ŚFiNiA

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.4 Przykład równoważności A<=>S w zdarzeniach

Spis treści
9.4 Przykład równoważności A<=>S w zdarzeniach 1
9.4.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach 4
9.4.2 Równoważności jednokierunkowa A<=>S w zdarzeniach 7


9.4 Przykład równoważności A<=>S w zdarzeniach

Niech będzie dany schemat elektryczny:

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.5 Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q)

Spis treści
9.5 Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) 1
9.5.1 Operator "albo"($) p|$q w logice dodatniej (bo q) 7
9.5.2 Operator „albo”($) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) 9
9.6 Diagram spójnika „albo”($) w zbiorach 10


9.5 Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q)

Przypomnijmy sobie definicje podstawowe:

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.7 Przykłady spójnika „albo”($) w zbiorach i w zdarzeniach


Spis treści
9.7 Spójnik „albo”($) M$K w zbiorach 1
9.7.1 Operator „albo”($) M|$K w zbiorach w logice dodatniej (bo K) 4
9.7.2 Operator „albo”(|$) ~M|$~K w logice ujemnej (bo ~K) 6
9.7.3 Diagram spójnika „albo”($) M$K w zbiorach 7
9.8 Spójnik „albo”($) S$Z w zdarzeniach 9
9.8.1 Operator „albo”(|$) S|$Z w zdarzeniach w logice dodatniej (bo Z) 12
9.8.2 Operator „albo”(|$) ~S|$~Z w zdarzeniach w logice ujemnej (bo ~Z) 15
9.8.3 Diagram spójnika „albo”($) S$Z w zdarzeniach 15
9.9 Dwuargumentowy spójnik „lub”(+) vs dwuargumentowy spójnik „albo”($) 17
9.9.1 Prawo Jastrzębia 19
9.9.2 Przykład błędnego użycia spójnika „albo”($) 20


9.7 Spójnik „albo”($) M$K w zbiorach

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.10 Definicja n-argumentowego spójnika „albo”($)

Spis treści
9.10 Definicja n-argumentowego spójnika „albo”($) 1
9.10.1 Implikacja prosta w zbiorach (P+K+S)=>4L gdzie zachodzi (P+K+S):=(P$K$S) 2
9.10.2 Opis dowolnej tabeli zero-jedynkowej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 3
9.11 Implikacja prosta (P+K+S)|=>4L w warunkach wystarczających => i koniecznych~> 7
9.11.1 Operator implikacji prostej (P+K+S)||=>4L w zbiorach 10
9.12 Równoważność w zdarzeniach S<=>(A+B+C) gdzie zachodzi (A+B+C)##(A$B$C) 13
9.12.1 Opis dowolnej tabeli zero-jedynkowej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 15
9.13 Równoważność S<=>(A+B+C) w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> 18
9.13.1 Operator równoważności S|<=>(A+B+C) w zdarzeniach 21



9.10 Definicja n-argumentowego spójnika „albo”($)

Definicja n-argumentowego spójnika „albo”($):
Definicja n-argumentowego spójnika „albo”($) p$q...$n jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy w obrębie danej dziedziny D funkcja logiczna zbiorów/zdarzeń:
Y=p$q..$n
opisuje zbiory/zdarzenia niepuste i rozłączne gdzie iloczyn logiczny dowolnego zbioru/zdarzenia z innym zbiorem/zdarzeniem jest zbiorem pustym [].

Wtedy na mocy teorii zbiorów zachodzi tożsamość logiczna:
Y = p+q…+n := p$q..$n
Gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy teorii zbiorów/zdarzeń

Oznacza to, że przy spełnionej definicji n-argumentowego spójnika „albo”(+) możemy stosować wymiennie spójnik „albo”($) albo spójnik „lub”(+). Obie formy zapisu są matematycznie poprawne, choć bezpieczniejszy jest spójnik „lub”(+), dlatego ten spójnik jest (podświadomie) zdecydowanie częściej używany przez człowieka.

Potoczna definicja spójnika „albo”($) dla dwóch argumentów:
Spójnik „albo”($) to wybór jednej z dwóch możliwości (trzeciej możliwości brak)

Przykłady dla n=2 mamy w punktach 9.7 i 9.8.

Przykład z punktu 9.7:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M<=>~K
Tu praktycznie każdy człowiek użyje spójnika „lub”(+) zamiast spójnika „albo”($) i to nie jest błąd matematyczny - wolno mu, co wyjaśnimy za chwilkę.

Na mocy teorii zbiorów zachodzi tożsamość zdań:
Dowolny człowiek jest mężczyzną „lub”(+) kobietą := Dowolny człowiek jest mężczyzną „albo”($) kobietą
M+K := M$K
Gdzie:
:= - tożsamość matematyczna na mocy teorii zbiorów.

Uwaga:
Nie zawsze w miejsce spójnika „lub”(+) możemy użyć spójnik „albo”(+) co pokażemy w punkcie 9.12, dlatego spójnik „lub”(+) jest bezpieczniejszy.

9.10.1 Implikacja prosta w zbiorach (P+K+S)=>4L gdzie zachodzi (P+K+S):=(P$K$S)

Przykładowa 3-argumentowa funkcja logiczna spełniająca definicję spójnika „albo”($) (n=3) jest następująca
A1+:
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) lub kotem (K) lub słoniem (S) to na 100% => ma cztery łapy (4L)
P+K+S => 4L=1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Bycie psem (P) lub kotem (K) lub słoniem (S) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby mieć cztery łapy (4L)
Przyjmujemy naturalną, wspólną dziedzinę dla p i q:
ZWZ – zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=[pies, kot, słoń, tygrys, wąż ..]
Stąd w poprzedniku zdania A1+ mamy zbiór 3-elementowy spełniający definicję n-argumentowego spójnika „albo”($).
Dowód:
p = ZWZ*(P+K+S) = [P+K+S] – bo zbiór 3-elementowy bo [P+K+S] jest podzbiorem => ZWZ
W następniku zdania A1 mamy zbiór wszystkich zwierząt z czterema łapami bo:
q = ZWZ*4L = 4L =[pies, kot, słoń, tygrys ..] – bo zbiór 4L jest podzbiorem => ZWZ

Stąd dla udowodnienia prawdziwości warunku wystarczającego => w zdaniu A1+ badamy czy spełniona jest relacja podzbioru =>:
p=[P+K+S] => q=[P+K+S+T..]
Po rozpisce mamy:
p=[pies+kot+słoń] => q=[pies, kot, słoń, tygrys..] =1
Jak widzimy relacja podzbioru p=>q jest tu spełniona
cnd

Zauważmy, że w zbiorze trzyelementowym p=[P+K+S] zbiory jednoelementowe P(pies), K(kot) i S(słoń) są niepuste i rozłączne, zaś dowolny iloczyn logiczny tych trzech argumentów {P,K,T} jest zbiorem pustym [], bo żadne zwierzę nie może być jednocześnie np. P(psem) i K(kotem)

Stąd na mocy definicji n-elementowego spójnika „albo”($) zdanie tożsame do A1+ brzmi:
A1$:
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) „albo”($) kotem (K) „albo”($) słoniem (S) to na 100% => ma cztery łapy (4L)
P$K$S => 4L=1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1

Jak udowodnić na gruncie teorii zbiorów tożsamość zdań:
A1+: Y=P+K+S := A1$: Y=P$K$S
Gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy teorii zbiorów/zdarzeń

Dowód:
Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+):

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.14 Geneza tabel zero-jedynkowych równoważności <=> i „albo”($)


Spis treści
9.14 Geneza tabel zero-jedynkowych równoważności „<=>” i „albo”($) 1
9.15 Równoważność p<=>q 1
9.15.1 Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) 2
9.15.2 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q 4
9.15.3 Co oznacza definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)? 7
9.15.4 Odtworzenie operatora równoważności p|<=>q 8
9.16 Spójnik „albo”($) p$q 9
9.16.1 Operator „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo q) 11
9.16.2 Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($) p$q 13
9.16.3 Co oznacza definicja „albo”($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)? 16
9.16.4 Odtworzenie operatora „albo”($) p|$q 17



9.14 Geneza tabel zero-jedynkowych równoważności „<=>” i „albo”($)

W niniejszym rozdziale udowodnimy, iż zero-jedynkowe definicje warunku równoważności p<=>q i spójnika „albo”($) generuje język potoczny człowieka.
Znając ten fakt łatwo udowodnić twierdzenie odwrotne iż fundamentem języka potocznego są tabele zero-jedynkowe spójników logicznych.
Wychodzi z tego odwieczne pytanie, co było pierwsze „jajko, czy kura”?
Poprawna odpowiedź to „kura”, gdyż jajko nie potrafi myśleć, natomiast „kura” potrafi udowodnić, iż tabele zero-jedynkowe spójników logicznych generuje język potoczny „kury”, znaczy język potoczny człowieka, co niniejszym wykażemy.

9.15 Równoważność p<=>q

Przypomnijmy sobie definicję podstawową równoważności.

A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q

Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000

Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q.

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
9.17 Równoważność p<=>q vs „albo”($) p$q

Spis treści
9.17 Równoważność p<=>q vs spójnik „albo”($) p$q 1
9.18 Związek definicji spójnika „albo”($) p$q z równoważnością p<=>~q 3
9.18.1 Związek spójnika „albo”($) z równoważnością p<=>~q w języku potocznym 8
9.19 Związek równoważności p<=>q z definicją spójnika „albo”($) p$~q 9
9.19.1 Związek równoważności p<=>q z „albo”($) p$~q w języku potocznym 16
9.20 Prawa Puchacza 19
9.20.1 I prawo Puchacza p<=>q ## p$q 20
9.20.2 II prawo Puchacza p$q ## p<=>q 21


9.17 Równoważność p<=>q vs spójnik „albo”($) p$q

Tabela wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych TF2.

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
10.0 Definicja chaosu p|~~>q=1 i śmierci p|~~~>q=0


Spis treści
10.0 Definicja chaosu p|~~>q=1 i śmierci p|~~~>q=0 1
10.1 Chaos p|~~>q 3
10.1.1 Operator chaosu p||~~>q 4
10.1.2 Zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 6
10.1.3 Diagram chaosu p|~~>q w zbiorach 7
10.1.4 Zaprzeczenie chaosu p|~~>q 9
10.2 Śmierć p|~~~>q=0 11
10.2.1 Matematyczny związek śmierci p|~~~>q=0 z chaosem p|~~>q=1 12


10.0 Definicja chaosu p|~~>q=1 i śmierci p|~~~>q=0

W tabeli wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych TF2.

[rafal3006]

Algebra Kubusia
10.3 Przykłady operatorów chaosu p||~~>q


Spis treści
10.3 Przykład chaosu P8|~~>P3 w zbiorach 1
10.3.1 Operator chaosu P8||~~>P3 w zbiorach 3
10.4 Przykład chaosu A|~~>S w zdarzeniach 5
10.4.1 Operator chaosu A||~~>S w zdarzeniach 9


10.3 Przykład chaosu P8|~~>P3 w zbiorach

[rafal3006]

..

[rafal3006]

Algebra Kubusia
11.0 Obietnice i groźby

Spis treści
11.0 Obietnice i groźby 1
11.1 Implikacja prosta p|=>q 2
11.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q 3
11.2 Implikacja odwrotna p|~>q 5
11.2.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 7
11.3 Prawa transformacji w obietnicy i groźbie 8
11.3.1 Prawo transformacji w obietnicy 8
11.3.2 Prawo transformacji w groźbie 10


11.0 Obietnice i groźby

Największą tragedią ziemskich matematyków jest fakt, że mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie doszli do poprawnych matematycznie definicji obietnicy i groźby niżej zapisanych.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.

Przykład:
A1.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
Dostanie komputera to nagroda, zatem warunek wystarczający A1: E=>K z definicji jest częścią implikacji prostej E|=>K. W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania komputera
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => otrzymania komputera
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Przykład:
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L =1
Dostanie lania to kara, zatem warunek konieczny B1: B~>L z definicji jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L. W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Brudne spodnie są warunkiem koniecznym ~> dostania lania, ale nie jest to warunek wystarczający => bowiem na mocy definicji implikacji odwrotnej B|~>L każdy człowiek ma prawo do odstąpienia wykonania kary zależnej od niego.
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43);

Przypomnijmy sobie teorię implikacji prostej p|=>q i implikacji odwrotnej p|~>q.

11.1 Implikacja prosta p|=>q

IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q (A1) i jednocześnie p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:

[rafal3006]

Algebra Kubusia
11.4 Przykłady obietnicy


Spis treści
11.4 Obietnica E=>K 1
11.4.1 Operator implikacji prostej E||=>K 2
11.4.2 Kluczowe dialogi ojca z synem 5
11.5 Obietnica W=>Z 5
11.5.1 Operator implikacji prostej W||=>Z 7
11.5.2 Kluczowe dialogi Chrystusa z człowiekiem 10



11.4 Obietnica E=>K

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.

Zajmijmy się sztandarowym przykładem obietnicy.

A1.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
Dostanie komputera to nagroda, zatem zdanie A1: E=>K z definicji jest częścią implikacji prostej E|=>K. W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Definicja podstawowa implikacji prostej E|=>K:
A1: E=>K =1 - zdanie egzaminu (E=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym =>
dla otrzymania komputera (K=1)
B1: E~>K =0 - zdanie egzaminu (E=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~>
dla otrzymania komputera (K=1)
Stąd:
A1B1: E|=>K = (A1: E=>K)*~(B1: E~>K) = 1*~(0) =1*1 =1

Podstawmy nasz przykład do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q

[rafal3006]

Algebra Kubusia
11.6 Właściwości obietnic


Spis treści
11.6 Właściwości obietnic 1
11.6.1 Prawo transformacji w obietnicy 1
11.6.2 Definicja „wolnej woli” 5
11.6.3 Obietnica w równaniach logicznych 7
11.6.4 Obietnica w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 11
11.6.5 Rodzaje obietnic 17


11.6 Właściwości obietnic

W rozdziale tym zajmiemy się głównie właściwościami obietnic oraz ich alternatywną obsługą w praktyce nieużywaną, dlatego ten punkt należy traktować jako ciekawostkę.

11.6.1 Prawo transformacji w obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.

Zajmijmy się sztandarowym przykładem obietnicy.
A1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
„Dostanie komputera” to nagroda, stąd na mocy definicji obietnicy mamy rozstrzygnięcie iż warunek wystarczający A1: E=>K jest częścią implikacji prostej E|=>K, poza tym faktem nic a nic nie musimy udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane.

Szczegółowa rozpiska implikacji prostej E|=>K w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> jest następująca.

[rafal3006]

Algebra Kubusia
11.7 Groźba B~>L


Spis treści
11.7 Groźba B~>L 1
11.7.1 Operator implikacji odwrotnej B||~>L 2
11.8 Właściwości groźby 5
11.8.1 Prawo transformacji w groźbie 6
11.8.2 Groźba w równaniach logicznych 7
11.8.3 Groźba w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 9



11.7 Groźba B~>L

Największą tragedią ziemskich matematyków jest fakt, że mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie doszli do poprawnych definicji obietnicy i groźby tu przedstawionych.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q.

Zajmijmy się sztandarowym przykładem groźby.
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
Dostanie lania to kara, zatem zdanie B1 z definicji jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L. W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej B|~>L:
A1: B=>L =0 - brudne spodnie (B=1) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla dostania lania (L=1)
B1: B~>L =1 - brudne spodnie (B=1) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1)
Stąd:
A1B1: B|~>L = ~(A1: B=>L)*(B1: B~>L) = ~(0)*1 =1*1=1

Podstawmy nasz przykład do tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:

[rafal3006]

Przedszkole algebry Kubusia
12.0 Przedszkole algebry Kubusia

Spis treści
12.0 Przedszkole algebry Kubusia 1


12.0 Przedszkole algebry Kubusia

Po co komu przedszkole algebry Kubusia?
W przedszkolu algebry Kubusia będziemy operować na zbiorach minimalnych, dzięki czemu wzajemne relacje wszystkich możliwych zbiorów {p, q, ~p, ~q} będziemy dowodzić w trywialny sposób (dosłownie na poziomie 5-cio latka), mający jednak przełożenie 1:1 na zbiory nieskończone których z definicji nie da się iterować element po elemencie.

Matematyka działa na zbiorach nieskończonych. Cała dotychczasowa algebra Kubusia w zbiorach również oparta była na zbiorach nieskończonych. Myślę, że ta dla wielu uczniów I klasy LO (to im dedykuję AK) zbiory nieskończone mogą okazać się potworem.
Tymczasem calusieńką AK można zrozumieć operując na zbiorach minimalnych doskonale rozumianych przez wszystkie 5-cio latki.

W przedszkolu postanowiłem ograniczyć dziedzinę do czterech elementów:
D (dziedzina) = [K+P+T+S]
D = [Kubuś + Prosiaczek + Tygrysek + Słoń]
Wyżej wymienione elementy są potrzebne i wystarczające dla 100% wyjaśnienia algebry Kubusia w zbiorach i wszystkich jej niuansów.
Mam nadzieję, że to posunięcie przekona do algebry Kubusia każdego matematyka.

Algebra Kubusia to nowa idea matematyczna, to spojrzenie na logikę matematyczną z dziewiczej strony, nieznanej ziemskim matematykom.
Tabele zero-jedynkowe operatorów dwuargumentowych używane w algebrze Kubusia znane są ziemskim matematykom, jednak ich interpretacja jest fundamentalnie inna.
Wynika z tego, że 100% definicji w algebrze Kubusia jest sprzecznych z Klasycznym Rachunkiem Zdań - dowód tego faktu znajdziemy w punkcie 16.0

Z powyższego wynika, że wszyscy ziemianie, także zawodowi matematycy, powinni zacząć swoją przygodę z algebrą Kubusia od przedszkola algebry Kubusia. W przełożeniu na matematykę klasyczną to jest odpowiednik nauki tabliczki mnożenia do 100 w IV klasie szkoły podstawowej.
Minimalna ilość elementów zbiorów przy pomocy których można zaprezentować działanie wszelkich operatorów implikacyjnych (definiowanych zdaniami warunkowymi "Jeśli p to q") to zaledwie cztery elementy.

Dla demonstracji przyjmijmy cztery pluszowe zabawki:
K – Kubuś
P – Prosiaczek
T – Tygrysek
S – Słoń

Oczywiście mogą to być dowolne cztery pojęcia rozumiane przez człowieka różne na mocy definicji ## np.
M - miłość
K – krasnoludek
R – rower
C – cytryna
Operowanie na tego typu sztucznych zbiorach nie ma nic wspólnego z językiem potocznym, niemniej jednak od strony dydaktycznej jest bardzo dobre, bowiem pozwala zrozumieć wszelkie niuanse logiki matematycznej także w zbiorach nieskończonych, co za chwilkę zaprezentujemy.

[rafal3006]

Przedszkole algebry Kubusia
12.1 Implikacja prosta p|=>q w przedszkolu

Spis treści
12.1 Implikacja prosta p|=>q w przedszkolu 1
12.1.1 Diagram implikacji prostej p|=>q 5
12.2 Przykład implikacji prostej p|=>q w zbiorach minimalnych 7
12.2.1 Operator implikacji prostej p||=>q w zbiorach minimalnych 9
12.2.2 Diagram implikacji prostej p||=>q w zbiorach minimalnych 13
12.2.3 Związek teorii zbiorów minimalnych z teorią zbiorów nieskończonych 15


12.1 Implikacja prosta p|=>q w przedszkolu

Fundamentem algebry Kubusia w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" są zaledwie trzy znaczki: ~~>, => i ~>:

Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> lub zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)

Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Definicja warunku koniecznego ~>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury

[rafal3006]

Przedszkole algebry Kubusia
12.3 Implikacja odwrotna p|~>q w przedszkolu


Spis treści
12.3 Implikacja odwrotna p|~>q w przedszkolu 1
12.3.1 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q 5
12.4 Przykład implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach minimalnych 6
12.4.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach minimalnych 9
12.4.2 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach minimalnych 12
12.4.3 Związek teorii zbiorów minimalnych z teorią zbiorów nieskończonych 14



12.3 Implikacja odwrotna p|~>q w przedszkolu

Fundamentem algebry Kubusia w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" są zaledwie trzy znaczki: ~~>, => i ~>:

Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> lub zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)

Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Definicja warunku koniecznego ~>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury

[rafal3006]

Przedszkole algebry Kubusia
12.5 Implikacja prosta p|=>q vs Implikacja odwrotna p|~>q


Spis treści
12.5 Implikacja proste p|=>q vs implikacja odwrotna p|~>q 1
12.5.1 Definicja znaczka różne na mocy definicji ## 2
12.5.2 Definicja znaczka różne na mocy błędu podstawienia ### 4
12.5.3 Warunek poprawności logiki matematycznej 9


12.5 Implikacja proste p|=>q vs implikacja odwrotna p|~>q

Weźmy definicje formalne implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q w zbiorach w zapisach formalnych (ogólnych) bez wiązania tych definicji z jakimkolwiek przykładem.

A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1)

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
12.6 Równoważność p<=>q w przedszkolu

Spis treści
12.6 Równoważności p<=>q w przedszkolu 1
12.6.1 Największa tragedia ziemskiej matematyki 4
12.7 Podstawowa teoria równoważności p<=>q 8
12.7.1 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach 9
12.7.2 Szybka analiza równoważności p<=>q 10
12.7.3 Przykłady równoważności p<=>q w zbiorach minimalnych 11
12.8 Przykład równoważności p<=>q w zbiorach minimalnych 13
12.8.1 Operator równoważności p|<=>q w zbiorach minimalnych 15
12.8.2 Przykład diagramu równoważności p<=>q w zbiorach minimalnych 18
12.8.3 Związek teorii zbiorów minimalnych z teorią zbiorów nieskończonych 20



12.6 Równoważności p<=>q w przedszkolu

Przypomnijmy sobie definicje podstawowe:

Fundamentem algebry Kubusia w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" są zaledwie trzy znaczki: ~~>, => i ~>:

Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> lub zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)

Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Definicja warunku koniecznego ~>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury

[rafal3006]

Przedszkole algebry Kubusia
12.9 Spójnik "albo"($) w przedszkolu "albo"($) p$q


Spis treści
12.9 Spójnik "albo"($) p$q w przedszkolu 1
12.10 Podstawowa teoria spójnika "albo"($) p$q 4
12.10.1 Diagram spójnika „albo”($) p$q w zbiorach 6
12.10.2 Szybka analiza spójnika "albo"($) p$q w zbiorach 7
12.10.3 Przykłady spójnika "albo"($) p$q w zbiorach minimalnych 8
12.11 Przykład spójnika "albo"($) p$q w zbiorach minimalnych 10
12.11.1 Operator "albo"($) p|$q w zbiorach minimalnych 11
12.11.2 Diagram spójnika "albo"($) w zbiorach minimalnych 15
12.11.3 Związek teorii zbiorów minimalnych z teorią zbiorów nieskończonych 17



12.9 Spójnik "albo"($) p$q w przedszkolu

Przypomnijmy sobie definicje podstawowe:

Fundamentem algebry Kubusia w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" są zaledwie trzy znaczki: ~~>, => i ~>:

Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> lub zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)

Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Definicja warunku koniecznego ~>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury

[rafal3006]

Przedszkole algebry Kubusia
12.12 Spójnik "albo"($) p$q vs równoważność p<=>q w przedszkolu


Spis treści
12.12 Spójnik "albo"($) p$q vs równoważność p<=>q w przedszkolu 1
12.12.1 Fundamenty algebry Kubusia 5
12.12.2 Przykłady spójnika "albo"($) p$q 8
12.12.3 Przykłady spójnika równoważności p<=>q 9




12.12 Spójnik "albo"($) p$q vs równoważność p<=>q w przedszkolu

Wojna spójnika "albo"($) p$q ze spójnikiem równoważności p<=>q polega na tym że:
1.
Każdy spójnik "albo"($) p$q można zapisać przy pomocy równoważności p<=>~q
##
2.
Każdą równoważność p<=>q można zapisać przy pomocy spójnika "albo"($) p$~q

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

To różne na mocy definicji ## łatwo udowodnić w laboratorium bramek logicznych.

Ad. 1
Każdy spójnik "albo"($) p$q można zapisać przy pomocy równoważności p<=>~q

Dowód:
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p (p) do zanegowanego q (~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Powyższa definicja równoważności p<=>~q znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000

Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności p<=>~q.
Stąd mamy:
Pełna definicja spójnika "albo"($) p$q z uwzględnieniem równoważności p<=>~q:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= A1B1: p<=>~q
Środek czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
To jest powszechnie znana i akceptowana definicja równoważności p<=>~q
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000

Sprawdźmy ostatnie równanie w bramkach logicznych w laboratorium techniki cyfrowej.

Dowód:
Definicja bramki warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
##
Definicja bramki warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

[rafal3006]

Przedszkole algebry Kubusia
12.13 Spójnik chaosu p|~~>q w przedszkolu

Spis treści
12.13 Spójnik chaosu p|~~>q w przedszkolu 1
12.14 Spójnik chaosu p|~~>q w zbiorach minimalnych 5
12.14.1 Operator chaosu p||~~>q w zbiorach minimalnych 8



12.13 Spójnik chaosu p|~~>q w przedszkolu

Przypomnijmy sobie definicje podstawowe:

Fundamentem algebry Kubusia w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" są zaledwie trzy znaczki: ~~>, => i ~>:

Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> lub zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)

Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Definicja warunku koniecznego ~>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury

[rafal3006]

Algebra Kubusia
13.0 Zastosowanie algebry Kubusia w świecie techniki

Spis treści
13.0 Zastosowanie algebry Kubusia w świecie techniki 1
13.1 Operator równoważności p|<=>q w świecie techniki 1
13.2 Operator implikacji prostej p||=>q w świecie techniki 6
13.3 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w świecie techniki 11



13.0 Zastosowanie algebry Kubusia w świecie techniki

Jedynym operatorem logicznym przydatnym w świecie techniki jest operator równoważności p|<=>q.
W świecie techniki operatory implikacji prostej p||=>q i implikacji odwrotnej p||~>q nie mają prawa bytu bowiem definiują one „wolną wolę” istot żywych.

Definicja „wolnej woli” istot żywych:
„Wolna wola” istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Najłatwiej pokazać o to tu chodzi prezentując komputerowe algorytmy działania operatorów równoważności p|<=>q, implikacji prostej p||=>q i implikacji odwrotnej p||~>q.

Prawo programisty:
Operator równoważności p|<=>q gdzie nie ma miejsca na „rzucania monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jest jedynym operatorem logicznym przydatnym w świecie techniki (np. w programowaniu komputerów).
Operatory implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q, których cechą charakterystyczną jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” są idiotyzmem w świecie techniki i nigdy nie znajdą tu zastosowania (np. w świecie programowania komputerów)

To tłumaczy dlaczego ziemscy matematycy, mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) do tej pory nie znają takich kluczowych pojęć z logiki matematycznej, jak implikacja prosta p|=>q czy też implikacja odwrotna p|~>q.

13.1 Operator równoważności p|<=>q w świecie techniki

A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q

Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000

Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q.

[rafal3006]

Algebra Kubusia
14.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych

Spis treści
14.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych 1
14.1 Opis bramek logicznych w postaci funkcji algebry Boole’a Y=f(x) 1
14.2 Definicje spójników logicznych w bramkach logicznych 4
14.2.1 Definicja spójnika „i”(*) w bramkach logicznych 6
14.2.2 Definicja spójnika „lub”(+) w bramkach logicznych 7
14.2.3 Definicja warunku wystarczającego => w bramkach logicznych 8
14.2.4 Definicja warunku koniecznego ~> w bramkach logicznych 9
14.3 Definicje spójników implikacyjnych p|?q w logice dodatniej (bo q) 10
14.3.1 Implikacja prosta p|=>q w bramkach logicznych 12
14.3.2 Implikacja odwrotna p|~>q w bramkach logicznych 13
14.3.3 Równoważność p<=>q w bramkach logicznych 14
14.3.4 Spójnik „albo”($) w bramkach logicznych 16
14.3.5 Definicja „chaosu” (|~~>) w bramkach logicznych 19
14.4 Dowód poprawności algebry Kubusia w laboratorium bramek logicznych 20


14.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych

Nie ma na ziemi matematyka, który by twierdził, iż funkcja logiczna algebry Boole’a Y=f(x) to nie jest algebra Boole’a, a tym samym, że nie jest to Klasyczny Rachunek Zdań.
Jeśli taki jest, to zdecydowanie powinien skreślić słówko matematyk sprzed swego nazwiska.

14.1 Opis bramek logicznych w postaci funkcji algebry Boole’a Y=f(x)

Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
3.
Ziemski rachunek zero-jedynkowy (fundament logiki matematycznej) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych Y i ~Y algebry Boole’a, co udowodniliśmy na poziomie operatorów jednoargumentowych w punkcie 1.3.1, oraz na poziomie operatorów dwuargumentowych w punkcie 3.1.

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)

Przykłady:
Y=p+~p=1 – zdanie zawsze prawdziwe
Y=p*~p=0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

To samo w logice 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 – zdanie zawsze prawdziwe
Jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1

Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramek logicznych
Y - wyjście bramki logicznej

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)

Matematyczne związki między p i ~p:
I.
p#~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
II.
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)

Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)

Przykład:
f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
p*q+~p*~q

W najprostszym przypadku wyrażeniem algebry Boole’a może być pojedyńcza zmienna binarna p
f(p) =p

Uwaga na notację:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
f(p,q)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a (przykład)

Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a w osi czasu.
W technice funkcja logiczna algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y

Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y

Przykład:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q = (p*q)+(~p*~q)
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=1<=>p+q
Y=0<=>~p*~q
etc
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy

Prawo negacji funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana
Stąd:
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

W świecie techniki opis bramek logicznych podawany jest zawsze i wszędzie w postaci funkcji logicznej Y.
Y=f(x)

Dowody:
1.
SN7404
[link widoczny dla zalogowanych]
Negator – strona 3
Y=~p
2.
SN7408
[link widoczny dla zalogowanych]
Bramka AND(*) – strona 1
Y=p*q = ~(~p+~q) – prawo De Morgana
3.
SN7432
[link widoczny dla zalogowanych]
Bramka OR(+) – strona 1
Y=p+q = ~(~p*~q) – prawo De Morgana

Nie ma potrzeby produkowania pozostałych bramek logicznych bowiem wszystkie można łatwo zbudować przy pomocy trzech, wyżej wymienionych znaczków {~, *, +)
Nie ma potrzeby nie oznacza, że się nie produkuje np. popularne w świecie techniki bramki NAND i NOR. W tym przypadku produkcja jest uzasadniona bowiem istnienie tych bramek upraszcza rzeczywistą realizację bardziej złożonych funkcji logicznych Y=f(x) algebry Boole’a.
4.
SN7400
[link widoczny dla zalogowanych]
Bramka NAND – strona 1
Y = ~(p*q)=~p+~q – prawo De Morgana
Zauważmy, że zwierając wejścia bramki NAND otrzymujemy często pożądany w praktyce negator.
Dla p=q mamy:
Y==~(p*q)=~(p*p)=~(p)=~p
cnd
5.
SN7402
[link widoczny dla zalogowanych]
Bramka NOR – strona 1
Y=~(p+q)=~p*~q – prawo De Morgana
Zauważmy, że zwierając wejścia bramki NOR otrzymujemy często pożądany w praktyce negator.
Dla p=q mamy:
Y==~(p+q)=~(p+p)=~(p)=~p
cnd

14.2 Definicje spójników logicznych w bramkach logicznych

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. ~p*~q) przypisane do tej funkcji.

Przykłady poprawnych funkcji logicznych:
Y = ~p*~q
Y = p+q
Y = p*~q+~p*q
etc

Prawo negacji funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Negujemy dwustronnie:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana
stąd:
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) to:

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
15.0 Błąd fatalny w podręczniku akademickim matematyki

Spis treści
15.0 Błąd fatalny w podręczniku akademickim matematyki 1
15.1 Jak udowodnić błędność dowodu prof. L. Newelskiego? 3
15.2 Geneza błędu czysto matematycznego prof. L. Newelskiego w oryginale 4
15.2.1 Poprawny matematycznie dowód prof. L. Newelskiego w oryginale 6
15.2.2 Igraszki masochistów dla funkcji Y 12
15.2.2 Igraszki masochistów dla funkcji ~Y 15



15.0 Błąd fatalny w podręczniku akademickim matematyki

Niniejszy punkt nawiązuje do prawa Małpki omówionego w punkcie 2.6.1

Przepraszam prof. Ludomira Newelskiego za znalezienie błędu czysto matematycznego w jego dowodzie prawa Małpki w podręczniku akademickim dla studentów I roku matematyki "Wstęp do matematyki".

Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)

Dowód prawa Małpki (Uwaga 2.7) w podręczniku „Wstęp do matematyki” autorstwa prof. L. Newelskiego.
[link widoczny dla zalogowanych]

Cytuję słowo w słowo dowód prawa Małpki w wykonaniu prof. L. Newelskiego na prostszym przykładzie, co jest bez znaczenia:
1.
Załóżmy tabelę zero-jedynkową z dwoma zmiennymi wejściowymi {p,q} i jedną zmienną wyjściową Y (funkcja logiczna)
Y = f(p,q)

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
16.0 Kwintesencja algebry Kubusia

Spis treści
16.0 Kwintesencja algebry Kubusia 1
16.1 Znaczki elementarne obsługujące zdania warunkowe „Jeśli p to q” 3
16.1.1 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 4
16.1.2 Prawo Słonia – najważniejsze prawo w logice matematycznej 6
16.1.3 Znaczki rozszerzone zbudowane ze znaczków elementarnych 9
16.2 Nowa algebra Boole’a 12
16.3 Prawo zagłady Klasycznego Rachunku Zdań 12
16.3.1 Dowód sprzeczności AK vs KRZ dla znaczka „*” 12
16.3.2 Dowód sprzeczności AK vs KRZ dla znaczka „+” 13
16.3.3 Dowód sprzeczności AK vs KRZ dla znaczka => 17
16.3.4 Prawo zagłady warunku wystarczającego => w KRZ 18


16.0 Kwintesencja algebry Kubusia

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock

1.
Kubusiowa teoria zbiorów to nieznana ziemskim matematykom teoria zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej, algebry Kubusia.

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, koło, miłość, krasnoludek, zbór wszystkich zwierząt ...]

Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies)
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)

2.
Prawo Absolutu:
Logika matematyczna pod którą polega cały nasz Wszechświat żywy i martwy (w tym matematyka) może być jedna i tylko jedna, to algebra Kubusia

Dowód pośredni to.

Prawo zagłady KRZ:
100% znaczków w algebrze Kubusia jest sprzecznych z fundamentem wszelkich ziemskich logik matematycznych zwanym Klasycznym Rachunkiem Zdań
Dowód w punkcie 16.3

Dowód bezpośredni to definicja sprzeczności dwóch logik A i B zapisana w „Wojnie światów”.
Fragment „Wojny światów” – punkt 17.3

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Biblia = algebra Kubusia
co oznacza, że w żadnym momencie Biblia nie jest sprzeczna z algebrą Kubusia i odwrotnie.

Biblia byłaby sprzeczna z algebrą Kubusia wtedy i tylko wtedy gdybyśmy znaleźli w niej takie zdanie.
Chrystus:
Kto wierzy we mnie pójdzie do piekła

Na mocy definicji groźby, Chrystus miałby tu prawo „rzucać sobie monetą”, czyli niektórych w niego wierzących posyłać do piekła a innych do nieba.
Innymi słowy:
Ludzie wierzący w Chrystusa nie mieliby matematycznej gwarancji => zbawienia.

Oczywistym jest, że nikt powyższej groźby Chrystusa w całej Biblii nie znajdzie, bo wtedy wiara w niego nie miałaby sensu.

Prawo Absolutu:
Logika matematyczna pod którą podlega cały nasz Wszechświat żywy i martwy (w tym matematyka) jest jedna i tylko jedna, to algebra Kubusia.

Z powyższego wynika fałszywość wszelkich ziemskich logik, konkurencyjnych w stosunku do algebry Kubusia np. ziemskiej logiki matematycznej zwanej Klasycznym Rachunkiem Zdań.

Stąd mamy:
Definicja sprzeczności dwóch logik A i B:
Logika A jest sprzeczna z logiką B wtedy i tylko wtedy gdy istnieje zdanie prawdziwe w logice A, które jest fałszywe w logice B.

Nasz przykład:
Logika Chrystusa (A) byłaby sprzeczna z logiką człowieka (algebrą Kubusia) (B) wtedy i tylko wtedy gdyby w logice A istniało zdanie prawdziwe:
Chrystus:
Kto wierzy we mnie pójdzie do piekła
Na szczęście takiego zdania nikt w Biblii nie znajdzie, co jest dowodem braku sprzeczności logiki Chrystusa (A) z logiką człowieka (B).

Podsumowując:
Ja Rafał3006, uznaję Biblię za równoważny podręcznik logiki matematycznej obowiązującej w naszym Wszechświecie.
Biblia ma tą przewagę nad wyłożoną tu algebrą Kubusia, że jest napisana prostym językiem, zrozumiałym dla wszystkich ludzi.
Prawdy w niej głoszone znane są każdemu 5-cio latkowi.
Kluczowe prawdy to:
1.
Dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
2.
Nadawca dowolnie ostrej groźby ma prawo do odstąpienia od egzekwowania kary zawartej w tej groźbie, zależnej od niego.
Prawo do odstąpienia od wykonania kary w dowolnej groźbie nie oznacza oczywiście że każdą karę zawartą w groźbie nadawca musi darować - wiele słusznych kar wykonuje np. w celach wychowawczych dziecka.

Przykłady:
a).
Chrystus do zbrodniarza:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)
b).
Przykład ze świata człowieka:
JPII i Ali Agca
JPII przebaczył Ali Agcy, ale nie może stać ponad prawem ziemskim, czyli przebaczenie zamachu na jego życie nie jest tożsame z automatycznym wyjściem Ali Agcy z więzienia.
Takie przebaczenie może być brane pod uwagę przez sąd w rozpatrywaniu wniosku Ali Agcy o przedterminowe zwolnienie - aktualnie Ali Agca jest na wolności.

16.1 Znaczki elementarne obsługujące zdania warunkowe „Jeśli p to q”

Logika matematyczna to tylko i wyłącznie zdania warunkowe „Jeśli p to q” będące odpowiednikiem skoków warunkowych w programowaniu komputerów.
Dla każdego programisty jest oczywiste, że jeśli z programowania komputerów zabierzemy wszystkie rozgałęzienia warunkowe to nie da się napisać najprostszego nawet programu, bowiem wszystko jest wówczas zdeterminowane (znane z góry).
Istotę problemu omówimy na bazie teorii zbiorów.
Teoria zdarzeń będzie analogiczna co wyłożono w punkcie 6.0.

W obsłudze wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” potrzebne i wystarczające są zaledwie trzy znaczki:
1.
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q=p*q=1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> p i q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny ~~>
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - zbiory p i q są rozłączne
;
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~~>P8=1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..] jest spełniona (=1) bo istnieje co najmniej jeden wspólny element tych zbiorów (np. 8), nie dowodzimy tu faktu, iż zbiór P2 jest nadzbiorem ~> zbioru P8

##
2.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego p=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
;
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
;
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Każdy matematyk bez problemu udowodni tu, że zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2.

##
3.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
;
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
;
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wejście Smoka:
Do opisu kompletnej algebry Kubusia operującej na zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” są potrzebne i wystarczające zaledwie trzy znaczki ~~>, => i ~> o definicjach jak wyżej.

W algebrze Kubusia występuje dodatkowych kilka znaczków zdefiniowanych znaczkami ~~>, => i ~>, co oznacza, że można się bez nich obejść.

Podsumowując:
Obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia stoi na zaledwie trzech znaczkach elementarnych: =>, ~> i ~~>

16.1.1 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wynikłe z rachunku zero-jedynkowego: