p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
Stąd mamy:
A2B2: ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p<=>q
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie q
~p=>q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zbiory:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru q
Zdarzenia:
Zajście zdarzenia ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia q
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~p i ~q
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: ~p i ~q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
Podsumowując:
Spójnik „albo”($) p$q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
9.16.2 Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($) p$q
Zapiszmy powyższą analizę w tabeli prawdy:
Kod: |
T1
Definicja symboliczna |Co w logice jedynek
|oznacza
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) |
A1: p=>~q =1 |( p=1)=> (~q=1)=1
A1’: p~~>q =0 |( p=1)~~>( q=1)=0
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) |
B2: ~p=> q =1 |(~p=1)=> ( q=1)=1
B2’:~p~~>~q=0 |(~p=1)~~>(~q=1)=0
|
Zauważmy, że zero-jedynkowo tabelę T1 możemy kodować wyłącznie w odniesieniu do spójnika „albo”($) A1B1: p$q w logice dodatniej (bo q) albo w odniesieniu do spójnika „albo”($) A2B2:~p$~q w logice ujemnej (bo ~q)
Dlaczego tabeli T1 nie możemy kodować z punktem odniesienia ustawionym na warunku wystarczającym A1: p=>~q?
Odpowiedź:
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Warunek wystarczający A1: p=>~q nie jest jedynym członem prawdziwym w spójniku „albo”($) p$q.
Zakodujmy powyższą analizę zero-jedynkowo z punktem odniesienia ustawionym na spójniku „albo”($):
A1B1: p$q
Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(~p=1)=(p=0)
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych binarnych.
Dla wygenerowania zero-jedynkowej definicji spójnika „albo”($) p$q jest potrzebne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka pozwalające na eliminację przeczeń w zapisach symbolicznych, bowiem w punkcie odniesienie A1B1: p$q mamy sygnały p i q bez przeczeń.
Potrzebne nam prawo Prosiaczka to:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Zakodujmy nasza tabelę T1 zero-jedynkowo:
Kod: |
T2.
Definicja |Co w logice |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna |Jedynek oznacza |A1B1: p$q |
A1B1: p$q | | | p q p$q
A1: p=>~q =1 |( p=1)=> (~q=1)=1 |( p=1)=> ( q=0)=1 | 1 $ 0 =1
A1’: p~~>q =0 |( p=1)~~>( q=1)=0 |( p=1)~~>( q=1)=0 | 1 $ 1 =0
A2B2:~p$~q | | |
B2: ~p=> q =1 |(~p=1)=> ( q=1)=1 |( p=0)=> ( q=1)=1 | 0 $ 1 =1
B2’:~p~~>~q=0 |(~p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=0)~~>( q=0)=0 | 0 $ 0 =0
a b c d e f g h i 1 2 3
| Prawa Prosiaczka |
| (~p=1)=(p=0) |
| (~q=1)=(q=0) |
|
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q).
Zakodujmy zero-jedynkowo tabelę T1 z punktem odniesienia ustawionym na spójniku ~p$~q:
A2B2: ~p$~q
Prawo Kubusia z którego tu należy skorzystać to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Uzasadnienie:
Wszystkie zmienne musimy sprowadzić do postaci zanegowanej ~p i ~q bowiem w punkcie odniesienia:
A2B2: ~p$~q
obie zmienne mamy zanegowane.
Kod: |
T3.
Definicja |Co w logice |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna |Jedynek oznacza |A2B2: ~p$~q |
A1B1: p$q | | |~p ~q ~p$~q
A1: p=>~q =1 |( p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=1)=1 | 0 $ 1 =1
A1’: p~~>q =0 |( p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=0)=0 | 0 $ 0 =0
A2B2:~p$~q | | |
B2: ~p=> q =1 |(~p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=0)=1 | 1 $ 0 =1
B2’:~p~~>~q=0 |(~p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=1)=0 | 1 $ 1 =0
a b c d e f g h i 1 2 3
| Prawa Prosiaczka |
| (p=1)=(~p=0) |
| (q=1)=(~q=0) |
|
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q).
Zauważmy, że w tabelach T2 i T3 wejściowa definicja symboliczna operatora „albo”($) p|$q (abc) jest identyczna, stąd tożsamość kolumn wynikowych 3 w tabelach zero-jedynkowych 123 jest dowodem formalnym poprawności prawa rachunku zero-jedynkowego:
T2: p$q = T3: ~p$~q
Dowód powyższego prawa bezpośrednio w rachunku zero-jedynkowym jest następujący:
Kod: |
Definicja spójnika „albo”($) p$q
p q p$q
A: 1 $ 1 =0
B: 1 $ 0 =1
C: 0 $ 0 =0
D: 0 $ 1 =1
|
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p$q = ~p$~q
Dowód:
Kod: |
Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p$q = ~p$~q
p q p$q ~p ~q ~p$~q
A1’: 1 $ 1 =0 0 $ 0 =0
A1: 1 $ 0 =1 0 $ 1 =1
B2’: 0 $ 0 =0 1 $ 1 =0
B2: 0 $ 1 =1 1 $ 0 =1
1 2 3 4 5 6
|
Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p$q = ~p$~q
Definicja tożsamości logicznej [=]:
p$q [=] ~p$~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej [=] jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>
Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
p q p<=>q
A: 1<=>1 =1
B: 1<=>0 =0
C: 0<=>0 =1
D: 0<=>1 =0
|
Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa rachunku zero-jedynkowego:
p$q = ~p$~q
Kod: |
Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p$q = ~p$~q
p q p$q ~p ~q ~p$~q p$q <=> ~p$~q
A1’: 1 $ 1 =0 0 $ 0 =0 1
A1: 1 $ 0 =1 0 $ 1 =1 1
B2’: 0 $ 0 =0 1 $ 1 =0 1
B2: 0 $ 1 =1 1 $ 0 =1 1
1 2 3 4 5 6 7
|
Same jedynki w kolumnie wynikowej 7 również są dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p$q = ~p$~q
9.16.3 Co oznacza definicja „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)?
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p (p) do zanegowanego q (~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Stąd mamy:
Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q = 2:~p~>q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p [=] 5: ~p+~q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q = 2:~p=>q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p [=] 5: p+ q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora „albo”($) p|$q przedstawioną wyżej:
Kod: |
T1.
Analiza symboliczna |Co w logice
operatora „albo”($) p|$q |jedynek oznacza
Kolumna A1B1:
A1: p=>~q =1
B1: p~>~q =1
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1: p=>~q =1 - zajście p wystarcza => dla ~q |( p=1)=> (~q=1)=1
A1’: p~~>q =0 - kontrprzykład dla A1 musi być 0 |( p=1)~~>( q=1)=0
Kolumna A2B2:
A2:~p~> q =1
B2: ~p=>q =1
A2B2:~p$~q=(A2:~p~> q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=> q =1 - ~p jest wystarczające => dla q |(~p=1)=> ( q=1)=1
B2’:~p~~>~q=0 - kontrprzykład dla B2 musi być 0 |(~p=1)~~>(~q=1)=0
a b c d e f
|
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =(~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
Do zapamiętania:
p$q = p*~q + ~p*q
Łatwo widzieć, iż definicja „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p$q = p*~q + ~p*q
wskazuje wszystkie możliwe zbiory mające element wspólny, bo nic innego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nie da się wskazać.
9.16.4 Odtworzenie operatora „albo”($) p|$q
Znajomość definicji „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) umożliwia łatwe odtworzenie operatora „albo”($) p|$q jak w tabeli T1.
Dowód:
Kod: |
p q Y=p*~q+~p*q
A1’: 1 1 =0
A1: 1 0 =1
B2’: 0 0 =0
B2: 0 1 =1
|
Prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
Korzystając z prawa Prosiaczka zapisujemy wejścia p i q postaci symbolicznej
Kod: |
|Co w logice |Jedynki są |Finalnie mamy
p q Y=p*~q+~p*q |jedynek oznacza |domyślne, stąd: |
A1’: 1 1 =0 |( p=1)~~>( q=1)=0 | p~~>q =0 |A1’: p~~> q =0
A1: 1 0 =1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 | p~~>~q=1 |A1: p=> ~q =1
B2’: 0 0 =0 |(~p=1)~~>(~q=1)=0 |~p~~>~q=0 |B2’:~p~~>~q =0
B2: 0 1 =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |~p~~> q=1 |B2: ~p=> q =1
1 2 3 a b c d e f 3 4 5
|
Doskonale widać, że w tabeli 345 mamy odtworzoną z definicji zero-jedynkowej 123 definicję operatora „albo”($) p|$q) opisana tabelą T1.
cnd
W przekształceniu finalnym skorzystaliśmy z definicji kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 19:43, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.17 Równoważność p<=>q vs „albo”($) p$q
Spis treści
9.17 Równoważność p<=>q vs spójnik „albo”($) p$q 1
9.18 Związek definicji spójnika „albo”($) p$q z równoważnością p<=>~q 3
9.18.1 Związek spójnika „albo”($) z równoważnością p<=>~q w języku potocznym 8
9.19 Związek równoważności p<=>q z definicją spójnika „albo”($) p$~q 9
9.19.1 Związek równoważności p<=>q z „albo”($) p$~q w języku potocznym 16
9.20 Prawa Puchacza 19
9.20.1 I prawo Puchacza p<=>q ## p$q 20
9.20.2 II prawo Puchacza p$q ## p<=>q 21
9.17 Równoważność p<=>q vs spójnik „albo”($) p$q
Tabela wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych TF2.
Kod: |
TF2
Tabela prawdy wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych Y
w logice dodatniej (bo Y)
|Grupa I |Grupa II |Grupa III | Grupa IV
|Spójniki „i”(*)|Spójniki =>, ~>|Spójniki <=>, $ | Wejścia
|oraz „lub”(+) ||=>, |~> ||~~>, |~~~> | p i q
| Y Y | Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y
p q | * + | ~* ~+ | => ~> |=> |~> | <=> $ |~~> |~~~>| p q ~p ~q
A: 1 1 | 1 1 | 0 0 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 1 1 0 0
B: 1 0 | 0 1 | 1 0 | 0 1 0 1 | 0 1 1 0 | 1 0 0 1
C: 0 1 | 0 1 | 1 0 | 1 0 1 0 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0
D: 0 0 | 0 0 | 1 1 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 0 0 1 1
A A A A A A A A A A A A A A A A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
|
Definicje podstawowych spójników logicznych obsługujących zdania warunkowe „Jeśli p to q”
Kod: |
TF4-7
-------------------------------------------------------------------------
Tabela prawdy podstawowych spójników obsługujących zdania „Jeśli p to q”:
TF4-5:
Warunek wystarczający => i konieczny ~>
A4.
Warunek wystarczający p=>q:
Y= p=>q
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
;
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y= p=>q = ~p+q # ~Y=~(p=>q) = p*~q
##
A5.
Warunek konieczny p~>q:
Y= p~>q
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
;
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y= p~>q = p+~q # ~Y=~(p|~>q)=~p* q
##
---------------------------------------
| TF6-7: |
| Spójniki implikacyjne p|=>q i p|~>q |
---------------------------------------
A6.
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1),
ale nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
;
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p|=>q = ~p* q # ~Y=~(p|=>q)= p+~q
##
A7.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1),
ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
;
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p|~>q = ~p* q # ~Y=~(p|~>q)= p+~q
Gdzie:
##
---------------------------------------------------------------------
| TF8-9: |
| Spójniki równoważnościowe p<=>q i p$q |
---------------------------------------------------------------------
A8.
Równoważność p<=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
;
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p<=>q= p* q + ~p*~q # ~Y=~(p<=>q)= p*~q + ~p* q
##
A9.
Spójnik „albo”($):
A1: p=>~q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
;
Definicja spójnika „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p$q= p*~q + ~p* q # ~Y= ~(p$q) = p* q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
9.18 Związek definicji spójnika „albo”($) p$q z równoważnością p<=>~q
Przepiszmy podstawowe definicje spójka „albo”($) oraz równoważności p<=>q podane w poprzednim punkcie.
Kod: |
---------------------------------------------------------------------
| TF8-9: |
| Spójniki równoważnościowe p<=>q i p$q |
---------------------------------------------------------------------
A8.
Równoważność p<=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
;
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p<=>q= p* q + ~p*~q # ~Y=~(p<=>q)= p*~q + ~p* q
##
A9.
Spójnik „albo”($):
A1: p=>~q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
;
Definicja spójnika „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p$q= p*~q + ~p* q # ~Y= ~(p$q) = p* q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF8-9 obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p (p) do zanegowanego q (~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= p<=>~q
Środek czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Definicja równoważności p<=>~q znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Dla spójnika „albo”($) mamy:
Każda równoważność prawdziwa p<=>~q=1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q (i odwrotnie)
Nanieśmy definicję spójnika „albo”($) do tabeli prawdy z uwzględnieniem prawa Irbisa.
Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q = 2:~p~>q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p [=] 5: ~p+~q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q = 2:~p=>q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p [=] 5: p+ q =1
-------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3:~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
AB: 1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($):
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Stąd mamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w zbiorach:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to dwa zbiory różne i niepuste p i q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
Stąd mamy definicje dziedziny dla spójnika „albo”($)
D=p+q
Innymi słowy:
W spójniku „albo”($) dziedzina D na mocy definicji spójnika „albo”($) w zbiorach jest zbiorem dwuelementowym:
D = p+q (trzeciej możliwości brak)
Kod: |
DA
Diagram „albo”($) A1B1: p$q w zbiorach:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Diagram „albo”($) A2B2: ~p$~q w zbiorach:
Stąd mamy tożsamą definicję spójnika „albo”($):
A2B2: ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2: ~p=>q) = ~p<=>q
----------------------------------------------------------------------
| p | q |
|------------------------|-------------------------------------------|
| ~q | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| p=~q # ~p=q |
|--------------------------------------------------------------------|
| A1: p=>~q=1 (p*~q=1) | B2:~p=>q=1 (~p*q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina to suma logiczna zbiorów niepustych p*~q i ~p*q: |
| D=A1: p*~q+ B2:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>q = p* q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>~q=~p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram spójnika „albo”($) p$q definiujący tożsamości zbiorów: |
| p=~q # ~p=q |
| Gdzie: |
| # - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony|
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>~q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
B1: p~>~q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd:
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Wniosek:
Równoważność p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów p=~q
Innymi słowy:
A1 i B1 definiuje tu tożsamość zbiorów p=~q
A2B2:
A2:~p~>q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
B2:~p=>q=1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd:
A2B2: ~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)= ~p<=>q
Wniosek:
Równoważność ~p<=>q definiuje tożsamość zbiorów ~p=q
Innymi słowy:
A2 i B2 definiuje tu tożsamość zbiorów ~p=q
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja spójnika „albo”($) p$q definiuje tożsamość zbiorów p=~q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=q (i odwrotnie)
2.
Spójnik „albo”($) p$q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p i q uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny
3.
W definicji spójnika „albo”($) nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
Komentarz ogólny:
1.
Definicja „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p$q = p*~q + ~p*q
2.
Definicja spójnika „albo”($) w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Ostatnie zdanie to znana każdemu człowiekowi definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 7 300
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 75 500
cnd
Stąd mamy matematyczny związek spójnika „albo”($) ze spójnikiem równoważności p<=>~q:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
Zapiszmy definicję równoważności p<=>~q tożsamą ze spójnikiem „albo”($):
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
A1B1: p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
p<=>~q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Zdania składowe spójnika równoważności p<=>~q, A1 i B1 czytamy:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie ~q
A1: p=>~q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby zaszło ~q
##
B1.
Jeśli zajdzie p to na 100% ~> zajdzie ~q
B1: p~>~q =1
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby zaszło ~q
Dowód:
Dziedzina D na mocy definicji spójnika „albo”($) w zbiorach jest zbiorem dwuelementowym:
D = p+q (trzeciej możliwości brak)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Po raz n-ty wyskoczyło nam tu prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód to zdania A1 i B1 wyżej.
cnd
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego wbudowanych w treść zdań
9.18.1 Związek spójnika „albo”($) z równoważnością p<=>~q w języku potocznym
Zobaczmy teraz jak genialnie wyłożona wyżej teoria spójnika „albo”($) pasuje do języka potocznego 5-cio latka i humanistów.
Dowód przełożenia 1:1 będzie polegał na zastąpieniu parametrów formalnych {p, q} parametrami aktualnymi {M,K}
Czyli:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
Jedziemy!
Definicja spójnika „albo”($) w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
Dziedzina spójnika „albo”($) jest tu spełniona:
C (człowiek) = M+K (trzeciej możliwości brak)
Prawą stronę czytamy:
Bycie mężczyzną M jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) aby nie być kobietą ~K
Ostatnie zdanie to znana każdemu człowiekowi definicja równoważności M<=>~K:
A1B1: M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 7 300
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 75 500
cnd
Stąd mamy matematyczny związek spójnika „albo”($) ze spójnikiem równoważności M<=>~K:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K
Zapiszmy definicję równoważności M<=>~K tożsamą ze spójnikiem „albo”($):
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
A1B1: M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
M<=>~K
Prawą stronę czytamy:
Bycie mężczyzną (M) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego, aby nie być kobietą (~K)
M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Zdania składowe spójnika równoważności M<=>~K A1 i B1 czytamy:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
A1: M=>~K =1
Bycie mężczyzną (M) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby nie być kobietą (~K)
##
B1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% ~> nie jest kobietą (~K)
B1: M~>~K =1
Bycie mężczyzną (M) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie być kobietą (~K)
Zauważmy że:
Zbiór C (człowiek) jest zbiorem dwuelementowym:
C = M+K (trzeciej możliwości brak)
co spełnia definicję spójnika „albo”($) w zbiorach
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Po raz n-ty wyskoczyło nam tu prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód to zdania A1 i B1 wyżej.
cnd
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego wbudowanych w treść zdań
9.19 Związek równoważności p<=>q z definicją spójnika „albo”($) p$~q
Przepiszmy podstawowe definicje spójka „albo”($) p$q oraz równoważności p<=>q podane w punkcie 9.9
Kod: |
---------------------------------------------------------------------
| TF8-9: |
| Spójniki równoważnościowe p<=>q i p$q |
---------------------------------------------------------------------
A8.
Równoważność p<=>q:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
;
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p<=>q= p* q + ~p*~q # ~Y=~(p<=>q)= p*~q + ~p* q
##
A9.
Spójnik „albo”($):
A1: p=>~q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy
gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
;
Definicja spójnika „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p$q= p*~q + ~p* q # ~Y= ~(p$q) = p* q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF8-9 obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Tabela prawdy równoważności p<=>q uwzględniająca prawo Irbisa:
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
----------------------------------------------------------------
Spójnik równoważności <=>: | Spójnik równoważności <=>:
AB: 1: p<=>q = 2:~p<=>~q [=] 3: q<=>p = 4:~q<=>~p [=] 5: p*q+~p*~q
Definiuje tożsamość zbiorów: | Definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej [=] dla zapisu wieloczłonowego.
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy i tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
W tabeli prawdy równoważności DR doskonale widać że:
1.
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q=1) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1: p~>q=1)
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
2.
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q:
Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q (A2: ~p~>~q=1) i jednocześnie zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q (B2: ~p=>~q=1)
A2B2: ~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)= A2B2: ~p<=>~q
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne, co widać na diagramie DR niżej.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Stąd mamy:
Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Dla B1 stosujemy prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Stąd mamy tożsamą definicję równoważności:
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q)=1*1=1
-----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|-------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|-------------------------|-------------------------------------------|
| p=q # ~p=~q |
|---------------------------------------------------------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
| Prawo Irbisa: | Prawo Irbisa: |
| A1B1: p<=>q = A1B1: p=q | A2B2: ~p<=>~q = A2B2: ~p=~q |
|---------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty |
|---------------------------------------------------------------------|
| Diagram równoważności p<=>q definiujący tożsamość zbiorów: |
| p=q # ~p=~q |
| Gdzie: |
| # - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony |
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Wniosek:
Równoważność p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Wniosek:
Równoważność ~p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
3.
W definicji równoważności p<=>q nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
Komentarz:
Zacznijmy od podstawowej definicji równoważności p<=>q:
1.
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
2.
Definicja równoważności p<=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Ostatnie zdanie to znana każdemu człowiekowi definicja równoważności p<=>q:
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 7 300
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 75 500
cnd
Przytoczmy teraz wyprowadzoną wyżej definicję spójnika „albo”($) w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q = p*~q+~p*q
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q wymusza tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Dla naszej równoważności p<=>~q mamy zatem:
Spełniona równoważność p<=>~q jest dowodem tożsamości zbiorów p=~q, która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=q
Doskonale widać że:
Zmienną q w definicji spójnika „albo”($) możemy zanegować przechodząc do różnej na mocy definicji ## równoważności p<=>q.
Zróbmy to:
Mamy definicję spójnika „albo”($):
1.
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q = p*~q+~p*q
Negujemy (~) wyłącznie zmienną q:
##
2.
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p$~q = A1B1: p<=>q = p*q + ~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W przejściu z punktu 1 do punktu 2 wyłącznie zanegowaliśmy zmienną binarną q, zatem równania logiczne 1 i 2 nie mogą być tożsame.
Dowód iż między równoważnością A1B1: p<=>q a spójnikiem „albo”($) A1B1: p$q zachodzi relacja różne na mocy definicji znajdziemy w punkcie 9.9.
Podsumowanie:
Zapiszmy definicję równoważności p<=>q tożsamą ze spójnikiem „albo”($) p$~q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p$~q
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Środek czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie ~q
p$~q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - trzeciej możliwości brak
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Zdania składowe spójnika równoważności p<=>q, A1 i B1 czytamy:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
A1: p=>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby zaszło q
##
B1.
Jeśli zajdzie p to na 100% ~> zajdzie q
B1: p~>q =1
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby zaszło q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Po raz n-ty wyskoczyło nam tu prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód to zdania A1 i B1 wyżej.
cnd
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego wbudowanych w treść zdań
9.19.1 Związek równoważności p<=>q z „albo”($) p$~q w języku potocznym
Zobaczmy teraz jak genialnie wyłożona wyżej teoria równoważności p<=>q pasuje do języka potocznego ucznia 8 klasy szkoły podstawowej, bo tu jest twierdzenie Pitagorasa które posłuży nam za przykład.
Dowód przełożenia 1:1 będzie polegał na zastąpieniu parametrów formalnych {p, q} parametrami aktualnymi {M,K}
Czyli:
p=TP (trójkąt prostokątny)
q=SK (trójkąt ze spełnioną sumą kwadratów)
Jedziemy!
Definicja równoważności TP<=>SK w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest w nim suma kwadratów (SK)
Całość czytamy:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Definicja równoważności TP<=>SK jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest potrzebne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego, aby w tym trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK)
Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest potrzebne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego, aby w tym trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK)
(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Ostatnie zdanie to znana każdemu człowiekowi definicja równoważności TP<=>SK:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 7 300
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 75 500
cnd
Przed analizą zdań składowych A1 i B1 przypomnijmy sobie prawo Słonia dla zbiorów.
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste =>
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Zdania składowe spójnika równoważności TP<=>SK, A1 i B1 czytamy:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
To jest twierdzenie proste Pitagorasa które ludzkość udowodniła wieki temu.
Na mocy prawa Słonia dowód ten oznacza że:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) bo zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną suma kwadratów (SK)
##
B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% ~> zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
B1: TP~>SK =1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Co na mocy prawa Słonia oznacza:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem koniecznym ~> aby zachodziła w nim suma kwadratów wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK
Jak udowodnić zachodzący w B1 warunek konieczny ~>?
Prawo Tygryska:
B1: p=>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B1: TP~>SK = B3: SK=>TP
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK) to ten trójkąt na 100% => jest prostokątny (SK)
B3: SK=>TP =1
To samo w zapisie formalnym:
B3: SK=>TP=1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3) ludzkość udowodniła wieki temu.
Na mocy prawa Tygryska dowód ten oznacza prawdziwość warunku koniecznego ~> w zdaniu B1:
B1: TP~>SK=1
to samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Po raz n-ty wyskoczyło nam tu prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód to zdania A1 i B1 wyżej.
cnd
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego wbudowanych w treść zdań
Pozostaje nam ostatnie kwestia, czyli zapisanie równoważności Pitagorasa przy pomocy spójnika „albo”($) p$~q
Mamy wyprowadzoną wyżej tożsamość logiczną:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p$~q
Nasz przykład:
p=TP
q=SK
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP$~SK
Prawą stronę czytamy:
1.
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) „albo”($) nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
TP$~SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)
Na mocy prawa Irbisa w równoważności TP<=>SK zachodzi tożsamość zbiorów TP=SK, która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK.
Korzystając z powyższych tożsamości zbiorów zdanie 1 możemy zapisać jako:
TP$~TP = (A1: TP=>TP)*(B1: TP~>TP) =1*1=1
Dowód prawdziwości zdań A1 i B1 jest tu trywialny:
Dowolny zbiór/pojęcie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego.
Natomiast zdanie po lewej stronie odczytujemy jako:
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) „albo”($) nie jest prostokątny (~TP)
TP$~TP = (A1: TP=>TP)*(B1: TP~>TP) =1*1=1
Oczywistym jest że w przypadku twierdzenia Pitagorasa przyjmujemy dziedzinę minimalną:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
W algebrze Kubusia wszelkie pojęcia poza przyjęta dziedziną są z definicji zbiorem pustym, czyli totalnie nas nie interesującym.
Dowód:
Żaden człowiek w dowodzeniu twierdzenia prostego Pitagorasa nie będzie szukał spełnienia sumy kwadratów (SK) w takich pojęciach jak: koło, pies, rower, miłość etc.
9.20 Prawa Puchacza
Podsumowanie związków równoważności <=> ze spójnikiem „albo”($)
Kod: |
T1
Równoważność p<=>q ## Spójnik „albo”($) p$q
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p$~q ## p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q
Definicja w „i”(*) i „lub”(+): ## Definicja w „i”(*) i „lub”(+):
Y = p<=>q=p*q+~p*~q ## Y = p$q=p*~q+~p*q
Definiująca tożsamość zbiorów: ## Definiujący tożsamość zbiorów:
p=q # ~p=~q ## p=~q # ~p=q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Relacja matematyczna między p<=>q a p$q jaka tu obowiązuje to relacja różne na mocy definicji ##:
Kod: |
T1’
Definicja p<=>q ## Definicja p$q
Y = p<=>q = p* q + ~p*~q ## Y = p$q = p*~q + ~p* q
# ## #
~Y =~(p<=>q)= p*~q + ~p* q ## ~Y=~(p$q)= p* q + ~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli T1 i T1’ obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione
Interpretacja słowna:
Jeśli dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy operatora równoważności p|<=>q to na 100% => nie należy do operatora „albo”(|$) p|$q (i odwrotnie)
Dowody szczegółowe to I i II prawo Puchacza niżej udowodnione.
9.20.1 I prawo Puchacza p<=>q ## p$q
I Prawo Puchacza p<=>q ## p$q:
Jeśli dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do spójnika równoważności p<=>q to na 100% => nie należy do spójnika „albo”($) p$q
Dowód:
Kod: |
Równoważność p<=>q ## Spójnik „albo”($) p$q
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p$~q ## p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q
Definicja w „i”(*) i „lub”(+): ## Definicja w „i”(*) i „lub”(+):
Y = p<=>q=p*q+~p*~q ## Y = p$q=p*~q+~p*q
Definiująca tożsamość zbiorów: ## Definiujący tożsamość zbiorów:
p=q # ~p=~q ## p=~q # ~p=q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Załóżmy, że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do równoważności p<=>q.
Równoważność p<=>q definiuje nam następujące tożsamości zbiorów:
p=q # ~p=~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
Korzystając z powyższej tożsamości zbiorów łatwo dowodzimy spełnionej definicji równoważności dwoma sposobami:
Sposób 1.
p<=>q = p*q+~p*~q
dla p=q i ~p=~q mamy:
p<=>q = p*p + ~p*~q = p+~p =1 - równoważność spełniona
cnd
Sposób 2.
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
dla p=q i ~p=~q mamy:
p<=>q = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) = 1*1 =1
bo:
Każdy zbiór/pojęcie jest zarówno podzbiorem => siebie samego jak i nadzbiorem ~> siebie samego
p=>p = ~p+p =1
p~>p = p+~p =1
cnd
Oczywiście dla tych samych tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q definicja spójnika „albo”($) musi być fałszem.
Sprawdzenie sposób 1.
p$q = p*~q + ~p*q
dla p=q i ~p=~q mamy:
p$q = p*~p + ~q*q = 0+0 =0 - definicja spójnika „albo”($) nie jest spełniona
cnd
Sprawdzenie sposób 2.
Definicja znaczka =>:
p=>q = ~p+q
Definicja znaczka ~>:
p~>q = p+~q
stąd:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)
dla p=q i ~p=~q mamy:
p$q = (A1: p=>~p)*(B1: p~>~p) =0
bo:
p=>~p = ~p+~p=~p
p~>~p = p+p =p
Stąd:
p$q = (A1: p=>~p)*(B1: p~>~p) = ~p*p =0
cnd
9.20.2 II prawo Puchacza p$q ## p<=>q
II Prawo Puchacza p$q ## p<=>q:
Jeśli dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do spójnika „albo”($) to na 100% => nie należy do spójnika równoważności p<=>q
Dowód:
Kod: |
Równoważność p<=>q ## Spójnik „albo”($) p$q
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=p$~q ## p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q
Definicja w „i”(*) i „lub”(+): ## Definicja w „i”(*) i „lub”(+):
Y = p<=>q=p*q+~p*~q ## Y = p$q=p*~q+~p*q
Definiująca tożsamość zbiorów: ## Definiujący tożsamość zbiorów:
p=q # ~p=~q ## p=~q # ~p=q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Załóżmy, że zdanie warunkowe „Jeśli p to ~q” należy do spójnika „albo”($).
Definicja spójnika „albo”($):
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Definicja spójnika „albo”($) p$q definiuje nam następujące tożsamości zbiorów:
p=~q # ~p=q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
Korzystając z powyższej tożsamości zbiorów łatwo dowodzimy spełnionej definicji spójnika „albo”($) dwoma sposobami:
Sposób 1.
p$q = p*~q+~p*q
dla p=~q i ~p=q mamy:
p$q = p*p + ~p*~p = p+~p =1 - definicja spójnika „albo”($) jest spełniona
cnd
Sposób 2.
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
dla p=~q i ~p=q mamy:
p$q = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) = 1*1 =1
bo:
Każdy zbiór/pojęcie jest zarówno podzbiorem => siebie samego jak i nadzbiorem ~> siebie samego
p=>p = ~p+p =1
p~>p = p+~p =1
cnd
Oczywiście dla tych samych tożsamości zbiorów p=~q i ~p=q definicja spójnika równoważności p<=>q musi być fałszem.
Sprawdzenie sposób 1.
p<=>q = p*q + ~p*~q
dla p=~q i ~p=q mamy:
p<=>q = p*~p + ~p*p = 0+0 =0 - definicja równoważności p<=>q nie jest spełniona
cnd
Sprawdzenie sposób 2.
Definicja znaczka =>:
p=>q = ~p+q
Definicja znaczka ~>:
p~>q = p+~q
stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
dla p=~q i ~p=q mamy:
p<=>q = (A1: p=>~p)*(B1: p~>~p) =0
bo:
p=>~p = ~p+~p=~p
p~>~p = p+p =p
Stąd:
p$q = (A1: p=>~p)*(B1: p~>~p) = ~p*p =0
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 13:17, 15 Lis 2022, w całości zmieniany 2 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 19:46, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
10.0 Definicja chaosu p|~~>q=1 i śmierci p|~~~>q=0
Spis treści
10.0 Definicja chaosu p|~~>q=1 i śmierci p|~~~>q=0 1
10.1 Chaos p|~~>q 3
10.1.1 Operator chaosu p||~~>q 4
10.1.2 Zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 6
10.1.3 Diagram chaosu p|~~>q w zbiorach 7
10.1.4 Zaprzeczenie chaosu p|~~>q 9
10.2 Śmierć p|~~~>q=0 11
10.2.1 Matematyczny związek śmierci p|~~~>q=0 z chaosem p|~~>q=1 12
10.0 Definicja chaosu p|~~>q=1 i śmierci p|~~~>q=0
W tabeli wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych TF2.
Kod: |
TF2
Tabela prawdy wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych Y
w logice dodatniej (bo Y)
|Grupa I |Grupa II |Grupa III | Grupa IV
|Spójniki „i”(*)|Spójniki =>, ~>|Spójniki <=>, $ | Wejścia
|oraz „lub”(+) ||=>, |~> ||~~>, |~~~> | p i q
| Y Y | Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y
p q | * + | ~* ~+ | => ~> |=> |~> | <=> $ |~~> |~~~>| p q ~p ~q
A: 1 1 | 1 1 | 0 0 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 1 1 0 0
B: 1 0 | 0 1 | 1 0 | 0 1 0 1 | 0 1 1 0 | 1 0 0 1
C: 0 1 | 0 1 | 1 0 | 1 0 1 0 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0
D: 0 0 | 0 0 | 1 1 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 0 0 1 1
A A A A A A A A A A A A A A A A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
|
Prawo negacji funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować przechodząc do logiki przeciwnej.
Z tabeli TF2 wycinamy linie TF10-11
Kod: |
TF10-11:
Grupa spójników chaosu p|~~>q i śmierci p|~~~>q:
A10:
Spójnik chaosu Y=(p|~~>q)
definiowany warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q,
i jednocześnie zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
;
Definicja chaosu: Y=p|~~>q=1:
A10: Y =(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=1 # B10: ~Y=0
## ##
Definicja śmierci: Y=p|~~~>q=0:
A11: Y =0 # B11: ~Y=(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Jak widzimy, w tabeli TF10-11 obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy i tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
10.1 Chaos p|~~>q
CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Dziedzina D musi być szersza od sumy logiczne zbiorów/zdarzeń p+q
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajęcie p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
Podstawiając do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> mamy:
Kod: |
CH
Tabela prawdy chaosu p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1 [=] 4:~q~~>~p=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
B”: 2:~p~~>~q=1 [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Komentarz:
Kolumna A1B1:
Fałszywy warunek wystarczający:
A1: p=>q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
A1’: p~~>~q=1
Dodatkowo musi być spełnione:
A1’’: p~~>q =1
Dowód nie wprost.
Załóżmy, że zachodzi:
A1’’: p~~>q=p*q=0 - zbiory p i q są rozłączne
Wtedy, na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy jest warunek wystarczający:
A1’’’: p=>~q=1
co to sprzeczne z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym warunku wystarczającym mowy być nie może.
cnd
Identycznie mamy w kolumnie A2B2:
Fałszywy warunek wystarczający:
B2: ~p=>~q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 - istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
Dodatkowo musi być spełnione:
B2’’: ~p~~>~q=1
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że zachodzi:
B2’’: ~p~~>~q=~p*~q=0 - zbiory ~p i ~q są rozłączne
Wtedy, na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy jest warunek wystarczający:
B2’’’: ~p=>q=1
co to sprzeczne z definicją chaosu ~p|~~>~q gdzie o żadnym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
10.1.1 Operator chaosu p||~~>q
Operator chaosu p||~~>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1”: p~~>q = p*q =1 - istnieje wspólny element zbiorów p i q (zdarzenie możliwe ~~>)
A1’: p~~>~q = p*~q =1 - istnieje wspólny element zbiorów p i ~q (zdarzenie możliwe ~~>)
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A1” i A1’
Kolumna A1B1:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla spełnionego p:
A1’’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
A1”: Ya=p~~>q = p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
LUB
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
A1: Yb=p~~>~q = p*~q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
B2”: ~p~~>~q = ~p*~q =1 - istnieje wspólny element zbiorów ~p i ~q (zdarzenie możliwe ~~>)
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 - istnieje wspólny element zbiorów ~p i q (zdarzenie możliwe ~~>)
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B2” i B2’
A2B2:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla niespełnionego p (~p):
B2’’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
B2”: Yc=~p~~>~q = ~p*~q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i ~q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
LUB
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
B2’: Yd=~p~~>q = ~p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Podsumowanie:
Kod: |
T1
Dziedziną Y są tu wszystkie możliwe zbiory/zdarzenia niepuste i prawdziwe:
Y=Ya+Yb+Yc+Yd -dziedzina Y to suma logiczna funkcji cząstkowych Ya+Yb+Yc+Yd
Operator chaosu p||~~>q odpowiada na dwa pytania A1B1 oraz A2B2:
Kolumna A1B1:
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1”: Ya= p~~>q = p* q =1
LUB
A1’: Yb= p~~>~q= p*~q =1
LUB
Kolumna A2B2:
A2B2:~p|~~>~q=~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2”: Yc=~p~~>~q=~p*~q =1
LUB
B2’: Yd=~p~~> q=~p* q =1
|
Doskonale widać, że zarówno po stronie p jak i po stronie ~p mamy tu najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Wniosek:
Z tabeli chaosu CH doskonale widać najprostszy algorytm rozstrzygający czy mamy do czynienie z chaosem p|~~>q. Należy po prostu udowodnić prawdziwość wszystkich możliwych podzbiorów/zdarzeń Ya, Yb, Yc i Yd, co jest bardzo łatwe, o ile rzeczywiście mamy do czynienia z chaosem p|~~>q
10.1.2 Zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>
Zapiszmy naszą analizę operatora chaosu p||~~>q w tabeli prawdy:
Kod: |
T1
Analiza |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
Kolumna A1B1:
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Y Y
A1”: Ya= p~~> q=1 |( p=1)~~>( q=1)=1
A1’: Yb= p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1
Kolumna A2B2:
A2B2:~p|~~>~q=~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Y Y
B2”: Yc=~p~~>~q=1 |(~p=1)~~>(~q=1)=1
B2’: Yd=~p~~> q=1 |(~p=1)~~>( q=1)=1
|
Zauważmy, że w kolumnie wynikowej Y mamy same jedynki.
Tabelę symboliczną T1 możemy zatem kodować zero-jedynkowo względem dowolnej z linii A1’’, A1’, B2’’, B2’ - zawsze dostaniemy zero-jedynkową definicję zdarzenia możliwego (~)p~~>(~)q dla zdarzeń, lub elementu wspólnego zbiorów (~)p~~>(~)q dla zbiorów.
Przyjmijmy za punkt odniesienia zdanie A1”:
A1”: Ya=p~~>q
i zakodujmy tabelę T1 zero-jedynkową względem wybranego punktu odniesienia.
Dla wykonania zadania jest nam konieczne i wystarczające prawo Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(~x=1)=(x=0)
Bo wszystkie zmienne dla punktu A1” musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
Kod: |
T2
Analiza |Co w logice |Kodowanie dla: |Kodowanie tożsame
symboliczna |jedynek oznacza |A1”: p~~>q |
Y | Y | Y | p q Y=p~~>q
A1”: Ya= p~~> q=1 |( p=1)~~>( q=1)=1 |( p=1)~~>( q=1)=1 | 1~~>1 =1
A1’: Yb= p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~~>0 =1
B2”: Yc=~p~~>~q=1 |(~p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=0)~~>( q=0)=1 | 0~~>0 =1
B2’: Yd=~p~~> q=1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0~~>1 =1
a b c d e f g h i 1 2 3
|Prawa Prosiaczka: |
|(~p=1)=(p=0) |
|(~q=1)=(q=0) |
|
W tabeli zero-jedynkowej 123 nagłówek w kolumnie wynikowej 3 wskazuje linię A1”: p~~>q z naszej analizy symbolicznej abc.
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> (zdarzenia możliwego ~~>)
W tabeli abc widać, że spełniona jest definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> dla wszelkich możliwych kombinacji zbiorów rozłącznych A”. A’, B’’, B’ uzupełniających się wzajemnie do dziedziny:
D (dziedzina) = A1”: p*q + A1: p*~q + B2”:~p*~q + B2’:~p*q = p*(q+~q)+~p*(~q+q) = p+~p =1
10.1.3 Diagram chaosu p|~~>q w zbiorach
CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Dziedzina D musi być szersza od sumy logiczne zbiorów/zdarzeń p+q
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajęcie p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
Podstawiając do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> mamy:
Kod: |
CH
Tabela prawdy chaosu p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1 [=] 4:~q~~>~p=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
B”: 2:~p~~>~q=1 [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Na mocy prawa Słonia zapisujemy tożsamą definicję chaosu p|~~>q w zbiorach:
CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) w zbiorach:
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) w zbiorach to dwa zbiory niepuste p i q mające co najmniej jeden element wspólny z których żaden nie zawiera się w drugim, a dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
D>p+q
Stąd mamy diagram chaosu p|~~>q w zbiorach:
Kod: |
DCH
Diagram chaosu p|~~>q w zbiorach
--------------------------------------------------------------------------
| D=Ya+Yb+Yc+Yd=1 - dziedzina, suma logiczna zbiorów rozłącznych |
| D=A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q =p*(q+~q)+~~p*(~q+q)=p+~p=1 |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q | A: Ya=p*q | D: Yd=~p*q | C: Yc=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
Podsumowując:
Chaos p|~~>q to cztery zbiory niepuste i rozłączne Ya, Yb, Yc i Yd
uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D
|
Doskonale widać, dlaczego dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q?
Dla dziedziny D=p+q zbiór Yc=~p*~q byłby zbiorem pustym (=0), zatem matematyczna definicja chaosu p|~~>q nie mogłaby być spełniona, bowiem na mocy definicji kontrprzykładu w układzie istniałby warunek wystarczający => (relacja podzbioru)
cnd
Wniosek:
Z diagramu DCH doskonale widać najprostszy algorytm rozstrzygający czy mamy do czynienie z chaosem p|~~>q. Należy po prostu udowodnić prawdziwość wszystkich możliwych podzbiorów/zdarzeń Ya, Yb, Yc i Yd, co jest bardzo łatwe, o ile rzeczywiście mamy do czynienia z chaosem p|~~>q
10.1.4 Zaprzeczenie chaosu p|~~>q
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajęcie p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
Podstawiając do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> mamy:
Kod: |
CH
Tabela prawdy chaosu p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1 [=] 4:~q~~>~p=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
B”: 2:~p~~>~q=1 [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zapiszmy skróconą definicje chaosu p|~~>q:
Kod: |
T1
Skrócona definicja chaosu p|~~>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Y
A: p~~> q = p* q =1 - istnieje (Ya=1) wspólny element zbiorów p i q
B: p~~>~q = p*~q =1 - istnieje (Yb=1) wspólny element zbiorów p i ~q
C:~p~~>~q =~p*~q =1 - istnieje (Yc=1) wspólny element zbiorów ~p i ~q
D:~p~~> q =~p* q =1 - istnieje (Yd=1) wspólny element zbiorów ~p i q
|
Prawo Prosiaczka:
(Y=1)=(~Y=0)
Stąd mamy tożsamy opis powyższej tabeli prawdy
Kod: |
T2
Skrócona definicja chaosu p|~~>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Y ~Y
A: p~~> q= p* q =1 =0 - fałszem jest (=0), że nie istnieje (~Ya) p i q
B: p~~>~q= p*~q =1 =0 - fałszem jest (=0), że nie istnieje (~Yb) p i ~q
C: ~p~~>~q=~p*~q =1 =0 - fałszem jest (=0), że nie istnieje (~Yc) ~p i ~q
D: ~p~~> q=~p* q =1 =0 - Fałszem jest (=0), że nie istnieje (~Yd) ~p i q
|
Doskonale widać tożsamość tabel T1=T2 w języku potocznym, co jest n-tym potwierdzeniem prawa Prosiaczka
Uwaga:
W kolumnie wynikowej ~Y mamy same zera, zatem funkcję logiczną ~Y opisuje wyłącznie postać koniunkcyjno-alternatywna, totalnie niezrozumiała dla człowieka.
Dowód w punkcie 2.3.
Fakt iż kolumnę ~Y opisuje funkcja koniunkcyjno-alternatywna można łatwo udowodnić.
1.
Z tabeli T1 odczytujemy funkcję alternatywno-koniunkcyjną:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q =1
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Zapiszmy naszą funkcję logiczną Y uzupełniając brakujące nawiasy:
1"
Y = (p*q) + (p*~q) + (~p*q) + (~p*~q) =1
Zamieniliśmy dwa ostatnie człony co jest bez znaczenia, bo alternatywa jest przemienna.
.. kiedy zajdzie ~Y?
Przejście z równaniem 1" do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2.
~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)*(p+q) =0 - funkcja koniunkcyjno-alternatywna.
Otrzymaliśmy funkcję koniunkcyjno-alternatywną totalnie niezrozumiałą dla człowieka (dowód w pkt. 2.3), zatem nie analizujemy tej funkcji w języku potocznym.
Sprawdźmy tylko czy rzeczywiście funkcja logiczna ~Y ma wartość logiczną twardego zera.
~Y= (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)*(p+q)
Wymnożenie logiczne wielomianu ~Y:
~Y1 = (~p+~q)*(~p+q) = ~p*~p + ~p*q + ~p*~q + ~q*q =(~p + ~p*q + ~p*~q)
~Y2 = (p+~q)*(p+q) = p*p+p*q+ p*~q+~q*q = (p + p*q + p*~q)
~Y = ~Y1*~Y2 = (~p + ~p*q + ~p*~q)* (p + p*q + p*~q)
~Y = (~p*p + ~p*p*q + ~p*p*~q) + (~p*q*p + ~p*q*p*q + ~p*q*p*~q)+
+(~p*~q*p + ~p*~q*p*q+~p*~q*p*~q) = (0+0+0)*(0+0+0)*(0+0+0)=0*0*0=0
cnd
10.2 Śmierć p|~~~>q=0
Definicja śmierci:
Y=p|~~~>q = 0
Śmierć bo brak elementu wspólnego zbiorów ~~> dla każdej z czterech możliwych kombinacji zbiorów
Zaprzeczenie definicji śmierci jest twardą jedynką:
~Y=~(p|~~~>q) =1
Definicja twardej jedynki to zdanie zawsze prawdziwe:
~Y = ~(p|~~~>q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q =1
Stąd mamy tabelę prawdy śmierci:
Kod: |
T1.
Tabela prawdy zaprzeczonej śmierci ~(p|~~~>q)=1:
~Y=~(p|~~~>q)= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q =1
~Y
A: ~Ya= p* q =1 - prawdą jest (=1), że nie istnieje (~Ya) e.w. p i q
B: ~Yb= p*~q =1 - prawdą jest (=1), że nie istnieje (~Yb) e.w. p i ~q
C: ~Yc=~p*~q =1 - prawdą jest (=1), że nie istnieje (~Yc) e.w. ~p i ~q
D: ~Yd=~p* q =1 - prawdą jest (=1), że nie istnieje (~Yd) e.w. ~p i q
Gdzie:
e.w. - element wspólny
|
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0)
Prawo Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej lub stałej binarnej.
Stąd otrzymujemy tabelę T2.
Kod: |
T2.
~Y Y
A: ~Ya= p* q =1 =0 - fałszem jest (=0), że istnieje (Ya) e.w. p i q
B: ~Yb= p*~q =1 =0 - fałszem jest (=0), że istnieje (Yb) e.w. p i ~q
C: ~Yc=~p*~q =1 =0 - fałszem jest (=0), że istnieje (Yc) e.w. ~p i ~q
D: ~Yd=~p* q =1 =0 - fałszem jest (=0), że istnieje (Yd) e.w. ~p i q
Gdzie:
e.w. - element wspólny
|
Doskonale widać tożsamość tabel T1=T2 w języku potocznym, co jest n-tym potwierdzeniem prawa Prosiaczka
Uwaga:
W kolumnie wynikowej Y mamy same zera, zatem funkcję logiczną Y opisuje wyłącznie postać koniunkcyjno-alternatywna, totalnie niezrozumiała dla człowieka.
Dowód w punkcie 2.3.
Fakt iż kolumnę Y opisuje funkcja koniunkcyjno-alternatywna można łatwo udowodnić.
1.
Z tabeli T1 odczytujemy funkcję alternatywno-koniunkcyjną:
~Y=~Ya+~Yb+~Yc+~Yd
Po rozwinięciu mamy:
~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q =1
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Zapiszmy naszą funkcję logiczną ~Y uzupełniając brakujące nawiasy:
1"
~Y = (p*q) + (p*~q) + (~p*q) + (~p*~q) =1
Zamieniliśmy dwa ostatnie człony co jest bez znaczenia, bo alternatywa jest przemienna.
.. kiedy zajdzie Y?
Przejście z równaniem 1" do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2.
Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)*(p+q) =0 - funkcja koniunkcyjno-alternatywna.
Otrzymaliśmy funkcję koniunkcyjno-alternatywną totalnie niezrozumiałą dla człowieka (dowód w pkt. 2.3), zatem nie analizujemy tej funkcji w języku potocznym.
Sprawdźmy tylko czy rzeczywiście funkcja logiczna Y ma wartość logiczną twardego zera.
Y= (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)*(p+q)
Wymnożenie logiczne wielomianu Y:
Y1 = (~p+~q)*(~p+q) = ~p*~p + ~p*q + ~p*~q + ~q*q =(~p + ~p*q + ~p*~q)
Y2 = (p+~q)*(p+q) = p*p+p*q+ p*~q+~q*q = (p + p*q + p*~q)
Y = Y1*Y2 = (~p + ~p*q + ~p*~q)* (p + p*q + p*~q)
Y = (~p*p + ~p*p*q + ~p*p*~q) + (~p*q*p + ~p*q*p*q + ~p*q*p*~q)+
+(~p*~q*p + ~p*~q*p*q+~p*~q*p*~q) = (0+0+0)*(0+0+0)*(0+0+0)=0*0*0=0
cnd
10.2.1 Matematyczny związek śmierci p|~~~>q=0 z chaosem p|~~>q=1
Interpretacja śmierci p|~~~>q=0:
Śmierć to stan naszego Wszechświata przed jego narodzinami, gdzie żadne z pojęć p, q, ~p, ~q jeszcze nie istnieje.
Nie istnieje matematyczne przejście ze śmierci p|~~~>q=0 do życia p|~~>q=1, bo zachodzi tu związek różne na mocy definicji ##.
Dowód:
Kod: |
TF10-11
Grupa spójników chaosu p|~~>q:
Definicja chaosu: Y=p|~~>q=1:
A10: Y =(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=1 # B10: ~Y=0
## ##
Definicja śmierci: Y=p|~~~>q=0:
A11: Y =0 # B11: ~Y=(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p,q muszą być wszędzie tymi samymi p,q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF10-11 oba znaczki # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Podsumowanie:
1.
Przed narodzinami naszego Wszechświata obowiązywała wyłącznie śmierć:
A11: Y=(p|~~~>q)=0
##
2.
Nie ma matematycznej możliwości stworzenia naszego Wszechświata, czyli przejścia ze śmierci Y=0 do chaosu Y=1:
A10: Y=(p|~~>q)=(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=1
Bo obowiązuje tu znaczek różne na mocy definicji ##.
Wniosek:
Powołać do życia nasz Wszechświat mógł wyłącznie Bóg.
STARY TESTAMENT
Księga Rodzaju
1 Na początku Bóg stworzył niebo i ziemię. 2 Ziemia zaś była bezładem i pustkowiem: ciemność była nad powierzchnią bezmiaru wód, a Duch2 Boży unosił się nad wodami.
3 Wtedy Bóg rzekł: «Niechaj się stanie światłość!» I stała się światłość. 4 Bóg widząc, że światłość jest dobra, oddzielił ją od ciemności. 5 I nazwał Bóg światłość dniem, a ciemność nazwał nocą.
I tak upłynął wieczór i poranek - dzień pierwszy.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 22:18, 08 Gru 2022, w całości zmieniany 11 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 19:49, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia
10.3 Przykłady operatorów chaosu p||~~>q
Spis treści
10.3 Przykład chaosu P8|~~>P3 w zbiorach 1
10.3.1 Operator chaosu P8||~~>P3 w zbiorach 3
10.4 Przykład chaosu A|~~>S w zdarzeniach 5
10.4.1 Operator chaosu A||~~>S w zdarzeniach 9
10.3 Przykład chaosu P8|~~>P3 w zbiorach
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (ziemskie twierdzenia matematyczne) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy i tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniona (=0)
Stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Rozważmy zdanie wypowiedziane:
A1”
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Zdanie A1” definiuje zbiory:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P3=[3,6,9,12..24.. ..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Istnieje wspólny element ~~> zbiorów P8 i P3.
cnd
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=P8
q=P3
stąd zdanie A1’’ w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =1
Przyjmijmy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów rozumianych jako uzupełnienie do wspólnej dziedziny LN.
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P3=[LN-P3]=[1,2..4,5..6,7..]
Zauważmy, że warunek wystarczający A1: P8=>P3 nie jest tu spełniony:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 3
P8=>P3 =0 bo kontrprzykład: 3
Definicja warunku wystarczającego P8=>P3 nie jest (=0) spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9..] bo kontrprzykład: 3
cnd
Zbadajmy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 3
P8~>P3 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9..] bo kontrprzykład: 3
cnd
Stąd mamy pewność że zdanie A1” należy do chaosu P8|~~>P3.
10.3.1 Operator chaosu P8||~~>P3 w zbiorach
Definicja podstawowa chaosu P8|~~>P3:
Chaos P8|~~>P3 to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego =>, ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: P8=>P3 =0 - podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym =>
dla jej podzielności przez 3, bo zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => P3
B1: P8~>P3 =0 - podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~>
dla jej podzielności przez 3, bo zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3
Stąd:
P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Podstawmy to do tabeli prawdy chaosu p|~~>q.
Kod: |
CH
Kolumna A1B1: Punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Aktualny punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P3=[3,6,9..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Kolumna A1B1: Punkt odniesienia w zapisie aktualnym {P8,P3}:
A1: P8=>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => P3
B1: P8~>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3
A1B1: P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3)=~(0)*~(0)=1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A’: 1: P8~~>~P3=1 = [=] = 4:~P3~~>P8 =1
A”: 1: p~~>q =1 [=] 4:~q~~>~p =1
A”: 1: P8~~>P3 =1 [=] 4:~P3~~>~P8=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
B’: = 2:~P8~~>P3 =1 [=] 3: P3~~>~P8=1
B”: 2:~p~~>~q =1 [=] 3: q~~>p =1
B”: 2:~P8~~>~P3=1 [=] 3: P3~~>P8 =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
„=”, [=] - tożsame znaczki tożsamości logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Uwaga:
Zdania A1” i B2” kodowane zdarzeniem możliwym ~~> muszą być prawdziwe, bowiem wtedy i tylko wtedy będziemy mieli do czynienia z chaosem p|~~>q.
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że zdanie A1” jest fałszywe:
A1”: p~~>q =0
Wówczas na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy byłby warunek wystarczający =>:
A1S: p=>~q =1
co prowadzi do sprzeczności z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym spełnionym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identyczny dowód nie wprost możemy przeprowadzić w stosunku do zdania prawdziwego B2” oraz do zdań B3” i A4”.
W tabeli chaosu CH widzimy, że fałszywe są wszystkie warunki wystarczające => i konieczne ~>, ale analiza spójnika chaosu p|~~>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w zdarzeniach możliwych ~~> (dla zdarzeń) albo w elementach wspólnych zbiorów ~~> (dla zbiorów) to seria czterech zdań prawdziwych.
Wniosek:
Najprostszy sposób udowodnienia iż mamy do czynienia z chaosem p|~~>q to udowodnienie iż cztery zdania kodowane znaczkiem ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q są prawdziwe.
Operator chaosu P8||~~>P3 to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o P8 i ~P8:
A1B1: P8|~~>P3 =~(A1: P8=> P3)*~(B1: P8~>P3) - co się stanie jeśli wylosujemy liczbę z P8?
A2B2:~P8|~~>~P3 =~(A2:~P3~>~P3)*~(B2:~P8=>~P3)- co się stanie jeśli wylosujemy liczbę z ~P8?
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba będzie podzielna przez 8 (P8=1)?
Kolumna A1B1:
A1”.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
P8~~>P3 = P8*P3 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8 i P3 jest (=1) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] mają element wspólny ~~> np. 24
LUB
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8 i ~P3 jest (=1) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P3=[1,2..4.5..7,8..] mają element wspólny ~~> np. 8
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba nie będzie podzielna przez z 8 (~P8=1)?
Kolumna A2B2:
B2”.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~P8 i ~P3 jest (=1) spełniona bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P3=[1,2..4,5..7,8..] mają element wspólny np. 2
LUB
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo element wspólny 3
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~P8 i P3 jest (=1) spełniona bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P3=[3,6,9..24..] mają element wspólny np. 3
Podsumowanie:
Istotą operatorach chaosu P8||~~>P3 jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” zarówno po stronie P8 (zdania A1’’, A1’) jak i po stronie ~P8 (zdania B2’’ i B2’)
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~P8||~~>~P3 w logice ujemnej (bo ~P3) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytania o ~P8 i P8:
A2B2:~P8|~~>~P3 =~(A2:~P3~>~P3)*~(B2:~P8=>~P3)- co się stanie jeśli wylosujemy liczbę z ~P8?
A1B1: P8|~~>P3 =~(A1: P8=> P3)*~(B1: P8~>P3) - co się stanie jeśli wylosujemy liczbę z P8?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora chaosu ~P8||~~>~P3 w logice ujemnej (bo ~P3) będzie identyczna jak operatora chaosu P8||~~>P3 w logice dodatniej (bo P3) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1’’, A1’, B2’’, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
10.4 Przykład chaosu A|~~>S w zdarzeniach
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (ziemskie twierdzenia matematyczne) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Definicja podstawowa chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Definicja podstawowa chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniona (=0)
Stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1
Rozważmy następujący schemat elektryczny:
Kod: |
S4 Schemat 4
Fizyczna realizacja chaosu A|~~>S w zdarzeniach:
A|~~>S=~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=~(0)*~(0)=1*1=1
B
______
---o o------
| |
S C | A |
------------- ______ | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----o o-----|
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienne wolne: C, B
Istotą operatora chaosu są zmienne wolne.
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Fizyczna interpretacja zmiennych wolnych B i C:
Wyobraźmy sobie trzy pokoje 1, 2 i 3.
W pokoju 1 siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A widzący żarówkę S, w pokoju 2 siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk C widząca duplikat żarówki S, zaś w pokoju 3 siedzi Małgosia mając do dyspozycji wyłącznie przycisk B oraz duplikat żarówki S. Jaś, Zuzia i Małgosia nie wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu ani też nie znają schematu ideowego S4.
Zadaniem każdego członka z grupy jest rozszyfrowanie rzeczywistego schematu ideowego sterującego żarówką.
Przyjmijmy za punkt odniesienia Jasia i pokój 1.
Z punktu odniesienia Jasia mamy dwie zmienne wolne B i C do których Jaś nie ma dostępu, są poza jego kontrolą.
Definicja zmiennej wolnej B:
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna B będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(b) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(b) =1
oraz
f(b)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(b) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku B, gdzie daje się ustawić zarówno B=1 jak i B=0.
Przykład:
f(b) = G*(~H+I)
Gdzie:
G, I - przyciski normalnie rozwarte
~H - przycisk normalnie zwarty
Definicja zmiennej wolnej C:
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna C będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(c) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(c) =1
oraz
f(c)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(c) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku C, gdzie daje się ustawić zarówno C=1 jak i C=0.
Przykład:
f(c) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty
Definicja zmiennej związanej A:
Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte
Na początek musimy udowodnić, iż rzeczywiście układ S4 jest fizyczną realizacją chaosu A|~~>S.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S bo zmienna wolna C może być ustawiona na C=0 - wtedy żarówka nie będzie się świecić (~S=1).
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmijmy zdanie A1 za punkt odniesienia:
p = A (przycisk A)
q = S (żarówka S)
Stąd mamy zapis zdania A1 w zapisie formalnym:
p=>q =0
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> B1:
B1:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =?
To samo w zapisie formalnym:
p~>q=?
W takim przypadku zawsze najprościej jest skorzystać z prawa Tygryska prowadzącego do najprostszego warunku wystarczającego =>.
Prawo Tygryska:
B1: A~>S = B3: S=>A
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q = B3: q=>p
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => B3.
B3.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to na 100% => przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S=>A =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo żarówka S może się świecić (S=1) gdy C=1 i B=1 zaś przycisk A wcale nie musi być wciśnięty.
Stąd, na mocy prawa Tygryska warunek konieczny ~> B1 jest fałszem:
B1:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =0 - wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S.
cnd
Wniosek:
Schemat S4 jest fizyczną realizacją chaosu A|~~>S
10.4.1 Operator chaosu A||~~>S w zdarzeniach
Kod: |
S4 Schemat 4
Fizyczna realizacja chaosu A|~~>S w zdarzeniach:
A|~~>S=~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=~(0)*~(0)=1*1=1
W
______
---o o------
| |
S Z | A |
------------- ______ | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----o o-----|
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienne wolne: W, Z
Istotą chaosu A|~~>S są zmienne wolne W i Z.
|
Dowód iż schemat S4 jest fizyczną realizacją operatora chaosu przedstawiliśmy wyżej.
Dopiero w tym momencie możemy skorzystać z szablonu chaosu p|~~>q wyrażonego warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>
Kod: |
CH
Kolumna A1B1: Punkt odniesienia w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Aktualny punkt odniesienia:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Kolumna A1B1: Punkt odniesienia w zapisie aktualnym:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|~~>S = ~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =~(0)*~(0) =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: A=>S =0 = 2:~A~>~S =0 [=] 3: S~>A =0 = 4:~S=>~A =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A’: 1: A~~>~S=1 = [=] = 4:~S~~>A =1
A”: 1: p~~>q =1 [=] 4:~q~~>~p=1
A”: 1: A~~>S =1 [=] 4:~S~~>~A=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: A~>S =0 = 2:~A=>~S =0 [=] 3: S=>A =0 = 4:~S~>~A =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
B’: = 2:~A~~>S =1 [=] 3: S~~>~A=1
B”: 2:~p~~>~q=1 [=] 3: q~~>p =1
B”: 2:~A~~>~S=1 [=] 3: S~~>A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
„=”, [=] - tożsame znaczki tożsamości logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Uwaga:
Zdania A1” i B2” kodowane zdarzeniem możliwym ~~> muszą być prawdziwe, bowiem wtedy i tylko wtedy będziemy mieli do czynienia z chaosem p|~~>q.
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że zdanie A1” jest fałszywe:
A1”: p~~>q =0
Wówczas na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy byłby warunek wystarczający =>:
A1S: p=>~q =1
co prowadzi do sprzeczności z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym spełnionym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identyczny dowód nie wprost możemy przeprowadzić w stosunku do zdania prawdziwego B2” oraz do zdań B3” i A4”.
W tabeli CH widzimy, że fałszywe są wszystkie warunki wystarczające => i konieczne ~>, ale analiza spójnika chaosu p|~~>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w zdarzeniach możliwych ~~> (dla zdarzeń) albo w elementach wspólnych zbiorów ~~> (dla zbiorów) to seria czterech zdań prawdziwych.
Wniosek:
Najprostszy sposób udowodnienia iż mamy do czynienia z chaosem p|~~>q to udowodnienie iż cztery zdania kodowane znaczkiem ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q są prawdziwe.
Operator chaosu A||~~>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o A i ~A:
A1B1: A|~~>S =~(A1: A=> S)*~(B1: A~>S) - co się stanie jeśli A jest wciśnięty (A=1)?
A2B2:~A|~~>~S =~(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S)- co się stanie jeśli A nie jest wciśnięty (~A=1)?
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
Kolumna A1B1:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A||~~>S = ~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =~(0)*~(0) =1*1=1
Z kolumny A1B1 odczytujemy:
A1”.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
A~~>S = A*S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1) gdy dodatkowo zmienna wolna Z będzie ustawiona na Z=1
LUB
A’.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> nie świecić się (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Gdy zmienna wolna Z ustawiona jest na Z=0
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
Kolumna A2B2:
A2: ~A~>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla nie świecenia S (~S=1)
B2: ~A=>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) wystarczające => nie dla świecenia S (~S=1)
~A|~~>~S = ~(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Z kolumny A2B2 odczytujemy:
B”.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> nie świecić się (~S=1)
~A~~>~S = ~A*~S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Gdy zmienna wolna Z ustawiona jest na Z=0 (albo W=0)
LUB
B’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> świecić się (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Gdy zmienna wolna Z ustawiona jest na Z=1 i zmienna wolna W ustawiona jest na W=1
Podsumowanie:
Operator chaosu A||~~>S to „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” zarówno po stronie wciśniętego klawisza A (A=1 - zdania A1’’ i A1’), jak i po stronie nie wciśniętego klawisza A (~A=1 - zdania B2’’ i B2’)
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~A||~~>~S w logice ujemnej (bo ~S) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~A i A:
A2B2:~A|~~>~S =~(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli A nie jest wciśnięty (~A=1)?
A1B1: A|~~>S =~(A1: A=> S)*~(B1: A~>S) - co się stanie jeśli A jest wciśnięty (A=1)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora chaosu ~A||~~>~S w logice ujemnej (bo ~S) będzie identyczna jak operatora chaosu A||~~>S w logice dodatniej (bo S) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1’’, A1’, B2’’, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 19:51, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
..
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 20:09, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia
11.0 Obietnice i groźby
Spis treści
11.0 Obietnice i groźby 1
11.1 Implikacja prosta p|=>q 2
11.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q 3
11.2 Implikacja odwrotna p|~>q 5
11.2.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 7
11.3 Prawa transformacji w obietnicy i groźbie 8
11.3.1 Prawo transformacji w obietnicy 8
11.3.2 Prawo transformacji w groźbie 10
11.0 Obietnice i groźby
Największą tragedią ziemskich matematyków jest fakt, że mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie doszli do poprawnych matematycznie definicji obietnicy i groźby niżej zapisanych.
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.
Przykład:
A1.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
Dostanie komputera to nagroda, zatem warunek wystarczający A1: E=>K z definicji jest częścią implikacji prostej E|=>K. W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania komputera
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => otrzymania komputera
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.
Przykład:
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L =1
Dostanie lania to kara, zatem warunek konieczny B1: B~>L z definicji jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L. W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym ~> dostania lania, ale nie jest to warunek wystarczający => bowiem na mocy definicji implikacji odwrotnej B|~>L każdy człowiek ma prawo do odstąpienia wykonania kary zależnej od niego.
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43);
Przypomnijmy sobie teorię implikacji prostej p|=>q i implikacji odwrotnej p|~>q.
11.1 Implikacja prosta p|=>q
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q (A1) i jednocześnie p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod: |
T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
11.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedzi na pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q=1)
Mówi o tym zdanie A1
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q
A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Mówią o tym zdania A2 i B2’
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q, bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
LUB
Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
11.2 Implikacja odwrotna p|~>q
IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => (A1) dla zajścia q.
Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod: |
T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod: |
IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to formalny punkt odniesienia {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
11.2.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Mówią o tym zdania B1 i A1’
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q, bo jak zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
LUB
Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie):
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q
A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q (~q=1).
Mówi o tym zdanie B2
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie):
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zajdzie ~p i zajdzie q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie p (zdania B1 i A1’) , oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).
Zauważmy że:
a)
Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję logicznie tożsamą:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
11.3 Prawa transformacji w obietnicy i groźbie
Prawo transformacji:
W obietnicach i groźbach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.
11.3.1 Prawo transformacji w obietnicy
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.
Prawo transformacji:
W obietnicach i groźbach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.
Zauważmy, że o groźbach i obietnicach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego.
Definicja świata żywego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej.
Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).
Zobaczmy jak działa prawo transformacji na przykładzie.
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to otworzę parasol (OP=1)
P=>OP =1
Padanie (P=1) w dniu jutrzejszym daje nam gwarancję matematyczną => otwarcia parasola (OP=1)
Prawo kontrapozycji:
A1: P=>OP = A4: ~OP=>~P
Zdanie A4 w czasie przyszłym:
A4.
Jeśli jutro nie otworzę parasola (~OP=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~OP=>~P=1
Brak otwarcia parasola w dniu jutrzejszym (~OP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jutro nie będzie padało (~P=1)
Jak widzimy, bez zastosowania prawa transformacji zdanie A4 jest kompletnie bez sensu, ale …
Zdanie A4 w czasie przeszłym:
Jest pojutrze i nie wiemy nic w temacie otwarcia parasola.
Wówczas na mocy prawa transformacji zdanie A4 opisuje przeszłość.
A4.
Jeśli wczoraj nie otworzyłem parasola to na 100% => nie padało
~OP =>~P =1
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa transformacji wszystko pięknie gra i buczy.
Abstrakcyjnie możemy się przenieść do przyszłości mówiąc tak:
A4.
Jeśli nie otworzysz parasola to będzie to oznaczało że (wcześniej) nie padało
~OP=>~P=1
Z definicji wszelkie obietnice zapisane są w czasie przyszłym z czego wynika, że na mocy prawa transformacji z tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q możemy usunąć kolumny A3B3 i A4B4 dotyczące czasu przeszłego skupiając się na kolumnach A1B1 i A2B2 opisujących przyszłość.
Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w obsłudze obietnicy p=>q
Matematyczna obsługa obietnicy p=>q w czasie przyszłym
po usunięciu kolumn A2B3 i A4B4 opisujących obietnice w czasie przeszłym
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1
A’: 1: p~~>~q=0 =
## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0
B’: = 2:~p~~>q=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
11.3.2 Prawo transformacji w groźbie
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.
Prawo transformacji:
W obietnicach i groźbach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.
Zauważmy, że o groźbach i obietnicach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego.
Definicja świata żywego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej.
Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).
Zobaczmy jak działa prawo transformacji na przykładzie.
Przykład:
B1.
Jeśli jutro ubrudzisz spodnie (B) to dostaniesz lanie (L)
B~>L =1
Następnik q jest tu ewidentną groźbą, zatem zdanie A1 musimy kodować zgodnie z definicją groźby warunkiem konicznym ~> wchodzącym w skład implikacji odwrotnej B|~>L, bez względu na ostrość wypowiedzenia groźby B1.
Gwarancja matematyczna => w groźbie wynika z prawa Kubusia:
B1: B~>L = B2: ~B=>~L
stąd mamy:
B2.
Jeśli jutro przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L=1)
~B=>~L =1
Przyjście w czystych spodniach (~B=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie dostania lania (~L=1) … z powodu przyjścia w czystych spodniach (~B=1)
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>.
Lanie z dowolnego innego powodu jest możliwe, ale nie będzie ono dotyczyło wypowiedzianej groźby B1.
Zauważmy, że zdanie B2 spełnia klasyczną definicję obietnicy, bowiem w następniku jest mowa o „nie dostaniu lania” które dla dziecka jest nagrodą.
Matematycznie zachodzą tożsamości:
Kara to brak nagrody
K=~N
Nagroda to brak kary
N=~K
Zastosujmy do zdania B2 prawo kontrapozycji:
B2: ~B=>~L = B4: L=>B
Zdanie B4 w czasie przyszłym czytamy:
B4.
Jeśli jutro dostaniesz lanie (L=1) to na 100% => przyjdziesz w brudnych spodniach (B=1)
L=>B =1
Zauważmy, że w czasie przyszłym zdanie B4 traci sens bowiem mówi ono że jeśli dzieciak jutro dostanie lanie (przyczyna) to na 100% => ubrudzi spodnie (skutek) … czyli na złość mamie ugryzę się w język.
Poza tym zdanie B4 nie spełnia definicji obietnicy którą kodujemy warunkiem wystarczającym => bowiem następnik brzmi tu:
B - przyjdę w brudnych spodniach
Brudne spodnie nie są dla dziecka ani karą, ani też nagrodą, to tylko stwierdzenie stopnia zabrudzenia jego spodni.
Zdanie B4 nabierze sensu jeśli wypowiemy je w czasie przeszłym.
Załóżmy, że jest pojutrze i nie wiemy nic w temacie obietnicy B2 która dotyczyła dnia wczorajszego.
Na mocy prawa transformacji zdanie B4 opisuje przeszłość:
B4.
Jeśli wczoraj dostałeś lanie (L=1) to na 100% => ubrudziłeś spodnie (B=1)
L=>B =1
Z faktu, iż dziecko dostało lanie (L=1) wnioskujemy na 100% => iż ubrudziło spodnie (B=1)
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa transformacji wszystko pięknie gra i buczy.
Abstrakcyjnie możemy się przenieść do przyszłości mówiąc tak:
B4.
Jeśli jutro dostaniesz lanie (L=1) to będzie to oznaczało, że wcześniej ubrudziłeś spodnie (B=1)
L=>B =1
Z definicji wszelkie groźby zapisane są w czasie przyszłym z czego wynika, że na mocy prawa transformacji z tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q możemy usunąć kolumny A3B3 i A4B4 dotyczące czasu przeszłego skupiając się na kolumnach A1B1 i A2B2 opisujących przyszłość.
Kod: |
IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q w obsłudze groźby p~>q.
Matematyczna obsługa groźby p~>q w czasie przyszłym
po usunięciu kolumn A2B3 i A4B4 opisujących groźby w czasie przeszłym
Kolumna A1B1 to formalny punkt odniesienia {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0
A’: 1: p~~>~q=1 =
## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1
B’: = 2:~p~~>q=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 20:11, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia
11.4 Przykłady obietnicy
Spis treści
11.4 Obietnica E=>K 1
11.4.1 Operator implikacji prostej E||=>K 2
11.4.2 Kluczowe dialogi ojca z synem 5
11.5 Obietnica W=>Z 5
11.5.1 Operator implikacji prostej W||=>Z 7
11.5.2 Kluczowe dialogi Chrystusa z człowiekiem 10
11.4 Obietnica E=>K
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.
Zajmijmy się sztandarowym przykładem obietnicy.
A1.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
Dostanie komputera to nagroda, zatem zdanie A1: E=>K z definicji jest częścią implikacji prostej E|=>K. W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.
Definicja podstawowa implikacji prostej E|=>K:
A1: E=>K =1 - zdanie egzaminu (E=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym =>
dla otrzymania komputera (K=1)
B1: E~>K =0 - zdanie egzaminu (E=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~>
dla otrzymania komputera (K=1)
Stąd:
A1B1: E|=>K = (A1: E=>K)*~(B1: E~>K) = 1*~(0) =1*1 =1
Podstawmy nasz przykład do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q
Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {E,K}:
A1: Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p=E(egzamin)
q=K(komputer)
A1: E=>K=1 - zdanie egzaminu wystarcza => dla otrzymania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest konieczne ~> dla otrzymania komputera
A1B1: E|=>K=(A1: E=>K)*~(B1: E~>K)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: E=>K =1 = 2:~E~>~K=1 [=] 3: K~>E =1 = 4:~K=>~E =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: E~~>~K=0 = [=] = 4:~K~~>E =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: E~>K =0 = 2:~E=>~K=0 [=] 3: K=>E =0 = 4:~K~>~E =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
B’: = 2:~E~~>K=1 [=] 3: K~~>~E=1
Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
11.4.1 Operator implikacji prostej E||=>K
Operator implikacji prostej E||=>K w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedzi na pytania o E i ~E:
A1B1: E|=>K =(A1: K=>K)* ~(B1: E~>K) - co się stanie jeśli zdam egzamin (E=1)?
A2B2: ~E|~>~K =(A2:~E~>~K)*~(B2:~E=>~K) - co się stanie jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)?
A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zdam egzamin (E=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: E=>K =1 - zdanie egzaminu (E=1)jest (=1) wystarczające => dla dostania komputera (K=1)
B1: p~>q =0 - zdanie egzaminu (E=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla dostania komputera (K=1)
A1B1: E|=>K =(A1: K=>K)* ~(B1: E~>K) - co się stanie jeśli zdam egzamin (E=1)?
Stąd:
Jeśli zdam egzamin (E=1) to mam gwarancję matematyczną => iż dostanę komputer (K=1) - mówi o tym zdanie A1
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera z powodu zdanego egzaminu.
Zdanie egzaminu daje nam gwarancje matematyczną => dostania komputera z powodu zdanego egzaminu
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>.
Znaczek warunku wystarczającego => nie wyklucza dostania komputera z dowolnego innego powodu. Dostanie komputera z innego powodu będzie miało zero wspólnego z obietnicą A1: E=>K, nie będzie dotyczyć tej konkretnej obietnicy A1: E=>K.
Matematycznie:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => = pewność 100% => etc
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to możesz ~~> nie dostać komputera (~K=1)
E~~>~K = E*~K=0
to samo w zapisach formalnych:
p~~>~q = p*~q =0
Nie może się zdarzyć (=0), że zdam egzamin (E=1) i nie dostanę komputera (~K=1).
W świecie martwym (i w matematyce) kontrprzykład A1’ jest twardym fałszem którego świat martwy nie jest w stanie złamać.
W świecie żywym, mającym „wolną wolę” ojciec może kłamać do woli, czyli syn może zdać egzamin a ojciec z premedytacją może nie dać mu komputera. W tym przypadku ojciec jest kłamcą o czym wszyscy wiedzą od 5-cio latka poczynając. Tylko tyle i aż tyle rozstrzyga w obietnicy matematyka ścisła, algebra Kubusia.
A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~E~>~K =1 - nie zdanie egzaminu jest (=1) warunkiem koniecznym ~> nie dostania komputera
B2: ~E=>~K =0 - nie zdanie egzaminu nie jest (=0) warunkiem wystarczającym =>
dla nie dostania komputera
A2B2: ~E|~>~K =(A2:~E~>~K)*~(B2:~E=>~K) - co się stanie jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)?
Stąd:
Jeśli nie zdam egzaminu (~E=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to na 100% ~> nie dostaniesz komputera (~K=1)
~E~>~K =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>~q 1
Nie zdanie egzaminu (~E=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie dostania komputera (~K=1) bo jak zdam egzamin (E=1) to na 100% => dostanę komputer (K=1)
A2: ~E~>~K = A1: E=>K
Zauważmy, że zdanie A2 ojciec może wypowiedzieć w dowolnie ostry sposób, jednak na mocy definicji obietnicy A1: E=>K będącej częścią implikacji prostej E|=>K zdanie A2 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością wręczenia komputera mimo że syn nie zdał egzaminu, o czym mówi zdanie B2’.
LUB
Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to możesz ~~> dostać komputer (K=1)
~E~~>K = ~E*K =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Może się zdarzyć (=1), że nie zdam egzaminu (~E=1) i dostanę komputer (K=1)
Zdanie B2’ to piękny akt miłości w stosunku do zdania A1, czyli prawo do wręczenia nagrody (tu komputera) mimo że syn nie spełnił warunku nagrody (tu nie zdał egzaminu)
Zdanie B2’ to także piękny „akt łaski” w stosunku do groźby A2, czyli prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy.
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej E||=>K jest gwarancja matematyczna => po stronie E (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~E (zdania A2 i B2’) .
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~E||~>~K to układ równań logicznych:
A2B2:~E|~>~K=(A2:~E~>~K)*~(B2:~E=>~K) - co się stanie jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)
A1B1: E|=>K=(A1: E=>K)*~(B1: E~>K) - co się stanie jeśli zdam egzamin (E=1)
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~E||~>~K w logice ujemnej (bo ~K) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej E||=>K w logice dodatniej (bo K) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Komentarz do zdania A2:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to na 100% ~> nie dostaniesz komputera (~K=1)
A2: ~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu (~E=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie dostana komputera (~K=1)
Zdanie tożsame:
A21.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to możesz ~> nie dostać komputera (~K=1)
A21: ~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu (~E=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie dostana komputera (~K=1)
Zauważmy, że zdanie A2 jest ewidentną groźbą, zaś wszelkie groźby na mocy definicji musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością darowania kary opisanym prawdziwym kontrprzykładem B2’.
Dlaczego zachodzi tożsamość zdań?
A2: ~E~>~K = A21: ~E~>~K?
Wynika to z definicji obietnicy zgodnie z którą zdanie A2=A21 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z prawem do aktu miłości względem zdania A1 wyrażonym prawdziwym kontrprzykładem B2’, niezależnie od tego w jak ostrej formie groźba A2=A21 będzie wyrażona.
Zauważmy, że w groźbie nadawca ma prawo do blefowania, czyli może wypowiedzieć groźbę w dowolnie ostry sposób. Z faktu iż nadawca w chwili wypowiadania groźby nie zamierza jej wykonać (blef - o czym odbiorca nie wie) nie wynika iż finalnie nadawca nie może zmienić zdania i zapowiedzianą groźbę wykonać.
11.4.2 Kluczowe dialogi ojca z synem
Tata do syna:
A1:
Jeśli zdasz egzamin (E) to dostaniesz komputer (K)
A1: E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera
Syn:
… a jeśli nie zdam egzaminu?
Tata:
Prawo Kubusia:
A1: E=>K = A2: ~E~>~K
stąd:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E) to nie dostaniesz komputera (~K)
~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu jest warunkiem koniecznym ~> dla nie dostania komputera.
Syn:
Tata, czy możesz powtórzyć co się stanie jeśli zdam egzamin (E), oraz co się stanie jeśli nie zdam egzamin (~E)
Tata:
Bardzo proszę synku:
Jeśli zdasz egzamin (E) to dostaniesz komputer (K) (zdanie A1) a jeśli nie zdasz egzaminu (~E) to nie dostaniesz komputera (~K) (zdanie A2)
A1A2: (A1: E=>K)* (A2: ~E~>~K)=1*1=1
Jak widzimy, tata ma prawo wypowiedzieć zdania A1 i A2 w jednym zdaniu, gdyby nie mógł tego zrobić to logika matematyczna ległaby w gruzach.
11.5 Obietnica W=>Z
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.
Zajmijmy się teraz kluczową obietnicą Chrystusa dzięki której już 15 lat temu zrozumiałem algebrę Kubusia. Oczywiście droga do poprawnego rozszyfrowania kompletnej algebry Kubusia była jeszcze bardzo daleka, wymagała 15 lat zaciętych dyskusji z ziemskimi matematykami.
Chrystus:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z=1
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Wiara w Chrystusa daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zdanie A1 to ewidentna obietnica, bowiem w następniku mamy tu nagrodę, musimy ją zatem kodować warunkiem wystarczającym A1: W=>Z wchodzącym w skład implikacji prostej W|=>Z.
Dlaczego ta obietnica była dla mnie kluczowa w początkach rozszyfrowywania algebry Kubusia?
Odpowiedź jest prosta:
W naszym Wszechświecie Chrystus, w przeciwieństwie do człowieka, nie ma prawa do kłamstwa, czyli nie może wierzącego w niego człowieka posłać do piekła.
Natomiast człowiek w obietnicy może kłamać do woli, to woda na młyn wszelkiej maści oszustów np. wyłudzanie pieniędzy od emerytów metodą na wnuczka.
Definicja podstawowa implikacji prostej E|=>K:
A1: W=>Z=1 - wiara w Boga jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
B1: W~>Z=0 - wiara w Boga nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zbawienia
Stąd:
A1B1: W|=>Z = (A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z) = 1*~(0) =1*1 =1
Podstawmy obietnicę Chrystusa do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q
Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {W,Z}:
A1: Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p=W (wierzy)
q=Z (zbawiony)
A1: W=>Z=1 - wiara w Boga jest (=1) warunkiem wystarczającym =>
dla zbawienia
B1: W~>Z=0 - wiara w Boga nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~>
dla zbawienia
Stąd:
A1B1: W|=>Z = (A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z) = 1*~(0) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: W=>Z =1 = 2:~W~>~Z=1 [=] 3: Z~>W =1 = 4:~Z=>~W =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: W~~>~Z=0 = [=] = 4:~Z~~>W =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: W~>Z =0 = 2:~W=>~Z=0 [=] 3: Z=>W =0 = 4:~Z~>~W =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
B’: = 2:~W~~>Z=1 [=] 3: Z~~>~W=1
Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
11.5.1 Operator implikacji prostej W||=>Z
Operator implikacji prostej W||=>Z w logice dodatniej (bo Z) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedzi na pytania o wierzących (W) i niewierzących (~W):
A1B1: W|=>Z = (A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z) = 1*~(0) =1*1 =1 - co się stanie z wierzącym (W)?
A2B2: ~W|~>~Z =(A2:~W~>~Z)*~(B2:~W=>~Z) - co się stanie z niewierzącym (~W=1)?
A1B1.
Co może spotkać człowieka wierzącego (W=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: W=>Z=1 - wiara w Boga jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
B1: W~>Z=0 - wiara w Boga nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zbawienia
Stąd:
A1B1: W|=>Z = (A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z) = 1*~(0) =1*1 =1 - co się stanie z wierzącym (W)?
Stąd:
Jeśli wierzę w Boga (W=1) to mam gwarancję matematyczną => zbawienia (Z) - mówi o tym zdanie A1
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Kto wierzy (W) we mnie będzie zbawiony (Z)
W=>Z=1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Wiara w Chrystusa daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>.
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Kto wierzy we mnie (W) ten może ~~> nie zostać zbawiony (~Z)
W~~>~Z = W*~Z=0
to samo w zapisach formalnych:
p~~>~q = p*~q =0
Nie może się zdarzyć (=0), że wierzę w Chrystusa i nie zostanę zbawiony.
To jedyne miejsce w całej analizie obietnicy A1 Chrystusa gdzie mógłby skłamać, czyli posłać wierzącego w niego człowieka do piekła.
Oczywistym jest, że w naszym Wszechświecie Chrystus z definicji nie ma prawa do kłamstwa (w przeciwieństwie do człowieka).
A2B2.
Co może spotkać człowieka niewierzącego (~W=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~W~>~Z =1 - brak wiary w Boga (~W) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z)
B2: ~W=>~Z =0 - brak wiary w Boga nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla nie zbawienia
A2B2: ~W|~>~Z =(A2:~W~>~Z)*~(B2:~W=>~Z) - co się stanie z niewierzącym (~W=1)?
Stąd:
W przypadku niewierzących (~W=1) mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W) nie zostanie zbawiony (~Z)
~W~>~Z =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>~q =1
Brak wiary w Chrystusa (~W=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z=1) bo jak kto wierzy (W=1) to na 100% => zostanie zbawiony (Z=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~W~>~Z = A1: W=>Z
Zauważmy, ze Chrystus, podobnie jak człowiek może groźbę A2 wypowiedzieć w dowolnie ostrej formie, jednak na mocy definicji obietnicy A1: W=>Z będącej częścią implikacji prostej W|=>Z zdanie A2 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością zbawienia, mimo że człowiek nie wierzył (nie spełnił warunku nagrody) o czym mówi zdanie B2’
LUB
Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie:
B2’.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten może ~~> zostać zbawiony (~Z)
~W~~>Z = ~W*Z =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Może się zdarzyć (=1), że nie wierzę w Chrystusa (~W) i zostanę zbawiony (Z)
Zdanie B2’ to piękny akt miłości w stosunku do zdania A1, czyli prawo do wręczenia nagrody (tu zbawienie) mimo że człowiek nie spełnił warunku nagrody (tu nie wierzył)
Zdanie B2’ to także piękny „akt łaski” w stosunku do groźby A2, czyli prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy.
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)
Zauważmy, że na mocy zdań A2 i B2’ Chrystus może umieścić w niebie wszystkich ludzi (z Hitlerem na czele) i nie zostanie kłamcą.
Oczywiście „może’ nie oznacza „musi”!
Wynika z tego, że zanana filozofom idea powszechnego zbawienia, zwana także ideą pustego piekła (Apokatastaza) matematycznie jest możliwa.
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej W||=>Z jest gwarancja matematyczna => po stronie W (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~W (zdania A2 i B2’) .
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~W||~>~Z to układ równań logicznych:
A2B2: ~W|~>~Z =(A2:~W~>~Z)*~(B2:~W=>~Z) - co się stanie z niewierzącym (~W=1)?
A1B1: W|=>Z = (A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z) = 1*~(0) =1*1 =1 - co się stanie z wierzącym (W)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~W||~>~Z w logice ujemnej (bo ~Z) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej W||=>Z w logice dodatniej (bo Z) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Komentarz do zdania A2:
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten na 100% ~> nie zostanie zbawiony (~Z=1)
A2: ~W~>~Z =1
Brak wiary w Chrystusa (~W=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z=1)
Zdanie tożsame:
A21.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten może ~> nie zostać zbawiony (~Z=1)
A21: ~W~>~Z =1
Brak wiary w Chrystusa (~W=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z=1)
Zauważmy, że zdanie A2 jest ewidentną groźbą, zaś wszelkie groźby na mocy definicji musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością darowania kary opisanym prawdziwym kontrprzykładem B2’.
Dlaczego zachodzi matematyczna tożsamość zdań?
A2: ~W~>~Z = A21: ~W~>~Z?
Wynika to z definicji obietnicy zgodnie z którą zdanie A2=A21 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z prawem do aktu miłości względem zdania A1 wyrażonym prawdziwym kontrprzykładem B2’, niezależnie od tego w jak ostrej formie groźba A2=A21 będzie wyrażona.
Zauważmy, że w groźbie nadawca ma prawo do blefowania, czyli może wypowiedzieć groźbę w dowolnie ostry sposób. Z faktu iż nadawca w chwili wypowiadania groźby nie zamierza jej wykonać (blef - o czym odbiorca nie wie) nie wynika iż finalnie nadawca nie może zmienić zdania i zapowiedzianą groźbę wykonać.
Wniosek:
Z punktu widzenia logiki matematycznej, najostrzejszą groźbę Chrystusa, grzech przeciwko Duchowi Św. musimy uznać za blef Chrystusa.
Ewangelia Mateusza: Dlatego powiadam wam: Każdy grzech i bluźnierstwo będą odpuszczone ludziom, ale bluźnierstwo przeciwko Duchowi nie będzie odpuszczone. Jeśli ktoś powie słowo przeciw Synowi Człowieczemu, będzie mu odpuszczone, lecz jeśli powie przeciw Duchowi Świętemu, nie będzie mu odpuszczone ani w tym wieku, ani w przyszłym
Zauważmy, że gdyby Chrystus nie miał prawa do darowania dowolnego grzechu, w tym grzechu przeciwko Duchowi Św. to jego wolna wola, prawo do darowania dowolnej kary zależnej od niego, ległaby w gruzach.
Dowodów iż Chrystus ma prawo darować dowolny grzech jest w Biblii mnóstwo np.
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)
11.5.2 Kluczowe dialogi Chrystusa z człowiekiem
Chrystus:
A1:
Kto wierzy we mnie (W), będzie zbawiony (Z)
A1: W=>Z =1
Wiara w Chrystusa (W) jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia (Z)
Człowiek:
… a jeśli kto nie wierzy, Panie?
Chrystus:
Prawo Kubusia:
A1: E=>K = A2: ~E~>~K
stąd:
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W), nie będzie zbawiony (~Z)
~W~>~Z =1
Brak wiary w Chrystusa (~W) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z)
Człowiek:
Panie, czy możesz powtórzyć co się stanie z wierzącymi (W), oraz co się stanie z niewierzącymi (~W)?
Chrystus:
Bardzo proszę:
A1A2:
Kto wierzy we mnie (W) zostanie zbawiony (Z) (zdanie A1) a kto nie wierzy we mnie (~W) nie zostanie zbawiony (~Z) (zdanie A2)
A1A2: (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z)=1*1=1
Jak widzimy, Chrystus ma prawo wypowiedzieć zdania A1 i A2 w jednym zdaniu, gdyby nie mógł tego zrobić to logika matematyczna, algebra Kubusia, której sam jest autorem, ległaby w gruzach.
Zdanie A1A2 znajdziemy w Biblii:
A1A2:
Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony, a kto nie uwierzy, będzie potępiony
Św. Marek, Mk 16
Wiara w Chrystusa zawiera w sobie obowiązek Chrztu, zatem poprzednik możemy zredukować do słowa „uwierzy”.
Zachodzi także tożsamość matematyczna pojęć:
potępiony = nie zbawiony
Stąd zdanie tożsame Chrystusa przyjmuje postać:
A1A2:
Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony, a kto nie uwierzy, będzie potępiony
A1A2: (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z)=1*1=1
cnd
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 20:13, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia
11.6 Właściwości obietnic
Spis treści
11.6 Właściwości obietnic 1
11.6.1 Prawo transformacji w obietnicy 1
11.6.2 Definicja „wolnej woli” 5
11.6.3 Obietnica w równaniach logicznych 7
11.6.4 Obietnica w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 11
11.6.5 Rodzaje obietnic 17
11.6 Właściwości obietnic
W rozdziale tym zajmiemy się głównie właściwościami obietnic oraz ich alternatywną obsługą w praktyce nieużywaną, dlatego ten punkt należy traktować jako ciekawostkę.
11.6.1 Prawo transformacji w obietnicy
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.
Zajmijmy się sztandarowym przykładem obietnicy.
A1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
„Dostanie komputera” to nagroda, stąd na mocy definicji obietnicy mamy rozstrzygnięcie iż warunek wystarczający A1: E=>K jest częścią implikacji prostej E|=>K, poza tym faktem nic a nic nie musimy udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane.
Szczegółowa rozpiska implikacji prostej E|=>K w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> jest następująca.
Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {E,K}:
A1: Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p=E(egzamin)
q=K(komputer)
A1: E=>K=1 - zdanie egzaminu wystarcza => dla otrzymania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest konieczne ~> dla otrzymania komputera
A1B1: E|=>K=(A1: E=>K)*~(B1: E~>K)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: E=>K =1 = 2:~E~>~K=1 [=] 3: K~>E =1 = 4:~K=>~E =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: E~~>~K=0 = [=] = 4:~K~~>E =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: E~>K =0 = 2:~E=>~K=0 [=] 3: K=>E =0 = 4:~K~>~E =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
B’: = 2:~E~~>K=1 [=] 3: K~~>~E=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Weźmy naszą sztandarową obietnicę.
Przykład 1
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => dostania komputera
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zastosujmy do zdania A1 prawo kontrapozycji.
Prawo kontrapozycji w zapisie formalnym (ogólnym):
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
Prawo kontrapozycji w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: E=>K = A4: ~K=>~E
Odczytajmy zdanie A4 w czasie przyszłym.
A4.
Jeśli nie dostaniesz komputera (~K=1) to na 100% => nie zdasz egzaminu (~E=1)
~K=>~E=1
Nie danie synowi komputera przed egzaminem daje nam gwarancję matematyczną => iż syn nie zda egzaminu
Jak widzimy, zdanie A4 to paradoks w stosunku do zdania A1.
Dlaczego?
W zdaniu A1 ojciec obiecuje synowi komputer z powodu zdanego egzaminu (po egzaminie), natomiast zdanie A4 wymusza na ojcu danie komputera przed egzaminem, bowiem inaczej syn na 100% => nie zda egzaminu.
Inne zdania uwypuklające zachodzący tu paradoks.
Przykład 2
A1.
Jeśli zdasz egzamin to na 100% => dostaniesz cukierka
E=>C =1
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => dostania cukierka
Prawo kontrapozycji:
A1: E=>C = A4: ~C=>~E
stąd:
Zdanie A4 w czasie przyszłym:
A4.
Jeśli nie dostaniesz cukierka (~C=1) to na 100% => nie zdasz egzaminu (~E=1)
~C=>~E =1
Brak cukierka (~C=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie zdamy egzaminu (~E=1)
Przykład 3
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to otworzę parasol (OP=1)
P=>OP =1
Padanie (P=1) w dniu jutrzejszym daje nam gwarancję matematyczną => otwarcia parasola (OP=1)
Prawo kontrapozycji:
A1: P=>OP = A4: ~OP=>~P
Zdanie A4 w czasie przyszłym:
A4.
Jeśli jutro nie otworzę parasola (~OP=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~OP=>~P=1
Brak otwarcia parasola w dniu jutrzejszym (~OP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jutro nie będzie padało (~P=1)
Jak widzimy, logika matematyczna która działa wyśmienicie w świecie martwym i w matematyce prowadzi do paradoksów w świecie żywym, gdzie poprzednik lub następnik zależy od „wolnej woli” istoty żywej.
Jak uniknąć opisanego wyżej paradoksu?
Prawo transformacji:
W obietnicach i groźbach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.
Oczywistym jest, że o groźbach i obietnicach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego.
Definicja świata żywego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej.
Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).
Zobaczmy jak działa prawo transformacji na naszych przykładach.
Przykład 1
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => dostania komputera
Prawo kontrapozycji:
A1: E=>K = A4: ~K=>~E
Odczytajmy zdanie A4 w czasie przyszłym.
A4.
Jeśli nie dostaniesz komputera (~K=1) to na 100% => nie zdasz egzaminu (~E=1)
~K=>~E=1
Nie danie synowi komputera przed egzaminem daje nam gwarancję matematyczną => iż syn nie zda egzaminu
Odczytajmy zdanie A4 w czasie przeszłym na mocy prawa transformacji.
Załóżmy iż jest po egzaminie.
Zaistniały fakt: Jaś nie ma komputera
Jaś do Zuzi która zna obietnicę ojca, ale nie zna zaistniałego faktu:
Zgadnij Zuzia czy zdałem egzamin jeśli nie mam komputera?
Zuzia:
A4.
Jeśli nie dostałeś komputera (~K=1) to na 100% => nie zdałeś egzaminu (~E=1)
~K=>~E =1
Brak komputera (~K=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż Jaś nie zdał egzaminu (~E=1)
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa transformacji wszystko pięknie gra i buczy.
Abstrakcyjnie możemy się przenieść do przyszłości mówiąc tak:
A4.
Jeśli nie dostaniesz komputera to będzie to oznaczało iż (wcześniej) nie zdałeś egzaminu
~K=>~E=1
Przykład 3
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to otworzę parasol (OP=1)
P=>OP =1
Padanie (P=1) w dniu jutrzejszym daje nam gwarancję matematyczną => otwarcia parasola (OP=1)
Prawo kontrapozycji:
A1: P=>OP = A4: ~OP=>~P
Zdanie A4 w czasie przyszłym.
A4.
Jeśli jutro nie otworzę parasola (~OP=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~OP=>~P=1
Brak otwarcia parasola w dniu jutrzejszym (~OP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jutro nie będzie padało (~P=1)
Zdanie A4 w czasie przeszłym.
Jest pojutrze.
Wówczas na mocy prawa transformacji zdanie A4 opisuje przeszłość.
A4.
Jeśli wczoraj nie otworzyłem parasola to na 100% => nie padało
~OP =>~P =1
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa transformacji wszystko pięknie gra i buczy.
Abstrakcyjnie możemy się przenieść do przyszłości mówiąc tak:
A4.
Jeśli nie otworzysz parasola to będzie to oznaczało że (wcześniej) nie padało
~OP=>~P=1
11.6.2 Definicja „wolnej woli”
Obietnica rodem ze świata żywego:
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera
Zauważmy, że w świecie martwym (w tym w matematyce) zdanie A1 ze spełnionym warunkiem wystarczającym => jest gwarancją absolutną której świat martwy nie jest w stanie złamać.
Zobaczmy to przez analogię:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury.
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
W naszym Wszechświecie niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Stąd mamy wyprowadzoną definicję „wolnej woli” istot żywych (nie tylko człowieka).
Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).
Na mocy definicji widać, że pojęcia „wolna wola” możemy używać tylko i wyłącznie w stosunku do świata żywego, bowiem wyłącznie świat żywy może gwałcić wszelkie prawa logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).
„Wolna wola” istot żywych może być wykorzystana także w niecnych celach, czyli nadawca wypowiada obietnicę której nie zamierza spełnić, której celem jest oszukanie odbiorcy.
„Wolna wola” istot żywych jest wodą na młyn dla oszustów wszelkiej maści np. wyłudzenia metodą na wnuczka. Ofiary dają się oszukiwać tylko dlatego iż oszust działa tak, by ofiara nie domyślała się że jest oszukiwana.
Zauważmy, że ojciec wypowiadając obietnicę:
A1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
Zdanie tożsame:
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
Tylko teoretycznie musi dać synowi komputer, bowiem w praktyce tak może się nie stać z różnych powodów, na przykład:
1.
Syn zdaje egzamin ale w drodze do domu ginie w wypadku samochodowym - oczywiście wyłącznie idiota będzie wkładał do trumny obiecany komputer.
2.
Syn zdaje egzamin, ale jednocześnie u mamy stwierdzono raka i wspólnie z ojcem postanawiają wydać pieniądze przeznaczone na komputer, na leczenie mamy.
3.
Ojciec jest sadystą i nie dotrzymuje danego słowa z premedytacją.
Oczywistym jest, że wyłącznie w przypadku 3 ojciec jest kłamcą, bo nie dotrzymał danego słowa z premedytacją.
Przypadek 1 to automatyczne zwolnienie z obietnicy wynikłe z przypadku losowego, natomiast w przypadku 2 syn dobrowolnie zwalnia ojca z danej obietnicy.
Prawo zwolnienia z obietnicy:
Zwolnić nadawcę z wypowiedzianej obietnicy może wyłącznie odbiorca.
Zauważmy że:
Jeśli rodzic cokolwiek obiecuje dziecku to z reguły dotrzymuje danej obietnicy. Nie ma tu mowy o ograniczeniu „wolnej woli” rodzica bowiem składa obietnicę dobrowolnie oczekując spełnienia warunku dostania nagrody.
Jeśli dziecko spełni warunek nagrody to rodzic wręcza nagrodę … i wszyscy są szczęśliwi.
Problem dla ojca zaczyna się, gdy syn nie spełni warunku nagrody.
Tu ojciec ma 100% wolnej woli, może nagrody nie wręczyć argumentując tak:
A2:~E~>~K =1
Synku, nie zdałeś egzaminu (~E=1), zatem nie dostaniesz komputera (~K=1)
W tym przypadku ojciec nie musi uzasadniać swojej negatywnej decyzji, ale może mówiąc tak:
A2: ~E~>~K =1
Synku, nie zdałeś egzaminu (~E=1), nie dostajesz komputera (~K=1) bo widziałem, że w ogóle się nie uczyłeś.
W przypadku nie zdanego egzaminu, na mocy zdania B2’ ojciec równie dobrze może wręczyć synowi komputer
B2’: ~E~~>K = ~E*K =1
uzasadniając to tak:
Synku, nie zdałeś egzaminu (~E=1) dostajesz komputer (K=1) bo cię kocham … bo widziałem że się uczyłeś, ale miałeś pecha itp.
Uwaga:
Uzasadnienie wręczenia komputera musi być w tym przypadku niezależne tzn. różne od poprzednika.
Ojciec nie może wręczyć komputera z uzasadnieniem zależnym bo będzie mimo wszystko kłamcą.
Uzasadnienie zależne brzmi tak:
Synku, nie zdałeś egzaminu (~E=1), dostajesz komputer (K=1) bo nie zdałeś egzaminu (~E=1)
W przypadku uzasadnienia zależnego ojciec mimo wszystko jest kłamcą, co udowodniłem na samym początku mojej przygody na serio z logiką matematyczną około 14 lat temu.
11.6.3 Obietnica w równaniach logicznych
A1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
Warunek wystarczający => A1 jest częścią implikacji prostej E|=>K na mocy definicji obietnicy
Szczegółowa rozpiska implikacji prostej E|=>K w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> jest następująca.
Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {E,K}:
A1: Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p=E(egzamin)
q=K(komputer)
A1: E=>K=1 - zdanie egzaminu wystarcza => dla otrzymania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest konieczne ~> dla otrzymania komputera
A1B1: E|=>K=(A1: E=>K)*~(B1: E~>K)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: E=>K =1 = 2:~E~>~K=1 [=] 3: K~>E =1 = 4:~K=>~E =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: E~~>~K=0 = [=] = 4:~K~~>E =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: E~>K =0 = 2:~E=>~K=0 [=] 3: K=>E =0 = 4:~K~>~E =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
B’: = 2:~E~~>K=1 [=] 3: K~~>~E=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Rozważmy sztandarową obietnicę:
Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera z powodu zdanego egzaminu.
Zdanie egzaminu daje nam gwarancje matematyczną => dostania komputera z powodu zdanego egzaminu
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>.
Znaczek warunku wystarczającego => nie wyklucza dostania komputera z dowolnego innego powodu. Dostanie komputera z innego powodu będzie miało zero wspólnego z obietnicą A1: E=>K, nie będzie dotyczyć tej konkretnej obietnicy A1: E=>K.
Matematycznie:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => = pewność 100% => etc
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie):
A1’
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to możesz ~~> nie dostać komputera (~K=1)
E~~>~K = E*~K =0
Jeśli syn zda egzamin (E=1) i ojciec nie wręczy komputera (~K=1) to ojciec będzie kłamcą (=0).
… a jeśli nie zdam egzaminu?
Prawo Kubusia:
A1: E=>K = A2: ~E~>~K
Stąd:
Kolumna A2B2:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to na 100% ~> nie dostaniesz komputera (~K=1)
~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu jest warunkiem koniecznym ~> nie dostania komputera.
Nie jest to jednocześnie warunek wystarczający => bo na mocy definicji implikacji prostej E|=>K zdanie B2’ jest prawdziwe, czyli ojciec ma matematyczne prawo do wręczenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody w zdaniu A: E=>K i kłamcą nie będzie.
Sposób wypowiedzenia groźby A2 nie ma tu znaczenia.
Zdanie A2 to ewidentna groźba, zatem im ostrzej wypowiedziana tym teoretycznie będzie skuteczniejsza - stąd w zdaniu A2 mamy „na 100% ~>”
Można wypowiedzieć groźbę „lichą”:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~> nie dostać komputera
~E~>~K =1
W praktyce jednak nadawca rzadko używa spójnika „może ~>” osłabiającego groźbę, bowiem marzeniem nadawcy jest, by odbiorca na 100% ~> nie spełnił warunku groźby (tu zdał egzamin)
LUB
Kolumna A2B2:
B2: ~E=>~K =0
Fałszywy warunek wystarczający B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie):
B2’.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~~> dostać komputer
~E~~>K = ~E*K =1
Zdanie B2’ to akt miłości, czyli prawo do wręczenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody w zdaniu A: E=>K.
Zauważmy, ze akt miłości jest tożsamy z aktem łaski, jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy groźbę A2: A2: ~E~>~K.
Uwaga:
W przypadku nie zdania egzaminu ojciec może wręczyć nagrodę z dowolnym uzasadnieniem niezależnym, czyli różnym od poprzednika.
Po nie zdanym egzaminie może powiedzieć:
1.
Synku, nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo cię kocham
lub
2.
Synku, nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo widziałem że się uczyłeś ale miałeś pecha
etc
Ojciec będzie kłamcą jeśli powie słowo w słowo:
3.
Synku, nie zdałeś egzaminu (~E=1) dostajesz komputer (K=1) bo nie zdałeś egzaminu (~E=1)
W zdaniu 3 mamy do czynienia z uzasadnieniem zależnym, gdzie uzasadnienie jest identyczne jak poprzednik.
Czysto matematyczny dowód iż wypowiadając zdanie 3 ojciec będzie kłamcą:
Zastosujmy świętą zasadę algebry Boole’a „Jak się mówi tak się pisze” doskonale znaną wszystkim inżynierom elektronikom, ci od cyfrowych układów logicznych.
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym => dostania nagrody
Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Dostanę nagrodę (N) gdy spełnię warunek nagrody (zdanie A1) lub gdy nadawca zdecyduje o daniu nagrody (zdanie B2’)
Wprowadźmy zmienną uznaniową nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody
Równanie obietnicy:
N=W+U
Gdzie:
N=1 - mam nagrodę
N=0 - nie mam nagrody
W=1 - warunek nagrody spełniony
W=0 - warunek nagrody nie spełniony
Zmienna uznaniowa nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody
Analiza równania obietnicy.
Przypadek A.
W=1 - odbiorca spełnił warunek nagrody.
Równanie obietnicy przybierze wówczas postać:
N = 1+U = 1 - muszę dostać nagrodę.
W przypadku gdy odbiorca spełni warunek nagrody (W=1) nadawca nie ma wyjścia i musi dać nagrodę, inaczej jest kłamcą. Zauważmy, że nikt nie zmuszał nadawcy do obiecania czegokolwiek, że nadawca obiecał nagrodę z własnej woli, że chce dać nagrodę. Nie ma tu zatem mowy o jakimkolwiek ograniczeniu wolnej woli nadawcy.
Przypadek B.
W=0 - warunek nagrody nie spełniony
Równanie obietnicy przybiera postać:
N=W+U=0+U=U
Wszystko w rękach nadawcy który podejmuje decyzję o daniu nagrody zgodnie ze swoją wolną wolą, niczym nie ograniczoną.
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody
Przy niespełnionym warunku nagrody (W=0) nadawca może zrobić co mu się podoba i nie zostaje kłamcą. Większość nadawców tak czy siak da nagrodę pod byle pretekstem niezależnym (U=1 - akt miłości), ale nie musi tego robić!
W tym przypadku nadawca może wszystko z maleńkim wyjątkiem:
Nie spełniłeś warunku nagrody (W=0) dostajesz nagrodę (N=1), bo nie spełniłeś warunku nagrody (U=W=0)
Równanie obietnicy przybierze tu postać:
N = W+U = 0+0 =0
Zakaz wręczenia nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu nie spełnienia warunku nagrody (W=0).
Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.
Przykład:
A.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Równanie obietnicy:
K = W+U
Jeśli egzamin zdany (W=1) to:
K=1+U =1 - gwarancja otrzymania komputera.
Zmienna uznaniowa nadawcy U jest tu bez znaczenia.
Jeśli egzamin nie zdany (W=0) to:
K=W+U = 0+U =U
Wszystko w rękach nadawcy:
U=1 - dam komputer
U=0 - nie dam komputera
Akt miłości nie zaszedł:
U=0
Nie zdałeś egzaminu (W=0), nie dostajesz komputera ... bo kompletnie się nie uczyłeś (U=0)
Równanie obietnicy:
K=W+U = 0+0 =0 - nie mam komputera
Akt miłości zaszedł:
U=1
Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha, bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem dać ci komputer itp.
Gdzie:
U=1 - dowolne uzasadnienie niezależne.
Równanie obietnicy:
N=W+U=0+1=1 - mam komputer dzięki dobremu sercu nadawcy (akt miłości)
Podsumowując:
Nadawca może wręczyć nagrodę pod byle pretekstem, ale nie może wręczyć nagrody z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek nagrody.
Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer (K=1) ... bo nie zdałeś egzaminu (U=W=0).
Równanie obietnicy:
N=W+U=0+0=0 - zakaz wręczania nagrody N z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu „nie zdania egzaminu” (W=U=0)
Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.
11.6.4 Obietnica w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
Y= ~Y=
p q p=>q ~(p=>q)
A: 1 1 =1 =0
B: 1 0 =0 =1
C: 0 0 =1 =0
D: 0 1 =1 =0
|
Algorytm opisania dowolnej tabeli zero-jedynkowej równaniami Y i ~Y w logice jedynek poznaliśmy w „Nowej algebrze Boole’a” (punkt 3.1)
Przypomnijmy:
Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa układu logicznego (bramka logiczna) to zero-jedynkowy zapis wszystkich sygnałów wejściowych w postaci niezanegowanej (p, q, r..) i zanegowanej (~p, ~q, ~r…) oraz zapis wyjścia Y również w postaci niezanegowanej (Y) i zanegowanej (~Y).
Algorytm logiki jedynek:
W pełnej tabeli zero-jedynkowej, w logice jedynek, opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
Zastosujmy logikę jedynek do naszego warunku wystarczającego Y = p=>q:
Kod: |
T2
Pełna definicja |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y |oznacza |cząstkowe
| |
p q ~p ~q Y ~Y | |
A: 1 1 0 0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i q=1 | Ya= p* q
B: 1 0 0 1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q
C: 0 0 1 1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q
D: 0 1 1 1 =1 =0 | Yd=1<=>~p=1 i q=1 | Yd=~p* q
1 2 3 4 5 6 a b c d e f
|
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1.
Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yb
Po rozwinięciu mamy:
2.
~Y = p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1
Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych (1) doskonale rozumianych przez człowieka, albo do prostego równania koniunkcji (2) lub alternatywy.
Oba te przypadki są doskonale rozumiane przez człowieka, od 5-cio latka poczynając, co za chwilkę udowodnimy.
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę. Nic a nic więcej nie musimy udowadniać, dalej wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji obietnicy.
Rozważmy naszą sztandarową obietnicę.
A1.
Jeśli zdasz egzamin to na 100% => dostaniesz komputer
E=>K =1
Na mocy definicji obietnicy zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dostania komputera.
Dowolny operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania:
1. Kiedy zajdzie Y (ojciec dotrzyma słowa)
2. Kiedy zajdzie ~Y (ojciec nie dotrzyma słowa)
Przyjmijmy notację zgodną z naturalną logiką matematyczną człowieka gdzie w kodowaniu zdań zapisujemy wszelkie przeczenia (~) sprowadzając wszystkie zmienne binarne do jedynek:
Y - ojciec dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1)
Innymi słowy:
Y=1 - prawdą jest (=1) że ojciec dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1) że ojciec nie dotrzyma słowa (~Y)
1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1)?
Nasz przykład:
1.
Y = (E=>K) = A: E*K + C:~E*~K + D:~E*K
co w logice jedynek oznacza:
Y = (E=>K) = A: E=1 i K=1 lub C: ~E=1 i ~K=1 lub D: ~E=1 i K=1
Gdzie:
Y = Ya+Yc+Yd - suma logiczna funkcji cząstkowych w logice dodatniej (bo Yx)
2.
Kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Nasz przykład:
2.
~Y= B: E*~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: E=1 i ~K=1
Gdzie:
~Y =~Yb - bo jest tylko jedna funkcja cząstkowa w logice ujemnej (bo ~Yb)
Stąd mamy zrozumiałą dla każdego 5-cio latka analizę odpowiadającą na dwa pytania 1 i 2:
1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1)?
1.
Y = (E=>K) = A: E*K + C:~E*~K + D:~E*K
co w logice jedynek oznacza:
Y = (E=>K) = A: E=1 i K=1 lub C: ~E=1 i ~K=1 lub D: ~E=1 i K=1
Czytamy:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = A: E*K=1*1=1 - syn zda egzamin (E=1) i dostanie komputer (K=1)
LUB
Yc = C: ~E*~K=1*1 =1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
LUB
Yd = D: ~E*K =1*1 =1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i dostanie komputer (K=1)
Zdanie D to oczywiście piękny akt miłości w odniesieniu do obietnicy A1, czyli prawo nadawcy do wręczenia nagrody (syn dostaje komputer), mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (tu syn nie zdał egzaminu)
2.
Kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
~Y= B: E*~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: E=1 i ~K=1
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Ojciec nie dotrzyma słowa (~Y) = ojciec skłamie (S)
~Y=S
Czytamy:
2.
Ojciec skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Y = B: E*~K = 1*1 =1 - syn zda egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
Zapis tożsamy powyższego równania to:
(~Y=1) <=> B: E*~K
co a logice jedynek oznacza:
(~Y=1) <=> B: E=1 i ~K=1
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Stąd dokładnie to samo zdanie w logice dodatniej (bo Y):
2a.
(Y=0) <=> B: E=1 i ~K=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że ojciec dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy syn zda egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
W algebrze Kubusia zapis matematycznie tożsamy do powyższego to:
2b.
Y = B: E=1 i ~K =1*1 =0
Czytamy:
Ojciec skłamie (Y=0) wtedy i tylko wtedy gdy:
Y = B: E=1 i ~K =1*1 =0 - syn zda egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (K=1)
Uwaga na notację w algebrze Kubusia gdzie tożsame są zapisy równań logicznych:
2a=2b
Podsumowanie:
I.
Zauważmy, że równania cząstkowe A, B, C i D to zdarzenia rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
Dowód iż zdarzenia A, B, C i D są wzajemnie rozłączne:
A: E*K
B: E*~K
C: ~E*~K
D: ~E*K
Sprawdzamy:
A*B = (E*K)*(E*~K) = [] =0
A*C = (E*K)*(~E*~K) =[] =0
A*D = (E*K)*(~E*K) =[] =0
B*C = (E*~K)*(~E*~K)=[] =0
B*D = (E*~K)*(~E*K) = [] =0
C*D = (~E*~K)*(~E*K) =[] =0
cnd
Wnioski:
a)
W dniu dzisiejszym wszystkie zdarzenia A, B, C i D mają wartość logiczną miękkiej prawdy tzn. każde z nich może jutro zajść, ale nie musi zajść
b)
Pojutrze wyłącznie jedno ze zdarzeń A, B, C albo D ma szanse być prawdą absolutną, pozostałe zdarzenia będą fałszem absolutnym (nie zajdą)
Definicja prawdy absolutnej:
Prawda absolutna to prawda niezmienna do końca naszego Wszechświata.
Przykładowo, jeśli pojutrze stwierdzimy iż zaszło zdarzenie B:
~Y = B: E*~K =1*1 =1 - syn zdał egzamin (E=1) i nie dostał komputera (~K=1) to ojciec jest kłamcą (~Y=1) i tego faktu nikt nie zmieni do końca naszego Wszechświata bo czasu nie da się cofnąć.
Innymi słowy:
~Y=1 - prawdą absolutną (=1) jest fakt, iż ojciec jest kłamcą (~Y).
Pozostałe zdarzenia pojutrze będą fałszem absolutnym:
Ya = A: E*K = 1*1 =0 - nie zaszło (Ya=0) zdarzenie: syn zdał egzamin (E=1) i ma komputer (K=1)
LUB
Yc = C: ~E*~K=1*1 =0 - nie zaszło (Yc=0) zdarzenie: syn nie zdał egzaminu (~E=1) i nie ma komputera (~K=1)
LUB
Yd = D: ~E*K =1*1 =0 - nie zaszło (Yd=0) zdarzenie: syn nie zdał egzaminu (~K=1) i ma komputer (K=1)
Zauważmy, że wzajemnie rozłączne równania cząstkowe A, B, C i D uzupełniają się wzajemnie do dziedziny D.
Dowód:
D = A+B+C+D = E*K + E*~K + ~E*~K + ~E*K = E*(K+~K) + ~E*(~K+K) = E+~E =1
cnd
Zapiszmy jeszcze raz nasz przykład w punktach 1 i 2 w zapisach ogólnych podstawiając:
E (egzamin) =p
K (komputer) =q
1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1):
1.
Y= p*q + ~p*~q + ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
2.
Kiedy ojciec skłamie (~Y), czyli nie dotrzyma słowa (~Y=1):
2.
~Y = p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1
Minimalizujemy równanie 1:
Y= p*q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*q + ~p*(~q+q)
Y = ~p+ (p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = p*(~p+~q)
~Y = p*~p + p*~q
~Y = p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
1’
Y = ~p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Odtwarzając nasz przykład mamy:
A1.
Jeśli zdasz egzamin to na 100% => dostaniesz komputer
E=>K =1
Na mocy definicji obietnicy zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dostania komputera.
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => dostania komputera.
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Dokładnie to samo zdanie A1 po przejściu do spójników „i”(*) i „lub”(+) opisuje minimalne równanie logiczne:
1’
Y = (E=>K) = ~E + K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~E=1 lub K=1
Czytamy:
Ojciec wypowiadając obietnicę A1 dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Y = ~E+K =1+1 =1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) lub dostanie komputer (K=1)
Wnioski:
1..
Obietnica A1 jest w języku potocznym doskonale rozumiana przez każdego 5-cio latka.
2..
Przejście z obietnicą A1 do tożsamego minimalnego równania 1’:
1’
Y = (E=>K) = ~E + K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~E=1 lub K=1
jest w języku potocznym niezrozumiałe.
3.
Zrozumiałą dla każdego 5-cio latka odpowiedzią na pytanie:
Kiedy ojciec jutro dotrzyma słowa (Y=1)?
mamy jedynie w równaniu nieminimalnym, co dowiedziono wyżej:
Y = (E=>K) = A: E*K + C:~E*~K + D:~E*K
co w logice jedynek oznacza:
Y = (E=>K) = A: E=1 i K=1 lub C: ~E=1 i ~K=1 lub D: ~E=1 i K=1
4.
Zauważmy, że przechodząc z obietnicą A1 do równania 3 zabijamy istotę zdań warunkowych, zabijamy występujące w nich warunki wystarczające => i konieczne ~>.
W równaniu 3 nie ma bowiem mowy o jakimkolwiek warunku wystarczającym =>, czy też koniecznym ~> bowiem z definicji spójniki „i”(*) i „lub”(+) są w stanie opisać co najwyżej istnienie/nie istnienie elementu wspólnego zbiorów ~~>, ale nie są w stanie opisać relacji podzbioru => czy też relacji nadzbioru ~>.
cnd
11.6.5 Rodzaje obietnic
1.
Obietnica z natychmiastową wykonalnością:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
… a jak nie zdam egzaminu.
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli jeśli syn nie zda egzaminu to mogę mu tego komputera nie kupić lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.
2.
Obietnica z odroczoną wykonalnością:
Kto przyjdzie jutro dostanie gotowca
J=>G
… a jak przyjdę pojutrze ?
J=>G = ~J~>~G
Oczywiście jak ktoś przyjdzie później, byle przed egzaminem to też może dostać gotowca ale nie musi. Po egzaminie ta obietnica traci sens.
3.
Obietnica w której spełnienie warunku obietnicy jest bardzo mało prawdopodobne:
Jeśli wygram milion w TOTKA to kupię ci samochód
W=>S
… a jak nie wygram w TOTKA?
Prawo Kubusia:
W=>S = ~W~>~S
Jeśli nie wygram w TOTKA to mogę ci nie kupić samochodu lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 20:16, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia
11.7 Groźba B~>L
Spis treści
11.7 Groźba B~>L 1
11.7.1 Operator implikacji odwrotnej B||~>L 2
11.8 Właściwości groźby 5
11.8.1 Prawo transformacji w groźbie 6
11.8.2 Groźba w równaniach logicznych 7
11.8.3 Groźba w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 9
11.7 Groźba B~>L
Największą tragedią ziemskich matematyków jest fakt, że mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie doszli do poprawnych definicji obietnicy i groźby tu przedstawionych.
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q.
Zajmijmy się sztandarowym przykładem groźby.
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
Dostanie lania to kara, zatem zdanie B1 z definicji jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L. W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej B|~>L:
A1: B=>L =0 - brudne spodnie (B=1) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla dostania lania (L=1)
B1: B~>L =1 - brudne spodnie (B=1) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1)
Stąd:
A1B1: B|~>L = ~(A1: B=>L)*(B1: B~>L) = ~(0)*1 =1*1=1
Podstawmy nasz przykład do tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
Kod: |
IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to formalny punkt odniesienia {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {B,L}
B1: Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p=B (brudne spodnie)
q=L (lanie)
A1: B=>L=0 - brudne spodnie nie są (=0) wystarczające => dla dostania lania
B1: B~>L=1 - brudne spodnie są (=1) konieczne ~> dla dostania lania
A1B1: B|~>L =~(A1: B=>L)*(B1: B~>L)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: B=>L =0 = 2:~B~>~L=0 [=] 3: L~>B =0 = 4:~L=>~B =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A’: 1: B~~>~L=1 = [=] = 4:~L~~>B =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: B~>L =1 = 2:~B=>~L=1 [=] 3: L=>B =1 = 4:~L~>~B =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
B’: = 2:~B~~>L=0 [=] 3: L~~>~B=0
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
11.7.1 Operator implikacji odwrotnej B||~>L
Operator implikacji odwrotnej B||~>L w logice dodatniej (bo L) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o brudne spodnie (B=1) i czyste spodnie (~B=1):
A1B1: B|~>L =~(A1: B=>L)* (B1: B~>L) - co się stanie jeśli przyjdę w brudnych spodniach (B=1)?
A2B2: ~B|=>~L =~(A2:~B~>~L)*(B2:~B=>~L) - co się stanie jeśli przyjdę w czystych spodniach (~B=1)
A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli przyjdę w brudnych spodniach (B=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: B=>L =0 - brudne spodnie (B=1) nie są (=0) wystarczające => dla dostania lania (L=1)
B1: B~>L =1 - brudne spodnie są (=1) konieczne ~> dla dostania lania (L=1)
A1B1: B|~>L =~(A1: B=>L)* (B1: B~>L)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli przyjdę w brudnych spodniach (B=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to dostaniesz lanie (L=1)
B~>L =1
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Co w logice jedynek oznacza:
(B=1)~>(L=1) =1
Czytamy:
B=1 - prawdą jest (=1) że mam brudne spodnie (B)
L=1 - prawdą jest (=1) dostaję lanie (L)
Przyjście w brudnych spodniach (B=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1) bo jak przyjdę w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostanę lania (~L=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
To samo w zapisie aktualnym:
B1: B~>L = B2: ~B=>~L
Komentarz:
Zdania tożsame do B1 to:
B11.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to na 100% ~> dostaniesz lanie (L=1)
B~>L =1
Przyjście w brudnych spodniach (B=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1)
B12.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to możesz ~> dostać lanie (L=1)
B~>L =1
Przyjście w brudnych spodniach (B=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1)
Uwaga:
Na mocy definicji groźby zdanie B1 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością darowania kary na mocy prawdziwego kontrprzykładu A1’. Ostrość wypowiedzianej groźby nie ma tu znaczenia, czyli zachodzi tożsamość matematyczna zdań:
B1 = B11 = B12
W groźbach nadawca z reguły nie wypowiada spójnika „może ~>” osłabiającego groźbę (B12) bowiem marzeniem nadawcy jest, by odbiorca nie spełnił warunku groźby, zatem im ostrzej wypowiedziana groźba, tym teoretycznie lepiej.
Zauważmy, że algebra Kubusia pozwala nadawcy na blefowanie tzn. nadawca może wypowiedzieć groźbę w dowolnie ostrej formie (np. B11) nie mając zamiaru wykonać kary w niej zawartej.
Z faktu, że nadawca w chwili wypowiadania groźby blefuje (o czym odbiorca nie wie) nie wynika iż finalnie zawartej w groźbie kary nie może wykonać.
Innymi słowy:
Finalnie nadawca może wykonać karę w groźbie która w chwili wypowiedzenia groźby była jego blefem.
LUB
Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie):
A1’.
Jeśli przyjdziesz w brudnych spodniach (B=1) to możesz ~~> nie dostać lania (~L=1)
B~~>~L = B*~L =1
Na mocy definicji groźby możliwe jest (=1) zdarzenie:
przyjdę w brudnych spodniach (B=1) i nie dostanę lania (~L=1)
Zdanie A1’ to powszechny w świecie żywym (nie tylko u człowieka) akt łaski, czyli możliwość darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy, mimo że odbiorca spełnił warunek kary.
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)
A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli przyjdę w czystych spodniach (~B=1)?
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Czyste spodnie = nie brudne spodnie (~B=1)
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~B~>~L =0 - czyste spodnie (~B=1) nie są (=0) konieczne ~> dla nie dostania lania (~L=1)
B2: ~B=>~L =1 - czyste spodnie (~B=1) są (=1) wystarczające => dla nie dostania lania (~L=1)
A2B2: ~B|=>~L =~(A2:~B~>~L)*(B2:~B=>~L)=~(0*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli przyjdę w czystych spodniach (~B=1) to mam gwarancję matematyczną => iż nie dostanę lania (~L=1) z powodu że przyszedłem w czystych spodniach (~B=1). Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L=1)
~B=>~L =1
to samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Przyjście w czystych spodniach (~B=1) daje mi gwarancję matematyczną => iż nie dostanę lania (~L=1) z powodu że przyszedłem w czystych spodniach (~B=1). Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>. Lanie z innego powodu jest oczywiście możliwe, ale takie lanie będzie miało zerowy związek z wypowiedzianą groźbą B1.
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie):
B2’.
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to możesz ~~> dostać lanie (L=1)
~B~~>L = ~B*L =0
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Nie może się zdarzyć (=0), że przyjdę w czystych spodniach (~B=1) i dostanę lanie (L=1) … z powodu czystych spodni (~B=1). Tylko tyle i aż tyle gwarantuje definicja groźby.
Zauważmy, że gwarancja B2: ~B=>~L braku lania w groźbie B1 jest niesłychanie silna.
Aby ją złamać ojciec musi powiedzieć słowo w słowo:
Synku, przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1) dostajesz lanie (L=1) bo przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1) (z powodu czystych spodni (~B=1)).
W tym momencie mama synka dzwoni po pogotowie - ojciec zwariował i należy go umieścić w szpitalu psychiatrycznym.
Zauważmy, że ojciec-sadysta, jeśli musi walić bez trudu znajdzie sobie pretekst do walenia bez powoływania się na czyste spodnie.
Ojciec-sadysta może powiedzieć tak:
Synku, przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1), dostajesz lanie (L=1) bo masz brudne buty (BB=1).
… i sadysta już może walić, bez narażania się na umieszczenie w szpitalu psychiatrycznym.
Zauważmy że:
W świecie martwym (i matematyce) zdanie B2’ to twarda prawda której świat martwy nie jest w stanie złamać.
Przykład:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
To co nie jest możliwe w świecie martwym jest możliwe w świecie żywym, mającym „wolną wolę” co udowodniliśmy wyżej.
Definicja „wolnej woli” w świecie żywym:
Wolna wola to możliwość gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).
Na mocy definicji pojęcie „wolnej woli” dotyczy wyłącznie świata żywego.
Definicja świata żywego:
W zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy do czynienia ze światem żywym wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość/fałszywość poprzednika p lub następnika q zależy od „wolnej woli” istoty żywej.
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej B||~>L jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie B (zdania B1 i A1’) , oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~B (zdanie B2).
Zauważmy że:
a)
Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator implikacji prostej ~B||=>~L w logice ujemnej (bo ~L) to układ równań logicznych:
A2B2: ~B|=>~L =~(A2:~B~>~L)*(B2:~B=>~L) - co się stanie jeśli przyjdę w czystych spodniach (~B=1)?
A1B1: B|~>L =~(A1: B=>L)* (B1: B~>L) - co się stanie jeśli przyjdę w brudnych spodniach (B=1)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~B||=>~L w logice ujemnej (bo ~L) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej B||~>L w logice dodatniej (bo L) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
11.8 Właściwości groźby
W rozdziale tym zajmiemy się głównie właściwościami obietnic oraz ich alternatywną obsługą w praktyce nieużywaną, dlatego ten punkt należy traktować jako ciekawostkę.
11.8.1 Prawo transformacji w groźbie
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.
Zajmijmy się sztandarowym przykładem groźby.
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
Dostanie lania to kara, zatem prawdziwy z definicji warunek konieczny ~> B1 jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L.
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.
Prawo Tygryska wiążące warunek konieczny ~> z warunkiem wystarczającym => poprzez zamianę poprzednika z następnikiem:
B1: B~>L = B3: L=>B
Stąd mamy:
B3.
Jeśli dostaniesz lanie (L=1) to na 100% => ubrudzisz spodnie (B=1)
L=>B=1
Dostanie lania (L=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż syn ubrudzi spodnie (B=1)
Innymi słowy:
Jeśli syn dostanie jakiekolwiek lanie (bo w zdaniu B3 nie ma przyczyny lania) to mamy gwarancję matematyczną => iż ubrudzi spodnie.
Zauważmy, że już samo dostanie lania bez podania przyczyny lania kwalifikuje się do szpitala psychiatrycznego.
Jak wybrnąć z tego paradoksu?
Prawo transformacji:
W obietnicach i groźbach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.
Oczywistym jest, że o groźbach i obietnicach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego.
Definicja świata żywego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej.
Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).
Zobaczmy jak działa prawo transformacji na naszym przykładzie.
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
Dostanie lania to kara, zatem prawdziwy z definicji warunek konieczny ~> B1 jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L. W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.
Prawo Tygryska wiążące warunek konieczny ~> z warunkiem wystarczającym => poprzez zamianę poprzednika z następnikiem:
B1: B~>L = B3: L=>B
stąd na mocy prawa transformacji zdanie B3 wypowiadamy w czasie przeszłym:
B3.
Jeśli dostałeś lanie (L=1) to na 100% => ubrudziłeś spodnie (B=1)
L=>B =1
Na mocy groźby B1 dostanie lania (L=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż wcześniej syn ubrudził spodnie (B=1) i dostał to lanie z powodu brudnych spodni - w tym przypadku ojciec nie skorzystał z prawa łaski i nie darował synowi lania.
Jak widzimy, dzięki prawu transformacji obowiązującemu wyłącznie w obietnicach i groźbach nadawca skutecznie broni się przed umieszczeniem go w szpitalu psychiatrycznym.
11.8.2 Groźba w równaniach logicznych
Definicja groźby:
B1.
Jeśli spełnisz dowolny warunek (W=1) to zostaniesz ukarany (K=1)
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.
Gwarancja matematyczna => w groźbie wynika z prawa Kubusia:
B1: W~>K = B2: ~W=>~K
stąd:
B2.
Jeśli nie spełnisz warunku kary (~W=1) to na 100% => nie zostaniesz ukarany (~K=1)
~W=>~K =1
… z powodu iż nie spełniłeś warunku kary (~W=1). Tylko tyle i aż tyle gwarantuje implikacja odwrotna B|~>L.
Definicja groźby:
B1.
Jeśli spełnisz dowolny warunek (W=1) to zostaniesz ukarany (K=1)
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Opiszmy groźbę w naturalnej logice matematycznej człowieka.
Obowiązuje tu zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Zostanę ukarany (K) gdy spełnię warunek kary (W) i nadawca zdecyduje o ukaraniu (U).
W groźbie nadawca może skorzystać z aktu łaski ale nie musi tego robić.
Przyjmijmy zmienną uznaniową U, którą nadawca może ustawić na dowolną wartość.
Matematyczne równanie groźby:
K=W*U
Gdzie:
K=1 - zostanę ukarany
K=0 - nie zostanę ukarany
W=1 - warunek kary spełniony
W=0 - warunek kary nie spełniony
Nadawca może ustawić zmienną uznaniową na dowolną wartość:
U=1 - ukarać
U=0 - nie karać (akt łaski)
Akt łaski w groźbie zajdzie wtedy, gdy odbiorca spełni warunek kary zaś nadawca odstąpi od wykonania kary ustawiając swoją zmienną wolną U na wartość:
U=0 - akt łaski (nie karać)
Analiza równania groźby.
K=W*U
Przypadek A.
W=0 - warunek kary nie jest spełniony
Równanie groźby przybierze wówczas postać:
K=W*U=0*U=0 - zakaz karania jeśli warunek kary nie zostanie spełniony.
Zauważmy, że nadawca nie ma tu nic do gadania. Może sobie ustawiać swoją zmienną wolną U długo i namiętnie na U=1 (karać) ... a i tak ma zakaz karania z powodu nie spełnienia warunku kary.
Przypadek B.
W=1 - warunek kary spełniony
Równanie groźby przybiera postać:
K=W*U=1*U=U
Wszystko w rękach nadawcy który może zrobić co mu się podoba wedle wolnej woli:
U=1 - karać
U=0 - nie karać
Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Akt łaski:
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostaniesz lania (~L=1) ... bo samochód cię ochlapał, bo dziś mam dobry humor, bo cię kocham itp.
Gdzie:
U=0 - dowolne uzasadnienie niezależne jak wyżej.
K=W*U=1*0=0 - nie zostałem ukarany, bo nadawca zastosował akt łaski (U=0)
Uzasadnienie zależne:
Zauważmy, że nadawca może robić co mu się podoba z małym wyjątkiem, nie może darować kary z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek kary.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostajesz lania (~L=1), bo ubrudziłeś spodnie (U=W=1).
Gdzie:
W=1 - warunek kary spełniony
U=W=1 - uzasadnienie darowania kary identyczne jak poprzednik
Równanie groźby:
K=W*U=1*1=1 - kara musi być wykonana, zakaz darowania kary z uzasadnieniem zależnym
Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.
11.8.3 Groźba w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicja groźby:
B1.
Jeśli spełnisz dowolny warunek (W=1) to zostaniesz ukarany (K=1)
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.
Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
Y= ~Y=
p q p~>q ~(p~>q)
A: 1 1 =1 =0
B: 1 0 =1 =0
C: 0 0 =1 =0
D: 0 1 =0 =1
|
Algorytm opisania dowolnej tabeli zero-jedynkowej równaniami Y i ~Y w logice jedynek poznaliśmy w punkcie 2.5.1
Przypomnijmy:
Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa układu logicznego (bramka logiczna) to zero-jedynkowy zapis wszystkich sygnałów wejściowych w postaci niezanegowanej (p, q, r..) i zanegowanej (~p, ~q, ~r…) oraz zapis wyjścia Y również w postaci niezanegowanej (Y) i zanegowanej (~Y).
Algorytm logiki jedynek:
W pełnej tabeli zero-jedynkowej, w logice jedynek, opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
Zastosujmy logikę jedynek do naszego warunku koniecznego Y = p~>q:
Kod: |
T2
Pełna definicja |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y |oznacza |cząstkowe
| |
p q ~p ~q Y ~Y | |
A: 1 1 0 0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i q=1 | Ya= p* q
B: 1 0 0 1 =1 =0 | Yb=1<=> p=1 i ~q=1 | Yb= p*~q
C: 0 0 1 1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q
D: 0 1 1 0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i q=1 |~Yd=~p* q
1 2 3 4 5 6 a b c d e f
|
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yb+Yc - suma logiczna funkcji cząstkowych Ya, Yb i Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1.
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yd - bo jest tylko jedna funkcja cząstkowa ~Yd
Po rozwinięciu mamy:
2.
~Y = D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i q=1
Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych (1) doskonale rozumianych przez człowieka, albo do prostego równania koniunkcji (2) lub alternatywy.
Oba te przypadki są doskonale rozumiane przez człowieka, od 5-cio latka poczynając, co za chwilkę udowodnimy.
Definicja groźby:
B1.
Jeśli spełnisz dowolny warunek (W=1) to zostaniesz ukarany (K=1)
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę. Nic a nic więcej nie musimy udowadniać, dalej wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji groźby.
Rozważmy naszą sztandarową groźbę.
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to na 100% ~> dostaniesz lanie (L=1)
B~>L =1
Na mocy definicji groźby brudne spodnie (B=1) są warunkiem koniecznym ~> dla lania (L=1)
Dowolny operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania:
1. Kiedy zajdzie Y (ojciec dotrzyma słowa)
2. Kiedy zajdzie ~Y (ojciec nie dotrzyma słowa):
Przyjmijmy notację zgodną z naturalną logiką matematyczną człowieka gdzie w kodowaniu zdań zapisujemy wszelkie przeczenia (~) sprowadzając wszystkie zmienne binarne do jedynek:
Y - ojciec dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1)
Innymi słowy:
Y=1 - prawdą jest (=1) że ojciec dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1) że ojciec nie dotrzyma słowa (~Y)
1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1)?
Nasz przykład:
1.
Y = A: B*L + B: B*~L + C: ~B*~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: B=1 i L=1 lub B: B=1 i ~L=1 lub C: ~B=1 i ~L=1
Gdzie:
Y = Ya+Yb+Yc - suma logiczna funkcji cząstkowych w logice dodatniej (bo Yx)
2.
Kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Nasz przykład:
2.
~Y = D: ~B*L
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~B=1 i L=1
Gdzie:
~Y=~Yd - bo jest tylko jedna funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Yd)
Stąd mamy zrozumiałą dla każdego 5-cio latka analizę odpowiadającą na dwa pytania 1 i 2:
1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1)?
1.
Y = A: B*L + B: B*~L + C: ~B*~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: B=1 i L=1 lub B: B=1 i ~L=1 lub C: ~B=1 i ~L=1
Czytamy:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = A: B*L=1*1=1 - syn przyjdzie w brudnych spodniach (B=1) i dostanie lanie (L=1)
LUB
Yb = B: B*~L=1*1=1 - syn przyjdzie w brudnych spodniach (B=1) i nie dostanie lania (~L=1)
LUB
Yc = C: ~B*~L=1*1=1 - syn przyjdzie w czystych spodniach (~B=1) i nie dostanie lania (~L=1)
Zdanie B to oczywiście piękny akt łaski w odniesieniu do groźby B1: B~>L, czyli prawo nadawcy do darowania kary zależnej od nadawcy (syn nie dostaje lania ~L=1), mimo że odbiorca spełnił warunek kary (tu syn przyszedł w brudnych spodniach B=1).
2.
Kiedy ojciec skłamie (~Y), czyli nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
~Y = D: ~B*L
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~B=1 i L=1
Czytamy:
Ojciec skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Y = D: ~B*L =1*1 =1 - syn przyjdzie w czystych spodniach (~B=1) i dostanie lanie (L=1)
Zapis tożsamy powyższego zdania to:
(~Y=1) <=> D: ~B*L
co w logice jedynek oznacza:
(~Y=1) <=> D: ~B=1 i L=1
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Stąd dokładnie to samo zdanie w logice dodatniej (bo Y):
2a.
(Y=0) <=> D: ~B=1 i L=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że ojciec dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy syn przyjdzie w czystych spodniach (~B=1) i dostanie lanie
W algebrze Kubusia zapis matematycznie tożsamy do powyższego to
2b.
Y = B: E=1 i ~K =1*1 =0
Czytamy:
Ojciec skłamie (Y=0) wtedy i tylko wtedy gdy:
Y = D: ~B*L =1*1 =0 - syn przyjdzie w czystych spodniach (~B=1) i dostanie lanie (L=1)
Uwaga na notację w algebrze Kubusia gdzie tożsame są zapisy równań logicznych:
2a=2b
Podsumowanie:
I.
Zauważmy, że równania cząstkowe A, B, C i D to zdarzenia rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
Dowód iż zdarzenia A, B, C i D są wzajemnie rozłączne:
A: E*K
B: E*~K
C: ~E*~K
D: ~E*K
Sprawdzamy:
A*B = (B*L)*(B*~L) = [] =0
A*C = (B*L)*(~B*~L) =[] =0
A*D = (B*L)*(~B*L) =[] =0
B*C = (B*~L)*(~B*~L)=[] =0
B*D = (B*~L)*(~B*L) = [] =0
C*D = (~B*~L)*(~B*L) =[] =0
cnd
Wnioski:
a)
W dniu dzisiejszym wszystkie zdarzenia A, B, C i D mają wartość logiczną miękkiej prawdy tzn. każde z nich może jutro zajść, ale nie musi zajść
b)
Pojutrze wyłącznie jedno ze zdarzeń A, B, C albo D ma szanse być prawdą absolutną, pozostałe zdarzenia będą fałszem absolutnym (nie zajdą)
Definicja prawdy absolutnej:
Prawda absolutna to prawda niezmienna do końca naszego Wszechświata.
Przykładowo, jeśli pojutrze stwierdzimy iż zaszło zdarzenie D:
~Y = D: ~B*L =1*1 =1 - syn przyszedł w czystych spodniach (~B=1) i dostał lanie (L=1) z powodu czystych spodni (~B=1) to ojciec jest kłamcą (~Y=1) i tego faktu nikt nie zmieni do końca naszego Wszechświata bo czasu nie da się cofnąć.
~Y=1 - prawdą absolutna (=1) jest fakt, iż ojciec jest kłamcą (~Y).
Pozostałe zdarzenia pojutrze będą fałszem absolutnym:
Ya = A: B*L=1*1=0 - nie zaszło (Ya=0) zdarzenie: syn przyszedł w brudnych spodniach (B=1) i dostał lanie (L=1)
LUB
Yb = B: B*~L=1*1=0 - nie zaszło (Yb=0) zdarzenie: syn przyszedł w brudnych spodniach (B=1) i nie dostał lania (~L=1)
LUB
Yc = C: ~B*~L=1*1=0 - nie zaszło (Yc=0) zdarzenie: syn przyszedł w czystych spodniach (~B=1) i nie dostał lania (~L=1)
Zauważmy, że wzajemnie rozłączne równania cząstkowe A, B, C i D uzupełniają się wzajemnie do dziedziny D.
Dowód:
D = A+B+C+D = B*L + B*~L + ~B*~L + ~B*L = B*(L+~L) + ~B*(~L+L) = B+~B =1
cnd
Zapiszmy jeszcze raz nasz przykład w punktach 1 i 2 w zapisach ogólnych podstawiając:
B (brudne spodnie) =p
L (lanie) =q
1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1):
1.
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
2.
Kiedy ojciec skłamie (~Y), czyli nie dotrzyma słowa (~Y=1):
2.
~Y = D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i q=1
Minimalizujemy równanie 1:
Y= p*q + p*~q + ~p*~q
Y = p*(q+~q)+~p*~q
Y = p+(~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y= ~p*(p+q)
~Y = ~p*p + ~p*q
~Y = ~p*q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
1’
Y = p+~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1
Odtwarzając nasz przykład mamy:
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie to na 100% ~> dostaniesz lanie
B~>L =1
Na mocy definicji groźby brudne spodnie (B=1) są warunkiem koniecznym ~> dostania lania.
Dokładnie to samo zdanie B1 po przejściu do spójników „i”(*) i „lub”(+) opisuje minimalne równanie logiczne:
1’
Y = (B~>L) = B+~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B=1 lub ~L=1
Czytamy:
Ojciec wypowiadając groźbę B1 dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Y = B+~L =1+1 =1 - syn przyjdzie w brudnych spodniach (B=1) lub nie dostanie lania (~L=1)
Wnioski:
1.
Groźba B1 jest w języku potocznym doskonale rozumiana przez każdego 5-cio latka tzn. każdy 5-cio latek wie iż może przyjść w brudnych spodniach i nie musi dostać lania, bo ojciec może mu to lanie darować.
2.
Przejście z groźbą B1 do tożsamego minimalnego równania 1’ w spójniku „lub”(+):
1’
Y = (B~>L) = B+~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B=1 lub ~L=1
jest w języku potocznym niezrozumiałe.
3.
Zrozumiałą dla każdego 5-cio latka odpowiedzią na pytanie:
Kiedy ojciec jutro dotrzyma słowa (Y=1)?
mamy jedynie w równaniu nieminimalnym, co dowiedziono wyżej:
Y = A: B*L + B: B*~L + C: ~B*~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: B=1 i L=1 lub B: B=1 i ~L=1 lub C: ~B=1 i ~L=1
4.
Zauważmy, że przechodząc z groźbą B1 do równania 3 zabijamy istotę zdań warunkowych, zabijamy występujące w nich warunki wystarczające => i konieczne ~>.
W równaniu 3 nie ma bowiem mowy o jakimkolwiek warunku wystarczającym =>, czy też koniecznym ~> bowiem z definicji spójniki „i”(*) i „lub”(+) są w stanie opisać co najwyżej istnienie/nie istnienie elementu wspólnego zbiorów ~~>, ale nie są w stanie opisać relacji podzbioru => czy też relacji nadzbioru ~>.
cnd
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 20:18, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Przedszkole algebry Kubusia
12.0 Przedszkole algebry Kubusia
Spis treści
12.0 Przedszkole algebry Kubusia 1
12.0 Przedszkole algebry Kubusia
Po co komu przedszkole algebry Kubusia?
W przedszkolu algebry Kubusia będziemy operować na zbiorach minimalnych, dzięki czemu wzajemne relacje wszystkich możliwych zbiorów {p, q, ~p, ~q} będziemy dowodzić w trywialny sposób (dosłownie na poziomie 5-cio latka), mający jednak przełożenie 1:1 na zbiory nieskończone których z definicji nie da się iterować element po elemencie.
Matematyka działa na zbiorach nieskończonych. Cała dotychczasowa algebra Kubusia w zbiorach również oparta była na zbiorach nieskończonych. Myślę, że ta dla wielu uczniów I klasy LO (to im dedykuję AK) zbiory nieskończone mogą okazać się potworem.
Tymczasem calusieńką AK można zrozumieć operując na zbiorach minimalnych doskonale rozumianych przez wszystkie 5-cio latki.
W przedszkolu postanowiłem ograniczyć dziedzinę do czterech elementów:
D (dziedzina) = [K+P+T+S]
D = [Kubuś + Prosiaczek + Tygrysek + Słoń]
Wyżej wymienione elementy są potrzebne i wystarczające dla 100% wyjaśnienia algebry Kubusia w zbiorach i wszystkich jej niuansów.
Mam nadzieję, że to posunięcie przekona do algebry Kubusia każdego matematyka.
Algebra Kubusia to nowa idea matematyczna, to spojrzenie na logikę matematyczną z dziewiczej strony, nieznanej ziemskim matematykom.
Tabele zero-jedynkowe operatorów dwuargumentowych używane w algebrze Kubusia znane są ziemskim matematykom, jednak ich interpretacja jest fundamentalnie inna.
Wynika z tego, że 100% definicji w algebrze Kubusia jest sprzecznych z Klasycznym Rachunkiem Zdań - dowód tego faktu znajdziemy w punkcie 16.0
Z powyższego wynika, że wszyscy ziemianie, także zawodowi matematycy, powinni zacząć swoją przygodę z algebrą Kubusia od przedszkola algebry Kubusia. W przełożeniu na matematykę klasyczną to jest odpowiednik nauki tabliczki mnożenia do 100 w IV klasie szkoły podstawowej.
Minimalna ilość elementów zbiorów przy pomocy których można zaprezentować działanie wszelkich operatorów implikacyjnych (definiowanych zdaniami warunkowymi "Jeśli p to q") to zaledwie cztery elementy.
Dla demonstracji przyjmijmy cztery pluszowe zabawki:
K – Kubuś
P – Prosiaczek
T – Tygrysek
S – Słoń
Oczywiście mogą to być dowolne cztery pojęcia rozumiane przez człowieka różne na mocy definicji ## np.
M - miłość
K – krasnoludek
R – rower
C – cytryna
Operowanie na tego typu sztucznych zbiorach nie ma nic wspólnego z językiem potocznym, niemniej jednak od strony dydaktycznej jest bardzo dobre, bowiem pozwala zrozumieć wszelkie niuanse logiki matematycznej także w zbiorach nieskończonych, co za chwilkę zaprezentujemy.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 20:27, 24 Lip 2022, w całości zmieniany 2 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 20:25, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Przedszkole algebry Kubusia
12.1 Implikacja prosta p|=>q w przedszkolu
Spis treści
12.1 Implikacja prosta p|=>q w przedszkolu 1
12.1.1 Diagram implikacji prostej p|=>q 5
12.2 Przykład implikacji prostej p|=>q w zbiorach minimalnych 7
12.2.1 Operator implikacji prostej p||=>q w zbiorach minimalnych 9
12.2.2 Diagram implikacji prostej p||=>q w zbiorach minimalnych 13
12.2.3 Związek teorii zbiorów minimalnych z teorią zbiorów nieskończonych 15
12.1 Implikacja prosta p|=>q w przedszkolu
Fundamentem algebry Kubusia w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" są zaledwie trzy znaczki: ~~>, => i ~>:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> lub zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Definicja warunku koniecznego ~>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej [=] dla zapisu wieloczłonowego (patrz prawo Słonia niżej)
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste =>
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie jego elementy należą do zbioru q
Definicja nadzbioru ~>
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
W logice matematycznej na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość pojęć:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór ~> = relacja podzbioru ~>
W logice matematycznej rozstrzygamy o zachodzącej lub nie zachodzącej relacji podzbioru => czy tez nadzbioru ~>
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1)
Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: p|=>q=~p*q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej dla wielu zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
12.1.1 Diagram implikacji prostej p|=>q
Tożsamości pojęć na mocy prawa Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Stąd:
Na mocy prawa Słonia zapisujemy definicję implikacji prostej p|=>q w zbiorach
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q, inaczej nie wszystkie pojęcia {p, q,~p,~q} będą rozpoznawalne, co doskonale widać w diagramie DIP niżej.
A1: p=>q =1 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q (A1), ale nie jest nadzbiorem ~> q (B1)
Stąd mamy tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>:
Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie relacji podzbioru =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 – zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q w zbiorach można bardzo ładnie przedstawić na diagramie zbiorów ilustrującym wszelkie zachodzące tu relacje.
Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q + A2:~p*~q + B2’:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q:
A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Kontrprzykład dla prawdziwego A1 musi być fałszem:
A1’: p~~>~q=p*~q =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1:p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => ~q
Kontrprzykład dla fałszywego B2 musi być prawdą:
B2’:~p~~>q=~p*q=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
II.
Po zamianie p i q:
A3B3:
A3: q~>p =1 - zbiór q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru p
B3: q=>p =0 - zbiór q nie jest (=0) podzbiorem => zbioru p
Kontrprzykład dla fałszywego B3 musi być prawdą:
B3’: q~~>~p=q*~p=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów q i ~p
A3B3: q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) =1*~(0)=1*1 =1
A4B4:
A4:~q=>~p=1 - zbiór ~q jest (=1) podzbiorem => ~p
B4:~q~>~p=0 - zbiór ~q nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~p
Kontrprzykład dla prawdziwego A4 musi być fałszem:
A4’: ~q~~>p=~q*p=0
A4B4: ~q|=>~p = (A4:~q=>~p)*~(~q~>~p) =1*~(0)=1*1 =1II.
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
W implikacji prostej p|=>q po stronie p mamy gwarancję matematyczną =>
o czym mówi zdanie A1: p=>q=1
2.
W implikacji prostej p|=>q po stronie ~p mamy najzwyklejsze
„rzucanie monetą” o czym mówią zdania A2: ~p~~>~q=1 oraz B2’: ~p~~>q=1
3.
Implikacja prosta p|=>q to trzy i tylko trzy zbiory niepuste (A1, B2’, A2)
i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
|
Dowód rozłączności zbiorów A1, B2’ i A2 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1: p*q
B2’: ~p*q
A2: ~p*~q
Badamy rozłączność zbiorów każdy z każdym:
A1*B2’ = (p*q)*(~p*q) =[] - bo p*~p=[]
A1*A2 = (p*q)*(~p*~q)=[] - bo p*~p=[]
B2’*A2 = (~p*q)*(~p*~q)=[] - bo q*~q=[]
cnd
12.2 Przykład implikacji prostej p|=>q w zbiorach minimalnych
Łatwo widzieć, że dla spełnienia powyższej definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach minimalnych potrzeba i wystarcza trzy elementy.
Przyjmijmy następujące trzy elementy na poziomie 5-cio latka:
K – Kubuś
P – Prosiaczek
T – Tygrysek
Definicja dziedziny dla zbiorów:
Dziedziną nazywany zbiór elementów niepustych i wzajemnie rozłącznych na których operujemy.
W analizie matematycznej nie uwzględniamy żadnych elementów spoza wybranej dziedziny, bowiem dla elementów spoza dziedziny wszelkie zdania warunkowe "Jeśli p to q" będą fałszywe, co łatwo udowodnić.
Nasza dziedzina to:
D = [K+P+T]
D=[Kubuś+Prosiaczek+Tygrysek]
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmujemy zdanie wejściowe do analizy:
A1.
Jeśli p to q
A1: p=>q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Przynależność dowolnego elementu z dziedziny D do zbioru p jest wystarczająca => dla jego przynależności do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Na mocy prawa Słonia definiujemy minimalne zbiory p i q:
p=K
q=K+P
p+q = K+K+T = K+T
Na mocy definicji implikacji prostej p|=>q dziedzinę D musimy przyjąć szerszą od sumy logicznej zbiorów p+q, stąd potrzebny nam będzie trzeci element, zmienna wolna T.
D=K+P+T
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów p i q definiowane jako ich uzupełnienia do dziedziny D.
~p=[D-p] = [D-K]=[K+P+T - K] = [P+T]
~q=[D-q]=[D-(K+T)=[K+P+T-(K+P)]=[T]
Podsumujmy:
p=[K]
q=[K+P]
~p=[P+T]
~q=[T]
Zauważmy, że wyłącznie dzięki zmienne wolnej T wszystkie zbiory {p, q, ~p, ~q} są niepuste i rozpoznawalne, co jest warunkiem koniecznym analizy zdania warunkowego "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q. Z definicji nie możemy bowiem operować na zbiorze pustym (pkt. 5.2), czyli na pojęciach dla nas niezrozumiałych.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna nie występująca w opisie matematycznym układu, konieczna dla poprawnego działania układu.
W naszym układzie zmienną wolną jest T (tygrysek).
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q, inaczej nie wszystkie pojęcia {p, q,~p,~q} będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Nasz przykład:
p=[K]
q=[K+P]
p=[K] => q=[K+P]
Zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
W definicji implikacji prostej p|=>q nie ma mowy o tygrysku (T), dlatego T (tygrysek) jest zmienną wolną. Pozostaje nam sprawdzić, czy dla powyższych zbiorów {p, q, ~p, ~q} spełniona jest pełna tabela prawdy implikacji prostej p|=>q.
Na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość pojęć::
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Stąd mamy tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>:
Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie relacji podzbioru =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zbiór p=[K] jest (=1) podzbiorem => zbioru q=[K+P]
B1: p~>q =0 – zbiór p=[K] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q=[K+P]
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia {p,q}:
p=[K]
q=[K+P]
~p=[P+T]
~q=[T]
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 = 2: ~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 = 4: ~q=> ~p =1
1: [K]=>[K+P]=1 = 2: [P+T]~>[T]=1 [=] 3: [K+T]~>[K]=1 = 4: [T]=>[P+T]=1
## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 = 2: ~p=> ~q =0 [=] 3: q=> p =0 = 4: ~q~> ~p =0
B: 1: [K]~>[K+P]=0 = 2: [P+T]=>[T]=0 [=] 3: [K+T]=>[K]=0 = 4: [T]~>[P+T]=0
Gdzie:
p=>q - relacja podzbioru =>, p jest (=1) podzbiorem => q
p~>q - relacja nadzbioru ~>, p jest (=1) nadzbiorem ~>q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać spełnienie definicji implikacji prostej p|=>q zbudowanej na zaledwie trzech elementach.
Zauważmy, że gdybyśmy za dziedzinę przyjęli dwa elementy:
p=[K]
q=[K+P]
to pojęcie ~q byłoby nierozpoznawalne, czyli niezrozumiałe dla człowieka.
Dowód:
D=p+q = K+K+P = K+P
Obliczamy ~q definiowane jako uzupełnienie zbioru q do dziedziny D
~q =[D-q] =[D-(K+P)] = K+P -(K+P)] =[] =0
cnd
Zbiór pusty to z definicji nieskończony zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka (pkt. 5.2).
Oczywistym jest, że w języku potocznym żaden człowiek nie używa pojęć których nie rozumie np. hafstdrak
12.2.1 Operator implikacji prostej p||=>q w zbiorach minimalnych
Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie relacji podzbioru =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zbiór p=[K] jest (=1) podzbiorem => zbioru q=[K+P]
B1: p~>q =0 – zbiór p=[K] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q=[K+P]
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
p=[K]
q=[K+P]
D=[K+P+T]
~p=[P+T]
~q=[T]
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 = 2: ~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 = 4: ~q=> ~p =1
1: [K]=>[K+P]=1 = 2: [P+T]~>[T]=1 [=] 3: [K+T]~>[K]=1 = 4: [T]=>[P+T]=1
## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 = 2: ~p=> ~q =0 [=] 3: q=> p =0 = 4: ~q~> ~p =0
B: 1: [K]~>[K+P]=0 = 2: [P+T]=>[T]=0 [=] 3: [K+T]=>[K]=0 = 4: [T]~>[P+T]=0
Gdzie:
p=>q - relacja podzbioru =>, p jest (=1) podzbiorem => q
p~>q - relacja nadzbioru ~>, p jest (=1) nadzbiorem ~>q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja prosta p|=>q determinuje prawdziwość operatora implikacji prostej p||=>q (albo odwrotnie)
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
Kolumna A1B1:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Nasze zbiory minimalne {p, q, ~p i ~q} to:
p=[K] - Kubuś
q=[K+P] – Kubuś+Prosiaczek
D=[K+P+T] - wspólna dziedzina dla p i q
~p=[P+T] – Prosiaczek+Tygrysek
~q=[T] - Tygrysek
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
A1: p=>q =1
Zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Nasz przykład:
p=[K]
q=[K+P]
~p=[P+T]
~q=[T]
A1: p=[K] => q=[K+P] =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p=[K] jest warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru q=[K+P] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K+P]
Dowód bezpośredni zachodzącego tu warunku wystarczającego =>:
Jednoelementowy zbiór p=[Kubuś] jest podzbiorem => zbioru dwuelementowego q=[Kubuś+Prosiaczek]
cnd
Zdanie A1 czytamy również jako:
Jeśli z dziedziny D=[K+P+T] wylosujemy element należący do zbioru p=[K] to ten element na 100% => będzie należał do zbioru q=[K+T] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K+T].
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu należącego do zbioru p jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Powyższe zdanie prawdziwe to po prostu nasze prawo Słonia, gdzie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: p i ~q
Nasz przykład:
p=[K]~~>~q=[T] = [K]*[T] =[] =0
Dowód „nie wprost” fałszywości zdania A1’ wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
Dowód bezpośredni to:
Jednoelementowy zbiór p=[Kubuś] jest rozłączny (=0) z jednoelementowym zbiorem ~q=[Tygrysek]
cnd
… co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajście ~q bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
Nasz przykład:
~p=[P+T]~>~q=[T]= =1
Dowód "nie wprost" prawdziwości zdania A2 wynika z prawa Prosiaczka.
Sprawdzenie dowodem wprost:
Dwuelementowy zbiór ~p=[Prosiaczek + Tygrysek] jest (=1) nadzbiorem ~> jednoelementowego zbioru ~q=[Tygrysek]
cnd
Zdanie A2 czytamy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p jest warunkiem koniecznym ~> by ten element należał do zbioru ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbiory ~q.
Powyższe zdanie prawdziwe to po prostu nasze prawo Słonia, gdzie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
Prawdziwość zdania B2’ wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost” - nic a nic nie musimy więcej udowadniać.
Sprawdzenie dowodem wprost:
~p=[P+T]~~>q=[K+P] = [P+T]*[K+P] =[P] =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
Doskonale tu widać że zbiór ~p nie jest ani podzbiorem => zbioru q, ani też nadzbiorem ~> zbioru q
Ten przypadek pokazuje druzgocącą przewagę przedszkola algebry Kubusia gdzie operujemy na zbiorach minimalnych nad pełną algebrą Kubusia gdzie operujemy na zbiorach nieskończonych (np. P8|=>P2)
Dodatkowo możemy sprawdzić dowodem wprost, czy rzeczywiście fałszywy jest warunek wystarczający B2.
B2.
~p=>~q =0
Sprawdzenie:
~p=[P+T] => ~q=[T] =0
Zbiór dwuelementowy ~p=[Prosiaczek+Tygrysek] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru jednoelementowego ~q=[Tygrysek]
cnd
Zdania A2 i B2 możemy przeczytać łącznie w następujący sposób:
Jeśli z dziedziny D=[K+P+T] wylosujemy element należący do zbioru ~p=[P+T] to ten element może ~> należeć do zbioru ~q=[T] (zdanie A2) lub może ~~> należeć do zbioru q=[K+P] (zdanie B2')
Trzeciej możliwości brak.
Matematycznie zachodzi:
A2: ~q=[T} + B2": q=[K+T] = {K+P+T] =D (dziedzina) =1
co jest oczywistością bo musi być:
~q+q = D(dziedzina) =1
inaczej teoria byłaby do bani.
Podsumowując:
Implikacja prosta p|=>q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1 oraz najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p o czym mówią zdania A2 i B2’.
Zauważmy, zdania wchodzące w skład implikacji prostej p|=>q, czyli A1, A1’, A2, B2’ mogą być wypowiadane w dowolnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
12.2.2 Diagram implikacji prostej p||=>q w zbiorach minimalnych
Nanieśmy nasz przykład na diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
Nasze zbiory minimalne {p, q, ~p i ~q} to:
p=[K] - Kubuś
q=[K+P] – Kubuś+Prosiaczek
D=[K+P+T] - wspólna dziedzina dla p i q
~p=[P+T] – Prosiaczek+Tygrysek
~q=[T] - Tygrysek
-------------------------------------------------------------------------
| p=[K] | ~p=[P+T] |
|-----------------------|-----------------------------------------------|
| q=[K+P] | ~q=[T] |
|---------------------------------------------|-------------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2: ~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
| A1: [K]=>[K+P]=1 |B2’: [P+T]~~>[K+P]=1 |A2: [P+T]~>[T]=1 |
-------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q + A2:~p*~q + B2’:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty |
| D= A1: K*[K+P]+ B2’: [P+T]*[K+P]+A2: [P+T]*[T]= [K]+[P]+[T] |
| A1’: [K]*[T]=[]=0 – zbiór pusty |
| Dziedzina w implikacji prostej p|=>q to: |
| D=[K]+[P]+[T] – suma zbiorów niepustych i rozłącznych |
|-----------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach |
-------------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q:
A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
A1: [K]=>[K+P]=1 – [K] jest (=1) podzbiorem => [K+P]
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
B1: [K]~>[K+P]=0 – [K] nie jest (=0) nadzbiorem ~> [K+P]
Kontrprzykład dla prawdziwego A1 musi być fałszem:
A1’: p~~>~q=p*~q =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
A1’: [K]~~>[T]=[K]*[T]= [] =0
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1:p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A2B2:
A2: ~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
A2: [P+T]~>[T]=1 – [P+T] jest nadzbiorem ~> [T]
B2: ~p=>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => ~q
B2: [P+T]=>[T]=0 – [P+T] nie jest (=0) podzbiorem => [T]
Kontrprzykład dla fałszywego B2 musi być prawdą:
B2’: ~p~~>q=~p*q=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
B2’: [P+T]~~>[K+P]=[P]=1 – istnieje (=1) wspólny element ~~>, to [P]
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
II.
Po zamianie p i q:
Analizę kolumn A3B3 i A4B4 polecam czytelnikowi w ramach
zadania domowego. Analogia do kolumn A1B1 i A2B2 jest tu 100%.
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
W implikacji prostej p|=>q po stronie p mamy gwarancję matematyczną =>
o czym mówi zdanie A1: p=>q=1
2.
W implikacji prostej p|=>q po stronie ~p mamy najzwyklejsze
„rzucanie monetą” o czym mówią zdania A2: ~p~~>~q=1 oraz B2’: ~p~~>q=1
3.
Implikacja prosta p|=>q to trzy i tylko trzy zbiory niepuste (A1, B2’, A2)
i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
|
Dowód rozłączności zbiorów A1, B2’ i A2 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1: p*q
B2’: ~p*q
A2: ~p*~q
Badamy rozłączność zbiorów każdy z każdym:
1: A1*B2’ = (p*q)*(~p*q) =[] - bo p*~p=[]
2: A1*A2 = (p*q)*(~p*~q)=[] - bo p*~p=[]
3: B2’*A2 = (~p*q)*(~p*~q)=[] - bo q*~q=[]
cnd
Definicje zmiennych {p, q, ~p, ~q} w naszym przykładzie:
p=[K] - Kubuś
q=[K+P] – Kubuś+Prosiaczek
D=[K+P+T} - wspólna dla p i q dziedzina
~p=[P+T] – Prosiaczek+Tygrysek
~q=[T] - Tygrysek
Doskonale widać, że nasze zbiory minimalne A1, B2' i A2 są wzajemnie rozłączne.
Dowód dla przypadku 1.
1: A1*B2’ = (p*q)*(~p*q) =[] - bo p*~p=[]
Po podstawieniu zmiennych aktualnych mamy:
1: A1*B2' = [K*(K+P)]*[(P+T)*(K+P)] =[] bo [K]*[P+T] =[]
cnd
Sprawdzenie dla pozostałych przypadków aktualnych (nasz przykład) to zadanie domowe dla czytelnika.
12.2.3 Związek teorii zbiorów minimalnych z teorią zbiorów nieskończonych
W implikacji prostej p|=>q związek teorii zbiorów minimalnych (przykład wyżej (D=K+T+P) z teorią zbiorów nieskończonych (P8|=>P2 - punkt 8.2) ma przełożenie 1:1.
Dowód:
Porównajmy analizę implikacji prostej p|=>q w zbiorach minimalnych (wyżej) z implikacją prostą w zbiorach nieskończonych P8|=>P2 omówioną w punkcie 8.2.
Doskonale widać przełożenie 1:1 czyli:
W obu przypadkach spełniona jest tabela prawdy implikacji prostej p|=>q.
cnd
Analogia jest tu absolutna:
1.
Dziedziną w naszej implikacji prostej p|=>q w zbiorach minimalnych są trzy elementy:
D= [K+T+P]
D=[Kubuś+Tygrysek+Prosiaczek]
wzajemnie rozłączne i uzupełniające się do dziedziny D:
2.
Dziedziną w implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach nieskończonych jest zbiór liczb naturalnych:
LN=[1+2+3+4…+n]
czyli nieskończony zbiór elementów rozłącznych i uzupełniających się do dziedziny LN.
Elementów w zbiorze LN jest nieskończenie wiele ale istota działania implikacji prostej P8|=>P2 jest identyczna jak w naszej implikacji prostej p|=>q operującej na zbiorze minimalnym D=K+T+P
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 20:32, 24 Lip 2022, w całości zmieniany 2 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 20:28, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Przedszkole algebry Kubusia
12.3 Implikacja odwrotna p|~>q w przedszkolu
Spis treści
12.3 Implikacja odwrotna p|~>q w przedszkolu 1
12.3.1 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q 5
12.4 Przykład implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach minimalnych 6
12.4.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach minimalnych 9
12.4.2 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach minimalnych 12
12.4.3 Związek teorii zbiorów minimalnych z teorią zbiorów nieskończonych 14
12.3 Implikacja odwrotna p|~>q w przedszkolu
Fundamentem algebry Kubusia w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" są zaledwie trzy znaczki: ~~>, => i ~>:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> lub zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Definicja warunku koniecznego ~>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej [=] dla zapisu wieloczłonowego (patrz prawo Słonia niżej)
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste =>
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie jego elementy należą do zbioru q
Definicja nadzbioru ~>
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
W logice matematycznej na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość pojęć:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór ~> = relacja podzbioru ~>
W logice matematycznej rozstrzygamy o zachodzącej lub nie zachodzącej relacji podzbioru => czy tez nadzbioru ~>
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1), ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0 [=] 5: ~p+ q =0
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej dla wielu zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
12.3.1 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q
Tożsamości pojęć na mocy prawa Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Stąd:
Na mocy prawa Słonia zapisujemy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia {p, ~p, q,~q} będą rozpoznawalne, co doskonale widać w diagramie DIO niżej
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1), ale nie jest podzbiorem => zbioru q (A1)
Stąd mamy tabelę prawdy implikacji odwrotnej p|~>q w relacjach nadzbioru ~> i podzbioru =>:
Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|---------------------|----------------------------------------------|
| p | ~p |
|-------------------------------------------|------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q=p*~q=1 | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D =B1: p*q+ A1’: p*~q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą:
A1’: p~~>~q=p*~q=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
Kontrprzykład dla prawdziwego B2 musi być fałszem:
B2’: ~p~~>q=~p*q=[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
A2B2: ~p|~>~q= ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1
II.
Po zamianie p i q
A3B3:
A3: q~>p =0 - zbiór q nie jest (=0) nadzbiorem ~> p
B3: q=>p =1 - zbiór q jest (=1) podzbiorem => p
Kontrprzykład dla prawdziwego B3 musi być fałszem:
B3’: q~~>~p=q*~p=[]=0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów q i ~p
A3B3: q|=>p= ~(A3: q~>p)*(B3:~q=>~p)=~(0)*1=1*1=1
A4B4:
A4:~q=>~p=0 - zbiór ~q nie jest (=0) podzbiorem => ~p
B4:~q~>~p=1 - zbiór ~q jest (=1) nadzbiorem ~> ~p
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A4 musi być prawdą:
~q~~>p=~q*p=1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~q i p
A4B4: ~q|~>~p= ~(A4:~q=>~p)*(B4:~q~>~p)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Implikacja odwrotna p|~>q to trzy i tylko trzy zbiory niepuste i rozłączne
(B1, A1’, B2) uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
2.
W implikacji odwrotnej p|~>q po stronie p mamy do czynienia
z najzwyklejszym „rzucaniem monetą” o czym mówią zdania B1 i A1’
|
Dowód rozłączności zbiorów B1, A1’ i B2 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
B1: p*q
A1’: p*~q
B2: ~p*~q
Badamy rozłączność zbiorów każdy z każdym:
B1*A1’ = (p*q)*(p*~q) =[] - bo q*~q=[]
B1*B2 = (p*q)*(~p*~q)=[] - bo p*~p=[]
A1’*B2 = (p*~q)*(~p*~q)=[] - bo p*~p=[]
cnd
12.4 Przykład implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach minimalnych
Łatwo widzieć, że dla spełnienia powyższej definicji implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach minimalnych potrzeba i wystarcza trzy elementy.
Przyjmijmy następujące trzy elementy na poziomie 5-cio latka:
K – Kubuś
P – Prosiaczek
T – Tygrysek
Definicja dziedziny dla zbiorów:
Dziedziną nazywany zbiór elementów niepustych i wzajemnie rozłącznych na których operujemy.
W analizie matematycznej nie uwzględniamy żadnych elementów spoza wybranej dziedziny, bowiem dla elementów spoza dziedziny wszelkie zdania warunkowe "Jeśli p to q" będą fałszywe, co łatwo udowodnić.
Nasza dziedzina to:
D = [K+P+T]
D=[Kubuś+Prosiaczek+Tygrysek]
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmujemy zdanie wejściowe do analizy:
B1.
Jeśli p to q
B1: p~>q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p jest warunkiem konicznym ~> jego przynależności do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Na mocy prawa Słonia definiujemy zbiory minimalne p i q:
p=K+P
q=K
p+q = K+P+K = K+P
Na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q dziedzinę D musimy przyjąć szerszą od sumy logicznej zbiorów p+q, stąd potrzebny nam będzie trzeci element, zmienna wolna T.
D=K+P+T
D = [Kubuś+Prosiaczek+Tygrydek]
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów p i q definiowane jako ich uzupełnienia do dziedziny D.
~p=[D-p] = [D-(K+P)] = [K+P+T -(K+P)]=[T]
~q=[D-q] = [D-K] = [K+P+T -K]=[P+T]
Podsumujmy:
p=[K+P]
q=[K]
~p=[T]
~q=[P+T]
Zauważmy, że wyłącznie dzięki zmienne wolnej T wszystkie zbiory {p, q, ~p, ~q} są niepuste i rozpoznawalne, co jest warunkiem koniecznym analizy zdania warunkowego "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q. Z definicji nie możemy bowiem operować na zbiorze pustym (pkt. 5.2), czyli na pojęciach dla nas niezrozumiałych.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna nie występująca w opisie matematycznym układu, konieczna dla poprawnego działania układu.
W naszym układzie zmienną wolną jest T (tygrysek).
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia {p, ~p, q,~q} będą rozpoznawalne, co doskonale widać w diagramie DIO.
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Nasz przykład:
p={K+P]
q=[K]
p=[K+P] ~> q=[K]
Zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
W definicji implikacji odwrotnej p|~>q nie ma mowy o tygrysku (T), dlatego T (tygrysek) jest zmienną wolną. Pozostaje nam sprawdzić, czy dla powyższych zbiorów {p, q, ~p, ~q} spełniona jest pełna tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q.
Na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Stąd mamy tabelę prawdy implikacji odwrotnej p|~>q w relacjach nadzbioru ~> i podzbioru =>:
Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie relacji nadzbioru ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zbiór p=[K+T] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q=[K]
B1: p~>q =1 - p=[K+T] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru [K]
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Punkt odniesienia: {p,q}
p=[K+P]
q=[K]
~p=[T]
~q=[P+T]
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 = 2: ~p~> ~q =0 [=] 3: q~> p =0 = 4: ~q=> ~p =0
A: 1: [K+P]=>[K]=0 = 2: [T]~>[P+T]=0 [=] 3: [K]~>[K+P]=0 = 4: [P+T]=>[T]=0
## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2: ~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 = 4: ~q~> ~p =1
B: 1: [K+P]~>[K]=1 = 2: [T]=>[P+T]=1 [=] 3: [K]=>[K+P]=1 = 4: [P+T]~>[T]=1
Gdzie:
p~>q - relacja nadzbioru ~>, p jest (=1) nadzbiorem ~>q
p=>q - relacja podzbioru =>, p jest (=1) podzbiorem => q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać spełnienie definicji implikacji odwrotnej p|~>q zbudowanej na zaledwie trzech elementach.
Zauważmy, że gdybyśmy za dziedzinę przyjęli dwa elementy:
p=[K+P]
q=[K]
to pojęcie ~p byłoby nierozpoznawalne, czyli niezrozumiałe dla człowieka.
Dowód:
D=p+q = K+K+P = K+P
Obliczamy ~p definiowane jako uzupełnienie zbioru p do dziedziny D
~p =[D-p] =[D-(K+P)] = K+P -(K+P)] =[] =0
cnd
Zbiór pusty to z definicji nieskończony zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka (pkt. 5.2).
Oczywistym jest, że w języku potocznym żaden człowiek nie używa pojęć których nie rozumie np. hafstdrak
12.4.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach minimalnych
Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie relacji nadzbioru ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zbiór p=[K+T] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q=[K]
B1: p~>q =1 - p=[K+T] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru [K]
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Punkt odniesienia: {p,q}
p=[K+P]
q=[K]
~p=[T]
~q=[P+T]
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 = 2: ~p~> ~q =0 [=] 3: q~> p =0 = 4: ~q=> ~p =0
A: 1: [K+P]=>[K]=0 = 2: [T]~>[P+T]=0 [=] 3: [K]~>[K+P]=0 = 4: [P+T]=>[T]=0
## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2: ~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 = 4: ~q~> ~p =1
B: 1: [K+P]~>[K]=1 = 2: [T]=>[P+T]=1 [=] 3: [K]=>[K+P]=1 = 4: [P+T]~>[T]=1
Gdzie:
p~>q - relacja nadzbioru ~>, p jest (=1) nadzbiorem ~>q
p=>q - relacja podzbioru =>, p jest (=1) podzbiorem => q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja odwrotna p|~>q determinuje prawdziwość operatora implikacji odwrotnej p||~>q (albo odwrotnie)
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
Kolumna A1B1:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Nasze zbiory minimalne {p, q, ~p i ~q} to:
p=[K+P] – Kubuś+Prosiaczek
q=[K] - Kubuś
~p=[T] - Tygrysek
~q=[P+T] – Prosiaczek+Tygrysek
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 =1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
B1: p~>q =1
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Nasz przykład:
p=[K+P]
q=[K]
~p=[T]
~q=[P+T]
B1: p=[K+P] ~> q=[K] =1
Dwuelementowy zbiór p=[Kubuś+Prosiaczek] jest nadzbiorem ~> zbioru q=[Kubuś]
cnd
Zdanie B1 czytamy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> by ten element należał do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q.
Powyższe zdanie prawdziwe to po prostu nasze prawo Słonia, gdzie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
Prawdziwość zdania A1’ wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost” - nic a nic nie musimy więcej udowadniać.
Sprawdzenie dowodem wprost:
p=[K+P] ~~>~q=[P+T] = [K+P]*[P+T] = [P] =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów p i ~q
Doskonale tu widać że zbiór p nie jest ani podzbiorem => zbioru ~q, ani też nadzbiorem ~> zbioru ~q
Ten przypadek pokazuje druzgocącą przewagę przedszkola algebry Kubusia gdzie operujemy na zbiorach minimalnych nad pełną algebrą Kubusia gdzie operujemy na zbiorach nieskończonych (np. P2|~>P8)
Dodatkowo możemy sprawdzić dowodem wprost, czy rzeczywiście fałszywy jest warunek wystarczający A1.
A1.
p=>q =0
Sprawdzenie:
p=[K+P] => q=[K] =0
Zbiór dwuelementowy p=[Kubuś + Prosiaczek] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru jednoelementowego q=[Kubuś]
cnd
Zdania B1 i A1' możemy przeczytać łącznie w następujący sposób:
Jeśli z dziedziny D=[K+P+T] wylosujemy element należący do zbioru p=[K+P] to ten element może ~> należeć do zbioru q=[K] (zdanie A1) lub może ~~> należeć do zbioru ~q=[P+T] (zdanie A1')
Trzeciej możliwości brak.
Matematycznie zachodzi:
A1: q=[K] + A1': ~q=[P+T] = [K+P+T] =D (dziedzina) =1
co jest oczywistością bo musi być:
q+~q = D(dziedzina) =1
inaczej teoria byłaby do bani.
… co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
B2: ~p=>~q =1
Zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Nasz przykład:
p=[K+P]
q=[K]
~p=[T]
~q=[P+T]
B2: ~p=[T] => ~q=[P+T] =1
Zauważmy, że mając udowodniony warunek konieczny B1: p~>q nie musimy dowodzić prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>~q bo prawdziwość tą gwarantuje nam prawo Kubusia.
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
to jest dowód "nie wprost"
Dowód wprost prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>~q jest następujący
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru ~p=[T] jest warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru ~q=[P+T] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p=[T] jest podzbiorem => zbioru ~q=[P+T]
Dowód bezpośredni zachodzącego tu warunku wystarczającego =>:
B2: ~p=[T] => ~q=[P+T] =1
Jednoelementowy zbiór ~p=[Tygrysek] jest podzbiorem => zbioru dwuelementowego q=[Prosiaczek+Tygrysek]
cnd
Zdanie B2 czytamy również jako:
Jeśli z dziedziny D=[K+P+T] wylosujemy element należący do zbioru ~p=[T] to ten element na 100% => będzie należał do zbioru ~q=[P+T] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p=[T] jest podzbiorem => zbioru ~q=[P+T].
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu należącego do zbioru ~p jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Powyższe zdanie prawdziwe to po prostu nasze prawo Słonia, gdzie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~p i q
Nasz przykład:
~p=[T]~~>q=[K] = [T]*[K] =[] =0
Dowód „nie wprost” fałszywości zdania B2’ wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2'’
Dowód bezpośredni to:
~p=[T]~~>q=[K] = [T]*[K] =[] =0
Jednoelementowy zbiór ~p=[Tygrysek] jest rozłączny (=0) z jednoelementowym zbiorem q=[Kubuś]
cnd
Podsumowanie:
Implikacja odwrotna p|~>q to po stronie p najzwyklejsze "rzucanie monetą" w sensie "na dwoje babka wróżyła" o czym mówią zdania B1 i A1' oraz gwarancja matematyczna po stronie ~p o czym mówi zdanie B2.
Zauważmy, zdania wchodzące w skład implikacji prostej p|=>q, czyli B1, A1’, B2’ mogą być wypowiadane w dowolnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
12.4.2 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach minimalnych
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Nanieśmy nasz przykład na diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach.
Kod: |
DIO
Nasz przykład:
p=[K+P] - Kubuś+Prosiaczek
q=[K] - Kubuś
~p=[T] - Tygrysek
~q=[P+T] - Prosiaczek+Tygrysek
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| q=[K] | ~q=[P+T] |
|---------------------|----------------------------------------------|
| p=[K+P] | ~p=[T] |
|-------------------------------------------|------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q=p*~q=1 | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
| B1: [K+T]~>[K]=1 | A1': [K+P]~~>[P+T]=1 | B2: [T]=>[P+T]=1 |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D =B1: p*q+ A1’: p*~q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty |
| D= B1: [K+P]*[K]+ A1': [K+P]*[P+T]+ B2: [T]*[P+T]= [K]+[P]+[T] |
| B2': [T]*[K]=[=[] - zbiór pusty
| Dziedzina w implikacji odwrotnej p|~>q to: |
| D=[K]+[P]+[T] - suma zbiorów niepustych i rozłącznych |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
Nasz przykład:
p=[K+P] - Kubuś+Prosiaczek
q=[K] - Kubuś
~p=[T] - Tygrysek
~q=[P+T] - Prosiaczek+Tygrysek
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
A1: [K+P]=>[K] =0 - zbiór [K+P] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru [K]
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
B1: [K+P]~>[K] =1 - zbiór [K+P] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru [K]
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą:
A1’: p~~>~q=p*~q=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
A1': [K+P]~~>[P+T]=[P]=1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~~> to [P]
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~q
A2: [T]~>[P+T]=0 - zbiór [T] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru [P+T]
B2:~p=>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
B2: [T]=>[P+T]=1 - zbiór [T] jest (=1) podzbiorem => zbioru [P+T]
Kontrprzykład dla prawdziwego B2 musi być fałszem:
B2’: ~p~~>q=~p*q=[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
B2’: [T]~~>[K]=[T]*[K]=[] =0 - zbiory T(Tygrysek) i K(Kubuś) są rozłączne
A2B2: ~p|~>~q= ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1
II.
Po zamianie p i q:
Analizę kolumn A3B3 i A4B4 polecam czytelnikowi w ramach
zadania domowego. Analogia do kolumn A1B1 i A2B2 jest tu 100%.
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Implikacja odwrotna p|~>q to trzy i tylko trzy zbiory niepuste i rozłączne
(B1, A1’, B2) uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
2.
W implikacji odwrotnej p|~>q po stronie p mamy do czynienia
z najzwyklejszym „rzucaniem monetą” o czym mówią zdania B1 i A1’
|
Dowód rozłączności zbiorów B1, A1’ i B2 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
B1: p*q
A1’: p*~q
B2: ~p*~q
Badamy rozłączność zbiorów każdy z każdym:
1: B1*A1’ = (p*q)*(p*~q) =[] - bo q*~q=[]
2: B1*B2 = (p*q)*(~p*~q)=[] - bo p*~p=[]
3: A1’*B2 = (p*~q)*(~p*~q)=[] - bo p*~p=[]
cnd
Definicje zmiennych {p, q, ~p, ~q} w naszym przykładzie:
p=[K+P] - Kubuś+Prosiaczek
q=[K] - Kubuś
~p=[T] - Tygrysek
~q=[P+T] - Prosiaczek+Tygrysek
Doskonale widać, że nasze zbiory minimalne B1, A1' i B2 są wzajemnie rozłączne.
Dowód dla przypadku 1.
1: B1*A1' = (p*q)*(p*~q) =[] =0 - bo q*~q=[] =0
Po podstawieniu zmiennych aktualnych mamy:
1: A1*A1' = [(K+P)*K]*[(K+P)*(P+T)]=[] bo [K]*[P+T]=[] =0
cnd
Sprawdzenie dla pozostałych przypadków aktualnych (nasz przykład) to zadanie domowe dla czytelnika.
12.4.3 Związek teorii zbiorów minimalnych z teorią zbiorów nieskończonych
W implikacji odwrotnej p|~>q związek teorii zbiorów minimalnych (przykład wyżej (D=K+T+P) z teorią zbiorów nieskończonych (P2|=>P8 - punkt 8.6) ma przełożenie 1:1.
Dowód:
Porównajmy analizę implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach minimalnych (wyżej) z implikacją odwrotną w zbiorach nieskończonych P2|=>P8 omówioną w punkcie 8.6.
Doskonale widać przełożenie 1:1 czyli:
W obu przypadkach spełniona jest tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q.
cnd
Analogia jest tu absolutna:
1.
Dziedziną w naszej implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach minimalnych są trzy elementy:
D= [K+T+P]
D=[Kubuś+Tygrysek+Prosiaczek]
wzajemnie rozłączne i uzupełniające się do dziedziny D:
2.
Dziedziną w implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach nieskończonych jest zbiór liczb naturalnych:
LN=[1+2+3+4…+n]
czyli nieskończony zbiór elementów rozłącznych i uzupełniających się do dziedziny LN.
Elementów w zbiorze LN jest nieskończenie wiele ale istota działania implikacji odwrotnej P2|~>P8 jest identyczna jak w naszej implikacji odwrotnej p|~>q operującej na zbiorze minimalnym D=K+T+P
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 20:34, 24 Lip 2022, w całości zmieniany 2 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 20:30, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Przedszkole algebry Kubusia
12.5 Implikacja prosta p|=>q vs Implikacja odwrotna p|~>q
Spis treści
12.5 Implikacja proste p|=>q vs implikacja odwrotna p|~>q 1
12.5.1 Definicja znaczka różne na mocy definicji ## 2
12.5.2 Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ### 4
12.5.3 Warunek poprawności logiki matematycznej 9
12.5 Implikacja proste p|=>q vs implikacja odwrotna p|~>q
Weźmy definicje formalne implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q w zbiorach w zapisach formalnych (ogólnych) bez wiązania tych definicji z jakimkolwiek przykładem.
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1)
Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: p|=>q=~p*q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>:
Y = (p=>q) = ~p+q
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>:
Y = (p~>q) = p+~q
Stąd łatwo wyprowadzamy zero-jedynkową definicję implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q)=(~p+q)*(~p*q) = ~p*q
Do zapamiętania:
A1B1: Y = (p|=>q) =~p*q
##
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1), ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0 [=] 5: ~p+ q =0
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>:
Y = (p=>q) = ~p+q
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>:
Y = (p~>q) = p+~q
Stąd łatwo wyprowadzamy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q)=(~p+q)*(~p*q) = ~p*q
Do zapamiętania:
A1B1: Y = (p|=>q) =~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
12.5.1 Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y):
Funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach p, q, ~p i ~q dają różne odpowiedzi na wyjściu Y
Podsumujmy wyprowadzone wyżej definicje funkcji logicznych Y w logice dodatniej (bo Y).
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>:
A1: Y = (p=>q) = ~p+q
##
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>:
B1: Y = (p~>q) = p+~q
##
Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej p|=>q
IP_A1B1: Y = (p|=>q) =~p*q
##
Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
IO_A1B1: Y = (p|~>q) = p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Dowód iż nasze funkcje logiczne są różne na mocy definicji w rachunku zero-jedynkowym.
Potrzebne definicje algebry Boole'a.
Kod: |
Definicja spójnika "lub"(+):
p q p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 1 =1
D: 0 0 =0
Najszybszy algorytm tworzenie tabeli zero-jedynkowej:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
|
Kod: |
Definicja spójnika "i"(*):
p q p*q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 1 =0
D: 0 0 =0
Najszybszy algorytm wypełniania tabeli zero-jedynkowej:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q=0
|
Dowód iż zapisane wyżej funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) są różne na mocy definicji ##:
Kod: |
T1
A1: B1: IP_A1B1: IO_A1B1:
Y=(p=>q) ## Y=(p~>q) ## Y=(p|=>q) ## Y=(p|~>p)
p q ~p ~q Y=~p+q ## Y=p+~q ## Y=~p*q ## Y=p*~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =0 =0
B: 1 0 0 1 =0 =1 =0 =1
C: 0 1 1 0 =1 =0 =1 =0
D: 0 0 1 1 =1 =1 =0 =0
1 2 3 4 5 6 7 8
|
Brak tożsamości dowolnych dwóch kolumn wynikowych Y {5, 6, 7, 8} jest dowodem spełnienia znaczka różne na mocy definicji ##.
Zbudowane w tabeli T1 układy to:
Y = (p=>q)=~p+q - warunek wystarczający =>
Y = (p=>q)=p+~q - warunek konieczny ~>
Y = (p|=>q)=~p*q - implikacja prosta |=>
Y = (p|~>q)=p*~q - implikacja odwrotna |~>
Dowód w laboratorium techniki cyfrowej:
Po zbudowaniu powyższych układów w bramkach "i"(*) i "lub"(+) zwarcie któregokolwiek wyjścia Y z jakimkolwiek innym wyjściem Y spowoduje kupę dymu i smrodu, wszystko wyleci w powietrze.
To jest twardy dowód różności na mocy definicji ## poniższych pojęć:
Y = (p=>q) =~p+q - warunek wystarczający =>
##
Y = (p~>q) =p+~q - warunek konieczny ~>
##
Y = (p|=>q)=~p*q - implikacja prosta |=>
##
Y = (p|~>q)=p*~q - implikacja odwrotna |~>
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
12.5.2 Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ###
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste =>
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie jego elementy należą do zbioru q
Definicja nadzbioru ~>
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
W logice matematycznej na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość pojęć:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór ~> = relacja podzbioru ~>
W logice matematycznej rozstrzygamy o zachodzącej lub nie zachodzącej relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~>
Podstawmy do wyprowadzonych wyżej definicji formalnych implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q nasze przykłady w zbiorach.
Te ze wspólną dziedziną:
D = [K+P+T]
D = [Kubuś+Prosiaczek+Tygrysek]
Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie relacji podzbioru =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zbiór p=[K] jest (=1) podzbiorem => zbioru q=[K+P]
B1: p~>q =0 – zbiór p=[K] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q=[K+P]
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia w implikacji prostej p|=>q dla naszego przykładu:
p=[K]
q=[K+P]
~p=[P+T]
~q=[T]
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 = 2: ~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 = 4: ~q=> ~p =1
1: [K]=>[K+P]=1 = 2: [P+T]~>[T]=1 [=] 3: [K+T]~>[K]=1 = 4: [T]=>[P+T]=1
## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 = 2: ~p=> ~q =0 [=] 3: q=> p =0 = 4: ~q~> ~p =0
B: 1: [K]~>[K+P]=0 = 2: [P+T]=>[T]=0 [=] 3: [K+T]=>[K]=0 = 4: [T]~>[P+T]=0
Punkt odniesienia w implikacji prostej p|=>q dla naszego przykładu:
p=[K]
q=[K+P]
~p=[P+T]
~q=[T]
Definicja formalna implikacji prostej p|=>q:
IP_A1B1: p|=>q = ~p*q
Definicja aktualna implikacji prostej p|=>q (nasz przykład):
IP_A1B1: p|=>q = ~p*q = [P+T]*[K+P]
Gdzie:
p=>q - relacja podzbioru =>, p jest (=1) podzbiorem => q
p~>q - relacja nadzbioru ~>, p jest (=1) nadzbiorem ~>q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
###
Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Punkt odniesienia w implikacji odwrotnej p|~>q dla naszego przykładu:
p=[K+P]
q=[K]
~p=[T]
~q=[P+T]
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 = 2: ~p~> ~q =0 [=] 3: q~> p =0 = 4: ~q=> ~p =0
A: 1: [K+P]=>[K]=0 = 2: [T]~>[P+T]=0 [=] 3: [K]~>[K+P]=0 = 4: [P+T]=>[T]=0
## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2: ~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 = 4: ~q~> ~p =1
B: 1: [K+P]~>[K]=1 = 2: [T]=>[P+T]=1 [=] 3: [K]=>[K+P]=1 = 4: [P+T]~>[T]=1
Punkt odniesienia w implikacji odwrotnej p|~>q dla naszego przykładu:
p=[K+P]
q=[K]
~p=[T]
~q=[P+T]
Definicja formalna implikacji odwrotnej p|~>q:
IO_A1B1: p|~>q = p*~q
Definicja aktualna implikacji odwrotnej p|~>q (nasz przykład):
IO_A1B1: p|~>q = p*~q = [K+P]*[P+T]
Gdzie:
p~>q - relacja nadzbioru ~>, p jest (=1) nadzbiorem ~>q
p=>q - relacja podzbioru =>, p jest (=1) podzbiorem => q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Gdzie:
### - różne na mocy błędu podstawienia
Na czym polega błąd podstawienia w powyższych tabelach prawdy implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q?
Zauważmy, że:
IP.
Punkt odniesienia w implikacji prostej p|=>q dla naszego przykładu:
p=[K]
q=[K+P]
###
IO
Punkt odniesienia w implikacji odwrotnej p|~>q dla naszego przykładu:
p=[K+P]
q=[K]
Gdzie:
### - różne na mocy błędu podstawienia
W poprawnej logice matematycznej p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q.
Dotyczy to również podstawienia pod parametry formalne {p, q} parametrów aktualnych z przykładu, co wyżej nie jest spełnione bo zbiór p=[K] z implikacji prostej p|=>q nie jest tym samym zbiorem w implikacji odwrotnej p|~>q, bowiem tu mamy p=[K+P]
cnd
Ignorowanie udowodnionego wyżej błędu podstawienia ### prowadzi do fałszywej logiki matematycznej, co za chwilkę udowodnimy.
Zapiszmy jeszcze raz kluczowe fragmenty powyższych definicji:
Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q:
Punkt odniesienia w implikacji prostej p|=>q dla naszego przykładu:
p=[K]
q=[K+P]
~p=[P+T]
~q=[T]
Definicja formalna implikacji prostej p|=>q:
IP_A1B1: p|=>q = ~p*q
Definicja aktualna implikacji prostej p|=>q (nasz przykład):
IP_A1B1: p|=>q = ~p*q = [P+T]*[K+P]
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
###
Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q:
Punkt odniesienia w implikacji odwrotnej p|~>q dla naszego przykładu:
p=[K+P]
q=[K]
~p=[T]
~q=[P+T]
Definicja formalna implikacji odwrotnej p|~>q:
IO_A1B1: p|~>q = p*~q
Definicja aktualna implikacji odwrotnej p|~>q (nasz przykład):
IO_A1B1: p|~>q = p*~q = [K+P]*[P+T]
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
### - różne na mocy błędu podstawienia
Doskonale tu widać że:
W zapisach formalnych między implikacją prostą p|=>q a implikacją odwrotną p|~>q obowiązuje znaczek różne na mocy definicji ## co udowodniliśmy w punkcie wyżej.
[code]
IP
Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym (ogólnym):
IP_A1B1: Y = (p|=>q) = p*~q
##
IO
Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zapisie formalnym (ogólnym):
IO_A1B1: Y = (p|~>q) = p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
[code]
Zobaczmy teraz co się stanie jeśli pod parametry formalne {p, q} implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q podstawimy parametry aktualne z naszych przykładów.
[code]
IO
Implikacja odwrotna p|~>q:
Punkt odniesienia w implikacji odwrotnej p|~>q dla naszego przykładu:
p=[K+P]
q=[K]
~p=[T]
~q=[P+T]
Definicja aktualna implikacji prostej p|=>q (nasz przykład):
IP_A1B1: p|=>q = ~p*q = [P+T]*[K+P]
###
IO
Implikacja odwrotna p|~>q:
Punkt odniesienia w implikacji odwrotnej p|~>q dla naszego przykładu:
p=[K+P]
q=[K]
~p=[T]
~q=[P+T]
Definicja aktualna implikacji odwrotnej p|~>q (nasz przykład):
IO_A1B1: p|~>q = p*~q = [K+P]*[P+T]
Gdzie:
### - różne na mocy błędu podstawienia
[/code]
Podsumowując:
1.
Definicja aktualna implikacji prostej p|=>q (nasz przykład):
IP_A1B1: p|=>q = ~p*q = [P+T]*[K+P]
###
2.
Definicja aktualna implikacji odwrotnej p|~>q (nasz przykład):
IO_A1B1: p|~>q = p*~q = [K+P]*[P+T]
Gdzie:
### - różne na mocy błędu podstawienia
Błędny wniosek z podsumowania:
Zauważmy, że jeśli zignorujemy punkt odniesienia uznając że logika matematyczna musi działać niezależnie od przyjętego punktu odniesienia to musimy dojść do wniosku iż jedna z implikacji, prosta p|=>q albo odwrotna p|~>q, jest w logice matematycznej zbędna bowiem w zbiorach zachodzi bezdyskusyjna tożsamość:
[P+T]*[K+P] = [K+P]*[P+T]
Dowód:
Przemienność zbiorów w iloczynie logicznym (*) zbiorów jest przemienna.
Poprawny wniosek z podsumowania:
Logika matematyczna w zapisach aktualnych (przykładach) bez wstępnego powiązania parametrów aktualnych (z przykładu) z parametrami formalnymi {p, q} jest matematycznie fałszywa bo nie będziemy w stanie odróżnić implikacji prostej p|=>q od implikacji odwrotnej p|~>q
Szerzej ten problem na poziomie 5-cio latka omówiono w punkcie 6.17.
12.5.3 Warunek poprawności logiki matematycznej
Warunek poprawności logiki matematycznej:
W logice matematycznej, przed dowolną analizą zdań warunkowych "Jeśli p to q" w zapisach aktualnych musimy na wstępie przyjąć wspólny punkt odniesienia wiążąc parametry formalne {p, q} z parametrami aktualnymi (tymi z przykładów) bowiem wtedy i tylko wtedy dostaniemy jednoznaczną logikę matematyczną.
Dokładnie temu celowi służy prawo Kłapouchego (pkt. 6.9.1):
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 20:37, 24 Lip 2022, w całości zmieniany 2 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 20:35, 10 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
12.6 Równoważność p<=>q w przedszkolu
Spis treści
12.6 Równoważności p<=>q w przedszkolu 1
12.6.1 Największa tragedia ziemskiej matematyki 4
12.7 Podstawowa teoria równoważności p<=>q 8
12.7.1 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach 9
12.7.2 Szybka analiza równoważności p<=>q 10
12.7.3 Przykłady równoważności p<=>q w zbiorach minimalnych 11
12.8 Przykład równoważności p<=>q w zbiorach minimalnych 13
12.8.1 Operator równoważności p|<=>q w zbiorach minimalnych 15
12.8.2 Przykład diagramu równoważności p<=>q w zbiorach minimalnych 18
12.8.3 Związek teorii zbiorów minimalnych z teorią zbiorów nieskończonych 20
12.6 Równoważności p<=>q w przedszkolu
Przypomnijmy sobie definicje podstawowe:
Fundamentem algebry Kubusia w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" są zaledwie trzy znaczki: ~~>, => i ~>:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> lub zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Definicja warunku koniecznego ~>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej [=] dla zapisu wieloczłonowego (patrz prawo Słonia niżej)
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste =>
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie jego elementy należą do zbioru q
Definicja nadzbioru ~>
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
W logice matematycznej na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość pojęć:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór ~> = relacja podzbioru ~>
W logice matematycznej rozstrzygamy o zachodzącej lub nie zachodzącej relacji podzbioru => czy tez nadzbioru ~>
12.6.1 Największa tragedia ziemskiej matematyki
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Matematyka klasyczna zawęża swoje działanie tylko i wyłącznie do dowodu twierdzeń prostych A1: p=>q i twierdzeń odwrotnych B3: q=>p.
Matematycy znają poprawną definicję równoważności p<=>q jako jednoczesną prawdziwość twierdzenia prostego A1: p=>q i odwrotnego B3: q=>p.
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie proste A1: p=>q i jednocześnie prawdziwe jest twierdzenie odwrotne B3: q=>p
Na mocy powyższego wzoru matematycy poprawnie dowodzą prawdziwości/fałszywości równoważności p<=>q. Problem w tym, że nie wiedzą co w istocie oznacza udowodniona równoważność prawdziwa p<=>q.
Największą tragedią ziemskiej matematyki jest brak w niej prawa Słonia.
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy i tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Na mocy prawa Słonia ziemską definicję równoważności zapisujemy w tożsamy sposób:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Ostatnie zdanie to znana każdemu człowiekowi tożsama definicja równoważności p<=>q.
Dowód:
Klikamy na googlach:
"konieczne i wystarczające"
Wyników: 14 400
"potrzeba i wystarcza"
Wyników: 153 000
Kluczowa dla matematyki jest tożsama definicja równoważności p<=>q w zbiorach sformułowana na mocy prawa Słonia.
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)
Czytamy:
Równoważność A1B3: p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
Powyższe definicja to znana każdemu matematykowi definicja tożsamości zbiorów p=q.
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru q (B3)
A1B3: p=q <= (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Dla B3 zastosujmy prawo Tygryska (tabela T0).
Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Stąd mamy kolejną wersję definicji tożsamości zbiorów p=q.
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Na mocy prawa Słonia mamy kolejną wersje definicji tożsamości zbiorów p=q.
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy przynależność dowolnego elementu do zbioru p jest konieczna (B1) i wystarczająca => (A1) by ten element należał do zbioru q.
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Najogólniejsze prawo Irbisa przyjmuje brzmienie.
Prawo Irbisa
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q
Przykład:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym TP jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, aby w tym trójkącie zachodziła suma kwadratów.
Ta wersja równoważności Pitagorasa jest powszechnie znana.
Dowód:
Klikamy na googlach:
"konieczne i wystarczające"
Wyników: 14 400
"potrzeba i wystarcza"
Wyników: 153 000
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: 10 200
Weźmy jeszcze raz równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Dowód twierdzenia prostego Pitagorasa A1: TP=>SK przez iterowanie polega na tym, że sprawdzamy czy każdy element zbioru trójkątów prostokątnych TP ma swój odpowiedni w zbiorze trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów SK.
Zbiory TP i SK to zbiory nieskończone z czego wynika, że niemożliwy jest tu dowód przez iterowanie.
Ale!
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q, czyli gdy prawdziwe jest iterowanie po zbiorze TP
Innymi słowy:
Dla potrzeb logiki matematycznej musi tu być spełniona relacja podzbioru =>
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja podzbioru =>
Inaczej:
p=>q =0
Odwrotne prawo Irbisa:
Tożsamość zbiorów p=q wymusza prawdziwość równoważności p<=>q (i odwrotnie)
A1B3: p=q <=> A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1=1
Innymi słowy:
Jeśli wiemy, że zachodzi tożsamość zbiorów:
p=q
to automatycznie wiemy, że prawdziwe jest iterowanie w dowolną stronę.
Dowód:
A1: p=>q =1 - bo każdy zbiór (także nieskończony) jest podzbiorem siebie samego
B3: q=>p=1 - bo każdy zbiór (także nieskończony) jest podzbiorem siebie samego
cnd
Prawo Irbisa
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Prawo Irbisa zastosowane dla równoważności Pitagorasa:
Prawdziwa równoważność Pitagorasa A1B1: TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK.
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = A1B3: TP=SK
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p=q
Czytamy:
Zbiory TP i SK są tożsame A1B3: TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1- twierdzenie proste Pitagorasa) i jednocześnie zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (B3 - twierdzenie odwrotne Pitagorasa)
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych ludzkość udowodniła wieki temu, stąd wnioskujemy o tożsamości zbiorów TP=SK na mocy prawa Irbisa.
Zauważmy, że na mocy prawa Irbisa wystarczy nam informacja o tożsamości zbiorów:
A1B3: TP=SK
co powoduje, że znamy wynik iterowania po nieskończonych zbiorach TP i SK w dowolną stronę, bez potrzeby rzeczywistego iterowania!
cnd
Po co komu przedszkole algebry Kubusia?
W przedszkolu algebry Kubusia będziemy operować na zbiorach minimalnych, dzięki czemu wzajemne relacje wszystkich możliwych zbiorów {p, q, ~p, ~q} będziemy dowodzić w trywialny sposób (dosłownie na poziomie 5-cio latka), mający jednak przełożenie 1:1 na zbiory nieskończone których z definicji nie da się iterować element po elemencie.
12.7 Podstawowa teoria równoważności p<=>q
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa.
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q=1
--------------------------------------------------------------------------
Równoważność <=> definiuje: | Równoważności <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1 [=] 5: p*q+~p*~q
tożsamość zbiorów/zdarzeń: | tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Relacje zbiorów w tabeli prawdy TR są następujące:
A1B1: p=q [=] A3B3: q=p - przemienność zbiorów tożsamych jest oczywistością
#
A2B2: ~p=~q [=] A4B4: ~q=~p - przemienność zbiorów tożsamych jest oczywistością
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna zbiorów
12.7.1 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach:
Zbiór/zdarzenie p jest podzbiorem => zbioru/zdarzenia q i jest tożsamy ze zbiorem/zdarzeniem q (p=q). Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie).
Dziedzina w równoważności p<=>q musi być szersza od sumy logicznej zbiorów/zdarzeń p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia {p, q, ~p, ~q} będą rozpoznawalne, czyli będą zbiorami/pojęciami niepustymi, co widać na poniższym diagramie DR. Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka lub jeszcze nie zdefiniowanych (punkt 5.2)
Stąd łatwo rysujemy diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach:
Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach.
---------------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|-----------------------------------|-------------------------------------|
| q | ~q |
|-------------------------------------------------------------------------|
| p=q # ~p=~q |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Prawa Kubusia: |
| A1: p=>q=~p+q=1 (p*q=1) [=] A2:~p~>~q=~p+q=1 (~p*~q=1) |
| ## | ## |
| B1: p~>q=p+~q=1 (p*q=1) [=] B2:~p=>~q=p+~q=1 (~p*~q=1) |
| Stąd: |
| A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)[=]A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
|-------------------------------------------------------------------------|
| Tożsamości zbiorów na mocy prawa Irbisa |
| A1B1: p=q # A2B2: ~p=~q |
| Wyjaśnienie: |
| p=q - w równoważności p<=>q zbiory tożsame p=q na mocy prawa Irbisa |
| ~p=[D-p] - zaprzeczeniem # zbioru p jest zbiór ~p=[D-p] | | ~q=[D-q] - zaprzeczeniem # zbioru q jest zbiór ~q=[D-q]
|-------------------------------------------------------------------------|
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty, zdarzenie niemożliwe |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty, zdarzenie niemożliwe |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów/zdarzeń niepustych) |
| Gdzie: |
| # - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony |
| ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>|
| [=], "=", <=> - znaczki tożsamości logicznej |
| p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia |
---------------------------------------------------------------------------
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
3.
Na mocy diagramu DR mamy:
Szybka analiza równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =1 - zbiór/zdarzenie p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia q
A1': p~~>~q=p*~q=0 - na mocy prawa kontrapozycji dla A1
.. a jeśli zajdzie ~p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2:~p=>~q=1 -zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~q
B2': ~p~~>q=~p*q=0 - na mocy prawa kontrapozycji dla B2
|
12.7.2 Szybka analiza równoważności p<=>q
Na mocy powyższego diagramu DR, zapisujemy szybką analizę równoważności przydatną w zbiorach minimalnych gdzie dowód wzajemnych relacji zborów p i q w dowolnych przeczeniach jest trywialny.
Kod: |
Szybka analiza równoważności p<=>q:
A1: p=> q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
A1': p~~>~q=p*~q=0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne
.. a jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
B2':~p~~>q=~p*q=0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samym p i q, inaczej błąd podstawienia
|
12.7.3 Przykłady równoważności p<=>q w zbiorach minimalnych
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q (p=q). Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie).
Wniosek:
Dziedzina w równoważności p<=>q musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia {p, q, ~p, ~q} będą rozpoznawalne, czyli będą zbiorami niepustymi. Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka lub jeszcze nie zdefiniowanych (punkt 5.2)
Przykład 1
Na mocy diagramu DR (wyżej) definiujemy zbiory p i q:
p=[1,2], q=[1,2] - bo musi zachodzić tożsamość zbiorów p=q
Przyjmujemy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5]
Dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q, bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia konieczne do analizy równoważności w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q będą rozpoznawalne.
Innymi słowy:
Niepuste muszą być zbiory {p, q, ~p, ~q}
Obliczamy przeczenia zbiorów p i q definiowane jako ich uzupełnienia do wspólnej dziedziny D
~p=[D-p] =[(1,2,3,4,5)-(1,2)]=[3,4,5]
~q=[D-q]=[(1,2,3,4,5)-(1,2)] = [3,4,5]
Podsumujmy:
p=[1,2]
q=[1,2]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4,5]
~p=[3,4,5]
~q=[3,4,5]
Zauważmy że z punktu widzenia równoważności p<=>q wszystko jest tu w porządku:
Po pierwsze:
Tożsamość zbiorów:
p=q = [1,2]
Wymusza tożsamość zbiorów (i odwrotnie):
~p=~q =[3,4,5]
Po drugie:
Spełniona jest definicja wspólnej dziedziny dla p i q:
p+~p = [1,2]+[3,4,5]=[1,2,3,4,5] =D(dziedzina) =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla p
p*~p = [1,2]*[3,4,5] =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne
to samo dla q:
q+~q = [1,2]+[3,4,5]=[1,2,3,4,5] =D(dziedzina) =1 - zbiór ~q jest uzupełnieniem do dziedziny dla q
q*~q = [1,2]*[3,4,5] =[] =0 - zbiory q i ~q są rozłączne
Sprawdzenie poprawności zdefiniowanych zbiorów p i q oraz dziedziny szybką analizą równoważności p<=>q
Kod: |
Przykład 1.
Szybka analiza równoważności p<=>q:
p=[1,2]
q=[1,2]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4,5]
~p=[3,4,5]
~q=[3,4,5]
A1: p=> q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
A1: p=[1,2]=>q=[1,2]=1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
;
A1': p~~>~q=0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne
A1': p=[1,2]~~>~q=[3,4,5]=[1,2]*[3,4,5]=[]=0 - zbiory p i ~q są rozłączne
.. a jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
A2: ~p=[3,4,5]=>~q=[3,4,5]=1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
;
B2':~p~~>q =~p*q=0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne
B2':~p=[3,4,5]~~>q=[1,2]=[3,4,5]*[1,2]=[]=0 - zbiory ~p i q są rozłączne
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samym p i q, inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać, że przyjęte zbiory p i q oraz dziedzina D spełniają definicję równoważności p<=>q
cnd
Przykład 2
Oczywistym jest, że wystarczą dwa różne elementy zbiorów na których można zbudować definicję równoważności p<=>q np.
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Dziedzina:
D=[K+P] (Kubuś+Prosiaczek)
Dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q =[K] bowiem wtedy i tyko wtedy możemy analizować zdania warunkowe "Jeśli p to q" definiujące równoważność p<=>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Innymi słowy:
Niepuste muszą być zbiory/zdarzenia {p, q, ~p, ~q}
Obliczamy przeczenia zbiorów p i q definiowane jako ich uzupełnienia do dziedziny D
~p=[D-p]=[(K+P)-K]=[P] (Prosiaczek)
~q=[D-q]=[(K+P)-K] = [P] (Prosiaczek)
Podsumowanie:
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Dziedzina:
D=[K+P] (Kubuś+Prosiaczek)
~p=[P] (Prosiaczek)
~q=[P] (Prosiaczek)
Sprawdzenie poprawności zdefiniowanych zbiorów p i q oraz dziedziny szybką analizą równoważności p<=>q
Kod: |
Przykład 2
Szybka analiza równoważności p<=>q:
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Dziedzina:
D=[K+P] (Kubuś+Prosiaczek)
~p=[P] (Prosiaczek)
~q=[P] (Prosiaczek)
A1: p=> q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
A1: p=[K]=>q=[K]=1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
;
A1': p~~>~q=p*~q=0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne
A1': p=[K]~~>~q=[P]=[K]*[P]=[]=0 - zbiory p i ~q są rozłączne.
.. a jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
B2: ~p=[P]=>~q=[P]=1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
;
B2':~p~~>q=~p*q=0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne
B2':~p=[P]~~>q=[K]=[P]*[K]=[]=0 - zbiory ~p i q są rozłączne.
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samym p i q, inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać, że przyjęte zbiory p i q oraz dziedzina D spełniają definicję równoważności p<=>q
cnd
12.8 Przykład równoważności p<=>q w zbiorach minimalnych
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q (p=q). Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie).
Wniosek:
Dziedzina w równoważności p<=>q musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia {p, q, ~p, ~q} będą rozpoznawalne, czyli będą zbiorami niepustymi. Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka lub jeszcze nie zdefiniowanych (punkt 5.2)
Przykład 3:
Dla naszych dalszych rozważań przyjmijmy za dziedzinę trzy elementy:
D = [K+P+T]
D = [Kubuś+Prosiaczk+Tygrysek]
Dziedzinę taką przyjmujemy tylko i wyłącznie dlatego, by przykład nie był zbyt trywialny.
Na gruncie przyjętej dziedziny przyjmujemy zbiory:
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Przyjmujemy wspólną dla p i q dziedzinę:
D = [K+P+T]
D = [Kubuś+Prosiaczk+Tygrysek]
Obliczamy przeczenia zbiorów p i q definiowane jako ich uzupełnienia do dziedziny D
~p=[D-p] = [(K+P+T)-K] = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q=[D-q] = [(K+P+T)-K] = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
Podsumowanie:
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Wspólna dziedzina:
D = [K+P+T]
D = [Kubuś+Prosiaczk+Tygrysek]
~p = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
Zauważmy, że z punktu widzenia równoważności p<=>q wszystko jest tu w porządku:
Po pierwsze:
Tożsamość zbiorów:
p=q = [K] (Kubuś)
Wymusza tożsamość zbiorów:
~p=~q =[P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
Po drugie:
Spełniona jest definicja wspólnej dziedziny dla p i q:
p*q = [K]*[P+T] =[] =0
p+q = [K]+[P+T]=[K+P+T] =D(dziedzina) =1
cnd
Sprawdzenie poprawności zdefiniowanych zbiorów p i q oraz dziedziny szybką analizą równoważności p<=>q
Kod: |
Szybka analiza równoważności p<=>q:
Przykład 3:
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Wspólna dziedzina:
D = p+q = [K+P+T]
D = [Kubuś+Prosiaczk+Tygrysek]
~p = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
A1: p=> q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
A1: p=[K]=>q=[K]=1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
;
A1': p~~>~q=0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne
A1': p=[K]~~>~q=[P+T]=0 - zbiory p i ~q są rozłączne.
.. a jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
B2: ~p=[P+T]=>~q=[P+T]=1 -każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
;
B2':~p~~>q =0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne
B2':~p=[P+T]~~>q=[K]=0 - zbiory ~p i q są rozłączne.
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samym p i q, inaczej błąd podstawienia
|
Uwaga:
Przykład z dziedziny fizyki gdzie pojęcia p i q są różne na mocy definicji ##, a mimo to zachodzi tożsamość pojęć p=q znajdziemy w punkcie 9.4.
12.8.1 Operator równoważności p|<=>q w zbiorach minimalnych
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q (p=q). Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie).
Wniosek:
Dziedzina w równoważności p<=>q musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia {p, q, ~p, ~q} będą rozpoznawalne, czyli będą zbiorami niepustymi. Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka lub jeszcze nie zdefiniowanych (punkt 5.2)
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa dla przykładu 3.
Kod: |
TR
Przykład 3
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku podzbioru => i nadzbioru ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Przykład 3:
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Wspólna dziedzina:
D = [K+P+T]
D = [Kubuś+Prosiaczk+Tygrysek]
~p = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
A": 1: [K]=>[K] = 2:[P+T]~>[P+T] [=] 3: [K]~>[K] = 4: [P+T]~>[P+T]
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
B": 1: [K]~>[K] = 2: [P+T]=>[P+T] [=] 3: [K]=>[K] = 4: [P+T]~>[P+T]
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=> definiuje: | Równoważności <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2: ~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4: ~q<=>~p=1
AB": 1: [K]<=>[K] = 2: [P+T]<=>[P+T] [=] 3: [K]<=>[K] = 4: [P+T]<=>[P+T]
tożsamość zbiorów/zdarzeń: | tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
AB": 1: [K]=[K] # 2: [P+T]=[P+T] | 3: [K]=[K] # 4: [P+T]=[P+T]
Zaprzeczenie zbiorów ~p i ~q dotyczy dziedziny:
D=[K+P+T]
Przykład:
~p=[D-p]=[D-K]=[K+P+T-K]=[P+T]
~q=[D-q]=[D-K]=[K+P+T-K]=[P+T] cnd
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
W tabeli równoważności TR dla naszego przykładu doskonale widać spełnione relacje podzbioru => i nadzbioru ~> we wszystkich zdaniach serii Ax i Bx.
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Na mocy prawa Sowy równoważność prawdziwa p<=>q determinuje prawdziwość operatora równoważności p|<=>q (albo odwrotnie)
Definicja operatora równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Nasz przykład 3:
Kod: |
Przykład 3:
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Wspólna dziedzina:
D = [K+P+T]
~p = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
|
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom.
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q:
Dwa zbiory/zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q.
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Przykład 3:
p={K] => q=[K] =1 - bo każdy zbiór jest (=1) podzbiorem => siebie samego.
Czytamy:
Jeśli z dziedziny D=[K+P+T] wylosujemy element należący do zbioru p=[K] to ten element na 100% => gdzie należał do zbioru q=[K]
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p=[K] jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru q=[K] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K].
Jak widać prawo Słonia samo nam tu wyskoczyło.
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Fałszywość zdania A1' wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód "nie wprost"
Dowód wprost dla naszego przykładu mamy niżej.
Przykład 3:
p=[K]~~>~q=[P+T] = {K]*[P+T} =[] =0 - bo zbiory p=[K] i ~q=[P+T] są rozłączne
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p=[K] i ~q=[P+T]
cnd
… co się stanie jeśli z dziedziny D=[K+P+T] wylosujemy element należący do zbioru ~p=[P+T]?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom.
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=~q:
Dwa zbiory/zdarzenia ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajęcie ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q.
A2B2: ~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)= A2B2: ~p<=>~q
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Przykład 3:
~p=[P+T] => ~q={P+T] =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
Czytamy:
Jeśli z dziedziny D=[K+P+T] wylosujemy element należący do zbioru ~p=[P+T] to ten element na 100% => gdzie należał do zbioru ~q=[P+T]
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p=[P+T] jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru ~q=[P+T] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p=[P+T] jest podzbiorem => zbioru ~q=[P+T]
Jak widać prawo Słonia samo nam tu wyskoczyło.
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Fałszywość zdania B2' wynika z definicji kontrprzykładu - to jest dowód "nie wprost"
Dowód wprost dla naszego przykładu mamy niżej.
Przykład 3:
~p=[P+T] ~~> q=[K] = [P+T]*[K] =[] =0 - bo zbiory ~p=[P+T] i q=[K] są rozłączne.
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~p i q
cnd
Podsumowując:
Równoważność p<=>q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań tworzących operator równoważności p|<=>q (A1, A1’,B2, B2’) jest bez znaczenia co oznacza, iż zdania w powyższej analizie możemy dowolnie przestawiać
12.8.2 Przykład diagramu równoważności p<=>q w zbiorach minimalnych
Przenieśmy nasz przykład równoważności do diagramu równoważności
Przykład 3:
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Wspólna dziedzina:
D = [K+P+T](Kubuś + Prosiaczek + Tygrysek)
~p = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach.
---------------------------------------------------------------------------
| p=[K] | ~p=[P+T] |
|-----------------------------------|-------------------------------------|
| q=[K] | ~q=[P+T] |
|-------------------------------------------------------------------------|
| p=q # ~p=~q |
| [K]=[K] # [P+T]=[P+T] |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Prawa Kubusia: |
| A1: p=>q=~p+q=1 (p*q=1) [=] A2: ~p~>~q=~p+q=1 (~p*~q=1) |
| A1": [K]=>[K] =1 [=] A2": [P+T]~>[P+T] =1 |
| ## | ## |
| B1: p~>q=p+~q=1 (p*q=1) [=] B2: ~p=>~q=p+~q=1 (~p*~q=1) |
| B1": [K]=>[K] =1 [=] B2": [P+T]=>[P+T] =1 |
| Stąd: |
| A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)[=]A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
|-------------------------------------------------------------------------|
| Tożsamości zbiorów na mocy prawa Irbisa |
| A1B1: p=q # A2B2: ~p=~q |
| A1B1": [K]=[K] # A2B2" [P+T]=[P+T] |
| Wyjaśnienie: |
| p=[K] |
| q=[K] |
| D=[K+P+T] |
| ~p=[D-p]=[D-K]=[P+T] - zaprzeczeniem # zbioru p=[K} jest zbiór ~p=[P+T] |
| ~q=[D-q]=[D-K]=[P+T] - zaprzeczeniem # zbioru q=[K} jest zbiór ~q=[P+T] |
|-------------------------------------------------------------------------|
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| A1": [K]~~>[P+T]= [K]*[P+T]=[]=0 - zbiory rozłączne |
| ; |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2": [P+T]~~>[K]= [P+T]*[K]= []=0 - zbiory rozłączne |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q + B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| D=A1: [K]*[K]+ B2: [P+T]*[P+T] = [K+P+T] - suma zbiorów niepustych |
| Gdzie: |
| # - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony |
| ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>|
| [=], "=", <=> - znaczki tożsamości logicznej |
| p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia |
---------------------------------------------------------------------------
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
3.
Na mocy diagramu DR mamy:
Szybka analiza równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =1 - zbiór/zdarzenie p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia q
A1': p~~>~q=p*~q=0 - na mocy prawa kontrapozycji dla A1
.. a jeśli zajdzie ~p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2:~p=>~q=1 -zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~q
B2': ~p~~>q=~p*q=0 - na mocy prawa kontrapozycji dla B2
|
12.8.3 Związek teorii zbiorów minimalnych z teorią zbiorów nieskończonych
Porównajmy omówiona wyżej analizę równoważności p<=>q w zbiorach minimalnych z równoważnością w zbiorach nieskończonych TP<=>SK którą za chwilkę omówimy (pkt. 9.6)
Doskonale widać przełożenie 1:1 czyli:
W obu przypadkach spełniona jest tabela prawdy równoważności p<=>q.
cnd
Analogia jest tu absolutna:
1.
Dziedziną w naszej przykładowej równoważności minimalnej p<=>q w zbiorach minimalnych są trzy elementy:
D= [K+P+T]
D=[Kubuś+Prosiaczek+Tygrysek]
wzajemnie rozłączne i uzupełniające się do dziedziny D:
2.
Dziedziną w równoważności TP<=>SK w zbiorach jest zbiór wszystkich trójkątów ZWT czyli nieskończony zbiór elementów rozłącznych, uzupełniających się do dziedziny ZWT.
D (dziedzina) = ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Elementów w zbiorze ZWT jest nieskończenie wiele ale istota działania równoważności TP<=>SK jest identyczna jak w naszej równoważności p<=>q operującej na zbiorze minimalnym D=[K+P+T]
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 20:40, 24 Lip 2022, w całości zmieniany 2 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 20:44, 24 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Przedszkole algebry Kubusia
12.9 Spójnik "albo"($) w przedszkolu "albo"($) p$q
Spis treści
12.9 Spójnik "albo"($) p$q w przedszkolu 1
12.10 Podstawowa teoria spójnika "albo"($) p$q 4
12.10.1 Diagram spójnika „albo”($) p$q w zbiorach 6
12.10.2 Szybka analiza spójnika "albo"($) p$q w zbiorach 7
12.10.3 Przykłady spójnika "albo"($) p$q w zbiorach minimalnych 8
12.11 Przykład spójnika "albo"($) p$q w zbiorach minimalnych 10
12.11.1 Operator "albo"($) p|$q w zbiorach minimalnych 11
12.11.2 Diagram spójnika "albo"($) w zbiorach minimalnych 15
12.11.3 Związek teorii zbiorów minimalnych z teorią zbiorów nieskończonych 17
12.9 Spójnik "albo"($) p$q w przedszkolu
Przypomnijmy sobie definicje podstawowe:
Fundamentem algebry Kubusia w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" są zaledwie trzy znaczki: ~~>, => i ~>:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> lub zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Definicja warunku koniecznego ~>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej [=] dla zapisu wieloczłonowego (patrz prawo Słonia niżej)
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste =>
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie jego elementy należą do zbioru q
Definicja nadzbioru ~>
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
W logice matematycznej na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość pojęć:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór ~> = relacja podzbioru ~>
W logice matematycznej rozstrzygamy o zachodzącej lub nie zachodzącej relacji podzbioru => czy tez nadzbioru ~>
12.10 Podstawowa teoria spójnika "albo"($) p$q
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p (p) do zanegowanego q (~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= A1B1: p<=>~q
Środek czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Definicja równoważności p<=>~q znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Dla spójnika „albo”($) p$q mamy:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= A1B1: p<=>~q
Każda równoważność prawdziwa p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q (i odwrotnie)
Nanieśmy definicję spójnika „albo”($) do tabeli prawdy z uwzględnieniem prawa Irbisa.
Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q=1 [=] 3:~q~>p=1 = 4: q=>~p=1 [=] 5: ~p+~q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q=1 [=] 3:~q=>p=1 = 4: q~>~p=1 [=] 5: p+ q =1
-----------------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q=1 = 2:~p$~q=1 [=] 3:~q$~p=1 = 4: q$p=1 [=] 5: p*~q+~p*q
AB: 1: p<=>~q=1 = 2:~p<=>q=1 [=] 3:~q<=>p=1 = 4: q<=>~p=1
Spójnik "albo"($) definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń (prawo Irbisa):
AB: 1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($):
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd:
Dla spójnika "albo"($) mamy odpowiednio:
Warunek wystarczający => dla spójnika „albo”($)
p=>~q=~p+~q
##
Stąd warunek konieczny ~> dla spójnika „albo”($)
p~>~q=p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Relacje zbiorów w tabeli prawdy TA są następujące:
A1B1: p=~q [=] A3B3: ~q=p - przemienność zbiorów tożsamych jest oczywistością
#
A2B2: ~p=q [=] A4B4: q=~p - przemienność zbiorów tożsamych jest oczywistością
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna zbiorów
12.10.1 Diagram spójnika „albo”($) p$q w zbiorach
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Dla spójnika „albo”($) p$q mamy:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
Stąd mamy:
Każda równoważność prawdziwa p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q (i odwrotnie)
Diagram spójnika "albo"($) p$q będzie analogiczny jak znany nam już diagram spójnika równoważności p<=>q, ale z innym rozkładem zbiorów p i q
Definicja spójnika „albo”($) p$q w zbiorach:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to dwa zbiory niepuste i rozłączne p i q uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny D.
Stąd mamy definicję dziedziny dla spójnika „albo”($)
D=p+q =1 - zbiór q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p
p*q=[]=0 - zbiory p i q są rozłączne
Stąd łatwo rysujemy diagram spójnika "albo"($) w zbiorach/zdarzeniach
Kod: |
DA
Diagram „albo”($) A1B1: p$q w zbiorach/zdarzeniach:
---------------------------------------------------------------------------
| p | q |
|------------------------------------|------------------------------------|
| ~q | ~p |
|------------------------------------|------------------------------------|
| p=~q # ~p=q |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Prawa Kubusia: |
| A1: p=>~q=1 (p*~q=1) [=] A2:~p~>q=1 (~p*q=1) |
| ## | ## |
| B1: p~>~q=1 (p*~q=1) [=] B2:~p=>q=1 (~p*q=1) |
| Stąd: |
| A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) [=] A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) |
| A1B1: p$q = p<=>~q [=] A2B2: ~p$~q = ~p<=>q |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Tożsamości zbiorów na mocy prawa Irbisa |
| p=~q # ~p=q |
|-------------------------------------------------------------------------|
| A1’: p~~>q = p* q=[]=0 - zbiór pusty, zdarzenie niemożliwe |
| B2’: ~p~~>~q=~p*~q=[]=0 - zbiór pusty, zdarzenie niemożliwe |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina: |
| D=A1: p*~q+ B2:~p*q (suma logiczna zbiorów/zdarzeń niepustych) |
| # - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony |
| ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>|
| [=], "=", <=> - znaczki tożsamości logicznej |
| p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia |
---------------------------------------------------------------------------
Wnioski:
1.
Definicja spójnika „albo”($) p$q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=q (i odwrotnie)
2.
Spójnik „albo”($) p$q to dwa i tylko dwa zbiory/zdarzenia niepuste i rozłączne p=~q oraz ~p=q uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny
3.
Na mocy diagramu DA zapisujemy:
Szybka analiza spójnika "albo"($) p$q w zbiorach/zdarzeniach
A1B1: p$q = p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) - co będzie jeśli zajdzie p?
A1: p=>~q =1 -zbiór/zdarzenie p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~q
A1': p~~>q=p*q=0 - na mocy prawa kontrapozycji dla A1
.. a jeśli zajdzie ~p?
A2B2: ~p$~q= ~p<=>q= (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co będzie jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>q=1 -zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia q
B2': ~p~~>~q=~p*~q=0 - na mocy prawa kontrapozycji dla B2
|
12.10.2 Szybka analiza spójnika "albo"($) p$q w zbiorach
Na mocy powyższego diagramu DA, zapisujemy szybką analizę spójnika "albo"($) p$q przydatną w analizie matematycznej tego spójnika przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Prawo Słonia definiujące tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Stąd mamy szybką analizę spójnika "albo"($) w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
Kod: |
Szybka analiza spójnika "albo"($) p$q w zbiorach/zdarzeniach
A1: p=>~q =1 -zbiór/zdarzenie p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~q
A1': p~~>q=p*q=0 - na mocy prawa kontrapozycji dla A1
.. a jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>q=1 -zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia q
B2': ~p~~>~q=~p*~q=0 - na mocy prawa kontrapozycji dla B2
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samym p i q, inaczej błąd podstawienia
|
Zauważmy, że wykluczona jest pustość dowolnego ze zbiorów (p albo q) bowiem nie możemy operować na zbiorze pustym, czyli na pojęciach dla nas niezrozumiałych (pkt. 5.2)
12.10.3 Przykłady spójnika "albo"($) p$q w zbiorach minimalnych
Definicja spójnika „albo”($) p$q w zbiorach:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to dwa zbiory niepuste i rozłączne p i q uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny D.
Stąd mamy definicję dziedziny dla spójnika „albo”($)
D=p+q =1 - zbiór q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p
p*q=[]=0 - zbiory p i q są rozłączne
Przykład 1
Na mocy diagramu DA (wyżej) definiujemy zbiory p i q:
p=[1,2] - z definicji zbiór niepusty
q=[3,4,5] - z definicji zbiór niepusty
Zbiory p i q mogą być różne ale ich suma logiczna musi spełniać definicję wspólnej dziedziny dla spójnika "albo"($)
Definicja dziedziny dla spójnika "albo"($) p$q na podstawie diagramu DA:
D = p+q =1 - zbiór q musi być uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla zbioru p
p*q=[] =0 - zbiory p i q muszą być rozłączne
Nasz przykład:
p=[1,2]+q=[3,4,5] = [1,2,3,4,5] = D =1 - zbiór q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p
p=[1,2]*q=[2,3,4,5] =[] =0 - zbiory p i q są rozłączne
Z diagramu DA wynika, że dostępne są wszystkie potrzebne nam zbiory niepuste {p, q, ~p, ~q}.
Obliczamy przeczenia zbiorów p i q w obrębie wspólnej dziedziny D.
Dziedzina:
D=[1,2,3,4,5]
~p=[D-p]=[3,4,5] - zbiór ~p jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla zbioru p
~q=[D-q]=[1,2] - zbiór ~q jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla zbioru q
Zauważmy że z punktu widzenia spójnika "albo"($) p$q wszystko jest tu w porządku, bowiem zbory p i q są niepuste i rozłączne uzupełniając się wzajemnie do wspólnej dziedziny D
p=[1,2]+q=[3,4,5] = [1,2,3,4,5] = D =1
Sprawdzenie poprawności zdefiniowanych zbiorów p i q oraz dziedziny szybką analizą spójnika "albo"($) p$q
Kod: |
Przykład 1
Szybka analiza spójnika "albo"($) p$q:
p=[1,2]
q=[3,4,5]
Wspólna dziedzina:
D = [1,2,3,4,5]
~p=[3,4,5]
~q=[1,2]
A1: p=>~q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru ~q
A1: p=[1,2]=>~q=[1,2]=1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
;
A1': p~~>q =p*q=0 - bo zbiory p i q są rozłączne
A1': p=[1,2]~~>q=[3,4,5]=[1,2]*[3,4,5]=[]=0 - zbiory p i q są rozłączne.
.. a jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=> q =1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru q
B2: ~p=[3,4,5]=>q=[3,4,5]=1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
;
B2':~p~~>~q=~p*~q=0 - bo zbiory ~p i ~q są rozłączne
B2':~p=[3,4,5]~~>~q=[1,2]=[3,4,5]*[1,2]=[]=0 - zbiory ~p i ~q są rozłączne
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samym p i q, inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać, że przyjęte zbiory p i q oraz dziedzina D spełniają definicję spójnika "albo"($)
cnd
Przykład 2
Oczywistym jest, że wystarczą dwa różne elementy zbiorów na których można zbudować definicję spójnika "albo"($) p$q np.
p=[K] (Kubuś)
q=[P] (Prosiaczek)
Dziedzina:
D=[K+P] (Kubuś+Prosiaczek)
Niepuste muszą być pojęcia/zbiory {p, q, ~p, ~q} co na mocy powyższego jest spełnione.
Obliczamy przeczenia zbiorów p i q definiowane jako ich uzupełnienia do wspólnej dziedziny D
~p = ~K = [D-p]=[(K+P)-K] = [P] (Prosiaczek)
~q = ~P =[D-q]=[(K+P)-P] = [K] (Kubuś)
Podsumowanie:
p=[K] (Kubuś)
q=[P] (Prosiaczek)
Dziedzina:
D=[K+P] (Kubuś+Prosiaczek)
~p=[P] (Prosiaczek)
~q=[K] (Kubuś)
Sprawdzenie poprawności zdefiniowanych zbiorów p i q oraz dziedziny szybką analizą spójnika "albo"($) p$q
Kod: |
Przykład 2
Szybka analiza spójnika "albo"($) p$q:
p=[K] (Kubuś)
q=[P] (Prosiaczek)
Dziedzina:
D=[K+P] (Kubuś+Prosiaczek)
~p=[P] (Prosiaczek)
~q=[K] (Kubuś)
A1: p=>~q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru ~q
A1: p=[K]=>~q=[K]=1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
;
A1': p~~>q=0 - bo zbiory p i q są rozłączne
A1': p=[K]~~>q=[P]=[K]*[P]=[]=0 - zbiory p i q są rozłączne.
.. a jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>q =1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
B2: ~p=[P]=>q=[P]=1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
;
B2':~p~~>~q =0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne
B2':~p=[P]~~>~q=[K]=[P]*[K]=[]=0 - zbiory ~p i q są rozłączne.
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samym p i q, inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać, że przyjęte zbiory p i q oraz dziedzina D spełniają definicję równoważności p<=>q
cnd
12.11 Przykład spójnika "albo"($) p$q w zbiorach minimalnych
Definicja spójnika „albo”($) p$q w zbiorach:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to dwa zbiory niepuste i rozłączne p i q uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny D.
Stąd mamy definicję dziedziny dla spójnika „albo”($)
D=p+q =1 - zbiór q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p
p*q=[]=0 - zbiory p i q są rozłączne
Przykład 3:
Dla naszych dalszych rozważań przyjmijmy za dziedzinę trzy elementy:
D = [K+P+T]
D = [Kubuś+Prosiaczk+Tygrysek]
Dziedzinę taką przyjmujemy tylko i wyłącznie dlatego, by przykład nie był zbyt trywialny.
Na gruncie przyjętej dziedziny przyjmujemy zbiory:
p=[K] (Kubuś)
q=[P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
Zgodnie z definicję spójnika "alb"($) p$q przyjmujemy wspólną dla p i q dziedzinę:
D = [K+P+T]
D = [Kubuś+Prosiaczk+Tygrysek]
Obliczamy przeczenia zbiorów p i q definiowane jako ich uzupełnienia do dziedziny D
~p=[D-p] = [(K+P+T)-K] = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q=[D-q] = [(K+P+T)-(P+T)] = [K] (Kubuś)
Podsumowanie:
Zauważmy, że z punktu widzenia spójnika "albo"($) p$q wszystko jest tu w porządku bowiem mamy dwa zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D
p=[K] (Kubuś)
q=[P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
Wspólna dziedzina:
D = [K+P+T]
D = [Kubuś+Prosiaczk+Tygrysek]
~p = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q = [K] (Kubuś)
Sprawdzenie poprawności zdefiniowanych zbiorów p i q oraz dziedziny szybką analizą spójnika "albo"($) p$q
Kod: |
Przykład 3
Szybka analiza spójnika "albo"($) p$q:
p=[K] (Kubuś)
q=[P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
Wspólna dziedzina:
D = [K+P+T]
D = [Kubuś+Prosiaczk+Tygrysek]
~p = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q = [K] (Kubuś)
;
A1: p=>~q =1 -zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
A1: p=[K]=>~q=[K]=1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
;
A1': p~~>q=p*q=0 - na mocy prawa kontrapozycji dla A1
A1': p=[K]~~>[P+T]=[K]*[P+T]=[]=0 - zbiory p i q są rozłączne
.. a jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>q=1 -zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B2: ~p=[P+T]=>q=[P+T]=1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
;
B2': ~p~~>~q=~p*~q=0 - na mocy prawa kontrapozycji dla B2
B2': ~p=[P+T]~~>~q=[K] =[P+T]*[K]=[]=0 - zbiory ~p i ~q są rozłączne
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samym p i q, inaczej błąd podstawienia
|
12.11.1 Operator "albo"($) p|$q w zbiorach minimalnych
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Tabela prawdy spójnika "albo"($) p$q z uwzględnieniem prawa Irbisa dla przykładu 3.
Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Przykład 3
p=[K] (Kubuś)
q=[P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
Wspólna dziedzina:
D = [K+P+T] (Kubuś + Prosiaczek + Tygrysek)
~p = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q = [K] (Kubuś)
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2: ~p~>q=1 [=] 3: ~q~>p=1 = 4: q=>~p=1
A": 1: [K]=>[K] = 2: [P+T]~>[P+T] [=] 3: [K]~>[K] = 4: [P+T]~>[P+T]
## ## ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2: ~p=>q=1 [=] 3: ~q=>p=1 = 4: q~>~p=1
B": 1: [K]~>[K] = 2: [P+T]=>[P+T] [=] 3: [K]=>[K] = 4: [P+T]~>[P+T]
-----------------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q=1 = 2: ~p$~q=1 [=] 3: ~q$~p=1 = 4: q$p=1
AB": 1: [K]$[P+T] = 2: [P+T]$[K] [=] 3: [K]$[P+T] = 4: [P+T]$[K]
Spójnik równoważności <=>:
AB: 1: p<=>~q=1 = 2: ~p<=>q=1 [=] 3:~q<=>p=1 = 4: q<=>~p=1
AB": 1: [K]<=>[K] = 2: [P+T}<=>[P+T] [=] 3: [K]<=>[K] = 4: [P+T]<=>[P+T]
Definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń (prawo Irbisa):
AB: 1: p=~q # 2: ~p=q | 3: ~q=p # 4: q=~p
AB": 1: [K]=[K] # 2: [P+T]=[P+T] | 3: [K]=[K] # 4: [P+T]=[P+T]
Zaprzeczenie zbiorów ~p i ~q dotyczy dziedziny:
D=[K+P+T]
Przykład:
~p=[D-p]=[D-K]=[K+P+T-K]=[P+T]
~q=[D-q]=[D-(P+T)]=[K+P+T-(P+T)]=[K] cnd
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy dla spójnika "albo"($) p$q :
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
W tabeli TA dla naszego przykładu doskonale widać spełnione relacje podzbioru => i nadzbioru ~> we wszystkich zdaniach serii Ax i Bx.
Definicja spójnika "albo"($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik "albo" p$q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p$q = p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Na mocy prawa Sowy prawdziwy spójnik "albo"($) p$q determinuje prawdziwość operatora "albo"(|$) p|$q (albo odwrotnie)
Definicja operatora "albo"(|$) p|$q w logice dodatniej (bo q):
Operator "albo"($) p$q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p$q = p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q =~p<=>q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Nasz przykład 3
Kod: |
Przykład 3
p=[K] (Kubuś)
q=[P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
Wspólna dziedzina:
D = [K+P+T] (Kubuś + Prosiaczek + Tygrysek)
~p = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q = [K] (Kubuś)
|
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd:
A1B1: p$q = A1B1: p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
Czytamy:
Spójnik "albo"($) A1B1: p$q w logice dodatniej (bo q) jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest równoważność A1B1: p<=>~q
Innymi słowy:
Spójnik "albo"($) A1B1: p$q w logice dodatniej (bo q) jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest potrzebne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Stąd mamy:
Kolumna A1B1: p$q definiuje tożsamość zbiorów p=~q:
Dwa zbiory p i ~q są tożsame p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q.
A1B1: p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q = A1B1: p$q
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie ~q
p=>~q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Przykład 3:
p={K] => ~q=[K] =1 - bo każdy zbiór jest (=1) podzbiorem => siebie samego.
Czytamy:
Jeśli z dziedziny D=[K+P+T] wylosujemy element należący do zbioru p=[K] to ten element na 100% => gdzie należał do zbioru ~q=[K]
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p=[K] jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru ~q=[K] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru ~q=[K]
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego (K=>K)
cnd
Jak widać prawo Słonia samo nam tu wyskoczyło.
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =0
Fałszywość zdania A1' wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód "nie wprost"
Dowód wprost dla naszego przykładu mamy niżej.
Przykład 3:
p=[K]~~>q=[P+T] = {K]*[P+T} =[] =0 - bo zbiory p=[K] i q=[P+T] są rozłączne
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p=[K] i q=[P+T]
cnd
… co się stanie jeśli z dziedziny D=[K+P+T] wylosujemy element należący do zbioru ~p=[P+T]?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2.
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Stąd:
A2B2: ~p$~q = A2B2: ~p<=>q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Czytamy:
Spójnik "albo"($) A2B2: ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) jest prawdziwy (=1) wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwa jest równoważność A2B2: ~p<=>q
Innymi słowy:
Spójnik "albo"($) A2B2: ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) jest prawdziwy (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest potrzebne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
Ta definicja równoważności A2B2: ~p<=>q (tożsama z A2B2: ~p$~q) jest powszechnie znana wszystkim ludziom.
Stąd mamy:
Kolumna A2B2: ~p$~q definiuje tożsamość zbiorów ~p=q:
Dwa zbiory ~p i q są tożsame ~p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q.
A2B2: ~p$~q = A2B2: ~p<=>q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2: ~p$~q
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie q
~p=>q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Przykład 3:
~p=[P+T] => q={P+T] =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
Czytamy:
Jeśli z dziedziny D=[K+P+T] wylosujemy element należący do zbioru ~p=[P+T] to ten element na 100% => gdzie należał do zbioru q=[P+T]
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p=[P+T] jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru q=[P+T] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p=[P+T] jest podzbiorem => zbioru q=[P+T]
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
cnd
Jak widać prawo Słonia samo nam tu wyskoczyło.
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =0
Fałszywość zdania B2' wynika z definicji kontrprzykładu - to jest dowód "nie wprost"
Dowód wprost dla naszego przykładu mamy niżej.
Przykład 3:
~p=[P+T] ~~>~q=[K] = [P+T]*[K] =[] =0 - bo zbiory ~p=[P+T] i ~q=[K] są rozłączne.
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~p i q
cnd
Podsumowując:
Spójnik "albo"($) p$q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań tworzących operator równoważności p|<=>q (A1, A1’,B2, B2’) jest bez znaczenia co oznacza, iż zdania w powyższej analizie możemy dowolnie przestawiać
12.11.2 Diagram spójnika "albo"($) w zbiorach minimalnych
Definicja spójnika "albo"($) p$q w zbiorach:
Spójnik "albo"($) to dwa zbiory niepuste i rozłączne p i q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
Rozważmy diagram spójnika "albo"($) w powiązaniu z naszym przykładem 3.
Kod: |
Przykład 3 dla spójnika "albo"($) p$q
p=[K] (Kubuś)
q=[P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
Wspólna dziedzina:
D = [K+P+T]
D = [Kubuś+Prosiaczk+Tygrysek]
~p = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q = [K] (Kubuś)
|
Nasz punkt odniesienia zgodny z definicję spójnika "albo"($) p$q to:
p=[K] (Kubuś)
q=[P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
Wspólna dziedzina:
D = [K+P+T]
Podstawmy nasz przykład 3 do diagramu spójnika "albo"($) p$q.
Kod: |
DA
Diagram „albo”($) A1B1: p$q w zbiorach/zdarzeniach:
---------------------------------------------------------------------------
| p=[K] | q=[P+T] |
|------------------------------------|------------------------------------|
| ~q=[K] | ~p=[P+T] |
|------------------------------------|------------------------------------|
| p=~q # ~p=q |
| p=[K] [=] ~q=[K] # ~p=[P+T] [=] q=[P+T] |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Prawa Kubusia: |
| A1: p=>~q=1 (p*~q=1) [=] A2:~p~>q=1 (~p*q=1) |
| A1: p=[K] => ~q=[K] [=] A2:~p=[P+T] ~> q=[P+T] |
| ## | ## |
| B1: p~>~q=1 (p*~q=1) [=] B2:~p=>q=1 (~p*q=1) |
| B1: p=[K] ~> ~q=[K] [=] B2:~p=[P+T] => q=[P+T] |
| Stąd: |
| A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) [=] A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) |
| A1B1: p$q = p<=>~q [=] A2B2: ~p$~q = ~p<=>q |
| A1B1": p=[K] "albo"($) q=[P+T] [=] A2B2": ~p=[P+T] "albo"($) ~q=[K] |
| A1B1": p=[K] <=> ~q=[K] [=] A2B2": ~p=[P+T] <=> q=[P+T] |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Tożsamości zbiorów na mocy prawa Irbisa |
| p=~q # ~p=q |
| p=[K] <=> ~q=[K] # ~p=[P+T] <=> q=[P+T] |
|-------------------------------------------------------------------------|
| A1’: p~~>q = p* q=[]=0 - zbiór pusty |
| A1': p=[K]~~>q=[P+T] = [K]*[P+T]=[]=0 - zbiory rozłączne |
| ; |
| B2’: ~p~~>~q=~p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2': ~p=[P+T]~~>~q=[K] = [P+T]*[K]=[]=0 - zbiory rozłączne |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina: |
| D=A1: p*~q+ B2:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| D=A1: [K]*[K]+ B2: [P+T]*[P+T] = [K+P+T] - suma zbiorów niepustych |
| Gdzie:
| # - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony |
| ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>|
| [=], "=", <=> - znaczki tożsamości logicznej |
| p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia |
---------------------------------------------------------------------------
Wnioski:
1.
Definicja spójnika „albo”($) p$q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=q (i odwrotnie)
2.
Spójnik „albo”($) p$q to dwa i tylko dwa zbiory/zdarzenia niepuste i rozłączne p=~q oraz ~p=q uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny
3.
Na mocy diagramu DA zapisujemy:
Szybka analiza spójnika "albo"($) p$q w zbiorach/zdarzeniach
A1B1: p$q = p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) - co będzie jeśli zajdzie p?
A1: p=>~q =1 -zbiór/zdarzenie p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~q
A1': p~~>q=p*q=0 - na mocy prawa kontrapozycji dla A1
.. a jeśli zajdzie ~p?
A2B2: ~p$~q= ~p<=>q= (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co będzie jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>q=1 -zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia q
B2': ~p~~>~q=~p*~q=0 - na mocy prawa kontrapozycji dla B2
|
Doskonale widać, że wszystko tu gra jak w szwajcarskim zegarku.
12.11.3 Związek teorii zbiorów minimalnych z teorią zbiorów nieskończonych
Porównajmy omówioną wyżej analizę spójnika "albo"($) p$q w zbiorach minimalnych z równoważnością w zbiorach wielkich M$K omówioną w punkcie 9.6.
Doskonale widać przełożenie 1:1 czyli:
W obu przypadkach spełniona jest tabela prawdy spójnika "albo"($)
cnd
Analogia jest tu absolutna:
1.
Dziedziną w naszym przykładowym spójniku "albo"($) p$q w zbiorach minimalnych są trzy elementy:
D= [K+P+T] (Kubuś+Prosiaczek+Tygrysek]
wzajemnie rozłączne i uzupełniające się do dziedziny D:
2.
Przykład spójnika "albo"($) M$K w zbiorach wielkich:
A1B1:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) "albo"($) kobietą (K)
A1B1: M$K = A1B1: M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)
Dziedzina minimalna dla powyższego zdania to:
D = [M+K]
D = [Mężczyzna + Kobieta}
To jest zbiór dwuelementowy na mocy prawa algebry Boole'a:
M=M+M..+M
Nie ma znaczenia iż w rzeczywistości różnych mężczyzn jest bardzo wielu np.
Jacek+Michał .. + Kubuś
Wszyscy mężczyźni są po prostu mężczyznami, zatem jest to zbiór jednoelementowy.
Elementów w zbiorze C (człowiek) jest bardzo dużo ale istota działania spójnika "albo"($) M$K jest identyczna jak w naszym spójniku minimalnym operującym na zbiorze minimalnym D=[K+P+T]
cnd
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 20:49, 24 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Przedszkole algebry Kubusia
12.12 Spójnik "albo"($) p$q vs równoważność p<=>q w przedszkolu
Spis treści
12.12 Spójnik "albo"($) p$q vs równoważność p<=>q w przedszkolu 1
12.12.1 Fundamenty algebry Kubusia 5
12.12.2 Przykłady spójnika "albo"($) p$q 8
12.12.3 Przykłady spójnika równoważności p<=>q 9
12.12 Spójnik "albo"($) p$q vs równoważność p<=>q w przedszkolu
Wojna spójnika "albo"($) p$q ze spójnikiem równoważności p<=>q polega na tym że:
1.
Każdy spójnik "albo"($) p$q można zapisać przy pomocy równoważności p<=>~q
##
2.
Każdą równoważność p<=>q można zapisać przy pomocy spójnika "albo"($) p$~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
To różne na mocy definicji ## łatwo udowodnić w laboratorium bramek logicznych.
Ad. 1
Każdy spójnik "albo"($) p$q można zapisać przy pomocy równoważności p<=>~q
Dowód:
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p (p) do zanegowanego q (~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Powyższa definicja równoważności p<=>~q znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności p<=>~q.
Stąd mamy:
Pełna definicja spójnika "albo"($) p$q z uwzględnieniem równoważności p<=>~q:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= A1B1: p<=>~q
Środek czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
To jest powszechnie znana i akceptowana definicja równoważności p<=>~q
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Sprawdźmy ostatnie równanie w bramkach logicznych w laboratorium techniki cyfrowej.
Dowód:
Definicja bramki warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
##
Definicja bramki warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Kod: |
Definicja bramki warunku wystarczającego =>
p q Y=(p=>q)= ~p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 1 =1
D: 0 0 =1
Najszybsza definicja przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych:
Y=(p=>q)=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
Y=1
|
##
Kod: |
Definicja bramki warunku koniecznego ~>
p q Y=(p~>q)= p+~q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 1 =0
D: 0 0 =1
Najszybsza definicja przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych:
Y =(p~>q)=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
Y=1
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musza być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Stąd mamy zero-jedynkowy dowód poprawności naszego równania logicznego:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= A1B1: p<=>~q
Kod: |
Tabela T1
A1: Y= B1: Y= A1B1: p<=>~q A1B1:
p q ~p ~q (p=>~q) (p~>~q) (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) [=] Y=p$q
A: 1 1 0 0 0 1 0 0
B: 1 0 0 1 1 1 1 1
C: 0 1 1 0 1 1 1 1
D: 0 0 1 1 1 0 0 0
1 2 3 4 5 6 7 8
|
W kolumnach 7 i 8 doskonale widać poprawność kompletnej funkcji logicznej:
A1B1: Y = p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= A1B1: p<=>~q
cnd
##
Ad. 2
Każdą równoważność p<=>q można zapisać przy pomocy spójnika "albo"($) p$~q
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Udowodnimy teraz w rachunku zero-jedynkowym prawdziwość poniższego równania logicznego:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p$~q
Innymi słowy:
Pełna definicja równoważności A1B1: p<=>q z uwzględnieniem spójnika "albo"($) A1B1: p$~q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p$~q
Zero-jedynkowa definicja spójnika "albo"($) wyprowadzona w poprzednim punkcie.
Kod: |
Definicja bramki "albo"($) p$q
p q Y=(p$q)=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)
A: 1 1 =0
B: 1 0 =1
C: 0 1 =1
D: 0 0 =0
Najszybsza definicja przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych:
Y=(p$q)=0 <=> p=1 i q=1 lub p=0 i q=0
Inaczej:
Y=1
|
##
Kod: |
Definicja bramki warunku wystarczającego =>
p q Y=(p=>q)=~p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 1 =1
D: 0 0 =1
Najszybsza definicja przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych:
Y=(p=>q)=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
Y=1
|
##
Kod: |
Definicja bramki warunku koniecznego ~>
p q Y=(p~>q)=p+~q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 1 =0
D: 0 0 =1
Najszybsza definicja przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych:
Y =(p~>q)=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
Y=1
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy zero-jedynkowy dowód poprawności naszego równania logicznego:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p$~q
Kod: |
Tabela T2
A1: Y= B1: Y= A1B1: p<=>q A1B1:
p q ~p ~q (p=>q) (p~>q) (A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] Y=p$~q
A: 1 1 0 0 1 1 1 1
B: 1 0 0 1 0 1 0 0
C: 0 1 1 0 1 0 0 0
D: 0 0 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8
|
W kolumnach 7 i 8 doskonale widać poprawność kompletnej funkcji logicznej:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p$~q
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Podsumowanie:
Kod: |
Tabela T1
Pełna definicja spójnika "albo"($) p$q
z uwzględnieniem równoważności p<=>~q:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= A1B1: p<=>~q
##
Tabela T2
Pełna definicja równoważności A1B1: p<=>q
z uwzględnieniem spójnika "albo"($) A1B1: p$~q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p$~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q
|
Porównajmy zero-jedynkowe dowody w tabelach T1 i T2 gdzie w nagłówkach kolumn wynikowych widać że:
Kod: |
Tabela T1
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= A1B1: p<=>~q
##
Tabela T2
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p$~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q
|
12.12.1 Fundamenty algebry Kubusia
Znajomość fundamentów algebry Kubusia jest konieczna dla jej zrozumienia.
Fundamentem algebry Kubusia w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" są zaledwie trzy znaczki: ~~>, => i ~>:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> lub zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Definicja warunku koniecznego ~>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej [=] dla zapisu wieloczłonowego (patrz prawo Słonia niżej)
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste =>
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie jego elementy należą do zbioru q
Definicja nadzbioru ~>
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
W logice matematycznej na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość pojęć:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór ~> = relacja podzbioru ~>
W logice matematycznej rozstrzygamy o zachodzącej lub nie zachodzącej relacji podzbioru => czy tez nadzbioru ~>
12.12.2 Przykłady spójnika "albo"($) p$q
1.
Przykład spójnika "albo"($) p$q w zbiorach minimalnych znajdziemy w punkcie 12.11.
Definicja spójnika "albo"($) w zbiorach:
Spójnik "albo"($) p$q to dwa zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
Przykład 3 (pkt. 12.11)
p=[K] (Kubuś)
q=[P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
Dziedzina:
D = [K+P+T)
Obliczamy przeczenia zbiorów definiowane jako ich uzupełnienia do dziedziny D
~p=[D-p] = [D-K]=[K+P+T -K] = [P+T]
2.
Przykład spójnika "albo"($) p$q w języku potocznym, zgodnym z logiką każdego 5-cio latka znajdziemy w punkcie 9.7.
Definicja spójnika "albo"($) w zbiorach:
Spójnik "albo"($) p$q to dwa zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną "albo"($) kobietą
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M<=>~K
Zdanie tożsame z wykorzystanie spójnika równoważności <=> to:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
M<=>~K
Środek czytamy:
Bycie mężczyzną (M) jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, by nie być kobietą
M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)
Ta wersję równoważności znają wszyscy lodzie (także matematycy).
Dowód:
Dowód:
Klikamy na googlach:
"konieczne i wystarczające"
Wyników: 14 400
"potrzeba i wystarcza"
Wyników: 153 000
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: 10 200
Prawdziwe są też dwa zdania składowe wchodzące w skład definicji spójnika "albo"($) p$q
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)
A1:
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
M=>~K=1
Bycie mężczyzną (M) jest warunkiem wystarczającym => do tego by nie być kobietą (~K)
cnd
Prawdziwość zdania B1 najłatwiej udowodnić korzystając z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B1: M~>~K = B3: ~M=>K
Zdanie B3 przyjmuje treść:
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) to na 100% => jest kobietą (K)
~M=>K =1
Nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem wystarczającym => do tego, by być kobietą (K)
cnd
Zauważmy, że wszystkie zdania opisjące spójnik "albo"($) M$K w naszym przykładzie są zrozumiałe dla każdego 5-cio latka.
12.12.3 Przykłady spójnika równoważności p<=>q
1.
Przykład spójnika równoważności p<=>q w zbiorach minimalnych znajdziemy w punkcie 12.8.
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q (p=q). Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie).
Wniosek:
Dziedzina w równoważności p<=>q musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia {p, q, ~p, ~q} będą rozpoznawalne, czyli będą zbiorami niepustymi. Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka lub jeszcze nie zdefiniowanych (punkt 5.2)
Przykład 3 (pkt. 12.8):
Dziedzina:
D = [K+P+T] (Kubuś + Prosiaczek + Tygrysek)
Spełnienie definicji równoważności p<=>q dla powyższej uzyskamy przyjmując p i q jak niżej:
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Przyjmujemy wspólną dla p i q dziedzinę:
D = [K+P+T]
Obliczamy przeczenia zbiorów p i q definiowane jako ich uzupełnienia do dziedziny D
~p=[D-p] = [(K+P+T)-K] = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q=[D-q] = [(K+P+T)-K] = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
2.
Przykład spójnika równoważności p<=>q operującej na zbiorach nieskończonych znajdziemy w punkcie 9.3.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
p=TP
q=SK
Czytamy:
Równoważność TP<=>SK jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK)
Ta wersję równoważności znają wszyscy lodzie (także matematycy).
Dowód:
Dowód:
Klikamy na googlach:
"konieczne i wystarczające"
Wyników: 14 400
"potrzeba i wystarcza"
Wyników: 153 000
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: 10 200
Dla zdania B1 skorzystamy z prawa Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Stąd na mocy prawa Słonia mamy tożsamą definicję równoważności doskonale znaną każdemu matematykowi.
Definicja równoważności matematyków:
Równoważność p<=>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie proste A1: p=>q oraz twierdzenie odwrotne B3: q=>p
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Nasz przykład:
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK i twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Na mocy prawa Słonia powyższą równoważność możemy odczytać jako:
Równoważność p<=>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdyż zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Zauważmy, że ostatnie zdanie to znana każdemu matematykowi definicja tożsamości zbiorów p=q.
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Stąd mamy wyprowadzone prawo Irbisa.
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Definicja spójnika „albo”($) p$q w zbiorach (pkt. 12.11:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to dwa zbiory niepuste i rozłączne p i q uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny D.
Stąd mamy definicję dziedziny dla spójnika „albo”($)
D=p+q =1 - zbiór q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p
p*q=[]=0 - zbiory p i q są rozłączne
Definicja spójnika "albo"($) p$q:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Zauważmy, że dziedziną w udowadnianiu równoważności Pitagorasa jest:
D = ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Jest oczywistym, że w zbiorze tym zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP) jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru trójkątów prostokątnych.
TP+~TP =ZWT =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do dziedziny ZWT dla zbioru TP
TP*~TP=[]=0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
Zauważmy, że dla naszych zbiorów TP i ~TP definicja spójnika "albo"($) jest spełniona.
Możemy zatem powiedzieć że:
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) albo"($) nieprostokątny (~TP)
TP$~TP =1 - zdanie bezdyskusyjnie prawdziwe
Dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Jak udowodnić matematycznie prawdziwość dokładnie tego spójnika "albo"($)?
Mamy definicję ogólną spójnika "albo"($) p$q:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Mamy do udowodnienia prawdziwość wyrażenia:
TP$~TP =1
Stąd do definicji ogólnej p$q musimy wszędzie podstawić:
p=TP
q=~TP
Stąd otrzymujemy:
TP$~TP = (A1: TP=>TP)*(B1: TP~>TP) =1*1=1
bo na mocy prawa Słonia mamy:
A1: TP=>TP=1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B1: TP~>SK =1 - każdy zbiór jest nadzbiorem ~. siebie samego
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 8:54, 25 Lip 2022, w całości zmieniany 2 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 20:58, 24 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Przedszkole algebry Kubusia
12.13 Spójnik chaosu p|~~>q w przedszkolu
Spis treści
12.13 Spójnik chaosu p|~~>q w przedszkolu 1
12.14 Spójnik chaosu p|~~>q w zbiorach minimalnych 5
12.14.1 Operator chaosu p||~~>q w zbiorach minimalnych 8
12.13 Spójnik chaosu p|~~>q w przedszkolu
Przypomnijmy sobie definicje podstawowe:
Fundamentem algebry Kubusia w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" są zaledwie trzy znaczki: ~~>, => i ~>:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> lub zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Definicja warunku koniecznego ~>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej [=] dla zapisu wieloczłonowego (patrz prawo Słonia niżej)
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste =>
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne =>
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie jego elementy należą do zbioru q
Definicja nadzbioru ~>
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
W logice matematycznej na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość pojęć:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór ~> = relacja podzbioru ~>
W logice matematycznej rozstrzygamy o zachodzącej lub nie zachodzącej relacji podzbioru => czy tez nadzbioru ~>
CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Dziedzina D musi być szersza od sumy logiczne zbiorów/zdarzeń p+q
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajęcie p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
Na mocy prawa Słonia mamy.
Definicja chaosu p|~~>q w zbiorach minimalnych:
Chaos p|~~>q to niespełniona relacja ani nadzbioru ~> (B1), ani też podzbioru => (A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0) =1
Wniosek:
Definicja chaosu p|~~>q będzie spełniona wtedy i tylko wtedy gdy każdy z możliwych zbiorów {p, q, ~p, ~q} ma element wspólny ~~> każdy z każdym, bowiem wtedy i tylko wtedy mamy gwarancję niespełnienia w układzie ani relacji podzbioru =>, ani też relacji nadzbioru ~> w dowolnym kierunku, między dowolnymi dwoma punktami.
Na tej podstawie zapisujemy szybką analizę chaosu p|~~>q rozstrzygającą, czy badany układ spełnia definicję spójnika chaosu p|~~>q?
Kod: |
Szybka analiza chaosu p|~~>q:
A: p~~> q= p* q =1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów p i q
B: p~~>~q= p*~q =1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~p i q
|
Same wynikowe jedynki w szybkiej analizie chaosu p|~~>q są dowodem że badany układ zbiorów spełnia definicję chaosu p|~~>q tzn. że nie ma tu ani relacji podzbioru =>, ani też relacji nadzbioru ~> między dowolnymi dwoma punktami i w dowolnym kierunku.
Minimalna ilość elementów na których można zbudować definicję chaosu p|~~>q to cztery elementy.
Przyjmijmy następujące zbiory:
p=[K+P] (Kubuś + Prosiaczek)
q=[K+T] (Kubuś + Tygrysek)
Przyjmijmy wspólną dziedzinę dla p i q będącą suma logiczną zbiorów p+q
D=[p+q]=[K+P+T+S]
~p=[D-p]=[K+P+T+S-(K+P)]=[T+S]
~q=[D-q]=[K+P+T+S-(K+T)]=[P+S]
Sprawdźmy czy spełniona jest tu definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> każdy z każdym
Kod: |
Szybka analiza chaosu p|~~>q:
A: p=[K+P]~~> q=[K+T]=[K+P]*[K+T]=[K]=1 - istnieje (=1) wspólny element
B: p=[K+T]~~>~q=[P+S]=[K+P]*[P+S]=[P]=1 - istnieje (=1) wspólny element
C:~p=[T+S]~~>~q=[P+S]=[T+S]*[P+S]=[S]=1 - istnieje (=1) wspólny element
D:~p=[T+S]~~> q=[K+T]=[T+S]*[K+T]=[T]=1 - istnieje (=1) wspólny element
|
Jak widzimy dla wejściowego układu zbiorów p, q i przyjętej dziedziny D definicja chaosu p|~~>q jest spełniona tzn. w układzie nie ma ani jednego przypadku relacji podzbioru =>.
Brak spełnionej relacji podzbioru => gwarantuje brak spełnionej relacji nadzbioru ~> . Wynika to z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
Interpretacja prawa Tygryska w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
Warunek wystarczający A1: p=>q jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy w przeciwną stronę spełniony jest warunek konieczny A3: q~>p, albo odwrotnie.
Z powyższego wynika, że warunek wystarczający => i warunek konieczny ~> to papużki nierozłączki, jeden bez drugiego nie może istnieć.
W logice matematycznej na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = podzbiór => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = nadzbiór ~> = relacja podzbioru ~>
Stąd prawo Tygryska obowiązuje także dla podzbiorów => i nadzbiorów ~>:
Relacja podzbioru A1: p=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy w przeciwną stronę spełniona jest relacja nadzbioru A3: q~>p, albo odwrotnie.
Przykład:
p=[K] (Kubuś)
q={K+P] (Kubuś + Prosiaczek)
A1: p=[K] => q=[K+P] =1 - bo relacja podzbioru jest (=1) spełniona
Na mocy prawa Tygryska w odwrotną stronę musi zachodzić relacja nadzbioru ~>.
Sprawdzenie:
B3: q=[K+P] ~> p=[K] =1 - bo relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
cnd
12.14 Spójnik chaosu p|~~>q w zbiorach minimalnych
CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Dziedzina D musi być szersza od sumy logiczne zbiorów/zdarzeń p+q
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajęcie p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
Na mocy prawa Słonia mamy.
Definicja chaosu p|~~>q w zbiorach minimalnych:
Chaos p|~~>q to niespełniona relacja ani nadzbioru ~> (B1), ani też podzbioru => (A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0) =1
Przykład:
Przyjmijmy następujące zbiory:
p=[K+P] (Kubuś + Prosiaczek)
q=[K+T] (Kubuś + Tygrysek)
Przyjmijmy wspólną dziedzinę dla p i q będącą suma logiczną zbiorów p+q
D=[p+q]=[K+P+T+S]
~p=[D-p]=[K+P+T+S-(K+P)]=[T+S]
~q=[D-q]=[K+P+T+S-(K+T)]=[P+S]
Najprostszym dowodem iż zdefiniowane wyżej zbiory p, q oraz dziedzina D tworzą układ chaosu w zbiorach p|~~>q jest skorzystanie z podstawowej definicji chaosu.
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => A1.
A1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru q
A1: p=[K+P] => q=[K+T] =0
To samo w zapisach formalnych:
A1: p=>q =0 - bo zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Przynależność elementu do zbioru p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru q bo zbiór p=[K+P] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q=[K+T}
cnd
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> B1.
B1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to może ~> należeć do zbioru q
B1: p=[K+P] ~> q=[K+T] =0
To samo w zapisach formalnych:
B1: p=>q =0 - bo zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Przynależność elementu do zbioru p nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> do tego aby ten element należał do zbioru q bo zbiór p=[K+P] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q=[K+T}
Udowadniając fałszywość A1 i B1 udowodniliśmy, iż mamy tu do czynienia ze spójnikiem chaosu p|~~>q.
Podstawmy udowodnione wyżej:
A1: p=>q =0 - bo zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p=>q =0 - bo zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Podstawiając do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> mamy:
Kod: |
CH
Tabela prawdy chaosu p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Nasz punkt odniesienia w zapisie aktualnym (przykład):
p=[K+P]
q=[K+T]
D=[p+q]=[K+P+T+S]
~p=[T+S]
~q=[P+S]
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1 [=] 4:~q~~>~p=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
B”: 2:~p~~>~q=1 [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Komentarz:
Kolumna A1B1:
Fałszywy warunek wystarczający:
A1: p=>q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
A1’: p~~>~q=1
Dodatkowo musi być spełnione:
A1’’: p~~>q =1
Dowód nie wprost.
Załóżmy, że zachodzi:
A1’’: p~~>q=p*q=0 - zbiory p i q są rozłączne
Wtedy, na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy jest warunek wystarczający:
A1’’’: p=>~q=1
co to sprzeczne z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym warunku wystarczającym mowy być nie może.
cnd
Identycznie mamy w kolumnie A2B2:
Fałszywy warunek wystarczający:
B2: ~p=>~q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 - istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
Dodatkowo musi być spełnione:
B2’’: ~p~~>~q=1
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że zachodzi:
B2’’: ~p~~>~q=~p*~q=0 - zbiory ~p i ~q są rozłączne
Wtedy, na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy jest warunek wystarczający:
B2’’’: ~p=>q=1
co to sprzeczne z definicją chaosu ~p|~~>~q gdzie o żadnym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
12.14.1 Operator chaosu p||~~>q w zbiorach minimalnych
Kod: |
CH
Tabela prawdy chaosu p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Nasz przykład (punkt odniesienia):
p=[K+P]
q=[K+T]
D=[p+q]=[K+P+T+S]
~p=[T+S]
~q=[P+S]
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1 [=] 4:~q~~>~p=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
B”: 2:~p~~>~q=1 [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator chaosu p||~~>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Nasz przykład (punkt odniesienia):
p=[K+P]
q=[K+T]
D=[p+q]=[K+P+T+S]
~p=[T+S]
~q=[P+S]
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1”: p~~>q = p*q =1 - istnieje wspólny element zbiorów p i q (zdarzenie możliwe ~~>)
A1’: p~~>~q = p*~q =1 - istnieje wspólny element zbiorów p i ~q (zdarzenie możliwe ~~>)
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A1” i A1’
Kolumna A1B1:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla spełnionego p:
A1’’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
A1”: p~~>q = p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i q:
A1": p=[K+P]~~>q=[K+T]=[K+P]*[K+T]=[K]=1 - istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
cnd
LUB
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
A1: p~~>~q = p*~q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q:
A1': p=[K+P] ~~> ~q=[P+S] = [K+P]*[P+S]=[P]=1 - istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
B2”: ~p~~>~q = ~p*~q =1 - istnieje wspólny element zbiorów ~p i ~q (zdarzenie możliwe ~~>)
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 - istnieje wspólny element zbiorów ~p i q (zdarzenie możliwe ~~>)
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B2” i B2’
A2B2:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla ~p:
B2’’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
B2”: ~p~~>~q = ~p*~q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i ~q:
B2": ~p=[T+S] ~~> ~q=[P+S] = [T+S]*[P+S] =[S]=1 - istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i ~q
LUB
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
B2': ~p=[T+S] ~~> q=[K+T] = [T+S]*[K+T]=[T]=1 - bo istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
Podsumowanie:
Kod: |
T1
Dziedziną Y są tu wszystkie możliwe zbiory niepuste i rozłączne:
Y=Ya+Yb+Yc+Yd -dziedzina Y to suma logiczna funkcji cząstkowych Ya+Yb+Yc+Yd
Operator chaosu p||~~>q odpowiada na dwa pytania A1B1 oraz A2B2:
Kolumna A1B1:
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1”: Ya= p~~>q = p* q =1
A1": Ya= p=[K+P]~~>q=[K+T]=[K+P]*[K+T]=[K]=1
LUB
A1’: Yb= p~~>~q= p*~q =1
A1': Yb= p=[K+P] ~~> ~q=[P+S] = [K+P]*[P+S]=[P]=1
LUB
Kolumna A2B2:
A2B2:~p|~~>~q=~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2”: Yc=~p~~>~q=~p*~q =1
B2": Yc= ~p=[T+S] ~~> ~q=[P+S]=[T+S]*[P+S]=[S]=1
LUB
B2’: Yd= ~p~~> q=~p* q =1
B2': ~p=[T+S] ~~> q=[K+T] = [T+S]*[K+T]=[T]=1
Stąd mamy dowód poprawności dziedziny D:
Y = Ya+Yb+Yc+Yd =[K]+[P]+[S]+[T]=[K+P+S+T] =1
cnd
|
Doskonale widać, że w operatorze chaosu p||~~>q zarówno po stronie p jak i po stronie ~p mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 16:09, 31 Lip 2022, w całości zmieniany 1 raz
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 21:29, 24 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia
13.0 Zastosowanie algebry Kubusia w świecie techniki
Spis treści
13.0 Zastosowanie algebry Kubusia w świecie techniki 1
13.1 Operator równoważności p|<=>q w świecie techniki 1
13.2 Operator implikacji prostej p||=>q w świecie techniki 6
13.3 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w świecie techniki 11
13.0 Zastosowanie algebry Kubusia w świecie techniki
Jedynym operatorem logicznym przydatnym w świecie techniki jest operator równoważności p|<=>q.
W świecie techniki operatory implikacji prostej p||=>q i implikacji odwrotnej p||~>q nie mają prawa bytu bowiem definiują one „wolną wolę” istot żywych.
Definicja „wolnej woli” istot żywych:
„Wolna wola” istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy (w tym przez matematykę).
Najłatwiej pokazać o to tu chodzi prezentując komputerowe algorytmy działania operatorów równoważności p|<=>q, implikacji prostej p||=>q i implikacji odwrotnej p||~>q.
Prawo programisty:
Operator równoważności p|<=>q gdzie nie ma miejsca na „rzucania monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jest jedynym operatorem logicznym przydatnym w świecie techniki (np. w programowaniu komputerów).
Operatory implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q, których cechą charakterystyczną jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” są idiotyzmem w świecie techniki i nigdy nie znajdą tu zastosowania (np. w świecie programowania komputerów)
To tłumaczy dlaczego ziemscy matematycy, mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) do tej pory nie znają takich kluczowych pojęć z logiki matematycznej, jak implikacja prosta p|=>q czy też implikacja odwrotna p|~>q.
13.1 Operator równoważności p|<=>q w świecie techniki
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q.
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
A’: 1: p~~>~q=0 4:~q~~>p=0
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
B’: 2:~p~~>q=0 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Na mocy prawa Sowy równoważność prawdziwa p<=>q determinuje prawdziwość operatora równoważności p|<=>q (albo odwrotnie)
W powyższej tabeli prawdy uwzględniono definicję kontrprzykładu, działającą wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Jak działa operator równoważności p|<=>q w programowaniu komputerów?
Rozważmy fragment programu komputerowego wykonującego dodawanie dwóch 8-bitowych liczb binarnych A i B działający w oparciu o definicję operatora równoważności p|<=>q
Potrzebne definicje:
A, B - ośmiobitowe liczby binarne (zakładamy mikroprocesor 8 bitowy np. Z80)
A:=A+B - do rejestru A wpisz „:=”sumę algebraiczną rejestrów A+B.
c - jednobitowy wskaźnik przeniesienia w dodawaniu dwóch liczb A i B o znaczeniu:
c - przeniesienie wystąpiło (c=1), jednobitowa zmienna binarna
~c - przeniesienie nie wystąpiło (~c=1), jednobitowa zmienna binarna
q - procedura obsługująca przeniesienie „c”, gdy wystąpiło przeniesienie w operacji dodawania A+B
~q - procedura obsługująca brak przeniesienia „~c” w operacji dodawania A+B
Nanieśmy nasz przykład do tabeli prawdy równoważności p<=>q:
Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności c<=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
A’: 1: p~~>~q=0 4:~q~~>p=0
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
B’: 2:~p~~>q=0 3: q~~>~p=0
Nasz przykład:
A: 1: c=>q=1 = 2:~c~>~q=1 [=] 3: q~>c=1 = 4:~q=>~c=1
A’: 1: c~~>~q=0 4:~q~~>c=0
## ## ## ##
B: 1: c~>q=1 = 2:~c=>~q=1 [=] 3: q=>c=1 = 4:~q~>~c=1
B’: 2:~c~~>q=0 3: q~~>~c=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Na mocy prawa Sowy równoważność prawdziwa p<=>q determinuje prawdziwość operatora równoważności p|<=>q (albo odwrotnie)
Narysujmy schemat blokowy interesującego nas fragmentu programu:
Kod: |
---------
| START |
---------
|
c ------------ ~c
-----------| A:=A+B |----------------
| ------------ |
| |
--------------- ----------------
| Procedura q | | Procedura ~q |
--------------- ----------------
| |
------- -------
| END | | END |
------- -------
|
Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Nasz przykład:
A1B1:
Co się stanie jeśli wystąpi przeniesienia „c”?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: c=>q =1 - wystąpienie przeniesienia „c” jest (=1) wystarczające => dla wykonania procedury q
B1: c~>q =1 - wystąpienie przeniesienia „c” jest (=1) konieczne ~> dla wykonania procedury q
Stąd:
A1B1: c<=>q = (A1: c=>q)*(B1: c~>q)=1*1 =1 - co się stanie jeśli wystąpi przeniesienie „c”?
Czytamy:
Równoważność c<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy wystąpienie przeniesienia „c” (c=1) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla wykonania procedury q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom.
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli wystąpi przeniesienie „c” to na 100% => nastąpi wykonanie procedury q
c=>q =1
Zajście „c” jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla wykonania procedury q
Zajście „c” daje nam (=1) gwarancję matematyczną => dla wykonania procedury q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli wystąpi przeniesienia „c” to może ~~> zostać wykonana procedura ~q
c~~>~q = c*~q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: wystąpi przeniesienie „c” i wykonana zostanie procedura ~q
Wniosek:
Z kolumny A1B1 wynika, że jeśli wystąpi przeniesienie „c” to na 100% => zostanie wykonana procedura „q” obsługująca to przeniesienie, bowiem zakazane jest (=0) wówczas wykonanie procedury „~q”
… a jeśli przeniesienie „c” nie wystąpi (~c=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2.
A2B2:
Co się stanie jeśli nie wystąpi przeniesienie „c” (~c=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~c~>~q =1 - brak przeniesienia c (~c=1) jest (=1) konieczne ~> dla wykonania procedury ~q
B2: ~c=>~q =1 - brak przeniesienia c (~c=1) jest (=1) wystarczające => dla wykonania procedury ~q
Stąd:
A2B2: ~c<=>~q = (A2:~c~>~q)*(B2:~c=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli nie zajdzie „c” (~c=1)?
Czytamy:
Równoważność ~c<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy brak przeniesienia „c” (~c=1) jest konieczny ~> (A2) i wystarczający => (B2) dla wykonania procedury ~q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom.
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli nie wystąpi przeniesienie „c” (~c=1) to na 100% => wykonana zostanie procedura ~q
~c=>~q =1
Brak przeniesienia „c” (~c=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla wykonania procedury ~q
Brak przeniesienia „c” (~c=1) daje nam (=1) gwarancję matematyczną => wykonania procedury ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~c=>~q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli nie wystąpi przeniesienie „c” (~c=1) to może ~~> zostać wykonana procedura q
~c~~>q = ~c*q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie wystąpi przeniesienie „c” (~c=1) i wykonana zostanie procedura q
Podsumowanie:
Na mocy definicji operatora równoważności c|<=>q mamy gwarancję matematyczną zarówno po stronie „c” jak i „~c”
1.
Jeśli wystąpi przeniesienie „c” (c=1) to mamy gwarancję matematyczną => wykonania procedury q, o czym mówi zdanie A1
Natomiast:
Jeśli nie wystąpi przeniesienie „c” (~c=1) to mamy gwarancję matematyczną => wykonania procedury ~q, o czym mówi zdanie B2.
Trzeciej możliwości brak (tertium non datur).
2.
W świecie techniki jedynym przydatnym operatorem logicznym jest operator równoważności p|<=>q gdzie nie ma miejsca na „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” charakterystycznym w implikacji: zarówno prostej p|=>q, jak i odwrotnej p|~>q, co za chwilkę zobaczmy.
Zauważmy, że po zamianie c i q w operatorze równoważności A3B3: q|<=>c również mamy gwarancje matematyczne zarówno po stronie q, jak i ~q o czym mówią kolumny A3B3 oraz A4B4.
A3B3:
Z kolumny A3B3 odczytujemy:
Co się stało jeśli wykonano procedurę „q”?
B3: q=>c =1 - jeśli wykonano procedurę „q” to mamy gwarancję matematyczną iż zaszło „c”
B3’: q~~>~c=0 - zakaz wykonania (=0) procedury „q” gdy zaszło „~c”
Czytamy:
Jeśli wykonana została procedura „q” to mamy gwarancję matematyczną => iż wystąpiło przeniesienie „c”, bowiem istnieje zakaz wykonania procedury q dla „~c”
Zauważmy, ze w czasie przyszłym powyższe zdanie traci sens, bowiem procedura „q” nie ustawia wskaźnika przeniesienia „c” na jakąkolwiek wartość logiczną - to jest matematyczno-fizyczny nonsens.
Dowód to zdanie B3 w czasie przyszłym:
B3.
Jeśli wykonana zostanie procedura „q” to spowoduje to ustawienia wskaźnika przeniesienia na „c”
q=>c =1
… a jeśli nie wykonano procedury q?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A4B4
A4b4:
Z kolumny A4B4 odczytujemy:
Co się stało jeśli wykonano procedurę „~q”?
A4: ~q=>~c =1 - jeśli wykonano procedurę „~q” to mamy gwarancję matematyczną => iż zaszło „~c”
A4’: ~q~~>c =0 - zakaz wykonania (=0) procedury „~q” gdyż zaszło „c”
Czytamy:
Jeśli wykonana została procedura „~q” to mamy gwarancję matematyczną => iż wystąpiło „~c”, bowiem istnieje zakaz wykonania procedury ~q dla „c”
Zauważmy, ze w czasie przyszłym powyższe zdanie traci sens, bowiem procedura „~q” nie ustawia wskaźnika przeniesienia „~c” na jakąkolwiek wartość logiczną - to jest matematyczno-fizyczny nonsens.
Dowód to zdanie A4 w czasie przyszłym:
A4.
Jeśli wykonana zostanie procedura „~q” to spowoduje to ustawienia wskaźnika przeniesienia na „~c”
~q=>c =1
Wniosek:
W językach programowania operator równoważności c|<=>q ma charakter jednokierunkowy, bowiem może być ustawiany wyłącznie wskaźnik przeniesienia „c” na wartość logiczną „c=1” albo „~c=1” powodujący wykonanie procedury „q” albo „~q”.
Odwrotnie się nie da, odwrotnie to matematyczno-fizyczny nonsens.
Prawo Prosiaczka:
(~c=1)=(c=0)
Stąd mamy wyprowadzone prawo transformacji.
Prawo transformacji:
W programowaniu komputerów z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie warunkowe „Jeśli p to q” ulega transformacji do czasu przeszłego.
Dowód na przykładzie, wyżej.
13.2 Operator implikacji prostej p||=>q w świecie techniki
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q:
Kod: |
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
A’: 1: p~~>~q=0 4:~q~~>p=0
## ## ## ##
B: 1: p~>q=0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p=0 = 4:~q~>~p=0
B’: 2:~p~~>q=1 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja prosta p|=>q determinuje prawdziwość operatora implikacji prostej p||=>q (albo odwrotnie)
W powyższej tabeli prawdy uwzględniono definicję kontrprzykładu, działającą wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Jak działa operator implikacji prostej p||=>q w programowaniu komputerów?
Rozważmy fragment programu komputerowego wykonującego dodawanie dwóch 8-bitowych liczb binarnych A i B działającego w oparciu o definicję operatora implikacji prostej p||=>q
Potrzebne definicje:
A, B - ośmiobitowe liczby binarne (zakładamy mikroprocesor 8 bitowy np. Z80)
A:=A+B - do rejestru A wpisz „:=”sumę algebraiczną rejestrów A+B.
c - jednobitowy wskaźnik przeniesienia w dodawaniu dwóch liczb A i B o znaczeniu:
c - przeniesienie wystąpiło (c=1), jednobitowa zmienna binarna
~c - przeniesienie nie wystąpiło (~c=1), jednobitowa zmienna binarna
q - procedura obsługująca przeniesienie „c”, gdy wystąpiło przeniesienie w operacji dodawania A+B
~q - procedura obsługująca brak przeniesienia „~c” w operacji dodawania A+B
Nanieśmy nasz przykład do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q:
Kod: |
TR
Tabela prawdy implikacji prostej c|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
A’: 1: p~~>~q=0 4:~q~~>p=0
## ## ## ##
B: 1: p~>q=0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p=0 = 4:~q~>~p=0
B’: 2:~p~~>q=1 3: q~~>~p=1
Nasz przykład:
A: 1: c=>q=1 = 2:~c~>~q=1 [=] 3: q~>c=1 = 4:~q=>~c=1
A’: 1: c~~>~q=0 4:~q~~>c=0
## ## ## ##
B: 1: c~>q=0 = 2:~c=>~q=0 [=] 3: q=>c=0 = 4:~q~>~c=0
B’: 2:~c~~>q=1 3: q~~>~c=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja prosta c|=>q determinuje prawdziwość operatora implikacji prostej c||=>q (albo odwrotnie)
Narysujmy schemat blokowy interesującego nas fragmentu programu:
Kod: |
---------
| START |
---------
|
c ------------ ~c
-----------| A:=A+B |-------
| ------------ |
| |
| |
| reszka ---------------- orzełek
|<--------------------|reszka/orzełek|-------
| ---------------- |
| |
--------------- ----------------
| Procedura q | | Procedura ~q |
--------------- ----------------
| |
------- -------
| END | | END |
------- -------
|
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Nasz przykład:
A1B1:
Co się stanie jeśli wystąpi przeniesienie „c” (c=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: c=>q =1 - wystąpienie przeniesienia „c” jest (=1) wystarczające => dla wykonania procedury q
B1: c~>q =0 - wystąpienie przeniesienia „c” nie jest (=0) konieczne ~> dla wykonania procedury q
Stąd:
c|=>q = (A1: c=>q)*~(B1: c~>q) =1*~(0)=1*1 =1
A1B1:
Co się stanie jeśli wystąpi przeniesienie „c” (c=1)?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli wystąpi przeniesienie „c” to na 100% => wykonana zostanie procedura q
c=>q =1
Zajście „c” jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście „c” daje nam gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli wystąpi przeniesienie „c” to może ~~> zostać wykonana procedura ~q
c~~>~q = c*~q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: zajdzie przeniesienie c (c=1) i zostanie wykonana procedura ~q
Wniosek:
Z kolumny A1B1 wynika, że jeśli zajdzie przeniesienie „c” to na 100% => zostanie wykonana procedura „q” obsługująca to przeniesienie, bowiem zakazane jest (=0) wówczas wykonanie procedury „~q”
… a jeśli przeniesienie „c” nie wystąpi (~c=1)?
Prawo Prosiaczka:
(~c=1) = (c=0)
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2.
A2B2:
Co się stanie jeśli przeniesienie „c” nie wystąpi (~c=1)?
A2: ~c~>~q =1 - brak przeniesienia „c” (~c=1) jest konieczny ~> dla wykonania procedury ~q
B2: ~c=>~q =0 - brak przeniesienia „c” (~c=1) nie jest (=0) wystarczający => dla wykonania ~q
Stąd:
~c|~>~q = (A2:~c~>~q)*~(B2:~c=>~q) =1*~(0)=1*1=1
A2B2:
Co się stanie jeśli nie wystąpi przeniesienie „c” (~c=1)?
Prawo Kubusia:
A1: c=>q = A2: ~c~>~q
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli nie wystąpi przeniesienie „c” (~c=1) to może ~> zostać wykonana procedura ~q
~c~>~q =1
Brak przeniesienia „c” (~c=1) jest konieczny ~> dla wykonania procedury ~q bo jak wystąpi przeniesienie „c” to na 100% => wykonana zostanie procedura q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~c~>~q = A1: c=>q
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego B2: ~c=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli nie wystąpi przeniesienie „c” (~c=1) to może ~~> zostać wykonana procedura q
~c~~>q = ~c*q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie wystąpi przeniesienie „c” (~c=1) i zostanie wykonana procedura q
Wniosek:
Z kolumny A2B2 wynika, że jeśli nie wystąpi przeniesienie „c” (~c=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” bo wówczas może ~> być wykonana procedura „~q” na mocy zdania B2 albo może zostać wykonana procedura „q” na mocy zdania B2’
Innymi słowy:
Jeśli nie wystąpi przeniesienie „c” (~c=1) to w programie zostanie wywołany generator cyfr losowych dający binarną odpowiedź:
orzełek - wykonaj procedurę ~q
reszka - wykonaj procedurę q
co pokazano na schemacie blokowym
Podsumowując:
1.
Implikacja prosta c|=>q to gwarancja matematyczna => po stronie „c” (c=1), o czym mówi zdanie A1 oraz najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~c (~c=1) o czym mówią zdania A2 i B2’.
2.
Wnioek:
W dowolnym programie komputerowym sterowanie rozgałęzieniem c i ~c przy pomocy operatora implikacji prostej c||=>q nie ma sensu, bowiem po stronie ~c dajemy programowi „wolną wolę” w postaci „rzucania monetą”.
Innymi słowy:
W przypadku braku przeniesienia „c” (~c=1) obsługa dodawania dowolnie długich liczb binarnych An+Bn będzie działała czasami dobrze, gdy program wylosuje „orzełka” (~q), a czasami źle, gdy program wylosuje „reszkę” (q).
Innymi słowy:
Sterowanie rozgałęzieniem w dowolnym programie przy pomocy operatora implikacji prostej p||=>q jest matematycznie błędne (jest idiotyzmem).
cnd
13.3 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w świecie techniki
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
Kod: |
IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0
A’: 1: p~~>~q=1 4:~q~~>p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
B’: 2:~p~~>q=0 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja odwrotna p|~>q determinuje prawdziwość operatora implikacji odwrotnej p||~>q (albo odwrotnie)
W powyższej tabeli prawdy uwzględniono definicję kontrprzykładu, działającą wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Jak działa operator implikacji odwrotnej p||~>q w programowaniu komputerów?
Rozważmy fragment programu komputerowego wykonującego dodawanie dwóch 8-bitowych liczb binarnych A i B działającego w oparciu o definicję operatora implikacji odwrotnej p||~>q
Potrzebne definicje:
A, B - ośmiobitowe liczby binarne (zakładamy mikroprocesor 8 bitowy np. Z80)
A:=A+B - do rejestru A wpisz „:=”sumę algebraiczną rejestrów A+B.
c - jednobitowy wskaźnik przeniesienia w dodawaniu dwóch liczb A i B o znaczeniu:
c - przeniesienie wystąpiło (c=1), jednobitowa zmienna binarna
~c - przeniesienie nie wystąpiło (~c=1), jednobitowa zmienna binarna
q - procedura obsługująca przeniesienie „c”, gdy wystąpiło przeniesienie w operacji dodawania A+B
~q - procedura obsługująca brak przeniesienia „~c” w operacji dodawania A+B
Nanieśmy nasz przykład do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q:
Kod: |
TR
Tabela prawdy implikacji odwrotnej c|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0
A’: 1: p~~>~q=1 4:~q~~>p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
B’: 2:~p~~>q=0 3: q~~>~p=0
Nasz przykład:
A: 1: c=>q=0 = 2:~c~>~q=0 [=] 3: q~>c=0 = 4:~q=>~c=0
A’: 1: c~~>~q=1 4:~q~~>c=1
## ## ## ##
B: 1: c~>q=1 = 2:~c=>~q=1 [=] 3: q=>c=1 = 4:~q~>~c=1
B’: 2:~c~~>q=0 3: q~~>~c=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja odwrotna p|~>q determinuje prawdziwość operatora implikacji odwrotnej p||~>q (albo odwrotnie)
Narysujmy schemat blokowy interesującego nas fragmentu programu:
Kod: |
---------
| START |
---------
|
~c ------------ c
-----------| A:=A+B |-------
| ------------ |
| |
| |
| reszka ---------------- orzełek
|<--------------------|reszka/orzełek|-------
| ---------------- |
| |
---------------- ----------------
| Procedura ~q | | Procedura q |
---------------- ----------------
| |
------- -------
| END | | END |
------- -------
|
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Nasz przykład:
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie przeniesienie „c”?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: c=>q =0 - wystąpienie przeniesienia „c” nie jest (=0) wystarczające => dla wykonania procedury q
B1: c~>q =1 - wystąpienie przeniesienia „c” jest (=1) konieczne ~> dla wykonania procedury q
Stąd:
c|~>q = ~(A1: c=>q)*(B1: c~>q) = ~(0)*1=1*1 =1
A1B1:
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli wystąpi przeniesienie „c” to może ~> zostać wykonana procedura q
c~>q =1
Wystąpienie przeniesienia „c” (c=1) jest (=1) konieczne ~> dla wykonania procedury q
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego A1: c=>q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli wystąpi przeniesienie „c” to może ~~> zostać wykonana procedura ~q
c~~>~q=c*~q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: wystąpi przeniesienie „c” i zostanie wykonana procedura ~q
Wniosek:
Z kolumny A1B1 wynika, że jeśli zajdzie przeniesienia „c” to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” bo wówczas może ~> być wykonana procedura „q” na mocy zdania B1 albo może zostać wykonana procedura „~q” na mocy zdania A1’
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie „c” to w programie zostanie wywołany generator cyfr losowych dający binarną odpowiedź:
orzełek - wykonaj procedurę q
reszka - wykonaj procedurę ~q
co pokazano na schemacie blokowym
… co się stanie jeśli nie wystąpi przeniesienie „c” (~c=1)
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie nie wystąpi przeniesienie c (~c=1)?
Prawo Prosiaczka:
(~c=1)=(c=0)
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~c~>~q =0 - brak przeniesienia c (~c=1) nie jest (=0) konieczny ~> dla wykonania procedury ~q
B2: ~c=>~q =1 - brak przeniesienia c (~c=1) jest (=1) wystarczający => dla wykonania procedury ~q
Stąd:
~c|=>~q =~(A2:~c~>~q)*(B2: ~c=>~q) = ~(0)*1=1
A2B2:
Co się stanie jeśli nie wystąpi przeniesienie c (~c=1)?
Prawo Kubusia:
B1: c~>q = B2: ~c=>~q
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli nie wystąpi przeniesienie c (~c=1) to na 100% => wykonana zostanie procedura ~q
~c=>~q =1
Brak przeniesienia c (~c=1) jest (=1) wystarczający => dla wykonania procedury ~q
Zajście ~c daje nam gwarancję matematyczną => wykonania procedury ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli nie wystąpi przeniesienie c (~c=1) to może ~~> zostać wykonana procedura q
~c~~>q = ~c*q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie wystąpi przeniesienia c (~c) i wykonana zostanie procedura q
Wniosek:
W przypadku braku przeniesienia „c” (~c=1) mamy gwarancję matematyczną => wykonania procedury ~q, o czym mówi zdanie B2.
Podsumowując:
1.
Operator implikacji odwrotnej c||~>q to po stronie „c” najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” o czym mówią zdania B1 i A1’, natomiast po stronie „~c” mamy gwarancję matematyczną => w postaci zdania B2.
2.
W dowolnym programie komputerowym sterowanie rozgałęzieniem c i ~c przy pomocy operatora implikacji odwrotnej c||~>q nie ma sensu, bowiem po stronie c dajemy programowi „wolną wolę” w postaci „rzucania monetą”.
Innymi słowy:
W przypadku wystąpienia przeniesienia „c” (c=1) obsługa dodawania dowolnie długich liczb binarnych An+Bn będzie działała czasami dobrze, gdy program wylosuje „orzełka” (wykonania q), a czasami źle, gdy program wylosuje „reszkę” (wykonanie ~q).
Innymi słowy:
Sterowanie rozgałęzieniem w dowolnym programie przy pomocy operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest matematycznie błędne (jest idiotyzmem).
cnd
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 21:31, 24 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia
14.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych
Spis treści
14.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych 1
14.1 Opis bramek logicznych w postaci funkcji algebry Boole’a Y=f(x) 1
14.2 Definicje spójników logicznych w bramkach logicznych 4
14.2.1 Definicja spójnika „i”(*) w bramkach logicznych 6
14.2.2 Definicja spójnika „lub”(+) w bramkach logicznych 7
14.2.3 Definicja warunku wystarczającego => w bramkach logicznych 8
14.2.4 Definicja warunku koniecznego ~> w bramkach logicznych 9
14.3 Definicje spójników implikacyjnych p|?q w logice dodatniej (bo q) 10
14.3.1 Implikacja prosta p|=>q w bramkach logicznych 12
14.3.2 Implikacja odwrotna p|~>q w bramkach logicznych 13
14.3.3 Równoważność p<=>q w bramkach logicznych 14
14.3.4 Spójnik „albo”($) w bramkach logicznych 16
14.3.5 Definicja „chaosu” (|~~>) w bramkach logicznych 19
14.4 Dowód poprawności algebry Kubusia w laboratorium bramek logicznych 20
14.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych
Nie ma na ziemi matematyka, który by twierdził, iż funkcja logiczna algebry Boole’a Y=f(x) to nie jest algebra Boole’a, a tym samym, że nie jest to Klasyczny Rachunek Zdań.
Jeśli taki jest, to zdecydowanie powinien skreślić słówko matematyk sprzed swego nazwiska.
14.1 Opis bramek logicznych w postaci funkcji algebry Boole’a Y=f(x)
Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
3.
Ziemski rachunek zero-jedynkowy (fundament logiki matematycznej) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych Y i ~Y algebry Boole’a, co udowodniliśmy na poziomie operatorów jednoargumentowych w punkcie 1.3.1, oraz na poziomie operatorów dwuargumentowych w punkcie 3.1.
Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)
Przykłady:
Y=p+~p=1 – zdanie zawsze prawdziwe
Y=p*~p=0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna
To samo w logice 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 – zdanie zawsze prawdziwe
Jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramek logicznych
Y - wyjście bramki logicznej
Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)
Matematyczne związki między p i ~p:
I.
p#~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
II.
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)
Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
Przykład:
f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
p*q+~p*~q
W najprostszym przypadku wyrażeniem algebry Boole’a może być pojedyńcza zmienna binarna p
f(p) =p
Uwaga na notację:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
f(p,q)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a (przykład)
Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a w osi czasu.
W technice funkcja logiczna algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y
Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y
Przykład:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q = (p*q)+(~p*~q)
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=1<=>p+q
Y=0<=>~p*~q
etc
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
Prawo negacji funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana
Stąd:
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
W świecie techniki opis bramek logicznych podawany jest zawsze i wszędzie w postaci funkcji logicznej Y.
Y=f(x)
Dowody:
1.
SN7404
[link widoczny dla zalogowanych]
Negator – strona 3
Y=~p
2.
SN7408
[link widoczny dla zalogowanych]
Bramka AND(*) – strona 1
Y=p*q = ~(~p+~q) – prawo De Morgana
3.
SN7432
[link widoczny dla zalogowanych]
Bramka OR(+) – strona 1
Y=p+q = ~(~p*~q) – prawo De Morgana
Nie ma potrzeby produkowania pozostałych bramek logicznych bowiem wszystkie można łatwo zbudować przy pomocy trzech, wyżej wymienionych znaczków {~, *, +)
Nie ma potrzeby nie oznacza, że się nie produkuje np. popularne w świecie techniki bramki NAND i NOR. W tym przypadku produkcja jest uzasadniona bowiem istnienie tych bramek upraszcza rzeczywistą realizację bardziej złożonych funkcji logicznych Y=f(x) algebry Boole’a.
4.
SN7400
[link widoczny dla zalogowanych]
Bramka NAND – strona 1
Y = ~(p*q)=~p+~q – prawo De Morgana
Zauważmy, że zwierając wejścia bramki NAND otrzymujemy często pożądany w praktyce negator.
Dla p=q mamy:
Y==~(p*q)=~(p*p)=~(p)=~p
cnd
5.
SN7402
[link widoczny dla zalogowanych]
Bramka NOR – strona 1
Y=~(p+q)=~p*~q – prawo De Morgana
Zauważmy, że zwierając wejścia bramki NOR otrzymujemy często pożądany w praktyce negator.
Dla p=q mamy:
Y==~(p+q)=~(p+p)=~(p)=~p
cnd
14.2 Definicje spójników logicznych w bramkach logicznych
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.
Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja
Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. ~p*~q) przypisane do tej funkcji.
Przykłady poprawnych funkcji logicznych:
Y = ~p*~q
Y = p+q
Y = p*~q+~p*q
etc
Prawo negacji funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Negujemy dwustronnie:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana
stąd:
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy
Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) to:
Kod: |
T1
Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
p q Y
A: 1 1 x
B: 1 0 x
C: 0 1 x
D: 0 0 x
Gdzie:
x={0,1}
|
Z definicji funkcji logicznej Y wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y).
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
Każda ze zmiennych binarnych {p, q, Y} może występować w logice dodatniej (bo x) albo w logice ujemnej (bo ~x). Oczywistym jest, że zmienna binarna w logice dodatniej (bo x) wymusza zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~x), albo odwrotnie.
Na dowolny układ cyfrowy można zatem spojrzeć w logice dodatniej (bo Y) albo w logice ujemnej (bo ~Y).
Kod: |
T2
Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
wymuszające wszystkie możliwe stany binarne na wejściach ~p i ~q
dla funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) i odwrotnie.
p q Y # ~p ~q ~Y
A: 1 1 x 0 0 ~(x)
B: 1 0 x 0 1 ~(x)
C: 0 1 x 1 0 ~(x)
D: 0 0 x 1 1 ~(x)
Gdzie:
x={0,1}
Y=f(p,q) # ~Y=f(~p,~q)
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka #
jest negacją drugiej strony
|
14.2.1 Definicja spójnika „i”(*) w bramkach logicznych
1.
Definicja bramki „i”(*):
Realizacja fizyczna (SN7408):
[link widoczny dla zalogowanych]
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Bramka AND = bramka „i”(*) = spójnik „i”(*) z języka potocznego
Kod: |
Fizyczna realizacja:
------------
p ------| “i”(*) |
| |----------> Y=p*q
q ------| SN7408 |
------------
Definicja bramki “i”(*):
Y=p*q
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
p q Y=p*q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 1 =0
D: 0 0 =0
Y=1<=>p=1 i q=1
inaczej:
Y=0
Definicja operatora “i”(|*):
Operator “i”(|*) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1: Y=p*q
Negujemy dwustronnie:
2: ~Y=~p+~q
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
p q Y=p*q ~Y=~(p*q) ~p ~q ~Y=~p+~q
A: 1 1 1 0 0 0 0
B: 1 0 0 1 0 1 1
C: 0 1 0 1 1 0 1
D: 0 0 0 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7
Operator „i”(|*) to układ równań logicznych
dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Kiedy zajdzie Y:
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 (patrz: ABCD123)
2.
Kiedy zajdzie ~Y:
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1 (patrz: ABCD567)
|
14.2.2 Definicja spójnika „lub”(+) w bramkach logicznych
2.
Definicja bramki „lub”(+):
Realizacja fizyczna (SN7432):
[link widoczny dla zalogowanych]
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Bramka OR = bramka „lub”(*) = spójnik „lub”(+) z języka potocznego
Kod: |
Fizyczna realizacja:
------------
p ------| “lub”(+) |
| |----------> Y=p+q
q ------| SN7432 |
------------
Definicja bramki “lub”(+):
Y=p+q
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
p q Y=p+q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 1 1
D: 0 0 0
Y=1<=>p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
Definicja operatora “lub”(|+):
Operator “lub”(|+) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1: Y=p+q
Negujemy dwustronnie:
2: ~Y=~p*~q
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
p q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q
A: 1 1 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 0 0 1 0
C: 0 1 1 0 1 0 0
D: 0 0 0 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7
Operator „lub”(|+) to układ równań logicznych
dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Kiedy zajdzie Y:
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1 (patrz: ABCD123)
2.
Kiedy zajdzie ~Y:
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 (patrz: ABCD567)
|
14.2.3 Definicja warunku wystarczającego => w bramkach logicznych
3.
Definicja warunku wystarczającego => w bramkach logicznych:
Bramka warunku wystarczającego => nie jest produkowana bo to jest banalna bramka „lub”(+) z zanegowanym wejściem p:
p=>q = ~p+q
Realizacja fizyczna:
Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q=~p+q
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
p q p=>q=~p+q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 1 1
D: 0 0 1
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
inaczej:
p=>q=1
Fizyczna realizacja:
------------
p ------|o => |
| |----------> Y=(p=>q)=~p+q
q ------| |
------------
Gdzie:
o - symbol negatora (~)
Symbol negatora wstawiony jest do środka bramki „lub”(+)
gdyż jest integralną częścią definicji warunku wystarczającego =>.
Definicja warunku wystarczającego => przy pomocy bramki „lub”(+):
Definicja => | Fizyczna realizacja w bramkach logicznych
p q p=>q | ~p p=>q=~p+q
A: 1 1 1 | 0 1
B: 1 0 0 | 0 0
C: 0 1 1 | 1 1
D: 0 0 1 | 1 1
1 2 3 4 5
|
14.2.4 Definicja warunku koniecznego ~> w bramkach logicznych
4.
Definicja warunku koniecznego ~> w bramkach logicznych:
Bramka warunku koniecznego ~> nie jest produkowana bo to jest banalna bramka „lub”(+) z zanegowanym wejściem q:
p~>q = p+~q
Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>:
p q p~>q=p+~q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 1 0
D: 0 0 1
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
inaczej:
p~>q=1
Fizyczna realizacja:
------------
p ------| ~> |
| |----------> Y=(p~>q)=p+~q
q ------|o |
------------
Gdzie:
o - symbol negatora (~)
Symbol negatora wstawiony jest do środka bramki „lub”(+)
gdyż jest integralną częścią definicji warunku koniecznego ~>.
Definicja warunku koniecznego ~> zrealizowana przy pomocy bramki „lub”(+):
Definicja ~> |Fizyczna realizacja w bramkach logicznych
p q p~>q | ~q p~>q=p+~q
A: 1 1 1 | 0 1
B: 1 0 1 | 1 1
C: 0 1 0 | 0 0
D: 0 0 1 | 1 1
1 2 3 4 5
|
14.3 Definicje spójników implikacyjnych p|?q w logice dodatniej (bo q)
Przypomnijmy sobie definicje elementarne algebry Kubusia dotyczące zdań warunkowych „Jeśli p to q”
1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0
Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Definicja spójnika implikacyjnego p|?q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik implikacyjny p|?q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 w tabeli matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dająca odpowiedź na pytanie o p
W logice matematycznej rozróżniamy pięć podstawowych spójników implikacyjnych dających odpowiedź na pytanie o p.
1.
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1 zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
A1B1: Y=p|=>q=~p*q
##
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q =0 zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 =1*1 =1
A1B1: Y=p|~>q=p*~q
##
3.
Równoważność p<=>q:
A1: p=>q =1 zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: Y=p<=>q=p*q+~p*~q
##
4.
Spójnik „albo”($) p$q:
A1: p=>~q =1 zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
A1B1: Y=p$q=p*~q+~p*q
##
5.
Chaos p|~~>q:
A1: p=>q =0 zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
A1B1: Y=1
Gdzie:
## - bramki logiczne różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
14.3.1 Implikacja prosta p|=>q w bramkach logicznych
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) i nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego w spójniach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd:
Implikacja prosta p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =(~p+q)*~(p+~q)= (~p+q)*(~p*q)=~p*~p*q+q*~p*q=~p*q
Do zapamiętania:
p|=>q = ~p*q
Realizacja implikacji prostej p|=>q w bramkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod: |
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1 =1
Fizyczna realizacja implikacji prostej p|=>q w bramkach logicznych:
------------ -----------
p ------|o => | Y=(p=>q)=~p+q | |
| |-------------------| |
q ------| | | Bramka: | p|=>q=(p=>q)*~(p~>q)
------------ | „i”(*) |------------------------>
------------ | | p|=>q=(~p+q)*(~p*q)=~p*q
p ------| ~> | Y=(p~>q)=p+~q ~Y | |
| |---------------o---| |
q ------|o | | |
------------ -----------
Gdzie:
o - symbol negatora (~)
Fizyczna realizacja implikacji prostej p|=>q w bramkach logicznych:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym:
Definicje => i ~> | Dowód zero-jedynkowy
p q p=>q | p~>q | ~(p~>q) (p|=>q)=(p=>q)*~(p~>q) | ~p p|=>q=~p*q
A: 1 1 1 | 1 | 0 0 | 0 0
B: 1 0 0 | 1 | 0 0 | 0 0
C: 0 1 1 | 0 | 1 1 | 1 1
D: 0 0 1 | 1 | 0 0 | 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8
Doskonale widać zachodzącą tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
6: p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) [=] 8: p|=>q =~p*q
cnd
|
14.3.2 Implikacja odwrotna p|~>q w bramkach logicznych
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego w spójniach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd:
Implikacja odwrotne p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(~p+q)*(p+~q)=(p*~q)*(p+~q)=p*~q*p+p*~q*~q=p*~q
Do zapamiętania:
p|~>q = p*~q
Realizacja implikacji odwrotnej p|~>q w bramkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod: |
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1
Fizyczna realizacja implikacji odwrotnej p|~>q w bramkach logicznych:
------------ -----------
p ------|o => | Y=(p=>q)=~p+q ~Y | |
| |---------------o---| |
q ------| | | Bramka: | p|~>q=~(p=>q)*(p~>q)
------------ | „i”(*) |---------------------->
------------ | | p|~>q=(p*~q)*(p+~q)=p*~q
p ------| ~> | Y=(p~>q)=p+~q | |
| |-------------------| |
q ------|o | | |
------------ -----------
Gdzie:
o - symbol negatora (~)
Fizyczna realizacja implikacji odwrotnej p|~>q w bramkach logicznych:
p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym:
Definicje => i ~> | Dowód zero-jedynkowy
p q p=>q | p~>q | ~(p=>q) (p|~>q)=~(p=>q)*(p~>q) | ~q p|~>q=p*~q
A: 1 1 1 | 1 | 0 0 | 0 0
B: 1 0 0 | 1 | 1 1 | 1 1
C: 0 1 1 | 0 | 0 0 | 0 0
D: 0 0 1 | 1 | 0 0 | 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8
Doskonale widać zachodzącą tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
6: p|~>q =~(p=>q)*(p~>q) [=] 8: p|~>q =p*~q
cnd
|
14.3.3 Równoważność p<=>q w bramkach logicznych
3.
Równoważność p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Gdzie:
<=> - spójnik „wtedy i tylko wtedy” z języka potocznego
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest każdemu człowiekowi, nie tylko matematykom.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 7 890
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 58 700
cnd
Definicja tożsamości pojęć/zbiorów p=q:
Dwa pojęcia/zbiory (w tym liczby binarne) są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego w spójniach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd:
Równoważność p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=(~p+q)*(p+~q)=~p*p+~p* ~q+q* p+q*~q =p*q+~p*~q
Do zapamiętania:
p<=>q = p*q+~p*~q
Realizacja równoważności p<=>q w bramkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod: |
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1
Fizyczna realizacja równoważności p<=>q w bramkach logicznych:
------------ -----------
p ------|o => | Y=(p=>q)=~p+q | |
| |-------------------| |
q ------| | | Bramka: | p<=>q=(p=>q)*(p~>q)
------------ | „i”(* |---------------------->
------------ | | p<=>q=(~p+q)*(p+~q)
p ------| ~> | Y=(p~>q)=p+~q | | p<=>q=p*q+~p*~q
| |-------------------| |
q ------|o | | |
------------ -----------
Gdzie:
o - symbol negatora (~)
Fizyczna realizacja równoważności p<=>q w bramkach logicznych:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym:
Definicje => i ~> | Dowód zero-jedynkowy
p q p=>q | p~>q | p<=>q=(p=>q)*(p~>q) ~p ~q p*q ~p*~q p<=>q=p*q+~p*~q
A: 1 1 1 | 1 | 1 0 0 1 0 1
B: 1 0 0 | 1 | 0 0 1 0 0 0
C: 0 1 1 | 0 | 0 1 0 0 0 0
D: 0 0 1 | 1 | 1 1 1 0 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Doskonale widać zachodzącą tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
5: p<=>q = (p=>q)*(p~>q) [=] 10: p<=>q = p*q+~p*~q
cnd
|
Uwaga:
Za chwilkę poznamy:
Definicja bramki „albo”($):
Y= p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Realizacja fizyczna (SN7486):
[link widoczny dla zalogowanych]
##
Najprostsza fizyczna realizacja równoważności p<=>q to bramka „albo”($) produkowana pod symbolem SN7486 gdzie negujemy zmienną wejściową q
Y = p$~q =(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji bo zanegowaliśmy wyłącznie zmienną q
14.3.4 Spójnik „albo”($) w bramkach logicznych
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
A1B1:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak i wystarczającego => w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
A1B1: p<=>~q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p$q
Gdzie:
<=> - spójnik „wtedy i tylko wtedy” z języka potocznego
Ostatnie zdanie to definicja równoważności p<=>~q znana każdemu człowiekowi, nie tylko matematykom.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 7 890
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 58 700
cnd
Definicja tożsamości pojęć/zbiorów p=~q:
Dwa pojęcia/zbiory są tożsame p=~q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>~q
p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q = p$q
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego w spójniach „i”(*) i „lub”:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd:
Definicja spójnika „albo”($) p$q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=(~p+~q)*(p+q)=~p*p+~p*q+~q*p+~q*q= p*~q+~p*q
Do zapamiętania:
p$q = p*~q+~p*q
Zapiszmy jeszcze raz definicję spójnika „albo”($) p$q wyrażoną warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Przykład:
Bycie mężczyzną (M) jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) aby nie być kobietą (~K)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1=1
Ostatni zapis to znana nam (patrz wyżej) definicja równoważności p<=>~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Ostatni człon czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p$q
Nasz przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
A1B1: M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M$K
Dowód prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
M=>~K =1
Bycie mężczyzną jest (=1) wystarczające => do tego, by nie być kobietą (~K)
Jak udowodnić prawdziwość warunku koniecznego ~> B1?
Najprościej skorzystać z prawa Kubusia bowiem warunek wystarczający => zawsze dowodzi się prościej niż konieczny ~> ze względu na obowiązującą tu definicję kontrprzykładu.
Prawo Kubusia:
B1: M~>~K [=] B2: ~M=>K
stąd mamy:
B2.
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) to na 100% jest (=1) kobietą (K)
~M=>K =1
Nie bycie mężczyzną (~M) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego by być kobietą (K).
Definicja tożsamości logicznej:
Prawo Kubusia:
B1: M~>~K [=] B2: ~M=>K
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Wniosek:
Udowadniając prawdziwość zdania B2:~M=>K automatycznie udowodniliśmy prawdziwość zdania B1: M~>~K wchodzącego w skład definicji spójnika „albo”($).
To jest banalny dowód „nie wprost”.
Definicja bramki „albo”($):
Y= p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Realizacja fizyczna (SN7486):
[link widoczny dla zalogowanych]
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Bramka XOR = bramka „albo”($) = spójnik „albo”($) z języka potocznego
Realizacja spójnika „albo”($) w bramkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod: |
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= p<=>~q
Fizyczna spójnika „albo”($) p$q w bramkach logicznych:
------------ -------------
p ------|o => | Y=(p=>~q)=~p+~q | |
~q | |-------------------| |
q --o---| | | Bramka: | p$q=(p=>~q)*(p~>~q)
------------ | „i”(*) |---------------------->
------------ | | p$q=(p=>~q)*(p~>~q)
p ------| ~> | Y=(p~>~q)=p+q | | p$q=p*~q+~p*q
~q | |-------------------| |
q --o---|o | | |
------------ -------------
Gdzie:
o - symbol negatora (~)
Fizyczna realizacja spójnika „albo”($) w bramkach logicznych:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym:
Definicje => i ~> | Dowód zero-jedynkowy
| A: B:
p q p=>q p~>q | ~p ~q p=>~q p~>~q p$q=A*B p*~q ~p*q p$q=p*~q+~p*q
A: 1 1 1 1 | 0 0 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 0 1 | 0 1 1 1 1 1 0 1
C: 0 1 1 0 | 1 0 1 1 1 0 1 1
D: 0 0 1 1 | 1 1 1 0 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Doskonale widać zachodzącą tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
9: p$q = (p=>~q)*(p~>~q) [=] 12: p$q = p*~q+~p*q
cnd
|
14.3.5 Definicja „chaosu” (|~~>) w bramkach logicznych
5
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q i jednocześnie zajęcie p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
Z teorii chaosu (punkt 10.1) wiemy, że kodowania elementem wspólnym zbiorów ~~> w zbiorach, lub zdarzeniem możliwym ~~> w zdarzeniach przez wszystkie możliwe przeczenia p i q muszą dać wszędzie wynikowe jedynki, inaczej gwałcimy definicję kontrprzykładu.
Stąd mamy:
Y = p|~~>q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q= p*(q+~q)+~p*(q+~q)=p+~p=1
Innymi słowy:
W tabeli prawdy spójnika chaosu p|~~>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q nie ma żadnego warunku wystarczającego =>, co pociąga za sobą brak warunku koniecznego ~>
Fizyczna realizacja chaosu p|~~>q w bramkach „i”(*) i „lub”(+) będzie zatem następująca:
Kod: |
Fizyczna realizacja chaosu p|~~>q w bramkach logicznych:
---------- ------------
p ------| Bramka | p*q | Bramka |
| „i”(*) |--------| „lub”(+) |
q ------| A | | | ------------
---------- | | p | Bramka |
---------- | A+B |------| „lub”(+) |
p ------| Bramka | p*~q | | | |
~q | „i”(*) |--------| | | |
q -o----| B | | | | |
---------- ------------ | | Y= p|~~>q=p+~p=1
| A+B+C+D |------------------>
~p ---------- ------------ | |
p -o----| Bramka | ~p*q | Bramka | | |
| „i”(*) |--------| „lub”(+) | | |
q ------| C | | | ~p | |
---------- | C+D |------| |
~p ---------- | | | |
p -o----| Bramka |~p*~q | | ------------
~q | „i”(*) |--------| |
q -o----| D | | |
---------- ------------
Gdzie:
o - symbol negatora (~)
Dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym.
Definicje „*” oraz „+” | Dowód zero-jedynkowy dla chaosu p|~~>q:
p q ~p ~q p*q p+q | p*q p*~q ~p*q ~p*~q p*q+p*~q ~p*q+~p*~q p|~~>q
A: 1 1 0 0 1 1 | 1 1 0 0 1 0 1
B: 1 0 0 1 0 1 | 0 1 0 0 1 0 1
C: 0 1 1 0 0 1 | 0 0 1 0 0 1 1
D: 0 0 1 1 0 0 | 0 0 0 1 0 1 1
1 2 3 4 5 6 | a b c d e f g
Doskonale widać same jedynki w kolumnie wynikowej p|~~>q, czyli:
Y = p|~~>q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q= p*(q+~q)+~p*(q+~q)=p+~p=1
cnd
|
14.4 Dowód poprawności algebry Kubusia w laboratorium bramek logicznych
Zapiszmy utworzone wyżej schematy ideowe spójników logicznych w bramkach logicznych w postaci uproszczonej z uwzględnienie funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Kod: |
TA
1. --------------
p –-| Spójnik |
| „i”(*) |--------------------------o----------------------------->
q –-| SN7408 | 1A: Y=p*q # 1B: ~Y=~p+~q
--------------
##
2. --------------
p –-| Spójnik |
| „lub”(+) |--------------------------o----------------------------->
q –-| SN7432 | 2A: Y= p+q # 2B: ~Y=~p*~q
--------------
##
3. ----------------
p –-|Warunek |
|wystarczający |------------------------o----------------------------->
q –-| Y=(p=>q) |3A: Y=(p=>q)=~p+q # 3B: ~Y=~(p=>q)= p*~q
----------------
##
4. --------------
p –-|Warunek |
|konieczny |--------------------------o----------------------------->
q –-| Y=(p~>q) | 4A: Y=(p~>q)= p+~q # 4B: ~Y=~(p~>q)=~p* q
--------------
##
5. --------------
p –-|Implikacja | Y=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) # ~Y=~((A1: p=>q)*~(B1: p~>q))
|prosta |--------------------------o----------------------------->
q –-| Y=(p|=>q) | 5A: Y=(p|=>q)=~p* q # 5B: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
--------------
##
6. --------------
p –-|Implikacja | Y=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) # ~Y=~(~(A1: p=>q)*(B1: p~>q))
|odwrotna |--------------------------o----------------------------->
q –-| Y=(p|~>q) | 6A: Y=(p|~>q)= p*~q # 6B: ~Y=~(p|~>q)= ~p+q
--------------
##
7. --------------
p –-|Równoważność| Y=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) # ~Y=~((A1: p=>q)*(B1: p~>q))
|Y=(p<=>q) |--------------------------o----------------------------->
q –-| | 7A: Y=(p<=>q)= p*q+~p*~q # 7B: ~Y=~(p<=>q)= p*~q+~p*q
--------------
##
8. --------------
p –-| Spójnik | Y=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)# ~Y=~((A1: p=>~q)*(B1: p~>~q))
| „albo”($) |--------------------------o----------------------------->
q –-| Y=(p$q) | 8A: Y=(p$q)= p*~q+~p*q # 8B: ~Y=~(p$q)= p*q+~p*~q
--------------
##
9. --------------
p –-| Spójnik | Y=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)# ~Y=~(~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q))
| chaosu |--------------------------o----------------------------->
q –-| Y=(p|~~>q) | 9A: Y=(p|~~>q)=1 # 9B: ~Y=~(p|~~>q)=0
--------------
Gdzie:
o – symbol negatora (~), tożsamy ze znaczkiem #
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji bramek logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TA definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Przykładowo mamy:
Kod: |
TB
3A: Y=(p=>q) =~p+ q ## 6B: ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
4A: Y=(p~>q) = p+~q ## 5B: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
5A: Y=(p|=>q)=~p* q ## 4B: ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
6A: Y=(p|~>q)= p*~q ## 3B: ~Y=~(p=>q) = p*~q
7A: Y=(p<=>q)= p* q+~p*~q ## 8B: ~Y=~(p$q) = p* q+~p*~q
8A: Y=(p$q) = p*~q+~p* q ## 7B: ~Y=~(p<=>q)= p*~q+~p* q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
|
Jak widzimy w tabeli TB definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest perfekcyjnie spełniona bowiem funkcje łączone tym znaczkiem nie są tożsame, ani żadna z nich nie jest negacją drugiej.
Postawmy tu kropkę nad „i”(*) negując dwustronnie funkcje logiczne po prawej stronie znaczka ##.
Kod: |
TC
3A: Y=(p=>q) =~p+ q ## 6B: Y= (p|~>q)= p*~q
4A: Y=(p~>q) = p+~q ## 5B: Y= (p|=>q)=~p* q
5A: Y=(p|=>q)=~p* q ## 4B: Y= (p|~>q)= p*~q
6A: Y=(p|~>q)= p*~q ## 3B: Y= (p=>q) =~p+ q
7A: Y=(p<=>q)= p* q+~p*~q ## 8B: Y= (p$q) = p*~q+~p* q
8A: Y=(p$q) = p*~q+~p* q ## 7B: Y= (p<=>q)= p* q+~p*~q
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
|
Jak widzimy po zanegowaniu prawych stron znaczka ## w żadnej z linii nie zachodzi tożsamość funkcji logicznej Y, zatem w liniach mamy do czynienia z funkcjami logicznymi różnymi na mocy definicji.
Zauważmy, że zanegowaliśmy wyłącznie prawe strony w tabeli TB zatem zachodzi tu relacja:
TB ## TC
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Jak sprawdzić powyższą teorię w laboratorium bramek logicznych?
Zapiszmy tabelę TA w wersji skróconej, zawierającej wyłącznie funkcje logiczne
Kod: |
TA1
Punkt odniesienia:
p, q, ~p, ~q
--------------------------------------------------------------------------
1: 1A: Y=p*q # 1B: ~Y=~p+~q
##
2: 2A: Y= p+q # 2B: ~Y=~p*~q
##
3: 3A: Y=(p=>q)=~p+q # 3B: ~Y=~(p=>q)= p*~q
##
4: 4A: Y=(p~>q)= p+~q # 4B: ~Y=~(p~>q)=~p* q
##
5: 5A: Y=(p|=>q)=~p* q # 5B: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
##
6: 6A: Y=(p|~>q)= p*~q # 6B: ~Y=~(p|~>q)= ~p+q
##
7: 7A: Y=(p<=>q)= p*q+~p*~q # 7B: ~Y=~(p<=>q)= p*~q+~p*q
##
8: 8A: Y=(p$q)= p*~q+~p*q # 8B: ~Y=~(p$q)= p*q+~p*~q
##
9: 9A: Y=(p|~~>q)=1 # 9B: ~Y=~(p|~~>q)=0
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - układy w bramkach logicznych różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
|
Jak sprawdzić poprawność tabeli TA1 w laboratorium techniki cyfrowej?
Do sprawdzenia potrzebny nam będzie przyrząd pomiarowy zwany analizatorem stanów logicznych.
Analizator stanów logicznych to przyrząd do obserwacji zmiennych sygnałów cyfrowych np. na ekranie laptopa za pośrednictwem specjalnego adaptera.
Przykładowy analizator stanów logicznych dla 16 kanałów:
[link widoczny dla zalogowanych]
Dowód poprawności algebry Kubusia w laboratorium bramek logicznych jest następujący.
I.
Sprawdzenie zgodności algebry Kubusia z rzeczywistością dla funkcji logicznych Y=f(xA):
1.
W pierwszych 4 liniach analizatora wyświetlamy wszystkie możliwe sygnały odniesienia tzn:
{p, q, ~p, ~q}
2.
Sprawdzamy zgodność funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) w liniach xA w odniesieniu do sygnałów odniesienia {p, q, ~p, ~q}
Wynik sprawdzenia: wszystko się genialnie zgadza
3.
Sprawdzamy czy wszystkie funkcje logiczne Y=f(xA) w poszczególnych liniach są różne na mocy definicji ## (mają różne wykresy czasowe).
Wynik sprawdzenia: wszystko się genialnie zgadza
Dokładnie to samo robimy dla funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
II.
Sprawdzenie zgodności algebry Kubusia z rzeczywistością dla funkcji logicznych ~Y=f(xB):
1.
W pierwszych 4 liniach analizatora wyświetlamy wszystkie możliwe sygnały odniesienia tzn:
{p, q, ~p, ~q}
2.
Sprawdzamy zgodność funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y) w liniach xB w odniesieniu do sygnałów odniesienia {p, q, ~p, ~q}
Wynik sprawdzenia: wszystko się genialnie zgadza
3.
Sprawdzamy czy wszystkie funkcje logiczne ~Y=f(xB) w poszczególnych liniach są różne na mocy definicji ## (mają różne wykresy czasowe).
Wynik sprawdzenia: wszystko się genialnie zgadza
W ten oto sposób udowodniliśmy w laboratorium bramek logicznych 100% zgodność algebry Kubusia z teorią bramek logicznych.
Uwaga:
W tabeli TA1 nie wolno nam porównywać funkcji logicznych po jakichkolwiek przekątnych, bowiem każda z linii tabeli TA1 opisuje różny na mocy definicji ## układ w bramkach logicznych - zobacz punkt 14.2 i 14.3
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 15:03, 03 Wrz 2022, w całości zmieniany 1 raz
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 21:33, 24 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
15.0 Błąd fatalny w podręczniku akademickim matematyki
Spis treści
15.0 Błąd fatalny w podręczniku akademickim matematyki 1
15.1 Jak udowodnić błędność dowodu prof. L. Newelskiego? 3
15.2 Geneza błędu czysto matematycznego prof. L. Newelskiego w oryginale 4
15.2.1 Poprawny matematycznie dowód prof. L. Newelskiego w oryginale 6
15.2.2 Igraszki masochistów dla funkcji Y 12
15.2.2 Igraszki masochistów dla funkcji ~Y 15
15.0 Błąd fatalny w podręczniku akademickim matematyki
Niniejszy punkt nawiązuje do prawa Małpki omówionego w punkcie 2.6.1
Przepraszam prof. Ludomira Newelskiego za znalezienie błędu czysto matematycznego w jego dowodzie prawa Małpki w podręczniku akademickim dla studentów I roku matematyki "Wstęp do matematyki".
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
Dowód prawa Małpki (Uwaga 2.7) w podręczniku „Wstęp do matematyki” autorstwa prof. L. Newelskiego.
[link widoczny dla zalogowanych]
Cytuję słowo w słowo dowód prawa Małpki w wykonaniu prof. L. Newelskiego na prostszym przykładzie, co jest bez znaczenia:
1.
Załóżmy tabelę zero-jedynkową z dwoma zmiennymi wejściowymi {p,q} i jedną zmienną wyjściową Y (funkcja logiczna)
Y = f(p,q)
Kod: |
p q Y
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 0 1
D: 0 1 0
|
2.
Z tabeli odczytujemy, że funkcja logiczna Y przyjmuje wartość logiczną 1 wtedy i tylko wtedy gdy:
2: Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: p=0 i q=0
3.
Zatem funkcja logiczna Y opisująca tą tabelę to:
3: Y= A: p*q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
która jest w postaci alternatywno-koniunkcyjnej
Uwagi Rafala3006:
a)
W przejściu z punktu 2 do 3 prof. L. Newelski nie podał studentom podstawy matematycznej przejścia z 2 do 3.
Ta podstawa matematyczna to prawa Prosiaczka, które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej
I Prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Gdzie:
## różne na mocy definicji
b)
Naturalną logiką człowieka są równania alternatywno-koniunkcyjne powstałe wtedy i tylko wtedy gdy na mocy II prawa Prosiaczka wszystkie zmienne binarne w dowolnej tabeli zero-jedynkowej sprowadzimy do jedynek.
Alternatywnie, na mocy I prawa Prosiaczka wszystkie zmienne w tabeli zero-jedynkowej możemy sprowadzić do zera otrzymując totalnie niezrozumiałe przez człowieka równania koniunkcyjno-alternatywne.
Ciąg dalszy algorytmu prof. L. Newelskiego:
4.
Przypuśćmy dla przykładu, że funkcja ~Y jest równoważna funkcji:
4: ~Y = A: p*q + C: ~p*~q
Uwaga Rafała3006:
W przejściu z punktu 3 do 4 jest błąd czysto matematyczny bo:
3: Y= A: p*q + C: ~p*~q
4: ~Y = A: p*q + C: ~p*~q
Funkcja logiczna 4 nie jest negacją funkcji logicznej 3 bo w funkcji 4 brakuje negacji prawej strony!
Ciąg dalszy algorytmu prof. L. Newelskiego:
5.
Wówczas funkcja Y jest równoważna funkcji:
Y = ~(p*q+~p*~q)
Na mocy prawa De Morgana mamy:
Y = ~(p*q)*~(~p*~q)
Kolejny raz stosujemy prawo De Morgana
5: Y = (~p+~q)*(p+q)
Ostatnia funkcja jest już postaci koniunkcyjno-alternatywnej.
Funkcja logiczna 5 u prof. L. Newelskiego jest błędna bo:
Wejściowa funkcja alternatywno-koniunkcyjna jest taka:
3: Y= (p*q) + (~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) metodą skróconą poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.
5’: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
Tymczasem prof. L. Newelski zapisuje tu:
5: Y = (~p+~q)*(p+q)
Błąd czysto matematyczny widać tu jak na dłoni:
Funkcja logiczna 5 nie jest negacją funkcji logicznej 3
cnd
Geneza błędu prof. L. Newelskiego:
Ziemska logika matematyczna nie zna pojęcia funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
Dokładnie dlatego prof. L. Newelski nie jest w stanie zapisać tu poprawnej matematycznie funkcji logicznej 5’ w logice ujemnej (bo ~Y)
15.1 Jak udowodnić błędność dowodu prof. L. Newelskiego?
Dowód prawa Małpki bez tabel zero-jedynkowych
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y = p<=>q = p*q+~p*~q
Dowód prawa Małpki na naszym przykładzie równoważności:
Y = p<=>q = p*q+~p*~q
jest trywialny o ile skorzystamy z algorytmu przejścia do logiki przeciwnej autorstwa Wuja Zbója.
Zaczynamy od definicji równoważności Y=p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1: Y = p*q + ~p*~q
Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
a)
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
b)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2: ~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója
Zauważmy że:
Jeśli wymnożymy wielomian 2 to otrzymamy tożsamą do niego postać alternatywno-koniunkcyjną.
Zróbmy to:
~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
3: ~Y = p*~q + ~p*q - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Dla funkcji logicznej 3 ponownie korzystamy z algorytmu Wuja przechodząc do logiki dodatniej:
Mamy:
3: ~Y = (p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4: Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Stąd mamy:
Kod: |
T1
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój odpowiednik
w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
1: Y = p* q + ~p*~q <=> 4: Y = (~p+ q)*(p+~q)
# #
3: ~Y = p*~q + ~p* q <=> 2: ~Y = (~p+~q)*(p+ q)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej
|
W tak bajecznie prosty sposób udowodniliśmy prawo Małpki bez użycia tabel zero-jedynkowych.
Doskonale tu widać matematyczny błąd fatalny prof. L. Newelskiego, który zapisał:
1: Y=p*q+~p*~q [=] 2: Y=(~p+~q)*(p+q)
cnd
Podsumowanie:
W podręczniku akademickim „Wstęp do matematyki” jest błąd czysto matematyczny bowiem zapisano w nim tożsamość logiczną:
p*q+~p*~q = (~p+~q)*(p+q)
W świecie rzeczywistym powyższa tożsamość nie zachodzi co wyżej udowodniliśmy.
Innymi słowy:
Miejsce dowodu z podręcznika akademickiego jest w koszu na śmieci.
15.2 Geneza błędu czysto matematycznego prof. L. Newelskiego w oryginale
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
Dowód prawa Małpki w wykonaniu prof. L. Newelskiego (Uwaga 2.7)
[link widoczny dla zalogowanych]
Weźmy dowód prof. L. Newelskiego w oryginale cytowany słowo w słowo:
1.
Załóżmy tabelę zero-jedynkową z trzema zmiennymi wejściowymi {p,q,r} i jedną zmienną wyjściową Y (funkcja logiczna)
Y = f(p,q,r)
Kod: |
p q r Y=?
A: 0 0 0 0
B: 0 0 1 1
C: 0 1 0 1
D: 0 1 1 0
E: 1 0 0 0
F: 1 0 1 1
G: 1 1 0 0
H: 1 1 1 0
|
2.
Z tabelki odczytujemy że funkcja logiczna Y przyjmuje wartość logiczną 1 wtedy i tylko wtedy gdy:
Y=1 <=> B: p=0 i q=0 i r=1 lub C: p=0 i q=1 i r=0 lub F: p=1 i q=0 i r=1
3.
Zatem funkcja logiczna Y w postaci alternatywno-koniunkcyjnej to:
3: Y = B: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B: ~p=1 i ~q=1 i r=1 lub C: ~p=1 i q=1 i ~r=1 lub F: p=1 i ~q=1 i r=1
Uwagi Rafala3006:
a)
W przejściu z punktu 2 do 3 prof. L. Newelski nie podał studentom podstawy matematycznej przejścia z 2 do 3.
Ta podstawa matematyczna to prawa Prosiaczka, które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej
I Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1
##
II Prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
Gdzie:
## różne na mocy definicji
b)
Naturalną logiką człowieka są równania alternatywno-koniunkcyjne powstałe wtedy i tylko wtedy gdy na mocy I prawa Prosiaczka wszystkie zmienne binarne w dowolnej tabeli zero-jedynkowej sprowadzimy do jedynek.
Alternatywnie, na mocy II prawa Prosiaczka wszystkie zmienne w tabeli zero-jedynkowej możemy sprowadzić do zera otrzymując totalnie niezrozumiałe przez człowieka równania koniunkcyjno-alternatywne.
Ciąg dalszy algorytmu prof. L. Newelskiego:
4.
Przypuśćmy dla przykładu że funkcja ~Y jest równoważna funkcji:
4: ~Y = B: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
Uwaga Rafała3006:
W przejściu z punktu 3 do 4 jest błąd czysto matematyczny bo:
Funkcja wejściowa w logice dodatniej (bo Y) jest taka:
3: Y = B: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
Natomiast punkt 4 u prof. L. Newelskiego to błąd czysto matematyczny bo:
4: ~Y = B: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
Funkcja logiczna 4 nie jest negacją funkcji logicznej 3 bo nie zanegowano dodatkowo prawej strony!
5.
Wówczas funkcja Y jest równoważna funkcji:
Y = ~(B: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r)
Stosując serię praw De Morgana dla prawej strony otrzymujemy:
5: Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)
Oczywistym jest, że w przejściu z 3 do 4 jest błąd czysto matematyczny.
Dowód:
Wejściowa funkcja alternatywno-koniunkcyjna jest taka:
3: Y = (~p*~q*r) + (~p*q*~r) + (p*~q*r)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) metodą skróconą poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
5’. ~Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)
Tymczasem prof. Nwewelski pisze tu:
5: Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)
Błąd czysto matematyczny widać tu jak na dłoni bowiem w punkcie 5 prof. L. Newelski powinien zapisać funkcję logiczną w logice ujemnej (bo ~Y), czego nie robi … bo nie zna definicji funkcji logicznej Y w logice ujemnej (bo ~Y), co jest tożsame z faktem, iż nie wie że dowolną funkcję logiczną Y=f(x) możemy tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować.
Innymi słowy:
To jest poprawny zapis prof. Newelskiego:
3.
Zatem funkcja logiczna Y w postaci alternatywno-koniunkcyjnej to
3: Y = B: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
… a to jest błąd fatalny prof. Newelskiego:
4.
Przypuśćmy dla przykładu że funkcja ~Y jest równoważna funkcji:
4: ~Y = B: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
cnd
Geneza błędu prof. L. Newelskiego:
Ziemska logika matematyczna nie zna pojęcia funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
Dokładnie dlatego prof. L. Newelski nie jest w stanie zapisać tu poprawnej matematycznie funkcji logicznej 5’ w logice ujemnej (bo ~Y)
5’. ~Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)
15.2.1 Poprawny matematycznie dowód prof. L. Newelskiego w oryginale
I.
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka
Znaczek tożsamy w matematyce:
(*) - znaczek koniunkcji
Znaczek tożsamy w technice:
(*) - bramka logiczna AND
Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
Kod: |
p q Y=p*q
A: 1* 1 =1
B: 1* 0 =0
C: 0* 1 =0
D: 0* 0 =0
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
Y=1
|
Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia którą logiką będziemy się posługiwać. W przypadku spójnika „i”(*) użycie logiki jedynek jest najszybszym sposobem wypełnienia wynikowej kolumny zero-jedynkowej.
II.
(+) - spójnik „lub”(+) z języka potocznego człowieka
Znaczek tożsamy w matematyce:
(+) - znaczek alternatywy
Znaczek tożsamy w technice:
(+) - bramka logiczna OR
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod: |
p q Y=p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
Y=1
|
Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia którą logiką będziemy się posługiwać. W przypadku spójnika „lub”(+) użycie logiki zer jest najszybszym sposobem wypełnienia wynikowej kolumny zero-jedynkowej.
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
Poprawny dowód prof. L. Newelskiego powinien wyglądać tak:
Załóżmy tabelę zero-jedynkową z trzema zmiennymi wejściowymi {p,q,r} i jedną zmienną wyjściową Y (funkcja logiczna)
Y = f(p,q,r)
Kod: |
T1
p q r Y=?
A: 0 0 0 0
B: 0 0 1 1
C: 0 1 0 1
D: 0 1 1 0
E: 1 0 0 0
F: 1 0 1 1
G: 1 1 0 0
H: 1 1 1 0
|
Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa układu logicznego (bramka logiczna) to zero-jedynkowy zapis wszystkich sygnałów wejściowych w postaci niezanegowanej (p, q, r..) i zanegowanej (~p, ~q, ~r..) oraz zapis wyjścia Y również w postaci niezanegowanej (Y) i zanegowanej (~Y).
Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Inaczej mamy do czynienia ze standardem ujemnym lub mieszanym.
1.
Tworzymy pełną definicję tabeli zero-jedynkowej, czyli:
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p,q,r w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2.
SD - standard dodatni w języku potocznym człowieka = logika jedynek
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
3.
SU - standard ujemny (niezrozumiały dla człowieka) = logika zer
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu zawsze wymnażamy wielomian koniunkcyjno-alternatywny przechodząc do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej.
Przykładowy, poprawny dowód prof. L. Newelskiego jest następujący:
1.
Zapiszmy pełną tabelę zero-jedynkową dla czterech zmiennych binarnych {p,q,r,Y):
Kod: |
T2
| I. | II.
| Logika jedynek | Logika zer
p q r Y=? ~p ~q ~r ~Y=? | |
A: 0 0 0 0 1 1 1 1 | ~Ya=~p*~q*~r | Ya= p+ q+ r
B: 0 0 1 1 1 1 0 0 | Yb=~p*~q* r | ~Yb= p+ q+~r
C: 0 1 0 1 1 0 1 0 | Yc=~p* q*~r | ~Yc= p+~q+ r
D: 0 1 1 0 1 0 0 1 | ~Yd=~p* q* r | Yd= p+~q+~r
E: 1 0 0 0 0 1 1 1 | ~Ye= p*~q*~r | Ye=~p+ q+ r
F: 1 0 1 1 0 1 0 0 | Yf= p*~q* r | ~Yf=~p+ q+~r
G: 1 1 0 0 0 0 1 1 | ~Yg= p* q*~r | Yg=~p+~q+ r
H: 1 1 1 0 0 0 0 1 | ~Yh= p* q* r | Yh=~p+~q+~r
1 2 3 4 5 6 7 8
|
I.
Układ równań logicznych Y i ~Y w logice jedynek:
1.
Y = Yb+Yc+Yf
Po rozwinięciu mamy:
Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
2.
~Y = ~Ya+~Yd+~Ye+~Yg+~Yh
Po rozwinięciu mamy:
~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
Matematycznie na 100% zachodzą tożsamości logiczne:
1: Y = 2: ~(~Y)
1: ~(Y) = 2: ~Y
Powyższych tożsamości nie musimy sprawdzać, gwarantuje je algebra Boole’a.
II.
Układ równań logicznych Y i ~Y w logice zer:
3.
Y = Ya*Yd*Ye*Yg*Yh
Po rozwinięciu mamy:
Y = A: (p+q+r)* D: (p+~q+~r)* E: (~p+q+r)* G: (~p+~q+r)* H: (~p+~q+~r)
4.
~Y=~Yb*~Yc*~Yf
Po rozwinięciu mamy:
~Y = B: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)
Matematycznie na 100% zachodzą tożsamości logiczne:
3: Y = 4: ~(~Y)
3: ~(Y) = 4: ~Y
Powyższych tożsamości nie musimy sprawdzać, gwarantuje je algebra Boole’a.
Zadanie dla masochistów:
Udowodnij, iż w tabeli T1 (a tym samym w T2) zachodzą prawa Małpki:
1: Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
[=]
3: Y = A: (p+q+r)* D: (p+~q+~r)* E: (~p+q+r)* G: (~p+~q+r)* H: (~p+~q+~r)
Oraz:
2: ~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
[=]
4: ~Y = A: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)
Gdzie:
[=] - znaczek tożsamości logicznej
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza [=] fałszywość drugiej strony
W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości znaczków:
<=>, „=”, [=] - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Jako że nigdy nie byłem masochistą udowodnię tylko matematyczne związki między funkcjami minimalnymi w logice jedynek i w logice zer - resztę pozostawiam masochistom albo komputerowi (łatwy do napisania program).
Zauważmy, że w logice jedynek najprostszą funkcją logiczną jest funkcja 1:
1.
Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + p*~q*r
Natomiast w logice zer najprostszą funkcją logiczną jest funkcja 4:
4.
~Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)
Jeśli odpowiednie funkcje w logice jedynek i w logice zer są tożsame tzn.
Y (logika jedynek) = Y (logika zer)
~Y (logika jedynek) =~Y (logika zer)
to musi zachodzić:
1: Y = Yb+Yc+Yf (logika jedynek) # 4: ~Y=~Yb*~Yc*~Yf (logika zer)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Prawo podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)
stąd:
Matematycznie musi zachodzić tożsamość logiczna [=]:
1: Y = Yb+Yc+Yf (logika jedynek) [=] 4’: Y = ~(~Y=~Yb*~Yc*~Yf (logika zer))
Zbadajmy w rachunku zero-jedynkowym czy powyższa tożsamość zachodzi:
I.
LJ = Logika jedynek:
1.
Y = Yb+Yc+Yf
Po rozwinięciu mamy:
Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
Kod: |
T1
Logika jedynek dla Y
| Yb= Yc= Yf Y=
p q r Y=? ~p ~q ~r ~Y=? | ~p*~q* r ~p* q*~r p*~q* r Yb+Yc+Yf
A: 0 0 0 0 1 1 1 1 | 0 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 1 0 0 | 1 0 0 1
C: 0 1 0 1 1 0 1 0 | 0 1 0 1
D: 0 1 1 0 1 0 0 1 | 0 0 0 0
E: 1 0 0 0 0 1 1 1 | 0 0 0 0
F: 1 0 1 1 0 1 0 0 | 0 0 1 1
G: 1 1 0 0 0 0 1 1 | 0 0 0 0
H: 1 1 1 0 0 0 0 1 | 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
Podpowiedź dla szybkiego wypełniania kolumn wynikowych:
Przy wypełnianiu kolumny Yb szukamy dwóch jedynek w kolumnach ~p i ~q, są tylko dwa takie przypadki w liniach A i B, zatem tylko dla tych linii szukamy jedynki w kolumnie r która jest w linii B, stąd w linii Yb mamy jedynkę, zaś pozostałe linie uzupełniamy zerami.
Podobnie postępujemy z kolumnami Yc i Yf
II.
LZ = Logika zer
4.
~Y=~Yb*~Yc*~Yf
Po rozwinięciu mamy:
~Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)
Kod: |
T4
Logika zer dla ~Y
| ~Yb= ~Yc= ~Yf ~Y= Y=
p q r Y=? ~p ~q ~r ~Y=? | p+q+~r p+~q+r ~p+q+~r ~Yb*~Yc*~Yf ~(~Y)
A: 0 0 0 0 1 1 1 1 | 1 1 1 1 0
B: 0 0 1 1 1 1 0 0 | 0 1 1 0 1
C: 0 1 0 1 1 0 1 0 | 1 0 1 0 1
D: 0 1 1 0 1 0 0 1 | 1 1 1 1 0
E: 1 0 0 0 0 1 1 1 | 1 1 1 1 0
F: 1 0 1 1 0 1 0 0 | 1 1 0 0 1
G: 1 1 0 0 0 0 1 1 | 1 1 1 1 0
H: 1 1 1 0 0 0 0 1 | 1 1 1 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
|
Podpowiedź dla szybkiego wypełniania kolumn wynikowych:
Przy wypełnianiu kolumny ~Yb szukamy dwóch zer w kolumnach p i q, są tylko dwa takie przypadki w liniach A i B, zatem tylko dla tych linii szukamy zera w kolumnie ~r które jest w linii B, stąd w linii ~Yb mamy zero, zaś pozostałe linie uzupełniamy jedynkami.
Podobnie postępujemy z kolumnami ~Yc i ~Yf.
Z powyższego rachunku zero-jedynkowego wynika, że matematycznie zachodzi:
T1_12: Y =Yb+Yc+Yf (logika jedynek) # T4_12: ~Y=~Yb*~Yc*~Yf (logika zer)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Prawo podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)
Stąd mamy:
T1_12: Y=Yb+Yc+Yf (logika jedynek) [=] T4_13: Y = ~(~Y=~Yb*~Yc*~Yf (logika zer))
Tożsamość kolumn wynikowych:
T1_12: Y [=] T4_13: Y
Jest dowodem formalnym poprawności powyższej tożsamości logicznej [=]
cnd
15.2.2 Igraszki masochistów dla funkcji Y
W poprzednim punkcie padało zadanie dla masochistów.
Przykładowy, poprawny dowód prof. L. Newelskiego jest następujący:
1.
Zapiszmy pełną tabelę zero-jedynkową dla czterech zmiennych binarnych {p,q,r,Y):
Kod: |
T2
| I. | II.
| Logika jedynek | Logika zer
p q r Y=? ~p ~q ~r ~Y=? | |
A: 0 0 0 0 1 1 1 1 | ~Ya=~p*~q*~r | Ya= p+ q+ r
B: 0 0 1 1 1 1 0 0 | Yb=~p*~q* r | ~Yb= p+ q+~r
C: 0 1 0 1 1 0 1 0 | Yc=~p* q*~r | ~Yc= p+~q+ r
D: 0 1 1 0 1 0 0 1 | ~Yd=~p* q* r | Yd= p+~q+~r
E: 1 0 0 0 0 1 1 1 | ~Ye= p*~q*~r | Ye=~p+ q+ r
F: 1 0 1 1 0 1 0 0 | Yf= p*~q* r | ~Yf=~p+ q+~r
G: 1 1 0 0 0 0 1 1 | ~Yg= p* q*~r | Yg=~p+~q+ r
H: 1 1 1 0 0 0 0 1 | ~Yh= p* q* r | Yh=~p+~q+~r
1 2 3 4 5 6 7 8
|
I.
Układ równań logicznych Y i ~Y w logice jedynek:
1.
Y = Yb+Yc+Yf
Po rozwinięciu mamy:
Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
2.
~Y = ~Ya+~Yd+~Ye+~Yg+~Yh
Po rozwinięciu mamy:
~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
Matematycznie na 100% zachodzą tożsamości logiczne:
1: Y = 2: ~(~Y)
1: ~(Y) = 2: ~Y
Powyższych tożsamości nie musimy sprawdzać, gwarantuje je algebra Boole’a.
II.
Układ równań logicznych Y i ~Y w logice zer:
3.
Y = Ya*Yd*Ye*Yg*Yh
Po rozwinięciu mamy:
Y = A: (p+q+r)* D: (p+~q+~r)* E: (~p+q+r)* G: (~p+~q+r)* H: (~p+~q+~r)
4.
~Y=~Yb*~Yc*~Yf
Po rozwinięciu mamy:
~Y = B: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)
Matematycznie na 100% zachodzą tożsamości logiczne:
3: Y = 4: ~(~Y)
3: ~(Y) = 4: ~Y
Powyższych tożsamości nie musimy sprawdzać, gwarantuje je algebra Boole’a.
Zadanie dla masochistów:
Udowodnij, iż w tabeli T1 (a tym samym w T2) zachodzą prawa Małpki:
1: Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
[=]
3: Y = A: (p+q+r)* D: (p+~q+~r)* E: (~p+q+r)* G: (~p+~q+r)* H: (~p+~q+~r)
Oraz:
2: ~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
[=]
4: ~Y = A: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)
Gdzie:
[=] - znaczek tożsamości logicznej
Spróbujmy udowodnić w sposób bezpośredni tożsamość logiczną:
1: Y [=] 3: Y
Z minimalizacją równania 3: Y w celu dojścia to tożsamego równania 1: Y będzie miał potężny problem zarówno człowiek, jak i komputer. W równaniu 3: Y trzeba bowiem wymnożyć wszystkie wielomiany przechodząc do postaci alternatywno-koniunkcyjnej po czym zminimalizować otrzymaną funkcję logiczną dochodząc do postaci 1: Y.
Nieporównywalnie lepsze zarówno dla człowieka jak i dla komputera (szczególnie) jest tu zastosowanie rachunku zero-jedynkowego w stosunku do oryginalnej postaci koniunkcyjno-alternatywnej 3: Y, co niżej pokażemy.
I.
Funkcję logiczną 1: Y obliczyliśmy w tabeli zero-jedynkowej w poprzednim punkcie, zatem wystarczy ją przepisać.
LJ = Logika jedynek dla Y
1.
Y = Yb+Yc+Yf
Po rozwinięciu mamy:
1: Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
Kod: |
T1
Logika jedynek dla Y
| Yb= Yc= Yf Y=
p q r Y=? ~p ~q ~r ~Y=? | ~p*~q* r ~p* q*~r p*~q* r Yb+Yc+Yf
A: 0 0 0 0 1 1 1 1 | 0 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 1 0 0 | 1 0 0 1
C: 0 1 0 1 1 0 1 0 | 0 1 0 1
D: 0 1 1 0 1 0 0 1 | 0 0 0 0
E: 1 0 0 0 0 1 1 1 | 0 0 0 0
F: 1 0 1 1 0 1 0 0 | 0 0 1 1
G: 1 1 0 0 0 0 1 1 | 0 0 0 0
H: 1 1 1 0 0 0 0 1 | 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
Podpowiedź dla szybkiego wypełniania kolumn wynikowych:
Przy wypełnianiu kolumny Yb szukamy dwóch jedynek w kolumnach ~p i ~q, są tylko dwa takie przypadki w liniach A i B, zatem tylko dla tych linii szukamy jedynki w kolumnie r która jest w linii B, stąd w linii Yb mamy jedynkę, zaś pozostałe linie uzupełniamy zerami.
Podobnie postępujemy z kolumnami Yc i Yf
II.
Obliczmy w rachunku zero-jedynkowym funkcję logiczną 3:Y w logice zer.
LZ = logika zer dla Y
3.
Y = Ya*Yd*Ye*Yg*Yh
po rozwinięciu mamy:
3: Y = A: (p+q+r)* D: (p+~q+~r)* E: (~p+q+r)* G: (~p+~q+r)* H: (~p+~q+~r)
Kod: |
T3
Logika zer dla Y Y=
Ya= Yd= Ye= Yg= Yh= A*D*E*
p q r Y=? ~p ~q ~r ~Y=? p+q+r p+~q+~r ~p+q+r ~p+~q+r ~p+~q+~r *G*H
A: 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
B: 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1
C: 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1
D: 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0
E: 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0
F: 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1
G: 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0
H: 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
|
Podpowiedź dla szybkiego wypełniania kolumn wynikowych:
Przy wypełnianiu kolumny Ya szukamy dwóch zer w kolumnach p i q, są tylko dwa takie przypadki w liniach A i B, zatem tylko dla tych linii szukamy zera w kolumnie r które jest w linii A, stąd w linii Ya mamy zero, zaś pozostałe linie uzupełniamy jedynkami.
Podobnie postępujemy z kolumnami Yd, Ye, Yg i Yh
Jak widzimy wypełnienie tabeli T3 nie jest tak straszne, jak się początkowo wydawało, szczególnie dla komputera to po prostu pikuś.
Podsumowanie:
Tożsamość kolumn wynikowych:
T1_12: Y = T3_14: Y
jest dowodem formalnym zachodzącej tożsamości logicznej [=]:
1: Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
[=]
3: Y = A: (p+q+r)* D: (p+~q+~r)* E: (~p+q+r)* G: (~p+~q+r)* H: (~p+~q+~r)
Gdzie:
[=] - znaczek tożsamości logicznej
Jak widzimy, nie taki diabeł straszny, jak się początkowo wydawał
c.n.d
Zadanie domowe dla czytelnika:
Wzorując się na przykładzie wyżej udowodnij w rachunku zero-jedynkowym w sposób bezpośredni zachodzącą tożsamość logiczną [=].
2: ~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
[=]
4: ~Y = A: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)
Gdzie:
[=] - znaczek tożsamości logicznej
Poprawne rozwiązanie w kolejnym punkcie.
15.2.2 Igraszki masochistów dla funkcji ~Y
Weźmy tożsamość logiczną dla funkcji ~Y:
2: ~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
[=]
4: ~Y = A: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)
Funkcję 4:~Y zapisaliśmy w tabeli zero-jedynkowej wyżej.
Przypomnijmy:
I.
LZ = Logika zer dla ~Y
4.
~Y=~Yb*~Yc*~Yf
Po rozwinięciu mamy:
~Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)
Kod: |
T4
| II.
| Logika zer
| ~Yb= ~Yc= ~Yf ~Y=
p q r Y=? ~p ~q ~r ~Y=? | p+q+~r p+~q+r ~p+q+~r ~Yb*~Yc*~Yf
A: 0 0 0 0 1 1 1 1 | 1 1 1 1
B: 0 0 1 1 1 1 0 0 | 0 1 1 0
C: 0 1 0 1 1 0 1 0 | 1 0 1 0
D: 0 1 1 0 1 0 0 1 | 1 1 1 1
E: 1 0 0 0 0 1 1 1 | 1 1 1 1
F: 1 0 1 1 0 1 0 0 | 1 1 0 0
G: 1 1 0 0 0 0 1 1 | 1 1 1 1
H: 1 1 1 0 0 0 0 1 | 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
Podpowiedź dla szybkiego wypełniania kolumn wynikowych:
Przy wypełnianiu kolumny ~Yb szukamy dwóch zer w kolumnach p i q, są tylko dwa takie przypadki w liniach A i B, zatem tylko dla tych linii szukamy zera w kolumnie ~r które jest w linii B, stąd w linii ~Yb mamy zero, zaś pozostałe linie uzupełniamy jedynkami.
Podobnie postępujemy z kolumnami ~Yc i ~Yf.
Zapiszmy tabelę zero-jedynkową dla funkcji 2:~Y:
2.
~Y = ~Ya+~Yd+~Ye+~Yg+~Yh
Po rozwinięciu mamy:
2: ~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
Kod: |
T2
Logika jedynek dla ~Y ~Y=
~Ya= ~Yd= ~Ye= ~Yg= ~Yh= A+D+E
p q r Y=? ~p ~q ~r ~Y=? ~p*~q*~r ~p*q*r p*~q*~r p*q*~r p*q*r +G+H
A: 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1
B: 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
C: 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
D: 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1
E: 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1
F: 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
G: 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1
H: 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
|
Podpowiedź dla szybkiego wypełniania kolumn wynikowych:
Przy wypełnianiu kolumny ~Ya szukamy dwóch jedynek w kolumnach ~p i ~q, są tylko dwa takie przypadki w liniach A i B, zatem tylko dla tych linii szukamy jedynki w kolumnie ~r która jest w linii A, stąd w linii ~Ya mamy jedynkę, zaś pozostałe linie uzupełniamy zerami.
Podobnie postępujemy z kolumnami ~Yd, ~Ye, ~Yg, ~Yh
Podsumowanie:
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
T4_12: ~Y = T2_14:~Y
Jest dowodem formalnym poniższej tożsamości logicznej [=]:
2: ~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
[=]
4: ~Y = A: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)
cnd
Porównując dowody w niniejszym punkcie i poprzednim możemy zapisać:
2: ~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
[=]
4: ~Y = A: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)
#
1: Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
[=]
3: Y = A: (p+q+r)* D: (p+~q+~r)* E: (~p+q+r)* G: (~p+~q+r)* H: (~p+~q+~r)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 8:20, 02 Paź 2022, w całości zmieniany 1 raz
|
|
Powrót do góry |
|
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Nie 21:35, 24 Lip 2022 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
16.0 Kwintesencja algebry Kubusia
Spis treści
16.0 Kwintesencja algebry Kubusia 1
16.1 Znaczki elementarne obsługujące zdania warunkowe „Jeśli p to q” 3
16.1.1 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 4
16.1.2 Prawo Słonia – najważniejsze prawo w logice matematycznej 6
16.1.3 Znaczki rozszerzone zbudowane ze znaczków elementarnych 9
16.2 Nowa algebra Boole’a 12
16.3 Prawo zagłady Klasycznego Rachunku Zdań 12
16.3.1 Dowód sprzeczności AK vs KRZ dla znaczka „*” 12
16.3.2 Dowód sprzeczności AK vs KRZ dla znaczka „+” 13
16.3.3 Dowód sprzeczności AK vs KRZ dla znaczka => 17
16.3.4 Prawo zagłady warunku wystarczającego => w KRZ 18
16.0 Kwintesencja algebry Kubusia
Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock
1.
Kubusiowa teoria zbiorów to nieznana ziemskim matematykom teoria zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej, algebry Kubusia.
Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, koło, miłość, krasnoludek, zbór wszystkich zwierząt ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]
Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies)
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)
2.
Prawo Absolutu:
Logika matematyczna pod którą polega cały nasz Wszechświat żywy i martwy (w tym matematyka) może być jedna i tylko jedna, to algebra Kubusia
Dowód pośredni to.
Prawo zagłady KRZ:
100% znaczków w algebrze Kubusia jest sprzecznych z fundamentem wszelkich ziemskich logik matematycznych zwanym Klasycznym Rachunkiem Zdań
Dowód w punkcie 16.3
Dowód bezpośredni to definicja sprzeczności dwóch logik A i B zapisana w „Wojnie światów”.
Fragment „Wojny światów” – punkt 17.3
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Biblia = algebra Kubusia
co oznacza, że w żadnym momencie Biblia nie jest sprzeczna z algebrą Kubusia i odwrotnie.
Biblia byłaby sprzeczna z algebrą Kubusia wtedy i tylko wtedy gdybyśmy znaleźli w niej takie zdanie.
Chrystus:
Kto wierzy we mnie pójdzie do piekła
Na mocy definicji groźby, Chrystus miałby tu prawo „rzucać sobie monetą”, czyli niektórych w niego wierzących posyłać do piekła a innych do nieba.
Innymi słowy:
Ludzie wierzący w Chrystusa nie mieliby matematycznej gwarancji => zbawienia.
Oczywistym jest, że nikt powyższej groźby Chrystusa w całej Biblii nie znajdzie, bo wtedy wiara w niego nie miałaby sensu.
Prawo Absolutu:
Logika matematyczna pod którą podlega cały nasz Wszechświat żywy i martwy (w tym matematyka) jest jedna i tylko jedna, to algebra Kubusia.
Z powyższego wynika fałszywość wszelkich ziemskich logik, konkurencyjnych w stosunku do algebry Kubusia np. ziemskiej logiki matematycznej zwanej Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Stąd mamy:
Definicja sprzeczności dwóch logik A i B:
Logika A jest sprzeczna z logiką B wtedy i tylko wtedy gdy istnieje zdanie prawdziwe w logice A, które jest fałszywe w logice B.
Nasz przykład:
Logika Chrystusa (A) byłaby sprzeczna z logiką człowieka (algebrą Kubusia) (B) wtedy i tylko wtedy gdyby w logice A istniało zdanie prawdziwe:
Chrystus:
Kto wierzy we mnie pójdzie do piekła
Na szczęście takiego zdania nikt w Biblii nie znajdzie, co jest dowodem braku sprzeczności logiki Chrystusa (A) z logiką człowieka (B).
Podsumowując:
Ja Rafał3006, uznaję Biblię za równoważny podręcznik logiki matematycznej obowiązującej w naszym Wszechświecie.
Biblia ma tą przewagę nad wyłożoną tu algebrą Kubusia, że jest napisana prostym językiem, zrozumiałym dla wszystkich ludzi.
Prawdy w niej głoszone znane są każdemu 5-cio latkowi.
Kluczowe prawdy to:
1.
Dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
2.
Nadawca dowolnie ostrej groźby ma prawo do odstąpienia od egzekwowania kary zawartej w tej groźbie, zależnej od niego.
Prawo do odstąpienia od wykonania kary w dowolnej groźbie nie oznacza oczywiście że każdą karę zawartą w groźbie nadawca musi darować - wiele słusznych kar wykonuje np. w celach wychowawczych dziecka.
Przykłady:
a).
Chrystus do zbrodniarza:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)
b).
Przykład ze świata człowieka:
JPII i Ali Agca
JPII przebaczył Ali Agcy, ale nie może stać ponad prawem ziemskim, czyli przebaczenie zamachu na jego życie nie jest tożsame z automatycznym wyjściem Ali Agcy z więzienia.
Takie przebaczenie może być brane pod uwagę przez sąd w rozpatrywaniu wniosku Ali Agcy o przedterminowe zwolnienie - aktualnie Ali Agca jest na wolności.
16.1 Znaczki elementarne obsługujące zdania warunkowe „Jeśli p to q”
Logika matematyczna to tylko i wyłącznie zdania warunkowe „Jeśli p to q” będące odpowiednikiem skoków warunkowych w programowaniu komputerów.
Dla każdego programisty jest oczywiste, że jeśli z programowania komputerów zabierzemy wszystkie rozgałęzienia warunkowe to nie da się napisać najprostszego nawet programu, bowiem wszystko jest wówczas zdeterminowane (znane z góry).
Istotę problemu omówimy na bazie teorii zbiorów.
Teoria zdarzeń będzie analogiczna co wyłożono w punkcie 6.0.
W obsłudze wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” potrzebne i wystarczające są zaledwie trzy znaczki:
1.
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q=p*q=1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> p i q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny ~~>
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - zbiory p i q są rozłączne
;
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~~>P8=1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..] jest spełniona (=1) bo istnieje co najmniej jeden wspólny element tych zbiorów (np. 8), nie dowodzimy tu faktu, iż zbiór P2 jest nadzbiorem ~> zbioru P8
##
2.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego p=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
;
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
;
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Każdy matematyk bez problemu udowodni tu, że zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2.
##
3.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
;
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
;
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wejście Smoka:
Do opisu kompletnej algebry Kubusia operującej na zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” są potrzebne i wystarczające zaledwie trzy znaczki ~~>, => i ~> o definicjach jak wyżej.
W algebrze Kubusia występuje dodatkowych kilka znaczków zdefiniowanych znaczkami ~~>, => i ~>, co oznacza, że można się bez nich obejść.
Podsumowując:
Obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia stoi na zaledwie trzech znaczkach elementarnych: =>, ~> i ~~>
16.1.1 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wynikłe z rachunku zero-jedynkowego:
Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej [=] dla zapisu wieloczłonowego (patrz prawo Słonia niżej)
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Każdy matematyk bez problemu udowodni tu, że zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Rozłączności zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7..] nie musimy dowodzić bo wynika ona z definicji kontrprzykładu.
Akurat w tym przypadku dowód odwrotny jest trywialny, bo zbiór dowolnych liczb parzystych P8 jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych np. (~P2).
Z faktu iż zbiory P8 i ~P2 są rozłączne na mocy definicji kontrprzykładu mamy gwarancję matematyczną => prawdziwości warunku wystarczającego A1 - to jest dowód „nie wprost” prawdziwości zdania A1 za pomocą definicji kontrprzykładu.
16.1.2 Prawo Słonia – najważniejsze prawo w logice matematycznej
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy i tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
O co tu chodzi, pokażemy na przykładzie twierdzenia Pitagorasa.
Twierdzenie proste Pitagorasa:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK=1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
A1: p=>q =1
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Twierdzenie to oznacza, że w każdym trójkącie prostokątnym zachodzi suma kwadratów – to wie każdy matematyk.
Ale!
Na mocy prawa Słonia możemy tu również zapisać:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełniona sumą kwadratów (SK)
Innymi słowy:
Dowód prawdziwości twierdzenia prostego Pitagorasa jest automatycznie dowodem faktu, iż zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełniona sumą kwadratów (SK) … o czym ziemscy matematycy nie mają bladego pojęcia bo gdyby mieli, to fakt ten byłby zapisany w każdym podręczniku matematyki do 7 klasy szkoły podstawowej.
Weźmy teraz.
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
B3:
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK) to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny (TP)
B3: SK=>TP =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
B3: q=>p =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Każdy trójkąt ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest trójkątem prostokątnym (TP) – to wie każdy matematyk
Ale!
Na mocy prawa Słonia możemy tu również zapisać:
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest warunkiem wystarczającym => to tego, aby ten trójkąt był prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP)
Innymi słowy:
Dowód prawdziwości twierdzenia odwrotnego Pitagorasa jest automatycznie dowodem faktu, iż zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP) … o czym ziemscy matematycy nie mają bladego pojęcia bo gdyby mieli, to fakt ten byłby zapisany w każdym podręczniku matematyki do 7 klasy szkoły podstawowej.
Poniższa definicja równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Znana jest każdemu matematykowi poprawnie jako równoczesny dowód twierdzenia prostego A1: p=>q i odwrotnego B3: q=>p
Nasz przykład:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych TP<=>SK jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK i jednocześnie prawdziwe jest twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3: SK=>TP.
Innymi słowy na mocy prawa Słonia możemy także zapisać:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych TP<=>SK jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1: TP=>SK) i jednocześnie zbiór SK jest podzbiorem zbioru TP (B3: SK=>TP).
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Ostatnia wersja równoważności to znana każdemu matematykowi definicja tożsamości zbiorów p=q.
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Wniosek:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych definiuje tożsamość zbiorów TP=SK:
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK
O tym fakcie żaden ziemski matematyk nie ma bladego pojęcia.
cnd
Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Dla równoważności Pitagorasa mamy:
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK
Stąd:
Na mocy prawa Słonia równoważność Pitagorasa możemy odczytać w kolejny, tożsamy sposób.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK)
Ta definicja równoważności p<=>q jest doskonale znana wszystkim ludziom (w tym matematykom).
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 8 070
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
16.1.3 Znaczki rozszerzone zbudowane ze znaczków elementarnych
Znaczki rozszerzone zbudowane ze znaczków elementarnych:
1.
p|~~>q - chaos, odpowiadający na pytanie o p
p||~~>q - operator chaosu p|~~>q odpowiadający na pytanie o p i ~p
Definicja szczegółowa chaosu p|~~>q:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest ani konieczne ~> (B1), ani też wystarczające => (A1) dla zajścia q.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2B2: ~p|~~>~q = ~(A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p|~~>q = A2B2: ~p|~~>~q =1
;
Przykład:
A1: P8=>P3=0 – podzielność przez 8 (P8) nie jest (=0) wystarczająca => dla podzielności przez 3 (P3)
bo P8=[8,16,24..] nie jest (=0) podzbiorem => P3=[3,6,9..]
B1: P8~>P3=0 – podzielność przez 8 (P8) nie jest (=0) konieczna ~> dla podzielności przez 3 (P3)
bo P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3=[3,6,9..]
A1B1: P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3)=~(0)*~(0)=1*1=1
##
2.
p|=>q - implikacja prosta odpowiadająca na pytanie o p
p||=>q - operator implikacji prostej p|=>q odpowiadający na pytanie o p i ~p
Definicja szczegółowa implikacji prostej p|=>q:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => (A1) dla zajścia q, ale nie jest konieczne ~> (B1) dla zajścia q.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q = ~p*q
;
Przykład:
A1: P=>CH =1 – padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
bo zawsze gdy pada, są chmury
B1: P~>CH =1 – padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
A1B1: P|=>CH = (A1: (P=>CH)*~(B1: CH~>P) =1*~(0)=1*1=1
##
3.
p|~>q - implikacja odwrotna odpowiadająca na pytanie o p
p||~>q - operator implikacji odwrotnej p|~>q odpowiadający na pytania o p i ~p
Definicja szczegółowa implikacji odwrotnej p|~>q:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) dla zajścia q, ale nie jest wystarczające => (A1) dla zajścia q.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B1: ~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p|~>q = A2B2: ~p|=>~q = p*~q
;
Przykład:
A1: CH=>P=0 – chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania, nie zawsze gdy są chmury, pada
B1: CH~>P=1 – chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1
##
4,
p<=>q - równoważność dająca odpowiedź na pytanie o p
p|<=>q - operator równoważności dający odpowiedź na pytanie o p i ~p
Definicja szczegółowa równoważności p<=>q:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia q
Ta definicja jest powszechnie znana wśród ludzi (nie tylko wśród matematyków).
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym””
Wyników: 12 700
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 72 000
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=1*1=1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q = p*q+~p*~q
;
Przykład:
A1: TP=>SK=1 – bycie trójkątem prostokątnym jest wystarczające => dla spełnienia sumy kwadratów
B1: TP~>SK=1 – bycie trójkątem prostokątnym jest konieczne ~> dla spełnienia sumy kwadratów
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Prawo Prosiaczka:
B1: TP~>SK = B3: SK=>TP =1 – dla dowodu B1 potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość B3
A1 to twierdzenie proste Pitagorasa, natomiast B3 to twierdzenie odwrotne Pitagorasa
Oba te twierdzenia ludzkość udowodniła wieki temu.
Stąd mamy:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
##
5.
p$q - spójnik "albo"($), dający odpowiedź na pytanie o p
p|$q - operator albo($) dający odpowiedź na pytanie o p i ~p
Definicja szczegółowa spójnika „albo”($) p$q:
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q=1*1=1
Czytamy:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=1*1=1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p$q = A2B2: ~p$~q = p*~q+~p*q
;
Przykład:
A1: M=>~K=1 – bycie mężczyzną (M) jest warunkiem wystarczającym => by nie być kobietą (~K)
B1: M~>~K=1 – bycie mężczyzną (M) jest warunkiem koniecznym ~> by nie być kobietą (~K)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
Prawą stronę czytamy:
Bycie mężczyzną (M) jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) by nie być kobieta (~K)
Ostatnie zdanie to doskonale znana ludziom definicja równoważności M<=>~K.
Stąd mamy:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)= A1B1: M<=>~K
Prawą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
KONIEC!
W algebrze Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” nie ma ani jednego znaczka więcej.
W skład algebry Kubusia wchodzi nowa algebra Boole’a.
16.2 Nowa algebra Boole’a
Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to pięć i tylko pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
2.
Stara algebra Boole’a nie zna pojęć logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y) co jest powodem jej wewnętrznej sprzeczności na poziomie funkcji algebry Boole’a.
Dowód w punkcie 1.3.1.
16.3 Prawo zagłady Klasycznego Rachunku Zdań
Skróty:
AK – algebra Kubusia, totalnie nieznana ziemskim matematykom
KRZ – Klasyczny Rachunek Zdań
Klasyczny Rachunek Zdań to fundament wszelkich logik matematycznych ziemskich matematyków
Prawo zagłady KRZ:
100% znaczków w algebrze Kubusia jest sprzecznych z logiką matematyczną zwaną Klasycznym Rachunkiem Zdań.
16.3.1 Dowód sprzeczności AK vs KRZ dla znaczka „*”
I.
Dowód sprzeczności AK vs KRZ dla znaczka „*”:
KRZ:
Kod: |
T1
Definicja znaczka „*”
p q p*q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 1 0
D: 0 0 0
|
Znaczek „*” zwany jest w logice matematycznej ziemskich matematyków „koniunkcją”
W KRZ musimy z góry znać wartości logiczne p i q by na podstawie powyższej tabeli określić prawdziwość/fałszywość wyrażenia p*q
W algebrze Kubusia jest fundamentalnie inaczej:
W algebrze Kubusia o prawdziwości zdania zawierającego spójnik „i”(*) z języka potocznego decyduje istnienie elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q lub możliwość jednoczesnego zajścia zdarzeń p i q.
1.
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q=p*q=1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> p i q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny ~~>
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - zbiory p i q są rozłączne
;
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~~>P8=1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..] jest spełniona (=1) bo istnieje co najmniej jeden wspólny element tych zbiorów (np. 8), nie dowodzimy tu faktu, iż zbiór P2 jest nadzbiorem ~> zbioru P8
16.3.2 Dowód sprzeczności AK vs KRZ dla znaczka „+”
II.
Dowód sprzeczności AK vs KRZ dla znaczka „+”:
KRZ:
Kod: |
T2
Definicja znaczka „+”
p q p+q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 1 1
D: 0 0 0
|
Znaczek „+” zwany jest w logice matematycznej ziemskich matematyków „alternatywą”
W KRZ musimy z góry znać wartości logiczne p i q by na podstawie powyższej tabeli określić prawdziwość/fałszywość wyrażenia p*q
W algebrze Kubusia jest fundamentalnie inaczej:
W algebrze Kubusia o prawdziwości zdania zawierającego spójnik „lub”(+) z języka potocznego decyduje definicja spójnika „lub”(+) rozpisana na zbiory/zdarzenia niepuste i rozłączne.
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Definicja spójnika “lub”(+) w algebrze Kubusia:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Definicja spójnika „lub”(+) w algebrze Kubusia jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy istnieją wszystkie składniki spójnika „lub”(+) definiowanego zbiorami/zdarzeniami niepustymi i rozłącznymi ABC.
Przykład 1
Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod: |
S1
B
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Odpowiedź na pytanie kiedy żarówka świeci się zna każdy uczeń I klasy LO.
Pan od fizyki w LO Nr.1:
Jasiu powiedz nam kiedy żarówka świeci się
Jaś:
1:
Żarówka świeci się (S) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przyciska A lub przycisk B
S = A+B =1
Definicja spójnika „lub”(+) wyrażonego zdarzeniami niepustymi i rozłącznymi:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Nasz przykład:
S = A+B = A: A*B + B: A*~B + C: ~A*B
co w logice jedynek (naturalnej logice człowieka) oznacza:
S=1 <=> A: A=1 i B=1 lub B: A=1 i ~B=1 lub C: ~A*B
Czytamy:
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: A*B=1*1=1 – wciśnięty jest przyciska A (A=1) i wciśnięty jest przyciska B (B=1)
lub
B: A*~B=1*1=1 – wciśnięty jest przyciska A (A=1) i nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1)
lub
C: ~A*B=1*1=1 – nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) i jest wciśnięty przyciska B (B=1)
Doskonale widać, że wszystkie trzy zdarzenia ABC są niepuste i rozłączne z czego wynika, że spójnik „lub”(+) jest tu poprawnie użyty, czyli zdanie RA1B1 ma wartość logiczną 1.
Pan od fizyki:
Brawo Jasiu, czy potrafisz odpowiedzieć na pytanie kiedy żarówka nie świeci się uzasadniając to matematycznie?
Jaś:
Oczywiście że tak.
Mamy równanie logiczne opisujące wszystkie możliwe przypadki w których żarówka świeci się:
1:
Żarówka świeci się (S) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przyciska A lub przycisk B
S = A+B
Negujemy powyższe równanie dwustronnie:
~S = ~(A+B) = ~A*~B – na mocy prawa De Morgana
czyli:
D: ~S = ~A*~B
co w logice jedynek (naturalnej logice człowieka) oznacza:
D: ~S=1 <=> ~A=1 i ~B=1
Czytamy;
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: ~A*~B=1*1=1 – nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) i nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1)
Pan od fizyki:
Bardzo dobrze Jasiu, dostajesz ocenę: 6
Przykład 2
Rozważmy ten sam schemat z odpowiedzią błędną.
Kod: |
S1
B
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Odpowiedź na pytanie kiedy żarówka świeci się zna każdy uczeń I klasy LO … z wykluczeniem Gucia.
Pan od fizyki w LO Nr.2:
Guciu powiedz nam kiedy żarówka świeci się
Guciu:
$A1B1:
Żarówka świeci się (S) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk A „albo”($) B
A$B =1
Definicja spójnika „albo”($) p$q dla dwóch argumentów:
S = p$q = B: p*~q + C: ~p*q
Potoczna definicja spójnika „albo”($) dla dwóch argumentów:
Spójnik „albo”($) to wybór dokładnie jednego z dwóch argumentów (trzeciej możliwości brak)
p$q = B: p*~q + C: ~p*q
Nasz przykład:
S = A$B = B: A*~B + C: ~A*B
co w logice jedynek (naturalnej logice człowieka) oznacza:
S=1 <=> B: A=1 i ~B=1 lub C: ~A=1 i B=1
Czytamy:
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: A*~B=1*1=1 – wciśnięty jest przyciska A (A=1) i nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1)
lub
C: ~A*B=1*1=1 – nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) i jest wciśnięty przyciska B (B=1)
Pan od fizyki:
Odpowiedz nam Guciu kiedy żarówka nie świeci się uzasadniając odpowiedź matematycznie.
Guciu:
Mamy definicję spójnika „albo”($) wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Y = p$q = (p*~q) + (~p*q)
Przechodzimy do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = (~p+q)*(p+~q) – funkcja koniunkcyjno-alternatywna
Funkcja koniunkcyjno-alternatywna jest niezrozumiała dla człowieka, musimy zatem wymnożyć wielomian logiczny przechodząc do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej.
~Y = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
stąd:
~Y = p*q+~p*~q
co w logice jedynek (naturalnej logice człowieka) oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Nasz przykład:
~S = A: A*B + D: ~A*~B
co w logice jedynek oznacza:
~S=1 <=> A: A=1 i B=1 lub D: ~A=1 i ~B=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: A*B=1*1 =1 – wciśnięty jest przycisk A (A=1) i wciśnięty jest przycisk B (B=1)
lub
D: ~A*~B=1*1=1 – nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) i nie jest wciśnięty przycisk B (~B=)
Pan od fizyki:
Guciu, przyjrzyj się temu co napisałeś.
Guciu:
~S<=> A: A*B + D: ~A*~B
co w logice jedynek oznacza:
~S=1 <=> A: A=1 i B=1 lub D: ~A=1 i ~B=1
W mordę Jeża, napisałem ze żarówka nie świeci (~S=1) się gdy:
A: A*B=1*1 =1 – wciśnięty jest przycisk A (A=1) i wciśnięty jest przycisk B (B=1)
co jest czysto matematycznym fałszem, bowiem powyższe zdanie jest sprzeczne z fizyczną rzeczywistością.
Wnioskuję z tego, że jedynym poprawnym spójnikiem dającym 100% poprawną odpowiedź na pytanie „kiedy żarówka będzie się świecić” jest spójnik „lub”(+).
Koryguję zatem moją odpowiedź:
1.
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk A (A=1) „lub”(+) przycisk B (B=1)
S = A+B
Wystarczy, że którykolwiek z przycisków A lub B jest wciśnięty i już żarówka świeci się, czyli wciśnięcie obu przycisków jednocześnie, co jest możliwe, również powoduje świecenie się żarówki.
2.
Kiedy żarówka nie świeci się (~S=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
~S = ~(A+B) = ~A*~B – na mocy prawa De Morgana
czyli:
D: ~S = ~A*~B
co w logice jedynek (naturalnej logice człowieka) oznacza:
D: ~S=1 <=> ~A=1 i ~B=1
Czytamy;
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: ~A*~B=1*1=1 – nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) i nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1)
Pan od fizyki:
Sam widzisz Guciu, że twoja pierwsza odpowiedź była błędem czysto matematycznym, dostajesz jednak 5 bo zrozumiałeś swój błąd udzielając poprawnej odpowiedzi, tej ze spójnikiem „lub”(+).
16.3.3 Dowód sprzeczności AK vs KRZ dla znaczka =>
III.
Dowód sprzeczności AK vs KRZ dla znaczka =>:
KRZ.
Znaczek => to w KRZ definicja implikacji p=>q definiowana tabelą zero-jedynkową:
Kod: |
Definicja znaczka =>
p q p=>q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 1 1
D: 0 0 1
|
W KRZ musimy z góry znać wartości logiczne p i q by na podstawie powyższej tabeli określić prawdziwość/fałszywość implikacji p=>q
Definicja implikacji p=>q w Klasycznym Rachunku Zdań:
Implikacja p=>q jest fałszywa:
p=>q=0
wtedy i tylko wtedy gdy poprzednik p jest prawdziwy (p=1), zaś następnik fałszywy (q=0)
Inaczej:
p=>q =1
Przy takiej definicji zachodzi:
Warunek wystarczający => z AK ## Implikacja rodem z KRZ =>
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Tabele zero-jedynkowe w AK i KRZ dla znaczka => mamy identyczne jednak definicja znaczka => w algebrze Kubusia jest fundamentalnie inna.
2.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego p=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
;
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
;
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Każdy matematyk bez problemu udowodni tu, że zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2.
16.3.4 Prawo zagłady warunku wystarczającego => w KRZ
Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego, zatem tylko z tego punktu widzenia będziemy patrzeć na algebrę Boole’a.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
Dowód:
Znane wszystkim ziemskim matematykom prawo eliminacji implikacji =>:
p=>q = ~p+q
Powinno nosić nazwę adekwatną temu do czego służy i co w istocie robi, czyli powinno brzmieć:
Prawo zagłady warunku wystarczającego => w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q":
p=>q = ~p+q
Innymi słowy:
Ziemskie prawo eliminacji implikacji to w istocie morderca poprawnej logiki matematycznej, gdzie istotą są matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> definiowane zdaniami warunkowymi "Jeśli p to q" (patrz pkt. 6.0).
Pani w przedszkolu A1:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno (CH), bo zawsze gdy pada, są chmury.
Innymi słowy:
Padanie (P) daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur (CH), bo zawsze gdy pada, są chmury
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Dowód prawdziwości zdania A1 jest zrozumiały dla każdego 5-cio latka:
"zawsze gdy pada, są chmury" … bo padać może wyłącznie z chmury.
Ziemskie prawo zagłady warunku wystarczającego => (prawo eliminacji implikacji =>) działa tak:
Y = P=>CH = ~P+CH
Prawą stronę czytamy:
A2.
Jutro nie będzie padało (~P) lub będzie pochmurno (CH)
Y = ~P+CH
Konia z rzędem temu, kto w zdaniu A2 znajdzie warunek wystarczający => definiowany zdaniem A1 na poziomie 5-cio letniego dziecka.
Gdyby pani przedszkolanka wypowiedziała zdanie A2 zamiast zdania A1 to automatycznie zabiłaby banalny warunek wystarczający => definiowany zdaniem A1 - dokładnie temu celowi służy ziemskie prawo logiki matematycznej, dla niepoznaki zwane "prawem eliminacji implikacji".
Podsumowując:
W języku potocznym żaden człowiek (z matematykami włącznie) nigdy nie stosuje prawa zagłady warunku wystarczającego => (prawa eliminacji implikacji =>) bo z nikim normalnym by się nie dogadał … od 5-cio latka poczynając.
Jedynym sposobem na odrzucenie algebry Kubusia jest pewność absolutna ziemskich matematyków, że ich Klasyczny Rachunek Zdań doskonale opisuje otaczającą nas rzeczywistość, co nie jest prawdą, o czym każdy matematyk doskonale wie, oczywiście z wyjątkiem fanatyków KRZ.
Dowód:
Są na ziemi matematycy widzący bezsens aktualnej „logiki matematycznej”, postulujący usunięcie tego działu ze wszystkich podręczników dla szkół średnich:
[link widoczny dla zalogowanych]
*http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/logika/2013/02/28/Logika_sens_i_watpliwosci/
Logika, sens i wątpliwości
Marek Kordos
Delta, marzec 2013
Już przed laty, gdy brałem udział w tworzeniu jednej z kolejnych reform nauczania matematyki, miałem poważne wątpliwości, czy umieszczanie w programach nauczania matematyki (podstawach programowych, wykazach efektów nauczania, podręcznikach itp.) działu logika jest zgodne ze zdrowym rozsądkiem.
Oczywiście, wiem, że wielu głosi, iż nauczanie matematyki (jak niegdyś łaciny, której się zresztą uczyłem) to nauka logicznego myślenia. Ale, gdy czytałem otwierające wówczas podręczniki do liceum rozdziały poświęcone logice, trudno mi było powstrzymać się od wrażenia, że nie ma w nich żadnego sensu. Nie wymienię, rzecz jasna, żadnego konkretnego podręcznika (po co mi rozprawy sądowe – przecież podręcznik to wielkie pieniądze), ale wrażenie przy lekturze każdego z nich było podobne.
Od razu chciałbym powiedzieć, że nie chodzi o opinię, iż logika nigdy matematyce nie pomogła, bo unikanie błędów nie jest aktem twórczym (patrz Nicolas Bourbaki, Elementy historii matematyki). Chodzi o coś więcej. Ale nie śmiałem nalegać na usunięcie tego działu ze szkolnego nauczania, bo jeśli wszyscy widzą w nim sens, to może on tam – wbrew pozorom – istnieje.
Dopiero na sympozjum z okazji dziewięćdziesięciolecia Profesora Andrzeja Grzegorczyka dowiedziałem się, że moje wątpliwości nie są odosobnione i nawet w Instytucie Filozofii i Socjologii PAN prowadzone są prace nad taką modyfikacją logiki, by jej wady usunąć.
Co to za wady? Proszę spojrzeć na zdanie:
Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.
Oczywiście, zdanie to jest prawdziwe, ale czy ma sens? Przecież między pewnym faktem arytmetycznym a innym faktem geograficznym żadnego związku nie ma. Dlaczego więc chcemy twierdzić (ba, uczyć tego), że te dwa zdania są równoważne?
Albo zdanie:
Jeśli dwa plus dwa jest równe pięć, to zachodzi twierdzenie Pitagorasa.
Z punktu widzenia logiki to zdanie jest prawdziwe. Tu już po obu stronach implikacji są zdania dotyczące faktów matematycznych. Dlaczego jednak chcemy zmusić młodego człowieka, by widział w tym sens?
Wyjaśnienie jest proste: w pierwszym przypadku chodzi o to, że równoważność zdań ma miejsce, gdy wartość logiczna obu zdań jest taka sama; w drugim – o to, że implikacja jest poprawna, gdy ma fałszywy poprzednik.
A więc logika sprowadza nasz świat do zbioru dwuelementowego, nic przeto dziwnego, że rzeczy absolutnie niepołączone żadnym znaczeniowym (semantycznym) związkiem muszą się znajdować w przynajmniej jednej z dwóch komórek, do jakiejś muszą trafić.
Powstają dwa pytania.
Po pierwsze, czemu logika została tak skonstruowana, że – abstrahując od sensu – okalecza pojęciowy świat?
Po drugie, czy faktycznie należy trzymać ją jak najdalej od młodzieży, bo tylko ją demoralizuje, każąc za wiedzę uważać takie androny, jak przytoczone powyżej?
Odpowiedź na pierwsze pytanie jest dość prosta. Nowoczesna logika formalna została stworzona (jak wielu uważa) przez Gottloba Fregego (1848-1925) tak, by obsługiwała matematykę, a tę rozumiano wówczas jako badanie prawdziwości zdań języków formalnych.
Odpowiedzi na drugie pytanie de facto nie ma. Tłumaczymy się z używania takich abstrahujących od znaczeń spójników logicznych tym, że alternatywa, koniunkcja i negacja są sensowne; że chcemy, aby młody człowiek wiedział, że zaprzeczeniem zdania, iż istnieje coś mające własność A, jest to, że wszystkie cosie własności A nie mają; że implikacja ze zdania prawdziwego daje jednak tylko zdania prawdziwe itd., itp.
Ale naprawdę chodzi o to, że – jak z małżeństwem i demokracją – lepszej propozycji dotąd nie wynaleziono. A szkoda.
Ostatnie zdanie jest już nieaktualne, bo algebra Kubusia.
Rafał3006
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 6:01, 14 Sie 2022, w całości zmieniany 8 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów Nie możesz odpowiadać w tematach Nie możesz zmieniać swoich postów Nie możesz usuwać swoich postów Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|