ŚFiNiA

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2023-02-25 Pisana na żywo

Powód:
Uproszczenie głównej AK

Spis treści:
1.0 Nowa algebra Boole'a - operatory jednoargumentowe
2.0 Podstawowa algebra Boole’a
2.7 Równoważność p<=>q w świecie martwym i żywym

3.0 Dwuargumentowe funkcje logiczne
4.0 Operatory Y|=f(x) z grupy TF0-11 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
5.0 Kubusiowa teoria zbiorów



3.0 Dwuargumentowe funkcje logiczne

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
1.0 Nowa algebra Boole'a - operatory jednoargumentowe

Spis treści
1.0 Nowa algebra Boole’a - operatory jednoargumentowe 1
1.1 Definicje elementarne 2
1.1.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a: 5
1.1.2 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym 5
1.1.3 Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q 7
1.2 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego 7
1.2.1 Definicja zmiennej binarnej i stałej binarnej 8
1.3 Zero-jedynkowe definicje jednoargumentowych operatorów logicznych 9
1.3.1 Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego 12
1.4 Prawa Prosiaczka 14
1.4.1 Wyprowadzenie I prawa Prosiaczka 15
1.4.2 Wyprowadzenie II prawa Prosiaczka 16
1.4.3 Prawa Prosiaczka w bramkach logicznych 17
1.4.4 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki 18
1.4.5 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka 19
1.5 Operatory jednoargumentowe w logice 5-cio latków 20
1.5.1 Operator transmisji Y|=p 21
1.5.2 Operator negacji Y|=~p 23
1.5.3 Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p 25
1.5.4 Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p 27
1.6 Podsumowanie operatorów jednoargumentowych Y|=f(x) 29


1.0 Nowa algebra Boole’a - operatory jednoargumentowe

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego (w tym matematyki i fizyki).

Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.

Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
3.
Ziemski rachunek zero-jedynkowy (fundament logiki matematycznej) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych Y i ~Y algebry Boole’a, co udowodnimy za chwilkę już na poziomie operatorów logicznych jednoargumentowych (pkt. 1.3.1)

1.1 Definicje elementarne

1= prawda
0 = fałsz

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) – negacja

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)

Przykłady:
Y=p+~p=1 – zdanie zawsze prawdziwe
Y=p*~p=0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

To samo w logice 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 – zdanie zawsze prawdziwe
Jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa

Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.

Przykład:

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2.0 Podstawowa algebra Boole’a

Spis treści
2.0 Podstawowa algebra Boole’a 1
2.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole’a 2
2.1.1 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym 4
2.2 Aksjomatyka algebry Boole’a 6
2.2.1 Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a 7
2.3 Równoważność K<=>T w świecie żywym 11
2.3.1 Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej 13
2.3.2 Kolejność wykonywania działań w algebrze Kubusia 14
2.4 Piękna algebra Boole’a 14
2.4.1 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków 14
2.4.2 Przykład minimalizacji funkcji logicznej z matematyki.pl 17
2.5 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a 18
2.5.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 19
2.5.2 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer 20
2.6 Związek opisu tabel zero-jedynkowych w logice jedynek i w logice zer 22
2.6.1 Prawo Małpki 22
2.6.2 Dowód prawa Małpki bez tabel zero-jedynkowych 23


2.0 Podstawowa algebra Boole’a

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego (w tym matematyki i fizyki)

Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce

Definicja algebry Boole’a:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Algebra Boole’a to dwa wyróżnione elementy, zwykle {1,0}, o znaczeniu:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
oraz dwa spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

2.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole’a

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)

Przykłady:
Y=p+~p=1 – zdanie zawsze prawdziwe
Y=p*~p=0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

To samo w logice 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 – zdanie zawsze prawdziwe
Jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1

Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramek logicznych
Y - wyjście bramki logicznej

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)

Matematyczne związki między p i ~p:
I.
p#~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
II.
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)

Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)

Przykład:
f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
p*q+~p*~q

W najprostszym przypadku wyrażeniem algebry Boole’a może być pojedyńcza zmienna binarna p
f(p) =p

Uwaga na notację:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
f(p,q)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a (przykład)

Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a w osi czasu.
W technice funkcja logiczna algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y

Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y

Przykład:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q = (p*q)+(~p*~q) = (p*q)+~(p+q) - na mocy prawa De Morgana
Kolejność wykonywania działań:
przeczenie (~), nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=1<=>p+q
Y=0<=>~p*~q
etc
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy

Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana (poznamy za chwilę)
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

2.1.1 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym

Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Inaczej mamy do czynienia ze standardem ujemnym lub mieszanym.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka

Podstawa matematyczna dla powyższej definicji to prawa Prosiaczka
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej.

Przykład:

Pani w przedszkolu A:
A1.
Jutro nie pójdziemy ani do kina, ani do teatru
Y = ~K*~T
co w standardzie dodatnim (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Znaczenie zmiennych w naturalnej logice człowieka (standard dodatni):
TZ1 - tabela zmiennych nr.1 w standardzie dodatnim:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y), standard dodatni
~K=1 - prawdą jest (=1), że jutro nie pójdziemy do kina (~K), standard dodatni
~T=1 - prawdą jest (=1), że jutro nie pójdziemy do teatru (~T), standard dodatni

Wniosek:
Nasz mózg, niezależnie od języka, operuje na symbolach niezanegowanych (logika dodatnia bo p) albo zanegowanych (logika ujemna bo ~p), a nie na zerach i jedynkach

Jak widzimy, z kodowania A1 bez problemu odtworzymy zdanie wypowiedziane przez panią przedszkolankę.

Przykładowe kodowanie zdania A1 w standardzie mieszanym wygląda tak:
A1'.
Jutro nie pójdziemy ani do kina, ani do teatru
Y = ~K*T
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Znaczenie zmiennych w naturalnej logice człowieka (standard dodatni):
TZ2 - tabela zmiennych w standardzie dodatnim:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y), standard dodatni
~K=1 - prawdą jest (=1), że jutro nie pójdziemy do kina (~K), standard dodatni
T=1 - prawdą jest (=1), że jutro pójdziemy do teatru (T), standard dodatni

Dokładnie tak kodowanie A1' odczyta każdy człowiek, czyli z kodowania A1' odczytujemy totalnie inne zdanie niż wypowiedziała pani przedszkolanka.
Jednoznaczne odtworzenie standardu mieszanego możliwe jest wtedy i tylko wtedy gdy do takiego kodowania dołączmy znaczenie wszystkich zmiennych.

Weźmy jeszcze raz zdanie A1'.
A1'.
Jutro nie pójdziemy ani do kina, ani do teatru
Y = ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i T=1

TZ3 - tabela zmiennych w kodowaniu mieszanym:
Y=1 - prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y), standard dodatni
~K=1 - prawdą jest (=1) że jutro nie pójdziemy do kina (~K), standard dodatni
T=1 - prawdą jest (=1), że jutro NIE pójdziemy do teatru (T), standard ujemny

Jak widzimy dołączenie do zdania A1' tabeli zmiennych TZ3 kodowanych w standardzie mieszanym również prowadzi do poprawnego odczytu zdania pani przedszkolanki, mimo kodowania zmiennych w standardzie mieszanym.

Dowód:
A1'
Y = ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=~K=1 i T=1
Uwzględniając tabelę TZ3 odczytujemy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i NIE pójdziemy do teatru (T=1)

Podsumowując:
Standard mieszany jest w praktyce matematycznej bezużyteczny, bo generuje niezgodne ze standardem dodatnim (naturalna logika człowieka) tabele zmiennych TZ. Wyłącznie masochiści mogą się w takie klocki bawić.

To mniej więcej tak jakby nauczyciel matematyki powiedział:
Od teraz cyfra 2 będzie oznaczała dawną cyfrę 1, zaś cyfra 1 będzie oznaczała dawną cyfrę 2.
Po takim przyporządkowaniu matematyka klasyczna dalej będzie działać poprawnie!
Czy wszyscy czują bluesa?
Kto będzie bawił się w taką matematykę klasyczną, poza masochistami?

W niewielu przypadkach na poziomie krajów używane są przeciwne standardy.

Przykłady:
1.
Anglicy jeżdżą samochodami w standardzie przeciwnym niż Polacy, czyli lewą stroną.
Katastrofą dla Anglika będzie jazda po Polsce lewą stroną.
2.
Bułgarzy kiwają głową na TAK/NIE w standardzie przeciwnym niż Polacy.
Polak interpretujący kiwanie głową Bułgara na TAK/NIE według standardu polskiego nie dogada się z Bułgarem.

2.2 Aksjomatyka algebry Boole’a

Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy

Definicja minimalnej aksjomatyki algebry Boole’a:
Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a to minimalny zestaw definicji i praw algebry Boole’a koniecznych i wystarczających do minimalizacji równań algebry Boole’a.

Należy zaznaczyć, że nasz mózg prezentuje w tym zakresie mistrzostwo świata tzn. z reguły operuje minimalnymi równaniami algebry Boole'a których nie da się minimalizować.

Definicja znaczka w logice matematycznej:
Znaczek w logice matematycznej to symbol zdefiniowany odpowiednią tabelą zero-jedynkową

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce

Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+):

I.
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka
Znaczek tożsamy w matematyce:
(*) - znaczek koniunkcji
Znaczek tożsamy w technice:
(*) - bramka logiczna AND

Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2.7 Równoważność p<=>q w świecie martwym i żywym

Spis treści
2.7 Równoważność p<=>q w świecie martwym i żywym 1
2.7.1 Najpopularniejsza w naszym świecie definicja równoważności p<=>q 3
2.7.2 Równoważność p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) 4
2.8 Równoważność A<=>S w warunkach wystarczających => 5
2.8.1 Definicja "wolnej woli" w świecie żywym 8
2.8.2 Gwałcenie równoważności K<=>T wyrażonej warunkami wystarczającymi => 8
2.9 Równoważność A<=>S w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) 10
2.9.1 Analiza równoważności A<=>S w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) 12
2.9.2 Twarde zera i miękkie jedynki w logice matematycznej 16
2.9.3 Związek opisu układu w "i"(*) i "lub"(+) z warunkiem wystarczającym => 17
2.10 Wyprowadzenie definicji "wolnej woli" istot żywych 18
2.10.1 Analiza równoważności K<=>T w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) 20
2.11 Równoważność świata martwego A<=>S vs równoważność świata żywego K<=>T 22
2.11.1 Zdanie B - świat martwy vs świat żywy 23
2.11.2 Zdanie D - świat martwy vs świat żywy 24
2.12 Definicja "wolnej woli" - ostatni akord 25
2.12.1 Diagram równoważności K<=>T wyrażonej spójnikami "i"(*) i "lub"(+) 26


2.7 Równoważność p<=>q w świecie martwym i żywym

Niniejsza część algebry Kubusia (2.7 do 2.12) to nauka czytania i interpretacji zapisów w algebrze Kubusia. W szczególności należy zwrócić uwagę na różnicę w interpretacji opisu świata martwego niezdolnego do gwałcenia praw logiki matematycznej oraz świata żywego, mającego "wolną wolę", zdolnego do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy.

Definicja "wolnej woli" w świecie żywym:
"Wolna wola" w świeci żywym to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy, w tym przez matematykę i fizykę.

Poznajmy na początek trzy najważniejsze definicje logiki matematycznej w obszarze zdarzeń realizowane zdaniami warunkowymi "Jeśli p to q:

1.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)

2.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Przykład:
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury

3.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki.

4.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Wyprowadzenie praw Kubusia:

Prawa Kubusia to najważniejsze prawa logiki matematycznej mówiące o matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> bez zamiany p i q.

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q =~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

I prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Dowód:
Rozwijamy prawą stronę:
~p~>~q = ~p+q = p=>q
cnd
##
II prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Dowód:
Rozwijamy prawą stronę:
~p=>~q = p+~q = p~>q
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

2.7.1 Najpopularniejsza w naszym świecie definicja równoważności p<=>q

Definicja równoważności p<=>q znana każdemu człowiekowi:
Równoważność to jednocześnie zachodzący warunek konieczny ~> (B1) i wystarczający => (A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q
Tożsamą prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Do tego aby zaszło q potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) aby zaszło p

Dowód iż ta definicja równoważności znana jest każdemu człowiekowi (w tym matematykom).
Klikamy na googlach:
"konieczne i wystarczające"
Wyników: 6 390
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: 8 920
"potrzeba i wystarcza"
Wyników: 2 810
cnd

2.7.2 Równoważność p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q =~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd łatwo wyprowadzamy definicję równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A1B1: p<=>q = ( A1: p=>q)*( B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q)=~p*p+~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q

Do zapamiętania:
Definicja równoważności Y w logice dodatniej (bo Y) w spójnikach "i'(*) i "lub"(+):
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q

Definicja dowolnego operatora logicznego w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Y = (p<=>q) = (A: p*q) + (C: ~p*~q)
Stąd mamy:
Y = p<=>q = A: p*q+ C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

.. a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście z równaniem 1 do logiki przeciwnej (bo ~Y) metodą skróconą poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.
~Y = ~(p<=>q) = (~p+~q)*(p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna
Funkcji koniunkcyjno-alternatywnej żaden człowiek nie rozumie, stąd musimy wymnożyć wielomian logiczny przechodząc do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej, zrozumiałej dla każdego 5-cio latka.
~Y = ~(p<=>q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p +~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
2.
~Y = B: p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Do zapamiętania:
Definicja równoważności ~Y w logice ujemnej (bo ~Y) w spójnikach "i'(*) i "lub"(+):
~Y = ~(p<=>q) = p*q + ~p*~q


Zauważmy, że idąc od strony definicji równoważności znanej każdemu człowiekowi doszliśmy do identycznych równań końcowych 1 i 2 jak idąc od tabeli zero-jedynkowej do w/w równań (pkt. 2.5.1)
Innymi słowy:
Wszystkie drogi prowadzą do algebry Kubusia.

2.8 Równoważność A<=>S w warunkach wystarczających =>

Najprostszy układ równoważności w świecie fizyki wygląda następująco:

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
3.0 Dwuargumentowe funkcje logiczne

Spis treści
3.0 Dwuargumentowe funkcje logiczne 1
3.1 Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego 9
3.1.1 Dowód prawa Grzechotnika 9
3.2 Dwuargumentowy spójnik logiczny vs dwuargumentowy operator logiczny 11
3.2.1 Spójnik "lub"(+) vs operator "lub"(|+) w bramkach logicznych 13
3.2.2 Spójnik "i"(*) vs operator "i"(|*) w bramkach logicznych 15
3.2.3 Operator "lub"(|+) vs operator "i'(|*) 18
3.3 Operator "lub"(|+) vs operator "i"(|*) w świecie fizyki 20
3.4 Operatory "lub"(|+) i "i"(|*) w funkcjach cząstkowych 22
3.5 Kwadratura koła dla ziemskich matematyków 27


3.0 Dwuargumentowe funkcje logiczne

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego (w tym matematyki i fizyki).

Algebra Kubusia zawiera w sobie nową algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.

Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
3.
Ziemski rachunek zero-jedynkowy (fundament logiki matematycznej) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych Y i ~Y algebry Boole’a, co udowodnimy za chwilkę w pkt. 3.1.1

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)

Przykłady:
Y=p+~p=1 – zdanie zawsze prawdziwe
Y=p*~p=0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

To samo w logice 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 – zdanie zawsze prawdziwe
Jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości {0,1}

Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa

Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.
W szczególnym przypadku symbol w nagłówku kolumny może być stałą binarną - same jedynki lub same zera w kolumnie.

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
4.0 Operatory Y|=f(x) z grupy TF0-11 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Spis treści
4.0 Operatory Y|=f(x) z grupy TF0-11 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 1
4.1 Operator A1: Y|=p+q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 2
4.1.1 Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych 2
4.1.2 Diagram operatora „lub”(|+) w zdarzeniach 3
4.1.3 Przykład operatora Y|=K+T w zdarzeniach 5
4.2 Operator A0: Y|=p*q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 8
4.2.1 Przykład operatora Y|=K*T w zdarzeniach 10
4.3 Operator A3: Y|=~p*~q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 12
4.3.1 Przykład operatora Y|=~K*~T w zdarzeniach 14
4.4 Związek teorii zdarzeń z teorią zbiorów dla operatorów TF0-TF3 16
4.4.1 Przykład operatora chaosu P8||~~>P3 w zbiorach 17
4.5 Operatory z grupy TF4-7 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 19
4.5.1 Operator A7: Y|=p*~q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 19
4.6.2 Przykład operatora A7: Y|=K*~T w zdarzeniach 21
4.7 Operatory z grupy TF4-TF11 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 23


4.0 Operatory Y|=f(x) z grupy TF0-11 wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
5.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Spis treści
5.0 Kubusiowa teoria zbiorów 1
5.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach 2
5.1.1 Suma logiczna zbiorów 2
5.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów 3
5.1.3 Różnica (-) zbiorów 3
5.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów 4
5.2.1 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 6
5.2.2 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 7
5.3 Dziedzina 9
5.3.1 Zaprzeczenie zbioru 9
5.3.2 Nazwa własna zbioru 9
5.3.3 Dziedzina użyteczna w języku potocznym 10
5.4 Definicja definicji 11
5.5 Skąd biorą się prawa logiki matematycznej? 13
5.5.1 Prawo Kangurka i prawo Kangura 13



5.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Kubusiowa teoria zbiorów to nieznana ziemskim matematykom teoria zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej, algebry Kubusia.

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, koło, miłość, krasnoludek, zbór wszystkich zwierząt ...]

Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies)
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)

Prawa Prosiaczka
Prawa Prosiaczka omówiono szczegółowo w punkcie 1.4

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Przykład 1.
(p=1) = (~p=0)
1.
[pies]=1 - prawdą jest (=1) iż wiem co znaczy pojęcie pies
Prawo Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
Nasz przykład:
(pies=1) = (~pies=0) - na mocy prawa Prosiaczka
stąd zdanie tożsame do 1:
~pies=0 - fałszem jest (=0), że nie wiem (~) co znaczy pojęcie [pies]

Przykład 2.
(~p=1) = (p=0)
2.
agstd=0 - fałszem jest (=0) iż wiem co znaczy pojęcie „agstd”
Prawo Prosiaczka:
(agstd=0) = (~agstd=1)
stąd zdanie tożsame do 2:
~agstd=1 - prawdą jest (=1), że nie wiem (~) co znaczy pojęcie agstd

Prawo Rekina:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.

5.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach

Elementarne działania na zbiorach to:
(+) - suma logiczna zbiorów
(*) - iloczyn logiczny zbiorów
(-) - różnica logiczna zbiorów

5.1.1 Suma logiczna zbiorów

Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
Zdefiniujmy dwa zbiory p i q:
p=[K, T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T, P] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[K,T]+[T,P]=[K,T,T,P] = [K+T+T+P] = [K+T+P] = [K,T,P] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Bo prawo Algebry Boole’a:
p+p =p
Uwaga:
Przecinek przy wyliczaniu elementów zbioru jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) z algebry Boole’a co pokazano i udowodniono wyżej.

5.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów

Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny (zbiór wynikowy jest niepusty)
Y = p*q =0 - gdy zbiory p i q nie mają (=0) elementu wspólnego (są rozłączne)

Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
S - Słoń
Zdefiniujmy zbiory p, q, r:
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T,P] =1 - bo zbiór niepusty
r=[P,S] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[K,T]*[T,P]=[T] =1 - zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny
Y=p*r=[K,T]*[P,S] =[] =0 - zbiory p i r nie mają (=0) elementu wspólnego

Identyczne wyniki można uzyskać poprzez wymnażanie logiczne zbiorów.
Przykład:
p*q = [K+T]*[T+P] = K*T + K*P + T*T + T*P =[] + [] + T + [] = T
bo:
K*T+ K*P + T*P =[]+[]+[] =0+0+0 =0 - iloczyn logiczny „*” zbiorów (pojęć) rozłącznych jest zbiorem pustym []
T*T =T
bo prawo algebry Boole’a:
p*p =p
Jak widzimy, przy wyliczaniu elementów zbioru przecinek jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) rodem z algebry Boole’a.

5.1.3 Różnica (-) zbiorów

Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q

Oznaczmy:
K - Kubuś
T - Tygrysek
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T] =1 - bo zbiór niepusty
Stąd:
Y=p-q = [K,T]-[T] =[K+T-T] =[K] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=q-p =[K]-[K,T]=[K-(K+T]=[K-K-T]= [] + [-T] =[-T] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty
Prawo odejmowania zbiorów:
Jeśli w operacji odejmowania zbiorów wynikowy zbiór jest z minusem {-} to taki zbiór zamieniamy na zbiór pusty [].

5.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów

Przypomnijmy znane już definicje podstawowe.

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, miłość, krasnoludek, ZWZ, LN ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies)
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)

Prawo Rekina:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)

Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum.
Zauważmy, że zaledwie 40 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na Ziemi.
Podobnie będzie z algebrą Kubusia, aktualnie wyłącznie mieszkańcy 100-milowego lasu ją znają i rozumieją, ale wkrótce pojęcie „Algebra Kubusia” znane będzie każdemu ziemianinowi od 5-cio latka poczynając, bowiem algebra Kubusia będzie uczona we wszystkich ziemskich przedszkolach - oczywiście w formie zabawy praktycznej, bez teorii którą znają wszystkie żywe stworzenia, nie będąc tego świadomym.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)

Definicja dziedziny absolutnej DA:
Dziedzina absolutna DA to zbiór wszelkich pojęć możliwych do zdefiniowania w naszym Wszechświecie.

Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z dziedziną absolutną DA.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum U to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Zbiór pusty zawiera nieskończenie wiele pojęć niezrozumiałych dla człowieka, jeszcze niezdefiniowanych. Definiować elementy w naszym Wszechświecie może wyłącznie człowiek, świat martwy sam sobie nic nie definiuje.

Przed pojawieniem się człowieka na ziemi zawartość zbioru pustego była taka:
[] - wszystkie elementy naszego Wszechświata w sensie absolutnym, nie ma jeszcze człowieka który by cokolwiek definiował.

W dniu dzisiejszym sytuacja jest inna, taka: